ea c "gg gs:j***= -q.rg:'ffi -q. #s eEiercicio n" I.-

Clasifica los siguientes números como naturales, enteros, racionales o reales:

-3 2,7 : .¡ + f ry5 1,ozoo2ooo2...'7

Eiercicio n'2.-

Considera los siguientes números:

q2i)-,

; 1, s t'6 ¡Z {f 2J31331333..

Clasifícalos según sean naturales, enteros, racionales o reales.

Eiercicio n" 3.-

Indica cuáles de los siguientes números son naturales, enteros, racionales y reales:

# i - e fis t/s z,s 2,838383...

Eiercicio n'4.-

Clasifica los sigui'entes números según sean naturales, enteros, racionales o reales:

5,? -2,35 : -4 +87ri5

Eiercicio n" 5.-

Di cuáles de los siguientes números son naturales, enteros, racionales o reales:

z,sr - 15 /ts ql, 2,333... -1 1035

-H*-Ésesks"rá"q=-sg-ffi wi*eeesEiercicio n" I.-

Escribe en forma de potencia de exponente fraccionario y simplifica:

a) iiF tf¡ b)E$

Eiercicio n" 2.-

Expresa en forma de potencia, efectúa las operaciones y simplifica:

a) V a.r la ' b) l2trF

Eie¡ciclo n' 3.-

Efectúa las siguientes operaciones, expresando previamente los r|dicales en forma de potencia de exponente fraccionario:

r,+atlF qtF

FEJERCTCTOS

1. Considera los sigu¡entes números: 1; -1,5; 3; 0; 1,3; 2; - 0,85; 2,6; 0,¿f6

a) Ind¡ca cuáles pertenecen al intervalo [-1.2]

b) ¿Cuáles pertenecen al intervalo {2,+*)?

2, Escribe en forma de intervalo y representa los números que cumplen las condiciones ¡ndicadas en cada caso.

- Todos los números reales comprendidos entre -2 y 4, ambos incluidos.

- Todos los números mayores que 0.

- Todos los números menores que 3.

- Comprendidos enire 4 y 8, incluido el 4.

- Menores o iguales que -5-

- Todos los números comprendidos entre -1 y2, incluyendo el -1 ynoel 2.

3. Escribe en forma algebraica y representa los siguientes intervalos.| / a ¡ l

al l -J,cJ

b) (0,12i

c) lt;Z,Sl

4. Representa y expresa algebraicamente los siguientes intervalos.

a) [-*,*3]

b) [-9,+-'¡

c) (4,+- '1

d) {-8,21

e) [8,r3]

f ) [ -10,10)

d) (-* ,7)

e) 1-- ;3,5]

f) [5,+-';

5. Expresa como intervalo o semirrecta y como des¡gualdad cada uno de los conjuntos de nrlmeros representados:

€.-¡r_-_€_-_

-44

c' --2

, t

NOTACION CIENTIFTCA

1.- Expresa con todas las cifras:

2.- Escribe en notación científica:

a) 6,25 '10 B

d) 5,18 '10 14b) 2,7 ' 10-4e) 3,215 ' 10-e

c) 3 ' 10-u-o 4' 10- '

: (I2 000)2

l 3 000 000

a) 4 230 000 000c) 84 300

b) 0,00000004d) -0,000572

3.- Expresa en notación científica:

a) Recaudación de las quinielas en una jornada de liga de fútbol: 1 628 000 €.

b) Toneladas de CO2 que se emitieron a la atmósfera en 1995 en EstadosUnidos: 5 728,5 miles de millorles.

c) Radio del átomo de oxígeno: 0,000000000066 m

4.- Calcula con lápizy papel y comprueba después el resultado con la calculadora:

a) (2 '10s) ' (1,5 ' 107) b) (3 ' 1o-8) ' (2,! '10 o)

c) (1,25 ' 10-17) ' (4 '10 t3) d) (2,4 ' 10-7) ' (5 ' 10-u)

5,- Efectúa y expresa el resultado en notación científica, sin utilizar la calculadora:

a) (3 ' 10 1) ' (8 ' 101:)c) (5 ' 10t') : (2 ' 10-')e) (4 ' 10')-2

b) (4 ' 1O]'^l ' (s ' 1o-3)d) (5 ' 10')'F) 3,1 ' 1012 + 2 ' 1010

6.- Expresa en notación científica y calcula:

a) (o,0or3)2' (o,ooo3)3 b) (7s 8oo)4

c) 0,000541.10318000 .- 2 700 000o) --- _

| 520 000 . 0,00302 0,000030.00015

RADICALES 4" E.S.O.

