1. ttb_ *.,{m*.q-r.F-,"f'qv,iiffi_nh'ttbttf^-&ir '- .- ****l'IP-i, ^ :**ri-*-ri lrg5t- i, i'*^ r^A?*fL' -".*'r{$ r ir+t*ifTfT

2. No estpermitida la reproduccintotal o parcialde estelibro, ni su tratamientoinformtico,ni la transmisinde ninguna forma o por cualquiermedio, ya seaelectrnico, mecnico, por fotocopia,por registro u otros mtodos,sin el permiso previo y por escritode los titularesdel copyright. DERECHOS RESERVADOS, Copyright @ 1997, por Lincoyn PortusGovinden DERECHOS RESERVADOS, Copyright @ 1997, porMcGRAW-HILL INTERAMERICANA,S.A. Avenidade las Amricas,46-41.. Santafde BogotD.C.,Colombia Editora:Emma Ariza Herrera 4723567890 ISBN:958-600-596-8S: ,:rlprimieron ejemplares el nres febrero 2005 3000 en de de ,1'::3soporQuebecor WorldBogot S.A. --r-:Sra Colombiaen Printed Colombia in9012345687 3. "? i,qt$ "."*:th,-;r#ard#ev m #s'd$xrfm ffrsfummffmutilizan Como cualquier actividad cientfica,las matemticasfinancierasevolucionan, se profundizan nuevasformas y, a medida que se ampla el campo de sus aplicaciones, Porotra parte,las los conceptor,ui.ur,.., y resiriccion",du t.tt definicionesy teoremas' en financierasimponen variaciones el isciplinasqu utilizan las matemticas d.iversas un texto de que iu"g""" y, d u.rr"ro con el principio de universalidad,es necesario y utilice el lxicoactualizado apropiado' estJnaiuialeza a las en E4 estacuartaedicin se han introdutidb importantesvariaciones cuanto La anteriores' moy definicitnes,formulacinde teoremas lxico utilizado en ediciones desdeel capnotacinestndar(X/Y,i%,n) t" Ltiliru como herramientanecesaria derna el ha ampliadoy actualizado, se a Respecto la extensin, tulo tercero,no comoalternativa. los de probabilid-acontenido de los diferentescaptuloslpor otra parte, se suprimieron stos se refey des y tablasde mortalidad, anualidadls y pags contingentes, seguros; se estudian en forma ran, en forma resumida,a conocimientosque en la actualidad y especficas en cursosde posgrado. profesionales exhaustivaen carreras calcuactualesestudiantesseforman en el mundo de los juegoselectrnicos, Los de su realidad- que y Iadoras,microcomputadores computadoresy, es natural-dentro ,rr, mbitosde tiabajo. En estecursoseestudianlos funutilizarlo, Ia tendenciasea ".t financierat, lu lgicu de sus diferentesmtodos damentostericosde las matemticas En para los problemas' este y para calcular obtenerlas soluciones de trabajoy los recursos destreza uno de l,osobjetivospropue$toses que el estudianteadquiera orden de id,eas, obtengala sufien la interpretaciny maneode las efiniclones,teremasy frmulas; actividadesprociente pericia en el uso de susinstrumentos de apoyo para qu.een sus nuevas/programar fesionlespueda, con basesslidas,afrontar con xito situaciones 4. y con fundamentosy seguridadsustrabajos,y crearnuevos sistemas modelosmatemy los ticosque transformen modernicenconstantemente temasde estamateria. no n lo que se refieie a tablasde factoresde interscompuestoy anualidades, es pueden o mediante calculadora microcomputado, incluirlas.Los estudiantes, necesario y con lasfrmulas adecuadas manejanfactoreso calcularlos estos obtenerdirectamente su equipo.La meta esque el estudianteadquierauna formacingloballo do con destreza mscompletaposibley tengadominio en el manejo de las frmulasy mediosde clculo; y con estepropsito en mente, se han gradualizadolos ejemplos,ejercicios problemas lo No obstante anteriot y con un claroobjetivo didctico,seincluyen en forma del texto. conozcansu estructura,las aplipara que los estudiantes parcial las tablasde factores, desarrollenhabilidad para su manejo.Siempreseutilizarn tablasen diferentes qnen y a ictividades,como un medio seguroy rpido para obtenerresultados; los futuros profenecesay crearlas para ello deben asimilarIos conocimientos les sionales corresponder rios. que hicieron llegar susobserpara los profesores muy especiales Agradecimientos las vacionesy crticasconstructivas, cualessirvieron para mejorar el contenido de esta relacin. edicin.Es importante que en el futuro semantengaestaamabley estrecha y El autor agradecesu colaboracin aportesa Ia economistacolombianadoctora Cariolay al ingechilenadoctoraMnicaPazTorres Bedoya,a Ia economista InsCabrera PortusValdivia. niero Rolando LincoynPortus Goainden 5. Contenidov Prefacioa Ia cuarta edicinuernurtcos FUNDAMENTos ALGUNos00.lAproximaciones.0.2operacionescondecimales,utilizandopotenciasdel'0. 0'6 Tanto o.pt"."inadad. 0.5Proporciones' de los .on 0.3Tabras ru"ror"r-urrtror. 0.9'Propiedades por ciento. o.z^ir"*" det binomilS.;;;;;il"t. 011Progresingeomtrica' progresinuiii*ti.u. i. .10 logaritmos "t6 "" ";;"12stuprn INTEns objetivo.l.llntroduccin'l.ZDefiniciones.1'3Clculodelinters.1.4Interpreentre el inters comercialy el 1.;;n;i".i" tacin del factor k en la frmula para el clculodel tiempo y del tiempo. 1.7Tablas del intersr"uf. f .ip"i"r*ir,u.iO., moiti.aas para el cIculo ecimales.1fi;;;i"; para las ''tttudeuda' L'11 " "q.,i";;;; 1.10Valoiactual o valor presente inters inters,i*pr"li.l'"nio. o 1.12 Griicas diasramasdel por medio " iufur. Clculo de intereses anticipaday t'tlt) inoirinal proPuestos' simple. r.rg g;acio,ies d",,uro,", "|"i"Ju.'t",. proui*ur resueltos.l'.16Problemas vencida y ,urur?.iivs. r.rs 1.17Acti;idades de consulta' EN CADENA Y TASAS ESCALONADAS COMISIONES, DESCUENTOS objetivo.2'lDescuentobancario.2.2F6rmliaparaelclculodeldescuentobanbancarto' 2'4 Relacin .,rufo. fiqia Z.3Frmula para el cario. "" "ii"t."ento46 6. FINANCIERAS MATEMATICASbancarioy el descuentoracionalo matemtico. Pagos entre el descuento 2.5 despus de la fechade vencimiento.2.6 Comisiones Yaiacionesdel valor lqui.2.7 do y de la tasade intersen el descuentobancario.2.8Descuentos comerciales. 2.9Yalorneto de una factura.2.10Descuentos pronto pago.2.1.1. por Descuentos en cadenao en serie.2.12Tasas escalonadas. Modificacinde las tasasesca2.13 lonadaspara evitar la inversin de las categoras valores.2.14Problemas de resueltos. 2.15Problemas propuestos.2.1.6 Actividadesde consulta. PAGOS PARCIALES Y VENTAS A CRDITO A CORTO PLAZO69Objetivo. 3.1Introducci6n.3.2Pagode los intereses un pagaren fracciones de del plazo de la deuda.3.3Descuentobancariocon pagosanticipados los intede resesen fracciones plazo.3.4Pagos del parciales. Ventasa plazos.3.6Tasa 3.5 de inters en ventas a plazos.3.7 Problemasresueltos.3.8 Problemaspropuestos. 3.9Actividadesde consulta. INTERS COMPUESTO93Objetivo. 4.1 Introduccin.4.2 Monto o valor futuro a inters compuesto.4.3 Comparacinentre inters simple e intets compuesto.4.4Tasanominal, tasa 4.5 efectivay tasasequivalentes. Clculo del valor futuro para n mayor que 50. 4.6Valorfuturo compuestocon periodosde capitalizacinfraccionados.4.T CIculo de la tasade interscompuesto. Un casoparadjico.4.9 4.8 Clculodel tiemnaturale interscompuesto.4.11 po. 4.10Crecimiento Problemas resueltos.4.12 propuestos. Problemas 4.13Actividadesde consulta. VALOR ACTUAL O PRESENTE INTERS COUT'UESTO AL123Objetivo. 5.Llntroduccin.5.2Clculodel valor actual.5.3Valoractualpara valoresde n mayoresque el mximo de la tabla.5.4 Valoractualal interscompuesto con periodosde capitalizacin fraccionarios.5.5 Descuento interscompuesto. a 5.6Valorpresentede una deuda que devengaintereses.5.7 Ecuaciones valode res equivalentes. Problemas 5.8 resueltos.5.9 Problemas propuestos. 5.10Attividadesde consulta. ANUALIDADES Objetivo. 6.1Introducci6n.6.2Clasificacin las anualidades. Anualidades de 6.3 ciertas. Anualidadeseventuales contingentes. Valorde las anualidades. 6.4 o 6.5 6.6 Valor futuro y valor presentede las anualidadessimplesciertasordinarias inmediatas.6.7Problemas resueltos(primer grupo). 6.8Problemas propuestos. 6.9Clculode la renta en una anualidad simple ciertaordinaria.6.10Clculodel tiempo o plazode una anualidad.6.11Clculode la tasade intersde una anualidad simpleciertaordinaria.6.l2Problemas (segundo Proresueltos grupo).6.L3 blemaspropuestos. 6.L4Actividadesde consulta.t41 7. CONTENIDOANUALIDADES ANTICIPADAS Y ANUALIDADES DIFERIDAS773utilizados en las anualidaObjetivos.7.1Anualidadesanticipadas.T.ZSmbolos simplescierde futuro y valor presente lasanualidades anticipadas.7.3Valor des 7,6 propuestos. Actividades 7.5 resueltos. Problemas 7.4Problemas tasanticipadas. de consulta.7.7Anualidadesdiferidas.7.8Valoresde las anualidadesdiferidas 7.11Activi7.10Problemas resueltos. Problemas simplesciertas.7.9 ProPuestos' dadesde consulta. RENTAS PERPETUAS206ANUALIDADES CIERTAS.CASO GENERAL224. utilizados en lastas perpetuas-8.3 Objetivo.8.1 Introduccin. 