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TutorialMT-a1

Matemática 2006 Tutorial Nivel Avanzado

Circunferencia y círculo II

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CEPECH Preuniversitario, Edición 20062


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Circunferencia y círculoMarco Teórico 1. Elementos de la circunferencia y del círculo:

O: centro de la circunferencia.

OC : radio

CL1 G

D

Oα

F

E

BAL

AB : cuerda

EC : diámetro

L : secante

L1: tangente (OC ⊥ CG )

EF : sagita ⇒ F punto medio de AB , EO ⊥ AB y si AB es un lado de un polígono regular inscrito a la circunferencia ⇒ FO apotema.

CD : arco de la circunferencia (siempre se leen en sentido contrario a los punteros del reloj).Como es una parte de la circunferencia, se puede determinar su perímetro o su medida en grados, ya que la circunferencia completa mide 360°

COD : sector circular 2. Áreas y perímetros: (considerando el dibujo anterior)

Sea r : radio, d : diámetro

2.1 Perímetro de la circunferencia: P = 2π r = π ⋅ d

2.2 Área del círculo: A = π ⋅ r2

2.3 Área sector circular: A = π ⋅ r2 ⋅ α360º

, α ángulo del centro 3. Teoremas:

3.1 Ángulo interior:

α = arcoCA + arco BD2

α

A

B

CD





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3.2 Ángulo exterior:

α = arcoAB - arco DC2

B

D

A Cα

P

3.3 Secantes: sean AC y EC secantes

AC · BC = EC · DC

E

D

A B C

3.4 Secante y tangente: sean AB tangente y CB secante

AB2

= BC · BD

D

A

B

C

3.5 Cuerdas:

AP · PB = CP · PD

A

BC

4. Generalidades:

En el triángulo equilátero se cumple que todas las rectas notables son iguales y coinciden.Entonces el ortocentro es centro de gravedad del triángulo, centro de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyo radio es la distancia desde ese punto a cada vértice, centro de la circunferencia inscrita al triángulo cuyo radio es la distancia desde ese punto a cada lado.

Por lo tanto: radio circunferencia inscrita: x A

B

2x

x

OOA = 2x

OB = x

radio circunferencia circunscrita: 2x

P

D



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Ejercicios

1. Sea ABCDE pentágono regular, ¿cuánto mide x?

A) 54° B) 90°

x C

B

D

A

E

C) 108°

D) 150° E) 216°

2. Sea arco CD = 18

de la circunferencia, arco AB = 110

de la circunferencia, ¿cuánto mide α?

A) 4,5° B) 9° C) 40,5°

B

DA

C

α

D) 81° E) Ninguno de ellos

3. Determine CD , sabiendo que OB= 6 cm, OA= 2 cm, O centro de la circunferencia.

A) 4√2 cm B) 8√2 cm C) 2√10 cm

C D

B

A

O

D) 4√10 cm E) Ninguno de ellos

4. Sea ∆ ABC equilátero cuya altura mide 9√3 cm. Determine el área achurada. O centro de la ⊗.

A) (9√3 + 9π) cm2

B) (27√3 + 9π) cm2

C) (27√3 + 18π ) cm2

C

BA

O

D) (27√3 + 36π ) cm2

E) (54√3 + 36π ) cm2





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5. En la circunferencia de centro O, BE = 6, CD = 24. Si AB diámetro, determine el radio de la circunferencia.

A) 9 B) 15 C) 18

O

A

B

DC E

D) 24 E) 30

6. Sea CA = 7 cm ( tangente a la ⊗ en A), AB diámetro de la ⊗ de centro O y radio 7 cm,

D punto medio de BC . ¿Cuánto mide AD ?

A) 7 cm

B) 72

cm

C) 72

√2 cm O

A

B

DC

D) 72

√3 cm

E) 72

√5 cm

7. En la ⊗ de centro O y radio 10 cm, los ∆s AOC y ABC isósceles congruentes. ¿Cuánto mide AC ?

A) 5√2 cm

B) 10√2 cm

C) 10√3 cm O

A

B

C

D) 20√2 cm

E) 20√3 cm



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8. Desde un punto situado a 128 cm del centro de una circunferencia de radio 47 cm, se traza una tangente a la circunferencia. ¿Cuál es su magnitud ?

