matrices operaciones
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Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Matrices y Determinantes
1
1
1.1 DEFINICIÓN
1.2 ORDEN O DIMENSIÓN
1.3 CLASES DE MATRICES
1.4 IGUALDAD DE MATRICES
1.5 OPERACIONES
1.6 DETERMINANTE
1.7 MATRIZ INVERSA
Los arreglos matriciales permiten estructurar muchos contenidos
matemáticos. De allí su importancia de estudio en este capítulo.
OBJETIVOS: Definir arreglo matricial. Definir y aplicar las definiciones para identificar matrices cuadradas,
matriz identidad, matrices triangulares superior e inferior, matrices diagonales, matrices simétricas.
Aplicar operatoria elemental con matrices: suma, resta, multiplicación por escalares, multiplicación entre matrices.
Hallar determinantes de matrices. Aplicar las propiedades de los determinantes para ejercicios
conceptuales.
Justificar la existencia de la inversa de una matriz Determinar, de existir, la inversa de una matriz.
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1.1 DEFINICIÓN
Una matriz es un arreglo rectangular de
números.
Se acostumbra denotar a una matriz con letras del abecedario, en mayúscula.
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
Columna
Renglónn
n
n
m m m mn
a a a a
a a a a
A a a a a
a a a a
1 2 3 n
1
2
3
m
C C C C
R
R
R
R
A los arreglos horizontales se los denominan renglones o filas.
A los arreglos verticales se los denominan columnas.
Al número ija se lo denomina elemento de la matriz, donde " i " (el primer
número del subíndice) indica la fila en donde se encuentra y " j " (el segundo
número del subíndice) la columna, es decir:
1.2 ORDEN O DIMENSIÓN
El orden o la dimensión de una matriz está dada por la cantidad de filas y la
cantidad de columnas que posea. Al decir nmA , se indica que A es una matriz
que tiene m filas y n columnas.
Ejemplos
32
201
312
A A es de orden 2 3 porque tiene que tiene 2 filas y 3 columnas.
33321
210
321
B B es de orden 3 3 porque que tiene 3 filas y 3 columnas.
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Ejercicio Propuesto 1.1
1. Determine la matriz 4 3 ijA a para la cual 2 jiaij . [SUGERENCIA: por ejemplo con
objeto de calcular 21a , haga 2i y 1j en la fórmula 121221 a ].
2. Determine la matriz 3 3 ijA a para la cual 0 ;
1 ;ij
i j
i j
a
1.3 CLASES DE MATRICES
1.3.1 MATRIZ CUADRADA
Una matriz nmA es cuadrada si y sólo sí nm .
Es decir una matriz cuadrada tiene igual cantidad de filas que de columnas y
se la denota como nnA .
Caso contrario se la considera una matriz rectangular.
Cuando una matriz es cuadrada surge la definición de Diagonal Principal
para los elementos ija donde ji , y Diagonal Secundaria para los elementos
de la otra diagonal.
La suma de los elementos de la Diagonal Principal es llamada Traza de la matriz y se la denota como Tr A , es decir:
11 22 33 nnA a a a a Tr
Dentro de las matrices cuadradas también aparecen las siguientes clases de matrices:
1.3.1.1 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
Una matriz cuadrada es triangular superior cuando los elementos que están
bajo la diagonal principal son todos ceros.
nn
n
n
n
nn
a
aa
aaa
aaaa
A
000
00
0
333
22322
1131211
nnnnn
n
n
n
nn
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
321
3333231
2232221
1131211
Diagonal
Principal
Diagonal
Secundaria
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1.3.1.2 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
Una matriz cuadrada es triangular inferior cuando los elementos que están
sobre la diagonal principal son todos ceros.
1.3.1.3 MATRIZ DIAGONAL
Una matriz cuadrada es diagonal cuando los elementos que están sobre y bajo la diagonal principal son todos iguales a cero.
1.3.1.4 MATRIZ IDENTIDAD
Es una matriz diagonal que tiene al número 1 en toda la diagonal principal.
1.3.1.5 MATRIZ NULA
Es la matriz que tiene todos sus elementos cero. Puede ser cuadrada como
puede ser rectangular.
