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-
Matemt
Solucionario
2009 -IExamen de admisin
Matemtica
1
TEMA P
Pregunta N. 1Un fabricante vende un artculo al mayorista
ganando p%, ste vende al minorista ganando q%
y el minorista al pblico obteniendo una ganancia
de t%. Si el precio del artculo al pblico es 1,716
veces el valor que cuesta fabricarlo, halle la suma
de las cifras de (p+q+t).
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
SolucinTema
Tanto por ciento
Referencias
Una de las tantas aplicaciones de la regla del tanto
por ciento es el aumento sucesivo y las operaciones
comerciales, donde se cumple la siguiente relacin;
Precio de venta (PV)=Precio de costo (PC)+ +Ganancia (G)
Por lo general, la ganancia es un tanto por ciento
del precio de costo.
Anlisis y procedimiento
Al final (3.er caso), tenemos:
(100+t)%(100+q)%(100+p)%C=1,716C
100 100 100
100 10 0 10017161000
+( ) +( ) +( )
=
t q p
(100+t)(100+q)(100+p)=1716000
Buscando factores enteros en el segundo miembro,
mayores de 100, tenemos:
(100+t)(100+q)(100+p)=110120130
Entonces
p+q+t=60
cuya suma de cifras es 6.
Nota
Buscando factores enteros en el segundo miembro,
mayores de 100 tambin, tenemos:
(100+t)(100+q)(100+p)=104125132
Entonces
p+q+t=61
cuya suma de cifras es 7.
En esta pregunta hay dos respuestas y son 6 7.
-
2unI 2009 -I Academia CSAR VALLEJO
Respuesta
La suma de cifras de p+q+t es 6.
Alternativa A
Pregunta N. 2
Tres nmeros enteros m, n y p tienen una media
aritmtica de 10 y una media geomtrica de MA = suma de datoscantidad de datos
Halle aproximadamente la media armnica de
estos nmeros, si n p=120.
A) 8,72 B) 9,32 C) 9,73
D) 9,93 E) 9,98
Solucin
Tema
Promedio
Referencias
El promedio es un valor representativo de un
conjunto de datos; dependiendo de la forma de
clculo tenermos:
Mediaaritmtica(MA)
MA = suma de datoscantidad de datos
Mediageomtrica(MG)
MG n= Producto de datos
n: cantidad de datos
Mediaarmnica(MH)
MH = cantidad de datossuma de las inversas
de los datos
Anlisis y procedimiento
De los datos tenemos
MA (m, n, p)=m n p+ +
=
310
m+n+p=30
MG (m, n, p)= m n p =3 3 960
mnp=960
Adems, por dato tenemos que np=120, como
m n p =120
960
, entonces, m=8.
Nos queda que
n+p=22
np=120
de donde se obtiene
n=12 y p=10.
Finalmente, calculemos la MH (m, n, p).
MH m n p( , , ) , ...=+ +
=
318
110
112
9 7297
MH (m, n, p)=9,73
Respuesta
Aproximadamente, la MH de m, n y p es 9,73.
Alternativa C
Pregunta N. 3
Las normas acadmicas de una institucin educa-
tiva establecen las calificaciones siguientes:
Aprobado: nota 14;
Desaprobado: 9 nota < 14 y
Reprobado: nota < 9
-
3unI 2009 -ISolucionario de Matemtica
En el curso de Qumica, las calificaciones finales
fueron: 40% de aprobados, con nota promedio:
16 puntos; nota promedio de los desaprobados:
11 puntos; y nota promedio de los reprobados:
6 puntos. Si la nota promedio obtenida en el curso
fue de 11 puntos, entonces, el porcentaje de alum-
nos reprobados es
A) 10% B) 20% C) 30%
D) 40% E) 50%
Solucin
Tema
Promedios
Referencias
El promedio ms empleado es la media aritmtica;
para su clculo se utilizan todos los datos y se
calcula as:
MA = suma de datostotal de datos
Luego, tenemos que
Suma de datos=MA(Total de datos)
Anlisis y procedimiento
total dealumnos
apro-bados
desapro-bados
repro-bados
cantidad 100% 40% (60 x)% x%
MA 11 16 11 6
Luego se tiene lo siguiente:
11100%=1640%+11(60 x)%+6x%
1100%=640%+660% 5x%
1100%=1300% 5x%
5x%=200%
x%=40%
Respuesta
Los alumnos reprobados representan el 40%.
Alternativa D
Pregunta N. 4
De un grupo de 12 profesores; 5 son de la UNI,
uno de los cuales es mujer; 4 son de la UNA, uno
deloscualesesmujer,y3sondelaUNMSM,todos
varones. Cul es la probabilidad de seleccionar
ternas constituidas por un profesor de cada univer-
sidad y que no pueda haber una mujer de la UNA?
A) 0,06 B) 0,15 C) 0,18
D) 0,20 E) 0,24
SolucinTema
Probabilidades
Referencias
Cuando se requiere hallar el nmero de formas en
que se puede seleccionar r objetos de un total de
n objetos diferentes entre s, podemos emplear el
siguiente clculo:
Cn
r n rrn
=
!!( )!
Adems, el clculo de la probabilidad de un
evento se calcula:
P =
cantidad de casosfavorables
cantidad de casostotales
-
4unI 2009 -I Academia CSAR VALLEJO
Anlisis y procedimiento
Ahora seleccionaremos ternas de profesores:
Piden hallar la probabilidad (P) de que estas ternas
seleccionadas estn constituidas por un profesor de
cada universidad y que no pueda haya una mujer
de la UNA, entonces:
P
C C C
C=
= =
15
13
13
312
944
0 2045,
Respuesta
La probabilidad es 0,20 aproximadamente.
Alternativa D
Pregunta N. 5
Sea el nmero N=777...77(8) de 100 cifras. Halle
la suma (expresada en base diez) de las cifras del
nmero N2, que est expresada en base 8.
