materia estadistica

[Escriba el título del documento] 2013

PROBABILIADAD

OBJETIVO

CLASICO(resultados igualmente probables)

empirico(datos historicos)

SUBJETIVO opinion personal

Estadistica PROBABILIDADES

La probabilidad es la posibilidad numérica, medida entre 0 y 1, de que ocurra un evento.

A pesar de la difundida aplicación de los principios de la probabilidad, existe dos

perspectivas para asignar probabilidades: Los enfoques objetivo y subjetivo. La

probabilidad objetiva se subdivide en:

a) Probabilidad clásica

b) Probabilidad empírica

PROBABILIDAD CLASICA

La probabilidad clásica parte del supuesto de que los resultados de un experimento son

igualmente posibles. El muslo clásico es el que se relaciona con mayor frecuencia con las

apuestas y juegos de azar. La probabilidad clásica de un evento E se determina mediante:

( )

( ) ( )

( )

La probabilidad clásica implica la determinación de la probabilidad de algún evento a

priori(antes de hecho). Por tanto, antes de sacar una carta de una baraja de 52 cartas, se

puede determinar que la probabilidad de sacar una carta cualquiera es:

( )

Al tirar un dado “equilibrado”, la probabilidad de obtener a) un dos y b) un tres, es:

( )

( )

El espacio muestral de tirar una moneda presenta dos resultados: caras y cruces. De ahí

que, si los dos resultados son igualmente probables( es decir, la moneda está “equilibrada”

), la probabilidad de que caiga cara es

( )

Y la probabilidad de que caiga cruz es


( )

Si se saca una canica de una urna en la que haya 321, la probabilidad de obtener una

cualquiera es

( )

El enfoque clásico también se puede aplicar a eventos que comprenden dos o mas

resultados. Por ejemplo, se puede querer determinar la probabilidad de sacar una de las

cuatro reinas de una mazo de 52 cartas. En este y en casos semejantes es necesario

identificar primeramente el número de resultados “favorables”, y después dividir ese

número entre el número total de resultados del espacio muestral.

( )

Si un evento es imposible, tiene una probabilidad O. en cambio, si un evento es cierto o

seguro de ocurrir, debe tener una probabilidad de 1, o bien, del 100%.

o ( )

La interpretación de una probabilidad clásica, como 0.25 , es que si el experimento se

repitiera un gran numero de veces un evento que presenta una probabilidad de 0.25

ocurrirá casi el 25% de las veces.

PROBABILIDADEMPIRICA

La probabilidad empírica o frecuencia relativa se basa en el número de veces que ocurre el

evento como proporción del número de intentos conocidos.

El modelo de frecuencia relativa utiliza datos que se han observado empíricamente,

registra la frecuencia con que ha ocurrido algún evento en el pasado y estima la

probabilidad de que el evento ocurra nuevamente con base en estos datos históricos.

Frecuencia Relativa ( )

El enfoque empírico de la probabilidad se basa en la llamada ley de los grandes números.

La clave para determinar probabilidades de forma empírica consiste en que una mayor

cantidad de observaciones proporcionaran un cálculomás preciso de la probabilidad.

Ley de los grandes números: En una gran cantidad de intentos, la probabilidad empírica

de un evento se aproximara a su probabilidad real.

Un problema común con el modelo de frecuencia relativa resulta cuando se hacen

estimaciones con unos números insuficientes de observaciones.

La probabilidad empírica implica la determinación de la probabilidad de algún evento o

posterior (después del hecho).

Cuando se emplea el enfoque empírico, es importante tomar en cuenta los siguientes

puntos:

La probabilidad obtenida de esa maneraa es unicamente una estimacion del valor

real.


El solo hehco de tirar una moneda 10 veces y obtener cuatro caras no es garantia de

que caeran cuatro caras cada vez que se hagan 10 tiradas. De ahí que la prueba

empirica generalmente no nos proporciona una probabilidad exacta.

Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, tanto mejor sera la estimacion de la

probabilidad.

La probabilidad es propia de solo un conjunto de condiciones identicas a aquellas

en las que se obtuvieron los datos.

La validez de emplear el enfoque de frecuencia relativa depende de la “igualacion” de dos

conjuntos de condiciones.

Ejemplo:

Un jugador de básquet, de 100 lanzamientos logro encestar 90. Si queremos saber la

probabilidad de que el jugador en el próximo lanzamiento logre encestar, entonces el

modelo de frecuencia relativa sirve para estimar dicha probabilidad.

Pasado

(Datos históricos)

EVENTO FRECUENCIA

Encestar(E) 90

Fallar(F) 100

n 100lanzamientos

FUTURO

No sabemos si el próximo lanzamiento el jugador encestara o fallara. Solo sabemos que

hay dos posibles resultados: encestar o fallar.

Si hacemos E: evento “jugador enceste”

y F: evento “jugador falle”

si las condiciones que se dieron en el pasado se mantuvieron en el futuro, entonces la

frecuencia relativa de algún evento, como el evento E, puede utilizarse como la

probabilidad de que dicho evento pueda ocurrir.

( )

( )

Si la frecuencia relativa se hubiese calculado en base a pocos lanzamientos, seria un riesgo

aceptarla como la probabilidad empírica de que el jugador enceste.

EJEMPLO

Si se tira la moneda, digamos 100 veces y cae cara 60, puede ser “razonable” estimar la

probabilidad de caras para futuros lanzamientos.

( )

( )

( )

( )


El enfoque empírico da una probabilidad aceptable cercana al valor real cuando se realiza

un gran número de ensayos. Generalmente no nos proporciona una probabilidad exacta.

EJEMPLO:

Se ha registro en el siguiente cuadro la venta diaria en un local comercial durante 100 días,

calificándonosle como buena, regular y mala de acuerdo al ingreso diario.

VENTA DIAIRIA

CLASIFICACION NUMERO DIAS FREC.RELATIVA

BUENA 65 65/100 =0.65

RGULAR 28 28/100 =0.28

MALA 7 7/100 = 0.07

100 1.00

¿Cuál será la probabilidad de que la venta en un día cualquiera sea buena?

P(Buena) = 0.65

Probabilidad Subjetiva

La probabilidad subjetiva es una evaluación personal de la posibilidad de q ocurra un

evento son el resultado de un esfuerzo por cuantificar nuestros sentimientos o creencias

respecto a algo

Segunda extracción

Si la primaria es dietética si la primera bebida es normal

N=9 latas N=9 latas

B B B B B B

B B B P(A2/A1)= 2/9 A B A P(A2/B1) = 3/9

A B A B A B

1º Probabilidad conjunta P(A y B) Probabilidad de q A y B ocurran

P(A y B) = P(A) P(B) probabilidad conjunta para 2 intentos

Si los eventos A y B son independientes la probabilidad de q ambos ocurran es igual al

producto de sus probabilidades individuales o “marginales”

EJEMPLO. En el lanzamiento de dos dados la probabilidad de q ambos sean 3 es:

P(A y B) = P(A) P(B)

P(3 y 3) = p(3) P(3)

P(ambos ) = 1/6 * 1/6 = 1/36 1

1

2

2

A 3 P(A)=1/6 3 B P(B)=1/6

4 4


5 5

6 6

Ejemplo: una ánfora contiene 5 esferas amarillas y 3 esferas blancas. Se extrae una esfera

del ánfora y se repone. Otra esfera es extraída posteriormente. Encontrando las

probabilidades de que

a) Ambas sean amarillas

b) La primera sea amarilla y la segunda blanca

c) La primera sea blanca y la segunda amarilla

d) Ambas sean blancas

Sea A; evento “obtener una esfera amarilla”

y B: evento “obtener una esfera blanca”

1º extracción 2º extracción

N=8 N=8

B A A ¿A o B ? B A B ¿A o B ?

