materia matematicas ii

PORCENTAJE

Porcentaje es una parte de un cien

20% Por cada 100 unidades tomo 20. Tanto por ciento.

5% Por cada 100 unidades tomo 5. Tanto por ciento.

0,09% Por cada 1 unidad tomo 0,09. Tanto por uno.

Ejemplos

TANTO POR CIENTO. TANTO POR UNO

4% 0.04 0.05 5%

12% 0.12 0.19 19%

50% 0.50 0.65 65%

170% 1.70 3.29 329%

51

4% 5.25% 0.0525

71

2% 7.5% 0.075

123

4% 12.75% 0.1275

193

5% 19.60% 0.196

UTILIDADES DEL PORCENTAJE.

U= PV- PC

U= Utilidad

PV= Precio de Venta

PC= Precio de compra o Costo.

Hallar la utilidad de un pantaln cuyo precio de costo es $40 y su utilidad es de 17% sobre el

precio.

DATOS

U= 0.17 PV= PC (U)

PV= 40 PV= 40 (0,17)

PC=? PV= 46,80

APLICACIONES DEL TANTO POR CIENTO.

Hallar el precio de la factura de un refrigerador cuyo precio de vista es $930 y se aplica un

descuento del 9% por la compra al contado.

DATOS.

PF=? PF= PV (1- d)

PV= 930 PF= 930 (1 0.09)

d= 0.09 PF= 930 (0.91)

PF= 846, 30

Hallar el precio de una factura de una cocina cuyo precio de lista es $930 y se ofrece un

descuento de 71

4% al contado.

DATOS.

PF=? PF= PV (1- d)

PV= 930 PF= 930 (0. 9275)

d= 0.0725 PF= 862,58

Hallar el precio de la factura de una computadora cuyo precio es de $1,650 y se ofrece

descuento de 2% y 11% respectivamente por su compra.

DATOS.

PF=? PF= PV (1- d) (1- d)

PV= 1,650 PF= 1,650 (0. 98) (0.89)

d= 0.02 y 0.11 PF= 1,439.13

Hallar el precio de la factura de venta de un equipo de sonido cuyo precio de lista es $700 y se

ofrece un descuento del 3% y se aplica el impuesto del 12%.

DATOS.

PF=? PF= PV (1- d) (1 + 12)

PV= 700 PF= 700 (1 0.03) (1 + 0.12)

d= 0.03 PF= 700 (0. 97) (1.12)

i= 0.12 PF= 760, 48

Hallar el precio de factura de un electrodomstico cuyo precio de lista es $190 y se ofrece un

descuento de 3%, 6% y se aplica impuestos del 5% y 17%.

DATOS.

PF=? PF= PV (1- d) (1 + 12)

PV= 190 PF= 190 (1 0.09) (1 + 0.22)

d= 0.03 y 0.06 PF= 190 (0. 91) (1.22)

i= 0.05 y 0.17 PF= 210,94

Hallar la Utilidad de un pantaln, si el precio de compra es de $30 y de desea vender en $45.

DATOS.

PC= 30 U= PV - PC

PV= 45 U= 45 - 30

U=? U= 15

A qu precio se debe marcar un vestido para su venta y si se compr en $190 y se desea ganar el

18% sobre el precio de compra.

DATOS.

PC= 190 PV= PC (1 + im)

PV=? PV= 190 (1.18)

U=0.18 PV= 224,20

A qu precio se debe marcar un calentador, cuyo precio de compra es de $75 y desea obtener

una utilidad del 20% sobre el precio de venta. Hallar tambin la utilidad con respecto al precio

de venta y al precio de compra.

DATOS.

PC= 75 PV= PC + U U= PV - PC

PV=? PV= 75 + 0.20 PV U= 93.75 - 75

U=0.20 PV 0.20 PV = 75 U= 18.75

0.80 PV = 75

PV = 75

0.80

PV = 93,75

Utilidad en funcin del PV Utilidad en funcin del PC

93.75 100% 75 100%

18.75 X= 18.75100

93.75 = 20 18.75 X =

18.75100

75

= 25

Hallar el precio de compra de un artculo que se vendi en $130 con una utilidad del 35% sobre

el precio de compra.

PC=? PV = PC + U U= PV - PC

PV= 130 130 = PC + 0.35 PC U= 130 3.71

U= 0.35% PC 130

35 = PC U = 126,29

PC= 3.71

Utilidad en funcin del PC

130 100%

126,29 X = 126.29100

130 = 97.15

CLCULO DE n e i

CLCULO DE i

( + ) =

+ (

)

+

(1 + i)21 =5225

56

(1 + i) = (5225

56)

121

= ,

( + ) +

+

= (

)

(1 + i)4 = 23676,68

(1 + i) = (23676,68)14

= ,

( + ) +

+

= + ( , ) + (

)

(1 + i)6 = 738,15

(1 + i) = (738,15)1

6

= , %

( + ) +

= (

)

+

(2 + i)15 =10639

588

(2 + i) = (10639

588)

1

15

i = 78,71

CLCULO DE n

( +

)

=

+

( )

(1 +3

2)

n

=53

3

n log5

2= log

53

3

n =log

533

log52

= ,

(

)

+ +

=

+

(

)

(3

2)

n

= 32446,54

n =log 32446,54

log32

= ,

(

)

=

(

)

-(

)

= ,

n = log 343,75

log ( )

No tiene solucin., no hay log

PROGRESIONES ARITMTICAS

2, 5, 8, 11, 14, 17, 20. Progresin Aritmtica Creciente o Ascendente

6, 11, 16, 21, 26, 31

30, 28, 24, 20. Progresin Aritmtica Decreciente o Descendente.

CLCULO DE LA DIFERENCIA

Es la seleccin de dos trminos consecutivos de la progresin y resta el segundo menos el

primero

5, 2 12, 8

d= 2-5 d= 8-12

d=3 d= - 4

,

,

, ,

d =4

3 7

d = 17

3

,

,

,

d =9

5 8

d = 32

5

,

, , , ,

d=3

,

,

,

d = 9

20

CLCULO DEL LTIMO O ENESIMO TRMINO

6, 9, 12, 15, 18, 21, 24. Es una progresin

3, 5, 7, 11, 15, 19..No es una progresin

a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, a1 + 4d, a1 + 5d, a1 + 6d

1t 2t 3t 4t 5t 6t 7t

Primer trmino ms diferencia

37t = a1 + 36d

193t = a1 + 192d

589t = a1 + 588d

Para hallar el ltimo trmino aplicamos.

1. = + ( )

Primer trmino

Ultimo termino

Nmero total de trminos

Diferencia

CLCULO DE LA SUMA DE TRMINOS DE LA PROGRESIN ARITMTICA

Para sumar los trminos de una progresin aritmtica deducimos la siguiente frmula.

s = ( a1 + d) + ( a1 + 2d) + . . . + ( an 2d) + ( an d) + an (1)

Reordenando tenemos

s = an + ( an 2d) + ( an d) + . . . +( a1 + d) + ( a1 + 2d) a1 (1)

Sumando miembros a miembros (1+ 2) tenemos:

2s = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + + (a1 + an) + (a1 + an) +

2s = n (a1 + an)

Despejando tenemos

2. =

( + )

Sustituyendo la frmula del ltimo trmino en esta ecuacin tenemos:

3. =

[ + ( )]

Hallar el trmino 49 y la suma de la progresin siguiente.

