Matemáticas 1. 9. Radicales. 1

9. RADICALES.

Propiedades de los radicales.

• ⎪⎩

⎪⎨

⎧

→→→

⋅ecoeficient

radicandoíndice

axn

xa n

• xbbx nn =⇔=

• Radicales semejantes.– Los que tienen igual índice e igual radicando.

• n mnm

xx =

• Simplificación de radicales.– Si en n mx , m y n son divisibles por un mismo número, entonces se pueden dividir ambos y el radical obtenido es igual al primero.

Ej: 5525 4 24 ==

• Obtención de radicales con un índice común.– Dados los radicales 1n1a , 2n

2a , ..., in

ia , se pueden obtener radicales iguales a cada uno de ellos en los que el índice sea el míni-mo común múltiplo de los índices n1, n2, ..., ni. Para ello, se eleva el radicando al resultado de dividir dicho mínimo común múltiplo entre el índice que tenía inicialmente cada raíz.

Ej: 2 , 3 2x3 y 4 3x se pueden poner con el mismo índice, que será el m.c.m. de 2, 3 y 4.

m.c.m.(2, 3, 4) = 12. Entonces:

12 622 = , ( ) 12 8412 423 2 x3x3x3 == , ( ) 12 912 334 3 xxx ==

• Extracción de factores.– Dado el radical m nx , si pueden extraerse factores. Para ello, se divide n entre m. Si se obtiene p de cociente y q de resto, entonces:

mn ≥

m qpm n xxx ⋅=

• Introducción de factores.– Los coeficientes se pueden introducir dentro de la raíz mul-tiplicando su exponente por el índice de la raíz.

Ej: 3 83 6323 22 x54x3x2x2x3 =⋅=⋅

• Suma y resta de radicales.– Sólo se pueden sumar o restar los radicales que sean seme-jantes. Se efectúa sumando o restando los coeficientes y dejando igual el índice y el radican-do.

Ej: 227222737 +−=+−

Matemáticas 1. 9. Radicales. 2

• Producto y división de radicales.– Primero, se les pone a todos los radicales el mismo índice. Después, se emplean las siguientes propiedades:

mmm yxyx ⋅=⋅ m

m

m

yx

yx

=

• Potencia de una raíz: ( ) m nnm xx =

• Raíz de una raíz: nmn m xx ⋅=

• Racionalización de fracciones.– Dada una fracción con radicales en su denominador, racionarla consiste en obtener una fracción equivalente a ella que no tenga radicales en el denominador.

a) Fracciones del tipo m nxa

N

⋅.– Se multiplica numerador y denominador por m nmx − .

b) Fracciones del tipo xab

N⋅+

, donde b puede ser un número, un polinomio u otra raíz

cuadrada.– Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador, que es xab ⋅− .

11.. Expresa como radicales las siguientes potencias en las que aparecen exponentes frac-cionarios. Expresa los resultados sin que aparezcan exponentes negativos.

Ej: 52

2 = 5 22

a) 31

3−

b) 21

21 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

c) 43

25

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

d) 52

32 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

e) 56

31

125

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

f) 45

32

43

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

g) 32

51

221

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

−

22.. Efectúa las siguientes operaciones con potencias. Expresa los resultados como produc-to o división de potencias o radicales de números primos, sin que aparezcan exponentes negativos ni fraccionarios.

Ej: 223

31

2:48 ⋅ = 22

a) 91273 3

152

⋅⋅ .

b) ( ) 52

31

51

21:42

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

c) 31

7801170

51

28:14198

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

Matemáticas 1. 9. Radicales. 3

d)

( )

( ) 143

235

2

21

32

3'034

6'094

32

−−

−

−−−

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

)

)

33.. Extrae fuera de cada radical los factores que puedas.

Ej: 3 256 = 3 44 ⋅

a) 3 563 dcba24

b) 3 6 yx27

c) 4 2524012716 ⋅⋅⋅

d) 11

8

y625x36

44.. Introduce dentro de cada radical los factores que estén fuera. Expresa el radicando como productos o divisiones de potencias de números primos, sin que aparezcan exponen-tes negativos.

Ej: 232 2 ⋅⋅ = 43 32 ⋅

a) 5 3001200 ⋅

b) zxyx3 2 ⋅⋅ c) 3

4586 ⋅

55.. as y restas de radicales:

Ej:

Efectúa las siguientes sum

32 = 335 −+ 34

322735 −+ a)

b) 96546006 +−+

c) 75327212489 +−−

24522

452

21

58

⋅+⋅− e)

7262

33

274

31

⋅−+−

d) 323 x80yx5x45 −⋅+

f)

66.. plifica los siguientes radicales:

Sim

Ej: 4 25 = 5

a) 6 216 ) b ( )10 23242 tzyx ⋅⋅⋅ c)

24 729000

77.. s operaciones. En el resultado final, extrae fuera de los radicales los factores que puedas. Efectúa las siguiente

Matemáticas 1. 9. Radicales. 4

Ej: 102 ⋅ = 52 ⋅

a) 55 162 ⋅

b) 623 ⋅⋅

c) 53 20020 ⋅

d) 43 625 ⋅⋅

e) 1056 2832 ⋅⋅

f) 8:724 ⋅

g) 124 64:4

h) 6

34

41

4116 ⋅⋅

i) ( ) ( )667635 ⋅−⋅+

j) ( ) ( )11833182 −⋅⋅−⋅

k) ( ) ( )3231 −⋅+

l) ( )28 2 yx34 ⋅⋅⋅

m) ( )23 108

n) ( )23 yx5 −⋅

o) ( )2532 −+

p) 3 4

q) 7 846 zyx

r) 3 2482 ⋅⋅

88.. Racionaliza las siguientes expresiones. Expresa el resultado lo más simplificado posi-ble, y sin que aparezcan exponentes fraccionarios ni negativos.

Ej: 5

3 = 5

53 ⋅

a) 73

5⋅

b) 6

2

c) 455

d) 10652

⋅

−

e) 3 21

f) 3 41

g) 35

2−

h) 23

1−

i) 311

57+

⋅

j) 3232

−

+

k) 2326

−

−

l) yxyx

+

−

m) 231

1++

99.. Realiza las siguientes operaciones. Expresa los resultados racionalizados y lo más simplificados posible, y sin que aparezcan en ellos exponentes negativos ni fraccionarios.

a) 21

131

22

++−

b) 31

131

32523

++

−⋅+

−

c) 521521

521521

⋅+

⋅−+

⋅−

⋅+

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