MATEMTICAS DIVERTIDA Y CURIOSAPrefacioEl presente volumen contiene exclusivamente recreaciones y curiosidades relativas a la Matemtica Elemental. No fueron, por lo tanto, incluidas en esta obra las variedades y problemas que envolviesen nmeros transcendentes, funciones algebraicas, logaritmos, expresiones imaginarias, curvas trigonomtricas, geometras no euclidianas, funciones moduladas, etc. Hayamos que sera ms interesante no dividir la materia que constituye este libro en partes distintas segn la naturaleza de los asuntos, aritmtica lgebra, geometra, etc. as los lectores encontrarn entrelazados, sin que tal disposicin obedezca a ley alguna, problemas numricos, ancdotas, sofismas, cuentos, frases clebres, etc.[1]Abolimos por completo las demostraciones algebraicas complicadas y las cuestiones que exigen clculos numricos trabajosos. Ciertos captulos de matemtica son abordados de modo elemental e intuitivo; no tendran otra cabida en un libro de esta naturaleza, estudios desarrollados sobre los cuadrados mgicos, sobre los nmeros amigos o sobre la divisin urea.Los profesores de matemtica, salvo raras excepciones, tienen en general, acentuada tendencia para el algebrismo rido y enfadoso. En vez de problemas prcticos, interesantes y simples exigen sistemticamente de sus alumnos, verdaderas charadas cuyo sentido el estudiantes no llega a penetrar. Es bastante conocida la frase de un gemetra famoso que despus de una clase en una escuela politcnica, exclam radiante:"Hoy s que estoy satisfecho! De toda la sala nadie entendi nada!El mayor enemigo de las matemticas es, sin duda, el Algebrista, que no sabe hacer otra cosa que sembrar en el espritu de los jvenes esa injustificada aversin al estudio de la ciencia ms simple, ms bella y ms til. Galera la cultura general de todos s los estudiantes, plagiando al clebre exegeta de Platn, escribiesen en las puertas de su escuela:"Nadie entre aqu sin saber Geometra CONTENIDOPrefacio 1. Seccin 1 2. Seccin 2 3. Seccin 3 4. Seccin 45. Seccin 1Contenido:1. Matemticos brujos2. La geometra (Kant)3. Creaturas fenomenales4. El problema de las pias5. La invencin de la matemtica6. Ilusin ptica7. El papiro Rhind8. La economa de Palo Duro9. Gemetras clebres10. Cuntos versos tienen "Os Lusadas"11. Productos curiosos12. La geometra (Poincar)13. La herencia del agricultor14. Origen del signo ms (+)15. Nmeros amigos16. La hiprbola de un poeta17. La matemtica de los caldeos18. El molino de Faraday19. El nmero 14285720. El origen de la geometra21. Los grandes gemetras22. Animales calculadores (Cecil Thir)23. La forma del cielo (Aristteles)24. Un planeta descubierto por el clculo25. El cheque de $100.00026. Origen del signo menos (-)27. La geometra (Cuturat)28. El problema de la plancha29. Precocidad30. Los grandes gemetras1. Matemticos brujosCuntanos Rebire[1] que el zar Ivn IV, conocido como el Terrible, propuso una vez un problema a un gemetra de su corte.Este era determinar cuntos ladrillos se necesitaran para de la construccin de un edificio ordinario, cuyas dimensiones eran conocidas.La respuesta fue rpida, y se lleg despus de la construccin, a demostrar la exactitud de los clculos. Ivn, impresionado con este hecho, mand quemar al matemtico, convencido que haba liberado al pueblo ruso de un brujo peligroso. Franois Vite[2], el fundador del lgebra moderna, tambin fue acusado de cultivar la brujera.As es como los historiadores narran ese curioso episodio:Durante las guerras civiles en Francia los espaoles se servan, para su correspondencia secreta, de un cdigo en que figuraban cerca de 600 smbolos diferentes, peridicamente permutado segn cierta regla que slo los sbditos ms ntimos de Felipe lo conocan. Habiendo sido, sin embargo, interceptado un despacho secreto de Espaa, Enrique IV, rey de Francia, resolvi que el genio maravilloso de Vite descifrara el escrito. El gemetra no slo descifr el documento capturado si no que descubri la palabra secreta del cdigo espaol. De ese descubrimiento, los franceses sacaron incalculable ventaja durante dos aos.Cuando Felipe II supo que sus enemigos haban descubierto el secreto del cdigo tenido como indescifrable, fue presa de gran espanto y rencor, apresurndose a en llevar al Papa Gregorio XIII la denuncia que los franceses, contrariamente a la prctica de la fe cristiana, "recurran a sortilegios diablicos de magia y brujera", denuncia a la que el Pontfice no dio ninguna atencin.Sin embargo, es curioso el hecho que Vite, a causa de su talento matemtico, fuera incluido entre los brujos y fetichistas de su tiempo.[2]

2. La Geometra (Kant)La geometra es una ciencia de todas las especies posible de espacio.

3. Creaturas fenomenalesEl escritor francs Alfonso Daudet, en su libro Tartarin de Tarascn, cuenta un episodio que destacamos a continuacin: "detrs de un camello 4000 corran, a pie descalzo, Gesticulando, riendo como locos y haciendo brillar al sol, 600.000 dientes muy blancos".Una simple divisin de nmeros enteros no muestra que Daudet, cuya vivacidad espritu es inconfundible, atribuy un total de 150 dientes para cada rabe, transformando los 4000 perseguidores en criaturas fenomenales.

4. El problema de las piasDos campesinos, A y B, encargaron a un feriante vender dos partidas de pias.El campesino A entreg 30 pias que deban ser vendidas a razn de tres por $ 1000; B entreg, tambin 30 pias para las cuales estipul un precio un poco ms caro, esto es a razn de 2 por $1000.Est claro que, efectuada la venta, el campesino A deba recibir $ 10.000 y el campesino B, $15.000. El total de la venta sera, por tanto, de $ 25.000.Al llegar, sin embargo, a la feria, el feriante se sinti dudoso. - Si yo comenzara la venta por las pias ms caras, pens, pierdo la clientela; si inicio el negocio por las ms baratas, encontrar despus, dificultades para vender las otras. Lo mejor que tengo que hacer es vender las dos partidas al mismo tiempo.Llegando esa conclusin, el aproblemado feriante reuni las 60 pias y comenz a venderlas en grupos de a cinco por $ 2000. El negocio era justificado por un raciocinio muy simple: si yo deba vender a 3 por $1000, y despus a 2 por $ 1000, esto es a razn de 400 reales cada una.Vendidas las 60 pias el feriante obtuvo $24.000.Cmo pagarles a los dos campesinos si el primero debe recibir $10.000 y el segundo $15.000?Haba una diferencia de $ 1000 que el pobre hombre no saba cmo explicar, pues haba hecho el negocio con el mximo de cuidado.Intrigadsimo repeta decenas de veces el raciocinio hecho, sin descubrir la razn de la diferencia:-Vender 3 por $ 1000 y despus vender 2 por $ 1000 es la misma cosa que vender cinco por $ 2000!Hay una diferencia de 10 centavos en el valor de cada pia para cumplir correctamente con el total. El feriante amenazaba a la matemtica con plagas terribles.La solucin del caso es simple y aparece perfectamente indicada en la figura de abajo. En el rectngulo superior estn indicadas las pias del campesino A, y en el rectngulo inferior, las del campesino B.El feriante slo dispona, como muestra la figura, que podan ser vendidos, sin perjuicio, 10 grupos a razn de 5 por $2000. Vendidos esos 10 grupos restaban 10 pias que pertenecan exclusivamente al campesino B y que por tanto no podan ser vendidas sino que a 500 reales cada una.

De ah result la diferencia que el campesino verific al terminar el negocio y que nunca pudo explicar.

5. La invencin de la Matemtica (Descartes)La matemtica tiene inventos tan sutiles, que podran satisfacer no slo la curiosidad sino que tambin para ayudar a las artes y ahorrar trabajo a los hombres.

6. Ilusin pticaLa persona que examine con atencin la curiosa figura de abajo (Figura 2) ser capaz de jurar que las curvas que en ella aparecen son espirales perfectos.Esta afirmacin es errnea. La figura constituye una notable ilusin de ptica imaginada por el doctor Frazer.Todas las curvas del diseo son crculos perfectos. Un simple comps traer esa certeza al espritu del observador.

7. El papiro RhindEl coleccionista ingls llamado Rhind adquiri un documento antiqusimo encontrado por los rabes entre las ruinas de dos tmulos de faraones. Consista ese documento, como lo comprobaron los sabios que lo tradujeron, un papiro escrito 20 siglos a. C. por un sacerdote egipcio llamado Ahms.

