matematicas_3

Procedimientos personalesPlan de clase (1/4)

Escuela: ____________________________ Fecha: ____________________ Profr. (a): _______________________________________________________Curso: Matemáticas 9 Eje temático: SN y PA

Contenido: 9.1.1 Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos personales u operaciones inversas, al resolver problemas que implican una ecuación cuadrática.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas. Si lo consideran necesario, utilicen su calculadora y traten de justificar sus respuestas.

1. El cuadrado de un número menos 5 es igual a 220. ¿Cuál es ese número?2. El cuadrado de un número más el mismo número es igual a 306. ¿Cuál es ese

número?3. El producto de dos números consecutivos es 552. ¿Cuáles son esos números?

Consideraciones previas: Se sugiere que cuando la mayoría de los equipos termine de resolver el primer problema, hacer un alto para analizar los procedimientos utilizados. Lo más probable es que utilicen el ensayo y error, es decir, que vayan probando con diferentes números hasta encontrar el que cumple con las condiciones del problema. En este momento conviene pedirles que traten de formular una ecuación, darles unos minutos y analizar las ecuaciones formuladas. La siguiente pregunta es ¿qué se puede hacer para resolver una ecuación como ésta? x2 – 5 = 220. Un recurso posible es simplificar la ecuación: x2 = 225 y luego sacar raíz cuadrada en ambos miembros para obtener el valor de x. Otro recurso es hacer el camino de regreso: a 220 sumarle 5, luego sacar raíz cuadrada al resultado.La finalidad de hacer un alto después de resolver el primer problema es socializar los recursos utilizados para que más alumnos tengan elementos para resolver los demás problemas. De cualquier manera, es importante dedicar el tiempo suficiente para revisar los resultados y procedimientos de los demás problemas.

Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?______________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?______________________________________________________________________________________________________________________________

3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.

Muy útil Útil Uso limitado Pobre

Planteando ecuaciones IPlan de clase (2/4)



Intenciones didácticas: Que los alumnos planteen ecuaciones cuadráticas y las resuelvan mediante procedimientos personales u operaciones inversas.

Consigna: En equipo resuelvan los siguientes problemas. Para ello, planteen y resuelvan una ecuación para cada caso. Si consideran necesario, utilicen su calculadora y traten de justificar sus respuestas.

1. El cuadrado de un número es igual al triple del mismo. ¿De qué número se trata?

2. El cuadrado de un número menos el doble del mismo número es igual a 24. ¿Cuál es ese número?

3. El cuadrado de un número es igual a la tercera parte del mismo más 8. ¿Cuál es ese número?

Consideraciones previas: Las ecuaciones que resultan de los problemas anteriores son cuadráticas y pueden resolverse por ensayo y error, procedimiento muy probable que utilicen los alumnos. Es necesario considerar al menos 15 minutos para la discusión e iniciar con la revisión de las ecuaciones para ver si son iguales, equivalentes o distintas. Después, hay que analizar los procedimientos que usaron para resolverlas.Conviene decir en esta sesión que las tres ecuaciones que resultan son de segundo grado y que a diferencia de las de primer grado, la incógnita está elevada al cuadrado.Una vez que los alumnos son capaces de plantear y resolver problemas como los anteriores, se pueden proponer ejercicios de resolución de ecuaciones como las siguientes:

a) x2 - 4 = 0b) (x - 5)2 = 144c) 2x2 – 8 = 0d) x2 +2x =35






Planteando ecuaciones IIPlan de clase (3/4)



Intenciones didácticas: Que los alumnos formulen la ecuación cuadrática que modela una situación y la usen para calcular datos faltantes empleando procedimientos personales u operaciones inversas.

Consigna. En equipo resuelvan los siguientes problemas. Para ello, planteen y resuelvan una ecuación para cada caso. Si consideran necesario, utilicen su calculadora.

1. El parque de una colonia está ubicado en un terreno cuadrado. Una parte cuadrada del terreno de 50 m por lado se ocupa como estacionamiento y el resto es el jardín con un área de 14 400 m2. Calculen cuánto mide por lado todo el terreno.

