matemÁticas aplicadas a las ciencias …...2019/06/01 · problemas relacionados con fenómenos...
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MATEMÁTICAS
APLICADAS A
LAS CIENCIAS
SOCIALES I
1º BACHILLERATO
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES
1º DE BACHILLERATO
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
1. Utilizar procesos de razonamiento, de matematización y estrategias de
resolución de problemas en contextos reales (numéricos, funcionales),
realizando los cálculos necesarios, comprobando las soluciones obtenidas y
expresando verbalmente el procedimiento seguido. Practicar estrategias para
planificar, de forma individual y en grupo, un proceso de investigación
matemática, a partir de la resolución de un problema y el análisis posterior; la
profundización en algún momento de la historia de las matemáticas; así como
elaborando en cada situación un informe científico oral y escrito con el rigor y
la precisión adecuados, superando bloqueos e inseguridades ante situaciones
desconocidas, desarrollando actitudes personales relativas al quehacer
matemático, analizando críticamente otros planteamientos y soluciones así como
reflexionando sobre las decisiones tomadas, valorando su eficacia y aprendiendo
de ellas para situaciones similares futuras.
2. Emplear herramientas tecnológicas adecuadas, de forma autónoma,
realizando cálculos numéricos y algebraicos, haciendo representaciones
gráficas, recreando situaciones matemáticas mediante simulaciones o
analizando con sentido crítico situaciones diversas que ayuden a la comprensión
de conceptos matemáticos o a la resolución de problemas; así como utilizar las
tecnologías de la información y la comunicación de modo habitual en el proceso
de aprendizaje, buscando, analizando y seleccionando información relevante en
Internet o en otras fuentes, elaborando documentos propios, exposiciones y
argumentaciones de los mismos y compartiéndolos en entornos apropiados para
facilitar la interacción.
4. Traducir al lenguaje algebraico o gráfico situaciones reales en el ámbito de
las ciencias sociales y resolver problemas contextualizados mediante el
planteamiento y la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones, utilizando
para ello técnicas matemáticas y herramientas tecnológicas apropiadas e
interpretando las soluciones obtenidas.
5. Identificar, interpretar, analizar y representar gráficas de funciones reales
elementales, relacionadas con fenómenos sociales, teniendo en cuenta sus
características.
6. Estudiar la continuidad en un punto de funciones reales elementales para
extraer conclusiones en un contexto real, así como para estimar tendencias de
una función a partir del cálculo de límites.
8. Interpretar y cuantificar la relación lineal entre las variables de una
distribución bidimensional a partir del coeficiente de correlación, valorando la
pertinencia de ajustarlas a una recta de regresión y, en su caso, la conveniencia
de realizar prediccciones, evaluando la fiabilidad de las mismas para resolver
problemas relacionados con fenómenos económicos y sociales, y utilizar para
ello el lenguaje y los medios más adecuados.
9. Asignar probabilidades a sucesos aleatorios, independientes o no,
correspondientes a fenómenos aleatorios simples y compuestos; utlizando para
ello la regla de Laplace, técnicas de recuento y la axiomática de la probabilidad,
con la finalidad de tomar decisiones ante situaciones relacionadas con las
ciencias sociales, argumentándolas.
IES CABO BLANCO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
SEPTIEMBRE 2019
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales – 1º de BACH
CONTENIDOS MÍNIMOS
CRITERIOS 1 y 2 (transversales)
Resolución de problemas
Uso de las TIC’s
CRITERIO 4: Álgebra
Polinomios (suma, resta, multiplicación y división por Ruffini, raíces, factorización)
Ecuaciones lineales, cuadráticas, bicuadradas, exponenciales y logarítmicas.
Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas: método de Gauss.
CRITERIO 5: Funciones y Gráficas
Concepto de función (variables)
Características gráficas (dominio, recorrido, monotonía, puntos de corte, continuidad,
máximos y mínimos absolutos y relativos, simetrías, periodicidad)
Funciones: polinómicas (de distintos grados), exponencial, logarítmica, valor absoluto,
racionales e irracionales sencillas.
CRITERIO 6: Límites y continuidad
Límite de una función en un punto. Cálculo límites sencillos.
Continuidad de una función en un punto.
CRITERIO 8: Distribución bidimensional
Recta de regresión. Estimaciones.
Coeficiente de correlación lineal.
CRITERIO 9: Probabilidad
Combinatoria: permutaciones, variaciones y combinaciones.
Axiomática de Kolgomorov.
Regla de Laplace.
Probabilidad condicionada.
Variables aleatorias discretas: función de probabilidad y de distribución.
Variables aletorias continuas: función de densidad y de distribución.
CRITERIO 10: Distribuciones de Probabilidad
Distribución binomial: función de probabilidad, media y varianza.
Cálculo de probabilidades en una distribución binomial.
Distribución normal. Variable tipificada.
Cálculo de probabilidades en una distribución normal. Uso de tablas.
