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MATH 112

ALGEBRA INTERMEDIA II

Universidad Metropolitana © Sistema Universitario Ana G. Méndez, 2003 Derechos Reservados

Prep. 12. JUN.04. Sylvia Y. Cosme Montalvo MBA

Escuela de Estudios Profesionales Programa Ahora

Universidad Metropolitana

Prep. 12.JUN.04. Sylvia Y. Cosme Montalvo, MBA 2 MATH 112 Álgebra Intermedia II

TABLA DE CONTENIDO Páginas

Prontuario .............................................................................................................. 3 Taller Uno .......................................................................................................................... 11 Taller Dos .......................................................................................................................... 16 Taller Tres .......................................................................................................................... 20 Taller Cuatro .......................................................................................................................... 23 Taller Cinco .......................................................................................................................... 26 Anejos Anejo A .......................................................................................................................... 30 Parámetros Específicos para evaluar asistencia y participación Anejo B .......................................................................................................................... 31 Los mapas conceptuales: Un instrumento constructivista de aprendizaje




Prontuario

Título del Curso: Algebra Intermedia II

Codificación: MATH 112

Duración: Cinco Semanas

Pre-requisito: MATH 111

Descripción:

Estudio de expresiones racionales, exponentes y radicales. Además, se incluye una

presentación detallada y práctica de los números complejos, funciones cuadráticas,

desigualdades, sistemas de ecuaciones y desigualdades lineales. Se discute la

representación gráfica y aplicaciones de las funciones lineales y cuadráticas

comúnmente utilizadas. Se presenta el uso de estas funciones en situaciones

cotidianas y de la administración de empresas.

Objetivos Generales:

Al finalizar el curso el/la estudiante:

1. Determinará la solución de sistemas de ecuaciones en dos variables.

2. Trazará gráficas de ecuaciones lineales y de sistemas de ecuaciones.

3. Determinará la solución de ecuaciones utilizando las propiedades de las

igualdades. 4. Solucionará desigualdades lineares en una variable.

5. Resolverá sistemas de ecuaciones lineales a través de los métodos

mayormente utilizados. 6. Solucionará ejercicios de aplicación con sistemas de ecuaciones lineales.




7. Hallará las soluciones de ecuaciones cuadráticas a través de diferentes

métodos.

8. Simplificará radicales.

9. Efectuará las cuatro operaciones básicas con radicales.

10. Identificará un número complejo.

11. Efectuará las operaciones básicas con números complejos.

12. Definirá y resolverá funciones cuadráticas.

13. Aplicará el conocimiento de las funciones cuadráticas a situaciones

cotidianas. Textos: Allen R. A. (2004). Intermediate Algebra for College Students. (6th ed.). Prentice

Hall. Allen R. A. (1996). Álgebra Intermedia. (4ta ed.). Prentice Hall.

Holt, Rinehart & Winston. (2003). Algebra 1. Levin, R.J., & Rubin,. (1996). Quantitative Approaches. McGraw Hill.

Arya, J. C., Lardner, & Robin W. (2002). Matemáticas Aplicadas a la administración

y a la economía. (4ta. ed.) México: Prentice Hall.

Referencias: Barnett, R. A., Ziegler, M. R. (1995). Essentials of College Mathematics. (3rd ed.).

New Jersey: MacMillan. Bittinger, M. L. (2000). Intermediate Algebra, Alternative Version. (8th ed.). Addison

Wesley.




Haeussler, E. F., Paul, R. S. (1997). Matemáticas para administración, economía, ciencias sociales y de la vida. (8va ed.). Prentice Hall.

Material Suplementario: www.mathmax.com

Provee práctica adicional. Contiene repasos que refuerzan los conceptos y

destrezas aprendidas en los talleres. http://mathforum.org/math.topics.html

Presenta un listado de recursos que ayudan a un mejor entendimiento de temas

específicos dentro de las diferentes áreas de las matemáticas. http://archives.math.utk.edu/topics/precalculus.html

Expone diferentes actividades constructivistas que refuerzan y motivan al

estudiante en el desarrollo del aprendizaje de los conceptos del pre-cálculo.

www.dogpile.com y www.webcrawler.com “Meta Search Engines” para la búsqueda de temas y conceptos específicos. El estudiante debe obtener una calculadora científica, ya que es una de las

herramientas principales para poder realizar eficientemente las tareas y actividades

provistas para cada taller.

Referencias Electrónicas: Taller Uno En estos sitios el/la estudiante podrá encontrar ejemplos y definiciones de

ecuaciones de una variable, desigualdades y líneas rectas

http://dcisse.ualr.edu/precalculus/

http://www.analyzemath.com/

http://www.visi.com/~dethier/activities/real-world/appl-linear-eqtns.htm

http://archives.math.utk.edu/topics/algebra.html




http://www.phschool.com/math/awsm/algebra/index.html

http://www.math.armstrong.edu/MathTutorial/index.html

http://www.purplemath.com/modules/slopgrph.htm

http://www.jamesbrennan.org/algebra/lines/rectangular_coordinates.htm

http://www.jamesbrennan.org/algebra/lines/straight_lines.htm

http://www.mathmax.com/interalg/chapter/ch_rv/402sr.pdf Taller Dos En estos sitios el/la estudiante podrá encontrar definiciones y ejemplos de solución

de sistemas de ecuaciones y desigualdades lineales

http://www.mathmax.com/interalg/chapter/ch_rv/403sr.pdf

http://www.jamesbrennan.org/algebra/systems/solution_set.htm

http://www.jamesbrennan.org/algebra/systems/addition_method.htm

http://www.jamesbrennan.org/algebra/systems/substitution_method.htm

http://www.sosmath.com/soe/SE2001/SE2001.html

http://school.discovery.com/homeworkhelp/webmath/solver2.html

http://www.sparknotes.com/math/algebra1/systemsofequations/

http://www.mathmax.com/introalg/chapter/bk3c8.html

http://www.mathnotes.com/Intro/aw_introchap7.html

http://people.hofstra.edu/faculty/Stefan_Waner/RealWorld/tutorialsf1/unit3_1.html Taller Tres En estos sitios el/la estudiante podrá encontrar conceptos, definiciones y

aplicaciones de radicales


http://www.jamesbrennan.org/algebra/radicals/real_exponents.htm

http://www.jamesbrennan.org/algebra/radicals/square_roots.htm

http://www.jamesbrennan.org/algebra/radicals/simplifying_radical_expressions.htm

http://www.jamesbrennan.org/algebra/radicals/rationalizing_the_denominator.htm




Taller Cuatro En estos sitios el/la estudiante podrá encontrar definiciones ejemplos de números

complejos http://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/col_algebra/col_alg_tut12

