MATEMATICAS GENERALES(Del abuelo)

Pensadas paqa quienes, no teniendo en el momento presente, una cubertura matemática que le permita afrontar temas y acercamientos a los grandes problemas que la Ciencia en general se plantea.

Destaca su estudio como imprescindible, si queremos entender tanto la Física como la Astronomia.

De hecho si queremos entender la Astronomia, debemos primero dedicar como paso previo el estudio de la Fisica, la cual nos indicará no solo lo que pasa en el Cosmos sino por qué se produce exactamente asi… pero si a su vez deseamos comprender la Fisica, nos veremos obligados a un estudio de la Ciencia por excelencia, que es la Matematica.

Este es el primer peldaño de toda introducción a cualquier Ciencia. Un peldaño pequeño, que superado permite la ampliación personal que cada cual precise o quiera.Ha sido pensado desde la prespectiva:

Partir de cero

No requiriéndose conocimientos previos, para que todo el que lo desee pueda con su esfuerzo personal AVANZAR a su ritmo.

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Cuestiones de EvaluacionSi al iniciar la lectura de este trabajo estas cuestiones de evaluacion se conocen y comprenden, sáltate su estudio hasta la página 124 en la que se inicia ALGEBRA, pero si no es así, entonces inicia sin prisas su estudio, sobre todo no corras en aquello que crees conocer 1.- LogaritmosSi y = a*x x = lga ySi x = a*x x = lga x e*x y ln x son inversas porque f(f*-1(x) ) = x , lo que implica que son simétricas especto a la diagonal princial.ln es siempre una funcion positiva y creciente tal que ln 1 = 0 y ln(x)’= 1/xSu inversa se denomina exponencial o exp, siendo exp 1 = e

Cualquier potencia se puede expresar en función de la exponencial natural:a.- a *x = exp x ln a = e* x ln a

b,. x*a = exp a ln x = e *a ln x

Siempre se cumple que: x = a*x x = lga x = lga a*x

x = a*x a*lga x Cambio de base Si x = a*lga X

lgb x = lga x lgb a lgb xlga x =-------- lgb a Logaritmos básicos2 = 0.30 11 = 1.043= 0.48 13= 1.115 = 0.70 17= 1.237 = 0.85 19= 1.28

¿Por que el lg de 9 es = 0.96 ?

2.- Recta que pasa por dos puntos P1( x1, y1) y1 = m ( x – x1)P2( x2 , y2) y2 = m ( x – x2 ) -------------------- y2 – y1 = m ( x2 – x1)

3.- ¿Por que el centro de una circunferencia P(x0, y0) = (-a/2, - b/2) ?r*2 = ( x - x0)*2 + ( y – y0)*2= x*2 + x0*2 – 2 x x0 + y*2 + y0*2 – 2y y0

x*2 + x0*2 – 2 x x0 + y*2 + y0*2 – 2y y0 – r*2 = 0La ecuación viene dada pr x*2 + y*2 + ax + by + c luego:

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- 2 x0 = a- 2 y0 = bx0*2 + y0*2 – r*2 = c

4.- En teoría de conjuntos:a.- Las leyes de Morgan(A U B )’ = A*c ∩ B*c

(A ∩B ) ‘ = A*c U B*c

Relaciones entre conjuntos( A – B) = A ∩ B*c

Si llamamos ≠ = cardinal de un conjunto: ≠ A =≠(A – B) - ≠ ( A ∩ B)¿Sabrías deducir estas fórmulas?

5.-Probabilidades y CombinatoriaP( A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)P(A ∩ B) = P(A) P(B) o bien a.- Si A esta condicionada a B P( A ∩ B) = P(A/B) P(B)b.- Si B esta condicionada a A P( A ∩ B) = P(B/A) P(A)Probabilidad totalP(A) =Σ P(Bi) P(A/Bi)c.- Bayes P(A) P( B/A) P(A/B) =----------------------------- P(B)= ΣP(Ai) P B/Ai

6.- ¿Cual es el estadistico invariante respecto a la media y a la desviación tipica? C.V (Coeficiente de variación) = δ/< x>

7.- ¿Cómo se tipifica una variable estadistica? X - µZ =-------- δ

8.- CR m,n = Cm + (n -1) , n ¿ Se entiende esto?

9.- Demostar que sen 60º = cos 30º = √3/2

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▲ABM √3AM*2 = sen*2 (π/3) = 1 – (½)*2 = ¾ sen (π/3 ) =----- = cos (π/6) 2 BM = cos (π/3) = 1/2 = sen (π/6)

10.- Funciones trigonometricas inversassen x . arcsen x = x por ejemplo y si x = sen α α = arcsen x

ll.- Algunas deducciones de fórmulas trigonométricas sen ( α ± β)/ cos α cos β tg α ± tg βa.- tg ( α ± β) =----------------------------- = -------------- cos ( α ± β)/ cos α cos β 1 + tg α tg β

b.- cos 2 α = cos*2 α – sen*2 α cos α = cos*2 α/2 – sen*2 α/21 + cos α = cos*2 α/2 – sen*2 α/2+ sen*2 α/2 + cos*2 α/2 y

1 + cos α 1 - cos αcos*2 α/2= -------------- y sen*2= --------

2 2c.- cos 2 α = cos*2 α – sen*2 α 1 + cos 2 α = cos*2 α – sen*2 α + sen*2 α + cos*2 α 1 + cos 2α 1 - cos 2αcos*2 α= -------------- y sen*2 α= -------------- 2 212.-Producto Escalar de dos vectoresv . w = ( a,b) ( c,d) =( a.c + b.d )

a ccos α = ----- cos β = ----- | v | | w | b d sen α = ---- sen β = ---- | v | | w |El ángulo β – α, es el ángulo que forman los dos vectores dados v y w Su cos(β – α) = cos β cos α + sen β sen α

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a c b d v wcos(β – α) = ----- ------ + ---- ----- = --------- v w = | v | | w | cos(β – α) | v | | w | | v | | w | | v | | w |

13.- ¿Por que Z = (r(cos α + i sen α)*n =r*n (cos nα + i sen nα) ?Haganos (r(cos α + i sen α)*2 = r*2(cos*2 α + i*2 sen*2 α + 2 i senα cosα) == r*2(cos*2 α - sen*2 α + 2 i senα cosα) = r*2( cos 2α + i sen 2α)

14.- Sea Z un número complejo cuya raiz W es otro numero comlejo, Relacionar correctamente z y su raiz wZ = r ( cos α + i sen α ) W= s ( cos α + i sen α ) pero W*2 = Z y en generalW*n = Z s*n (cos nβ + i sen nβ ) = r(( cos α + i sen α ) ) n

De donde s*n = r s=√rY nβ = α + 2πK α + 2πK α + 2πKW = s ( cos ------------ + i sen ---------- ) n n 15- El Producto vectorialv( a,b,c) w( m.p,n)

v x w = │v │ │ u │ sen (v,u) ¿Porque el Z = v x w es ┴ al plano comprendido entre v y w ? porque Z es tal que Z ┴ v y Z┴ u , pues sus productos escalares son ceroz . v = 0z . w = 0 Propiedad anticonmutativa v x w = - w x vRelación entre P. vectorial y escalar .(v x w)*2 = │v│ │w│ - ( v .w) *2

16.- Ecuación de una recta en coordenadas paramétricas.Una recta r la define un punto A(a,b) y un vector de dirección v( v 1. v2), Cualquier punto P(x, y) ε r si VAP = t v : ( x-a), (y-b) = t (v1, v2)x - a = t v1

y - b = t v2

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17.- Ecuación de un plano en paramétricasSea A(a1,a2,a3) y P(x,y,z) El VAP = (x – a1, y - a2, z - a3) Para obtener su ecuación cartesiana, basta recordar que un punto P es incidente al plano si VAP es combinación lineal de u y v o lo que es lo mismo

Sea n ( n1, n2, n3), el producto vectorial de u x v :│e1 e2 e3 ││u1 u2 u3│ = 0│v1 v2 v3│Cuyas componentes serán:

Entonces el Det LD (linealmente dependiente) tiene como desarrollon1 (x – a1) + n2 (y - a2) + n3 (z- a3) = 0que es la ecuación del plano obtenida por el vector perpendicular a los dos vectores que marcan la dirección del plano

18.- Teoremas Fundamentales del Calculo Diferencial Si f es una funcion continua en I [a, b)]a.- T. de los valores intermediosSi c ε (a,b) existe un valor de x / f(x) = cb.- T de BolzanoSi f(a) y f(b) son de distinto signo, existe siempre un valor de x/ f(x) = 0c.- T. WeiertrassSiempre existirá un M y un m en el intervalod.- T. RolleSi f(a) = f(b) existe un c ε (a,b) / f ’(c) = 0e.- T. del valor medio f(b) – f(a)f ‘ (c ) =-------------- b - a

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19.- Convexidad y concavidad de una funciónUna funcion es convexa (cóncava) en I (a, b) si existe un parámetro t / 0< t<1 y que se verifica:f [ta + (1 –t) b ] < t f(a) + (1-t) f(b) Convexa f [ta + (1 –t) b ] > t f(a) + (1-t) f(b) Cóncava

CONVEXATambién es cierto que si:f’’(x) > 0 la función es convexa y decrecientef’’(x) < 0 la función es cóncava y crecientef’’(x) = 0 Hay un punto de inflexión y la función pasa de convexa (cóncava) a cóncava (convexa)

20.- Estudio de asintotas x*2 Sea lim f(x) =----- = ∞ x 1 x - 1

Esta es una asíntota vertical en x = 1 Para comprender el comportamiento de la gráfica de la función, basta obtener el límite por la izquierda y por la derecha de la asíntota: x*2 x*2

Sea lim f(x) =----- = - ∞ Sea lim f(x) =----- = ∞ x -1 x – 1 x + 1 x - 1

Sea ahora una asíntota horizontal 2 xLim --------- = 2 x + 3 x ±∞

Si la asíntota es, como en este caso horizontal, para saber si la gráfica de la función va por encima o por debajo de la asíntota se efectúa:La diferencia de f(x) y la asíntota y se estudia el signo del resultado.

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2 x - 6 --------- - 2 = ------- x + 3 x + 3Desde ( - ∞, -3) la diferencia es positiva y por tanto va por encima de la asíntota.Desde (- 3, ∞) la diferencia es negativa, luego va por debajo de la asíntotaEsta función además tiene una asíntota vertical en x = -3Definimos como asíntota oblicua aquella recta, y = mx + n que cumple:lim ( f(x) – mx –n ) = 0x ±∞

Los coeficientes m y n se determinan: f(x) n f(x) f(x)lim = ---- - m - --- ) = 0 lim (---- - m) = 0 m =lim ---- x x x xx ±∞ x ±∞ x ±∞En cuanto a n, conocido ya m, se obtiene:lim ( f(x) – mx) = n x ±∞Para determinar la posición de la grafica respecto a esta asíntota oblicua, se estudia el signo de la diferencia. Si es positivo por encima y si es negativo por debajo de la asíntota

21.- Derivadas de las funciones trigonométricas inversas 1 1 1Si f*-1(x)] ‘ = (arcsen x) ‘ =---------- = ---------------- = ------------ f’[f*-1(x)] cos(arcsen x) √ 1 – x*2

sen*2(arxsen x) + cos*2 arcsen x = 1cos*2 arcsen x = 1- sen*2(arxsen x) = 1 – x*2

Y de este modo se obtienen todas las demas

22.- Integrales inmediatas dx _____ ¿Se conocen todas? Por ejemplo ∫--------- = ln ( x + √x*2 ±1 ) + K

√ x*2 ±1 23.- Formula de recurrencia dx x 2n +3 dx∫--------------- = ---------------------- + ----------∫-------------- (x*2 +1)*n 2(n -1) (x*2 +1)*n-1 2n +2 (x*2 +1)*n -1

Se aplica cuando el denominador de la fraccion corresponde al artg x , pero elevado a cualquier potencia. A esta fórmula se llega integrando por partes sucesivamente

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24.- Integrales racionales dx dx 1∫----------- = ln( x- a) ∫----------- = ----------------- (x –a) (x –a)*n (n -1) (x –a)*n-1

dx 1 ∫-------------------- = -----------------------------(ax*2 + 2bx +c)*n (n -1) (ax*2 + 2bx +c)*n-1

Para resolver una integral con denominador x*2 + 2bx + c Se busca el cuadrado perfecto del denominador:(x*2 + 2bx + c) = ( x + b) *2 + c – b*2

Se hace el cambio: ______ ______x + b = √c – b*2 t dx = √c – b*2 dt

25.- Integrales Trigonometricasa.- Cambio generaltg x/2 = t x/2 = arctg t x = 2 arctg t 2dx = --------- dt 1 + t*2

Explicación de las formulas:sen 2x = 2 sen x cos xsen x = 2 sen x/2 cos x/2 2 sen x/2 cos x/2 / cos*2 x/2 2tg x/2 2tsen x =------------------------------------- = ------------ = --------- (cos*2 x/2 + sen *2 /2)/ cos*2 x 1 + tg*2 x 1 + t*2

cos 2x = cos*2 x – sen*2 xcos x = cos *2 x/2 – sen*2 x/2 cos *2 x/2 – sen*2 x/2 / cos*2 x/2 1 – tg*2 x /2 1 – t*2

cos x = ----------------------------------------- = ------------------. =-------- (cos*2 x/2 + sen *2 /2)/ cos*2 x /2 1 + tg*2 x /2 1 – t*2

b.-Otros cambiosCuando la función es par en sen o cos, es decir cuando no cambia si sustituimos sen x por sen(- x) o cos x por cos(-x). Se impone el cambiotg x = t x = arctg t dtdx = ----------- 1 + t*2

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tsen x =----------- √1 + t*2 1cos x = ----- √1 + t*2

Explicación: cos x/ cos*2 x 1/ cos x 1cos x = -------------------------------- = ------------ = --------------------- cos *2 x + sen*2 x /cos*2 x 1 + tg *2 x cos x(1 + tg *2 x) 1 1cos*2 x= ------------- = --------- 1 + tg *2 x 1 + t*2

1cos x = --------- √ 1 + t*2

t sen x = cos x tg x = -------- √ 1 + t*2

c.- Cuando el integrando es impar en sen, es decir cuando cambia el signo al cambiar sen x por – sen x, el cambio es cos x = t

d.- Cuando el integrando es impar en cos, es decir cuando cambia el signo al cambiar cos x por –cos(x), el cambio es sen x = t

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MATEMATICAS GENERALES PDF nº 1

INTRODUCCION

TEMA 1.-

NUMEROS NATURALES - Naturales 1, 2, 3 ..…n

SISTEMAS DE NUMERACION R : S → NEs decir establecemos una relación entre un conjunto S de objetos y otro de N de números expresados por un símbolo a.- Acumulativos1 = 111 = 2111 = 3-----------El símbolo tiene el mismo valor independientemente de donde esté situadob.- PosicionalEl valor del signo depende de su situaciónNuestro sistema decimal es de este tipo, en el que 10 unidades son igual a una unidad superior y permite la expresión por medio de potencias de base 10 (por eso se llama decimal)

1 = 10*0

10 = 10*1

100 = 10*2

---------------------------

En el sistema de base, por ejemplo 7 tenemos:

1 = 7*0

7 = 7*1

49 = 7*2

---------------------------c.- Cambio de base- De decimal a otra base b

(341)10 = 3 x 10*2 + 4 x 10*1 + 1 x 10*0

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Se divide sucesivamente el número en base 10 por el la base b: Con b = 5

341 │5 41 68 │5 1 18 13 │ 5 3 3 2El número en base 5 será el último cociente seguido de los restos de todas las divisiones, es decir (2331)5.En efecto

(2331)5 = 2 x 5*3 + 3 x 5*2 + 3 x 5*1 + 1 x 5*0 = (341)10

d.- De cualquier base a decimal(2331)5 paso a base 10

2 3 3 15 10 65 340-----------------------------------------

2 13 68 341

- DIVISIBILIDADa es divisible por b si la división es exacta.a : b = c implica que a = b c, siendo en esta expresión definidos como factores de a tanto el b como el c. A este proceso de obtener los factores de un número dado se llama factorización.- Referente a la divisibilidad obtenemos;a.- Números primos que son aquellos que sólo pueden ser divisibles por 1 y por si mismo.b.- Números compuestos que se pueden factorizar o descomponer en sus factores primos.24 = 2 x 12 = 2 x 3 x 4 = 2 x 3 x 2 x 2 = 2*3 x 3Como se ve para descomponer un número compuesto se divide el mismo por sus factores primos, los cuales se obtienen teniendo presente las:- Reglas de divisibilidad a.- Un número es divisible por 2 si acaba en cero o cifra parb.- Un número es divisible por 5 si acaba en cero o en cincoc.- Un número es divisible por tres si lo es la suma de sus cifras24 es divisible por 2 y por 3. Se procede siempre a dividirlo primero por el menor 24:2 =12:2 = 6:2 =2 =3

24 │ 212 │ 2 6 │ 2 3 │ 3 1 │ 1

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0 │

- Máximo Común Divisor Es el mayor de los divisores comunes a varios números.Se obtiene, descomponiendo los números en sus factores primos y eligiendo de entre los comunes los de menor exponente.24 = 2*3 x 3360 = 2*2 x 3*2 x 5 MCD(24 , 360) = 2*3 x 3 = 24

- Mínimo Común Múltiplo Es el múltiplo menor a varios números dadosSe obtiene descomponiendo los números en sus factores primos y eligiendo los comunes y no comunes elevados a su máximo exponente.M.C.M ( 24 , 360) = 2*3 x 3*2 x 5

- Relación a x b = M.C.D(a, b) x M.C.M (a, b)

NUMEROS ENTEROS---- -3, -2, -1, 0, 1 , 2, 3, …..Implican la existencia del número opuesto, que para a será, – a.Implican la existencia de los valores absolutos de los números, que se define como:

│ a para a ≥ 0 |a | │

│ - a para a < 0

OPERACIONES BASICAS CON MUNEROS ENTEROS Se atiende siempre a los valores absolutosa.- Suma Se suman los valores absolutos y se pone el signo común : 3 + 5 = 8b.- RestaSe restan los valores absolutos y se pone el signo correspondiente al mayor valor absoluto restado -10 + 3 = - 7c.- Multiplicación y División Se multiplican o dividen los valores absolutos y se pone siempre el sigo que indica la regla de los signos:

+ . + = +- . - = ++ . - = -- . + = -

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TEMA 2NUMEROS RACIONALESSurgen de manera natural para poder realizar operaciones no posibles en el campo de los números enteros, como por ejemplo repartir 3 litros de leche entre 5 personas. No existe divisibilidad si por ello entendemos división exacta.Se presentan como una fracción:a Numerador--b DenominadorLa cantidad en que se divide una unidad es b y de ella se toman a, así 3/5 indica que l litro lo definimos como 5/5 y de ella tomamos 3.- Fracciones equivalentes Siempre existe una fracción que no se puede reducir, simplificar más. A estas fracciones se les llama irreducibles.Dada una fracción irreducible si multiplicamos numerador y denominador por el mismo número obtenemos una fracción equivalente.3 6 9 a c-- = --- = ---- En general dos fracciones son equivalentes --- = --- 5 10 15 b dsi a d = b c a y d se llaman medios y c y d extremos. Luego el producto de los medios debe ser igual al producto de los extremos- Operaciones con los números racionales1.- Suma a.- Mismo denominador. Se suman los numeradores y este será el numerador final y se suman los denominadores y éste será el denominador final3 5 8-- + --- = ---- = 24 4 4b.- Distinto denominadorSe reducen al mismo denominador, para ello se obtiene el M.C.M.de los denominadores que será el denominador común. En cuanto a los denominadores se obtienen dividiendo el M.C.M por el denominador de cada fracción y multiplicándolo por su numerador

13 18 195 + 36 231---- + ---- = ------------- = ------48 360 720 720** 48 = 2*4 x 3 360 = 2*3 x 3*2 x 5 M.C.M (48, 360) = 2*4 x 3*2 x 5 = 720(720/48)13 = 195(720/360)18= 36

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2.- Resta Se procede de forma similar atendiendo a los signos 3.- MultiplicaciónNumerador final igual al producto de los numeradores de las fracciones y denominador final igual al producto de los denominadores de las fracciones4.- DivisiónO bien se multiplican en cruz o se multiplican normalmente teniendo en cuenta que la fracción divisor debe ser cambiada por su inversa. La fracción reciproca o inversa a una dada a/b es otra fracción que multiplicada por la primera da 1, es decir b/a 3 2 15--- : ---- = ------8 5 40

EXPRESION DECIMAL DE LOS NUMEROS RACIONALESa.- Paso de la expresión fraccionaria a decimalSe divide numerador por el denominador, así59,97 Es un número decimalb.- Paso de forma decimal a fracciónEl número decimal expresado en fracción sería x = 59,97100 x =5957 x = 5957/100

10/3 = 3,333333 Es periódica, de periodo 33333Dada su expresión decimal se pasa a fracción: x = 3,3333310x = 33,33333------------------- 9x = 30 x = 30/9 = 10/3

291/90 = 3,233333 Tiene de anteperíodo 2 y de periodo 3333 x = 3,233333310 x = 32,3333333100 x = 323,3333333-------------------------------- 90 x = 291 x =291/90 -PorcentajesEl 5% de a es : 5a/100.Definimos la variación porcentual de un número al cociente:Medida actual – Medida anterior------------------------------------------- Medida anterior

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TEMA 3NUMEROS REALESAlgunos números no pueden expresarse por un número entero seguido por un conjunto de decimales de tipo periódico. √2 no puede expresarse así. El numero π, tiene infinitas cifras decimales distintas… A este conjunto de números se les denomina Irracionales. Definimos como números reales o R

│ Racionales │ Irracionales

La mejor alternativa de establecer un número irracional es acotarlo entre dos sucesiones, por ejemplo para √2:1 < √2 < 2 1,4 < √2 < 1,51,41 < √2 < 1,42--------------------------------- Podemos pues definir a los números reales R al conjunto de números que vienen definidos por un par de sucesiones de números racionales.- Propiedades de los números realesSi a y b son dos números reales tal que a ≠ b necesariamente obtenemosa > b a ± c > b ± c a < b a ± c < b ± cSi a > b c > 0 a c > b cc< 0 a c < b cSi a < bc > 0 a c < b cc < 0 a c > b c

POTENCIAS Y RAICES- Potencia Si a es un número real y n un número natural a x a x a… = a*n

Siendo a la base de la potencia y n el exponente.Propiedades:a.- a*n a*m = a* n+m

b.- a*n b*n = (a b)* n

c.- (a*n)*m = a* n m 1d.- a*-n = ----- a*n

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a*n

e.- -------- = a *(m –n)

a*m

- Raíces.-Dado un número natural n no nulo y un número real positivo a, siempre se puede encontrar un número b tal que b *n = a. Se dice entonces que b es la raíz enésima de a y se expresa: n

√a = b y también como a*1/n =bPor lo que::n

√a*m = a*m/n = (a*m)*1/n = ( a *1/n)*m

** Con las reglas establecidas el exponente n pasa a ser considerado un número entero y nada impide que sea en general considerado como un número racional, por lo que la definición de potencia pasaría a ser: Dado un numero real a y un número racional n ,denominamos potencia a a *n

EXPONENCIALES Y LOGARITMOSPor ampliación del concepto de potencia anterior, nada impide que n sea un número irracional y en general un número real, de la misma forma que a > 0 sea un número cualquiera real. Para obtener aproximaciones sucesivas a determinadas potencias del tipo π*√2 (Base real, irracional y exponente real, irracional) basta establecer dos sucesiones:3*1 < π*√2 < 4*2 3,l*1,4 < π*√2 < 3,2*1,5 3,l4*1,41 < π*√2 < 3,15*142

------------------------------------- El símbolo a*x en el que a es un número real y x otro número real, se denomina potencia de base a y exponente x o bien exponencial de x de base a. La denominación de exponencial obedece a que usualmente a es un número fijo, mientras x o los exponenciales varían.Se define como exponencial natural aquella que tiene por base un número irracional denominado e = 2,718.. y se expresa por e*x

Las exponenciales son muy utilizadas en los problemas de variación poblacional. Es lógico que una determinada población crezca cada año un número fijo a, de manera que Primer año aSegundo año a x a = a*2

------------------------------------Enésimo año a*n Imaginemos que ese número que indica el crecimiento anual es 1,05. Sería a = 1,05 la base de la exponencial, pero como dependiendo de la población podríamos obtener diferentes bases, lo que se suele hacer es reducir todas las bases a base 2, con lo cual podemos buscar el tiempo en años que se precisa para que la población se duplique.

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El cambio de base a 2 del ejemplo, viene dada por 1,05*14,2 = 2

14,2 n n ------- ------

14,2 14.2

a*n = (1.05) * = 2 * siendo x = n/14,2donde n es el tiempo medido en años y x el tiempo medido en lapsos de 14,2 años y la población se duplicará cada 14.2 años

LOGARITMOSDados dos números reales a > 0 e y > 0, el número real x tal que a* x = y se denomina logaritmo de base a de y .Se representa: lga y = xSi la base utilizada es 10, surgen los logaritmos decimales o vulgares y si la base es e, aparecen los logaritmos neperianos o naturales.- Propiedadeslga a = 1lga(x . y) = lga x + lga ylga x*y = y lga xlga( 1/ x) = - lga x Siempre se cumple que: x = lga a*x

x = a*lga x logb x = loga x logb a

Dichas fórmulas se estudiaran mas adelante, página 28/29

* Obtener el logaritmo de lg10 213 = (100 x lga 2,13) = 2 + 0,67162 = 2,67162Ello implica que un logaritmo está formado:Por una parte entera cuyo valor será igual al número de cifras menos 1 del total que posee la cifra que deseamos obtener su logaritmo. 312 tiene 3, luego la parte enteras del logaritmo será 2A la parte entera le sigue una parte decimal denominada mantisa y que en este caso, corresponde al lg10 2,13 - En el caso de lg10 0,00213 = lg10 ( 10*-3 x 2,13) = -3 + 0.67162 = 3,67162 - Cambio de BaseSi x = a*lga X

lgb x = lga x lgb a lgb xlga x =-------- lgb a lg10 1000 3* Obtener lg2 1000 lg2 1000 =------------ = --------- = 9, 965 lg10 2 0.3010

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En general tenemos:Que si a y b son dos números positivos se cumple a*x = b *xlgb a

TEMA 4ECUACIONESUna ecuación es una igualdad provista de números o coeficientes y letras o incógnitas, que se deben resolver o hallar su valor.- Clasificacióna.- Por el número de ecuaciones b.- Por el número de incógnitasDefinimos como grado de la ecuación el mayor exponente que posea su(s) incógnitas 3x*2 + 3x + 8 = 0 y. 2x + 3xy +8y = 0 son de segundor gradoUna ecuación de primer grado y una sola incógnita siempre tiene solución:3x - 6 = 0 x =2Una ecuación de primer grado y dos incógnitas no tiene solución 3x + y - 6 = 0 se requiere si hay dos incógnitas dos ecuaciones y si hay n incógnitas n ecuaciones, surgiendo de forma natural los sistemas de ecuaciones.

-SOLUCCION DE SISTEMAS- Método de sustitución x - 2y = 53x - y = 10Se despeja una de las incógnitas en una ecuación y este valor se sustituye en la otrax = 5 + 2y3( 5 + 2y) – y = 1015 + 6 y – y = 105y = -5 y =- 1 y x = 3 . Método IgualaciónSe despeja la misma incógnita en cada una de las ecuaciones y se igualan estos valores

x = 5 + 2y 10 + y 10 + y x =------- --------- = 5 + 2y 10 + y = 15 + 6y -5 = 5y y = -1 3 3 - Método de ReducciónUna ecuación es como una balanza con dos platillos. Podemos sumar, restar, multiplicar o dividir por ejemplo en un brazo de la balanza, léase miembro de la ecuación siempre y cuando hagamos la misma operación en el otro brazo o miembro de la ecuación.

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Una ecuación es equivalente a otra(s) si ésta/s (otras) tiene(n) la(s) misma(s) solucion(es). Dos o mas ecuaciones equivalentes se pueden sumar (restar), multiplicar (dividir) y siempre darán una ecuación equivalente. Podemos por tanto multiplicar una ecuación por un número convenientemente elegido y sumar o restarla a la otra.Si queremos eliminar x haríamos:x - 2y = 5 -3(x - 2y) = - 15 -3x + 6y = - 15 3x – y = 10 -------------------- 5y = - 5 y = - 1 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADOax*2 + bx + c _______ -b ± √b*2 – 4acx = ------------------- 2aY se cumple siempre que bx1 + x2 =- ---- a c x1 x2 = - ---- a

TEMA 5GEOMETRIA- Teorema de Pitágoras

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S2 = (b + c)*2

S1 = h*2 ∆

S = 4 ½ bc = 2bc(b + c)*2 = h*2 + 2bch*2 = b*2 + c*2

- Sistema de referencia cartesiano en el plano

El sistema tiene el origen O (0, 0) y dos ejes el de abcisas o X y el de ordenadas o Y. Cualquier punto del plano vendrá fijado por P(x, y)- Distancia entre dos puntosP1(x1, y1) y P2(x2, y2) ________________ D = √(x2 - x1) + (y2 - y1)- Rectas en el planoUna recta es el conjunto de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación Ax + By + C = 0-Recta paralela a los ejes Al eje de ordenadas → B = 0 Ax + C = 0 x = - C /A Al eje de abcisas →A = 0 By + C = 0 y = - C/BTransformando By = - Ax –C Ax C y =- ----- - ------ = mx + n siendo m la pendiente y n la ordenada en el B B origen

- Ecuación de la recta que pasa por dos puntosDados P1(x1, y1) y P2(x2, y2) Si X(x, y) es cualquier punto de la recta y la recta será y = mx + n. Para que Pl y P2 pertenezcan a esta recta, debe verificarse que

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y2 = m x2 + ny1 = m x1 + n------------------------ y2 – y1

y2 – y1 = m (x2 – x1) m = ---------- x2 – x1

y2 – y1

Y la recta es y – y1 = ---------- (x – x1) x2 – x1

Los puntos pertenecen a la misma recta si sus pendientes son iguales, así:

y3 – y1 y2– y1

----------- = ------------- x3 – x1 x2– x1

- Teorema de Thales

Como BB’ = y2 – y1

AB’ = x2 – x1

CC’ = y3 – y1

AC’ = x3 – x1

TenemosCC’ BB’----- = ----- = m AC’ AB’Ello implica la existencia de dos triángulos BAB’ y el CAC’, cuyos lados son proporcionales. Al serlo los lados lo son las hipotenusas AB y AC

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El teorema de Thales nos dice que dadas dos rectas que se cortan en un punto, si trazamos rectas paralelas entre si que corten a ambas rectas, generan triángulos cuyos lados son todos proporcionales- Posición de dos rectas en el planoa.- Se cortan, en cuyo caso el punto común se obtiene resolviendo el sistema compuesto por las dos ecuacionesb.- Son paralelas, para lo cual deben tener la misma pendiente :m = km = m’ A A’- ------ = - ----- B B’

c.- Son perpendiculares si

1*2 = a (- a’) dado que la altura del triángulo es media proporcional entre las partes en que divide a la hipotenusa. En el dibujo denomina a = m = pendiente 1a’ = - ------ a A’ B ------ = - ----- B’ A

Cualquier recta perpendicular a y = 2x + 3, tiene por m = - ½ y cualquier recta paralela tendrá m = 2. Si además la hacemos pasar por el P (3, 2) tendremos:Recta que pasando por (3, 2) es paralela a y = 2x + 3

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y – 2 = 2( x – 3)La recta perpendicular será y - 2 = -1/2 ( x -3)

CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO

r*2 = (x – x0)*2 + (y – y0)*2 Si resolvemos los cuadrados tenemos:x*2 + y*2 -2x0 x - 2y0 y +x0*2 +y0*2 –r*2 = 0Llamando - 2x0 = a- 2y0 = bx0*2 + y0*2 –r*2 = cNos queda x*2 + y*2 +a x + by + c = 0El centro (x0, y0) es (-a/2, -b/2)Circulo su ecuación es : r*2 ≤ ( x – x0)*2 + (y – y0)*2

ANGULOS Y RAZONES TRIGONOMETRICASLa medida de un ángulo se efectúa:a.- Grados sexagesimales, siendo la circunferencia igual a 360º, 1º = 60’,1’ = 60’’b.- Grados centesimales siendo la circunferencia igual a 400º, 1º =100’, 1’ = 100’’ c.- En radianesDefinimos el radian. Dada una circunferencia de r = l el arco abarcado por los dos radios da un ángulo α .Si el arco correspondiente α tiene una longitud igual a la del radio =1. En ángulo α = l Radian La circunferencia tiene 360L = 2π radianes y un radian = ------= 57.296º 2π

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- Razones Trigonométricas

cateto opuesto b 4sen α = ------------------- = ---- = ---- = 0,8 hipotenusa h 5

cateto contiguo a 3 cos α = -------------------- = ----- = ---- = 0,6 hipotenusa h 5 sen αtg α = -------- cos αcosec α = 1/ sen αsec α = 1/cos αcotg α = 1/tg α

- Ecuación Fundamental sen*2 α+ cos*2 α = 1

TEMA 6CONJUNTOS Y APLICACIONESUn conjunto es cualquier colectivo, compuesto por una serie de elementos, los cuales cumplen con una ley denominada relación de pertenenciaUna relación de pertenencia define si un elemento pertenece o no pertenece al conjunto. En una clase, por ejemplo pertenecen al conjunto “todas las chicas rubias”, las que sean rubias solamenteSi a es chica y es rubia se dice a ε R (conjunto de chicas rubias).En caso contrario se dice que a no ε RSe definena.- Por enumeración A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Todos sus elementos

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b.- Por descripción A = {Números enteros positivos < 10}c.- Por comprensión A = {n ε Z / n < 10}- Inclusión de conjuntosA está incluido en B, si todos los elementos de A pertenecen a B y se denota A C B también se dice que A es un subconjunto de B- Conjunto Universal y VacíoEl conjunto que contiene a todos los conjuntos que se analizan en un determinado contexto se denomina conjunto Universal y se denota por UAl conjunto que no tiene elementos se denota por Ø- Partes de un conjunto Dado un conjunta A, las partes del mismo o P(A) está constituido por todos los subconjuntos de A incluidos el propio A y el ØEl numero de P(A) siempre es 2*n, siendo n los elementos del conjunto

OPERACIONES CON CONJUNTOSa.- IntersecciónEntre dos conjuntos A y B, está formada por todos los elementos comunes a ambos conjuntosA ∩ B = {x │x ε A y x ε B}Los conjuntos cuya intersección es A ∩ B = Ø, se llama disjuntosCumple con las propiedadesConmutativa A ∩ B = B ∩ AAsociativa A ∩ (B ∩ C) = B ∩ (A ∩ C)Distributiva A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)b.- UniónLa unión de A y B está formada por todos los elementos que pertenecen a A o a B Cumple con las propiedadesConmutativa A U B = B U AAsociativa A U (B U C) = B U (A U C)Distributiva A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)A U B = { x │x ε A o ε B }- Complementario de un conjuntoEl complementario de a o AC, está formado por todos los elementos del conjunto universal que no pertenecen a A. Es decir U – A = AC

- Diferencia entre conjuntosEs el conjunto formado por todos los elementos de A que no pertenecen a BA - B = {x │x ε A y x no ε B}Es obvio que A –B ≠ B – A y que A – B = A ∩ BC

- Propiedades que relacionan varias operaciones. A U AC = U

. A ∩ AC = Ø

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- Leyes de MorganPrimera L. M: (A U B)C = AC ∩ BC

Segunda L.M: (A ∩ B)C = AC U BC

- Diagrama de Euler- VennSon representaciones gráficas de un conjunto consistentes en situar dentro de un círculo a los elementos del mismo. Sirven para escenificar las distintas relaciones entre conjuntos

APLICACIONESDados dos conjuntos A y B Es una transformación que convierte cada elemento del conjunto A en un único elemento del conjunto BA, se llama conjunto origen, conjunto inicial o dominioB, se llama conjunto final, conjunto imagen o rangoLa aplicación se denota: f: A → B

Estas transformaciones no son aplicaciones porque para serlo se precisa que: cada elemento de A tenga una sola imagenA este tipo de transformaciones se les llama correspondencias

Estas transformaciones si son aplicaciones porque todos los elementos de A o conjunto inicial tienen una sola imagenEstudiando la aplicación f: A → B tenemos que

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f( a ) = 2f( b ) = 1f( c ) = 2f( d ) = 32 es la imagen de a y de c y tanto a como c son llamadas las preimagenes de 21 es la imagen de b que es su preimagen 3 es la imagen de d que es su preimagenTambién se acostumbra decir que 2 es la imagen de a por la aplicación f- Imagen InversaSi f: A → B una aplicación y D C B. Se denomina imagen inversa, al subconjunto de A formado por las preimágenes de los elementos de D.Si definimos D (1, 2), La imagen inversa o f*-1 = (a, b, c)- Tipos de Aplicacionesa.-InyectivaSi para cada par de elementos de A x e y │x ≠ y se tiene que f(x) ≠ f(y)Cuando una aplicación es inyectiva, algún elemento de B puede no ser imagen de A, pero en caso de serlo su imagen es única. La aplicación g anterior es inyectiva.Todos los elementos del conjunto origen deben de tener imagenb.- SobreyectivaSi para cada elemento “y” del conjunto final B, hay al menos un elemento del conjunto inicial f(x). Se cumple pues que f(x) = yTodos los elementos del conjunto final debe tener preimagenLa f es sobreyectivac.- BiyecctivaSi es inyectiva y sobreyectiva. La h lo es

- Composición de Aplicaciones

Veamos (a) del dibujo:

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f ga → 2 → z-------------------- d → 3 → uLa aplicación compuesta h es, h = g o f h(a) = g[f(a)] = g(2) =z

- Cardinal de un ConjuntoDe un conjunto a es igual al número de elementos y se representa por ≠ o por │A│. Es decir ≠(A)≠( A U B ) = ≠(A) + ≠ (B) - ≠ (A ∩ B )≠(A) = ≠ (A - B) - ≠ (A ∩ B )≠(B) = ≠ (B - A) - ≠ (A ∩ B )

COMBINATORIA- Regla de la multiplicaciónSi el conjunto A tiene m elementos y el conjunto B tiene n, el número de elecciones distintas (uno de A y otro de b) es m n ¿Cuantos números de tres cifras > 500 y pares se pueden formar con A (2, 3, 4, 5, 6)La primera cifra puede ser el 5 o el 6 = 2 númerosLa última cifra puede ser el 2,4 y el 6 = 3 númerosLa segunda cifra puede ser cualquiera = 5 númerosTotal 2 x 5 x 3 = 30 números > 500 y pares- PermutacionesDefinimos n! = n ( n-1) (n-2)…. 1Pn = n! para lo cual los n objetos a distribuir entre los n elementos han de ser diferentes.Repartir un boli, un balón, y un compás entre tres chicos de todas las formas posibles P3 = 3! = 6Si los objetos a repartir se repiten, se define entonces las permutaciones con repetición. n!PRn = ---------- a! b!..Repartir de todas las formas posibles tres cafés y dos cervezas entre 5 chicos 5!PRn =-------- = 10 3! 2!