6, 13

DATOS:

a1 =6 = + ( ) =

( + )

an = = 6 + (49 1)7 S =49

2(6 + 342)

n = 49 = 6 + (48)7 =8,526

d = 7 =

S =

Hallar el trmino 153 y la suma de la progresin siguiente:

50, 60

DATOS:

a1 =50 = + ( ) =

( + )

an = = 50 + (153 1)10 S =153

2(50 + 1570)

n = 153 = =123,930

d = 10

S =

Halar el trmino 39 y la suma de la progresin siguiente:

,

DATOS:

a1 =7

4 = + ( ) =

( + )

an = =7

4+ (39 1) (

23

20) S =

39

2(

7

4+ (

))

n = 39 =

=

d = 23

20

S =

Hallar el trmino 85 de la suma y la progresin siguiente:

,

DATOS:

a1 =1

2 = + ( ) =

( + )

an = =1

2+ (85 1) (

1

10) S =

85

2(

1

2+

89

10)

n = 85 =

=

d =1

10

S =

Hallar el trmino 35 de la suma y la progresin siguiente:

,

DATOS:

a1 =1

5 = + ( ) =

( + )

an = =1

5+ (35 1) (

27

40) S =

35

2(

1

5+

463

20)

n = 35 =

=

,

d =27

40

S =

Una persona adquiere una computadora por lo que se compromete a pagar el primer mes

$40 el segundo mes $ 48 el tercer mes $ 56 as sucesivamente. Hallar el precio total del

computador si los pagos lo hicieron durante un ao y medio.

40, 48, 56,

DATOS:

a1 = 40 = + ( ) =

( + )

an = = 40 + (18 1)8 S =18

2(40 + 176)

n = 18 = 176 =

d = 8

S =

Interpolar cuatro medios aritmticos entre 7 y 32.

7, 12, 17, 22, 27, 32

DATOS

a1 = 7 = + ( ) =

( + )

an = 32 32 = 7 + (6 1)d S =6

2(7 + 32)

n = 6 32 7 = 5d =

d = =

S =

PROGRESIONES GEOMTRICAS

Es una serie de nmeros ordenados, tal que cada trmino posterior al primero se obtiene

multiplicando o dividiendo un nmero fijo llamado razn de la progresin.

EJEMPLO

4, 12, 36, 108

7, -12, 63, -189.. LAS TRES SON PROGRESIONES CRECIENTES

6, 24, 61, 384..

81, 23, 9, 3, 1, 1/3 ,1/9, 1/27 ES UNA PROGRESIN DECRECIENTE

La razn es el segundo trmino dividido por el primero

36, 108 63, -21 96, 384 27, 9

r =180

36= 3 r =

21

63=

1

3 r =

384

96= 4 r =

9

27=

1

3

Es una progresin creciente cuando la razn es un nmero entero.

Es una progresin decreciente cuando la razn es una fraccin.

CLCULO DEL ENSIMO O LTIMO TRMINO Y LA SUMATORIA

Para hallar el ltimo trmino aplicamos

= ()

Primer trmino

ltimo o ensimo trmino

Nmero total de trminos

Razn

Suma

SUMA DE LOS TRMINOS.- Para sumar los trminos de una progresin geomtrica

deducimos la siguiente formula.

s = a1 + a1r + a1r1+a1r

2 + a1r3 + a1r

4 + () +

() ()

s = a1 + a1r + a1r1+a1r

2 + a1r3 + a1r

4 + () ()

S =a1anr

1r Utilizo cuando no conozco el an

S =a1a1r

n

1r Utilizo cuando no conozco el a1

Hallar el trmino 39 y la suma de los trminos dada la siguiente progresin geomtrica

7, 28, 112

DATOS

a1 = 7 = () =

an = an = 7(4)(391) S =

77(4)39

14

n =39 = , = ,

r = 4

S =

Hallar el trmino 54 y la suma de los trminos dada la siguiente progresin geomtrica.

7, 28

DATOS

a1 = 7 = () =

an = an = 7(4)(541) S =

77(4)54

14

n =54 = , = ,

r = 4

S =

Hallar el trmino 62 de la siguiente progresin

34,

5

7,

DATOS

a1 =3

4 =

() =

an = an =3

4(

20

21)

(621) S =

3

4

3

4(

21

20)

62

120

21

n = 62 = . = ,

r =20

21

S =

DATOS

a1 = = () =

an = 620 620 = (5)(n1) 2.300 =

620(5)

15

n = 620 =6100(5)n

5 9200 + 3100 = a1

r = 5 3100 = 6100(5)n =

S = 2.300 3100

6100= 5n

log 31

61= n log 5

No existe esta progresin.

Una maquina tiene un costo de $ 3.5000 y al final de cada ao sufre una depreciacin del

4% del valor que tiene al principio del ao determine el costo de la mquina al final del

dcimo cuarto ao de uso.

DATOS

C = 3.500 = ( ) = ()

an = a1 = 3.500(1 0.04) an = 3.360(0,96)(141)

n = 14 = . = . ,

d = 0.04

Determine el valor de una maquina al cabo de 20 aos de uso si su costo inicial fue de

20.000 y al final de cada ao sufre una depreciacin del % del precio que tuvo al

principio del ao.

DATOS

C = 20.000 = ( ) = ()

an = a1 = 20.000(1 0.0325) an = 19.350(0,9675)(201)

n = 20 = . = ,

PROGRESIONES ARMNICAS

Es el reciproco de la progresin aritmtica

5, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54, 61, 68 ARITMTICA

1/5 ; 1/12 ; 1/19 ; 1/26 ; 1/33 ;1/40 ; 1/47 ; 1/54 ; 1/61 ; 1/68ARMNICA

Hallar el trmino 17 y la suma de los 17 primeros trminos de la progresin siguiente.

3, 11, 19, 27, 35

DATOS

a1 = 3 = + ( ) =

( + )

an = an = 131 S =17

2(3 + 131)

n = an = 17 = .

d = 8

S =

an =1

131 Progresin armnica

=1

1.139 Progresin armnica

1

3,

1

11,

1

19,

1

27,

1

35

INTERS SIMPLE

Banco tasa pasiva tasa de retorno

Usuario tasa activa tasa de inters

i = Tasa de inters

=

(el tiempo es un ao)

Calcular la tasa de inters de un capital $ 230 que genera un inters de 35.

Datos

= 230

= 35

=I

C =

35

230 = 15.217%

Calcular la tasa de inters de un capital $ 13,600 que genere un inters de 235

= 13,600

= 235

=I

C =

235

13,600 = 1.727%

Calcular la tasa de inters de un capital $ 21,980 que genere un inters de 5,320

= 21,980

= 5,320

=I

C =

5,320

21,980 = 24.204%

= . .