_complexnum.htm

http://www.ping.be/~ping1339/complget.htm

http://www.clarku.edu/~djoyce/complex/

http://mathworld.wolfram.com/ComplexNumber.html

http://www.purplemath.com/modules/complex.htm

http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number

http://cnyack.homestead.com/files/MathBgnd/com_nos.htm

Taller Cinco En estos sitios el/la estudiante podrá encontrar definiciones ejemplos de funciones

cuadráticas

http://www.mathgoodies.com/calculators/quadratic_equations.htm

http://www.analyzemath.com/quadraticg/quadraticg.htm

http://cne.gmu.edu/modules/dau/algebra/equations/quad1_frm.html

http://www.algebra.com/algebra/homework/quadratic/

http://www.sosmath.com/algebra/quadraticeq/quadraformula/quadraformula.html

http://www.dc.peachnet.edu/~jgutliph/Books/ia/quadratic_eqs_ineqs/quadratic_equations.htm Evaluación: Trabajos para realizar previo a cada taller 15% Antes de cada taller el/la estudiante deberá completar una variedad de ejercicios y

preguntas guías que le ayudarán en el proceso de comprensión de conceptos que

se desarrollarán en la práctica de las actividades que se efectuarán en el taller. Los

mismos, constarán de una selección de ejercicios asignados por el/la facilitador/a o

de la búsqueda en la Internet de información básica conceptual. Deberán




entregarse a partir de la primera reunión. Cada trabajo tiene un valor de 25 puntos

para un total de 100. No entregar éstos en el tiempo establecido conlleva un

descuento de 5 puntos por cada tardanza en la entrega.

Cuatro (4) trabajos cooperativos 20% El/la estudiante tendrá la oportunidad de trabajar en grupo con diferentes

compañeros matriculados en el curso MATH 112. El/la facilitador/a estará a cargo

de incorporar los grupos en cada uno de los talleres. Cada grupo trabajará una

situación asignada que resolverá y presentará a la clase. La solución del trabajo se

entregará al finalizar la presentación de los mismos en cada taller con el nombre de

todos los participantes por grupo en la hoja provista por el/la facilitador/a. Habrá

cuatro (4) trabajos cooperativos a partir del primer taller, cada uno de ellos con un

valor de 25 puntos para un total agregado de 100. En la quinta reunión no se

realizará esta actividad.

Cuatro (4) ejercicios individuales para realizar en los talleres 20% A partir de la primera reunión y hasta el cuarto taller, una vez discutidas las tareas

realizadas previo a cada taller, el/la estudiante estará capacitado/a para contestar

un ejercicio individual. El mismo constará de una selección de ejercicios prácticos

que fortalecerán las destrezas y conceptos analizados y tendrá un valor de 25

puntos en cada taller, para un total de 100. Trabajo Final: Concurso 25% Durante el quinto taller, se llevará a cabo un concurso. Este, será un trabajo

colaborativo. Sin embargo, la evaluación considerará tanto variables de desempeño

individual como grupal. El/la facilitador/a seleccionará aleatoreamente a los/las

estudiantes que integrarán tres grupos. Cada uno de los grupos tendrá la

oportunidad de contestar ejercicios prácticos de los temas que se han facilitado en

los talleres. Esta actividad tiene un valor de 150 puntos. El/la facilitador/a informará

la composición de los grupos en el tercer taller.




Asistencia y Participación 20% La asistencia a todos los talleres es necesaria e indispensable. En caso de

ausencia, el/la estudiante debe realizar todas las gestiones necesarias para

comunicarse con el/la facilitador/a de manera que pueda prepararse

adecuadamente para la próxima reunión. Todas las actividades realizadas en el

taller ausente, sujetas a evaluación, serán consideradas y ponderadas de acuerdo

con los parámetros específicos. Es decir, es vigente la pérdida de puntuación por

cada trabajo del cual no fue partícipe el/la estudiante por causa de la ausencia. (Ver Anejo A: Parámetros Específicos para Evaluar Asistencia y Participación) Escala de evaluación: La evaluación final se calculará a base de promedios ponderados pero

considerando la escala estándar de porcientos.

Porciento 100-90 89-80 70-79 60-69 59-0

Nota A B C D F

Descripción de las normas del curso: 1. La asistencia es obligatoria. De tener que ausentarse, es deber del/de la

estudiante comunicarse con el/la facilitador/a para excusarse y reponer todo trabajo.

2. El/la facilitador/a se reserva el derecho de aceptar la excusa y el trabajo

presentado y ajustar la evaluación, según entienda necesario.

3. Métodos Cuantitativos, MATH 112, es un curso de naturaleza acelerada y requiere que el/la estudiante se prepare antes de cada taller, según especifica el módulo. Se requiere que el/la estudiante dedique de 10 a 15 horas semanales para prepararse para cada taller.

4. El/la estudiante no deberá incurrir en plagio. Es decir, todos los trabajos

deben ser de su autoría y tiene que dar crédito a cualquier referencia.

5. Si el/la facilitador/a realiza algún cambio, los mismos se le comunicarán al estudiante en el Taller Uno. Además, entregará los acuerdos por escrito a los estudiantes y a la administración del Programa AHORA.




6. El/la facilitador/a establecerá el medio y proceso de contacto con el/la estudiante.

7. El uso de teléfonos celulares está prohibido durante los talleres.

8. No está permitido traer niños o familiares a los salones de clases.




Taller Uno

Objetivos Específicos:

Al finalizar el Taller Uno, el/la estudiante:

1. Hará la gráfica de una ecuación lineal en dos variables. 2. Determinará la pendiente de una línea.

3. Determinará los interceptos de una ecuación lineal en dos variables.

4. Encontrará la ecuación de una línea cuando se dan la pendiente y el

intercepto en y.

5. Desarrollará la ecuación de una línea cuando se dan la pendiente y un punto que pasa por la línea.

6. Encontrará la ecuación de una línea cuando se dan dos puntos que pasan

por ésta.