RADICALES

i. Halia ias ralces que se inciican (ten cuidado en los casos en que hay cios soluciones ono hay solución):

a) \fts6 -b) '"fil -c) \fis6-d) 'JlB -

2. Saca de la raíz el factor que puedas:

ffi-{ñ--

JTe --

e) \f:64 -

0 -Jx -g) -'^ltzs -h) .ñ¡T -

i)

i )k)

3. Efectua las siguientes sumas y restas de radicales:

a) ^ lzo-Js+^145-^1245- e) ^! lo*+Jln+.,124,r_b) Jn-J48 +Jn -Jts -, - rt , 17 - t:

l'/5 - o za"ll -"'12?"' + oú2 -

C) O{J - ¿+{J + )r./J =

d) {6.* XE; -'ú2s* -

1. Realiza la operación, simplifica si es posible y extrae factores del radical:

a) i l8-b) .mou -c) qJl:

d) w7-

a) 4Jn.sG:ta E_b) t { ;

l8trc) rz l;=

d) V8r'- , '^12* -e) lf," ,*,ll =

6. Racionaliza:

2Jt- :,fr5xy

.l*yI

"13 + ̂ 125

t- r -!*- . . ' lY

e) , ,12s* '-

0 V16"u -s) 1,l2oo -h) 'J 288o' -

f2s"1)!* :

i) "{4f +4 -

a)

h\

c)

d)

r) 'JWy^ -'tl*t; -s) '+lstb-W -h) 6tu! :i) 6l'nl:

)e) ----- =

3-"/5

zJt -Jt-tr

3J 6 +zJl----_¡-:

43 +2

o) (x +Zy)z

b) (2a *3)z

( t , \2

c) lr..;)

d) (o ' -b ' ) '

PRODUCTOS NOTABLES

1. Resuelve:

2. Expreso como u cuodrado de binomio:

o) x '+6x+9

b) 4az +72a +9

c) 4x2 - 4x +I

3. dolculq los productos siguientes:

o) (2x + i ) ' (h - 1)

b) (* ' -4).(x2 +4)

c) (3a - b)' (3a + b)

d) (2o'+ 5) . (Zaz - 5)

4. Expreso como uno sumo Por su diferencio:

a) 4x2 - 25

b) 9aa -16b2

c) 16 - 25x2

5. Expresso como un producto:

o) 9x2 -25y'

b) 16 -40x + 25x2

c) 100a2 +I44 + 240a

6. Resuelve:

o) (3x + 2) ' (3x - 2)

b) (5* ' - 3) '

c) l3a- +Df

d) (2x - 1) ' (2x + 1)

e) ["-") '

f, (+-1)'

d) xo -2x2 +1

e) x ' - l }x +25

f) bo +6b2 +9

I

4'E.S,O. OPCION B

POLINOMIOS

Realiza las siguientes divisiones de polinomios:

") (2*o - 5x3 * 3x2 - 6x + 7) : (x2 - 5x + 1)

b) (x ' - 2x '+ 3x - l ) : (x '+ 3r - 1)c) (72x4 - 2x2 + 5) : (x' - 2x - 1)d) (3*o - 2x+ 1) : (x' + 2)e) (6*o + 5x3 -7xz + 3x +2): (Zxz + 3x - 1)

0 (*o- 6x3 + 2x2+.3x -4): (x '+x+2)g) (8"0 - 2x3 + 5x - 3) : (2x'+ x - 1)

SOLUCIO]{:a) C(x) : 2x2 + 5x +26; R(x) : I I9x -19b) C(x) : x -5, R(x) : I9x - 6c) C(x) : l2x' + 24x +58; R(x) : I40x + 63d) C(x) : 3x2 - 6; R(x) : -2x + 13e) C(x) : 3x2 ' 2x + l; R(x) : -2x * 3

f) C(*) : x2 -7x + 7; R(x) : l}x - 18

d C(x) -- 4x2 -3x + 7/2; R(x) : -3/2x+ l/2

Halla el valor de m en el polinomio x3-15x+m si su valor numérico es 8 parax: - 4.SOLTJCION: ln : -426

Aplica el método de Ruffrni para hacer las siguientes divisiones:a) (5*o -2x+ 1) : (x -2)b) (3"u + 2): (x + 1)c) (5*o -3x2 + 6x - 1)

' (x - 1)

SOLUCION:a) C(x):5x3 +10x2 +20x + 38; R(x):77b) C(*):3x5 - 3xa+ 3x3 - 3x'+3x - 3; R(x) :5

c) C(x) :5x' +5x' +2x +2; R(x) :7

2.

J.

4. Faetoriza los polinomios:a) P(x) : *o - 7x3 + 5x2 + 3lx - 30b) Q(x):xo +2x3 -3x2 -4x+4c) R(x):x3-x2-6xd) S(x) - 2x6 - 8xs + 32x3 - 32x2e) T(x) :2x3 - 11x2 + 2x+ 15f) U(x) : 3x4 - 6x' - 3x2 + 6xg) V(x) : x' - 2x2 + x-2'h) W(x) :2x5 - 32xi) A(x):*o -x3 - 3x2* 5x-2

i) B(x) : *'+ 6x3 * 12x2 *8xk) C(x):x3 -2x2-x+2l) D(x):x3 -7x-6m) E(x) :2x3 - 3xz - 5x + 6n) F(x):x '+2x2-x-2o) G(x):xo -5x2+4p) H(x) :