= Interes

= tasa de interes

= Capital

= Tiempo

Calcular el inters de un capital de $ 920 colocado con una tasa de inters del 4% durante

2 aos.

DATOS I = C(i)(t)

C = 920 I = 920(0,04)(2)

I = I = 73,60

i = 0.04

t = 2

Calcular el inters de un capital de $ 23.570 colocado con una tasa de inters del %

durante 1 aos y 6 meses.

DATOS I = C(i)(t)

C = 23.570 I = 23.570(641)(1,5)

I = I = 2209,69

i = 641

t = 1,5

Calcular el inters de un capital de $ 13.100 colocado con una tasa de inters del %

durante 13 meses.

DATOS I = C(i)(t)

C = 1938,58 I = 1938,58(0,1367)(1,083)

I = I = 287

i = 0,1367

t = 1,083

Calcular el inters de un capital de $ 9.550 colocado con una tasa de inters de 7 %

durante 8 meses.

DATOS I = C(i)(t)

C = 9.550 I = 9.550(0,07) (2

3)

I = I = 445,67

i = 0,07

t =2

3

Calcular el inters de un capital de $ 2.200 colocado con una tasa de inters de 4%

durante 170 das.

DATOS I = C(i)(t)

C = 2.200 I = 2.200(0,04) (17

3)

I = I = 498,67

i = 0,04

t =17

3

TIPOS DE INTERS SIMPLE

1. Inters simple exacto

Cuando se utiliza ao calendario 365 o 366

2. Inters simple ordinario

Cuando uso el ao comercial 360 das o todos los meses tienen 30 das.

CALCULO DE TIEMPO

1.- Tiempo exacto

2.- Tiempo aproximado

Fecha Final

- Fecha Inicial

Hallar el tiempo transcurrido desde el 30 de Agosto del 2006 hasta el 31 de Diciembre del

2007.

TIEMPO APROXIMADO

2007 12 31

2006 08 30

1 4 1

481 das

TIEMPO EXACTO

265

- 242

+ 365

488 das

Hallar el tiempo transcurrido desde el 30 de Mayo del 2011 hasta el 25 de Febrero del

siguiente ao.

TIEMPO APROXIMADO

2012 02 25

2011 05 30

2011 14 25

2011 05 30

2011 13 55

2011 05 30

0 8 25

265 das

TIEMPO EXACTO

56

- 150

+ 365

271 das

Hallar el tiempo que transcurre desde el 15 de Septiembre del 2006 hasta el 02 de Mayo

del 2009.

TIEMPO APROXIMADO

2009 05 02

2006 09 15

2008 17 02

2006 09 15

2008 16 32

2006 09 15

2 7 17

947 das

Se aumenta da porque el ao 2008 es bisiesto.

TIEMPO EXACTO

122

- 258

- 136

+1095

959 das

Se aumenta da porque el ao 2008 es bisiesto.

Hallar el inters de una cantidad de $ 3,200 colocados al 3% desde el 7 de Noviembre del

2001 hasta 15 de Abril del siguiente ao.

DATOS

= 3,200

= 0.3

TIEMPO APROXIMADO

2002 04 15

2001 11 7

2001 16 15

2001 11 7

0 5 8

158 das

TIEMPO EXACTO

105

- 311

+ 365

159 das

Inters Simple Exacto con Tiempo Aproximado Inters Simple Ordinario con Tiempo Aproximado

3,200(0.03) (158

365) = 41.57

3,200(0.03) (158

360) = 42.13

Inters Simple Exacto con Tiempo Exacto Inters Simple Ordinario con Tiempo Exacto

3,200(0.03) (159

365) = 41.82

3,200(0.03) (159

360) = 42.40

Hallar el inters simple de una capital de $ 5,600 colocados a una tasa de 7% desde el 3 de

Mayo del 2010 hasta 15 de Abril del 2012 en sus dos formas.

DATOS

= 5,600

= 0.07

TIEMPO APROXIMADO

2012 04 15

2010 05 3

2011 16 15

2010 05 3

1 11 12

703 das

Se aumenta 1 da porque el ao 2012 es bisiesto

TIEMPO EXACTO

105

- 123

+ 365

713 das

Se aumenta 1 da porque el ao 2012 es bisiesto


5,600(0.07) (703

365) = 755.00

5,600(0.07) (703

360) = 765.49


5,600(0.07) (713

365) = 765.74

5,600(0.07) (713

360) = 776.38

Hallar el inters simple en sus dos formas de un capital de $ 8,300 colocados con una tasa

de 12% desde el 30 de Septiembre del 2011 hasta el 5 de Junio del siguiente ao.

DATOS

= 8,300

= 0.12

TIEMPO APROXIMADO

2012 06 05

2011 09 30

2011 16 05

2011 09 30

2011 16 35

2011 09 30

0 8 5

246 das Es 247 das se aumenta 1 da porque el ao 2012 es bisiesto.

TIEMPO EXACTO

156

- 273

+ 365

248 das Es 249 das se aumenta 1 da porque el ao 2012 es bisiesto.


8,300(0.12) (246

365) = 671.28

8,300(0.12) (246

360) = 680.60


8,300(0.12) (249

365) = 679.46

8,300(0.12) (249

360) = 688.90

MONTO

= +

= + . .

= ( . . )

= Monto = Capital = tasa de interes = tiempo

Hallar el monto de un capital $ 5,300 colocado con una tasa del 13% anual durante 7

meses.

DATOS = ( + )

C = 5,300 M = 5.300 (1 + (0.13) (7

12))

i = 0.13 M = 5,701.92

t =7

12

Determinar el monto de un capital de $6,400 colocados a una tasa del 5% desde 5 Abril

hasta 1 de Noviembre del mismo ao.

DATOS 305 = ( + )

C = 6,400 -95 M = 6,400 (1 + (0.09) (210

360))

i = 0.09 210 das M = 7,736

t = 210 dias

Determinar el monto de un capital $ 8,200 colocados con una tasa del 13% semestral

durante 135 das.

DATOS = ( + )

C = 8,200 M = 8,200 (1 + (0.13) (153

180))

i = 0.13semest M = 8,999.50

t = 153 dias

Hallar el monto del capital del $13,000 con una tasa del 20% trimestral colocado desde el 5

de Febrero hasta el 1 de Diciembre.

DATOS 335 = ( + )

C = 13,000 -35 M = 6,400 (1 + (0.09) (210

360))

i = 0.20 trims 290 das M = 7,736

t =

Hallar el monto de un capital de $1,500 colocado al 2% mensual desde el 7 de Abril del

2011 hasta el 20 de Febrero del mismo ao.

DATOS 51 = ( + )

C = 1,500 -97 M = 1,500 (1 + (0.02) (319

30))

i = 0.02 Mensual 365 M = 1,819

t = 319 das

Hallar el monto de un capital de $4.200 con una tasa de 1% diario desde el 29 de Marzo

hasta el 31 de Diciembre del mismo ao.