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- Variaciones n!Si tenemos n elementos tomados de r en r. Definimos Vr,n =------------- ( n - r)!La ley del producto obtiene el mismo resultado.

De cuantas formas distintas pueden atribuirse las medallas de oro, plata y bronce entre 7 atletas.Oro 7Plata 6Bronce 5 7 x 6 x 5 = 210 7!V7,3 = -------- = 7 x 6 x 5 = 210 Las variaciones se identifican porque se 4! en ellas cuenta el orden de los elementos. Café con leche, es una variación y leche con café otra. -Variaciones con repetición VRm,n = m*n

- Combinaciones n!C,n,r = ------------- (n- r )! r!No se tiene en cuenta el orden de los elementos .Café con leche y leche con café es la misma combinación.

11! 110Es igual a C11,2 =--------- = ------ =55 9! 2! 2La anotación mas utilizada para las combinaciones es la primera a) aplicada y se definen como números combinatorios.

1.-Propiedades de los números combinatorios

2.- Como 0! = 1 n!El primer término de la fórmula anterior es -------- que a su vez es igual al n! 0! último término

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3-. Su aplicación se verá mas adelante en es estudio del Binomio de Newton

TEMA 7FUNCIONES. - Concepto de Intervalosa.- Cerrado, [a, b] │ a ≤x ≤ bb.- Abierto, (a, b) │ a < x < bc.- Semiabierto o Semicerrado[a, b) │ a ≤x < b (a, b] a < x ≤ b

- Funciónf: I →IREs una aplicación que asocia a cada elemento de I (intervalo) un número real.El elemento del intervalo se llama variable independiente, suele ser la x, y el número asociado f(x) o y es variable dependiente.

CARACTERISTICAS DE LAS FUNCIONESa.- Crecientes o DecrecientesSerá creciente, en un intervalo I, si al aumentar x, f(x) aumenta.Será decreciente, en un intervalo I, si al aumentar x, f(x) disminuyeEn definitiva Si f(x1) ≤ f(x2) siempre que x1 < x2, será crecienteSi f(x1) ≥ f(x2) siempre que x1 < x2, será decreciente *Sea 1 f(x) =----------- √ 3 - x*2

Y estudiarla en I( - √3, √3). Descomponemos en Intervalo: (- √3, 0) U ( 0, √3).En (- √3, 0) la función es crecienteEn (0, √3) la función es decreciente

b.- Máximos y Mínimos RelativosIntuitivamente un máximo de una función es un punto que a la izquierda del mismo la función es creciente, llega al máximo y a partir de ahí comienza a decrecer.Un mínimo seria un punto que a su izquierda la función decrece hasta él, llega al mínimo y a partir de ahí crece.- Máximo RelativoUna función f tiene un máximo en x0 si se puede encontrar un x0 tal que a < x0 y un b > 0, de modo que sea f(x) < f(x0) y siempre que x ε ( a, b)

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- Mínimo RelativoUna función f tiene un mínimo en x0 si se puede encontrar un x0 tal que a < x0 y un b > x0, de modo que sea f(x) > f(x0) y siempre que x ε (a, b)

- Asíntotasa.- Verticaleslim f(x) = ∞x →a

b.- Horizontaleslim f(x) = bx → ∞

NOCION DE LIMITE Y CONTINUIDAD- Limite en un puntoLa función f definida en el intervalo I, tiene por limite L l, cuando x tiende a x0 ε I si al tomar x suficientemente próximo a x0, puede hacerse el valor de f(x) tan próximo a L como se desee.Si │ x0 – x│< δ implica que │L - f(x)│ < εY se expresa como: lim f(x) = L x →a

Si al aproximarse x a x0, el valor a f(x) se aproxima simultáneamente a varios valores, entonces carece de límite.- Limites LateralesDado un x0, y para una función cuyo dominio sea (- ∞, + ∞) podemos descomponer este intervalo (- ∞, x0) U (x0, + ∞)El estudio del limite (- ∞, x0) es el estudio del limite lateral por su izquierdalim f(x) = L1x → - x0

El estudio del limite (x0, ∞) es el estudio del limite lateral por su derechaLim f(x) = L2x→ + x0

Para que una función tenga limite en un punto x0, se exige que L1 = L2

- Continuidad de la función en un puntoAdemás de que L1 = L2 se requiere que dicha función exista, o sea esté definida en x0, es decir lim f(x) = f(x0) = L x → x0 con lo cual tendremos que L1 = L2 = LSi no se dan las condiciones de continuidad, decimos que la función es discontinua en x0

La suma, resta, producto o división de funciones continuas es otra función continua. x + 3La función ---------------- (x – 5) ( x – 2)Es continua en [- ∞, 2) U (2, 5) U (5, + ∞ ]

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Tiene pues discontinuidad para x = 2 y x = 5, que son asintotas de la función

CALCULO DIFERENCIALDERIVADA

Si f es función definida en el intervalo I, x0 ε I, la derivada de en x0 es f(x) – f(x0)f’(x) = lim ------------- x – x0 x → x0

Una función f es derivable en el punto x0, cuando f’ (x0) existe y es finita - Función derivable.Toda función derivable en un punto si es contínua en dicho punto. -Tangente a una curva La tangente será una recta del tipo y - y0 = m (x - x0) f(x) – f(x0)Los puntos son (x0, f(x0)) y (x, f(x) y m = lim --------------- x – x0 x → x0

Luego la ecuación de la recta tangente será y – f(x0) = f’ (x0) ( x – x0)De manera que la derivada en un punto, es la tangente geométrica trazada en dicho punto.

- Calculo de derivadas

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Sea la función __

│ √ x para x ≥ 0f │ __

│ - √- x para x < 0Calculamos la derivada para x ≥ 0: __ __ __ __ __ __ √ x - √x0 (√ x - √x0) (√x +√x0) 1 1lim ------------- = lim -------------------------- = lim ----------- = ----- __ __ __ _ __ x – x0 (x – x0) (√ x +√x0) √ x +√x0 2√x0x x0 x x0 xx0

Así la recta tangente, por ejemplo, en el P (1, 1) será y - 1 = l/2 (x - 1)En este ejemplo hemos calculado y’ = √x. De idéntica manera y por aplicación del concepto de derivada aplicada a una determinada función, obtendremos la derivada de la misma. Es de esta manera como se obtiene la tabla de derivadas siguiente.

REGLAS DE DERIVACIONConstante f(k) ) = 0Suma (f(u) + g(u) )’ = f’(u) u’ + g’(u) u’

Producto f(u) g((u) = f’(u) u’ g(u) + f(u) g’(u) u’

f(u) f’(u) u’ g(u) - f(u) g’(u) u’ Cociente --------- = --------------------------------- g(u) [ g(u)]*2

Potencia [f(u)]*n = n [f(u)]*n-1 u’

1 1 x f’(u) u’ Inversa -------- = - ------------ f(u) [ f(u)]*2

1Raiz √u = --------- u’ 2√u - Aplicación de las derivadasAdemás de utilizarse para obtener la recta tangente en un punto, las aplicaciones de la derivada son:

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- Crecimiento y decrecimiento de una funciónComo se ve en el dibujo si f’(x0) > 0 la función es creciente en x0 y si f’(x0) < 0, la función es decreciente Razonemos el por qué f(x) – f(x0)Estudiamos la función en I (a, b) y f’(x0) = lim --------------- > 0 xx0 x – x0

Para que sea creciente se precisa que numerador y denominador sean del mismo signo. │ Deno. positivo x > x0

Si f(x) > f(x0) → Num. positivo y a la vez → │ a < x < b │ Deno. Negativo x < x0

Si f(x) < f(x0) → Num. negativo y a la vez → │ a < x < bUn análisis similar, podíamos hacer para las funciones decrecientes en un punto x0

Por tanto en un intervalo I, si f’(x0) > 0, en ese tramo de I que se cumple la derivada positiva, la función es creciente. Dicho crecimiento finaliza en un punto máximo en el que la derivada = a la tangente que es paralela al eje x o lo que es lo mismo f’(xo) = 0. A partir de este punto la función solo puede decrecer f’(x0) < 0.Hemos definido la condición necesaria para en un determinado intervalo, obtengamos un Máximo.

En un intervaloMáximo f’(x) > 0 hasta un f’(x0) = 0, seguido de f’(x) < 0 MAXIMO Mínimo f’(x) < 0 hasta un f’(x0) = 0, seguido de f’(x) > 0 MINIMOEste criterio, nos permite conocer la existencia de max y min de una función en un determinado punto, aunque normalmente se aplica el:. Criterio de la segunda derivada o f’’ (x)

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f’’(x) = [f’ (x)]’ es decir si derivamos la función obtenemos su derivada primera. Si derivamos la derivada primera obtenemos la derivada segunda, si derivamos la derivada segunda obtenemos la tercera, etcCondiciónMáximof’(x0) = 0 y f’’(x0) < 0Mínimof’(x0) = 0 y f’’ (x0) > 0Cuando f’’(x) = 0 tenemos un punto de inflexión f’(x) – f’(x0)* Como f’’(x0) = lim ---------------- x - x0

Aplicando criterios, similares a los anteriores, para que numerador y denominador sean del mismo signo y por tanto f’’( x0) > 0 , se deduce que esto sólo es posible en el mínimo. De idéntica manera cuando numerador y denominador son de distinto signo, se cumple que f’’(x0 ) < 0 y estamos en un máximo.- Concavidad y ConvexidadUna función se define como:CONVEXA, en aquellos tramos de I en la que la pendiente de la tangente CRECECONCAVA, en aquellos tramos de I en la que la pendiente de la tangente DECRECE

** EjemploSea f(x) o bien y = 3x*5 - 25 x *3 y’ = 15 x*4 - 75 x*2

y’’ = 60 x*3 - 150 xPara saber si hay max o min: f’(x) = 15 x*4 - 75 x*2 = 0Cambio x*2 = z 15 z*2 - 75 z = 0 z( 15 z - 75) = 0 z = 15z - 75 = 0 z = 0 → x = 0 z = 5 →x =± √5Para x = 0 la función es y = 3x*5 -25 x *3 = 0 → P1(0, 0)Para x = √5 la función es y = 3x*5 -25 x *3 = 0

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y = 3 ( √5)*2 ( √5)*2 √5 -25 ( √5)*2 √5 y = 50√5 → P2(√5, -50√5) Para x = - √5 → P3(-√5. 50√5)Veamos en estos tres puntos denominados singulares, porque en ellos la función adquiere una variación especial:En P1( 0, 0) y’’ = 0 Luego es un punto de inflexiónEn P2 (√5, -50√5) y’’ > 0 Luego hay un mínimoEn P3( -√5. 50√5 y’’ < 0 Luego hay un máximo

- Grafica de una FunciónSólo es posible dibujarla si se hace un análisis de la misma, cuyo esquema viene a ser:a.- Estudio de la funciónSi es continua en I(- ∞, + ∞ )Si no es continua, obtener los puntos de discontinuidadEstudiar si tiene o no asíntotasb.- Puntos notables (no singulares)Obtener los P1(0, 0), P2 (0, 1), P3 (0, -1) P4(1, 0), P4(-1, 0), P5(1, 1) P6 (-1,.1)Se dibuja los datos anteriores.c.- Estudio de la primera derivada Se iguala a cero y obtenemos los valores x1, x2… xn que la anulanPara cada valor encontrado, que es una abcisa, se busca la correspondiente ordenada, sustituyendo la xi en la función, obteniendo en cuestión y1,y2….yn

Los puntos singulares son: P1(x1, y1) P2 (x2, y2) etc d.- Para cada punto singularSe obtiene la derivada segunda y se sustituye el valor de su abcisa en ella, dando;f’’(xi) = 0 Punto de Inflexiónf’’(xi) < 0 Punto de Máximof’’(xi) > 0 Punto de Mínimoe.- Estudio de la concavidad y convexidadf’’(xi) > 0 Convexa con f’(x) > 0 y crecientef’’(xi) < 0 Cóncava con f’(x) < 0 y decrecienteSe finaliza el dibujo de la gráfica.

FUNCIONES ELEMENTALES- Función potencia y = x*c siendo c = constantey’ = c x* c-1

Si c > 0 y’ > 0 y la función es crecienteSi c < 0 y’< 0 y la función es decreciente

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En el caso de que sea creciente con c > 0y’’ = c ( c-1) x *c-2

Si c = 1 y’’ = 0 Hay un punto de Inflexión Si c > 1, entonces y’’ > 0 es convexa y f’ es creciente y hay MIN Si c < 1, entonces y’’ < 0 es cóncava y f’ es decreciente y hay MAXDada y = x*c, la función pasa por el P(x. y)Su inversa x = y*1/2c pasa por P(y, x) Lo cual indica que y = x*c y x = y* 1/2c son simétricas respecto a la diagonal principal- Posición relativa de dos o más funciones potencialesSea x*c1 y x*c2 Si c crece (c1 < c2), tenemos que al crecer c la función crece si x > 1 y decrece en el caso de que x < 1 En el caso de que c sea un número entero, puede ser par c = 2k o impar c = 2k +lSi c es par, entonces la función es simétrica respecto al eje YY’S c es impar, entonces es simétrica respecto al Origeny = x*2k con x > 0 y siempre será positiva y = (-x)*2k con x > 0 siempre será positivay = 2*4 = 16 y el punto es P1 (2, 16) y = (-2)*4 =16 y el punto será P2(-2. 16)Y Pl y P2 son simétricos respecto de YY’ Fácilmente se demuestra que si c = 2k +1, impar, entonces la función es

simétrica respecto al origen

- FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA Exponenciala*x donde a es una constante y a > 0 y x ( - ∞, +∞)Los valores de una función son siempre positivos 2*3 = 8 y 2* -3 = 1/8Todas pasan por P(0, 1) porque a*0 = 1

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- LogarítmicaComo y = a*x podemos establecerla como x = loga y.Y para x= a*x x = loga x Y en general podemos decir que g(x) = loga x donde a es constate y a > 0 y x(0, ∞)Si tenemos dos funciones, una f(x) = a*x y otra logarítmica g(x) = loga x, si realizamos la composición de las mismas tendremos:f(x) o g(x) = f[ g(x) ] = f( loga x) = a * loga x = xg(x) o f(x) = g[ f(x) ] = g (a*x) = loga a*x = xAmbas composiciones valen necesariamente x porque por construcción son inversas y todas las funciones compuestas con sus inversas dan la identidad.Las mas importantes entre las exponencial natural que es e *x y su inversa

ln x o logaritmo natural llamado también neperiano.

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- FUNCIONES TRIGONOMETRICASLo más importante de ellas es su periodicidadsen x = sen (x + 2π)cos x = cos (x + 2π)tg x = tg (x + π)Derivadas de las funciones trigonometrías (Añadir a tabla anterior)y = sen u y’ = cos u u’y = cos u y’ = - sen u u’ 1y = tg u y’ = ------- u’ = 1 + tg*2 u u’ cos*2 u TEMA 8CALCULO DE PROBABILIDADES - Fenómeno aleatorio Al realizar una determinada acción, no podemos predecir cual va a ser el resultado, aunque si podemos conocer el catálogo de todos los posibles resultados. Interviene por tanto el azar, pero no es cierto que el azar no esté sometido a leyes.- Noción de probabilidadDefinida la frecuencia como el número de veces que el suceso A se produce al realizar n experimentos.* Lanzando un dado 100 veces, salen 12 números 1La frecuencia real obtenida es 12/ 100 = 0.12, pero si lanzásemos un número muchísimo más grande, ésta frecuencia se ajustaría a la frecuencia teórica que es 1/6 P = lim( f) = 1/6n → ∞La Place definió la probabilidad como Número de casos favorablesP = --------------------------------------- Número de casos posibles

- El modelo matemático de sucesosDefinimos espacio de posibilidades u Ω, todos los resultados posibles que se pueden obtener al realizar un experimento aleatorio. Si lanzamos dos monedas se puede producir (C. X,) (C, C) (X, C) (X, X) En este ejemplo hay 4 sucesos elementales, 2 * 2 = 4. - Operaciones con sucesosDados dos subconjuntos A y B compuestos por sus respectivos sucesos elementales., se puede relacionar ambos subconjuntos, siguiendo las reglas de de los conjuntos en general. Las cuales son:InclusiónIntersección

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Unión Complementación Para matematizar las probabilidades, debemos de asignar a cada suceso un número mediante una aplicación entre el conjunto de las partes de Ω, P(ΩA) y entre el conjunto de los números reales comprendidos entre (0, 1). Dado que la probabilidad de un suceso oscila desde 0 (suceso imposible) a 1 (Suceso seguro). En definitiva:P: P(ΩA) → (0, 1)Ello implica hacer corresponder a un suceso A ε P( Ω) un número real comprendido entre 0 y l que proporciona la probabilidad de A.- Probabilidades de los sucesosDos sucesos A y B son disjuntos si A ∩ B = ØP(A U B) =P(A) + P(B)Dos sucesos no disjuntos con A ∩ B ≠ ØP(A U B) =P( A) + P(B) – P(A ∩ B)P(A ∩ B) = P(A) P(B)

PROBABILIDADES CONDICIONADASSi extraemos una carta al azar obtenemos que P = 1/40.Si se nos dice que la carta extraída es una Rey, esta nueva información nos cambia la probabilidad a P =4/40= 1/10En ciertos casos si se produce el suceso B, condiciona la probabilidad de A, es decir la modifica, esto se expresa como P(A/B).Es posible obtener la probabilidad condicionada de A por B directamente, enumerando los “nuevos casos posibles que son los que sucede B y los “nuevos casos favorables” en los que además de B, sucede A. Aplicando La Place tendríamos: Nº de casos que sucede A y B P( A ∩ B )P(A/B) =-------------------------------------- = -------------- Nº de casos que sucede B P(B)

* La probabilidad al extraer una carta que no sea un basto es:Que sea bastos P(B) = 10/40Que no sea bastos P(BC ) = 1- 10/40 = 30/40Si se nos dice ahora que la carta extraída no es Oros, esta información modifica las probabilidades anterioresQue sea oros P(O) = 10/40Que no sea oros P (OC) = 1- 1/40 = 30/40 Luego P(BC /OC ) = 2/3 porque las que no son oros son 30 y de éstas las que no son bastos son 20

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-Probabilidades totales P (A U B / C) = P(A) + P (B/C) - P (A ∩ B /C)P (B/C) = P ( A ∩ B /C) + P ( A U B / C ) - P(A/ C) = = P(A ∩ B /C) + P(B –A/C)Si B1, B2.. Bn es una familia de sucesos de probabilidad positiva disjuntos dos a dos, tales que Bl U B2 U B3…U Bn = Ω, se verifica que para cualquier suceso A:P(A) = P(B1) P(A/Bl) + P(B2) P(A/B2) +….. + P(Bn) P(A/Bn)*EjemploUn cierto análisis clínico se emplea en el diagnóstico de tres enfermedades B1, B2, B3. La proporción de enfermos es B1 = 3% B2 = 2%, B3 = 1% Por tanto la proporción de los no enfermos B0 = 94%El análisis da resultados positivos para el 85% de enfermos B1, en el 92% para B2 y el 78% para B3. Si definimos el suceso dar positivo por A, Tenemos queP(A/B1) = 0,85 P(A/B2) = 0,92 PA/B3) = 0,78 P(A/B0) = 0.94La condición necesaria es que P(B1) + P(B2)+ P(B3) + P(B0) = 1 Luego P(B0) = 0.4Sólo falta aplicar la fórmula de probabilidades totales.P(A) = 0,03 x 0,85 + 0,02 x 0,92 + 0,01 x 0,78 + 0.04 x 0.94 = 1,0564Parece que el dato más importante a considerar sería valorar las probabilidades de que cada enfermo pertenezca a cada grupo de enfermedades, es decir obtener.P(Bi/A) o sea dado A conocer que probabilidad hay para que pertenezca a B1, B2 , B3 o B0

Formula de Bayes P(A ∩ B1) P(B1) P(A/B1) P(B1 ) P(A/B1)P(B1/A) = ----------- = -------------------- = ---------------------------------------- P(A) P(A) P(B1) P(A /B1)+ ..+ P(Bn) P(A/Bn)La explicación del Teorema de Bayes es:Referente al numerador:P(A ∩ B) = P(A) P (B/A) = P(B) P( A/B) = P( B ∩ A )Referente al denominador es la formula de probabilidades totales P(A) = P(B1) P(A/Bl) + P(B2) P(A/B2) +….. + P(Bn) P(A/Bn)- Sucesos independientes y dependientesSon independientes si P(A ∩ B) = P(A) P(B)Son dependientes si P(A ∩ B) = P(A) (B/A) = P(B ) P( A/B) = P( B ∩ A )O lo que es lo mismo, cuando P(A) = P (A/B) y P(B) = P( B/A)- Esquema de pruebas repetidas o con reemplazamientoImplica repetir n veces el mismo experimento y en condiciones idénticas. Por ejemplo si tenemos una urna con 5 bolas rojas y 3 azules. Extraemos

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una bola, anotamos su color, la devolvemos a la urna y extraemos otra…y así sucesivamente hasta n veces.Si se quiere establecer las probabilidades de que en n extracciones se obtenga k bolas rojas. Si p = probabilidad de extraer bola roja y (1- p) = probabilidad de extraer bola azul, será:[ n][ ] p*k (1 – p) * n -k

[ k]

TEMA 9ESTADISTICA- Población. Es el conjunto de seres u objetos del que queremos obtener una determinada información - Individuo o elemento a cada uno de los miembros de la población- Muestra. A un subconjunto de la población- Tamaño.- Al número de elementos de la muestra- Variable estadística. A cada una de las características de una población- Marco Muestral. Es el subconjunto de la población del cual se elige la muestra

MUESTREO ALEATORIO- Simple, consiste en establecer todas las muestras posibles y asignarles la misma probabilidad. Si una población tiene N elementos y queremos una muestra con n elementos, todas las posibles muestras serán[N] [n ] Muestras posiblesEl siguiente paso sería sortear las muestras con la misma probabilidad de ser elegidasSi la población tiene 5 elementos y queremos obtener una muestra de dos tenemos:[5][2] = 10 posibles muestras

Si Ω(1 , 2, 3, 4, 5) Las muestras serán {1. 2} {1. 3} {1. 4} {1. 5} {2. 3} {2. 4} {2. 5} {3. 4} {3. 5} {4. 5} Identificamos cada muestra con un número {1, 2} = 1 …{4. 5} = 10Colocamos 10 bolas en una urna y extraemos una, que nos dará la muestra seleccionada.

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- Precisión y Sesgo

La estadística elabora diferentes estimaciones de las diferentes características de una población.Las medidas de posición, como la media aritmética, son consideradas como el centro o el medio y un conjunto de elementos si su valor se aproxima mucho a dicha medida de posición, diremos que su colectivo es muy preciso.Si el valor de los elementos está muy alejado del “centro” se dice que hay sesgo. La medida que mide los sesgos se llama medidas de dispersión, como la varianza.- Variables Los atributos o magnitudes que se observan en los individuos de la población, se denominan variables estadísticas o simplemente variables. De los atributos diremos que presentan modalidades Las variablesse clasifican en:V. cuantitativas, cuando los valores que toma son numéricosa.- Discretas, si toman valores discretos 0, 1, 2 b.- Continuas, si toman cualquier valorV. Cualitativas, son los a tributos y poseen modalidadesV. Nominales.- Son las que presentan atributos cuyas modalidades no pueden ser operadas ni ordenadas conforme a las leyes aritméticas. P. ej., el sexoV. Ordinales.- Son las que presentan atributos cuyas modalidades si pueden ser ordenadas.

FRECUENCIAS - Frecuencias Absolutas o F.Si una variable cualitativa presenta x1, x2,..xn modalidades, definimos F,

F2…Fn el número de veces que se obtiene x1, x2, xn. Si el número de observaciones es N, tenemos que N = ∑Fi

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- Frecuencias relativas o f Es el cociente entre la F y el número de observaciones N. fi = ∑Fi/ N.Es evidente que ∑fi = 1- Representaciones de las frecuenciasa.- Diagrama de sectoresNormalmente representan f % . Para calcular el ángulo del sector:Si a x1 le corresponde un 23,1% entonces 0,231 x 360 = 83º

b.-Diagramas de barras o Histogramas

Se utilizan para F. y en el caso de que f sea muy pequeño también, para evitar la apreciación de ángulos pequeños. Cada rectángulo del histograma es proporcional a F

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VARIABLES CON DATOS AGRUPADOSSi la variable es continua podemos agrupar los datos en n intervalos de la misma amplitud. La amplitud del intervalo es I(a, b) : b – a Si tenemos las puntuaciones obtenidas por 100 alumnos, alcanzando la menor puntuación un total de 70 y la mayor de 148, podemos establecer:

Número de puntuaciones 100, las mismas que los alumnos(100/10) = 10 darían 10 intervalos de la misma amplitud que serían [70, 80), [80,90) [90 ,100)…….[140, 150)A cada intervalo se le asocia si F y posteriormente se realiza el histograma.- El punto medio de una clase se llama marca de clase y se utiliza como representativo de los intervalos en múltiples ocasiones.

MEDIDAS DE POSICION Y DISPERSIONa.- Media aritmética ∑ xi

<x> =------- N ∑xi Fi

Si los datos están establecidos en una tabla de F :<x> = --------- NSi los datos están establecidos en una tabla de f :<x> = ∑xi fi

b.- Medidas de dispersión respecto a la mediaEl concepto de dispersión es el contrario de precisión. Si existe mucha dispersión respecto a la media, nos indica que ésta no es representativa. - Varianza ∑ ( xi - <x>) *2 ∑ ( xi ) *2

σ*2 =-------------------- o bien σ*2 =------------ - <x>*2

N ____ NDesviación típica: σ = √ σ*2

- Coeficiente de Variación Fijar una escala de medida es, dibujar dos ejes cartesianos que fijan el origen y establecer para cada valor de cada uno de los ejes una distancia: de 0 a 1 = 1cmDe 1 a 2 = 1 cm……por ejemploEl P(x, 0) pertenecerá al eje x tal que la distancia entre 0 y x sea x.Si cambiamos el origen “a” unidades a la derecha, el punto P (y todos los puntos Pi que deseemos contemplar) será el mismo pero sus coordenadas serán P[(x - a), 0]. Esta acción equivale a desplazar el origen a la derecha “a” unidades.

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Veamos como afecta a las diferentes medidas: (x1 –a) + (x2 – a) + (x3 . a) (x1 + x2 + x3) - na <x> = ------------------------------- =--------------------- = <x> - a n nσ*2, no se modifica por este desplazamiento del origen. La varianza es pues invariante Si cambiamos ahora la unidad de medida de manera que distancia entre 0 y 1 antes era “a” y ahora la hacemos “ b” Con a > bAntes del cambio x1 = na pero después del cambio es na/ b = xi/bEsto produce; <x>Una media que es ----- b σ*2

Y una Varianza que es -------- b*2

Para evitar en las medidas de dispersión estas variaciones se buscó una medida de dispersión nueva invariante a este tipo de cambios que se llamo Coeficiente de Variación y cuyo valor es: σ CV = ------- <x>Gauss, entre otros muchos trabajos, estudió la distribución de errores en las medidas astronómicas descubrió que obedecían a la función: 1f(x) =------- e *-(x- µ)*2/2σ2

σ√2πQuetelet, en sus estudios antropológicos estableció el modelo de “hombre medio” como modelo ideal y cada hombre en particular se obtenía añadiendo errores a su modelo. Pronto este camino fue utilizado por otras ciencias y los errores a añadir al modelo para obtener un elemento concreto fueron estudiados por la función de Gauss, llamada campana de Gauss por la gráfica que adopta.En el anterior estudio de los histogramas, veíamos que podíamos establecer para la misma representación un número de 10 clases, dando unos rectángulos bien visibles. Nada implica escoger intervalos n clases haciendo los rectángulos cada vez más y más pequeños.. Si hacemos; n ∞, obtendríamos la curva de Gauss Que una variable tenga distribución normal implica:Es continua I(- ∞ , + ∞)Cada curva normal está determinada cuando se conoce, su media µ y su desviación típica σ. Denominándose N(µ, σ)La curva patrón es N(0, σ) . Cualquier otra curva normal, mediante un cambio de origen y unidad de medida se transforma es ésta.

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La curva es simétrica respecto de µ y σ nos da la forma de la curva. Cuanto más grande es σ más aplanada es la curva y cuando mas pequeña es σ mas apuntada.Si una variable X tiene una distribución N(µ, σ), la frecuencia con que toma valores comprendidos entre a y b / a < b , es igual al área limitada por la gráfica de la curva normal N(µ, σ), el eje de abcisas y las rectas verticales x = a y x = bLa frecuencia de los valores de X comprendidos entra a y b se denota por fr(a < x < b)*Ejemplo. La frecuencia que con una magnitud Z, con distribución N(0, 1) toma valores comprendidos entre 0,5 y 1,5 es fr (0,5 < Z < 1,5)

La fr (a < X < b) implica que si hacemos que a se aproxime a b , el área disminuirá y cuando fr(X = b) = 0Esto implica que a < X < b tiene la misma frecuencia que a < X ≤ b o que a ≤ X < b tiene la misma frecuencia que a ≤ X < bComo operar con la función N es muy dificultoso, se ha establecido una tabla de trabajo que nos permite evitar esa complejidad matemática, simplemente sabiéndola aplicar a cada caso concreto.* Ejemplo. Calcular fr (Z > 1,46) = 0,0721 0 el 7.21%Bajo Z buscamos el número mas aproximado al dado, es decir 1,4 y después desplazándonos en horizontal en esa línea buscamos el valor que corresponde a 6 . No siempre es posible obtener los valores por aplicación directa de la tabla como en el caso anterior, por ello para su correcto uso debemos conocer su:- Utilización de la tabla N(0, 1)Caso 1Calculo de la fr ( Z < - z) siendo z < -1.Como la curva es simétrica tenemos que fr ( Z < - z) = fr ( Z > z)

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fr (Z < -0,74 ) = fr ( Z> 0,74 = 0,2297 1 el 22, 97%

Caso 2Calculo de la fr(Z < z) siendo z > 1Como el área total bajo la curva vale 1 tenemosfr(Z < z) = 1 - fr( Z > z)

Para obtener los valores menores de 1,96 tendremos fr(Z < 1,96) =1 – fr( Z > 1.96)= 1 – 0,0250 = 0,9750 o el 97,5%

Caso 3Calculo de la fr ( Z > - z) siendo z > -1fr (Z > - z = fr ( Z < z) = 1 - fr ( Z > z)fr (Z > -,058) = fr (Z < 0.58) = 1 – fr (z > 0.58) = 0,71.90 o el 71,9%

* Ejemplos a.-Sea fr (0,58 < Z < 1,16 ) , es decir el área entre 0.58 y 1.16Teniendo presente que el área total vale 1fr ( 0,58 < Z < 1,16 ) = 1 - fr ( Z > 1,16) – fr ( Z<0,58) = 1 - 0,1230 - 0,7190= 0,158 fr(Z>1,16) = 0,1230 Directo en tabla fr (Z < 0,58) 1 – fr(Z > 0,58) = 0,7190 b.- Sea fr (-0,62 <Z < 0,94, es decir el área entre -0.62 y 0,94 fr (-0,62 <Z < 0,94 = 1 – fr (z > 0,94) – fr ( Z> 0.62) = 1- 0,1736 - 0,2626 = 0,588

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fr( Z > 0,94 ) = 0,1736 fr (Z< 0,62 ) = (z > 0,62) =0,2626 c.-Sea fr ( -0,62 < Z <- 0,14 es decir el área entre – 0,14 y – 0,62 fr ( -0,62 < Z <- 0,14 = 1 – fr( Z> 0,14) – fr(Z> 0.62) En otras ocasiones se nos dan los valores de Z. Se nos puede pedir que obtengamos un valor de z tal que el 22,66 % de los valores sean mayores que z. Se nos esta pidiendo fr (Z >z) = 0,2266-Se utiliza la tabla buscando 0,2266 y viendo a que resultado corresponde, en este caso 0,75. Luego fr (> 0,75) = 0,2266

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VARIABLES X(µ, α) Y SU TIPIFICACION Se reduce a transformarla en una N(0, 1) para lo cual se elige como nuevo origen µY como escala de medida σ. Es una trasformación lineal y la partible a la que se le aplica, se dice de ella que está tipificada.Si X (µ, σ)

X - µ Z= ------- Z( 0,1) y es la x tipificada, con la que ya podremos aplicar la σ tabla N(0,1)

*EjemploLa variable X se distribuye según N(2,5, 0,5). Hallar la fr ( 2> X > 3)2 – 2,5 < x – 2,5 < 3- 2,5- 0,5 < x - 2,5 < 0,5- 0,5 < x - 2,5 < 0,5------- --------- ---- 0,5 0,5 0,5- 1 < Z < 1Tras el proceso de tipificación nos queda fr (2 <X <3) = fr (-1 < Z < 1) a la que se le aplica la tabla anterior.fr(-1 < Z < 1) = 1 – fr (z>1) – Z < -1

TEMA 10INVESTIGACION OPERATIVAEl problema de decisión óptima se presenta cuando un decisor tiene que elegir entre diferentes alternativas, disponiendo para ello de un determinado criterio para comparar dichas alternativas.- SistemaEs un conjunto de hombres y máquinas que actúan de forma interactiva en un determinado ámbito.Hombres y máquinas tienen una acepción muy amplia. Hombres, puede ser un individuo, un Gobierno etc y máquina un complejo sistema social etc..- ModeloUn modelo es una representación aproximada de un sistema real.a.- Modelos físicos implican una representación tangible, material. Una maquetab.- Modelos formales en las que el modelo está representado por herramientas (verbales, esquemas , dibujos, expresiones matemáticas..)

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MODELOS MATEMATICOS DE OPTIMIZACIONIncluye:Un conjunto de variables, que ε R, y sirven para representar cada una de las alternativasUn conjunto de restricciones que ligan las variables y sirven para representar las relaciones entre estas e incluir las condiciones del sistemaUna Función Objetivo, F.O., que depende de los valores de las variables, toma valores en R y sirve para comparar alternativas.Los modelos de optimación, pueden ser resueltos de diferentes formas, pero aquí abordaremos, dado el carácter elemental del texto, sólo la

- Programación Lineal.Max z = c1 x1 + c2 x2 o F.Oa11 x1 + a12 x2 = b1 o Sistema de restricciones a21 x1 + a22 x2 = b2

x1 ≥ 0x2 ≥ 0Como ejemplo del problema general resolvamos el siguiente:Max Z = xC + 2xL xC + 2xL ≤ 800 2xC + xL ≤ 1000 xC ≥ 0 xL ≥ 0- Método graficoCada una de las restricciones que son inecuaciones. Si las convertimos en ecuaciones, son rectas que implican la frontera que permite saber cual es la región del plano factible, es decir donde se obtienen las soluciones al problema:Las 4 restricciones del problema fijan un polígono, en el que todos sus puntos, tanto la frontera como los puntos interiores serían solución al mismo. Dicho polígono se llama Región Factible.- Solución BásicaLo es cualquier punto de intersección entre dos rectas, que representan cada una, a una restricción. En nuestro caso son soluciones básicas, los puntos A, B, CA cada solución factible se le denomina vértice y arista al segmento rectilíneo comprendido entre dos vértices.Obtenemos las coordenadas de los vértices, por resolución del sistema formado por las ecuaciones de las rectas que lo forman.Sea A (0, 400) B (400, 200) y C(500, 0)Se sustituyen los valores de cada punto en la F.O. y analizamos cual de ellos la hace máxima. En nuestro caso el B(400, 200)

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Como las restricciones son inecuaciones, permite operar si interesa con las mismas:La inecuación 2xC + xL ≤ 1000 es equivalente a - 2xC - xL ≥ 1000De idéntica forma Max. Z = xC + 2xL es equivalente a Min - Z = - xC - 2xL

SITUACIONES ESPECIALES EN LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEALNo todos los problemas de P.L. tienen una solución única, que se alcanza en un punto de coordenadas finitas.- Múltiples óptimosDe hecho si un problema no tiene una solución única tiene infinitas soluciones. O múltiples puntos donde sea Max o Min la F.O.En este caso la F.O. que es Z= 2x1 + 6x2 tiene M = - 2/6 = -1/3La restricción x1 + 3x2 = 6 tiene m = - 1/3 Son por tanto paralelas y ello implica la inexistencia de un solo punto de corte. El corte entre ellas vendrá definido por la arista limitada por los vértices AB

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Resolviendo las inecuaciones, pasadas a ecuaciones y permutando las mismas obtenemos A (3/2, 3/2) y obtenemos el B (4, 2/3). Cualquier punto entre A y B , P(x1, x2) puede expresarse como combinación convexa de A y B (Insistiremos mas adelante en este concepto), por el momento diremos que dado un λ cuyo valor esté comprendido entre 0 y 1 se tiene que 3 5x1 = λ --- - ( 1 – λ) 4 = 4 - --- λ 2 2 3 2 2 5x2 = λ --- - ( 1 – λ) ---- = ---- + --- λ 2 3 3 6Y los diferentes puntos de la arista P (x1, x2) se obtienen dando valores a λ y todos son optimizan a la F.O.- Región Factible no acotadaNo está acotada porque podemos utilizar valores arbitrariamente tan grandes como queramos a las restricciones y siempre éstas se cumplen. En este caso y dependiendo de la F.O. tendremos

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a.- Optimo infinitoEs el caso anterior porque podemos hacer x1 tan grande como queramos y por consiguiente la F.O. tambiénb.- Optimo finitoA pesar de el crecimiento de las variables de la restricciones permitiendo que siempre se cumplan. La F.O puede ser de la forma que conduzca a una solución finita.- Región Factible vacíaEn este caso no existe ningún punto que satisfaga a todas las restricciones y por tanto no se puede Max o Min la F.O.

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MATEMATICAS GENERALES PDF nº 2 AMPLIACIÓNTEMA 1.- LOS NUMEROS- Algoritmo de la divisiónDados dos números enteros, a y b, con b ≠ 0 siempre se puede encontrar dos números q y r tales que a = b q + r, donde 0 < r < |b|. El cociente y el resto son únicos- Fracciones irreduciblesLo son cuando el numerador y denominador no tienen ningún factor común - Números racionalesLo es cualquier fracción que al dividir el numerador por el denominador de:a.- Exacta ¼ = 0,25b.- Periódica pura 1/3 = 0,333c,- Periódica mixta 45/22 = 2,045

TEMA 2LOS NUMEROS REALES- RepresentaciónTodos los números reales, se pueden representar por una recta, en la que cada punto de la misma le corresponde a un determinado número real____________________________________-3 -2 -1 0 1 2 3 4

- Números reales positivos Un número real es positivo si es distinto de 0 y su parte no decimal más 1, es un número natural- Entorno de un número realSi definimos entorno abierto de un número real a y radio r > 0, al conjunto los números R tales que a - r < x < a + r que corresponde a I(a – r, a + r)El entorno cerrado sería a - r ≤ x ≤ a + r I[a – r, a + r]De forma similar, podemos definir entornos semiabiertos o semicerrados.- Resolución de inecuacionesLas inecuaciones no cambian su signo si sumamos o restamos a cada miembro un mismo número.

