matemßtica iii a

MATEMTICA III

- Instituto Federal Nicols Avellaneda - Matemtica III -

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MATEMTICA IIIifna

Instituto Federal

Nicols Avellaneda

EDITORIAL DEL CENTRO EDUCATIVO ARGENTINO

BUENOS AIRES - ARGENTINA

Todos los derechos reservados. Hecho el depsito que marca la Ley 11.723

El derecho de propiedad de esta obra comprende para su autor la facultad exclusiva de disponer de ella, publicarla, traducirla, adaptarla o autorizar su traduccin y reproducirla en cualquier forma, total o parcial, por medios electrnicos o mecnicos, incluyendo fotocopia, copia xerogrfica, grabacin magnetofnica y cualquier sistema de almacenamiento de informacin. Por consiguiente ninguna persona fsica o jurdica est facultada para ejercer los derechos precitados sin permiso escrito del autor y del editor.

I.S.B.N.: 987 9464 12 5NDICEIntroduccin y orientacin para el estudio del espacio curricular...........................................8

Cmo trabajar con este libro....................................................................................................10

Algunas convenciones............................................................................................................11

UNIDAD 1: NMEROS REALES

Objetivos..................................................................................................................................13

1. El nmero real......................................................................................................................13

1.1. Propiedad de los nmeros reales....................................................................................13

1.2. Interpretacin de la recta numrica................................................................................14

1.3. Operaciones posibles con R...........................................................................................14

1.4. Aproximacin decimal de un nmero real.....................................................................15

2. Radicales..............................................................................................................................15

2.1. Raz aritmtica o valor aritmtico de un radical............................................................16

2.2. Propiedades....................................................................................................................16

2.2.1. La radicacin es distributiva con respecto a la multiplicacin.............................17

2.2.2. La radicacin es distributiva con respecto a la divisin.......................................17

2.2.3. Raz de ndice mn de un nmero..........................................................................17

2.2.4. Simplificacin de radicales...................................................................................20

2.2.5. Extraccin de factores del radical.21

2.3. Operaciones con radicales.....22

2.3.1. Suma y resta.22

Actividad N 1....22

2.3.2. Multiplicacin de radicales...23

2.3.2.1. Multiplicacin de radicales de igual ndice.....23

2.3.2.2. Multiplicacin de radicales de distinto ndice.....23

2.3.3. Divisin de radicales23

2.3.3.1. Divisin de radicales de igual ndice....23

2.3.3.2. Divisin de radicales de distinto ndice........23

2.3.4. Racionalizacin de denominadores..........24

Actividad N 2 ...25

3. Potencia de exponente racional...........................................................................................25

3.1. Propiedades....................................................................................................................26

Cuestionario de autoevaluacin...............................................................................................27

Soluciones sugeridas................................................................................................................29

UNIDAD 2: EL NMERO COMPLEJO

Objetivos.................................................................................................................................32

1. Concepto de nmero complejo...........................................................................................32

1.1. Definicin de nmero complejo....................................................................................33

1.1.1. Adicin de nmeros complejos............................................................................33

1.1.2. Multiplicacin de nmeros complejos.................................................................33

1.1.3. Propiedades de la adicin.....................................................................................33

1.1.4. Propiedades de la multiplicacin.........................................................................35

1.1.5. Propiedad distributiva de la multiplicacin con respecto a la adicin.................35

1.2. Forma binmica de un nmero complejo.....................................................................36

Actividad N 1 .37

1.3. Complejos conjugados..................................................................................................37

1.4. Divisin en C................................................................................................................37

Actividad N 2 .38

1.5. Potenciacin..................................................................................................................39

1.5.1. Potencias de i........................................................................................................39

1.5.2. Potencias de nmeros complejos.40

Actividad N 3 .40

1.6. Representacin grfica de los nmeros complejos.......................................................41

Cuestionario de autoevaluacin..............................................................................................43

Soluciones sugeridas...............................................................................................................45

UNIDAD 3: POLINOMIOS

Objetivos.................................................................................................................................48

1. Expresiones algebraicas enteras..........................................................................................48

1.1. Monomios.....................................................................................................................48

1.2. Polinomios.....................................................................................................................49

1.2.1. Polinomio nulo.....................................................................................................49

1.2.2. Grado de un polinomio.........................................................................................50

1.2.3. Polinomios ordenados..........................................................................................50

1.2.4. Polinomios completos..........................................................................................51

1.2.5. Funcin polinmica..............................................................................................52

Actividad N 1...54

2. Operaciones.........................................................................................................................54

2.1. Adicin de polinomios..................................................................................................54

2.2. Sustraccin de polinomios............................................................................................55

Actividad N 2 .56

2.3. Multiplicacin de expresiones algebraicas.................................................................... 57

2.3.1. Multiplicacin de un polinomio por un monomio...............................................57

2.3.2. Multiplicacin de polinomios..............................................................................58

Actividad N 3 ...59

2.4. Anillo de polinomios.....................................................................................................60

2.5. Divisin de expresiones algebraicas.............................................................................60

2.5.1. Divisin de un polinomio por un monomio.........................................................60

2.5.2. Divisin de polinomios........................................................................................61

2.6. Regla de Ruffini............................................................................................................62

Actividad N 4 .64

2.7. Teorema del resto.........................................................................................................64

Actividad N 5 .65



UNIDAD 4: FACTOREO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Objetivos.................................................................................................................................71

1. Factoreo...............................................................................................................................71

1.1. Primer caso - Factor comn..........................................................................................72

1.2. Segundo caso - Descomposicin en grupos de igual nmero de trminos con un

factor comn en cada grupo..........................................................................................73

1.3. Tercer caso Trinomio cuadrado perfecto...................................................................75

Actividad N 1 .76

1.4. Cuarto caso Cuatrinomio cubo perfecto.....................................................................76

1.5. Quinto caso Diferencia de cuadrados.........................................................................77

1.6. Sexto caso Suma o diferencia de potencias de igual grado........................................78

1.6.1. Suma de potencia de igual grado..........................................................................78

1.6.2. Diferencia de potencias de igual grado................................................................78

Actividad N 2 ...79

2. MCD y mcm de expresiones algebraicas............................................................................79

2.1. Mximo comn divisor de expresiones algebraicas......................................................79

2.2. Mnimo comn mltiplo de expresiones algebraicas....................................................80

Actividad N 3 .81



UNIDAD 5: EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS

Objetivos.................................................................................................................................85

1. Expresin algebraica fraccionaria.......................................................................................85

1.1. Simplificacin de expresiones fraccionarias................................................................85

2. Operaciones.........................................................................................................................88

2.1. Adicin de expresiones algebraicas fraccionarias........................................................88

2.1.1. Adicin de fracciones algebraicas de igual denominador....................................88

2.1.2. Adicin de fracciones algebraicas de distinto denominador................................88

2.1.3. Propiedades de la adicin de expresiones algebraicas fraccionarias....................89

2.2. Sustraccin de expresiones algebraicas fraccionarias..................................................89

2.3. Multiplicacin de expresiones algebraicas fraccionarias.............................................90

2.3.1. Propiedades de la multiplicacin de expresiones algebraicas fraccionarias.......90

2.4. Divisin de expresiones algebraicas fraccionarias.......................................................91

2.5. Potenciacin y radicacin.............................................................................................91

Actividad N 1 .92



UNIDAD 6: FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

Objetivos.................................................................................................................................98

1. Trigonometra.....................................................................................................................98

1.1. Funciones trigonomtricas............................................................................................98

1.2. Valor de las funciones trigonomtricas para amplitudes de 0 y de 90.......................102

1.2.1. ngulo B = 0.......................................................................................................102

1.2.2. ngulo B = 90.....................................................................................................103

1.3. Relaciones entre las funciones trigonomtricas de un mismo ngulo...........................104

1.4. Signo de las funciones trigonomtricas.........................................................................105

1.5. Clculo de las funciones trigonomtricas......................................................................108

1.5.1. Uso de tablas de valores naturales........................................................................109

1.5.2. Uso de calculadoras cientficas............................................................................110

Actividad N 1 ...111

Algunas actividades113

Actividad N 2114



UNIDAD 7: GEOMETRA DEL ESPACIO

Objetivos.................................................................................................................................122

1. ngulos...............................................................................................................................122

1.1. ngulos diedros............................................................................................................122

1.1.1. Clasificacin de los ngulos diedros....................................................................123

1.1.2. ngulo plano de un diedro...................................................................................123

1.1.3. Medida de un diedro.............................................................................................123

1.2. ngulo poliedro............................................................................................................123

1.2.1. Poliedros.............................................................................................................124

2. Cuerpos...............................................................................................................................124

2.1. Pirmide........................................................................................................................124

2.2. Tetraedro.......................................................................................................................124

2.3. Prisma............................................................................................................................125

2.4. Paraleleppedo...............................................................................................................126

3. Cuerpos redondos................................................................................................................126

3.1. Cilindro.........................................................................................................................126

3.2. Cono..............................................................................................................................127

3.3. Esfera............................................................................................................................128

4. Volmenes..........................................................................................................................128

4.1. Volmenes de prismas, paraleleppedos y cilindro.......................................................128

Actividad N 1..129

4.2. Volumen de pirmides y conos.....................................................................................129

Actividad N 2 .130

4.3. Volumen de la esfera.....................................................................................................130