DATOS 365 M = C(1 + i t)

C = 4,200 -88 M = 4,200(1 + (0.01)277)

i = 0.01 diario 277dias M = 15,834

t =

Hallar el monto de un capital de $9,300 colocado con una tasa de 11% durante 7 meses.

DATOS M = C(1 + i t)

C = 9,300 M = 9,300 (1 + (0.11) (7

12))

i = 0.11 M = 986.75

t = 7 meses

CLCULO DEL VALOR ACTUAL

M = C(1 + i t)

=

( + )

= ( + )

= Capital

= Monto

= Tasa de interes

= tiempo q esta en aos

GRAFICA DE TIEMPO Y VALOR

Valor nominal Valor Presente Valor final Monto

Fecha de inscripcin Fecha de Negociacin Fecha de Vencimiento

Hallar el valor actual, el da de hoy de un documento de $15.000 colocado durante 300 das

con un tasa de 7% anual.

DATOS

C = 15,000 14,173.22 i = 0,07 15,000

i = 0.07 anual 0 300 das

t = 300 dias =

(+)

c =15,000

(1+(0.07)(300

360))

= , .

En el problema anterior determine el valor actual si el tiempo es 60 das antes de

vencimiento

14,173.22 14,827.02

60 das

=

(+)

c =15,000

(1+(0.07)(60

360))

= , .

Una persona firma un documento de 9,300 con una tasa del 11% desde 30 de marzo hasta

5 de diciembre del mismo ao determine el valor actual de ese documento el 25 de

septiembre si se aplica una tasa del 19% semestral.

9,300 14,827.02

30-03

89 das

25-09

268 das

05-12

339 das

i = 0.11

= ( + ())

M = 9,300 [1 + 0,11 (250

360)]

M = 10,010.42

Un documento por $15.000 se firma el 12 de marzo con una tasa del 15% semestral desde

su suscripcin hasta el 1 de noviembre del mismo ao. Determine el valor actual del

documento el 7 de julio sin la tasa de inters es del 3% mensual.

15,000

t = 305 71 = 234

t = 305 188 = 117 = ( + ())

M = 15000 [1 + 0,15 (234

180)]

M = 17925

El 7 de febrero se suscribe 1 documento por $13.500 con una tasa del 17% trimestral hasta

el 20 de diciembre del mismo ao. Determinar el valor actual de ese documento 20 das

antes de su vencimiento si se reconoce una tasa del % diario.

13,500

t = 354 38 = 316

t = 354 20 = 334

= ( + ())

M = 13500 [1 + 0,17 (316

90)]

M = 21.558

=

+ ()

= 10.010,42

[1 + 0.19(71

180 )]

= 9,312.50

=

+ ()

= 17925

[1 + 0,03(11730 )]

= 16.047,45

7-07

188 das

01-11

305 das

i = 0.15

i= 0.03

07-02

38 das

20 das

i =0.0125 20-12

354 das

i = 0.17

=

+ ()

= 21.558

[1 + 0,0125(20 )]

= 17.246,40

12-03

71 das

CLCULO DE LA TASA DE INTERS

= . . = ( + . )

=

. =

.

A que tasa de inters se debe colocar un capital de $ 8,300 para que genere un inters de

$ 45 durante 7 meses.

DATOS

C = 8,300 i =45

8,300(7

12)

I = 45 i = 00.09294%

t = 7

Hallar a que tasa de inters semestral se debe colocar un capital de $ 5,200 desde el 5 de

Enero hasta el 3 de Diciembre del mismo ao para obtener el triple.

DATOS

C = 5,200 i =15,600 5,200

5,200( 332

180)

I = 45 i = 108.4337%

t = 332 d

M = 15,600

A que tasa de inters trimestral se debe colocar un capital de $ 8,000 para que nos

produzca

veces ms desde el 6 de Abril hasta el 9 de Mayo del mismo ao.

DATOS

C = 8,000 i =14,000 8,000

8,000( 33

90)

I = i = 204.5455%

t = 33 d

M = 14,000

Hallar a que tasa de inters de un capital de $ 6,900 que se convierte en 13,700 en 8 meses.

DATOS

C = 6,900 i =13,700 6,900

6,900( 8

12)

I = i = 147.8261%

t = 8

M = 13,700

CLCULO DE TIEMPO

=

=

En qu tiempo tiene un capital de $ 2800 genera $ 65 al 7 %

Datos:

C= $ 2800

I= 65

i= 0.07

En qu tiempo tiene un capital de $ 7,000 gana $ 130 con una tasa del 11 %

Datos:

C= $ 7,000

I= 130

i= 0.11

En qu tiempo tiene un capital de $ 4,500 gana $ 135 con una tasa del 0,5 %

Datos:

C= $ 7,000

I= 130

i= 0.005

En qu tiempo tiene un capital de $ 3900 se convierte en $ 11200 con una tasa del 17 %

semestral

Datos:

C= $ 3,900

i= 0.17

M= 11,200

En qu tiempo un capital de $ 15,000 se convierte en $ 27,000 con una tasa del 13%

semestral

= 65

2800 0.07

t= 0.331632 aos 3 meses 29 das 9 horas

t= 119 das

=

130

7,000 0.11

t= 0.168831168 aos 2meses 0 das 18 horas

t= 61 das

= 135

4500 0.005

t= 6 meses

= 11,200 3,900

3,900 0.17

t= 11 meses 66 meses 2 das

t= 1,982 das

Datos:

C= $ 15,000

i= 0.13

M= $ 27,000

CLCULO DE SALDOS DEUDORES

Algunas instituciones y casas comerciales que trabajan con crditos utilizan uno de los dos

mtodos.

Acumulacin de intereses o mtodo de lagarto

Intereses sobre saldos deudores

PROBLEMAS

Una cooperativa de ahorro y crdito otorga un prstamo de $ 14.000 con un tasa del 2%

mensual para aos. Determine el valor de la cuota mensual por los dos mtodos.

MTODO DEL LAGARTO

DATOS = ( + ) =

#

C = 14.000 M = 14.000(1 + (0,02 42)) VCM = 25.760

42

t =42 meses M =25.760 VCM = 613,33

i = 0,02 =

I = 25.760 14.000

I = 1.760

MTODO DE SALDOS DEUDORES

=

# = ( ) = +

VCMSI = 14.000

42 I1 = 14.000(0,02 1) C1 = 333,33 + 280

VCMSI = 333,33 I1 = 280 C1 = 613,33

= 27,000 15,000

15,000 0.13

t= 6.1538 semestres

t= 5 meses

t= 16 das

= ( ) = + = , + ()(, )

I2 = 13.66.67(0,02 1) C2 = 333,33 + 273,23 U = 339,86

I2 = 273,23 C2 = 606,66

=

(, + , ) =

# = . , .

S = 20.016,99 VCM =20.016,99

42 I = 6.016,99

VCM = 476,60 i =6.016,99

(14.00042)

i = 1,0233%

Una agencia de autos vende automviles en $20.000 con una cuota inicial del 30% y el

resto a 40 meses plazos con una tasa del 13%. Determine el valor de la cuota mensual por

los dos mtodos.