1. Se ha realizado el estudio sobre el peso en gramos de unas piezas, obteniéndose los
siguientes resultados:
69, 58, 54, 40, 61, 72, 56, 52, 64, 57, 52, 60, 54, 50, 63, 55, 50, 31, 69, 61, 51, 58, 54, 48,
63, 69, 58, 55, 50, 70, 32, 35, 46, 50, 38, 39, 42, 36, 40, 47
a. Clasifica el carácter estudiado.
b. Agrupa los datos en 6 intervalos y haz la tabla de frecuencias absolutas y
relativas.
2. Se ha preguntado a una muestra de personas sobre el tipo de deporte que realizan,
obteniéndose los siguientes resultados:
Tipo Número de
personas
Natación 4
Tenis 10
Carrera 20
Ciclismo 6
a. Clasifica el carácter estudiado.
b. Haz la tabla de frecuencias absolutas y relativas.
3. Representa en un diagrama de barras la distribución del número total de libros vendidos
en los últimos seis meses en una librería:
Mes Jul Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.
Nº Libros 48 46 80 55 59 62
4. Representa en un histograma la siguiente distribución de las estaturas en centímetros
de los alumnos de 1º B:
𝑥𝑖 161-167 167-173 173-179 179-185 185-191
𝑛𝑖 4 6 10 8 2
5. La siguiente tabla recoge la distribución del peso en kilogramos de un grupo de
personas. Haz un polígono de frecuencias acumulas.
Peso (kg.) Nº de
personas
51,5 a 56,5 2
56,5 a 61,5 4
61,5 a 66,5 10
66,5 a 71,5 12
71,5 a 76,5 8
76,5 a 81,5 4
6. En una encuesta sobre el funcionamiento de un servidor de Internet, se han recogido
las siguientes respuestas:
𝑥𝑖 Muy
mal
Mal Normal Bien Muy
bien
𝑛𝑖 20 30 10 25 15
Representa los datos en un diagrama de sectores.
7. El número de errores ortográficos cometidos por un grupo de estudiantes en una prueba
ha sido:
Nº de errores 0 1 2 3 4
Nº de alumnos 6 7 5 5 2
Calcula el número medio de errores, la desviación típica e interpreta el coeficiente de
variación.
8. La duración en horas de una muestra de bombillas ha sido:
𝑥𝑖 300-400 400-500 500-600 600-700 700-800
𝑛𝑖 6 8 11 9 6
Calcula la duración media, la desviación típica e interpreta el coeficiente de variación.
9. Se desea comparar las distribuciones A y B de la tabla adjunta. ¿Cuál de las dos tiene
mayor dispersión?
𝑥𝑖 A B
1 1 12
2 8 5
3 22 2
4 7 7
5 2 14
10. Calcula los tres primeros cuartiles de los siguientes datos:
4, 2, 1, 2, 6, 5, 5, 5, 6, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 5, 6, 1,3
11. Calcula la mediana y el percentil 10 de los siguientes datos:
𝑥𝑖 𝑛𝑖
1 2
2 10
3 14
4 7
5 4
6 3
12. Calcula los percentiles 25 y 50 de la siguiente distribución de pesos:
Peso (kg.) Nº de
personas
51 a 56 2
56 a 61 4
61 a 66 10
66 a 71 12
71 a 76 8
76 a 81 4
13. Las calificaciones de 30 estudiantes en dos exámenes han sido las siguientes:
1º examen 4 5 6 7 7 9 10
2º examen 5 5 7 6 7 8 10
Nº estudiantes
5 10 4 2 4 3 2
Haz la tabla de frecuencia de doble entrada.
14. Dibuja el diagrama de barras correspondiente a la siguiente distribución bidimensional:
Y/X 1 2 3 4 5
1 3 0 0 0 0
2 0 1 0 0 0
3 2 1 6 0 0
4 0 3 0 3 2
5 0 0 0 0 4
15. Dibuja la nube de puntos de la siguiente distribución bidimensional:
X Y
2 2
1 5
4 1
2 3
1 3
3 2
4 2
2 4
3 3
1 4
16. Calcula la covarianza de la siguiente distribución bidimensional:
𝑥𝑖 8 7 6 5 7 8 6 5
𝑦𝑖 5 4 7 4 3 6 5 5
𝑛𝑖 2 4 3 5 3 4 2 2
17. Calcula la covarianza de la siguiente distribución bidimensional:
Y/X 2 4 6 8
1 1 3 0 2
2 2 5 1 0
3 3 1 4 6
4 0 2 0 0
18. La siguiente tabla recoge la distribución de la cilindrada de un motor y la velocidad
máxima que puede generar:
Cilindrada (cm3)
Velocidad (km/h)
1000 125
1200 130
1400 140
1600 145
1600 150
1800 170
2000 190
2000 195
a) Representa la nube de puntos.
b) Representa el centro de gravedad.
c) Calcula e interpreta la covarianza.
