matematicas financieras - 4ta ed. - licoyan poruts g

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No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni sutratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o porcualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registrou otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares delcopyright.

DERECHOS RESERVADOS, Copyright @ 1997,por Lincoyán Portus GovindenDERECHOS RESERVADOS, Copyright @ 1997,porMcGRAW-HILL INTERAMERICANA, S. A.Avenida de las Américas,46-41.. Santafé de Bogotá D.C., Colombia

Editora: Emma Ariza Herrera

4723567890ISBN: 958-600-596-8

9012345687

S: ,:rlprimieron 3000 ejemplares en el nres de febrero de 2005,1'::3so por Quebecor World Bogotá S.A.--r-:Sra en Colombia- Printed in Colombia

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i,qt$¡ "?h,-;

ffrsfumm m ffm #s'd$xrfm r#ard#ev

Como cualquier actividad científica, las matemáticas financieras evolucionan, utilizan

nuevas formas y, a medida que se amplía el campo de sus aplicaciones, se profundizan

los conceptor, ui.ur,.., y resiriccion", du t.tt definiciones y teoremas' Por otra parte, las

d.iversas áisciplinas qué utilizan las matemáticas financieras imponen variaciones en el

iu"g""¡" y, dé u.rr"ráo con el principio de universalidad, es necesario que un texto de

estJnaiuialeza utilice el léxico actualizado y apropiado'E4 esta cuarta edición se han introdutidb importantes variaciones en cuanto a las

definicitnes, formulación de teoremas y léxico utilizado en ediciones anteriores' La mo-

derna notación estándar (X/Y, i%,n) t" Ltiliru como herramienta necesaria desde el capí-

tulo tercero, no como alternativa. Respecto a la extensión, se ha ampliado y actualizado, el

contenido de los diferentes capítulosl por otra parte, se suprimieron los de probabilid-a-

des y tablas de mortalidad, anualidadls y pagós contingentes, y seguros; éstos se refe-

rían, en forma resumida, a conocimientos que en la actualidad se estudian en forma

exhaustiva en carreras profesionales específicas y en cursos de posgrado.

Los actuales estudiantes se forman en el mundo de los juegos electrónicos, calcu-

Iadoras, microcomputadores y computadores y, es natural-dentro de su realidad- que

Ia tendencia sea utilizarlo, ".t

,rr, ámbitos de tiabajo. En este curso se estudian los fun-

damentos teóricos de las matemáticas financierat, lu lógicu de sus diferentes métodos

de trabajo y los recursos para calcular y obtener las soluciones para los problemas' En este

orden de id,eas, uno de l,os objetivos propue$tos es que el estudiante adquiera destreza

en la interpretación y mane¡o de las áefiniclones, teóremas y fórmulas; obtenga la sufi-

ciente pericia en el uso de sus instrumentos de apoyo para qu.e en sus actividades pro-

fesionáles pueda, con bases sólidas, afrontar con éxito situaciones nuevas/ programar

con fundamentos y seguridad sus trabajos, y crear nuevos sistemas y modelos matemá-ticos que transformen y modernicen constantemente los temas de esta materia.

Én lo que se refieie a tablas de factores de interés compuesto y anualidades, no esnecesario incluirlas. Los estudiantes, mediante calculadora o microcomputado¡, pueden

obtener directamente estos factores o calcularlos con las fórmulas adecuadas y manejan-do con destreza su equipo. La meta es que el estudiante adquiera una formación global lomás completa posible y tenga dominio en el manejo de las fórmulas y medios de cálculo;con este propósito en mente, se han gradualizado los ejemplos, ejercicios y problemasdel texto. No obstante lo anteriot y con un claro objetivo didáctico, se incluyen en formaparcial las tablas de factores, para que los estudiantes conozcan su estructura, las apli-qnen y desarrollen habilidad para su manejo. Siempre se utilizarán tablas en diferentes

ictividades, como un medio seguro y rápido para obtener resultados; a los futuros profe-

sionales les corresponderá crearlas y para ello deben asimilar Ios conocimientos necesa-rios.

Agradecimientos muy especiales para los profesores que hicieron llegar sus obser-vaciones y críticas constructivas, las cuales sirvieron para mejorar el contenido de estaedición. Es importante que en el futuro se mantenga esta amable y estrecha relación.

El autor agradece su colaboración y aportes a Ia economista colombiana doctora

Inés Cabrera Bedoya, a Ia economista chilena doctora MónicaPazTorres Cariola y al inge-niero Rolando Portus Valdivia.

Lincoyán Portus Goainden

Contenido

vPrefacio a Ia cuarta ediciÓn

0 ALGUNos FUNDAMENTos uernuÁrtcos

0.lAproximaciones.0.2operacionescondecimales,utilizandopotenciasdel'0.0.3 Tabras .on ru"ror"r-urrtáror. o.¿ pt"ó."iánaüdad. 0.5 Proporciones' 0'6 Tanto

por ciento. o.z^iár"*" det binomilS.;;;;;il"t. 0.9'Propiedades de los

logaritmos "" ";;"

ió. ó.10 progresión uiii*¿ti.u. 011 Progresión geométrica'

1 INTEnÉs stuprn

objetivo.l.l lntroducción'l.ZDefiniciones.1'3Cálculodelinterés.1.4Interpre-tación del factor k en la fórmula 1.;;n;i".i¿" entre el interés comercial y el

interés r"uf. f .ip"i"r*ir,u.iO., del tiempo. 1.7 Tablas para el cálculo del tiempo y

para las "q.,i";;;;

áecimales. 1fiá;;;i"; mo¿iti.a¿as para el cáIculo del

interés ,i*pr"li.l'ü"nio. 1.10 Valoiactual o valor presente á" ''tttu deuda' L'11

Cálculo de intereses por medio ¿" iu¡fur. 1.12 Gráiicas o diasramas del interés

simple. r.rg g;acio,ies d",,uro,", "|"i"Ju.'t",.

t'tlt) inoirinal anticipada y

vencida y ,urur?.iivás. r.rs prouiá*ur resueltos. l'.16 Problemas proPuestos'

1.17 Acti;idades de consulta'

2 COMISIONES, DESCUENTOS EN CADENA Y TASAS ESCALONADAS

objetivo.2'lDescuentobancario.2.2F6rmliaparaelcálculodeldescuentoban-cario. Z.3Fórmula para el .,rufo. fiqíiaá

"" "ii"t."ento bancarto' 2'4 Relación

"t6

46

MATEMATICAS FINANCIERAS

entre el descuento bancario y el descuento racional o matemático. 2.5 Pagos des-pués de la fecha de vencimiento. 2.6 Comisiones .2.7 Yaiaciones del valor líqui-do y de la tasa de interés en el descuento bancario. 2.8 Descuentos comerciales.2.9 Yalor neto de una factura. 2.10 Descuentos por pronto pago. 2.1.1. Descuentosen cadena o en serie. 2.12Tasas escalonadas. 2.13 Modificación de las tasas esca-lonadas para evitar la inversión de las categorías de valores. 2.14 Problemas re-sueltos. 2.15 Problemas propuestos.2.1.6 Actividades de consulta.

PAGOS PARCIALES Y VENTAS A CRÉDITO A CORTO PLAZO 69

Objetivo. 3.1 Introducci6n.3.2 Pago de los intereses de un pagaré en fraccionesdel plazo de la deuda. 3.3 Descuento bancario con pagos anticipados de los inte-reses en fracciones del plazo. 3.4 Pagos parciales. 3.5 Ventas a plazos. 3.6 Tasa deinterés en ventas a plazos. 3.7 Problemas resueltos. 3.8 Problemas propuestos.3.9 Actividades de consulta.

INTERÉS COMPUESTO 93

Objetivo. 4.1 Introducciín.4.2 Monto o valor futuro a interés compuesto. 4.3Comparación entre interés simple e intetés compuesto. 4.4Tasa nominal, tasaefectiva y tasas equivalentes. 4.5 Cálculo del valor futuro para n mayor que 50.4.6 Valor futuro compuesto con periodos de capitalizaciín fraccionados.4.T CáI-culo de la tasa de interés compuesto. 4.8 Un caso paradójico.4.9 Cálculo del tiem-po. 4.10 Crecimiento natural e interés compuesto.4.11 Problemas resueltos.4.12Problemas propuestos. 4.13 Actividades de consulta.

VALOR ACTUAL O PRESENTE AL INTERÉS COUT'UESTO 123

Objetivo. 5.L lntroducción.5.2 Cálculo del valor actual. 5.3 Valor actual para va-lores de n mayores que el máximo de la tabla.5.4 Valor actual al interés compues-to con periodos de capitalización fraccionarios.5.5 Descuento a interés compuesto.5.6 Valor presente de una deuda que devenga intereses.5.7 Ecuaciones de valo-res equivalentes. 5.8 Problemas resueltos.5.9 Problemas propuestos. 5.10 Attivi-dades de consulta.

ANUALIDADES

Objetivo. 6.1 Introducci6n.6.2 Clasificación de las anualidades. 6.3 Anualidadesciertas. 6.4 Anualidades eventuales o contingentes. 6.5 Valor de las anualidades.6.6 Valor futuro y valor presente de las anualidades simples ciertas ordinariasinmediatas. 6.7 Problemas resueltos (primer grupo). 6.8 Problemas propuestos.6.9 Cálculo de la renta en una anualidad simple cierta ordinaria. 6.10 Cálculo deltiempo o plazo de una anualidad. 6.11 Cálculo de la tasa de interés de una anua-lidad simple cierta ordinaria.6.l2Problemas resueltos (segundo grupo).6.L3 Pro-blemas propuestos. 6.L4 Actividades de consulta.

t41

CONTENIDO

ANUALIDADES ANTICIPADAS Y ANUALIDADES DIFERIDAS 773

Objetivos. 7.1 Anualidades anticipadas.T.ZSímbolos utilizados en las anualida-

des anticipa das.7.3Valor futuro y valor presente de las anualidades simples cier-

tas anticipadas. 7.4 Problemas resueltos. 7.5 Problemas propuestos. 7,6 Actividades

de consulta. 7.7 Anualidades diferidas.7.8 Valores de las anualidades diferidas

simples ciertas.7.9 Problemas resueltos. 7.10 Problemas ProPuestos' 7.11 Activi-

dades de consulta.

206RENTAS PERPETUAS .\

Objetivo. 8.1 Introducción. 8.2 Símbolos utilizados en las \tas perpetuas- 8.3

Val'ores de las rentas perpetuas simples.8.4 Capitalización. 8.\postos capitaliza-

dos. 8.6 Costos equivalentes. 8.7 Problemas resueltos. 8.8 Problemas propuestos'

8.9 Actividades de consulta.

ANUALIDADES CIERTAS. CASO GENERAL 224

Obietivo. 9.1 Introducci6n.9.2 Símbolos utilizados en las anualidades genera-

tes. q.g Conversión de una anualidad general ordinaria en una anualidad sim-

ple.9.4 Valor futuro y valor presente de las anualidades generales ciertas

órdinarias. 9.5 Cálcutode la renta de una anualidad generalcierta ordinaria.9.6

Problemas resueltos. 9.7 Problemas propuestos. 9.8 Cálculo del tiempo o plazo

de una anualidad general. 9.9 Cálculo de la tasa de interés de una anualidad

general. 9.10 Problemas propuestos. 9.11. Anualidades generales-anticipadas. 9.12

Éroblemas resueltos. 9.1á Problemas propuestos. 9.14 Anualidades variables. 9.15

Gradientes. 9.16 Gradiente aritmético. 9.17 Gradiente geométrico. 9.18 Anuali-

dades continuas. 9.L9 Anualidades a intereses continuos. 9.20 Anualidades a in-

terés continuo con Pagos en flujo continuo. 9.21 Problemas resueltos.9'22

Probleinas propuestos. 9.23 Actividades de consulta.

279

Objetivo. 10.1 Introducción. 10.2 Sistemas de amortización. 10.3 Cálculo de los

val-ores de las amortizaciones. 10.4 Cálculo del saldo insoluto. 1.0.5 ReservaF Paraatender rentas cuyos pagos son variables. 10.6 Ventas a plazos. 10.7 Derechos

sobre un bien pagado por cuotas. 10.8 Captación de ahorro y_ préstamos para

adquisición de bienes raíces. 10.9 Problemas resueltos. 10.10 Problemas propues-

tos. 10.11 Actividades de consulta'

11 FONDO DE AMORTIZACIÓN

Objetivo.11.l. Introdu cci6n.11..2Cálculo de los valores de un fondo de amortiza-

ciOn. f t.g Cálculo de Io acumulado en el fondo y del saldo insoluto en cualquier

fecha. 11.4 Cálculo del plazo de una deuda. 11.5 Fondos de amortización con

aportes variables. 11.6 Pioblemas resueltos. 11.7 Problemas proPuestos. 11.8 Ac-

tividades de consulta.

314

10

12

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

DEPRECIACIÓNY AGOTAMIENTO 330

objetivo. 12.1 Introdu cc\6n.LZ.ZCálculo de los cargos periódicos por deprecia-

ción. 12.3 Depreciación por fondo de amo,rtiza ciAi n'+Método de la suma de

dígitos o enteros qrr" -J."rponde1.1 los años de duración del activo. L2.5 Méto-

do de depreciación p"t pttt'""ta¡e fijo o de variación geométrica' 12'6 Método de

depreciación con intere^ses sobré la inversión. 12.7 Recuperación de la inversión

enbienesagotables. l2.8Problemasresueltos. l2.gProblemasPropuestos. l2. l0Act iv idades de consulta '

13 BONOS 344

ob ¡e t i vo . l 3 . l l n t roducc ión ' l 3 .2De f i n i c i ones . l 3 .3Prec iode losbonosenunafecha de pago de interés o cupón. 13.4 Valor de un bono en l ibros. 13.5 Precio de

Iosbonoscompradosen t re fechas< lecupón .13 .6Co t i zac iónde losbonosen losmercados de valores. 13.7 Rendimiento áe las inversiones en bonos' 13'8 EI inte-

r é s o r c l i n a r r o y e l i n t e r é s r e a l e n l a T I R d e u n b o n o . l 3 . g B o n o s s e r i a d o s . l 3 . l 0Bonosdeanua l i dad . l 3 . l lBonoscon fechaopc iona l< le redenc ión ,73 .72Bonosamort izadosporsor teo. l3 ' l3Bonosdevalorconstante. l3 . l4Problemasresuel-tos. 13.15 Problemas propuestos' 13'16 Actividades de consulta'

14 DESVALORIZACIÓN MONETARTA 37'] '

ob je t i vo . l 4 . l l n t roducc ión .14 .2 Índ i cesdep rec ios . l a .3 . }n5 idenc iade ladesva -l o r i zac ión " , . 1 * i , - ' t " , " sessob rep rés tamos .1¿ .aRen tab i l i dadde losaho r rosens i t uac ióndec iesva lo r i zac iónmone ta r i a ' l 4 .5Prob lemas resue l t os .14 .6Prob le -maSpropuestos. l4 .TCorrecciónmonetar iayunidade.s.devalorconstante. l4 . t }Relac iónentre laamort izac ióndelospréstamosgnu{dl jesdevalorconstantey los ing resosde losdeudo res " . . . ' ^us i t uac iónde in f l ac ión .14 .9Prob lemas re .sue'ltos. 14.10 I 'rclblemas proPuestos' 14'11 actividades de consulta'

Respuestas a los problemas de número impar 398

Tablas 401

lndice 431'

'',.'\) t g1:: -q. : :

.

o. l

ALGUNOS FUNDAMENTOS MATEMATICOS

APROXIMACIONES

para las operaciones conociclas con el nombre de "redondeo" se aplica la "regla del

computador" que dice:

Cualquier decimal que desee aproximarse hasta cierto número de cifras convencional-

mente fi jado:(a) El ult lmo dígito fi jado clebe incrementarse en una unidad, si los que siguen exce-

den e l va lo r 500 . . .(¿r) No debe cambiarse el último dígito, si los que siguen son menores que el valor 500"'

(c) Si los clígitos que siguen al últ i lo f i jado ion exactamente el valor 5 y el últ imo es

impaq, debe incrementarse en una unidad'

ffiTTEtrRedondear a 4 decimalesl. 3,5674326Respuesta: 3,56 l4

2. 7.6766501Respuesta: 7,6167

3. 0,751450Respuesta: 0,7514

4. 0,7937500Respuesta: 0,1938

o.2


OPERACIONES CON DECIMATE' UTIL¡ZANDO POTENCIA5 DE IODe acuerdo con los conocimientos adquiridos en el estudio de las operaciones con po-tencias, se sabe que:

11 0-l

100

= 1 0 r = 0 , 1

= 10 'z = 0,01

1

_ = 1(ri1000

1--- _ ln tr

1000 . . . 0 ' "

= 0001

= 0,000.. .01

Así:

0,43772 = 43.772.70 s

432,6725 = 4.326.725. t}-aProductos de decimales, mediante potencias de 10:

0,326 . 6,37 = 326 .70-3 . 637 . 70_2= 326 . 637 . l0-3+ (-2)

= 207.662.70-s= 2,07662

División entre decimales, mediante potencias de 10:

30,3267 :- 2,67 : (303.262. 10r) + (267 .l0-2): (303.267 -+ 267). (10{- czi¡: (303.267 - 267). 10-4 + 2: 7.767,94. 10-2 : 17,6794

Cada persona al efectuar oPeraciones condecimales, por lo general, utiliza reglasa las cuales se ha acostumbrado áesde sus estudios de aritmética eiemental, y "r

norilJque no desee cambiarlas. Esta forma de operar, mediante potencias de 10, és muy útil,incluso cuando se oPera con máquinas de calcular sin punto decimal. El lector debecomparar este sistema con el que acostumbra utilizar y ru.u, sus propias conclusiones.

TABIAS CON FACTORES ENTEROS

Es común encontrar tablas financieras que expresan los factores con números enteros yseñalan la potencia de 10 que afecta los valor-es. Asi por ejemplo:

0.3


10r Esto significa 342678. 10-s : 3,42678

83'24:23. 10-s : 8.32423

Para este cálculo conviene separar las diferentes potencias de 10 que intervengan yoperar con ellas por separado.

Por ejemplo:Si el factor 342678 de la tabla anterior se debe multiplicar por 25.000, lo práctico es escribir:

2s 000(34267 8) ( 1 0') := 1Z Í:Dztílfi II i 3 :l

: u566950 (103 s)

8s669s0 (10 )- nruor,ru

0.4 PROPORCIONALIDAD

El cociente entre dos cantidades es la

X + y : q ( q

Expresado en otra forma: NY : q

rnzút o ¡sro¡torcionalidnd entre ellas

es la razón entre X y Y)

Al aumentar el valorX, q se incrementa en la misma proporción, es deci[ "/,* : Zl;"x/t. : n4)en matemáticas, esto se expresa así'. elaalor dc q es directnnrcntc ¡trLt¡tttrciottnl nl onlor de X.Al aumentar el valor de Y, el valor de 4 disminuye en Ia misma proporción, así:

X = q . X = q2 Y 2 ' ¡ t Y t t

Esto significa que el i-tnlL¡r tle q es irtzrcrsnnrcrrta pro¡torciotnl nl t¡nlor dc Y.Cuando se amplía a varios factores, por ejemplo:

nbcL t - ;' f i c

el valor de q es directamente proporcional a los valores a, b y c, y es inversamenteproporcional a los valores de dy e .


Constante de proPorcionalidad

Si se t iene Ia igualdad:

t r=+k0

el valor de q es directamente proporcional al valor de n, inversamente proporcional al

valor de b y depende del valoide la constante de proporcionalidad k. Conocido el valor

de 4, para ciertos valores de n y b, queda determinado el valor de k'

[ffililÉ Si 20 obreros construyen 50 metros de una carretera en 10 días, Zcuántos obre-

rc,.s-se requieren Para construir 1.200 metros en 60 días?

El númer6 de gbreros es directamente proporcional a los metros que deban construirse, e

inversamente proporcional al t iempo en que deban construirse' Si se desi¡¡na por O el número

de obreros, por M la cantidad de metros y por t el t iempo, se tiene:

^ M ,( ) = - K

t

Cálculo de k: 2O= p a r a O = 2 0 , M - 5 0 , t = 1 0

entonces/

p a r a M : 1 . 2 0 0 , t : 6

5o ,-.10 " '

, 200^ - - - a

50

o=l14)a\ f /

o= l , 12m)¿=so\ 6 0 /

Respuesta: 80 obreros.

[ffififtIfl Si 8 obreros tejen 12 metros de tela de 0,5 m de ancho en cada semana, Zcuántos

-"t."r d" l" -isma tela de 0,7 m de ancho producen en una semana 35 obreros? Designando

por M los metros, por A el ancho y por n el número de obreros, se tiene:

u=L*A

(el número de metros es proporcional a la cantidad de obreros, e inversamente proporcional al

ancho de la tela).

8, , =

* k ; p a r a M = 1 2 , n = 8 , A = 0 , 5

ALGUNOSFUNDAMENTOSMATEMÁTICOS T

Cálculo de k: o =tz(9r's) =o'zs

?5

entonces, M =; ; (0,7s)

M : 3 7 , 5

Respuesta: 37,5 m.

0.5 PROPORCIONES

Definición

Una proporción es la igualdad de dos razones.

A C A Ct t = t = t l Y A = r / e n t o n c e s ¡

= a

cuya lec tu ra es as í :¿ l es abcomoces ad ; puede esc r i b i r se t amb ién : a=b : c *d .

Lascan t i dadesdycseconocencomo losn r ¡ f cccdc t r t es , ybydcomo losco r r cecue t t t csde la proporción.

Desde hace mucho tiempo, se acostumbra l lamar extremtts al antecedente de la

primera razón y al consecuente de la segunda raz6n. Y ¡nedios al consecuente de Ia

primera razóny al antecedente de la segunda taz6n.

o = , E x t r e m o s : n y d , r , J ' /

b d M e d i o s : b y c

Al multiplicar ambos miembros por bd, se tiene:

a d : b c

Teorema En toda proporción, el producto de los medios es igual al producto de los

extremos.

O.ó TANTO POR CIENTO

El tanto por ciento es una proporcionalidad que se establece con relación a cada 100

unidades. Se expresa con el símbolo %.

[ftffi!fl Si con una inversión de $5.000 se obtiene un rendimiento de $300, iqué rendi-

miento corresponde a cada $100 de inversión?

r


Se establece la proporción:

5.000 _ 100300 x

5.000¡ = 30.000 (producto de medios = producto de extremos)

¡ = 6 por cada 100, y se escribe x : 6%.

TEOREAAA DEL B¡NO'i 'IIO

El desarrollo de la potencia n de un binomio se expresa así:

( a+b ) ' = an + l t an l b * " ( l ^1 ) on -262 *n (n -7 ) (n -2 ) o , -3 ,

7 . 2 7 . 2 . 3

4n es el primer término, an-tb es el segundo término y así sucesivamente; el término deorden r * 1 se expresa de la siguiente manera:

n ( n - 1 ) ( n - 2 ) . . . ( n - r + 7 )an-rbr

Ia expresión rl : | .2 .3 . 4 ... n, se lee r factorial.

EEEE Encontrar el valor de (1 + 0,02)4, aproximado con 4 cifras decimales.

30.0005.000

o.7

(7 + 0,02)a

0,0D4

0,02)4

= 1{ + ( -4) 1-s )e,02) +4M ¡-o ) (0 ,02)= 1 - 0,08 + 0,004 - 0,00016 + 0,0000056 +...=0.9238456

= 0.9238 (aprox. )

0.8 LOGAR|TI OS

Desde que John Napier y Henry Briggs, en761.6, publicaron las primeras tablas delogaritmos, éstas han venido utilizándose para cálculos científicos. A pesar de que enios últimos años los computadores han sustituido el uso de las tablas dólogaritmos y suexpresión mecánica (la regla de cálculo),el conocimiento de las operacion"s .ón logaritmossigue siendo básico para quienes trabajan en el campo del cáiculo.

I

Las tablas de logari tmos permiten. efectuar mult ipl icaciones, div is iones,poten_ciaciones y radicacio.,"r, .o., gran rapidez.En la actualidad, estamos en li era de las calcuradoras y, con su advenimiento, hacaído en desuso la regla d,e cálculo., después de un reinado í" ar", siglos. Los modelosde calculadoras son muy diversor, i".tu'ro lu, hay con rl-,.,.ro.,",

"rpecíficas para aplica-ciones financieras; los diseños de las calculadoras evorucionan.orrar.,,ru*"nte, por estoresultaría inútil explicar la forma de utilizar alguna a"

"rus- iáb

"s p.".iro decir que setrata de una herramienta indispensable para quien pretenda trabajar en er área de lasmatemáticas financieras. El primer paso será ieleccionar.r.ru .ul.rrludora adecuada ytener pleno conocimiento to-b." s.u manejo y posibilidades. Al final de este capítulo, éllector encontrará algunof

"l".-ptot ri*ft"i áe cómo utilizar una calculadora comúnque tiene memoria y la función y,.

Definición El exponenteyal que debe elevarse el número a paraobtener un número_t,se llama logaritmo de x en bas n.

ALGUNoS FUNDAMENToS ¡¡RTe¡¡ÁT¡cos

)/

Las dos expresiones:

y : l o g , x t 2 0 , a # I , a > 0

y : l o g " x y x : a y

son equivalentes. Las propiedades de la funcióndades de la función exponencial.

Propiedades generales de los logaritmos

1. La función logarítmica es 0 para r : 1, o sea,

log,1 : 0

2. El logaritmo de una cantidad igual a la base es

logarítmica se infieren de las propie_

l ogoa:7

3. El logaritmo de un producto es igual asea,

la suma de los logaritmos de los factores. o

log"ABC = log,Á + log,B + log,C

4' El logaritmo del cociente de dos cantidades es igual al logaritmo del dividendo,menos el logaritmo del divisor, así:

l, es deciq,

r

0.9

MATEMATICAS FINANCI ERAS

Al o g " ; = l o B , A - l o g " B

b

5. El logaritmo de la potencia de una cantidad es igual al exponente multiplicado porel logaritmo de Ia cantidad, o sea,

logoA": rtlog,,A

Como casos particulares de esta propiedad, se tienen:

6. El logaritmo de una potencia de la base es igual al exponente, es deci¡,

logoa" = tl

S i en la propiedad 5, n = L, entonces se t iene:

logoAl = 1log"Ar

7. El logaritmo de un radical es igual al cociente entre el logaritmo de la cantidadsubradical y el índice, o sea,

tog,UÁ=! log, ,qt,

PROPIEDADES DE tOS LOGARITMOS EN BASE I O

Las propiedades de los logaritmos en base 10 son un caso particular de las leyes genera-les y conviene repetirlas para la base 10 en razón de sus aplicaciones. Así, log,nr seescribe logX, sin indicar la base.

l. EI logaritmo de 10 es igual a la unidad, o sea,

log10 : 1

2. El logaritmo de una potencia de 10 tiene tantas unidades como ceros posea la po-tencia, es decic

l o g 1 0 0 : 2 1 o 9 1 0 . 0 0 0 : 4

Mantisa es la parte decimal del logaritrno de un número. El valor de las mantisas se en-cuentra en las tablas de logarihnos. En los cálculos se utilizan únicamente mantisas positivas.Característica es la parte entera del logaritmo de un número.

ALGUNOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

Reglas para calcular la característica

La característica del logaritmo de un número tiene tantas unidades como cifras ente-ras posea el número' menos 1' si el número sólo ofrece cifras decimales, la ca¡acterís-tica de su logaritmo tiene tantas ,r., iaua", negativas como ceros posea el número¿rntes de la pr imera c i f ra s igni f icat iva (contancló e l . : .op; ; ;en ra par te entera) .Nota: Al operar con calcul;ora con rü.ió" log, se .rbtie,-," el valor del logaritmo. Lattl#H:l

en mantisa y característica sóro es necesaria si se trabaja con tablas creLos números que tienen las mismas cifras significativas tienen la misma mantisav difieren sólo en la característica.

log 234.000 = 5,3692log 23.400 : 4,3692

log2,34 : 0,3692log 0,234 : -t+0,3692 = 136g2

log 0,0234 : -2+0,3692 : 2,3692Iog 0,00234 : -3+0,3692 : Z,ZO9Z

ff iEtrE¡ C¡lcular el valor cle X datlo por Ia expresirin

, , 4 ( l +0 , t ) , 1 ) r { )^ = (1+ oo4/ ! i

N, ¡ ' t¡scl¡¡¡1 ;rpl icarse I.111itmls directamente p.r la presencia de la cl i ferenci¿ que ap¿rece enel de norl inador; se calcula primero la potenciJ de 1,04:

. r : ( 1 - + 0 , 9 4 ; . r , : ( 1 , 0 4 ) 3 ( ,

,,,rll,ij = ijl;frÍ;r-,30(0,0170333) = 0,510999

lo¡;l = (t,510999t : 3,24339

Se remplaza en el valor cle X:

4(3,24339 )32133s I4(3,24339 )2Z4ns

Y _

I


lo gX = log4 + 1o93,24339 - lo 92,24339log4 = 0,602060

+ 1og3,24339 :0,570999

1,1 13059

-1o92,24339: 0,350905

o?l'154

logX - 0,762154

X = 5,783016

ffilEIq Calcular el valor de

x-/l,es?sd

krq{ = ] l.c0'9tt75t'' 7

lo¡;0,09t1750 - 0,e0456 - 2 =1,99456

multiplicado ptrr 3 = 2,9t136¿r - 6 = ¡,98368

div id ido porT =(3,98368 -7) :7 = t ,SOStO

X = 0,37077

@lEE Usar calculadora funciírn t puru X=r$,}gwsd

'Jfn B?se =o,osl7s6)

Si la calculadora no tiene mando de fracción, efectuar

3+7 =0,42857"143

X = 0,09L756tt tu571t3

X = 0,37077

[ftffi&E Calcular el valor de la expresión para l: 0,02

( 7 + i ) 1 0 - l

iPaso

12345o

Entrada

1,02

v't:

1

Pantalla

7,027,02

1 01,21899M1,27899441

(1+ i )10 -1t

Respuesta: 70,94972

rffitilE

Para i : 0 ,03 , ha l la r e l vakr r de la expres i r in con ca lcu ladora : (1+ i ) ' !


Ent rada Pantalla

0,21899440,21899440,02

10,91972

Ent rada

i1 2

M1,03

l t 'N,llt

Paso

n n ?

78o

l 0

I 'aso

Iz34

567tt9

Respuesta: 1,0024663

Pantal la

I1

1 20,0833330,0¡r33331 ,031,030,0u33331,0024663

O.I O PROGRESIóN ARITMÉTICA

Es una sucesión finita de números l lamados términos, en la que cualquier¡r cle ellosdifiere del anterior en una cantidad fi ja r/, denominada incremento o diferencia, borejemplo: 6, 77, 76, 21, 26, 37.Serie es una suma de infinitos términos ligados por determinada ley de form.¡ción. Unasene aritmética es aquella en la que cada término difiere del anterio4 en una cantidad fija.

Si se designa por n el primer término, por d la diferencia constante y por rr elnúmero de términos, la progresión generada es así:

a , a + d , a + 2 d , a + 3 d , . . . , n + ( n - d ) d

El últ imo o r¡-ésimo término acostumbra a designarse por u,y su expresión en fun-ción del primer término -el número de términos y la diferencia común- es dada por

u = a + ( r t - I ) d


suma de los términos de una progresión aritmética sea la progresión:n , a + d , n + 2 d , a * 3 d , . . . , a * ( n - 3 ) d , a * Q t - Z ) d , a + ( n _ 7 ) d

Su suma S es:

s = rz * (n + d) + (a + Ll) + (n + 3d) + ...+ Ín + (ru-3) dl + [n + Qr-2) dl + fn + Qt_ 7) d]AI escribir la misma progresión, invertir el orden de los términos v sumar las dos

igualdades se demuestra que:

, _n l \ a+ (n -Dd ]z

Esta fórmula da el valor de S en función del primer término, el número de térmi-nos y la diferencia constante.

si en la expresión 2n + (n - 1)d : a + a + (rr - 1) r/, se remplaza n + Qr - 1)tl por u(ú l t imo término) , se t iene:

. r r ( n + u ) ( n + u )

" = - 2 = r i

2

La suma de los términos de una progresión aritmética es igual a ,l veces la me-dia aritmética de los términos primero y últ imo, sienclo r el número de términos.

Interpolación l ineal Si entre dos números se desea interpolar rr términos, de modoque los dos números dados formen una progresión aritmética, se tendrá, al clesignarcon N, y N, los dos números dados:

Primer término : Nr

Último término : N,

Número de términos : tt * 2

N, : N, * (rr + 2 - 1)r, donde x es la diferencia constante; se clespeja r

t = N ' - N 'n + 7

@eIE Interpolar entre 3 y 5,4 términos, de modo que formen una progresrtin aritmética.

N r = 3 , N 2 = 9 , n = ! '

5 - 3

5

¿t,/-La progres ión es ' .3 , 32 / , ,3a / r ,4 43/s,5


0.1 r - . - ^ ú ' - ' ! .

PROGRESION GEOMETRICA

Es una sucesión finita de números llamados términos, en la que el cociente o razón entredos términos sucesivos es constante. Si se design a por a el primer término, por r la razónentre un término y el que le antecede y por n el número de términos, la progresión gene_rada es así:

11, a l , atz, er3, . . . , aT"-3, arn 2, gyn-t

El últ imo o r¡-ésimo término acostumbra a designarse por u:

l l : artt-l

En una progresión geométrica, Ia razón se cletermina mediante la reración:

, = f l r * 'fiL

(k e's un número natural que indica er orden de cualquier término).

Suma de los términos de una progresión geométrica

Sea la progresión a, nr, ar2, nri,..., arn 3, ar,-2, ar,t-r

Su suma es:

5 : a * nr * nrz + ar3 + . . . * ar , ' 3 + ar , , z ¡ orn- t a lmul t ip l icarpor

sr : nr + ar2 + nr3 + af+ . . . + orn_2 ¡ ar ,_t + ar ,

AI restar se obtiene:

^ a ( r ' - 7 )" - r - 7

que expresa la suma de los términos de una progresión geométrica, en función delprimer término a,la razón r y el número de términbs.

Progresiones geométricas crecientes y decrecientes Si la raz6n r es positiva menorque 1, la progresión generada es decreciente. Se llama así porque cada término se da envalor absoluto, menor que el que la antecede. si r es uyo, que t, los términos de laprogresión crecen indefinidamente, generando una progresión c¡eciente.


ffiIE

ffiIEE

1 1 A 4 4

3 9

^ _ 1 " >

1

n = 4

a = 3

n = 4

3 ,6 ,72 ,24

Serie geométrica La suma de los términos de una sucesión geométrica de términos

decrecientes tiende a un límite.

Fórmula del límite:

a( r ' -1 )t r m ) P a r a 0 < r < 7

n + 6 f - 7

a ( 0 - l ) aI t m J = - = -

n + ú r - 1 l - r

[ftffilEg Sea la serie

S = 5 0 + 2 5 + 5 + r * ] + . . .J

l ím S = o = 50 "=62 ,5

n - @ 7 - r t _ i l

Interpolación parabólica El problema de i.,t"rpolur n términos entre dos números da-

dos de modo que con ellos se forme una progresión geométrica, se resuelve utilizando

la expresión dél frltlmo término. Sea interpolar entre N, Y N' n términos. Incluidos N,

y N., se tienen n + 2 términos.

Al aplicar u= ar'-l; para n a 2 términos, tt= ar"*\

Al sustituir N, = a, N" = 7, se tiene:

N, = Nrr"*'

r =


@¡EI[| Interpolar dos términos entre 3 y 24 de modo que formen una progresióngeométrica.

N r = 3 ; N 2 = 2 { ; n = )

t;, =rrlt =,Respuesta: 3, 6,72,24

-s

l .r gi , . . " ,u:t . ' i ' ¡ i

INTERES SIMPLE

OBJETIVO

El objetivo de este capítulo es enseñar al estudiante los factores que entran en juego enel cálculo del interés simple y suministrarle herramientas para que maneje estos facto-res y los aplique en la solución de problemas frecuentes en el campo financiero. En estecapítulo aprenderá definiciones y manejará conceptos y factores básicos que uti l izaráen los demás capítulos del texto. Al terminar el capítulo podrá calcular intereses pormedio de tablas de factores, y mediante la aplicación de fórmulas estará en capacidadde calcular valores futuros, valores presentes, tasas de interés y tiempos. Igualmente,podrá manejar diagramas de tiempo-valor y de flujo de caja, y resolver ecuaciones devalores equivalentes.

INTRODUCC¡óN

En todas las actividades financieras se acostumbra pagar un rédito por el uso del di-nero prestado. La mayor parte de los ingresos de bancos y compañías inversionistasse deriva de los intereses sobre préstamos o del retorno de uti l idades por inversiones.En general, todas las operaciones comerciales están relacionadas con los réditos sobrelos capi ta les en juego.

Toda persona que obtiene un préstamo queda obligada a pagar un rédito (rentade capital) o interés, por el uso del dinero tomado en préstamo. En general, el dineroSenera dinero, acumulando valores que varían con el tiempo; el análisis de las causas

t . l

INTERÉS SIMPLE

1 .2

de la acumulación del dinero con el paso del tiempo es el problema fundamental de lasfinanzas.

DEFINICIONES

Thsa de interés y tasa de retorno

Interés es el alquiler o rédito que se conviene pagar por un dinero tomado en préstamo.Las leyes de cada país rigen los contratos y.elaclones entre prestatarios y preitamistas.Los ejemplos y problemas que figuran en este l ibro deben inalizarse, de-acuerdo conlas leyes y costumbres locales.

Por un dinero tomado en préstamo es necesario pagar un precio. Este precio seexpresa mediante una suma que se debe pagar por cadá trñidud de clinero pr"rtu,lu,

"nuna unidad de tiempo convencionalmente estipulada.La expresión del precio es la tasa de la opéración comercial. La uniclad cie tiempo

que acostumbra a uti l izarse es el año. La tasa se expresa en tanto por ciento y éste es eltipo de mterés de la operación. Así, un préstamo convenido a una tasa o tipo cle interésdel r% significa que se acuerda que, por cada 100 unidades de dinero prestado. sepagará como interés r unidades al f inal de cada año de duración del préstámo.

Cuando se trata de dineros invertidos en un negocio, el inversio.,irtu espera recu-Perar una suma mayor que la invertida; de esta operación, surge el concepto de tasa cleretorno. En nuestros desarrollos, nos referimos a la tasa de interós, q,r" p,r"b" cambiarsepor tasa de retorno, cuando se trata de inversiones.

En los países afectados por una desvalorización continua, la tasa de interés sucleser alta, puesto que combina el interés por el precio del dinero con la corrección cle suvalo¡, lo que constituye un seudo interés.

Se considera que el rendimiento de los capitales debe separarse de las tasas cleprotección generadas por el poder adquisit ivo del dinero; po. esla razón,en la mayoríade los problemas presentados en el texto, se da la tasa de interés y el capital ," .u.,rid"-ra sin devaluación. Si se incluye la devaluación, aparecen tasaé altas que mezclan ladevaluación con el rédito de los capitales. Los bancós y las entidades financieras sepa-ran las tasas para indica4 por ejemplo , g% de interés y 27% de corrección monetaria. Lacorrección tiene una finalidad diferente de la del interés. En el capítulo 14 se analizaráel tratamiento de la devaluación

En cada capítulo se recomiendan temas de investigación que permiten a profeso-res y estudiantes obtener una perspectiva real y general de loipróblemas de acuerdocon los sistemas y costumbres financieras de cadá región.

cÁrcuro DEr TNTERÉs

El interés o rédito que se paga por una suma de d.inero tomada en préstamo, dependede las condiciones contractuales y varía en razón directa con la cantihad de dinerá pres-tada y con el tiempo de duración del préstamo.

t . 3


Al designar con

C el capital o suma prestadat e l t iempo/ el interés o réditose tiene, de acuerdo con las Ieyes de variación proporcional,

I : C t k

donde k es una constante, cuyo valor depende únicamente de las condiciones contrac-tuales del préstamo. Si las condiciones son del r% anual (año comercial de 360 días),para un préstamo de 100 unidades de dinero, se tiene entonces:

C : 100 unidades

f : 360 días (año comercial)

I : r unidad es (r% : r unidades por cada 100 en 360 días)

Mediante la aplicación de la fórmula 1, se tiene:

Se despeja

r = 100 (360) k

k = r

100 (360)

Al remplazar en la fórmula 1, se obtiene:

( 1 )

, Ctr. l = . -

100 (360)

Para el año de 365 días, nno real, el mismo desarrollo conduce a:

( - t "r e ¡ 'I = - ' -

100 (365)

Para años bisiestos, el año real es de 366 días.

(2a)

(2b)

El interés simple orditnrio o comercinl es el que se calcula considerando el año de360 días. El interés simple renl o exncto es el que se calcula con año calendario de 365 díaso de 366 -si se trata de año bisiesto.

Los bancos acostumbran calcular los intereses, tomando como base el año de 360días; pero para la duración del tiempo de préstamos a corto plazo (plazos menores queun año), cuentan los días efectivos calendario.

1 . 4

1 . 5

INTERES SIMPLE

INTERPRETACIóN DET FACTOR K EN tA FóRMULA ,

k = '

= ' . 1100 (360) 100 360

r

100 : i (tanto por uno)

al remplazark = I

360

El factor k es el tanto por uno en un día, si el t iempo se expresa en días.

RELACIóN ENTRE Et INTERÉS COMERCIAT Y Et INTERÉS REAI

Interésorc l inar io =I = Ct '" 100 (360)

Interés real = I, = Ct'

100 t365)

CtrI u 1oo ¿6¡) 36s 73I = - -

^ ; - = _ - _

I r L r r 360 72100 (36s)

I , =? : t , , = ( t - l ) ,73 ' \ 73 ) "

r r 1I ' = t u - i 3 t "

El itúcrés rcnl o crnctct t:s igunr nr intcrés orcritnno Lt conrercinr, ntett.s r/73 crer tnisntt,t.

Iff i IIEIII Calcular el interés ordinario y el interés real cle $10.000 prestados al 14,1rante 65 días.

c = $10.000

I = 65 días

r - 74"/n

, Ctr100 (360.)

. 10.000(65)r14)| = - ( A C a - g'

100 (360J

Al dividir

(3)

du-

MATEMATICAS F INANCIERAS

Interés ordinario = $ZSZ,78

Pa¡a calcular el interés real se aplica la fórmula 3:

I, = 252,78 - 252,78 = $249,32

l . = 1 . - 7 I

731

; '/ . )

El interés real puede calcularse directamente, al aplicar la fórmula 2b

- Ctr' 700(36s)

. t 0.000 ( 65)( t4)r " - = s ) 4 9 a ?' 100(365)

I .ó DETERMINACIóN DEL TIEMPO

Desde hace mucho tiempo, con el objeto de facilitar los cálculos, se acostumbra supo-ner el año de 360 días dividido en 12 meses cle 30 días cada uno. Obsérvese que 360t iene los siguientes divisores: 2,3,4,5,6, g, g,10,12,15, 1g, 20,24,30,36, 40, 45,60,,72,90,120 y 180' Estos divisores permiten un gran número cle simplificaciones, mry ,iti les,cuando se traba ja sin calculadora.

Existen var ias maneras de mecl i r el t iempo grre interviene en el cálculo cie losintereses' Es importante que el lector aplique sus sistemas financieros loc¿rlcs en lasolución de problemas.

Días inicial y terminal Para llevar la cuenta de los días, se acostumbra excluir e I primerr díae incluir el último. Así, para un préstamo contraído el 10 de enero y pagaclo el 25 del mism.mes, el tiempo comercial trascurriclo es de 15 clías. En algunos paísei, i acostumbra conrarel primero y el último día; en tal caso, el tiempo.o^".Jd sería cle 16 días.

Fecha de vencimiento La fijación de la fecha de vencimiento se establece contractualmente.Por ejemplo, un préstamo que se recibe el 10 cle marzo a 3 meses deberá pagarse cl 10 cleiunio; pero cuando el mismo préstamo se recibe a 90 días, deberá paga.'se"el t3 c1e junio,si se acostumbra contabilizar sólo el clía terminal. Si la fecha terminui.or."rpo.de u undía festivo, el sistema local indicará si el pago debe recibirse el primer aia n¿tlt ,igrrr".,-te, sin contar días adicionales para el cobro de intereses.

Para calcular el tiempo trascurrido entre la fecha inicial y la fecha terminal deperiodos superiores a un año, comercialmente se acostumbra cálcular el tientpo aproxí-mado, computando los años de 360 días y los meses de 30 días. Así, para citc.rla, ettiempo trascurrido entre el 3 de abril ai:f7zy el74 de septiembre de797s,en lasoperaciones aritméticas con números complejos se utiliza el slzuiente método:

INTERES SIMPLE

1975 años1973 años

9 meses4 meses

14 días3 días:nenos

igual

2 años 5 meses 11 días

720 dias + 150 días + 11 días : 881 días

1 . 7

Para periodos menores de un año, comercialmente se acostumbra contabilizar losdías calendario que hay entre dos fechas.

TABTAS PARA Et CÁICULO DEt TIEMPOY PARA tAS EQUIVALENCIAS DECIMATES

A corto plazo, para el cálculo del número exacto de días entre dos fechas se pueden utili-zar dos tablas. En una se presentan los días transcurridos desde el primero de enero hastalos días de cada mes. Esta tabla es una matriz que en columnas presenta los meses, y enlíneas -del 1 al 31- los días; en las intersecciones línea-columna se anotan los días trans-curridos desde el primero de enero hasta la fecha seleccionada. Los días se calculan entredos fechas de acuerdo con la diferencia entre los días trascurridos desde el primero deenero. La otra tabla es Ia que se presenta a continuación; es más ágil y permite cálculosmás rápidos.

En la actualidad, las calculadoras financieras tienen programas para el cálculo detiempos y fechas, tanto a corto plazo (año de 365 días), como a mediano y largo plazocuando se opera con año de 360 días.

Tabla I Número exacto de días entre dos fechas (año no bisiesto)

Desde eldía del mesinicial

Al mismo día del mes terminal

Ene. Feb. Mar, Abr. Muy. Iun. Iul. Ago. s"P. Oct. Nov Dic.

Ene.Feb.Mar.Abr,May.Iun.Iul.Ago.s"P.Oct.Nov.Dic.

36533430627524521,41.84753722926731

J t

36533730627624521,51841537239262

5928

365334304¿ / J

u321,218115112090

905931

36533s3042742432721,82151121,

120896730

365334304273?42272181151

151120926731,

36s3353042732432I21,82

18115012291,61,30

365334303273?AZ212

2121811531,22926t31

365334304273'243

L+J

2'1,2184153723926231

365335304274

273)4)

21,4183753r22926130

365334304

304L / . )

2451 1 l lL L 1

784153I L 3

926731

36533s

a a Á.lJ4t

3032752M2141831531,22976730

365

Nota: No se incluye el día inicial.

I


Los números de las líneas horizontales indican los días trascurridos, entre cierto díadel mes inicial y el mismo día del mes terminal; por ejemplo, desde el 3 de mayo de unaño al3 de octubre del mismo año hay 153 días. Esto es igual al número anotado en laintersección de la horizontal correspondiente al mes inicial, mayo, con la vertical del mesterminal, octubre. Si el día del mes inicial es diferente del día del mes terminal, para elcálculo se presentan dos casos:

(c) El día del mes terminal es mayor que el día del mes inicial: en este caso, se suma ladiferencia de los días al número definido por el inicial y el mes terminal.

ffiIEE Calcular los días trascurridos entre el 3 de septiembre de un año y el 15 deabril del año siguiente.

Diferencia entre los números de días : 15 - 3 : 12

Número correspondiente a la intersección septiembre-abril : 272

272 + 72 :224

Entre las dos fechas propuestas hay 224 días calendario.

(b) El día del mes terminal es menor que el día del mes inicial, en este caso, la diferen-cia entre el día terminal y el inicial es negativa; entonces, se procede a restar ladiferencia al número de intersección de los meses.

fu:IEIE (a) Calcular los días que hay entre el 18 de marzo y el 10 de noviembre delmismo año.

Diferencia entre los números de días = 10 - 18 : - 8

Número correspondiente a la intersección marzo-noviembre : 245

2 4 5 - 8 : 2 3 7


b) Calcular los días que hay entre el 20 de junio de 1996 y el 14 de marzo de 1998.

Diferencia entre los números de días : 74 - 20 : - 6

Número correspondiente a la intersección junio-marzo = 273

273 -6 = 267 díasmás 1 año 74-03-97 a 14-03-98: 365 días

Total 632 días


La tabla 1 es de gran utilidad para determinar lat'echa terminnl conocida,la t'echn inicial y eInúmero de días. El cálculo se hace con gran rapidez, sin necesidad de contar los días enun calendario.

INTERÉS SIMPLE

ffiI!flq El día 13 de marzo se firmó un pagaré a1,20 días, calcular la fecha terminal. Enla línea horizontal del mes inicial, marzo, se busca el número más próximo a 120; en el problemaanalizado se trata del número 1,22 que corresponde al mes terminal, julio. La diferencia 122 -120 = 2 se resta a los días del mes inicial y se obtiene el número de días del mes terminal. En esteproblema, entonces, 73 -Z : 11,Fecha de vencimiento: 11 de iulio del mismo año.

Equivalencia de decimales de año a días y meses Con frecuencia, en los problemas eltiempo se expresa en decimales de año; para convertirlos a días, se tienen las siguientesequivalencias:

ffi:IEIE La respuesta de un problema es 3,578 años (de 360 días). Expresar el resultadoen años, meses y días. Sin efectuar el producto por 360, puede procederse así:

0,5 : s(36) : 180 días0,07 7(3,6) 25,2 dias0,008 : 8(0,36) 2,9 días

Total: 208 días : 6 meses, 2tl días3,578 años equivalen a 3 años, 6 meses, 2U días.

Equivalencia de días o decimales de año En las librerías y/o bibliotecas se consiguen tablasque expresan cualquier número de días en decimales de año, tanto de 360 días como de 365días; en ellas, se encuentran las equivalencias, desde uno hasta 365 días.

El uso de las calculadoras ha disminuido la importancia de tales tablas, por estarazón es poco frecuente su uti l ización.

Las tablas 2 y 3 que se dan a continuación, son resumidas y expresan los decima-les equivalentes a las fracciones /tn y %us, desde uno hasta nueve días.

Tabla 2 Thbla 3

Año comercial de 360 días0,1 = 36 días0,01 3,6 días0,001 0,36 días

t

360

Días Decimales de año

12J

+56789

0,002777780,005555560,008333330,01 1111 110,013888890,076666670,01,9444440,022222220,02500000

Año calendario de 365 díns0,1 = 36,5 días0,01 3,65 días0,001 0,365 días

t365

Días Decimales de año

72J

456789

0,002739730,005479450,008219180,010958900,013698630,076438360,01,9778080,021.91781,0,02465735

@ MATEMATICAS FINANCIERAS

Con ellas, puede calcularse con rapidez los decimales de año equivalentes a cualquiernúmero de días. En muchos casos, los cálculos pueden simplificarse y efectuarse congran rapidez, si los divisores de 360 permiten expresar el tiempo en fracciones de año.Así, por ejemplo: 30 días : 7/72;60 días : 7/6; 90 días : 7/4, etc. El éxito de esta formade operar depende exclusivamente del buen conocimiento que el lector tenga de lasoperaciones aritméticas.

fulIEIE (Sin utilizar máquina de calcular para el cociente ¡sl*,,).

Calcular los decimales que equivalen a235 días en un año de 360 días. Se uti l iza la tabla 2 y seobtiene:

200 días30 días5 días

suman 235 días

0,555556 (100 veces el decimal correspondiente a 2)0,083333 (10 veces el decimal correspondiente a 3)0,0138890.652778 años de 360 días.

Las calculadoras y las tablas de factores El uso de las calculadoras permite prescindirde las tablas de diversos factores de uso frecuente, ya que los valores pueden obtenerse,directamente, con una calculadora; no obstante, es de gran importancia que el estu-diante domine el uso de las diversas tablas estudiadas en este texto. En el campo finan-ciero, industrial o comercial, el uso de las tablas para problemas esp"ecíficos seguirásiendo un medio ágil y seguro de cálculo. Uno de los objetivos de este texto es capacitaral estudiante para que pueda organizar los métodos de solución de los problemas quese le presentarán en sus actividades profesionales y producir las tablas que necesitepara los cálculos cotidianos.

I.8 FóRMuIAS MODIFICADAS PARA EL CÁLCULO DEt ¡NTERÉS SI'I,TPLE

Con la finalidad práctica de hacer más fácil y rápido el cálculo de los intereses/ se acos-tumbra trasformar la fórmula 2 en otras equivalentes, las cuales se presentarán a conti-nuación.

! = c t '

100 (360,)

Agrupando en otra forma los factores, se tiene:

r t, = ( . - . -100 360

t

360 - "

100 - '(tanto por uno)

(tiempo expresado en años)

INTERES SIMPLE

Remplazando I : C n i

Para aplicar la fórmula 4, el tiempo se expresa en años y la tasa, en tanto por uno.

fulIEI[| Calcular el interés que debe pagarse por un préstamo de 9250.000 al1,0%en 240 días (si no se indica lo contrario, se entiende el interés como el comercial u ordina-r lo ) .

Para aplicar la fórmula 4, primero se convierten los díastabla 2 o se divide 240 oor 360.

a decimales de año v oara ello utiliza la

2ü) días: 0,555556

40 d ías :0 ,111111

240 días = 0.666667

c _ $s0.000tt: 0,666667 afios

i - 0 , 1

I : C n i

I = 250.000 (0,66666n(0,7)

I -- 576.666.67

Al introducir los concep tos de lnctor de itttcrés simple y de ttunt,:rnl,en la fórmula 2,se obtienen dos importantes fórmulas desarrolladas a continuación -las cuales ofrecenlas mayores ventajas prácticas, para el cálculo de intereses.

(4)

años

años

, Ctr100 (360)

l = L ¡ .36.000

r' _ t- - I

36.000 (factor de interés simple)

Remplazando, se tiene

I : Ctf (5)

Elfactor f de interés simple es el tanto por uno en un día. Para el uso de este facto¡, eltiempo debe expresarse en días.

El producto Cf, que corresponde al capital por el tiempo, se remplazapor Ia letraN y recibe el nombre de numeral.

r


Remplazando en la fórmula 5 Cf : N

Se obtiene I = N/ (6)

En todos los países circulan tablas financieras que contienen diferentes factores parael cálculo de intereses simples y compuestos. En ellas, se encuentran las tablas para losfactores de interés simple correspondientes a los tipos de interés más utilizados.

Las tablas que áparecen a continuación tienen los valores de f para los tipos deinterés que, con frecuencia, se utilizan en este libro. El lector comprenderá la importan-cia que tiene emplear tablas de factores, debido a la rapidez y confiabilidad en los cálcu-los. Las empresas financieras preparan sus propias tablas para los tipos de interés conque normalmente trabajan.

ft/4t/256.7

89

101 1721374

0,00000694440,00001388890,00013888890,0001,6666670,00079444440,00022222220,00025000000,00027777780,00030555560,00033333330,00036111110,0003888889

Thbla 5Interés real

r fr/4t / )

56n

89

101 11,21374

0,00000684930,0000L369860,00013698630,0001,6444440,00019178080,00021,917870,000u657530,00027397260,00030136990,00032876770,00035616440,0003835616

Tabla 4Interés comercial

t _r - 36o00{ -

36.500

Con las tablas anteriores, puede calcularse el valor de/para otros tipos de interés.Por ejemplo, para 6/n% se tiene:

o !% = 6% + !%= 0,00016666 6T + 0,00000694444 4

1

Para6 .%; f =0,0001736711' 4

ffi¡!|E Calcular el interés que debe pagarse por un préstamo de $60.000, durante 120dias alTk%.

INTERES SIMPLE

Este problema se resuelve aplicando la fórmula 5 y mediante la tabla 4:

I =Ctf

C = $60.000

t = 120 dias

f = 0,0007944444 + 0,00001388889 = 0,0002083333

1 = 60.000 (720)(0,000208333) = 7.499.9998

1= $1.500

,::i?:::;:;:: í,'f+:.x:iil:"'J.,::T#,IiTl?l:3;i::':.1"",Í*?::i{;::::;,se cargan o abonan intereses. sobre saldos, por el tiempo d" p".rnu.rencia del saldo; lafórmula 6 permite gran rapidez en el cálcuio de los inüreses.

. , S"ul' St, Sz, 53,..,., S^, los distintos saldos, y t ' t2, t3,...,f", los tiempos de permanen_cia de cada uno de ellor Los productos srt 'srt) irtr i...,s^T^son los numerales corres-pondientes a cada saldo; aplicando tu iormlÍu á puru" ül cálcuto de los interesescorrespondientes a cada saldo, se tiene:

1l = Nl,f

I z=Nz f

Is = Nsf

I r = N n f

Sumando I r+ l ,+ I , * . . . * l , : I : (N , + N, + N, + . . .N ,yUtilizando el signo de sumatoria :

r = /IN,r = 1 ( 7 )

Nota Al saldo débito se le coloca signo positivo y al saldo crédito, signo negativo. Losinte¡eses serán de cargo o abono, ,"g,i.,^rt', signo positivo o negativo

ffiEEIE Cerrar el 30 de junio la cuenta corriente con intereses d,el 1.4%,que tuvo elsiguiente movimiento: saldo el 1o. de enero $20.000, débito; el 3 de febrero, abono de $12.0{])0; el

rMATEMATICAS FINANCIERAS

7 de marzo, cargo de $3.000; el 16 de abril, abono de 915.000; el 28 de mayo, cargo de 93.000; el10 de junio, cargo de $30.000.

Presentamos el movimiento, en un papel de contabil idad:

Los días trascurridos entre dos fechas sucesivas se calculan en la tabla 1. El valor defparael74"/ose tiene en la tabla 4 o se calcula:

f -- 0ñ003888889

Aplicando la fórmula 7, I : 0,0003888889 (1.755.000) : 682,50

I : $682,s0

1.9 MONTO

El planteamiento de los problemas económico-financieros se desarrolla en torno a dosconceptos básicos: CAPITALIZACION y ACTUALIZACION. EI concepto de capitaliza-ción se refiere al estudio del valor en fecha futura o monto que se obtendrá o en que seconvertirán los capitales colocados en fechas anteriores. El concepto de actualización serefiere al estudio del valor en la fecha actual o presente de capitales que se recibirán enfecha futura.

En otras palabras, capitalizar es trasladar y valorizar capitales del presente al fu-turo. Actualizar es traer y valorizar capitales del futuro al presente.

En los últimos años, el uso de calculadoras financieras y computadores ha intro-ducido cambios en la notación; así, se ha generalizado el empleo de la letra P para elvalor presente del capital en juego y F para el monto o valor futuro. En esta cuartaedición se ha cambiado la notación utilizada en las ediciones anteriores. Sin embargo,para evitar confusiones frecuentes al usar calculado¡as programadas para VP -Vr

lor presente- y VF -Valor t'uturo-, en interés simple se seguirá utilizando la letra Cpara elcapital y S para expresar el monto. Puesto que se siguen los parámetros del rigu-

Fecha Detalle DEBE HABER SALDO ds. NUMERAL

1-I3-II7-III

16-IV28-V1O_VI30-VI

saldoabonocar8oabonocargocargodo nit

3.000,00

3.000,0030.000,00

682,50

i2.000,00

15.000,00

20.000,008.000,00

11.000,004.000,001.000,00

29.000,0029.682,50

DDDCrCrD

J J

JZ

40^ 1, L

1 320

660.000,00+ 256.000,00+ 440.000,00- 168.000,00- 13.000,00+ 580.000,001.755.000,00

INTERES SIMPLE

roso análisis matemático, es necesario tener cuidado cuando se introduzcan los símbo-los del lenguaje bancario y los uti l izados en el campo financiero. La tendencia actual esdenominar los valores en juego por sus siglas y en las diferentes disciplinas uti l izadasen matemáticas financieras se encontrarán novedades y cambios en los símbolos, a loscuales deberá acostumbrarse el lector para su manejo.

El monto es el valor acumulado del capital agregados los intereses devengados.En otras palabras, el monto es igual al capital, más los intereses. Sean:

C : capital

I : intereses

S : monto

Por definición :

De la fórmula 4

Remplazando

Al factorizar se obtiene:

S : C + 1

l : A t i

S : C + C n ¡

S : C ( 1 + r r i ) (8)

ff iIEIIII Calcular el monto que debe pagarse por una deuda de g20.0tn el 22 de junio,si el pagaré se fi¡mó el 30 de enero del mismo año no bisiesto, al tt% de interés.

Nota Conviene que el lector resuelva este problema por diferentes métodos; el ejempkr se desa-rrol lará ut i l izando las tablas ya estudiadas.

Cálculo del t iempo (Tabla 1)¡ - 151 - (30-22) : 151 t l - 143 días.

Equivalencia a decimales de año (tabla 2)

100 días: 0,277778

4 0 d í a s : 0 , 1 1 1 1 1 1

3 días: 0,00¡t333

143 días: 0,3967222 años

r - 008

S = C ( 1 + n i )

S = 20.000(1 +0,397222.0,08)

S = 20.000(1 +0,03177776)

S = 20.000(1,03777776)

S = $20.635,56


I . IO VALOR ACTUAL O VATOR PRESENTE DE UNA DEUDA

El valor actual o presente de una suma, que vence en fecha futura, es aquel capital que,a una tasa dada y en el periodo comprendido hasta la fecha de vencimiento, alcanzaráun monto igual a la suma debida. La definición anterior es para el valor actual a interéssimple, concepto diferente del valor actual que se determinará al estudiar el descuentobancario.

A partir de la definición se deduce que para hallar el valor actual hay que despejaren la fórmula 8 el capital, conocidos el monto y los intereses, así:

S = C ( 7 + n i )

C= s7 + r i ( 9 )

Respecto a Ios símbolos que se uti l izan en matemáticas financieras, hay cierta anar-quía, debida a la influencia de los diversos campos de aplicación; así, el valor actual opresente se expresa con alguna de las siguientes letras, C, P VP, y para el monto seutil izan S, M, E VF; esto sin contar con la notación estándar introducida al f inal de 4.2.Par¿r este texto, en interés simple, se uti l izará 5 para expresar el monto, y C para el valoractual o presente. Más adelante, estos símbolos se modificarán para el lenguaje banca-rio y para las aplicaciones de pagos parciales y ventas a crédito.

La diferencia entre la cantidad por pagar en fecha futura y su valor actual es eldcscucttto.

C : capital

S : monto

D: descuento

D : S - C ( 1 0 \

EI descuento dado por la fórmula anterior recibe el nombre de descuento racional omatentiticLt. Si se remplaza el monto por su valor dado en la fórmula 8, se tiene:

D : S - CS : C ( 1 + n i )D : C ( 1 + n i ) - C : C + C n i - CD : C t t i

Es decir; el descuento racional o matemático es igual a los intereses simples del capitalque, en t'echa t'utura, darán el monto de Ia deuda.

El descuento bancario corresponde a otra definición y, por tanto, sus métodos decálculo son diferentes.

INTERES SIMPLE

Diagramas de tiempo-valor y diagramas de flujo de caja Si en una línea de tiempos se

colocan los valores en juego, se tiene un diagrama de tiempo-aalor. Estos diagramas son

de gran utilidad para el análisis de los problemas y permiten apreciaciones intuitivas;

el láctor debe familiarizarse con ellos ya que se utilizarán con frecuencia en este libro.

En un diagrama, el t iempo puede medirse de dos maneras diferentes: en sentido posi-

tivo (de izquierda a derechá¡, si se tiene una fecha inicial y se cuenta con un valor futu-

ro; en sentido negativo (de derecha a izquierda), si se tiene una fecha de vencimiento, o

final, v un valor antes del vencimiento.

Diagramas de tiempo-valor

nemPO

valor

0--------+

Cpresente

<- ilt iempo

valor C

Presente

sfuturo

En evaluación de proyectos se utilizan, para guiar el análisis, los diagrnnms de flujode caja que son similareJ a los diagramas de tiempo-valor. Al colocar en un diagrama de

tiempo-valor f lechas hacia arriba para los ingresos en el instante en que se producen y

flechas hacia abajo para los egresos, se tiene un diagrama de flujo de caja.

Diagrama de flujo de caja

A,ByC ing resos (+ )

D ,EyFegresos ( - )

C

iI


T a longitud y el grosor de las flechas indican la magnitud de los valores en juego.Ai utilizar calculadoras financieras para fijar los signos más (+) y menos (-), se debenseguir las indicaciones del fabricante.

E@ilEIItr Elaborar el diagrama de tiempo-valor para un monto de $20.400 al6%.Parael t iempo, se uti l izan 30, 60,90 y 120 días antes del vencimiento con descuento racional. Compa-rar este diagrama con el que corresponde a una deuda de $20.000 al 6% , calculando su valor iontiempo de 30, 60, 90 y 120 días después de la fecha inicial.

Diagrama pnra el monto de $20.400

Aplicando la fórmula 9:

^s

t = ir.*i - 0,06

tt - 30,60,90 y 120 días antes del vencimiento.

Efectuando los cálculos, se t iene:

' f iempo 120 30 <_.- 0

$20.400(mon to)

V¿lor $20.(XX) $20.09f.i,52 $20. tq8.02 $20.298,51

Diagrama parn el ca¡tital itticial dc $20.000

Aplicando la fórmula 8:S : C ( l + r i )

c : $20.0ü)I : 0,06

n : 30,60,90 y 120 días contados desde la fecha inicial.

Efectuando los cálculos, se t iene el diagrama:

Tiempo 0 120 días

Valor $20.000 $20.100 $20 200 $20.300 $20.400

Al comparar ambos diagramas, se observa que el valor sólo es igual en las fechas inicial y final.Obsérvese que la diferencia en una misma fecha, por ejemplo, entre las cantidades 20.198,02 y20.200 es igual a los intereses simples de 198,02 a la tasa dada y en el tiempo calculado para 20 .198,02.

6030

INTERES SIMPLE

20.200 - 20.198,02 = 1,98, cantidad igual a los intereses simples de 198,02 al 6% en 60 días.

1e8,o2f1l e,o6)=1,e8\ 6 J

El lector debe hacer el cálculo para las otras fechas.

I . I I CÁtCUtO DE INTERESES POR MEDIO DE TABLAS

Un libro de tablas financieras contiene un conjunto de tablas para el cálculo de diferen-tes temas financieros. Así, se encuentran tablas para el cálculo de intereses simple ycomPuesto y sus diferentes aplicaciones; tablas para el cálculo de seguros de vida; ta-blas para el cálculo y rendimiento de bonos y obligaciones, etc. En lo que se refiere alcálculo de interés simple, en cada país se encuentran diversas tablas en circulación. Sevive la época de las calculadoras programadas y, por esta raz6n,las tablas financierashan perdido su importancia.

Las diferentes empresas suelen preparar tablas para sus cálculos comerciales másfrecuentes. Al establecer un sistema para sus cálculos financieros, una empresa debetener en cuenta tres aspectos básicos: confiabil idad en los resultados, rapidez y costooperacional del sistema adoptado.

En d i ferentes capí tu los del l ibro se inc luyen por e jemplo, las tablas 7,7A,2,3,4,sy 5,\, algunas parcialmente estudiadas hasta este momento. Este tipo de tablas son cleimportancia relativa y su uso no es muy necesario: su objeto es lograr una mayor rapi-dez en el cálculo y mostrar al lector la posibil idad de preparar tablas similares, paraaplicaciones específicas de cada empresa.

Al f inal del l ibro, se presentan un conjunto de tablas que son necesarias para re-solver los ejercicios y problemas propuestos en el texto; éstas se estudiarán en los si-guientes capítulos.

1,12 GRÁFICAS O DIAGRAMAS DEL INTERÉS SI ' IAPIE

En un sistema de coordenadas rectangulares, la geometría analít ica muestra que laecuación Y = aX tiene por gráfica una recta que pasa por el origen y cuya pendiente esrz. Y que la ecuación Y : aX + b tiene por gráfica una recta de pendiente a que interceptasobre el eje Y el segmento b.

Si en el sistema de coordenadas, sobre el eie Y se mide el valor de los interesessimples y sobre el eje X, el t iempo, se tiene para un capital de una unidad, de acuerdocon la fórmula 4:

I = C n i

p a r a C : 1

I : n i : i n


La gráfica de los valores de I en función del tiempo son rectas que pasan por el

origen y tienen por pendiente los valores de i.

z0%

rc%

s%años

0 1

La fórmula 8 para el monto S : C (1 + rri), donde C : $1 se convierte en S : 1 + rri. Si

sobre el eje Y se -id"., los valores de S y sobre el eje X, el tiempo, se tiene la siguiente

sráfica.

Gráfica cle los ualores del ntonto para un cnpital de $1 (nl 5%, 10% V 20%)

b

Gráfica de los unlores de I : ni (para el5%, 1'0% y 20%)

INTERES SIMPLE

I .T3 ECUACIONES DE VATORES EQU¡VALENTES

Un problema básico en las operaciones financieras es el de las inversiones equivalen-tes; es decir que, en valor y tiempo, produzcan el mismo resultado económico. Esto seexpresa en ecuaciones de valores equivalentes.

Un mismo valor situado en fechas dife¡entes es, desde el punto de vista financie-ro, un valor distinto. No se debe olvidar que sólo se pueden sumat restar o igualardineros ubicados en una misma fecha.

Para decidir entre diversas posibil idades financieras, es fundamental plantear lasecuaciones de valores equivalentes, para determinar por medio de ellas, cuál es la op-ción más conveniente. En los diferentes capítulos de este l ibro, el lector encontraráabundantes aplicaciones y ejemplos de este importante concepto; en los ejemplos yproblemas tratados aquí las tasas de interés son fasas internns, tasa a la que permaneceninvertidos los dineros en juego; en la evaluación económica de proyectos de inversiónsurgen los conceptos de fnsa interna de rctorno (TIR) y tnsn de oportwúdad, que es una tasaexterna básica para estudios de factibil idad. Otra tasa externa importante e.n proyectosde gobierno es la fasa de ínterés social.En este nivel de matemáticas financieras se uti l iza-rá, en general, la tasa interna.

tr@ilE![| En cierta fecha, una persona firma un pagaré por g12.000 a 90 días, al8'/n;30días después, f irma otro pagaré por $10.000 a 90 días sin interés. 60 días después de la primerafecha, conviene pagar a su acreedor $4.000 y recoger los dos pagarés firmados remplazándolosPOr uno solo a 120 días, contados desde la últ ima fecha, con un rendimiento delg%. Determinarel pago único convenido.

Para plantear la ecuación, se dibuja primero el diagrama de tiempo-valor.

12.000 10.000 4.000

La fecha que se escoge para la equivalencia se denomina t'echn t'ocal. La fijación de la fecha focaldebe ser cuidadosamente analizada, ya que debe corresponder estrictamente a lo pactado enlos pagarés. Los cambios de fecha focal producen variaciones en la determinación de las canti-dades. En la sección 1.10 se destacaron las diferencias de valores intermedios, donde los valoresinicial y final son iguales en tiempos iguales y a una misma tasa.

Se escoge como fecha focal 180 días, se calculan los distintos valores en esa fecha y se plantea laecuación de valores equivalentes entre los nuevos valores y los antiguos.

Nuevos valores: X + 4.000[1+ +(0,09)]

Antiguos: 12'000[1+ + (0,0s¡[1 + i Q,0e))t 10.000 [t * +fo,os)]

X + 4.720 = 72.515,40 + 10.150

X = 72.5'1.5,40 + 10.150 - 4.720

X = $78.545,40

El lector debe analizar este problema,y resolverlo para otra fecha focal; por ejem-plo, 60 días que corresponde al instante deicambio de las condiciones. No deúe olvidarque en un pagaré sin intereses hubo condiciones de origen que no se expresan en elpropio documento.

1.14 TASA NOMINAL ANTICIPADA Y VENCIDA Y TASAS EFECTIVAS

En este nivel de estudio, el lector ha comprendido que en los problemas financierosfigura una tasa convenida de intereses, lá cual ,ro ,i"^pr" coiresponde a la tasa deinterés que realmente produce el dinero en juego.

Thsa norninal Es la convenida en una operación financiera, puede ser tasa antícipaLla otasa aencidn, según se convenga aplicar la tasa de inte¡és ui i.ricio o al término de laoperación financiera.

Thsa efectiva Es la tasacon la que realmente actúa el capital en juego. En Ia sección 4.4se amplía el estudio sobre tasas.

ffiEEIIEl Por un préstamo de 9100 a un año de plazo se conviene pagar el 8% de interés:

(a) Con pago de intereses anticipados(b) Con pago de intereses por semestre vencido(c) Un solo pago de capital e intereses al vencimiento

Calcular para cada caso la tasa efectiva

(a) Se aplica la regla: En una operación financiera todos los dineros permanecen en juego hastael vencimiento de la operación. Así, los gg pagados al inicio del iréstamo ganan intereses al8% hasta el vencimiento, o sea:

r , , i - F ¡ , , a i 0 A S F I N A N C I E R A S

1-- ¿le¡ruar los cálculos y establecer la igualdad, se tiene:

S : C ( 1 + n i )

C = g ; n = 7 ; i = g %

S = 8 ( 1 + 0 , 0 8 ) = 8 ( 1 , 0 8 )

5 = $8,6a

!l vfor f inal del préstamo = $100 + 9,64: $10g,64, o sea, al vencimiento la tasa es del

8,64%.

INTERES S IMPLE

(b) Al pagar los intereses por semestre vencido, al final del primer semestre se debe pagar el8(1/2)% : 4% del valor del préstamo, o sea, 100(0,04) : $¿. Estos intereses a la fecha devencimiento tienen un monto de:

5 = C ( 1 + r u i )

C : 4 ; n : % ; i : 8 %

s : 4 ( 1 + 0 , 0 4 ) : 4 , 1 6 %

Monto de los intereses al vencimiento de la deuda : $4,16.

El valor f inal del préstamo es: $100 + $4,16 + 4,00 ( intereses del últ imo semestre) : $10ft,16, osea, en este caso la tasa efectiva al vencimiento es del 11,76'/ , , .

(c) Se pa¡;a, al vencimiento, el préstamo más los intereses delt l%,; en este caso, el valor f inal =

$100 + $t l : $108. O sea, la tasa efectiva al vencimiento' es el t t% e igual a l¿r t¿rsa nomi¡r.r lpactada. En los ejemplos anteriores se calcularon las tasa al vencimiento de la obl igacir in;por esta razón, se denominan tasas vencidas.

Si para el cálculo se f i ja la fecha inicial como fecha de pago de los intereses, se t iene que cuandoel prestatario f irma el documento recibe $92 y trascurrido un año tendrá que pa¡jar $1(X), o sea

. S - C ( 1 + r r i )

S : 100; C - 92; n : 7; i : tasa anticipada que se debe calcular

7 0 0 : 9 2 ( 1 + i )

1 0 0 - 9 2 + 9 2 t

9 2 i - u

i : t l * 9 2 : t 1 , 7 % ,

En este caso, la tasa es anticipada. Obsérvese que si los $92 se colocan a| 8,7"1,, en un ¡ñrr seobtiene el valor f inal de $100.

I , I 5 PROBLEMAS RESUETTOS

1 Demostrar que el interés simple producido por un capital C, colocado durante naños a la tasa i es igual al interés simple que produciría a la tnst ¡tro¡tlty¡itttr l l ¡,¡¡colocado durante nr . rr periodos.

Interés simple en n periodos anuales a la tasa i:

I t : Cni

Lnl

Interés simple en ttm periodos a la tasa


o sea,

il 2 = L m t t -

mIz = Cni

f fr l - r 2

2' Calcular la tasa de interés simple proporcional mensual equivalente a la tasa delg%,anual.

0.09,=

72 =0,0 i175

3' calcular el intcrés simple que produce un capital cre $10.000 en 4 años ¿rr 6%,.

I : C n iC : 9 j 0 . 0 0 0 ; n : 4 ; i : 0 , 0 6

1 : 10.000 (4) (0,06)1 : $2.400

4' Calcular cl i . te ' rés simpre que procruce un capitar.e $10.000 cn 3 años .r l 0,8% 'rc.-sual.

Otra interpretación

I : C t t i

C : $10.000; n : 3; i : (0,008)12 : 0,0961 : 10.000(3x0,0e6)I : $2.880

C : $10.000, n = 3 (72) : 36perioclos, i : 0,00g1 : 10.000(36X0,008)

I : $2.880

5. zA qué tasa de interés el monto de $20.000 será g2i.200, a interés simple, en 9 meses?Se aplica la fórmula g:

INTERES SIMPLE

S =C(7+ n i )S =2L200

C = 20.000

n=gmeses =2=0,75 añost ¿

27.200 = 20.000 (7+0,75i)

1+0,75i :?!?200

o,zsi = ]?.200

I = 0,08

Tasa = 8,/,,

E l 10 de enero se f i rmó un pagaré de $6.000 aun9% de interés. ZEn qué fech.r losintereses serán de $359?

I = C t i

I = $359;C =$6.000; i = 0,09

359 = 6.000r¡ (0,09.)

tt=359 +-540 = 0,6648 años

(0,6648)360 = 239 dias

o, de otra forma, al aplicar la fórmula 2n,

- Ctr36.000

6.000(t)(e)

36.000(359)36.000

+ -¿ - -6.000(9)

t = 239 días

Para determinar la fecha se uti l iza la tabla 1. En la horizontal del mes de enero, seencuentra el número 243; diferencia con 239 : 4,luego se resta 4 al día de la fechainicial y se tiene la fecha final: 6 de septiembre.

7. Un artículo vale $1.800 de contado. Un comprador conviene pagar $800 de cuotainicial y el resto a 60 días, con un recargo delS% sobre el precio de contado. ZQuétasa de interés simple anual pagó?

Recargo por venta a plazos : 1.800(0,05) : 90

MATE[/4ÁTICAS FI NANCIERAS

, Ctrl = -

36.000

| =90;C = 1.800 - 800 = 1.000; f = 60días

,,, _ r.000(60xr)36.000

e0(36)r = - = J + / t

60

La tasa anual de in terós es 54 ' / ' .

ZQué suma derbe inver t i rse a l 9% para tener $2.000 dentro de 8 meses?

S = C ( l + r r i )

.S = Z.()00; l = -8, año -1 2

f ) l2 .00() : Cl I + : (0.0,1) |

L 3 ' I2 .000=C(1+{ ) ,06 )

C= 2 'ooo =r .886,791,06

?; i = t t ,os3

Se debe inver t i r $ i . i186,79.

g. Puesto que e l rendimientc l normal del d inero es e l 9%,, Zqué ofer ta es más conve-

niente por un terreno?

(n) $60.000 de contaclo(¿r) $20.000 de cuota in ic ia l y e l sa ldo en dos pagarés, uno de $10.000 a 90 días y

otro de $32.000 a 180 días.

Primero se calcula el valor actual de los dos pagarés de la oferta (b):

s7 + t t t

1Sr = 10.000; i l t=90 días: I año; i :0,09

4

L 1 -10.000

r + I to,orr^ 40.000L r = - = 9 . / / 9 , 9 5' 4,09

INTERES SIMPLE

1S, = 32.000; n¿ = 180 días:: año; i : 0,09

2^ 32.000

1+;Q,oe)

^ 64.000L - - -'

2,09

C. =30.622,07

Valor de la oferta (b) = 20.000 + 9.779,95 + 30.622,07

= 60.407,96

La oferta (b) es mejor puesto que su valor actual es superior en $401,96 a la oferta

& t .

10. Una persona deposita $100.000 en una cuenta de una corporación financiera quepaga30% de interés anual. Tianscurrido un mes retira $20.000, y dos meses des-pués retira $30.000. (a) Elaborar el diagrama del f lujo de caja, (b) Hallar el saldodisponible a los 6 meses contados a partir de la fecha del clepósito y colocar en el

diagrama los valores obtenidos.

s100.000

94.72stIII

$4.246,88

tII

5 6

N¡ATEMATICAS FI NANCI ERAS

(b) mes I

mes 3

mes 6

5

11. Elabc¡rar el diagrama del f lujo de caja y calcular los valores para una deuda de$50.000 a un año de p lazo a una tasa de in terés deI30% que se cancela así : un pagode $30.000 a 6 meses y cl saldo a un año. Al efectuar el pago de $30.000, calcular losintcreses de la deuda y obtener el nuevo saldo.

$30.000

tII

5 6 7

$50.000

s, = $looooo (t. ?) - zo.ooo = 82.500

$7.s00

s6 = so ooolr. .(?)] - ,o ooo = 27 500

= $sz soo[r. r(T)] - 30ooo = s662s

= sso ozsfr. r( T )] = uoor,,r,

$31.625

tII

9 1 0 1 1 1 2

I t o ? o \ - ls ¿ = 27 s0011 + 6[; ))=

ur un

12. ¿Qué conviene más a un inversionista?

(n) Aceptar la oportunidad de invertir a la tasa deI 70i%.(b) Invertir $100.000 durante 9 meses con un descuento inmediato del 8% neto

sobre el valor del préstamo.

(b) Descuento neto 8%

$100.000 (1- 0,08) = $92.000

972

C = $92.000;S = $100,000; rr = = 0,75 años

INTERES SIMPLE

S : C ( 1 + n i )100.000 : 92.000 (I+ 0,75i)

i = 8 0 0 0 = 0 . 1 1 5 969.000

i = 17,59%

La oferta (b) es mas convenrente.

13. Si en el problema 12la oferta (b) es cancelar el capital con una ¡;anancia neta cjel g%al vencimiento. ZQué oferta es más conveniente?

Capital final recuperado = $100.000(1 + 0,08)Capital final recuperado = $108.000

S = C ( 7 + n i )

S = $108.000; C =100.000;n =0,75 af ios10t1 00 = 100.000 (1 + 0,75i)

i= i '0Q0 =0.1066b675.000

i = 101%,

En el horizonte de 9 meses es igual a la oferta (c) del pr.blema 12.

1 . I ó PROBLEMAS PROPUESTOS

14' Determinar la fecha de vencimiento y el monto al vencimiento de cada uno cle lossiguientes pagarés (Utilícese la tabla 1 para fechas).

Valor nominal Fechn iniciat(a) $3.000 20 de mayo(b) $5.000 5 de abril(c) $2.000 3 de mayo(b) $4.000 28 de noviembre

Plnzo2 meses

60 días3 meses

120 días

Tasnno// / o

8%6%8%

15. Calcular el interés simple comercial de:(o) $2.500 durante 8 meses al 8%.(b) $60.000 durante 63 días at 9%.(c) $12.000 durante 3 meses aI8/z%.(d) $15.000 al10% en el tiempo transcurrido ent¡e el 4 de abril i el 1g de sep_

tiembre del mismo año.


16. Calcular el interés simple comercial de:(n) $2.000 durante 3 años a|0,75% mensual.(b) $4.000 durante 2 años 3 meses aL0,5% mensual.(.) $10.000 durante 4 años al 5% semestral.(,/) $25.000 durante 1 año 3 meses al 6% semestral.

17. Calcular el interés simple comercial de:(n) $5.000 durante ¡ aRos 2 meses 20 días al0,75% mensual.(b) $8.000 durante 7 meses 15 días a|7,5% mensual.

18. Calcular el interés exacto de:(n) Del problema 15(a) uti l izando la relación entre el exacto y el comercial.(b) $7.000 durante 105 días a l8%.(t) $4.000, el 16 de noviembre si el pagaré se firmó el 16 de julio del mismo año.(d) $6.000 durante 4 meses a l9%.

19. Unseñorpagó$2.500,20porunpagaréde$2.400, f i rmadoel10deabr i lde1996auncon 4%% de interés. ZEn qué fecha lo pagó?

20. El propietario de una casa recibe el 15 de mayo de 1996las tres ofertas que se deta,l lan a continuación. ZCuál es la mejo4 si el rendimiento es delg%?(n) $60-000 al contado y un pagaré al 10 de septiembre de 7996 por $32.600.(b) $30.000 a 120 días y $63.500 a 180 días.(c) $20.000 al contado y un pagaré con interese s del 8% por $71.000 a 120 días.

Un inversionista recibió un pagaré por valor de $120.000 a un interés del 8% el 15de julio con vencimiento a 150 días. El 20 de octubre del mismo año lo ofrece a otroinversionista que desea ganar el 70%. ZCuánto recibe por el pagaré el primerinversionista?

Cerrar el 30 de junio una cuenta corriente con interese s delg% sobre saldo, que hatenido el siguiente movimiento:

2^1..

1 de enero saldo débito10 de febrero abono20 de febrero cargo18 de marzo abono30 de abril cargo20 de mayo cargo

6 de junio abono

$1s.000$12.000$ 8.000$20.000$10.000$ 8.000$ 3.000

Una persona debe cancelar $14.000 a 3 meses, con el 8% de interés. Si el pagarétiene como cláusula penal que, en caso de mora, se cobre el70% por el tiempo queexceda al plazo fijado, Zqué cantidad paga el deudof, 70 dias después del venci-miento?

INTERES S IMPLE

24. En el problema anterio4 calcular el total de intereses pagados y la tasa de interéscancelada por el deudor en toda la operación.

25. Una persona descuenta el 15 de mayo un pagaré de $20.000 con vencimiento parael 13 de agosto y recibe sólo $19.559,90. ¿A qué tasa de descuento racional o mate-mático se Ie descontó el pagaré?

26. Una persona firma los siguientes pagarés con el 8% de rendimiento: $10.000 a 120días, $12.000 a 90 días y $8.000 a 180 días. Tiascurridos 30 días, propone efectuar unpago de $10.000 al contado y un pago único a 180 días con el 9% de rendimiento;determinar el valor de este pago único.

27. Una persona debe $20.000 con vencimiento a 3 meses y $16.000 con vencimiento a Emeses. Propone pagar su deuda mediante dos pagos iguales con vencimicnto ¿ 6meses y un año, respectivamente. Determinar el valor de los nuevos ¡.rag.rrés .rl E'ide rendimiento. (Tómese como fecha focal la fecha dentro de un airo).

28. Una persona debe los siguientes pagarés con el 8%: $6.000 exigible dentro de 3 meses,firmado a 6 meses plazo; $8.000, exigible dentro de 6 meses ), f irmado a un añoplazo; y otro de $5.000 sin intereses, exigible dentro de 9 meses. Su acreedor aceptarecibir tres pagos iguales con el9% de rendimiento, a cambio de las anteriores obli-gaciones, así: el primer pago de contado, el segundo a 6 meses y el tercero a un añ<:rp\azo. Determinar el valor de estos pagos iguales. (Determínese la fecha focal).

29. Tabular un flujo de caja y elaborar un diagrama para la siguiente situación: unapersona obtiene un préstamo de $24.000 el cual debe pagar más los intereses, en 6pagos mensuales iguales a partir del tercer mes, a una tasa del 79.5%.

30. Tabular un flujo de caja y elaborar su diagrama para el comprador de bonos porvalor de $30.000, emitidos por una empresa, los cuales son redimibles dentro de 9meses, si paga el 5.6% trimestral de intereses por trimestre vencido y el bono tieneun valor de $29.000.

I . I7 ACTIVIDADES DE CONSUTTA

(a) Tása de interés penal por mora en el pago de obligaciones y facturas comerciales ensu localidad.

(b) Tasas de intereses que ganan los depósitos en cuentas de ahorro.(c) Tasa de interés sobre préstamos hipotecarios.(d) Utilizando un computador, imprimir tablas de interés simple.

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s! : ¡ . ;

erkMlgi . - , i ¡ t

DESCUENTO BANCARIO, DESCUENTOSY COMISIONES, DESCUENTOS EN CADENA

Y TASAS ESCALONADAS

OBJETIVO

El objetivo de este capítulo es enseñar los conceptos básicos en las operaciones banca-rias y comerciales como intereses, descuentos y comisiones. Al terminar el capítulo sepodrá reconocer en un problema el t ipo de descuento y aplicar los métodos matemáti-cos para calcular; trabajar con descuentos bancarios, descuento racional, montos, comi-siones, descuentos sobre facturas comerciales con o sin tasas escalonadas; uti l izar elIenguaje bancario y manejar las expresiones: monto, capital, valor nominal, valor líqui-do, valor actual y sus símbolos S, C, VN, VL, VA.

2.1 DESCUENTO BANCARIO

Desde tiempos remotos, los prestamistas han acostumbrado cobrar los intcreses ¡tor nde-lantado sobre el valor de los pagarés, calculándolos sobre el valor anotado en dichosdocumentos. Esto, además de permitir al prestamista disponer de inmediato del dinerocorrespondiente a los intereses, le da un mayor rendimiento que la tasa señalada en Iaoperación.

El descuento bancario es el que se utiliza en todas las operaciones comerciales y, porello, al hablar de descuento, se entiende que es el descuento bancario, salvo que se expre-

se como descuento racional o de otra forma convencional.Para estas operaciones, se usan ciertas expresiones léxicas que es necesario conocer

DESCUENTO BANCARIO. DESCUENTOS Y COMISIONES. DESCUEN TOS EN CADENA Y TASAS ESCATONADAS

2 . 2

Valor nominal de un pagaré El valor nominal de un pagaré es ei que está inscrito en laobligación; para el comeicio se trata clel capital. Si el pagaré no gana intereses, cl valornominal indica la cantidad que debe pa€íarse en la fecha de vencimicnto señal¿rd¿r.

Descontar un pagaré Es la acción de recibir o pagar hoy un dirrero, a cambio dc unasuma may()r comprometida para fecha futura, bafo las concliciones convcnidas en elpagaré. Al referirse i 'r la operación, el término descontar kr usan t.rnto el prcstat¿rricrr 'orTlo € l prestamista.

Un pagaré como un b ien mobi l iar io puede scr vendido, es deci r c lcscont¿rc l9, uni io más veces antes de la fecha de su vencimiento y cada compraclor descuenta el pagarópor el t iempo que falta para su vencimiento. Cuandcl la opnraciírn se efectúa entig ba¡-cos, toma el nombre de rt:dcscuattto.

Descuento Es la d i ferencia establec ida entre e l va lor norn inal y e l va lor r lL lc se r t ,c ibt , , ¡ lmomcnto de dcscontar e l pagtr ré.

Valor efect ivo o l íqu ido de un pagaré Es e l va lor nominal nrerros t , l c i t , : r .u t ' r r t r r . [ : ' r , lv¿l lor en d inero que se rec ibe en e l momento de c lcscont¿rr l ; r obl igar ' ion o, t , t r ( ) t r i ts p¿la-bras, el vaior actual o presente con dcscuento bancarict.

Tipo o tasa de descuento Es el tanto pclr ciento de descuento, o se¿I, un porcenta je de Ivalor nominal que deduce cl prestamista, al descorrtar cl pagtrré.

Plazo Es el término que se uti l iza para expresar el periodo dr-: cluración clel préstirrno.Los pagarés son obligaciones a corto plazo y el descuento banc.rrio simple nunc¿l seefectúa para pe.riodos mayores de un año.

FóRMutA PARA Et cÁtcuto DEL DEscuENTo BANCAR¡o

sean: s : valor del pagaré; l : t iempo expresado en afros; d : tanto por ciento (tasa clcdescuento)

Aplicando la fórmula 4:

I = Ct t í

Luego, al remplazar se tiene, D = Snd ( 1 1 )

ffiIEEII Un pagaré por valor de $68.000 vence el 18 de septiembre; se descuenta el 20de junio a\10%. Calcular e l va lor descontado y e l va lor l íqu ido del pagare.El t iempo que falta para el vencimiento es de 90 días, n = ,A año; S : 68.000; t l:0,1

@ N ¡ A I E I ú A T I C A S F I N A N C I E B A S

St sus t i t t r y t

y/ , - yN r )1 ) : ( V N ) r r r i

V1 - YN (V 'N ) r r r lV ! - (V i ' ! ¡ ( t t t t t )

D 5 , r ¡ l - { , f i ( } { r ( ) i ' 1 , , , r ,' \ ' i l

I ) - $ 1 . 7 ( x )

v rk r r l í r1u id , - 5 D : 68 . (xx ) - l . z (x ) v rk r r l iqu ic l . : 966 .3(x )

2.3 FóRMULA PARA EL VALOR t iQUIDO EN Et DESCUENTO BANCAR¡O

I: l valor l íc¡uido C'r ,s t l vakrr actu¿rl dcl ¡rag¿¡[ y, ¡ror tanto, igual al valor nonrinal -S,l l l t l l ( )s t ' l d t ' s t ' t l t ' n t t l . [ ) t ' s ignar rdo por V / . r ' l v ¡ lo r l í r ¡ t r i c lo , y por VN c l v¿ lo r nomina l , s t ,t l c r i r ' :

( r l )

( r 2 )

El f f IEEf l Ur . r p . rs . r r i ¡ ro r va lo r c l t ,$22 0{ )0 s t , r l cscucnt ¡ l2 ( l r l í¿s ¿nt t ,s c l r su v r r rc i rn ien to( ' , ¡ i c t r l¿ r s t ¡ r ,¿ lo r I í r ¡ t r i r lo , s i t , l r l t , s r . r r t , l - r to s t ,h . ¡ r . t , , t l ( . ) , . r .1 .

YN

VI

VI,

VI,

VL

- $22. (X) ( ) ; l

- ( V N ) ( l t t i )

$22 ( ) (x ) | 1I

- 22 000(0,97)

- 521.3,10

l 2 ( l I' - Jno ; r i - 0 .09

l()0 3

l l(0 ,0 ( ) ) - 22 . (XXld _ 0 .03r

1 )

2.4 RETACION ENTRE Et DESCUENTO BANCARIOY Et DESCUENTO RACIONAT O MATEMÁTICO

Sea un Pagaré de valor nominal (y¡/) y su tasa cle interés i. Designando por VL- el valoractual con descuento rac ional en e l t iempo r¡ antes del vencimiento y po ' , vL, ,

" lva lor l íqu ido con descuento bancar io en e l mismo t iempo y con la mismá tasa pará e lt i t - 'scuento, se t iene:

t t r l / NV l ' r = -

t + t l t

VL,, = ¡Y7¡ ¡¡1 - ni) fórmula 12, enla cual d : i

(e)

DESCUENTO BANCARIO. DESCUENTOS Y COI\4ISIONES. DESCUENTOS EN CADENAYTASAS ESCALONADAS

VL,I4V

1 + r 1 i

W(7- n i )

1(7+ n i ) (7 - n i )

1

7 - ( tti)z

vLt,

VL, -VL,,

2 . 5

V L ' ' = Y 2 ' [ f - r ' r i t ' / ]

Esta últ ima expresión indica que crr t ient¡tos igunles V a utm mismn tnsn, el anlor líqui-do ct¡tt descuettto raciottsl es sientpre nmyor que eI unlor líquiLlo ccnt dcscucttto battcnrio.

IffiEffl Calcular los valores líquidos con descuento racional y con descuento b¿rnc.rrio cleun pagaré por valor de $14.t[0, descontado 1tt0 días antes de su vencimient(), a una tas¿ dcl f{ ' i

t80 IV N = $ 1 4 . 0 0 0 : t r = - a n o j l : t l : 6 ' / o

360 2yN 14.000 14.0t)()\ / r _

v L - -' l+n i 1+(112)({ ' |08) 1+0,04

VL, - $73.467,54 (descuenkr racional)

yrJ, = s(1 -nd)=14.1¡6 [r - ryztro'ost]yli = 14.0m(1 - 0,04) = 14.000 (),96)

V I-+ = $13.440 (descuento bancario)

PAGOS DESPUÉS DE tA FECHA DE VENCIMIENTO

Cuando un pagaré no se cancela en la fecha señalada para su vencimiento, comienza agenerar intereses llamadoshúereses de mora,los cuales se calculan con base en el valor nomi-nal por el tiempo que se retrasa el pago, a una tasa de interés fijada al firmar el pagaré. Losintereses de mora se calculan mediante la aplicación de las fórmulas ya estudiadas, y parael monto se utiliza la fórmula 8, que es la que corresponde a un pagaré con intereses.

IffiIEflN Calcular el valor líquido de un pagaré de 914.000 cancelado 3tl días después desu vencimiento, si los intereses de mora se fi jaron en el72% .Se aplica la fórmula 8, 5 : C(1 + rl) que da el monto para un pagaré que gana intereses. Enlenguaje bancario S = VLy C : fN.Obsérvese que el valor líquido es el valor que recibe el banco y en este caso se trata del monto S;C es el valor nominal.

C = t ,N = 14.0r)0; , ,= + = 0.1055555 años; i :0,72-JbU

v1. = t ¡Nt | + r t i ) = 14.000[1 + (0,1055s5s) (0, t2] ]

I'1. = 1.l.(XX)( | + 0,01266666) = 14.0(X)( 1,01 266666)

vt. - s11.177 ,33

2.6 COMtstoNES

L¿rs comisiones son c¿¡nticlades de clirservicio L¿r cc,rnisión se expres¿, "" ,l;i:;::;llyi::::tJl,:i::l},'J.T[:::1,fi,x']po' De erst¿t Inancra, si p.rrt i la vcnt.r. l., aigúrr bien'se c,r.,,r i"r. l" con cl venclecl.r u^¿comisión de| 5'/ ' , cstcl sig.if ica que se le piigarír l¿r suma de 5 uniclacles cle dirre. p.rcada l00 unidacles c le l vakrr c ler l i ven¡¿r .

sean c cl va*rr sobrc cl cuar se r'ra cre pargirr u.a comisión

r t:I ',í, d,e comisión fijadct. r, =

f tt, tanto¡-r¡t¡ ¡11e

C-omisión : C¡

[ /ATEIúÁTICAS FINANCI ERAS

( t . j )

2 . 7 VARIACIONES DEt VATOR I íQUIOO Y DE LA TASADE INTERÉS EN Et DESCUENTO BANCARIO

Las entidades bancarias para sus préstamos, aclemás de la tasa de clescuento, c.branvalores como comisiones, gastos bancaric-rs, seguros e impuestos; estos varores agrega_dos al descuento, dismrnuyen el valor líquido del pagaiéy, ". ' .o.r".uencia,

result¿rmás alta la tasa de interé.s de la operac ión'. véatnc el'ejiciciá resuelto Nn g y los ejerci-cios propuestos 16 y 27 de este capítulo.

DESCUENTOS COMERCIATES

En el comercio, se acostumbra ofrecer una rebaja sobre el precio de lista por alguna razón;por ejemplo, promociones especiales de venta, compra ul po. ^uyo4 pronto pago, etc.Los descuentos como las comisiones seno,i n tervie n e er tiemp o. s e a r % "r a ",., ". i jTj:

TIT;XH.tJ:fi:t:J"::j:,"$::factura de valor $S. Siendo i el tanto por uno, se tiene:

2.8

D e s c u e n t o : D : S i (13a)

DESCUENTO BANCARIO, DESCUENTOS Y COMISIONES, DESCUENTOS EN CADENA Y TASAS ESCALONADAS

VALOR NETO DE UNA FACTURA

EI valor neto de la factura es igual al valor facturado, menos el descuento

Sean S : monto facturado o valor de Ia factura

7l'/ : valor neto de la factura

d : tanto por ciento de descuento

¡ : ' t l rc. tanto por uno de descuento

Y ¡ J : S - D : S - S i

v¡J :s (1- r )

E

2.9

[fll[il¡Effl Calcular el vakrr neto pur pagar para cubrir urr¿r facturasobre la que se concede un descuento del 4%.

( 1 4 )

por valor de $7 ( ) ( ) ( r

S : $ 7 . 0 0 0 ; i : 0 , 0 4y¡J : S(1 - r ) : 7 .000(1 -0,04) : 7 .000(0,96)

VI I :56.720

2.1O DESCUENTOS POR PRONTO PAGO

El comercio mayorista acostumbra ofrecer descucntos por pronto pago, clue permitenal comprador escoger entre varias altc.rnativas su forma de paga¡, según el t iempo enque anticipen el pago sobre el plazo expresado en la l ista de precios del mayorista. Si unmayorista indica sus precios con plazos de pago a 60 días, esto significa que cl compra-dor queda obligado a pagar a los 60 días contados a partir de la fecha de la factura; sobreel precio facturado se ofrecen los descuentos por pronto pa5;o. Se acostumbra indicarlos descuentos por medio de fracciones, cuyo numerador señala el tanto por ciento dedescuento y cuyo denominador se refiere al t iempo dentro del cual el comprador tienela opción de pagar para tener derecho al descuento señalado por el denominador. Porejemplo, un comerciante factura una mercancía por valor de $100.000 el primero demarzo con las siguientes condiciones: neto a 60 días; n/.,r;

"/ ,.;8% de contado. Estos igni f ica que:

' Por pago de contado contra factura, se paga con el 8% de descuento, o sea $92.000.' Por pago a 15 días de plazo, o sea el 15 de marzo, se paga la factura con el 6% de

descuento, es decir, $94.000.. Por pago a 30 días de plazo, o sea el 1a de abril, se paga con el 4% de descuento, es

decir. $96.000.


2. I I DESCUENTOS EN CADENA O EN SERIE

Ctln frecuencia ocurre que sobre una misma factura se hacen varios descuentos por dife-rentes razones independientes entre sí. Estos descuentos sucesivos reciben el nombrede descuentos en cadena o en serie. Por tratarse de descuentos independientes, cadauno se efectúa con base en el valor neto de la factura, después de deducir el descuentoarrterior. Por ejemplo, sobre una factura de $50.000 se conceden ios siguientes descuen-tos:

(n) Por compra al por mayor 8%(lt) Por promociirn especial de ventas S%,(c) Por despachos sin empaques 6%,

Estos descuc.ntos en cadena operan así :

Valor neto de l¿rfactur.r

o/,,

DescuentoValor neto de la

factura

$s0.000$46.000$43.700

$46.000$43.700s41.078

8%,

6%,

\¿ lor net t r Lror p¿tgar : $41.078

Descuento comerc ia l único equivalente a var ios descuentos en cadena Sean los des-cuerttcrs d,, d., t l .,...,t1,,, concedidos en cadena, sobre una rnisma factura.

El valor neto es dado por la fórmul.r 14, vN : s(1 , i), en l; i clue i es el tanto poruno correspondiente a l descLrento ¿/%,. Design¿rndo por VN* e l va lor neto despuós de;rplicado el descuc'nto r/, sc. t iene :

V¿rkrr nctocle la f¿rctura

,/,

DescuentcrV¿rlor neto

de la factura

Sustituyendo los dife-rentes valores

Y N r : S ( 1 - r r )

V ' r V . : Y N r ( l - i . )l z N . : y N . ( l - i r )

: :

LrN,, = VN, ,(r - i,,) =

netos en la cadena, se t iene:

s ( 1 - i 1 ) ( 1 - i : )s ( l - , , ) (1 - r . ) (1 _ i , )

s( i - i1) . . . (1 - i , , )

sI / N /

VN,

:

l , / ^ . ¡

,1,d.,1 .

t l

V N , , : S ( 1 - i 1 ) ( 1 - i . ) ( i - i , , ) ( 1 5 )

D€SCUENTO BANCARIO, DESCUENTOS Y COMISIONES, DESCUENTOS EN CADENA Y TASAS ESCALONADAS

Después de analizar esta últ ima expresión se deduce que, puesto que el productoes una operación conmutativa , el orden en tllte se et'ectúen los áescientos ett cndeni nt¡ nlternel c,nlor neto t'inal.

Para calcular el descuento único equivalente a una cadena de descuentos, se es-tablece la ecuación de equivalencia entre los valores netos de una factura de g1, condescuentos en cadena. sea i el tanto por uno equivalente a la cadena i,, i .,..., i .,,se tiene:

Para S : $1,00; 1,00 - t = valor neto con descuento únicoVN, : 1,00(1 - irxl - tr)...(1 - l, ) : valor neto con descuento en cadena

O sea 1,00 - i : (1 - t ,Xl - i r ) . . . (1 _ t , , )

¿ : 1 - ( 1 - i r ) ( 1 _ i 2 ) . . . ( 1 _ t , , ) ( 1 ó , )

@ r C a | c u l a r e | v a | o r n e t o d e u n a f a c t u r a d e $ 1 0 . 0 0 0 c t l n I < l s d e s c u e n t < l s e n . ¡ d c n . ]del 6%,,8% y a% y calcular el descuento equivalente único.

Se apl ica la f írrmula 15, yN,, : S(1 _ i ,Xl _ !). . .( l _ t , ,)

r, : 0,06

i' - 0'08

¡. : 0'04

VN, - 1g.gg0(1 - 0,06X1 0,0uXt - 0,04)

YN. : 10 .000 (0 ,94) (0 ,e2) (o ,e6)

YN. : 10 .000(0 , t i3020¡ i )

valor neto : VN : $t1.302,0¡J

El descuento equivalente único es según la fr irmula 1ó,

i = r _ (1 _0,06x1 _ 0,08)(1 _0,04) : 1 _ (0,s4)(0,s2)(0,s6)i - 1 ,0,83020¡l

descuento único = i : 0,169792; d : 16,9792,/"

2.12 TASAS ESCATONADAS

Tásas escalonadas son aquellas en que los tipos de interés aplicados varían de acuerdocon determinado criterio preestablecido. Por ejemplo, una empresa concede aumen-tos de salario, según la siguiente escala:

Salarios de $500 a $1.000Salarios de $i.001 a $2.000Salarios de $2.OOt en adelante

25% de aumento75% de aumento70% de aumento


Con las tasas escalonadas de aumento sucede que, en la vecindad de los valoresdonde se produce la variación de la tasa, se origina una situación de inversión en lacategoría de los empleados. suele ocurrir que, después del aumento, los empleados decierta categoría quedan. con un sueldo superior al de otros empleados que eran, antesdel aumento, sus superiores en categoría áe sueldos.

La mejor manera de analizar estos problemas es por medio de una gráfica. En el eje deIas abscisas se colocan los sueldos antes del aumento, y en el eje de las ordenadas, el monío delos sueldos después del aumento. Así, para dicho ejemplo, sé tiene la gráfica que aparece acontinuación. Se han trazado en ella las ordenadur io.."rpor,dientes a los extremos delas escalas de sueldos: MA en la escala de 500 a 1.000 y ruD en el extremo superior de laescala 1.001 a 2.000.

Tiazando por el punto,4 la paralela al eje X, se encuentra el punto B sobre la rectaCD, cuyas ordenadas corresponden al nuevo sueldo en la escala 1.001 a 2.000, valorigual al nuevo sueldo del que ganaba $1.000. Tiazando por el punto B la paralela al ejeY, se encuentra, en el ejeX, el sueldo correspondiente antes de^l aumento; para calculár-lo, se plantea la ecuación de equivalencia entre los montos:

2.3002.200

2.000

7.250

1.150

1.000

625

1.0007.095,96

Z-----------+

500rs% 2.000

DESCUENTO BANCARIO, DESCUENTOS Y COMISIONES, DESCUENTOS EN CADENAYTASAS ESCALONADAS

50 1.000

1.000(1 + 0,ZS): (1.001 + x)(1 + 0,15)7.250:7.157,75 + 7,75x98,95 = 1.,1.5x

x : 9 5 , 9 6

Sumando $1.001 a r que es el límite inferio¡, se obtiene el sueldo de $1.086,96.Un empleado que ganaba$7.086,96, al incrementar su sueldo en un 15%, queda con$1.250, que es también el nuevo salario de los que devengaban $1.000. La gráfica mues-tra que todos.los trabajadores que ganaban sueldos comprendidot

"ñtr" $1.001 y

$1.086,96 quedan, después del aumento, con un salario inferior al nuevo sueldo delos que devengaban $1.000. El mismo análisis se puede realizar para otros puntos enla escala de tasas variables.

2.13 MODIFICACIóN DE tAS TASAS ESCATONADAS PARAEVITAR LA INVERSIóN DE tAS CATEGORíAS DE VATORES

La inversión se evita modificando la pendiente de las rectas que en cacla tramo permi-ten determinar el monto del nuevo sueldo. En la gráfica del ejemplo dado, los montosde los nuevos sueldos quedan definidos por las ordenaclas de ia recta C D, parala escala1.001 a 2.000. Trasladando el extremo C hasta que coincida conA, se evita li inversión delas categorías de sueldos, con un mínimo de variación en los mismos. Estos nuevossueldos quedan determinados por las ordenadas de la recta AD.

En la gráfica, se trazó la función idéntica L. Sobre esta recta que pasa por el ori-8en, se encuentran los puntos cuyas ordenadas son iguales a las abscisas, y se traz6larecta EF paralela a AD,Para un sueldo que exceda los $1.000 en la cantidadz, su nuevomonto en escala modificada corresponde a la ordenada KG que puede expresarse por:

K G : K I + I H + H G

K I : 7 . 0 0 0 + z

H G = E A : 2 5 0

lHse deduce de la p roporc ión #=# en dondeLF : LD - LD:300-250: 50 ;MN:1.000; MK : z; remplazando se tiene:

IH

50IH = z .- = 0,05 z; sust i tuyendo, se t iene:

1.000

¡6: (1.000 + z) + 250 + 0,052


Generalizando el desarrollo anterior para un intervalo de cualquier tasa escalona-da, puede enunciarse:

EI nuevo valor es igual al antiguo más una suma fi ja y más un porcentaje fi jo delexceso, con relación al extremo inferior del intervalo. La suma fija es igual al aumentodel sueldo en el extremo inferior del intervalo, y el porcentaje fijo es igual a la razónentre la diferencia de los aumentos en los extremos del intervalo y el intervalo.

Para el caso expuesto y para los dos primeros intervalos, se enunciaría así: los suel-dos comprendidos entre $500 y $1.000 se aumentan en 25% . Los sueldos comprendidosentre $1.001 y $2.000 se aumentan en $250 más el 5% del exceso del sueldo sobre 1.000.

Una aplicación importante de las tasas escalonadas se encuentra en las escalas detributación para impuestos de renta, catastrales y otros.

[ftffitrffl Una empresa concede aumentos a sus trabajadores, de acuerdo con la siguien-te escala:

. Sueldos hasta $1.000 ,22% de aumento

. Sueldos desde $1.001 hasta 3.000,10%

. Sueldos desde $3.001 en adelante, 5%

Calcular la escala modificada, para evitar la inversión de las cate¡;orías de sueldos.Para el intervalo 1.000 a 3.000 se tiene. entonces.

. Aumento en el extremo inferior 220

. Aumento en el extremo superior 300

. Diferencia en los extremos 80

. Valor del intervalo : 2.000

. 8 0i= _ = 0,04

. Suma fiia = aumento en el extremo inferior : 220

Para el intervalo de $i.000 a $3.000, el aumento sería de 9220 más el 4% del exceso del sueldosobre $1.000.

Para el intervalo de $3.000 en adelante, la modificación se hace con relación al sueldo más altodel intervalo; por ejemplo, si éste es de $8.000, se toma su valor como extremo superior delintervalo, y así, se tiene:

. Aumento en el extremo inferior 300

. Aumento en el extremo superior 400

. Diferencia en los extremos 100

. Valor del intervalo : 5.000

. 1005.000


Para este intervalo, el aumento será de 9300, más el2% del exceso del sueldo sobre 93.000. Enconsecuencia, la escala modificada quedará:

. Sueldos hasta 91.000 aumentan en e1,22%' Sueldos desde $1.001 hasta $3.000 aumentan en 9220, más el4% del exceso del sueldo sobre

$1.000' Sueldos desde $3.001 aumentan en $300, más el2% del exceso del sueldo sobre $3.000

De acuerdo con lo comentado en la sección 7.2, en la mayoría de los problemas seindica Ia tasa de rendimiento sin incluir la tasa de corrección monetaria. Esto con elobjeto de evitar confusiones. véase, por ejemplo, lo que sucede con un préstamo cle$100.000 a un año de p lazo con la tasa dei 30% (ZZ%ie correccióny gT" de in terés) .Aplicando el30% el prestamista recibiría $130.000, es deci4 recuperaría el capital inicialcon corrección de $122.000 más $s.000 de intereses, suma infeiior al 8% páctaclo. Lr¡correcto es aplicar primero la corrección al capital y luego calcular la tasa cle rendir-¡rie ¡-to, así se tiene:

Capital con correcci ón del 22%Más 8% de interés : 722.000 x 0,08 :Valor que debe cancelar el deudor

VN, : 915.900; n , : 0,09

Segundo pagnré:

Y¡r/, : 910.000; r. : # ; tt : 0,0e

VLr: VN,(1 - nrd) + VNr(7 - n¡t)

$122.000+ 9.760

sr37.760

Para comparar renclimiento de opciones diferentes en un mismo momento se pue-de, bajo las mismas condiciones de desvalorización, manejar en un solo % la correccióny la tasa de interés, pero en general no es aconsejable hacerlo. En el capítulo 14 se pre-senta el estudio de la devaluación monetaria y los métodos de corrección cle su valor.

2,14 PROBLEMAS RESUETTOS

1' Un inversionista descuenta dos pagarés en un banco que cobra el 9%, d.e interóssimple por adelantado: uno de valor nominal $15.000 u-g0 .líur y otro de $10.000 a60 días; hallar el valor efectivo que recibe.

