material de apoyo de mate 3

8/10/2019 Material de Apoyo de Mate 3

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UNIVERSIDAD AUTNOMA DE YUCATNESCUELA PREPARATORIA DOS

MATERIAL DE APOYO DE MATEMTICAS 3

Elaborado por:

Karla Lpez Miranda

Wilbert Canto Escoffi

Enrique Rodrguez Tut

Edgar Sansores Gutirrez

Carlos Navarrete Sols


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TRIGONOMETRA ......................................................................................................................................... 3

TRINGULOS RECTNGULOS ............................................................................................................. 4

Razones trigonomtricas .......................................................................................................................... 4

TEOREMA DE PITGORAS ............................................................................................................................ 5

TRINGULOS OBLICUNGULOS.................................................................................................................. 11

Ley de los senos ......................................................................................................................................... 13

Ley de los cosenos.................................................................................................................................. 18

Aplicacin de tringulos en la solucin de problemas................................................................................ 21

CONCEPTOS BSICOS ................................................................................................................................. 36

Punto medio ............................................................................................................................................... 37

Pendiente de una recta .............................................................................................................................. 37

EJERCICIOS RESUELTOS .............................................................................................................................. 39EJERCICIOS PROPUESTOS ........................................................................................................................... 43

Lugar geomtrico ....................................................................................................................................... 46

Lugares geomtricos .................................................................................................................................. 48

EJERCICIOS SOBRE LUGARES GEOMTRICOS.............................................................................................. 53

EJERCICIOS EXTRAS .................................................................................................................................... 55

LNEA RECTA ............................................................................................................................................... 56

EJERCICIOS SOBRE LINEA RECTA ................................................................................................................ 59

RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRINGULO ..................................................................................... 61

Mediatrices y circuncentro ............................................................................................................. 61

Medianas y baricentro ...................................................................................................................... 63

EJERCICIOS SOBRE LINEAS Y PUNTOS NOTABLES ....................................................................................... 64

CIRCUNFERENCIA ....................................................................................................................................... 69

EJERCICIOS SOBRE CIRCUNFERENCIAS ....................................................................................................... 73

Parbola ..................................................................................................................................................... 75

APLICACIONES DE PARBOLA .................................................................................................................... 80EJERCICIOS SOBRE PARBOLAS .................................................................................................................. 83

LA ELIPSE .................................................................................................................................................... 86

EJERCICIOS SOBRE ELIPSES ......................................................................................................................... 90

BIBLIOGRAFA ............................................................................................................................................. 91


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TRIGONOMETRA

Es el estudio de lasrelaciones entre los

ngulos y los lados de untringulo

TRINGULOSRECTNGULOS

RAZONES

TRIGONOMTRICAS TEOREMA DE PITGORAS

TRINGULOSOBLICUNGULOS

LEY DE SENOS

LEY DE COSENOS


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TRINGULOS RECTNGULOS

Razones trigonomtricas

Las seis razones definidas anteriormente se llaman Razones Trig on omtri cas delngulo en cuestin. Si nos basamos en la figura de arriba, las funciones trigonomtricasquedaran representadas de la siguiente manera

Con respecto al ngulo A Con respecto al ngulo B

c

aASen

c

bBSen

c

bACos

c

aBCos

b

aATg

a

bBTg

a

bACtg

b

aBCtg

b

cASec

a

cBSec

a

cACsc

b

cBCsc

En todo tringulo rectngulo se cumple que:

1. El SENO (Sen) de cualquier ngulo agudo es larazn entre el lado opuesto y la hipotenusa.

2. El COSENO (Cos)de cualquier ngulo agudo es larazn entre el lado adyacente y la hipotenusa.

3. La TANGENTE (Tg)de cualquier ngulo agudo esla razn entre el lado opuesto y el lado adyacente.

4. La COTANGENTE (Ctg)de cualquier nguloagudo es la razn entre el lado adyacente y el ladoopuesto.

5. La SECANTE (Sec)de cualquier ngulo agudo esla razn entre la hipotenusa y el lado adyacente.

6. La COSECANTE (Csc)de cualquier ngulo agudoes la razn entre la hipotenusa el lado opuesto.


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TEOREMA DE PITGORASEN TODO TRINGULO RECTNGULO EL CUADRADO DE LA HIPOTENUSA ESIGUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS CATETOS.

EJEMPLOS

1. Los catetos de un tringulo rectngulo miden 12cm y 16cm. Determina las razonestrigonomtricas del menor ngulo agudo, y con base en alguna de ellas determinala medida del ngulo.

Solucin: Primero dibuja tu tringulo rectngulo que cumpla con la condicindada.

Aplicando el teorema de Pitgoras obtenemos la hipotenusa:

Entonces, siguiendo las definiciones de lasrazones trigonomtricas:

Teorema de Pitgoras


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Para determinar el ngulo A, usaremos la razn seno:

2. En un tringulo rectngulo Determina las razones trigonomtricasseno, coseno y tangente del ngulo A.

Solucin: Dibuja tu tringulo rectngulo que cumpla con la condicin dada.

De acuerdo a la definicin de secante podemos considerar que la hipotenusa mide 5 yel cateto adyacente al ngulo A es igual a 4.

Aplicando el teorema de Pitgoras podemos obtener el cateto faltante:

Despejando obtenemos: Entonces, siguiendo las definiciones de las razones trigonomtricas:

En tu calculadora, usa shift (o 2nd f ) sin


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Respuesta

racionalizada

3. Si , determina las razones trigonomtricas tangentes y cosecante delngulo B.

Solucin: Recuerda que Por tanto

Dibuja tu tringulo rectngulo que cumpla con la condicin dada.

De acuerdo a la definicin de coseno podemos considerar que la hipotenusa mide 2y el cateto adyacente al ngulo A es igual a 1.

Aplicando el teorema de Pitgoras podemos obtener el cateto faltante:

Despejando obtenemos: Entonces, siguiendo las definiciones de las razones trigonomtricas:


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4. Resuelve el siguiente tringulo rectngulo.

Solucin:

En la figura observamos que nos dan un ngulo

(H) y el cateto adyacente a l (m=12)Utilizando Despejando:

Para determinar utilizaremos la tangente:

Despejando

El ngulo

EJERCICIOS

1. Para cada uno de los siguientes incisos determina los valores de las demsrazones trigonomtricas.

a) b)

c) d)


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2. Resuelve cada uno de los siguientes tringulos rectngulos

a)

b)

c)

28

9

15


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d)

e) Siendo y , halla .

f) Siendo , halla .

3. Resuelve cada uno de los siguientes tringulos rectngulos, apegndote alesquema del tringulo de la figura.

a) Dado b) Dado c) Dado d) Dado e) Dado

Respuestas ej. 3

1.

2. 3.

4.

5.


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TRINGULOS OBLICUNGULOS

Para resolvertringulos

oblicungulospodemos aplicar

La ley de los senos

a) Dados dos ngulos y el ladocomprendido entre ellos

(A, c, B)

b) Dados dos ngulos y el ladoopuesto a uno de ellos

(A, B, a o b)

CASO AMBIGUO

c) Dados dos lados y el nguloopuesto a uno de ellos (a, b, A o

B)

La ley de los cosenos

a) Dados dos lados y el ngulocomprendido entre ellos

(a, C, b)

b) Dados los tres lados (a, b, c)


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Sobre el caso ambiguo, si en la expresin

Ocurre que

{

Cuando el ngulo es agudo, tiene una solucin s .Por otra parte, si

entonces puede tener tres alternativas:

1) sin solucin

2) una solucin

3) dos soluciones

Si el ngulo A es obtuso, tiene una solucin si .

No tiene solucin si


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Ley de los senosEn todo tringulo los lados son proporcionales a los senos de los ngulosopuestos.