19. Calcula el coeficiente de correlación e indica el tipo de correlación para la siguiente
distribución bidimensional:
𝑥𝑖 1 4 4 2 5 3 1 𝑛𝑖 5 2 3 6 3 2 4
20. La temperatura media en los meses de invierno en varias ciudades y el gasto medio por
habitante en calefacción ha sido:
Temperatura (º C) 10 12 14 15 17 20
Gasto (€) 150 120 102 90 50 18
Calcula el coeficiente de correlación e interpreta el resultado.
21. Calcula el coeficiente de correlación e indica el tipo de correlación para la siguiente
distribución bidimensional:
Y/X 1 2 3 4
1 1 2 0 0
2 2 1 0 0
3 0 1 2 3
4 0 4 3 1
22. Calcula la recta de regresión de la siguiente distribución bidimensional:
X 1 2 3 4 5
Y 26 30 27 31 28
23. Un laboratorio ha experimentado, en 6 pacientes, con un medicamento para bajar la
temperatura de los enfermos, observado el tiempo que tarda en desaparecer, y ha
obtenido los siguientes resultados:
Dosis (mg)
100 200 300 400 500 600
Tiempo (h)
4 3,5 3 2 2,5 1,5
Calcula la renta de regresión y estima el tiempo que tardaría en normalizarse la
temperatura para 650 mg.
24. En una empresa, la relación entre el número de piezas defectuosas que elaboran unos
trabajadores y la antigüedad de éstos es:
Antigüedad 1 2 3 4 5 6
Nº piezas 7 8 6 4 3 2
a) Calcula la recta de regresión.
b) Estima el número de piezas defectuosas que haría un obrero con 7 años de
antigüedad.
c) Estima el tiempo que llevaría trabajando un obrero si no hiciese piezas defectuosas.
25. Todos los números de teléfono de la provincia de Toledo comienzan por 925. ¿Cuántos
números de teléfono puede haber en toda la provincia?
26. ¿Cuántos números de cuatro cifras que comiencen por 1, y que no tengan ninguna cifra
repetida, se pueden formar con los dígitos 1,2,3,4, 5 y 6?
27. Con bolas rojas, azules, naranjas y blancas, ¿cuántos collares diferentes de 10 bolas
podemos hacer?
28. ¿De cuántas maneras posibles se pueden sentar 5 personas en un coche de 5 plazas? ¿Y
si son 4 personas?
29. En la Lotería Primitiva, el premio máximo es acertar 6 números de 49. ¿Cuántos boletos
habría que rellenar par asegurarse un premio con 6 aciertos? Si una apuesta cuesta 1 €,
¿cuánto dinero tendríamos que gastar para conseguirlo?
30. ¿Cuántos equipos de fútbol de 11 jugadores se pueden formar con 18 personas?
31. ¿De cuántas maneras se pueden colocar 8 libros distintos en una estantería?
32. En un torneo de ajedrez con 16 participantes se van a celebrar partidas, de manera que
cada jugador juegue una partida con cada uno de los demás participantes. ¿Cuántas
partidas se jugarán en total?
33. Determina el espacio muestral del experimento de sacar una carta de una baraja
española.
34. En el experimento anterior, encuentra dos sucesos compatibles, dos incompatibles, un
suceso seguro y otro imposible.
35. En una urna tenemos 3 bolas blancas numeradas del 1 al 3, y 2 bolas negras con los
números 4 y 5, respectivamente.
Si sacamos una bola de la urna y observamos el color y su número, calcula el espacio
muestral.
36. En el experimento de sacar una carta de una baraja española, consideremos los sucesos
A=”Sacar una figura” y B=”Sacar oros”. Obtén los sucesos.
a) 𝐴 ∪ 𝐵.
b) 𝐴 ∩ 𝐵.
c) �̅�
d) �̅�.
37. En la extracción de una bola de una bolsa que contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10,
consideramos los sucesos A=”Número par” y B=”Múltiple de 3”. Calcula.
a) 𝐴 ∪ 𝐵.
b) 𝐴 ∩ 𝐵.
c) 𝐴 ∪ 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
d) 𝐴 ∩ 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅.
38. Se ha lanzado una moneda al aire 75 veces y se han obtenido 23 caras. ¿Podríamos decir
que la moneda está trucada?
39. Una máquina fabrica piezas para motores de coche. Explica cómo calcularías la
probabilidad de que, escogida una de las piezas al azar, sea defectuosa.
40. Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado obtengamos un número entre 2 y 5.
41. Halla la probabilidad de acertar 5 números de la Lotería Primitiva.
42. Se han lanzado dos dados y se suman la puntuación obtenida. Calcula la probabilidad de
que:
a) La suma no sea 8.
b) La suma sea mayor que 9 y menor que 11.
43. Se lanzan dos monedas y se observan los resultados. Halla la probabilidad de que:
a) Salga, al menos, una cara.
b) Salga una cara o dos cruces.
44. Lanzamos una moneda y un dado. Determina el espacio muestral mediante un diagrama
de árbol.