Ecuación: _______________

2. A una pieza de cartón de forma cuadrada (Fig. B), se le recortan cuadrados en las esquinas para hacer una caja sin tapa, con las siguientes medidas: Altura = 10 cm; Volumen =1 000 cm3. Calculen la medida por lado del cartón que se necesita para hacer la caja.

Fig. A Fig. B

Ecuación: _______________

Consideraciones previas: Para el primer caso, se espera que los alumnos plateen la ecuación cuadrática x2 – 2 500 = 14 400 y que realicen los cálculos necesarios para determinar el resultado del problema que es 130 m. Es importante hacer notar que la ecuación tiene dos soluciones: x1=130 y x2=-130; sin embargo, sólo una de ellas cumple con las condiciones del problema, puesto que las longitudes no pueden ser negativas. También hay que aprovechar este problema para informar a los alumnos que las ecuaciones de segundo grado pueden tener dos soluciones como en el caso anterior, una solución o ninguna.

x

x

50

50

x

x

El razonamiento para formular la ecuación del segundo problema es más complejo, sin embargo hay que esperar a que los alumnos realicen la tarea por sí solos y sólo brindarles ayuda si es muy necesario. La ecuación que resulta es , misma que si se divide entre 10 se obtiene 100=(x-20)2 y si a ésta se le extrae raíz cuadrada queda así: 10=x-20, de donde resulta que x=30.Es probable que los alumnos obtengan este mismo resultado por otros medios, lo importante es que sepan explicar el procedimiento utilizado y por qué el resultado cumple con las condiciones del problema.


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



De la misma formaPlan de clase (1/4)

Escuela: __________________________________________ Fecha: ___________ Profr. (a): ____________________________________________________________

Curso: Matemáticas 9 Eje temático: FE y MContenido: 9.1.2: Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades.

Intenciones didácticas: Que los alumnos reflexionen sobre las propiedades que guardan los elementos homólogos al construir triángulos semejantes y que adviertan que la congruencia es un caso especial de la semejanza.

Consigna: Equipos resuelvan los siguientes problemas.

1. Cada integrante del equipos construya los triángulos cuyos ángulos midan:

a) 60º, 60º y 60ºb) 90º, 45º y 45ºc) 90º, 60º y 30º

2. Agrupen sus triángulos, de acuerdo con las medidas de sus ángulos. Después contesten: ¿Por qué creen que los triángulos de cada grupo tienen la misma forma? ___________________________________________________________

3. Elijan dos triángulos que tengan la misma forma y hagan lo siguiente:

a) Nombren uno de los triángulos con las letras ABC y al otro con A’B’C’b) Nombren los lados de uno de los triángulos con las letras abc y los lados del

otro con a’b’c’.c) Midan los lados de ambos triángulos y anoten los datos que se piden en la

siguiente tabla.

Triángulo ABC

a= b= c= a/a’= b/b’= c/c’=

Triángulo A’B’C’

a’= b’= c’= a/b= a’/b’=

d) ¿Por qué se puede asegurar que los lados de los triángulos ABC y A’B’C’ son proporcionales? ______________________________________________

Consideraciones previas:En esta actividad se debe dejar la opción a los alumnos de hacer los trazos con el juego geométrico o con un software de geometría dinámica (por ej. Cabri-Géomètre).

Es importante que los alumnos se den cuenta de que dados tres ángulos se obtienen triángulos cuyos lados pueden tener diferentes medidas, pero conservan la misma forma, es decir, son triángulos semejantes.

Al encontrar la razón entre los lados homólogos deberán concluir que se trata de una constante, lo cual indica que las medidas aumentan o disminuyen en la misma proporción.

Es probable que en la construcción de triángulos o en la elección de triángulos para encontrar las razones de lados homólogos, se trate de triángulos de lados iguales, es decir, que tengan la misma forma y el mismo tamaño, si así sucede es importante que los estudiantes analicen sus propiedades y concluyan que también se trata de triángulos semejantes. Si no sucede lo anterior, se sugiere que el profesor proponga dicho análisis, con la intención de que los alumnos adviertan que los triángulos semejantes tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño, que los triángulos congruentes también son semejantes.


