mathcad - lab 5 mediatas solucion
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LABORATORIO #5: AJUSTE DE OBSERVACIONES MEDIATAS
SOLUCION PROBLEMA #1:
DATOS :
HA 1000.000:=Datos: HA=1000.000 mHB=1001.000 mHC=1001.500 m
h1= 2.556 m D=150.2m h2= 1.554 m D=190.5m h3= 1.055 m D=90.4m
Hx aproximado =1002.56m
HB 1001.000:=
A B
C
X
h1h2
h3
A B
C
X
h1h2
h3
HC 1001.500:=
Hx 1002.56:=
ORIGIN 1:=
Cantidad de Observaciones :
n 3:=
Cantidad de incognitas :u 1:=
Grados de Libertad:
f n u−:=
f 2=
Ecuaciones de Observacion:
h1 Hx HA−:=
h2 Hx HB−:=
h3 Hx HC−:=
Vector de Observaciones :
L
2.556
1.554
1.055
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
:=
Matriz de Varianza-covarianza de las observaciones:
Las Diferencias de altura fueron determinas con un instrumento con una desviación estándarde ±
kmDmm5
sh1 5150.21000
⋅:= sh2 5190.51000
⋅:= sh3 590.41000
⋅:=
Σ ll
sh12
0
0
0
sh22
0
0
0
sh32
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:=
Σ ll
3.755
0
0
0
4.763
0
0
0
2.26
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
Vector de Observaciones Aproximadas:
h1o Hx HA−:=
h2o Hx HB−:=
h3o Hx HC−:=
Lo
h1o
h2o
h3o
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
:=
Lo
2.56
1.56
1.06
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
Vector de Observaciones reducidas en mm:
l L Lo−( ) 1000⋅:=
l
4.0−
6.0−
5.0−
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
Vector de incognitas Aproximadas:
Xo Hx:=
Matriz de Pesos:
σo 1:=
Qll1
σo2Σ ll⋅:=
P Qll1−
:=
P
0.266
0
0
0
0.21
0
0
0
0.442
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
Matriz de Configuración :
A
1
1
1
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
:=
Matriz de Ecuaciones Normales:
N AT P A⋅:=
N 0.919=
Vector de Ecuaciones Normales reducidas:
n AT P l⋅:=
n 4.537−=
Matriz de cofactores:
Qxx N 1−:=
Qxx 1.088=
Vector de incognitas ajustadas y reducidas:
x Qxx n⋅:=
x 4.939−=
Vector de incognitas ajustadas:
X Xox
1000+:=
X 1002.5551=
Vector de residuos:
v A x⋅ l−:=
v
0.939−
1.061
0.061
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
Desviacion estandar de la unidad de pesos a posteriori:
SovT P⋅ v⋅
f:=
So 0.486=
Desviacion estandar de las incognitas:
sHx So Qxx( )⋅:=
sHx 0.507= mm
Entonces tenemos que el valor mas probable de Hx es :
X 1002.5551= m ± 0.5 mm
Vector de observaciones ajustadas:
Laj Lv
1000+:=
Laj
2.555
1.555
1.055
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
Matriz de Varianza-covarinza de las observaciones ajustadas:
Qll A Qxx⋅ AT⋅:=
Qll
1.088
1.088
1.088
1.088
1.088
1.088
1.088
1.088
1.088
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
=
SOLUCION PROBLEMA #2
PT1 PT2
BN3
BN2
BN4
BN1L2
L1
L6
L3L4
L5
L7
L8
L9
PT1 PT2
BN3
BN2
BN4
BN1L2
L1
L6
L3L4
L5
L7
L8
L9
Datos:Alturas Puntos fijos:BN1=948.5555 mBN2=945.6701 mBN3=946.3570 mBN4=945.0002 m
Alturas aproximadas puntos nuevos:PT1=101.1 mPT2=102.0 m
ORIGIN 1:=
Numero de Observaciones: HBN1 948.5555:=
HBN2 945.6701:=n 9:=HBN3 946.3570:=
Numero de Incongitas:HBN4 945.0002:=
u 2:=Alturas Aproximadas de los puntos
nuevos:Grados de Libertad:HPT1 941.1:=
f n u−:= HPT2 942.0:=f 7=
Vector de Incogitas aproximadas:
Xo941.1
942.0⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
:=
Vector de observaciones:
L 0.9104− 3.6463− 4.3338− 2.9766− 6.5315− 7.4422− 3.8872− 5.2443− 4.5577−( )T:=
