matematicas financieras 4ta.ed - alfredo diaz mata

00 PRELIMI 00.indd II00 PRELIMI 00.indd II 11/28/08 2:44:07 AM11/28/08 2:44:07 AM

Matemticas fi nancieras

00 PRELIMI 00.indd I00 PRELIMI 00.indd I 11/28/08 2:44:07 AM11/28/08 2:44:07 AM

00 PRELIMI 00.indd II00 PRELIMI 00.indd II 11/28/08 2:44:07 AM11/28/08 2:44:07 AM

Alfredo Daz MataFacultad de Contadura y Administracin

Universidad Nacional Autnoma de Mxico

Vctor Manuel Aguilera GmezUniversidad Iberoamericana

Universidad Nacional Autnoma de Mxico

Revisor tcnicoMario Luis Cruz Vargas

FACPYA, Facultad de Contadura Pblica y AdministracinUniversidad Autnoma de Nuevo Len

Matemticas fi nancierasCuarta edicin

MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO

AUCKLAND LONDRES MILN SO PAULO MONTREAL NUEVA DELHISAN FRANCISCO SINGAPUR SAN LUIS SIDNEY TORONTO

00 PRELIMI 00.indd III00 PRELIMI 00.indd III 11/28/08 2:44:08 AM11/28/08 2:44:08 AM

Director Higher Education: Miguel ngel Toledo CastellanosDirector editorial: Ricardo A. del Bosque AlaynEditor sponsor: Jess Mares ChacnEditora de desarrollo: Marcela Rocha MartnezSupervisor de produccin: Zeferino Garca Garca

Diseo de portada: Javier Corts/Publix

MATEMTICAS FINANCIERASCuarta edicin

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra,por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS 2008, respecto a la cuarta edicin porMcGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. de C.V.A Subsidiary of Th e McGraw-Hill Companies, Inc. Prolongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre A, Pisos 16 y 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegacin lvaro Obregn C.P. 01376, Mxico, D. F. Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736

ISBN-13: 978-970-10-5920-3ISBN-10: 970-10-5920-4(ISBN: 970-10-2525-3 de la tercera edicin)(ISBN: 968-42-786-8 de la segunda edicin)Copyright MMVIII, by Alfredo Daz Mata y Vctor Manuel Aguilera GmezAll rights reserved

0123456789 09765432108

Impreso en Mxico Printed in Mexico

Reimpresin revisada

00 PRELIMI 00.indd IV00 PRELIMI 00.indd IV 12/4/08 8:15:43 AM12/4/08 8:15:43 AM

Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

Captulo 1 Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Leyes de los exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Exponente cero, negativo y fraccionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Clculos con logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6 Redondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.7 Progresiones aritmticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.8 Progresiones geomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.9 Progresiones geomtricas infi nitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.10 Uso de Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.11 Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Captulo 2 Inters simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.1 Introduccin y conceptos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2 Monto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3 Valor actual o presente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.4 Inters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.5 Tasa y tipo de inters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.6 Plazo o tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.7 Tiempo real y tiempo aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.8 Descuento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.9 Grfi cas de inters simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.10 Ecuaciones de valores equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.11 Aplicaciones. Ventas a plazo. Tarjetas de crdito. Prstamos prendarios (empeo). Pagos anticipados de facturas . . . . . . . . . . . . . . 70 2.12 Uso de Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.13 Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Captulo 3 Inters compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.2 Conceptos bsicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

CONTENIDO

00 PRELIMI 00.indd V00 PRELIMI 00.indd V 11/28/08 2:44:08 AM11/28/08 2:44:08 AM

ContenidoVI

3.3 Monto compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.4 Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.5 Valor actual o presente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.6 Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.7 Tasa de inters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.8 Ecuaciones de valores equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.9 Tiempo equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.10 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3.11 Uso de Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 3.12 Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Captulo 4 Anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4.1 Introduccin y terminologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.2 Tipos de anualidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.3 Monto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 4.4 Valor actual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.5 Renta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.6 Plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 4.7 Tasa de inters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.8 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 4.9 Uso de Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 4.10 Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Captulo 5 Anualidades anticipadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

5.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 5.2 Monto y valor actual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 5.3 Renta, plazo e inters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 5.4 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 5.5 Uso de Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 5.6 Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Captulo 6 Anualidades diferidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

6.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 6.2 Monto y valor actual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 6.3 Renta, plazo e inters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 6.4 Uso de Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 6.5 Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Captulo 7 El caso general de anualidades . . . . . . . . . . . . . . . 245

7.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 7.2 Monto y valor actual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

00 PRELIMI 00.indd VI00 PRELIMI 00.indd VI 11/28/08 2:44:09 AM11/28/08 2:44:09 AM

Contenido VII

7.3 Renta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 7.4 Tasa de inters y plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 7.5 Anualidades generales anticipadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 7.6 Anualidades generales diferidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 7.7 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 7.8 Uso de Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 7.9 Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

Captulo 8 Amortizacin y fondos de amortizacin . . . . . . . 303

8.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 8.2 Tablas de amortizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 8.3 Importe de los pagos en una amortizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 8.4 Derechos adquiridos por el deudor y saldo a favor del acreedor . . . . . 308 8.5 Nmero de pagos en una amortizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 8.6 Tasa de inters en una amortizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 8.7 Otros casos de amortizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 8.8 Depsitos a un fondo de amortizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 8.9 Total acumulado en un fondo de amortizacin y saldo insoluto . . . . . 321 8.10 Nmero de depsitos en un fondo de amortizacin . . . . . . . . . . . . . . . 322 8.11 Tasa de inters en un fondo de amortizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 8.12 Comparacin entre amortizacin y fondo de amortizacin . . . . . . . . . 326 8.13 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 8.14 Uso de Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 8.15 Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

Captulo 9 Inversin en bolsa de valores . . . . . . . . . . . . . . . . 353

9.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 9.2 Rendimientos de valores burstiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 9.3 Los valores burstiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 9.4 Rendimiento de valores que ofrecen ganancias de capital . . . . . . . . . . 359 9.5 Rendimiento de valores que pagan intereses (y que tambin

permiten ganancias de capital) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 9.6 Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

Captulo 10 Depreciacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

10.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 10.2 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 10.3 Mtodo de lnea recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 10.4 Mtodo de porcentaje fi jo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 10.5 Mtodo de suma de dgitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 10.6 Mtodo por unidad de produccin o servicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 10.7 Mtodo del fondo de amortizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 10.8 Depreciacin en pocas infl acionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

00 PRELIMI 00.indd VII00 PRELIMI 00.indd VII 11/28/08 2:44:09 AM11/28/08 2:44:09 AM

ContenidoVIII

10.9 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 10.10 Uso de Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 10.11 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

Captulo 11 Probabilidades y tablas de mortalidad . . . . . . . . 445

11.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 11.2 Concepto de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 11.3 Probabilidad matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 11.4 Probabilidad estadstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 11.5 Esperanza matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 11.6 Valor actual de un pago contingente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 11.7 Tablas de mortalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 11.8 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 11.9 Uso de Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 11.10 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

Captulo 12 Anualidades contingentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481

12.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 12.2 Valor actual de un dotal puro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 12.3 Anualidades vitalicias vencidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 12.4 Anualidades vitalicias anticipadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488 12.5 Anualidades vitalicias diferidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490 12.6 Anualidades contingentes temporales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 12.7 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496 12.8 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499

Respuestas a los ejercicios de seccin impares . . . . . . . . . . . . . 505

Apndice Manejo de tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519

1. Mantisas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520 Tabla I. Mantisas logaritmos con base 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 Tabla II. Tabla de mortalidad de hombres, Mxico, 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 Tabla III. Tabla de mortalidad de mujeres, Mxico, 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550

ndice analtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553

00 PRELIMI 00.indd VIII00 PRELIMI 00.indd VIII 11/28/08 2:44:10 AM11/28/08 2:44:10 AM

Las matemticas fi nancieras tienen aplicacin en la vida cotidiana de las personas y las em-presas, por ello resulta imprescindible su cabal comprensin, pues los errores que con ellas se cometen tienen repercusin directa en el bolsillo. La lectura de esta obra y la solucin de los problemas que en ella se presentan permitirn al lector adquirir los conocimientos nece-sarios para comprender las implicaciones que tienen las variaciones del valor del dinero en el tiempo.

Al igual que en las ediciones anteriores, la cuarta edicin de Matemticas fi nancieras tiene como propsito primordial presentar las herramientas matemticas necesarias para evaluar la equivalencia del valor del dinero en diferentes tiempos y circunstancias de la manera ms sencilla posible; es decir, abordando los temas con la menor complejidad matemtica que el tema permite.

Con ejemplos didcticos, se lleva al lector paso a paso a la solucin de problemas prcticos la cual puede ser en forma manual o con el auxilio de una calculadora electrnica que se presentan tanto en la vida personal como en la vida de los negocios. Una vez que se logra la comprensin de stos, la realizacin de los clculos asociados podr efectuarse con rapidez utilizando las funciones y capacidades que ofrecen las hojas de clculo electrnicas. Sin embargo, es necesario recalcar la necesidad de entender el planteamiento de los problemas y de la lgica para su solucin, pues con la misma velocidad con que se puede obtener la solucin correcta a clculos complejos, se pueden cometer errores garrafales, provocados por un mal planteamiento o una pobre comprensin de la lgica de los problemas fi nancieros.

En lo esencial, se han conservando los temas de las ediciones anteriores, haciendo nicamente las precisiones sugeridas por profesores y estudiantes que lo han utilizado.

La estructura bsica se mantuvo como sigue:

Introduccin y conceptos bsicos (captulo 1) Inters simple e inters compuesto (captulos 2 y 3) Anualidades (captulos 4 a 7 y 12) Amortizacin y tablas de amortizacin (captulo 8) Depreciacin (captulo 10) Inversin en bolsa de valores (captulo 9) Probabilidad y tablas de mortalidad (captulo 11), que es la base del captulo 12, que

trata las anualidades contingentes. Aqu se revisa la tabla de mortalidad de la poblacin mexicana y se incluye una tabla de mortalidad dividida ahora por sexos, en hombres y mujeres, basada en una publicacin de la Asociacin Mexicana de Instituciones de Seguros, A.C., y de la Asociacin Mexicana de Actuarios, A.C., actualizada al ao 2000.