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Ampliación de una fotografíaPlan de clase (2/4)



Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen las propiedades de la semejanza al resolver problemas.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema.

Se quiere ampliar una fotografía cuyas medidas son 4 cm de largo por 2 cm de ancho, de tal manera que el homólogo del lado que mide 4 cm, mida 7 cm en la fotografía ampliada, ¿cuánto deberá medir el otro lado?

Consideraciones previas:Es necesario que durante la puesta en común los alumnos expliquen cómo determinaron la medida faltante. Un procedimiento posible es la regla de tres. Otro es buscar la constante de proporcionalidad entre 4 y 7, que es 7/4 y la multipliquen por 2.

En caso de que resuelvan este problema muy rápido y quede tiempo, se les puede pedir que reproduzcan el siguiente rompecabezas (tangram), de manera que el lado que mide 2.5 cm, mida 4 cm en el tangram reproducido.

Si este problema no se concluye en clase, se puede dejar de tarea. Los alumnos podrán comprobar que están bien los trazos que realizaron si las piezas embonan perfectamente.






2..5 cm

Vértices colinealesPlan de clase (3/4)



Intenciones didácticas: Que los alumnos verifiquen que los vértices de rectángulos semejantes que tienen un vértice común, son colineales.

Consigna: En equipos resuelvan el siguiente problema.

Tracen los rectángulos que muestran el tamaño de las fotografías de la sesión anterior sobre el siguiente plano cartesiano, ubicando uno de sus vértices en el origen de éste y tracen otros dos rectángulos semejantes a los dos primeros, de manera que coincidan con el punto (0,0). Expliquen cómo pueden saber que los dos últimos rectángulos son semejantes a los primeros.

Consideraciones previas: Es probable que los alumnos justifiquen la semejanza estableciendo la razón entre los lados de los rectángulos dibujados; sin embargo, también se les puede preguntar qué se observa con respecto a los vértices que no están sobre los ejes del plano y establecer que todos ellos quedan sobre una recta, por lo que son colineales.

También se puede concluir que los segmentos paralelos entre dos líneas secantes son proporcionales; en este caso las secantes son x (eje horizontal) y m (línea) que une los vértices de los rectángulos (Teorema de Tales).

m

x






¿Cómo deben ser las medidas de los lados?Plan de clase (1/6)

Escuela: __________________________________________________ Fecha: __________ Profr. (a): ____________________________________________________________________Curso: Matemáticas 9 Eje temático: FE y M

Contenido: 9.1.3 Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada.

Intención didáctica. Que los alumnos concluyan que para formar un triángulo es necesario que la suma de dos de sus lados sea mayor que el tercer lado.

Consigna 1. Organizados en equipos, realicen la actividad 1 de la ficha “Triángulos con palillos”, págs. 94 y 95, Fichero de actividades didácticas. Matemáticas, secundaria. (VER ANEXO)

Consigna 2. Individualmente dibuja, si es posible, el triángulo DEF con las medidas indicadas en cada inciso. Al terminar contesta las preguntas.

a) DE = 3 cm; EF = 4 cm y FD = 5 cmb) DE = 4 cm; EF = 5 cm y FD = 10 cmc) DE = 5 cm; EF = 7 cm y FD = 5 cmd) DE = 8 cm; EF = 3 cm y FD = 4 cm

a) ¿En cuáles casos no pudiste construir el triángulo solicitado? ¿A qué crees que se debe? ________________________________________

b) Da dos ejemplos diferentes donde no se pueda construir un triángulo y explica por qué._____________________________________________

Consideraciones previas.

Para realizar las actividades correspondientes a este apartado es necesario que los alumnos usen su juego de geometría, tijeras y en especial para este plan se necesitan palillos.Se pretende que los alumnos analicen cuándo es posible formar triángulos y cuándo no. Es necesario que los alumnos se den cuenta de qué condiciones deben cumplir las medidas de los lados para construir un triángulo y las enuncien con sus propias palabras: “la suma de las medidas de dos lados cualesquiera de un triángulo debe ser mayor que la medida del tercer lado”, o bien, “la suma de las medidas de los dos lados menores debe superar la medida del lado mayor”.