Nadie puede imaginar las dificultades que los egiptlogos encontraron para llevar a trmino la tarea de descifrar el papiro. Al ver el documento todo parece confuso y enmaraado. Bajo un ttulo pomposo, Las reglas para investigar la naturaleza y saber todo lo que existe, todos los misterios, todos los secretos, pero el papiro no es ms que un cuaderno de un alumno conteniendo un ejercicio de la escuela.

Esa es la opinin de un cientista notable, llamado Ravillout, que analiz con mayor cuidado el documento egipcio.El papiro contiene problemas de aritmtica, cuestiones de geometra y varias reglas empricas para el clculo de reas y de volmenes.Vamos incluir aqu, a ttulo de curiosidad, un problema del papiro:Dividir 700 haces (porcin atada de mieses) en cuatro personas de modo de dar dos tercios a la primera, un medio a la segunda, un tercio a la tercera y un cuarto a la cuarta.El papiro de Ahms, segn mostr el profesor Raja Gabaglia, en varios problemas de adicin y de substraccin aparecen indicadas por signo que representa dos piernas. Cuando esas piernas estaban vueltas hacia la direccin de la escritura, representaban un signo ms; cuando estaban orientados en direccin opuesta, indicaban un signo menos. Esos fueron, tal vez, los primeros signos de operaciones usados en matemtica.Y el coleccionista Rhind, por causa de ese papiro, se hizo famoso en matemtica sin haber cultivado o estudiado jams esa ciencia.

8. La economa de Palo DuroUn avaro, que el pueblo apodaba Palo Duro, movido por la mana mrbida de juntar dinero, resolvi cierta vez, economizar de la siguiente forma: el primer da del mes guardara en un cofre, un veinte; el segundo da, dos veintes; el tercer da, cuatro veintes; el cuarto da, ocho veintes y as doblando sucesivamente, durante 30 das seguidos.Cunto tendra Palo Duro almacenado, de ese modo, cuando terminase el mes? Ms de un conto[4] de real? Menos de un conto?Para que el lector no se sienta complicado vamos a ser algunos esclarecimientos.Al fin de una semana, o mejor, ocho das despus, el avaro habra economizado apenas 255 veintes, esto es, $ 5100.Y al fin de las cuatro semanas?Un profesor de matemtica propuso ese problema de improviso a un grupo de 50 estudiantes. La solucin debera ser dada mentalmente.Uno de los alumnos respondi luego que la suma no pasara de $ 500.000.Otro estim en dos contos de real la suma total.Un tercero, inspirado por alguna desconfianza sobre el resultado del problema, asegur que Palo Duro tendra casi 200 contos de real.-No llega a 100 contos!- Afirm con seguridad el primer calculista del grupo.En resumen, no hubo ningn estudiante que diese un resultado aproximadamente verdadero.Al cabo de 30 das, el avaro habra economizado un nmero de veintes igual a 1.073.741.823, el nmero que equivale a la cantidad de 21.474.836.460 centavos. Ms de 21.000 contos! El lector no lo cree? Haga entonces las cuentas y verifique que ese resultado es rigurosamente exacto.

9. Gemetras clebresTales de Mileto, clebre astrnomo y matemtico griego. Vivi cinco siglos antes de Cristo. Fue uno de los siete sabios de Grecia y fundador de la escuela filosfica denominada Escuela Jnica. Fue el primero en explicar la causa de los eclipses de sol y de luna. Descubri varias proposiciones geomtricas. Muri a los 90 aos de edad, asfixiado por la multitud, cuando se retiraba de un espectculo.

10. Cuntos versos tienen "Os Lusadas"? [5]Como todos saben las Lusadas presentan 1102 estrofas y cada estrofa contiene ocho versos. Cuntos versos tienen todo el poema?Presentado ese problema cualquier persona responder con certeza:- Esa es una pregunta infantil. Basta multiplicar 1102 por ocho. Las Lusadas tienen 8816 versos.Pues esa respuesta, con gran sorpresa para los algebristas, no est correcta. Las Lusadas, an teniendo 1102 estrofas con ocho versos cada una presentan 8814 versos y no 8816 como era de esperar.La razn es simple. Hay en ellas dos versos repetidos, y que por lo tanto no pueden ser contados dos veces.Todava hay un nuevo problema sobre el nmero de versos del clebre poema pico portugus: cuntos versos tiene Cames en las Lusadas?Aquel que responda que el inmortal poeta compuso 8114 tratando de acertar yerra redondamente!Cames presenta en las Lusadas apenas 8113 versos pues de los 8114 es preciso descontar un verso de Petrarca[6], incluido en la estrofa 78 del Canto IX.

11. Productos curiososAlgunos nmeros, resultantes de los factores de multiplicacin de nmeros enteros, presentan sus dgitos dispuestos en una forma nica.Estas cifras, que aparecen en los productos llamados curiosos, han sido objeto de la atencin de los matemticos.Citemos algunos ejemplos. Tome el nmero 12345679 en el que aparecen, en orden aumento de sus dgitos, todas las cifras significativas, excepto de 8. Multiplique este nmero por mltiplos de 9, a saber: 9, 18, 27, 36, etc., y obtenemos:12 345 679 x 9 = 111 111 11112 345 679 x 18 = 222 222 22212 345 679 x 27 = 333 333 33312 345 679 x 36 = 444 444 444Vemos que el producto resulta en nueve dgitos iguales.Los productos que indicamos abajo, tienen un multiplicando constante igual a nueve:9 x 9 = 819 x 98 = 8829 x 987 = 8 8839 x 9 876 = 88 884presentan tambin una singularidad. En estas cifras el nmero 8 repetido 1, 2, 3 veces, etc., como lo seala el ltimo dgito de la derecha.

12. La geometra (Poincar)El espacio es un objeto que el gemetra debe estudiar.

13. La herencia del agricultorUn agricultor ha dejado un legado para sus cuatro hijos en forma baja de un cuadrado donde haban recibido la orden de plantar 12 rboles.El terreno debe estar dividido en 4 partes geomtricamente idnticas, cada una con el mismo nmero de rboles.El dibujo II de la figura siguiente, claramente muestra como debe ser asignado el terreno a fin que se cumplan las exigencias del agricultor.

14. Origen del signo ms (+)El empleo del signo ms (+) aparece en la Aritmtica Comercial de John Widman d'Eger, publicado en Leipzig en 1489.Los antiguos matemticos griegos, como se ve en la obra de Diofanto, se limitaban a indicar la yuxtaposicin de las partes, adems, un sistema que hoy tenemos, cuando nos referimos a la suma de un nmero entero con una fraccin. Los italianos usaban la letra P como signo para la operacin de suma, inicial de la palabra latina plus.

15. Nmeros amigosCiertas propiedades de nmeros enteros reciben nombres curiosos, que a menudo ha sorprendido a los espritus con la guardia baja, o no muy afectos a transformaciones aritmticas mltiples. Algunos matemticos buscan dentro de la ciencia un ancho campo abierto, donde pueden hacer aterrizar las fantasas ms extravagantes, con una pericia semejante a la de grandes pilotos.Citemos, para justificar esta aseveracin, los casos de los llamados nmeros amigos, que han sido minuciosamente estudiados en varios compendios.Cmo averiguar, preguntar el lector, aquellos nmeros atrapados por los lazos de amistades matemticas? Qu mtodos usar el gemetra, para descubrir, dentro de una serie numrica, los elementos conectados por la autoestima?En dos palabras puedo explicar lo que es el concepto de los nmeros amigos de las matemticas.Consideremos, por ejemplo, los nmeros 220 y 284.El nmero 220 es divisible exactamente por los nmeros siguientes:1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110Son esos los divisores de 220 y que son menores que 220.El nmero 284 es, a su vez, divisible exactamente por los siguientes nmeros: 1, 2, 4, 71 y 142son esos los divisores de 284, y que son menores que 284.Pues bien, hay entre esos dos nmeros una coincidencia realmente notable. Si sumamos los divisores de 220 arriba indicados, vamos a obtener una suma igual a 284; si sumamos los divisores de 284, el resultado ser igual a 220. Por eso dicen los matemticos que esos dos nmeros son amigos.Hay una infinidad de nmeros amigos, pero ahora calcularemos slo 26 pares. Tomemos por ejemplo el nmero 6, que es divisible por los nmeros uno, dos y tres. La suma de esos nmeros (1 + 2 +3) es igual a seis. Concluimos entonces, que el nmero seis es amigo del mismo 6, o sea es amigo de s mismo. Ya hubo quien quisiese inferir de ese hecho, que el nmero 6 es un nmero egosta[7].Pero eso, como dira Kipling, ya es otra historia...