MTODO DEL LAGARTO

DATOS = ( + ) =

#

= 14.000 M = 14.000 (1 + (0,13 40

12)) VCM =

20.066,67

40

=40 meses M =20.066,67 VCM = 501,67

= 0,13 Anual =

I = 20.066,67 14.000

I = 6.606,67

MTODO DE SALDOS DEUDORES

=

# = ( ) = +

VCMSI = 14.000

40 I1 = 14.000 (0,13

1

12) C1 = 350 + 151,67

VCMSI = 350 I1 = 151,67 C1 = 501,67

= ( ) = + = , +

()(, )

I2 = 13.650 (0,13 1

12) C2 = 350 + 147,88 U = 353,86

I2 = 147,88 C2 = 497,88

=

(, + , ) =

# = . , .

S = 17.110,60 VCM =17.110,60

40 I = 3.110,6

VCM = 427,77 i =3.110,6

(14.00040)

i = 0.5555%

DESCUENTO RACIONAL O SIMPLE

=

El 7 de diciembre se firm un documento de $ 3.600 a 190 das plazo. Hallar el descuento

racional de ese documento si se descuenta el 5 de Abril del siguiente ao con una tasa del

3% mensual.

341 13.500 3.600

-190 341dias 95das i=0,03 166das

531 =

(+) =

365 C =3.600

(1+(0.0371

30))

Dr = 3.600 3.361,34

166 C =3.361,34 Dr = 238,66

COMPROBACIN

= ( )

I = 3.361,34 (0.03 (71

30))

I = 238.66

Determine el descuento racial de un pagare de $ 4.800 firmados el 6 de Octubre del 200

con una tasa del 17% desde su suscripcin hasta el 4 de Abril del 2011 si se descuenta el 29

de Noviembre del 2010 con una tasa del 22% semestral.

279 4.800 = , 3.600

-94 279--2009 333das i=0,03 94--2010

730 = ( + ) =

(+)

545 das M = 4.800 (1 + 0,17 (545

360)) C =

6.035,33

(1+0,22(126

180))

M = 6.035,33 C = 5.229,92

= COMPROBACIN

Dr = 6.035,33 5.229,92 I = 5.229,92(0,22) (126

180)

Dr = 805,41 I = 805,41

El 7 de Enero se firma un pagare por $5.800 con una tasa del 22% trimestral este

documento se tiene que pagar el 29 de Diciembre del mismo ao. Hallar el descuento

racional si se descuenta 20 das antes de su vencimiento con una tasa de 0,01%.

365 5.800 = ,

-7 7 enero 20 das i=0,0001 29 diciembre

356 Das 7 365

= ( + ) =

(+)

M = 5.800 (1 + 0,22 (356

90)) C =

10.847,29

(1+0,0001(20

30))

M = 10.847,29 C = 10.846,57

= COMPROBACIN

Dr = 10.847,29 10.846,57 I = 10.846,57(0.0001) (20

30)

Dr =0,72 I = 0,72

DESCUENTO BANCARIO

El descuento bancario se calcula de la siguiente manera

= = ( )

=

=

=

=

Hallar el descuento bancario de un banco, aplica a un cliente que descuenta un pagare de

$7.900 el da de hoy a 120 das plazo consideran una tasa del 13%.

7.900 7.900

0 d=0,13 120 das

Db = 7.900(0,13) (120

360)

Db = 432,33

Determinar el descuento bancario de un documento $ 8.900 firmado el 7 de Febrero a 220

das plazo con una tasa de inters del 11% si se descuenta el primero de Mayo del mismo

ao con una tasa del 17% trimestral.

8.900 i = 0,11

7 febrero 1 mayo 220 das

38 121 258

= ( + ) =

M = 8.900 (1 + 0,11 (220

360)) Mb = 9.498,28(0,17) (

137

90)

M = 9.498,28 Mb = 2.457,94

= ( ) =

Cb = 9.498,28 (1 0,17 (137

90)) D = 2.457,94 7.040,34

Cb = 7.040,34 D = 2.457,94

DESCUENTO SIMPLE

= =

= = ( )

=

()

El 7 de Octubre se firma un documento de $ 5.800 con una tasa de 13% a 310 das plazo.

Hallar el valor efectivo que se recibe, si se descuenta este documento el 5 de Febrero del

siguiente ao con una tasa del 19% trimestral.

280 5.800 = ,

-225 7 Octubre 15 Febrero 29 Diciembre

365 280 36 i=0,19 225

310das

M = 5.800 (1 + 0,13 (310

360)) Cb = 6.445,28 (1 0,19 (

189

90))

M = 6.445,28 Cb = 3.876.02

= COMPROBACIN

Db = 6.445,28 3.876.02 =

Db = 2.573,26 Db = 6.445,28(0,19) (189

90)

Db = 2.573,26

Cuanto debe solicitar Margarita en el Banco de Pichincha para obtener $7.300 con una

tasa del 15% para dentro de 130 das plazo.

=

() =

7.300

(10,15(130

360))

= 7.718,06

Relacin entre la tasa de inters (i) y la tasa de descuento

1. La tasa de inters simple se utiliza en el descuento racional o matemtico y se aplica

generalmente sobre el capital.

2. La tasa de descuento se utiliza en el descuento bancario y generalmente se aplica en el

monto

Hallar el descuento racional y el descuento bancario de un pagare de $8.000 a 290 das

plazo si se descuenta 55 das antes de su vencimiento con una tasa del 11% trimestral.

800 = ,

0 55 290

i = 0,11

=

(+) = ( ) =

C =800

(1+0,11(55

90))

Cb = 800 (1 0,11 (55

90)) Cb = 800(0,11) (

55

90)

C = 749,60 Cb = 746,22 Cb = 53,78

La relacin entre las tasas queda establecida de la siguiente forma.

= ( + ) =

()

=

() =

(+)

A que tasa de inters equivale una tasa de descuento del 22% durante 140 das.

=

() =

0,22

(10,22(140

360))

= 24,0583%

A que tasa de inters equivale una tasa de descuento del 25% durante 8 meses.

i =0,25

(10,25(8

12))

= 3%

A que tasa de descuento equivale una tasa de 33% durante 230 das.

d =0,33

(1+0,33(230

360))

= 27,2540%

A que tasa de descuento equivale una tasa de 30% durante 8 meses.

d =0,30

(1+0,30(8

12))

= 25%

Una persona realiza el descuento de un pagare a 220 das plazo por $8.700. 40 das antes

de la fecha de vencimiento con una tasa del descuento del 11% ese mismo da el Banco de

Pichincha redescuento el documento en el Banco Internacional con una tasa del 7%.

Determine el dinero que recibe la persona y el dinero que recibe el Banco del Pichincha.