A) 640 B) 700 C) 740
D) 780 E) 800
SolucinTema
Cuatro operaciones
Referencias
En problemas de multiplicacin, cuando se
multiplica un nmero por otro cuyas cifras son
mximas, el producto se puede expresar como
una sustraccin.
Ejemplo
abc99=abc(100 1)=abc00 abc
mnp87778=mnp8(10008 1)=
mnp0008 mnp8
Anlisis y procedimiento
Por dato
N = 777 77100
8...cifras
Entonces
N 2
1008
1008
777 77 777 77= ... ...cifras cifras
Pero
N
N
2
1008
1008
2
777 77 1 00 0 1
7
=
=
... ...cifras cifras
777 77 00 0 777 77100 100
8100
... ... ...cifras cifras cifra
ss
8
N
N
2
1008
1008
2
777 77 1 00 0 1
7
=
=
... ...cifras cifras
777 77 00 0 777 77100 100
8100
... ... ...cifras cifras cifra
ss
8
Ordenando en forma vertical y operando obte-nemos
N 2
100877 600 01= ... ...
cifras100 cifras
77...700...008 77...778
Entonces, la suma de cifras de N 2 es
799+6+1=700
Respuesta
La suma de cifras de N2 es 700.
Alternativa B
-
5unI 2009 -ISolucionario de Matemtica
Pregunta N. 6
Clasifique como verdadero (V) o falso (F) cada una
de las siguientes afirmaciones:
1. a, b nmeros enteros, tansencos
xxx
= es un nmero
racional.
2. a, b nmeros enteros, cotcossen
xxx
= es un nmero
racional.
3. Si k Z y k2 es par, entonces k es par.
A) FVV B) FFV C) VFV
D) VFF E) FFF
Solucin
Tema
Nmeros racionales
Referencias
El conjunto de los nmeros racionales se define:
Q Z Z= { }
ab
a b 0
Si mnQ, se debe cumplir que m Z n Z {0}.
Adems, se dice que un nmero es par si es un
mltiplo de 2; es decir, si n es par, entonces, n=2K,
(K Z).
Anlisis y procedimiento
I. Por dato: a; b nmeros enteros se debe
concluir que ab
es un nmero racional, pero
esto no se cumple cuando b=0.
Por lo tanto, esta proposicin es falsa (F).
II. Por dato: a; b nmeros enteros se debe
cumplir que a b
a
++1 2
es un nmero racional.
Como a y b son enteros, la suma a+b sigue
siendo entero.
Adems,a Z.
Entonces, 0 a2 Z 1 a2+1 Z.
a b
a
++1 2
es un nmero racional, pues 1+a2 es
entero y diferente de cero.
Por lo tanto, esta proposicin es verdadera (V).
III. Por dato:
Si K Z y K2 es par, entonces, K es par.
Por dato K2 es par; entonces, K2=2n; (n Z).
Pero, por ser K2 un cuadrado perfecto y K n2 2= ,
entonces, n=2p2, de donde K2=4p2 K=2p;
por lo tanto, K es par.
Esta proposicin es verdadera (V).
Respuesta
Los valores veritativos de las proposiciones son
FVV, respectivamente.
Alternativa A
Pregunta N. 7
Sea N=abc, un nmero de tres cifras, tal que;
f xx xx x
x K( )sen tancos cot
=
+
+
pi
2.
Halle la siguiente suma 3c+2a+b.
A) 24 B) 26 C) 28
D) 30 E) 32
Solucin
Tema
Divisibilidad
-
6unI 2009 -I Academia CSAR VALLEJO
Referencias
En los criterios de divisibilidad hay algunos casos
particulares en donde se puede intercambiar el
orden de las cifras; por ejemplo:
Si mnp=9o m+n+p=9
o, al intercambiar el orden
de las cifras tambin se genera nmeros mltiplos
de 9; as, mpn=9o; pnm=9
o; ...
Si mnp+ +
=11o
p n+m=11o
, al intercambiar las
cifras de orden impar tambin se genera mltiplo
de 11; as, pnm=11o
.
Anlisis y procedimiento
De los datos tenemos
abc=7o
cba =+ +
11o
cba =+ +
11o
cab abc= =9 9o o
abc= abc=MCMo
( , , )7 9 11
7o
11o9o
De donde
abc K= =693 693o
1(nico valor)
Luego,
a=6, b=9 y c=3.
Entonces,
3c+2a+b=3(3)+2(6)+9=30.
Respuesta
La suma de 3c+2a+b es 30.
Alternativa D
Pregunta N. 8
Si la fraccin f x
xxx
xxx
( )sen
sencos
coscossen
=
+
+
es equivalente a 5/17, determine
b, sabiendo que (a)(b)(c)0.
A) 1 B) 2 C) 4
D) 6 E) 8
Solucin
Tema
Nmeros racionales
Referencias
Una fraccin ser equivalente a otra si resulta de
multiplicar los trminos de la fraccin irreductible
de esta ltima por una misma cantidad entera.
Por ejemplo: Si queremos fracciones equivalentes
a 1220
35
< > irreductible.
Entonces, dichas fracciones sern de la forma ab
nn
= 35
, donde a=3n y b=5n (n Z).
Anlisis y procedimiento
Por dato, la fraccin abccba
es equivalente a 517
.
Entonces, se cumple que
abccba
nn
= 517
abc=5n= 5o
cba=17n
De lo anterior se concluye que c=5
adems, se tiene que
cba abc nc a
= =
99
12 4( )
o
99 12 44
( )c a nc a
= =
=
o
o
pero c=5
a=1 n=33
-
7unI 2009 -ISolucionario de Matemtica
Como
abc=5n=5(33)=165
entonces,
b=6.
Respuesta
El valor de b es 6.