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Las inecuaciones no cambian su signo si multiplicamos o dividimos por un número positivo ambas inecuacionesLas inecuaciones cambian su signo si multiplicamos o dividimos por un número negativo ambas inecuaciones- Inecuaciones en las que figuran | | Hay que tener presente que | x | ≤ a si y solo si : - a ≤ x ≤ aEjemplo.- Resolver | (2x – 5) | < 7- 7 < 2x - 5 < 7 - 2 < 2x < 12 -1 < x < 6 (-1. 6)

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADODeducción de su fórmulaax*2 + bx + c = 0 x*2 + b/ax + c/a = 0Buscamos el cuadrado perfecto: (x + b/2 a)*2 = x*2 + b*2/4 a *2 + b/a x

(x*2 + b/ax )*2 - b*2/4 a *2 = -c/a c b*2 b*2 - 4ac= (x + b/2 a)*2 = - ----- +------ = -------------- _________ a 4a*2 4 a*2

-b √ b*2 - 4ac x = ------------------ 2a LOGARITMOS Podemos obtener una idea aproximada del log de un número x de la siguiente forma:10 < x < 100 1 < x < 2 está entre 1 y 2En realidad los logaritmos se obtienen por aproximaciones

CIFRA LOGARITMO CIFRA LOGARITMO2 0.30 12 1,083 0,48 13 1,114 0,60 14 1.155 0.70 15 1.18 6 0,78 16 1.207 0,85 17 1,238 0,90 18 1.269 0,95 19 1.2811 1,04 Con esta tabla de dos números de mantisa podemos “memorizar algunos de ellos y obtener el resto por deducción”Log 5 = log (10/2) – 1- 030 = 0.70Con ello tendremos la posibilidad de aplicar siempre logaritmos a los problemas más complejos que se nos presente.

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TEMA 3TEORIA DE CONJUNTOS- Producto CartesianoDados dos conjunto a A y B, los pares ordenados (x, y) tal que x ε A . y ε B, forman un tercer conjunto que se designa por A x B y se llama Producto cartesiano. El P. Cartesiano no es conmutativo A x B ≠ B x A

- APLICACIONESUna aplicación está siempre constituida por determinados pares del conjunto cartesiano seleccionados por la propia aplicación- Inyectiva f: A BPara x, y ε A con x ≠ y tendremos que f(x) ≠ f(y)Esto implica que si f(x) = f(y) necesariamente x = y, por tanto dado un f(x) = 3x +2 probar que es inyectiva:a.- Dando valores a xx = 0 f(x) = 2x = 1 f(x) = 5-------------------------Se ve que para dos valores distintos de x tenemos dos valores distintos de f(x)b.- Ver si f(x) = f((y) se cumple que x = y3x +2 = 3y +2 x = y- SobreyectivaCuando todo elemento de B tiene al menos un a preimagen, es decir si para y ε B existe al menos un x ε A tal que f(x) = yLa aplicación f(x) = 2x +5 es2x + 5 = 2y +5 x = y Luego es inyectiva2x +5 = yx = y/2 -5/2f(x) = f( y/2 -5/2) = 2 ( y/2 – 5/2) + 5 = y Es sobreyectiva También. Luego es una biyección

TEMA 4COMBINATORIA- Principios básicos para contar los elementos de un conjuntoa.- Principio de AdiciónSean A1, A2… An conjuntos finitos tales que sus Ai ∩ Aj = Ø ( Disjuntos dos a dos) y esta proposición que A1 U A2 U…An = ≠A1 + ≠ A2…≠ An

Nota.-Algunos tratadistas definen el cardinal de A como |A|, en lugar de ≠ A

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EjemploLanzamos tres monedas al aire. ¿De cuantas maneras se puede obtener una, dos y tres caras?Obtener una cara A1 (C, X, X) ( X, C, X) (X, X, C) ≠ A1 = 3Obtener dos caras A2 (C, C, X) ( C, X, C) (X, C, C) ≠ A2 = 3Obtener tres caras A3 ( C, C, C) ≠ A13= 1Rdo 3 + 3 + l = 7

b.- Principio de MultiplicaciónSean A1, A2… An conjuntos finitos no vacíos:≠(A1 X A2 X… An) = ≠A1 . ≠ A2…≠ An

Cada uno de los conjuntos formados tendrá n elementos, porque hay n conjuntos y los elementos de éste serán siempre seleccionados de forma que elijamos un elemento de cada conjunto original A1, A2… An

El primer miembro de la ecuación expresa el cardinal del producto cartesiano de varios conjuntos.-VariacionesUna variación, es una aplicación inyectiva: σ: ( 1, 2….n) A de modo que a cada número natural le corresponde un elemento del conjunto A. o conjunto de las variaciones.Si A(a, b, c) y tomamos de dos en dos sus elementos tendremos: En V3, 2 = 6 variaciones (ab, ac, ba, bc, ca, cb). - Permutacionesσ: ( 1, 2….n) A El conjunto formado por todas las permutaciones n elementos, está constituido de manera que cada uno de sus elementos es una aplicación biyectiva.- Combinaciones- Con repetición. Se puede demostrar que el número de combinaciones con repetición de de orden r de un conjunta A(a1, a2,…an) , es igual al número de soluciones enteras y positivas de la ecuación x1+ x2 +.. = r y es :CRm, r = Cm+r-1, rCR( 4,3) = C 4+3-1, 3 = C6,3 = 20

- Propiedades de los números combinatorios

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BINOMIO DE NEWTONAparece en muchos caso la expresión (x, y) *n siendo n un número natural.(x + y )*2 = x*2 + y*2 + 2xy (x + y )*3 = x*3 + 3 x*2 y + 3x y*2 + y*3-------------------------------------------------------------------------------

Newton estableció la fórmula que por medio de los números combinatorios responde al desarrollo del binomio para cualquier valor de n:

TEMA 5PROBABILIDAD - Estudio de sucesos-Dos sucesos son incompatibles o disjuntos si A ∩ B = Ø. - Dos sucesos son independientes si P(A ∩ B) = P(A) P(B)- Dos sucesos son dependientes si P(A ∩ B) = P(B) P(A/B)P(A ∩ B) = P(A) P(B/A)La dependencia de sucesos no implica la existencia de elementos intrínsecos en el suceso que lo haga necesariamente dependiente o independiente. Depende solo de la formulación del experimento que hacemos.En una urna tenemos 6 bolas blancas, B, y 3 bolas negras ,NSi sacamos una bola tendremosP(B) = 6/9P(N) = 3/9Si devolvemos la bola extraída anteriormente a la urna, y después extraemos una bola, las probabilidades actuales son las mismas que las anteriores. Si por el contrario, la bola la dejamos fuera de la urna y hacemos una segunda extracción, hablaremos de probabilidades condicionadas. El Ω antes era 9 y ahora es 8.Si miramos la bola extraída y es blanca tenemos y realizamos una segunda extracción tendremos:P(B/B) = 5/8P(N/B) = 3/8a) Probabilidad de sacar bolas, primero B y después , sin reemplazamiento N esP(B ∩ N) = P(B) `( N/B) = 6/9 3/8 =1/4

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b.- Probabilidad de sacar dos bolas blancasP(B ∩ B) = P(B) ( B/B) = 6/9 5/8 = 5/12

TEMA 6ESTADISTICA DESCRIPTIVA La estadística es una parte de la matemática aplicada y tiene como función ordenar, analizar y decidir sobre una estructura matemática asociada a masas de datos numéricos, obtenidos de la observación de fenómenos (físicos, económicos etc) De la tarea de procesar los datos se encarga la Estadística Descriptiva.- Propiedades del símbolo sumatorio: ∑a.- Sirve para presentar sumas abreviadas 100

1 +2 +3 + 4+…+100 = ∑xi i = 1

b.- Propiedades más relevantes30 30

∑c k = c∑ kk =2 k = 2

n n n

∑(xk + yk) = ∑xk + ∑ykk = 1 k = 1 k = 1

n

∑(xk -- xk-1) = xn – x1 .k = 1

MEDIDAS DE POSICIONAdemás de la media aritmética, la más importante tenemos- La moda Es el valor que se presenta con mayor frecuencia absoluta- La MedianaEs el valor central de los datos cuando estos se presentan ordenador de menor a mayor

- Momentos EstadísticosSolo se utilizan respecto a la media. n D.M (Desviación Media) o Momento de primer orden ∑(xk -- <x>)*1 k = 1

------------------- nσ*2 ( Varianza o Momento de segundo orden ) n

∑(xk -- <x>)*2 k = 1 --------------------------------

n

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En estadística se colocan los datos en una tabla que facilita la obtención de los sumatorios que precisamos para obtener las fórmulas que debemos de aplicar para resolver el problema planteado

TEMA 7SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Si tIenen las mismas soluciones, Dos sistemas son equivalentes si:a.- Si se cambian el orden de las ecuacionesb.- Si se cambia el orden de las incógnitasc.- Multiplicar los coeficientes y término independiente de una ecuación por un número distinto de cerod.- Sustituir una ecuación del sistema por la ecuación que resulta de multiplicar aquélla por un número real distinto de cero y sumarle otras ecuaciones del sistema multiplicadas por números reales cualquiera.- MatricesDado el siguiente sistema de ecuaciones lineales, de n ecuaciones con n incógnitas;

- Matrices asociadas al sistema:a.- De los coeficientes a: b.- Matriz ampliada a :

Además de poderlo resolver por los métodos algebraicos descritos anteriormente, se resuelve también por el llamado:

- Método de Gauss- Paso 1Con a11 ≠ 0. llamado pivote, en la primera ecuación, Si el sistema es: Y su matriz ampliada

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El pibote debe valer siempre 1.En nuestro caso podemos dividir por 2 toda la primera fila o bien podemos intercambiar la primera y la segunda fila de la matriz ampliada ( que es lo que hacemos)

-Paso 2 . seguimos haciendo “ceros”Sumamos a la segunda fila la primera multiplicada por -2

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Que ya es fácilmente resolible.

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TEMA 8MATRICES Y DETERMINANTESSe denomina matriz de m filas y n columnas a todo conjunto de m,n de números reales distribuidos en m filas y n columnas Se denota por m x n o bien por aij, siendo i (1, 2.. m) filas y j ( 1,2 .. n) columnas- Tipos de matricesa.- Una matriz es cuadrada si m = nDentro de las matrices cuadradas tenemos:. Simétricas, cuando aij = aji

- Triangular superior, cuando aij = 0 con i > j- Triangular inferior, cuando aij = 0 con i < j . Matriz Diagonal, cuando aij = 0 con i ≠ j. Matriz cero, cuando todos sus elementos son 0. Matriz Unidad, cuando todos los elementos de su diagonal principal ( a11, a22, a33..) valen 1 y el resto de sus elementos son 0 Se denota por In

Notaa.-Una matriz cuadrada es de orden n si tiene n filas y n columnasb.-Una matriz es rectangular si m ≠ nc.- Una matriz fila, es la que tiene una sola fila o m = 1d.- Una matriz columna es la que solo tiene una columna o n = 1- Operaciones con matrices - SumaA + B = C si y solo si aij + bij = cij

Definimos matriz opuesta de A o otra matriz B tal que A + B = 0Para lo cual aij = - bij- ProductoDe un número real λ por una matriz A.Es una matriz λA cuyos elementos son el producto de λaij Producto de MatricesSea A ( m x n ) y B ( n x p) La matriz A tiene n columnas y la B tiene n filas. Número de columnas de A = numero de filas de B. Esta condición permite su producto Sea A’( m x n ) B’( m, r)La matriz A’ tiene m filas = m columnas de B’. Son pues multiplicables.La razón necesaria para que A se pueda multiplicar por B es que las filas (o columnas) de A = a las columnas (filas ) de B

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La multiplicación se efectúa multiplicando filas de A por columnas de B de la siguiente manera:

A B = CFila 1 x todas las columnas = Fila 1 del productoSe continúa igual con las Filas 2 y 3

-Matriz traspuestaDada una matriz A definimos como su traspuesta o A’ aquella matriz que ha cambiado las filas de A por las columnas de A’ y las columnas de A por las filas de A’

DETERMINANTESPodemos considerarlos como una aplicación tal que D: A REs decir la aplicación asocia a una matriz A uno y sólo un número real- Determinantes de:Matrices de orden 2

= all x a22 - a12 x a21 = Det a o | A |

Marices de orden > 2 , en el ejemplo de orden 3

* Definimos por matriz complementaria de la matriz de orden n a la matriz de orden (n - 1), que se obtiene tachando el aij que deseemos y la fila y la columna a la que pertenece. Lo que queda no tachado es el menor complementario El matriz complementaria de por ejemplo a11 es

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Llamamos menor complementario al determinante de la matriz complementaria* Regla de los SignosLos elementos cuyos subíndices sumados dan un número par, llevan el + delante, por ejemplo a11, a31 etc Los elementos cuyos subíndices sumados dan un número impar, llevan el - delante, por ejemplo a12, a32 etc Para obtener el determinante de una matriz de orden n:a.- Se elige una columna o una fila del mismo, por ejemplo la fila | a11 a12 a13 | y se multiplica el aíj por su menor complementario, teniendo en cuenta la Regla de los Signos El Determinante es igual a la suma de todos los productos anterioresEs decir:

Los menores complementarios, se suelen representar por una letra mayúscula que coincide con el nombre de la matriz, a la que se le ponen los subíndices correspondientes al elemento correspondiente:Así a all le corresponde A11 que es igual a

a los Aij se le laman AdjuntosPodemos pues obtener el valor de un determinante por medio de los adjuntos:| A | = all A11 - a12 A12 + a13 A13

* Para las matrices de orden 3 podemos obtener su determinante aplicando directamente la Regla de Sarrus:

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+ -Los productos del dibujo de la izquierda llevan + y los de la derecha llevan menos. El determinante es igual a la suma de ambos productos

MATRICES INVERSASDiremos que la matriz cuadrada A de orden n tiene inversa o es invertible , si existe una matriz cuadrada de orden n que designamos por A*-1 tal que :

A*-1 es la matriz inversa de A, la cual:a.- Es únicab.- Para que exista obliga a que el Det A o | A | ≠ 0

- Obtención de una matriz inversa de una matriz cuadrada A, cuyo determinate vale 6 , es decir distinto de cero y por tanto admite inversaa.- Primero obtenemos la traspuesta de A , que llamamos B

A B b.- Obtenemos la matriz “adjunta de la traspuesta”, es decir obtenemos la Traspuesta y después sus adjuntos.

A los que se le aplica la Regla d los signos Y obtenemos La adjunta de la Traspuesta:

= TA

TA TA

Entonces la inversa de A o A*-1 =------- = ------- | A | 6Es decir:

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La prueba de que la matriz obtenida es correcta seria hacer A A*-1 = I3

TEMA 9RESOLUCION SISTEMAS DE ECUACIONES POR EL MÉTODO MATRICIAL - Expresión matricial de un sistema de ecuacionesSea el sistema:

Se establecen las siguientes matrices

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Siendo :A = Matriz de los coeficientes X = Matriz de las incognitasB = Matriz de los términos independientesLuego su expresión matricial es A X = B- Regla de CramerSi tenemos en forma matricial un sistema de ecuaciones cuya expresión es A X = B donde:a.- A es una matriz cuadrada mismo número de ecuaciones que de incógnitasb.- |A| > 0 luego admite inversa A*-1

c.- A A*-1 = A*-1 A = In

Como consecuencia de ello podemos hacerA X = BA A*-1 X = A*-1 BIn X = A*-1 B X = A*-1 BEste sistema se denomina Compatible Determinado, es decir admite solución única. Se cumple en el supuesto de que B = 0 en este caso X = 0 es decir todas las incógnitas valdrían.En un sistema de ecuaciones cuando B = 0 se le denomina homogéneo. En caso contrario se define como no homogéneo.La condición necesaria para que sea compatible determinado es que A admita inversa, para lo cual Det A ha ser > 0.- Regla practicaPara aplicar la solución X = A*-1 B es:Cualquier incógnita xi por ejemplo es igual al cociente:Cuyo numerador es el Det A al que se le sustituye ai por bi Cuyo denominador es el Det A Ejemplo2x + 3y = 19 x - y = -3

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│2 19│ │19 3│ │1 - 3│ - 25 │-3 1│ - 10 y = ---------- = ----- = 5 x =-------- = ----- = 2 │2 3│ - 5 - 5 - 5 │1 - 1│

- Rango de una matrizSe llama Rango de una Matriz al mayor de los órdenes de los menores no nulos de dicha matrizSea la matriz:│1 2 0││1 1 1│ = 0 Su R < 3, para ser 3 el Det > 0│1 2 0│Cualquier menor orden 2 es > . Luego su R = 2

TEOREMA DE ROUCHE-FROBENIUS- Sea un sistema no homogéneo, A X = B, lo definiremos como;Compatible a.- DeterminadoSi y solo si R(A) = R(A|B) (La matriz ampliada) = n (Nº incógnitas)Es el caso estudiado por Cramer y se resuelve según su propia reglab.- IndeterminadoSi y solo si R(A) = R(A|B) (La matriz ampliada) < n (Nº incógnitas)IncompatibleSi y solo si R(A) ≠ R(A|B)- Sea un sistema homogéneo, A X = 0, lo definiremos comoCompatible a.- Determinado Visto en Cramer, todas las incógnitas son iguales y valen 0. A esta solución se le llama solución trivialb.- IndeterminadoImplica tener, además de la trivial, otras soluciones para lo cual R(A) < n

TEMA 10ELEMENTOS DE GEOMETRIA Nada que aportar en este capítulo, que no se haya visto en el PDF nº 1

TEMA 11TRIGONOMETRIA- Razones trigonométricas de algunos ángulos- De ángulos son complementarios si β + γ = 90º = π/2

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Sus razones trigonométricas son:sen β = cos γ o bien sen β = cos( π/2 – β)cos β = sen γ o bien cos β = sen( π/2 – β)- Del ángulo de 60º= π/3 y su complementario 30º = π/6

Un triangulo equilátero tiene sus lados iguales y sus ángulos iguales y valen 60º = π/3 supuesto el lado del triángulo igual a l. Al trazar la perpendicular AM nos da dos triángulos iguales. Vamos a trabajar en el ABM √3AM*2 = sen*2 (π/3) = 1 – (½)*2 = ¾ sen (π/3 ) =----- = cos (π/6) 2BM = cos (π/3) = 1/2 = sen (π/6)

- Del ángulo 0 su complementario 90ºSen 0 = 0 = cos 90Cos 0 = 1 = sen 90- Del ángulo de 45 º =π/4 y su complementario 45 º =π/4Si tenemos un triángulo rectángulo. de hipotenusa = 1 y sus catetos son iguales a L , tenemos que 1 = 2L*2 de donde L = sen 45ª = cos 45ª = 1/√2- Funciones inversas de las funciones trigonométricasDado un número comprendido entre 0 y 1, existe un ángulo agudo cuyo sen es ese número. Es decir si x ε (0, 1) existe un ángulo α (0, π/2) tal que sen α = x , el ángulo α se llama arcsen x.De manera análoga podemos definir el arc cos x o el arctg xCon estas funciones se puede calcular los ángulos de un triángulo cuando se conoce la longitud de sus lados.En definitiva tenemos que si:sen α = x α = arcsen xcos α = y α = arccos x

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tg α = z α = arctg x Como son inversas, es fácil de comprender que por ejemplo x = sen.α α = arcsen xf(x) o g(x) = f( g(x)) =sen ( arcsen x) = x

-Formulas para el sen y cos de la suma y diferencia de ángulossen (α + β) = sen α cos β + cos α sen βcos (α + β) = cos α cos β - sen α sen βsen (α - β) = sen α cos β - cos α sen βcos (α - β) = cos α cos β + sen α sen β

OAcos ( α + β) = ---- = OA = OC – AC = OC - EB OP = 1AC = EB PBEl ángulo ε es recto por lo que sen β =----- = PB OP ∆

En DOA el ángulo γ = (π/2) – α | ∆ En DBP el ángulo γ = (π/2) – φ α = φ EBSen φ = sen α = ----- EB = sen α sen β PB OCPor otra parte cos α = ------ OC = cos α cos β, dado que OB = cos β OB

Por lo que cos (α + β) = cos α cos β - sen α sen βCon lo que queda demostrada como ejemplo una de las cuatro fórmulas, anteriores.

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NUEVAS FORMULAS TRIGONOMETRICAS. Si en las fórmulas anteriores hacemos β = αsen (α + β) sen 2α = 2sen α cos αcos (α + β) cos 2α = cos*2α - sen*2α. Si en las formulas anteriores queremos obtener el valor de las tg(α ± β) sen (α + β) sen (α + β)/cos α cos β tg α + tgβtg (α + β) = -------------- =---------------------------- = -------------- cos (α + β) cos (α + β)/cos α cos β 1 – tgα tgβ tg α - tgβtg (α - β) = --------------- 1 + tgα tgβPor lo que : 2 tg αtg 2α = ------------- 1 – tg* α- De las relaciones cos 2α = cos*2 α - sen*2 α cos α = cos*2 α/2 - sen*2 α/2cos*2 α/2 = cos α + sen*2 α/2 sen*2 α + cos *2 α = 1 sen*2 α /2+ cos *2 α/2 = 1sen*2 α/2 = 1 - cos *2 α/2sen*2 α/2 = 1 – (cos α + sen*2α/2) = 1 – cos α - sen*2α/2 1 – cos α 1 + cos αsen*2 α/2 =------------ y se demuestra también cos*2 α/2 = -------------

2 2- Se pueden obtener también:cos 2α = cos*2α – sen *2 α y para eliminar el sen:1 + cos 2α = cos*2α – sen *2 α + sen*2 α + cos *2 α = 2 cos*2 α

1 + cos 2α ------------- = cos*2 α 2

- cos 2α =- cos*2α + sen *2 α1 – cos 2α = - cos*2α + sen *2 α + sen*2 α + cos *2 α = 2 sen*2 α 1 – cos 2α------------- = sen*2 α 2

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TEMA 12INTRODUCCION A LA GEOMETRIA ANALITICADefinimos como circunferencia goniométrica a aquella que su radio vale l- Razones de cualquier ángulo dado a.-Angulos suplementarios o se aquellos que sumados dan π

sen α = sen ( π – α )cos α = - cos ( π – α )

b.- Angulos que difieren en π

sen α = - sen (π + α)cos α = - cos (π + α)

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c.- Angulos Opuestos

Y (2π - α) = - α opuesto a αsen α = - sen (2π - α) = - sen (- α)

cos α = cos (2π - α) = cos (- α) * Cualquier ángulo esta incluido en alguno de los tres apartados anteriores, por lo que podemos fijar las razones de cualquier ángulo

TEMA 13VECTORES EN EL PLANOHay dos tipos de magnitudes físicas:a.- Magnitudes escalaresDefinidas por un número seguido de la especificación de la unidad de medida, 30º Celsius b.- Magnitudes vectoriales, precisan para su definición, además de la cantidad, que se denomina intensidad, la dirección, el sentido.- Vector fijoSean A y B dos puntos diferentes del plano. Llamamos vector fijo AB al segmento de origen A y extremo B Dicho extremo se representa con una flecha que marca el sentido que es de A a B.La longitud del segmento nos indica su intensidad y la recta soporte al vector su dirección.- Vectores equivalentes a un dado fijoEquivalentes a AB son todos los vectores paralelos a AB, de igual intensidad e igual sentido,Para conocer si el vector A’B’ es un vector fijo equivalente a AB debemos de establecer ambos vectores atendiendo a las coordenadas de sus puntosA (a1, a2) B (b1, b2) AB (b1 – a1, b2 – a2)A’(a’1, a’2) B’(b’1, b2) A’B’ (b’1 – a’1, b’2 – a’2)Para que sea equivalente debe de cumplirse que

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(b1 – a1, b2 – a2) = (b’1 – a’1, b’2 – a’2)El conjunto de todos los vectores fijos equivalentes a uno dado AB, se le denomina vector libre. Cada uno de los elementos del conjunto se llama representante del vector libre.

- Elección del vector libre

El vector AB es un representante del vector libre AB cuyas coordenadas son: A (a1, a2) B (b1, b2) AB (b1 – a1, b2 – a2)Si definimos el punto P(b1 – a1, b2 – a2), tendremos que el vector OP que pasa por el 0 (0, 0) y P(b1 – a1, b2 – a2) tiene las mismas coordenadas que AB, luego es un representante del vector libre AB considerado, pero que pasa por el origen. Se trabaja siempre con estos representantes cuyo origen del vector es el 0(0, 0)Es claro que para cada punto del plano P1 (x, y) existe un vector 0Pi . , a estos vectores se les denomina por letras como v, w etc- Módulo de un vector ________Sea v (a, b) su módulo será | v | = √ a*2 + b*2

- Vector opuestov (a, b) su opuesto es v’(-a, -b)

OPERACIONES CON VECTORESSuma

Geométricamente

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AB + BC = ACTambién se puede obtener trazando por C una paralela a AB y por A una paralela a CB. La suma es la diagonal del paralelogramo formado. AnalíticamenteSi v es el representante o vector libre de AB y cuyas coordenadas son v(a, b) y w es el representante o vector libre de BC con w (c, d)v + w = (a+c, b+d)- Resta de Vectores Se suma a uno de ellos el opuesto del otroProductoa.- De un vector por un escala por un vectorλ v/(a. b) = (λa, λb)b.- Producto escalarSe llama así porque el resultado de la operación da un escalarv(a, b) w (c, d) = ac + bdSi v(2, 1) y w( 3,-2) v w = 6 – 2 = 4- Significado geométrico del Producto escalar

a ccos α = ----- cos β = ----- | v | | w | b d sen α = ---- sen β = ---- | v | | w |El ángulo β – α, es el ángulo que forman los dos vectores dados v y w.

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Su cos(β – α) = cos β cos α + sen β sen α a c b d v wcos(β – α) = ----- ------ + ---- ----- = --------- v w = | v | | w | cos(β – α) | v | | w | | v | | w | | v | | w |El producto escalar es igual al producto de los módulos de los vectores por el coseno del ángulo comprendido entre ellosComo consecuencia de lo anterior tenemos que si dos vectores no nulos poseen su producto escalar igual a cero es porque el ángulo comprendido entre ellos es 90 porque cos 90 = 0. luego son perpendiculares.-Vectores colinealesLo serán quienes estén en la misma línea, pero para ello basta que uno sea v y el otro λv Serán pues colineales aquellos que tienen sus coordenadas proporcionales.

COMBINACION LINEALUn vector u(x, y) es combinación lineal de v y de w o también que depende linealmente de v y w, si existen dos escalares λ1 y λ2 tal que u = λ1 v + λ2 wDos vectores v y w son linealmente independientes si dados dos λ1 y λ2

Tenemos que 0 = λ1 v + λ2 wTodos los vectores colineales tiene sus coordenadas proporcionales y por tanto son dependientes porque dado v y w, siempre podremos encontrarun λ tal que v = λ w. Esto nos lleva a definir como independientes a dos vectores v, w tales que sus coordenadas no sean proporcionales.v/(3, 1) y w ( 5, 3) son independientes no hay λ que cumpla v = λ w. Base y Dimensión.Un sistema generador es el conjunto de pares de vectores de los que el resto pueden obtenerse por combinación lineal. En el plano existen infinitos pares de vectores que son linealmente independientes y cualquier pareja de entre estas que seleccionemos constituye una base generadora del resto de vectores del plano, los cuales se pueden obtener por combinación lineal de los vectores de la base.Se suele elegir la base (e1, e2) siendo e1(1, 0) e2 = (0, 1) por varios motivos:a.- e1 y e2 tiene su producto escalar e1 e2 = 0. luego son perpendiculares u ortogonales.b.- Su modulo es 1 que se indica llamándoles normales Por tanto son ortonormales A esta base se le llama Base canóniga.En cuanto a la dimensión = al numero de vectores que componen la base, en nuestro caso 2. Estamos trabajando en el plano que tiene dos dimensiones. Nuestro plano es el espacio vectorial que analizamos.Un vector cualquiera se normaliza:

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Dividiendo sus coordenadas por el modulo del vectorv( a, b) a b ----- , ----- | v | | v |Ejemplo.-Constrúyase una base ortonormal {v, w} con las siguientes condiciones: v está en el tercer cuadrante y sobre la recta que contiene a u (2, 3) y w está en el segundo cuadrante. 2 3Normalizamos u dándonos un = -----, ------ que está en el 1 cuadrante 2 3 √13 √13 v = - un = - -----, - ----- √13 √13 -2 -3Llamamos w(a, b) y sabemos que v w = 0 ( -----, -----) (a, b) = 0 √13 √13- 2 a – 3 b------------- = 0 b = - 2/3 a Luego w ( a. – 2/3a) √13 4 a*2 3 - 2Normalizamos w 1 =√ a*2 + ------- a = ± ----- y b = ----- 9 √13 √13Como w (a, b) está en el segundo cuadrante elegiremos el resultado de a positiva.

TEMA 14LOS NUMEROS COMPLEJOSResuelven operaciones imposibles de realizar en el campo R como por ejemplo √ - 4- Definición a.- Forma binómicoLlamamos numero complejo a todo número de la forma a +bi. Siendo a y b ε R. A este conjunto de números se denota por C.De a + bi, a es la parte real y bi su parte imaginariaCualquier número real a = a + 0i, bi = 0 + biluego los números complejos incluyen a R.

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Esta es la representación en el plano del número complejo z- Modulo de un número complejo ________ | v | = | z | = √ a*2 + b*2

- Definicionesa.- Definimos a la unidad imaginaria i = √-1Esto nos permite realizar la √-4 = √4 √-1 = 2ib.- De un z = a + bi- Su opuesto – z = - a – bi- Su conjugado z = a - bi

OPERACIONES CON COMPLEJOS EN FORMA BINOMICA- Sumaz = a + biw = c + diz + w = (a + c) (b + d)i - Productoa.- Por un escalar λ z = λa + λ bib.- De dos números complejos( a + bi ) ( c + di ) = ac +adi +bi c + bd i*2 = (ac – bd) + i( ad +bc).Por tanto el producto de z por su conjugado es: - z z = ( a + bi ) ( a - bi) = a*2 + b*2 = | z |*2

El inverso de z es z*-1 y para que lo sea debe de cumplirse que 1 = z z *-1.

- Cociente

Se puede encontrar también el cociente aplicando el algoritmo de la división: D = d q 3 +2y------- equivale a 3 + 2y = ( 1 – 3i) ( x + yi) 1- 3i- PotenciaPara todo z*n, siendo n ε N( a + bi)*n Se aplica el binomio de Newton, sabiendo que

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i = √- 1i*2 = -1

i*3 = 1 i*2 = - ii*4 = i*2 i*2 = 1

FORMA TRIGONOMETRICA DEL NUMERO COMPLEJO

a = r cos αb = r sen αz = ( a + bi ) = r (cos α + i sen α) , donde α se le llama argumento de zEl argumento α, esta comprendido entre 0 y 2π y además:tg α= b/a α = arctg b/a

OPERACIONES CON C. EN FORMA TRIGONOMETRICA- Productow = s (cos β + i sen β)z w = rs [cos (α + β) + i sen (α + β)]El producto de dos números complejos es otro número complejo que tiene por módulo el producto de los módulos de los factores y por argumento la suma de sus argumentos.- CocienteSi z = r (cos α + i sen α) y w = s (cos β + i sen β) el cociente z/w valdria lo mismo quew el producto z w*-1

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El cociente de dos números complejos es otro número complejo que tiene por modulo el cociente de los módulos y por argumento la resta de los argumentos.

- Potencia

Se puede demostrar aplicando el binomio de Newton. Eligiendo el modelo más sencillo, para n = 2, tenemos:[r (cos α + i sen α)]*2 = r*2[cos*2 α +i*2 sen*2 α+ 2 cos α sen α] == r*2[cos*2 α - sen*2 α+ 2 cos α sen α] =r*2( cos 2α + sen 2α)

- RadicaciónSea z = r (cos α + i sen α). El número w = s (cos β + i sen β) será la raiz n

enésima de z si se cumple que w = √ z o w*n = zw*n =s*n (cos n β + i sen nβ) = r (cos α + i sen α).Por igualación tenemos que: n

s*n = r s = √r α + 2πKnβ = α + 2πK β = ------------ con K (0, 1,2…n-1) nEjemplo Calcular las raíces quintas de – 325 ___ 5 ________________________________ cos(180+ 2πK) i sen(180 +2πK)√-32 = √32(cos 180 + i sen 180 ) =2 [----------------- + ---------------------]

5 5Para K = 0 2 (cos 36 + i sen 36)Se obtienen para k = l, 2, 3, 4 con lo cual hemos obtenido las 5 raíces solicitadas

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TEMA 15VECTORES EN EL ESPACIOUn vector en el espacio, respecto a un vector en el plano, tiene una coordenada más, la del eje ZZ’. Por lo demás sus fórmulas, demostraciones etc son iguales a la del espacio vectorial plano.Por ejemplo el vector AB, dado A(a1.a2,a3 ) y B(b1,b2,b3) será:AB =(b1 – a1, b2 – a2, b3 – a3) a.- El producto por un escalar será λA =( λa1, λa2.λa3)b.- Los vectores serán independientes si sus coordenadas no son proporcionales.c.- La combinación lineal de dos vectores v y w independientes que constituyen una base permitirá obtener el resto de vectores.d.-Que la base canóniga será e1( 1, 0, 0), e2 (0, 1, 0) e3 (0, 0, 1), etc…

PRODUCTO VECTORIALv(a, b, c ) y w ( m, p, q), definimos el producto vectorial v x w:

y también v x w = | v | | w | sen α- Propiedadesa.- El producto vectorial de dos vectores linealmente dependientes es 0, lo cual implica que cualquier matriz que tenga dos filas o columnas proporcionales da como det = 0

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b.- v x w = - (w x v) o propiedad anticonmutativac.-Sea v(1, 2, -1) y w(-3, 1, 4)Sea v x w = ( 9, -1, 7) -( w x v ) = (-9, 1, -7)Llamemos u = v x w = (9, -1, 7) y obtengamos los productos escalares siguientes:u v = (9, -1, 7) ((1, 2, -1) = 9 -2 -7 = 0 es decir u ┴ vu w = (9, -1, 7) (-3, 1, 4) = - 27 -1 +28 = 0 es decir u ┴ wEl producto vectorial, es un nuevo vector que es perpendicular a los 2 vectores dados, v y w, el módulo de u es el producto de los módulos de v y w por el seno del ángulo que forman y el sentido de u es el del avance de un tornillo cuando gira de v a w- Relación entre el modulo del producto vectorial y el producto escalar| v x w | *2 = | v |*2 | w | *2 – (v w)*2

- Interpretación geométrica

∆

S P’OQ = ½ v h = ½ | v | | w | sen αLuego el producto vectorial es el área del paralelogramo formado

TEMA 16GEOMETRIA ANALITICA DEL PLANO- Los puntos en el planoSea el conjunto E2, el conjunto de todos los puntos del plano.Sea V2, el conjunto de todos los vectores del plano Se puede establecer f: E2 V2 / para P ε E2 y Q ε E2, existe vPQ

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- Rectas en el planoa.- En paramétricasUna recta viene definida cuando se conoce un punto A ε E2 y un vector no nulo v ε V2. En este caso la recta r es el conjunto de todos los puntos P ε E2

que satisfacen vAP = tv para t ε R

La dirección de la recta definida por el punto A y el vector v( v1,v2) es :D(r) = tv = (tvl, tv2)Sea ahora la recta r definida por A (a1, a2) y P (x, y) un punto cualquiera de la recta cuya dirección la fija el vector v(vl, v2) y es tvLa condición vAP = tv se transforma en(x - a1, y –a2) = (tv1, tv2)x - a1 = tv1

y –a2 = tv2

Que es la ecuación de la recta en paramétricasb.- Ecuaciones de la rectaSi en las paramétricas despejamos el parámetro t x - a1 y- a2

---------- = -------- obtenemos la ecuación continua v1 v2

De la ecuación continua y haciendo operaciones, obtenemos la ecuación implícitav2(x- a1) = v1 (y – a2) v2x -v2al –v1y +v1a2 = 0 Si v2 = A , v1 = B C= v1a2- v2al

Ax + By + C = 0Otra forma de obtener la ecuación implícita es tener presente que vAP = t vImplica que las coordenadas de vAP y las de tv son proporcionales y por tanto:

Si de la ecuación implícita des despejamos y = - A/B x - c/ BSi llamamos m = - A/ B y n = - C/B obtenemos la ecuación explicita:y= mx + n

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- Paso de implícitas a paramétricasDespejamos x y en esta ecuación hacemos y = t

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANOa- ParalelasSi la D(r) = D(s) Es inmediato que si s y r son paralelas y tiene un punto A común, entonces las rectas coinciden.En forma implícita podemos por aplicación de Rouche- Frobenius saber si son paralelas o si se cortanr: a x + b y + c = 0 s: a’x + b’y + c’ = 0Si R(A) = R(A/C) = 2 = n C. Determinado y las rectas se cortan Si R(A) = R(A/C) =1 C. Indeterminado, ambas rectas coinciden Si R(A) = 1 y R(A/C) = 2 Incompatible. Son paralelasUn caso especial de rectas que se cortan es cuando son perpendiculares.En forma implícita la D( r ) = (- b. a)- PerpendicularesDos vectores son perpendiculares si su producto escalar es 0v(-b, a) su vector perpendicular es (a, b)(-b a) ( a, b) =- ba + ab = 0 Al vector n= (a, b) perpendicular al dado, se llama vector característico

PROBLEMAS METRICOS EN EL PLANOa.- Distancia de un punto a una recta

Dado un punto C y una recta r d(C, r) = mim { d( C, P) / P ε r}C( m1,m2)

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Y como

NOCIONES SOBRE CONICAS- ELIPSESe llama Elipse al conjunto de puntos P del plano cuya suma de distancias a F y F’ es constante siendo esa constante igual a 2a l Los puntos F y F’ se laman los focos de la elipseEl eje mayor de la elipse es 2aEl eje menor es 2bLa distancia focal es FF’ es 2cLa relación entre sus ejes es a*2 = b*2 + c*2 porque 2a > 2cEn la elipse del dibujo centrada en O(0, 0) :F(c. 0 ) y F’ ( -c, 0) La ecuación canóniga es:

x*2 y*2

------- + ------ = 1 b*2 a*2

2a paralela al eje XX’ 2a paralela al eje YY’

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-HIPERBOLASe llama Hipérbola al conjunto de puntos P del plano cuya diferencia de distancias a F y F’ es constante siendo esa constante igual a 2a Los puntos F y F’ se laman los focos de la hipérbolaEl eje mayor de la hipérbola es 2aEl eje menor es 2bLa distancia focal es FF’ es 2cLa relación entre sus ejes es c*2 = a*2 + b*2 porque 2 c> 2a

En la elipse del dibujo centrada en O(0, 0) :F(c. 0 ) y F’ ( -c, 0) x*2 y*2 x*2 y*2

La ecuación canóniga es: ------- - ------ = 1 ------- - ------ = 1 a*2 b*2 b*2 a*2

2a paralela al eje XX’ 2a paralela al eje YY’

x*2 y*2

--------- = ------ = 1 b*2 a*2

2a paralela al eje XX’ 2a paralela al eje YY’

PARABOLASe llama parábola de foco F y directriz d, al conjunto de puntos P de E 2

tales que su distancias al foco F y a la directriz son iguales. D(F) = D (d)Definimos la distancia p como la distancia existente entre la recta directriz d y F y si además centramos el vértice de la parábola en O(0, 0) tendremos:F (p/2, 0 )La ecuación de d es x = - p/2

Eje focal paralelo a XX’ x*2 = 2 p y

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Eje focal paralelo a YY’y*2 = 2 p y

Y la ecuación de la parábola que pasa potr A(2,4) es x*2 = 2 p y 4 = 8p p = ¼ y la ecuación x*2 = ½ y

TEMA 17GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIOLa base ortonormal es (e1, e2, e3) y cualquier punto P(x, y, z) fijará el vector vOP = x e1 + y e2 + z e3

De igual modo dados A(al, a2, a3) y B( bl, b2, b3) VAB =(al-b1, a2-b2, a3-b3)Una recta, da igual que sea en el plano o en el espacio precisa un vector de dirección y un punto por donde deseemos que pase, de forma que D( r) =tvSi en vez de un solo vector de dirección trabajamos con dos, entonces el lugar geométrico que estamos construyendo ya no es una recta sino un plano en E3

Plano

Dado un punto A(al, a2, a3) y dos vectores u y v linealmente independientes podemos obtener el plano π cuya ireccion D(π) = t1u + t2 vLlamamos a P un punto incidente con el plano π si P ε π y para ello:vAP = tl u + t2 v

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También podemos decir que para que sea incidente el vAB ha de ser combinación lineal de u y v. Lo que indica que:Una recta r, definida por el punto B y el vector w es incidente con el plano π o r ε π, si :a.- Un punto B ε r es incidente al plano, es decir si VAB = s1u + s2vb.- Y además si w ε π o lo que es lo mismo:w = t1u + t2 vAmbas condiciones expresan que D( r) C D(π)

Tres puntos A, B, C no alineados, los tres, no tienen sus coordenadas proporcionales y podemos decir que el vAB = u y vAC= v son linealmente independientes, por lo que tiene sentido hablar del plano que pasa por los tres puntos dados. - Ecuación de un plano en el espacioSea A A(al, a2, a3) , u(u1, u2, u3) y v(v1. v2, v3). Cualquier P(x, y, z) incidente

Es la ecuación del plano en paramétricas

Para obtener su ecuación cartesiana, basta recordar que un punto P es incidente al plano si VAP es combinación lineal de u y v o lo que es lo mismo

**

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Sea n ( n1, n2, n3), el producto vectorial de u x v :│e1 e2 e3 ││u1 u2 u3│ = 0│v1 v2 v3│Cuyas omponentes serán:

Desarrollando el determinante ** teniendo en cuenta las coordenadad de n tendremos:

que es la ecuación del plano obtenida por el vector perpendicular a los dos vectores que marcan la dirección del plano

POSICION RELATIVAS DE DOS PLANOS EN EL ESPACIO- Paralelos2 planos son π y ρ son paralelos si D(π) = D(ρ)La condición es que exista un n v. característico de π y un n’ v. característico de ρ, tales que n y n’ sean linealmente dependientes.Regla practicaEn consecuencia si los dos planos son paralelos existe un n que es vector característico de los dos planos Para analizar cualquier caso, además de que sean paralelos, recurrimos al teorema de Rouche-Frobeniusπ: ax + by + cz + d = 0ρπ: a’x + b’y + c’z + d’ = 0

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A A/D│ a b c │ │ a b c d ││ a` b’ c’│ │| a` b’ c’ d’│

R(A) = R(A/D) = 1 C. Indeterminado π = ρR(A) = 1 R(A/D) = 2 Incompatible Son paralelosR(A) = R(A/D) = 2 C. Determinado Se cortan En este último caso como dan una recta implica que las ecuaciones de una recta (en C. cartesianas o en forma implica) en el espacio:ax + by + cz + d = 0a’x + b’y + c’z + d’ = 0Los planos se cortan perpendicularmente si n n’ = 0Ejemplo de paso de implícitas a paramétricas:x + y + z – 2 = 0 cuyo n ( 1, 1, 1)x - y + z = 0 cuyo n’( 1, -1, 1)

RECTAS EN EL ESPACIO- Parametricas

Sea A (a1,a2,a3) y v( v1,v2,v3) el vector de dirección.