PREFACIO

00 PRELIMI 00.indd IX00 PRELIMI 00.indd IX 11/28/08 2:44:10 AM11/28/08 2:44:10 AM

XPara esta edicin se revisaron todos los problemas y los ejercicios para incorporar diversas sugerencias de mejora que hemos recibido de profesores y de estudiantes, y se modifi caron numerosas cantidades y tasas de inters para adecuarlas a las circunstancias que prevalecen en los mercados fi nancieros.

Por otra parte, se han hecho adiciones importantes al material que conforma esta nueva edicin.

En primer lugar, se incluyeron secciones de aplicaciones en varios captulos que no las tenan. No se incluyeron en todos, porque en alguno no era pertinente (el de introduccin es uno de ellos) y en otros hubiera resultado redundante (como en el de anualidades diferidas) o como el captulo 9 sobre inversiones burstiles que es, prcticamente en su totalidad, aplicaciones.

En segundo trmino, se incluyeron secciones de Uso de Excel en todos los captulos por cuando menos dos razones importantes: el uso de computadoras es ya una labor cotidiana tanto en el mbito laboral, como en la escuela y en el hogar, y el paquete Excel de Microsoft es una herramienta muy til y ampliamente difundida. Y, por otra parte, tal como puede apreciarse en estas secciones, el uso de Excel permite importantes ahorros de tiempo y esfuerzo. Los ejemplos abundan, pero uno notable es en el clculo de tasas en aplicaciones de anualidades. Se utiliz la versin 2003 de Excel.

Las secciones con Excel estn referidas casi en su totalidad a los ejemplos que ya se resolvieron en el texto, donde se presentan los conceptos y los procedimientos de clculo, por lo que es fcil comparar la resolucin de abundantes ejemplos en forma manual (es decir, con calculadora electrnica) y utilizando este popular paquete de computacin.

En tercer lugar, se incluyeron al fi nal de cada captulo secciones de Matemticas en internet en donde se proporcionan direcciones de sitios de internet en los que se puede encontrar material adicional sobre los temas abordados.

Por ltimo, se incluy una introduccin a las anualidades crecientes, tema que cobra especial inters en el marco de la reforma de los sistemas de pensiones, en virtud de la necesidad de crear fondos de jubilacin que puedan ayudar a tener un retiro digno.

Agradecimientos

Para la realizacin de este libro hemos contado con la colaboracin de un gran nmero de personas, a quienes les expresamos nuestro agradecimiento. Queremos reconocer de forma especial al ingeniero Jess Valdez Cook, catedrtico del ITESM, Campus Saltillo, del Instituto Tecnolgico de Saltillo y de la Universidad Autnoma de Coahuila por sus valiosas observaciones y sugerencias, a los catedrticos del ITESM, Campus Saltillo, Victoria Valds Dvila, directora de la carrera de Licenciado en Administracin de Empresas, al contador pblico Daniel Lozano Casas, director de la carrera de Contador Pblico, as como a la contadora Silvia Dvila Valds, directora de la Divisin de Administracin y Ciencias Sociales; al ingeniero Mario Luis Cruz Vargas, catedrtico de la Universidad Autnoma de Nuevo Len, quien realiz una revisin muy minuciosa del material previo a la tercera edicin y al profesor Ral Smano Galindo del Departamento de Ciencias Bsicas del Instituto Tecnolgico de Zacatepec, Morelos, por las correcciones que amablemente nos hizo llegar; a los estudiantes del ITESM Campus Saltillo Cristina Gmez Morales, Felipe Morales Cedillo, Isabel Atahis Rodrguez de la Cerda, Justo Mndez Alemn, Mara Esperanza Morales Padilla, Martha

Prefacio

00 PRELIMI 00.indd X00 PRELIMI 00.indd X 11/28/08 2:44:10 AM11/28/08 2:44:10 AM

XI

Patricia Recio Valds y Susana Aguirre Garca, quienes colaboraron en la investigacin de vnculos de internet.

Se desea tambin extender un amplio reconocimiento a los numerosos profesores y estudiantes de la Facultad de Contadura y Administracin de la Universidad Nacional Autnoma de Mxico, a quienes debemos valiosos comentarios y sugerencias que han ayudado a mejorar las diferentes versiones de este texto, en especial al licenciado en Contadura Francisco Alfonso Morquecho Ortiz.

Vaya tambin nuestro agradecimiento a las seoritas Ana Luisa Mendoza Luna y Blanca Yessenia Castillo Jurez, quienes colaboraron con la mecanografa e integracin del material.

Finalmente, pero no menos importante, agradecemos tambin a todo el personal de McGraw-Hill/Interamericana de Mxico, y en especial a Ricardo del Bosque Alayn, a Marcela Rocha Martnez y a Jess Mares Chacn por hacer posible este libro.

Agradecimientos especiales

Matemticas fi nancieras se ha benefi ciado con la preferencia de los profesores que, a lo largo de sus cuatro ediciones, la han utilizado y recomendado a sus alumnos. Va para ellos nuestro ms sincero agradecimiento.

Aguilera, Antonia Instituto de Estudio Superiores de Chiapas Tuxtla Gutirrez, Chiapas

Aguilera Muoz, Oswaldo Universidad del Caribe Cancn, Quintana Roo

Angulo Conde, Cristino Universidad de Occidente Culiacn, SinaloaBecerril, Francisco Nemesio Facultad de Contadura y Administracin,

Universidad Nacional Autnoma de MxicoDistrito Federal,

MxicoBermudez Correa, Jaime Facultad de Economa,


MxicoCamacho Bojorquez, Jos Universidad de Occidente Culiacn, SinaloaCampos, Mara de la Luz Universidad Iberoamericana Distrito Federal,

MxicoCampos Gonzlez, Iride Instituto Tecnolgico de Cerro Azul VeracruzCrdenas Gonzlez, Vilma Facultad de Contadura y Administracin,


MxicoCartujano, Francisco Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores

de Monterrey, Campus Ciudad de MxicoDistrito Federal,

MxicoCoretz, Lily Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores

de Monterrey, Campus CuliacnCuliacn, Sinaloa

Fischer Garca, Alberto Universidad Iberoamericana, Campus Golfo-Centro

Puebla

Garca Mercado, Mario Universidad del Valle de Atemajac Guadalajara, JaliscoGmez Snchez, Jos Luis Universidad de Occidente Mazatln, SinaloaHernndez Contreras, Georgina Benemrita Universidad Autnoma de Puebla Puebla, PueblaHernndez Flores, Jos Manuel Facultad de Contadura y Administracin,


MxicoIbarra Aldaco, Martha Sylvia Universidad del Noroeste, Campus Hermosillo Hermosillo, Sonora

Prefacio

00 PRELIMI 00.indd XI00 PRELIMI 00.indd XI 11/28/08 2:44:11 AM11/28/08 2:44:11 AM

XII

Justiniano Ferraez, Leopoldo Universidad Interamericana para el Desarrollo Quintana RooLpez Cadena, Zoila Benemrita Universidad Autnoma de Puebla Puebla, PueblaLpez Heras, Jorge Antonio Universidad de Occidente Culiacn, SinaloaLpez Sarabia, Pablo Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores

de Monterrey, Campus Estado de MxicoDistrito Federal,

MxicoLpez Velarde, Vctor Manuel Universidad de Occidente Culiacn, SinaloaLozano Trillas, Jos Mara Universidad del Tepeyac Distrito Federal,

MxicoMartnez Garca, Mara Dolores Universidad Autnoma del Estado de Hidalgo Pachuca, HidalgoMartnez Mndez, Rafaela Benemrita Universidad Autnoma de Puebla Puebla, PueblaMedina, Marco Antonio Universidad de Occidente Culiacn, SinaloaMerchant Arroyo, Marco Antonio Benemrita Universidad Autnoma de Puebla Puebla, PueblaMorales Villatoro, Omar Instituto Privado del Sur de Mxico ChiapasMustafa, Jorge Antonio Centro Hidalguense de Estudios Superiores, S.C. HidalgoNolasco Segura, Marco Antonio Universidad Latina MorelosPadilla, Lorena Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores

de Monterrey, Campus GuadalajaraGuadalajara, Jalisco

Prez Castro, Luis David Universidad de Occidente Mazatln, SinaloaPrez Grovas, Alicia Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores

de Monterrey, Campus HidalgoHidalgo

Qui, Sandra Escuela de Informtica, Universidad Autnoma de Sinaloa

Mazatln, Sinaloa

Ramrez, Elas Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad de Mxico

Distrito Federal, Mxico

Ramrez Rodrguez, Rafael Benemrita Universidad Autnoma de Puebla Puebla, PueblaRojas Rivera, Luis Benemrita Universidad Autnoma de Puebla Puebla, PueblaRojo Gallardo, Alfredo Universidad de Occidente Culiacn, SinaloaRomero Vidal, Ral Benemrita Universidad Autnoma de Puebla Puebla, PueblaRuiz Cortez, Rodolfo Universidad de Occidente Culiacn, SinaloaRuiz Morales, Mara Elena Universidad Iberoamericana Distrito Federal,

MxicoSamano Galindo, Ral Instituto Tecnolgico de Zacatepec Zacatepec, MorelosSan Romn, Iliana Instituto de Estudios Superiores de Tamaulipas TamaulipasSmeke, Daniel Universidad Iberoamericana Distrito Federal,

MxicoSosa Hamua, Yolanda Benemrita Universidad Autnoma de Puebla Puebla, PueblaSoto, Mara Susuky Tecnolgico de Chihuahua II ChihuahuaSoto Lpez, Ral Universidad de Occidente Culiacn, SinaloaVzquez Jurez, Patricia Benemrita Universidad Autnoma de Puebla Puebla, PueblaVelzquez, Celia Tec Milenio, Campus Obregn SonoraVelzquez Velzquez, Jos Luis Universidad Autnoma de Chiapas ChiapasVilla, Vctor Instituto Tecnolgico de Sonora,