7. Trazará la gráfica de una desigualdad lineal en dos variables. Direcciones Electrónicas: En estos sitios el/la estudiante podrá encontrar ejemplos y definiciones de

ecuaciones de una variable, desigualdades y líneas rectas

http://dcisse.ualr.edu/precalculus/

http://www.analyzemath.com/

http://www.visi.com/~dethier/activities/real-world/appl-linear-eqtns.htm

http://archives.math.utk.edu/topics/algebra.html

http://www.phschool.com/math/awsm/algebra/index.html

http://www.math.armstrong.edu/MathTutorial/index.html

http://www.purplemath.com/modules/slopgrph.htm

http://www.jamesbrennan.org/algebra/lines/rectangular_coordinates.htm

http://www.jamesbrennan.org/algebra/lines/straight_lines.htm





Tareas a Realizar Antes del Taller Uno:

1. El/la estudiante accederá las direcciones electrónicas provistas para el primer taller para buscar los conceptos que se cubrirán en la primera reunión. Además, leerá y estudiará en el texto sugerido o en las referencias indicadas en la bibliografía, aquellos capítulos que presenten los temas de ecuaciones lineales en una variable, desigualdades y líneas rectas. El/la estudiante entregará la tarea requerida a continuación en un cartapacio, debidamente identificando su nombre, curso, sección y día.

Tarea para entregar: Buscar información y ejemplos sobre los términos

siguientes. Si alguno de estos conceptos se define y denota con símbolos,

deberá presentarlo en la tarea:

• Ecuación lineal

• Desigualdad lineal

• Sistema Cartesiano de Coordenadas y su relación con las líneas rectas y las ecuaciones cuadráticas

• Pendiente

• Par ordenado

Si el/la estudiante tiene acceso a programas de computadoras tales como

MS Office o Lotus SmartSuite, podrá utilizarlos en la presentación de la tarea

a realizar. No se aceptarán impresos directos de los sitios de Internet

accedidos ni fotocopias.

Nota: El/la facilitador/a tiene a su discreción asignar otra selección de ejercicios que cubran los temas del taller.




2. Una vez realice las lecturas y la búsqueda en Internet de los conceptos y ejemplos de los términos asignados, contestará las siguientes preguntas que incorporará como segunda parte del ejercicio de las definiciones en la instrucción #1.

a. Haga la gráfica de las siguientes ecuaciones lineales en el Plano

Cartesiano:

2x – 5y = 20

x = -2

y = -2

y = 4x - 9 b. El costo en dólares de enviar un paquete de 1 lb a través de Federal

Express para que llegue al destinatario el próximo día está dado por la ecuación y = 2.085x + 15.08, en donde la variable x representa las libras. Haga la gráfica de la ecuación para estimar el costo de enviar un paquete de 6.5 lb.

c. ¿Qué podría comentar sobre las coordenadas de un punto en el tercer

cuadrante?

d. Explique la utilidad del concepto de la pendiente en la descripción de una línea.

e. ¿Cuándo la pendiente de una línea es indeterminada? ¿Qué dirección

asume la línea cuya pendiente es indefinida?

Actividades:

1. El/la facilitador/a se presentará y explicará los objetivos, metodología de facilitación, expectativas y criterios de avalúo del curso MATH 112. Durante su exposición, corroborará que todo estudiante esté matriculado(a) en el curso. Además, se verificará que el/la estudiante tenga el módulo. Se indicarán canales de comunicación alternos para contactar al/a la facilitador/a durante la semana. El/la facilitador/a establecerá el horario y días de contacto.




2. Luego de que todos los participantes del curso se presenten, se procederá con la selección del representante estudiantil. También, se informarán los avisos vigentes que circulen de las oficinas del Programa AHORA, tales como nuevos cursos, fechas de receso académico, fecha de reunión del representante estudiantil.

3. Trabajo para realizar previo al primer taller: El/la estudiante entregará la tarea asignada. Se presentarán y discutirán todas las preguntas asignadas y se aclararán todas las dudas.

4. El/la facilitador/a presentará los conceptos, propiedades y fórmulas relevantes del tema: Gráficas, Modelos y Aplicaciones.

5. Trabajo cooperativo: el/la facilitador/a dividirá al grupo en subgrupos según la cantidad de estudiantes matriculados. Los grupos no deberán exceder de 5 estudiantes. Cada grupo trabajará el siguiente ejercicio. Tendrán 30 minutos para resolver, discutir y presentar los resultados. Los mismos se entregarán en un papel que incluirá el procedimiento y el nombre de cada uno de los participantes en el ejercicio, una vez presentados los resultados.

Haga la gráfica de su historia

En la hoja provista por el/la facilitador/a, haga la gráfica de que demuestre la siguiente historia: Un viernes Brenda y su esposo Carlos partieron en su automóvil para su fin de semana de descanso y compartir, a 100 millas de su casa. Cuando ya habían recorrido aproximadamente ¼ de la travesía, se percataron que olvidaron una de las maletas. Algo enojados, pero determinados a no dañar su aventura de fin de semana, viraron a la casa recogieron la maleta y tomaron su ruta nuevamente. Esta vez, guiaron más rápido. Sin embargo, a mitad del camino, no estaban seguros de la ruta. Pararon unos instantes a un restaurante local, en donde les dieron direcciones a seguir. Finalmente llegaron a su destino de fin de semana. Sea t=0 el tiempo en el cual Carlos y Brenda salieron de su residencia la primera vez. Sea el eje d en su gráfica el que denota la distancia en millas distantes del hogar.




Costos de Mudanza Mudanzas Monti cobra $85 más $40 la hora por mudar a una familia de un pueblo a otro dentro del área metropolitana.

a. Formule una ecuación lineal que relacione el costo total C a las horas, t,

de mudanza.

b. Haga la gráfica del modelo.

c. Use el modelo para determinar el costo de 6.5 horas de servicio de mudanza.

Cantidad invertida en investigación para la cura contra el cáncer: La cantidad que se ha invertido en investigación para la cura contra el cáncer ha aumentado paulatinamente a través de los años. Encuentre la razón de cambio en la gráfica siguiente:

6. Ejercicio individual: El/la estudiante contestará el primer ejercicio individual una vez finalizadas y presentadas las actividades previas.

$1,600.00

$1,700.00

$1,800.00

$1,900.00

$2,000.00

$2,100.00

$2,200.00

$2,300.00

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996

año

inve

rsió

n en

millo

nes

(1990,$1644.3)

(1996,$2,254.9)




Taller Dos

Objetivos Específicos: Al finalizar el Taller Dos, el/la estudiante:

1. Resolverá sistemas de ecuaciones lineales por el método gráfico. 2. Determinará si un sistema de ecuaciones lineales es consistente o

inconsistente, dependiente o independiente.