Sean los planos:x + y + z – 2 = 0x - y + z = 0 Son planos secates porque r(A) = r(A/B) = 2Si hacemos z = 0 tenemos x + y = 2 | x = 1 x - y = 0 | y = 1Y P( 1, 1, 0) es un punto de la recta .Calculamos n x n’ = ( 2, 0. -2) que da siempre un vector que marca D(/r)Luego en parametricas será x – 1 = 2t y - 1 = 0z – 0 = - 2t

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POSICIONES RELATIVAS DE RECTA Y PLANO EN EL ESPACIORecta r definida por A y su vector de dirección w, y dado un P(z, y, z)obtenemos VAP = twa.- Si w ε D(π) y P ε π. La recta es incidenteb- Si w ε D( π ) y P no ε π. La recta es paralelac.- Si w no ε D( π ) La recta y el plano son secantes

POSICIONES DE DOS RECTAS EN EL ESPACIOa.- ParalelasD( r)= D(s)- Supongamos que sean paralelas entonces se cumple vAB = tv y vAB ε D( r)y vAB ε D( s) ello implica que {v, w} son linealmente dependientes.Ejemplor: x = t x = 2 + 3t y = t y = 1 + 3t z = t z = 1 + 3t

A(0, 0, 0) B(2, 1, 1) vAB = ( 2, 1, 1)v(1, 1, 1) w( 3, 3, 3) w = 3v linealmente dependientes Estas rectas son paralelas ya que VAB es combinación lineal de v y w.

- Supongamos que no sean paralelas, entonces {v, w} son linealmente independientes y pueden ocurrir dos casos:a.- Que exista un Qε r ∩ s, entonces r y s están contenidas en un plano π tal que VPQ = tv y VPQ ε D(π) = t1 v + t2 w. Dicho de otro modo, se requiere que {v, w. vAB } sean linealmente dependientesr. x = 2t s; x = 3 + t y = 0 y = 1 + t z = t z = 2 + tA(0, 0, 0) B = (3, 1, 2) VAB = (3, 1, 2)v(2, 0, 1) w = ( 1, 1, 1)v y w son linealmente independientes luego r y s no son paralelasvAB = 1(2, 0, 1) + 1 ( 1, 1, 1) Ambas rectas de cortan y firman un plano πEl punto de corte Q( 2, 0,1) basta hacer y = 0 en la recta s para obtener el resultado de Q.El plano VPQ = t1 v + t2 w.

x - 2 = t1 v1 + t2 w1.y = t1 v2 + t2 w2

z – 1 = t1 v3 + t2 w3

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b.- Que no se corten, entonces las rectas se cruzan en el espacio y el conjunto {v, w. vAB } son linealmente independientes EjemploSean las rectasr: x = 3 + t s: x = 3 + t y = 2 + 2t y = 5 – t z = 1 + t z = 2 + tA( 3, 2, 1 ) B( 3, 5 2) VAB ( 0, 3, 1) v( 1, 2, 1) w( 1, -1. 1) Como v y w son linealmente independientes r no es paralela a sComo vAB es linealmente independiente de v y wLas rectas se cruzan - Distancia de un punto a un planoSea C(c1, c2, c3) y el plano ax + by +cz +d =0.Obtenemos su vector característico n ( n1, n2 n3)

TEMA 17 SUCESIONESUna sucesión es f: N R n an

cuyo término general es an

- PROGRESIONES- AritméticasSon aquellas sucesiones {an} que existe un número fijo, llamado razón o diferencia de la progresión que cumple con an+1 = an + dUna propiedad de estas sucesiones es que (a1 + an) = (a2 + an-1) …por lo que Sn = a1 + a2 +…. an Sn = an+ a2-1 +…. a1----------------------------------------

2 Sn = (a1 + an) + (a2+ an-1) + ….(an + a1) = n((a1 + an) n((a1 + an)Sn =------------- 2- Geométricas Son aquellas sucesiones {bn} que existe un número fijo, llamado razón de la progresión que cumple con bn+1 = bn r

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bn r - bl

S= -------------- r - 1 Con r ≠ 1.

OPERACIONES CON SUCESIONES- Suma y resta{an} + {bn} = (a1 ± b1), (a2 ± b2) + …. (an ± bn)- Producto y cociente {an} {bn} = (a1 b1), (a2 b2) + …. (an bn){an} a1 a2 an

------ = ---- , ----- ...... ----- {bn} b1 b2 bn

El cociente solo tiene sentido si b1 ≠ 0

CLASES DE SUCESIONES- Sucesión positivaSi an ≥ 0 - Sucesión estrictamente positivaSi an > 0- Sucesión negativaSi an ≤ 0- Sucesión estrictamente negativaSi an < 0- Sucesiones monótonasa.- Monótona creciente. Si sus términos crecen constantementeb.- Monótona decreciente. Si sus términos decrecen constantementeSe llaman sucesiones alternadas las que el signo de an es distinto al de an+1

ACOTACION DE SUCESIONES- Acotada superiormenteSi existe un M, llamado cota superior tal que an ≤ M - Acotada inferiormenteSi existe un m, llamado cota inferior si m ≤ an

Una sucesión está acotada si lo es superior e inferiormente, m ≤ an ≤ M

LIMTE DE UNA SUCESIONUna sucesión {an} de números reales tiene por lim a ε R , silim an = an ∞

dado un ε > 0 para un no ε N tal que para n > no, se tiene que |an - a| < εolas sucesiones que tiene limite se llaman convergentes y las que no lo poseen divergentes.

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Toda sucesión convergente está acotadaToda sucesión monótona creciente y acotada superiormente es convergente.Toda sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente es convergente.

EL NUMERO eEl numero e es un número irracional que lo define una sucesión cuyo término general es: 1(1 + ---)*n

n 1Siendo lim (1 + ---)*n = e n n ∞

TEMA 19CALCULO DE LIMITES DE LAS SUCESIONES- Propiedades aritméticas de los limites finitosSi {an} y {bn} son dos sucesiones convergentes con lim a y b respectivamente, tenemos:

Y también:lim (an ± k ) = lim an + k = a + k n ∞

lim (an . k ) = lim an . k = a k n ∞

an a lim ------ = ---- bn bn ∞

LIMITES INFINITOSSi {an} y {bn} son dos sucesiones tales que:lim an = ∞ lim bn = - ∞x ∞ x ∞

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- Propiedades aritméticas de los límites infinitos∞ + ∞ = ∞ - ∞ +(- ∞) =- ∞ ∞ ± k = ∞ - ∞ ± k = - ∞

Para k > 0∞ .k = ∞ - ∞ . k = - ∞

Para k < 0∞ .k = - ∞ - ∞ . k = ∞ ± k------ = ± ∞ 0

± k------ = 0 ± ∞- IndeterminacionesNo podemos conocer de forma previa:∞ + (- ∞) ± ∞ 0 0--- 0± ∞ ----- ± ∞Se resuelven todos operando en la indeterminación.EjemploEn caso de un cociente se divide numerador y denominador por el máximo exponente de n. n*2+ 5n - 2 lim------------- = 1/4 4n*2 + 2n ∞

n*3 + 5n -2 lim------------- = ∞ 4n*2 + 2n ∞

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TEMA 20FUNCIONES Una función es una aplicación f: R R a f(a)-PropiedadesLas funciones, como las sucesiones se define como:Positivas, estrictamente positivasNegativas, estrictamente negativasMonótonas crecientes y decrecientes

f ≥ 0, luego positiva Estrictamente creciente

- Funciones inversasDefinimos como función identidad o I a I: R R x I(x) = xSi tenemos una f(x) definimos como su inversa, se denota por f*-1, aquella función que cumple: f( x) 0 f(x )*-1 = I(x) = x

Si por ejemplo f(x) = x*3 y = x*3

La inversa se obtiene permutando las incógnitas y operandoSi y = x*3

x = y*3

3

√x = y 3 3 En efecto si realizamos f(x) 0 f(x)*-1 =f( f(x)*-1) = f(√x ) = √x*3 = xToda función y su inversa tienen sus gráficas simétricas respecto a la diagonal principal

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- Funciones pares e imparesSon pares las funciones que cumplen f(x) = f( - x) para todo x ε RSon impareslas funciones que cumplen f(x) = - f(- x)Si f(x ) = x*2

f(- x) = (- x)*2 = x*2 Luego es parSi f(x) = 1/x f( - x) = - 1/x Luego no es par -f(- x) = 1/x Luego es impar

TEMA 21POLINOMIOSPolinomio es el conjunto de números (coeficientes) y letras (incógnitas) enlazados por operaciones algebraicasan x*n + an-1 x*n-1 + a x = 0Llamamos grado del polinomio al exponente de la potencia máxima con coeficiente no nulo.Cada término del polinomio lo llamamos monomio,Un monomio es semejante a otro si los exponentes de sus incógnitas son los mismo 4 x*3 y es semejante a 2/3 x*3 yLos polinomios se representan por P(x) Q(x) etc..

DIVISION DE POLINOMIOSSea P(x) =3x*3 -1 y S(x) = x*2 + x + 1

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D = d c + rUn caso particular es cuando el divisor es de la forma (x –a). En este caso es mejor aplicar directamente la regla de RuffiniDividir x*3 + 3x*2 - 4 por (x – 2)Si x + 2 = 0 x =- 2 y es por este coeficiente por el que tenemos que dividir. Es decir siempre el de signo contrario al que nos de (x ± a)

Lo que nos da= x*2 + x – 2

DESCOMPOSICION FACTORIAL DE UN POLINOMIOSe dice que un número a es una raíz del P(x), si P(a) = 0. Es equivalente a decir que cuando x = a el P(a) =0 o lo que es lo mismo que es divisible por (x-a).- Raíces simples y raíces múltiplesSi una raíz es del tipo (x – a) , la definimos como simpleSi una raíz es del tipo (x – a)*n la definimos como múltipleP(x) = x*2 – 2x +1 = (x - 1)*2

. Raíces complejasSea P(x) = x*2 +1 no exista un a ε R que sea raíz, es decir que haga P(a) = 0Este polinomio pues solo tiene solución en el campo de los números complejos. En efectox*2 +1 = 0 x*2 = -1 + 0i = r( cos α + i sen α ) = 1 ( cos 180 + i sen 180)

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA

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FUNCIONES RACIONALES P(x)------ Es el cociente de dos polinomios. Si el grado de P(x) < Q(x) , la Q(x) definimos como fracción irreducible o propia. Son con estas fracciones con las que vamos a trabajar. En todo caso si grado P(x) ≥ Q(x)haríamos P(x) Q(x) C(x) + R(x) R(x) ------ = --------------------- = C(x) + ------- que sería propia. Q(x) Q(x) Q(x)- Caso 1.-Solo raíces simplesDescomponer 3x +1--------x*2 -1Q(x) solo tiene raíces simples Q(x) = (x - 1) ( x + 1) )Descomponemos en sumandos, teniendo presente que cada raíz simple solo tiene un sumando, pero que cada raiz múltiple tiene tantos sumandos como indica su grado:Cada sumando tiene por numerador una constante, que posteriormente debemos de obtener y por denominador la raíz simple o las raices múltiples3x + l A1 A2 A1( x +1) + A2 (x-1) (A1 + A2) x + ( A1 –A2)-------- =------- + ------ = ------------------------- = --------------------------- x*2 -1 x - 1 x +1 (x -1) (x +1) (x - 1) (x +1) Se igualan los coeficientes de P(x) con la descomposición obtenida:3 = A1 + A2 1 = A1 – A2

Resuelto el sistema nos da A1 = 2 y A2 = 1Quedando la fracción propia descompuesta en sumandos, como sigue:

3x +1 2 1------- =------ + -------x*2 -1 x – 1 x +1

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- Caso 2Raíces múltiplesDescomponer Denomin x*3 – 2x*2 + x = x(x - 1)*2 (una raíz simple y una múltiple de grado 2 ( 2 sumandos)

2x + 1 A1 A2 A3 A1( x -1)*2 + A2x +A3 x ( x – 1)----------------- = = ---- + -------- + ------- = ------------------------------------- = x*3 – 2x*2 +x x (x - 1)*2 ( x -1) x (x - 1)*2

(A1 + A3)x*2 + (A2 – A3 + 2A1) x + A1 =----------------------------------------------- x (x - 1)*2

A1 + A3 = 0A2 – A3 + 2A1 = 2A1 = 1 y A2 =3 , A3 = - 1Luego. 2x + 1 1 3 1 ---------------- = ----- + ------- - ------- x*3 – 2x*2 +x x (x - 1)*2 ( x -1)

- Caso 3 El denominador tiene raíces complejasLas raíces complejas se resuelven con un solo sumando, que es una fracción cuyo denominador es la propia raíz compleja con un grado n y por numerador un polinomio de grado indeterminado de grado n-1El denominador x*3 – x*2 +x -1 = ( x-1) ( x*2 +l) 2x A Bx + C A (x*2 +l) + (Bx + C) ( x -1)------------------- =----- + --------- = -------------------------------------x*3 –x*2 + x – 1 ( x-1) (x*2 +l) ( x-1) (x*2 +l)Se obtiene las constantes y se finaliza, como en los casos anteriores

TEMA 22LIMITE DE LAS FUNCIONESDefinimos el limite de una función comof(x) =Lx a Como sabemos existe un ε> 0 y un δ > 0 tal que si │x – a │< δ implica que │f(x) – L │< εSupongamos que a = 3. En este caso nos podemos ir aproximando a ”a” por la izquierda de “a” dando valores <a . Llamamos límite lateral por la izquierda a la expresión:

103

f(x) =Lx a-

Supongamos que a = 3. En este caso nos podemos ir aproximando a ”a” por la derecha de “a” dando valores > a . Llamamos límite lateral por la derecha a la expresión:f(x) =Lx a+

Una función f(x) tiene por limite L si se verifica que el limite lateral por la izquierda es L y el limite lateral por la derecha es L La función definida: │ - 1 si x < 0f(x) │ 1 si x≥ 0Estudiar si tiene limite en x = 0 lim f(x) = -1 lim f(x) = 1x 0- x 0+

Como ambos limites son distintos, la función no tiene limite en x = 0, o lo que es lo mismo no está definida o no existe para x = 0. Luego x = 0 es un punto de discontinuidad de dicha función.

TEMA 23FUNCIONES CONTINUASUna función es continua en x = a si existe:Lim f(x) = L = f(a) x a

Una función es continua en (a, b) si lo es en todos los puntos del intervalo Una función es continua en [a, b] si lo es en todos los puntos del intervalo incluyendo a y bPara que lo sea en a se ha de buscar su límite lateral por su derechaPara que lo sea en b se ha de buscar su limite lateral por su izquierda

FUNCIONES CONTINUAS EN INTERVALOSCumplen con los siguientes teoremas- Teorema de los valores intermediosSea f una función continua en I [a. b]. Si c es un número real comprendido entre f(a) y f(b) existe al menos un x ε I tal que f(x) = c- Teorema de BolzanoSi f es una función continua en I [a. b] que toma valores de signo contrario en los extremos del intervalo, existe al menos un x ε (a, b) tal que f(x) =0

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- Teorema de WeierstrassSi f es una función continua en I[a. b] , entonces tiene un máximo y un mínimo I[a. b] , es decir existe un punto c y otro punto d que verifican: f(c) ≥ f(x) y f(d) ≤ f(x)Es fácilmente demostrable que si una función es monótona creciente( decreciente ) en un intervalo I [a. b] es continua.Si es continua, nos indica que se trata de una aplicación inyectivaY su inversa también será una aplicación inyectiva, continua y creciente ( decreciente)

TEMA 24FUNCIONES DERIVABLESUna función es derivable en un punto a si existe f(a + h) – f(a) ∆y lim ------------------ = lim ----- = f’(a) h ∆xh 0 h 0

Razonemos lo anteriorSi existe este límite deben de existir y ser iguales los limites laterales por la izquierda, que se llamará la derivada lateral por la izquierda, y el limite lateral por la derecha o derivada lateral por la derecha.Por tanto respecto a la variable independiente o x = a, podemos pasar a un punto muy próximo a “a” que es a + h = a + ∆x.

Al realizar esta operación se incrementa la función tal como refleja el numerador del límite anterior.Si en el límite anterior estudiamos solamente los incrementos, veremos que su grafica viene dado por la secante correspondiente a una curva cualquiera.

105

Si ahora pasamos al limite, es decir hacemos h 0, estamos haciendo que el punto a +h se aproxime al a hasta coincidir y en ese instante la secante pasa convertirse en tangente en dicho punto a.Esta es la causa de que lim secantes (a) = tangente a = f’(a) h 0

Por lo que la derivada en un punto es, geométricamente hablando igual a la tangente trazada en dicho punto.

La ecuación de la recta tangente es:y - y0 = f’( a) ( x – x0) Si una función tiene derivada en un punto a, es decir existe la tg, es necesariamente continua en este punto. El reciproco no es cierto, una función puede no tener derivada en un punto y si ser continua en el mismo.En muchas ocasiones la derivada se presenta como f(x) – f(a)lim------------- Basta hacer el cambio x = a + h ( x –a)h 0 Sea f(x) = │ x │La función no es derivable en el a = 0 f(0 +h) – f(0) │h │Lim--------------------- = ------- que da +1 si h > 0 h h - 1 si h ≤ 0 h 0

La derivada lateral por la izquierda ≠ a la derivada lateral por la derecha. Luego no hay derivada.

En cambio la función si está definida en a = 0 │ h si h > 0│h│ │ -h si h ≤ 0

106

A este tipo de puntos se les denomina puntos angulosos

TEMA 25ESTUDIO Y REPRESENTACION DE FUNCIONESSi observamos la grafica anterior de f(x) = │x│, es claro que no admite derivada en a = 0, pero además de ser continua tiene un mínimo en dicho puntoLa función f(x) = x*3

f(x)’ = 3 x*2

Si imponemos la condición para que exista Max o Min tenemos 3x*2 = 0 y x = 0 y el punto es P(0,0)f(x)’’= 6x = 6.0 = 0 Punto de InflexionSin embargo la función es creciente en todo intervalo que contenga a = 0, luego no tiene ni Max ni Min.

TEOREMA DE ROLLE Y DEL VALOR MEDIO. RolleSi una función es continua en I[a, b] y derivable en (a. b), tal que f(a) = f(b) entonces existe al menos un c ε ( a, b) tal que f’( c) = 0

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- Teorema del valor medioSi una función es continua en I[a, b] y derivable en (a. b), existe al menos un c tal que f(b) – f(a)f’(c ) = ------------- b - a

REGLA DE L’HOPITALSi f y g son dos funciones derivables en el intervalo (a ,b), donde - ∞ ≤ a ≤b ≤∞ proporciona que el f(x) f’(x)Lim ------- = -------- g(x) g’(x)para un f(x) / g(x) que produzca las indeterminaciones 0/ 0 o ±∞/ ±∞

CONCAVIDAD Y CONVEXIDADUna función es convexa en un I(a, b) cuando cualquiera que sean los puntos a y b se cumple que existe un t tal quo 0 < t < 1 que verifica: f[ ta + ( 1 – t) b] < t f(a) + (1- t) f(b)

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Llamaremos cóncava a:f[ ta + ( 1 – t) b] > t f(a) + (1- t) f(b) Sea una función convexa, f(x) en I (a, b), el punto a queda definido por a, f(a) y el punto b (b , f(b)).Le recta que une ambos puntos es: f(b) – f(a)g(x) = g(a) + ------------ ( x – a) b - a. Sustituimos en ella x = ta + ( 1 –t) b f(b) – f(a)g[ta + ( 1 –t) b] = g(a) + ------------ ( 1 –t) ( b – a) < t f(a) + ( 1-t) f(b) b -a. Como la función la hemos definido como convexa f(x) < g(x) lo cual significa que todos pos puntos de f(x) en ese intervalo, quedan por debajo de la recta. Si definimos a f(x) como cóncava, es decir f(x) > g(x) todos los puntos por encima de g(x)

También es cierto que si:f’’(x) > 0 la función es convexa y Minimof’’(x) < 0 la función es cóncava y Maximof’’(x) = 0 Hay un punto de inflexión y la función pasa de convexa (cóncava) a cóncava (convexa)

ESTUDIO DE ASINTOTASConocemos las asíntotas verticales y horizontales. Vamos a profundizar el la gráfica de la función cuando existe una asintota x*2 Sea lim f(x) =----- = ∞ x 1 x - 1

Esta es una asíntota vertical en x = 1

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Para comprender el comportamiento de la gráfica de la función, basta obtener el límite por la izquierda y por la derecha de la asíntota: x*2 x*2

Sea lim f(x) =----- = - ∞ Sea lim f(x) = ----- = ∞ x -1 x – 1 x + 1 x - 1

Sea ahora una asíntota horizontal 2 xLim --------- = 2 x + 3 x ±∞

Si la asíntota es, como en este caso horizontal, para saber si la gráfica de la función va por encima o por debajo de la asíntota se efectúa:La diferencia de f(x) y la asíntota y se estudia el signo del resultado. 2 x - 6 --------- - 2 = ------- x + 3 x + 3Desde ( - ∞, -3) la diferencia es positiva y por tanto va por encima de la asíntota.Desde (- 3, ∞) la diferencia es negativa, luego va por debajo de la asíntotaEsta función además tiene una asíntota vertical en x = -3

Definimos como asíntota oblicua aquella recta, y = mx + n que cumple:lim ( f(x) – mx –n ) = 0x ±∞

Los coeficientes m y n se determinan: f(x) n f(x) f(x)lim = ---- - m - --- ) = 0 lim (---- - m) = 0 m =lim ---- x x x xx ±∞ x ±∞ x ±∞En cuanto a n, conocido ya m, se obtiene:

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lim ( f(x) – mx) = n x ±∞Para determinar la posición de la grafica respecto a esta asíntota oblicua, se estudia el signo de la diferencia. Si es positivo por encima y si es negativo por debajo de la asíntotaPara la función: x*2 f(x) = -------- x – 1 Si realizamos su estudio de asintotas y posteriormente su concavidad y convexidad, obtenemos la grafica que sigue

TEMA 26FUNCIONES TRIGONOMETRICAS- Estudio de las funciones sen α y cos αContinuidad de sen αObtengamos lim sen x = 0 x 0

∆ SC

0 < COB < COB 0 < ½ sen x < x/2 0 < sen x < x sen x = 0Explicacion. ∆

S COB = ½ OB CA = ½ sen x

S Sc COB

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Al ángulo de 2π radianes le corresponde un área π ( r = 1 y r*2 = 1) 1 radian ya 1 radian le corresponde y = ½ y a xradianes = x/2 __________Si sen 0 = 0 cos*2 0 = √1 – sen*2 0 cos 0 = 1Ambas funciones son continuas y pueden valer desde – 1 a 1

- Derivadas de sen α y cos α - Calculo previoDel anterior dibujo se desprende que ∆ Sc ∆

COB < COB < DOB ½ sen x < x/2 < sen x/ 2cos xSen x < x < senx/cos x

x 1 11< ------- < ------- y como lim -------- = 1 sen x cos x cos x cos x 0

En definitiva nos queda x x 1< ------- < 1 ------ = 1 sen x sen x Obtengamos la derivada de sen x Se obtiene aplicando el concepto de derivada, como en cualquier función. sen (α + h) – sen α sen α cos h + cos α sen h – sen α (sen α)’ =lim[ ---------------------- ] = lim --------------------------------------- h h h 0 h 0

sen α (cos h - 1) cos α sen h = lim [ -------------------- + ---------------- ] = 0 + 1. cos α = cos α h h h 0 h 0

Referente al primer término su límite es 0: sen α ( cos h -1) ( cos h -1)lim [ -------------------- ] = sen α lim ------------- h hh 0 h 0

( cos h -1) - 2 sen*2 ( h/2) - h sen*2 ( h/2) lim --------------- = lim ----------------- = lim ----- ----------------= h h 2 h*2/4 h 0 h 0

-h sen*2 ( h/2)

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= lim --- [ -------------------- ]* 2 = 0 1 = 0 2 h/2 h 0

- Estudio de las derivadas del sen x(sen x)’ = cos xEstudiemos pues cos x en la circunferencia goniométrica :Es positivo en (0, π/2) y en ( 3π/2, 2π), luego la f(x) = sen x es creciente Es negativo en (π(2, π) y en (π. 3π/2) , luego la función es decreciente Combinando esta información tenemosPrimer cuadrante, cos x > 0 sen x pasa de 0 a 1 crecienteSegundo cuadrante, cos x < 0 sen x pasa de 1 a -1 decrecienteTercer cuadrante, cos x < 0 sen x pasa de -1 a 0 crecienteCuarto cuadrante, cos x > 0 sen x pasa de 0 a 1 creciente

La (sen x)’’ = - sen x < 0 (0, π ) Máximo en π/2 y CóncavaLa (sen x)’’ = - sen x >( π, 2π) Mínimo en 3π/2 y ConvexaLa (sen x)’’ = - sen x = 2 en π P. Inflexión

Finalizamos su estudio indicando que sen es periódica de periodo igual a 2π De manera similar realizaríamos el cos x- Estudio de las funciones tg x y cotag de xAmbas son periódicas de periodo igual a π:sen (x + π ) sen x cos π + cos x sen π - sen π --------------- = ------------------------------- =- --------cos ( x + π) cos x cos π – sen x sen π - cos π

Derivada.- 1tg(x)‘ = ---------- = 1 + tg*2 x cos *2 x

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El análisis de la derivada nos indica las características de su gráfica, que debemos de redondear con las propiedades que nos indican su segunda derivada,

- Estudio de arcsen , arccos y arctg de una funciónSi f(x) = sen x, Su inversa es f*-1 = arcsen x y po r tanto será continua y sus valores estarán comprendidos entre 1 y -1.La derivada es: 1sen’ x = ------ cos x

1 1 1f*-1 (x) = arcsen x (arcsen x)’ = -------------- = ------------------ = ----------- f’[ f*-1(x)] cos (arcsen x) √1 –x*2

Como [sen( arcsenx) ]*2 + [cos(arcsenx) ]*2 = 1x*2 +[cos(arcsenx) ]*2 =1 ______ cos(arcsenx) = √1 –x*2

De idéntica forma se demuestra la derivada de arccos(x) o arctg(x)Las formulas generales, para una función f(u) son 1 1arcsen (u) = ---------- u’ arccos u = --------- √1 – u*2 √1 – u*2

1arctg (u) = ---------- u’ 1 + u *2

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f(x) = cos x f-1(x) = arccos x

115

TEMA 27FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES- LOGARITMO NEPERIANOlog : (0, ∞) R que cumple con ;log 1 = 0(log x)’ = l/xCon objeto de diferenciarlos de los logaritmos vulgares o de base 10 o log , se les identifica como ln de base el número eTiene derivada positiva y por tanto es creciente en todo su dominio.( 0, ∞ ). Por tanto ln x > 0 para x > y ln x <0 para x <0 . Para x = 1 el ln l = 0Su derivada segunda es ln(x)’’ = - l/x*2 < 0 Cóncava

La función no está acotada ni superior ni inferiormente, porque es crecienteY por ser creciente es inyectiva, pero además para cada x ε R existe un lnx , luego es sobreyectiva. Esto la define en definitiva como biyectica.Definimos ln *-1: ( 0, ∞) R a la inversa de ln a la que llamamos función exponencial natural. Se suele representar como ln*-1 = expLlamamos exp 1 = e por lo tanto exp x = e*x

e *x = y exp x = y ln y = x. exp ln x = ln y x = ln yLógicamente por ser la función inversa de ln, es continua y creciente y su gráfica es simétrica respecto a la recta y = x

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-Definimos como exponencial de base a como a*x por lo que:

a *x = exp x ln a = e * x lna Esta definición, nos permite a su vez definir a la exponencial de base e como exponencial naturalSi a > 0 la función log: (0,∞ ) R , definida por a*x es biyectiva :Su derivada es (a*x) ‘ = a*x lna Si a*x, su inversa es loga x y se llama función logarítmica de base a Si y = loga x , x = a*y x = e*y lna

- Definimos como función potencial a x*a

Siendo x*a = e * a ln x En cuanto a las gráficas de la exponencial con base a, en el dibujo se muestra la comparación con las exponenciales naturales. La obtención de sus gráficas, es idéntica de la ya abordada e*x

117

CALCULO DE LIMITESLa aplicación del concepto de exponencial y su inversa el logaritmo, nos van a permitir resolver determinadas indeterminaciones del tipo fx) *g(x) = exp g(x) ln f(x) = e * g(x) ln f(x)

Estas indeterminaciones son: 0*0. 1*∞, ∞*0

1Recordemos que el número e =lim [1 + --- ]*n

n ∞ nSe suele presentar, en muchas ocasiones transformado:a.- Haciendo 1/n = x , nos queda e = lim (1+x) *1/x

b .- Haciendo 1/n = p/q .. nos queda (1+ p/q)* q/p = (q + p / q)* p/q

Por tanto si somos capaces de presentar cualquiera de las anteriores indeterminaciones en una forma que exprese el número e, la habremos resuelto, si tenemos:f(x) *g(x) = exp g(x) ln f(x) lim f(x) *g(x) = exp lim(g(x) ln f(x)

Se efectúa siempre el cambio f(x) - 1 = h(x)f(x) *g(x) = (1+ h))* g(x) = [(1+ h) *1/h]* h g(x) = e *h g(x) = exp h g(x) ln ex0

lim f(x) *g(x) = exp lim [ h g(x)]

Ejemplo x*2 -1Lim ( ---------)*x*2 = e*-2

x*2 +1 -2 -2x*2

f(x) – 1 =-------- lim h g(x) = -------- = -2 x*2 +1 x ∞ x*2 +1

TEMA 28PRIMITIVAS DE UNA FUNCION Se dice que una función F(x) en un determinado I es una primitiva de otra función f (x) si F’(x) = f(x)De la definición obtenemos que una función f(x) tiene infinitas primitivas porque F(x) y F(x +k) tienen la misma derivada F(x)’ Al conjunto de todas las primitivas de f(x) se denota por ∫f(x) dx = F(x) + K Y se llama integral indefinida de f(x)La igualdad ∫f(x) dx = F(x) + K se cumplirá cuando F’(X) = f(x) A este proceso se llama integración.-Integrales de funciones inmediatasLas integrales, que no precisan de la realización de operaciones para su obtención se denominan inmediatas.