A) 5√7 cm

B) 9√7 cm

C) 24√7 cm

D) 40√7 cm

E) 45√7 cm

9. Sea AB = 8 cm (tangente a la ⊗ en A), BC = 32 cm, AF = 25 cm, EF = 5 cm. Si FD > FC, ¿cuánto mide FD ?

A) 4 cm B) 5 cm C) 10 cm

E

D

A

B

C

F

D) 25 cm E) Ninguno de ellos

10. Sean la circunferencias de centro O y radio 6 cm, centro O’ y radio 12 cm, OO’ = 24 cm. ¿Cuánto mide AB ?

A) 6√15 cm

B) 18 √15 cm

C) 36 √15 cm O

AB

O’ D) 540 cm

E) Ninguno de ellos

11. Sea ∆ ABC inscrito en una semicircunferencia, donde AB diámetro, AC es el triple de BC. Si BC = x, determine la distancia desde donde cae hc en la hipotenusa hasta B.

A) x10

√5

B) x2

√5

C) x10

√10

D) x2

√10

E) x √10





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12. Dos cuerdas se cortan al interior de una circunferencia, cuyo radio es 11 cm. El producto de los 2 segmentos de una de ellas es 40 cm2. ¿Cuál es la distancia entre el punto de intersección de las cuerdas y el centro de la circunferencia? (Una de las cuerdas es el diámetro)

A) 2 cm B) 9 cm C) 15 cm D) 19 cm E) 20 cm

13. En el cuadrado ABCD se han inscrito 4 cuartos de circunferencia, de los cuales el lado del cuadrado coincide con su radio. Si el lado del cuadrado es x, ¿ cuánto mide el área achurada?

A) x2 (1 - π)

B) x2 (12π - 8)

A B

D C

C) x2 (6π - 12 √3 )

D) x2 (4 - √3 - 2π3

)

E) Falta información

14. En la figura, DA = AB = BC = CE = 6, además DE es colineal con el diámetro de las 3 ⊗s. ¿Cuánto mide el área achurada?

A) 36π - 36 √3

B) 36 √3 - 12π

O’A B C DD C) 44π - 36 √3

D) Otro valor




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15. En la figura, ABCD rombo, B y D centros de las circunferencias tangentes entre sí. Si CE = 1, AC = 2, CE tangente a la circunferencia en E, A, B, E colineales. ¿Cuánto mide el área achurada?

A) 23

√3 - 29

π

B) √3 3

- π9

A

O’BD

E

C

C) √3 3

- 2π9

D) 2√3 3

- 8π9


Respuestas

Preg. Alternativa1 C2 A3 B4 D5 B6 E7 C8 E9 D10 A11 C12 B13 D14 B15 A





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Solucionario

1. La alternativa correcta es la letra C)

x C

B

D

A

E

36º

36º 72º

108º

72º

144º

ABCDE pentágono ⇒ Si = 540° (Si = 180°(n – 2))

∠ BAE = 108° (ABCDE pentágono regular)

∆ BAE isósceles en A ⇒ ∠ AEB = 36° (AE = AB )

∴ arco AB = 72° (Mide la mitad del arco que subtiende)

Por otro lado ∠ CBE = 72° (∠ EBA = 36°y ∠ CBA = 108°)

⇒ arco CE = 144° (Mide el doble del ∠ inscrito que subtiende ese arco)

x: ∠ interior (Por teorema del ∠ interior)

x = arcoCE + arco AB2

(Reemplazando)

x = 144 + 722

(Resolviendo)

x = 108

∴ x = 108°

2. La alternativa correcta es la letra A)

arco CD = 18

de la ⊗ = 18

⋅ 360° (La ⊗ completa mide 360°)

∴ arco CD = 45°

B

DA

C

α 36º45º

arco AB = 110

de la ⊗ = 110

⋅ 360° (La ⊗ completa mide 360°)

∴ arco AB = 36°

α : ∠ exterior (Por teorema del ∠ exterior)



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α = arcoCD - arco AB2

(Reemplazando)

α = 45 - 362

(Resolviendo)

α = 92

∴ α = 4,5°

3. La alternativa correcta es la letra B)

C D

B

A

O

E

OA = 2, radio de la circunferencia 6 cm

OD = 6 (Radio)