Se anexa la ficha indicada en la consigna 1, como ANEXO 1


4. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?________________________________________________________________________________________________________________________________________________



ANEXO 1 DEL PLAN (1/6)

Fíjate en los ladosPlan de clase (2/6)



Intención didáctica: Que los alumnos enuncien el criterio de congruencia de triángulos basado en la medida de sus tres lados (LLL).

Consigna. Organizados en equipos, construya cada uno un triángulo con la medida de los segmentos que se dan enseguida, recorten sus triángulos y compárenlos con los de sus compañeros de equipo. Después contesten las preguntas.

a) ¿Los triángulos dibujados por cada uno de ustedes fue igual al de sus compañeros de equipo?_______________________________________

b) Si hubo diferencias, analicen sus trazos y digan a qué se debieron.__________________________________________________

c) ¿Serán iguales los triángulos que ustedes trazaron con los trazados por el resto de sus compañeros de grupo?______ ¿Por qué?____________

d) ¿Dada la medida de los tres lados es suficiente para obtener triángulos iguales? ___________________________________________________

Consideraciones previasEn esta actividad es importante que los alumnos observen que sus triángulos son iguales, no importa la posición en que los hayan dibujado (aquí se puede insistir que la posición no determina la igualdad o no de dos o más figuras). Asimismo, será necesario que todos los alumnos concluyan que si los tres lados de dos triángulos tienen la misma medida, entonces ambos triángulos son congruentes. Es necesario pedir juego de geometría y tijeras. Antes de llegar a esta conclusión el maestro puede cuestionarlos acerca de si creen que sea posible obtener un triángulo diferente, dadas las medidas de los tres lados.





Con dos lados y un ánguloPlan de clase (3/6)



Intención didáctica: Que los alumnos enuncien el criterio de congruencia de triángulos basado en la medida de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (LAL).

Consigna 1. Organizados en equipos, cada uno construya un triángulo con los segmentos que aparecen enseguida de manera que entre ellos formen un ángulo de 60°. Comparen sus triángulos y digan qué sucedió.

Consigna 2. Con los mismos datos dibujen un triángulo diferente al anterior. Comenten con sus compañeros de equipo qué sucedió y por qué.

Consideraciones previas:Tal vez los alumnos digan que si el ángulo señalado se traza del lado izquierdo es diferente que si se traza del lado derecho. Será necesario cuestionarlos hasta que lleguen a la conclusión de que este hecho no importa.Una vez realizado este ejercicio será necesario que concluyan que dadas estas tres condiciones (la medida de dos lados y el ángulo que forman entre ellos) siempre se obtendrán triángulos iguales. Éste es otro criterio de congruencia. En caso de que el ejercicio se realice rápido y haya tiempo, se les puede pedir que un alumno dé la medida de dos segmentos y el ángulo que forman entre ellos, para que sus compañeros tracen el triángulo correspondiente y lo comparen. Pedir para esta clase su juego de geometría y tijeras.






Con dos ángulos y un ladoPlan de clase (4/6)



Intención didáctica: Que los alumnos, con base en las actividades realizadas, enuncien de manera precisa la congruencia de triángulos a partir de la medida de dos ángulos y el segmento entre ellos (ALA).

Consigna 1: Organizados en parejas, construyan un triángulo con el segmento AC y los ángulos que se indican. Al terminar, compárenlo con el de otras parejas poniéndolos a contraluz.

A_______________________C A = 40° C = 70°

Consigna 2: Cada integrante de la pareja dibuje un triángulo cualquiera. Después, cada uno anote en un papelito tres medidas del triángulo que construyó para que con esta información la pareja pueda construir un triángulo igual. Comparen los triángulos para ver si efectivamente son iguales.

Consideraciones previas:Es probable que algún alumno no sepa dónde y cómo trazar los ángulos que se indican, así que se les puede ayudar indicándoles cómo hacerlo. Antes de realizar la actividad de la consigna dos, posiblemente consideren que si cambian de posición los ángulos, es decir que A = 70° y C = 40°, obtengan un triángulo diferente al anterior. Conviene que verifiquen si esto es cierto y, si es necesario, pedirles que recorten el triángulo y lo comparen con el anterior. De esta manera se debe llegar a la conclusión de que dada la medida de dos ángulos y el segmento entre éstos, se obtienen triángulos congruentes. No olvidar pedir juego de geometría y tijeras.La segunda consigna es para que concluyan que con tres medidas de un triángulo dado se puede construir otro triángulo congruente, siempre y cuando las tres medidas no sean los tres ángulos. Si es necesario hay que ayudarlos a formular esta conclusión.

