matematicas iii

Matemticas IIITercer semestre

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Queda prohibida la reproduccin o transmisin total o parcial del texto de la presente obra, bajo cualquier forma electrnica o mecnica, incluyen-do fotocopiado, almacenamiento en cualquier sis-tema de recuperacin de informacin o grabado sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

5 edicinAgosto de 2014Impreso en Mxico

Direccin y realizacin del proyecto Planeacin y coordinacin!"#$%& Metodologa y estrategia didctica''%()*&+#$%&

Agradecimientos a',+*-.',,/&+

ISBN: 978-607-8378-90-6

Matemticas IIITercer semestre

3')&0-,+*

La Educacin Media Superior (EMS) en Mxico enfrenta desafos que podrn ser

permita a sus distintos actores avanzar ordenadamente hacia los objetivos propuestos. Es importante saber que la EMS en el pas est compuesta por una serie de subsis-temas que operan de manera independiente, sin correspondencia a un panorama

encontrar los objetivos comunes de esos subsistemas para potenciar sus alcances y lograr entre todos reglas claras de operacin. Es importante para el desarrollo de la EMS que docentes y estudiantes conozcan los ejes que la regulan, cmo opera y los retos que enfrenta en la actualidad para asumir una actitud que nos permita coadyuvar en este esfuerzo.

Los subsistemas de la EMS han realizado cambios en sus estructuras, los cua--cin a la que atiende ( jvenes entre los 15 y 21 aos, aproximadamente) adquiriera conocimientos y habilidades que les permitan desarrollarse de manera satisfactoria, ya sea en sus estudios superiores o en el trabajo y, de manera ms general, en la vida. En esta misma lnea, no se debe perder de vista el contexto social de la EMS: de ella egresan individuos en edad de ejercer sus derechos y obligaciones como ciudadanos -rn su desarrollo personal, una serie de actitudes y valores que tengan un impacto positivo en su comunidad y en el pas en su conjunto.

Es en este contexto que las autoridades educativas del pas han propuesto la Reforma Integral de la Educacin Media Superior (RIEMS), cuyos objetivos consisten en dar identidad, calidad, equidad y pertinencia a la EMS, a travs de mecanismos que permitan articular los diferentes actores de la misma en un Sistema Nacional de Bachillerato dentro del cual se pueda garantizar, adems, el trnsito de estudiantes,

Lo anterior ser posible a partir del denominado Marco Curricular Comn (MCC) de la RIEMS, el cual se desarrolla considerando el modelo de competencias, y que incluye: competencias genricas, competencias disciplinares (bsicas y exten-didas) y competencias profesionales (bsicas y extendidas). Esta estructura permite observar de manera clara los componentes comunes entre los diversos subsistemas, as como aquellos que son propios de cada uno y que, por consiguiente, los hacen distintos. Lo anterior muestra cmo la RIEMS respeta la diversidad del nivel educati-vo del pas, pero hace posible el Sistema Nacional del Bachillerato, conformado por las distintas instituciones y subsistemas que operan en nuestro pas.

1# -

Competencias genricasCompetencias disciplinares bsicas

Competencias disciplinares extendidas

Competencias Profesionales extendidasCompetencias profesionales bsicas

Competencias profesionales extendidas

4Una competencia es la integracin de habilidades, conocimientos y actitudes -mas de estudio y se adapta a sus objetivos; no busca reemplazarlos, sino comple-!""#

pertinente el currculo de la EMS.

Nuestro subsistema pertenece al conjunto de los que ofrecen bachillerato gene-$%%&"-tudiantes capacidades que les permitan adquirir competencias genricas, competencias disciplinares bsicas y extendidas, adems de competencias profesionales bsicas.

Las competencias genricas son las que todos los bachilleres deben estar en '#

l; les capacitan para continuar aprendiendo de forma autnoma a lo largo de sus

*

-cazmente en los mbitos social, profesional y poltico. Dada su importancia, dichas +

del egresado del Sistema Nacional de Bachillerato. A continuacin se listan las once competencias genricas, agrupadas en sus categoras correspondientes:

+&2

1) Se conoce y valora a s mismo, y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

2) Es sensible al arte y participa en la apreciacin e interpretacin de sus expresiones en distintos gneros.

3) Elige y practica estilos de vida saludables.

+8*&

4) Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacin de medios, cdigos y herramientas apropiados.

2:8#&

5) Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mtodos establecidos.

6) Sustenta una postura personal sobre temas de inters y relevancia general,

#

$*)&-&

7) Aprende por iniciativa e inters propio a lo largo de la vida.

>)&>#

8) Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

**>

9) Participa con una conciencia cvica y tica en la vida de su comunidad, regin, Mxico y el mundo.

10) Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prcticas sociales.

11) Contribuye al desarrollo sustentable de manera crtica, con acciones responsables.

5Las competencias disciplinares son las nociones que expresan conocimien-tos, habilidades y actitudes que consideran los mnimos necesarios de cada campo &

contextos y situaciones a lo largo de la vida. Las competencias disciplinares pueden ser bsicas o extendidas.

Las competencias disciplinares bsicas procuran expresar las capacidades que todos los estudiantes deben adquirir, independientemente del plan y programas de estudio que cursen y la trayectoria acadmica o laboral que elijan al terminar sus estudios de bachillerato. Las competencias disciplinares bsicas dan sustento a la & +

de egreso de la EMS y pueden aplicarse en distintos enfoques educativos, conteni-dos y estructuras curriculares; se organizan en los campos disciplinares siguientes: Matemticas, Ciencias Experimentales (Fsica, Qumica, Biologa y Ecologa), Ciencias Sociales y Humanidades (Historia, Sociologa, Poltica, Economa, Administracin, Lgica, tica, Filsofa y Esttica) y Comunicacin (Lectura y Expresin oral y escrita, Literatura, Lengua extranjera e Informtica).

*-

$"///"

objetos de estudio de dos ramas de la matemtica que son la base del componente de formacin bsica, el lgebra y la geometra, mediante la modelacin algebraica de las relaciones y formas geomtricas que ha explorado desde otros puntos de vista; as como reconocer, a partir de registros algebraicos, formas geomtricas como las rectas y las circunferencias, con otras formas nuevas como la parbola y la elipse.

Para contribuir al desarrollo de las sesiones de aprendizaje en el aula, se estableci una estrategia que permite integrar los elementos del programa de la asignatura, con los materiales de apoyo y la actividad de docentes y estudiantes.

4#

ser un algoritmo que el docente deba seguir al pie de la letra, sino que debe adap-tarlo a las caractersticas propias del contexto en el que se desarrollan las sesiones de aprendizaje.

La estrategia consta de seis pasos o etapas, que debern conocerse en las pri-meras sesiones para su mejor desarrollo. Los pasos se listan y describen a continuacin:

B Dinamizacin y motivacin

B Contextualizacin

B Problematizacin

B Desarrollo de criterios

B Sntesis de resultados de aprendizaje

B Realimentacin

B Evaluacin de la competencia

6&--

Es indispensable que el facilitador tenga evidencia de los aprendiza-jes previos que el alumno ha adquirido y considere que a partir de los mismos se desarrollarn los nuevos.

8-

En el desarrollo de competencias se hace necesario el aprendizaje contextual, es decir, presentar elementos a travs de escenarios que

7+2*

Actividad que permite integrar los aprendizajes del estudiante a tra-vs de evidencias de conocimiento, desempeo, producto y actitud, de manera que el docente cuente con estrategias para la evaluacin formativa e involucre al estudiante en procesos de coevaluacin.

&-

Al trmino de cada bloque, el facilitador y los estudiantes, pueden establecer estrategias que permitan mayor grado de claridad en la -mados por los estudiantes.

#-&*

Para llevar a cabo la evaluacin sumativa de las competencias que se indican en los programas de estudio, se contempla esta etapa la cual debe verse como parte del proceso, es decir, no debe en ningn mo-mento separarse de la formativa. La mejor forma de lograr esta unidad ser integrando un portafolio de evidencias de aprendizaje.

8+&>2&*2

1. Dinamizacin y motivacin

2. Contextualizacin

3. Problematizacin

4. Desarrollo de criterios

5. Sntesis

6. Realimentacin

7. Evaluacin de la competencia

9ContenidoC0&% DE

Sesin A. Sistema de ejes coordenados 16Parejas ordenadas 17Ejes coordenados rectangulares 20

Sesin B. Lugares geomtricos 23Concepto de lugar geomtrico 23

C00$*** &2*2 FG

Sesin A. Segmentos rectilneos y distancia entre dos puntos 39Segmentos dirigidos 40Distancia entre dos puntos 41rea de un polgono usando sus coordenadas 45

Sesin B. Divisin de un segmento en una razn dada 49

C000$*& &&% GH

Sesin A. Pendiente de una recta 67Inclinacin de la recta 67Pendiente de la recta 68

Sesin B. Rectas paralelas y perpendiculares 76Propiedades de las rectas 76ngulos entre dos rectas 78

Sesin C. La recta como lugar geomtrico 83Ecuacin de la recta puntopendiente 83Ecuacin de la recta pendienteordenada al origen 85

10

C0I1)& - 96

Sesin A. Ecuacin de la recta en su forma simtrica 99Sesin B. Ecuacin general de la recta 106Sesin C. Forma normal de la ecuacin de la recta 113

CI$*& ) DEH

Sesin A. Las cnicas: la circunferencia como lugar geomtrico 127Secciones cnicas 128La circunferencia como lugar geomtrico 131

