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UNIVERSIDAD DE LA SERENAFACULTAD DE CIENCIASDEPTO . DE MATEMTICA2 SEMESTRE 2011

GUIA DE LGEBRA LINEAL (ING.)TRANSFORMACIONES LINEALES

Definicin 4.1 Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo IK ,una transformacinlinealde V en W es una funcin T: V W tal que:T(u + v) = T(u) + T (v) u, v V

T( u) = T ( u) u V , IK.

Proposicin 4.2 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, T: V W transformacinlineal, entonces:

a) T( 0v) = 0w

b) T(-v) = - T (v) , v V

c) T( u - v) = T(u) - T(v) , u , v V

Proposicin 4.3 Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, entonces T : V W esuna transformacin lineal si y slo si T ( u + v) = T(u) + T (v) , IK, u, v V.

Corolario 4.4 Sean V , W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y T: V W unatransformacin lineal, entonces T preserva las combinaciones lineales , es decir si v1,.....,vn V

y 1,..... ,n K se tiene que T )T(vv i

n

1=i

i

n

1=i

ii

.

Teorema 4.5Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo K, tal que dim V = n < y{v1,....,vn} una base ordenada de V. Supongamos que {w1,....,wn} es subconjunto de W, entonces

existe una nica transformacin lineal T: V W tal que T(vi) = wii = 1,.....,n.Observacin 4.6 Notemos que en el teorema 4.5 no se requiere que el conjunto{w1,..., wn} sea l.i. o generador.

NCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIN LINEALDefinicin 4.7 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, T: V W unatransformacin lineal .El ncleo (o kernel) de Tes el conjunto KerT ={vV / T(v) = 0w}. Laimagen de T es el conjunto Im T = { w W / v V : T (v) = w } = { T(v) / v V =T(V) }.

Proposicin 4.8 Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y T: V W unatransformacin lineal , entonces Ker T V e Im T W.

Definicin 4.9 Si V y W son espacios vectoriales de dimensin finita sobre un cuerpo IK yT: V W es una transformacin lineal. Entonces dim ( Ker T ) se llama nulidad de T ydim ( Im T ) se llama rangode T .

Teorema 4.10 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, dim V < yT : V W una transformacin lineal, entonces dim V = dim Ker T + dim Im T.

Corolario 4.11 Sea A Mnxm ( K) entonces la dimensin del espacio fila de A es igual a ladimensin del espacio columna A, es decir rango A = rango At.

Proposicin 4.12 Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y T: V W unatransformacin lineal entonces T es inyectiva si y slo si Ker T = { 0V}

Proposicin 4.13 Sean V , W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK tales quedim V = dim W = n < y T: V W una transformacin lineal, entonces T es inyectivasi y solo si T es epiyectiva.


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ALGEBRA DE TRANSFORMACIONES LINEALES

Teorema 4.14 Sean V , W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK . T : V W yL : V W transformaciones lineales, entonces:

a) La funcin T + L : V W definida por ( T + L )(v) = T (v) + L (v) , v V es unatransformacin lineal.

b) La funcin T : V W con K , definida por (T )(v) = (T(v) ) , v V es unatransformacin lineal.

Proposicin 4.15 Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, entonces el conjuntoL( V,W) = {T : V W / T es transformacin lineal} es un espacio vectorial con la suma y

producto por escalar definidos en el teorema 4.14.

Teorema 4.16Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK tales que dim V = n < ydim W = m < Entonces dim L( V,W) = nm.

Teorema 4.17 Sean U, V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, T: V U y

L: U W transformaciones lineales. Entonces la funcin compuesta L o T :V W definidapor ( L o T ) (v) = L(T(v)) , v V , es una transformacin lineal.

Definicin 4.18 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK. Una transformacin linealT : V V se dice un operador lineal sobre V.

Proposicin 4.19 Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK, T, L, S operadores linealessobre V, entonces:a) T o L es operador lineal sobre V.

b) Iv o T = T o Iv = T

c) L o ( T + S ) = ( L o T ) + ( L o S ) y (T + S) o L = ( T o L) + ( S o L).

d) ( T o L) = ( T ) o L = T o ( L) , K.