Alternativa D
Pregunta N. 9
Sea la igualdad
f xx
xx
xx
x
( )sen
coscos
cossen
sen
=
+
+
1
1
(*)
entonces, la proposicin verdadera es:
A) (*) si y solo si x=0 a2=b2
B) (*) si y solo si x=a=b
C) (*) si y solo si x=0 a=b
D) (*) si y solo si x=0 a=b
E) (*) si y solo si x=a= b
Solucin
Tema
Valor absoluto
Referencias
Para la resolucin del problema utilizaremos el
siguiente teorema.
|x|=|y | x=y x= y
Anlisis y procedimiento
Plan de resolucin
I. Aplicar el teorema.II. Resolver las ecuaciones obtenidas.
Ejecucin del plan
I. |x a+b|=|x+a b|
x a+b=x+a b x a+b= (x+a b)
II. 2b=2a x a+b= x a+b
b=a 2x=0
b=a x=0
x=0 a=b
Respuesta
La proposicin verdadera es x=0 a=b.
Alternativa D
Pregunta N.10
Si cab abc= =9 9o o
, x 2+y 2=5, x < 0 < y y |y| < |x|,
halle el valor de p2
A) 2 B) 1 C) 0
D) 1 E) 2
Solucin
Tema
Sistema de ecuaciones
Referencias
Para resolver el problema necesitamos conocer
lo siguiente:
Ecuacionescuadrticas.
Valorabsoluto.
Anlisis y procedimiento
Plan de resolucin
I. Hallar el equivalente de la primera ecuacin del
sistema.
II. Dicho equivalente lo relacionamos con la se-
gunda ecuacin.
III. Restringimos algunos valores por la condicin
del problema.
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8unI 2009 -I Academia CSAR VALLEJO
Plan de ejecucin
Tenemos el sistema
x
y
y
x
x y
x y y x
2
2
2
2
2 2
136
5
0
+ = ( )
+ = ( )< < 0
es de la forma S=a; b c; + , halle a+b+c.
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 5
Solucin
Tema
Inecuacin logartmica y/o exponencial.
Referencias
Para la resolucin del problema se debe conocer
lo siguiente:
Grficos de las funciones exponenciales y
logartmicas.
Criteriodelospuntoscrticos.
Anlisis y procedimiento
I. Graficar las funciones exponenciales y logart-
micas para compararlas.
II. Simplificar los factores positivos que aparecen
en la inecuacin.
III. Usar el criterio de los puntos crticos para
determinar los valores de a, b y c.
Ejecucin del plan
I. Debemos recordar los grficos de las funciones
siguientes:
1
y=2x
y x=
Y
X
(2x x) > 0; x R
-
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unI 2009 -ISolucionario de Matemtica
(3x log3x) > 0;
x R+
II. En la inecuacin debemos considerar x > 0
para que log3x exista.
2 3 3x xx x( ) ( )
+ +
log (x2 9)(3x 32) > 0
(x 3)(x+3)(3x 32) > 0
III. Puntos crticos: 3; 3 y 2
CS=0; 23; +
Comparando con el dato, obtenemos
a=0, b=2 y
c=3
a+b+c=5
Respuesta
El valor de a+b+c es 5.
Alternativa E
Pregunta N. 16
Sea u el nmero de decenas de sillas y v el nmero
de decenas de mesas que fabrica una empresa al
da. Si la utilidad diaria est dada por 200u+300v,
y se tienen las siguientes restricciones:
u+v 4
2u+3v 10
40u+20v 120
encuentre el nmero de decenas de mesas y sillas,
respectivamente, a fabricar diariamente de modo
que la empresa obtenga la mayor utilidad.
A) 3 y 1 B) 1 y 3 C) 2 y 2
D) 2 y 3 E) 3 y 2
Solucin
Tema
Programacin lineal
Referencias
En este tema se requiere determinar la
regin factible, la cual se obtiene mediante la
representacin geomtrica de las restricciones
dadas, para luego calcular las coordenadas de los
vrtices de la regin y poder evaluar el mximo o
mnimo valor de la funcin objetivo.
Anlisis y procedimiento
Plan de resolucin
I. Identificar la funcin objetivo.
II. Representacin grfica de las restricciones.
III. Evaluar la funcin objetivo en los vrtices de la
regin factible.
Ejecucin del plan
I. La funcin objetivo es
f(u, v)=200u+300v.
-
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unI 2009 -I Academia CSAR VALLEJO
II. Vamos a representar geomtricamente las
restricciones.
u vu vu v
+ +
+
42 3 1040 20 120
Como u y v representan el nmero de decenas de
sillas y mesas, entonces, son cantidades enteras,
por lo que evaluaremos la funcin objetivo solo
en (2; 2) y (3; 0); as:
III. f(2; 2)=200(2)+300(2)
f(2; 2=1000 (mximo)
f(3; 0)=200(3)+300(0)
f(3; 0)=600
Respuesta
La empresa obtendr la mayor utilidad cuando
fabrique 2 decenas de sillas y 2 decenas de mesas.
Alternativa C
Pregunta N. 17
Dada la sucesin 2; 6; 12; 20; 30; 42; ...
Determine la suma de los 100 primeros trminos
de la sucesin anterior.
A) 10 100 B) 294 880 C) 323 400
D) 333 300 E) 343 400
Solucin
Tema
Series
Referencias
Una serie es la suma de los trminos de una suce-
sin y se denota por
tn
n
k
=
1
Algunas sumas notables:
k nn n
k
n= + + + + =
+( )=
1 2 3 121 ...
k nn n n
k
n2
1
2 2 2 21 2 31 2 16
=
= + + + + = +( ) +( )...
k k n n
n n n
k
n+( )= + + + + +( )
=
+( ) +( )=
1 1 2 2 3 3 4 11 23
1...
Anlisis y procedimiento
De la sucesin
2 6 12 20 30 42100
; ; ; ; ; ;...trminos
notamos que cada trmino se expresa como
12; 23; 34; 45; 56; 67; ...; 100101
Entonces, el trmino general de la sucesin es
tn=n(n+1)
calculando la suma de los 100 trminos de la
sucesin, obtenemos
n n
n+( ) = =
=
1 100 101 1023 3434001100
Respuesta
La suma de los 100 trminos de la sucesin es 343 400.
Alternativa E
-
15
unI 2009 -ISolucionario de Matemtica
Pregunta N. 18
Si los nmeros 49; 4489; 444 889; ..., obtenidos
colocando el nmero 48 en medio del anterior, son
los cuadrados de nmeros enteros. Halle la suma
de los dgitos del sexto nmero entero.