Actividad N 3..130


Soluciones sugeridas ..132

UNIDAD 8: ESTADSTICA

1. Anlisis y medicin de datos ..134

1.1. Medidas o parmetros de posicin...............................................................................134

1.2. Media aritmtica ......................................................................134

1.2.1. Modo de calcular el promedio (media aritmtica)...............................................134

1.2.1.1. Para una serie simple...........................................................................134

1.2.1.2. Por agrupamiento de datos .135

1.2.1.2.1. Para una serie de frecuencias 135

1.2.1.2.2. Distribucin de frecuencias en intervalos de clase 136

1.3. Mediana 136

1.3.1. Modo de calcular la mediana .....137

1.3.1.1. Para un serie simple ...137

1.3.1.2. Por agrupamiento de datos 137

1.3.1.2.1. Para una serie de frecuencias 137

1.3.1.2.2. Distribucin de frecuencias en intervalos de clase 138

1.4. Modo o Moda ...138

Actividad N 1 .139

1.5. Medidas o parmetros de dispersin 139

1.5.1. Desviacin o dispersin .139

1.5.2. Desviacin media o desviacin promedio ..140

1.5.3. Desviacin estndar o varianza ..140

1.6. Clculo de los parmetros de dispersin en una serie de frecuencias ..141

1.7. Clculo de dispersiones en una distribucin de intervalos de clase .141

Actividad N 2 .142


Soluciones sugeridas ..145

Actividades- Soluciones Sugeridas-147

Glosario ..158

Bibliografa 159

*

Introduccin y orientaciones para el estudio de este espacio curricular

Estimado alumno:

A travs de este espacio curricular pretendemos que comprenda un poco mejor el mundo que nos rodea y descubrir como a travs de las matemticas podemos llegar al pensamiento cientfico y entender mejor los fenmenos de la naturaleza que como dijo Galileo (1564-1642) " El gran libro de la naturaleza permanece siempre abierto ante nuestros ojos y la verdadera filosofa se encuentra escrita en el. Pero no lo podemos leer sin haber aprendido antes el lenguaje y los caracteres en los que est escrito. Est escrito en lenguaje Matemtico y los caracteres son tringulos, crculos y otras figuras geomtricas" en este sentido es muy importante que lo primero que tenemos que transmitir es el lenguaje matemtico para poder interpretar fenmenos de la vida cotidiana, para poder entender el mundo Cientfico, y para poder comunicarnos con precisin.Aprender Matemticas es aprender un lenguaje Universal que es poderoso, preciso y sin ambigedades. Es un lenguaje poderoso porque es utilizado por muchas disciplinas diferentes, y no solo por las clsicas de ciencias, sino tambin por la economa, la sociologa, etc.

El lenguaje matemtico es conciso porque permite expresar con muy poco espacio mucha informacin, por medio de frmulas o utilizando smbolos propios y no es ambiguo porque, cuando decimos que dos ms dos es cuatro, no tenemos duda alguna.Es interesante pensar que una de las constantes de la humanidad y de cualquier civilizacin inteligente es haber llegado a poseer determinado conocimiento matemtico de ah que incluyan ejemplos de matemticas en la informacin sobre la Tierra que se introduce en las naves espaciales por ejemplo en el Voyager. Ese idioma se pretende que sea aprendido por Ud., hasta conseguir que lo "hable". En general por medio de la contemplacin de cmo lo hacen los otros, sus profesores, y por su aplicacin a situaciones muy sencillas y ajenas a sus vivencias, los ejercicios. La utilizacin de un idioma requiere de unos conocimientos mnimos para poder desarrollarse. Pero sobre todo lo que necesita son situaciones que inviten a comunicarse por medio de ese idioma, a esforzarse en lograrlo, y, desde luego, unas tcnicas para hacerlo. En el caso del idioma Matemtico, una de las tcnicas fundamentales de comunicacin son los Mtodos de Resolucin de problemas.Tambin es importante que nos detengamos un momento en la Historia, pensemos en el sistema de numeracin que utilizamos en la actualidad, y que constituye el nico idioma usado por todas las culturas de la Tierra. Los sistemas de numeracin nos llevar a realizar un recorrido por la historia de las Matemticas, que evidentemente est relacionada con la historia de la humanidad, porque la historia de las matemticas la hacen, como se hace la historia los hombres y mujeres que han contribuido con su esfuerzo y dedicacin, al avance de la humanidad y de la Ciencia haciendo de este mundo un lugar mejor para vivir.Tambin es muy importante que Ud. sea capaz de crear por si mismo su propio conocimiento, que en realidad es lo ms importante de nuestra labor, que el alumno aprenda a aprender..Este espacio curricular le proporcionar la oportunidad de incorporar las matemticas a su bagaje de saberes que le son tiles en la vida diaria, fortaleciendo las relaciones que hay entre las matemticas y el mundo que les rodea.*

En otro orden de ideas no se olvide que usted est estudiando bajo la modalidad...

A DISTANCIA

Lo cual le permitir:

organizar su aprendizaje de acuerdo con sus horarios;

enfrentar los materiales de aprendizaje en forma independiente;

aunque no descarte contactarse con sus compaeros y... por supuesto!, con su tutor.

en este camino, le solicitamos no olvidar las tcnicas de trabajo intelectual que le

permiten un aprendizaje acorde con las exigencias de la carrera.

Es nuestro deseo que este recorrido le resulte agradable y cumpla con sus expectativas.

Empezamos?

Cmo trabajar con este libro

Le pedimos que trate de respetar la secuencia planteada, dado que supone un estudio terico, marco de las actividades que se le proponen.

Las mismas, le permitirn retroalimentar los contenidos.

Si duda, busque a su tutor: l lo orientar de acuerdo con sus necesidades.

Indicamos a continuacin los conos que utilizaremos a lo largo de este texto:

CONOSDESCRIPCIN Y USO

Pregunto......Qu opina Ud. de tal tema?

Cmo le parece que puede encararse tal situacin?

Actividades

CUESTIONARIO DE AUTOEVALUACIN

Seala que determinado tema es importante y debe ser tenido presente.


SOLUCIONES SUGERIDAS

A B CGLOSARIO

LECTURA / BIBLIOGRAFA

Remite a leer un tema tratado anteriormente en el libro.

Indica que lo expresado en un prrafo es importante y debe ser tenido en cuenta.

UNIDAD 1

NMEROS REALES

UNIDAD 1NMEROS REALES OBJETIVOS:

Al finalizar el estudio de la presente unidad, Ud. estar en condiciones de:

Definir raz aritmtica de un radical. Identificar propiedades. Resolver potencias de exponente racional.1 EL NMERO REAL

El conjunto de los nmeros racionales y el de los irracionales constituye el conjunto de los Nmeros Reales.

Se designa con la letra R y, como segn se sabe, el conjunto de los nmeros racionales se designa Q y el de los irracionales, I, se tiene que:

Q ( I = R

Luego, en el conjunto de los nmeros reales se puede hacer una particin de dos clases: la de los nmeros racionales y la de los nmeros irracionales.

1.1 Propiedades de los nmeros reales

El conjunto de los nmeros reales cumple todas las propiedades del conjunto de los nmeros irracionales:

1. Es infinito

2. No tiene primero ni ltimo elemento.

3. Entre dos nmeros reales existe siempre un nmero infinito de nmeros reales.

El conjunto de nmeros reales es denso.

4. Ningn nmero real tiene antecesor ni sucesor.

5. El conjunto R de los nmeros reales es un conjunto totalmente ordenado por la relacin (.

1.2 Interpretacin en la recta numrica

El conjunto de nmeros racionales presenta en la recta numrica agujeros o lagunas, es decir, hay puntos de la recta a los cuales no corresponde ningn nmero racional. A estos puntos les corresponde un nmero irracional.

Decimos que:

El conjunto de nmeros reales es continuo.

El conjunto de nmeros reales completa la recta numrica.En consecuencia:

A todo nmero real corresponde un punto de la recta.

A todo punto de la recta corresponde un nmero real.

1.3 Operaciones posibles en RCon los nmeros reales es siempre posible la radicacin de radicando positivo.

Tambin son siempre posibles en R: la adicin, la sustraccin, la multiplicacin, la divisin (con divisor distinto de cero) y la potenciacin de base racional y exponente entero (excepto cero a la cero).

No son siempre posibles en R: las races de radicando negativo.

Por ejemplo:

No es posible en R pues no existe ningn nmero real que elevado a la cuarta sea igual a 16.

No es posible en R pues no existe ningn nmero real que elevado al cuadrado sea igual a 2.

1.4 Aproximacin decimal de un nmero realEn el clculo con nmeros reales, reemplazamos a stos por nmeros racionales aproximados:

Para + = + 1,732..., las aproximaciones enteras son: 1, por defecto ( es el entero inmediatamente menor ) y 2, por exceso ( es el entero inmediatamente mayor ).

Ya que 1 < + < 2 que se lee: + mayor que 1 y menor que 2.

Se puede escribir + ( 1 + ( 2, en ambos casos cometemos un error menor que 1. El error es la diferencia entre el valor real y el valor adoptado.

1ro.

( = 1,732 1 = 0,732 < 1 ( ( = error menor que 1 )

2do.