Definicin 4.20 Sean V,W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y T: V W unatransformacin lineal, se dice que T es invertiblesi T es una funcin biyectiva de V en W.Es oportuno recordar la equivalencia siguiente: T : V W es invertible si y slo si existe una

funcin T-1

: W V tal que T o T-1

= Iw y T-1

o T = Iv

Teorema 4.21 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y T: V W unatransformacin lineal invertible entonces T

-1 : W V es una transformacin lineal.

Teorema 4.22 Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, T: V W una transformacin

lineal. Entonces T es inyectiva si y slo si T aplica cada subconjunto l.i. de V sobre un subconjuntol.i. de W.

Teorema 4.23 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK , tales quedimV = dim W = n < . Si T: V W es una transformacin lineal entonces son equivalenteslas siguientes afirmaciones:

a)T es invertibleb)T es inyectivac) T es epiyectivad) Si {v1,.....,vn} es base de V entonces { T(v1),.....,T (vn) } es base deW

e) Existe una base {v1,....., vn} de V tal que { T(v1),.......,T(vn)} es base de W.

Observacin 4.24 Notemos que el teorema 4.23 no es vlido si dim Vdim W .

ISOMORFISMOSDefinicin 4.25Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK. Una transformacin linealT: V W se dice isomorfismode V sobre W si T es biyectiva. Si existe un isomorfismo de V

sobre W se dice queV esisomorfo a W y se anota V ~W.

Teorema 4.26 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK. Si dim V = n entonces V ~ IKn.


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Lema 4.27 Sean U, V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK. Entonces

a) Si U ~V entonces V ~ Ub) Si U ~V y V ~ W entonces U ~W.

Teorema 4.28 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK. Entonces

V ~W si y solo s dim V = dim W.

REPRESENTACIN POR MATRICES

Definicin 5.1 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK , tales quedim V = n , dim W = m y T: V W una transformacin lineal.Si B = { v1 ,...,vn } es una base ordenada de V y B`= { w1,...,wm} una base ordenada de W, se

define la matriz de T respecto al par de bases ordenadas B y B` como la matriz [ T BB`M mxn(IK)

donde la columna j-sima de [ T BB` est dada por [ T (vj )B`.

Observacin 5.2La transformacin lineal T :V W determina una nica matriz [TBB, puestoque para cada j{1,.....,n}existen nicos escalares 1j,2j,...,mj IK tales que

T(vj) = ij ii

m

w

1

, es decir [T (vj) B`=

mj

j1

. Luego [T ]BB`= ( ij) i mj n

1

1

,...,

,...,

es nica.

Teorema 5.3 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, tal que dim V= n y dimW= m.Sean B y B` bases ordenadas de V y W respectivamente. Si T: V W es una transformacin

lineal, entonces[T(v)B = [T BB [v B, v V.

Teorema 5.4 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, tales que dimV = ny dim W = m . Sean B y B` bases ordenadas de V y W respectivamente, entonces

:L(V,W) Mm x n(K) definida por (T) = TBBes un isomorfismo.

Observacin 5.5 Note que el hecho de que sea biyectiva implica que dada una matrizA Mm x n (K) y las bases ordenadas B y B` en V y W respectivamente existe una nica

transformacin lineal T: V W tal que [T BB` = A

Observacin Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo IK, B es una base ordenada de V y T unoperador lineal sobre V entonces en lugar de [TBB se escribe [TB y se dice que es la matriz deT en la base B . Note que por el teorema 5.3 se tiene la identidad

[T (v)B= [T B[v B, v V.

Teorema 5.6 Sean U, V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, T: U V yL: V W transformaciones lineales. Si B, B` y B`` son bases ordenadas de U, V y W

respectivamente, entonces [L o T BB``= [L B`B``[TBB`.

Proposicin 5.7 Sean V y W espacios vectoriales de dimensin n sobre un cuerpo IK yT: V W una transformacin lineal. Entonces T es invertible si y slo s [T BB`es invertiblepara toda base ordenada B de V y toda base ordenada B`de W.

