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MATEMÁTICAS 1º ESO A y D

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DEL TEMA 9:

PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJE

Ejercicio 1, página 154

Sí, es de proporcionalidad directa, ya que al estar más tiempo el grifo abierto la

cantidad de agua arrojada será mayor.

SEGUNDOS 1 2 3 4 5 10 20

LITROS 0,2 0,4 0,6 0,8 1 2 4

La constante de proporcionalidad es 0,2, ya que .


a) Directamente proporcional, ya que a mayor cantidad de aceite mayor peso.

b) No proporcional, no están relacionados.

c) Inversamente proporcional, ya que a mayor precio menos kilos puedo comprar.

d) No proporcional, no están relacionados.

e) Directamente proporcional.

f) Inversamente proporcional, ya que a más velocidad menos tiempo para cubrir cierta

distancia.


Las magnitudes son inversamente proporcionales porque a mayor número de

operarios para realizar un trabajo menor tiempo necesitarán.

Nº de

operarios 1 2 4 5 10

Tiempo (h) 20 10 5 4 2

Para pasar de 1 segundo a 3

segundos hay que multiplicar por 3,

por lo que tenemos que multiplicar

0,2 por 3, es decir, 0,2 . 3 = 0,6

Para pasar de 1 segundo a

4segundos hay que multiplicar por 4,

por lo que tenemos que multiplicar

0,2 por 4, es decir, 0,2 . 4 = 0,8

Para pasar de 2 a 1 hay que

dividir entre 2, por lo que un

número que multiplicado por 2

nos de 20 es 10.


dividir entre 5, por lo que un

número que multiplicado por 5

nos de 20 es 4.

2


Este problema podemos resolverlo de varias formas:

- Opción 1: regla de tres directa

Nº de chocolatinas Peso

3 ----------------------- 90

2 ----------------------- x

gramos pesan 2 chocolatinas.

- Opción 2: método de reducción a la unidad

Nº de chocolatinas Peso

3 ----------------------- 90

1 ----------------------- ?

2 ----------------------- ? gramos pesan 2

chocolatinas.


Nº de saltos Distancia (m)

4 ---------------------- 12

1 ----------------------- ? m

10 --------------------- ? m

Por lo tanto, en 10 saltos avanzará 30 metros.


a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

3


La proporcionalidad es directa, ya que al comprar más cantidad de chocolatinas

tendremos que pagar más. Por tanto, podemos aplicar una regla de tres directa.

Nº de chocolatinas Coste (€)

4 ------------------------ 9,20

3 ------------------------ x

€

Tendría que pagar 6,90 € por 3 chocolatinas.


La proporcionalidad es directa, ya que al comprar más cantidad de salmón ahumado

tendremos que pagar más. Por tanto, podemos aplicar una regla de tres directa.

Peso (g) Coste (€)

100 ------------------- 2,40

260 ------------------- x

€

Por tanto, 260 g de salmón ahumado costarán 6,24 €.


Es un problema de proporcionalidad inversa ya que, al aumentar el número de

pintores para realizar un trabajo el tiempo se reducirá.

Nº de pintores Tiempo (h)

2 ----------------------- 9

1 ---------------------- ? h

3 ---------------------- ? h

Por lo tanto, tres pintores tardarían 6 horas.


Es un problema de proporcionalidad inversa ya que, al aumentar el número de

albañiles para enfoscar una pared el tiempo se reducirá.

Nº de pintores Tiempo (h)

2 ----------------------- 9

1 ---------------------- ? h

3 ---------------------- ? h

Por lo tanto, tres pintores tardarían 6 horas.

4


Es un problema de proporcionalidad inversa ya que, si aumenta la velocidad. el

tiempo se reducirá.

Velocidad (km/h) Tiempo (min)

4 ------------------------------- 30

1 ------------------------------- ? min

15 ------------------------------ ? min

Por lo tanto, el ciclista tardará 8 minutos.


La proporcionalidad es inversa ya que, si el caudal aumenta, el tiempo de llenado

será menor. Por tanto, podemos aplicar una regla de tres inversa.

Caudal (l/min) Tiempo (min)

2,5 --------------------- 40

4 --------------------- x

min

Por tanto, tardará 25 minutos.


