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Matemáticas 4º ESO Opción A

Matemáticas 4º ESO (Opción A)

Colegio Santa María del Carmen Alicante

Profesora: Victoria Alfosea

Profesor: Miguel Ayén


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Índice de contenidos

Introducción .........................................................................................................................3 Objetivos generales de Matemáticas para la ESO ..............................................................4 Criterios de evaluación para Cuarto de ESO, opción A .......................................................5 Competencias básicas.........................................................................................................6 Metodología .........................................................................................................................8 Índice de unidades y temporalización..................................................................................9 Criterios de calificación......................................................................................................10

Unidad 1: Números ........................................................................................................11 Unidad 2: Potencias, raíces y logaritmos .......................................................................29 Unidad 3: Polinomios .....................................................................................................53 Unidad 4: Ecuaciones de varios tipos ............................................................................73 Unidad 5: Inecuaciones..................................................................................................99 Unidad 6: Trigonometría básica ...................................................................................119 Unidad 7: Estudio de funciones....................................................................................133 Unidad 8: Estadística unidimensional...........................................................................161 Unidad 9: Estadística bidimensional.............................................................................191 Unidad 10: Probabilidad ...............................................................................................213 Unidad 11: Técnicas de recuento.................................................................................237

Introducción

El material que tienes en las manos es una guía didáctica para el seguimiento del curso. A través de las explicaciones teóricas, sus numerosos ejercicios, más otros que te pro-pondremos durante el curso, queremos conseguir que esta guía te sirva de ayuda, no sólo para comprender los fundamentos de las Matemáticas, sino que pretendemos que te lle-gue a interesar esta materia tanto como a tus profesores, e incluso, consigas quererla tan-to como la queremos nosotros. Aquí encontrarás los objetivos, contenidos, criterios de evaluación (acordes a la Ley Or-gánica de Educación 2/2006, de 3 de mayo, y que se concretan en el REAL DECRETO, BOE, 1631/2006, de 29 de diciembre, en el DECRETO 112/2007. DOGV, de 20 de julio), así como su contribución a la adquisición de las competencias básicas (o aprendizajes que se consideran imprescindibles), la metodología empleada y la temporalización de las unidades didácticas que necesitas conocer para el correcto aprovechamiento del curso que ahora comienzas. Te rogamos que sepas disculpar los posibles errores que pudieras encontrar en esta guía, y que no dudes en comunicárnoslos a los profesores para que podamos mejorarla en futu-ras versiones.

Profesores de 4º de ESO


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Objetivos generales de Matemáticas para la ESO

La enseñanza de las Matemáticas en esta etapa tendrá como objetivo el desarrollo de las siguientes capacidades: 1. Mejorar la capacidad de pensamiento reflexivo e incorporar al lenguaje y modos de ar-gumentación las formas de expresión y razonamiento matemático, tanto en los procesos matemáticos o científicos como en los distintos ámbitos de la actividad humana, con el fin de comunicarse de manera clara, concisa y precisa. 2. Aplicar con soltura y adecuadamente las herramientas matemáticas adquiridas a situa-ciones de la vida diaria. 3. Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en términos matemá-ticos, elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y analizar los resultados utilizando los recursos más apropiados. 4. Detectar los aspectos de la realidad que sean cuantificables y que permitan interpretarla mejor: utilizar técnicas de recogida de la información y procedimientos de medida, realizar el análisis de los datos mediante el uso de distintas clases de números y la selección de los cálculos apropiados, todo ello de la forma más adecuada, según la situación planteada. 5. Identificar los elementos matemáticos (datos estadísticos, geométricos, gráficos, cálcu-los, etc.) presentes en los medios de comunicación, Internet, publicidad u otras fuentes de información, analizar críticamente las funciones que desempeñan estos elementos ma-temáticos y valorar su aportación para una mejor comprensión de los mensajes. 6. Identificar las formas planas o espaciales que se presentan en la vida diaria y analizar las propiedades y relaciones geométricas entre ellas; adquirir una sensibilidad progresiva ante la belleza que generan. 7. Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnológicos (calculadoras, ordenado-res, etc.) tanto para realizar cálculos como para buscar, tratar y representar informaciones de índole diversa y también como ayuda en el aprendizaje. 8. Actuar ante los problemas que se plantean en la vida cotidiana de acuerdo con modos propios de la actividad matemática, tales como la exploración sistemática de alternativas, la precisión en el lenguaje, la flexibilidad para modificar el punto de vista o la perseveran-cia en la búsqueda de soluciones. 9. Elaborar estrategias personales para el análisis de situaciones concretas y la identifica-ción y resolución de problemas, utilizando distintos recursos e instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en función del análisis de los resultados y de su carácter exacto o aproximado. 10. Manifestar una actitud positiva muy preferible a la actitud negativa ante la resolución de problemas y mostrar confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con éxi-to y adquirir un nivel de autoestima adecuado, que les permita disfrutar de los aspectos creativos, manipulativos, estéticos y utilitarios de las Matemáticas.


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11. Integrar los conocimientos matemáticos en el conjunto de saberes que se van adqui-riendo desde las distintas materias de modo que puedan emplearse de forma creativa, analítica y crítica. 12. Valorar las Matemáticas como parte integrante de nuestra cultura: tanto desde un pun-to de vista histórico como desde la perspectiva de su papel en la sociedad actual y aplicar las competencias matemáticas adquiridas para analizar y valorar fenómenos sociales co-mo la diversidad cultural, el respeto al medio ambiente, la salud, el consumo, la igualdad entre los sexos o la convivencia pacífica.

Criterios de evaluación para Cuarto de ESO, opción A

1. Planificar y utilizar procesos de razonamiento y estrategias diversas y útiles para la re-solución de problemas. 2. Expresar verbalmente, con precisión, razonamientos, relaciones cuantitativas e infor-maciones que incorporen elementos matemáticos, valorando la utilidad y simplicidad del lenguaje matemático. 3. Utilizar los distintos tipos de números y operaciones, junto con sus propiedades, para recoger, transformar e intercambiar información y resolver problemas relacionados con la vida diaria. 4. Calcular el valor de expresiones numéricas sencillas de números racionales (basadas en las cuatro operaciones elementales y las potencias de exponente entero que conten-gan, como máximo, tres operaciones encadenadas y un paréntesis), aplicar correctamen-te las reglas de prioridad y hacer un uso adecuado de signos y paréntesis. 5. Simplificar expresiones numéricas irracionales sencillas (que contengan una o dos raí-ces cuadradas) y utilizar convenientemente la calculadora científica en las operaciones con números expresados en forma decimal o en notación científica. 6. Aplicar porcentajes y tasas a la resolución de problemas cotidianos y financieros. 7. Resolver problemas de la vida cotidiana en los que se precise el planteamiento y reso-lución de ecuaciones de primer y segundo grado o de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. 8. Utilizar instrumentos, fórmulas y técnicas apropiadas para obtener medidas indirectas en situaciones reales. 9. Conocer y utilizar los conceptos y procedimientos básicos de la geometría analítica pla-na para representar, describir y analizar formas y configuraciones geométricas sencillas. 10. Identificar relaciones cuantitativas en una situación y determinar el tipo de función que puede representarlas.


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11. Analizar tablas y gráficas que representen relaciones funcionales asociadas a situa-ciones reales para obtener información sobre ellas. 12. Representar gráficamente e interpretar las funciones constantes, lineales, afines o cuadráticas por medio de sus elementos característicos (pendiente de la recta, puntos de corte con los ejes, vértice y eje de simetría de la parábola). 13. Determinar e interpretar las características básicas (puntos de corte con los ejes, in-tervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, continuidad, simetrías y pe-riodicidad) que permitan evaluar el comportamiento de una gráfica sencilla. 14. Elaborar e interpretar tablas y gráficos estadísticos, así como los parámetros estadís-ticos más usuales, correspondientes a distribuciones discretas y continuas, y valorar cuali-tativamente la representatividad de las muestras utilizadas. 15. Aplicar los conceptos y técnicas de cálculo de probabilidades para resolver diferentes situaciones y problemas de la vida cotidiana.

Competencias básicas

En el marco de la propuesta realizada por la Unión Europea, se han identificado ocho competencias básicas: 1. Competencia en comunicación lingüística. 2. Competencia matemática. 3. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico. 4. Tratamiento de la información y competencia digital. 5. Competencia social y ciudadana. 6. Competencia cultural y artística. 7. Competencia para aprender a aprender. 8. Autonomía e iniciativa personal. Puede entenderse que todo el currículo de la materia contribuye a la adquisición de la competencia matemática, puesto que la capacidad para utilizar distintas formas de pen-samiento matemático, con objeto de interpretar y describir la realidad y actuar sobre ella, forma parte del propio objeto de aprendizaje. Todos los bloques de contenidos están orientados a aplicar aquellas destrezas y actitudes que permiten razonar matemáticamen-te, comprender una argumentación matemática y expresarse y comunicarse en el lengua-je matemático, utilizando las herramientas adecuadas, e integrando el conocimiento ma-temático con otros tipos de conocimiento para obtener conclusiones, reducir la incerti-dumbre y para enfrentarse a situaciones cotidianas de diferente grado de complejidad. Conviene señalar que no todas las formas de enseñar Matemáticas contribuyen por igual a la adquisición de la competencia matemática: el énfasis en la funcionalidad de los aprendizajes, su utilidad para comprender el mundo que nos rodea o la misma selección de estrategias para la resolución de un problema, determinan la posibilidad real de aplicar las Matemáticas a diferentes campos de conocimiento o a distintas situaciones de la vida cotidiana.


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La discriminación de formas, relaciones y estructuras geométricas, especialmente con el desarrollo de la visión espacial y la capacidad para transferir formas y representaciones entre el plano y el espacio contribuye a profundizar la competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico. La modelización constituye otro referente en esta misma dirección. Elaborar modelos exige identificar y seleccionar las características relevantes de una situación real, representarla simbólicamente y determinar pautas de comporta-miento, regularidades e invariantes, a partir de las que poder hacer predicciones sobre la evolución, la precisión y las limitaciones del modelo. Por su parte, la incorporación de herramientas tecnológicas como recurso didáctico para el aprendizaje y para la resolución de problemas, contribuye a mejorar el tratamiento de la información y competencia digital de los estudiantes, del mismo modo que la utilización de los lenguajes gráfico y estadístico ayuda a interpretar mejor la realidad expresada por los medios de comunicación. No menos importante resulta la interacción entre los distintos tipos de lenguaje: natural, numérico, gráfico, geométrico y algebraico como forma de ligar el tratamiento de la información con la experiencia de las alumnas y alumnos. Las Matemáticas contribuyen a la competencia en comunicación lingüística ya que son concebidas como un área de expresión que utiliza continuamente la expresión oral y es-crita en la formulación y expresión de las ideas. Por ello, en todas las relaciones de ense-ñanza y aprendizaje de las Matemáticas, y en particular en la resolución de problemas, adquiere especial importancia la expresión tanto oral como escrita de los procesos reali-zados y de los razonamientos seguidos, puesto que ayudan a formalizar el pensamiento. El propio lenguaje matemático es, en sí mismo, un vehículo de comunicación de ideas que destaca por la precisión en sus términos y por su gran capacidad para transmitir con-jeturas gracias a un léxico propio de carácter sintético, simbólico y abstracto. Las Matemáticas contribuyen a la competencia cultural y artística porque el mismo cono-cimiento matemático es expresión universal de la cultura, siendo, en particular, la geo-metría parte integral de la expresión artística de la humanidad al ofrecer medios para des-cribir y comprender el mundo que nos rodea y apreciar la belleza de las estructuras que ha creado. Cultivar la sensibilidad y la creatividad, el pensamiento divergente, la autonom-ía y el apasionamiento estético son objetivos de esta materia. Los propios procesos de resolución de problemas contribuyen de forma especial a fomen-tar la autonomía e iniciativa personal porque se utilizan para planificar estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre controlando al mismo tiempo los proce-sos de toma de decisiones. También, las técnicas heurísticas que desarrolla constituyen modelos generales de tratamiento de la información y de razonamiento y consolida la ad-quisición de destrezas involucradas en la competencia de aprender a aprender tales como la autonomía, la perseverancia, la sistematización, la reflexión crítica y la habilidad para comunicar con eficacia los resultados del propio trabajo. La aportación a la competencia social y ciudadana desde la consideración de la utilización de las matemáticas para describir fenómenos sociales. Las matemáticas, fundamental-mente a través del análisis funcional y de la estadística, aportan criterios científicos para predecir y tomar decisiones. También se contribuye a esta competencia enfocando los errores cometidos en los procesos de resolución de problemas con espíritu constructivo, lo que permite de paso valorar los puntos de vista ajenos en plano de igualdad con los propios como formas alternativas de abordar una situación.


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Metodología

En la primera sesión de cada unidad didáctica, los profesores trataremos de motivar al alumnado sobre la materia de la que se trate, evaluando los conocimientos previos me-diante preguntas orales, ejemplos, curiosidades... Según la naturaleza del tema, se optará por dar o no el esquema de la unidad en las pri-meras sesiones o al final del tema (para fijar conceptos y aclarar ideas). En general, los profesores explicamos los contenidos nuevos del tema en la pizarra y, al final de cada sesión se pide al alumnado que realice varios ejercicios (tanto de la parte explicada como de contenidos anteriores) para que pueda practicar. Al día siguiente, se comentan las soluciones, se resuelven dudas, y se hacen en la pizarra los ejercicios que han presentado mayor dificultad. El día previo a la realización de la prueba escrita, se intenta repasar (si hay tiempo) los conceptos y procedimientos más importantes vistos en clase. En la última sesión, se realiza una prueba escrita de los contenidos explicados. Para conseguir los objetivos propuestos en cada unidad:

− los profesores proponemos numerosos ejercicios (en la pizarra) que el alumno debe realizar para la correcta asimilación de los mismos. Aquellos ejercicios que no formen parte de este dossier, se responden en la libreta del alumno.

− se pregunta al alumnado (casi a diario, y al azar) sobre conceptos y procedimien-tos del tema o de temas anteriores.

− es habitual la realización de ejercicios que han aparecido en exámenes anteriores (con muy buena acogida por parte de los alumnos).

− siempre que haya tiempo, se suelen hacer “simularos” de exámenes que no tie-nen carácter evaluador, pero que permite al alumnado tener una idea mucho más clara de lo que se les va a pedir.

Eventualmente se propondrán a los alumnos exposiciones voluntarias de una parte de alguna unidad didáctica, nueva o de repaso, para que sea el alumno quien la explique al resto de compañeros. Estas exposiciones son siempre individuales. El alumno podrá con-tar con cualquier material de apoyo que requiera: libros, apuntes, transparencias, video proyector... La elección de los alumnos para la realización de estas exposiciones siempre quedará a criterio del profesor. Las preguntas que realizan los alumnos son muy valoradas por parte de los profesores, así como el esfuerzo, el interés, trabajo en este dossier...


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Índice de unidades y temporalización

Primera evaluación (del 15 de septiembre al 5 de diciembre): Unidad 1: Números ............................................................................(8 sesiones) Unidad 2: Potencias, raíces y logaritmos ...........................................(8 sesiones) Unidad 3: Polinomios .........................................................................(8 sesiones) Unidad 4: Ecuaciones de varios tipos ................................................(8 sesiones) Segunda evaluación (del 9 de diciembre al 2 de marzo): Unidad 5: Inecuaciones......................................................................(8 sesiones) Unidad 6: Trigonometría básica .........................................................(8 sesiones) Unidad 7: Estudio de funciones .........................................................(12 sesiones) Tercera evaluación (del 3 de marzo al 25 de mayo): Unidad 8: Estadística unidimensional.................................................(10 sesiones) Unidad 9: Estadística bidimensional ..................................................(9 sesiones) Unidad 10: Probabilidad .....................................................................(9 sesiones) Unidad 11: Técnicas de recuento.......................................................(6 sesiones) El número de sesiones es un dato aproximado, ya que depende de numerosos factores. En cada evaluación hay más sesiones de las programadas aquí. Se pretenderá comenzar las unidades de la segunda y tercera evaluación antes de su comienzo oficial, así conse-guiremos avanzar materia a la vez que evitaremos la coincidencia de exámenes al final de las evaluaciones.


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Criterios de calificación

Por encima de la rigidez de los porcentajes, estará siempre presente la flexibilidad de la eva-luación acorde con las características y necesidades concretas que cada alumno presente. Evaluación inicial Durante las primeras sesiones del curso se realiza una prueba-diagnóstico inicial con los contenidos del curso anterior. Una calificación de Apto en esta prueba permitirá superar la materia caso de que estuviera pendiente del curso anterior. Evaluaciones trimestrales:

− Ocasionalmente, y no a todos los alumnos, podrá hacerse un seguimiento del tra-bajo diario (mirar este dossier con los ejercicios completados) que puede llegar a determinar el aprobado o no de la materia. ( ± 5 %)

− Interés demostrado por el alumno a través de preguntas en clase, exposición de trabajos, corrección de actividades, etc.: 10 %

− Pruebas escritas tras cada Unidad Didáctica: 90 % − Exposiciones voluntarias en clase (+ 1 punto).

Desde que acaba la 3ª evaluación hasta el comienzo de la evaluación final, y siempre que las circunstancias del horario lo permitan, es decir, que se disponga de horas suficientes, se adelantará materia, que será evaluable (si hay suficientes horas lectivas) en la evalua-ción final a través de una prueba escrita. Evaluación final: Se calculará la media aritmética de las tres evaluaciones. El alumno,a recuperará los exámenes suspendidos, pero, en todo momento, los profesores favoreceremos el avance progresivo del alumno o alumna. Cada alumno o alumna podrá subir la calificación final, si la global está aprobada a la nota inmediatamente superior, siempre y cuando la califica-ción numérica de la global tenga las décimas superiores a 5. Si el alumno,a no consigue el Apto, tiene una nueva oportunidad de aprobar la asignatura en la convocatoria de sep-tiembre, en este caso, con TODA la asignatura y previa entrega de los trabajos previstos para las vacaciones de verano. Recuperar la materia pendiente: El alumno,a dispone de dos oportunidades durante el curso para superar la materia si la tuviera pendiente de 3º de ESO:

1. Aprobando la prueba inicial (con contenidos de 3º de ESO) que se realiza en du-rante las primeras sesiones de curso.

2. Aprobando, al menos, dos evaluaciones en el presente curso. El alumno,a deberá tener siempre presente que no podrá examinarse en la prueba final de junio de 4º de ESO si no tiene previamente aprobada la asignatura correspondiente del año anterior. Si se diera esta situación, el alumno,a deberá superar el(los) examen(es) del curso(s) anterior(es) antes de poderse examinar del curso actual. Esto será válido para las convocatorias de junio y septiembre.

Matemáticas 4º ESO Opción A Unidad 1: Números

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Los números redondos son siempre falsos Samuel Johnson

Unidad 1: Números


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Índice de la unidad

Unidad 1: Números........................................................................................................15

1.1 Clasificación.........................................................................................................15 1.2 Jerarquía de las operaciones...............................................................................16 1.3 Números enteros..................................................................................................16

1.3.1 Operaciones ..................................................................................................17 1.4 Números racionales .............................................................................................17

1.4.1 Representación en la recta racional ..............................................................17 1.4.2 Operaciones ..................................................................................................20 1.4.3 Tipos de decimales........................................................................................23

1.5 Números reales....................................................................................................26 1.5.1 Operaciones ..................................................................................................26 1.5.2 Representación de raíces cuadradas ............................................................27

1.6 Ejercicios de repaso.............................................................................................28

Objetivos: en esta unidad aprenderás a ...

− Reconocer y clasificar cualquier número

− Realizar operaciones con cualquier tipo de número

− Representar números en la recta racional o real

− Convertir una fracción en decimal y viceversa

− Representar distintos conjuntos de números

Competencias básicas que se desarrollan en esta unidad:

− Describir y analizar con el vocabulario y la nomenclatura adecuados situacio-nes de la vida real que pueden expresarse con números enteros, racionales y reales (C1, C2 y C3).

− Adquirir un método autónomo de trabajo en la resolución de actividades y pro-blemas sobre números enteros, racionales y reales (C2, C7 y C8).

− Representar correctamente los números de los distintos conjuntos numéricos, así como los intervalos y las semirrectas (curso pasado), empleando el lengua-je matemático como instrumento de representación e interpretación de la reali-dad (C1 y C2)

− Clasificar los números reales, ampliar el conocimiento sobre los distintos con-juntos numéricos, y utilizarlos para desenvolverse adecuadamente con auto-nomía e iniciativa personal en los diversos ámbitos de la vida y el conocimiento (C2, C3, C7 y C8).


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Criterios de evaluación

− Utilizar correctamente la regla de los signos y la jerarquía de las operaciones en el cálculo con números enteros, racionales y reales.

− Dibujar e identificar los números fraccionarios en la recta racional

− Expresar en forma decimal periódica cualquier número racional y expresar en forma fraccionaria cualquier número decimal (racional)

− Clasificar cualquier número dentro del conjunto más pequeño al que pertenezca

− Representar gráficamente en la recta real números irracionales, utilizando para ello sus sucesivas aproximaciones decimales o el teorema de Pitágoras

Contenidos conceptuales

− Conjunto de números, tipos.

− Prioridad (jerarquía) en las operaciones.

− Número entero, operaciones, regla de los signos

− Número racional, operaciones

− Fracciones propias e impropias

− Representación de fracciones en al recta racional

− Decimales exactos, decimales periódicos (puros y mixtos)

− Expresión fraccionaria de los números decimales periódicos y exactos, con fórmula y con forma razonada

− Representación de reales en la recta real, dibujo de raíces por Pitágoras

Contenidos procedimentales

− Clasificación de los números reales en enteros, racionales e irracionales

− Aplicación de la jerarquía de las operaciones.

− Operar, respetando la jerarquía de operaciones con cualquier tipo de número

− Operaciones con fracciones

− Expresión racional de decimales

− Representación de números en la recta racional y real

− Comparación de números reales mediante su ordenación y representación en la recta real con métodos geométricos (teorema de Pitágoras) o por aproxima-ciones sucesivas


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Unidad 1: Números

Es esta unidad repasaremos las operaciones con los números en-teros, racionales y reales que ya conoces. Se trata de los “ladri-llos” sobre los que se sustenta toda la Matemática, por lo resulta muy conveniente que los conozcas muy bien y sepas operar con ellos.

1.1 Clasificación

Ten en cuenta que cuando un conjunto engloba a otro, incluye, a parte de esos otros, otros nuevos números que también tienen su propio nombre. Observa este otro es-quema:


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Ejercicio 1 Clasifica los siguientes números:

25 7− 5'4 π 9−1

2− 25e

642

0 '123...

(naturales)

(enteros)

(racionales)

(reales)

Ejercicio 2 Escribe un número que sea:

a) Real, pero no racional: d) Real, pero no irracional:

b) Racional, pero no entero: e) Irracional, pero no real:

c) Racional y entero: f) Natural y entero:

1.2 Jerarquía de las operaciones Cuando en un ejercicio intervengan varias operaciones, debes seguir el siguiente orden:

1. Se efectúan las operaciones entre paréntesis (corchetes, llaves...), del más interno al más externo. 2. Se calculan las potencias y raíces. 3. Se realizan las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha. 4. Se efectúan las sumas y las restas.

Recuerda que las calculadoras electrónicas a diferencia de las científicas y gráficas, no respetan esta prioridad.

1.3 Números enteros A la hora de operar con números enteros (es decir, números tanto positivos como ne-gativos) debes tener en cuenta las reglas de signos.


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1.3.1 Operaciones Ejercicio 3 Resuelve:

( ) =+−+⋅− 625:9243)a

( ) ( )22) 2 3 7 2 4b − + − ⋅ − + =

2 2 3) 6 10 / 5 3 2c + − ⋅ =

( ) ( )2 3 3) 5 6 8 / 2 3d − + − − − =

2 3 2) 2 6 : 3 6e − − =

( ) ( )2 3 2) 2 6 : 3 6f − − =

( )2 3 2) 2 6 : 3 6g − − =

1.4 Números racionales

1.4.1 Representación en la recta racional Se trata, con este apartado, que recuerdes cómo colocar cualquier fracción en una re-cta graduada. Este proceso te permitirá, por ejemplo, comparar dos o más fracciones. Es un método geométrico (necesitarás una regla, y, quizá, un compás) Se distingue el proceso para los dos tipos de fracciones: propias e impropias. Una fracción se llama propia, si el numerador es menor que el denominador, y el valor decimal (resultado de hacer la división) estará comprendido entre 0 y 1 si la fracción es positiva y entre 0 y -1 si es negativa.

Ejercicio resuelto

Representa en la recta racional el número: 56

Como el numerador es menor que el denominador (es una fracción propia), el resultado está comprendido entre 0 y 1. Debemos dividir la unidad en 6 partes (denominador) y tomamos 5 (numerador) con-tando desde el cero.


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Ejercicio resuelto (continuación)

1. Se dibuja un segmento horizontal. Se señala el extremo izquierdo con el número 0 y el derecho con el 1. Ese será nuestro segmento unidad. 2. Se traza desde el 0 una semirrecta cualquiera que no sea horizontal. 3. Con una regla o con el compás, se marca en esa semirrecta, desde el cero, seis me-didas iguales (el número que haya en el denominador). 4. Con la regla se traza el segmento que une la última marca con el punto 1. 5. Se traza paralelas a ese segmento que pasen por las otras cinco marcas del com-pás.

Ejercicio 4

Representa en la recta racional el número: 3 14 3

−y


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Una fracción se llama impropia, si el numerador es mayor que el denominador, y el valor decimal (resultado de hacer la división) será mayor que 1 o menor que -1 según sea la fracción positiva o negativa. Toda fracción impropia se puede descomponer en suma de un número entero más una fracción propia. Por ejemplo:

17 235 5= +

Por tanto, la fracción anterior deberá colocarse entre el 3 y el 4. El resto del procedi-miento es igual que para las fracciones propias. ¿Cómo convertir una fracción impropia en una suma de un número entero más una fracción propia? Sólo debemos hacer la división y seguir estas flechas: Para el proceso contrario, sólo debes realizar la operación, es decir, multiplicar el nú-mero entero por el denominador y sumar el numerador:

2 15 2 1735 5 5

++ = =

Ejercicio resuelto

Representa en la recta racional el número: 75

Es una fracción impropia (el resultado es mayor que 1). Ya lo hemos pasado a la forma de suma de un número entero más una fracción propia. Por tanto, deberemos seguir los mismos pasos que para representar las propias pero no entre el 0 y el 1, sino entre el 1 y el 2.

7 215 5= +


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Ejercicio 5

Representa en la recta racional los números: 8 55 3

−y

Ejercicio 6 Dibuja en la misma recta racional, los siguientes números:

3 54 4

y −

1.4.2 Operaciones Haremos unos ejercicios para que recuerdes las operaciones básicas con fracciones: Ejercicio 7

Ordena de menor a mayor las siguiente fracciones: 3 5 2 1, ,7 3 5 4

− −,


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Ejercicio 8 Resuelve:

1 7)5 5

a + = 1 7)5 2

b + =

4 1 2)7 14 7

c − + = 1 1 1)2 3 4

d + − =

4 1)7 5

e ⋅ = 1 1) :2 3

f =

1 3) :3 10

g = 7 1 5)

3 3 2h −

⋅ ⋅ =

Prioridad en las operaciones Cuando en un ejercicio intervengan varias operaciones debes seguir el siguiente orden:

1. Se efectúan las operaciones entre paréntesis (corchetes, llaves...), del más interno al más externo. 2. Se calculan las potencias. 3. Se realizan las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha. 4. Se efectúan las sumas y las restas.


( )4 1 5 2) 3 3 + 4 =5 3 2 3

a −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

14 2 4 1 1) : 3 : : =3 3 5 2 5

b−⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

4 3 1 2 3 2) : 3 15 4 6 3 8 5

c ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + − − ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦


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(Continuación)

5 3 9 2 4 16 1) : :6 7 14 3 9 45 24

d ⎛ ⎞− + − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

3 2 2 1 625 15 3 2 5) 3 1

5 2

e

⎛ ⎞⋅ − ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠ =

⋅

22 313 4) 4 1:

5 2

f

⎡ ⎤⎛ ⎞−⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

( )5 1 3 4 3) : 2 3 : 53 6 2 5 2

g ⎡ − ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ⋅ − − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 1 21 3 2 1) 3 :

2 5 3h

− − −−

⎡ ⎤ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦


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Solución del ejercicio anterior

) 1310

a − ) 5

28b ) 7

5c ) 3

4d ) -2

5e )

2548

f ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

) -1774

g

) 578

h

1.4.3 Tipos de decimales Existen cuatro tipos de decimales. Completa:

El paso de una fracción a su decimal correspondiente es muy sencillo, ya que sólo de-beremos hacer la división que se indica en la fracción. El paso de decimal a fracción, al contrario que el proceso anterior, sí requiere un estu-dio algo más detallado. Dependiendo del tipo de decimal que se tenga se hará de una manera u otra, por tanto lo primero que deberemos hacer es identificar de qué tipo de decimal se trata.

Ejercicio resuelto

Obtén la fracción generadora de: 1'35 = Como se trata de un decimal exacto, la obtención de la fracción es inmediata; tan solo hay que dividir por una potencia de 10; el exponente será el número de decimales que haya:

2

135 135 27 5 271'3510 100 20 5 20

⋅= = = =

⋅ ; en este caso, hemos simplificado la fracción.

Ejercicio 10 Obtén la fracción generadora de:

) 2 '5a = ) 10 '01b =

) 0 '25c = ) 0 '05d =


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Ejercicio resuelto

Obtén la fracción generadora de: 1'45 . Se trata de un decimal periódico puro, con dos cifras en el periodo. Paso 1: establecemos una ecuación llamando N al decimal y desarrollamos la expre-sión decimal para que se entienda mejor el proceso. Paso 2: ya que el decimal tiene dos cifras en el periodo, multiplicamos (en ambos lados de la ecuación) por 210 100= . Paso 3: restamos ambas ecuaciones. Como el minuendo es menor que el sustraendo, nos aparecerían números negativos; podemos evitarlo haciendo la resta al revés: sus-traendo menos minuendo.

( )( )( )

1'454545100 145'45454599 144

Paso 1Paso 2Paso 3

NNN

===

……

Ya tenemos la fracción que buscábamos: 144 9 16 1699 144;99 9 11 11

N N ⋅= = = =

⋅


) 1'25a

) 0 '5b

) 12 '20c


25

Ejercicio resuelto

Pasar a fracción el número: 1'453 . En este caso, el decimal es mixto. El proceso con-siste, básicamente, en transformarlo en un decimal puro, para después tratarlo cómo el caso anterior.

Paso 1: igual que el caso anterior. Paso 2: eliminamos la parte mixta del decimal (en este caso hay dos cifras), multipli-cando por 210 100= . Paso 3: ahora tenemos un decimal puro, y procederemos como en el caso anterior. A diferencia de antes, en la parte izquierda tenemos una cantidad distinta de 1 multipli-cando a la N. Como sólo hay una cifra en el periodo, multiplicamos por 110 10= . Paso 4: restamos ambas ecuaciones.

( )( )( )( )

1'453333100 145'3333

1000 1453'3333900 1308

Paso 1Paso 2Paso 3Paso 4

NNNN

====

………

Ya tenemos la fracción que buscábamos:

1308 12 109 109900 1308;900 12 75 75

N N ⋅= = = =

⋅


) 1'221a N =

) 2 '105b N =


26

Habrá ejercicios donde necesitemos obtener más rápi-damente la fracción generadora para, por ejemplo, ope-rar con las fracciones. Existe una fórmula que nos da dicha fracción:

Ejercicio resuelto

Obtén, con la fórmula, la fracción generadora de 1'56 : 156 1 155

99 99N −= =

Obtén, con la fórmula, la fracción generadora de 1'356 : 1356 13 1343

990 990N −= =

Ejercicio 13 Obtén, con la fórmula, la fracción generadora de:

) 2 '14a = ) 12 '8b =

) 0 '315c = ) 1'234d =

1.5 Números reales Ya sabemos que los números naturales, enteros y racionales son, además, reales. Pe-ro hay más números reales que no encajan en ninguno de los conjuntos anteriores: los irracionales: , , 2, ...Φeπ Se trata de números con infinitos decimales.