1.4 IGUALDAD DE MATRICES
Dos matrices nmA y nmB son iguales si y sólo si: ijij ba
Es decir, sus elementos respectivos son iguales.
nnnnn
nn
aaaa
aaa
aa
a
A
321
333231
2221
11
0
00
000
nn
nn
a
a
a
a
A
000
000
000
000
33
22
11
1000
0100
0010
0001
nnnn IA
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Ejercicios propuestos 1.2
1. Determine los v alores de las variables para los cuales las ecuaciones matric iales siguientes se satisfacen:
a)
43
21
3
2
y
x
b)
1 3 3 2 7 1
5 3 5 2 3
1 1 0 5 1
x t v
x y w
u y z
2. Dadas las matrices:
243
012
4232
3
2321
k
kkkk
A y
043
012
232
B entonces el valor de
321 kkk , tal que BA , es:
a) 4
5 b)
3
2 c) 3 d)
2
1 e)
2
3
1.5 OPERACIONES
1.5.1 SUMA
Sean BA dos matrices de nm , entonces: nmnmnm CBA , donde ijijij bac
Los elementos de la matriz resultante C se los obtiene sumando
algebraicamente los elementos de la matriz A con los respectivos elementos de
la matriz B .
Ejemplo
Sean las matrices
32
321
112
A y
32312
101
B
Hallar BAC .
SOLUCIÓN:
32
3232
031
211
)3(312)2(1
1101)1(2
312
101
321
112
C
BAC
1.5.1.1 Propiedades
Sean nm
A
,nm
B
y nm
C
, matrices. Entonces:
1. ABBA 2. CBACBA
3. A A 0 , donde m n0 es la Matriz Nula
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4. A A 0
1.5.2 MULTIPLICACIÓN POR ESCALARES
Sea y la matriz nm
A
, entonces:
nmnm
CA
, donde ijij ac
Los elementos de la matriz C se los obtiene multiplicando por la constante
a los elementos de la matriz A .
Ejemplo
Si tenemos la matriz
321
012A , entonces:
642
024
)2(3)2(2)2(1
)2(0)2(1)2(2
321
01222AC
1.5.2.1 Propiedades
Sean nm
A
y nm
B
matrices; y , ,
entonces:
1. BABA
2. AAA
1.5.3 MULTIPLICACIÓN ENTRE MATRICES
Sea A una matriz nm y sea B una matriz qn
(la cantidad de columnas de la matriz A igual a la cantidad de filas de la matriz B )
entonces:
qmqnnmCBA
donde njinjijijiij babababac 332211
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7
Es decir, el elemento ij
c se lo obtiene sumando algebraicamente los
resultados de la multiplicación de los elementos de la fi la i de la matriz A con
los respectivos elementos de la columna j de B .
Ejemplo
Para las matrices
32
321
112
A y
33111
320
111
B
Obtengamos la matriz ABC
Primero observe que, sí es posible obtener la matr iz C , porque la matriz A tiene 3 columnas y la
matriz B tiene 3 filas. Entonces:
32232221
131211323332
ccc
cccCBA
6)1)(1()3)(1()1)(2(
5)1)(1()2)(1()1)(2(
1)1)(1()0)(1()1)(2(
13
12
11
c
c
c
2)1)(3()3)(2()1)(1(
0)1)(3()2)(2()1)(1(
2)1)(3()0)(2()1)(1(
23
22
21
c
c
c
Por lo tanto:
202
65132C
1.5.3.1 Propiedades
Sea y , ,A B C matrices. Entonces:
1. ACABCBA
2. AAI 3. BABAAB
4. BCACAB
Las dimensiones de las matrices CBA ,, deben ser tales que se puedan
realizar las operaciones indicadas.
Note que AB no siempre es igual a BA ¿POR QUÉ?
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Ejercicio Resuelto
Sean las matrices
232
3
201
2k
kkA y
3213
1102
53
k
kk
kB , entonces el valor de "k " para que
la matriz AB sea una MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR es
a) 1 b) 0 c) 3 d) 2 e) 1
SOLUCIÓN:
Al multiplicar la matriz 33A con la matriz 33B resulta una matriz 33C . El asunto es que 33C sea
triangular superior, entonces 000 323121 ccc . Es decir:
3333
2322
131211
333333
00
0
c
cc
ccc
CBA
032)1)(3())(()2)(( 221 kkkkkc
045)2)(2())(3()10(
023)1)(2())(3()2(
32
3232
2
231
32
2
kkkkc
kkkc
kk
k
Las 3 ecuaciones proporcionan diferentes soluciones
1. 13
013
0322
kk
kk
kk
2. 12
012
0232
kk
kk
kk
3.
