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Matemáticas. 6. El espacio afín euclídeo. 1
6. EL ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO.
Vectores fijos y vectores libres.
• Un vector fijo AB es un par ordenado (A, B), donde A y B son puntos del espacio or-dinario, E3. A se denomina origen del vector, y B extremo.
• Un vector fijo puede representarse mediante un segmento orientado: B A
Se denomina módulo de AB , y se designa por AB a la longitud del segmento AB .
Se denomina dirección de AB a la de la recta que contiene al segmento AB . Si dos vectores tienen la misma dirección: – Si están en rectas paralelas, se dice que tienen el mismo sentido cuando las diagonales del paralelogramo que determinan unen el extremo de cada vector con el origen del otro, y que tienen distinto sentido cuando unen el extremo de uno con el del otro y el origen de uno con el del otro. – Si están en la misma recta, puede aplicarse el criterio anterior trazando en una recta auxiliar paralela un vector de comparación.
• Se dice que dos vectores fijos son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido. La relación de equipolencia entre vectores fijos es una relación de equivalencia, ya que tiene las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.
Se define el vector libre asociado al vector fijo AB como el conjunto de todos los vectores equipolentes a AB , y se dice que AB es un representante de dicho vector libre. El módulo, dirección y sentido de un vector libre se define como el de uno cualquiera de sus representantes. El conjunto formado por los vectores libres del espacio se designa por V3. A menudo, nos referimos a un vector libre con la palabra “vector” únicamente.
• Suma de vectores libres.– Dados dos vectores libres de V3, ar
y b , para sumarlos se toma un representante de cada uno de ellos,
r
AB y CD , y se representan de modo que el origen de CD coincida con el extremo de AB . ba
rr+ es el vector libre asociado al vector
fijo AD :
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Puede comprobarse que ( )+,V 3 es un grupo conmutativo.
• Producto de un número real por un vector libre.– Dados ℜ∈λ y 3Va ∈r
, para realizar el producto a
r⋅λ se toma un representante de a
r y se dibuja un vector de módulo
a⋅λr
y de igual dirección, y cuyo sentido es el mismo que el de ar
si λ > 0 y es el contra-rio si λ < 0. a
r⋅λ es el vector libre asociado al vector así dibujado.
Puede comprobarse que ( )∗+,,V 3 es un espacio vectorial.
• Consideremos la aplicación , que le asocia a cada par de puntos de
E
333 VEE: a×ϕ3, (A, B), el vector libre de V3 formado por todos los vectores fijos equipolentes a AB .
La aplicación ϕ tiene las siguientes propiedades: – Dados un punto 3EP ∈ y un vector libre 3Vv ∈
r, existe un único punto Q en E3 tal
que . ( ) vQ,Pr
=ϕ
– ( ) 0B,Ar
=ϕ si, y sólo si, A = B.
– Dados tres puntos , se verifica que 3EC,B,A ∈ ( ) ( ) ( )C,AC,BB,A ϕ=ϕ+ϕ .
Debido a estas propiedades, se dice que ( )ϕ,V,E 33 es un espacio afín.
Sistemas de referencia.
• Sea O un punto de E3 y sea { }321 u,u,urrr
una base de V3. El conjunto formado por O y { 321 u,u,u }rrr
se denomina sistema de referencia.
El punto O recibe el nombre de origen del sistema de referencia. Los ejes de coordenadas son las rectas paralelas a los vectores 321 u,u,u
rrr que se cortan en
el origen del sistema. Los planos coordenados son los planos determinados por cada par de ejes de coordenadas.
• Se denomina vector de posición de un punto P respecto del sistema de referencia al vector libre formado por los vectores equipolentes al vector fijo OP , que suele designarse por
r. p
De este modo, queda establecida una aplicación , ya que, definido un siste-ma de referencia, a cada punto P del espacio le corresponde un vector de posición p .
330 VE: aϕ
r
• Dado un punto P, su vector de posición pr
siempre podrá expresarse como combina-ción lineal de los vectores que forman la base del sistema de referencia:
332211 uxuxuxprrrr
++= .