Campus ObregnSonora

Villagmez M. Edith R. Universidad Autnoma de Chiapas ChiapasVite Tern, Leonardo Universidad Autnoma del Estado de Hidalgo HidalgoZacatenco Pineda, Policarpio

RodrigoUniversidad Jurez Autnoma de Tabasco Tabasco

Prefacio

00 PRELIMI 00.indd XII00 PRELIMI 00.indd XII 11/28/08 2:44:11 AM11/28/08 2:44:11 AM

Al finalizar el estudio del presente captulo, el lector ser capaz de:

Explicar qu son los exponentes, los logaritmos y los antilogaritmos

Plantear y resolver problemas que impliquen su uso

Explicar qu es una progresin aritmtica y qu es una progresin geomtrica

Plantear y resolver problemas que involucren progresiones

Resolver ejercicios de exponentes, logaritmos y progresiones mediante el empleo de la hoja de clculo de Microsoft Excel

Objetivos 1.1 Exponentes 1.2 Leyes de los exponentes 1.3 Exponente cero, negativo

y fraccionario 1.4 Logaritmos 1.5 Clculo con logaritmos 1.6 Redondeo 1.7 Progresiones aritmticas 1.8 Progresiones geomtricas 1.9 Progresiones geomtricas infinitas 1.10 Uso de Excel 1.11 Resumen

Temario

Fundamentos

CAPTULO1

01 DIAZ MATA 01.indd 101 DIAZ MATA 01.indd 1 11/28/08 2:51:11 AM11/28/08 2:51:11 AM

CAPTULO 1: FUNDAMENTOS2

1.1 Exponentes1.1.1 Exponentes enteros positivos

El producto de un nmero real que se multiplica por s mismo se denota por a a o aa. Si el mismo nmero vuelve a multiplicarse por s mismo se denota como a a a o aaa. Para sim-plifi car este tipo de expresiones se acostumbra utilizar una notacin abreviada tal que:

a a = a2

a a a = a3

a a a a a = a5

en la que al smbolo a se le llama base y al nmero escrito arriba y a la derecha del mismo se le denomina exponente. Este ltimo indica el nmero de veces que la base a se toma como factor.

Por lo tanto, podemos decir que si n es un entero positivo y a es cualquier nmero real,

an = a a a a n factores

El trmino an se expresa como a elevado a la n-sima potencia, donde a es la base y n es el exponente o potencia.

Ejemplo 1.1.1 a) a a a a = a4

b) b b b = b3

c) a a a b b = a3b2

d) (4)(4)(4)(4) = (4)4 = 256 e) (2)(2)(2)(6)(6)(6) = (2)3(6)3 = 1 728 f ) (1 + 0.05)(1 + 0.05)(1 + 0.05)(1 + 0.05) = (1 + 0.05)4 = 1.21550625 g) (1 + i)(1 + i)(1 + i) = (1 + i)3

h) (1 d)(1 d) (1 d) = (1 d)n

1.2 Leyes de los exponentesSi a y b son nmeros reales distintos de cero, y m y n son enteros positivos, entonces se pue-den aplicar las siguientes leyes de los exponentes.

1.2.1 Producto de dos potencias de la misma base

Para encontrar el producto de dos potencias de la misma base, se debe elevar la base a una po-tencia igual a la suma de los exponentes.

am an = am + n (1.1)


3 Ejemplo 1.2.1

a) a3 a5 = a3 + 5 = a8 b) a4 a2 = a4 + 2 = a6 c) 23 23 = 23 + 3 = 26 = 64 d) (2)2 (2)3 = (2)2 + 3 = (2)5 = 32 e) (5)(5)2(5)3 = 51 + 2 + 3 = 56 = 15 625 f ) (1 + i)2(1 + i)15 = (1 + i)2 + 15 = (1 + i)17

1.2.2 Cociente de dos potencias de la misma base

Para encontrar el cociente de dos potencias de la misma base es necesario elevar la base a una potencia igual al exponente del numerador menos el exponente del denominador.

aa

am

nm n

= (1.2)

Ejemplo 1.2.2

a) aa

a a5

25 2 3

= = d)

22

2 2 24

34 3 1

= = =

b) xx

x x10

410 4 6

= = e)

22

2 2 0 53

43 4 1

= = = .

c) yy

y y2

52 5 3

= =

1.2.3 Potencia de una potencia

Para elevar la m-sima potencia de a a la n-sima potencia se debe elevar la base a a una po-tencia igual al producto de los dos exponentes.

(am)n = amn (1.3)

Ejemplo 1.2.3

a) ( )a a a2 3 2 3 6= = d) ( ) = = =3 3 3 7292 3 2 3 6

b) ( )x x x3 5 3 5 15= = e) ( ) = = = 1 1 1 13 3 3 3 9

c) (23)4 = 23 4 = 212 = 4 096

1.2: Leyes de los exponentes



1.2.4 Potencia del producto de dos factores

Para determinar la n-sima potencia del producto de dos factores, se debe encontrar el pro-ducto de cada factor elevado a la n-sima potencia.

( )ab a bn n n= (1.4)

Ejemplo 1.2.4 a) (ab)2 = a2b2

b) ( )xy x y3 3 3= c) ( )3 3 814 4 4 4x x x= = d) ( )3 3 272 3 3 2 3 6x x x= =

e) (2 5)2 = 22 52 = 4 25 = 100

1.2.5 Potencia del cociente de dos factores

Para determinar la n-sima potencia del cociente de dos factores es necesario encontrar el co-ciente de cada factor elevado a la n-sima potencia.

ab

ab

n n

n

= (1.5)

Ejemplo 1.2.5

a) ab

ab

=

2 2

2 c) 2

525

8125

3 3

3

= =

b) xy

xy

=

4 4

4 d)

2 2 823 3 2 3

3

6

3ab

ab

ab

= =

Ejemplo 1.2.6 a) b b b b3 4 3 4 7 = =+

b) x x x x2 6 2 6 8 = =+

c) xx

x x5

35 3 2

= =

d) yy

y y15

1015 10 5

= =

e) x yx y

x y xy3 2

23 2

= = 2 1


5 f ) ( )( )

( ) ( )11

1 15

25 2 3+

+= + = +

ii

i i

g) (x4)5 = x4 5 = x20

h) (y2)6 = y2 6 = y12

i) (2a3)4 = 24a3 4 = 16a12

j) xy

xy

xy

3

2

2 3 2

2 2

6

4

= =

k) 2

2 22 3

2 1 3 1 2x yxy

x y xy= =

l) ( )( )2 2

2 83

2

3 3 3

2 23 3 2 3 2xy

xyx y

x yx y xy= = =

1.3 Exponente cero, negativo y fraccionario1.3.1 Exponente ceroSi a es un nmero real diferente de cero, a0 = 1. Esta aseveracin puede demostrarse aplicando la regla del cociente de dos potencias de la misma base. Considere el siguiente cociente:

aa

m

m= 1

puesto que todo nmero dividido entre s mismo es igual a la unidad. Ahora, si se aplica la regla del cociente de dos potencias, se tiene:

aa

a am

mm m

= = = 0 1

Ejemplo 1.3.1 a) (5)0 = 1 b) (3a)0 = 1 c) 4x0 = 4(1) = 4 si x 0 d) 00 = No es aplicable.

1.3.2 Exponente negativoSi n es un entero positivo y a 0. a

an

n

=

1 (1.6)

Para comprobar (1.6), observe que, como antes se expuso:yy

y y2

52 5 3

= =

y, tambin:yy

y yy y y y y y

2

5 31

=

=

1.3: Exponente cero, negativo y fraccionario



Por lo tanto,

yy

yy

2

53

31

= =

Numricamente, esta relacin puede demostrarse utilizando el siguiente ejemplo:

22

2 2

22

816

12

3

43 4 1

3

4

= =

= =

As,

22

212

3

41

= =

Ejemplo 1.3.2

a) 33

3 313

19

3

53 5 2

2= = = =

b) mm

m mm

4

74 7 3

31

= = =

c) ( )( )

( ) ( )( )

11

1 11

1

2

52 5 3

3+

+= + = + =

+

ii

i ii

1.3.3 Exponentes fraccionarios

Sea a la base de una potencia, y m/n el exponente al cual se encuentra elevada dicha base, entonces:

a a am n nm

mn/= ( ) = (1.7)

Ejemplo 1.3.3

a) a a1 3 3/ =

b) x x1 2/ =

c) y yn n1/ =

d) ( ) ( )/64 64 64 4 162 3 23 32

2= = ( ) = =

e) ( )( )

//

271

27127

13

1 31 3 3

= = =

f ) aa

a a a a2

3

1 22 3 1 2 1 1 2 1 1 2

= = = =

// / ( / )( ) ( ) = =1 2

1 21 1//a a


7 g) xx

x x x5 2

1 25 2 1 2 4 2 2

/

// / /

= = =

h) ( )/ / / / / /y y y y y1 2 2 3 1 2 2 3 2 6 1 3 3= = = =

El uso de calculadoras electrnicas ha simplifi cado la resolucin de problemas aritmti-cos complejos. En la concepcin y manejo de este libro se considera que el estudiante dispone de una calculadora que posee la funcin y x que permite obtener logaritmos y antilogaritmos, ya sean naturales o de base 10.

Ejemplo 1.3.4Resuelva las siguientes operaciones con el auxilio de una calculadora electrnica.

a) 15 15 3 872983351 2= =/ .

b) 120 120 2 605171095 1 5= =/ .

c) 125 846 0 35715 6 0 674650

125 84624 5

3. ( . )

( . ) ( . ).

=

0 12744959 224 0896 0 13976313

1 3.

( . )( . )

/

==

16 038946858 277 344134

0 124669901 3

..

./

=

d) 5 000(1 + 0.05)12 = 5 000(1.79585633) = 8 979.281632

e) 1 000 000 1

1 0 60 5( . )+ = 1 000 000(1.60)5 = 1 000 000(0.09536743) = 95 367.43164

f ) ( . ).

..

.1 0 15 1

0 1516 36653739 1

0 15102 4435

20+ =

= 8826

g) 1 1 0 3250 325

1 0 059957180 325

2 89210

+=

=

( . ).

..