( = 1,732 2 = - 0,268 Valor absoluto menor que 1.

2 RADICALES

Un radical es una raz indicada, siempre que esa operacin sea posible en el conjunto de los nmeros reales.

As, por ejemplo, son radicales:

; ; ; ;

De acuerdo con la definicin, no se consideran radicales las races de ndice par de radicandos negativos, pues, como se ha visto, la operacin no es posible en el conjunto de los nmeros reales.2.1 Raz aritmtica o valor aritmtico de un radical

Los radicales de ndice par y radicando positivo tienen dos races opuestas, una positiva y una negativa. En ese caso, la raz positiva se llama raz aritmtica o valor aritmtico del radical. Por ejemplo, la raz aritmtica de es 8.

En el caso de ndice impar, como la raz es nica, no se presenta esta ambigedad.

As:

a) ndice impar y radicando positivo, resultado positivo.

tiene resultado nico que es: 9

b) ndice impar y radicando negativo, resultado negativo.

tiene resultado nico que es -

En general, al escribir un radical de ndice par se considera que representa su raz aritmtica.

As, representa el nmero 4; cuando se quiere indicar las dos races, se utiliza la notacin ( , que es igual a ( 4.2.2 Propiedades Saba Ud. que aquellas personas que habitualmente se dedican a pintar casas, usan, tal vez sin saberlo, operaciones relacionadas con la radicacin.

Por ejemplo:

Se debe pintar una pared, cuyos lados son iguales, y su superficie es de 225 m2. Cunto mide cada lado de la pared?

Se puede resolver con la calculadora, entonces , o podemos prescindir de ella y calcularlo de la siguiente manera:

2255

455

93

33

1

Descomponemos el nmero, entonces podemos decir que

De esta manera no solo resolvimos el problema y sabemos que la pared tiene 15 m de lado, sino que tambin, afirmamos que la radicacin es distributiva con respecto a la multiplicacin.2.2.1 La radicacin es distributiva con respecto a la multiplicacinLa raz ensima de un producto es igual al producto de las races ensimas de cada uno de los factores, siempre que las operaciones sean posibles.

Simblicamente:

siendo n un n natural mayor que 1

RECPROCAMENTEEl producto de radicales de igual ndice es igual a la raz del mismo ndice, cuyo radicando es el producto de los radicandos de los radicales dados. (Propiedad asociativa).Simblicamente:

siendo n un n natural mayor que 1

2.2.2 La radicacin es distributiva con respecto a la divisin

La raz ensima de un cociente es igual a la raz ensima del dividendo, dividida por la raz ensima del divisor.

Simblicamente:

RECPROCAMENTE

El cociente de dos radicales de igual ndice es igual a la raz del mismo ndice, cuyo radicando es el cociente de los radicandos de los radicales dados.Simblicamente:

2.2.3 Raz de ndice mn de un nmero

Saba Ud. que este tipo de clculo es ms comn de lo que piensa.

Por ejemplo:

Si multiplicamos la superficie de dos figuras, A y B, respectivamente, cuyos lados son iguales, nos da como resultado 625 m4. Para calcular cunto mide cada lado en las dos figuras podemos resolverlo de la siguiente manera:

1- Sabemos que las dos superficies son iguales, por ello, podemos aplicar para calcular la superficie de cada figura:Sup. Fig. A X Sup. Fig. B=

2- Luego, cada figura tiene una superficie de , entonces . Por lo tanto cada lado mide 5m.Otra manera de resolver el ejercicio:

Por este motivo se dice que:

La raz de ndice mn de un nmero es igual a la raz emsima de la raz ensima de dicho nmero.

Simblicamente:

siendo m y n, nmeros naturales mayores que 1Esta propiedad facilita la resolucin de algunos ejercicios que a simple vista resultan complejos.

Por ejemplo:

La raz cuarta puede considerarse la raz cuadrada de la raz cuadrada, o sea:

Se tiene: quedando resuelto el ejercicio.

RECPROCAMENTE

La raz emsima de la raz ensima de un nmero es igual a la raz de ndice mn de dicho nmero.Simblicamente:

siendo m y n, nmeros naturales mayores que 1Ejemplo:

El valor de un radical no se altera si se multiplican o dividen exactamente por un mismo nmero el ndice y el exponente.

Por ej: a) si se multiplica el ndice y el exponente por el nmero 2 se tiene: o sea, que el radical conserva el mismo valor despus de haberse multiplicado el ndice y el exponente por el nmero 2.

b) Si se divide el ndice 4 y el exponente 8 por el nmero 2 se tiene:

o sea, que el radical conserva el mismo valor despus de haberse dividido el ndice y el exponente por el nmero 2.

El valor de un radical no se altera si se multiplican o dividen exactamente el ndice y el exponente por un mismo nmero distinto de cero.

En smbolos:

1

2 2.2.4 Simplificacin de radicales

Simplificar un radical es encontrar otro radical de igual valor, pero de menor ndice.

Ejemplo n 1

Simplificar:

Como el ndice 15 y el exponente 12 admiten el divisor 3, se puede simplificar as:

Ejemplo n 2

Simplificar el radical:

Se observa que los exponentes de todos los factores del radicando y el ndice tienen el divisor comn 2. Luego, aplicando las propiedades estudiadas, se puede escribir:

Es evidente que la mayor simplificacin de un radical se obtiene dividendo ndice y exponente por su mximo comn divisor. En este caso se dice que el radical se ha reducido a su ms simple expresin. 2.2.5 Extraccin de factores del radical

Cuando el exponente del radicando es mayor que el ndice (sin ser divisibles por un mismo nmero), se puede simplificar el radical extrayendo factores.

Ejemplo n 1

Podemos expresar 5 como potencia de 3 (producto de potencias de igual base, de modo que el exponente de una de ellas sea mltiplo del ndice y el otro exponente menor que el ndice)

Entonces:

DistribuyendoEjemplo n 2

Expresamos al 8 como potencia, descomponindolo en factores primos .

No podemos simplificar dividiendo el ndice y el exponente por un mismo nmero.

Entonces descomponemos el radicando en funcin del ndice.

Ejemplo n 3

2.3 Operaciones con radicales 2.3.1 Suma y restaPara sumar o restar radicales, stos deben ser semejantes; es decir; deben tener el mismo ndice y el mismo radicando, difieren nicamente por sus coeficientes.

Ejemplo n 1

Ejemplo n 2

Para determinar si dos radicales no semejantes se pueden transformar en radicales semejantes equivalentes a los dados, se extraen los factores posibles de cada radical.

Ejemplo n 3

Actividad N 1

Resolver

Cuando los radicales no se pueden reducir a radicales semejantes, la adicin o sustraccin queda expresada

2.3.2 Multiplicacin de radicales

2.3.2.1 Multiplicacin de radicales de igual ndice

El producto de radicales del mismo ndice es otro radical del mismo ndice y cuyo radicando es el producto de los radicandos dados.

Ejemplo

2.3.2.2 Multiplicacin de radicales de distinto ndice

Debemos reducir los radicales a un ndice comn. Dicho ndice es el mnimo comn mltiplo de los ndices de esos radicales.

Ejemplo

mcm (4; 6)=12

Los exponentes de los radicandos se obtienen dividiendo el ndice comn por cada uno de los ndices de los radicales dados.2.3.3 Divisin de radicales

2.3.3.1 Divisin de radicales de igual ndiceEjemplo

2.3.3.2 Divisin de radicales de distinto ndice

Se procede en forma anloga a la multiplicacin.

2.3.4 Racionalizacin de denominadoresPara los casos en los que queda un radical en el denominador, se multiplica dividendo y divisor por un radical convenientemente elegido, de modo tal de eliminar el radical del denominador.Ejemplo n 1

Ejemplo n 2

Si el divisor irracional es una suma o diferencia de races cuadrticas, se debe multiplicar al numerador y al denominador por una expresin tal que, en el resultado aparezcan ambos radicales elevados al cuadrado para poder simplificar. Para esto, se aplica la siguiente propiedad:Propiedad:

Ejemplo n 3

Ejemplo n 4

Actividad N 2

Resolver

3 POTENCIA DE EXPONENTE RACIONAL

Se acepta que:

es decir, el ndice de la raz es el denominador de la fraccin (exponente de la potencia); y el exponente del radicando es el numerador de la fraccin (exponente de la potencia)

Quedan excluidas en la definicin todas las potencias de base negativa y exponente fraccionario irreducible (positivo o negativo) cuyo denominador sea par.

En los ejemplos siguientes, donde el exponente racional es negativo, se procede a invertir la base y obtener as el exponente positivo.

a)

b)

3.1 Propiedades

a) La potenciacin de exponente racional es distributiva con respecto a la multiplicacin y a la divisin.

b) El producto de potenciacin de igual base y exponente racional, es otra potencia de la misma base y exponente igual a la suma de los exponentes de los factores, siempre que las potencias dadas sean posibles.

c) El cociente de dos potencias de igual base con exponentes racionales es igual a otra potencia de la misma base, cuyo exponente es la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor, siempre que las potencias dadas sean posibles.

d) La potencia de una potencia de un nmero real, siendo los exponentes racionales, es igual a otra potencia de la misma base, cuyo exponente es el producto de los exponentes dados, siempre que todas las potencias sean posibles.