1.5.1 Operaciones

Ejercicio 14 Clasifica en racionales (R) e irracionales (I) el conjunto de los números reales siguiente:

4 20 '0151515 64 2 '0171171117 0 '34128282873

−… … …

Ejercicio 15

Ordena de menor a mayor los siguiente números reales 23 , , 86

π :

99 9 00 0nº cifras nº cifrasperiodo anteperiodo

EAP EAN −=

… …


27

Ejercicio 16 Ordena de menor a mayor los siguiente números reales:

3 76, , 1'870808 , 1'81712122

… … :

Ejercicio 17 Entre los números 0 '003423 y 0 '003424 , encuentra 4 números reales:

1.5.2 Representación de raíces cuadradas Observa el siguiente dibujo y recuerda el conocido teorema de Pitágoras:

Cuando debamos representar en la recta real una raíz cuadrada, deberemos descom-poner el radicando en una suma de cuadrados; estos serán los catetos del triángulo rectángulo, cuya hipotenusa será la raíz a representar. Ejemplos:

2 25 4 1 2 1= + = + 2 28 4 4 2 2= + = + 2 210 9 1 3 1= + = + Ejercicio 18

Representa gráficamente 20 :


28

1.6 Ejercicios de repaso 1. Efectúa las siguientes operaciones con enteros:

) ( )3 23 27 : 3 1 4 :8 20 : 4a + − + − =

) ( )2 2 26 : 3 2 5 :10 6b − − ⋅ − =

2. Clasifica los siguientes números dentro de los siguientes grupos: , , , I o

5 π 3−

16 2 '5 9−

13

1'833333...− 3'2−

( )22− 2 3+ 63

3. Opera y simplifica la siguiente fracción:

)1 21 1 1 1 13: : 3

9 3 3 3 3a

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

)22 1 3 5 5 23:

9 3 10 2 3 12b

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ − + =⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

4. Representa en la recta real 10 : 5. Representa en la recta racional y por el procedimiento visto en clase, los siguientes

números: -1 84 3

y

6. Obtén la fracción generadora de los siguientes decimales mediante el procedimiento explicado para los decimales periódicos: 2'31 y 3'203 7. Transforma los decimales que te interesen a fracciones y resuelve. Utiliza la fórmula:

:

:

:99 9 00 0

E parte entera

A anteperiodo

P periodo

EAP EAN −=

… …nº cifras nº cifrasperiodo anteperiodo

( ) 15 0 '12 : 2 '53

⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

Matemáticas 4º ESO Opción A Unidad 2: Potencias, raíces y logaritmos

29

Invertir en conocimientos produce siempre los mejores intereses. Benjamín Franklin (estadista y científico estadounidense, 1706 - 1790)

Unidad 2: Potencias,

raíces y logaritmos


30


31


Unidad 2: Potencias, raíces y logaritmos ......................................................................33

2.1 Potencias .............................................................................................................33 2.1.1 Propiedades de las potencias .......................................................................34 2.1.2 Operaciones ..................................................................................................35

2.2 Raíces:.................................................................................................................37 2.2.1 Racionalización .............................................................................................41

2.3 Logaritmos ...........................................................................................................43 2.3.1 ¿Cómo obtener el logaritmo de un número? .................................................44 2.3.2 Uso de la calculadora ....................................................................................46 2.3.3 Propiedades ..................................................................................................47 2.3.4 Expresiones algebraicas y expresiones logarítmicas ....................................49

Hoja de trabajo 1: Potencias ......................................................................................51 Hoja de trabajo 2: Sumas y multiplicaciones con radicales........................................52


− Operar con cualquier tipo de potencia (repaso)

− Operar con raíces (repaso)

− Racionalizar denominadores

− Obtener el logaritmo de un número

− Conocer y aplicar las propiedades de los logaritmos

− Conocer la expresión tomar logaritmos y antilogaritmos


− Utilizar la notación científica para abordar problemas y ejemplos en los que aparezcan contenidos asociados a la ciencia y al mundo físico (C2 y C3).

− Interiorizar las propiedades de potencias y radicales, y utilizarlas para desen-volverse adecuadamente con autonomía e iniciativa personal en los diversos ámbitos de la vida y el conocimiento (C2, C7 y C8).

− Comprobar la simplificación de cálculos que supone el uso de las propiedades de los logaritmos, tomando ejemplos de actividades con contenidos propios del ámbito de las ciencias experimentales (C2 y C3).


32


− Opera con potencias de exponente entero y racional, haciendo uso de las pro-piedades adecuadas para cada caso

− Simplifica expresiones radicales incluyendo, en su caso, la racionalización de las mismas

− Calcula logaritmos de números mediante la aplicación de la definición y con la calculadora

− “Toma logaritmos y antilogaritmos” en expresiones


− Potencias de cualquier exponente: propiedades

− Raíces de cualquier índice: propiedades y operaciones

− Racionalización: casos

− Logaritmo de un número

− Propiedades de los logaritmos

− Expresión: Tomar logaritmos y antilogaritmos


− Utilización de las propiedades de las potencias para realizar cálculos

− Operar con expresiones radicales, racionalizando las expresiones obtenidas cuando sea necesario

− Cálculo del logaritmo de un número mediante la aplicación de la definición y en diferentes bases

− Cálculo del logaritmo de un número en cualquier base utilizando la calculadora

− Aplicación de las propiedades de los logaritmos para resolver problemas

− Aplicación de la expresión “tomar logaritmos” en actividades

− Aplicación de la expresión “tomar antilogaritmos” en actividades


33

Unidad 2: Potencias, raíces y logaritmos

Son tres operaciones básicas para el resto del curso. Haremos un repaso de los contenidos que ya sabes de potencias y raíces, y aprenderemos una nueva operación sobre los números reales: los logaritmos.

2.1 Potencias La mejor manera de repasar conceptos es resolver ejercicios que nos recuerden las propiedades de las potencias. Recuerda que tanto bases como exponentes pueden ser naturales, enteros o fraccionarios. Ejercicio 1 Calcular el valor de las siguientes potencias de exponente natural:

=23)a

( ) =− 24)d

=− 24)g

( ) =− 35)b

( ) =− 31)e

( ) =−− 32)h

=50)c

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2

32)f

Ejercicio 2 Calcular el valor de las siguientes potencias de exponente entero (negativo):

=−32)a

( ) =− −33)d

=− −24)g

( ) =− −35)b

( ) =− −42)e

( ) =− −24)h

( ) =− −23)c

=−431)f

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−2

21)i

Ejercicio 3 Determina cuales de las siguientes expresiones son verdaderas y cuales falsas:

Nota: sólo hay tres correctas

a) nmnm aaa +=⋅ b) ( )nnn baba +=+ c) ( )nmnm aa =⋅

d) ( ) ( )mnnm aa = e) ( )nn aa −=− f) ( ) pnmpnm aaaa −⋅=⋅ :

g) nn aa1

=− h) nm

n

m

ba

ba −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= i) ( ) ( )mnnm abba =⋅


34

2.1.1 Propiedades de las potencias

1. …vecesm

m aaaaa ⋅⋅⋅= Caso particular: 0,10 ≠∀= aa

Ejemplo: 322222225 =⋅⋅⋅⋅= 1130 =

2. m

mm

ba

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

( )0≠bcon Ejemplo:2

22

43

43

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

3.

mm

aa 1

=− ( )0≠acon

m

m

m

mm

ab

ba

ba

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

−−

( )0≠∧ ba

mm

aa −=

1 ( )0≠a

Ejemplo:

33

515 =−

55

5

5

55

313

31

31

===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

−−

1010

212 −=

4.

n mnm

aa = ( )0 1a n≥ ∧ >

n mn

mn mn

m

aaaa 11

=== −−

( )0 1a n≥ ∧ >

Ejemplo:

7 272

55 =

5 252

313 =

−

5.

nmnm aaa +=⋅ nmnm

ba

ba

ba +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

, ( )0≠b Ejemplo:

75252 3333 ==⋅ +

11

11114747

52

52

52

52

52

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+

6.

nmnm aaa −=: , ( )0≠a

nmn

m

aaa −= , ( )0≠a

Ejemplo:4

47373

51555:5 === −−

2353

5

11111111

== −

7. ( ) nmnm aa ⋅= Ejemplo: ( )[ ] ( ) 202054 222 =−=−

8. ( ) mmm baba ⋅=⋅ Ejemplo: ( )[ ] ( ) 44444 323232 ⋅=−⋅=−⋅

9. nnn baba ⋅=⋅ Ejemplo: 222222 55

5 235 25 3 ==⋅=⋅

10. n

n

n

ba

ba=

( )00,0 >∧>≥ nba

Ejemplo:67

3649

3649

==

11. nn n baba ⋅=⋅ Ejemplo: 525220 2 =⋅=

12. mnn m aa ⋅= Ejemplo: 555 23 63 6 == ⋅


35

2.1.2 Operaciones Ejercicio 4 Opera y simplifica:

) 5 2a x x x⋅ ⋅ = ) ( )37 0 2b x x x−⋅ ⋅ =

) 16 21 18c x x x−⋅ ⋅ = )2 2

3 6

x ydx y⋅

=⋅

)5

2 3

x yex y⋅

=⋅ )

3 7

5

x yfx y

−

−

⋅=

⋅

Ejercicio 5 Efectúa las siguientes operaciones:

) ( ) 23 22 3a−

⋅ = )3 2

2

2 48

b ⋅=

) ( ) 35

4

3 981

c−

−

⋅=

)4

2

21 27 9 8

d ⋅=

⋅ ⋅

)3 2

4

1 84 2

e−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

)45 3

4 10f

−⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Ejercicio 6 Calcula y simplifica:

)3 22 3

3 2a ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

)1 25 4

4 5b

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

)22 1:

3 9c ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

)24 55 2:

2 5d

−⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

)3 41 2:

8 5e ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

)47 49:

5 125f ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠


36

Ejercicio 7 Simplifica:

)3 5 2

2 3

3 2 59 4 5

a ⋅ ⋅=

⋅ ⋅

)4 1

1 3 2

3 16 95 4 3

b−

−

⋅ ⋅=

⋅ ⋅

)3 1 2

2 5

8 4 37 4 6

c− −

− −

⋅ ⋅=

⋅ ⋅

)3 4 7

4 3

a b cda b c

− −

− −

⋅ ⋅=

⋅ ⋅


) 3 8a = ) 3 2197b = ) 4 16c =

) 5 32d = ) 4 81e = ) 3 27f =

) 3 0 '027g = ) 6 0 '000 064h = ) 0 '25i =

Ejercicio 9 Calcula el valor de n en cada caso:

) 6 2a n = ) 125 5nb = ) 7 7 7nc =

) 5 4 1nd = ) 3 3n ne = ) 81 3nf =

) 1024 2ng = ) 5 3 9nh = ) 15 7 49ni =

) 9 74 2nj = ) 381 3nk = ) 24 9 3nl =


37

2.2 Raíces: Al igual que con las potencias, aquí también repasaremos conceptos resolviendo ejer-cicios. Las potencias de exponente fraccionario y las raíces son una misma cosa:

;m k m m

n k n nm k m mn k n na a a a a a⋅

⋅ ⋅ ⋅= = = = Ejercicio 10 Calcula y simplifica:

)2

5 2 5a a a= ) 5b a =

) 3 47c = ) 3 73d =

)34

1ex

= )5 2

1fa

=

Ejercicio 11 Pon en forma de raíz las siguientes potencias:

)54a x = )

12b y =

)533c = )

344d =

)2

3e x−

= )3

2f y−

= Ejercicio 12 Saca de la raíz el factor que puedas:

) 0'001a =

) 3 480b x =

) 29 9c a + =

) ( )2 2 1 8d x x+ + =

) 23 6 3e x x+ + =

) 1 19 16

f + =


38

Ejercicio 13 Simplifica al máximo los radicales siguientes:

)6 1

12 612 12 264 2 2 2 2a = = = = ) 5 32b =

) 6 125c = ) 5 0 '00032d =

) 6 0 '027e = ) 8 0 '0016f =

) 8 416g x = ) 4 68 16h x y =

) ( )( )

20

8 22

625 3

2 1

ai

x x

+=

+ +

) 491

16j + =

) 2414

k x x+ + =

)2

42

21 xy ylx−

− =

Ejercicio 14 Simplifica al máximo las siguientes expresiones:

) 35 27 4 3 3004

a + − − =

) 2 18 1 8 545 125 3 45 2

b + + + =

(Sigue → )


39

(Continuación)

) 3 3 36 4 3 73 81 5 3 11 24c ab a b a+ − =

) 2 2 27 1 2 4 4 6 25 25d x x x+ − + + + =

) 3 3 32 2 23 8 8 5 27 27 2 125 125e x x x− − − + − =

) 2

1 116

a b af a bb b b

−+ − − − =

Ejercicio 15 Efectúa las siguientes operaciones y simplifica las expresiones resultantes:

) ( ) ( )4 4 3 32 8 2 23 325 5 5 5 5a = = = ) ( )23 427b a =

) ( ) ( )27 3 5 21c + − =

) ( )25 3 3 5d − =

) 2 2 2e = ) 3 2 2 2f =

) 4 325 99 25

g =

)7

3 7 38h x⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

) 3x yiy x

=


40

Ejercicio 16 Realiza la operación y simplifica la expresión resultante:

) 5 27 4 6a ⋅ =

) 72 3 8b ⋅ =

) 3 854 27

c ⋅ =

) 83 74d x x x⋅ ⋅ =

) 2 43e x x y⋅ =

)2 2

52 :x y xyf

z z=

) 5 32 7 211 8

g +=

)9 3 6

3

644a bha

=

)

2

21

ax aa bix

a ab

−+ =−+

)

( )( )

( )( )

( )( )

32244 5

3

2

11 1

1

11

xx x

xj

xx

−⋅ − −

+=

−

+

Ayuda: (x-1) = a (x+1) = b


41

Ejercicio 17 Convierte a forma de potencia y opera. Expresa el resultado en forma de raíz.

) 4 3 42 2 2a ⋅ ⋅ =

) 243 125 2525

b ⋅ ⋅ =

) 3 5127 39

c ⋅ ⋅ =

) 3 241 5 125

125d ⋅ ⋅ =

Convierte a forma de potencia y opera

) ( )25 4 3 23 3 27a ⋅ ⋅ =

) 3 2 21 3 93

b ⋅ ⋅ =

)3

43 5 18 24

c ⎛ ⎞⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

)2

2 34 1125 525

d ⎛ ⎞⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2.2.1 Racionalización Recuerda que es el proceso por el cual se eliminan las raíces de los denominadores. Cada caso depende del tipo de raíz que haya en el denominador:

− Caso I) Raíz cuadrada: se multiplica numerador y denominador por la misma raíz del denominador

( )215 15 5 15 5 15 5 3 5

55 5 5 5

⋅ ⋅= ⋅ = = = ⋅

− Caso II) Raíz de índice mayor que dos:

7 7 74 4 47 4

7 7 7 73 3 4 7

6 6 2 6 2 6 2 3 222 2 2 2

⋅ ⋅= ⋅ = = = ⋅


42

− Caso III) Suma o diferencia:

( )( )( )

( )( )

( ) ( )22

3 7 12 3 7 12 3 712 12 6 3 79 73 7 3 7 3 7 3 7

+ ⋅ + ⋅ += ⋅ = = = ⋅ +

−− − + −

Ejercicio 18 Racionaliza los denominadores y ten en cuenta que todos los radicandos indicados con letras son números enteros y positivos. Fíjate en las soluciones.

3) aaa= Solución: a3

2)3

b = Solución: 36

3

3 2) ab ac

a b= Solución: 3 22ba

3 2) ad

a= Solución: a

a6 5

2 2

) a bea b−

=−

Solución: baba −+ )(

(Sigue → )


43

2

3 5) mf

m= Solución: 3 m

2)2 2

g =+

Solución: 12 −

5)4 5

h =+

Solución: 11554 −

2)3 5

i −=

− Solución: 53 +

5)7 2

j =+

Solución: 27 −

)1

b bkb−

=−

Solución: b

2.3 Logaritmos Son mucho más sencillos de lo que los alumnos suelen creer. Podrían explicarse en otros cursos inferiores de la ESO.


44

Los siguientes ejemplos están resueltos: intenta averiguar cuál es la operación que se realiza:

2) log 8 3a = Se lee “el logaritmo en base dos de ocho es tres”

5) log 125 3b = 7) log 49 2c = 4

10) log 10 000 log 10 4d = = 3) log 81 4e = Observa el ejemplo d), cuando la base es 10, no podremos nada (igual que obviamos el índice 2 en las raíces cuadradas). Ejercicio 19 Resuelve:

) log 100a = ) log 100 000b =

) log 0'1c = ) log 0'000 001d =

27) log 10e − = 2) log 10f =

6) log 36g = 8) log 8h π =

113) log 3i = 2) log 0'5j =

Hasta aquí hemos obtenido los logaritmos “a ojo”. ¿Y si queremos calcular 4log 2 ?

2.3.1 ¿Cómo obtener el logaritmo de un número? Algunos logaritmos, como los anteriores, se pueden obtener sin calculadora (otros no, pero los veremos más adelante). Sólo debes responder a una pregunta:

¿A qué número tengo que elevar la base para obtener el número? Fíjate en el ejemplo a) de los primeros logaritmos: ¿a qué número, x, tengo que elevar el 2 para obtener 8?

Dicho de otra forma: 2 8x = , ¿cuánto vale x? Es decir, Esta forma de expresar el logaritmo nos lleva a una definición importante:

log xa N x a N= ⇔ =

Fórmula que nos permitirá resolver logaritmos no tan sencillos como los anteriores.

un logaritmo sólo es un exponente


45

Ejercicio resuelto

Resuelve los siguientes logaritmos:

31) log3

a ; Igualamos a x el logaritmo y aplicamos la definición:

31 1log 33 3

xx= ⇔ = Tratamos de igualar las bases:

113 3 1

3x x−= = ⇒ = − ; por tanto: 3

1log 13= −

110

) log 0 '001b ; Igualamos a x el logaritmo y aplicamos la definición:

110

1log 0 '001 0 '00110

x

x ⎛ ⎞= ⇔ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Tratamos de igualar las bases:

3 31 10 10 10 3

10x

x x− − −= ⇒ = ⇒ = ; por tanto, 110

log 0 '001 3=


4) log 2a

) log 10b

2) log 8c

33) log 3d

(Sigue → )


46

(Continuación)

13) log 1e

2) log 0 '125f

5) log 0 '2g

13

) log 27h

13

1) log81

i

110

) log 1000j

2.3.2 Uso de la calculadora

Sólo encontrarás dos logaritmos: en base 10, log ; y en base e, ln o Ln . Para obtener un logaritmo en cualquier otra base deberás dividir el logaritmo en base 10 del número entre el logaritmo en base 10 de la base:

loglogloga

NNa

=

Puedes comprobar esta fórmula con algún logaritmo sencillo. Ejemplo:

2log 8log 8 3log 2

= =


47

2.3.3 Propiedades Son tres, y, como todas las propiedades, resultan muy útiles para resolver problemas. 1. Logaritmo de un producto... puede ponerse como la suma de los logaritmos de los factores:

( )log log loga a aM N M N⋅ = +

Ejercicio 21 Aplicando propiedades (de momento sólo conoces una), obtén:

log 40 log 25+ =

2 Logaritmo de un cociente... puede ponerse como una resta entre el logaritmo del numerador y el del denominador:

log log loga a aM M NN

= −

Ejercicio 22 Aplicando propiedades obtén:

log80 log8− =

3. Logaritmo de una potencia... puede ponerse como el producto del exponente por el logaritmo de la base:

log logNa aM N M= ⋅

Ejercicio 23 Aplicando propiedades obtén:

4log 4 =

Ejercicio 24

Sabiendo que log 5 0 '69= , calcula:

) log 500a =

) log 0 '5b =


48

Ejercicio 25

Sabiendo que log 2 0 '3= , calcula:

) log 8a =

) log 5b =

) log 125c =

) log 0 '64d =

Ejercicio 26 Opera (sin calculadora):

) log 2 log5a + =

) log 40 log 5 log 20b + − =

( ) 5) log 25 log 4 log 1000c + ⋅ =

Ejercicio 27 Simplifica las siguientes expresiones:

) 2 log 5 log 4 log 10a a aa + − =

1 1) log 12 log 9 log 82 3a a ab ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

4 3) log logc x x− =

) 1 log 2d + =

) 3 log 2e − =


49

2.3.4 Expresiones algebraicas y expresiones logarítmicas

Si los logaritmos de dos números en la misma base son iguales, enton-ces los números también son iguales.

log loga aM N M N= ⇔ =

Cuando se aplica esta propiedad en el sentido de izquierda a derecha se dice “quitando logaritmos” o “tomando antilogaritmos”; cuando se aplica de derecha a izquierda se dice “tomando logaritmos”. Estas expresiones deben aparecen en los ejercicios (exá-menes) cuando las apliques. Ejercicio resuelto

Convierte esta expresión logarítmica en una expresión algebraica (es decir, sin logarit-mos):

log log 4 log 3log log 3V rπ= + + − ; debemos agrupar los logaritmos de la parte derecha ara obtener sólo un logaritmo:

3log log 4 log log 3;V rπ= + −

34log log ;3rV π

= Quitando logaritmos:

343rV π

= , expresión algebraica que nos da el volumen de una esfera.

Ejercicio 28 Pasa a forma algebraica las siguientes expresiones:

) log 2 log 3log 2 log 5a A x y= − + ) ( ) ( )log log logb B x y x y= + + −

) log 3log log 32 log2xc C x= − −

(Sigue → )


50

(Continuación) ) log 2log 3log 5logd D x y z= − +

) log 2log log 3e E x y= − +

) log 1 log 3logf F x z= − +

Ejercicio 29 Pasa a forma logarítmica las siguientes expresiones:

2 3 4)a A x y z=

3 4

2) a bb Bc

=

23

5) mnc Cñ o

=


51

Hoja de trabajo 1: Potencias Nombre: ______________________________________ Núm: ______ Curso: ______

Opera y simplifica


52

Hoja de trabajo 2: Sumas y multiplicaciones con radicales Nombre: _______________________________________ Núm: _____ Curso: ______ 1. Extrae factores y suma los siguientes radicales

a) 75 192 3 3+ + (Solución=16 3 ) b) 2 125 3 75 4 180+ − (Solución=34 5 15 3+ )

c) 1 4 925 45 20+ − (Solución= 4 1

3 5− )

2. Realiza las siguientes multiplicaciones. Simplifica la raíz resultante y extrae factores.

a) 3 63 4 72 2 2⋅ ⋅ (Pasando a raíces de igual índice y operando) (Solución= 63 52 2⋅ ) b) 3 63 4 72 2 2⋅ ⋅ (Pasando a potencias de exponente fraccionario y operando) c) 6 834 125 25 5⋅ ⋅ (Pasando a raíces de igual índice y operando) (Solución= 2 125 2⋅ ) d) 6 834 125 25 5⋅ ⋅ (Pasando a potencias de exponente fraccionario y operando) 3. Convierte a potencias de igual base y opera. Expresa el resultado en forma de raíz

a) ( )22 327 3 3⋅ ⋅ (Solución= 83 3 )

b) 4 3 12 22⋅ ⋅ (Solución= 4 2 )

c) 3 23 15 5 12525

⋅ ⋅ ⋅ (Solución= 7 35 5⋅ )

d) 2

3 3 14 8 216⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

(Solución= 32 2⋅ )

Matemáticas 4º ESO Opción A Unidad 3: Polinomios

53

El que nada duda, nada sabe. Proverbio griego

Unidad 3: Polinomios


54

Listado de teoremas muy importantes que utilizaremos en este tema:

Teorema de resto

El resto de dividir un polinomio P(x) por (x-a) es igual al valor numérico del polinomio para x=a; es decir:

( ) ( ) ( ) ( )Si P x x a C x R P a R= − + ⇒ = Demostración: ( ) ( ) ( ) ( )0 0P a a a C x R C x R R R= − + = ⋅ + = + =

Teorema del factor

Un polinomio P(x) tiene como factor (x-a) si el valor numérico del polinomio para x=a es cero.

Raíz de un polinomio

Un número a es una raíz de un polinomio P(x) si el valor numéri-co de P(x) para x=a es cero, es decir:

( ) ( ) 0a es raíz de P x P a⇔ =

Teorema fundamental del álgebra

Un polinomio de grado n tiene como máximo n raíces reales.


55


Unidad 3: Polinomios.....................................................................................................57

3.1 Operaciones.........................................................................................................57 3.1.1 Valor numérico (repaso) ................................................................................57 3.1.2 Suma, resta, multiplicación y división (repaso)..............................................58 3.1.3 Factor común (repaso) ..................................................................................60 3.1.4 Regla de Ruffini (repaso)...............................................................................61 3.1.5 Identidades notables (repaso) .......................................................................62

3.2 Factorización. Métodos ........................................................................................64 3.2.1 Resolver ecuaciones de segundo grado .......................................................64 3.2.2 Identidades notables .....................................................................................66 3.2.3 Sacar factor común .......................................................................................67 3.2.4 Regla de Ruffini .............................................................................................68

3.3 Fracciones algebraicas ........................................................................................70 3.3.1 Simplificación ................................................................................................70


− Adquirir soltura y destrezas en el manejo de expresiones algebraicas

− Extraer factor común de cualquier expresión algebraica

− Dividir polinomios por la regla de Ruffini

− Utilizar las identidades notables

− Factorizar cualquier expresión algebraica por diversos métodos

− Simplificar fracciones algebraicas


− Calcular el valor numérico de una expresión algebraica en problemas y ejem-plos en los que aparezcan contenidos asociados a la ciencia y al mundo físico (C2 y C3).

− Sintetizar los contenidos de la unidad, y elaborar guiones y resúmenes para aumentar la creatividad, y desarrollar la iniciativa personal, el sentido de la res-ponsabilidad y el sentido crítico (C2, C7 y C8).


56


− Realiza sumas y diferencias, productos, divisiones y potenciación de monomios y polinomios

− Divide polinomios con divisor de la forma x-a utilizando Ruffini

− Desarrolla el cuadrado o cubo de un binomio y la suma por diferencia de dos monomios y realizar la operación contraria

− Extrae factor común de cualquier expresión algebraica

− Calcula las raíces enteras de un polinomio probando los divisores del término independiente y sabiendo, en todo momento, cuál es el número máximo de ellas

− Factoriza polinomios por diversos métodos

− Simplifica fracciones algebraicas


− Suma y diferencia de monomios y polinomios

− Producto y división de polinomios

− Procedimiento de Ruffini

− Identidades notables: cuadrado de un binomio, suma por diferencia de dos mo-nomios, cubo de un binomio

− Teorema del resto. Número de raíces de un polinomio

− Factorización de un polinomio. Métodos

− División entera de dos polinomios. Prueba de la división − Fracciones algebraicas. Simplificación


− Suma, diferencia, producto y división de monomios y de polinomios

− Desarrollo de identidades notables en ambos sentidos

− División de polinomios señalando el resto y el cociente, con el fin de poder es-cribir el dividendo en función del divisor, cociente y resto, y particularizar para resto = 0

− Factorización de polinomios: sacando factor común, aplicando identidades no-tables, por cálculo de raíces entera por Ruffini, de polinomios de segundo gra-do por la fórmula de resolución de las ecuaciones

− Determinación de la equivalencia de dos fracciones algebraicas

− Simplificación de fracciones algebraicas por los métodos anteriores


57

Unidad 3: Polinomios

Esta unidad es un repaso de las dos unidades vistas el curso pa-sado. Una de las finalidades que pretendemos conseguir es que adquieras destrezas y ciertas habilidades a la hora de manejar una expresión algebraica. Puedes tomarlo como un entrenamiento para el siguiente tema: ecuaciones.

3.1 Operaciones

3.1.1 Valor numérico (repaso) Es el número que se obtiene al sustituir las letras de la expresión algebraica por núme-ros determinados y efectuar las operaciones indicadas en la expresión. Ejercicio 1 Halla el valor numérico de la siguiente expresión algebraica:

2 4) 1; 2; 32

, para b b aca x a b ca

− ± −= = = − = −

)b El mismo pero con 3c = :

)c El mismo pero con 1c = : Ejercicio 2 Halla el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas:

( ) 2 2 3 1) , 5 3 2 2 4 22 2

, para e a P x y x y xy xy x y x y= + − + − + = = −

( ) ( )( )( )2

3 2) , 1 2

2 2 3, para e

x yb Q x y x y

x x y−

= = − =− + −

(Sigue → )


58

(Continuación)

( ) ( )2 23 3 2 3 4) , , 1 2

5 2 2 3 para y a b b a a bc R a b a b

a b a b a b− − −

= + − = − =+ + +

( )22

) , , 2 para xy y

d S x y x yxy

−= = =

−

3.1.2 Suma, resta, multiplicación y división (repaso) Tal y como hemos indicado, varios apartados de esta unidad son un repaso de los con-tenidos vistos el año pasado. Haremos ejercicios para recordar las operaciones de su-ma, resta, multiplicación y división de monomios y polinomios. Ejercicio 3 Realiza las siguientes operaciones expresando la solución de la manera más simplifi-cada posible:

2 2) 3 2 5 3a x x x x+ + − =

3 2 3 21 2 1 2)3 3 6 3

b xy x y xy x y+ − + =

( )( )3 2 2) 4 2 1 3c x x x x− + − + =

2 2 2 2) 2d ax by x by− + + =

) 5 23be b b+ − =

( )( )( )) 2 2 3f x x x− + − =


59

Ejercicio 4 Dividir los siguientes polinomios:

2 3 4 28 4 2)2

a bc a b c abcaab

− +=

( )3 2) 12 9 3 :3b x x x x− + =

Ejercicio 5 Haz las siguientes divisiones:

) 4 2 22 7 5 2 2 1a x x x x x− + − + − ) 4 3 23 5 2 3 3 2b x x x x x+ − + − +

Ejercicio 6 Opera:

( )42 5) 2a x y =

2 4 6)b a b c =


60

Ejercicio 7 Realiza las siguientes operaciones y simplifica:

) ( )22 1 3a x x x− + ⋅ =

) ( )( )2 24 2 3 3 1b x x x x− + + − =

) ( ) ( )32 2 3 3 2 1c x x x x− + − + + =

) 1 1 333 3 9

d x x x⎛ ⎞⎛ ⎞+ − + − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

) ( )( ) ( )23 4 2 3 2e x y x y x y x− + − + =

) ( )33 3f x y x y− − − =

) ( )( )( ) ( )2 2 2 2 3 3g a b a b a b a b ab+ − + − − =

) 2 5 9 33 43 3 5 10xh x y x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − − − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3.1.3 Factor común (repaso) Ya sabes que es una operación muy habitual en Matemáticas: se usa en ecuaciones, en simplificación de expresiones, en funciones... Una forma de entender qué hace esta operación es que buscamos productos donde sólo hay sumas y restas.

Ejercicio 8 Extrae factor común:

5 2 3 4 2 3 3) 2 4 6a a bc a b c a bc− + =

2 2 2 2)b ax b x ay b y− + − =

2 2) 15 20c x y x z− = (Sigue → )


61

(Continuación)

3 2) 8 6d xy xy xy+ − =

2 2 2) 6 10 2 2 4e z yz z z y z+ − + − =

4 3 5 2 2 2 3) 12 6 18 6f x y x y x y y x− + − =

3 2) 2 7g ab b ba+ − =

5 3)2 5 7a ah a+ − =

1)

2 3abci ab ab− + − =

( ) ( ) ( )2) 7 2 5 2 3 2j x x x x x+ − + − + =

3.1.4 Regla de Ruffini (repaso) Paolo Ruffini (1765-1822), matemático y médico italiano. Ejercicio 9 Aplica la regla de Ruffini para hallar el cociente y el resto de las siguientes divisiones:

( ) ( )4 3) 5 3 8 : 2a x x x x− + + −

( ) ( )4 2) 5 3 : 1b x x x x+ + +

(Sigue → )


62

(Continuación)

( ) ( )3) 5 25 : 1c x x x+ + −

( ) ( )6 5 4 3 2) 2 6 4 14 11 16 3 : 3d x x x x x x x− − + − + − −

3.1.5 Identidades notables (repaso) Todo lo que nos ahorre trabajo, es bueno. Para unas cuantas expresiones algebraicas (por desgracia, no muchas), existen unas fórmulas que nos permiten economizar es-fuerzos a la vez que evitan los frecuentes errores que se producen en el cálculo alge-braico.