Sesin B. Ecuacin de la circunferencia con centro en el origen 132La ecuacin de la circunferencia con centro en el origen 132

Sesin C. Ecuacin de la circunferencia con centro fuera del origen 136Ecuacin ordinaria de la circunferencia 136

Sesin D. Ecuacin general de la circunferencia 140Obtencin de los elementos de la ecuacin general de la circunferencia 142

Sesin E. Condiciones geomtricas y analticas para determinar una circunferencia 145

CI0$*& * > DGJ

Sesin A. La parbola como lugar geomtrico 164La parbola como lugar geomtrico 164

Sesin B. Ecuacin de la parbola con vrtice en el origen 170La ecuacin de la parbola con centro en el origen 171

11

Sesin C. Ecuacin de la parbola con vrtice fuera del origen 179Ecuaciones ordinarias de la parbola con vrtice fuera del origen 180Sesin D. Ecuacin general de la parbola con vrtice fuera del origen 186Transitar entre las formas ordinarias y generales de las parbolas 186Sesin E. Ecuacin de la parbola dados tres puntos 192

CI00$*& * 204

Sesin A. La elipse como lugar geomtrico 207Formas de construir una elipse 209Relacin entre los elementos a, b y c de una elipse 210Sesin B. Ecuacin de la elipse con centro en el origen 214Ecuacin de la elipse horizontal con centro en el origen 214Ecuacin de la elipse vertical con centro en el origen 217Sesin C. Ecuacin de la elipse con centro fuera del origen 221Sesin D. Ecuacin general de la elipse 129Bibliografa 248

Bloque I

Reconoces lugares geomtricos

Desempeos del estudiante al concluir el bloque B /

B Interpreta la informacin a partir de la nocin de parejas ordenadas.

B Reconoce las relaciones entre variables que conforman las parejas ordenadas para determinar un lugar geomtrico.

Objetos de aprendizajeB Geometra analtica introductoria

B Sistema de coordenadas rectangulares

B Parejas ordenadas: igualdad de parejas y lugares geomtricos

Competencias genricas y atributos4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos

mediante la utilizacin de medios, cdigos y herramientas apropiados

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingsticas, matem-"

Competencias disciplinares bsicas B Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes

enfoques.

B Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, "

"

y el uso de las tecnologas de la informacin y la comunicacin.

B /"-"

12

14

Matemticas III

Dinamizacin y motivacinResponde los siguientes ejercicios, realizando las operaciones necesarias en cada caso.

0Completa los siguientes enunciados:

1. Nombre que reciben las regiones que se forman al cortarse los ejes X y Y:

2. Nombre que recibe la coordenada x:

3. Nombre que recibe la coordenada y:

00Realiza las operaciones necesarias para los siguientes ejercicios.

1. Dada la siguiente ecuacin, hallar el valor de x:

6(2x 3) = 2 7(3 x)

2. Ubica en el plano los siguientes puntos: A(3,2), B( ,52

32), C( , )4 7

Figura 1.1

y

x-4 -1-2-3 1 432

-4

-1

-2

-3

1

4

3

2

3. Representa en la tabla la siguiente ecuacin: y = x2 4

y

x-4 -1-2-3 1 432

-4

-1

-2

-3

1

4

3

2

4. %

los puntos de corte con los ejes coordenados:

15

Bloque I. Reconoces lugares geomtricos

15

000Resuelve el siguiente problema:

Tu pap te reta a que utilices el lenguaje algebraico que ests aprendiendo en la escuela para que describas lo siguiente: el doble de su edad excede a la edad de tu hermano en 40 aos. Si te dice que supongas que x representa su edad y y la edad de tu hermano, describe correctamente, en lenguaje algebraico, el enunciado verbal planteado.

0&*? &" " -cacin breve sin profundizar en las respuestas y argumentos, pues algunos de los conceptos tratados en estas preguntas se analizarn en este bloque y nos servirn

@+

revisaremos tus avances.

Seguramente has visto en peridicos, revistas, internet u otras fuentes de in-&""

en un mapa del territorio nacional, sealado por altitudes y latitudes; un banco de peces localizado por el sonar de un barco pesquero; el alza, ao con ao, del pre-cio del transporte pblico anotado en una tabla, etctera. Estas representaciones o "

$"JK& o Medicina, cuyos conocimientos sirven para interpretarlos.

Contextualizacin

La comunicacin en nuestros dasHoy en da la comunicacin es vital, ya que nos permite interrelacionarnos. Como joven, debes saber que uno de los medios ms comunes para lograr esto son las redes sociales, por ello internet ha alcanzado un gran impacto en nuestras vidas. Debido a lo anterior, supn que te encuentras en un punto determinado y tu te-+&'V

radio de alcance te desplazas de un lugar a otro, hasta que logras tener una buena conexin.

1. WZ " V[

2. Investiga qu radio de alcance tiene esta seal.

3. Con base en este radio de alcance, decide en qu punto de tu escuela debera estar colocado para cubrir todo el permetro escolar.

En tu vida cotidiana existen muchas situaciones como sta, en la que se in-volucran conocimientos sobre el uso del plano cartesiano y la ubicacin de puntos, as como la descripcin de lugares geomtricos. Por ello, se te invita a plantear otras situaciones que te permitan aplicar estos conceptos y exponerlos en plenaria.

Z#&

conceptos fundamentales de Geometra analtica.

16

Matemticas III

Sesin A. Sistema de ejes coordenadosProblematizacin/

a tu disposicin tres pares de calcetas de diferente color: rojas, blancas y negras, adems tienes dos pares de zapatos de diferente color: caqui y caf. Nota que las

?

B Calcetas rojas y zapatos caqui

B Calcetas rojas y zapatos cafs

B Calcetas blancas y zapatos caqui

B Calcetas blancas y zapatos cafs

B Calcetas negras y zapatos caqui

B Calcetas negras y zapatos cafs

Aparentemente el orden de las prendas no dar problemas, es decir, sera lo mismo considerar las formas calcetas blancas y zapatos caqui que zapatos caqui y calcetas blancas. As que, en apariencia, calcetas blancas y zapatos caqui=zapatos ca-qui y calcetas blancas.

Sin embargo, si consideramos el orden en que nos vestiramos para la oca-sin, entonces una opcin como calcetas blancas y zapatos caqui sera adecua-Z

&

W[

y despus las calcetas no parece muy conveniente. De aqu que, si consideramos el orden, ya no resultan iguales los pares de combinaciones. En otras palabras, la combinacin calcetas blancas, zapatos caqui no es igual que la combinacin zapa-tos caqui y calcetas blancas.

Imaginemos ahora que una de tus amigas desea regalarte un pantaln y cuando lo compra pide la medida 28-32, pero, por equivocacin, el vendedor le da \]^]_W`+[@

en plenaria tus conclusiones.

Puedes dar otras parejas de relaciones de objetos, cuyo orden los haga di-&[%k'&

un argumento.

Desarrollo de criterios

Parejas ordenadasDe manera similar a lo visto en los ejemplos anteriores, en geometra analtica se uti-lizan parejas con un orden determinado para representar objetos o personas con base en un sistema de referencia. Slo que los elementos que forman las parejas se colocan dentro de parntesis, separados por comas, por ejemplo: (3, 5), (3, 5) y (2, 0). Estas ?

Una * est constituida por dos trminos que llevan un or-wa, b) tiene a como primer elemento y b como segundo.

17


17

Por lo tanto, las parejas (5, 8) y (8, 5) son totalmente distintas. En la primera pareja el primer elemento es 5, mientras que en la segunda es 8 y as varan en sus @?

Dos parejas ordenadas son iguales nicamente si sus primeros elementos son iguales y los segundos tambin, es decir, (a, b) = (c, d) si y slo si a = c y b = d.

Con esto en mente podemos deducir que ( , ) ( , ) = 4 2 482

, ya que = 4 82

y 2 4 .

+ "

como en el ejemplo de la situacin 1.

&*D

{+"

cuartos ocupados de un hotel de la Riviera Maya durante los cuatro trimestres del ao anterior.

9080706050403020100

1er trim. 2do trim. 3er trim. 4to trim.

Figura 1.2 Tabla de la ocupacin de cuartos de un hotel.

+-

Observando la tabla, podemos armar los pares ordenados siguiendo la se-cuencia; primeros elementos = los trimestres y la cantidad de cuartos ocupados = los segundos elementos coordenados. De tal forma que las parejas formadas son (1, 40), (2, 80), (3, 50) y (4, 10).

+ ?

total de cuartos del hotel, que es de 90; en los meses de octubre a diciembre el hotel sufre una disminucin de ocupacin debido, quiz, a la temporada de fro.

@w|

te habrs dado cuenta de que ubicar puntos en el plano requiere de dos elementos:

El primer elemento de una pareja ordenada se denomina > y se loca-liza en el eje horizontal.

El segundo elemento, llamado , se localiza en el eje vertical.

Estos elementos o parejas ordenadas se representan con letras maysculas y se les llama puntos. Por ejemplo: A(3, 4), B(6, 7), etctera.

18

Matemticas III

Actividad de aprendizaje 11. En una granja, los cerditos pesan 3.6 kilogramos al nacer y al primer mes al-

canzan un peso de 9.1 kilogramos. Supongamos que el incremento del peso se mantiene constante. Completa la siguiente tabla con los datos del incremento de peso responde en tu cuaderno las preguntas que se formulan a continuacin:

, L&M*N

0

1

2

3

4

5

N W%"~[>N W%[

2. Sita en un plano cartesiano las parejas ordenadas de dicha problemtica.

3. Investiga en cualquier bibliografa complementaria los siguientes conceptos:

B Geometra analtica

B Principales problemas de la geometra analtica

&*E

Determina el valor de las incgnitas en cada inciso, considerando que las pa-rejas ordenadas son iguales.