8.2 Smbolos 8.postos capitalizaCapitalizacin. de Val'ores las rentasperpetuassimples.8.4 propuestos' 8.8 resueltos. Problemas 8.7 dos.8.6Costosequivalentes. Problemas 8.9Actividadesde consulta.Obietivo. 9.1Introducci6n.9.2 Smbolosutilizados en las anualidadesgenerates.q.gConversinde una anualidad generalordinaria en una anualidad simple.9.4 Valor futuro y valor presentede las anualidadesgeneralesciertas ordinaria.9.6 9.5 rdinarias. Clcutodela rentade una anualidadgeneralcierta del tiempo o plazo 9.8 propuestos. Clculo 9.7 resueltos. Problemas Problemas de una anualidad general.9.9 Clculo de la tasa de inters de una anualidad 9.12 Anualidadesgenerales-anticipadas. 9.11. propuestos. 9.10Problemas general. 9.15 variables. 9.14Anualidades propuestos. 9.1Problemas resueltos. roblemas 9.18Anuali9.16Gradientearitmtico.9.17Gradientegeomtrico. Gradientes. continuos.9.20Anualidadesa indadescontinuas.9.L9Anualidadesa intereses ters continuo con Pagosen flujo continuo. 9.21 Problemasresueltos.9'22 9.23Actividadesde consulta. propuestos. Probleinas 27910 de Objetivo. 10.1Introduccin. 10.2Sistemas amortizacin.10.3Clculo de los ReservaF 10.4 Para de val-ores lasamortizaciones. Clculodel saldoinsoluto.1.0.5 10.7Derechos atender rentas cuyos pagos son variables.10.6Ventasa plazos. prstamospara sobreun bien pagado por cuotas.10.8Captacinde ahorro y_ propuesProblemas 10.10 resueltos. Problemas 10.9 de adquisicin bienesraces. Actividadesde consulta' tos. 10.11 11FONDO DE AMORTIZACIN de Introdu cci6n.11..2Clculo los valoresde un fondo de amortizaObjetivo.11.l. el fondo y del saldoinsoluto en cualquier ciOn.f t.g Clculode Io acumuladoen fecha.11.4Clculo del plazo de una deuda. 11.5Fondosde amortizacincon 11.8AcproPuestos. 11.7Problemas 11.6Pioblemasresueltos. aportesvariables. tividadesde consulta.314 8. M A T E M T I C AF I N A N C I E R A S S12DEPRECIACINYAGOTAMIENTO330de los cargosperidicospor depreciaobjetivo. 12.1Introdu cc6n.LZ.ZClculo ciAi n'+Mtodo de la suma de por fondo de amo,rtiza cin. 12.3Depreciacin Mtoactivo.L2.5 qrr" -J."rponde1.1 losaosde duracindel dgitoso enteros 12'6Mtodo de geomtrica' variacin p"t do de depreciacin pttt'""tae fijo o de de Recuperacin la inversin 12.7 sobrla inversin. intere^ses con depreciacin enbienesagotables.l2.8Problemasresueltos.l2.gProblemasPropuestos.l2.l0 de Actividades consulta' 344 13BONOS o b e t i v o . l 3 . l l n t r o d u c c i n ' l 3 . 2 D e f i n i c i o n e s . l 3 . 3 P r e c i o d e l o s b o nPrecio dea osenun de un bono en libros. 13.5 fecha de pago de inters o cupn. 13.4Valor I o s b o n o s c o m p r a d o s e n t r e f e c h a s < l e c u p n . 1 3 . 6 C o t i z a c i n d e13'8 EIn o s e n l o s l o s b o intee las inversionesen bonos' mercadosde valores. 13.7Rendimiento rsorclinarroyelintersrealenlaTIRdeunbono.l3.gBonosseriados.l3.l0 Bonosdeanualidad.l3.llBonosconfechaopcional0Lasdos expresiones: y:log"x y x:ayson equivalentes. Las propiedades de la funcin logartmica se infieren de las propie_ dades de la funcin exponencial.Propiedades generales de los logaritmos 1. La funcin logartmica es 0 para : r 1, o sea, log,1 : 0 2.El logaritmo de una cantidad igual a la base es l, es deciq,logoa:7 3. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. o sea, log"ABC= log, + log,B + log,C 4' El logaritmo del cocientede dos cantidades es igual al logaritmo del dividendo, menosel logaritmo del divisor,as: 16. r M A T E M A T I C A F I N A N CE R A S S IAlog";=loB,A-log"B b5. El logaritmo de la potencia de una cantidad es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de Ia cantidad, o sea, logoA": rtlog,,A Como casosparticulares de esta propiedad, se tienen: 6. El logaritmo de una potencia de la base es igual al exponente, es deci, logoa" = tl Si en la propiedad 5, n = L,e n t o n c e ss e t i e n e :logoAl = 1log"A r 7. El logaritmo de un radical es igual al cociente entre el logaritmo de la cantidad subradical y el ndice, o sea,tog,U=!log,,q t,0.9PROPIEDADES DE tOS LOGARITMOS EN BASE I O Las propiedades de los logaritmos en base 10 son un casoparticular de las leyes generales y conviene repetirlas para la base 10 en razn de sus aplicaciones.As, log,nr se escribe logX, sin indicar la base. l.EI logaritmo de 10 es igual a la unidad, o sea, log10 : 12.El logaritmo de una potencia de 10 tiene tantas unidades como ceros posea la potencia, es deciclog100:2 1o910.000:4 Mantisa es la parte decimal del logaritrno de un nmero. El valor de las mantisasse encuentraen lastablas logarihnos.En losclculos utilizan nicamente de se mantisas positivas. Caracterstica la parte enteradel logaritmo de un nmero. es 17. ALGUNOS UNDAMENTOS ATEMTICOS F MReglas para calcular la caracterstica La caracterstica del logaritmo de un nmero tiene tantas unidades como cifras enteras posea el nmero' menos 1' si el nmero slo ofrece cifras decimales, la caacterstica de su logaritmo tiene tantas ,r.,iaua", negativas como ceros posea el nmero rntes e la primera cifra significativa d ( c o n t a n c l e l . : . o p ; ; ; e n ra parte entera). Nota: Al operar con calcul;ora con r.i" log, se .rbtie,-,"el valor del logaritmo. La en mantisa caracterstica ysroes necesaria se trabaja si con tablas crettl#H:lLos nmeros que tienen las mismas cifras significativas tienen la misma mantisa v difieren slo en la caracterstica.log 234.000 5,3692 = : log 23.400 4,3692 log2,34 : log 0,234: : log 0,0234 Iog 0,00234 :ffiEtrE0,3692 -t+0,3692= 136g2 -2+0,3692: 2,3692 -3+0,3692 Z,ZO9Z :Clcular el valor cleX datlo por Ia expresirin , ^, =4(l+0,t),1)r{)(1+ o4/!i oN, 'tscl1 ;rplicarseI.111itmls directamente p.r la presencia de la cliferencique apreceen el de norlinador; se calcula primero la potenciJ de 1,04: .r:( 1 - + 0 , 9 4 ; .:r(,1 , 0 4 ) 3 ( ,= ,,,rll,ijijl;fr;r-,30(0,0170333) 0,510999 = lo;l = (t,510999 t : 3,24339 Seremplaza el valor cleX: en4(3,24339 ) 32133sI Y_4(3,24339 )2Z4ns 18. I MATEMTICAFINANCIERAS Slo gX = log4 + 1o93,24339lo 92,24339 log4= 0,602060 :0,570999 + 1og3,24339 1,1 13059 -1o92,24339: 0,350905 o?l'154 logX - 0,762154 X = 5,783016 ffilEIqCalcularel valor dex-/l,es?sd krq{ = ] l.c0'9tt75t' '7 - 0,e0456 2 =1,99456 lo;0,09t1750 - 6 multiplicadoptrr 3 = 2,9t136r = ,98368 7 d i v i d i d o o r T = ( 3 , 9 8 3 6-8 ) : 7 = t , S O S t O p X = 0,37077@lEEUsarcalculadora funcirntpuru X=r$,}gwsd'Jfn B?se =o,osl7s6) Si la calculadora tiene mando de fraccin,efectuar no 3+7 =0,42857"143 tu571t3 X = 0,09L756ttX = 0,37077 [ftffi&E (7+i)10lCalcularel valor de la expresinpara l: PasoEntrada0,02 Pantallai1 2 3 4 5 o1,02v't:17,02 7,02 10 1,21899M 1,2789944 1 19. ALGUNOSFUNDAMENTOS MATEMTICOS(1+i)10-1 tPasoEntrada7 8 onn?l0Pantalla 0,2189944 0,2189944 0,02 10,91972Respuesta: 70,94972rffitilE P a r ai : 0 , 0 3 ,h a l l a r e l v a k r r d e l a e x p r e s i r i nc o n c a l c u l a d o r a : ( 1 + i ) ' ! I'aso IEntradazi31245 6 7 ttM 1,03 lt' N,llt9Pantalla I 1 12 0,083333 0,0r3333 1,03 1,03 0,0u3333 1,0024663Respuesta: 1,0024663O.I OPROGRESIN ARITMTICA Es una sucesin finita de nmeros llamados trminos, en la que cualquierr cle ellos difiere del anterior en una cantidad fija r/, denominada incremento o diferencia, bor ejemplo: 6, 77, 76, 21, 26, 37. Serie es una suma de infinitos trminos ligados por determinada ley de form.cin. Una sene aritmtica es aquella en la que cada trmino difiere del anterio4 en una cantidad fija. Si se designa por n el primer trmino, por d la diferencia constante y por rr el nmero de trminos, la progresin generada es as: a ,a + d , a + 2 d ,a + 3 d , . . . ,n + ( n - d ) d El ltimo o r-simotrmino acostumbraa designarsepor u,y su expresinen funcin del primer trmino -el nmero de trminos y la diferenciacomn- es dada por u=a+(rt-I)d 20. MATEMATICAFINANCIERAS Ssuma de los trminosde una progresinaritmtica seala progresin: n , a + d , n + 2 d , a* 3 d , . . . , * ( n - 3 ) d , a * Q t - Z )d , a + ( n _ 7 )d a Su sumaS es: s = rz* (n + d) + (a + Ll) + (n + 3d)+ ...