A) 36 B) 37 C) 38
D) 39 E) 40
Solucin
Tema
Sucesin
Referencias
Cuando tenemos una sucesin de nmeros, de-bemos identificar una regla de formacin que nos permita encontrar cualquier trmino de la sucesin.
Anlisis y procedimiento
De los trminos de la sucesin
49; 4489; 444889; ...
nos indican que cada uno de ellos son los cuadrados de nmeros enteros; por lo tanto, analicemos cada trmino.
Nmeros Nmeros enteros elevados al cuadrado
1.er nmero 49 = 72
2.o nmero: 4489 = 672
3.er nmero 444889 = 6672
......
...
6.o nmero : = 6666672
el sexto nmero entero elevado al cuadrado es 666667
Piden la suma de los dgitos del sexto nmero entero; aqu se debe entender que se refieren al sexto nmero entero que est elevado al cuadrado, esto es
6+6+6+6+6+7=37
Respuesta
La suma de los dgitos del sexto nmero entero es 37.
Alternativa B
Pregunta N. 19Determine el conjunto solucin del sistema
x2 4x+y2=64
x3 6x2+12x+y=8
A) {(0; 8), (2; 1)}
B) {(0; 8), (4; 8)}
C) {(0; 8), (0, 8)}
D) {(4; 8), (2; 8)}
E) {(1; 2), (4; 8)}
SolucinTema
Sistema de ecuaciones no lineales
Referencias
Para resolver el sistema no lineal utilizaremos el
mtodo de Gauss; es decir, eliminar una incgnita.
Anlisis y procedimiento
Plan de resolucin
I. Completar cuadrados y cubos.
II. Eliminamos una incgnita.
III. Factorizamos aplicando el mtodo de los
divisores binmicos.
-
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unI 2009 -I Academia CSAR VALLEJO
Ejecucin del plan
I. x2 4x+y2=64
x2 4x+4+y2=64+4
(x 2)2+y2=68 (b)
x3 6x2+12x+y=8
x36x2+12x8+y=8 8
(x 2)3+y=0 ()
II. En () tenemos:
y=(x 2)3
Reemplazando en (b) obtenemos (x2)2+((x2)3)2=68
(x2)2+(x2)6=68 (q)
III. Haremos un cambio de variable para factori-zarlo.
sea
(x 2)2=a
Reemplazando en (q) tenemos
a+a3=68
a3+a 68=0
Se observa que a=4 es raz (a 4) es un factor.Aplicamos Ruffini para obtener el otro factor.
(a 4)(a2+4a+17)=0
D
-
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unI 2009 -ISolucionario de Matemtica
Grficadeunafuncinpolinomial.
Teoremadelresto.
Anlisis y procedimiento
Plan de resolucinI. A partir de la grfica, hallar la regla de
correspondencia de p(x).
II. Aplicar el teorema del resto.
Ejecucin del planI.
p(x)=k(x 1)2a(x 2)2b 1;
a, b Z+
Como el grado de p(x) es el menor posible,
entonces
a=1 y
b=1
Luego, tenemos
p(x)=k(x 1)2(x 2)
De la grfica
p(0)=2
p(0)=k(1)2(2)
p(0)=2
k=1
Luego
p(x)=(x 1)2(x 2)
II. Aplicando el teorema del resto tenemos
p xx( ) 3
R(x)=p(3)
p(3)=(2)2(1)
p(3)= 4
Respuesta
El residuo de dividir p(x) entre x 3 es 4.
Alternativa B
Pregunta N. 21En la figura mostrada ABCD es un cuadrado de lado 2R, adems BC es dimetro de la semicir-cunferencia de centro O y radio de longitud R. Si T es un punto de tangencia entonces mSTOA es
A) 7,5 B) 8C) 10D) 10,5 E) 12,5
SolucinTema
Circunferencia
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unI 2009 -I Academia CSAR VALLEJO
Referencias
En la pregunta nos piden la medida de un ngulo; entonces, debemos ubicarlo en una figura donde se puede obtener dicha medida; por ejemplo, un tringulo; adems, como se observa una semicircunferencia debemos aplicar los teoremas que se cumplen en la circunferencia.
Anlisis y procedimiento
En el grfico, nos piden x.
Como ABCD es un cuadrado
BC=CD=2(BO)=2(OC)=2R
Trazamos OD OD
: Bisectriz del SCDT
Luego, OCD (not 53/2):
mSCDO=53/2 y mSODT=53/2
En TOCD: inscriptible
mSBOT=mSCDTt
mSBOT=53
OBA (not 53/2)
mSBAO=532
En OBA
53+x+532
=90
x= 212
x=10,5
Respuesta
La medida del ngulo TOA es 10,5.
Alternativa D
Pregunta N. 22ABC es un tringulo rectngulo. Exteriormente a los catetos se construyen los tringulos equilteros ABD y BEC. P, Q y R son puntos medios de BE, BC y DC respectivamente. Si el rea de la regin triangular ABC es 32 cm2, entonces el rea de la regin triangular PQR (en cm2) es
A) 4 B) 6 C) 8
D) 12 E) 16
SolucinTema
rea de regiones triangulares
Referencias
Para relacionar las reas de dos regiones trian-gulares, se busca la relacin entre los elementos de ambos tringulos (lados, alturas, medida de ngulos, etc.).
Anlisis y procedimiento
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unI 2009 -ISolucionario de Matemtica
Piden APQR: rea de la regin triangular PQR.
Dato A ABC: rea de la regin triangular ABC. (A ABC=32)
Por ser P, Q y R puntos medios, se determinan bases medias en los tringulos BEC y DBC.
QR // DB
mSRQC=150 y
RQ=BD2
PQ // EC mSPQC=120 y PQ=EC2
Luego
mSPQR=90
En el grfico, PQR ~ ABC (caso LAL de
razn 1/2)
Por reas de regiones semejantes
A
APQR
ABC=
razn desemejanza
2
Reemplazamos
A PQR32
12
2
=
APQR=8
Respuesta
El rea de la regin triangular PQR (en cm2) es 8.