Ecuaciones de observacion:
L1 HPT1 HPT2−:=
L2 HPT2 HBN2−:=
L3 HPT2 HBN3−:=
L4 HPT2 HBN4−:=
L5 HPT2 HBN1−:=
L6 HPT1 HBN1−:=
L7 HPT1 HBN4−:=
L8 HPT1 HBN3−:=
L9 HPT1 HBN2−:=
Vector de observaciones:
L 0.9104− 3.6463− 4.3338− 2.9766− 6.5315− 7.4422− 3.8872− 5.2443− 4.5577−( )T:=
Vector de observaciones aproximadas:
Lo
0.9000−
3.6701−
4.3570−
3.0002−
6.5555−
7.4555−
3.9002−
5.2570−
4.5701−
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Vector de observaciones reducidas en mm:
l L Lo−( ) 1000⋅:=
l
10.4−
23.8
23.2
23.6
24.0
13.3
13.0
12.7
12.4
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Matriz de varianza-covarianza de las observaciones:
Las diferencias de alturas se midieron con un instrumento con una desviación estándar de
kmDmm5.0
sL10.5
55.51000
⋅:= sL10.118=
sL20.5
115.71000
⋅:= sL20.17=
sL30.5
120.51000
⋅:= sL30.174=
sL40.5
80.51000
⋅:= sL40.142=
sL50.5
85.11000
⋅:= sL50.146=
sL60.5
110.31000
⋅:= sL60.166=
sL70.5
150.71000
⋅:= sL70.194=
sL80.5
95.21000
⋅:= sL80.154=
sL90.5
98.41000
⋅:= sL90.157=
Σ ll
0.01387
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.02893
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.03013
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.02013
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.02127
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.02758
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.03768
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.0238
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.0246
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Σ ll Σ ll 2.4⋅:=
Matriz de Pesos:
σo 1:=
Qll1
σo2Σ ll⋅:=
P Qll1−
:=
P
30.03
0
0
0
0
0
0
0
0
0
14.405
0
0
0
0
0
0
0
0
0
13.831
0
0
0
0
0
0
0
0
0
20.704
0
0
0
0
0
0
0
0
0
19.585
0
0
0
0
0
0
0
0
0
15.11
0
0
0
0
0
0
0
0
0
11.06
0
0
0
0
0
0
0
0
0
17.507
0
0
0
0
0
0
0
0
0
16.938
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
BN3
BN2
L
BN3
BN2
L
Matriz de Configuración:
A
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1−
1
1
1
1
0
0
0
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:=
Matriz de ecuaciones normales:
N AT P A⋅:=
N90.645
30.03−
30.03−
98.555⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
=
Matriz de Cofactores de las incognitas:
Qxx N 1−:=
Matriz de ecuaciones normales reducidas:
n AT P l⋅:=
n464.794
1934.686⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
=
Vector de Incogitas reducidas y ajustadas:
x Qxx n⋅:=
x12.9371
23.5725⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
=
Vector de Incognitas Ajustadas:
X Xox
1000+:=
X941.11294
942.02357⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
=
Vector de residuos en mm:
v A x⋅ l−:=
vT 0.235− 0.228− 0.372 0.028− 0.428− 0.363− 0.063− 0.237 0.537( )=
Desviacion estandar de la unidad de pesos a posteriori:
SovT P⋅ v⋅
f:=
So 1.504= mm
Test Global del Ajuste al 95%:
f 7=
α 0.05:=
Lsup qchisq 1α
2−⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
f,⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
:=
Lsup 16.013=
Linf qchisqα
2⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
f,⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
:=
Linf 1.69=
Ω 1 Ω=Ω vT P v⋅:=
Ω 15.828=
el valor de Ω debe estar en el intervalo definido por Linf y Lsup para que el ajustepase el test global.