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-Tabla e funciones inmediatas- ∫dx = x + K- ∫a dx = ax + K x*n+1

- ∫x*n dx =------ + K n+1 (x – a)*n+1

- ∫(x - a)*n dx = ------------- + K n + 1 dx- ∫(--------- = ln │(x ± a)│ + K ( x ± a) e *ax

- ∫e *ax dx =------- + K a a *bx

- ∫a *bx dx =------- + K b ln a - cos x- ∫sen a x dx =--------- + K a sen x - ∫cos a x dx =--------- + K a dx- ∫---------- =arcsen x + K √1 – x*2

dx- ∫---------- =arctg x + K x*2 + 1 dx _____- ∫---------- =ln ( x + √x*2 ± 1)+ K √x*2 ± 1Las formulas anteriores son válidas si en lugar de x aplicamos u(x) en cuyo caso dx pasaría a u’ du- Operaciones aritméticas con integrales∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dxNo es cierto que∫ [f(x) g(x)] dx = ∫ f(x) dx ∫ g(x) dx y precisamente para resolver el producto de integrales se tiene la:

INTEGRACION POR PARTES

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La derivación de un producto de funciones es:(f g)’ = f’ g + f g’f g’ = (f g)’ - f’ g ’ que integrando da: ∫f g’ = ∫(f g)’ - ∫f’ g ’que es la fórmula de integración por partes y que resuelve la integral de producto de dos funciones.Se suele representar, por simplificación f(x) = u f’(x) = du = u’ dx g(x) = v g’(x) = dv =g’ dxCon esta anotación la fórmula queda: ∫ u dv = u v - ∫ v du

Ejemplo ∫x sen x dx = x cos x - ∫ cos x dx = x cos x + sen x + K lº Parte 2º Parteu = x v = sen xdu = dx dv = cos x dx 1 1 x∫arcsen x dx = x ----------- - ∫---------- dx = --------- - arcsen x + K √1 – x*2 √1 – x*2 √1 – x*2

∫e*xsenxdx =- e*xcosx +∫ cos x e*x dx ) =- e*xcosx + e*xsenx - ∫senx e*-x dx2∫e*x senx dx = e*x ( sen x – cos x) e*x ( sen x – cos x)∫e*x senx dx =------------------------- 2 FORMULA DE RECURRENCIA dx x 2n +3 dx ∫ ----------- = ------------------------- + ------- ∫ ---------------- (x*2 + 1)*n 2 ( n – 1) (x*2 + 1)*n- 1 2n – 2 (x*2 + 1)*n- 1

Esta importantísima fórmula se obtiene por aplicación de integración por partes y va reduciendo la integral inicial a un grado menor, a la que se le sigue aplicando el mismo método, con objeto de que termine en dx ∫ ----------- = arctg x + K x*2 + 1 Como ejemplo podríamos hacer dx (x*2 + 1) x*2 x x ∫ -------------- =∫ -------------- dx - ∫ ------------- dx = arctg x - ∫------------- dx (x*2 + 1)*2 (x*2 + 1)*2 (x*2 + 1)*2 (x*2 + 1)*2

Esta ultima integral se realiza por partes hasta finalizar el ejercicio, cuyo resultado sería igual a aplicar la formula de recurrencia antes descrita

INTEGRACION POR CAMBIO DE VARIABLE

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Dada una integral, el método consiste en sustituir la función f(x) y dx por una nueva función f(t) dt, tal que facilite la integración. Posteriormente debe de deshacerse el cambioEjemplos x*2 1 dt∫--------- dx =---∫--------- = 1/3 arctg t = 1/3 arctg x*3 1 + x*6 3 1 + t*2

Cambiot = x*3

dt = 3 x*2 dx

TEMA 29CALCULO DE PRI MITIVASINTEGRALES RACIONALES R(x)Su solución se fundamento en la descomposición de ------ en sus fracciones simples Q(x) En la descomposición en fracciones simples se obtienen términos del tipo: A ∫------ dx = A ln ( x – a) + K x – a A - A∫ ----------- dx = ------------------- *No confundir con la F. de recurrencia ( x – a ) *n (n -1) ( x – a ) *n-1

Bx + C B 2x + 2b dx∫----------------- dx = ---∫ --------------------- dx + ( C - Bb)∫--------------------- (x*2 + 2bx + c)*n 2 (x*2 + 2bx + c)*n (x*2 + 2bx + c)*n

Se busca que en el numerador aparezca la derivada del denominador, es decir 2x + 2b, para lo cual:Bx +C = B/2 (2x + 2b) + C – BbLa primera integral esB 2x + 2b B - 1---∫ ------------------- dx = --- ----------------------------- + K2 (x*2 + 2bx + c)*n 2 (n -1) (x*2 + 2bx + c)*n-1

La segunda integral es dx dx(C - Bb)∫---------------------- = (C - Bb)∫---------------------- (x*2 + 2bx + c)*n [ ( x + b) *2 + c – b*2]*n

Para resolverla se busca el cuadrado perfecto del denominador:(x*2 + 2bx + c) = ( x + b) *2 + c – b*2

Se hace el cambio:

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______ ______x + b = √c – b*2 t dx = √c – b*2 dt _____ dx √c – b*2 dt(C - Bb)∫---------------------------- = (C - Bb)∫------------------------ = [( x + b) *2 + c – b*2]* n (c – b*2 ) t*2 + c –b*2

dt C – Bb dt(C - Bb) √c – b*2 ∫--------------------------- = --------------- ∫------------ [(c – b*2 )( t*2 + 1)]*n [(c – b*2 )*n-1/2 ( t*2 + 1)]*n

Y esta última integral se resuelve por la fórmula de recurrenciaEjemplos 6x - 51.- ∫--------------- dx = -7 ln( x- 2) + 13 ln (x -3) x*2 – 5x +6 6x - 5 A1 A2 x( A1 +A2) -.3A1 – 2A2 ----------------------------------- = -------- + -------- = ---------------------------x*2 – 5x +6 = ( x – 2) ( x – 3) ( x – 2) ( x – 3) ( x – 2) ( x – 3) 6 = A1+ A2

-5 = -3 A1 – 2 A2 A1 = - 7 A2 = 13 ( x +2) 1 2x +4 1 2x +1 1 32.- ∫------------- dx = --- ∫ ----------- dx = -- ∫ ----------- dx + -- ∫----------- dx x*2 +x +1 2 x*2 +x +1 2 x*2 +x +1 2 x*2 +x +1

1 2x +1 1-- ∫ ----------- dx = --- ln │(x*2 +x +1)│2 x*2 +x +1 2

3 dx 3 dx 3 √3 dx + -- ∫----------- = --- ∫--------------------- = -- ---- ∫---------------- = 2 x*2 +x +1 2 ( x + l/2)*2 + ¾ 2 2 3 /4 t*2 + 3/4 _____ √3 3 √3 4 dx (2x +1) x+ l/2 =√c - b*2 t =---- t = -- --- -------- ∫-------- = √3 arc tg ----------- 2 2 2 3 t*2 +1 √3 √3dx = --- dt 2 x dx∫--------------- (x*2 +4x + 5)Se obtiene el valor de x en función de la derivada del denominador:x = l/2 (2x +4) -2 …. Y se prosigue…

122

PRIMITIVAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICASSe buscan los cambios de variable convenientes y realizada la integración se deshace el cambio.Entre los cambios utilizados tenemos:- Cambio General . Vale para cualquier integral trigonométrica , lo cual no implica que sea el mejor cambio, pero si resuelve la integración. tg x/2 = t x/2 = arc tg t x = 2 arctg t 2 dtdx = -------- 1 + t*2

2tsen x =-------- 1 + t*2

1 - t*2 cos x =--------- 1 + t*2

Explicación de las formulas:sen 2x = 2 sen x cos xsen x = 2 sen x/2 cos x/2 2 sen x/2 cos x/2 / cos*2 x/2 2tg x/2 2tsen x =---------------------------------------- = -------------- = --------- (cos*2 x/2 + sen *2 /2)/ cos*2 x 1 + tg*2 x 1 + t*2

cos 2x = cos*2 x – sen*2 xcos x = cos *2 x/2 – sen*2 x/2

cos *2 x/2 – sen*2 x/2 / cos*2 x/2 1 – tg*2 x /2 1 – t*2

cos x = ----------------------------------------- = ------------------. =-------- (cos*2 x/2 + sen *2 /2)/ cos*2 x /2 1 + tg*2 x /2 1 + t*2

-Otros cambiosCuando la función es par en sen o cos, es decir cuando no cambia si sustituimos sen x por sen(- x) o cos x por cos(-x). Se impone el cambiotg x = t x = arctg t dtdx = ----------- 1 + t*2

tsen x =----------- √1 + t*2

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1cos x = ----- √1 + t*2

Explicación: cos x/ cos*2 x 1/ cos x 1cos x = -------------------------------- = ------------ = ----------------------- cos *2 x + sen*2 x /cos*2 x 1 + tg *2 x cos x(1 + tg *2 x) 1 1cos*2 x= ------------- = --------- 1 + tg *2 x 1 + t*2

1cos x = --------- √ 1 + t*2

t sen x = cos x tg x = -------- √ 1 + t*2

. Cuando el integrando es impar en sen, es decir cuando cambia el signo al cambiar sen x por – sen x, el cambio es cos x = t

. Cuando el integrando es impar en cos, es decir cuando cambia el signo al cambiar cos x por –cos(x), el cambio es sen x = tEjercicios dx 2dt/ 1 + t*2

∫------. =∫--------------------- = ln t + K = ln (sen x) + K sen x 2 t / 1 + t*2 Como no hay cos, no puede aplicarse el cambio para cos impar o parComo el sen no es par , tampoco puede aplicarse el cambio de la tgEn definitiva el cambio es tg x/2 = t t*3 t∫tg*3 x dx =∫----------- dt = ∫ [t - ------- ] dt = ½ t*2 – 1/2ln( 1 + t*2) 1 + t*2 1 + t*2

Cambio tg x = t sen x dt 1∫-------- dx = - ∫ ------- = ----------- + K cos*4 x t* 4 3 cos*3 xcos x = t

TEMA 30

124

LA INTEGRAL DEFINIDADEFINICION AXIOMATICA DEL AREAUn objeto matemático se define anunciando un conjunto de propiedades o axiomas que le caracterizanAxioma 1Definimos el área como una función que asocia un número real s( R ) a conjunto de puntos R del planoAxioma 2A estos conjuntos a los que se les puede asignar un área se llaman conjuntos medibles.Axioma 3Dos conjuntos son congruentes si tienen la misma área.Axioma 4Todo rectángulo es medible y su área es igual al producto de sus ladosUn conjunto de rectángulos adyacentes con su base en el eje de abcisas, se llama región escalonadaAxioma 5Método de exhaución.-Para obtener el área existente bajo una curva, a base de utilizar dos regiones escalonadas, una por debajo y otra por arriba de la curva,

INTEGRAL DE LAS FUNCIONES ESCALONADASUna función escalonada es una función constante a trozos. Para poderla definir mejor, precisamos definir previamente la noción de partición de un intervalo.Una partición de un intervalo [a, b] es un conjunto finito de puntos tales que a = x0 < x1 < x2 <… xn = b.Cada subintervalo ( x0, x1) (x1, x2)…xn-1, xn) son tal que cada uno de ellos tiene la misma amplitud , definen una función escalonada.Dicho de otra manera si s; [a, b] R y s es constante, define una función escalonada, cuya suma es b

∫s(x) dx y es igual al área bajo la función escalonada a

Ejemplo

125

Sea s. [1, 4]Definida:s(x) = 2 si 1≤ x ≤ 2s(x) =- 3 si 2≤ x ≤ 3s(x) = 1 si 3≤ x ≤ 44

∫ s(x) dx = 2 ( 2 – 1) – 3 ( 3 – 2) + 1 (4 -3) = 01

PROPIEDADES. Condición de integrabilidad de RiemannUna función f:[a, b] R es integrable en [a, b] si y solo si para cada ε > 0Existen dos funciones escalonadas s y t tales que s≤ f ≤ t yb b

∫ t - ∫s ≤ εa a

Una función acotada, continua y monótona es integrable.

TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CALCULO- Primer teoremaSea f una función integrable en [a, b] y sea F la función definida, para cada x ε [a, b], por: x

F(x) = ∫f(t) dt aSi f es continua en x, entonces F es derivable en x tal que F’ = f- Segundo teoremaSea f una función continua en [a, b] y sea g una primitiva de f en [a, b], entonces (Regla de Barrow)b b

∫ f(x) dx ) = g(b) – g (a) = g(x) │a a

Ejemplos2 4 4

∫ 2 x e*x*2 dx = ∫e*t dt = e*t │ = e*4 - 10 0 0

Cambio función Cambio limitesx*2 = t Si x = 0 t = 02x dx = dt Si x = 2 t = 4

Calcular el área del circulox2 + y*2 = r*2

y*2 = r*2 - x*2 ___________ _____________

y =±√ r*2 - x*2 Cuando y > 0 √ r*2 - x*2 el área en el primer cuadrante

luego r _______________ π/2 ______________________ π/2

126

4 ∫ √ (r*2 - x*2) dx =4 ∫ √r*2 ( 1 – sen*2 t) rcos t dt = 4 r*2 ∫ cos*2 t dt 0 0 0 π/2 π/2 π/2

4 r*2 ∫ cos*2 t dt = 2 r*2 ∫ ( 1 + cos (2t) dt = 2 r ( t + l/2 sen 2t │ = π r*2 0 0 0

Cambio función Cambio limitesx = r sen t Si x = 0 sen t = 0 t = 0dx = r cos t dt Si x = r 1 = sen t t =π/2cos 2 t = cos*2 t – sen *2 t eliminamos el sen*2 t 1 + cos*2 2t = cos*2 t – sen *2 t + sen *2 t + cos*2 t1 + cos*2 2t = 2cos*2 t 1 + cos*2 2t cos*2 t = ----------------- 2- Si f y g son dos funciones integrables en el intervalo [a, b ] y f < g , entonces el recinto S limitado por las gráficas de f y g y las rectas verticales

x = a y x = b , es un conjunto medible cuya área es: b

a(S) = ∫[ g(x) - f(x) ] dx a

Cuestiones de Evaluacion

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Si al iniciar la lectura de este trabajo estas cuestiones de evaluacion se conocen y comprenden, sáltate su estudio hasta la página 151 en la que se inicia Las Matematicas Basicas, pero si no es así entonces inicia sin prisas su estudio, sobre todo no corras en aquello que crees conocer 1.- Que es un espacio vectorialRelaciona un conjunto de escalares K con otro de vectores E mediante la aplicación aplicación f : K x K V a, b vab

El conjunto E tiene estructura de espacio vectorial si E (+, x) tiene las siguientes características:E es un grupo abeliano respecto al +Para los escalares K tiene la propiedad asociativa, elemento neutro y la propiedad distributivaPara los vectoresP Distributiva respecto a la suma de vectoresu ( w + v) = u w + u v

2.-Que es la suma directa de dos subespacios vectoriales, Llamamos suma directa S1 Ө S2 = S1 + S2 siendo S1 ∩ S2 = 0

3.- Que es una base canoniga Dos o más vectores linealmente independientes constituyen una base porque el resto de vectores se obtiene opor combinación lineal de los mismos. Para base 2 por ejemplo v1( 3, 0) y v2 (2,29).Si cada vector de la base tiene por modulo =1 y su producto escalar es cero( son perpendiculares) , llamamos a esta base canóniga.

4.- ¿Que son los valores y vectores propios de una matriz?Un escalar λ de A será un valor propio si y solo si existe un vector (columna) que verifica;A v = λ vA v – λv = 0v( A - λI) =0

5.- ¿Que es una aplicación lineal ?Dados dos espacios vectoriales E y F sobre el mismo cuerpo k, una aplicación f: E F se llama aplicación lineal u homomorfismo si verifica;Dados dos vectores u, v ε E y un escalar α ε k:f( u + v) = f(u) + f(v)f ( α u ) = α f(u)Si la aplicación f: E F es a.- Biyectiva = ISOMORFISMOLa la aplicación es f: E E es un ENDOMORFISMO y si

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a—Biyectiva la aplicación es un AUTOMORFISMO Si la aplicación es f: E (k) k se llama FORMA LINEAL

6.- Que es - Variación lineal en coordenadas cartesianasSi consideramos por ejemplo una variedad lineal L de R*4 que tiene por base (-1, 2. 0 3) y (1,3, 1. 0) . Cualquier otro x( x1, x2, x3, x4) vector perteneciente a L será combinación lineal de los dados por lo que:│-1 1 x1││ 2 3 x2│ = 0│ 0 1 x3│ pero su rg = 2 , el complementario en negrita no es cero│ 3 0 x4│ Orlando el menor anterior obtenemos matrices de 3º grado cuyo Det = 0, puesto que el R= 2 :│-1 1 x1│ │-1 1 x1││ 2 3 x2│ = 0 │ 2 3 x2│ = 0 │ 0 1 x3│ │ 3 0 x4│Desarrollando las matrices de 3º grado, obtendremos las coordenadas cartesianas de la variedad lineal,

7.- Que son matrices semejantesDos Matrices A y B son semejantes si existe otra matriz regular P tal queA = P*-1 B PSi A y B son semejantes tienen la misma ecuación característica y │A│=│B│. lo que lleva consigo tener los mismos valores propios y los mismos vectores propios

8.- Que es una forma bilinealSea f: V x V R una forma bilineal sobre V de dimensión n y sea B( e 1, e2, ..en) una base de V.Si u( x1, x2…xn) v( y1, y2, ..yn) las coordenadas en base B de dos vectores u y v su imagen f(u, v) = X’ A YSiendo X’ la traspuesta de las coordenadas de u en la base dadaY= las coordenadas del vector v en base BA = A la matriz asociada a f en la base BDada f: R*2 R*3 / f(x, y) = 3x1y1 – 6x1y2 +5x2yl + 4x2y2

Matricialmente es: │3 -6│ │y1│f(x, y) = (x1, x2) │ │ │ │ │5 4│ │y2│

9.- Que es una forma cuadrática

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Si f: V x V R es una forma bilineal sobre V. Se llama forma cuadrática asociada a f a la aplicación q: V R, definida q(u) = f(u, u) y en forma matricial f(u,u) = X’ A X

10.- Cuales son las matrices diagobalizablesLas matrices simétricas en las que ademas sus vectores propios son perpendiculares

11.- Que es una matriz congruenteDadas A y B , si existe una matriz P regular tal que A = PT B P A y B son congruentes.

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MATEMATICAS GENERALES PDF nº 3

ALGEBRATEMA 1- Grupo Está constituido por un conjunto cuyos elementos obedecen a una operación interna, llamada suma. G (+) Tiene las siguientes propiedades:P. Asociativaa + ( b + c) = b + ( a + c)Elemento neutroa + e = a Para la suma e = 0Elemento simétricoa + a* = e , para la suma a* = - a , llamado también opuestoSi además posee:Conmutativaa + b = b + a El Grupo se llama abelianoToda aquella estructura que no alcanza el conjunto de las propiedades especificadas, se llama SubgrupoEjemplo.-(N .+) es un subgrupo porque carece de elemento neutro y de elemento opuesto( Z, +) es un grupo, obviamente- AnilloEsta construido por un conjunto con dos leyes de composición interna G (+, x) que:Respecto al ( + ) ha de ser un Grupo abelianoRespecto al ( x )P Asociativaa (b c) = b (a c)( Z, +, x) es un anillo Respecto al ( +. x)P. Distributivaa.- a (b +c) = ab + ac- Anillo conmutativoRespecto al ( x )P conmutativaa b = b cEstas propiedades define el anillo conmutativo

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Z(+, x) es pues un anillo conmutativo- Anillo unitarioEs un anillo conmutativo que además tiene:Respecto a ( x ) Elemento neutro e’, tal que e (suma) ≠ e’ ( producto) Para el producto e = 1a x 1 = a Z(+, x) es pues un anillo unitario- Cuerpo Es un anillo unitario que además tiene:Respecto al ( x)Inverso 1a x inv a = 1 Luego inv a = ---- aZ(+, x) no es un cuerpo, si lo es R( +, x)

ESTRUCTURA DEL ESPACIO VECTORIALDefinimos a K como un conjunto de escalares, es decir un conjunto de números. Definimos E , como un conjunto de vectores Establecemos la aplicación f : K x K V a, b vab

El conjunto E será definido como vectorial o que tiene estructura de espacio vectorial si E (+, x) tiene las siguientes características:E es un grupo abeliano respecto al +Respecto al xPara los escalaresP Asociativa para los escalaresa ( b c) = b ()a c)Elemento Neutro para escalaresa 1 = aP Distributiva respecto a la suma de escalaresa( b +c) = a b + acPara los vectoresP Distributiva respecto a la suma de vectoresu ( w + v) = u w + u vSe define E como un k-espacio vectorial, y su K es el conjunto de los números racionales sería un espacio vectorial racional.- Subespacio vectorialSi E es un k-espacio vectorial, todo subconjunto S no vacío que sea un k-espacio vectorial, con las mismas propiedades que E, se llama subespacio vectorial de E.- Sistema de VectoresO familia de vectores es cualquier conjunto finito F de vectores de EF ( u1, u2, .. un)

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- Combinación LinealDe la familia F ε E es :α1 u1 + α2 u2 +.. + αn un = u con α ε ky diremos que u es combinación lineal del sistema elegido. u será un vector, por tanto linealmente dependiente y además pertenecerá a E.Como el escalar α puede tomar valores desde l a ∞ (y dentro de los números permitidos por el campo numérico que hayamos definido), existirán un conjunto de vectores que constituirán un subespacio vectorial L(F) , generado por F. Precisamente a F se le llama sistema generador del subespacio L(F) que será denominado ligado porque todos los vectorres generados son combinación lineal de F o lo que es lo mismo, tiene sus coordenadas proporcionales a las coordenadas del vector F.Siempre en un sistema ligado se podrá encontrar α1 u1 + α2 u2 +.. + αn un = 0, es decir el vector 0 como combinación lineal de manera que no todos los αi = 0Definimos como vectores libres o no ligados aquellos que su combinación lineal dan el vector cero- Base de un espacio vectorialEs todo sistema libre de generadores Todas las bases tienen el mismo número de vectores al que llamamos dimensión.- Suma de espacios vectorialesSi S1 y S2 son subespacios vectoriales de E(k), se verifica que :Sl + S2 es un subespacio vectorial de E:Si F1 , F2 generan Sl y S2 S1 = L(Fl) S2= L(F2) S1 + S2 = S1 U S2

Siendo≠(S1 + S2) = ≠(S1 U S2) - ≠(S1 ∩ S2)obviamente el cardinal de Si es igual a su dimensión como subespacio vectorialLlamamos suma directa S1 Ө S2 = S1 + S2 siendo S1 ∩ S2 = 0- Rango de un sistema de vectoresSe llama rango de un sistema de vectores F a la dimensión de K(f) generado por F.Es igual al número de vectores independientes de L(F)

TEMA 2APICACIONES LINEALES Y MATRICES- Tipos de matricesComo ampliación y recordatorio, establecemos:- SimétricaAquella matriz cuadrada que coincide con su traspuesta : A = AT

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- Antisimétrica o HemisimétricaAquella matriz que coincide con la opuesta de su traspuesta A = - AT

- Normal Aquella que conmuta con su traspuesta: A AT = AT A- OrtogonalSi A AT = AT A = I Para ello su traspuesta sera igual a su inversa.

ESTRUCTURA ALGEBRAICA DE LAS MATRICESSi a una matriz m x n la simbolizamos por M(m n ) a la que le definimos una operación interna +, M(m, n +) El estudio algebraico del par M(m, n +) Grupo abeliano La operación producto de la matriz por un escalar, es una operación externa f: k x M(m, n +) M(m,n +)El conjunto M(m, n +, x) respecto al producto.Cumple con P asociativa Anillo Tiene elemento neutro Anillo unitarioNo conmuta Anillo unitarioQue el producto de matrices no conmuta significa A x B ≠ B x Apor lo que su definición algebraica podría ser la de un Cuerpo no conmutativo o un anillo unitario con inversas

CAMBIO DE BASE EN UN ESPACIO VECTORIAL El espacio n-dimensional, tiene n vectores linealmente independientes, paca cada base del mismo. Si hacemos n = 2, el espacio definido será el plano. En dicho plano cualquier par de vectores linealmente independientes constituirán una base y a partir de ellos, el resto de los vectores del espacio se obtendrán por combinación lineal de los dos elementos de la base.Los vectores u( 0, 3) y v(1, - 5) son linealmente independientes porque no existe un k tal que k( 0, 3) = ( 1, 5)Esto significa que el resto de vectores obedecerán a α1 (0, 3) + α2 (1, - 5)Se suelen elegir base .Cuyo modulo sea = 1 , que no es el caso Cuyos representantes sean perpendiculares, es decir uv =│u││v│cos α = 0La base que satisface ambas premisas, se llama base canónica cuyos representantes son e1(1, 0) y e2 (0, 1) Cualquier vector en esta base tendrá por coordenadas α1 e1 + α2 e2

Como un vector tiene unas determinadas coordenadas en una base y otras coordenadas en una base distinta se requiere una fórmula conversora, que nos permite conocidas las coordenadas en una base cualquiera trasformarlas en coordenadas de una base elegida por nosotrosSea E un k-espacio vectorial de dimensión n y con dos bases:B1( e1, e2, e3.. en) y B2( v1, v2, v3, … vn)

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El vector vi independientemente de que pertenezca a otra base B2, para la base B1 se obtiene como combinación lineal vi = ai1 e1 + ai2 e2 +…. + ain en

Los vectores de base B2 en B1 sonv1 = a11 e1 + a12 e2 +…. + a1n en

v2 = a21 e1 + a22 e2 +…. + a2n en

v3 = a31 e1 + a32 e2 +…. + a3n en----------------------------------------------------------------

vn = an1 e1 + an2 e2 +…. + 3nn en

Sea ahora un vector u cuyas coordenadas en B1 son u(x1, x2, x3, ..xn) y en base B2 u(y1, y2, y3, ..yn)El anterior sistema se puede expresar matricialmente como: Y = AXQue también admite la expresión UB2 = MB2B1 UB1, siendo MB2B1 la matriz de paso de coordenadas de la B2 a B1. UB1 es el vector columna de las coordenadas en B1 y UB2 el vector columna de las coordenadas en B2

La fórmula UB2= MB1B2 UB1 es regular y tiene inversa: (MB1B2)*-1 = MB21B1

Por lo que UB1= MB2B1 UB2 = (MB1B2)*-1 MB2

Por tanto:UB2 = MB1B2 UB1

UB1 = MB2B1 UB2 = (MB1B2)*-1 MB2

Conocidas las coordenadas de los vectores en B2 o base no canóniga, podemos obtener su MB1B2 de forma directa y obtener su inversa que es. (MB1B2)*-1 = MB21B1 pudiendo pues aplicar esta ultima para obtener UB2

EjemploB1( e1, e2) B2 (v1, v2) v1 = (1, 3) y v2 = (-1, 2)

La relación entre bases es: Vectores B1 a B2 Vectores de B2 a B1

e1 = a11 v1 + a12 v2 v1 = a11 e1 + a12 e2

e2 = a11 v1 + a12 v2 v2 = a11 e1 + a12 e2

El vector u tiene por coordenadas en ;B1: B2

(x1, x2)’ u = x1e1 + x2 e2 (y1, y2)’ u = y1v1 + y2 v2

Luego:UB2 = UB1B2 UB1 (y1, y2)’ = UB2B1 (x1, x2)’Las coordenadas de u de B1 trasformadas a B2 son:x1 = a11 v1 + a12 v2 e1 = a11 v1 + a12 v2

x2 = a21 v1 + a22 v2 e2 = a11 v1 + a12 v2

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Como desconocemos el valor de x1 x2, aplicamos los vectores unitarios de dicha base.(1 0)’ = a11 (1 3 )’ + a12 ( -1 2)’ que da a1l = 2/5 a12 = 3/5(0 1)’ = a21 (1 3 )’ + a22 ( -1 2)’ que da a2l = 1/5 a22 = 1/5

Siendo la matriz de paso│2/5 1/5 ││ │ = MB1B2

│3/5 1/5 │Y ahora falta aplicar uB2 = MB1B2 uB1

MATRIZ INVERSA Además del sistema visto anteriormente en estos apuntes. Existe el sistema de Gauss .Si la matriz es A se le añade la I que le corresponda ,a esta matriz se llama A│I

A I │1 0 2│1 0 0││2 -1 3│0 1 0││4 1 8│0 0 1│Ahora se trata de ir pivotando y obteniendo ceros (Método de Gauss).Se pivota sobre a11 , después sobre a22 y después sobre a33 de modo que los coeficientes valgan todos igual a l, con lo cual tendremos donde teníamos al inicio a A a I y donde teníamos al inicio I la A* -1, es decir la inversa buscada: I A*-1

│1 0 0│-11 2 2││0 1 0│ -4 0 1││0 0 1│ 6 -1 -1│

-Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de GaussSea x + 2y + z = 32x + 5y - z = -43x - 2y - z = 2

│1 2 1│ 3││2 5 -1│-4││3 -2 -1│ 2│Se pibota y sobre los elementos de la diagonal principal y se hacen ceros-

RANGO DE UNA MATRIZ

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Rango de filas es el mayor número de vectores filas que es linealmente independiente Rango de columnas es el mayor número de vectores columnas que es linealmente independiente Rango de la matriz Para cualquier matriz el rango de filas es igual al rango de columnas y ese número común es el rango de la matriz

TEMA 3 DETERMINANTES- Propiedadesa.- El │A│ = │AT│b.- Si se multiplican todos los elementos de una línea por un escalar, queda multiplicado todo el determinante por dicho escalarc.- Si se permutan dos líneas paralelas, el determinante cambia de signod.- Si │A│= 0 la matriz se llama singular y los vectores que indican sus líneas son linealmente dependientese.- Si dos líneas son iguales el determinante es cerof.- Si multiplicamos una fila(columna) por un número y a esta fila( columna) resultado le sumamos o restamos cualquier fila( columna) del determinante . este resultado final puede sustituir, a la fila sumada o restada anteriormente sin que varíe el determinante.Esta es la forma definida como de hacer ceros, del método de Gauss- PermutacionesEl determinante de una matriz es un escalar igual a la suma de los productos de todas las permutaciones de los coeficientesDado un conjunto N( 1, 2. 3, n) una permutación de n es una reordenación de sus elementos sin repetirlos ni eliminarlos.Dada una permutación σ de N, si el número de inversiones es par su signo es positivo y si es impar su signo es negativo.Ejemplo Estudiar a permutación 4,2,1.5,3El 1 tiene 2 inversiones y después de efectuarlas queda 1, 4, 2, 5, 3El 2 tiene 1 sola inversión 1, 2, 4, 5, 3EL 3 tiene 2 inversiones 1, 2, 3, 4, 5Total inversiones 5 = Impar = Signo –La permutación dada 4.2,1.5,3 implica la existencia de un determinante de orden 5. El 4 representa cualquier elemento de la cuarta fila p.e. a42

El 2 representa cualquier elemento de la segunda fila p.e a23

El 1 repesenta pr ejemplo el a13

El 5 representa el a52

El 3 representa el a34

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Hemoas representado a42, a23, a13,a52, a34

POLINOMIO CARACTERISTICODada una matriz cuadrada A:(Se elige por simplicidad una de orden 3, pero, lo que sigue, vale para cualquier orden)│a11 a12 a13││a21 a22 a23││a31 a32 a33│

Llamamos matriz característica a (A- λIn ) │a11- λ a12 a13 ││a21 a22 -λ a23 │ │a31 a32 a33 –λ│

Llamamos al det (A- λIn ) , polinomio característicoLlamamos det (A- λIn ) = 0 La ecuación característica- Valores y vectores propiosUn escalar λ de A será un valor propio si y solo si existe un vector (columna) que verifica;A v = λ vA dicho vector se llama vector propio asociado al valor propio λ. Indistintamente se suelen llamar también, vector característico y valor característico y también auto vector y auto valor.Sea A:│1 2│ y el vector v (2, 3)│3 2│ Estudiar si es un auto vector y obtener su auto valor asociado│1 2│ │2 │ │ 8 │ T

│ │ │ │ = │ │ = 4 │2 3││3 2│ │3 │ │12 │

A v = λ v

TEMA 4SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CLASIFICACION DE SISTEMAS- HomomorfismoDados dos espacios vectoriales E y F sobre el mismo cuerpo k, una aplicación f: E F se llama aplicación lineal u homomorfismo si verifica;Dados dos vectores u, v ε E y un escalar α ε k:f( u + v) = f(u) + f(v)f ( α u ) = α f(u)

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- El resto de los “ morfismos” Si la aplicación es f: E F a.- Biyectiva la aplicación es un ISOMORFISMOb.- Si no es inyectiva ni sobreyectiav se llama aplicación enLa la aplicación es f: E E se llama Endomorfismo y si esa—Biyectiva la aplicación es un AUTOMORFISMO Si la aplicación es f: E (k) k se llama FORMA LINEAL

- Imagen de una aplicación linealDada f: E F, llamamos imagen al conjunto f(E) . se denota también por Im(f) La Im (f) estará contenida en F, pero no tiene por que ser igual a F, pero si lo es, entonces la aplicaciones sobreyectiva.Una aplicación sobreyectiva puede definirse como aquella en la que todas sus imágenes tienen al menos una preimagen.

- Núcleo de una aplicación lineal Dada f: E F, llamamos núcleo de f, N(f) o Ker (f) al conjunto de vectores de E que tiene por imagen 0.Puede definirse también como la preimagen del la imagen vector 0.Es claro que E esta constituido por N(f) + Im(f) por los que :Dim(N(f) + Im(f) = dim EEjemplo Dada f: R*4 R*3 definida por (x – y + s + t, x + 2s - t , x + y + 3s – 3t)a.- Obtener la base y la dimensión de f en R*3

f(R*4) = Im (f)f(La base canónica de R*4)= Im(f) R*4 Aplicándola a la aplicación definida R*3 f( 1, 0, 0, 0) ( 1, 1, 1) f( 0, 1, 0, 0) (-1. 0, 1)f( 0, 0, 1, 0) ( 1, 2, 3 )f( 0, 0, 0, 1) ( 1, -1, 3)Luego │1 1 1│ │1 1 1││-1 0 1│ y haciendo ceros obtenemos │0 1 2│ │ 1 2 3│ │0 0 0││ 1-1 3│ │0 0 0│ luego los vectores linealmente independientes que constituyen la base son (1, 1, 1) y (0, 1, 2) siendo su dim = 2

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b.-Obtener el núcleo de la aplicaciónBasta igualar a cero :x - y + s + t = 0x + 2s – t = 0x + y + 3s – 3t = 0 Sistema que ha de resolverse fijando los valores de 2 incógnitas por ejemplo para t = 0 y s = - 1 proporciona ( 2 ,1, -1, 0) y para t= l y s = 0 (1, 2. 0,1) que seran los vectores de Ker(f)

Ejemplof: R*3R*3

f(x, y, z) = ( x + 2y -z, y +z, x +y – 2z)f(1, 0, 0) ( 1, 0, 1) (1, 0 , 1)f( 0,1, 0) ( 2, 1, 1) haciendo ceros (0, 1, -1)f( 0, 0,1) (-1, 0, -2) (0, 0, 0)

Vectores de la base ( 1, 0, 1) y (0, 1,-1)Ker f : x + 2y – z = 0 y + z = 0x + y – 2z= 0N(f) =( 3,-1, 1)Es claro que dim Im(f) + dim N(f) = 2 +1 = 3 que es la dim de E = R*3

DETERMINACION MATRICIAL DE UNA APLICACIÓN LINEAL La f: E F, queda determinada si se conocen las imágenes de los elementos de E, es decir Im( E)Sea E un espacio n dimensional con base B (e1, e2 …en)Sea F un espacio m dimensional con base B’(v1, v2,… vn)Si u(xl.x2.x3…xn ) en Base BSi u ( y1, y2, y3..yn) en base B’La aplicación lineal en forma matricial, implica el cambio de bases (visto anteriormente) de modo que Y = AXSe puede establecer con la anotación UB’ = MBB’ UB

EjemploHallar la aplicación lineal de f: R*3 R*4 cuya imagen es generada por ( 1, 2. 0. 4) y (2, 0, -1, 3)a..- Primer procedimiento e f(e)f(1, 0, 0 ) ( 1, 2. 0. 4)f(0, 1, 0) ( 2, 0, -1, 3)

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f(0. 0, 1) ( 0, 0, 0. 0)f(x, y, z) = x ( 1, 2. 0. 4) + y( 2, 0, -1, 3) +z(( 0, 0, 0. 0)f(x. y. z) = (x +2y, 2x, - y, 4x +3y)b.- Segundo procedimientoUB’ = MBB’ UB siendo B’( ei) y B (yi) B’ UB’B B │y1│ │1 2 0│ │x│ │ x+2y││y2│ = │2 0 0│ │y│ = │ 2x ││y3│ │0 -1 0│ │z│ │ -y │

│4 3 0│ │4x+3y│

RANGO DE UNA APLICACIÓN LINEALPara f: E F Es la dimensión del espacio vectorial imagen: rg(f) = dim Im(f) = dim f(E)

APLICACIONES LINEALES INYECTIVASHay varias definiciones que implican la inyectibidad:. Si dim E = dim f( E) - Si la imagen de la base de E es una base de f( E). Si su núcleo solo contiene el vector nulo N(f) = {0}- IsomorfismosSon aplicaciones biyectivas f: E F La biyección implica que E y F son de la misma dimensión. que han de ser inyectivas por lo que N(f) = {0} y por ser sobreyectivas Img (f) = F- EndomorfismosSon aplicaciones biyectivas f: E ESu matriz es cuadrada, y su determinante regular.Las matrices asociadas al endomorfismo con M(f, B1) y M(f, B2) dadas en bases B1 y B2

La relación existente entre ambas matrices es: M(f, B2) = C*-1 M(f, B1) CSiendo C = Aij = M B2B1 o matriz de paso de coordenadas

TEMA 5SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESUn sistema de m ecuaciones con n incógnitas es el conjunto:AX = BPuede interpretarse como la expresión de una aplicación lineal f; E F de matriz asociada A, donde E es un K-espacio vectorial de dim = n y F unK-. espacio vectorial de dim = mObtener las soluciones es obtener los vectores u( x1,x2..xn) ε E que se la discusión del sistema puede realizarse según que B pertenezca o no al conjunto Img (f)

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- Si B no pertenece entonces no existe ningún u ( x1,x2..xn) tal que f(u) ε B y el sistema no tiene solución o es incompatible Implica por tanto que el rgA < rg (A/B). Si B ε Img (f) entonces si tiene solución y dependerá el tipo de solución que se obtendrá aplicando la ley de Rouche Frobenius

VARIEDADES LINEALESSi el espacio vectorial lo consideramos R*n / será el conjunto de las n-uplas con números reales de la forma (x1,x2,x3,… xn) al que llamaremos Vn o variedad lineal. Si hacemos n =2 obtendremos la variedad lineal V2 que se refiere al plano vectorial.Si L es un subespacio de V2, L contenido en V2 y como dim V2 = 2 nos permitirá para Ldim(L) = 0 L ={0}dim(L) = 1 L es una recta vectorial del plano V2

Si L es un subespacio de V3

dim(L) = 0 L ={0}dim(L) = 1 L es una recta vectorial en el espacio V3

dim(L) = 2 L es una plano vectorial en el espacio V3

- Variación lineal en coordenadas cartesianasSi consideramos por ejemplo una variedad lineal L de R*4 que tiene por base (-1, 2. 0 3) y (1,3, 1. 0) . Cualquier otro x( x1, x2, x3, x4) vector perteneciente a L será combinación lineal de los dados por lo que:│-1 1 x1││ 2 3 x2│ = 0│ 0 1 x3│ pero su rg = 2 , el complementario en negrita no es cero│ 3 0 x4│ Orlando el menor anterior obtenemos matrices de 3º grado cuyo Det = 0, puesto que el R= 2 :│-1 1 x1│ │-1 1 x1││ 2 3 x2│ = 0 │ 2 3 x2│ = 0 │ 0 1 x3│ │ 3 0 x4│Desarrollando las matrices de 3º grado, obtendremos las coordenadas cartesianas de la variedad lineal,

- Ecuaciones paramétricasSea V un espacio vectorial de dimensión n y L un subespacio vectorial de dimensión r que tiene como base B( e1, e2, e3,….er) . Los vectores de la variedad lineal se caracterizaran por ser;x1 = λ1 e11 + λ2 e21 +…. + λr er1

x2 = λ1 e12 + λ2 e22 +…. + λr er2---------------------------------------------------------------

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xn = λ1 e1n + λ2 e2n +…. + λr ern

Que son las ecuaciones en paramétricas del subespacio LSi n > r ,estableceremos tantos parámetros como el valor de n –rSi x1 + 2x2 = 0 x1 + 3x2 +x3 = 0Aquí n = 3 y r = 2 , luego parametrizamos una por ejemplo x2 = λ, lo que nos da , las ecuaciones paramétricas de la variedad que son:x1 = -2 λx2 = λx3 = - λEl proceso contrario sería, dada una variedad lineal, como la anterior en paramétricas obtenerla en coordenadas cartesianasx1 =│ -2 │x2 =│ 1 │ λx3 =│ -1 │ │-2 x1│ │-2 x1│ La A tiene dim = 1 , orlando la matriz A tenemos │ 1 x2│= 0 │-1 x3│= 0 Daría su solución en coordenadas cartesianas.La ecuación en cartesianas, se puede obtener también por cualquiera de los tres métodos algebraico sustitución , eliminación de λ o reducción.