C : S (1 - nd); en lenguaje bancario, VL : VN(1 - ncl)

Printer pngaré:

903 6 0 ' "

-


Un inversionista presta una suma de dinero a un cliente mediante un pagaré cuyovalor nominal es de $60.000 con vencimiento a 150 días, quien descuenta al 72% deinterés por adelantado; 40 días después negocia el pagaré en un banco que des-cuenta el9% de intereses por adelantado; hallar:

(a) La suma que recibe el cliente.(b) La suma que en la operación comercial gana el inversionista.(c) La suma que descuenta el banco.

(a) VL : (VN)(7 - nd)

VN = 60.000; , , = 9, d = 0,12360

[ ¡ rso \ ' l

vL, = 6sesel r - | = lto,tztlL \ J o u / )

VL, = 557.000

VLz

VLz

vLz - vL1

Respuesta: $1.350

(c) D : (Vtrt)nd

VN:60.000; ¡ i :

D : 60 .000

D : $1.6s0

vL = 1s 000[r - lll)ro.oe)l+ 10.000 [t - f iq) r0,oe)lL \360/ I L \ :eo) )

VL= $24.572,50

VL

YN

(b) : (YN) (1 - nd)

= 60.000, , =!! , r1 = 0,09360

= 6o ooo It - I t !9 ] ,o,on,lL \ 3 6 0 ) )

= $58.350

= $58.350 - $57.000 = $1.350

( 110t *\ JOU

1 1 0* ; d : 0 , 0 9JbU

,J(0,0e)

DESCUENTO BANCARIO, DESCUENTOS Y COMISIONES, DESCUENTOS EN CADENAYTASAS ESCALONADAS

3. Un pagaré a 120 días por $30.000 a intereses del70% se negocia en un banco quedescuenta intereses deI8% por adelantado; hallar el valor líquido que se recibe delbanco.Primero se calcula el monto del pagaré a su vencimiento y, luego, se calcula el des-cuento sobre ese monto. Aplicando fórmula 8:

, :ar r* r ¡720

C : 930.000; n : 360 ;

i : 0,70

I t t t . o \ Is:3o.ooo l l+ l = l to , to l

L \ J o u / )

S : $31.000

Con base en el monto de $31.000 del pagaré, a su vencimiento, se calcul¿r cl r'.rlorlíquido en la operación de descuento.

V L : V N ( 7 - t l d \

12(\VN : $31.000; n :

*O; d: 0,08

t - / l 2o \ Ivr_ : 31 ooo | 1-l = lto,oal I

L \ J O t ' / )

VL:530.773.33

4. Hallar el descuento racional de un pagaré de $20.000 , al 8% , con vencimiento a 60días. Comparar el descuento racional con el descuento bancario a la misma tasa deinterés simple.

t r r YN

7 + n i

VN = 920.000; r¡

Í l r _v L -

T l I _

60360'

i : 0,08

1

$


El descuento racional es VN -VL = 20.000 -79.736,84: $263,16Descuentobancario D : Snd

60l/N = $20.00Q; n = ] ; d = 0,08

360

r 6 0 \D = 20 .000 l - l (0 ,08)

\ 3 6 0 /

D :9266,67

Descuento racional : 9,263,76

Descuento bancario : 9,266,67

S. Determinar la fecha en que se descuenta un pagaré de $6.000 con vencimiento el 21de mayo, si se recibieron $5.940 con descuento bancario deI9%

VL: (VI r l (7 -nd)

VL : 5.940; VN : 6.000; d : 0,09

5.940:6.000 [1 - t t (0,09)]

si1g - I - o,oe,¡6.000

0,09r¡ : 0,01

1 -¡¡ - - dÍlO

9

, : L rzoo,= 4o días9

El pagaré fue descontado el 11 de abril.

6. Calcular la tasa de interés simple i equivalente al t ipo de descuento bancario d.

El valor VL recibido con descuento bancario es dado por:

VL : (V I r l ( 7 -nd )

El capital VL,más sus intereses a la tasa l, debe dar el monto t/N en el mismo tiempo,

o sea:

V L ( \ + r r i ) : Y ¡ ¡

Sustituyendo, se tiene:


: YN(1 + ni)(7 - nd)

: (1 + n i ) (1-nd)

7 - n d

7 " n d- 1 = - . -

1 - n d 7 - n d

d= 1 _,1 , tasa de interés simple equivalente al t ipo de des_| - ttu cuento bancario ¿/.

7. Uti l izando el resultado del problema anterio¡, calcular Ia tasa de interés simplc l,equivalente al t ipo de clescuento bancario del70%: (a) 360 días, (ü) 120 días, ic) 9tldías, (d) 60 días, antes del vencimiento.

. d

7 - n d

(a) n : 360 días : 1 año, d : 0,1

. 0 , t 0 , 1 It = = = : = 0 . 1 1 1 1

1 - 0 , 1 0 , 9 9

Tasa de interés simple: 71,7J.%

(b) n :120 días : Y= ] uno,JOU J

YN

1

l + n i

t l t

¡ = - - - i ' 1 - = 3 = o r o 3 4r - l r ) ro. l r 2e

\ 3 i

Tasa de interés simple: 70,34%

9 0 7(c) t t = 90 días =:;= - años

360 4

¡ = --- iL-/ 1 \

r - l : l ro . r r\ 4 )

4

39= 4,7026



(d ) n=60d ías =#=1uno

. 0 , 1 6 - - _

r - l1 l ro. r se\ ( r )

'


8. (rz) Calcular el valor efectivo que se recibe al descontar un pagaré de $5.000, 120 díasantes del vencimiento, si el banco cobra además $5 por gastos bancarios y el 2 pormil por concepto de impuesto de timbre sobre el pagaré. Tasa de descuento del9%.(b) Calcular la tasa de interés simple equivalente al descuento efectuado.

(n) VL : VN(1 - rrd)

t / I -

T / I _

120 días: J ano; Vlu

I r t \ Is oooLl - [3 ,l

(0,0"]

$4.850

=5.000; d=0,09

= 5.000 (0,97)

gastos bancarios

2 por mil sobre 5.000

valor efectivo recibido

$ to 1 5

(b) 4 83s[1. (+)' ] = 5ooo

r * 11)¡\ 3 /

(+),* 5.000

4835

_ 5.0004835

495= -4835

$4.835

, 165- l = -

4835

= 0,7024


DESCUENTO BANCARIO, DESCUENTOSYCOMISIONES, DESCUENTOS EN CADENAYTASAS ESCALONADAS EEl

9. Sesenta días antes de su vencimiento, un inversionista descuenta en un banco unpagaré de $20.000 a intereses del70%, el cual se firmó a 90 días. Calcular el valor querecibe el inversionista, si la tasa de descuent o es del 9% .

Primero se calcula el monto del pagaré en la fecha de su vencimiento.

S : C ( 1 + n i )

C : $20.000; n :90 días: 9 o = 1 a ñ o ; i : 0 , 1 0360 4

f t t r Is : 20.000 | r * | ; I (0,10)l = 20.000 (7,02s)

L \ + t )

M o n t o : S : $ 2 0 . 5 0 0

El descuento lo hace el banco con base en la suma de $20.500 que corresponde alvalor nominal , por 60 días a la tasa de descuent o del9%.

V L : V N ( 7 - n d \

VN : 20.500 ; n : 60c1ías : ] u¡.,; d: 0,09

l . rr) .^, ,^;vL : 20.s00 | 1 - | ; | (0,0e)l = 20s00 (1 - 0,015)

L \ 6 ) )

VL : 20.500(0,985)

vL: $20.192,s0

10. Una empresa debe a su banco los siguientes pagarés descontados, a una tasa del9%de descuento y al72% de interés en caso de mora:

(o) $20.000 con vencimiento el 31 de agosto.(b) $60.000 con vencimiento el 30 de septiembre.(c) $40.000 con vencimiento el31 de octubre.El 10 de septiembre, en mora de pago para el primer pagaré,la empresa convienecon el banco sustituir los tres pagarés por uno solo, con vencimiento el 31 de diciem-bre del mismo año. Calcular el valor de este nuevo documento.

. Primero se calcula el valor actual de los pagarés para el 10 de septiembre.

(n) Pagaré vencido el 31 de agosto. Se calcula su monto S, con los intereses de moradeI72% para 10 días.


líquido para el 10 de septiembre.

VL : VN(7-nd)

VN = $60.000; n : 20 días :

S : C ( 1 + t ¿ i )

C : $20.000 ; n : \Ldías : # =

f uno; i = 0,72

f t " t \ Is : 20.000 | 1 * | ; l to,tz¡l = 20.ooo (1+ 0,0033333)

L \ r o l _ l

S : VLt: 20.000(1,0033333)

VL, = 929.g6',r,

(b) Pagaré de 960.000 con vencimiento para el30 de septiembre. Se calcula su valor

z0- =360

t- año; d:0,09l 6

Designado el valor líquido Por VLr:

f r t \ IvL, : 6s.soo Lt

- t; ,l

(0'0e)l = 60'000 (1 - 0'00s)

VL' : 69'6OO(0'99s)

VL,: $59.700

(c) Pagaré de $40.00 con vencimiento el 31 de octubre. Se calcula su valor líquido

VLpara el 10 de septiembre.

V L : V N ( 7 - n d )

VN: $40.000; n :51días : años; d: 0,09

Designado el valor líquido por VLr:

vL, = 4s.ss¡[t - l*],0,0e).1 = 40.000 (t- o,tzzs)' L \360i . l

VL, = 4g'ggg (0'98725)

VL. = $39.490

51360


La suma del valor líquido de los pagarés para el 10 de septiembre es:

VL = VLt + VLz+ VL"

w : 20.066,67 + 59.700 + 39.490

VL =6119.256,67

Conocido el valor líquido para el 10 de septiembre, se calcula el valor nominal delpagaré con vencimiento para el 31 de diciembre.

V L : V N ( 7 - n d )

VL : $779.256,67; n: 112 días :

t . ( t1z \ I119.256,67 = yN I I

- I tn I (u,ue)l : v¡t ( l _0,028) : VN \o,e72)L \ J o U r l

779.256,67ur: ,rn,VN : $122.692,05

2.15 PROBTEIAAS PROPUESTOS

11. Determinar el valor líquido de los siguientes pagarés, clescontaclos en un banco alas tasas y fechas indicadas a continuación

(a) $20.000 descontados al 70%,45 días antes de su vencimiento.(¿,) $18.000 descontados a l9%,2 meses antes de su vencimiento.(c) $14.000 descontados al8% el15 de junio, si su fecha de vencimiento es para el

18 de septiembre del mismo año.(d) $10.000 descontados al 70% el 20 de noviembre, si su fecha de vencimiento es

para el 14 de febrero del año siguiente.

12. Una persona necesita $10.500 y, para obtenerlos, f irma un pagaré a 90 días con latasa de descuento bancario del 74% . Calcular el valor del pagaré firmado.

13. Alguien vende una propiedad por la que recibe los siguientes valores el 9 de juliode c ier to año:

(a) $20.000 de contado.(b) Un pagaré por $20.000, con vencimiento el 9 de octubre del mismo año.(c) Un pagaré Por $30.000, con vencimiento el9 de diciembre del mismo año.

172. - a ñ o s ; ¡ : 0 , 0 9.)o(,


Si la tasa de descuento bancario en la localidad es del 9%, calcular el valor real de laventa.

14. Unpagaréde$10.000sedescuentaal I0% yserecibendelbanco 99.789. Calcular lafecha de vencimiento del pagaré.

15. El Banco Ganadero descuenta un pagaré por$80.000 a l70%,90 días antes de suvencimiento. 15 días después lo redescuenta en otro banco a la tasa delg%. Calcu-lar la uti l idad del Banco Ganadero.

16. Una Persona descuenta un pagaré por $8.500 en un banco 80 días antes de su ven-cimiento, a la tasa de\70%. Si paga además $5 por concepto de gastos bancarios y el2 por mil Por concePto de impuesto de timbre sobre el pagaré, calcular la tasa deinterés simple equivalente al descuento efectuado.

17. Una con'rpañía comercial debe a su banco tres pagarés con las siguientes caracterís-ticas: $30.000 con vencimiento el 30 de abril; $25.000 con vencimiento el 30 de mayoy $50.000 con vencimiento el 30 de junio. El 20 de abril propone a su banco remplazarlos tres pagarés Por uno solo, con vencimiento para el 15 de junio del mismo año. Sila tasa de descuento es del 9/o, calcular el valor del nuevo pagaré.

18. un invcrsionista posee un pagaré por valor de $60.000, f irmado el 21 de mayo deun año, con intereses del12% y vencimiento el 18 de septiembre del mismo año; lociescuenta en un banco, a la tasa delg% el 30 de iunio del mismo año. Calcular elvalor efectivo recibido en el descuento.

19. Un empresario debe a su banco dos pagarés; uno por $40.000 con vencimiento el 20de agosto y otro por 960.000 con vencimiento el 20 de octubre. El 25 de agosto, venci-do el primer pagaré, conviene con su banco recoger los dos pagarés y remplazarlosPor otro, con vencimiento para el 30 de noviembre. Si Ia tasa de descuento es del 9%y los intereses de mora deI72%, Zcuál es el valor del nuevo pagaré?

20. Un inversionista desea ganar el 72% de interés simple efectivo sobre su capital.ZQué tasa de descuento bancario debe uti l iza¡, si el periodo de descuento es: (a) 30días, (b) 2 meses, (c) 90 días, (d) 720 días?

21. Calcular el descuento único equivalente a la cadena 70%, 6% y B%.

22. un comerciante compra 25.000 metros de tela a$77,30 el metro. Si en su compraaprovecha la serie de descuentos del 8%,6%,75%, calcular el valor al cual debeofrecer el metro de tela, si desea obtener una uti l idad bruta delZS%.

23. Un comerciante ofrece mercaderías por valor de $160.000 y establece los descuen-tos en cadena del 8% , 6% , 5% . Por experiencia sabe que el 25% de los compradores

]ESCUENTO BANCARIO. DESCUENTOS Y COI\4ISIONES. DESCUENTOS EN CADENAYTASAS ESCALONADAS

24.

25.

hará uso de los tres descuentos; el35% hará uso del primero y segundo de los des-cuentos; el22% hará uso del primero de los descuentos y el resto de los clientes noutil izará ninguno. Calcular:

(o) El descuento equivalente a la cadena.(b) El descuento único equivalente a la cadena de los dos primeros descuentos.(c) El descuento efectivo con que vendió toda su mercancía.(d) La cantidad por la que vendió su mercancía.

La tarifa para impuestos de renta en Colombia es una tasa escalonada modificada.Entre $100.000 y $150.000 la tarifa es de $24.165 más el 37% del exceso sobre $100.00t)de la renta líquida gravable. Calcular:

(n) La tasa real de impuesto que se paga, con base en $100.000 de renta.(b) La tasa real de impur:sto que se paga, con basc en $150.000 de renta.(c) La tasa real de impuesto que se paga, con base en $115.000 de re'nta.(d) La tasa real de impuesto que se paga, con base en $130.000 de renta.

En un acuerdo sindical se concede a los trabajadores la siguiente escala de aumen-tos salariales:

Sueldos inferiores a $1.500, 25% de aumento.Sueldos desde $1.501 a $2.500, 18% de aumento.Sueldos desde $2.501 a $3.500, el14%.Desde $3.501 en adelante, el8%.

Elaborar la gráfica correspondiente a los aumentos concedidos, y determinar en

cada intervalo el valor del antiguo sueldo que, en el momento del incremento que-de de igual valor con el nuevo salario correspondiente al extremo superior de la

escala inmediatamente anterior.

Una empresa que concede los aumentos señalados en el problema 25 decide modifi-

car la escala, para evitar Ias inversiones en las categorías de sueldos. Calcular las nue-

vas escalas, de acuerdo con el criterio explicado en la sección 2.70.Para el cálculo, se

pueden aprovechar los siguientes datos: La planilla de salarios de la empresa mues-

tra antes del aumento: sueldo menor $900, sueldo mayor $7.000. Calcular además el

% realde incremento, según la nueva escala, que recibe un empleado cuyo salario es:

(a) $1.600, (b) $2.000, (c) $2.400, (4 $2.800, (e) $3.a00, (/) M.ooo, G) $5.000, (h) $6.000.

Una persona obtiene un préstamo bancario por $50.000 a 6 meses de plazo, descon-

tado con el10%; con el compromiso de mantener en su cuenta de ahorros la suma

de $5.000 por el t iempo de duración del préstamo. Si, además, debe pagar el 2 por

mil por impuesto de registro del pagaré y $150 de gastos bancarios, hallar la tasa de

interés cancelada por el dinero que utiliza.

26.

i n

MATEMATICAS FI NANCIERAS

2.16 ACTIVIDADES DE CONSULTA

(n) Tasas de descuento bancario vigentes.(b) Comisiones y gastos bancariosiobrados en los descuentos.(c) Tarifas para impuesto de renta (tasas escalonadas).(d) Criterios aplicados en los últ imos aumentos salariales y reajuste de pensiones(c) Tasas de corrección monetaria.a Lenguaje bancario para el valor de los documentos y su valor descontacro.(q') Efectos de la inflación en su país durante los últ imos tiempos.

il¿rsv*K-# ffi

PAGOS PARCIALES Y VENTASA CREDITO A CORTO PLAZO

OBJETIVO

El objetivo de este capítulo es enseñar los fundamentos matemáticos de pagarés conintereses, ventas a plazo y cancelación de deudas mediante pagos parciales. Al termi-nar el capítulo se podrán calcular intereses efectivos en deudas con abonos parciales,intereses en las diferentes modalidades de ventas aplazo y diseñar planes de ventas apIazo.

3.T INTRODUCCIóN

En las actividades comerciales se acostumbra suscribir obligaciones en las que se acep-tan pagos parciales o abonos a buena cuenta, dentro del plazo convenido para cancelarla obligación, en lugar de un solo pago a la fecha de su vencimiento.

Para la solución de los problemas en los que intervienen obligaciones y sus intere-ses, se supone que todo dinero recibido o pagado, por cualquier concepto, forma partedel proceso financiero dentro del mismo juego de intereses, hasta la extinción de laobligación.

En este tipo de obligaciones se presentan varias alternativas y el análisis y cálculode los valores en juego deberán hacerse de acuerdo con las costumbres locales.

A fin de comprender los aspectos teóricos de los pagos parciales de una obliga-ción, se estudiará primero el pago de intereses en fracciones del plazo de la deuda.

r3.2


PAGO DE tOS INTERESES DE UN PAGARÉ EN FRACCIONESDEL PTAZO DE [A DEUDA

Analícese lo que ocurre con un pagaré de $100 con intereses delS% y vencimiento a unaño de plazo, en el cual se obliga al deudor a pagar los intereses por trimestres venci-dos.

El diagrama de tiempo-valor muestra, pafa el ejemplo dado, la fecha de pago delos intereses y el valor de éstos.

Tiempo0 3 6 9 l2meses

Intereses

Fijando la fecha focal para la fecha de vencimiento del pagaré, se tiene que losintereses pagados al final de cada trimestre ganan intereses, a la misma tasa del pagaré,hasta la fecha de vencimiento. Calculando los montos en la fecha focal y designándolossucesivamente por F 1, F2,...F,, valores futuros o montos, y por P el valor presente C.

S : C (1, + ni) se transforma en F : P (1. + ni)

fórmula general del valor futuro, en la cual P = $2; I : 0,08

q,g2fiz$2

paran: 9 meses r3)Iz]

34

(o,os)] :1.2

(i) .,*,]14

año F, : z [ r

* (0,08)] : 2 (I + 0,06) : g2,12

aflo F,= , [t

. (,paran: 6 meses 2 (1, + 0,04) : $2,08

paran: 3 meses =2 (1+0 ,02 ) : $2 ,04

En la fecha del vencimiento, el deudor deberá pagar el valor del pagaré más losintereses del último trimestre o sea $L02; agregando a este valor los valores futuros F,,F ry F ,, se tiene el valor futuro en la fecha focal:

F =102+2,12+2,08+2,04

p :9108,?A

año F,= zlr *

PAGOS PARCIALES Y VENTAS A CRÉDITO A CORTO PLAZO

3.3

Este valor futuro muestra que los intereses corresponden a un pagaréde $100 a latasa efectiva delS,vl%, cifra mayor que ra tasa nominai der pagaré.

DESCUENTO BANCARIO CON PAGOS ANTICIPADOSDE tOS INTERESES EN FRACCIONES DET PtAiZO

En cuanto al descuento bancario, son frecuentes las obligaciones en las que se convienecon el deudor el pago anticipado de los intereses,

"n p"rlodos qrle

"orr"iponden a frac-

ciones del plazo de la deuda.for ejemplo, un pagaré de 9100 a r"2 meses de plazo con pago de intereses d.erg%

anual por trimestre anticipado. En la fecha inicial, el deudoi récibe el valor efectivodescontados los intereses correspondientes al primer trimestre.

VL = VN (1, - nd)

1 ¡ ¡ ¡ = 9 1 0 0 ; n = 3 m e s e s :

vr=zlt-

1

¿ a i o ; d = 0 , 0 8

vL : 1.001t - l i) (0,08).i :100(1 -0,02)= 100(0,e8)L \ 4 i I

VL : $98

los intereses y sus valores.

t0 L2 meses

Los intereses que debe Pagar el deudor en fechas posteriores, al inicio de cadatrimestre, son obligaciones a las que -dentro del mismo jüego de d.escuento bancario ala tasa fijada- se les puede calculár su valor líquido en tá reJna inicial.

VL : VN (1- nd)

VN: $2; n = 3meses = 1 año; d = 0.0g4

(f)ro,*r]=2 (1, -0,02) = 2 (0,98)


Designando porVL,

VL, : $L,96

Paran = 6 meses ano1,

2

v¡:¡ : zlt -L

Designando porVL,

(1) , t , * , ] :2(1-0,04)=

(f)ro,*r]:, o

z (0,96)

$1,92

añoParan: 9 meses :

w,: z [ r - -0 ,06 ) :2 (0 ,94 )

Designando porVL,

VL, : $1,88

El valor de los intereses calculados por descuento bancario en la fecha inicial tie-nen un valor

D : f iZ + VLt+ VL2+ VLI

D : $2 + 91,96 + $1,92 + 91,88

p : $7,76

Este resultado nos muestra que la tasa real de descuento es de7,76,cantidad me-nor que la tasa nominal delS% señalada en el pagaré.

_ Para comparar las tasas efectivas de interés de deudas con pagos anticipados ydeudas con pagos vencidos de intereses, atfonse los problemas reiueltos 1,2,3 y 4 deeste capítulo

Las fórmulas estudiadas en los capítulos anteriores son suficientes para resolverestos problemas, no es necesario desarrollar fórmulas de aplicación general. Por otraparte, en los capítulos dedicados al estudio del interés compuesto, se encontrarán mé-todos para resolver este tipo de problemas desde otros puntos de vista. Es importanteque el lector se familiarice con el léxico bancario y los cambios de símbolos introduci-

J

4


3.4

dos en las fórmulas C : S (1 -ni) yVL: I4ü (1 -ni), jtntocon las siglas utilizadas en losprogramas dg computación para valor presente (vp) y valor futuró (vF).

PAGOS PARCIAIES

Para el t¡atamiento de las obligaciones que permiten pagos parciales o abonos dentrodel periodo o plazo de la obligación, en lugar de realizar un *lo pugo en la fecha de suvencimiento, hay diferentes criterios; a continuación se hará referencia a los d.os másimportantes_y de mayor aplicación. En todo caso, al estudiar el interés compuesto, severán métodos más generales para este tipo de problemas.

Regla comercial Esta regla indica que, para los pagarés que ganan intereses, los valo-res futuros_ de la obligación y de los diferentes abonós debén cálcularse, independiente-mente, en la fecha de vencimiento. La cantidad por liquidar en esa fecha es li diferenciaentre el valor futuro de la obligación y la sumá de lós valores futuros de los distintosabonos.

Designando como F el monto de la deuda en la fecha de vencimiento, F,, F , ..., Flos valores futuros de los distintos abonos en la misma fecha yX la cantidadioí Uq"i1da¡, aplicando la regla comercial, la ecuación de equivalencia es:

X = F- (F , + F2+ . . . + F , )

$4.000tII8

$160

t$450

tI

12

IftE U Para una obligación de $10.000 a un año de plazo con intereses del l2%, eldeudor hace_ los siguientes abonos: $5.000 a los tres meses y $¿.ÓOO a los 8 meses. Calcular, apli-cando la regla comercial, el saldo por pagar en la fecha de vencimiento.

$s.000tI

II

J

$10.000

Designando por F el valor futuro de la deuda, por F, y F, los respecüvos valores futuros de losabonos, en la fecha de vencimiento, se tiene:

MATEMÁTEAS FINANCIERAS

F = P(l + ¿l)

F : 10.000; n = 1año; i: 0,12

F = 10.000 (1 + O,LZ): 10.000 (1,12)

F : $11.200

p : 5.000;n = gmeses = I anos4

[ / : \ lF , =5 .000 l t * l ;1Q,12) | : s .ooo(1 +0 ,0e) :5 .000(1 ,0e)'

L \ : t ' l I

F, = 95.450

p : 4.ooo; n : 4meses = 1 ano; i : o,'r,Z

f r t \ Ir" : 40001t + l: l(0,12) | = 4.OoO (1 + 0,04) :4.000 (1,04)' L \3 / ' ' )

F, :94.160

x : F -(F, + F2) = 11.200- (5.450 + 4.16'0)

¡ = 91.590

Regla de los saldos insolutos o regla americana Esta regla para los pagarés que gananintereses indica: cadavez que se hace un abono debe calcularse el monto de la deudahasta la fecha del mismo y restar a ese monto el valor del abono; así se obtiene el saldoinsoluto en esa fecha. Los pagos parciales deben ser mayores que los intereses de ladeuda, hasta la fecha de pago.

t@Apl icando lareg lade lossa ldos inso lu tos ,ca lcu la re lsa ldoporpagaren lafecha de vencimiento para la obligación del ejemplo 3.1

$4.000 $1..627,60

tt l8 1,2

$5.000+II3

$10.000


Valor futuro de la deuda a los 3 meses:

= ro.ooo [r

+

F : x =r.sos [ r

+

(i).,'r]= 10.000 (1 + 0,03) = 10.000 (1,03)

= $10.300

Menos primer abono - 5.000

Saldo insoluto a los 3 meses $5.300

Valor futu¡o del saldo a los 8 meses:

P =5 .300 ;n=Smeses = L ano ; i=0 ,12

| / - \ IF=5.3ool t * [ ] l1o, rz¡ lL \ 1 2 l '

' l

= 5.300 (1 + 0,05) = 5.300 (1,05)

= 5.565

Menos segundo abono - 4,000

Saldo insoluto a los 8 meses $1.565

Sobre el saldo insoluto en la fecha del úlümo abono, se calcula el valor futuro en la fecha delvencimiento.

P = $1.565; n = 4meses:1;J

(!\rc,,,\ 3 / '

año; i = 0,12

)] =.,.uuu o + 0,04) = 1.565 (1,04)

X = $1.627,60

- - Comparando los resultados obtenidos en los ejemplos 3.'1. y 3.2, se observa que els.aldg fo¡ Pagar en la fecha de vencimiento resulta Áuir+al apíicar la regla de ló sal-dos insolutos' Esto se debe a qu9 a_l aplicar esta regla, él prestarnista comienza a ganarintereses sobre los intereses,capitahzádos, en cadifecha de los pagos parciales.

Si el deudor de una ob-ligación con interese s dellZ%, a ln anó de plazo, haceabonos mensuales, aplicando la regla de los saldos insoluios, se le cobra sobre sal-

l''MAÍEMÁTICAS FINANCIERAS

dos el L% mensual con capitalización mensual, es deci¡, intereses compuestos y nosimples.

Sea la obligación de valor C por pagar en ?? meses con intereses simples del i%mensual, a la cual se hace un abonoA transcurridos rx1 meses. En un diagrama de flujose marcan los tiempos, r?r que corresponde al abono y n al vencimiento de la obligación.

Valor futuro aplicando regla comercial : VFRCValor futuro aplicando regla americana : VFRA

VFRC = C (1 + ni) - A[1 + (n -nr) il

VFRA : [C (1 + nri) - A]11. + (n - nr) il

VFRA = C (1 + , rü- ¡11. + (n*nr) i l + C(1 + nr i ) (n-nr) i

VFM: C(1 . +n , í ) -A [1+ (n -n , ) i ]+C (n i - n r i + n rn iz - n l i2 )

WM = C(1 + n i ) -A [1 + (n -n r ) i l * Cnr i (n -nr ) i

Restando: VFRA - VFRC : Cnri (n - nr) i

O sea, la diferencia entre VFRA y VFRC son los intereses simples a la tasa i en eltiempo (n - nr) de los intereses Cni del préstamo C.

VENTAS A PTAZOS

A pesar de que el análisis acerca de los problemas derivados de las compraventas aplazos se aborda en los capítulos correspondientes al estudio del interés compuesto, seestima que, por su gran aplicación en las actividades comerciales, conviene examinar

3.5


en esta sección algunos aspectos de los sistemas que se acostumbra aplicar en este tipode ventas.

Sobre el precio de contado, el comerciante carga una suma adicional por venta aplazos; parte de esta suma es por concepto de intereses sobre la deuda que contrae elcomprador y otra parte es para cubrir el mayor costo que significa la venta a plazos.Entre estos costos están los gastos de contabilidad, cobranzas, investigación de crédi-tos, gastos legales, deudas incobrables y otros.

Para el compradoD^el sobreprecio que paga son los intereses de la deuda que contraepor la compraaplazos. Comercialmente se considera el sobreprecio como inteieses.

Ventas a plazos con cargo de intereses sobre saldos Esta modalidad es de aplicaciónpoco frecuente y consiste en pagar la deuda por medio de cuotas iguales, a lás que sesuman los intereses sobre el saldo de Ia deuda a una tasa convenida.

[ftfififtf,ff Una persona compra artículos electrodomésticos por valor de $8.000 y convie-ne pagar $2.000 al contado y el saldo en 4 cuotas de $1.500 mensuales, c/u con el 2% mensual deintereses sobre saldos.

Valor de la compramenos pago de contado

SaldoPrimera cuotamás 2% sobre 6.000Valor del primer pago

SaldoSegunda cuotamás2% sobre 4.500Valor del segundo pago

SaldoTercera cuotamás2% sobre 3.000Valor tercer pago,

SaldoCuarta cuotamás 2% sobre 1.500Valor cuarto pago

Saldo

$8.000- $2.000

$1.500+ $ 1 2 0

$1.620

$1.500+ $ 9 0

$1.se0

$1.500+ $ 6 0

$1.560

$1.500+ $ 3 0

$1.s30

$6.000

$4.500

$1.500

$3.000

000

Ventas a plazos con pagos periódicos iguales En el comercio, la costumbre más gene-ralizada para las ventas a plazos es la modalidad de pagos periódicos iguales. Para de-terminar el valor de estos pagos periódicos o cuotas, se procede así: al precio de contado


se le hace un carSo adicional por venta a plazos. De este valor se resta la cuota inicial y

el saldo se divide por el número de pagos convenidos'

(precio de contado + adición) - cuota inicialaalor cuota =

Ordenando en otra forma el numerado¡, se tiene:

aalor cuota =(precio de contado - cuota inicial) + adición

número de pagos

3.ó

(precio de contado - cuota inicial) : saldo insoluto

o sea que, en realid.ad,la adición se hace al saldo insoluto y el valor de Ia cuota es:

aalorütota= W

TASA DE INTERÉS EN VENTAS A PTAZOS

Para calcular la tasa de interés anual cargada en la transacción, es necesario determinar

algunos conceptos y dar algunas definiciones.

B : saldo insoluto = valor de contado - PaEo inicial

I : cargo adicional o intereses

n : número de pagos excluyendo el pago rnicial

R : valor del pago periódico

la = número de periodos o plazos contenidos en un año

I = tasa anual de interés expresada en tanto por ciento

h : tiemPo exPresado en años

Pordefinición, I: Rn-B

Thsa de interés según la regla comercial De acuerdo con la regla comercial para pagos

parciales estudiadá en la seición 3.4, se escoge como fecha focal la fecha de vencimiento

para la obligación. Para el caso de ventas a plazos, se trata de la fecha de pago para la

última cuota de la comPra a Plazos.

PAGOS PARCIALES Y VENTAS A CREDITO A CORTO PLMO

0periodos

D

Cada periodo de pago es igual a 1/ ,,,aíto; el tanto por uno de interés en cada perio-

do es igual a1/,,, i.81 monto del saldo insoluto inicial y la suma de los montos de lospagos parciales, en la fecha focal, deben ser iguales.

R fecha focal mes o

+1¿l +nm )

- z ) * . . . +2+1 f

( n \ / r - 7 \ | n - ) \B l 1 + - : i l : R l 1 + " - i l + R l l + " - i l +

\ m / \ m / \ m )

( ) \ /+Rl t+a i l +n l t

\ m / \

B + B n i : n R + R L [ ( r _ 1 ) + ( rm m '

La expresión encerrada en el paréntesis es la progresión aritmética formada porlos (n - 1) primeros números naturales y su suma es igual u nln-- 1). AI sustitui¡, setiene:

B + B n i : n o * R ( n - 7 ) n im 2 m

B L i _ R ( n - l ) n im 2m

:nR-B: I Car9oad ic iona lo in te reses

lznn-x(n-t)nli :2mI

fll MATEMÁncAs FINANoTERAS

Z n B - R n 2 + R n

ZmlL -

ZnB- ( I+B )n+ l+B nB+B-n l+ I

2mlB(n+ r ) - t ( n -1 )

(17)

@Unequipodesonidot ieneunpreciodecontadode$65.000;sevendeaplazosmediante un pago inicial de $12.000 y el saldo en seis cuotas mensuales de $10.000 c/u. Calcularla tasa de interés cargada.

Saldoinsoluto B = 65.000-12.000 = $53.000Cargo porintereses I : Rn-B = 6 (10.000) -53.000:60.000-53.000

I = 7.000

Número de pagos n : 6; periodo de pago = L mes, de donde m = 12

Al sustituir. se tiene:

z (12) (z.wo)

2mIsustituvendo Rn = I * B, se tiene

Zml

' 53.ooo (6

I :0 ,50

Tasa =50%

111.300 - 1,51

25,51

I

I

+ 7) - z.ooo (6 - 1)_ 168.000

37Ln0 - 35.000

[ftffi&ffl En la venta a,plazos del ejemplo anterior, el comerciante desea cargar interesesa la tasa del30%. Calcular: (a)'El cargo que debe adicionar al precio de contado, para obtener suprecio de venta a plazos. (b) La cuota mensual.

z (12) (r)(a) i = 0,30 %,1

37Lffi0 - 5I

= ?Al

= 111.300

, 111.30025,5

= $4.364,70

: $9.560,80(b) valor cuotas :53.000 + 4364,70


Thsa de descuento bancario en ventas a plazos Considerando el saldo insoluto B comoel valor efectivo o actual de los pagos futuros o cuotas de las ventas a plazos, se tienenn pagos de valor R, en periodos iguales a|/;,de año, a la tasa de descuento d.

B

0

R

n , )- a lm . )

, Zmla :

R n ( l x + 1 )

ufecha focal mes 0

B:R(r-L¿) +n(t-?¿l* *nlr -n- ' t '¿) *nlr-\ rn / \ m / \ m / \

B= nR - ! ¿ l + z+ . . . + (n - t ) + n fm L

La suma de los términos encerrados en el paréntesis es igual u n (n + 1) '2

s :nR-Rd[ ' ( '= *0 ]- m l z I

R . l n (n +1 \1* ' l , _ l

: , O - B = I c a r g o a d i c i o n a l p o r v e n t a s a p l a z o s

despejando d1

I@Calcular latasadedescuentobancario,enlaventaaplazosdelejemplo3.4

m : 12; n : 6; R : 10.000; I : 6 (10.000) - 53.000 = 7.000

Sustituyendo en la fórmula 18, se tiene:

(18)

2 Q2)Q.ooo)d : loooo (6) (6 + 1)


_ 168.000420.000

d = 0,40

Tasa de descuento = 40%.

Effif,fl En el ejemplo 3.6, el comerciante desea cárgar la tasa de descuento del 2 4% . Calcu-lar el cargo que debe adicionar al precio de contado, para obtener su precio de ventas a plazos.

) - 2 m l"

- R " ( " * L )

d = 0,24; m : 12; n : 6; R : 10.000

z (rz) (r)0,24 :

0,24 =

+r )1o.ooo (6) (6

24 (t)420.000

24I = 100.800

¡ : 100.80024

¡ = 94.200

Thsa de interés según la regla de los saldos insolutos El cálculo de los intereses conaplicación de esta regla se estudiará en los capítulos sobre interés compuesto/ junto conotros métodos generales

En algunos textos se dan otras fórmulas para cálculos aproximados de la tasa car-gada en operaciones de ventas aplazos; ninguna tiene validez. Una de las más utiliza-das es lallamadarazón constante que no corresponde a ninguno de los criterios aplicadosen matemáticas financieras. Para su deducción, se supone arbitrariamente que los pa-gos R se descomponen en dos sumandos aplicados, independientemente, al pago delsaldo insoluto, y el otro, al pago de los intereses globales.

de I : Rn- B se despeja R, y se tiene

El nombre de razón constante se refiere a que la razón entre B/, e t/n es la mismaque hay entre B e 1; lo que no constituye una novedad ni tiene relación alguna con elproblema mismo. Para la deducción de la fórmula, se supone que los saldos insolutosganan i% anual, y después de cada pago son los términos de la sucesión.

BIt ? - - - F -

n n


', (' - :),(' - +),{r - r' -tltl:).(, +)+ +{, ry}]t=Llr*(t-

ml \

; f 1l : ! -B l n - ^ ( r+2+ . . .

m I n '* ( r - t ) ]

r=a r l r - t .n(n- t ) ]ml n 2 l

2m

ZmIEC + l)

Fórmula de razón constante

El lector debe analizar cuidadosamente esta fórmula, cuya aplicación está bastan-te difundida -no obstante estar mal concebida-, y sacar sus piopiás conclusiones sobreésta y otras fórmulas que se utilizan en el comercio (oéase piobÉma 21,, página9l).

PRO BIE'i,IAS RESU ETTOS

1. un inversionista presta $20.000 a un cliente, a un año deplazo,mediante un pagaréque Sana el1'0% de intereses simples, con el cual el deudbr se compromete a cance-lar los intereses por trimestre vencido. Hallar la tasa cobrada de interés real.Los pagos trimestrales de intereses se incorporan al juego financiero bajo sus mis-mas reglas, es deci¡, devengan intereses del1,0%.

Cálculo de los intereses trimestrales

I = Cni, C = Pvalorpresente, I = Pni

p : 20.000; , = j, i = 0,10

r : 2o.ooo 11)fo,rol\ 4 /

I _I -

L -

3.7

1 : $500

l'-

f,ll MATEMÁTrcAs FTNANcTERAS

Cada pago de intereses gana, a su vez, intereses hasta la fecha de vencimiento delpagaré.

Primer pago:

Segundo pago:

Tercer pago:

F :P (1+n i )

p=500 ; r= | , i =0 ,10

F, = 5oo [t

. (;) (o,r)] = $537,s0

p :500 ;n=* , f =0 ,10

F, : 5oo [t

. (;) (o,t)] = $525,00

p:500; r= i , l=0 ,10

F, = 5oo [t

. (f (o,t)] = $slz,so

Cuartoyúltimopago: P = 500; n = 0; i = 0,10

F¿ : 500 [t * (o) (0,1)] = $500,00

F=F , +F2+ F3+F4 =537 ,50+525+ 512 ,50+500

Monto de los intereses al vencimiento del pagaré: $2.075,00

l : 2 .075 ;P :20 .000 ;n :1

' -2 '075 :o .o1o3z5- 20.000

Tasa efectiva de interés = 10,375%

, l1 = -' P n

PAGOS PARCIALES Y VENTAS A CREDITO A CORTO PLAZO

2. En el problema anterio¡, Zcuál es la tasa de interés, si los intereses se cobran poranticipado?En este caso, lo único que varía es el tiempo dúrante el cual los intereses ganan, a suvez, intereses.

Primer pago:

Segundo pago:Tercer pago:Cuarto pago:

F = P ( 1 . + n i )

P : 5 0 0 ; n : 1 ; i : 0 , 1 . 0Fr :500 [1 + (1) (0,1)]F, : Frdel problema Ne 1F, : Frdel problema Ne 1F. = F, del problema Ne 1

$ 550,00$ 537,50$ 525,00$ sl2,5092.125,00Monto de los intereses al vencimiento del pagaré

. I' P n

I :2 .125; P :20 .000; n :1 .

. 2.125t=- - : - : - : - =0 ,70625

20.000

Thsa efectiva de interés : 10.625%

3. Un banco descuenta un pagaré de $100.000 a 18 meses de plazo con intereses delL2/o anlual, pagaderos por semestres anticipados. Hallar Ia tasa efectiva de descuen-to bancario cobrado por el banco.Es necesario calcular el valor efectivo en la fecha inicial de cada pago de intereses,en el mismo juego financiero de descuento al1,2%. Primero se calcula el valor de lospagos semestrales, por concepto de intereses.

I : P n i

p : 1 0 0 . 0 0 0 ; n : 0,12

/ 1 \

¡ : 100.0001 i1(o , tz ¡\ ¿ )

¡ : 96.000

Luego, se cálcula el valor efectivo de los intereses en la fecha inicial, en el juegofinanciero de descuento bancario aI1,2%.

1- . 4 -

2 '

P : F ( 1 , - n d )

rMATEMATICAS FI NANCI ERAS

Primer pago de interés, en la fecha inicial:

P , :

Segundopago: P : 6.000; n

IP, : 6'000

L1lbrcer pago: F : 6.000; n

P¡ : 6'000 [tSuman

: L ;d = 0 ,1

(}) (o'12)]

= 1 ; d = 0 , 1 2

- 0) (0,12)]

$ 6.000,00

z

: $ 5.640,00

= $ 5.280.00

$16.920,00

El descuento efectivo en la fecha inicial es de $16.920,00

D = P n d

D = 76.920; P = 100.000i n :

Dd=p ,

, : - f t 4n =0 ,1128" - roo.ooo (f)

Tasa de descuento efectivo :'1,1,28%

4; Una persona firma un pagaré de $50.000 a 6 meses de plazo, con intereses delg%.Antes del vencimiento, efectúa los siguientes abonos: $10.000 al mes y $20.000 a loscuatro meses de firmado el documento. Hallar el saldo que debe pagar al venci-miento, aplicando: (a) la regla comercial, (b) la regla de los saldos insolutos.

(a) Regla comercial En la fecha de vencimiento deben calcularse los montos de laobligación y de los abonos.

Monto de la obligación.

= P ( 1 + n i )

:50.000; n

32

F

P

F :5o.ooo [1

F = $52.250

= *, ,

: o,oe

. (f (o,oe)]

PAGOS PARCIALES Y VENTAS A CREDITO A CORTO PLMO E

Monto de los abonos. P, : 10'000; n = *,,

i = 0,09

Fr : 1o.ooo [t

. (*) (o,on)]

F, : $10.375

Pr=20 .000 ,n= I , i : 0 ,09

Fz = 2o.ooo [t

. (f (o,oe)]

F, : $20.300

Saldo insoluto = F - F r - F z

= 52.250 - 1,0.375 - 20.300

Saldo de vencimiento = gZ1-575

(b) Regla de los saldos insolutos (regla americana) Cada vez que se hace un abono,se calcula el monto de la deuda en la fecha correspondiente y se le resta dichoabono.

F : P ( 1 , + n i )

p =50,000; n: i , ,

i = 0,09

F : bo.ooo [t

. [,|)(o,oe)]

: $50.375,00

Menos primer abono

Saldo

P = 40'375; n: !; i

F :4o.37sf t . l1 ' )L \4 /

Menos segundo abono

Saldo

$10.000.00$40.37s,00

: 0,09

I(0,09) I :941.28j,44

J

$20.000.00fi21*283,44

a


I : 6.000 (0,10) : 699.

I) : precio de contado menos cuota

2 (600) (12)

P : 2 L 2 9 3 , 4 4 ; n =

F : 21,.283,4q1t *L

Saldo al vencimiento

i : 0,09

I(0,09) I : fi21.602,69

I= 921.602,69

b

l1 )t - l

\ .6 /

Un comerciante acostumbra aumentar el precio de venta de contado enunl}/o paraventas a plazos hasta de seis meses y en un 1,5% para plazos entre 6 meses y un año.Cobra una cuota inicial igual a las cuotas por pagar en los plazos. Dos clientes, Ay B,compran cada uno artículos por el mismo valor de $6.000.4 compra a 5 meses plazo y B,a 10 meses de plazo con pagos mensuales. Para ambas compras, calcular Ia cuota men-sual y Ia tasa de interés cargada en la transacción, ap'licando la regla comercial.

2mlClietttc A: i :

B ( n + 1 ) - I ( u - t )

; -

Tása : 53,33%

4.eoo (6) - 600 (4)

0,5333

6.600t t : 5 ; r n : 7 2 ; R :

o : 1 . 1 0 0

inicial : 6.000- 1.100 : 4.900

14.40027.000

10; trt = 1.2; valot cuotasClietúe B: I : 6.000 (0,15) : 900; tt

R = u?90 : 627,271 1

B : 6.000 - 627,27 : 5.372,73

- _ 2 ( 1 2 ) ( e 0 0 ) _ 2 7 . 6 0 0s.372,73 (11) - eoo (e) 51.000

i : 0,4235

Tasa: 42,35%

Una tienda ofrece cortinas por valor de $7.800 con una cuota inicial de $1.000 y elsaldo en 18 cuotas quincenales de $396 du. Calcular la tasa de interés cargada a laventa, según la regla comercial.

B : 7.800 - 1.000 : 6.800; I

_ 2(24)(328)-

6.800 (1e) - 328 (17)

i : 0 ,727

Tasa : 12,7o/o

PAGOS PARCIALES Y VENTAS A CREDITO A CORTO PLAZO

: 396 (18) - 6 .800 :328; n :18) m :24

_ 75.744723.624

7. Un comerciante vende electrodomésticos por valor de $90.000; para promoversus ventas, ofrece crédito para pagar en^12 cuotas mensuales de $8.000 c/u yrecibe la primera como cuota inicial. Calcular la tasa de descuento bancario deIa transacción.

. ZmI, 7 : - - - - - - - - - - - - - -" R r ( n + 1 )

R : 8.000; B : 90.000-8.000 : 82.000; m = 12;tt : 11;I : 8.000 (11)-82.000 : 6.000

d: ?!l)(6!00) : l4lqqt8.000 (11) (12) 1.0s6.000

d :0,] .36

lhsa de descuento : 13,6%

8. Un comerciante ofrece herramientas por valor de $12.800. Si la compra es al conta-do, rebaja 1.0% de este precio. A plazos las ofrece para pagarlas en 18 mensualida-des, pero aumenta el valor en $2.183 y exige una cuota inicial de92.532. Calcular Iatasa cargada en la venta, de aeuerdo con la regla comercial.En este problema, el precio de venta de $12.800 es un valor ficticio señalado por elcomerciante, para cumplir con una ley que no le permite cargar más del 2% men-sual en ventas a plazos, sobre saldos insolutos.El saldo insoluto B es igual al precio de contado, menos la cuota inicial.

Valor de contado : 12.800 (0,9) : $11.520B :1.1.520-2.532 : 8.988

El comerciante calcula el valor de las cuotas mensuales con base en el precio ficticiode $12.800, más un cargo de ventas aplazos, menos la cuota inicial.

i 2 ,800 +2 .1 .83 -2 .532 72.451.: - -18

R -18

MATEMÁTICAS FINANCIEBAS

: fi691,72: 18; m : 12; I : 697,72 (18) - 8.988 :

ZmlB (n+1 ) - I ( " - 1 )

2 (12) (3.463) 83.772: -11L901' :

8.988 (1e) - 2.46i (12)

0,743

74,3%

El comerciante sostiene que sú precio de venta es $12.800 y que el saldo insolutodebe calcularse sobre ese valor; entonces, calcula la tasa así:

n : 18; m : 12) B : 12.800 -2.532 : 10.268; I : 69'J.,72(18) - 10.268 : 2.'1.83

2 (12) (2.183) s3.392= -1,57,981

: 10.268 (1e) - 2.183 (17)

: 01338

= 33,8%

En este mismo problema, el comerciante agrega al precio de venta a plazos, más lafinanciación,el4% de impuestos/ o sea (12.800 + 2.1.83) (0,04) : $599. De esta mane-ra, obtiene cuotas mensuales de$725. Calcular la tasa de interés en este caso.

PROBTEMAS PROPUESTOS

Un pagaré con intereses del'1.0% obliga al deudor a pagar los intereses mensual-mente. El documento vence a los seis meses; calcular la tasa efectiva de interés pa-gado.

Un banco descuenta un pagaré de $50.000 a un año plazo con pago de intereses del10% por trimestre anticipado. Calcular la tasa efectiva de descuento.

Una deuda de $7.000 con intereses del9% vence en 8 meses. Se paga $2.000 a los 3meses y 2 meses más tarde, $3.000. Calcular el saldo insoluto en la fecha de venci-miento: (a) mediante la regla comercial; (b) aplicando la regla de los saldos insolutos.

El 9 de julio de determinado año se firma un pagaré de $6.000 con e11,0% de intereses yvencimiento el9 de diciernbre. El 18 de sepüembre se hace un abono de $2.500; el9 de

R

n

; -

Tasa :

3.463

1

lhsa

3.8

9.

10.

tt.

12.


noviembre se hace otro de $2.000. Calcular el saldo por pagar en la fecha de vencimien-to, mediante: (a) la regla comercia! (b) aplicando liregia áe los saldos insolutos.

13. una obligación de $20.000, c'yo vencimiento es a 6 meses allz%, se reduce pormedio de dos PaSos iguales de $6.OOO efectuados 3 meses y 2 meses, antes del ven-cimiento. Calcular el saldo insoluto, aplicando: (a) Ia regla comercial; (b) la regla delos saldos insolutos.

14. Una persona compra una casa en 918.000.000. paga de contado 910.000.000 y por elsaldo firma un pagaré con72% de intereses, a un plazo máximo de 9 meses. Ai finalde cada trimestre, abona $2.500.000. Calcular el saido que debe pagar en la fecha devencimiento.

15. Un 91"¡P9 cuyo precio de contado es de $50.000 se vende a plazos, con una cuotainicial de $5'000 y 20 pagos semanales de $2.500 c/u. Calculai: (a) la tasa de interésaplicando la regla comercial; (b) la tasa de descuento bancario.

16. Un comerciante en artículos electrodomésticos recarga al precio de contad.o eI1,4%para sus ventas a plazos hasta 8 meses. Como cuota inicial cobra el 20% delvalor deventa a plazos, y el saldo, en pagos iguales mensuales. Calcular el valor de las cuo-tas que debe pagar una Persona que compra artículos por valor de 95.000 -preciode contado-, Para Pagar en 8 cuotas mensuales iguales. -alcular, también, la tása deinterés cargada en la venta según la regla comercial.

17. Una Persona recibe dos ofertas por un mismo artículo, cuyo valor de contado es de$3'800' l,.In comerciante le ofrece la venta a plazos con el siguiente plan: recargo del12% pot venta a plazos; cuota inicial $500; el saldo en Stuotas mensualeslOtrocomerciante ofrece otro plan así: recargo del 1,0% por venta a plazos; cuota inicialde $750 y el saldo en 8 cuotas mensuales. Hacer los iálculos que correspondan, paradeterminar cuál oferta es la más conveniente

18. Un comerciante cobra por sus ventas aplazosel 2/o mensual sobre saldos insolutos.Elaborar un cuadro que corresponda al desarrollo de una deuda de $8.000 pagade-ra en 4 mensualidades iguales y calcular la tasa efectiva pagada.

19. Si en el problema anterior el comerciante recarga el|% alprecio de venta al conta-do -por concepto de gastos por ventas a plazos , calcular lá tasa efectiva cargada enla venta.

20. Un comerciante desea vender equipos electrónicos que tienen un precio de ventade $380.000 al contado, con el siguiente plan: $60.000 como cuota inicial y el saldoen 10 pagos mensuales iguales. Calcular el cargo que debe adicionar al precio deventa y el valor de las cuotas, para que la tasa de interés cargada sea del i6%, apli-cando la regla comercial.

2t.

22.

MATEMÁNCAS FINANCIERAS

Una máquina vale de contado $34.000. Se vende a plaz,os, con el siguiente plan:cuota inicial de $9.000 y 4 mensualidades de $7.000 c/u. Calcular la tasa de interéscargada, aplicando: a) la regla comercial y b) la fórmula para el cálculo del interéssegún el sistema llamado derazlnconstante. Elaborar un cuadro del desarrollo dela deuda para cada caso. Obsérvese que en el caso b) la deuda no se extingue; estoocurre como consecuencia de que el sistema llamado razón constante es erróneo.

En el problema2'!,laventa se hace con la misma cuota inicial y el saldo se paga en 4mensualidades, por el sistema delT% sobre saldos insolutos. Elaborar el cuadro deldesarrollo de la venta y compararlo con los obtenidos en el problema2l'.

23. Un comerciante financia sus ventas aplazos, con un préstamo bancario con el12%de descuento. Para cubrir los gastos de ventas aplazos, decide aumentar en 5 pun-tos el descuento de sus ventas aplazos sobre el descuentobancario. En la venta deherramientas de $7.400 de contado concede -a plazos- el pago de seis cuotas men-suales de 91.100 du. Calcular: el cargo adicional que debe hacer al precio de venta yel valor de la cuota inicial.

24. tJn comerciante vende máquinas a un precio de $60.400 de contado y las ofrece aplazos con el siguiente plan: cuota inicial $25.000 y el saldo en 4 pagos de $10,050,pagaderos cada 60 días. Calcular la tasa de interés de la transacción'

ACTIVIDADES DE CONSULTA

(a) Consultarenelcomerciolocalelpreciodeartículosalcontadoyaplazos,elrecargoa plazos y la cuota inicial. Algunos comerciantes ponen un precio al artículo; si laventa es al contado, ofrecen un descuento sobre el precio establecido; si es a plazos,lo recargan. Calcular la tasa de interés que recargan en sus ventas a plazos.

(b) Consultar en los grandes almacenes que tienen departamento de crédito, los recar-gos sobre ventas a plazos y calcular la tasa de interés que en realidad recargan enlas mismas.

(c) Estudiar los gastos que cobran en el comercio para las ventas a plazos (impuestos,comisiones/ investigación de créditos, etc.), incorporar estos gastos como mayor va-lor en la venta a plazos y calcular la tasa real de recargo en las ventas a plazos.

3.9

C¿píxur* 4

INTERES COMPUESTO

CJETIVO

El objetivo de este capítulo es enseñar el manejo de los factores que intervienen en loscálculos de interés compuesto junto con los análisis matemáticos que conducen al desa-rrollo de las fórmulas para el cálculo de montos, tasas y tiempos. Al terminar el capítu-lo, será posible reconocet definir y calcular los factores que intervienen en el interéscompuesto, calcular montos, tasas nominales, tasas efectivas y tasas equivalentes.

¡NTRODUCC¡óN

En los problemas de interés simple, el capital que genera los intereses permanece cons-tante todo el tiempo de duración del préstamo. Si en cada intervalo de tiempo conveni-do en una obligación se agregan los intereses al capital, formando un monto sobre elcual se calcularán los intereses en el siguiente intervalo o periodb de tiempo, y así suce-sivamente, se dice que los intereses se capitalizan y que la operación financiera es ainterés compuesto.

En una operación financiera a interés compuesto, el capital aumenta en cada finalde periodo, por adición a los intereses vencidos a la tasa convenida.

Función del üempo Elcrecimiento natural es unavariación proporcional a la cantidadpresente en todo instante; tal es el caso del crecimiento de los vegetales, las colonias debacterias, los grupos de animales, etc. Estos crecimientos son t'unciones continuas del


tiempo. En Ia capitalización a interés compuesto, también se produce el crecimientocontinuo; más adelante, en la sección 4.9 se estudiará el monto a interés compuestocomo función conünua del tiempo.

En la sección 1.12 se incluyó la gráfica de los valores del monto a interés simple yla función Y : 1 + Xl, donde los valores de Y corresponden al monto de un capitál gí,como función continua del tiempoX. Sin embargo, para las aplicaciones comeriiales, eltiempo en el eje X se mide en periodos o fracciones de periodos que no son inferiores aun día; esto implica que el monto a interés simple comercial esinat'unción discreta deltiempo. En estas condiciones,la gráfica de los valores del monto a interés simple, paraun capital inicial de $1, no es la gráfica de la función continua Y :'J, * Xique formiunarecta, sino la escalonada que se muestra en la gráfica (obsérvese que, para fracciones deperiodo, la tasa de interés simple es tasa proparcional; aéase elproblema 1 del capítulo 1).

periodos

En el crecimiento de un capital a interés compuesto, los intereses ganados se agre-gan al capital en intervalos de tiempo que se estipulan contractualmente; bajo estascondiciones, el monto es función discreta del tiempo.

Gráfica del monto de un capital de $1.000 al interés del1,0% con capitalizaciónanual. (Véase ejemplo 4.1).

Periodo de capitalización Es el intervalo convenido en la obligación, para capitalizarlos intereses.

Thsa de interés compuesto Es el interés fijado por periodo de capitalización.

Valor futuro de un capital a interés compuesto o monto compuesto Es el valor delcapital final, o capital acumulado, después de sucesivas adiciones de los intereses.

INTERES COMPUESTO

ffiE[ Se conviene una deuda de $1.000 a 5 años de plazo al interés del 10% concapitalización anual. Esto significa que al final de cada año los intereses deben capitalizarse. Acontinuación se muestra en el cuadro de desarrollo de la deuda, el capital acumulado al finalde cada periodo, que en este caso es anual.

J

Interesesen el

periodo

X periodos

1)3

+i

n

Número deperiodos

Capital aprincipio de

Lreriodo

Capital másintereses a final

de periodo

1.000,001.100,001.210,001.331,007.161,70

100,00110,00121,00133,10746,47

1 . 100,001.210,001.331,001.464,L01,.61,0,51,

Si el préstamo fuese a interés simple, su monto al final de los 5 años sería:

S = C(1 * rr i) = 1.000 [1 + 5(0,10)] = 1.000(1 + 0,50) : 1.000(1,50)S : $1.500 (monto a interés simple)F : 1.610,51 (valor final a interés compuesto).

MONTO O VALOR FUTURO A INTERES COMPUESTO

Sea el capital P puesto al interés i por periodo de capitali zacíón(i es el tanto por cientoen el periodo). Calcular el r,alor futuro F al final de rr periodos de capitalizaciín.

{J

!fl MArEMÁncASFrNANcrERAs

Capitala principio

Periodos de periodo

Interesesen el

periodo

Capital más interesesa final de periodo

1 , P2 P(l3 P(l

:. :.n

+0+ i)'+ i)u

n P(1, + i)*1

F : p ( l

PiP(1, + i)iP( l+ i )z iP(1 + i)3t

a

P(1. + i)*1i

+ i)'

P + P i = P ( l + i )P(l + t) + P(1 + i)i = P(l+ i)z

P(1, + i)2 + P(1 + i)2i : P(l + i)3P(1 + t)3 + P(1 + i)3i = P(l+ i)a

:P(1 +0*1 + P(1+i)*1i : P(1 + l ) ,

o sea (lea)

F : monto compuestoP : capital

i : tanto por uno en el periodo(1 + t), : factor de valor futuro (VF), o factor de interés compuesto y

corresponde al VF de 1 a interés compuesto en n periodos.

Los valores del'factor de acumulación (1 * i)'pueden hallarse utilizando calcula-dora, logaritmos o mediante el desarrollo del teorema del binomio. En la práctica seutilizan calculadoras o tablas financieras en las que los valores de (1 + i)" están calcula-dos hasta con diez decimales, para las tasas más utilizadas y para valores de n desde 1hasta 150 periodos. Al final del libro se han incluido, parcialmente,las tablas financie-ras Por estudiar a lo largo de éste; ellas permitirán comprender y practicar su manejo.

La tabla I tiene los valores de (1 + i)" para valores de r, desde 1/4% al8/o; paravalores de n desde t hasta 50 periodos. Aproximados hasta 8 decimales.

EIIEEI Un banco ofrece la tasa del 10% paralos depósitos en cuenta de ahorros. Calcularel monto de un depósito de $1.000 al cabo de 10 años utilizando: (a) calculadora; (b) logaritmos;(c) tablas.

(a) Para este cálculo se emplea una calculadora científica de bolsillo:

Si la calculadora no tiene función XY, podría calcularse por productos sucesivos, así:

l,'l'(l'1) = 1,21;'1,,21(1,21) = 1,4641;1,4647 (7,464'l) = 2'1435888; 2,1.435888(1,21) =

2,593744: (1,1),0

El mundo actual no se puede dar el lujo de desperdiciar el tiempo , y para que haya eficienciaexige disponer de instrumentos adecuados para cada actividad.

r -

E -

Utilizando logaritmos:

P(1 + 4,1 . 0 0 0 ; l : 0 , 1 0 ; n : 1 , 01.000(1 + 0,10)10: 1.000(1,1)10:92593,74

rNrERÉscoMPUESro Ea

t.000(2,5937424)

(b)

r. s; : l;?Tll'..',T'"r;,1 ooo.''""

log 1.000 :

10 log1,1 : 0,041393(10)logF

F = 92.593,76

(c) Utilizando tablas:

: 3,000000: 0,413930= 3,413930

En la tabla I se busca la intersección de la columna del1,0% con la fila n = 10, v se encuentra elvalor 2,59374246

F = 1.000(1 + 0,10)10 = 1..000(2,59374246)

F = $2.593,74

Notación estándar Las matemáticas financieras, como todas las ciencias, evolucionancon el tiempo. Los avances tecnológicos y los nuevos sistemas operacionales exigenuna revisión de sus conceptos, definiciones, estructura matemática de teoremas y mo-dos de operar En matemáticas financieras se ha diseñado un modelo para representarIa relación funcional entre los factores que intervienen en un problema financiero, estemodelo es la notación estándar.

X : Y ( X / Y , i % o , n )

es el valor que se debe calculares el valor conocidoes la tasa de interéses el número de periodos (los economistas lo definen como horizonte)

Con esta notación estánda4 X : Y(X/Y,i%,n), se logran dos importantes ventajas:

1. En el desarrollo de un problema financiero, evita escribir continuamente las estruc-turas algebraicas, y sólo en las conclusiones, si es necesario, se indica la expresiónalgebraica.

2. La forma (ñY, i% , n) es la notación estándar de los factores utilizados en matemáti-cas financieras. Esta forma de expresar los factores conduce a definiciones y expre-siones más generales y simples que las tradicionales.

Una propiedad destacable de la notación estándar es que admite inversa:

X

in


X : Y ( ñ Y , i % , n )

Y = XDespejando Y (XlY,i/",n)

Por definición Y : X(y/X, i%, n)

Los análisis matemáticos concluyen en un teorema que se enuncia por medio deuna relación funcionaf estas relaciones se expresarán de doi formas: notación algebraicay notación estándar. En el estudio de matemáticas financieras, para tener una compren-sión clara de los factores que entran en juego en un problema, Ls necesario familiirizar-se con los desarrollos algebraicos y adquirir destreza en su manejo; lo cual permitirácomprender con facilidad los temas tratados en los siguientes capítulos. Es indudableque en las actividades profesionales, la notación estándar y una calculadora financieraserán sus óptimos recursos pero, por lo pronto, esta es la etapa de aprendizaje y esimprescindible adquirir conocimientos en forma gradual y completa. para faciiitar suestudio, este material presenta cuidadosamente los análiéis, deJarrollos teóricos v se-cuencias de los temas expuestos.

En notación estánda¡, la fórmula L9a tiene la forma:

4.3

F = P (F lP , i%,n ) (1sb)

El factor de acumulaci6n (Ff p,i%,n)es el valor futuro que corresponde al valorpresente de una unidad a la tasa i% por periodo en n periodoi. Arí, poi ejemplo, en:

F = 1.000 (VP , 6%,'1,5)

se pide el valor futuro-F, conocido el valor presente P : 1.000, la tasa de interés 6% porperiodo y el número de periodos n : 'J.5. El factor (F/p, 6%,15) es el valor futuro F quecorresponde al valor presente de una unidad acumulado al 6% de interés por periodoen 15 periodos.

CONAPARACIóN ENTRE INTERÉS SI'I/IPLE E INTERÉs COMPUE5TO

Por su objetividad, la mejor forma de comparar los valores futuros es mediante la elabora-ción de las gráficas correspondientes a una misma tasa, para el interés simple y el compues-to., sea, por ejemplo,la tasa del20% y un capital de gt.ooo. Los montos -. F : r.oob¡t +n(0,20)l para el interés simple y F : 1.000(1 + 0,20), para el interés compuesto.

Función discretn a: valor futuro de $1.000 al interés simple delZ0%

rNrERÉscoMPUEsro EE

b : Valor futuro de $1.000 al interés compuesto del20%

A línea recta F : 1.000[1 + n(0,2)]

B función exponencial F : 1.000(1,2)'

El valor futuro a interés compuesto crece en razón geométrica, y su gráfica corres-ponde a la de una función exponencial. Por su parte, el monto a interés simple crece enprogresión aritmética, y su gráfica es una línea recta.

.I.4 TASA NOMINAL, TASA EFECTIVA Y TASAS EQUIVATENTES

La tasa convenida para una operación financiera es su fasa nominal.Tasa efectiaade inte-rés es la que realmente actúa sobre el capital de la operación financiera. La tasa nominalpuede ser igual o distinta de la tasa efectiva y esto sólo depende de las condicionesconvenidas para la operación. Por ejemplo, si se presta un capital al8% con capitaliza-ción trimestral, el8% es la tasa nominal anual, la tasa efectiva queda expresada por losintereses que corresponden a $100 en un año, en las condiciones del préstamo. Para elmonto, se tiene entonces:

Función continua


F = P(1.+ i l"

n = 4; P = tO}; * = //6 detasa efectiva en el periodo ; i = 0,02

F = 100(1+ 0,02;= 100(1,02f =fi0(1.,0824321)

F = $108.?A321

$100 ganan $8,24321, en un año o sea tasa efectiva : 8,24321.%

Thsas equivalentes Son aquellas que, en condiciones diferentes/ producen la mismatasa efectiva anual.

En el texto se utilizarán los siguientes símbolos para las diferentes tasas, expresa-das en tanto por ciento:

i : efectiva anual

j : nominal anual

n¿ = número de capitalizaciones en el año

En Ia tabla I, las columnas se refieren a las tasas en el periodo de capitalización.Así, para 12% con capital ización tr imestral se t iene m:4; j :12; j / , , : t ' /

, :3%.Elsímbolo I en las tablas se refiere al tanto por uno, en el periodo.

Relación entre'la tasa nominal y efecüva El monto de 1 al I efectivo anual es 1 + i. Elmonto de L a la tasa j por uno con m capitalizaciones en el año es (1 + i/ ,,,)"';la ecuaciónde equivalencia entre estos dos montos es:

t+ ¡ = ( t * 1 ] "I m l

¡=(t*a) ' - ,\ m.)

Notación estándar ¡ =( eP ,*n, r)- r\ . ' m )

(20b)

La fórmula 20a permite calcular la tasa efectiva equivalente a una tasa nominal jcapitalizable mveces en el año.

Despejando j en la fórmula 20a se tiene:

¡+ t= (1 * 1 ) ' '\ m )

INTERÉS COMPUESTO

(1'+i)* =lt* J-l\ m )

J_=(r+ i ) *_r, m

¡=^l{t+;)*-r]

Notación estándar i = *l(rf , ,o, +)- tl

(21a)

(21b)

Introduciendo los nuevos símbolos, la fórmula del valor futuro compuesto en naiios para la tasa i capitalizable ,?? veces en el año, queda así:

Número de periodos de capitalización en el año : mi número de años : n; nú-mero total de periodos : nm; tasa en el periodo - , - i/,,.

r = n(t* +]" eZa)\ m )

_ ( _ / _ i . )Notación estándar F = P[F/ P, L%, mn )

(22b)

Para expresar la tasa nominal y el número de periodos de capitalización, se utili-za el símboloJ,,,, gu€ indica la tasa nominal j con m capitalizaciones en el año.

E @ C a l c u l a r e l v a l o r f u t u r o d e u n c a p i t a l d e $ 6 . 0 0 0 a i n t e r é s c o m p u e s t o e n 8años, a la tasa del 70% capitalizable semestralmente.

Estándar

Algebraica

P : $6.000; j = 10%; nt = 2; n = 8

F : 6.000(F/P,s%,"t6)

/ n r n \ 2 r 8 'F=6.0001 t+ : l : | =6 .000 (1 ,+0 ,05¡16

\ 2 )

En la tabla I, para el 5% en 16 periodos se encuentra el valor 2,18287459

F : 6.000(2,1,82874s9)

F = $L3.097,25

4.5


Solución con calculadora con función ¡v

F = 6.000(1,05)16

(1'05)'6 : 2'1'838746

F : 6.000(2,1.828746)

F = 913.097,25

CÁtCULo DEt vAtoR FUTURo uTIt¡zANDo TABtAsPARA n MAYOR QUE 50

En los problemas suele ocurrir que el número de periodos resulta mayor que s0, elmáximo de la tabla utilizada en este texto. Afortunadamente en estos casos se puedenaprovechar las propiedades de los productos de potencias; de esta forma el exponentedel factor de acumulación se descompone en sumandos, utilizando tantos sumandosde 50 unidades como sea necesario y, así, se calcula el factor de acumulación por pro-ducto de factores cuyos valores figuran en la tabla.

(1 + 0 .+v : (L + i ) {1 + ¡v

@lE!p Calcular el valor futuro al cabo de 20 años para una deuda de 94.000, al9% deinterés, con capitalización bimensual.

P = 4.000; j = 0,09; m = 6; n = 20

F = 4.000( 1+ 0;09 )n''" = 4.000(1 + 0,015.)',,,

\ 6 . /

1 2 0 = 5 0 + 5 0 + 2 0

F = a.000(1 * 0,015)et*et'zt

F = 4.000(1 + 0,015fl (1 + 0,015)il (1+ 0,01,5)t)

En la tabla I se encuentran los valores de la column a de 1,/z% parc:

( 1 + 2,10524242; (1 + iro : 1,34685501

4.000 (2,1 0524242) (2,10 s24242) (1,3 4685501)

s23.877,29

Con una calculadora que tenga la función r.v, se halla:

(l + 0,015)1'?0 = 5,9693229

4.000(5,9693229) : 23.37r,r'

; \50 -

E _

E -

INTERÉS COMPUESiO

4,6 VATOR FUTURO CO'I,IPUESTO CON PERIODOSDE CAPITALIZACIóN FRACCIONARIOS

Las condiciones convenidas, en una operación financiera a interés compuesto, fijan elperiodo de caPitalización con el supuesto de que sean periodos enteros. cuando sepresentan fracciones de periodos, comercialme^t'" ," u.orümbra calcular el monto com-puesto para los periodos enteros de capitalización, y el interés simple r".rtitiru furu tu,fracciones de periodos.Teóricamente, el interés simple -en las fracciones de periodo es mayor que el com-puesto a la misma tasa, ya que significa capitalizar los in'tereses en un periodo menorque el convenido y, como consecuencia, la iasa efectiva resulta mayo[

La tabla III contiene los valores de (1+i.¡i =(, t o, in, j) wees el valor futuro de La interés compuesto para fracciones de periodo. \ P,

IEEEEEEI una deuda de $100.000 convenida al6% concapitalización anual se paga a los2 años 4 meses.La costumbre o regla comerc¡nl indica cobrar los intereses compuestos para los 2 periodos com-pletos y simples, para los 4 meses.

- -----r -

P = 100.000; i = 0,06; periodos completos = 2; fracción de periodos __ #=+

valor futuro en 2 periodos = Fr = 100.000(1 + 0,06)2 : 100.000(1,1236)F, = $112'300

El monto F, gana intereses simples en los 4 meses y su valor futuro es:

r:r rrz.aoofr. ] ro*i]= n2.360 (1,,02)

F =$11,4.607,20

Desde el punto de vista teórico, el monto debe calcularse a interés compuesto para el total deperiodos, incluida la fracción.

P = 100.000; i = 0,06; "

= Z%

F= 100.000(1 +0,0q2N = 100.000(1+ 0,0q2.1+0,0q%

Tablas I y III (1+ 0,06)2 = l,t216; (t + O,OO¡% = 1,,0t9612282F = 100.000 (1 ,'1.236)(1,07961282)

F = $114.563,69

solución con calculadora que te¡ga tecla de fracciones v función ¡v:(1+0,0q2% =1,,145637

F : 100.000(1,14563n : fi4.563,69


Si no t iene tecla de fracciones, la fracción se convierte en una expresión decimal.

En el monto calculado para la fraccir in de periodo, los intereses simples siempre son mayores

que el monto a interés compuesto; en el efemplo anterior, la diferencia es de $43,51.Las calculadoras f inancieras t ienen función para calcular, a voluntad del operador; la fraccit in a

interés simple o a interés compuesto, así:

L = P ( F l P , i % , n )

P l ( l (1 . (X) { ) ; i = ¡ ' l ; r 2 ,3 .13 .1 ¡ñ t ts

Baio el mandt) compuesto F - 100.000(F/P ,6' / , . ,2,3333) = 11'1.563,69

Ba jo e l mando s imp le

compuesto los 2,3333 anos

¡r = l0().0(X)(I/P, 6i,:1, 2,3333) - 1116()7,20

conlpuesto cn 2 ¡ños y simple en la fraccitin 0,3333 años

Err lo que respect¿l al c.rlcukr del intcrós compuesto, comerci¿rlmente e'xisten di-

\ ¡ersos mctneios para e l t rat . rmierr to de los in terescs en las f racc iones de Per iodo. El l

;r lgunas operaciones fin.rncieras, se señalan expresamL'llte l.rs fech¿rs dc capitarl izaci(trr

elt el ¿rño, y todo dincrlr colocacilr entrc fechas devengar interés simple, hast¿r Ia fech¿r

inici.t l clel 1-re¡io¿r.) siguiente; todo clirrero retir¿rcl() t:ntre icchas g.tl l¿1 i l l terés sirn¡rls,

conlprendido desde' Ia fecha terminal dt ' l per ioc lo ¿ut t ' r ior . Así :

IEEE¡EEE! Alguien de¡r1r5i¡.¡ gl.(xx) el 2() de enerr¡ en un¡ cuenta dc ahornrs que ofreceel 6 ' l l de in tcrés c. ip i ta l izable t r inrestr ¡ lmente p. i r . r e l . l l de Dlc l rZr) ,3[ ) de junio,3() de sept ienl -bre v 31 de dicienrbre. C.rlcular el nronto clue Lrodrá retir¿r el l5 de dicienlbre del .rt1o siguiente.

F-ne

2()

Dic1 5

1II

IIv Sinrpl. Conrpuesto en 6 periodos

l l -

l

El capital gana intereses simples, drrr¡nte los 70 días que transcurren en el periodo comprendi-

c1o desde el 20 de enero hasta el 31 de marzo, conr, i¡ t iéndose en un valor futuro F, que deveng.l

intereses compuestos, durante los 6 periodos completos transcurridos entre el 1Q de abri l y el

30 de septiembre del año si¡¡uiente, convirt iéndose así en un valor futurtt F. que gana interese:

s imp les has ta e l 15 de d ic iembre .

r , = 1000[1* i i l ro,oot. ]= 1.000 (1,01166667)^ 1 3 6 t ) l

, ^ ^ , . É 'F, = F,f 1+

(l,L'o I = n r1,09314326)= 1.000 (7,01166667)(7,09344326)- ' \ 1 )

S imp le

Ilne

i "

Ivf ar.3 t

Ir-rn30

S"P3t)

IN IERES COMPUESTO

Valor f inal F :

Valor f ina l F:

f -r -

El lector debe

| / a I

f r i I r ; ;n l { } ,06, I = f z( t ,o l25)t - " " 1

1.000 (1,01 166667)(1,09344326) (1,012s)

$1.120,03

consult¿rr las c:ostumbre s ltlc.rlcs ¡lara estos cascts

4 . 7 CÁLCULO DE LA TASA DE INTERES COMPUESTO

En la fórmula det l monto ¿r in terés ct lmpucst t l , s i sc cc lnoce e l va lor pr t :s t 'n tc 1) ' e l va lor

futuro I ry e l t iempo r t , queda dcterrminado c l v¿r lor de i '

En la práct ica, c l cá lculo aproximado de i sc hace ut i l iza l rdo l¿r t¿rb l ' l I ' [ : ] l cá lculcr

matemát ico se ctectua c, ' ,n logni i tmos. [ in c l c iempl . quc s i ¡ ¡uc, sc i lust r¿rn ¿lnbos Pro-

cedimientos.

nEmEEEl Al nrori¡ alguirn cleia a su hija -de 7 arlos rlc ecl¿cl un le gado tte $1(x) (xx)

para quc coll s,s rnte*srs compuestos lt st '¡n ".ir"g.,-1,,,

cu¿tlclo cunrpla los l l i si ell 'r al cumplir

io , ,¿o¿ f i jac la rec ibe $- l .10.071¡0, Zc¡uú inter i 's c .n capi t . l izac i t in anu¡ l ga. í r la herenci¿?

(r¡ ) cá lculo ut i l iz ¡nt . lo l ¡ tab l¿ l . s t busc¿ e l r est¿t t . rb la, en la f i la quc corresponde ¡ r l - l l ' los

val0res, por exceso y por defccto, más pr t ix imos a l que resul te dc dcspei¿r ¡ l t 'n l ' r f i r rmul¿

del va lor fu turo:

' t - t ' j ( l + i ) " ; F - P( l ' l I ' , i " l ' , t t )

f -- D0 071,20; 1' = 1(X) (XX); rr = l 1

l e { ) . ( } 71 ,2 ( } . l { } { } . { ) ( t ( ) r I r i r r l

I l , i r ' | r ' l ' . " l i t ' l ; 1 t ' = t , s t t t tT t2

Este valor se encuentra entre l , l i9u29tt56 que corresponde al 6'4 v - l ,99915140 que corresponde

a l 6 1 / 2 " / , , . E l i n t e r é s b u s c a d o e s m a y o r < 1 u e e l 6 ' / , , y Á " , , , , r q u e e l 6 h i { ' s u v a l t l r a p r o x i m a d o s e

encuentra por interpolacií ln l ineal '

a 0,065 corresPonde

a 0,06 corresPonde

0,005

1,99975740

1,tt9¡r29856

a 0,06 + .r

a 0,()6

cor responde

cor responde

1,90071 200

1,89829856

0"10085284 como

0,0050.10085284 0,00241344

0,00s10,00241314)

e s a 0,00247344

,I

0,10085284

I'MATEMATICAS FINANCIERAS

x = 0,00012

i = 0,06 + 0,00012 = 0,6012

tasa de interés = 6,012%

(ü) Cálculo con logaritmos:

790.077,20 = 100.000 (1 + t)"

1o9190.071,20 = 1og100.000 + 11log (1+ i)

log(1+ l ) =log1'90.07 1,20 - logl 00. 000

1 1lo 9]90.07t,20 = 5,278976

1og100.000 = 1000000

log(1 + i) = 0,278976 +17 = 0,025356

l+ i =7 ,06012

i = 0,06072

tasa de interés : 6,072%

(c) Cálculo mediante radicales:

190.077,20 = 100.000(1 + t),,

Despejando (1 + ¡)"

190.077.20

100.000

7,900712=¡7+i)"

,$,rm?n = úr. ,11,go07Vh=f l+¡¡ tXt

1,9ffi772xl = 1+ i

1,060-1.22443 = 1+ i

7,060722443-1=i

0,060'122M3 = i

tasa de interés = 6,012%

INTERES COMPUESTO

(d) Con calculadora financiera:

F - P(F/P, t"l ' , n)

P - 100.000; rt -- 71; F :790.071,20

190.071 - 100.000 (F/P, { l ,11)

Respuest;t i - 6,012'1,

UN CASO PARADóJICO

En este nivel del estudio propuesto, es necesario aclarar el significado de la tasa de inte'-

rés interno o tas¿l interna de retorno (TIR). En la página 35 se explicó que ésta cs lzl

alternativa escogida de tasa interna a ia cual se invierten dincros en cicrto juego finan-

ciero. El siguiente eje.mplo, que conduce a una situación paradójica, aclara aún más el

concepto. Generalmente, el cálculo de i conduce a soluciones de e-cuaciones de gradct

superior y estas ecuaciones pueden tener variadas soluciones reales; esto significa que

para un mismo problema financie.ro se. tendrían diferentes tasas intcrnas dc interés; pttr

ejemplo:Una persona compra por $109.000 una mercancí¿r que le será entregad.r dentro

de un año, para e l lo paga hoy $40.000 compromet iéndose ¿r p¿rgar e l sa ldo, a l rec ib i r la

mercancía, por medio der un pagaré a un año de plazo. Ocurre que en el instante de

recibir la merc¡rncía Ia vende. de inmediato en $106.000. ZQué porcentaje de uti l idad

obtuvo en este neg,ocio?Pr imero se ordenan las cant idades en un d iagrama de f lu jo de caja y se p lantea

una ecuación de ecluivalencia l levando todos los valores al t iempo 0.

2 años

$40.000 $69.000

40.000 + 69.000(1 + i)-2 = 106.000(1 + t)-'o sea

40(1 + i ) 'z-106(1 + i ) + 69 = 0

Resolviendo esta ecuación de segundo grado se tiene:

$106.000

tII1


106 r/ 1 | : \ -\ | f L ) -

z(40)

106 t 14

4.9

( l + i \ -80

7+ i . = 7 ,5

i, = O,S, tasa interna = 50%

1+ i . = 1,15; tasa in terna = 75Y"

paracióiicamente, para el mismo negocio se tienen clos tasas internas muy dife-

r e n t e s : 1 5 % Y 5 0 % .En este problema, la tasa interna carece de senticlo y se trata de una solución ma-

temática ajena a fo, prir ' ,.rpios financieros.. La interpretaiión de este problema parado-

;k";" ;;.;"ntra en el á.eu de Ia evaluación económica de proyectos financieros; sin la

pretensión de incursronar en el área propia de la evaluación de proyectos financieros

aqui se presentara ta propuesta¡le tratamiento para dicho problema'

si los $106.000 obtenicios al f inal del primei año se p,réden invertir all0% (tasa de

oportunidad), en estas condiciones al f inál clel segundo año se tendrá:

106.00(1,1) - 69'000 : 947 '600

Formando la ecuación de equivalencia:

40.000 (1 + i)'z : $47'600

( 1 + t ' : L ' 1 9

1 + i : 1 ,0909

i : 9,09%

En estas conciiciones se tiene clue el negocio cla una rentabilidad del9'09%'

El objetivo d.e este material es enseñui"l maneio de capitales en el tiempo utilizando

tasas internas. Las técnicas para la evaluación económica de proyectos financieros co-

rresponden a otro nlvel de ástudio, que exige el conocimiento previo de matemáticas

financieras. Resultaría erróneo a su vez en-señar las técnicas para evaluación de pro-

yectosaquienestenganConocimientossuperf ic ialesdematemáticasf inancieras.

cÁtCULO DEL TIEMPO

Enformaaná loga,e lcá lcu lode l ,e l t iempo,oseae lva lo rder l ,puedeca lcu la rseut i l i -zando la tabla I o mediante la aplicación de logaritmos'

INTERES COMPUESTO

¡ffififtfffit iEn qué tiempo un clepósito de $1.000 se convertirá en $1.500 ai 6i

con capital ización semestral?

, i r " ( i )f = 1 , 1 l + , 1 ; F = P l F l P , L % , n u r l

I l r ] l m )

F = 1.50(); P - 1.(X)0; i = 0,06; nt - 2

1.500 = l.(XX) l1 + 0.03)r"

i, {0'1, l l l l l l=' 'l rn l¡ tabla I se busc¿rr cn la celumn¡ del 37,, krs v¿lores -Lror exceso y por defecto- más prt ixi-

n r ¡ s a l , 5 . E s t e v a l 6 r s e e n c u e n t r a e n t r e l , 4 6 f l 5 3 3 7 l q u e c o r r e s p o n d e a l 3 p c r i o d o s y 1 , 5 1 2 5 8 9 7 2

que correspor-rde a l4 periodos. Interpolando conlo en el caso ¿rnterior, se t lene:

14 corrcspontle 1,51258972 cor responde

l3 corresponde 1,46853371

0,0'1405601 como (),03 146629

l _ . .445601 3146629

3146629440560 I

x - 0,7742337

2tt = 73 + 0,7142337 = 13,7742337

r l 6,t l57l ¡ño:

Medi¡rrte calculadora con funcit in logaritnlo:

(1,03)r" = 1,5

2rr log(1,03) - log(1,5)

^ log(1,5)¿ r 1 = - =

1,50(xx)ux)1,46853371

log(1,03)

2tt = 73,7172

r¡ = 6.85U6 años

0,776rJ91

0,072837

En estos problemas, la respuesta es aproximada, por tanto, es correcto decir que .l

t iempo aproximado es d,e 7 años y que el valor futuro será l iSeramente superior . l l e:f t -

rado. Si ia capitalización es por Periodos completos y la fracción se calcula ' l rf l tt:::

simple, el proietl imiento consiste en calcular el monto en el número de perio.io< lr r-:-


diatamente inferior y,para la diferencia, se calcula el tiempo a interés simple. En elejemplo citado, se calcula así:

F en 13 periodos = 1.000(1 + 0,03)'3 : 1.000(1,46853371)

F en 13 periodos = 7.468,53

Diferencia con el monto propuesto : 1.500 - 7.468,53 : 37,47

Para$.37,47 se calcula el tiempo a interés simple sobre $1.468,53(1

I = C n i

I = 37,47 ; C = 7.468,53 ; i = 0,06

37,47 = 7.468,53(n ) (0,06 ) = 89,1119r,t,

37,47,, =

ffi= 0,35716 años - 4 meses 9 días

En este caso, la respuesta sería 6 años 10 meses 9 días.

4.10 CRECIMIENTO NATURAT E INTERÉS COMPUESTO

En este capítulo es conveniente incluir algunas palabras sobre el crecimiento natural o

exponencial y la deducción de la fórmula del monto a interés compuesto a partir de las

leyes del crecimiento natural o exponencial.Esto será importante para comprender muchos aspectos teóricos de interés com-

puesto; en particula¡, será útil para quienes deseen profundizar sus estudios en esta área.

Si la razón de cambio de una cantidad con respecto al t iempo es proporcional a la

cantidad presente en el t iempo f, se dice que el crecimiento es natural. Esto es, si Y es la

cantidad presente en el t iempo f, entonces:

dYdt

=kY;lY = F(t) ; funcion de f ]

d"A, ., la raz6n de variación instantánea de Y con respecto a t; k es un número constan-

te que depende de las condiciones de cada problema. Su valor se determina en condi-

ciones experimentales o simplemente impuestas, como en el caso del crecimiento del

dinero o los planes de desarrollo industrial.

dY- = K A t

Integrando, se tiene InY = kt + a (a : constante de integración):

Y =ek t *o =ek teo

INTERES COMPUESTO

remplazando d = A:

Y = Aekt

[ftffi&!fl En un cultivo, el número de bacterias crece proporcionalmente al número pre-sente de ellas. Si en determinado instante hay 1.000 bacterias y una hora después 2.000, calcula¡la cantidad 3 horas después.

Para f : 0 ; Y: 1.000:

Y = Ae*'

1.000 = Aeok = Aeo -- A

A = 1.000

Para I : 1 ; Y: 2.000:

2.000 = 1.000ek

k = l n 2

Es deci{, que el número presente de bacterias en un tiempo f es:

Y = 1.0001"'r = 1.000e"'"

Sea ln2t : b; entonces, por definición e' : 2';

Remplazando b, se tiene etnzt - 2t, de donde:

Para

Y : 1.000 (2')

f : 3 horas, la cantidad presente de bacterias será:

Y : 1.000 (23)

Y : 8.000 bacterias al cabo de 3 horas.

Deducción de la fórmula del valor futuro a interés compuesto Si la cantidad presentees dinero, es posible imponer la condición de que en un periodo de tiempo f tenga un

crecimiento natural, por adición de sus intereses i en cada Periodo.

En el instante t : 0;

Sustituyendo en

se tiene (1)

o sea (2)

Y :P ( cap i t a l i n i c i a l )

Y = Aekt

D - A . N _ A

Y : Prrr

" , J-E¡. ¡ATICAS FINANCIERAS

.\l final del primer intervalo t = 7; Y = P(7 + i); i :

o sea P(1 + i; : Ps"

c r : ( 1 + l )

k : h ¡ ( 1 + ¡ )

Sust i tuyenclo en (2), Y - Pct i ' . \ \ * ' ) : Pcr¡ l r * '1 '

Como, ,1 ' r r r+ r t ¡ : ( 1 + i ) r , en tonces Y : P (1 + l ) '

Sust i tuyendo la cant idacl prcsente Y por F, e l

de per iodos, o sea, es igual a r l , entonces se t i t :ne:

tanto por uno en el periodo f.

valor de f corresponde al número

I r : P ( 1 + i ) '

Tasa instantánea Si en j,,,,, se supolle que nl crece sin límite (nr --> -), entonces, el

periodo de capitalizacicin ós un intervalo de tiempo más pequeño que cualquier canti-

clad arbitrariame.nte escogida. [n estc c¿rso, se dice que la capitalización es c<lntlnua v

la tasa es instant¿inea.La tasa instantánea acostumbra a designarse con Ia le ' t ra gr iega del ta (6) . Por

de f i n i c i ón :

u = i,,,,,,,--. . simplemente 6 = lt-,, '

De acuerdo con lo estudiado en tasas equivalentes:

como

(aéanse pá9s.75 y K. Stein, edición McGraw-Hill, 197 4).

I i \ " ' ( tl + i = l l + , I = l l + -

\ ,n / [ " , '

I t r :¿ l It im l l , * l l ' l =1 ,r r + - l l ^ r 4 l I

L \ t ) I

78 del cálculo Sherman

=iÍ*l[,.+)']se tiene 1+ i

INTERES COMPUESTO

de donde 5 -

e ' , d o n d e i = i . = 6J ( - )

In(\ + i )

1 + i :

1 ! ; -

El valor de 6 se conoce con el nombre de t'uerzn del interés, y es la tasa continua decrecimiento de una unidad de capital en una operación financiera; en tanto que la tasaefectiva es el interés por unidad de capital en un periodo.

fiftffi&!fln Hallar el valor de la fuerza de interés que corresponda al interés compuestod e l 8 % .

6 : l n ( l + i ) : ¡ r 1 1 + 0 , 0 8 ) : / n 1 , 0 u

6 : 0,07695; 7,695%'

[ f t f f i [E l l f l Hal lare lvalor futurode95.000enl0años: (a)a latasaefect ivadel 6%,(b) a latasa del 6% con capitalización mensual, (c) a la tasa continua del 6%.

\a)

(b)

F : 5.000(1 + 0,06)"'] = 5.000(1,7908477) - $8.9s4,24

/ 0.06 \ ' ' 'F : 5 .000 [

t * , J

=s.000(1,81e3e673)=$e.0e6,e8

( c ) D e : 1 + i - c 6 , i : e 6 - 1

Susti tuyendo en F : 5.000(1 + i)", se t iene:

¡ = 5.000(e6)" : 5.000e'ó

Remplazando los valores de n y 6, se t iene:

f : 5.69¡.tr¡0,{h) - 5.000et),6

Calculando etr6 por medio de logaritmos, se tiene:

F = $9 .110,60

4.I I PROBTEMAS RESUELTOS

1. ZQué banco es aconsejable para depositar dineros en cuenta corriente: A que ofrece el7% con capitalización trimestral, o B que ofrece el 7/n% con capitalización semestral?

La mejor oferta es la que corresponda a la mayor tasa efectiva anual.


Banco A:

Util izando calculadora:

i : ( 1 + 0 , 0 7 7 s ) 1 _ 7

t : 7,07185903 - 1 : 0,07185903

Tasa efectiva - 7,785903%

Banco B:

ij : 0 ,0725; m:2, L : 0 ,03625 que corresponde a l 3f %

Valor que no figura en la tabla I de este l ibro.

Mediante calculadora:

1 + l : (1 + 0,03625)r

1 + i : 1 , 0 7 3 8 7 4

i : 0,073874

Tasa efectiva : 7,38%

Respuesta: es mejor la oferta del banco Il.

Calcular e l va lor fu turo de $6.000 deposi tados a l 9,X, de in terrés compuesto,capitalizable semestralmente durante 14 años 6 meses.

i = ( r+ * ) ' ' - ,

ij : 0,07; m = 4;

i :0,0175 que corresponde al 1j%

/ i ) " " 'Alg,ebraica F = Plr*

i,, 1

Es tándar r =p( r i p , j %, , , , r , )\ , n )

P: $6.000; i: 0,09 perioclos cle capitalizaciiin : ttt : 2; L: O,O+5,(+ jn);

t ¡ |t t : I4 j años ; t tu t : 29

F : 6.000 (1 + 0,045)2,

INTERES COMPUESTO

Utilizando tabla I o calculadora:

F : 6.000(3,58403649)

F :921.s04,22

una persona obtiene un préstamo de $30.000 a 5 años, con un interés del g%capitalizable semestralmente. Calcular el valor futuro que debe pagar en la fechade vencimiento.

4. Calcular el valor futuro de $5.000 al 6%, con capitalización mensual en 6 años 3meses.

p = $5 .000; J =0 ,06 ; t t t= t \ ; , = O-?U =0,005=:%,i l r l l

3 I r l \r t = 6¡= 64 año;rtut = 12164)= 75 periodos

Estándar

Algebraica

Estándar

Algebraica

Estándar

Algebraica

p=$3o .ooo ; /=o ,og ; m=2 ; L = o ,o4 ; t t=Sftt

F : 30.000(r/P,4%,10)

F : 3 0 . 0 0 0 ( 1 + 0 , 0 4 ) ' 0

F : 30.000(7,48024428)

F : $44.407,34

F : s.000(F/P, 0,s%,, 7s)

F : 5.000 ( l + 0,005)?'

F : s.000(1,45363252)

F : $7.268,76

F : 5.000(F/P, 0,5%, 360)

F : s . 0 0 0 ( 1 + 0 , 0 0 5 ) % 0

F : 5.000(6,022575272)

F : $30.112.88

5. Calcular el valor futuro en el problema anterio4 para 30 año¡. Sólo varía el númerode periodos; m : 12; tt = 30: mn = 360.

Si se desea calcular utilizando tablas, la I sólo tiene valores hasta n = 50, para í : \%, "lfactor es 1,28322587. El exponente 360 se puede descomponer en 7 sumanclos 50

MATEMÁTICAS FI NANCIERAS

más 10; esto conduce a que es necesario multiplicar el valor 7,28322587 como fac-

tor 7 r'eces v el resultado multiplicarlo por 1,05114013 que constituye el factor para

rr : 10, i : ]%, obteniendo así el factor para i l - 360j Esta fue una forma de

calcular antes"de la era de las calculadoras electrónicas; hoy resulta absurdo em-

plear este método (aénsc el ejemplo 4.2).

6. En un juicio civil por cobro de una deuda de $12.000, el juez falla ordenando el

pago de la cantidád acleudada con acumulación anual de intereses a\ 8,3% por 4

anós, contaclos <lesde la fecha de su vencimiento. Calcular el monto acumulado de

la deuda.

La tabla I no tiene valores para 8,3%,, una t¿ls.l l1o cr)nlú11 etl las operaclones comL'r-

ciales. I,ara determinar el ¡nonto acumulado, se procetde directamente uti l iz¿rndt-

calcul¿rdctra.

i r : 12.000(1,083)1 : 12.000(1,3756686)

F : $16.508,02

7. En el problemer anterio¡, calcular el v¿rlor futuro parar 24 años

Estándar

Est¿indar

Algebraic.r

Estándar

Tablas I y III

P : 12.00(); j : 0,083; rr : 4

F : 1 2 . 0 0 0 ( 1 + 0 , 0 8 3 ) '

t : 12.0t10(FlP, 8,3%, 4)

I = l ] . ( r 00 ( f P , ¡ { , 3o ; , 24 )

F : 12.000(1,083)r '

Uti l izando calculaclora ccln función,t"

(1,083)11 : 6,7777096

F : 12.000(6,7777096)

F : $81.332,52

Calcular el valor futuro teórico de $6.000 para 4 años 8 meses al7% con capitaliza-

c ión anual .

8 2F = $6.000; t t = 4- = 4- ; t = U, l) /

t ¿ J

F : 6.000(F/ P7%,4,6667) mando cohpuesto ( i ' lc 'sc ejemplo 4'5)

F = 6.000 1r + 0,0f i = 6.000 (1 + 0,07)' (1 + 0,07):

F = 6.000 (1,31079601) (7,02280912)'

F = $8.227,65

INTERES COMPUESTO

g. En el problema anterior, calcular el valor futuro seg,ún la rcgla comercial de dete¡-

minar la fracción cle periodo a interés simple.

F : 6 .000( l /P,7 ' / , , ,4 ,6667) mando s imple ( r 'crnsc e jemplo 4.5)

f t - lI - h .000 ( l t 0 , ( ) 7 ) r l t r

- r t l ' t l z t l

L J I

I ' : 6.000(r,3 1079601)( 1,04666667)

Ir : $u.231,80

10. Calcular la tasa de in tcr i 's s i rnplc ec¡u iv i i lentc a l in tcrós com¡ruesto dd 6 ' : / , durarr te

I 2 ¿r frtts.

Fí r rmula gcneral : Scan: l , : i r r t t ' rós s implc; i , - in t t ' rós ct l tn¡ ruest t r

l + ¡ ¡ , _ ( l + i . ) , ,

, , ¡ , = ( l + i , ) , ' I

( l + i , ) " - l

i l

I 'ar:r i, : 0,06; tt : 12

( l+0 ,06 )12 - I 2 ,01219647 It -

Es tánda r

Algebraica

t 2

¡. : 0,08435

I¿rsa de in terés s imple : 8 ,435%

11. Un prestamista desea ganar e l 8%, efect ivo ¿l - t t ia l sobr t 'un prestamo, c()n ln ter( 'scs

capi ta l izables t r imestra lmentc. H. t l lar la tasa nominal que debe cobrar : (Fónnulas

2 1 n y 2 1 b ) .

( 21a ) 7= r , [ { l - , ) ' r ' - 1 ]

[ , . , ^ l r 1(2tb)

- " 'L[ I lP ' ¡7 ' ' , i , , , - ' )

i =0 ,08 ; r ¡=4

7=+ [ { r+0 ,08 ) ] - 1 ]

Tabla III (1+ 0,08)j =1,07942655 o calculadora

t 2

MATEIúÁTICAS FINANCIERAS

I = 4(0,07942655)

j = 0,0777062

i =7,77% (Tasa nominal)

12. iEn qué tiempo se duplica un capital depositado al7%, con capitalización semes_tral?

Tabla III

En la tabla I, columna del3h%, se halla que el valor 2 está comprenclido entre 20 y21 periodos. Interpolando, se tiene:

( i \F = P l P lF , ;%' , mt I\ "' ./F = 2 P ; j = 0 , 0 7 ; m = 2

2P=P(1 .+0,035) ' "

Z = ( 1 + 0 , 0 3 5 ) ' '

a 27 corresponde 2,05943147a 20 corresponde 1,98978886

a20 + x

a20cclrresponde 2,00000000

1,989788860,06964261 como ¡ 0,010211 14

0,06964267 0.01027114

-r - 0 '01021114 = o.t466LIo0,06q64261

2tt :20 + x :20 + 0,7466220 :20,1466220

N.'a E' .i"_p: "":::::::: ffi :J:: ;:_:: ::::j:,,ue puede c.rresponder hasta 3 días en el cálculo del t iempo.

13' En el problema anterio¡, proceder calculando el monto compuesto en perioclos en-teros y los intereses simples para la fracción de tiempo.El valor más próxim o es 1,98978886 que corresponde a 20 periodos

2 = 7,98978886 [1 + n(0,07 )]

1 + n ( 0 , 0 7 ) = 2 = 1 . 0 0 5 1 3 1 8

r,98978886

INTERES COMPUESTO

tl - 0'0051318 =0.0733174

0,07

Tiempo : 10,0733774 años, aproximadamente 10,073 años

: 10 años 26 días (año de 360 días)

L4. Resolver el problema Ne 12, ut i l izando calculadora que tenga memoria y la fun-c ión h¡ .

( 1 + 0 , 0 3 5 ) " : 2

2t i l t4 l ,035): In2

hr(1,035) : 0,034401427 entra a memoria

Irr(2) + MR:20,7487975

n :20,7487975 + 2

tt -- 10,0744 aios

Se obtiene un tiempo ligeramente superior debido a que se trabajó con la fracciónde pc.riodo a interés compuesto.

15. Una persona deposita $7.500 en una cuenta de ahorros que paga el9o/o, con capita-lización bimensual. ZEn qué tiempo tendrá un valor futuro de $10.500? Se pide so-lucionar utilizando tablas.

F : 10.500; P : 7.s00; j : 0,09; ttt : 6

10.500 : 7.500(1 + 0,015)6,

( l + t ) , 0 1 5 ) n " = ! g - t , 47.500

a aL.->

22

7,40837715

1,387s6370

a l r . ,L L T A

22

1,40000000

1,3875637t'l

1 c's a 0,02081345 como ES 0,07243630

2081345 7243630

1243630- , t q q T q

2087345

6n =22,5975

n :3,766 años : 3 años 9aeses 6 dí. is


16. Resolver el problema Ne 15, uti l izando calculadora con memoria y función lrr '

(1 + 0,015)6'

6n In 1.,0L5

In 1,01'5

¡rr1,4 + MR

= 7,4

: In 1.,4

: 0,0148886 entra a memoria

= 22,599302

:22,599302 + 6:3,767

: 3 a ñ o s g m e s e s 6 d í a s

4.12 PROBLEMAS PROPUESTOS

17. Hallar el valor futuro a interés compuesto de $100, para 10 años:

(¡t) al5% efectivo anual(b) al 5% capitalizable mensualmente

(c) al 5% capitalizable trimestralmente(d) al 5% capitalizable semestralmente

18. Hallar el valor futuro a interés compuesto de:

(n) $5.000 al6% caPitalizable semestralmente en 20 años

i¿rj S¿.OOo al7% capitalizable semestralmente en 70 años

(c) $9.000 alTt/z% capitalizable trimestralmente en 12 años

i¿l $S.OOO al6/z% capitalizable mensualmente en 30 años

1g. Hallar el vF de $20.000 depositados al 8%, capitalizables anualmente durante 10

años 4 meses en forma: (ru) teórica, (b) comercial '

20 .Ha l l a re lVFde$10 .000depos i t adosa ] .8%,cap i t a l i zab les t r imes t ra lmen tedu ran te32 años 7 meses 22 días.

Nota En los problemas, se suPone que se trata del vF comercial, cuando no se

especifique algo distinto.

21. Una persona deposita $3.000 el22 deabril de 1995, enuna caja de ahorros que paga

el6/o, capitalizatle semestralmente el 30 de junio y el 31 de diciembre de cada año'

ZCuánto podrá retirar el 14 de noviembre del2002?

22. lJnbanco pagaba el 5% de interés comPuesto, capitahzable trimestralmente' El 1a

de enero d,e 7996modificó la tasa, elevándola aI7/" capitalizable semestralmente'

Calcular el monto compuesto que tendrá el 1q de enero del 2016, un depósito de

S10.000, efectuado el 1q de abril de 1993'

INTERES COMPUESTO

23. Un padre muere el 20 de marzo de 7996 y deja a su hija $100.000 para que les seanentregados al cumplir 18 años. La herencia se deposita en una cuenta que gana el6%, capltaluable anualmente. El 22 de septiembre del año en que murió el padre, Iahija cumplió 10 años; calcular la cantidad que recibirá en la edad fijada. (Int. real).

24. HaIlar el VF de un capital de $100 depositados durante 10 años 5 meses, a la tasaefectiva anual del 6,32%.

25. ZQué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8% , capitalizable trimes-tralmente?

26. Calcular la tasa de interés simple equivalente al7%, capitalizable semestralmentedurante 12 años.

27. Hallar Ia tasa nominal convertible semestralmente. a la cual $10.000 se conviertenen $12.500, en 5 años.

28. Se estima que un bosque maderable avaluado en $750.000 aumentará su valor cadaaño en el 8,5%, durante los próximos 6 años. ZCuál será su valor al f inal del plazocalculado?

29. ZCuántos años deberá dejarse un depósito de $6.000 en una cuenta de ahorros queacumula el 8% semestral, para que se conviertan en $10.000?

30. Calcular el monto de $4.000 depositados durante 12 años 5 meses al 6,4% con acu-mulación semestral.

31. ¿Qué es más conveniente: invertir en una sociedad maderera que garantiza dupli-car el capital invertido cada 10 años, o depositar en una cuenta de ahorros queofrece el 6/o capitalizable trimestralmente?

32. Una población aumentó de 475.000 habitantes a 1.235.000 en 25 años. ZCuál fue eltipo anual aproximado de crecimiento?

33. Un inversionista ofreció compr¿r un pagaré de $120.000 sin intereses que vence dentrode 3 años, a un precio que le produz ca eI 8% efectivo anual; calcular el precio ofrecrdo.

34. Un pagaré de $18.000 a intereses simples deI6% con vencimiento a 5 años, es com-prado por un inversionista 3 años antes de su vencimiento por la cifra de $20.300.Hallar la tasa efectiva de rendimiento que produce la inversión.

35. Hallar el VF a interés.compuesto de $20.000 en 10 años, a la tasa continua del 5-,de interés. Comparar el resultado con el monto compuesto al5%, convertible men-sualmente.

MATEIVATICAS FINANCI ERAS

Hallar el valor de la fuerza de interés que corresponde al interés compuesto del5% '

Eiaborar la gráfica del vF de $1.000 a interés compuesto para i : 0,25, tr : 3 años f

en la misma , trazar la escalonada corresPondiente al VF a la tasa equivalente

capitalizable cada cuatro meses'

Elaborar la gráfica correspondiente al VF con capitalización continua de|78,2322%

y hallar la tása equivalenle anual y el VF en los años 7, 2, 3 y 4. En la misma, ttazar

íu .o.r"rpondienie al VF a interás simple continuo para |a tasa del 20%; para eI

primer aho, hallar los vF a interés compuesto y a interés simple, al f inal de cada

mes.

4.I3 ACTIVIDADES DE CONSULTA

36.

5 / ,

38.

(c)

(¡')(c)

Consultar en la banca local las tasas )'periodos de capitalización para cuentas de

ahorros, y analizar ventajas y desventajas de los sistemas aplicados.

Consultar las tasas de capitalización para depósitos a mediano y largo plazo.

Estudiar las tasas y periodos de capitaiización para las reservas de seguros de vida'

r*rr,*qe,

e*'éi ' , , iil, . ! l : r :

! ¡ i i

VALOR ACTUAL O PRESENTEAL INTERES COMPUESTO

OBJETIVO

En este capítulo se aprenderá a reconocer, definir y calcular valores actuales o presen-tes, valores futuros o montos de sumas a interés compuesto; además r" .r ' lar,"1u.unecuaciones de valores equivalentes y diagramas de flujos de caja. Al terminar este capi-tulo se podrán plantear y resolver problemas financieros en los que inten'ienen cálcu-Ios de valores futuros y de valores presentes o actuales a partir de obligacionc: quedevengan o no intereses; igualmente se podrán plantear ecuaciones de valores equir a-lentes y elaborar diagramas de flujos de caja.

INTRODUCCION

Una cuestión fundamental en el mundo de los negocios es la determinación del r-aiorde aquellos bienes expresables en dinero que, por alguna condición, se recit 'rrán enfecha futu¡a. Así, por ejemplo: iQué vale hoy un legado de $1.000.000 que se recibirádentro de 10 años? ZEn cuánto puede venderse hoy un terreno que está en concesiónpor 6 años?

Definición El valor actual o presente a interés compuesto de un dinero que se recibaen fecha futura es aquel capital que, a interés compuesto, tendrá en el mismo tiempoun monto equivalente a la suma de dinero que se reciba en la fecha convenida.

5 . 1

5.2


cÁtculo DEt VAtoR AcTuAt

PValor presente

Util izando la fórmula 19: F : P(7

se obtiene,

Notación estándar: P : F(p/F, i% , n)

Para su aplicación, la fórmula 23a se modifica así:

T

(7 + i )"

P - F 11 ) - ; \ - t I. . \ ^ , . , /

Algebraica

\otación estándar

n periodos

FValor futuro

+ r)i'

El factor (1 + if 'es el valor presente de un valor futuro de una unidad por recibirdentro de n periodos de capitalización, a la tasa efectiva i por periodo. En notaciónestándar (P/E i%, n).

La tabla II contiene los valores del factor de valor presente para diferentes tasas yperiodos. Para el uso de la tabla, i es la tasa efectiva expresada én tanto por,r.,o

"., él

periodo de capitalización. Para valores que no figuren en las tablas, debe utilizarse cal-culadora.

La fórmula para el valor actual a la tasa j capitalizable rrr veces en el año se obtieneremplazando i, así:

I

i = L, n = número de periodos de capitalización en el año, para n añosm

el número de periodos : rzn

(23n)

(23b)

(23c)

(24a)

(24b)

P=P(t* i l ' '\ m )

n = r ( e¡r ,Ln,r^ \\ m )

(7 + i ) "

VALOR ACTUAL O PRESENTE AL INTERES COMPUESTO

[ft!fflEf,fl Hallar el valor presente de $5.000 pagaderos en 5 años, a la tasa efectiva anuald e l 6 % .

F : 5 . 0 0 0 ; i : 0 , 0 6 ; , 7 = 5

Notación estándar P = 5.000 (PlF,6%,5\

Algebraica P : s.000(1 + 0,06) s

En tabla II (1 + 0,06) 5 - 0,74725817

P : 5.000 (0,7472s817)

P :53.736.29

En la notac ión estándar P : 5 .000(P/F,6%,5) , se p ide calcular e l va lor presente Pconocido el valor futuro F : 5.000 al 6% eÍectivo en 5 periodos; por solicitarse el valorpresente, se uti l iza el factor de valor presente cuyo valor se busca en la tabla II o se calcula.

El lector debe comprende¡, con claridad, que ia notación estándar es estrictamen-te necesaria cuando se dispone de calculadoras financieras. Al introducir los valores dcF, i%, n,la calculadora interpreta el valor presente, determina el factor del valor presen-te para los datos informados y continúa su programa hasta entregar el resultado. Perosi el computador es programable, se recomienda crcar programas usando los conoci-'mientos asimilados en computación, y aplicar correctamente los conceptos financierosmanejando con propiedad las fórmulas y métodos matemáticos que correspondan alproblema que se trabaje. En este texto de matemáticas financieras, el objetivo es ense-ñar a manejar los conceptos y métodos matemáticos para obtener el resultado correcto.

ff i lEf,p Hallar el valor presente de $5.000 pagaderos en 5 años, a la tasa del 6"1,capitalizable trimestralmente.

A l g e b r a i c a r = r [ r , l r )

Notac iónes tándar n= dn¡ r , ln ,^ , , )\ " ' )

F = 5 000; m = 4 ; n = s ; i = 0 ,06 ; i = *=ry= 0 ,015

P = s. ]w(PlF , " t ,s%,20)

p=5.000(1 +0,015f4,

P = 5.000(0,74247042)

P = $3.772.35

Tabla II

5.3

5.4


VATOR ACTUAI PARA VALORES DE n MAYORESQUE EL ñAÁXIMO DE LA TABLA

Se procede como en el ejemPlo 4.4.

freEEEEEl Hallar el valor presente de $100.000 pagaderos dentro de 20 años, al 6%

capitalizable trimestralmente.

F = 1 0 0 . 0 0 0 ; m = 4 ; j = 0 , 0 6 ; n = 2 0

P = 100.000(1 + 0,015)-80

p - 100.000(1 + 0,015)-50 (1 + 0,015) 30

p = 100.000(0,47500468 ) (0,6397 6243 )

P = $30.389

Tabla II

VALOR ACTUAL A INTERÉS COMPUESTO CON PERIODOS

DE CAPITALIZACIóN FRACCIONARIOS

En la sección 4.5 se explicaron las dos formas de calcular el valor futuro a interés com-

puesto, cuando se prÁentan fracciones de periodo. El mismo método se aplica para el

iálculo del valor actual o presente en fracciones de periodo'

Regla comercial El valor actual se calcula a interés compuesto, para los periodos ente-

rot, y u interés simple para las fracciones de periodo'

cálculo teórico se calcula a interés compuesto para todo el t iempo, incluida la fracción

de periodo.El valor actual o presente resulta menor cuando se calcula a interés simple para Ia

fracción de periodo.

IEtrEIEEg iCuál es el valor presente de un pagaré de $60.000 pagaderos dentro de 2 años

8 meses, si la tasa es del 8% capitalizable semestralmente?