+ n + (ru-3)dl + + [n Qr-2)dl + fn + Qt_7)d] AI escribir mismaprogresin, la invertir el orden de los trminosv sumarlasdos igualdades demuestra se que:,_nla+(n-Dd] zEsta frmula da el valor de S en funcin del primer trmino, el nmero de trminos y la diferencia constante. si en la expresin 2n + (n - 1)d : a + a + (rr - 1) r/, se remplaza n + Qr- 1)tl por u ( l t i m o t r m i n o ) ,s e t i e n e : (n+u) rr(n+u) . =ri "=2 2 La suma de los trminos de una progresin aritmtica es igual a ,l veces la media aritmtica de los trminos primero y ltimo, sienclo r el nmero de trminos. Interpolacin lineal Si entre dos nmeros se desea interpolar rr trminos, de modo que los dos nmeros dados formen una progresin aritmtica, se tendr, al clesignar con N, y N, los dos nmeros dados: Primer trmino : Nr ltimo trmino : N, Nmero de trminos : tt * 2 N, : N, * (rr + 2 - 1)r, donde x es la diferencia constante;se clespejar t=N'-N' n+7 @eIEInterpolarentre3 y 5,4 trminos, modo queformen una progresrtin de aritmtica. N r = 3 ,N 2 = 9 , n = ! ' 5-3 5t,/L a p r o g r e s i n e s ' . 3 ,3 2 / , , 3 a / r , 4 43/s,5 21. ALGUNOSFUNDAMENTOS MATEMTICOS0 . 1 r PROGRESION GEOMETRICA -.-^'-'!.Es una sucesinfinita de nmeros llamados trminos, en la que el cociente o razn entre dos trminos sucesivoses constante. Si se design a por a el primer trmino, por r la razn entre un trmino y el que le antecede y por n el nmero de trminos, la progresin gene_ rada es as: 1 1 ,a l , a t z , e r 3 , . . . , a T " - 3 , a r n 2 , g y n - tEl ltimo o r-simotrmino acostumbra a designarsepor u: ll:artt-lEn una progresin geomtrica,Ia razn se cletermina mediante la reracin: , =flr*' fiL(k e'sun nmero natural que indica er orden de cualquier trmino). Suma de los trminos de una progresin geomtrica Seala progresin a, nr, ar2,nri,...,arn 3,ar,-2, ar,t-r Su suma es: 5 : a * n r * n r z + a r 3+ . . . * a r , '3 + a r , ,z o r n - t a l m u l t i p l i c a r p o r s r : n r + a r 2+ n r 3+ a f +. . . + o r n _ a r , _ t+ a r , 2AI restar se obtiene: ^ "-a(r'-7) r-7que expresa la suma de los trminos de una progresin geomtrica, en funcin del primer trmino a,la razn r y el nmero de trminbs. Progresiones geomtricas crecientes y decrecientes Si la raz6n r es positiva menor que 1, la progresin generada es decreciente.Se llama asporque cada trmino se da en valor absoluto, menor que el que la antecede. si r es ^uyo, que t, los trminos de la progresin crecen indefinidamente, generando una progresin ceciente. 22. FINANCIERAS MATEMATICASffiIE^ _ 1"> 1n=4 11A4439ffiIEEa=3n=4 3,6,72,24 Serie geomtrica La suma de los trminos de una sucesin geomtrica de trminos decrecientes tiende a un lmite. Frmula del lmite:a(r' -1)trm )a(0-l)Itm[ftffilEgPara0 -), entonces, el Tasa instantnea Si en j,,,,,se supolle que nl crece sin lmite (nr s periodo de capitalizacicin un intervalo de tiempo ms pequeo que cualquier cantise escogida. [n estc crso, dice que la capitalizacines c22 1 c's a1,40000000 1,3875637t'lal r., LLTA7,40837715 1,387s6370220,02081345 comoES0,072436302081345 7243630 1243630- , t 2087345 =22,5975 6nqqTqn :3,766 aos: 3 aos9aeses6 d.is 128. M A T E M T I C AF I N A N C I E R A S Sy funcin lrr' 16. Resolverel problema Ne 15, utilizando calculadoracon memoria= (1 + 0,015)6' 7,4 : 6n In 1.,0L5 In 1.,4 : entra a memoria In 1,01'5 0,0148886 rr1,4+ MR = 22,599302 :22,599302 6:3,767 + :3aosgmeses6das4.12PROPUESTOS PROBLEMAS 17. Hallar el valor futuro a inters compuesto de $100,para 10 aos: (t) al5% efectivo anual (b) al 5% capitalizablemensualmente (c) al 5% capitalizabletrimestralmente (d) al 5% capitalizablesemestralmente 18. Hallar el valor futuro a inters compuesto de: semestralmenteen 20 aos (n) $5.000al6% caPitalizable al7% capitalizable semestralmente en 70 aos irj S.OOo (c) $9.000alTt/z%capitalizabletrimestralmente en 12 aos al6/z% capitalizablemensualmente en 30 aos il $S.OOO durante 10 1g. Hallar el vF de $20.000depositados al 8%, capitalizablesanualmente terica, (b) comercial' aos 4 mesesen forma: (ru) 20.HallarelVFde$10.000depositadosa].8%,capitalizablestrimestralmentedurante 32 aos 7 meses22 das. cuando no se Nota En los problemas, se suPone que se trata del vF comercial, especifiquealgo distinto. caja de ahorros que paga 21. Una persona deposita $3.000el22 deabril de 1995,enuna de diciembre de cada ao' el6/o, capitalizatlesemestralmenteel 30 de junio y el 31 ZCunto podr retirar el 14 de noviembre del2002? trimestralmente' El 1a 22. lJnbanco pagaba el 5% de inters comPuesto,capitahzable semestralmente' de enero d,e 7996modific la tasa, elevndola aI7/" capitalizable 2016,un depsito de Calcular el monto compuesto que tendr el 1q de enero del efectuado el 1q de abril de 1993' S10.000, 129. INTERES OMPUESTO C23. Un padre muere el 20 de marzo de 7996 y deja a su hija $100.000para que les sean entregados al cumplir 18 aos. La herencia se deposita en una cuenta que gana el 6%, capltaluable anualmente. El 22 de septiembre del ao en que muri el padre, Ia hija cumpli 10 aos; calcular la cantidad que recibir en la edad fijada. (Int. real). 24. HaIlar el VF de un capital de $100 depositados durante 10 aos 5 meses,a la tasa efectiva anual del 6,32%. 25. ZQu tasa capitalizablesemestralmentees equivalente al 8% , capitalizable trimestralmente? 26. Calcular la tasa de inters simple equivalente al7%, capitalizablesemestralmente durante 12 aos. 27. Hallar Ia tasa nominal convertible semestralmente.a la cual $10.000se convierten e n $ 1 2 . 5 0 0e n 5 a o s . , 28. Se estima que un bosque maderable avaluado en $750.000 aumentar su valor cada ao en el 8,5%,durante los prximos 6 aos. ZCul ser su valor al final del plazo calculado? 29. ZCuntosaos deber dejarseun depsito de $6.000en una cuenta de ahorros que acumula el 8% semestral,para que se conviertan en $10.000? 30. Calcular el monto de $4.000depositados durante 12 aos 5 mesesal 6,4% con acumulacin semestral. 31. Qu es ms conveniente: invertir en una sociedadmaderera que garantiza duplicar el capital invertido cada 10 aos, o depositar en una cuenta de ahorros que ofrece el 6/o capitalizable trimestralmente? 32. Una poblacin aument de 475.000habitantes a 1.235.000 25 aos. ZCul fue el en tipo anual aproximado de crecimiento? 33. Un inversionista ofreci comprr un pagar de $120.000sin intereses que vence dentro de 3 aos, a un precio que le produz ca eI 8% efectivo anual; calcular el precio ofrecrdo. 34. Un pagar de $18.000 interesessimples deI6% con vencimiento a 5 aos, es coma prado por un inversionista 3 aos antes de su vencimiento por la cifra de $20.300. Hallar la tasa efectiva de rendimiento que produce la inversin. 35. Hallar el VF a inters.compuestode $20.000en 10 aos, a la tasa continua del 5-, de inters.Comparar el resultado con el monto compuesto al5%, convertible mensualmente. 130. I M A T E I V A T I C AF I N A N CE R A S S36. Hallar el valor de la fuerza de inters que corresponde al inters compuesto del5% ' 5/,: 0,25,tr : 3 aos f Eiaborar la grfica del vF de $1.000a inters compuesto para i en la misma , trazar la escalonada corresPondiente al VF a la tasa equivalente capitalizablecada cuatro meses'38. Elaborar la grfica correspondiente al VF con capitalizacincontinua de|78,2322% y hallar la tsa equivalenle anual y el VF en los aos 7, 2, 3 y 4. En la misma, ttazar eI u .o.r"rpondienie al VF a inters simple continuo para |a tasa del 20%; para cada primer aho, hallar los vF a inters compuesto y a inters simple, al final de mes.4.I3DE ACTIVIDADES CONSULTA de (c) Consultar en la banca local las tasas)'periodos de capitalizacinpara cuentas ahorros, y analizarventajas y desventajasde los sistemasaplicados. (') Consultar las tasasde capitalizacinpara depsitos a mediano y largo plazo. vida' (c) Estudiar las tasasy periodos de capitaiizacin para las reservasde segurosde 131. il,r* .!l:r !: iirr,*qe,i',,ie*'VALOR ACTUAL PRESENTE O AL INTERES COMPUESTOOBJETIVO En este captulo se aprender a reconocer,definir y calcular valores actualeso presentes, valores futuros o montos de sumas a inters compuesto; adems r" .r'lar,"1u.un ecuaciones valores equivalentesy diagramas de flujos de caja.Al terminar este capide tulo se podrn plantear y resolver problemas financieros en los que inten'ienen clcuIos de valores futuros y de valores presentes o actuales a partir de obligacionc: que devengan o no intereses;igualmente se podrn plantear ecuacionesde valores equir alentes y elaborar diagramas de flujos de caja.5.1INTRODUCCION Una cuestin fundamental en el mundo de los negocios es la determinacin del r-aior de aquellos bienes expresablesen dinero que, por alguna condicin, se recit'rrn en fecha futua. As, por ejemplo: iQu vale hoy un legado de $1.000.000 que se recibir d e n t r o d e 1 0 a o s ?Z E n c u n t o p u e d e v e n d e r s eh o y u n t e r r e n o q u e e s t e n c o n c e s i n por 6 aos? Definicin El valor actual o presente a inters compuesto de un dinero que se reciba en fecha futura es aquel capital que, a inters compuesto, tendr en el mismo tiempo un monto equivalente a la suma de dinero que se reciba en la fecha convenida. 