Definicin 5.8 Sean V espacio vectoriales sobre un cuerpo K, B y B` bases ordenadas de V. Lamatriz [idvBB`se llama la matriz de pasaje de la base B a la base B`.

Proposicin 5.9Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK, B y B` bases ordenadas de V,entonces la matriz de pasaje de la base B a la base B` es invertible y

[IV-1BB = [IVBB`.

Teorema 5.10 (Cambio de base ) Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, B1, B2 basesordenadas de V. B`1 , B`2base ordenadas de W. Si T: V W es una transformacin lineal,

entonces [ T B1 B'1 = [Iw B`2 B'1 [T B2 B`2 [Iv B1 B2 .


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Observacin 5.11 Un caso particular del teorema 5.10 queda expresado de la siguiente manera:

Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo K, B y B` bases ordenadas de V y T un operador linealsobre V, entonces

[TB = [IvB`B[TB`[IvBB` , o bien , [T B = [IvB`B[TB`[IvB`B-1

.

VALORES Y VECTORES PROPIOS

Definicin 5.12Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK y T: V V un operador lineal.Un escalar K se dice valor propio de T si existe un vector vV, v 0 tal que T(v) = v.

Si es un valor propio de T, entonces cualquier v V tal que T(v) = v se llama vector propio de

T asociado al valor propio .

El conjunto S

= {v V / T(v) = v } se llama espacio propio asociado a .

Proposicin 5.13Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK y T: V V un operador lineal.Si es un valor propio de T entonces S

V.

Teorema 5.14 Sean V un espacio vectorial de dimensin finita n sobre un cuerpo IK, B unabase ordenada de V y T : V V un operador lineal. Entonces las siguientes afirmacionesson equivalentes:

(a) es valor propio de T

(b) T - idv no es invertible

(c ) det ( [ T B - In ) = 0

Observacin Si B es cualquier base ordenada del espacio vectorial V, por lo tanto la equivalencia(a) (c) se puede expresar de la siguiente manera:

es valor propio de T det ( [TB- In) = 0, para cualquier base ordenada B de V.

Definicin 5.15 Sea A Mn (IK) , se dice que IK es un valor propio de A en IK, sidet (In -A) = 0. El polinomio C(x) = det ( xIn-A) se llama polinomio caracterstico de A.

Observacin 5.16El polinomio caracterstico de una matriz A Mn(IK) es un polinomio mnicode grado n, esto se comprueba al desarrollar det ( xIn - A). Adems, las races de CA (x) son

exactamente los valores propios de A.

Proposicin 5.17 Las matrices semejantes tienen el mismo polinomio caracterstico.

Definicin 5.18 Sean V un espacio vectorial de dimensin n sobre un cuerpo IK yT: V V un operador lineal. Se define el polinomio caracterstico de T, como el polinomiocaracterstico de cualquier matriz n x n que representa a T en alguna base ordenada de V. Se anota

CT( x ).

Observacin 5.19De la definicin de CT(x) se tiene que si B y B` son bases de V, entonces [TBy [TB son matrices semejantes, es decir [TB = [IV

-1BB`[TB [IVBB` , luego tiene el mismo

polinomio caracterstico y por lo tanto los mismos valores propios. En particular T tiene a lo ms n

valores propios distintos, puesto que gr( CT(x)) = n . Sin embargo, existen funciones lineales las

cuales carecen de valores propios.

DIAGONALIZACIN

Definicin 5.20 Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK y T: V V un operador lineal.Diremos que T es diagonalizable si existe una base B de V tal que [T Bes una matriz diagonal.

Teorema 5.21Sean V un espacio vectorial de dimensin n sobre IK y T: V V un operadorlineal. Entonces , T es diagonalizable si y solo si existe una base de V, formada slo por vectores

propios de T.


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Teorema 5.22Sean V un espacio vectorial de dimensin n sobre un cuerpo IK, T unoperador lineal sobre V y 1,..., r los valores propios distintos de T.