B A A P(A1)=5/8 B A A P(A2)=5/8

B A P(B1)=3/8 A A P(B2)=3/8

El resultado que ocurre en la primera extracción no tiene ningún efecto en la segunda por

lo tanto las respectivas probabilidades son:

a) P( A1 y A2 )= P(A1) * P(A2)= 5/8 * 5/8 = 25/64

b) P(A1 y B2 ) = P(A1) * P(B2)= 5/8 * 3/8 = 15/64

c) P(B1 y A2 ) = P(B1) * P(A2)= 3/8 * 5/8 = 15/64

d) P(B1 y B2 ) = P(B1) * P(B2)= 3/8 * 3/8 = 9/64

Asi mismo la probabilidad de q ocurran sucesivamente n eventos en n intentos

independientes

P(A1 y A2 y…..An) = P(A1 A2 ……. An)

P(A1 y A2 y….An) = P(A1) P(A2) …..P(An)

2º Caso: eventos dependientes

P(A1 y B2) = P(A1) * P(B2/A1)

La probabilidad de dos eventos dependientes es igual a la probabilidad de un evento

multiplicador por la probabilidad condicional del otro.


EJERCICIOS DE PROBABILIDADES

Si se extrae al azar 2 cartas de una baraja ordinaria una a la vez con reemplazo.

¿Cuál es la probabilidad de obtener por lo menos un As?

EVENTO A: no obtener un As en la primera extracción

EVENTO B: no obtener un as en la segunda extracción

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

Si yo saco una carta de un mazo de carta. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2

cartas en la que la una muestre un As y la otro un rojo?

EVENTO A: Obtener un As

EVENTO B: Obtener una carta roja

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

Suponga que va a elegir de manera aleatoria un individuo entre una población de

130 personas en esa población hay 40 niños menores de 12 años, 60 adolescentes y

30 adultos. ¿Cuál es las probabilidades de que el individuo sea un adolescente o un

adulto?

A: adolescentes=60

B: adulto=30

C: niños=40

( )

( )

P(A o B)= P(A)+P(B)

( )


Son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos

Suponga que lanzamos una sola vez un par de dados no cargado. ¿Cuál es la

probabilidad de obtener 2 en el primer dado y cuatro en el segundo.

A: Obtener un dos en el primer dado

B: Obtener un cuatro en el segundo dado

( ) ( ) ( )

Son independientes

Suponga que usted extrae una muestra aleatoria de una bolsa de fruta. La bolsa

contiene 4 manzanas, 6 naranjas y 5 duraznos. Si seleccionamos2 frutas una vez con

reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una naranja y una manzana en ese orden?

P(A)= Obtener naranja

P(B)= Obtener manzana

( )

DIAGRAMA DE ARBOL

Cada vendedor de PROMOVIX las etapas del problema como “abajo promedio”,

“promedio” o “arriba del promedio” con respecto a su actitud para las ventas, además

cada uno se clasifica respecto a su posibilidad de promoción en regular, buena o excelente.

En la tabla se presenta las clasificaciones de estos conceptos para 500 vendedores

Habilidad en Ventas

D

(Regular)

E

(Buena)

F

(Excelente)

Total

A Debajo del promedio 16 12 22 50

B Promedio 45 60 45 150

C Por arriba del promedio 93 72 135 300

Total 154 144 202 500

COMBINATORIA

La combinatoria analiza todo tipo de posibilidades al momento de considerar la cantidad

de opciones posibles en un conjunto finito de objetos. Tiene en cuenta la repetición posible

de los mismos, y la no repetición, al igual que los intercambios de posiciones de los

elementos con respecto a su ubicación y orden específicos. Estos tipos de operaciones se

denominan Variaciones, combinaciones y permutaciones

Resuelve problemas que aparecen al estudiar y cuantificar las diferentes agrupaciones

(ordenaciones, colecciones,...) que podemos formar con los elementos de un conjunto.