132. M A T E M A T I C A F IN A N C I E R A S S5.2ctculo DEtVAtoRAcTuAt n periodosP Valor presenteF Valor futuroUtilizando la frmula 19: F : P(7 + r)i' se obtiene,( 7+ i ) " P : F(p/F, i% , n)Notacin estndar:(23n) (23b)Para su aplicacin,la frmula 23ase modifica as: T(7 + i)" P 1/ . . - ^ ,F. , 1)- ;-tI(23c)El factor (1 + if'es el valor presente de un valor futuro de una unidad por recibir dentro de n periodos de capitalizacin, a la tasa efectiva i por periodo. En notacin estndar (P/E i%, n). La tabla II contiene los valores del factor de valor presente para diferentes tasasy periodos. Para el uso de la tabla, i es la tasa efectiva expresadan tanto por,r.,o l "., periodo de capitalizacin. Para valores que no figuren en las tablas, debe utilizarse calculadora. La frmula para el valor actual a la tasaj capitalizable rrrveces en el ao se obtiene remplazando i, as: Ii = L, n = nmero de periodos de capitalizacinen el ao, para n aos m el nmero de periodos : rznAlgebraicaP = P ( t *i l ' ' m)otacin estndar n =r ( e r , L n , r ^m)(24a)(24b) 133. A V A L O RA C T U A L P R E S E N T E L I N T E R E S O M P U E S T O O C[ft!fflEf,fl del6%.pagaderos 5 aos,a la tasaefectivaanual en Hallar el valor presentede $5.000F:5.000;i:0,06;,7=5 (PlF,6%,5 Notacinestndar P = 5.000 Algebraicas + P : s.000(1 0,06)En tablaII (1 + 0,06)5 - 0,74725817 (0,7472s817) P : 5.000 P :53.736.29 , E n l a n o t a c i n e s t n d a rP : 5 . 0 0 0 ( P / F , 6 % , 5 )s e p i d e c a l c u l a re l v a l o r p r e s e n t eP conocido el valor futuro F : 5.000 al 6% eectivo en 5 periodos; por solicitarse el valor presente,se utiliza el factor de valor presentecuyo valor sebuscaen la tablaII o se calcula. El lector debe comprende, con claridad, que ia notacin estndar es estrictamente necesaria cuando se dispone de calculadorasfinancieras. Al introducir los valores dc F, i%, n,la calculadorainterpreta el valor presente,determina el factor del valor presente para los datos informados y contina su programa hasta entregar el resultado. Pero si el computador es programable, se recomienda crcar programas usando los conoci-' mientos asimilados en computacin, y aplicar correctamente los conceptosfinancieros manejando con propiedad las frmulas y mtodos matemticos que correspondan al problema que se trabaje.En este texto de matemticasfinancieras,el objetivo es ensear a manejar los conceptosy mtodos matemticospara obtener el resultado correcto. pagaderosen 5 aos, a la tasa del 6"1, Hallar el valor presentede $5.000 ffilEf,p capitalizable trimestralmente.Algebraicar=r[r ,lr)N o t a c i n e s t n d a r= d n r , l n , ^ , , ) n "')= F= 50 0 0 ;= 4 ;n= s ;i = 0 , 0i6 ;* = r y = 0 , 0 1 5 m P = s.]w(PlF"t,s%,20) , p=5.000(1 0,015f4, + P = 5.000(0,74247042) P = $3.772.35Tabla II 134. MATEMTICAFINANCIERAS S5.3DE VALORES n MAYORES VATORACTUAIPARA DELA TABLA QUE ELAXIMO Se procede como en el ejemPlo 4.4. dentro de 20 aos,al 6% pagaderos Hallar el valor presentede $100.000 freEEEEEl trimestralmente. capitalizable m; F = 1 0 0 . 0 0 0= 4 ; j = 0 , 0 6 ; n = 2 0 + P = 100.000(10,015)-80 p - 100.000(10,015)-50 + 0,015)30 (1 + p = 100.000(0,47500468 6243 ) (0,6397 )Tabla IIP = $30.3895.4VALOR ACTUAL A INTERS COMPUESTO CON PERIODOS DE CAPITALIZACIN FRACCIONARIOS futuro a inters comEn la seccin4.5 se explicaron las dos formas de calcular el valor de periodo. El mismo mtodo se aplica para el puesto, cuando se prentan fracciones ilculo del valor actual o presente en fraccionesde periodo' enteRegla comercial El valor actual se calcula a inters compuesto, para los periodos de periodo' rot, y u inters simple para las fracciones incluida la fraccin clculo terico se calculaa inters compuesto para todo el tiempo, de periodo. para Ia El valor actual o presenteresulta menor cuando se calculaa inters simple fraccin de periodo. dentro de 2 aos pagaderos iCul esel valor presentede un pagarde $60.000 IEtrEIEEg semestralmente? si 8 meses, la tasaesdel 8% capitalizable 6 mesesque se (a) Aplicando la regla comercial, calculaprimero el valor presentepara 2 aos presente se u S p"iiodor y, luego,con baseen el valorencontrado, buscasu valor equivalen a interssimPleen 2 meses.Frmula24:EstndarD_E'' ') l'. D_Etn)(v''j'*") 135. V A L O RA C T U A L P R E S E N T E L I N T E R E S O M P U E S T O O A CF - r , ( 1 . 0 ( t)t(tl= 2 : = 0 . ( ) 8 ; i r y = ( ) , ( ) 4 ; i l = 2 , 5 ; i 2 5 = Orl.OtlO(il,t2192711 P - 60.000(1 0,04) + ) P = $,19.315,63 A s , e l v a l o r P r e s e n t ed e $ 6 0 . ( ) 0 0 a g d e r o se n 2 , 5 a n o s e s d e 9 4 9 . 3 1 5 , 6y s o b r ee s t e v a k r r d e b e p 3 hallrse cl vkrr presente, .r inters simple del f3i4 en 2 rneses. ,A p l i c a n c llo rf r i r m u l a : , = . 9*;F = ,19 15,63;= 0 , ( ) 8r;' - I a t r 3 i t)', ,=4 93 1 5 , 6 3-la!o,-ori)$18 666,74l . s c l c u l d o r si n n c i c r . t st i e n e n n r . r n d o p r r a e a l c r r l . r t v o l u n t d f . d e p e r i o d o p a r . t i n t c r s s i n t r l co i n t e r sc o m p u c s t o .tlt,l oPcrclor,l fr.tccitin(l')( lculo teririco:iil|t,/i/1'-lll+'-]f - 6 0 . ( X lX ) ; , 0 ut ;t t 2 ; n . . 2 + - Z ? - ! , -() 1233,,,,,-zl{)- i3i3sl35l P = 6 0 . ( X X ) ( I + ( ) , ( ) 4 ) , - t 0 . ( x l 0 ( l , ( u ) ( 1 . ( ) 4 )I ' , l Trbla (1,04) 5 =(,8219271;'fbl (1,0.t) r':r - 0,.lu0l152 Il IV C = 60.(XX) (0,l2l!'2711X0,91701 - $'11.675.()9 152)E l v a l o r P r e s e n t cc a l c u l a d oa i n t e r sc o m p u e s t ( ) i n c l u i t l l f r c c i t i nd c p c r i o d o , d . r u n r e s u l t , do mayor en $6,35,cueel obtcnido calculnclo.r intt'rs sinrple rar.rla fraccitilr cle pt'rioclo. '-:l ( c ) E f e c t u a re l c . i l c u l oc l e ( l + 0 , 0 4 ; c 9 n c a l c u l t l t ) r . i c ( ) m p . l r . l r l c 6 n e I v l r e b t e i t l t ' v (l)aplicanclo tablas.Ilepetir el ejemrlo l.t ts cfecti'u, 2,/{,nu..rl. del).)D E S C U E N T O A I N T E R SC O N N P U S r O E l d e s c u e n t oc o m p u e s t ov e r d a d e r o e s l a d i f t r c r - r c i a n t r c c l . " ' a l 9 r u t u r , , l i ) r f . t e f valor presc.nte. 136. F M A T E M A T I C A SI N A N C I E R A sPordefinicin: Sustituvendo: Factorizando:verdadero) D = F -P (D esel descuento P : F ( 1+ i ) - " D:F-F(1 +t)-', D : F [ 1 - ( 1+ ) ' ](25n)El valor tl - (1 + i)"'] recibeel nombre de factor de descuento,a inters compucston S i l a t a s ad e i n t e r se s 7c a p i t a l i z a b l e l v e c e sP o r a o , s e o b t i e n e :""'lo = r [ r -fr*al 'tr/l(2sb)sobre el monto de la deluda,a una Descuento bancario compuesto Es el que se calculr Estaforma de descuento es poco frecuente y no tiene aplicaciones 1. tasade clescuento prcticas.Iror meclio de un ciesarrolloanlogo al utilizado para deducir la frmula 19, bancario compuesto se obtienella frmula: para el clescuento VL : VN (1 - rl)"(2o)Donde: VL: Valor lquido del Pagar VN: Valor nominal del Pagar 'fipo o tasa de descuento exPresadaen tanto por ciento d: 5.D VATOR PRESENTE E UNA DEUDA QUE DEVENGA TNTERESES para calcular el valor presente de una deuda que devenga intereses,es necesarioestablecer primero su monto nominal, es decir, el valor que liquidar la deuda a-su vencimiento. Una vez calculado el monto nominal, se procede a determinar su valor actual. alfl% capitalizable el 3 Calcular, aosantesde su vencimiento, valorpresente, [ffiH!f,fl f i r m a d o a 5 a o sp l a z o ,c o n e l 6 % ,d e i n t e r : s e m " s t . a l m e n t !d e u n p a g a r d e 9 1 0 0 . 0 0 0 , anualmente capitalizable el se Irrimero, calcula monto nominala 5 aosde plazo: Notacin estndarF = P(FIP,i%,tt)otacirnalgebraicaF = P ( 1+ , ) " P:100.000;i=0,06;n:5 Fr:100.000(+0,06)s 1 137. V A L O R C T U A LO P R E S E N T E L I N T E R E S O M P U E S T O A A CLuego, para este monto F,, se calcula el valor presente, n sea, el valor lquido:Notacirin estndar(i P=FlPlF,-,tnttl Dt)/ i'" P=Fl 1+-l ttt)F - F,- 100.0(X) + 0,06)5 - 0 , 0 1 1 ; m =n = 3 (l 2; yL = 100.000(1 + 0,06)5(1 + 0,04)' Con las tablas I y II o mediante calculadora,se tienet,L : 100.000(1,33822s58 ) (0,790314s3 Vt, : $705.76r,905.7E C U A C I O N E SD E V A L O R E S E Q U I V A T E N T E S Estas ecuacionesson las que se forman igualanclo -en una fecha de comparacin cr fecha focal- las sumas de los valores en la fcha escogiclacle los diferentes .n'n;,,,,-,tn; .1,, obligaciones. Los problemas bsicosque deben analizarseson cios: 1' Establecer valor que debe pagarse,en determinaciafecha, equivalente el al valor de un conjunto de obligaci.nes, que vencen en diferentes fechas. 