Sea Si= Si el subespacio asociado al valor propio i. Entonces las siguientes afirmaciones sonequivalentes:

(a) T es diagonalizable

(b) El polinomio caracterstico de T es CT( x) = ( x - 1)d1 ...(x - r) r

d,

donde di= dim Si.( c ) dim S1+ ...... + dim Sr= dim V.

Corolario 5.23 Sea V un espacio vectorial de dimensin n sobre un cuerpo IK y T: V V unoperador lineal. Si T posee n valores propios distintos entonces T es diagonalizable.

Definicin 5.24 Con las notaciones anteriores se dice que dim Sies la multiplicidad geomtricadel valor propio i y que dies la multiplicidad algebraicadel valor propio i.

Observacin 5.25. El teorema 5.21 puede reescribirse de la siguiente manera:T es diagonalizable si y solo si la multiplicidad geomtrica de cada valor propio i de T es igual a

la multiplicidad algebraica.

GUIA DE EJERCICIOS

1.- Determine en cada uno de los siguientes casos si las funciones dadas son lineales:

a) T: IR2 IR

3 definida por T(a,b) = ( a + b,2a - b)

b) T: IR2 M2x2(IR) definida por T(a,b,c)=

a b c

c a c

1

c) T: P1(C) C

2c

definida por T((a + bi) + (c + di)x) = (a - ci,b - di)d) T: IR

3 C2, T(a,b,c) = ( a - bi,a )

e) T: IR IR2, T(a) = ( a,a)

2.- Sea T : IR2IR definida por T ( x, y) = x + y + a. Demuestre que T es transformacin lineal

si y slo s a = 0.

3.- Encuentre bases para el ncleo e imagen de las siguientes transformaciones lineales:

a) T1: IR3IR definidas por T1(a,b,c) = a + b - c

b) T2 : P2( IR) IR definida por T2( a + bx + cx2) = (a - b,c - a)

c) T3: 2CC IR3 definida por T3(a + bi,c + di) = ( a, b, c - d)

d) T4:2

CC IR3 definida por T4( a + bi,c + di) = ( a, b, c - d).

e) T5: M2x2( IR) P2(IR) definida por T5a b

c d

= a + b + (c + d)x + bx

2.

f) T2 o T5, encuentre ( T2o T5)1 3

2 1

.

4 .- Determine KerT e ImT donde T es la transformacin lineal de P2(IR) en IR3 definida por

T(1 - x) = ( 1,1,0) , T(x2) = ( 0,1,2) y T(1+x) = (0,0,1).

5.- a) Determinar la funcin lineal de IR3en P2( IR) tal que T( 0,1,0 ) = x

2+ x , T ( 1,1,0 ) = 1x ,

T ( 1 ,1 , 2) = x

b) Encontrar T ( 1i , -i ) donde T es la funcin lineal de C2sobre IR en IR

3tal que

T ( 1,0) = x2 , T ( 0,1) = 1x , T(i , 0) = 1 + x , T ( 0 , i ) = 32x

6.- Encuentre T( 2 + i, -i ) donde T es la transformacin lineal de C2en IR

3definida por

T(0,1) = ( 1,1,0) , T(1,0) = (0,0,0) , T(1 - i, 0) = (0,1,1) , T( i, 1) = (2,0,1).


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7.- Sean V , W espacios vectoriales sobre IR , { v1, v2, v3, v4} una base de V y

{ w1, w2, w3} una base de W . Sea T una funcin lineal de V en W definida por:

T( v1) = w1+ w2, T ( v2) = 3w1w3 , T ( v3) = 2w1w2+ w3, T (v4) = w3

a) Determine T (v1-2v2+ v3)b) Determine bases para Ker T e Im T .

8.- a) Sean V ; W espacios vectoriales de dimensin finita. Sea S V demuestre que existe

T: V W transformacin lineal tal que KerT = Sb) Aplique el resultado anterior para construir T: P2(IR) IR

4transformacin lineal tal que

Ker T = .