3. Resolverá sistemas de ecuaciones lineales por el método de sustitución.

4. Resolverá sistemas de ecuaciones lineales por el método de eliminación.

5. Solucionará situaciones de finanzas y economía utilizando sistemas de dos ecuaciones lineales.

6. Resolverá sistemas de desigualdades lineales en dos variables.

7. Solucionará ejercicios de aplicación utilizando desigualdades lineales.

Direcciones Electrónicas: En estos sitios el/la estudiante podrá encontrar definiciones y ejemplos de solución

de sistemas de ecuaciones y desigualdades lineales


http://www.jamesbrennan.org/algebra/systems/solution_set.htm

http://www.jamesbrennan.org/algebra/systems/addition_method.htm

http://www.jamesbrennan.org/algebra/systems/substitution_method.htm

http://www.sosmath.com/soe/SE2001/SE2001.html

http://school.discovery.com/homeworkhelp/webmath/solver2.html

http://www.sparknotes.com/math/algebra1/systemsofequations/

http://www.mathmax.com/introalg/chapter/bk3c8.html

http://www.mathnotes.com/Intro/aw_introchap7.html

http://people.hofstra.edu/faculty/Stefan_Waner/RealWorld/tutorialsf1/unit3_1.html




Tareas a Realizar Antes del Taller Dos:

1. El/la estudiante buscará información y ejemplos sobre solución de ecuaciones y desigualdades lineales. Accederá las direcciones electrónicas para buscar los conceptos que se cubrirán en la segunda reunión. En el libro de texto sugerido, leerá sobre el tema Sistemas de ecuaciones y desigualdades lineales. Podrá utilizar alguna de las referencias indicadas en la bibliografía en caso de no tener el libro de texto recomendado.

2. El/la estudiante entregará la tarea asignada a continuación en un cartapacio identificando su nombre, curso, sección y día. Si el/la estudiante tiene acceso a programas de computadoras tales como MS Office o Lotus SmartSuite, podrá utilizarlos en la presentación de la tarea a realizar. No se aceptarán impresos directos de los sitios de Internet accesados ni fotocopias.

Tarea para entregar: Defina, explique y demuestre ejemplos de los siguientes términos:

• Sistemas de ecuaciones lineales en dos variables.

♦ Consistente ♦ Independiente ♦ Inconsistente ♦ Dependiente

• Solución de sistemas de ecuaciones lineales en dos variables a través de:

♦ Método gráfico ♦ Método de sustitución ♦ Método de eliminación

• Sistemas de desigualdades lineales en dos variables

♦ Gráfica de desigualdades en dos variables

• ¿Tienen todos los sistemas de desigualdades lineales solución? ¿Por qué?

• Compare brevemente las ventajas y desventajas de utilizar el método

gráfico, de sustitución y eliminación al resolver dos ecuaciones en dos variables.

Una vez el/la estudiante haya completado la búsqueda en Internet o en las referencias sugeridas de los términos y conceptos relevantes y contestado las preguntas anteriores, podrá contestar los ejercicios sugeridos a continuación (u otros ejercicios sugeridos por el/la facilitador/a).




i. Resuelva por el método gráfico el siguiente sistema de ecuaciones

4x – y = -9 x – y = -3

ii. Resuelva por el método de sustitución

9x – 6y = 2 x = 4y + 5

iii. Resuelva por el método de eliminación

4x – 7y = 18 9x + 14y = 40

iv. Haga la gráfica del siguiente sistema de desigualdades lineales

6 x – 2y ≤ 12, y – 3 ≤ 0, x + y ≥

4. Desarrollar un mapa conceptual (Ver Anejo B: Definición y desarrollo del mapa conceptual) que incluya los conceptos básicos en la solución de sistemas de ecuaciones lineales. En el mismo incorporará los métodos gráfico, de sustitución y eliminación. Además, incluirá el método que puede utilizarse para crear sistemas de ecuaciones inconsistentes y el método desarrollado para crear sistemas de ecuaciones dependientes.

Actividades:

1. Trabajo para realizar previo al Taller Dos: El/la estudiante entregará la tarea asignada y se presentarán y discutirán todas las preguntas asignadas. Se aclararán todas las dudas de esta tarea.

2. Trabajo cooperativo: el/la facilitador/a dividirá al grupo en subgrupos de no más de cinco (5) estudiantes. Cada grupo trabajará todos los ejercicios a continuación y seleccionará a un portavoz para presentar el ejercicio que el/la facilitador/a les indique les toca presentar. Tendrán 45 minutos para resolver, discutir y presentar. Todos los ejercicios se entregarán una vez se discuta su resultado, en un papel que incluirá el procedimiento y el nombre de cada uno de los participantes. (Nota: el/la facilitador/a pudiera sugerir otro ejercicio colaborativo informándoselo al estudiante previo al taller)




Aplicación de los sistemas de ecuaciones lineales

Una gran cantidad de situaciones prácticas que se suscitan en la industria

desembocan en la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Considere

las siguientes situaciones y resuelva según indicado:

a. Una compañía elabora dos tipos de productos A y B. Cada producto A

requiere de 2.5 horas-trabajo y cada producto B necesita 4 horas-trabajo. Si se dispone de 320 horas-trabajo por semana, encuentre la relación entre el número de artículos de cada tipo que pueden fabricarse si se utilizan por completo las horas trabajo disponibles.

b. Un farmaceútico desea obtener 30 onzas de una solución que contiene

70% de alcohol. Hay dos soluciones que contienen 50% y 80% de alcohol, respectivamente. ¿Cuánto debe usar de cada solución?

c. Un individuo recibe $1,860 por concepto de intereses en dos inversiones,

con la primera gana el 6% y con la segunda el 8%. El año próximo las tasas se intercambiarán y los ingresos serán de $1,920. Encuentre la cantidad en cada inversión.

3. Ejercicio individual: El/la estudiante contestará el segundo ejercicio individual una vez finalizadas y presentadas las actividades previas.