Analicemos entre 1, 2, 3, 4 determinar el número de dígitos posibles.

Un edificio tiene 7 puertas de acceso. De cuantas formas puede ingresar una persona al

edificio y salir de el por una puerta distinta a la que ingreso.

7 x 6 =42

Determinar de cuantas maneras distintas se puede

ordenar 3 libros de matemática y 3 de física en un

anaquel que tiene espacio para 6 libros. a.) si los libros de la

misma asignatura deben quedar juntos. b.)los de

matemáticas deben quedar juntos pero los de física puede colocarse en cualquier lugar.

3 . 2 . 1 . 3 . 2 . 1

M

M

M

F

F

F

F

F

F

M

M

M

2 12 3 13 4 14

1

1 21 3 23 4 24 1 31 2 32 4 34

1 41 2 42 3 43

2

3

4

PRINCIPIO DE CONTEO

4 x 3 = 12


3 . 2 . 1 . 3 . 2 . 1

Cuantas distribuciones distintas , cada una consistentes en 4 letras se pueden formar

con la letra de la palabra “personal” para que cada distribución empiece y termine con una

vocal

“PERSONAL”

3 . 6 . 5 . 2 = 180

FACTORIAL

( )( )( )

PERMUTACIONES

El caso particular de variaciones de n elementos tomados en grupos de r, en el que n = r se

denomina permutación. Cada agrupación difiere de las restantes sólo en el orden de

colocación de los elementos, y en cada grupo intervienen todos los elementos del conjunto

( )

COMBINACION

Las agrupaciones combinatorias denominadas combinaciones son las que se obtienen al

seleccionar de un conjunto de n elementos grupos de r, de tal forma que cada grupo es

diferente de los demás si, y sólo si, contiene algún elemento diferente, sea cual sea su

orden de colocación en el grupo.

El número de combinaciones ordinarias (sin repetición) que se pueden formar con n

elementos tomados de r en r se calcula a partir de la siguiente fórmula:

( )

En cuantas formas puede un jurado otorgar el primero, segundo, tercero entre 12

concursantes. b.)en cuantas formas se puede seleccionar los puestos de presidente,

secretaria, tesorero de un club de 12 miembros de manera que ninguno de ellos sea elegido

para más de un puesto.

n=12

r=3

( )

Se va a seleccionar un comité senatorio formado por 7 miembros conservadores y 4

liberales en cuantas diferentes formas se puede formar un comité que tenga 3

observadores y 2 liberales.


n=7 n=4

r=3 r=2

( )

( )

DISTRIBUCION PROBABILISTICAS

Cuando se analiza un experimento aleatorio, se descubren factores de comportamiento de

la probabilidad que siguen modelos propios y distintivos. Por ello, es frecuente asociar a

estos experimentos una «función de probabilidad», que puede adoptar diversas formas y

regirse por principios diferentes y cuyo estudio arroja luz sobre la naturaleza y las

características del fenómeno físico o social ligado al experimento

Ejemplo:

x 1 2 3

0

1

1

2

1

2

2

3

S

S

S

S

C

C

C

C

S

S

C

C

S

S

C

C

S

C

S

C

S

C

S

C

Variables aleatorias

En un experimento aleatorio cabe definir una aplicación que asigne a cada suceso

estocástico del espacio muestral un cierto número. Esta aplicación recibe el nombre

de variable aleatoria, y el conjunto de valores que puede asumir una variable aleatoria es

su recorrido. Según el número de elementos del recorrido, se distinguen dos tipos de

variables aleatorias:

Variable aleatoria continua, de recorrido infinito, donde el número al que se hace

corresponder la aplicación pertenece al conjunto de los números reales R.

Variable aleatoria discreta, que produce como resultado un número finito de

valores predeterminados, por lo que su recorrido es finito

MEDIA ARITMETICA DE UNA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD

La media aritmética se define como la suma del producto de cada valor de la variable

aleatoria considerada por su probabilidad.