La proporcionalidad es inversa ya que, si el número de vacas aumenta, el tiempo

que puede alimentarlas con la misma cantidad de pienso será menor. Por tanto,

podemos aplicar una regla de tres inversa.

Nº vacas Tiempo (días)

25 --------------- 18

45 --------------- x

días

Por tanto, podrá alimentarlas durante 10 días.


a) El porcentaje de cabras es el 30%, que es el resultado de restar

b) El porcentaje de alumnos que no han aprobado es el 8%, que es el resultado de

restar

c) El porcentaje de alumnos y alumnas que no están en el patio es el 85%, que es el

resultado de restar

d) El porcentaje que pago es el 90%, que es el resultado de restar

5


a)

b)

c)

d)


a)

b)

c)

d)

e)

f)


a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

6


a)

Cuando son casos sencillos como este, podemos razonarlo así: el 20 % es la quinta

parte, por lo tanto, si la quinta parte de una cantidad es 80, para calcular dicha cantidad

solo hay que multiplicar 80 por 5, lo que nos da 400.

Otra opción es utilizar una regla de tres directa:

80 --------------- 20%

x --------------- 100%

b)

24 --------------- 8%

x --------------- 100%

c)

30 --------------- 15%

x --------------- 100%

d)

75 --------------- 25%

x --------------- 100%

e)

40 --------------- 10%

x --------------- 100%

f)

80 --------------- 40%

x --------------- 100%

g)

30 ---------------- 6%

x --------------- 100%

7

h)

280 --------------- 70%

x --------------- 100%


Total alumnos/as: 30

Se queda al comedor: 40%

Resolvemos el problema calculando el tanto por ciento de una cantidad:

Por tanto, comen 12 alumnos/as en el colegio.


Recargo: 15%

Multa: 75 €


Por tanto, el recargo será de 11,25 €.


Superficie total: 24 000 m²

Superficie ajardinada: 35%


Por tanto, los jardines ocupan 8 400 m².


Población total: 20 000 habitantes

Población que vive en casas de alquiler: 35%

Tenemos dos formas de resolver el problema:

- Opción 1:

habitantes viven en casa de

alquiler.

Para calcular las personas que viven en casa propia solo hay que restar la cantidad

anterior a la población total:

habitantes viven en casa propia.

8

- Opción 2:

Si el 35% de los habitantes viven en casa de alquiler, el 65% (que es el resultado de

restar ) de las personas viven en casa propia.

habitantes viven en casa

propia.


Pedido total: 3 000 botes de mermelada

Botes de mermelada de fresa: 25%

Botes de mermelada de ciruela: 45%

Botes de mermelada de melocotón: 20%

Botes de mermelada de naranja: como nos dicen que es el resto, al total de botes de

mermelada hay que restarle la que es de fresa, la que es de ciruela y la mermelada de

melocotón:

Nº de botes de mermelada de fresa:

botes

Nº de botes de mermelada de ciruela:

botes

Nº de botes de mermelada de melocotón:

botes

Nº de botes de mermelada de naranja:

botes

Podemos comprobar si el problema está bien resuelto, ya que si sumamos los botes de

cada tipo de mermelada nos tiene que dar el número de botes totales:

botes de mermelada


Ovejas totales: 480

Ovejas esquiladas: 120

480 -------------- 100%

120 ------------- x%

Por tanto, un 25% de las ovejas están esquiladas.

9


Colmenas con la miel extraída: 54, lo que supone el 30% del total

54 -------------- 30%

x ------------- 100%

Por tanto, tiene 180 colmenas en total.


PORCENTAJE FRACCIÓN Nº DECIMAL

30% 3/10 0,3

75% 3/4 0,75

7% 7/100 0,07


a) , ya que el 50% de 18 es la mitad de 18, es decir, .

b) , ya que el 25% de 180 es la cuarta parte de 180, es decir,

.

c) , ya que el 10% de 390 es la décima parte de 390, es decir,

.

d) , ya que el 20% de 55 es la quinta parte de 55, es decir, .


a)

b)

c)

d)

10


Precio lunes: 140 €

€

El precio del billete el miércoles era un 15% más caro, por lo tanto, el miércoles

costaba 21 € más que el lunes, es decir, el precio del billete el miércoles era de 161 €.


Rebaja del 15 %.