9.- Encuentre un operador lineal T sobre IR4tal que Ker T = Im T.

10.- Demuestre que no existe un operador lineal sobre IR3tal que Ker T = Im T.

11.- Sea S = { ( x,y,z) IR3/ z = 5x + 3y} . Encuentre un operador lineal sobre IR

3tal que

Im T S y Ker T = S.

12.- Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo K y T: VW una transformacin lineal.Demuestrea) Si dim V > dim W entonces no es inyectiva.

b) Si dim V < dim W entonces T no es inyectiva.

13.- Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo K, {v1,......,vn} base de V y {w1,.......,wn}

base de W. Sea T la transformacin lineal definida de la siguiente manera:

T(vi) = w1 - wi i {1,.....,n} . Encuentre bases para Ker T e Im T.

14.- Sea S= {(x,y,z) IR3/ x = y} Demuestre que S IR

2 y encuentre un isomorfismo de S sobre

IR2.

15.- Encontrar la matriz de las siguientes funciones lineales de IR3en IR

2respecto de las bases

cannicas de IR3y IR

2respectivamente.

a) T ( x, y, z)= ( 2x3y , x + 2y)b) T (x, y, z)= ( x , 2xy )

16.- Considere la funcin lineal T: P2( IR) P1(IR) definida por:T ( a0+ a1x + a2x

2) = 3a0+ ( 2a1- a2)x.

Sean C1, C2las bases cannicas de P2(IR) y P1(IR) respectivamente.

a) Encuentre [ T]2C1C

b) Encuentre [ T] 2 C 2 donde 2= { 2x , x1, x2

}c) Encuentre [ T] C 11 donde 1= { 3x + 1, x + 1 }

d) Encuentre [ T ] 2 1 donde 1, 2 son las bases de ( c ) y ( d ).

17.- Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo K, = { v1, v2} y `= { w1, w2, w3} bases

ordenadas de V y W respectivamente. Sea T: V W una funcin lineal definida por:T( v1) = w13w2 , T(v2)= w1+ 2w2w3.

a) Determine [ T ] `b) Use ( a) para determinar T ( 2v1- 3v2)

18.- Sean T: IR

3

funcin lineal definida por:T(x, y,z) = x(1,2,3) + (y + z) (0, 1, 2) y L: < ( 1, 2, 3 ), (0, 1,2)> IR, funcin lineal definida

por: L( 1,2,3) = -2 y L(0,1,2) = 3. Considere las bases ordenadas = { (1,0,0,),(0,1,1),(0,0,1)},

`= { (0,1,2),(1,2,3)}, `` = {-1} de IR3, < ( 1,2,3), (0,1,2)> y IR respectivamente.

a) Encuentre [ T ],`

b) Encuentre [L ] `,``

c) Encuentre [ L o T] ,``


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19.- Sean S y L operadores lineales definidos sobre IR

3tales que:

[ L o S ]C=

113

012

101

donde C es la base cannica de IR3. Sea = { ( 1, 0, 0 ), (1,1,0), (0,0,-1)}

base ordenada de IR

3

y supongamos que [ L ] =

100120

111

. Encuentre explcitamente S (x,y,z).

20.- Sea T: C2P2(C) transformacin lineal, definida por T( a,b) = a + bx + (-b)x

2.

Considere las bases ordenadas B ={( 1,0), (0,1) } y B` = {(1,i) , ( -i,2) }de C2y

B``= {1,i + x, ix2} base ordenada de P2(C ) . Encuentre:

a) [T BB``

b) [T B`B``

c) Matrices P y Q tales que [T BB``=P[T B`B``Q.

21.- Sea T: IR2 IR2operador lineal, definido por T( 1,1)= ( 3,1) y T( 0,1) = (-1,0)

Determine valores c IR tales que T - c IIR3 sea invertible.

22.- Sea T: IR3 IR tal que [T BB`= [1 2 1 donde

B = ( 1,0,1), (0,1,-2), ,(-1,-1,0)} y B`= {5son bases ordenadas de IR3y IR respectivamente

a) Encuentre T( a,b,c).

b) Encuentre una base B`` de IR3tal que[T B``B`= [1 2 2 .