Si ABC es un tringulo oblicungulo con lados a, b y c, entonces

Para usar la ley de los senos necesita conocer ya sea dos ngulos y un lado deltringulo (AAL o ALA) o dos lados y un ngulo opuesto de uno de ellos (LLA). Desecuenta que para el primero de los dos casos usamos las mismas partes que utiliz paraprobar la congruencia de tringulos en geometra pero en el segundo caso nopodramos probar los tringulos congruentes dadas esas partes. Esto es porque las

partes faltantes podran ser de diferentes tamaos. Esto es llamado el caso ambiguo ylo discutiremos ms adelante.
http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/congruent-triangles.htmlhttp://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/congruent-triangles.htmlhttp://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/congruent-triangles.html


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Ejemplo 1: Dado dos ngulos y un lado opuesto a uno de ellos (AAL).

Dado ABC conA = 30, B = 20 y a= 45 m. Encuentra el ngulo y los lados faltantes.

El tercer ngulo del tringulo es

C = 180AB = 1803020 = 130

Por la ley de los senos,

Por las propiedades de lasproporciones
http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/proportions.htmlhttp://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/proportions.htmlhttp://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/proportions.htmlhttp://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/proportions.html


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Ejemplo 2: Dado dos ngulos y el lado entre ellos (ALA).

DadoA = 42, B = 75 y c= 22 cm. Encuentra el ngulo y los lados faltantes.

El tercer ngulo del tringulo es:

C = 180AB = 1804275 = 63


Por las propiedades de las proporciones


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Ejemplo 2:Dos soluciones existen

Dado a= 6. b= 7 yA = 30. Encuentre los otros ngulos y el lado.

h = b sinA = 7 sin 30 = 3.5

h < a < bpor lo tanto, hay dos tringulos posibles.


Hay dos ngulos entre 0 y 180 cuyo seno es aproximadamente 0.5833, 35.69 y144.31.

Si B 35.69 Si B 144.31

C 180 3035.69 114.31 C 180 30144.31 5.69


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Ejemplo 3:Una solucin existe

Dado a= 22, b=12 yA = 40. Encuentre los otros ngulos y el lado.

a > b


B es agudo.

C 1804020.52 119.48

Por la ley de senos,


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Si en un tringulo conocemos dos lados y el ngulo comprendido entre ellos (LAL) o siconocemos 3 lados de un tringulo (LLL), no podemos usar la ley de los senos porqueno podemos establecer ninguna proporcin. En estos dos casos debemos usar laley delos cosenos.

Ley de los cosenos

La ley de los cosenos establece que el cuadrado de un lado es igual a la suma de loscuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos por el coseno delngulo que forman:

Es decir:

Esto se parece alteorema de Pitgorasexcepto que para el tercer trmino y si Ces unngulo recto el tercer trmino es igual 0 porque el coseno de 90 es 0 y se obtiene elteorema de Pitgoras. As, el teorema de Pitgoras es un caso especial de la ley de loscosenos.

La ley de los cosenos tambin puede establecerse como
http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/law-of-cosines.htmlhttp://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/law-of-cosines.htmlhttp://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/law-of-cosines.htmlhttp://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/law-of-cosines.htmlhttp://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/pythagorean-theorem.htmlhttp://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/pythagorean-theorem.htmlhttp://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/pythagorean-theorem.htmlhttp://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/pythagorean-theorem.htmlhttp://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/law-of-cosines.htmlhttp://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/law-of-cosines.html


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Ejemplo 1:Dos lados y el ngulo comprendido (LAL)

Dado , y . Determina el lado y ngulos faltantes.

Para encontrar los ngulos faltantes, ahora es ms fcil usar la ley de los senos.


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Ejemplo 2:Tres lados-LLL

Dado , y Determina las medidas de los ngulos.

Es mejor encontrar el ngulo opuesto al lado ms grande primero. En este caso, ese esel lado b.

Ya que el es negativo, sabemos que es un ngulo obtuso.

Ya que Bes un ngulo obtuso y un tringulo tiene a lo ms un ngulo obtuso, sabemosque el nguloAy el ngulo Cambos son agudos.

Para encontrar los otros dos ngulos, es ms sencillo usar la ley de los senos.


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Aplicacin de tringulos en la solucin de problemas

Las tcnicas para la resolucin de tringulos rectngulos pueden aplicarse pararesolver diversas situaciones cotidianas de medicin. En los siguientes ejemplos podrs

apreciar algunas de estas aplicaciones.

Algo importante en el planteamiento de

los problemas relacionados con el

clculo de alturas por medio de la

trigonometra es la correcta disposicin

de los ngulos de referencia del

observador y del punto observado.

Observa con mucho cuidado la figura de

la izquierda y recuerda, para futuras

aplicaciones cada uno de los dos

ngulos mencionados en ella.

Tanto el ngulo de elevacin como el

ngulo de depresin son medidos con

respecto a una lnea horizontal. Siempre

con respecto a la horizontal

ngulo de Depresin

ngulo de Elevacin


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Ejemplo 1:

1. Para determinar la altura de unatorre transmisora que se

encuentra sobre un cerrito, untopgrafo se sita a 30 metros dela torre sobre el suelo nivelado.Si el topgrafo mide que elngulo de elevacin a la cspidede la torre es de 40, y si laelevacin del montculo de tierraes de dos metros con respecto alsuelo nivelado. Qu tan alta esla torre?

De acuerdo a los datos, aplicaremos la funcin tangente:

Entonces La altura total con respecto al suelo es 27.173m

H

40

30


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Ahora, es tu turno. Resuelve los siguientes problemas:

2. La torre Eiffel, smbolo de laciudad de Pars fue terminada el

31 de marzo de 1889; era la torrems alta hasta que inici la erade las torres de televisin.Encuentra la altura de la torreEiffel, (sin contar la antena detele-visin que est en sucspide) usando la informacinproporcionada en la figura de laizquierda.

3. Sobre la azotea de una iglesia seencuentra una cruz monumental comose muestra en la figura. Se hacen dosobservaciones desde el nivel de la calle

y a 30 pies desde el centro del edificio.El ngulo de elevacin hasta la base dela cruz es de 45 y el ngulo medidohasta el extremo de la cruz es de 47.2cunto mide la cruz?

85 21

80 pies


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4. Una escalera de doce metros delongitud puede colocarse de tal maneraque alcance una ventana de diezmetros de altura de un lado de la calley, haciendo girar la escalera sin mover

su base, puede alcanzar una ventanaque est a seis metros de altura en elotro lado de la calle. Halla el ancho dela calle.

5. Calcula cunto mide el radio del crculoinscrito y el del crculo circunscrito en elpentgono regular cuyos lados miden 24cm. cada uno.

Solucin: Calculamos el ngulo central delpentgono

y lo bisecamos:

Para encontrar el radio de la circunferencia

inscrita (r) usamos la razn

Despejando , tenemos:

Para encontrar el radio de la circunferencia circunscrita (R) usamos la razn

Despejando , tenemos:

R

36

12

24


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6. El ingeniero Juan est construyendo la entrada de una casa con un techo enforma de dos aguas como se ilustra. Juan quiere saber la longitud del mismo paracalcular la cantidad de tejas que va a utilizar. Halla la longitud del techo.

7. Dos puestos de observacin estn alineados con una torre. Desde el ms lejano elngulo de elevacin al punto ms alto de la torre es de 18 y desde el ms

cercano, situado a 20 metros del anterior, es de 2630 al mismo punto. Halla ladistancia del puesto de observacin ms lejano a la torre.

8. Para determinar la longitud mxima MNde un lago ubicado en su terreno, unagricultor uso el sig. Procedimiento: ubic un punto R fuera del lago, a 80m delextremo M y a 115m del extremo N y midi el ngulo MRN, que es de 7320,como se muestra. Halla la longitud MN.

6.5m

2550

20m

2630 18

7320115m80m

M

N

R


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9. Para subir una caja desde la cuneta de una carretera hasta la cinta asfltica seutiliza un tabln de 2.5m de longitud como se muestra. El ngulo que forma lacuneta con el desplante de la carretera es de 125 y la longitud del desplante esde 0.80m. halla la distancia del inicio del desplante a donde se apoya el tabln.