Los números reales x1, x2, x3, que son las componentes de pr
respecto de la base { 321 u,u,u }rrr
, reciben el nombre de coordenadas del punto P respecto del sistema de refe-rencia. De este modo, queda establecida una aplicación , donde designa al pro-ducto cartesiano
33V: ℜΨ a 3ℜℜ×ℜ×ℜ , ya que a cada vector de V3 le corresponde una terna (x1, x2,
x3). Asimismo, queda establecida una aplicación , ya que a cada punto de E33E: ℜφ a 3 le corresponde una terna (x1, x2, x3).
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• En la práctica, no se suele hacer distinción entre un punto del espacio y sus coordena-das, o entre un vector y sus componentes. Así, se habla de “puntos de ” y de “vectores de ”.
3ℜ3ℜ
Base ortonormal. Orientación.
• Se dice que dos vectores de V3 son ortogonales o perpendiculares cuando el coseno del ángulo que forman dos cualesquiera de sus representantes fijos es 0. • Dada una base de V3, { 321 u,u,u }rrr
, se dice que es ortogonal cuando los vectores que la forman son ortogonales dos a dos. Dada una base de V3, { 321 u,u,u }rrr
, se dice que es normada cuando los vectores que la for-man son unitarios. Dada una base de V3, { 321 u,u,u }rrr
, se dice que es ortonormal cuando es ortogonal y norma-da.
• Se dice que una base ortogonal está orientada positivamente cuando al llevar uno de los vectores que la componen sobre otro de ellos, por el camino más corto, el sentido del tercero de los vectores viene dado por la regla del destornillador. En caso contrario, se dice que está orientada negativamente. En lo sucesivo, nos referiremos únicamente a vectores de V3, cuyas componentes vendrán dadas respecto de una base ortonormal orientada positivamente.
• Los vectores de la base canónica de , (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1), también suelen designarse por
3ℜir
, jr
y kr
, respectivamente.
Módulo de un vector.
• Como ya se ha visto, el módulo de un vector de V3 es igual a la longitud de cualquiera de sus representantes fijos. Dado un vector de V3, ( 321 a,a,aa = )r
, su módulo puede calcularse analíticamente median-te la expresión:
23
22
21 aaaa ++=
r
• Normalizar un vector consiste en conseguir un vector unitario con su misma dirección y sentido. Dado un vector a
r, siempre es posible normalizarlo del siguiente modo:
aa1ua
rr
r⋅= ,
donde aur
es dicho vector unitario.
Producto escalar.
• Dados 3Vb,a ∈rr
, se define su producto escalar como:
θ⋅⋅=⋅ cosbabarr
siendo θ ≡ ángulo formado por a
r y b .
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El resultado del producto escalar de dos vectores es, entonces, un número real.
• El producto escalar tiene las siguientes propiedades: – Conmutativa: . abba
rrrr⋅=⋅
– Distributiva respecto de la suma de vectores: ( ) ( ) cbacbarrrrrr
⋅+=+⋅ .
– Homogénea: ( ) ( ) ( )babarrrr
⋅λμ=μ⋅λ , para cualesquiera números reales λ y μ.
– Positiva: 0aa >⋅rr
para cualquier vector 0arr
≠ .
• El número real aarr
⋅ se representa por 2ar
, y se denomina cuadrado escalar de ar
.
Se cumple que 2aarr
= .
• Se verifica que dos vectores 3Vb,a ∈rr
son ortogonales si, y sólo si, 0ba =⋅rr
.
• Se verifica que:
332211 babababa ⋅+⋅+⋅=⋅rr
Entonces, el ángulo formado por dos vectores puede calcularse mediante la expresión:
23
22
21
23
22
21
332211
bbbaaa
bababab,acos
++⋅++
++=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ∧rr
• Las componentes de un vector ar
respecto de una base { }321 u,u,ur rr
cumplen que:
11 uaarr
⋅= , 22 uaarr
⋅= , 33 uaarr
⋅=
• Dados dos vectores 3Vb,a ∈rr
, la proyección de ar
sobre br
se puede calcular por la expresión:
b
baaproyb r
rrr
r
⋅=
• La terna ( )( )ϕ,V,E 33 , en la que E3 representa el conjunto de puntos del espacio ordina-rio, (V3) el conjunto de los vectores libres del espacio dotado del producto escalar, y la aplicación le asocia a cada par de puntos de E333 VEE: a×ϕ 3, (A, B), el vector libre
de V3 formado por todos los vectores fijos equipolentes a AB , es un espacio afín euclídeo.