16. La hiprbola de un poetaGuilherme de Almeida, Uno de nuestros ms brillantes poetas, tiene su libro encantamiento (p. 57) una linda poesa en la que incluye los siguientes versos:y como una serpiente,corre suave y se despliega,entonces,en hiprbolas lentas,siete colores violentos,sobre el pisoLa linda y original imagen sugerida por el talentoso acadmico no puede ser, infelizmente, admitida en geometra. Una hiprbola es una curva de segundo grado, constituida por dos ramas, luego una serpiente, no puede ser partida en cuatro pedazos, jams podra formar hiprbolas lentas sobre el piso.En Carta a mi novia, encontramos una interesante expresin geomtrica creada tambin por el laureado poeta:en el centrode ese crculo que has de hacercomo un punto;punto final del largo y aburrido cuento.Para que alguna cosa pueda ponerse en el centro de un crculo, debe ser, previamente, esto es claro, reducida a un punto, pues segn afirman los matemticos, el centro de un crculo es un punto...y, en ese "punto", Guilherme de Almeida tiene razn.

17. La matemtica de los caldeosCiertos documentos concernientes a matemtica de los caldeos datan de 3000 aos antes de Cristo[8], en cambio, los documentos egipcios ms antiguos proceden de cerca de 1700 aos a. C.Los famosos fragmentos han puesto de manifiesto que el desarrollo cientfico de la matemtica en Babilonia eran enormes, es cierto, pero totalmente aislados unos de otros.Es interesante observar que la representacin de las ruedas de coche asirios siempre aparecen con seis rayos, diametralmente opuestos.

Los caldeos adoptaron, y de esto no hay duda alguna, un sistema de numeracin que se basa en el nmero 60, es decir, en la que 60 unidades de un orden de magnitud, hacen una unidad de orden superior siguiente. Y con este sistema slo se lleg al nmero 12 960 000, que corresponde a la cuarta potencia de la base 60.La geometra de los caldeos y asirios tena un carcter esencialmente prctico y era utilizada en trabajos rudimentarios de agrimensura. Saban descomponer, para la determinacin de un rea, un terreno irregular en tringulos rectngulos, rectngulos y trapecios. Las reas del cuadrado (como caso particular de un rectngulo), del tringulo rectngulo y el trapecio fueron correctamente establecidas. Llegaron tambin (3000 aos antes de Cristo!) al clculo del volumen de un cubo, de un paraleleppedo y tal vez, del cilindro.Es interesante sealar que en las representaciones de los carros asirios, las ruedas aparecan siempre con seis rayos, opuestos diametralmente y formando ngulos centrales iguales. Eso no lleva a concluir, con toda seguridad, que los caldeos conocan el hexgono regular y saban dividir la circunferencia en seis partes iguales. Cada una de esas partes de circunferencia era dividida, a su vez, en 60 partes, tambin iguales (por causa de su sistema de numeracin) resultando de ah la divisin total de la circunferencia en 360 partes o grados.

18. El molino de FaradayDijo Faraday, el famoso qumico: La matemtica es como un molinillo de caf que muele admirablemente lo que se les da a moler, pero no devuelve nada ms que lo que usted le dio.

19. El nmero 142857Cuando nos referimos a productos curiosos, procuramos destacar las singularidades presentan ciertos nmeros con la disposicin original de sus dgitos. El nmero 142857 es, en este gnero, uno de los ms interesantes de la matemtica y puede ser incluido entre los llamados "nmeros cabalsticos".Veamos las transformaciones curiosas que podemos efectuar con ese.Multipliqumoslo por 2, el producto ser:142 857 x 2 = 285 714Vemos que los dgitos del producto son los mismos del nmero dado, escritos, sin embargo, en otro orden.Efectuemos el producto del nmero 142857 por 3.142 857 x 3 = 428 571Otra vez observamos la misma singularidad: los dgitos del producto son precisamente los mismos del nmero pero en un orden alterado.Lo mismo ocurre multiplicando por cuatro, cinco y seis.142 857 x 4 = 571 428142 857 x 5 = 714 285142 857 x 6 = 857 142Una vez que llegamos al factor siete, vamos a notar otra particularidad. El nmero 142 857 multiplicado por siete da como producto999 999Nmero formado por seis nueves!Experimenten multiplicar el nmero 142 857 por ocho. El producto ser:142 857 x 8 = 1 142 856Todos los dgitos del nmero que aparecen ahora en el producto con excepcin del 7. El 7 del nmero dado fue de compuesto en dos partes, seis y uno. El dgitos seis se ubic a la derecha y un dgito uno fue a la izquierda para completar el producto.Veamos ahora lo que acontece cuando multiplicamos el nmero 142 857 por nueve:142 857 x 9 = 1 285 713Observen con atencin ese resultado el nico dgito del multiplicando que no figura en el producto es el cuatro. Qu habr acontecido con ese cuatro? Aparece descompuesto en dos partes, uno y tres colocados en los extremos del producto.Del mismo modo podramos verificar las irregularidades que presenta nmero 142 857 cuando es multiplicado por 11, 12, 13, 15, 17, 18, etc.Algunos autores llegan a afirmar que hay una especie de cohesin entre los dgitos del nmero 142 857, que no permiten que esos dgitos se separen.Varios gemetras notables, Fourrey, E. Lucas, Rouse Bali, Guersey, Legendre y muchos otros, estudiaron minuciosamente las propiedades del nmero 142 857.Fourrey, en su libro "Rcrations Arithmtiques", presenta el producto del nmero 142 857 por 327 451. Al efectuar su operacin, notamos una interesante disposicin numrica: las columnas de dos productos parciales estn formadas por dgitos iguales.Retomemos el nmero 142 857 y determinemos el producto de ese numero por los factores 4, 14, 21, 28, etc. mltiplos de 7. Estos son los resultados:142 857 x 7 = 999 999142 857 x 14 = 1 999 998142 857 x 21 = 2 999 997142 857 x 28 = 3 999 996Los resultados presentan una disposicin muy interesante. El primer producto es un nmero formado por seis dgitos iguales a 9; el segundo producto aparecen solo cinco dgitos iguales a 9, siendo el sexto "descompuesto" en dos partes que fueron a ocupar los extremos de los resultados. Y as sucesivamente.Cmo aparece en aritmtica ese nmero 142 857?Si convertimos la fraccin ordinaria 1/7 a su forma decimal, vamos a tener la cifra peridica simple cuyo perodo es precisamente 142 857. Quien ya ha estudiado fracciones ordinarias y decimales podr comprender fcilmente que las fracciones ordinarias 2/7, 3/7, 4/7, 5/7 y 6/7, cuando se convierten en fracciones decimales tendrn tambin fracciones peridicas simples cuyos perodos estn formados por los dgitos 1, 4, 2, 8, 5 y 7, que aparecern en cierto orden, conforme al valor del numerador. Esta es la explicacin de la famosa "cohesin" aritmtica pretendida por algunos investigadores.Para los antiguos matemticos, el nmero 142 857 era "cabalstico", con propiedades "misteriosas"; estudiado, sin embargo, desde el punto de vista aritmtico, no pasa de un perodo de una fraccin peridica simple.Lo mismo ocurre con los perodos en las fracciones decimales 1/17, 1/23, etc.El nmero 142 857, que algunos algebristas denominan "nmero impertinente" no es, por tanto, el nico en presentar particularidades en relacin a la permanencia de algunos dgitos en diversos productos.

20. El origen de la geometraLos historiadores griegos, sin excepcin, sitan en Egipto el origen de la geometra, y atribuyen, por tanto, a los habitantes del valle del Nilo la invencin de esa ciencia.Las peridicas inundaciones del clebre ro forzaron a los egipcios al estudio de la geometra, puesto que una vez pasado el perodo de inundacin, cuando las aguas retornaban su curso normal, era necesario repartir nuevamente las tierras, desafiando la inteligencia de los "cuervos", para entregar a los seores sus antiguas propiedades perfectamente delimitadas. La pequea faja de tierra rica y frtil, era disputada por muchos interesados, se hacan mediciones rigurosas con el fin que cada uno, sin perjuicio de otro, le fuese reintegrada su propiedad en la posicin exacta.

21. Los grandes gemetrasPitgoras, matemtico y filsofo griego. Naci seis siglos a. C. en la isla de Samos. Fund en Crotona, en el sur de Italia, una escuela filosfica que lleg a ser notable. Sus discpulos se denominaban pitagricos. Sobre la vida de Pitgoras hay una infinidad de leyendas.Muri en el ao 470 a. C., asesinado en Tarento, durante una revolucin poltica.