10.Halla la longitud del radio de la circunferencia circunscrita a un octgono regularsi su diagonal de menor longitud es de 42cm.

11.Dos cazadores parten de un mismo punto uno hacia al norte y otro hacia elnoreste Qu distancia los separa en el instante en que el primero ha caminado0.8km y el segundo0.56km?

.80m2.5m

125

42cm

X

.56km

.8km


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14.Desde la cspide de un faro de 52 metros de altura, se observa que los ngulosde depresin de dos barcos que se encuentran alineados con el son de 1610 y35 respectivamente. Encontrar la distancia entre los barcos.

15.Dos observadores de una altura de 1.65 metros cada uno, distantes entre s 200metros, en un plano horizontal tienen un ngulo de elevacin a un globo sinmovimiento y hayan que son de 42 y 3330 Calcula la altura del globo conrespecto al suelo.

52 m

200 metros

1.65metros


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16.Un observador haya que el ngulo de elevacin a la parte ms alta de un farovisto desde cierto lugar(A) es de 28, adelanta 30 metros hacia la torre y elngulo de elevacin es de 47 cuntos metros le faltan para llegar al pies de latorre? Y cul es la altura de la torre?

17.Dos lados de un paralelogramo miden: 9 centmetros y 12 centmetrosrespectivamente y uno de sus ngulos es de 130 haya las medidas de lasdiagonales y ngulo obtuso que forman estas.

30 metros

12 cm

9 cm

A


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18.La base de un trapecio es de 24 centmetros y 40 centmetros la ms grande; losngulos que se forman en la base mayor son de 53 y 67. Calcula el rea deltrapecio.

19. Sobre la azotea de una iglesia se encuentra una gran cruz como se muestra en la figura,se hacen dos observaciones desde el nivel de la calle una a 350 pies del centro de laiglesia al ngulo de elevacin hasta la base de la cruz es de 25 y el ngulo de elevacinhasta la parte superior de la cruz es de 2615 cunto mide la cruz?

40 cm

24 cm


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Ejercicios

1. Los ojos de un jugador de baloncesto estn a seis pies del suelo. El jugador seencuentra en la lnea de tiro libre que est a quince pies de la canasta. Cul es el

ngulo de elevacin de los ojos del jugador si la canasta se encuentra a diez piesdel suelo?

R = 14 54

2. A 75 metros de la base de una antena el ngulo de elevacin a su parte ms alta esde 3420 Calcula la altura de esta torre, si la altura del aparato con que se midi elngulo es de 11.5 metros.

h = 62.7255

3. La torre Sears de Chicago tiene una altura de 1454 pies y est situada a una millade distancia de la costa del lago Michigan. Un observador en un barco mide unngulo de elevacin a la parte superior de la torre mencionada y ve que es de cincogrados. Qu tan lejos de la orilla est el barco?

D = 2.15 millas

4. El ngulo de elevacin a la cspide de un obeliscoes de 35 en el momento en queproyecta una sombra de 789 pies de largo. Qu tan alto es el obelisco?

H= 555 pies

5. Un hombre observa desde un globo que las visuales a las bases de dos torres queestn apartadas por una distancia de un kilmetro medido sobre el plano horizontalforman un ngulo de 70. Si el observador est exactamente sobre la vertical del

punto medio de la distancia entre las dos torres, calcula la altura del globo.h = 714.074

6. El pie de una escalera de cinco metros de largo dista 1.9 metros de una paredvertical en la cual se apoya; halla el ngulo formado por ambas.

A = 22 21' 1"


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7. La escalera de un carro de bomberos puede extenderse hasta una longitud mximade 24m cuando se levanta un ngulo de 65. Si la base de la escalera est a dosmetros sobre el suelo, qu altura sobre ste puede alcanzar la escalera?

h = 23.751

8. Desde el extremo de una torre de 42m. de altura, el ngulo de depresin al extremode otra es de 21 50. Si entre ambas torres hay una distancia de 72 m, calcula laaltura de la segunda torre.

h = 13.1535 m

9. Desde la cspide de un faro de 52m. de altura se observa que los ngulos dedepresin a dos botes alineados en el mismo sentido son de 16 10 y 35respectivamente. Encuentra la distancia entre los botes.

d = 105.1109 m

10. A una distancia de 105 pies de la base de una torre, se observa que el ngulo deelevacin a su cspide es de 38 25. Halla su altura.

h = 83.1717

11. Calcula el permetro de un hexgono regular inscrito en una circunferencia de radio

18 CMS.P = 108 cm

12 Calcula el rea de un hexgono regular inscrito en una circunferencia de radio 12 CMS.

A = 374. 123

13. La longitud del lado de un octgono regular es 12 CMS. Halla los radios de los

crculos inscrito y circunscrito a l.Circunscrita. : 15.679. Inscrita: 14.485

14. Si la diagonal de un pentgono regular es 32.835, cul es el radio de crculocircunscrito a l?

R = 17.2624


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15. Halla la longitud del lado de un hexgono regular circunscrito en un crculo cuyodimetro es 18 CMS.

L = 10.3923

16. Si una cuerda cuya longitud es de 41.368 subtiende un arco de 145 37, cul es elradio del crculo?

R = 21.649

17. Calcula el rea de un terreno en forma de tringulo issceles cuya altura es de 24CMS y los ngulos en la base miden 32 20.

A = 909.96

18. La diagonal mayor de un paralelogramo mide 75 CMS, uno de sus lados mide 48CMS. Ambas lneas forman un ngulo de 24 45. Calcula el rea del paralelogramo.

A = 965.315cm2

19. Cunto mide la diagonal de un cuadrado de cinco metros de lado?D = 7.071068 cm

20. Si el lado de un hexgono regular mide 16, calcula cunto mide su apotema.

21. La torre de un guardabosque tiene una altura de 90 metros. Desde ah se percata de dosincendios; el primero se localiza en direccin Oeste, con un ngulo de depresin de 34.6 y elotro, hacia el Este con un ngulo de depresin de 58.3. Qu distancia lineal hay entre los dosincendios?

D = 186.06 m


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22. Un observador advierte que desde cierta posicin, el ngulo de elevacin al extremosuperior de un edificio es de 25 10; camina 50 metros hacia l y entonces el ngulo es de 52Qu distancia le falta para llegar al pie del edificio y cul es la altura del mismo?

D = 29 m h= 37.1185m

23. Dos hombres que estn en el campo en un llano, separados 3,000 metros uno delotro, observan un helicptero. Sus ngulos de elevacin con respecto al objeto voladorson 60 y 75. Determina la altura a que se encuentra en ese momento el helicptero.

h = 3,549.038

24. Un puente de 24 metros de largo une dos colinas cuyas laderas forman con elhorizonte ngulos de 23 y 32. Cul es la altura del puente con respecto al vrticedel ngulo formado por las dos laderas?

h = 8.066

25. Los bases de un trapecio miden 78.23 y 106 centmetros respectivamente; losngulos agudos que forman en la base mayor son 57 30 y 69 40. Cunto midenlos lados no paralelos del trapecio? 26. Sobre un peasco situado en la ribera de un ro se levanta una torre de 125 metrosde altura. Desde el extremo superior de la torre el ngulo de depresin de un puntosituado en la orilla opuesta es de 2840 y desde la base de la torre el ngulo dedepresin del mismo punto es 18 20. Encuentra el ancho del ro y la altura del

peasco. 27. Dos lados de un paralelogramo son 83 cm y 140 cm y una de las diagonales mide189 cm. Calcula los ngulos internos del paralelogramo.

A = 113 24 22 B = 66 35 38

28. Calcula el permetro y el rea de un paralelogramo si una de sus diagonales mide18 metros y los ngulos que forma sta con los lados del paralelogramo son de 35 y49.