140
014
0)45(
045
2
23
kkk
kkk
kkk
kkk
Observe que sólo 1k satis face las tres condiciones, por tanto RESPUESTA: Opción "a"
1.5.3.2 Tipos de Matrices
Sea A una matriz n n .
1.- Si 2A A , entonces A es llamada MATRIZ
IDEMPOTENTE.
2.- Si 2A I , entonces A es llamada MATRIZ
INVOLUTIVA.
3.- Si 2A 0 , entonces A es llamada MATRIZ NILPOTENTE.
Ejercicios Propuestos 1.3
1. Efectuar las operaciones:
a)
821
210
741
312
b)
301
423
210
3
654
012
321
2
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9
c)
3
2
1
654
321
132
d)
12
13
30
42
01
654
321
2. Calcule IAA 322 para
32
21A
3. Al multiplicar la matriz
dc
baA por la matriz
04
33B se obtiene la matriz
62
31C , entonces la SUMA de dcba es:
a) 0 b) 6 c) 2 d) 4 e) 3
4. Considerando las siguientes matrices:
304;
3
1
2
;3
3
21
04;
4
2
30
11
DCBA . Determine
¿cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?
a)
7
1
11
15BA b)
9012
304
608
CD
c) CA no está definida d)
9
9AD
e) Elija esta opción si todas las anteriores proposiciones son verdaderas.
5. Dadas las matrices:
43
21A y
23
12B encuentre:
a) 2BA b) 22 2 BABA
6. Sean las matrices:
1
1
q
pA y
12
11B encuentre " p " y " q " para que
222BABA .
1.5.4 MATRIZ TRANSPUESTA
Sea ij
aA una matriz de nm . Entonces su
matriz transpuesta, denotada como ji
t aA , es
de mn y se obtiene tomando las filas de la
matriz A como columnas para la matriz tA y por
ende las columnas de la matriz A serán las filas de la matriz tA .
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Ejemplo
La matriz transpuesta para la matriz 32
321
112
A es
2331
21
12
tA
1.5.4.1 Propiedades
Sean nm
A
y nm
B
matrices, entonces:
1. AAtt
2. tttBABA
3. tttABAB
1.5.5 MATRIZ SIMÉTRICA
Una matriz nn
A
es Simétrica si y sólo si AAt
Para que una matriz sea Simétrica se debe cumplir que jiij aa
Ejemplo
La matriz
1 2 3
2 0 1
3 1 2
A
es simétrica porque
1 2 3
2 0 1
3 1 2
tA A
1.5.6 MATRIZ ANTISIMÉTRICA
Una matriz nn
A
es Antisimétrica si y sólo si tA A
Para que una matriz sea Antisimétrica se debe cumplir que ij jia a . En tal
caso 0iia .
Ejemplo
La matriz
0 2 3
2 0 1
3 1 0
A
es Antisimétrica porque
0 2 3
2 0 1
3 1 0
tA A
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Ejercicio Propuesto 1.4
1. Sea la matriz
2 4 6
8 3 5
0 1 4
A
, la SUMA de los ELEMENTOS de la diagonal principal de la matriz
tAA24 es:
a) 36 b) 12 c) 16 d) 8 e) 9
1.6 DETERMINANTE
Sea A una matriz de nn . El DETERMINANTE de A ,
denotado por A o también Adet , se define de la
siguiente manera:
1. Si 111111 aAaA
2. Si 21122211
2221
1211
22 aaaaAaa
aaA
3. Si 1313
1212
1111
333231
232221
131211
33 AaAaAaA
aaa
aaa
aaa
A
Donde ijA se llama cofactor y se define como:
Entonces
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11aa
aaa
aa
aaa
aa
aaaA
NOTA: Se puede emplear cualquier fila o columna. ¿Cómo
sería el determinante?
La forma mencionada para hallar el determinante se llama MÉTODO DE
MENORES. Si embargo existen otros métodos que podrían emplearse. Este
método es general, sirve para matrices de mayor orden.
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Ejemplo
Hallar el determinante de la matriz
2 1 4
3 5 1
1 0 0
A
SOLUCIÓN: Note que es mejor emplear la última fila porque tiene algunos ceros, entonces
53
120
13
420
15
411
001
153
412
A
21)5)(4()1)(1(1
0015
411
A
A
1.6.1. PROPIEDADES
Sean nn
A
y nn
B
matrices, entonces:
1. BAAB
2. AAt
Pregunta: BABA ¿Si o no? Justifique su respuesta.