Se anexa la hoja de trabajo de Emat “Figuras directa o inversamente congruentes”, pá16ágs.124 y 125, para trabajar con Cabri. ANEXO 2




ANEXO 2 DEL PLAN (4/6)

Con la misma formaPlan de clase (5/6)



Intenciones didácticas: Que los alumnos enuncien los criterios de semejanza de triángulos a partir de las construcciones y la discusión acerca de la existencia y la unicidad.

Consigna: De manera individual traza, sobre una hoja blanca, un triángulo equilátero. Cuando termines el trazo, haz lo que se indica más abajo.

a) Reúnanse en equipos y comparen sus triángulos. Verifiquen que, aunque sean de distintos tamaños, todos son semejantes porque tienen la misma forma. ¿A qué creen que se debe que todos son semejantes? _______________________

b) Tomen dos de los triángulos que construyeron y contesten las siguientes preguntas:¿Cuál es la razón entre los lados de esos triángulos? ______________¿Cuál es la razón entre sus perímetros? ___________¿Cuál es la razón entre sus áreas? _____________

c) Construya cada quien un cuadrado, procurando que sean de distintos tamaños, después contesten las siguientes preguntas:

¿Por qué creen que todos los cuadrados que construyeron son semejantes? Consideren solamente dos cuadrados para contestar lo siguiente:

¿Cuál es la razón entre sus lados? ________________¿Cuál es la razón entre sus perímetros? ______________¿Cuál es la razón entre sus áreas? ________________

Consideraciones previas: La idea de iniciar el estudio de este apartado con el análisis de dos figuras regulares (lados y ángulos iguales), es que los alumnos tengan una idea general de lo que es la semejanza (figuras que tienen la misma forma), para después analizar algunos casos particulares. Es probable que varios alumnos pregunten qué es razón, ante lo cual hay que recordarles que una razón es un cociente entre dos cantidades. Por ejemplo, si un lado de un triángulo equilátero mide 3 cm y un lado de otro triángulo equilátero mide 5 cm, la razón entre los lados es 3/5 o bien 5/3, dependiendo de cuál triángulo se toma como punto de partida.A los alumnos les llamará la atención el hecho de que la razón entre los perímetros sea la misma que la razón entre los lados, pero no sucede lo mismo con la razón entre las áreas. Hay que pedirles que traten de explicar a qué se debe esto.



2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Una razón constantePlan de clase (6/6)



Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen la relación que existe entre las medidas de los lados homólogos de dos triángulos semejantes.

Consigna: De manera individual traza, en una hoja blanca, un triángulo escaleno (tres lados desiguales) cuyos ángulos midan respectivamente 80°, 60° y 40°. Cuando termines tu trazo, haz y contesta lo que se indica en seguida.

a) Reúnete con tu equipo y comparen sus triángulos.b) ¿Por qué creen que resultaron semejantes? ______________________________________________________________________________________________c) Tomen dos triángulos cualesquiera de los que construyeron, identifiquen los

lados correspondientes y márquenlos como se indica en el siguiente dibujo. Después, calculen las razones expresadas con letras.

=

=

=

d) ¿Cuál es la razón entre los lados correspondientes de los triángulos que trazaron? _________________

e) ¿Cuál es la razón entre los perímetros? _______________________________f) ¿Cuál es la razón entre las áreas? ___________________________________

Consideraciones previas: Es importante que durante la puesta en común se explicite el hecho de que, en dos o más triángulos que son semejantes se cumplen dos propiedades importantes:Primera: sus ángulos son respectivamente igualesSegunda: la razón entre sus lados correspondientes es constante.Esta segunda propiedad puede expresarse con letras de la siguiente manera:

= =


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?