Cuadrado de la suma de dos monomios ( )2 2 22a b a ab b+ = + +

Cuadrado de la diferencia de dos monomios ( )2 2 22a b a ab b− = − +

Cubo de la suma de dos monomios ( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b+ = + + +

Cubo de la diferencia de dos monomios ( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b+ = − + −

Suma por diferencia de dos monomios ( )( ) 2 2a b a b a b+ − = −

En la unidad 10 (apartado 9) veremos, gracias a Newton y a Tartaglia, la forma de cal-

cular cualquier potencia de un binomio, por ejemplo ( )61x + . Ten cuidado en no aplicar correctamente una propiedad de las potencias: ten en cuenta que:

( )2 2 2a b a b+ ≠ +

El siguiente enlace puede ayudarte a “visualizar” estas fórmulas: http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/notables.htm


63

Ejercicio 10 Desarrolla las siguientes identidades notables:

( )( )) 4 3 4 3a x y x y− + =

( )22) 2 5b x y+ =

( )2) 3c x y− =

( )2)d y x− =

)2 2x xe y y⎛ ⎞⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

2

21) 24

f x y⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( )2 2) 2 2g a x y a x y− + = Ejercicio 11 Expresa como cuadrado de una suma o de una diferencia, o bien como producto de una suma por una diferencia:

=++ 2510) 2 xxa 2) 2 1f x x− + =

2) 16 1b x − = 2) 9 25g x − =

2) 4 12 9c x x− + = 2) 4 4h x x+ + =

2 2) 9 12 4d x xy y− + = 4 1)

4i x − =

4 2 1)4

e x x+ + = 4 3 2) 2j x x x− + =


64

3.2 Factorización. Métodos Consiste en conseguir productos (factores) en expresiones que contienen sumas y restas.

Expresión con una suma

Misma expresión con un producto

xx +3 ( )12 +xx Aplicaremos los métodos que hemos recordado en los apartados anteriores (sacar fac-tor común, identidades notables, Ruffini...). Estos factores nos permitirán simplificar expresiones. Por ejemplo, mira estas dos expresiones: se trata de la misma fracción.

xxx +3

( )

xxx 12 +

Pero, mientras que en la primera no podemos hacer ninguna simplificación (hay una suma en el numerador que nos lo impide), en la segunda, sacando factor común, nos permi-te “tachar” las dos x, quedándonos una expre-sión muy sencilla, y equivalente a la fracción original. Hemos conseguido, por tanto, una gran simplificación.

3.2.1 Resolver ecuaciones de segundo grado Receta: se coge un polinomio de segundo grado (que tenga raíces reales); se convierte en ecuación igualándolo a cero y obtenemos sus soluciones; cambiamos sus signos y añadimos una x delante de cada solución; se encierran entre paréntesis y ya está el polinomio factorizado.

Ejercicio resuelto

Factoriza el siguiente polinomio: 232 +− xx Igualamos a cero y resolvemos la ecuación correspondiente: 0232 =+− xx Se trata de una ecuación de segundo grado completa: aplicamos la fórmula:

( )2

132

89312

21433 2 ±=

−±=

⋅⋅⋅−−±

=x ; obtenemos sus soluciones:

1;2 21 == xx ; cambiamos los signos, añadimos una x delante para cada solución y

se encierran entre paréntesis: ( )( )12 −− xx ; ya tenemos el polinomio original factori-zado:

( )( )2 3 2 2 1x x x x− + = − −

Observa cómo, partiendo de expresiones con sumas y restas, hemos conseguido que aparezcan productos.

( )232

11

x xx x xx x

++= = +


65

Ejercicio resuelto

Factoriza el siguiente polinomio: 92 −x Igualamos a cero y resolvemos la ecuación correspondiente: 092 =−x En este caso es una ecuación de segundo grado incompleta: falta el término en x. Re-solvemos:

92 =x ; 39 ±==x ; es decir 3;3 21 −== xx ; cambiamos los signos, añadimos

una x delante para cada solución y se encierran entre paréntesis: ( )( )33 +− xx ; ya

tenemos el polinomio original factorizado: ( )( )2 9 3 3x x x− = − +

Ejercicio resuelto

Factoriza el siguiente polinomio: xx 72 + Igualamos a cero y resolvemos la ecuación correspondiente: 072 =+ xx De nuevo tenemos una ecuación de segundo grado incompleta: ahora falta el término independiente. Resolvemos sacando factor común: ( ) 07 =+xx ; pero en este caso, YA HEMOS ACABADO. ya tenemos los factores que

buscábamos. De nuevo hemos conseguido un producto cuando sólo había una suma:

( )2 7 7x x x x+ = +

Ejercicio 12 Factoriza los siguientes polinomios:

2) 9 14a x x+ + =

2) 3b x x− =

2)c x x− =

(Sigue → )


66

(Continuación)

2) 2d x x− − + =

2) 81e x − =

2) 3 15f x x− =

2) 2 5 3g x x+ − =

2) 2 50h x − =

3.2.2 Identidades notables En las tres identidades notables que hemos aprendido se producen, en uno u otro sen-tido, factores:

Ejercicio resuelto

Factoriza las siguientes expresiones: 12) 2 ++ xxa ; 24) 2 +− xxb ; 16) 2 −xc ;

a) Es el desarrollo de un binomio al cuadrado: ( ) ( )( )22 2 1 1 1 1x x x x x+ + = + = + +

b) Es el desarrollo de un binomio al cuadrado: ( ) ( )( )22 4 4 2 2 2− + = − = − −x x x x x

c) Es una diferencia de cuadrados: ( )( )2 16 4 4x x x− = + −


67

Ejercicio 13 Factoriza los siguientes polinomios:

=+− 12) 2 xxa

=−81) 2xb

=+− 96) 2 xxc

=++ 1816) 2 xxd

=−94) 2xe

3.2.3 Sacar factor común Es un proceso que ya conoces. En este tema, sacar factor común no será un ejercicio por sí sólo, sino que, en general, será sólo una parte de algún ejercicio donde se nece-siten hacer más cosas. Ejercicio resuelto

Factoriza el siguiente polinomio: ( ) xxxxP 103 23 −+= Podemos sacar una x factor común, con lo que el polinomio original queda:

( )103103 223 −+=−+ xxxxxx . Así conseguimos una primera factorización. El polinomio que queda dentro del paréntesis es de grado 2, con lo que resolvemos la ecuación de segundo grado correspondiente:

;01032 =−+ xx ;2

732

4932

4093 ±−=

±−=

+±−=x

Soluciones: 21 =x y 51 −=x . El polinomio de segundo grado se puede poner como:

( )( )521032 +−=−+ xxxx ; con lo que, el polinomio original factorizado queda: ( ) ( )( )52 +−= xxxxP , totalmente factorizado.


68

3.2.4 Regla de Ruffini Recordemos antes la prueba de la división: dividendo = divisor x cociente + resto. Sólo nos van a interesar las divisiones exactas, es decir, divisiones cuyo resto es cero:

dividendo = divisor x cociente Ejercicio 14 Factorizar los siguientes polinomios:

( ) xxxxP 223 −−= ( ) xxxxQ 82 23 −−=

( ) xxxxR 214 23 −+=

( ) 16208 23 −+−= xxxxS

( ) 67 234 +−−+= xxxxxT

(Sigue → )


69

(Continuación)

( ) 1243 23 −−+= xxxxU ( ) 12 234 +−−+= xxxxxV (sólo hay tres factores)

( ) 6116 23 −+−= xxxxW

( ) 4 3 24 16 12Y x x x x x= − − + −

( ) 322446 234 −−++= xxxxxZ


70

3.3 Fracciones algebraicas Son fracciones cuyos numeradores y denominadores son polinomios.

3.3.1 Simplificación Deberemos factorizar los polinomios del numerador y del denominador para poder sim-plificar algún factor. Para conseguir los factores utilizaremos las herramientas aprendi-das en los apartados anteriores: sacar factor común, Ruffini, identidades notables... Ejercicio resuelto

Simplifica la siguiente fracción algebraica: mamxaaxx

+++ 22 2

1. En el numerador hay el desarrollo de una identidad notable: un binomio al cuadrado; factorizamos. 2. En el denominador también factorizamos, en este caso sacando factor común. 3. Una vez que ya tengamos todos los factores simplificaremos aquellos que sean igua-les.

( ) ( )( )( )

22 22 x a x a x ax ax a x amx ma mx ma m x a m

+ + ++ + += = =

+ + +

Ejercicio resuelto

Simplifica la siguiente fracción algebraica: 1322

+−−

xxx

1. Factorizamos el numerador resolviendo la ecuación de 2º grado. 2. Una vez obtenidos los factores simplificamos los que son iguales.

( )( )2 1 32 3 31 1

x xx x xx x

+ −− −= = −

+ +

Ejercicio 15 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

=+−

23

23

2)

xxxxa

=−−11)

3

xxb

(Sigue → )


71

(Continuación)

=+−−

−863

) 23

3

xxxxxc

=32

244

1815)

cabcbad

=yxyxe 2

24

3020)

=−−

2

2

)aaxaabf

=−

++22

22 2)ba

babag

=−−++

−−+322446

1243) 234

23

xxxxxxxh

(Ya están factorizados en dos ejercicios anteriores)

=−−

xyxxyxi 3

25

)

=−+

11) 2x

xj

(Sigue → )


72

(Continuación)

=−

+−−xxyyxxyk

2632)

=−

+−22

224 2)yyx

yyxxl

=−

+−yxxyxyxm 23

22

332)

2 2

2 2

9 6)9

x xy ynx y+ +

=−

=48

23

3024)

zxyzyxñ

( )( )=

+−+

xxxxo

1261218) 3

2

Más información: http://www.videosdematematicas.com/Formularios%20pdf/Matematicas/Factorizacion.pdf

Matemáticas 4º ESO Opción A Unidad 4: Ecuaciones de varios tipos

73

Dejamos de temer aquello que se ha aprendido a entender. Marie Curie (química francesa de origen polaco, 1867-1934)

Unidad 4: Ecuaciones de

varios tipos


74


75


Unidad 4: Ecuaciones de varios tipos............................................................................77

4.1 Despejar incógnitas..............................................................................................77 4.2 Ecuaciones de 1er grado (repaso) ........................................................................80 4.3 Ecuaciones de 2º grado (repaso).........................................................................83 4.4 Ecuaciones factorizadas ......................................................................................85 4.5 Ecuaciones bicuadradas (repaso)........................................................................88 4.6 Ecuaciones con raíces (repaso)...........................................................................88 4.7 Ecuaciones con la incógnita en el denominador ..................................................90 4.8 Resolución de ejercicios ......................................................................................93 Hoja de trabajo: Ecuaciones de primer, segundo grado y bicuadradas .....................97


− Despejar incógnitas de expresiones (repaso)

− Resolver ecuaciones de primer y segundo grado (repaso)

− Resolver ecuaciones polinómicas (por factorización), ecuaciones bicuadradas, con raíces, con la incógnita en el denominador


− Plasmar los datos del enunciado de las actividades en lenguaje algebraico, empleando así el lenguaje matemático como instrumento de representación e interpretación de la realidad (C1 y C2).

− Asociar la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones con situaciones que contemplen contenidos propios del ámbito de las ciencias experimentales (C2 y C3).

− Sintetizar los contenidos de la unidad para resolver actividades que posterior-mente puedan ser expuestas al resto de los alumnos para desarrollar el sentido crítico, el sentido de la responsabilidad y las habilidades sociales (C2, C7 y C8).


76


− Resuelve ecuaciones de primer y segundo grado, completas e incompletas

− Resuelve ecuaciones bicuadradas, ecuaciones irracionales y ecuaciones senci-llas de grado superior a 2, y con la incógnita en el denominador

− Despeja incógnitas de expresiones


− Incógnita

− Solución o raíz de una ecuación

− Ecuaciones equivalentes

− Discriminante

− Ecuaciones bicuadradas

− Ecuaciones radicales

− Ecuaciones factorizadas

− Ecuaciones con la incógnita en el denominador


− Resolución de ecuaciones de tercer grado que carecen de término indepen-diente

− Resolución de ecuaciones bicuadradas, con raíces, factorización y con la in-cógnita en el denominador

− Despejar incógnitas de expresiones


77

Unidad 4: Ecuaciones de varios tipos

En la unidad repasaremos la resolución de ecuaciones que aprendimos en 3º de ESO (bicuadradas y con raíces) y aprende-remos a resolver otros tipos de ecuaciones.

4.1 Despejar incógnitas Despejar: Separar la incógnita de los demás miembros de una ecuación mediante las operaciones pertinentes: Lo único que debes recordar para realizar estos ejercicios son aquellas frases repetiti-vas que deben “sonarte” mucho:

Lo que está multiplicando pasa dividiendo... Lo que está sumando pasa restando...

Ejercicio resuelto

Despeja la n de la fórmula general de las progresiones geométricas: ( )dnaan 11 −+=

Primero analizamos la fórmula: hay cuatro letras (que pueden ser despejadas, y un número). Fijémonos en la n que nos piden: está dentro de un paréntesis, multiplicada por d y sumada con a1. Atendiendo a las prioridades de las operaciones, en primer lugar actúa el paréntesis, luego el producto (por la d) y por último la suma (con a1).

Pues bien, para despejar debemos proceder a la inversa de la prioridad, es decir:

− 1º pasaremos la a la izquierda el término a1 (que es el que suma)

− 2º pasaremos a la izquierda la d (que el término que multiplica)

− 3º ya sólo con el paréntesis despejaremos la n

1º: ( )dnaan 11 −=− ; 2º: ( )11 −=− nd

aan ; 3º: nd

aan =+− 11

1 1na a nd−

+ =


78

Ejercicio 1 Despeja todas las incógnitas que puedas: a) Fórmula de la densidad:

vm

=ρ

b) Fórmula básica del movimiento:

vte = c) Área del círculo:

2A rπ=

d) 2

PQIr

=

e) Ley de la fuerza de atracción universal :

2rMmGF =

f) Fórmula del área de la corona circular:

( )22 rRA −= π

(La G, que no debes confundir con la gravedad, g, es una constante numérica, y no la debes despejar)


79

(Continuación) g) Volumen de un cono:

hrV 2

31π=

h) Volumen del octaedro regular:

323 ⋅

=lV

i) Fórmula del movimiento uniformemente acelerado:

2

21 attvss oof ++=

j) Ecuación de 2º grado simplificada:

aacbbx

242 −+−

=


80

4.2 Ecuaciones de 1er grado (repaso) En la resolución de ecuaciones conviene seguir un orden: facilita la tarea, y evita que cometamos errores:

1. Quitar denominadores 2. Quitar paréntesis 3. Agrupar y simplificar los términos del mismo grado 4. Pasar a un miembro los términos en x y al otro los números 5. Despejar la x 6. Comprobar la solución

Toda ecuación de 1er grado tiene siempre una única solución

Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente ecuación de primer grado: ( )( )

4421

336 2xxxx

=+−

+−

1. Quitar denominadores: [ ] 124,4,3... =mcm

IMPORTANTE: NO DEBEMOS APLICAR EL m.c.m. COMO SI FUERA UNA SUMA O RESTA DE FRACCIONES. AHORA HAY UNA ECUA-CIÓN, Y DEBEMOS MULTIPLICARLA, A AMBOS LADOS, POR EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO QUE ACABAMOS DE CALCULAR.

( ) ( )( ) ;4

124

2133612

2xxxx=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

+−

( ) ( )( ) ;3

42112

33612 2xxxx

=+−

+−

( ) ( )( ) ;3213364 2xxxx =+−+− Así conseguimos eliminar los denominadores. 2. Quitar paréntesis: ( ) ;32231224 22 xxxxx =−−++−

;36331224 22 xxxx =−++− 3. Agrupar y simplificar los términos del mismo grado

;33918 22 xxx =+− ;0918 =− x 4. Pasar a un miembro los términos en x y al otro los números: ;918 x=

5. Despejar la x: 18 ; 29

x x= =

6. Comprobar la solución: ( )( )

42

42212

3236 2

=+−

+⋅−

; 44

441

30

=⋅

+ 110 =+

La solución 2x = sí es correcta.


81

Ejercicio 2 Resuelve las siguientes ecuaciones de 1er grado:

( ) ( ) 62312) +=−−+ xxxa COMPROBACIÓN:

421

232) xxb +=

−; (una forma muy sencilla de eliminar los denominadores cuando

sólo tengamos dos fracciones es aplicar el proceso de “multiplicar en cruz”) COMPROBACIÓN:

563

325) xxc +

=+

COMPROBACIÓN:

( )[ ] ( ) ( )[ ]5237261253) +=++− xxxd COMPROBACIÓN:

(Sigue → )


82

(Continuación)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −− xxxe 2

34

31

94

61

2352)

COMPROBACIÓN:

( )[ ] ( ) ( )5295362434) +=−−+ xxxf COMPROBACIÓN:

( )4

131

312

223) +

−=−

−+ xxxg

COMPROBACIÓN:

231263

35

235) xxxxh −

−=+−+

++

−

COMPROBACIÓN:


83

4.3 Ecuaciones de 2º grado (repaso) La fórmula general que tienen estas ecuaciones es:

02 =++ cbxax Las letras a, b y c se llaman coeficientes. Pueden ser positivos, negativos o cero (ex-cepto la a que no puede ser cero, ya que sería una ecuación de primer grado, no de segundo). Las soluciones de cualquier ecuación podrán ser, en general, números reales (natura-les, raíces no enteras, fracciones irreducibles...), o también, podrá darse el caso de ecuaciones que no tengan solución real. Si la b o la c son cero tenemos las ecuaciones de segundo grado incompletas. Es pre-ferible no aprenderse ninguna fórmula para resolverlas; utilizaremos el sentido común y las herramientas que ya conoces. Si 0=b , la ecuación es de este tipo: 02 =+ cax , y su solución (cuando exista) será un número positivo y el mismo, negativo, ya que se debe resolver una raíz cuadrada. Por otro lado, si 0=c , la ecuación es de este tipo: 02 =+ bxax . Una de sus solucio-nes siempre es cero. La forma de resolver este tipo de ecuaciones es extraer factor común, con lo que se obtiene un producto de factores igualado a cero. Este hecho pro-voca la solución inmediata de la ecuación. Si los tres coeficientes son distintos de cero, tendremos la ecuación completa, y se re-suelve, como sabes, mediante la siguiente fórmula:

aacbbx

242 −±−

= Recomendaciones para usar esta fórmula sin que te equivoques:

− Debes interpretar el signo negativo de la primera b como “se le cambia el signo a lo que valga b”. Ejemplo: si b = 5, tendrás que poner -5; si b = -3 deberás po-ner 3.

− El doble signo ± que hay delante de la raíz está para que no se te olvide que una raíz cuadrada tiene siempre dos soluciones. Por ejemplo

525 ±= . − Fíjate que el coeficiente b que está dentro de la raíz − El coeficiente a aparece dos veces en la fórmula. Es muy conveniente que sea

positivo, y eso siempre lo puedes conseguir. Imagina esta ecuación: − A la expresión acb 42 − , se la conoce como Δ . Es una letra griega: delta ma-

yúscula (en el apéndice I de estos apuntes podrás conocer las letras griegas más importantes que se usan en las ciencias: Matemáticas, Física, Astronomía, etc.). Fíjate que en Δ hay una resta de dos números (por la prioridad de las operaciones que recordábamos en la primera unidad, sabrás que la resta debe ser la última operación que debe hacerse dentro de la raíz). Esta resta puede provocar un resultado positivo, negativo o cero.


84


025) 2 =−xa

2) 7 21 0b x x− =

2) 9 14 0c x x− + =

( )) 5 4 0d x x + =

2) 2 72e x =

2) 4 3 0f x x+ + =

02510) 2 =+− xxg

2) 2 18 0h x − =

2) 2 18 0i x + =

2 7) 02

j x x− =

2) 6 10 0k x x− + =


85

4.4 Ecuaciones factorizadas Ya sabes que la factorización de polinomios nos puede llevar algo de tiempo (sacar factor común, comprobar si son identidades notables, probar por Ruffini...) pero cuando conseguimos que la ecuación esté totalmente factorizada, las soluciones son inmedia-tas. Por ejemplo: la siguiente ecuación está factorizada:

( )( )( )3 7 6 1 3 2 0x x x x x− + = − + − = y sus soluciones son:

1 2 31; 3; 2x x x= = − = Ejercicio 4 Resuelve las siguientes ecuaciones:

( )( )( )) 8 1 2 0a x x x− − + =

( ) ( ) 02121) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅−⋅+⋅ xxxxb

( )( ) 05232) =−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + xxxc

En ocasiones podremos encontrarnos con ecuaciones parcialmente factorizadas; pro-cederemos a tratar cada factor por separado, igualándolo a cero y buscando las solu-ciones de forma independiente. Ejercicio 5 Resuelve las siguientes ecuaciones:

( )( ) 01232) 2 =−++ xxxa

( ) ( ) 09612) 22 =+−⋅−− xxxxb

( ) ( ) 01449) 22 =++⋅+ xxxc


86

Por último, si la ecuación no está factorizada, utilizaremos las herramientas aprendidas en el tema anterior (Ruffini, sacar factor común...) para conseguir que lo esté. Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente ecuación: 022 23 =−−+ xxx

Se trata de una ecuación de grado 3. No existe fórmula para resolverla. Debemos fac-torizarla, por ejemplo, por Ruffini. Una vez obtenidos los factores, las soluciones son directas:

La ecuación original factorizada es:

( )( )( ) 021122 23 =++−=−−+ xxxxxx por tanto, las soluciones son:

1 2 31 ; 1 ; 2x x x= = − = − Recuerda que, en ecuaciones, siempre puedes comprobar las soluciones.

1 2 -1 -2

1 1 3 2

0 1 3 2

-1 -1 -2

1 2 0

Ejercicio 6 Resuelve las siguientes ecuaciones:

03) 23 =− xxa

0232) 23 =−+ xxxb

033) 234 =−−+ xxxxc

0161644) 23 =+−− xxxd

044) 234 =+− xxxe

012164) 234 =−+−− xxxxf

4 3 2) 6 4 24 32 0g x x x x+ + − − =

(Sigue → )


87

(Continuación)

(Sigue → )


88

(Continuación)

4.5 Ecuaciones bicuadradas (repaso) Corresponden con este tipo de ecuación: 024 =++ cbxax Para resolver estas ecuaciones recordamos la técnica del cambio de variable:

1. La ecuación deberá tener la forma general. Si no fuera así, haremos las transformaciones necesarias.

2. Se hace un cambio de variable, x2 = z; lógicamente, x4 será sustituido por ______

3. Con este cambio se transforma la ecuación bicuadrada en una ecuación de segundo grado normal, que se resuelve por los procedimientos que ya cono-cemos.

4. Esta operación nos dará (en general) dos soluciones, pero soluciones de z, no de x que era nuestra variable original; por tanto, hay que deshacer el cambio de variable hecho en el paso 1.

4.6 Ecuaciones con raíces (repaso) También es esta ocasión recordamos los pasos necesarios para resolver este tipo de ecuaciones (donde la incógnita está dentro de una raíz): 1er paso: se aísla la raíz (si hay mas de una, comenzamos por la que presente más difi-cultad). Esto quiere decir que debemos dejarla “sola” en un miembro de la ecuación, y “pasar” al otro lado simplificando, si podemos, todo lo demás. Es muy importante que la raíz quede positiva. 2º paso: se elevan al cuadrado ambos miembros de la ecuación. Como ya te imaginas, si elevamos al cuadrado una raíz, ésta desaparece. En el otro miembro tendremos una expresión elevada al cuadrado que se desarrolla.


89

3er paso:

- si con la operación anterior hemos conseguido eliminar la raíz (que era el pro-blema) se agrupan los términos y se resuelve la ecuación resultante;

- si por el contrario, aún queda alguna raíz en la ecuación, se vuelve a aplicar los dos pasos anteriores.

4º paso: se comprueban las soluciones. En este tipo de ecuaciones es IMPRESCINDI-BLE comprobar que las soluciones encontradas verifican la ecuación original. Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente ecuación con raíces: 3223 +−= xx 1er paso: se aísla la raíz (conseguimos que quede positiva dejándola a la izquierda).

3232 −=+ xx (No hay ningún término que pueda agruparse, es decir, no se pue-de simplificar). 2º paso: se eleva a cuadrado ambos miembros de la ecuación:

( ) ( )223232 −=+ xx ; En el miembro de la izquierda desaparece la raíz. En el lado

derecho hay un binomio al cuadrado que desarrollamos: ;912432 2 +−=+ xxx ; 3er paso: ya no hay raíces; se agrupan los términos y se resuelve la ecuación resultante:

;61440 2 +−= xx Se trata de una ecuación completa de 2º grado. Dividimos por dos toda la ecuación (este paso es opcional, pero conveniente; la ecuación queda más simplificada):

;3720 2 +−= xx Al aplicar la fórmula de resolución de las ecuaciones de 2º grado completas, obtenemos dos resultados provisionales:

1 213 ; ;2

x x= = 4º paso: se comprueba si cada solución verifica la ecuación original:

Comprobación para ;31 =x

;332323 +⋅−⋅=

;3663 +−=

;963 −= ;363 −=

;33 =

Comprobación para ;21

2 =x

;3212

2123 +⋅−⋅=

;3113 +−=

;413 −= ;213 −= ;13 −≠

Por lo tanto, la única solución correcta de la ecuación es 1 3x =


90

4.7 Ecuaciones con la incógnita en el denominador Para resolver este tipo de ecuaciones deberemos multiplicar ambos miembros por el m.c.m. de los denominadores: Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente ecuación: 31

21

=+

+− x

xx

x

Ecuación con la incógnita en el denominador. Primero debemos calcular el m.c.m. de los denominadores, que en este caso es

( ) ( )[ ] ( )( )111;1.. +−=+− xxxxmcm En segundo lugar, multiplicamos dicho m.c.m. en ambos miembros de la ecuación:

( )( ) ( )( );1131

21

11 +−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

−+− xx

xx

xxxx Multiplicamos el m.c.m. por cada una

de las fracciones de la parte izquierda de la ecuación, con el objetivo de simplificar los denominadores:

( )( ) ( )( ) ( )( );1131

1121

11+−=

++−

+−

+− xxx

xxxx

xxx

De esta manera, ya ha desaparecido el problema de las fracciones. Esta es la ecua-ción que queda tras eliminar los denominadores: ( ) ( ) ( )( );113121 +−=−++ xxxxxx Se opera: ( );1322 222 −=−++ xxxxx

En la parte derecha se aprovecha la identidad notable.

;333 22 −=− xxx Se agrupan los términos del mismo grado.

;3−=− x Solución: 3x = Comprobación:

Para 3=x : ;326

23

23

46

23

1332

133

==+=+=+⋅

+− La solución es correcta.

Ejercicio 7 Resuelve las siguientes ecuaciones:

230) =−x

xa (Sigue → )


91

(Continuación)

22

22

2) =+

++ x

xx

xb

97

134) =+−

xxc

4311) 2 =+

xxd

(Sigue → )


92

(Continuación)

23

325) =

++

+ xx

xe

xx

xxf

−+

=−+

12

34)

43

34

42

33

) x

x

x

x

g−

+=

−

+


93

4.8 Resolución de ejercicios Una vez repasados todos los tipos de ecuaciones que vimos el año pasado y aprendi-dos otros nuevos, haremos ejercicios para que puedas aplicar todos estos algoritmos. Ejercicio 8 Resuelve las siguientes ecuaciones:

( )( )( ) 0532) =−+− xxxa

3 2) 3 2 0b x x x− + =

4 2) 10 9 0c x x− + =

( ) ( )1) 2 3 04

d x x x⎛ ⎞+ − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

) 2e x x+ =

3 2) 2 9 18 0f x x x− − + =

( ) ( ) 3) 3 02

g x x x xπ ⎛ ⎞⋅ − ⋅ + ⋅ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

(Sigue → )


94

(Continuación)

8 12) 16 6

xhx x

−+ =

+ −

4 2) 9 20i x x− = −

4 3 2) 4 4 0j x x x− + =

) 1 1 13 2k x+ + + =

22 12) 25l x

x⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(Sigue → )


95

(Continuación)

) 6 21 2m x x+ − =

3 2

3 1 1 2 3) 1x x xnx x x+ + +

+ = +

4 3 2) 7 6 0ñ x x x x+ − − + =

4 2) 4 17 4 0o x x− + =

(Sigue → )


96

(Continuación)

2) 22xp x

x+ =

) 2 5 13q x x+ − = −

1 6)6 2 6 6

x x xrx x

+− = +

− − (Ten en cuenta que ( )6 6x x− = − − )

4 2) 3 75 0s x x− =

4 3 2) 6 5 23 20 4 0t x x x x− − + − =


97

Hoja de trabajo: Ecuaciones de primer, segundo grado y bicuadradas Nombre: _______________________________________ Núm: _____ Curso: ______ 1. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado

) 3 1 4 4215 5 3x x xa − − +

+ + = Solución: 3x =

) 5 7 3 9 2 4 52 4 3

x x xb + + +− = + Solución:

6113

x =

2. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado

)a 23x +11x - 4 = 0 Soluciones: 1 21 , 43

x x= = −

) 22 6 0b x x− − + = Soluciones: 1 232,2

x x= − =

) 22 0c x x+ = Soluciones: 1 210,2

x x= = −

) 23 27 0d x − = Soluciones: 1 29, 9x x= = −

) 2e 3 6 0x x− = Soluciones: 1 20, 2x x= =

) 2 49 0f x − = Soluciones: 1 27, 7x x= = −

) 2g 2 32 0x − = Soluciones: 1 24, 4x x= = −


98

3. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas. Recuerda comprobar las solucio-nes.

) 4 2 600 0a x x− − = Soluciones: 1 25, 5x x= = − ) 4 226 25 0b x x− + = Soluciones: 1 2 3 45, 5, 1, 1x x x x= = − = = −

) 4 224 25 0c x x− − = Soluciones: 1 25, 5x x= = −

) 4 24 37 9 0d x x− + = Soluciones: 1 2 3 431 31 4 2 4 2, , ,4 4 3 33 3

x x x x= = − = = = − = −

Matemáticas 4º ESO Opción A Unidad 5: Inecuaciones

99

No hay enigmas. Si un problema puede plantearse, también puede resolverse.

Ludwig Wittgenstein (filósofo austriaco, 1889-1951)

Unidad 5: Inecuaciones


100


101


Unidad 5: Inecuaciones ...............................................................................................103 5.0 Conocimientos previos.......................................................................................103 5.1 Semejanzas con las ecuaciones........................................................................103 5.2 Diferencias con las ecuaciones..........................................................................103 5.3 Inecuaciones de primer grado............................................................................104

5.3.1 Resolución algebraica .................................................................................104 5.3.2 Resolución gráfica .......................................................................................106

5.4 Inecuaciones de segundo grado ........................................................................109 5.4.1 Resolución algebraica .................................................................................109 5.4.2 Resolución gráfica .......................................................................................111

5.5 Sistemas de inecuaciones con una incógnita ....................................................113 Hoja de trabajo: Ejercicios de repaso.......................................................................115 Anexo: Sistemas no lineales ....................................................................................117


− Diferenciar las ecuaciones de las inecuaciones

− Resolver inecuaciones de primer y segundo grado de forma algebraica y de forma gráfica

− Resolver sistemas de inecuaciones


− Emplear el lenguaje matemático (en concreto, nociones básicas de teoría de conjuntos) como instrumento de representación e interpretación de la realidad (C1 y C2).

− Resumir y sintetizar los contenidos de la unidad de manera clara y precisa para desarrollar el sentido crítico y el sentido de la responsabilidad, y para iniciarse en el aprendizaje de manera eficaz y autónoma (C2, C7 y C8).


102


− Resuelve inecuaciones de primer y segundo grado de forma gráfica y de forma algebraica

− Resuelve sistemas de inecuaciones


− Inecuación

− Número de soluciones de una inecuación

− Solución algebraica y solución gráfica de una inecuación

− Sistemas de inecuaciones


− Obtención de desigualdades con el mismo (y diferente) sentido mediante la suma o resta de cualquier número o el producto o división de un número positi-vo (negativo) en ambos miembros

− Obtención de inecuaciones equivalentes mediante el producto o cociente de números negativos en ambos miembros y cambiando el sentido de la desigual-dad

− Resolución de inecuaciones de primer y segundo grado, tanto de forma gráfica como de forma algebraica

− Resolución de sistemas de inecuaciones


103

Unidad 5: Inecuaciones

Son muy parecidas a las ecuaciones que ya conoces, salvo por tres diferencias que veremos al comenzar el tema. Resolvemos inecuaciones de 1er y 2º grado analítica y gráficamente, y siste-mas de inecuaciones.