Cb = 8.700(1 + 0,11) (40

360) Cb = 8.700(1 0,07) (

40

360)

Cb = 8.593,67 Cb = 8.632,34

Recibe el persona Recibe el banco

UNIDAD N=2

ECUACIONES DE VALOR

= ( + ) =

(+)

=

(+) = ( )

Fecha Montos F .F valor actual

Las Ecuaciones de Valor se utiliza para resolver problemas de matemtica financiera donde se

remplaza un conjunto de obligaciones con diferentes fechas de vencimiento por una o varias

fechas de referencia por un valor o varios valores previo acuerdo ante acreedor y deudor.

Reemplazar un conjunto de valores, deudas, obligaciones para un solo valor.

Comparacin de oferta para comprar y vender.

Para calcular el moto de una serie de depsitos a corto plazo.

Para calcular el capital de una serie de depsitos d cort plazo.

Una empresa tiene las siguientes obligaciones de $15.000 a 60 das plazo, $20.000 a 130

das plazo, $30.000 a 250 das plazo, $35.000 a 300 das plazo. La empresa desea remplazar

todas estas obligaciones considerando una tasa del 15% a los 330 das plazo.

15.000 20.000 30.000 35.000 X

0 60 130 250 300 310

= + + +

t1 = 270 das X = 15.000 (1 + 0,15 (270

360)) + 20.000 (1 + 0,15 (

200

360)) +

t2 = 200 das 30.000 (1 + 0,15 (80

360)) + 35.000 (1 + 0,15 (

30

360))

t3 = 80 das X = 104.796,67

t4 = 30 das

2 3 4

1 =0,15

En el problema anterior determine el valor de pago si lo hacemos el da de hoy.

X

15.000 20.000 30.000 35.000

0 60 130 250 300

F .F

= + + +

X =15.000

(1+0,15(60

360))

+20.000

(1+0,15(130

360))

+30.000

(1+0,15(250

360))

+35.000

(1+0,15(300

360))

X = 91.887,40

En el problema numero 1 hallar el valor de cada pago si la empresa realiza dos pagos

iguales a los 200 y 350 das plazo, tomado como fecha focal a los 200 das.

X

15.000 20.000 30.000 35.000 X

0 60 130 200 250 300 350

F .F

= + + +

X = 15.000 (1 + 0,15 (140

360)) + 20.000 (1 + 0,15 (

70

360)) +

30.000

(1+0,15(30

360))

+35.000

(1+0,15(100

360))

X

(1+0,15(150

360))

X = 99.446,09 0,9411X

X =99.446,09

1,9411

X = 51.231,82

Una persona debe $2.600 a 90 das plazo con una tasa del 1,5% mensual; $4.000 a 140 das

plazo con una tasa del 6 %trimestral; $7.000 a 220 das plazo con una tasa del 9%

semestral; $11.000 a 300 das plazo con una tasa del 17% esta persona desea remplazar

todas estas deudas por una solo pago a los 200 das plazo con una tasa de descuento del

11%. Hallar el valor de dicho pago.

M1 = 2.600 (1 + 0,015 (90

30)) =2.717

M2 = 4.000 (1 + 0,06 (140

90)) =54.373,33

2

3 4

1

=0,10

2 3 1

1 2

M3 = 7.000 (1 + 0,09 (220

180)) =7.770

M4 = 11.000 (1 + 0,17 (300

360)) =12.558,33

X

2.717 4.373,33 7.770 12.558,33

0 40 60 63 65 200

X = M1 + M2 + C1 + C2 F .F

X =2.717

(10,11(110

360))

+4.373,33

(10,11(60

360))

+ 7.770 (1 0,11 (20

360)) + 12.558,33 (1 0,11 (

100

360))

X =27.163,62

Una persona desea vender su terreno y recibe tres ofertas $2.000 al contado y 2.000 a 1

ao plazo; la segunda 1.500 al contado y 2 letras de 1250 a los 7 y 11 meses plazos; tercero

600 al contado con una letra de 400 a 2 meses plazos y 2 letras de 1500 cada una a los 5 y 9

meses plazo respectivamente. Determine cual oferta le conviene al vendedor si se recarga

una tasa del 2% mensual.

Primera oferta

X X = 2.000 +2.000

(1+0,02(12))

2.000 2.000 X = 3.612,90

0 12 meses

F.F

Segunda oferta

X X = 2.500 +1.250

(1+0,02(7))+

1.250

(1+0,02(11))

2.500 1.250 1.250 X = 3.621,08

0 7 11meses

F.F

Tercera oferta

X

600 400 1.500 1.500

0 2 meses 5 meses 9 meses

F.F X = 600 +400

(1+0,02(2))+

1.500

(1+0,02(5))+

1.500

(1+0,02(9))

2 1

1 2

X = 3.619,44

Desde el punto de vista del vendedor le conviene la segunda oferta

Desde el punto de vista del comprador le conviene la primera oferta

Hallar el monto de una serie de depsitos de $ 450 que se hacen durante 4 meses con una

tasa del 7%. M

450 450 450 450

1 2 3 4

X = 450 (1 + 0,07 (3

12)) + 450 (1 + 0,07 (

2

12)) + 450 (1 + 0,07 (

1

12)) + 450

X = 1.815,75

Si el problema anterior se utiliza una tasa anticipada y los meses por anticipado cual es el

monto.

450 450 450 450

0 1 2 3 4

X = 450 (1 + 0,07 (4

12)) + 450 (1 + 0,07 (

3

12)) + 450 (1 + 0,07 (

2

12))

+ (1 + 0,07 (1

12))

X = 1.826,25

Determinar el valor de la deuda original si Jessica deposita cada mes durante 5 meses con

una tasa del 11%

X 350 350 350 350 350

0 1 2 3 4 5

X =350

(1+0,11(5

12))

+350

(1+0,11(4

12))

+350

(1+0,11(3

12))

+350

(1+0,11(2

12))

+350

(1+0,11(1

12))

X = 1.703,43

CUENTAS DE AHORRO

La seorita Avils tiene una cuenta de ahorro en la cual realiza las siguientes

transacciones:

2l 10-01 depositas 1500 para abrir su cuenta

El 13-02 deposita 500 el 5-03 retira 800

El 10-04 retira 500 el 9-05 deposita 600.

Cuanto tendr en su cuenta si se aplica una tasa de inters de 8% al final del primer

semestre.

Depsitos (+) Retiro (-)

I1 = 1500(0,08) (17

360) I1 = 800(0,08) (

117

360)

I1 = 57 I1 = 20,80

I2 = 500(0,08) (137

360) I1 = 500(0,08) (

81

360)

I1 = 15,22 I1 = 9

I3 = 600(0,08) (52

360) IC = I1 + I2

I1 = 6,93 TC = 20,80 + 9

TA = I1 + I2 + I3 IL = TA TC = ,

TA = 57 + 15,22 + 6,93 IL = 79,15 29,80 CC =800+500

= , IL = 49,35 CC =1.300

CA = 1.500 + 500 + 600

CA = 2.600

CL = 2.600 1.300 M = 1.300 + 49,35

CL = 1.300 M = 1.349,35

FECHA DEPOSITO RETIRO SALDO INTERES

+ -

10-Enero 1.500 1.500 57

13-Febrero 500 2.000 15,22

05-Marzo 800 1.200 28,8

10-Abril 500 700 9

09-Mayo 600 1.300 6,93

30-Junio 4,35 1.349,35 79,15 29,8

La seorita XX posee una cuenta de ahorro con $200 el 30-06 y realiza las siguientes

transacciones,

04-07 deposita $600,

El 09-08 retira $700,

El 20-09 retira $300,

El 20 -10 deposita $150,

El 20-01 retira $200.