Alternativa C
Pregunta N. 23Indique la secuencia correcta despus de determi-nar si la proposicin es verdadera (V) o falsa (F).I. Si dos planos son perpendiculares a dos rectas
diferentes que se intersectan, entonces dichos planos tambin se intersectan.
II. El lugar geomtrico que determinan los pies de los segmentos oblicuos de longitudes iguales trazadas desde un punto exterior a un plano es una circunferencia.
III. Toda recta es perpendicular a un plano, si es ortogonal a dos rectas diferentes no paralelas contenidas en dicho plano.
A) VVF B) VFV C) FFVD) VVV E) FFF
SolucinTema
Geometra del espacio. Rectas y planos
Referencias
En este tipo de preguntas debemos hacer una comparacin entre los conceptos tericos y los casos posibles que plantean las proposiciones. De esta manera, determinamos la veracidad o falsedad de la proposicin dada.
Anlisis y procedimiento
Esta pregunta consta de tres proposiciones.I. En el espacio, solo se admiten dos posiciones
relativas entre dos planos: son paralelos o son secantes.
Enlafig.1,losplanossonparalelossison
perpendiculares a una misma recta. Enlafig.2,losplanossonsecantessison
perpendiculares a dos rectas que se interse-can (proposicin de la pregunta).
Entonces, la proposicin es verdadera.
-
20
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II.
ComoelpuntoQ es exterior al plano, traza-mos QQ' de modo que Q' sea la proyeccin ortogonal de Q sobre el plano W.
En el grfico, los tringulos rectngulos
AQ'Q; BQ'Q y DQ'Q son congruentes entre s.
Luego,m=n=p= Adems,elpuntoQ' equidista de A, B,
C, D, Por lo tanto, el lugar geomtrico que deter-
minan A, B, C y D es una circunferencia de centro Q'.
Entonces, la proposicin es verdadera.
III. En el grfico, para que una recta sea perpendicular a un plano, debe ser perpendicular a dos rectas no paralelas contenidas en dicho plano.
Entonces, la proposicin es verdadera.
Respuesta
La secuencia correcta despus de analizar las proposiciones es VVV.
Alternativa D
Pregunta N. 24En la figura mostrada, ABCD es un trapecio
rectngulo tal que CD=BC=2AB=2a. Si PQ es
perpendicular al plano del trapecio tal que PQ=a
y los volmenes de las pirmides Q-ABP y Q-CDP
son iguales, calcule el volumen de la pirmide
Q-BCP.
A) 12
3a B) 38
3a C) 45
3a
D) 78
3a E) 59
3a
SolucinTema
Geometra del espacio. Pirmide
Referencias
En preguntas donde piden el clculo o la relacin de volmenes, conviene hacer un anlisis de las longitudes de las alturas o de las relaciones de las bases. Generalmente, para el clculo del rea de la base se emplean captulos anteriores de geometra plana.
Anlisis y procedimiento
Piden volumen de la pirmide Q-BCP:
V Ax BCP PQ= [ ]13 [ ] (I)
-
21
unI 2009 -ISolucionario de Matemtica
Del grfico tenemos PQ=a (II)
Como los volmenes de las pirmides Q-ABP y
Q-PCD son iguales, al tener la misma altura, las
reas de sus bases son tambin iguales.
Entonces, AABP=ACPD=4A.
En el plano de la base
Del dato de reas iguales AP=2(PD)
Por relacin de reas, el rea de la regin trapecial:
18
22
2A =+
a aa( )
=A
a2
6
Luego, ABCP=10A=53
2a (III)
Reemplazamos (II) y (III) en (I)
Vx= 13
53
59
3 3aa
a
=( )
Respuesta
El volumen de la pirmide Q-BCP es 59
3a
Alternativa E
Pregunta N. 25
La altura de un prisma recto mide 1 u, su base es
una regin limitada por un rombo cuyo lado mide
2 u y su ngulo agudo mide 30. Por un lado de
la base se traza un plano que interseca al prisma
y est inclinado un ngulo de 60 con respecto
de la base, luego el rea de la seccin (en u2) que
resulta en el prisma es:
A) 2 3 B) 53
C) 43
D) 33
E) 23
Solucin
Tema
Prisma
Referencias
Al trazar planos secantes a un slido, este determina
secciones planas, que varan de acuerdo al ngulo
de inclinacin y el lugar por donde interseca. As,
un plano secante en un prisma puede determinar
una seccin triangular, cuadrangular, ...
y para poder aprovechar el ngulo de inclinacin
es preciso asociarlo con el teorema de las tres
perpendiculares.
-
22
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Anlisis y procedimiento
Graficamos el prisma segn las condiciones
planteadas.
donde ABCD es un rombo de lado 2 u y la
mSABC=30.
Si trazamos
CH AB ... 1.a
SS' CH ... 2.a
S'H AB ... 3.a
Sea S'H=h.
Como la altura del prisma es 1 u
S'S=1 u
Luego, en el S'SH:
hsen60=1 u
h = 23u
Luego, el rea de la seccin ABMN, que es una
regin paralelogrmica, se calcula multiplicando
AB y h.
A ABMN= AB h( ) = ( )2
23
u u
= 4
32u
Respuesta
El rea de la seccin en u2 es 43
.
Alternativa C
Pregunta N. 26
Se tiene un polgono convexo de 8 lados circuns-
crita a una circunferencia, si las longitudes de sus
lados estn en progresin geomtrica de razn r.
Determine r2+3r.
A) 1 B) 4 C) 10
D) 18 E) 28
Solucin
Tema
Polgonos circunscritos a una circunferencia:
Teorema de Pithot generalizado
Referencias
En un cuadriltero circunscrito o circunscriptible,
se cumple el teorema de Pithot, es decir, la suma
de longitudes de lados opuestos son iguales.