22. Animales calculadores (Cecil Thir[9])Un observador curioso, Leroy, quiso concluir con seguridad, despus de varias experiencias, que los cuervos podan contar, sin error, hasta cinco.Este es el artificio utilizado por Leroy.Habiendo verificado que los cuervos nunca vuelven al nido cuando alguien est en la vecindad, se construy una pequea choza a una distancia prudente de un nido de cuervos. En el primer da, Leroy mand que un hombre entrara en la cabaa y observ que los cuervos no se acercaban al nido, hasta que el hombre se retiraba de ella. En el segundo da se repiti la experiencia pero con dos hombres; los cuervos esperaron que los dos hombres abandonasen el improvisado escondrijo. El mismo resultado fue obtenido sucesivamente en los das siguientes, con tres, cuatro y cinco hombres.Esas experiencias mostraban claramente que los cuervos contaban los hombres, no slo cuando entraban, sino que tambin despus, cuando con pequeos intervalos salan de la cabaa.Con seis hombres las cosas no pasaban del mismo modo; los cuervos se equivocaban al contar, para ellos era muy complicado, y volvan al nido cuando la cabaa todava albergaba algunos de los emisarios de Leroy.Los perros y los elefantes son igualmente dotados de una admirable inteligencia. Spencer, filsofo ingls, se refiere en su libro La Justicia, a un perro que contaba hasta tres.Y Lucas, en sus originalsimas Rcrations Mathmatiques, nos presenta un caso bastante singular. Se trata de un chimpanc del jardn zoolgico de Londres que aprendi a contar hasta cinco.

23. La forma del cielo (Aristteles)El cielo debe ser necesariamente esfrico, puesto que la esfera siendo generada por la rotacin del crculo, es de todos los cuerpos, el ms perfecto.Los nmeros gobiernan el mundo (Platn)

24. Un planeta descubierto por el clculoA mediados del siglo XIX, los astrnomos habran verificado, de modo indiscutible, que el planeta Urano presentaba ciertas irregularidades en su movimiento. Cmo explicar las causas de esas irregularidades?El clculo de Neptuno (Fernandes Costa)Leverrier, que revisUn intrincado problema,Ms de un planeta predijoDentro de nuestro sistema.Y como de bien el estudio,Saber el movimientoLe orden a brillarEn un punto en el cielo!El telescopio dirigidoFue justo, en la cara del cieloY en el lugar designadoNeptuno apareci.Le Verrier, siguiendo los consejos de Arago, resolvi abordar la solucin de este famoso problema astronmico. El sabio francs, que todava era muy joven ya que tena slo 35 aos de edad, sabe, desde luego, dar feliz orientacin a sus investigaciones. Y para abordar la cuestin resolvi atribuir las perturbaciones de Urano a un astro cuya posicin en el cielo era preciso determinar.Y Le Verrier, an con la incertidumbre de los resultados, escribi: Si se pudiera determinar un punto en el cielo donde los astrnomos deben reconocer un cuerpo extrao, fuente de tantas dificultades?[10]Algunos meses despus se encontr la solucin; un el da 1 de junio de 1846, Le Verrier presentaba a la Academia Francesa las coordenadas celestes del planeta perturbador de Urano. Existira realmente aquel astro que Le Verrier sospechaba y que hasta entonces nadie haba visto? La academia recibi con cierta desconfianza la aseveracin lanzada por el joven matemtico.Galle, astrnomo del observatorio de Berln, menos por conviccin que para atender el pedido de Le Verrier, procur observar el trecho de la bveda celeste donde deba hallarse el "planeta desconocido", y verific que all exista un astro que corresponda exactamente a la estimacin del sabio francs, como si fuera hecho a la medida. Ese astro recibi el nombre de Neptuno.Tal resultado, ms all de representar un incomparable triunfo para la Mecnica Celeste, vino a demostrar la fecundidad asombrosa de las leyes fsicas cuando se emplean inteligentemente.

25. El cheque de $100.000Un individuo entr en una zapatera y compr un par de zapatos por $60.000, entregando en pago un cheque por $100.000.El zapatero que en ese momento no tena cambio, mand a uno de sus empleados para que cambiara en una confitera prxima. Recibido el dinero, dio al cliente el cambio y el par de zapatos que haba adquirido.Momentos despus lleg el dueo de la confitera exigiendo la devolucin de su dinero porque el cheque era falso. El zapatero se vio forzado a devolver los $100.000 que haba recibido.Surge al final una duda: cul fue el perjuicio que el zapatero tuvo en este complicado negocio?La respuesta es simple y fcil. Mucha gente sin embargo, se sentir enredada sin saber cmo esclarecer la cuestin.El perjuicio del zapatero fue de 40.000 y un par de zapatos

26. Origen del signo menos (-)Es interesante observar las diferentes formas por las que pas el signo de sustraccin y las diversas letras que los matemticos utilizaron para indicar la diferencia entre dos elementos.En la obra de Diofanto, entre las abreviaturas que constituan el lenguaje algebraico de ese autor, se encuentra la letra griega , indicando sustraccin. Esta letra era empleada por el famoso gemetra de Alejandra, como seal de operacin invertida o truncada.Para los indios, como se encuentra en la obra de Bhaskara[11], el signo de sustraccin consista en un simple punto colocado sobre la cifra que constituye el sustraendo.La letras M, algunas veces m, se us durante un largo perodo por los algebristas italianos, para indicar sustraccin: Luca Pacioli, adems de emplear la letras m, colocaba entre los trminos de la sustraccin, la expresin DE, abreviatura de demptus.A los alemanes les debemos la introduccin del signo - (menos), atribuido a Widman. Piensan algunos autores que el smbolo menos (-), tan extendido y tan simple, corresponde a una forma lmite que tendra la letra m cuando se escribe rpidamente.Adems, Vite, considerado como el fundador del lgebra moderna, escriba el signo = entre dos cantidades, cuando quera indicar la diferencia entre ellas.

27. La geometra (Cuturat)La geometra, en general, todava pasa por ser la ciencia del espacio.

28. El problema de la planchaUn carpintero tiene una plancha de 0,80 m de largo por 0,30 m de ancho. Quiere cortarla en dos pedazos iguales para obtener una pieza rectangular que tenga 1,20 m de largo por 0,20 m de ancho.

SolucinLa plancha debe ser cortada conforme indica la lnea punteada del dibujo de arriba; los pedazos A y B debern ajustarse como indica el dibujo abajo.

29. Precocidad Blaise Pascal, a los 16 aos de edad, escribe un tratado sobre las cnicas, considerado como uno de los fundamentos de la Geometra moderna. Evaristo Galois, a los 15 aos, discuta y comentaba las obras de Legendre y Lagrange. Alexis Clairaut, se hallaba a los diez aos, apto para leer y comprender las obras del marqus de Guillaume Franois Antoine, marqus de l'Hpital sobre clculo. Joseph Bertrand, a los once aos iniciaba un curso en la Escuela Politcnica y a los 17, reciba el grado de doctor. Nicols Henri Abel, noruego, hijo de un pastor protestante, a los 16 aos de edad haca investigaciones sobre el problema de la resolucin de ecuaciones de quinto grado. Muri de 26 aos.30. Los grandes gemetrasPlatn, gemetra y filsofo griego. Naci en Atenas en el ao 430 y muri en el ao 347 a. C. En un principio estudi en Egipto y ms tarde entre los pitagricos. Introdujo en la geometra el mtodo analtico, el estudio de las secciones cnicas y la doctrina de los lugares geomtricos. Llam a Dios, el Eterno Gemetra, y escribi en el dintel de su escuela: "No entre aqu quien no es gemetra"

Notas: [1] Rebire Mathmatiques e mathmaticiens. [2] Matemtico francs, nacido en 1540 y fallecido en 1603. [3] Ver artculo "Franois Vite" del libro lgebra, 3 ao, de Cecil Thir y Mello y Souza. [4] Conto: moneda no oficial de Brasil, equivalente a un milln de centavos (NT) [5] Os Lusadas, de Lus de Cames, es una epopeyaportuguesa por excelencia publicada por primera vez en 1572, tres aos despus del regreso del autor de Oriente. Se compone de diez cantos, con nmero variable de estrofas, que son en su mayora octavas decaslabas[6] El verso del lrico italiano es el siguiente y corresponde al proverbio portugus: "de la mano a la boca se pierde muchas veces la sopa" [7] Leer el artculo titulado "Nmeros perfectos" en este mismo libro. [8] Abel rey [9] Del libro Matemtica, 1 ao, de Cecil Thir y Mello e Souza. [10] H. Vokringer, Les tapes de la physique, 1929, p. 196 [11] Bhaskara, famoso astrnomo y matemtico indio. Vivi en el siglo XII