2' Determinar la fecha clevencimiento promeclio en que se puede cancela, mediante un pago nico igual a la suma de los valores de u conjlnto cle obligacionesque tienen distintas fechas de vencimiento. El tiempo por transcurrir hasta la fecha cie vencimiento promedio se define como ticmto cquiiarente. fffilllEEE Una personadebe $10.000 pagaderos dentro de 2 aos y $20.000 5 aos a plazo. con su acreed.or pacta efectuar palonicoal finalde 3 aosa la tasa u%,capitalizable un del semestralmente. Calcular valor nico del pago. el10.000 ru.uuux20.000En el diagrama anterio, las flechas muestran el movimiento del dinero. El grfico del tlujr, J. caja sustituyendo los dos pagos por uno solo es (para economizar espacio, las flecha: rt i-,.,:colocado a un solo lado de la lnea de tiempo): 138. MATEM ATCAS FN ANCEBAS5 aosEst.indarX:Algcbraical x : 10.000(1 0,04)r 20.000(1 0,04) + + + X : 10.000(1,0816) + 20.000(0,85480419)1 0 . ( 1 0F l P , 4 % , 2+ 2 0 . 0 0 ( p / F , 4 " 1 , , 4 ) (0 ) 0X : $27.912,08 Si se rlrultiplic.rn lmbosmiembros de la ecuacirn cle ecluivalencia,por cl factc: d e c . n v e r s i i r . ( 1 + 0 , 0 4 ) " s e . b t i e r r e l a i r n p o r t . r n t er e . l r c i ( r n : , x ( 1 + 0 , 0 4 ) , , _1 0 . 0 0 0 ( + 0 , 0 4 ) : * , , + 2 0 . 0 0 0 ( 1 0 , 0 4 ) r , , 1 + La cual I-nucstrt qu(., -l inters compuesto, los valores ecluivalentc.s una fecha en t n r b i r r o s o n e n c u a l c l u i e r t r a f e c h a .p o r e j c m p l o : p a r a , i : 4 , 1 r l o ecurciirqueda n establecicla p.rra la fechr vencimiento ms leana: dc X ( l + 0 , 0 4 ) ': 1 0 . 0 0 0 ( 1 0 , 0 4 ) "+ 2 0 . 0 0 0 + Prr : -2, a ecuacin queda establecidapara la fecha ms temprana: r X(1 + 0,04)2 = 10.000+ 20.000(1+ 0,04) 6 Como se desea calcular X, o sea, el va-lorder pago nico, entonces se prefiere la ecuacin de equivalencia ms simple que fue la piimera con X = Tenien_ fi27.9r2,a. do en cuenta que para cualquier rr a prtir cle la fecha focal establecicla, el valor del pago nico se obtiene multiplicando a X por el factor de conversin; esto se puede utilizar cuando deudor y acreeclorcambian la fecha y aprovechan el valor conocido de X. Calcular fechade vencimiento la fffiEEElUf promedioclelsiguiente conluntode obligac r o n e s . : 9 5 . 0 02 a o sp l a z o $ 6 . 0 0 0 a a o s p l a z o $ 1 0 . 0 0 0 5 a s a 0 , 4 y a prazo,artipoel6% con d c a p i t a l i z a c i t an u a l . in 139. VALORACTUALO PRESENTEAL INTERESCOMPUESTOaosr0.000 En el diagrama anterioq, las flechas muestran el movimiento del dinero' El grfico del flujo de caja, al sustitu los pagos por uno solo en una fecha que se debe calcular es:01234XSaos6.000 Designando por X el tiempo equivalente -expresado en aos contados a partir de hoy hasta el vencimiento del pago nico igual a la suma de los valores de las diferentes obligaciones-, se tiene: Notacin estndar la primera lnea, algebraica la segunda ) s . 0 0 0 ( P / F , 6 % , 2+ 6 . 0 0 0 ( P / F , 6 % , 4 + 1 0 . 0 0 0 ( P / F , 6 % , , s ) )( s . 0 0 0+ 6 . 0 0 0+ 1 0 . 0 0 0 x P / F , 6 % , n :1 ( 5 . 0 0 0 + 6 . 0 0 0 + 1 0 . 0 0 0 )+ 1 , 0 6 ) - r : 5 . 0 0 0 ( 1+ 0 , 0 6 ) - 2 + 6 . 0 0 0 ( + 0 , 0 6 ) r + 1 0 . 0 0 0 ( l + 0 , 0 6 s (0 21.000(1+0,06)-r:5-000(0,88999644)+6.000(0,79209366)+10-000(0,74725817)( 1+ 0 , 0 6 ) ( 1 +0 , 0 6 )^+ + 4,449,98 4.752,56 7.472,5821.000 ^=0,79405343Interpolando en la tabla II, se tiene: a4 a3ax1+o{rsrw=corresponde0,79405343a3corresponde 0,79209366 nde 0.83961928 -0,04752562 esacorresponde0,83961928 -0,04556585x-3-0p4556585^ 0,0455658q 6-t93 a - = -----------Z = 0.9587 0,04752562 140. FINANCIERAS MATET/4TICASr =' 3,95flfl aos l r - 3 t t 1 o s1 n l e s e s1 5 d a s , Irabajandocon clculadorase ttene'( 1+ 0 , 0 6 ) ' - ' 0 , 7 9 4 0 5 3 4 3 .thr ( I + (),06) In 0'79405:343 hr ( 1'06) ()'05tt26tt9 tn(,79405343- 0'23()6045 -0,2306045 - .'= - - - ' 0.()Sft26ile x.'3,9576 1 - r - 3 a o sl l m c s c s 5 d s r fcch s e p r o c e d e d e t e r m i n rl a ttltliv'rlentc y la fechr dt'hoy' t)espu('s de cottocer tl tit'mpo prome clio de vencimit'tlo'5.8RESUELTOS PROBLEMAS ( P l l : ' t ' l " t t+ k ) ' r 1 . D c m o s t r aq u e r :( 1 7 1i r l' " n ) ( P l l' i ' / ' ' k ) : ( P l t ' , i " , r r ): ( 1 + t ) " /, ^ (.Plr:, k) : (1 + ') fl,, o scaell:'i''l"n)(Plt:'i'/'"k):(1 + i) "(1 + t) I{"+rt ( P l l , i " l, t ) ( P l l , i ' / ' ' , k ) :( 1 + ' ) " ' : ( 1 * i ) + (PlF'i'/'"n k) elF'i%"n)(PlL'i'/"'k: luego + r"/'"tt) (PlF'i'/'"k): (FlP'i%'n + k) que: (F/P' Z. Demostrar ( t : l P , i % , r:r()1 + t ) " A i%,k) : (1 + i) (PIF, + ( 1+ i ) ' + - ( 1 i ) - ^ GlP,i%,,n)-(PlF,i%',k): o sea ( 1 + i ) ' t + )= ( 1 * l ; u + t GlP,i%,,r)-(PlF,i%',k): i%' (FlP,f/,,,n) * (PlF,i%,k) : (FlP, n + k) luego$60'000 paraobtener semestral' hoy al9% concapitalizacin 3. icunto debeinvertirse dentro de 10 aos? 141. V A L O RA C T U A L P R E S E N T E L I N T E R E S O M P U E S T O O A CF:60.000; j:9%; Estndar Algebraicam:2;n:10P : 60.000 (PlF, 4,s%, 20) : P : 60.000 + 0,045)-10 60.000 (1 (0,47464286) P : 24.878,57aA qu valor de contado equivale la oferta de $120.000 pagaderosdentro de 2 aos Por un bienra2, si las inversiones localesproducen el10% capitalizabletrimestralmente?F : 1 2 0 . 0 0 0 j;: 1 0 % ; m : 4 ;tt:2EstndarP:120.000 PlE2,s%,8) (Algebraica8: P : 120.000 + 0,02s) 120.000 (1 (0,820746s7) P : $98.489,605. ZQu oferta es ms conveniente para la venta de una propiedad? (,r) $90.000de contado () $40.000 contado y el saldo en tres paiarsiguales de $20.000cada uno a 1, de 2 y 3 a o s d e p l a z o , s i e l r e n c l i m i e n t od e l d i n e r o e s d e l U % , c a p i t a l i z a b l cs e mestralmente. Las dos clfertasse expresan en diagramas de fiujos de caja a ambos lrdos de una misma lnea de tiempo.40.000 X : 40.000 20.000(p/F, + 4%,2) + 20.000(p/F, 4) + 20.000(p/F, 6) 4%, 4%, X:40.000 + 20.000(1 0,04)r+ 20.000(t 0,04)r+ 20.000(1 0,04)* + + + X : 40.000+ 20.000(0,924556270,85480419 0,79037453) + + X : 20.000(2,56967493) + 40.000 X = $91.393,50 La ofertab s superioren 91.393,50. 142. M A T E M T I C A SI N A N C I E R A S F6. Un deudor tiene a su cargo los siguientespagars:$20.00a 4 aos de plazo,.$50.000 a 3 aos de plazo, $40.000a L ao de plazo y $50.00exigibles de inmediato. EI ofrece cancelarde contado $30.000 el saldo a 2 aos de plazo. Hallar estevalor, si el tipo y de inters es el7% capitalizablesemestralmente. Los diagramasde los dos flujos de caja equivalentesse presentan a ambos lados de una misma lnea de tiempo,las flechas indican el sentido positivo o negativo del flujo. 30.000x8 semestres+40.000 50.00050.000: 30.000 X(P/F,3,5%,,4)50.000 40.000(P/F, + + 3,s%,2)+ 50.000(P/F, 3,5%,6)+20.000(P/F,3,5%,8) 3 0 . 0 0 0 + x ( 1 0 , 0 3 5 ) r : 5 0 . 0 0 0 + 4 0 . 0 0 0 (0 , 0 3 5 ) ' z + 5 0 . 0 0 0 ( 1 0 3 5 ) + + 2 0 . 0 0 0 (0 , 0 3 5 ) + +1 +0, +1 X ( 1 + 0 , 0 3 s ) a : 5 0 . 0 0 0 - 3 0 . 0 0 0 + 4 0 . 0 0+ 0 ,1 3 5 ) ' ? + 5 0 . 0 0 0 (0 , 0 3 5 ) 6 + 2 0 . 0 0 0+ 1 , 0 3 5 ) (X 0 + 1 (0 r + 20.000(1 0,035) I : 20.000(1 0,03s)r 40.000(1,035), x + + +s0.000(1 0,035) + + X:20.000(1,47523) 40.000(7,077225) + + s0.000(0,93351070)+ 20.000(6,87144223)X : 29.504,60 42.849+ 46.675,54 77.428,85 + + x - $729.903,83 7. iCon qu pagos iguales a7,2y 3 aos de plazo puede remplazarseuna obligacin de $120.000 que vence dentro de 4 aos, si la tasa de inters es del 8%, con capitalizacin anual?120.000I + I4aos 143. V A L O R C T U A LO P R E S E N T E L I N T E R E S O M P U E S T O A A CUsando la ltima fecha como fecha focal, se tiene:8%, 8%, X(FIP, 3)+ X(FIP, 2)+ X(FIP, t = 120.000 8%, = + + X(1+0,08)3X(l+ 0,08)' X(1+0,08) 120.000 = 120.000 + X(1,259772 + 7,7664001,080000) x=120.000 - a^^,356571=$34'225'94Para una apreciacin aproximada del tiempo equivalente, se acostumbra aplicar una regla prcticaque se enuncia as:smenselos productos obtenidos al multiplicar el valor de las obligacionespor sus respectivosplazos, y divdanse por la suma de los valores de las obligaciones. rru SeanS,, 5r,5r,...,S*los valores, y tt( n2,tt1,..., los plazos, e i la tasade capitalizacin por periodo, capitalizando n vecesen el ao: ( S ,+ S , + . . . + S u 0 + i ) ' " ' = S ,( 1 + i ) ' " ' '+ S , ( 7 + ) " " ' z . . . 