45. Extraemos 2 bolas de una urna que contiene 5 bolas numeradas. Halla el espacio
muestral.
46. De los 22 alumnos de una clase, 14 son chicos, y de ellos, hay 6 que llevan gafas; sin
embargo, solo hay 2 chicas que tienen gafas. Calcula la probabilidad de que, elegido un
alumno al azar, sea chica y no lleve gafas.
47. De las 32 personas que viajan en un autobús, 18 van a trabajar, y de estas, 10 son
hombres. De las que no van a trabajar, 5 son mujeres. Si se elige una persona al azar y
es hombre, calcula la probabilidad de que no vaya a trabajar.
48. En una urna tenemos 2 bolas blancas y 2 azules. Si la primera bola que extraemos no se
vuelve a introducir en la urna, halla la probabilidad de obtener una bola azul y, después,
una bola blanca.
49. En una ciudad, el 55% de los habitantes consume pan integral, el 30% consume pan
blanco y el 20% consume ambos.
a) Sabiendo que un habitante consume pan integral, ¿cuál es la probabilidad de que
consuma pan blanco?
b) Sabiendo que un habitante consume pan blanco, ¿cuál es la probabilidad de que no
consuma pan integral?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de esa ciudad no consuma ninguno de
los dos tipos de pan?
50. Se sabe que un centro de enseñanza el 30% de los alumnos aprueban la asignatura A, el
40% la asignatura B y el 5% aprueban ambas.
Calcula la probabilidad de que un alumno:
a) Habiendo aprobado la asignatura A, aprueba la B.
b) Habiendo aprobado la asignatura B, apruebe la A.
c) No habiendo aprobado la asignatura A, apruebe la B.
d) No habiendo aprobado la asignatura B, apruebe la A.
e) No habiendo aprobado la asignatura A, no apruebe la B.
51. Extraemos dos bolas de una urna en la que hay 5 bolas rojas, 2 azules y 3 blancas. Calcula
la probabilidad de que la segunda bola sea roja si la primera lo es, y no la hemos devuelto
a la urna. ¿Cuál sería la probabilidad si devolviéramos la primera bola antes de sacar la
segunda?
52. De una baraja española se extraen dos cartas. Calcula la probabilidad de que la primera
sea un as y la segunda sea de oros si:
a) Se sacan las dos cartas a la vez.
b) Se reemplaza la primera carta antes de sacar la segunda.
53. El porcentaje de tornillos defectuosos y del total de producción, que fabrican tres
máquinas, viene recogido en la siguiente tabla.
𝑀1 𝑀2 𝑀3
Producción 40% 25% 35%
Defectuosos 2% 5% 3%
Halla la probabilidad de que un tornillo sea defectuoso.
54. Disponemos de dos urnas, que contienen bolas de colores, la primera urna,
𝑈1, contiene 2 bolas blancas y 12 negras, y la segunda urna, 𝑈2, tiene 3 bolas blancas y
10 negras.
Si escogemos una urna al azar y sacamos una bola:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que resulte de color negro?
b) ¿Y de que sea de color blanco?
55. El porcentaje de tornillos defectuosos y del total de producción, que fabrican tres
máquinas, es:
𝑀1 𝑀2 𝑀3
Producción 40% 25% 35%
Defectuosos 2% 5% 3%
Si el tornillo es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la máquina 1?
56. Disponemos de dos urnas, que contienen bolas de colores. La primera urna, 𝑈1, contiene
2 bolas blancas y 12 negras, y la segunda urna, 𝑈2, tiene 3 bolas blancas y 10 negras.
Si la bola extraída es de color negro, calcula la probabilidad de que:
a) Sea de la primera urna.
b) Sea de la segunda urna.
57. La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta viene dada por la siguiente
tabla.
𝑥𝑖 1 2 3 4 5
𝑝𝑖 0,15 0,2 k 0,3 0,11
a) Halla el valor de k.
b) Calcula 𝑃(𝑋 < 3) y 𝑃(1 < 𝑋 ≤ 4).
58. Se lanza una moneda tres veces y se define la variable aleatoria X como el número de
cruces obtenido. Halla la función de probabilidad y su representación gráfica.
59. Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:
𝑥𝑖 0 1 2 3 4 5 𝑝𝑖 0,1 0,2 0,1 0,4 0,1 0,1
a) Representa gráficamente la función de probabilidad.
b) Calcula 𝑃(𝑋 < 4,5), 𝑃(𝑋 ≥ 3) y 𝑃(3 ≤ 𝑋 < 4,5).
60. Se lanzan dos dados cúbicos con las caras numeradas del 1 al 6. Se considera la variable
aleatoria X, que asigna a cada elemento del espacio muestral la diferencia positiva de
las caras obtenidas.
a) Representa la función de probabilidad.
b) Halla la media, la varianza y la desviación típica.
c) Calcula 𝑃(𝑋 ≤ 3).