OD2

= OA2

+ AD2

(Pitágoras en ∆ OAD, reemplazando)

62 = 22 + AD2

(Resolviendo potencias)

36 = 4 + AD2

(Despejando AD)

32 = AD2

/ ∙ √6

√32 = AD (Descomponiendo la raíz)

√16 · 2= AD (Separando raíces )

4√2 = AD

Como OA ⊥ CD ⇒ CA = AD ( AE sagita)

∴ CD= 8√2 cm

4. La alternativa correcta es la letra D)

C

BA

O18 18

9 930º 30º

120º

D

3√3

6√3





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Si la altura del ∆ ABC equilátero es 9√3 ⇒ AC = BC = AB = 18

Como CD = 9√3 y es altura, también es transversal de gravedad ⇒ O centro de gravedad y D punto medio de AB

∴ OC = 6√3 (radio de la ⊗), OD = 3√3 , AD = 9, DB = 9

Además, AO bisectriz ⇒ ∠ BAO = 30° y como ∆ AOB isósceles en O ⇒ ∠ AOB = 120°(que

corresponde a 13

del área del círculo)

Área achurada = ( Área ∆ ABC – Área ∆ AOB) +(Área sector circular AOB – Área ∆ AOB) Reemplazando:

Área achurada = ( 182

4√3 - 18 · 3√3

2 ) + ( 13

∙ π ⋅ (6√3 )2 - 18 · 3√3

2 ) (Desarrollando)

= 81√3 - 27√3 + 36π - 27√3 (Reduciendo términos semejantes)

Área achurada = 27√3 + 36π

∴ Área achurada = (27√3 + 36π ) cm2


BE = 6, CD = 24 ⇒ CE = 12 , ED = 12 (BE sagita)

Si EO = x ⇒ OA = x + 6 (radio) O

A

B

DC E6

12x

x + 6

12

Entonces aplicando teorema de las cuerdas:

(2x + 6) ⋅ 6 = 12 ⋅ 12 (Resolviendo) 12x + 36 = 144 (Despejando x) 12x = 108

x = 10812

x = 9 ⇒ OA = 9 + 6 = 15

∴ Radio de la circunferencia 15 cm



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6. La alternativa correcta es la letra E)

OA

B

DC7

7

7

Radio de la ⊗ es 7 cm ⇒ AB = 14 ( AB diámetro)

CA tangente en A⇒ ∆ CBA rectángulo en A (Aplicando Pitágoras)

BC2

= AC2

+ AB2

(Reemplazando)

BC2

= 72 + 142 (Resolviendo potencias)

BC2

= 49 + 196

BC2

= 245 / ⋅√3

BC = √245 (Descomponiendo la raíz)

BC = √49 · 5 (Separando raíces)

BC = 7√5

Además, como ∆ BCA rectángulo y D = 72

√5 punto medio de la hipotenusa ⇒ se cumple que:

CD = DB = AD

∴ AD = 72

√5 cm


O

A

B

C10 10

10 105√3 5√3

O centro de la ⊗ y radio 10 cm ⇒ OA = OC = BC = AB = 10 (Radios)

⇒ AOCB rombo, entonces sus diagonales son perpendiculares y se dimidian

D





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⇒ AD = DC

Por otro lado, ∆ AOB equilátero, ya que BO = 10 (Radio)

⇒ AD = 5√3 (Altura del ∆)

Como AD = DC ⇒ AC = 10√3

∴ AC = 10√3

8. La alternativa correcta es la letra E)

BO

E

CA47 47

x

81

128

Sea EC = x tangente y AC secante.

Como OC = 128 cm y el radio de la ⊗ es 47 cm ⇒ BC = 81 cm, O centro de la ⊗

Entonces, aplicando teorema de la tangente y secante:

x2 = AC · BC (Reemplazando)

x2 = 175 ⋅ 81 / ⋅ √3

x = √175 · 81 (Separando raíces)

x = 9√175 (Descomponiendo la raíz)

x = 9√25 · 7 (Separando raíces)

x = 9 ⋅ 5√7

x = 45√7

∴ La tangente mide 45√7 cm



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E

D

A

B

C

F

25

8

2

530 - xx

AB = 8, BC = 32, AF = 25, EF = 5

a) Como AB tangente ⇒ ∠ EAB = 90° (Aplicando teorema de la tangente y secante)