N (2,4) = (x 1,4)

>N (4,12) = (2x + 6,4y 2)

N (3,1) = (x + y,x y)

+-Del primer inciso tenemos que, como las parejas ordenadas son iguales, en-

tonces sus elementos han de ser iguales, de donde se determina que 2 = x 1, y despejando resulta que x = 3.

Del segundo inciso se desprende que 4 =2x +6 y que 12 = 4y 2. Despejando en ambas tenemos que x = 5 y que y 7

2.

Para el ltimo caso, se tiene un sistema de ecuaciones lineal de dos incgnitas,

como sigue x yx y

+ =

=

31

. Al solucionarlo mediante cualquiera de los mtodos disponi-

bles se obtendrn los valores desconocidos, a saber: x = 2 y que y = 1.

19


1919

&*F

\

las parejas ordenadas que describen sus vrtices.

-8 -6

2

4

6

-4

-2

8

A

B

C

D

G

F

E

4

g

-20

0

2 6

Figura 1.3

+-

Al localizar cada uno de estos puntos y describir primero las abscisas y des-pus las ordenadas, tenemos la siguiente tabla:

A (8,6)

B (4,8)

C (2,6)

D (6,4)

E (2,2)

F (2,2)

G (8,0)

Actividad de aprendizaje 2Reunidos en equipos de tres integrantes, realicen lo siguiente:

Encuentren y traigan el mapa del estado de Yucatn, tracen los ejes cartesia-nos, suponiendo que el origen se encuentra en la capital del estado; investiguen las ciudades que conforman el estado, ubquenlas en el mapa y completen la si-guiente tabla:

1>-

Mrida (0, 0)

Valladolid

20

Matemticas III

Con la actividad anterior introdujimos los elementos de un sistema de coorde-nadas de forma emprica. Ahora comencemos a plantear de manera formal algunos de los conceptos matemticos referentes a las coordenadas.

Ejes coordenados rectangularesEl* (o sistema de coordenadas rectangulares carte-sianas) se obtiene al trazar dos rectas perpendiculares llamadas ejes coordenados (o simplemente ejes), los cuales se cortan en un punto llamado origen. La recta ho-rizontal se denomina eje X y la vertical, eje Y. Las rectas dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes.

21


2121

SntesisPlantea y resuelve los siguientes ejercicios de desarrollo y aplicacin en tu cuaderno:

1. Gabriela hizo girar su yoyo y empez a darle vueltas por encima de su cabeza. Interpreta el lugar geomtrico que describe esta situacin.

2. Uribe Peralta patea hacia la portera del equipo contrario. Describe el lugar geomtrico que traza la trayectoria de la pelota.

3. Cuntos nmeros de dos dgitos diferentes se pueden formar utilizando los _[

4. Determina el valor de cada una de las variables en cada inciso:

N ( , ) ( , ) = +4 2 3 1 2x

>N ( , ) ( , )4 67

5 6 4 2 = x y

N ( , ) ( , ) = 193

2 3 43 x y y x

5. ?

Figura 1.5

14

12

10

8

6

4

2

00 2 4 5 7 10

N Obtn una lista de puntos coordenados que la represente.

>N K

6. Representa en tu cuaderno cada uno de los siguientes puntos coordenados en un sistema de ejes:

N(3,7) >N(5,6) N(0,5) N(5,0) N(0,5)

)N ( , )143

123

N ( , ) 86

16 N ( , ) 27 83 N ( , ) 2

7. Un compaero camina desde la plaza de tu comunidad (que se encuentra loca-lizada en el origen de un plano cartesiano imaginario) 3 cuadras al norte, 4 al

W+

'[

22

Matemticas III

Rbrica para registrar el logro de competencias genricas

2 &*% $>0

&*OP#

8Se expresa y comunica.

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacin de medios, cdigos y herramientas apropiados.

4.1Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingsticas, matemticas o "

Se expresa de manera lgica y creativa.

Practica una redaccin propia para expresar ideas.

Representa relaciones entre diversos conceptos.

Emplea modelos para la representacin de un fenmeno.

Rbrica para registrar el logro de competencias disciplinares

1%& ,& F

C 0&%&**

&&

&*O 0

P#

8

2. Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques.

/

caractersticas de un sistema de coordenadas rectangulares.

/

caractersticas del sistema de ejes coordenados rectangulares y parejas ordenadas.

4. Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, "

o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de la tecnologa de la informacin y la comunicacin.

Reconoce las relaciones entre variables que conforman las parejas ordenadas para determinar un lugar geomtrico.

Aplica las caractersticas de los pares ordenados en situaciones de "

econmica, "

etctera.

23


2323

1%& ,& F

C 0&%&**

&&

&*O 0

P#

8

8. Interpreta tablas, "

diagramas y textos con smbolos matemticos y

Interpreta la informacin a partir de la nocin de parejas ordenadas.

Reconoce las caractersticas de las parejas ordenadas en un sistema de ejes coordenados.

Empleo las caractersticas de las parejas ordenadas en un sistema de ejes coordenados.

Observaciones:

Sesin B. Lugares geomtricosProblematizacin +" "

Para comenzar, realiza lo siguiente:

Renanse en equipos, describan y representen en su cuaderno, mediante &

situaciones:

1. La trayectoria que forma una piedra que est atada a un hilo y que se hace girar.

2. El camino que lleva un chorro de agua que sale de una manguera que apunta hacia arriba con 45 grados de inclinacin, medido respecto a la horizontal.

3. El trayecto que toma una bala al dispararse hacia una pared que se encuentra a 50 m.

4.

24

Matemticas III


Concepto de lugar geomtrico Un &% es una porcin del plano coordenado formado por puntos que cumplen una relacin matemtica estipulada.

pero que son en realidad el mismo. A saber:

N ">N Una regla textualN Una relacin matemtica o analtica

Los tres elementos anteriores conforman ntimamente el lugar geomtrico. Esto se aclara mediante el siguiente ejemplo:

&*D

Describe y representa el lugar geomtrico del punto coordenado que se mue-ve de tal forma que su ordenada es la mitad de su abscisa.

+-

Aqu nos encontramos con uno de los tres elementos citados, es decir, la regla textual de lo que el lugar geomtrico tiene o hace: su ordenada es la mitad de su abscisa. Con ella podemos obtener la forma matemtica, que en este caso, como las abscisas las

representamos con la letra x y las ordenadas con la y, se tiene la relacin yx

2. Si ordenamos esta regla matemtica se tendr que x 2 y = 0.

Zk&"+

y a partir de las x. Esto se logra con una tabla de valores, como la siguiente:

x yx

2

4

=

42

2

3

=

32

1 5.

2

=

22

1

1

=

12

0 5.

002

0

112

0 5 .

222

1

25


2525

@w]|w\|

(2, 1), y al unir los puntos se obtiene lo siguiente:

y= x / 2

- 4 - 3 - 2 - 1 00

1

1

- 1

- 2

2

Figura 1.6

De esta manera se engloban los tres aspectos mencionados, es decir, la regla tex-""@

ste es uno de los aspectos de las competencias que debes aprender.

Los puntos obtenidos en el ejemplo anterior, (4, 2), (3, 1.5), etctera, se dicen que satisfacen o cumplen la regla matemtica del lugar geomtrico, ya que al sus-tituirlos en ella se cumple la igualdad. Por ejemplo, para el punto (x, y)=(4, 2) se tendr que 2 = 4/2, es decir, 2 = 2.

Cualquier punto coordenado (x, y) est o forma parte de la "

lugar geomtrico si y slo si satisface la regla o ecuacin matemtica del lugar geomtrico.

Algo importante por sealar es que se estn relacionando las dos variables x y y en los lugares geomtricos. Para muestra, la relacin x 2y = 0 seala que se relaciona las dos variables indicadas que conforman el lugar geomtrico. Aunque +?

Lugar geomtrico

Relacinmatemtica de las

variables x y y

&*E

Describe matemticamente el lugar geomtrico del punto coordenado que se mueve en el plano de tal forma que:

N El cuadrado de su abscisa aumentada en 2 es igual a la ordenada.

>N El doble de la ordenada menos el valor de su abscisa es igual a 4.

Figura 1.7 Relacin recproca entre el lugar geomtrico y las variables x y y.

26

Matemticas III

+-

N En este caso, tenemos la siguiente relacin x2 + 2 = y

>N De forma similar se tendr que 2x y = 4

Existen ms herramientas que nos permiten examinar cualquiera de los senti-dos de los lugares geomtricos, por ello describiremos las que nos sern de utilidad. Las que resaltan son las intersecciones con los ejes, las simetras y las tabulaciones. Veamos cada una de ellas en forma directa y despus revisemos su aplicacin me-diante ejemplos.

0

Las

" +

corta o pasa por los ejes X y Y.

Z""-pendiendo de la forma que tenga o, lo que la regla analtica indique. Revisa los siguientes ejemplos:

&*F

Determina la cantidad de intersecciones con los ejes coordenados de las gr-?

Figura 1.80 1 2 3 4 5

4

3

2

1

0

Figura 1.9

1

0

-1

-1

-2

-3

0 1 2 3 4

27


2727

+-

@"+

"k-secciones en los ejes. Pero en la segunda se observa que el lugar geomtrico tiene dos intersecciones con el eje X y una con el eje Y.