61. Un jugador lanza tres monedas. Gana tantos euros como caras obtenidas excepto
cuando aparecen tres cruces, que pierde 10 euros. Si X es la variable aleatoria que indica
la ganancia, calcula:
a) El conjunto de valores de la variable aleatoria X.
b) La función de probabilidad de la variable X.
c) La media de la distribución y su desviación típica.
d) ¿Es favorable el juego al jugador?
62. Se sabe que el 40% de los habitantes de cierta ciudad consumen diariamente café. Se
pregunta a una persona si toma café todos los días. La respuesta se puntúa con un 1 si
es afirmativa y con un 0 en caso contrario.
¿Cuáles son la media y la desviación típica de la variable aleatoria que recoge la
puntuación de las respuestas?
63. Después de realizar varios sondeos sobre cierta población, se ha conseguido averiguar
que únicamente el 15% de la misma es favorable a los tratamientos de psicoterapia. Se
escoge al azar una muestra de esa población formada por 12 personas.
a) Comprueba si la variable que expresa el número de personas favorables a los
tratamientos de psicoterapia dentro de la muestra sigue una distribución binomial.
b) En caso afirmativo, señala los parámetros de la distribución.
64. El director de marketing de un equipo de baloncesto ha calculado que el porcentaje de
seguidores en una ciudad es del 35%. Se escoge al azar una muestra formada por 10
personas y se considera la variable que expresa el número de seguidores en la muestra.
a) Estudia si la variable sigue una distribución binomial.
b) En caso afirmativo, señala los parámetros de la distribución.
65. El 30% de los tornillos de una gran partida son defectuosos. Si se cogen tres tornillos al
azar, calcula la probabilidad de que:
a) Los tres sean defectuosos.
b) Solamente dos sean defectuosos.
c) Ninguno de ellos sea defectuoso.
66. En un grupo de 16 personas, 10 son varones, y 6, mujeres. Se eligen al azar 3 personas
del grupo. Calcula la probabilidad de:
a) Seleccionar exactamente dos varones.
b) Seleccionar al menos un varón.
67. La opinión que tiene la población sobre la gestión de su Ayuntamiento es favorable en
el 30% de los casos, y desfavorable en el resto. Elegidas 10 personas al azar, halla la
probabilidad de que:
a) Exactamente tres la consideren favorable.
b) Ninguno la considere desfavorable.
68. Dada la siguiente función:
𝑓(𝑥) = {4𝑥, 𝑠𝑖 0 < 𝑥 <
1
2
4 − 4𝑥 𝑠𝑖 1
2< 𝑥 < 1
a) Comprueba que es una función de densidad.
b) Calcula 𝑃 (1
4≤ 𝑋 <
3
4).
69. El tiempo de espera en la parada del autobús, expresado en minutos, es una variable
aleatoria continua cuya función de densidad es:
(𝑥) = {
1
15, 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [0,15]
0 𝑠𝑖 𝑥 ∉ [0,15]
¿Qué es más probable, esperar entre 5 y 7 minutos, o esperar entre 12 y 14 minutos?
70. Una variable X sigue una distribución normal de media 5 y desviación típica 1,2. Tipifica
la variable X y calcula con ayuda de la tabla las siguientes probabilidades:
a) 𝑃(𝑋 ≤ 4).
b) 𝑃(3,5 ≤ 𝑋 < 4,5).
c) 𝑃(𝑋 ≥ 5,2).
d) 𝑃(𝑋 > 7).
71. Si Z es una variable normal 𝑁(0,1), calcula la probabilidad de que Z tome algún valor en
los siguientes intervalos:
a) (−∞; 1,75).
b) [−2,05; −0,53]
c) [−1,62; +∞)
d) (−∞; −2,4)
e) (−∞; 1,75)
f) (1,7; 3,4]
72. La variable X sigue una distribución 𝑁(0; 075). Obtén los valores de a y b que satisfacen
𝑃(𝑋 > 𝑎) = 0,7 y 𝑃(𝑋 < 𝑏) = 0,15.
73. El precio de un determinado artículo, X, sigue una distribución normal. Se sabe que
𝑃(𝑋 < 1000) = 0,95 y 𝑃(𝑋 > 910) = 0,79. Si tienes 935 euros, ¿cuál es la
probabilidad de que no puedas comprar dicho artículo?
74. La longitud de las truchas de una piscifactoría sigue una normal 𝑁(23,75; 3). Solo se
comercializan aquellas cuya longitud está comprendida entre 20 y 26 cm.
a) ¿Qué porcentaje del total representan?
b) ¿Cuál es la longitud para la cual el 80% de la población tiene una longitud superior?
75. Se tiene una moneda trucada cuya probabilidad de cara es de 1
3. Antes de tirarla 120
veces se hace la predicción de que el número de caras que saldrá estará comprendido
entre 35 y 45, ambos inclusive. Calcula la probabilidad de no acertar la predicción.