*

Ha finalizado Ud. la Unidad 1 Continuamos con la Unidad 2?

Si tiene dudas, comunquese con su tutor


1. Calcular las siguientes potencias:

a)

e)

b)

f)

c)

g)

d)

h)

2. Calcular las siguientes races:3. Determinar si el resultado es positivo negativo.

a)

b)

c)

4. Aplicar propiedades y resolver:5. Simplificar:

6. Convertir las siguientes expresiones:

a)

b)

7. Aplicar propiedades y resolver:

8. Resolver

SOLUCIONES A CUESTIONARIO DE AUTOEVALUACIN

1.

a)

e)

b)

f)

c)

g)

d)

h)

2.

3.

a) positivo negativo.

b) negativo.

c) positivo negativo.

4.

5.

a) b)

c) d)

6.

7.

8.

*

UNIDAD 2

EL NMERO COMPLEJO

UNIDAD 2EL NMERO COMPLEJO OBJETIVOS:


Definir nmeros complejos. Identificar las distintas propiedades. Resolver operaciones.1 EL CONCEPTO DE NMERO COMPLEJO

Hemos visto que toda ecuacin del tipo

xn a = 0 con a 0

tiene solucin en .

As por ejemplo los nmeros irracionales cuyo cuadrado es 5, es decir x = son solucin de la ecuacin

x2 5 = 0

Tambin tiene solucin, en el conjunto de los nmeros reales, cualquier ecuacin

xn - a = 0 con a< 0

si n es un nmero impar.

Pero si n es par, el hecho de que toda potencia de exponente par de un nmero real sea no negativa, hace imposible que exista solucin en de la ecuacin.

xn - a = 0 si a< 0

As, la ecuacin x2 + 4 = 0 no tiene solucin en , pues no existe ningn nmero real que verifique:

x2 = -4

La imposibilidad de resolver ecuaciones como stas, crea nuevamente la necesidad de extender el concepto de nmero, dando origen a la ampliacin del conjunto de los nmeros reales, mediante la introduccin de los nmeros complejos.

1.1 Definicin de nmero complejo

Un nmero complejo est dado por un par ordenado (a ; b) de nmeros reales para los cuales se establece la siguiente relacin de igualdad:

(a; b) = (c; d) a = c b = d

Entre estos pares ordenados que llamaremos nmeros complejos, se definen las operaciones de adicin y multiplicacin.

Simbolizamos con la letra C, al conjunto de los nmeros complejos. Si llamamos parte real de z a la primera componente de z y parte imaginaria a la segunda componente

1.1.1 Adicin de nmeros complejos

Por definicin es:

(a; b) + (c; d) = (a + c; b + d)

As por ejemplo:

(2; 1) + (3; 9) = (5; 10)

1.1.2 Multiplicacin de nmeros complejos

Por definicin es:

(a; b) . (c; d) = (a c b d; a d + b c )

Ejemplo:

(3; 5 ) . (2; ) = (3 . 2 5 . ; 3 . + 5 . 2) =

1.1.3 Propiedades de la adicin

Ley de cierre

La adicin en C es cerrada, pues la suma de dos nmeros complejos es otro nmero complejo, es decir:

Si

Ley uniformeLa adicin en C cumple la ley uniforme, pues dados dos nmeros complejos su suma es nica.

Es decir:

Si

Observemos que el cumplimiento en C de las dos leyes enunciadas es consecuencia del cumplimiento de las mismas leyes en R.

Es decir:

Si a, b, c y d son nmeros reales, existe un nico nmero real igual a a + c y existe un nico nmero real igual a b + d.

Luego existe un nico nmero complejo

(a + c ; b + d) = (a; b) + (c; d)

Esta observacin se extiende a las dems leyes de la adicin.

Ley asociativaSi son nmeros complejos, entonces:

Ley conmutativaSi son nmeros complejos entonces:

Elemento neutro

El elemento neutro de la adicin en C es el nmero complejo (0; 0).

Es decir:

Si (a; b) C entonces

(a; b) + (0; 0) = (0; 0) + (a; b) = (a; b)

Inverso aditivo

Para cada nmero complejo (a; b) existe el nmero complejo (-a; -b) que verifica

(a; b) + (-a; -b) = (-a; -b) + (a; b) = (0; 0)

(-a; -b) es el inverso aditivo de (a; b)

Ejemplo: el inverso aditivo de (3 ; -2) es (-3 ; 2)

1.1.4 Propiedades de la multiplicacin

Las propiedades de la multiplicacin en C son consecuencia de las propiedades de la adicin y de la multiplicacin en R.

Ley de cierre

Ley uniforme

Ley asociativaSi entonces

Ley conmutativaSi entonces

Elemento neutro

El nmero complejo (1; 0) es el elemento neutro de la multiplicacin en C. Es decir si

(a; b) C entonces:

(a; b) . (1; 0) = (1; 0) . (a; b) = (a; b)

Inverso multiplicativoPara cada nmero complejo z = (a; b) (0; 0) un nmero complejo

que verifica

z . z-1 = z-1 . z = (1; 0)

1.1.5 Propiedad distributiva de la multiplicacin con respecto a la adicin

Si son nmeros complejos, entonces

Las propiedades enunciadas confieren a C una estructura de cuerpo conmutativo.

(C, +, .) es un cuerpo conmutativo

1.2 Forma binmica de un nmero complejoSe llama unidad imaginaria al nmero complejo (0; 1) y se lo designa con la letra i

i = (0; 1)

Teniendo en cuenta la definicin de nmero complejo, resulta

i2 = -1

pues:

i2 = (0; 1) . (0; 1) = (0 1; 0 + 0) = -1

Por otra parte

(b; 0) (0; 1) = (0; b)

y como

(b; 0) = b

(0; 1) = i

es

(0; b) = bi

Un nmero complejo de parte real igual a cero y parte imaginaria distinta de cero se llama nmero complejo imaginario puro.

(0; b) es un nmero complejo imaginario puro y segn se ha demostrado puede expresarse como producto de la parte imaginaria por la unidad imaginaria.

Teniendo en cuenta que:

(a; 0) = a

(0; b) = bi

y (a; b) = (a; 0) . (0; b)resulta

(a; b) = a + bi

donde a + bi es la forma binmica del nmero complejo (a; b)

Ejemplo:Expresar en forma binmica

a) (5; -4) = 5 - 4i

b) =

Para operar con nmeros complejos dados en forma binmica se siguen las mismas reglas de las operaciones que en el campo real, teniendo en cuenta que i2 = -1

Ejemplo:

Efectuar las siguientes operaciones

a) (2 + 9i) + (0,4 + i) = 2,4 + 10i

b)

Actividad N 1

Desarrollar las siguientes operaciones.

1.3 Complejos conjugadosDado el nmero complejo z = a + bi, se llama conjugado de z al nmero complejo = a bi

EMBED Equation.3 : se lee conjugado de z.

1.4 Divisin en C

Sean

Para calcular el cociente multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador:

Luego:

Ejemplo:

Efectuar

De acuerdo a lo visto, ser:

Actividad N 2

Resolver las siguientes divisiones

1.5 Potenciacin

1.5.1 Potencias de i

Teniendo en cuenta que i2 = -1 calculamos las sucesivas potencias de i, conviniendo en definir que i0 = 1

i0 = 1

i1 = i

i2 = -1

i3 = i2 . i = -i

A partir de la cuarta potencia los nmeros se repiten peridicamente, as:

i4 = 1

i5 = i

i6 = -1

i7 = -iEn general, para calcular una potencia cualquiera de i, por ejemplo in, debemos hallar el resto de la divisin de n por 4.

De esta manera si n 4 entonces n = 4 . q + r

r q

El resto ser siempre una potencia de i.

Por ejemplo:

Calcular: i23Como 23 4

3 5

es

i23 = i3 = -i

1.5.2 Potencias de nmeros complejos: cuadrado y cubo de nmeros complejos.

Otra forma de resolucin

Actividad N 3

Calcular

1.6 Representacin grfica de los nmeros complejosFijado en el plano un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales los nmeros complejos pueden representarse mediante puntos de ese plano haciendo corresponder a cada nmero complejo z = a + bi el punto de coordenadas (a, b).

y

b

a xHemos asociado entonces a cada nmero complejo un punto del plano

a + bi (a; b)

Pero por otra parte tambin podemos hacer corresponder a cada punto del plano de coordenadas (a; b) el nmero complejo a + bi

(a; b) a + bi

Luego, existe una correspondencia uno a uno entre el conjunto de los nmeros complejos y los puntos del plano, de manera anloga a la establecida entre los nmeros reales y los puntos de una recta.

Los nmeros reales identificados con los nmeros complejos de la forma a + 0i se representan sobre el eje horizontal, porque a estos nmeros les corresponden los puntos del plano de segunda coordenada igual a cero.

a + 0i (a; 0)

por esta razn al eje horizontal se lo llama EJE REAL.

A los nmeros complejos de la forma 0 + bi o sea, imaginarios puros se los representa sobre el eje vertical porque a estos nmeros les corresponden los puntos del plano de primera componente igual a cero.