En un polgono circunscrito o circunscriptible se
cumple que la suma de longitudes de lugar par
es igual a la suma de longitudes de lugar impar,
es considerado para un cuadriltero, hexgono,
octgono, ..., en polgonos cuyo nmero de
lados es par.
-
23
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Anlisis y procedimiento
Piden r2+3r.
Las longitudes de los lados del polgono convexo de
8 lados estn en progresin geomtrica de razn r.
adems
AB=1, BC=2, CD=3, DE=4, EF=5,
FG=6, GH=7 y HA=8,
En el octgono circunscrito por el teorema de
Pithot general, tenemos:
1+3+5+7=2+4+6+8 a+ar2+ar4+ar6=ar+ar3+ar5+ar7
Factorizamos
a(1+r2+r4+r6)=ar(1+r2+r4+r6)
r=1
Respuesta
El valor de r2+3r es 4.
Alternativa B
Pregunta N. 27
Se da un tringulo ABC cuyos lados AB y BC
miden 8 m y 6 m respectivamente. Sobre AB
se toma el punto D. Si mSBAC=mSBCD.
Entonces AD es:
A) 3,5 B) 4 C) 4,5
D) 5 E) 5,5
Solucin
Tema
Semejanza de tringulos
Referencias
Cuando en un tringulo se desea relacionar las
longitudes de lados y segmentos determinados
por una ceviana, se puede recurrir a la teora de
semejanza, y ms an si la medida de un ngulo
es igual al ngulo determinado por dicha ceviana
y un lado; por ejemplo:
Teorema:
En el ABC
mSBAC=mSMBC=q
x2=bm
-
24
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Anlisis y procedimiento
Piden AD
Datos:
AB=8, BC=6
mSBAC=mSBCD
ABC: Por teorema de semejanza
tenemos:
(BC)2=(AB)(BD) (I )
tambin:
BD=8 AD
Reemplazamos:
62=8(8 AD)
AD=3,5
Respuesta
Entonces, AD es 3,5.
Alternativa A
Pregunta N. 28
En figura, AB y AC con dimetros, CT es tan-
gente al arco AB, AB=BC=2r y ET=4. Calcule r.
A) 2 3 B) 2 2 C) 3
D) 6 E) 3 3
Solucin
Tema
Semejanza de tringulos
Referencias
En el problema nos piden calcular el radio de la
semicircunferencia menor, para ello debemos rela-
cionar el dato numrico con la variable, utilizando
los teoremas que se cumplen en circunferencias
tangentes interiores. Luego, para obtener el valor
del radio debemos establecer una operacin que
relacione la incgnita con los datos.
Anlisis y procedimiento
-
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Trazamos BT
mSBTA=90
Por teorema:
ET=TA=4
Trazamos AD
AT
es bisectriz del SDAC
mSDAT=mSTAC=
Luego
mSECD=mSDAE=
En AEC:Teorema de semejanza
(EC)2=(8)(4)
EC = 4 2
AEC: Teorema base media
TB = 2 2
ATB:
(2r)2=42+ 2 22( )
r = 6
Respuesta
El valor de r es 6.
Alternativa D
Pregunta N. 29
En un tringulo ABC se cumple AB=2 m y
AC=32 m. Halle el permetro del tringulo en
metros, sabiendo que es un nmero entero y el
ngulo en A es obtuso.
A) 65 B) 66 C) 67
D) 68 E) 69
Solucin
Tema
Clasificacin de tringulos: Tringulo obstusngulo.
Referencias
Para realizar el clculo del permetro, es necesario
conocer BC, el cual, por dato, debe ser entero.
Como las longitudes de los otros dos lados son
conocidas, podemos restringir a BC mediante el
teorema de existencia; pero como la medida de
un ngulo interior es mayor de 90 (obtuso), se
puede realizar la restriccin de BC por la naturaleza
del tringulo.
Anlisis y procedimiento
Por dato del problema tenemos
AB=2, AC=32 y mSBAC>90
Piden
2P ABC=2+32+BC=34+BC.
En el ABC: Existencia de tringulos
32 2 < BC < 32+2 (I)
ComomSBAC>90
322+22 < BC2
32,06 < BC (II)
Luego,relacionamoslasrestricciones(I)y(II).
32,06 < BC < 34 (III)
-
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2P ABC=34+BC Como el permetro es entero, entonces, BC es
entero.
Luego,delaexpresin(3)obtenemos
BC=33
2P ABC=67
Respuesta
El permetro de la regin triangular ABC enmetros es 67.
Alternativa C
Pregunta N. 30
En la figura se tiene una pirmide inscrita en un
cilindro circular oblicuo. La base de la pirmide
es un tringulo equiltero. El volumen de la
pirmide es 10 2 52 2
= ( ) + ( )x y cm3. Calcule el volumen del cilindro (en cm3).
A) 27p
B) 54p
C) 108p
D) 54 E) 108
SolucinTemaSlidos geomtricos
Referencias
Para calcular el volumen de una pirmide se necesita
conocer el rea de su base y la altura de la pirmide,
mientras que para calcular el volumen del cilindro
se requiere conocer el rea de su base y su altura.
Como el cilindro es circular oblicuo, su base es un
crculo, mientras que la base de la pirmide es un
tringulo equiltero.
Anlisis y procedimiento
Del grfico que nos dan como dato podemos
notar que ambos slidos tienen la misma altura y
el tringulo de la base de la pirmide est inscrita
en la circunferencia que limita la base del cilindro.
Denotemos los vrtices de la base de la pirmide
como A, B y C, y r el radio del crculo de la base
del cilindro.
Graficando el tringulo equiltero inscrito en la
circunferencia tenemos:
-
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En el AO'C:
AO=r=OC
mSAOC=120
AC=r 3=AB=BC
Ahora podemos calcular el volumen de la pirmide.
VO-ABC=13
(Abase)h=13
r
h3 34
2( )
VO-ABC=r h2 34
27 3 =
pi cm3
De aqu podemos despejar las variables y obte-
nemos:
pr 2 h=108 cm3 (I)
Ahora calculamos el volumen del cilindro
Vcilindro=A baseh=pr 2h
de I: Vcilindro=108 cm3
Respuesta
El volumen del cilindro en cm3 es 108.