1.6.2 OTRAS PROPIEDADES
1. Si una matriz es triangular superior, triangular
inferior o diagonal, entonces su determinante es
igual a la multiplicación de los elementos de la diagonal principal.
Ejemplo
Para la matriz triangular superior
300
410
5102
A calculando su determinante por el método de
menores, empleando la pr imera columna, tenemos:
6)3)(1)(2()0)(4()3)(1(20030
412
A .
¡Generalícelo!
2. Si una matriz tiene 2 filas o columnas iguales o
múltiplos entonces su determinante es igual a "0".
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Ejemplo 1
Al hallar el determinante de la matriz
62
31A cuya segunda fila es 2 veces la primera,
encontramos que:
0
)2)(3()6)(1(
A
A
Ejemplo 2
Lo mismo ocurre con esta matriz
19031
06121
13212
20101
56321
A , note que la cuar ta columna es el
trip lo de la segunda, por lo tanto 0A
¡Generalícelo!
3. Si se intercambian 2 filas o columnas en una matriz
entonces su determinante cambia de signo.
Ejemplo
Suponga que se tiene la matriz
54
31A entonces 7125 A
Si formamos la matriz
31
54B (intercambiamos las filas de la matriz A ) entonces
7512 B .
¡Generalícelo!
4. Si a todos los elementos de una fila o columna de una
matriz A los multiplicamos por una constante 0k ,
entonces el determinante de la nueva matriz es k veces el determinante de la matriz A .
Ejemplo
Suponga que se tiene la matriz
2221
1211
aa
aaA entonces 22122211 aaaaA
Si formamos la matriz
2221
1211
aa
kakaB (multiplicamos por k a todos los elementos de la primera fila de la
matriz A ) entonces
AkaaaakakaakaB )( 2112221121122211 .
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14
En cambio el AkkA n ¿POR QUÉ?
5. Si a todos los elementos de una fila o columna de
una matriz A les sumamos respectivamente k
veces otra fila o columna, entonces el determinante no varía.
Ejemplo
Suponga que se tiene la matriz
2221
1211
aa
aaA entonces 22122211 aaaaA
Si formamos la matriz
12221121
1211
kaakaa
aaB (a los elementos de la segunda fila le adicionamos
respectiv amente k veces la primera fila), entonces
Aaaaa
akaaaakaaa
kaaakaaaB
21122211
1112211212112211
112112122211 )()(
Ejercicios Propuestos 1.5
1. Dadas las matrices:
320
121A y
111
021B entonces el v alor de:
tABdet es:
a) 15 b) 35 c) 5 d) 45 e) 25
2. Calcule los siguientes determinantes:
a)
001
153
412
b)
1021
1120
3012
0101
3. Sean las matrices:
32
23;
111
111;
1
1
0
0
0
1
;
501
410
123
DCBA, entonces el valor
del DCBA TT..det es:
a) 44 b) 38 c) 38 d) 39 e) 44
4. Los valores de x que satisfacen la ecuación: 60
100
990
23
x
x
xx
son:
a) 5 y 4 b) 5 y 4 c) 5 y 4 d) 5 y 4 e) 0 y 1
5. Los valores de x que satisfacen la ecuación: 3
1
32
0012
xxx
xx , son:
a) 3 y 6 b) 6 y 0 c) -1 y 0 d) 6 y -1 e) 3 y 0
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15
6. Al calcular 0
34
201
122
x
x
, se obtiene:
a) 0x b) 5x c) 0x d) 3x e) 2x
7. El valor del determinante de la matriz
012
1
23log2
1log18log3
101ln
2
x
xx
e
A es:
a) 0 b) 2 c) -6 d) 6 e) -4
1.7 MATRIZ INVERSA
Sea A una matriz de nn . Si existe una matriz 1
nnA tal que IAAAA 11 , se dice que A es
inversible.
En este caso a la matriz 1
nnA se la llama la matriz inversa de A .
Si 1A existe, se dice que A es una matriz no singular. Caso contrario; es
decir, que 1A no exista, se dice que A es una matriz singular.
Existen varias maneras de calcular matrices inversas, pero aquí solo lo vamos
a hacer empleando la siguiente fórmula:
tAA
A ˆ11
, donde A
Matriz de Cofactores.