TEMA 6DIAGONALIZACION DE MATRICES. FORMAS CUADRATICASMATRICES SEMEJANTESDos Matrices A y B son semejantes si existe otra matriz regular P tal queA = P*-1 B PSi A y B son semejantes tienen la misma ecuación característica y │A│=│B│. lo que lleva consigo tener los mismos valores propios y los mismos vectores propios- DiagonalizaciónUna matriz A es diagonalizable si y solo si es semejante a una matriz D, es decir si existe una matriz P regular tal que D = P*-1 A P Hay que encontrar por tanto una matriz P o matriz de paso y a la matriz D.Proceso1.- Se obtienen los autovalores y auto vectores de la matriz que deseamos diagonalizar │ 3 -1 0│ │3 – λ -1 0 │A =│-1 2 -1│ A - λI = │-1 2-λ -1 │ = (3-λ) (λ*2 - 5λ + 6 │ 0 -1 3│ │ 0 -1 3- λ│Proporciona λ1 = 1λ2 = 3λ3 = 4Auto vectores

143

A v = λv A v – λv = 0 v( A - λI) =0Para λ1 = 1 │ 2 -1 0│ │v1│ │0│ 2v1 – v2 = 0A =│-1 1 -1│ │v2│ = │0│ = -v1 + v2 – v3 = 0 │ 0 -1 2│ │v3│ │0│ -v2 +2v3 = 0

proporciona v1 = v3 y v2 = 2v1 y un vector que cumple con la solución es el v( 1, 2, 1)Para λ2 = 3 por el mismo procedimiento obtenemos v( 1, 0, -1)Para λ3 = 4 por el mismo procedimiento obtenemos v( 1, -1. 1)** La matriz formada por los auto vectores es la matriz de paso P y la matriz Diagonal es la matriz que posee en la diagonal los autovalores

│1 1 1│ │1 0 0│ │2 0 -1│= P │0 3 0│ = D

│1 -1 1│ │0 0 4│D = P*-1 A P D es semejante a la dada A y tiene los mismos autovalores y genera el mismo espacio vectorial que indican los autovectores de la matriz de paso P

. Matrices simétricas Son todas diagonalizables y sus vectores propios son ortogonales En el ejemplo anterior A es simétrica luego si realizamos el producto escalar de los vectores propios dos a dos, veremos que son ortogonales FORMAS BILINEALES SOBRE UN ESPACIO VECTORIALSea V un espacio vectorial sobre un cuerpo k . Una forma bilineal sobre V es la aplicación f: V x V K, tal que:f( αu1 + βu2, v) = αf( u1, v) + βf( u2, v)..f( u , αv1 + βv2)= αf( u, v1) + βf( u, v2)..Una forma bilineal es simétrica si f(u, v) = f (v, u)Una forma bilineal es alternada si f(u, u) = 0Forma matricialSea f: V x V R una forma bilineal sobre V de dimensión n y sea B( e 1, e2, ..en) una base de V.Si u( x1, x2…xn) v( y1, y2, ..yn) las coordenadas en base B de dos vectores u y v su imagen f(u, v) = X’ A YSiendo X’ la traspuesta de las coordenadas de u en la base dadaY= las coordenadas del vector v en base BA = A la matriz asociada a f en la base BDada f: R*2 R*3 / f(x, y) = 3x1y1 – 6x1y2 +5x2yl + 4x2y2

Matricialmente es: │3 -6│ │y1│

144

f(x, y) = (x1, x2) │ │ │ │ │5 4│ │y2│ CAMBIO DE BASESSI f: V x V R se presenta en B( e1, e2. e3, …en) y B’( e’1, e’2. e’3, …e’n)Las coordenadas de base B’ en B serán:e’1 = a11 e1 + a12 e2 +…a1n en

e’2 = a11 e1 + a22 e2 +…a1n en

--------------------------------e’n= an1 e1 + an2 e2 +…ann en

│a11 a12 … a1n│ P = │a21 a22 … a2n│ │--------------------│ │an1 an2 … ann │A es la matriz de paso de las coordenadas en Base B’ expresadas en B o MB’B

Si definimos como A, la matriz de f en base B y por A’ la matriz de f en base B’, obtenemos la relación:A = PT A’ P lo cual implica que las matrices A y A’ son congruentes

- Matrices CongruentesDadas A y B , si existe una matriz P regular tal que A = PT B P A y B son congruentes.- Núcleo de una forma bilinealDefinimos a dos vectores u y v como conjugados de una forma bilineal simétrica si:f( u, v) = 0Se llama núcleo, al conjunto de todos los vectores de V conjugados con todos los de V En definitiva f(u, v) = X’ A Y = 0 N(f) = Y / AY = 0

FORMAS CUADRATICASSi f: V x V R es una forma bilineal sobre V. Se llama forma cuadrática asociada a f a la aplicación q: V R, definida q(u) = f(u, u)Existe una sola forma cuadrátrica asociada a una forma bilineal dada, pero el reciproco no es cierto. Una forma cuadrática responde a distintas formas bilineales. De todas ellas solo hay una que es simétrica a la que llamamos forma polar de la forma cuadrática:q:V R en su forma polar es; f(u, v) = 1/2│q(u +v) – q(u) – q(v)│-Propiedadesa.- q(λu) = f( λu, λu ) = λ*2 f( u, u) = λ*2 q(u)b.- q( u + v) = f( u+v, u+v) = q(u) + q(v) + f(u, v) + f(v, u)- Cambio de base en una forma cuadrática

145

q(u) = f(u, u) = X’ A Xque es la expresión matricial de una forma cuadrática en base BSi pretendemos obtener la forma cuadrática en base B’ precisaremos encontrar una matriz P regular, tal que sus columnas son las coordenadas de los vectores en la nueva base B’ en B de forma que A = PT A’ P- Rango y signatura de una forma cuadráticaEl rg (q) = rg (A)Después de diagonalizar una forma cuadrática, definimos como p al numero de elementos positivos de su diagonal principal y m al numero de elementos negativos de su diagonal principal.Llamamos signatura de q = sg(q) = sg(p, m) = p + m = rg (q)Tanto el rango como la signatura de una forma cuadrática son invariantes, expresada la forma e en cualquier base

. Clasificación de las formas cuadráticasDefinida positiva, cuando q(u) > 0 para todo u ε VDefinida negativa cuando q(u)< 0 para todo u ε VSemidefinida positiva, q(u) ≥ 0 para todo u ε V y existe un u que q(u) =0Semidefinida positiva, q(u) ≤ 0 para todo u ε V y existe un u que q(u) =0

Indefinida Si u1 y u2 ε V y q(ul) >0 y q(u2) <0Como tanto el rango como la signatura son invariantes , por estudio de los mismos podemos conocer como es la forma cuadráticaDefinida positiva sg( n, 0) y rg(q) = n Todos los autovalores positivosDefinida negativa sg (0, n) y rg(q) = n Todos los autovalores negativosSenidefinida positiva sg (r, 0) rg(q) = r < n Autovalores positivos y alguno ceroSenidefinida negativa sg (0, r) rg(q) = r < n Autovalores negativos y alguno ceroIndefinida con autovalores positivos y negativos

TEMA 7EL ESPACIO AFINSea E un conjunto de puntos E (P, Q, R, S..) y sea V un k-espacio vectorial. Se dice que E es un espacio afín asociado a V si existe la aplicación f: E x E V P Q vPQ Así E*n es el espacio afín del espacio vectorial R*n

- Referencia afínEs el conjunto r( 0, u1, u2, u3,…un) siendo 0 ε E y B(u1 u2, u3,…un), una base del espacio vectorial.- Posiciones relativas

146

De dos rectas en E2

Rg (A) = Rg(A/B) = 2 Las rectas se cortan en un punto C. DeterminadoRg(A) = Rg /A/B) = 1 es la misma recta C IndeterminadoRg(A) = 1 Rg(A/B) = 2 Las rectas son paralelas, IncompatibleDe tres rectas en E3

Rg(A) = Rg(A(B) = 3 Las rectas forman un triangulo o dos de ellas son paralelasRg(A) = Rg(A/B) = 2 Las tres rectas se cortan en un solo puntoRg(A) = 1 RgA/B) = 2 Las tres rectas son paralelas y no coincidenRg(A) = RgA/B) = 1 es una misma rectaHaz de rectasDadas dos rectas r y s si se cortan en P (a, b) entonces el haz de rectas es: αr + βs = 0 Cada recta del haz se obtiene dando valores al par (α,β)

Dos planos en E3

Rg(A) = Rg (A(B) = 1 Los planos son coincidentes A1 B1 C1 D1

Sucede cuando ----- = ---- = ---- = --- A2 B2 C2 D2

Rg(A) = 1 Rg( A/B) = 2 Los planos son paralelos A1 B1 C1 Sucede cuando ----- = ---- = ---- A2 B2 C2 Rg(A) = Rg(A/B) = 2 los planos se cortanRecta como intersección de dos planosLa recta x –a y –b z –c ------ = ------ = ------- d1 d2 d3

Puede resolverse como d2( x – a) = d1 ( y – b) que es un planod3 ( x – a) = d1 (z – c) que es otro plano. Haz de planos:α( Ax + By + Cz + D ) + β( A’x + B’y + C’ z + D’ ) = 0- Tres planos en E3

Rg (A) = Rg (A/B) = l Tres planos coincidentes Rg( A) = 1 Rg (A/B) = 2 Los planos son paralelosRg(A) = RG(A/B) = 2 Los planos se cortan en r, y forman un haz Rg(A) = 2 RG(A/B) = 3 Los planos se cortan dos a dos formando un prismaRg(A) = 3 RG(A/B) = 3 Los planos se cortan en un punto ( forman triedro)

147

TEMA 8PROGRAMACION LINEAL- Combinación convexaSe dice que P ε E es una combinación convexa de A1, A2,…An si existen un conjunto de escalaras {αi } y un punto origen 0 ε E y se verifica:OP = α10A1 + α2 OA2+ …. + αn OAn siendo Σ αi = 1También Se expresa como P = α1A1 + α2 A2+ …. + αn An . Conjunto convexoUn conjunto F de E se dice convexo si para todo par de puntos A, B de F , toda combinación convexa de ellos pertenece a FSi αA + ( 1 – α) B ε FUn conjunto es convexo cuando para cada par de puntos, el segmento que los une está incluido en dicho conjunto. Variedad convexa Si F es un subconjunto de E. Llamamos variedad convexa a todos los conjuntos convexos de F . De ellos el conjunto convexo más pequeño que contiene a F se denota por V(F)Un convexo de soluciones es una región del plano que satisface a todas las desigualdades lineales del sistema.Los puntos que satisfacen una desigualdad lineal , establecen un semiplano:Ejemplo.- Graficar x + y ≥ 3Se grafica siempre la igualdad, es decir x + y = 3Si el problema de P.L. conlleva varias restricciones o desigualdades, gráficamente se grafican las mismas y de ese modo obtenemos la región del plano en que la .O. se max o min,

EL METODO DEL SIMPLEX Resolver mediante el método simplex el siguiente problema:

Maximizar Z = f(x,y) = 3x + 2ysujeto a: 2x + y ≤ 18  2x + 3y ≤ 42  3x + y ≤ 24

x ≥ 0 , y ≥ 0

Se consideran las siguientes fases:

1.- Convertir las desigualdades en igualdades Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones del tipo ≤, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales:

148

2x + y + r = 182x + 3y + s = 423x +y + t = 24

Si las desigualdades fuesen del tipo ≥ se introduce restando una variable de exceso: Si la inecuación primera fuese 2x + 3y ≥ 18, se convierte en igualdad : 2x + 3y – w = 18 Si entre las restricciones hubiese una igualdad se le añade una variable artificial. Si la inecuación primera fuese 2x + 3y = 18 pasaría a 2x+ 3y + v = 18

2. Igualar la función objetivo a cero

- 3x - 2y + Z = 0

3. Escribir la tabla inicial simplex

. Columnas de la tabla.-Base o primera columna, estará constituida por las variables que en Z sean cero y se elegirán tantas como inecuaciones tenga el sistema, En nuestro caso se elige C o segunda columna es los coeficientes de las variables de la base en Z son cero y B0 como tercera columna, compuesta por los términos independientes de las restricciones. El resto de columnas reflejan los valores de las variables en las restricciones. La tabla se acaba con una fila que refleja a Z

Tabla I . Iteración nº 1

      3 2 0 0 0

Base C. B0 x y r s t

R 0 18 2 1 1 0 0

S 0 42 2 3 0 1 0

T 0 24 3 1 0 0 1

Z   0 -3 -2 0 0 0

4.Condición de parada. - Cuando en la fila Z no existe ningún valor negativo, se ha alcanzado la solución óptima del problema. En tal caso, se ha llegado al final del algoritmo. De no ser así, se ejecutan los siguientes pasos

5. Condición de entrada y salida de la base .-Primero debemos saber la variable que entra en la base. Para ello escogemos la columna de aquel valor que en la fila Z sea el mayor de los negativos. En este caso sería la

149

variable x de coeficiente – 3 -A.-Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior (caso de empate), entonces se optará por aquella variable que sea básica. La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (En color verde). Una vez obtenida la variable que entra en la base, estamos en condiciones de deducir cual será la variable que sale. Para ello se divide cada término independiente B0 entre el elemento correspondiente de la columna pivote, siempre que el resultado sea mayor que cero, y se escoge el mínimo de ellos: En nuestro caso: 18/2 =9 , 42/2 =21 y 24/3 =8 - - Si hubiera algún elemento menor o igual a cero no se realiza dicho cociente, y caso de que todos los elementos de la columna pivote fueran de ésta condición tendríamos una solución no acotada y terminaríamos el problema -- El término de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al menor cociente positivo, el 3, ya que 8 es el menor cociente, indica la fila de la variable de holgura que sale de la base, t). Esta fila se llama fila pivote (En color verde). Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales (caso de empate), se escoge aquella que no sea variable básica (si es posible)….C-. En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote, 3.

-6. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla. Los nuevos coeficientes de la fila pivote, t, se obtienen dividiendo todos los coeficientes de dicha fila entre el elemento pivote, 3, que es el que hay que convertir en 1. A continuación mediante la reducción gaussiana hacemos ceros los restantes términos de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la función objetivo Z. También se puede hacer de la siguiente manera: Nueva Fila del Pivote = Vieja Fila del Pivote/Pivote En nuestro caso seria : 8 1 1/3 0 0 1/3 RESTO DE FILAS: Nueva fila = (Vieja Fila) - (Coeficiente de la vieja fila de la columna pibote x Nueva fila del pivote) 42 2 3 0 1 0 18 2 1 1 0 0 - - - - - - - - - - - - 2 x 2 x 8 1 1/3 0 0 1/3 8 1 1/3 0 0 1/3 ------------------------- ----------------------------- 26 0 7/3 0 1 1/3 2 0 1/3 1 0 -1/3

150

La fila de la Z 0 -3 -2 0 0 0 - - - - - - 3 x 8 8 1 1/3 0 0 1/3 ----------------------------- 24 0 -1 0 0 1

 Tabla II . Iteración nº 2

      3 2 0 0 0

Base C B0 x y r s T

r 0 2 0 1/3 1 0 -2/3

s 0 26 0 7/3 0 1 -2/3

x 3 8 1 1/3 0 0 1/3

Z   24 0 -1 0 0 1

Se puede observar que no hemos alcanzado la condición de parada ya que en los elementos de la última fila, Z, hay uno negativo, -1. Hay que repetir el proceso: - A.-La variable que entra en la base es y), por ser la variable que corresponde a la columna donde se encuentra el coeficiente -1.- B.-La variable que sale, dividimos los términos de la columna B0 entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote: Sale 2/1/ que corresponde a la variable r El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3. Operando de forma análoga a la anterior obtenemos la tabla:

Tabla III . Iteración nº 3

      3 2 0 0 0

Base C B0 x y r s t

Y 2 6 0 1 3 0 -2

S 0 12 0 0 -7 1 4

x 3 6 1 0 -1 0 1

Z   30 0 0 3 0 -1

151

Como en los elementos de la fila Z hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso:

La variable que entra en la base es t Y la variable que sale es s.

Obtenemos la tabla:

Tabla IV . Iteración nº 4

      3 2 0 0 0

Base C B0 x y r s t

Y 2 12 0 1 -1/2 0 0

t 0 3 0 0 -7/4 0 1

x 3 3 1 0 -3/4 0 0

Z   33 0 0 5/4 0 0

Se observa que en la última fila todos los coeficientes son positivos, por lo tanto se cumple la condición de parada, obteniendo la solución óptima. La solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solución, en nuestro caso: 33. En la misma columna se puede observar el punto donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisión que han entrado en la base: (x,y) = (3,12)

TEMA 9EL ESPACIO EUCLIDEO El espacio euclideo es un espacio vectorial que además posee el producto escalar.- NormaDe un vector es la raíz cuadrada del producto escalar del vector por si mismou .u = │u││u│cos α = │u│*2 │u│ =׀׀u׀׀Y la norma coincide con el módulo en los espacios E2 y E3

-.Vector de dirección de una recta expresada como intersección de dos planosEs el p. v. de las direcciones de ambos planosSi los planos son π1 y π2 y la recta es r tenemos dr = dπ1 x dπ2

- Producto mixto de tres vectoresu( v x w) │e1 e2 e3 │ │u1 u2 u3│como v x w es │v1 v2 v3│ │v1 v2 v3│

152

│w1 w2 w3│ │w1 w2 w3│

Tres vectores son coplanarios si su producto mixto es 0

- Condición para que dos rectas se corten en E3

Para ello se debe de producir que el producto mixto de las direcciones de las rectas y un vector que una dos puntos cualesquiera de ellas sea cero

Si A ε r y B ε s, tendremos que :AB (dr x ds) = 0

APLICACIONES GEOMETRICAS- Distancia entre dos puntos P(x1, x2, x3) Q(y1, y2, y3) ___________________________D = √(y1 – x1)*2 + (y2 – x2)*2 + (y3- x3)*2 . Distancia entre un punto y una rectaP(x1, x2, x3) y dr = dirección de la recta │AP x dr│D( P, r) =------------- siendo A un punto de la recta cualquiera │dr│- Distancia entre un punto y un planoP(x1, x2, x3) y plano Ax+ By+ Cz +D =0 Ax1 + Bx2 + Cx3 + D D(P,π) =-------------------------- │dπ│ - Distancia entre dos rectas que se cruzan AB( dr x ds)D(r,s) = --------------- donde Aε r y B ε s │dr x ds│- Angulos-De dos vectores u vcos α =------------- │u│ │v│- De dos rectas dr ds

cos α =------------- │r│ │s│- De recta y plano dr dπ

cos (π/2 – α ) =----------------

153

│dr│ │ dπ│

- ProyeccionesProyección en R*2. Si u y v son dos vectores distintos de cero, entonces la proyección de u sobre v , denotado por proyecv u, se define como u v proyecv u = --------- v │v│*2

El vector w = u – proyv. u Es ortogonal a v- Angulos directoresEn E3 el ángulo que forma el vector con:a.- El eje de las x lo llamamos αb.- El eje de la y lo llamamos βc.- El eje de la z lo llamamos γsurgen así los cos α, cos β, cos γ, llamados cosenos directoresSiendo x y zcos α = ----- cos β = ----- cos γ =------- │v│ │v│ │v│

154

Cuestiones de EvaluacionSi al iniciar la lectura de este trabajo estas cuestiones de evaluacion se conocen y comprenden, sáltate su estudio hasta la página 151 en la que se inicia Las Matematicas Basicas, pero si no es así entonces inicia sin prisas su estudio, sobre todo no corras en aquello que crees conocer

1.-Indica dos propiedades del Σ

a.- Propiedad telescópica ∑ ( ai - ai+1) = a1 + an+1

i =1 r r + t

b.- Propiedad del Reloj ∑ ai = ∑ ai -t i = s i = s + t

2- Sumatorios notablesa.- Sumar los n primeros números ) 1+2+ 3 …= n n ( n+1) ∑ ai = ----------------

i = 1 2b.- Suma de los n- cudrados naturalesn n ( n+1) (2n +1)∑ ai *2 = --------------------------------------

i = l 6c.- Suma de los n-cubos naturales n n ( n+1)∑ ai *3 = [-------------------]*2

23.- Establecer una relacion de orden entre los 3 primeros numeros naturales Reflexiva 1R1, 2R2, 3R3, Simetrica 1R2 2R*-1 1. Si R es sumar 1 para que de dos R*-1 es restar 1 2R3 3R*-12Antisimetrica1R2 , 2R3 1R3 1(tercera R) +1 (primera R) + 1(segunda R) 3 = 3Por lo que esuna relacion de Orden4.- -Diferencia fundamental entre las funciones circulares y las hiperbólicasEl argumento en las circulares es un ángulo, el angulo central. ( α ). El argumento en las hiperbolicas es el área del sector circular correspondiente al doble del angulo central (2α) de las circulares

155

5.- . Deducir que e*x +e*-x ch x = ----------- 2

El area x = ½ R 2 α La hiperbola equilaera x*2 – y*2 = 1 sen x = dis DC = sen α, dist DC = t cos x = dis OD = cos α dist AB = s tg x = dis AB = tg α dist OA = c ______La hiperbola proporciona y = √1 – x*2 Y el area bajo la curva x es: a c ___________ ________ _______

Area = x =sc – 2 ∫√(x*2 – 1)dx = sc – sc + ln| c + √c*2 -1|= ln| c + √c*2 -1| 1 x = Área = ln| c + √c*2 -1| e*x = | c + √c*2 -1| e*x –c = √c*2 -1

c*2 -1 = e*2x + c*2 - 2 c e*x e*2x +1 e*x + l/e*x e*x +e*-x

- 1+ e*2x = 2 c e*x c = ------- = -------------- = ----------- 2 e*x 2e*x 2c se denota como ch x . 6.- Relaciones entre las funciones hiperbólicas y trigonométricasSolo en el campo complejo, tanto las hiperbólicas como las trigonométricas son dependientes de la compleja e*z

e*z – e*-z e*iz – e*-iz

sh z =----------- sen z = ---------- 2 2

156

Estas definiciones permiten las relaciones entre la función hiperbólica y trigonométrica:sh (iz) =i sen zsh z = -i sh (iz) Lo mismo podemos realizar con los cosenos:ch z = i cos zcos z =i ch(iz)7.- Las matrices de FourierSi z*n zz*n = u ------- = 1 o bien 1 = [-------]*n

u u*1/n

z Si llamamos [------ ] *n = q*n

u*1/n

q*n = (cos nα + isen nα) =1 nα = 2πk/n

2πk 2πkq*n = 1 = cos ----- ± isen ------ n n

Esta ecuación se cumple para cualquier valor de n porque q*n = 1. Ahora bien si n = 2, por ejemplo, obtendremos tres resultados dando a k ( 0,1)Las soluciones serán. ( 1 , -1) 2π 0 2π 0W2*0 = cos ------- + i sen ------- =1

2 2

2π 2πw2*1=cos ------ + i sen ------- = -1 2 2 La matriz de fourier es para n = 2 :│0,0 0,1││w2 w2 │ │1,0 1,1││w2 w2 │

0,0 1,0

w2 = 1 1 = w2 01 1,1

w2 = 1 -1 = w2

8.- Obtencion ajuste de minimos cuadrados matricialemnte

157

Un sistema lineal de n x m, AX’ = BDicho sistema tiene solución si Rang(A) = Rang(A/B) y esto implica que B debe de pertenecer al espacio generado por A. al que llamamos ΩA:

│a11 a12 … a1n│B ε ΩA = │a21 a22 … a2n│

│------------------ ││an1 an2 … a2n│

Esto es así porque necesariamente la solución es : │x1│ │a11 a12 … a1n│ │b1│ │x2│ │a11 a12 … a1n│ │b2│ │-- │ │ ------------------│ = │---│

│xn│ │a1n a2n ann │ │bn│

Si B no ε ΩA, no tiene solución exacta, pero si podemos obtener una muy buena aproximación, de la forma siguiente:Si proyectamos B sobre ΩA, la llamamos proyecΩA (B), ésta si pertenece a ΩA.El sistema actual teniendo presenta esta proyección, matricialmente es:A X’ = proyecΩA (B) y si en el mismo imponemos la condicón de que ;Distancia(B,ΩA) = │(B - proyecΩA (B))│sea mínima _Como (B - proyecΩA (B) es perpendicular a ΩA AT B = AT A X’que es la solución ajustada a mínimos cuadrados.Como (AT A) tiene inversa y esta es (AT A)*-1, se multiplican ambos términos por (AT A)*-1 quedando X’ = ( AT A)*-1 AT B EjemploAjustar una nube de puntos a la recta y = mx + m0

Los puntos que vamos a ajustar Pi(a1.b1) no pertenecen a la recta yUn punto cualquiera será bi = mi ai + m0 + di siendo di = dis P(ai,bi) a la recta yEl sistema matricial correspondiente a bi = mi ai + m0 + di es :│b1│ │a1 1│ │d1││b2│ │a2 1│ │m1│ │d2││--.│ = │------│ │m0│ + │-- │ │bn│ │an 1│ │dn│ B = A X + DLa solución será X’ = ( AT A)*-1 AT BNota .- Por supuesto el ajunte se puede efectuar a cualquier polinomio , no necesariamente a un polinomio de grado lEjemplo:

158

Dada la tabla:x 0 1 2y 1,1 0,1 -3,1Ajustar estos puntos al polinomio a + bx + cx*2 CorrespondenciasPara y = 1.1 a puesto que x= 0 Para y = 0,1 a + x + x*2

Para y = -3,1 a + 2x + 4 x*2

│ 1.1│ │1 0 0│ │a│ │ 0,1│ = │1 1 1│ │b│ │-3.1│ │1 2 4│ │c│B = A XY se finaliza

9.-Formula generalizada de una conica expresada en forma matricialSon del tipo ax*2 + bxy + cy*2 + dx + ey + fConstituida por q(x) = ax*2 + bxy + c y*2 y una lineal l(x,y) = dx + ey +f La cónica se expresa como │a b/2│ │x│ │x│ (x, y) │ │ │ │ +│d,e│ │ │ + f = 0 │b/2 c │ │y│ │y│

159

MATEMATICA BASICATEMA 1INTRODUCIONEl concepto de polinomioUn número natural, por ejemplo el 3 tiene su expresión polinómica3 = 0 10*n + 0 10*n-1 + .. + 3 10*0 hemos utilizado las potencias de 10 porque el número dado corresponde al sistema de numeración decimal.16 = 0 10*n + 0 10*n-1 + .1 10*1 + 6 10*0 En potencias de 10 o B. Decimal16 =1 2*4 + 0 2*3 + 0 2*2 +0 2*1 +0 2*0

Luego también puede obtenerse en potencias de 2 o lo que es lo mismo en el sistema binario. En este caso 162) = 10000- Factorización de un polinomioConsiste en descomponerlo en polinomios del tipo(x –a), para lo cual debe de ser una raiz o solución del polinomio, es decir debe de, al sustituir su valor en el polinomio dar cero. x*3 – 1 si hacemos a = 1 nos daría 0 luego 1 es una raiz y podemos dividirlo por (x - 1)

LOGICA MATEMATICADefiniciones- Preposición LógicaEs una oración declarativa que es verdadera o falsa. Responde a si, si su valor de verdad es verdadero y si su valor de verdad es falso, responde con un no.- Generación de proposiciones o Tablas de Verdad A las preposiciones se les denota por letras como p, q etc y referente a las mismas se le asigna al valor de verdadero un 1 y un cero al valor de verdad falso.│p││1││0│Por combinación con otras proposiciones por medio de los conectores lógicos se establecen proposiciones compuestas.El conector ∼ Indica negación de una proposición predefinida, si de p se indica que es verdadera = 1, ∼ p = 0

160

p ∼ p0 11 0El conector ∧ llamado y Especifica que p ∧ q es verdadera si lo son p y q simultáneamentep q p ∧ q0 0 00 1 01 0 01 1 1El conector ∨ llamado Especifica que para que p ∨ q basta que una de las dos los seap q p ∨ q0 0 00 1 11 0 11 1 1El conector ⇒ llamado implica a..Expresa una relación causal, de modo que p ⇒ q, siendo la p la hipótesis a y q la conclusiónp q p ⇒ q0 0 10 1 11 0 01 1 1El conector ⇐⇒ llamado de equivalenciaSolo será verdadera ( falsa) cuando ambas proposiciones tengan el mismo valor de verdad p q p ⇐⇒ q0 0 10 1 01 0 01 1 1

TAUTOLOGIA Y CONTRADICIONTautología Es la proposición que su valor de verdad es siempre verdaderoContradicciónEs la proposición que su valor de verdad es siempre verdadero- Tautologías Matemáticas pero que se aplican en otras ramas del saber, como por ejemplo la filosofía

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. Modus ponens o Método de afirmación[p ∧ (p ⇒ q)] =⇒ qp q p ⇒ q p ∧ p ⇒ q [p ∧ (p ⇒ q)] ⇒ q0 0 1 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 1 1 1 1. Ley del Silogismo[(p =⇒ q) ∧ (q =⇒ r)] =⇒ p =⇒ r. Modus Tollens o Método de negación[(p ⇒ q)∧ ∼ q] ⇒∼ p. Método de contradicción o reducción al absurdoSi C = una contradicción(∼ p ⇒ C) ⇒ p

TEMA 2ARITMETICA NATURALEl conjunto R( +, . , ≤ ) es un cuerpo completamente ordenado.Diremos que si I ⊂ R , I es un conjunto de R. sin mas especificaciones.- Conjunto InductivoY será un conjunto inductivo de R si y solo si:a.- 1 ε ISi k ε I k + 1 ε ISi A y B son conjuntos inductivos entonces A ∩ B es un conjunto inductivoLa intersección de todos los conjuntos inductivos de R dan los números naturales

AXIOMATICA DE PEANOa.-1 ε Nb.- para todo n ε N existe un n + 1 ≠ 0c.- Si m y n ε N y m ≠ n m +1 ≠ n + 1La axiomática del principio de inducción integrada en la lógica matemática nos indica;a.-Si P es una proposición con valor 1 P(1) = V b.- P(k) = 1 = V P(K +1) = V = 1

- Sumatorios

162

Nuevas propiedades. n

Propiedad telescópica ∑ ( ai - ai+1) = a1 + an+1 i =1

r r + t

Propiedad del Reloj ∑ ai = ∑ ai +t i = s i = s + t

100 100 7 100 . 101 7 . 8Calcular ∑i = ∑ i – ∑i = ----------- - -------- = 5050 – 28 =5022 8 1 1 2 2

- Sumatorios notablesa.- Sumar los n primeros números ) 1+2+ 3 …= n n ( n+1) ∑ ai = ----------------

i = 1 2Ejemplo 9 9 9

∑ 2 + 3i = ∑ 2 + 3∑i = 18 + 3 45 = i = 1 i = 1 i = 1

b.- Suma de los n- cudrados naturalesn n ( n+1) (2n +1)∑ ai *2 = --------------------------------------

i = l 6c.- Suma de los n-cubos naturales n n ( n+1)∑ ai *3 = [-------------------]*2

2TEMA 3FUNCIONESProducto cartesianoSea A y B dos conjuntos, definimos A x B C a b (a, b) ε CDel producto cartesiano de dos conjuntos podemos extraer subconjuntos de pares, los cuales deben de tener una relación o criterio para ser seleccionados.Un conjunto R es una relación de A en B si R ⊂ A × BR ⊂ A × B ⇐⇒ A R B o bien (a, b) ε R ⇐⇒ a R bSi definimos en R*2. (x1, y1) R (x2, y2) tal que x1 = x2 e yl = y2, hemos establecido una relación de igualdadRelacionesSea una Relación en A x A = A*2, entonces la definimos como:a.- Reflexiva = R Si a R ab.- Simétrica = S

163

Si a R b b R a c.- Transitiva = TSi a R b b R c a R c

d.- Antisimétrica = ASi a R b b R a entonces a = b Cualquier R en A que cumpla las propiedades R, S y T, se llama relación de equivalenciaTodos los elementos que por la relación constituyen un par de la misma con un elemento a ( primero del par), se llaman clase de equivalencia de a y se denota por a. _ _ A = (1,2) A x A = (1,1) (1,2) ( 2,1) (2, 2) = 1 + 2Cualquier R que cumpla con las propiedades R, A, T es una relación de orden- Elementos importantes de una RDominioConstituido por el primer elemento del par correspondiente al producto cartesianoTambién se le llama, conjunto origen, conjunto inicial o conjunto preimagen, siendo sus elementos las preimagenes del conjunto imagen que está constituido por el segundo elemento del par.En el conjunto A de pares de A xA seleccionados ( 1, 4) ( 2 ,5) (3,6)DomR ( 1,2,3)ImgR (4,5,6)Si 1 R 4 entonces 4 R*-.1 1En este caso simple R es sumar 3 unidades y R* -1 que es la operación inversa sería restar 3 unidades.-Tipos de relacionesSi A es un conjunto no vacío la relación IA tal que {(a, a) ε A x A}, es la relación de identidad , que se acostumbra a llamar la diagonal de A.- Funciones compuestasSea A( 1,2,3,4) B( a.b,c) C( p,q.r.s)Y las relaciones R {(1,a) (2,c) (3,b) (4,c) } ε A x B G{(a,p) (c,q) (a,r) (c,s) ε B x C G o R = (1,p) (2,q) (4,s)Funciones trigonometricasTeorema del cos

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Dado un triángulo cualquiera, trazamos una altura h que dividirá el triángulo en dos triángulos rectángulos.Si aplicamos el teorema de Pitágoras a cada triángulo rectángulo se tieneb 2 = h 2 + x 2, por tanto h 2 = b 2 - x 2

a 2 = h 2 + (c - x) 2, por tanto h 2 = a 2 -(c - x) 2 Igualando el valor de h 2 b 2 - x 2 = a 2 -(c - x) 2

Si en la ecuación anterior despejamos a 2 queda a 2 = b 2 + c 2 - 2cxPor otro lado, tomando el triángulo rectángulo de la izquierda se cumple que x =b·CosA Sustituyendo se llega a la igualdad que se conoce como Teorema del coseno. Esta igualdad es independiente del lado que se tome.

Teorema del senDado un triángulo cualquiera, trazamos una altura h que dividirá el triángulo en dos triángulos rectángulos, en cada uno de ellos se tiene que:h=b·senAh=a·senBIgualando b·senA = a·senBRazonando igual con los ángulos B y C, se tiene que b·senC=c·senBEn el caso de que el triángulo sea obtusángulo, queda una altura fuera del triángulo y se llega a la misma conclusión.h=b.senCh=c·sen(180º-B) => h=c·senB (al ser B y 180º-B suplementarios) En virtud de los expuesto anteriormente y reordenando las igualdades se tiene que la razón entre cada lado y el seno del ángulo opuesto es constante, a esta igualdad se la conoce como el teorema del seno

- Funciones hiperbólicas1. Interpretación geométrica del argumento de las funcioneshiperbólicas:

165

Si en el uso de las funciones circulares el argumento más frecuentemente usado es: el “ángulo central AOC = a” con origen en el centro de la circunferencia y medido desde el semieje positivo de abcisas en el sentido contrario a las agujas del reloj, para las funciones hiperbólicas no podemos usar este tipo de argumento porque le faltaría la congruencia geométrica que sí posee en las funciones circulares.Sin embargo, se podría haber tomado como argumento de las funciones circulares un valor “x”, correspondiente al área del sector circular con ángulo central FOC = 2α, puesto que de la circunferencia unidad se tiene que :

Área = x = l/2 R 2 α siendo α = Angulo central mitad

sen x = dis DC = sen α, cos x = dis OD = cos αtg x = dis AB = tg αTraduciendo esta idea a la siguiente figura que obtenemos desde la rama derecha de la hipérbola equilátera x2 – y2 = 1, se obtendría:

166

Si llamamos dist DC = t dist AB = s dist OA = cSe tienen los siguientes hechos:a.- El punto B(c, s) pertenece a la hipérbola x*2 –y*2 = 1 c*2 – s*2

______ x*2 – 1 = y*2 √x*2 – 1 = y b,. Aplicando Thales obtenemos

Si ahora calculamos el área x b

Recordemos que S bajo la curva es ∫y dx a __________ Area = x = sc – 2 ∫√(x*2 – 1)dx Como una primitiva es __________ ∫√(x*2 – 1)dx = ½ x√(x*2 – 1) + ½ ln( x + √(x*2 – 1) ) c

x= sc -2( ½ x√(x*2 – 1) +½ ln( x +(x*2 – 1)) =sc - c√c*2 -1+ ln( c + √c*2 -1) 1

____ ____ ____ x = Área = ln| c + √c*2 -1| e*x = | c + √c*2 -1| e*x –c = √c*2 -1

c*2 -1 = e*2x + c*2 - 2 c e*x e*2x +1 e*x + l/e*x e*x +e*-x

- 1 - e*2x = - 2 c e*x c = ------- = -------------- = ----------- 2 e*x 2 2c se denota como ch x . e*x - e*-x De idéntica forma podemos obtener el sh x = ----------- 2

Relaciones entre las funciones hiperbólicas y trigonométricasLas funciones hiperbólicas, en el campo real son funciones dependientes de la función trascendente e*x. Las trigonométricas no son función dependiente de ninguna exponencial ni potencial.Sin embargo en el campo complejo, tanto las hiperbólicas como las trigonométricas son dependientes de la compleja e*z

e*z – e*-z e*iz – e*-iz

167

sh z = ----------- sen z = ------------ 2 2

Estas definiciones permiten las relaciones entre la función hiperbólica y trigonométrica:sh (iz) =i sen zsen z = -i sh (iz) Lo mismo podemos realizar con los cosenos:ch iz = i cos izcos z = i ch(iz)Estas relaciones permiten transformar cualquier formula trigonométrica en su homologa en función de las funciones hiperbólicasSurgen así senh(α + b ) = senh α cosh β + cosh α senh β , ..etc..