"o - gx2

q) I (x) :x*+x'-9x ' -9xr) J(x) :x3*5x'+x+5s) K(x)-x3*x2-8x-12

0 L(x) :2x3 - 3x2 - 32x'15u) M(x) - x1* 3x2 - 4x - 12v) N(x):x*- 16x2w) Ñ(x) : x3 - Zlx - 20x) O(x) : x3 * 9x' + t4xy) P(x) - x3 * 8x2 +5x - 14z) P(x) - ro - 16aa) P(x) - x3 + 3x2 -13x - 15bb) P(x) - ¡3 * 8cc) P(x) : rt - 27x2dd) P(x) : *o - x' - 4xz * 4xee) P(x) : x' - 2x2 +x -2

4'E.S.O. OPCION B

5.

SOLUCIONa) P(x) - (x-1) (x+2) (x-3) (x-s)b) Q(x) - (x-i'¡z (x+Z)zc) R(x) : x (x*2) (x-3)d) S(x) :2x2 (x-2)'(x'-4)e) T(x): (x*1) (x-5) (2x-3)

0 U(x) : 3x (x-1) (x+1) (x-2)

s) V(x) - (x-2) (x'?+l)h) W(x) :2x (x-2) (x+2) (x'z+4)i) A(x) - (x-1)3 (x+2)j ) B(x)-x(x+2) 'k) C(x): (x+1) (x-1) (x-2)1) D(x) - (x+1) (x-3) (x+2)m) E(x) : (x-i) (x-2) (2x+3)n) F(x) - (x-1) (x+2) (x+1)o) G(x) - (x-1) (x+1) (x-2) (x+2)p) H(x) : x2 (x-3) (x+3)

Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de:a) P(x) : x2 - 3r; Q(x) : x" - 5x + 6'

q) I(x) : x (x+1) (x+3) (x-3)r) J(x) : (x+5) (x'?+l)s) K(x) - (x - 3) (x + 2)z0 L(x) - (x-5) (x+3) (2x+1)u) M(x) : (x4) (x+2) (x+3)v) N(x) : x2 (xa) (x+4)w) Ñ1x) - (x+1) (x-4) (x-5)x) O(x) : x (x*2) (x+7)y) P(x) - (x-1) (x+2) (x+7)z) P(x) - (x - 2) (x+2) (x'?+4)aa) P(x) - (x+1) (x-3) (x+5)bb) P(x) - (x+2) (x' - 2x +4)cc) P(x) : x2 (x-3) (x'?+3x+9)dd) P(x) : x (x*2) (x-2) (x- 1)ee) P(x) - (x-2) (x'?+l)

10x2 - 40.R(x):5x3- 15x2+ l 'x .

b) P(x) :2xz - 8x + 8; Q(x) : 5x - 10; Y R(x):c)P(x):x3 - 2x2 -x+2: Q(x):2x2 -6x+ 4; YSOLUCION:a) m.c.d. - x-3; M.C.M.: x (x-3)(x-2)b) m.c.d. : x-2; M.C.M.: l0 (x+2)(x-2)'c) m.c.d. - (oI)(x-2); M.C.M.:lA x ft-l)(x-2)(x+ I)

6. Simplifica las siguientes fracciones polinómicas:

. x ' -1a)' xt-L

h)

D

i)

k)

D

m)

n)

x'+4x+3 =x'-x-6

8x2 + 16x#=

6x2 - 24

2x2 - 5x -3

x' + 4x -21xt -4

x ' -3x-104x2 +l2x +9

2x2 +3xx'-3x '-=xt -9x

x'-6x+9

x'-9x+18

b)

c)

d)

e)

0

s)

xt + 3x2 +3x+1

xt +x'-x- I

xt -3x '€=2x3 --5x2

xt - x ' -2xG=

xt -x

x'+ x ' -5r-51r^

r -+x--5x-J\z¿x- -ox

i?^x- +x- -Jx-5

x'+4x-5x' +7 x +10

SOLUCIO]{. x '+x+1

a)' x+l

x+1b)' x-L

, 3x3 -3c)' 2x-5

v-)

d)' x- l. t - - _ \

e)+^x-J

) ' rfl' r+1. x- l

o)D, x +2x- l

h)' x+2

Efectua las siguientes operaciones,posible:, 2x- l 3x+1 1-x

at -r---=' " x-1 . r+l x2-L3x- l x-5

b) +_-' x-3 x+2, 2x 2x+3

\¿, r ---;- :' x-2 x '+4,\ 2x 2x +3

u¡ ^-¡ ,

:' ¡ - ) x ' -4, 3x- l 2x+3

e) __;_ - __-/ x '+x-2' xz -x-6x+5 x- l

Lt -r- :' 2x-2 3x

, x-2 x+lA¡b' /

xt-r x2-4x+4( t 1 ' \h) |+++-1 l - ( ' ' *") :\x" x- x)( r+1 x-1)(s x \r ) l - '' \x- l r+l / \3x 3 /( x \

/ \

i l lx- . l * l r* t . l :

J/ \ x+1) ( x+I)/ r \ í 2x 1 \k) l t - ' l . l ; ' - - ^ t -t - r / [ x ' - l x+1)

25xr, _r -;- -' 3x-3 x ' - l

. .x x ' - lTIT

'- - ' '

5x+10' x2 -4

4"E.S.O. OPCION B

4x3(x - 2))>:+1

x+7x -2

a

x-)

2x+3xx

.ax+5

x+3x-6

simplificando el resultado siempre que sea

i)

i )

k)

1)

m)

n)

7.