(a) Aplicando la regla comercial, se calcula primero el valor presente para 2 años 6 meses que

equivalen u S p"iiodor y, luego, con base en el valor encontrado, se busca su valor presente

a interés simPle en 2 meses.

Fórmula 24:

Estándar

D _ E

D _ E

l'. ¿') ''\ t n )

(v' ' j '*")


F - r , ( 1 . 0 ( ) ( l ; t t t = 2 : i = 0 . ( ) 8 ; i r y = ( ) , ( ) 4 ; i l = 2 , 52

P - 60.000(1 + 0,04) 5 = Orl.OtlO(il,t¡2192711 )

P = $,19.315,63

Así , e l va lo r Presente de $60. ( )00 pag¿deros en 2 ,5 anos es de 949.315,63 y sobre es te vakr r debehall¡rse cl v¿krr presente, .r interés simple del f3i4 , en 2 rneses.

Apl icanclo l . r f r i rmula 9: , = * ;

F = ,19 3 15,63; i

, , 49 3 15,63' = la!o,-ori)

= 0 , ( ) 8 ; r ' - I a ñ t rt )

- $18 666,74

l .¿s c¿ lcu l¿dor¿s f in ¡nc ic r . ts t ienen nr . rndo pr ra ea lc r r l . r ¡de per iodo par . t in tc rés s in t ¡ r l c o in te rús compucs to .

( l ' ) ( á lcu lo te r i r i co :

. t vo l un t ¡d t l t , l oPc r¿c lo r , l ¡ f r . t c c i t i n

) . )

i \ i l | ¡ t

1 ' - l l l + ' - ]\ , / i /

f - 6 0 . ( X X ) ; l - ( ) , 0 u ; t t t - 2 ; n . . 2 + - Z ? - ! ,1 2 3 3

, , , , , - z l { ) - i í - s l\ 3 i 3 3

P = 6 0 . ( X X ) ( I + ( ) , ( ) 4 ) 5 l , - t 0 . ( x l 0 ( l , ( u ) ¡ ( 1 . ( ) 4 ) I ' , l

T¿rbla I l (1,04) 5 =(\,8219271;' f¡bl¿ IV (1,0.t) r ' : r - 0,. lu0l152

C = 60.(XX) (0,¡ l2l ! '2711X0,9¡1701 152) - $'1¡1.675.()9

E l va lo r Presentc ca lcu lado a in te rés compuest ( ) , inc lu i t l ¡ l ¡ f r¿cc i t in dc pcr iodo, d . r un resu l t ¡do mayor en $6,35, c¡ue el obtcnido calcul¿nclo.r intt ' rós sinrple ¡rar.r la fraccit i l r cle pt 'r ioclo.

- l

(c ) E fec tuar e l c . i l cu lo c le ( l + 0 ,04 ; ' :

c9n ca lcu l¿ t l t ) r . i v c ( )mp. l r . l r l ¡ c6n e I v¿ l ¡ r eb te¡ i t l ¡ t ' ¡( l ¡) apl icanclo tablas. I lepetir el ejem¡rlo ¿ l . t t¿s¡ cfect i 'u,¿ del 2,/{, ¿nu..r l .

DESCUENTO A INTERÉS CONNPU¡SrO

El descuento compuesto verdadero es la d i f t rcr - rc ia entrc c l . " 'a l9r fu tur , , l ¡ i ) r f . t -valor presc.nte.

MATEMATICAS FINANCIERAs

Por def in ic ión:

Sust i tuvendo:

Factorizando:

D = F -P (D es el descuento verdadero)

P: F(1 + i ) - "

D : F - F ( 1 + t ) - ' ,

D : F [ 1 - ( 1 + ¡ ) ' ]

o=r[ r

(25n)

El valor t l - (1 + i)" '] recibe el nombre de factor de descuento, a interés compucsto-

Si la tasa de in terés es7 capi ta l izable n l veces Por año, se obt iene:

-fr*al ""'l\ ' t r / l (2sb)

Descuento bancario compuesto Es el que se calcul¿r sobre el monto de la deluda, a una

tasa de clescuento ¡1. Esta forma de descuento es poco frecuente y no tiene aplicaciones

prácticas. Iror meclio de un ciesarrollo análogo al uti l izado para deducir la fórmula 19,

para el clescuento bancario compuesto se obtienel la fórmula:

VL : VN (1 - rl)"

Donde:

VL: Valor líquido del Pagaré

VN: Valor nominal del Pagaré

d: 'f ipo

o tasa de descuento exPresada en tanto por ciento

5.ó VATOR PRESENTE DE UNA DEUDA QUE DEVENGA TNTERESES

para calcular el valor presente de una deuda que devenga intereses, es necesario esta-

blecer primero su monto nominal, es decir, el valor que liquidará la deuda a-su venci-

miento. Una vez calculado el monto nominal, se procede a determinar su valor actual.

[ff iH!f,f l Calcular, 3 años antes de su vencimiento, el valor presente, alf l% capitalizable

sem"st .a lment ! , de un pagaré de 9100.000 f i rmado a 5 años p lazo, con e l 6%, de in teré:

capitalizable anualmente

Irrimero, se calcula el monto nominal a 5 años de plazo:

Notación estándar F = P(FIP, i%,t t )

\o tac i í rnalgebraica F= P(1 +,)"

P : 1 0 0 . 0 0 0 ; i = 0 , 0 6 ; n : 5

F r :100 .000 (1 +0 ,06 )s

(2o)


Luego, para este monto F, , se calcula e l valor presente, n sea, e l valor l íquido:

Notacir in estándar

¡ - 0 , 0 1 1 ; m = 2 ; n = 3

0,04) '

( i \P = F l P l F , - , t n t t l

\ D t )

/ i \ ' "P = F l 1 + - l

\ t t t )

F - F, - 100.0(X) (l + 0,06)5

yL = 100.000 (1 + 0,06)5(1 +

Con las tablas I y I I o mediante calculadora, se t iene

t,L : 1 00.000(1,33822s58 ) (0,790314s3\

Vt, : $705.76r,90

5.7 ECUACIONES DE VALORES EQUIVATENTES

Estas ecuaciones son las que se forman igualanclo -en una fecha de comparación crfecha focal- las sumas de los valores en la fócha escogicla cle los diferentes .n'n;,,,,-,tn¡; .1,,obligaciones.

Los problemas básicos que deben analizarse son cios:1' Establecer el valor que debe pagarse, en determinacia fecha, equivalente al valor de

un conjunto de obligaci.nes, que vencen en diferentes fechas.2' Determinar la fecha cle vencimiento promeclio en que se puede cancela¡, mediante

un pago único igual a la suma de los valores de uñ conjlnto cle obligaciones quetienen distintas fechas de vencimiento. El t iempo por transcurrir hasta la fecha cievencimiento promedio se define como ticm¡to cquiiarente.

fff i l l lEEE Una persona debe $10.000 pagaderos dentro de 2 años y $20.000 a 5 añosplazo. con su acreed.or pacta efectuar un pa¡lo único al f inal de 3 años a la tasa del u%, capitalizablesemestralmente. Calcular el valor único del pago.

ru.uuu x 20.000En el diagrama anterio¡, las f lechas muestran el movimiento del dinero. El gráf ico del t lujr, J.caja susti tuyendo los dos pagos por uno solo es (para economizar espacio, las f lecha: rt i - , . , :-colocado a un solo lado de la l ínea de t iempo):

10.000

MAT EM AT\C AS F\N ANC\EBAS

Est . indar

Algcbraica

X: 10 . (100 (F lP ,4%,2) + 20 .000 (p /F ,4"1 , ,4 )

x : 10.000(1 + 0,04)r + 20.000(1 + 0,04) l

X : 10.000(1,0816) + 20.000(0,85480419)

X : $27.912,08

5 años

Si se rlrult iplic.rn ¿lmbos miembros de la ecuaciírn cle ecluivalencia, por cl factc:de c.nvers i i r . (1 + 0,04)" , se.bt ierre la i rnpor t . rnte re. l¿rc i ( rn:

x (1 + 0 ,04 ) , , _ 10 .000 (1 + 0 ,04 ) : * , , + 20 .000 (1 + 0 ,04 ) r , ,

La cual I-nucstr¿t qu(., ¿-l interés compuesto, los valores ecluivalentc.s en una fechat¿nrbiórr lo son en cualc lu ier ot ra fecha. por e jcmplo: para , i : 4 ,1¿r ecu¿rc i i rn quedaestablecicla p.rra la fech¿r dc vencimiento más le¡ana:

X( l + 0,04) ' : 10.000(1 + 0,04)" + 20.000

P¿¡r¿r r¡ : -2, \a ecuación queda establecida para la fecha más temprana:

X(1 + 0,04) 2 = 10.000 + 20.000(1 + 0,04) 6

Como se desea calcular X, o sea, el va-lor der pago único, entonces se prefiere laecuación de equivalencia más simple que fue la piimera con X = fi27.9r2,óa. Tenien_do en cuenta que para cualquier rr a pártir cle la fecha focal establecicla, el valor delpago único se obtiene multiplicando a X por el factor de conversión; esto se puedeutil izar cuando deudor y acreeclor cambian la fecha y aprovechan el valor conocidode X.

fff iEEElUf Calcular la fecha de vencimiento promedio clel siguiente conlunto de obliga-crones. :95.000 a 2 años p lazo, $6.000a 4 añosplazo y$10.000 a 5añós prazo,ar t ipo del 6% concapi ta l izac i t in anual .


años

r0.000

En el diagrama anterioq, las flechas muestran el movimiento del dinero'

El gráfico del flujo de caja, al sustituú los pagos por uno solo en una fecha que se debe calcular es:

0 1 2 3 4 X S a ñ o s

Designando por X el t iempo equivalente -expresado en años contados a part ir de hoy hasta el

vencimiento del pago único igual a la suma de los valores de las diferentes obl igaciones-, se

tiene:

Notación estándar la primera línea, algebraica la segunda

(s .000 + 6 .000 + 10 .000xP/F,6%,n : s .000(P/F ,6%,2) + 6 .000(P/F ,6%,4) + 10 .000(P/F ,6%, ,s )

( 5 . 0 0 0 + 6 . 0 0 0 + 1 0 . 0 0 0 ) ( 1 + 0 , 0 6 ) - r : 5 . 0 0 0 ( 1 + 0 , 0 6 ) - 2 + 6 . 0 0 0 ( 1 + 0 , 0 6 ) r + 1 0 . 0 0 0 ( l + 0 , 0 6 ¡ s

21.000(1 +0,06)-r:5-000(0,88999644)+6.000(0,79209366)+10-000(0,74725817)

4,449,98 + 4.752,56 + 7.472,58(1 + 0,06)

(1+ 0,06)

21.000= 0,79405343

Interpolando en la tabla II, se tiene:

corresponde 0,79209366

nde 0.83961928

e s a -0,04752562



-0,04556585

a x

a 3

a 4

a 3

1 x - 3

+o{rsrw = -0p4556585

^ 0,0455658qa - ¡ = -----------Z = 0.9587 6-t93

0,04752562

6.000

MATET/4ÁTICAS FINANCIERAS

r =' 3,95flfl años

r - 3 ¡ t t1os l1 n leses 15 d ías

I raba jando con c¿ lcu ladora , se t tene '

(1 + 0,06) ' - ' 0 ,79405343

.thr ( I + (),06) - In 0'79405:343

hr ( 1'06) - () '05tt26tt9

tn(\,79405343 - - 0'23()6045

-0,2306045-\ '= - - - -.'

0.()Sft26ile

x . ' 3 ,9576

- r - 3 años l l mcscs 15d í¿s

t ) espu ( ' s de co t t oce r t l t i t 'mpo t t l t l i v ' r l en t c y l a f ech r d t ' hoy ' se

p rome c l i o de venc im i t ' t ¡ l o '

o sea

luego

procede ¡ de termin¿r r la fcch¡

5.8 PROBLEMAS RESUELTOS

1. Dcmost ra r quer : (171r ' i ' l "n ) (P l l ' i ' / ' ' k ) : (P l l : ' t ' l " t t + k )

(P l t ' , i " / , , r r ) : (1 + t ) "

(.Plr:, fl,, k) : (1 + ')

o sca el l : ' i ' ' l "n)(Plt : ' i ' / ' "k): (1 + i ) "(1 + t) I

( P l l , i " l , t ) ( P l l , i ' / ' ' , k ) : ( 1 + ' ) " ' : ( 1 * i ) { " + r t

luego e lF ' i%"n) (P lL ' i ' / " ' k ¡ : (P lF ' i ' / ' "n + k )

Z. Demostrar que: (F/P' r" / ' " t t ) + (PlF' i ' / ' "k): (FlP' i%'n + k)

( t : l P , i % , r r ) : ( 1 + t ) "

(PIF, i%,k) : (1 + i ) A

G l P , i % , , n ) - ( P l F , i % ' , k ) : ( 1 + i ) ' + - ( 1 + i ) - ^

G l P , i % , , r ) - ( P l F , i % ' , k ) : ( 1 + i ) ' t + ) = ( 1 * l ; u + t

(FlP, f/,,, n) * (PlF, i%,k) : (FlP, i%' n + k)

3. icuánto debe invertirse hoy al9% concapitalización semestral' para obtener $60'000

dentro de 10 años?

P : 24.878,57

aA qué valor de contado equivale la oferta de $120.000 pagaderos dentro de 2 años

Por un bienraí2, si las inversiones locales producen el10% capitalizable trimestral-mente?

Estándar

Algebraica

Estándar

Algebraica


F : 6 0 . 0 0 0 ; j : 9 % ; m : 2 ; n : 1 0

P : 60.000 (PlF, 4,s%, 20)

P : 60.000 (1 + 0,045)-10 : 60.000 (0,47464286)

F : 1 2 0 . 0 0 0 ; j : 1 0 % ; m : 4 ; t t : 2

P : 1 2 0 . 0 0 0 ( P l E 2 , s % , 8 )

P : 120.000 (1 + 0,02s) 8: 120.000 (0,820746s7)

P : $98.489,60

5. ZQué oferta es más conveniente para la venta de una propiedad?

(,r) $90.000 de contado(ü) $40.000 de contado y el saldo en tres pa¡iarés iguales de $20.000 cada uno a 1,

2 y 3 años de p lazo, s i e l rencl imiento del d inero es del U%, capi ta l izablc se-mestralmente.

Las dos clfertas se expresan en diagramas de fiujos de caja a ambos l¿rdos deuna misma línea de tiempo.

40.000

X : 40.000 + 20.000(p/F, 4%,2) + 20.000(p/F, 4%, 4) + 20.000(p/F, 4%, 6)X:40.000 + 20.000(1 + 0,04)r+ 20.000(t + 0,04)r + 20.000(1 + 0,04)*X : 40.000 + 20.000(0,92455627 + 0,85480419 + 0,79037453)X : 20.000(2,56967493) + 40.000X = $91.393,50

La oferta b és superior en 91.393,50.


6. Un deudor tiene a su cargo los siguientes pagarés: $20.00 a 4 años de plazo,.$50.000a 3 años de plazo, $40.000 a L año de plazo y $50.00 exigibles de inmediato. EI ofrececancelar de contado $30.000 y el saldo a 2 años de plazo. Hallar este valor, si el t ipode interés es el7% capitalizable semestralmente.

Los diagramas de los dos flujos de caja equivalentes se presentan a ambos lados de unamisma línea de tiempo,las flechas indican el sentido positivo o negativo del flujo.

30.000x

+ 8 semestres

40.000

50.000 50.000

30.000 + X(P/F,3,5%,,4) : 50.000 + 40.000(P/F, 3,s%,2) + 50.000(P/F, 3,5%,6)+ 20.000(P/F,3,5%,8)

30 .000+x (1 +0 ,035 ) r : 50 .000+40 .000 (1 +0 ,035 ) ' z+50 .000 (1 +0 ,035 )++20 .000 (1 +0 ,035 ) ¡

X (1 +0 ,03s )a :50 .000 -30 .000+40 .00 (X1 +0 ,035 ) ' ?+50 .000 (1 +0 ,035 )6+20 .000 (1 +0 ,035 ) ¡

x : 20.000(1 + 0,03s)r + 40.000(1,035), +s0.000(1 + 0,035) r + 20.000(1 + 0,035) I

X: 20.000(1,47523) + 40.000(7,077225) + s0.000(0,93351070)+ 20.000(6,87144223)

X : 29.504,60 + 42.849 + 46.675,54 + 77.428,85

x - $729.903,83

7. iCon qué pagos iguales a7,2y 3 años de plazo puede remplazarse una obligaciónde $120.000 que vence dentro de 4 años, si la tasa de interés es del 8%, con capitali-zaciín anual?

120.000

II+4 años

9 .


Usando la últ ima fecha como fecha focal, se tiene:

X(FIP, 8%, 3) + X(FIP, 8%, 2) + X(FIP, 8%, t¡ = 120.000

X(1+ 0,08)3 + X(l+ 0,08)' + X(1+ 0,08) = 120.000

X(1,259772 + 7,766400 + 1,080000) = 120.000

120.000 ñ- a ^ ,x = 3565¡71= $34'225'94

Para una apreciación aproximada del t iempo equivalente, se acostumbra aplicaruna regla práctica que se enuncia así: súmense los productos obtenidos al multipli-car el valor de las obligaciones por sus respectivos plazos, y divídanse por la sumade los valores de las obligaciones.

Sean S,, 5r,5 r,..., S* los valore s, y tt ( n2, tt1,..., rru los plazos, e i la tasa de capitalizaciónpor periodo, capitalizando n¡ veces en el año:

(S , + S , + . . . + Su ) 0+ i ) ' " ' = S , (1+ i ) ' " ' ' + S , (7+ i ) " " ' z * . . . 5 r0+ i ) ' " ' r

Sustituyendo los desarrollos binomiales por sus valores aproximados a los dos pri-meros términos, se tiene:

(Sr + 52 + ... + S*X1 - mni) : Sr( 1 - mn,i) + Sr(1 -nmri) + ... + Sr(7 - mnri)

(Sl + S, + . . . + So)mni : Srmrt r i * S¡nt t r i + . . . + Srnutr i

de donde,

S , r r , + S r r r , + . . . + S ^ r r u. (va lor aproxlmaoo ae , l )S , + S r + . . . + S ^

Resolver el ejemplo 5.7 aplicando la regla práctica para el cálculo aproximado deltiempo equivalente. Comparar y analizar el resultado.

Un inversionista negocia un pagaré de $20.000 a intereses simples del 72%, convencimiento a dos años; hallar el valor que debe pagar a la tasa nominal comercialdel 70% , con capitalización semestral.

Primero se calcula el monto del pagaré a su vencimiento y, luego, el valor actual deese monto:

F : P ( \ + n i )

P : 2 0 . 0 0 0 ; n = 2 ; i : 0 , 7 2

[¡ATE MATICAS FI N ANC I E RAS

F=2o.ooo[1 +2(0,1,2)l

F = $24.800

Notación estándar P =r(PE ,Ln,^n\Um)

Notación argebraica I = rfr. (*)] '

F = 24.800; j = 0,70; m = 2; n - 2

P = 24.800 (1 + 0,05)'

P = $20.403,02

NOTA: El interés simple se usa en el corto plazo (hasta 1 año). A mediano plazo(1 a 4 años) y a largo plazo (más de 4 años) se uti l iza el interés compuesto.

10. El 1s de marzo de 1995 se firmó un pagaré por $40.000, con vencimiento a 4 años, aun interés simple del72%. El 1a de septiembre de 7996 se negocia con un inversio-nista que cobra el 14% nominal, con capitalización semestral; hallar el valor paga-do por el inversionista.

F = P\+ n i )

P = 4 0 . 0 0 0 ; n = 4 ; i = 0 , 7 2

F=40.000[1 +aQ,lz) l

F = $59.200

P=F( P tF , ln , * r )Im)F z r

- l -nn

P=Fl 1* f¿ l lL \ ' / l

F = 59.2ff,; j = 0,1L m= 2; n= 2,5 años

P = 59.200(1+ 0,0n-s

P = $42.208,78

11 . Una deuda de $200.000 se cobra judicialmente y se paga 5 años después. Si la tasabancaria para cuentas es del 1,6% nominal con capitalización trimestral, hallar (a) Ia

VALOR ACTUAL O PRESENTE AL INTERÉS COMPUESTO

suma que basta consignar en una cuenta de ahorros al iniciarse el juicio para cance-lar la deuda en la fecha del fallo; (b) la pérdida que sufre er a..""áo..

p = F( p t r ,Ln . r )I m )

p=rlr * ! ] "L tn l

F = 200.000; j = 0,76; m - 4; n = S

P = 200.000(7+ 0,04)",

P = $97.277,39

r=pfr*¿-l" ' 'L m )

P= 200.000; j = 0,76; tn= 4; n = S

F= 200.000(7+0,04)t ,

F = $438.224,62

Pé¡dida : 438.224,62- 200.000

Pérdida -$238.224,62

12' un deudor debe un pagaré por $300.000; 1g meses después de su vencimiento, con-viene con su acreedor cancelar con un pago <1e $450.0ó0. Hallar la tasa nominal concapitalización semestral que corresponde u esta operación comercial.

P=Fl1"f¿l lL \ r t l l l

P= 300.000, F= 450.000; m=2;ru = 1,5 años

i 3oo.ooo = 45o.ooo L * ¿) '

\ 2 )

/n(300.000) = /n(450.000 ) + (-3)nl tn l l\ 2 )

( ¡ ttnll+ i l=ltn1+s0000) - in(300.000)]+ 3

\ ¿ )

(a)

(b)


7,7M7142

28,94%


13. Hallar el valor actual de:(n) $10.000 pagaderos dentro dc 10 años al 5%, con acumulación anual'

(b) 95.000 pagaderos dentro de 6 años al 6% capitalizable trimestralmente.

(c) $8.000 pagaderos de.ntro <le 7% años al 8%,, capitalizable semestralmente.

(d) $4.000 pa¡;aderos dentro de 5 ¿rños al7,4ol,, con capitalizaci<in anual.

14. Hallar el valor actual de $6.000, pagnderos dcntro de 5 años 4 meses, al 6% capitalizable

trimestralmente:(n) Según la re¡¡la comercial .(b) Efectuando el cálculo teórico.

15. Hall¿rr erl valor actuai de $96.000 pagaderos dentro de 20 años al 8%, , con capitaliza-

c ión mensua l .

16. Hallar Ia cantidad que es necesaric'r clepclsitar en una cuenta que Paga el 8% con

capitalizacicin trimestral, para disponer de $2t).000 al c¿rbo de 10 años.

17. ZQué oferta es más convcniente para la venta de una propiedad, si la tas¿r de interés

es del 10%, con capi ta l izac ión semestra l?(n) $60.000 al contado.(¿,) $30.000 al contado y $35.000 a 3 años de plazo.

18. Una persona vende una propiedad avaluada en $120.000 y por ella lc ofrecen $70.00Cal contado. i l 'or cuánto debc aceptar un pagaré por el saldo a 2 años de plazo, si el

tipo de interés es del 9%, con caprta\ización trimestra\?

i 1g. Una persona posee un pagaré de $6D.DDD a5 ahos de p)azo c1 ul-r ' . i i : l

acumulación semestral. ' [res

años antes de su vencimie¡fo ]¡r trl:c -<

prestamista que inviertc al 10%,, con capitalización trimestr.rl 'Q..=

el orestamista?

20. Un cc¡merciante compra $100.000 en mercancías y Paga $20 00i '

/ i \tn l l + i l=\ - . /

- lI t : -' ' 2 -

t -J _

n 1 ? q 1 q 5

s.9

en un pagaré a 3 meses y $40.000 a 6 meses. Hallar el valor de ct'n::: --

cía, s i la tasa de interés local es de\g%, con capital ización men'u'-


21. Una persona debe pagar $50.000 dentro de 2 años; el acreedor acepta un pago alcontado de $20"000 y un nuevo pagaré a 3 años. Hallar el valor del nuevo pagaré ala tasa delS%, con acumulación semestral.

22. Un acreedor de una sociedad en l iquidación acepta que se le pague al contado el75% del valor de dos pagarés a cargo de la sociedad; uno de $50.000 está vencidodesde hace 18 meses y el otro por $60.000 vence dentro de 15 meses; si el rendi-miento convenido es del 10% con acumulación trimestral, hallar la suma que recibeel acreedor.

23. Un pagaré de $8.000 pa¡;aderos dentro de 2 años y otro de $10.000 pagaderos den-tro de 5 años van a l iquidarse en un pago único dentro de 3k años. Hallar el valordel pago único a Ia tasa del 9%' , convertible semestralmente.

24.Una persona debe $20.000 pagaderos dentro de 3 años y $40.000 pagaderos dentrode 5 años. Hallar el valor de dos pagos iguales, a 2 y 4 años, que sustituyan lasdeudas con el t ipo de interrés del 6% con capitalización semestral.

25. Una persona vende un terrerno y rec ibe dos pagarés de $60.000 a 2 y 4 años deplazo. Hal lar e l va lor de contado, s i e l rendimiento es del 8% con capi ta l iz¿rc iónsemestra l .

26. Una persona debe $100.000 y propone efectuar tre's pa¡;os anuales iguales y sucesi-vos. Si el t ipo de. interés es delT% capitalizable anual, hallar el valor de estos paga-rés.

27.Hallar el t iempo equivalente para el pago de las sig,uientcs deu<las: $10.000 a 4 años,

$8.000 a 3 años y $6.000 a 2 años. Tasa efectiva del 8%.

28. Una deuda de $5.000 a 2 años, y otra de $8.000 a 4 años, se l iquidan con un P¿rgc)único de $12.800 ¿r 3 años. Analizar el problema.

29. ¿A qué tasa efectiva, un pago único de $20.000 hoy sustituye dos pagarés de $11.000cada uno, con ve'ncimiento a 1 y 2 años respectivamente?

30. Una persona debe $20.000 a 3 años de plazo al 70%, acumulable semestralmente v

-$30.000 sin intereses, a 2 años de plazo. Propone la siguiente operación comercial ¿t

/ la tasa efectiva delg%: pagar $10.000 al contado, $25.000 a 2 años de plazo y el salcltr'

a 3 años. Hallar el monto del últ imo pago.

31. Demostrar que: para tt > 1 el descuento a interés compuesto es mayor que r' l .1".-

cuento racional; para t¡ : l ambos descuentos son iguales, y Para 0 < i l ' í I .-

descuento a interés compuesto es menor que el descuento racional.

t-tI

@ vnrE¡¡Átcns FTNAN.TERAS

Comparar en una gráfica los valores actuales con: descuento comercial, racional y

compuesto. Util izar la tasa del 20% anual y elaborar las gráficas para 4 periodos

anuales; el primer periodo subdivídase en meses y calcular valores para cada mes.

Demos t ra rque (F /P , i% ,n ) (P /F , í%,k ) , s i n >kes igua la (F /P , i% ,n -k ) , s i t t : kes igua l

a 1, y si n < k es igual a (P/F, i%,k-n)

5. IO ACTIVIDADES DE CONSULTA

(a) Estudiar las tasas de interés local aplicadas, para calcular el pago inmediato de deu-

das a largo y mediano plazo.(b) Programar en computador el cálculo de tasas efectivas dados la tasa nominal y el

número de capitalizaciones, cl el periodo de capitalización.(c) Programar en computador el cálculo del valor presente de una deuda que Sana

intereses; este programa presenta variantes que se deben investigar.

t--,& **? l'1,1.{} ffi

ANUALIDADES

OBJETIVO

El objetivo de este capítulo es reconocet definir y clasificar los cliferentes tipos de anua-lidades; además identif icar y manejar los distintos factores que intervienen en las anua-lidades. Al terminar el estudio de este capítulo se podrán calcular: montos o valoresfuturos, valores actuales o presentes, rentas de anualidades, tasas de interés y tiemposo plazos de anualidacies ciertas ordinarias. El estudiante estará en capacidad de elato-rar diagramas de flujo de caja en los que intervengan anualidades ciertas, además cleplantear y resolver ecuaciones de equivalencia entre anualidades.

INTRODUCCION

En matemáticas financieras, la expre sión atunlidnd se emplea para indicar el sistema depago de sumas fi jas a intervalos iguales. La palabra anualidad se uti l iza por costumbredesde sus orígenes. Así es que se usa en las anualidades contingentes, en las que inter-viene la probabil idad anual de vida de las personas. En finanzas, anualidad no significapagos anuales sino pagos a intervalos iguales. Por consiguiente, se consideran anuali-dades los dividendos sobre acciones, los fondos de amortización, los pagos a plazos, lospaSos periódicos de Ias compañías de seguro, y en forma más general, los sueldos vtodo tipo de rentas. La expresión anualidad puede cambiarse por la de rentas, seriesuniformes, PaSos periódicos, amortizaciones u otros, según el caso y ias costumbre.locales. En este texto se conserva el nombre de anualidad para el estudio seneral i.

ó . 1


todo tipo de pagos periódicos; así, el interesado no tendrá modificaciones de lenguajeal estudiar las anualidades contingentes y, con ellas, los seguros de vida.

Definición Una anualidad es una sucesión de pagos periódicos iguales. Si los pagosson diferentes o alguno de ellos es diferente de los demás, la anualidad toma, según elcaso, los nombres de anualidades variable s (oéase 9.74) o anualidades impropias (uén-w6 .10 ) .

CLASIFICACIóN DE tAS ANUATIDADES

Los factores financieros que intervienen en las anualidades y sus formas de pago deter-minan diferentes tipos de anualidades. A fin de l levar a cabo un estudio organizado, esnecesario elaborar una clasificación y dar su correspondiente definición.

Renta El valor de cada pago periódico recibe el nombre de renta.

Periodo de pago o periodo de la renta El t iempo fi jado entre dos pagos sucesivos es elperiodo de pago o periodo de la renta.

Tiempo o p lazo de una anual idad El in tervalo que t ranscurre entre e l comienz. .del pr imer per iodo de pago y e l f ina l del ú l t imo es e l t iempo o p lazo de una anual i -dad .

Renta anual La suma de los pagos hechos en un año corresponde a la renta anual.

Tasa de una anualidad El t ipo de interés fi jado es la tasa de anualidad y puede sernominal o efectiva.

Según el t iempo, las anualidades se agrupan en dos clases: anualidades ciertas vanualidndcs caentuales o cottt ingentes. Anualidades ciertas son aquellas cuyas fechas ini-cial y terminal se conocen por estar estipuladas en forma concreta. Anualidades contin-gentes so4 aquellas en las que el primer pago o el último, es deci¡, la fecha inicial y/o lafecha final dependen de algún suceso previsible, pero cuya fecha de realización no pue-de fijarse.

Anual idades perpetuas o perpetu idades Éstas son una var iac ión de las anual idadesciertas, en las que la duración del pago es, en teoría, ilimitada.

Según la forma como se estipule el pago de la renta o anualidad, se originan lasanualidndes ordinarias o uencidas y las anualidades antícipadas.lJna anualidad es ordinariao vencida si el pago de la renta se hace al f inal del periodo de pago. Es anticipada, si elpago se efectúa al principio del periodo de pago.

Anualidades inmediatas Éstas son aquellas cuyo primer pago se efectúa al ini-ciar o terminar el primer periodo.

ANUALIDADES

ó .3

Anualidades diferidas Éstas son aquellas en las que se estipula que el primerpago debe efectuarse después de transcurrido cierto número de periodos.

De acuerdo con las def inic iones anter iores, es posible, entonces, clasi f icar lasanual idades formando grupos y subgrupos. Para esta obra, se pref iere, por su sim-pl ic idad, la clasi f icación tradicional formando dos grupos según el t iempo de anua-l idad y los subgrupos de vencidas y ant ic ipadas, como se muestra en ól s iguienteesquema.

ANUATIDADES CIERTAS

5 . 4 ANUATIDADES EVENTUATES O CONTINGENTES

Ordinar ias o vencidasInmediatasDiferidasPerpetuas inmediatasPerpetuas diferidas

Ordinar ias o vencidasInr-ncdiatasDifcridasPe.rpetuns inrncdi¿rtas[)crpetuars diferid¿rs

AnticipadaslnmediatasDiferidasPerpetuas inmediatasI'erpetuas difericlas

Ant ic ipadasInmediat¿rsDi fer idasl)erp6' [u¿1s i lrrncd ia t¿rsPerpetuas d i fer idas

C¿ld¿ una de las distir lt¿rs forrnas cle arrualid¿rdcs ¡rresent.r v.rri¿rl ltcs en l.r formadc calcular sus valores, segúrn el nunrero de p-tag1l5 crr el .rfro y rrúmt,ro de perioclos clccapittrl iznciorres anu¿rle.s cluc esti¡rult el t ipo dc interós.

Anual idades s imples st ' c le f ine r r cor lo at l r rc l l¿s cuy() ¡ rcr i .c lo dt ' P¡g1¡ c . i l rc ic lc con e l[ ] t ' r ioc lo dt ' t ' . rP i t . ¡ l i7 . ¡ , i , i r ' r .

VATOR DE tAS ANUATIDADES

El valor de la ¿rrrualid¿rd c¿rlcul¿rdo ¿r su terminacitin cs r' l valor futuro de óst¿r. El v¿rlor ck'la anualid¿rd calculado .rl cotnienzr) es su vakrr pre.scnte. Estos valores puedt'rr, tarn-bién, calcularse en fechas intermedias; err tal caso, se refieren a v¿rlor futuro cle l¿r p¿.rrtevcncida o valor presente dc l.rs anu¿rlid¿rdes por vencer. Así, ¡ror t ' j t 'm¡'rlo, una renta tjt,$2.000 pagaderos cada final dc ¿rño dtrrante 6 anos, te nclrá v¿rlor futuro F al f in¿rlizar l¡.6 trños, y tendrá un valor presente P, e n su fe'cha inicial.


P

2.000

Parte vencida

2.000 2.000

tII

Fecha intermedia Parte por vencer

Transcurridos 2 años se tiene una fecha intermedia que separa la parte vencidade la anualidad, de la parte por vencet tal como se muestra en la gráfica.

El cálculo de los valores de anualidades puede hacerse a partir de un caso general,en el que se incluyan las diferentes formas de anualidades. Pero, desde el punto devista didáctico, es conveniente guiar el aprendizaje, comenzando por los casos de másfrecuente aplicación para finalizar con un tratamiento general de ellas; de acuerdo coneste método se han desarrollado los siguientes tópicos.

VATOR FUTURO Y VATOR PRESENTE DE LAs ANUATIDADESSIMPLES CI ERTAS ORDI NARIAS INMEDIATAS

Este tipo de anualidades es el más frecuente y, por esto, cuando se dice simplementeanualidad, se supone que se trata de una anualidad simple cierta ordinaria inmediata.La tasa de interés es, por lo general, una tasa de interés nominal anual. En caso de quela tasa no sea nominal, se indicará como tasa efectiva anual. Si la tasa dada es nominal,sin especificación de periodo de capitalización, la tasa efectiva en el periodo de pago esel cociente entre la tasa nominal y el número anual de pagos.

Símbolos uti l izados para las anualidades

A: pago periódicole una anualidad o renta

I : tasa efectiva for periodo de capitalización

7 : tasa nominal anual

m: número de capitalizaciones en el año

/i-; = tasa nominal con m periodos de capitalizaciones en el año

r¡ : número de periodos de pago

F : monto de una anualidad o su valor futuro

P : valor actual o presente de una anualidad

ANUALIDADES

Cálculo del valor futuro Los pagosA efectuados al f inal de cada periodo ganan interéscompuesto, hasta la fecha final. Estableciendo la ecuación de equivalencia para la fechafinal como fecha focal, se tiene, entonces:

periodos

Cada pago efectuado al f inal del periodo capitaliza los intereses en cada uno de lossiguientes periodos. El pnmer pago acumula durante (rr - 1) periodos, el se¡¡.rndo @ _2)periodos y, así, sucesivamente hasta el último pago que no obtiene intereses, ya que coin-cide con la fecha de término.

Los valores futuros respectivos de los pagos A comenzando por el últ imo serán:A, A (1, + i ) , A(7 + í ) ' , . . . . A(7 + i ) , -2 + A(1+ i ) , -1.

El valor futuro total F de la anualidad es igual a la suma de los valores futurosproducidos por las distintas rentas A, o sea:

F : A + A ( 1 + i ) + A ( 1 + i ) ' + . . . + A ( 1 + i ) * z + A ( 1 + ¡ , ' r

Los términos del segundo miembro forman una progresión geométrica de ru tér-minos, razón (1 + l) y primer término A. Al aplicar la fórmula de la suma dada en lasección 0.11, se t iene:

F _alo+ i)" - 1l

( 7 + i ) - 7

- n ( 7 + i ) " - 1I

En notación estándar F : A(FIA, i%, n)

(Se pide F dados: el pago periódico A,periodos).

Si el valor de cada pago A es de una unidad monetaria, el valor futuro F corres-ponde al valor futuro de una anualidad de uno por periodo, el cual se denomina factorde valor futuro de una anualidad.

Notación algebraica 0 + i)" - I : factor de valor futuro

I

Notación estándar (FlA, i%, rr) : ¡u.,o. de valor futuro

- a(r" - 1)

r - 7

(zTa)

(27b)

la tasa i% por periodo y el número rr de

A A A A A A A A


Los valores del factor (Ff A,i%, n)pueden establecerse con una calculadora común

que tenga una memoria y las funciones logarítmica y exponencial. Con ella el estudian-

te podrá trabajar directamente las operaciones exigidas en los problemas. En Ia prácti-

ca, son numerosos los cálculos financieros que se efectúan uti l izando tablasi por esta

raz6rr, es necesario ejercitarse en su uso; la tabla V -incluida al final de este libro- tiene

los valores del factor de valor futuro de una anualidad, calculados para las tasas y nú-

mero de periodos que se uti l izan en los problemas Presentados en esta obra.

Cálculo del valor presente

El valor presente de una anualidad es aquella cantidad P de dinero con sus intereses

compuestos que, en el t iempo de Ia anualidad, proporcionará un valor futuro equiva-

lente al de la anualidad.Al formar la ecuación de equivalencia y uti l izar como fecha focal la fecha final, se

tiene:

periodos

A

P ( 1 + i ) , : F

t 1 + i \ ' ¡ - lP ( l + i ) n - - A ' ' '

I

1 1 + i \ t t - ' l

P = A " " ' . ^ ( l + i ) n

I

, ' - o 1 ! ! ) - !i

Notación estándar P : A(P/A, i lo, tr)

(28n)

(28b)

(Se pide P, dados el pago periódicoÁ, la tasai% por periodo y el número n de periodos)

Si el valor de cada pagoA es de una unidad monetaria, el valor presente P corres-ponderá al valor presente de una anualidad de uno por periodo y se expresa por elfactor de valor Dresente de una anualidad de $1.

ANUALIDADES

Notación algebraica 7 - (7 + i)-"

= factor de valor presenteI

Notación estándar (PIA, i%, n) : ¡u.,o. de valor presente

Los valores del factor de valor presente de las anualidades pueden determinarsemediante calculadora o mediante tablas que tienen tabulados estos valores. La tabla VI-incluida al final de este libro- tiene los valores del factor de valor presente de anualida-des para valores de i, de uso frecuente en los problemas planteadoi en esta obra.

[ftffiEfffi, Una persona que viaja fuera de su localidad deja una propiedacl en alquilerpor 5 años, con la condición de que paguen $9.000 por trimestre vencido. Esta cantidad r" .nr-,-signará en una cuenta de ahorros que paga tl% nominal anual. Hallar el valor futuro en los 5años y el valor presente del contrato de alquiler.

, _ O ( 1 + i l ' - 1i

F = A(F / A , i , l , , tü

A - e.000; I = 00u; m = 4; i= !! l = 0,02; ¡ = 4(5) - 2()4

F - 9.000 lFlA,2"1,,20| en la tabta v, lr¡a, zr",20l= 24,2s736sÍt0

F = 9.00{'t (24,297 36980 ) = $2tti. 67 6,33

P = A(PlA, i%, n) = 9.0N (PlA,2%,20);en la tabla VI , (PlA,2%,20)

= 16,35143334

A = 9.000 (7 6,357 43334) = $1 47. 1 62,9e

[ftffillff| Hallar el valor futuro y el valor presente de una anualidad de $5.000, pa¡¡aderasemenestralmente durante 7 anos 6 meses al 8,6/,' , capitaltzable semestralmente. Utilizarcalcu-ladora.

0.086 1A = 5 . 0 0 0 ; l : 0 , 0 8 6 ; m : 2 ; t =

2 = 0 , 0 4 3 ; n = 7 - ( 2 ) = 1 5

(l + 0.043)¡i - It = ).U(,t,

0l)43

Se calcula primero (1,043)'s :7,8804623 (función rr)

1,8804623 - It = 5.( l (Xf

0,043

F = $102.379,34

MATE[/ÁTIC¡S FINANCIERAS

Valor presentel - r l - i ) l - ( l + 0 , 0 4 3 ) ' :

P - A - ' ' = 5 . 0 0 0I 0,043

Se c¡rlcula (1,()439) r' : (),5317u41 (funcitin .r ')

^ s('()o L_U#11

A - 5s4.443,71

ffiHfft Número de periodos mayores clue el máximo de las tablas'

ff i;ff ier. de peri.cl,r, ",

*uyu. que cl máxim. disponible en las tablas' l.s val.res se

calculan aplicanclo los mét.d..,s indicadoi en los problemas 13 y 1fl de este capítulo' En este

ej t ,mplo, se. les¿rro l lar¿i una soluc iórr de uso f recuente antes de la era de las calculadoras

electrírnicas. Fiste e¡enrplo se incluye por su contenido te(lrico, y este método de cálculo puede

ser rlt ' uti l iclad para abordar situaciones similarcs'

Hal lar e l v¿rkrr fu tur0 y e l va lor presente c le t tn¿ anu¿r l ic lad c le $100 nrensuales pagaderos du-

r.rntc l5 atfus, al 9l nomin.rl convertible mensu'rlmt'trtc'

A - 100; I-0,0e; t t t=\2; l -s¿ -f , ' t t -0,0075; i l - 15(12)= l t t0

r = 1oo( rla,f't,,rn')Est¿inc'lar

Algebraica | - 10t1.(1+0 ,0075 ) ' n " - l

0,0075

Mec ' l i ¡ r r te l¿ tab l¿ l :

(1 , (X)75) r i l ' : ( l , (X)75)5" ( l , (X)75)1 ' (1 ,0075) í ' ( l ' (X)75) r '

( l,(X)75) | ¡{' -- (1,152s569) (1,452s569) (1,'t52956e) (1,2572777 6) - 3'83tJ0'l2ll

Valor presente

/ . \P = 1rX) [ p t ¡ , ! '1 , . wol

\ ' I t

1 - (l + 0,0075) '""P = 1 0 0

0,0075

Mediante la tab la l l :

(1,0075) rH' :\,0075) 5(', (1,0075) 5') (1,0075) -H', (1,0075) r"

( 1 , 0 0 7 s ) r e ' = ( 0 , 6 8 u 2 5 1 6 5 ) ( 0 , 6 8 ¡ l 2 s 1 6 s ) ( 0 , 6 8 1 1 2 5 1 6 5 ) ( 0 ' 7 9 9 1 8 6 9 ) = 0 ' 2 6 0 5 4 9 3

ANUAL IDADES

6 . 7

I - (),26()54e3 , , ,,, U, 73e4505t{0,(x)75 {}.{}075

P : $9.tt59.34

L)eterminar lr . lnterior nrediante la funcitin x" de la calcul.rdora.

PROBLEMAS RESUELTOS(Pr imer grupo)

1. Una pcrsona dc¡'rosita $2.000 al f inal de cada año, dur¿rnte 15 años, en una cue-nta

de ahorros que paga el 8% de intcreses. Hallar el valor futuro incluyenclo el últ imo

P48c).

Z. Una persona desea comprar una renta de $20.000 pagadera semestralmente, du-

rante los próximos 10 años. Hallar el costo de la ar-rualidad a la tasa del 6%.

Algebraicer

Estándar

a :20.000; j :

Estándar

Algebraica

A : 2 .000; i :8%, ; ¡ r : 15

/ l + i ) ' r - l

T

F : A(L/A, i%', tI) - 2.001) (FlA,8% , 15)

I : 2.000 \27,t52t l3e3) : $54.3()4,23

. 6 %6%,; m : 2; i =

; = 3%; n = 2(70) = 211

P : A(PIA, i%,, n) : 20.000 (PlA,3%, 20)

p = AI- ( t * i ) =2oooo. t 1#)

P : 20.000 (14,87747486): $297.549,50

Tabla V

Tabla VI

3. Una compañía vende neveras con una cuota inicial de $100.000 y 76 cuotas men-

suales de 950.000. Si se carga el 75%, con capitalización mensual, hallar el valor de

contado.

Valor de contado : cuota inicial * valor presente de las mensualidades

Valor de contado : cuota inicial + A(P/4, i%, t)

Cuota in ic ia l = 100.000;A : 50.000; t t = 76; i : 75%; m : 72;


r = o '15 =oprzs=r !%r24

Valor de contado : 100.000 + 50.000 (P/A,1,25%,16)

Valor de contado : 100.000 + 50.000 (74,42029227) : $821.015

Tabla VI

Una persona debe pagar una anualidad de $6.000 trimestrales durante 10 años. Si noefectúa los 4 primeros pagos, Zcuánto debe pagar al vencer la quinta cuota, para poneral día su deuda, si la tasa de la operación es del 70/., con capitalización trimestral?

Se calcula el VF parcial hasta el quinto pago

O I

r lI

Y

6.000 6.(XX) 6.0(X) 6.000 6.000 6.000

F' : Valor futuro parcial;

70,/,,A : 6 . 0 0 0 ; j : 1 0 % ; m - - 4 ; i :

; : 2 , 5 % , : 0 , 0 2 5 ; t t = 5

F' : A(FIA, i%,,r) : o.ooo (r¡a, z,sn, s)

F', : 6.000 (s,256328s2) :937.s37,97

5. Resolver el problema 1, mediante la función y'en la calculadora.

- ^ ( 7 + i ) " - 7, = o

iA : 2 . 0 0 0 ; l : 0 , 0 8 ; t t : 7 5

(1 + 0,08)ts :3,1727697

3,7727697 - 7 : 2,7721,691,

2,7721691- 0,08 : 27,75277375

27,75271.375 (2.000) : $54.304,23

6. Resolver el problema 2, mediante la función y' en la calculadora.

1 - ( 1 + i \ "l ¿ = l f -

í

ANUALIDADES

A= 20.000; i =0,06; m=z; i =ry : 0,03; n= 2(10) : 20

(1 +0,03)10 : O,SSZOZSZ5 entra en memoria

1- MR : 0,44632425

0,44632425 -:- 0,03 = 74,877475

1,4,87747s (20.000) : 9297.s49,s0

7. Una persona debe pagar durante 10.años una ¿rnual idad de $5.000 semestralespactados al 8% nominal. Al efectuar el noveno pago, dese;r Iiquidar el s¿rlcio cotrun pago único. iCuánto debe pagar en la fecha del nove-uo pago, para litluid;rrla deuda?

Al efectu¿rr e'l novenct pago quc-d;rn 20 - 9 - 11 p¿rgosPago único : A + P- (A es el valor de cad¿r .rrru¿rlid¿rcl y P' cl r ' ' .r lor actu¿rl dt. los

11 ¡ r¿g115 pendientcs)

. 1 : 5 . 0 ( ) ( ) ; ¡ - - 0 , 0 8 ; t t t : 2 ; ¡ : ( I ) 8

= 1 ¡ . P aL

Pirgo úniccr :5 .000 + 5.000 (PlA,4%, l1) : 5 . ¡ t l ¡ + 5.000 (8,76t)17671)

Pago único : $48.802,38

Al cumpl i r 10 años su h i jo , e l padre decide consignar semc'st ra lmente $2.000, en

una cuenta de ahorros, que paga e l 9% nominal . S i hace estas consign. lc lonesdurante 5 ¿rños consecutivc'ls, calcular la cantidad que tendrá en su cuenta el

h i jo , a l cumpl i r 21 años.F

+IIII

2 l año : de ed . r J

23 scnre*tre '

I

I15I l


Primero se calcula el valor futuro F' de las consignaciones, durante 5 años.

Estándar F : A(F/A, i%, n)

A l g e b r a i c a P = o . ( 1 + t ) " - 7

A : z.ooo;', = no,, nt : 2; i =ry = 4,s%,; n = "rl2

F', : 2.000 (FIA, 4,5%,11) : 2.000 (13,84777879)

F' : 27.682,36

Cuando el hijo cumpla 15 años, hecho el últ imo pago, elsuma que ¡;ana interés compuesto durante 12 periodos,

valor es de$.27.682,36,hasta que cumpla 21

¿rños cle cd¿rd.

Algebratica ¡: : P(1 + i) ,,

Est¿indar F : P(F/P, i%, n)

P : $27.682,36; i :0 ,045; t r : 2( :6) :

F : 927.682,36(7 + 0,04s)' '

F : $27.682,36 (1,69s88143) : 946.946

t 2

9 . Demostrar que:

(1 + r) (l:/4, i, tr)

( 1 + i ) (F IA , i , t t )

(1 + i) (t:/A, i, tt)

(1 + i) (FlA, i, tt)

Demostrar que:

(PlA, i,/,,, l t +

( 1 + i ) " * 1 - ¡ t + t , ¡

I

, a , - . ¡ r r + l 1 ,\ r f r ) - 1 I

i - ¡

t

( F I A , i , n + 1 ) - 1

10.

k) : (P /A, i ,h ) + (1

: 1 1 t * t ) l ' *

I

+ i) h (P/A, i%, k)

(P/A, i '/",lt + k)

ANUALIDADES

( P / A , i % , t r + k ) :

(P/A, i%, h + k) :

(P/A, i%, h + k) =

7 - ( 7 + i ) - h

1

7 - (1 + i ) -h + (7 + i ) -h - ( t + i ) -h-k

i

f t+ ¡ fh f t -O+¡ fk lI

+ i)r (P/A, k, i)

ó . 8

(P/4, i, h) + (1


11. Calcular el valor futuro y el valor presente de las siguientes anualidades ciertasordinarias.(n) $2.000 semestra les durante 8 j años a l8%, capi ta l izable semestra lmente. .(b) $4.000 anuales durante 6 años a\7,3%, capitalizable anualmente(c) $200 mensuales durante 3 años 4 meses, al 8% con capitalización mensual.

12. Una persona deposita $5.000 cada final de año en una cuenta de ahorros que abonael 8% de intereses. Hallar la suma que tendrá en su cuenta al cabo de 10 años, alefectuar el últ imo depósito.

13. Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condicio-nes: $20.000 de contado; $1.000 por mensualidades vencidas durante 2 años y 6meses y un último pago de $2.500 un mes después de pagada la últ ima mensuali-dad. Para el cálculo, uti l izar el9% con capitalización mensual.

14. Calcular el valor de contado de un equipo industrial comprado así: 96.000 de con-tado y 12 pagos trimestrales de $2.000 con 72%de interés, capitalizable trimestral-mente.

15. ¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: $14.000de cuota inicial; $1.600 mensuales durante 2 años 6 meses con un último pago de$2.500, si se carga el 72% con capitalización mensual?

16. Una mina en explotación tiene una producción anual de $8.000.000 y se estima quese agotará en 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el rendimientodel d inero es del8%.

17. En el problema 16 se estima que al agotarse la mina habrá activos recuperables porvalor de $1.500.000. Encontrar el valor presente, incluidas las uti l idades, si éstasrepresentan el25% de la producción.


18. Una Persona recibe tres ofertas para la compra de su propiedad'

(a) $+oo.ooo de contado' - - . r - - r^- A, , , " - re 2 l ar-(b) $1e0.000 d" ';;;i;á' v $?9 999

semestrales durante 2] años'

k) $210.000 d" t;;i;át í Szo'ooo trimestrales duranter 3 años'

iQué oferta es más conveniente' si el interés es rlel 72%' nominal anual?

l g . E n e l m o m e n t o d e n a c c r s u h i ¡ a , u n S ( ' n o r c l e p c l s i t ó $ 1 . 5 ( ) { . ) c n u n d t . u e n t a q u t ' a b o n ael8%;<licha canti-iuJiu tt""igttu tua.u-l*pleaños' Al cumplir 12 años' aumentó

sus consigna.,"""l "l iontt. Cálcular l";;: ;;; tenclrá a clisp.sición de ella a los

18 años.

2 0 . D e m o s t r a r q u e ( L I A , i ' h + t ; : ( F I A ' i ' h ) + ( 1 + i ) t ' ( F I A ' ¡ ' k )

2 l . U n a p e r s o n a d e p o s i t a $ 1 t ] 0 a l f i n a l c l e c a d a m e s e n u n a c u e n t a q u e a b t l n a e | 6 % , d einterés, .upituriráui.:^J.,r,rol,tr"^t". coi.,rru. ru salcio en la cuenta' al cab. de 20 años'

2 2 . L C u á | e s e l v a l < l r p r c s e n t e d e u ¡ ¿ r ' ¡ e n t a d e $ 5 0 0 m e n s u a - l e s , c i f r t r q u t l s c r e , c i b i r á<lurante 15 anos? éoi.utu, ct¡n el 6of ,."pr,"rtmur" mc'nsualmente' Hace r t ' l c¿ilculo:

(n) con la tabla ti, ó m.,.l iantc la fórmJla clcs¿rrrollacla cn el problcma 20'

23. Demostrar que (PIA, i , l r+k; : (PIA, i , t I ) + (PIA, ' , k) (1 + i ) ,

24. Demostrar que:/ D / ^ . . , \ -

( n ) ( I + ' ) \ t ' / h ' I ' t t t -

/ i | . \ t l l A ; " \ -( h ) ( I + ' ) \ t / / t ' t ' t t t -

25. Demostrar que Para lr

26. Demostrar que Para h

27. Demostrar que Paralr

28. Demostrar que:

(PIA, i , r r - 1) + 1( F l A , i , r r + 1 ) - 1

> k ; ( F l A , i , h - k )

> k; (FlA, i, h -k)

> k; (PlA, i ,h -k)

: (FlA, i, h) - (1 + i)h (PlA' i, k)

= (1 + i ) k ( t : lA, i , l t ) - (PIA' i ' l t )

= (PlA, i, lr) - (1 + i) h (I:lA' i' k)

1

F¡a¡,*,4

ANUALIDADES

6.9 CALCUTO DE tA RENTA EN UNA ANUATIDAD SIIAPTE CIERTA ORDINARIA

Es frecuente Ia necesidad de conocer el importe de pagos periódicos, para lograr deter-minado resultado; así, por ejemplo: ZCuál es el pago mensual que debe hacerse paracancelar el valor de una propiedad, en cierto número de años? ZQué cantidad de dine-ro habrá que colocar periódicamente, en un fondo de amortización, para canceiar una

obligación a largo plazo? ZCon qué cuotas periódicas puede cancelarse una mercancía,conocido su valor de contado y la tasa de interés?

En esta parte se pueden plantear dos problemas, según se conozca el valor futu-ro por cancelar en fecha futura o el valor presente por cancelar, mediante pagos pe-r iódicos.

(n) Cálculo de la renta cuando se conoce el valor futuro:

De la fórmula 26n

se obtiene

/ ' l t i \ n - 1r r \ t ' t t

F = ^ -

i

^ r i/ 1 = r .( 1 + i ) " - 1 (29a)

(2eb)En notaciór-r estándar A : F (A/F , i%, tr)

El factor A-i- -6lr ' i%' '1) recibe el nombre d'e t 'actor clel t 'ondo cle amortización,

que corresponde al valor de la renta de una anualidad cuyo valor futuro ascenderá a

una unidad monetaria, después de rr pagos, a la tasa I por periodo de pago. El valor deeste factot para las tasas que con frecuencia se utilizan en esta obra, se encuentra en la

tabla VII para valores de n desde t hasta 50.

(b) Cálculo de la renta, cuando se conoce el valor presente:

De la fórmula 284

se obtiene

En notación estándar ¡ = p (/lP, i/o, n)

(30a)

(30b)

EI factor =(A/P,i%,n)¡¿¡76¿ el nombre de t'actor de amortización, quecorresponde al valoi de la renta de una anualidad que amortiza una deuda de una

MATEI\¡ATICAS FINANCIERAS

unidad monetaria, en rl pagos, a la tasa i por periodo de pago. En esta obra, no se ha

inc lu ido la tabla para los valores del factor de amort izac ión; e l lector debe calcular los

valores de (AlP, i% , n) uttl\zando la tabla VII que presenta los valores de (A/F, i/r,, rt) y

mediante la sigr"riente relación:

A partir de la fórmula,

t F l A . i " l , , , - ( l + i ) - 1

I

se obt iene (AlF , i , / , , r r) = ; ,1,- ,\ r Í ¡ / - r

De l¿r f(rrmuia,

t P f , \ . i ' / , , t t t - I - r l + i ' )I

se t rbt iene (AlP , i " l , n) = ¡ - | , : ¡ -I - ( r T ¡ /

AI sum¿rr i al v¿rlor de' (A/Ir , i% , n), se obt iene:

¡ A l I : , r " / , , r r ) + i = ; ] ; . + i =' ( 1 + ¡ ) " - I

( A l 1 , { ; , , r ) + i = - - I . . , , , d * d o l r c l el - ( l + 1 . )

(Al P, i%, t t ) = (al r , í / ' , n) + i

Los valores del factor de amortiza c\ón (AlP, io/o, rt), se obtienen al sumar i al valor

correspondiente del factor de fondo de amortización (A F, i ' /,,, tt) '

i i el lector desea tener una tabla con valores del factor de amortización para facr-

l itar su trabajo, puede obtenerla uti l izando la fórmula 31 en su computador.

[ftf iEEEE Calcular krs deptisitos semestrales necesarios en una cuenta de ahorros quc

paga el U% con capitalizaciírn semestral, para obtener en 5 años un capital de $20.1)00'

A = F(AlF , i%, n)

F = 20.000; l = 8%;nt = Z; i =Y = 4%,; t t= 2(5) = 10

A= 20.0a0(AlF ,4%,10) = 20.000(0,08329094)

A = 57.665,82

i + i ( 1 + i ) " - i

(1+ i ) " - 1

( . 3 1 ,

Tabla VII

EEüEIEEE Calcular los pagos por semestre vencido, necesarios para caucelar el valor de

SJó6Í'O'--O ¿" ,r^. propiedad .o*ptuiu a 8 años de plazo con un interés del 9% capitalizable

semestralmente.

ANUAL IDADES

A : P ( N P , i % , n )qq^

P = 100.000; i = 9%; m -- 2; i = ;

= 4,5'l ; tt = 8(Z) = 16

A - 100.000( NP,4,s%,16) : 100 0001{.1^/F, 4's%" 16) + 0'0451

(A/F, 4,5%,, 16) : 0,04401537

(,4/P, 4,5"1,,16) : g,¡449t537 + 0,045 : 0,08901537

,'1 : 100.000(0,08901537)

I'agos semestrales : $8.901,54

Tabla VII

ó. IO CÁtCUtO DEt TIEMPO O PLAZO DE UNA ANUALIDAD

Si en las fórmulas 27 o 28 se conoce el valor futuro F o el valor Presente P, la tasa y la

anualiclacl A, puccle calcularse el valor de r¿, o sea, el número de pagos'

M e < l i a n t e l o q ¿ r r i t m o s , l a s f ó r m u l a s 2 T n y Z S n p u e d e n r e s o l v e r s e p a r a ' ¡ ; a s i , P o rt ' i e m P l . :

r l + i ) , , - lFórmul¿'r 27r¡: Í = A: ---

t

i f : : A ( 1 + i ) ' - A

A ( 1 + t ) ' , : i F + A

loy' + rr lo¡;(1 + i ) : log (F + A)

rr log(1 + i ) : log ( iF + A)- logA

, , _ log ( iF + A) - logÁ-

k r g ( 1 + i )

En la práctica, el cálculo cle r¡ se efectúa uti l izando ecuaciones de equivalencia,

interpolanio entre dos valores cle las tablas, o mediante un Programa de computación'

ff itrf[| iCu¿int.s pa¡¡.s semest¡ales de $6()0 deberán hacerse para cancelar una deuda

¿" S4 5m, al7'/,, de interés capitaliznble semestralmente?

$,1.5(X) es e l vaktr actual de la ieuda; para e l cá lcul t r del número de pagos, se apl ica:

P = A ( P l A . i t 4 , n )

P = 4.5001 A = 600: j = 1c/r : nt = 2" i =J L/c

2

MATEMÁTICAS FINANCIEBAS

4.500 = 6o0el A '3t /2vo ' n)

, Pt A. r%.,, = tloJ = t t

En la tabla Vl, columna del 31/z%,no existe para tt entero el valor 7'5' ya que éste se encuentra

comprendido entre:

(PIA,3Yz/" '8) :6 '8739555ayQ|A'3 ' / 'z ' / " '9) :7 '60768657

si se necesita calcular un valor decimal aproximado del número de periodos, puede procederse'

por interPolaciírn, así:

a 9

a ¡ l

cnrresponde 7,6076t1651

corresponde 6,87395554'0,73373097 como

a r¡ corresPonde 7,50000000

a il corresPonde 6,87395554

0,62604446

1 r l - ó

0.73373097 0,62604446

,, - ,q , {} '62n()4446 {t,t5.lo 733730q7

rl -- l l ,f l53 periodtts seme:tr¡lt ' :

En las activiclades financieras se acostumbran soiuciones practicas' optando ptrr

.,rulqr't i".u cle las dos alternativas expresadas a continuaciÓn:

(n) Aumentu, "f

pugo tott" 'f""ai""te al últ imo periodo entero' (Para este caso' el 8)

(b) Util izar el entero ,"ptrloi "f"ctuanclo "' ' t

pugt) menor en el últ imo periodo' (En el

eje.mplo clado, se irJu"i". i" con g periodos, e"fectuantlo un pago menor al f inal del

noveno Periodo)'Estas soluciones no enteras clan origen alasmunlitTnrlcs irrytropins ottnrinblas, aque'

l las cuyos pagos o anualidades no son lguales'

S i e n e l e j e m p l o t r a b a j a c l o , s e t o m a . l a a l t e r n a t i v a b , s e t e n d r á q u e e f e c t u a r u r 'últ imo pago menor q"" r., J",". ior", y suficiente para cancelar exactamente el saldo c

remanente clespués a" "i"ttuu'

los 8 primero'pugt"' fl11:1t:.9"r el valor del últim¡

pago, se plante'a ,ttu "*utiOn

d" "qüivalencia'

Ai e'coger la fecha inicial como fecha

focal, se tiene entonces Para 7 o/^

f : 4 . 5 0 0 ; A : 6 0 0 ; j : 0 ' 0 7 ; n t : 2 ; i - - 2 ' - - 3 ' 5 ; t t : v '

4.500 : 600(p/A,3%%, B) + X(1 + 0,035fe

4.500 : 600(6,82395554) + X(0,2j373097)

4.500 : 4.124,27 + 0]ii7i097x

4.500 - 4.1U.37x= or*ffi=$51'7,94

La anualidad, en este- caso impropia, está formada por g pagos semestrales de$600 du y un último pago de $51.1.,94a1linal del noveno se*estre.

Para el cálculo del último Pago, es posible aprovechar la interpolación anterior yse tendría:

WGoo) 's ' t1 ,940.73373097',

Para demostrar que las dos formas de cálculo son iguales, basta observar que0,62604446 = 25000000 - 6,B7Z9SSS4y que:

¿^n0,62604446 7,5000000 _ 6,97395554 ..^n, 4500_ 4724,37ouu o,7v373ow=@(6oo) =

ffi=$517,94

ANUALIDADES

600

(P/A, 3Yz%, 9) - (P/A, 3%%, 8) = (1 + ife

1, - (1+ i ) -e _1 , - (1 ,+ i ) -8 _ ( I + i ) - 8 - ( 7 + i ) - e

I

- ¿ f , : r - 9- \ r T a . /

9 semestres

Obsérvese también que

Demostración

4.500

( p l A . 3 y 2 . s ) - ( p / A . 3 % . 8 ) - ( l + 1 ) - e [ l + t ) - l ]


Para una demostración general en la cual la interpolación obtenida multiplicadapor l_a renta es igual al valor encontrado por medio de ecuaciones de equiválencia,estúdiese el problema 58.

A De acuerdo con lo anterio¡, es posible enunciar: cuando el valor (plA, ivo, n) =p , se resuelve por interpolación, la parte decimal de z es la parte de la renta á que

debe pagarse al final del periodo, que corresponde al entero superior, para cubrirtotalmente la deuda.

Otra forma de cálculo, más dispendiosa en tiempo que las anteriores, es la si-guiente: dado que n está entre 8 y 9 periodos y se opta por efectuar un pago menor alfinal del periodo 9, se tiene:

l r

Valor futuro de la deuda =

Luego, se calcula

Exceso pagado

Menos exceso

Valor por pagar

en el periodo 9

F :4.500 (1,035)e Para última cuota

F :4.500 (1.,36289735) : 6.'1.33,04

F : A(F/A,3.5%,9) para,4 : 600

É' :600 (1.0,3684958) : 6.221.,1.0

= 6.221,10 - 6.733,04: 88,06

: 600,00

: 88,06

:9517,94

II

I

ó.1T CÁtCUtO DE LA TASA DE INTERÉS DE UNAANUALIDAD SIMPIE CIERTA ORDINARIA

La tasa I de una anualidad puede ser incógnita, cuando se conocen los demás elemen-tos de una anualidad; por lo general, los valores de i, correctos desde un punto de vistamatemático, resultan ficticios en la práctica. Así, por ejemplo, si e,l cálculo da para i elvalor de 7 ,32563% , desde el punto de vista matemático, eJ correcto, pero no sé utilizaen la práctica y se tomará como tasa aproximada elvalor de T ft%.

Se acostumbra calcular la tasa aproximada de interés mediante interpolación, conesto se obtienen valores suficientemente aproximados para cualquier propósito. Esteméúodo puede ilustrarse con el siguiente ejemplo:

ffiIEEEEf una compañía de seguros ofrece, por un pago inmediato de 990.000, unarenta anual de $5.000 pagadera durante 30 años, al compradoi oa sus herederos. iQué.tasa deinterés abona esta compañía?

A partir de la fórmula 28b: A(PlA,i%o,n)= p

(P lA , iVo , " )= :

P = 90.000; A : 5.000; n = B0

( P l A , i L o , 3 g ¡ = A ! Q = 1 g5.000

Para encontrar los valores de (P/A, i%,30) entre los cuales se halle comprendido el valor18,000000, se busca en la tabla VI, en la línea correspondiente a n : 3l0. Estoi valores son:

Para (P/A, 4%, 30) = 17,29203330; i : 0,04Para (P/A, 3%%, 30) : 18,39204541; i = 0,035obsérvese que al aumentar l, disminuyen los valores del factor (p/A, i%, n).

Para el valor dado (P/A, i%,30) = 16 se calcula i por interpolación.

a 0,035 corresponde L8,39204541a 0,040 corresponde 17,29203J30

ANUALIDADES

a i corresponde 18,00000000

a 0,040 corresponde 17,29203330

se üene:

AG/A ' i%,n) = F

1r¡a,in,n¡=f,

- 0,005 es a 1,10001211 como t -0,040 es a

-0,005 _ t-0,0401,100012t1. 0,70796670

0,70796670

i - 0,040 =(-0,005) (0,70796670)

1,10Wt211

i :0 ,036782

= -0,003218

Tasa = 3,6782 (tasa calculada)

Tasa = 3%% (tasa práctica o real)

Se puede utilizar un Programa de computación de tal manera que conocido s p, A y ,4, se com-pute el valor de i.

IEdllEEl una persona ha depositado, al final de cada mes, 91.000 en una cuenta deahorros; al cabo de 5 años, tiene en su cuenta la suma de$70.542. ZQué tasa nominal promedioha ganado?

A partir de la fórmula 27b,

se tiene:

F : 70.542;4 = 1.000; m = 12; n = 5(12) : ó0 periodos


Para encontrar los valores de (F/A, i% , 60), entre los cuales se halle comprendido el valor:

(F I A. iE".6o) = alg = 7 0,542

se busca en la tabla V en la línea correspondiente a n = 60.

Estos valores son:

Para i = o,oos ; (/2%\ ; (r I a, /r%, 60) = 0e,77 srrrrt

para I = 0,00583; (%r%), (rl e,z/rr%,60) =z1,5e2noruu

Para el valor (F/A, i%,60) = 70,542, se calcula i mediante interpolación.

0,00583 corresponde 71,59290t65

0,00500 corresponde 69,77003051.

I corresponde 70,54200000

0,005 corresponde 69,77003051.

0,00083 es a 1.,82287114 como t - 0,005 es a 0,77196949

0,00083 _ i-0,0051.,822871L4 0,77196949

0,00083 (0,771.96949)'

1,82287114

i-0,005=0,00035

i = 0,00535 (mensual)

Thsa = 0,00535(12) = 6,42% (calculada)

Tasa : 6tn% nominal anual (práctica)

6.12 PROBLEMAS RESUETTOS(Segundo grupo)

29. IJn comerciante vende herramientas en $65.000, precio de contado. Para promo-ver sus ventas, idea el siguiente plan a plazos, con cargo delt% mensual de intere-ses. Cuota inicial de $12.000 y el saldo en 18 abonos mensuales. ZCuál es el valor delas mensualidades?

A = P(4P, iIo, n)

P : 65.000- 12.000 = 53.000; n : 18; i : t%

(A/ P, lVo, 18) = (4 F, lVo, 18) + lVo

(NP, 1%,18) = 9,959t8205 + 0,01 = 0,06098205

ANUALTDADE9 @

Tabla VII53.000 (0,06098205) = 3.232

Valor cuota mensual = üZ.Z3Z

30. Para mantener en buen estado cierto puente, es necesario repararlo cada 6 añoscon un costo de $850.000. El concejo del m,unicipio decide estáblecer una resetvaanual a fin de Proveer los fondos necesarios ccjn miras a sus reparaciones futuras.Si esta reserva se deposita en una cuenta que abona el 8% de intereses, hallar elvalor de la reserva anual.

A = F(A/F, i%,n)

F = 8 5 0 . 0 0 0 i i = 8 % , n : 6

F = 850.000 (A/F,8%,6)

A = 850.000(0,13631539) lhbla VII

A : $115.868,10

31. una obligación debe cancelarse en 4 años, con pagos semestrales de 910.000. Eldeudor conviene con su acreedor cancelar la deudien 6 años, con abonos semes-trales. Hallar el valor de los nuevos pagos, si la tasa pactada es del 10% convertiblesemestralmente.Se designa con X los nuevos pagós y se establece la ecuación de eqqivalencia, utili-zando como fecha focal la fecha inicial.

semestres

1,0.000(P/A, 5%, 8) : X(P/A, 5%, 12)

10.000(6,46321,27 6) : X (8,86325L64)

X:7.292|1.5

10.000 10.000

¡![ MArEMÁlcAsFTNANoERAS

32. Un empleado puede ahorrar $800 mensuales e invertirlos en una compañía finan-ciera que abona el 9%, convertible mensualmente. iEn cuánto tiempo juntará$55.000? Calcular el tiempo y el depósito final.

: A(F/A,i,n)

F : 55.000; A: 800; j :9%; m :

55.000 :800(F/A,%%,n)

(FlA,%%,r)=+P =68,7s800

En la tabla V en la columna de i : 0,0075; (%%)

Se halla que:

a 56 corresponde 69,2771.0035

a 55 corresponde 67,76883409

q ?

12 ; i = ;%= ;%

(F / A, 3A%' 55) = 57,7 5983409 y (F / A, %%, 56) : 69,2rrrOOtU

O sea, el empleado debe hacer 55 depósitos de $800 y un último depósito X al finaldel mes 56. Para determinar el valor de & se plantea una ecuación de equivalenciaescogiendo como fecha focal el final del mes 56.

55.000 : 800(F/A,%%,55)(1+ 0,0075) + X

En el problema 9 se demostró que (FIA, i%, n)(1, + l) : (FIA, i, n + 1) - 1

X : 55.000 - 800Í(F/A,%%, 56) - 1l

X: 55.000 -800(68,27710035) = 55.000 -54.62'l',68

X = $379,32

Si este mismo problema se resuelve por interpolación, se tiene:

an corresponde 68,75000000

a 55 corresponde 67,76883409

e s a 1,,50826626 como n-55 es a 0,9811,6591

ANUALIDADES

7 _ n - 5 5

1,50826626 0,98176597

0_98116591n _ 55 = -:_- =tJ.650526

1.,s0826626

n : 55,65053

En 56 periodos, se tiene F = 800(69,2771.0035) : 55.427,68

' ,- , . .Ultimo depósito = 800,00Menos exceso = 427,48último pago $378,32 al final del periodo 56

La interpretación de la parte decimal 0,65053, o fracción de periodo, es distinta dela interpretación dada en el ejemplo 6.6 para (P/A, i%, n) : p¡¡' en efecto, si en laproporción:

1 n - 5 5

se remplaza

v

Pero/

de donde,

como

luego

o sea/

1,50826626

7,50826626 =

0,981,76591 :

n - 55 = 0,65053 =

0,98776597

(F/A, i%, s6) - $/A, i%, ss)

(F/A, i%, n) - (F/A, i%,55)

(FlA, ivo, n) - (FlA, iEo,55)

(FlA, i%,s6) - (FlA, i%,ss)

(FlA, i%,r \=I' .1L

(F I A, i%, %) = (F I A, i%, 5s)(1,+ i) + 1

(F I A, i%, s6) - (F I A, i%, ss) = (F I A, i%, SS)(t + i) + 1, - (F I A, i%, ss)

* (F la, i%, ss)

(Véase problema 9)

* - ( F l A , i % , s s )( F l A , i % , 5 5 ) ( 1 + i ) + 1 - ( F l A , i % , 5 s ) i ( F / A , i % , 5 s ) + I

i (F lA , i%,5s)a1= ¡Q '+ i )ss - t

+ 1 = (1+ i )s5

o,6sosg - + - (F I A, i7', 55)(1 + i)5s

0,6s053(AX1+ i)ss= F - AIF¡1, i%,ss)

0,65053 =

F - A ( F l A , i % , 5 5 ) .Aí;t'¡--


Para A=800; ¡ =zfvo=0,0075:0,65053(800) =520,42

520,42(r+ 0,0075)55 = r - l(Fl A, /0u", ss)

F - A(F/A, i%,55)es el saldo al final de 55 periodos y es igual a 0,65053(A)(1 + i)[s,valor al final de 55 periodos de 0,65053(A) que debieron pagarse en la fecha inicialde la anualidad; para el caso en estudio, el pago inicial sería de $520,42. Como lousual no es pagar al principio sino al final de la anualidad, tendría que pagarse alfinal del periodo 55, $800 + 520,42(1.,0075)ss = $800 + fi784,93 : $1.584,93. Si seprefiere pagar en 56 periodos, se tiene: el total de $55.000 se traslada del periodo 55al periodo 56 obteniéndose al final del periodo 56, $55.000(1,0075) : fi55.412,50,1oque da un excedente de $412,50 que debe reintegrarse. Los 520,42 que debieronpagarse en el primer periodo se trasladan al final del periodo 56, obteniéndose520,42('l',007 5)s6 : $790,82.

$790,82Menos reintegro - 412,50

Ultimo pago 9378,32 al final del periodo 56

Para una demostración general, estúdiese el problema 59. De lo anterioq es posibleenunciar:Si el valor (EIA,i%,n\ = Fl¡ se resuelve por interpolación lineal,la parte decimalde r¡ es la parte de la renta A que debe pagarse en la fecha inicial, para cubrir elvalor total de la anualidad en un número de periodos igual al entero que resultaal despreciar la parte decimal de z.

33. Cierta máquina se puede comprar $4.590 al contado o $450 de cuota inicial y 18cuotas mensuales de $280 du; calcular: (a) la tasa nominal de interés cargado, (b) latasa efectiva de interés cargado.

(a) (Pf A, iVo, n) =

P = 4.590 - 450 = 4.'1.40; n --18; m : 12; A: 280

(PfA, ivo,lg = +#

= 14,785714

En la tabla VI, se halla que para t? : 18, (P/A,z% ,1'8) : 1'4,99203125 y (P/A,2,5% ,'l'8): 'J.4,35336363, o sea que i está comprendido entre 2% y 2/z%, y la tasa nominal seencuentra entre 24% y 30%. Para afinar el resultado, se procede medianteinterpolación.

P

A

a 0,020 corresponde

a 0,025 corresponde

- 0,005 e s a

't4,99203125

1,4,35336363

a i

a0,025

ANUALIDADES

corresponde 4,7857'1.400


0,432350370,63866762 como I =0,025 e s a

-0,005 i -0,025

0,63866762

i - 0,425

0,43235037

- 0,005 (0,43235037 )0,6386676

i = 0,021.6'J.53

= -0.0033847

Tasa anual, convertible mensualmente : 0,0216153(12X100) : 25,93836%

Thsa práctica = 26% convertible mensualmente

(b) Al designar por i la tasa efectiva, se tiene para j = 0,26; m = 12; entonces se aplica lafórmula 20:

. ( - 0,26\12l = 1 1 + - - - l - 1

\ 1 2 )

i : 2 9 , 3 3 %

Comprobación para n : 18; A = 280; i = 0,021.6153

p = 280(plA, ivo,18) = 280 L (l

l] 'z16153l)-r8"v/ 0.02161531

p : $4.138,76 (error defi1.,Vl por defecto)

34. Resolver el problem a 32, utilizando calculadora.

F = A(F I A, i% , n) = Ag:\-J

(1+ l ) ' = * * t

F =55.000; A = 800; j = 9%; m = 12; i = 0,75%

(1,,007 5)" = !5'900CI494) * 1

('1.,0075)n =1,5156?5


n ln(7,0075) = ln(1.,575625)

In(L575625)tt=ioooTi=55'6514

O sea, que debe hacer 55 depósitos de $800, para calcular el último pago; alfinal delmes 56, se tiene:

s5.ooo = 8oo ( elt,lq",ss) (r,oozs) + ,\ ' 4 . )

55.000 : 54.627,68504 + x

x: $378,31último pago

35. Resolver el problema 33, utilizando calculadora.

En este caso, se procede mediante aproximaciones sucesivas; se han anotado lasdistintas aproximaciones, a pesar de que usualmente no se acostumbra.

P = A(PIA, i%,n)= o7- (1+ i )

(plA,i%, ")= +p =t.sso- 450 = 4.t40; n ='J.8; m = 72; A = zg0

(Pl A ' i%' n)=r - (1+ i ) " - P^

/ iA

r - ( 7+ i ) ' 8 _ 4 .740 _ 1 A no t r1¡ ' = 2g0

=14 ,785714

Los primeros valores son, por tanteo:

Para: 1 - /1 ñ ) \ -18i =0,02; +=14,9920310,02

1 - 11,03f'8t = 0,03; ---* =1,3,7537130,03

j _ n .,tr. 1.- (7,0251"t -v,u.Lr, =74,353363

0,025

.. _^ ^1r . 1.- (7,02'l, l ,rt = u,uzL; ='J,4,861050

0,021

ANUALIOADES

i =0,0215;

i = 0,021.6;

1, - (1,,021il-18

0,021.5

1, - (1,0216)-18

=74,796179

=\4,783254

(b)

36.

i: 0,021,6 es una aproxiinación aceptable para este problema.

Thsa nominal anual convertible mensualmente = 0,0216(100X12) :2s,92%

'Tasa práctica = 26% convertible mensualmente.

La misma respuesta del problema 33.

A quien interese, la formación profesional Ie exige estudiar y practicar la teoría y mé-todos de las matemáticas financieras; sólo así podrá resolversituaciones nuevas, crearsistemas financieros y programarlos. En el problema anterior p = A(p/A, i/o, n), conlos datos P : 4.'1,40; A:280; n = 18 una calculadora financiera computa la variablei% y proporciona el resultado Z,LSB1.%.

una persona compra una póliza que le asegura una renta de 920.000 cada final deaño, durante los próximos 15 años. Desea cambiar su póliza por otra que le asegureuna renta de $30.000. iDurante cuánto tiempo recibirá la nueva rentá, si la tasá deinterés es delS%?

Se plantea una una ecuación de equivalencia con los valores actuales en la fechainicial.

20.000(P/A, 8% , L5¡ :

(PlA,8%, n) =

0,02'1.6

30.000(P/A,8%, n)20.000 (PlA,8Eo,15)

30.000

(PlA,8Vo,' = @ffi@ = 5,706319

En la tabla VI, columna del 8 /o , sehalla (P/A,8% ,n : 5,N637Wy (p/A,8% ,7) : 5,7466894)entre estos valores, se interpola:

a 8 corresponde 5,74663894a 7 corresponde 5,20637006

a n corresponde 5,70631900a 7 corresponde 5,20637006

0,54026888 como n- 7 0,49994894


: 1 . n -70,s4026888 0,49994894

0.49994894n - 7 = = 0.9?53704

0.54026888

n : 7,9253704

Recibiría la renta de $30.000 durante 7 años y un pago final al terminar el octavoaño de 0,9253704(30.000) : 927.761.,1.1. (aéase ejemplo 6.6).

ó.T3 PROBLEMAS PROPUESTOS

37. ZCuánto debe depositarse al final de cada trimestre, en un fondo de inversionesque abona el10%, convertible trimestralmente, para acumular $50.000 al cabo de 5años?

38. Una compañía debe redimir una emisión de obligaciones por $3.000.000 dentro de10 años y, para ello, establece reservas anuales que se depositarán en un fondo queabona el7%. Hallar el valor de la reserva anual.

39. iQué suma debe depositarse anualmente en un fondo que abona el6%, para pro-veer la sustitución de los equipos de una compañía cuyo costo es de $8.000.000 y elperiodo de vida útil de 6 años, si el valor de salvamento se estima en un 1.5% delcosto?

40. Enrique Pérez compró una casa cuyo valor es de $180.000 al contado. Pagó $50.000al contado y el saldo en 8 pagos iguales pdr trimestre vencido. Si en la operación sele carga el10% de interés nominal, hallar el valor de los pagos trimestrales.

41. Una máquina que vale $18.000 de contado se vende a plazos, con una cuota inicialde $3.000 y el saldo en 1.8 cuotas mensuales, cargando el1,6% de interés converti-ble mensualmente. Calcular el valor de las cuotas mensuales.

42. Sustituir una serie de pagos de $10.000 al final de cada año, por el equivalente enpagos mensuales vencidos, con un interés delS% convertible mensualmente.

43. Sustituir una serie de pagos de $10.000 al principio de cada año, por el equivalenteen pagos mensuales vencidos, con un interés del8% convertibles mensualmente.

44. Una persona sustituye un seguro total de $300.000 por una rqnta anual, con lacondición de que se le pague a él o a sus herederos durante 20 años. $i la compañíade seguros opera con el7% de interés, hallar el valor de la renta anual.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

ANUALIDADES @

El valor presente de una renta de $10.000 por año vencido es $100.000; si la tasa deinterés es del6/o, calcular el tiempo indicando la solución matemática y la soluciónpráctica.

El valor presente de urra renta de $4.000 por trirhestre vencido es de $60.000. Si latasa de interés es del S% convertible trimestraknente, hallar el tiempo indicando lasolución matemática y la solución práctica.

El valor futr¡ro de una renta de $10.000 por año vencido es de $100.000. Si la tasade interés es del6%, calcular el tiempo indicando la solución matemática y la solu-ción práctica.

El valor futuro de una renta de $4.000 por trimestre vencido es de $60.000. Si latasa de interés es del S% convertible trimestralmente, calcular el tiempo indican-do, la solución matemática y la solución práctica.

Para una deuda de $20.000, con intereses del1,0% capitalizables semestralmente,se conviene cancelarla con pagos semestrales de $4.000; encontrar el número depagos y el valor del pago final.

Una persona compra maquinaria iror valor de $60.000 y acuerda pagar $1F.000'como cuota inicial y el saldo en cóntados de $12.000 trimestrales, con el 'j.2%

con-vertible trimestralmente. Hallar el número de pagos y el valor del pago final.

Un empleado puede ahorrar $350 mensuales. Si los consigna en una cuenta deahorros que paga el8% , convertiblg mensualmente, ien cuánto tiempo y con quépago final logrará ahorrar $30.000?

iQué intereses deben producir unas imposiciones de $300 mensuales, para que seconviertan en $4.500 en un año?

Un televisor cuyo valor de contadó es de $480.000 puede adquirirse con un pagoinicial de $80.000ry 12 pagas contados mensuales de $40.000 cada uno. Hallar latasa convertible mensualmente que se carga.

ZQUé tasa nominal convertible trimestrdlmente debe establecerqe para que Vl dep6-sitos de $500 trimestrales den un valoi futuro de $16.000, al efectuar el último pago?

Una persoha necesita reunir $100.000 en 8 años y con este propósito realiza depó-sitos iguales cada fin de año en un banco que abona eL6% de intereses. Tianscurri-dos 4 años, el banco eleva la tasa al 8%. Hallar el valor de los depósitos anuales,antes y después de que el banco elevara la tasa de interés.

Una persona deposita hoy $10.000 en una cuenta de ahorros que abona e!8% de inte-rés. fianscurridos 3 años decide hacer nuevos depósitos cada final de año, de modo

37,

52.

53.

sa.

J J .

56.


que transcurridos 5 años, tenga $60.000 al efectuar el último depósito. Hallar elvalor de los depósitos anuales.

Los dueños de una mina de carbón desean vender acciones, pagando el 1,z% dedividendos anuales. Se estima que la mina producirá $400.00b de utilidad anualdurante los próximos 10 años, después de los cuales estará agotada. Para cubrir elvalor de las acciones deben acumular reservas anuales de un fondo de amortiza-ción que abona el 8% de interés. Hallar el valor máximo de las acciones que pue_den emitir.

Demostrar que cuando el valor de (P/A, i%, n) : { se resuelve por interpolaciónparl 9l valor de n,la parte decimal de n es la parte de la renta A que se debe pagaren el final del periodo que corresponde al entero superior an parácubrir totalmén-te el valor de la anualidad.Sugerencia: Demostrar primero que (P/A, i%, n * 7) - (p/A, i/o, tt) : (1 + ¡¡<, * r¡

J / .

58.

59. Demostrar que cuando el valor (F/A, i%, D = i se resuelve por interpolaciónpara el valor de ir, la parte decimal de n es la parte de la renta A que se debe pagaren la fecha inicial, para cubrir el valor total de la anualidad en u.r número de perio-dos igual al entero que resulta de despreciar la parte decimal de n.Sugerencia: Demostrar primero que (F/A, i/o, n * I) - (F/A, i%, n) : (1 + i),

60. El beneficiario de una póliza de seguros por $200.000 recibirá 920.000 de inmediatoy posteriormente $10.000 cada 3 meses. Si la compañía paga el 8% convertibletrimestralmente, hallar el número de pagos de $10.000 y el pago final tres mesesdespués del último pago completo.

61' En el problema anterio¡, Zqué suma adicional se debería agregar al último pago de$10.000 para cancelar totalmente el beneficio?

62. LQ:ué oferta es más conveniente por una propiedad que vale $100.000: (a) g35.000al contado y 12 pagos mensuales de $6.000, (b) $3s.000 ar contad.o y un pago de$75.000 a un año plazo? i : tasa bancaria local.

6.14 ACTIVIDADES DE CONSUTTA

(n) Averiguar la tasa de interés local para préstamos bancarios pagaderos por cuotas.(b) Consultar la tasa de interés que cobra el comercio en sus ventas a mediano plazo.(c) Consultar la tasa de interés de los títulos emitidos por los bancos y corporaciones

financieras para captación de ahorros.(d) Consultar la tasa de interés aplicado a los préstamos hipotecarios.(e) Programar en computador el cálculo de,4, dados f; n, i%.

Cnr{rurü VANUALIDADES ANTICIPADASY ANUALIDADES DIFERIDAS

OBJETIVOS

En este capítulo se aprenderá a reconocer y definir los factores que intervienen en elcálculo de los valores de anualidades anticipadas y diferidas; se examinará el desarrollode fórmulas y métodos de análisis para el cálculo del valor futuro, valor presente, ren-tas, tasas y plazos. Se podrá aprender métodos para plantear ecuaciones de equivalen-cia entre anualidades vencidas y anualidades anticipadas y diferidas, y el estudiantepracticará diagramas de flujo de caja.

Al terminar el estudio del capítulo, el lector estará en capacidad de elaborardiagramas de flujo de caja de anualidades anticipadas y diferidas, plantear ecuacionesde equivalencia y calcular por diferentes métodos valores futuros y presentes, rentas,tasas y plazos de anualidades anticipadas y diferidas.

ANUATIDADES ANTIC¡PADAS

En los negocios, es frecuente que los pagos periódicos se efectúen al comienzo de cadaperiodo; tal es el caso de la renta de terrenos, edificios y oficinas, cuyo alquiler se paga alprincipio del periodo. En las ventas a plazos se suele estipular una serie de pagos alcomienzo de los periodos convenidos en el contrato de venta. En los seguros, ya seanseguros de bienes en general, de vida o de protección contra riesgos, las pólizas, por logeneral, esüpulan que el asegurado debe pagar sus cuotas o primas al comienzo de cadaperiodo. En estos casos se usa la expresión "El pago vence a principio del periodo".

7"1

MATEMATICAS FINANC,IERAS

Definición Una anualidad anticipada es una sucesión de pagos o rentas que se efec-túan o vencen al principio del periodo de pago.

En este capítulo se estudiarán las anualidades simples ciertas anticipadas. Las dis-tintas variantes que se presentan, según el número de periodos de capitalización y elnúmero de pagos en el año, se estudiarán en el capítulo correspondiente al tratamientogeneral de las anualidades.

Para comparar las anualidades anticipadas, con las anualidades vencidas es muyútil el siguiente diagrama.

Anualidades vencidas

12t lt l

0+++" '

n

IJ

+

I

n - 1II

Y

I3

V

21, n

7.2

Anualidades anticipadas

S|MSOLOS UTILIZADOS EN tAS ANUAIIDADEs ANTICIPADAS

Todos los símbolos tienen el mismo significado definido en las anualidades ordinariaso vencidas.

: pago periódico o renta: tasa efectiva por periodo de capitalización= tasa nominal anual= número de capitalizaciones en el año= tasa nominal con rn capitalizaciones en el año: número de periodos de pago= valor futuro o monto de una anualidad: valor presente o actual de una anualidad

Con el objeto de diferenciar las anualidades anticipadas de las anualidades vencidasse acostumbra usar los símbolos F y P con diéresis para las anualidades anticipadas, esto enparticular es útil cuando se trabaja simultáneamente con ambos tipos de anualidades.

F : valor futuro de una anualidad anticipada

P : valor presente de una anualidad anticipada

A

ii

m;J fut\

n

F

P

7.3

ANUALIDADES ANTICIPADAS Y ANUALIDADES DIFERIDAS

Para el cálculo de los valores de anualidades anticipadas y diferidas se utilizan lasmismas fórmulas desarrolladas en el capítulo 6 para las anualidades ordinarias o venci-das; la diferencia se encuentra en la interpretación del factor. En efecto, en el modelomatemático y(Xly , i% , n) se pide X conocido Y, que es modificado por efectos del tiem-po y la tasa. Para Y : l,lacantidad (X/Y,tasa, tiempo) recibe el nombre de "factor de ...",que para cada tipo de anualidad tiene una expresión algebraica en la que el tiempoincide en forma diferente.

Antes de iniciar el estudio de las anualidades anticipadas y diferidas, se presentaun resumen de las fórmulas desarrolladas en el capítulo 6, correspondiente a anualida-des vencidas.

VATOR FUTURO Y VATOR PRESENTE DE tAS ANUATIDADESSI'I,IPIES CI ERTAS ANTICI PADAS

Existen diferentes formas para calcular tanto el valor futuro como el valor presente delas anualidades anticipadas; de éstas, se proporcionarán dos formas consideradas lasmás simples y de mayor utilidad en el planteamiento de los problemas.

Datos VariableFÓRMULA

algebraica estándarFACTOR

algebraico estándar

P, i ,n

E i , n

A , i , n

.\, i, n

í , i ,n

? i , n

P

F

P

A

A

D _

A -n -

r=P (1+ t ) "

P: F(1 + t ) - "

P (FlP, i%, n)

F (PlF, i%, n)

A(FlA, i%, n)

A(PlA, i%, n)

F (AlF, i%, n)

P (AlP, i%, n)

c#t - ( t + i ) - "

E *

A _

I

I L A _

A =

( t + i ) " - t

p . i^ 1- (1+ r-"

(1 + t)'

(1 + r)-'

( t+ ¡) ' - ti

t - ( t+¿)- ' iI

i-;-----( 1 + i ) - 1

t - ( t *¿) - '

(r¡n, in, n)

(r¡r , i%, n)

(r¡e, i%, n)

(n¡a, ffi, n)

(a¡r, i%, n)

(alr, in, n)


Sea el diagrama de una anualidad anticipada deA por periodo.

Obsérvese que al agregar un último pago Ase obtiene el valor futuro de una anuali-dadvencidadeA,porperiodo;pagaderaduranten*lperiodos,F:(F/A,i%,n+ 1); res-tando a este valor el último pago A, el cual se había agregado, se obüene el valor futuro deuna anualidad anücipada deÁ, por periodo, pagadero durante n periodos.

F = A(r¡a,, i%, n+1,) - A

F = Al(rlo, i%, n+t) - tfEstándar

Algebraica ¡ = o[L

I-l( 1 + l ) ' . t - 1

(sza)

(32b\

_ El factor [(f ¡'+, in, n + 1) - 1] es el factor de valor futuro de anualidades antici-padas.

Nota Las calculadoras financieras, al operar anualidades anticipadas, modifican interna-mente en su programa el tactor (rfe, i%, n) de vencidas .i l1r¡a, i%, n + r) - r] aeanticipadas; de modo que al operarbajo el mando de anticipadas, reciben como dato elvalor de r tal como en las anualidades vencidas. En la forma (f f A, l%, r), Á inditaque se trata de una anualidad anticipada.

El mismo resultado puede obtenerse planteando la siguiente ecuación de equiva-lencia y utilizando como fecha focal el final del periodo n - 1, (aéase el diagramá). Enéste se advierte que el pago A en el period o n - l puede considerarse el último pago deuna anualidad vencida gpe se inicia en el periodo - 1:

F 1r + i)-1 = A (r¡a, in, n)

de donde, F : A (FIA, i%, n) (t + i)

Al remplazar por sus expresiones algebraicas:

ANUALIDADES ANTICIPADAS YANUALIDADES DIFERIDAS

t _ n ( 1 + i ) - 1 , . . \ ¡ ( 1 + i ) ' * t - 1 . - i\-

"/ '^ -------- . -

L 1

É:At*#_;l :^[s.+=_,1

i : A[(r lo, i%, n+1) - t )

f t - ,

r, r l(FlA, t%, n + 1).-.1] es el valor futuro de una anualidad anticipada de una uni-clad monetaia, pagada, durante n periodos, a la tasa I por periodo. sé puede expresaren la forma (rlÁ, in, n¡.

Los valóres del faótor de valor futuro de una anualidad anticipada en rz period.osse obtienen restando 1 al valor del factor de valor futuro de anualhades vencidas co-rrespóndientes a (r + 1) periodos.

En la notación estándar no hay diferencia entre anualidadeíániicipadas y vencidas;la diferencia surgiría al interpretar eifactor que se debe aplicar Los valores de las anualida-des anticipadas se calculan utilizando e.,ta.ion"s de equivalencia que permitan aplicar losfactores de las anualidádes vencidas. Es importante cornprender li necesidad de elabora¡,para cada problema, el correspondiente diagrama de flujó de caja, mediante la ubicación delos valores actuales, valores futuros y pugoi periódicos, además de ¿"t¿i*i"ui r;;;;;_rando el diagrama de flujo de caja. pára situiciones equivalentes se deben trazar ambosdiagramas y con base en ellos establecer las ecuaciones áe equivalencia.

Cálculo del valor presente. Si en el diagrama d.e una anualidad anticipada pagaderadurante n periodos se suprime el primeipago A, se tiene una anualidaá 1r"r,óidá d" A,por periodo, pagadera durante n - 1 periodos.

como

se tiene


su valor presente es P = a (pla, i%, n - 1). Agregando a este valor el primer pagoque se había suprimido, se obtiene el valor presente de una anualidad anticipada áe.4,por periodo, pagadera durante n periodos.

P : A(t '¡ '+, in, n-1,) + A

P : A1rlo, i%, n-t) +1l

Este mismo resultado puede obtenerse planteando la siguiente ecuación de equi-valencia y utilizando la fecha inicial como fecha focal.

P : A (F IA , i% , n -1 ) ( r + i ) - r ¡ - ' ) + A

P : A le lo , i%, n-7) (1 + i ¡ - r ' - r r * t1

( 1 + i ) ' - ' - 1

(33a)

(3ib)

como

Iuego

(FlA, i%, r _1) :

p : a[erU--] (1 + ¡¡-r.- ', * ,]

o [t Q--'L t

t ) l " * , ]

Ennotaciónestándar p : Al(otO, i%, n_t) + tl

l{n ¡ a , i%, n - 1) + 1] es el factor de valor presente de una anualidad anticipada deglporperiodopagadaduranten periodos.sepuedeexpresarenlaforma (nlÁ, in,

" \ .El t ratamiento de los problemas que involucran anual idades ant ic ipadas, pórlo general, no es diferente de lo tratado en los problemas de anualidades vencidas.En todo caso, es recomendable plantear las ecuaciones de equivalencia y no dependerde la simple aplicación de las fórmulas, ya que éstas resultan muy limitadas ante lagran variedad de problemas por abordar en matemáticas financieras.

Cualquier procedimiento de cálculo para procesar un problema financiero encon-trará sus limitaciones. Si se utilizan tablas, no se encontrará en ellas factores para todas lassituaciones posibles; si se emplean calculadoras con funciones financieras, éstas tienenprogramas para resolver situaciones básicas de interés simple, interés compuesto y anuali-dades vencidas y anticipadas; si el estudiante tiene acceso a un computado¡, podráProgramar situaciones básicas y no Ie será útil crear un programa especial para


cada problema. Para aprovechar bien su equipo de trabajo se verá obligado a plantearecuaciones de equivalencia que Ie permitan resolver situaciones nuevas, utilizando lastablas o los programas disponibles; en este sentido, este material presenta una cuida-dosa selección de ejemplos y ejercicios resueltos, que lo ilustrarán suficientemente so-bre los métodos para desarrollar problemas,

@Unacompañ íadepos i t aa lp r i nc ip iodecadaaño$20 .000enunacuen tadeahorros que abona el7% de intereses. iA cuánto ascenderán los depósitos al cabo de 5 años?

20.000 20.000 20.000

p = ¿,[(r¡a, ir",n +r) - r]

A = 2 0 . 0 0 0 ; i : / / s ; n = 5

F = Al(r¡ a, zn, s+ r) - r] = 20.000 (61.5s2s074)

F : $123.065,81

Las calculadoras financieras, bajo el mando de anticipada, reciben como dato el valor de z en lamisma forma que sucede con las anualidades vencidas (aéase nota en la sección 7'3).

Mediante calculadora con función XY:

l / . t n : u - - , t \ " l - ( r * i ) " " - 1 -l\ElA' í%, n+1) - 1l : :-------!- - 1

l"'paso 1,076 = 'J.,5007304

2opaso 1,5007304-1 = 0,5007304

3"' paso 0,5007304 + 0,07 : 7,1532914

4apaso 7,1,53291,4-l : 6,"1.532914

5a paso 6,153291,4 (20.000) : $123.065,82

r@Unacompañíaalquilaunterrenoen$4.000mensualesyProPonealpropieta-rio pagar el alquiler anual, a principio de cada año, con la tasa del 12% conveúlble mensualmen-te. Hallar el valor del alquiler anual.

Tabla V

I\¡ATEMATICAS FINANCI ERAS

P = Af(n¡a, in, n-r) + r] : Á(n¡a, in, n)

a = 4.000; j = l2%; m : 12; i = 1%; n : t2

p = 4000l(n¡a, tn, il) + r] = 4.000 (11,36762825) Tabla VI

A = fi45.470,51

[ffiEtr!fl Pancho Mesa desea ahorrar dinero y debe escoger entre dos pólizas de capita-lización que le ofrecen bajo las siguientes condiciones:(a) Cancelar $5.000 semestrales pagaderos a principio de semestre durante 10 años para formar

un capital de $208.000.(b) Cancelar $2.500 trimestrales pagaderos a principio de trimestre durante 10 años para formar

un capital de $215.000.Entre las dos alternativas es mejor la que ofrezca mayor tasa de retorno.

En este ejemplo, para enseñar métodos de trabajo, se calcularán las tasas de retorno, así: para laopción n se utilizarán tablas y para la opción b, calculadora.

208.000

semestres

5.000 5.000

Opcióna:

5.000 5.000

F = A I ( F I A , i % , n + 1 ) - r f ; n = 2 0 , F : 2 0 8 . 0 0 0 , A = 5 . 0 0 0

2o8.o0o = s.oo0 l(r¡e, in, ,4 - 1]

(Fl A, i%, 2r) - 1 : 208.000 + 5.000 : 41,6

{r lA, i%, 21):42,6

Se busca en la tabla V para n : 21 los valores más próximos a 42,6:

(r¡n, o,sn, 2r) : a2iasrtt t

(r¡, , zn, 21) = 44,s65rrurt

ANUALIDADES ANTICIPADAS YANUALIDADES DIFERIDAS

a 0,07a 0,065

corresPondecor

44,8651767842,348953732,51622305

0,005

a ia 0,065

como i - 0,065

t - 0,06s

corcofresPonde 42,600000

42,34895373e s a 0,25104627e s a0,005

2,51622305 0,25104627

0,00s (0,25104627)i_0,06s =__í f f i :

t :0 ,00049886+0,065

i = 0,06549886

i1z¡ = 13''l'5 '

TIR = 1,3,53% efectivo

Opción b: Mediante calculadora con función XY

trimfes

2.500 2.500

(h* i \ " . ' - t )F=A l# - t l\ ' )

F = 215.000; A = 2.500,n = 40

21s.ooo:Z.so,t(l:F 'lt t4l( l + t ) - 1 _ 8 2

iA buen criterio, se ensaya con7,n, = 12/o' i = g,g3

1"" paso (1,03f1 :3,3598989

2q paso 3,3598989 - 1, : 2,3598989

3* paso 2,3598989 + 0,03 : 78,6632966 < 87


Se ensaya con i3" 'paso

Ahora se ensaya con I3" 'paso

Ahora con i3" 'paso

Finalmente, se ensaya con i3" 'paso

I

TIR

= 0,035, se repiten los pasos y se obtiene:: 88,50953714 > 87

: 0,034 y se obtiene:= 86,4294676 < 87

= 0,0345:87,4622696 > 87

= 0,0343:87,0474256 > 87 valor que es suficientemente

aproximado= 0,0343 )r, = t3,zZV= 14,44%

7.4

Respuesta: la oferta b es mejorpuesto que proporciona mayor tasa de retorno. Con calculadoraelectrónica financiera F = A \FlA, i%, n); se ingresan los datos F = 21.5.000, A: 2.500, tt = 40y se computa i = 3,4277% j,o, : 1.3,71.08%.

PROBTEMAS RESUELTOS

1. Demostrar que se obtiene el mismo valor futuro/ en n periodos, a la tasa i con unarenta,4 vencida, que con una rentaA pagada a principio de periodo con descuentoracional, a la misma tasa i.

l(rlo, i%, n+r) - tlF : -::-" l + i

Af(r+; ) ' ' * ' -L: l * i L t 'l

F : í ú '

^ A 1r+,¡ [1r* i ¡ - r ]r : 7 + i i

I t+¡)" - lF :A

F : A (r¡e, t%, n)

o ( t + i ) . ' - ! - i


El dueño de-una propiedad cobra por su alquiler 95.000, por mes anticipado. Ha_llalla pérdida que le significa en dos años, si el arrendataiio le pagó poi*"r.,rurr-cido (tasa nominal'12% con capitalización mensual).

F vencido

F anficipaclo

Siendo

Fr = 5.000 (r¡,1, t%, z+)

Fr - 5.000 (26,97346485)

F, : $ 134.867,32

Fz: 5.ooo [(rlo, in, zs) - t]

Fz : 5.000 (27,V131995)

. Fr.: $136.216,00

Pérdida = F^-F.¿ l

: $1.349,49

Demostrar que,€n el problema anterio¡, la pérdida sufrida por el arrendatario es el(VF) correspondiente al descuento racional del alquiler.

d=+¡

D=Alt- t l[1+ iJ

A = 5.000; r' : 0,01

D : 5,ooo lr - f)\ 1,01/

D = 49,505

F = 4e,505[(rlo, 1%, 25)

F : 49,505 (27,21:31995)

F = 1..348,68

- 1] = 4s,5os (rlÁ, tn, z+)

4. El dueño de una propiedad avaluada en $400.000 recibe las siguientes ofertas:(a) $100.000 al contado y el saldo en 6 pagos trimestrales de $SS.ÓOO cada uno; (b)20 pagos mensuales de $22.000 cada uno, efectuando el primer pago de inmediatolhsa de interés delL2% nominal. ZQué oferta le conviene mási

¡fll MArEMÁrcAS FTNANoTERAS

Oferta a:

100.000

Oferta b:

22.000 22.000 22.000 22.000

Se calcula el valor presente de cada oferta:

(o) ,P, : 10O.OO0 + 55.000 (n¡e, z%, o)

P, : 100.000 + 55.000 (5,41719144)

p" : $j97.945,50

(b) Pa : 22,000 l(olo, 1%, 20-1,) + 1] :

Po :9400.972,20

Es más conveniente la oferta b.Mediante calculadora con función XY:

Oferta a:j : 12%,m : 4; i : 0,1.2+ 4 = 0,03

22.000 (18,2260085)

trimestres

20 meses

22.000 22.000

P, =1oo.ooo+55.ooo t -( t+o'oe)*0,03


1"' paso (1,03)-ó : 0,837484262e paso 0,83738426 - 1 - -0,76251,574 (cambio signo)3"' paso 0,16251.574 + 0,03 : 5,417791.334e paso 5,41719133(55.000) : 297.945,525s paso 297.945,52 + 100.000 :397.945,50

Po : 397.945,50

Oferta b:

j : 12%, nt : 12, i = 0,12 + 12: 0,01.

l r - l t+o.or)- 'n )P t , = 2 2 . 0 0 0 l - - - - # - + 1 l

[ 0,01

)

1"' paso 1,01-tt 0,827739922e paso 0,82773992- I : -0,1722601. (cambio signo)3"' paSo 0,1722601 + 0,01 : 77,22601.4e paso 17,22607+7 :1.8,22607

5s paso 78,22607(22.000) = 400.972,20P,, = 400'972'20

5. Un comerciante vende equipos de sonido por un precio de $175.000 al contado.Promueve su venta aplazos, en 1.8 meses, sin cuota inicial, con un recargo deI24%convertible mensualmente. Hallar la cuota periódica o renta. Se entrega el equipocontra pago de la primera cuota.

P : Al(rto, i%, n-1.) + 1.f

A : p. Ár; . ;L-----:r-, : n,(e¡n, in, n)\P lA, i%, r r -1) + 1

El factor =(Af n, i%,n) es el factor de amort ización con

,anualidades anticipadas.(P lA , i% , r r - 1 )+1

P : 175.00t j,,u : 0,24; m : 72; i : 0,02; n : 18

A - 175'ooo = s11 44475,29787788

Al opera¡ c9n calculadora financiera, bajo el modo de anticipadas recibe la infor-mación lAlP, i%, nl parai :2%, t t :18, P = 175.000 da la respuesta77.444.

l&¡!t MArEMÁncAS F|NANC|ERAS

corresponde

un comerciante estima que puede aumentar sus ventas ofreciendo equipos de so-nido que valen $126.000 de contado, en cuotas mensuales de $9.000 cada una, sincuota inicial. Hallar el número de cuotas, si se carga unlg% de interés, convertiblemensualmente. Al retirar el producto se paga la piimera cuota.

' p : af(r¡a, i%, n_1) + 1]

P : 126.000, A : $9.000; j : 18%; m : 12) i = 1,5%

126.000: 9.000 [(olo, 1,,5%, n-1,) + 1,f

En la tabla vI columna del 1/z%, elvalor 13 está comprendido entre (pf A, 1.,s%, 14) y(PlA, 1',5%,15) cuyosrespectivosvaloresson: rz,s4iigls0vl3,34zzlz0l.Comoenelejemplo 6.6, se procede por interpolación.

a 1 5a 7 4

126.000(P¡A, t,s%, n-t) : - 1 = 1 39.000

corresponde 13,34323301.12,543381,50

a n - 1a14

correspondecor

13,000000001,2,543381.500,456618500,799851.51. como n -'1.5

7 n-1 .50,799851.51, 0,45661850

n-'l.s: 0'456678500,799851.51.

= 0,57087909

n,: 1,5,57087909 Respuesta matemática.

Respuesta práctica: 15 pagos de $9.000 y un último pago al principio del periodo 16de 0,57087909 (9.000) : $5.1.37,90 (aéase ejemplo 6.6J.

-

Comprobación: se plantea una ecuación de équivalencia con fecha focal en el últi-mo Pago.

15t41,3

126.000


1,26.000 = 9,000 [(rlo, t,s%, ts-t) + r] + x (r,Ors)'u

126,000 = 9.000 (13,5433815) + X (0,799851,505)

\z _ 126.000 - 121,.890,43350,799851505

y : $5.137,91 aIcomienzo del periodo 16.

7. Resolver el problema 6, mediante calculadora

1"" paso

2q paso

3"" paso

. [r - (1+¡¡r"- 'r I:"1---f-*tl

=9 .000 ; í=0 ,015

:e.ooolr=fffi!.t]= 0,805= ln(0,805)

P

P : 126.000; A

126.000

1,015- tn - t¡

- (n - 1) ln(1,,01,5\

ln (0,805)_ n + L : - i - - +ln (1,,01,5)

n = 1.5,56905

se efectúan L5 pagos anticipados de $9.000 y un último pago al principio del perio-do 16 de:

F: e.oooltot=ul:; t - t)\ 0,015 )

F : fiL52.391,,33126.000 (1,015)15 = $157,529,Vt

Último pago ='1.57.52g, ?A - 152,391.,32: fi5.137,90

Una deuda de $400.000 secancela con 10 pagos trimestrales, por trimestre anücipa-do, de $44.500 iQué tasa de interés se ha caigad o? (véase el ejemplo 6.2¡.

,¡ffl MArEMÁncASFTNANoTERAS

P : Al(olo, i%, n-1) + rl : AQ'¡a, i%, n)

P : 400.000; A : 44.500; m : 4) n : L0

400.000 : 44.500 l(olo, i%, e) + lf

(pl'+'

(pla,

En la tabla VI se buscan en la línea correspondiente a rz.= 9 los valores más próxin7,9887(A00;éstosson (e¡A, z,s%, 9) :i,gzososfiy (PlA, 2%, 9) :8,162n9671.;nuestro caso, se calcula I por interpolación.

a 0,020 corresponde 8,1,6223671,a 0,025 corresponde 7,97086553

-0,005 es a 0,191371.18

_ 400.000 144500

: 8,98876400 - l. : 7,98876400

ai correspondea0,025 cor

t"h,

i%,

e)

e)

-o oq

q1913n18

i -0,025

a

j

tasa

i - 0,0250,01789847

(- 0,005) 0,01789847

7,988764007,970865530,01789847

: -0,0004671" 0,19't371!8

:0,0745329:4(0,0245329):9,813%

Mediante calculadora con función XY:

(PlA, i%, 9) = 7,98876+oo

, . _ o

r - (r+¡/ :7.9g876400I

La solución se obtiene mediante ensayos sucesivos; se prueba a buen criteriotasa efectiva l, por ejemplo i : 3%, y se calcula para ese valor.

r - (t,og)'0,03


L"" paso (1,03f' :

2e paso 0,76641.673 - 1, :

3'" paso 0,23358327 + 0,03 :

Se ensaya con i :

1.'" paso (1.,025)4 :

2e paso 0,80072836 - 1. :

3"" paso 0,19927164 + 0,025 =

Luego se ensaya con I3"" paso 0,19220643 +

Ahora con i3"" paso

Ahora se ensaya con i3"' paso

Después se ensaya con i3" 'paso

Se acepta para

0,76641673

4,23358327 (cambio de signo)7,786109 valor menor que el buscado 7,9ffi7&

0,025

0,80072836-0,199271,64 (cambio de signo)7,9708656 < 7,989764

= 0,024, se repiten los pasos y se obtiene:0,024 = 8,0086 > 7,988764

:0,0245, se repiten los pasos y se obtiene:= 7,9897004 > 7,988764

: 0,02455, se repiten los pasos y se obtiene:: 7,98781,38 < 7,988764

: 0,02453, se repiten los pasos y se obtiene:: 7,9885682 valor suficientemente aproximado

al buscado

i : 0,02453I,r, : 4(0,02453)I,r, = 9,872/o

,5

Con calculadora electrónica financiera en la forma (P/4, i%, n) se entregan comodatos P : 400.000, A = 44.500, n : '10. Se computa l, que proporciona el resultado

i : 2,45'248'J.%.2,452481. (4) = 9,8%

PROBLE'I'IAS PROPUESTOS

9. Resolver el problema 1, planteando una ecuación de equivalenciaparacada oferta.

10. Resolver el problema 3, planteando una ecuación de equivalencia.

11. Calcular el valor de contado de una propiedad vendida a 15 años de plazo, conPagos de $3.000 mensuales por mes anticipado, si la tasa de interés es del72%convertible mensualmente.