5.0 Conocimientos previos Debes recordar como expresábamos ciertos intervalos y semirrectas de tres maneras distintas. Ejemplos:

( ]0, 3'5 0 3'5x< ≤

Intervalo semiabierto o abierto por la izquierda y cerrado por la derecha

El mismo intervalo utilizan-do relaciones de desigual-

dad

El mismo intervalo utilizan-do, ahora, una representa-

ción gráfica

( )1,− ∞ 1 x− <

Semirrecta La misma semirrecta utili-zando relaciones de des-

igualdad

La misma semirrecta utili-zando una representación

gráfica

5.1 Semejanzas con las ecuaciones − En ambas expresiones tratamos de averiguar qué números hacen cierta la

igualdad o desigualdad. − Debemos despejar la incógnita y reducir el resto de la expresión hasta averi-

guar su valor. − Las reglas de la suma (o resta) y multiplicación (o división) por un número posi-

tivo para conseguir expresiones equivalentes son las mismas para ecuaciones que para inecuaciones.

− En las inecuaciones existen, al igual que en las ecuaciones, grados en los poli-nomios que la forman (inecuaciones de primer grado, de segundo grado, etc.).

5.2 Diferencias con las ecuaciones − Utilización de un signo diferente al tradicional “igual” (=) de las ecuaciones:

o signo < : se lee “menor que” o “menor estricto que” o signo > : se lee “mayor que” o “mayor estricto que” o signo ≤ : se lee “menor o igual que ” o signo ≥ : se lee “mayor o igual que”

− Número de soluciones: en las ecuaciones siempre hay (cuando existen) un número finito de soluciones (una si la ecuación es de 1er grado, dos si es de 2º grado, etc.); en las inecuaciones, pueden haber infinitas soluciones.

− Cambio de orientación del signo cuando multiplicamos o dividimos la inecua-ción por un número negativo.


104

5.3 Inecuaciones de primer grado

5.3.1 Resolución algebraica Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente, la resolución de inecuaciones de primer grado es prácticamente igual que para las ecuaciones, salvo el caso de tener que mul-tiplicar o dividir la inecuación por un número negativo (habitualmente por -1), en cuyo caso deberemos invertir el signo de la desigualdad. Mira el siguiente ejemplo:

4x− > ; para tener la incógnita positiva, multiplicaos por -1 en ambos miembros: 4x < −

Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente inecuación: 1 5 3x x− ≥ +

Operamos como si se tratara de una ecuación: 4 4x− ≥ ; 4

4x−

≥ ; 1 x− ≥ ó 1x ≤ −

Observa como en el 2º paso, hemos dividido ambas partes por 4, que al tratarse de un número positivo, no afecta al signo de la inecuación. Una forma muy útil de “comprender” la solución de cualquier ecuación es utilizar una representación gráfica:

Comprobación: En el caso de las inecuaciones no podemos comprobar los resultados con todos los números, para este caso, menores que -1, así que escogeremos un número al azar que cumpla esa condición, por ejemplo, el -2:

Para 2x = − ; ( )2 1 5 2 3− − ≥ − + ; 3 10 3− ≥ − + ; 3 7− ≥ − , sí es correcto. Ejercicio 1 Resuelve y representa sobre una recta las siguientes inecuaciones:

) 3 1 2 3a x x− < +

( )) 2 1 3 3 6b x x x− − + < −

(Sigue → )


105

(Continuación)

2 5)2 6 3x x xc − −+ ≥

( ) ( )) 2 1 3 2 4d x x x x+ − − ≥ −

1) 22 7x xe x++ < −

) 24 3 6x x xf x− < −

2 3 2 2) 46 4 3x x xg + −− ≤ +

1 2 3 4 5)10 6 15 30x x x xh − − − + −

+ ≤ +

(Sigue → )


106

(Continuación)

) 1 5 54 36 9

x x xi − + −< +

) ( ) 23 1 3 4j x x x x− > + +

5.3.2 Resolución gráfica Vamos a resolver el mismo ejemplo que utilizamos en la resolución algebraica (obvia-mente, deberemos obtener la misma solución utilizando el método gráfico). Conocimientos previos: necesitarás recordar cómo se dibujan rectas en un sistema de coordenadas; básicamente, había dos maneras de hacerlo: dando valores en una tabla, o a través de la pendiente y la ordenada en el origen.

Ejercicio resuelto

Resuelve, gráficamente, la siguiente inecuación: 1 5 3x x− ≥ + Deberemos tratar cada miembro de la desigualdad como una recta que deberemos representar. Una vez dibujadas ambas rectas, se mirará la desigualdad, y se determi-narán (visualmente) cuando (para qué valores de x) una de ellas es mayor o menor, es decir, está por encima o por debajo, (según el signo de la desigualdad) que la otra.


107


El primer miembro de la desigualdad será la recta 1y , y el segundo miembro será la

recta 2y . Se dan valores para representar las rectas:

x y1 x y2

-2 -3 -1 -2

0 -1 0 3

3 2

La desigualdad de la inecuación indica que la primera recta be ser mayor o igual que la segunda. Mirando la gráfica vemos que cuando la x es -1 ó menor, la recta de trazo continuo está por encima de la recta de puntos.

Por tanto, la solución de la inecuación es ( ], 1−∞ − o bien, 1x ≤ − .


108

Ejercicio 2 Resuelve, gráficamente, las siguientes inecuaciones:

) 2 3a x x≤ −

) 2b x x− > −

) 2 1 4 1c x x− − < −


109

5.4 Inecuaciones de segundo grado Al igual que ocurría con las inecuaciones de primer grado, aquí también pueden resol-verse de forma algebraica y de forma gráfica. Utilizaremos el mismo ejemplo en ambos procedimientos.

5.4.1 Resolución algebraica El método consiste en:

- pasar la inecuación a forma de ecuación (simplemente cambiando la desigualdad existente por el signo igual)

- resolver la ecuación de 2º grado - situar las soluciones en la recta real (esto originará varios intervalos, según el

número de soluciones que haya); - decidir (en base a los signos) qué intervalo(s) es(son) la solución de la inecua-

ción. Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente inecuación: 2 2 1 2 3x x x+ − > +

Resolvemos la ecuación de segundo grado: 2 4 0x − = ; Soluciones: 2x = ± . Situamos las dos soluciones en la recta real:

Al haber dos soluciones, la recta real queda dividida en tres intervalos. Elegimos, por ejemplo, el cero para hacer la comprobación: 20 2 0 1 2 0 3+ ⋅ − > ⋅ +

1 3− > ; al no cumplirse la inecuación, podemos determinar ya las soluciones:

Solución: ( ) ( ), 2 2,−∞ − +∞∪


110

Ejercicio 3 Resuelve las siguientes inecuaciones:

2) 5 6a x x− < −

2) 2 3 0b x x− − ≥

2 2) 2 6c x x x+ ≤ +

2) 3 2 0d x x− + ≤

( ) ( )2 2) 2 5 72 4e x x− > + −


111

5.4.2 Resolución gráfica Al igual que hemos hecho anteriormente, nos olvidaremos momentáneamente de la des-igualdad, tratando la inecuación como ecuación. Dibujaremos la parábola correspondien-te cuyo procedimiento ya se vio el curso pasado. Finalmente, volveremos a la inecua-ción, donde determinaremos, a partir de la gráfica, los valores de x que provocan que la gráfica sea positiva (esté por encima) o negativa (esté por debajo) del eje de abscisas. Ejercicio resuelto

Resuelve gráficamente la siguiente inecuación: 2 2 3 0x x− − < Tratamos la inecuación como ecuación y representamos la parábola resultante:

2 2 3 0x x− − = Vamos a recordar los pasos necesarios para dibujar la parábola.

1. Cálculo del vértice: aplicamos la fórmula abVx 2

−= ;

112

2=

⋅=xV ; 431212 −=−⋅−=yV ; ( )1, 4V = −

2. Puntos de corte con los ejes: PCEX (y=0): En este caso 320 2 −−= xx , ecuación de segundo grado que tiene como soluciones 3;1 21 =−= xx ;

Por tanto, la parábola corta al eje X en los puntos ( ) ( )0,30,1 y−

PCEY (x=0): En este caso 330202 −=−⋅−=y La parábola corta al eje Y en el punto ( )3,0 − 3. Se calculan puntos cercanos al vértice Volvemos a la inecuación original: ¿cuándo la gráfica es menor que cero? es decir, ¿cuándo está por debajo del eje de abscisas? Mirando la gráfica deducimos fácilmente que la solución de la inecuación es:

( )1, 3 , o bien, ( )1 3x< <

x y 1 -4 0 -3 2 -3 -1 0 3 0 -2 5 4 5


112

Ejercicio 4 Resuelve gráficamente las siguientes inecuaciones:

2) 4 3 0a x x− + − ≥

2) 6 5 0b x x+ + <

2) 2 2 0c x x+ + <


113

5.5 Sistemas de inecuaciones con una incógnita No llegan a ser verdaderos sistemas en tanto que sólo hay una incógnita. Para resolver este tipo de inecuaciones debes proceder como si fueran dos inecuaciones indepen-dientes; la solución del sistema serán aquellos valores que satisfagan ambas inecua-ciones. De entre las tres formas de representar las soluciones de los intervalos, puede resultarte más útil utilizar la forma gráfica, ya que es la mejor para determinar las solu-ciones comunes a dos intervalos. Ejercicio 5 Resuelve los siguientes sistemas de dos inecuaciones con una incógnita:

3 6 0)

2 7 32

xa xx

+ > ⎫⎪⎬

− + ≥ − ⎪⎭

( ) ( )3 6 5 2

)3 2 3 6 1x x

bx x x x− < + ⎫⎪

⎬− + ≤ + − ⎪⎭


114


115

Hoja de trabajo: Ejercicios de repaso Nombre: _______________________________________ Núm: _____ Curso: ______ 1. Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado

) 3 2 11 :2 3 5

x xa x Sol x+ +− < + > −

) 5 3 1 20:2 2 2 3

x xb x Sol x− +− ≥ − ≤ −

) ( ) ( )2 33 4 :10

c x x x Sol x+ ≤ + ≤ −

) ( ) ( )23 1 4 2 3 : 0d x x x x x x Sol x+ − > + + <

2. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado

) ( ) ( )3 2 4 4 : 1, 4a x x x x Sol x+ − > + ∈ − ) ( ) [ ]22 3 1 : 1,2b x Sol x− ≤ ∈

) ( )4 3 9 0 :c x x Sol x+ + ≥ ∈


116

) ( ) [ ]2 3 0 : 3,1d x x Sol x− + + ≥ ∈ −

) ( ) ( )2 2 2 41 2 3 7 1 : ,13

e x x x x Sol x ⎡ ⎤− − + + ≤ − + ∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦

3. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con una incógnita:

) ( ]2 4 4: 4,1

3 2 5x

a Sol xx+ > −⎧

∈ −⎨ + ≤⎩

)6 3 6

1: ,53 13 22 2

xb Sol x

x

− + ≤ −⎧⎪ ⎡ ⎞∈⎨ ⎟⎢+ ≤ ⎣ ⎠⎪⎩

)2 4

:2

xc Sol

x≤ −⎧

∅⎨− ≤ −⎩

)( )( ) ( )

( )2 1 2

: 2,23 1 11 2 3

x x xd Sol x

x x

+ − ≥ − −⎧⎪ ∈ −⎨− + + > −⎪⎩


117

Anexo: Sistemas no lineales Los sistemas no lineales pueden resolverse con cualquiera de los métodos tradiciona-les que ya conocemos, incluso se pueden resolver gráficamente. No obstante, salvo que claramente se vea que es mejor utilizar un método concreto, aquí optaremos siem-pre por el método de sustitución. Otra característica de estos sistemas es que suelen presentar una solución doble. Ejercicio resuelto

Resuelve este sistema no lineal: ⎭⎬⎫

==−

862

xyyx

Optamos por resolverlo por sustitución.

Después de observar el sistema para determinar qué incógnita es más fácil de despe-jar, decidimos despejar la y de la primera ecuación: es la única con la que conseguimos evitar las fracciones. Como, tras obtener el valor x, necesitaremos una expresión lo más sencilla posible pa-ra obtener el valor de y, marcamos la expresión con una llamada (1).

( ) 621 −= xy Como estamos resolviendo el sistema por sustitución, sustituimos esta expresión en la segunda ecuación:

( ) ;862 =−xx Operamos: ;862 2 =− xx ;0862 2 =−− xx En este caso, hemos obtenido una ecuación de 2º grado, cuyos coeficientes pueden dividirse por 2:

;0862 2 =−− xx es equivalente (tiene las mismas soluciones) que ;0432 =−− xx

Resolvemos: ;2

532

25312

41493 ±=

±=

⋅⋅⋅+±

=x

Soluciones de la ecuación de 2º grado: 1 4x = ; 2 1x = − ; Para obtener la y debere-mos sustituir (en (1)) cada una de las soluciones de la x:

Para 41 =x ( ) 26421 =−⋅=y

Para 12 −=x ( ) ( ) 86121 −=−−⋅=y

Solución del sistema: 1 1

2 2

4; 2

1; 8

x y

x y

⎫= = ⎪⎬

= − = − ⎪⎭ COMPROBACIÓN:

Para 2;4 11 == yx

⎭⎬⎫

=⋅=−⋅

8246242

Correcta

Para 8;1 22 −=−= yx

( ) ( )( )( ) ⎭

⎬⎫

=−−=+−=−−−

881682812

Correcta

Es importante llevar mucho orden con las soluciones.


118

Resuelve los siguientes sistemas no lineales

) 2 2

6144

x ya

x y− = ⎫

⎬− = ⎭

Soluciones: 15; 9x y= =

)2 24

2 8x y

bx y

⎫=⎬

− = ⎭ Soluciones: 2; 4x y= = −

) 2 2

15113

x yc

x y+ = ⎫

⎬+ = ⎭

Soluciones: 1 1

2 2

8; 7

7; 8

x y

x y

= =

= =

)909

xyd

x y= ⎫

⎬− = ⎭ Soluciones: 1 1

2 2

6; 15

15; 6

x y

x y

= − = −

= =

)5 4 8

12x y

exy

− = ⎫⎬= ⎭

Soluciones: 1 1

2 2

4; 3

12 ; 55

x y

x y

= =

−= = −

)2 2 100

2x y

fy x

⎫+ =⎬

− = ⎭ Soluciones: 1 1

2 2

6; 8

8; 6

x y

x y

= =

= − = −

)712

x yg

xy+ = ⎫

⎬= ⎭ Soluciones: 1 1

2 2

3; 4

4; 3

x y

x y

= =

= =

Matemáticas 4º ESO Opción A Unidad 6: Trigonometría básica

119

Las abejas..., en virtud de una cierta intuición geométrica..., saben que el hexágono es mayor que el cuadrado y que el triángulo,

y que podrá contener más miel con el mismo gasto de material. Papus de Alejandría (matemático griego, 284-305)

Unidad 6: Trigonometría

básica


120


121


Unidad 6: Trigonometría básica...................................................................................123

6.1 Introducción .......................................................................................................123 6.2 Medida de ángulos.............................................................................................123 6.3 Razones trigonométricas ...................................................................................124 6.4 Uso de la calculadora.........................................................................................125 6.5 Relaciones trigonométricas fundamentales .......................................................126 6.6 Ángulos notables................................................................................................127

6.6.1 Reglas nemotécnicas ..................................................................................128 6.7 Resolución de problemas...................................................................................128 6.8 Más ejercicios ....................................................................................................130 6.9 Apéndice: alfabeto griego ..................................................................................132


− Conocer y utilizar grados y radianes en las operaciones

− Realizar cálculos trigonométricos

− Calcular distancias y ángulos en triángulos rectángulos

− Usar la terminología específica de la trigonometría

− Utilizar con soltura la calculadora con operaciones trigonométricas


− Desarrollo del pensamiento científico para interpretar la información que se re-cibe con la trigonometría es la competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico (C3).

− Aplicar destrezas que permiten razonar matemáticamente, comprender una ar-gumentación y expresarse matemáticamente cuando se tratan conceptos trigo-nométricos (C1 y C2).

− Aprender a utilizar el lenguaje matemático en la resolución de problemas utili-zando la trigonometría y valorar su utilidad en situaciones de la vida cotidiana y otras ciencias (C1, C2 y C3).

− Desarrollar estrategias personales para decidir de forma autónoma cómo resol-ver triángulos por el criterio o teorema más apropiado para cada caso concreto (C2, C7 y C8).

− Cultivar la sensibilidad, la creatividad y el apasionamiento estético son objetivos de algunos de los apartados de esta unidad (C6).

− Las técnicas de trabajo que los alumnos deben aplicar, así como su responsa-bilidad, perseverancia, creatividad y autocrítica en el momento de realizarlo, llevan a las competencias para aprender a aprender (C7), y a la autonomía e iniciativa personales (C8).


122


− Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rec-tángulo

− Calcula las razones trigonométricas de un ángulo del cual se conoce una cual-quiera de ellas

− Aplica las relaciones fundamentales para la resolución de problemas

− Aplica el cálculo de razones trigonométricas a la resolución de problemas rela-cionados con las matemáticas, las otras ciencias o la vida cotidiana


− Grados, minutos y segundos como unidades de medida angular. Radianes

− Seno, coseno y tangente de un ángulo agudo

− Cosecante, secante y cotangente de un ángulo agudo

− Ángulos notables

− Relaciones fundamentales de la Trigonometría


− Expresión de la medida de un ángulo en radianes (grados sexagesimales) cuando se conoce su medida en grados sexagesimales (radianes)

− Cálculo de las razones trigonométricas ángulos agudos de un triáng. rectángulo

− Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo utilizando la calculadora científica

− Cálculo del valor de un ángulo mediante la calculadora científica y conociendo una de sus razones trigonométricas

− Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo conociendo una de ellas


123

Unidad 6: Trigonometría básica

Utilizada, básicamente, para el cálculo de distancias, la trigono-metría es un conjunto de fórmulas que nos permitirán resolver muchos problemas con aparente difícil solución (altura de una cometa, altura de las pirámides, distancias entre estrellas... ).

6.1 Introducción Como ya sabes metría es un sufijo que significa medida o medición. También conoces que tri es un prefijo que significa tres. Pero quizá no conozcas que gono significa ángulo (polígono, octógono). Así pues, la trigonometría es el estudio (medidas) de los elementos de un triángulo.

6.2 Medida de ángulos Se utilizan fundamentalmente dos unidades: el grado sexagesimal, y el radián. En este curso utilizaremos la primera, por ser más sencilla y conocida, pero ten en cuenta, en el Bachillerato se utilizarán, preferentemente, los radianes. Grado sexagesimal Es el arco que se obtienen al dividir la circunferencia en 360 partes. Un grado tiene 60 minutos y un minuto tiene 60 segundos. Radián Es el arco que se obtiene al dividir la circunferencia entre su radio.

longitud 2 2

radior rad

rπ π= =

Relación entre ambas unidades Una circunferencia tiene 2 radπ , es decir:

2 360ºradπ = , o bien 180ºradπ = , o bien 90º2

radπ=

Ejemplo: ¿cuántos radianes son 200°? 10200 200 3'49

180º 9rad rad radπ π

° = ° = ≅

Ejercicio 1 Obtén los radianes correspondientes a los siguientes grados:

) 180a ° =

) 305b ° =

) 45c ° =


124

Ejercicio 2 Obtén los grados correspondientes a los siguientes radianes:

)a radπ =

1)2

b rad =

) 1c rad =

6.3 Razones trigonométricas Dado el triángulo rectángulo superior se definen las razones trigonométricas del ángulo α :

sen cateto opuesto ahipotenusa c

α = = cos cateto contiguo bhipotenusa c

α = =

tg cateto opuesto acateto contiguo b

α = =

Ejercicio 3

Determina tú las razones trigonométricas del mismo triángulo, pero referidas al ángulo β : ¿Extraes alguna conclusión?

β

α


125

Para cada una de las razones trigonométricas anteriores existen sus correspondientes inversas

1cosecsen

hipotenusacateto opuesto

αα

= = 1sec

coshipotenusa

cateto contiguoα

α= =

1cotgtg

cateto contiguocateto opuesto

αα

= =

Ten en cuenta que las razones trigonométricas son adimensionales: no tienen unidades. Ejercicio 4 Halla las tres razones trigonométricas principales del siguiente triángulo (ángulos α y β ):

Mira de nuevo el triángulo del ejercicio 4. Imagina que uno de los lados del triángulo fuera desconocido, ¿cómo lo solucionarías? Existe una alterativa, que pasa por utilizar sólo las razones trigonométricas, pero, para ello, es necesario utilizar la calculadora científica.

6.4 Uso de la calculadora Es fundamental que, para todos los cálculos que realicemos durante esta unidad y la siguiente, en la pantalla de tu calculadora aparezca el acrónimo: DEG, que correspon-de con la abreviatura anglosajona de degree (grados); existen otras dos formas: RAD, para los radianes, y GRAD, para grados centesimales (en un ángulo recto hay 100º). Debes localizar las teclas sen (o sin si está en inglés), cos, y tg (o tan). En general, y con la opción Shift (o INV, o 2º operador) podrás acceder a las inversas, es decir: sen-1, cos-1 y tg-1 que sirven, como veremos después, para obtener los ángulos. Te ofrecemos unos resultados “redondos“ para que puedas comprobar tus operaciones:

sen 30º 0 '5= ; tg 45º 1= ; cos 60º 0 '5= ; sen 90º 1=

¿Y si tenemos, por ejemplo 1sen 0 '52

α = = , podremos averiguar que 30α = ° ?


126

Debes utilizar la función inversa que decíamos antes:

Si 1sen 0 '52

α = = , entonces arcsen 0 '5 30α = = ° , que se lee: “alfa es el arco

cuyo seno es 0’5” Ejercicio 5 Con ayuda de la calculadora obtén los ángulos pedidos:

) sen 0 '5a α α= → =

3) cos2

b β β= → =

) tg 1c γ γ= → =

2) sen2

d ω ω= → =

6.5 Relaciones trigonométricas fundamentales Vamos a ver tres de ellas. Si continúas tus estudios de Bachillerato en alguna modali-dad de Ciencias, verás algunas más, y las correspondientes demostraciones:

I. 2 2sen cos 1α α+ = II. sentgcos

ααα

= III. 2

2

11 tgcos

αα

+ =

Ejercicio 6 Simplifica las siguientes expresiones trigonométricas:

1) sentg

a xx

⋅ =

3 2) sen sen cosb x x x+ ⋅ =

sec)

cosec tgxc

x x=

⋅

2cos)

1 senxdx=

−

(Pista: intenta que el numerador se “parezca” al denominador)


127

Ejercicio 7 Simplifica al máximo esta expresión:

( ) ( )2 2sen cos sen cosα α α α+ + − =

6.6 Ángulos notables Se trata de unos ángulos especiales que requieren un tratamiento diferenciado. Son ángulos notables: 0 , 30º , 45º , 60 90y° ° ° Teniendo en cuenta que el seno es la ordenada y el coseno es la abscisa, se deduce fácilmente que sen 0 0° = y que cos90 0° = . Para obtener (sin calculadora) las razones de 30º , 45º 60y ° nos vamos a apoyar en una escuadra y un cartabón: Ejercicio 8

Procedimiento para obtener las razones fundamentales de 30º 60y ° (sin calculadora): Ejercicio 9 Procedimiento para obtener las razones fundamentales de 45º (sin calculadora):


128

6.6.1 Reglas nemotécnicas A fin de recordar las razones trigonométricas de los ángulos notables podemos utilizar las siguientes reglas:

ángulo 0° 30° 45° 60° 90°

seno 02

12

22

32

42

Ejercicio 10 Completa tú las casillas vacías:

ángulo 0° 30° 45° 60° 90°

coseno 02

tangente 04

13

6.7 Resolución de problemas Ejercicio 11 Obtén el valor de la hipotenusa y los dos ángulos agudos del siguiente triángulo:

Ejercicio 12 Dado el siguiente triángulo obtén (sin utilizar Pitágoras) los lados y ángulos que faltan.

15 m

27º


129

Ejercicio 13 Completa la tabla. Utiliza la teclas de memoria de la calculadora para obtener cálculos lo más exactos posibles.

α 74º αsen

αcos 0’94

αtg 1’28

αcosec

αsec

αcotg

Ejercicio 14 Los catetos de un triángulo rectángulo son 3 y 4 m. Halla la altura correspondiente a la hipotenusa:

Ejercicio 15 Calcula la altura de una torre sabiendo que la sombra que proyecta es de 108 metros cuando el Sol está elevado un ángulo de 50º sobre el horizonte. (Solución: 128’71 m)


130

Ejercicio 16 Comprueba que son ciertas las siguientes identidades:

1 tg) sen cossec

a α α αα

+= +

22

1) sen1 cotg

b αα=

+

Ejercicio 17 Jaime está volando una cometa. Ha soltado 9 m de cuerda y ésta forma 60º con el sue-lo. ¿A qué altura vuela la cometa?

6.8 Más ejercicios

Ejercicio 18 Sobre medida ángulos: a) Expresa en radianes los siguientes ángulos dados en grados:

0 180 270 225 45

b) Expresa en grados los siguientes ángulos dados en radianes:

34π 5

3π 3

2π 9

10π 4

3π

(Sigue → )


131

(Continuación) Aplicaciones a la Geometría: c) La hipotenusa de un triángulo rectángulo miden 12m y un cateto mide 8m. Halla el otro cateto (utilizando la Trigonometría, no el Teorema de Pitágoras) y el área del triángulo. d) Halla el área del pentágono regular de lado 10m. e) Halla el área del hexágono regular de lado 10m. f) En un triángulo rectángulo se conoce el lado a=10m y el ángulo 30β = ° . Halla los lados y el área del triángulo. g) Los catetos de un triángulo rectángulo son iguales y miden 10m. Halla la altura sobre la hipotenusa. h) Calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 12m y 6m. Calcula tam-bién el área del rombo y lo que mide el lado. i) La base de un triángulo isósceles mide 20m y el ángulo opuesto 80 . Calcula los la-dos y el área del triángulo.

(Sigue → )


132

(Continuación) Otras aplicaciones:

j) A una distancia de 72m de la torre el ángulo de elevación de la veleta de una torre es de 45 . Si el observador se encuentra a 1’80m sobre el suelo, calcula la altura de la torre. k) Calcula la longitud de la sombra de la Torre Eiffel(altura: 300m) cuando la inclinación de los rayos solares es de 14 . l) Desde un faro colocado a 40m sobre el nivel del mar se ve un barco bajo un ángulo de 55 . ¿A qué distancia del faro se halla el barco?

6.9 Apéndice: alfabeto griego

Matemáticas 4º ESO Opción A Unidad 7: Estudio de funciones

133

El que no se equivoca nunca es porque nunca hace nada. Mahoma

Unidad 7: Estudio de funciones


134


135


Unidad 7: Estudio de funciones ...................................................................................137

7.1. Conceptos fundamentales en el estudio de funciones ......................................137 7.1.1 Ejercicios sobre el estudio de funciones dadas por su gráfica ....................139

7.2 Funciones acotadas ...........................................................................................143 7.3 Simetrías............................................................................................................144

7.3.1 Función par .................................................................................................145 7.3.2 Función impar..............................................................................................145

7.4 Funciones periódicas .........................................................................................147 7.5 Operaciones con funciones................................................................................147

7.5.1 Suma, resta, producto y cociente de funciones...........................................147 7.5.2 Composición de funciones ..........................................................................149

7.6 Función recíproca ..............................................................................................151 7.7 Ejercicios extras.................................................................................................156 7.8 Anexo I: Lectura de gráficas ..............................................................................158 7.9 Anexo II: Interpretación de gráficas....................................................................159


− Dominar los conceptos relativos al estudio de funciones

− Realizar un estudio pormenorizado de cualquier función dada en forma gráfica o por su expresión analítica

− Realizar operaciones con funciones

− Obtener gráficas a partir de una tabla de datos o una expresión funcional y sa-car conclusiones


− Procesar la información que aparece en los enunciados e interpretar la infor-mación aparecida en una gráfica (C1 y C2).

− Desarrollar estrategias personales para interpretar de forma crítica la informa-ción recogida a través de gráficas en los distintos medios de comunicación (C2, C7 y C8).

− Valorar la importancia de las funciones y gráficas en la resolución de problemas relacionados con la vida cotidiana y otras áreas del conocimiento (C1, C2 y C3).


136


− Estudia los elementos fundamentales de una función, como dominio, crecimien-to, simetría, acotación, periodicidad, etc., a través de su expresión algebraica o su representación gráfica, e interpretar los resultados obtenidos en cada caso.

− Dadas dos funciones, es capaz de operar con ellas e interpretar los resultados que se obtienen.

− Halla la función recíproca de una función dada.

− Transcribe una información a su expresión funcional y extrae conclusiones a partir del análisis matemático de sus propiedades.


− Función: elementos

− Caracterización de las funciones: dominio y recorrido; continuidad; crecimiento y decrecimiento; máximos y mínimos, absolutos y relativos; puntos de corte; simetría; periodicidad, acotación.

− Funciones definidas a trozos

− Funciones simétricas: funciones pares e impares, tipos de simetría

− Funciones periódicas: período

− Funciones acotadas: cota superior e inferior

− Funciones recíprocas, propiedades

− Función identidad

− Operaciones algebraicas con funciones

− Composición de funciones


− Cálculo del dominio y recorrido, puntos de corte... de funciones

− Reconocimiento de las propiedades de una función a través de sus expresio-nes algebraica y gráfica

− Construcción de tablas de valores a partir de la expresión algebraica de una función

− Reconocimiento de la simetría, periodicidad y cotas de funciones

− Cálculo y construcción gráfica de la función recíproca de una función

− Operaciones con funciones, también en las funciones definidas a trozos

− Cálculo de las funciones compuestas de dos dadas


137

Unidad 7: Estudio de funciones

Esta unidad en una ampliación de los conceptos aprendidos en 3º de ESO. Todo lo que aprendas aquí te será muy útil para el Bachi-llerato, ya que se trata de un bloque de mucha importancia y al que se suele dedicar mucho tiempo y esfuerzo.

7.1. Conceptos fundamentales en el estudio de funciones Función: relación en entre dos magnitudes, de modo que a cada valor de una de ellas (x) le corresponde un único valor de la otra (y). Una función se escribe y = f(x)

La variable que se fija (x) se llama variable independiente, y la variable que se dedu-ce la anterior (y) se llama variable dependiente.

Característica de una función: Cualquier recta vertical, pase por donde pase, sólo corta a la gráfica en un punto.

No es función Sí es función Sí es función No es función Dominio: Conjunto de valores de x para los que existe la función Recorrido: Conjunto de valores que toma la y

Corte con el eje OX (eje horizontal o de abscisas): (x1,0) (x2,0)…. Corte con el eje OY (eje vertical o de ordenadas): (0,y) Gráficas anteriores a) Corte con eje OX: (-0’5,0)

b) Corte con eje OX: No tiene c) Corte con eje OX: (0,0) d) Corte con eje OX: No tiene

Corte con eje OY: (0,1) Corte con eje OY: No tiene Corte con eje OY: (0,0) Corte con eje OY: (0,1)


138

Crecimiento de la función: Intervalos (de x) donde al crecer la x también crece la y. Decrecimiento de la función: Intervalos (de x) donde al crecer la x decrece la y.

Crece: ( ) ( )6,8 14,16x∈ ∪

Decrece: ( ) ( )8,12 16,18x∈ ∪

Constante: ( )12,14x∈ NOTA: En los extremos del intervalo ni crece ni decrece Punto Máximo absoluto (mínimo absoluto): Todos los valores que toma la función son menores (mayores) que él. Punto Máximo relativo (mínimo relativo): Todos los valores que toma la función en un entorno suyo son menores (mayores) que él. Gráficas anteriores a) No hay máximo ni mínimo

b) No hay máximo ni mínimo c) Máximo absoluto: (2,5); No hay mínimo d) Máximos relativos: (-5,1) y (1,4); Máximo absoluto: (1,4); Mínimo relativo: (-3,-2) e) Máximos relativos: (8,100) y (16,80) Máximo absoluto: (8,100); No hay mínimo

Continuidad: Una función es continua cuando para cualquier pequeña variación de la variable independiente hay una pequeña variación de la variable dependiente. Es decir, una función es continua cuando no hay saltos, cuando no levanto el lápiz al dibujar su gráfica. Ejemplo de funciones discontinuas:


139

7.1.1 Ejercicios sobre el estudio de funciones dadas por su gráfica Ejercicio 1 ¿Cuál de las siguientes gráficas son funciones? ¿Por qué?