5 r 0 + i ) ' " ' r * i ) Sustituyendo los desarrollosbinomiales por sus valores aproximados a los dos primeros trminos, se tiene: (Sr + 52 + ... + S*X1- mni) : Sr( 1 - mn,i) + Sr(1-nmri) + ... + Sr(7- mnri) ( S l + S , + . . . + S o ) m n i : S r m r t r * S n t t r i+ . . . + S r n u t r i i de donde, S , r r + S r r r ,+ . . . + S ^ r r u , ( v a l o r a p r o x l m a o oa e , l ) . S,+ Sr +... + S^ Resolverel ejemplo 5.7 aplicando la regla prctica para el clculo aproximado del tiempo equivalente. Comparar y analizar el resultado. 9 . Un inversionista negocia un pagar de $20.000a intereses simples del 72%, con vencimiento a dos aos; hallar el valor que debe pagar a la tasa nominal comercial del 70%, con capitalizacinsemestral. Primero se calcula el monto del pagar a su vencimiento y, luego, el valor actual de esemonto:F:P(+ni) P:20.000;n=2;i:0,72 144. [ATEMATICASFINANCI E RASF=2o.ooo[1 +2(0,1,2)l F = $24.800 Notacinestndar P =r(PE ,Ln,^nUm)Notacin argebraica rfr. (*)]' I = F = 24.800;j = 0,70; m = 2; n - 2 (1 P = 24.800 + 0,05)' P = $20.403,02 NOTA: El inters simple se usa en el corto plazo (hasta 1 ao). A mediano plazo (1 a 4 aos) y a largo plazo (ms de 4 aos) se utiliza el inters compuesto. con vencimiento a 4 aos, a 10. El 1s de marzo de 1995se firm un pagar por $40.000, un inters simple del72%. El 1a de septiembre de 7996se negocia con un inversionista que cobra el 14% nominal, con capitalizacinsemestral;hallar el valor pagado por el inversionista.F = P+ ni) P=40.000; 4;i=0,72 n= F=40.000[1 +aQ,lz)l F = $59.200P = F (P t F , l n , * r ) Im) Fzr-l-nnP = F1 * f l l l L '/l j F = 59.2ff,; = 0,1L m= 2; n= 2,5 aos P = 59.200(1+ 0,0n-s P = $42.208,78 Si 11. Una deuda de $200.000 cobrajudicialmentey se paga5 aosdespus. la tasa se trimestral,hallar (a)Ia nominal con capitalizacin bancariapara cuentasesdel 1,6% 145. V A L O R C T U A LO P R E S E N T E L I N T E R S O M P U E S T O A A Csuma que bastaconsignar en una cuenta de ahorros al iniciarse juicio el para cancelar la deuda en la fecha del fallo; (b) la prdida que sufre er a..""o..(a)p = F (p t r, L n . ^ r ) Im)p=rlr*!]" tnlL F = 200.000; = 0,76;m - 4; n = S j P = 200.000(7+ 0,04)", P = $97.277,39 (b)r=pfr*-l"'' m) LP= 200.000; 0,76; 4; n = S j = tn= F= 200.000(7+0,04)t, F = $438.224,62 Pdida : 438.224,62200.000 Prdida -$238.224,6212' un deudor debe un pagar por $300.000; mesesdespus 1g de su vencimiento, conviene con su acreedorcancelarcon un pago k; (FlA,i, h -k) = ( 1 + i ) ( t : l A , i , l t ) 26. Demostrar que Para h - (1 + i) h (I:lA' i' k) > k; (PlA,i,h -k) = (PlA, i, lr) 27. Demostrar que Paralr 28. Demostrar que:1Fa,*,4 163. ANUALIDADES6.9EN CIERTA ORDINARIA DE SIIAPTE CALCUTO tA RENTA UNA ANUATIDAD Es frecuente Ia necesidad de conocer el importe de pagos peridicos, para lograr determinado resultado; as, por ejemplo: ZCul es el pago mensual que debe hacerse para cancelarel valor de una propiedad, en cierto nmero de aos?ZQu cantidad de dinero habr que colocar peridicamente, en un fondo de amortizacin, para canceiaruna obligacin a largo plazo?ZCon qu cuotas peridicaspuede cancelarseuna mercanca, conocido su valor de contado y la tasa de inters? En esta parte se pueden plantear dos problemas, segn se conozca el valor futuro por cancelar en fecha futura o el valor presente por cancelar,mediante pagos peridicos. (n) Clculo de la renta cuando se conoce el valor futuro:De la frmula 26nse obtiener F=^-r/ ' tl t i'nt t -1i / ^ r= r . 1 i(1+i)"-1En notacir-r estndar A : F (A/F , i%, tr)(29a)(2eb)-6lr'i%' '1) recibe el nombre d'e clel El factor A-it'actor t'ondocleamortizacin, que corresponde al valor de la renta de una anualidad cuyo valor futuro ascendera una unidad monetaria, despus de rr pagos, a la tasa I por periodo de pago. El valor de este factot para las tasas que con frecuencia se utilizan en esta obra, se encuentra en la tabla VII para valores de n desde t hasta 50. (b) Clculo de la renta, cuando se conoce el valor presente: De la frmula 284se obtiene(30a)En notacinestndar = p (/lP, i/o,n)(30b)=(A/P,i%,n)76el nombre de que de EI factor t'actor amortizacin, al corresponde valoi de la renta de una anualidadque amortizauna deuda de una 164. M A T E I A T I C AF I N A N C I E R A S Sunidad monetaria, en rl pagos, a la tasa i por periodo de pago. En esta obra, no se ha i n c l u i d o l a t a b l a p a r a l o s v a l o r e s d e l f a c t o r d e a m o r t i z a c i n ;e l l e c t o r d e b e c a l c u l a rl o s valores de (AlP, i% , n) uttlzando la tabla VII que presenta los valores de (A/F, i/r,, rt)y relacin: mediante la sigr"riente A partir de la frmula, -1 t F l A . i " l, , , - ( l + i ) I(AlF, i,/, rr) ; ,1,-, , =r /se obtienerDe lrf(rrmuia, t P f ,. i ' / , ,t t t -I -rl + i') Ise trbtiene( A l P, i " l , n ) = - | I -, : / -( r Ti% de' i AI sumrr al vrlor (A/Ir, , n),seobtiene: i= A l I : , r " / ,' , r r ) + ; ( 1 +;.) " - I + i = ] ( A l1 , { ; , , r ) + i =--I l-(l+1.)i+i(1+i)"-i( 1 +i ) " - 1..,,,d*dolrcle(Al P, i%, tt)= (al r, /', n) + i(.31,rt), Los valores del factor de amortizacn (AlP, io/o, se obtienen al sumar i al valor de fondo de amortizacin (A F,i'/,,,tt)' correspondiente del factor ii el lector deseatener una tabla con valores del factor de amortizacin para facrlitar su trabajo, puede obtenerla utilizando la frmula 31 en su computador. en necesarios una cuentade ahorrosquc semestrales krs Calcular deptisitos [ftfiEEEE para obteneren 5 aosun capitalde $20.1)00' semestral, el U%con capitalizacirn paga A = F(AlF, i%,n) = F = 2 0 . 0 0 0 ;= 8 % ; n t Z ; i = Y l= 4%,;tt= (5) 10 2 =A= 20.0a0(AlF ,4%,10)= 20.000(0,08329094) A = 57.665,82VII Tabla 165. ANUALIDADESel paracaucelar valor de vencido,necesarios los Calcular pagospor semestre EEEIEEE .o*ptuiu a 8 aos de plazo con un inters del 9% capitalizable " SJ6'O'--O,r^. propiedad semestralmente. A: P(NP,i%,n) P = 100.000;= 9%;m -- 2; i = iqq^= = 4,5'l; tt = 8(Z) 16 ; 4's%" A - 100.000( NP,4,s%,16): 1000001{.1^/F, 16)+ 0'0451 VII Tabla16) (A/F, 4,5%,, : 0,04401537 : : + (,4/P, 4,5"1,,16) g,449t537 0,045 0,08901537 ,'1: 100.000(0,08901537) : I'agossemestrales $8.901,54.IOCtCUtO DEt TIEMPO O PLAZO DE UNA ANUALIDAD P, la tasa y la Si en las frmulas 27 o 28 se conoce el valor futuro F o el valor Presente de pagos' o A, anualiclacl puccle calcularseel valor de r, sea,el nmero MeAhora se ensayacon I 3"'paso: 0,034y se obtiene: = 86,4294676 87 87Finalmente, ensaya se con i = 0,0343 :87,0474256 > 87 valor que es suficientemente 3"'paso aproximado = t3,zZV I = 0,0343 )r, TIR = 14,44% la Respuesta: ofertab esmejorpuesto que proporciona mayor tasade retorno. Con calculadora tt A: financieraF = A FlA, i%, n); se ingresanlos datosF = 21.5.000, 2.500, = 40 electrnica y se computa i = 3,4277%j,o,: 1.3,71.08%.7.4PROBTEMAS RESUELTOS 1.Demostrar que se obtiene el mismo valor futuro/ en n periodos, a la tasa i con una renta,4 vencida, que con una rentaA pagada a principio de periodo con descuento racional, a la misma tasa i.F ::F:^ r: F:A-::"l+in+r)- tl l(rlo, i%,Af(r+;)''*'-L l*i L t (t+i)o.'-!-i'-r] A 1r+,[1r*i7+iiIt+)" - lF : A (re, t%,n)'l 191. ANUALIDADESANTICIPADAS ANUALIDADESDIFERIDAS YEl dueo de-una propiedad cobra por su alquiler 95.000,por mes anticipado. Ha_ llalla prdida que le significaen dos aos,si el arrendataiiole pag poi*"r.,rurrcido (tasanominal'12% con capitalizacin mensual).Fr = 5.000 (r,1, t%, z+)F vencidoFr - 5.000 (26,97346485) F, : $ 134.867,32 F anficipacloFz: 5.ooo in, zs) t] [(rlo, Fz : 5.000 (27,V131995). Fr.: $136.216,00 Prdida= F^-F. : $1.349,49 lDemostrarque,n el problemaanterio,la prdida sufrida por el arrendatarioesel (VF) correspondiente descuentoracionaldel alquiler. alSiendod=+ D=Alt-tl[1+iJ A = 5.000;: 0,01 r'D : 5,ooo- f) lr 1,01/ D = 49,505F = 4e,505[(rlo,1%, 25)-1]= 4s,5os tn, z+) (rl,F : 49,505 (27,21:31995) = 1..348,68 F 4. El dueo de una propiedad avaluada en $400.000 recibe las siguientes ofertas: (a) $100.000 contado y el saldo en 6 pagostrimestralesde $SS.OO uno; (b) al cada 20 pagos mensualesde $22.000 cada uno, efectuandoel primer pago de inmediato lhsa de intersdelL2% nominal. ZQuoferta le convienemsi 192. fllMArEMrcAS FTNANoTERASOferta a:trimestres100.000 Oferta b:20meses22.000 22.000 22.000 22.00022.000 22.000Se calcula el valor presente de cada oferta:(o),P, : 10O.OO0 + 55.000 (ne, z%, o) P, : 100.000 55.000 + (5,41719144) p" : $j97.945,50(b): Pa : 22,000 (18,2260085) l(olo, 1%, 20-1,) + 1] 22.000 Po :9400.972,20Esms convenientela oferta b. Mediantecalculadora funcin XY: con Oferta a: j : 12%,m: 4; i : 0,1.2+ = 0,03 4t -(t+o'oe)* P,=1oo.ooo+55.ooo 0,03 193. ANUALIDADES ANTICIPADAS ANUALIDADES Y DIFERIDAS1"' 2e 3"' 4e 5spaso paso paso paso paso: 0,83748426 (1,03)- - -0,76251,574 0,83738426 1 (cambio signo) + 0,16251.574 0,03 : 5,417791.33 : 5,41719133(55.000) 297.945,52 :397.945,50 297.945,52 100.000 + : Po 397.945,50Oferta b: j : 12%,nt : 12,i = 0,12+ 12: 0,01.lr - lt+o.or)-'n )Pt,=22.000l----#-+1l 0,01 [ 1"' 2e 3"' 4e 5s P,,paso paso paSo paso paso =)1,01-tt 0,82773992 : -0,1722601. 