€

Por tanto, el vestido queda en 119 €.


a) Inversamente proporcionales

b) Directamente proporcionales

c) Directamente proporcionales

d) Inversamente proporcionales

e) No proporcionales

f) No proporcionales


DIRECTA

1 3

2 6

3 9

4 12

6 18

INVERSA

1 12

2 6

3 4

4 3

6 2


multiplicar por 2, por lo que un

número que multiplicado por

2 nos de 6 es 3.


multiplicar por 2, por lo que

un número que dividido

entre 2 nos de 6 es 12.

11


a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)


a) 150 gramos es la mitad de 300 gramos, por lo tanto pagará la mitad de 3,60 €, es

decir, 1,80 €.

b) Una cosechadora tardaría 9 horas, es decir, el triple que tres cosechadoras. Dos

cosechadoras tardarían la mitad que una cosechadora, es decir, 4,5 horas.

c) Una bolsa de arroz costará la mitad, es decir, 1,05 €. Por lo tanto, tres bolsas de

arroz costarán el triple, es decir, 3,15 €.

d) 1 h y 40 min equivalen a 100 minutos. El ciclista va a una velocidad cinco veces

superior a la del caminante, por lo que tardará la quinta parte del tiempo de este, es

decir 20 minutos, que es el resultado de dividir 100 minutos entre 5.


a) Es una relación de proporcionalidad directa, ya que a menos tiempo menos sueldo.

Tiempo (h) Sueldo (€)

5 ---------------------- 60

1 --------------------- ? €

3 --------------------- ? €

Esta semana recibirá 36 euros.

b) Es una relación de proporcionalidad inversa, ya que a menos caudal más tiempo.

Caudal (l) Tiempo (min)

5 ---------------------- 12

1 --------------------- ? min

3 --------------------- ? min

Tardará 20 minutos.

12


Es una relación de proporcionalidad directa, ya que a menos litros menos tiempo.

Volumen (l) Tiempo (min)

20 ---------------------- 5

1 --------------------- ? min

12 -------------------- ? min

Tardará 3 minutos.


Es una relación de proporcionalidad inversa, ya que a más grifos menor es el tiempo de

llenado.

Nº grifos Tiempo (min)

1 ------------------ 12

2 ----------------- ? min

3 ----------------- ? min

Si abro dos grifos, 6 minutos, y si abro 3, se llena en 4 minutos.

Ejercicio 8, página 165 OPCIONAL

Es una relación de proporcionalidad directa, ya que a más días mayor número de

coches. Aplicamos una regla de tres directa.

Nº coches Tiempo (días)

2 280 ---------------------- 15

x --------------------- 20

En los próximos veinte días sacará 3 040 coches.


Es una relación de proporcionalidad inversa, ya que a más velocidad menos tiempo.

Aplicamos una regla de tres inversa.

Velocidad (km/h) Tiempo (min)

80 ---------------------- 20

100 --------------------- x

Tardaría 16 minutos.

13


Es una relación de proporcionalidad directa, ya que a más volumen de llenado más

tiempo. Aplicamos una regla de tres directa.

Volumen (l) Tiempo (min)

15 000 ---------------------- 90

25 000 ---------------------- x

Tardaría 150 minutos, es decir, 2 h 30 min.


Es una relación de proporcionalidad inversa, ya que a más segadores menos tiempo.

3 h 20 min = 200 min

Nº segadores Tiempo (min)

4 ----------------------- 200

1 --------------------- ? min

5 ---------------------- ? min

Como una hora son 60 minutos, un segador tardará 13 h 20 min, y cinco segadores,

2 h 40 min.


Es una relación de proporcionalidad directa, ya que a menos distancia en el plano

menos distancia en la realidad. Aplicamos una regla de tres directa.

Distancia en el plano (cm) Distancia en la realidad (km)

34 ----------------------------------------- 85

12 ----------------------------------------- x

km

La distancia real entre M y N es de 30 kilómetros.


Es una relación de proporcionalidad directa, ya que si el tiempo aumenta la superficie

que podrá segar será mayor. Aplicamos una regla de tres directa.

1 h 30 min =90 min

Tiempo (min) Superficie (m²)

18 ---------------------- 200

90 ---------------------- x

m²

Por tanto, puede segar 1 000 m².

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Es una relación de proporcionalidad inversa, ya que a menor número de mecanógrafos

mayor tiempo. Aplicamos una regla de tres inversa.