B

CA

B’

C’A’

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Diferentes representaciones de la misma situaciónPlan de clase (1/2)

Escuela: __________________________________________________ Fecha: __________ Profr. (a): __________________________________________________________________Curso: Matemáticas 9 Eje temático: MI

Contenido: 9.1.4 Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas), que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad.

Intenciones didácticas: Que los alumnos calculen el valor faltante en una gráfica cartesiana y logren identificar la variación directa en diversas representaciones.

Consigna: Reunidos en equipos resuelvan los siguientes problemas:1) Con base en la gráfica de la travesía de una moto de carreras que va a

una velocidad constante y se encuentra en determinado momento en el punto A (abscisa 20, ordenada 50) contesten las siguientes preguntas:

¿Cuál es el valor de la ordenada del punto cuya abscisa es 1?_________

¿Cuál es la constante de proporcionalidad?____________________

¿Cuál es la expresión algebraica que corresponde a esta gráfica?____________________________

10 20 30

10

20

30

40

50

X

y A

2) ¿Cuál de las siguientes situaciones puede asociarse con la representación anterior? _____________________________

a) Luis tiene 50 años de edad y su hija Diana 20 ¿Qué edad tenía Luis cuando su hija tenía 1 año?

b) En una librería hay una pila de 20 libros iguales que alcanzan una altura de 50 cm. ¿De qué grosor es cada libro?

Consideraciones previas: Si es necesario, en el problema 1, propiciar que los alumnos reflexionen sobre la obtención de la constante de proporcionalidad y la expresión algebraica. En el problema 2 sugerirles que usen la misma representación gráfica del problema 1 para validar los resultados a) y b) antes de responderlo. Si el tiempo lo permite, plantear otros problemas usando la misma gráfica, considerando que el eje de las x corresponda al tiempo (minutos) y el eje de las y, a la distancia (kilómetros) tales como:

a) ¿Cuál es la distancia que recorrió la moto a los 10 minutos?b) ¿Cuánto tiempo empleó en recorrer 40 km? c) ¿Cuál es la velocidad constante a la que se desplaza esta moto?

Observaciones posteriores

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



¿Cuáles son directamente proporcionales?Plan de clase (2/2)

Escuela: __________________________________________________ Fecha: __________ Profr. (a): __________________________________________________________________Curso: Matemáticas 9 Eje temático: MI

Contenido: 9.1.4 Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas), que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad.

Intenciones didácticas: Que los alumnos calculen el valor faltante en tabulaciones y a partir de expresiones algebraicas; asimismo, logren identificar la variación directa en diversas representaciones.

Consigna 1. En equipos resuelvan el siguiente problema: Un automóvil viaja a una velocidad constante, algunas distancias y tiempos de recorrido se muestran en la tabla. Completa los datos que hacen falta en ella y contesta las preguntas.

Tiempo (h)

1.5 3 5

Distancia(km)

240 720

¿Cuál es la constante de proporcionalidad?_____________________

¿Cuál de las siguientes expresiones d = 40t; d= 80t; d= 120t es la que corresponde? ________________________Argumenten su respuesta ________________________________________________

Con base en la expresión algebraica identificada, calculen la distancia recorrida por el automóvil en:

a) 10 horas ________________________________b) 12 horas y media ______________________________

Consigna 2. Dadas las siguientes situaciones identifiquen las que son variación proporcional directa y argumenten sus respuestas.

a) En la taquería de la esquina tienen esta tabla para calcular el precio de los tacos:

b) El número de obreros que se necesitan para la construcción de una casa en un tiempo flexible se muestra en la siguiente gráfica:

tacos Precio ($)

3 125 208 32

c) La fórmula para calcular el 30% de descuento en una tienda está dada por la

expresión y = 0.30x

Consideraciones previas:Tener en cuenta que el inciso b) de la consigna 2 es variación inversa y si es necesario, ayudar a los alumnos a reflexionar en esta actividad.Si el tiempo lo permite, para el caso del inciso a, se les puede pedir a los alumnos que construyan la gráfica y determinen la expresión algebraica que representa la relación de los datos. En el caso del inciso c, se les puede pedir que construyan una tabla y una gráfica que representa dicha expresión algebraica.