0,82773992I (cambiosigno) + 0,01 : 77,22601. 0,1722601 :1.8,22607 17,22607+7 = 78,22607(22.000) 400.972,20 400'972'205. Un comerciante vende equiposde sonido por un preciode $175.000 contado. al Promueve venta aplazos, 1.8 su en meses, cuotainicial,con un recargo sin deI24% convertible mensualmente. Hallar la cuotaperidicao renta.Seentregael equipo contra pago de la primera cuota.P : Al(rto, i%,n-1.) 1.f + A : p. r; .;L-----:r-, : n,(en,in, n)P l A , i % ,r r - 1 )+ 1 El factor=(Af n,i%,n) es el factor de amortizacincon anticipadas. ,anualidades(PlA,i%,rr-1)+1P : 175.00tj,,u : 0,24;m : 72;i : 0,02;n : 18 A -175'ooo = s11 444 75,29787788Al opera c9n calculadora financiera,bajo el modo de anticipadasrecibela informacinlAlP, i%, nl parai :2%, tt :18, P = 175.000 la respuesta77.444. da 194. l&!tMArEMncAS F|NANC|ERASun comerciante estimaque puede aumentarsusventasofreciendoequiposde sonido que valen $126.000 contado,en cuotasmensuales $9.000 de de cada una, sin cuotainicial. Hallar el nmero de cuotas,si secargaunlg% de inters,convertible mensualmente. retirar el producto sepaga la piimera cuota. Al'p : af(ra, i%,n_1)+ 1]P : 126.000, : $9.000; : 18%;m : 12)i = 1,5% j A126.000:9.000 n-1,) [(olo, 1,,5%, + 1,f 126.000- 1 = 1 3 (PA, t,s%,n-t) : 9.000 En la tablavI columnadel 1/z%, elvalor 13estcomprendido entre(pf A, 1.,s%,14) y (PlA, 1',5%,15)cuyosrespectivosvaloresson: rz,s4iigls0vl3,34zzlz0l.Comoenel ejemplo6.6,seprocedepor interpolacin. a 1 5 corresponde 13,34323301. a n - 1 corresponde 13,00000000 a 7 4 corresponde 12,543381,50 a14 cor 1,2,543381.50 -'1.5 0,799851.51. como n 0,45661850 7 n-1.5 0,799851.51, 0,45661850 0'45667850 = 0,57087909 0,799851.51. n,: 1,5,57087909 Respuesta matemtica.n-'l.s:Respuesta prctica:15pagosde $9.000 un ltimo pago al principio del periodo 16 y : de 0,57087909 (9.000) $5.1.37,90 (aase ejemplo6.6J. Comprobacin: planteauna ecuacinde quivalencia se con fechafocal en el ltimo Pago.1,3126.000t415 195. ANUALIDADES ANTICIPADAS ANUALIDADESDIFERIDAS Y= 1,26.0009,000 [(rlo, t,s%,ts-t) + r] + x (r,Ors)'u = 126,000 9.000 (13,5433815) (0,799851,505) +X z _ 126.000 121,.890,4335 0,799851505 y : $5.137,91 aIcomienzodel periodo 16. 7. Resolverel problema 6, mediante calculadoraP. [r - (1+r"-'r :"1---f-*tl IP : 126.000; = 9 . 0 0 0 ; = 0 , 0 1 5 A:e.ooolr=fffi!.t]126.000 1,015-tn- t= 0,805 = 2q paso - (n - 1) ln(1,,01,5 ln(0,805) 1"" paso3"" paso_n+ L:(0,805) -ln- - + i ln (1,,01,5)n = 1.5,56905 se efectanL5pagosanticipadosde $9.000 un ltimo pago al principio del perioy do 16de:t F: e.oooltot=ul:; t) 0,015) : fiL52.391,,33 F = 126.000 (1,015)15 $157,529,Vt ltimo pago ='1.57.52g, - 152,391.,32 ?A : fi5.137,90 Unadeudade$400.000 secancela 10pagos con trimestrales, trimestre por ancipado,de $44.500 iQu tasade inters ha caigad (vase ejemplo se o? el 6.2. 196. ,fflMArEMncASFTNANoTERASP : Al(olo,i%,n-1)+ rl : AQ'a,i%,n) P : 400.000; : 44.500; : 4) n : L0 A m: 400.000 44.500 l(olo, i%,e) + lf(pl'+'t"h, e) _400.000 1 44500(pla, i%, e) :8,98876400 l. : 7,98876400En la tablaVI sebuscanen la lneacorrespondiente rz.=9 los valoresmsprxin a 7,9887(A00;stosson z,s%, 9) :i,gzososfiy (PlA, 2%, 9) :8,162n9671.; (eA, nuestrocaso, calculaI por interpolacin. se a 0,020 corresponde 8,1,6223671, a 0,025 corresponde 7,97086553 -0,005 es a 0,191371.18ai corresponde 7,98876400 a0,025 cor 7,97086553 0,01789847-o oqi - 0,025q1913n180,01789847 (- 0,005)0,01789847i -0,0250,19't371!8 " a :0,0745329 j :4(0,0245329) tasa :9,813%: -0,0004671Mediantecalculadora con funcin XY:(PlA, i%, 9) = 7,98876+oo ,._or - (r+/:7.9g876400ILa solucinse obtienemediante ensayossucesivos; prueba a buen criterio se tasaefectival, por ejemploi : 3%,y secalculapara esevalor.r - (t,og)' 0,03 197. ANUALIDADES ANTICIPADAS ANUALIDADESDIFERIDAS Y: 0,76641673 L"" paso (1,03f' : 4,23358327 (cambio de signo) 2e paso 0,76641.673 1, + 3'" paso 0,23358327 0,03 : 7,786109 valor menor que el buscado 7,9ffi7& : Se ensayacon i : 1.'"paso (1.,025)4 : 2e paso 0,80072836 1. + 3"" paso 0,19927164 0,025 =0,025 0,80072836 -0,199271,64 (cambio de signo) < 7,9708656 7,989764= 0,024, repiten los pasosy se obtiene: Luego se ensayacon I se + 3"" paso 0,19220643 0,024 = 8,0086> 7,988764 Ahora con i 3"" paso:0,0245, se repiten los pasosy se obtiene: = 7,9897004 7,988764 >Ahora se ensayacon i 3"' paso: 0,02455, repiten los pasosy se obtiene: se : 7,98781,38 7,988764 AA tiempo de anualidad--------------->Al formar una ecuacin de equivalencia y utilizar como fecha focal el final periodo k, siendoP el valor presenteen la fechainicial, setiene: NotacinestndarP (FlP, i%, k) : A (PlA, i%, n)P = A (PlA, i%, n) (nr , i%,t 5,1.5% (51,5 4s)(72,30s222): 79,98 80 < : s,7ss% (51,ss 4s)(1.2,300409) 80,57 80 > = s,151.%(s1,51 45)(t2,304I86) 80,10 80 > = (il,s02 - 4s)(12,305015)39,91 to 5,1502% t5,7502% una aproximacin es aceptable : (1+0,0s1s02r r,22248 Rendimiento : 22,25% efectivo anual Por lo general, basta hallar dos tasas suficientemente prximas e interpolar linealmente entre ellas. (uase, ms adelante, clculo del rendimiento por el mtodo de interpolacin).Clculo de la TIR por el mtodo de los promedios Un valor aproximadode la tasade rendimiento puede obtenersedividiendo el interspromedio producido por el valor promedio invertido; el valor promedio correspondeal promedio aritmtico entre el precio de compra y el de redencin. producto promedio por periodo. T l R a p ro xi mu d u :ffi[ftfififtlfflHallarla TIRdelbonodel ejemplo 13.7.= Valor cupn trimeshalroo [!U): S+s 362. f,[llN/ATENIcAS FTNANCTERASValorcuponesen 20 trimestres= 20(45) : 900,00 Ms diferencia entreel valor de redencirin v el precio de compra = 1.000- 92080.00I'roducto total40.00Promedio por periodcr: 9U0 20: 49 +lnversin promedio: 1/2(preciode compra * valor de redenci(rn) : 1/2 (7.040+ 920) = 960 49Rendimiento aproximado por trimestre0,05104960: ( 1 , 0 5 1 0 4 ) 1 -= 70 , 2 2 0 3 -Rendimiento efectivo anualTIR : 22,03% efectivoanual Clculo de la TIR Por el mtodo de interpolacin Para aplicar este mtodo es necesario haliar dos tasasde inters, que correspondan a un precio nenor y uno mavor que el precio de compra. Despus de calcular primero una tasa aproximada, se procede a determinar precios de compra para una tasainferior y otra superio,luego, se interpola entre estos dos precios. Mediantela aplicacin lastasas de 5,5'/o 5,1%trimestral bono del ejemIffinefq alplo 73.7 se tiene: , = 8r0,s0 i = s5%p = 1.000 (+s - ss)(11,es03it3) + i = 5,1%p = 1.000 (+s - s1)(12,3s7217)oZS,sa = + Seinterpolaentre estos dos valores se tiene: y 925,86correspondea 0,051925,86 920,0088t),50 corresponde a 0,05545,36es a-0,004 comocorresponde corresponde5,86a aesa0,051 X X-0,05145,36_ 5,86 _ 0,004 0,051 x ( ) , 0 5_ x = 10 . 0 0 45 . 8 6 t ) 45,36= - 0,0005168x = 0,0515168= t,zzzl (r,osrsas)a Tasaefectiva anual = 22,287" Cuanto ms cercanassean las tasasentre las cuales se interpola, ms fina ser la aproximacin. 