Linf Ω< Lsup<( ) 1=
1.69 37.987< 16.013<
POR LO TANTO AL 95% DE PROBABILIDAD EL AJUSTE NO PASA EL TEST GLOBAL
Matriz de varianza-covarianza de las incognitas:
Σxx So2 Qxx⋅:=
Σxx0.0277
0.0085
0.0085
0.0255⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
=
Desviacion estandar de las incognitas:
SX1 Σxx1 1,:= SX2 Σxx2 2,
:=
SX1 0.167= mm SX2 0.160= mm
Matriz de varianza-covarianza de las observaciones ajustadas.
Qll A Qxx⋅ AT⋅:=
Qll
0.0161
0.0075−
0.0075−
0.0075−
0.0075−
0.0085
0.0085
0.0085
0.0085
0.0075−
0.0113
0.0113
0.0113
0.0113
0.0037
0.0037
0.0037
0.0037
0.0075−
0.0113
0.0113
0.0113
0.0113
0.0037
0.0037
0.0037
0.0037
0.0075−
0.0113
0.0113
0.0113
0.0113
0.0037
0.0037
0.0037
0.0037
0.0075−
0.0113
0.0113
0.0113
0.0113
0.0037
0.0037
0.0037
0.0037
0.0085
0.0037
0.0037
0.0037
0.0037
0.0123
0.0123
0.0123
0.0123
0.0085
0.0037
0.0037
0.0037
0.0037
0.0123
0.0123
0.0123
0.0123
0.0085
0.0037
0.0037
0.0037
0.0037
0.0123
0.0123
0.0123
0.0123
0.0085
0.0037
0.0037
0.0037
0.0037
0.0123
0.0123
0.0123
0.0123
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
De tal forma que los valores mas probables de las alturas de los puntos PT1 Y PT2 y susdesviaciones estandar son:
HPT1 941.1129= m ± 0.17 mm
HPT2 942.0236= m ± 0.16 mm
SOLUCION PROBLEMA # 3:
Se deben determinar las constantes aditiva y multiplicativa del distanciometro mediante un ajustepor minimos cuadrados.
Cantidad de Observaciones :n 15:=
Cantidad de incognitas:u 2:=
Grados de libertad:f n u−:=f 13=
123456
12
34
5
9
12
1415
13
11
87
10
6
Croquis de la colocación de los instrumentos para la medición
Ecuaciones de observacion:Partiendo de que la distancia patron (Dp) es el valor verdadero de la distancia tenemos que:
Dp=c+mL
Reescribiendo la ecuacion para poner las observaciones L en funciones de las incognitastenemos que:
L=M(Dp-C) siendo M=(1/m)
Ahora podemos plantear las ecuaciones de observación como sigue:
L1=M(Dp1-2-C)
L2=M(Dp1-3-C)L3=M(Dp1-4-C)L4=M(Dp1-5-C)L5=M(Dp1-6-C)L6=M(Dp2-3-C)L7=M(Dp2-4-C)L8=M(Dp2-5-C)L9=M(Dp2-6-C)L10=M(Dp3-4-C)L11=M(Dp3-5-C)L12=M(Dp3-6-C)L13=M(Dp4-5-C)L14=M(Dp4-6-C)mL15=M(Dp5-6-C)
56
45
9
12
1415
13
11
8
Croquis de la co
Vector de Incognitas aproximadas:
tomado c=0 y m=1
Xo0
1⎛⎜⎝⎞⎟⎠
:=
Vector de observaciones:
L
25.009
75.010
226.044
431.317
481.236
50.005
201.034
406.308
456.317
151.038
356.312
406.312
205.277
255.276
50.002
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:=
Vector de observaciones aproximado:
L1=M(Dp1-2-C)L2=M(Dp1-3-C)L3=M(Dp1-4-C)L4=M(Dp1-5-C)L5=M(Dp1-6-C)L6=M(Dp2-3-C)L7=M(Dp2-4-C)L8=M(Dp2-5-C)L9=M(Dp2-6-C)L10=M(Dp3-4-C)L11=M(Dp3-5-C)L12=M(Dp3-6-C)L13=M(Dp4-5-C)L14=M(Dp4-6-C)mL15=M(Dp5-6-C)
Lo
25.0104
75.0112
226.0345
431.2997
481.2921
50.0008
201.0241
406.2893
456.2817
151.0234
356.2886
406.2809
205.2652
255.2576
49.9924
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:=
Vector de obaservacioes reducido en mm:
l L Lo−( ) 1000⋅:=
l
1.4−
1.2−
9.5
17.3
56.1−
4.2
9.9
18.7
35.3
14.6
23.4
31.1
11.8
18.4
9.6
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Matriz de varianza-covarianza de las observaciones:
i 1 15..:=
Σlli i, 52 1Li
1000⋅
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
2
+
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
:=
Σll
25
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
25
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
25.1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
25.2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
25.2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