AB2= BC ∙ DB (Reemplazando)

82 = 32 ⋅ DB (Resolviendo potencias y despejando DB)

6432

= DB

DB = 2

b) Como BC = 32 ⇒ CD = 30

Sea FD = x ⇒ CF = 30 – x (Aplicando teorema de las cuerdas)

AF · FE = CF · FD (Reemplazando)

25 ⋅ 5 = (30 – x) ⋅ x (Resolviendo)

125 = 30x – x2 (Igualando a 0)

x2 – 30x + 125 = 0 (Factorizando)

(x – 25)(x – 5) = 0

⇒ x1 = 25 , x2 = 5

⇒ FD = 25 ó FD = 5

Pero FD > FC ⇒ FD no puede tomar el valor 5 ∴ FD = 25 cm





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O

A B

O’

6 6

6 C

24

OO’ = 24, OA = 6, O’B = 12

Trazando OC ⊥ O’B , se forma el ∆ OCO’ rectángulo

BC = 6 ⇒ O’C = 6 (Aplicando Pitágoras en ∆ OCO’)

OO’2= O’C

2+ OC

2 (Reemplazando)

242 = 62 + OC2

576 = 36 + OC2 (Despejando OC

2)

576 – 36 = OC2 (Resolviendo)

540 = OC2 ⁄ ⋅ √6

OC = √540 (Descomponiendo la raíz)

OC = √36 · 15 (Separando raíces)

OC = 6√15

∴ AB = 6√15 cm


OA B

C

D

x3x

3x√10 10

x√10

y

∆ ABC inscrito en una semicircunferencia, donde AB diámetro ⇒ ∆ ABC rectángulo en

C, CD = hc , entonces, la distancia desde donde cae hc hasta B es DB (que es lo que nos piden).



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Sea DB = y, BC = x ⇒ AC = 3x (ya que es el triple de BC )

a) Aplicando Euclides, el correspondiente a la altura:

CD = AC · BC

AB (Reemplazando)

CD = 3x ∙ x

x √10 (Simplificando)

CD = 3x √10

(Racionalizando)

CD = 3x √1010

b) Aplicando Pitágoras en el ∆ CDB rectángulo en D:

BC2

= CD2

+ DB2

(Reemplazando)

x2 = ( 3x √1010 )2

+ y2 (Desarrollando el paréntesis)

x2 = 9x2 ∙ 10 100

+ y2 (Simplificando)

x2 = 9x2 10

+ y2 (Despejando y2)

x2 - 9x2 10

= y2 (Restando fracciones)

10x2 - 9x2 10

= y2 (Reduciendo términos semejantes)

x2 10

= y2 / ⋅√6

x √10

= y (Racionalizando)

x √1010

= y

Como y = DB ⇒ DB = x √1010

∴ La distancia desde donde cae hc en la hipotenusa hasta B es x √1010





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OA B

D

C

E

y

11 - z

11 11

z

x

Sea O centro de la ⊗, cuyo radio es 11 cm, AB diámetro, EC = x, ED= y, OA= 11, OB= 11, E punto de intersección de las cuerdas, OE distancia entre el punto de intersección de las cuerdas y el centro de la circunferencia, OE= z, AE = 11- z, CE · ED= 40, EB = 11+ z .

Aplicando teorema de las cuerdas:

CE · ED = AE · EB (Reemplazando) 40 = (11 – z)(11+z) (Aplicando suma por diferencia) 40 = 121 – z2 (Despejando z2 ) z2 = 121 - 40 z2 = 81 / ⋅ √6 z = √81

z = 9

∴ OE = 9 cm


Considerando una parte de la figura:

A B

D C

60º

30º

60º

30º

E

Al trazar AE y EB , se tiene que ∆ AEB equilátero de lado x, ya que

AE = EB = AB = x (radios) ⇒ ∠ BAE = 60° y ∠ EAD = 30° (complemento de 60°)

EAD sector circular, donde el ángulo del centro es 30°(que corresponde a 112

del área del círculo) y radio x.



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Sector circular CBE = Sector circular EAD

Determinando el área achurada (que llamaremos Área achurada 1) y multiplicándola por 4, obtendremos el área achurada pedida en el ejercicio.

