Unidad Educativa Caranavi Bolivia

MDULO

GEOMETRIA ANALTICA (Tercer Bimestre)

Grado : Sexto de Secundaria

Caranavi, La Paz, Bolivia

2016

GEOMETRIA ANALTICA LA PARBOLA

1.DATOS INFORMATIVOS:

1. NOMBRE DE LA U. E. : Caranavi Bolivia

2. DIRECTOR : Lic. Juan Edwin UoAriviri

3. GRADO : Sexto de Secundaria

4. REA : Matemtica

5. DOCENTE : Prof. Elior Choque Quispe

: Prof. J. Magdalena Laura Fernndez

6. NOTA ABROBATORIA : 51

7. BIMESTRE : Tercero

8. FECHA : 25 de junio al 18 de septiembre.

2. PROYECTO SOCIOCOMUNITARIO PRODUCTIVO Comunicacin y educacin sobre el uso y disposicin final de residuos slidos.

3. CONTENIDOS

La parbola. La elipse

OBJETIVO GENERAL

Al concluir la unidad, el estudiante identificar y aplicar las propiedades relacionadas con el lugar geomtrico llamado parbola determinando los distintos parmetros, su ecuacin respectiva y viceversa, la frmula cannica, la frmula general y los campos de aplicacin.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

- Reconocer la forma de la parbola.

- Manejar e interpretar sus ecuaciones y las propiedades ms caractersticas.

- Identificarlas en diferentes contextos cuando aparecen como lugares geomtricos.

- Reconocer la importancia de las cnicas en la ciencia y en la tecnologa.

- Promover el uso de los equipos porttiles quipus en el proceso de enseanza y aprendizaje.

LA PARBOLA

Esta cnica llamada parbola, se describe geomtricamente como la curva que resulta al interceptar un cono recto circular y un plano paralelo a la generatriz del cono. Ver Figura 1

Figura 1

DEFINICIN

La parbola es el lugar geomtrico de todos los puntos del plano cuyas distancias a una recta fija, llamada directriz, y a un punto fijo llamado foco, son iguales.

ELEMENTOS DE LA PARBOLA

La recta que pasa por el foco F, ortogonal a la directriz L se denomina eje de la parbola.

La parbola intercepta al eje en un punto V llamado vrtice, este se halla situado a medio camino entre el foco y el punto Q que es la interseccin del eje con la directriz L.

p es la distancia entre el vrtice y el foco. Denominado distancia focal.

ECUACIONES DE LA PARBOLA

La parbola con eje paralelo a X y vrtice V(h, k), tiene como ecuacin general:

( ) = 4 ( )

Cuando el vrtice sea V(0,0) (en el origen); h = 0, K = 0, la ecuacin es:

= 4

Cuando tenemos el signo positivo en la ecuacin, la parbola se abre hacia la derecha:

( ) = + 4 ( )

Cuando tenemos el signo negativo en la ecuacin, la parbola se abre hacia la izquierda:

( ) = 4 ( )

Las partes principales de una parbola, mostradas en la figura son las siguientes:

Eje focal: Es la recta que divide a la parbola simtricamente y que pasa por el foco. Ver

Figura.

Vrtice: Es el punto donde se intersecanla parbola con el eje focal.

Distancia focal: Es la distancia que existe foco al vrtice y se le asigna la letra p,

a cual aparecer en la ecuacin particular de la parbola. Sin embargo, de acuerdo con la

definicin de la parbola, la distancia p del

focoalvrtice es igual a la distancia del

vrtice a la directriz por estar en la misma

lnea recta perpendicular a dicha directriz.

Las coordenadas del vrtice, igual que en la

circunferencia, se designan con las letras

h y k.

LADO RECTO: Es la cuerda perpendicular al

eje focal y que pasa por el foco. Su longitud

es una de las caractersticas importantes de

la parbola y es igual a:

LR = 4p

En todas las cnicas que tienen por lo menosun trmino al cuadrado, un primer paso, como ya

se dijo, en el procedimiento paratransformar su ecuacin de la forma general a la forma

particular consiste en dividir toda la ecuacin general entre el nmero, o nmeros, que dejen

con coeficiente 1 a todas las variables "al cuadrado".

ECUACIN DE LA PARBOLA EN FORMA GENERAL.

En cualquiera de los casos anteriores, la estructura de la ecuacin de la parbola tiene las

siguientes caractersticas:

Existe solamente una variable al cuadrado y otra lineal.

El coeficiente de la variable lineal (4p) representa la proporcin del lado recto con respecto de

la distancia focal. Pero adems de lo anterior, desde el punto de vista de las estructuras

algebraicas, es una ecuacin de segundo grado, que puede expresarse en la forma general de

este tipo.

OBTENCIN DE LA ECUACIN GENERAL DE LA PARBOLA.

Para llegar a dicha expresin general, es necesario desarrollar algebraicamente la forma cannica de la ecuacin.