Principio del formulario

con la tecnologa de

Final del formulariowebImagenOrdenar por:RelevanceRelevanceDate

web

Imagen

CONTENIDOPrefacio 1. Seccin 1 2. Seccin 2 3. Seccin 3 4. Seccin 45. Seccin 2Contenido:1. Una resta hecha hace ms de mil aos2. Ilusin3. Adivinanza matemtica4. Origen del signo de multiplicacin (x)5. La plaza cuadrangular6. El smbolo de los pitagricos (Rouse Ball)7. La matemtica (Pedro Tavares)8. El problema de las abejas9. El uso de las letras en el clculo (A. Lisboa)10. La matemtica en la literatura, crculos y ejes11. Tales y la vieja12. Ilusin ptica13. El fin de la ciencia (Jacobi)14. El problema de la piscina15. La nocin del infinito (J. Tannery)16. Los grandes gemetras17. Disposicin curiosa18. Un Papa gemetra19. Crculos diferentes20. Las noventa manzanas21. Superficie y recta22. Paradoja geomtrica 64 = 6523. Las cosas son nmeros24. Nmeros perfectos25. Un error de Anatole France26. Multiplicacin rusa27. Un nmero grande28. El crculo29. Papel mural30. Los grandes gemetras (Arqumedes)

1. Una resta hecha hace ms de mil aosVamos a mostrar cmo se haca, en el ao 830, una resta de nmeros enteros. Para que el lector pueda acompaar con facilidad todas las operaciones, emplearemos nomenclatura moderna.Del nmero 12 025 restaremos 3 604.La operacin se iniciaba por la izquierda (operacin I). Decimos: de 12 restamos 3 y quedan nueve; cancelamos los dgitos considerados y escribimos el resto obtenido encima del minuendo (ver figura).

Continuamos: de 90 restamos 6 y restan 84. La diferencia obtenida (operacin II) es escrita sobre el minuendo, y los dgitos que formaban los trminos de la sustraccin, aparecen cancelados.Finalmente de 8425 restamos 4 y quedan 8421 (operacin III) y sa es la diferencia entre los dos nmeros dados.As era como Mohamed Ben Musa Alkarism, gemetra rabe y uno de los sabios ms notables del siglo IX, restaba dos nmeros enteros[1].Qu cosa tan complicada!

2. IlusinCualquier persona que observe la ilustracin, pensar que de las tres figuras que ah aparecen, el hombre es el ms alto.

Puro engao! Los tres tienen la misma estatura

3. Adivinanza matemticaColoque sobre una mesa, varias cartas como se indica en la figura. Algunas de ellas, tres por ejemplo, son puestas en una lnea recta y las otras forman una curva que se cierra sobre la lnea recta.

Hecho esto, pida a una persona que piense un nmero cualquiera y cuente, a partir de A, tantas cartas como unidades tiene ese nmero; y que a partir de la ltima carta obtenida, retroceda por el camino indicado por la flecha 2, tantas cartas como fueran las unidades del nmero pensado.Podemos "adivinar" inmediatamente la carta a que la persona lleg, sin conocer el nmero pensado y sin ver, mucho menos, realizar las operaciones que acabamos de indicar.Vamos a suponer que la persona haba pensado, por ejemplo, el nmero 8. Contamos 8 a partir de A (flecha 1), ella ir a parar a la carta C (siguiendo la flecha 2), ella ir a parar fatalmente a la carta indicada con una cruz.Para saber la carta final se debe contar de B (flecha 2) tantas cartas cuantas fueren aquellas que estuviesen en lnea recta fuera de la curva.Conviene alterar siempre, despus de cada adivinacin hecha, no slo el nmero de cartas dispuestas en lnea recta como tambin el nmero de cartas que forman la curva.

4. Origen del signo de multiplicacin (x)El signo de multiplicar (x) es relativamente moderno. El matemtico ingls William Oughtred, lo emple por primera vez en el libro Clavis Matematicae, publicado en 1631. Adems, en ese mismo ao, Harriot, tambin para indicar el producto a efectuar, colocaba un punto entre los factores.En 1637, Descartes ya se limitaba a escribir los factores acercados y de ese modo abreviado indicaba un producto cualquiera. En la obra de Leibniz se encuentra el signo ^ para indicar la multiplicacin; este mismo signo, puesto de modo inverso, indicaba la divisin.

5. La plaza cuadrangularUn propietario tena un terreno exactamente cuadrado, ABCD, vendi una cuarta parte a la prefectura, y esa cuarta parte, AGFE tambin tena forma de cuadrado.La parte restante deba ser repartida en cuatro partes que fuesen iguales en forma y tamao.Cmo resolver el problema?La figura II indica perfectamente la solucin.

6. El smbolo de los pitagricos (Rouse Ball)Jmblico, a quien debemos la revelacin de este smbolo[2], refiere que estando en de viaje cierto pitagrico, se enferm en la posada en la que se haba hospedado para pasar la noche. Era pobre y estaba fatigado, ms el posadero, hombre bondadoso, le prest cariosa asistencia e hizo todo lo posible para restituirle la salud.

No obstante, a pesar de su desvelo, el enfermo empeoraba.Sospechando que iba a morir y sin poder pagarle lo que deba al posadero, el enfermo pidi una tabla y en ella traz la famosa estrella simblica. Se present con el posadero y le pidi que la pusiera sobre el dintel de la posada de modo que pudiera ser vista por todos los transentes, asegurando que algn da su caridad sera recompensada. El estudioso muri, fue enterrado convenientemente y la tabla segua expuesta de acuerdo a su deseo.Pas un largo tiempo cuando un da el smbolo sagrado atrajo la atencin de un viajero que pasaba por la posada. Apenas entr en ella y despus de haber odo el relato del posadero, le recompens generosamente.Tal es la ancdota de Jmblico. Si le falta veracidad, al menos, es curiosa.

7. La matemtica (Pedro Tavares)La matemtica no es un instrumento exclusivamente destinado a dar explicaciones de los fenmenos de la naturaleza, esto es, las leyes naturales. No. Posee tambin un valor filosfico del que nadie puede dudar; un valor artstico, o mejor, esttico, capaz de conferirle el derecho de ser cultivada por s misma, tal como las numerosas satisfacciones y jbilos que esa ciencia nos proporciona. Ya los griegos posean, en grado elevado, el sentimiento de la armona de los nmeros y de la belleza de las formas geomtricas.

8. El problema de las abejasAfirma Maeterlink en su famoso libro sobre las abejas, que eso animales, en la construccin de sus alvolos, resuelven un problema de alta matemtica.

Indudablemente que en esta aseveracin hay cierta exageracin del escritor belga: el problema que las abejas resuelven puede ser abordado, sin gran dificultad, con los recursos de la matemtica elemental.No nos importa, sin embargo, si el problema es elemental o trascendental; la verdad que para esos pequeos y laboriosos insectos, resuelven un interesantsimo problema por un artificio que llega a deslumbrar la inteligencia humana.