Estudia las propiedades de las siguientes funciones: a) Dominio:

Recorrido: Corte con eje OX: Corte con eje OY: Crecimiento: Decrecimiento: ¿Algún periodo constante? Continuidad: Máximo/s: Mínimo/s: Simetría: Periodicidad:

b) Dominio: Recorrido: Corte con eje OX: Corte con eje OY: Crecimiento: Decrecimiento: ¿Algún periodo constante? Continuidad: Máximo/s: Mínimo/s: Simetría: Periodicidad:

c) Dominio: Recorrido: Corte con eje OX: Corte con eje OY: Crecimiento: Decrecimiento: ¿Algún periodo constante? Continuidad: Máximo/s: Mínimo/s: Simetría: Periodicidad:


140

(Continuación)

d) Dominio: Recorrido: Corte con eje OX: Corte con eje OY: Crecimiento: Decrecimiento: ¿Algún periodo constante? Continuidad: Máximo/s: Mínimo/s: Simetría: Periodicidad:

e)

Dominio: Recorrido: Corte con eje OX: Corte con eje OY: Crecimiento: Decrecimiento: ¿Algún periodo constante? Continuidad: Máximo/s: Mínimo/s: Simetría: Periodicidad:

f)


g)



141

Ejercicio 2 Dada las siguientes funciones, calcula los puntos de corte con los ejes:

( ) ( )( )( )1 2

)1

x xa f x

x− +

=+

( )3

2)−

=x

xfb

( ) 652) 23 +−−= xxxxfc

( ) ( )( )( )311) −+−= xxxxfd Ejercicio 3 Completa:

Dom f(x) Rec f(x) Puntos de corte Eje X

Puntos de corte Eje Y

2xy =

xy 1=

5=y

3+= xy

3xy =

(Sigue → )


142

(Continuación)

Dom f(x) Rec f(x) Puntos de corte Eje X

Puntos de corte Eje Y

21−

=x

y

xy cos=

2−= xy

42 −= xy

xy

−=

31

0=y

xey =

Ejercicio 4 Estudia la gráfica siguiente:

Dominio Puntos máximos y mínimos

Recorrido Continuidad

Puntos de corte con los ejes Simetrías

Crecimiento Periodicidad


143

7.2 Funciones acotadas Ejercicio 5 En estas tres funciones, ¿pueden las gráficas llegar tan arriba o tan abajo como que-ramos, o, por el contrario, no pueden superar un cierto valor, por arriba o por debajo?

A la hora de calcular la posible acotación de una función ocurre igual que con el reco-rrido: si la función está dibujada, sólo debemos mirar la gráfica y comprobar las cotas; si ni lo está, deberemos “imaginar” qué valores máximos y mínimos va a alcanzar la función. Ejercicio 6 Determina las posibles cotas de las siguiente funciones:

( ) xxf =

( ) 3xxf =

( ) xxf ln=

( ) 32 +−= xxf


144

7.3 Simetrías El curso pasado aprendimos a determinar si una función dada de forma gráfica era o no simétrica. Se trataba de un procedimiento visual y que pasaba, evidentemente, por tener la función dibujada. Pero no siempre ha de ser así. En este apartado vamos a aprender a determinar la posible simetría de una función sin necesidad de que esté expresada de forma gráfica; la fórmula, y unas cuantas opera-ciones sencillas que tienen que ver con el signo de la función, nos permitirán averiguar si la función es o no simétrica. Además, si podemos averiguar si la función es simétrica respecto de un punto o una recta, será más fácil dibujarla. Vamos a tratar dos tipos de simetría:

− simetría respecto del eje Y (eje de ordenadas o eje vertical). A las funciones que tienen este tipo de simetría se es llama funciones pares. Ejemplos:

( ) 32 +−= xxf ( )4

32 −

=x

xg

− simetría respecto del origen de coordenadas. A las funciones que tienen es-

te tipo de simetría se es llama funciones impares. Ejemplos:

( )x

xxf 32 += ( ) 3xxg =


145

7.3.1 Función par Una función es par (tiene simetría respecto del eje Y) si se cumple que:

( ) ( )xfxf −= para todo x del dominio

7.3.2 Función impar Una función es impar (tiene simetría respecto del origen de coordenadas) si se cumple que:

( ) ( )xfxf −=− para todo x del dominio Ejercicio resuelto

Determina la posible simetría de la función siguiente: ( ) xxxf += 32 1. Calculamos ( )xf − . Si ( ) ( )xfxf −= (es decir, si comparamos la función que vamos a obtener con la original, y coinciden) entonces la función es PAR. ( ) ( ) ( ) xxxxxf −−=−+−=− 33 22 ; Claramente xxxx −−≠+ 33 22 , es decir,

( ) ( )xfxf −≠ ; la función f no es par, no tiene simetría con el eje de ordenadas.

Probemos con la otra simetría: 2. Calculamos ( )xf− . Si ( ) ( )xfxf −=− entonces la función es IMPAR.

( ) ( ) xxxxxf −−=+−=− 33 22 ; Resulta que, en esta ocasión, ( ) ( )xfxf −=− , es decir, la función en IMPAR; la función es simétrica respecto del origen de coordenadas. Ejercicio 7 Determina la posible simetría de las siguientes funciones:

( ) 4) xxfa =

( )x

xfb 1) =

(Sigue → )


146

(Continuación)

( ) 3) xxfc =

( ) xxfd =)

( ) 24 73) xxxfe −=

( ) 1) 3 += xxff

( ) xxxfg += 42)

( ) 21)x

xfh =

( ) 3) 2 +−= xxfi

( ) 36) +=x

xfj

( ) 32) xxxfk =

( ) xxxxfl 3) 23 +−=


147

Ejercicio 8 Averigua si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F):

7.4 Funciones periódicas Existen muchos fenómenos en la naturaleza que se repite con un cierto período:

− la posición de las agujas de un reloj

− las posiciones por las que pasa un péndulo

− la altura a la que se encuen-tra un vagón de una noria de feria que se mueva a veloci-dad constante

Una función ( )xf es periódica de período T si se cumple que:

( ) ( )Txfxf += Ejemplos:

7.5 Operaciones con funciones

7.5.1 Suma, resta, producto y cociente de funciones Este tipo de operaciones son muy sencillas: simplemente deberemos “unir” las funcio-nes a tratar mediante la operación indicada. Ejercicio resuelto

Dadas las funciones ( )x

xxf 1+= y ( ) 2xxg = , realiza las operaciones que se indican:

( )( ) ( ) ( ) ( ) 3 32 11 1)

x xx x xa f g x f x g x xx x x

+ ++ + ++ = + = + = =

( )( ) ( ) ( ) ( ) 3 32 11 1)

x xx x xb f g x f x g x xx x x

+ −+ − + +− = − = − = = (Sigue → )

Si el dominio de f son sólo los números positivos, entonces f no puede ser par

Cualquier función tiene que ser necesariamente par o impar

Una función puede ser creciente y decreciente a la vez

Una función puede ser a la vez periódica y simétrica

Cualquier función tiene que tener en su dominio al menos un máximo y un mínimo absolutos

Si ( ) axxf = es decreciente, entonces ( ) axxg −= es creciente


148


( ) ( ) ( ) ( )3

2 1 1) x x xc g f x g x f x xx x+ − −

− = − = − =

( )( ) ( ) ( ) ( )2 21) 1xd f g x f x g x x x x x xx+

⋅ = ⋅ = ⋅ = + = +

( ) ( ) ( )( )

22 3

11 1) :

xf x x xxe f g x xg x x x x

++ +

= = = =

( )( ) ( )( )

2 32 1) :1 1

g x x x xf g f x xxf x x xx

+= = = =

+ +

( ) 1 7 7) 7 7 x xg f xx x+ +

⋅ = ⋅ =

( )( )32 2 1 11) 2

2 2h f g + +

+ = =

( )( )0) gfi + ; El cero no pertenece al dominio de la función; no se puede calcular.

( )( )30 0) / 0 0

0 1 1j g f = = =

+

Ejercicio 9 Calcula los dominios de las funciones anteriores:

)a )e

)b )f

)c )g

)d


149

Ejercicio 10

Sean ( ) 22xxf = y ( ) 14 += xxg . Calcula:

( ) =xfa 4)

( )( ) =+ xgfb)

( )( ) =⋅ xgfc)

( ) =35) gd

( )( ) =−+ 3) gfe

7.5.2 Composición de funciones La composición sí es una operación “novedosa”. Se simboliza con un círculo pequeño y tiene una peculiaridad: se lee al revés.

( )( )xgf Se debe leer así: “ge compuesto con efe” Para realizar la composición es muy importante fijarse en los argumentos de las funcio-nes. Ejemplos:

( )xf El argumento de f es x

( )1+xg El argumento de g es 1+x

( )3−h El argumento de h es el -3

( )( )xgf El argumento de f es la función g

Si ( )xf y ( )xg , la composición de g con f , ( )( )xgf , actúa de la siguiente forma: ( )( ) ( )( )xgfxgf = , dicho de otro modo, el argumento de f es la función g .

Ejercicio resuelto

Dadas las funciones ( ) 1+= xxf y ( ) 2xxg = , obtén las composiciones que se indican:

( )( ) ( )( ) ( )2 2) 1a f g x f g x f x x= = = +

( )( ) ( )( ) ( ) ( )2) 1 1b g f x g f x g x x= = + = +

( )( ) ( )( ) ( )) 1 1 1 2c f f x f f x f x x x= = + = + + = +

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )22 2 4)d g g x g g x g x x x= = = =


150

Ejercicio 11 A la vista de los ejercicios anteriores ¿a qué conclusiones puedes llegar? Ejercicio 12

Dadas las funciones ( ) 12 += xxf y ( ) 3xxg = , obtén las composiciones que se indi-can:

( )( ) =xgfa)

( )( ) =xfgb)

( )( ) =xffc)

( )( ) =xggd)

( )( ) =2) gfe

( )( ) =−3) ggf


151

Ejercicio 13

Dadas las funciones ( ) 32 += xxf y ( ) xxg sen= , obtén las composiciones que se indican:

( )( ) =xgfa)

( )( ) =xfgb)

( )( ) =xffc)

( )( ) =xggd)

7.6 Función recíproca Observa estos ejemplos:

( ) xxf = ( ) 2xxg = ( ) ( ) xxxxh ===22

( ) 3 xxf = ( ) 3xxg = ( ) ( ) xxxxh ===333 3

( ) xxf ln= ( ) xexg = ( ) xeexh xx === lnln

( ) xxf 2= ( ) xxg21

= ( ) xxxxh === 221

212

( ) 52 += xxf ( )2

5−=

xxg ( ) xxxxh =−+

=+−

=2

55252

52

Ejercicio 14

¿Qué tienen de particular las funciones ( )xh anteriores? Podemos decir que cada función ( )xg anterior es la función recíproca (o inversa) de

cada función ( )xf correspondiente, y viceversa.


152

Existe una función que tiene nombre propio: ( ) xxi = ; se trata de la función identidad.

Otra forma de definir la función recíproca es: ( )xg es la función recíproca de ( )xf si ( )( ) ( )( ) ( )xixfgxgf == .

A partir de ahora, la función recíproca de ( )xf se escribirá ( )xf 1− . Forma de obtener la función recíproca de una dada:

1. Sustituir ( )xf por y 2. Intercambiar la x por la y 3. Despejar la y

Ejercicio resuelto

Obtén la función recíproca de ( ) 52 += xxf :

1. Sustituir ( )xf por y: 52 += xy 2. Intercambiar la x por la y: ;52 += yx 3. Despejar la y:

;25 yx =− ;2

5 yx=

− ( )1 5

2xf x− −

=

Ejercicio 15 Calcula la función recíproca de las siguientes funciones:

( ) 13) −= xxfa

( ) 5) −= xxfb


153

Ejercicio 16 Calcula la función recíproca de las siguientes funciones:

( ) 35) += xxfa

( ) 1) −= xxfb

( ) 22

) +=xxfc

( ) 32) −= xxfd

( ) 33) xxfe =

( )1

5)−

=x

xff

( )2

)2 xxxfg +

= ;

Pista: a la hora de despejar, piensa que la fórmula de re-solución de ecuaciones de 2º grado sirve para dejar la x


154

Ejercicio 17

Calcula la función recíproca de ( )4

5−

=x

xf y calcula los dominios de las dos funcio-

nes: Ejercicio 18 Comprueba que la función inversa de la función inversa es la propia función, es decir,

si: ( )( ) ( )xfxf =−− 11

( ) 23) xxfa =

( ) 12) −= xxfb


155

Ejercicio 19

Calcula la función recíproca de ( )524−+

=x

xxf y el dominio de ( )xf y ( )xf 1− :

Ejercicio 20

Dadas las funciones ( )1

2−

=x

xf y ( ) 2xxg = , calcula:

( ) =− xfa 1)

( ) =− xgb 1)

( )( ) =+ 1) gfc

( )( ) =xgfd )

( )( ) =2) gfe

Ejercicio 21

Sea ( ) 23xxf = . Calcula 1−f y comprueba que la composición de f con 1−f y de 1−f con f dan lugar a la función identidad:


156

7.7 Ejercicios extras


157


158

7.8 Anexo I: Lectura de gráficas IMPORTANTE: Cuando tengas que leer una gráfica debes tratar de buscar respuesta a los siguientes aparta-dos: dominio, recorrido, puntos de corte con los ejes, simetría, periodicidad, crecimiento, continuidad y puntos máximos y mínimos.

Ejercicio resuelto


159

7.9 Anexo II: Interpretación de gráficas

Respuesta:


160

Matemáticas 4º ESO Opción A Unidad 8: Estadística unidimensional

161

Llegará el día en el que la Estadística será una condición tan necesaria para la convivencia

como la capacidad de leer y escribir. Anónimo

Unidad 8: Estadística

unidimensional


162


163


Unidad 8: Estadística unidimensional..........................................................................165

8.1 Introducción .......................................................................................................165 8.1.1 Población y muestra ....................................................................................165 8.1.2 Caracteres estadísticos ...............................................................................166

8.2 Tablas y datos....................................................................................................167 8.2.1 Tablas de datos simples..............................................................................167 8.2.2 Tablas de datos agrupados: clases y marcas de clase ...............................168

8.3 Tipos de frecuencias ..........................................................................................170 8.3.1 Frecuencia absoluta y relativa ( if y ih ) .....................................................170 8.3.2 Frecuencias acumuladas absolutas y relativas ...........................................170

8.4 Representaciones gráficas.................................................................................172 8.4.1 Diagrama de barras.....................................................................................172 8.4.2 Histogramas. Polígono de frecuencias ........................................................173 8.4.3 Diagrama circular (de sectores o tarta) .......................................................175 8.4.4 Pictogramas, cartogramas y pirámides de población ..................................178

8.5 Parámetros de una distribución .........................................................................179 8.5.1 Parámetros de centralización ......................................................................179 8.5.2 Parámetros de dispersión............................................................................181

8.6 Posibles errores de interpretación .....................................................................187 8.7 Ejercicios extras.................................................................................................189


− Comprender conceptos básicos, métodos de tabulación y representación gráfica de caracteres cualitativos y variables discretas y continuas, con objeto de obtener la máxima información de cualquier estadística.

− Saber confeccionar tablas de frecuencias para variables estadísticas discretas. − Interpretar y elaborar tablas numéricas a partir de conjuntos de datos. − Construir gráficas a partir de tablas estadísticas, eligiendo en cada caso el tipo de de

gráfica y método de representación más adecuado. − Utilizar los parámetros estadísticos para poder sintetizar un gran número de datos en

unos pocos números que den una idea lo más aproximada de la distribución. − Acometer el estudio, cálculo e interpretación de los parámetros más usuales para dis-

tribuciones de variable estadística continua o discreta. − Analizar críticamente la información presentada, en la prensa o en otros medios de

comunicación, mediante estudios estadísticos.


− Interpretar tablas y gráficos estadísticos como forma útil de buscar, obtener, procesar y comunicar información (C2 y C4).

− Organizar la información procedente de datos estadísticos en forma de tabla, repre-sentando gráficamente dicha información y extrayendo parámetros representativos que permitan su utilización para dar respuesta a situaciones de la vida de distinto nivel de complejidad (C2 y C4).


164


− Sabe utilizar correctamente el lenguaje estadístico, distingue y clasifica caracte-res y determina las variables estadísticas que se generan en cada caso

− Sabe agrupar datos en intervalos o clases eligiendo razonadamente el número y amplitud de los mismos; elabora tablas de frecuencias y gráficos estadísticos apropiados a cada tipo de tabla

− Calcula e interpreta parámetros de centralización y de dispersión con datos simples o agrupados

− Utiliza el coeficiente de variación en la comparación de distribuciones no homo-géneas


− Población y muestra − Caracteres estadísticos: cualitativos y cuantitativos − Variables estadísticas discretas y continuas − Tablas de datos simples y agrupados. Clases de equivalencia y marca de clase − Frecuencia absoluta y relativa − Frecuencias acumuladas − Diagramas de barras − Histogramas, polígonos de frecuencias − Diagrama de sectores − Parámetros de centralización: moda, media aritmética y mediana − Parámetros de dispersión: rango, varianza, desviación típica y coeficiente de

variación


− Comprobación de la representatividad de una muestra − Clasificación de caracteres y variables estadísticas − Agrupación de datos en intervalos o clases − Elaboración de tablas de frecuencia − Construcción de gráficos estadísticos apropiados, a partir de la información re-

cogida en las tablas de frecuencia − Obtención de tablas de frecuencia a partir de gráficos estadísticos − Utilización de la calculadora que facilita la elaboración de cálculos − Utilización del símbolo sumatorio para simplificar la escritura de las expresiones

de cálculo de los parámetros estadísticos − Cálculo de los parámetros de centralización, con datos simples y agrupados, a

partir de tablas estadísticas y utilizando la calculadora − Cálculo de los parámetros de dispersión, con datos simples y agrupados, a par-

tir de tablas estadísticas y utilizando la calculadora en modo estadístico − Utilización del coeficiente de variación en la comparación de la dispersión de

distribuciones no homogéneas


165

Unidad 8: Estadística unidimensional

Es, probablemente, una de las ramas de la Matemática que más aplicaciones tiene en nuestra vida cotidiana. Te será difícil no en-contrar, en cualquier periódico, alguna gráfica o información es-tadística. Aparece en áreas tan dispares como Economía, Medici-na, Política, Sociología o los deportes. En ese tema será impor-tante el uso de la calculadora científica.

8.1 Introducción En todo proceso estadístico hay tres partes:

• Recogida de datos • Análisis de resultados • Toma de decisiones

En este tema nos ocuparemos, casi exclusivamente, del segundo aspecto.

8.1.1 Población y muestra Población es el conjunto de todos los elementos objeto de estudio que cumplen una determinada característica (mujeres españolas mayores de 45 años, universitarios de Andalucía, alumnos matriculados en el Colegio Carmelitas, deportistas europeos que hayan ganado alguna medalla en los últimos 10 años…). Una muestra, es un subconjunto representativo de la población, escogido con la finalidad de ob-tener información sobre todo el conjunto de la población. El tamaño de la muestra es el número de elementos que contiene. Ejercicio 1 Se quiere hacer un estudio sobre la lectura de un determinado periódico en una pobla-ción en la que el 55% son mujeres. Si la muestra es de 3 000 personas, ¿cuántas mu-jeres deberían figurar en la muestra? ¿y cuántos hombres?


166

8.1.2 Caracteres estadísticos De cada individuo o elemento de la población podemos destacar uno o más caracteres. Si los elementos son, por ejemplo, personas, podemos estudiar su edad, sexo, altura, profesión, gustos musicales, número de hijos, grupo sanguíneo… Si el estudio es sobre una empresa, podemos estudiar el número de trabajadores con más de cinco años de experiencia, procedencia de los mismos, ingresos, bajas… Estos caracteres permiten clasificar a los individuos de una población. Se distinguen dos tipos de caracteres estadísticos:

− Cualitativos: no se pueden expresar o medir numéricamente (estado civil, pro-fesión, color del pelo, lugar preferido de vacaciones…)

Las modalidades son las distintas situaciones o respuestas que aparecen al es-tudiar una variable cualitativa. Por ejemplo, si pretendemos estudiar estadísti-camente el color del pelo de los alumnos de una clase, deberemos ceñirnos a tres o cuatro modalidades: moreno, rubio, castaño y pelirrojo.

− Cuantitativos: se pueden medir o expresar numéricamente (número de sillas

de una clase, número de calzado, altura de las focas adultas…). Estos datos, a su vez, pueden ser de dos tipos:

o Discretos (en términos de variables diremos: variable estadística discre-ta): los valores posibles son aislados o entre dos valores consecutivos, no puede haber valores intermedios. Ejemplos: número de hermanos, núme-ro de recintos deportivos en las ciudades, ventanas o balcones de una vi-vienda…

o Continuos (en términos de variables diremos: variable estadística conti-nua): entre dos valores, pueden haber valores intermedios. Ejemplo: altu-ra de lo árboles de un país, peso de la población de Alaska, sueldo del personal de vuelo de una compañía aérea…

Resumen:

( )

CualitativosCaracteres estadísticos Discretos

Cuantitativos variables estadísticasContinuos

⎧⎪

⎧⎨⎨⎪⎩⎩

Ejercicio 2 Clasifica los siguientes caracteres estadísticos según sean cualitativos o cuantitativos, y las variables continuas o discretas:

Cuantitativo

CualitativoVariable discreta

Variable continua

Longitud de unos tornillos Gusto por las películas de ciencia ficción

(sigue → )


167

(continuación)

Cuantitativo

CualitativoVariable discreta

Variable continua

Carrera que se desea estudiar El día del mes en que han nacido tus amigos La distancia entre el Sol y los planetas Signo del zodíaco de compañeros de clase Tiempo diario dedicado al estudio Localidad donde viven los profesores Altura de los bebés de 0 a 4 meses Grupo sanguíneo Medida de las ruedas de varias bicicletas Número de hijos de 100 familias Tipo de música favorita Capacidad del depósito de gasolina de coches

8.2 Tablas y datos Ya vimos en la introducción que el primer proceso de todo estudio estadístico es la re-gida de datos. Con frecuencia, estos se presentarán como un montón desordenado de números que deberemos reorganizar para poder realizar algún estudio con ellos. De-pendiendo de la naturaleza de las variables estadísticas (discretas o continuas) utiliza-remos tablas de datos simples o agrupados. A continuación veremos las características de ambas tablas.

8.2.1 Tablas de datos simples Deberemos determinar cuál es la variable a estudiar y en qué modalidades se presen-ta. En una primera columna (o fila) dispondremos las diferentes modalidades que adop-ta la variable estadística, y en la segunda columna (o fila) el número de veces (o fre-cuencia) que esta aparece.

Ejercicio resuelto

Haz una tabla indicando la variable y la frecuencia de la distribución estadística obteni-da al preguntar a 50 alumnos sobre el número de veces que ha ido al cine durante el último mes:

1 2 0 1 1 2 3 2 1 1 0 2 2 3 0 0 2 2 0 0 1 2 0 4 1 2 3 1 0 3 0 0 2 2 0 3 2 1 1 2 1 2 3 3 4 0 1 1 0 1


168

(Continuación) Ejercicio resuelto

La variable, ix es el número de veces que un alumno ha ido al cine durante el último

mes, y sus posibles valores van del 0 al 4. Denotaremos por if el número de veces que aparece cada valor de la variable.

ix if 0 13 1 14 2 14 3 7 4 2 50

Observa el valor de la última celda. Corresponde con la suma de las frecuencias de la variable. Este dato debe coincidir siempre con la cantidad de datos original, con lo que puede servirte de comprobación.

Ejercicio 3 Los siguientes datos son las notas de la asignatura de Castellano que han sacado 40 alumnos de una clase. Haz una tabla indicando la variable y la frecuencia de aparición. 9 4 6 3 8 6 4 5 2 1 6 5 6 6 5 3 5 5 8 4 3 4 7 5 3 4 6 5 7 6 6 5 6 7 1 2 9 8 9 8

ix if

8.2.2 Tablas de datos agrupados: clases y marcas de clase Si la variable estadística es continua, o bien si hay muchos datos, los valores obtenidos se agrupan en intervalos o clases para que puedan ser tratados con mayor facilidad. Es conveniente que las clases tengan la misma amplitud. Estudia el siguiente ejemplo:


169

Ejercicio resuelto

Las estaturas de 40 chicas y chicos, medidas en centímetros, son las siguientes:

175 167 161 168 174 160 172 162 155 163 168 171 157 148 160 163 163 165 159 166 177 170 158 171 161 170 167 150 166 164 163 174 165 163 156 167 173 171 169 168

Haz una tabla indicando la variable estadística y la frecuencia. Determinamos el mayor y el menor valor de la altura, y restamos ambos números: 177 148 29− = . Este tramo no es fácil de dividir en intervalos (es, por cierto, un núme-ro primo). Ampliamos este rango en 1 cm (medio por debajo y medio por arriba) para obtener un tramo (30 cm) mucho más sencillo de dividir, por ejemplo, en 6 clases (o intervalos) de 5 cm cada uno (o en 5 clases de 6 cm, 10 clases de 3 cm, etc.).

La primera clase será [ )147 '5,152 '5 . Siempre serán intervalos de este tipo: [ ),a b , cerrado por la izquierda y abierto por la derecha. El valor medio de ese intervalo es

150ix cm= . A los valores intermedios de cada clase se les llama marca de clase, y se calcula así:

2a b+

Una vez obtenidas las clases se procede a contar los elementos que pertenecen a cada intervalo, de forma similar al caso de variables discretas.

Clases Marca de clase ix if

[ )147 '5,152 '5 150 2

[ )152 '5,157 '5 155 3

[ )157 '5,162 '5 160 7

[ )162 '5,167 '5 165 13

[ )167 '5,172 '5 170 10

[ )172 '5,177 '5 175 5

40

Ejercicio 4 Un estudio sobre el número de libros leídos, en los tres últimos años, por cuarenta uni-versitarios proporciona los siguientes datos. Haz una tabla de datos, donde aparezca la frecuencia, agrupando los datos en clases. 12 10 16 5 12 4 13 17 25 24 6 18 8 8 12 10 14 7 12 14 18 10 2 24 9 10 16 4 18 18 14 10 15 20 9 8 10 15 10 10

Clases ix if


170

8.3 Tipos de frecuencias

8.3.1 Frecuencia absoluta y relativa ( if y ih ) En el apartado anterior ya hemos hablado de frecuencia: número de veces que se repi-te el valor de una determinada variable estadística. Esta frecuencia se llama absoluta. Muchas veces, la información que aporta la frecuencia absoluta es escasa si no se re-laciona con el total de individuos que compone es estudio. Por ejemplo: este año, cinco familias enviarán a estudiar a sus hijos al extranjero durante el mes de agosto. Si esta información se refiere a cinco familias de una clase de 20 alumnos se observa que el porcentaje es muy alto, pero si la información hace referencia a cinco familias de un colegio de 1000 alumnos, el porcentaje baja drásticamente. En las tablas de datos estudiadas en el apartado anterior, añadiremos una tercera co-lumna donde aparezca el cociente de la frecuencia absoluta, if , y el número total de datos, N.

: ii

ffrecuencia relativa hN

=

Al tratarse de un cociente, es muy fácil representarla en forma de porcentaje; para ello, se multiplica la frecuencia relativa por 100.

8.3.2 Frecuencias acumuladas absolutas y relativas Observa la siguiente tabla:

¿Cuántos alumnos tienen una nota menor o igual a 5? Son: 2+2+4+5+8=21 Al valor 21 lo llamamos frecuen-cia absoluta acumulada del valor 5; es la frecuencia acumulada hasta el valor 5. Designaremos por iF a la fre-cuencia absoluta acumulada.

De manera similar se define la frecuencia relativa acumulada, iH . Completa la tabla anterior con los datos que faltan. Observa los valores de las celdas unidas por las flechas: ¿extraes alguna conclusión?


171

Ejercicio 5 Se ha contabilizado el número de recintos deportivos en 20 ciudades. Construye la ta-bla de frecuencias (absolutas y relativas), y acumuladas (absolutas y relativas) de estos datos.

2 4 2 5 5 4 6 8 6 8 3 5 3 4 5 5 8 4 5 4

ix if iF ih iH

20 1

20

Ejercicio 6 Con los datos del ejercicio 4, construye la tabla de frecuencias (absolutas y relativas), y acumuladas (absolutas y relativas):

Clases ix if iF ih iH

Ejercicio 7 En un control de calidad de televisores se admiten tres categorías: A, aceptables; R, rechazables; D, dudosos. Escribe la tabla de frecuencias asociada. A A A R D D A A R A R R A A A A A A D A R D A R R A A D A R R A D D A A R R R D A A A R D R D A A R

Categoría if iF ih iH


172

8.4 Representaciones gráficas En general, usaremos el diagrama de barras o columnas (variables discretas) y los his-togramas y polígonos de frecuencias (variables continuas) para representar caracteres cuantitativos; los diagramas de sectores (o tarta) y los pictogramas se reservarán para los caracteres cualitativos.

8.4.1 Diagrama de barras Son gráficos, ya conocidos, formados por rectángulos de bases iguales, y cuyas alturas son tales que el área de cada rectángulo es proporcional a cada frecuencia absoluta.

Diagrama de barras adosadas

Diagrama de barras apiladas


173

Para representar los datos en un diagrama de este tipo ten en cuenta que la variable estadística se dispone en el eje X (también llamado eje de abscisas), y las frecuencias, en el eje Y (o de ordenadas). Ejercicio 8 Dada la siguiente tabla, representa los datos en un gráfico de barras: Edad (años) 12 13 14 15 16 17 18 Frecuencia 6 7 4 5 9 6 3

8.4.2 Histogramas. Polígono de frecuencias Se utilizan para variables agrupadas en intervalos. La siguiente gráfica recoge la infor-mación de las alturas de los alumnos de una clase de 27 personas.

0

2

4

6

8

10

12

14

[141, 151) [151, 161) [161, 171) [171, 181) [181, 191)


174

Ejercicio 9 Los pesos de cuarenta personas figuran en la siguiente tabla:

Peso [ )40, 48 [ )48, 56 [ )56, 64 [ )64, 72 [ )72, 80 [ )80, 88

Núm. personas 1 10 15 9 3 2 Representa los datos en un gráfico adecuado. Ejercicio 10 Completa la siguiente tabla y representa el histograma correspondiente:

Clase ix if ih iF iH

[ )0, 4 4

[ )4, 8 8

[ )8,12 13

[ )12,16 9

[ )16, 20 6 1

1


175

El polígono de frecuencias es una línea quebrada que une los puntos medios (varia-ble estadística) de las barras de un histograma (aunque también pueden aparecer en un diagrama de barras o, incluso, solas. La siguiente tabla muestra un ejemplo, y, ade-más, es la solución del ejercicio 9).

8.4.3 Diagrama circular (de sectores o tarta) También es un tipo de gráfico conocido por todos. Un diagrama de sectores es un círculo dividido en tantos sectores circulares como mo-dalidades tiene el carácter, de forma que el área de cada sector es proporcional a las frecuencias. Para representar los datos en este diagrama debemos obtener el producto de la fre-cuencia relativa de cada valor por 360º, así, obtendremos los ángulos correspondientes a cada valor; con ayuda de un transportador de ángulos podremos ir dibujando cada sector. Se emplea, principalmente, con datos (o variables) cualitativos.


176

Ejercicio resuelto

Se ha hecho una encuesta a los alumnos de 4º de ESO sobre qué modalidad de Bachi-llerato quieren estudiar. Representa los resultados en un diagrama de sectores.

Fre-cuencia

Frecuencia relativa

Frec.rel x 360º

B. Arte 6 0,08571429 30,86º

B. Humanidades 12 0,17142857 61,71º

B. CCSS 22 0,31428571 113,14º

B. CC de la Salud 18 0,25714286 92,57º

B. Tecnológico 12 0,17142857 61,71º

70 1 360,00º


177

Ejercicio 11 Dibuja el diagrama de sectores (o tarta) correspondiente a la siguiente tabla de datos:

Opciones A B C D if 40 60 50 30

Ejercicio 12 Con los datos del ejercicio 7, referente al control de televisores, representa los datos (es decir, las frecuencias absolutas) mediante un diagrama de barras y un diagrama de sectores:


178

8.4.4 Pictogramas, cartogramas y pirámides de población Los pictogramas son gráficos con ilustraciones alusivas al carácter estadístico que se esté estudiando. Las frecuencias se pueden indicar por el número de dibujo o por su tamaño. Los pictogramas son gráficos poco rigurosos, pero proporcionan vistosidad a la infor-mación; por eso, son muy habituales en los medios de comunicación.