. 443944

Ejemplo 1.3.5Resuelva las siguientes ecuaciones aplicando las leyes de los exponentes y con auxilio de una calculadora electrnica.

a) 150 1 45024( )+ =i b) 2 1 14( )+ =i

( )1450150

24+ =i ( )112

4+ =i

( )1 324+ =i ( )/

112

1 4

+ =

i

1 3 324 1 24+ = =i / i = ( . ) /0 5 11 4

i = 3 11 24/ * i = 0 18920712. i = 0 04683938.

* Cuando utilice la calculadora electrnica debe revisar el manual. En ocasiones le ser necesario emplear el inverso del nmero.

1.3: Exponente cero, negativo y fraccionario



c) 5 000 1 10004( ) =d d) (1 + i)12 = (1 + 0.15)4

( )110005 000

4 =

d (1 + i) = (1.15)4/12

1 0 20 1 4 = d ( . ) / i = (1.15)1/3 1 = d ( . )1 49534878 1 i = 0.04768955 d = 0 49534878.

Ejercicios de las secciones 1.1 a 1.31. Simplifique:

a) a2 a5 b) a3 a8

c) a2 a4 a5

d) b b3 b2

e) (3b) (5b2) (6b3)

f ) cc

3

8

g) cc

8

3

h) a aa

3 4

5

i) (x3)4

j) x2 (x5)3

k) ( ) ( )

( )2 4

2

2 3 4

7y y

y

l) 1

3

3

x

m) (a2b3)4

n) ab

2

3

4

o) x xy y

2 3

4

3

p) 3

2

2 3

2

4x y

z

q) (1.05)4(1.05)10

r) ( . ) ( . ) ( . ).

1 30 1 30 1 301 30

2 10 20

2. Simplifique: a) x0

b) a0b3

c) a1/3 a1/2

d) bb

3 2

1 2

/

/

e) a aa

1 4 3 5

1 2

/ /

/

f ) ( )( )a a 2 3

g) ( )b2 5

h) ( )9 2 5x

i) ( )/y1 2 3

j) ( )/a 2 3 3

k) ( )/x

x

2 3 3

2

l) ( )( )/ /27 2561 3 1 4

m) ( . ) ( . ) /1 05 1 054 1 2

n) ab

3

6

1 4/


93. Simplifique, usando exponentes:

a) x3

b) x x23 3( )( ) c)

b b

b

2

3

d) c c

c

23 5

63

1.4: Logaritmos

e) a ab

ab

4 93

3 2

2

( )

f ) x33 2( ) /

4. Resuelva las siguientes operaciones utilizando una calculadora electrnica.

a) 32

b) 2553

c) 0 485 0 364 3. .

d) 27 9738

3

4

e) ( . ).

1 0 18 10 18

4+

f ) 8500 1 0 15 4( . )+

g) 1 1 0 600 60

5 + ( . )

.

h) ( . ) ( . )1 25 1 301 23

i) 0 25 0 64 0 823 4. . .

j) ( . )

( . ) /128 3525 12

2

1 3

5. Resuelva las siguientes ecuaciones utilizando una calculadora electrnica.

a) 100 1 2002( )+ =i b) 5 000 1 15003( )+ =i c) 1250 1 25 00060( )+ =i d) 50 000 1 300020( )+ =i e) 10 000 1 6 0004( )+ =i

f ) ( ) .1 1 604+ =i g) ( ) ./1 1 181 4+ =i h) ( )1 1 5010+ =i i) ( ) ( . )1 1 0 054 12+ = +i j) ( ) ( . )1 1 0 3012 2+ = +i

1.4 Logaritmos1.4.1 Defi nicin

Sea N un nmero positivo y b un nmero positivo diferente de 1; entonces, el logaritmo en base b del nmero N es el exponente L de la base b tal que bL = N. El enunciado de que L es el logaritmo en base b del nmero N se escribe como

L = logbN

Ejemplo 1.4.1 3 = log2 8 ya que 23 = 8 4 = log3 81 ya que 34 = 81 2 = log5 25 ya que 52 = 25



En la prctica comn se utilizan dos tipos de logaritmos: naturales, cuya base es el nmero e = 2.718281829, y los logaritmos comunes, cuya base es b = 10. Ambos se pueden deter-minar fcilmente con ayuda de una calculadora electrnica o mediante tablas.

Enseguida se mostrar la utilizacin de los logaritmos base 10 para simplifi car clcu-los complejos. Las leyes y procedimientos generales que aqu se tratarn tambin se pue-den aplicar a los logaritmos naturales, por lo que ambos pueden ser utilizados en forma indistinta.

Los logaritmos base 10 se denominan logaritmos comunes y para identifi carlos se utiliza el smbolo

L = log10N = log N.

Los logaritmos naturales (base e) se simbolizan como sigue:

ln = log nat N = logeN = ln

En lo sucesivo, la palabra logaritmos se referir a los logaritmos comunes (base 10). Por defi nicin, se tiene:

log 1000 = 3 ya que 103 = 1000 log 100 = 2 ya que 102 = 100 log 10 = 1 ya que 101 = 10 log 1 = 0 ya que 100 = 1 log 0.10 = 1 ya que 101 = 0.10 log 0.010 = 2 ya que 102 = 0.010 log 0.0010 = 3 ya que 103 = 0.0010

Es necesario destacar que N debe ser un nmero positivo, en tanto que el log N puede ser cualquier nmero real positivo, negativo o cero.

1.4.2 Leyes de los logaritmos

Dado que los logaritmos son exponentes de base b, las leyes de stos les son aplicables y nos dan como consecuencia tres leyes fundamentales de los logaritmos.1

1 Para demostrar estas leyes, considere que:

A = 10a, B = 10b y C = 10c Por lo tanto, log A = a, log B = b y log C = c.

De esto se sigue que A B C = 10a 10b 10c = 10a + b + c.

An = (10a )n = 10an

Con lo que se comprueba que

log (A B C) = a + b + c = log A + log B + log C

log AB

= a b = log A log Blog An = na = n log A

AB

=

10a

10b = 10a b


11

1. El logaritmo del producto de dos nmeros positivos es igual a la suma de los logaritmos de los nmeros

log (A B) = log A + log B (1.8)

2. El logaritmo del cociente de dos nmeros positivos es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

log log logAB

A B

= (1.9)

3. El logaritmo de un nmero elevado a la potencia n es n veces el logaritmo del nmero.

log An = n log A (1.10)

donde n puede ser cualquier nmero real.

Ejemplo 1.4.2Mediante el empleo de una calculadora electrnica o tablas se determina que:

log 2 = 0.301030 log 3 = 0.477121; entonces:

a) log log ( ) log log . .6 2 3 2 3 0 301030 0 477121 0= = + = + = ..778151 b) log . log / log log . .1 5 3 2 3 2 0 477121 0 301030 0= = = = ..176091 c) log log log ( . ) .9 3 2 3 2 0 477121 0 9542422= = = = d) log log ( ) log log . .30 3 10 3 10 0 477121 1 1 477= = + = + = 1121 e) log . log ( ) log log . (0 02 2 10 2 10 0 3010302 2= = + = + = 2 1 698970) . f ) log log / log / ( . ) ./3 3 1 2 3 1 2 0 477121 0 238562 1 2= = = = 11

1.4.3 Caracterstica y mantisa

Todo nmero positivo puede ser escrito en la forma de un nmero bsico B tal que (1 < B< 10) multiplicado por una potencia entera de 10.

Por ejemplo:

4 354 = 4.354 103

65 = 6.5 101

3.2 = 3.2 100

0.25 = 2.5 101 0.078 = 7.8 102 0.00358 = 3.58 103

Para calcular el logaritmo de un nmero de stos se procede como sigue:

Si N = = 4 354 4 354 103. log ( . ) log . log .4 354 10 4 354 10 0 638888 33 3 = + = +

Si N = = 0 00358 3 58 10 3. . log ( . ) log . log .3 58 10 3 58 10 0 553883 33 3 = + =

1.4: Logaritmos



Ejemplo 1.4.3Determine el nmero bsico de los siguientes nmeros: a) 20 000 f ) 0.2 b) 2 000 g) 0.02 c) 200 h) 0.002 d) 20 i) 0.0002 e) 2 j) 0.00002

Solucin:Puesto que el nmero bsico es un nmero B tal que 1 < B < 10 multiplicado por una po-tencia entera de 10, se tiene: a) 20 000 = 2 104 f ) 0.2 = 2 101 b) 2 000 = 2 103 g) 0.02 = 2 102 c) 200 = 2 102 h) 0.002 = 2 103 d) 20 = 2 101 i) 0.0002 = 2 104 e) 2 = 2 100 j) 0.00002 = 2 105

Ejemplo 1.4.4Dado log 2 = 0.301030, determine el logaritmo de los nmeros del ejemplo anterior:

Solucin: Puesto que log 2 = 0.301030 se tiene:

a) log 20 000 = log ( ) log log . .2 10 2 10 0 301030 4 4 3010304 4 = + = + = b) log log ( ) log log .2 2 10 2 10 0 301030 3 33 3000 = = + = + = ..301030 c) d) log log ( ) log log . .20 2 10 2 10 0 301030 1 1 31 1= = + = + = 001030 e) log log ( ) log log . .2 2 10 2 10 0 301030 0 0 300 0= = + = + = 11030 f ) log . log ( ) log log .0 2 2 10 2 10 0 301030 11 1= = + = + = 11 301030. g) log . log ( ) log log .0 02 2 10 2 10 0 301030 22 2= = + = + == 2 301030. h) log . log ( ) log log .0 002 2 10 2 10 0 3010303 3= = + = + 33 3 301030= . i) log . log ( ) log log .0 0002 2 10 2 10 0 3010304 4= = + = ++ =4 4 301030. j) log . log ( ) log log .0 00002 2 10 2 10 0 301035 5= = + = 00 5 5 301030+ = .