12.

13.

14.

15.


Calcular el valor de contado de un equipo médico vendido a2 ai.os de plazo, con el9% de intereses, convertibles trimestralmente y pagos trimestrales anticipados de$4.000 y una última cuota de $3.200, a 2 años 3 meses.

una persona recibe tres ofertas para la compra de su propiedad: (c) 9400.000 decontado; (b) $190.000 de contado y $50.000 semestrales, durante 2/z aircs; (c) 920.000por trimestre anticipado durante 3 años y un pago de $250.000, al finalizar el cuartoaño. iQué oferta debe escoger si la tasa de interés es del 8% anual?

Para establecer un fondo de $1.000.000, a principios de cada año se consignan 9120.000en una cuenta de ahorros que abona el 8% anual. Calcular el tiempo, mediantelogaritmos.

iCuál es el valor presente de una renta de $500 depositada a principio de cada mes,durante L5 años en una cuenta de ahorros que gana el 9%, convertible mensual-r¡lente? (Véase el problema 22 del capítulo 6).

1.6. Un comerciante vende máquinas de tejer a $125.000, precio de contado. Para pro-mover sus ventas, decide ofrecerlas en 18 plazos rnensuales, cargando el2% men-sual de interés. iCuál es el valor de las mensualidades? (a) Sin pago inicial, (b) Conuna cupta como pago inicial.

17 . iQué suma debe depositarse a principio de cada año, en un fondo que abona el 6/o ,para proveer la sustitución de los equipos de una compañía cuyo costo es de$2.000.000 y con una vida útil de 5 años, si el valor de salvamento se estima en el1,0% delcosto?

Sustituir una serie de pagos de $8.000 al final de cada año, por el equivalente enpagos mensuales anticipados, con un interés delg% convertible mensualmente.

Sustituir una serie de pagos al principio de cada año, por el equivalente en pagosmensuales anticipados, con un interés del9% convertible mensualmente.

Una deuda de $30.000 con interés del12% capitalizable semestralmente, se acuerdacancelar de inmediato, con pagos semestrales de $5.000. Hallar el número de cuotasy el valor del pago final.

Un empleado consigna $300 a principios de cada mes en una cuenta de ahorros quepaga el 8/o, conveftible mensualmente. ZEn cuánto tiempo y con qué pago finalIogrará ahorrar $30.000?

Un equipo de sonido cuyo valor de contado es de $400.000 puede adquirirse con12pagos mensuales anticipados de $40.000 cada uno. Hallar la tasa de interés cargada.

18.

19.

20.

21.

,n

7.6

ANUALI DADES ANTICIPADAS Y ANUALIDADES DIFERI DAS

23. ¿A qué tasa nominal, 25 depósitos trimestrales de $500 por trimestre anticipado,darán un valor futuro de $16.000, tres meses después de efectuado el último pago?

24. (a) Deducir la fórrnula del valor futuro para anualidades anticipadas, utilizando laspropiedades de las progresiones geométricas.

(b) Deducir la fórmula del valor presente para anualidades anticipadas, utilizandolas propiedades de las progresiones geométricas.

ACTIV¡DADES DE CONSULTA

(a) Estudiar las costumbres locales para ventas a mediano plazo y las tasas de interéscobradas.

(b) Crear sistemas de ventas aplazo y analizarlas.(c) Consultar el porcentaje de recargo por gastos, en las ventas a mediano plazo.

ANUALIDADES DIFER¡DAS

En los negocios, es frecuente que algunas circunstancias obliguen a que el primer pe-riodo de pago comience en una fecha futura, hasta después de transcuirido Cierto tiem-po desde el momento inicial o de convenio. Es deci¡,la fecha inicial de la anualidad nocoincide con la fecha del primer pago. En estos casos, se dice quelaanualidad es diferidn.

Definiciones Una anualidad diferida es aquella..ryo pluro comienza d.espués de trans-currido un intervalo.

Intervalo de aplazamiento Es el tiempo transcurrido entre la fecha inicial, o fecha devaloración de la anualid ad, y la del primer pago.

Para medir el intervalo de aplazamiento, se utiliza como unidad el tiempo quecorresponde a un periodo de pago. Así por ejemplo, si dentro de 2 año.q se efectuará elprimer pago de una anualidad vencida de $A por semestre y cuyo plazo es de 3 años, setendría:

J 10 semestres

AAAAA

k:fecha inicial de la anualidad vencida

7.7

7.8


Tiempo diferido = 3 Periodos semestrales

Tiempo plazo de la anualidad : 7 periodos

Tiempo total = tiempo diferido más tiempo de la anualidad

Por lo general, las anualidades diferidas se analizan como ordinarias o vencidas;

de manera que, en los problemas, al hablar de una anualidad diferida, se suPone que es

vencida.

VATORES DE tAS ANUATIDADES DIFERIDAS SIMPTES C¡ERTAS

para el cálculo de los valores de las anualidades diferidas no se requieren nuevas fór-

mulas ni tablas distintas de las descritas en capítulos anteriores.El lector debe comprender la importanóia de analizar los problemas, utilizando

diagramas que le permitin determinar, cuidadosamente, el tiempo diferido y el tiempo

de iago, para luego plantear las ecuaciones de equivalen.il qy" conducen u,t .ot1"_Y

solución. No es conveniente memorizarfórmulai o procedimientos, ya que éstos re-sul-

tan inútiles ante la gtan variedad de problemas que suelen presentarse' El lector del

desarrollar su p.opiu imaginación y creatividad, en el tratamiento de los problemas'

Cálculo del valor presente Sea una anualidad vencida, diferida kperiodos,-de $A

periodo pagaderoi durante n periodos, a la tasa I por periodo. Mediante la elabora'

de un diagrama/ se tiene:

k + n - l T'

periodook+

<- tiempo diferido---->

AAtiempo de anualidad --------------->

Al formar una ecuación de equivalencia y utilizar como fecha focal el final

periodo k, siendo P el valor presente en la fecha inicial, se tiene:

Notación estándar P (FlP , i%, k) : A (PlA, i%, n)

P = A (PlA, i%, n) (n¡r , i%, t<)

Notaciónálgebraica (r¡a, l%,r¡ : 1 - (1+l)-' ; (plF, i%,k) : (r+i)-*

,,: L{d.(r+;)--

ANUALIDADES ANTICI PADAS Y ANUALIOADES DIFERIDAS

Otro método Para calcular el valor de las anualidades diferidas consiste en tratar-Ias como diferencia, entre dos anualidades no diferidas, así:

periodos

k -7 periodos

Ps

+o l ' t 2

m#"'k -1 periodos

El valor presente de I es

El valor presente de II es

El valor presente de III es

k+n - l

P, = A(e¡e, i%, tc+n)

P, : A(PlA, i%, k)

P, = Pr- P,

P, = A-(Pla, i%, k+n) - A(PIA, i%, k)

De donde, el valor presente de la anualidad diferida k periodos es:

P : Al(olo, i%, k+n) - (ple, i%, k)) (35)

¡![ MArEMÁrcAS FTNANcTERAS

o sea

34a

En el problema 10 del capítulo 6, se demostró que:

(plA, i%, n+k): (r¡a, i%, k) + (r+r)-- (nya, ff i, n)

Al sustituir en la fórmula 35, se tiene:

p : Altrto, i%, k) + (r +i)-* (plA, i%, n) - (r'1a, i%, k))

P : A (r+i)-* (r¡a, in, n)

P : A (n¡r, in, k) (PIA, i%, n)

La fórmula 35 ofrece algunas ventajas para el cálculo y, por esto, se utiliza conmayor frecuencia que la fórmula 34.

IftEIErc Calcular el valor actual de una renta de $5.000 semestrales, si el primer pagodebe recibirse dentro de 2 años, y el último dentro de 6 años, si la tasa de interés es del 8%convertible semestralmente.Se traza el diagrama que corresponde a las condiciones del problema.

El intervalo diferido es de 3 periodos y el t iempo de pago t iene 9 periodos

P = Al(plA, i%, k + ")

- (n¡a, i:/", k))

A : 5.000; j = 8%; m : 2; i : 4%; k : 3; n : 9

P :5.ooo [(n¡a, +"t, 12) - (PIA, 4'/", 3)]

P : s.000 (t,zasozzzo-2,77s0e18) = 5.000 (o,oossszzz)

P = $33.049,91

Si se aplica la fórmula 34a, el cálculo se desarrolla así:

p : A ( p l F , i % , k ) , ( p l A , i % , r r ) = s . o o o ( r , / F , 4 % , 3 ) ( p l A , 4 % , e )

5.000 5.00r) 5.000


P = 5.000 (o,assw6:o) (2,+zsnrclP = $33.049,91.

Solución con calculadora: mediante el diagrama de flujo de caja, se calcula primero el valoractual P' de la anualidad vencida de $5.000 durante 9 semestres con la tasa i : 0,04. Luego seaplica la fórmula 34b.

^ , I - u + 1 ,t J = A \ / ( t + , ) - 'i

t - l t + ¡ ) - "D ' = ¡ \ /t n

i

A = 5.000, n = 9,i = 0,04

p,= s .ooo 1- (1 '04) - '

0,04

1"' paso (r,o+)-' :0,702586742a paso 0,70258678 - | : -0,29741326 (cambio de signo)3"" paso 0,2974'1,326 :0,04 = 7,435331.54e paso 7,4353315 (5.000) = 37176,66

P' = 37176,66 se lleva a'memoria

P : P ( t + i ) - - ; k : :

5e paso (r,o+)-t :0,888996366e paso 0,88899636 (37176,66) : 33.049,gt

P = 33.049,9'1,

En el proble ma 26 se errqontrará otra solución con calculadora aplicando la fór-mula35.

Cálculo del valor futuro El valor futuro de la anualidad diferida es el propio valorfuturo o monto de la anualidad, correspondiente al tiempo de pago. su cálculo fuetratado en las anualidades vencidas y anticipadas.

Cálculo de la renta Para el cálculo de la renta se despeja, según el caso, el valorÁ en lasfórmulas 34 ó 35.

Mediante la fórmula34,p : A (PlF , i%, k) (plA, i%, n)y aldespejará, se tiene:

A : (e¡e, ffi n) : p (rlP, i%, k) (AIP, i%, n)

I


Nota Recuérd.ese que (V¡X i%, n):(xlY,i%,n)

Conlafórmula3l,P: af(r¡a, i%, k + n) - (e¡a, i%, k)lyaldespejarÁ,setiene:

PA _

(PlA, i%, k+n) - (PlA, i%, k)

ffill![fl Al cumplir un joven 12 años, siu padre deposita $2.000.000 en un fondo uni-versitario que abona el8%, a fin de que al cumplir 18 años comience a recibif una renta anualsuficiente para costear sus estudios universitarios durante 4 años. Hallar el costo anual de losestudios.

2.000.000

P : $2.000.000; i : 8%;k : 5; n :

2.000.000 2.000.0006,24688791 - 3,99271.M4

Solución por medio de ecuaciones de equivalencia y con calculadora; en el ejercicio 26 se dasolución mediante calculadora y aplicando la fórmula 35.

P : P'(r+')-^

= (p le ,8%, s+a) - (p la ,8%, s)

- 2'ooo'ooo = $887.24r,602,2il17787

r - (t+¡)- '= A

i= 2.000.000; I : 0,09; n = 4; k = 5

t - l r . o a ) { . . - q= A __--__:____, (1,08) -

0,08

P'

P

2.000.000

1"'n o

J ' -

4a

50

6a

AN UALI DADES ANTICI PADAS Y ANUALIDADES DI FERIDAS

paso (t,os)-' : 0,73502985

paso 0,73502985 - 1 : -0,2&97015 (cambio de signo)

paso 0,26497015 : 0,0t1 = 3,3121.2687 (entra a memoria)

paso (t,os)-t = 0,6805832

paso 0,6tt05832 (331212687) = 2,25nt779 (entra a memoria)

paso A :2 .000 .000+2 ,2541779

A : 887.241..60

Cálculo del tiempo Estos problemas de cálculo del tiempo son poco frecuentes. Se puedenestablecer dos tiempos distintos: el tiempo diferido y el tiempo de la anualidad.

Para el t iempo diferido, se tiene:

Estándar

Algebraica

(n¡r, i%, t<¡ =n(r¡a, i%, n)

P : A (n¡r , ir", t) (n¡a, in, n)

P:A ( r+ r ) - * . . i\ / t - ( t + i ) "

Luego, se procede como en los capítulos anteriores, por interpolación, mediantelogaritmos o con calculadora financiera.

Para el tiempo de la anualidad se tiene:

osea (FIP, i%, o) = N\#A; (1 + tf = + .1 r*ry

p : A(plF, i%, k)(plA, i%, n)

(P lA, i%,4 - P(F lPLi%,k) ,a i l : f ; { t * i \ r

Se continúa como en el ejemplo anterior.

@!lE[@ Alguien deposita la suma de $1.000.000 en un banco que abona el7%,paraque, dentro de 5 años, le pague una renta de $200.000 anuales; hallar el número de pagos.

P = AQ'¡r, in, k) (PIA, i%, n)

P = A( t+ i ) - (n¡a, in , " )


1.000.000

P = 1.000.000; A = 200.000; i = 7%; k : 4

1.000.000 : 200.000 (r+o,oz)* ()¡a, zn, ")

. 1.00r).000 h*o.oz)n\PIA, 7%, ,r) : ------------- r-- : s (181,079601)

(n ¡ a, 2r",,,¡ = u,rrrr#JuoooEste valc¡r está comprendido entre (P,' A, Z%, 9) = 6,51523225 yluego, por interpolación:

10 corresponde9 corresponde

7,023581546,57523225

correspondecorresponde

\rla, zn, n)

6,553980056,57523225

a t l

a 90,50834929 como n-9 0,03874780

i t t - 9

0,50834929 0,03874780

tt -e : o'03t174780

= 0.07622270,50t134929

Respuestamatemát ica n:9,0762227

Respuesta práctica: 9 pa¡;os anuales de 9200.000 y un último pago al f inal de décimo añodif erido de $200.000(0,07 62227) : 975.244,50.Vénsc en el problema 27 una solucií¡n con calculadora.

cálculo de la tasa Rara vez,.en la práctica, se presentan problemas en los que seanecesario calcular la tasa de una anualidad diferida. Para el cálculo de la tasa. las fórmu-las estudiadas conducen a ecuaciones de grado superior que se necesita resolver portanteo.

EEE:[EüE| Una persona entre¡la $1.560.000 a un banco con el objeto de que, dentro de 5años, le inicie el pa¡;o de 12 anualidades de $240.000. Hallar la tasa de interés que abona elbanco.


P -- AL{:.to, i%, k+n)- @lo, in, r)l

1.560.000

P : 1.560.000; A = 240.000; k : 4; n : 1.2

1.s60.000 : 240.000 [(n¡a, in, a+n) - (n¡,+, in, +)]

(r¡a, in, rc) - (n¡a, i%, 4) = 1110^o^T = u,t' 240.000

Se busca por tanteo en la tabla VI, restando mentalmente los valores para n : 16y rt = 4, el valor quemás se aproxime a 6,5. Así, se encuenha que está comprendido entre las siguientes diferencias:

Para la tasa del 6%

fln¡ ,e , ar", rc) - (plA, 6%, 4)l : 70,1058es27 - 3,46s70867 = 6,64078e66

Para la tasa del6/z%

[(r¡a, o,sn, rc) - (plA, 6,5%, +)f : o,zezzo4tl -3,42s7e860 : 6,347e6ss8

Respuesta práctica: la tasa está comprendida entre 6% y 6%%. En caso que se desee o sea nece-saria una mayor aproximación, se procede por interpolación lineal. Véase en el problema 2{J unasolución con calculadora.

PROBLEMAS RESUEITOS

25. Resolver el problema del ejemplo 7.4,ut1lízando calculadora.

.4 : sooo l (oto, 4%,72) - (p l ,q, 4%,3)]

A :5ooo [ l - ( l , o+ ) ' '

- i - (1 ,04) - r - l

L 0,04 0,04 l


o = # [1t,0+¡* - 1t,o+¡'']

(1.,04)t' : 0,621159705 (entra en memoria)

(t'o+)-' : o'88899636

0,2643993 : 0,88899636 - MR

33.049,91, :0,2643993 (5.000) + 0,04

A:933.049,91.

26. Resolver el problema del ejemplo 7.5, rstllizando calculadora.

2.000.000¿ : 1 - ( 1 , 0 8 ) - ' _ 1 - ( 1 , 0 8 ) '

0,08 0,08

, 2.ooo.ooo (0,08)o:

1r,oa;-' - (1,08)"

(f,OS)-' : 0,50024897 (entra en memoria)

(1'08)-5 : o'6805832

0,6805832 - MR : 0,7803342 (entra a memoria)

2.000.000 (0,08) : MR : 887.24L,60

A: fi887.241,60

27. Resolver el problema del ejemplo 7.6, utilizando calculadora.

(n¡e, t%, n)

P : 1.000.000; A :200.000; I

1 - (1,07)-"

0,07

(1,07)-"

p / r * ; \ t' 1 ^ " '- ^n

: 0 , 0 7 ; k : 4

1.000.000 (1,07)1: -

200.000

o,07 (1.000.000) (1,07)"_ 1- l -

200.000


(1"07)-" : o'54'l'22'l'4(-n) ln (1'-07) : ln (0,5412214)

,:\ffiPtt = 9,0738857

Nueve pagos de $200.000; para hallar el último pago x, se plantea una ecuación deequivalencia:

1.000.000 : x(1,07)-'n + (t,oz)u (200.000) 4{

r = 1,000.000 (t,02)'n - 11,02¡'o (200.000) 1 - U?-:*

0,07x : $1.5.244,50

Resolver el problema del ejemplo 7.7, utilizando calculadora.

P: Al(olo, i%, k+n) - (pla, i%, k)l

P = 1.560.000; A = 240.000; k = 4i n = 72

I = jYo,

i = 6 % ,

7,297879

6,640790

= 6,341966

= 6,5L197A

¡: 6,s/o, 044_u#4qf

(t,oa)' - (1,062)"u0,062

f r - ( r+, ) - " t * ( r+ i ) ' l1.s60.000 = 240.000 L---r-

= -l

1.s60.000240.000

Para

Para

(t+,)' - (r*;)- 'u= 615

(r,os)* - (1,0s)''0,05

(r,oo)' - 1r,06)-'u0,06

i = 6,2%,

@ MATEMÁTTcASFTNANcTERAS

(1,0625)* _ lt.o625)rut : o '¿DYa l f f =6 ' 489274

i : 6,23%, (t,oezz)'-(l',ooz3)'u

0,0623

A%% es una aproximación aceptable.

29' Alguien desea establecer un fondo, de tal manera que un hospital que estará termi-nado dentro de 5 años reciba para su funcionamientb una renti anuál de $25.000.000,durante 20 años. Hallar el valor der fondo, si gana el g% d.e intereses.

P : Al(olo, i%, k+n) - (ple, i%, k))

A : 25.000.000; I = 0,08; k : 4; tt : 2Lp = 25000.000 [(r7n, 8%,2s) - (pla,8%, 4)]

P : 25.000.000 (70,67477619 - 3,2121,2684) Tabla VIP : $1.84.066,234

30. una persona deposita hoy $600.000 en un banco que abona el7/o paraq,ru, dur1t\rode 5 años, se le comience a pagar una renta qn" ru le cancelará iemestralmente,durante 10 años. Hallar la renta semestral que iecibirá.

: 6,507238

semestres

600.000

AN UALIDADES ANTICIPADAS Y ANUALIDADES DTFERIDAS

P = 600.000) j : 0,07; m : 2;i : 0,035; k = 9; n : 21.

p : 600.000 : af(e ¡ a, 3,s%, 9 + 21) - (r ¡ e, z,s%, o))

= 600.000 = A (18,39204541, - 7,607 68651\

. 600.000A=_=$55 .636 ,731.0.78435890

Tabla Vi

De donde,

31. Una Persona deposita $5.000 cada final de mes, durante 4 años consecutivos. Hallarla suma que tendrá en su cuenta 7 años después del último depósito, si el bancoabona el 6%, convertible mensualmente.

A = 5.000; n:48; i:0,5%. No hay intervalo diferido; ésta es una anualidadvencida cuyo valor futuro F queda diferido k periodos para su cobro; k : 84.

Para el cálculo, se establece una ecuación de equivalencia, utilizando la fecha finalcomo fecha focal.

X : 5.ooo (r¡a, o,s%, 48) (FlP, 0,5%, 84)

Luego, con calculadora financiera, tablas o pasando a notación algebraica, se tiene:

X : 5.000 (54,09783222) (1,52036964)

X = fi411..2A3,50

X

.J


7.1O PROBIE'IIAS PROPUESTOS

32. Uira compañía adquiere unos yacimientos de mineral; los estudios de ingenieríamuestran que los trabajos preparatorios y vías de acceso demorarán 6 años. Seestima que los yacimientos en explotación rendirán una ganancia anual de$2.400.000. Suponiendo que la tasa comercial de interés es del 8% y que los yaci-mientos se agotarán después de 15 años continuos de explotación, hállese el valorfuturo de la renta que espera obtenerse.

33. En el problema 32, hállese el valor de utilidad que espera obteneg en el momentode la adquisición de los yacimientos.

34. Una ley de incentivos para la agricultura permite a un campesino adquirir equi-pos por valor de $80.000, para pagarlos dentro de 2 años, con 8 cuotas semes-trales. Si la ley fija el6% de interés para estos préstamos, hallar el valor de lascuotas semestrales.

35. Una compañía frutera sembró cítricos que empezarán a producir dentro de 5 años.La producción anual se estima en $400.000 y ese rendimiento se mantendrá porespacio de 20 años. Hallar con la tasa del 6% elvalor presente de la producción.

36. ZCon cuánto se puede comprar una renta de $10.000 trimestrales, pagadera du-rante 1.5 años, debiendo comenzar el primer pago dentro de 12 años, si la tasa deinterés es del 8% capitalízable trimestralmente?

37. Alguien deposita $100.000 en un banco, con la intención de que dentro de 10 añosse pague, a él o a sus herederos, una renta de $2.500, a principio de cada mes.ZDurante cuántos años se pagará esta renta, si el banco abona el 6% convertiblemensualmente?

38. Hallar el precio de contado de una propiedad comprada con el siguiente plan: unacuota inicial de $30.000; 6 pagos trimestrales de $10.000, debiendo efectug el pri-mer pago dentro de un año y uno final de $25.000, 6 meses después de can&lada laúltima cuota trimestral. Calcular con el 12/o, interés convertible trimestralmente.

39. Una deuda contraída al 8% nominal, debe cancelarse con 8 cuotas semestrales de$20.000 du, con la primera obligación por pagar dentro de 2 años. Sustituirla poruna obligación equivalente pagadera con24 cuotas trimestrales, pagándose la pri-mera de inmediato.

40. Una compañía es concesionaria de la explotación de un'hotel, por 15 años conta-dos desde su inauguración; éste estará en servicio dentro de 2 años. Se estima quelos ingresos brutos mensuales serán de $250.000. Hallar con la tasa del 12% deinterés convertible mensualmente, el valor presente de los ingresos brutos.

ANUALI DADES ANTICIPADAS Y ANUALIDADES DIFERIDAS

En el problema 40, hallar el valor futuro*de los ingresos brutos que esperanobtenerse.

Por un pago ini'nediato de $180.000, una compañía de seguros ofrece cancelar,-transcurridos 10 años- una renta de $5.500 al comienzo de cada mes, durante 5años. Hallar la tasa aproximada que paga la compañía.

7.11 ACTIV¡DADES DE CONSULTA

Estudiar la costumbre local para las tasas de interés de los diferidos.Consultary analizarlos cálculos financieros de determinado proyecto de factibilidadconcerniente a la instalación de alguna industria.

4't.

42.

(a)(b)

C"qpixr:t* ffi

RENTAS PERPETUAS

OBJETIVO

El propósito de este capítulo es aprender a reconocer y definir las rentas perpetuas

anticipadas, vencidas y-diferidas, jünto con sus factores y métodos de cálculo. En esta

parte, se estudiará el cálculo de loi costos capitaiizados y sus aplicaciones en economía;

ál estudiante podrá ampliar sus conocimientos sobre diagramas de flujo de caia y

ecuaciones equivalentes.Al terminar el estudio del capítulo estará en capacidad de determinar -mediante

calculadoras o tablas-, valores presentes, tasas y pagos periódicos de rentas perpetuas.podrá calcular costos capitalizados y -mediante la utilización de diagramas de flujo de

caja- plantear y resolvei situaciones económicas en las que intervengan las rentas per-

petuas y costos caPitalizados. ¡

8.r TNTRODUCCIóN

En los negocios, es frecuente que ciertas rentas, salvo sucesos imprevistos/ se pa8uen

indefinidamente. Entre muchás otras, las rentas que se Pagan a perpetuidad son la

renta de un terreno, los legados para instituciones de beneficencia, los dividendos so-

bre acciones preferentes, lás sumás que es necesario reservar cada año para proveer la

reposición pétiOai.u de puentes, acueducto y, en general, todos los elementos de servi-

cios de una comunidad.

8.2

RENTAS PERPETUAS

Definición Una renta perpetua es una anualidad cuyo plazo no tiene fin.

En este capítulo se estudiarán las rentas perpetuas simples ordinarias. Todas lasexpresiones que cualifican las anualidades se aplican a las rentas perpetuas, lo que ori-gina diversos tipos de rentas perpetuas. Así, pueden presentarse rentas perpetuas anti-cipadas, vencidas, diferidas, etc.

SíMBOLOS UTILIZADOS EN tAS RENTAS PERPETUAS

En el estudio de las rentas perpetuas se utilizan los mismos símbolos, con el mismo signi-ficado de los capítulos anteriores.

VALORES DE tAS RENTAS PERPETUAS SIMPTES

Valor futuro de una renta perpetua Puesto que nunca cesarán los pagos de una rentaperpetua, resulta imposible calcular su valor futuro.Valor presente o actual de una renta perpetua simple ordinaria Sea la renta perpetuade $,4, pagadera al final de cada periodo, a la tasa I por periodo.

periodos

Se deduce que el valor presente de la renta perpetua es aquella cantidad P que,cl unperiodo, produce como intereses la sumaÁ/ o sea:

A : P i

De donde, (36)

El factor ! = gle, i%, *)es el valor presente de una renta perpetuavencida de unaunidad monetária porperiodo, ala tasai porperiodo.

8.3

P=A. I1


La fórmula36 puede obtenerse también, como el límltede(PlA,i/o,n) cuandon crece

indefinidamente.

r - I

( l + i ) '

i. 1 - ( 1 + i ) '

il ím A(PlA, iTo,n)=1ft¡

Dedonde

o sea

lím 1

" + * ( 1 + i ) "

l ím A (P lA , iVo , * )=

= lím

P = A . \

- n

IA . '

i

Valor presente de las rentas perpetuas simples anticipadas Cuando el pago de Ia renta

p"rp"tru es de inmediato, al trazar el diagrama se observa que el valor actual es equivalente

ut ¿" ,rr,u renta perpetua vencida, aumentada en el primer PaSo que debe efectuarse de

inmediato.

periodos

Se deduce que el valor presente de la renta perpetua anticipada es aquella cantidad

P que, disminuida en Ia primera cuotaA, produce como intereses la sumaA/ o sea:

I D - A \ i : A

de dondeA

D - A L -

1

Si el pago que debe efectuarse de inmediato es W distinto deA, se tiene, para el valor

actual:

pn

An

W*;1

D _

RENTAS PERPETUAS

f{E!|fef - En el testamento de una persona se establece que parte de sus bienes se

invertirán de modo que el hospital de ancianos reciba, a perpetuidád, una renta de $1.000.000cada fin de año. Si en la localidad la tasa de interés es del gf,, háIar el valor actual de la donación.

P = A

A = 1 . 0 0 0 . 0 0 0 ; i : 0 , 0 8

P = 1.000.000. -l- = 12.s00.0000.08

r@Alfa l lece¡ ,unaPerSonadejaunlegadoaunsanator io,eshpuladoasí :$600.000para la adquisición de ciertos equipos y $800.000 anuales para su mantenimiento. Hallar el valoractual del legado, si la tasa es del8To'.

P=w++a

W = 600.000; A = 800.000; I = 0,08

p =6oo.ooo..,. # = $1o.6oo.ooo

Valor presente de las rentas perpetuas por pagar al final de cada cierto número de perio-dos de capitalización En la práctica comercial, es frecuente que los pagos de las ientasperpetuas deban efectuarse trascurrido cierto número de periodos de caiitatiza ci6ny, así,sucesivamente por siempre. Tal es el caso de los gastos quó deben efectuárse para la iepo-sición de activos. Por ejemplo, los puentes, las traviesis de los ferrocarriles, los equiposindustriales, etc. Puesto que estos activos deben ser remplazados periódica e indefinida-mente por otros nuevos, el costo de las sustituciones constituye uni renta perpetua.

Para analizar estetipo de rentas perpetuas se elabora un diagram ay, en éi,se designapor Wel costo de remplazo.

El valor W de cada pago puede considerarse como el valor futuro de k pagos de valorA, efectuados al final de cada periodo de capitalización.

8.4


En la fórmula 27b, F = A (F/A, i%, n), se sustituyen los valores F : W (costo der e m p l a z o ) ; n : k :

W = A(FIA, i%,k)

de donde, A = w Gd p/,, k\

= w (Al F, i%, k). Elvalor presente de la renta perpetua seobtiene al remplazar eñ la fórmula 36, P = A . f , el valor de A:

p =W (A IF , i%,k ) es )

EI factor 1(at r , i%,k)es e l va lor presente de una renta perpetua ord inar ia de unacantidad monetaria, pagadera cada k periodos, a la tasa efectiva de i por periodo.

ff iEIE[p La junta municipal de un pueblo toma la decisión de crear un fondo paraproveer a perpetuidad las reposiciones de un puente de madera cuyo costo es de $9.000.000.Los ingenieros estiman que será necesario remplazarlo cada12 años, a un costo de $5.460.000.Hallar el valor requerido para el fondo a fin de proveer los remplazos futuros, si la tasa deinterés es del 7%.

p-Wqr ¡a , t " , t< )

W = 5.460.(XX) ; i = 7"1,; k = 12

p _ s.410.Q00 ( N F, i,/,,,k) = 7¡i.000.000 (0,0s5901 99)0,07

P = 4.360.355

Al operar con la función X" de calculadora, se usa la notaciírn algebraica

P=+(F lA , i% ,k \= 'Y . t¡ \ , | , ( t * , ¡ o_ t

p_ w^ ( t + ¡ ) * - t

- 5.460.000'= (Lo7 )n ' 1

-

0'07)72 =2'252791'6

P = 5.460.000 + ( 7,2521976 ) = 4360.355

CAPITATIZACIóN

Esta expresión que tiene un significado muy amplio, acostúmbrase utilizar como sinóni-mo de valor presente, en las rentas perpetuas. Así, a la tasa del 12% convertible mensual-mente, el valor capitalizado de un terreno alquilado en $3.000 mensuales por mesanticipado es:

RENTAS PERPETUAS

P = A A1 1 + -

i

5 . )

A = 3.000; j : 0,12;m = lL;i : 0,01

P = 3.ooo. uio99 = $3o3.ooo0,01

Es decirque, desde el Punto de vista de los resultados financieros, seía equivalenteposeer un capital de $303.000 o ser propietario de un terreno que puede ur."r,áurr", po,siempre, en 93.000, por mes anticipado.

_ Estudiar un negocio desde el punto de vista de su capitalización es de suma importan-cia, ya que permite analizar el rendimiento de los activosiinculados al negocio.

@Enunalocal idad, lasinversionesrindeneI1'4%,concapital izaciónsemestral .Un comerciante que muestra en sus libros una utilidad semestral de $252.000, en promedio delos últimos balances, ofrece en venta su negocio por $3.800.000. Determinar si es o no una ofertaatractiva, e indicar el precio máximo que puede pagarse por el negocio.

o= ^'+A = 252.000; j = 0,14; m= 2; i = 0,07

n = zsz.ooo(!)= $3.600.000\0,07 )

No es buena oferta, el máximo que se podría pagar es de 93.600.000.

COSTOS CAPITALIZADOS

En los estudios financieros, los activos que es necesario rempkZar cada cierto número deperiodosk determinados por su vida útil, se analizan consilderando la suma de su costoinicial más el valor presente de las renovaciones futuras a perpetuidad; esta suma corres-ponde al costo capitalizado del activo. En análisis financiéros, suele remplazarse la rentaperpetua por una renta cuyo horizonte sea determinado número de periódos.

Definición -Costo capitalizado de un activo es la suma de su costo original más el valor

presente de la renta necesaria para las renovaciones futuras. La vida útiláel activo se mid.een periodos de capitalización de las inversiones. A continuación se definen los símbolosutilizados en este texto;

K = costo capitalizado

C : costo original o inicial


W : costo de cada reposición

k : número de periodos de vida útil

i : tasa de interés por periodo

Por definición de costo capitalizado, se tiene:

K : C + P

Donde P es el valor presente de la renta perpetua, necesaria para las refuturas. Al sustituir el valor de P, dado por la fórmula (39), se tiene:

K=c* {a l r , i vo ,k )

Si el costo inicial y el de reposición son iguales, es deci¡, W : C, se tiene:

K = C + 9 6¡ r , i%, k) = . ( t ++@f, i%, q)

¡ = g ( 1 + i ) k

( 1 + i ) " - 1

Al dividir por (1 * i)k numerador y denominado4 se tiene:

K = c. = 9.----r-l - ( l + i ) - ( i l - ( l + i ) - (

pero --:--=. = (Af P,iE"1),^ 1 - ( 1 + t )

entonces, K =+.(Alp, iva, k)

I@Hal lare lcostocapi ta l izadodeunamáquinaquesecomPrapor$4su vida útil es de 12 aios, al final de los cuales debe remplazarse al mismo costo inicial. Eldel dinero tiene una tasa efectiva del8%.

x=9@tp,¡n,r \I

C =W =4.000.000; ft = 72; i = g%

, ,4.000.000 / . ,¡ aa .^K -"i:'i"" ' lAtP,s%, tz)= 59.¡tt.tt0(0,05269502+ Q08)0 0 8 \ ' '

K = C[r*1 i , - ' l

= a ( t* ¡ )* - t * rL , (1+ i ) " -1 I ( 1+ l ) ^ _1

Á = üb.bJ4./bt lhblaVll

RENTAS PERPETUAS

ffiEEIlEf Halar el costo capitalZado de la máquina del ejemplo 8.5, si al final de su vidaútil tiene un valor de salvamento igual al lS% de su costo inicial. En este caso, el costo de repo_sición es igual al costo inicial menos el valor de salvamento. Fórmula 40:

ttlK=C++(A lF , iE" ,k \

I

C = 4.000.000; W = 4.000.000 (0,85) = 3.400.000; k = t2i i = 8Vo

K = 40.000.000 + 1499'Wo . (AlF.BEo,t2) = a.6¡e.s0r + 3.4qq.900 (0,0s26es02)0,08 0.08

K =$6.239.538

Solución con calculadora:

K = c* Y.----J-i ( l + i ) r 2 _ I

1er. paso (1,08)'r = 2,51.8170"1.

2o. paso 2,5181701,-1=1,5181'701

3er. paso 3.400.000 + 1,51,81701 = 2.2i9.538

4o. paso 4.000.000 + 2.239.538 = 6.239.538

Las ecuaciones del costo capitalizado son de gran utilidad para tomar decisionesen la elección de-equipos que tienen el mismo rendimiento, peró qr.te son de diferenteprecio y tienen distintas vidas útiles.

Para alternativas con cliferente vida útil, en evaluación de proyectos de inver-sión, algunos economistas efectúan comparaciones sobre el mismonúmero d.e años devida útil, lo que es erréneo. Véas¿ demostración en 8.6. En estos problemas se d.ebenconsiderar las reposiciones a perpetuidad.

IE&IT La-junta municipal de un pueblo deblfomar una decisión para la construcciónde un puente. Las ofertas más convenientes son: (a) construir un puente de.madera con un costode $6'000'000 cuya vida útil es de 10 años, al cabo de los cuales deúé remplazarse, al mismo costo;(ü) construir uno de madera y hierro, con un costo de $10.000.000 y.ryu vida útil es de 25 años,al cabo de los cuales debe remplAzarse, con un costo de $8.000.00ó. El rendimiento de las inver-siones tiene una tasa efectiva del9%.

(a) El costo capitalizado del puente de madera es:

aK = : . \A /P , ,%,k )

c = o.ooo.ooo; i = g%; k = 10

K = 6 Hry . (q p, 8%,r0) = 7s.000.000 (0,06e02e49 + 0,08)0.09 '

K=$1L177.212

Tabla VII

8.ó


(b) El costo capitalizado del puente de madera y hierro es:

Í 4 7

K = C r i l . ( A / F , i % , k ),

C = 10.000.000; W = 8.0ffi.000; i = 8% ; k = 25

K = 10.000.000 + 8'000'000 . ( N F. s%. zs\0 , 0 8 \ ' '

K = 10.000.000 + 100.000.000 (0,01367878\ = $11.367.878

El puente de madera es la oferta más económica.

COSTOS EQUIVALENTES

Por medio de ecuaciones de costos capitalizados equivalentes se puede dar respuesta a laspreguntas: iCuánto puede pagarse por un activo que prestará el mismo servicio que otro,si son diferentes sus vidas útiles y sus costos, tanto iniciales como de reposición? ZSejustifica o no cierto gasto adicional, para prolongar la vida de un activo?

[fttlfillfs Un equipo tiene un costo inicial de 92.400.000 y una vida útil de 10 años, al cabode los cuales debe sustituirse, con el mismo costo. iCuánto puede pagarse por un equipo similarque tiene una vida útil de 8 años y un costo de reposición igual al costo inicial, si la tasa efectivaes de l6%?

Costo capitalizado del primer equipo2.400.000 / . ,^ .d - .=ff .(a¡e,on,rc)

Costos capitalizado del segundo equipo = #'

(A¡n,on,A)

Los dos costos capitalizados deben ser iguales.

ff . @t p, 6%, to) = ft

. {at n,sn,s)

De donde, c = 2.400 00 (:!l:6::\:l = 2.400,000 . 2':.?22i?9.(AlP,6%,8) 0,1,6103se4 Tabla VII

C = $2.024.909, valor que puede pagarse por el equipo que tiene 8 años, como vida útil.

Otro método de comparación de activos con diferente vida útil consiste en calcula¡los costos de las altemativas, actuando sobre el mismo número de años de vida útil o sea elmismo horizonte; para esto, se utiliza el mínimo común múltiplo de los años de vida útil.

RENTAS PERPETUAS

Este método de uso muy difundido en la evaluación económica de proyectos de inversión,sólo se cumple para casos triviales que, infortunadamente, son los menos frecuentes; poresta razón, se recomienda hacer las comparaciones por medio del cálculo de los costos capi-talizados. Con el siguiente ejemplo se puede aclarar este punto:

Con la tasa de cálculo de1.0%, debe escogerse entre dos máquinas de igual servicio,que poseen las siguientes caracteísticas:

Máquina A

Costo instalación inicial 100.000

Precio máquina ............... 1.000.000

Valordesalvamento(20%)............... 200.000

Vidaút i l ,años.. . . . . . . . . . . . . 4

Máquina B

180.000

f.il0.000

308.000

8

tiene:El mínimo común múltiplo de los años es 8; utilizando diagramas de flujo de caja, se

MáquiruA

0

1.000.000

100.000

PA : 1.000.000 + 100.000 + 1.000.000 (1,1f4-200.000 (1,1)-4-200.000 (1,1)-8

PA: $1.553.110


PB : 1.540.000 + 180.000 - 308.000(1,1)rPB =91,.576.31,6

En este momento, aparece como mejor alternativa la máquinaA, por ser pA < pB.Si se establece el horizonte a L6 años, se halla que:

1.540.000

180.000

1.000.000

100.000

IvIóquina B

Máquina A

200.000

4 l /200.000

t2

200.000

16 | años

1.000.000 1.000.000 1.000.000

PA : 1.000.000 + 100.000 + 1.000.000 (-t ,1)4 + 1.000.000 (1,1)-s +1.000.000 ('1,1)-12 -200.000 (1.,1)4 _200.000 (1,1)* _

200.000 (1.,1).12 _ 200.000 (1,ryr6

PA: $2.231.000

RFNTAS PERPETUAS

Máquina B

308.000 308.000

t .7

PB : 1.540.000 + 180.000 + 1.540.000 (1,1)*- 308.000 (1,1)* - 308:000 (1,1f"

PB:52.227.710

Resulta que la mejor alternativa es la máquina B,lo contrario de lo hallado con elhorizonte de 8 años.

Si se calcula por costos capitalizados:

tt/K=C+i .<e le , i va , k )

MáquinaA: C = 1.L00.000;W = 800.000; k :4; i=10%

KA=$2.823.766

Máquina B: C = 1,,720.000;W : 1.232100; k = 8; i = 10%

KB = $2.797.370

La alternativa B es más favorable, porque KB < KA.

PROBLEIT'IAS RESUELTOS

L. Un hospital recibió como legado una renta perpetua mensual de $200.000. Si latasa de interés para las inversiones es del 6%,hallar el valor por el cual puedeceder sus derechos a la renta perpetua.

1P - A . '

i


)

A : 200.000; i : 6%; m : 72; i : 0,5%

A = 200.000 7 -$40.000.000

0,005

Hallar el valor actual de una renta perpetua de $40.000 semestral con un primer

pago inmediato, si la tasa de interés nominal es del74%.

D = A + A' - " i

R : 4 0 . 0 0 0 ; i : 1 4 % ; m : 2

, _ r4 _ r *z

p = 40.000+ 4Iry0,07

P : $671'.428'57

Hallar el valor actual de una renta perpetua de $500.000 por año vencido, si la tasa

de interés es del 8% capitalizable semestralmente.

p = Y . @ l F . i E c , k )I

W : 500.000; j : S%; m : 2; i : 4%; k = 2

p = !9Q.099 . (Al F, 4vc , z)= I 2.500.000 (0,490 l 9608) Tabta Vtr0,04 \ '

P : $6.127.457

Solución con calculadora:

P =T !- i ( 1 , + i ) k - 1

W = 500.000; (7 + 0,04)2 - 1 : 0,0816

P = 5oo'oo-o- = 50ry!o = $6.127.451o+0,0q¿ -7 0,0816

una institución dfbeneficencia recibió un legado de $90.000 anuales a pe

dad. Cede los derechos por $3.000.000; hallar la tasa de interés de la operación'

P=.a.1I

P : 3.000.000; A:90.000

RENTAS PERPETUAS

3.000.000 = 90.0001I

90.000L _ = 0,03

3.000.000

Tasa efectiva : 3%

Hallar el pago a perpetuidad por mes vencido que puede comprarse con $1.500.000, sila tasa de interés es del9% nominal.

A = P i

P = 1 . 5 0 0 . 0 0 ; i = 9 % ; m = 1 2

t = o ' 0 9 = 0 . . 0 0 7 512

A= 1.500.000(0,0075)

A= $71.250 mensual

Hallar el pago a perpetuidad por semestre, con un primer pago inmediato, que puedecomprarse con $2.000.000, si la tasa de interés es del'J.0% efectivaanual.

P=A+ !i

o - P i'1.+i

P = $2.000.000;i = JTj _ 1= 0,04881

A _ 2.000.000 (0,04881)

1,04881

A= $93.076,90

Las alfombras de un hotel tienen un costo de $2.400 por metro cuadrado y se renuevancada 2 años. Un fabricante ofrece alfombras a $3.000 el metro cuadrado, con una garan-tía de 3 años. Determinar si a una tasa efectiva delS% la nueva oferta es conveniente.

Costocapital izado = K = { .ro,r , ,u",0,,

Para el pr imer caso, C : 2.400; i : 8%;k:2

" =

# .(Alp, 8vo, 2) = 30.000 (0,480i6g23+0,08)

K = 30.000 (0,56076923) = $16.823,10

lhbla VII


Para la nueva oferta, C = 3.000; i : g/6;k:3

r / 3 .000 , , , -

" =

ffi.(AlP, 8%, 3) = 37.500(0,30803351 + 0,08)

(- r,i . t ,+tP, i%, k) = +. (A/P, i%, k+b)

1,Porser @F:w:lT6

= (Pf A, i%, k + b)

C' =C(AIP, i%, k)(PlA, i%, k +b)

El gasto adicionalX es la diferencia entre C'y C

- c ' - c=x=c (A lP , i%,k ) (P lA , i%,k+b) -c?

x = cf(al P, i%, k) (P I A, i%, k +b) - 1]

x = cf---i-------'1' - (1 +'i)-k -b

-'f11.-(1.+i)-" t J

X = C. - 0' + i)-k

-b + (1'-+ i)-k

1 - ( 1 + i ) - "

TablaVtr

K = 37.500 (0,38803351) = $14.551,30

La nueva oferta es más conveniente.

Demostrar que el gasto adicionalX que puede hacerse para prolongar en b años la vidaútil de un activo cuyo costo inicial es $C y debe remplazarse cadak años, con el mismocosto, a la tasa efectiva l, se determina con la ecuación:

X = C (Al F, i%, k) (P I A, i%, b)

Demostración: designando por K y K'los costos capitalizados, se tiene:

x=9.@/p,¡%,t )

x,=1.(e¡n,i%*+ a)1

Los costos capitalizados deben ser iguales, o sea:

RENTAS PERPETUAS

Al muJtiplicar numerador y denominador por (1 * i)t, se tiene:

como 1'- (1'! i)-0 =(pf A,i%,b); - *--:- = 1n¡ r,;n,tc)i ( r + t ) - L

r = 3.000 . (alp,8%,s)(Pl A,8%, 2)

x = 3.ooo . 0'0-8 .1- (7'08f2(1,08)" - 1 0,08

x = 3 .ooo . l - ( l ' 98 ) '(1,08)' - I

(1,08/?7,469328 -1,

./¿22"7 - 0,857339 :

0,142661+ MR :

x

se tiene x = c (Al F, i%, k)(P I A, i%, b)

9. Los postes de madera utilizados por una compañía de teléfonos tienen un costo de$3.000 c/u y deben remplazarse cada 5 años; un proveedor ofrece un tratamientoquímico que permite prolongar en dos años la vida útil de los postes. ZQué valormáximo puede pagarse por el tratamiento de cada poste? Tasa de interés comercialdelS%.

x = C(Al F, i%o, k)(PlA, i%o, b)

C = 3.0001 k = 5; b = 2; i = 8Vo

x = 3.000(A/ F, 8Vo, s)(Pl A, 8Vo, 2)

¡ = 3.000 (0,17 045645) (1,7 83264'7 5);

¡ = $91 1,90

10. Resolver el problema 9 con calculadora.

(Véase problema 8)

Tablas VII y VI

fer paso

2o. paso

f,469328: 0,469328 entra en memoria

0,1.42661,

0,303969

3.000(0,303969)

$91.1,,90

8.8


PRO BLE'I'IAS PROPU ESTOS

1L. Hallar el valor actual de una perpetuidad mensual de $5.000, cuyo primer pago se harádentro de 6 meses, con tasa nominal de 12% converlble mensualmente. (Elaborar unagráficapara estudiar los periodos diferidos y de primer pago).

12 Hallar el valor actual de una renta perpetua de $84.000 pagaderos: (a) al final de cadaaño, (b) por año anticipado. Si la tasa efectiva de interés es del 8%.

73. Hallarelvaloractualdeunarentaperpetuade$156.000porañovencidqsuponiendoun interés de (a) 6% efectivo, (b) 6% convertible semestralmente, (c) 6% convertiblemensualmente.

14. Hallar el valor de cesión de una renta perpetua anual de $30.000, suponiendo uninterésde (a)10% convertiblesemestralmente,(b)10% convertibletrimestralmente,(c)8% efectivo.

15. Los exalumnos de una universidad deciden donarle un laboratorio y los fondos para sumantenimiento futuro. Si el costo inicial es de $200.000 y el mantenimiento se estima en$35.000 anuales, hallar el valor de la donación, si la tasa efectiva de interés es del 7%.

16. En una localidad donde las inversiones üenen un rendimiento del10% con capitalizaciónsemestral, un empresario ofrece en venta una sala de cine que üene una utilidad anual,promedio de los últimos años, de $632.000. Si el edificio debe reconstruirse cada 20 años,con un gasto de $6.500.000 y recientemente se le hicieron mejoras, y las butacas debenremplazarse cada 8 años, con un costo de $750.000, determinar, de acuerdo con elrendi-miento de las inversiones en la localidad, cuánto puede ofrecerse por dicha sala, supo-niendo que las condiciones económicas perlnanecerán constantes.

1.7. Para mantener en buen estado las carreteras vecinales, la junta vecinal decide estable-cer un fondo a fin de proveer las reparaciones futuras, que se estiman en $300.000 cada5 años. Hallar el valor del fondo, con la tasa efectivadelí%.

18. Calcular el costo capitalizado de un equipo industrial que cuesta $800.000 y tiene unavida útil de 12 años, al final de los cuales debe remplazarse, con el mismo costo. Calcu-lar con laJasa del6%.

I

19. En el problema 18, calcular el costo capitalizado, suponiendo un valor de salvamentoigual al 15% delcosto original.

20. En los antiguos libros de una empresa ferroviaria se encuentra que el costo capitaliza-do de unpuente que debe remplazarse cada 50 años está determinado en $2.152.947.gel costo inicial fue de $1.850.000, calcular la tasa utilizada en aquella época.

?:1,.

22-

23.

RENTAS PERPETUAS

Una industria recibe dos ofertas de cierto tipo de máquinas, ambas de igual rendi-miento. La primera oferta es por$380.000 y las máquinas tienen una vida útil de 7 años;la segunda oferta es de $5L0.000 por máquinas que üenen una vida útil de 10 años. Si elprecio del dinero es el6% efectivo, Zqué oferta es más conveniente?

Una compañía minera va a construir depósitos de madera para almacenar agua, conun costo inicial de $140.000; éstos deben reacondicionarse cada 10 años con un gasto de$80.000. iQué precio podría pagar la compañía por depósitos de acero que duran 25años, al término de los cuales deben remplazarse con el mismo costo? Calcular con latasaefectiva del6%.

Las traviesas que usa una compañía ferroviaria en una zona tropical le cuestan $120por unidad y debe remplazarlas cada 5 años. Por medio de un tratamiento químico,puede prolongarse la vida de las traviesas en 4 años. ZCUánto puede pagarse por eltratamiento? Calcular con (a) la tasa efectiva del6%, (b) la tasa efectiva delS%.

ACTIVIDADES DE CONSULTA

Consultar el tratamiento financiero dado a la cesión de rentas perpetuas y las tasas deinterés en la localidad.Estudiar ofertas de equipos similares en la localidad y comparar sus costos capitaliza-dos; deben tenerse en cuenta los gastos de mantenimiento.

8.9

(a)

(b)

{_

ANUALIDADES CIERTAS. CASO GENERAL

OBJETIVO

El propósito de este capítulo es culminar el estudio sobre anualidades ciertas, a fin decomplementar Ios conocimientos con el análisis de sus casos generales. El estudianteaprenderá a identif icar y definir, además de reconocer los factores que intervienen en elcálculo de sus valores, junto con sus métodos matemáticos para determinarlos. Aquí,podrá elaborar nuevos diagramas de flujos de caja y ecuaciones de equivalencia. Com-plementará sus conocimientos sobre las anualidades con el estudio de anualidades va-riables, gradientes y anualidades a interés continuo con pagos en flujo continuo.

Al terminar el capítulo estará en capacidad de identif icar y definir los diferentestipos de anualidades y calcular sus valores con ayuda de tablas o calculadoras; podrácalcular los valores de las anualidades variables y resolver cuestiones económicas en lasque intervengan las anualidades, mediante la elaboración de diagramas de flujos decaja y el planteamiento de ecuaciones de equivalencia.

TNTRODUCCTóN I

En los capítulos anteriores, el lector se familiarizó con los casos más frecuentes de losdiferentes tipos de anualidades simples y, seguramente, obtuvo suficiente práctica paratrabajar los problemas. Ciertamente, en la realidad, la mayoría de las operaciones co-merciales y financieras que implican anualidades tienen un periodo de capitalizaciónigual al periodo de pago, es decir, se trata de anualidades simples. En los casos que no

9 . 1


9 .2

hay coincidencia entre el periodo de pago y el de capitalización, se dice que existe unaanualidad general

Definición Una anualidad general es aquella cuyos periodos de pago y de capitaliza-ción no son iguales.

Todas Ias definiciones dadas para las distintas clases de anualidades y sus diferen-tes tipos son válidas para las anualidades generales. De igual manera, lo son las defini-ciones de los valores de anualidades simples, en lugar de plantear fórmulas generales yotras correspondientes a los casos particulares, para la solución cle problenias que lm-pliquen anualidades generales. Se considera mai ¡t it, instructivo y sencil lo, desárrollarel tratamiento de las anualidades generales, trasformándolas en anualidades simplesequivalentes.

SíMBotos UTILIzADos EN LAs ANUALIDADEs GENERALEs

Se emplean los mismos símbolos y con el mismo significado daclo en los capítulos ante-rlores. A continuación se presenta una lista de algunos símbolos y su signi?icado en lase.cuaclones que implican anualidades generales.

¡r = número de pagos por año

W : renta o pago periódico de una anualidad general

./1,,; : tasa nominal con rn periodos de capitalización

rl = número de capitalizaciones por año;

í : L : tasa efectiva por periodo de capitalización

A : renta o pago periódico de una anualidad simple ordinaria

9,3 CONVERSIó¡¡ O¡ UNA ANUALIDAD GENERAT ORDINARIA ENUNA ANUATIDAD SIMPTE

Al efectuar la sustitución de una anualidad por otra, deben tenerse en cuenta dos prrn-cipios básicos (uéansc sección 4.4 y eI ejemplo 5.6):

-7. Las tnsns de interés deben ser equionlentes.2. Los unlores de las nnuaridndes err cuarquier t'ecrn deben ser igunres.

Elabórese el diagrama de una anualidad general ordinaria con pagos l\., ¡, 1'.."-por año a la tasa efectiva i 'por periodo. Y el dJuna anualidad simplé c.,idinaria con r¡¡pagos por año.


General

Simple

Para la anualidad general, se tiene: Pagos : W; número de pagos : p; tasa efec-

tiva por periodo : i '(se emplea i ' , para distinguirla de la tasa i de Ia anualidad simple).^

Para la anualidad simple, se fiene: PaSos : A; número de pagos : r¡; tasa efecti-

va por periodo = i.

Valor futuro de Ia anualidad general, ai f inal del año: F : W \FlA' 7V' P)

Valor futuro de la anualiclad simple, al f inal del año: f : A(FtA' i%' nt)

Los valores futuros deben ser iguales o sea:

A(FlA, i%, tn) : w(FlA, ft , p)

ffi t l++ww

0123

ffi tlItj

i ) ' - 1= (1+

A . I =W 'I

ser equivalentes, o sea:

i),

,i'), - t

1i'

Las tasas de interés deben

( 1 + i ) ' : ( 1 +

Si restamos 1:

( i +

o sea/

ANUAL IDADES C IERTAS. CASO GENERAL

I 'ara exprcsar e l va lor de i 'en iurrc i r in de i se ut i l iz¿t la ccu. . ¡c i r in :

a l sus t i t u i r

s t ' t r t ' n t ' ,

( l + r ) "

I

^ . !I

A

- ( t + r ' ; r

' = 1 l + r ; ; r - - l

= w . I( t + i ) ' '

(tt;n.st' sección 4.4)

t J ) , 7 |

( J ) h \

(42c)

= W . t

( t + ; ) ,

r t ' c u t i r d t ' ' t , t l u t ' t , 1 , ( A I . ¡ ' : , t r l( l l ) - I

( ' n t ( )nces,( r+ i i i i , : (n ' ' i ' t ' ' ; :

al remplazar sc t icne

A =W (Alr, i ' / , , , k)

A -w (A l r : , f i , u\ I l

s i n t _ k ,P

El desarro l lo anter ior demuestra que las f ( r rmulas en las que interv ienen los va-lores (F/A, i ' /n, n) y (PlA, i ' /", rr) son válidas para r¡ cntero o no.

Si fr no es entero, por lo general se trata de una fracción cuyo denominador es 12ó 52 , deb ido a que l os pe r i odos se m iden en meses o semanas . Los va lo res de

\FlA, i%, k) para las tasas más frecuentes, se encuentran en la tabla VIII para valoresde p desde 2 hasta 12. En tablas más completas se encuentran los valores hasta p : 52.La fracción f, se acostumbra a reducirse a la forma j . nsi, parap : 12y nr : 4, f sería

$ o s imp lemen te , { .En la tabla X se encuentran los valores ae ( , l ln , i%, k) , sumando la l va lor de

(4F, i%, kl.I

f f i fü Remplazar una anualidad de 918.000 cada f inal de año por una anualidad deigual p lazo con pagos mensuales, s i la tasa es j , . , . , : 6%.

MATEMATICAS F INANCIERAS

nl t '5e5

l 8 r ) ( ) ( )

r \ - l ! (A f F , i ' t i , k )

lV - 18 . (X) t ) ; | - l ; tn - l l ; t -

¡1 - l8 ( ) (x ) ( ,y t , 0 ,5 , ; . l r )

Solr¡cir irr corr c.t lct¡ l . tclor.r :

N ' led i ¡n te l . r o [ ¡s t ' r r ' . l c i t i r t r l t ' l c l i . rg r r rn . r r l c f lu jo t l t , c , r ja : ie p l ¡ l i t ( , . r l¿ ccu¡c i t in r le t , t l r r i va lc ¡c i . r

. ( t + ( l ( ) ( ) 5 ) - . I

t . t ) ( ) { ) . \ ( l ( 1 0 ;

l " p ¿ s ( ) ( 1 , ( X ) 5 ) r ' r - l , ( ) 6 I 6 7 7 t t

2" p ¡so l , ( \61677E I - ( ) , ( )6 167783" pas. (),()6 1677u :- (),(X)5 - l2,JJ5IÍ¡ ( t ,rr tra a nre'r.r i¡)-1" p.rso l l l . (XX) - 12,33556 - $1 .159,2()

Obsórvese qut ' el i .rctor (,Vt. ¡ ' ; , Á ) ¡. .r¡,¡ l . e¡telr distr ibuve ,n [r¡¡ j() cr l v¿ros, es decrr, setr¿t. l t le utr f . lctor de distr ibuclolr. Mit ' tr l r .rs Llr. l r , p.rr( l I fr . lccior-r¡r i t , , 'a,r, . ,r , , ()cL¡rre err r l siguicrr-te cjcnrplo, cl f¡ctor la t . , ' f , . Á) .r¡;ru¡r.r v. lr i . ,s p.rggs cl1 un() s¡[r, es cleci¡, elr t¡¡ f¿ct¡r dcagrup. tn r ren to .

ÍEEEIEEA Con l . ' r t . .rs¡ dcl l l7, corrvert iblc semestr.r lnrente, susti t tr i r p.rgos de $1.{xx) alf inal de cacla mes, por p.r l los semestrales vencidos

T - t : . | - 6, i , t - ! - - o,- , . , .1[ , i l t

I f t .0 (X) ( ( ) , ( )8 l ( )661 j ) - $ I +5e,1( ) h b l ¿ \ ' l l

1 1 12 meses

w2 semestres

K = u L ; A =P

rN(,yF,


i%, trL\p )

W = 1 . 0 0 0 ; p = ^ t n 1t ¿ ; t n = ¿ ; - = - ;

p 6/ , \

1 0 0 0 ( 4 F , 4 % , , ¿ )

j =U"/,, ; i = 4'/n

uti l izando la tabla X

A = 1.000 (6,0992374) - $6.099,24

Solución con calculadora y fluios de caja:

Se plantea la ecuaciítn de equivalencia:

( t + i ) ' ' | ( r r i ' ) ' ry v . - = ^ . - - ,

W : 1.000; p : 12; jt, : 8; nt : 2; i' : 0,04

Cálculo de i :

1"' paso 1,0422Q paso 1,0816 - 13"' paso 0,0tt16 + 0,044a paso 1,00655t12r,

5s paso 1,0ti16 - 1

(1 + i ¡ ' : 1 ,1¡4

1 + i = 1,04* = lp4o'166667

1 + i : 1 , 0 0 6 5 5 8 2

¡ - 0,0065582

1.oooo. 1,00655g2rr - I _ A. 1,04¿ - 70,00655112 0,04

: 1,0816= 0,0816: 2,04 (entra a memoria): 1,0816: 0,0816

6a paso 0,0816 + 0,0065582 = 12,M24385 t

7a paso 12,44243847 + 2,04 = 6,099238s paso $1.000(6,09923) = $6.099,23

En el problema 1 se da otra solución utilizando calculadora y aplicando la fórmula 42b

9.4


VATOR FUTURO Y VATOR PRESENTE DE tAS ANUATIDADESGENERALES CIERTAS ORDINARIAS

El lector habrá advertido que al convertir una anualidad general en otra simple equi-valente, todo lo estudiado sobre las anualidades simples se aplicará -sin restricciones-a la anualidad general equivalente. Por tanto, los problemas de cálculo del valor futuroy de cálculo del valor presente se pueden solucionar sin necesidad de recurrir a fórmu-las distintas de las ya tratadas en capítulos anteriores.

[ftf i f i lE[g Hallar el vakrr futuro y el valor presente tle una anualidad de g10.000 poraño vencido durante 5 .rños, a una tasa del 8')1,, convertible trimestralmente.

I 'r imero, se convierte la anualidad ger-reral de un pago por año, en otra simple pagadera tn-mestra lmente.

A : F \Af F, ¡'/,,, il) Obsérvese que al aplicar la fórmula 42c:

A : w(AlF, i%, k);

para es te caso W : F , m : 4 , P : 1 , j : 8 % , k

- 8 - '>,u..

_ 41

t

F = 10.000; rn 2%= 4 ; j = 8 % ; i = L =

A

A

= 10 000 (AIF, 2%,

10.000. 0'921 n ? ' - I

10.000 (0,2426237 ) = $2.426,25

ii4)


En el capítulo 6. la fórmula 27b se utllizó para el valor futuro, F : A(fle, i%, n);valor presente, la fórmula 28b, P : A\flA, i%, n).

Af sustituirA y los valores n : 5, m : 4, nm : 20, se tiene:

0.02

9 . 5

F = 2.426,236 (r¡a,zn,zo) = 2.426,236. (r + q,q4"' - I

F : 2.426,246 (24,2973698) : $s8.951,20

Para el valor presente:

P = 2.426,236(n¡a, zn, 20) = 2.426,236.

P : 2.426,236 (16,35143334) - $39.672,46

r - ( r + 0 , 0 2 ) ' "

Se han calculado el valor futuro y el valor presente como dos problemas independientes. Pero,conocido el valor futuro, el valor presente puede calcularse mult ipl icando por (P/F,2, '1,,20):

P = 5tt.951,20 (1 + 0,02) ztt - 5t1.957,20 (0,67297133)

P : $39.672,46

CÁLcUto DE tA RENTA DE UNA ANuAIIDAD GENERAT cIERTAORDINARIA

Tabla l l

Se aplica el mismo método de convertir la anualidad a que dé origen la forma de pagoy la tasa, en otra equivalente.

[ftff i IEEE Un inversionista compra una propieclad en 9650.000 a 15 ¿ños cle plazo, conun pago inicial de 9150.000 y el saldo en cuotas trimestrales al 4,/,, de interés efecti,,,o anu.rlHallar los pagos realizados al f inal de cada trimestre.

s00 000

Apar t i r de la fó rmu la 42c ,A : W\4 f , i% , k ) y de la fó rmu la t8 l , , p = . \ ( p lA , t . , , n ) , segúne ldiagrama propuesto se tiene:

y para el

V" q ,

P : A(PIA, i%,n)(,alr, i ,r , r)


P = 650.000- 150.000: 500.000; i=4%;n=75;m=t ;p=4;k= t r=+

soo ooo = A(PIA, 4%, É)(AF , n%, +)

soo.ooo : o. t- 9lo,n)'' . o,^o*o,o4 1r,o+.¡,'" _ r

500.000 : A (1 1,1 1838743) (4,0s9s0976)

500.000 = A (45,13520029)

A : 500.000 : (45,13520029)

A : $77.077,83

Otra forma de solución para este problema:

P : 650.000 - 150.000 : 500.000;

n : 15(4) : 60, i' : 4ol, efectivo anual, p : 4

P - 650 .000 - 150 .000 - 500 .000 ; n - 60 , i ' - 0 ,04 ,p : !

500.000 : A(P/4, {1,,, 60)

A - soo.ooo . (¡lp, i%,60)=5oo.ooo' 7 - ( 1 + i )

Primero se calcula la tasa equivalente trimestral al 4% efectivo:

r , 0 4 - ( 1 + t ) '

1 + i : ( 1 , 0 4 ) i ) . , 5

I : 1,0098534 - 1 : 0,0098534

[-uego, se' remplaza y calcula A:

Tablas VI y X

A : 500.000't--q-!!@,-- = 500.000 (aln,o,oasz+r"'eo)I ( 1,00e8s34) "

(r,oooas:+) "' = 0,ss526472 t\

A: 5oo.ooo. . 0:09?9134| 0,55526472

A:5ooooo.ff i#

A : $77.077,83

9.6


PROBTEMAS RESUETTOS

1. Resolver el problema del ejemplo 9.2, con calculadora y la fórmura 42b./ n \

A: w l4F , i%, t ,, l )

W:1 .000 ; p :72 ; m = Z ;T = * , j = B%; i = 4%

A : 1.000. O'9Í(1,04)- _ 1

(1,04r :7,0065582

7,0065582- 1 : 0,0065582 (entra a memoria)1,000 (0,04) + MR : 6.099,23

A :96.099,23

2. Resolver el problema del ejemplo 9.4, con calculadora con función Xt . AldespejarA, se tiene:

(t,oEY - t0,04

A : 500.000.

(7'041s :0,5552645

7 - 0,5552645 : 0,4447355 (entra a memoria)(7'04)t/1 : 1'0098534

7,0098534- 1 : 0,0098534

0,0098534 + MR : 0,0221556, *

A : 500.000 (0,02215564)

A : $1.7.077,82

Sustituir Por Pagos trimestrales, a un interé s del 1.2% convertible trimestralmente,una renta de $10.000 por semestre vencido.

A : 500.000. 0,041- (1,04r"

(1,04Y - 11- (1,04r' '


trimestres

semestres

10.000(a2c) A : W(4F, i%,k )

W: 10.000; ,=#n =3%; p=2;m=4;k=f f= t= ,

A : 10.000 (4F,3%,2): 10.ooo (0,4e267084) rábla \A : $4.926,t1

solución mecriante planteamiento de ecuaciones de equivalencia y con calculador:L _ ^ ( 1 , 0 3 ) , _ 1' - /1'--o¡3-

r = 1o.ooo ( l + r) ' - t .'vv ---Jr-;

( 1 + i ) : ( 1 , 0 : ¡ z : 7 , 0 6 0 9

i, = 0,0609

Á._ ( l , o3 ) ' - I ( 1 ,o6oe) ._ r^'--T;6t- = 10.000

A (4,1836267) = 10.000(2,060s)

A = $4.926,t7

í-"r,!? ,uri efectiva semestral equivaler.:.¡7o tnmestral

\


4. Sustituir con un solo pago por año vencido, al interés efectivo del8%, , una rent.r de$1.000 mensuales, por mes vencido.

r.u(,u l.(xx)

A : w\AIF, i%, k)

W : 1.000; i = 8'/,,;tn = 7; lt = 12; k

A - 1.00t) (nf . t ,1,. J\^ " " ' ' \ " t ' ' " ' " ' 1 2 )A : i .000 (12,43388648)

A -- 912.433,89

1.(XX)

- n t - 7- p - 1 2

hbla X

Otra forma: El pago único anual es e l va lor iu turo de 12 pagos dr . - $1.000 por mesve'ncido.

11+ 1 ' l ' ' - 1p : 1 .000

Cálculo de i ' , (1 + i ' ) r2 : 1 , ¡3

7 + i , : ( r , o a ¡ i !

7 + i ' : 7 , 0 0 6 4 3 4

i' : 0,006434

r : rooo.=P,gq=,0,006434

F :972.433,94

i ' es la tasa mensual eouivalcntea l 8% e fec t i vo anua l

5. Sustituir pagos de $1.000 por trimestre vencido, por pagos mensuales, con la tasaefect iva del6% anual .

N¡ATEMATICAS FINANCIERAS

1.000 1.000

Por ecuaciones de equivalencia:

Para

A : w (4F, i%, k) (aéase 42c)

W: 1 .000, i = 6%, m= 7 , p = 4 ,k = +F : 1.ooo (ur,en,tr)

W: A , i =6%; m=7 , p= tZ , k=# ,

F : A(AIF,u%,+)

Para

( t + r " ) ' - t-----------:ii--

I

trimestres

asruDa en un Daso f

agruPa en un PaSo ¡

Tablas X y VIII

a(Ur, 6%,#) : l ooo (Ur, on,\)

de donde ¿ : 1.ooo (ntr,un,i)Fto,u%,#)

A : 1.000(4,08890752)(0108112584)

A: $331,T2

Otra solución calculando primero las tasas equivalentes:

p : 1.ooo (r¡a, r, ,) : A(r¡a, i", ry)

1,ooo.o+r- f - t -o

I

UALIDADES CIERTAS. CASO GENERAL

Cálculo de i ': (1 + t)r = 1,06

7+i ' : 1,06+ =7,0146238

i' = 0,0746738

Cálculo de i" : ( t + i , , ) ' ' : 1,06

7 + i" : (r ,oo¡n = 7,0048676

i" : 0,0048676

r A^^ (1 ,0146739t - It .uuu. ---g¡14¡7¡,g- - A.(1,004s67861' - r---TffimAW-

l . ooo . ^ -0 ,06 A . 0 ,06o,of,i673E : ^' 0n0486736

A : t nnn .0 ,00486760.0146738

A -- 5337,72 mensuales

6. Un club de ventas ofrece un artículo, para pagarlo en 20 cuotas quincenales de$300 cada una, por quincenas vencidas. Si la tasa efectiva es deI2% mensual, hallarel valor de contado.

300 300

W : pago quincenal; A :

D -

lA / -

D _

D _

30t) 300 300

pago mensual; I : W (4f, i%, k)

w (4r, i%, k)(PIA, i%, t)

300 , i = 2%;m=t ;p=2 ; l<=$ ; , r=4 = 10 meses

3oo (.4/F, z%, +)(pl A, z%, 10)

(2,0099 s0 49) (8,9825850 1 )

95.476,37

clu lncenas

Tablas X y VI


Otra forma de calcular:

Primero se determina la tasa efectiva i equivalent e al Z% mensual en 2 perioclosquincenales.

7 + 0,02

(t,oz¡i : 1,ooee5o5

0,0099505 : 0,99505% quincenal

A(PlA, ¡%, n)

300; rr : 20; i :0,0099505

1 ^ ^ l - ( 1 , 0 0 9 9 5 0 5 ) ' '' t " ' ' - loo995of

P : ? o n 0 , 1 7 9 6 5 1 90,00ee505

P: 300 (18,05455)

P : fi5.416,37

7 ' Un equipo de soldadura cuyo valor de contailo es de 9730.000 se vencle con g100.00itde cuota inicial y 18 cuotas mensuales, a un tasa efectiva del B%,. Hallar el valor delas cuotas mensuales.

730.000

1 1 + i t : :

D -

D -

mese:

100 .000AAAAA

Primero se calcula la tasa efectiva mensual cotrespon<liente al g% efecti ' t, ::

\\ + i)) -- 1ñB

/ E 0,00á¿z+

P : A\PIA, i%, n)

A : P \A lP , i% , n )

P : 730.000 - 100.000 : 630.000;

A : 630.000. 0,0064341 - ( 1 + 0 , 0 0 6 4 3 4 )

A - 630ooo &ffi630.000(0,05907297)

937.178,20

El Banco Ganadcro, como incentivo para el desarrollo de la industria lecher¿r, h¿rct'un ¡rróst;rmo para ser p¿rgado en las siguientes condiciones: $800.000 semcstralesdurante 4 años, debiendo pagar la pr imera cuota dentro de 3 a i ros. Hal lar e l va lordel préstamo, si la t¿rsa es de| 8% con capitalización trimestral.


n : 1 8 ; i : 0 , 0 0 6 4 3 4

/1 -

A -

0 1 2

t---+--F-stm tst rt 's

n(x).(xx) t i(x).(xx) ¡t(I).()()() f{)()()(x) ¡{)().()()()

I'or su importancia teírric.r y aplicaciones, se presentan difcrentes fonn;rs de solucitin:

Primr:ro se convierte el pago semestral en trimestral lryt, i ' '1,, k);lur-:go, sc c¿ilcul¿F, (FtA, iol,, rt\:

f i : w (AF, i%, k) (F iA, i%, n)

W = 80 ( ) { ) ( } 0 ; ¡ = 18 - m= 4 , i = t= r ' , , , , =

r- : f too.ooo (AIF,2%,z)(FlA, 2%, 18)

V o calcul¿rdora financrera:

= ( (),4q50-le 50 ) (21,41231238)

: 58.480.124

vL

[:

n(x).(xx) ti(x).(xx)

Mediante tablas VI I


o calculando:

F : 8oo.ooo**ffi _ 1 . (r*o'q4" - t

Luego se calcula P : F (PIF, i%, n) Fórmula 23

F : 8.480.124; i : 2%; n : ZStrimestres

P : 8.480.724 (PIF, 2%, 28)

P : 8.480.724 (0,57437455)

P :54.870.767

Otra forma de resolver este problema: se convierte a pagos trimestrales y se calculael valor presente P como diferencia entre dos anualidades vencidas, una de 28 pe-riodos trimestrales y otra de 10 periodos trimestrales:

: 8oo.ooo. (1'02[ - 1 -(1,021 _ 1

: $8.480.124

p : w (AIF, i%, *)l(n¡n, i%, n,) - @1,q, i%, n.)fW = 800.000; nr: 28; nr: 70; m : 4; i : 2%; p : 2;k : 2p : 800.000 (AIF,2%, z)[(r¡a, i%,28) - (pla, 2%, 10)]

p : 800.000 (0,4e504es0)[(zt,zatzzzs6) - (8,e1zs8s01)]

p : s00.000 ., 0,9? ( t-(t- ] ,oz)" - 1-(1:0=2)"' l0,tú-1 [-----oF2-

- ---aI'- )

P :54.870.767

Con tablas:

o calculando

Otra forma: primero se calcula la tasa efectiva semestral equivalente al8% concapi-talización trimestral.

1 + i : ( 7 , 0 2 ) , : 1 , 0 4 0 4

i :0 ,0404

Luego, se calcula el valor futuro F de la anualidad vencida:

= A\FIA, i%, n) = ¡F

A = 2 0 . 0 0 0 ; n : g ; i : 0 , 0 4 0 4


F = 8oo ooo. (1,00134aJa- 1

F = 8oo.ooo .o'tffi942

F : 8.480.724

Luego, se calcula P en función de F para n = 74, i :0,0404

P: F(1 + i ) -

P = 8.480.124 (1 + 0,0404)14

P : 8.480.724 (0,57 437 455)

P :54.870.767

9. Hallar el valor futuro y el valor presente de 28 cuotas de $5.000 que se recibiráncada final de mes, a la tasa efectiva del 6% anual.

D 5.000 5.000

Primero se calcula la tasa efectiva mensual:

5.000

(1 + i ) r ' z : 1 ,06

1+ i : ( 1 ,06 )+

i : 0,0048676

F : A(r¡a, i%, n)

P : A(r1A, i%, n)

¿ : 95.000; i : 0,0048676;n : 2 8

F = 5000.CI,rffii?[u-,


E _

E _

D -

p -

s.ooo.ffi$1.49.s99,90

. ^.,., 1 - (t + o,oo+a 676)'r.uuu. ---trñga6-

sooo.W$130.s8¿10

9.7 PROBLEMAS PROPUESTOS

10. Hallar la renta Por mes vencido, equivalente a $2.000 trimestral por trimestre venci-do, a la tasa del 12% con capitalización mensual.

11. Sustituir una renta de $4.000 por semestre vencido, por pagos mensuales vencidosa la tasa del 16% capitalizable mensualmente.

12' Remplazar pagos de $2.000 por trimestre vencido, por pagos anuales: (n) si la tasaefectiva de interés es de\8%; (b) si la tasa de interés eé aefg% capitalizable trimestral-mente.

13. Remplazar una anualidad vencida de $20.000, por pagos mensuales vencidos a latasa del 10%, convertible semestralmente.

Mediante logaritmos, remplazar pagos anuales vencidos, por pagos mensuales ven-cidos, a la tasa efectiva del70,4%.

Hallar el valor futuro v el valor presente de una anualidad de $5.000 por semestrevencido durante 10 años, a Ia tasa del72% convertible trimestralmente.

Hallar el valor futuro y el valor presente de una renta de $6.000 por trimestre ven-cido durante 10 años, a la tasa efectiva delS%.

Hallar el valor futuro y el valor presente de una anualidad vencida de $20.000 anualesdurante 7 años, a la tasa del 6% convertible mensualmente.

Alguien compra una propiedad, pagando $100.000 al contado y el resto en cuotassemestrales de $10.000 durante 12 años. Hallar el precio de contado, si la operaciónse hizo a la tasa del72% convertible trimestralménte.

una deuda de 950.000 debe cancelarse en 6 años mediante pagos por trimestresvencidos a la tasa del 5% convertible semestralmente. Hallar ét

"aloi de los pagos.

14.

15 .

t6.

17.

18.

19.

23.

24.

ANUALIDADES CIERTAS, CASO GENERAL

20. Una persona deposita $500 cada f in de mes en una cuenta que abona el . r iconvert ible semestralmente. Calcular el valor futuro de los depósitos, al cab.rde 10 años .

21. Una máquina puede comprarse, pagando $20.000 al ret i rar la y S20.00t1 cadatr imestre durante 3%. años. Hal lar el valor presente de la máquina a la tasaefect iva del 6%.

22. Una compañía debe cancelar 95.000.000 al cabo de 10 años. La gerencia decide depo-sitar cada fin de semestre una suma tal que, a la tasa efectiva de intereses del 8-.,pueda cancelar la deuda al f inal de los 10 años. Hallar el monto de los depósitossemestra les.

Hallar el valor presente de un conjunto de pagos de $5.000 semestrales, que deben

Pagarse durante 6 años consecutivos, si el primer pago debe efectuarse dentro de 3años y la tasa efect iva es del 8%.

Hallar el valor presente de una deuda que debe cancelarse con 30 pagos mensua-les de $1.000 cada uno, si el primer pago debe efectuarse dentro de 2 años y Ia tasaconvenida es del 12% , con capitalización semestral.

CALCULO DEt TIEMPO O PTAZO DE UNA ANUALIDADOGENERAT

Se convierte la anualidad general en otra anualidad simple equivalente y se trabajacon esta últ ima, siguiendo los métodos explicados en el capítulo 6 (sección 6.6).

[ f t f i I lE[ f , l Un empleado deposi ta cada f in de mes $2.000 en una cuenta de aho-rros que abona e l t l% ct ¡n capi ta l izac i t in semestra l . ¿Cuántos depósi tos debe hacer par . rreun i r $50 .000?

2.000 2.000

9.8

W : pagosmensuales; A : pa[Jos semestrales, m = 2; p = 12, i = t]%

A: w\AIF, i%, k)

t = g= 4 ,k ;k=3==+;w=2.oon' 2 1 2 6 " '

A = z.om( Ar . sy", I l\ ' 6 t

A = 2.0m 6,0992374)A - 12.19t1,475

50.000 = 12.1s8,47s (rl,t, +,r., n)

\FIA,4%, n) = 50.0(D: r2.1e8,47s=4,oeBB7

rr - 4 semestres

I)ara calcular el últ imo pago, se t iene:


f -

r -I =

exceso p.rgaclo -

ú l t imo pago

L

Tabla X

(lbr exceso Tabla \

199.615

l {espuesta : 23 pagos de $2 . (XX) y un ú l t imo pago dr $ l t )9 ,60 a l l ina l dc l mes 24 .

( ) t ro mét t tdo c lc c i l cu lo :I ' r imero se de termina la t¿s¿ mtnsua l ec lu iva len t t ¿ l 8 ' )4 , con cap i ta l i zac i t in scmest ra l :

/ l * , { ' - r t u\ ' /I

r + i - (1,04)" - 1 , ( ) ( )65sfr2

i = 0.(X)655tt2

L u e g o :

a(rl,t, rt,,, n)

$50.(xx);,4 - $2.(XX); i = 0,(X)655t12

!9tss82Il(),(x)655r.r2

12.7st1,47s (r ¡ n, +"t,, +)

12.198,475 (+,2+r.+U)5l tt(x),3ti5

5l.t ' t(X),3t15 ' 50.(XX) = 1.tittO.3u5

2 (XX),(XX)

l.lJu0,3¡t5

F - 2 . ( X X ) . {


(r,ooossaz)"

(r,ooessaz)"n log (1,0065582)

n (00028388e)

s0.000 (0006ss82) + 12.000

7,163955

log (t,te:oss)

0,06593679

(o,oosvsote) * (Ooozaaaar)23,22 meses

La respuesta práctica es 24 meses con un último depósito menor que $2.000 o 23 depósitos conun último depósito mayor que $2.000.

Si se opta por 24 meses, para el cálculo del últ imo pa¡;o se tiene:

F

Últ i-u depósito

Menos excescl

Diferencia

z.oN (FlA , o,6ss82%,24)

2.0N \2s,90019296)$51.800,40

$2.000,00

1.¡rü),40

199,60

E -

E -

9.9

Respuesta: 23 depósitos de $2.000 y un depósito de $199,60 en el mes 24. Al operar con tablas,una forma práctica para calcular el número de periodos es operar con una tasa aproximadaque se hal le en éstas, asi 4%: 6 : 0,666666%, aproximado 0,5"1 .

5o.ooo : 2.000 (FIA,0,s%, n)

(r¡a, o,sr,,, r) : s.ooo + 2.ooo : 25

Se busca en la tabla V columna del %%, el valor más próximo a 25 y se halia el valor 25,43195524que corresponda a 24 periodos. Luego, se procede a calcular F : 2.000 (FlA, 0,655582%, 24) yse obtiene un depósito de $199,40 para el mes 24. Al trabajar con calcudora f inanciera se ut i l izael primer método.

cÁLcULO DE LA TASA DE INTERÉs DE UNA ANUALIDAD GENERAT

Para el cálculo de la tasa se procede tratando la anualidad general como si fuese unaanualidad simple y se determina su tasa, en la forma estudiada en el capítulo 6; luesc..se responde a la pregunta del problema, uti l izando las ecuaciones de tasas equir-aler.-tes. estudiadas en la sección 4.4.


[ftffilEffil Un equipo de sonido se vende en $430.000 al contado. A plazos, se oÉrec¿ eo18 cuotas mensuales de $30.000 du. Hallar la tasa efectiva cargada.

Si se considera el primer pago como cuota inicial, se tiene una anualidad vencida de Sl.mensuales pagadera durante 17 meses.

P : A(rla, i%, n)aP = 430.000-30.000 : 400.000;,4 = 30.000; n : 17

400.000 : 30.000 (n¡a, in, v)

Para resolver con tablas:

(n¡n, ir",17) : 40ao(p = 8,33333

Para resolver utilizando calculadora con función Xv, uéase el problema 35 del capítulo 6

(n¡a, in, v) : 8,3i333 =

Al calcular I por interpolación, se tiene (Tabla VI):

\P IA ,3%,17) :3 ,16612

(PIA, z,s%,17) : B,772zo

a 0,03 corresponde 13,76672 a i corresponde 13,33333a 0,025 corresponde 73,77220a 0,025 corresponde 73,71220

0,005 esa -0,54608 como i-0,025 es a -0,37887

0,005 _ i -0,0250,54608

- 4,37887

.. ^ .tr 0,005 (-{,37gg7)t-u,u¿D = ---:0-84ó08- = u,uuJ4/

i = 0,0?A47 (efectiva mensual)

Para la tasa efectiva anual, se cuenta con la fórmula 20:

t - ( t + ¡ ) ' 'I

/ \ r rt l l

t = 1 1 + - r l - 1\ m )

-l; = o,ozs+z; m=rz

¡ = (r +0,028+z)" -7=(r,ozl47)1'z- 1

ANUALIDADES CIERTAS. CASO GENEFAL

Mec i ian te l ¡ funcro l r r / 'p ¡ rc l ha l la r e l r . ¡ l t l r de (1 ,02 t { .17) r i , f ina ln ren te se t iene :

i = (),- l(X)553

'Lrs.t efect ir , .r ¡ l lu.t l t lel +().()6, i

9. IO PROBLEMAS PROPUESTOS

25. El va lor actual dc t t t r . r . tnual ic ' l . rd de $500 p() r n les vencic lo cs c le Sl5. ( ) ( )0. F{¿l l¿r c lnúntero clc ¡ragos, si la t¿s,-r efcctiv¿r cs cicl g1,i .

26. Urr baltct'r ¿lbolt.t cl 8' l l con c.i¡rit.r l izaciolr st 'nrt 'str.rl. ¿Ctr¿irrt1ls cle¡rqi5,¡¡...,, cie $1()().cad¿r f i r r¿ l t ie l t rcs, pe n l l i t i r : l l t rcuni r $5.0001

27. Un.r nr . r r lu in. r r i . r . igr íco la Cuvo 1 ' . ' ¡ l ¡ ¡ ¡ dc co. t . rc lo es dc $ l ( )0. t ) [ ) (J se r . t ,nde con.11p;rgo inicial dc $'l(1.()00 y el saldo elt cttot.rs nrensu.iles dc $1().lXX), coll un cdrg,() poriutereses ciel S9l efectivo.rnu.r1. Hall¿rr el rrurnero cle ¡rag¡.¡5 ncccs.tri()s 1r.,..,..,,..,..,_l.r r l.i nr.rciu inari.t.

28' Un nttltor se velrdt't le cont¿rdo err $650.0()0. FI¿ll.rr cl nirnrercr Lle cuotcls mcnsua-les ueces.rri. ' ts de $18.000 p.rr.t cirrrcelarlo, si la ctrot¿ inici¿rl cs cie $50.000 y st'c.rrrael 16'/,, c1e intert-ses, corr capitaliz¿rción sr.mestr.t l.

29. Un pr( 's tamo dc $35.000 se ¡ ragará en 3. rños, cor l cu() tc ls rncnsu¿r les de $1.200 caclaun.r. Hallar la t.rs¿r eiectiv¿r de interés cargad;r.

30. Un¿r herramienta rluc vale dc cont¿rdo $11.5i)0, se vcnde a plazos con un.¡ cuot¿rin ic ia l de $1.500 y 12 pagos rnensuales de $1.( ) t )0. Hal l . r r la t . r .sa efe 'c t iva de in tcréscargada.

3 1 .

32.

Un banco hace un préstamo cte $175.000 que clebe ser cancelado en 40 cuotas rne n-suales de $5.000 cada una. Hallar la tasa efectiva cle interés cargada.

Hallar la tasa nominal con capitalización trirnestral clue permita reunit en 5 añ9s,un monto de $66.000 en una cuenta de ahorros, depositando $900 cada final dcmes.

AN UAIIDADES GEN ERAIES ANTICIPADAS

Son aquel lasque, por ser generales, t ienen un per iodo de capi ta l izac ión d i ierent .del per iodo de pago y que, por ser ant ic ipadas, los pagos se hacen a pr inc ipr . , ; .cada periodo.

: l l

i l/4ATET,4ATICAS FINANCIERAS

Los valores de las anualidades anticipadas se calculan con el mismo método detrabajo explicado en los párrafos anteriores, es decit transformándolas en una anuali-dad simple equivalente. Para mostrar la importancia y alcances de este método, sededucirá una fórmula general para el cálculo del monto, la cual puede ser de uti l idaden los programas computacionales.

0 t2 P 1 ttll-# P Paflos Por añtr

w@

La anual idad general ant ic ipada se convier te en una equivalente s imple vencida.El proble'ma de la ecluivalencia se simplif ica si se suprime el primer pago W y sc

agrega un p¿rgo W, al f inal; ¿rsí, se tienc. una anualidad general vencid¿r y, de ucuerdocon lo demostrado en las secciones 9.3 y 9.4, se t iene:

i : tasa efectiva por pc'riodo de la anualidad simple vencida

A : w (a¡r, i"t", 7)

Al quitar el primer pago W y agregar un último pa¿;o W al f inal, se tie.ne un:anualidad vencida cuyo valor futuro F, es -teniendo en cucnta que ,r/) : l lr, núme :--de per iodos en r r ¿ños:

F , : w \ A l

F , i % , ' í ) ( r t , q , i % , m n )

Al valor F, se le debe quitar el últ imo pago W y agregar el primer pago acumu,--do en los nrl periodos de capitalización a la tasa i,para obtener el valor F de la anur-:dad general anticipada.

\ ¡ , r / " . \ t l l , l

m r r ) + W ( 1 + i l - W

mtr) + ( t+i) ' " ' - t ]

0 1 2

#A A

como

entonces,

m---l-A

, t t t , t t capi ta l i¿aciont ' :| | t r l

p( ) r an ( ), ^ A

F : w ln¡r, i%, ;) (rl a, in,

7)(r la, in,: wf('+tr' m'

= lFlA, i%, mn)

F

( l + i ) , , , -1 : i ( r ¡a , in , nn)

r r : w [ (a t r , i , i t

ANUAL IDADES C IERTAS. CASO GENERAL

+ i (t I A, i7,,, trtn)i) F l a, i"/,,, trtttluegcl,

luego,

Al rempl:rzar

En otra forma:

( t + i ¡ i r - ,l : ' _

i

¡ : : LV (, t¡ t , i , l , i )Ato, i , ) í , , t t t t t ) f t . ¡r ;an]

t t

\ - i ( t ¡ , 1 . i , ; ,

\A I " i ' , / , ,

" " )

\

( n , . ' , ' r , ' , ' ¡ - ( l + i )

,,.\ -t ' J -

t : w ( i \ l L , i ' ) ( , ,l ( t l , q , i { / o , t , r r ) ( r+ r ) l

I

t tl l ' '

r ' _

E -

(43n)

( l . l¿ ' )L - -

Para el cálculo del valor presente, se tiene:

P : F ( I * i ) ' ' ,

:\rmo: (r¡a, i, mm) = (t + ¡)""'- tI

i l multiplicar por (1 + i)",,


se tiene: (f¡A, i,

(FlA' i'

luego,

En otr¿r forma:

En t ' fccto,

v ( t ' lA

w (AlL, i,,1,

(Alr,, ¡,i1,,

' t ( '

, r r r ) (1+i)" : f r l l l¿-

rnrr)(1 + i)" : Pla, i%, mn)

I ) -

f l -t -

¡ r - W .t - ( t + l ) "

( t + , ) ; r - t

Scgún la relaciírn clue i:xista cntre lcts valores m y p,rnodific¿rciorles que h¡ccrr rn¿is fírcil su .r¡rl ic.tcion.

tlffi:lEffi| Moclific¡r l.r ftlrnrul.r.1.3a p¡¡¡ cl c.rso rr

I - r \ ( r \ l l . i " / , , k ) ( l l A , i ( / o , n t t t ) ( [ ' fP , i ' / o , k )

s i l r = P , cn tonces k - I

w (¿lr, i%, k)(PlA, i%, mn)(r¡n, ir",

w. ; - -5 . l - ( t , . ' ) ( r+ i ; ,( t + i ¡ ; - 1 I

. ( 1 + i ; ; r

k ) (aa)

(111'¡

¡rrestan al¿rs f(rrnrul¿rs 4.7 y 41 se

i , ,4,, ntt)(t + t) -

i ' f t , nur ) ( l + i ) -

w (A r,, ¡,it , t)i ¡

( ' - l i ' ; = '

I t + ¡ ) |, . _ ( l * , )

( r + i ) " " ' '

t i

r \ -

( r lo ,

\F lA , i 'X ' , n , r ) ( l + i ) _ ( r * ¡ ) " " " ' - II

osea, (FIA, i 'x , l l r ) (1 + ¡ ) = ( r , A, i , '1 , , t tn t + t ) - r

r : AI (FIA, i ' f , , t tu t + r ) - r ] fornra equivalente a la f í r rmul¿.12, estudiad..r en el capítulo 7

lucgo,


9.12 PROBIEI,IASRESUELTOS

33. Calcular el valor futuro al final de 5 años de una renta de $500 pagaderos a princi-pio de cada mes, a una tasa deI 6% convertible semestralmente.

Nota: En este nivel de análisis, el estudiante tendrá claro que existen diversas ma-neras de plantear un problema de matemáticas financieras; por esto se ha conside-rado úti l resolver éste de diferentes formas, a modo de revisión de los aspectosteóricos estudiados. También se espera que el interesado pueda crear diferentessoluciones para determinado problema financiero.

Primera solución:

Mediante la fórmula 43a que se puede desarrollar con calculadora financiera o contablas:

F = w (4F, i%, k)(Fl A, i%, mn)(FlP, i%\ k)

W = 500 ; m=Z ;p=72 ; i =$%=3%; , , = t ,U=h ,=¿

F = 5oo (4F, 3%, +) (r¡ a, 3%, 10)(r¡n, zn, [)F = 500 (6,07456894) (77,46387937) ('1,00493860)

F = $34.991

Segunda solución:

Se calcula la tasa efectiva mensual equivalente al 3% semestral:

( t+ i f=1 ,s3

¡ = ( t , 0 3 ) - 1 = 0 , 0 0 4 9 3 8 6

i =0,49386% efectivo mensual

Luego, se calcula F para la anualidad anticipada de $500 mensuales para:

n = 72(5) = 60 periodos mensuales

F = 5oo l(rle, o,+szt6%, 61) - Ll

500


F : 500 (70,98799253 -7)

F : $34.997

Utilizando calculadora financiera, con operador anticipadas

r : soo (r¡a, o,+szs6, 60%)p = 934.997

Tercera solución:

Mediante calculadora con función Y':

F : 5oo l(r¡a, o,+oza6%, 61) - 1]

F : 5 0 0 [( r+o ,oo¿q:se) " - t

0,0049386- ' ]

1,00493866' - 7 : 0,35055767

0,35055167 : 0,0049386 -7 : 69,98799287

F : 500 (69,98199287)

F :934.997

Cuarta solución

Al repetir el análisis que condujo a la deducción de la fórmula 43n, se convierte '¡

anualidad general anticipada mensual en una anualidad simple semestral vencid¿"quitando el primer pago de $5OO y agregando otro al final del sexto mes.


A, = W(NF,i /o,k)

A este valorAr se le suprime el último pago agregado y se Ie suma el valor futuro, alfinal del semestre 1, del primer pago que se suprimió; así, se tiene:

w(¿/ r , i%,k )+ w( r + i ) ' - w

500; i=3% semest ra ! , m=7; p=6;k = ¿

soo (4F ,3%,+)+ 5oo (1 + 3%) - soo

soo (4F, 3%, +) +5oo (0,03)

s00 (6,074s6979)+ 7s3.052,28

Luego, se calcula la anualidad vencida de53.052,28 semestrales durante 10 perio-dos semestrales

A(FlA,3%,10)

3.0s2,28(r¡n,zn,rc)

A

A _

A _

r -

F _

F = 3.[sz,zr. (r+o'q4"'-t = 3.0s2,28(11,46287931)

F = $34.997

Quinta solución:

La anualidad anticipada de $500 mensuales pagados al comienzo de periodo, du-rante 60 periodos, equivale a una anualidad vencida iniciada en el period o -7(aénsediagrama) con un último pago al final del periodo 60.

F : 500 (FIA, i%, n + 1)- último pago de $500

i = tasa efectiva mensual :0,49386% (aéase segunda solución) ; n:60, +1 mesagregado en el periodo -1 : 61

F = 500 (r¡e, o,+szs6%,61) - s00F = 5oo f(r¡a,0,+sza6%,61)-1,]F = 5oo (zo,oanszsz - t)F = $34.991

MATEMATICAS FINANCIEFAS

9. I3 PROBLEI 'TASPROPUESTOS

34. Una firma arrienda un terreno por 6 años en $2.500 mensuales, pagaderos a princi-pio de cada mes. Hallar el valor presente del contrato de arriendo, a la tasa delS%capitalizable semestralmente.

35. Una máquina industr ia l se vende a p lazos en 6 cuotas t r imestra les de $10.000cada una. Hal lar e l va lor de contado, s i se carga e l 72% con capi ta l izac ión se-mestra l .

36. Una persona deposita $500 cada principio de mes en un banco que abona el 8%,convertible semestralmente. Calcular el valor futuro de los depósitos, al cabo de 10años.

37. Se acuerda pagar una deuda con abonos de $4.000, a comienzos de cada trimestre,durante 8 años. Hallar el valor de la deuda a la tasa del 4% capitalizable mensual-mente.

38. Una compañía de inversiones abona el72%,, capitalizable semestralmente. Un indr-viduo entrega a la compañía $100.000 para que pague, durante 5 años, a una unr-versidad cierta suma por trimestre anticipado, debiendo efectuarse el primer pag.-de inmediato. Hallar el valor del pago trimestral.

39. Una máquina cuyo precio de contado es de $8.000 se ofrece en un plan de venta:por mensualidades, sin cuota inicial. Hallar el número de cuotas necesarias de SErt-para cancelar la máquina, si se carga eI8% de interés efectivo.

40. Un hospital recibe un legado de $60.000 anuales pagaderos cada primero de en€:-$,durante 20 años. Hallar el valor por el cual el hospital puede transferir el legadr rila tasa para esas inversiones es del 6%, con capitalización semestral.

41. ZEn qué forma se reúnen más rápidamente $100.000: (a) depositando $65.000 erbanco que abona el 8%, con capitalizaciín semestral, o (b) depositando $3.ü,t-principios de cada trimestre, en el mismo banco?

42. Un inst rumento de $25.000 a l contado se vende en un p lan por mensual ida:s in cuota in ic ia l , mediante 14 cuotas de $2.000 cada una. Hal lar la tasa efe. :cargada

9.14 ANUATIDADES VARIABTES

Si ocurre que los pagos per iódicos A no son iguales, se d ice que la anual i ; . : lr .ar iable.

Definición una anualidad variable es aquella cuyos pagos difieren entre sí.una anual idad var iable s imple c ier ta vencida és i rec iente, s i Ar . A, . A, , . .

< ,4 ' ; es decreciente en e l caso contrar io .

t t - 7

El valor futuro F a la tasa I por periodo es:

A' , )A


+4 , , 0+ i l +A , ,F :4 ( t+ r ) " ' +40+ t ) " ' +

t : ,:,

At, (t + i),, t'

El valor presente P a la tasa i por periodo es:

P : A , ( t + i ) + 4 ( 1 + i ) ' + . . . + A , ( r + i ) "

A t , ( 7 + i ) "l r - ih = 1

(4s)

(46)

Apl icando esta sumator ia se puede calcular e l va lor presente de cualquie-r anua-l idad var iable; pr imero se hal la la ley de formación de los términos ,4, , y lu"g, , setrabaja la sumator ia término a término o se crea un programu

"r - r . . r *püia¿or. para

muchos casos dc anual idades var iables se pueden desai ro l lar fórmulas que e-v i tarre l pro longado y d i f icu l toso t rabajo de la sumator ia. Éstos se estudiarán en los s i -guientes capí tu los.

9 . I 5 GRADIENTES

Cuando los pagos varían de acuerdo con una ley que permita determinar cada unr-,, enfunción de los números naturales, es posible ieducii los términos de la sumatrrria r.obtener expresiones más simples para el cálculo, tanto del valor futuro como del r ¡l¡:presente. Así sucede cuando los pagos varían en progresión aritmética o geomet¡.r.

fftEllEEf Un agricultor toma en arriendo durante 15 años un terreno para un cuitrr,,que tarda 5 años en entrar en p lena producción, recogiéndose las pr imera: c t r .ech, : : en e ltercer año; por estas razones, las condiciones del contrato de arriendose estipulan ail <:5 lrt\ral f inal de cada año durante los primeros tres años, $30.000 al f inal del cuario rñ.. <-+1.r [\)(i..] lf inal del quinto año y luego, $60.000 al f inal de cada uno de los 10 año,s sisuierrte: Hall¿r. a l¡tasa del 8%, el monto pagado al f inalizar el contrato.


Se aplica la fórmula 45: , = i, At,(1 + i),-h

Para

h = 1; n = 1.5; A, = A, = A, : 25.000; A ¿ = 30.000; A. : 40.000; A6 = A7 =

F = 25.000(1 + 0,08)11 + 25.000(1 + 0,08)13 + 25.000(130.000(1 + 0,08)11 + 40.000(1 + 0,08)'0 + 60.000(160.000(1 + 0,08)8 + ... + 60.000

: Ar, -- 60.000; i : 0,08

+ 0,09)'2 ++ 0,08), +

La suma de los pagos de 60.000 se considera anualidad simple vencida pagada durante 10 perio-dos a la tasa e fec t iva de lS%.

60.000(F/4, 8%,, 10) : 60.000(14,486s6247\

F : 25.000(2,93779362 + 2,7796232J + Z,s79t701,z) + 30.000(2,233163900) +40.000(2,1s892500) + 60.000(14,48656247)

F -- $7.229.875

En cuanto a las anualidades variables -en las cuales los incrementos o decremenrosde sus pagos periódicos son cantidades que varían en función de los números natura-Ies- por lo general, es posible reducir los términos de su sumatoria a expresiones mássimples, facil i tando así su cálculo.

En los pagos per iódicos de las anual idades var iables, Ia pr imera cant idad de:flujo de caja recibe el nombre debase y la cantidad de variacióñ recibe el nombre degradiertte. Esta separación, aunque no necesaria, es conveniente para el análisismatemát ico del gradiente. Las var iac iones más comunes son los gradientes ar i tme-ticos o l ineales y los gradientes geométricos. A continuación se examinarán esto:dos t ipos de var iac iones.

9.16 GRADIENTE ARITMÉTICO

Las anualidades variables, cuyos pagos periódicos aumentan o disminuyen en una can-tidad constante, se consideran anualidades de variación l ineal o uniforme y reciben"por antonomasia, el nombre de gradiente aritmético que puede ser creciente o decrecien-te según el tipo de variación bien sea de incremento o decremento.

El cálculo de los valores de las anualidades de variación uniforme se efectu¡uti l izando las propiedades de las progresiones aritméticas y los valores de las anua-lidades estudiadas hasta el momento. A continuación se desarrollará el método pa:¡el cálculo.


'Primero se elabora el diagrama del flujo de caja:

periodos

En la sección 0.10, progresión aritmética,i¡;ual al primero más r¡ - 1 veces la variación;término A, se tiene:

término r ¡ -és imo : A + ( r r - 1)L

st:parando la base del gradiente, se ticne ¡¡ p¿rgos A y el gradier-rte ctrvo valclrpresentc se designa por AL.

A I .

' (tt-1)l,

El valor presente de lo-q pagos gradientes en el año 0 es igual a la suma cle losr, 'alores presentes de los distintos pagos.

A L : L ( 7 + i ) : + 2 L ( 1 + i ) , . r - . . . + ( i l - 2 ) L ( 1 + i ) r , , t r * ( i r - 1 ) L ( 1 + i ) - ,

Al multiplicar AL por (1 + i) y restar AL, se obtiene (i'dn-sr sección 0.11):

ALO : t (1 + t-r + t(1 + 0 r + t(1 + i )-r + . . . + L(I * i ) i , r + L(1 + i )- , ' - r tL( l

A + (n -1)1.

se clemostró que el término r¡-ésimo esc'ntonccs para la variación L y primer

MATEMATICAS FINANCIERAs

At = +l(oto, i%, n) - n(n¡r , i%, n)l en notación estándar (47b)

Para L : 7, AL es el factor del valor presente de un gradiente l ineal de valor 1; seacostumbra expresar mediante (PlG, i%, rr ). Existen tablas con los valores del factor degradiente. Aquí no se hará uso de éstas.

El valor presente de la base, que constituye los pagos,4 por perrodo, es:

D -r l -

A\PlA, i%, n)en notación estándarD _. , 1

El valor presente P de la anualidad con gradiente aritmético es

P : P r + A L

o sea,

(4r9ii r

En notación estándar:

P : A (pl A, i%, ")

* ! l(nt n, ¡%,,t) - n (n¡r, i%, n)l

Para el valor futuro

F : P (1 + i ) '

A .

( JR i

, LI [¡r¡a, in, n) - "]

l t+ i ) - r , [ t t * ¡ l ' - ¡ - l

F : A . r_ , , __ - r_ + ! l ' ! _ _ t t lt t

L '

l


F : A(rle,, i%, n)

ff i fg Una persona contrae la obligación de pagar 92.000 cada final de mes, dur,un año, aumentando sus pagos sucesivos en $100 cada mes, hal lar: (n) a la tasa del24%, , el ' .

"presente de su obl igación; (b) si desea susti tuir su obl igación por otra equivalente con la mr.tasa, con pa¡los mensuales iguales, icuánto deberá pagar mensualmente?


12 meses

I 'ago en el mes 12 : $2.000 + $100(12 - 1) : $e.tOO

Separando la base A del gradiente L, se t iene que el valor P es igual a la suma del valor presentede la base de $2.000 más el valor de AL:

P : A(t ' ¡n, t r , , , n) + AL

p - A(plA, L/,,, ,) + lf(n¡a, i,/",rt) _ rt (nlr ,,,t,, ,)]

,4 - 2 .000; L-1(X), =0,02; n - 72. 0,24' 1 2

Ir : 2.000 .n l) ')

P - 2.000 (10,57534) + 5.000 (10,57534 _ 9,461915)

P -21 .150 ,68+5 .567 ,71

(n) P : 926.777,80

(b) A : P(AIP, i.t,, i l)

P - 26.717,80; i - 2/,,; rt : 72

A : 26.717,80 (¡lp, Z'/,,, 12) = 26,717,80 -t:#r

A : 26.717,80 (0,0e45s96)

¡ : g).526,40

Tft lñ!trEIU Las ventas promedio de un almacén son de $400.000 mensuales; el dueñ,,inicia una ampliacií tn V esttmr que sus vent¡s, a part ir del quinto mes, Se incrementarán c()n u:rgradiente de $50.000 mensuales, estabi l izándose al cabo de un año. Hallar el valor actuai ci t . , .r-ventas durante primer año. Tasa de interés: 18% anual.

roo [ ( r - ( r * o,oz) ' ' )

' ttLz I

ttLz rz (r * o,oz)''lr - (r + o,o2) ' '


Se elabora el diagrama del flujo de caja:

P A L

72 meses

800 miles

Al apl icar la f t i rmula 47, se obtiene el valor presente de la serie gradiente, dos meses antes delinicio de la serie gradiente o sea, AL ubicado en el mes 3. El valu presente p es i¡5ual a la sumadel valor presente de la base de 9400.000 más el valor presente t ie AL que está cl i fer ido 3 meses.

Primero se calcula AL apl icando la f ,órmula (47b)

ot = +f¡n¡t , i r" ,")- "(n¡r, i%,,n)lL = 5 0 . 0 0 0 ; i = # = 1 , 5 ' 1 , ; n = e

Ar = ff# f(rla, usn,s) - s(plF, 1,s%,s)]

/ r - s 0 . 0 0 0 [ r - ( l n o ' o r s ) ' , . t , . . . . . - . " lAL = -f i f f i

L # v(t r{).ors)' I

AL = ffif$ fa,sr-,ostzsz - e (o,874se22)l J

AL = $1.630.624

P = A(PIF , i"1,, n) + (r + i) - ar

,4 - 400.000; i = 7,5o/o; n =12; k =3(t iempo diferido)

I ( l + o , o l 5 ) ' r= 40() .U00 - -Tdlst - + ( l+0.0t5) ( t .6 : rO.r ,Z+)

= 4ü1.000 (10,90750s3) + 7.630.624 (0,9s63170)- $5.922.396

P

P

P

I


9.17 GRADIENTE GEO'IAETRICO

En esta parte se estudiarán dos tipos básicos de anualidades con variación geométrica.En primera instancia se abordarán las anualidades variables cuyos pagos periódicosvarían formando una progresión geométrica, o sea, que se caracterizan porque el co-ciente entre dos términos sucesivos es constante (uénse sección 0.11). Estas anualidadesreciben el nombre de gradiente geométrico. Luego, se analizarán las anualidades varia-bles cuyos pagos periódicos varían de tal manera que las variaciones forman unaprogresión geométrica; en este caso se trata de una anualidad variable con gradientegeométrico.

En el siguiente diagrama aparece un gradiente geométrico o creciente vencido,cuyo factor de variación es r.

n - 2

n5 Ag",

El valor presente P es:

p : A ( 1 + i ) ' + A g ( 7 + i ) - 2 + A g 2 ( 7 + i ) J + . . . A g ( , ' ) ( 1 + i ) , ¡

P : A ( 1 + t ) - ' [ 1 + g ( 1 + i ) ' + . q r ( 1 + i ) 2 + . . . f ' ( 1 + i ) r , - r r 1

Lascan t i dades l +g (1 + i ) r+ g ' ( 1 + r ) t+ . . . g , - t ( 1 + i ) t , - r ¡ son los té rm inosde una progresión geométrica de ri términos, que tienen como primer término 1 y comorazón ,q(1 + i) ' , y su suma es (oeáse sección 0.11):

, : [g ( r * ¡ ) ' ] " - r

s ( t+ i ) ' - t

p : A ( 1 + i ), . [s(r*¡) ' ] " - r

I

g ( t+ r ) ' - t

( t + i ) " - ru - n

/ l * ; \\ - ' ' / s ( t+ i ) ' - t



Para el valor futuro

De donde,

F : P ( 1 + i ) " :

r ^ r ' - ( i + i ) 'I - : 1 1 . -'

. c - ( l + i )

s ' ( t+¡ I " - ts - ( t+r )

s'(PlF, i%, n) - t-rFn,nT

s" - (FlP,i%, n)g - (r¡n , in, i,)

P = 4 . (50b)

(50a)

(51n)

(s1b)

[EElffE Una deuda debe cancelarse en 5 años con cuotas de $10.000 cada f inal deañtr a una tasa de interés del 6"/o. Estos pagos se incrementan, después del primero, en un l0%anua l cada uno. Ha l la r e l va lo r p resente de la deuda.

Se e labora e l d iagrama y se ana l iza :

En notación estándar: F : A.

1 0(1,1) '

1 0 ( 1 , 1 ) " ' m i l e s

El cociente entre cada término y el anterior es constante e igual a 1,1; en consecuencia, se tratade un gradiente geométrico. Al apl icar la fórmula (50b), se t iene:

.g" l n l r , i% ,n ) - tg - lrln , i%, t): 10 .000; i : g /6 ; ¡7 =

10.0001,1' (PlF,6%, s) -

5

1

1 , 1 ; A

1 , 1 - ( F l P , i % , 1 )

1 , t ' ( t + i ) 0 6 ) ' - 1

ú:¡-r0,G)-

r0 ( l , r )

P : 10.000 .

ANUALIDADES CIEHTAS. CASO GENERAL

P = 10.000 .1,610s1 (0,7 472s817 ) - 7

0,04

P : $50.866,68

@EUnadeudaSeamor t i zaen6añoSconPa8ossemeSt ra lesde$9 .000po rSe .mestre vencido a una tasa efectiva anual del 10%, incrementando cada año los pagos enun20%.Hallar el valor presente de la deuda.

(r-1) n años

2fu-"1) 2n-7 2n semestres

7 2 3t t l

0 1 2 3 4 5 6

At A\ Ar.{ Argl lv+

AAg

^ , t - Z . , r : ^ i l - l¡{r8 Ár.( ^r,g

Y. n-2

^8

^ n - lnr,t

II+

, i l- l

ág

Primero, se calcula el pago anual A que remplaza los pagos semestrales ,4,:

A : 4\4F, i%, k)

Luego, se calcula P apl icando la fórmula (50b):

P : A 'g'(PlF , i%t n) - t

s - \FIP, i',l", 1)

Al sustituir A, se tiene:

At8-IIü

A.qt

n 1p : e.000(1+ O1) 'z - 1

(ucn.sr ejemplo 9.1)

t , z ' ( t+o , t ) ' - tt , z - ( t +o , t )

D -t -

P:4(AlF, i%,k). tw*;

A, = 9'000; i = 1'0%; m= 7; P = 2; k = i , ,

= 6; g = t ,Z

('t os5es4) (o,su+znt¡ - te.000(2,04880sas).ff i

s726.403


Anualidad variable con gradiente geométrico La base permanece constante y la varia-ción es un gradiente geométrico. En el siguiente diagrama la base se designa por A, elprimer término del gradiente de variación porg, yq es el factor de variación geométricadel gradiente.