. x2+1 x+2n) *- ; - :' x+l x ' - l

, x2 x '+2x+1,35TJ'' 5(x+i) 7x 2x

. xt- l r+1L /

xt +4x+ 4 x+2., x-1 2x . r+1 1

q ' , ' ? ' -=x' x"- l x 2

, 3x+6 5r+5LI -=--- ' /

x+l xt-7-). x+5 x"-25

i ) =-- :

x-x, ( t ) I

f ) | x-- l * - -\ x) x

, (^ 2) 2u) l¿x- , l ' -=

\ x-) x-

.112v) +--- ="/ x+l x-L x ' - l_-_\ x- l 5(x- l )vr I""

3 3xz

, x2-g x ' -6x+9/ \ t . - -- - ' /

x ' +9 xo -81

, x x ' - ly, T--J' '

5x+10 x ' -4

4" E.S.O. OPCION B

SOLIJCIONP/

\ ' r ' - - {JAJ

(x-1)(x+1)

4x'-3x+13(x -3)(x + 2)

2x3 +2x'+7x-6(r' + \(x -Z)

2x2 +6x+3x'-4

(3x- lXx-3)(2x+3)(x-1)2x3 +3x2 +15x - 4x + 2

6x(x - 1)

(x- l ) (x-2)

(1+x-x2)(x+1)vh

2(*' +l)(1x' + 5)(x'-1)3x

x+2

Tx17x+2

3x2 -3

a\

b)

c)

d)

e)

0

á)

h)

i)

i )

k)

r)

m)5x'-20

Jrt - x ' +2x+12' tx -r

x+12

x- lx+2

(3x+6)(x-1)

5(x + 1)1

'T-x- - )x

n)

o)

p)

.1q)2

x

0 x ' - lu) xt -I

r)

s)

w)

x)

v)

v)2

x+1.E

;)

x'+6x+9-1bx- - ¿x-)

5x' -20

ECUACIONES

1. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado con denominadores:3:u+1 x+1 27x+I9 2x- l

ECUACIONES 4" E.S,O.

d)x:2

a)

b)?x+1 x+1

SOLUCIO]IIES:a) x_ -1; x: -3b) x _ -1: x: 19116

nf iLV

x+2-, \ -

+. .x 2-x l+x

c) --+x'242

x+1 3x+1 1 2x+1- - -

SOLUCIO]{ag..a) x:3 b) x: 1 c) x : -413

2. Resuelve las siguientes ecuaciones de segunCo grado con denominadores:

, (x+2) ' x ' -g (x+3)2,1cLt'5425

3x+L x-2 ) ¡1-__ __a-- _:

23x(x-3), x(x -2) (3x-2)2 1=-- l

248x - ! _x(x -2) _19 _ (x + 1)2

5

c) x: -2; x: 213d) x:1313;x:3

e) x: -1; x: -3

d)18

b)

c)

d)

e)

J. Resuelve las sizuientes ecuaciones bicuadradas:a)

"o-5* '14-o e)

bi 9xa-10x2+l:o 0c) 4xa+4x2*l :0 g)d) xo - 9x2: 0 h)

SOLUCIONES:a) x:+1;x:+2

b) x:* l ;x: t f5

c) No tiene solución. Saled) x-0;x: *3

xo+9x'+8:0*o- lox2*9:o*o+5x2-36:0*o + l3x2 + 36: o

e) No tiene solución. Sale fi y

"TTx: +3; x:+1x: *2

0s)-U2h) No tiene solución. Sale

"l- + y

4. Resuelve las siquientes ecuaciones con fracciones algebraicas:

j rz*x=8

J2.*f f i -6,F+s -^fzx+40

ECUACIONES 4" E.S.O

D

s)

h)

d)

e)

b)

c)

d)

i)

6x+1 x+l

x ' -4 x+2 x-2

x -2 2 x-1+-

x ' -3x+2 x-2x-1

SOLUCIONES.,a) x:3b) x-0c) x:3d) x-3; x:-112e) x:-3; x- l

Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales

a) . , f f i5 * l= x-2

0s)h)

5.e)

0s)h)

0s)h)i)

e)

D

SOLUCIO]{ES.a) x-- 7b) x: 13c) x: 25d) x-6e) No tiene solución.

6. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:a) 2x3-3x2-9x+10:0b)

"o-5x3*5x2*5x-6:oc) x3 - 3x2 *2x: 0d) x3-x2+4x-4:0e) 2xs - 5xa + x3 * 5x2 - 3x:0

0 x3+x2-16x+24:0

SOLUCIONES..a) x:1; x--2; x:512b) x:1;x-2; x:-1;x-3c) x-0; x:1;x-2d) x: l

X:4

x-0; x:714x:-8

3 rJ5

x -2Ji = 153x-2-4=0 Jx+4-3-. ,6--1

x:2x-7; x:-5x: L3l9x:7

x-0; x: ldoble;312x:2doble; x:-5

x - -1; x :

SISTEMAS E INECUACIO}.TES4" ESO

1. Sistemas rie ecuaciones iineaies:

rI

a) l 3(x+2)-5(Y+1):91 5+3yl+x+- - -5\)

d) f ' * , + ' -v -15' ) 2 3| 1, ,

lx- 2:72\ )

T

I x-2 v- le)J lu - l : r'1 34

L ¡v- 8x :17

b)[-

t'{

?;**2y:5J

Zx+v 9¿ *y: -22

a-)

3(x-v) - - (x+y): I)

4(1+x) - 6(y-z): L2

SISTEMAS E INECUACIONES

x+y

^f x,y I

r , I' ) s 3 5lv83| 2x_u_--t460

- f *+zsI 3

-3Y+

L* * 2y:3

Df +x+ 2y:281' f .I n - 1x:71\ t

4

. x-Y=J-

25t ) -

(i)J

I

2v +31:x

2

2-:62

2.

SOLUCIONES,.a) x: 1, y: -1b) x: 312; y -2c) S.I.d) x:16; y-10e) S.I.0 x-921129; y-371215g) x: - I /Z;y - 714h) x-8; y:11i) x:6; y:4

Sistemas de ecuaciones no lineales de segundo grado:a) x2*y:24

Y -2x: 16

b) x*Y:1xt*4l*Y' :2L

c) x '*Y' :25x' -y ' :7

SOLUCICNES:a) x:2,y-20. x:-4,y-8b) x:-4,y:5. X:5,y:-4c) X:4,y:3. x:-4,y:-3.d) x: -1, y: 1. x: I , y: -1e) x:1, ! :2. x:-1 ,y:-2

d)

e)

xr*yr-xy:3xy+ 1:0

x2+y2 -5

ylx:2

x:4, y: -3. x: -4, y:3.

.1

J. Sistemasa)

de ecuaciones no lineales in'acionales:x+3y:17

^l , ' t +-r , , = ?V'" 'J

SISTEMAS DE ECUACIONES4'ESO

x:2y* i

{x+ ) , - ix- ! :2

2x-3y: I

24x+1 :y+ i

2x-3Y:I118

t -

x y 15

c)

d)2y+1:x*y:5

SOLUCIONES..a) x--513,y-5619b) x:4,y:3c) x:17,y-8d) x = 8, y: 5. x: -1 ,Y: -7.

Sistemas de ecuaciones no lineales colt fracciones algebraicas:

xy-611

I

x))

SOLUCIONES..e) x:2,y-3.0 X:.5,y:3

X:3,y:2.

t r2) -t-vx

b)

/1

0e)

I- ' l

xy

5. Resuelve las siguientesa) 2x-3 <x- Ib) 5(2+x)>-5x

c) -3x-2.s-+2

3x-2 2x+7d) <-'23

SOLIJCIONES:a) x €(-@,2)b) x €(-1, "o)c) x €(-cn,-1415)

6. Resuelve las siguientes inecuaclones:a) xt+5x<ob) x '+6x+8>0c) 9x'-4>0d) * -zx- 15 < oe) -*¿x+3>of l xt+3x>o

a

g) 5 -x '< o

SOLUCIONES:a) x e(-5,0)b) x e(4,-2)c) x €(-oo,-213)U (213, a)d) x e [-3,5]e) x e [-3, 1]f ) x€(-oo,-3)U(0, m)

inecuaciones de primer grado:

e)3x

x>-z5

x- l>x- l

2

d) x €[-@,4fe) x €(-0o,5)

0 x €(-oo,1)

h) -x '+6x-5<0

i) xa + 3x' - 4x' -l2x < 0j) 2x3*9x2-6x-40>0

x+3- - - >nx'+3x-10

- '

f)

k)

g) x €(' '6, .61h) x € (-€, 1 l U [5, oo)i ) xe [ -3,-2]Ul0,2lj ) x €(- 4,-5/2)U(2,o)k) x e [ -5,-3]U[2, *)

4'E.S.O. OPCION BTRIGONOMETRTA

TEORIATriángulo equilátero: tiene los tres lados iguales.

Triiinguto isósceles: tiene dos lados iguales y unc Cesigual.

Trirlngulo escaleno: tiene los tes lados desiguales.Un triánguio rectángUlo isósceles tiene dos lados y dos ángulos iguales.

Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene los lados paralelos dos a dos y iingulos opuestos iguales.

Un rombo es un paralelogramo que tiene cuatro lados iguales.