Como puede observarse en el ejemplo anterior, el logaritmo de un nmero bsico es una fraccin decimal no negativa (ya que log 10 = 1 y log 1 = 0) y el logaritmo de una po-tencia entera de 10 es, por defi nicin, un entero. Por lo tanto, el logaritmo de un nmero positivo estar constituido por dos partes: a) Una parte entera llamada caracterstica. La caracterstica es el logaritmo de la poten-

cia entera de 10 y est determinada por la posicin del punto decimal en el nmero. La caracterstica puede ser cualquier nmero entero, positivo, negativo o cero. Para N < 1, la caracterstica es igual al nmero de dgitos a la izquierda del punto decimal

log 200 log= = + = + =( ) log log . .2 10 2 10 0 301030 2 22 2 3301030


13

menos una unidad. [Vanse los casos de a) a e) del ejemplo anterior.] Para 0 < N < 1, la caracterstica se determina por el lugar que ocupa la primera cifra signifi cativa a la derecha del punto decimal. [Vanse los casos ) a j) del ejemplo anterior.]

b) Una parte decimal llamada mantisa. La mantisa es el logaritmo del nmero bsico y est determinada por la secuencia de los dgitos del nmero sin importar la posicin del punto decimal. La mantisa es un decimal positivo (o cero, si el nmero es una po-

tencia entera de 10).2 Ejemplo 1.4.5

Determine la caracterstica y la mantisa de los logaritmos de los siguientes nmeros.

a) 959.84 b) 27.35 c) 0.026 d) 0.004321 e) 6.478

Solucin:Cuando se determina la notacin cientfi ca de un nmero, se tiene: Nmero Notacin cientfi ca Caracterstica Mantisa 959.84 9.5984 102 2 0.982199 27.35 2.735 101 1 0.436957 0.026 2.600 102 2 0.414973 0.004321 4.321 103 3 0.635584 6.478 6.478 100 0 0.811441

1.4.4 Antilogaritmos

Si L = log N, N es llamado antilogaritmo de L y se denota como N = antilog L cuando L = log N.Por ejemplo,

200 = antilog 2.301030 ya que log 200 = 2.301030

0.5 = antilog 0.698970 1 ya que log 0.5 = 0.698970 1

1.4: Logaritmos

2 Debe destacarse que el logaritmo de un nmero N tal que 0 < N < 1 se mostrar en la calculadora como un solo n-mero negativo que es el resultado de la suma algebraica de la mantisa positiva y la caracterstica negativa. En estos ca-sos, el resultado desplegado representa el logaritmo del inverso del nmero que est calculndose, por lo cual la parte decimal del nmero negativo que se muestra no representa la mantisa. Por ejemplo, si

N = 0.02 = 2 (102)log N = (log 2 log 102) = 0.301030 2

la calculadora mostrar 1.698970 que es el resultado de la suma algebraica de 0.301030 2. El algoritmo desplegado es el correspondiente al inverso del nmero que se est buscando,

101

101

5 100 021 698970

1 698970 1

= =

=

..

.

ya que 0.698970 = log 5 y log 1 = log 10



El antilogaritmo de un logaritmo dado puede ser determinado mediante el empleo de una calculadora electrnica o por medio de tablas.

Ejemplo 1.4.6Dado log 8.37 = 0.922725, determine el antilogaritmo de los siguientes logaritmos.

a) 2.922725 b) 1.922725 c) 0.922725 3 d) 3.922725 e) 0.922725 1

Solucin: a) antilog 2.922725 = 837.00 b) antilog 1.922725 = 83.70 c) antilog 0.922725 3 = 0.008370 d) antilog 3.922725 = 8 370.00 e) antilog 0.922725 1 = 0.8370

Ejemplo 1.4.7Utilizando una calculadora electrnica, determine el antilogaritmo de los siguientes lo-garitmos.

L = log N N = antilog L

a) antilog 4.25 = 17 782.79 b) antilog 1.8 = 63.0957 c) antilog 2.356547 = 0.0044 d) antilog 1.277366 = 0.0528 e) antilog 0.132460 = 0.737123 f ) antilog 0.132460 = 1.35662

1.5 Clculos con logaritmosComo se estableci al principio del captulo, los logaritmos han perdido importancia ante el advenimiento de las calculadoras y computadoras electrnicas que permiten la realizacin de complejas operaciones aritmticas con rapidez y precisin. Sin embargo, an se utilizan para encontrar la solucin de una ecuacin.

En esta seccin se presenta una serie de problemas resueltos mediante el uso de loga-ritmos.


15

Ejemplo 1.5.1Resuelva las siguientes operaciones por medio de logaritmos.

a) 85 15347 274125 386

b) ( . ) ( . )0 03768 6 3544282 6

c) ( . ) ( . )

( . )5 36 67 48

356 27

2 3

2

3

4

Solucin:

a) log log85

85347 15 274125 386

347 + log

= 115 274 log 125 386

= 4.931188 + 4.1839553 5.098249= 4

..016892antilog 4.016892 = 10 396.62

b) log[(0.03768)2( . ) ] log . log6 354428 2 0 03768 66 = + 66 354428.= +

=

2 1 423889 6 0 8030762 847( . ) ( . )

. 7778 4 818456+ .

a= 1 970678.

nntilog 1.970678 = 93.471239

c) ( . ) ( . )

( . )( . ) (5 36 67 48

356 275 362 3

2

3

42

=

667 48356 27

3

2

3 4. )

( . )

/

log(5.36)2( . )

( . )(

/67 48

356 2734

23

2

3 4

= llog . log . log . )

[ ( .

5 36 3 67 48 2 356 72

34

2 0 72916

+

= 55 3 1 829175 2 2 552327

34

1 45833 5 4

) ( . ) ( . )]

( . .

+

= + 887525 5 104654

34

1 841201

1 380901

=

=

. )

( . )

.antiloog 1.380901 = 24.038147

1.5: Clculos con logaritmos



Ejemplo 1.5.2Determine el valor de la incgnita i (que representa tasa de inters por periodo) si 1000(1 i)3 = 3 000.

Solucin:a) Empleando logaritmos: log ) log

) lo1000 + 3 log (1 + 3000

3 log (1 +ii

=

= gg

)log

3000 log 1000

log (1 +3000 log 1

=

i0000

3

+

+

log ( ).

log ( ) .(

13 477121 3

31 0 159040

i

i

=

=

111 4422491 4422

+ antilog (0.159040)1 +

iii

)..

=

=

= 449 10 442249 44 22

= =i . . %b) Por solucin directa:

1000(1 + 3000

(1 +30001000

+

+

i

i

i

i

)

)

( )

(

3

3

31 3

1

=

=

=

= 331 442249571 10 442249 44 22

1 3).. . %

/

ii=

= = Ejemplo 1.5.3

Determine d (tasa compuesta anual de depreciacin) si

900(1 d)3 = 200Solucin: a) Si se emplean logaritmos: log ) log

log ( ) log lo900 3 200

3 1 200+ =

=

log (1 dd gg

log ( ). .

log ( )

900

12 301030 2 954243

31 0

=

=

d

d ..( )

.

2177371

0 605708 =

=

dd

antilog ( 0.217737)

=

10 39429239 43

dd

.. %


17

b) Por solucin directa:

900 200

1 200 900

1 0 222222

3

3

3

(1 =

=

=

d

d

d

)

( ) /

( ) .

(11 0 222222

1 0 2222221 0 6

3

1 3

=

=

=

d

dd

) .

( ) ( . )( ) .

/

0057060 605706 10 39429339 43

=

=

ddd

.

.. %

Ejemplo 1.5.4

Determine el valor de n (nmero de periodo de conversin) si n son meses y

1000(1 + 0.05)n = 5 000

Solucin:a) Por logaritmos: log1000 log (1 0.05) log 5 000

log (1.05) l+ + =

=

nn oog 5 000 log1000(0.021189) 3.698970 3.000

= n 00000.6980700.02118932.987433 meses

n

nn

=

=

El tiempo en que un capital quintuplicar su valor dada una tasa de inters de 5% mensual es de aproximadamente 33 meses.

Este tipo de problemas slo puede resolverse mediante el uso de logaritmos.

Ejemplo 1.5.5Determine el valor de n (nmero de periodos de conversin) si n representa semestres y

3 500(1 + 0.25)n = 500 log 3 500 + [n log (1.25)] = log 500 n log 1.25 = log 500 log 3 500 n(0.096910) = 2.698970 3.544068 n =

0 8450980 096910

.

. n = 8.72044 n 8.72 semestres

1.5: Clculos con logaritmos



Ejemplo 1.5.6Determine el valor de n (nmero de pagos peridicos) si n son trimestres y

( . ).

1 0 18 10 18

10+

=

n

Solucin: a) Por logaritmos:

( . ) ( . )

( . ) .

( . )

1 0 18 1 10 0 18

1 0 18 1 1 8

1 0 18

+ =

+ =

+

n

n

nn

n

n

n

= +

=

=

1 8 1

1 18 2 8

.

( . ) .

lolog 1.18 = log 2.8

gg .log ...

.

.

2 81 18

0 4471580 07188

6 2207236

n

nn

=

=

222 pagos trimestrales

Ejemplo 1.5.7Determine el valor de n (nmero de pagos peridicos) si n son aos y

1 1 0 500 50

25 +

=

( . ).

n

Solucin:a) Por logaritmos: 1 (1 + 0.50)n = 25(0.50) (1.50)n = 12.5 1 (1.50)n = 11.5 n log 1.50 = log 11.5

n =log .log .

11 51 50

n =1 0606980 176091..

n = 6.023569 n = 6.02 pagos anuales


19

Ejercicios de las secciones 1.4 a 1.5 6. Determine el logaritmo L.

a) L = log ( )3 27 b) L = log ( . )5 0 008

c) L = log8 64

Ejercicios de las secciones 1.4 a 1.5

d) L = =log /10 1 100

e) L = =log244

7. Determine el nmero N.

a) log2 N = 3 b) log5 N = 3 c) log4 N = 1/2

d) log6 N = 5 e) log10 N = 2

8. Determine la caracterstica de:

a) 8 b) 5 210 c) 85 900

d) 3.25 e) 0.018 f ) 45.60

9. Determine la mantisa de:

a) 2 b) 0.20 c) 0.020

d) 0.040 e) 0.080 f) 8 000

10. Determine el logaritmo comn de:

a) 24 b) 82.320 c) 0.0035 d) 7.489 e) 158

f ) 0.0001 g) 10 000 h) 1 i) 0.03720 j) 10.25

11. Dado log 40 = 1.602060, determine el antilogaritmo de:

a) 2.602060 b) 0.602060 c) 0.602060 3

12. Determine el antilogaritmo de:

a) 2.5 b) 0.80 c) 3.3640

d) 3.0000 e) 0.03785 f) 1.9777

13. Mediante el empleo de logaritmos, resuelva las operaciones del ejercicio 6.14. Mediante el empleo de logaritmos, resuelva las ecuaciones del ejercicio 5.