El valor presente de esta anualidad variable con gradiente es la suma de los valo-res presentes de la anualidad base y del gradiente.

0 1 2 3 4. ' '

? V V V VI A A A Al + r +lJ l lt;1."rP, ¡'r gqt+AG

n-"1. n----l---]A A+ +

t lt lt l

. V9 q n 2

8q

P : P r + A G

AC =.9(1 + i ) '+ gq\ + i )3 + gq2(7 + i )r +. . . * gq,- , (1 + i ¡- t - t r + gq*2(7 + i )--

Véasc secciín 0.11: primer término = g(1 + i)-2, raz6n : q(7 + i)-r, número detérminos (rr - 1):

8 ( 1 + i ) ' : g ( t + ¡ ) '

. l qn+ i ) ' . | " ' - ld e d o n d e , A c = g ( l + i )

' .' q - ( 1 + i )

Pt : A(n¡a, in, r )= a. t - ( t -+ ¡ I"

p : A . t - ( t + ¡ ) "

+g ( r+ ; ) , .I

como

entonces


q,, ,(7+i) ,* ' , _ 1

q - ( t+ i )

qa* ' ) (P lF , i%,n-1)- tP : A (P lA , i%,n )+ s (p lF , i% ,1 ) . q - (F lP , i% ,1 )


Para el valor futuro, F : P (1 + i),

fffiElEEf,g Una estación de servicios se arrienda durante 4 años, y en el contrato seestablece una base de $500.000 semestral, más una adición de $100.000 pór servicios que seincrementan cada periodo en 7% semestral. Hallar a la tasa del I0% el valor presente del cóntra_to de arriendo.

0 1 2 3

I rlo soO s00

l+JjI r rn t+r 100(1,( )7)

P, 100(1,07)'+

AG

8 semestres

miles500 s00+ +

tlv l100(1,04' v

100(1,07)'

Aquí, se t iene una anualidad variable con gradiente geométrico. Su valor presente es la suma deuna anualidad de $500.000 por semestre vencido más el valor presente AG de un gradiente de$100.000 con un factor de crecimiento de 1.08:

P, : AlPlA, i%\ n)

Arr = ,r (ptF, i%,t1.' "ln!'(iT''¡iA,'¡\- '

Obsérvese que con relación al diagrama de la fórmula 52a, este caso está desfasado en un perio-do; por esta razón Ag debe mult ipl icarse por (1 + i) y aparece un periodo más de gradiante.

P : P t + A C

p - A t ( P l A , i % , n ) + g 0 + i ) '

A' : 5([ .00(t ; i = ! = 5%; g= 100.000; 4 = 7,07; n=8

q" ' (P IF , i% ,n -1 ) - 1q -

\F lP , i%,1)

p : 500.000. t - (t :gos)" + 100.000 (r,os),. t,ol-g#. (r,os)

P : 500.000 (6,46321276) + 100.000 (8,1468019)

P =3 .231 .606 +814 .6U0

P = $4.046.286


9.I8 ANUALIDADES CONTINUAS

Las anualidades continuas pueden analizarse desde dos puntos de vista, según el pagosea continuo o el interés sea continuo.

Las anualidades de pago continuo son aquellas cuyo periodo de pago es menor quecualquier cantidad positiva arbitrariamente escogida. En estos casos, se dice que el di-nero se recibe enflujo contirtuo, durante el periodo de capitalización. En las fórmulas:

r : w(ar, ,%,T)GtA, i%,,)=w G¡1.

( t+ü - t

Ahora, se debe analizar el valor A:

/ \A : wlUr,in,T) = *

i.,Í _ @éaser6rmura42)

Si el pago se efectúa en forma continua, entonces P --l -. Para el análisis, se modifica elvalor de A, expresadoWp : T, pago total en el periodo de capitalización.

W p jA = # . ; - - -E = Wp . * . - - ! J

, ( 1+ i I - l p ( t+ i [ - r

W p : T

T .A -

. t , . s L . ( t + i ¡ f - 1l ímpl (1+ i ) , _11 : l iT - - Í - ,r ' ' L

P

Aplicando la regla de LHópital, se tiene:

t . . 4 ' l

r f ( t+t ) ' -11

(r . i ; t [ -

Llr t+¡) Í - r ld p L ' ' Ilím

a ( t \7i\n)

: lím_ 1

p '

F l ( t * i ) ? . t n (1 .+ i ) : m . t n ( t + i )

ANUALIDADES CIERTAS, CASO GENERAL

de donde,

9.19 ANUATIDADES A INTERESES CONTINUOS

En este caso¡ se efectúa un número finito de pagos por año, en tanto que el interéscapitaliza en forma continua.

Sustituyend o i = l i;

tt = tttr, doncle f es el t iempo total en años, se tiene:

I

m . l n \ 7 + i )

I í m F = T r - . ( t + ' ) ' - tm . l n \ l + i ) t

En la misma forma, se obtiene:

I

l í m P = . _ ; _ ( n ¡ n . i 2 , , , )i l t . u t \ r + t )

I

r r m i . = t - . t ( t + r L -

m . I n { l + i ) i

ml ' = Y V .

I ; LI I \ r 'l 1 + ¿ l - 1\ m )

/ i \ ' ' 'l 1 + - l - 1\ m l

f = V V .

l í m Á =

l í m F =

(53)

(san)

(s4b)

(ssn)

(s5b)

FlA, L , tm)' m )

l t*¿)" '- '\ m )

| ; \ rF=Wl A lF , -L%,a l l

U m p ) \

j

' \ 4' \ P

+ ¿ | - 7m )

. ' z t r f ' ' ' " r l l/ l = l ímlfr*¿l Im) . - -L\ *) )

l

trm lt + a')' ' ' = r^ l,' - - \ m ) " - - \


l o g v =

logx =

l imF =

j ' t(t *+)'=' (aeánse secciones 4.4v 4.70\

de donde:

en forma análoga, se obtiene

de donde:

ptt _ f.l i m F = W 'i l . '@

, i - I

En la misma forma, se obtiene para el valor presente P:

1 - p - t t

l i m P = W - -

t t i + @ !

e t ' - 1(5;

[ffi:!EEI[ Calcular el valor futuro al cabo de un año de una renta mensual de 91.0fti, :la tasa del 6% con capital ización continua.

Al apl icar la f( lrmula 56:

e , ' _ 7l ím F vv_

D t ) d '

e r - 1

w = 1 , 0 0 0 ; j = 0 , 0 6 ; t = 7 ; P = 7 2

. ^ ^ ^ a u u " - l - ^ ^ ^ c u " n - ll ímF = 1.000 oo, = 1.000 ,"r, ,

c l z - l . . - l

eo'06

0,067 lctg e = 0,06 (0,4342945) = 0,0260s767

7,06784 (Repítase el cálculo mediante la funcicin

_0,00.5E

0,005 log e = 0,005 (0,+z+zo+s) = 0,00217147

1,005012

1 , 0 ó 1 8 4 - 1 _ 0 . 0 6 1 8 4 = q l ? . l j R ? q

1,005012 - I 0,005012

f , , '¿i l{'l í m l ( 1 + * ) j | = r ' i ,, , _ _ L , J

T , , , - l - , \ , , , , l ; :r iml ( r * ; ) ; I l im l ( t+r ¡ r = c .

, r t - l ' / | ¡ r i . | \ , 1L I

(56 r

(Véase problem:


9.2O ANUALIDADES A INTERÉS CONTINUO CON PAGOS EN FTUJO

coNTINUO

Alsus t i tu i rT=pNPagosto ta lesene laño;n : tmdondeúese l t iempoto ta lenaños 'setiene:

E -

(s8)

i l )

Lp l ' - 1

= l í m : . :Iv

FlA, i%,

itI

L

l l ln- i -],r"' i

AlF, i%, r ) (

( r+* ) ' ' - tf . , 4

f(t + *)" -

w

Tt1r

t . 4 l

l ím p l ( 1+o ) ' - 11=L I

y aplicando la regla de LHÓpital para

se tlene

Recuérclese q"" llg (7 + t)"'' = ," (aéase 9 '79); en tanto

t lene:

que para el denominador se

(5e)

d ' - 1entonces , l i na=r - -TEn Ia misma forma para el valor actual, se tiene,

l í m P = T l - r '

J

9.21 PROBTEMASRESUETTOS

En los problemas resuel tos que se desarro l larán a cont inuación, se presentan a lqu-

nas de las muchas apl icac iones de las anual idades y, especí f icamente, de las \ ¡ r r ' l -

b les. En este n ive l e iestudiante ya cuenta con los conocimientos básicos; medtante

su imaginación y creat iv idad póa.a anal izar los problemas del fasc inante mundtr

de las f inanzas.

43. En un plan de ventas lo adeudado se cancela con cuotas semestrales vencidas, de la

siguiente manera: primera cuota de $10.000, segunda de $9.000, te¡cera de 56 000 r'

así sucesivamente; la deuda se extingue con un último pago de s1.000. Hallar: 1ri¡ El

IVIATE[,4ATICAS FI NANCI ERAS

número dc cuotas parer cance lar l¿r de 'ud¿r, ( l r ) e l vakl r pr t 's( 'n tc de l . r dr ,uda, a l¿t tas¿nomin¿l c l t ' l l2 ' i .

t t - l , l st,nlt 'str( 's_-T---tI I r l i l t 's

I 0

10.000 - l . (XX) : 9 . tXX) ; 9 . (XX) l . (X)0 : f t . (XX) ; 2 .0 (X) l . (XX) , - 1 .0 (X)

Est¿r si tu ac' i r in corresp()ncl e a u n grad ientt ' ¿r i t r lót ico, l u t 'go:

( t t ) r t - n + ( r t - l )L l ( r , r i rsr , sr ,cc i t in 0

r r : l . (XX) (ú l t i n ro t ó r r -n ino ) ; ¡ ¡ - 10 . (XX) ( ¡ r r i n i t , r t ó r r l i r r r r , ¡ ;

t t - l 0 , d : 1 . 0 ( X )

l . ( X X ) : 1 0 . 0 ( X ) + ( r r - 1 ) ( - 1 . ( X X ) )

r ¡ : l0 - núntcr( ) de cuot . rs

9 .000 - 10 .000 - - 1 . (XX) ; l J (XX) - 9 . (XX) : 1 .0 (X ) ; . . . l . (XX) - 2 . (XX) : 1 . (XX)

La anu¿i l idacl v¿rr i¿rb le cs c lccrcc ie ntc con gracl icnte ar i t rnét ico ne g,¿t t iv( )

L - i .000

( lr) vi i lor ¡rrcst 'nte /):

F í r rmu la 48h: ¡ t - A(P l A , i , / , , t t ) +

Baser : A : 10.000; ¡ ; radiente : 1-"'l{rl

n, i"1,, tt)- t\Pf I: , ¡'/,,,,,)f

: -1 .000 ;n : l0 ; i :+ -6%

^ l - 1 1 . 0 6 ) ' "P = l ( ) . ( ) U O . ' : ; ; - - +

U,Ut)

P = 10.i100 (7,36008705)-

P = $43.999

q:#[,-f#[-10(1,06)"]

tH (2,:uooszos - s,s83s4777 )

44. íJn empleado decide, el primero de enero de cierto año, ahorrar 92.000 mensualeslo que corresponde a un porcentaje de su sueldo. Estima que anualmente su suei-do se incrementará un 10% sobre el del año anteriol, aumentando así su ahorr¡mensual en la misma proporción. Hallar la suma que habrá ahorrado al f inal de.quinto año, en un banco que le abona 6% anual sobre cuentas de ahorro.

23 24 25 58 59


$ años6O meses

= 5 ; i = 6 %

0,06

( r *o ,oe)* - rE _

E _

g12 t t t L73---T---r-+ + I " l IA A A ) Á s

Los pagos mensuales-se agrupan en uno anual, obteniéndose un gradientegeométrico cuyo valor futuro seialcula así:

Fórmula 42c: A,: W(qF, i%, k)

p a r a W = A = 2 . 0 0 0 ; i = 6 % ; ¡ n = 1 ; p = 1 2 ; k = $

Luego, se calcula el valor futuro del gradiente geométrico:

Para .9 = 1, l ; r ¡

F = 2 .000.

45' En un plan de ventas de inmuebles a 5 años de prazo,se estima que los comprado_res de cierto nivel económico pueden cancelar gi0o.oóo ae cuota inicial y el saldo enpaSos de $20'000 mensuales, más una cuota extraordinaria de $50.000 al f inal delprimer año, 9100.000 al f inar del segundo año, 9150.000 al f inar del tercer año y asísucesivamente. Hallar el valor de los inmuebles a una tasa del 6% nominal.El problema combina tres situaciones: un pago de contado, una anualidad ordina_ria vencida y un gradiente l ineal. El valor presente es la suma de los valores presen-tes de las t res s i tuaciones.

1,1 ' - (7+ 006) '.___+1 , 1 - ( 1 + 0 0 6 )

2. 000 (72, 326s2836) (6, 807 r10s6)$167.876

Pr : 200.000

Fórmula 28b: p, = A(plA, i%, n)

para Ar= 20.000; n = 60; i = #

= 0,5%

(pago de contado)

(VP de la anualidad vencida)


Fórmula 48b:

P,: A(PIA, i%, | + l[(n¡a,Pr : 2oo'ooo

in, n)(nlr, i%, n)) (vp del gradiente lineal)

(pago de contado)

(anualidad mensual)

valor de las casas en venr¿

Az : 2o'ooo;

: 20.000 .

t t =60 ; i =$=o ,s f "

r - ( t+o,oosf ' '0,005P2

P' 2

D

: 20.000 (57,72ss6075)

:1 .034 .511

.+[+--,(,.,),]A. : 50 .000; t r :5 ; i : 6%; t : 50 .000

p : q 0 n n n l - ( l + 0 0 6 ) ' * 5 j . 0 0 0 [ l - ( l * o , o o ) '' , 0,06 0,06 L

0,06" t-5( t+0,*I ' l

P. : 50.000 (4,27236379) + 833.333,33 (4,27236379 -3,73629086)

P. : 210.618,79 + 396.727,43 : 607.345,63

P. :607.345,63

P : P r + P 2 + P .

P : 200.000 + 1.034.511 + 607.346

P = $1.841.857

46. Convertit con la tasa efectiva deI4% por periodo, la anualidad variable del diagran'.:I, en un gradiente l ineal con igual número de periodos.

En la anualidad L se tiene:

- 732,25 _1 1 5

1 1 q

100357.78305,90


A+8L

357,79

10

A+9L

Por consiguiente, se trata de un gradiente geométrico, cuyo valor presente P, es:

Fórmura5ob p, = A.x 'V[ : : ! " '9 - |g - \F lP , i%, t )

t l+2L

A = 1,00; n =70; i = 4%; g = 1,15

Dr t

D

Dr l

100(7s,7548s377)

$1..s7s,49

Los valores presentes de las anualidades variables deben ser iguales

P , = P r :7 .575 ,49

Para la anualidad variable II que es un gradiente lineal, se tiene:

Fórmuta48b: p = A(plA, i%,n)+ l l toto, i%,n)- n(n¡r , i%,n))

En esta ecuación del gradiente lineal hay dos factores desconocidos: la base,4 y elgradiente L, independientes entre sí. Es posible escoget dentro de cierto rango devalores, arbitrariamente uno de ellos y calcular el otro. Obsérvese que para L : 0, elgradiente se convierte en una anualidad vencida de pagos iguales. Si se elige parael primer pago $80, se tiene:


P = 7 . 5 7 5 , 4 9 ; n = 7 0 ; i = 4 % ; b a s e A = 8 0

1.s7s,4s_ ro. r- (r+o,o¿f"' + &f-+-L_ ro(r_ 0,04I-l

7.s7s,49 = 80 (8,rrose578) + ffi 1s,rroass7| _ e,zsseuz)

, (t.szs,+o - e+a,sz\o,o+)= -L,J )J¿D+UJ

L = b ¿ / . ó D

47. Un deudor debe a una financiera dos préstamos, uno pagaclero a dos años median-te cuotas de $40.000 por mes vencido y otro a 4 añoi con pagos de g100.000 porsemestre vencido, con un gradiente g : $20.000 y un factoi de variación 4 : 7,2.Consolidar las dos deudas en una sola a tres años de plazo con cuotas semestralesiguales. Tasa de interés del 72% nominal.

R = 40.000 (n¡a, in ,n)

t t = Z4meses ; i =# ,= t%

4ooooL#r40.000 (27,24338726)

$849,73s

24 meses

miles

8 semestres

D _

100+gqD 100

+ gq'100* gq' 100 miles

+ gq'


Fórmula 52b:

D _r 2 -

A _

D _

D -

; _r 2 -

D

A (Pl A, i%, n) + s (PlF, i%, r). ryffi#F100 .000 ; n=8 ; i =9=e%; S=20 .000 ; 4=7 ,2

rooooo.l- f_Lq6¿] rr ' l !06) ' :_lU,06 + 20.000 (1,06) '

1 00. 000 (6,20979381) + 20. 000 (0,9 433e 623 ) (9,87 87 lz4z)620.979.38 + 786.390.82

$807.370

La deuda consolidada tiene un valor presente P : P, + Pr:

P = 849.735 + 807.370

P : $1.657.105

y se trata de una anualidad vencida con cuotas semestrales a 3 años de plazo. ConocidoP, n, e i, se debe calcularA:

A = P( , t ¡n , i , r , , , t )

P = 7 .657 .105 ; t t =3 (Z )=6so r ¡ c . s l r cs ; i = *=6%

A = P . 0 ' 06t - ( t+o ,oe) '

A = 7.657.705 (0,20336263)

A = $336.993

48. Hal lar el valor presente de una anual idad cuyos pagos por periodo vencido son1, (1 + r) , (7 + r) ' , . . . , (1 + r¡ ' , ' t

Si se plantea o : (7 + i)-1, entonces:

P : a * z t 2 ( 7 + r ) + o 3 ( 1 + r ) r + . . . + t ) , ( 7 I r ) * l

P : u [ 1 + u ( 1 + r ) + a 2 ( 7 + r ) 2 + . . . * u r n - r ( 1 + r ) , - 1 ]


Vénse la sección 0.11 Progresión geométrica

11+ r ) "u ' - tD - ¡ t

( I + r ) u - 1

remplazando ¿r por su valoq, i, : (1 + i) r

/ ' . , \ ' ' - rs e t i e n e : P : ' t ' r ' _ ¡ '

49. Resolver el probiema del ejemplo 9.r4, mediante calculadora.

l ím I= w . ' " - 7e t " - 7

W = 1 . 0 0 ; i = 0 , 0 6 ; t = I ; l t = 1 . 2

t ímr = ' rnn , l ' l , l - tt , l r , l r l ' f , _ I

El cálculo ser facilita, r--on l¿r obtención directa de ias potencias cle c.

{ ' " ' ' - = 1 ,0 ( )50 t251,0050125 - 1 = 0,005U125 (entra a memoria)

¿'"'" = 1,061836551,061i13655- 1 = 0,06183655

0,06183655- MR = 12,33646lím F = 72.336,46

50. Hallar el valor presente de una renta semestral de $20.000 pagadera durante 3años, a la tasa delS% con capital ización cont inua.

l í m P = W 1 : 'e i * l

w = 2 0 . 0 0 0 ; j = 0 , 0 9 ; t = 2 ; p = 2

l í m P = 1 - ' { ' 1 6

20 ooo;ÉT

P = $72.459,35

Hal lar el valor presente de 6. pagos anuales vencidos,tr ico,q : 7,3, s i la pr imera cuota es de $20.000 y la tasa

con gradiente geomede i n te rés es de l 8%.

5 1 .


Fórmula 50b

P = 4 . s" lP lF , i%, n) - 1g - (r¡n , in,t)

A = 2 0 . 0 0 0 , i = 8 % ; S = 1 , 3 ; t t = 6

_ A s ' ( t+ ¡ ) " - tg - ( t + i )

A

^

[ { r , : ) { r ,os) ' ] ' - r= 2oooo L'1-1,){l,os)

= $185.610

Una empresa de transporte recibe $50.000 diarios en flujo continuo; hallar el valorpresente del ingreso anual a la tasa deltl% con capitalización continua.

/ qq \ 1 - p "l l m / ' = / . . - - ' _

lT = 50 .000(305) ; j =0 ,08 ; t= l

l í rnP = 50 .000(365) . ' fu

P = $17.539.083

9.22 PROBTEMASPROPUESTOS

Hallar el VF y el VP de una anualidad de $5.000, pagader;'r cada final de periododurante 5 años, si la tasa es del 6% con capitalizaci(rn continua. Comparar el rersul-tado con los del mismo problema, al 6% convertible mensualmente.

Hallar elVF y el V1) de un¿r renta de. $4.0t10 pagadera cada final de semestre, a la tast'rdel 8o/,, con capitalización continua.

Una empresa der buses t iene un ingreso d iar io de $100.000 que se supone en f lu jocontinucl. Hallar el valor prese.nte derl ingreso correspondiente a un añcl, a la tas¿,rdelS% efect ivo.

Hallar el VP y el VF de un flujo continuo de monedas que suman 100.000 diarios,suponiendo el t iempo de un año de 365 días y la tasa del 3% con capitalización conti-nua.

57. Demostrar que e l va lor presente, a la tasa i , de una anual idad con los s iguie ntc:pagos: A, (A + d) , (A + zd) , . . . , [A + ( r r - 1)d] , es:

J J .

54.

55.

56.


p = A(p lA , i%,n)+ { [ to to , i%,n)_ n(n¡ r , i%,n) ]

58' una empresa agrícola cultiva cítricos; los estudios económicos indican que en eltercer año la producción será de $600.000 que se incrementarán en 9600.000 duran-te cuatro años, estabilizándose en el séptimo año de producción. Elaborar el diagramadel f lujo de caja ycalcula4 a una tasá dellg%,el valorpresente de la producciónpara los primeros 10 años.

9.23 ACTIVIDADES DE CONSUTTA

(n) Investigar en los bancos de su localiclacl la TIR de los préstamos a mediano plazo yel sistema de recuperación.(b) Investigar cn el c,imercio de su localidacl, los sistemas de ventas a plazo.O Investigar los préstamos para el desarrollo cle actividades industriales y agropecuarias,

el sistema de recuperación y la T.lR.(ri) Invc'stigar los sistemas de préstamos para estuciios unlversitarios.

..""6 ¡ri. it:

9 q 4-:! ::: :-:

1 u ; 1: ".'* ;.

AMORTIZACION

OBJETIVO

El propósito de este capítulo es aprender los principales sistemas de amortización dedeudas y combinarlos para crear nuevos modelos. Se examinarán los métodos paracalcular el valor de las cuotas de amortización, las tasas de interés, los saldos insolutos ylos plazos, además de elaborar cuadros de amortización. AI f inalizar se estará en capa-cidad de reconocet definir y manejar los sistemas de amortización y crear nuevos. Sepodrán comprende¡, analizar y manejar los sistemas de amortización que ofrecen lascorporaciones financieras.

ro . r INTRODUCCTóN

En las finanzas, la expresión amortiznr se utiliza para denominar un proceso financieromediante el cual se extingue, gradualmente, una deuda pormedio de pagos periódicos,que pueden ser iguales o diferentes.

En las amortización de una deuda, cada pago o cuota que se entrega sirve parapagar los intereses y reducir el importe de la deuda.Definición Amortizar es el proceso de cancelar una deuda con sus intereses por mediode pagos periódicos.

En cuanto a la amortización de deudas se aplican diversos sistemas y, dentro decada uno, hay numerosas variantes que hacen prácticamente inagotable este tema. To-dos estos modelos son aplicaciones de las anualidades estudiadas en los capítulos ante-

T,4ATEIVATICAS FI NANCI ERAS

riores, para las cuales ya se cuenta con la suficiente capacitación, a fin de manejar losdiferentes tipos, bien sean pagos constantes o variables.

En este capítulo se abordarán los aspectos generales de los distintos sistemas; suaplicación al campo financiero da origen a planes de amortización que surgen de lacreatividad del especialista. El éxito en el desarrollo de un esquema de amortizacióndependerá exclusivamente del buen criterio del f inancista para interpretar las condi-ciones económicas y desarrollo futuro de su comunidad.

Incidencia de la desvalorización monetaria en la amortización de deudas El tema dela desvalorización monetaria se encontrará ampliamente analizado en el capítulo 1-1.Sin embargo, es conveniente abordar Ia desvalorización con relación a las deudasamortizables a corto, mediano y largo pIazo. Con el f in de evitar que el comercio sedistorsione en una situación de desvalorización,los gobiernos se esfuerzan por mane-jar en forma controlada la desvalorización, con ei objeto de que tanto ei comercio comolas inversiones, planes de vivienda y captación de ahorro se desarrollen en forma nor-mal, en un clima de confianza. Con base en las proyecciones de la economía y desarro-llo de un país, el gobierno calcula la desvalorización esperada para el año y autoriza e-porcentaje de corrección que debe aplicarse a los préstamos y depósitos en cuentas d.ahorro en periodos, por lo general, mensuales. Paralela a Ia corrección entra en juego I. ' .tasa de interés sobre el capital. En las ventas a corto plazo, ei comercio carga un porcen-taje de tal manera que se reintegre su capital corregido más un porcentaje de uti l idaoesto genera tasas financieras elevadas. En las ventas a mediano y largo plazo, en algu-nos países, las obiigaciones se pactan en unidades de valor constante. Las tablas qu.aparecen al f inal del texto sólo sirven para el estudio de los métodos matemáticos plan-teados en la solución de problemas financieros y para manejar los e¡emplos y proble-mas del texto. En general, el estudiante debe trabajar con calculadora o computador relaborar las tablas y cuadros que requiera de acuerdo con los métodos estudiados. Er.las actividades profesionales, el interesado debe tener la suficiente capacitación par:crear sistemas de amortización y plantear ias fórmulas y métodos matemáticos que ltpermitan trabajar con pro€lramas computacionales.

Ahora, revísense los conceptos de in tereses y apl íquense a una s i tuación c ' i .devaluación: supóngase que en c ier to lapso la devaluación esperada es del 20% y qu.la tasa de in terés f inanciero es del6%. Un invers ionis ta considera que debe colocar s ' ;capi ta l a l 26% y espera la opor tunidad de inver t i r a esta tasa; ot ro p iensa que deb.proteger su capi ta l y que $100 de hoy serán $120 dentro de un año de modo quedeberá recuperar su capi ta l más e l 6% de justo benef ic io, o sea, que a l f ina l de un añt 'debe rec ib i r $120 (1 + 0,06) : $127,20,1o que corresponde a inver t i r a |27,2%. El prr -mer financista sólo obtuvo una uti l idad del 5% ya que con una inversión de $1lLganó $6. Cuando se suman dos tasas de interés, como en el ejemplo anteriot se tien¿una tasa combinada, sean r% la tasa de corrección monetaria y f la tasa de interés :rédito del capital en jue¡;o. Tomando como periodo un año, se tiene al f inal dé peric.-do para el capital inicial de $1, el valor f inal de $1 + l, donde I es la tasa efectivaentonces:

AMoBIzAcrÓN EEI

1 + i : ( 1 + r ) ( 1 + f )

i = r * t * r t (60)

En el ejemplo dado la tasa efectiva es:

i : 0,20 + 0,06 + 0,20(0,06)

i : 27 ,2%

que corresponde exactamente a la tasa que depositó su capital el segundo inversionista.

En resumen:1. Es erróneo sumar Ia tasa de interés y la tasa de corrección monetaria para aplicar la

suma como si fuese una tasa efectiva.

2. Aplicando correctamente la tasa efectiva equivalente a la tasa combinada para la

amortización de deudas en un clima de desvalorización, es necesario revisar los

cálculos al cambiar la tasa en cada periodo de devaluación.

A pesar de que en el capítulo 14 se analizan la corrección monetaria y la amortizaciÓn

de deudas en unidades monetarias de valor constante (UMVC), a continuación se in.

cluyen algunos ejemplos que muestran la forma de calcular la corrección monetaria y

la incidencia en la tasa de interés real del capital '

@IEI[[ La desvalorizaciírn para el año es de\22'/o efectivo anual. Elaborar un cuadro

con el factor de corrección diaria.

Cálculo de la tasa equivalente diaria:

( l + i ¡ 36s =1 '22l

1 r i - 1 ? ? ¡ ' i' , -'¡ ='r,liornn, facttrr de corrección di¡ri..

Elevando este últ imo factor al número de días, se obtiene el factor de correcciírn para los dife-

rentes días.

Factor

1,0005449

1,0010901 : 1,0005449': (2,únsc sección 4.4)

1,0016356 :. 1,00054493

@l!f[[ l La desvalorizaciírn para el año es del22%, efectivo y la tasa de interés efectiva

u*rul "r

d"l 8%.Un comerciante considera el interés del t l%, como una tasa adicional y la suma

Días

1

2

3


a la corrección aplicando a sus ventas a plazo el 30% efectivo anual. Hallar el valor que recibepor una venta de $10.000 a un mes de plazo.

Cálculo de la tasa equivalente mensual:

( 1 + l ) 1 2 = f 3 0

7 + i = 7 , 3 0 i

7+i=1,022-1.045

F = 10.000 (1,0221045\

F = fi10.221,04

Otro comerciante para la misma venta de $10.000, a un mes d,e plazo, cobra el 8% efectivo anualsobre la deuda corregida.

Cálculo de la corrección mensual:

t ' t + ; t 1 2 - t ' ¡ ' ¡

l + i = 7 , 2 2 i

7+ i= t , 016709

i = 1,6709%

Deuda corregida = 10.000 (7,016709)= 1,0.167,09

Sobre esta deuda con corrección se aplica el interés del8% efectivo. (Revísese el tema 2.10).

Cálculo de la tasa equivalente mensual:

( 1 + i ) 1 2 = t , o s

1+ I = 1,08*

7+i=1. ,006434

F ='1.167,09 (1,006434)

F = $10.232,51

Principio básico de las amortizaciones El interés debe cancelarse al f inal de cada De-riodo calculado sobre el saldo de los capitales adeudados (aéase regla de los saláosinsolutos, capítulo 3).

En las prácticas comerciales suelen introducirse modificaciones en los sistemas deamortización de pago de intereses vencidos sobre saldos insolutos; estas modificacio-nes, que en adelante se denominaránaarinntes espureas, tienen el objeto disimulado deobtener intereses a tasas mayores que las pactadas en el documento. Dentro de estasoariantes espureas,la modalidad más común es cobrar los intereses por adelanta d,o (aéanseproblemas 6y 7 del capítulo 2).Demostración Sea una deuda S a la tasa i por periodo con plazo de un periodo. Si losintereses se cobran por adelantado, se tiene:

Suma que recibe el deudor :Suma que debe pagar :

AMoRnzAcróN i@

S(1- ü (obsérvese que i actúa como tasa de descuento)c

s(1 - t)

Sea r la tasa real cobrada sobre saldos insolutos:

5 ( 1 - , ) ( 1 + r ) = S

7 + r = i * 7

r > 0 ; i > 0

de donde

o sea

17 - i

Ir = -1 - t

r 1 - ;

r i1 1

- = - - I

r i1 1: < :r ir > l

IO.2 SISTEMAS DE AMORT¡ZACIóN

Amortización gradual Éste consiste en un sistema por cuotas de valor constante, conintereses sobre saldos. En este tipo de amortización, los pagos son iguales y se hacen enintervalos iguales. Esta forma de amortización fue creada en Europa y es la más genera-lizaday de mayor aplicación en el campo financiero; es una aplicación de las anualida-des estudiadas en los capítulos anteriores. Entre los problemas resueltos, se presentanalgunas variantes de la amortización gradual.

Amortización constante A diferencia de la amortización gradual, mantiene un valorigual para la amortización en cada periodo y, como consecuencia, la cuota de pago pe-riódico es variable decreciente, puesto que los intereses sobre saldos son decrecientes.Para préstamos a largo plazo, y en particular para préstamos de vivienda, se han creadodiversos sistemas de amortización basados en las anualidades variables.

Amortización por cuotas incrementadas Este sistema consiste en incrementar pe-riódicamente la cuota de pago. Es una aplicación de las anualidades variables abor-dadas en la sección 9.15. Así, se tienen préstamos amortizables con cuotas crecientes


de variación uniforme o con gradiente aritmético, y el sistema de amortización cuyascuotas de pago crecen geométricamente. Con estos sistemas de amortización conbase en cuotas incrementadas se trata de concil iar el incremento de las cuotas con elmejoramiento económico del deudor. En algunos modelos de amortización por cuo-tas incrementadas el saldo insoluto crece en los primeros periodos, para luego de-crecer.

Amortización decreciente Este sistema tiene modelos matemáticos similares a losde amortización por cuotas incrementadas. Para este modelo, el factor de variaciónes negativo, convirtiéndose así los incrementos en decrementos. En estos sistemasde amortización decreciente, el deudor paga cuotas mayores en los primeros perio-dos, lo que tiene cierta importancia si el clima económico es de desvalorizaciónmonetaria creciente y se prevé un aumento futuro en las cuotas por corrección mo-netaria.

Amortización con cuotas extraordinarias En este sistema cada cierto número de cuo-tas incluye paSos extraordinarios; éstos modifican las condiciones de la amortizaciónque varía el valor de las cuotas y/o el plazo de la deuda.

En las amortizaciones con cuotas incrementadas, se presenta el caso en el que losincrementos se producen cada cierto número de periodos, y entre dos cambios, lás cuo-tas permanecen constantes. Estas reciben el nombre de cuotas interperiodos, que danorigen alas amortizacionei incrementadas con cuotas interperiodos constantes.

j

I

ro.3 cÁLculo DE Los vALoREs DE rAs AMoRTtzActoNEs IEn la amort izaciónde una d.euda, cada pago o anualid.ad -que se entrega al acreedor- |sirve para pagar los intereses y reducir el importe de la deuda. En el estudio de la amor- |tización se presentan tres problemas básicos: hallar el importe de los pagos periódicos Ihallar el número de pagos necesarios para amortizar vna deuda y hallar la tasa de inte- |rés. Todos estos problemas se resuelven planteando las ecuaciones según el tipo rit Ianualidad que corresponda a las condiciones convenidas en la amortización; én Ic= Icapítulos anteriores estos problemas se han estudiado en profundidad y no vale la pen: Irepetirlos. Lo único que difiere posiblemente es que, en amortizaciones, una vez crea- tdo un modelo se procede a elaborar cuadros de amortización en los que se presente t- Idesarrollo de la deuda, hasta su extinción. Por regla general, estos cuadros se aplican : !un monto unitario; en los siguientes ejemplos se muestra la distribución más generú- Izadade estos cuadros. I

am.Yili::i:11i;:lil?;T?,:;1:T:ff J:'"":"il'.il:;;T"ff ::nx*:l:l

AMORTIZACION

A= P(A/P, i%, n)

P = 5ffi.000; n= 5; i =0,08

.4 = s00.000. 0081- (1+ 0,08)-s

A = 500.0ffi (0,25045645)

A= $725.228,23

Deuda: $500.000; tasa: 8% efectivo.

Obsérvese que la suma de los pagos anuales es igual a la de los intereses sobre saldos, más lasuma de las amort izaciones.

@&EEl Una deuda de 9100.000 debe amortizarse en 2/zaños, con 4 abonos semestra-les de $25.000 por periodo vencido y un abono al final del quinto semestre que extinga total-mente la deuda. Elaborar un cuadro de amort ización de la deuda, a la tasa del70% capital izablesemestralmente sobre saldos insolutos. Si se espera una tasa de devaluación del2% anual, hal larla tasa real de interés.

Deuda: $100.000; tasa: 70%, capitalización semestral; cuota : $25.000

Fecha Pago anual 8% interesessobre saldos

Amortización Saldo

comlenzo ano

final año 1

final año 2

final año 3

final año 4

final año 5

725.228,23

72s.228,231 ) 4 ) ) e ) a

125.228,23

725.228,27

40.000,00

33.181,74

25.818,02

17.865,27

9.276,76

85.228,23

92.046,49

99.410,21

707,363,02

175.952,05

500.000,00

474.777,77? ) ) 7 ) q ) 9 .

223.315,07

775.952,05

000,00

TOTALES 626.141,13 126.141,13 500.000,00

Fecha Pago semestral Interesessobre saldos

Amortización Sa ldo

inicial

final semestre 1

final semestre 2

final semestre 3

final semestre 4

final semestre 5

25.000,0025.000,002s.000,0025.000,0074.487,38

5.000,004.000,002.950,001..847,50689,88

20.000,0027.000,0022.050,00, ? 1 q , q n

1.3.797,50

100.000,00

80.000,00

59.000,00

36.950,00

13.797,50

000,00

MATEMATICAS FINANCIEBAS

Para hallar el pago que corresponde al final del quinto semestre, se calcula, primero, el interés

correspondiente al saldo: 1'3'797,50(0,05) : 6s9,88; el pago que debe extinguir la deuda es la

suma de los intereses, más el saldo final del cuarto semestre 689,88 + 1'3.797,50 = ]'4.487,38.

Para calcular la tasa real de interés sobre el capital en juego se aplica la ecuación 60:

de donde

ú = tasa de interés;

Primer año:

i = r+ t+ ri - r

t _

7 + r

i : 10%; r = 2% tasa de devaluación

n 1 - o o ?

1+ 0,02

t = 7,843% (interés real sobre el capital en juego)

Segundo año: la devaluación sobre el primer año como base es:

r -- (1+ 0,02) (1 + 0,02) - 1

r = 4,04%

, 0,1 - 0,0404I = =U.Uc728566

1 + 0,0404

t = 5,720% (interés real sobre el capital en f uego)

Si se calcula la devaluación efectiva semestral, coincidiendo con el pe¡iodo de pago de

las cuotas, se obtienen valores ligeramente superiores. Es posible reelaborar el cuadro de

amortización, dividiendo la columna de intereses sobre saldo en dos columnas: una titula-

da corrección monetaria y la otra, intereses de capital. Las demás columnas no sufren varia-

ciones.

[ftffitrEf| Mediante el sistema de cuotas crecientes con incremento uniforme, hallar el

"al,c. d" las cuotas mensuales para amortizar un préstamo de $500.000 a 10 años plazo, al28%

de tasa efectiva anual, si las cüotas se incrementan en $100 cada mes.Dibújese el flujo de caja (uéase en la sección 9.15, el gradiente).

500.000

120 meses

A + -1.1.8LA + 779L

AMORTIZACION

Primero, se calcula el valor presentedel gradiente aplicando la fórmula 47:

, t ' . , . : . , I 'A L = L l r - ( r + r ) ' - n ( t + i f ' l = L l t p / t . i + . n t - t t l P / F . i n . n ) )

¡ L t J r '

t = I 00; n = l0(12) = 120 i = tasa equivalente menst¡al al 28% efectivo anual

I + i = 1,28É =1,0201847

i = 0.020'7847

loo I t - rt.ozolt+7t-t2o^L=

01207847 | aoroill;,- 120 (t,o2o7847rtto]

AL = 4.8',,t,f ' , 99,81]9]u - r20 r0.08a7036r1L 0.0207847 I

A L = 4.8 1 t.n f44,037 027 - 1 o,t 64/J21

AL = 162.968.84

Al restar a 9500.000 el valor AL, se tiene el valor presente de la base P' (uéase sección 9.15).

P': 500.000 - 162.968,84 -- 337 '03I,76

Para el cálculo de las cuotas de la base se tiene:

A = P ' ( A l P , i E o , n )

A = P "l _ ( 1 + D - n

A = 3J7.oJ l , l6 ' o 'o 'ot to1 , ,o

| - (t.0207847)-'*

A = 337.031,16 (0,02270816)

A ='7.653.36

Primera cuota, C, : fi7.653,36; segunda, Cr: $7.753,36; tercera, C, = $7 '853'36; y así sucesiva-

mente; última cuota Crr,, = 19.553,36

ffi[fif[E Un préstamo de 9500.000 a 10 años de plazo con la tasa efectiva del 2l%

u^.f, r" p*tu Uujo lasiiguientes condiciones: cuotas mensuales incrementadas cada año en el

18% sobre el valor del año anterior.A fin de comprender con facilidad y en detalle el método de solución, el problema se solucio-

nará en dos etapas. Las fórmulas aplicadas se pueden fusionar en una sola, si así se desa.

Se elabora el diagrama del flujo de caja (reaísese la sección 9.17 , gradiente geométrico).


10 años

Se calcula la cuota de anualidad para el primer año, apl icando la fórmula 50:

ñ ^ ( P l F , i v " , n l - l , . g n ( l + i ¡ - n - lg - ( P l F , i % , \ ) g - ( 1 + i )

P= 500.000; i=0,21;n=70; g = 1,18;( tasa deincremento) : 0 ,18, luegog: 1,13

. [ t ,rrto,azo++o;)]ro - r500.000: .4. '

1 , 1 8 - ( 1 + Q 2 1 )

0 777976\ - |5 0 0 . 0 0 0 = A . ' " ' ' " " "

-0,03

500.000 = AV,a0078)

A = 500.000 +7,40078

A = 67.560,45

Cuota para el primer a^o, fi67.560,45; para el segundo año,967.560,45(1,18) : $79.727,33 y asisucesivamente se incrementa el18% cada cuota de anualidad.

Para el cálculo de las cuotas mensuales en el primer año, se tiene:

Se apl ica

A

A = F I A / F . i % . n l F\ 7 ' ñ + i ) ' ' z - l

F :67.560,45; I : tasa mensual equivalente al2' l% efectivo anual: n: 12

AMoRIZACTÓN EEg

I + i = 7 . 2 7 i = 1 . 0 1 6 0 1 i 9

t = 0,0160119

A=67.560,45. 0 '016011?

(1,0160119)'" _ 7

A = 67.560,45 (0,07 62471.)

A= $5.757,29

Se comprueba que al aplicar la f órmula 42, A = W(Nf , i/" , k), se obtiene el mismo resultado:

A= 67.560,45;W = pago mensual; m= 7; p = 12; k = +

= +, i : Zt%

Cuota mensual durante el primer año, C, : $5.151,29,las cuotas mensuales en el segundo año seincrementan en el 18%; Cz: 5.757,29(1,18), C, : $6.078,52, y así sucesivamente. Las cuotas men-suales para el quinto año C. : $5.1.57,29(1,18\4 : $9.987,21.En general, si C, es la cuota mensual del primer año, en el k-ésimo año es Co : C,(1 + g)t. l dondeI : tasa anual de incremento.

r 0.4 cÁrculo DEL sArDo rNsoLuToEs obvio que por simple inspección del cuadro de amortización, se conoce el saldoinsoluto. Pero, en muchos problemas de planeación es necesario conocer los estadosfinancieros en fecha futura; el problema se resuelve para este caso en la misma formacomo se calcula los valores de anualidades en fechas intermedias.

ffiIEEU Una deuda de 9100.000 debe amortizarse en 8 años, por medio de pagos se-mestrales a una tasa del 10% capitalizable semestralmente. Hallar el saldo insoluto, al final delquinto año.

Primero se calcula el valor A de la amortización.

A= P(A lP , i r . , n )= p . r_ i . t f

P = 100.Offi; ¡ = 0,1.0; m = 2; i = 0,05; n = 8(2) = 16

n n qA = 100.000 (,4/p, s%,1.6) = 100.000 . r--ffil;r - ( r,u)/

A = 100.000 (0,0922699't ) = $9.226,99

Al finalizar los 5 años, faltarán 3 para la extinción de la deuda, y el saldo insoluto es igual al valorpresente, 3 años antes de la extinción de la deuda.

sa ldo i nso lu to p = A (p lA , i% ,n )= o .7 - ( l + i ) - "I

A= 9.227 ; I = 0,05; n =3(2) = 6P = e.227 (P I A, s%, 6) = e.226,ee ( s,e756e2)P = $46.833


El saldo insoluto puede determinarse por otros métodos, que es factible analizar.

10.5 RESERVAS PARA ATENDER RENTAS CUYOS PAGOS SON VARIABTES

En esta parte se aborda la situación de las reservas necesarias para el pago de una rentacuyo valor crece en razón geométrica.

Sea una renta comprometida inicialmente de $1 por periodo y que crece a la tasar por periodo, mientras que la reserva crece a la tasa efectiva i por peiiodo.

(1+r ) '

P = ( 7 + r ) ( I + i ) ' + ( 1 + r ) ' ( 7 + i ) , + . . . + ( 7 + r ) " ( 7 + i ) , ,

(1+r) ' -r (1 + r)''

7 + rP - _ +

7 + i

1+ r ) ' ( r + ' ) '- l + . . + l - l7+ i ) [ t + i J

^ 1 * r (#)' - t etéase capítulo 9, problema 48)r= - . - - . - - - - - . - ;

1+ i (# ) - 1

^ 1 ( l+ ) ' - t ( i : : ) " - tD ¡ -

l - ¡ l - t t , ¡t , t T , , - l l - ¡ , ,

1- l++I'P= -,Y; sust i tuyend" i j = 1 + 1;+ -1

se tiene,

7 - ( 7 + i . ) "p = - = ( n ¡ n , i , , n )

It

(1+r ) '

AMORTIZACIÓN

La i, se llama fasa actuorial. En economía, cuando r es una variación por causa de

inflación, la i, se denomina tasa dura de interés.

Puesto que 1 + i : (1 + l,) (1 + r), se puede enunciar:Si las reseraas y sus aarieciones se calculan con Ia tasa actunrinl, entonces se obtiene una

reseran n t'inal de periodo, la cunl, pnra mantenerla sut'iciente sI comienzo del periodo siguiente,

debe brcrementarse a la tnsn de crecimiento de los pagos.El enunciado anterior es úti l para las aplicaciones en las que cambian las tasas de

variación de los pagos y de interés, dentro del plazo de la anualidad.

[ftffiftf[lg Calcular la reserva necesaria para pagar, durante 4 años, una anualidad ven-cida cuyo valor inicial se pacta en $10.000 y crece a la tasa del25%, si las reservas se invierten aun interés del30%.

A = 10.000; n = 4; i = 0,30; r = 0,25

1+ 0 ,30i. = = 1,04' 7 + 0 , 2 5

1 - ( 7 + i . ) "P = A . ' . ' = a ( r l ¿ , i . q , n )

l ,

1- (7,04) 'Ir = 10.000

0.04

Reserva Más 30% deintereses

Menospago

Saldo

0

1

¿

3

4

36.299

34.689

29.470

18.780

10.890

10.407

8.841

s.634

12.500

75.625

79.531

24.474

36.299

34.689

29.470

18.780

000

Si el movimiento de la reserva se calcula con tasa actuarial, se agrega la columna de corrección

reserva.

Reserva Reservapor 1,25

Más4%

Menos

Pago

Saldo

01I

2

3

4

36.299

34.689

29.470

18.780

45.374

43.367

36.838

z J . + / J

1 .815

t . / J +

7.474

939

12.5001.5.62s19.s3124.414

36.299

34.689

29.470

18.780

000


10.ó VENTAS A PIA'ZOS

En las ventas a plazos, el comprador una vez cancela la cuota inicial, se constituye endeudor del saldo insoluto y debe amortizar la deuda en pagos iguales, cancelados pe-riódicamente, a la tasa convenida. (Revísese lo estudíado en 3.5).

En las ventas a plazos se emplean dos sistemas básicos. Uno de ellos consiste endar el precio del artículo, suponiendo que se vende a plazos y, sobre ese precio de lista,se hace un descuento, cuando la venta es al contado. El otro sistema consiste en dar elprecio de contado y, a fin de determinar las cuotas para venta aplazos, se agrega ciertoporcentaje al saldo por pagat y el monto obtenido se divide en pagos iguales. Una va-riante de este último sistema consiste en agregar determinado porcentaje al precio decontado y luego restar la cuota inicial, para obtener el saldo insoluto que se dividirá enpagos iguales.

Cualquiera que sea el plan usado para la venta a plazos, entre el precio de conta-Co, Ia cuota inicial y el saldo insoluto existe la siguiente relación:

Precio de cotttndo : cuotn inicinl + A(P/A, i/", rt) (61)

ff i trIEE Una máquina de tejer se vende en 9420.000. Si la venta es al contado, se des-cuenta el 78%. A plazos, se puede comprar con una cuota inicial de $120.000 y el saldo en 12pagos mensuales. Hallar el valor de las cuotas y la tasa efectiva de interés anual cargado.

Valorde contado = 420.000(0,82) = 344.400; cuota inicial = 120.000; n = 12

420.000 - 120.000valor cuotas = = 25.000

72

precio contado = cuota inicial + A(nl A, if", n)

344.400 = 120.000 + 25.000 (n¡ e, in, n)

(Pl ¡, ¡-, ' tr l = 4-900 = 8,s762s 000

(P|A,4,5%,72)=9,11359078;(PlA,5%,72)=8,86325764; para calcular I se procedrpor interpotalación.

a 0,05 corresponde 8,86325164 Ia 0,045 corresponde 9,11858078 |

a i corresponde 8,97600000a 0,045 corresponde 9,11858078

0,00s es a -0,25532914 como i- 0,045 es a -0,742s8078

0,005 i - 0,045-0,25s32914 0.14258078

i - 0,045 =0,00st-0,14258078 ) = 0,00279-0,25532914

i = 0,01779 ; 4,78% mensual

AMoRrzAcrÓN EEE!

Solucionar este ejemplo utilizando calculadora con funciónXv (Reuísese: problema 35 del capítu-lo 6; ejemplo 7.3 y poblema 8 del capítulo 7; problema 4 del capítulo 8; en éstos se calculó la tasacon calculadora).

Para hallar la tasa efectiva anual, se tiene:

r + i = ( 1 , + 0 , 0 4 7 8 ) 1 ,

i : 0,751.

tasa : 75.1% efectiva anual.

ffitrEE Una aspiradora se vende de contado en 9250.000; a plazos se recarga elvalor del 10% y se ofrece con el siguiente plan: $50.000 de cuota inicial y el saldo en 8 pagosmensuales iguales. Hallar el valor de las cuotas y la tasa de interés nominal cargada.Primero, se calcula el valor de las cuotas; de acuerdo con el plan, se tiene:

. 2s0.000 (1,1) - s0.000^ =

, = - ñ . 1 ¿ J

250.000 = 50.000 + 28.125 ( P I A, i%, I )

( P I A, i%,8) = + ;10:o = Tlrtrtrtl28.125

(Pl A,2,5%,8) = 7 ,1701,37t7; (PlA,3%,8) = 7 ,01,969212

Mediante interpolación se tiene:

i tu=37 '61%

1O.7 DERECHOS SOBRE UN BIEN PAGADO POR CUOTAS

Los derechos de propiedad sobre un bien comprado a plazos sólo se adquieren al pagarla últ ima cuota. Con frecuencia, es necesario determinar en algún momento, dentro del

proceso de pago, la parte que corresponde al comprador y la parte del vendedor Para

estos casos la ecuación de equivalencia se hace con los mismos factores convenidos enla deuda y queda así:

Parte amortizada + saldo insoluto : precio de oenta

La parte amortizada es el derecho del comprador y el saldo insoluto es el derechoque le corresponde al vendedor; por esto la igualdad anterior puede establecerse así:

Derechos del comprador + derechos del aendedor : precio de compra


1O.8 CAPTACIóN DE AHORRO Y PRÉSTAÍIAOSpARA ADeutstctó¡¡ o¡ BtENEs nníc¡s

En el campo financiero, la captación de ahorros y los créditos para vivienda se encuen-tran en estrecha dependencia. En una situación de desvalorización monetaria, la preocu-pación principal de los gobiernos es mantener un ambiente de confianza tanto para elahorrador como Para los constructores y compradores de vivienda. Para el ahorradordebe resultar atractivo depositar en corporaciones financieras de ahorro y vivienda.Estas instituciones crean sistemas en los que combinan corrección monetaria, tasas deinterés y tasas para depósitos a término fijo. Para los constructores y compradores devivienda es básico tener la seguridad de que los sistemas crediticios en que se compro-metan, mantendrán los índices de corrección proyectados por el gobierno, por lo me-nos a mediano plazo.

Fondos de ahorro y vivienda Es una modalidad de ahorro de particulares, orientada afinanciar la construcción y adquisición de viviendas.

A fin de evitar que la desvalorizacilnmonetaria erosione los ahorros, los gobier-nos autorizan normas para la corrección monetaria de tal modo que los dineros enjuego mantengan su poder adquisit ivo. Estas correcciones monetarias se calculan conbase en el índice de precios al consumidor (IPC) y las tasas de interés efectivas de cap-tación en depósitos a 90 días; igualmente, permiten tomar los dineros de préstamos,inversiones y ahorros para convertir los en unidades monetarias de valor constante(UMVC). En Colombia, por ejemplo,los dineros en juego se convierten en upAC (uni-dades de poder adquisit ivo constante). Por resolución del primero de agosto de 7995, elBanco de la República calcula mensualmente, para cada uno de los días del mes si-guiente el valor UPAC, con base en la tasa de interés efectivo (promedio ponderado) delas tasas efectivas de captación a 90 días e informa a los bancos y corporaciones de ahorroy vivienda. En Chile, los dineros en juego se convierten en UF (unidades de fomento),creadas por Decreto Supremo en enero de 7967. El valor de las UF lo calcula el BancoCentral con base en el IPC, mediante la ecuación:

en la cual VN es el porcentaje (%) de variación del IPC registrado en el mes inmediata-mente anterio¡, n es el número de días del periodo para el cual se calcula Ia UF (esteperiodo es mensual), y el Banco Central publica cada mes un l istado con los valores delUF día a día.

La amortización gradual -mediante cuotas de valor constante con intereses sobresaldos- es susceptible de modificaciones variando la primera cuota. Por ejemplo, aiagregar una cantidad K que puede ser positiva o negativa (incremento o decremento) r'anular esta variación de la primera cuota por variaciones de las cuotas restantes. Esto sepuede hacer en forma arbitraria a criterio del inversionista.

1

T T , T N \ ;, - | t + - |'

[ ^ too/

AMORTIZACION

@ilffl Un préstamo de 9900.000 a 2 años de plazo, al9% de interés efectivo anual,se cancela mediante cuotas iguales con intereses sobre saldos. El valor de los pagos mensualeses 900.000 * 24 = $37.500. Si el inversionista ofrece disminuir las cuotas del primer año en $5.000mensuales, y aumentar las del segundo año en $5.000, se tiene:

Cuotas del primer año : 37.500 - 5.000 = $32.500

Cuotas del segundo año = 37.500 + 5.000 : $42.500

32500(12) + 42.500('12) = 900.000

El inversionista, al introducir esta variación, recupera más lentamente su capital en el primeraño, pero acelera la recuperación en el segundo año. En este contexto de las variaciones de laamortización gradual, uno de los métodos utilizados por las corporaciones de ahorro y viviendaconsiste en variar la primera cuota en una cantidad K, y anular esta variación con variacionesuniformes en las (n - 1) cuotas restantes. Sea / la variación uniforme de la segunda cuota ysiguientes, se tiene:

K + ( K - . i ) + ( K - 2 f ) + ( K - 3 f ) + . . . [ K - ( r - z ) f l + l K - ( ' ¡ - 1 ) / l = 0

o s e a , " K - f f

I + 2 + 3 + . . . ( n - 2 ) + ( n - 1 ) l : 0

. ( n - 1 )d e d o n d e , n K - f l n .

- l = 0' \ 2 )

, . f (n- r )^== -

Por lo general,/es un porcentaje (%) anual de la cuota media de amortización gradual.

tffitrEEl Una corporación presta $3.000.000 para compra de vivienda con un plazode 10 años amortizable en cuotas mensuales, y sea la cotización de la UMVC (unidad monetariade valor constante) $5.340:

Valor del préstamo en UMVC : #

=56L,7978

número de cuotas

Valor cuota media

La corporación financiera presume:

10(12) = 12s

561:2278 = 4,68r6(uMVC)720

1. En el tiempo, el salario familiar -por efecto de la corrección monetaria- mantiene su equi-

librio con las variaciones de la UMVC.

2. En el futuro, el salario famil iar del prestatario mejorará su poder de adquisición.

De acuerdo con la anterior estructura, un plan de préstamos mediante cuotas crecientes con

variación uniforme, en consecuencia, hace que/ = -5% anual del valor de la cuota en UMVC:


primera cuota

primera cuota

segunda cuota

t"'"iu':tu

a a

última cuota = 3,5209 - 1l9f -

3,5209 + 119(0,019507) = 5,8422 UMVC

Otros sistemas de préstamos de las corporaciones de ahorro y vivienda son aqué-llos en moneda corriente cuyas cuotas son mensuales fijas con corrección monetariaanual. Estos modelos son aplicaciones de los gradientes geométricos en los que elgradiente es el porcentaje de corrección monetaria anual y las cuotas mensuales corres-ponden a las cuotas constantes de interperiodo (aéase ejemplo 10.6). Este sistema quedasometido a las variaciones de la corrección monetaria; por tanto, el saldo del créditocomo las variaciones de las cuotas no corresponden a los cálculos iniciales y, así, surgenincrementos y decrementos de ajuste, los cuales deben calcularse en el futuro.

En los préstamos de moneda corriente, para calcular la primera cuota mensual sedebe hacer con base en la tasa efectiva que incluye corrección monetaria e intereses. Deacuerdo con estos elementos, la fórmula 50 se puede replantear para tener una estruc-tura más simple de cálculo:

P = A .g ' ( P l F , i % , n ) - ' ) . g " ( 1 + i ) ' ' - 1

g - (r¡n ,i%,t) g - ( 1 + i )

sea: tasa de corrección monetaria : CM

tasa de interés : l

tasa efectiva = (1 + CM) (1 + l)-1 : I

gradiente :'J. + CM : g

tasamensual =(1 + I l i - t : i , ,

Al sustituir I, se tiene:

:4,6876 -1.,1,607 :3,5209 UMVC

= 3,5209 - f = 3,5209 + 0,079507 = 3,5404 UMVC

= 3,5404- f :3,il04 + 0,019507 :3,5599 UMVC

A .

AMORTfZACf ON

Se despeja,4 cuota media anual

A

pls -rt4g " ( 1 + t ) ' - 1

P ( 1 + C M - 1

P[ (1+C , \ , r ) - ( 1+1 ) l

6+C^4171+t I - i_ r) P(CM - t)

( 1 + C M ) ' ( 1 + l ) - 1( 7 + C M ) ' ( 1 . +

P(CM - I) (1

I ) - 1

+ l ) '+ I l

sr para la cucl ta C- mensual , la tasa i , , , - ¡ + I ) , I

entonces,

de donde ,

sc sust i tuye A,

( 1 + C M ) ' ( 1

c= A (A f r , , i , , , ,

¡ = ¡ . ! u .I

^ c( / )i , , ,

12)= A. - - ' t " ' -=' ( l + i , , , ) ' - - 1

Esta fórmula ut i l izada por las corporacione s de ¿ihorro y v iv ienda se puede rcduci ra una expresión más simple. Dividierrdo numerador v denominador por (1 + 0", se tiene:

( - - P(¡ , , , )u cM,)p u c s t o c l u e l > C , & 4

f f i IEI[f ,E Se otorga un préstamo de g4.0(X).000 a 10 años de pl.rzo a l¿ tasa efectivade l 6 ' / " de in te reses anua les . S i la tasa de deva luac i t in anua l se es t lma en e l 1 ' l% y e l p rés tamo sepacta para amor t i zarse con cuotas mensua les igua les , rea jus tab les cada año med ian te la tasade cor recc i t in monetar ia , ha l la r e l va lo r de la p r imera cuota de abono a cap i ta l e in te reses .

- ( - P ( i , ) 0 - c M )

, f ,_fr+c,vrl" lL I t * t ) )

cuota mensua l

r [ ' - f l "c ' t r11L l t * t ) I


Cuota mensual C:

Al calcular

se tiene:

. Para eI28%:i efectivo mensual :0,0207847

. Para el 74%:i efectivo mensual = 0,0109799

P = 4.000.000; CM = 14%; i = 6%; n = 70I = (1,,06) (1,74) - 7= 20,84%

i^ = 1,2gg4# - 1 = 0,01589984

c _ 4.000.000 (0,01s89984) (0,2084 _ 0,14)r - - - - - - = . - -| / , r , . l 0 l

o.2os4l r - l t ' t+ I IL \1'2084i J

. _ 4.350,796224- - or92o3o53

C = $47.269,06

Para otorgar préstamos sobre adquisición de vivienda, las corporaciones financie-ras a¡alizan la capacidad

9"-puq9 del comprador; esta capacidad á" pugo depende de

sus ingresos personales y/o familiar"r Fl general, ," u."ptu que un iraÉajadtr pueda

destinar entre el 25% y e.\33% de su sueldo"para la aaquislcion de vivienda. Así, en unasana polít ica crediticia, las cuotas mensualós para pagar un préstamo de vivienda nodeben exceder el33% del salario familiar. Pari calculai el valór máximo de crédito quese puede otorga¡, se multiplica el ingreso familiar por un factor determinado con baseen el valor actual de una cuota mensual de $1. para desarrollar un ejemplo de capaci_dad de préstamo, se prepara una tabla del factor (p/A, i%,

"¡ p*udos tasas efectivas

bastante diferentes entre sí, sean estas tasas efectivas anuales Zán y 14%,y parart = 72,120,780,240 y 300 meses.

Para e l 28%, la tasa efect iva mensual es: la ¡=1,28i ; i=0,0207847

Para e l 74%, la tasa efect iva mensual es: 1+ i=7,14i ; l=0,01097g9

1 - r t ' ¡ ¡ - t t(P/A, i%, r) =---- : 'I

AMORTIZACION

(n¡a, z,oza+7%,120) =

(n¡n, Loozao%,720) =

| - (7,0207847) ""0,0207847

1- (7,0709789[""

_ 44 ñ470)

= 66,574650,0109789

(PlA, 2,07847%,180) = 46,926247

(P I A, 1,097 89 %,180) = 7 8,323395, y así sucesivamente

Años Meses 28% r4%

12

120

180

240

300

10,524557

44,037028

46,926247

47,767722

48,077849

77,785776

66,5746y

78,323395

84,456467

87,647784

AI aceptar como máximo el pago de cuotas equivalente s al30% del salario fami-l ia¿ el factor máximo crediticio por cada cuota de g1 es el 30% del valor de (p/A, i%,n).De esta manera, para un ingreso familiar de $50.000 se tienen los créditos máximoso to rgab les a :10 ,75 ,20y25 añosa tasase fec t i vasanua les de l28%yde l74 /o ,as í

Factor para 10 años, tasa del28% : 44,037028(0,30) : 73,2117084




y así sucesivamente.

Conocidos los factores, se calculan los créditos máximos expuestos en el siguientecuadro:

MATEMÁICAS FINANCIERAS

13,21 1 1084(50.000)

1,9,9s43962(50.000)

74,0778741(50.000)

23,4970785(50.000)

14,3301366(50.000)

25,3369401(50.000)

74,4035547 (50 .000)

26,2925352(50.000)

660.555

997.720

703.894

7.774.857

716.s07

7.266.847

720.778

7.374.627

Años CuotasCrédito máximo

2870 14%

1 0

1 5

20

25

720

180

740

300

660.055

703.894

776.507

720.778

997.720

7.774.857

7.266.847

7.374.627

En esta parte se ha preparado el cuadro de capacidad de crédito para dos tasasdiferentes, de tal manera que el estudiante aprecie la incidencia de tasas altas sobre lacapacidad de crédito de los trabajadores y, en consecuencia, sobre la industria de laconstrucción. Estos análisis corresponden al campo de la economía. v sólo se introducela forma de calcular la capacida<l de crédito. Paia Ia amortización áe créditos se handesarrollado los sistemas básicos. A través de la combinación de estos sistemas y me-diante variantes se han creado muchos modelos de amortización de créditos; el intere-sado, con estos elementos, está capacitado para analizarlos y, si lo desea, crear nuevossistemas; se aconseja estudiar los modelos de crédito aplicados en su localidad, así scpracticarán y profundizarán los conocimientos adquiridos. En los problem as 6 y 7 sepresentan sistemas de amortización con cuotas extraordinarias.

I 0.9 PROBTE'IAAS RESUELTOS

I una deuda de $100.000 a 5 años de p lazo debe pagarse con e l s iguiente p lan d.amortización: cuotas semestrales iguales a Ia tasa del 70% nominal convertit ' i .semestralmente; durante el primer año y medio se pagarán sólo los intereses t ', 'partir del cuarto semestre, se cancelarán cuotas hasta extinguir Ia deuda al f ina-de su p lazo.

AMoRrzAoóN EEI

Intereses al final de cada uno de los 3 primeros periodos : $5.000.

A=P(A IP , i%,n )=p - - l -1 - (1+ l ) - n

P = 100.000; n=7 ; i =0,05

A= 100.000(AlP,5%,7)

A=977.281,,98

2. Con el objetivo de desarrollar un área industrial se conceden préstamos de fomentocon el siguiente plan de amortización: plazo a 5 años; cuotas semestrales a la tasa del4% efectivo semestral; en los dos primeros años se amortiza el20% de la deuda, y enlos tres últimos años, el80% restante. Aplicar el modelo a un préstamo de 9500.000.

Amortización en los dos primeros años: 500.000(0,2) : 9100.000Amortización en los tres siguientes: 500.000(0,8) : 9496.gOOCuota para los dos primeros años:

A = P ( A l P . i % , n l = P '\ ' / 7 - ( 7 + i ) '

P = 1 0 0 . 0 0 0 ; i = 4 % ; n = 4

A = $27.549,00

Fecha Pago semestral intereses 5% Amortización Saldo

inicial

final semestre ifinal semestre 2

final semestre 3

final semestre 4

final semestre 5

final semestre 6final semestre 7final semestre 8

final semestre 9

final semestre 10

0,00

5.000,005.000,00

5.000,00

77.281,98

77.281,,98

17.287,98

77.287,98

1,7.287,98

77.287,98

77.282,00

0,00

5.000,00

5.000,00

5.000,00

5.000,00

4.385,90

3.747,70

3.064,05

2.353,76

7.606,72

822,95

0,00

0,00

0,00

0,00

12.28].,98

72.996,09

13.540,88

74.277,93

74.928,82

15.675,26

76.459.05

100.000,00

100.000,00100.000,00

100.000,00

87.778,02

74.827,94

67.287,06

47.063,73

32.734,31

16.459,05

000,00

TOTALES 73s.973,88 35.973,88 100.000,00


Cuota para los tres últimos años:

P=400 .000 ; i =4%; n=6

A = 400.000 (AIP,4%,6)

A = $76.304,76

3. Una deuda de $100.000 debe cancelarse con 4 pagos trimestrales vencidos iguales,más intereses delS% nominal convertible trimestralmente. (Amortización constan-te y cuota variable decreciente).

, i00.000o=

4 - , )Z) .UUU

Fecha Pago semestral intereses 4% Amortización Saldo

Inic

fina

fina

fina

fina

fina

fina

fina

fina

fina

fina

.al

lsemestre 1

lsemestre 2

lsemestre 3

lsemestre 4

lsemestre 5

lsemestre 6

lsemestre 7lsemestre 8

lsemestre 9

I semestre 10

0,0043.549,00

43.549,00

43.549,00

43.549,00

76.304,76

76.304,76

76.304,76

76.304,76

76.304,76

76.304,79

0,00

20.000,00

19.058,04

18.078,40

77.059,58

16.000,00

73.587,87

77.079,73

8.470,11

5.756,72

2.934,80

0,0023.549,00

24.490,96

25.470,60

26.489,42

60.304,76

62.716,95

65.225,63

67.834,65

70.548,01,

73.369,99

500.000,00

476.451,00

457.960,04

426.489,44

400.000,02

339.695,26

276.978,37

277.752,68

743.978,03

73.369,99

000,00TOTALES 632.024,59 132.024,59 500.000,00

Fecha Ínterés 2%sobre saldo

Amortización Pagotrimestral

Saldo

Inicial

final trimestre 1

final trimestre 2

final trimestre 3

final trimestre 4

2.0001.5001.000

500

2s.00025.00025.00025.000

27.00026.s0026.00025.500

100.000,007s.00050.00025.000

000TOTALES 5.000 100.000 10s.000

AMORTIZACION

4. Desarrollar el problema anterio¡, si se exige el pago de intereses por trimestre anti-cipado, e indicar la tasa real cobrada.

Tasa real cobrada i = 0,02

0,02, - -

1_ 0,02

r =0,020408

Tasa real nominal : 8,'J.63% con capitalización trimestral.

5. Un inversionista presta $1.000.000 que deben cancelarse con cuatro pagos semes-trales vencidos, iguales, más intereses. Puesto que el momento se presenta un am-biente de devaluación, se pacta un interés del 30% para proteger la inversión. (a)Preparar el cuadro de amortización. (b) Si la devaluación en ese momento es del22%, hallar la tasa de interés real que espera recibir el inversionista. (c) Si ladevaluación al iniciar el tercer semestre es del25%, hallar la tasa de interés real querecibe el inversionista sobre el saldo de su inversión.

(a) Cálculo de la cuota C semestral:

it - t

6 = -1ioo loo = $25o.ooo+

Cálculo de la tasa de interés semestral:

i . = (1+ 0 ,2 ¡ i - t

i, = 14,01754% semestral

Fecha Interés27oanticipado

Amortización Pagotrimestral

Saldo

Inicial

final trimestre 1

final trimestre 2

final trimestre 3

final trimestre 4

2.000

1.500

1.000

500

000

000

25.000

25.000

25.000

25.000

2.000

26.500

26.000

25.500

25.000

100.00075.00050.00025.000

000TOTALES 5.000 100.000 105.000

l@ MArEMÁTrcAS FTNANoTERAS

Fecha Interesessobre saldo

Amortización Pagosemestral

Saldo

Inici

fina

fina

fina

fina

d L

Isemestre 1

I semestre 2

I semestre 3

lsemestre 4

t40.1,75,40

105.131,55

70.087,70

35.043,85

250.000250.000250.000250.000

390.775,40

355.737,55

320.087,70

285.043,85

1.000.0000750.000500.000250.000

000

(b) Tasa de interés real que espera recibir el inversionista.

Se aplicalafórmula 53 i : r * t * rt

i : 30%; r :22%; f : tasa de interés sobre el capital

. 0,30 - 0,22t = -

7+0 ,22

t = 6,56%

(c ) i : 30%; r : 25%

. 0,30 - o,zst = -

1+ 0 ,25

t = 4 %

6. Una deuda de $200.000, a la tasa del 24% nominal, se debe amortizar en 3 añosmediante el pago de cuotas trimestrales iguales. Hallar el valor de las cuotas. Alefectuar el segundo pago, el deudor hace un abono extraordinario de $60.000; ha-llar el nuevo valor de las cuotas para cancelar -en el plazo previsto- el saldo insoluto,y preparar el cuadro de amortización de la deuda.

A = P (A IP, i%, n )= P . 1 _ ; . t ) .

o ) 4P = $200.000; n =3(Z) = 6; i =

f = O,tz

o 1 )A=200.000., , : i i

t - 1t , tZ)u

i - rt -

7+ r

AMORTIZACION

A=200.000. 0 '72

0,4933689

A = $48.645,1'4

Al efectuar el segundo pago, el saldo insoluto es el valor presente en esa fecha, delas 4 cuotas de$48.645,14 que restan.

1 - ( 1 1 ) t 4Pz = 48.645,14(P1A,1.2%, 4) = 48.645,1.4

Pz = 48.645,74 (3,03734933 )

Pz = 747.752,28

A este valor se resta el abono extraordinario y se tiene el saldo insoluto, el cualdebe amortizar en los 4 semestres restantes.

Saldo insoluto

Nueva cuota

= 1,47.752,28 - 60.000 : 87.752,28

0.12= l l = ó / . / J ¿ . 2 ó . -' 2

7 - f t , 7 D 1

4 = 87 .7 52,28 (0,3292344)

4= 28.891,07

En los préstamos a largo plazo -para los cuales se prevén pagos extraordinarios- seacostumbra agregar una columna con los valores del factor (4P, i%, n) , donde n esel número de cuotas pendientes de pago. Al multiplicar el saldo por el facto¡, seobtiene el nuevo valor de las cuotas. En el cuadro de amortización de este problemase ha agregado la columna del factor; compruébese que al multiplicar el saldo porel factor, se obtiene el valor de las cuotas que siguen.

7. Una deuda de $500.000, a la tasa deI78% efectivo,el siguiente plan: cuotas semestrales iguales más

se debe amortizar en 4 años conextraordinarias de $50.000 cada

Semestre Valor cuota lnterés12% Amortización Saldo Factor

012J

a

56

48.645,74108.645,7428.897,0728.897,0728.897,0728.897.72

24.000,0027.042,5810.530,288.326,99q Rqq to

3.095,48

24.645,1.487.602,561,8.360,7920.564,0923.037,7825.795,64

200.000,00775.354,8687.752,30Aq ?q1 q1

48.827,4225.795,64

0,00

0,24322570,27740970,32923440,47634900,59769871,1200000

55Aa

aJ

210


final de año. Hallar el valor de los pagos y elaborar el cuadro de amortización.El problema se analiza con base en su flujo de caja:

500.00050.000

8 I semestres

El flujo de caja presenta dos anualidades agregadas, el valor presente de $500.000 co-rresponde a Ia suma de los valores presentes de ellas: 8 pagos semestrales más 4pagos anuales, ambos vencidos.

fása semestral equivalente al 18% anual

!

1 + i = 1,182 = 7,0862780; i = 8,6278%

s00.000 = A(pl A, 8,6278%, 8) + 50. 000 (pl A, 18%, 4)

1 - t1 oR62780lE 1 -0,19) '500.000 = A.

- )-ll=:.^=== + 50.000 ________0,0862780 0,18

500.000 = A(5,6722779) + 50.000 (2,690061.8)

A= $65.725.22

50.000 50.000

Semestre Cuota Intereses0,086278%

Amortización Saldo

n

r

2

Aa

5

6

7

8

65.725,22

t75.725,22A 4 1 ) q ) )

175.725,22

tL5.1,25,2265.1,2s,22

175.725,77

43.139,00

41.242,07

34.867,59

32.257,07

25.707,37

27.654,64

73.590,1,9

9.743,85

27.986,22

73.883,75

30.257,64

82.868,27

40.017,91

93.470,58

51.535,03

105.987,26

500.0000

478.073,78

404.730,63

373.872,99

291,.004,78

250.986,97

757.576,29

705.987,26

0,00

Una propiedad se vende en $6.000.000; el comprador paga $2.000.000 de contado y secompromete a cancelar el saido en tJ años, con cuotas anuaies iguales a\ 6% de interésefectivo sobre saldo. Hallar: (c) el valor de las cuotas; (b) los derechos del vendedor ydel comprado{, al pagar la quinta cuota.

(n ) A=P (A lP , i%,n )= r . t_ ,u , f

p= 6.000.000_ 2.000.000=4.000.000; t t=g; i i :6, t / , ,4 .000.000 = A(P lA,6%,8)= ¡ . 0 '06

1- n .06) -6A = 4.000.000 (0,76703594)A = $644,743,80 (anlor de lns cuotns)

(b) derechos vendedor + derechos comprador : precio de compra

644.743,80(PlA, 6%',3) + derechos comprador : $6.000.000

644.7 43,80 (2,67 301795) + derechos comprador : $6. 000. 000

derechos vendedor : $7.727.804,70

derechos comprador = 6.000.000 - 7.721.804,70 = fi4.278.I95,90

9. LJna nevera se vende al contado en $640.000. A plazos se ofrece con el siguienteplan: $160.000 de cuota inicial y el saldo incrementado en el 10% se paga en 72cuotas mensuales iguales. Hallar el valor de las cuotas y la tasa efectiva de recargo.

saldo insoluto = 640.000 - 160.000 = 480.000

valor cuc 48o ooo 11'1))tur= É

= $-14.000

640.000 = 160.000 + 44.000 (PlA, i%,12)

(PlA,i%,rz¡= 180 loo =7o,eoeo9o91. 44,UUU

(Pl A, 1,,5%, 12) = 19,997 50527; (P / A, 7,25%, 1,2) = 11,g7tttrn,

a 0,015 corresponde 70,90750527

a 0,0725 corresponde 1.1.,07931.1.97

AMORTIZACION

a x corresponde 0,9090909I

a 0,0125 corresponde 1,7,07931797

0,0025 es a '0,1.7780676 como r -0,0L25 es a -0,77022706


0,0025-0,77780676

x - 0,0725 =

x - 0,0725-0,17022106

0,002s (-0,77022706)= 0,002476

0,77780676

x = 0,015 (tasa efectiva mensual)

7 + i = (7+ 0,015)12 = 7,19561877

i = 19,56% tasa efectiva anual

10. Un industrial es deudor de un préstamo de fomento a la tasa efectiva anual del 8%,que paga con 20 cuotas de $608.188 por trimestre vencido. Suspende el pago de lascuotas 7 y 8y al vencer Ia número 9, acuerda con el banco refinanciar su deuda a unnuevo plazo de cinco años con cuotas por trimestre vencido; además se comprome-te a cancelar de inmediato el 1,5 mensual por concepto de intereses de mora y el2%sobre el monto vencido por concepto de comisiones y gastos bancarios. Hallar elvalor de las nuevas cuotas y el monto que debe cancelar de inmediato.

Primero, se calcula la tasa efectiva trimestral y se elabora un diagrama con base enIas condiciones de la deuda.

i = ( 7 + 0 , 0 4 ; i - t

i =7,942655%

09

1l 0

19 10

-r----lt t

A 1 A j

.l] = saldo insoluto de la deuda original

P, -valor presente de la nueva deuda

P,= A(P lA, i%, n )

tt = 74; i = 7,942655%; A = 608.188

4 = 608.188 (P¡,a,t,O+2e55, 14)

4 = 608.188 (72,75525757)

P, = 7.392.678

608.188 608 1¿r8

AMORTIZACION

P. = 7.392.67I (7,05947975)

P' = 7 '837'944

4= P.(aln ' i ' r " ' n)

4 = 7.83r.9M (Al P, 1,9426ss%, 20)

4 = 7.837.944 (0,06081880)

A, = $476.329,50

Pago convenido de contado: 2% sobre cuotas 7 y 8 :608.188(2) : 7.276.376Comisión y gastos: 2% de7.276.376 :7.2t6.376 (0,02) = 24.327,52Intereses de mora: 1,5% mensual sobre cuotas 7 y 8608.188(0,03) + 608.188(0,01s) : 27.368,46Pago de contado : 24.327,52 + 27.i68,46 : $5L696

11' Un préstamo de $1.000.000 a 3 años plazo debe cancelarse mediante cuotas trimes-trales vencidas, con intereses del 8% nominal anual y corrección monetaria del20%anual. Se pacta bajo la condición de que las cuotas se incrementarán cada año el78% y las cuotas de cada interperiodo permanecerán constantes (este sistema sedenomina de escalera). Tabular la amortización.

Primero, se calculan las tasas efectivas:

tasa de interés trimestral it

in terés efect ivo anual iu

tasa efectiva anual con CM, I

f = primera cuota anual; g

Fórmula 50a; (despejando A)

: 8 % + - 4 : 2 %

: (7,02)1-7 : 8,243276%= 1,20(1,08243276) - 7 : 29,897859%: 7,18;P : 1.000.000; n : 3

._P [s - ( t+D]- , 9 " ( 1 + l ) " - 1 (C= A)

/_ _ 1.000.000 (1,18 -1,298e1859) 118.918,59 .__L - - : 4 . / a ¡ J a v l l

(1,181 (1,29891859) '- 1 0,25027805

C, = 475.145,90; C. = C,(7,78) = 560.672,76i C. = C.(7,18) = 667.593,75

Cuota A de interperiodo trimestral,

tasa efectiva con CM = (1.,29897859)1 - t; i = 0,06756784

IEO MArEMÁIcASFTNANCTERAS

Se aplica la fó¡mula 29 paraF : Cr:

At=Ct ' o '06756784-I (1,06756783)n i=

475'745,90 (0,2260404s1

At = I07.402.43 (cuota primer interperiodo)

Segundo interperiodo : Ar: 1g7.402,43(t,I8) : 726.734,g63er interperiodo: á. = 1.26.734,g6(1,1g) = I4g.547,I4

Thbulación de la deuda

12' un deudo¡, después de cancelar la cuota K decide pagar de inmediato el saldo det'Jrlllir1"",l?lnizar

el cáiculo v upil;;io u to, ,,uto'r"íá"li-ur"^a anterior para

n : número total de cuotas de interperiodos

Ao : cuota k de interperiodo

C^ = cuota K de gradiente

K(r) - k : cuotas por pagar en el interperiodo Kr = cuotas de interperiodo

Tiimest¡e Deuda 6,756784%intereses

Cuota Amortización SaIdo

1z3456789

1 01 172

1.000.000,00 | oz.sez,s+

960.16s,41 | o+.aze,zo917.639,28 | oz.ooz,so872.239,76 | sa.ozs,ze823.772,68 | ss.eeo,s+752.698,36 I so.ass,zo676.827,70 | +s.zzt,zas9s.818,22 | +o.zss,tss0e.347,s7 | z+.+ts,tt394.209,47 | ze.ozs,sa277.298,21 | ts.s:t,oa740.082,77 | o.+es,os

t07.402,43 | zo.az+,so

107.402,43 | +z.szo,tt107.402,43 I +s.zss,sst - - ' '707.402,43

| +s.+oz,oz126.734,86 t zt.oz+,sz726.734,86 | zs.szo,eo126.734,86 I ar.oo:,+a126.734,86 | aa.+zo,ztr49.547,74 | tts.tzz,ot749.s47,74 | tzz.ot-t,zo74e.s47,74 | tzt.zte ,nr49.s47,74 I t+o.osz,oo

960.165,47 I977.639,28 l872.239,76 i823.772,687s2.698,36676.827,70595.878,22509.347,51394.209,47277.299,27740.082,77

0,02

AMORTIZACION

K-l- - - - - - - - - - - - - . - -

c^.,k <-' K(r)-k------------ K_____+____ . . .

A/ L t .

Ii

P 'K

-------f------- "

c(I+

PK

c"

El'valor presente P^ de las cuotas de gradiente se calcula mediante la tasa efectivaanual 1, para las cuotas C^ a C., y, luego, con la tasa efectiva de interperiodo i, se calcul¿rel valor presente Pi en la cuota k ésima de interperiodo.

P r= P ' r (L+ i ¡ x ( r ¡ - t

En el caso del problema 11 se tiene: n : 72; r

N : 3 ; K : 2 ( p u e s t o q u e 4 < 5 < 8 ) ; IK(r) -k = 2(4) -5 : 3

= 4 cuotas de interperiodo; k : 5;: 6 ,756784%; r : 29,89t859' i " ;

P r = C r + C 3 ( 1 + 1 ) - l

P z : 560.072,16 + 661.593,t5(7,29897859)r

P z : 560.022,76 + 509.34I,57 : 7.070.073,67

P', = 7.070.073,67(7,06756784)-3 - A_ (A- cuota pagada)p'; = 879.433,24 - 726.734,86 : 9752.698,38

Igual al saldo tabulado

I O.I O PROBTEMAS PROPUESTOS

1.3. Una deuda de $20.000, con intereses del B% capitalizable trimestralmente, debeamortizarse con cuotas de $5.000 por trimestre vencido. Elaborar el cuadro de amorti-zaciín.

14. Una deuda de $50.000 debe amortizarse con pagos semestrales en2/z años a latasa del 8%, capitalizable semestralmente. Hallar el pago semestral y elaborar elcuadro de amortización.

L5. Demostrar que el saldo insoluto P, n4 periodos, antes de la extinción de una deudaque debe amortizarse en rr periodos es dado por: P,,o : A(p/A, i%, n - k) : p(F/p, i%,k) _ A(F/A, i%, k).

16. Una propiedad {uyo valor es $500.000- se vende con una cuota iniciál de 9150.000y el saldo en pagos mensuales a 15 años de plazo, a un interés del 6% capitalizablemensualmente. Hallar: (n) el valor de las cuotas mensuales; (b) el saldo insoluto alfinalizar el cuarto año.


17. lJna deuda de $100.000 con intereses deIS% se debe amortizar con pagos anualesde $2.000. Elaborar un cuadro de amortización, hasta la extinción de la deuda.

18. Una deuda de $10.000 -con interés del6% capitalizable trimestralmente-, debeamortizarse con 4 pagos trimestrales iguales consecutivos, debiendo efectuarse el

primer pago dentro de 2 años. Hallar el valor de los pagos.

19. Una deuda de $20.000 debe amortizarse con 12 pagos mensuales vencidos. Hallar elvalor de éstos, a la tasa efectiva de| S% , y elaborar el cuadro de amortización paralos dos primeros meses.

20. Un préstamo de $45.000 se amortiza enZ/zaños, con pagos semestrales vencidos de

$9.650. Hallar la tasa de interés.

21.. lJna deuda de $100.000 debe cancelarse con pagos trimestrales vencidos en 18 cuo-tas, con interés del 1,2% capitalizable semestralmente. Hallar el saldo insoluto, al

efectuar el noveno pago.

22. lJna deuda de $10.000, con interés del 72% convertible mensualmente, se paga

con cuotas mensuales de $250. Hallar el número de pagos de $250 y elaborar el

cuadro de amortización para los dos primeros pagos y el últ imo que extingue la

deuda.

23. lJna propiedad se vende en $300.000, pagaderos así: $100.000 al contado y el saldo

en 8 cuotas iguales semestrales con interés de| 70%, convertible semestralmente.Hallar los derechos del vendedor y del comprado¡, al efectuarse el quinto pago.

24. IJna propiedad se vende en $200.000 que se pagan con $50.000 de contado y el

saldo en cuotas semestrales de $10.000 con un interés del 8% efectivo. Hallar el

número de pagos necesarios para cancelar el saldo y elaborar el cuadro de amorti-

zación, para los dos primeros pagos y para el último que extingue la deuda.

25. Un artículo se vende de contado en $2.000. Para venderlo a plazos se recarga el

precio enun15% y se entrega sin cuota inicial para cancelar en 18 cuotas mensuales

iguales. Hallar: (a) la tasa nominal j,,r, cargada; (b) la tasa efectiva cargada.

26. Resolver el problema anteriot suponiendo el pago en 24 cuotas mensuales.

27. lJn equipo se vende al contado en $650.000. A plazos, se vende con una cuota inicial

de $150.000 y el saldo, incrementado en el 75%, se cancela con 12 pagos mensuales

iguales. Hallar 1a tasa efectiva cargada.

28. En el problema anterio¡, hallar la tasa efectiva, si la cuota inicial es de $25.000.

AMoRIzActóN EE

Una herramienta se vende en $75.000; si la compra es al contado, se descuenta ell5%; si es a plazos, se vende con una cuota inicial de $15.000 y el saldo en 8 cuotasmensuales iguales. Hallar la tasa efectiva cargada.

Resolver el problema anterior, si el saldo se paga en 12 cuotas iguales.

Un artículo se vende aplazos, con una cuota inicial del30% de su precio; el saldo seincrementa en eI75%, para ser cancelarse en 10 cuotas mensuales iguales. Hallar latasa efectiva cargada.

Un artículo se vende a plazos, con una cuota inicial deI r% de su precio, el saldo seincrementa en el I% para cancelarse en n cuotas mensuales iguales. Analizar lasvariaciones de la tasa nominal cargada en función de r,I, n.

Solucionar el problema del ejemplo 3.4, por medio de anualidades; analizar los re-sultados y procedimientos.

Solucionar el problema 8, del capítulo 3, por medio de anualidades. Analizar losresultados y ambos procedimientos.

Existen varias formas de amortizar una deuda: amortización creciente, decre-ciente y constante. Esta consiste en dividir la deuda en cuota iguales de amorti-zací6n, y sumar los intereses sobre el saldo insoluto, para obtener el pagoperiódico. Una deuda de $100.000 debe amortizarse en 5 años, por el método deamortización constante. Elaborar un cuadro, con los tres primeros pagos. (Amor-t izac ión mensual) .

IO.I I ACTIVIDADES DE CONSULTA

Consultar los modelos de amortización y tasas de interés en préstamos de desarro-llo industrial en la localidad.Estudiar los sistemas de amortización aplicados por las corporaciones financieraslocales en sus préstamos para vivienda.Consultar los sistemas creados por el gobierno, en cuanto a préstamos orientados afinanciar viviendas, para favorecer trabajadores de bajos ingresos.Consultar los sistemas de amortización de "empréstitos" nacionales e internacionales.Crear modelos de amortizací1npara préstamos a mediano y largo plazo,y analizarlos.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

J D .

(a)

(b)

(c)

@(e)

{-- \l'l ;r- i.{} á3

FONDO DE AMORTIZACION

OBJETIVO

El propósito de este capítulo es aprender las bases teóricas y métodos matématicos de

los fondos de amortización; esta parte se concentrará en el estudio de sus principales

sistemas, los factores que intervienen en ellos y las aplicaciones; y se aprenderán las

técnicas para manejar y producir cuadros de fondos de amortización.Al f inalizar este capítulo el estudiante estará en capacidad de reconocet definir I

manejar estos sistemas de fondos de amortización, podrá calcular acumulación en fon-

dos, saldos insolutos, plazos y tasas, y estará en condiciones para crear sistemas de

amortización de acuerdo con la capacidad de retorno a las inversiones.

I r . r TNTRODUCCTóN

Con el objetivo de pagar una deuda a su vencimiento en fecha futura, comercialmen-

te se acostumbra crear un fondo mediante reservas que devengan intereses, de tal

modo que el monto de estas acumulaciones permita cancelar la obligación, a su ven-

cimiento. Es obvio que lo anterior se aplica a deudas contraídas a mediano y largo

plazo; tal es el caso de las reservas para proveer el pago de las pensiones de jubilación

y vejez de los trabajadores de una compañía, los fondos creados para retirar a su

vencimiento una emisión de obligaciones, las reservas para remplazar activos que se

demeritan con el uso, las reservas para la recuperación de inversiones en minas que

terminarán por agotarse.

I

I

FONDO DEAMORTIZACION

Definición Un fondo de amortización es una cantidad que va acumulándose mediantePaSos periódicos los cuales devengan cierto interés, de tal modo que en determinadonúmero de periodos se obtenga un valor prefi jado.

11.2 CÁtCUtO DE LOS VALORES DE UN FONDO DE A'IAORTIZACIÓN

En un fondo de amortización, cada partida o suma que se reserva periódicamente esuna anualidad cuyos intereses se capitalizan en cada periodo de capitalización; todos losproblemas que se suelen presentar son similares a los estudiados en las anualidades.

[ffiD![¡ Una compañía contrae una deuda de $500.000 para cancelarse dentro de 4años. La junta directiva de la compañía decide hacer reservas anuales iguales, con el obieto decancelar la deuda en la fecha de su vencimiento. Si el dinero puede invertirse ganando el 8ol,hallar la suma que es necesario acumular cada año y elaborar un cuadro que muestre el creci-miento del fondo.

500.000

anos

La deuda es igual al valor futuro de las anualidades acumuladas en el fondo de amort ización, osea:

Notación estándar A = FQa/F, i% , n)

Notac ión a lgebra ica : ¡= P . - - - - ! -( 1 + i ) ' - 1

F = 5 0 0 . 0 0 0 ; i = 8 % , n = 4

,4 = s00.000 (0,22192080)

A = 110.960,40

Cuadro de amortización:

Deuda : $500.000; plazo 4años;.4 : $110.960,40; i : 0,08


Obsérvese que el último pago se incremento en 1 centavo para extinguir totalmente la deuda,únicamente por aluste de decrmales en \as operaciones. Los totales de las ttes primeras co\um-nas sirven como comprobación ya que la suma de las dos primeras es igual a la tercera columna.¿Cuál es la situación si la junta directiva ordena que el primer aporte se haga de inmediato?

Puesto que el último pago coincide con la extinción del fondo, los aportes no pueden tratarsecomo una anualidad anticipada, ya que esto implicaría la acumulación al final del periodo delúltimo aporte. En estos casos se procede trasladando el primer pago al periodo final del plazodel fondo. Así, se tiene -en el último periodo acumulado en el fondo- el valor futuro de la

anualidad A más el valor futuro del primer aporte A. El primer aporte puede ser diferente de A.

F

IA

F

t+


de donde,

A

1 1 + i l " - 1F = A. j------ + A(l + 4"

F = A(FIA,, i , ,¡* A(FIP,i%,n)

F

(r¡a, in, n)+ (r¡n, in, n)

A + A ( ' 1 . + i )

Fecha Aporte anual Intereses sobreel fondo

Total agregadoal fondo

Total en elfondo

Final año 1

Final año 2

Final año 3

Final año 4

110.960,40

170.960,40

110.960,40

110.960,41

0,00

8.876,83

18.463,81

28.877,75

1.10.960,40

179.837,23

129.424,21

739.778,'1.6

'1.1.0.960,40

230.797,63

360.221,84

500.000,00

TOTALES 443,847,67 56.158,39 500.000,00

FONDO DE AMORIzActÓN EE

E -

A -

500 .000 ; i=g /p ;n=4

500.000

\FlA,8%, +) +(rlP,a%, +)

500.0004,5MLt200 + 1,36048896

A = $85.228,23

Thbulación:

Fecha Aporte anual Intereses sobreel fondo


Totalfondo

Inici

FinaFina

Fina

Fina

l a ñ o laño 1año 2

año 3

año 4

85.228,2385.228,2385.228,2385.228,2385.228,21

6.878,26i4.181,9822.734,7930.723,84

85.228,2392.046,4999.470,27

707.363,02l 1 ñ q q ? n q

85.228,23177.274,72276.684,93384.047,95500.000,00

TOTALES 426.747,13 73.858,87 s00.000,00

I I .3 CATCULO DE tO ACUMUTADO EN Et FONDOY DEt SATDO INSOTUTO EN CUATQUIER FECI{A

Si se prepara el cuadro correspondiente a determinado fondo, por diferencia entre ladeuda y el total en el fondo se establece el saldo insoluto. Para determinar los estadosfinancieros en fecha futura, puede conocerse el saldo insoluto dentro de k periodos, pordiferencia entre el valor de la deuda y el valor de las reservas A acumulado en ios kperiodos.

Saldo insoluto : deuda - A(F/A, i%,k) (55)

ffitrIE Una deuda de $300.000 vence dentro de 6 años. Para cancelarla se establéceun fondo de amortizaciírn que gana el 8% de interés efectivo; hallar el saldo insoluto al f inalizarel cuarto año.

A = 300.000(A/F, 8%, 6) = 300.000(0,i3631s3e)

A:510.894,62

Al designar e l sa ldo insoluto dentro de , l per iodos por I i , se t iene:

i = 300 000 - 4ct.894,62(FlA,8'1i 1)

F, = 3(X).(X)0 - 40.894,62 (4,50611200) = 5115.721,26


I1.4 CÁICULO DEt PTAZO DE UNA DEUDA

En algunos casos se conoce la suma que periódicamente puede ingresarse en un fondode amortización, para proveer la cancelación de una deuda, y ocurre que es necesariodeterminar el vencimiento de la obligación por contraer; o sea, debe establecerse elplazo de la deuda.

[EÚfiEl Un municipio desea mejorar el acueducto de la población y, para ello, necesi-ta $20.000.000' Los estudios económicos indican que, por medio de contribuciones, puede obte-ner la cantidad de $150.000 netos semestrales de aportes al fondo de amortizaciOn del proyecto.Si para estas inversiones se obtiene el interés del6% capitalizable semestralmente, hatlar et tiempoque debe fi iarse para recaudar el valor de una emisión de bonos que cubra el valor de las mejo-ras del acueducto.

F = A\FlA, i%,rr )

F= 20.000.000; z1 = 150.000; j =0,06; m= 2; i -_0,03

20.000.000 = 150.000 (r¡a,zn, n)

(Fl A, 3%,,,; = 30 looloo = 1J3,33333333' 150.000

(r I A, 3%, s4) = l.31,137 1s 488 ; (F I A, 3y., ss) = 136,07 161s7 z

Por interpolaci(rn puede calcularse el plazo comprendido entre 54 y 55 semestres, pero esto noes necesarlo ya que/ para estos casos, se escoge el plazo mayor y la respuesta es:

Plazo : 55 semestres : 27Yz anos

Resolver mediante la forma aL.ebráica p = ¡. Q + i) ' - 7' i

I I .5 FONDOS DE AMORTIZACIóN CON APORTES VARIABLES

Es frecuente contraer deudas para financiar inversiones industriales. Estos préstamosse cancelan con los beneficios esperados de la industria, una vez iniciada su produc-ción; además se Presume que ios ingresos comenzarán a crecer hasta alcanzar un nir-elestable después de cierto tiempo. En estos casos, es necesario diseñar un sistema deamortización que funcione en concordancia con los proyectos financieros de la indus-tria. Para estos diseños se aplican sistemas similares a los de amortización por cuotasincrementadas, ya sean con variación uniforme o gradiente l ineal o con variaciór.geométrica.

IffiEBIIf| Una industria calcula que necesita $2.000.000 para ampliar su planta de pro-ducción; esPera aumentar sus ventas dentro de un año en $600.000 y en la misma suma iad,año, sobre el año anterioq, hasta alcanzar un nivel estable al f inalizar él quinto año. Obtiene ur


préstamo de fomento industr ial por $2.000.000, bajo ciertas condiciones de pago de intereses,para cancelar el total en un solo pago a 5 años de plazo. A f in de pagar la deuda, decide estable-cer un fondo de amortización, incrementando las cuotas en $100.000 a partir del segundo año. Siel fondo lo establece en una corporación f inanciera que le ofrece e|26% de interés, hal lar el valorde la cuota de base y preparar el cuadro del fondo de amort ización de Ia deuda.

Analícese este caso mediante el diagrama del flujo de caja. Gradiente lineal L = 100.000

2.000.000

La fórmula 49 permite establecer una relación entre el valor futuro del gradiente l ineal y losfactores del gradiente

Al apl icar la fórmula 49b en notación estándar o la 49n algebraica:

(4sb ) F=A(F lA , i ' / o , r t )+ l l r , ^ , i% ,n ) -n l

( 49n ) F -Á . (1+ l ) - 1 * ¡ - f t r * ¡ l ' - l - , , 1i i L i l

se t iene, para F= 2.000.000; ¡=26%;n=5;L= 100.000

2000000 = A(F l A ,26%,5\+- f f [ , ' . t ' 1 t , ' - , - r ]

2.ooo.ooo= looooo= A(8 ,36844976) +

0 p6 (8 ,36844976 - s)

2.000.000 = A(8368aa976) + 384.675,38 (3,36844976)

2.000.000 - r.295.557,58

8,36844976= $84.778,37


En el último año se disminuyó la cuota en $0,06 por ajuste.

[ftfififtf@ Un comerciante debe cancelar una deuda de $3.000.000 dentro de cuatro

"To ' ;p@"r ladec idees tab lecerunfondoenunacorporac ión f inanc ie raque lepagae lZZ% de interés anual. Si los aportes al fondo los incrementa cada año en el 10% sobre el año

anterio4, hallar el valor de los aportes anuales y elaborar el cuadro del fondo de amortización.

Se elabora el diagrama del f luio de caja:

3.000.000

La fórmula 51 establece la relación entre el valor futuro de un gradiente geométrico y sus demás

factores. Mediante la apücación de la fórmula 51b en notación estándar ola 51-a algebraica, se tiene:

F = 4 .g" - f ln , i%,n)

g - \ r l n , i , t )(51b)

(51 a)

1.4641- 2,21533456

, c ' - ( 1 + t )8 - ( I + ¡ )

F=3 .000 .000 ; i =22%; t=1 ,1 ; n=4

i ,1 l - i ,221i . 0 0 0 . 0 0 0 = 4 . - _

7 , 1 - 1 , 2 2

il

Final Pago anual lnterés 26%sobre fondo


Total en elfondo

12

¡t

84.'t78,37

784.1.78,37

284.778,37

384.178,37

484.1.78,3r

0,00

21.886,38

75.463,21

168.970,02

312.788,60

w.1,78,37

206.064,75

359.641,58

553.148,39

796.966,91.

84;t78,37

290.243,12

649.884,70

7.203.033,09

2.000.000,00

A o l

3.000.000 = A'_ n 1 )

= A(6,260288)

FONDO DE AT/ORTIZACION

. 3.000.0006,260288

A= $179.271,78

Ajuste de $0,01 en el últ imo aporte

[ft f i | IEIIE Una empresa obtiene un préstamo de $1.000.00t1 que debe cancelar con co-rrección monetaria dentro de 3 años; la correcciírn anual se estima en el 187 . La gerencia decideestablecer un fondo con aportes tr imestrales iguales incrementados cada añr¡ en un 10'11,. Si l .rcorporacit in de ahorros que recibe los aportes pa¡¡a el 221[, efect ivo anual, elaborar un diagramadel f luio, calcular el vakrr de los aportes tr imest¡ales v t .-rbular el fondo.

1I

-r anos

i I 12 tr imestres

En el símbolo ,R,, R es el valor de la cuota, k su número de orden, f el interperiodo.

La f(r¡mula 51 establece la relación entre el valor futuro F y los demás factores de un gradientegeométrico. Se apl ican las fórmulas 51b notación estándar y 51n algebraica.

00 1 2

28 9

T-Ti lrRu I

J 'Rn

Ag

(51b)

(51s)

¡ r ' - [F lP . i% . t t \F = A . " l ' , '

g _ \F lP , i% ,1 . )

5 ' ' - 11+ l ) 'f = 1 4 . -

g - ( 1 + i )

F con corrección monetar ia : 1 .000.000 (1,1U) ' = 1.643.032; g: 1,1; i = 22 ' / " e fect ivo anu.r l ;t t : 3

Final Pago anual lnterés 22%sobre fondo


Total en elfondo

1

2

3,1

479.217,78

527.132,30

579.845,53

637.830,07

105.426,46

244.589,39

125.965,07

479.217,18

632.558,76

824.134,92

1.063.795,74

479.277,78

1.111 .769,91

1.936.204,86

3.000.000,00

@ MArEMÁTcASFTNANcTERAS

1.643.032 _ o. ( t,1 t3 - t l ,zz ¡3 _ A .

1,331 - 1,815tt48t ,1- 7,22 _0,12

1.643.032 = A (4,0404)

" 7.643.032'- = 4,04u

A = $406.650,83

C,: A =406.650,83; Cz= Ag=Ct0,1)=447.375,97; Cs= C20,7) = 492.047,50

Para el cálculo de ,R,, se trata de una anualidad vencida cuyo valor futuro se conoce:

r R r = F l A l F , ¡ % . / ? ) = F . i( l + i l t - l

F=Cr=406 .650 ,83 ; n=4 t r imes t res ; i = (7 ,22 ¡ i - 7=5 ,096913%tasae fec t i va t r imes t ra l

rRr = 406.650,83 (Al F, 5,096913'/,,, 4)

rRr = 406.650,83 (0,231677f16)

t'Rt = 94'21'2

g = 1,1; luego: 2R = 1R (1,1)- 103.633,20; jR = 2R (1,1) = 113.96,52

Tábulación del fondo

Finaltr imestre

Aportetr imestre

Intereses5,096973%


Total en elfondo

123A

5b

789

1 01 1

t 2

94.272,0094.272,0094.272,0094.272,0003.633,2003.633,2003.633,20o? Á?? 7nt 3 g g Á q ?

73.996,52l ? q q Á q t

1 ? q a Á r ?

4.801,909.848,56

75.752,4320.726,6427.065,7533.726,7440.727,8548.085,8156.347,0165.029,2774.754,06

94.212,0099.073,90

104.060,55709.364,43724.359,84730.698,35137.359,94144.361,05162.082,33170.343,53179.025,79

188.150,29

94.272,001,93.225,90297.286,45406.650,89s37.010,73667.709,087AA ñAO n''

943.430,077.705.572,407.275.855,931.454.881,71

1.643.032,00

Ajuste de $0,29 en el últ imo aporte.

FONDO DE A|VORIZAC|ON EEE!

I I .ó PROBLEMAS RESUETTOS

1. Un municipio contrae a 10 años plazo una deuda de $5.000.000 que deven ga el g%de interés. Hallar el valor de las contribuciones anuales que deben recaudaise parapagar los intereses y Proveer la reserva para un fondo de amortización que abonael6% de interés.

Notación estándar ,q = F (¡lf , i%, n)

a lgebr . r i ca A=F. i

( I + i ) ' - 7

F=5.000.000; r t=1 ,0 ; i =0 ,06

. 0,06.1_l = -:-(1.06)" - 1

A = 5.000.000 (0,07586796)

A = $379.339,80

rntereses = 5.000.000 (0,08) = $400.000

recaudación =400,000+379.339,80=6779,339.80

2' Con el objeto de ampliar su negocio, un comerciante contrae una deuda a 5 añospor $600.000 al70% de interés convertible semestralmente. para cancelar la deuda,establece una reserva cada final de semestre, en una cuenta de ahorros que paga el8% convertible semestralmente: Hallar: (n) el desembolso semestral qúe tiene elcomerciante; (b) la tasa nominal de interés que paga éste.

( a ) A = F ( 4 F , i % , n ) = r ' , , - ¡ , - 1

F=600.000; 7= Q08; ¡n= Z ; i =0 ,04 ; n=S(Z) =10

A = 600.000 (FIA, i%, rr) = 699.999 (0,08329094)

valor reserva: A : $49.974,56 semestrales

cargo po¡ intereses : 600.000(0,05) = $30.000 semestralesdesembolso semestral : $30.000 + 949.974,56 :979.974,56

(b) Si la suma defi79.974,56 que paga el comerciante semestralmente se destinaraa cancelar la deuda, se tend¡ía:

P = A(PlA, i%, t l = o.1' - (7-+ ü

I


P = 600.000; A=79.974,56; m= 2; n = 5 (2) = 70

600,000 = 79.974,56 (r ¡ e, in, n)

(Pl A, i%,ro¡ = Jo0ool = 7,50238576' 79.974,56

Mediante interpolación en la forma acostumbra, se tiene: i : 0,056;5,6% semestralThsa nominal : 77,2% anual convertible semestralmente.

Para resolver con calculadora,uéase ejemplo 11.8.

3. Se ofrece en venta una mina de carbón que estará agotada en 15 años y produciráuna uti l idad de $150.000 anuales. Hallar el precio de compra, de tal modo que elrendimiento del capital invertido sea del 8%, si el fondo de reembolso de la inver-s ión abona e l6%.

Sea $C el precio de compra, la suma de los intereses del 8% sobre la inversión, másla reserva para el fondo de amortización debe ser igual a la utilidad anual, o sea:

Reserva fondo: A : C ( N F , i % , n )

Para i : 6%, n : 15; (NF,6%,75) : g,g42tírrí

Intereses inversión = I = 0,08C

0,08C + (0,0429627 6 ) = 150.000

C( 0,72296276 ) = 150.000

6 = 150'ooo ='J..z79.ggz,'J.0,72296276

4. Los estudios financieros de una compañía indican que, con un aporte de $900.000,las utilidades anuales para los próximos 5 años serían de $1.500.000. Los socios de-ciden obtener un préstamo por $900.000 y para su pago, incluyendo los intereses,aceptan destinar eI 20% de las utilidades, acumulando en un fondo de amortiza-ción para cancelar la deuda a su vencimiento. Si la tasa de interés para el préstamoes del72% y el fondo pa ga el8% hallar el plazo que pueden aceptar para el préstamo.

Si el interés del préstamo es tasa vencida, se tiene:Parte de las utilidades comprometidas : 1.500.000(0,2) : $300.000Menos intereses anticipados anuales = 900.000(0,12) : $108.000Suma para acumular en el fondo de amortización : $192.000

FoNDo DEAMORTZACTÓN EEE

F = A (F lA , i% ,n )= o .0+ i ) " - 1

I

F=900.000; A=192.000; i =0,08

Er factor (FIA,B%,,,)= #H# = 4,6875

Se calcula n interpolando en la tabla del 8%, entre n : 4 y tt = 5 y se obtiene n : 4,733

Con calculadora:

(7,08F - 1= 4,68750,08(1"08Y = 7'375

In (7,375)" I n (1 ,08 )

n = 4,73786 años

Solución práctica: el préstamo se contrae a 4 años de plazo. El fondo se acumula con

$192.000 anuales y un último incrementado en:

900.000 - 792.000(F/A,8%, 4) : 34.826,40

Último aporte al fondo : $192.000 + 934.826,40

Si la tasa de interés sobre el préstamo es anticipada, se convierte en vencida multi-plicando por (1 + i), así, se tiene: 108.000 (7,12) : 720.960. Entonces,la suma paraacumular en el fondo de amortización es 300.000 - 720.960 = 179.040

5. En una situación de contracción del crédito bancario y de demanda de préstamosextrabancarios a mayor interés, una persona que puede obtener préstamos bancariosespecula en la siguiente forma: obtiene un préstamo bancario de $1.000.000 a un añode plazo con pago de intereses por semestre anticipado a la tasa de descuento del'1,4%.Presta

el dinero al24% nominal anual, amortizable con cuotas trimestrales igua-les, con pago de intereses anticipados; depc'sita las sumas recibidas trimestralmenteen un fondo de amortización que abona eI I0%; hallar la ganancia obtenida.

C : valor líquido; g : préstamo; d: tasa de descuento

C = S ( 7 - d )

o 1 45=1 .000 .000 ; d=?=0 ,07

z

C = 1.000.000 (7 - 0,07 )


Suma que recibe : $930,000; esta suma es la que dispone para prestar cierta suma al24%, con pago de intereses trimestrales anticipados. suma que puede prestar:

5 = 930'ooo1- 0 ,06

S = $989.362

Puede prestar $989 .362 amortizables con 4 cuotas trimestrales vencidas de $247.340du, con pago de intereses anticipados.

Situación inicial:

Recibe del banco

cobra intereses anticipados

sobre $989.362 al6% trimestralSuman

Igual a la suma que presta

$930.000

59.3629989.362

Cuadro de desarrollo de la deuda extrabancaria de $989.362,y delfondo de amorti-zación del préstamo bancario de 91.000.000.

Suma columna 1 = saldo inicial columna 2

Suman columnas 5 y 6 : saldo final columna 7

Sumas columnas 1. y 3, menos saldo inicial columna 3 menos columna 4 disminuidaen su saldo inicial : columna 5.

Canancia = 1.042.880 - 1.000.000 : $42.990. A los que debe restarse la diferenciade intereses a l in ic io de la deuda: 70.000 -59.362: 10.638

10.638 (7,04) t : 72.445

Util idad = 47.880-72.445: $35.435

(7)(6)t q \(4\(3)(2)(1 )

Fechastrimestre

Cuotatrimestre

Saldodeuda

Intereses Valoragregadoal fondo

Interesesfondo

Saldoacumuladoen eI fondo

recibidos pagados

Inicial

1

2

3A

247.340

247.340

247.340

247.342

989.362

742.022

494.682

247.342

000

59.362 70.000

44.527

29.681 70.000

1,4.841

000

297.861,

207.02't

262.L8L

247.342

7.296

72.654

79.525

297.861

506.178

781.073

1.047.880

SUMAN 989.362 148.405 140.000 1.008.405 39.475


7

Demostrar que, en un fondo de amortización con cuotas A por periodo, el interés

agregado al fondo en el k-ésimo periodo es:

l n te rés ag regado = o [ l t * ¡ l ' - ' - 1 ]

Demostración: El valor F, acumulado como total en el fondo hasta el periodo k - 1 es:

F ,= A (F lA , i% ,k -1 )= ¿ .

Los intereses de este valo{, en el periodo k-ésimo, son:

F 1 . i = A ' i = A [ f r * i l t - t - r ]

Demostrar que en un fondo de amortización con cuotas A por periodo, el total de

los intereseJagregados al fondo en el periodo k-ésimo es:

(1 - t ) * - t -7 -k iTotal de intereses agregados - A'

Demostración: El valor de F, acumulado en el fondo, hasta el periodo k-ésimo, es:

. 0+ i l - lF ,= A IF IA ' i% ' k )= A '4

Al restar el valor de las cuotas pagadas, se tiene:

/ 1 L ; \ k - 1

In te resesagregados F t -M= ¿ ' \ ' " ' - - -7o4

( 1 . + i ) k - 7 - k iIntereses agregados = A'

PROBLE'IAAS PROPUESTOS

8. Para cancelar en 4 años una deuda de $50.000 debe establecerse una reserva anual en un

fondo que abona el 8%.]Hallar el valor de la reserva anual y hacer el cuadro del fondo'

9. Se establece un fondo de $5.000 semestrales que abona el 6%' capitalizables se-

mestralmente; hallar el valor acumulado en 5 Jños y elaborar el cuadro del fondo'

10. Para cancelar en 10 años una deuda de $600.000 se establece un fondo con reservas

semestrales. Si el fondo abona el 6% nominal, hallar al final de 4 años el fondo

acumulado Y el saldo insoluto.


11. Un artesano necesita remplazar cada 5 años todas sus herramientas, cuyo valor esde $10.000. ZQué depósito mensual debe hacer en una cuenta de ahorros que abo-na el 8%, capitalizable trimestralmente?

12. LQué depósito semestral debe hacerse en un fondo que abona eI6% concapitaliza-ción trimestral, para acumular $20.000 en 8 años?

lj . lara rarrre\ar una deuüa de $80 .0SS a 5 aios p\azo, se es\ab\ere\ \ese.r\ as a\\a\esen un fondo que abona eI 6%; transcurridos dos años, el fondo eleva sus interesesal7%.HalIar las reservas anuales y hacer el cuadro de fondo.