(x) frecuencia P(x)

0 1 0.125

1 3 0.375

2 3 0.375

3 1 0.125

8 1


∑ ( )

∑[ ( )]

√

Ejemplo:

Se seleccionó al azar un grupo de 3 personas de una muestra de 10 que incluye a 4

menores de edad. Interesa conocer de estos últimos en el grupo.

a) Cuáles son los valores posibles de esta variable aleatoria

b) Determine la distribución probabilísticas de esta variable

c) Cuál es la probabilidad de que haya: exactamente un menor de edad, por lo menos

uno, 2 o más.

x: número de menores de edad

6 mayores de edad

4 menores de edad

6C3*4C0=20

6C2*4C1=60

6C1*4C2=36

6C0*4C3=4

10C3=

DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTICA BINOMIAL

En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que

mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre

sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

x Probabilidad

0 0.167

1 0.5

2 0.3

3 0.033

1


Las características de esta distribución son:

a) En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se esperan dos

tipos de resultados, ejem. Defectuoso, no defectuoso, pasa, no pasa, etc, etc., denominados

arbitrariamente “éxito” (que es lo que se espera que ocurra) o “fracaso” (lo contrario del

éxito).

b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes, es decir no

cambian.

c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre sí.

d) El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante.

P(x)

( ) ( )

n= es el número total de los ensayos

x= es el numero de éxitos de cada ensayo

π= es la probabilidad de éxitos en cada ensayo

1.- un estudio reciente de los vigilantes de la comisión de transito de una ciudad revelo

que el 60%de los conductores en su ciudad se coloca el cinturón de la seguridad al

manejar. Se selecciono una muestra de 10 automovilistas en una carretera de esa ciudad.

a) Cual es la probabilidad de que exactamente 7 conductores lleven puesto el ci9nturon de

seguridad. b) Cual es la probabilidad de que 7 o menos de los conductores lo lleven

puesto.

a)

n=10

π= 0.60

x=7

P(7)=

( )

( ) ( )


b)

n= 10

π= 0.60

P(x ≤ 7)= 0.002+0.011+0.201+0.251+0.215=0.833

Complemento

P(x ≤ 7)= 1-P (x ≥ 7) = 1- (0.121+0.040+0.006)=0.833

2) un 10% de los empleados de producción de una fábrica de cemento están ausentes del

trabajo en un determinado día. Suponga que se selecciona al azar 10 trabajadores de

producción para un estudio riguroso de ausentismo.

a) Cual es la variable aleatoria

b) la variable es discreta o continua

c) Cual es la probabilidad de que ninguno de los 10 empleados seleccionados esten

ausentes

la variable aleatoria es el numero de empleados ausentes

la variable es discreta

π= 0. P(0)=

( ) ( ) ( )

n=10


x=0

3)En un estudio reciente se hallo que el 90 por ciento de los casos de una ciudad tienen

problema estructurales. En una muestra de 9 viviendas cual es la probabilidad de que:

a) Las 9 tengan defecto en su estructura

b) Menos de 5 posean dicho problemas

c) Mas de 5 tengan problemas en su estructura

d) Por lo menos 7 en las casas tengan problemas

n=9

π=0.9

a) 0.387

b) P(x≤5‖n=9^π=0.9)=0.001

c) 0.045+0.172+0.387+0.387=0.991

d) P(x≥7‖n=9^π=0.9)=0.946

4)Un fabricante de marcos para ventana sabe por su larga experiencia que el 5% de la

producción tendrá algún tipo de defecto que requiere de un ligero ajuste. Cual es la

probabilidad de que una muestra de 20 marcos de ventana

a) Ninguna necesite arreglo

b) Por lo menos una requiere ajustes

c) Mas de 2 necesiten arreglos

π=0.05

n=20

x=0


. P(0)=

( ) ( ) ( )

Falta el literal by c

Distribución probabilística hipergeometrica

En teoría de la probabilidad la distribución hipergeométrica es una distribución discreta

relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Supóngase que se tiene una

población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B. La

distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x ( ) elementos

de la categoría A en una muestra de n elementos de la población original.