Nº mecanógrafos Tiempo (min)

5 --------------------------- 120

3 ---------------------------- x

minutos

Como 1h = 60 min, tres mecanógrafos tardarían 200 minutos, es decir, 3 h 20 min.


Es una relación de proporcionalidad inversa, ya que a mayor velocidad menor tiempo

para hacer el mismo trayecto. Aplicamos una regla de tres inversa.

Velocidad media (km/h) Tiempo (min)

54 ---------------------------------- 480

180 --------------------------------- x

minutos

Como 1h = 60 min, el tren tardará 2 h 24 min.


Es una relación de proporcionalidad inversa, ya que a menor diámetro mayor número

de vueltas. Aplicamos una regla de tres inversa.

Diámetro (pulgadas) Nº vueltas

0,75 ------------------------------- 8

0,4 ------------------------------- x

Necesita 15 vueltas.

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Total de bombones: bombones, los cuales en total pesan 100 gramos.

Aplicamos una regla de tres directa para cada uno de los casos.

Nº bombones Peso (g)

10 -------------------------- 100

2 --------------------------- x

g se lleva Gorka.


10 -------------------------- 100

3 --------------------------- x

g se lleva Merche.


10 -------------------------- 100

5 --------------------------- x

g se lleva Rodrigo.


a) Verdadero

b) Falso

c) Falso

d) Verdadero

e) Verdadero


a) El es la décima parte de 340, es decir,

b) El es la décima parte de 4 800, es decir,

c) El es la mitad de 68, es decir,

d) El es la mitad de 850, es decir,

e) El es la cuarta parte de 40, es decir,

f) El es la cuarta parte de 2 000, es decir,

g) El es la quinta parte de 45, es decir,

h) El es la quinta parte de 500, es decir,

i) El es la mitad de 32, es decir, ¡HAY UN FALLO EN EL

ENUNCIADO DEL LIBRO!

16

j) El son las 4/5 partes de 50, es decir, dividimos 50 entre 5 y multiplicamos

por 4, lo que nos da 40.


a) Como la mitad de un número es 16, el número es el doble de 16, es decir, 32.

b) Como la cuarta parte de un número es 9, el número es 9 multiplicado por 4,

es decir, 36.

c) Como las 3/4 partes de un número es 15, el número es 15 más 1/4 de 15,

es decir, 20.

d) Como la quinta parte de un número es 7, el número es 7 multiplicado por 5,

es decir, 35.

e) Como la décima parte de un número es 12, el número es 12 multiplicado por 10, es

decir, 120.


a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)


a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

17


PARA CALCULAR EL ... 20% 15% 43% 65% 5% 2%

SE MULTIPLICA POR ... 0,20 0,15 0,43 0,65 0,05 0,02


a)

b)

c)

d)

e)


a)

222 -------------- 30%

x -------------- 100%

El número es 740.

b)

390 -------------- 100%

156 ------------- x%

Hay que tomar el 40%.


a) Está sin envolver el 75% de los bombones, que es el resultado de .

b) Trabaja en el turno de noche el 30% de los empleados, que es el resultado de

.

c) El porcentaje de leche desnatada es el 25%, que es el resultado de

.

d) No ha pasado la gripe el 97,3 % de la población, que es el resultado de

.

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Alumnos/as totales: 28

1ª forma de resolver el problema: calculando el tanto por ciento de una cantidad

Apuntados a atletismo: alumnos/as.

Por tanto, se han apuntado a atletismo 7 alumnos/as.

2ª forma de resolver el problema: con una regla de tres

28 -------------- 100%

x -------------- 25%

Por tanto, se han apuntado a atletismo 7 alumnos/as.


Nº total de vacas: 40


Vacas que han tenido un ternero: vacas

Por tanto, han nacido 12 terneros.


40 -------------- 100%

x -------------- 30%

Por tanto, han nacido 12 terneros.


Nº de días de abril: 30


Días de lluvia: días

Por tanto, ha llovido 12 días en abril.


30 -------------- 100%

x -------------- 40%

Por tanto, ha llovido 12 días en abril.

19


Ingresos totales: 2 400 €


Cantidad para pagar la hipoteca: €

Por tanto, la familia paga 840 €/mes de hipoteca.


2 400 -------------- 100%

x ----------------- 35%

€

Por tanto, la familia paga 840 €/mes de hipoteca.