Todos saben que las abejas construyen sus alvolos para depositar la miel que fabrica. Esos alvolos son de cera. La abeja procura, por tanto, obtener una forma de alvolo que sea la ms econmica posible, o lo que es lo mismo, que presente el mayor volumen para la menor cantidad de material empleado.Es preciso que la pared de un alvolo sirva tambin para el alvolo vecino. Luego, el alvolo no puede tener forma cilndrica, pues de lo contrario, la pared slo servira para un solo alvolo.Las abejas procuran una forma prismtica para sus alvolos. Los nicos prismas regulares que pueden ser yuxtapuestos sin dejar ningn intersticio son: el triangular, el cuadrangular y el hexagonal. Este ltimo fue el que escogieron las abejas. Y saben por qu? Porque de los tres prismas regulares A, B y C construidos con igual porcin de cera, el prisma hexagonal es el que presenta mayor volumen.se es el problema solucionado por las abejas:Dados tres prismas regulares de la misma altura A (triangular), B (cuadrangular), C (hexagonal), teniendo la misma rea lateral, cul es el que tiene mayor volumen? Una vez determinada la forma de los alvolos, era preciso cerrarlos, esto es, determinar el medio ms econmico de cubrir los alvolos.La forma que se adopt fue la siguiente: al fondo de cada alvolo se construyen con tres rombos iguales.[3]Maraldi, astrnomo del observatorio de Pars, determin experimentalmente y con absoluta precisin, los ngulos de ese rombo y hall 10928' para el ngulo obtuso y 7032' para el ngulo agudo.El fsico Raumur, suponiendo que las abejas eran guiadas en la construccin de los alvolos por un principio de economa, propuso al gemetra alemn Koening en 1739, el siguiente problema:Entre todas las clulas hexagonales, con un fondo formado por tres rombos, determinar la que se construye con la mayor economa de material.Koening no conoca los resultados obtenidos por Maraldi y hall que los ngulos del rombo del alvolo matemticamente ms econmico deban ser 10926' para el ngulo obtuso y 7034' para el ngulo agudo.La concordancia entre las medidas hechas por Maraldi y los resultados calculados por Koening era increble. Los gemetras concluiran que las abejas cometan, en la construccin de sus alvolos, un error de 2' en los rombos de oclusin[4].Concluiran los hombres de ciencia que las abejas erraban, ms entre el alvolo que construan y el albero matemticamente correcto haba una diferencia extremadamente pequea.Hecho curioso! Algunos aos despus (1743) el gemetra Mac Laurin retom nuevamente el problema y demostr que Koening estaba equivocado y que el resultado correcto eran los valores dados por Maraldi, 10928' y 7032', que corresponda exactamente a la construccin de las abejas.La razn estaba pues con las abejas. El matemtico Koening haba errado!

9. El uso de las letras en el clculo (A. Lisboa)Los griegos ya empleaban letras para designar nmeros u objetos. Es con ellos que surgen los primeros vestigios del clculo aritmtico efectuado sobre letras. Diofanto de Alejandra (300 a.C.) empleaba las letras como abreviacin, pero solo tena in simbolismo perfectamente sistematizado para una nica cantidad, para las potencias hasta la sexta y para los inversos de esas potencias. En general, los griego representaban las cantidades por lneas determinadas por una o dos letras, y pensaban como en geometra.Los clculos sobre letras son mas numerosos en los autores indios que en los griegos. Los rabes de oriente usaron smbolos algebraicos a partir de la publicacin de "Aljebr walmukbala" de Alkarism (siglo IX) y los rabes de occidente, a partir del siglo XII; en el siglo XV, Alcalsdi introdujo nuevos smbolos.El lgebra moderna slo adquiere carcter propio, independiente de la aritmtica, a partir de Vite, que sistemticamente sustituy el lgebra numrica por el lgebra literal o de smbolos.Vite no empleaba el trmino lgebra, pero s usaba anlisis, para designar esta parte de la ciencia matemtica donde brilla su nombre.Antiguamente se atribua el origen de la palabra lgebra al nombre del matemtico rabe Geber, pero en realidad su origen se halla en la operacin que los rabes llaman aljebr.

10. La matemtica en la literatura, crculos y ejesEs interesante observar las formas curiosas e imprevistas que los escritores y poetas, indiferentes a las preocupaciones cientficas, le dan a las expresiones matemticas que utilizan. Muchas veces, para no sacrificar la elegancia de una frase, el escritor modifica un concepto puramente matemtico, presentndolo bajo un aspecto que est muy lejos de ser riguroso y exacto. Sometido a las exigencias mtricas, no dudar tampoco en menospreciar todos los fundamentos de la vieja geometra.No slo las formas esencialmente geomtricas, sino que tambin muchas proposiciones algebraicas, visten los esqueletos de sus frmulas con una indumentaria vistosa de literatura.Ciertos escritores inventan, a veces, comparaciones tan atroces, que hacen rer a los que cultivan la ciencia de Lagrange. Veamos por ejemplo, como el seor Elcias Lopes, en su libro "Tela de Araa"[5], describe la tarea complicada de un arcnido: En la medida que las devanaderas se desenrollan, se va tejiendo una filigrana de crculos concntricos que se solapan, en una notable simetra, y ligados entre s por una lluvia de rayos convergentes hacia un eje central.Este largo prrafo, que parece tan enmaraado como la propia tela, no tiene sentido alguno para un matemtico. Aquellos crculos concntricos sobrepuestos forman una figura que no puede ser definida en Geometra. Y como podramos admitir crculos concntricos sobrepuestos con una admirable simetra! El seor Elcias no ignora naturalmente que la araa aplica, en la construccin de su tela, principios de resistencia de materiales relativos a la distribucin ms econmica de fuerzas de un sistema en equilibrio. Y an ms: una araa haciendo figuras homotticas demuestra perseguir ese "espritu geomtrico" que el naturalista Huber, de Gnova, quera atribuir a las abejas. Entonces, una araa sera incapaz de concebir "crculos concntricos simtricos". Simtricos en relacin a qu? con respecto a un punto? a una recta?Y segn el autor de Tela de Araa, los "crculos concntricos" admiten un eje central (!) hacia el cual convergen rayos.A este respecto, pedimos a un profesor de Diseo, que trazase en una hoja de papel una figura formada por "crculos concntricos que se solapan, en una notable simetra, y ligados entre s por una lluvia de rayos convergentes hacia un eje central". El profesor confes desde luego, que era incapaz de hacer esa figura por el simple hecho que no la puede concebir.Cualquier estudiante bisoo, de primera serie jnior, sabe que un eje no puede ser un punto. La nocin de eje es simple, elemental y casi intuitiva. Veamos ahora la definicin dada por el ilustre padre Augusto Magne:[7]Eje es el punto sobre el cual se mueve un cuerpo que gira.El eminente sacerdote y fillogo que formul esa definicin estaba lejos de imaginar que ella podra ser pasada por el crisol del severo rigor matemtico. La definicin de eje (como si fuera un punto) es completamente equivocada e inaceptable.

11. Tales y la viejaEste es uno de los muchos episodios anecdticos atribuidos a Tales:Una noche paseaba el filsofo completamente absorto en la contemplacin de las estrellas y, por no ha prestado suficiente atencin al terreno que pisaba, cay descuidado dentro de un gran hoyo. Una vieja, que casualmente vio en accidente, le dijo, "cmo quieres oh sabio! saber lo que pasa en el cielo si no es capaz de saber lo que ocurre en tus pies?

12. Ilusin pticaPedimos al lector que observe con atencin la figura de abajo, en la cual aparece un cuadriltero formado por dos paralelogramos. En cada uno de esos paralelogramos fue trazada una diagonal.

Cul de las dos diagonales AB y BC es mayor?La figura parece mostrar que AB es mayor que BCPuro engao, que consecuencia de una ilusin ptica. Los segmentos AB y BC son perfectamente iguales.

13. El fin de la ciencia (Jacobi)El fin nico de la ciencia es la honra del espritu humano, y tanto vale, al final, una cuestin sobre la teora de los nmeros como un problema sobre el sistema del mundo.

14. El problema de la piscinaUn club dispone de una piscina de forma cuadrada, teniendo en cada vrtice A, B, C y D un poste de iluminacin.

La direccin del club resolvi aumentar la piscina tornando la dos veces mayor y sin alterar su forma esto es, conservando la forma de un cuadrado.El aumento deba ser hecho sin alterar la posicin de los postes que continuaran junto al borde de la piscina.La figura, el cuadrado MPAS indica el trazado de la nueva piscina despus de ampliada.

15. La nocin del infinito (J. Tannery)La nocin de infinito, del que es preciso hacer un misterio en matemtica, se resume en el siguiente principio: despus de cada nmero entero existe siempre otro.

16. Los grandes gemetrasAristteles, naci en Macedonia en 384 a.C. fue maestro y amigo Alejandro, y dej un gran nmero de obras de historia natural, lgica, fsica, matemtica, poltica, etc. en nombre de Aristteles es muchas veces citado como la personificacin del espritu filosfico y cientista. Las obras de Aristteles, despus de su muerte estuvieron desaparecidas durante 200 aos.

17. Disposicin curiosaTomemos el cuadrado de 4 y el cuadrado de 34:42 = 16342 = 1156notaremos una deposicin curiosa: para pasar de 16 (cuadrado de cuatro) a 1156 (cuadrado de 34) es suficiente colocar el 15 entre los dgitos de 16.Experimentemos ahora colocar entre los dgitos del cuadrado de 34 esto es, entre los dgitos de 1156 el 15.Vamos a formar de ese modo el nmero 111.556 que es precisamente el cuadrado de 334.No es necesario llevar adelante la investigacin. Ya descubrimos una deposicin curiosa que presentaban los dgitos que formaban los cuadrados de los nmeros 4, 34, 334, 3334, etc. cada uno de ellos es obtenido por la intercalacin hecha del 15 entre los dgitos del anterior. Aqu los resultados:42 = 16342 = 11563342 = 11155633342 = 11115556

18. Un Papa gemetraGerbert, gemetra famoso, arzobispo Ravena, subi a la ctedra de San Pedro en el ao 999.Ese hombre reconocido como uno de los ms sabios de su tiempo tuvo el nombre de Silvestre II en la serie de los papas. Fue el primero en divulgar en el occidente latino el empleo de los dgitos arbigos.Falleci en el ao 1003[7].