P(X)=

N=representa el tamaño de la población

S=es la cantidad de éxitos en la misma

x= representa el numero de éxitos que interesa

n=representa el tamaño de la muestra

C= es el símbolo de la combinación

1) Una población costa de 10 articulos 6 d4 los cuales están defectuosos, se

seleccionan una muestra de 3.¿ cual es la probabilidad de que exacftamente 2

tengan defectos ?

N=10

S=6 P(2)=

N=3

X=2


Distribución probabilística de poisson

La distribución de probabilidad de Poisson es un ejemplo de distribución de probabilidad

discreta.

La distribución de Poissonparte de la distribución binomial.Cuando en una distribución

binomial se realiza el experimento muchas veces, la muestra n es grande y la probabilidad

de éxito p en cada ensayo es baja, es aquí donde aplica el modelo de distribución de

Poisson.

P(x)=

º

En esta distribucion π es muy pequeña aproximación y n es muy grande

e =2.7182

UTILIDAD

1.- la gerente de un banco esta encargada de los prestamos con bases en sus añosa de

experiencia que estima que la probabilidad de un solicitante no sea capas de pagar con

prestamos es de 0.025 es mas pesado realizo 40 prestamo a)Cuál es la probabilidad que 3

prestamos no sean pagados oportunamente b) cual es la probabilidad de que por lo menos

3 prestamos no se liquiden a tiempo .

n= 40

π=0.025

a)

La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total de posibles resultados.

Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso

con resultado discreto. Es muy útil cuando la muestra o segmento n es grande y la

probabilidad de éxitosp es pequeña. Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se

distribuye dentro de un segmenton dado como por ejemplo distancia, área, volumen o tiempo definido.


u=nπ=40x0.025=1

p(x=3)=

( ) ( )

=0.0613

b)

P(x≥3)=1- P(x≥3)=1-[P(X=0)]+P(X=1)+P(X=2) ]

P(X=0)=( ) ( )

( )

P(X=1)=( ) ( )

( )

P(X=2)=( ) ( )

( )

P(X 3)=1-0.3679-0.3679-0.1839=0.0803

2) Se estima que el 0.5% de las llamadas telefónicas a un departamento de facturación

reciben la señal de ocupado ¿Cuál es la probabilidad de q ue las 1200 llamadas del dia de

hoy 5 hayan recibido dicha señal.

n=1200

π=0.5%=0.005

u=n.π=1200X0.005=6

P(X≥5^U=6)=1-P(X<5)= 1-[P(X=0)]+P(X=1)+P(X=2)+ P(X=3)+ P(X=4) ]

=1-0.0025-0.0149-0.0446-0.0892-0.1339=0.7149

El gerente de personal de una empresa estudia el numero de accidentes en el trabajo

ocurra en 1 mes elaborado la siguiente distribución probabilística

X

Nº de accidentes

P(X)

Probabilidad X.P(X) P(X)

0 0.40 0 0

1 0.20 0.20 0.20

2 0.20 0.40 0.8

3 0.10 0.3 0.9


4 0.10 0.4 1.6

∑=1.3 ∑=3.5

Determinar la media aritmética, la varianza y la desviación estándar en dicho periodo

µ=∑

[ .P(X)]-

=3.5x-( ) =1.81

G=√ =√ 1.345

3) se elabora una pasta dental con un nuevo sabor y se le dio a probar a un grupo de10

personas, 6 de ellas afirman que les gusta el nuevo sabor y los 4 restantes opinan que no

les gusta el nuevo sabor, se seleccionan4 de las 10 personas para quye participen en una

nueva entrevista prolongada.¿ cual es la probabilidad de que los mismos seleccionen para

la entrevista a 2 que les guste el nuevo sabor o no

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