EJERCICIOS

1 . ¿Existe algun angulo cr tal que sen ü, : 215 y cos a: 315? . Justifica la respuesta.

c) a: 15 m, b:3 md) b: 7m, c: 20 m

7 . El seno de un ringulo agudo de un triringulo rectringulo es igual a ll3 y la hipotenusa mide 18 cm.Halla:a) los catetos.b) Las razones trigonométricas del otro angulo agudo.

8. De un triangulo rectiíngulo se conocen la hipotenus4 a: 17 m y un cateto, b : 10 m. Halla los demáselementos.

9. Los lados de un paralelogramo miden l8 cm. y 10 cm., y forman un iingulo de 50". Halla el área delparalelogramo.Ayuda: el iirea de un paralelogramo es : base x altu¡a

10. Halla el lado y el iirea de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 16 cm. de radio.

I 1. Calcula el ¿irea de un rombo, del que se sabe que uno de sus lados mide 10 cm y uno de sus ángulos400.Ayuda: El área de un rombo vale la mitad del producto de sus diagonales,

12. El mástil de una bandera estií sujeto a tierra por dos cables que forman angulos de 42o y 28' con lahorizontal. La distancia entre los puntos de anclaje es de 50 m. Halla la altura del mástil.

13. Para medir la altura de un repetidor de televisión hacemos una doble observación. Desde un puntodel suelo lo observemos bajo un ringulo de 40o y si nos alejamos 25m., nos da un angulo de 30'.

¿Cuál es su altura?. ¿Desde qué distancia se hizo la primera observación?.

Z. ¿Fuede ser el seno de un ringulo igual a ll7 y su tangente igual u J-n ll2l. En caso afirnativo,

halla el ríngulo y su coseno.

3. ¿Puede haber ul iíngulo que cumpla las igualdades tg cr : 5 y sen cx,: Yz? Justifica la respuesta.

4. Halla las restantes razones trigonométricas de B:a) sen p -- 415 P <270"

b) cos B :213 tg 9<0c) rg 9: -3 B < 180"

5. Calcula, usando la calculadora científica para calcular razones trigonométricas únicamente deangulos menores de 360o:a) cos 800o: d) sen (71 15o¡:b) tg2040o : e) cos(5218") :

c) sen 1935o: 0 tg (1250') :

6. Resuelve los siguientes triangulos rect¡ingulos:a) a:75 m, C: 35ob) b: 46 m, C:25o

FUNCIÓN LINEAL

1) Determina la pendiente y la ordenada del origende las siguientes ecuaciones:

a) y:2xb) y:x*2c) 2x-y: :4d) y: -xe) 2x+ 3y - 4:0f) 2y -x:6g) y: -2h) y:4

2) Determina si el punto dado pertenece a la rectaindicada:

a) (4,2); y:-2x-6b) (1,3); y:x-4c) (-2,0); *a3y*2:0d) (112,-2); 2x+y+l :0

3) Escribe las siguientes ecuaciones en la formageneral:

a) 2x-3 :3y + |b) 5y -2(x + 7): x. l^ lc) x-3: :y+l-23-

d) x:5:y:4

4) Escribe la ecuación de la recta de modo que m yn sean respectivamente:

a) 2y5 b)-ay6 c)0y- l gaya

,2 3er-Y-'5 '4

5) Identifica el valor de m y n en las siguientes

a)b)c)d)e)

0

ecuaciones:Y:Xy: -2xy:x+5Y:3-xY:2x+ 5

3x -5'2

2-3x-4

y:54y:-x+J2x- 3Y: : - ll^^-x-¿v=J4

3l- l- . r+54-2

s)h)i)

i)k)

D

6) Determina la pendiente de la recta que pasa porlos puntos:

a) (2, l )y (3,2)b) (-2,6) y (5, -8)c) (-1,4) y (2, 8)

d) l-t,r) , l- '.1)' \2 ) ' \ . 3)

, ( t -2) ( t l )e) lvt-- l

[+ ' 3 ) ' \q 'z)

7) Determina la ecuación de Ia recta que pasa porlos puntos:

a) (8, 12) y (6,4)b) (0, 0) y (3, 5)c) (1,4) y (-2,4)d) ( l /2, l )y (-1, l /3)

8) Determina la ecuación general de la recta quepasa por:

a) (4,7) y tiene pendiente 5b) (1, -5) y tiene pendiente -3

c) (-2, -5)y tiene pendients ?J

12- ld) (:, :) y t iene pendiente j

2 5 ' - 4

9) Determina si las rectas cuyas ecuaciones son 4x-y + 7 : A y 7y + 4x-3 : 0 son paralelas.

l0) ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por elpunto (5,7) y es paralela ala recta quedeterminan los puntos (-4, -l) y (6, -2)

1l) Encuentra la ecuación general de la recta quepasa por el punto Q(-1, 3) y es perpendicular a larecta de ecuación 3x - y- I : 0.

12) Verifica si la recta que pasa por el punto A(-3, -l) y B(2, 4) es perpendicular a la recta que pasapor el punto C(1, 3) y D(1, 1).