76. ¿Cuáles de las siguientes expresiones son monomios? Indica su grado:
a) 8𝑥4𝑦3
b) 3𝑥−5𝑦3
c) 7𝑎2𝑏4 + 3𝑎𝑏
d) 5𝑝3
77. Escribe los términos, el grado, los coeficientes, el coeficiente principal y el término
independiente de los siguientes polinomios:
a) 7𝑥4 − 5𝑥3 + 8
b) −9𝑥6 − 6𝑥4 + 3𝑥2 − 5
c) 8𝑥3 − 5𝑥2 + 4𝑥
d) −𝑥7 − 𝑥6 − 𝑥2 + 9𝑥 − 4
78. Suma los siguientes polinomios:
𝑃(𝑥) = 6𝑥5 − 4𝑥3 + 5𝑥2 − 3
𝑄(𝑥) = 2𝑥4 + 3𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 − 1
79. Calcula 𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥):
𝑃(𝑥) = 3𝑥5 + 2𝑥3 − 4𝑥2 − 6
𝑄(𝑥) = 𝑥5 − 5𝑥3 + 3𝑥2 + 2𝑥
80. Dados los polinomios:
𝑃(𝑥) = 4𝑥5 + 5𝑥2 − 3𝑥 − 8
𝑄(𝑥) = 2𝑥4 − 3𝑥3 + 2𝑥 + 7
𝑅(𝑥) = 6𝑥5 + 4𝑥3 − 5𝑥2 − 1 Calcula:
a) 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥)
b) 𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) − 𝑅(𝑥)
81. Los ingresos de una empresa han seguido, en función del tiempo t, el polinomio 𝐼(𝑡) =
𝑡2 − 2𝑡 + 3 , y los gastos han seguido el polinomio 𝐺(𝑡) = 𝑡2 − 3𝑡 + 8. Halla el
polinomio que expresa el beneficio.
82. Desarrolla los siguientes productos:
a) 4𝑥3(2𝑥2 − 𝑥 + 2)
b) −𝑥2(2𝑥5 − 3𝑥2)
c) −4𝑥(−𝑥4 − 5𝑥2)
d) 𝑥4(−𝑥2 + 3)
83. Multiplica los polinomios:
𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 2𝑥 − 3
𝑄(𝑥) = 4𝑥3 + 𝑥2 − 2
84. Divide 𝑃(𝑥) entre 𝑄(𝑥) y haz la prueba.
𝑃(𝑥) = 4𝑥5 − 6𝑥4 + 10𝑥2 + 12
𝑄(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 1
85. Divide por Ruffini 𝑃(𝑥) entre 𝑄(𝑥)
𝑃(𝑥) = 3𝑥3 − 6𝑥2 + 8𝑥 + 5
𝑄(𝑥) = 𝑥 + 3
86. Divide por Ruffini 𝑃(𝑥) entre 𝑄(𝑥)
𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 4𝑥3 + 12𝑥 + 9
𝑄(𝑥) = 𝑥 − 4
87. Expresa el resultado de las siguientes divisiones en la forma:
𝐷
𝑑= 𝐶 +
𝑅
𝑑
a) 𝑥+5
𝑥−3
b) 𝑥3−5𝑥2−3
𝑥2+3𝑥+1
88. La suma de los cuadrados de dos números enteros consecutivos ¿es par o impar? Razona
la respuesta.
89. Calcula el valor numérico del polinomio para los valores que se indica:
𝑃(𝑥) = 𝑥5 − 2𝑥3 + 5𝑥 − 1
Para 𝑥 = −1 y para 𝑥 = 2.
90. Halla, sin hacer la división, el resto de dividir:
a) 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 4𝑥2 + 5𝑥 − 1 entre 𝑥 − 3
b) 𝑃(𝑥) = 3𝑥4 − 2𝑥3 − 𝑥 − 4 entre 𝑥 + 2
91. Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 2
(𝑥4 − 𝑘𝑥3 − 4𝑥 + 2): (𝑥 + 1)
92. Comprueba si los números -3, 2 y 4 son raíces del polinomio
𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 11𝑥 + 12
93. Comprueba, sin hacer la división, que el polinomio
𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 7𝑥2 + 7𝑥 − 15
Es divisible entre 𝑥 + 3.
94. Halla el valor de k para que el polinomio
𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 7𝑥2 + 𝑘𝑥 + 2
Sea divisible entre 𝑥 − 2.