P = 48. 0816 cm. A = 141.026 cm

2

29. La torre inclinada de Pisa forma un ngulo de 8.3 con la vertical. El ngulo deelevacin a la parte superior de la torre desde un punto situado a 298 metros de la basede la torre es de 42 Calcula la altura perpendicular sobre el piso de la parte superiorde la misma.

h = 237.1673


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30. Dos barcos zarpan simultneamente del mismo punto; uno navega hacia el Nortecon una velocidad de 32 Km/h y el otro hacia el Noreste a 20 Km/h. Qu distanciahabr entre ellos al cabo de 45 minutos de viaje?

d = 17.08 km.

31. Calcula la longitud de cada diagonal de un pentgono regular cuyos lados miden 6cm.

Diagonal = 9.7082

32. Dos trenes parten simultneamente de la misma estacin en vas frreas rectilneasque se cortan formando un ngulo de 57 20. Sus velocidades son de 45 y 60 km/h,respectivamente. A qu distancia se encontrarn entre s al cabo de 36 minutos deviaje?

d = 31.2366 km33. Las diagonales de un paralelogramo miden 24 cm y 16 cm respectivamente;formando un ngulo de 140. Calcula los lados del paralelogramo.

L1 = 18.84 L2 = 7.8

34. Dos lados de un paralelogramo miden 9 cm y 12 cm. y uno de sus ngulos es de128. Calcula las medidas de las diagonales.

d1 = 18.9204 d2 = 9.5926


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CONCEPTOS BSICOS

En la geometra analtica utilizamos unos principios fundamentales que son muy

importantes e indispensables durante el curso ya que son el sustento de todo lo que

realicemos a partir de este momento los cuales denominamos Conceptos Bsicos;

estos son: distancia entre dos puntos, punto medio, pendiente de una recta, paralelismo

y perpendicularidad. Existen otros como distancia de un punto a una recta o la razn de

un segmento que no abordaremos en este curso.

Distancia entre dos puntos

En geometra se define la distancia entre dos puntos como la longitud del segmento de

recta que une a dichos puntos. Esto nos hace recordar uno de los postulados de la

Geometra Euclidiana: La distancia ms corta entre dos puntos es la recta que los

une

Para poder calcular la distancia entre dos puntos, vamos a echar mano de la

trigonometra que estudiamos recientemente. Observa la siguiente figura:

Por medio del teorema de Pitgorasse cumple que

2 2

2 1 2 1( ) ( )d x x y y

Esta es la frmula analtica paracalcular la distancia entre dospuntos.


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Punto medioComo el mismo nombre lo indica, es el punto que divide al segmento en dos partesiguales. Para calcular las coordenadas del punto medio de cualquier segmento, sepromedian las coordenadas de los extremos

1 2 1 2,2 2

x x y yP

Pendiente de una rectaConsidera el siguiente problema.

Dos caminantes se encuentran deambulando y cuando llegan al pie de una montaa,

deciden separarse sin cambiar de sentido en su andar. Cuando el que sigui sobre el

suelo nivelado ha avanzado 300 metros, su compaero, quien subi por la montaa, ha

alcanzado una altura de 200 metros. Calcula la pendiente de la ladera de la montaa.

Analizando este sencillo problema, notamos que para calcular la inclinacin del terreno

(lo cual tambin se llama pendiente del terreno) se aplica la funcin tangente. Pues

bien, cuando consideramos solamente lneas rectas, vemos que se forma un tringulo

rectngulo y el ngulo de inclinacin de la montaa vara de acuerdo con las medidas

de los catetos. Lo anterior nos conduce a una definicin ms formal y analtica de la

pendiente de una recta:


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La pendiente de una recta es la tangente trigonomtrica del ngulo de inclinacin

de dicha recta.

Si aplicamos la razn

tangente veremos que elplanteamiento quedara as:

2 1

2 1

y ym

x x

donde m es la tangentetrigonomtrica del ngulode inclinacin de la recta

Con la pendiente de una recta podemos definir los conceptos de paralelismo yperpendicularidad

Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente, es decir:

Dos rectas son perpendiculares cuando tienen la pendiente de una es la inversarecproca de la otra, es decir


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EJERCICIOS RESUELTOS1. Encuentra el permetro del tringulo cuyos vrtices son

,

Solucin:

( ) ( )

( )

( )


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2. Demuestra que el tringulo cuyos vrtices son ( ) es issceles.Solucin:

Calculemos las distancias Observa que

Por lo tanto el tringulo es Issceles

3. El punto es un extremo del segmento cuyo punto medio es .Cules son las coordenadas del otro extremo del segmento.

Solucin:

Las coordenadas del otro extremo son


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6. Comprueba que el tringulo ( ) es rectngulo.

Despus de graficar, observa donde parece que se encuentra el ngulo recto; eneste caso parece ser que el ngulo recto se encuentra en C.

Para que sea rectngulo el tringulo debe cumplir que y Obsrvese que: Por tanto el tringulo es rectngulo en el ngulo C.

7. Calcula el valor que debe tener para que los puntos , y

estn alineados.Solucin:Si los puntos deben de estar sobre la misma recta entonces

Para que estn alineados las coordenadas deben ser:

Este ejercicio tambin puede resolverse usando distancia entre dos puntos. Intntalo!


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EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Halla el permetro de los tringulos cuyos vrtices son los puntos:a) P = 23.56b)

P = 20.67

c) P = 20.742.- Demuestra que los tringulos dados por las coordenadas de sus vrtices sonissceles:

a) b) c)

3.- Demuestra que los tringulos dados por las coordenadas de sus vrtices son

rectngulos.Halla sus reas.

a) b) c)

4.- Demuestra, mediante la frmula de distancia, que los siguientes puntos soncolineales.

a) b) c)

5.- Halla el punto de abscisa 3 que diste 10 unidades del punto: P (-3, 6).R=

6.- Halla el punto de abscisa 2 que diste 82 unidades del punto P (1,5).R=

7.- Halla el punto de ordenada 4 que diste 53 unidades del punto P (-4, 6)R=

8.- Demuestra que las rectas que unen los puntos medios de los lados adyacentes delcuadriltero cuyo vrtices son A( -3,2 ) B( 5,4 ) C( 7,-6 ) y D( -5,-4 ), forman otrocuadriltero cuyo permetro es igual a la suma de las diagonales del primero.


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9.- Demuestra que las rectas que unen los puntos medios de dos lados AB y AC de lostringulos siguientes son paralelas al tercer lado y mide la mitad de los mismos.

a) b) c)

10.- Demuestra que los puntos medios de los lados consecutivos de cualquiercuadriltero forman un paralelogramo. Las siguientes son las coordenadas de losvrtices.

a) b) c)

11.- Los siguientes puntos son los vrtices de unos tringulos issceles. Demuestra que

dos de las medianas son de igual longitud.a) b) 12.- Demuestra que los puntos siguientes son los vrtices de un tringulo rectngulo.

a) b)

13.- Demuestra que los puntos siguientes son vrtices de un paralelogramo.a) b)


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EJERCICIOS EXTRAS

1. Encuentra el punto de ordenada 4 que est situado a 50 unidades del punto

2. Encuentra las coordenadas de un punto del eje que equidiste de los puntos fijos y .

3. Los puntos

son vrtices del paralelogramo

.

Encuentra el vrtice D.

4. Encuentra el valor de para que los puntos seancolineales.

5. Dado el tringulo cuyos vrtices son , demuestra que larecta que une los puntos medios de los lados AB y AC mide la mitad del lado BC y esparalela a l.


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Lugar geomtrico

Un lugar geomtrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas

propiedades geomtricas. Cualquier figura geomtrica se puede definir como el lugar

geomtrico de los puntos que cumplen ciertas propiedades si todos los puntos de dichafigura cumplen esas propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la figura.

Estos son varios ejemplos de lugares geomtricos en elplano:

El lugar geomtrico de los P que equidistan a dos puntos fijos A y B (los dos extremos

de un segmento de recta, por ejemplo) es una recta, llamadamediatriz.Dicho de otra

forma, la mediatriz es la recta que interseca perpendicularmente a un segmento AB en

su punto medio ((A + B) / 2).