19. Crculos diferentesEl problema propuesto es el siguiente: Con la misma apertura del comps trazar cuatro crculos diferentes.La figura de abajo muestra claramente, como se debe proceder para llegar a la solucin deseada.

20. Las noventa manzanasUn campesino tena tres hijas y como quisiese, cierta vez, hacer una prueba de inteligencia a las jvenes, las llam y les dijo:- Aqu hay 90 manzanas que ustedes debern vender en el mercado. Mara, que es la mayor, llevar 50; Clara recibir 30 y Luca se quedar con las 10 restantes. Mara deber vender siete manzanas por un tosto[8], las otras debern vender tambin por el mismo precio, es decir siete manzanas por un tosto; si Mara resuelve vender a 300 reales cada una, ese ser el precio al que Clara y Luca debern vender las manzanas que poseyeren. El negocio debe ser hecho de modo que todas lleguen de retorno a casa con la misma cantidad de dinero.-Y yo puedo dar de regalo alguna las manzanas que llevo?- pregunt Mara.- De modo alguno, replic el viejo campesino. La condicin por mi impuesta es esa: Mara de vender 50, Clara debe vender 30, y Luca slo podr vender 10. Las otras deben imitar el precio que venda Mara. Hagan la venta de modo que al final tengan todas iguales cuentas. Y como las jvenes se sintieron atrapadas, resolvieron consultar el complicado problema, con el profesor de la escuela que viva en la vecindad.El maestro de escuela de puede meditar algunos minutos dijo:- Ese problema es muy sencillo. Vender las manzanas conforme a lo que el viejo determin y llegarn al resultado que l les pidi.La jvenes fueron al mercado y vendieron las manzanas; Mara vendi 50; Clara vendi 30 y Luca, 10. El precio fue el mismo para todas y cada una reuni la misma cantidad de dinero.Dganos ahora el lector como las jvenes resolvieron la cuestin. SolucinMara inici la venta fijando el precio de cierre manzana por un tosto. Vendi ese modo 49 manzanas, quedando con una restante y obtuvo de esta primera venta 700 reales. Clara, obligada vender por el mismo precio, vendi 28 por 400 reales quedndose con un resto de dos manzanas. Luca que dispona 10 manzanas, vendi 7 por un tostado quedando con tres restantes.A continuacin, Mara vendi una manzana por un precio de 300 reales. Clara segn la condicin impuesta por su padre, vendi las dos manzanas que todava tena por el nuevo precio, es decir 300 reales cada una, obteniendo 600 reales, y Luca vendi sus tres manzanas restantes por 900 reales, es decir, a 300 reales cada una.Termin el negocio es fcil verificar que cada una la jvenes obtuvo 1000 tostos

21. Superficie y rectaLos conceptos de "superficie" y de "recta" que los gemetras aceptan sin definicin, aparecen en el lenguaje literario como si tuviesen el mismo significado. Del libro Veneno Interior, del apreciado escritor y filsofo Carlos da Veiga Lima, destaquemos el siguiente aforismo:el alma es una superficie para nuestra visin, la lnea recta para el infinitoEse pensamiento, analizado el punto de vista matemtico, es incomprensible. Si el alma es una "superficie para nuestra visin" no puede ser, en caso alguno, lnea recta para el infinito. Los algebristas demuestran realmente, la existencia de una recta cuyos puntos estn infinitamente apartados de nuestro universo y que se denomina, por causa de ciertas propiedades, "recta al infinito". Es posible que el Dr. Veiga Lima hubiese querido comparar el alma a esa recta al infinito. En ese caso sin embargo, sera conveniente abandonar la superficie y adaptar el alma a una especie de geometra "filosfica" unidimensional.El plano, siendo el ms simple de las superficies, se caracteriza por medio de postulados. Los escritores, que jams ha ledo un Legendre u hojeado un Hadamard, atribuyen al plano propiedades indemostrables para el gemetra. Peregrino Jnior, en su libro Pussanga, dice lo siguiente en la pgina 168:"el paisaje obedece a la monotona de planos geomtricos invariables"Cmo podramos definir un plano geomtrico invariable? Por su posicin en relacin a punto fijo determinado o por la propiedad de las figuras sobre l trazadas?Adems, conviene acentuar a pesar de lo poco apropiado del lenguaje que notamos en Peregrino Jnior, no llega a constituir un error en matemtica. No vemos, por ejemplo, Euclides da Cunha, escritor e ingeniero, hablar en "crculo irregular" expresin que no tiene sentido para un gemetra?

22. Paradoja geomtrica 64 = 65Tomemos un cuadrado de 64 cajas (8 x 8) y hagamos la descomposicin de ese cuadrado, como indica la figura, en trapecios rectangulares y en tringulos. Reunidos esos trapecios y tringulos como vemos en la figura II, vamos a obtener un rectngulo de 13 por la base y 5 de altura, esto es un rectngulo de 65 cajas.Ahora, como el rectngulo de 65 cajas fue formado por las partes en que descompusimos el cuadrado, el nmero de cajas del rectngulo debe ser precisamente igual al nmero de cajas del cuadrado. Luego tenemos:64 = 65igualdad que sin duda lleva a un absurdo.La sutileza de ese sofisma consiste en lo siguiente: las partes en que fue descompuesto el cuadrado no conforman precisamente un rectngulo. Por la posicin en que deban quedar, esos dos segmentos que forman una supuesta diagonal del rectngulo no son colineales. Hay una pequea diferencia de ngulo, y entre los dos trazos deba haber un intervalo vaco equivalente precisamente a una caja.

23. Las cosas son nmerosAl nombre de Pitgoras se prende la explicacin de todo por medio de los nmeros, en una clebre frmula de la escuela, que era toda una metafsica, proclamaba que "las cosas son nmeros".Al mismo tiempo, la geometra se construye; sus progresos incesantes hacen de ella, paulatinamente, en el tipo ideal de ciencia, donde todo es una perfecta inteligencia; por ello Platn escribi a la entrada de su escuela: "no entre aqu quien no es gemetra".

24. Nmeros perfectosLa denominacin de nmeros perfecto es dada a un nmero entero cuando ese nmero es igual a la suma de sus propios divisores, excluyndose, claro est, de entre esos divisores, el propio nmero.As por ejemplo, el 28 presenta cinco divisiones menores que 28. Son: 1, 2, 4, 7 y 14.1 + 2 + 4 + 7 + 14 =28Luego, segn la definicin dada arriba, el 28 pertenece a la categora de los nmeros perfectos. Y entre los nmeros perfectos ya calculados podemos citar:6, 28, 496 y 8128slo conocemos nmeros perfectos pares. Descartes pensaba la posibilidad de determinar nmeros perfectos impares[9].

25. Un error de Anatole FranceHay errores que a veces se introducen en las obras literarias ms famosas. Anatole France, en el romance Thais (50 ed. p. 279), revel su completa ignorancia en cosmografa. Vale la pena reproducir las frases del clebre imaginado de "Sylvestre Bonnard":"Antoine demanda:Doux enfant, que vois-tu encore? Paulprotena vainement ses regars du zenith au nadir, du couchant au levam quand tout coup ses yeux rencontrrent l'abb dAntino.Y as relataba una proeza impracticable. Todo el mundo sabe que no es posible mover los ojos desde el cenit al nadir, dado que para un observador cualquiera que sea, el nadir se ubica en el hemisferio celeste invisible.