Área achurada 1 = Área del cuadrado ABCD – ( Área ∆ AEB - 2⋅ Área sector circular EAD)

Reemplazando:

Área achurada 1 = x2 – ( x2

4√3 + 2 · 1

12 π ⋅ x2 ) (Simplificando y eliminando paréntesis)

Área achurada = x2 – x2

4√3 - 1

6 π x2

⇒ Área achurada = 4⋅ Área achurada 1 (Reemplazando)

= 4 (x2 – x2

4√3 - 1

6 π x2 ) (Distribuyendo y simplificando)

= 4x2 – x2 √3 - 23

π x2 (Factorizando)

Área achurada = x2(4 - √3 - 2π3

)

∴ Área achurada = x2(4 - √3 - 2π3

)


Considerando una parte de la figura:

A

E

O’A B C DD

G

F H

660º

Al trazar AE y EB , se tiene que:

AE = EB = AB (radios) ⇒ ∆ AEB equilátero de lado 6

Al trazar AF y BF , se tiene que:

AF = FB = AB (radios) ⇒ ∆ AFB equilátero de lado 6

Al trazar BG y GC , se tiene que:

BG = GC = BC (radios) ⇒ ∆ BGC equilátero de lado 6

Al trazar BH y HC, se tiene que:

BH= HC = BC (radios) ⇒ ∆ BHC equilátero de lado 6

BAE sector circular, donde el ángulo del centro es 60°(que corresponde a 16

del área del círculo) y radio 6.





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a) Considerando una parte de la figura y achurando, se tiene que:

BA

E

60º

La parte achurada se repite 8 veces en la figura original. Determinando el área achurada (que llamaremos Área achurada 1):

Área achurada 1 = Área sector circular BAE – Área ∆ AEB (Reemplazando)

= 16

π ⋅ 62 - 62

4 √3 (Resolviendo potencias y simplificando)

Área achurada 1 = 6π - 9√3

b) Área achurada = Área del círculo – ( 4 ⋅ Área ∆ AEB + 8 ⋅ Área achurada 1)

= 36π - (4 ⋅ 9√3 + 8 (6π - 9√3)) (Resolviendo)

= 36π - ( 36√3 + 48π - 72√3) (Eliminando paréntesis)

= 36π - 36√3 - 48π + 72√3 (Reduciendo términos semejantes)

= 36√3 - 12π

∴ Área achurada = 36√3 - 12π


A

O’BD

E

C

F

G

1

1

60º

30º30º

60º 60º√3 3

√3 3

En la figura: DC = AD = AB = BC (ABCD rombo)

AC ⊥ DB (Diagonales del rombo)

∆ CEA rectángulo en E ( CE tangente a la ⊗)


CEPECH Preuniversitario, Edición 2006MT

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Si la hipotenusa es el doble del cateto ⇒ ∆ CEA es la mitad de un ∆ equilátero ⇒ AE altura

E

A

C

2

30º

60º 1

∴ ∠ EAC = 30° y ∠ ACE = 60°

CF = FA = 1 (Las diagonales se dimidian)

∆ DCB equilátero, ya que ∆ DAB isósceles en A ⇒ AF bisectriz ⇒ ∠ BAD = 60°

∴ ∆ DCB también es equilátero cuya altura es 1 y F punto medio

⇒ h = lado2

√3 (Reemplazando)

1 = lado2

√3 (Despejando lado)

2√3

= lado (Racionalizando)

2√3 3

= lado ⇒ DF = 12

∙ 23

√3 (Simplificando)

DF = √3 3

FDG sector circular, donde ángulo del centro 60° (que corresponde a 16

del área del círculo)

y radio √3 3

⇒ Área achurada = 2 ( Área ∆ DCB – 2 ⋅ 16

⋅ Área sector circular FDG)

(Reemplazando y simplificando)

=

⋅ − ⋅

=

223

314

313

33

2 2

π

224 3

914

313

39

23

3 9

⋅ ⋅ − ⋅

= −

π

π

(Resolviendo potencias)

(Simplificando)

(Distribuyendo)

Área achurada = 2

3√3 - 2

9 π

∴ Área achurada = 23

√3 - 29

π

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