0 + bi (0; b)

Por esta razn se llama EJE IMAGINARIO al eje vertical

Ejemplo:

Representar el siguiente nmero complejo.

y

3

-2 x*

Ha finalizado Ud. la Unidad 2

Ante cualquier duda, por favor, comunquese con su tutorCUESTIONARIO DE AUTOEVALUACIN

1. Calcular las siguientes sumas

a)

b)

2. Calcular los siguientes productos

a)

b)

3. Calcular las siguientes diferencias

a)

b)

4. Expresar en forma binmica los siguientes nmeros complejos

a) (7; 2) =

b)

5. Expresar como pares ordenados los siguientes nmeros complejos:

a) -1

b)

6. Efectuar las siguientes operaciones:

a)

b)

c)

d)

7 . Dados:

Hallar:a) b) c) d) e)

8 . Efectuar las siguientes divisionesa)

b)

*

SOLUCIONES A CUESTIONARIO

DE AUTOEVALUACIN

1. a)

b)

2.

a)

b) (3; 1)

3. a) (1; 7)

b)

4.

a) ( 7 + 2i)

b)

5.

a)

b)

6.

a)

b) 3

c) 10 + 10i

d)

7.

a)

b)

c)

d)

e)

8.

a)

b) i

UNIDAD 3

POLINOMIOS

UNIDAD 3POLINOMIOS OBJETIVOS:


Definir polinomios. Identificar monomios, binomios, trinomios y cuatrinomios. Resolver operaciones.A las expresiones que son combinaciones de operaciones entre nmeros expresados en letras y cifras se las llama expresiones algebraicas.

1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS

Se llaman as las expresiones algebraicas en que las letras estn sometidas nicamente a las operaciones de suma, resta y multiplicacin ( en la multiplicacin queda incluida la potenciacin con exponente natural ).

1.1 Monomios

Las expresiones algebraicas enteras en las que no intervienen la suma ni la resta, se llaman monomios.

Como se observa en el siguiente ejemplo, un monomio consta de tres partes, que son: el signo, el coeficiente y la parte literal:

En este monomio el signo es (-), el coeficiente es y la parte literal es mn.

En el monomio 5 a b z el signo es (+), el coeficiente es 5 y la parte literal a b z.

Cuando el coeficiente es 1, por convencin no se escribe.Monomios semejantes: Si dos o ms monomios tienen la misma parte literal, se dice que son semejantes.

Los monomios semejantes pueden diferir nicamente en el signo y el coeficiente.

Ejemplo: ; ; son monomios semejantes

1.2 Polinomios

Las expresiones algebraicas enteras en las que intervienen la suma y la resta, o una de ellas solamente, se llaman polinomios.Ejemplo:

5x3y2 2 a2 +b es un polinomio

Es decir que este polinomio puede interpretarse como la suma algebraica de los monomios:

; ; , cada uno de los cuales se llama trmino del polinomio.

Un polinomio puede tener dos, tres, cuatro o ms trminos.

Si tiene dos trminos se llama binomio; si tiene tres trminos, trinomio; si tiene cuatro trminos, cuatrinomio y, en general, cuando tiene n trminos, se llama polinomio de n trminos.

Ejemplos:

1.2.1 Polinomio nulo

Aquel polinomio cuyos coeficientes son iguales a cero se denomina nulo.Se anota: P (x) = 01.2.2 Grado de un polinomio: es el del trmino de ms alto grado.As el polinomio:

x + 3 a x 0,2 a + ax

es de tercer grado, pues el trmino de mayor grado, - 0,2 a, es de tercer grado.

El polinomio nulo carece de grado.

Si se trata de un polinomio en x, el grado est dado por el mayor exponente de x. Ejemplo es un polinomio de sexto grado.

1.2.3 Polinomios ordenadosUn polinomio se dice ordenado con respecto a las potencias decrecientes de una de sus letras, cuando sta figura en cada trmino elevada a una potencia menor o igual que en el trmino anterior.

As, por ejemplo, el polinomio:

est ordenado con respecto a las potencias decrecientes de a.

Un polinomio se dice ordenado con respecto a las potencias crecientes de una de sus letras, cuando sta figura en cada trmino elevada a una potencia mayor o igual que en el trmino anterior.

As, el polinomio:

a + 1 z - 0,5 z - az

est ordenado con respecto a las potencias crecientes de z.

La letra con respecto a la cual el polinomio est ordenado se llama letra ordenatriz.

En el primer ejemplo, la letra ordenatriz es a y en el segundo ejemplo la letra ordenatriz es z.

1.2.4 Polinomios completos

Un polinomio en x o en una indeterminada cualquiera se dice completo cuando figuran todas las potencias de esa letra, menores que la del ms alto grado con que esa letra figura en el polinomio.

En caso contrario el polinomio se dice incompleto.

Ejemplos:

a) El polinomio:

3x2 x + 2x4 9 + 5x3

es un polinomio completo, pues el trmino de ms alto grado en x que figura es

2 x4y luego en los otros trminos figura x; x; x; x.

b) El polinomio:

2x5 + 7x 3x3 + 2

es un polinomio incompleto, pues faltan los trminos en

x4 y x2 Completar un polinomio es hacer que aparezcan en l las potencias que faltan para que sea completo. Para ello se agregan los trminos correspondientes a esas potencias que faltan, pero sin que altere el polinomio dado. Por lo tanto, los trminos que se agregan deben ser nulos; esto se logra afectndolos del coeficiente cero.

Por ejemplo, para completar el polinomio:

x4 2x + 1

Es necesario agregar los trminos:

0x3 y 0x2Luego, el polinomio completo es:

x4 + 0x3 + 0x2 2x + 1 (polinomio ordenado y completo)

Si tuviera este polinomio Sabra como ordenarlo?Si tiene dudas recuerde que su tutor lo puede ayudar.

1.2.5 Funcin polinmica

Observe la fotografa de la fuente ubicada en la Avenida 9 de Julio: las curvas que describen los chorros de agua son parbolas. Cualquiera de ellas es la representacin de una funcin polinmica de segundo grado

Consideremos el polinomio formal en la indeterminada x.

Sus coeficientes pertenecen al conjunto R de los nmeros reales.

Si damos una interpretacin de la indeterminada x, reemplazndola por un nmero real, la expresin P (x) deja de ser un polinomio formal y se convierte en un elemento de R.

Por ejemplo: P (x) = 2 x - 3 x + 5

Si hacemos: x = 2

Entonces: P (2) = 2 . 2 - 3 . 2 + 5

P (2) = 8 6 + 5

P (2) = 7 7 ( R

Se dice que 7 es el valor de P para x = 2.

Podemos definir entonces una funcin:

Cuando la relacin que expresa la funcin es un polinomio, la funcin se llama polinmica.

x es ahora una variable que toma valores en R. La funcin f hace corresponder a cada elemento x ( R un valor f (x) ( R, llamado valor de la funcin en x.

x ( R f (x) ( R ( funcin de R en R )

Anotamos:

f(x) =

y =

As, son funciones polinmicas:

y = 2x2 3x + 1

y = 3x4 2x3 + x2 - x + 4

y = x3 8

Cada valor que se atribuye a x determina el valor de y.

Ejemplo:

En la primera funcin polinmica dada:

y = 2 x - 3 x + 1

para x = 3 es P (3) = 2 . 9 3 . 3 + 1 = 10

o sea, para x = 3 y = 10para x = - 1 es P (- 1) = 2 . (- 1) 3 . (- 1) + 1 = 2 . 1 + 3 + 1 = 6

o sea, para x = - 1 y = 6

Observemos que 10 es el valor numrico del polinomio cuando a x se le atribuye el valor 3 y que 6 es el valor numrico del polinomio cuando a x se le atribuye el valor ( 1).

Si en el polinomio figuran dos letras cada par de valores que se atribuye a cada una de ellas da un valor numrico del polinomio que es el correspondiente valor de y, mediante esa funcin.

Ejemplo:Para el polinomio: y = x - 3 xz + 4 z x = 2 y z = 5

Se tiene: y = 2 - 3 . 2 . 5 + 4 . 5 = 8 30 + 100 = 78 Actividad N 1

1) Indicar el grado de los siguientes polinomios:

2) Dado

Calcular

2 OPERACIONES

2.1 Adicin de polinomios Definicin: Se llama suma de dos polinomios P y Q al polinomio cuyos trminos se obtienen sumando los trminos del mismo grado de P y Q.

Para sumar los siguientes polinomios:

2 m - 5 mn + 3 ; mn + 5 m + 2

La operacin se expresa:

( 2 m - 5 mn + 3 ) + ( mn + 5 m + 2 ) = 2 m - 5 mn + 3 + mn + 5 m + 2

Reduciendo en esta expresin los trminos semejantes, es decir:

2 m + 5 m = 7 m

- 5 mn + mn = mn

3 + 2 = 5

se tiene:

( 2 m - 5 mn + 3 ) + ( mn + 5 m + 2 ) = 7 m - mn + 5

Prcticamente, para obtener la suma con los trminos semejantes ya reducidos la operacin se dispone as:

2 m - 5 mn + 3

Clculos auxiliares:

5 m + mn + 2

- 5 + =

7 m - mn + 5

REGLA: Para sumar varios polinomios entre s, o polinomios y monomios, se coloca uno debajo del otro, de manera que los trminos semejantes queden en columna. Se hace la suma parcial de cada columna y se escriben estos resultados parciales uno a continuacin de otro, con sus respectivos signos.2.2 Sustraccin de polinomios

Definicin: La diferencia entre un polinomio P y un polinomio Q es el polinomio que se obtiene sumando a P el opuesto de Q.