25
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
25
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
25.2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
25.2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
25
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
25.1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
25.2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
25
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
25.1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
25
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Matriz de Pesos:
P Σll1−
:=
P
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
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0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Matriz de configuración:
A
1−
1−
1−
1−
1−
1−
1−
1−
1−
1−
1−
1−
1−
1−
1−
25.0114
75.0112
226.0345
431.2997
481.2921
50.0008
201.0241
406.2893
456.2817
151.0234
356.2886
406.2809
205.2652
255.2576
49.9924
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:=
Matriz de ecuaciones normales:
N AT P A⋅:=
N0.0598
15.0236−
15.0236−
5229.2964⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
=
Matriz de cofactores de las incognitas:
Qxx N 1−:=
Qxx60.1369026
0.1727709
0.1727709
0.0006876⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
=
Matriz de terminos absolutos:
n AT P l⋅:=
n0.5785−
156.0916⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
=
Vector de incognitas ajustadas y reducidas:
x Qxx n⋅:=
x7.82308−
0.00737⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
=
Vector de Residuos en mm:
v A x⋅ l−:=
v
9.408
9.576
0.01−
6.296−
67.472
3.992
0.595−
7.881−
24.112−
5.663−
12.95−
20.281−
2.463−
8.695−
1.408−
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Desviación estandar a posteriori de la unidad de pesos:
SovT P⋅ v⋅
f:=
So 1.367=
Vector de Incognitas ajustadas:
X Xo x+:=
X7.823−
1.007⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
=
De tal forma que la de constante aditiva es:
C X1:=
C 7.823−= mm
y su desviación estandar es :
Sx1 So Qxx1 1,⋅:=
Sx1 10.603= mm
La constante multiplicativa es :
M X2:=
M 1.00737=
m1M
:=
m 0.99268= constante multiplicativa
y su desviación estandar :
Sx2 So Qxx2 2,⋅:=
Sx2 0.036=
Test Global del Ajuste al 95%:
f 13=
α 0.05:=
Lsup qchisq 1α
2−⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
f,⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
:=
Lsup 24.736=
Linf qchisqα
2⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
f,⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
:=
Linf 5.009=
Ω 15.828=Ω vT P v⋅:=
Ω 24.303=
el valor de Ω debe estar en el intervalo definido por Linf y Lsup para que elajuste pase el test global.
( )
Linf Ω< Lsup<( ) 1=
1.69 37.987< 16.013<
POR LO TANTO AL 95% DE PROBABILIDAD EL AJUSTE NO PASA EL TEST GLOBAL
Σ ll
0.033
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.069
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.072
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.048
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.051
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.066
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.09
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.057
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.059
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
PT1 PT2
BN4
BN1L2
L1
L6
L3L4
L5
L7
L8
L9
PT1 PT2
BN4
BN1L2
L1
L6
L3L4
L5
L7
L8
L9
1234
12
3
7
10
6
olocación de los instrumentos para la medición
Σll Σll 10⋅:=