Se llama cartogramas a los gráficos que se realizan sobre un mapa, señalando sobre determinadas zonas con distintos colores o rayados lo que se trate de poner de mani-fiesto. Por ejemplo, se suelen utilizar estos tipos de diagramas para representar la den-sidad demográfica de una nación, la renta per cápita, las horas de sol anuales, los índi-ces de lluvia...

Las pirámides de población se utilizan para estudiar conjuntamente la variable edad y el atributo sexo. La gráfica se obtiene representando en la ordenada el grupo de edad, y en la abscisa, el sexo.


179

8.5 Parámetros de una distribución Se trata de resumir aún más la información de una tabla o de una gráfica, y de encon-trar algunos valores (los más simples posibles) que nos permitan dar (u obtener) infor-mación sobre la muestra o comparar dos muestras entre sí. Con los parámetros de centralización se buscan valores lo más representativos posible de todos los valores de la muestra; ofrecen un resumen de los datos de la distribución. Con los parámetros de dispersión se pretende, como complemento a los anteriores, dar una valoración de hasta qué punto los datos se parecen entre sí, o bien si están disper-sos. Además, cuanto menos dispersos se encuentren los datos, más representativos serán los parámetros de centralización anteriores.

8.5.1 Parámetros de centralización Vamos a estudiar tres (aunque hay alguno más, como por ejemplo los cuartiles) de es-tos parámetros: media (o media aritmética), mediana y moda. Para ilustrar el cálculo de estos parámetros utilizaremos el mismo ejemplo. Los siguientes datos corresponden con el número de hermanos (excluido él mismo) de una muestra de 13 niños de 6º de Primaria: 2, 0, 1, 0, 0, 7, 5, 3, 0, 2, 1, 4, 1. Media aritmética Es en “centro de gravedad” de la distribución. La representaremos así: x .Es un pará-metro que, tanto profesores como alumnos, utilizamos con frecuencia para conocer qué nota media (o final) se obtiene teniendo en cuenta las notas de los exámenes realzados hasta el momento. Si los datos se presentan como un montón de datos desordenados, se suman y se di-viden por el número total de datos. En el ejemplo, la suma de los datos es 26, y hay 13 datos, con lo que la media es 2. Si los datos vienen dispuestos en una tabla de datos simple, multipli-caremos cada dato por su frecuencia, se suman entre sí, y se divide por el número total de datos. Expresado esto con una fórmula es: Si se utilizan datos agrupados en clases, se utilizará, como dato, la marca de clase. Ejercicio 13 La distribución de pesos de 78 pacientes de un centro médico es:

Peso (Kg) [50-60) [60-70) [70-80) [80-90) [90-100) [100-110)Núm. pacientes 12 21 24 11 7 3

Halla la media.

i ix fx

N= ∑


180

Es importante no confundir la media aritmética con la media geométrica (que es raíz enésima del producto de los N elementos). Mediana La mediana de una distribución estadística, eM , es el valor de la distribución tal que el número de valores menores que él es igual al número de valores mayores que él. Para calcular este parámetro, es necesario que los datos estén ordenados. Si el núme-ro de elementos de la distribución es impar, la mediana coincide con el valor central, y si es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. En nuestro ejemplo, ordenamos los elementos: 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7. Como hay 13 datos, la mediana es el valor central: 1eM = . Si los datos están en una tabla, y la frecuencia es mayor que 1:

− 1º se calcula la mitad del número de datos: (N/2) − 2º se observa cual es el primer valor cuya frecuencia acumulada ( )iF , es ma-

yor que dicho número. Moda Es el dato que más se repite. La representaremos por ( )oM . Si los datos están orde-nados es más fácil de averiguar. En nuestro ejemplo, la moda es: 0oM = . Si los datos se presentan en una tabla, la moda es el dato que presenta la frecuencia más alta. Puede haber más de un moda (distribución bimodal, trimodal, etc.). Es el úni-co parámetro de centralización que se puede calcular siempre, incluyendo a variables cualitativas no ordenables. Ejercicio 14 Volvemos con la actividad sobre el número de recintos deportivos en 20 ciudades (ejer-cicio 5):

2 4 2 5 5 4 6 8 6 8 3 5 3 4 5 5 8 4 5 4

Obtén, en esta ocasión, la media ( )x , moda ( )oM y mediana ( )eM : (No pases los datos a una tabla; trata los datos tal cual se presentan.)


181

Ejercicio 15 Ahora vuelve a realizar el mismo ejercicio pero con los datos agrupados en una tabla.

2 4 2 5 5 4 6 8 6 8 3 5 3 4 5 5 8 4 5 4

Ya lo hiciste en la actividad 5. Copia los resultados o calcúlalos de nuevo.

ix if iF

8.5.2 Parámetros de dispersión Podremos encontrarnos con dos o más distribuciones que tengan una media aritmética igual, y que, sin embargo, no sean distribuciones similares. Ejemplo 1

Las siguientes tablas muestran los datos obtenidos por dos personas en un test:

Persona 1 Persona 2

57 28

56 31

59 80

60 93 Calculamos la media de ambas distribuciones:

1 157 56 59 60 ; 58

4P Px x+ + += = 2 2

28 31 80 93; 584P Px x+ + +

= =

Observamos que las medias coinciden, sin embargo, las distribuciones no son iguales: los datos de la persona 2 están más dispersos.


182

Sustituye las personas del ejemplo 1 anterior por alumnos, y sus datos por notas de un examen, dividiéndolos entre 10, de manera que el alumno 1 haya obtenido un 5’7, un 5’6, etc. Reflexiona sobre las siguientes cuestiones: ¿Consideras que ambos alumnos merecen aprobar con la misma nota, 5’8, puesto que ambos consiguen la misma nota media?, ¿se debe favorecer la constancia del alumno 1? ¿se debe penalizar el esfuerzo variable del alumno 2, por ejemplo, no permitiendo hallar la media con notas inferiores a 3?, ¿debe primar la media sobre la constancia? Necesitamos algún otro parámetro (rango y desviación típica que veremos a continua-ción) que nos permita diferenciar estos dos tipos de distribuciones. Debemos conocer la dispersión de los datos, es decir, en qué medida están agrupados (caso de los da-tos de la persona 1 o alumno 1 de los ejemplos anteriores) o no, alrededor de los valo-res centrales. Rango o recorrido El rango (r) de una distribución es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable estadística.

MAX MINr x x= −

Para el ejemplo de los alumnos, el rango del alumno 1 es: 1 6 '0 5'6 0 '4r = − = , y el

rango del alumno 2 es: 2 9 '3 2 '8 6 '5r = − = . Como el rango del primer alumno es menor que el del segundo, podemos afirmar que la distribución de notas del primer alumno está más centrada o menos dispersa que la del segundo alumno. Cuanto menor es el valor del recorrido, mayor es la concentra-ción, por tanto, la representatividad de los parámetros de centralización será mayor. La ventaja de este parámetro es que es muy fácil de calcular, pero el inconveniente es que, al depender sólo de los valores extremos, si uno de estos valores está muy ale-jado de los valores centrales, obtendremos un valor alto del recorrido, aunque el resto de datos no esté muy disperso. Varianza y desviación típica (s2 y s ó σ ) Consideremos los siguientes datos: Calculamos la media:

1 3 3 2 7 2 9 3 510

x ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = .

¿En qué medida se separan los datos de la media? Las desviaciones respecto de la media son (sin considerar su frecuencia):

1 1 5 4x x− = − = − ; 2 3 5 2x x− = − = − ; 3 7 5 2x x− = − = ; 4 9 5 4x x− = − = ;

ix if 1 3 7 9

3 2 2 3

10


183

Las sumas de estas desviaciones (que nos daría una idea de los dispersos que están los datos) es cero, sin embargo, los datos se separan de la media. Necesitamos un pa-rámetro que mida esta desviación sin tener en cuenta el signo. Una manera muy senci-lla de obtenerlo es elevar las desviaciones al cuadrado (siempre se obtendrán resulta-dos positivos) y luego hallar la media.

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 5 3 3 5 2 7 5 2 9 5 3 112 11'2

10 10s

− ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅= = =

Se llama varianza de una variable estadística a la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto de la media:

( ) ( ) ( ) ( )22 2 21 1 2 22 ... i in n x x fx x f x x f x x f

sN N

− ⋅− ⋅ + − ⋅ + + − ⋅= = ∑

Desarrollando y simplificando esta fórmula se obtiene otra de más fácil aplicación:

22 22 2 21 1 2 2 ... n

i in n x fx f x f x fs x xN N

+ + += − = −∑

que permite calcular la varianza sin necesidad de hallar todas las desviaciones con respecto a la media. La desviación típica (que es en realidad en dato que más se utiliza) es la raíz cuadrada de la varianza. Se designa por s o σ (sigma minúscula)

2s sσ= = Ejercicio 16 Con los datos del ejercicio 5 referente al número de recintos deportivos de 20 ciudades, obtén la varianza y la desviación típica:

ix 2 3 4 5 6 8

if 2 2 5 6 2 3


184

Ejercicio 17 A partir de la siguiente tabla de una variable estadística, calcula la media y la desvia-ción típica:

ix 3 4 5 6 7

if 4 10 16 6 4 Ejercicio 18 Julia puede ir de su casa al trabajo por dos itinerarios: atravesando la ciudad, o por la autovía. Por el primer camino hay menos distancia pero más semáforos y límites de velocidad; por el segundo, hay más distancia, pero puede ir más rápido. Para comparar los dos itinerarios, ha medido los tiempos en 5 viajes por un lado y 5 por el otro, con los siguientes resultados expresados en minutos. Ciudad: 18, 21, 16, 25, 17 Autovía: 20, 22, 21, 19, 18 Determina la media y la desviación típica de cada distribución. ¿Qué itinerario es más aconsejable? Con el ejercicio anterior queda probado que se pueden comparar dos distribuciones que tengan unas medias aritméticas similares; pero, ¿y si las medias son diferentes? Para poder responder, estudiamos el tercer, y último, parámetro de dispersión:


185

Coeficiente de variación (CV) Es un número que se obtiene al dividir la desviación típica de una distribución entre su media. Se utiliza para comparar distribuciones con distinta media, y deducir cuál de ellas es la más dispersa.

Ejercicio resuelto

Supongamos que dos distribuciones A y B tienen una desviación típica parecida: en A es 3'6σ = , y en B es 3'9σ = . Se tiene también que las medias son en A: 36x = y en B: 98x = . Averigua cuál de las dos tiene los datos más dispersos.

Calculamos el cociente xσ

(que es el coeficiente de variación) de ambas distribucio-

nes:

3'6 0 '136ACV = = ,

3'9 0 '0498BCV = = ; a mayor CV, mayor es la dispersión en los

datos, por tanto, la distribución A es más dispersa que la B. Ejercicio 19 Las temperaturas, en grados centígrados, tomadas en Lisboa y Madrid, el día 1 de ca-da mes, a las 12 de la mañana, durante un año, son:

E F M A M J J A S O N D Lisboa 9 11 13 12 17 22 24 23 17 14 12 10 Madrid -1 6 14 14 20 30 38 39 24 16 11 7

Calcula cuál es la distribución más dispersa.


186

Ejercicio 20 Dada la siguiente tabla de valores, halla la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación:

Clases Frecuencia absoluta

if ix ii fx ⋅ 2ii fx ⋅

[ )40, 46

[ )46, 52

[ )52, 58

[ )58, 64

[ )64, 70

[ )70, 76

[ )76, 82

4

12

10

30

20

8

6


187

8.6 Posibles errores de interpretación A estas alturas del tema, ya habrás comprobado que la Estadística es una herramienta útil y poderosa, pero como tal, es imprescindible saber usarla. Una mala interpretación de las leyes estadísticas puede llevar a conclusiones tan ridí-culas como las siguientes:

− Las estadísticas demuestran que muy pocos accidentes ocurren en vehículos que circulen a más de 200 km/h; por tanto, el mejor método para no tener un accidente es viajar a esa velocidad.

− Las estadísticas demuestran que nunca han coincidido en un avión dos perso-nas con una bomba; por tanto, para evitar ser víctima de un atentado terrorista en un avión debo viajar con una bomba en mi maleta.

A veces los gráficos que vemos no representan con fidelidad la distribución a la que se refieren. Esto ocurre por el escaso rigor puesto en su construcción, o porque sus auto-res pretenden hacer una presentación engañosa, partidista o subjetiva de la informa-ción que trasmiten.

Diario antigubernamental

Diario progubernamental

IPC (%)

3,5

4

4,5

5

En.

Feb.

Mar

.

Abr

.

May

.

Jun.

Jul.

Ag.

Sep

.

Oct

.

Nov

.

Dic

.

IPC (%)

3,5

4

4,5

5

En.

Feb.

Mar

.

Abr.

May

.

Jun.

Jul.

Ag.

Sep.

Oct

.

Nov

.

Dic

.


188


189

8.7 Ejercicios extras • Clasificación de los datos

1. Se quiere hacer un estudio estadístico sobre tus compañeros de clase; para ello se han to-mado datos correspondientes a los siguientes caracteres: a) Talla f) Deporte que practica b) Peso g) Distancia de su casa al centro c) Número de hermanos h) Número de habitantes de su casa d) Profesión de su padre i)Superficie en m2 de su piso e) Idioma que estudia Di cuáles de ellos son cualitativos y cuáles cuantitativos discretos y continuos 2. Pon un ejemplo de V.E. Discreta y otro de V.E. Continua 3. ¿Cuánto vale la suma de todas las frecuencias relativas? 4. María quiere calcular la marca de la clase de un intervalo cuyos extremos son 120 y 125. ¿Qué tiene que hacer? ¿Cómo se calcula la marca de clase conocidos los extremos? 5. Se han recogido datos de una población que van del 112 al 135. ¿Cuál es el rango de la muestra? Si se quieren agrupar en 6 clases o intervalos. ¿Cuáles son? 6. Se quiere hacer una encuesta sobre intención de voto en una ciudad donde el 65% son mu-jeres. Se escoge una muestra de 2000 personas. ¿Cuántas mujeres deben figurar en la mues-tra para que sea representativa de la población? • Tablas y Gráficos

7. Completa la siguiente tabla Intervalo ix if ih iF iH % [14,18) 5 [18,22) 4 [22,26) 3 [26,30) 6

Dibuja el histograma, polígono de frecuencias y diagrama de sectores • Parámetros de centralización

8. Resuelve las siguientes cuestiones ‐ En una distribución en la que se estudia la talla de 500 personas se sabe que la media-

na es igual a 1’67m. ¿Qué quiere decir? ‐ ¿Influyen todos los datos en el cálculo da la moda? ‐ ¿En cuál de los parámetros: media, mediana y moda, influye el orden?

9. Una distribución de 10 valores tiene de media 9. Si se añaden a la lista dos valores: 26 y 4. ¿Cuál es el valor de la nueva media? 10. El número de hijos de 10 familias seleccionadas es el siguiente: 5,2,0,6,3,1,2,3,1,4 Halla la media, la mediana y la moda


190

11. Un profesor tiene anotadas en un cuaderno las notas de los 40 alumnos de una clase, y son las siguientes: Calificaciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Nº de alumnos 2 2 4 5 8 9 3 4 3

Realiza la tabla con las frecuencias. Calcula la media, mediana y moda 12. Se ha pasado un test a 88 alumnos, obteniéndose los siguientes resultados: Puntuaciones Nº de alum-

nos [38,44) [44,50) [50,56) [56,62) [62.68) [68,74) [74,80)

7 8 15 25 18 9 6

Realiza la tabla con las frecuencias. Calcula la media, mediana y moda • Parámetros de dispersión 13. Si tenemos dos distribuciones con una media parecida, ¿qué calculamos para sa-ber la fiabilidad de esa media? ¿Cuál media es más representativa? 14. Calcula la Varianza y la Desviación típica de la tabla de notas del ejercicio 11. 15. Calcula la Varianza y la Desviación típica de las puntuaciones del test del ejercicio 12. 16. Compara la dispersión de los siguientes conjuntos de datos. Supongamos que son datos referidos a diferentes magnitudes (peso en kg y altura en cm) A: 70 80 85 75 40 65 B: 150 180 185 199 200 142 17. Dada la siguiente tabla, calcula la media, la varianza, la desviación típica y el coefi-ciente de variación

Nota: Las soluciones de algunos ejercicios están en un recuadro

Med 66,55 Var 640,79 Desv tip 25,31 CV 0,38

Edad Frecuencia

absoluta if ix ii fx ⋅ 2

ii fx ⋅

[ )10, 30 10 [ )30, 50 20

[ )50, 70 30

[ )70, 90 24 [ )90,110 110

Los datos en A (CV=0’23) son más dispersos que en B (CV=0’13)

Matemáticas 4º ESO Opción A Unidad 9: Estadística bidimensional

191

Lo importante es no dejar de hacerse preguntas. Albert Einstein (físico estadounidense de origen alemán, 1879-1955)

Unidad 9: Estadística

bidimensional


192


193


Unidad 9: Estadística bidimensional............................................................................195

9.0 Introducción .......................................................................................................195 9.1 Variables bidimensionales. Diagramas de dispersión ........................................196

9.1.1 Nube de puntos ...........................................................................................197 9.2 Dependencia aleatoria y dependencia funcional................................................198 9.3 Correlación.........................................................................................................199 9.4 Medida de la correlación ....................................................................................201 9.5 Recta de regresión.............................................................................................207

9.5.1 Dibujo de la recta.........................................................................................207 9.5.2 Cálculo de la ecuación de la recta...............................................................208 9.5.3 Uso de la recta para hacer estimaciones ....................................................209


− Tener una idea clara de los objetivos y el modo de proceder de la Estadística

− Adquirir el vocabulario específico de la estadística bidimensional

− Conocer cuánto de dependientes pueden ser dos variables

− Dibujar diagramas de dispersión y las nubes de puntos asociadas

− Obtener el coeficiente de correlación

− Dibujar la recta de regresión asociada a una distribución bidimensional para es-timar valores de una variable conocidos los de la otra


− Analizar críticamente las relaciones entre variables, justificando dichas relacio-nes estadísticamente, analizando las consecuencias de dichas relaciones y realizando en las condiciones adecuadas predicciones de una variable en fun-ción de otra (C2 y C7).

− Reconocer variables del mundo físico entre las que se puedan establecer rela-ciones de dependencia aleatoria usando las herramientas matemáticas ade-cuadas para el tratamiento de estas variables (C3 y C2).


194


− Decide si la dependencia de las variables correspondientes a una variable es-tadística bidimensional es funcional o aleatoria así como decidir el tipo de co-rrelación existente entre ellas

− Interpreta la información proporcionada, mediante una tabla o mediante un grá-fico, por los datos de una distribución bidimensional para su posterior trata-miento estadístico

− Construye la nube de puntos correspondiente a una distribución bidimensional y calcular el coeficiente de correlación lineal con el fin de poder interpretar el ti-po de correlación existente entre las dos variables afectadas

− Dibuja la recta de regresión correspondiente a una nube de puntos y utilizarla para estimar los posibles valores de una variable conocidos los de la otra


− Distribución bidimensional

− Diagrama de dispersión

− Nube de puntos

− Dependencia funcional

− Dependencia aleatoria: tipos

− Correlación lineal

− Covarianza

− Coeficiente de correlación lineal

− Recta de regresión. Ecuación de la recta

− Centro de gravedad de una distribución

− Estimación de valores


− Elaboración del diagrama de dispersión y de la nube de puntos correspondiente a una distribución bidimensional

− Decisión de la dependencia funcional o aleatoria de dos variables estadísticas

− Decisión del tipo de correlación existente entre dos variables estadísticas

− Cálculo de la covarianza y del coeficiente de correlación lineal

− Interpretación del coeficiente de correlación lineal

− Trazado aproximado de la recta de regresión a partir de la nube de puntos

− Estimación, a partir de la recta de regresión, del valor de una de las variables, que conforman una variable bidimensional, conociendo el valor de la otra


195

Unidad 9: Estadística bidimensional

En esta unidad, al contrario que en la anterior, tendremos en cuenta dos variables, y estudiaremos (de varias formas) el grado de dependencia existente entre ellas.

9.0 Introducción ¿Será verdad que las personas obesas tienen mejor humor que las que no lo son? ¿Puede, la Estadística, ayudarnos a contestar a esta pregunta? Tanto la obesidad como el sentido del humor son atributos son bas-tantes subjetivos, pero imagine-mos que podemos “medirlos”, por ejemplo, en una escala de -3 a 3. Los integrantes de un club gas-tronómico han sido valorados mediante estas cualidades y sus resultados se han representado en este diagrama. Cada punto representa a una per-sona. Dámaso es un obeso cascarrabias, ¿puedes verlo en la gráfica? ___________ Felipe es muy delgado, pero tiene bastante buen humor ¿identificas cuál es el punto con el que se representa? ____________ Salvo estas dos excepciones, se observa una cierta tendencia a tener tanto mejor humor cuanto más obeso se es. Va a ingresar un nuevo socio en el club. Sabemos que su obesidad es +1. ¿Entre qué valores te perece más probable que esté su “humor”? Veamos otros dos ejemplos más. Supón que estudiamos estadísticamente el peso y la altura de un grupo de personas, y, por otro lado, realizamos el análisis del número del pie, y el número de suspensos de un grupo de alumnos. ¿Dónde crees que habrá más relación entre las variables?, ¿es absurdo pensar que a más altura mayor es el peso de una persona?, ¿y que a mayor número de pie, más suspensos obtiene? Claramente, en el primer ejemplo sí existe una relación (o mejor dicho, correlación) entre las varia-bles peso y altura, siendo, además, una correlación positiva (directamente proporcio-nal); sin embargo, no existe ninguna relación entre el número de zapato que un alumno gaste con los suspensos que obtenga. En este tema vamos a medir estos tipos de rela-ciones entre dos variables.


196

9.1 Variables bidimensionales. Diagramas de dispersión Peso y talla de una persona, calificaciones en Lengua y Matemáticas, preferencias en-tre Música y Pintura… son ejemplos de variables estadísticas bidimensionales. Una distribución bidimensional se produce cuando asignamos a cada individuo dos va-lores que corresponden a las dos variables. Cuando disponemos dichos valores en un sistema de coordenadas, tenemos un dia-grama de dispersión:

Ejercicio 1 En la tabla siguiente se recogen las notas de Lengua Castellana e Historia de un grupo de 10 alumnos de 4º de ESO.

a) Representa los datos mediante un diagrama de dispersión. Pon en el eje horizontal las notas de Lengua Castellana y en el vertical las de Historia.

b) A la vista del diagrama, expresa la relación de

dependencia entre las dos asignaturas.

Alumno,a Lengua Castellana Historia

Luís 6 5 María 7 8 Alberto 5 6 Pablo 8 8 Ana 5 5 Juan 4 5 Julia 6 7 Eva 10 9 Pedro 2 2 Ángel 7 6


197

Ejercicio 2 Las personas de un grupo conversan sobre sus edades y los abuelos que tienen cada una. Los resultados numéricos de dicha conversación se recogen en esta tabla:

Edad 6 10 15 21 16 30 35 39 46 50 Núm. de abuelos 4 4 3 4 2 3 2 1 1 0

a) Representa los datos mediante un diagrama de dispersión. Pon en el eje horizontal

las edades de las personas y en el vertical el número de abuelos que tienen.

b) A la vista del diagrama, expresa la relación de dependencia entre las dos variables y compara los resultados con los obtenidos en el ejercicio anterior.

9.1.1 Nube de puntos Si rodeamos los puntos de un diagrama de dispersión con una línea de manera que todos los puntos queden dentro, entonces hemos dibujado una nube de puntos. Este aspecto gráfico ayuda mucho a la hora de averiguar la dependencia entre dos varia-bles. Si la nube es estrecha y hacia arriba, la dependencia es muy alta y positiva, si la nube es muy ancha, no existirá relación de dependencia entre las variables.


198

Tanto en los gráficos anteriores como en los que vienen a continuación puedes obser-var que aparece una r con un valor numérico. Es el coeficiente de correlación que es-tudiaremos en los próximos apartados.

Queda claro, por tanto, que la forma en que se agrupan loa puntos en un diagrama de dispersión proporciona información sobre la relación que existe en entre las variables.

9.2 Dependencia aleatoria y dependencia funcional En todos los ejemplos vistos hasta ahora, entre las dos variables existe cierta depen-dencia que tratamos de averiguar; decimos, entonces, que ambas variables tienen una dependencia aleatoria o estadística. A lo largo de la unidad nos ocuparemos, casi ex-clusivamente, de este tipo de variables. Pero existe otro tipo de relación entre dos variables: la dependencia funcional. En este tipo de dependencia, a cada variación de una variable, le corresponde una misma va-riación proporcional a la otra variable. Dicho de otro modo, dos variables tienen depen-dencia funcional si el valor de una de ellas determina exactamente el valor de la otra y viceversa, es decir, existe una “función” que permite calcular los valores de una varia-ble a partir de la otra. Es el caso de las fórmulas que empleamos, por ejemplo, en Físi-ca o en Matemáticas. Ejemplos:

- Perímetro de la circunferencia: 2P rπ= ; tanto el perímetro como el radio de cualquier circunferencia tienen una dependencia funcional.

- Volumen de un octaedro regular: 323 ⋅

=lV ; en esta fórmula, a parte de los

números, sólo intervienen dos variables, el volumen y el lado del octaedro. Cuando representamos en un diagrama de dispersión dos variables que dependen fun-cionalmente, obtenemos la propia función, una línea recta. Pero, repetimos, en esta unidad, estudiaremos el otro tipo de dependencia. Si vuelves a mirar los ejercicios 1 y 2, comprobarás que hemos averiguado que la relación de de-pendencia entre dos variables puede ser positiva o negativa, y que una (la del ejercicio 1) es mayor que la otra (ejercicio 2). Este grado de dependencia es la correlación. Veamos qué es, y qué tipos hay.


199

9.3 Correlación La correlación estudia la relación o dependencia que existe entre dos variables que intervienen en una distribución bidimensional. La correlación entre dos variables es positiva si al aumentar los valores de una varia-ble, los de la otra también aumentan. Ejemplos: consumo de combustible y velocidad que alcanza un coche; número medio de días de lluvia y cantidad de paraguas de una población, etc. La correlación entre dos variables es negativa si al aumentar los valores de una varia-ble tienden a disminuir los de la otra. Ejemplos: nivel de oxígeno y altura que alcanza un escalador; gasto en calefacción y temperatura ambiental, etc. La correlación entre dos variable también podría ser nula, o cero. Recuerda el caso que veíamos en la introducción cuando se intentaba relacionar el número del pie, y el número de suspensos de un grupo de alumnos; aquí, la correlación es cero. La correlación entre dos variables puede medirse en términos de muy fuerte, fuerte, débil, muy débil, aparte de positiva, negativa o nula Ejercicio 3 De un muelle se han ido colgando pesas de diferentes pesos y, en cada caso, se ha medido el alargamiento, en centímetros, del muelle correspondiente a cada peso, en gramos.

Peso (g) 0 30 60 90 120 150 180 210 240 Alargamiento (cm) 0 9 17 26 35 43 52 61 70

Estudia gráficamente la correlación haciendo el correspondiente diagrama de disper-sión.


200

Ejercicio 4 De un grupo de personas de diferentes edades, que todas las mañanas corren una de-terminada cantidad de kilómetros, se han obtenido los datos siguientes:

Edad (años) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 Distancia (km) 11 9 7 6 5 4 2 2 1

Estudia la correlación haciendo el correspondiente diagrama de dispersión. Ejercicio 5 La tabla adjunta muestra la nota de un examen de Matemáticas de 10 estudiantes, las horas dedicadas a su preparación, las horas que vieron la televisión los días previos al examen y el peso de cada uno.

Nota 3 4 5 6 6 7 7 8 8 9 Horas de estudio 3 5 7 12 5 7 11 12 15 14 Horas TV 18 12 14 10 6 8 6 5 8 4 Peso (kg) 60 54 70 68 59 72 70 65 72 64

Estudia la correlación entre la nota y cada una de las otras tres variables.

I) Nota – Horas estudio II) Nota – Horas TV III) Nota – Peso

(Sigue → )


201

a) b) c) Hasta ahora, hemos calculado la correlación a simple vista, sin hacer cálculos. Tampo-co los ejemplos eran demasiado relevantes. Parecería pues, que la Estadística no aporta nada nuevo a lo que ya sabíamos… pero, observa estas tres cuestiones: ¿los coches pintados con colores fuertes tienen menos accidentes? ¿Cuánto mejoría una cosecha de arroz si aumentamos la cantidad de cierto fertilizante? ¿Mejoraría la calidad de vida de personas enfermas si aumentamos la dosis de un medicamento? Como ves, ya no son temas tan triviales, y la Estadística sí tiene mucho que decir y que aportar a estos estudios. Necesitamos medir de una manera más rigurosa esta correlación entre las dos varia-bles objeto de estudio.

9.4 Medida de la correlación Para medir la correlación, es decir, determinar cómo de dependientes son dos variables, utilizaremos el coeficiente de correlación lineal, o, también llamado momento lineal de Pe-arson (Karl Pearson, 1857 – 1936, uno de los fundadores de la Estadística moderna). En el tema anterior, calculábamos la varianza de una variable.

22 2i i

x

x fs x

N= −∑

Este valor indicaba la dispersión de los datos respecto a su media. En este tema, debe-remos extender o generalizar este concepto al de covarianza:

i ixy

x ys x y

N= − ⋅∑

La covarianza, xys , es la media aritmética de los productos de las desviaciones de ca-da variable respecto a su media. El coeficiente de correlación, r, se calcula mediante la siguiente fórmula:

xy

x y

sr

s s=

⋅

es decir, es el cociente entre la covarianza y el producto de las desviaciones típicas de las variables .


202

Se trata de un dato adimensional cuyo valor está comprendido (mejor utilizar el término acotado) entre -1 y 1, y que refleja el grado de dependencia lineal entre dos conjuntos de datos. Si 1 1r ó r= = − , la correlación es total, estamos ante un caso de dependencia funcio-nal, tal y como veíamos en el apartado 8.2. Todos los valores se encuentran situados sobre una recta, no existe una nube de puntos propiamente dicha. Ejemplo: velocidad de un coche, y los kilómetros que recorre. Si 0r = , la correlación es nula. Ejemplo: relación entre el número de asignaturas aprobadas por un alumno, y el número de calzado que usa; dicho de otro modo, las variables son independientes.

Si 1 0r− < < ó 0 1r< < , las variables se encuentran en dependencia aleatoria. La correlación entre las variables será negativa en el primer caso, y positiva en el segundo. La correlación es tanto más fuerte a medida que r se aproxima a 1 ó a -1, y tanto más débil cuando se aproxima a cero. Observa estos ejemplos donde aparecen tres diagramas de dispersión con sus corres-pondientes coeficientes de correlación:


203

Ejercicio 6 Determina el valor del coeficiente de correlación atendiendo a cada diagrama de dis-persión

a) 0’2 b) -0’9 c) -0’7 d) 0’4 a) -0’9 b) 0’6 c) -0’8 d) 0’2

a) 0’6 b) 1 c) -0’8 d) 0’1

a) 0’5 b) -0’9 c) 0’3 d) 1

Vamos a obtener el coeficiente de correlación lineal utilizando las fórmulas anteriores. Ejercicio resuelto

Una compañía de seguros de automóvil considera que el número de vehículos (Y) que circulan por una determinada autopista a más de 120 km/h puede ponerse en función del número de accidentes (X) que ocurren en ella. Durante 5 días se obtu-vieron los siguientes re-sultados: Calcula el coeficiente de correlación lineal

La fórmula que debemos aplicar es: xy

x y

sr

s s=

⋅

Accidentes (X) 5 7 2 1 9

Núm. vehículos (Y) 15 18 10 8 20

a) b)

c) d)


204


Para aplicar dicha fórmula necesitamos la covarianza (en el numerador) y las desvia-ciones típicas de las variables (para el denominador).