13) ¿Qué valor debe tener K en la recta 3x - 5Ky +16 : 0, para que pase por el punto (-1, -5)

14) Encuentra la ecuación de la recta perpendicular a6x + 5y :2 que contiene al punto (0 4).

l5) Determina la ecuación de la rectaparalela a 3x -4y - 15: 0 que contiene al punto (0, 3)

16) Determina el valor de K de modo que las rectasdadas por las ecuaciones Kx + 5y + 6:0; 4x +(K + l)y - 5 - 0, sean paralelas.

4I

2.

RECTAS PARALELAS Y PERPENDIGULARES

Dados lospuntosA( -3,4 ) , B (A,2) yC (-3,2) vért icesdel AABC:

a) Determinar las ecuaciones de las rectas correspondientes a los lados del A ABC.b) Verificar que el A ABC es un triángulo rectángulo.c) Determinar la ecuación de la recta paralela del lado AB por el vértice C.d) Calcular el valor de la altura correspondiente al lado AB.

Indicar si son verdaderos o falsas las siguientes afirmaciones:

a) El punto p ( 0,0 ) pertenece a la recta R: 3x + 4y -- 0.b) S. 2x - 1 - 0 es paralela al eje x.c) T:2Y + 5 = 0 , es Paralela el eje Y.d) El punto M ( -1,3 ) pertenece a la recta M:2x + 3y- 7 =0.

e) Las rectas C: x -y + 2 = 0 Y D: 2x -2y t 4= 0 son paralelas

0 Lasrectas A: 2x-3y - f = 0y B: 2x+Y +2= 0 noson perpendiculares.

Sabiendo que p = (a, a+2) pertenece a la recta de ecuación 2x + 3y - 1 = 0, Calcular lascoordenadas de dicho punto.

¿Cuál es la posición de la recta R de ecuación 6x + 4y = 0 en relación con recta S de ecuacióngx+6y-1=0?

Determinar los valores de R para que las rectas Rr y Rz de ecuaciones( 1 -R)x- 10y+ 3 =0 y ( m+ 2)x+ 4y-11m-18=0sean:

a) perpendicularesb) paralelasc) coincidentes

6. Determinarel valorde p, deformatal quepx-y- 1= 0 y (p-1)x* py+ 10 =0seanperpendiculares.

7. Dado el siguiente gráfico, determinar las ecuaciones de las rectas M, N y T sabiendo que T esperpendicular a M y paralela a N.

3.

4.

5.

p=(0,3)

8. Determinar la ecuación de la recta que corta el eje y en el punto A ( 0, -2) y esperpendiculara la bisectriz del ll cuadrante.

9. Dados lospuntosA( 3,5), B (7,-1), C (- 4,4) y D( 0,-2)

¿fs na tt CAZ

10. Sean lospuntosA(3,5), B(7,-1), C (0,0)yD (12,8). ¿EsAB l l CD?

11. Demostrar que los puntos A ( 1,-3 )y C (-3, 7) y D (-6, -1) son los vért ices de unparalelogramo.

12. Demostrar que A (7,9), B (10,-3) y C ( 2, -5 ) son las coordenadas de los vértices de untriángulo rectángulo.

13. Determinaryde maneraque la recta pasa por(-4, -3 )y (8, y) sean paralela a la rectaquepasa por ( 4,-4) y ( 3, 5).

14. Determinar y de manera que !a recta que pasa por (-2, -1 ) y ( 10, y ) sea perpendicular ala recta que pasa Por ( 6, -2) Y ( 5,7).

1S. Escr ibir la recta que pasa por( 8,-2 ) yquees perpendiculara la recta 5x- 3y =7.

runclones

t. Reprasento:

úY=2x-3)

y=:x*1 g y=ZxJ

3x2-5x+7 V y=x'

ú y=x2-óx+5 g

g y = ?xz - 10x + 8

g y=2 V x=1

-3x-4 g y=(x-?) '

Y=x2-4

2. Represento: M y=

g y=x?-2x*3

Vv=!*,+x-Z,4

3. Representa y estudio el dominio y los propiedades de los siguientes funciones:

vy-1*¡ úy=+ Vy=-!- -2.' x x-2 x+2

4. Representoyestudioel dominiode: ú y= Jr+1 V y= Jx+l -5

Vy=JI= Vy=n/1 - ;*3 Vy=-Ja76¡4 V y=-Z{x+4

5. Represento:

f' siú y= i l

Ll .rr

f*t sig y=J ,r .I r .st

x<2

x>2

x<1

x>l

v Y=

v Y=

(x s i x+z | . -3 ^t

i EIy=1x-3 s iL l s i x:2

| z s i

{ - r*-x ' s i x<l

I x s i x>l

i x<0

0<x<5

x>5

6. Observondo lo gróftca:Hollor su ecuoción.

7. Busco lo expresión onolítico de lofunción gue muestro lo olturo o lo gueestó un oscensor gue sube hasto un 6opiso con uno porodo en el 3" comomuestro lo figuro.