Observaciones posteriores

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Plan de clase (1/3)

Escuela: _________________________________________ Fecha: _____________________Profesor (a): __________________________________________________________________

tiempo

obre

ros

Curso: Matemáticas 9 Eje temático: MIContenido: 9.1.5 Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas.

Intenciones didácticas: Que los alumnos relacionen dos conjuntos de datos que guardan una relación cuadrática e identifiquen la expresión que modela dicha relación.

Consigna: En equipos resuelvan el siguiente problema:

Un helicóptero dejó caer un automóvil desde una altura de 245 metros. Algunos datos que se registraron son los siguientes:

a)b)c)

a) De acuerdo con la información, completen la siguiente tabla:

Tiempo Distancia de caída Altura a la que se encuentra el automóvil

0 0 2451 5 2402 203 454 80567

b) ¿Cuánto tiempo tardó el auto en llegar al suelo? ___________

c) ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular la distancia de caída (d) en función del tiempo transcurrido (t)? ________ Justifiquen su respuesta.

Consideraciones previas:La finalidad de la pregunta del inciso b es que los alumnos, por sí solos, encuentren la relación que hay entre las dos primeras columnas de la tabla, siendo conscientes de que no es fácil encontrar dicha relación. En todo caso, el inciso c permitirá a los alumnos probar las fórmulas que se proponen y encontrar la que permite relacionar el tiempo con la distancia de caída. Una vez encontrada la fórmula , es necesario que los alumnos prueben que funciona en todos los casos y después explicarles que en dicha fórmula hay una constante (5) que tiene que ver con la fuerza de gravedad.

Tiempo transcurrido (seg) 0 1 2 3 4Distancia de caída (m) 0 5 20 45 80


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Plan de clase (2/3)



Intenciones didácticas: Que los alumnos relacionen dos conjuntos de datos que guardan una relación cuadrática y determinen la expresión que modela dicha relación.

Consigna: Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema: Cuando se proyecta una película, el área de la imagen depende de la distancia entre el proyector y la pantalla, como se ilustra a continuación.

a) .Escriban la expresión algebraica que muestre la relación entre las distancias y las áreas. ________________________

b) Anoten los datos que hacen falta en la siguiente tabla.

Distancia entre el proyector y la pantalla (m)

1.5 2.5 3.5 4.5

Área de la imagen (m2)

c) Utilicen la expresión anterior para encontrar a qué distancia se debe colocar el proyector de manera que el área de la imagen sea de 24.01 m2.

d = ______________

Consideraciones previas:

Distancia entre el proyector y la pantalla (m)

1 2 3

Área de la imagen en m2 4 16 36

1 m2 m

3 m

Es probable que los alumnos no tengan mucha dificultad para encontrar la relación entre las variables que intervienen en este problema, puesto que es muy similar a la que se encontró en la sesión anterior. Para gestionar la actividad adecuadamente, es necesario que primero se encuentre la expresión algebraica, con base en la información de la primera tabla, y después se use para encontrar los datos que faltan en la segunda tabla.

En el inciso c se trata de ver cómo los alumnos manejan la fórmula encontrada para encontrar la distancia cuando se conoce el área. El despeje que deben hacer no es simple pero ya se ha estudiado anteriormente.


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Plan de clase (3/3)



Intenciones didácticas: Que los alumnos expresen algebraicamente relaciones de variación cuadrática.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas:

1. Se tiene un cuadrado que tiene por lado x cm, ¿cuál es la expresión algebraica que permite determinar el área (y)? _____________________ Si al cuadrado se le aumentan 2 cm en una de las dimensiones y 3 cm en la otra dimensión, ¿cuál es la expresión que determina el área (y) del rectángulo que se ha formado? ___________________________________________

2. En la escuela se organizó un torneo de Voleibol. Antes de iniciar un partido entre dos equipos de 10 integrantes cada uno, los jugadores de cada equipo saludarán a todos los elementos del equipo contrario.a) ¿Cuántos saludos se realizan en total? ____________________________________b). Si uno de los equipos tiene nueve integrantes, ¿cuántos saludos se realizaran en total? ________________________________________c) ¿Qué expresión algebraica permite obtener el total de saludos (y), si uno de los equipos tiene x cantidad de integrantes y otro tiene un jugador menos? _________________________