Taller Tres

Objetivos Específicos: Al finalizar el Taller Tres, el/la estudiante:

1. Encontrará la raíz cuadrada principal de un número.

2. Simplificará expresiones radicales con radicandos que son cuadrados perfectos.

3. Encontrará la raíz cúbica de expresiones algebraicas dadas.

4. Simplificará expresiones que involucran raíces con índices pares e impares.

5. Escribirá y simplificará expresiones con exponentes racionales y viceversa.

6. Simplificará expresiones con exponentes negativos.

7. Utilizará las leyes de exponentes con exponentes racionales para simplificar expresiones radicales.

8. Multiplicará y simplificará expresiones radicales.

9. Dividirá y simplificará expresiones radicales.

10. Racionalizará el denominador de una expresión radical.

11. Sumará o restará expresiones con radicales.

12. Resolverá ecuaciones con radicales.

13. Resolverá ejercicios de aplicación con radicales.

Direcciones Electrónicas: En estos sitios el/la estudiante podrá encontrar conceptos, definiciones y

aplicaciones de radicales


http://www.jamesbrennan.org/algebra/radicals/real_exponents.htm

http://www.jamesbrennan.org/algebra/radicals/square_roots.htm

http://www.jamesbrennan.org/algebra/radicals/simplifying_radical_expressions.htm

http://www.jamesbrennan.org/algebra/radicals/rationalizing_the_denominator.htm




Tareas a Realizar Antes del Taller Tres:

1. El/la estudiante buscará información y ejemplos sobre los conceptos expresiones y ecuaciones con radicales desglosados en los objetivos del Taller Tres. Accederá las direcciones electrónicas para buscar los conceptos que se trabajarán en la tercera reunión. Podrá utilizar alguna de las referencias indicadas en la bibliografía en caso de no tener el libro de texto sugerido. Deberá enfocar su búsqueda en los temas.

El/la estudiante entregará la tarea en un cartapacio debidamente identificando su nombre, curso, sección y día. Si el/la estudiante tiene acceso a programas de computadoras tales como MS Office o Lotus SmartSuite, podrá utilizarlos en la presentación de la tarea a realizar. No se aceptarán impresos directos de los sitios de Internet accedidos ni fotocopias.

2. Defina, explique y demuestre ejemplos de los siguientes términos:

• Raíz cuadrada • Raíz cuadrada principal • Radical • Raíz cúbica • Raíz impar • Raíz par • Exponente racional • Leyes de exponentes • Regla de multiplicación para radicales • Regla del cociente (división) para radicales • Regla de suma o resta con radicales • Racionalización de denominador • Principio de las potencias • ¿La raíz enésima de x2 siempre existe? ¿Por qué? • ¿Por qué es importante simplificar expresiones radicales antes de

sumarlas o restarlas? • ¿En qué sentido agrupar monomios similares es igual que agrupar

términos radicales similares?

3. El/la estudiante seleccionará su dibujo animado favorito y recopilará recortes de los mismos para traer al Taller Tres con el propósito de venir preparado para una actividad colaborativa de desarrollo de una tirilla cómica. O en su lugar, podrá dibujar caricaturas originales para, posteriormente, desarrollar la solución al ejercicio algebráico que será explicado por el/la facilitador/a como parte de las actividades del Taller Tres.




Actividades:

1. Trabajo para realizar previo al Taller Tres: El/la estudiante entregará la tarea asignada. Se discutirán todos los conceptos y ejemplos sobre expresiones y ecuaciones con radicales.

2. El/la facilitador/a presentará ejercicios y ejemplos detallados y de aplicación

sobre expresiones y ecuaciones con radicales.

3. Trabajo cooperativo: el/la facilitador/a dividirá al grupo en subgrupos de no más de cinco estudiantes. Cada grupo trabajará una tirilla cómica o una caricatura para resolver uno de los ejercicios presentados a continuación y que el/la facilitador/a asignará al azar. El grupo seleccionará entre todos los dibujos que cada estudiante trajo como parte de la asignación previa al taller. También, se escogerá a un(a) portavoz que presentará los resultados. Tendrán una hora para resolver, discutir y presentar el ejercicio asignado. El mismo se entregará en un papel que incluirá el procedimiento y el nombre de cada uno de los participantes en el ejercicio, una vez los resultados se presenten. (Nota: el/la facilitador/a pudiera sugerir otro ejercicio colaborativo informándoselo al estudiante previo al taller)

a. 3 18 b. 510 c. 33278 − d. )132)(13( ++

e. 106

9−

f. 3−=x

2. Ejercicio individual: El/la estudiante contestará el tercer ejercicio individual una vez finalizadas y presentadas las actividades previas.




Taller Cuatro


Al finalizar el Taller Cuatro, el/la estudiante:

1. Expresará números imaginarios como bi en donde b es un número real diferente de cero.

2. Expresará números complejos de la forma a + bi, en donde a, b son números

reales.

3. Sumará y restará números complejos.

4. Multiplicará números complejos.

5. Encontrará el conjugado de números complejos.

6. Dividirá números complejos.

7. Determinará si un número complejo es solución de una ecuación dada.

Direcciones Electrónicas: En estos sitios el/la estudiante podrá encontrar definiciones y ejemplos de números complejos

http://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/col_algebra/col_alg_tut12

_complexnum.htm

http://www.ping.be/~ping1339/complget.htm

http://www.clarku.edu/~djoyce/complex/

http://mathworld.wolfram.com/ComplexNumber.html

http://www.purplemath.com/modules/complex.htm

http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number

http://cnyack.homestead.com/files/MathBgnd/com_nos.htm




Tareas a Realizar Antes del Taller Cuatro:

1. El/la estudiante accederá las direcciones electrónicas provistas para buscar los conceptos que se cubrirán en la cuarta reunión. Además, leerá de las referencias sugeridas los capítulos que expongan el concepto de números complejos. El/la estudiante entregará la tarea en un cartapacio debidamente identificando su nombre, curso, sección y día. Si el/la estudiante tiene acceso a programas de computadoras tales como MS Office o Lotus SmartSuite, podrá utilizarlos en la presentación de la tarea a realizar. No se aceptarán impresos directos de los sitios de Internet accesados ni fotocopias.

Buscar la definición y demostrar ejemplos sobre los siguientes conceptos o

procesos:

• Número imaginario • Número complejo • Historia del desarrollo de los números complejos • Algunas aplicaciones de los números complejos • Reglas de las operaciones aritméticas básicas (suma, resta, multiplicación

y división) con números complejos

Actividades:

1. Trabajo para realizar previo al Taller Cuatro: El/la estudiante entregará la tarea asignada y se presentarán y discutirán todas los conceptos asignados. Se aclararán todas las dudas de esta tarea.