La bisectriz es tambin un lugar geomtrico. Fijado un ngulo, delimitado por dos

rectas, la bisectriz es la recta que, pasando por el vrtice (punto donde se cortan dichas

rectas), lo divide por la mitad. Esta recta cumple la propiedad de equidistar a las dos

anteriores, convirtindose la bisectriz en un caso particular del lugar geomtrico que

sigue a continuacin.

Lassecciones cnicas pueden ser descritas mediante sus lugares geomtricos:

Una circunferencia es el lugar geomtrico de los puntos cuya distancia a un punto

determinado, elcentro,es un valor dado (elradio).

Unaelipse es el lugar geomtrico de los puntos tales que la suma de su distancia a dos

puntos fijos, los focos, es una constante dada (equivalente a la longitud del semieje

mayor de la elipse).

Laparbola es el lugar geomtrico de los puntos cuya distancia a un foco equivale a su

distancia a una recta llamadadirectriz.
http://es.wikipedia.org/wiki/Figura_geom%C3%A9tricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Rectahttp://es.wikipedia.org/wiki/Mediatrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Bisectrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Secciones_c%C3%B3nicashttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Distanciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Centrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Elipsehttp://es.wikipedia.org/wiki/Foco_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Constantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Semieje_mayorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Semieje_mayorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Directrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Directrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Semieje_mayorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Semieje_mayorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Constantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Foco_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Elipsehttp://es.wikipedia.org/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Centrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Distanciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Secciones_c%C3%B3nicashttp://es.wikipedia.org/wiki/Bisectrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Mediatrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Rectahttp://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Figura_geom%C3%A9trica


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La hiprbola es el lugar geomtrico de los puntos tales que el valor absoluto de la

diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos, los focos, es igual a una constante

(positiva), que equivale a la distancia entre los vrtices.

Figuras muy complejas pueden ser descritas mediante el lugar geomtrico generadopor los ceros de una funcin o de un polinomio. Por ejemplo, las cuadrticas estn

definidas como el lugar geomtrico de los ceros depolinomios cuadrticos.En general,

los lugares geomtricos generados por los ceros del conjunto de polinomios reciben el

nombre devariedad algebraica,las propiedades de dichas variedades se estudian en la

geometra algebraica.
http://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbolahttp://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absolutohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cu%C3%A1dricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Polinomios_cuadr%C3%A1ticoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_algebraicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_algebraicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_algebraicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_algebraicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Polinomios_cuadr%C3%A1ticoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Cu%C3%A1dricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Polinomiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absolutohttp://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbola


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Lugares geomtricos

El conjunto de todos los puntos (x,y) en el plano cuyas coordenadas satisfacen unapropiedad, que puede estar dada por una ecuacin F(x,y) = 0, se conoce como lugargeomtrico.

Ejemplo 1

Determina la ecuacin del lugar geomtrico formado por el conjunto de todos los puntosque equidistan de los puntos y .

Fig. 1

Solucin

El punto

equidista de A (1,1) y B (5,3) si y slo si

Por lo tanto, el lugar geomtrico es la recta La ecuacin obtenida representa una lnea recta llamada mediatriz y se intersecta conel segmento en el punto medio .


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Ejemplo 2

Determina el lugar geomtrico de los puntos cuya distancia al punto esdos veces su distancia al punto .Solucin

Fig. 2

Los puntos A, B y P aparecen en la figura 2, junto con una curva que pasa por P y querepresenta el lugar geomtrico buscado. Como

Obtenemos la ecuacin

As, el lugar geomtrico es un crculo con centro (- 1,5) y radio = 2 5.


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Ejemplo 3

Hallar el lugar geomtrico de los puntos cuya distancia a la recta esigual a la distancia al punto A (3,0).

Solucin

Los puntos A, P y la recta se muestran en la figura 3. Como la distancia de P a la recta

es y la distancia de P al punto A estenemos que

El lugar geomtrico es una parbola y se muestra en la figura 3.

Fig. 3


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PARBOLA

Se define tambin como ellugar geomtricode los puntos que equidistan de una recta(eje o directriz) y un punto fijo llamado foco

DT = DF

ELIPSE

La elipse es el lugar geomtrico de los puntos del plano tales que la suma de lasdistancias a dos puntos fijos llamadosfocoses una constante positiva

QF1+ QF2 = 2a
http://es.wikipedia.org/wiki/Lugar_geom%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Lugar_geom%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Lugar_geom%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Lugar_geom%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Lugar_geom%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Foco_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Foco_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Foco_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Foco_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Lugar_geom%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Lugar_geom%C3%A9trico


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HIPRBOLAUna hiprbolaes el lugar geomtrico de los

puntos de un plano tales que el valor

absoluto de la diferencia de sus distancias a

dos puntos fijos, llamados focos,es igual a

la distancia entre los vrtices, la cual es una

constante positiva.Las asntotas de la

hiprbola se muestran como lneas

discontinuas azules que se cortan en el

centro de la hiprbola (curvas rojas), C. Los

dos puntos focales se denominan F1y F2, la

lnea negra que los une es el eje transversal.

La delgada lnea perpendicular en negro que

pasa por el centro es el eje conjugado. Las

dos lneas gruesas en negro paralelas al eje

conjugado (por lo tanto, perpendicular al eje

transversal) son las dos directrices, D1y D2.

La excentricidad e(e>1), es igual al cociente

entre las distancias (en verde) desde unpunto Pde la hiprbola a uno de los focos y

su correspondiente directriz. Los dos

vrtices se encuentran en el eje transversal

a una distancia acon respecto al centro.

| QF1 - QF2 | = 2a
http://es.wikipedia.org/wiki/Foco_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Foco_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Foco_(geometr%C3%ADa)


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EJERCICIOS SOBRE LUGARES GEOMTRICOS

1. Encuentra la ecuacin del lugar geomtrico de los puntos que equidisten de A(-2,3) y B(3,-1)

R: 10x - 8y + 3 = 02. Encuentra la ecuacin del lugar geomtrico de los puntos que equidisten de A(-

3,1) y B(7,5)R: 5x + 2y16 = 0

3. Encuentra la ecuacin del lugar geomtrico de los puntos cuya pendiente con A(-4,5) es 2/3

R: 2x - 3y + 23 = 0

4. Encuentra la ecuacin del lugar geomtrico de los puntos cuya pendiente de larecta formada por los puntos (3,-1) y (0,6) es igual a la pendiente de la rectaformada por P(x, y) y (0,6)

R: 7x + 3y -18 = 0

5. Encuentra la ecuacin del lugar geomtrico de los puntos P(x, y) cuya distanciaal origen es igual a 3

R: x2 + y2= 9

6. Encuentra la ecuacin del lugar geomtrico de los puntos P(x, y) cuya distanciaal punto fijo C (-2,3) es igual a 4

R: x2 + y2+ 4x - 6y3 = 0

7. Encuentra la ecuacin del lugar geomtrico de los puntos P(x, y) cuya distanciaal punto fijo C (2,-1) es igual a 5R: x2 + y2- 4x + 2y20 = 0

8. Encuentra la ecuacin del lugar geomtrico de los puntos P(x, y) cuya suma delos cuadrados de sus distancias a los puntos A (0,0) y B (2,-4) es igual a 20

R: x2 + y2- 2x + 4y = 0

9. Encuentra la ecuacin del lugar geomtrico de los puntos P(x, y) equidistantesdel punto fijo F (3,2) y del eje Y

R: y24y6x +13 = 0

10. Encuentra la ecuacin del lugar geomtrico de los puntos P(x, y) equidistantesdel punto fijo F (2,3) y de la recta x=2

R: y28y6x + 9 = 0


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11. Encuentra la ecuacin del lugar geomtrico de un punto que se mueve de talmanera que la suma de sus distancias a los puntos F1 (-4,0) y F 2 (4,0) essiempre igual a 10 unidades.