14. Un municipio debe pagar dos obligaciones: una de $1.000.000 a 8 años de plazo yotra de $800.000 a 10 años de plazo. El concejo municipal decide cobrar una contri-bución anual, invariable para los 10 años, que permita cancelar ambas deudas ensus respectivos vencimientos. Si se obtiene el7% de interés en un fondo de amorti-zaciín, hallar el valor de la contribución anual.

15. Un municipio emite obligaciones a 10 años de plazo por $2.000.000 que devenganel 8% de intereses. t Qué depósitos anuales debe hacer en un fondo que abona el6% y qué egreso anual tendrá el municipio hasta el pago de la deuda?

16. Demostrar que el total añadido al fondo al f inal del k-ésimo periodo es A(1 + i)k 1.

17. Mediante la demostración del problema 16, hallar la reserva anual en un fondo quepaga el 7% de interés, para cancelar en 25 años una deuda de $100.000 y hacer elcuadro de amortización, rnostrando los valores para los dos primeros y los dos últi-mos años.

18. Calcular el desembolso semestral y la tasa de interés que corresponde a una deudade $100.000 a 5 años plazo, cuyos intereses son del70% nominal, pagaderos semes-tralmente, si para su cancelación se hacen depósitos semestralmente, en un fondoque abona el 8% con capitalización semestral.

19. Las uti l idades anuales de una concesión petrolera, que se agotará en 10 años, seestiman en $1.400.000. Hallar el precio de la concesión, de tal modo que el rendi-miento del capital invertido sea del 10% convertible semestralmente, teniendo encuenta que el fondo de recuperación de la inversión abona el 8% nominal.

20. Un industrial que necesita un préstamo de $200.000 puede obtenerlo de la Coope-rativa Industrial, con el8% de interés, para amortizarlo anualmente en 5 años, o enla Caja Industrial que presta el dinero a17,5% a 5 años, con pago anual de intereses;en este últ imo caso el industrial debe establecer un fondo de amortización, deposi-tando anualmente en una cuenta de ahorros que paga eI 6% de intereses. ¿Cuántopuede ahorrar anualmente, uti l izando el plan más económico?

FONDO DEAMORTIZACIÓN

21' unindustrial paga$2.500.000 por los derechos de explotación de una patente duran-te 10 años' Calcular la utilidad semestral que debe tenér para que la inversión le rinda el12% con capitalización semestral, teniendo en cuenta que para la recuperación de lainversión puede efectuar depósitos semestrales en un fondá qrr" pugu ;i g% .o-i.,ul.

22' Demostrar que, cuando un fondo de amortización se acumula a un interés igual alpagado por la deuda, entonces, el costo periódico Je la deuda es igual al cargo pe-riódico por amortización.

23' rJn comerciante puede obtener un préstamo de 9400.000 a 7 años de plazo con elinterés delS%, amortizando la deuda anualmente- Ún segundo prestamista le of¡e-ce el dinero a Z años de plazo con el 7,5% deinterés, mediante pago anual de losintereses' si para el segundo caso establece un fondo de amortización de la deuda,hallar el interés anual que debe abonar el fondo ;;;u qr" en ambos casos el costoanual sea el mismo.

24' Afin tu":"1u1una deuda se depositan $6.000 anualmente en un fondo que abona el6%'si el total en el fondo después.d.;r k-éslmo a"porito es deg92.22o,ro:1n¡ zcualserá el total en el fondo al efectuar el (k - 1)-ésimo aiporltot, (b) Zcuál será el total enel fondo al efectuar el (k + 1)_ésimo depósito? r

25' Para cancelar una deuda de $10.000.000 pagadera dentro de 6 años, se crea un fon-do de amortización, con aportes u.,,rul"s, eñuna corporación financiera que paga el24% de interés; las cuotasinuales tienen un gradierite l ineal de $soo.ooollo; Etuuo-rar el diagrama del flujo de caia, (b) hallar el'uálo. de las cuotas anuales, (c) producirel cuadro del fondo de amortización.

26' una industriaagraria de producción de cítricos obtiene un préstamo de fomentopor $20'000'000 para cancelar en su totalidad dentro de 8 anos. et g"r".,t" a".ia"establecer en una corporación financiera _que paga eI22%_un fondo de amortiza_ción con cuotas anuales incrementadu, *r, ün nyí soArela cuota anterior. 1ol EfuUo_rar el diagrama delf ' lujo.de caja, (b) hallar el valor de las cuotas anuales (c) producirel cuadro de amortización.

I1.8 ACT'VIDADES DE CONSULTA

(n) consultar el tratamiento de los fondos de amortización en la localidad y su respectivaaplicación.(b) consultar las tasas cle interés sobre fondos de amortización aplicadas en la localidad.(c) Estudiar la modalidad de los fondos de amortización apliáados a nivel jrrl"r^u-

- mental para las obligaciones a mediano plazo.

(d) Consultar las tasas sobre préstamos extrabancarios y modalidadde amortizaciónutilizada en los préstamos ext¡abancarios.

¡€r{!s..,.,,',ia9uíl

;ür,¡iilA

DEPRECIACION Y AGOTAMIENTO

OBJETIVO

El propósito de este capítulo es abordar diversos métodos de depreciación de activosfi jos y para recuperación de inversión de bienes agotables. En esta parte el estudianteaprenderá a calcular los cargos periódicos por depreciación y a organizar los cuadrosrespectivos. Al completar el capítulo podrá reconocer y definir los sistemas de deprecia-ción y de recuperación de inversiones en bienes agotables; estará en capacidad, igual-mente, de calcular cargos y producir cuadros de depreciación, además de seleccionar elmétodo de depreciación para aplicar.

r2.1 TNTRODUCCTóN

Las maquinarias, las instalaciones, los edificios y otras clases de activos necesarios paralas operaciones de las empresas sufren, por su uso, una disminución de sus valores,que no puede evitarse con los gastos corrientes de reparaciones. Puesto que el capitalinvertido debe permanecer constante, es necesario estudiar la forma de establecer unfondo de reserva que compense esta pérdida de valor.Definición Deprecinción es la pérdida de valor, no recuperada con el mantenimiento,que sufren los activos, y se debe a diferentes factores que causan finalmente su inuti-l idad, obligando por tanto el remplazo del activo. Al terminar la vida de un activo,debe remplazarse, invirt iéndose para ello un valor que recibe el nombre de costo deremplazo.


Durante la vida útil del activo debe guardarse periódicamente cierta suma, paracrear con ella un fondo que recibe el nombre de reserva para depreciación y que áebeser igual al costo de remplazo al terminar la vida útil del activo.

La aida útil o duración probable de un activo se determina con base en la expe-riencia y tanto los expertos en estas materias como los fabricantes de equipos y maqui-narias señalan la vida útil de los distintos activos y con base en estos dátoi se establéceel cálculo de la depreciación.

Cuando el activo deja de ser útil, siempre conserva algún valo¡, así sea comochatarra o material de desecho; este valor residual recibe el nombre d,e anlor de salaa-mento.

EI agotamienfo es la pérdida progresiva de un activo por reducción de la cantidadaprovechable del mismo. Tal es el caso de los minerales cuya cantidad disminuye por laoperación de extracción, hasta agotarse. Estos activos reciben el nombre de aütaosagotnbles y no pueden remplazarse.

Caída en desuso u obsolescencia Ocurre cuando porrazón de nuevos inventos o per-feccionamientos técnicos, no resulta económica la utilización de cierto activo.

12.2 CÁICULO DE tos CARGOS PERIÓDICOS POR DEPRECIACIóN

Existen varios métodos para determinar el cargo que periódicamente debe hacerse porconcepto de depreciación; a continuación se estudiarán los más uti l izados.

Método uniforme o de la línea recta Es el más simple de los métodos y el más uti l iza-do; consiste en suponer que la depreciación anual es la misma para todá la vida úti l delactivo y, de acuerdo con esto, cada año se reservan partes iguáles, de tal modo que alterminar la vida útil del activo, se tenga un fondo de reserva que, sumado al valcr desalvamento, dé el valor de remplazo. Al designar por C el costo inicial -que se suponeserá igual al de remplazo-,por S el valor de salvamento y por n los años áe vida útil, ladepreciación anual D se plantea mediante la ecuación:

(62)^ c-sL ) t = -

n

IiEEIIEIETIestimada en 4 años.depreciación anual.

Cierto equipo de una compañía tiene un costo de $5.000 y una vida útilsi el valor de salvamento correspon de al 10% del costo inicial, hallar la

C = 5.000; S = 5.000 10,1) = 500

5.000 - 500u=-= l : 1 .1 .25

4


El fondo de reserva c¡ece cada año en una carrt idad f i ia y el valor en l ibros del act iv. t l isminu-ye en la misma cantidad; si estos valores sucesivos se representan gráficamente, se observaráque son puntos en l ínea recta.

Diagrama de depreciación en línea recta del ejemplo 12.1

vL : valor en l ibros; vs : valor de salvamento, f) : depreciación anual

A pesar de que este método es el más uti l izado, hay dos objeciones importantesen contra de su aplicación: (a) no tiene en cuenta los intereses sobre el fondo dereserva; (b) las maquinarias y equipos se deprecian más rápidamente en sus prime-ros años de uso. Además, debe tenerse en cuenta que, en lo i pr imeros años de uso, e lgasto por reparaciones es pequeño y aumenta conel transcuiso del t iempo, l legandoa ser considerable en los últ imos años; por esta razón, conviene ciistribúir los gastosde reparación y depreciación, en forma más uniforme, disponiendo que los cargospor depreciac ión sean mayores en los pr imeros años de . r rá d" los equipos y meno-res en los ú l t imos años, en los cuales lós gastos por concepto de repára. io . r "s , " rár1mayores.

12.3 DEPRECIACIóN POR FONDO DE AMORTIZACIóN

Este método es una modificación del uniforme y consiste en depositar las depreciacio-nes en un fondo que devengue intereses, de tal modo que el incremento anual sea la


suma del cargo anual por depreciación y del interés ganado por el fondo, en el mismoaño. Si el cargo anual por depreciación es D, al depositarse en un fondo a la tasa deinterés i, el monto al final de r¡ años debe ser igual al valor de remplazo, o sea:

¡

Notación estándar: D = ( C - S ) ( A l F , i % , n )

(63a)

(63b)

[ftffi&I[fl Mediante la aplicación del método del fondo de amortización para el equipodel ejemplo 12.1, hallar la depreciación anual, suponiendo una tasa de interés del6%, y elaborarun cuadro para la depreciación.

C : 5.000; 5 = 5.000(0,1) = 500; n : 4; i : 0,06

D = (s.000 -s00)(NF,6%,4) = 4.s00(0,2285e) = $1.028,66

El valor en libros, al final del cuarto año, es igual al valor de salvamento. Los car-gos por depreciación se acostumbra llevarlos a cabo en la fecha de balance. Los equiposcomprados y puestos en uso, entre dos fechas de balance, se deprecian proporcional-mente con el t iempo en uso.

MÉTODO DE LA sUMA DE DíGITos o ENTERos QUECORRESPONDEN A tos AÑOS DE DURACIÓN DEL ACTIVO

Con este método se logra que el cargo por depreciación sea mayor en los primeros añosde vida del activo y disminuya cada año. Para hallar el cargo anual por depreciación, seprocede así: ordénense de mayor a menor los enteros que corresponden a los años deduración del activo; la depreciación para cada año queda expresada por una fraccióncuyo denominador es la suma de todos los números y que tiene como numerador elentero que corresponde, en el orden invertido, al año cuya depreciación se calcula. Deesta manera, si un activo tiene una vida úti l de 6 años. se tiene:

Notación algebraica: D = (C - St' ¡;¡ _t

12.4

Añosde uso

Pago alfondo

6% de interéssobre fondoacumulado

Depreciaciónanual

Acumulaciónfondo

Valorl ibros

0

I

2

J

4

0,00

7.028,66

t.028,66

1.028,66

1.028,66

0,000,00

67,72727,r4796,50

0,00

7.028,66

1.090,38

1.155,80

1.225,16

0,00

1.028,66

2.119,04

3.274,84

4.500,00

5.000,00

3.971,34

2.880,96

7.725,16

500,00

llll MATEMÁTIcAS FTNANcTERAS

Denominador de la fracción : 21 (suma de los números del 1 al6).

Años en orden invertido: 6, 5, 4, 3, 2, 1

año: 1o. 2o. 3o. 4o. 5o. 6o.

6 5 4 3 2 7D e p r e c i a c i ó n :

. , . , n ' , _ ' , n

@ftffp En el caso del ejemplo 12.1, se tiene un equipo con un valor depreciable de$4.500 y una vida útil de 4 años. Con este método, se tiene:

a ñ o : 7 2 3 4 s u m a = l O

4 3 2 1Depreciación: 10 10 10 10 de $4.500

La depreciación al final de cualquier año se obtiene mediante la suma de las fracciones hasta eseaño. Así para el ejemplo dado, la depreciación total acumulada al final del tercer año es:

t 4 ? ? \4.5001-- + " + -

l=$a.050\ 1 0 1 0 1 0 )

Años de uso Fracción Depreciaciónanual

Depreciacióntotal

Valor enlibros

0

1

0

+

10

310

z

10

t

10

0

1.800

1.350

900

450

0

1.800

3.150

4.050

4.500

5.000

3.200

1.850

950

500

12.5 MÉTODO DE DEPRECIACIóN POR PORCENTAJEF|JO O DE VARTACTóN cEoft Érn¡Cn

Este método consiste en cargat cada año, por depreciación, un porcentaje fi jo delvalor con que figura el activo en l ibros. Puesto que el valor en l ibros es decreciente al

It


aplicar el porcenta¡e fijo, la depreciación también resulta decreciente' sean C: Costo

inicial que se ,rrpor," igúul al de remplazo, n el número de años de vida .6tt' l y r el %

fijo de depreciación'' s"ar, vr,v2,vr, . . . ,v. , los valores en l ibros al f inal de los años 7,2,3,. . . ,n;y sear

el porcentaie fijo, entonces, se tiene:

V n : V , - r - V u - t r

: C ( 1 - r )

: Y 1 ( 1 - r ) = C ( 1 ' - r ) z

: 'V , - , (1 - r ) : C(1 - r ) '

V n = C ( 7 - r ) '

V r = C - C r

V r : V r ' V r r

(64n)

(64b)Notación estándar: V,, = C(FIP, -r%, n)

Esta fórmula permite hallar el valor en los libros al final de cualquier año' Al final

del último año, el valor en libros V,, es igual al valor de salvamento; remplazando en la

fórmuia 64, se tiene:

C (1 - r ) '= $ (65n)

No tac iónes tánda r C (F IP , - r \ o ,n )=$ (65b )

Con calculadora, la fórmula anterior permite determinar el valor del porcentaje

fi jo.

ffitrlffft En los eiemplos anteriores,.se tiene un equipo cuyo costo es de $5'000' con

un valor de salvamento á" óSOO, y una vida útil de 4 años' Mediante la aplicación para la depre-

ciación del método del porcentaje fi jo, se tiene:

C = 5 . 0 0 0 ; S = 5 0 0 ; n = 4

s.ooo (F/P, - r%, +)= soo

5'000 (1 - r)* = 500

( \ - r ¡ ' =g '1

1- r = 0,1) I

1- r = 0'5624

r =0,1376;43,76%


El cuadro de depreciación para este método será:

Años deuso

Depreciaciónanual

Depreciacióntotal

Valor enlibros

0

1

2

3

4

0,002.188,001.230,53

692,05?Rq ?1

0,00

2.188,00

3.41,8,53

4.110,58

4.499,79

5.000,002.812,001,.581,,47

889,42500,21,

La diferencia de 0,27 se origina en las aproximaciones del cálculo y se ajusta enlibros, al efectuar el último cargo por depreciación. Obsérvese que, con este método, enlos primeros años la depreciación es bastante mayor que la obtenida con el método de lasuma de enteros (uéase ejemplo12.3). Para aplicar este método, cuando el valor de salva-mento es 0, se toma como valor $1; ya que, para el valor 0, la fórmula 65 carece desentido.

Para mostrar la forma como actúa la depreciación con los métodos de línea recta,suma de dígitos y de porcentaje fijo, se ha elaborado el siguiente cuadro con la depre-ciación anual y el valor en libros de los ejemplos 12.1; 72.3 y 72.4:

12.6 MÉTODO DE DEPRECIAGIóN coN INTERESES soBRE tA INVERSIóN

Desde el punto de vista financiero, el dinero invertido en un activo productivo debegenerar un interés, como cualquier inversión de capital; desde este punto de vista, pue-de hacerse que los ingresos del negocio provean los fondos de depreciación y, al mismotiempo, los intereses sobre la inversión que expresa el valor del activo. El interés obteni-do en el fondo de reserva no necesariamente es igual al interés que gana la inversión.Se ilustrará este método mediante el cuadro de depreciación para el mismo equipo delos ejemplos anteriores.

Añosde uso

Línea rectaD UL.

Suma de dígitosD VL.

Porcentaje fijoD UL.

01

¿

J

4

0 s.000"1,.725 3.875

1.725 2.750

7.1,25 1.625

7.725 500

0 s.000

1.800 3.200

1.350 1.850

900 950

450 500

0,00 5.000,00

2.188,00 2.872,00

1,.230,53 '1,.581,,47

692,05 889,42

389,42 500,00

Costo : $5.000; valor de salvamento : 500; vidasión : 8%; interés que gan¿r el fondo de reserva

DEPRECTACToN Y AGorAMrENro EEE

útil : 4 años; intereses sobre la inver-: 6o t r .

Añosde uso

U

1

2

3

4

Depreciac iónanual (aéase

ejemplo 12.2)

8% interéssobre valor

l ibros

Cargo anual pordepreciac iones

e intereses

0,00

t.028,66

1.090,381 1 qq ,1r l

7.225,76

0,00

1.428,66

1.408,08

1.386,27

t .363,17

Las d i ferentes columnas cont ienen los s ieuientes valores

Años de uso Van desde 0 hasta k; en el ejemp-rlo dado desde 0 hasta 4.

Depreciación anual Se obtiene mediante la aplicacicin de la fcirrnul¿r b.3h, D : (C - -S)(A/F, i " / , , , r r ) ( i ,cr rsc c ' jemplo I2.2) , D: $1.028,66; a cstc valor se api ica la fónnul¿r delvalor fu turo a in terés compuesto en los años s iguientcs ¡ rara obtener la depreciac iórranual . Teniendo en cuenta que e l pr in-rer cargo se hace a l f ina l del pr i rner año, seob t i ene :

Depreciac ión anual : D(1 + i ) *1; para e l año k-és imo.

En e le jemp lo dado : f ) : 1 .028 ,66 (1 + 0 ,06 ) t ' , pa ra k : 7 ,2 ,3 ,4

Valor en los l ibros A par t i r de la fc i rmula 6.1, se obt iene para e i sa lvamento S e l va lc l r :S : C - D (F /A , i% , , k - 1 ) ; pa ra e l ú l t imo año , S es e l va lo r de sa l vamen to , pe ro pa ralos ot ros valores de k, e l va ior obtenido para S es e l va lor en l ibros a l f ina l de cadaaño .

Intereses sobre el valor en l ibros Representa el valor de los intereses simples a la tasai 'sobre la invers ión, o sea, sobre e l , r " ln .

"n l ibros año por año.

Intereses : Si '=[C-n1f ¡A, i%,k-1)] i ' ; en el ejemplo trabajado, i ' : 0,08

Cargo anual por depreciación e intereses Los valores de esta columna correspondena la suma de Ia depreciación anual, más los intereses sobre el valor en l ibros. o sea:

Valor enl ibros

s.000,003.97r ,342.880,961.725,76

500,00

0,00

400,00

377,7t)

L- ) t ) .+ /

138,01


ca rgoanua l=D(1+ i ) k ' * [ a -D ' ( 1+ i f ' l - 1 l ' t '

[ ' lcargo anual = o (t ¡ n, i%, k - r) * [c

- o (r ¡ a, in, t - \]r

P a r a k = 7 ; 2 ; . , . k - 7

(66s)

(66b)

t2.T RECuPERACIóN DE LA INVERSIóN EN BIENES AGOTABTES

Las inversiones en bienes agotables deben protegerse de la pérdida de valor que sufren

estos activos en su explot uJión. 1vénrnt p.óbl"tttá s 76, 77 y 57 del capítulo 6; 32 y 40 del

capítulo 7 y losproblemas 75 y 79 del capítulo 11). Para recuperar la-inversión es nece-

sario estable.", ."r".rru, periédicas que se acumulen en un fondo de amortización' si

se designa por P el pr"ció pagado poi ,t.t activo agotable, por A el pago anual al fondo

de amortización y pot S "i

,rátot ¿" las recupera.lo.,"t o de salvamento al agotarse el

activo, se tiene:

Valor futuro del fondo : P - S

o sea/

A(Fl A, i/", tt) -- P - S

Puesto que l{F , i%, u\ = l=-]--:' ' / (F lA , i% , n )

Notación estándar A = (P - S) (AlF, i%, n)

N o t a c i ó n a l g e b r a i c a : a - t D - s , . i

( 1 + i ) - i

l = P i ' + A

Al sustituir el valor de A dado en la fórmula 67a, se tiene:

I = Pi ' + (P -S)(AIF, i%,n)

(67n¡

(67b t

En las inversiones en activos agotables debe tenerse en cuenta que las uti l ida-

des deben ser suficientes de tal *u.,éru que cubran los intereses sobre la inversión r'

la reserva, para la recuperación de la lnvérsión. Al designar por / las uti l idades, por P

el valor de la inversión, por l ' la tasa de interés que debe generar la inversión, se

t iene:

(6E

DEPFIECIACION Y AGOTAMIENTO

12.8 PROBTEMASRESUELTOS

1. Las oficinas de una empresa comercial funcionan en un edificio cuyo costo iniciales de $1.500.000 y que deprecian cada año en el 70% de su valo¡ en l ibros; hallar elvalor en l ibros, al f inal del quinto año.

Se aplica la fórmula 64r

v,, = C (t _ r), = C(Flp, _ r%, n)

C = 1.500.000; r = 0,7; r t = 5

V. = 1.500.000 (1- 0,1)5

V' = $885'735

V¿lor en l ibros = $885.735

Demostrar que, por el método de la suma de enteros (dígitos) para un activo cuyavida úti l es de r¡ años, el denominador de las fracciones que expresan en cada año ladepreciación es:

D e n o m i n a d o r = ! n ( n + 7 )2

Por definición (uénse sección 12.4), el denominador es Ia suma de los números deorden de lc¡s años de vida del activo, o sea:

l + 2 + 3 + . . . + t t

Los números naturales forman una progresión aritmética (uéase sección 0.10) rterazón d : 1; primer término, a : 1; últ imo término, u : tt; v número de términos i¡:

- 7 .) = - ( 4 + U ) ( n )

2I'ara

Mediante la sustitución de valores, se tiene:

1

S = l n ( r ¡ + 1 ) . e) , ,sta suma corresponde al valor de los denominadores, o sea:

1Denominacl¡¡ - -)1 (n + 1)

3. Un equipo industrial tiene un costo de $400.000 y una vida útil de 10 años, con unvalor de salvamento de 20% del costo inicial. Hallar la depreciación anual: (a) por el

l ! ! l MATEMÁTlcAS FTNANcTERAS

método uniforme, (b) por el método del fondo de amortización a una tasa del 6%.Se pide además calcular el valor de la reserva en el 7o. ai.o.

(a ) Con ?a f Í rmu la62, D= C-S,

n

C=400.000; S=80.000; n= 10

400.000 - Rn onoLt = = $32.000

1 0

Monto de la reserva en el 7o. aflo : 32.000(7) = fi224.000

(b) Med ian te la fó rmula 63 ,D: (C-S) ( ,UF, i%,n) ;paraC:400.000;5 = 80 .000;t t :70 : I : 0 .06

D : (400.000 - 80.000X,4/F , 6% ,10) : 320.000(0,07586796) : $24.277,75

El monto en el 7o. año es:

S : D (F/A, 6%, 7) :24.277,75 (8,39383765)

S : $203.783,47

4. Un equipo cuyo costo es de $50.000 tiene una vida útil de 7 afrcs al final de loscuales no tiene ningún valor y debe botarse para remplazarlo por otro de igualvalor. Hallar la depreciación en el 4o. año: (ri) por el método de suma de enteros, (L')por el método del porcentaje fijo.

h\ año 1o. 2o. 3o. 4o. 5o. 6o. 7o.7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 7 : 2 8

4

Depreciación en el 4e año = 50.000 ñ=

$71+2,e0

Va lora l f ina lde l4eaño = 50 .000 7 +6+-5+ 4 =$39.285,7

¿6

(b) Con la fórmula 65, C(7 -r)' = S; para C : 50.000; n = 7; S : 1 (la fórmula no sepuede aplicar para S : 0)


50.000(1-r)7- 1

50.000(r/4 -r%,7) = I

(7- r \ ' = 1- 50.000

(1- r) = (1* s0.000)i

7-r =0,273767

r =0,78683;78,68%

En el cuarto año, el valor en libros es de 50.000( 7 - 0,78683)3 : $484,35; la depre-ciación en el 4o. año corresponde al 78,68% del valor en libros, o sea,484,35 (0,78683)= $381,10. Para la depreciación acumulada hasta el f inal del 4o. año, se t iene:

Depreciación acumulada : costo - valor en libros

Depreciación acumulada : 50.000 - (484,35 - 381,10) : $49.896,75

5. Una mina podrá ser explotada durante 8 años con una ganancia neta de $300.000anuales. Se prevé que, al terminar la explotación, habrá act ivos recuperablespor valor de $200.000. Calcular el rendimiento que tendrá sobre su inversiónun comprador que pagó $1.300.000 por la mina. El fondo de rembolso se acu-mula al 6%.

Mediante la fórmula 68, I : Pi' + (P - S)(AIF, i%,, rt)

1 : 3 0 0 . 0 0 0 ; P : 1 . 3 0 0 . 0 0 0 ; S : 2 0 0 . 0 0 0 ; n : ü i : 0 , 0 6

300.000 : 1.300.000i ' + 1.100.00010.10103594)

, i88.860.47 ^ ,l' = -------- --- = U,r+l¿/ / ; t+,53%1.300.000

Se est ima que una mina de carbón produci rá $250.000 anuaies de ut i l idades. Losestudios de ingenier ía indican que se agotará en 10 años de explotac ión. Los due-ños desean vender acciones sobre la mina pagando e l72% como div idendo anual .El fondo de amort izac ión del va lor de las acciones que deben establecer gana e l5%. H.allar el valor de las acciones que se pueden emitir.

Sea P el valor de las acciones; mediante ia fórmula 68, I : Pi' + (P - S) (A/F,i%, n)para 1 : 250.000; i ' : 0 ,72

S : 0; r¡ : 10; i = 0,05, se tiene:

250.000 =0,12P + P(A/F ,5%,10)

MATEMÁTICAS FINANCI ERAS

250.000 :O,tZP + p(0,07950457) : p(0,79950457)

P = -?50 !00 = $L253.104,730.799s04s7


7. Una máquina tiene un costo inicial de $120.000, una vida úti l de 6 años y un valorde salvamento de $30.000. Elaborar un cuadro de depreciación, aplicando: (c) elmétodo de línea recta; (b) el método del fondo de amoitización a lalasa del B%; (c)el método de la suma de enteros (dígitos).

8. Las instalaciones de una industria cuestan $250.000, t iene una vida úti l de 20 años yse estima que no tendrán valor de salvamento. Hallar la depreciación acumulada vel va lor en l ibros a l f ina l del decimoquinto año: (n) por e j método uni forme; 1í . ¡por el método del fondo de amortización a la tasa de\6%; (c) por el método de lasuma de enteros.

9. Un equipo industrial t iene un costo inicial de $80.000, un valor de salvamento de$10.000, y una vida úti l es de i5 años; se deprecia uti l izando el método del fondo deamortización, a una tasa del 7%.Hallar: (n) el valor en el fondo al f inal de 8 años; (b)el valor en l ibros al f inal de 8 años; (c) la depreciación que debe cargarse al f inal deldécimo año.

10. Un equipo t iene un valor in ic ia l de $30.000 y un valor de salvamento de 92.000;se deprecia a l 25% del va lor en l ibros cada año. (a) Elaborar e l cuadro de de-preciac ión para los pr imeros 3 años, y (b) hal lar e l va lor en l ibros a l f ina l de 10años' Conocido este valo¡ , indíquese en cuántos años se est imó la v ida út i l de lequipo.

L1' Una máquina tiene un valor de $60.000 y debe depreciarse hasta 95.000 en 5 años.Hallar el porcentaje fi jo de depreciación y hacer el cuadro de depreciación.

1'2. Una máquina que tiene un valor de $140.000 y un valor de salvamento de g40.000debe depreciarse en 15 años por el método del porcentaje fi jo. Hallar el valor enlibros al f inal del décimo año y la depreciación que debe cargarse en el año undé-cimo.

13. Una máquina tiene un costo inicial de $40.000, un valor de salvamento de 92.000 yuna vida úti l de 5 años. Con el método de depreciación con base en los interesessobre la inversión, hallar el cargo anual por depreciación con intereses sobre la in-versión para el primero y para el segundo año si la tasa delS% efectivo se uti l izatanto para el fondo como para los intereses sobre la inversión.


14. Elaborar el cuadro de depreciación e intereses para la máquina del problema 13.

Un equipo tiene un costo de $60.000, un valor de salvamento de $6.000 y una vidaútil de 4 años. Hacer el cuadro de depreciación si el interés sobre el fondo es deL 4%y el interés sobre la inversión es del 8%.

Calcular el precio que puede pagarse por una mina de carbón que produce unarenta de $600.000 anuales, si los ingenieros estiman que manteniéndose el mismonivel de explotación se agotará en 15 años y los inversionistas desean obtener un8% de interés sobre la inversión, teniendo en cuenta que puede obtenerse un4% deinterés sobre el fondo de amortización.

Un campo petrolero podrá rendir una uti l idad neta de $5.000.000 anuales durante10 años. Calcular el valor de las acciones que podrán emitirse, si se ofrece un divi-dendo de| 12% nominal con pagos trimestrales y puede obtenerse un interés del4% sobre el fondo de recuperación de la inversión.

12.1O ACTIVIDADES DE CONSUTTA

(a) Estudiar los métodos de depreciación uti l izados por las empresas constructoras deIa localidad para equipos de construcción que operen en condiciones normales yseveras.

(&) Consultar los métodos de depreciación aplicados en la localidad para automotoresy equipos estac ionar ios.

(c) Consultar los métodos aplicados por las empresas comerciales e industriales, parala depreciación de bienes muebles.

(d) Consultar las normas aplicables para la depreciación, desde el punto de vista de losimpuestos sobre la renta.

15.

16.

17.

il],'aá*l'g'il e..13 gffi

BONOS

OBJETIVO

EI propósito de este capítulo es aplicar los conocimientos de matemáticas financieras alcampo de las inversiones. El estudiante aprenderá a reconoce4 definir y clasificar losbonos; abordará los principiales sistemas de bonos y los métodos para calcular su pre-cio, cotizaciones, rendimientos o rentabilidad y manejo contable.

Al terminar el capítulo estará en capacidad de calcular el precio de los bonos y suscoüzaciones, precio de los cupones, rendimiento de inversiones en bonos seriados, de anua-üdad y amortizados por sorteo. Podrá manejar y formar cuadros contables de bonos, eigualmente estará capacitado para crear sistemas de bonos, y mediante calculadora, podráformar tablas de valores de bonos junto con sus cotizaciones y rendimientos.

r3 . r TNTRODUCCTóN

En el juego de los grandes capitales necesarios para financiar las instalaciones indus-triales modernas, o las grandes obras productivas que emprenden las corporaciones olos gobiernos, no es posible obtener el dinero necesario en préstamo proveniente deuna sola compañía; entonces se hace necesario recurrir a las inversiones de muchas

Personas. Para agllizar estas inversiones se ha creado una forma de obligaciones queconstituye un instrumento de crédito llamado bonos.

En los últimos años, la banca privada, la banca nacional y las corporaciones finan-cieras han creado y puesto en circulación varias clases de obligaciones comerciales, como

cédulas y certificados a término fijo. Estos documentos hacen más atractivas las inver-siones, puesto que ofrecen mejor rentabilidad que las tradicionales cuentas de ahorro.Por otra parte, con el objeto de incentivar las exportaciones no tradicionales, algunosgobiernos de países en vía de desar¡ollo han creado diversos tipos de certificados ybonos que tienden a aumentar la utilidad percibida por los e^pottado.es. Todas estasobligaciones se estudiarán en este capítulo bajo el nombre de b-onos, cuya teoría mate-mática es, en forma general, común a todas.

13.2 DEFTNTCTONES

Bono es unn obligación o documento de crédito, emitido por un gobierno o unn entidad par-ticular, n un plazo pert'ectamente determinodo, que deaenga intereses pagaderos en periodosregulares.

Las leyes de cada país o Estado regulan las relaciones entre las entidades emisorasy las personas propietarias o tenedoras de los bonos. Los bonos que pueden transferirselibremente y cambiar de dueño por simple venta se denominan bonos no registrados y seemiten al portador. En caso de que los bonos sean registrados, sólo pueden transferirsemediante endoso y con consentimiento del emisor.

Pago de intereses En la mayoría de los bonos, los pagos de intereses se efectúan contrala presentación de cupones; estos cupones están impresos en serie l igados a la misrnaobligación y cada uno tiene impresa la fecha de su pago. Tanto los cupones como elbono mismo son pagarés negociables; en el caso de los bonos registrados, tanto en loprincipal como en los intereses, los cupones no son necesarios ya que los intereses sepagan, directamente, a la persona registrada como tenedor del bono.

Valor nominal EI principal o capital que se señala en el bono es su valor nominal; losvalores más uti l izados son los bonos de 9100, 500, 1.000, 10.000 y 50.000.

Valor de redención Es el valor que se reintegra al tenedor del bono; por lo general, elvalor de redención es igual al valor nominal. En tal caso, se dice que el valor es a la par.El reintegro del principal se efectúa en una fecha de vencimientó estipulada peto,

".talgunos casos, se deja al prestatario la opción de reintegrar el valo¡, antes del venci-miento.

Precio de los bonos EI precio de los bonos en el mercado de valores se fi ja por acuerdoentre el comprador y el vendedor; este valor depende básicamente de los siguientesfactores: (1) tasa de interés e intervalo de los cupones; (2) tasa de interés local para lasinversiones; (3) t iempo que debe transcurrir hasta el vencimiento; (4) precio de reden-ción; (5) las condiciones económicas imperantes; (6) confiabil idad en las garantías delemisor. Los bonos pueden venderse a la par, con premio o con descuento, segin el preciode venta sea igual, mayor o menor que el valor nominal.


Thsa interna de retorno (TIR) o rentabilidad Para el cálculo de la tasa interna de retor-no del dinero invertido en bonos, el inversionista debe tener en cuenta tanto el valor delos cupones como el valor de redención del bono. Un bono comprado con descuentoirá aumentando gradualmente su valo¡, hasta igualar el valor de iedención en la fechade vencimiento y esto agrega un beneficio al valor de los cupones. En caso de que losbonos se comPren con premio, se produce una disminución paulatina del p.".io d"compra que debe restarse del valor de los cupones, a fin de caliular el rendimiento.

I3.3 PRECIO DE tOS BONOS EN UNA FECHA DE PAGO DE INTERÉSO CUPóN

El problema consiste en determinar el valor que un inversionista debe pagar por ciertosbonos, con el propósito de obtener determinada tasa de interés sobre su inversión. Alcomprar un bono, en una fecha de pago de intereses, el comprador adquiere el derechoa recibir el pago futuro de los intereses en cada periodo de págo y el vaior de redencióndel bono, en la fecha de vencimiento. El valor actual del bonodebe ser equivalente a lasuma de los valores actuales de los derechos o flujo que compra, o sea:

Valor presente de los bonos : valor presente de los intereses * valor actual delprincipal

Designados por:

C : precio de redención del bonoP : precio de compra para obtener un rendimiento iF : valor nominal (o a la par) del bonor : tasa de interés, por periodo de pago de cupónn : número de periodos de intereses (o número de cupones), hasta la fecha de

vencimientoi : tasa de interés sobre la inversión por periodo de cupón [rentabilidad o tasa

interna de retorno (TIR)l

Si se designapor A el valor de los intereses que paga el bono en cada fecha depago/ se tiene el siguiente flujo de valores:

BONOS

Los pagos A forman una anual idad vencrda y su valor presente p es p : A(p lA,i%,, r t ) ; a l sumar a este valor e l va lor presente de C a la tasa i . i . , se t iene:

No tac i i r nes tá -J¿ r r : p : A (p lA , i% , r ) + C (n ¡ r , i n , n ) g9n )

N o r a c i ó n a l g e b r a i c a : p = A . t - ( t - + ¡ ) + c ( r + i ) ' (6eb)Mecliante el remplazo de A : Fr (valor de los intereses sobre el valor nominal a la

tasa r) , se t lene:

Notación estándar p : Fr(plA, t,1", n) + C (n¡f , in, rr)

N o r a c i ó n a t g e b r a i c a : p = F t . t - ( 1 . ' l + c ( r + i )

La f(trmula ¿rnterior puede transformarse, para sus aplicaciones, en otra más sim-ple ' S i e^ la ident idoo

( r l^ , i , /o , t t l : ' { ' - ) ' ,

se c lespeja (1 + i ) " ' se t iene:

(70n)

(70b)

O S€c'I,

(1 + i ) - , :7 - i (P lA , i%, n )

(Plr , ¡ , ,1, , r ) : r - i (n a, in, n)

Al rnultiplicar por C, se tierre:

C (P F , i ' / , , n ) : C-C i (n .+ , i%, n )

Luego, al sust i tuir en la fórmu\a70n el término C(P F, i , / " , n) se t iene:

P = Fr (PlA, i%,rr)+C - c i (n¡,+, i%, n)

o sea, P = C + (Fr -Ci ) (PlA, i I ; , n)

Notac ic in a lgebra ica : p : C +( r r -Cr ) . t - { t -+ ¡ ) '

(71n )

(7 lb )

[ f tsEEI| Calcular el precio que puede pagarse por un bono de $1.0(X) al 5% redimiblepor $1 .050 a l f ina l de l0 años , s i se desea una tasa in te rna de re to rno de l t t%.

Med i . rn te la f í r rmu la 71 paraC : 1 .050; F : 1 .000; r : 5 , / , , ; i : 8%, ; r ¡ = 10 .

P : 1.050 + [1.000(0,0s)- 1.0s0(0,0r ] ) l (n¡a, a, r , n)

P : l 05() + (50 - 84) (P A, 8"/,,, 10)

El factor (n n, in, rr) se busc.r en t¿rbla VI o se calcula:

P : 1050 + (50*84 ) (6 ,71008 ) : 321 ,36

llft MArEMÁTrcAS FTNANcTERAS

I3.4 VALOR DE UN BONO EN LIBROS

Los bonos comprados con premio o con descuento, con el transcurso del t iempo, varíansu valor hasta igualar el de redención, en la fecha de vencimiento; por esta razón, lanecesidad de estudiar un procedimiento que permita registrar en l ibros, los cambios devalor de los bonos. Lo usual es realizar un cuadro de valor en el que se registran losintereses y los cambios de valor de los bonos; la forma de organizar el cuadro se i lustra-rá en el siguiente ejemplo:

[ftffi¡E$fl Un bono de $1.000 al 8% convertible semestralmente, redimible a la par den-tro de 3 años, es comprado por un inversionista, para obtener una TIR del 6% . Elaborar el cua-dro de los valores del bono.

Primero, se calcula el precio de compra del bono y, con este valo4, se inicia el cuadro de valores.

Sc remn l ¡ z ¡ ' . l a f ó rmu la 71 :

C = i.000; F = 1.0()0;, = ry = 4%. i = + t%;,, = s (z) = op = 1.000 + [r.ooo (o,o+) - 1.000 (0,03)] (n¡ a, zn, o)

P = 1.000 + (+o - 30) (s,4172) = $1,.0|4,1,7

Periodo

Valor enl ibros al

principio deperiodo

Interesessobre

inversiónInteresesdel bono

Variacionesdel valoren l ibros

Valor enl ibros afinal deperiodo

1

2

3

+

5

6

1.054,17

1.045,80

7.037,17

7.028,29

7.019,14

1.009,77

37,63

37,37

37,12

30,85

30,57

30,29

40,00

40,00

40,00

40,00

40,00

40,00

8,37

8,63

8,88

9,15

9,43q 7 1

1.045,80

1.037,17

1.028,29

1.079,74

1,009,77

1.000,00

Totales 185,83 240,00 54,77

En el ejemplo dado, el bono fue comprado con premio y, puesto que su valor de redención esmenor que el de compra, es necesario amort izar la diferencia. En caso de que el bono se adquie-ra con descuento, el inversionista registra una uti l idad mayor que los intereses pagados por elbono, cantidad igual al aumento de valor que en cada periodo registra el bono.

BONOS

I3.5 PRECIO DE tOS BONOS COMPRADOS ENTRE FECHAS DE CUPóN

Cuando se compra un bono entre dos fechas de cupones, el precio pagado comprendeel valor principal del bono, cantidad que corresponde al valor presente de su precio deredención, más el valor de los cupones no vencidos, además del ajuste acordado entreel comprador y el vendedo4 en cuanto al cupón del periodo en que se haga la transac-ción, ya que éste pertenece en parte al comprador y en parte al vendedor. Para designarel precio de un bono, sin el valor acumulado del cupón, se usa la expresión "precio cortittterés" , en tando que para expresar el precio incluido ei valor acumulado del cupón, sed,ice: "precio et'ectiao" o ,.precio flatr. Los corredores de la bolsa de valores, en cada paísusan valores distintos para referirse al precio con interés y al precio efectivo.

Cálculo del precio con interés Fíjense en un diagrama los valores Pn y P, ""

dos fechassucesivas de cupón, y sea P el precio del bono, después de transcurrida la fracción detiempo k, con relación al periodo de pago de cupones.

La diferencia P - P., es una variación que es proporcional al t iempo transcurrido.O sea:

de donde, P=4+k(4 -4 )

[ftffitrIf,fl Un bono de 9100, con fechas de cupón 1o. de mayo y 1o. de noviembre, senegocia el 2 de agosto. Calcular el precio con interés, si en el mismo año se t iene:

Precio en 1o. de mayo : $96,30

Precio en 1o. de nov. = 596.66

P : P,, + k(Pr - Pr)); P,,: 96,30; P, = 96,66; para k se t iene que los días transcurridos entre el 1o demayo y el 2 de agosto son 91 días (meses de 30 días) de donde k : t t l rr i al susti tuir los valores, seuene:

P = e6,30 * ft 1ee,oo - s630) -- $s6,46

Vénse sección 13.8 para comprender el impacto en el precio de los bonos al calcular con base enel año comercial de 360 días, en lugar de uti l izar el año calendario de 365 días.

Cálculo del precio efectivo por el método exacto o de interés compuesto En el diagramaanterior, Po es el precio del bono en la fecha de cupón, inmediatamente anterior a la

PlP,,

(72)

P _ P P - P^ - _ ' t - ,-i-

MATEMÁTICAS FI NANCI ERAS

fecha de transacción, P el precio en la fecha y P, el precio del bono, en la fecha siguiente;sean i la tasa de interés sobre la inversión yk lá fracción de periodo medida a p"artir dála fecha 0. Al plantear.una ecuación de equivalencia parala fecha de transacción, setiene que P es el valor futuro acumulado de p^.

p=p (1+ r ) ^(73)

Para el valor de la fracción k, se acostumbra ut i l izar el año de 360 días y los mesesde 30 días c/u.

i- l l lElEEf Hallar el precio en mayo 15 de 1996 de un bono de $1.000, a un interés del6% convert ible semestralmente, redimible a la par el 1o. de septiembre dcl año 2021, sise deseauna tasa in te rna de re to rno de lS%, , conver t ib le semest ra lmente .

La fecha de pago inmediatamente anterior a la de venta es el 1o. de marzo de 1,996,e1 valor p,, clelb o n o e n e s t a f e c h a s e h a l l a a p l i c a n d o l a f ó r m u l a 6 5 , p a r a C : 1 . 0 0 0 ; F : 1 . 0 ( x ) ; r : 3 , , / o ; i : 4 % ;r ¡ = 51 per iodos semesr ¡a les .

4,= 1.000 + [1.000(0,03) - 1.000(0,04)] (n¡a, +,t,, st)

q, : $783,83

P a r a p = q ( 1 + i ) ' ; s e t i e n e , i = 0 , 0 4 ; k

P = 7¡r3.¡r3 ( I + {r,tr4)E = $801,97

= 1 O{x l - ln (21,6175)

_ 1 0 5 _ 7180 72

Usando este método se producen tablas con el valor día a día de krs cupone s (.tténse el problenr:resuelto Nq 2 de este capítulo).

Cálculo aproximado del precio efectivo En la práctica, a fin de cleterminar el precr.efectivo P de un bono vcndido entre fechas de cupón, al precio { en la últ ima feiha c.cupón, se agregan los intereses simples calculados a la taia interna de retorno sobrc !.precio 1.',, por el t iempo transcurrido desde la fecha del últ imo pago. Mediante la ecuaci-.:de equivalencia entre P y 1, se tiene,

p = f , ( 1 + k i )

f?EEill lEfFF Calcula4 por método práctico, el vakrr aproximaclo en mayo 15 del bsnt, :.e iemplo l . ) .4 .

11,=783,83; i=47,, ;

P -,783,83[r * o,o+ (

u - 7' ' - 1 2r \ l

# l l = $r'02,12t L / l

i

BONOS

Nota: al aplicar intereses simples en fracciones de periodos, se obtienen valores más altos.

Cálculo del precio efectivo por interpolación El valor P del bono entre dos fechas decupón se calcula mediante interpolación entre los valores Po y P,. Con este método parael bono del ejemplo L3.3, se tiene,

P,:1.000 + (30- q(PlA,4%,50):1.000 -t0(21,4822) = $285,1s

(sin incluir el valor del cupón).

Con el valor del cupón, se tiene: Pr: 785,1.8 * 30 : $815,18; para Po se obtiene elvalor de $783,83; para hallar el valor P se interpola entre estos dos valores. Se suponeque las variaciones son proporcionales al tiempo transcurrido, o sea,

P = P,+#,(tl - P,) =783,$+h(ars,rs -783,$)=$802,72

Si un bono se compra entre fechas de cupón, al hacer el cuadro del valor en l ibrosse procede como en el ejemplo 13.2; eI cuadro se inicia con el valor de compra y laspartes proporcionales de los intereses del bono (cupón) y de los intereses sobre la in-versión (TIR).

13.ó COTIZACIóN DE tOS BONOS EN tOS MERCADOS DE VATORES

En Ia sección 73.2 se señalaron los factores que inciden en el precio de los bonos; esosfactores permitieron, desde un punto de vista matemático, calcular el valor que uninversionista estaría dispuesto a pagar por un bono, para obtener determinado rendi-miento o rentabil idad. En la práctica, los bonos tienen un precio de oferta en el merca-do de valores y el verdadero problema que se presenta a los inversionistas es hallar latasa de rendimiento que obtendrian, al comprar los bonos por el precio de oferta, en losmercados de valores.

Al calcular el precio que un bono tiene entre fechas de cupón, se establecen algu-nos criterios generales sobre los derechos del vendedor a la parte de los intereses quepaga el bono y que se supone se acumulan en el tiempo t¡anscur¡ido desde )a últimafecha de pago. En los precios cotizados en los mercados de valores, se da por sentadoque al precio de cotización, los derechos del vendedor deben agregarse a los interesesque paga el bono. En la realidad, el cálculo de los intereses acumulados o porción acu-mulada del cupón se hace proporcionalmente a la fracción del periodo transcurrido,desde la últ ima fecha de cupón.

Si V es el valor del bono en el mercado, A el valor del cupón y k la fracción deperiodo hasta la fecha de venta, el valor P del bono es:

P = V + k A (7s)

N/ATEMATICAS FINANCIERAS

Los precios de los bonos en el mercado de valores se cotizan tomando como base100, suponiendo que 100 es e l va lor a la par . Así , un bono de 51.000 redimib le a la par vcotizado a 94 significa que se ofrece por $940.

ff iIEE H.rl lar el precro que debe pagarse el 10 de abril, por un bono de $500 cotrza-do a 92 , s i e l va lo r de l cup( tn es de $20 pagaderos e l 1o . de enero v e l 1o . de ju l io .

\,hlor de cr¡tizacion : 50tl(0,92) = 5-160

Del 1o . de ener t r a l 10 de . ' rb r i l t ranscur ren 10( ) de los 180 t l ías de l per iodo, o :ea , l . = f , ^ r -

diante la fr ' rrmula ,-5, se t iene:

D _ (20 ) = ¡ -171 ,11

13.7 RENDIMIENTO DE tAS INVERSIONES EN BONOS

El problema clue comúnntente se presenta a los inr, 'ersionistas, para determinar su capi-tal, es calcular el rendimiento (TIR) que obtendrán al cornprar bonos al pre.cio cotizadoen el mercadtt de valorc's. Este irnportante problema no puede resol., 'erse por métodosdirectos. Sin ernbargo, existc-n varios sistemas que permiten dar soluciones suficiente-mente.l lrroxintcldas. Errtre estos métoclos se cuenta corr tablas de r.alores de (.P1,4, i, i , tt)y (1 + i ) " , tab las de rendimiento especia lmente d iseñadas. En este mater ia l se propor-cionará un metodo uti l izando calculador.r con función Xr v otro de cálcuio aproximadt:rpor promedios

Mediantc caiculadora se procede por aprr rx imaciones sucesivas ( t tént tse e iemplo7.3 y problema 35 del capítulo 6).

Iftf iMEIf,f l Hallar la TIR de un borro de g1.000 al 1ti!/n, con cupones rrimestrales,redimibles a la par dentro de 5 .rños si se cotizan a 92. se supone en fecha de cupón.

P = C + ( r r - c i ) (n ls , i r , , t )

P = e20;C - 1.000; F¡ = 1.000 qq = 45; tt =s (4) = 20 rrimesrres

a 6 0 + |

r o rmu l J . / |

1.000

tnmestres

l - / r - ; f '920 : 1.000 + (45 - 1.000r) .

t

La tasa I debe ser mayor que 4,5% para que la cantidad entre paréntesis resulte negativa. Alcambiar de signos, se tiene:

Para i = 55%

,_20t__ ,_ \ 1 - (1 ,055) -r 5 \ - 4 5

U,UJJ

1- 0,342729t0. 0n#

= 10 (11,e50383)= 11e,s0 > 80

Se repite el proceso para:

i : s,1% (s1 - 4s)('t2,3s72r7) = 74,14 < 80i : s,2% (52 - 45)(12,2s3ss8) = 85,77 > 80i = 5,1.5% (51,5 - 4s)(72,30s222) : 79,98 < 80i : s,7ss% (51,ss - 4s)(1.2,300409) : 80,57 > 80i : s,151.% (s1,51 - 45)(t2,304I86) = 80,10 > 80i = 5,1502% (il,s02 - 4s)(12,305015) = 39,91 t to

5,7502% es una aproximación aceptable

(1+0,0s1s02r : r,22248

Rendimiento : 22,25% efectivo anual

Por lo general, basta hallar dos tasas suficientemente próximas e interpolar linealmente entreellas. (uéase, más adelante, cálculo del rendimiento por el método de interpolación).

Cálculo de la TIR por el método de los promedios Un valor aproximado de la tasa derendimiento puede obtenerse dividiendo el interés promedio producido por el valorpromedio invertido; el valor promedio corresponde al promedio aritmético entre elprecio de compra y el de redención.

. producto promedio por periodoTlRaproximudu:f f i

[ftfififtlffl Hallar la TIR del bono del ejemplo 13.7.

Valor cupón trimeshal = roo [!U)

: S+s

f,[ll N/ATEN¡ÁIcAS FTNANCTERAS

Valor cupones en 20 trimestres = 20(45) : 900,00

Más diferencia entre el valor de redencirinv el precio de compra = 1.000 - 920

I 'roducto total

Promedio por periodcr

lnversión promedio

80.00

40.00: 9U0 + 20 : 49

: 1/2 (precio de compra * valor de redenci(rn)

: 1/2 (7.040 + 920)

= 96049

0,05104960

: (1,05104)1--7 = 0,2203

TIR : 22,03% efectivo anual

Rendimiento aproximadopor tr imestre

Rendimiento efectivo anual

Cálculo de la TIR Por el método de interpolación Para aplicar este método es necesa-rio haliar dos tasas de interés, que correspondan a un precio nenor y uno mavor queel precio de compra. Después de calcular primero una tasa aproximada, se procede adeterminar precios de compra para una tasa inferior y otra superio¡, luego, se interpolaentre estos dos precios.

Iff inefq Mediante la aplicación de las tasas 5,5'/o \ 5,1% trimestral al bono del ejem-plo 73.7 , se tiene:

i = s5%p = 1.000 + (+s - ss)(11,es03it3) = 8¡r0,s0

i = 5,1% p = 1.000 + (+s - s1)(12,3s7217) = oZS,sa

Se interpola entre estos dos valores y se tiene:

925,86 corresponde88t),50 corresponde

45,36

925,86 corresponde a920,00 corresponde a

e s a X - 0 , 0 5 1es a -0,004 como 5,86

45,36 _ 5,860,004 0,051 _ x

0.004 t5.86 )( ) ,051 _ x =45,36

x = 0,0515168

(r,osrsas)a = t,zzzlTasa efectiva anual = 22,287"

a 0,051a 0,055

0,051X

= - 0,0005168

Cuanto más cercanas sean las tasas entre las cuales se interpola, más fina será la aproximación.

I 13.8 EL INTERES ORDINAR¡O Y Et INTERES REAI EN tA TIR DE UNBONO

30 enero-95 30 octubre

En el cálculo de Ia tasa interna de retorno (TIR) de los bonos surgen de nuevo los con-ceptos de interés ordinario o comercial (año de 360 días) e interés real o exacto (añocalendario de 365 días). En los bonos se acostumbra uti l izar años de 360 días, meses de30 días, trimestres de 90 días, etc.; en consecuencia, se genera una diferencia entre larentabil idad ofrecida por el vendedor y la calculada por el inversionista. La diferenciadesaparecería si los bonos, los documentos de inversión y certif icados de ahorro seemitieran con base en años de 365 días. Analícese esta situación en el siguiente ejemplo.

[ftfttr$@ Con fecha 30 de enero de 1995 se emiten bonos de $100 que se colocan a lapat cuya fecha de vencimiento es el 30 de enero de 1996. Rentabil idad al32% anual con pago decupones trimestrales vencidos.

Dia¡;rama de flujo:

30 iulio

030 enero-95

90 días30 abril

181 días30 iulio

273 días30 octubre

30 enero-96

365 días30 enero-96

C:100 ; P = 100 ; F =100 ; n = 4 ; r= , r ( # ) = 8%; cupones = F r= 8

Jbsa nominal trimestre

fása efectiva anual

Tása efectiva diaria

= r : 8 %

= (1 + 0,08f -7 :36,048896% (uéase sección 4.4)

1= (t + o,aoo+a890):eo- - 1= o,o8ss49%

El cálculo anterior supone que todos los trimestres son de 90 días y, como consecuencia, el añoes de 360 días. Si se toma como base el año de 365 días, dividido en trimestres no iguales, se tieneel siguiente f lujo:

30 abril


Para I = TIR diaria, se tiene la siguiente ecuación de valores equivalentes:

Notación estándar:

100 = 8 (plF, i%, e0) + 8 (n¡r, in, 181) + 8 (r¡r, in, zT3) + 1,08 (n¡r, in, zos)

Notación algebraica:

100= 8 ( t +,)-"0 +s ( t + t)- ' ' ' * s ( t * i )- ' " + t08 ( t * i )- 'u '

Para calcular i, se procede como en el problema 35 del capítulo 6. Para una primera aproxima-

ción, se toma i = tasa efectiva diaria con base en año de 365, correspondiente a la tasa efectiva

anual del bono:

Thsa efectiva anual : 36,048896%

Tasa efectiva diaria = (1 + 0,36048896)* - t =0,0843764

Se comprueba la ecuación utilizada de equivalencia con la tasa diaria:

i = 0,0843764%

s ( r + i ) o o

* 8 ( 1 * i ) - " ' * a ( t * i ) - " ' + 1 0 8 ( 1 + i ) - 3 o s

Y se obtiene los valores:

7,41522L158 + 6,867393643 + 6,35467777 + 79,383323681 = 700,0205287

100 < 700,0205287

Luego, la TIR debe aumentar para que disminuya el valor presente. Inténtese ahora aumentan-do en 5 unidades la cuarta cifra decimal y compruébese la ecuación trabajada de valores equiva-lentes con i = 0,0848%, para obtener los valores de

7,412397706 + 6,862734767 + 6,347338835 + 79,26069762 = 99,88256833

100 > 99,88256833

Es posible seguir ensayando con la variación de decimales, pero como hay dos valores -uno

mayor y otro menor-, se interpola entre éstos (aéase sección 4.7):

0,08437640,0848000

100,020528799,88256833

t

0,0848100,0000000099,88256833

-0,00042360 _ t-0,08480.1,3796037 0.117431670

de donde, i : 0,08M39432%

BONOS

Se comprueba la ecuación con este valor de i, para obtener los valores 7,414800866 + 6,866610858+ 6,353584625 + 79,36499078 : 99,99998713, valor suficientemente aproximado.

Ahora, se calcula la TIR anual:

Conclusión =

Diferencia =

r3.9 BONOS SERTADOS

Una emisión de bonos puede hacerse de tal manera que el reintegro del valor principalse efectúe en series o plazos, a fin de que la compañía emisora pueda reducir periódica-mente su deuda. Los problemas en que intervienen bonos seriados no son diferentesde los tratados en las secciones anteriores. Es obvio que los precios de los bonos seriadosde una misma emisión no pueden ser iguales, debido a que cada serie tiene diferentefecha de vencimiento

AI efectuar la adquisición de varios bonos de una misma emisión, pero de diferen-tes series, un inversionista debe averiguar el precio y el rendimiento de cada serie, con-siderándola como una compra individual y, para el cálculo, aplicar los métodosexplicados. El costo total de la adquisición será la suma del precio de compra de cadaserie y el rendimiento sobre el total será el rendimiento ponderado de Ias diferentesseries. En igual forma, al efectuar los cuadros de acumulación o de amortización debetratarse cada serie por separado.

Cuando se presentan condiciones muy particulares, como comprar el igual número debonos de cada serie o que los bonos sean redimibles a intervalos iguales, entonces es posiblepreparar fórmulas y organizar cuadros, que permitan reduci¡ el trabajo en los cálculos.

IfttrIIIEIEIII Una emisión seriada de bonos de g12.000 al 5/o convertible semestralmen-te será redimida mediante pagos de $4.000 a 72, 16 y 20 años. Hallar el precio de compra de laemisión para obtener un rendimiento del6%, convertible semestralmente.

El precio de adquisición es la suma de los precios de compra de la serie.

Mediante la aplicación de P : C + (Fr - Cn (PlA, i%, n) paralos distintos valores de la serie, setiene:

P, : 4.000 + (100-120) (r¡a, sn.2a) = a.ss6-20(16,s3ss) : g3.667,2s

P: = 4.000 + (100-120) Q'¡a. zn,32) = 4.000-20(20,38s8) = $3.5e2,22

p: : 4.000 + (100-120) (n¡a, z+,,40): 4.000-20(23,1148) : $3.s37,70P = Pt + P. + Pt:3.667,29 + 3.592,22 + 3.537,70 = $10.791,21

TIR anual : (1,00084439432) s -1

El vendedclr ofrece una TIR

El inversionista calcula su TIR

36,0801359%

36,048896%

36,0801359

0,03724%

MATE[/4ATICAS FINANCIERAS

I?EEIIEIEf,E El 1o. de marzo de 7997, un inversionista compra bonos seriados de 91.000al 6%, convertible semestralmente, con la intención de que le rindan el 5%. su compra fue de:

. 20 bonos con vencimiento el 1o. de septiembr e de 2007

. 10 bonos con vencimiento el 1o. de marzo de 2008

. 20 bonos con vencimiento el 1o. de septiembre de 200g

Hallar el valor pagado por estos bonos.

p l :1.000 + (30-2s) (n¡ , t ,2 ,s . t " ,21) :1.000 + s(16,1845) =7.080,92

P:- 1.000 + (30-25) (n¡,t,2,s"t",22) : 1.000 + s(16,7654): 1.083,82

p¡: 1.000 + (30-2s) (p lA,2,s%,23) : 1 .000 + s(17,3321): 1.086.66Valor iotal : 20Pr + 10 P. + 20 P1= $54.189,80

13 . I0 BONOS DE ANUALIDAD

Algunas compañías hacen emisiones de bonos cuyo valor se redime con pagos anuales;este tipo de bonos es, en realidad, una anualidad contratada bajo forma áe bono. Elcálculo de los valores de este tipo de bonos no difiere del cálculo de los valores de lasanualidades estudiadas en capítulos anteriores.

[ffififlUp Un bono de anualidad a 10 años, por g20.000 al 6%, seráredimido con 10pagtls anuales. Hallar el precio que debe pagar un comprador que desea obtener un rendimien-to del 5%.

El pago anual es dado por P : A(PIA, i%, n) parap : 20.000; n:10; i :0 ,06

20.000

A : 20 000 (Alp, 67,,10): 20.000(0,13s868) :92717,36

EI ctrmprador debe pagar el valor actual de una anualidad vencida de92.777,36 al 5/o que:.rec ib i r . i t lu r ¡n te I i ) ¡nos .

10 años

2../77,36 2.777,36 2.7"17,36 2.717,36

p - 2.777 ,36 (n¡ a , sn, rc) = 2.717 ,36 (z,zztzz)P = $20.982,72

I3 .T I BONOS CON FECHA OPCIONAL DE REDENCIóN

Algunas emisiones de bonos tienen indicada, además de la fecha de vencimiento, otrafecha anterior para q_ue el bono se pueda redimir opcionalmente por parte del compra-do¡, en cualquier fecha intermedia. Esto permite ál inversionistá cierta elasticidad ensus decisiones ya que puede escoger el momento que más Ie convenga para redimir susbonos. Para calcular el precio de este tipo de bonos, se acostumbtu rupo^". que la fechade redención es la más desfavorable para el inversionista.

fEEEIEü4 Un bono de 91.000 al 6% anual convertible semestralmente, con venci_miento el 1o. de iulio, se puede redimir a la par el 1o. de julio del ano 2002 o en cualquier fechaposterior. Hallar el precio de compra en enero 1o. de 1997 para que el rendimiento sea del 5%. Seescoge como fecha de redención la más cercana, o sea, el 1o. de iulio del 2002.

P : C + (Fr - Ci) (r¡a, in, n)C = 1.000; F : 1.000; r : 0,03; i : 0,025; n : 1.1P : 1.000 + (30 - 2s) (P/A,2.s%,11) = 1.000+ s(9,s142) = $j.047,57

r3.12 BONOS A|'/iORT|ZADOS pOR SORTEO

Las emisiones de bonos son redimibles en su fecha de redención o d.e maduracititt, o enfechas opcionales intermedias estipuladas en los bonos. Otras emisiones de bonos seredimen por anualidades; esto significa que anualmente se redime un grupo de bonos.

Los emisores de bonos que amortizan su emisión mediante anuatáades proce-den a paga4 en fechadel cuPón, por sorteo y por su valor de redención los bonós queresultan favorecidos. Es obvio que la TIR de los bonos favorecidos en el primer sorteoes mayor que ia de los bonos favorecidos en los demás sorteos.

2.7'17,36


Efissl Hallar la rentabilidad de bonos de 91.000 a\ 1,8%,redimibles a 10 años porsu valor nominal, cotizados al96% con cupones y sorteos semestrales: (a) favorecidos en el pri-mer sorteo, (b) redimidos al cumplir el plazo.

\a) P = c + (r' - ci) (n¡a, ir", ")P = e60;C = 1.000; Fr = 1.000 f 94I = 90; n= 1 semestre

\ 2 )

El diagrama de flujo de caja muestra que, en un semestre, $960 se convierten en $1.090, (con lafórmula se obtiene igual resultado).

¡= - *P- r = o , r3s4vot,

(t,otas+)' - 1= o,z8e1tasa de rendimiento = 28,91% efectivo anual

semesfres

SEMESüES

( b ) P = c + ( F r - C i ) ( n ¡ a , i n , " )

P : 960;C : 1.000; Fr = 1.000 gll = 90; n =20 semestres

e60 : 1.000 + (90-1.000,) (P/A, i%, 20)

(1.o0oi - eo)(PlA, i%, n) -- +o

Se ensaya para:

i -- e,5%, (e5 - eo) (PIA, e,S'x, , 2o) :(95- 90xlJ't l123ll2) : 44,06 > 4(\

i = 9,4% (94 - 90xu,lt7413tt) : 35,50 < 4t)

i : 9,4s% (94,s - e0x8,8431e8) : 3e,79 < 4o

i : 9,4s2% (94,52 - 90)(U,tt4le62) : 39,96 < 40

i = 9,453% (94,53 - 90X8,u41344) : 40,05 > 40

9,452% es un valor acePtable Para i

(1,09452)r - 7 : 0,797974

Tasa efectiva anual : 19,Uf,

Para los demás bongs el rendimiento está comprendido entre 1L),80'/, y 28,97')1, efectivo anual.

19 .80 " / , < i<28 ,97 ' / n

Los emisores de este tipo de bonos proporcionan tablas de rendimiento de los bonos para los

distintos sorteos y para diferentes cotizaciones; el estudiante puede producit coll facil idad,

una tabla de rendimientos con una calculadora Programable.

I3. I3 BONOS DE VALOR CONSTANTE

Estos bonos en unidad monetaria de valor constante (UMVC) se han diseñado para

proteger las inversiones a largo plazo, en los países que padecen una continua desva-

iorización monetaria. Las emisiones de estos bonos, bajo control del gobierno, se apli-

can para financiar los planes de vivienda. Los bonos de valor constante registran en su

valor nominal la corrección monetaria, de tal modo que su valor nominal y, por tanto,

su valor de redención sean ajustables en la misma medida en que se Produzca la des-

valorización. Con estos bonos se trata de evitar la desfinanciación de las instituciones

de crédito a largo plazo, para Ia construcción de viviendas, que agotan sus recursos

por efectos de las recurrentes desvalorizaciones monetarias.

Los problemas que pueden presentarse, sobre esta clase de bonos, son de ca-

rácter muy particutar y aéUen analizarse desde el punto de vista de las cláusulas del

contrato deiada emisión. Dada la importancia económica que Para los inversionistas

tiene el fenómeno de corrección monetaria, se ha dedicado el capítulo 14 para el

estudio de este tema.

I 3.I4 PROBIEMAS RESUETTOS

1. iCuánto se puede pagar el 1o. de julio de 1.996por un bono de $1.000 al8% nomi-nal convertibl" r"^"it.almente, redimible con premio del5% el 1o' de julio del201,0, para obtener un rendimiento del 'l'4% efectívo anual?

I \ ,4ATEIVlATICAS FI NANCI ERAS

Día123AI

Operaciones1,0007421,000742(MR) = 1,00148S1,00148s(MR) : 7,0022281,002228(MR) : 1,002977así sucesivamente

:7,027743

1,021743(MR) : 1,022500

scm('strcs

Intereses o $(valor cupón)0,741 4 R

^ a a

a ^ -

2I,7422,50

P : c + (rr - ci) (nla, t't,, tr)

C: i .050; Fr= 1.000(0,01)= 40; i l = 28; i= VT,1+- 1=0,0677

p = 1 1150 + [i ooo lo o+;- 1 r)50 (0,0677 )] (P A, 6,779t , 28)

\PlA, 6,77%, 28) = l-¡#+= 1r,4114805P : 661,1.9

Z. Para un bono de $1.000 cot ' t27%, con cupones mensuales, e laborar una tabla deliquidación por dí,rs transcurridos entre fechas de cupón, donde aparezcan la tasaefect iva v los in tereses por pagar de acuerdo con e l número de días t ranscr t r r idos.

Mediante calculadora con función X'y memorra:

Interés mensual : Y

: 0,0225

Cupón mensual : 1.000(0,0225) : 522,50

fása efectiva diaria : (1,0225)+ -1 = 0,A0074796

Se Ileva a memoria 7,000742

2930

BONOS

Día Thsa efectivasegún día Valor cupón

12aJ

:

i,30

0,0007420,0014850,002228

0,0277430,022s00

0,747,48

) q 7

21,7422,50

Completar los valores de los días 5 al 28.

Un bono de $1.000 al6%, convertible semestralmente, es redimible al 105% de suvalor nominal, opcionalmente, en abril 1o. del 20L2, con vencimiento en abril 1o.del año 2022. Halrar el valor en abril 1o. de 7996, para que la TIR sea der 8%.

Se calcula el precio en ambas fechas -la opcional de redención y la de vencimiento-y se escoge el menor valor. Fecha abril 1o. deIZ07Z.

P=C+(F r -q (P IA , i% ,n )

C : 1.000 (1,05) : 7.050; Fr : 1.000 (0,0a¡ : 30; i : 0,04; n : 16 (2) : 32

1.050

semestres

P = 1.050 + (30- 42) (PIA,4%,32):1.050 -72(77,8735): $835,52

Para la fecha de vencimiento abril 1o. de\2022, n : 52

MATEMÁTICAS FI NANCIERAS

30 30

p : 1.050 -12(PlA, 4%,52): 1.050 -72(27,7476)

semestres

30 3()

= $789,03

El comprador debe pagar el menor valot o sea, $789,03, asegurando, por Io lnenos/

el rendimiento del 8% Para su inversión'

4. Un bono de $1.000 al 5% convertible semestralmente, es redimible a la par el 1o. de

enero del 2000. Es adquirido el 1o. cle julio de L997 por un inversionista que desea

una TIR delT%. Elaborar e l cuadro de acumulación '

Se calcula e l prec io de comPra, P :

D -

1.000 + (25-35)(nia, z,s%, s)

1.000 - 10(4,s1s) : $954,85

'r 050

PeriodoValor en librosa principio de

periodo

Interesessobre

inversiónInteresesdel bono

AcumulaciónValor en l ibros

a final deperiodo

1

2

3

^

5

q q 4 R q

963,27

971.,98

981,00

990,34

?a 4)

33,77

34,02

34,66

25,00

25,00

25,00

25,00

25,00

8,42

8,71

9,02

9,34

9,66

963,27

97r,98

981,00

990,34

1.000,00

S. Un bono de $1.000 al6% convertible semestralmente, es redimible a la par el 1o. de

enero del 2016. Es adquirido por un inversionista el 20 de mayo de 7996, con la

intención de obtener una TIR delS%. Hallar el precio de compra.

primero, se calcula el valor del bono en la fecha de pago inmediatamente anterlor a

la fecha de compra, es deci¡, enero 10. de 7996.

BONOS

semestres

p o = 1.000 + (30 - 40xp/A, 4%, 40) = 1.000 - 10 (11,2928¡ = $802,07Desde el 1o. de enero hasta el 20 de mayo transcurren 140 días. Se aplica la fórmula71n, P : Po(l + ki¡ para Po: 802,07;

i = 0 , 0 4 ; k = ] p = 7r o 0 - 9

P = 8o2,o7lt*$ro,o+tl= $827,

Solución por interpolación. Calculamos el valor en la fecha siguiente de pago, esdeci¡, en julio 1o. de 7996 y se agrega al precio el valor del cupón.

Pr = 1.000+(30- 40) (n¡a, +n,39)+30 = 1.000-10 (19,5845)+30 = 834,16

Luego, se interpola entre { :9802,07 y Pr= $834,1.6

p : po + k (p , -p0) :802,07 + 6 $34,76-802,07) :827,02

Tercera solución. Se aplica la fórmula 73 (aéase problema 2):

p = po A,oq)HP = 802,07 (1,OSOSZS)

P = $826,97

6. Elaborar el cuadro de acumulación del bono del problema S, paralos tres primerosperiodos.

1.000

PeriodoValor en librosa principio de

periodo

Interesessobre

inversiónIntereses

bonoAcumulación

Valor en l ibrosa final deperiodo

.l

2

3

827,02

829,42

832,60

25,73

33,18

33,30

30,00

30,00

2,40

3,rg

829,42

832,60

R?q q?

N/ATEIúATICAS FINANCIERAS

7. ZCuál es la ' l IR aproxrrn¿rda de un bono de. $1.000 a l 5% con fechas de cupón 1o. deenero y 1o. de ju l io , cuyo vencimiento a la par es e l 1o. de ju l io del 2015, y cuyacompra se l leva a c¿lbo el 17 de septiernbre de 1996 con cotización de 93%?

TIR tr proxim n.i u : p tu:Jl!-t-"1':o*"9i", pot ry:li"d"valor promedio invertidcr

1.(Xl0

'lIr-I+

25

l ¡z * l9*) rzs) :r l ó U /

Más la diferencia entre el precio de redención y el precio de compra

1.000 - 937,50 :

25

mestres

$ 939,41

62,50

$1.001,91

Entre e l 1o. de ju l io : ie 7996 y e l 1o. de ju l io del 2015 median 19 años, y entre e l 1ode julio y el77 de septiembre median 76 días (meses de 30 días); al comprador le.corresponc-len 37rt'r l,r,, cupones a $25 c/u, o sea:

Promedio por periodo

Invers ión promedicr

TIR aproximada

TIR aproximada

= I.oo:,e4. br#J = $ 26,66: j (r ooo +e37,so) : ge68,7s

=m=o,oz7s2 semest ra l= 5,504% anual

Resolver el problema 7 por interpolación utilizando los precios en la fecha de cu-pón más próxima. De acuerdo con el método de los prornedios, se obtuvo la tasainterna del 5,504% . Se calcula el precio de compra plru j,r, : 6% y jtr: : S%.

937,50

l0 '1d ías

BONOS

El prec io / ' ] , en ju l io lo . r l t l t l t l6 . par . r la ' l ' l l t c le l 5%, cs:

r l : c l +(Fr-Ci ) (PlA, ¡ '1 , r r ) - l . (xx) + (25 2 'e A,2,5 ' , " ,1 ,38) : $1. {x)0

Para la III( del 6%,, st ticrrc t' l ¡rrecio /)-:

/ , ] : 1.000 + (2s -30)(P|A,25"/ , 38) : r .000 - 5122,4925) - $jS87,5.1

Me'diantc interrpolacirin cntrr, / '], y /']. sc tienc:

1.000,00 corresponde887,54 corresponde

937,50887,54

corrcsponde ¿)correspond t' ;r

X01)6

r ) ,06112,46 es a - 0,01 c,m(r 49,q6 es i l

!?¿g _ 4e,e60 ,01 X - 0 ,06

x -0,06 = :1 | l ]1 : 'e t ' = -0,004.1. t32112,46

X = 0,05556'fIR = 5.556o/,,

9. Un bono de $1.000 aI 76"1 con fechas de cupón 1o. de febrero v 1o. de agosto,vence a la pare l 1o. de agosto del año 2022,pero puede rec l imirse desde e l lo . deagosto del año 2012. Hal lar e l prec io de compra e l 1o. de agosto de 1996 para quedé una TIR del 28/, ' por lo menos, y hallar la uti l idad del inversionista si el borro seredime el 1o. de agosto del año 2017.

Puesto que el interés que paga el bono es menor que Ia TIR deseada, el precicl debecalcularse con la últ ima fecha de redención que es, indudablemente, el más bajo.

P= C + ( r r -C )Q la , i% ,n )

C= 1.000; Fr=1.000(0,08) = 80, i = A,74; n = 52semestres

L0r)0

SCInCSTTCS

N¡ATEMATICAS FI NANCIERAS

P = looo+(so- t+o¡.L:${-P = 1.000 + (-60) (Zt:soos¡

P = $577,90

1o. de agosto del año 2017 el valor en libros es:

P = 1000+(80- I40) .+#f

P = 1.000 -60(5,216116)

P = $687,03

Puesto que el bono se redime por $1.000, la uti l idad es de s3r2.97 .

I3 . I 5 PROBTEMAS PROPUESTOS

10. Hallar el precio que debe pagarse por un bono de $1.000 al 6% convertible semes_tralmente, para que produzca una TIR del g%, si: (a) es redimible a la par en 15años; (b) es.re_dimible a la par en 25 años; (c) es redimible al 105 en 15 años; (d) esredimib le a l92 en 25 años.

11. Hacer el cuadro de valores para un bono de $1.000 comprado en fecha de cupón,para obtener una TIR delT%, si: (a) es redimible a la par en 5 años, con cupones del4%; (b) es redimible a Ia par en 3 años, con cupone s áeI 8%; (c) es redimibie a la paren 3 años, con cupone s del 6% convertibles semestralmente; (r/) es redimible al 105en 5 años con cupones del4%.

12. un inversionista compra en fecha de cupón 5 bonos de $1.000 als% convertiblessemestralmente, redimibles al 104; paga por cada bono $960,30 para obtener unatasa interna de retorno del 8%. Hacer el cuadro de valores para los dos primerosaños.

13. Un bono de $1.000 al8%, con cupones semestrales es redimible a la par en 20 años.Calcular el precio para obtener una TIR del 6% efectivo y elaborar el cuadro devalores para los dos primeros años.

14. Un bono de $1.000 al4%, con fechas de cupón 1o. de marzo y 1o. de septiembre,redimible a la par el 1o. de marzo de12072, es adquirido el 20 áe junio de 1986 conuna TIR del6%. Hallar el precio con interés, en l ifecha de compia.

15. Un bono de $500 al 6%, con fechas de cupón 1o. de enero y 1o. de julio, redimible al92elIo. de enero de| 2027. Hallar el precio con interés en marzo 10 de 1996 narauna T IR de lS%.

16. Hallar por los métodos estudiados en Ia sección 13.5, el precio efectivo de un bonode $1.000 al4% convertible semestralmente, redimible al95 el 1o. de enero del2007,si se compra el 9 de abril de 7996 con una TIR del6%.

17. Hallar por los métodos estudiados en la sección 13.5, el precio efectivo de un bonode $500 al6%, cuyas fechas de cupón son 1s de mayo y 1o. de noviembre, redimiblea Ia par el 1o. de noviembre de12007, si se compra el 15 de septiembre de 1996, paraob tene runaT lR de l8%.

18. Hallar la TIR, por el método de los promedios, de un bono de $1.000, redimible a lapar el 1o. de enero del2012, si: (a) paga cupones semestrales del 4% y se cotiza al 92el 1o. de julio de 7996, (b) paga cupones semestrales del 8% y se cotiza al 105 ei 1o.de enero de 7996

19. Hallar la TIR por interpolación, de los bonos del problema 18.

20 . Ha l l a r l aT lRdeunbonode$1 .000a l5%,cuyas fechasdecupónson lo .desep t i em-bre y 1o.de marzo, redimible el 1o. de septiembre del2072 al 105, si se compra el 12de agosto de7996.

2'1.. Un bono de $500 al 5%, con cupones semestrales, con vencimiento en diciembre 1o.del2017 es opcionalmente redimible a la par desde el 1o. de diciembre del2007.Hallar el precio que un inversionistapagaria el 1o. de junio de1996, si se desea unaTIRS%, por lo menos.

22. Un bono de $1.000 al 4%, con cupones de fecha 1o. de enero y 1o. de julio, vence ala par el 1o. de enero del2012 pero puede redimirse el 1o. de enero del 2002. Hallar:(a) el precio de compra el 1o. de julio de 7996 para que la TIR sea por lo menos del6% convertible semestralmente; (b) si el inversionista redime el bono el 1o. de enerode 2000, Zqué tasa de rendimiento produce el bono y qué uti l idad obtiene elinversionista?

23. Un bono seriado de $15.000 al 5%, con cupones semestrales, será redimido en 3pagos de $5.000 du al f inal de 10, 15 y 20 años. Hallar el precio que permite una TIRdel 6%, convertible semestralmente.

24. Una compañía emite $3.000.000 en bonos seriados al5%, con cupones semestrales,en dos series, una de $1.000.000 con vencimiento a 10 anos y otra de $2.000.000 convencimiento a 15 años. Esta emisión Ia compra un banco, a un precio que le da unaTIR del 7%.Hallar el precio pagado por el banco el día de la emisión.


I3.1ó ACTIVIDADES DE CONSULTA

(a) Estudiar las condiciones de los últ imos empréstitos internos con emisión de bonos,

colocados en la localidad y su rentabil idad.(b) Estudiar las condiciones de los últ imos empréstitos internacionales del gobierno.(c) Estudiar las condiciones de las emisiones de bonos y obligaciones similares de enti-

dades privadas en la localidad.(d) Estudiaa en la bolsa de valores local, los métodos empleados para calcular el precio

y la rentabil idad de los bonos en las transacciones, las comisiones de los corredoresde valores y su incidencia en el rendimiento de los bonos.

i. t?',:t ¿ '; ; -g *&I

DESVALORIZACION MON ETARIA

OBJETIVO

El objetivo de este capítulo es estudiar los métodos para manejar las variaciones delpoder adquisit ivo del dinero, proporcionando un marco de realidad a las aplicacionesde las matemáticas financieras. EI estudiante aprenderá a adaptar los análisis y mode-Ios matemáticos a los cambios impuestos por las variaciones de la situación económicadel país. La economía se desenvuelve en forma dinámica, en un clima de constantes yrápidos cambios de los valores relativos del dinero y de los conceptos crediticios y eneste capítulo se pretende abordar la forma de manejar estos cambios.

Al terminar este capítulo se podrán manejar índices de precios y calcular tasasreales de rendimiento en condiciones de desvalorizaci1n; el estudiante estará en capa-cidad de calcular y preparar cuadros de amortización de préstamos en unidades devalor constante, con columnas de conversión a moneda corriente. Será capaz de anali-zat comParar y calcular los valores de los planes crediticios que ofrecen las corporacio-nes financieras y mediante su manejo estará capacitado para crear planes crediticios.

r4.1 TNTRODUCCTóN

El dinero de cada país, por causas que no corresponde analizar en este material, sufredeterioro en su poder adquisit ivo por efecto de devaluaciones e inflaciones. La expre-sión deunluación de ln moneda se utiliza para indicar la disminución de su valog con rela-ción al oro ylo las reservas monetarias. Por otra parte, el alza de precios disminuye el


poder adquisitivo del dinero, es deci¡, reduce su valor. Al fenómeno económico quecorresponde a un aumento general de los precios se denominainflación.

Las reducciones del valor del dinero disminuyen la capacidad de compra de laspersonas que tienen ingresos fi jos, bien se trate de sueldos, jubilaciones, pensiones orentas provenientes de contratos a término fi jo. En épocas de inflación, los ingresosfi jos suelen reducirse en su poder adquisit ivo de forma tal, que terminan por ser insu-ficientes para mantener los costos de vida. Por otra parte, la disminución de valor deldinero actúa en perjuicio de los acreedores, favoreciendo a los deudores, ya que estosúltimos al cancelar su deucia devuelven sólo una parte del poder adquisitivo que se lesprestó. En el caso de inflaciones galopantes o hiperinflaciones, el patrimonio de losacreedores se afecta gravemente y puede incluso desaparecer en corto tiempo.

Si un empresario no maneja con acierto los factores de desvalorización-los cualesdeben modificar sus modelos matemáticos financieros-, se verá en serias dif icultadescuando tenga que reponer sus activos; de otra parte, los prestamistas se enfrentarán ala disminución del valor real de sus capitales o a que un exagerado encarecimiento deldinero que prestan, vuelva impagable las deudas.

14.2 INDICES DE PRECIOS

En periodos de inflación, los precios de los diferentes artículos no varían en una mismaproporción; por esta razón, se uti l iza el costo de vida como una medida de Ia desvalori-zacíón de la moneda; este costo se expresa por medio de un coeficiente numérico quese denomin aíndice de precios. Los estadísticos especialistas en esta materia tienen méto-dos y normas que les permiten calcular medias ponderadas que reflejan, con suficienteexactitud, el aumento promedio de los precios.

El índice del costo de vida se expresa por comparación con un valor índice básico100 que corresponde a determinado periodo. Así, por ejemplo, si para cierto año conrelación al periodo básico el índice I, es igual a 1.20, esto significa que el costo de vidaaumentó en un 20%. En otras palabras, que es necesario disponer de 120 unidadesmonetarias para adquirir los mismos artículos que en el periodo básico se comprabancon 100 unidades; o sea, que la moneda ha sufrido una disminución en su poder adqui-sit ivo, lo que refleja una reducción de su valor. En el ejemplo dado, el nuevo valor deuna unidad monetaria, con relación al valor unitario del periodo básico se da por:

Nuevo valor = 100720

= 0.8333 unidades básicas

En general, para el índice 1,, el nuevo valor V: 1700, con relación al periodo1,, básico.

Para calcular la variación del valor de la moneda entre dos periodos cuyos índices,

con relación al básico, son 1, e 1*, se designa mediante V, y Vr los valores de la moneda en

cada periodo:

DESVALORIZACION MONETARIA

q:+l

1001 / - -y . - |

* l t

Dedonde, "L:+

V6), k ' t

O sea, los valores de la moneda en diferentes periodos de inflación son inversa-mente proporcionales al respectivo índice de precios.

TfrEIIEIEf,I Una unidad monetaria entregada en préstamo en un periodo de índice 125se paga en un periodo cuyo índice es 130. Hallar la pérdida de valo4, expresada en porcentaje delvalor en la fecha del préstamo.

Al aplicar la fórmula 76 para l, = 125; l,: 730, se tiene:T f

" t 130vk 7Zs

130v . : - v , = 0 , 9 6 1 5 V ,- l 2 5 L L

Vt = 96,15% del valor de V,

Pérdida de valor : 3.BS%

I4.3 INCIDENCIA DE LA DESVATORIZACIÓN EN tOS INTERESESSOBRE PRÉSTAMOS

En todos los aspectos de matemáticas financieras estudiados en capítulos anteriores seha considerado que el valor de la unidad monetaria permanece invariable. Es naturalplantear el interrogante: Zen qué forma se afectan los beneficios en operaciones de prés-tamos de dineros durante los periodos de inflación?

Sea un préstamo de una unidad monetaria con intereses simples a la tasa i porperiodo, durante n periodos, y sean 1o e I, los índices de precios correspondientes a losperiodos inicial y final del préstamo.

El valor futuro al f inal de n periodos es F = (7 + in), el valor V,delaunidad mone-taria con relación al valor vo del periodo inicial es proporcionado por:

I

VO : IVO

Mediante la expresión del valor futuro en función del valor unitario de la monedaen el periodo inicial, se tiene:

f / 1F : (1+ in ) f Q7)

Para la tasa de interés simple real i' ganada, expresando el beneficio en el valorinicial de la moneda como unitario, se tiene:

¡ :(1 * i' n); valor futuro de la unidad, se sustituye en la fórmula 77, y se tiene:

I

(+rn) : ( i + i " ) t

. ( r + in) ! - ro sea: t ' : ' k

MATEMÁTIcAS FINANcIERAS

(78)

Etrfffi Un inversionista presta 910.000 a intereses simples dell2% y con vencimien-to dentro de L año 8 meses. Si en el momento de efectuarse el préstamo el índice es 120 y en lafecha de vencimiento éste es de 160, hallar en función del valor inicial de la moneda: (a) el valorfuturo que recibe el acreedor; (b) el interés que gana su inversión.

(a) Mediante la fórmula 77 para un capital inicial P, se tiene:

Para

, IF = P ( 1 + i n ) i

P : 10.000; 1,,:720; lr= 160; i: Q,72; n = 'J.

F: 1o.ooo[r . f torz l ] : 10.000 (1,,2)(0,7s)

I = 51 2 3

r20160

F : $9.000,00 (unidades monetarias iniciales)

Fórmula 78: i' =

= -006

El interés es negativo del 6%; es decit, el prestamista pierde el6% anual sobre su patrimonio.

La reducción de valor que sufre el dinero en los periodos de inflación beneficia al deu-do¡, en detrimento del acreedor; a este respecto, algunos economistas han expresado laidea de que, en lugar de contratar un pago en dinero en fecha futura, se debiera contra-tar el pago de una suma de dinero que fuese equivalente a ciertas cantidades de mer-

( r * i , ) ! - r [ r * (o , rz ) 2 ]H - t' ' t t - [ ' ¡ l l ¡ t '

5J

0,9 -1.J

3

IIi


cancías. Lo que equivale a pagar las deudas, en dinero modificado de acuerdo con elíndice de precios correspondiente a Ia fecha inicial de la operación de préstamo, o seaen unidades de valor constante (uéase sección 10.8); así, en Colombia los préstamos sehacen en UPAC (unidades de poder adquisit ivo constante), en Chile en UF (unidadesde fomento). Estas ideas básicas, con distintas variantes, con la finalidad de estimularlas inversiones de capital y el ahorro, se aplican en los países que padecen de inflaciónPermanente. En Chile, las UF se modifican teniendo en cuenta el pasado, es deci¡, enfunción del índice de precios del mes anterior; en Colombia los UPAC se modificanmirando al futuro, esto es, en función de las tasas de interés de captación a 90 días.

14.4 RENTABITIDAD DE LOS AHORROS EN SITUACIóNDE DESVATORIZACIóN MONETARIA

Las corporaciones financieras y los bancos, para captar ahorros, ofrecen atractivos sistemasde ahorro en los que se involucra la desvalorización monetaria; esto proporciona al ahorradorla seguridad de que su dinero mantenga su valor adquisitivo y que gane un interés justo.Mediante la coordinación de estos dos factores, corrección e intereses, las instituciones deahorro ofrecen atractivos sistemas; con las herramientas proporcionadas por las matemáti-cas financieras, siempre les será posible evaluar y comparar tales sistemas.

B¡ftftfig La devaluación controlada por el gobiern o es del2l% efectivo anual y la tasade interés autorizada es del 8,5% efectivo. Un ahorrador debe decidir entre dos alternativas: LaCorporación Plata ofrece reajuste monetario del27% e intereses del B,S% sobre saldos corregi-dos, abonados por trimestre sobre el menor saldo de este periodo. La Corporación Éxito le ofie-ce 30% de interés efectivo anual por depósitos a término de 90 días.

Primero, se escoge 90 días como periodo de comparación de los rendimientos; se supone que elsaldo en la Corporación Plata no varía en el trimestre y que el capital depositado es de $100.000.

100.000

Ganancia en la Corporación Plata:

Corrección himestral efectiva

Tása efectiva de rendimiento

( r , z r ¡ i -1=o ,o488oe

(r ,oas.¡ i -7=o,o2o6o4

Obsérvese que en 100.000 (1,048809) (1' ,020604), puesto que el producto es una operación

conmutativa, se obtiene el mismo resultado al aplicar primero la tasa de interés y luego Ia tasa

de corrección monetaria.

Ganancia = $7.047,87

Ganancia en la Corporación Exito:

=( r , :o ¡ i -1=0 ,06779

F : 100.000 (1,06779) : $106.77e

MATEMÁTICAS FI NANC I E RAS

Saldo corregido en el trimestre

Valor futuro F

Valor futuro F

Valor futuro F

Tasa efectiva trimestral

Valor futuro

90.000 90.000

= 100.000 (1,048809) : 104.880,90= Saldo corregido . (1+l); i = 0,20604= 104.880,90 (1.,020604)

= $707.041,87

Ganancia : $6.779

Decisión: depositar el dinero en la Corporación Plata.

Es posible crear infinidad de sistemas atractivos, manejando los factores tiempo,tasa de corrección y tasa de interés. Un sistema que atrae a los ahorradores con tempe-ramento de jugador consiste en ofrecer premios por sorteos. En estos sistemas con pre-

mios, el ahorrador cede algunos puntos en la tasa de corrección e interés, con la esperanza

de ser ganador en algún sorteo. Para los sorteos/ la corporación de ahorros forma gru-

pos de ahorradores que en conjunto financian el juego.

[ftffilEfff| La Corporación Rifas ofrece a sus ahorradores un plan que les permite for-mar en tres años un capital de $500.000, mediante cuotas de $10.000 mensuales, y participar ensorteos mensuales con $90.000 de premio. La tasa que ofrecen otras corporaciones es del 30%efectivo.

Se conforma un grupo de 100 ahorradores que participan, al mismo tiempo, en el juego de 36sorteos de $90.000 y recibirán $500.000 al cumplirse 36 meses de iniciado el juego.A esta situación corresponde el siguiente flujo de caja:

50.000.000

tII

90.000 90.000

1.000.0001.000.000 1.000.000 1.000.000


El flujo de caja muestra dos anualidades con el mismo plazo de 36 meses. La formada por lascuotas de aportes, 10.000 (100) : 1.000.000 que constituye una anualidad anticipada y la de lossorteos de $90.000. El problema se trabaja con el 30% efectivo anual.

Mon tode lascuo tas =F1 = A \ r l a , i% , n )

A = 1.000.000;n-* 36; i : ( r ,SO)rr i - ,1 = 0,022704

'l^ [

II

144

13s

F, = l ooo ooo lr

t1?:f;{*-, _,1

Fr : $55'348.480

Monto de los premio, = 4 : A lF lA, i%, n) = o. ( t * ¡ ) ' - t

A : 90.000; tt : 36; i :0,022104

r _ so oon. (1,022104)r" - 1

'2 0,022104

F2 -- 94.873.636

Corporación Rifas acumula en los 36 meses 955.348.480 por concepto de cuotas de los ahorradores,y les paga $50.000.000 * el valor futuro F, : $54.873.636.

Diferencia no repartida = 55.348.480 - 54.873.636 : $474.844

Mediante la introducción de esta nueva variable de los sorteos v la variación de la cantidad deahorradores que conforman un grupo, se pueden crear numerosos sistemas y ofrecer fabulosospremios, si el grupo de ahorradores es suficientemente grande.

I4.5 PROBLE' IAASRESUELTOS

l. Durante 4 años sucesivos se han registrado los siguientes índices de precios: 120,735,754y 774.HaIIar: (a) el porcentaje de aumento para cada año; (b) el porcentajede aumento del últ imo año en relación con el primero; (c) los valores de la monedaen cada año, en relación con el anterior; (d) el valor de la moneda en el últ imo añoen relación con el primero.

1 ? q(a) AIza del2e año en relación con el primero:

ñ = 7,725; 72,5/o

Alza del 3"'año en relación con el segundo

l@ MATEMÁrtcAS FINANoIERAS

Alza del4q año en relación con el tercero: # : Lr299; 72,99%

(b) Alzadel4e año en relación con el primero: # : I'450; 45'0%

(c) Valor de la moneda del 2q año en relación con el primero:

120 - 0,8889; 88,89%135

Valor de la moneda del 3"'año en relación con el segundo:

735 - 0,8766; 87,66%751

Valor de la moneda del 4a año en relación con el tercero:

754 - 0,8851; Bs,sr%774

(¿l) \hlor de la moneda del 4e año en relación con el primero:

720 - 0,6897; bgp7%174

2. En un año cuyo índice de precios es de 130, un inversionista deposita $10'000 en

una cuenta de ahorros qué abona el 8%, capitalizable anualmente; si al final del

sexto año el índice de p.ecios es d.e220,hallai el valor futuro expresado en moneda

del año inicial.

E lva lo r fu tu roa in te rés compuesto esF = P(F lP , i%, n ) = P(1+r ) '

El valor futuro expresado en moneda del año iniciai es:

F : P f r+ ¡ l ' I\ / l k

P : 1 0 . 0 0 0 ; i : 0 , 0 8 ; n : 6 ; I o : 1 3 0 ; I r : 2 2 0

p : 10.000 (r + o,os;' 14220

F : 10.000 (7,58687432) (0,59091)

F : fi9.376,98

DESVALORTZACTÓN MONETARtA EEo

3. Calcular el interés que es necesario cobrar por un préstamo de $1 en un año, paraque a valor monetario constante devengue el78% de interés, si se prevé que, en eseaño, el índice de precios aumentará en un 20%.

Índice in ic ia l : I: , .Indice final I, : /n + 0,20,10 : 1,210

El valor futuro F de una unidad al f inal de un año es:

F = 1 + i

Mediante la expresión en función del valorinicial de la moneda, se tiene:

F:(1.r) +=(r+fT\El valor futuro al f inal del año debe ser 1,18 en moneda de valor constante, de don-de:

1 ,18 : ( t + i ) $

(1 + r ) : 1 ,18 (7,2¡ :1 ,41U

i : 47 .6%

Es necesario hacer el préstamo a una tasa del 47,6%

4. Al f inal de un año, cuyo índice de precios es de 115, se efectúa un préstamo de $1,por el término de 6 años. Hallar el interés capitalizable anualmente, que debe co-brarse, para que produzca un beneficio real del 8/o capítalizable anualmente, si seprevé que el índice de precios tendrá un aumento anual del 10/o.

El valor del índice, al f inal del 6q año, es:

/^ : 115 (1 + 0,10)6

El valor futuro al f inal de 6 años a la tasa i%, expresado en el valor de la monedainicial, es:

. I - 1 l q

f : (1+ i ) " t : ( ln t ) ' - - - - - i l J - = (1+ i ) ' (1 ,1 ) '

' / o I t 5 ( t + 0 , 1 0 ) '

Puesto que se desea obtener un beneficio real del 8% capitalizable anualmente, elvalor futuro a valor constante debe ser:

F : (1 +0 ,08 ) "


Los dos valores futuros deben ser equivalentes, o sea:

(1 + 0,08)6 = (1 + i)6 (1.,1)-6

De donde

1 + i : (1 ,08) (1,1) : 1 ,1.88

i : 0,188

La tasa debe ser del78,8%.

5. Los índices de precios han tenido en 5 años los siguientes valores: I, : 735; Ir: 7SB;It: 764;Ir: 776;Is= 196. Hallar elalza promedio a una tasa de interés compuesto.

Final

Notación estándar

= 796; inicial : 135

796 = 735\FlP, i%, 4)

Notación algebraica 796 = 135 (t + i)"

( 1 + i ) : : 1,457852

4 log (1 + t : 1og1, 457852 = 0,767922

log(1 + i ) =0,0404805

1 * i = 1 , 0 9 7 6 9

i = 0,09769

Tasa de crecimiento anual :9]7%

Una persona deposita en una cuenta de ahorros, que abona el 6% con capítaIíza-ción anual, $5.000 cada final de año durante 4 años. Si los índices de precios en esosper iodos han tenido los s iguientes valores: I r :730, I r= 736; I " : 150; I r :760,hallar: (a) valor futuro real que le correspondería en función del valor de la monedaen la fecha del primer depósito; (b) el valor futuro real que le correspondería enfunción del valor de la moneda en la fecha final; (c) el valor futuro que tendría, sinconsiderar Ia desvalorización monetaria.Calculando el valor de cada depósito en monedas de valor inicial y, luego, su VF alf ina l de los 4 años, se t iene:

796*t J )

5.0ü)

- ^ - \ ]F, : 5.UUU (t + U,Ub)

p : 5 .000 11 + 0 .06) r- t \

r - q o n n / 1 + n o Á \

1 ? nf , : ) . u u u . *' l o L ,

Valor futuro F : F, + F. + F" +F* =

(b) F en función de la moneda final

DESVALORiZACION I\,4ONETARIA

130130

i30izo

130

i so : 5 000 (1,06) (0 ,866667 ) : 4.5e3 ,33

: 5.000 (0,812s) : 406) \O

I ' , + i . + ¡ - , + l ' ,

= 5000 (1 ,191016) : 5.955,08

: 5.000 (1,1236) (0,ess882) : 5.370,75

19.98I,06 en monedas de valor inicial.

= 7g.98L06.160 : $24.592,07130

II

(c) Valor futuro, sin considerar la desvalorización de la moneda:

F : s.000 (r¡n, en, +) = 5.000 (4,374616) = 21.873,08

7. En el problema del ejemplo 14.4, hallar: (n) la tasa de rentabil idad para el ahorra-dor que gana el primer sorteo, (b) la tasa de rentabil idad para los ahorradores queno ganan sorteos.

(n) Se elabora el diagrama del f lujo de caja:

@ N4ATEtúÁTICAS FINANCIEBAS

10. ( ) ( ) ( ) I0 (x ) ( )

(a) Valor recibido en el mes 36

10.( ) (x)

: 500.000 + 90.000 (1 + i)r¡

loooo [t t . ' l ' -

t - , . l

90.()()()

Vator acumutaclo en el mes 36 : 10.000 . [(r

. ¡ l- ' - r - r lL I

500 ooo + 9o 0oo (t + i)" :

t ; ( 1 + i ) " - I5 0 + e ( I + i ) ' ' :

' ^ ' " , - 1

( l + i ) " - t: I - \

i

Se ensaya con i : 6/. (zténse problema 8 del capítulo 7):

(-96)--- ! - s(r,oo¡,' : 58,0e334 > s70,c6

l r n c \ 3 7i : s% !t'!51 1 - l(t,os)35 : 51,e8400 > 51

0,05

l r n¿q)37 -i:4,9% \!Yl)= -] - r (t,O+r)35 = 57,38707 > 57

0,049

(1,048)37t = 4,ó"/a -'_ _ ]]

0,048 j - o Q,o+s)35

: 5o,7e3ss < 57

o ( t + ; ) "

5(X).(XX)

M C S E 5

Mediante interpolación entre 4,9% y

a 0,049 corresponde 57,38707a 0,048 corresponde 50,79355

0,001 e s a


4,8%:

a 0,049 corresponde 51,38707a i corresponde 51,00000

0 , 0 4 9 - i e s a

9!q4e_i0,38707

0,001 (0,38707)

0,38707

0,s93520,04835 (efectiva mensual)

0,7622

76,22 efectivo anual

5(X) (XX)

0,59352 como

0,0010,0s9352

0,049 - i

¡

(r,o+sas)'' - rrentabil idad

(b) Diagrama del f lujo de caja:

) : s00.000

= 500.000

10.(x)0 10.()(x) 10.0()()

10.000 (F/4, i%, 36

loooo.Itr- ' t ' - t - , . lL' ]

( r+ ; ) " - rI

l 1 { l ) i

ll rl-)

t 0.()( }()

Se prueba con

: * 1 0 / : 54,03426 > 57


i = 7,5%

i : 7 , 7 %

i = 7,8%

Mediante interpolación

a 0,018 correspondea 0,017 corresponde

0,001 e s a

(1,01s)3i - 1'-: ^- -- = 48,98510 < 510,015

(1,0v)3' _ 7: 50,93199 < 51o o17

(1,018)3? - 1- 0 " 0 1 t - : 5 7 , 9 4 7 7 8 > 5 7

entre 7,7% y 7,8%:

57,9411850,93199

0,018 correspond e 51,94718r corresponde 51,00000

1,0092 como 0,018 - 1 es a

0,001 0,018 - i1"00920

: o,gall|

0,94778

0,018 - i :

; -

0,001 (0,94118)

7,00920

0,077067 efectivo mensuai

(1,077067)t2 -7 : 0,2252

Rentabil idad : 22,52%

Repítase este problema uti l izando notación estándar y calculadora financiera.

GonzáIez depositó $100.000 a principio de trimestre en la caia de Ahorros La Na-ción, que paga 8,5% efectivo de interés anual, con abono trimestral, sobre saldos1í-ni,lios corregidos. Si la corrección nionetaria es del 22% anual,y González retiró$20.000 transcurrido un mes, hallar: (n) el valor futuro que tiene al f inal del trimes-tre; (b) la tasa de interés obtenida en el trimestre, sumando corrección e intereses.(n) Se traza el f lujo de caja:


En la fecha de retiro, primero se corrige el saldo, luego se resta el retiro para obtenerel nuevo saldo.

Thsa efectiva de corrección mensual : (t,U)i

Saldo al efectuar el retiro : 100.000 (7,016709) - 20.000 : 81..670,90

Saldo corregido al final del trimestre :81.670,90 (1,01.6709)2 = 84.422,98

Tasa efectiva de interés trimestral : (1,OSS;iI' _ 1 = 0,020604Saldo abonados los intereses = 84.422,98 (1.,020604) = 986.762,46

(b) Para calcular la tasa de interés se plantea la ecuación de equivalencía con fechafocal al final del trimestre:

100.000 (1 + i)3 - 20.000 (1 + l) '? : 86.762,46

Para calcular la tasa i, se opera como en el problema 7, ensayando con:

i = 2% se obtiene 100.000 (7,02)3 - 20.000 (1,02)2 : 85.312,80 < 86.762,46

:0,016709

86.129,34 < 86.162,46

86.265,92 > 86.1.62,46

i : 2,5% se obtiene

i : 2,35% se obtiene

Mediante interpolación entre 0,0235 y 0,0230, se obtiene (aéase problemaT):

i :0,0231,4

(7,02374)3 -7 :0,0770

7.70% trimesftal

En estas situaciones no se puede hablar de tasa anual, ya que debería ser un proce-so trimestral repetitivo en la misma condición.


9. Los tres últimos índices de precios han aumentado en 4 años sucesivos en22%,U% y20% enrelación con el año anterior; si en el primer año el valor del índice de precios fuede 112, hallar: (a) el porcentaje de aumento del último año con relación al primero,(b) los valores de la moneda en cada año en función del valor de la moneda en el añoanteriot (c) el valor de la moneda en el último año con relación al primero.

10. El 18 de septiembre de cierto año se descuenta un pagaré de $20.000 que vence el 18de marzo del año siguiente, aI74%. Si el índice de precios que regía durante el añodel descuento era de 110 y aumentó a 145 en el siguiente, hallar en función delvalor inicial de la moneda: (a) la tasa real de descuento, (b) el valor que debe pagarel deudor en monedas de la fecha de vencimiento, para que la TIR sea del1,4%.


11. Los índices de costos de vida en 5 años sucesivos fueron 720,724,738,746 y 760hallar la tasa promedio de alza anual.

"1.2. Una persona deposita durante 3 años, a comienzos de cada semestre, $20.000 enuna caja de ahorros que abona el8% de interés, con capitalización semestral. Si losínd i ces de p rec ios pa ra l os 3 años fue ron : 1 r :744 , I " : 762 , I . : I 90 , ha l l a r e lahorro real que le correspondería: (n) en función del valor de la moneda inicial, (b)en función de la moneda final, (c) el valor f inal que tendría, sin tener err cuenta Iadesvalorización de la moneda.

13. Una persona deposita durante 5 años, a comienzo de cada año, la suma de $4.000en una cuenta que abona el 8% con capitalización anual. Si el índice de preciosaumenta en un 60% en los 5 años, hallar el valor f inal real que debiera tener enfunción del valor f inal de la moneda.

14. Un préstamo de $50.000 con intereses del 18% es recibido el 9 de julio con venci-miento al 9 de enero del año siguiente. Si los índices de precios aumentaron conrelac ión a l mes anter ior así : agosto 2%, sept iembre 1,67o, óctubre 2,4%, noviembre2,2%, d\ciembre 1,8% v enero 2,6%,, calcular el valor f inal que paga el deudor: (a)en función del valor inicial de la moneda, (&) en función del valor f inal de Ia mone-da para que r inda e l 18% real de in tereses.

15. Hallar el interés que debe cobrarse por un préstamo de una unidad monetaria,para que produzca en un alio el 16% de interés real (incluida la corrección pordesvalor izacion) , s i en e l mismo per iodo e l índice de precios aumenta eI 16%.

16. ¿A qué tasa de in terés compuesto con capi ta l izac ión semestra l es necesar io deposi -t a r un cap i t a l , pa ra que p roduzca un i n te rés rea l de l 8% a va lo r cons tan tecapitaiizable semestralmente, si el costo de vida aumenta a razón del 20% anual?

17. Un capital se deposita al72% de interés con capitalización semestral, durante 6 años,Hallar la tasa real a valor constante con capitalización semestral que produce, si elíndice de precios varía de 144 en la fecha inicial a 166 en la fecha final. (n) En funciónde los valores inicial y f inai, (b) asumiendo que la devaluación es uniforme anual.

18. Un equipo importado tiene un costo de $200.000 y una vida úti l de 5 años. Si sesuPone que el costo varía en la misma proporción que la devaluación de ia mone-da, eiaborar el cuadro de depreciación a valor constante, teniendo en cuenta que elvalor de salvamento es del 10% y que la devaluación monetaria es del 12% anual.Las correcciones de la reserva a valor constante deben hacerse en la moneda cadaaño.

19. En el problema 9, hal lar la TIR para: (a) un ahorrador que gana el úl t imo sorteo,(b) un ahorrador que gana el sorteo vigésimo.

DE.q UA I /)F)ZA C) ON M O N F 7' D)Á @

20. l 'érez,, el día 20 de fe brcro, de positó $200.0t)0 cn la Ca ja dr. Ahorro N¿icional. L¿rcaja abona et l 9 i Í , de i r r terós efcct ivo anual . sobr t 'c l mer lor s : r ldo cc l r regido del t r imestrc; la correcci t in es del 2 ' j l . e fcct ivo ¿lnu¿r l . En e l t r imcstre que se in ic i r i e l pr i -mero dc abr i l , [ 'ér t 'z tuvo e l s iguiente mo'u ' imient t ) en su cuent¿r de ahorrc l : 20 dcabrii consignó $50.000, el 15 dc mayo retiró $ 100. ()(l(i. el l0 de ju nio consjgnó $E0.0()()(a) Elaborar un cu¿tdro con r . -o lumn.r de ¿bonos y rc t i rcs, co lunuta de factor dc co-r recc: i t in y de saldos, dondc ap¿lrezca c l movimirnto de l¿ i cucnta, e l abono de inte -reses y e l sa ldo para e l l " de ju l i t t . ( l r ) Hi i l l . r r la t . rs¿ in t t - : rna de retorno e n c l t r imcstr t ' .

21. Organícese la secue'nc ia de operacioncs par i l l i i correcci r in d i¿rr i¿r der un dept is i to de$10.000 durante un t r imestre, a la tasa de corrccc i í rn del 2f i . i , c fcct ivo anual y a i c) ! l

de in ter í :s efect ivc ' l anual sobre e l menor saldo del t r imestrer , v mediantc un pr( )gr . l -ma computacional que produzca e l l is tado del sa ldo corrcgido dí¿i a día v e l abonode interescs a l f ina l del t r imestre. Modi f íquese e l programa de ta l m¿lncr . r c lut 'admita consignaciones y ret i ros.

14.7 CORRECCIóN MONETARIA Y UNIDADES DE VALOR CONSTANTE

En los paíse s afectados por in f lac ión permancnte, para proteger las invers iones a largcrp lazo *en par t icu la4 los p lanes de construcción de v iv ienda-, se apl ica, por in termediode las corporaciones de ahorro y v iv ienda, e l s is te m¿r de préstamos en unidades mone-tar ias de valor constante. Las cuotas de amort izac i ( rn de los crédi tos, en un s is tema depréstamos en unidades monetar ias de valor constante. , se determinan en la misma for-ma que los préstamos comunes estudiados en e l capí tu lo 11 y los resul tados se convier-ten a unidades monetar ias que correspondan, según e i factc l r que r i ja en la fecha dcpago de cada cuota.

Creada la unidad de valor constante, esta unidad var ía con e l t ranscurso del t iem-po. Por ejemplo, en un país con inflación permanente, hace ocho años se estableció elsistema de unidades monetarias de valor constante (UMVC). Si el valor inicial f i jadcrfue de $100 por cada UMVC y s i las correcciones monetar ias anual fueron 1,25,7,24,I ,23, 1,23, 7,22, 1,22,7,225 y 1,21, entonces, la unidad monetar ia de valor constánteequivaldrá a$577,348 del octavo año, determinada así:

100 (1,25) (7,24) (1,23)'(7,22)2(1,22s) (7,27) : s77,348

Y si, para compra de vivienda, en ese octavo año, se otorga un préstamo de$5.000.000, el préstamo se contrata por 9.664,6744 UMVC, o sea:

5.000.000 +517,348 = 9.664,6744

[ft@lEIlE Una constructora contrata un préstamo de 100.000 UMVC, pa¡;adero porcuotas tr imestrales vencidas, a| 8,5% de interés efectrvo anual a 5 años plazo (20 cuotas tr imes-trales). Elaborar el cuadro de amort ización de la deud¡.

l@ MArEi¡ÁTrcAS FTNANoERAS

Cuota mensual : n(Aln, i%, n)

préstamo : p : 100.00Q; rr : 5 (a): 2o; i : 1r,OSS.¡i _ r : J,0206044

cuotamensuat =A = 100.000. 0'020604-t

.^1 - (1,0206044)-''

A : 100.000 (0,061s140)

A :6.757.4 UMVC

El cuadro de amortización de la deuda tiene la misma estructura básica de los estudiados en elcapítulo 11.