Alternativa E
Pregunta N. 31
En un polgono convexo equingulo ABCDEF se
tiene AB=7, CD=6 y DE=8. Calcule BF.
A) mL = 1
2 B) 7 C) L
D) mL E) 1
2
Solucin
Tema
Polgonos
Referencias
Dentro del grupo de los polgonos tenemos al
polgono equingulo, que se caracteriza por que
sus medidas angulares internas y externas son,
respectivamente, iguales.
Como se conoce que la suma de las medidas
angulares de un polgono convexo es 180(n 2)
y n es el nmero de lados, entonces, la medida de
un ngulo interior ser:
inn
=
( )180 2
Anlisis y procedimiento
Segn el dato del problema, el polgono equin-
gulo es ABCDEF, es decir, tiene seis lados (n=6);
entonces, i 6180 6 2
6120( ) =
( )=
.
Grafiquemos el hexgono con las condiciones del
problema: AB=7, CD=6 y DE=8.
Al prolongar los lados BA, EF y CD, las medidas de
los ngulos externos en A, F, E y D es 60, adems,
se forman los tringulos AFM y DEN; estos, a la
vez, forman el tringulo issceles MBCN, donde MB=CN.
-
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Como DE=8 DN=EN=8.
As tambin si AF=a AM=MF=a.
Luego
a+7=6+8
a=7
Por lo tanto, en el tringulo notable BAF tenemos
Entonces, BF=7 3.
Respuesta
La longitud de BF es 7 3.
Alternativa E
Pregunta N. 32
El ngulo de desarrollo de un cono circular recto
mide 120. Si la altura del cono mide 4 cm,
entonces el radio (en cm) del cono es:
A) 12
B) 12
7 102
x ( ) =
C) 14
D) 12
E) 2 3
Solucin
Tema
Cono circular recto
Referencias
Al desarrollar la superficie lateral de un cono
circular recto, resulta un sector circular cuyos
elementos se asocian con los del cono dado.
En el grfico es la medida del ngulo de desarrollo.
Sea q su medida en radianes.
pi=180
Luego, la longitud del arco ABA se asocia con el
radio de la base del cono.
ABA
=2pr=qg
pi= 2 rg
Anlisis y procedimiento
Nos dan como dato =120 y h=4 cm; entonces, podemos calcular q y encontrar una relacin entre r y g.
pi pi=( )
=
120180
23
Luego
rg
= 13
g=3r
Como nos piden el radio de la base en cm, recurri-mos al teorema de Pitgoras para relacionar r, g y h.
En el AVO: g 2=r 2+h2
Reemplazamos valores: (3r)2=r 2+(4)2
r= 2
Respuesta
El radio del cono en centmetros es 2.
Alternativa B
-
29
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Pregunta N. 33En un nuevo sistema de medicin angular, un
ngulo de grados sexagesimales mide 3. Si
un ngulo de p radianes mide 120 en el nuevo
sistema, halle 3.
A) 3 B) 6 C) 9
D) 12 E) 15
SolucinTema
Sistemas de medicin angular
Referencias
La equivalencia entre los grados sexagesimales y el nmero de radianes de un ngulo es prad=180.
Anlisis y procedimiento
Nuevosistemademedicinangular(X), donde 1X denota un grado en el sistema X.
Condiciones:
=( 3)X
prad=120X
Empleamos el mtodo del factor de conversin:
pi
pi ( )
=
3
180XX
rad
120 rad
( )
=
3
32
2=3 9
=9
Se busca calcular ( 3).
Respuesta
El valor de ( 3) es 6.
Alternativa B
Pregunta N. 34
En la figura pi
pi ( )
=
3
180XX
rad
120 rad y el rea de la regin sombreada
es 5 veces el rea del sector circular OPQ.
Determine la relacin ( )
=
3
32
.
A) ab
a kb k
===
32
32
B)
SR
BA
C) SR
k
= ( )5
D) BA
k
= ( )3 E)
SR
BA
=
53
SolucinTema
Longitud de arco y rea del sector circular
Referencias
Longituddearco()
readeunsectorcircular(A)
-
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Anlisis y procedimiento
Condicin 1
ab
a kb k
===
32
32
Incgnita:
SR
BA
Pero: SR k = ( )5
BA
k
= ( )3
SR
BA
=
53
(I)
Condicin 2El rea sombreada es igual a cinco veces el rea
del sector OPQ.
12
512
3 532
2 22
( ) ( ) ( )k k k =
162
452
2 2 k k=
1645
=
(II)
Al reemplazar (II) en (I) se obtiene:
SR
BA
=
53
1645
SR
BA
= 1627
Respuesta
La relacin
SR
BA
es 1627
..
Alternativa B
Pregunta N. 35
Un punto M=(x; y) dista de un punto C=(2; 5),
12
512
3 532
2 22
( ) ( ) ( )k k k =
unidades. La pendiente de la recta que pasa
por M y A=(7; 5) es 1/2. Determine el punto M
de mayor abscisa.
A) (1; 4) B) (1; 6) C) (1; 8)
D) (3; 2) E) (5; 4)
SolucinTema
Geometra analtica
Referencias
Distanciaentredospuntos
Ecuacindeunarecta
Anlisis y procedimiento
De la condicin tenemos
Por distancia entre dos puntos se cumple que
10 2 52 2= ( ) + ( )x y
Elevando al cuadrado, tenemos
(x 2)2+(y 5)2=10 (I)
Dato:mL = 1
2
-
31
unI 2009 -ISolucionario de Matemtica
Calculamos la ecuacin de la recta L
.
y 5=mL(x 7)
y 5=12
(x 7) (II)
Reemplazamos (II) en (I)
(x 2)2+ 12
7 102
x ( ) =
(x 2)2+14
(x 7)2=10
Reduciendo, tenemos
x2 6x+5=0x 5x 1
x=5 x=1
Piden el punto M de mayor abscisa< enton-ces, x=5.Reemplazamos en (II)
y 5=12
(5 7)
y=4
Entonces, M=(5,4).