Liquide esta cuenta al 31 -12 con una tasa del 9%.


+ -

30-Junio 2.000 2.000 92,00

04-Julio 600 2.600 27,00

09-Agosto 700 1.900 25,20

20-Septiembre 300 1.600 7,65

20-Octubre 150 1.750 270,00

20-Enero 200 1.550 0,55

31-Diciembre 88,30 1.638,30 121,70 33,40

Una persona tiene una cuenta de ahorros en lo que realiza las siguientes transacciones:

1.600 deposita el 3-01 para abrir su cuenta.

12-02 retira $600

4-03 deposita 200

15-04 retira 500

2-06 deposita 900

5-07 retira 300

9-09 retira 100

29-10 retira 400

La cuenta se liquida semestralmente para el primer semestre se reconoce con una tasa del

7% y la segunda semestre con una tasa del 5% cuanto tendr esta persona el 31-12.


+ -

03-Enero 1.600 1.600 55,37

12-Febrero 600 1.000 16,10

04-Marzo 200 1.200 4,59

15-Mayo 500 700 4,47

02-Junio 900 1.600 4,90

30-Junio 44,33 1.644,30 64,86 20,57

30-Junio 1.644,30 42,02

05-Julio 300 1.344,30 7,76

09-Septiembre 100 1.244,30 1,57

29-Octubre 900 2.144,30 7,88

23-Diciembre 400 1.744,30 0,44

40,43 1.784.73 49,90 9,47

INTERS COMPUESTO

El inters simple se utiliza a corto plazo y se calcula una sola vez

El inters compuesto se utiliza a largo plazo y se utiliza dependiendo los perodo s

Hallar el inters simple t el inters compuesto de un capital de $10000 colocados al

17% durante 5 perodos.

INTERS SIMPLE

= 10000(1 + 0.17(5))

= 18500

= 18500 1000

I = 8500

i =d

m

n = m. t

INTERS COMPUESTO

= 1000(1 + 0,17(1))

= 11.700

= 1170(1 + 0,17(1))

= 13.689

= 13689(1 + 0,17(1))

= 16.016,13

= 16.016,13(1 + 0,17(1))

= 18.738,87

= 18.738,87(1 + 0,17(1))

= 21,924.48

= 21,924.48(1 + 0,17(1))

= 11,924.48

VARIABLES

=

= ()

i= tasa de inters

j= tasa nominal

m= la convertibilidad en 1 ao

n= total de periodos

Determine el nmero de perodo s de convertibilidad (n) y la tasa de inters (i) durante 11

aos 13% convertible semestralmente.

i =0.13

2

i = 0,065

i = 6,50% Semestres

n = 2(11)

n = 22

Hallar (i), (n) durante 7 aos con una tasa del 11% capitalizable quimestralmente

i =0.14

2,4

i = 4,58%

n = 2,4(7)

n = 16,8 quimestres

Hallar (i), (n) durante 5 aos con una tasa del 6,5% capitalizable trimestralmente

i =0.065

4

i = 1,63%

n = 4(5)

n = 20 trimestres

Hallar i, n de un capital colocado a inters compuesto durante 12 aos y 7, meses con una

tasa del 20% convertible cuatrimestral.

i =0.20

6,67

i = 2,99%

n = 3(12)

n = 37 cuatrimestres

Hallar i,n colocado con una tasa de inters compuesta durante 4 aos 10 meses con una

tasa del 9% compuesto bimensual

i =0.09

6

i = 1.5%

n = 6(4)

n = 29 bimensuales

MONTO COMPUESTO

= ( + )

= ( +

).

Una empresa obtiene un prstamo de $ 3500 a 8 aos plazo con una tasa del 17%

capitalizable mensualmente hallar el inters compuesto

c = 3500

j = 0.17

m = 2

t = 8

M = 35000 + (1 +0.17

2)(2(8))

M = 129.105,24

I= M C

I= 94.105,24

Una empresa tiene un prstamo $25000 a 15 aos plazo con una tasa del 19% capitalizable

quimestralmente

M = 25000 + (1 +0.19

2.4)(36)

M = 38.8177,38

I= M C

I = 388177 25000

I= 363171,38

CONVERTIBILIDAD CONTNUA O INSTANTNEA

M = C (1 + i)t

Determine el monto de un capital de $ 25000 a inters compuesto durante 15 aos y 9

meses si la tasa de inters es

a) Tasa 7% efectivo

i= 0,07

n= 15,75

M = 2500(1,007)(15,75)

M = 72566,22

b) Tasa 7 % compuesta quimestralmente

i= 0,029

n= 37,8 quimestres

M = 2500(1,02916)(37,8)

M = 74095,79

c) 7% compuesto cuatrimestral

i= 0,0233

n= 47,25

M = 2500(1,02333)(47,25)

M = 74.333,08

d) 7% compuesto trimestral

i= 0,0175

n= 63

M = 2500(1,0175)(63)

M = 74.577,59

e) 7 % bimensual

i= 0,01167

n= 94,50

M = 2500(1,01167)(94,5)

M = 74.836,49

f) 7 % compuesto mensual

i= 0,00583

n= 45,3

M = 2500(1,0583)(189)

M = 75.004,36

g) 7% compuesto diariamente

i= 0,071

n= 5745

M = 2500(1,000194)(5745)

M = 76.195,14

h) 6% compuesto instantneamente

i= 0,007

n= 15,75

M = 2500(2,7182)(0,07.15,75)

M = 75.289,65

Determine el monto de un capital de$ 39000 a 9 aos 7 meses si la tasa es:

a) Tasa 9% efectivo

i= 0,09

n= 9,58

M = 39000(1,09)(9,58)

M = 89.045,19

b) Tasa 11 % semestral

i= 0,0055

n= 19,17

M = 3900(1,055)(19,17)

M = 108846.45

c) 13% compuesto quimestral

i= 0,05416

n= 23

M = 3900(1,033)(18,20)

M = 7.949.98

d) 12% compuesto cuatrimestral

i= 0,04

n= 28,75

M = 3900(1,033)(22,75)

M = 8,162.95

e) 19 % trimestral

i= 0,0475

n= 38,33

M = 3900(1,0475)(38,33)

M = 10,539.54

f) 11 % compuesto bimensual

i= 0,1833

n= 57,5

M = 3900(1,1833)(57,5)

M = 62.232,80

g) 13% compuesto mensual

i= 0,0183

n= 115

M = 3900(1,0183)(115)

M = 92.363,85

h) 18% convertible diariamente

i= 0,0005

n= 3495

M = 3900(1,0005)(3495)