Para determinar las intersecciones con los ejes, se emplearn las reglas indi-cadas a continuacin.

Para obtener las intersecciones en el eje X, sustituimos y = 0 en la ecuacin y despejamos las variables x.

Para obtener las intersecciones en el eje Y, sustituimos x = 0 en la ecuacin y despejamos las variables y.

Para despejar las variables restantes es necesario recordar las formas de fac-torizacin algebraica y la frmula general de segundo grado, as que repsalas para su futuro uso.

Simetras4 #

28

Matemticas III

>-

Es necesario distinguir las relaciones entre las dos variables x y y para representar ana-lticamente un lugar geomtrico. Una forma de relacionar estas variables es mediante una tabla en la que una dependa de la otra. A la que tiene valores asignados se le conoce como variable independiente y a la que va adquiriendo valores a partir de la otra se le llama variable dependiente.

Cuando disponemos estas variables de forma vertical u horizontal, estamos construyendo una tabulacin de valores. Las tablas nos darn las coordenadas o "+

la regla textual del lugar geomtrico, construimos la forma analtica o matemtica, la cual emplea nuestras conocidas x y y, con las que formamos una tabulacin que ""

lugar geomtrico que tenamos de forma textual. Esto tambin puede hacerse en sentido inverso.

De manera general, se asignan valores a la variable x, que al sustituirlos en la ecuacin nos dan los valores de y.

Se deben tomar valores de x positivos y negativos siempre que sea posible, pues ""4

analizar tambin si la ecuacin admite ciertos valores o no; por ejemplo, la divisin entre cero no es posible y no se pueden sacar races cuadradas a valores negativos.

Por ejemplo, la ecuacin yx

x=

2 4 no admite los valores de x = 2 y x = 2,

pues en esos valores se estar dividiendo entre cero. Otra ecuacin con posibles

problemas es y x= 9 2 , donde se nota que para valores de x mayores a 3 o me-\""

negativas, por lo que es imposible obtener su raz cuadrada.

Es importante tener cuidado cuando tomemos los valores de x en nuestras tabulaciones.

Demos una serie de tres ejemplos para resaltar lo sealado:

&*H

"+

la ecuacin y

x2

+-

En primer lugar aqu tenemos la parte matemtica o analtica del lugar geom-"-alados antes: intersecciones, simetras y tabulacin.

0

En el eje X, tomamos y = 0, de donde al sustituirla en la ecuacin original se tendr:

0 = x2

Despejando x se tiene que x \"+-tar al eje X en los puntos (3, 0) y (3, 0).

Recuerda que la raz cuadrada se representa por mientas que las ra-ces cbica y cuarta se representan por: 3 , 4 respecti-vamente.

Recuerda que al obtener una raz cuadrada de un valor positivo se obtienen dos solu-ciones, una positiva y una negativa. Ejemplo: 81 = 9

29


2929

En el eje Y, tomamos x = 0 de donde la ecuacin original quedar de la forma:

y = 9 0 = 9

30

Matemticas III

&*Q

Como habrs observado, existe cierta particularidad con las potencias de las variables y sus posibles intersecciones con los ejes. Por ejemplo, en el ejercicio an-terior, la ecuacin fue y = 9 x2 ! " "

que cort al eje X en dos valores y su exponente de la variable x es tambin 2. En ese caso, el exponente de la variable y"

corta al eje Y en un solo valor.

4

6

2

2

-2

-2 0

0

-4

-6 -4 4

Figura 1.14 Este lugar geomtrico slo corta al eje X aunque el exponente de Y es dos.

Siguiendo un argumento semejante, si una ecuacin tiene la forma x2 y2 16 = 0

ya que la potencia de ambas variables en la ecuacin es dos, pero no es el caso. En +

La cantidad de intersecciones puede ser menor a la potencia de la variable, por ello llegamos a la conclusin siguiente:

Si la ecuacin de un lugar geomtrico tiene una potencia positiva en una variable, digamos x"" valores distintos al eje X, es decir, no necesariamente cortar una cantidad a dicho eje, ya que puede

N La ordenada es siempre igual al triple de su abscisa incrementada en 5.

N El cuadrado de su abscisa disminuida en 2 es siempre igual a su ordenada.

N El cubo de su abscisa incrementada en 2 es siempre igual a su ordenada.

N El cuadrado de la ordenada menos el cubo de la abscisa es igual a 7.

31


3131

SntesisResuelve en tu libreta los siguientes problemas:

1. +-presentado.

2

1

0

0 1-1

-1

-2

-2

2

21

0

0-1

-15

-10

-2

-20

-5

-58

6

4

2

0

0

2-2

-2

Figuras 1.15, 1.16 y 1.17

2. En equipos planteen y resuelvan el problema siguiente:

Los automviles pierden su valor con el paso de los aos, de ah que se haya creado una relacin que determina el valor en pesos (y) de un automvil al pasar de los aos (x). La relacin es y = 120 000 4 800x.

N W%"[

>N 4'

W+'"

[

3. A Pedro se le toma la temperatura durante su consulta mdica y el doctor le pide a la enfermera que se le indique en grados Fahrenheit. Si la frmula de conver-sin es F = 9/5 C + 32.

N W@"J\_%[

>N W@"%_J[

4. Una pelota es lanzada hacia arriba a una velocidad de 24 m/s, su altura en me-tros, al cabo de un tiempo, t, est dada por h(t)=24t 5t2. A los cuntos segun-

"]_[

5. Una manguera lanza el chorro de agua con una velocidad de 36 m/s. A los cuntos segundos alcanza una altura de 63 metros, si su ecuacin est dada por h(t) = 36t 5t2[

32

Matemticas III


2 &*% $>0

&*OP#



4.1Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingsticas, matemticas o "






1%& ,& F

C 0&%&**

&&

&*O 0

P#

8


/


/

dadas en conjuntos de parejas ordenadas presentadas en forma "+

situaciones reales.

Asocia un conjunto de parejas ordenadas con un lugar geomtrico y viceversa.

Distingue una expresin algebraica como un lugar geomtrico.

33


3333

1%& ,& F

C 0&%&**

&&

&*O 0

P#

8




Reconoce parejas de datos que pertenecen &"

lugares geomtricos y las que corresponden a puntos de interseccin.

Z"

un lugar geomtrico correspondiente a una expresin algebraica.

Observaciones:

RealimentacinAhora se presenta una serie de ejercicios y situaciones que te servir para reforzar lo aprendido en este bloque.

1. Halla el valor de cada una de las variables en cada inciso.

N (4, 2) = (3z 11, 2k)

>N ( , ) ( , )2 52

6 4 2= +x y y x

N (4, 7y) = (x2 + 4x, 2y2 4)

2. Representa el polgono irregular y determina su rea si las coordenadas de sus vrtices son los puntos: A(8, 6), B(6, 6), C(0, 5), D(4, 0), E(3, 3) y F(3, 5).

3.

34

Matemticas III

4. ?

N Un tringulo equiltero de 6 cm de lado

>N Un cuadrado de 5 cm de lado

N Un hexgono regular

(Puedes orientarte usando trigonometra).

5. Encuentra y representa el lugar geomtrico de todos los puntos cuyas abscisas exceden a la ordenada en 2 unidades.

6. !"

a los puntos A(1, 2) y B(3, 3).

7. !"+

siempre el doble de las abscisas.

8.

W""+

"[

9. Cul es el lugar geomtrico de todos los puntos cuya suma de las abscisas y las \[

10. Para cada una de las siguientes ecuaciones de-termina el valor de la ordenada y del punto (x, y) que se determina segn la tabla.

N 2x 3y +++++++ 1 = 0

>N x2 + 2y - 1 = 0

N x + 2y2 1 = 0

N x2+y23 = 0

x y (xMy)

3

2

1

0

1

2

3Evaluacin de la competencia


2 &*% $>0

&*OP#



4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingsticas, matemticas o "





35


3535


1%& ,& F

C 0&%&*

* &&

&*O 0P#

8


/


/

sistema de ejes coordenados rectangulares y parejas ordenadas.

/

conjuntos de parejas ordenadas &"

numrica de situaciones reales.

Asocia un conjunto de parejas ordenadas con un lugar geomtrico y viceversa.

Distingue una expresin algebraica como un lugar geomtrico.

4. Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos +"

analticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de la tecnologa de la informacin y la comunicacin.

Reconoce las relaciones entre variables que conforman las parejas ordenadas para determinar un lugar geomtrico.

Aplica las caractersticas de los pares ordenados en situaciones "

"+




Reconoce las caractersticas de las parejas ordenadas en un sistema de ejes coordenados.

Emplea las caractersticas de las parejas ordenadas en un sistema de ejes coordenados.

Reconoce parejas de datos que &"

de lugares geomtricos y las que corresponden a puntos de interseccin.

Z"

geomtrico correspondiente a una expresin algebraica.

Observaciones:

Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectilneos y polgonos

Desempeos del estudiante al concluir el bloqueB /

B Aplica las propiedades de segmentos rectilneos y polgonos.

B Construye e interpreta modelos relacionados con segmentos rectilneos y polgonos.

Objetos de aprendizajeB Segmentos rectilneos: dirigidos y no dirigidos

B Distancia entre dos puntos

B Permetro y rea de polgonos

B Punto de divisin de un segmento

B Punto medio

Competencias genricas y atributos4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos

mediante la utilizacin de medios, cdigos y herramientas apropiados.

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingsticas, ""

7. Aprende por iniciativa e inters propio a lo largo de la vida.

]/+-tad, reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstculos.