2. Trabajo cooperativo: una vez el/la facilitador/a presente ejemplos sobre las operaciones con números complejos, dividirá al grupo en subgrupos de cuatro a cinco estudiantes. Cada grupo trabajará los siguientes ejercicios. Tendrán una hora para resolver, discutir y presentar los ejercicios asignados. (Nota: el/la facilitador/a pudiera sugerir otro ejercicio colaborativo informándoselo al estudiante previo al taller)

Resuelva los siguientes ejercicios con números complejos

1. (3 + 5i) + (8 + 9i) = 2. (4.5 + 3i) + (3 - 1.5i) = 3. (7 + 13i) - (8 + 2i) = 4. (-5 + 3i) - (3 - 8i) = 5. (-3i) - (13 + 4i) = 6. 1 + 2i)(1 - 2i) =




7. (2 - 3i)(-3 + 2i) = 8. (3 + 2i)2 = 9. (6 + 8i) ÷ (1 + 3i) = 10. Simplifica:

49− =

128− =

3. Ejercicio individual: El/la estudiante contestará el cuarto ejercicio individual una vez finalizadas y presentadas las actividades previas.




Taller Cinco


Al finalizar el Taller Cinco, el/la estudiante:

1. Resolverá ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado.

2. Resolverá ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula cuadrática.

3. Resolverá ejercicios de aplicación con ecuaciones cuadráticas.

4. Realizará un ejercicio colaborativo que sintetiza todos los conceptos presentados en el curso MATH 112.

Direcciones Electrónicas: En estos sitios el/la estudiante podrá encontrar definiciones y ejemplos de funciones cuadráticas

http://www.mathgoodies.com/calculators/quadratic_equations.htm

http://www.analyzemath.com/quadraticg/quadraticg.htm

http://cne.gmu.edu/modules/dau/algebra/equations/quad1_frm.html

http://www.algebra.com/algebra/homework/quadratic/

http://www.sosmath.com/algebra/quadraticeq/quadraformula/quadraformula.html

http://www.dc.peachnet.edu/~jgutliph/Books/ia/quadratic_eqs_ineqs/quadratic_equat

ions.htm

Tareas a Realizar Antes del Taller Cinco:

1. El/la estudiante estudiará y practicará los conceptos y temas que se discutieron en los talleres anteriores. De esta forma estará preparado(a) para participar y colaborar con el grupo asignado en el debate-concurso.




2. El/la estudiante accederá las direcciones electrónicas provistas para buscar los conceptos que se cubrirán en la quinta reunión. Además, leerá de las referencias sugeridas, los capítulos que expongan el concepto de ecuaciones cuadráticas. El/la estudiante entregará la tarea en un cartapacio debidamente identificando su nombre, curso, sección y día. Si el/la estudiante tiene acceso a programas de computadoras tales como MS Office o Lotus SmartSuite, podrá utilizarlos en la presentación de la tarea a realizar. No se aceptarán impresos directos de los sitios de Internet accesados ni fotocopias.

Buscar la definición y demostrar ejemplos sobre los siguientes conceptos o

procesos:

• Ecuación cuadrática • Completar el cuadrado • Fórmula cuadrática

Actividades:

1. El/la facilitador/a presentará ejemplos detallados de aplicaciones con la fórmula cuadrática, una vez se aclaren dudas de la tarea a realizar previo al Taller Cinco.

2. Concurso: i. El ejercicio de concurso constará de una recopilación de ejercicios que

el/la facilitador/a entregará a cada estudiante.

ii. Cada uno de los ejercicios tendrá un valor asignado.

iii. Los ejercicios cubrirán los temas que se discutieron el todos los talleres. Todos serán aplicaciones similares a los ejercicios colaborativos efectuados en los ejercicios individuales practicados en cada reunión.

iv. El/la estudiante se sentará junto a sus compañeros asignados al grupo.

v. Una vez el/la facilitador/a entregue los ejercicios a los grupos, comenzará

el concurso.

vi. No habrá interrupciones cuando un/a estudiante esté contestando algún ejercicio. Una interrupción conlleva un descuento de 5 puntos al grupo al que pertenece el/la integrante que efectuó la interrupción.




vii. Cada ejercicio tendrá que solucionarse en el orden en que ha sido presentado.

viii. El/la facilitador/a indicará el tiempo que tienen los grupos para solucionar el

ejercicio indicado.

ix. Si un grupo resuelve el ejercicio correctamente antes del tiempo indicado, tendrá una bonificación de 5 puntos.

x. Si ninguno de los grupos puede resolver el ejercicio en el tiempo indicado,

el/la facilitador/a concederá 5 minutos adicionales. Si en este tiempo ningún grupo puede resolver el ejercicio, no habrá puntuación adjudicada.

xi. Si un grupo da la respuesta incorrecta al ejercicio, se le dará oportunidad

a otro grupo para contestar.

xii. Si algún grupo muestra un resultado incorrecto pero el procedimiento fue correcto hasta cierto paso, se le adjudicará la mitad de la puntuación del ejercicio.

xiii. Cada grupo seleccionará un/a coordinador/a que se encargará de levantar

la mano cuando el grupo le indique que terminó el ejercicio. De esta forma el/la facilitador/a podrá seleccionar a un/a estudiante de ese grupo para que conteste la pregunta.

xiv. Todo estudiante tendrá la oportunidad de participar y acumular puntos

individuales de acuerdo a su desempeño. La puntuación individual oscilará entre 5 y 10 puntos, dependiendo el ejercicio.

xv. El grupo que más respuestas correctas obtenga, recibirá una bonificación

de 10 puntos sobre la puntuación acumulada.




Anejos




Anejo A

Parámetros específicos para evaluar asistencia y participación

La evaluación de asistencia y participación en los cinco talleres constituye el 20%

de la evaluación final del curso MATH 112. Es requisito insustituible la asistencia a todas las cinco reuniones. Las actividades

realizadas en el taller ausente, sujetas a evaluación, serán consideradas y

ponderadas de acuerdo con los parámetros específicos. Por lo tanto, si el/la

estudiante se ausenta y entrega los trabajos posteriormente, su puntuación

comenzará con descuento porcentual previamente establecido para cada actividad

realizada en la respectiva reunión; como se demuestra a continuación:

Actividad Puntos Descontados

Trabajos a realizar previo a cada taller 5 por cada taller que entregue tarde

Trabajo cooperativo Todos / Pierde los puntos

Prueba corta 5 / Debe reponer en el siguiente taller

luego de efectuar el trabajo

cooperativo y contestar la prueba corta

del taller vigente.