R: 9x2 + 25y2= 225

12. Encuentra la ecuacin del lugar geomtrico de un punto que se mueve de talmanera que la diferencia de sus distancias a los puntos F1 (-5,0) y F2 (5,0) essiempre igual a 8 unidades.

R: 9x2 16y2= 144

13. Encuentra la ecuacin del lugar geomtrico de un punto que se mueve de talmanera que la diferencia de sus distancias a los puntos fijos F1 (1,- 4) y F2 (1,4)es siempre igual a 6 unidades

R: 9x2 7y218x + 72 =0

14. Encuentra la ecuacin del lugar geomtrico de un punto que se mueve de talmanera que la suma de sus distancias a los puntos fijos F1 (2,-3) y F2 (2,3) es

siempre igual a 8 unidades.R: 16x2 + 7y264x48 =0

15. Dados los puntos fijos P1 (2,4) y P2 (5,-3) encuentra el lugar geomtrico de lospuntos P(x, y) tales que la pendiente de PP1 sea igual a la pendiente de PP2ms una unidad.

R: x2+ 3y16 = 0

16. Dados los puntos A (0,-2), B (0,2) y C (0,0) encuentra el lugar geomtrico de lospuntos P(x, y) de tal manera que el producto de las pendientes de PA y PB esigual a la pendiente de PC

R: y2

x y4 =017. Dados los puntos A (-2,3) y B (3,1) encuentra la ecuacin del lugar geomtrico

de los puntos P(x, y) de tal manera que la pendiente de PA sea el recproco consigno contrario de la pendiente de la pendiente de PB.

R: x2+ y2x4y3 =0

18. Encuentra la ecuacin del lugar geomtrico de un punto P(x, y) que se muevede tal manera que su pendiente al punto A (2,3) es igual a .

R: x2y + 4 = 0

19. Encuentra la ecuacin del lugar geomtrico de un punto que se mueve de talmanera que la diferencia de sus distancias a los puntos F1 (-3,0) y F2 (3,0) essiempre igual a 4 unidades.

R: 5x2 4y2= 20

20. Encuentra la ecuacin del lugar geomtrico de un punto que se mueve de talmanera que la suma de sus distancias a los puntos F1 (0,-3) y F2 (0,3) essiempre igual a 10 unidades.

R: 25x2 + 16y2= 400


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EJERCICIOS EXTRAS

1. Determina el lugar geomtrico de los puntos que equidistan a los puntosA (-1,2) y B (-2,1)

2. Determina el lugar geomtrico de los puntos cuya distancia a la recta y =1 es igual a la distancia al punto A (3,3).

3. Determina el lugar geomtrico de los puntos tales que su distancia alpunto A (1,1) es dos veces su distancia al punto B (1,4).

4. Determina el lugar geomtrico de los puntos cuya suma de distancias alos puntos A (-3,0) y B (3,0) es 10.

5. Determina el lugar geomtrico de los puntos tales que el producto de susdistancias a dos puntos fijos A (-3,0) y B (3,0) es 9.

6. Determina el lugar geomtrico de los puntos tales que su distancia alpunto A (7,1) es k veces su distancia al punto B(1,4) . Qu sucede paravalores de k muy pequeos? Qu sucede para k =1? y qu sucede paravalores de kmuy grandes?

7. Considera los puntos A (2,0), B (0,0) y C (1,3) los cuales forman un tringulo

equiltero. Determina el lugar geomtrico de los puntos tales que la sumade las distancias d PA y d PB es igual a la distancia d PC


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LNEA RECTA

Para obtener la ecuacin de una recta se puede manejar

Ecuacin punto pendiente Pendiente ordenada

Para obtener la misma en la forma general

Como posibles casos se tiene

Dado un punto y la pendiente Dados dos puntos

Dado un punto y una rectaEjemplo 1:- Halla la ecuacin de la recta que pasa por y tiene .

Solucin:

Tomando la primera ecuacin sustituimos los datos

Igualando a cero y dejandopositiva a la


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Ejemplo 2.- Halla la ecuacin de la recta que pasa por los puntos SolucinPrimero debemos hallar la pendiente de la recta con la formula correspondiente

Con el valor de y cualquiera de los puntos dadosProcedemos como en el ejemplo anterior

Igualando a cero y dejando positiva a la x


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Ejemplo 3.- Halla la ecuacin de la recta que pasa por el punto y quees perpendicular con Solucin: Como la recta pedida es perpendicular a la recta dada se debe cumplirque

De la recta dada se tiene que

Por lo que se tiene que

Con este valor de

y el punto dado hallamos la ecuacin:

Igualando a cero y dejando positiva a la x


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EJERCICIOS SOBRE LINEA RECTA

De acuerdo con los ejemplos anteriores ahora resuelve los ejercicios que se dan acontinuacin.

1.- Halla la ecuacin de la recta que pasa por el punto y tiene . 2.- Halla la ecuacin de la recta que pasa por el punto y tiene . 3.- Halla la ecuacin de la recta que pasa por los puntos . 4.- Halla la ecuacin de la recta que pasa por los puntos

.

5.- Halla la ecuacin de la recta que pasa por el punto y es paralela a la recta . 6.- Halla la ecuacin de la recta que pasa por el punto y es paralela a la recta . 7.- Halla la ecuacin de la recta que pasa por el punto

y es perpendicular a la

recta . 8.- Halla la ecuacin de la recta que pasa por el punto y es perpendicular a larecta . 9.- Determina el valor de para que las rectas dadas a continuacin sean paralelas.

a) con b) con


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10.- Calcula la ecuacin de la recta que pasa por el punto de interseccin de las rectascuyas ecuaciones son y y que ademscumpla cada una de las siguientes condiciones:

a) Pase por el punto P( 4,2 )

b) Sea paralela a la recta cuya ecuacin es c) Pase por el punto P(-3,-5 )d) Sea perpendicular a la recta cuya ecuacin es e) Pase por el origen.

f) Su pendiente sea4

g) Sea horizontal

h) Sea vertical.

11.- Calcula la ecuacin de la recta que pasa por el punto P( -5,1 ) y que adems esparalela a la recta cuya ecuacin es 12.- Calcula la ecuacin de la recta que pasa por el punto P( -5,6 ) y que adems esperpendicular a la recta que une a los puntos: A( -1,-4 ) con B( 3,5 ).

13.- Calcula la ecuacin de la recta que pasa por el punto ) y que esperpendicular a la recta cuya ecuacin es:

a) b) c)

15.- Calcula el valor de en la ecuacin para que la recta pasepor el punto


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RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRINGULO

Mediatrices y circuncentro


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Alturas y ortocentro


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Medianas y baricentro


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EJERCICIOS SOBRE LINEAS Y PUNTOS NOTABLES

1. Del tringulo con vrtices en los puntos Halla:

a) La ecuacin del lado AC

b) La ecuacin de la mediana que pasa por A

c) La ecuacin de la mediatriz del lado AB

d) La ecuacin de la altura que pasa por B

2. Del tringulo con vrtices en los puntos Halla:

a) La ecuacin del lado BC

b) La ecuacin de la mediana que pasa por C

c) La ecuacin de la mediatriz del lado AC

d) La ecuacin de la altura que pasa por A


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3. En cada uno de los siguientes incisos, se te proporcionan tres puntos que son los

vrtices de un tringulo. En cada caso calcula lo que se te pide a continuacin:

1) Las ecuaciones de los tres lados.