15. Mediante el empleo de logaritmos, resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales.

a) 100(1 + 0.50)n = 500 b) (1.05)n = 3 c) 3 000(1 + 0.20)n = 10 000 d) 10 000(1 + 0.20)n = 3 000

e) (1.60)n = 0.100 f) (1 + 0.18)n 1 = 0.35 g) 1 (1 + 0.04)n = 0.285

1.6 RedondeoEn este libro se utilizarn las siguientes reglas para redondear:

1. El dgito retenido permanece sin cambio si los dgitos despreciados son menores de 5 000. Ejemplo: 0.13783 se redondea como 0.1378 si se desean 4 cifras signifi cativas.

2. El dgito retenido se incrementa en 1 si los dgitos despreciados son mayores de 5 000. Ejemplo: 0.68917 se redondea como 0.69 si se desean slo 2 decimales.

3. El dgito retenido se convierte en par (se incrementa en 1 cuando es necesario) si los d-gitos despreciados son exactamente iguales a 5 000. Ejemplo: 0.235 se redondear como 0.24 si se desean 2 decimales, en tanto que 0.14325 se redondear como 0.1432 si se de-sean 4 decimales.

Ejemplo 1.6.1Redondee las siguientes cifras a 2 y 4 decimales:

Dos decimales Cuatro decimales

a) 30.82207 30.82 30.8221 b) 5.5517627 5.55 5.5518 c) 2.3562178 2.36 2.3562 d) 14.5349976 14.53 14.5350 e) 1.238902 1.24 1.2390 f ) 1.1130500 1.11 1.1130

1.7 Progresiones aritmticasUna progresin aritmtica es una sucesin de nmeros llamados trminos, tales que dos n-meros cualesquiera consecutivos de la sucesin estn separados por una misma cantidad lla-mada diferencia comn.

1, 4, 7, 10 es una progresin aritmtica cuya diferencia comn es 3.30, 25, 20, 15 es una progresin aritmtica cuya diferencia comn es 5.


21

Si se considera t1 como el primer trmino de una progresin, d como la diferencia comn y n el nmero de trminos de la misma, se genera una progresin de la forma

t1, t1 + d, t1 + 2d, t1 + 3d, t1 + (n 2)d, t1 + (n 1)dEl ltimo trmino de una progresin ser igual al primer trmino de la misma adiciona-

do de (n 1) diferencias: u1 = t1 + (n 1)d (1.11)

En una serie de 3 trminos puede verse claramente esto:

t1, t1 + d, t1 + 2d

El ltimo trmino (t1 + 2d) es igual al primer trmino (t1) adicionado de (n 1) veces la diferencia comn, ya que n = 3, n 1 = 2.

La suma de una progresin aritmtica puede escribirse como sigue:

S = t1 + (t1 + d) + (t1 + 2d) + + (u 2d) + (u d) + upero tambin puede escribirse en forma inversa:

S = u + (u d) + (u 2d) + + (t1 + 2d) + (t1 + d) + t1Si se suman las dos expresiones trmino a trmino se tiene:

2 S = (t1 + u) + (t1 + u) + + (t1 + u) + (t1 + u) 2 S = (t1 + u)

S = n/2(t1 + u) (1.12)

As, la suma de una progresin aritmtica de n trminos es igual a la suma del primero y el ltimo trmino multiplicado por n y dividido entre dos.

Sustituyendo (1.11) en (1.12) se tiene:

Sn

t n d= + 2 11 ( ) ] (1.13)

Simplifi cando: S = n/2[2t1 + (n 1)d].

Ejemplo 1.7.1Determine el 10o. trmino y la suma de la siguiente progresin aritmtica 3, 7, 11

Solucin: a) Se determina el ltimo trmino aplicando (1.11) y se considera: t1 = 3, n = 10 y d = 4.

u = t1 + (n 1)d u = 3 + (10 1)4 u = 3 + 36 u = 39

1.7: Progresiones aritmticas



b) Para determinar la suma se aplica la frmula (1.12):

S = n/2(t1 + u) S = 10/2(3 + 39) S = 5(42) S = 210

Una alternativa de clculo es la frmula (1.13):

S = n/2[2t1 + (n 1)d] S = 10/2[2(3) + (10 1)4] S = 5[6 + (9)(4)] S = 5(42) S = 210

Ejemplo 1.7.2Determine el ltimo trmino y la suma de la progresin aritmtica 48, 45, 42 si cuen-ta con 15 trminos.

Solucin:a) Se determina el ltimo trmino. Para ello se debe aplicar (1.11) considerando que t1 = 48,

n = 15 y d = 3: u t n d

uuu

= +

=

= +

=

1 148 15 1 348 14 34

( ))( )

( )( )+(

88 42 6 =

b) La suma se determina aplicando (1.12):

S n t uSSS

= +

=

=

=

/ ( )/ )

. ( )

215 27 5 54405

1

(48+6

Ejemplo 1.7.3El primer trmino de una progresin aritmtica es: t1 = 2 mientras que el ltimo es u = 48, y la suma S = 253. Determine n y d.

Solucin:Sustituyendo en (1.12) se tiene:

( 2 48S n t u

n=

=

/ ( )/ )2

253 21 +

+

(( )( ) ( )/

253 2 46506 46 11

=

= =

nn


23

En (1.11) se sustituyen los datos conocidos y se determina d:u t n d

dd

d

= +

= +

=

= =

1 12

50 1050 10 5

( ))

/

48 (11 1

Ejemplo 1.7.4Conocidos t5 = 27, t7 = 35, determine t1 y S7.

Solucin:t t d

t t d7 1

5 1

6 35

4 27

= + =

= + =

Restando la ecuacin t5 de t7 se tiene que:

( ) ( )

/

t d t dd

d

1 16 4 35 272 8

8 2 4

+ + =

=

= =

Para determinar t1 se sustituye en cualquier ecuacin y se tiene:

t dttt

1

1

1

1

6 356 4 3535 2411

+ =

+ =

=

=

( )

La suma se determina sustituyendo los valores conocidos en (1.12):S

S

S

7

7

7

7 2 11 35

3 5 46

161

= +

=

=

/ ( )

. ( )

Ejemplo 1.7.5Se recibe un prstamo bancario de $12 000, el cual se acuerda pagar mediante 12 pagos mensuales de $1000 ms intereses sobre saldos insolutos a razn de 5% mensual. Qu cantidad de intereses se paga en total?

Solucin:El primer pago que debe hacerse ser de $1000 de capital ms $600 de intereses (5% de 12 000). El segundo ser de $1000 ms $550 (5% de 11000); el tercero de 1000 ms 500 (5% de 10 000), y as sucesivamente.

t1 = 600 d = 50 n = 12

1.7: Progresiones aritmticas



Aplicando la frmula (1.13) se tiene:

S n t n dS

= +

= +

/ [ ( ) ]/ [ ( ) ( )( )]2 2 1

12 2 2 600 12 1 501

SSSS

= +

=

=

6 1[ ( )200 550 ](650)6

3900

Deber pagar $3 900 de intereses.

Ejercicios de la seccin 1.716. Determine el ltimo trmino y la suma de las progresiones siguientes:

a) 11, 23, 35 12 trminos b) 5, 3, 11 10 trminos c) 1/2, 5/8, 3/4 7 trminos d) 1/4, 1/12, 1/12 20 trminos e) 1.00, 1.05, 1.10 12 trminos

17. Determine la suma de:

a) Los nmeros pares de 1 a 100 b) Los nmeros nones de 9 a 100 c) Los nmeros enteros mltiplos de 5, de 10 a 500

18. En una progresin aritmtica se tiene:

a) t1 = 8 t5 = 36; determine d, t10 y S10 b) t5 = 60 t10 = 5; determine d, t1 y S10 c) t3 = 8tn = 9n = 8; determine d, t1 y S8 d) tn = 5d = 1/4n = 12; determine t1 y Sn

19. Una empresa recibe un prstamo bancario de $30 000 que acuerda liquidar en 10 pagos semestrales ms intereses sobre saldos insolutos de 10% semestral. Qu cantidad total de intereses debe pagar?

1.8 Progresiones geomtricasUna progresin geomtrica es una sucesin de nmeros llamados trminos, tales que dos n-meros consecutivos cualesquiera de ella guardan un cociente o una razn comn. En otras palabras, esto quiere decir que cualquier trmino posterior se puede obtener del anterior mul-tiplicndolo por un nmero constante llamado cociente o razn comn.

3, 6, 12, 24, 48 es una progresin geomtrica cuya razn comn es 2. 2, 8, 32, 128 es una progresin geomtrica cuya razn comn es 4. t, tr, tr2, tr3, tr4 es una progresin geomtrica cuya razn comn es r.


25

Tomando el ltimo ejemplo se puede generar una progresin geomtrica con 6 tr-minos:

t1, t1r, t1r2, t1r

3, t1r4, t1r

5

De ella se desprende que el ltimo trmino es igual a:

u = t1rn 1 (1.14)

y que una progresin con n trminos adoptar la forma:

t1, t1r, t1r2 t1rn 3, t1rn 2, t1rn 1

La suma de esta progresin es igual a:

S = t1 + t1r + t1r2 + t1rn 3 + t1rn 2 + t1rn 1

Luego, si se multiplican ambos lados de la ecuacin por r, se tiene:

rS t r t r t r t r t r t rn n n= + + ++ + + 1 12

13

12

11

1

Se resta la segunda expresin de la primera se tiene:

S rS t t r t r t r t r t r t rn = + + ++ 1 1 1 12

12

12

1( ) ( ) (nn n n nt r t r t r + 2 1

11

11) ( )

S rS t t rn = 1 1

Por lo que

S r t t rn( )1 1 1 =

St t r

rt

rr

n n=

=

1 111

11

( )

S trr

n=

111

( ) (1.15)

Es conveniente utilizar la frmula anterior cuando r < 1 y la expresin

S trr

n=

11

1( )

(1.15)

cuando r > 1.Una progresin geomtrica ser creciente si la razn comn r es positiva mayor que 1.