95. Factoriza los siguientes polinomios:
a) 𝑥2 + 3𝑥
b) 𝑥2 − 4
c) 𝑥2 − 2𝑥 + 1
d) 𝑥2 + 4𝑥 + 4
96. Factoriza los siguientes polinomios y halla sus raíces:
a) 𝑥3 − 4𝑥2 − 11𝑥 + 30
b) 𝑥3 − 𝑥2 − 8𝑥 + 12
c) 𝑥4 + 2𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 4
d) 𝑥5 − 2𝑥4 − 2𝑥3 + 4𝑥2 + 𝑥 − 2
97. Halla un polinomio que tenga las siguientes raíces:
a) 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 2
b) 𝑥1 =3
5, 𝑥2 = 0
c) 𝑥1 = 2, 𝑥2 = −1, 𝑥3 = 3
d) 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 𝑥3 = 1, 𝑥4 = 3
98. Calcula:
a) 2
𝑥−1+
1
𝑥+1
b) 2𝑥
𝑥2−4−
𝑥+1
𝑥+2
99. Efectúa:
a) 𝑥+2
𝑥−1∙
𝑥2
𝑥2−4
b) 𝑥+3
𝑥+1∙
𝑥2+2
𝑥2−9
100. Efectúa:
a) 𝑥+2
𝑥+4:
𝑥2−4
𝑥2−16
b) 2𝑥+2
𝑥2+1:
𝑥2−1
3𝑥2+3
101. Efectúa:
a) (2
𝑥+4−
1
𝑥−2) :
2
𝑥2−4𝑥+4
b) (1
𝑥2−9+
1
𝑥−3) . (
1
𝑥:
1
𝑥+4)
102. Clasifica los siguientes sistemas y resuélvelos gráficamente:
a) 3𝑥 + 𝑦 = 7
7𝑥 − 3𝑦 = −5}
b) 4𝑥 − 5𝑦 = −1012𝑥 − 15𝑦 = 12
}
103. Determina el valor de k para que el siguiente sistema sea:
a) Compatible indeterminado.
b) Compatible determinado.
3𝑥 + 𝑘𝑦 = 26𝑥 − 𝑦 = 4
}
104. Resuelve por el método más adecuado los siguientes sistemas y razona por qué eliges
ese método:
a) 𝑥 + 3𝑦 = 11
𝑥 − 2𝑦 = −14}
b) 2𝑥 − 𝑦 = −43𝑥 + 5𝑦 = 7
}
105. Resuelve, aplicando el método de Gauss, los sistemas:
a)
2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 1𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = 193𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 1
}
b)
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 22𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 11𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −2
}
106. Resuelve, aplicando el método de Gauss, los sistemas:
c)
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −8𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 52𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 4
}
d)
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 02𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 13
−3𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 = −8}
107. Representa las siguientes rectas, halla la pendiente y la ordenada en el origen:
a) 𝑦 = 4
b) 𝑦 = −2
c) 𝑦 =3𝑥
2
d) 𝑦 = −2𝑥
e) 𝑦 = 𝑥 + 3
f) 𝑦 =−2
3𝑥 + 4
108. Haz un dibujo aproximado de las funciones:
a) 𝑦 = 𝑥6
b) 𝑦 = 𝑥7
109. Representa la parábola 𝑦 = 𝑥2, y a partir de ella, las siguientes funciones:
a) 𝑦 = 𝑥2 + 1
b) 𝑦 = (𝑥 + 1)2
c) 𝑦 = (𝑥 − 2)2 + 3
d) 𝑦 = 𝑥2 − 5
110. Representa las siguientes parábolas:
a) 𝑦 = 𝑥2 − 6𝑥 + 5
b) 𝑦 = −𝑥2 − 2𝑥 + 3
c) 𝑦 = 2𝑥2 + 4𝑥 − 1
d) 𝑦 = −3𝑥2 − 6𝑥 + 2
111. El número de bolígrafos vendidos en una papelería viene dado por la función 𝑓(𝑥) =
6 − 𝑥, siendo x el precio en euros. Calcula:
a) La función de ingresos, 𝐼(𝑥).
b) El número de bolígrafos que hay que vender para que los ingresos sean máximos.
112. Dibuja las siguientes hipérbolas y sus asíntotas. Halla la constante, k, de
proporcionalidad inversa:
a) 𝑦 =2
𝑥
b) 𝑦 = −4
𝑥
113. Dibuja las siguientes hipérbolas y sus asíntotas. Halla la constante k
a) 𝑦 =𝑥+3
𝑥+1
b) 𝑦 =3𝑥−5
𝑥−2
c) 𝑦 =2𝑥−5
𝑥−1
d) 𝑦 = −𝑥+1
𝑥+2
114. Escribe las fórmulas de las siguientes hipérbolas:
a)
b)
115. Dibuja las siguientes funciones irracionales:
a) 𝑦 = √𝑥 − 1
b) 𝑦 = −2 + √𝑥 − 1
c) 𝑦 = −√𝑥 + 2
d) 𝑦 = 3 − √2 − 𝑥
116. Dibuja en los mismos ejes las siguientes funciones y sus asíntotas:
a) 𝑦 = 3𝑥
b) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔3𝑥
¿Respecto a qué recta son simétricas?
117. Dibuja la gráfica de las siguientes funciones y sus asíntotas:
a) 𝑦 = (1
3)
𝑥
b) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1
3
𝑥
¿Respecto a qué recta son simétricas?