CONICAS Parabola.-La función cuadrática ax*2 +bx +c = 0 es una parábola.Para a = 0 no hay parábola, bx+c= 0 es una rectaPara a > 0 La parábola abre hacia arriba:Para a< 0 , la parábola abre hacia abajoEstudiemos el caso general ax*2 + bx+c =0 ____________ -b ± √b*2 - 4 acx = ---------------------- 2 a

a .- b*2 - 4ac = 0 obtenemos una recta x = -b/2 ab.- b*2 - 4ac > 0 la parábola corta en dos puntos al eje de las xc.- b*2 - 4ac < 0 la parábola no corta al eje de las xCombinando esta información con la proporcionada si a > 0 o a < 0, nos proporciona la posibilidad de graficar todas sus gráficas La parábola respecto a su directriz y focoLa parábola es el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya distancia a una recta fija (directriz) es igual a la distancia a un punto fijo llamado focoEl vértice de la parábolaSi a>0 las ramas abren hacia arriba y por tanto el vértice es el minimo de la función que expresza la parábola.Si a<0 las ramas abren hacia abajo y por tanto el vértice es el maximo de la función que expresza la parábola.Ejemplo: y = x*2 – 4x + 3y’ = 2x – 4= 0 x= 2 , y= – l V= (2 , – l )y’’= 2 > 0 minimo

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El eje focalEl valor de la coordenada x,correspondiente al vértice en este caso x= 2 marca una recta paralela en este caso al eje de las Y, recta llamada eje focal porque en ella se situa el Foco de la parábola y porquwe los puntos de la misma son simetricos respecto a este eje.Directriz y FocoLa directriz siempre es perpendicular al eje focal y es una rectaDefinicion de la parábola respecto al foco y la directrizTodos los puntos de la parabola cumplen con: D(Pi F) = D(pi Ditrectriz)Si el V = (0,0) la ecuación de la directriz es y = -p y el Foco F( 0.p)Si V = (h,k) el foco seria F( h, p + k) y D= -p-kLa parábola es (x –h )*2 = 4p ( y - k)En el caso de que el eje focal sea paralelo al eje x siendo y = k, V (h , k).Recta directriz y =- h -p F = (h – p , k)La parábola es (y –k )*2 = 4p ( x - h)

Si el eje focal es paralelo a XX’ : (x-h)*2 = 4p (y – k) Si el eje focal es paralelo a YY’ : (y –k)*2 = 4p (x – h)

CirculoLa ecuación x*2 + Y*2 + ax + by + c (x + a/2)*2 + (y + b/2)*2 = = - c +(a/2)*2 + ( b/2)*2 Representa un círculo si:(a/2) *2 + ( b/2 ) *2 > c y si radio es O (- a/2, - b/2)

ElipseTodo punto perteneciente a la elipse equidista de dos puntos llamados focos de la misma y la suma de las distancias del punto a los focos es una cantidad constante- Elementosa.- Está centrada en 0(0, 0)Su eje mayor es 2a y su eje menor 2bLas coordenadas de los focos son F’ ( - c, 0) y F ( c. 0)

La definición dada nos permite expresarla como:Si P (x, y) ε ElipseD(P, F) + D (P, F’) = 2 a D(P, F)*2 = (x – c )*2 + y*2

D(P, F’)*2 = (x + c )*2 + y*2

-----------------------------------------------------D(P, F)*2 - D(P, F’)*2 = 4xc(D(P, F) + D(P, F’) (D(P, F) -- D(P, F’) = 4xc2 a (D(P, F) -- D(P, F’) = 4xc(D(P, F) -- D(P, F’) = 2xc/a

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D(P, F) + D(P, F’) = 2 a D(P, F) -- D(P, F’) = 2xc/a------------------------------------------------------------D(P, F) = a + xc/aD(P, F’) = a - xc/a

D(P, F )*2 = (x – c )*2 + y*2 = (a + xc/a )*2

Y haciendo operaciones tenemos que a ecuación de la elipse es: x*2 y*2

------ + ------- = 1 a*2 b*2 que es su ecuación canóniga Como quiera que a > c tenemos que a*2 = b*2 + c*2

Si C(h, k) la ecuación es: ( x –h)*2 (y – k)*2

----------- + ------------ = 1 a*2 b*2

Esta elipse tiene su eje mayor 2 a paralelo al eje XX’La elipse cuyo eje mayor 2 a es paralelo al eje YY, tiene los denominadores cambiados.Llamamos excentricidad a c/a

- Recta tangente a una elipse en el punto (x0, y0) xx0 yyo

---- + ---- = 1a*2 b*2

HIPERBOLATodo punto perteneciente a la hipérbola equidista de dos puntos llamados focos siendo la diferencia de las distancias del punto a cada foco una cantidad constante. ( x –h)*2 (y – k)*2 ( y –k)*2 (x – h)*2

----------- - ------------ =1 ------------ - ----------- = 1 a*2 b*2 b*2 a*2

Eje 2c paralelo al eje XX’ Eje 2c paralelo al eje YY’Las rectas directrices son; a*2 y = ± ------ c xx0 yy0

La recta tangente a la hipérbola en P(x0,y0) es ------ - ------ a*2 b*2

La relación entre los ejes es c*2= a*2 + b*2

Porque la distancia focal 2c > 2a

170

TEMA 4GRUPOSSi C es un conjunto no vacío, definimos como operación binaria **: C x C C c1,c2 c1 * c2

Por ejemplo +: Z x Z Z a b (a + b)es una operación binaria , como lo son la suma y el producto de los números reales.GruposSi g es un conjunto no vació y en él establecemos una operación binaria:*: G x G GEntonces diremos que (G *) es un grupo si satisface las propiedades de * , que si sustituimos por + , deberá poseer las propiedades de la suma.Son (G+)- Las matrices- Los polinomios- Homorfismo de grupos Sea (G +) y (G’ +) dos grupos si existe la aplicación h; G G’ definida como h (u +v ) = h(u) + h(v)

TEMA 5ANILLOS Las marices son un anillo unitarioLos polinomios son anillos unitariosDe entre las matrices destaca, y no vista hasta ahora la denominada:

MATRIZ DE FOURIERPreliminares.- z*n zResolvamos z*n = u ------- = 1 o bien 1 = [-------]*n

u u*1/n z Si llamamos [------ ] *n = q*n

u*1/n

q*n = (cos nα + isen nα) =1 nα = 2πk/n

2πk 2πkq*n = 1 = cos ----- ± isen ------ n n

171

Esta ecuación se cumple para cualquier valor de n porque q*n = 1. Son dadas por R(n) asi que la solución final debe de ser del tipo k

zk = u*1/n ω n

Veamos los factores de zk : u= |u| (cos α + i sin α) tendremos que:u*1/n= |u|*1/n (cos α + i sin α) *1/n = |u|*1/n (cos α/n + i sin α/n) k

ω = (cos 2kπ/n − i sin2kπ/n) n Sustituyendo ambos faztores en zk

zk =|u|*1/n (cos α-2kπ /n + i sin α -2kπ/n) … pero esta formula es la de la potencia , vista en el capitulo dedicado a los números complejosEjemplo : z*3 = 1 +i z = (1 +i) *1/3

1 +i en forma trigonométrica es ( √2( cos α +i sen α )* 1/3 =|z| = √*2 + 1*2 = √2 y √2 cos α= 1 α = 45º

La solución de q*n son (w(n) *0, w(n) *1, w(n) *2, ….. w(n) *n-1 )Ejemplo Si n = 2 las soluciones serán. (1, w2*1=( 1 , cos 2π/2 – isen 2π/2) = ( 1 , -1)Si n = 3 (1, w3*1, w3*2) = (1, cos 2π/3 – i sen 2π/2 , cos 4π/3 – i sen 4π/3 )= (1, cos 120 – isen 120, cos 240 – isen 240) = (l, 1)

- Matriz FourierEstá construida sobre el cuerpo de los números complejos, como sigue:Sabemos que: 2πk 2πkw(n) *k =cos------ - i sen ----- n nen ella hacemos k =ij, dando Fn = (wn)* i,j siendo i(0, 1,2,3 ..n.1) y j (0, 1, 2, 3,.. n.1)

w(2) *00 = cos 0 - i sen 0 1w(2) *01 = cos 0 – isen π 1w(2) *10 = cos π – i sen 0 1w(2) *11= cos π – isen π - 1

Por ejemplo Para n = 2 tenemos la F2:│0,0 0,1││w2 w2 │ │1,0 1,1│

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│w2 w2 │

TEMA 6MATEMATICA DISCRETAPor algoritmo, entendemos un conjunto de formulas que constituyen un método o procedimiento para calcular la solución de un problema aritmético - Algoritmo euclidianomcdExpresa porque obtenemos el mcd de la forma que conocemos.Mcd (18 , 12)Div 18 ( ±1, ±2, 3 ±6 ±9 ) Div 12 (1 ± 2 ± 3 ± 4 ± 6)Div 18 ∩ div 12 = (1 ± 2 ± 3 ± 6 ) max = ± 6Números primosSon aquellos que solo son divisibles por l y por si mismo.Es interesante conocer el teorema de Wilson :Si p es primo ( p – 1) ! + 1 es primo

Teorema de los números primosSi π(n) es la cantidad de números menores o iguales a n, tenemos:

n k ( i – 1) !π(n) ≈ ----- una aproximación mejor se obtiene con π(n) =n∑------------ ln n i = 1 ln n *- Formula F(j)

(j –l)! +1 [cos*2( π ------------- ) ]

jLa parte entre corchetes es la parte entera de cualquier número.Si aplicamos f(j) al T. de Wilson tenemos que: | 1 j es primo F(j)| | 0 j es un numero compuesto

(4- 1)! +1 Ejemplo F(4) = [cos*2( π --------------) ] = Cos*2 7π/4 = 0,05 -> Compuesto 4

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MATEMATICAS TEMA 1MATRICES- Factorización de matricesToda matriz A, la podemos descomponer en a.- Una matriz triangular superior , llamada Ub,. Una matriz triangular inferior , llamada Lentonces A = L Uen un sistema que en forma matricial es Y =AX podemos realizar:Y = LU X = L (UX) = L Z si Z = UXDada una matriz A tal que │8 12 -4│ A = │6 5 7│ │2 1 6 │Se obtiene aplicando el método de Gauss :

│4 0 0│ │2 3 -1│L = │3 2 0│ U = │0 -2 5│ │1 1 1│ │0 0 -2│|

TEMA 2ESPACIOS VECTORIALES Consideremos el producto cartesiano de R x R = R*2 , tal que R*2{(x ,y) / x ε R , y ε R } Los ejes coordenados sonEje de las x = { (x ,y) / x ε R , y =0}Eje de las y = { (x ,y) / x =0 , y ε R }Para permanecer al eje de las x, se requiere ser P(x, 0) y nos da lo mismo que x = 1 o a 1000. . Una línea es un punto en movimiento ( Euclides)Los puntos pertenecientes al eje x son múltiplos de e1 (1,0)Las mismas consideraciones son válidas para el eje y , pero sus puntos serán múltiplos de e2( 0,1)Un vector v1 tiene por coordenadas en la base (1, 0) y (0.1), a (x,y):u = x(1.0) + y( 0,1) = (x , y )Establezcamos las coordenadas (x, y) ahora respecto a la base (1,1) y en (1, -1), lo cual implica:V ( v1, v2) = x( 1,1) + y( l, -l) =( x + y, x – y) v1 = x + yv2 = x – y-------------de donde x = v1+ v2/2 y = v1 – v2/2

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La representación grafica de (x, y) se efectuara sobre los ejes cartesianos (en azul , tomando x en abcisas y el valor de la y en ordenadas.La representación gráfica de = (vl, v2) deberá hacerse sobre sus ejes (en rojo)

TEMA 3DIAGONALIZACIONEstudiada con anterioridad. Se analiza más adelante un ejemplo completo referido a una cónica

CRECIMIENTO DE LA POBLACIONModelo 1Suponemos que una población crece a una tasa constante durante un periodo de tiempo, a la que llamamos rLlamamos p0 a la población inicialEn el periodo t = 0 la población es po

En el periodo t = 1 la población es p1= r p0

------------------------------------------------En el periodo t = n la población es pt =r*t-1 p0 Este modelo nos indica que si:r > 1 , la población crecería y lo hará geométricamenter = 1 la población permanecerá estancada en el tiempor < 1 la población disminuirá geométricamente hasta desaparecerEstamos aplicando a cada caso : lim pt = lim r*t p0 t ∞

Modelo 2El crecimiento de una población, no necesariamente debe ser a tasa constanteEl número de descendientes, las generan las hembras y depende de su edad Con estos condicionantes, vamos a estudiar el crecimiento de una población de pájaros en las que se dan las siguientes condiciones:- Numero de hembras = numero de machos

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- p(j, n-1) = población juvenil de hembras en a el año n-1 - p(a, n-1)= población adulta de hembras en a el año n-1 - α probabilidad con que los jóvenes llegan a adultos referida al año n- k promedio de hembras jóvenes generado por hembras adultas que sobreviven- β probabilidad de supervivencia de los adultos de una año a otroCon estos datos establecemos las ecuaciones matemáticas:

p ( j,n) = kp(α, n-1)p (a,n) = αp(j, n-1) + βp(α, n-1)

Que escrito en forma matricial es:

│p(j,n) │ │0 k│ │p(j.n-1) │ │ │ = │ │ │ │ │p(j,n-1)│ │α β│ │p(a.n-1) │ pn A p(n-1)

Analisis del modelop(l) = A p(0)p(2) = A p(1) = A*2 p(0)------------------------------p(n)= A*n p(0)

En un ejemplo real si tenemos los datos ( k, α, β) tenemos la matriz A a la cual le obtenemos sus valores propios y para cada uno de ellos los autovectores propios. Sean λ1 al que corresponde v1 y λ2 con v2 En este caso α = ( v1, v2) los auto vectores Definimos ` │p(j.0) │ p0 = │ │ = a1v1 + a2v2

│p(a.0)│

Aplicando la formula tenemosP(n) = A*n (a1v1 + a2v2) = a1A*n v1 + a2 A*n v2 = a1 λ*n v1 + a2 λ*n v1

Que resuelve el problema

TEMA 4EL PRODUCTO INTERNOSea R*2 un conjunto de puntos (x, y) y sea F*2 un conjunto de vectores v, podemos asociarφ: R*2 F*2 (x, y) φ (x,y) = v

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Esta aplicación es una biyección, entre R*2 y F*2, por lo que estamos en presencia de un isomorfismoEl vector v es una flecha que parte de O(0,0) y acaba en P(x, y)Cuando nos preguntamos por el largo de la flecha, en F*2, hablamos del modulo del vector.Cuando nos preguntamos por el largo en R*2, hablamos de la normaSi φ (x,y) = v por la aplicación ,tendremos que φ (1,0)= e1 y φ (0,1) = e2

De aquí se deduce que :φ (x, y) = v = x e1 + y e2

que nos explica el concepto de combinación lineal.La expresión matemática de la norma, depende de la base que estemos considerando;`En un sistema ortogonal : __________________B (x1, y1) ,(x2, y2) ||n||= √(x2 – x1)*2( ( y2 – y1)*2

__________B (0,0) , (x1, y1) ||n||= √(x1)*2 (y1)*2

En un sistema no ortogonal _____________________________________ B (x1, y1) ,(x2, y2) ||n || √(x2 – x1)*2( ( y2 – y1)*2 +2(x2 – x1) (y2-y1) cos α ____________________B (0,0) , (x1, y1) ||n||= √(x1)*2( (y1)*2 + 2 x y cos αLas propiedades de la norma son:a.- || (x, y) || ≥ 0 y|| (x, y) || = 0 si x = y = 0b.- ||λ(x, y) || = |λ| || (x, y) ||c.-|| (x1, y1) + (x2, y2) || ≤ || (x1, y1) ||+ || (x2, y2) ||

Producto interno Sea V un k-espacio vectorial. V se dice un espacio vectorial con producto interno o prehilbertiano, si existe la función (.) ; V x V K (u, v) ( u v)Con las siguientes propiedades:a.-(u, u) ≥ 0(u + v,w) = (u,w) + (v,w)(u, v + w) = (u, v) + (u,w)(λ u, w) = λ(u,w) (u, λ w) = λ(u,w) n

Definimos el producto interno (xi) (yj) = ∑xi yi i = 1

Un espacio prehilbertiano será ortogonal si su producto interno = producto escalar = 0

177

Ortogonalización de Gram Schmidt v’2 v2

av1 v1

Según el dibujo tenemos:v2 = al vector v’2 = a su proyeccion sobre el eje y avl su proyección sobre v1, que es vector coincidente con el el xv2 = v′2 + av1 y multiplicando ambos términos por v1, tenemos los siguientes productos internos :

(v2, v1) = (v′2 , v1) + (av1, v1) donde (v′2 , v1) = 0 porque su ang es 90º y cos 90 = 0. Luego nos queda (v2, v1) = (av1, v) ) (v2, v1) a = -------- (v1, v1) (v2, v1)Como v2 = v′2 + av1 v2 = v′2 + ---------- v1 Formula A (v1, v1)Si α = {v1, v2} base de V y α′ = {v1, v′2} es una base ortogonal de V v1 v’2

y α’’ =[ ----- , -------] es una basa ortonormal de V │v1│ │v’2│

La conclusión anterior puede ser generalizada, llamándose al proceso: ortogonalizacion de Gram SchmidtSea V un K-espacio vectorial Prehilbertiano y α = {v1, v2, . . . , vn} una base V entonces α′ = {v′1, v′2 , . . . , v′n } es una base ortogonal, donde los v′j satisfacen la siguiente ecuación vectorial: Formula A desarrollada

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(vj , vj −1) (vj , v1) vj = v’j −----------- vj −1 - …. - ----------- v′1 │ vj −1│ │ v1│Componemos las bases:α = {v1, vj ) base de Vα′ = {v’1, v′j } base ortogonal de V v1 v’jα′’ = ------ - ------- base ortonormal a V │v1│ │v’2│

APLICACIONES A LA ESTADISTICASea F un conjunto compuesto de sucesos distintos, tales como s1,s2…Definimos espacio muestral S(F) ( s1,s2, s3, sn)Si a cada si le asignamos una probabilidad pi, llamamos vector de probabilidad de F a p(F)=( p1, p2, p3,..pn)Si a cada suceso del espacio muestral le asociamos un valor. A s i xi,

hemos definido una variable aleatoria x(F) ( x1,x2,x3…. xn)Ejemplo.-Dos personas se juegan a cara y cruz 10 euros . Si sale cara gana A y si sale cruz gana B.S(F) (s1, s2)= (cara , cruz)P(F) = ( ½, ½ )xA o la variable aleatoria para A, x(FA) = (10, -10)xB o la variable aleatoria para B, x(FB) = (-10, 10) A partir de la construcción anterior, definimos:Valor medio esperado o media aritmética <x> < x> (F) = p1x1 + p2x2+….pn xn = Σ pixi

Varianzav [x(F)] = p1( x - <x>(F) *2 + p2( x - <x>(F) *2+ … + pn( x - <x>(F) *2

Producto interno estadísticoSea u(u1, u2,….un) ε R*n un vector fijo, definimos producto interno estadístico: n

{(x1, x2, x3 ..xn) , (y1, y2, y3… yn) }u = ∑ui xi yi i-1

Entonces si x(F) es un vector que . x(F) = (x1, x2,..xn)Si ( 1, 1, 1…1) p es un vector fijo , que nos permite obtener el x(F) y el p/F):x(F) = x(1, 1, …. ) = ( x1 + x2+ …+ xn)= (1, 1, 1,… 1)x

de igual forma tenemos que (1,1,..1)p =( p1, p2, p3...pn)Pata la media ,con esta anotación tenemos:x>(F) ={ x(F) (1. 1. 1…1)}(1, 1, 1,..1)p = ∑xi pi

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Respecto a la varianzav[x(F)] ={ ((1,1,1..1)x - (1. 1. 1…1)x (1, 1, 1,..1)p}*2

- CorrelaciónSea F un evento n- dimensional, siendo s(F) (s1,s2…sn) su espacio muestral y p(F) ( p1, p2..pn) su vector probabilidad.Suponemos que podemos asociar a F dos varables aleatorias :x(F,A) = ( x1, x2, --- xn)y(F,B) = ( y1, y2, --- yn )El producto interno de ambas variables aleatorias es:

PI = {x(F,A) , y(F,B) } = ||x(F,A) || || y(F,B) || cos φ (x(F,A) , y(F,B) )cos φ = ------------------------------------ ||x(F,A) || || y(F,B) ||

A cos φ, se le llama coeficiente de correlación, Su valor dependerá de que x(F,A) y y(F,B) sean o no linealmente dependientes.a.- Si son linealmente dependientes, tenemos:y(F,B) = λ x(F,A), en cuyo caso λcos φ = ------- │λ│ │ 1 si λ > 0 φ = 0Si │-1 si λ< 0 φ = πb.- Si son linealmente independientes . el coeficiente de correlación es cero.

MINIMOS CUADRADOSUn sistema lineal de n x m, matricialmente viene dado por AX’ = BDicho sistema tiene solución si Rang(A) = Rang(A/B) y esto implica que B debe de pertenecer al espacio generado por A. al que llamamos ΩA:

│a11 a12 … a1n│B ε ΩA = │a21 a22 … a2n│

│------------------ ││an1 an2 … a2n│

Esto es así porque necesariamente la solución es : │x1│ │a11 a12 … a1n│ │b1│ │x2│ │a11 a12 … a1n│ │b2│ │-- │ ------------------ │ = │---│

│xn│ │a1n a2n ann │ │bn│

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Si B no ε ΩA, no tiene solución exacta, pero si podemos obtener una muy buena aproximación, de la forma siguiente:Si proyectamos B sobre ΩA, la llamamos proyecΩA (B), PΩA (B) permitirá obtener un vector <X’> tal que PΩA (B) = A<X’> Si imponemos la condición │(B - PΩA (B))│=0 es decir que sea mínima entonces la minima distancia sera: B = PΩA (B)= A<X’>B = A <X’> AT B = AT A <X’> que es la soluccion ajustada a los minmos cuadrados.Como (AT A) tiene inversa y esta es (AT A)*-1

AT (ATA)*-1 B = (ATA) (ATA)*-1 ’ ( AT A*-1 )AT B =<X’>Dando en definitiva < X’> = ( AT A)*-1 AT B EjemploAjustar una nube de puntos a la recta y = mx + m0

Los puntos que vamos a ajustar Pi(a1.b1) no pertenecen a la recta y un punto cualquiera será bi = mi ai + m0 + di siendo di = dist. P(ai,bi) a la recta y

El sistema matricial correspondiente a bi = mi ai + m0 + di es :│b1│ │a1 1│ │d1││b2│ │a2 1│ │m1│ │d2││--.│ = │------│ │m0│ + │-- │ │bn│ │an 1│ │dn│ B = A X + DLa solución será X’ = ( AT A)*-1 AT BNota .- Por supuesto el ajunte se puede efectuar a cualquier polinomio , no necesariamente a un polinomio de grado lEjemplo:Dada la tabla:x 0 1 2y 1,1 0,1 -3,1Ajustar estos puntos al polinomio a + bx + cx*2 CorrespondenciasPara y = 1.1 x = 0 a Para y = 0,1 x = 1 a + b + cPara y = -3,1 x = 2 a + 2b + 4 c*2 │ 1.1│ │1 0 0│ │a│ │ 0,1│ = │1 1 1│ │b│ │-3.1│ │1 2 4│ │c│ B = A X

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B= AX ATB = AT A X │- 1,9 │ │3 3 5│AT B = │- 6.1 │ AT A = │3 5 9│ │- 12,3│ │5 9 17│Se prosigue obteniendo X = AT ( AT A)*-1 B

Tal vez el sistema mas sencillo de obtener X sea ;X = a dos matrices (AT A) ( AT B) de la que queremos conocer su inversa Luego : AT A │AT B│3 3 5│- 1.9││3 5 9│- 6.1│ │5 9 17│- 12,3│ │1 0 0│ 1,100│Por Gauss se hacen ceros y se obtiene │0 1 0│ 0.099 │ │1 0 0│- 1 099│ Dando el polinomio:1.100 + 0,099 x – 1,099 x*2

TEMA 5 Dada una cónica, cuya expresión general es ax*2 + bxy + cy*2 + dx + ey + fPodemos conocerla sabiendo que:a).- b*2 - 4ac > 0 Es una hipérbola o un par de rectasb).- b*2 - 4ac = 0 Es una parábola o una recta o dos rectasc).- b*2 - 4ac < 0 Es una elipse o un punto

CONICASSon del tipo ax*2 + bxy + cy*2 + dx + ey + fConstituida por la blineal q(x) = ax*2 + bxy + c y*2 y una lineal l(x,y) = dx + ey +f

La cónica se expresa como │a b/2│ │x│ │x│ (x, y) │ │ │ │ +│d,e│ │ │ + f = 0 │b/2 c │ │y│ │y│

Pasos a realizarPaso 1.- Identificación de la cónicaPaso 2 .- Establecerla en su forma matricial y Diagonalización de AEs claro que D tiene los mismos autovalores y auto vectores que A por ser matrices congruentes D = P A PT

Paso 3 .- Despejar A en la ecuación anteriorPaso 4.- Volver a la cónica y definir el cambio de coordenadas conveniente de (x, y ) a (x’,y’)

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Paso 5.- Aplicar a la cónica que sea su forma canónicaEjemploSea5 x*2 – 6xy +5 y*2 – 24 √2x + 8√2y + 56 =0Formada por q(x) = 5 x*2 – 6xy +5 y*2 y l(x,y)= – 24 √2x + 8√2y + 56 =0Paso 1Como b*2 -4ac < 0 Es una elipse o un puntoPaso 2Forma matricial es :│x│’ │ 5 -3││x│ │x││ │ │ ││ │ + │– 24 √2 + 8√2 │ │ │ + 56 = 0│y│ │-3 5 ││y│ │y│

Diagonalizacion de A │ 5- λ -3 │ (A – λI ) = │ │ = ( 5 – λ)*2 - 9 │-3 5 – λ│

λ1 = 2λ2 = 8Vectores propiosAX = λX proporciona 5x – 3y = λ x -3x +5y = λ yPara λ1 = 2 x = y v’1.(1, 1)Para λ2 = 8 x = - y v’2 (-1 , 1)

│1 -1│ │1/√2 -1√2│P = │ │Normalizamos P│ │ │1 1 │ │1/√2 1/√2│

Normalizamos P : │1,1│ = │-1, 1│= √2 A = P D P-1

Como A es simétrica tenemos que AT = A*-1 lo que implica D = P A PT

Paso 3Despejando A:A = P D PT

│1/√2 -1√2│ │2 0│ │1/√2 1√2 │ A = │ │ │ │ │ │ │1/√2 1/√2│ │0 8│ │-1/√2 1/√2│

Paso 4.-Volver a la cónica---(x,y) A (x.y)’ + (d.e) ( x,y)’ + f = 0

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│ 5 -3│ │1/√2 -1√2│ │2 0│ │1/√2 -1√2││x y│ │ ││x y│’ =│x y│ │ │ │ │ │ │ │x y│’ │-3 5 │ │1/√2 1/√2│ │0 8│ │-1/√2 1/√2│ x’ y’ (x’y’)’ │2 0│ = │x’ y’│ │ │ │x’ y’│’ │0 8│ Y solo resta establecer en las nuevas coordenadas la aplicación lineal: │x│ │1/√2 -1√2│ │x’│ │24 -24│ │x’││-24√2 8√2││ │=│24√2 8√2││ │ │ │=│ │ │ │ = │y│ │1/√2 1/√2││y’│ │ 8 8│ │y’│

24x ‘ -24 y’+ 8x’│+8 y’ = 0 32 x’ -16 y’

Toda la cónica es:

│2 0│ │x’ y’││ │ │x’ y’│’ +│-16 32│x’ y’│’ + 56 =0 │0 8│ = 2x’*2 + 4y’*2 -16 x’ + 32y’ + 56 =0Buscando el cuadrado perfecto, al final tenemos:( x’ - 4) *2 ( y + 2) *2

------------ + ------------- 2*2 1*2

TEORIA SOBRE JUEGOS PD F Nº 4TEMA 0GENERALIZACIONESDe un conjunto a, finito de objetos, definimos |A| como el cardinal del conjunto A, es decir indica el número de elementos del mismo. Así por ejemplo |A x B| = |A| |B|

RELACIONESUna relación R entre dos conjuntos A y B es un subconjunto del A x B. Si (a , b) ε R se indica como a está relacionado con b o aRb.Una relación es binaria si se define en A x A.El conjunto en el que se establece R se denomina dominio de la relación.Propiedades de la relacióna.- Reflexiva aRa a está relacionado consigo mismob.- Simétrica aRb y bRa R = Ser hermanoc.- Transitiva aRb y bRc aRc R = Ser hermano de

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Si se cumplen las tres propiedades definimos la R una relación de equivalencia d.- Antisimétrica aRb y bRa → a = b Si se cumplen las propiedades, reflexiva, antisimétrica y transitiva denominamos a R una relación de orden. total Será una R de orden parcial si en la propiedad antisimétrica no se dan aRb y bRa sino sólo una de ellas. Dado un elemento a ε A del dominio de una relación de equivalencia, se define como clase de equivalencia de a o [a]: { x ε A / a Rx }.Las clases de equivalencia particionan al conjunto sobre las que se establece, siendo la unión de todas las clases de equivalencia igual al propio conjunto.Clausura transitivaSer antepasado de es transitiva, pero ser padre de no lo es, sin embargo existe una vinculación entre ambas relaciones tal que ser padre de, se convierte remontándose hacia atrás en ser antepasado de.Definimos clausura transitiva R* como la menor relación transitiva que contiene a R

GRAFOS Un grafo es un par G (V, E) =[ V(G), E(G)]Donde V son sus vértices (nodos) y E sus aristas (o arcos o ejes o líneas)Una arista e que va desde el vértice u al v se denota por e(u, v) donde u, v ε V y u # v.Un grafo es no dirigido si al asignar las aristas no importa el orden (u, v) = (v, u)..Un grafo dirigido o dígrafo las aristas están ordenadas (u, v) # (v, u) y además se permite el tipo de arista llamado bucle o lazo del tipo (u, u) Ejemplo.- Dibujar un grafo a = dirigido y b= no dirigido ,dadas las siguientes correspondencias:Grafo a Grafo b1 2 1---- 2 Sin flecha ,da igual que sea 2---1 2 4 2--- 42 2(Bucle) 3----63 64 55 4Entre los grafos no dirigidos tenemos:- Simple. Sólo una sola arista entre los distintos pares de vérticesb.- MultigradoPermite lazos y varias aristas entre algún(nos) par(es) de vérticesEntre los dígrafos tenemos:a.- Multigrado que es similar al anterior pero con aristas ordenadas y sin lazos

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b.- Pseugrafos que permite la existencia de lazos

- Incidencia y GradoSi (u, v) es una arista de un dígrafo, se dice que sale o incide de u y llega o incide en v. a u y a v se denominan extremos.Definimos grado de un vértice para un grafo:a.- No dirigido el número de aristas incidentes con el vértice.. b.- Para un dígrafo:1.- Grado de entrada, el número de aristas que entran en el vértice.2.- Grado de salida, el número de aristas que salen del vérticey grado como la suma de los grados de salida y entrada.

-Representación como estructura de datosLos grafos deben de permitir consultar, modificar, y ordenar sus datos y para ello se establecen las siguientes estructuras

Matrices de Adyacencia y Listas de Adyacencia. Definimos como vértice adyacente en la arista (u, v) a u, es decir, el vértice inicial de la arista. Por tanto en un grafo no dirigido la relación de adyacencia es simétrica.La matriz de adyacencia de un G(V, E) es una matriz cuadrada y si v (v1, v2,…vn) su dimensión es igual a n = número de vértices, y cuyos elementos son; │ 1 Si (ai, aj) es una arista del grafoM ij │ 0 En caso contrario

La Mij es proporcional a V*2, por lo que para grafos de gran tamaño resulta poco operativa. Para obviar este inconveniente de su tamaño se suelen utilizar las listas de adyacencias compuestas por vértices y adyacencias de los mismos presentado en forma ordenada.La matriz del anterior dígrafo es:

Mij Vértices Adyacencias│ 0 1 0 0 0 0│ 1 (2)

│ 0 1 0 1 1 0│ 2 (2, 4, 5) │ 0 0 0 0 0 0│ 3 ( ) │ 1 0 0 0 1 0│ 4 (1, 5) │ 0 0 0 1 0 0│ 5 (4) │ 0 0 1 0 0 0│ 6 (3)

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- Matriz de incidencia De un G(V, E) siendo |V| = n y |E| =m Es la matriz n x m tal que: │ 1 Si la arista j incide en el vértice iMij │ 0 En caso contrario- Caminos y CiclosCamino de longitud k es una sucesión de aristas que van entre los vértices u y v. Se representa por:C( e1, e2…en)C( u, a, b…. v) C(u e1, a, e2….v) Definimos ciclo como un C(u e1, a, e2….u) siendo u el vértice inicial y finalUn ciclo es simple si las aristas que lo forman son todas distintas y existe una sola arista para cada par de vértices. La longitud vendrá dada por el número de aristas del mismo. Un lazo se define como la arista de longitud unidad- Accesibilidad y ConexiónUn vértice u es accesible (alcanzable) desde otro v si entre ellos existe un camino.La relación de accesibilidad es transitiva y en los grafos no dirigidos es también simétrica.Un grafo es conexo si todos sus vértices son accesibles .Las componentes conexas de un grafo son las clases de equivalencia de los vértices bajo la R = ser accesibles.Un grafo es fuertemente conexo si cualquier vértice es accesible desde cualquier otro.

RELACIONES Y GRAFOS Matriz de la RelaciónEs la matriz de adyacencias a la que se le ha asociado una relación R. La matriz MR es una matriz cuadrada de dimensión igual al cardinal del dominio de R y obedece a: │ 1 Si ai R ajMRij │ 0 En caso contrario

La R ha de cumplir necesariamente con las propiedades:Reflexiva. Lo que indica que la diagonal principal de MR sus elementos son todos 1.Todos los vértices deben de tener un lazo

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Simétrica .- Lo que implica que existe una doble arista entre cada par de vértices, pues si no , no sería simétrica y esto hace que MRij = MRjiTransitiva

El Grafo1----------2

3---------- 4Para ser una R de equivalencia, le faltaa.- Un lazo a cada numero para ser reflexivab.- La arista (1, 3 ) y (2,3) para ser simericoc.- La arista ( 1,4) y (2,3) para ser transitiva

ALGUNOS GRAFOS ESPECIALESGrafo CompletoEs un grafo no dirigido en que todos sus vértices son adyacentes.(el del ejemplo anterior resuelto como una Relacion de equivalencia).Si dicho grafo tiene n vértices el número de aristas es: n (n-1) 4 . 3----------- ------- = 6 2 2

Torneo.-Es un grafo dirigido cuya versión no dirigida es un grafo completoEl anterior grafo es un torneo, si ponemos conexiones del tipo en lugar de las que tiene -----Grafos bipartitosEs un grafo no dirigido cuyo conjunto de vértices es unión de dos subconjuntos disjuntos V1 y V2 o sea V = V1 U V2

Todas las aristas tienen un extremo en V1 y el otro en V2

Un grafo es bipartito si y solamente si carece de ciclos de longitud imparARBOLESEs un grafo no dirigido conexo y acíclicoUn grafo no dirigido no conexo y acíclico se denomina bosqueG( V, E) es un árbol si:a.- Dos vértices cualesquiera están conectados por un camino simpleb.- G es conexo pero si se le suprime cualquier arista deja de serloc.- G es conexo y |E| = |V| - 1d.- G es acíclico pero si se le suprime una arista cualquiera deja de serlo

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Arbol Bosque Nada - Arboles enraizados Es un árbol en el que existe un vértice distinguido. Dicho vértice se llama raiz.Un vértice distinguido es quien no tiene adyacente.Características- Existe un solo camino entre r y cualquier nodo v- Cualquier nodo que esté en el camino es un ancestro de v- Si w es un ancestro de v, entonces v es un descendiente de w- Los nodos sin hijos se llaman hojasDefinimos profundidad de un nodo v, como la longitud del camino que va de r a vAltura de una árbol . Es el máximo de las profundidades de sus nodos.

- Arboles binariosSon aquellos árboles que contienen solo tres tipos de nodos- Un nodo raíz- Un árbol binario dividido en subárbol derecho y subárbol izquierdo- Cada subárbol tiene solo 2 descendientes como máximo.

RECORRIDO DE GRAFOSEs un procedimiento que origina una enumeración ordenada de sus nodos.- Anotaciones usuales para el recorridoa.- Infija . Es la anotación algebraica usual, en la que los operadores van en medio de los operandos: 3 + 5 ( 6 x12)b.- Posfija . Es la anotación en la que van primero los operandos y después los operadores. 3 5 6 12 + * +c.- Prefija .Es la anotación que utiliza los operadores como prefijo de los operandos+ 3 * 5 + 6 12 . Recorridos EulerianosEs un camino que pasa por todas las aristas sin repetir ninguna. Si el camino es cerrado se llama circuito euleriano.Conocido el concepto de grado de un vértice. Ahora definimos grado par (impar) si su grado es un entero par( impar)

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Si G es un grafo conexo no dirigido, entonces G pose un circuito euleriano si y solamente si G carece de vértices impares, o bien sus vértices impares son 2 situados al inicio y al final del grafo. O bien si el número de grado impar es siempre par. - Caminos hamiltonianosSi hay un camino que pasa una sola vez por todos y cada uno de sus vérticesTodo Torneo posee un ciclo hamiltoniano

- Recorridos en anchura y profundidadSea un el grafo no dirigido, cuya Lista de incidencias es :Vértices Adyacencias 1 (2,4) 2 (1, 3, 5) 3 (2, 5) 4 (1, 5, 7, 8) 5 (2, 3, 4, 6. 8. 9) 6 (5) 7 (4,8,10) 8 (4, 5, 7, 9. 10) 9 (5, 8)10 ( 7, 8)Para realizar una enumeración ordenada de cada vértice de la siguiente manera:Procedemos a visitar cada vértice y añadiendo sus vecinos a una lista de vértices pendientes a la que le llamamos cola o QVisitado Q - (1) 1 (2,4) 2 (3) 3 (4, 5) 4 (5. .7, 8) 5 (7,8.6,9) 6 (7,8,9) 7 (8,9) 8 (9,10) 9 (10) 10 (-)

Caminos mínimosUna red es un grafo al que a cada una de sus aristas se le asocia un número real denominado su peso o su coste. El coste asociado a un camino será la suma de los pesos de las aristas que lo componen.

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Se denomina camino mínimo entre dos vértices u y v al camino de peso menor que une a ambos vértices.

PLANARIDAD Y COLOREADOSe dice que un grafo G(V, E) (simple no dirigido y sin bucles) es n-coloreable si existe una función f tal que f: V → ( 1,2,3..n) / si u y v son vértices adyacentes f(u) # f(v). Lo dicho implica que si disponemos de n colores distintos podemos colorear los vértices del grafo de modo que los vértices vecinos se distingan por su color. El menor número de colores necesarios para colorear un grafo se llama número cromático o χ(G)- Si G es 6-coloreable G es un grafo bipartito- Si G es un grafo plano el número C de regiones conexas en que su representación divide al plano satisface la relación ; C -A + V = 2. Siendo A= Aristas y V= Vértices- Todo grafo plano es 4-coloreable

ANALISIS MATEMATICOTEMA 1 ESPACIOS METRICOSSea X un conjunto no vacío. una métrica o distancia en X es una aplicación d: X x X→ R que verifica las propiedades:- d(x, y) ≥ 0- d(x, y) = 0 si x = y- d(x, y) = d(y, x)- d(x,z) ≤ d(x, y) + d(y, z)En un mismo conjunto pueden existir diferentes métricas:La aplicación d: R x R→ [0, ∞] / d(x, y) = |x - y| define una métrica en la recta realLa aplicación 1 Si x≠ y d(x, y) 0 Si x = yDefine una métrica discretaLa métrica de d[(x1,x2….xn) , (y1.y2… yn)] = Σ|xk - yk| define una métrica en R*n

Sea X un espacio vectorial sobre un cuerpo K, una norma en X es la aplicación: ρ: X → R que posee las siguientes propiedades:- ρ(x, y) ≥ 0- ρ(x, y) = 0 si x = y- ρ(x, y) = d(y, x)- ρ ( α x) = | α| ρ (x)La norma de un vector x se denota || x ||´

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Un espacio vectorial normado lo es si posee una norma. En estos espacios se define una métrica mediante la aplicación d: X x X→ R dada por | x - y| = || x – y ||Sea (X, d). x ε X y r >0 se define con centro en x y radio r:- Bola abierta.- B(X, r) = {y ε X / d(x, y) < r } - Bola cerrada.- B(X, r) = {y ε X / d(x, y) ≤ r }Siendo la esfera de radio = r B(X, r) = {y ε X / d(x, y) = r }

Sea (X, d). Si A es un conjunto no vacío de X de denomina diámetro de A:δ(A )= sup {d(x, y) : para x, y ε A}Se dice que un subconjunto de X es vacío o está acotado si tiene diámetro finito. Sea (X, d). Si A y B son conjuntos no vacíos de X, definimos por distancia A a B;d(A, B) = inf {x ε A, y ε B ; d(x, y) }

TEMA 2TOPOLOGIA DE LOS ESPACIOS METRICOSSea (X, d) si A es un subconjunto de X, Se dice que x ε X es un punto que pertenece al interior de A o que A es un entorno de x , si existe una bola abierta con centro en x contenida en A..El conjunto de todos los puntos interiores a A se llama interior de A y se denota por 0 0

Int (A) o A. Donde A es el mayor conjunto abierto contenida en AUn intervalo abierto se representa por (a, b), lo que implica que si (a,b) = A, hace que A = int(A) Si definimos por Γ a la familia de todos los conjuntos abiertos de X, el par (X, Γ) es un espacio topológico.