3. Se tiene un rectángulo que tiene un perímetro de 20 metros, el cual tiene un lado de longitud x metros. Escriban una expresión algebraica que represente la variación del área (y) en función de x. ________________________________________________________

Consideraciones previas:

Dado un tiempo razonable, si los equipos tienen problemas para construir estrategias para llegar a las soluciones de los problemas, se les puede sugerir que utilicen tablas con los valores de las variables o bien algún dibujo que representa la situación.

Para el primer problema, una tabla como la siguiente permite deducir más fácilmente la relación de las variables.

Medida de un lado del cuadrado

Área del cuadrado

2 cm 4 cm2

3 cm 9 cm2

5 cm 25 cm2

x cm ¿ ?

Para el tercer problema un dibujo como el siguiente permite comprender mejor el problema y empezar a deducir la expresión del otro lado del rectángulo en función de x. El otro lado puede escribirse como 10 - x.

Es importante subrayar que las expresiones que se piden en los problemas pueden escribirse de formas diferentes:

(x) (x) o bien x2

(x + 2) (x + 3) o bien x2 + 5x + 6

x (x – 1) o bien x2 – x

x (10 – x) o bien 10x – x2

Antes esta situación, se puede pedirles que resuelvan los factores para verificar su equivalencia con la otra expresión o bien pedirles que construyan una tabla con diferentes valores para la literal en cada expresión y que comparen los resultados, éstos deben ser iguales si las expresiones son equivalentes.

__?__

__?____?__

__x__

y = _________


7. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Polígonos semejantesPlan de clase (4/4)



Intenciones didácticas: Que los alumnos usen las propiedades de la semejanza al construir dos polígonos semejantes.

Consigna: En equipos, construyan un pentágono regular semejante al que aparece abajo, pero cuyos lados midan el doble; tomen como referencia el punto E”.

a) Comparen los

lados homólogos de ambos polígonos y escriban el factor de proporcionalidad entre ellos. Después digan cómo son los ángulos correspondientes entre ambos polígonos.

Consideraciones previas:Nuevamente los alumnos deberán concluir que el factor de proporcionalidad de los lados homólogos es constante y que los ángulos correspondientes entre ambos polígonos son iguales.

También se les puede pedir que unan el punto O con los demás puntos del polígono dado y con sus homólogos del polígono que trazaron y observen que nuevamente se obtienen segmentos proporcionales entre dos secantes.

Se sugiere realizar la actividad “El pantógrafo” del fichero de actividades págs. 108 y 109.

Inventando problemasPlan de clase (4/4)



Intenciones didácticas: Que los alumnos traduzcan al lenguaje común ecuaciones cuadráticas y las resuelvan usando procedimientos personales u operaciones inversas.

Consigna: Organizados en parejas, inventen un problema que se pueda resolver con cada una de las ecuaciones presentadas. Resuelvan y comprueben resultados. Pueden utilizar calculadora.

a) x ( x +3) = 270

b) a2 +a = 132

c) 3n2-n=102

Consideraciones previas: La traducción de una ecuación a un problema no es una tarea sencilla pero es importante que los alumnos la llevan a cabo, con el fin de que le busquen sentido a una expresión algebraica.Los problemas inventados pueden corresponder a diferentes contextos tales como, cálculo de áreas, edades, números, dinero, etcétera, sin embargo, para una misma ecuación, los problemas siempre tendrán la misma estructura. Por ejemplo, para la del inciso a, los problemas pueden ser:

- El largo de un rectángulo mide tres unidades más que el ancho y el área es 270 m2, ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

- El producto de dos números es 270. Si uno es tres unidades mayor que el otro, ¿cuáles son los números?

- Juan es tres años mayor que su hermano Luis. Si el producto de sus edades es 270, ¿qué edad tiene cada uno?

Los procedimientos para resolver las ecuaciones pueden ser todavía de ensayo y error, es hasta el siguiente bloque cuando se empieza el estudio de procedimientos más sistemáticos.





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