Respuesta
El punto M de mayor abscisa es (5,4).
Alternativa E
Pregunta N. 36En el crculo trigonomtrico de la figura, se tiene
162
452
2 2 k k=
. Entonces el rea de la regin triangular
ABM es:
A) 1645
=
B)
SR
BA
=
53
1645
C)
SR
BA
= 1627
D)
SR
BA
es 1627
. E) CM DM CM DM = = =m mpi
4
SolucinTema
Circunferencia trigonomtrica (C. T.)
Referencias
UbicacindearcosenlaC.T.
Resolucindetringulosrectngulos.
Clculodelreadeunaregintriangular.
Anlisis y procedimiento
Dato: CM DM CM DM = = =m mpi
4
adems, m mBM BM = + =pi pi pi
2 434
.
-
32
unI 2009 -I Academia CSAR VALLEJO
En el grfico se observa que AB= 2 y AM=BM,
entonces, AH=HB=2
2.
Calculamos la altura MH en el tringulo AHM.
MH =
22
38
tanpi
Luego
S
AB MH= ( )( )2
S =
( )2
22
38
2
tanpi
Por lo tanto, S =12
38
tanpi
.
Respuesta
El rea de la regin triangular ABM es igual a
12
38
tanp
.
Alternativa B
Pregunta N. 37
Simplificando la siguiente expresin
K=sen23Acsc2A+cos23Asec2A+2cos4A,
se obtiene
A) 6cos22A B) 6cos2A C) 8sen2A
D) 12senA E) 12cos22A
Solucin
Tema
Identidades trigonomtricas de arcos mltiples
Referencias
Empleamoslasidentidadesauxiliaresdelarco
triple
sen3q=senq(2cos2q+1)
cos3q=cosq(2cos2q 1)
Empleamoslaidentidaddelarcodoblerelacio-
nada con el coseno.
cos2q=2cos2q 1
Anlisis y procedimiento
K=sen23Acsc2A+cos23Asec2A+2cos4A
entonces
K
AA
AA
A= +
+
sensen
coscos
cos3 3
2 42 2
Ahora aplicamos las identidades del arco triple.
K=(2cos2A+1)2+(2cos2A 1)2+2cos4A
Desarrollando los binomios y aplicando la identi-
dad del arco doble, obtenemos
K=2(4cos22A+1)+2(2cos22A 1)
K=12cos22A
-
33
unI 2009 -ISolucionario de Matemtica
Respuesta
Entonces, K es igual a 12cos22A.
Alternativa E
Pregunta N. 38
Sea KAA
AA
A= +
+
sensen
coscos
cos3 3
2 42 2
Entonces podemos afirmar que
A) f(x) toma valores positivos y negativos.
B) f(x) toma un nmero finito de valores negativos.
C) f(x) toma solamente valores negativos.
D) f(x) toma solamente valores positivos.
E) f(x) es constante.
Solucin
Tema
Funciones trigonomtricas
Referencias
Para reducir la expresin aplicaremos identidades
trigonomtricas.
tan
sencos
xxx
=
cotcossen
xxx
=
Anlisis y procedimiento
f x
x xx x
x K( )sen tancos cot
=
+
+
pi
2
cosx+cotx 0
cosx(1+1/senx) 0
cosx 0 senx 1 x (2n+1) p2
f xx
xx
xxx
( )sen
sencos
coscossen
=
+
+
f xx
xx
xx
x
( )sen
coscos
cossen
sen
=
+
+
1
1
f x
x x
x x( ) = +( )
+( )sen cos
cos sen
2
21
1
senx > 1 1+senx > 0
cosx > 1 1+cosx > 0
Entonces, se deduce que f(x) es positivo.
Respuesta
f(x) toma solamente valores positivos.
Alternativa D
Pregunta N. 39
Dado el sistema
cos =cateto adyacente
hipotenusa
el valor de cos(x y) es:
A) cos =+
RR r0
B) Rr
=
0
1coscos
C) R r=
coscos
1 0
D) coscos
1 0
r E) 4
12 2
12
22
12
= +
cos cos
x y x y
SolucinTema
Sistemas de ecuaciones trigonomtricas
-
34
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Referencias
Transformaciones trigonomtricas.
cos cos cos cosx y
x y x y+ =
+
2 2 2
Identidad de arco doble.
cos2x=2cos2x 1
Anlisis y procedimiento
De la condicin
secx+secy=1
2 (cosx+cosy)=2(cosx cosy)
2 22 2
+
= + +
( ) ( )cos cos cos cos
x y x yx y x y
Por dato sabemos que x y+ =43pi
.
4
12 2
12
22
12
= +
cos cos
x y x y
42
42
3 02cos cosx y x y
+
=
2
23 2
21 0cos cos
x y x y
+
=
cos cos
x y x y
=
= 2
12 2
32
o
La ecuacin admite para
cos
x y
=2
12
Luego, debido a que
cos cosx y
x y( ) =
2 2 1
2
Por lo tanto
cos x y( ) = 1
2
Respuesta
El valor de cos(x y) es 12
.
Alternativa C
Pregunta N. 40
En las circunferencias tangentes de la figura, son
datos r0 (radio) y . Determine el radio R.
A) 12
B) coscos
1 0
r
C) 11 0
+
coscos
r
D) 1
0+
coscos
r
E) 11 0
+
coscos
r
-
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unI 2009 -ISolucionario de Matemtica
Solucin
Tema
Razones trigonomtricas de un ngulo agudo
Referencias
Definicin del coseno de un ngulo agudo.
cos =
cateto adyacentehipotenusa
Anlisis y procedimiento
R
r0
R
Por definicin tenemos
cos =
+
RR r0
Rcos+r0cos=R
r0cos=R(1 cos)
R
r=
0
1coscos
R r=
coscos
1 0
Respuesta
Entonces, el radio R, en trminos de r0 y ,es
coscos
1 0
r
Alternativa B