Esto da lugar el siguiente teorema (Una condición necesaria y suficiente para la
existencia de la matriz inversa).
Teorema.
1A existe si y sólo si 0A
Ejemplo 1
De existir, hallar la inversa de la matriz
54
31A
SOLUCIÓN:
Primero empecemos hallando: 7A . Este resultado nos indica que si va a existir la matriz
inversa.
A continuación hallamos la matriz de cofactores
13
45
)1()3(
)4()5(
2221
1211
AA
AAA
Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Matrices y Determinantes
16
Entonces:
71
74
73
75
1
1
14
35
7
1
13
45
7
11
A
AA
A
tt
Comprobando
10
01
70
07
7
1
14
35
7
1
54
311AA
Ejemplo 2
De existir, hallar la inversa de la matriz
012
130
201
A
El determinante de la matriz es: 11)6(20)1(1 A
Y su matriz de cofactores:
)3()1()6(
)1()4()2(
)6()2()1(
A
=
316
142
621
Entonces su matr iz inversa es:
316
142
621
11
1
316
142
621
11
1
316
142
621
11
11
t
A
Comprobando
100
010
001
1100
0110
0011
11
1
316
142
621
11
1
012
130
2011AA
1.7.1. Propiedades
Sean nn
A
y nn
B
matrices inversibles,
entonces:
1. AA 11
2. A
A11
3. 11 tt
AA
4. 111 ABAB
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17
Ejercicio resuelto 1
Sea X una matriz, tal que:
040
321
84
32X . Entonces X es igual a:
a)
040
672 b)
04
67
02
c)
341
672
d)
36
47
12
e)
341
672
SOLUCIÓN: Una manera es despejar la matriz X , multipl icando por la inversa a ambos miembros
040
321
84
32 11 AXA
A
1
1
1 2 3
0 4 0
1 2 3
0 4 0
IX A
X A
Hallemos la inversa de
84
32A , para lo cual
41216 A y
23
48A entonces
21
43
1
1
2
23
48
4
1t
A
Por lo tanto
1 1
4 4
8 3 1 2 3 8 28 24 2 7 6
4 2 0 4 0 4 16 12 1 4 3
X
Respuesta: Opción "c"
Ejercicio resuelto 2
Dada la matriz
kkk
kA
31
43
101
los valores de " k " que hacen que la matriz A no tenga
inversa, son: a) 2 y 6 b) -2 y 6 c) 2 y 6 d) 2 y -6 e) -2 y -6
Solución: Para que una matriz no tenga inversa se requiere que su determinante sea igual a cero
26
026
0128
0912
0)9(0121
0
31
3
101
2
2
2
4
kk
kk
kk
kkk
kkk
kk
kk
RESPUESTA: Opción "e"
Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Matrices y Determinantes
18
Ejercicios Propuestos 1.6
1. Dada la matriz A=
112
020
312
, la matriz inversa de A es igual a:
a)
21
21
21
02
10
43
21
41
b)
210
43
21
21
21
210
41
c)
406
444
402
d)
222
020
321
e)
444
040
642
2. Dadas las matrices:
42
31A y
13
12B v erifique que 111 ABAB
3. Dada la matriz
654
021
432
A , una de las siguientes afirmaciones es FALSA, identifíquela:
a) 6A b)
12108
042
864
AA c)
61
31
21
32
321
34
312
1A
d)
61
32
34
31
32
31
2112
1A e) 48 AA
4. Encuentre la inv ersa de cada matriz, si existe:
a)3 2
1 1
b)
1 2 3
2 1 1
3 1 2
c)
012
120
001
d)
987
654
321 e)
1 1 1 2
2 3 0 3
1 1 1 1
3 0 1 2
5. Dada la matriz
422
1log
131log
14log8log
2
2
22
A
. Entonces su MATRIZ INVERSA es:
a)
931
8136
3110
31
11A b)
983
3131
1610
31
11A c)
931
8136
3110
31
11A
d)
983
3131
1610
31
11A e) A no tiene inversa
6. Sea la matríz
021
230
312
A, entonces su MATRIZ INVERSA, es:
a)
633
432
764
15
11A b)
647
336
324
15
11A c)
647
336
324
15
11A
d)
633
432
764
15
11A e) A no tiene inversa
Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Matrices y Determinantes