Debate-Concurso Todos / Pierde los puntos

La asistencia y participación considera las siguientes variables:

Tardanzas: Por cada tardanza, se le descontarán 5 puntos de la evaluación final de asistencia y

participación.

Participación: En un rango de 1 a 5, siendo 5 la puntuación mayor por cada taller, se considerará

que el/la estudiante haya efectuado aportaciones o preguntas efectivas,

entendiéndose todas aquellas que dirijan al grupo hacia un mejor entendimiento de

los temas discutidos, los conceptos, ejercicios y actividades del taller.




Anejo B

Los mapas conceptuales: Un instrumento constructivista de aprendizaje

I. Introducción y fundamentación teórica:

La noción de mapa conceptual, se desarrolló a partir de la década del setenta en el

Departamento de Educación de la Universidad de Cornell, EEUU, y ha constituido

desde entonces, una perspectiva de trabajo teórico-experimental de gran atención,

para profesores, investigadores educativos, psicólogos y estudiantes en general.

Surgieron como una forma de instrumentalizar la teoría del aprendizaje significativo

de Ausubel en especial, en lo referente a la evolución de las ideas previas que

poseen los estudiantes. Fueron desarrollados por un grupo de investigadores

cercanos a J.D. Novack, mediante un programa denominado Aprender a Aprender,

en el cual, se pretendía entre otros, un objetivo medular; liberar el potencial de

aprendizaje en los seres humanos que permanece sin desarrollar y que muchas

prácticas educativas entorpecen más que facilitan. De ahí que se inicia todo un

movimiento en busca de estrategias pedagógicas que favoreciera dicha práctica

educativa, los mapas conceptuales constituyeron un instrumento imprescindible.

El concepto de mapa conceptual puede ser definido como "el recurso esquemático

que representa un conjunto de significados conceptuales incluidos en una estructura

(jerárquica) de proposiciones" y se fundamenta "particularmente" en los siguientes

principios teóricos del aprendizaje significativo.

La necesidad de conocer las ideas previas de los sujetos, antes de iniciar nuevos

aprendizajes, es decir, revela la estructura de significados que poseen los sujetos,

con el propósito de establecer aprendizajes interrelacionados y no aislados y

arbitrarios.




La idea que en la medida que el nuevo conocimiento es adquirido

significativamente, los conceptos preexistentes experimentan una diferenciación

progresiva.

En la medida que los significados de dos o más conceptos, aparecen relacionados

de una nueva manera y significativa tiene lugar una reconciliación integradora.

Una forma más gráfica de definir el mapa conceptual y vincularlo con el aprendizaje

significativo, sería "considerarlo en cierto modo homogéneo a los mapas de

carreteras, los conceptos representarían las ciudades y las proposiciones las

carreteras que les enlazan además, no todas las ciudades tienen la misma densidad

y población, ni los conceptos del mapa idéntico poder explicativo " (González, 1992,

p. 150).




II. Principios metodológicos en la construcción de mapas monceptuales

Algunos principios metodológicos que pueden tenerse en cuenta en la elaboración

de los mapas conceptuales a partir de las ideas de Novack, J, y Gowin, B, son los

siguientes:

1. Un primer principio se refiere a la importancia de definir qué es un concepto y qué es una proposición. El concepto puede ser considerado como aquella palabra que se emplea para designar cierta imagen de un objeto o de un acontecimiento que se produce en la mente del individuo. La proposición consta de dos o más términos conceptuales unidos por palabras de enlace para formar una unidad semántica.

2. Un segundo principio incluye los supuestos de la diferenciación

progresiva y la reconciliación integradora sobre todo la idea de que le es más fácil al individuo que aprende a relacionar los conceptos de un todo más amplio y ya aprendido, que formularlo a partir de componentes diferenciados. Un rasgo característico del mapa conceptual es la representación de la relación de los conceptos, siguiendo el modelo general a lo específico, en donde las ideas más generales o inclusivas, ocupen el ápice o parte superior de la estructura y las más específicas en la parte inferior.

3. Un tercer principio, se refiere a la necesidad de relacionar los conceptos

en forma coherente, siguiendo un ordenamiento lógico. Esta operación puede hacerse a través de las denominadas palabras de enlace, como por ejemplo: para, por, donde, como, entre otros. Éstas permiten, junto con los conceptos, construir frases u oraciones con significado lógico y preposicional.

4. Un cuarto principio, es la necesidad de elaborar los mapas conceptuales,

siguiendo un ordenamiento lógico que permita lograr la mayor posibilidad de interrelación, donde se logre un aprendizaje supraordinario y combinatorio, es decir que permita reconocer y reconciliar los nuevos conceptos con los ya aprendidos y poder combinarlos. En otras palabras, el mapa debe permitir "subir y bajar", esto es, explorar las relaciones entre todos los conceptos.

5. Un quinto principio, es la función o utilidad del mapa conceptual como

instrumento de evaluación, ya sea como una actividad de inicio, o de diagnóstico, que presente lo que el alumno ya sabe. También durante el transcurso del desarrollo de un tema específico, o como una actividad de cierre que permita medir la adquisición y el grado de asimilación por parte




del alumno sobre el problema de estudio. Lo que ayuda a obtener información sobre el tipo de estructura cognoscitiva que el alumno posee y medir los cambios en la misma medida que se realiza el aprendizaje. Este aprendizaje puede lograrse en forma socializada o individualmente.

III. Criterios para evaluar el mapa conceptualmente:

Existen diferentes criterios que el docente debe tener presente a la hora de evaluar

un mapa conceptual.

Los principales criterios son:

1. Jerarquía de conceptos. Es decir, cada concepto inferior depende del superior en el contexto de lo que ha sido planteado.

2. Cantidad y calidad de conceptos.

3. Buena relación de los significados entre dos conceptos conectados por la

línea indicada y las palabras apropiadas.

4. Que exista una conexión significativa entre un segmento de la jerarquía y el otro, es decir, debe existir ligámenes significativos y válidos entre conceptos.

5. Que existan ejemplos o eventos específicos relacionados con los conceptos

más generales.

Estrategias para iniciar la elaboración de mapas conceptuales en el aula:

A continuación, se presentan algunas sugerencias para iniciar con los alumnos la

elaboración de los mapas conceptuales.

En primer lugar, antes de iniciar toda actividad para la elaboración de los mapas

conceptuales, el docente debe clarificar a los estudiantes los siguientes aspectos

con el fin de lograr el máximo entendimiento para su puesta en marcha.