Cuadro I, amortización de la deuda en unidades de valor constanteCuota : 6.751,40; tasa8,5% efectivo anual : 2,06044% con capitalización trimestral

Meses Cuota mensual(UMVC)

Interesessobre saldos

Amortización Saldo

01¿34

6.757,406.157,406.75I,406.751.,40

2.060,441.976,757.890,727.802,32

4.090,464.'t75,254.261,284.349,08

100.000,0095.909,0497.733,7987.472,5183.123,43

La diferencia con el cuadro II, que se estructurará a continuación, consiste en que los valores delcuadro I se expresan en moneda de valor constante y deben convertirse al valor de las unidadesmonetarias en la fecha de pago, de acuerdo con el UMVC que rija en esa fecha; para mostrar la

conversión, es necesario agregar otras columnas a fin de registrar los valores. En el cuadro II sehan agregado las columnas:

UMVC : Corresponde a los valores de las unidades monetarias de valor constante, que actúacomo factor de conversión a unidades monetarias corr ientes. Se ha tomado comovalor inicial 130 y 1,9.5% efectivo anual para la corrección monetaria.

CPCM : Cuotas pagadas con corrección monetaria.Saldo CM : Saldo con corrección monetaria.

Valores de . !UMVC :Tasa efectiva tr imestral: (1,195)4 - 1 :0,0455432

mes 0 = 130; mes 1 : 130 (1,0455432) = 735,92; mes 2 : 1.35,92 (7,0455432) = 142,11'

mes 3 = 742,77 (7,0455432) : 148,58; mes 4 : 148,58 (7,0455432) : 155,35

DESVALORIZACIÓN MONETARIA

Con los modelos matemáticos de cálculo, es posible programar el computador y obtener el lista-do de las cuotas de pago hasta la extinción de la deuda.

cuadro II, amortización de la deuda en unidades de valor constantecon corrección del valor monetario

r4 .8

Meses Cuotamensual

Interesessobresaldos

Amortización SaldoCorrección monetaria

UMVC CPCM Saldo CM

123

6.151,406.1,s1,,406.751,,40

2.060,441.976,1,s1.890,1,21..802,32

4.090,464.175,2s4.261,284.349,08

100.000,0095.909,M9r.733,7987.472,s',183.1,23,43

130,00135,92142,1,1,148,58t55.,3s

836.098,28874.1,75,45973.975,0795s.620,00

13.000.00013.035.95713.036.28912.996.66612.91,3.22s

Con cualquier sistema de amortización que se adopte, se tendrá una situaciónanáloga a la explicada. Primero, se calculan los factores para la amortización; en segui-da, se prepara el cuadro de amortización, considerando los factores iniciales como iÑa-riables, y por último, se efectúan las correcciones del valor monetario de acuerdo conlos factores que correspondan a cada periodo de pago.

Para las cuentas de ahorro con valor adquisitivo constante, no se reciben depósi-tos como en las cuentas comunes, sino se venden certificados a término fijo, en loi quese especifica la tasa de corrección y la tasa de interés.

RETACIóN ENTRE tA AMORTIZACIóN DE LOS PRÉSTAMOSEN UNIDADES DE VATOR CONSTANTE Y tOS INGRESOSDE tOS DEUDORES EN UNA SITUACIóN DE INFTACIóN

Las corporaciones de ahorro y vivienda se han creado para facilitar a los trabajadoreslos medios de adquirir su casa propia, mediante la amortización en cuotas mensuales.En esta sección se analizará el problema que suele presentarse a un trabajador quedestina una parte de su sueldo para pagar las cuotas en un plan de préstamos-de uniáa-des de valor constante, con corrección del valor de la moneda

"n cida periodo de pago,

es decit mensualmente. El problema en sí es bastante complejo, ya qne deben teneiseen cuenta tanto las variaciones de los índices de precios, como las variaciones del suel-do. La mejor forma de exponer el método de análisis es presentar un ejemplo, convalores perfectamente definidos.

Supóngase un trabajador que destina, inicialmente , el30% de su sueldo paraamortízar, por el método de cuotas fijas, un préstamo de unidades de valor constánte

l@ MATEMÁTIcAS FTNANcTERAs

aprobado para la adquisición de un inmueble y que los índices de precios se incrementan

en eI2% mensual, sobre el mes anterior.Si se toma como índice básico 100, correspondiente a la fecha inicial del préstamo, y se

supone que el sueldo S del trabajador aumenta cada final de año en la misma proporción

en que se desvaloriza la moneda, se tiene: Valor cuota : 0,3S en monedas de valor del mes

inicial con índice de precios; Io : 100, las cuotas se pagan cada final de mes a partir del mes

1, como se muestra en el diagrama.

El valor de las cuotas con corrección monetaria se muestra en el siguiente cuadro:

Mes Cuota Indice Cuota(valor corregido)

01",

6

72

0,3so'1t

o,i'

0,3s

100100 (1,02)100 (1,02)'

,oo 1r,or¡,

100 (1,02)1,

0,3060s0,31.z'Ls

o,zi.zas

0,3805S

Puede apreciarse la forma como la cuota que debe pagar en unidades de valor

constante incide en su sueldo; esta cuota prevista como un 30% del salario aumenta por

efecto de la desvalorización, de tal manera que siempre es mayor que el porcentaje

previsto inicialmente. Obsérvese que en el mes décimo segundo es el 38,05% del suel-

do. Además, la parte que Ie queda, después de cancelar la cuota del préstamo, ha sufri-

do deterioro en su poder adquisitivo y para apreciarlo, debe expresarse en el valor de

las unidades monetarias iniciales. En el siguiente cuadro se muestra la forma como se

ha reducido la capacidad económica del trabajador del ejemplo dado; resulta evidente

que tendrá dificultades para satisfacer gastos normales.Mediante los valores expuestos en el cuadro anterio¡, se mostrará en el siguiente

lo que le queda al trabajador después de pagar la cuota de amortización; las columnas

del cuadro contienen los siguientes valores:

121 1

0,3sÍndices de preciosvalor de crrotas


Columna: sueldo menos cuota Corresponde a Ia diferencia entre el sueldo s y el valor

de la cuota mensual corregida al valor áe la moneda que señala el índice de precios' El

valor de las cuotas se encuentra en la últ ima columna del cuadro anterior'

Columna: Diferencia en monedas de valor inicial Contiene los valores de la diferen-

cia Sueldo menos Cuota, o sea, lo que queda del sueldo después de pagar Ia cuota,

"*pr"rudo en monedas correspondüntei al valor inicial, de acuerdo con el índice de

precios.

Columna: % del valor inicial de 0,705 En esta columna se anota lataz6n' expresada

en tanto por clento, entre el valor que le queda al trabajador descontada la cuota del

mes y el valor 0,70s. Teniendo en cuenta que 0,70s fue su presupuesto inicial de gastos,

descontada la cuota 0,3S de amortizació.,, lot pot."t-ttajes anotados indican los valores

a los cuales debe a¡ustar su presuPuesto y, si no es posible hacerlo, entrará en una

situación de déficit.Al tomar como promedio aproximado la situación en el sexto mes, el trabaiador

debe reducir r,, pr"r,].p,,esto familiar a\ 83,8% de lo proyectado en la fecha inicial '

Se ha supuesto que el sueldo del trabajador se reajusta cada final de año, en la

proporción que senale el índice de precios; de esta manera, en cada año se repetirá el

mismo proceso, vanando de acueráo con los nuevos índices de precios' El proceso se

ha analizado para una inflación suave; la situación del trabajador frente a su Presu-

p""rio de gasios será muy crít ica, en periodos de inflación fuerte. El desequil ibrio del

ir"rrrprr"río del trabajadár también será grande en caso de que los aumentos salaria-

i", ,"án inferiores al que le correspondería de acuerdo con los índices de precios'

% del valorinicial

Diferenciaen monedas

del valor inicial

Sueldo I Indicemenos I de precios

1 n n

aa )^q4 4^

83,80

69,78

o 7nq0,6804ñ A K ) q

o,sssos

o,+gass

i00702704,04

71,2,62

ni,ez

0,70s0,694050,68795

0,66225

:

0,67955

012

6

i,


Gráfica de la cuota de amortización de una deuda yen unidades de valor constante, v en unidades

del sueldo del deudor,de valor corregido

Sueldos

L

D

E

10 11 12 meses

Para una visión de conjunto, en una gráfica se pueden presentar los valores anali-

zados en los cuadros anteriores. El uso de estas gráficas es importante ya que, además

de utilizarse en algunas mediciones a escala, permiten intuir algunas consecuencias de

este fenómeno económico.La función escalonada AC representa el valor de la cuota inicial A, expresada en

monedas de cada periodo; la poligonal SD se obtiene uniendo mediante líneas rectas

las ordenadas de los sucesivos valores del sueldo mensual expresados en el valor inicial

de Ia moneda. En realidad, la poligonal SD debiera ser la curva correspondiente a la

función del valor del sueldo en monedas de valor constante; utilizando la poligonal

que es de fácil construcción, el error cometido es insignificante. La recta AE correspon-

de al valor de las cuotas en monedas del valor constante inicial. Al utilizar como unidad

la centésima parte de la magnitud OS, las ordenadas de Ia escalonada proporcionan el

porcentaje del sueldo que corresponde al valor de la cuota que debe Pagarse en cada

periodo; las ordenadas de la poligonal SD suministran el porcentaje del valor del suel-

do recibido en cada periodo, en monedas de valor constante, en relación con el sueldo

inicial.La diferencia entre las ordenadas de la escalonadaAC y la rectaAE da el porcenta-

je sobre el sueldo en que aumenta la cuota pagada en monedas de cada periodo; y la


diferencia entre las ordenadas de la recta AE y la poligonal SD expresa, en monedas devalor constante inicial, el porcentaje del sueldo inicial que queda al trabajadot paraasumir sus gastos, después de pagar la cuota de su deuda.

14.9 PROBLEMAS RESUELTOS

22. Pérez, para compra de v iv ienda obtuvo e l pr imero de ju l io un préstamo de

$5.000.000, en unidades monetarias de valor constante, a 10 años de plazo e interésdelS% efectivo anual. Si !a corrección monetaria controlada por ei gobierno es del22% efectivo anual, para el año en curso, y si en la fecha del préstamo 1 UMVCequivale a$970, hallar: (n) el valor del préstamo en UMVC, (b) el valor de las cuotasen UMVC y, para el primer año, el valor de las cuotas en moneda corriente. Siste-ma de amortización gradual con cuotas mensuales.

(n) Diagrama de flujo de caja:

$5.000.000 + 970 : 5.154,6392 (UMVC)

t t 5 4 h { 9 /

(b) Valor cuotas : A

Notación estándar

Notación algebraica

Pl4p, i%, n)

D l

t - ( t+ , ) - "

0,006434; n : 70

^ -

A _n -

P : 5.754,6392; i: (r,Oa¡rrr - 7 * (12) : 120 meses

0,006434A : 5.754,6392.

7 - (7,006434)'

A : 5.154,6392 (0,0179857)

A :61,782133 (UMVC)


En el país donde vívePérez, el gobierno establece cada primero de enero la tasa decorrección vigente para el año; por tal razón, las cuotas en moneda corriente secalculan para los meses de cada año.

Cuota : 67,7 821.33 (UMVC)

Tasa de corrección efectiva mensual = 7t,zz¡i - 1 - 0,016709

Factor de conversión: Lq de agosto = 970 (7,076709) : 986,27;14 de septiembre :

986,21 (1,,01,6709) : 7.002,69;1q de octubre = 1.002,69 (1,01'6709) : i.079,44;7a denoviembre : 1..019,44 (1,01.6709) : 1.036,47;14 de diciembre : 1.036,47 (7,01'6709)= 1..053,79.

Fecha UMVC Valor cuota $

julio 1eAgos. 1qSept. 1aO c t . 1 aNov. 1aDic. 1a

970,00986,27

1..002,697.079,441,.036,477.053,79

59.928,6760.930,1,661.948,3362.983,7864.035,3365.705,39

Operaciones

61.,782133 ( 970,00)61,782133 ( 986,21)61.,782133 (7.002,69)67,782733 (1,.079,44)67,782733 (7.036,47)67,7821.33 (7.053,79)

Si el estudiante dispone de un computadot corra un programa con las columnas de

amortización del préstamo de Pérez, simule tasas de corrección para cada año y

elabore una lista de los valores de UMVC y los de las cuotas mensuales en moneda

corriente.

23. Un trabajador devenga $60.000 mensuales; siendo el índice de precios 115, decide

comprar vivienda para pagarla con cuotas de valor constante. Amortiza la deuda

con cuotas que equivalen al40% de su sueldo; el país vive un proceso inflacionario

y, 10 meses más tarde, el índice de precios es 180 y el trabajador ha recibido un

aumento de sueldo del20%. Hallar: (a) el valor de su sueldo en monedas del valor

inicial; (b) el valor de la cuota corregida, al valor actual de la moneda; (c) el porcen-

taje de su sueldo que representa la cuota de valor constante; (d) la parte restante del

salario después de pagar la cuota y que debe dedicar a su presuPuesto de gastos.

comparar esta suma con la que el trabajador tenía como presupuesto de gastos al

comprar el inmueble.

(a) Sueldo con aumento : $60.000(7,2¡ : g72.g}0 (20% de aumento)

1 1 518072.000 : $46.000 en monedas de valor constante inicial

DESVALoRTzActÓN MoNETARIA EE

Es decil el valor adquisitivo de su salario se ha reducido a\76,66% del valor inicial.(46.000 + 60.000 : 0,7666)

(b) Valor de la cuota en monedas de valor constante : $60.000 (0,4) : $24.000

Valor de la cuota en monedas de valor actual : 24 000 1#

: g37.565,20

(c) Porcentaje de su sueldo que le representa la cuota : m

:0,5217

La cuota que debe pagar corresponde aL52,17% del sueldo.

(ü 972.000 - 937.565,20 : $34.434,80 saldo después de pagar la cuota

34.434,801# : g22.000 Saldo en monedas de valor constante inicial

Presupuesto inicial de gastos : $60.000- $24.000 = $36.000

22.00036J00

:0'6111

El trabajador se ve obligado a vivir con el 67.1'% de su presuPuesto inicial.

24. fJn trabajador compromet e el40% de su sueldo en un préstamo de valor constante.Si toma el valor 100 para el índice inicial de precios, hallar el índice de precios que leobligaría a pagar como cuota el70% de su salario. Sea I el índice de precios; enton-ces, puesto que S es el sueldo, se tiene:

0.405 (D : 0.705 (10); 1o : 100 (índice inicial)

0,70 (100)I : o^

: l zs

25. Si los índices de precios varían cada mes en el2% sobre el mes anterio¡, ien cuánto

tiempo el poder adquisitivo de un sueldo queda reducido a la mitad de su valor?

Al designar por 1, el índice para el n-ésimo mes y por S el sueldo en monedas de

valor inicial, se tiene:,

q ' o

" ¡ : 0,5S; se sust i tuyelo: 100; l , : (1+0,02) ' Io

q 100"

1oo (1 +0,02)" : u'r)

(7 + 0,02¡ ' :2

n :2aircs 11 meses

f@ MATEMÁTrcAs FTNANcTERAS

26. Si en el problema 25 el sueldo del trabajador se aumenta en el 70% cadaaño, calcu-larlo en monedas de valor inicial al final del tercer año.Sueldo al final del tercer año = S, : S(1 + 0,1)3Índice al final del tercer año = f*: rOblr + O,OZ)"

s, : S(r+o, t ) ' 100

1oo (1+ o,oz)"S: : S (1,331) (0,4902231.5) : 0,652485

S. : 65,25% del valor inicial

I 4.I O PROBLE'I/TAS PROPUESTOS

Para un préstamo de $400.000, pagadero por cuotas mensuales vencidas igualescon el 8% de inte¡és capitalizable semestralmente, calcular en unidades de valorconstante el valor de la cuota si el plazo es de 15 años, y elaborar el cuadro de amor-tización de la deuda, con columnas de corrección monetaria, para los primeros 6meses, teniendo en cuenta los siguientes factores de corrección:

Io: 777; l, =706; Ir: 707; \: 770; In: 71.4;1, : 118; Iu: 121

Un trabajador que devenga $50.000 mensuales compra una casa y debe amortizarsu deuda con cuotas de $i7.500 de valor constante. La corrección monetaria es de2,6/o mensual y $90 es el valor inicial de conversión a UMVC. Elaborar el cuadrocorrespondiente a los primeros 12 meses, con las siguientes columnas: cuota, índi-ces, cuota corregida al valor actual, sueldo menos cuota, diferencia expresada enmonedas de valor inicial, /o delvalor inicial.

Un trabajador contrae una deuda a valor constante; el valor de las cuotas corres-ponde al40% de su sueldo. Si el índice de precios aumenta mensualmente en el 31sobre el mes anterior y al trabajador le incrementan anualmente su salario en ei15% deI anterio¡, Zen cuánto tiempo la cuota corresponderá al: (a) 80% deI sueldo;(b) 100% de éste?

Un trabajador paga su casa mediante cuotas de valor constante que en el moment..inicial equivale al30% de su sueldo. Al año de estar pagando, el índice de precios havariado desde 110, en el momento inicial, a1,40 y su salario fue aumentado al final d¿-año en el20%. Hacer un cuadro que muestre para el segundo año los valores co¡re:-pondientes a las mismas columnas indicadas en el ejemplo 1.4.5, teniendo en cuen:'que el índice de precios vaúa en un2,5% mensual, en relación con el mes anterior

Las tarifas de impuestos de renta son de tasas progresivas, por tanto, la desval¡:.-zación monetaria aumenta la carga tributaria para todas las personas, sin que ::-

,,n

28.

29.

30.

3L.


van cambiado sus niveies de vida. Estudiar algunos casos concretos, de acuerdocon la lev tributaria de ia localidad v con los índices de precios de los últ imos años.Comparar los reslritados con los principios ienidos en cuenta por los legisladoresq r re ap roh . t r r i n L r l t ' r ' pa r , i . t u t t r r i za r l a ' t¿ r i i a r r - i e ,en tes .

32 . Co r r s t rL l c i l s¿ l : I - i r r i t a t l a ob t rene un p rés tamo pa ra i ¡ r i c i a r cons t rucc iones p ( ) rSi l . tX i ( l i ) l ) { . ) a r ior . l l r t ) - ' de p l . rzo. con i r r tereses del 9 l ' , , c fcct i r t r ¡nual , pJs.rdcros pf ) rt r imestre ant ic ipado v acuniu lables a l pr inc ipal durante e l pr lmer ar1o. El préstamcrfuc concedido en unidades monetar ias de valor constante (UMVC). I {a l lar : (n) Elvalor del préstan-io en [-IN{VC si en Ia iecha del préstamo la equir,alencia era i UMVC: $1.320. (b) Si la corrección monetaria durante el plazo dei préstamo fue clel 20i7.efectivo anual, hallar el monto de la dc-uda en UMVC al cumplir el año en las condi-ciones contratadas. (c) Hallar el valor de los intereses que debe pagat en monedacorriente, en cada trimestre del segundo año. (d) Hallar el valor de la deuda quedebe pagar al vencer el plazo.

I4. I T ACTIVIDADES DE CONSULTA

Estudiar los índices de precios de los tres últ imos años en la iocalidad y calcular latasa única de incremento anual.Consultar las variaciones de las tasas bancarias en la localidad y su relación con losíndices de precios.Estudiar las tasas bancarias en la localidad y consultar qué parte es interés y quéparte corresponde a protección por corrección monetaria.Estudiar la amortización de préstamos locales y Ios métodos de corrección moneta-ria aplicados.Consultar la relación entre los índices de precio de la localidad v los aumentos sala-riales.

tn.)

(b)

(c)

(,i)

(e.l

RESPUESTAS A LOS PROBLEMASDE NUMERO IMPAR

Capítulo 11s. (n) $133,33; (b) $9as; (c)$255; (r / ) $69s,83. 77. (n)$7.450; ( l r ) $900' 1e. 10 de marzo de

Ig97. Z'l..gl,ZZiOtO,gZ. 23. Calculando los intereses de mora sobre el valor real en la

fecha de vencimiento , $74-557,67. 25. 9%. 27 ' $78'444,45

Capítulo 211. (n) $19.7s0; (b) $17.730; (c) $13.704,4a; @) $9.761,71. 13. $68.392,s0. 1s' $500,00'

1 ,7 .$705.261,76 .7s .9707.692,72 21 .22 ,77%, .23 . (n ) t7 ,84%' ; (b )13 ,52%;1c¡89,047%;(d)742.475,20. 27.13,02%

Capítulo 39,70,21%,. 11. (rr) $2.277,50; (b)92.285,15. 13. (n)$8'900; (b)$8.920,92. 15. (n) 67,t8%;

(b) 49,52%. 1,7. La segunda oferta es inferior en 4,57,, .21. Regla comercial: 62,07%;

razón constante:57,6%.23. Cargo adicional fi327,25; cuota inicial97.727,25.

Capítulo 4 ^17. (n)g762,89; (b)$16a,70; (c)fi164,36; (d)$163,86. 1e. (n) fi44.300,52; (b)944.329,94' 21'

g4.694,76.23. $164.290,75. 25.8,08% .27. 4,57%.29. 6,512 años- 31. Más conveniente en

la socieclad maderera. gg.$95.259,87. 35. Valor futuro a interés continuo: $32.974,47;

valor futuro a interés convertible mensualmente: $32'940,19'

Capítulo 1111. $736,28.13. Los PrimerosDepósito anual, fi751.7 35,92;21,. 5333.954,37. 23. 6,57 %.

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS DE NUMERO IMPAR

2 años, $74.197,71'; los últimos 3 años, $13'744,11' l5'

e qreso anual, $371.7 35,92. 79. 98.167'867,92'

@

Capítulo 5^ 13. (n) fi6.739,73; (b) $3.497,72; (c) 94.442,12; (d) $2.799,23'

-l'5. 979.485,25' 17 ', La oferta a

es superior en $¡.g'az,+e. 19. $66.038,66. 2',1'.fi28.773,62. 23.977.892,30' 25'$95'729'66'

27. 3,742 aios. 29. 6,6%.

Capítulo 611. (a) Valor futuro, $47.395,02; valor presenre,$24.33L3_4; (b) vF, $28.83035; valor

preiente, $18.890,85; (c) VF,99.733,57, valor presente, $7.001,81. 13' $48'758 '77 ' 75'-fisz.tza,zg.

17. g74.71,4.953. |9. $75,553,60. 21'. 946,204,09. 37.91.957 ,36. 39'

5974.865,88. 41. gg42,85. 43. 869,85.45. solución matemática 15,731años; solución

práctica: 15 cuotas de $10.000 y una de $7.310 al final del decimosexto año' 47 ' 8,064

años; solución práctica: 7 cuotás de $10.000 y una octava cuota de $11'025,32' 49' 5

pagos de $4.00ó y un último pago cle 93.594,26. 51. Un úitimo pago de 362,89 al final

de 5 años 8 mesés. 53.35,08%. 55' Antes $10'103,59; después 98'847 '38' 57 '

92.176.071,96. 61. $5.286,60.

Capítulo 711. $252.464,64. 1.3. La oferta b."l.s.949.666,43. 17' 9307.239,77 ' 19' 0,08680047 (pago

anual). 21. En 76 meses y un último pago de 9239,66. 23' 7,39%. 33' 91'2.945'416' 35'

93.42g.396,90. 37.7 años y 7 meses,.b., , r . t úl t imo pago de $324,70.39.24 cuotas de

96.204,98. 4L. 9724.895.049,40.

Capítulo 8|1' g475.732,84. 13' (n) $2.600.000; (b) 92,561'.576,35; (c) 92.529.272,61' 15. $700.000.

17 . $886.982.19 .57 .477.806,34 .21 . E l cos to cap i ta l i zado de la o fe r taA es menor en

$20.35s,88. 23. (n) 973,76; (b) $67 '7s'

Capítulo 9L1,. $644,79.

't'3. g7.593,74. 15' VF: $785'717 ,39; VP: $56'932'34' 17 ' VF: $168'738'03 VP"

$110.984,87. Lg. $2.422,73. Zl.. 9255.743,50. 29.947.386,92. 25. 33 pagos de $500 y un

último pago de 9279,82.27.77 pagos, el último de $9,392,80.29. 75,79%' 31' 8'32%'

35. $54.250,46.37.$110.115,82. 39.9 cuotas de $800 y una úl t ima cuota de $1'094'24'

41. En la forma A.53. VF: continuo 528'288,93; capitalización mensual $28'280'04' VP:

continuo $20.957,07 ; capitalización mensual $20'966'03' 55' $35'130'553'

Capítulo 10lg.$1.737,I9 21. g56.577,93. zg.Derechos delcompradot $275.730,83; derechos del

vendedor: g84.269,77. 25. (a) 78,78%; (b) 19,77%. 2i' 30,17%. 29.76,76%' 31" 36,5%'

! [ [ MArEMÁrtGAS FINANcIERAS

Capítulo 129. (n) $28.579,95; (b)g47.420,05; (c) $5.121,25. l 't.39,76%. 13. (c) fi9.677,35; (b) segundo

año $9.677,34. 17. $23.946.389.

Capítulo 1313. 97.242,96. ls. $387,0s. 2't.9347,22. 23. $13'560,18.

Capítulo 149. (n) 81,53%; (b) 0,8797,0,8065, 0,8333; (c) 0,5509' 11"7,46% aproximadamente'.13'g40.549,91. L5. i4,56%.17. (n) aproximadamente 9.5%nominal, (b) 15'05% efectivo

anual con capitalización semesiral. 29. (n)3 años 2 meses, aproximadamente, (b) 4 años

3 meses, aProximadamente.

INDICE DE TABLAS

Thblas

I

il

III

IV

VI

VII

VIII

xX

Valores del factor de valor futuro a interés compuesto

Valores del factor de valor presente a interés compuesto

Valores de \,tr para fracciones de periodo

Valores de v e para fracciones de periodo

Valores del factor VF de una anualidad ordinaria

Valores del factor vp de una anualidad ordinaria

Valores del factor a de una anualidad ordinaria

Valores del factor vr de una anualidad ordinaria para

Valores del factor VP de una anualidad ordinaria para

Valores del factor A de una anualidad ordinaria para

, 1p

, 1p

, - 1p

Página

402

406

410

410

477

477

423

429

429

430

@ MATEMÁTcASFTNANoTERAS

TABLA I Valores del factor de valor futuro a interés compuestoNotación estándar: (FlP, i%, n)

Notación algebraica: (l + i),

n I c" !v" ir" i n ftv" !v" n

1 l7 2

1 67 71 81 92 0

I2

5

6789

1 0

2 72 2232 42 5

262 72A2930

3 63 7383 94 0

4 64 74 84 95 0

3 1

333 4

4 l4 243444 5

1 ,0025 00001 ,0050 06251 ,0075 18771 ,0100 37561 ,01 25 6266

1 ,01 50 9406I , 01 76 31801 ,0201 75881,0227 26321 ,0252 8313

1 ,0278 46341 ,0304 15961 ,0329 92001 ,0355 ?4481 ,0381 6341

1 ,0407 58821 ,0433 60721 ,0459 69121 ,0485 84041 , 0 5 1 2 0 5 5 0

1 , 0 5 3 8 3 3 5 21 , 0 5 6 4 6 8 1 0I , 0591 092?1 , 0 6 1 7 5 7 0 41 , 0 6 4 4 1 1 4 4

7 ,0670 7247i , 0697 40157 ,0724 1450I , 0750 95537,O777 8327

1 ,0804 77731 , 0 8 3 1 ? 8 9 21 ,0858 86871 ,0886 01591 ,0913 2309

I , 0940 51 401 ,0967 86531 ,0995 2850| ,7022

' ¡7 321 , 1 0 5 0 3 3 0 1

1 ,1077 95591 , 1 1 05 65081 , t 1 3 3 4 1 4 91,t t6t 24851 , 1 1 8 9 1 5 1 6

t) ,2r7 72451 , 1 2 4 5 1 6 7 3| ,r27 3 28021 , 1 3 0 1 4 6 3 41 , 1329 7171

1 , 0 0 3 3 3 3 3 31 , 0 0 6 6 7 7 7 81 , 0 1 0 0 3 3 3 71 , 0 1 3 4 0 0 1 51 , 0 r . 6 7 ? 8 1 5

1 , 0 2 0 1 6 7 4 11,0235 67971 , 0 2 6 9 ? 9 8 61 , 0 3 0 4 0 3 1 31 , 0 3 3 8 3 7 8 0

1 , 0 3 7 2 8 3 9 31 , 0 4 0 7 4 1 5 41 , 0 4 4 2 1 0 6 81 , 0 4 7 6 9 1 3 81 , 0 5 1 1 8 3 6 9

1 , 0 5 4 6 8 7 6 31 , 0 5 8 2 0 3 2 61 , 0 6 1 ? 3 0 6 01 , 0 6 5 2 6 9 7 11,0688 2{J60

1 , 0 7 2 3 8 3 3 41 , 0 ? 5 9 5 ? 9 57,Q795 44481 , 0 8 3 1 4 2 9 61 , 0 8 6 ? 5 3 4 4

1 , 0 9 0 3 ? 5 9 51 , 0 9 4 0 1 0 5 31 ,0976 57 241 , 1 0 1 3 1 6 0 91 , 1 0 4 9 8 7 1 5

l , 1 0 8 6 7 0 4 41 , 1 1 2 3 6 6 0 11 , 1 1 6 0 7 3 8 91 , 1 1 9 7 9 4 1 4t ,1235 2679

1 , 1 2 7 2 7 7 8 71 , 1 3 1 0 2 9 4 51 , l 3 4 7 9 9 5 51 , 1 3 8 5 8 2 2 1| ,7423 77 48

1 , 1 4 6 1 8 5 4 11 , i 5 0 0 0 6 0 31 , 1 5 3 8 3 9 3 81 , 1 5 7 6 8 5 5 11 , 1 6 1 5 4 4 4 6

1 , 1 6 5 4 1 6 2 81 , 1 6 9 3 0 1 0 01 , 1 7 3 1 9 8 6 ?1 , 1 7 ? 1 0 9 3 3r , 1 8 1 0 3 3 0 3

1,0041 66671,0083 50691 , 0 1 2 5 5 2 1 61 , 0 1 6 7 7 1 1 2I , 0 2 1 0 0 7 6 7

1 , 0 2 5 2 6 1 8 71 , 0 2 9 5 3 3 ? 91 ,0338 23 521 , 0 3 8 1 3 1 1 11 , 0 4 2 4 5 6 6 6

1,0468 00231 , 0 5 1 1 6 1 9 01 , 0 5 5 5 4 1 7 41 ,0599 39831 , 0 6 4 3 5 6 2 5

I , 0 6 8 7 9 1 0 61,0732 44397 , O 7 7 7 1 6 2 77 ,0822 Q67 0t , 0 8 6 7 1 5 8 9

),,0972 43871 , 0 9 5 7 9 0 7 21 ,1 003 56521 , 1 0 4 9 4 1 3 41 ,1 095 4526

1 , 1 1 4 1 6 8 3 61 , 1 1 8 8 1 0 7 37 , ) ,234 7 2441 , 1 2 8 1 5 3 5 81,1328 5422

1 ,137 5 '¡ 4447,7423 14341 , 1 4 7 0 7 3 9 81 , 1 5 1 8 5 3 4 6r , 1 5 6 6 5 2 8 4

L , 1 , 6 7 4 7 2 2 31 , 1 6 6 3 1 1 7 01 , 1 7 1 . 1 7 1 3 31 , 1 7 6 0 5 1 2 11 , 1 8 0 9 5 1 4 2

1 , 1 8 5 8 7 2 0 61 , 1 9 0 8 1 3 1 91 , 1 9 5 ? 7 4 9 11 , 2 0 0 ? 5 7 3 1|,2057 6046

| ,2107 8446|,2758 29401 , 2 2 0 8 9 5 3 61,2259 8242r , 2 3 1 0 9 0 6 8

1,0050 00001 ,0100 25001 ,0150 75131 ,0201 5050r,0252 5t25

1 .0303 ?7511,0355 2940L,0407 07041 ,0459 10581 ,0511 4013

1 ,0563 95831 ,0616 77811,0669 86207 ,07 23 27L37,0776 821 4

1 , 0830 71 151 ,0884 86511 ,0939 28941 ,0993 98581 ,1048 9558

1 ,1104 20061 , 1 1 5 9 ? 2 1 61,t275 5202L,727L 59781 ,1 327 9558

1 ,1384 59551 ,1441 51851 ,1498 72611 ,1556 21971 ,1614 0008

1 ,1 67 2 07081 , 1 7 3 0 4 3 1 2I , 1 789 08331 ,1848 02881 ,1907 2689

1 ,1966 80521 ,2026 63931,2086 7725| ,2147 2063| , 2207 9424

1 ,2268 9821| ,2330 327 0r , 2391 9?861 ,2453 9385|,2516 2Q82

t,257 8 7 892r,2647 6832r,2704 89161 , 2 7 6 8 4 1 6 1L,2832 2581.

1,0058 33331 ,011? 00697,0t76 02281 ,0235 38301 ,0295 0894

1,035ó 1440I , 0415 54901 ,04?6 30641 ,0537 41821 ,0598 8865

1 ,0660 71331,0722 90081 ,0785 45111 ,0848 36621 ,0911 6483

1 ,0975 29967,7039 32221 ,1 103 7 1821 ,1 168 48991 ,1233 6395

1 ,1 299 16901 ,1365 08081 , 1 4 3 1 3 ? 7 11 ,1498 06021 ,1565 1322

1 ,1632 59551 ,1700 45231 ,1768 70491 ,1837 35571 ,1906 4069

1 ,1975 8610L,2Q45 72021 ,21 15 98691 ,2186 6634r ,2257 7523

1,2329 25591 ,2401 17651,2473 5t6',17,2546 27891 ,2619 4655

1 ,2693 0?917 ,2767 t 22Q1,2841 59691 ,2916 50621 ,2991 8525

1 ,3067 63831 ,3143 86621 ,3220 53881 ,3297 65867 ,33't 5 2283

1,0066 66671 ,0133 ?7?81 ,0201 3363L,0269 34521 ,033? 80?5

1,0406 7262I,O476 10441 ,0545 94511 ,0616 25141,0687 0264

t,0768 2'7321 ,0829 99511 ,0902 19501 ,0974 8?631,1048 0422

1 ,1121 69581 ,1 195 84047,7270 47941 ,1345 61591,1427 2633

1 ,1497 39501,1 574 04431 ,1651 20461 ,1?28 87931 ,1807 0718

1 ,1885 78571,7965 0242t,2044 7911L,2r25 0897t,2205 9236

t,2287 29641,2369 21771 ,2451 67311,2534 6843L,2678 2489

7,2702 37051 ,2787 05301 ,2872 30001 ,2958 11531 ,3044 5028

1 ,3131 46611 ,3219 00921 ,330? 13601 ,3395 85021 ,3485 1559

1 ,3575 05691 ,3665 55?31 , 3 ? 5 6 6 6 1 01 ,3848 3?211 ,3940 6946

1 t

1 2t 3L 4

l o

1 1

1 81 920

2 72 2239Á.

2 5

12

A

o

78v

1 0

3 13 2

ó o

4 1

4445

2627282930

363 73 83940

4 84 95 0

TABLAS lEg

TABLA I Valores del factor de valor futuro a interés compuestoNotación estándar: (F/P, i%, n\

Notación algebraica: (1 + l),

n a -/o r7o | +co rtr" t*qo 27o n

I

1 11 2

1 4I O

1 67 71 81 92 0

1

D

6'7

8I

1 0

2 1229 2

25

28293 0

3 13 2

3 43 5

J b

383 940

4 t

434 44 5

4 64 74 8.19

5 0

1,0075 00001,01 50 56257,0226 691't1 ,0303 39191,0380 6673

7,0458 62241 , 0 5 3 6 9 6 1 31 , 0 6 1 5 9 8 8 51,0695 60847,0775 4255

1,0856 64411,0938 06907,7020 70457, t to2 75531,1 1 86 0259

I ,1 269 921 17 ,7354 44551 , 1 4 3 9 6 0 3 97,7525 40091 , 1 6 1 1 8 4 1 4

1 , 1 6 9 8 9 3 0 2| , 7 7 8 6 6 7 2 21,78'15 0723i , 1 9 6 4 1 3 5 31 ,2053 8663

7,2144 27037,2235 35237 ,232'.7 tr7 5),,2419 5',109|,2512 71,76

1 , 2 6 0 6 5 6 3 07,2707 17221,2796 37061,2892 34341 ,2989 03 59

1 , 3 0 8 6 4 5 3 71 , 3 1 8 4 6 0 2 11 , 3 2 8 3 4 8 6 61 , 3 3 8 3 L 1 2 81 , 3 4 8 3 4 8 6 1

1 , 3 5 8 4 6 1 2 31,3686 49691 , 3 7 8 9 1 4 5 67,3892 56421 , 3 9 9 6 7 5 8 4

I , 4 1 0 1 ? 3 4 1t ,4207 49771 . 4 3 1 4 0 5 3 3| , 4 4 2 1 4 0 8 7t . 4 5 2 9 5 6 9 3

1 , 0 1 0 0 0 0 0 01 , 0 2 0 1 0 0 0 01 ,0303 01 001,0406 04011 , 0 5 1 0 1 0 0 5

1 , 0 6 1 5 2 0 1 51 , 0 7 2 1 3 5 3 51 , 0 8 2 8 5 6 7 11 , 0 9 3 6 8 5 2 ?1,1 ,046 221 3

1 ,1 1 á6 68351 ,1 268 2503I , 1 3 8 0 9 3 2 81,1494 742L1 ,1 609 6896

1,1725 78641 , 1 8 4 3 0 4 4 31 , 1 9 6 1 4 ? 4 81,2081 08951 , 2 2 0 1 9 0 0 4

|,2323 9194I ,2447 75867 ,25't 1 63021,,2697 34657,2824 3200

1 , 2 9 5 2 5 6 3 11,3082 0888|,3212 90971 , 3 3 4 5 0 3 8 81,3478 4892

t ,3613 2't401 , 3 7 4 9 4 0 6 81 , 3 8 8 6 9 0 0 9| ,4025 7 6991 , 4 1 6 6 0 2 7 6

I , 4 3 0 7 6 8 7 81,4450 764 ' t7 ,4595 27 247,47 47 22511 , 4 8 8 8 6 3 ? 3

r,5037 52371 , 5 1 8 7 8 9 8 9t ,5339 ' ,11?9I , 5 4 9 3 1 7 5 71 , 5 6 4 8 1 0 7 5

I , 5 8 0 4 5 8 8 51,5962 63447,6722 26081 , 6 2 8 3 4 8 3 41 . 6 4 4 6 3 1 8 2

1 ,0125 0000I,0251 56251 , 0 3 7 9 7 0 7 01 , 0 5 0 9 4 5 3 41 , 0 6 4 0 8 2 1 5

1 , 0 7 7 3 8 3 1 81,0908 50471 , 1 0 4 4 8 6 1 01,1t82 92781 , 1 3 2 2 7 0 8 3

1,1464 24227,1607 54527,1752 63951 , 1 8 9 9 5 4 7 5r,2048 29L8

1 , 2 1 9 8 8 9 5 51 , 2 3 5 1 3 8 1 71,2605 77391,2662 09611,2820 37 23

7 ,2980 627 01 , 3 1 4 2 8 8 4 8I ,33 07 1? 091 ,3 4?3 51051,3647 9294

1 , 3 8 1 2 4 5 3 51 ,3 985 10921 , 4 1 5 9 9 2 3 07,4336 92211 , 4 5 1 6 1 3 3 6

1 , 4 6 9 7 5 8 5 31 , 4 8 8 1 3 0 5 1r,5067 3274L,5255 66291,5446 3587

1 , 5 6 3 9 4 3 8 21 , 5 8 3 4 9 3 1 21 , 6 0 3 2 8 6 7 81,6233 21871 , 6 4 3 6 1 9 4 6

1 , 6 6 4 1 6 , 1 7 11 , 6 8 4 9 6 6 7 71 , 7 0 6 0 2 8 8 57,7273 54271,'t 489 4614

t ,7708 0797I ,7929 4306I ,81 53 54851 , 8 3 8 0 4 6 7 9L,8610 2237

1,0150 00001 ,0302 25001,0456 ?8381 ,0613 6355r,0772 84oO

1 ,0934 4326I ,1 098 44917,t264 92591 ,1 433 89981 ,1 605 4083

1,t7 ' t9 48941 ,1956 18177,2135 5244t,23t7 55'13|,2502 3207

1 ,2689 85551 ,2880 20331 ,3073 40641 ,3269 50?51 ,3468 5501

1 ,3670 57831 ,3875 63707 ,40837775),,4295 02811 ,4509 4535

1,4 ' . t27 09531 ,4948 00187,5172 22781 ,5399 80511 ,5630 8022

7,5465 26421,61,03 24321 ,6344 79181 ,6589 96371 ,6838 8132

1 ,?091 3954), ,7347 76631 ,760? 98287 ,7 87 2 10251 ,8140 1841

1 ,8412 28681 ,8688 4? 121,8968 79821 ,9253 33021 ,9542 1301

1 ,9835 26 212,0732 79702,0434 7 8292,O7 4t 30462,to52 4242

1 ,0175 00001 ,0353 06257 ,0534 24L l1 ,0? 18 59031 ,0906 1 656

1 ,1097 02357,t291 22151 ,1488 81781 ,1689 87211 ,1894 4449

t , 2 to2 59771 ,2314 39311,2529 8950r,2749 16821,297 2 27 86

1 ,3199 29351 ,3430 281 11 ,3665 31111 ,3904 45407,4147 7820

1 ,4395 36817,4647 28711 ,4903 61467,5764 42797,5429 8054

1 ,5699 82697 ,597 4 57 ?9|,6254 129Q1 ,6538 57621 , 68 28 0013

7 ,7722 4913| ,7 422 13491,7727 02237,8037 24521 ,8352 8970

7 ,467 4 07 271,9000 86891 ,9333 38411 ,9671 ?1842,0075 9734

2 ,0366 25302,O722 66242 ,1085 30902 ,1454 30192,7829 7 522

2,2271 77282,2600 41892,2995 98722,3398 41702,3807 8893

1,0200 00001,0404 00001 ,061 2 08001 ,0824 32161 ,1040 8080

7,7267 62421 ,1486 856?1 , 1 7 1 6 5 9 3 87,\950 92577,2189 9442

1,2433 74371,2682 4t791 ,2936 0663t ,3194 78761 ,3458 6834

13727 45777,4002 4742t,4282 46251 ,4568 11171,4859 4740

1 ,5 r . 56 66341,5459 79671 ,5768 99267 ,6084 37 251 ,6406 0599

1 , 6 7 3 4 1 8 1 11 ,7068 86487,7 470 24217 ,7758 44691 . 8 1 1 3 6 1 5 8

1 ,8475 88821 ,8845 40597 ,9222 31401 ,9606 76031 ,9998 8955

2 ,0398 87342 ,0806 85092,7222 98792,764'7 447i2 ,2080 3966

2,2522 00462 ,2972 44472,3431 89362 ,3900 53142,4378 5427

2 ,4866 11292 ,5363 43512,5870'1O392 ,6388 I l ?92 ,6915 8833

12

A

5

b

789

l 0

3 5

3 63 73 83 940

1 1t 2

t 4l o

1 61 71 81 92 0

2 12 22 32 42 5

262 728293 0

4 64 74 84950

4 243444 5


TABLA I Valores del factor de valor futuro a interés compuestoNotación estándar: (FlP, i%, n)

Notación algebraica: (1 + i)"

12

45

1 ,0250 00001 ,0506 2500i , 0?68 9063I , 1038 1 2891 , 1 3 1 4 0 8 2 1

1 ,0300 c000i ,0609 0000r,0927 270Qi , 1 255 0881i . 1 592 ?407

1 ,1940 5230t,2298 7387r ,266? ?0081 ,3047 73181 ,3439 1638

I , 3842 338?1 ,4257 60891 ,4685 33?1r ,51 25 89?2| , 5579 67 42

1 ,6047 06441 ,6528 47631 ,7024 33061 ,7535 06051 ,8061 1 l 23

1,8602 94571 ,9161 03.111 ,9735 86512,0327 941r2,0937 7793

2 ,1565 912?2 ,2272 89072,2879 27682 ,3565 65512 ,427 2 6247

2 ,5000 80352,5750 82762,6523 35242 ,7319 05302 ,8138 6245

r a q R t 7 R 1 2

2 , 9 8 5 2 2 6 6 83 , 0 ? 4 7 8 3 4 83 , 1 6 7 0 2 6 9 83,2620 3779

3 , 3 5 9 8 9 8 9 33 , 4 6 0 6 9 5 8 93 , 5 6 . 1 5 1 6 7 ?3 , 6 7 t 1 5 2 2 73 , ? 8 1 5 9 5 8 , 1

3 , 8 9 5 0 4 3 7 2, r , 0 1 1 8 9 5 0 31 , 1 3 2 2 5 1 8 84 , 2 5 6 2 r 9 . 1 . 14 . 3 8 3 9 0 6 0 2

1 ,03 50 00007 .07 72 25001 , 1 0 8 7 1 7 8 8i , 1 4 7 5 2 3 0 01 , 1 8 7 6 8 6 3 1

\,2292 5533| ,27 22 79261 , 3 1 6 8 0 9 0 41 , 3 6 2 8 9 ? 3 5I , 4 1 0 5 9 8 7 6

r ,4599 697 21 , 5 1 1 0 6 8 6 61 , 5 6 3 9 5 6 0 61 , 6 1 8 6 9 4 5 21 ,67 53 4883

I , 7 3 3 9 8 6 0 4r , 7 9 4 6 7 5 5 51 , 8 5 7 4 8 9 2 01,,9225 0732I , 9 8 9 7 8 8 8 6

2,0594 31472 , 1 3 1 5 1 1 5 82 , 2 0 6 1 1 4 , 1 82,2833 28492,3632 1198

2,4 .159 58562 , 5 3 1 5 6 ? 1 12 , 6 2 0 1 7 1 9 62 , 7 7 7 8 7 1 9 82,806? 9370

2 , 9 0 5 0 3 1 4 83 , 0 0 6 7 0 7 5 93 , 1 1 1 9 4 2 3 53 , 2 2 0 8 6 0 3 33 , 3 3 3 5 9 0 4 5

3 , 4 5 0 2 6 6 1 13 , 5 7 1 0 2 5 4 33 , 6 9 6 0 1 1 3 23 , 8 2 5 3 7 1 7 13,9592 5972

4 , 0 9 7 8 3 3 8 14,2112 57991,3897 02021 , 5 4 3 3 4 1 6 0. 1 , 7 0 2 3 5 8 5 5

. 1 , 8 6 6 9 4 1 1 05 , 0 3 7 2 8 4 0 . 15 , 2 1 3 5 8 8 9 85 , 3 9 6 0 6 4 5 95 . 5 8 4 9 2 6 8 6

1 . 0 4 0 0 0 0 0 01 . 0 8 1 6 0 0 0 01 , 1 2 4 8 6 4 0 01 , 1 6 9 8 5 8 5 61 , 2 1 6 6 5 2 9 0

1 , 2 6 5 3 1 9 0 21 , 3 1 5 9 3 1 7 81 , 3 6 8 5 6 9 0 51 , 4 2 3 3 1 1 8 11,4802 4428

1 , 5 3 9 4 5 4 0 61,6010 32221 , 6 6 5 0 7 3 5 11 , 7 3 1 6 7 6 4 5I ,8009 4351

1 , 8 ? 2 9 8 l 2 5I . 9 4 ? 9 0 0 5 02 , 0 2 5 8 1 6 5 22 , 1 0 6 8 , 1 9 1 82 , 1 9 1 1 2 3 1 4

2,2787 68072 , 3 6 9 9 1 8 7 92,4617 15542 , 5 6 3 3 0 4 1 62 , 6 6 5 8 3 6 3 3

2 , 7 7 2 4 6 9 7 82 , 8 8 3 3 6 8 5 8t q a q T n a a 9

3 , 1 1 8 6 5 1 4 53 . 2 4 3 3 9 7 5 1

3 , 3 7 3 1 3 3 . 1 13 , 5 0 8 0 5 8 ? 53,6 .183 8 r 103 , ? 9 4 3 1 6 3 43 . 9 4 6 0 8 8 9 9

4 , 1 0 3 9 3 2 5 54 , 2 6 8 0 8 9 8 64 , 4 3 8 8 1 3 4 5. 1 , 6 1 6 3 6 5 9 94 . 8 0 1 0 2 0 6 3

4 , 9 9 3 0 6 1 4 55 , 1 9 2 7 8 3 9 15 , 4 0 0 4 9 5 2 ?5 , 6 1 6 5 1 5 0 85 , 8 4 1 1 ? 5 6 8

6 , 0 7 4 8 2 2 i 16 , 3 1 7 8 1 5 6 26 , 5 7 0 5 2 8 2 . 16 , 8 3 3 3 4 9 3 ?7 , 1 0 6 6 8 3 3 5

1 ,0450 00001.0920 25001 , 1 4 1 1 6 6 1 31 ,1925 18601 .2461 8194

1 ,0500 00001 ,1025 0000r , 1 5 7 6 2 5 0 01 ,2155 06251 ,2762 8156

1 ,? 103 39361, '7958 56331 ,8856 49141 ,9799 31602 .0789 281 8

2,7828 7 4592,2920 78322 ,4066 19232,5269 50292,6532 97 7 \

12345

6789

1 0

2 l2 223242 5

262',7282 930

3 13 2óó

3 5

o

789

1 0

1 ,1 596 93421 ,1886 85751 ,2184 02907,Uga 62971 ,2800 8454

I,3r 20 86661 ,3448 88821 ,3785 11047,4129 73821 ,4482 981 7

r ,30226072 1,3400 95641 ,3608 6183 1 ,4071 00421 ,4221 0061 1 ,1174 55441,4860 9514 i ,5513 28221 .5529 6942 1 .6288 9463

1 , 4 8 4 5 0 5 6 2I , 5 2 1 6 1 8 2 6

1 , 5 9 8 6 5 0 1 91 , 6 3 8 6 1 6 4 4

1 , 6 7 9 5 8 1 8 51 , ? 2 1 5 7 1 4 01 , ? 6 4 6 1 0 6 8i , 8 0 8 7 2 5 9 51 , 8 5 3 9 4 4 1 0

1 , 9 0 0 2 9 2 7 01 , 9 . 1 7 8 0 0 0 21 . 9 9 6 4 9 5 0 22 ,0.16.1 0? 392 , 0 9 7 5 6 ? 5 8

2 , 1 s 0 0 0 6 ? 72,2037 56942 , 2 5 8 8 5 0 8 62 , 3 1 5 3 2 2 1 32 , 3 ? 3 2 0 5 1 9

2 ,1325 35322, .1933 48702,5556 82122 , 6 1 9 5 ? 4 . 1 82 , 6 8 5 0 6 3 8 1

2 , ? 5 2 1 9 0 4 32 , 8 2 0 9 9 5 2 02 , 8 9 1 5 2 0 0 82 , 9 6 3 8 0 8 0 83 , 0 3 7 9 0 3 2 8

3 , 1 1 3 8 5 0 8 63 , 1 9 1 6 9 7 r 33 , 2 7 1 . 1 8 9 5 63 , 3 5 3 2 ? 6 8 03 , . { 3 7 1 0 8 7 2

1 , 6 2 2 8 5 3 0 51 . 6 9 5 8 8 1 4 37,7727 96L01 , 8 5 1 9 4 4 9 2r,9352 8241

2,0223 70152 , 1 1 3 3 7 6 8 12,2084 78772 , 3 0 7 8 6 0 3 12,4177 14Q2

2,5202 4t762 , 6 3 3 6 5 2 0 12 , ? 5 2 1 6 6 3 52 , 8 ? 6 0 1 3 8 33 , 0 0 5 4 3 4 4 6

3 , 1 4 0 6 7 9 0 13 , 2 8 2 0 0 9 5 63, .1296 99993,58 .10 36493 , 7 . r 5 3 1 8 1 3

3 , 9 1 3 8 5 ? 1 5, 1 , 0 8 9 9 8 1 0 44 , 2 7 4 0 3 0 1 8, 1 , 4 6 6 3 6 1 5 44 , 6 6 ? 3 4 ? 8 1

4 , 8 7 7 3 7 8 4 65,0968 60495,3262 792r5 ,5658 99085 , 8 1 6 3 6 4 5 4

6 , 0 ? 8 1 0 0 9 46 , 3 ó 1 6 1 5 4 86 , 6 3 ? . r 3 8 1 86 , 9 3 6 1 2 2 9 07,2482 4843

7 , 5 ? 4 4 1 9 6 1? , 9 1 5 2 6 8 4 98,2 '174 55578 , 6 4 3 6 ? 1 0 79 , 0 3 2 6 3 6 2 7

2,7859 62692,9252 60 i23 , 0 7 1 5 ? 3 7 63,2250 99943 , 3 8 6 3 5 4 9 4

3 , 5 5 5 6 7 2 6 93 , 7 3 3 4 5 6 3 23 , 9 2 0 1 2 9 1 1. 1 , 1 1 6 1 3 5 6 01 , 3 2 1 9 4 2 3 8

. 1 , 5 3 8 0 3 9 4 9

. 1 , 7 6 . 1 9 4 1 4 75 , 0 0 3 1 8 8 5 , 1s . 2 5 3 3 , 1 ? 9 75 . s 1 6 0 1 5 3 7

5 , 7 9 1 8 1 6 1 I6 ,081.1 069,16 , 3 8 5 4 7 7 : 96 , 7 0 4 ? 5 1 1 5? , 0 3 9 9 8 8 7 1

7 , 3 9 1 9 8 8 1 57 , 7 6 1 5 8 7 5 6f i ,1 .196 66938 , 5 5 7 1 5 0 2 88 . 9 8 5 0 0 7 7 9

9 , . 1 3 . 1 2 5 8 1 89 , 9 0 5 9 ? I 0 9

1 0 . . { 0 1 2 6 9 6 51 0 , 9 2 1 3 3 3 1 31 1 , 4 6 7 3 9 9 7 9

I 17 2

1 4L C

l o

t 71 8l 920

1 61 71 81 920

272 223242 5

2627282930

3 33.1

3 63 7383 940

4 24 34 44 5

.46

4 8495 0

36

3 83 940

4 14 24 3

4 5

46

1 81 950

z lv" 37o slv" 47o 4 lc" ;vo

1 , 3 ? 8 8 4 2 8 11 , 4 5 4 6 ? 9 1 61 , 5 3 4 6 8 6 5 11 , 6 r 9 0 9 4 2 ;1 ,7081 .1446

1 , 8 0 2 0 9 2 4 01 , 9 0 1 2 0 ? 4 92 , 0 0 5 ? 7 3 9 02 , 1 1 6 0 9 1 4 62,2324 7649

2,3552 62702,4848 02752,62t4 662i2 , 7 6 ó 6 4 6 9 12.9177 5 ' .149

1 , 0 6 0 0 0 0 0 01 , 1 2 3 6 0 0 0 01 , 1 9 1 0 1 6 0 07,262.4 76961 , 3 3 8 2 2 5 5 8

1 , 4 1 8 5 1 9 1 11 , 5 0 3 6 3 0 2 61 , 5 9 3 8 4 8 0 71 , 6 8 9 4 ? 8 9 6t , ? 9 0 8 ' 1 7 ? 0

r , 8 9 8 2 9 8 5 62.0727 96472,1329 28262 , 2 6 0 9 0 3 9 Q2 , 3 9 6 5 5 8 1 9

2 , 5 4 0 3 5 1 6 82,6921 72792 , 8 5 4 3 3 9 1 53 , 0 2 5 5 9 9 5 03,2077 3547

1 , 0 6 5 0 0 0 0 01 , 1 3 4 2 2 5 0 01 , 2 0 ? 9 4 9 6 31 , 2 8 6 4 6 6 3 51 , 3 7 0 0 8 6 6 6

\ ,4591 12301 , 5 5 3 9 8 6 5 51 , 6 5 4 9 9 5 6 7I , 7 6 2 5 7 0 3 97 ,A7 '7 1 37 47

1 , 9 9 9 1 5 1 4 02,7290 96212,267 4 8',7 502,4748 71182,5778 4rO7

2 , ? 3 9 0 1 0 6 72,9170 463i3 , 1 0 6 6 5 4 3 83 , 3 0 8 5 8 6 9 13 . 5 2 3 6 4 5 0 6

1 , 0 7 0 0 0 0 0 0I , 1 4 4 9 0 0 0 01 , 2 2 5 0 4 3 0 01 , 3 1 0 ? 9 6 0 11 , 4 0 2 5 5 1 7 3

1 , 5 0 0 7 3 0 3 5r , 6 0 5 ? 8 1 4 81 , ? 1 8 1 8 6 1 E1 , 8 3 8 4 5 9 2 11 , 9 6 7 1 5 1 3 6

2 , 1 0 4 8 5 1 9 52 , 2 5 2 7 9 7 5 92 , . 1 0 9 8 4 5 0 02 , 5 ? 8 5 3 4 1 52 , ? 5 9 0 3 1 5 4

2 , 9 5 2 1 6 3 7 53 , 1 5 8 8 1 5 2 r .3 , 3 ? 9 9 3 2 2 83 , 6 ! 6 5 2 7 5 13 , 8 6 9 6 8 4 4 6

1 , 0 ? 6 0 0 0 0 01 , 1 5 5 6 2 5 0 01,2422 96841 , 3 3 5 4 6 9 1 4r,4356 2933

1 , 5 4 3 3 0 1 5 31 , 6 5 9 0 4 9 1 4t , 7 8 3 4 7 7 8 31 , 9 1 7 2 3 8 6 62 , 0 6 1 0 3 ¿ 5 6

2 , 2 1 5 6 0 8 9 32 , 3 8 1 7 7 9 6 02 , 5 6 0 4 1 3 0 72,7 524 440b2 , 9 5 8 8 7 7 3 5

3 , 1 8 0 7 9 3 1 53 , 4 1 9 3 5 2 6 43 , 6 7 5 8 0 4 0 93 , 9 5 i 4 8 9 4 04 . 2 , 1 ? 8 5 1 1 0

TABLAS

1 , 0 8 0 0 0 0 0 01 , 1 6 6 4 0 0 0 01 , 2 5 9 7 1 2 0 01 , 3 6 0 4 8 8 9 61 , 4 6 9 3 2 8 0 8

1 , 5 8 6 8 7 4 3 2t , ' 7 1 3 8 2 4 2 71 , 8 5 0 9 3 0 2 11 , 9 9 9 0 0 4 6 32 , 1 5 8 9 2 5 0 0

2 ,3316 39002,5181 70722 , ? 1 9 6 2 3 ? 32 ,9371 936 '3 , 1 7 2 1 6 9 1 1

3,4259 42613 ,700c 1 E053 ,9960 19504 ,315? 0 l 0e4 ,6609 571 .1

TABLA I Valores del factor de valor futuro a interés compuestoNotacrón estándar: (FlP, i%, n)

Notación algebraica: (1 + i)"

I2345

1 ,0550 00001 ,1130 25001 , 1 7 4 2 4 1 3 81 ,2388 2 .1651 ,3069 6001

12

L r7 21 3

l o

t 6t'¡. t81 92 0

2 l2 22 32 12 5

262',128293 0

1.1 13 23 3'1.1

l 5

678I

1 0

678I

1 0

I D

1',?1 81 92 0

? 12 22 3

2 5

262 12 82 - q

3 0

J i:12Jr l, j 4: ! 1

3 ,0?82 3 , { 15 3 ,3995 63603,24' . t5 37A3 3,6035 37.123 , . 1 2 6 1 5 1 5 ? 3 , 8 1 9 ? . 1 9 6 63 ,61 {5 8990 . 1 ,0489 346 -13 ,8133 9235 1 ,291 I J 70?2

3 , 7 5 2 6 8 1 9 9 . 1 , 1 . 1 0 5 6 2 3 ?3 , 9 9 6 6 0 6 3 2 4 , , 1 3 0 4 0 1 7 1{ , 2 5 6 3 3 5 7 3 { , 7 4 r J 5 2 9 8 6' 1 , 5 3 3 0 5 0 8 1 5 , 0 7 2 3 6 6 9 51 , 8 : ? C 9 9 1 r 5 , 1 2 ? , 1 3 2 6 1

{ , s 6 6 { 3 9 9 3 5 , 0 3 3 8 3 3 7 -4 ,9089 2293 5 ,4365 4041s , 2 7 7 0 9 2 1 r 5 , 8 ? 1 . 1 f i l 6 -5 ,6728 7 {06 6 ,341 1 8Cr7 .16 .0983 396 r 6 ,848 ; 1s2ú

2:J,a624 832'i2 5 , 3 3 9 4 8 i 5 ?; ; , J 6 6 0 - i u i ¿29 ,5559 716631 ,9204 4989

34 ,4740 86343i,2320 721740 ,2106 731443 ,4274 189946 ,9016 1261

' 1 , 0 2 3 1 2 8 9 3,+ ,2444 01024,4 i78 430?- r i , t 1 , á á . 1

4 . 9 8 3 9 5 1 2 9

5 , 2 5 8 0 6 8 6 15 , i 4 7 2 6 2 3 8i ¡ , S 5 2 3 6 1 8 1A ' - ¡ o 1 1 T 1

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i , 2 o t ' J o 5 0 ( r ¡. - . . , : - , , lr i , , i \ ' 4 i ¡ ; q ¡ i

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1 0 , 5 4 t i 4 9 6 ? ?1 1 , 1 2 6 5 5 4 0 9

l 1 , 7 3 8 5 1 4 5 612,3841 32811 3 , 0 6 5 2 6 0 1 ?1 3 . 7 8 3 8 4 9 4 8

'1 ,5 ,193 82964,8223 45945 , 1 1 1 6 8 6 ? 05 . 4 1 8 3 8 ? 9 05 , 7 4 3 4 9 1 1 7

6 , 0 8 8 1 0 0 6 46 , 4 5 3 3 8 6 6 86 , 8 4 0 5 8 9 8 8? , ? 5 1 0 2 5 2 87 , 6 n 6 0 8 6 7 9

E , i 4 ? ? 5 2 C f8 , 6 3 6 0 8 ? i 29 : : . 1 ' :

" , ? . r :' : r . t 0 j ¡ ¿ l . i ii ¡ , , . , 1 ¡ . j i ' i 7 9 1

t , r .9 r ) : l i t 61 0 Jr l , 5 l i ' i U 3 2 6 1,

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1 2 , 9 8 5 4 8 1 9 11 3 , ? 6 4 6 1 0 8 3

1 4 , 5 9 0 4 8 ? 4 81 6 , 4 6 5 9 1 6 7 31 6 , 3 9 3 8 7 1 7 31 7 , 3 ? 7 6 0 4 0 3t8,420\ 642',1

5 , 1 , 1 1 , 1 9 9 5 55 , . 1 t 5 6 9 ? 0 25 , 8 3 1 6 1 7 3 36 , 2 1 0 6 7 2 4 s6 . 6 1 4 3 6 6 1 6

?,0 .1 .12 99967 , 5 0 2 7 1 9 4 6i , 9 6 9 8 2 1 1 i _ r8 . 5 0 9 1 5 9 5 19 , 0 6 2 ? 5 4 8 ?

9 , 6 t ) 1 ? l i ¡ : ii 0 , 2 7 8 6 3 6 0 3I ¡ , f ) - 1 i - : r ; ; 3 ii - r f j i r 2 6 5 9 5) ¿,4.161..i i 15:)

l ' r . 2 2 : . l l I 9 3 8r 1 , , , t s 2 6 : : ^ , ¡- r , : ' ) : : . , : '

i 5 , 9?28 62091 7 , 0 1 1 0 9 8 1 3

1 8 , 1 1 6 8 1 9 5 11 9 ,2944 1 27820 ,5486 496121 ,8842 053323 ,3066 7868

5 , 8 0 ? 3 5 2 9 26 , 2 1 3 8 6 ? 6 36 , 6 4 8 8 3 8 3 6? , 1 1 4 2 5 7 0 5? . 6 1 2 : 5 5 0 . 1

8 , 1 1 5 r 1 2 9 08 , 7 i 5 2 7 0 8 0r , 3 r 5 3 3 9 ? s3 . 3 7 9 1 1 3 ó . 1

r r ) , 6 7 6 5 8 1 4 8

r 1 " . 1 1 3 9 4 2 1 9l 2 , : ¿ 2 3 f i 1 8 1 4i l l . i l 3 : : 1 . " Ii j : .9 . .1 .q : -0 .1 i: + 9 ? 4 t 5 f 8 4

i 5 0 t 2 i 6 9 8 9l i . 1 - 1 4 2 5 6 ? 8

' . , , : , . r ) i r . .r 9 , 6 2 8 4 5 9 5 92 1 , 0 0 2 4 6 1 7 6

22,4726 233824,045'7 07022 5 , ? 2 8 9 0 6 6 121 ,5299 299129,4570 2606

6 , 5 5 5 ? 1 5 0 87 , 0 4 ? 3 9 3 7 17 ,57

7r9 4824Á 1 l ¿ 1 ¡ ¡ 3 6s , 7 5 , ! 9 5 5 1 9

9 , 4 1 1 5 7 6 8 31 0 , 1 1 7 4 4 5 0 91 ú , 8 Í 6 2 5 3 4 :i i , 5 9 1 3 ? 2 1 81 2 , 5 6 8 8 ? 0 4 2

1 1 q 1 - , 1 - - - ' l

r 4 , 5 2 4 9 0 0 8 3, ' ' , t - : . ' l ' J : ' ' 3 ' ¿1 6 , 7 3 5 3 3 3 5 8I 8 ,0442 t 89?

r 9 , i J i 5 5 6 1 r 1 ,20,85211 ?3i i { iz J , . l r r i j i r l : 524,0975 243126 ,9048 3863

27,8477 076329 ,9362 791632 ,1815 000834 ,5951 12593? ,189? 4603

? , 3 9 6 3 s 3 2 1? , 9 8 8 C 6 1 , i 78 , 6 2 ? 1 0 6 3 99 , 3 1 7 2 7 . i 9 1 )

1 0 , 0 6 2 6 s 6 1 9

1 0 , 8 6 ? 6 6 9 1 11 1 , ? 3 ? 0 8 3 i , j : i

1 2 , 6 7 6 0 4 9 { i . li 3 , 6 9 C 1 ? 3 l j ,I 4 . 7 8 5 3 4 1 r , 9

' f . 9 6 8 i : 1 q 4f i , 2 4 5 6 2 5 ¡ i1 8 , 6 2 5 2 7 5 5 i20 ,7152 9768'21,i245 2154

3 63'.?3 83 94 0

4 14 2.i3

4 5

4 6

4 84 96 0

4 5

l . r 8i ¿ gl s oI

s !v" 67o 6 +q" lvo 1 tc" 89o

I r ¿ . s ¿ r g o r z o

![lt MATEMÁTIcAS FTNANcTERAS

TABLA II Valores del factor de valor presente a interés compuestoNotación estándar: (P/F, i%, n)

Notación algebraica: (1 + l) '

Lq^ ic" !uu" lu" 3q" ?c" n

12

4

o,l

8I

1 0

l 1t 21 Q

l c

l o

t' l181 920

2 72 223242 5

2 62'l282 93 0

3 1

3 4

36

3 83 940

4 3

. ¡5

46

4 8495 0

0,9975 06230,9950 18690,9925 37340 , 9 9 0 0 6 2 1 90 , 9 8 ? 5 9 3 2 1

0 , 9 8 5 1 3 0 3 80 , 9 8 2 6 7 3 7 00 , 9 8 0 2 2 3 1 40 , 9 ? ? ? 7 8 6 90,97 53 4034

0 , 9 ? 2 9 0 8 0 70 , 9 ? 0 4 8 1 8 ?0 , 9 6 8 0 6 1 7 10,9656 47590,963 2 3949

0,9608 37400 , 9 5 8 4 4 1 3 00 , 9 5 6 0 5 1 1 70 , 9 5 3 6 6 7 0 00 , 9 5 1 2 8 8 ? 8

0,9489 16490 , 9 4 6 5 5 0 1 I0 ,9441 89640 , 9 4 1 8 3 5 0 50 , 9 3 9 4 8 6 3 4

0 , 9 3 7 1 4 3 4 80 , 9 3 4 8 0 6 4 60,9324 7 52?0,9301 ,1990

0 , 9 2 7 8 3 0 3 2

0 , 9 2 5 5 1 6 5 30 , 9 2 3 2 0 8 5 10 , 9 2 0 9 0 6 2 40 , 9 1 8 6 0 9 7 20 , 9 1 6 3 1 8 9 2

0,9r .40 33840 , 9 1 1 7 5 4 4 50 , 9 0 9 4 8 0 ? 5o,9072 t2720.9049 5034

0 , 9 0 2 6 9 3 6 10,9004 42500 , 8 9 8 i 9 7 0 10 , 8 9 5 9 5 7 1 20 , 8 9 3 ? 2 2 8 1

0 , 8 9 1 4 9 4 0 ?0,8892 70900 , 8 8 ? 0 5 3 2 60 , 8 8 4 8 4 1 1 60,8826 3457

0,9966 77740,9933 66520,9900 66300,9867 77040,9834 98?1

0 ,9802 31270,9769 ?4690,973? 28930 ,9704 93950,967 2 697 2

0,9640 56200,9608 53350 ,9576 61 150,9544 ?9550 ,9513 0852

0,9481 48030,9449 98030 ,9418 58510,9387 29470 ,9356 1071

0 ,9325 02360 ,9294 04350,9263 16630 ,9232 39160 ,9201 ?1 92

0 ,9171 14870 ,9140 67980 , 9 1 1 0 3 1 2 10,9080 04530,9049 8790

0 ,9019 81300,8989 84680,8959 98020 ,8930 21280 ,8900 5444

0 ,8870 9?450 ,8841 50280 ,8812 12900 ,8?82 8á280 ,8753 6739

o,8724 59200,8695 60660 ,8666 ?1750 ,863? 92450 ,8609 2270

0 ,8580 62490 ,8552 11790 ,8523 70550 ,8495 38760,8467 163?

0,9958 50620,9917 r8460,9876 03450,9835 0551o,9794 245' l

0,97 53 60ó70,9713 13430,9672 83080,9632 69460,9592 7249

0 ,9552 9211o,95L3 28240,94?3 80820,9434 49?80,9395 3505

0,9356 365?0,9317 54260,92?8 88060,9240 37900,9202 os12

0 ,9163 85440 ,9125 83010,9087 96360,9050 25420 ,9012 7013

0 ,8975 30420 ,8938 06230,8900 97490 ,8864 04140 ,8827 2611

0 ,8790 63350 ,8754 15?80 ,871? 83350 ,8681 65990 ,8645 6365

0,8609 76240 ,8574 03?30,8538 46040 ,8503 03110,846? 7488

0 ,8432 61290 ,839? 62280,8362' /7790,8328 07760,8293 5212

0 ,8259 10830,8224 838r0 ,8190 ?1020 ,81ó6 ?238o,8122 8785

0,9950 24880,9900 ?4500,9861 4876o,9ao2 47520,9?ó3 7067

0,9?0ó 18080,9656 89630,9608 8ó200,9661 04680 ,9513 4794

0,9466 148?0,9419 05340,9312 19240,9325 56460,92?9 1688

0,9233 003?0,9187 06840 ,9141 36160,9095 88220,9050 6290

0,9005 60100,8960 79710 ,8916 21600 ,8871 85670 ,8827 7181

0 ,8783 ?9910,8?40 09860,8696 61550,8653 34880,861 0 29?3

0,856? 46000,8524 8358o,8442 42370,844Q 22260 ,8398 2314

0,83 56 44920 ,8314 8?480,8273 50730 ,8232 34550 ,8191 3886

0 ,8150 63540 ,8110 08500,8069 ?3630,8029 á8840,?989 6402

0,7949 890?0,?91 0 33900,?8?0 98410 ,7831 82500.7 792 8607

0,9942 00600,9884 34630,9827 42200,97?0 03020,9713 3688

0,9657 03610 ,9601 03010,9545 34890,9489 99070,9434 9534

0,9380 23540,932ó 83470,927 L 7 4950,9217 9',1790,9164 5182

0,9111 36860,9068 52720,9005 99220,8953 76190,8901 8346

0,8850 20840,8798 88150,8747 85240 ,8697 11920,8646 6802

0,8596 53380,8546 67820 ,8497 11 .1?o,a447 83270,8398 8394

0,8350 13030,8301 70370,82ó3 55800,8205 69140 ,8158 1025

0 ,8110 78960,8063 ?5100,8016 98ó30,79?0 49070,7924 2659

0 ,7878 30910 ,7832 61880 ,7?87 19350,77 42 o3L60 ,?697 1317

o,'1652 49220 ,7608 11150,7563 98830,7520 12090,?476 50?9

0,9933 77480,986? 98820,9802 6373o,973',r 71920,9673 2310

0,9609 16990,9645 53300,9482 31750,9419 52070,9357 1398

0,9295 r7200,9233 61450,9L?2 46480 ,9111 72000 ,9051 3775

0,8991 43460,8931 88860,8872 73770,8813 97?20 ,8756 6065

0,8697 62240,8640 02220,8582 80350,8525 96380,8469 6004

0 ,8413 41100,835? 69310,8302 34410,8247 36170,8t92 7434

0,8138 48680,8084 58960,8031 04920,79?? 863ó0,?925 0299

0,7872 5463o,782O 4tO20 ,?768 61940 ,771? 1?160,7666 0645

0 ,7615 29590,?564 86350 ,7514 76500,7464 99840 ,7415 5613

0,?366 4616o,73L1 66720,?269 20580,722t 0664o,7173 2437

I2ó

1 1t 2

1 4l o

16t 71 81 920

2 l22232425

2627282930

3 1

3 33 43 5

o

78I

1 0

36

a a

3940

1 4 61 4 71 4 8t 4 9l - ^I o "

4 t

4 4

TABLAS

TABLA II Valoresdel factor de valor presente aNotación estánda¡: (p/F, i%, n)Notación algebraica: (1 + t) ,,

interés compuesto

I234ó

8I

1 0

1 l7 2

1 5

2627, 9

2930

l67 7181 920

2 l222324

3 13 23 3343 5

3 6ó l

3 83940

4 2

4 44 5

46

4 84 9C U

0,9925 66830,9851 67080,9778 33330,9705 54770,9633 2920

0,9661 58020,9490 40220,9419 75400,9349 63180,9280 0315

o,9210 94940 ,9142 38150,9074 32410,9006 77330,8939 7264

0,88?3 17660,8807 12310,8741 56140,8676 48?80,8611 8985

0,8547 79010,8484 15890,8421 0014

g,??gg ?gg1 0,e876 6432 0,s862 21679 '1 !9??906 o ,e?64610o o :ó tü ; i ; ;o,ezoo eor6 0,e634 l8sa o,óséá isóé9'?999 9994 o:s6$ 2428 o',s+il silá0,9514 6ó69 0,939? ??06 0"siáiá;ráá

g,?!?94124 0,e28r ?488 o,sr46 427s9,?1?T lqoó o,el6z r6ea o,góió zéié9,??3.! 9??2 o,eoos e84s o',ááii líié0,9143 3982 0,8942 2069 0"eits6i i io,eo62 86e6 0,88a1 soes o,éoiá éizi

9,2291 ?372 o,8722 7?46 0,848e 33239,927^! !?23 0,8615 0860 o;Á3;; ;;;;9,919! 9?99 o,Bso8 ?z6e o',eéióáioí9,!99? 9?e? o,84oo 68oe o,Áiiá ¿ézá0,8613 4194? 0,8299 9s18 o,tgS8 i i ió

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g,!72.9 !7e6 a,723s 84s4 o,67so 20529,!94-!?s?z olt lo 4626 o,ooeó ái i i9 ' j?99 q?5? 0,7062 r8s3 o,oséó óézsy,!1?1 !?r5 o,6e?4 ee?8 o,o¿ói iéáio,74te 22s2 0,6888 8862 o,ossi ái iáQ,734t ?715 0,6803 838? 0,6303 078ro,727J o4rt 0,6?r9 840? o,ezoé ézéz9,J?gl gg0? 0,6636 87s? o,orrá i iéio,lrzs 7ss4 0,6554 e42e o',aóii iióio,?o59 r42o 0,647 4 ot l , t o,sgie á6-óá0,6989 2495 0,6394 0916 0,5850 89740,6920 o49o o ,6ar5 1522 o , ¡zo¿ i ióé9,99!l ?9s? 0,6237 lsts o',seié iqlá9,919. 9?6? o,6r60 r850 o,ssgi iiz-á0,6716 ssl4 0,6084 r3s4 o,sotzái l i

9 ,gg !g 0gr r 0 ,600e 0206 0 ,5431 r55e: ,9991 199, 0.5e34 8s52 o,sesó déi io,6sr8 9992 0,5861 56s6 o,szzr Ái l i: ,9111 1116 0,578e 2006 o,srg¡ éóéi0,6990 5492 o,s7r7 ?2so o,srr i i ié i

0,9828 00980,9658 9?770,9492 85280,9329 58á10,9169 1254

o,90tt 42540,8856 43?80,8704 1 r6?0,8654 41350,8407 2860

0,8262 68890,8r20 57880,7980 91 280,7843 64900,7708 7 469

0 ,7ó76 16310,7445 8605o,73t7 79900 ,7191 94010,7068 2458

0,6946 6?890,6827 20280 ,6709 ?81?0,6594 38000,6480 9632

0,6369 49?00,6259 94?9o,6152 28290,6046 469?o,5942 4764

0,5840 27160,5739 824' t0 ,5641 10530,5544 08390,5448 731 1

0,5355 01830,5262 9t720,5172 4oo20,6083 44000,4996 0098

0,4910 08340,4825 63480,47 42 63860,4661 06990,4580 9040

0 ,4502 I 1?00,4424 68500,4348 584,do,4273 7934J,4200 2883

0,9803 9216 I I0,9611 68?8 I z0,9423 2233 I a0,9238 4ó,419 | ¿0,906? aost I ¡

0,8829 zlss I eo ,8 i o5 6018 | t0,8ós4 gosz I ao,Bs67 5627 I go ,82os 48go i l o

0 ,8042 6so4 I t r0 , ? 8 8 4 9 8 1 8 | t zo , 7 7 g o g z 6 a i r ¡o,7s7g 75e2 |

- t¿0 , ? 4 3 0 1 4 ? 3 | l s

o,7zB4 45gt I lo0 ,2141 62s6 | t ¡o,zoo1 59sz I re0,6864 30?6 I ro0 ,6729 ?133 I zo

0,8358 31400,8296 0933

0,8234 33580,81 ?3 03SO0 ,8112 19660,8051 80800,7991 8690

0,7932 3762o,7873 32620 ,7814 71580 ,7756 54180,7698 8008

0,7641 48960 ,7584 6051o,7528 1440o ,7 47 2 10320,7416 4796

o,7367 27070 ,7306 4?164,7252 o8o90 ,7198 09520 ,7 t44 5114

0,6697 7 5820,6468 39040 ,6341 5592o,6277 27490,6095 308?

o,5975 79280,5858 6204o ,5743 74550 ,5631 12310,5520 ?089

o,5412 459?0,5306 33300,5202 28730 ,5100 28 r ?0 ,5000 276 r

o,4902 23r50,4806 10930 ,471 I 8? r90,46t9 48220,4528 9042

2122

24

2627282930

ó t

3 2

3 5

36

383940

0,4440 rozt | ¿r0 , 4 3 5 s o 4 r a I q z0,4267 6}zb I ¿¡0 ,4184 oo?4 I q t

0,?09r 32640 ,7038 53?40 ,6986 l 4 r40 ,6934 13530 ,6882 51 65

o ,4 to l 9680 I ¿s

o,4o2 l 5s?B I ¿o0,s942 68s6 | qt0 ,3865 3z6 l I 480,3289 5844 | ¿s

iilíiíIsi 3:tsilll?J B:13áliiiti:liirllli t:iilB tsr; ¡;jstt íÍi0.6080 3882 o ,sszs ¡go i 0 ,4?so 0468 o , 3 z t s 2 ? 8 8 | 5 0


TABLA II Valores del factor de valor Presente a interés compuestoNotac ión es tánda r : \P ' f i% ' n )

Notación algebraica: (1 + t) '

12

678I

l 0

0 ,9756 09?60 , 9 5 1 8 1 4 4 00,9285 99410,9069 50640,8838 5429

0,8622 96870,8412 65240,8207 465',10 ,800? 28360 , 7 8 1 1 9 8 4 0

0,7621 44780 , 7 4 3 5 5 5 8 90,7254 20380,70'1'l 27200 , 6 9 0 4 6 5 5 6

0,6736 24930 , 6 5 7 r 9 5 0 60 , 6 4 1 1 6 5 9 1o,6255 27720 , 6 1 0 2 7 0 9 . 1

0 ,5953 86290,5808 64670 , 5 6 6 6 9 7 2 40 , 5 5 2 8 ? 5 3 50 , 5 3 9 3 9 0 5 9

0,9?08 73790,9425 95910 , 9 1 5 1 4 1 6 60,8884 87050 , 8 6 2 6 0 8 ? 8

o,837 4 84260 , 8 1 3 0 9 1 5 10 , 7 8 9 4 0 9 2 30 , 7 6 6 4 1 6 ? 30 , 7 4 4 0 9 3 9 1

o,7224 27280 , 7 0 1 3 7 9 8 80,6809 51 340 , 6 6 1 1 1 7 8 10 , 6 4 1 8 6 1 9 5

0 , 6 2 3 i 6 6 9 40 , 6 0 5 0 1 6 4 50 , 5 8 7 3 9 4 6 10 , 5 ? 0 2 8 6 0 30 , 5 5 3 6 7 5 7 5

0 , 5 3 ? 5 4 9 2 80 , 5 2 1 8 9 2 5 00 , 5 0 6 6 9 1 7 50 , 4 9 1 9 3 3 7 40 , 1 1 7 6 Q 5 5 7

J , 2 9 t 6 2 8 0 u

0 . 2 8 0 5 1 2 9 . 1' j , ¿ i 2 ó 1 1 1 80 , 2 6 4 4 3 8 6 2

0 , 2 5 6 ? 3 6 5 30 ,2192 587 60 , 2 4 1 9 9 8 8 00,2319 50290 , 2 2 8 1 0 ? 0 8

0 , 9 6 6 1 8 3 5 70 , 9 3 3 5 1 0 7 00 , 9 0 1 9 4 2 7 1o,8'lL4 42230 , 8 4 1 9 ? 3 1 ?

0 , 8 1 3 5 0 0 6 40 , ? 8 5 9 9 0 9 60 , 7 5 9 4 1 1 5 60 , 7 3 3 7 3 0 9 ?0 , 7 0 8 9 1 8 8 1

0 , 6 8 4 9 4 5 7 10 , 6 6 1 7 8 3 3 00 , 6 3 9 , 1 0 4 1 50 , 6 1 7 ? 8 1 ? 90 , 6 9 6 8 9 0 6 2

0 , 5 7 6 7 0 5 9 10 , 5 5 7 2 0 3 7 8c , 5 3 8 3 6 1 1 40 , 5 2 0 1 5 5 6 90 , 5 0 2 5 6 5 8 8

0 , 1 8 5 5 7 0 9 00 , 4 6 9 1 5 0 6 30 , 4 5 3 2 8 5 6 30 , 1 3 7 9 5 ? 1 30, ,1231 .1699

0 , 2 4 , 1 0 3 1 3 70 . 2 3 5 7 7 9 1 0r ) , 2 2 7 i i 0 5 9 00 , 2 2 0 1 0 2 3 1o,2726 5924

o ,2064 67 870 , 1 9 8 5 1 9 6 80 , 1 9 1 8 0 6 4 50 , 1 8 5 3 2 0 2 40 , 1 7 9 0 5 3 3 7

0,9615 3846o,9245 56270,8889 96360 ,8548 04190,8279 2717

0 ,7903 14530 ,?599 1?810 ,?306 9021o,7 025 867 40 ,6?55 6 .117

0,6495 80930 ,6245 9?050 ,6005 74090,577 4 7 5080 ,5552 6450

0,5339 08r.80 ,5133 ?3250 ,4936 28120,41 16 12420,,1563 8695

0 ,4388 33600 , . 1219 55390,4057 26330 ,3901 21 .1?0 ,3751 1680

0 , 2 0 0 2 ? ? 9 30 , 1 9 2 5 7 . 1 9 30 , 1 t i 5 1 6 8 2 00 , 1 7 8 0 4 6 3 50 , 1 7 1 1 9 8 4 1

0 , 1 6 . 1 6 1 3 8 60 , 1 5 8 2 8 2 5 60 , 1 5 2 1 9 4 7 60 , 1 4 6 3 4 1 1 20 . 1 4 0 7 1 2 6 2

0 ,9569 3?800 ,9157 29950 ,8762 96600 ,8385 61340 ,8024 5105

o ,767A95740,'1348 28460 ,?031 8513o,6729 04430,6439 2768

0 ,6161 98740 ,5896 63860,5642 71640 ,5399 7286a,5161 2044

0,494,1 69320 ,4731 76390 ,4528 00370 ,4333 01790 ,41 .16 4286

0 ,3967 87430 ,3797 00890 ,3633 50130 ,347 i 034 ' l0 . 3327 3060

0,9523 80950,9070 29480 , 8 6 3 8 3 7 6 00,a227 02470 , 7 8 3 5 2 6 1 7

Q,7 462 L54A0 , 7 1 0 6 8 1 3 30 , 6 7 6 8 3 9 3 60,64 .16 08920 , 6 1 3 9 1 3 2 5

0 , 5 8 4 6 ? 9 2 90 , 5 5 6 8 3 7 4 20 , 5 3 0 3 2 1 3 50 , 5 0 5 0 6 7 9 5

0 , 4 8 1 0 1 ? 1 0

0 , 4 5 8 1 1 1 5 20 , 4 3 6 2 9 6 6 90 , 4 1 5 5 2 0 6 50 , 3 9 5 7 3 3 9 60 , 3 ? 6 8 8 9 4 8

0 ,3 589 42360 ,3418 49870 ,3255 71310 ,3 100 6791o,2953 02'¡7

t ) , 1 3 5 2 8 1 6 00 , 1 2 8 8 3 9 6 20,122? 0 .1 ,1 ' , )0 , 1 1 6 8 6 1 3 30 , 1 1 1 2 9 6 5 1

0 , 1 0 5 9 9 6 6 80 , 1 0 0 9 4 9 2 10 , 0 9 6 1 4 2 1 10 , 0 9 1 5 6 3 9 10 . 0 8 7 2 0 3 ? 3

1

3

5

6189

l 0

1 6t 71 81 920

2L22232 42 5

1 C

l o

t'l1 81 92 0

21,2 22 3

2 5

262 i2 82930

0,5262 3472 0,4636 94730 ,5133 99?3 0 ,4501 89060 ,5008 ?7?8 0 ,4370 76750 ,4886 6125 0 ,4243 4636o 4767 4269 0.4119 8676

0. ,1088 3?67 0 ,3606 89230 , 3 9 5 0 1 2 2 . 1 0 , 3 4 6 8 1 6 5 70,3816 5434 0 ,3334 7 ' .7 4 i0 , 3 6 8 ? 4 8 1 5 0 , 3 2 0 6 5 1 4 1

0 , 3 5 6 2 ? 8 4 1 0 . 3 0 8 3 1 8 6 ?

0 , r 8 9 8 3 2 7 2 0 , 2 4 3 6 6 8 7 2{ ) . 2 8 0 0 3 1 6 1 0 , 2 3 4 2 9 6 8 50 , 2 7 0 5 6 1 9 4 0 , 2 2 5 2 8 5 4 30 . 2 t i 1 . 1 1 2 5 0 0 , 2 1 6 6 2 0 6 1o . 2 5 2 5 i 2 4 1 0 , 2 0 8 2 8 9 0 4

0,3184 0248 a,2812 40730,30'16 9137 0,2678 48320 ,2915 7069 0 ,2550 93640,2?90 1502 0,2129 46320 ,26?0 0002 0 ,2313 7745

262'.12 8293 0

3 2

3 43 5

0 , 4 6 5 1 1 . 1 8 1 0 . 3 9 9 9 8 ? 1 5 0 , 3 ' 1 4 2 3 0 3 5

0 , 4 5 3 ? 7 0 5 5 0 . 3 8 8 3 3 7 0 3 t , 3 3 2 5 8 9 7 1

0,442 ' .7 0298 0 ,3 ' l7 i 2625 0 ,3213.1271

0 , 4 3 1 3 0 5 3 4 0 , 3 6 6 0 4 . 1 9 0 t ) , 3 1 0 . 1 ? 6 0 5

0,1213 71O' l ( . ) ,351¡3 83 '10 1r .2999 7686

0 , 4 1 1 0 9 3 7 2 i ) , 3 . 1 5 0 3 2 4 30 . 4 0 1 0 6 7 0 5 1 ) , 3 3 4 9 8 2 9 , 10 , 3 9 1 2 8 4 9 2 { ) . 3 2 5 2 2 6 1 50 , 3 8 1 7 . 1 1 3 9 1 ) , 3 1 5 1 5 3 5 ó0 , 3 7 2 ' l 3 0 6 2 0 . 3 0 6 5 5 6 8 1

0,2964 6026 0 ,2555 0247 0 ,2203 5947

0 , 2 8 5 0 5 ? 9 . 1 0 , 2 4 4 4 9 9 9 1 0 , ? 0 9 8 6 6 1 ?

o . 2 ' t 4 0 9 4 7 7 0 , 2 ? 3 9 7 1 2 7 0 , 1 9 9 8 ? 2 5 4

0 , 2 6 3 5 5 2 0 9 0 , 2 2 3 8 9 5 8 9 0 , 1 9 0 3 5 ' 1 8 0

r r . 2 5 3 4 1 5 4 7 A . 2 1 , 4 2 5 4 4 4 0 , 1 8 1 2 9 0 2 9

0 , 2 0 5 0 2 E 1 7 0 , 7 1 2 6 5 i 4 7

0 , 1 9 6 1 9 9 2 1 0 , 1 6 4 4 3 5 6 30 , 1 8 7 ? 5 0 4 4 0 , 1 5 6 6 0 5 3 60 , 1 7 9 6 6 5 4 9 0 , 1 . 1 9 1 - 1 ? 9 7

0 , 1 7 1 9 2 8 7 0 0 , 1 . 1 2 0 . 1 5 6 8

3 13 23 3

3 5

363'l38394 Q

4 6

4 84 95 0

0 , 3 6 3 3 4 6 9 50 , 3 5 4 4 8 4 8 3c , í 1 4 5 8 3 E 8 60 , 3 3 ? . 1 0 3 i 60,3291, ',l 440

0 , 1 6 . 1 5 2 5 0 ?0 , 1 5 ? 4 4 0 2 60 , 1 5 0 6 6 0 5 4'J ,744t 72760 , 1 3 7 9 6 4 3 7

0,132Q 23320 , 1 2 6 3 3 8 1 00 , 1 2 0 8 9 7 ? 10 , 1 1 5 6 9 1 5 80 , 1 1 0 7 0 9 6 5

3 6.3 i38 ,3 94 0

,,¡ 1J 9

i -1

.16

.18

.195 0

0 . 3 2 1 1 4 5 ? 60 , 3 1 3 3 1 2 9 40 , 3 0 5 6 ? 1 1 60 , 2 9 8 2 1 5 7 60 . 2 9 0 9 4 2 2 1

z+E" vvo lIE" 4vo 4+q" tvo

TABLAS

TABLA II Valores del factor de valor presente a interés compuestoNotación estándar: (p/F, i%, n)

Notación algebraica: (1 + t ) "

n 5 + % 6% 6i% z% 7+% s% n

6

89

1 0

I2345

1 1t 2r3t 41 6

16l 7181920

2 lt ,

232425

2627282930

3 13233343 6

3637383940

4 l4 24344 145 I

I46 147 148 1{ e l50 1

0,9478 67300,898{ 62420,8616 13660,8072 L67 40,7661 3436

0,7262 46830,6874 36810,6615 98870,6176 29260,6864 3068

0,5649 10500,6259 81á20,4986 60680,4726 69370,4479 3306

0,424ó 81090,4024 46630,3814 6ó900,3615 79060,342? 2896

0,3248 61580,3079 2667o,2918 72670,2766 56560,2622 3370

0,2486 62760,23ó6 04500,2233 218r0,2116 79440,2006 4402

0,1901 83900,1802 69100 ,1708 ? r190,1619 63210,163ó r963

0,1465 16240,13?9 30080,1307 39410,1239 23620 ,11?4 6314

0,11r3 39470,1055 35040,1000 33220,0948 18220,0898 ?509

0,0861 896ó0,0807 48490,0766 38860,0?26 48670,0687 6652

0,9433 96230,8899 96440,8396 19280,7920 93660,7472 68L7

0,?049 60640,66ó0 ó71r0,6274 t2370,ó918 9E460,5683 9478

0,5267 87ó30,4969 69360,4688 39020,4423 00960,4172 6606

0,3936 46280,37t3 64420,3603 43790,3305 13010,3118 04?3

0,2941 55400,27?6 0610o,26t7 97260,2469 78660,2329 9863

0,2198 i0030,2073 67960,1966 30140,r846 66740,1741 1018

0,1642 64840,1649 67400,1461 86220 ,13?9 11630,1301 0622

0,1227 40770,1157 93180,1092 38860,1030 65520,0972 2219

0,09r? 19060,086ó 27400,0816 29620,07?0 09080,0?26 6007

0,0686 97810,0646 58310,0609 98,t00,0676 46660,0542 8836

0,9389 67140,8816 69280,8278 49090,7775 23090,7298 8084

0,6863 34120,6435 06210,6042 31190,á673 63230,6327 2604

a,5002 12240,4696 82850,4410 16760,4141 00260,3888 2662

0,36ó0 95330,3428 12610,3¿18 8969o,so22 43840,2837 9703

0,2664 76080,260212280,2349 41110,2206 01980,2071 380r

o,1944 95790,1826 26160,17r4 79020,1610 13160,1611 8607

0,1419 58750,1332 94600,r261 69260,tL76 20420,1103 4781

0,1036 12970,0972 89r70,0913 61340,0867 75900,0806 40?6

0,0756 26120,0710 09500,0666 76ó90,0626 06190,0á8? 8616

0,0661 9?330,0618 28480,0486 66240,0466 95060,0429 0616

o,9s46 79440,8734 38730,8162 97880,7628 96210,7129 8618

0,6663 42220,6227 49740,6820 09100,6439 33740,ó083 4929

0,4?ó0 92800,4440 11960,4149 644áo,387817240,3624 4602

0,3387 34600,316ó 74390,2968 63920,2765 08330,2684 1900

0,2415 13090,2267 L3L70,2109 46880,1971 46620;1842 4918

0,1721 95490,1609 303?0,1604 02210,1406 62820 ,1313 6?12

o,t227 TSOI0 ,1147 41130,1072 34700,1002 19340,0936 6294

0,087ó 3ó460,0818 08840,0764 66860,0714 55010,0667 8038

0,0624 116?0,0683 28670,0546 12680,0609 46430,0476 1349

0,0444 98690,0416 8?4?0p388 66?90,0363 24100,0339 4776

0,9302 32560,6663 3?610,8049 60570,7488 00630,6966 ó863

0,6479 61ó20,6027 ó4900,6607 02230,ó21ó 83470,4861 9393

0,4513 43190,4198 54130,390ó 61980,3633 13470,3379 6602

0,3143 86990,2924 63020,2720 49320,2530 69130,2364 1316

0,2189 88970,2037 106?0,1894 9830o,L762 77490,1639 7906

0,1526 38660,1418 96430,1319 96680J227 A76r0,1142 2103

0,1062 62120,0988 39180,0919 43430,0866 287?0,0?95 6164

0,0?40 10830,0688 47290,0640 43990,0ós6 76800,0654 1936

0,0616 62880,0479 56170,0446 r0390,0414 98040,0386 0283

0,0369 09610,0334 04280,0310 73750,0289 06820,0268 8918

0,9269 25930,8673 38824,7958 32240,73ó0 29860,6806 8320

0,6301 69630,5834 90400,6402 68880,5002 489?0,4631 9349

0,4288 82860,3971 1376o,3676 97920,3404 61040 ,3162 4170

0,29r8 90470,2702 68960,2ó02 49030,2817 1206o,2L46 482L

0,1986 ó5?50,r$9 405r0,1703 15280,1676 99340,1460 l?90

0,1352 01?60,r261 86820,1 159 l3?2o,Lo73 27620,0993 7733

0,0920 16060,o8ó2 00060,0788 88930,0?30 46310,0676 3454

0,0626 24680,0679 86720,0636 90480,0497 13410,0460 3093

0,0426 21280,0394 64110,0366 408,10,0388 34110,0818 2788

0,0290 0?800,0268 6E610,024E 69080,0280 26930,0213 2128

12346

6

89

t0

t lL 213t 4l 5

16L 7181920

2L, ,232426

2627282930

3182388,186

3687883940

41424344¡16

461748¡1960


TABLA III Valores de l4F para fracciones de periodo. Notación estándar: ( r t , , * +)Notación algebraica: 1t +;¡ i

TABLA IV Valores deW parafracciones de periodo. Notación estándar: letr ' '" t1

Notación algebraica: 1r . r ¡ ' i

p .7q":L q^\ o1^ 'rq" *q" lqo p

2

46

1,2

,ool2 4922 1,0016 6528,0008 3264 1 ,0011 0988,0006 2441 1,0008 3229,0004 1623 1,0005 54?9,0002 0809 1,0002 7?35

1 ,0020 811? 1 ,0024 96881 ,0013 8696 1 ,0016 63901 ,0010 4004 1 ,0012 47661 ,0006 9324 1 ,0008 31601 ,0003 4656 1 ,0004 15?1

1.A029 7243 1.0033 2?801.0019 4068 1.0022 1?301 .0014 5515 1 .0016 62521,0009 6987 1,001 1 08041.0004 8482 1.0005 538?

2ó

o

t 2'/ó l 7 o t ' ; U o t l C o t i q o 2 7 a p

23

61 2

1 ,0037 4299 1 ,0049 8756r ,0024 93?8 7,0033 22281 ,0018 6975 1 ,0024 90681 ,0012 4611 1 ,0016 59?61 ,0006 2286 1 ,0008 2954

,0062 3059,0041 4943,0031 1046,0020 7 256,0010 3576

,0074 ?208 r , 0087 1205 1 ,0099 5049,0049 7521 1 ,005? 9963 1 ,0066 2271,0037 2909 1,0043 4658 1,0049 6293,0024 8452 1,0028 9562 1,0033 0589,0012 4149 7,0074 4677 1,0016 5158

2

t 2

p 2 l r o 3 q o 3 i q o 4 4 o 4 lvo o -¡a

2346

L2

, 0 7 2 4 2 2 8 4 1 , 0 1 4 8 8 9 1 6 1 , 0 1 7 3 4 9 5 0 1 , 0 1 9 8 0 3 9 0

, 0 0 8 2 6 4 8 4 1 , 0 0 9 9 0 1 6 3 1 , 0 1 1 5 3 3 1 4 1 , 0 1 3 1 5 9 4 0

, 0 0 6 1 9 2 2 5 1 , 0 0 ? 4 1 7 0 7 1 , 0 0 8 6 3 7 4 5 1 , 0 0 9 8 5 3 4 1

,0041 2392 1 ,0049 3862 1 ,0057 5004 1 ,0065 5820

,0020 5984 7 ,OO24 6627 1 ,0028 7090 7 ,0032 1 ts14

,0222 5242,0147 8046,01 10 6499,0073 6312,0036 7481

,0246 9 508

, 0 1 6 3 9 6 3 6,0122't223, 0 0 8 1 6 4 8 5,oo40

't 4t2

2346

p s l v " 6 v o 6 : E o l v o 7 +q" 8vo

23

61 2

,0271 3193 1 ,0295 6301,0180 0713 1 ,0196 1282,0734 7517 1,0146 7385,0089 6339 1 ,0097 5879,0044 7170 1 ,0048 6755

,03 t I 8837,o2r2 134'7,01 58 6828,0105 5107,0052 61 69

,0344 0804 I ,0368 2207 1 ,0392 3048,0228 0912 1 ,0243 9981 1 ,0259 8557

, 0 1 7 0 5 8 5 3 1 , 0 1 8 2 4 4 6 0 1 , 0 1 9 4 2 6 5 5

, 0 1 1 3 4 0 2 6 1 , 0 1 2 1 2 6 3 8 1 , 0 1 2 9 0 9 4 6

, 0 0 5 6 5 4 1 5 1 , 0 0 6 0 4 4 9 2 1 , 0 0 6 4 3 4 0 3

23^6

7 2

Vo 5 ,t 2 ' "

' ro , ' , .o l

to

2346

t 2

0 , 9 9 7 9 2 3 1 5 0 , 9 9 ? 5 0 9 3 40 , 9 9 8 6 1 4 9 6 0 , 9 9 8 3 3 8 8 70 , 9 9 8 9 6 1 0 4 0 , 9 9 8 7 5 3 8 9o,9993 0 '7 24 0 ,9991 69090 , 9 9 9 6 5 3 5 6 0 , 9 9 9 5 8 4 4 6

0,9987 5234 0 ,9983 37490 , 9 9 9 1 6 8 0 5 0 , 9 9 8 8 9 1 3 50 , 9 9 9 3 7 5 9 7 0 , 9 9 9 1 6 8 4 00,9995 8394 0 ,9994 45520 , 9 9 9 ? 9 1 9 5 0 , 9 9 9 ' t 2 2 7 2

0,9970 9603 0 ,9966 83240 , 9 9 8 0 6 3 0 8 0 , 9 9 7 7 8 7 6 00 , 9 9 8 5 4 6 9 6 0 , 9 9 8 3 4 0 2 40,9990 3107 0 ,9988 93190,9995 1542 0 ,9994 4644

2346

7 2p "; qo r 7 o r : % 7 ) 7 o 1 : % 2 r a p

2346

t 2

0 , 9 9 3 8 0 7 9 9 0 , 9 9 2 5 8 3 3 30 , 9 9 5 8 6 7 7 2 0 , 9 9 5 0 4 9 4 20,9968 9919 0 ,9962 84 ' ,? 70 , 9 9 7 9 3 1 7 2 0 , 9 9 7 5 2 1 6 40 . 9 9 8 9 6 5 3 3 0 . 9 9 8 7 6 0 0 5

0 , 9 9 6 2 7 0 9 6 0 , 9 9 5 0 3 ? 1 9o , 9 9 7 5 7 2 4 3 0 , 9 9 6 6 8 8 7 20 , 9 9 8 1 3 3 7 4 0 , 9 9 ? 5 1 5 5 1o,9987 5544 0 ,9983 4299o . 9 9 9 3 7 ' , ? 5 3 0 . 9 9 9 1 ? 1 t 5

0 ,9913 6319 0 ,9901 4754o,9942 3387 0,9934 20860,9956 7 223 0,9950 61580 ,9977 7274 0 ,9967 05000 .9985 5532 0 .9983 5114

2e

o

L2p 2 , ' o 3 v a 3 ' , ' b 4 - o 4 : - " ' d o p

2346

t 2

0 , 9 8 7 7 2 9 6 0 0 , 9 8 5 3 2 9 2 80 , 9 9 1 8 0 2 9 1 0 , 9 9 0 1 9 5 4 50 , 9 9 3 8 4 5 8 6 0 , 9 9 2 6 3 7 5 40 , 9 9 5 8 9 3 0 2 0 , 9 9 5 0 8 5 6 5o , 9 9 7 9 4 4 4 0 C , 9 9 7 5 3 9 8 0

0 , 9 8 2 9 4 6 3 7 0 , 9 8 0 5 8 0 6 8 0 , 9 7 8 2 3 1 9 8 0 , 9 7 5 9 0 0 0 70 , 9 8 8 5 9 8 3 5 0 , 9 8 ? 0 1 1 5 2 0 , 9 8 5 4 3 4 8 2 0 , 9 8 3 8 6 8 1 50 , 9 9 1 4 3 6 5 2 0 , 9 9 0 2 4 2 7 4 0 , 9 8 9 0 5 6 1 0 0 , 9 8 ? 8 ? 6 5 50 , 9 9 4 2 8 2 8 3 0 , 9 9 3 4 8 4 5 3 0 , 9 9 2 6 9 0 7 0 0 , 9 9 1 9 0 1 2 80,99 '77 3732 0 ,996? 3694 0 ,9963 3865 0 ,9959 4241

2

o

t 2p 5 | q o 6 ? a a i T o 7 v o 7 + % 8 v o p

2346

t 2

0 , 9 6 9 0 0 3 1 7 0 , 9 6 6 7 3 6 4 90,9792 2719 0 ,9776 99530,9843 7958 0 ,9832 27590,9895 5909 0 ,9887 86900 , 9 9 4 7 6 5 8 5 0 , 9 9 4 3 ' 1 7 6 4

0 , 9 1 3 5 8 4 ' 7 7 0 , 9 7 1 2 8 5 8 60 , 9 8 2 3 1 1 3 9 0 , 9 8 0 7 6 4 4 40 , 9 8 6 7 0 3 9 9 0 , 9 8 5 5 3 8 3 60 , 9 9 1 1 1 6 2 3 0 , 9 9 0 3 3 5 5 20 , 9 9 í - o 4 8 2 1 0 , 9 9 5 1 5 6 0 3

0.9644 8564 0 .9622 50460.9761 8136 0 .9746 72580,9820 8230 0 ,9809 43650 , 9 8 8 0 1 8 9 1 0 , 9 8 ? 2 5 5 0 ?0 . 9 9 3 9 9 1 4 0 0 . 9 9 3 6 0 7 1 0

3

l 2

TABLAS 4¡f

TABLA V Valores del factor I4F de una anualidad ordinariaNotación estánda¡: (F/p, i%, n)

Notación algebraica: (1+i)" - 1

n !o^ 1 q ^t2 ' "ic"!v. i n 1c" n

l 1t 213t41 5

16l 7181 9

I234D

6

89

t 0

2 l22232426

2627282930

3 1323 33435

363?383940

434445

4 6

4 8495 0

1,0000 00002,002ó 00003,0075 06254,0160 25025,0260 6258

6,0s76 262$7,0627 19308,0703 51109,0905 2697

r0,1132 6329

11,1385 3642L2,L66S 827713,1967 987214,2297 907216,2663 6520

16,3035 2861r7 ,3442 87 4318,3876 481ó19,4336 17 2720,4822 0131

21,5334 068222,5872 403323,6437 084324,7028 L77A25,7646 7 47 5

26,8289 861927,8960 586528,9657 988030,0382 133031,1 133 0883

32 ,1910 921033,2715 698334,3547 487635,4406 356336,5292 9722

3? ,6205 603138 ,7146 117139,81 13 982440,9109 2673t2,0132 0405

13 ,1182 3?0614,2260 326515 ,3365 977416,4499 3923r7,5660 6408

18,6849 ?92419,8066 9169t0,931 2 0842t2,0585 3644r3,1886 8278

1,0000 00002,0033 33333 ,0100 11114,0200 4448ó,0334 4463

6,0502 2278?,0703 90198,0939 58169,1209 3802

10 ,1613 41 r4

11 , r8ó1 789ó12,2224 6288rs,26s2 044214,3074 151015,3551 0648

16,4062 901717,4609 778rt 8 , 5191 810?r9,ó809 116720,6461 8137

21 ,71ó0 019822,7873 853223,8633 432',124,9428 877526,0260 3071

27,7127 84t428,2031 600929,297 | 7 Q6230,3948 27863r,4961 4396

32 ,6011 311033,7098 015434,8221 675435,9382 414337,0580 3557

38 ,18 r5 623639,3088 342340,43_98 63684L,57 46 632242,7132 4543

43,8556 229245 ,0018 083346 ,1518 143647,3056 537448,4633 3925

49 ,6248 837150,7902 999951 ,9596 009953 ,1327 996654,3099 0899

r,0000 00002,0041 66673 ,0125 1?364,0260 69526,0418 4064

6,0628 48317,0881 10188,L776 43979 ,1514 6749

10,1895 9860

LL,23ZO 552672,2788 564913,3300 173914,3855 591315,44ó4 9896

16,5098 5ó20L7 ,57 86 462',118,6518 906319,7296 068420 ,8118 1353

2L,8985 294222,9897 733024,0855 640226,1859 206326,2908 6187

27,4004 071328,5L45 754929,6333 862230,7568 58663r,8850 1224

33,0r78 664634,1554 409035,2977 552436,4448 292237,5966 8268

38,7533 356239 ,9148 077541 ,0811 194542,2622 907843,4283 4199

44,6092 934245,7951 654746,9859 786648 ,1817 535749,3825 1088

50,6882 ? I 3451 ,7990 558153 ,0148 852154,235? 805655,4617 6298

1,0000 00002,0050 00003,0150 25004,0301 0013ó,0502 5063

6,0?65 01887,1058 7939E,1414 08799 ,1821 1583

to,2280 264L

11 ,2791 665412,3355 623713,3972 4018L4,4642 265915,5365 4762

16,6142 302617 ,6973 014118 ,7857 879119,8?9? 16852Q,9791 L644

22,0840 rt0723,1944 310124,3704 032226,4379 552426 ,5591 1502

27 ,6919 105928 ,8303 701529,97 45 220031,1243 946132,2800 1658

33,4414 166634,6086 237535 ,7816 668636,9605 752038 ,1453 7807

39,3361 049640,5327 854941,7364 494242,944L 266644,1588 4730

45 ,3796 415346,6065 397447 ,8396 7 24449,0?87 703050 ,3241 6415

5L,5757 849752,8336 639054,0978 322255 ,3683 2138ó6,6451 6299

1,0000 00002,00ó8 33333,0176 34034,0361 3631ó,0686 7460

6,0881 83647 ,L296 91948,1662 6285I,2128 8349

10,2666 2631

1 1,3265 139612,3925 8t2913,4648 ?537L4,6434 204815,6282 67L0

16 ,7194 219317 ,8169 518918,9208 841120 ,0312 559321 ,1481 0493

22,2774 688723,40t3 867724,5378 938625,6810 315726,8308 3759

27,9873 608729 ,1506 103530,3206 55583t,497 5 260732 ,6812 6 r64

33 ,8719 023335,0694 884336,27 40 604637,4856 591338,7043 2548

39,9301 007141 ,1630 263042,4031 439543,6504 956244,905L 2362

46 ,1670 700747,4563 779848 ,7130 901849,9972 498851 ,2889 0050

52,5880 8ó7553,8948 495955 ,2092 362156,53r2 900957 86 rO t5qÉ

1,0000 0000 ¡ I2,0066 6667 | 23,0200 4444 I 34,0401 ?807 | +5,0671 1269 | 6

I6,1008 eass I e7 ,1415 659? | t8,1891 7641 I 89,2437 7092 | 9

r .o,ao6s 9606 | roI

r . 1 , 3740 9870 | 1112,4499 2602 | \2r3 ,5329 2563 I 13i4 ,6231 4503 i r¿t5,7206 s267 | rs

It 6 , 8254 3688 | rOr?,eBz6 0646 | tzre,0571 9051 I 18r0,r842 3844 | 19r1 ,9188 ooog I zo

t2,4609 253613,6106 648?r4,7680 6930r5,9331 8976r7 ,1060 ?769

r8,2867 84889,4753 63440 ,6718 65871 ,8763 44973.0888 ó394

2 7

9 A

242 6

262728293 0

4,3094 4630 | 315 ,5381 7594 I 326 ,7?50 9211 | 93B,ozo2 644s I rn9,2737 3286 I 35

I0 ,535ó 5774 | 361,8057 9479 | 373,0845 0009 i 384,3717 3009 I 395,6675 4163 I 40

I6 ,9719 9 r91 I 418,2851 3852 | 429,6070 3944 | 43o,93zz 5Bo4 | 442,2775 3806 | 46

I3,6258 5365 | 464.9833 5934 | 476,s499 150? | ¿at,7255 strT I ngr , 1104 183? | 50

@ MArEMÁTrcASFrNANcrERAs

TABLA V Valores del factor l4F de una anualidad ordinariaNotación estándar: (FIA, i%, n)

Not¿c ión a lgebra ica : t1 ¡ i t ' - |

*q"

64,3216 644956,4574 686256,5961 022?57 ,7375 926258,8819 3650

60,0291 413ó6r,7782 L42062,3321 622563,4879 926464,6467 t262

!q"

56,49A9 420256,6?69 118357,8648 316459,0577 143160,2545 7336

61,4554 219462,6602 733463,8691 409265,0820 380666,2989 78r8

67,5199 747868,7450 413669,9741 9150?1,2074 388072,4447 9693

73,6862 796974,9319 005276,18t6 735277 ,4356 1243?8 ,693? 3114

79,9560 43588t,2225 637282,4933 056083,7682 832985,0475 1090

86,3310 026087,618? 726188,9108 351990,2072 046491,5078 9632

92,8129 216494,1222 980496,4360 390496,7641 691?98,0?66 7303

99,,1035 9ó27r00,7349 4059102,0707 2375103,4109 5947LO4,7566 6267

106.1048 4821107,4685 3104108,8167 2614110,1794 4866111,6467 1339

rL2,9L86 3677r14,2949 3089116,6769 1399117,0615 0087118,4ó17 0637

lc" ic" *c" t ' -

*aa*t-61,90?8 610863,3205 700964,7 427 072266,17 43 2627

67 ,6164 87 4469,0662 6736?0,6266 990771,9968 770673,4768 6625

6 1525364a c

ó6c tb ó

60

66,6928 6366ó7,9290 7388ó9,1704 460260,4169 88ó46r,6687 2600

62,9256 790264,1878 693565,4563 188166,?280 493068,0060 8284

69,2894 4t6270,5781 475371, ,87 22 23!473 ,1716 907474,4766 7278

75,7868 918377 ,'t 026 7Q5678,4239 316879,7606 980681,0829 9264

82,4208 384483,?64? 586085 ,1132 763486,46?9 14998?,8281 9?97

89,1941 488090,5667 910891,9431 485ó93,3262 460094,7161 0435

96,109? 606297,5702 0792988r65 0045

r00,3286 6263101,7466 88ó9

r03,1706 3312104,6005 1076106,0363 4622r07,4781 643310882ó9 9002

110,3798 4831111,8397 64S,41r13,3067 6386rt4,7778 7071116,2661 1184

LL?,7406 L280tlg.2370 9777720,7278 g40tL22,2309 2690123,7402 2249

67,9283 8880ó9,2180 307ó60,6141 209061,8166 916063,1267 ?496

64,4414 038465,7636 108667,0924 289L68,4278 910669,7?00 3051

?1 ,1188 80667 2,47 44 7 60'.173,8368 4744?5,2060 316876,5820 6184

77,9649 72L679,3647 970180,7ó15 ?09982,1663 288583,6661 0649

84,9839 360286,4088 66708?,8408 999889,2801 044890,7266 0ó00

92,1801 376293,6410 382196,1092 434096,ó84? 896298,067? rB57

99,ó680 6214101,0668 4240r02,6611 2161to4,o7g9 2722105,6942 9686

707,t222 6834108,6678 7968110,2011 6908LL7,762t 7 492113,3109 3680

114,8774 9048116,4618 ?7931r8,0841 8?32119,62,18 0800L27,2224 2964

122,828É 4t69L21,1128 8410126,06,f8 9782121,8962 228Lt29,8886 9E12

69,1985 78??60,5439 038161,8970 76ó969,2687 424764,627L 4870

66,0041 404067,3891 645668,7822 680r?0,1834 9?91?1 ,5929 0165

73,0106 26917 4,4364 2L66?6,8700 341177,3L32 t28l78,7642 066ó

80,2236 644281,6916 368083,168r 703484,6633 180086,147t 2902

87,6496 ó39489,1609 436990,6810 490992,2100 218893,7 479 1367

96,2947 766096,8606 627098,4166 249099,989? 1604

101,6?29 893f)

103,1664 9849L04,7672 9725106,3784 3980107,9989 8070109,6289 7476

LLL,2684 17101r2,9L76 4322714,6762 2889tL6,2146 9022Lr?p226 8967

119,6106 6699121,3082 9439123,0159 2601r24,7S36 1891126,,1611 3110

128,1988 2108129,9166 1719181,7046 6960188,t?29 ,[68,ú196,2616 8908

61626354

o b

o ó

ó960

61 I 65.8083 2940 ?4.966? 0196 | Or62 I 66,e?28 ó023 76.46647997 | 6263 I 68 ,1402 8235 77,97626654 I 6364 | 69,3106 3306 79,49€0 9821 | 6466 | 70,4839 0964 81,0260 7220 | 66

66 | ?1.6601 1942 82.6662 4601 I 6667 | 72,8392 6971 84.1166 8766 I 6?68 | 74 .0213 6789 a6,67746667 | 6869 | 75.2064 2L31 87,2486 4867 | 6970 | 76.39443736 88,8303 0633 | 70

7L | 77,58542945 s0,42260?37 | 7172 | 78,7193 8707 92,02632610 | 72?3 | 79.9763 3548 93.6388 2726 I ?374 | 81.17627632 96,2530 8611 | 747 5 | 82,37 92 17 O1 96.8981 7336 | 75

76 I 85 .5851 6505 98,6441 6118LOO.2071 2226101,8691 2973103,6482 6726105,2386 78S8

106,9401 6960108.6631 0397110,8774 6799112,1133 0?71LL3,8607 2977

116,6198 0180117,3906 9997119,1?82 0897120,96?6 9200122,7741 1328

L24,6926 5167126,4282 66L6128.2660 7086130,1211 E403191,9888 6869

138,E6E6 E29818ó,7610 1020187,6661.1880189,6t88 8?901¿1.61.1{ ¿716

?6

787980

818283848ó

8687888990

9192989496

96979899

100

'17 | 84,7941 2791

78 | 86,0061 132979 | 87.2211 285780 | 88 ,4391 8139

81828384ó o

8687888990

9192939496

96979899

100

89,6602 ?93490,8844 300492,Ltl6 4Ll293,3419 202294,57621502

9ó,8117 132197,06L2 424998,2938 706099,6396 0627

100,7884 5429

t02,0404 2542103,2e66 2649104,6537 6530105,8151 4972107,0796 8769

10884?3 8681109,6182 6628110,8923 0091112,1695 8167113,4499 ó560

TABLAS

TABLA V Valores del factor VF de una anualidad ordinariaNotación estándar: (F/A, i%, n)

Notación algebraica: ( r+ i ) ' - 1

tc" r9o r i co t lu " r | co 2vo n

1 | 1,0000 0000z | 2,oo?s ooooa I s9zzl 66254 | 4,0452 z54z5 I 5,0?55 6461

I6 I 6 , 1136 3135? | ?,1ó94 8s588 | 8 , 2131 ?9?1s I s,27 4't 7sb6

10 I

10,3443 3e40I

11 | 11,42t9 219412 | 12.50?6 863613 | 13 ,6013 932514 | 14,7034 037015

I 15 ,8136 7923

I16 | 16 ,9322 81831? | 18 ,0692 ?3941s | 19,194? 18491e | 20,3386 ?88820

l 2 r , 4e12 r8e7zt | 22,6b24 osrz22 | n,822296L423 I 25,ooo9 633624 | 26,1884 705925 | 27,3848 8412

I26 | 28,5902 ',t O7 527 J 29 ,8046 97 7828 I 31,0282 33012s I s2,26os 447630 | 33 ,5029 0184

I31 I 34 ,7541 736132 | 36,0r48 299133 | 3? ,2849 411334 | 38 ,5645 ?81935

I 3e ,8538 125s

36 | 4 r , 152? 16123? | 42 ,4613 6149ss I 43 ,?798 217039 | 45 ,1081 703740 | 46,4464 8164

I47 1 47 ,7948 302642 I 49 ,1532 914843 | 50 ,5219 411744 | 51 ,9003 55?345 | 53 ,2901 1215

I46 I 54,689? 879947 | SO,OgSg Or¿O48 | oz , r zoz r r r r49 | 58 ,9521 164460 | 60 .3942 5732

1,0000 00002,0100 00003,0301 00004,0604 01005,1010 0601

6 ,1520 15067,2135 352t8,28d6 ?056I,3685 27 27

t0,4622 7254

11,5668 3467I 2,6825 030113,8093 2804L4,9474 2t3216,0968 9554

17,2578 644918,4304 431419,6147 4',15',120,8108 950422,0190 0399

23,2391 940324,47L5 859825 ,7163 018326,9734 648528,2431 9950

29 ,5256 315030,8208 878132,1290 966933,4503 876634,7848 9153

36,t327 404537,4940 678538,8690 085340,2576 986241 ,6602 ?660

43,0?68 783644,5076 471445,9527 236147,4t22 508648,8863 7336

50,3?52 370951,8789 894653,3977 793654 ,9317 571566,48LQ 7472

58 ,0458 854?59,6263 443261,2226 o't7762,8348 338564,4631 8218

1,0000 00002,0125 00003,0376 ó6254,0756 26965,t265 7229

6,1906 54447 ,2680 37 628,3588 88099,4633 7 420

r0,6816 663?