Nº total de asistentes: 25

1ª forma de hacer el problema: calculando el tanto por ciento de una cantidad

Chicos que asisten a la clase de baile:

Por tanto, asisten 3 chicos a la clase de baile y 22 chicas (que es el resultado

de ).

2ª forma de hacer el problema: con una regla de tres

25 -------------- 100%

x --------------- 12%

Por tanto, asisten 3 chicos a la clase de baile y 22 chicas (que es el resultado

de ).


Nº total de habitantes: 1 800

1ª forma de hacer el problema: calculando el tanto por ciento de una cantidad

Personas que han tenido gripe:

Por tanto, 45 personas han tenido la gripe este año.

2ª forma de hacer el problema: con una regla de tres

1 800 ------------- 100%

x --------------- 2,5%

Por tanto, 45 personas han tenido la gripe este año.

20


Nº de personas apuntadas a atletismo: 7

Resolvemos el problema mediante una regla de tres:

x ------------- 100 %

7 -------------- 25 %

Por tanto, en clase somos 28 estudiantes.


Vacas que han tenido un ternero: 30%

Nº de terneros que han nacido este año: 12


x ------------- 100%

12 ------------- 30%

Por tanto, hay 40 vacas en la granja.


Nº de personas vacunadas contra la gripe: 243

Personas vacunadas: 90%

1ª forma de resolver el problema:

x ------------- 100%

243 ------------ 90%

personas hay en total.

Por tanto, no se han vacunado 27 personas, que es el resultado de .

2ª forma de resolver el problema:

Si el 90 % de las personas se han vacunado, queda un 10 % sin vacunar.

x ------------- 10 %

243 ------------ 90 %

personas

Por tanto, no se han vacunado 27 personas.

21


Nº de partidos ganados: 12

Nº de partidos empatados:4

Partidos perdidos: 20%. Esto implica que el porcentaje de partidos no perdidos (es

decir, ganados o empatados) es del 80%, que es el resultado de .

Además sabemos que el número de partidos ganados o empatados es 16, que es el

resultado de .


16 ----------- 80%

x ------------ 100%

Por tanto, hemos disputado 20 partidos en total.


Nº total de alumnos/as: 28

Nº de personas apuntadas a atletismo: 7


28 ----------- 100%

7 --------------- x%

Por tanto, nos hemos apuntado un 25%.


Nº total de vacas: 40

Nº de vacas que han tenido un ternero este año: 12


40 ----------- 100%

12 -------------- x%

Por tanto, el 30% de las vacas han tenido un ternero este año.


Kilos iniciales de la cosecha: 20 000

Kilos aprovechados: 4 000


20 000 ----------- 100%

4 000 -------------- x%

% de la cosecha se ha aprovechado.

Por tanto, se ha perdido el 80% de la cosecha (que es resultado de ).


22

Precio inicial: 50 €

Precio rebajado: 45 €


50 ----------- 100%

45 -------------- x%

% es el porcentaje que ha pagado.

Por tanto, la falda tenía una rebaja del 10% (que es resultado de ).


Precio inicial: 450 €

Porcentaje rebajado: 15%


€ se ha rebajado

Por tanto, tras la rebaja el televisor cuesta 382,50 €, que es el resultado de .


Importe de la factura: 85 €


€

Por tanto, el importe de la factura asciende a 102,85 €, que es el resultado

de .


Importe de la multa: 75 €


€

Por tanto, el importe de la multa queda en 60 €, que es el resultado de .


Familias en régimen de alquiler: 20%

Familias que son propietarias: 80% (que es el resultado de ).

Familias propietarias que están pagado la hipoteca:

Por lo tanto, de las familias propietarias no están pagando la hipoteca:

Por tanto, las familias que están libres de hipoteca son el 40%, que es el resultado de


23

Si el equipo de música está rebajado un 25%, quiere decir que he pagado un 75% del

precio inicial.


150 ----------- 75%

x ------------ 100%

€

Por tanto, el equipo de música costaba sin rebajar 200 €.


Fábrica de zumos: 10%

El resto de 10% es 90% (que es el resultado de ).

De este 90%, envasa el 60% en bolsas:

Venta a granel: el resto de 6% es 40%, por tanto:

Por tanto, se destina a la venta a granel el 36% del total.

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