P Q = P + ( - Q )

REGLA: Para restar dos expresiones algebraicas enteras se suma al minuendo el opuesto del sustraendoEjemplos:

De a3b2 5 ab3 + 7b4 restamos -a3b2 + ab3 + 2 b4 - 2

Aplicando la regla, se dispone prcticamente como se indic para la suma, escribiendo directamente el sustraendo con sus trminos cambiados de signo:

Actividad N 2

1) Completar los trminos que faltan en la siguiente adicin de polinomios

2) Hallar el permetro de las siguientes figuras:

a)

A

B

b)

Longitud de la circunferencia =

2.3 Multiplicacin de expresiones algebraicas

2.3.1 Multiplicacin de un polinomio por un monomio

Sea multiplicar: ( 2 a - ab + 5 b ) ( ab )

Aplicando la propiedad distributiva de la multiplicacin con respecto a la suma algebraica:

( 2 a - ab + 5 b ) ( ab ) = 2 a . ab ab . ab + 5 b . ab

REGLA: Para multiplicar un polinomio por un monomio se forma el polinomio que se obtiene multiplicando cada trmino del polinomio por el monomio y sumando los productos parciales.Prcticamente la operacin se dispone as:

Clculos auxiliares:

Recordar: (Producto de potencias de igual base)

2.3.2 Multiplicacin de polinomios

Definicin: Para multiplicar dos polinomios se aplica la ley distributiva de la multiplicacin con respecto a la adicin, es decir, se multiplica cada trmino del primero por cada trmino del segundo y luego se suman los trminos semejantes.

Hallar el producto: ( 2 a - 5 ab + b ) ( a b )

Multiplicamos aplicando la propiedad distributiva:

(2 a - 5 ab + b) ( a b) = 2 a . a 5 ab . a + b . a - 2 a. b + 5 ab . b - b. b

Efectuando las operaciones indicadas en cada trmino del segundo miembro, se tiene:

(2 a - 5 ab + b) ( a b) = a - a b + ab - 2 a b + 5 ab - b

Y reduciendo los trminos semejantes resulta:

(2 a - 5 ab + b) ( a b) = a - a b + ab - b

REGLA: Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada trmino del primero por cada trmino del segundo y se suman los productos parciales.

Recordar: - . - = + - . + = - + . + = +As, para el ejemplo anterior, se tiene:

2 a - 5 ab + b

Clculos auxiliares: . a - b

2 . = 1

a - a b + ab

5 .

- 2 a b + 5 ab - b

a - a b + ab - b

Actividad N 3

Calcular la superficie de las siguientes figuras:

a) ABCD cuadrado A B

C D

b)

BRecordar que la superficie del cuadrado es

y la del tringulo

2.4 Anillo de polinomiosEl conjunto de los polinomios con las operaciones de adicin y multiplicacin tiene estructura de anillo. En efecto:

La suma de polinomios es asociativa.

Existe elemento inverso con respecto a la adicin, que es el polinomio cuyos trminos son los opuestos del dado.

La suma de polinomios es conmutativa.

La multiplicacin de polinomios es asociativa.

La multiplicacin de polinomios es conmutativa.

La multiplicacin es distributiva con respecto a la adicin de polinomios.

2.5 Divisin de expresiones algebraicas2.5.1 Divisin de un polinomio por un monomioPor ejemplo:

Efectuamos la siguiente divisin:

(5 m4nx4 + m3n2x 4 m3 xy) : (2 m3 x)

Aplicando la propiedad distributiva de la divisin con respecto a la suma algebraica es:

(5 m4nx4 + m3 n2 x 4 m3 xy) : (2 m3 x) =

(5 m4 nx4 : 2m3 x) + (m3 n2 x : 2 m3 x) ( 4m3 xy : 2m3 x)

Efectuando las divisiones de monomios indicadas en cada parntesis se tiene:

Clculos auxiliares:(5m4nx4 + m3n2x 4m3xy) : (2m3 x) = mnx3 + n2 2y m4 : m3 = m4-3 = m

x4 : x = x3 5 : 2 =

4 : 2 = 2REGLA: Para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada trmino del polinomio dividendo por el monomio divisor y se suman los cocientes parcialesPor ejemplo si dividimos:

Aplicamos propiedad distributiva

Simplificando cada expresin resulta

2.5.2 Divisin de polinomios

Definicin: Dados dos polinomios A y B, dividir A por B significa encontrar otros dos polinomios C y R llamados cociente y resto.

REGLA: Para dividir un polinomio por otro, ordenados segn las potencias decrecientes de una misma letra, se divide el primer trmino del dividendo por el primer trmino del divisor, obtenindose as, el primer trmino del cociente. Se multiplica este trmino por todo el divisor y este producto se resta del dividendo, obtenindose el primer resto parcial. Se repiten las operaciones anteriores comenzando por dividir el primer trmino del resto por el primer trmino del divisor. Y as se sigue hasta llegar a un resto de grado menor que el divisor.

Aplicamos en el siguiente ejemplo la regla enunciada:

( 4 x - x + 6 x - 1 ) : ( 2 x - x + 2 )

Prcticamente se disponen como se indica a continuacin, ya ordenados los polinomios, de acuerdo con las potencias decrecientes de x:

6 x - x + 4 x 1 2 x - x + 2

- 6 x + 3 x - 6 x 3 x + 1

2 x - 2 x 1

- 2 x + x 2

- x 3 De acuerdo con la regla, se divide el primer trmino del dividendo por el primer trmino del divisor, es decir, 6 x : 2 x = 3 x, que es el primer trmino del cociente. Se multiplica ese trmino 3x por el divisor, y como este producto debe restarse del dividendo, se transforma la resta en suma, escribiendo cada producto parcial cambiado de signo debajo de su semejante del dividendo. Esto se expresa as:1 Al multiplicar 3 x por 2 x se dice: + por + = +; para restar -; 3x por 2 x = 6 x ; luego, se escribe - 6 x debajo de su semejante 6 x del dividendo.

2 Al multiplicar 3 x por ( - x ) se dice: + por - = -; para restar +; 3 x por x = 3 x ; luego, se escribe + 3 x debajo de ( - x ).3 Al multiplicar 3 x por 2 se dice: + por + = +; para restar -; 3 x por 2 = 6 x ; luego, se escribe 6x debajo de 4 x.

Reduciendo trminos semejantes se obtiene el primer resto parcial 2 x - 2 x 1. Como el grado de este resto es igual al grado del divisor, se debe continuar la divisin.

Para obtener el segundo trmino del cociente se efecta la divisin 2 x : 2 x = 1.

Se multiplica 1 por todo el divisor, y estos productos parciales cambiados de signo dan el polinomio - 2 x + x 2 , que se escribe debajo del primer resto, de modo que los trminos semejantes queden en columna.

Reduciendo trminos semejantes, se obtiene el segundo resto x 3. Como el grado de este polinomio es inferior al del divisor, la divisin est terminada.

El cociente es: 3 x + 1 y el resto es: - x 3.

Cuando el polinomio dividendo es incompleto, en la disposicin prctica conviene dejar el espacio correspondiente a los trminos que faltan o bien completar el polinomio agregando esos trminos con coeficiente cero.

Recordar: los polinomios deben estar ordenados en forma decreciente, y el polinomio del dividendo debe estar completo. El grado del polinomio dividendo debe ser mayor o igual que el grado del polinomio divisor.

2.6 Regla de Ruffini

Matemtico y mdico italiano, nacido en RomaEs muy conocida su regla para la divisin de un polinomio en x por el binomio x - a.El cociente de un polinomio completo por un binomio de la forma ( x a ) es un polinomio cuyo grado es inferior en una unidad al del dividendo y cuyos coeficientes, una vez ordenado el dividendo de acuerdo con las potencias decrecientes de x, se obtienen as:

El primer coeficiente del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo; el segundo coeficiente se obtiene multiplicando el coeficiente anterior por el nmero a cambiado de signo y sumando a este producto el coeficiente del segundo trmino del dividendo; el tercer coeficiente se obtiene multiplicando el coeficiente anterior por el nmero a cambiado de signo y sumando a este producto el coeficiente del tercer trmino del dividendo, y as siguiendo para los restante

El resto se obtiene multiplicando el ltimo coeficiente del cociente por a cambiado de signo y sumando a este producto el trmino independiente del dividendo.

Ejemplo:

(5 x3 4 x2 + x 8) : ( x 2)= El procedimiento a seguir es el siguiente:El nmero a

cambiado de signo5-41-8 Coeficientes del

dividendo ordenado

en forma decreciente

y completo

Resto

+ (suma)

2101226

Multiplicacin561318

Se baja el 1 coeficiente

El grado del polinomio cociente se obtiene restando una unidad al grado del dividendo. En el caso anterior, el cociente es de segundo grado y sus coeficientes son: 5, 6, 13.

Por lo tanto:

C = 5x2 + 6x + 13 (cociente) y resto = 18

Recordemos que si el polinomio dividendo est incompleto, deben agregarse los trminos faltantes con coeficientes cero.