19
7. Determine la matriz A que hace v erdadera la ecuación matricial:
10
13
06
10
11
02
A
8. Sea A una matriz tal que
32
21A . Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA , identifíquela:
a)
94
412A b) 1A c)
91
41
41
11
A
d)
1612
124322IAA e)
31
21
21
1 1A
9. Si
43
32A , y además,
dc
baA
1 , entonces el valor de da
cb
, es:
a) 0 b) -1 c) 1 d) -3 e) 3
10. Dada la matriz
041
20
421
A , entonces el v alor de para que la matriz NO TENGA
INVERSA es: a) 0 b) -3 c) -1 d) 2 e)-2
11. Sean las matrices
011
321
42
21,
54
32CyBA , entonces es cierto que:
a)
10
211B b)
63
63CB c)
2010
164AB
d)
12
2
3
2
5
1A e)
5
11
11
1A
12. Sea A la matriz:
305
164
021 entonces es verdad que:
a) det(A)=12 b) det(A2)=1 c) det (AT)=1/16 d) det (A-1)=1/10 e) det(ATA-1)=1
Misceláneos
1. Sean las matrices
51
24A y
kB
2
14. El v alor de "k " para que BA detdet
a) 5 b) 4 c)3 d)2 e)1
2. La matriz X que satisface la ecuación
301
243
20
11X
a)
212
32
1
42
0 b)
00
00
21
21
c)
23
21
21
25
0
4
d)
110
111 e)
00
4
21
21
25
Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Matrices y Determinantes
20
3. Sea la matriz
103
010
207
A
Entonces su MATRIZ INVERSA es:
a)
703
010
2011A b)
703
010
2011A
c)
270
23
02
10
102
1
1A d)
103
010
207
A
e) La matriz A no tiene inv ersa.
4. Sean las matrices
113
202A ,
211
201B y
05
40
21
C
Entonces el VALOR del TCBADet 2 es:
a)74 b) 200 c)-100 d)10 e)100
5. Sean A, B y C matrices tales que,
123
110
521
A ,
145
026
005
B y
241
300
620
C . Entonces es
VERDAD que:
a) 6detdet
det2
C
B
A
b) CAT detdet
c) 5det AB
d) TCB detdet
e) A no tiene inversa o B si tiene inversa.
6. Sea la matriz
33
24A . Entonces los VALORES de “ ” tal que 0det IA , son:
a) 1 y 6
b)–1 y –6 c)1 y –6 d)–6 y 1 e) 7 y 6
7. Dada la matriz
304
213
012
A , el PRODUCTO DE LOS ELEMENTOS DE LA DIAGONAL PRINCIPAL de 1A
es:
a)343
90 b)7
90 c)343
90
d)343
180 e)441
90
8. El DETERMINANTE de la matriz
10210
24204
73113
61011
52122
A es:
a) -2 b)0 c)-1 d)1 e)5
Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Matrices y Determinantes
21
9. Sea la matriz
01
12A ; entonces es VERDAD que:
a)
12
152A b)
01
021A c)
25
5123A
d)
10
0121A e)
02
11IA
10. La matriz X , tal que:
13
12
43
11X es:
a)
43
52X b)
43
55X c)
01
12X
d)
42
51X e)
20
11X
11. Dadas las matrices:
20
01
21
A y
014
131B y ABC . Entonces La MATRIZ INVERSA 1C ,
es:
a)
022
130
1521C b)
011
235
2021C
c)
04
14
18
18
30
81
85
41
1C d)
08
18
14
18
38
54
104
1
1C
e) La matriz C no tiene inversa.
12. Si el determinante de una matriz A es 16. Entonces es FALSO que: a) La Matriz A tiene inversa. b) La matriz A es una matriz cuadrada. c) La matriz A tiene 2 filas iguales.
d) Si B es una matriz que tiene determinante igual a 2, entonces del det(AB)=32.
e) El determinante de la matriz inversa 1A es igual a 161 .
13. Sea la matriz
032
120
111
A entonces su MATRIZ INVERSA 1A es:
a)
011
321
2011A b)
254
122
1331A
c)
211
523
4231A d)
100
010
0011A
e) Elija esta opción si la matriz A no tiene inversa.
14. Sean A y B matrices tales que:
212
110
211
A y
111
201
321
B , entonces el valor de
ABDet es:
a)-35 b)7
c)-7 d)-5 e)35