Competencias disciplinares bsicas B Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de

procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o formales.

B Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques.

B Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

36

38

Matemticas III

Dinamizacin y motivacin 0Realiza lo que se pide a continuacin.

1. Cul es la distancia recorrida de un automvil, si lleva una velocidad constante

~][

2. W%""[

3. Cul es el resultado de 144 [

4. Resuelve el siguiente binomio al cuadrado:

32

54

2

x

5. W%"""\[

6. Calcula el rea del trngulo si sus tres dimensiones son 8.5 y 3 cm, respectiva-mente.

7. Resuelve ( ) ( )1 2 3 422

+

8. Resuelve lo siguiente:

+313

6

9. K?w|w6,0).

10. Halla el valor de X y de Y por determinantes del siguiente sistema:

x y =+ = 2 10

2 3 8x y

%&+

nivel de comprensin te encuentras en estos momentos de acuerdo con la tabla #

0&*?&""-cacin breve sin profundizar en las respuestas y argumentos, pues algunos de los conceptos tratados en estas preguntas se analizarn en este bloque y nos servirn

Con base en tus resultados, socialicen sobre los alcances logrados, las for-talezas y debilidades que presentan, as como las estrategias que emplearn para mejorar su rendimiento y alcanzar un mejor nivel.

Bloque II. Aplicas las propiedades de segmentos rectilneos y polgonos

393939

ContextualizacinEn una comunidad del estado de Yucatn, un padre de familia est ahorrando para cons-truuir un pie de casa, el seor se percata de que se enfrenta a varios problemas; su hijo, que actualmente cursa el bachillerato, se percata de esta situacin, en una pltica, su mam comenta que hay que tramitar el de-recho de construccin ante las autoridades correspondientes. La situacin econmica no es muy buena, por lo que se toman la tarea de investigar costos del material que se requiere para su construccin.

El joven llega a la escuela y comenta a sus amigos su problema un compaero le dice que sera bueno que ubicaran primero la zona de construccin, si la base ser cuadrada o rectangular, qu altura tendr, y el diseo del techo de la casa, es decir, que estudien la "

B W`+[

B W`+""[

B W%"k'[

B W`+'[

Expn la solucin en plenaria.

Sesin A. Segmentos rectilneos y distancia entre dos puntosProblematizacinUn hacendado desea fraccionar un te-rreno para su venta en lotes, para ello requiere conocer la longitud de cada uno de sus lados, as que contrata los servicios de un topgrafo, quien le ayuda a trasladar a un plano los vr-tices del terreno que servirn para determinar la distancia o longitud de cada uno de sus lados y, por lo tanto, del permetro.

Figura 2.1

Figura 2.2

40

Matemticas III

Para llegar a tales conclusiones, el topgrafo emplea ciertos procedimientos matemticos simples pero circulares, que le permiten indirectamente medir las longi-tudes, ngulos, elevacin del terreno y su rea. El topgrafo slo ha colocado en un mapa los vrtices del terreno dando origen al siguiente modelo:

0

0

1

1

-1

2

21

3

3

4

4-1-2-3

5

1:10m

Figura 2.3

k

siguientes preguntas:

B W%"[

B W%""[

B W`+?[

B 4W""[WZ+[


Segmentos dirigidosEn la asignatura de Fsica, el maestro te explic que para que se puediera calcular la distancia recorrida de un automvil, avin, tractor, bicicleta, motocicleta, etc tera; es de suma importancia considerar sus velocidades y el tiempo recorrido.

sta, como otras situaciones, se ha solucionado calculando distancias que re-"

?"

que si un derechohabiente requiere de una consulta mdica urgente, depende de su +"

De esta forma analizamos el comportamiento de los segmentos rectilneos presentados en diferentes casos, as como para distinguir cuando se hace dirigida o no dirigida.

Una lnea recta es cuando consideramos su direccin o sentido; hacia un extremo es positiva y al opuesto negativa. Si sobre la recta marcamos dos puntos, digamos A y B, a la porcin o parte comprendida entre los puntos se le lla-ma &, si no consideramos su sentido le llamaremos &. Cuando en un segmento slo nos interesa la distancia entre los puntos extremos sin importar su direccin, es decir, su longitud, estaremos hablando de su #>, que es el valor del propio nmero cuando es positivo y su simtrico cuando es negativo.


4141

Para reforzar estos hechos proponemos otra actividad integradora.

Actividad de aprendizaje 1En forma individual y como actividad extraclase, investigua tres ejemplos de la vida cotidiana que involucren a los segmentos dirigidos.

Si formalizamos las conclusiones y utilizamos la notacin matemtica, tendre-@-cin horizontal, habra que realizar una operacin de resta en sus abscisas, lo cual denotaremos como sigue:

d x x x x= = = = AB AB 2 1 1 2

A B

(X1,0)(0,0) (X2,0)

0

Figura 2.4

En la prctica, para determinar la longitud de un segmento horizontal res-taremos la abscisa del punto de la izquierda de la abscisa del punto de la derecha.

Si el segmento est determinado por N y M, en posicin vertical, la resta se ""

esta situacin se describe as:

d y y y y= = = = NM NM 2 1 1 2

La distancia de un segmento vertical es la ordenada de arriba, menos la orde-nada del punto de abajo.

Distancia entre dos puntosHas calculado anteriormente longitudes de segmentos en su forma horizontal y ver-tical, pero al igual te percataste que existen otras posiciones del segmento (oblicuas o inclinadas) cuando se conocen sus puntos y se trazan en el plano cartesiano y ha-llaste su distancia, vaya que fue un reto para solucionarlo! Ahora descubrirs cmo calcular la distancia cuando un segmento no es vertical ni horizontal, a esta distancia la llamaremos distancia entre dos puntos.

Deduccin:

y

BC=y 2 - y 1

C(x2, y1)

B(x2,y2)

AC= x2 - x1A(x1,y1)

y2

y1

x2x1 Figura 2.6

El valor absoluto se representa con el smbolo | |. Indica que se debe pasar el nmero resultan-te a valor positivo. Ejemplo: |-5|=|5|=5.

N

y

M

O

(0,y2)

(0,y1)

(0,0)

Figura 2.5

42

Matemticas III

Aplicando el teorema de Pitgoras, el cual seala que la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de longitud de la hipotenusa, co-mnmente conocido como c2=a2+b2, se obtiene:

AB2

2 1

2

2 1

2= ( ) + ( )x x y y

Donde resulta d x x y y= = ( ) + ( )AB 2 1 2 2 1 2Tambin es posible usar la frmula:

d x x y y= = ( ) + ( )AB 1 2 2 1 2 2 Donde se invierten los trminos de las diferencias cuadrticas.

Por lo tanto, la frmula para encontrar la distancia entre los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es:

d x x y y= ( ) + ( )2 1 2 2 1 2

Consideremos algunos ejemplos de aplicacin.

&*D

K+Zw]|`w|

+-

Z

P(2, 1)=(x1, y1) y que Q(6, 7)=(x2, y2).

Q(6,7)

P(-2,1)0

0

1

-1

-1

1

y

x

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8 9-2

-2

-3

Figura 2.7

Se tendr que:

PQ = ( ) + ( )6 2 7 12 2

PQ = ( ) + ( )6 2 7 12 2

PQ = + + ( )6 2 62 2PQ = +64 36

Puede demostrar que:

( ) ( )x x x x1 22

2 12

=

Puedes demostrar que:

a b a b = 2 2( )


434343

PQ 100

PQ 10

&*E

Calcula las coordenadas del punto que equidista de los puntos A(1, 2), B(5, 4) %w\_|"

+-

Consideremos a D(x, y) como el punto equidistante de A, B y C.

De acuerdo con la condicin tenemos que:

DA DB DC

Igualando y usando la frmula de distancia entre dos puntos se tiene:

DA DB

x y x y( ) + ( ) = ( ) + ( )1 2 5 42 2 2 2Elevando al cuadrado ambos lados:

x y x y( ) + ( ) = ( ) + ( )1 2 5 42 2 2 2Efectuando operaciones:

x x y y x x y y2 2 2 22 1 4 4 10 25 8 16 + + + = + + +

4?

1) 8x + 4y = 36

Por otra parte, igualamos y usamos la frmula de distancia de nuevo y tendremos:

DB DC

x y x y( ) + ( ) = ( ) + ( )5 4 3 82 2 2 2Elevando al cuadrado ambos lados:

x y x y( ) + ( ) = ( ) + ( )5 4 3 82 2 2 2Efectuando operaciones:

x x y y x x y y2 2 2 210 25 8 16 6 9 16 64 + + + = + + +

4?

2) 4x + 8y = 32

De las ecuaciones (1) y (2) formamos un sistema como el siguiente:

8 4 364 8 32

x yx y

+ =

+ =

44

Matemticas III

Resolvindolo por cualquiera de los mtodos conocidos, obtendremos que la solucin ser x = 2; y = 5.


4545

Longitud de HG

GH = ( ) + ( )6 1 2 32 2

GH = ( ) + ( )7 12 2 GH = +49 1 GH 50

Como los lados FG y HG son iguales, entonces 2 es un tringulo issceles.

Actividad de aprendizaje 2Resuelve los siguientes ejercicios aplicando la frmula anterior:1. %"

un plano rectangular:

N (7, 4), (1, 11)

>N (5, 10), (4, 5)

N 14

23

12

13

,

N (4, 6), (2, 1)

N 3 2,2 8 5 2, 8( ) ( ), 2. Comprueba que el punto A(5, 3) equidista de los puntos B(1, 2) y C (6, 3).