2) Las ecuaciones de las medianas y las coordenadas del baricentro

3) Las ecuaciones de las alturas y las coordenadas del ortocentro

4) Las ecuaciones de las mediatrices y las coordenadas del circuncentro

a) A(-2,1) B(4,7) y C(6,-3)

b) A(4,5) B(3,-2) y C(1,-4)

c) A(8,-2) B(6,2) y C(3,-7)

d) A(1,1) B(1,3) y C(9,2)

e) A(-4,-3) B(-1,-7) y C(0,0)

f) A(1,2) B(3,1) y C(-3,-1)


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Respuestas del ejercicio 3

a b

Lados

x - y + 3 = 0

5x+ y - 27 = 0

x + 2y = 0

Medianas

7x + 5y -27= 0

x - 7y+ 9 = 0

4x - y - 9 = 0

Baricentro 3

5,3

8

Alturas

x + y - 3 = 0

x - 5y + 7 = 0

2x - y - 1 = 0

Ortocentro 3

5,3

4

Mediatrices

x + y - 5 = 0

x - 5y + 5 = 0

2x - y - 5 = 0

Circuncentro3

5,3

10

Lados

7x - y - 23 = 0

x - y - 5 = 0

3x - y - 7 = 0

Medianas

4x - y- 11 = 0

5x + y - 13 = 0

11x -5y- 31 = 0

Baricentro

31,

38

Alturas

x + y - 9 = 0

x + 3y + 3 = 0

x + 7y+ 27 = 0

Ortocentro 6,15

Mediatrices

x + 7y - 14 = 0

x + y + 1 = 0

x + 3y - 4 = 0

Circuncentro

25,

27


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c d

Lados

2x + y - 14 = 0

3x - y - 16 = 0

x - y - 10 = 0

Medianas

x - 7y - 22 = 0

7x - 4y - 49 = 0

13x - y - 76 = 0

Baricentro4

7,3

17

Alturas

x + 3y - 2 = 0

x + y - 8 = 0

x - 2y - 17 = 0

Ortocentro ( 11 , 3 )

Mediatrices

x - 2y - 7 = 0

x + 3y + 3 = 0

x + y - 1 = 0

Circuncentro ( 3 , -2 )

Lados

x - 1 = 0

x + 8y - 25 = 0

x - 8y +7 = 0

Medianas

3x - 8y+ 5 = 0

3x + 8y - 27 = 0

y - 2 = 0

Baricentro 2,311

Alturas

8x - y - 7 = 0

8x + y- 11 = 0

y - 2 = 0

Ortocentro 2,8

9

Mediatrices

y - 2 = 0

16x- 2y-75 = 0

16x+2y - 83 = 0

Circuncentro 2,16

79


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e f

Lados

4x+ 3y + 25= 0

7x - y = 0

3x - 4y = 0

Medianas

x + 7y +25 = 0

11x+ 2y+ 25= 0

2x - y = 0

Baricentro 310,

35

Alturas

x+ 7y+25 = 0

4x + y + 25 = 0

3x - 4y = 0

Ortocentro3

10,3

5

Mediatrices

6x - 8y- 25 = 0

x + 7y+25 = 0

8x+ 6y+25 = 0

Circuncentro

Lados

3x+ y- 5 = 0

x + 4y+13 = 0

2x - 3y+ 4 = 0

Medianas

5x - 2y - 1 = 0

4x + 5y + 8= 0

x - 7y - 9 = 0

Baricentro

Alturas

4x - y - 2 = 0

3x + 2y - 1 = 0

x - 3y - 1 = 0

Ortocentro

Mediatrices

x - 3y - 5 = 0

4x - y + 1 = 0

3x + 2y+ 6 = 0

Circuncentro


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CIRCUNFERENCIADentro del tema de circunferencia se presentan dos posibles casos:

Dado centro y radio Piden Ecuacin

Utilizar la ecuacin ordinaria Dada la ecuacin general

Piden Centro y radio

Utilizar o completar trinomios cuadrados perfectos

Ejemplo 1.-Hallar la ecuacin de la circunferencia con y radio 3.SolucinCon los datos sustituimos en la ecuacin ordinaria

Desarrollando:

Reduciendo trminos e igualando a cero:


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Ejemplo 2.-Hallar la ecuacin de la circunferencia que tiene como uno de susdimetros el segmento que une los puntos Solucin:Con los puntos dados hallamos el centro aplicando punto medio

Con el centro y cualquiera de los puntos dados hallamos la longitud delradio Con centro y radio hallamos la ecuacin

()Desarrollando obtenemos


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Ejemplo 3.- Halla el centro y radio de la circunferencia Solucin:Este ejemplo corresponde al segundo caso as que debemos hallar el centro y

radio.Con las formulas hallamos estos


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Ejemplo 4.- Obtenga la ecuacin de la recta que pasa por el centro de lacircunferencia 0 y por el punto Solucin:

Este ejemplo corresponde al segundo caso as que debemos hallar el centroCon las formulas hallamos centro

Con el centro obtenido y el punto dado hallamos pendiente y posteriormente laecuacin de la recta pedida


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EJERCICIOS SOBRE CIRCUNFERENCIAS

1.- Calcula la ecuacin desarrollada de la circunferencia cuyos datos son:

a)

b)

c) d)

2.- Calcula la ecuacin desarrollada de la circunferencia en la cual los extremos de undimetro son los puntos:

a) b) c)

d)

3.- Calcula la ecuacin desarrollada de la circunferencia cuyo centro est en el punto y que pase por el punto

4.- Calcula la ecuacin desarrollada de la circunferencia que pase por el origen y quetenga su centro en el punto .

5.- Calcula la ecuacin desarrollada de la circunferencia que tenga su centro en elpunto y que sea tangente al eje Y.

6.- Calcula la ecuacin desarrollada de la circunferencia que tenga su centro en elpunto y que pase por el origen.

7.- Calcula la ecuacin desarrollada de la circunferencia cuyo centro est en el origeny que pasa por el punto .


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8.- Calcula la ecuacin desarrollada de la circunferencia que sea tangente a los dosejes coordenados, que tenga su centro en el primer cuadrante y que su radio sea 8.

9.- Calcula la ecuacin desarrollada de la circunferencia que pase por el origen, suradio sea 10, que la abscisa de su centro sea y de tal manera que su centroest en el primer cuadrante.

10.- Calcula la ecuacin desarrollada de la circunferencia cuyo dimetro es elsegmento de la recta:

comprendido entre los dos ejes

coordenados.

11.- Una circunferencia de radio 8, cuyo centro est en el segundo cuadrante, estangente a los dos ejes coordenados. Calcula su ecuacin desarrollada.

12.- Calcula la ecuacin desarrollada de la circunferencia que pasa por el punto y que es tangente al eje Y.13.- Calcula el centro y el radio de cada una de las circunferencias siguientes:

a) b) c) 5 d) e)

53

f) g) h) i)


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Parbola

Se define como el lugar geomtrico de un punto que se mueve de tal forma quesiempre equidista de un punto fijo y de una recta fija.

Existen dos casos:Horizontal Vertical

||

Si en las frmulas el signo es positivo entonces abre hacia la derecha o haciaarriba segn sea horizontal o vertical.

Si en las frmulas el signo es negativo entonces abre hacia la izquierda o haciaabajo segn sea horizontal o vertical.

El valor de siempre ser positivo ya que representa una distancia entre foco yvrtice o entre directriz y vrtice.

Se pueden presentar dos tipos de ejercicios Dados los elementos :

Foco Directriz Lado recto Un punto por donde pasa la parbola

Dada la ecuacin encontrar los elementos

Observa de la figura, que

el punto P est a la

misma distancia del foco

y de la directriz


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Ejemplo 1.- Halla la ecuacin de la parbola y los elementos faltantes en cada caso.Considera todos con vrtice en el origen:

a) Foco (0,3)Solucin:

Ubicamos en plano cartesiano el foco y elvrtice.

Por la posicin del foco la parbola abrehacia arriba por lo que es de tipo vertical.

Entonces sustituyendo en la ecuacincorrespondiente el valor de seobtiene

Para los elementos faltantes tenemos:

|| || ||

Ejemplo 1


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b) Directriz Solucin:

Despejando la incgnita

que representa una recta vertical quecorta al eje x en el punto y que se conoce con el nombre de directriz como ya semencion.Por lo que el foco queda a la misma distancia del vrtice pero en el lado contrario sobre

el eje X, siendo este Entonces se trata de una parbola horizontal que abre a la izquierda cuya ecuacin es:

Sustituyendo

El punto es donde ladirectriz corta al eje X.