Ejemplo:

(x3 - 8) : (x 2)=

Siguiendo el procedimiento indicado ms arriba ser:

100-8

+2+2+4+8

1240

Luego, el resultado ser: cociente: x2 + 2x + 4 y resto = 0 Actividad N 4

1) Un terreno rectangular tiene una superficie de . Cul es su altura, si su base, expresada en metros, es

2) Calcular aplicando la regla de Ruffinia)

b)

2.7 Teorema del resto

Como se ha visto, la regla de Ruffini permite calcular el resto de la divisin de un polinomio en x por un binomio de la forma , conociendo el ltimo coeficiente del cociente. Pero este resto puede calcularse directamente as:

El resto de la divisin de un polinomio en x por otro de la forma x a es igual al valor numrico del polinomio dividendo para x igual al valor a cambiado de signo.

En el primero de los ejemplos realizados, dividimos 5x3 4x2 + x 8 por x 2, y obtuvimos un resto de 18.

A se mismo resultado llegamos aplicando el teorema del resto, de la siguiente manera, donde, x = 2.

El procedimiento ser:

5 . 23 4 . 22 + 2 8 = 5 . 8 4 . 4 + 2 8 = 40 16 + 2 8 = 18

La observacin hecha en este ejemplo es general y se enuncia en un teorema que se llama:

TEOREMA DEL RESTO: El Resto de la divisin de un polinomio en x por un binomio de la forma () es el valor numrico del polinomio dividendo para x igual a a cambiado de signo.

Ejemplo: ( x - 23 x 28 ) : ( x + 4 )

Calcular el polinomio cociente por la regla de Ruffini y el Teorema del Resto.

a cambiado de signo = - 4.

Se completa el polinomio dividendo: x + 0 x - 23 x 28.

10-23-28

-4-4+16+28

1-4-70

Por lo tanto, el polinomio cociente ser: 1x2 4 x 7 Resto = 0

Aplicando el Teorema del Resto:

Actividad N 5

Aplicando el Teorema del Resto, obtenga el resto de las siguientes divisiones:

*


Le recuerdo que su tutor puede ayudarlo.CUESTIONARIO DE AUTOEVALUACIN

1. Decir si es verdadero o falso, segn corresponda:

1) 4 a - ( monomio )

2) 4 7 + 8 ( polinomio )

3) 5 b m + ( binomio ) 2. Ordenar y completar en forma decreciente los exponentes de x:

a) ax5 + bx2

b)

3. Calcular el valor correspondiente a y en las siguientes expresiones:

a) y = 2 x3 + 4x 2 para x = - 1

b) y = x4 2x2 + 3 para x = 2

4. Sumar los siguientes polinomios:

a) x - x y + 2 xy ; - y + x y + x

b)

5. Restar los siguientes polinomios:a) a - 3 b + c 2 ; b - c - a - 0,2

b)

6. Efectuar el siguiente producto entre polinomio y monomio:

=

7. Realizar los productos entre polinomios:

a) ( m + m n + mn + n ) . ( m n )= b)

8. Realizar la siguiente divisin:

=

9. Efectuar la siguiente divisin entre polinomios:

( a + 3 a b + 3 ab + b ) : ( a + b )=

10. Aplicar la regla de Ruffini para obtener cociente y resto:

a) ( 5 x + x - x + 3 ) : ( x + ) =

b)

11. Aplicar el Teorema del Resto:

( 9 x - 6 x 5 ) : ( x 1 )=

12. Efectuar las siguientes operaciones combinadas entre polinomios.

a)

b)

*

SOLUCIONES A CUESTIONARIO DE AUTOEVALUACIN

1. 1) Falso.2) Falso.

3) Verdadero.

2. a) ax5 + 0x4 + 0x3 + bx2 + 0x + c

b)

3. a) y = - 8

b) y = 11

4. a) x - x y + xy - y

b)

5. a) - b + c 1,8

b)

6. 3m5x3y - m4x5y3 + m5n3x2y

7. a) m4 n4

b)

8. a2 b2 + ab3 c + 3 bc

9. cociente: a + 2 ab + b

resto: 0

10. a) cociente: 5 x - x -

b)

resto:

11. R = -2

12. a)

b)

*

UNIDAD 4

FACTOREO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

UNIDAD 4FACTOREO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS OBJETIVOS:


Aplicar los distintos casos de factoreo. Factorear poliomios. Obtener el MCD y el mcm de expresiones algebraicas enteras.1 FACTOREODefinicin: Factorear un polinomio es transformarlo en un producto de expresiones algebraicas.

Razonemos esta definicin con un problema lgebro-gemetro-aritmticoDados dos cuadrados de lados a y b, respectivamente , dibujar un rectngulo de rea igual a la diferencia entre las reas de ambos cuadrados, sin medir de ninguna forma las longitudes de a y b.

Recortamos el cuadrado menor del cuadrado mayor para visualizar la diferencia entre las reas.

rea del cuadrado mayor:

rea del cuadrado menor:

Diferencia entre las reas:

Para dibujar el rectngulo pedido, y sin medir, podemos hacer un corte en la pieza que representa y mover las partes obtenidas tratando de formar un rectngulo.como si fuera un rompecabezas!

Ordenando las piezas queda, por ejemplo, un rectngulo como ste:Base del rectngulo obtenido:

Altura del rectngulo obtenido:

rea del rectngulo obtenido:

Por estar las dos figuras formadas por las mismas piezas, el rea del rectngulo obtenido es equivalente a la diferencia entre las reas de los dos cuadrados.

El proceso que transforma un polinomio en producto de polinomios se llama descomposicin de un polinomio en factores primos o factorizacin de polinomios

No todos los polinomios se pueden factorear. Los polinomios que se pueden factorear se clasifican en diferentes grupos, segn las caractersticas particulares que presentan, y para los polinomios pertenecientes a cada uno de esos grupos se da la regla correspondiente para su factoreo.

Los diferentes grupos en que se renen los polinomios para factorear dan lugar a los siguientes casos de factoreo:

1.1 Primer caso Factor comn

Para que entienda mejor lo explicamos con un ejemploFactorear pensando geomtricamente, es la suma de las reas de un cuadrado de lado x y un rectngulo de lados a y x

Hemos obtenido un rectngulo de lados x y , luego:

En lgebra, decimos que hemos sacado factor comn x, y lo multiplicamos por un polinomio para que d por resultado el polinomio dado.

Un nmero es factor comn en una suma algebraica cuando figura en cada trmino como factor.

As, en la suma algebraica:

18 + 12 9 + 15

figura el factor comn 3; por lo tanto, se puede sacar ese factor y se tiene:

18 + 12 9 + 15 = 3 ( 6 + 4 3 + 5 )

Anlogamente, una expresin algebraica es factor comn de todos los trminos de un polinomio cuando figura en todos ellos como factor.

Ejemplos:

En el polinomio 2 a + ab ac el factor comn es a, y de acuerdo con la regla conocida para sacar factor comn, se puede escribir:

2 a + ab ac = a ( 2 + b c ) En el polinomio

4 x3y2 2 x2y + x6y5z

el factor comn es 2 x y. Dicha expresin figura como factor en todos los trminos.

Por consiguiente, sacando 2 x y, factor comn, resulta:

4 x3y2 2 x2y + x6y5z= 2 x2y (2 xy 1 + x4y4z)Como se puede ver en los dos ejemplos dados, al sacar factor comn, el polinomio se transforma en producto, por lo tanto, queda factoreado.

Este procedimiento da lugar a la siguiente: REGLA: Si en todos los trminos de un polinomio figura un factor comn, dicho polinomio es igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada trmino por ese factor.

Observar que el polinomio que resulta al sacar factor comn debe tener igual nmero de trminos que el polinomio dado.

1.2 Segundo caso Descomposicin en grupos de igual nmero de trminos con un factor comn en cada grupo.

Lo explicamos con un ejemplo grficoFactorear , si consideramos como la suma de reas de cuadrados y rectngulos, debemos armar con estas piezas un rectngulo para que el rea resulte un producto.

Hemos obtenido un rectngulo de lados cuya rea es , luego:

Por ejemplo, el polinomio:

3 x 2 ab + nx 2 bx + an + 3 a

Se observa que no existe un factor comn a todos los trminos, pero que el primero, el tercero y el cuarto trmino tienen un factor comn x, mientras que el segundo, el quinto y el ltimo tienen el factor comn a.

Agrupando los trminos que admiten un factor comn, el polinomio dado puede escribirse:

3 x 2 ab + nx 2 bx + an + 3 a = ( 3 x + nx 2 bx ) + ( - 2 ab + an + 3 a )

Sacando factor comn en cada una grupo, se tiene:

3 x 2 ab + nx 2 bx + an + 3 a = x ( 3 + n 2 b ) + a ( - 2b + n + 3 )

El segundo miembro de esta expresin es un binomio en el que el primer trmino es el producto de x por la expresin encerrada entre parntesis ( 3 + n 2 b ), y el segundo trmino es el producto de a por la expresin encerrada entre parntesis ( 2 b + n + 3 ).

Como estas expresiones encerradas entre parntesis son iguales y son factores de cada uno de los dos trminos, dicha expresin puede sacarse como factor comn en el segundo miembro. Luego:

x ( 3 + n 2 b ) + a ( - 2 b + n + 3 ) = ( 3 + n 2 b ) ( x + a )

Por carcter transitivo resulta:

3 x 2 ab + nx 2 bx + an + 3 a = ( 3 + n 2 b ) ( x + a )igualdad que expresa como producto el polinomio dado.