A su vez, para la covarianza, debemos aplicar esta fórmula: i i

xy

x ys x y

N= − ⋅∑

Y para el cálculo de la desviación típica de cada variable (recuerda del tema anterior, que se obtenía como la raíz cuadrada de la varianza) necesitamos aplicar esta otra fór-mula:

22i i

x

x fs x

N= −∑

, para la variable x, y otra similar para la variable y.

A la vista de las fórmulas anteriores, necesitamos: 1. Calcular las medias de las variables, es decir: x e y .

2. Calcular el producto de las variables, es decir: i ix y⋅ .

3. Calcular el cuadrado de cada una de las variables: 2ix e 2

iy Para facilitar los cálculos, completamos la siguiente tabla:

Accidentes (X)

Núm. vehículos (Y)

2ix 2

iy i ix y⋅

5 7 2 1 9

1518108

20

254941

81

22532410064

400

75 126 20 8

180

24 71 160 1113 409

Calculamos las medias de las variables: 24 4 '85

x = = ; 71 14 '25

y = = ;

las varianzas de las variables: 2

2 2 2160 4 '8 8'965

ix

xs x

N= − = − =∑

2

2 2 21113 14 '2 20 '965

iy

ys y

N= − = − =∑

y la covarianza:

409 4 '8 14 '2 13'645

i ixy

x ys x y

N= − ⋅ = − ⋅ =∑

Coeficiente de correlación lineal: xy

x y

sr

s s=

⋅ ; 13'64 0 '9953

8'96 20 '96r = =

⋅


205

Ejercicio 7 Calcula el coeficiente de correlación lineal del ejercicio 1, referente a las notas de Len-gua Castellana e Historia:

Media de x = Media de y =

Alumno,a Lengua Castellana Historia 2

ix 2iy i ix y⋅

Luís 6 5 María 7 8

Alberto 5 6 Pablo 8 8 Ana 5 5 Juan 4 5 Julia 6 7 Eva 10 9

Pedro 2 2 Ángel 7 6

Ejercicio 8 Calcula el coeficiente de correlación lineal del ejercicio 2, referente a las edades de personas y los abuelos que tienen cada una.

Edad 6 10 15 21 16 30 35 39 46 50 Núm. de abuelos 4 4 3 4 2 3 2 1 1 0

Media de x = Media de y =

(Sigue → )


206

(Continuación)

2ix 2

iy i ix y⋅

Ejercicio 9 Calcula el coeficiente de correlación lineal del ejercicio 3, referente al muelle y pesos:

Peso (g) 0 30 60 90 120 150 180 210 240 Alargamiento (cm) 0 9 17 26 35 43 52 61 70


207

Ejercicio 10 Calcula el coeficiente de correlación lineal del ejercicio 4, referente a la edad de las personas y la distancias que son capaces de recorrer:

Edad (años) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 Distancia (km) 11 9 7 6 5 4 2 2 1

9.5 Recta de regresión Es la recta que se adapta lo mejor posible a una nube de puntos, y marca la tendencia de los diagramas. En la portada de este dossier tienes un diagrama de dispersión con su recta de regresión asociada, incluso puedes ver la ecuación de la misma. Dibujare-mos estas rectas más o menos “a ojo” (aunque existen métodos más precisos); des-pués, obtendremos su ecuación, y por último, utilizaremos toda esta información para realizar estimaciones.

9.5.1 Dibujo de la recta Resulta muy sencillo de calcular un punto por donde pasa la recta de regresión: el cen-tro de gravedad de la distribución, y es el punto que tiene por coordenadas las medias aritméticas de cada variable, es decir:

Centro de gravedad: ( ),x y Para dibujar una recta de regresión obtendremos, primeramente, su centro de grave-dad; posteriormente, y pasando por ese punto, dibujaremos la recta que mejor de adap-te a los puntos de forma aproximada.


208

Ejercicio 11 Dibuja las rectas de regresión de los diagramas de dispersión de los ejercicios 1 a 4. Recuerda que ya tienes calculadas las medias de los datos de estos ejercicios (para obtener el centro de gravedad) puesto que se necesitaban para los ejercicios 7 a 10, respectivamente.

9.5.2 Cálculo de la ecuación de la recta

Recuerda la ecuación general de una recta: y mx n= + . La m recibía el nombre de pendiente, y la n era la ordenada en el origen. Estudia las similitudes con esta otra:

( )2xy

x

Sy y x x

S= + − , que es la ecuación de la recta de regresión.

Ejercicio resuelto

Obtén la ecuación de la recta de regresión correspondiente al ejercicio resuelto ante-rior: estudio del número de vehículos que circulan por una autopista a más de 120 km/h y el número de accidentes que ocurren en ella. Para obtener la ecuación necesitamos (todo está ya calculado):

1. la media de los valores y: 71 14 '25

y = =

2. la covarianza: 13'64xys =

3. la varianza de x: 2 8 '96xs = 4. la media de los valores de x: 4 '8x =

Por tanto, sustituimos los valores en la ecuación: ( )13'6414 '2 4 '8 ;8'96

y x= + −

operando: 13'64 13'64 4 '814 '2 ; 6 '893 1'5228'96 8'96

y x y x⋅= + − = +

Ejercicio 12 Calcula las ecuaciones de la recta de regresión de los ejercicios 7 al 10. Recuerda que sólo debes sustituir los valores ya obtenidos en la propia ecuación general: Ecuación de la recta del ejercicio 7: y = xys = 2

xs = x =

(Sigue → )


209

(Continuación) Ecuación de la recta del ejercicio 8: y = xys = 2

xs = x = Ecuación de la recta del ejercicio 9: y = xys = 2

xs = x = Ecuación de la recta del ejercicio 10: y = xys = 2

xs = x =

9.5.3 Uso de la recta para hacer estimaciones Cuando la correlación es fuerte, los puntos están muy próximos a la recta. En estos casos la recta de regresión es muy útil para hacer previsiones o estimaciones: dado un nuevo dato (individuo del colectivo que se está estudiando), si conocemos sólo el valor de una de las variables, podremos, apoyándonos en la recta de regresión (o en su ecuación), vaticinar, con razonable seguridad, el valor aproximado de la otra variable.

Ejercicio resuelto

Con los datos del ejercicio resuelto anterior: a) Si un día se produjeron 6 accidentes, ¿cuántos vehículos podemos suponer que cir-culaban por la autopista a más de 120 km/h? b) ¿Es buena la predicción? a) Si sustituimos x = 6 en la ecuación de la recta anterior, obtendremos y, es decir, el número de vehículos que circulaban por la autopista:

6 '893 1'522y x= + ; 16 '03y = Podemos suponer que ese día circulaban 16 vehícu-los a más de 120 km/h. b) La predicción hecha es muy buena, ya que el coeficiente de correlación está muy próximo a 1.


210

De nuevo, aprovecharemos los resultados de ejercicios anteriores. Ejercicio 13 Con las rectas obtenidas en el ejercicio 12, correspondientes a los ejercicios 7 a 10, realiza las siguientes estimaciones: a) Para el ejercicio 7, qué nota en Historia conseguiría un alumno de 4º de ESO, si en Lengua Castellana ha obtenido un 9. b) Para el ejercicio 8, el número de abuelos de una persona que tenga 7 años. c) Para el ejercicio 9, el peso (variable x) que deberemos colocar en el muelle, si per-seguimos un estiramiento del muelle (variable y) de 1 metro (100 cm). d) Para el ejercicio 10, la distancia que recorrería una persona de 16 años. Ejercicio 14 La media de los pesos (variable y) de los individuos de una población es de 65 kg y la de sus alturas (variable x), 170 cm. Las desviaciones típicas son 5 kg y 10 cm, respec-tivamente, y la covarianza de ambas variables es 40. a) ¿Cuál es el coeficiente de correlación? b) Calcula la recta de regresión c) ¿Cuánto estimas que pesará un individuo de 180 cm de altura?


211

Ejercicio 15 En una cofradía de pescadores, las capturas registradas de cierta variedad de pesca-do, en kilogramos, y el precio de subasta en lonja, en euros/kg, fueron los siguientes:

Capturas: x (kg) 2 000 2 400 2 500 3 000 2 900 2 800 3 160 Precio: y (euros/kg) 1’8 1’68 1’65 1’32 1’44 1’5 1’2

a) Halla el coeficiente de correlación lineal e interprétalo b) Estima el precio que alcanzaría en lonja el kilo de esa especie si se pecasen 2 600 kg.

2ix 2

iy i ix y⋅


212

Ejercicio 16 Se tiene la siguiente tabla con las alturas de unos padres y sus hijos.

Altura padres 178 170 163 181 174 190 175 171 200 174 173 163

Altura hijos 176 174 163 180 171 195 171 167 192 181 173 151

a) Halla el coeficiente de correlación lineal b) Estima la altura que tendría un hijo si su padre midiera 185 cm

2ix 2

iy i ix y⋅

Altura de padres e hijos

145

155

165

175

185

195

205

155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 205

Altura padres

Altu

ra h

ijos

(En la portada de este dossier tienes la ecuación de la recta)

Direcciones de interés: http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Variables_estadisticas_bidimensionales_regresion_correlacion/Regresion_1.htm

http://descartes.cnice.mecd.es/Descartes/Estadistica/Correlacion_regresion_recta_regresion/correlacion_y_regresion.htm

http://descartes.cnice.mecd.es/Descartes/Estadistica/Estadistica_descriptiva/Estadistica.htm

Matemáticas 4º ESO Opción A Unidad 10: Probabilidad

213

La teoría de las probabilidades es, como mucho, simple sentido común expresado con números.

Laplace (matemático, físico y astrónomo francés, 1749-1827)

Unidad 10: Probabilidad


214


215


Unidad 10: Probabilidad ..............................................................................................217

10.1 Experimentos aleatorios vs deterministas........................................................217 10.1.1 Espacio muestral .......................................................................................218

10.2 Sucesos: tipos..................................................................................................219 10.3 Unión e intersección de sucesos......................................................................222 10.4 Regla de Laplace .............................................................................................225 10.5 Propiedades de la probabilidad........................................................................228

10.5.1 Probabilidad de algunos sucesos..............................................................228 10.5.2 Probabilidad de la unión y la intersección de sucesos ..............................228

10.6 Actividades de refuerzo....................................................................................233 Cálculo de probabilidades ....................................................................................233 Probabilidad condicionada ...................................................................................234 Más actividades....................................................................................................235

10.7 Anexo: Explicación probabilidad total...............................................................236 Objetivos: en esta unidad aprenderás a ...

− Conocer y utilizar el vocabulario básico del cálculo de probabilidades.

− Escribir el espacio muestral correspondiente a experimentos aleatorios

− Conocer los distintos tipos de sucesos, y asignarles una probabilidad mediante la regla de Laplace relacionados con los juegos de azar o con la vida cotidiana.

− Introducir el tratamiento del azar conociendo la probabilidad que tiene un suce-so de ocurrir, y así, poder llegar a predecir resultados.


− Utilizar las técnicas de probabilidad como estrategia útil para calcular riesgos y afrontar los problemas con responsabilidad (C2 y C8).

− Reconocer los fenómenos aleatorios como parte integrante del medio físico y utilizar las técnicas de probabilidad para comprender mejor dichos fenómenos dentro de los diferentes contextos en los que aparezcan (C2 y C3).


216


− Describe el espacio muestral correspondiente a un experimento aleatorio e in-dicar los sucesos elementales que conforman un suceso compuesto

− Responde a actividades relacionadas con los tipos de sucesos

− Asigna probabilidades, mediante la regla de Laplace y con ayuda de las técni-cas de recuento, a sucesos aleatorios relacionados con actividades cotidianas

− Asigna probabilidades, utilizando las fórmulas correspondientes, a las opera-ciones con sucesos


− Experimento aleatorio y determinista

− Espacio muestral

− Suceso aleatorio

− Suceso elemental y suceso compuesto

− Suceso seguro y suceso imposible

− Suceso contrario

− Sucesos compatibles y sucesos incompatibles

− Sucesos dependientes e independientes

− Unión e intersección de sucesos

− Regla de Laplace

− Probabilidad de un suceso

− Probabilidad del suceso contrario

− Probabilidad de la unión de sucesos


− Clasificación de los experimentos en aleatorios y deterministas

− Obtención de los sucesos elementales que conforman un suceso compuesto

− Determinación del suceso unión e intersección de 2 sucesos y del suceso con-trario de un suceso

− Decisión sobre la compatibilidad o incompatibilidad de dos sucesos

− Asignación de probabilidades según la regla de Laplace

− Asignación de probabilidades a sucesos contrarios.

− Asignación de probabilidades a la unión de sucesos.


217

Unidad 10: Probabilidad

Extraemos al azar una carta de una baraja española, ¿qué es más probable que salga la sota de bastos o el rey de espadas? ¿que salga un oro o una carta que no sea de oros? ¿que salga un rey o una sota? ¿que salga una figura de copas o cualquier caba-llo? Con una “probabilidad” muy alta habrás contestado muy rápido y bien a estas cuestiones (costándote, quizá, algo más la última). En este tema vamos a cuantificar esas probabilidades, es decir, les asignaremos un número que nos permita, por ejemplo, compa-rar con otras situaciones y determinar cuál es la más ventajosa.

10.1 Experimentos aleatorios vs deterministas Un experimento se considera aleatorio si no es posible predecir el resultado, por mucho que repitamos la experiencia. Cuando extraemos una carta de una baraja, no sabemos qué carta puede salir; sin embargo, si lanzamos un vaso de cristal, con fuerza, contra el suelo, podremos predecir que se hará añicos; este tipo de experimentos se llaman de-terministas. En esta unidad, sólo trataremos los experimentos aleatorios. Ejercicio 1 ¿Experimento determinista o aleatorio?

D A

Sacar una carta de la baraja y anotar cuál es

Poner un cazo con agua en el fuego de la cocina

Coger una pieza de fruta de un cesto de naranjas y anotar que fruta es

Lanzar una moneda al aire y anotar el resultado

Medir el área de una sala de 5 m de largo y 2 de ancho

Lanzar un penalti y anotar el resultado

Extraer una bola de una bolsa que contiene las 15 bolas del billar americano y anotar el color

Rellenar todas las quinielas posibles y comprobar si se ha ganado un premio o no

Jugar una partida de ajedrez contra un campeón del mun-do, y anotar quien gana.


218

10.1.1 Espacio muestral Conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se escriben entre paréntesis con una E delante. Ejercicio resuelto

Determina el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios: a) Se lanza una moneda b) Se lanza un dado con las caras numeradas del 1 al 6. c) Se lanza un dado de quinielas, con tres caras con un 1, dos caras con una X y

una cara con un 2. d) Se saca una tarjeta en un partido de fútbol

{ }) ,a E cara cruz=

{ }) 1, 2, 3, 4, 5, 6b E =

{ }) 1, , 2c E X=

{ }) ,d E amarilla roja=

Ejercicio 2 Determina el espacio muestral de estos experimentos: a) Lanzar dos monedas al aire y anotar los resultados (cara: c; cruz: +) b) Lanzar un dado de ocho caras c) Lanzar tres monedas d) Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos e) Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras (bola blanca: B; bola negra: N) f) El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos (llueve: L, no llueve: N)


219

10.2 Sucesos: tipos Un suceso es cualquier parte del espacio muestral (cualquier subconjunto de E). Se representa con una letra mayúscula. Ejemplos: sacar par al lanzar un dado de parchís, conseguir cara al lanzar una moneda, obtener una figura (sota, caballo o rey) de una baraja española de 40 cartas, etc. En el experimento que consiste en lanzar un dado con las caras numeradas del 1 al 6, el espacio muestral era { }1, 2, 3, 4, 5, 6E = , y como ejemplos de sucesos tenemos:

{ }2, 4, 6suceso A = , que es el suceso «salir número par»

{ }3, 6suceso B = , que es el suceso «salir múltiplo de 3»

{ }4suceso C = , que es el suceso «salir el número 4»

{ }suceso D = ∅ , que es el suceso «no obtener ninguno de los números que figuran en sus caras»

{ }1, 2, 3, 4, 5, 6suceso E = , que es el suceso «salir un número entre 1 y 6»

Tipos de sucesos: Suceso elemental o individual: está formado por un solo elemento (como ejemplo tenemos el suceso C anterior). Suceso compuesto: está formado por dos o más elementos (como ejemplo tenemos el suceso B anterior). Suceso seguro o cierto: es el que siempre se realiza; está formado por todos los re-sultados posibles del experimento y coincide con el espacio muestral (como ejemplo tenemos el suceso E anterior). Suceso imposible o vacío: es el que nunca se realiza; no se verifica jamás. Se repre-senta por el conjunto vacío: { }∅ (como ejemplo tenemos el suceso D anterior). Suceso contrario o complementario: dado un suceso A, se llama suceso contrario de A, y se escribirá A , al suceso que ocurre cuando no ocurre A. Sea F el suceso «salir un número mayor que 4»; el suceso F será «salir un número menor o igual que 4», es decir, { }5, 6=F y { }1, 2, 3, 4=F Sucesos compatibles: son dos o más sucesos que pueden verificarse (o darse) a la vez. Por ejemplo, los sucesos A y B anteriores: si al lanzar el dado sale un 6, se verifi-ca el suceso «salir número par» y «salir múltiplo de 3» Sucesos incompatibles: dos sucesos son incompatibles si no se pueden verificar a la vez. Por ejemplo, en el caso del dado, son incompatibles los sucesos: «salir par», y «salir impar».


220

Ejercicio 3 Dada la urna de la figura, completa las siguientes frases referentes al experimento de realizar una extracción al azar de una bola, y considera los siguientes sucesos:

{ }A obtener una bola blanca= ,

{ }B obtener una bola gris= ,

{ }C obtener un número par= , { }3D obtener un número menor que= ,

{ }10E obtener un número menor que= y { }10F obtener un número mayor que= . a) Los sucesos ___________ son compuestos. El suceso E es el suceso __________ , mientras que el F es un suceso _________. Además, los sucesos E y F son ________ . b) Los sucesos A y B son ___________, lo sucesos A y C son sucesos ___________ y los sucesos A y D son ____________ , pero no ____________ .

c) Los sucesos contrarios de A, B, C y D son: { }A = ,

{ }B = , { }C = y

{ }D =

Ejercicio 4 Utilizando el experimento anterior, invéntate dos sucesos compatibles y otros dos in-compatibles distintos a los indicados. ¿Cuál es el suceso contrario al suceso E? ¿Y el de F? Inventa otros sucesos que demuestren que dos sucesos contrarios son incompatibles: Inventa otros sucesos que demuestren que dos sucesos incompatibles pueden no ser contrarios:


221

Ejercicio 5 Se lanzan dos dados cúbicos, y se multiplica el resultado. a) Halla el espacio muestral: b) Determina los elementos del suceso: " 3"A salir múltiplo de= (recuerda el crite-

rio de divisibilidad del 3) y los elementos de A : c) Determina los elementos del suceso: " "B salir un número compuesto= , y B : d) Determina los elementos del suceso: " "C salir número par= , y C :

Ejercicio 6 Se considera el sexo de los hijos de las familias de tres hijos. Sea A el suceso «el hijo mayor es una hembra», y B el suceso «los dos hijos pequeños son varones», ¿cuáles son los elementos de A y B? Ejercicio 7 Describe los sucesos contrarios a los que se indican:

a) En una familia de tres hermanos, la mayor es hembra (H: hembra, V: varón) b) En una familia de tres hermanos, las tres son hembras c) Sacar más de un cuatro al lanzar un dado


222

10.3 Unión e intersección de sucesos El suceso unión de dos sucesos A y B, que se representa por A B∪ , es un suceso que se da cuando se verifica A ó B. Ejemplo: si { }1, 3, 5A = y { }1, 2, 3B = , el suceso unión es: { }1, 2, 3, 5A B =∪ . Ex-presado con conjuntos:

El suceso intersección de dos sucesos A y B, que se representa por A B∩ , es un suceso que se da cuando se verifica A y B. En el ejemplo anterior, el suceso intersección es:

{ }1, 3A B =∩ . Expresado con conjuntos: Ejercicio 8 Se hace girar una ruleta como la de la figura. a) Determina los sucesos

{ }A salir un número impar= = y { }8B salir un número myor que= = b) Determina ahora los elementos del suceso unión y del suceso intersección:

A B =∪ A B =∩


223

Ejercicio 9 Se lanza un dado octaédrico con las caras numeradas del 1 al 8. Se consideran los siguientes sucesos:

" "A salir par= " "B salir impar=

" "C salir número primo= " 3"D salir múltiplo de=

" "E salir cualquier resultado= " 3"F salir menor que=

Halla los siguientes sucesos: , , , , , ,A B A C D C E D D C F A F A∩ ∪ ∪ ∩ ∩ ∪ ∩ Ejercicio 10 Sea el experimento consistente en el lanzamiento de un dado cúbico y los sucesos

" 3"A salir múltiplo de= , " "B salir par= y " 3"C salir menor o igual que= . Halla:

a) A B =∪ b) A B =∪

c) A B =∩ d) A B =∩

e) A C =∩ f) A C =∩ En el epígrafe 10.2 se definieron los sucesos compatibles e incompatibles (que volve-remos a utilizar en el siguiente apartado, cuando calculemos probabilidades). Ahora que conocemos más sobre la unión y la intersección de sucesos, ¿cómo redefinirías los sucesos compatibles e incompatibles?


224

Observa lo siguiente:

− Si dos sucesos son compatibles: - para hacer la unión, deberemos eliminar aquellos elementos que son co-

munes a ambos conjuntos ya que no se deben repetir elementos. { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8A B =∪

- para hacer la intersección, sólo se toman en cuenta aquellos elementos que son comunes a los dos conjuntos.

{ }4, 5A B =∩ − Y si los dos sucesos son incompatibles:

- para hacer la unión, simplemente se agrupan los elemento de los dos conjuntos en uno sólo, ya que no tienen ningún elemento en común.

{ }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8A B =∪ - En el caso de la intersección, siempre será el conjunto vacío.

A B =∅∩ Ejemplos de lo expresado más arriba: Unión de sucesos compatibles: sacar oros y sacar figuras; existen elementos comunes en ambos sucesos: la sota, el caballo y el rey de oros sólo deben aparecer una vez. Intersección de sucesos compatibles: sacar una carta que sea figura de oros; la carta pertenece al conjunto de los oros y al de las figuras. Unión de sucesos incompatibles: sacar oros o sacar espadas; no existen elementos comunes en ambos sucesos, por lo que deberemos unir todos los elementos de los dos conjuntos. Intersección de sucesos incompatibles: sacar una carta que sea de oros y de espadas a la vez; es un suceso imposible: ∅ . Toda esta información te será muy útil para el cálculo de probabilidades.


225

10.4 Regla de Laplace La probabilidad de que se dé un suceso cualquiera A es el cociente entre el número de casos favorables (son los sucesos elementales que tenga el suceso) y el número de casos posibles (que son los sucesos elementales del espacio muestral), es decir:

( ) ( )casos favorablesP A Regla de Lapacecasos posibles

=

Pierre Simón (1749 – 1827), marqués de Laplace, enunció su regla de probabilidad en 1812. Ten en cuenta lo siguiente: el número de casos favorables siempre será menor o igual al número de casos posibles, por lo que, el resultado de ese cociente será un número decimal menor o igual que 1. Más concretamente:

( )0 1P suceso≤ ≤

Es habitual multiplicar por 100% dicho resultado para obtener la probabilidad expresa-da en forma de porcentaje.

Ejemplo: ( ) 1 1100% 50%2 2

P A = = =

Ejercicio 11

Ejercicio 12 En una rifa se han hecho 1000 papeletas. Rosa ha comprado 1, y su madre 5. ¿Qué oportunidades de ganar tiene cada una?

Calcula las siguientes probabilidades: a) Probabilidad de obtener 1 bola roja (BR) de una bolsa que contiene 4 bolas azules

(BN) y una roja:

b) Probabilidad de obtener 1 BR de una bolsa que contiene 3 BR y 2 BA:

c) Probabilidad de obtener 1 BR de una bolsa que contiene 5 BA:

d) Probabilidad de obtener 1 BR de una bolsa que contiene 5 BR


226

Ejercicio 13 ¿En cuál de las siguientes urnas es más probable obtener una bola roja? No lo hagas ”a ojo”, sino calculando las probabilidades:

5 rojas 3 verdes

5 rojas

4 verdes

5 rojas 2 verdes

urna 1 urna 2 urna 3 Ejercicio 14 Supón que te proponen pasar el tiempo con el siguiente juego al que pueden jugar has-ta cuatro personas: se tiene la siguiente cartulina, y se lanzan tres monedas; un jugador será “tres cruces”; otro “dos cruces y una cara” y así sucesivamente. Se tiran las tres monedas y, según lo que haya salido, el jugador correspondiente avanza una casilla. ¿Te parece un juego justo?

Tres +

Dos + y una c

Una + y dos c

Tres c

ME

TA


227

Ejercicio 15 Al lanzar dos dados: a) ¿Cuál es la probabilidad de que salgan dos cincos? b) ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 5 y un 6? c) ¿Cuál es la probabilidad de sacar al menos un cinco? Ejercicio 16 En la lotería primitiva, ¿cuál es la probabilidad de que los seis números extraídos sean pares? Ejercicio 17 Calcula la probabilidad de acertar los seis números de la lotería primitiva realizando una sola apuesta.


228

10.5 Propiedades de la probabilidad

10.5.1 Probabilidad de algunos sucesos La probabilidad del suceso imposible es 0; es decir, ( ) 0P ∅ = (ten en cuenta que la probabilidad es un número; por tanto, no deberás poner que no existe). La probabilidad del suceso seguro es 1: ( ) 1P E = . La probabilidad del suceso contrario a un suceso, será 1 menos la probabilidad de que

ocurra dicho suceso: ( ) ( )1P A P A= − .

10.5.2 Probabilidad de la unión y la intersección de sucesos Hasta aquí, nos han preguntado sobre probabilidades de un solo suceso: sacar una espada, un rey de oros, una bola negra de una bolsa, una cruz en una moneda, más de un 4 al tirar un dado, etc. Pero también pueden preguntarnos por más de un suceso. Ejemplos: en una baraja española de 40 cartas, ¿qué probabilidad hay de que, al sacar una carta, esta sea un basto o una figura?, ¿qué probabilidad hay de sacar un as y después un dos? Ambos ejemplos los resolveremos a continuación. Sean dos sucesos A y B: Si ambos sucesos son INCOMPATIBLES: ( ) ( ) ( )P A B P A P B= +∪

Si ambos sucesos son COMPATIBLES: ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B= + −∪ ∩ Si ambos sucesos son INDEPENDIENTES (los resultados obtenidos al ocurrir el primer suceso no influyen en el segundo): ( ) ( ) ( )P A B P A P B= ⋅∩

Si ambos sucesos son DEPENDIENTES: ( ) ( ) ( )/P A B P A P B A= ⋅∩ Ejercicio 18 Disponemos de una baraja de 40 cartas. Sea A el suceso “sacar un basto” y B el suce-so “sacar una figura”. Sacamos una carta de la baraja. Calcula la probabilidad de que la carta extraída sea basto o figura


229

Ejercicio 19 ¿Cuál es la probabilidad de no coger ningún doble al seleccionar al azar tres fichas de un dominó? (El dominó tiene 28 fichas, y de ellas, 7 son dobles) Ejercicio 20 En una baraja española de 40 cartas, calcula la probabilidad de sacar un as y después un dos: a) Reintegrando la primera carta después de la extracción:

b) Sin reintegrar la carta al mazo: Ejercicio 21 En una baraja española de 40 cartas se extraen 3 cartas: a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo palo? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sean 3 figuras? c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna sea de bastos?


230

Ejercicio 22 Una urna contiene 15 bolas blancas (BB) y 12 negras (BN). Calcula: a) La probabilidad de sacar 2 BB en dos extracciones consecutivas, sin reintegrar las bolas. b) La probabilidad de sacar 2 BB, extrayendo dos bolas a la vez. Ejercicio 23 En un hospital hay 10 enfermos: 3 neuróticos, 5 psicópatas y 2 esquizofrénicos. Se eli-gen tres enfermos al azar: a) Halla la probabilidad de que los tres tengan enfermedad distinta. b) Halla la probabilidad de que los tres tengan la misma enfermedad.


231

Ejercicio 24 Realiza el siguiente test de probabilidad y averigua lo que sabes: 1. De los siguientes experimentos di cuál no es aleatorio:

Juego de la lotería

Escoger una película al azar de entre todas las de un videoclub Escoger el libro que ocupa el lugar 340 en una biblioteca Lanzar una moneda al aire

2. En un bombo se han introducido bolas cuyos números son los 10 primeros múltiplos de dos. El espacio muestral del experimentos “sacar una bola al azar” será:

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} {2, 4, 6, 8, 10} {2, 4, 6, 8,10, 12, 14, 16, 18, 20}

3. En el experimento de lanzar un dado cúbico al aire, el suceso contrario al “salir par” es:

“salir impar” “salir todos los pares” “ninguna de las dos anteriores”

4. En el experimento sacar una carta de una baraja de 40 cartas, se consideran los si-guientes sucesos: A = ”sacar una figura”, B = “sacar una copa”. El suceso BA∩ será:

“sacar el caballo de copas”

“sacar cualquier figura” “sacar el rey, el caballo o la sota de copas” “sacar el as de copas”

5. Se hace girar una ruleta con los 10 primeros números naturales consecutivos. Se consideran los sucesos A = ”obtener un número impar” y B = “sacar el 8”. El suceso

BA∪ será:

{1, 3, 5, 7, 8, 9} {1, 3, 5, 7, 9} {8}

(Sigue → )


232

(Continuación) 6. En un día de verano, la probabilidad de que haya tormenta es de 0,08. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya tormenta?

1 0’90 0’92 0’02

7. En una urna hay 5 papeletas color sepia, 3 blancas y 7 azules. ¿Cuál es la probabili-dad de sacar una papeleta sepia o azul?

4/5 7/15 5/15 1/5

8. Se saca una carta al azar de una baraja de 40 cartas. Se consideran los sucesos: A = “obtener un basto” y B = “obtener un as”. La probabilidad de BA∪ será:

7/20 7/40 13/40

9. En el juego de la Lotería Nacional, obtener un número de 5 cifras y obtener un núme-ro múltiplo de 7 son sucesos imposibles:

Verdadero Falso

10. En una partida de 100 tuercas hay 15 defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que, elegida una al azar, salga no defectuosa?