M = 22.377.14

i) 9% instantneamente

i= 0,09

n= 9,58

M = 3900(2,7182)(0,099,58) M = 92,363.85

MONTO COMPUESTO CON PERODO FRACCIONARIO

Cuanto tiempo de plazo no coincide con el perodo de convertibilidad se utiliza este

mtodo

Determine n en 4 aos 11 meses si se convierte semestral.

n =4(12) + 11

6

=59

6

= 9 + 5

6

Determine 12 en 9 aos 3 meses si se convierte quimestral.

n =9(12) + 3

5

=111

5

= 22 + 1

5

Determine n en 20 aos 8 meses si se convierte cuatrimestral

n =20(12) + 8

4 n = 62

=248

5

Determine n en 7 aos 11 meses si se convierte trimestralmente

n =7(12) + 11

3

=95

3

= 31 + 2

3

Hallar n en 11 aos 9 meses convertible bimensualmente

n =11(12) + 9

2

=141

2

= 70 + 1

2

CLCULO DEL CAPITAL CON PERIODO FRACCIONARIO

Existen dos mtodos que son:

1. Mtodo matemtico exacto

2. Mtodo comercial o practico

EJERCICIOS EN CLASE

Hallar el valor actual de un documento que al final de 7 aos es $5.400halle el valor actual

a los 3 aos 4 meses de la fecha de suscripcin considerando una tasa del 9% compuesto

semestralmente.

5.400

3 a. 4m. 7

t = 3 a. 8 m.

= 13 (12) + 8

6

= 44

6

= 7 1

3

= 0.045

FORMA MATEMTICA

= 5.400 (1,045)(44

6 )

= 3.910, 28

FORMA COMERCIAL

= 5.400 (1,045)(7) ( 1 + 0,045 (1

3)) (1)

= 3.909,43

De $8.200 a 9 aos plazo con una tasa del 13% compuesta cuatrimestralmente determine

el valor actual de ese documento 2 aos 7 meses de su suscripcin si se aplica una tasa del

15% compuesta trimestralmente.

8.200 i = 0.413

2 a. 7m. 9a

t = 6 a. 5 m.

= 8.200 (1,0433)27

= 25.755,05

= 6 (12) + 5

3

= 77

3

= 25 2

3

= 0.0375

FORMA MATEMTICA

= 25.755,05 (1,0375)(17

3 )

= 10.011,54

FORMA COMERCIAL

= 25.755,05 (1,0375)(25) ( 1 + 0,0375 (2

3)) (1)

= 10.010,04

El da de hoy se firma un pagare de $9.300 para 7 aos y 7 meses plazo con una tasa del

20% compuesta semestralmente determinar el valor actual de este documento 2 aos 9

meses (antes de su vencimiento) con una tasa del 10% convertible quimestralmente.

9.300 i = 0.10 sem 37.633,59

0 2 a. 9m. 7a 4m

t = 6 a. 5 m.

= 7 (12) + 4

6

= 44

3

= 9.300 (1,10)(44

3 )

= 37.633,59

= 2 (12) + 9

5

= 33

5

= 6 3

5

= 0.0416

FORMA MATEMTICA

= 37.633,59 (1,0416)(33

5 )

= 28.757,37

FORMA COMERCIAL

= 37.633,59 (1,0416)(6) ( 1 + 0,0416 (3

5)) (1)

= 28.751,66

Despus de dos aos de la fecha de suscripcin se negocia un documento de $5.000 con

vencimiento en 7 aos y una tasa de inters del 12% convertible semestralmente desde su

suscripcin.

a) Con una tasa del 10% compuesta trimestralmente.

b) Con una tasa del 12% compuesta semestralmente

c) Con una tasa del 3% efectiva

Determine si la negociacin fue con premio, con castigo, o a la par.

5.000 i = 0.06

0 2 a. 7a

t = 5 a i = 0,025

= 5.000 (1,06)(14)

= 11.304,52

= 13 (12) + 8

6

= 5 (4)

= 20

= 0.06

= 0.03

Opcin a

= 11.304,52 (1,025)(20)

= 6.898,82 Negocia con premio

Opcin b

= 11.304,52 (1,06)(10)

= 6.312,38 Negocia a la par

Opcin c

= 11.304,52 (1,03)(5)

= 6.751,38 Negocia con premio

ECUACIONES DE VALOR

= (1 + )()

= (1 + )(1)

Una empresa tiene las siguientes obligaciones

$800 a 12 meses plazo

$1.500 a 18 meses plazo

$3.000 a 2 aos plazo

$4000 a 30 meses plazo

La empresa desea reemplazar todas estas deudas el da de hoy con una tasa del 11%

convertible semestralmente.

800 1.300 3.000 4.000

FF 12M 18M 24M 30M

= 0,055

= 1 + 2 + 3 + 4

= (1 + )()

= 800 (1,055 )(4) + 1.500 (1,055 )(4) + 3000 (1,055 )(4) + 4000 (1,055 )(5)

= 7.478,37

En el ejercicio anterior determnese el valor de pago si se realiza a los 35 meses el pago con

una tasa de 15% convertible trimestralmente.

800 1.300 3.000 4.000

12M 18M 24M 30M 35 M

F F

= 0,0375

1 = 23

2 = 17

3 = 11

4 = 5

= + + +

= ( + )()

= 800 (1,0375 )(23

3) + 1.500 (1,0375 )(

17

3) + 3000 (1,0375 )(

11

3) + 4000 (1,0375 )(

5

3)

= 10.595,50

En el problema 1 determine el valor de cada pago si se realizan 2 pagos iguales a los 15 y

22 meses respectivamente considerando una tasa del 8% convertible cuatrimestralmente

si la fecha focal es de 15m.

800 1.300 3.000 4.000

12M 15 M 18M 22M 24M 30M

F F

= 0,0266

1 =3

4

2 =3

4

3 =7

4

4 =9

4

4 =15

4

= 1 + 2 + 3 + 4

= (1 + )()

= 800 (1,0266 )(3

4) + 1.500 (1,0375 )(

3

4) + 3000 (1,0375 )(

9

4) + 4000 (1,0375 )(

15

4)

= (1,0266)7

4

= 8739,57 0,9550

1,9550 = 8739,57

=8739,57

1,9550

= 4470,37

El da de hoy se firma un documento por $ 5.000 a 7 aos plazo con una tasa del 11%

compuesta semestralmente si se realizan pagos de $500, a los dos aos $ 700 a los 3 aos

$900 a los 5 aos con una tasa del 14% compuesta trimestralmente determine el valor de

pago para saldar dicha cuenta.

5000 500 700 900 10.580,46

0 2a 3 a 5 a 7 a

= 0,035

= (1 + )()

= 5.000 (1,055)(14)

= 10.580,46

10.580,46 = 1 + 2 + 3 +

10.580,46 = 500 (1,035 )(20) + 700 (1,035 )(16) + 900 (1,035 )(8) +

10.580,46 = 3393,81 +

10.580,46 3393,81 =

= 7.186,65

materia matematicas ii

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