Producto vectorial.
• Dados dos vectores 3Vb,a ∈rr
, se define el producto vectorial de ar
y b , que se designa por o , como el vector libre que cumple las siguientes condiciones:
r
barr
∧ barr
×
– Su módulo es igual a θ⋅⋅ senbarr
, siendo θ el ángulo formado por ambos vectores.
– Su dirección es perpendicular a ar
y br
.
– Su sentido viene dado por la regla del destornillador según el giro de ar
sobre b . r
• Propiedades del producto vectorial: – Anticonmutativa: ( )abba
rrrr∧−=∧ .
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– Para cualquier número real λ: ( ) ( ) ( )bababarrrrrr
∧λ=λ∧=∧λ – Distributiva respecto de la suma de vectores:
( ) cabacbarrrrrrr
∧+∧=+∧ y ( ) acabacbrrrrrrr
∧+∧=∧+ – No tiene la propiedad asociativa.
• Teorema (expresión analítica del producto vectorial).– Se cumple que:
321
212
13
131
32
32 ubbaa
ubbaa
ubbaa
barrrrr
⋅+⋅+⋅=∧
• Si OA y OB son representantes fijos de ar
y br
con origen en el punto O, entonces barr
∧ es el área del paralelogramo determinado por OA y OB .
• Dados tres puntos del espacio, A, B y C, con vectores de posición ar
, y br
cr
, respecti-
vamente, el área del triángulo ABC es igual a ( ) ( )2
acabr r rr
−∧− .
Producto mixto.
• Dados tres vectores 3Vc,b,a ∈rrr
, se define el producto mixto de ar
, y cbr r
que se de-signa por [ ]c,b,a
rrr, como:
[ ] ( )cbac,b,arrrrrr
∧⋅=
• Propiedades del producto mixto: – Si ó 0a
rr= 0b
rr= ó , entonces 0c
rr= [ ] 0c,b,a =
rrr.
– Si ar
, y cbr r
son tres vectores no nulos, [ ] 0c,b,a =rrr
si, y sólo si, ar
, y br
cr
son copla-narios.
– Si ar
, y br
cr
son tres vectores no nulos, [ ] 0c,b,a =rrr
si, y sólo si, ar
, y cbr r
son lineal-mente dependientes.
– [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]a,b,cb,c,ac,a,bb,a,ca,c,bc,b,arrrrrrrrrrrrrrrrrr
−=−=−=== .
– [ ] [ ] [ ]c,b,'ac,b,ac,b,'aarrrrrrrrrr
+=+ ;
[ ] [ ] [ ]c,'b,ac,b,ac,'bb,arrrrrrrrrr
+=+ ;
[ ] [ ] [ ]'c,b,ac,b,a'cc,b,arrrrrrrrrr
+=+ .
– Si , ℜ∈λ [ ] [ ] [ ] [ ]c,b,ac,b,ac,b,ac,b,arrrrrrrrrrrr
⋅λ=⋅λ=⋅λ=⋅λ .
• Teorema (expresión analítica del producto mixto).– Se cumple que:
[ ]321
321
321
cccbbbaaa
c,b,a =rrr
Matemáticas. 6. El espacio afín euclídeo. 6
• Si OA , OB y OC son representantes de ar
, br
y cr
con origen en el punto O, entonces el valor absoluto de [ ]c,b,a
rrr es el volumen del paralelepípedo determinado por OA , OB y
OC .
• Dados cuatro puntos del espacio A, B, C y D, con vectores de posición ar
, , br
cr
y dr
,
el área del tetraedro ABCD es igual a [ ]ad,ac,ab61 rrrrrr
−−−⋅