8. Hollor el dominio de los siguientes funciones:

úy=x2-2x-8 Vy= ,-+- úy=^[4-x' x¿ -2x-8

ú Y:t* J--Z* ú Y:*x- +x+l

9. Representa las funciones exponenciales y estudia su dominio y propiedades:

f {x) :3*

f(xr: [3J.10. Calcula el valor de x aplicando la definición de logaritmo:

logz 32 - x

,1to$e; = x

J

lo0r ü.25 : x'¿

loge #5 = *

log"B1= -4

logz x3 = 6

11. Uno función cuqdrótíco tíene uno expresión de lo formq y = x' * ox + o y pclsopor el punto (1, 9). Colculor el volor de o.

t2. 5e sobe gue la función cuqdrdticq de ecuoción y = ox2 + bx + c pqso por lospuntos (1,1), (0, 0) y (-1,1). Colculo o, b y c.

13. Estudio los propiedodes de los siguientes funciones:

Ejercicios de combinatoria

1¿De cu¿intas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente,vicepresidente y tesorero de un club de futbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos?

2conlas letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer queempiecen por vocal?

3¿De cuantas formas pueden mezcLarse los siete colores del arco iris tom¿indolos de tresen tres?

¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares?

¿Curíntos de ellos son mayores de 70.000?

5¿De cuantos partidos consta una liguilla formada por cuatro equipos?

64. una reunión asisten l0 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuiántossaludos se han intercambiado?

Tconlas cifras 1,2 y 3, ¿curíntos números de cinco cifras pueden formarse? ¿Cuántosson pares?

8¿Curintas apuestas de LotenaPrimitiva de una columna han de rellenarse paraasegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?

9 ¿De cuiintas formas pueden colocarse los I I jugadores de un equipo de futbolteniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta de la portería?

l0Con el punto y rayadel sistema Morse, ¿cuántas señales distintas se pueden enviar,usando como máximo cuatro pulsaciones?

1 l Una mesa presidencial está formada por ocho personas , Lde cuántas formas distintasse pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?

IZ¿Caántas diagonales tiene un pentagono y cuantos triríngulos se puede informar consus vértices?

13Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de2hombres y 3 mujeres. De cu¿lntas formas puede formarse, si:

l. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.

2.Unamujer determinada debe pertenecer al comité.

3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.

PROBABILIDAD

3 Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja , otraverde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando:

l La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.

lLa primera bola no se devuelve.

4lJnaurna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Si se extrae una bola aI azarcalcular la probabilidad de:

l Sea roja.

2Sea verde.

3Sea amarilla.

4No sea roja.

5No sea amarilla.

5una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar.Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de los sucesos:

1 Con reernplazamiento.

2Sin reemplazamiento.

6Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuáles la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cual es la probabilidad de que nosea blanca?

Tpnuna clase hay 10 alumnas rubias,2A morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos.Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un alumno:

I Sea hombre.

2Sea mujer morena.

3Sea hombre o mujer.

8Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas carasson proporcionales a los números de estas. Hallar:

I La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.

2Laprobabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.

9Se Ianzandos dados al aire y se anotalasuma de los puntos obtenidos. Se pide:

ll-a probabilidad de que salga eL 7 .

ZLaprobabilidad de que el número obtenido sea par.

3La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.

1OSe Ianzantres dados. Encontrar Iaprobabilidad de que:

l Salga 6 en todos.

2l.os puntos obtenidos sumen 7.

1 l Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga unnúmero de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

l2B,rsca la probabilidad de que al echar un dado aI aire, salga:

lUn número par.

ZtJnmúltiplo de tres.

3Mayor que cuatro.

l3Uattar la probabilidad de que allanzar al aire dos monedas, salgan:

l Dos caras.

2Dos cruces.

3Una cara y una crcLz.

I4nnun sobre hay 2A papeletas, ocho llevan dibujado un coche las restantes sonblancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de uncoche:

l Si se saca una papeleta.

2Si se extraen dos papeletas.

3Si se extraen tres papeletas.

l5tos estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades ll2 y Il5 de suspenderun examen. Laprobabilidad de que suspendan el examen simult¿íneamente es de lll0.Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda elexamen.

l6pos hermanos salen de caza. El primero mata un promedio de 2piezas cada 5disparos y el segundo una pieza cada2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo auna mismapieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten?

l7-En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjerainglés o francés. En un determinado curso, el90Yo de los alumnos estudia inglés y elresto francés. El30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francésson chicos el 4A%. El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que seachica?

18-De una baraja de 48 cartas se extrae simult¿áneamente dos de ellas. Calcular laprobabilidad de que:

I Las dos sean copas.

2Al menos una sea copas.

3Una sea copa y la otra espada.

l9-Ante un ex¿Imer, l4 alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes ala materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejandó que elalumno escoja uno de los dos püa ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad deque el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas esfudiados.

2}-Unaclase esüí formadapor 10 chicos y 10 chicas; lamitad de las chicas y lamitadde los chicos han elegido francés como asignatura optativa.

I ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azaÍ sea chico o estudiefrancés?

2¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudie francés?