Tomando como ejemplo la forma:( ) = 4 ( )

Desarrollando resulta:

2 + = 4 4

2 + 4 + 4 = 0

Multiplicando la ecuacin por un coeficiente A con la intencin de generalizar, y considerando A 0

2 + 4 4 = 0

Reordenando

4 2 + + 4 = 0

4 2 + ( + 4 ) = 0

Haciendo que los coeficientes de las variables sean:

4 = , 2 = , ( + 4 ) =

Sustituyendo los coeficientes D,E y F en la ecuacin se tiene:

+ + + = 0

Que es la ecuacin de una parbola horizontal en su forma general. Anlogamente para una parbola de orientacin vertical, la ecuacin en su forma general ser:

+ + + = 0

ECUACIONES DE LA PARBOLA CUYO VRTICE EST EN EL ORIGEN.-

La ecuacin algebraica que describe a la parbola se encuentra expresada en funcin de la

posicin geomtrica de los elementos que la conforman, as como de la orientacin propia

de la misma, resultando en una ecuacin caracterstica de cada caso particular.

ECUACIN DE LA PARBOLA

CON VERTICE EN V(0, 0)

V ( 0, 0) LR = 4 p

Eje focal

Foco Directriz Ecuacin Aclaracin grfica

X

( p, 0)

X

( - p, 0)

Y

( 0, p)

Y

( 0, - p)

ECUACIONES DE LA PARBOLA CUYO VRTICE NO COINCIDE CON EL ORIGEN, CON VERTICE EN (h, k).

Cuando el vrtice se localiza en cualquier punto, al que por convencin se le asignan las

coordenadas (h,k), y ste es distinto al origen, la ecuacin que describe a la parbola cambia en

funcin de la posicin de este punto y adems de la orientacin de la curva respecto de los ejes

coordenados.

ECUACIN DE LA PARBOLA

CON VERTICE EN V(h, k)

V ( h, k) LR = 4 p

Eje focal

Foco Directriz Ecuacin Aclaracin grfica

// X

(h + p, k) = ( ) = 4 ( )

// X

(h - p, k) = + ( ) = 4 ( )

// Y

( h, k + p) = ( ) = 4 ( )

// Y

( h, k - p) = + ( ) = 4 ( )

PROBLEMAS SOBRE LA PARBOLA.

EJEMPLO 1

Encontrar la ecuacin de la parbola con vrtice en el punto (3,2) y foco en (5,2).

SOLUCION:

Analizando las coordenadas de vrtice y foco, se observa que su ordenada es comn, por lo que se concluye que estn alineados horizontalmente y que el foco est a la izquierda del vrtice.

Dado lo anterior, es posible afirmar que su ecuacin tiene la forma:

( ) =4 ( )

Siendo las coordenadas del vrtice (h,k), se sustituyen en la ecuacin y resulta:

( 2) =4 ( 3)

En donde el parmetro p representa la distancia del vrtice al foco, y sta se obtiene por diferencia de las abscisas correspondientes:

p = 5 3

p = 2

Sustituyendo:( 2) =4 (2)( 3)

( 2) = 8( 3)

Ecuacin escrita en la forma ordinaria

EJEMPLO 2

Determine las coordenadas del vrtice, del foco, la longitud del lado recto y la ecuacin de la

directriz, en una parbola cuya ecuacin es: ( + 6) =24( 2)

Solucin:La ecuacin corresponde a una parbola vertical cuyas ramas se abren en el sentido

negativo de las ordenadas, cuya forma es: ( ) = 4 ( )

De lo anterior se observa que: - 4p = - 24 => p = 6

por lo tanto, la longitud del lado recto es:

LR = 4 p

LR = 4 (6) => LR = 24 u

De igual forma se observa que las coordenadas del vrtice corresponden con los valores de h y k, tomando en cuenta los signos respectivos, se deduce que el vrtice es el punto de coordenadas:

V(-6,2)

S 4p = - 24 ,

Entonces la distancia focal p ser: 4 = 24

=

= 6

Las coordenadas del foco se obtienen por la abscisa comn a ambos puntos ycalculando la diferencia de la ordenada del vrtice y la distancia focal.

F(-6,2-6) entonces F(-6,-4)

Para determinar ecuacin de la directriz se sustituyen los datos conocidos p y k en:

= 0

2 6 = 0

Resultando la ecuacin:

=

EJEMPLO 3

Hallar la ecuacin de la parbola y hacer la grfica de la parbola cuyo foco est en (3, 9), la

directriz tiene como ecuacin x = -3 y su vrtice est en el origen.

Solucin:Se observa que el foco est sobre el eje x, lo que indica que el eje de simetra es

horizontal. As la ecuacin de la forma: = 4

Como la directriz es = 3, nos indica que = 3 que corresponde p a la coordenada en x del foco.

Entonces: = 4(3) = 12

La ecuacin cannica es: = 12 , su grfico:

GEOMETRIA ANALTICA

LA ELIPSE OBJETIVOS Al finalizar este tema, el estudiante adquirir los conocimientos que le permitirn:

a) Caracterizar la elipse como lugar geomtrico.