Ejemplo 1.8.1Genere una progresin de 5 trminos con t r1 3 4= =y .

Solucin:3, 12, 48, 192, 768

Una progresin geomtrica ser decreciente si la razn comn r es positiva menor que 1.

1.8: Progresiones geomtricas



Ejemplo 1.8.2Genere una progresin geomtrica de 5 trminos con t r1 80 1 4= =y / .

Solucin: 80, 20, 5, 1.25, 0.3125

Ejemplo 1.8.3Encuentre el dcimo trmino y la suma de los primeros 10 trminos de las siguientes progresiones:

a) 1, 2, 4, 8 b) ( . ) ,( . ) ,( . )1 0 04 1 0 04 1 0 041 2 3+ + +

Solucin: a) Para determinar el dcimo trmino se aplica la frmula (1.14) con t r1 1 2= =, :

u t r

u

uu

n=

=

=

= =

11

10 1

9

1 2

1 21 512 512

( )

( )( )

La suma de la progresin se obtiene aplicando la frmula (1.15):

S trr

S

S

S

n=

=

=

=

1

10

11

12 12 1

11 1

11

( )

( )

024

023

b) En la segunda progresin se tiene que:

t r n11 11 04 1 04 10= = = ( . ) ( . ) y

Para calcular el dcimo trmino se aplica (1.14):

u t r

u

u

n=

=

=

11

1 1 10 1

1

1 04 1 04

1 04

( . ) [( . ) ]

( . ) (11 04

1 040 675564

9

10

. )

( . ).

=

=

uu


27

La suma se determina aplicando la frmula (1.15) pues r < 1.

S trr

S

n=

=

1

11 10

11

1 041 1 04

1 1 04( . )

[( . ) ]( . )

=

1

110

11 04

1 1 041 1 04

1 041 04

S ( . )( . )( . )

.

.

S

S

=

=

( . )( . )

. ( . )( . )

1 041 1 04

1 04 1 041 1 04

010

0

110 10

1 04 11 1 04

0 041 0 675554

0 048

.( . )

...

=

=

=

S ..110896

Ejemplo 1.8.4Una progresin geomtrica tiene como primero y ltimo trminos t1 = 80, tn = 11/4; r = 1/2.Determine n y S.

Solucin:Sustituyendo los valores conocidos en (1.14):

u t rn

n

n

=

=

=

=

11

1

1

11/4 80(1/2)

/320 (1/2)

1/64 (

5

11/2) 1n

si se pone 1/64 en funcin de 1/2, se tiene:

1/64 = (1/2)6 (ya que 26 = 64)

Por lo tanto:

(1/2) (1/2)1 6

6 17

1 6n

nnn

=

=

= +

=




Se aplica (1.15) para determinar la suma:

S trr

S

n=

=

=

1

7

11

801 1 21 1 2

800 992188

0( / )( / )

..55

158 75S = .

Ejemplo 1.8.5Una progresin geomtrica cuenta entre sus trminos con t t3 68 51= =y 2. Determine t8 y S8.

Solucin:Se tiene que t t rn

n=

1 1

t t r3 12 8= = y t t r6 1

5 512= =

De la primera ecuacin se despeja tr1 28

= y se sustituye en la segunda ecuacin:

8

5122

5

rr =

8512

8 512

512 8

64

5

2

3

3

3

rrr

r

r

r

=

=

=

=

=

/

(( ) /644

1 3

r =

Sustituyendo:

t r

tt

t

12

12

1

1

8

4 816 8

816

12

=

=

=

= =

( )( )


29

Para determinar t8 se aplica (1.14):

u t r

u

uuu

n=

=

=

=

=

11

8 1

7

1 2 4

1 2 41 2 168

/ ( )

/ ( )/ ( 384)1192

La suma se calcula utilizando (1.15):

S trr

S

S

n=

=

=

1

8

11

12

4 14 1

12

6553533

922.50S = 10

Ejemplo 1.8.6La infl acin de un pas se ha incrementado 40% en promedio durante los ltimos 5 aos. Cul es el precio actual de un bien que tena un precio de $100 hace 5 aos?

Solucin:

n = 6 t1 100= t6 = ? r = +( . )1 0 40

Aplicando (1.14) se tiene:

u t r

u

uu

n=

=

=

=

11

6 1

5

100 1 40

100 1 40100 5 3

( . )

( . )( . 77824

537 82)

.u =

Puede esperarse que el precio del bien se haya ms que quintuplicado en ese periodo dada una infl acin promedio de 40%, puesto que dicha infl acin se va calculando sobre la del ao anterior, que a su vez lo fue sobre la del ao previo y as sucesivamente.




Ejemplo 1.8.7La infl acin de un pas latinoamericano se ha incrementado 4% en promedio durante los ltimos 5 aos. Cul es el precio actual de un bien que tena un precio de $100 hace 5 aos?

Solucin:

n = 6 t1 100= t6 = ? r = +( . )1 0 04

Aplicando (1.14) se tiene:

u t r

u

uu

n=

=

=

=

11

6 1

5

100 1 04

100 1 04100 1 2

( . )

( . )( . 1166529

121 67)

.u =

Como puede observarse al comparar el resultado de este ejemplo con el del ejemplo in-mediato anterior, los efectos de tasas elevadas de infl acin son muy importantes, puesto que con una tasa de infl acin anual de 4% el precio del bien se incrementar 21.67% en 5 aos , en tanto que con un incremento anual de 40% los precios se incrementan 437.82% durante el mismo periodo.

Ejercicios de la seccin 1.820. Determine el ltimo trmino y la suma de las siguientes progresiones:

a) 7, 35, 175 10 trminos b) 5, 20, 80 8 trminos c) 2/3, 2/15, 2/75 15 trminos d) 3/4, 1/4, 1/12 12 trminos

21. En una progresin geomtrica se tiene:

a) t1 = 4 t6 = 972; determine r, t8 y S8 b) t3 = 20 t7 = 1620; determine r, t1 y S7 c) t5 = 8 tn = 0.5 n = 9; determine r, t1 y S8 d) tn = 1/8 r = 1/4 n = 8; determine t1 y S8 e) t1 = 1.04 r = 1.04; determine t12 y S12

22. Un jugador de ajedrez solicit al rey, despus de haberle enseado este juego, que en pago le diese 1 grano de trigo por el primer cuadro, 2 por el segundo, 4 por el ter-cero, 8 por el cuarto y as sucesivamente. Cuntos granos deba darle por el cuadro nmero 32? Cuntos granos deba darle por los cuadros 1 al 32? Imagine la canti-dad si el tablero de ajedrez tiene 64 cuadros.


31

23. Un equipo de cmputo con valor de $10 000 es depreciado cada mes 10% de su valor al comienzo del mes. Cul ser la depreciacin en el 12o. mes?

24. Una persona deposita en un banco $5 000. El banco le paga un inters mensual de 3% sobre el saldo que tenga acumulado al principio del mes. Si dicho inters se reinvierte mes a mes en la misma cuenta, qu cantidad habr reunido al cabo de un ao?

1.9 Progresiones geomtricas infi nitasConsidere la progresin geomtrica

1, 1/2, 1/4, 1/8

cuyo primer trmino es 1 y cuya razn es r 1/2. La suma de los primeros n trminos es

S

S

S

n

n

n

n

n

=

=

=

1 1 21 1 2

11 1 2

1 21 1 2

11

( / )/

/( / )

/

/221 21 2

2 1 2 1

=

( / )/

( / )

n

nnS

Para cualquier n, la diferencia 2 Sn = (1/2)n 1 es positiva, y se reduce a medida que crece n. Si n crece sin lmite (tiende al infi nito), se dice que S se aproxima a 2 como lmite.

lm Sn = 2

n

En el caso de una progresin geomtrica del tipo

t1, t1r, t1r2, t1r

3

la suma de los primeros n trminos puede escribirse como

S trr

tr

t rrn

n n

=

=

11 11

1 1 1

1.9: Progresiones geomtricas infi nitas



Cuando (1 < r < 1), si n crece infi nitamente, el trmino en rn tiende a 0 y Sn tiende a t r1

1.

As, se dice que

St

rr=

<

33

Solucin:

t i r i11 11 1= + = + ( ) ( )y

Aplicando la frmula (1.16) se tiene que

Si

i=

+

+

( )( )

11 1

1

1

Si se multiplican el numerador y el denominador por (1 + i) se tiene:

Si

iii

=

+

+

+

+

( )( )

( )( )

11 1

11

1

1

Aplicando las leyes de los exponentes se tiene:

Si

i ii

i i=

+

+ +=

+

+ +

+

( )( ) ( )

( )( ) (

11 1

11 1

1 1

1 1

0+

))

( )

0

11 1

1

Si

Si

=

+

=

Ejemplo 1.9.4Transforme 0.555555 en una fraccin propia.3

Solucin:El nmero 0.555555 puede escribirse como la suma de 0.50 + 0.05 + 0.005 + As, se tiene una progresin geomtrica infi nita en la cual t1 = 0.50 y r = 0.10. Aplicando la frmula (1.16) se tiene:

St

r=

=

= =1

10 5

1 0 10 50 9

59

..

.

.

1.9: Progresiones geomtricas infi nitas

3 Fraccin propia es aquella en que el numerador es menor que el denominador. Ejemplos:

12

34

25

810

; ; ; .

Toda fraccin propia es menor que la unidad.



Ejemplo 1.9.5Transforme 2.533333 a un nmero mixto.4

Solucin:El nmero 2.533333 puede escribirse como la suma de 2 + 0.5 + 0.03 + 0.003 + 0.0003

Tambin puede escribirse como 25

103

1003

1 0003

10 000+ + + +

As, se tiene la suma de un nmero entero (2), una fraccin 510

y una progresin infi nita

que tiene como primer trmino t1 = 0.03 y como razn r = 0.10.Al aplicar la frmula (1.16) a la progresin infi nita se tiene:

2.533333 = + +

= + +

25

10 12

510

0 031 0 1

1tr

..