3. Determina si los vrtices F(2,4), G(1,3) y H(]|""

K

4. Si la abscisa de un punto M es la mitad de su ordenada y su distancia al punto N (1, 3) es de cinco unidades, halla las coordenadas de M (dos soluciones).

5. Demuestra que los puntos A(0, 4), B(3, 2), C(2, 8) y D(5, 4) son colineales.

6. Un tringulo issceles tiene por base el segmento que une los puntos M(6, 1) y w]|4W"

[

Comprubalo "

rea de un polgono usando sus coordenadasDel tringulo anterior calculaste las distancias determinadas de un punto a otro punto y llegaste a la conclusin de que el clculo de sus dimensiones representa al tringulo issceles. Para determinar su rea, conociendo los datos anteriores, utilizas la frmula de Hern vista previamente en el semestre anterior, ahora se te presenta otro mtodo para determinar el rea usando sus coordenadas transfor-"-no. Se te presenta a continuacin frmula para determinar el rea de un polgono dadas sus coordenadas.

Ax yx yx y

12

111

1 1

2 2

3 3

46

Matemticas III

Se consideran las coordenadas de los vrtices de un tringulo issceles F(2, -4),G(1,3) y H(-6,2) en sentido antihorario, obtenemos:

A=

= ( )( )+( )( )+ ( ) ( )( )( ) ( )( )(12

2 4 11 3 16 2 1

12

2 3 1 2 6 4 2 2 6 3 1)) ( ) = ( )=412

50 25 2u

Actividad de aprendizaje 3Se te ofrece realizar los siguientes ejercicios en tu libreta:1. K"

+

los puntos:

N A(2,4), B(3,1) y C(3,2).

>N A(4,4), B(1,7), C(4,5) y D(2,2)

N A(3,6), B( 5,7), C(7,0), D(6,3) y E(4,4)

SntesisResuelve los siguientes ejercicios en tu libreta:

1. K?

N A(2, 5), B(1, 4) y C(3, 1) son los vrtices de un tringulo rectngulo e issceles.

>N A(4, 3), B(10, 1), y C(2, 3) son los vrtices de un tringulo rectngulo.

2. Demuestra que el tringulo de vrtices (10, 5), (3, 2) y (6, 5) es rectngulo y halla su rea.

3. La Cooperativa Pesquera Mina de Oro, del puerto de Santa Clara, se dedica al buceo %

boyas y con la ayuda de un localizador GPS, las cuevas donde mayores capturas 4]

usando la distancia entre puntos, que stos son colineales.

8

8

Santa Clara

A

B

C

x

y

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

10

0 9 10 11 12 Figura 2.10

Discute en grupo tus conclusiones acerca de lo que obtuvieron.

Consulta bibliogra-fa de matemticas, sugerida por tu do-cente para ampliar tus conocimientos y aplicaciones de los determinantes.


4747

4. En un mapa se encuentran localizadas las localidades P, H, M y B con sus respecti-vas coordenadas. M(0, 0), P(23.4, 12.4), M(34.5, 3,5) y B (123.4, 24.6). Determina las distancias entre ellas y decide cules son las dos ciudades ms cercanas entre s, suponiendo que se puede viajar en lnea recta de una a la otra.

5. Don Jess tiene un terreno rectangular para la siembra de elotes y desea saber cunto miden sus diagonales si los vrtices del terreno son (60, 40), (60, 40), (60, 40), (60, 40). Calcula cunto miden las diagonales del terreno de don Jess .

6. Un ingeniero traza un plano para la construccin de un centro comercial en un terreno poligonal, si los vrtices del terreno son (5, 4), (5, 4), (11, 2), (6, 2), calcula el rea de construccin.


2 &*% $>0

&*OP#








Aprende de forma autnoma.


]/

las actividades que le resultan de menor y mayor inters

reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstculos.

/

actividades de acuerdo a sus intereses.

Determina las actividades necesarias para el logro de sus metas.

/

reacciones ante los obstculos que se le presentan.

Asume actitudes pertinentes ante los retos y obstculos.

48

Matemticas III


1%& ,& F

C 00$***&2*2&*

* &&

&*O 0P#

8

1. Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o formales.

Construye e interpreta modelos relacionados con segmentos rectilneos y polgonos.

Analiza la nocin de distancia entre dos puntos en el plano cartesiano y su utilidad para el clculo de permetros y reas de polgonos en situaciones reales.

Comprende la nocin de distancia entre dos puntos en el plano cartesiano y su utilidad para el clculo de permetros y reas de polgonos en situaciones reales.


Aplica las propiedades de segmentos rectilneos y polgonos.

/

caractersticas de un segmento rectilneo.

Reconoce la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano como la longitud de un segmento.

Ubica las coordenadas de los extremos de un segmento rectilneo.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

/


Representa segmentos rectilneos en el plano cartesiano a partir de las coordenadas de sus extremos y viceversa.

Observaciones:


494949

Sesin B. Divisin de un segmento en una razn dadaProblematizacinEl derrotero de la ruta Chicxulub-Uaymitum es de 9 kilmetros, a lo largo de los cuales se quiere poner 6 paraderos. En qu posiciones se deben ubicar para que se encuen-[

Desarrollo de criteriosEn Geometra analtica compararemos segmentos. La idea bsica es saber cuntas ve-ces cabe un segmento en otro, pudiendo enfocarla de dos formas: una es comparar una parte del segmento con el resto y la otra, comparar una parte del segmento con el todo. Aunque las frmulas resulten diferentes, segn el planteamiento, el resultado k

la razn dada.

Consideremos que P es un punto sobre un segmento que lo divide en dos.

A

B

P

Figura 2.11

AP con respecto al segmento PB . Comparando sus longitudes por cociente obte-nemos que:

r AP

PB

-@-

Z*Z

que el segmento es dirigido.

K@wx1, y1) y B(x2, y2| AB , sien-do P(x, y) el punto de divisin, con lo cual determinaremos las ecuaciones que per-miten hallar las coordenadas del punto de divisin de un segmento.

0 A P B

y

X

Figura 2.12

50

Matemticas III

Donde A, P y B son las proyecciones de los puntos A, P y B sobre el eje X.

Sabemos, por el teorema de Tales de Mileto, que varias rectas paralelas deter-minan segmentos proporcionales en cualquier transversal que las corte, con lo cual tenemos que:

rP B

= =

APPB

A P

Siendo = A P x x1 y = P B x x2

Si realizamos las sustituciones respectivas obtenemos que: rx xx x

=

1

2AL resolver para x , la ecuacin resulta:

r x x x x2 1( ) = Multiplicando la r rx rx x x2 1 = , despejando la x:

x rx x rx1 2+ = + x rx x r1 2 1+ = +( ) x x rxr=+

+( )1 2

1

Donde r 1

Si proyectamos sobre el eje Y, al realizar los pasos anteriores obtenemos:

y

y ryr

=

+

+( )1 2

1

En resumen, para calcular las coordenadas del punto que divide a un seg-mento formado por los puntos P1(x1, y1 y P2(x2, y2), de acuerdo a una razn dada r, se emplean las ecuaciones:

xx rx

r=

+

+( )1 2

1 y

y ryr

=

+

+( )1 2

1 donde r 1

Un caso particular se da cuando las coordenadas a localizar corresponden al punto medio que divide a un segmento, lo cual sucede cuando la razn de divisin es igual a 1.

Con lo anterior tenemos que al sustituir en las relaciones xx rx

r=

+

+( )1 2

1,

yy ry

r=

+

+( )1 2

1 y considerando r 1 , obtenemos:

xx x

=

+

+( )1 211 1

( )

y

y y=

+

+( )1 211 1

( )

S xx x

=

+1 22

y yy y

=

+1 22

son las ecuaciones

para determinar coordenadas del punto medio de un segmento con extremos P1(x1, y1 y P2(x2, y2).


5151

Para denotar la razn de un punto que divide a un segmento de recta, se utili-

za la fraccin ab

o la notacin a b: (que se lee a es b), por ejemplo 23 o 2 3: .

Tambin hay que considerar que un segmento proviene de una recta y que sta se prolonga hacia sus extremos; por lo tanto, el punto que divide a un segmento +

tres condiciones si consideramos en todas ellas que r APPB

:

1. P est antes que A, entonces r resulta # y mayor que 1, es decir, 1

52

Matemticas III

+-

Aqu A(-2, 6) = (x1, y1); B(7, 3) = (x2, y2), por lo tanto, al sustituir en la frmula se tendr que:

xx rx

r=

+

+( )1 2

1=

+

+

2 12

7

1 12

=

+2 72

32

3232

1

yy ry

r=

+

+( )1 2

1=

+

+

6 12

3

1 12

=

+6 32

32

15232

153

5

As obtenemos las coordenadas de P(1, 5), que dividen al segmento AB en la razn .


535353

=

11

275

1 35

1x

=

7

245

1 35

1y

=

11

275

25

1x

=

7

245

25

1y

= 11

25

2751

x

= 7

25

2451

y

x1275

225

=

y1

145

245

=

+

x1 1 y1

105

2

Entonces las coordenadas del punto P1 son (1, 2).

54

Matemticas III

La razn para el punto A es r M A

AM1

2

1 parte2 partes

12

La razn para el punto B es r M B

BM1

2

2 partes1 parte

2

A partir de las razones procedemos a calcular las coordenadas.