118. Dibuja la gráfica de las siguientes funciones y sus asíntotas:
a) 𝑦 = 1 + 2𝑥
b) 𝑦 = 2𝑥−3
c) 𝑦 = −5 + (1
2)
𝑥
d) 𝑦 = (1
2)
𝑥+3
119. Dibuja la gráfica de las siguientes funciones y sus asíntotas:
a) 𝑦 = 3 + 𝑙𝑜𝑔2𝑥
b) 𝑦 = −3 + 𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥
c) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2(𝑥 + 5)
d) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1
2
(𝑥 − 1)
120. Escribe las fórmulas de las siguientes gráficas:
a)
b)
121. Dibuja las siguientes funciones a partir de la función 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥:
a) 𝑦 = 2 + 𝑠𝑒𝑛𝑥
b) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +𝜋
2)
122. Dibuja las siguientes funciones a partir de la función 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥:
a) 𝑦 = −1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
b) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 −𝜋
2)
123. Calcula los siguientes límites:
a) lim𝑥→+∞
3𝑥−2
2𝑥2−1
b) lim𝑥→+∞
3𝑥2+𝑥−2
2𝑥2−1
c) lim𝑥→+∞
3𝑥2+𝑥−2
2𝑥−1
d) lim𝑥→+∞
3𝑥2+𝑥−2
−2𝑥−1
e) lim𝑥→+∞
(2𝑥
𝑥−1)
3
f) lim𝑥→+∞
3𝑥2
√4𝑥+1
g) lim𝑥→+∞
√𝑥2+3
2𝑥+1
h) lim𝑥→+∞
2𝑥2+𝑥−1
√𝑥2+3
i) lim𝑥→+∞
7𝑥+√3𝑥−2
2𝑥
j) lim𝑥→+∞
(𝑥2−3
𝑥−5−
𝑥3
𝑥2+1)
k) lim𝑥→−∞
(√𝑥4 + 1 − √𝑥2 − 1)
l) lim𝑥→+∞
(√𝑥2 − 2𝑥 − 𝑥)
m) lim𝑥→+∞
(2𝑥 − √1 + 4𝑥)
n) lim𝑥→+∞
(𝑥2−3
𝑥2−5)
3𝑥+1
o) lim𝑥→−∞
(𝑥−3
𝑥−5)
−3𝑥2+1
p) lim𝑥→+∞
(1 +1
𝑥)
2𝑥+1
q) lim𝑥→+∞
(𝑥2+1
𝑥2)
𝑥−1
r) lim𝑥→2
𝑥2−4
𝑥3−7𝑥+6
s) lim𝑥→1
𝑥2−1
√𝑥−1
124. Estudia la continuidad de la siguiente función definida a trozos:
𝑓(𝑥) = {
𝑥 + 1
𝑥2 + 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 3
√𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 > 3
125. Determina si esta función es continua.
𝑓(𝑥) = {𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1
𝑥2 − 3 𝑠𝑖 𝑥 > −1
126. Calcula a para que esta función sea continua en todo R.
𝑓(𝑥) = {𝑥 + 1
𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −2
−𝑥2 + 𝑎 𝑠𝑖 𝑥 > −2
PRUEBA TIPO DE LA CONVOCATORIA EXTRAORDINARIA DE SEPTIEMBRE
DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I
1. Calcula la recta de regresión de la siguiente distribución bidimensional:
X 1 2 3 4 5
Y 26 30 27 31 28
2. En una ciudad, el 55% de los habitantes consume pan integral, el 30% consume pan
blanco y el 20% consume ambos.
a) Sabiendo que un habitante consume pan integral, ¿cuál es la probabilidad de que
consuma pan blanco?
b) Sabiendo que un habitante consume pan blanco, ¿cuál es la probabilidad de que no
consuma pan integral?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de esa ciudad no consuma ninguno de
los dos tipos de pan?
3. El 30% de los tornillos de una gran partida son defectuosos. Si se cogen tres tornillos al
azar, calcula la probabilidad de que:
a) Los tres sean defectuosos.
b) Solamente dos sean defectuosos.
c) Ninguno de ellos sea defectuoso.
4. Una variable X sigue una distribución normal de media 5 y desviación típica 1,2. Tipifica
la variable X y calcula con ayuda de la tabla las siguientes probabilidades:
a) 𝑃(𝑋 ≤ 4).
b) 𝑃(3,5 ≤ 𝑋 < 4,5).
c) 𝑃(𝑋 ≥ 5,2).
d) 𝑃(𝑋 > 7).
5. Factoriza los siguientes polinomios y halla sus raíces:
a) 𝑥4 + 2𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 4
b) 𝑥5 − 2𝑥4 − 2𝑥3 + 4𝑥2 + 𝑥 − 2
6. Resuelve, aplicando el método de Gauss, los sistemas:
2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 1𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = 193𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 1
}
7. Calcula el siguiente límite:
lim𝑥→+∞
(𝑥2 + 1
𝑥2)
𝑥−1
8. Estudia la continuidad de la siguiente función definida a trozos:
𝑓(𝑥) = {
𝑥 + 1
𝑥2 + 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 3
√𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 > 3
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