2.533333 = + + = + +25

100 030 9

25

103

90..

2.533333 = 2 45 390

++

2.533333 = 24890

4 Fraccin impropia es aquella en que el numerador es mayor que el denominador. Ejemplos:

52

43

75

109

; ; ; .

Toda fraccin impropia es mayor que la unidad y puede escribirse con la suma de un nmero natural ms una frac-cin, dando origen a los nmeros mixtos.

53

123

123

= + = .

72

312

312

= + = .


35

Ejercicios de la seccin 1.925. Determine la suma de las progresiones geomtricas infinitas siguientes:

a) 0.2, 0.02, 0.002, 0.0002 b) 0.4, 0.04, 0.004, 0.0004 c) 1, 1/5, 1/25 d) 1, 1/4, 1/16, 1/64 e) ( . ) , ( . ) , ( . )1 05 1 05 1 051 2 3

26. Transforme en fraccin propia o nmero mixto los siguientes valores:

a) 1.111111 d) 0.353535 g) 2.522222 b) 2.055555 e) 0.777777 h) 1.848484 c) 3.0681818 f) 0.141414 i) 0.202020

27. Se deja caer una pelota de hule de una altura de 30 metros. Si cada rebote llega a 2/3 de la altura de la cual cae, cuntos metros habr recorrido hasta alcanzar el reposo?

1.10 Uso de ExcelEl paquete Excel cuenta con funciones especfi cas para calcular logaritmos y antilogaritmos naturales; cuenta tambin con una funcin para calcular logaritmos base 10 y permite asimis-mo determinar el logaritmo de cualquier nmero en la base que se quiera elegir.

Estas funciones pueden activarse desde la opcin Insertar/Funcin que se encuentra en el men principal de Excel:

o bien oprimiendo el botn fx que se localiza en la barra inmediata superior a las celdas de la hoja de clculo a la que se suele denominar barra de comandos. Una vez que se accesa esta

1.10: Uso de Excel



opcin, se selecciona la categora de funciones Matemticas y Trigonomtricas y entre ellas aparecen las relacionadas a exponentes y logaritmos.

El uso de estas funciones se ilustra en el siguiente ejemplo:

Para encontrar el antilogaritmo de un nmero de base distinta al nmero e, se debe emplear una frmula con el siguiente formato:

b L

Donde

b = base = smbolo de exponenciacinL = logaritmo


37

En los ejemplos que se ofrecen en la imagen anterior, se muestran las frmulas para calcular el antilogaritmo del nmero 2 con base 2 y 10. As, el antilogaritmo se determina como sigue:

Antilogaritmo de 1 en base 2:

Frmula Resultado

= 21 2

Antilogaritmo de 0.301029995663981 en base 10:

Frmula Resultado

= 100.301029995663981 2

Excel puede ser tambin de utilidad para construir progresiones aritmticas y geomtricas, pues permite probar de manera rpida y sencilla los valores de ellas una vez que se conocen los valores de t y d en el caso de las progresiones aritmticas, as como los valores de t1 y r en el caso de las progresiones geomtricas.

1.11 ResumenEn este captulo se han estudiado tres temas que resultan bsicos para comprender y manejar las matemticas financieras.

a) Los exponentes y sus leyes.b) Logaritmos y antilogaritmos.c) Progresiones: aritmticas y geomtricas.

Un exponente nos indica el nmero de veces que un valor llamado base debe multiplicarse por s mismo, y se expresa en su forma general como an donde a es la base y n el exponente.

Las operaciones que involucran exponentes estn regidas por las siguientes leyes:

1. a a am n m n = +

2. aa

am

nm n

=

3. ( )a am n mn=4. ( )ab a bn n n=

5. ab

ab

n n

n

=

1.11: Resumen



6. a0 = 1

7. aa

nn

=

1

8. a a am n nm

mn/= ( ) =

Un logaritmo es el exponente al cual debe elevarse una base para obtener un nmero determinado.

bL = N

Como exponentes que son, los logaritmos se sujetan a las leyes que los rigen y, en virtud de ello, son de gran utilidad para simplificar clculos aritmticos.

Tres leyes fundamentales de los logaritmos se derivan de la aplicacin de las leyes de los exponentes.

1. log (A B) = log A + log B

2. log log logAB

A B=

3. log An = n log A

As, al aplicar logaritmos, la multiplicacin de dos nmeros se convierte en la suma de sus logaritmos, un cociente en una resta y una potencia en una multiplicacin.

Una progresin aritmtica es una sucesin de nmeros llamados trminos, tales que cua-lesquiera dos nmeros consecutivos de la sucesin estn separados por una misma cantidad llamada diferencia comn.

Las progresiones aritmticas son la base terica del inters y del descuento simples.Las progresiones geomtricas son, a su vez, la base del inters compuesto y las anualidades,

y se definen como una sucesin de nmeros llamados trminos, tales que cualesquiera dos nmeros consecutivos de la misma guarden un cociente o razn comn.

En una progresin geomtrica cualquier nmero posterior se puede obtener del anterior multiplicndolo por un nmero constante llamado cociente o razn comn.

Si se ha ledo el captulo completo, el lector debe:

Comprender el concepto de exponente. Conocer y aplicar las leyes de los exponentes. Comprender el concepto de logaritmos. Determinar el logaritmo comn de un nmero. Comprender el concepto de caracterstica. Comprender el concepto de mantisa. Conocer y aplicar las leyes de los exponentes.

Comprobacin del captulo


39

Determinar el antilogaritmo de un logaritmo. Efectuar clculos utilizando logaritmos. Comprender el concepto de progresin aritmtica. Comprender el concepto de progresin geomtrica. Comprender el concepto de progresin geomtrica infinita. Resolver ejercicios que involucren exponentes, logaritmos y progresiones utilizando

hoja de clculo Microsoft Excel.

Frmulas importantes

Trminos y conceptos importantes Antilogaritmo Base Caracterstica Cociente o razn comn Diferencia comn Exponente Exponente cero

Exponente fraccionario Exponente negativo Logaritmo Mantisa Progresin aritmtica Progresin geomtrica Progresin geomtrica infinita

Frmulas importantesExponentes

am an = am + n (1.1)aa

am

nm n

= (1.2)

(am)n = amn (1.3)

(ab)n = anbn (1.4)

ab

ab

n n

n

= (1.5)

aa

nn

=

1 (1.6)

a am n mn/ = (1.7)

Logaritmos

log (A B) = log A + log B (1.8)

log log logAB

A B

= (1.9)

log An = n log A (1.10)

Progresiones aritmticas

u = t1 + (n 1)d (1.11)S

nt u= +

2 1( ) (1.12)

Sn

t n d= + 2

2 11[ ( ) ] (1.13)

Progresiones geomtricas

u = t1rn 1 (1.14)

S trr

rn

=

11

11

( )para (1.15)

Progresiones geomtricas infinitas

St

rr=

<


1. Simplifique.

a) ax a x4 3 5

b) a y b y2 5 2 5

c) a x a y x y3 4 2 3 2 6

d) ( )( )( )3 5 25 2 6x x x

e) yy

2

f ) yy

5

6

g) ( ) ( )x y xy

y y

2 3 5

4 3

h) ( )d2 5

i) ( ) ( )i i3 3 2 3

j) ( ) ( )( )( )39 9

2 4 3 5

4 4 2x xx x

Ejercicios complementarios

k) 52

3x

x

l) ( )x y3 5 2

m) xy

3

5

2

n) x y x y

y y

2 3 2 4

5 2

3

o) 2 5

3 5

3Z

x y

p) ( . ) ( . )1 0 06 1 0 063 12+ +

q) ( . ) ( . ) ( . )( . )

1 80 1 80 1 801 80

5 3 2

2. Simplifique.

a) 10

b) (5a)0 (3a2)0 h) ( ) ( )y y 3 5 2 2

i) ( )/a 1 4 2

j) ( )/a2 5

k) ( )( )/ /

/y y

y

4 7 4 7 7

1 5

l) ( )( )/ /125 1251 5 2 5

m) ( . ) ( . )1 0 075 1 0 0755+ +

n) ( . ) ( . )

( . )1 60 1 60

1 60

4 1

0

+

3. Simplifique hasta la mnima expresin.

a) 5(5)2 = b) =4 2a

c) ( ) =4 2a

d) ( )

( )

/

/

=

2 22

4 2 4

2 2 4a aa a

e) x x

x x

( ) ( )( ) ( ) =

2 4 1 4 2

1 2 4 2 4 4

/

/ /

c) b b1 5 1 4/ /

d) bb

1 5

1 4

/

/

e) b b

b

3 4 6 8

1 4

1 4/ /

/

/

f ) ( )( )( )x x x 2 5 3

g) ( )y2 3


41

f ) 4 2

4 2 4

0 4

2

=

( )

g) ( ) /64 2 3 =

h) ( ) / =64 2 3

i) ( ) /64 2 3 =

j) ( ) / =64 2 3

k) 27 131 3

3 1 6

1

aa

( ) =

/

/( )

l) 8 3 3 31 3 1 2

x y z ( ) =/ /

Ejercicios complementarios

m) a ba b

+=

1 1

1 1

n) 24

6427

2

2

1 2 3

3

1 3xx

xy

=

/ /

o) ( ) =8 3 1 3x /

p) a x ax x

x

( ) =

1 3 35 22 3

1 6 1 6 2

1 6

// /

/

q) x y a b a b

a

3 1 2 6 1 4 3 3 1 4 2

1 4

3

27

/ / /

/

bbxy x y

=1 2 3 4 4

1 2/ /

4. Simplifique usando exponentes.

a) x y2 3

b) y x33 54

c) a a

a

3 42

105

d) b a b

a b

3 2 53

3 74

3

5. Determine el valor de las incgnitas en las siguientes ecuaciones.

a) 5x + 1 = 32x

b) ( . ) ( . ) /1 0 02 10 765163 1 2+ =n

c) 100 1 0 12/ ( . )x x= +

d) 5001 0 04 1

1 0 04 13000

1 4( . )

( . ) /+

+ =

x

matematicas financieras 4ta.ed - alfredo diaz mata

Documents