0’85 0’015 15/100

Para más información accede a la siguiente dirección: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/matematicas-28.html


233

10.6 Actividades de refuerzo

Cálculo de probabilidades 1. Indica, en cada uno de los siguientes experimentos aleatorios, el correspondiente espacio muestral. a) Sacar una carta de una baraja española y observar el número que tiene b) Tirar tres monedas al aire y observar el número de caras obtenido c) Lanzar tres dados al aire y anotar la suma de puntos obtenida 2. Enuncia algún suceso seguro y alguno que sea imposible en cada uno de los siguientes ex-perimentos aleatorios: a) Lanzar una moneda al aire y observar el resultado obtenido b) Lanzar un dado al aire y observar el resultado obtenido c) Lanzar dos monedas al aire y observar el número de caras obtenido 3. En una urna hay seis bolas numeradas del 1 al 6, con los siguientes colores: las bolas 1, 2, 3 y 4 son blancas; las bolas 5 y 6 son negras

Sea el experimento aleatorio “sacar una bola” y se consideran los siguientes sucesos: A = “sacar una bola con número par” B = “sacar una bola blanca” C = “sacar una bola negra y con numeración impar” Obtener los siguientes sucesos: , , , . A B A C A B A C∪ ∩ ∪ ∩

4. Calcula las probabilidades de los sucesos descritos en el ejercicio anterior 5. En una urna hay 25 bolas numeradas del 1 al 25. Se extrae una bola al azar. Calcula la pro-babilidad de que:

a) Sea un número par c) Sea múltiplo de 3 b) Sea un número que acabe en 0 d) No sea un múltiplo de 5

6. Se elige al azar una carta de la baraja española (40 cartas). Halla la probabilidad de que:

a) Sea un as d) Sea un as o un oro b) Sea un oro e) Sea un as y no sea oro c) Sea el as de oros f) No sea as y sea oro

7. Sean A y B dos sucesos tales que P(A)=0’4, P(B)=0’2 y ( ) 0'5P A B∪ = . Calcula ( )P A B∩ 8. En una caja hay 3 bolas negras, 2 bolas blancas y 4 rojas. Calcula la probabilidad de que al extraer una bola al azar:

a) Sea negra c) No sea roja b) Sea negra o blanca d) Sea blanca y negra

9. En la lotería primitiva se extraen de un bombo bolas numeradas del 1 al 49. Sacamos la pri-mera bola a) ¿Es más probable que acabe en 5, o que acabe en 0? b) ¿Es más probable que sea un número par o que sea menor que 24? c) ¿Es más probable que sea un número de dos cifras que empiece por 3, o que sea un

número múltiplo de 3? 10. Calcula la probabilidad de que la última cifra de un número de teléfono sea:

a) Un 4 c) Mayor que 6 b) Un múltiplo de 3 d) Menor que 2


234

Probabilidad condicionada 1. Se lanzan simultáneamente dos dados. Halla la probabilidad de que:

a) Salga un seis en los dos dados b) No salga ningún seis c) En uno salga un seis y en el otro no

2. Extraemos dos bolas en una urna que contiene cinco bolas blancas y cuatro negras. Calcula la probabilidad de que las dos sean blancas en los siguientes casos:

a) Con devolución después de cada extracción b) Sin devolución

3. Suponiendo que la probabilidad de nacimiento de una niña es igual a la de un niño, calcula la probabilidad de que una pareja, que piensa tener tres hijos, tenga por lo me-nos una niña 4. Se lanza a la ver un dado y una moneda. Calcula l a probabilidad de obtener un número par en el dado y una cara en la moneda 5. Se lanzan al aire 5 monedas. Calcula la probabilidad de que:

a) Salgan cinco caras b) Salga al menos una cruz

6. Una familia tiene 3 hijos. Calcula la probabilidad de que: a) El mayor sea chico b) Todos sean chicos c) Al menos una sea chica

7. En una urna hay 3 bolas rojas, 2 negras y 4 verdes. Se sacan simultáneamente dos bolas. Calcula la probabilidad de que la segunda sea negra si la primera:

a) Es negra b) Es roja c) Es verde

8. Se extraen sucesivamente y sin reemplazamiento dos cartas de una baraja españo-la. Calcula la probabilidad de que:

a) Sean dos bastos b) La primera sea un basto y la segunda un oro

9. Se lanza un dado. Calcula la probabilidad de que haya salido un 4, sabiendo que ha salido un número mayor que 3. 10. Se extrae una carta de una baraja española, se mira y se deja fuera; luego se ex-trae una segunda carta. Calcula la probabilidad de que esta segunda carta:

a) Sea un oro, sabiendo que la primera era un oro. b) Sea un oro, sabiendo que la primera no era un oro.


235

Más actividades Siempre que puedas, sería conveniente realizar un diagrama de árbol

1. Al ganador de un concurso de televisión se le premio con un apartamento. Después de seleccionar al concursante, se le ofrecen cinco llaves para la puerta y, gana el apar-tamento si elige la llave que abre, que solo es una.

a) ¿Cuál es la probabilidad de ganar, si solo puede probar una llave? b) ¿Cuál es la probabilidad de ganar, si puede probar con dos llaves?

2. Se considera el experimento de lanzar tres monedas al aire. a) Obtén el espacio muestral b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara? c) ¿Y la de obtener exactamente tres caras?

3. Tenemos dos urnas. Una contiene 3 bolas rojas y 2 verdes, y la otra contiene 2 bolas rojas y 3 verdes. Se toma, al azar una bola de cada urna.

a) Escribe el espacio muestral b) Probabilidad de que ambas bolas sean de distinto color

4. Una urna contiene 3 bolas rojas, 6 verdes y 8 negras. Extraemos dos bolas al azar. Calcula la probabilidad de que sean del mismo color

a) Con devolución b) Sin devolución

5. La probabilidad de que un arquero haga diana es 1/3. Halla la probabilidad de hacer alguna diana si lanza tres flechas seguidas. 6. Un estudiante ha preparado 7 de los 10 temas de que consta el temario. Se eligen tres temas al azar.

a) Probabilidad de que conteste bien exactamente dos temas b) Probabilidad de que conteste bien al menos dos temas

7. Una clase consta de 6 chicas y 10 chicos. Si se escoge al azar un comité de tres alumnos, hallar la probabilidad de los sucesos:

a) Seleccionar 3 chicos b) Seleccionar 3 chicas c) Seleccionar 1 chico y 2 chicas

8. Una urna contiene tres bolas rojas y dos verdes, y otra contiene dos bolas rojas y tres verdes. Se toma, al azar, una bola de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de que sean de distinto color?


236

10.7 Anexo: Explicación probabilidad total

Ejercicios resueltos

Matemáticas 4º ESO Opción A Unidad 11: Técnicas de recuento

237

Hay tres clases de matemáticos: los que saben contar, y los que no saben.

(Atribuido a Enrico Bombieri, matemático italiano, ganador de la medalla Fields en 1974)

Unidad 11: Técnicas de

recuento


238


239


Unidad 11: Técnicas de recuento ................................................................................241

11.1 Introducción .....................................................................................................241 11.2 Diagrama en árbol............................................................................................241 11.3 Orden, grupos y repetición...............................................................................243 11.4 Permutaciones .................................................................................................244 11.5 Variaciones ......................................................................................................246

11.5.1 Variaciones sin repetición..........................................................................246 11.5.2 Con repetición ...........................................................................................247

11.6 Combinaciones ................................................................................................248 11.6.1 Propiedades ..............................................................................................248

11.7 Esquema para resolver los ejercicios...............................................................250 11.8 Ejercicios de la unidad .....................................................................................251 11.9 Triángulo de Tartaglia y binomio de Newton....................................................258 11.10 Apéndice: recuento de posibilidades en algunos juegos de azar...................261


− Contar los elementos de varios conjuntos mediante diferentes técnicas

− Utilizar el diagrama en árbol.

− Adquirir métodos y herramientas para resolver problemas del cálculo de proba-bilidades

− Estudiar los diferentes casos que se pueden presentar a la hora de contar el número de elementos que intervienen en un cierto conjunto: orden en que apa-recen los elementos y posible repetición

− Utilizar el vocabulario y notación propios de la combinatoria

− Conocer las propiedades de los números combinatorios

− Conocer la fórmula general del binomio de Newton


− Desarrollar estrategias personales para decidir de forma autónoma la técnica de recuento más eficaz en función de las condiciones del problema (C2, C7 y C8).

− Utilizar las técnicas de recuento para resolver problemas en ámbitos de la vida y del conocimiento muy diversos, valorando la importancia de estas técnicas como herramienta útil para desenvolverse adecuadamente en dichos ámbitos (C2, C3 y C8).


240


− Resuelve situaciones relacionadas con el recuento de diferentes posibilidades mediante la utilización, según convenga, del diagrama en árbol, variaciones or-dinarias, variaciones con repetición, combinaciones ordinarias o permutaciones ordinarias

− Resuelve situaciones de tipo algebraico en las que intervengan los números factoriales, así como las combinaciones, variaciones y permutaciones


− Diagrama en árbol. Principio de la multiplicación

− Factorial de un número natural

− Permutaciones

− Variaciones con y sin repetición

− Combinaciones

− Números combinatorios

− Triángulo de Tartaglia

− Fórmula general de la potencia de un binomio: binomio de Newton


− Construcción de diagramas en árbol para expresar los posibles resultados en situaciones de recuento

− Identificación de las diferentes situaciones de recuento

− Distinción en las situaciones de recuento en las que interviene o no el orden y la repetición de elementos

− Diferenciación entre combinaciones, variaciones y permutaciones en base al orden, grupos y posible repetición de los elementos

− Uso del vocabulario y notación propios de la combinatoria

− Cálculos algebraicos y numéricos en los que intervienen los números factoria-les, combinaciones, variaciones y permutaciones


241

Unidad 11: Técnicas de recuento

¿De cuántas formas se pueden sentar cinco personas en una fila de butacas de un cine?, ¿de cuántas formas puede quedar la cla-sificación final de la liga de fútbol?, ¿cuántos resultados diferentes hay si lanzamos dos dados? ¿y un dado y una moneda?, ¿entre cuántos menús podremos elegir si hay tres primeros platos, cuatro segundos y tres postres?, ¿cuántas quinielas deberemos rellenar para acertar el pleno al 15?, ¿resulta más fácil jugar a la bonolo-to? Podrás contestar a todas estas preguntas cuando acabes este tema.

11.1 Introducción A lo largo de esta unidad aprenderemos a contar el número de elementos (equipos, banderas, números, etc.) basándonos en cuatro técnicas: el diagrama en árbol (que ya conoces) y tres (una tiene una variación, por lo que podríamos decir que son cuatro) nuevas fórmulas que conocerás a continuación. Para la elección de una u otra de estas fórmulas, nos basaremos en los elementos que intervengan: si se pueden o no formar grupos, si importa o influye el orden de los elementos que escojamos y si se pueden repetir elementos dentro de un grupo.

11.2 Diagrama en árbol Es una técnica que ya hemos empleado en otras ocasiones (recuerda cómo descom-poníamos números “redondos” en sus factores primos. Ejercicio 1 Lanzamos al aire tres veces seguidas una moneda y vamos anotando los resultados. No tendiendo en cuenta la posibilidad de que la moneda caiga de canto, ¿cuántos re-sultados distintos podrá haber?: (cara: C; cruz: +) Si no necesitamos precisar los resultados, sino sólo saber el número de resultados dis-tintos, no haremos el diagrama en árbol, sino que aplicaremos el principio de multi-plicación: 2 2 2 8⋅ ⋅ = resultados.


242

Ejercicio 2 Realiza un diagrama en árbol y halla el número de “palabras” (tengan o no sentido) de 2 letras, que se puedan formar con TILA: a) Sin repetición b) Con repetición

Ejercicio 3 Utiliza un diagrama en árbol para construir “palabras” (tengan o no sentido) de 4 letras, sin que se repita ninguna, que se puedan formar a partir de la palabra LADO: a) ¿Cuántas palabras se pueden formar?

b) ¿Cuántas de ellas empiezan con la letra A?

c) ¿En cuántas están la A y la O juntas, sin importar el orden en que aparecen?


243

Ejercicio 4 Realiza un diagrama en árbol con las sumas distintas de dos cifras que se puedan efectuar con los números 2, 5, 7 y 8:

11.3 Orden, grupos y repetición La aplicación de cualquiera de las técnicas que vienen a continuación depende de si existe (o importa) el orden de los elementos, de si intervienen todos los elementos cada vez o de si hay grupos, y de la posible repetición de los elementos. Orden: deberás decidir, en base a las características del enunciado del problema, si cambiar el orden de los elemento en un grupo supone obtener un grupo distinto o no. Por ejemplo: si nos piden contar cuántas banderas de dos colores distintos puedes hacer con varios botes de pintura, ¿una bandera con una franja horizontal azul arriba y otra debajo blanca, es la misma si la franja blanca está arriba y la azul debajo? Clara-mente constituirían dos banderas diferentes, por lo que el orden (en este caso de los colores) sí importa. Debemos contestar correctamente a 4 preguntas en un examen que tiene 7 para poder aprobar; ¿influye el orden en el que elijamos las preguntas? En este caso el orden no importa. Grupos: esta es la característica que más claramente se observa en los enunciados de los problemas. A parte del número que indique la cantidad de elementos que debamos estudiar, si existen grupos, deberá existir otro número más. ¿De cuántas formas se pueden repartir 40 cartas (primer número que indica los elementos) entre 5 compañe-ros (segundo número que india que hay grupos) de mesa? ¿De cuántas maneras se pueden sentar 55 personas en un autobús de 55 plazas? Aquí sólo existe un número, y no hay grupos. En las fórmulas que verás a continuación, la letra m hará referencia al conjunto total de elementos, y la n, al número de elementos de cada grupo. Repetición: suele venir más o menos claramente indicado en el enunciado. Por ejem-plo: ¿cuántas banderas de 3 colores diferentes puedes hacer con 6 colores distintos?; ¿cuántos números de 3 cifras se pueden formar con los cinco primeros números natu-rales? (en este ejemplo no se especifica nada sobre la repetición de números, por lo que debemos suponer que sí pueden repetirse, y que, por ejemplo, el 112 es un núme-ro válido).


244

Ejercicio 5 En los siguientes experimentos, indica en cuales influye el orden en el resultado final y si se puede o no repetir un resultado individual:

Influye el orden

Se pueden repetir

Sacar el premio de la lotería nacional utilizando cinco bombos

Otorgar las medallas de oro, plata y bronce en una competición de natación en la que intervienen 8 nadadores

Formar grupos de trabajo de 5 personas en una clase de 30 alumnos

Repartir las fichas del dominó

Nombrar delegado y subdelegado en una clase de 25 alumnos

Un padre reparte (uno a uno) 12 chicles y 8 trozos de regaliz entre sus 4 hijos

Nombrar los 10 miembros de un jurado entre un grupo de 1000 personas

Formar números de dos cifras con los dígitos { }1, 2, 3, 4

Pintar una bandera con tres franjas horizontales de colores distintos

11.4 Permutaciones La fórmula que utilizaremos es:

!mP m= Que, como ves, utiliza la operación del factorial que ya hemos utilizado en alguna otra ocasión. Te recordamos que el factorial de un número se consigue multiplicando ese número por el anterior y por el anterior a este último hasta llegar a 1:

( ) ( )! 1 2 ... 3 2 1m m m m= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

0! 1 ; 1! 1 ; 2! 2 1 2 ; 3! 3 2 1 6 ;

4! 4 3 2 1 24 ; 5! 120 ; 6! 720 ; 7! 5 040 ;

8! 40 320 ; 9! 362 880 ; 10! 3 628 800 ; 11! 39 916 800

= = = ⋅ = = ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ = = = =

= = = =


245

Como ves, es una operación que hace crecer los números muy rápidamente. A lo largo del tema, utilizaremos mucho números expresados de forma factorial, y es conveniente que aprendas a simplificar con ellos. Mira el siguiente ejemplo: Ejercicio resuelto

Obtén, sin ayuda de la calculadora, el resultado de la siguiente operación: 20!

17! 19⋅

20! 20 19 18 17! 217! 19 2 17! 19 2

⋅ ⋅ ⋅= =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

20

10 19⋅ ⋅ 18 17!⋅ ⋅17! 19⋅ 2⋅

10 18 180= ⋅ =

Ejercicio 6 Resuelve sin operar demasiado:

200!)198! 2

a =⋅

3! 5!)6! 2!

b ⋅=

⋅

12! 7!)9! 10!

c ⋅=

⋅

Ejercicio 7 Une con flechas:

6!4!

5!6!

8!5! 3!⋅ ( )

!1 !

nn −

( )2 !!

nn+

( )

( )1 ! !

! 1 !m n

m n−−

56 16 30

nm ( )( )2 1n n+ + n


246

Utilizaremos las permutaciones que aquellos problemas donde no intervengan grupos, importando, sólo, el orden de los elementos. Ejercicio 8 ¿De cuántas formas se pueden sentar 5 personas en un banco de 5 plazas? Ejercicio 9 ¿Cuántos números de 6 cifras se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6, sin repe-tir ninguna?

11.5 Variaciones Las variaciones pueden ser de dos tipos: variaciones ordinarias, o simplemente varia-ciones, y variaciones con repetición (cada una tiene su fórmula correspondiente). Ya se comentó en el apartado 10.3 en qué consistía la repetición o no de los elementos. Las variaciones se utilizarán en aquellos problemas donde se hagan grupos e importe el orden en la elección de los elementos.

11.5.1 Variaciones sin repetición Su fórmula es esta:

, ( 1) ( 2)...m n

n veces

V m m m= ⋅ − ⋅ − o también ,!

( )!m nmV

m n=

−

En general utilizaremos la primera de las fórmulas. Ejercicio resuelto

Calcula las siguientes variaciones:

3456) 4,6 ⋅⋅⋅=Va 3604,6 =V

456) 3,6 ⋅⋅=Vb 1203,6 =V

56) 2,6 ⋅=Vc 302,6 =V


247

Ejercicio 10 Calcula las siguientes operaciones:

5,3

7,2

8,1

6,5

))))

a Vb Vc Vd V

=

=

=

=

Cuando veíamos las permutaciones, no había ningún problema en identificar la m que

aparece en su fórmula ( !mP m= ), puesto que al haber sólo un dato numérico en los ejercicios (por no haber grupos), ese, forzosamente, debía corresponder con la m. Sin embargo, tanto en variaciones como en combinaciones (que veremos a continua-ción), intervienen dos letras (m y n) en sus fórmulas (ya explicamos su significado en el apartado 10.3). Ejercicio 11 ¿De cuántas formas se puede nombrar al presidente, vicepresidente y secretario de una asociación que tiene 200 miembros?

11.5.2 Con repetición Su fórmula es esta:

,n

m nVR m= Como ves, se trata de una simple potencia. Ejercicio 12 Calcula las siguientes operaciones:

5,3)a VR =

7,2)b VR =

8,1)c VR =

6,5)d VR =

0,2)e VR =

3,0)f VR =


248

Ejercicio 13 ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar en los que sólo intervengan el 1, el 3, el 5, el 7 ó el 9?

11.6 Combinaciones Fórmula:

( ),!

! !m n

m mCn m n n

⎛ ⎞= =⎜ ⎟ − ⋅⎝ ⎠

o también ,

,m n

m nn

VC

P=

Ejercicio 14 Calcula las siguientes operaciones:

5,3)a C =

7,2)b C =

8,1)c C =

8,7)d C =

(¿encuentras alguna similitud entre los apartados c) y d) anteriores?)

11.6.1 Propiedades Existen unas pocas que pueden simplificarnos algunos cálculos:

mCI m =1,) ; o también 1m

m⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠ 1) , =mmCII ; o también 1

mm⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

,0) 1mIII C = ; o también 10m⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

, ,) m n m m n

m mIV C C

n m p−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇔ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, , 1 1, 1) m n m n m nV C C C+ + ++ = o también 1

1 1m m mn n n

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Principalmente, es la IV propiedad la que más ahorro de trabajo nos puede proporcio-nar; por ejemplo, 7,81,8 CC = ; 6,82,8 CC = ; 5,83,8 CC = .

(Hablaremos de estaspropiedades con el triángulo de Tartaglia)


249

Ejercicio 15 Utilizando las propiedades anteriores, calcula estas operaciones:

8,1)a C =

8,2)b C =

8,3)c C =

8,4)d C =

8,5)e C =

8,6)f C =

8,7)g C =

8,8)h C =

Utilizaremos combinaciones cuando existan grupos, no importe el orden en el que es-cojamos los elementos y no esté permitida la repetición de elementos: Ejercicio 16 ¿De cuántas formas se pueden elegir 3 asignaturas optativas de entre 5? Para comprobar tu solución (y puesto que son pocos casos), puedes rellenar la siguien-te tabla; cada columna indica una elección posible:

Diseño y Prensa

Música

Tecnología

Cultura clásica

Plástica


250

Ejercicio 17 El profesor de Historia ha anunciado un examen en el que entran 7 temas, y ha dicho que pedirá que se desarrollen 3 de ellos. ¿Cuántos tipos de examen puede poner? Ejercicio 18 ¿Cuántas rectas se pueden formar con 10 puntos (no alineados tres o más de ellos) situados en un plano?

11.7 Esquema para resolver los ejercicios Te ofrecemos un resumen con todo lo visto hasta ahora, y que te servirá para saber, en cada caso, qué fórmula utilizar (en la segunda página de la unidad encontrarás otro esquema). ¿Hay

grupos? ¿Importa el

orden? ¿Se pue-

den repetir? Ejemplo

Permutaciones !mP m=

No SÍ No Ordenar 5 motos en un taller

Variaciones

( ) ( ), 1 2 ...m n

n veces

V m m m= ⋅ − ⋅ − No

Reparto del podium en una carrera

,n

m nVR m=

SÍ SÍ

SÍ Formar nú-meros de 3 cifras con el 2, 4, 6 y 8

Combinaciones

( ),!

! !m nmC

m n n=

− ⋅ SÍ No No

Repartir las fichas del dominó


251

A la hora de hacer este tipo de ejercicios de combinatoria, deberás contestar a estas tres preguntas:

¿Entran todos los elementos en cada agrupación? ¿Influye el orden de colocación de los elementos? ¿Pueden repetirse los elementos?

Dos recomendaciones antes de pasar a las actividades:

− lee cada enunciado un mínimo de tres o cuatro veces para comprender bien el problema

− no olvides las unidades

11.8 Ejercicios de la unidad Ejercicio 19 ¿De cuantos modos se pueden repartir tres premios distintos entre Juan, Pilar, María, Alicia y Pedro, de manera que ninguno de ellos reciba dos o más premios? Ejercicio 20 ¿Cuántos grupos de cuatro cartas distin-tas se pueden hacer con una baraja es-pañola?


252

Ejercicio 21 En una vuelta ciclista participan 14 equipos, cada uno con 9 corredores. ¿De cuántas maneras puede resultar el podium final por equipos? ¿Y por corredores? Ejercicio 22

En un restaurante, la carta ofrece elegir en-tre seis entrantes, cuatro platos fuertes y cinco postres. ¿Cuántos menús diferentes pueden elaborarse?

Ejercicio 23 Un entrenador de baloncesto dispone de 10 jugadores en plantilla, ¿de cuántas formas puede organizarse el equipo inicial?


253

Ejercicio 24

Disponemos de cinco bolas de colores diferentes: azul, blanco, negro, rojo y verde, y de otras tantas cajas con los mismos colores. Se introduce al azar una bola en cada caja. ¿De cuántas formas posibles se pueden meter las bolas en las cajas?

¿En cuántos casos la bola azul estará dentro de la caja azul? Ejercicio 25 En la liga de fútbol de primera división hay 20 equipos: a) ¿Cuántas clasificaciones finales pueden darse? b) Si para la liga de campeones se clasifican los cuatro primeros equipos, ¿cuántos posibles cuartetos de equipos pueden clasificarse? c) Si para la copa de la UEFA se clasifican los equipos 5º y 6º, ¿cuántos pares de equipos pueden clasificarse? d) ¿Cuántas jornadas se disputan a lo largo de la liga?


254

Ejercicio 26 En el sistema binario de numeración (utilizado por los ordenadores), donde las únicas cifras válidas son el 0 y el 1, ¿cuántos números de 8 cifras existen? (el primer número será 0000 0000, y el último será 1111 1111; un número intermedio cualquiera puede ser: 1001 0111) Ejercicio 27 Un equipo de fútbol de primera división tiene 3 porteros, 7 defensas, 5 centrocampistas y 6 delanteros. En cada partido juegan uno, cuatro, tres y tres por cada línea, respecti-vamente. ¿Cuántas alineaciones distintas podrá hacer el entrenador si no acostumbra a cambiar a los jugadores de sus líneas habituales? Ejercicio 28 Cuatro amigos juegan un torneo de ajedrez. Aquel jugador que empieza a jugar con las piezas blancas, siempre cuenta con ventaja; sin embargo, y para este ejercicio, noso-tros no lo vamos a suponer. ¿De cuántas formas pueden quedar clasificados? Si juegan todos contra todos, ¿cuántas partidas se realizarán?


255

Ejercicio 29 ¿Cuántas aleaciones distintas se pueden for-mar con 8 metales diferentes? Cada aleación debe estar formada por dos o más metales. (Pista: hay una propiedad que hemos dicho en un apar-tado anterior que te simplificará los cálculos) Ejercicio 30 Resuelve las siguientes ecuaciones:

190) 2,2, =− xx CVa

,4 ,2) 20x xb V V= ⋅

,4 ,2) 13 36x xc VR VR− ⋅ = −

1 2) 12 5x x xd P P P+ +⋅ + =


256

Ejercicio 31 A continuación tienes 17 ejercicios variados. Pueden servirte para que evalúes tu pro-pio conocimiento sobre las técnicas que has aprendido en este tema: 1. ¿Es posible hallar las V3,4? ¿Y las VR3,4? 2. Contesta V o F a las siguientes afirmaciones:

a) En las VR no influye el orden: b) En las V sí influye el orden c) En las P influye el orden: d) En las C influye el orden:

3. Con 8 elementos queremos hacer variaciones.

a) ¿Podemos hacer V de más de 8 elementos? b) ¿Podemos hacer V de menos de 8 elementos? c) ¿Cómo se llama si V de los 8 elementos?

4. Con 8 personas, pensamos formar todos los grupos posibles de 2 ó 6 personas.

¿De cuál de los dos maneras hay más grupos, de dos o de seis personas? 5. ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, secreta-

rio y tesorero de un club de baloncesto sabiendo que hay 12 posibles candidatos? 6. ¿Cuántas apuestas(columnas) habrá que rellenar para acertar seguro una quiniela

de 14? 7. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8

y 9 sin que se repita ninguna cifra? (NOTA: hay que descontar los que empiezan por 0)

8. Con las letras de la palabra DISCO, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden

hacer que empiecen por O?

(Sigue → )


257

(Continuación) 9. En un festival de canciones han llegado a la fase final 10 cantantes. ¿De cuántas

formas se pueden adjudicar los premios 1º, 2º y 3º? 10. ¿De cuántas formas distintas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de

fútbol, teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar ninguna posición distinta de la portería?

11. ¿De cuantas formas se pueden colocar 10 cantores si dos de ellos tienen que estar

siempre en los extremos? 12. Con las cifras 1,2 y 3, ¿cuántos números de cinco cifras se pueden formar? ¿cuán-

tos son pares? 13. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir las 9 butacas que quedan en el cine en-

tre las 12 personas que aún están en la cola? 14. Con las cifras 6,7, 8 y 9 ¿cuántos números de seis cifras se pueden formar? ¿Cuán-

tos termina en 6? ¿Cuántos son múltiplos de 2? 15. En un programa de radio de una emisora intervienen 4 locutores. Si esa cadena de

radio dispone de 20 locutores, ¿de cuántas formas distintas (con locutores distintos) se puede presentar este programa?

16. A una reunión asisten 17 personas y se saludan entre ellos ¿cuántos saludos se

han dado? 17. En una unidad militar hay 6 capitanes y 10 tenientes. ¿De cuántas maneras se pue-

de seleccionar un grupo de 3 capitanes y 7 tenientes?


258

11.9 Triángulo de Tartaglia y binomio de Newton Cuando una combinación se expresa así, se le llama número combinatorio, y se lee “m sobre n”. A Nicolo Fontana (1499 – 1557), conocido como Tartaglia (tartamudo, debido a

una herida que sufrió de niño), se le atribuye esta disposición de los números combinato-rios:

00⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

10⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

11⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

20⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

21⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

22⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

30⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

31⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

32⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

33⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

40⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

41⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

42⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

43⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

44⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

50⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

51⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

52⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

53⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

54⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

55⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Ejercicio 32 Completa el triángulo

1

1 1

1 ___ 1

1 ___ ___ 1

1 ___ ___ ___ 1

1 ___ ___ ___ ___ 1

mn

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠


259

Observa lo siguiente:

a) Los números combinatorios de los lados (extremos de la izquierda y la derecha) son siempre 1 (propiedad II y III de las combinaciones).

b) Los números combinatorios segundo y penúltimo de cada fila coinciden con m, o también puede verse como que coincide con el número de la fila, comenzando por la fila cero en el vértice superior del triángulo (propiedad I)

c) En cada fila, los números equidistantes de los extremos son siempre iguales (propiedad IV), lo que confiere al triángulo una simetría vertical.

d) Cada número combinatorio es igual a la suma de los dos que tiene encima (pro-piedad V)

Ejercicio 33 Continúa el triángulo hasta la décima fila. Isaac Newton (1642-1727), científico y matemático inglés, pasa por ser una de las men-tes más lúcidas que jamás hayan existido. ¿Existe una fórmula general que permita averiguar el desarrollo de una potencia cual-

quiera de un binomio, ( )nba + ? Cuando el exponente es 2, 3 ó 4 podemos hacer los cálculos directamente, pero si el exponente es más grande, necesitamos alguna técni-ca de cálculo que nos ayude. Observa los desarrollos para n = 2, 3 y 4:

( ) =+ 1ba ba +

( ) =+ 2ba 22 2 baba ++

( ) ( ) ( ) =+⋅+=+ bababa 23 3223 33 babbaa +++

( ) ( ) ( ) =+⋅+=+ bababa 34 432234 464 babbabaa ++++ Observa:

1. El número de términos de cada desarrollo es uno más que el exponente 2. Los términos de los extremos siempre son el primer sumando y el segundo ele-

vados al exponente original 3. En cada desarrollo, los exponentes del primer sumando del binomio comienzan

con el exponente original, y van decreciendo en cada nuevo término hasta llegar a cero; con los exponentes del segundo sumando ocurre lo contrario

4. Los coeficientes de cada desarrollo son los números de la fila correspondiente del triángulo de Tartaglia


260

La fórmula general del desarrollo de ( )na b+ se conoce como binomio de Newton:

( ) 1 2 2 1

0 1 2 1n n n n n k k n nn n n n n n

a b a a b a b a b ab bk n n

− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Los números combinatorios que aparecen en el desarrollo son los números que forman la fila 1n + en el triángulo de Tartaglia.

Cuando el binomio a desarrollar sea de la forma ( )na b− , bastará con cambiar b por

b− en el anterior desarrollo, así, las potencias pares de b− provocarán que sea posi-tivo, y las impares, negativo. Ejemplos:

( ) ( ) ( )3 3 2 2 3 3 2 2 33 3 3 32 2 2 2 8 12 6

0 1 2 3a b a a b ab b a a b ab b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 2 3 4 55 4 3 25 5 5 5 5 50 1 2 3 4 5

x y x x y x y x y x y y⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− = + − + − + − + − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5 4 3 2 2 3 4 55 10 10 5x x y x y x y xy y= − + − + − Ejercicio 34 Obtén el desarrollo de:

( )6) 1a x + =

( )3)b a b− =

( )5) 3c x y− =

( )4)d x y+ =


261

11.10 Apéndice: recuento de posibilidades en algunos juegos de azar Ejercicio resuelto

En el juego de las quinielas, utilizamos variaciones con repetición para contar todas las quinielas diferentes que se pueden hacer.

¿Cuántas quinielas diferentes deberemos hacer para acertar los quince resultados con seguridad?, ¿cuánto nos costaría a razón de 1€ la apuesta? Con los signos 1, X, 2 podemos rellenar 15 lugares. Se trata de variaciones con repetición de 3 elementos tomados de 15 en 15:

153,15 3 14 348 907VR quinielas= =

Realizar ese número de apuestas nos costaría más de 14 millones de euros.

Ejercicio resuelto

En el caso de la bonoloto, necesitamos combinaciones para averiguar el total de boletos a rellenar.

( )49,649!

49 6 ! 6!C = =

− ⋅

49 48⋅

=47 46 45 44 43!⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

43! 6⋅ 5 4⋅ ⋅ 3 2⋅ ⋅=

49 47 46 3 5 3⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

45

445 3

⋅⋅

=

49 47 46 3 44 13 983 816= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Realizar ese número de papeletas nos costaría casi 14 millones de euros (algo más ba-rato que realizar todas las apuestas en una quiniela).


262

Ejercicio resuelto

Cupón de la ONCE: este caso es el más sencillo de contar ya que sólo es necesario de-terminar cuántos números son posibles. En cada sorteo, hay 100 000 números posibles, que van desde el 00000 hasta el 99999. Si cada cupón, en un sorteo normal, cuesta 2€, nos contarían

100 000 2 € 200 000 €× = asegurarnos el premio, puesto que los tendríamos todos los cupones. Ejercicio resuelto

El Combo es un juego sencillo; la matriz está compuesta por 6 bolas colocadas en forma de triángulo, más una bola adicional. El juego consiste en asignar un número (del 0 al 9) a cada una de las seis bolas del triángulo, más otro número complementario (del 1 al 15) a la bola adicional.

Cada una de estas combinaciones constituye una apuesta. La forma de contar es parecida al cupón de la ONCE, pero con 6 números en vez de 5, y con la “combola” que supone elegir entre 15 números. En cada sorteo, hay 1 000 000 de posibilidades con las bolas del triángulo, y las 15 posi-bilidades de la otra bola son 15 000 000 posibilidades. Teniendo en cuenta que cada apuesta cuesta 1€, completar todos los boletos nos cos-taría: 15 millones de euros!!! Parece, a toda luces, el juego con menos probabilidad de ganar el premio en su prime-ra categoría: pleno más bola adicional) debido a sus numerosísimas posibilidades. Si quieres buscar más ejercicios o más información sobre la combinatoria visita las si-guientes direcciones: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0516-02/practica/index.html http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/combinatoria_jjce/index.htm

matemáticas 4º eso ticas 4º eso opción a 4 objetivos generales de...

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