José María Martínez Mediano

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MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Dado un campo escalar f: D R2 R, D abierto y (x0, y0) D. Se dice que (x0, y0) es un punto crítico o estacionario de f si ),( yxf es diferenciable y

)0 ,0() ,( 00 yxdf )0 ,0() ,( 00 yxf 0) ,( 00 yxf x y 0) ,( 00 yxf y . El punto (x0, y0, f (x0, y0)) se llama punto crítico o estacionario de la superficie. El plano tangente en un punto crítico es horizontal. Generalmente los puntos estacionarios de una superficie se clasifican en máximos, mínimos y puntos de silla. Una función f tiene un mínimo local en (x0, y0) si ) ,() ,( 00 yxfyxf , para todo (x, y) perteneciente a un entorno de (x0, y0). El número ) ,( 00 yxf es el mínimo de f en ese entorno. Una función f tiene un máximo local en (x0, y0) si ) ,() ,( 00 yxfyxf , para todo (x, y) perteneciente a un entorno de (x0, y0). El número ) ,( 00 yxf es el máximo de f en ese entorno. Los máximos y los mínimos se llaman óptimos locales o relativos. Una función f tiene un punto de silla en (x0, y0) si todo entorno de (x0, y0) contiene puntos (x, y) tales que ) ,() ,( 00 yxfyxf y otros para los que ) ,() ,( 00 yxfyxf . Ejemplos: a) La función 22),( yxyxf tiene un mínimo en el punto (0, 0). El valor de 0),( yxf para todo punto de un entorno de (0, 0). Como puede verse, el punto (0, 0) es estacionario: xyxf x 2) ,( y yyxf y 2) ,( se anulan a la vez en el punto (0, 0). El plano z = 0 es tangente a ella en el punto (0, 0, 0). b) La función 222),( yxyxf tiene un máximo en el punto (0, 0). El valor de

2),( yxf para todo punto de un entorno de (0, 0). Como puede verse, el punto (0, 0) es estacionario: xyxf x 2) ,( y yyxf y 2) ,( se anulan a la vez en el punto (0, 0). El plano z = 2 es tangente a ella en el punto (0, 0, 2). c) La función 22),( yxyxf tiene un punto de silla en (0, 0). Existen puntos de cualquier entorno de (0, 0) que hacen que 0),( yxf ; y otros que hacen que 0),( yxf . El punto (0, 0) también es estacionario: xyxf x 2) ,( y yyxf y 2) ,( se anulan a la vez en el punto (0, 0). El plano z = 0, tangente a 22),( yxyxf en el punto (0, 0, 0) atraviesa esa superficie.

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Condiciones de optimalidad 1. Condición necesaria de primer orden Si f posee un óptimo local en el punto (x0, y0), entonces )0 ,0() ,( 00 yxf . (Véase Nota 1.)

Los óptimos se encuentran entre las soluciones del sistema

0,0,

yxfyxf

y

x → puntos críticos.

No todos los puntos críticos son óptimos: entre ellos puede haber puntos de silla. 2. Condiciones de segundo orden Si (x0, y0) es un punto crítico de f, se considera su matriz hessiana

0000

000000 ,,

,,,

yxfyxfyxfyxf

yxHfyyyx

xyxx → para simplificar:

CBBA

yxHf 00 ,

Con esto: Si (x0, y0) es un punto crítico de f , entonces si 02 BAC y A < 0 (x0, y0) es máximo. Si (x0, y0) es un punto crítico de f , entonces si 02 BAC y A > 0 (x0, y0) es mínimo. Si (x0, y0) es un punto crítico y 02 BAC (x0, y0) es un punto de silla. Si (x0, y0) es un punto crítico y 02 BAC , el caso es dudoso: puede tratarse de un máximo, de un mínimo o de un punto de silla. (Véase Sydsaeter pp. 488 y ss. Véanse también las notas 2, 3, 4.) Ejemplos: a) Estudio de los extremos relativos de la función yxxyxyxf 12153),( 23 . Puntos críticos:

012601533 22

xyfyxf

y

x

xyxx

/2015)/2·(33 22

045 24 xx x = ±1; ±2

Los puntos críticos son: (1, 2); (−1, −2); (2, 1); (−2, −1) Hessiana:

xfyfyfxf

yyyx

xyxx

6666

Punto (1, 2) →

612126

2 ,1Hf →

014436 H (1, 2) es punto de silla.

Punto (−1, −2) →

612

1262 ,1Hf →

014436 H (−1, −2) es punto de silla.

Punto (2, 1) →

126612

1 ,2Hf →

036144 H ; A > 0 (2, 1) es un mínimo local. Su valor es 28)1,2( f .

Punto (−2, −1) →

126612

1 ,2Hf → 036144 H ; A < 0 (−2, −1) es un

máximo local. Su valor es 28)1,2( f .

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b) Estudio de los extremos relativos de la función 21),( xyxf Puntos críticos:

002

y

x

fxf

kyx 0

→ Hay infinitos

puntos críticos: (0, k). Hessiana:

0002

yyyx

xyxx

ffff

0002

,0 kHf

Como su determinante es cero se trata de una caso dudoso. En este caso, la duda se sustancia al considerar que la expresión 11 2 x . Por tanto, como 1),0( kf para cualquier valor de k en los puntos (0, k) hay máximos. c) Estudio de los extremos relativos de la función 23 3),( xyxyxf . Puntos críticos:

06033 22

xyfyxf

y

x Punto crítico: (0, 0).