23.- Sea S un operador lineal sobre IR2 tal que S

2= S. Demuestre que S = 0 o bien

S = idIR2

o que existe una base ordenada B de IR2

tal que [SB =

1 0

0 0

.

24.- Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo K, dim V = 4 , B ={v1,v2,v3} y

B`= {v1,v1 + v2,v1 + v2 + v3} bases ordenadas de V. Si T es el operador lineal sobre V

definido por T(vi) = vi- v1 i = 1,2,3. Encuentre:

a) [TB y [TBB`.

b) Matrices P y Q tales que [T B = P[T BB`Q.

c) Matriz P tal que [T(v) B = P[vB`.

21.- Sea T: 2IRC C2

IR transformacin lineal definida por T( a+ bi, c + di) = ( a- ci, b -d).

Encuentre:a) [T Cdonde C = {( 1,0), (0,1) , (i,0), (0,i) }base cannica del espacio vectorial C

2sobre el

cuerpo IR.

b) Sea B ={(1,i), (0,1), (i,i), (1+i,0)} base ordenada de C2encuentre la matriz de pasaje de la

base B a la base C.

c) Usando (a) y ( b) encuentre [TBC

22.- En cada uno de los siguientes casos determine si el operador lineal dado es diagonalizable.

Cuando sea posible encuentre una matriz diagonal que represente al operador lineal.

a) T: IR2 IR

2 , T (x,y) = ( 3x + 3y, x + 5y)

b) T: IR2 IR2, T (x,y) = (x - y,y)

c) T: IR3 IR3, T (x,y,z) = (x + z,2x + y,y)

d) T: C3 C

3 , T (x,y,z) = (x + z, 2x + y, y) sobre C

e) T: P2(IR) P2(IR), T(a + bt + ct2) = (a + b) + (b-c)t + ct

2

f) T: C2 C

2, T (a + bi,c + di) = ( ( ab + c) + (a + b + d)i, -d + ci) sobre C o IR .

g) T: IR3 IR

3, T(x,y,z) = ( 5xy + 3z, -6x + 4y - 6z,-6x + 2y - 4z)


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23.- Sea T un operador lineal sobre IR

3representado en la base cannica por la matriz

A=

311

242

113

Demuestre que T es diagonalizable, encuentre una base de vectores propios y una matriz Q

invertible tal que Q A Q-1sea diagonal.

24.- Encuentre valores y vectores propios de las siguientes transformaciones lineales, las

cuales estn representadas en alguna base del espacio correspondiente por las siguientesmatrices. Determine si son diagonalizables.

a)

7816

438

449

, b)

7 12 6

10 19 13

1 4 8

, c)1 1

1 1

, d)

6 3 2

4 1 2

10 5 3

.

25.- En cada uno de los siguientes casos determine si la matriz es semejante a una matriz realdiagonal encontrando una matriz Q invertible tal que Q A Q

-1sea diagonal.

a)

6 5 3

3 2 2

2 2 0

b)

411

121

112

26.- Determine operador lineal en :

a) IR3sobre IR tal que Ker ( T2 I) = < ( 1, 1, 1) , ( 1, 1, 0 ) > y Ker ( T + 2I) = < (1 , 0 , 0)>.

b) C3sobre C tal que Ker T ( T3I ) = < (-i, 1 , 0) , ( 0, 0 ,1 )> y Ker ( TI) = ( i, 1 , 0) >

27) Determine valores y vectores propios de las siguientes transformaciones lineales . Determine si

es diagonalizable , si lo es encuentre matriz de cambio de base de vectores propios a la base dada y

la representacin diagonal de :

a) T : IR3IR

3con

140

031

002

T donde = { ( 1 ,1 , 0) , ( 0, 1 , 0) , ( 0, -1, 1) }

b) T : P2( IR ) P2( IR ) con

411

121

221

T C donde C : base cannica de P2( IR ) .

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