Ntese que los puntos f y D

equidistan del origen.


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c) pasa por el punto y es verticalSolucin:

De acuerdo al grfico se observa que el punto se localiza en el primer cuadrante

Como sabemos que es vertical y debe pasar por este punto entonces abre hacia arribay le corresponde la ecuacin por lo que sustituyendo el punto en estaecuacin y despejando obtenemos su valor:

Ahora con este valor regresamos y sustituimos en la ecuacin obteniendo:


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Ejemplo 2.- Encuentra los elementos de la parbola Solucin: Vamos a despejar el trmino cuadrtico para obtener la forma cannica:

La ecuacin resultante corresponde a una parbola horizontal que abre hacia laderecha ( ), entonces .

Despejando .Conociendo el valor de

hallamos los elementos de la parbola:

o


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APLICACIONES DE PARBOLA

Ejemplo 1. Un cao de desage pluvial se encuentra a una altura de 6m. El agua al caer formaun arco parablico que hace contacto a una distancia de 4m con respecto a la vertical. Una

barda de 2m de alto se localiza entre el desage y el punto de contacto del agua con el suelo.Cul es la mxima separacin a la que la barda debe estar de manera que el chorro pase porencima?

Solucin:

Primeramente realizamos una figura lo ms representativa posible de la situacindescrita.

El chorro de agua describe una parbola vertical que abre hacia abajo y pasa por elpunto .

6m

4m

2m

X

Y

6m

4m

2m


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Dmonos cuenta que se trata del caso dado un punto y la orientacin de la parbola.

Sustituyendo las coordenadas del punto se obtiene:

De aqu sustituimos el valor de para hallar la ecuacin

A partir del origen la coordenada que nos interesa es ya que la distancia verticaldel origen a la parte superior de la barda es 4


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Ejemplo 2. El arco mostrado en la figura tiene una altura mxima de 4 metros y suecuacin est dada por x2= - y. en la figura se muestran dos postes soportando elarco, situados a un metro del vrtice. Obtenga la altura de los postes.

Solucin:

De la figura y de la ecuacin dada podemos apreciar que se trata de una parbola detipo vertical

Tenemos coordenadas de los postes en los puntos como se puedeapreciar

As que sustituyendo en la ecuacin se obtiene:

Recuerda que el signo negativo obtenido es solo por la orientacin de la figura.

Como lo que nos piden encontrar es la medida de la altura tendramos que restar de los4mel valor de y=1con lo que la altura de los postes seria de 3m

h=?

Y=?


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EJERCICIOS SOBRE PARBOLAS

1.- En cada inciso, halla la ecuacin desarrollada de la parbola. Halla tambin laecuacin de la directriz.

a) Su foco es

b) Su foco es

c) Su directriz es

d) Su directriz es

e) Es horizontal y pasa por

f) Es vertical y pasa por

g) Es horizontal y pasa por

h) Es horizontal y pasa por

i) Es vertical y pasa por j) Es vertical y pasa por k) El foco est en


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2.- En cada uno de los incisos siguientes, calcula las coordenadas del foco, la longituddel lado recto y la ecuacin de la directriz.

a)

b) c) d)

e) f) g) h)

3) El foco F de una antena parablicase localiza a 0.9 m de su vrtice. Si suprofundidad es 0.58 m Cul es sudimetro o ancho d?

4) Una casa antigua tiene un arco enforma de parbola cuya base es de 3my su punto ms alto est a 4m delsuelo. Si desde este punto cuelga unalmpara cuyo centro C coincide con elfoco del arco, a qu altura esta C?

5) Los focos de las parbolas y216x=0 y x232y=0, forman el dimetro de unacircunferencia, encuentra su ecuacin y la ecuacin de la recta tangente a ella en elfoco de la segunda parbola.


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Ejercicios integradores.

1. Encuentra la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos: A (3,2),B (1,6) y C (5,2).

2. Dadas las circunferencias x2+ y2+ 8x + 2y + 12 = 0 y x2+ y28x10y + 39 =0encuentra La longitud de la lnea de los centros y la ecuacin de la mediatriz dela lnea de los centros

3. Dada la circunferencia x2 + y2 + 8x + 2y + 12 = 0 y la parbola x2 = 8yencuentra: la ecuacin de la mediatriz que une el centro de la circunferencia con

el foco de la parbola y la longitud del segmento centro - foco


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LA ELIPSEDEFINICIN: La elipse es el lugar geomtrico de los puntos que se mueven de tal

manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es siempre

constante. Los puntos fijos se llaman focos. Las ecuaciones de la elipse

tienen dos trminos cuadrticos y varan de acuerdo con el tipo de la

elipse. La elipse puede ser horizontal o vertical; con el centro en el origen

o fuera de l.

En el presente curso estudiaremos solamente las elipses con centro en el origen. El

siguiente cuadro te muestra los tipos de ecuaciones segn la posicin de la elipse.

ELIPSES CON CENTRO EN EL ORIGEN.

CANNICA DESARROLLADA

HORIZONTAL

VERTICAL


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Ejemplo 1.- Hallar la ecuacin de la elipse con centro en el origen y que tiene vrtice eny foco en Solucin:

De acuerdo a la grfica se puede observar que se trata de una elipse horizontal con

Por lo que hace falta encontrar el valor de b y sustituir posteriormente en la ecuacincorrespondiente

Sustituyendo en la ecuacin


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Ejemplo 2.- Halla la ecuacin de la elipse horizontal con centro en el origen, lado rectoigual a 3 y la longitud del eje mayor igual a 12.

Solucin:

Sabemos que la longitud del eje mayor es igual a

, entonces

y el lado recto es

igual a , entonces

y como sabemos el valor de , tenemos .Como la elipse es horizontal sustituimos los valores y en la ecuacincorrespondiente:

Ejemplo 3.- Hallar los elementos de la elipse y bosqueja la grficaindicando sus elementos.

Solucin:

Lo primero que hacemos es pasar la ecuacin de la elipse de forma general a formacannica:


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Tomando en cuenta que el mayor denominador es y se encuentra bajo entoncestenemos que se trata de una elipse vertical con centro en el origen y que:

Encontramos el valor de c: Con esto obtenemos los elementos:

Vertical


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EJERCICIOS SOBRE ELIPSES1.- Halla la ecuacin desarrollada de la elipse que cumpla las siguientes caractersticas:

a) F( 2,0 ) y A( 4,0 ) b) F( 0,3 ) y A( 0,5 ) c) F(-4,0) y 2a = 12 d) F( 0,4 ) y e = 1/3 e) F( 0,-4 ) y e = 2/3 f) F(4,0) y F(-4,0 ), A(5,0) y A(-5,0) g) F(0,8) y F(0,-8), A(0,17) y A(0,-17) h) A(10,0) y A(-10,0) y L.R. = 5 i) F(0,6) y F(0,-6); b = 8

j) F(5,0) y F(-5,0) y e = 5/8

2.- Dada cada una de las ecuaciones siguientes de elipses, calcula las

coordenadas de los vrtices, las de los focos, la longitud del lado recto, el valorde la excentricidad y traza la grfica aproximada.

a) b) c)

d)


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BIBLIOGRAFA

Trigonometra; Frank Ayres Jr, Robert E. Moyer; Mc Graw Hill; serie schaum; 1991

Geometra Analtica; Joseph H. Kindle; Mc Graww Hill; serie schaum; 1991

Geometra Analtica; Samuel Fuenlambrada; Mc Graw Hill; 1995

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Trigonometra y Geometra Analtica Bsicas; Jos Alberto May Moreno, Juan Antonio

Pech Chan, Luis Alberto Reyna Peraza; Ed. Progreso; UADY; 2003

Matemticas 3, enfoque por competencias; Mara Estela Navarro Robles, Armando

Preciado Babb; Fernndez editores; 2011

material de apoyo de mate 3

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