11 ,7139 372012,8603 6142L4,027t 169415,r .963 798816,3863 3463

r7 ,591 1 63821 8,81 10 533620,0461 915321,2967 689322,5629 7864

23,8450 L5772t,1,430 184726,4573 669527,?880 840329,1354 3508

30,4996 280231,8808 733733,2793 842934,6953 ?6ó936,1290 6880

37,5806 821639,0504 406940 ,5385 712042,0453 033443,5?08 6963

45,1 1 55 055046,6794 493248,2926 424349,8862 292r51,4895 5708

53 ,1331 ?65464,7973 4t25ó6,4823 080158,1883 368759,9156 9108

61 ,6646 372163 ,4354 451865,2283 842467 ,0437 431068,8817 8989

1,0000 00002,0160 00003,0452 26004,0909 03385,t622 6693

6,229ó 50937,3229 94198,4328 39119,ó593 3169

t0,1027 2167

11 ,8632 624913,0412 114314,2368 29601 5,4503 820é16,6821 3778

17,9323 698419,2013 ó53920,4895 75722r,7967 163623 ,1236 6710

24,4705 22t1,25,8375 79942?,2267 436428,6335 208030,0630 2361

31 ,5139 689632,9866 785034,48L4',l86735,998? 008537 ,5386 813?

39 ,1017 615940,6882 880142,2986 L23343 ,9330 915245,6920 8?89

4't ,27 59 692148,9861 08?450,7198 853852,4806 836654,26?8 9391

56 ,0819 123257,9231 410059,7919 881261,6888 679463,6142 0096

65,5684 13986? ,5519 401869,5652 192971 ,6086 9758?3,6828 2804

1,0000 00002,0175 00003,0528 062á4,1062 30366,1780 8939

6,268? 05967,3784 08318,5075 304ó9,6664 L224

10,8263 9946

l2,ol48 439473,225t 057714,4565 430315,7095 326316,9844 4935

18,2816 77ZL19,6016 065620,9446 346822 ,3111 657823 ,7016 r119

25,1 163 893826,5669 262028,0206 549029,ór 10 163731 ,0274 5915

32,5?04 396934,1404 223835,7318 797737 ,3632 926739 ,0171 5029

40,6999 504242,4L2t 995544,t544 t30546,927r 152747,7308 3979

49,5661 294951,4335 367553,3336 236555,2669 620657,2341 3390

59,2357 3L246t,2723 665463,3446 227865,4531 536767,ó985 8386

69,7816 590872,0027 56377 4,2627 842576,5623 829878p022 2468

1,0000 00002,0200 00003,0604 00004,1216 08005,2040 4016

6,3081 2096?,4342 83388,5829 69059,7546 2843

10,9497 2100

r2,t687 t54213,4120 89?314,6803 315215 ,9739 3816r7,2934 1692

18,6392 852520,0120 70962r,4L23 r2g822,8406 586324,2973 6980

25 ,?833 171927,2989 836428,8449 632L30,4218 624732,0302 9972

33,6709 057235,3443 238337 ,0512 103138,7922 346L40,6680 7921

42,3794 407944,2270 296146 ,1115 702048,0338 016048,9944 7 7 63

51,9943 6719t4,0342 646356,1 149 396258,237.2 384r60,4019 8318

62,6tO0 228464,8622 233067,1594 677769,5026 57127r,892? 1027

7 4,5306 644776,817t 7676?9,3535 192?81,9405 896684 ,5?94 0145

2 72223242 5

2627282930

23

5

678I

1 0

1 17 21 3

1 0

I D

t'l1 81920

3 13 2

343 5

ó o

3 73 83 940

4 l4 243444 5

46

4 84 95 0

@ MATEMATTcASFTNANcTERAS

TABLA V Valores del factor I4F de una anualidad ordinariaNotación estándar: (FIA, i%, n)

Notac ión a lgebra ica : ( l ' i ! ' - |

n r%lco L i% t l v " L i% 21o n

O T

52535455

56o t

D ó

5960

616 26364b o

7 l7 2t ó

74. D

66o a68697 0

76't7

a ó

7980

868 ?8 8899 0

8 l8 28384ó D

9 1s 29394Y D

969 ?9 89 9

1 0 0

6r,8472 142463,3110 683564,7859 013666,2717 956267,7688 3409

69,2771 003670,7966 786072,3276 536973,8?01 110976,424L 3695

76,9898 179ó78,6672 415980,1ó64 969081 ,?6?6 696283,3708 5214

84,9961 33ó386,6336 045388,2833 ó65789,9454 817491,6200 7285

93,3072 234095,0070 2?ó896,7196 802898,4449 7714

100,1833 r446

10r,9346 8932103,6991 9949r06,4769 4349r0?,2680 2056r09,0725 3072

110,8905 ?470712,7222 5401114 ,56?6 ?091116,4269 2845118,3001 3041

I 20,1873 81 391 22,0887 8675124,OO44 62651 25,9344 860412? ,8789 9469

129 ,8380 8715131 ,8118 7280133 ,8004 6 r8ór35 ,8039 6531137 ,8224 9505

139 ,8561 63771 41 ,9050 8499143 ,9693 ?313146,0491 4343148 ,1445 1201

66,1078 140167,7688 921669,4466 810771,1410 468872,8624 6736

74,5809 819276,3267 9L7478,0900 596679,8709 602581,6696 6986

83,4863 665685,32t2 302287 ,I7 44 426289,0461 869590,9366 4882

92,8460 153194,7744 764696,7222 202198,6894 4242

100,6763 3684

r02,6831 0021104,7099 3121106,7670 3062108,8246 00831 10,91 28 4684

113 ,0219 ? t30116 ,1521 9506117 ,3037 1?0 r119 ,476? 5418L2L,67L5 2772

123,8882 3694126 ,1271 1931r28,3883 9050130,67 22 7 440132 ,9789 9715

135,308? 8?12137,6618 7499140,0384 9374142,4388 7868t44,8632 67 46

r47 ,31 19 0014149 ,7850 1914152,2828 6933154,8056 98031 57,353? 5501

r59,9272 9256162 ,5265 65481 6 6 , 1 5 1 8 3 1 1 4167,8033 4945170 ,4813 8294

70,7 428 122672,627O 97 4r74,6349 361376,4666 228378,4224 6662

80,402? 363182,4077 706284,4378 876t86,4933 409948,67 46 0776

90,6816 891092,8162102294,97ó4 003497,1625 928699,3777 2526

101,6193 3933103,8895 8107106,1882 0083108,ó165 5334110 ,8719 97?6

1r3,2578 9773115,6736 2145118 ,1196 4172120,5960 3599123,1034 8644

126,6422 8002r28,2r28 0862130,8154 6863133,4506 6r99136 ,1187 9526

138,8202 8020141 ,5556 3370144,3249 778714?,1290 40r0149,9681 53r0

152,8427 6501155,7532 8945I 58,7002 0557r61,6839 ó814164,7050 0762

167,7638 2021170,8608 6796173,9966 2881177 ,17 r5 8667180 ,3862 3151

183,6410 5940186,9365 ?264190,2?32 7980193,5ó16 9580197,0?23 4200

7ó,7880 704677,9248 9L6280,0937 648982¿961 ?13684,6295 9893

86,7976 429289,0996 060691,4359 986593,8076 386396 ,2146 5171

98,6678 7149101,13?7 3966103,6ó48 056ót06,2096 2774to8,8027 12L6

11 r ,4348 1374I 14,1063 3694116,81?9 3098r r9,5701 9995122,3637 5295

L25,1992 0924L28,077L 9738130,9983 5634133,9633 306?136,9727 8063

L40,0273 7234r43,t277 8292146,27 46 9967149,4688 2016t52,7rO8 5247

156,001ó 1525159 ,341ó 3798162 ,?316 6106166 ,1726 3597169,6652 2i51

173,2102 0389176,8083 569ór80,4604 8230184,1673 8954187,9299 0038

19r,7488 4889195 ,6250 8162199,5594 5784203 ,5528 4971207,6061 4246

27r,7202 34592l ó,8960 3811220,t 344 7868224,4364 9586228,8030 4330

81,2830 136183,7064 663586,1703 120188,6782 924791,2301 6269

93,8266 904396,4686 57ó299,1568 5902

101,8921 040ó104,6752 1588

r07 ,50?0 32 r5110,3884 0ó22113,3202 023r116,3033 0586119,3386 1370

r22,4270 3944126,ó695 r263128,?669 7910r32,O204 012413ó,3307 5826

138,6990 4653142,t262 7984146,6134 8974149,1617 2581152,7720 660L

156,4465 6699160,1833 6441r63,9865 ?32916?,8563 3832r7 r ,7938 2424

1?5,8002 1617r?9,8?67 1995184,024ó 6255188,2449 9239192,6392 79'.t6

196 ,9087 1716201,3ó46 1971205,8783 2t55210 ,4811 9625215 ,1646 1718

219,9299 9798224,7787 1295229,7L24 0148234,?323 6860239,840r 8495

245 ,0373 8819250,3256 4248256,7062 ?94726 r ,1810 9866266,76t7 6189

87,2?09 894890,0164 092792,8167 374696,6730 722198,686ó 3365

101,6582 6432104,5894 2961107 ,6812 1820110,8348 42ó7I 14,051 6 3942

tt?,3326 7021120,6792 2L6t124,0928 0604t27,5746 62L6131 ,1261 óó41

r34,7486 7862138,4436 6209t42,2t26 2613146,0ó67 7á63149 ,9?79 1114

153,9774 69371ó8,05?0 1875162 ,2 r8 r 6913766,4626 2231r70,79t7 7276

t76,2076 082r179 ,7117 6038184,3059 9558188,9921 1ó49193 ,?? r9 5?80

198,64?3 9696203,6203 4490208,692? ó180213,8666 0683219 ,1439 389?

224,5268 r775230,0173 641 1235 ,6177 01 19241 ,3300 552 r247,1566 5632

253,099? 8944259,1677 8523265,3460 209427 r ,6519 213ó278 ,0849 5978

284,6466 5898291 ,3395 92162e8,1663 8400305 ,1 297 116831 2 ,2323 0691

52ó354c c

56D T

685960

8 18283848 5

oo8 7888990

61626364oo

66676869?Q

7 L7 2

76

787980

9192o e

949 5

96979899

100

TABLAS

TABLA V Valores del factor I4F de una anualidad ordinariaNotación estánda¡: (F/A, i%, n)

Notación al¡;ebraica: (1+i)" - 1

ztn s% s iv" 4% 4+% 51o

6?89

1 0

1 11 21 3

1 5

1 61 7l81 920

2 l22232425

2627282930

ó ot a

383940

r,0000 00002,02ó0 00003,07ó6 25004,152ó 15636,2663 2862

6,3877 36737 ,547 4 30158,?361 16909,9545 1880

lt,2033 8t77

12,4834 663173,7956 529715 ,1404 417916,5189 528417,9319 2666

19,s802 248320,8647 304522,3863 487123,9460 07 4325,5446 676r

27 ,1832 7 40628,8628 569030,5844 273032,3490 379834,157? 6393

46,01 1 7 080337,9120 007339,8598 007541,8562 957743,9027 0316

46,0002 7 07 448,1502 77 5l50,3540 344552,6r28 853154,9282 07 44

57 ,3014 126359,7339 479462,2272 966464,7829 790667,4025 5364

70,08?6 773772,8398 0781?5,6608 030078,5523 23088 1 , 5 1 6 1 3 1 1 6

84,5540 344387,6678 853090,859ó 824394 ,13 r0 719997,4843 4879

1,0000 00002,0300 00003,0909 00004,1836 27006,3091 3681

6,4684 09887,6624 62t88,8923 360ó

10,1691 0613r1,4638 7931

12,8077 9ó6974,1920 2966r6,6177 904517,0863 241618,6989 1389

20,1568 81302t,76L5 877423,4L44 36372ó,r168 684426,8703 7 449

28,6764 857230,6367 803032,4528 837034,4264 702236,4592 6432

38,5ó30 422640,7096 335242,9309 225245,2188 502047,67t4 t57l

50,0026 781852,5027 686255,O778 412857,730t ' t65260,4620 8181

63,2769 442766,t7 42 226969,L694 492772,2342 327575,40L2 6975

?8,6632 9?ó382,0231 964ó86,4838 923489,0484 091192,7r98 6139

96,5014 6723100,3965 009ó104,4083 9598108,6406 ¡1786712,7968 6729

1,0000 00002,0350 00003,1062 26004,2t49 42885,3624 6ó88

6,6601 62187,7794 076r9,0516 867?

10,3684 968r11 ,7313 9316

13 ,1419 919214,6019 616416,1130 3030r7,6769 863619,2956 8088

20,9710 297122,7060 t67624,4996 913026,3ó71 80ó028,2?96 8r81

30,2694 706832,3289 021t34,4604 137336,6665 282138,9498 5669

41,3131 016843,7590 602446,2906 273448,9107 99305L,6226 7728

64,4294 709867,3346 024760,3412 100563,4531 524066,67 40 t27 4

70,0076 031873,45?8 693077,0288 947280,7249 060484,6ú02 7776

88,6096 3?4792,6073 712896,8486 2928

r01,2383 3130106,7816 7290

1r0,4840 3146116,3609 7266120,3882 ó669125,6018 45ó7130,9979 1016

1,0000 00002,0400 00003,1216 00004,2464 64006,4163 2266

6,6329 76467,8982 94489,2L42 2626

10,6827 953112,0061 07r2

13,4863 61411ó,0268 0ó46r6,6268 376818 ,2919 111920,0236 8764

2r,8246 3tr423,6976 123926,6454 t28827,6712 294025,7780 7858

3t,9692 0L7234,2479 697936,6178 885839,0826 041241,6459 0829

44,31t7 446247,0842 t44049,9676 829852,9662 863056,0849 3?75

59,3283 362662,70L4 686766,2095 274269,85?9 086173,6522 2486

??,6983 r3868r,7022 464086,9703 362690,4091 497196,0256 1670

99,8266 3633r04,8195 97781r0,0r23 8r69r151128 ?696rzL,0293 9204

L26,8706 6772r32,9463 9043139,2632 0604146,8337 3429152,6670 8366

1,0000 00002,0460 00003,1370 2ó004,2781 9tt36,4707 0973

6,7168 91668,0191 51799,3800 1362

10,8021 142312,2882 0937

13,8411 787916,4640 318417,1699 r32718,9321 093720,7840 6429

22,7t93 567324,7417 068926,8650 83?029,063ó 62463t,?714 2277

33,7831 368036,3033 779638,9370 299641,6891 963144,5652 1015

47,5706 446050,71r3 236153,9933 331 75?,4230 331661,0070 6966

64,7623 877968,6662 452472,7562 262877,0302 664681,4966 1800

86,1639 668r9t,04rg 442796,1382 04?6

101,4644 2398107,0303 2306

112,8466 8760118,9247 8854126,2764 0402131,9138 4220138,8499 6610

146,0982 r368153,6?26 331416r,6879 0163169,8693 6720178,6030 2828

1,0000 00002,0500 00003,1626 00004,3101 25005,52ó6 3125

6,8019 12818,1420 08459,6491 0888

11,0266 6432t2,5778 9254

14,2067 871615,9171 26ó2L7,7129 828619,5986 319921,á?86 6369

23,667 4 917 725,8403 663628,t325 846730,5390 039133,0659 5410

36 ,7192 518138,5052 144047,4304 75L244,5019 988?47,7270 9882

51 ,1134 ó37654,6691 264568,4025 827762,322? 1.L9166,4388 4750

70,760? 898876,2988 293780,0637 708485,0669 693890,3203 0735

96,8363 2272101,628r 3886107,7096 4580114,0960 2309t20,7997 7 424

t27,8397 6296136 ,2317 6110r42,9933 3866161,1430 0569r69,7001 6ó87

r68,6861 6366178,1194 2186188,0263 9294198,4266 6269209,?479 9672

l 6l t

18l 920

Z T

22t a

2425

262 ?282930

J I

3 233343 5

36

383940

42434446

464 7484960

l l [ MArEr/ÁrcAS FTNANcTERAS

TABLA V Valores del factor I4F de una anualidad ordinariaNotación estándar: (FlA, i ' / , , , n)

Nt¡taciírn algebraica: (7+i)" -1

n - t -o r-/o 6 7 o 6 ; % |Vo t lVo 8Vo n

1I

e

67I9

1 0

1 17 2I ó

1 6L 7l ó

1 920

2722232426

26

28t a

30

3 13 233343 5

3637óó3940

4 l424344

4647484960

I,0000 00002,0á50 00003,1680 25004,3422 66345,5810 9103

6,8880 510A8,2668 93849 ,?215 ?300

11 ,2662 595112,8763 6379

14,5834 982516,3856 906518,2867 981420,2926 720322,4086 63ó0

24,6411 399926,9964 026929,4812 048332,1026 7rr034,8683 1801

3?,7860 ?65040,8643 096644,1118 46694?,ó379 982551 ,1525 8816

54,96ó9 806r58,9891 094363,2335 10466?,?1 13 535372,4364 7791

77 ,4t94 292682,6774 978788,2247 602594,077r 2207

100,25r3 6378

106,7651 8879113,637274t7t20,9873 242612E,5361 2708136,6056 1407

145 ,1189 2285154,1004 6360163,5759 8910173,5?26 6850184,1191 652?

19ó,245? 1936206,9842 3392219,3683 66?9232,4336 2696246,2174 7646

1,0000 00002,0600 00003,1836 00004,3?46 16005,6370 9296

6,9763 18548,3938 3?659,8974 6?91

11 ,4913 169813 ,1807 9494

14,97t6 4264r6,8699 412018,8821 376?21,01 50 659323,27ó9 6988

25,6725 280828,2128',t97630,9066 526533,7599 917036 ,7855 9120

39,9927 266843,3922 902846,9958 2?6950,8156 773564,8645 1200

59,1563 827263,7057 656868 ,6281 1162?3,6397 9832?9,0581 8622

84,8016 7?3990,889? 780397,3.131 64?1

104,1837 6460Lrt,4g47 7987

119,1208 6666127,2681 r866135,9042 0578145,0á84 5813154 ,7619 6562

165,0476 8356t75,9505 4467L87,6Q75 7724199,7580 31882t2,7 435 1379

226,t08L 2462241,0986 1210256,6646 2882272,9584 0066290,3359 0458

1,0000 00002,0650 00003 , r992 25004,40't t 7 4635,6936 4098

7,0637 27648,5228 6994

10,0?68 564811 ,7318 521513,4944 2254

15 ,3715 6001t7,3707 LI4rr9,4998 07652t,7672 951524,1821 6933

26,7540 LO3429,4930 210132,4100 6?3835 ,5167 217638,82ó3 0867

42,3489 ó3?346,1016 357350,0982 420554,3546 277868,8876 7859

63,7153 776968,8568 77257 4,3326 7 42780,1641 915986,3748 6405

92,9892 302\100,0335 301?10?,5367 0963115,6255 30?6124,0346 9026

133,0969 45r3r42,7482 4666153,0268 8259163,9?36 2996175,6319 1590

188,0479 9044201 ,27 r1 0981215 ,3637 319ó230,36L7 2463246,5245 8662

263,3366 8475281,4526 0426300,7469 1704321,2954 6665343,1796 7198

1,0000 00002,0?00 00003,2149 00004,4399 4300b,7507 390r

7 ,t532 907 48,6540 2109

10,2598 025?1 1,9?79 887513,8164 4796

1 5 ,783á 993211 ,8a84 512720,1406 428622,5604 878626,1290 220r

2?,8880 535530,8402 1?3033,9990 326137,3?89 647940,9954 9232

44,86ó1 ?67849,0067 391663,4361 409058,1766 707663,2490 3772

68,6764 703674,4858 232880,69?6 909187,3465 292794,4607 8632

102,0730 4137110,2181 5426118,9334 2ó06128,2687 6481138,2368 7835

148,9134 5984160,3974 0202r72,66L0 2077185,6402 9168199,6351 1199

214,609ó 6983250,6522 3972247 ,7',164 9650266,1208 ór26286,?493 1084

306,7617 6260329,2243 8698353,2?00 93003?88989 9961406,6289 2947

1,0000 00002,0750 00003,2306 25004,4'129 27885,8083 9102

't,2440 20348,7 87 S 2187

10,4463 710112,2298 48a314,14?0 8?50

16,2081 190619,423',t 279920,8055 075923,3659 206626 ,1183 6470

29,Q7',72 420632,2580 362135,6?73 878539,353 1 919443,3046 81 34

47,6626 324462,tL89 723757,0278 9ó3062,5049 874467,97?8 6150

7 4,0762 0Ll280,6319 162087,6793 09919ó,2652 58r6

103,8994 0252

tL2,L54e 5771121,5659 3454131,6833 7963142,5596 331.0154,2516 0óó8

166,8204 ?600180,3320 1170194,8569 12582t0,471t alo2227,2566 1960

24ó,3007 685?264,6983 1546285,6506 891230?,9669 9080332 ,0646 1511

35?,9693 5376386,8170 5ó284t5,7593 3442447,9348 346L482,5299 4709

1,0000 00002,0800 00003,2464 00004,5061 12005,8666 0096

7,3359 29048,9228 0336

10,6366 2?63L2,4875 578414,4865 6247

16,6454 8?4618,9771 264621,4952 965824,2t49 203027,1527 1393

30,3242 830433,7502 256937 ,4502 437 441,4462 632445,7619 6430

60,4229 2t4455,456? 651660,8932 955?66,7647 5922?3,1059 3995

?9,9544 151587,3607 683696,3388 2983

103,96ó9 3622113 ,2832 1111

r23,3468 6800134,2L35 3744146,9ó06 2044158,6266 ?00?172,3r68 0368

187,LO2t 479'l203,0703 r981220,31ó9 4640238,9412 2tO3259 ,056ó 1871

280,7810 4021304,2495 2942329,ó830 0630356,9496 4572386,6056 1738

4L8,4260 6677462,9001 52r l490,L32L 6428530,3427 3742573,770L 5642

6,7

89

1 0

12

l 1t 21 31 4l c

1 67 71 81 92 0

26

282930

ó I

3334

2 l2223

2 5

3631383940

464 74 849OU

4 I42434445

f..-

TABLAS M

TABLA VI Valores del factor l? de una anualidad ordinaria\ r r t . t c i r r n e . t á n t l ¿ r : ( l ) , ' r \ , t 1 , r t )

\ , ' t ¡ . r ' r r . , l i r L ' ¡ . r l . . l : I ] -

n *q" + +q" +vo ftzo lc" n

1 J 0 ,99?5 06232 | t , g92b 24923 | 2,9850 6227a I t,st sr z+rc5

| 4,e627 1766

e I s , g¿za ¿go¿7 | 6,s305 217 4I | 7,9707 44879 I 8.8885 2357

10 I e , 8638 6391

I11 | 10 ,8367 ? r9812 I 11 ,8072 538413 i 12 ,??53 1555t4 | r e , z¿og o ¡ r¿16 | U,ZO¿Z OZA+

I16 I 15 ,6650 400417 | 16 ,6234 813318 | 17 .5?95 325019 | rA .See r gsso20 | r g .¿a¿¿ aazg

o,9s66 77',|41 ,9900 44262 ,9801 10563,9668 87604 ,9503 8631

5,9306 17596,9015 92287,88t3 21278 ,8518 15169,8190 8487

10 ,7831 410?7L,7 439 944272,7076 555713 ,6561 351274,60',14 4364

15 ,5555 916716,5005 8970r7,4424 482r18 ,3811 776219 ,3167 8832

20,2492 906921,1786 950422,1050 tr6723,0282 508323,9484 2276

24,865á 376325,7796 056t26,6906 36822?,5986 413528,5036 2925

29,4056 105530,3045 952331,2005 932532,0936 145432,9836 6898

33,8707 664234 ,7549 16?035 ,6361 296036 ,5144 148837 ,3897 8228

38,2622 414739 ,1318 021339,9984 738840,8622 663341,7231 8903

42,5812 5rl343,4364 633244,2888 338745,1383 726345,9850 8900

0,9958 50621 ,987 5 69082,97 51 ',l 2533,9586 78044,9381 0261

5 ,9134 63186,8847 ?6617,8620 59708 ,8153 29169 ,7746 0165

10 ,7298 937611,68t2 220072,6286 0283t3,67 20 526714 ,5115 8?66

t5,4472 242216,3?89 784817 ,3068 665418,2309 044319 ,1 511 0815

20,0674 935920,9800 766127,8888 7 29722,7938 983923,6951 6853

24,5926 989ó25,486ó 051 ?26,3?66 02662?,2630 068028 ,14ó? 329 r

29,0247 962629,9002 120530 ,7719 954031 ,6401 613932,5047 2504

33,365? 01 2834 ,2231 050135 ,0769 510535 ,927 2 541636,77 40 2904

37 ,6172 903338 ,4570 526139,2933 304040 ,1 261 381640,9554 9028

4 1 , 7 8 1 4 0 1 1 142,6038 849243,4229 569444,2386 283245 ,0509 1617

0,9950 24881 , 9 8 5 0 9 9 3 82,9702 48743,9504 95664,92ó8 6633

5,8963 84416,8620 7404'7,8229 59248,1790 63929,?304 1 186

10,6770 26731 1 , 6 1 8 9 3 2 0 71 2 , 5 5 6 1 5 1 3 113,4887 07',l '¡1 4 , 4 1 6 6 2 4 6 5

1 5 , 3 3 9 9 2 5 0 21 6 , 2 5 8 6 3 1 8 617,772',1 68021 8 , 0 8 2 3 5 6 2 41 8 , 9 8 7 4 1 9 1 5

19,8879 792520,7840 58962 1 , 6 7 5 6 8 0 5 522,5628 662223,4456 3803

24,3240 179425,1980 2?8026,06?6 893626,9330 34232?,?940 5397

28,6á0? 999729,5032 83á53 0 , 3 5 1 5 2 5 9 23 1 , 1 9 ó 5 4 8 1 832,0353 7132

32,87lQ 762433,7025 03723 4 , 5 2 9 8 6 4 4 53 5 ,3 530 890036,7722 2186

3 6 , 9 8 7 2 9 1 4 ra ? ? q q 9 q o q l

38 ,6052 735439,4082 323840,20't | 9640

41 ,0021 85474t,7932 193742 ,5803 177843,3636 002844,1427 8636

0,9942 00501 ,9826 35132,9653 3'1323,9423 40344 ,9136 7000

5,8?93 80836,8394 83847 ,7940 t87 48,?430 1 7809 ,6865 1314

10 ,6245 36671 1 , 5 5 7 1 2 0 1 472,4842 950913,4060 928874,3225 4470

15 ,2336 8 i 5616 ,1 395 34271? ,0401 3350I 7 ,9355 096918 ,8256 931 5

19 ,?107 139820,5906 02 1 321 ,4653 873822 ,3350 993023,7597 6732

24,0594 207024,9r40 886225 ,?63? 996826,6045 82952?,4484 6649

28,2434 799329,1 136 503029,9390 061030 ,7595 ?52431 ,5753 8549

32,3864 644133 ,1928 395533,9945 380834 ,7915 87163ó ,5840 13?4

36 ,3718 446537 ,1 551 06533?,9338 258838,7080 290439,4777 4227

40,2429 9L4341 ,0038 025841 ,?602 014142,6t22 134943,2598 6428

0,9933 7?481,9801 76312,9604 40043 ,9342 11964 .9015 3506

3,8624 52066 ,81?0 05357 ,7652 37t08 ,70?1 89179 ,6429 0315

70,5724 20351 1 , 4 9 5 7 8 1 8 072,4730 282813,3242 002814,2293 3802

1ó ,1284 814816 ,0216 703516,9089 4405t7,'t903 477718,6659 0242

19,5356 646620,3996 668821,2579 472322 , r 105 436122,9574 9365

23,7988 347 524,6346 040625 ,4648 384?26,2895 ?4642?,1088 4894

2't,9226 976628 ,7311 566229,5342 6L5430,3320 4?8931 ,1245 ó088

31 ,91 18 055132,6938 465333,470? 084834,2424 26643ó,0090 3209

35 ,7?05 616836,5270 480337,2786 246338,0260 243738,7665 8050

39,5032 266640,2349 923840,9619 129641,6840 194942.4013 4387

2t t\ 20,4334 047722 | 21,3't99 5488zg I zz,ezs q¿ez24 | zs.zasg zgst25 I

24,2054 65s1I

26 i 25.1426 09392't I za,otz¿tsssza I zz,oosa strzzs \ zr,sloo aroz30 I 28 ,86?8 7134

I3 l | 29 ,?933 878?32 | 30 ,?165 963833 | 31 .63?5 0262aa I az,soer rzal35 | 33,4724 3126

I36 34 ,3864 651037 I 35 ,2982 195538 I 36,20?? ooso3 9 | 3 7 , 1 1 4 9 1 3 0 2ao I sa,orss esse

41 | 38 ,9225 569742 I 39,8229 594743 I 40 ,7211 964844 I 41 ,6171 535945 I 42 ,5108 7640

I46 | 8,402a7047n I u,,zsta nn48 | 45 ,1786 946349 I 46,06s5 358050 | 46,9461 7037

123

5

6789

1 0

1 17 21 31 4I D

1 6t'71 81 920

2 l22

242 5

262 7282930

3 132333 43 5

ó b

38a o

40

4 142434446

46

484950


TABLA VI Valores del factor l4P de una anualidad ordinaria

Notación estándar: (P/A, i%, n)

N o t a c i o n a l c e b r a i c a : l - r l + ¡ r '

!c" !n ! q ^t 2 ' " 3 ' "*2"

O T

525354cc

56575 85960

b l

626364b c

666',t686 97 0

47,8266 036648,? 048.41 ?649,5808 895350,4547 626551,3264 3656

52,1959 466953,0632 884753,9284 673054,7914 8858ó5,6523 5769

56 ,51 t 0 799957,3676 608358,222t 055759,07 44 195259,9246 0800

60,7'126 763761,61 86 29?462,4624 735563 ,3042 130264,1438 5339

64,9813 998965 ,8168 577466 ,6502 32166? , . {815 283468 ,310? 5146

69 ,1379 06?069,9629 992070 ,7860 341171 ,60?0 165772,4259 5769

73,2428 4458?4 ,0577 00337 4 ,87 05 240275,6813 207276,4900 9648

?7 ,2968 5335?8 ,1015 993578,9043 385079 ,7050 ?58180,5038 162?

81 ,3005 648682 ,0953 265482 ,8881 062883,6789 090084,46?7 3966

85 ,2546 031586,0395 043986,8224 482787,6034 396788,3824 8346

46,8289 9236{?,6700 920548,5083 973949,3439 176750 ,1766 6213

51,0066 399951,8338 604652,6583 326853,4800 658054,2990 6890

55 ,1153 510655,9289 213356,?397 88?057 ,5479 621658,3534 5066

59 ,1562 631 r59,9564 084260,?538 954361 ,548? 329962,3409 2989

63,1304 949063,91 ?4 367864,70r7 642465,4834 859566,2626 1058

67,0391 46?667 ,8131 030868,5844 881 269,3533 1042?0 ,1195 ?849

70,8833 00827 L,6444 8587't2,4Q37 420673,1t92778073 ,9129 0146

't 4,664Q 2t397t,4t26 4t9L?6 ,158? 833076,9024 418277,6436 2972

78 ,3823 552179 ,1186 264579 ,8524 516180 ,5838 388281 ,3127 9616

82 ,0393 31?282 ,7634 535583,4851 696584,2044 880284 .9214 1663

45,8598 33ó346,6653 943947 ,467 6 L26748,2665 022449,0620 7692

49,8543 504650,6433 365651,4290 488552,21 15 009352,9907 0632

ó3,7666 ?85054,5394 308755,3089 ?68056,0?53 295956,8385 0250

57,5985 087 158,3553 613759,1090 ?35759,8596 583260,60?1 2862

61 ,3514 9?3862,0927 77 4862 ,8309 817263,5661 228764,2982 1365

65,O27 2 667 065,7 532 946466,4763 100267,1963 253367,9133 5303

68,6274 05ó069,3384 951 1?0,0466 341310,7 678 3482? 1,4541 0936

7 2,1 534 6991't2,8499 285473,á434 9?3074,294L 88rg7 4,9220 L313

?5,6069 840376,2891 127276 ,9684 1101?7,6448 9063?8,3186 6329

78,9894 406279,6t76 342280,3228 556680,98ó4 1642aL,6452 2797

44,9181 9á3745,6897 466446,467 4 593447,22L3 625847 ,9814 4ó36

48,7377 566749,4903 050550,2391 0950ó0,9841 88555L,7255 6075

52,4632 445353,1972 582463,9276 201,454,6643 48395ó ,3774 6109

56,0969 762156,81 29 1 16557 ,6262 852258,2341 146558,9394 1?56

59 ,6412 115160_,3395 139461,0343 422267,7257 L36662,4t36 4643

63,0981 546663,7?92 583664,4569 735065 ,1313 16916ó,8023 0538

66,4699 656167 ,1342 A4t967,7953 0?6ó68,4650 424469 ,10?5 0491

69,?58? 113570,4066 779671 ,0 514 2086?1,6929 560872 ,3312 9958

'12,9664 67267 3,6984 7 487't 4,2273 38787 4,8530 7 2827 5,47 66 9434

76 ,0962 182576,7116 699577,3260 347877,9353 579978,5426 44',17

44,0031 790744,7421 83014ó,4?69 010846,20?3 581646,9335 7895

47 ,6555 880248,3734 098049,0870 68ó649,7966 884650,5019 9350

51 ,2033 075451,9005 543162,6937 '',t3963,2829 402463,9681 2617

54,6493 383655,326ó 998655,9999 335856,6693 62305?,3349 0867

57 ,9966 952068,6544 442769,3084 781 559,9587 189660,6051 8869

6r,2479 092261,8869 022962,522L 895263,1537 923963,7817 3229

64,4060 304465,0267 079865,6437 859066,2672 850766,8672 2625

6?,4?36 300768,076ó 170668,6759 075969,2718 2L9769,8642 8033

70,4533 0275?1 ,0389 091071,62L1 192372,1999 528472,7154 2950

?3 ,34?5 686973,9163 89?6?4 ,4819 1193?ó,0441 543675,603r 3606

43 ,1139 1??643,8217 726044,6249 ?96',t46,2234 6QO045,9173 3444

46,6066 23624't,29L3 479647,9715 9771,48,647 2 228949,3184 3334

49,9851 986850,6475 483651,3055 116151 ,9591 1?4952,6083 9486

53,2533',123853,8940 785254,5305 415855 ,162? 896555,7908 5064

66,4L47 523057,0345 22765?,6501 875668,26L7 757358,8693 1363

69,4728 287160,0?23 4ó8160,6678 931961,2594 965461,84? I 8200

62,4309 754963,0109 028163,5869 895464,1 592 61 1464,7277 4285

65,2924 597965,8634 368766,4106 988866,9642 7 04167 ,5141 7691

68,0604 396468,6030 857469 ,1421 381569,6?76 2068?0,2096 5696

70,7379 7049? 1,2628 84607t,7g4g 224572,3023 010772 ,8168 6132

6 16 25 354

56o l585960

6 16 2636 4b b

b b

6'768

7 0

7 17 2t t

74

7 l7 2

¡ o

78? o

80

8 1a28 3848 5

86a78 88990

9 19 2o t

9 49 5

Y O

9 79 89 9

r00

767 7787980

ó l

a28384óo

868',18889q o

9192939495

96979899

100

:\

TABLAS

TABLA VI Valores del factor IZp de una anualidad ordinariaNotación estándar: (p/A, i%, n\

Notación algebraica

12345

678q

1 0

1 1L21 3t 4t o

1 6t 71 81 920

272 2232425

2627282930

3 13 2óó34ó o

363 7383940

134445

464 ?4 849

167 71 81 920

2 l22232426

2627282930

3 132333435

36373 83940

46

484950

0,992á 5583r,9777 229r2,9666 56243,9261 10414,8894 3961

5,84óó 97636,7946 37857,7366 t3258,67t5 76429,5995 7968

LO,6206 7462rt,4349 126772,3423 460813,2430 224214,1369 949ó

15,0243 126r16,9050 249216,?791 8107r7,6468 298418,5080 1969

19 ,3627 98?020,2t12 145921,0533 t47321,8891 46r422,7t87 5547

23,5421 890ó24,3594 928626,L707 126r26,9758 933126,7760 802r

27,5683 178328,3ó56 504529,137t 220329,9L27 762130,6826 5629

31,4468 052532,2052 667632,9580 801633,70ó2 904834,4469 3844

3á,1930 654536,9137 126036,6389 207037,3587 302238 ,0731 8136

38,7823 r40139,4861 67?ó40,1847 818940,878t 95424r,6664 4707

0,9900 99011,9?03 95062,9409 85213,9019 6ó554,8534 3124

5,7954 76476,7281 94ó37 ,65t6 77758 ,5660 1?589 ,4?13 0453

10,3676 2825tt,2550 774712,1337 400713,0037 0304r3,8650 5252

r4,7178 7378t5,6622 572716,3982 685817,2260 08501E,0455 5297

18,8569 831319,6603 793420,4668 27t321,2433 872622,0231 6570

22,7952 036623,6596 07ó924,3164 431625,0657 853025,8077 0822

26,5422 853727,2695 894727,9896 925528,?026 658929,4085 8009

30,1075 050430,7995 099431,4846 633032,1630 329832,8346 8611

33,4996 892234,1581 081434,8100 080695,4564 535236.0945 0844

36,72',12 360837,3536 990937,9739 594938,5880 78?139,1961 1?53

0,9876 ó4321,9631 t 5382,9266 33713,8780 57984,8178 3ó04

5,?460 09926,662? 25857,5687 24298,4623 44989,3455 2591

10 ,2178 033?11 ,0793 1197r1,9301 846612,7706 527513,6006 4ó92

t4,4202 9227L5,2299 182916,0295 489316 ,8193 07691? ,5993 1613

18,3696 949519 ,1305 629119,8820 374420,6242 345r21 ,3572 6865

22,0872 529922,7962 992623,5025 777824,2000 176624,8889 0623

25,5692 90: .026,2412 7 41826,9049 621527,5604 664428,2078 ú822

28,8472 673729,4787 825930,1025 013330 ,7185 198331 ,3269 3316

3L,9278 352232,52L3 t87433 ,1074 753033,6863 953634,2681 6825

34,8228 822235,3806 244235,9314 809136,4755 367037 ,0728 7 67 5

o,9862 2t671,9ó68 83422,9722 00423,8643 84664,7826 4497

6,657t 87t76,5982 13967,48ó9 26088,3605 17329,2221 8466

10 ,0711 177910,9075 0521rt,73t5 3222r2,5433 815013,3432 3301

14 ,1312 640514,9076 493115,6725 608916,4261 683717 ,1686 38?9

17,9001 367318,6208 243719,3308 614520,0304 053?20 ,?196 1120

21 ,3986 317222 ,0676174622,7 267 t67t¿ o t J r o v / o c ó

24 ,0158 3801

24,6461 458226,267t 387 425,8789 544226,4817 284927 ,07 55 9458

27,6606 843124,2377 274028,8050 516329,3645 828829,9158 4520

30,4589 60?930,9940 50043t,52L2 375732,0406 222332,5523 3718

33,0ó64 898333 ,5ó31 919534,0425 636534,5246 833934,9996 8807

0.9828 0098r,9486 98762,8979 84033,8309 42544,74?8 6608

6,6489 9?626,6346 41397,4060 62978,2604 9432I,1012 229r

9,9274 918rr0,7396 49691 1,6376 409712,3220 068713,0928 8046

13,8504 967 714,5950 828215,5268 627216,0460 567316 ,7528 8130

l',l ,447 5 491918,1302 694878,5012 476419,4606 856520,108? 8196

20,7 457 3t6627,31t7 264427,9869 547 422 ,5916 017123,1858 4934

23,7698 765024,3438 589724,9079 695125,4623 7 7 8926,0072 5100

26,6427 528327,0690 445527,6862 845728,0946 2A6728,6942 2965

29,0862 378929,5678 013630,0420 662230,508t 722130,9662 6261

st,4l64 7 43131,8589 428132,2938 012932,72L7 806933,14r2 0946

0,9803 92161,9415 60942,8838 832?3,8077 28704,7134 6951

5,6014 30896 ,4719 91077,9254 81448,1622 36718,9825 8501

9,?868 4805lo,t753 412211 ,3483 73?5t2,1062 4877t2,8492 6350

13 ,57?? 093114,2918 718874,9920 ?t2515 ,6784 620116,3514 3334

r7 ,0112 0916r?,6680 4820t8,2922 041218,9139 2560t9,5234 5647

20,1210 357620,7068 978021,2812 723621,8443 846622,3964 5556

22,9377 OL5223,4683 348223,988ó 635524,4985 977224,9986 1933

25,4888 424825,9694 634126,4406 406026,9026 888327,3654 7924

27,7994 a94628,2347 935828,6615 623329,0799 630729,4901 5987

29,8923 136030,2865 819630 ,6731 195?31,0520 780131,4236 0589 J U

@ MArEMÁr'cASFTNANCtERAS

TABLA VI Valores del factor VP de una anualidad ordinaria

Notación estándar: (P/A, i%, n)

No t ¡ c i ón a l r : eb ra i ca : I - r l ' i l '

" 1

n */. L% r I% t i * 11% 2%

ó l62ó354D O

D b

5 t

586960

6 16 263646 5

666768697 0

767 778a o

EO

8 1a2838 48 5

86ó a8 88 990

9 19 29 39 49 5

7 27 37 4t c

9697989 9

100

42,2495 752542,9276 l8l243,6006 135144,2686 990244,9316 1r93

4ó,5896 892646,2428 677646,8911 838847,5346 738248,7739 7362

48,80?3 186349,4365 446560,0610 864050,6809 79065r,2962 67t3

51,9069 549752,ó131 066?63,1147 460753,?1 19 06?754,3046 2210

54,8929 26165ó,4768 488056,0564 256156,6316 879557,2026 6794

57,7693 974658,3319 081558,8902 314159,4443 984259,9944 4012

6Q,6409 872261 ,0822 701961 ,6201 193062,1ó39 645662,6838 3579

63,209? 62ó?63,7377 742764,2499 000264,7641 68?665 ,2746 0918

65 ,7812 498166,2841 189266,7832 445867 ,27 86 546'.167 ,7?03 ?685

68,2584 385668,7428 6?0569,2236 893869 ,7009 32397 Q , r7 46 227 2

39,7981 361740,3941 942540,9843 ó07241,ó686 640842,t47192L6

42,7159 922443,2877 210243,8486 346844,4046 887944,9ó50 3841

45,5000 380346,0396 416146,5739 025847,rO28 738641,6266 0777

48,1451 562148,6585 705049,1669 014949,6701 994950,1685 1436

50,6618 95395 r ,1ó03 9148ó1,6340 509752JL29 2t7l52,5870 5124

53,0564 863859,6212 736453,9814 590554,4370 881?54,8882 0611

55,3.q48 5?5365,77?0 866666,2149 372956,6484 52765?,0776 7600

57,5026 495167 ,9234 L53668 ,3400 152058,?624 903059,1608 8148

59 ,5652 29 r959,9655 734660 ,3619 539260,7 544 098261 ,1429 8002

6t,5277 029961 ,9086 168262,2857 592362 ,6591 675563 ,0288 7877

3?,6435 809938,0677 343138,5854 166039,0967 077639,6016 8667

40,1004 312840,ó930 18ó54L,0795 244941,ó600 241942,0346 9L79

42,ó033 005442,9662 227643,4234 29E843,87 49 924744,3209 8022

44 ,7614 619545,196ó 056345,6261 784046,0505 46á646,4696 7662

46,8836 30244',t ,2524 7 43147 ,6962 709948,09ó0 824048,4889 7027

48,8779 953349,2622 776r49,6416 964050,0164 902?50,3866 5?06

50,7622 538951 ,1133 371?51,4699 626451,8221 863252,1700 5958

52,5136 390952,8529 768853 ,1881 2ó3153,5191 361153,8460 6035

64,1689 485054,4878 503754 ,8028 151855 ,1138 915455,42L1 27 44

55,7246 7 03156,0242 669856,3202 636856,6126 061056,9013 3936

36,467 6 7 29836,928? 418536,3829 969036,830á 388237,2714 6681

37,7058 786338,1338 705838,66ó6 375138,9709 729239,3802 6889

39,7835 161440,1808 040840,5722 207740,9678 629841,3377 8618

41 ,7121 046142,0808 912542,4442 278342,802L 949043,r648 7183

43,5023 367843,8446 667744 ,1819 377144,6t42 243444,8416 0034

46,1641 382645,4819 096245,?949 848646,r034 333546,4073 2349

46,7067 226547,0016 9?2047,2923 726r4?,ó?86 330147,8607 22L8

48,1386 425448,4124 567r48,6822 223748,9480 023449,2098 6452

49,4678 369649,?220 068649,97 24 205550 ,2191 335550,4622 0064

50 ,7016 ?ó4150,9376 112461 ,1700 60345t,3990 7 42251,6247 0367

33,5640 142133,9597 191334,3584 463234,7503 167935,1354 4óó0

35 ,ó139 513636,8859 472736,2516 452336,6108 ó52636,963|9 8ó52

37,3tt0 422837,6521 300037,98?3 513538,3168 072338,6406 9678

38,9588 1?4839,2?15 650939,ó?89 397639,8810 159740,7'179 0267

40,4696 832140,7564 454241,0382 756041 ,3152 58574r,687 4 7771

41,8550 149542,1779 5O8L42,5763 644342,6303 336942,8799 3474

43,!252 429843,3663 32r743,6032 748643,8361 423744,0650 0479

44,2899 309944,ó109 886944,7282 444r44,9417 636545 ,1516 1037

45,3ó78 480345,ó605 386045,?597 431046,9556 214746 ,1479 3265

46,3370 346646,ó228 840846 ,705ó 371846,8850 488247 ,06L4 7304

31,?878 489232,1449 499232,49ó0 489432,8382 892733,r747 8762

33,ó046 936ó33,8281 310334,r412 265034,4661 044134,7608 8668

35,0596 928235,3526 400236,6398 43r63ó,9214 148636,1974 6565

36,4681 034836,7334 347836,9936 63513?,248ó 9r683?,4986 1929

37,7437 444137,9840 631438,2196 697538,4506 566238 ,67?1 1433

38,8991 317039,1167 957839,3301 919439,5394 038639,7445 1359

39,94ó6 015640,L427 466340,3360 261140 ,525ó 15?940,?112 8999

40,8934 215641 ,0719 81924L,2470 4LrO4t,4L86 67744r,5869 2916

41 ,7ó18 913341,9136 189542,072t 154542,2276 229942,3800 2264

42,5294 338642 ,6759 r55542,8195 250542,9603 186743,0983 ór64

1 t

7374

76

7 87980

8 l82838485

8687888990

919293949 5

96979899

100

5 1

5364c c

66

58DU60

61626364b b

666 76 8697 0

TABLAS

TABLA VI Valores del factor IZp de una anualidad ordinariaNotaciónestánda¡: (plA, i%, n)Notación algebraica: 1-(1.+i) "

It

3

b

78q

1 0

1 17 2t ó

1 A

I O

1 67',¡1 8r 920

2 t22

25

2 7282S30

3 13 2

343 5

J b

3 73E3940

464',?4 84 95 0

43444 6

0,9766 0976t,9274 24t52,8560 23ó63,76t9 74214,6458 2850

5,6081 25366,3493 90607,t701 37t77,9708 65538,7520 6393

9,6142 087r1o,2577 646010,9831 849711 ,6909 l 21712,38t3 7773

r3,0550 0266t3,772t 9772r4,3533 6363r4,9788 913415,5891 6229

16,1845 485716 ,7654 132417 ,3321 104817,8849 858318,4243 7 642

18,9506 r I 1419,4640 1087r9,9648 886620,4535 499120,9302 9259

21 ,3954 074127,8491 779622,2918 809122,7237 862823 ,1451 5734

23, '0562 5LO723,9573 t8L224,3486 030424,7303 444325,t027 7606

25,4661 220025,8206 068326 ,1664 456926,5038 494526,8330 2386

27 ,1541 696227 ,467 4 825t27 ,7731 637128,O773 694728 .3623 1168

3Vo

0,9708 73791,9134 69702,8286 11353,7170 98404,5797 07L9

6,417L 9t446,2302 82967,0196 92197,7861 08928,5302 0284

9,2626 24rr9,9540 0399

10,6349 66331 1,2960 73 14r l ,9379 3ó09

12,5611 020313 ,1661 1847r.3,7535 r30814 ,3237 9911t4,8774 7486

t5,4160 241416,9369 166416,4436 083976,9355 421277,4131 4769

t't,8768 424278,3270 374718,7641 082319,1 884 545919 ,6004 4135

20,0004 284920,3887 655320,765'1 917821 ,1318 36682t ,487 2 2007

2t,8322 525022,7672 354422,4924 615S22,8082 t5t323,7147 7t97

23,4123 999723 ,?013 592023 ,9819 021324,2542' t39224,5187 1234

24,7754 490725,0241 078326,2667 066425,5016 569325,7297 640r

0,9661 83671,8996 94282,8016 36983,6730 792r4,6150 5238

5,3285 53026,114ó 43986,8739 56547,6076 86518,3166 0532

9,0015 5r049,6633 3433

10,302? 3849to,9205 202811 ,5174 1090

12,0941 168112,6513 205913 ,1896 817313 ,?098 374214,2124 0330

14,6979 7 42015,767t 2484t5,6204 704716,0683 676016 ,4815 1459

16,8903 52261? ,2853 645117 ,6670 188518,0357 670018 ,3920 4541

78,7 362 7 57 619,0688 664719 ,3902 081819,?006 842320,0006 61 10

20,2904 938120,5705 264220,8410 873621,1024 998721 ,3550 7234

21 ,5991 037121 ,8348 828122,0626 887022,2827 9tO222,4964 5026

22,7009 181322,8994 3?8023,0912 442523,2765 645023,4556 1187

0,9615 3846r ,8860 946?2,7750 9103s,6298 96224,45L8 2293

5,2421 36866,0020 ó4676,7327 448'1? , 4 3 5 3 3 1 6 18 , 1 1 0 8 9 5 ? 8

8,7604 76?19,3850 73?69 , 9 8 5 6 4 ? 8 5

10,5631 22931 1 , 1 1 8 3 8 ? 4 3

1 1 , 6 5 2 2 9 5 6 112,1656 688512,6592 969713,1339 394013,5903 2634

14,0291 ó9951 4 , 4 5 1 1 1 5 3 314,8568 416715,2469 6314r5,6220 7 994

1 5 , 9 8 2 7 6 9 1 81 6 , 3 2 9 5 8 5 7 51 6 , 6 6 3 0 6 3 2 21 6 , 9 8 3 7 1 4 6 3t 7,2920 3330

1 7 , 5 8 8 4 9 3 5 61 7 , 8 7 3 5 5 1 5 01 8 , 1 , 1 ? 6 4 5 6 ?1 8 , 4 1 1 r 9 7 7 61 8 , 6 6 4 6 1 3 2 3

1 8 , 9 0 8 2 8 1 9 51 9 , 1 4 2 5 7 8 8 01 9 , 3 6 7 8 6 4 2 3I 9 ,5844 8484

1 9 , 7 9 2 7 7 3 8 8

1 9 , 9 9 3 0 5 1 8 120,ta56 267 420,3707 949420,5488 472920,7200 3970

20,8846 535627,0429 36722 r , 1 9 5 1 3 0 8 827,3414 72002t ,4827 8462

0,9669 3780t,8726 67752,7489 6435s,6876 25704,3899 7674

5,7678 7 2485,8927 00946,5958 86077,2687 90507,9127 7878

8 ,5289 . 6929,1185 8rr789,6828 5242

70,2228 2528ro,7395 4673

11 ,2340 150511 ,7071 914312 ,1ó99 91801 2,5932 9359r3 ,00?9 3645

13,404? 238813,7844 247614,147? 7 48914,4954 7 83714,8282 0896

15 ,1466 1145t5,45t3 028215,7 428 7 35116 ,0218 88531.6,2888 8854

16,5443 909516,7888 9086L7,0228 6207t7,2467 5796t7,4670 1240

1 7,6660 4058t7,8622 397918,0499 902378,2296 56721 8,401 5 844 2

18,5661 094918,7236 497518,87 42 702919 ,0183 830519,1563 4742

19,2883 707419,414? 088419 ,5356 065419 ,6512 981379,7620 0718

0,9523 8095r,8594 10432,7232 48033,5469 60504,3294 7667

5,07 56 92075,7863 73406,4632 L2767 ,1078 2168? ,7 217 3493

8,3064 14228,8632 ó1649,3935 72999,8986 4094

10,3796 5804

10,8377 696617,27 40 662511 ,6895 869012,0853 208672,4622 L034

lz,gztL 527113 ,1630 025813,4885 738813,7986 417914,0939 4457

14 ,3751 853014,6430 336214,898L 27 2615 ,1410 ?35815 ,3?24 5103

15 ,5928 105015,8026 766716,0025 4921r6 ,1929 040116,3741 9429

16 ,5468 51 7176,7172 873416 ,8678 927117 ,0170 406?17,1590 8635

17,2943 6196t7 ,4232 07 58r? ,5459 119877,6627 7337l7 ,'t140 6982

17,8800 66501? ,9810 157118,0777 57821 8 , 1 6 8 7 2 1 7 3r8 ,2559 2546

z+v" s+% 4Vo 4 i 6Vo

678I

10

1 lt 213t41 5

1 6t t

1 8l 920

2 l2 2232425

262 7282930

@ MATEMÁrcAsFrNANcrERAs

TABLA VI Valores del factor VP de una anualidad ordinariaNotación estándar: (P/A, i%, n)

Notación algebraica: l - ( l -+t) '

n 6 + % 6 % s+co 7% 7+% a% n

1 l Ir o I- - l

13 114 ltu I

I16 1

1 8 1r e l20 1

I23

o

o

78

1 0

464 7484950

2 l

232426

26272A2930

313 23334

363 738e o

4 0

4 L

4 44 5

0,9478 67301,8463 19712,6979 33383,5061 50124,2702 8448

4,996ó 30316,6829 67126,3345 65996,9621 96267,5376 2583

8,0925 36338,6186 17859 ,1170 78ó39,6896 4790

10,0376 8094

10,4621 620310,8646 0866tt ,2460 7 44711,6076 636211,9503 8248

t2,2762 440612 ,5831 697372,8750 423913 ,15 r6 989613,4139 3266

13,6624 9ó4113,8980 999174,t214 2t7Z14 ,3331 011614 ,5337 4517

1.4,',l239 290'.t14 ,9041 981?15 ,0750 6936L5,2370 325'l15,3905 5220

15,5360 684315 ,6?39 98511 5 ,8047 379315 ,9286 615416 ,0461 2469

16 ,1574 641676,2629 992016 ,3630 324216 ,45?8 5063t6,5477 25' ,12

16 ,6329 153716 ,7136 6386t6,7902 027716 ,8627 513916 ,9315 1790

0,9433 96231,8333 926?2,6730 11963,4651 06614,2723 6379

4,91?3 24335,ó823 81446,209? 93816,8016 922?7,3600 8705

7,8868 74688,3838 43948,8626 82969,2949 83939,7122 4899

r0,1058 9ó2710,4772 596910,8276 034811,1581 1649Ll,4699 2122

LI,7640 7662L2,04L6 8t7212,3033 789812 ,5503 575312,7833 5616

13,0031 661913,2105 341413,4061 642813,590? 210213 ,7648 3116

13,9290 8ó9914,0840 433914,2302 296114 ,3681 4 l l 4t4,4982 4636

14 ,6209 8?1314 ,?367 803114 ,8460 191614,9490 ?4681 5,0462 968?

1 5 , 1 3 8 0 1 5 9 2t5,2245 433215,306t 729415 ,3831 820216 ,4558 3209

15 ,5243 699015 ,5890 28211 5,6500 26611.5, ' ,1075 722' , ¡15 .?618 6064

0,9389 6714t,8206 26422,6484 7 6513,42ó? 98604,1566 7944

4,8410 13666,4845 19776,0887 50966,6561 04197,1888 3022

7,6890 42468,168? 2ó328,5997 42089,0138 42339,4026 688ó

9,7677 641810 ,1105 76?010,4324 663810,7347 L02211 ,018ó 0726

I 1,2849 833311 ,5351 956211 ,7701 36?311 ,9907 38?112,r978 7673

L2,3923 726L12,6?49 9766r2,7 464 7 66812,90?4 898413,0ó86 ?ó91

13,2006 346513,3339 292613,4590 885013,5766 089213,6869 5673

13 ,7905 697013,88?8 588773,9'192 102114,0649 861 114,1455 2687

14 ,2211 519914,2921 6t4914 ,3588 3?0814,4274 432714,4802 2842

14,5354 257674,5872 542214 ,6359 194614 ,6816 14á1t4,'t 245 2067

0,9346 79441,8080 181?2,6243 L6043,3872 11264,1001 9744

4,?665 39665,3892 89406,9?r2 98616,6162 32267,0236 8164

?,4986 7434?,9426 86308,3ó76 50748,?464 67999,1079 1401

9,4466 48609,7632 2299

r0,0690 869110,33ó5 952410,5940 r425

r0,8355 2733I 1,061 2 40ó0Lr,2721 873A11,4693 340011 ,6535 8318

11,8257 786711,9867 0904L2,t37r 112612,2776 740712 ,4090 4118

12 ,5318 141912,6465 5532L2,7537 900212,8540 093612,9476 723O

13 ,0352 07?613 ,1170 166013 ,1934 ?34513,2649 284613,3317 0884

13 ,3941 204113 ,4524 489813 ,5069 616?13 ,5579 081013 ,6055 2159

13 ,6500 201813 ,6916 0764t3,7304 744313 ,?667 985313,8007 4629

0,9302 32561,79ó6 66172,6006 26743,3499 26274,04ó8 8490

4,6938 46426,2966 01326,8673 035ó6,3?88 87036,8640 8096

7,3154 24t57 ,7352 78278,1258 40268,4891 53738,827r L974

9,1415 06749,4339 ó9769,7060 09089,9690 ?821

10,1944 9136

10,4134 803310,61?1 910110,8066 893110,9829 668011,1469 4586

rr,2994 845211,4413 809511,6?33 7?6311,6961 6524r1 ,8103 862?

11,9166 3839t2,ot64 7757t2,to7 4 209912,L929 4976t2,2126 ll4r

t2,3466 2224L2,4753 695212 ,4?94 135112,5389 893112,5944 0866

12 ,6459 615512,6939 1772t2,1385 28ll1 2,?800 261 512,8186 2898

12 ,8645 385812,8879 42871 2,9190 1662L2,9479 224472,97 48 7167

0,9259 26931,7832 64762,6770 96993,3121 26843,9927 1004

4,622a 7966ó,2063 ?006ó,7466 38946,2468 87916,?100 8140

7,1389 64267,6360 ?8027,9037 76948,2442 36988,ó594 7869

8,8ó13 69169 , r216 38119 ,3718 87149,6035 99209,8181 4741

10,0168 031610,2007 436610,3710 ó89510,5287 5828t0,6747 7619

10,8099 779510,9351 64?711,0510 784911,r684 0601Lr,2677 8334

11,3497 993911,4349 994411,6r38 883711,5869 336?11,6645 6822

11 ,?171 92?911 ,?751 78ó111,8288 689911,8785 824011,9246 1333

71,9612 346712,0066 986?12,0432 396rr2,o770 736212,1084 0160

12,1374 088012,t642 674112,1891 364972,212L 634112,2334 8464

6

óo

l 0

484950

I234t

1 lt 2l ó

l 4

I b

1 7181 920

2 L2 223242 6

26, a

2Et a

3 1g2

343 ó

3637383940

4 74243

46

[\

TABLAS

TABLA VII Valores del factor ,4 de una anualidad ordinariaNotaciónestándar: (NF, i%, n); (NP, i%, n) : (,UE i%, n) + i

Notación algebraica: n;fr, -,(r;*

= Ar# _, . ,l

r ,0000 00000,4993 75780,3325 01390,2490 64450,1990 0260

0,1656 2803o,L4L7 89280 ,1239 10350,1100 04620,0988 801ó

0,0897 78400,0821 93700,0757 75950,0702 7'tO0,0655 0777

0,0613 36420,0576 5ó870,0543 8433o,o5t4 57220,0488 2288

0,0464 39470,0442 7 27I0,0422 94660,0404 81210,0388 1298

0,o37273r20,0358 47360,0345 23470,0332 90930,032r 4059

0,0310 64490,0300 56690,0291 08060,0282 16200 ,02?3 7533

0,0265 81 210,0258 30040,0251 18430,0244 43350,0238 0204

0 ,0231 92040,0226 7LL20,0220 5?240 ,0215 28550 ,0210 2339

0,0205 40220,0200 77620,0196 34330 ,0192 09150,0188 0099

1,0000 00000,4991 68050,3322 2469o,2487 63470 ,1986 ?110

0,1652 83170 ,1414 S4910,1235 48960,1096 37850,0985 0915

0,0894 04020,0818 16ó70,0753 96560,0698 93830,0651 2491

0,0609 52230,0572 70660,0639 98070,05r0 70150,0484 3511

0,0460 51110,0438 83930,0419 05280,0400 91590,0384 2307

0,0368 829?0,0364 57020,0341 32990,0329 00330,031? 4992

0,0306 73780,0296 64960,0287 L734o,0278 25510,0269 8470

0,026r 9065o,0254 39570,0247 28080,0240 53110,0234 1 194

o,0228 020so,0222 21330 ,0216 67620 , 0 2 1 1 3 9 1 20 ,0206 3415

0 ,0201 51180 ,0196 8880o,0192 45720 ,0188 20770 ,0184 1285

1,0000 00000,4989 60500,3319 48290,2484 429L0,1983 4026

0,1649 38980 ,1410 81330,1231 88450,1092 72090,0981 3929

0,0890 30900,0814 40820,0750 18660,0695 14160,0647 43?8

0,0605 69880,0ó68 87200,0536 13870,0506 8ó250,0480 4963

0,0456 65170,0434 97600,0415 18650,0397 04720,0380 3603

0,0364 95810,0350 6978o,0337 46720,0325 13070,0313 6270

0,0302 8663o,0292 779L0,0283 3041o,027 4 387 30,0265 9809

0,02ó8 04230,0250 5336o,o243 42080,0236 67360,0230 2644

0 ,0224 16850 ,0218 36370,02t2 82950,0207 54740,0202 5008

0 ,0197 67430 ,0193 05370 ,0188 62630 ,0184 38010,0180 3044

1,0000 00000,4987 53120,3316 72210,2481 32790,1980 0997

0,r645 95460,L407 28640,1228 28860,1089 07360,0977 7057

0,0886 59030,0810 66430,0746 42240,0691 36090,0643 6436

0,0601 89370,0665 05790 ,0532 31730,0603 02630,04?6 6645

0,0462 81630,0431 13800,0411 34650,0393 20610,0376 6186

0,0361 11630,0346 85650,0333 61670,0321 29140,0309 7892

0,0299 03040,0288 94530,0279 47270,0270 56860,0262 1560

0,0254 2t940 ,0246 71390,0239 60450,0232 860?0,0226 4662

0,0220 36310,0214 56220,0209 03200 ,0203 75410 ,0198 7117

0,0193 88940 ,0189 27330 ,0184 85030,0180 60870 ,0176 53?6

1,0000 00000,4985 46910,3313 96430,2478 23L00,1976 8024

o,L642 62600,r403 7653o,t224 70180,108ó 43650,0974 0299

0,0882 88420,0806 93410,0742 67300,0687 59620,0639 8666

0,0698 10680,0661 26320,0528 516ó0,0499 21980,0472 8556

0,0449 00500,0427 32510,0407 63290,0389 39260,037 2 7 065

0,035? 30430,0343 04600,0329 80820,0317 48530,0305 9857

0,0296 22990,0285 14820 ,0275 67910,0266 76870,0268 369r

0,0260 43760,0242 95660,0235 83160,0229 09250,0222 6917

0,0216 60460,0210 80870,0205 28360,0200 01100,0194 9740

0,0190 15710 ,0185 54650 ,0181 12910 ,0176 89320,0t7 2 827I

1,0000 00000,4983 38870,3311 209ó0,2475 73840 ,19?3 ó106

0,r639 10420,1400 2531o,I22t L2400,1081 80960,0970 3664

0,0879 19050,0803 21760,0738 93850,0638 84840,0636 1067

0,0694 33820,0557 48800,0524 73630,0495 43610,0469 0696

0,0445 2t760,0423 69740,0403 74560,038ó 60620,0368 9210

0,0353 ó2200,0339 26640,0326 03170 ,0313 71230,0302 2166

0,0291 46490,0281 38750,0271 92310,0263 0176o,o254 623L

0,0246 69700,0239 20130,0232 10200,0225 36870,0218 9739

o,02t2 89280,0207 10310,0201 68430,0196 31800,0191 2876

o,ot86 47720 ,0181 87320,0177 46260,0173 23340.0169 1749

2 tt ,

232426

2627282930

3 13 233343 5

, 1

22232425

2627282930

ó T

3 233343 5

36e a

383940

46

484950


TABLA VII Valores del factor A de una anualidad ordinaria

Notaciónestándar: (A/F, i%, n); (NP, i%, n) = (NE i%, n) + i

Notacrón algebraica: U;r, -r' =

Aú- " tJ

n t"/, in $2" Ic" f t* i* n

61626364o o

61526354c c

565 7¡ó59

7 6

787980

8 1828384óo

7 2l í

74t ó

919293949ó

666168697 0

8687888990

96979899

100

0,0184 08860,0180 31840,0176 69060,0173 19?40,0169 8314

0,0166 58ó80,0163 46420,0160 43080,01 ó7 51010,0164 6869

0,0151 95640,0149 31420,0146 756ro,0144 21800,0141 8764

0,0139 54?60,0137 28860,0135 09610,0132 96740,0130 8996

0,0128 89020,0126 93680 ,0125 03?00,01 23 18870,01 21 3898

0,0119 63850,01 1 7 932?0,0116 270E0 ,0114 65110 ,0113 0?21

0 ,0111 53210,01 10 02980,0108 56390 ,0107 13300,0105 7359

0,0104 37140,0103 03840,0101 735?0,0100 4625o,0099 2L77

0,0098 00040,0096 80960,0095 64460,0094 60440,0093 3884

0,0092 29670,009t 22570,0090 17760,0089 16080,0088 1446

0,0180 20960,0176 44180,0172 81650,0169 32590,0165 9626

0,0162 ?1960,0169 690?0,01 66 57010 ,0153 65220,0160 8319

0,0148 10430,014ó 46500,0142 90980,0140 43480,0138 0361

0 ,0135 71050,0133 454ó0,0131 26520,0129 13950,0727 0749

0,0125 06870 ,0123 1185o,0t21 22200 ,0119 37690 ,0117 5813

0 ,0115 83320,0114 1308o,ol t2 41220 ,0110 85590,0109 2802

0,0107 7436o,0706 2447o,0704 78220,0103 354?0,0101 9610

0,0100 60000,0099 2?040,0097 97130,0096 70150,0095 4602

0,0094 24640,0093 0ó920,0091 89760,0090 76100,0089 6486

0,0088 56940,008? 49290,0086 44840,0085 4262o,0084 4226

0,0176 38910,0t72 62490,0169 00330,0166 ó1640 ,0162 1567

0,0168 91760,0\65 79270,0162 77600,0149 86200,014? 0467

o,ot44 322r0,0141 68690,0139 13580,0136 6649o,ot34 2704

0,0131 94890,0129 69720,0127 51-270,0125 39080,0123 3304

0,01 21 32850 ,0119 38270,011? 49050,0115 64980,0113 8586

0 ,0112 l l 500 ,0110 41700,0108 76290,0107 16100,0105 579E

0 ,0104 04770,0r02 ó6340,0101 09540,0099 6?240,0098 2833

0,0096 92680,0095 60180,0094 30?30,0093 04220,0091 8055

0,0090 59620,0089 41360,0088 25680,0087 12480,0086 0170

0,0084 93260,0083 87070,0082 83090,0081 81240,0080 8l{6

0,01?2 62690,0168 86760,0165 26070,0161 ?6860,0158 4139

0 ,0156 17970,0162 06980,0149 04810,0146 13920,0143 3280

0,0140 60960,013? 9?960,0135 43370,0132 96810,0130 5?89

o,0r28 26270,0126 01630,0123 83660,0121 ?2060,0119 6667

0,0117 66930 ,0115 72890,0113 84220,0112 00700 ,0 r10 2214

0,0108 48320,0106 ?9080,0106 14230,0103 53600,0101 9704

0,0100 44390,0098 96620,009? 50280,0096 08660,0094 7021

0,0093 36130,0092 03200,0090 ?4310,0089 48370,0088 262?

0,0087 04930,0086 87240,0084 ?2130,0083 69500,0082 4930

0,0081 4143op08o 3583o,oo79 32420,0078 31150,007? 3194

0,0168 92300,0165 16940,0161 66860,0168 08240,0164 7s37

0,0161 ó0560,0148 39180,014ó 38630,0r42 48360,0139 6787

0,0136 96660,0134 34280,0131 80330,0129 34400,0126 9612

0 ,0124 661óo,0r22 4t160,0120 23830,0118 12890,01r6 0805

0,0114 09060 ,0112 15670,0110 27660,0108 44810,0106 6690

0,0104 93750,0103 2ó1?0,0101 60990,0100 01030,0098 4514

0,0096 93160,0096 44960,0094 00400,0092 ó93á0,0091 2168

0,0089 872?0,0088 56020,008? 27810,0086 026ó0,0084 8013

0,0083 604?0,0082 43460,0081 29030,0080 17090,0079 0?67

0,0078 00380,00?6 9ó470,00?5 92760,0074 92160.00?3 9363

0,016ó 27700,0r61 53040,01 ó? 92660,0164 46760,0161 1160

0,0147 89ó10,0144 78860,0141 79030,o138 89490,0136 0973

0,0133 39260,0130 7763o,ot28 24420,0725 79250,0123 4171

0,0121 1r490,0118 88250 ,0116 71680,0114 61ó0o,orlz 6742

0,0110 59190,0108 66ó70,0106 79330,0104 97250,0103 201 1

0,0r01 47730,0099 79930,0098 16620,0096 5?330,0095 0222

0,0093 á1020,0092 03600,0090 69820,0089 19660,0087 8266

0,0086 49040,0085 18570,0083 91r50,0082 66670,0081 4604

0,0080 26160,0079 09940,0077 96290,0076 86140,0075 7641

0,0074 70010,0073 66880,0072 63940,0071 641ó0,0070 6642

6152có5455

56o t

6960

6 16 26364b o

66

6869

/ b

7 7?8? 980

8l82838486

8687888990

9192939,19 6

96919899

100

7 2

l o

L\

TABLAS @


Notaciónestándar: (NF, i%, n); (NP, i%, n) -- (NE i%, n) -r t

Notación algebraica: Oir,-r, =

¡r# - - tJ

I23

6

o

789

1 0

1 1L 2

l 5

1 6t 71 81 920

1,0000 00000,4981 32000,3308 45790,24',12 05010,L970 2242

0 ,1635 68910,1396 74880,t2t7 66620 ,10?8 19290,0966 ? 1 23

0,0875 50940,0799 51480,0?35 21880 ,0680 11460,0632 3639

0,0590 58790 ,0553 ?3210 ,0520 97660,0491 6?400,0465 3063

0 ,0441 45430 ,0419 77480 ,0399 98460 ,0381 84740 .0365 1650

0 ,0349 76930 ,0335 51?6o ,0322 28710,0309 97230 ,0298 4816

o,0287 73520 ,0277 66340 ,0268 20480 ,0259 30530 . 0 2 5 0 9 1 7 0

1,0000 0000o ,49',t 5 72440 ,3300 22110,2462 81090,1960 3980

0,1625 48370 ,1386 28280,1206 90290,106? 40360,0955 8208

0,0864 54080 ,0?88 48?9o,07 24 L4820 ,0669 011?0 ,0621 2378

0,0579 44600,0542 58060 ,0509 82050 ,0480 51750 ,0454 1531

0,0430 30?50,0408 63720,0388 8584o,0370 73470,0354 0675

o ,0338 68880 ,0324 45530 ,0311 24440 ,0298 95020 ,0287 4811

o,0276 7 5730 ,0266 7089o,0257 27 410 ,0248 39970 ,0240 0368

0 ,0232 14310 ,0224 68050 ,021? 61500 , 0 2 1 0 9 1 6 00 ,0204 5560

0 . 0 1 9 8 5 t O 20 ,01 92 75630 , c 1 8 ? 2 7 3 70 ,0182 04 .110 ,017? 0505

o ,0 t72 2 ' 7750 , 0 1 6 7 7 1 1 10 ,0163 33840 , 0 1 5 9 1 4 7 40 . 0 1 5 5 1 2 7 3

1,0000 00000,4968 9441o,3292 01770,2453 61020 , 1 9 5 0 6 2 1 1

0 , 1 6 1 5 3 3 8 10 , 1 3 ? 5 8 8 7 20 , 1 1 9 6 3 3 1 40 , 1 0 5 6 ? 0 5 50,0945 030?

0,0853 68390 , 0 7 7 7 5 8 3 10 , 0 7 1 3 2 1 0 00 , 0 6 5 8 0 5 1 50,0610 2646

0,0568 46720,0531 60230,0498 84790,0469 55480,0443 2039

0 , 0 4 1 9 3 7 4 90,0397 7 2380 , 0 3 7 7 9 6 6 60,0359 86650,0343 2247

o,0327 87250 , 0 3 1 3 6 6 7 ?0,0300 48630,0288 2228o,02'76 7 854

0 , 0 2 6 6 0 9 4 20 , 0 2 5 6 0 7 9 10 , 0 2 4 6 6 7 8 60 , 0 2 3 7 8 3 8 70 , 0 2 2 9 ó 1 1 1

0 , 0 2 2 1 6 5 3 30 ,o214 221C0 , 0 2 c 7 1 9 8 30 , 0 2 0 0 5 3 6 50 , 0 1 9 . 1 2 1 4 1

0 , 0 1 8 8 2 0 6 30 , 0 1 8 2 . 1 9 0 60 , 0 1 7 7 0 4 6 60 , 0 1 ? 1 8 5 5 ;0 , 0 1 6 6 9 0 1 2

0 , 0 1 6 2 1 6 7 50 , 0 1 5 ? 6 4 0 60 , 0 1 5 3 3 0 7 50 , 0 1 4 9 1 5 6 30 , 0 1 4 5 1 7 6 3

L,0000 0000o,4962 77920,3283 8296o,2444 44790,1940 8932

0 ,1605 25210 ,1365 ó6160 ,1 185 84020 ,1046 09820 ,0934 3418

0,0842 93840 ,0766 79990 ,07c2 4036o,064't 23320,0599 4436

0 ,056? 65080,0520 79660 ,0488 05780,0458 784?o,0432 457 4

0,0408 6ó500 ,0387 03320 ,036? 30750 ,0349 24100 ,0332 6345

0 ,0317 31960 ,0303 152?0 ,0290 0108o ,Q217 78780 ,0266 3919

0 ,0255 74300 ,0245 ?7100 ,0236 41440 ,0227 61890 ,02 i I 3363

0 ,02 i i 52 .100 , 0 2 0 1 1 , i 3 - ;0 , 0 1 9 ? 1 6 1 30 ,0190 5 {630 ,0184 2? 1 0

0 , 0 1 ? 8 3 1 0 6o,o172 6, t250 ,01 i i ? 2 .1050 , C i ¡ i 2 i C 3 o0 , 0 1 5 7 1 9 ? 6

0 . 0 1 5 2 5 1 2 50 , 0 1 . 1 8 0 3 4 20 , 0 r 4 3 7 5 0 00 , 0 1 3 9 6 4 1 80 . 0 1 3 5 t 1 6 8

1,0000 00000 , 4 9 5 6 6 2 9 5o,3275 67460,2435 32370 , 1 9 3 1 2 1 4 2

0 , 1 5 9 5 2 2 5 60 , 1 3 5 5 3 0 5 9Q , 7 7 7 5 1 2 9 20 , 1 0 3 5 5 8 1 30 , 0 9 2 3 7 5 3 4

0 , 0 8 3 2 3 0 3 80 , 0 ? 5 6 1 3 7 ?0 , 0 6 9 1 r 2 8 30 , 0 6 3 6 5 5 6 20 , 0 5 8 8 ? 7 3 9

0 , 0 5 4 6 9 9 5 80 , 0 5 1 0 1 6 2 3Q,O477 14920,0448 2061o,Q421 9122

0 , 0 3 9 8 1 4 6 40 , 0 3 ? 6 5 6 3 80 , 0 3 5 6 8 7 . q 60 , 0 3 3 8 8 5 6 5o,Q322 2962

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1,0000 00000,49ó0 49500,3267 64670,2426 23750 ,1921 5839

0 ,1585 25810 ,1345 11960 ,1 165 09800 ,1025 15440 ,0913 2653

0 ,c821 77940 ,0?15 59600 ,0661 18350 ,0626 019?0,o578 2547

0 ,0536 50130,0499 69840 ,0467 02100 ,0437 81770 , 0 . 1 1 1 5 6 7 2

0 ,0387 847?0 ,0366 31400,03r.6 68100 ,0328 71100,0312 2044

0 ,0296 99230 ,0282 93090 "0269 89670 ,025? ?8360 .0246 4992

0 , c 1 9 2 3 2 8 50 , 0 1 8 5 0 6 ? s0 , c 1 ? 8 2 0 5 i0 , 0 1 7 1 7 1 1 . 10 , 0 1 6 5 5 5 7 5

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0 , 0 1 3 4 5 3 4 20 , 0 1 3 0 1 . 7 9 20 , 0 1 2 6 0 1 8 40 , 0 1 2 2 0 3 9 60 . 0 1 1 8 2 3 2 1

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c , 0 2 0 1 t 5 0 ?0 , 0 1 9 . 1 . 1 2 5 i

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I 4e | 0 , 016e 62e2

I "_]jil:"':

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Notaciónestándar: (NF, i%, n); (NP, i%, n) : (NF, i%' n) + i

Notación algebraica: ¿'ir, -, =

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0,0144 34780,0141 24960 ,0138 25970,0135 372?0 ,0132 5836

0 ,0129 88730,0121 27950,01 24 7 5600,0L22 31270,0119 9460

0,01 17 65240 ,0115 42860 ,0113 27160 ,0111 1?850,01 09 1464

0 ,0107 1?280 ,0105 25540 ,0103 391?0,0101 57960 ,0099 81 70

0,0098 10200,0096 43280,0094 8074o,oo93 22440,0091 6821

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0,0071 50200,0070 46960,0069 45920 ,0068 47010 ,0067 501?

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0 ,0119 78000 ,0117 20410 ,0114 71250 ,0112 30130,0109 966?

0,0107 70520 ,0105 51360,0103 38890,0101 32800,0099 3282

0,0097 38700 ,0095 50190,0093 67060,0091 89100,0090 1609

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0 ,0080 ? 1?90,0079 28510,00?? 888?0 ,00?6 52730 ,0075 1998

0 ,0073 90500 ,0072 64180,00?1 40890 ,0070 20560,0069 0306

0 ,0067 88320,0066 76240,0065 66?30,0064 59?10 ,0063 5511

0,0062 52840 ,0061 52840,0060 55030,0059 59360 ,0058 6574

0 ,0141 36710,0137 68970,0134 16630,0130 ?760o,o\27 6145

0,0124 31390 ,0121 34780 ,0118 43030 ,0115 61580 ,0112 8993

0 ,0110 2?580,010? ?.1100,0105 29040,0102 92030,0100 6268

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0 ,0064 10190,0062 ?5830,0061 45090,0060 17840,0058 9396

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0 ,0062 15160 ,0051 11820,0060 1 1040,0049 t2?30,0048 1681

0,0047 232r0,0046 31860,004ó 42680,0044 ó6600,0043 706?

0 ,0123 02690,0119 46650,0116 04920,0rr2 '16720,0109 6129

0,0106 5?950,0103 66060,0100 85030,0098 14300,0096 5336

0 ,0093 01720,0090 58920,0088 24550,008ó 98210,0083 7962

0,0081 68130 ,0079 63?20,0077 65970 ,0075 ?4590,0073 8930

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0,0063 92000 ,0062 42850,0060 98060,0059 57480,0058 2093

0,0056 88280,0055 59360,0054 34060,0053 I 2230,0051 93?5

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0,0045 46900,0044 48820,0043 53270 ,0042 601?0,0041 6944

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0,0098 46ó60 ,0095 61200,0092 86670,0090 22430,0087 6?97

0 ,0085 22780,0082 86430,0080 58480,00?8 38560,0076 2624

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0 ,0057 07510,0055 64470,0054 25760 ,0052 91230 ,0051 60?1

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0 ,003ó 13130,0034 32420,0033 53830,0032 77290,0032 02?4

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1,0000 00000,4938 27160 ,3251 3?1?0,2408 17880,1902 4686

0 ,1565 499?0 ,1324 95430 ,1144 6?360 ,1004 56890,0892 58?6

0,0801 05960 ,0'r 24 87130,0660 48270,0605 36520,0557 6646

0,051 5 98990,0479 27770,0446 7008o,4477 60620 ,0391 4713

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1,0000 00000,4926 10840,3235 30360,2390 270ó0,r883 545?

0 ,1545 97600 ,1305 06350 ,11 24 56390,0984 33860 ,0872 3051

0 ,0?80 ??450,0704 62090,0640 29540,0585 26340 ,0537 6658

0,0496 10850,0459 52530,0427 08700,0398 1388o,o3721577

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0 ,0259 38290,0245 6427o,0232 9323o,Q227 1,4670 ,0210 1926

0 ,0199 98930 ,01 90 46620 , 0 1 8 1 5 6 1 20 , 0 1 7 3 2 1 9 60 ,0165 3929

0 ,0158 03790 , 0 1 5 1 1 1 6 20 ,01 44 59340 ,0138 43850 ,01 32 6238

0 ,012 ' t I 2470 , 0 1 2 1 9 1 6 70 , 0 1 1 6 9 8 1 10 ,01 I 2 29850 , 0 1 0 7 8 5 1 8

0 ,01 03 62540 ,0099 60510 ,0095 77?7o ,Q092 13140 ,0088 6549

1,0000 00000,4914 00490 ,3219 34180 ,237 2 57740,1864 813?

0,1 526 6821o,1285 44490 ,1104 ?6650,0964 46010,0852 4L37

0,0760 91970,0684 83950 ,0620 61570,0565 70?30 ,0518 250?

0,0476 84830 ,0440 43130,0408 16840 ,0379 40330 ,0353 6108

0 ,0330 36590 ,0309 32070 ,0290 18800,o27 2 7 283a,0256 7 404

o,0212 0540o,0228 52110 ,0216 02650,0204 45380 ,0193 7133

0,0783 7 2400 , 0 1 7 4 4 1 5 00 ,0165 7 2420 ,0157 59660 ,0149 9835

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0.o7t2 98220 ,0107 98280 ,0103 25390 ,0098 77680 ,0091 5343

0 ,0090 51080 ,0086 69190 ,0083 06460,0079 61670 , 0 0 7 6 3 3 ? 1

1,0000 00000,4901 96080,3203 48540,2354 90050 ,1846 271 1

€ ,1507 61900 ,1266 09610 ,1085 2?830,0944 92990,0832 9094

o,07 47 49040 ,0665 521?0 ,0601 43730 ,0546 689?0 ,0499 41 10

0,0458 2000o,0427 98520,0389 93330 ,0361 38620 ,0335 81?5

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o,0225 67380 ,021 2 38540 ,0200 1 2980 ,0188 79930 , 0 1 ? 8 3 0 1 0

0 ,0168 55350 ,0159 48590 , 0 1 5 1 0 3 5 70 ,0143 14770 , 0 1 3 5 7 ? 3 2

0 ,0128 86880 ,0122 39570 ,0116 31920 ,01 10 60830 ,0105 2349

0 ,0100 17380 ,0095 40200 ,0090 89890 ,0086 64540 ,0082 6246

0 ,00?8 82050 ,00?5 21890,0071 80650,0068 57720 ,0065 5020

1,0000 00000,4889 97560 ,3187 7336o,2337 43650 ,1827 9164

0 ,1488 7839o,7247 07470 ,1066 0965o,0925 7 4470 ,0813 ?882

o,Q722 48780 ,0646 66190,0582 7535o,0528 20320,0481 I 381

0 ,0440 153?0 ,0404 17580 ,0372 3690o,0344 Q7340 ,0318 7614

0 ,0296 005?0,0275 456r¿0,0256 82490 ,0239 8703o,0224 39Q3

TABLAS

1,0000 00000,4878 04880 ,3172 08560 ,2320 11830,1809 7480

o , t 4 ? o t 7 4 70,1228 79820 ,104? 21810,0906 90080 ,0?95 045?

0,0703 8889o,0628 25470,0564 557?0 ,0510 239?o,0463 4229

0,0422 69910,0386.991 4o,0355 4622o,0327 4501o,0302 4259

0 ,0279 96110 ,0259 70510 ,0241 3682o,o224 70900,0209 5246

TABLA VII Valores del factor ,4 de una anualidad ordinariaNotación estándar: (,4/F, ¡%,

"¡; Wl i%, n) = (NE i%, n) + i

Noraciónargebraica: ¡ú - , [ r ; A; i ¡

_ ,J

I2

678I

1 0

I2a

45

6?89

1 0

262 728293 0

3 33 4

363 738394 0

4 14 243444 5

4 74849O U

161 71 8l 920

2 l2223242 5

262'l282 93 0

3 233343 5

363 73 83940

l b

7 71 81 920

2 72 2

242 5

0 ,0210 2137 0 ,0195 64320 ,0197 1946 0 ,0182 91860 ,0185 2081 0 ,0777 22590 ,0174 1461 0 ,0160 45510 ,0163 9154 0 ,0150 5144

4 5

0 , 0 2 1 ? 3 9 0 00 , 0 2 0 7 6 8 3 10 , 0 1 9 8 5 9 3 80 , 0 1 9 0 0 6 7 50 , 0 1 8 2 0 5 5 8

0 , 0 1 7 4 5 r 5 80 , 0 1 6 7 4 0 9 00 , 0 1 6 0 7 0 r 20 , 0 1 5 . 1 3 6 1 50 , 0 1 4 8 3 6 2 3

0 , 0 1 1 2 6 7 8 6o , 0 1 3 7 2 8 7 60 , 0 1 3 2 r 6 8 80,0127 30370 ,0122 67 5 l

0 , 0 1 1 8 2 6 ? 60 , 0 1 1 4 0 6 6 90 , 0 1 1 0 0 5 9 90,0106 23480 , 0 1 0 2 5 8 0 6

0 ,01 54 43450 ,0145 63290 ,0137 4 , i 530 ,0129 8191o,0722 7045

0 ,0116 05?80 ,0109 84020 ,0104 01690 ,0098 55670 ,0093 431 5

0 ,0088 61580,0084 08680 ,0079 82350 ,0075 6071o,o0'7 2 0202

0 ,0068 44? 10,0065 07340,0061 88580,0058 87220 ,0056 0215

o,0747 32720,0732 80420,0124 90040 ,011? 55450 , 0 1 1 0 7 1 7 1

0 ,0104 34460,0098 39790 ,0092 84230,0087 64620 ,0082 ?816

0 ,00? I 22290,0073 94? 10,0069 93330,0066 16250 ,0062 61?3

0,00ó9 28200 ,0056 14210,0053 18430,0050 3965o,0047 76'14

4 6

4 84 95 0

. - L - _

" 2- /o Bvo s| u" 4vo l , | r " 6vo



Notaciónestándar: (NF, i%, n); (A/P, i%, n) : (NF, i%' t1). + ¡

. t

Notaciónalgebraica: :--J-; I ----1 - = ------]-- + i1 1 + i ) " - 1 ' | . ] - 1 1 + i . ¡ n ( 1 + i ) ' - 7 )

1,0000 00000,4866 18000,31 56 540?0,2302 94490 ,1791 7644

0 , 1 4 5 1 ? 8 9 50 , 1 2 0 9 6 4 4 20 , 1 0 2 8 6 4 0 10 , 0 8 8 8 3 9 4 60 . 0 7 ? 6 6 7 ? ?

0 , 0 4 0 5 8 2 5 - l0 , 0 3 ? 0 4 1 9 70,0339 199: l0 , 0 3 1 1 5 0 0 60 , 0 2 8 6 7 9 3 3

0 , 0 2 6 4 6 4 7 1 r0 ,a214 ' t1230 , 0 2 2 6 6 9 6 50 , 0 2 1 0 3 5 8 00,014¡5 193t ]

' J ,ocg3 { j r i l0 . 0 0 t i 9 ! " 10 , f l0 l : :. i 1 ! - ' r ;

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i i , ú ü i r ? 6 i 2 !

0 . 0 0 5 4 3 1 2 7

1,0000 00000 ,4854 36890 ,3141 09810 ,2285 91490 ,1 7?3 9640

0 ,1433 62630 , r i 91 35020 ,1010 35940 ,08 io 22210 .0?58 6?96

0 , 0 3 u 9 5 2 1 40 ,0354 .1 '180

0 , 0 3 ? 3 5 6 5 {0 , 0 2 9 6 2 0 8 60 . 0 : t ? 1 8 4 5 5

0 , 0 2 5 0 0 4 5 5C , 0 2 3 0 4 5 1 ¡ i0 , 0 2 1 2 7 8 4 80 , 0 1 9 6 7 9 0 C0 0 1 8 ? 2 6 ? ?

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0 , 1 4 1 5 6 8 3 10 , 1 1 7 3 3 1 3 i0 , 0 9 9 2 3 7 3 00 , 0 8 5 2 3 8 0 30 . 0 7 { 1 0 4 6 9

0 , 0 3 7 3 ? ? 5 ?0 , 0 3 3 9 0 6 3 30 , 0 3 0 8 5 4 6 10,0281 1- r5?5C).0:57 ¡6-1'. ')

0 , 0 2 3 6 1 3 3 , 10 , 0 2 1 6 9 1 2 00 , 0 1 9 9 6 0 ? 80 , 0 1 8 3 9 ? ? r r0 . 0 1 6 9 E 1 , i ¿

0 , 0 1 0 ? 5 3 9 30 ,00 ! r9 9 t i6 : ,0 , 0 0 9 2 9 9 1 : - l0 , 0 0 ¡ 6 5 6 i . ¡c . , l 0 r i 0 6 : 2 ú

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0 , 1 3 9 ? 9 5 8 00 , 1 1 5 5 5 3 2 20 , 0 9 ? 4 6 ? 7 60,063. i 86-1?0 . 0 ? 2 3 ? i 5 0

0 , 0 3 5 8 5 ? 6 50 , 0 3 2 4 2 5 1 90 , 0 2 9 4 1 2 6 í jü , 0 2 6 1 5 3 0 10 . c ! 1 : i 9 2 9 J

0,0222 890r j0 , 0 2 0 . 1 0 5 7 ?0 , 0 1 8 7 1 3 9 i0 ,01 t 1 Ega i ' lc . 0 1 5 8 i c i : l

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0 , 0 5 1 6 8 4 2 6 0 , 0 5 2 9 6 0 1 1

0,0492 791 ' r 0 ,0 '1?5 8 '191

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0 , 0 6 5 0 5 5 2 1 0 . 0 6 3 3 5 6 9 0

0 , 0 5 ' ¡ 5 6 8 1 t 0 , c 5 5 9 0 1 9 9

0 , 0 5 1 2 8 2 5 6 0 , 0 . 1 9 6 5 0 8 5

0,0 .159 4048 0 ,0 .1 .13 449 '1

0 . 0 4 1 3 5 2 7 9 0 , 0 3 9 ? 9 1 6 r

0 . 0 6 1 6 g t . l ; 1 , t . J ó { ! a t e 3 i

0 . 0 i r l 2 ? 1 8 - r ' l . a i r 2 l j 9 5 r J l li ) . t 1 4 8 0 6 . 1 2 , i 0 . 1 1 1 6 ¡ 2 1 8 1 .

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0 , 0 1 5 8 1 . 1 . 1 0 0 , 0 1 { 5 9 2 5 5

0 , 0 1 4 7 6 8 5 ? 0 , 0 1 3 ó ? 9 6 1

0 , 0 1 3 8 0 5 3 f i 0 , 0 1 2 6 4 8 9 1

0 , 0 1 2 9 1 6 6 o 0 . ( ) r 1 ? 9 2 2 2

0 . 0 1 2 r i 9 5 1 9 0 , 0 1 1 C 0 2 3 i

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0 , 0 1 3 . 1 5 3 0 5 0 , 0 1 : / 3 9 1 9 : r

0 , 0 1 2 - 1 i 4 4 l J 0 , C 1 1 f i 8 $ r ' r

0 , 0 r 1 5 ? i . 1 1 0 , 0 1 0 5 8 6 . 4 C

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0 ,0043 0230 0 .0036 6356 0 ,0031 1240o .oo ro o t¿s 0 .003 '1 4 ' 1?9 0 .0029 1393

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0 ,0030 3 t 1 .1 0 ,0025 9 r900 ,0028 30?0 0 ,002 .1 052?0 ,0026 3853 0 ,0022 32 ' 170 .0C21 i ' 93 i . 0 . 0020 t 2 ' 11

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12 j 0,0830 4824 0,082e 5381 o:oÁtá 9,19!1 g1r3 0,1652 e+52 j 6

fABLA IX Valores del factor IZp de una anualidad ordinaria para *=aNotación estándar: (plA, i%, k) p

Notación algeb¡aica: 1-(1+i) k

L

TABLAS @

TABLA VIII valores del factor r4F de una anuaridad ordinaria para ft=1Notación estándar: (F/A, i%, k)

_ p

Notación al6 iebraica: ( l + i l t - 1I

p %

34b

1 t

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0 ,4978 3143 o , { 975 24690 . 3 3 t 4 0 7 5 8 0 , 3 3 1 i 3 ó 4 6o,2483 7592 0,2481 4658

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46

L 2

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0 ,4969 13460,3305 9350o,2476 89A50,1649 56620,0823 9345

6 rrrr o,oÁis ;éói- - : = - ; -0,4e63 0522 0,4e56 eee3 g,1l!g ?Jrr

-- o,r*n ,rr, 0,4e3e 01530,3800 544? 0.s2e5 18s4 o,32se s510 ó',ááá+ s¿to o,s27s 27L40,2472 s57s 0,2467 8417 g:?¡i i i ; i ; ó, i i l , ,ru, 0,2464 446so , 1 6 4 6 2 0 7 3 0 , 1 6 4 2 8 6 8 ,0,0822 osee o,orro ,uuá 3:á3i3 lÍlÍ l'l:?: :1gg 9,199; iáéz

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A ot^0,4933 0?80 0,492? 1690 0,4921 2880 o,*ru nroa 0.4909 6090 **fuo,s2? 4 02s7 0,s268 803? o,siáá ái i , ó, i i : l

t t 'o 0,8258 30?6 0,3248 1e600'2450 0317 0'2445 6410 o,zqet i i ié ó"1íea-sszt 0,24s2 6735 0,2428 31840'162e 7080 0,1626 '165? o"léi i í iáé ó"í iro oa, 0,f616 8505 0,r613 68211 0,0805 9892 0,0804 2538

2

46

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?101 0 ,4735 2474 ; r r *i 3,!i i i l lSi 3'i1?13-2? o'gré5 eiáé ó,i 'eu,a'' o,s,z5 8,8si.Íl;S:lS: l.iíjl il:¿ 3 il:l lÍll ó'á¡go osag ó:;áé;;;;; 3:ll3l 3ll3 I;; ; ó;il ítii H:t8lt iíll B:álBí iffl ::¿;n iiii I

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23

6t 2p

346

t 2

23

61 2p

23

7 2

!l[t MATEMÁrcAS FTNANcTERAS

TABLA X Valores del factor á de una anualidad ordinaria para r=1

Notaciónestándar: (NF, i%, k); (NP, i%, k) = (,UE i%, k) + i

Notación algebraica: ---J-;(-----t- = ----t- , ,l( 1 + i ) ^ - I ' I l - ( 1 + t , ^ ( 1 * i ) k - " 1

' )

p t -;

-/o^ -/o lu. i% Vo *olo *

23

61 2

2,00t2 4922 2,0016 65283,0024 9861 3,0033 30874,0037 4805 4,0049 96536,0062 469? 6,0083 2?94

12,0137 4380 12,0183 2232

2,OO2O 8L77 ,2,0024 96883,00 .11 6282 3 ,0049 94464,Q062 4459 4,00,14 92276 , 0 1 0 4 0 8 2 4 6 , 0 1 2 4 8 7 8 8

12,0228 9946 12,0274 7524

2,0029 t243 2,0033 2?803,0058 2579 3,0066 56824,0087 3940 4,0099 86166,0r.45 6684 6,0166 4513

12,0320 4964 12.0366 2269

2

6t 2

2 V o; 1 0 l 4 o T i r o 7 : r o l | c " p

2

o

t 2

2,0037 4300 2,0049 8?563 ,0074 8755 3 ,0099 ??894 ,0112 3249 . 1 ,0 r49 68916,0t8 ' t 2276 6,0249 5163

12 ,0411 9435 12 .0549 0119

2,0062 3059 2,0074 72083,0t24 6549 3,0149 50374,0187 0147 4,0224 30216 ,031 1 ?452 6 ,03?3 9144

12,06859580 L2,O9227822

2,008? r20ó 2,0099 50493,0L74 3253 3,0199 11994,0267 5513 4.029876236,0436 0242 6,0498 0748

12,0959 4851 12,1096 0670

234b

t'22 +q" B?o sj % m p

t 2

2,0124 2284 2,0148 8-a163,0248 6282 3,0298 02944,0373 0709 4,0447 22896 ,0621 9992 6 ,0?45 6894

12 ,1368 8698 12 ,1641 1941

2 ,01?3 4950 2 ,0198 03903,0347 3244 3,0396 51384,O52L 2374 4.0595 09756 ,0869 14?1 6 ,0992 3740

t2,1913 0434 t2.2784 42Ll

2,0222 5247 2,0246 95083,0445 5985 3,0494 57914,0668 8103 4.074237696 ,1115 3?16 6 .1238 1418

72,2465 3306 12.2725 7763

2

6

t +vo 8Vo6vo 6+c " 79o 7 +c" p

23

o

L 2

2,O2' ,71 3793 2,0295 63013 ,0543 4565 3 ,0592 23134 ,08 r5 7981 4 ,0889 07526 ,1360 6860 6 ,1 ,183 0059

72,2995 758t 12,3265 2834

2,0319 883? 2,0344 08043,0640 9043 3,0689 4?624,0962 209t 4,1035 20096 ,1605 1031 6 ,1726 9?91

12 ,3534 3533 r2 ,3802 9?15

2,0368 2207 2,0392 30483,O73' t 94?7 3,0786 31954 ,1108 0á14 4 .1180 ?6186 ,1848 635ó 6 ,1970 0737

12,4071 1409 12.4338 8648

2ó

61 2

}t

Indice

A

Activos agotables, 331Actualización, 28Agotamiento,330,337Amortización(es):

cálculo del.as,284con cuotas extraordinarias, 284constante,283decreciente, 284definición de,279graduai,283,294por cuotas incrementad as, 283principio básico de las, 282saldo insoluto de las, 289sistema de,283

Antecedente,5Anual idades, 141

a intereses continuos, 267,269ant ic ipadas, 142, 173, 174, 777ciertas,742,224clasificación de las, 142

contingentes, 142continuas,266definición de,142diferidas, 743, 773, 197, 795, 797, 798en finanzas, 141en matemáticas financie r as, 747eventuales, 142generales, 225, 243, 245generale s anticip adas, 247generales ciertas ordinarias, 230, 237inmediatas, l42ordinarias, l42perpetuas,142plazo de Las,742,757renta en las, 155símbolos para las, 144,174simples, 143tasa de interés de las, 160valor de las,743,792valor futuro de las, 744,I45,775valor presente de las, 744,746,775, I77variables, 742, 158, 254, 255, 264

@ MArEMÁTcASFTNANoERAS

vencidas, 742,775,792 Crecrmiento natural, 110Año: Cuotas interperiodos, 284

comercial, 18rea l , 18 D

Aproximaciones, 1Depreciación, 330, 337, 333, 336

B Derechos sobre un bien pagado porcuotas,293

Base, 256 Descuento, 30,46,47Bonos, 344 a interés compuesto, 127

amortizados por sorteo, 359 bancario, 46,47,77con fecha opcional de redención,359 bancario compuesto, 128con premio,345 comerc ia l ,S0cotización en los mercados de valores,351 de un pagaré,47de anual idad,358 en cadena,46,52de valor constante, 361 por pronto pago, 51definición de, 345 racional, 30descuento de,345 Desvalorización monetaria,377intereses de los, 345 Devaluación de la moneda, 371maduración de los,359 Diagramas:precio de los, 345,346,349 de flujo de caja, 31precio con interés de los, 349 de tiempo-valor, 31precio efectivo de los,349,350,357 del interés simple,33precio flat,349 Días, inicial y terminal,20rentabil idad de los, 346 Diferencia, 11seriados, 357tasa interna de retorno de los, 346 Evalor de redención de los, 345valor en l ibros de los, 348 Ecuaciones de valores equivalentes, 35valor nominal de los, 345 Extremos, 5

Caída en desuso,331 Factor:Capital acumulado,94 de amortización, 155Capitalizaciín,ZS de interés compuesto,96Captación: de interés simple,2S

de ahorro y préstamos para adquisición del fondo de amortización, 155de bienes raíces,294 del valor futuro, 96

Característica, 8, 9 K, 19Comis iones,46,50 Fecha:Consecuente,S de vencimiento,20Corrección monetaria, 387 focal, 35Costo de remplazo,330 Flujo continuo,266

ixorcr !@

Fondo(s) : Medios,Sde ahorro y vivienda,294 Monto,28,29de amort izac ión,314,315,318 compuesto,94,95saldo insoluto de los.317

Función: Ndel t iempo,93discreta del tiempo, 94 Notación estándar,97

Numeral,25C

oCradientes,255

aritmético, 256geométrico, 261

I

Obsolescencia,33TOperaciones con decimales, 2

P

Incidencia de la desvaio¡ización en los Pagos:intereses sobre préstamos,373 de intereses, 70

Incremento, 11 después de vencimiento,49; , .lndrce: parciales,69,73

básico 100,372 Periodo:de precios,372 de capitalizaci6n,94

de pago,742Inflación,372 Plazo,47Interés, 17 Progresión:

cálculo de1,77,27 ar i tmét ica, 11, 12comercial, 19 geométrica, 13compuesto, 93,98,I70 Proporcionalidad, 3de mora, 49 constante de,.lfue-rz..r del, 113 Proporciones, 5seudc ¡ . 17simple, 16, 18,24 Rt i pe ¿ . , 1 t

Interpolac ión: Razón, 3l ineal , 12 constante,82parabcil ica, 14 Recuperación de la inversión en bienes

Intervalo de aplazamiento, 191 agotables, 338

L Redescuento,4TRedondeo, l

Loga r i tmos , 6 ,7 ,70 Reg la :americana, T4

Nf de los saldos insolutos, 74del computado¡, 1

lr 'f antisa, 8 ¡enta.742


anual,742perpetua/ 206, 207, 208, 270, 271, 274perpetua simple,207

Rentabilidad de los ahorros,375

S

Ser ie ,11geométrica, 14

T

Tablas:con factores enteros, 2de días en decimales de año,23de interés comercial, 26de interés reaI,26del tiempo,21para equivalencias decimales, 21

Tanto por ciento, 5Tasa(s), 17

aproximada, 160combinada,280continua, 113de descuento,47,87de interés, 17de interés compuesto, 94, 105de interes en ventas aplazos,TSde interés, según regla comercial,TSde interés, según regla de los saldos

insolutos, 82de interés social, 35de oportunidad, 35de retorno, L7de una anualidad, 142efectlva,36,99equivalente ,99,

'1.00

escalonadas, 46,53,55instantánea, 11.2internas, 35nominal,99nominal anticipada,36nominal vencida, 36proporcionaI,37,94

Teorema:de proporción,5del binomio, 6

Términos, 11Tiempo:

aproximado,20cálculo del, 108determinación del,20equivalente, L29

U

Unidades:de poder adquisitivo constante, 294monetarias de valor constante, 387

V

Valor:actual a interés compuesto, 30,123,7'2A,726de salvamento,33Ldel factor A de una anualidad, 423-428,

430del factor de valor futuro, 402, 403, 405del factor de valor presente, 6, 40, 409del factor VF de una anualidad,471-476,

429del factor VP de una anualid ad, 417, 429efectivo,4Tequivalente, 129futuro, 50,202,771futuro de un capital a interés compuesto,

94,95neto de una factura, 51nominal dewpagaré,47presente,128

Variantes espúreas, 282Ventas:

a crédito a corto plazo,69a plazos, 76,292a plazos con cargo de intereses sobre

saldos,77a plazos con pagos periódicos iguales,TT

Vida útiI,331

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OTROS TíTULOS DE MCGRAW.HI!.L EN ESPA.ÑO¡. COTI TEMAS AFINES

Álvarez Matemáticas financierasAyres lVatemátieas financie ras,2a. ed. (Schaunn)Baca-Urbina Evaluacién de proyectos, 3a. ed.Bfank-Tarquin Ingeniería económica, 4a. ed.Newman Anál is is económico en ingenieríaSapag Prepanaclón y evaluación oe proyectos, 3a. ed.

tsBN 958-60ffi-596-8

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matematicas financieras - 4ta ed. - licoyan poruts g

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