Para el punto A, r = 1/2:

xx rx

r=

+

+( )1 2

1=

+

( )

+

5 12

1

1 12

=

+5 12

32

=

92

32

= =

93

3

yy ry

r=

+

+( )1 2

1=

+

( )

+

6 12

3

1 12

=

+6 32

32

=

92

32

= =

93

3

Por lo tanto, las coordenadas del punto A son: ( )3 3,Para el punto B, r = 2:

xx rx

r=

+

+( )1 2

1 = + ( )( )

+

5 2 1

1 2=

+5 23

=

=

33

1

yy ry

r=

+

+( )1 2

1 = + ( )( )

+

6 2 3

1 2=

+6 63

=

=

03

0

De lo cual se obtiene que las coordenadas para el punto B son (1, 0), por lo que los puntos se marcan en el plano de la siguiente forma:

00

B(-1,0)

A(-3,-3)

M (-5,-6)1

y

x

M (1,3)2

-1-1 1

1

2

2

3

3

4

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

-6

-6

-7

-7

Figura 2.17


5555

&*H

Los vrtices de un tringulo son los puntos A(2,6), B(5, 4) y C(3, 2). Grafcalos en un plano rectangular y determina las coordenadas de los puntos medios de cada lado.

+-

Usemos ahora la frmula de punto medio. Para el lado AB donde las coordena-das son A 2, 6( ) y B 5, 4( ) tenemos que:

xx x

=

+1 22

=

+2 52

72

yy y

=

+1 22

=

+6 42

=

=

22

1

Las coordenadas del punto medio son PAB72

, 1

Para el lado BC donde las coordenadas B 5, 4( ) y C 3, 2( ) tenemos:x

x x=

+1 22

=

+ ( )5 32

=

5 32

22

1

yy y

=

+1 22

=

+4 22

62

3

Las coordenadas del punto medio son: P 1, 3BC ( ) .Para el lado AC donde las coordenadas son A 2, 6( ) y C 3, 2( ) se tiene:

x

x x=

+1 22

=

+ ( )2 32

=

=

2 32

12

yy y

=

+1 22

=

+6 22

=

=

42

2

Las coordenadas del punto medio son P12

, 2AC

.

Los puntos ubicados en el plano quedan as:

B(5,4)

A(2,-6)

C(-3,2)

0

-1

-1

y

X

4

4

3

3

2

2

1

1 5 6 7 8-2-4

-4

0

0

-5

-5

-6

-3

-3

-2

P (1,3)BC

P (3,5,-1)AB

P (-0,5,-2)AC

Figura 2.18

56

Matemticas III

Actividad de aprendizaje 51. Los puntos A 2 3,( ) , B 1 6,( ) y C 4 5,( )"pun-

tos medios y determina su rea usando la frmula A bh2

.

2. Halla los puntos de triseccin y el punto medio del segmento, cuyos extremos son los puntos A(2, 3) y B(6,3).

3. Sabiendo que el punto P(9, 2) divide al segmento que determina los puntos A(6, 8) y B(x2, y2) la relacin r=3/7 , halla las coordenadas de B.

4. El punto medio entre los puntos R y S es M( , )552

. Si las coordenadas de R son R(2,7), halla las coordenadas de S.

5. Si un segmento empieza en A(4,1) y termina en B(2, 6), hasta qu punto se [

Sntesis1. Los vrtices de un tringulo son A(1, 3), B(5, 5), C(8,1). Si D es el punto medio

del lado BC, demuestra que la longitud del segmento DE es la mitad de la lon-gitud del lado AC.

2. Los puntos externos de un segmento son C(0, 3) y D(7, 4). Calcula el punto P(x,y)

que divide a este segmento en r =27 .

3. Alexander se encuentra ubicado en un punto medio entre sus dos primas. Si las coordenas del punto medio de Alexander es M(2,1) y una de sus primas tiene como coordenadas P(2,3). Halla el valor de las coordenadas del punto Q a la que se encuentra su otra prima.

4. El ltimo mensaje que se tuvo de un camin de pasajeros con el que se perdi todo contacto indicaba que se hallaba a 150 km de la terminal de partida y a 250 km de la terminal donde debera llegar. Cules son las coordenadas del sitio desde donde se envi la seal, si el camin se desplaza en lnea recta y las termi-^!w]]|w_\|[

5. Don Enrique siembra en su parcela chile habanero; debe sembrar seis matas de chile por cada surco, las cuales deben estar separadas por distancias iguales. Los extremos de uno de los surcos son (A4,3) y B(9,4). Halla los puntos donde debe colocar las 6 matas de chile.


5757


2 &*% $>0

&*O

P#

8

Se expresa y comunica.









]/



/

de acuerdo a sus intereses.


/

reacciones ante los obstculos que se le presentan.


58

Matemticas III


1%& ,& F

C 00$***&2*2&*

* &&

&*O 0P#

8







/





/



Observaciones:


595959

RealimentacinA continuacin se presenta una miscelnea de ejercicios relacionados con los temas *%&

portafolio de evidencias con tus resultados, cuyo valor fecha de entrega sern asigna-dos, en su momento, por el facilitador.

1. Encuentra la distancia entre los siguientes pares de puntos:

N A(2,3); B(5,1)

>N P(0,2); Q(3,3)

N R(9,1); S(2,5)

N D(a,2a+1); E(2a,1a)

2. Determina el lugar geomtrico, sobre el plano, de todos los puntos que equidistan ?

N A(0,0); B(5,7)

>N P(2,3); Q(1,5)

3. Los extremos de un segmento estn dados por los puntos A(1,1) y B(3,y+1). Cul debe ser el valor de y para que la longitud del segmento AB sea

[

4. Encuentra el permetro y rea del siguiente tringulo:

0

-1

-1

Q

R

P

-2

-2

-3 0 1

1

2

2

Figura 2.19

5. @@

%"

que se forma:

B

21

1

-1-2-3 0

0

C

2

3

A

Figura 2.20

60

Matemticas III

6. Encuentra el lugar geomtrico de un punto que se mueve en el plano, de tal manera que su distancia al punto A(1,2) es siempre 5 unidades.

7. JK?

G

2

2

3

3

4

4

51-1

-1

-2

-3

-3

-4

1

0

0

F

A

B

Figura 2.21

8. Dos puntos del lugar geomtrico 3x - y + 2 = 0 tienen por abscisas x = 2 y x= 1. Determina las coordenadas del punto medio del segmento que se obtiene con dichos puntos.

9. Encuentra la longitud del segmento ED ?

B

E

2

2

3

3

4

4

5 61-1-2

-1

-2

-3

-3

-4

1

0

0

A

D

D es punto medio de AB

Figura 2.22

10. Z"

-nan los vrtices de tringulos rectngulo o no.

N (2,3); (3,4); (7,0)

>N (3,2); (3,1); (4,7)

N (2,3); (5, 0); (1,7)

11. En cada pareja de puntos siguiente, determina las coordenadas del punto P x y( , ) que divide al segmento AB en la razn dada.

N A(0,0); B(7,0); =r 34>N A(3,2); B(2,4); =r 14N A(4,2); B(2,6); =r 4


616161

12. Determina la razn por la cual el punto G(5,1) divide al segmento AB de coor-denadas A(4, 5) y B(8,3).

13. Demuestra si las siguientes tercias de puntos son colineales:

N P(2,3); Q(4,5); R(6,6)

>N P(2,3); Q(4,5); R(2,4)

N P(6,6); Q(4,5); R(2,4)

14. Determina el rea y permetro de los tringulos ABC, ABE y BCE segn la si-?

B 2

-2

3

4

-3

1

-1

A

D

C

E

I

0

Figura 2.24

Evaluacin de la competenciaRbrica para registrar el logro de competencias genricas

2 &*% $>0

&*OP#










]/



/

acuerdo a sus intereses.


/

ante los obstculos que se le presentan.


62

Matemticas III


1%& ,& F

C 00$***&2*2&*

* &&

&*O 0P#

8







/

de un segmento rectilneo.




/



Observaciones:

Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geomtrico

Desempeos del estudiante al concluir el bloqueB Reconoce la recta como lugar geomtrico.

B Reconoce la relacin entre el ngulo de inclinacin y la pendiente de una recta.

B Aplica los elementos de una recta como lugar geomtrico en la solucin problemas y ejercicios

Objetos de aprendizajeB Lnea recta

B !

B Pendiente y ngulo de inclinacin de una recta

B ngulo formado por dos rectas

B Condiciones de paralelismo y perpendicularidad

Competencias genricas y atributosB Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingsticas, ma-

""

B Ordena informacin de acuerdo a categoras, jerarquas y relaciones

B Construye hiptesis y disea y aplica modelos para probar su validez.

B / + &

obstculos.

64

Competencias disciplinares bsicas B Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de

procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o formales.

B Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques

B Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

B Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numri-"

-temtico y el uso de la tecnologa de wla informacin y la comunicacin

B /"-"

65

66

Matemticas III

Dinamizacin y motivacinResuelve los siguientes ejercicios, realizando las operaciones necesarias:

1. Calcula el valor de las siguientes funciones trigonomtricas sin utilizar calculadora

tan 45o=

> tan 60o=

2. Si la tan =1, hallar el valor del angulo

3. Cul es el valor de

2 35

75

4

[

4. Dada las siguientes formulas, hallar lo que se indica

h = v0t + gt2

7 , despejar g

> h= vf + v0

2 t, despejar vf

0&*: tu profesor slo examinar tus soluciones y dar, de forma "+"

respuestas y argumentaciones, pues algunas de ellas se analizarn a lo largo de "

Bloque III. Aplicas los elementos de una recta como lugar geomtrico

676767

ContextualizacinGabriela y Ligia fueron de excursin al cerro de la Ermita de Tekax, Yucatn. Al subir, Gabriela le coment a su compaera que les cost trabajo llegar a la cima. Si la pen-diente, es aproximadamente de 25% y la altura del cerro es de 80 m, cuntos metros [W%""[W%"

+[

Sesin A. Pendiente de una rectaProblematizacinLa mxima inclinacin recomendada para una autopista es de 12%. Cuntos metros horizontales tomar a la autopista Mrida Cancn, con una inclinacin mxima para ]]_[


Inclinacin de la recta"k%

idea comenzaremos el estudio formal de conceptos que te ayudarn a entender las caractersticas de las rectas y sus elementos para describir su lugar geomtrico. Ade-"""+-"

inclinacin y pendiente.

Ahora imaginemos lo que sucede con un volquete al descargar la carga que contiene su caja. Conforme va cambiando el ngulo de inclinacin, tambin lo hace-la posicin de la caja. De manera anloga sucede con las rectas; la posicin de una recta depende del ngulo de inclinacin que tenga.

Figura 3.1

El -es el que se forma con el eje X del plano cartesiano y la recta girando en sentido contrario a las manecillas del reloj.

68

Matemticas III

Observa los siguientes ejemplos de ngulos de inclinacin, en los que puedes notar que stos se comprenden entre 0 hasta 180:

- 1

- 1

1

1 2 3

0

0 4

45B

=

- 1

- 1

1

1 2 3

0

0

135

B=

Figuras 3.2 y 3.3

Pendiente de la rectaNormalmente cuando trabajamos con rectas se emplea el concepto matemtico de pendiente, ms que su ngulo de inclinacin. El ngulo de inclinacin se utiliza para calcular el valor de la pendiente.

La*es la razn de cambio entre dos puntos cualesquiera de la recta.

y

y

x

x

-1 00

E

B

2

2

3

3

4

4

5

5 6 7

1

1

A= 45

= 45

Figura 3.4

@ si conocemos el ngulo de inclinacin de la recta y trazamos rectas paralelas al eje X que pasen por dos puntos


696969

cualesquiera, el ngulo correspondiente que se forma no cambia y forma tringulos rectngulos, entonces la razn de cambio y/x est dada por la funcin trigonom-trica tangente.

Podemos expresar la frmula para la pendiente en trminos del ngulo de inclinacin como m Tan .

Donde & es la * y T es el -.

Gracias a la trigonometra, sabemos que la tangente de un ngulo agudo w|"w_|

unos ejemplos para comprender mejor esto.

&*D

Si conocemos el ngulo de inclinacin de la recta, entonces slo es necesa-&

correspondientes ngulos de inclinacin, adems de cmo calcular la pendiente a partir de sta.

x

1

10

0

-1

-1

B = 45

2 3 4

Figura 3.5

m Tan

m Tan 45

m 1

- 1

- 1

1

1 2 3

0

0

135B=

Figura 3.6

m Tan

m Tan= 135

m = 1

2

2-2 -1

1

10

0

Figura 3.7

Para cualquier recta horizontal paralela al eje X, su ngulo de inclinacin es cero ( ) = 0 y si lo sustituimos en la frmula obtenemos:

m Tan= =0 0

Se puede usar otra variable para representar el ngulo de inclinacin; por ?

frmula ser m Tan= .

70

Matemticas III

Para toda recta horizontal, su pendiente vale cero, es decir, m 0.

2

-1

-1

1

1

0

0

Figura 3.8

Ahora analicemos qu pasa con las rectas cuyo ngulo de inclinacin es = 90 ; por la trigonometra sabemos que la Tan"

Entonces no podemos calcular la pendiente de rectas verticales, cuya ecuacin se describe con la forma x k , donde k es un nmero real.

Para este ejemplo, la ecuacin de la recta sera x 1 .

&*ESi la pendiente de una recta es m 3, cul es el ngulo de inclinacin de la

["w\]|

+-

Tenemos la frmula m Tan .

Al sustituir el valor de la pendiente tenemos que:

Tan 3

Al aplicar la funcin inversa de la tangente nos queda:

= Tan 1 3

= 60

Entonces el ngulo de inclinacin de la recta con pendiente igual a 3 es 60. J"

32

2 (3,2)

60

1

1

0

0

Figura 3.9


7171

&*F

Si la pendiente de una recta es m = 3 , cul es el ngulo de inclinacin de [

+-

Si comparamos este ejemplo con el anterior, podramos pensar que se trata del mismo pero en realidad son diferentes, ya que la pendiente es negativa. Recor-demos que una pendiente negativa le corresponde a una recta con un ngulo de inclinacin obtuso.

Tenemos la frmula m Tan

Al sustituir el valor de la pendiente tenemos que:

Tan = 3

Al aplicar la funcin inversa de la tangente nos queda:

= Tan 1 3

De donde:

180 + (60) = 180 - 60 = 120

As que el ngulo de inclinacin de la recta con pendiente igual a 3

es 150.

Cuando conocemos las coordenadas de dos puntos que estn en la recta, entonces podemos expresar a la pendiente de otra forma.

4

4 5 6

3

3

2

2

1

-1

1

0

0

B

A45

Figura 3.10

Recordemos que la pendiente es la razn de cambio entre los puntos.

(x1, y1)

(x2, y2)

(y2 y1)

(y2, y1)(x2 x1)

Figura 3.11

Recuerda que un ngulo negativo nos indica que est girando en el mismo sentido a las manecillas del reloj, entonces lo que podemos ha-cer es sumar 180 al ngulo.

72

Matemticas III

m Tan

Tany yx x

entonces =

2 1

2 1

, :

my yx x

=

2 1

2 1

Esta frmula se conoce como **. Apliqumosla en los siguientes ejemplos:

&*H

Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (2, 3) y B (2, 1).

+-

Tomamos el punto A como x2, y2 y el punto B como x1, y1, entonces, al sustituir en la frmula:

my yx x

=

2 1

2 1

Queda de la siguiente manera:

m =

=

=

3 12 2

24

12

Si tomamos los puntos al revs, que A sea x1, y1 y B, sea x2, y2, al sustituir en la frmula nos quedara:

m =

=

=

1 32 2

24

12( )

Si observamos de las dos formas nos da el mismo resultado, entonces no importa cual es (x1, y1) o (x2, y2) al momento de tomar los puntos para sustituir en la frmula.

4 como el lugar geomtrico de todos los puntos que tienen la misma pendiente y pasan por un punto dado.

Actividad de aprendizaje 1Resuelve en tu libreta los siguientes ejercicios:

1. Halla la pendiente de la recta (sin utilizar calculadora) cuyo ngulo de inclina-cin es:

= 1500

> = 900

= 1800


737373

2. ""

inclinacin, utiliza un transportador para ayudarte y recuerda que el ngulo de inclinacin se mide con respecto al eje x:

=450 , (1,2)

> = 1250, (1,1)

= 00, (1,2)

3. El ngulo de inclinacin de una recta L es = 1160 34' y un punto de ella es R = (4,2). Hallar el punto donde corta al eje Y.

4. Calcula el valor de la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos:

(2,3), (1,7)

> ( 1,2), (3,4)

1 1, ,,1 12 43 5

5. Utilizando pendientes, prueba que los puntos A (4,2), B (1,1) y C (3,5), son co-lineales.

6. Una recta de pendiente 12 pasa por el punto (1,5). La abscisa del otro punto por

donde pasa la recta es 4. Halla su ordenada.

7. Si la pendiente de una recta L es 3 y un punto de ella es M(2,5). Halla el punto N de L que tiene como abscisa 4.

8. Una recta de pendiente 1 pasa por el punto (2,1) y por los puntos A y B . Si la ordenada de A es 3 y la abscisa de B es 4, cul es la abscisa de A y cul es la [

SntesisAplica lo aprendido en los siguientes ejercicios los conceptos vistos:

1. Los gastos por exportacin de energticos que tiene un pas en millones de pesos, entre 2010 y 2014, estn expresados en la tabla siguiente:

Ao 2010 2011 2012 2013 2014

Millones de pesos 85 115 145 175 205

"'-portacin.

> Cul es el ngulo de inclinacin para el comportamiento de los gastos por exportacin de petrleo en el lapso 2010-2014.

Supongamos que el gasto se mantiene lineal, cul ser el gasto para el '][

74

Matemticas III

2. El peso promedio que tienen los cerdos de una granja del interior del estado de Yucatn a un mes de nacido es 12 kg y ocho meses despus, 72 kg. Supongamos que el peso guarda una relacin lineal con la edad en meses:

W%"

[

> W%""[

%"

3. Alexandra compra una computadora por $6 500. Supongamos que la computa-dora tiene una depreciacin anual de $700 para los primeros 5 aos. Encuentra la tasa de depreciacin que tiene dicho equipo durante los primeros cinco aos.

4. El ingeniero Jess estima que una mquina para asfaltar carreteras se deprecia de manera constante en la razn de $18 000 por ao. Si el valor de desecho de dicha maquinaria est contemplado en $12 000, al cabo de veinte aos, cul fue

[

5. Supn que has estado viajando en auto de Mrida a la ciudad de Cancn. Des-pus de 2 horas de partir de Mrida has recorrido 80 km y despus de 4 horas has recorrido en total 220 km. Determina cul es la velocidad que has mantenido de las 2 hasta las 4 horas de viaje.


2 &*% $>0

&*OP#

matematicas iii

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