Para iniciar, el docente debe:

1. Explicar qué es un concepto, una proposición y su importancia.

2. Explicar la importancia de la jerarquía entre conceptos.

3. Explicar la importancia de formar oraciones con sentido lógico, es decir, unidades semánticas.

4. Iniciar la confección del mapa.

A continuación se le presenta al lector, dos actividades mediante las cuales puede

trabajar los mapas conceptuales.

Los mapas conceptuales como una forma de explicar las ideas de los alumnos,

requiere realizar algunas actividades como:

1. Repasar los conceptos básicos sobre la elaboración de los mapas conceptuales.

2. Escribir en la pizarra cualquier concepto, por ejemplo árbol, lluvia y preguntar

a los estudiantes si crea alguna imagen mental.

3. Pedir a los estudiantes que digan todas las palabras que se relacionan con este concepto y escribirlos en la pizarra.

4. Nombrar una serie de palabras como: donde, como, con, entre otras.

Preguntar a los estudiantes si estas palabras crean alguna imagen mental. Indique que éstos no son términos conceptuales sino, que son palabras de enlace. Es decir, palabras que se utilizan para unir dos o más conceptos y formar frases con significado.

5. Escribir en la pizarra unas cuantas frases cortas, formadas por dos

conceptos y una o varias palabras de enlace; con el objetivo de ilustrar cómo el ser humano utiliza conceptos y palabras de enlace para transmitir algún significado, por ejemplo: El árbol es frondoso.

6. Pedir a los estudiantes que formen por sí solos unas cuantas frases cortas y

que identifiquen las palabras de enlace y los conceptos.




7. Ordenar los conceptos de los más generales a los más específicos. Que impliquen que los conceptos más generales son los que tienen un mayor poder explicativo, es decir, más información, y que permiten aglutinar a otros más específicos o con menos información.

8. Pedir a los estudiantes que elaboren el mapa conceptual. Indíqueles que

para conseguir una buena presentación de los significados proporcionales, tal como ellos lo entienden, hay que rehacer el mapa una, dos o más veces.

Los mapas conceptuales como una forma de construir conocimientos a partir de

materiales impresos requieren:

1. Repasar los conceptos básicos sobre la elaboración de mapas conceptuales. 2. Elegir uno o dos párrafos de un libro de texto o de cualquier otro material

impreso y hacer que los estudiantes lo lean y seleccionen los conceptos más importantes. Es decir, aquellos conceptos necesarios para entender el significado del texto.

3. Pedir a los estudiantes que saquen la lista y la ordenen. De conceptos

generales a los específicos.

4. Se puede empezar a elaborar un mapa conceptual empleando la lista ordenada como guía para construir la jerarquía conceptual.

Ventajas y cuidados de los mapas conceptuales:

Para una mayor clarificación del lector, es importante hacer mención de algunas

ventajas como también los cuidados que posee este instrumento de aprendizaje.

Ventajas:

Indiscutiblemente, el instrumento de aprendizaje ofrece una serie de ventajas en el

desarrollo mismo del aprendizaje del estudiante. Entre los que merece mayor

atención, están los siguientes:




1. Constituye una herramienta que sirve para ilustrar la estructura cognoscitiva o de significados que tienen los individuos mediante los que se perciben y procesan las experiencias.

2. Al saber sobre los conocimientos del alumno, permite trabajar y corregir los

errores conceptuales del estudiante. Así como facilitar la conexión de la información con otros conceptos relevantes de la persona. Es decir, que se remite al simple hecho de definir y recordar lo aprendido del contenido de la materia.

3. Facilita la organización lógica y estructurada de los contenidos de

aprendizaje, ya que son útiles para separar la información significativa de la información trivial, logrando fomentar la cooperación entre el estudiante y el poder al vencer la falta de significado de la información.

4. Permite planificar la instrucción y a la vez ayuda a los estudiantes a aprender

a aprender, ya que se puede medir qué concepto hay en la asignatura que el alumno puede aprender. Favorece la creatividad y autonomía.

5. Permite lograr un aprendizaje interrelacionado, al no aislar los conceptos, las

ideas de los alumnos, y la estructura de la disciplina. En el caso de los Estudios Sociales facilita la comprensión de la historia desde la perspectiva, presente, pasado y futuro.

6. Fomenta la negociación, al compartir y discutir significados. La confección de

los mapas conceptuales en forma grupal, por ejemplo, desempeña una útil función social en el desarrollo del aprendizaje.

7. Es un referente, buen elemento gráfico cuando se desea recordar un

concepto o un tema con sólo mirar el mapa conceptual.

8. Permite relacionar las partes (el todo) unos con otros.

Cuidados:

Entre los cuidados que se deben tener en cuenta, están los siguientes:

1. Que se elabore un esquema o diagrama de flujo en lugar de un mapa conceptual, en donde en lugar de presentar relaciones supraordenadas y combinatorias entre conceptos, se presentan meras secuencias lineales de acontecimientos.




2. Que las relaciones entre conceptos no sean excesivamente confusas. Es decir, con muchas líneas y palabras de enlace que produzcan en el estudiante apatía al no encontrarle sentido al orden lógico del mapa conceptual.

3. Que no se constituya en la única herramienta o técnica para construir

aprendizaje, sino que sea parte de una secuencia más amplia, ordenada y sobre todo, significativa.

4. El docente debe tener presente que la elaboración de los mapas

conceptuales es un proceso que requiere tiempo, los estudiantes necesitan practicar el pensamiento reflexivo, es decir, la construcción y reconstrucción de los mapas conceptuales.

Bibliografía:

Albuman, Dona. Organizadores gráficos: Herramientas para comprender y recordar las ideas principales. En: La Comprensión Lectora Ed. Visor, Madrid, 1990.

Ausubel, Novack y Hannesian. Psicología Educativa. Un punto de vista cognitivo.

Ed. Trillas, México, D.F., 1989. Galagousky, L. R. Redes conceptuales: Bases teóricas e implicaciones para el

proceso de enseñanza-aprendizaje de las ciencias. En Revista Enseñanza de las Ciencias, Barcelona, España, Nº 5 1987.

González, García F. M. Los Mapas Conceptuales de J.D. Novack como

instrumentos para la investigación en didáctica de las ciencias experimentales. En: Revista Enseña de las Ciencias, Barcelona, España, Nº 10, 1992.

Heimlich, J. Y Pyttelman, S. Estudiar en el aula: El Mapa Semántico. Ed. Sigue,

Argentina, 1991.

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