REGLA: Si los trminos de un polinomio pueden reunirse en grupos de igual nmero de trminos con un factor comn en cada grupo, se saca en cada uno de ellos el factor comn. Si queda la misma expresin en cada uno de los parntesis, se la saca, a su vez, como factor comn, quedando as factoreado el polinomio dado.

Qu le parece si desarrollamos otro ejemplo?

=

1.3 Tercer caso Trinomio cuadrado perfecto

Definicin: Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio tal que dos de sus trminos son cuadrados perfectos y el otro trmino es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

Por ejemplo:

es un trinomio cuadrado perfecto.

En efecto, el primer trmino es el cuadrado de 5 x, pues ( 5 x ) = 25 x; el ltimo es el cuadrado de y, pues:

y el segundo trmino es el doble producto de las bases de esos cuadrados, es decir de 5 x por y, pues 2 . 5 x . y = 10 xy.

Este nombre de trinomio cuadrado perfecto se debe a que dicho trinomio proviene del cuadrado de un binomio. En este ejemplo, el trinomio cuadrado perfecto proviene del cuadrado de ( 5 x + y ).

En efecto:

En el trinomio cuadrado perfecto los trminos cuadrados son siempre positivos, en cambio, el trmino doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los trminos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado.

Le sera til otro ejemplo? Aqu vamos

EMBED Equation.3

REGLA: Todo trinomio cuadrado perfecto es igual al cuadrado de binomio formado por la suma o diferencia de las bases de los cuadrados perfectos segn que el producto sea positivo o negativo. Actividad N 1

1) Factorear los siguientes polinomios:

2) Completar para que los trinomios sean cuadrados perfectos.

1.4 Cuarto caso Cuatrinomio cubo perfecto

Definicin: Todo cuatrinomio de la forma a + 3 a b + 3 ab + b , en el que los dos trminos a y b, son cubos perfectos; un tercer trmino: 3 a b, es el triplo del cuadrado de la base del primer cubo por la base del segundo, y el cuarto trmino 3 ab, es el triplo de la base del primer cubo por el cuadrado de la base del segundo, se llama cuatrinomio cubo perfecto.Analizamos un ejemplo grfico

es un polinomio de tercer grado. Podemos asociarlo con el volumen de un cubo de lado . El cubo de lado se puede descomponer en prismas, como muestra la figura:

Si se suman los volmenes de todos los prismas, podemos afirmar que:

Por ejemplo:

x + 6 x y + 12 x y + 8 y

es un cuatrinomio cubo perfecto, pues:

x = ( x )

6 x y = 3 ( x ) 2 y

8 y = ( 2 y ) 12 x y = 3 x ( 2 y )

Este nombre de cuatrinomio cubo perfecto se debe a que dicho cuatrinomio proviene del cubo de un binomio. En el ejemplo dado el cuatrinomio cubo perfecto proviene del cubo de (x + 2 y).

En efecto:

( x + 2 y ) = x + 6 x y + 12 x y + 8 y

1.5 Quinto caso Diferencia de cuadrados

El producto de la suma por la diferencia de dos trminos es igual al cuadrado del primer nmero menos el cuadrado del segundo, es decir:

( a + b ) ( a b ) = a - b

Recprocamente:

a - b = ( a + b ) ( a b )donde se ve que la diferencia de los cuadrados de dos nmeros es igual al producto de la suma por la diferencia de los mismos. Esta observacin se extiende a las expresiones algebraicas y se enuncia en la siguiente :REGLA: Toda diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de las bases de dichos cuadrados.

Ejemplos:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 1.6 Sexto caso Suma o diferencia de potencias de igual grado

1.6.1 Suma de potencias de igual grado.a) Sea, por ejemplo, factorear la expresin x + a. Como el exponente es 3, es decir, un nmero impar, la suma de potencias de igual grado de exponente impar es divisible nicamente por la suma de sus bases, la divisin ( x + a ) : ( x + a ) debe dar un cociente exacto, que se obtiene aplicando la regla de Ruffini.

As:

( x + a ) : ( x + a ) = x - ax + a

Como se trata de una divisin exacta, el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente. Luego:

( x + a ) = ( x + a ) ( x - ax + a )

La suma de dos potencias de igual grado, de exponente impar, es igual al producto de las bases por el cociente que resulta de dividir la primera suma por la segunda.

b) Como la suma de potencias de igual grado de exponente par no es divisible por la suma ni por la diferencia de sus bases, dicha suma no se puede factorear.

Ej:

1.6.2 Diferencia de potencias de igual grado.Para factorear la expresin:

x6 y6Como en este caso el exponente es par, la diferencia de igual grado de exponente par es divisible por la suma y por la diferencia de sus bases, puede factorearse en las dos formas siguientes:

1 Haciendo figurar la suma de las bases.

2 Haciendo figurar la diferencia de las bases.

La diferencia de dos potencias de igual grado de exponente par, es igual al producto de la suma o de la diferencia de sus bases por el respectivo cociente que resulta de la primera diferencia dividida por la suma o diferencia de las bases o bien el producto de la suma por la diferencia de las expresiones de las que estas potencias son cuadrados.

Actividad N 2

Factorizar los polinomios

2 MCD Y mcm DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 2.1 Mximo comn divisor de expresiones algebraicas

El mximo comn divisor de dos o ms expresiones algebraicas enteras es la mayor expresin algebraica con respecto a los coeficientes y a los exponentes, que es divisor de cada una de las expresiones dadas.As, el M.C.D. de a + a b - ab - b

y 5 a x + 10 abx + 5 b x

es ( a + b )

En efecto: el primer polinomio se puede factorear as:

a + a b - ab - b = a ( a + b ) - b ( a + b ) = ( a + b ) ( a - b ) =

= ( a + b ) ( a + b ) ( a b ) = ( a + b ) ( a b )Luego

a + a b - ab - b = ( a + b ) ( a b )

El segundo polinomio se puede factorear as:

5 a x + 10 abx + 5 b x = 5 x ( a + 2 ab + b ) = 5 x ( a + b )Luego,

5 a x + 10 abx + 5 b x = 5 x ( a + b )

Por lo tanto, el M.C.D. es ( a + b ).Para hallar el M.C.D. de expresiones algebraicas enteras se forma el producto de los factores primos comunes a todas ellas, con el menor exponente.

2.2 Mnimo comn mltiplo de expresiones algebraicasEl mnimo comn mltiplo de dos o ms expresiones algebraicas enteras es la menor expresin algebraica, con respecto a los coeficientes y a los exponentes, que es mltiplo de todas las expresiones dadas.

Para hallar el mnimo comn mltiplo de dos ms expresiones algebraicas enteras se forma el producto de los factores primos comunes y no comunes, con su mayor exponente.

Ejemplo:

Hallar el m.c.m. de :

9 a - x ; 9 a - 6 ax + x ; 3 az xz

Factoreando, se tiene:

9 a - x = ( 3 a + x ) ( 3 a x )

9 a - 6 ax + x = ( 3 a x )

3 az xz = z. ( 3 a x )

El nico factor comn es ( 3 a x ), y el mayor exponente con el que figura es 2; es decir que al formar el m.c.m., el factor ( 3 a x ) debe considerarse al cuadrado. Los factores no comunes son z y ( 3 a + x ).

Luego, el m.c.m. de las expresiones dadas es: z (3 a x ) ( 3 a + x

Actividad N 3

Hallar el MCD y el mcm de los siguientes polinomios

*


Si tiene dudas, no contine con la siguiente unidad,

hable con su tutor


1. Indicar cules de los siguientes trinomios son cuadrados perfectos:

a) (x2 + 6x + 9) =

b)

b)

2. Factorear:

a) x + 3 x y + 3 xy + y =d)

b)

e)

c) 1 3 a + 3 a - a =

3. Factorear combinando los distintos casos:

4. Hallar el M.C.D. y el m.c.m. de las siguientes expresiones:

a) x - 25 ; x - 10 x + 25 ; x - 125

b) 3 a 6 m ; a + 4 m - 4 am ; a - 4 m

*

SOLUCIONES A CUESTIONARIO

DE AUTOEVALUACIN

1. a) S, es cuadrado perfecto porque es ( x + 3 )

b) S, es cuadrado perfecto porque es ( x + 2 y )

c) No es cuadrado perfecto.

2.

a)

d)

b)

e)

c)

3.

4. a) M.C.D. = x 5

m.c.m. = ( x 5 ) ( x + 5 ) ( x + 5 x + 25 )

b) M.C.D. = ( a 2 m )

m.c.m. = 3 ( a 2 m ) ( a + 2 m )

*Algunas convenciones

No olvide que

EMBED Imagen de Paint It

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Opuesto del sustraendo

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Clculos auxiliares

EMBED Equation.3

-5 - EMBED Equation.3

+

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

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EMBED Equation.3

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EMBED Equation.3

H

x o

R

Observemos que...

Para simplificar un radical, se divide el ndice y el exponente por un mismo nmero.(0)

Valor Real

Valor aproximado

EMBED Equation.3

71PAGE - 12 -

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matemßtica iii a

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