Hessiana:

xfyfyfxf

yyyx

xyxx

6666

0000

0,0Hf → 0H → Caso dudoso.

En cualquier entorno de (0, 0) existen puntos que hacen que )0,0(),( fyxf y otros que hacen que

)0,0(),( fyxf . En concreto, para puntos de la forma (m, m), con m tan pequeño como se desee,

32),( mmmf que toma valores mayores o menores que 0 dependiendo del signo de m. d) Estudio de los extremos relativos de la función 22),( yxyxf Puntos críticos:

22),( xyyxf x = 0; yxyxf y22),( = 0 .

Hay infinitos puntos críticos: (0, k) y (k, 0). Como 22),( yxyxf siempre es 0, en esos puntos hay mínimos. A partir de la hessiana no puede determinarse, pues:

22yf xx ; xyf xy 4 ; 22xf xx

0002),0)((

2kkfH .

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Optimización: Algunas aclaraciones teóricas Nota 1: Si f posee un óptimo local (máximo) en el punto (x0, y0), y por tanto ) ,() ,( 00 yxfyxf , entonces la derivada direccional en (x0, y0) según la dirección de cualquier vector v no puede ser positiva:

h

yxfvvhyxfvyxfh

),()) ,() ,((lim,,´ 002100

000

≤ 0

Como 0) ,(),( 00 yxfyxf :

para h < 0 0)()(,,´ 00

vyxf ; y para h > 0 0)()(,,´ 00

vyxf

Por tanto, 0,,´ 00 vyxf . En particular: para v = (1, 0) → 0,,,´ 0000 yxfvyxf x

; para v = (0, 1) → 0,,,´ 0000 yxfvyxf y

Luego, si f posee un óptimo local en el punto (x0, y0), entonces )0 ,0() ,( 00 yxf . Nota 2: Normalmente la clasificación de los puntos críticos de una función de varias variables

se hace estudiando la forma cuadrática

CBBA

yxHf 00 , . Los criterios de clasificación

pueden verse en Sydsaeter pp. 420 y ss. Nota 3: Lo dicho en la nota 2 cobra sentido si se tiene en cuenta el desarrollo de Taylor de grado dos, pues cuando )0 ,0() ,( 00 yxf la expresión queda:

),(

,,,,

,21,,

0

0

0000

00000000 yxR

yyxx

yxfyxfyxfyxf

yyxxyxfyxfyyyx

xyxx

donde el resto ),( yxR → 0 cuando 00 , yyxx → (0, 0). Por tanto, que ) ,() ,( 00 yxfyxf ─caso de mínimo─ o que ) ,() ,( 00 yxfyxf ─caso de máximo─ depende del término asociado a la hessiana; esto es, del carácter de la forma cuadrática 00 , yxHf . Ampliación de esta nota: Conviene observar que la matriz 00 , yxHf , en adelante H, es simétrica. Por tanto es diagonalizable mediante congruencias; esto es, existe una matriz diagonal D y una matriz ortogonal C tales que TCDCH . En consecuencia, para cualquier matriz fila (para un vector) X se cumple que: TTT XXCDCXHX TT XCDXCXHX )()(

Si yxX , y 1 y 2 son los autovalores de matriz H, con autovectores asociados

2

1

uu

y

2

1

vv

, ortonormales, entonces

yx

vvuu

vuvu

yxyx

Hyx21

21

2

1

22

11

00

,, =

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=

),)·(,(),)·(,(

00

),)·(,(),)·(,(21

21

2

12121 vvyx

uuyxvvyxuuyx =

=

),)·(,(),)·(,(

),)·(,(),)·(,(21

21212211 vvyx

uuyxvvyxuuyx

= ),)·(,)·(,)·(,(),)·(,)·(,)·(,( 2121221211 vvyxvvyxuuyxuuyx = 22

222

1 yxyx

Esto indica que el signo de

yx

Hyx, depende de 1 y 2, pues 022 yx siempre.

(Recuérdese que si C es ortogonal, entonces: 1),)·(,( 2121 uuuu y 1),)·(,( 2121 vvvv .) En consecuencia:

si ambos autovalores son positivos 0,

yx

Hyx ) ,() ,( 00 yxfyxf → en (x0, y0)

se tiene un mínimo.

si ambos autovalores son negativos 0,

yx

Hyx ) ,() ,( 00 yxfyxf → en (x0, y0)

se tiene un máximo.

si los autovalores tienen signos distintos

yx

Hyx, toma signos distintos en (x0, y0)

se tiene un punto de silla. Nota 4: El signo de los autovalores está ligado al determinante de H:

200 , BAC

CBBA

yxHf

En efecto, la ecuación característica de

CBBA

yxHf 00 , es

022

BACCA

CBBA

.

Las soluciones de esta ecuación de segundo grado, que son los autovalores 1 y 2, cumplen: 1 + 2 = A + C, 2

21· BAC Luego: Si 02 BAC los autovalores tienen signos opuestos → en (x0, y0) se tiene un punto de silla. Si los autovalores tienen signos iguales 02 BAC 2BAC , que sólo puede darse si A y C tienen el mismo signo, que además coincide con el signo de 1 y 2, ya que A + C = 1 + 2. Luego: si 02 BAC y A > 0, 1 y 2 son positivos → en (x0, y0) se tiene un mínimo. si 02 BAC y A < 0, 1 y 2 son negativos → en (x0, y0) se tiene un máximo.