-------------------------(-----(------x-----)------) A

Sea (X, d) y A un subconjunto de X. Se dice que un punto x ε X es un punto adherente a A si cada bola abierta centrada en x tiene intersección no vacía con A. El conjunto de todos los puntos adherentes de A se llama adherencia de A, _denotado por adh(A) o A X ----------------(--------------------)----- adh ∩ A

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Se puede definir un conjunto cerrado como aquel cuyos puntos adherentes están en A.Los intervalos cerrados se representan por [a, b]En un (X, d) un subconjunto A es abierto (cerrado) si su complementario x/A es cerrado (abierto) En un espacio métrico puede haber conjuntos que no sean ni abiertos ni cerrados:[a, b ) o ( a, b]Sea (X, d) y A un subconjunto de X. Se dice que un punto x ε X es un punto acumulación de A. si para cada bola abierta B(x, r) centrada en x la intersección : B(x,r) ∩ A tiene al menos un punto de A distinto de x. Es decir B(x,r) ∩ A / {x} ≠ 0El conjunto de todos los puntos de acumulación de A se llama derivado de A y se representa por A’Definimos punto aislado en A si no es punto de acumulación de A.A es cerrado si y solo si A’esta contenido en ASea (X, d) y A un subconjunto de X. Se dice que un punto x ε X es un punto exterior a A si es un punto interior del conjunto complementario. Es decir si existe una bola abierta tal que B(x, r) ∩ A / {x} = 0. el conjunto de todos los puntos exteriores a A se llama exterior de A.Se dice que x ε X es un punto frontera de A si es adherente a A y adherente al complementario X/A simultáneamente. El conjunto de todos los puntos frontera de A se llama frontera de A o FrA)

SUBESPACIOS METRICOSSea (X d) y E un subconjunto no vacío de X. podemos aplicar la aplicación dE: E x E → RCon lo cual (E, dE) es un subespacio métrico de (X, d)

METRICAS EQUIVALENTESCuando dos métricas dl y d2, sobre X dan la misma familia de conjuntos de abiertos se denominan equivalentesPara dos métricas equivalentes las propiedades topológicas son las mismas , pero no necesariamente sus propiedades métricas (diámetro, acotación etc) _ Sea (X, d), Se dice que un subconjunto de es denso D si D = X

TEMA 3 LIMITES Y CONTINUIDADSean (E1, dl) y (E2,d2) y f una aplicación de E1 en E2 y x0 un punto de acumulación de E1- Se dice que y0 ε E2 es el limite de f en x0 si se verifica: Existe un ε > 0 y un δ > 0 tal que : dl (x, x0) < δ implica que( d2(f(x), y0) < ε o lo que es lo mismo;

193

f (B( x0, δ) contenida en B(y0, ε)Si existe ese limite es único y también se denota por lim f(x) = y0 x → x0 ∞

Sea (X, d) y Σxn una sucesión convergente de elementos de X. Si existe un 1

a ε X y se verifica que dado un ε > 0 y un n0 ε N tal que d( xn, a) < ε para todo n > n0

O bien lim (xn ) = a y converge en a x→∞

Un punto a de define como adherente de A si existe una sucesión Σx de elementos de A Sean (E1, dl) y (E2, d2) , f una aplicación E1→ E2 y x0 un punto de E1. Y se verifica la condición; Existe un ε > 0 y un δ > 0 dl(x, x0) < δ implica que d2(f(x),f(x0) < ε. Si f es continua en cada punto de E1, se define como continua en E1

Si x0 es un punto aislado de El entonces toda aplicación es continua en x0 Si x0 es un punto de acumulación de El la continuidad de f en x0 equivale a que existaEl lim f(x) = x0 x→ x0

Sean (E1, dl) y (E2, d2), f una aplicación f: E1→ E2 y x, y ε E1 Existe un ε > 0 y un δ > 0 dl (x, y) < δ implica que d2(f(x),f(y) < ε. Entonces f se define como uniformemente continua..

Se dice que f es lipschitziana si existe una constante K tal que:

d2[f(x),f(y)]≤ K d1(x ,y)En particular si (El, d1) = (E2,d2) y K >1 se dice que es contractiva. Si d2(f(x),f(y) = d1(x ,y) se dice que es isómera. Se dice que f es un homomorfismo si es continua, biyectiva y su inversa también lo es,

Dos métricas d1 y d2 sobre el mismo conjunto X son equivalentes si y solo si la aplicación identidad Id: (X, d1) → (X, d2) es u homomorfismo.. Si además la aplicación anterior es uniformemente continua y también su inversa, se dice que son uniformemente equivalentes,

TEMA 4

COMPLETITUD Sea (X, d), Se dice que una sucesión {xn}n=1,∞ de elementos de X es de Cauchy si verifica la siguiente condición: Para cada ε > 0 existe un n0 ε N tal que (xn, xm) < ε para n, m ≥ n0 . Se dice que un (X,d) es completo si toda sucesión de Cauchy de elementos de X es convergente ( hacia un punto de X ) Se dice que (X, δ) es una compleción de (E, d) si ( X, δ ) es completo y existe una aplicación φ: E → X y se además se verifica las siguientes propiedades

a.- Y = φ ( E) es denso en X

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b.- φ es una isomería (biyectiva entre E y su imagen) , es decir δ [φ( a), φ(b)] = d(a, b)

PUNTOS FIJOS Y APROXIMACIONES SUCESIVAS. Sea X un conjunto no vacío y f: X → X. Si un punto x 0 ε X es tal que f(x0) = x0, define a x0 como punto fijo de f

TEMA 5

COMPACIDAD Sea (X, d), Se dice que una familia {Ai} i ε I de subconjuntos de X es un recubrimiento del conjunto E C X si:

E C o = a la U {Ai} i ε I.

Si además todos los conjuntos Ai son abiertos llamamos entonces recubrimiento abierto.

Se dice que un (X, d) es compacto si para todo recubrimiento abierto de X existe un subrecubrimento finito, es decir si para cada recubrimiento abierto {Gi)i ε I existe una subfamilia finita {Gil, Gi2,….Gim } / X = Gil U Gi2

U ….Gim

Sea (X, d) un espacio métrico compacto. Si A es un subconjunto infinito de X, entonces A tiene al menos un punto de acumulación.(Bolzano y Weierstrass). A los conjuntos que tienen un punto de acumulación se les llama numerablemente compactos Si (X, d) es compacto toda la sucesión de puntos de X al menos tienen una subsucesión convergente y se les llama secuencialmente compactos.. Todo espacio métrico numerablemente compacto es separable. Un subconjunto A de un espacio métrico X es relativamente compacto si y solo si toda sucesión de puntos de A tiene una subsucesión convergente (hacia un punto de X) . Se dice que (X, d) es localmente compacto si cada punto de X posee un sistema fundamental de entornos compactos

TEMA 6

CONEXIÓN. En un espacio métrico X son equivalentes las siguientes propiedades: 1.- Existen dos conjuntos abiertos T y V / :

X = T U V / T y V ≠ 0 y T∩V = 0

2.- Existen dos conjuntos cerrados E y F /

195

X = E U F y E ≠ 0 y F ≠ 0 y E∩F = 0

3.- Existe un A C X simultáneamente abierto y cerrado tal que 0 ≠ A ≠ X . Los únicos conjuntos simultáneamente abiertos y cerrados en X son el 0 y el X por lo que la condición 0 ≠ A ≠ X .

Si se da cualquiera de estas tres condiciones X es no conexo y si no se dan conexo.

TEMA 7

PRODUCTO DE ESPACIOS METRICOS En lo que sigue se consideraran (El, dl) y (E2, d2),

En el producto cartesiano: E1 x E2 {x1 ε El,. x2 ε E2} se define la métrica producto por: d[( x1, x2), (y1, y2)] = max [d1( x1, y1), d2(x2,y2)

Dado el producto cartesiano de un conjunto finito de espacios E1 x E2 x…En, para cada entero k con 1≤ k ≤ n, se denomina k.esima proyección a:

πk : E1 x E2 x E3… En → Ek / ( x1, x2, x3, xn ) → xk

TENSORESESCALARES PUNTOS Y VECTORES. Estudiaremos la estructura vectorial en R*3 y su espacio afin asociado E*3. Los escalares son definidos como tensores de orden 0. Los vectores se definen como tensores de orden 1

TENSORES DE ORDEN 2 Se denomina tensor de orden dos sobre un espacio vectorial V a la aplicación lineal: T: V- V / si v pertenece a V implica que Tv pertenece V. Al conjunto de tensores de orden dos, se denota como V*2..

Si T = 0 entonces Tv = 0 y obtenemos el tensor nulo en V*2

Si T = 1 entonces Tv = 1 y obtenemos el tensor Unidad. Propiedades de los tensores a.-Igualdad Si Tv = S v, entonces T = S b.- Producto Si (S T) =v --> S (Tv) Coordenadas de un tensor. Las coordenadas de un tensor S en una base cualquiera B = ( ei) son los escalares: Sij = ei . ( S .ej) Si v = S u vi = S ei = ei . ( Suj ej) = ei .uj.

Matricialmente se expresa: S11 S12 S13 S21 S22 S23 S31 S32 S33

196

Asi por ejemplo el S32 = e3. u2. Veamos por que. B ( e1, e2, e3) v(v1, v2, v3) u(ul, u2, u3) v = Su (vl, v2, v3 ) =( Sul, Su2, Su3) v3 = S u3 = e3 . (S ej uj)= e3 uj = S3j para j=i , S31, para j=2 S32 y su j=3 S32

Si en la misma Base establecemos dos tensores S y T. Es claro que cada tensor vendrá expresado por una matriz. De forma que el producto de dos tensores será otra matris que será igual al producto de las matrices que expresan a S y a T. U = S . T Uij = Sik . Tkj

PRODUCTO TENSORIAL O DIADICO. Si ahora el tensor en vez de ser S o T pasa a ser un producto de dos vectores a y b , se representa por: ( a (x) b ) y sus componentes son: ( a (x) b )ij = ei . ( ( a (x) b ) ej) = ei . ( a (b ej) ) =ai bj este tensor es de orden dos Cuya expresión matricial es : ( a (x) b )ij = a bT ( Su traspuesta) y si lo aplicamos a un vector v tendremos: u = (a (x) b ) v = a (b v) uij = ai bj vj por ultimo mediante el producto tensorial de los vectores de base se puede escribir el desarrollo de un tensor en función de sus componentes: T = Tij ei . ej

CAMBIO DE BASE Dada B ( ei ) y una B’ (e’i) los vectores de e’ a e serán: ei = A e’i o bien e’i_ = A*.ei

Siendo A un tensor que transforma los vectores de una base a otra. Desarrollando la formula anterior tenemos: e’i = (ej . e’i)ej ( ej . (A . ei )ej )

En forma matricial tendríamos: ( e1, e2, e3) =A ( (e’1, e’2, e’3) )T

Los componentes de A son: Aij = ei .( A . ej) = ei . e’j Aji = ej. (A . ei)= ei . e’i

TENSORES Y MATRICES Un tensor S decimos que tiene traspuesta si S ST = 1 Decimos que ST es simetrica si ST = S y hemisietrica si ST = -S Un tensor tiene inversa si S S-1 = 1 Un tensor es ortogonal si ST= S-1

CAMBIO DE LAS COORDENADAS DE UN TENSOR Un tensor define una aplicación lineal v = Tu que expresado en dos bases será: v = T u en base B v ’ = T ’ u en base B ’ v ‘ = AT v = AT T u = (AT T A )u’ de donde T’ = AT T A-

197

VECTOR AXIAL Para los tensores hemsimetricos tenemos: T = - T T

luego esto implica que u (T v) = - v (T u) Estos tensores hemisimetricos posen la propiedad consistente en que siempre existe un vector axial, que lo hace equivalente a un producto vectorial: Si W pertenece a V*2 y W = - WT. Para dos vectores w y x pertenecientes a V se cumple que W .x = w x x ( P. Vectorial)

ECUACIONES DIFERENCIALES El problema a resolver es dada una ecuación diferencial dy/ dx = −3x*2y, obtener f(x).

ECUACIONES EXPLICITAS DE PRIMER ORDENa.- De variables separadas dySon de la forma g(x) = h(y)y’ g(x) = h(y) ---- g(x) dx = h(y) dy dx Y se resuelven por cuadraturas ( Integrales ) Ejemplo dy dy ---- + (sen x)y ∫ ----- =∫ - sen x dx ln y = cos x + C y =e *cos x e *C dx y y haciendo e*C = K se finaliza

b.- Del tipo y’ = f ( ax + by). Si a = 0 o b = 0 se convierte en una edo de variables separadas. Si no es asi se aplica el cambio de variable : De y (x) por z(x) dado por z = ax + by z’= a + by’ Ejemplo y’ – e*x e*y = 1 y’ –l = e* x + y y’ – l = e*z Cambio ; e*Z =e* x + y dz ---- = z’ = e* z dx = e*-z dz x = ∫ e*-zdz x= - e*-z dx ln ( C – x) = -x – y y = ln ( C – x) + x

c.-Homogeneas Si y ‘ = f(y/x) realizamos el cambio z = y/x y =z x y’ = z’ x – z . Llamamos f(z) = z’ x – z . z’ x = f(z) - z que es de variables separadas. Analicemos la ultima expresión. Si f(z) no = z’ podemos escribir:

198

dz dx dz ∫-------- =∫ ----- y nos da ∫----- = ln (x/C) …f(z) - z x f(z) –z Explicacion de la primera integral:z’ x = f (z) – z dz/dx x = f(z ) – z dz/ f (z) – z =dx/x si suponemos que esta integral ya rsuelta nos da G(x), tendríamos que G(x) =ln(x(/c) lo que nos da que x = C e*G(x) y y = C ze*G(z)

que implica una solución en paramétricasFalta analizar;:Si z0 = f(z0), entonces la recta y = z0 x es solucion. y’ = z0 = f(z0)=f(y/x)

En general Si h (x. y ) es homogénea de grado α si h( λx , λy) = λ* α = h(x, y) Ejemplo y’ = (2xy – y2)/x2 y’ = y’ = 2y/x - (y/x)*2.

Efectuamos el cambio: u = y/x y’ = u’x +u Igualando ambos resultados de y’: u’x + u = 2u – u*2 u’x = u – u*2 ∫ du/ u – u*2= ∫dx/xPrimera : ∫ du/ u – u*2 = ∫du/ u(l – u) 1 A BRacionalizando tendremos que --------- =--- + ------- que da A = B = i u (1-u) u 1 –uPrimera ∫: ln u - ln (1-u) = ln(x/C)= Segunda Integralln( u/l-u) = ln(x/c) - u(l-u= x/c y en esta se sustuye u y posteriormente se despaja xFalta analizar los casos en que:u = 0- y = 0 u = 1 y = xque son soluciones particulares d.- Reducibles a homogéneasSon del tipo: a1 x + a1b + cy’ =----------------- a x + by + cExisten diferentes posibles soluciones:

- Si las dos rectas se cortan en P(x0 , y0) se efectua el cambio : X =( x - x0 ) e Y = ( y – y0). Con este cambio reducimos la ecuación a una homogénea-Si las rectas son paralelas, implica que (a1, b1) = k ( a , b), en este caso se hace el cambio de variable z = ax+byEjemplo 1 - 2x + 4y -6y’ =----------------

199

x + y – 3Se cortan en P (1,2) X = x- 1 Y = y- 2 Y’ = y’

2X + 4Y -2 + 4(Y/X)Y’=-------------- =--------------- X + Y 1 + (Y/X)La hemos convertido en una homogénea cuyo cambio es u = u/x . Se realiza y posteriromente se deshace el cambio efectuado de X e YEjemplo 2 x – y -1y’ = ----------- las dos rectas son paralelas x –y -2 z - 1Cambio z = x – y z’ = 1 – y’ quedando ------ = z’- 1 z -2Y se finaliza…e.- Homogéneas implícitasSon del tipo: F( y/x, y’) = 0Para resolverla consideremos la curva F(α, β ) =0 y supongamos que hemos resuelto su representación paramétrica dada por:- α = W1 (t)- β = W2(t)Es decir que se verifiva F(W1 (t) , W2(t) ) = 0Hacemos el cambio y/x = W1 (t) entonces y’ = W2 (t)y = x W1 (t) y’ = W1(t) + x W’1(t) dt/dxLuego W2 (t) = W1(t) + x W’1(t) dt/dx W2 (t) - W1(t) = x W’1(t) dt/dx Que es de variables separadas. dx W’1(t) dtSi W1(t) no = a W2(t) ∫------ =∫----------------- x W2 (t) - W1(t) Que es de variables separadas. dx W’1(t) dtSi W1(t) no = a W2(t) ∫------ =∫----------------- x W2 (t) - W1(t) Ejemplo:x*2(y’)*2 – (y*2 + x*2) =0 ( y’)*2 – (y/x)*2 = 1) Cambio y’ = ch t ch*2 t - sh*2 t = 1 luego y/x = sh t y = x sh t y’ = sh t + x cht .dt/dx Luego ch t = sh t + x ch t dt/dx ch t – sh t = = x ch t dt/dx ch t – sh t/ ch t dt = x/dx : x ch t dt∫ --- = ∫ ------------- dx ch t – sh t (e*t + e*-t)/2 (e*t + e*-t)Donde cht / ch t – sh t = ----------------------------- =----------- = l/2 (1+ e*2t)

200

(e*t + e*-t)/2 - (e*t - e*-t)/2 2 e*-t

ln(x/c) = l//2 t + ¼ e* 2t x = C e* t/2 + e* 2t /4 y = sh t . C e* t/2 + ¼ e* 2t

y se deshace el cambio en tf.- Sea la ecuación y’ =f(x,y) con f tal que para algún α fijo se verificaf(λ x , λ* α y ) = λ* α-1 f(x,y)Si:. α = 0 es una diferencial de variables separadas. α = 1 es una diferencial homogeneaPara cualquier otro valor de α , se hace el cambio y = z* α

Ejemplo 1 y √xy’ = --- --- - 3 ---- pasada a potencia tenemos : 2 x y*2

f(x,y) =1/2 x*-1 y – 3 x*1/2 y*-2

Ahora debemos de encontrar el valor de α: x)*-1. λ * α y – 3(λx)*1/2 (λ * α y)*-2 = ½ λ*-1 x*-1 λ * α y -3λ*1/2 x*1/2 λ * α-2 y*-2 λ * α=1 x*-1 y - 3λ*1/2+ α-2 2 x*1/2 y*-2

Y observamos que es igual a λ* α-1 f(x,y) con tal de hacer α = 1!2 por lo que se procede al cambio y = z*1/2 , la convertimos en una homogéneaY posteriormente en la misma realizamos el cambio general para las mismas o sea y/x = uECUACIONE S EXACTASa.-Son del tipo P(x. y) dx + Q(x. y) dy = 0 dy/dx =y’= - P(x,y)/Q(x,y)Y que cumplen con que Py = Px

Siendo: δP δQPy=------ Px = ----- δ y δx .En este caso, buscamos una función F(x,y) tal que. δF δFP =---- y Q = ---- δx δy por lo que dF =Pdx + Qdy F(x,y) =∫P dx + σ(y) donde σ(y) es la constante de integración. Y siendo:Fx =∫ Pdx δFx Fy =------ y también Fy = =∫ Qdx δy

201

Si derivamos respecto a y F(x,y) tendremos: δF δQx =------ = ----- =∫P dx + σ’(y) δ y δyDe aquí se despeja σ’(y) Ejemplo:3y + e*x + (3x + cos y) y’3y + e*x = - (3x + cos y)dy/dx

(3y + e*x)dx + (3x + cos y)dy =0Py = 3 = Px Es exacta. dF=(Fx, Fy)=P dx + Q dy=(3y + e*x)dx + (3x + cos y)dyFx = ∫(3y + e*x)dx = 3yx + e*x + σ(y)Fy = 3x + σ’(y) = 3x + cos y σ’(y) = cos y σ (y) = sen yF(x,y ) = = 3yx + e*x + sen y + Cb.- Reducibles a exactas. Factor integranteSi P(x. y) dx + Q(x. y) dy,no es exacta siempre podremos obtener un factor integrante tal que.µ(x,y) P(x. y) dx + µ(x,y) Q (x. y) dy =0 por lo que Py = Px y exactaPy = δ µ(x,y) P(x. y)/ δ yPx= δ µ(x,y) Q (x. y)/ δ y-Busqueda factor integrante del tipo µ(x)µ(x) P(x. y) dx = µ(x) Q (x. y) dy derivando tenemos: δ δ ----- µ(x) P(x. y) = ---- + µ(x) Q (x. yδ y δxµ(x) Py(x. y) = µ’(x) Q (x. y) + µ(x) Qx (x. y)=0µ’(x) ( Py(x. y)- Qx (x. y)------ = ---------------------------- µ(x) Q (x. y)De donde obtenemos el valor de µ(x) -Busqueda del factor integrante del tipo µ(xy).Se procede igual al caso anterior obteniendo.µ’(y) ( Qx(x. y)- Py (x. y)------ = ---------------------------- µ(y) P (x. y)-Busqueda factor integrante para otros casos.Si los anteriores no son aplicable se puede intentar µ(x, y) = x * α y* β, con α y β constantes a determinarEjemplo(2x*2 + y ) dx + ( x*2y – x) dyPy = 1Qx = 2x y – 1

202

Buscamos µ(x) para lo cual µ’(x) ( Py(x. y)- Qx (x. y) -2 ------ = -------------------------= --- µ(x) Q (x. y) xde donde µ (x) = x*-2

Se multiplica la ecuación dada por µ (x) = x*-2 con lo que la trasformamos en homogénea y se resuelve como talc.- Ecuaciones lineales de primer ordenDada la ecuación, y’ + a(x) y =b(x), puede resolverse por tres métodos distintos:-Factor integrante del tipo µ(x)Ejemplo 3y2xy’ -3y = 4x*2 ‘y’ - ----- =2x y’ = 2x + 3y/2x dy =(2x + 3y/2x)dx 2x-dy =(-2x - 3y/2x)dx =(-2x - 3y/2x)dx +dx = 0 . δ 3y δ δ 3y ---- µ(x)( -2x - ----- )= ---- µ(x) . 1---- (µ(x)( -2x ) -(µ(x) ----) = µ’(x). δ y 2x δx δy 2x

-3 µ(x) µ’(x) 3 dx-------- = µ’(x) ∫ ------- =- ---∫---- µ(x ) = x*-3/2

2x µ(x ) 2 xObtenido µ(x ), se prosigue- Resolver la homogénea asociada y aplicar después el método de la variación de las constantes 3 3y y’ 3y’ - ----- =2x la homogénea asociada es y’ - ----- =0-----= ----- 2x 2x y 2xy = C x*3/2

El método de variación de las constantes implica considerar a éstas como funcion de x y derivar por lo que y = C x*3/2 C(x) x*3/2

y’=C’(x) x*3/2 + C(x) .3/2 x*1/2 que sustituyendo a y’ e y en la ecuación no homogénea 2xy’ -3y = 4x*2 da2x(C’(x) x*3/2 + C(x) .3/2 x*1/2 ) -.3 C(x) x*3/2 = 4x*2

2 C’(x) x*5/2 + 3 C(x) x*3/2-3 C(x) x*3/ = 4x*2

2 C’(x) x*5/2 = 4x*2

C’(x) x*5/2 = 2x*2

C’(x) = 2 x*-1/2 ∫C’(x)dx = ∫2 x*-1/2dx C(x) = 4 x*1/2 + KResultado que sustituido en y = C x*3/2 nos da y =( 4 x*1/2 + K) x*3/2Y =4x*2 + K x*3/2

- Obtención de una solución particular yp que su sumara a la solución de la homogénea asociada

203

La diferencial original es 2xy’ – 3y = 4x*2 como la Edo es una ecuacion de 2º grado elegimos como yp = a x*2 +bx + c y’p = 2 a x + b se sustituye en la diferencial2x( 2 a x + b) – 3y =4x*2

4 a x*2 + 2bx – 3(a x*2 +bx + c) = 4x*2

a x*2 – bx – 3c = 4x*2 a = 4 b = c = 0 Luego yp =4x*2

Una vez obtenida la solución particular se resuelve la homogénea y se le suma la yp obtenida .Como la homogénea es: y = C x*3/2 entonces y = C x*3/2 + 4x*2

- Se efectua directamente el cambio de y = u v , y’ = u’ v + u v’Trabajamos con la homogénea:2xy’ -3y = 0 2x( u’ v + u v’) – 3 u v = 02

2x u’ v + 2x u v’ – 3 u v =02x u’ v + u ( 2xv’ + 3v) = 0Si igualamos a cero el coeficiente de u =0 :2x u’ v = 0u = 02xv’ + 3v = 0 v’/v =3/3x v = x * 3/2

2x u’ x*3/2 = 4x* 2 u’ = x*-1/2 u =4 x* ½ + CRecomponiendo como y = u v = (4 x*- ½ + C) x * 3/2 = 4x*2 + C x*3/2

ECUACION DE BERNOUILLISon del tipo y’ + a(x) y + y* α

Cambio u = y* 1- α u’ = (1 – α )y*- α

EjemploProcedimiento 1x y’ + 2y + x*5 y*3 e*x = 0 y’ + 2/x y + x*4 y*3 e*x = 0Cambio u ‘y*3 y’ u’u = y*-2 - u’ = -2 y*-3 y ` y’ = ----- ---- = -----` -2 y*3 -2Realizando el cambio tenemos: u’ 2 u’ 2 ---- +----- y*-2 + x*4 e*x = 0 ---- - ----- y*-2 - x*4 e*x = 0- 2 x 2 x 4 4u’=2 x*4 e*x - ---- u = ∫(2 x*4 e*x - ---- )dx x xu = x*4( 2 e*x + C) y*-2 = x*4( 2 e*x + C ) y = x*-2(2 e*x + C)*-1/2

Procedimiento 2x y’ + 2y + x*5 y*3 e*x = 0 Cambio y= u v y’ = u’ v + u v’x(u’ v + u v’) + 2 u v + x*5 u*3 v*3 e*x = 0

204

x u’v + xu v’ + 2 u v + x*5 u*3 v*3 e*x = 0xu’v + u( x v’ + 2v) + x*5 u*3 v*3 e*x = 0xu’v = 0x*5 u*3 v*3 e*x = 0u( x v + 2u) x v’ + 2v = 0 v = x*-2

Ahora la nueva ecuación será: x u’v + x*5 u*3 x*-6 e*x = 0u’x*-1 = x*-1 u*3 e*x

u` = u*3 e*x u’ / y*3 = e*dx

Obtenemos u y recomponemos en función de los valores de u y v el valor de y = u v

ECUACION DE RICCATI Son del tipo y’ + a(x) y + b(x) y*2 = e+x

Se busca una solución particular yp tal que y = yp + z y’ =y’p + z’ y al sustituir en la ecuación la convertimos en una ecuación de Bernouilli de grado α = 2 por lo que su cambio es u = y*-1

Ejemploy’ + y*2 = x*2 – 2x Cambio yp = (ax + b) y’+ (ax + b) *2 = x*2 – 2xy’ + ( ax)* 2 + b*2 + 2ab x= x*2 – 2x a= -1 b = 1yp = (-x + 1) + z y’p = -1 + z’Cambio y = yp +z =- x + 1 + z y’ = -1 + z’-1 + z’ + (( -x + 1)+ z))*2 = x*2 – 2x-1 + z’ + ( x*2+ 1 -2x) + z*2 + 2 (-x +1)z = x*2 – 2xz’ + ( 2 -2x)z + z*2 = 0Que es una ecuación de Bernouilli con α = 2

ECUACIONES EN LAS QUE LA DERIVADA APARECE IMPLICITAMENTESon de la forma f ( x, y, y’) = 0a.- Algebraica de y’ con grado n(y’)*n + a1 (x,y) (y’) * n-1 + … + an-1 ( x,y) y’ +an (x,y)Como se ve es un polinomio con una incognita y’ de grado n, que se resuelve, obteniendo sus raices:((y’ – f1(x,y) ) ((y’ – f2(x,y) ) ((y’ – f3(x,y) )…..= 0Lo que implica resolver cada (y’ – fi(x,y) = 0Ejemplo 1 – y*2

y*2 ( y’*2 + 1) = 1 y*2 y’*2 + y*2 = 1 y’*2 = --------- √ 1 – y*2 ydy y*2

y’ = ----------- ∫ --------- = ∫dx y √ 1 – y*2

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√ 1 – y*2 = x + C l = (x + C)*2 + y*2, que es una circunferenci de R = 1

EVOLVENTE DE UNA FAMILIA DE CURVASDada una familia de curvas φα en el plano, la envolvente de una familiaEs una nueva curva φ, tal que en cada punto de contacto de φ con φα, la tangente es la mismaUna familia de curvas expresada implícitamente es F(x,y,C) dado que para cada C aparece una curva de la familia.SeaF(x,y,C) δF Fc= (x,y,C) para Fc = ---- δCLa envolvente siempre se obtiene eliminando C del sistema.EjemploEnvolvente de (x + C)*2 + y*2 = 1(x + C)*2 + y*2 = 12(x * C) = 0 x = -C y la ecuación nos queda+ y*2 = 1 y = + - 1 y son rectas.

Si las curvas están dadas en paramétricas:x =x(C ,t)y= y(t, C)La evolvente se obtiene despejando C en el jacobiano( Xc Yc )( ) = 0( Xt Yt )

EDOs Implicitasa.- Del tipo f ( x, y’)Como norma general se hace y’ = p y se deriva f(x,y’) respecto a x:p = y’ =fx (x,p) + fy’(x,p) p’ b.- Del tipo y = f(y’)Mismo cambio anterior; y’= p = fy’(p) p’ = fp(p) p’ Ejemplox= (y’) *3 + y’x = p*3 + p derivando respecto de y dx dp dp 1 dp(3 p*2+ 1)---- = 3 p*2 --- + ---- ---- = ------------ dy dy dy p dy 3 p*2

dy= 3 p*3 p y = --- p*4 + ------ x = p*3 + p 4 2

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c.- Ecuacion de LagrangeDel tipo: y + x φ(y’) + W(y’) = 0 Derivando respecto de x: dp dp p + φ(p) + x φ’(p)--- + W’(p) ---- = 0 dx dxse suele expresar multiplicando la anterior por dx:(p + φ(p) ) dx+ x φ’(p)dp + W’(p) dp = 0En esta ultima y siempre que p + φ(p) = 0 podenos dividirla por estos sumandos dando: φ’(p) W’(p) dx + ---------- x dp + ---------- dp p + φ(p) p + φ(p) dx φ’(p) W’(p) ---- + --------- x + ----------dp p + φ(p p + φ(p)Y esta es una ecuación lineal en la que x actua como función y p como variable que se resuelve en paramétricasEjemploy = x + y’ – 3(y’)*2 y = x + p – 3p*2 derivando respecto de x tenemosp = 1 + p’ – 6pp’ = 0 y = 1 + p’( 1 – 6p) = 0 (p – 1) dx = (1 – 6p) dpEjemploy = x + y’ – 3(y’)*2 y = x + p -3p*2, derivando respecto a x:p = 1 + p’ – 6 p p’ 1 – 6pp -1 = p’ (1 -6p) p -1 = dp /dx (1 -6p) ∫dx = ∫------- dp ( p-1) 1 -6p -5 dp------ = - 6 + ---- ∫-6 dp + -5∫------ = -6p +5 ln (p-1)+ C p -1 p – 1 (p -1)Soluccionx = = -6p -5 ln (p-1)+ Cy = -5p - 5 ln (p-1)- 3p*2

d.- Ecuacion de ClairautDel tipo y – xy’ + φ(y’) = 0Es un caso particular del de Lagrange que se da cuando φ (y’) = -y’. Esto hace que φ(λ) + λ = 0 poe lo que no9 existen soluciones que, en la ecuacon de Lagrange, encontrábamos por el método general, sólo aparecen rectas que corresponden a la familia. y = λ x – W(λ) = 0Existe además una solkucion singular que es la envolvente de la familia de rectas

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Ejemplo 1y = y’*2 + 2 (y’)*3 y = p*2 + 2 p*3 derivando respecto a xp = 2pp’ + 6 p*2 p’p = p’ (2p + 6 p*2) = p’ p(2 – 6p)Si p no = 0 dpp/p = p’/p(2 + 6 p) 1 = (2 + 6p)---- dx∫dx = ∫ (2 + 6p)dpx = 2p + 3p*2 + Cy = = p*2 + 2 p*3

Si deseamos conocer la envolvente a estas coordenadas paramétricas. Montamos el jacobiano( Xc Yc) ( 1 0 )( ) = 0 ( ) = 2p + 6p*2 =0 p(2 + 6p)= 0( Xp Yp ) (2+6p 2p+ 6p*2 )

De donde p=0 y P= -1/3Calculemos el vector tangente que es( 2+ 6p , 2p 6p*2 ) que para p = 0 vale 2,0) y para p= -1/3 vale (0,0) es decir no existe por lo que no es solución.Para p = 0 tenemos la recta¨:x = Cy = 0Ejemplo 2y = y’ x – 2(y`)*2 y = p x – 2 p*2

p = p’ x + p – 4p p’0 = p’ ( x – 4p) x -4p x = 4p Es una parabolaSoluciónx = 4py =4 p*2 – 2p*2= 2p*2

e.- Ecuacion del tipo F( y, y’)Consideramos la curva F(α. Β)= 0 Si encontramos una representación paramétrica α = φ( t) y β= w(t) tal que F(φ( t) , w(t)) = 0, se hace el cambio de y por t, siendo y = φ( t) e y’ = w(t)Ejemploy*2/3 + (y’)* 2/3 = 1(sen*3)*2/3 + (cos*3)*2/3 = 1Hacemos y’ = sen*3 t dt y = cos*3 t y = -3 cos*2 sen t ----- dt dx-3 cos*2 sen t --- sen*3 t dx

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-3 cos*2 sent dt - 3 cos*2 dtdx = ----------------- dx = ------------= - 3 cotg *2 t sen*3 t sen*2 t

x = -3∫( 1 + cotg *2 t -1 ) dt = - 3∫dt -3= - 3 cotg t + 3t * Cy = cos *3 t ECUACIONES DIFERENCIALES EN LAS QUE SE PUEDE REDUCIR EL ORDENa.-Son del tipo:F ( x, y*(k) ….y*n) = 0 con 1<= k <= nTenemos por tanto una ecuación en La que no aparece la variable dependiente y , además si k> 1 tampoco aparecen sus derivadas hasta el orden k -1.El cambio y*(k) = z la convierte en F( x, z…z*n-k ), que es una EDO de orden n-k. Su solucion será :z= φ ( x, C1.C2,… Cn-k )es decir, una familia dependiente de n- k constantes, entonces como z= y*k

para encontrar las soluciones de La ecuación original, bastara con integrar k veces φ ( x, C1.C2,… Cn-k ) respecto de x:

y = ∫∫….∫∫ φ ( x, C1.C2,… Cn-k )dx dx…dxdx k veces k vecesEjemploy’’ – xy’’’ +(y’’’)*3 = 0 Cambio z = y’’ z’ = y’’’z – xz ‘+ z’*3 = 0 esta ecuación es de Clairaut por lo que basta con sustitruir z’ = λ y la solución son rectas z =λ x -- λ *3 = 0Para generar las envolventes generamos el sistema:z = λ x - λ *3 :0 =x - 3 λ *2 (Se obtiene por derivación de la primera)De la segunda ecuación obtenemos λ = + - √x/3 que sustituido en la primera nos da: z = + - 2x/3 √x/3 que es la envolente Una vez resuelta la ecuación de Clairaut, vamos a obtener las soluciones de la ecuación original:Como y’’ = z , deberemos integrar dos veces z para obtener y:Y = ∫ ∫ (λ x -- λ *3) dx) dx ∫( λ x*2/2 - x λ *3 )dx λ x*3 λ *3) x*2

y =------ - ------------ + C1 x + C2

6 2Podemos en esta solución vcambiar las constantes haciendo k1 = λ/6 , quedando en definitiva . y =k1 x*3 - * 108 k1*3 + K2 x +k3

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Faltaria realizar el proceso de la doble integración anterior aplicado a la envolvente obtenida+ -∫(∫ (2x/3 √x/3) dx)dx … y se prosigue hasta su finalizcionb.-Ecuaciones lineales de orden superiorSon del tipo an(x)y*(n) + an-1 (x) y*(n-1)…a1(x) y’ + a0(x) = g(x)Para resolverla se obtiene una solución particular yp de la lineal homogénea asociada

Y después se realiza el cambio de y(x) = yp .z(x), con lo cual reducimos la ecuación propuesta al caso anterior.Ejemploxy’’ + (7x -1)y’ -7y =x*2 e*-7x

La lineal homogénea asociada tiene por solución e*ax

Cambio y = e*ax

a*2 x e*ax + ( 7 – 1)a e*ax - 7 e*ax = 0e*ax(x ( a*2 + 7 a) - a – 7) = 0 que se cumple para a = -7Luego yp = e*-7 x y el cambio es y = yp z, derivando tenemos:y’ = y’p z + ypz’ y’’ = y’’p z + 2 y’p z’ + yp z’’Sustituyendolas en la ecuación y simplificando nos queda: x z’’ + (-7 x – 1) z’ = x*2 y en esta ecuación para convertirla en lineal realizamos un nuevo cambio: z’ = u. Resuelta la lineal , se deshacen los cambios efectuados.c.-Ecuacion del tipo:F( y, y’ … y(n) )En este tipo de ecuaciones no aparece explícitamente la variable x . Se resuelven Haciendo el cambio y = p Pero las sucesivas derivadas que podamos precisar seran , por faltar x , con respecto de y.dx dp d2 p---- = y’ = p pero p’ = --- p’’=---- dx dy dy*2

Para resolver cualquier derivada , debemos de recordar la regla de la cadena y aplicarla: dy’ dp dp dyy’’ = ----- = ------ = ------ ----- = p p’ dx dx dy dx dy’’ d d dyy’’’ = ----- = -----(p p’)= (p p’) ---- =(p’ p +p’*2)p dx dx dy dxEn la ecuacion dada efectuamos los cambios anteriores y nos da ;

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F8 p, p’ , p’’..) en la que siempre podremos encontrar una solución del tipo:P = φ ( y, C1 C2, … )Ejemplo y 2p dp2y y’’ = (y’)*2 + 1 2y( p p’) = p*2 +1 ∫ ---- =-∫ ---------- dy p*2 + 1 ln( y C) =ln (p*2 +1)y C = p*2 +1

d y√yC -1 =p- ----- =√yC -1 que es de variables separadas. Se finaliza Dxc.-Homogenea generalizadaSon del tipo F(x, y, y’ …y*n ) = 0La ecuación es tal que para α y m fijos F cumple con:F(λ x, λ*m u0 . λ*m-1 u1+--- λ*(m –n) un = λ* α ( x, u0,u1,…..un)En estas ecuaciones hay que tener muy presente que el factor x contribuye con un grado y los factores y, y’ y’’ con los grados m, m-1, m-2 respectivamenteSe realizan los cambios x = e*t

y = e* mt zVeamos las diferentes derivadas:dx dy ---- =e*t ----- = m e* mt z + e* mt z’dt .. dtPor lo que dy m e* mt z + e* mt z---- = ---------------------- = e*(m-1)t + mz’dx e*t

d*2 y d dy d dy dt d dy 1------ =---- ( ----- ) = ------(-------) ------= ----- (------) -------dx*2 dx dx) dt dx dx dt dx dx/dtAplicando estas derivaciones F original se transforma en:F( e*t, e*mt z, e*(m-1)t (z’ +mz) +… )Ejemplo4 x*2 y*3y’’ =x*2 – y*4

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En primer lugar debemos de conseguir que esta ecuación sea homogénea generalizada. Para serlo cada monomio cdebe de ser del mismo grado. En el miembro de la derecha se consigue haciendo 2 = 4 m lo que nda M = ½. En el miembro de la izquierda tenemos 2+ 3m + (m- 2) = 2 Luego es homogénea generalizada de grado 2 y con m= ½CambiosX = e*t

Y = e*1/2 t zConocidos ya los cambios se procede a su resolución.

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