363. I13.8EL INTERES ORDINAROY Et INTERES REAI EN tA TIR DE UN BONO En el clculo de Ia tasa interna de retorno (TIR) de los bonos surgen de nuevo los conceptos de inters ordinario o comercial (ao de 360 das) e inters real o exacto (ao calendario de 365 das).En los bonos se acostumbra utilizar aos de 360 das, mesesde 30 das, trimestres de 90 das, etc.; en consecuencia,se genera una diferencia entre la rentabilidad ofrecida por el vendedor y la calculada por el inversionista.La diferencia desaparecerasi los bonos, los documentos de inversin y certificados de ahorro se emitieran con baseen aos de 365das.Analceseesta situacin en el siguiente ejemplo. Con fecha30 de enero de 1995se emiten bonosde $100que se colocana la [ftfttr$@ pat cuyafechade vencimiento el 30de enerode 1996.Rentabilidad es al32% anualcon pagode vencidos. cupones trimestrales Dia;rama flujo: de30 enero-9530 abril30 iulioC : 1 0 0 ; P = 1 0 0 ;F = 1 0 0 ; n = 4 ; r = , r ( # )30 octubre30 enero-96= 8 % ; c u p o n e= F r = 8 sJbsa nominal trimestre = r : 8 % fsa efectiva anual= (1 + 0,08f -7 :36,048896% (uase 4.4) seccinTsaefectiva diaria- 1= = (t + o,aoo+a890):eo- o,o8ss49%1El clculo anterior supone que todos los trimestres son de 90 das y, como consecuencia, el ao es de 360 das. Si se toma como base el ao de 365 das, dividido en trimestres no iguales, se tiene el siguiente flujo:0 30 enero-9590 das 30 abril181das 30 iulio273 das 30 octubre365das 30 enero-96 364. M A T E M A T I C AF I N A N C I E R A S SParaI = TIR diaria, se tiene la siguienteecuacinde valoresequivalentes: Notacinestndar:= + + + (nr, 100 8 (plF,i%,e0) 8 (nr, in, 181) 8 (rr, in, zT3) 1,08 in, zos) Notacin algebraica:+s 8 100= (t +,)-"0 (t + t)-''' * s (t *i)-'" + t08(t *i)-'u' Para calcular i, se procede como en el problema 35 del captulo 6. Para una primera aproximacin, se toma i = tasa efectiva diaria con base en ao de 365, correspondiente a la tasa efectiva anual del bono: Thsaefectiva anual: 36,048896%Tasaefectiva diaria = (1 + 0,36048896)* - t =0,0843764 Se comprueba la ecuacin utilizada de equivalencia con la tasa diaria: i = 0,0843764% oo * 8 ( 1 * i ) - " ' * a ( t * i ) - " ' + 1 0 8( 1 + i ) - 3 o s s (r + i) Y se obtiene los valores:= + + + 7,41522L158 6,867393643 6,35467777 79,383323681 700,0205287 100 < 700,0205287 Luego,la TIR debeaumentarpara que disminuya el valor presente.Intnteseahoraaumentande la do en 5 unidadesla cuartacifra decimaly comprubese ecuacintrabajada valoresequivapara obtenerlos valoresde lentescon i = 0,0848%, = + + + 7,412397706 6,862734767 6,347338835 79,26069762 99,88256833 100 > 99,88256833 pero como hay dos valores-uno Es posible seguir ensayandocon la variacin de decimales, (aase seccin 4.7): mayor y otro menor-, se interpola entre stos 0,0843764 0,0848000100,0205287 99,88256833t0,0848-0,00042360 t-0,0848 _ 0.1,3796037 0.117431670 de donde,i : 0,08M39432%100,00000000 99,88256833 365. BONOSSecomprueba ecuacin la con estevalor de i, para obtenerlos valores7,414800866 6,866610858 + : + 6,353584625 79,36499078 99,99998713, + valor suficientementeaproximado. Ahora,secalcula TIR anual: la s-1 TIR anual : (1,00084439432)36,0801359%El vendedclrofreceuna TIR36,048896%El inversionistacalculasu TIR= Conclusin36,0801359Diferencia =r3.90,03724%BONOS SERTADOS Una emisin de bonos puede hacersede tal manera que el reintegro del valor principal se efecteen serieso plazos,a fin de que la compaa emisora pueda reducir peridicamente su deuda. Los problemas en que intervienen bonos seriados no son diferentes de los tratados en las secciones anteriores.Es obvio que los precios de los bonos seriados de una misma emisin no pueden ser iguales, debido a que cada serie tiene diferente fecha de vencimiento AI efectuarla adquisicin de varios bonos de una misma emisin, pero de diferentes series,un inversionista debe averiguar el precio y el rendimiento de cada serie,considerndola como una compra individual y, para el clculo, aplicar los mtodos explicados.El costo total de la adquisicin ser la suma del precio de compra de cada serie y el rendimiento sobre el total ser el rendimiento ponderado de Ias diferentes series.En igual forma, al efectuar los cuadros de acumulacin o de amortizacin debe tratarsecada serie por separado. Cuando se presentan condiciones muy particulares, como comprar el igual nmero de bonos de cada serie o que los bonos sean redimibles a intervalos iguales, entonces es posible preparar frmulas y organizar cuadros, que permitan reduci el trabajo en los clculos. Una emisinseriadade bonosde g12.000 5/o convertiblesemestralmenal IfttrIIIEIEIII te serredimidamediantepagosde $4.000 72,16y 20 aos.Hallar el preciode comprade la a emisinpara obtenerun rendimientodel6%, convertible semestralmente. El preciode adquisicin la sumade losprecios comprade la serie. es de Mediantela aplicacin P : C + (Fr- Cn (PlA, i%, n) paralosdistintos de valores la serie, de se tiene: P, : 4.000 (100-120) + : (ra, sn.2a) = a.ss6-20(16,s3ss)g3.667,2s P: = 4.000+ (100-120) = $3.5e2,22 Q'a. zn,32) = 4.000-20(20,38s8) p: : 4.000+ (100-120) : $3.s37,70 (na, z+,,40): 4.000-20(23,1148) P = Pt + P. + Pt:3.667,29 + 3.592,22 3.537,70 $10.791,21 = + 366. M A T E [ / 4 A T I C A SN A N C I E R A S FIEl 1o.de marzo de 7997, inversionista un comprabonosseriados 91.000 I?EEIIEIEf,E de al 6%, convertible semestralmente, la intencinde que le rindan el 5%. su comprafue de: con . 20 bonoscon vencimiento 1o.de septiembr de 2007 el e . 10bonoscon vencimiento 1o.de marzode 2008 el . 20 bonoscon vencimiento 1o.de septiembre 200g el de Hallarel valor pagadopor estos bonos. p l : 1 . 0 0 0 + ( 3 0 - 2 s()n , t , 2 , s . t " , 2 1:)1 . 0 0 0 + s ( 1 6 , 1 8 4 5 ) . 0 8 0 , 9 2 =7 P:- 1.000 (30-25) + (n,t,2,s"t",22): 1.000 s(16,7654):1.083,82 + p : 1 . 0 0 0 ( 3 0 - 2 s()p l A , 2 , s % , 2 3 ): 1 . 0 0 0 s ( 1 7 , 3 3 2 1 ) 1 . 0 8 6 . 6 6 + + : Valoriotal : 20Pr+ 10P. + 20 P1= $54.189,8013.I0 BONOS DE ANUALIDAD Algunas compaashacen emisionesde bonos cuyo valor se redime con pagos anuales; este tipo de bonos es, en realidad, una anualidad contratada bajo forma e bono. El clculo de los valores de este tipo de bonos no difiere del clculo de los valores de las anualidades estudiadasen captulos anteriores. Un bono de anualidad a 10 aos,por g20.000 6%, serredimidocon 10 al [ffififlUp pagtls anuales. Hallarel precioque debepagarun compradorque desea obtenerun rendimient o d e l5 % . E l p a g oa n u a le sd a d op o r P : A ( P I A , i % , n ) p a r a p : 2 0 . 0 0 0 ;: 1 0 ; i : 0 , 0 6 n 20.000A : 20000 :92717,36 (Alp,67,,10): 20.000(0,13s868) EI ctrmprador debe pagar el valor actual de una anualidad vencida de92.777,36al 5/o que:. r e c i b i r . it l u r n t e I i ) n o s . 367. 10 aos2../77,36 2.7'17,362.777,362.7"17,362.717,36p - 2.777 (n , sn, rc)= 2.717 (z,zztzz) ,36 a ,36 P = $20.982,72I3.T IB O N O S C O N F E C H AO P C I O N A L D E R E D E N C I N Algunas emisionesde bonos tienen indicada, adems de la fecha de vencimiento, otra fecha anterior para q_ue bono se pueda redimir opcionalmente por parte del comprael do, en cualquier fecha intermedia. Esto permite l inversionist cierta elasticidad en sus decisionesya que puede escogerel momento que ms Ie convenga para redimir sus bonos. Paracalcularel precio de estetipo de bonos, se acostumbtu rupo^". que la fecha de redencin es la ms desfavorablepara el inversionista. Un bono de 91.000al 6% anualconvertiblesemestralmente, fEEEIE4 con venci_ mientoel 1o.de iulio, sepuederedimir a la par el 1o.de julio del ano2002 en cualquier o fecha posterior. Hallarel preciode compraen enero1o.de 1997 paraque el rendimiento del 5%.Se sea escoge comofechade redencin mscercana, sea, 1o.de iulio del 2002. la o elP : C + (Fr- Ci) (ra, in, n) C = 1.000; : 1.000; : 0,03; : 0,025; : 1.1 F r i n : 1.000 (30- 2s)(P/A,2.s%,11)1.000+ P = + = s(9,s142)$j.047,57pOR r3.12 BONOSA|'/iORT|ZADOS SORTEO Las emisionesde bonos son redimibles en su fecha de redencin o d.emaduracititt, en o fechas opcionalesintermedias estipuladas en los bonos. Otras emisiones de bonos se redimen por anualidades;esto significa que anualmente se redime un grupo de bonos. Los emisores de bonos que amortizan su emisin mediante anuatades proceden a paga4 en fechadel cuPn, por sorteo y por su valor de redencin los bons que resultan favorecidos.Es obvio que la TIR de los bonos favorecidos en el primer sorteo es mayor que ia de los bonos favorecidos en los dems sorteos. 368. M A T E M A T I C AF I N A N C I E R A S SHallar la rentabilidadde bonosde 91.000 1,8%,redimibles 10 aospor a a Efissl su valor nominal, cotizadosal96% con cuponesy sorteos (a) semestrales: favorecidos el prien mer sorteo,(b)redimidos al cumplir el plazo.P= c + (r' - ci) (na,ir", ")a)= P = e60;C 1.000; = 1.00094I = 90; 1semestre Fr n= f 2 )semesfresEl diagrama de flujo de caja muestra que, en un semestre, $960 se convierten en $1.090, (con la frmula se obtiene igual resultado). = -vot, - r = o , r 3 s 4 *P (t,otas+)'1= o,z8e1 tasa de rendimiento = 28,91% efectivo anualSEMESES(b)P=c+ (Fr-Ci)(na,in,") : gll P : 960;C 1.000; = 1.000 Fre60: 1.000 (90-1.000,) i%,20) (P/A, + -- +o (1.o0oi eo)(PlA, n) i%,= 90; =20 semestres n 369. Se ensaya para:i -- e,5%, i = 9,4%(e5- eo) (PIA,e,S'x,2o): , > (95- 90xlJ'tl123ll2) : 44,06 4( : 35,50< 4t) - 90xu,lt7413tt) (94i : 9,4s% (94,s- e0x8,8431e8) : 3e,79< 4o i : 9,4s2%(94,52 90)(U,tt4le62): 39,96< 40 i = 9,453%(94,53 90X8,u41344): 40,05> 40 es 9,452% un valor acePtable Parai - 7 : 0,797974 (1,09452)r anual : 19,Uf, efectiva Tasa efectivoanual. y Paralos demsbongsel rendimientoestcomprendidoentre 1L),80'/,28,97')1, 1 9 . 8 0 "