26. Multiplicacin rusaLos antiguos campesinos rusos atribuyen algunos matemticos un proceso especial de multiplicacin, proceso que nada tiene de simple pero que presenta un aspecto curioso.Vamos a suponer que movidos por una desmedida excentricidad, resolvemos aplicar el sistema ruso para obtener el producto del nmero 36 por el nmero 13.Escribimos los dos factores (36 y 13), uno al lado de otro, y un poco apartados:36 13determinemos la mitad del primero y el doble del segundo, escribiendo los resultados debajo de los factores correspondientes36 1318 26Procedamos del mismo modo con los resultados obtenidos; esto es, tomemos la mitad del primero y el doble del segundo:36 1318 269 52Vamos a repetir esta misma operacin que es, calcular la mitad del nmero de la izquierda y el doble del nmero de la derecha. Cmo llegamos un nmero impar (que nuestro caso es 9), debemos sustraer una unidad y tomar la mitad del resultado. De 9, restando 1 queda 8, cuya mitad es 4. Y as procedemos hasta que llegamos a un trmino igual a 1 en la columna de la izquierda.Tenemos por tanto:3613

1826

952(x)

4104

2208

1416(x)

Sumemos los nmeros de la columna a la derecha que corresponden a los nmeros impares de la columna izquierda. (Esos nmeros estn marcados con una X). Esa suma ser:52 + 416 = 468El resultado ha sido tenido (468) ser el producto del 36 por el 13.Un ejemplo ms: vamos a multiplicar por ese extravagante proceso los nmeros 45 por 32.4532(x)

2264

11128(x)

5256

2512

11024(x)

Sumando los nmeros (x), que corresponden a los trminos impares de la columna de la izquierda, obtenemos el resultado 1440, que expresa el producto de 45 por 32.El llamado "proceso de los campesinos rusos", que acabamos de indicar, no pasa de ser una simple curiosidad aritmtica, pues el proceso que aprendemos en nuestras escuelas puede ser muy burgus pero no deja de ser muchsimo ms simple y prctico.

27. Un nmero grandeSe denomina actuarial de un nmero al producto de los nmeros naturales desde 1 hasta ese nmero[10].As por ejemplo, el factor real de 5 est dado por el producto:1 x 2 x 3 x 4 x 5sa expresin es indicada abreviadamente por la notacin 5!Determinemos los factoriales de algunos nmeros:3! = 64! = 245! = 1206! = 362 880Con el auxilio del smbolo de factoriales podemos escribir expresiones numricas muy interesantes.Calculemos por ejemplo, el factor real de 362.880, esto es, el producto de todo los nmeros desde el 1 hasta 362.880. Ese producto es, como ya sabemos, indicado por la notacin362.880!Ese nmero 362.880 que ah figura esa factorial de 9; podemos por tanto, su ttulo por el smbolo 9! Tenemos entonces:362.880! = (9!)!Ese nmero (9!)! que contiene el nico dgito, 9, si fuese calculado y escrito con dgitos de tamao comn tendra cerca de 140 km de largo.Es un nmero respetable!

28. El crculoPitgoras consideraba el crculo como la figura plana ms perfecta, iniciando as, la idea de crculo a la perfeccin[11]."Durante muchos siglos, escribe Ral Breicard, nadie podra dudar que siendo el universo perfecto, las rbitas de los astros no fuesen rigurosamente circulares"."Devant le mouvement priodique d'un point que dcrit un cercle, l'instinct mtaphysiques s'est mu il a conu cet infini ferm qu'est l'Eternel Retour, et l'on ne saurait dgager d'images tournantes la doctrine antique dont Nietzsche s'est navement cru le pre"[12].Hay un evidente contraste entre la facilidad con la que se define la circunferencia y la dificultad, hasta ahora, inextricable, que nos enfrentamos cuando tratamos de formular la definicin de recta. Y esta disparidad se encuentra en el campo de la investigacin geomtrica, una caracterstica que debe ser subrayada.La importancia del crculo en las preocupaciones humana puede ser demostrada por una observacin de fondo puramente etimolgico; son innumerables las palabras escritas en los diccionarios que se derivan del vocablo griego que significa "crculo". Cuando un individuo desocupado tira piedras en un agua tranquila, para admirar los crculos concntricos que se forman en la superficie, revela sin querer a travs de su extraa ciclolatra, una acentuada tendencia de llegar a parecerse a un filsofo pitagrico que pretenda construir el universo, nicamente con crculos[13].No menos interesante es la observacin que sigue del trazado de la recta y del crculo: para trazar un segmento de recta es indispensable una buena regla; por el contrario, con un comps cualquiera rudo y mal hecho que tenga seguridad entre sus patas, podemos obtener una circunferencia perfecta. De ah la importancia que tiene, desde el punto de vista de de las soluciones, la Geometra del Comps debida al matemtico italiano, Reverendo Mascheroni[14].En la geometra del comps los diversos problemas son resueltos nicamente con el empleo de ese instrumento. "Para enfatizar ms la importancia de las construcciones geomtricas, basta recordar que los mtodos grficos constituyen hoy un admirable instrumento de clculo, empleado en fsica, en astronoma y en todas las ramas de la ingeniera"[15].

29. Papel mural (Luis Freire)[16]El general Curvino Krukowiski, despus de obtenida su reforma y habindose retirado a Palibino, con la familia, mand a forrar de papeles las paredes de su nueva residencia. Como el papel que dispona era insuficiente para forrar las paredes del cuarto de sus dos hijas recurri a las hojas de un tratado del clculo infinitesimal por el cual Krukowiski haba estudiado esa rama de matemtica.Ese incidente fortuito fue la chispa que encendi una explosin de conceptos de alta matemtica, un cerebro genial de mujer: la joven Sofa Curvino[17], hija del general, volvi toda la proverbial curiosidad de su sexo hacia aquel mundo infinitamente pequeo, y tan infinitamente grande de belleza y sugestiones que adornaban las paredes del cuarto.En aquel original papel mural de su cuarto de joven estaba escrito, trazado, todo un destino en ecuaciones. Sofa ansi el conocerlo, tratando as mismo de comprender la potentsima lengua que los smbolos hablan y que pocos saben realmente interpretar.

30. Los grandes gemetras (Arqumedes)Arqumedes, el ms clebre de los gemetras vivi tres siglos antes de Cristo. Es admirable la obra que realiz con tan pocos recursos de la ciencia de su poca. Produjo memorables trabajos sobre asuntos de aritmtica, mecnica, geometra, hidrosttica y astronoma. De todas esas ramas de la ciencia, trat con gran maestra "presentando conocimientos nuevos, explorando teoras nuevas, con una originalidad que dio a la geometra el ms alto puesto en la historia". Muri en el ao 212 a. C., asesinado por un soldado romano.

Notas: [1] CF. Rey Pastor, Elementos de Aritmtica, Madrid 1930 [2] El smbolo de los pitagricos era un pentgono regular estrellado. [3] La adopcin de un fondo romboidal, en lugar de uno plano, genera una economa de un alvolo cada 50 construidos. [4] Esa diferencia es tan pequea que slo puede apreciarse con el auxilio de instrumentos de precisin. [5] Elcias Lopes, "Tela de Araa", p. 12 [6] Padre Augusto magne SJ, Revista de Filologa e Historia, fascculo IV, p. 16 [7] Artculo del padre Leonel Franca. SJ, en el libro Matemtica, 2 ao de Thir y Mello e Souza [8] Tosto" era una moneda no oficial de Brasil, que equivala a 100 reales, [9] Eduardo Lucas, Thorie des nombre, 1891, p. 376 [10] Ese nmero es supuesto como entero positivo. Segn la convencin, el factorial de la unidad y el factorial de cero, son iguales a 1 [11] Montucla, Histoire des Mathmatiques, 1 vol. p. 109 [12] R. Breicard, Del prefacio escrito para el libro Geomtrie de Compas, de A. Quemper de Lonasol [13] R. Breicard, Op. cit. [14] El abad Mascheroni deir Olmo, poeta y matemtico, naci en 1730 y falleci en 1800. Mantuvo relaciones de amistad con Napolen a quien le dedic no solo su obra matemtica principal sino que tambin muchas de las producciones poticas que dej. [15] Almeida de Lisboa, Geometra del Comps [16] Trozo de un artculo publicado en la Revista Brasilea de Matemtica [17] Sofa, ms tarde, tom el apellido Kovalewski, y puede ser citada entre los grandes matemticos del siglo XIX. Conviene leer la biografa de Sofa en el libro Matemtica, 2 ao, Thir e Mello e Souza.

Principio del formulario

con la tecnologa de

Final del formulariowebImagenOrdenar por:RelevanceRelevanceDate

web

Imagen

CONTENIDOPrefacio 1. Seccin 1 2. Seccin 2 3. Seccin 3 4. Seccin 45. Seccin 3Contenido:1. La geometra de Chateaubriand2. El problema de los rboles3. Problemas errados (E. Backheuser)4. Blasfemia de un rey5. Ilusin ptica6. La matemtica en la literatura, los ngulos7. La geometra en el amor8. Grandes gemetras9. Las perlas del raj10. Divisin urea11. Porcentaje12. Transformacin curiosa13. Muerte trgica de algunos matemticos14. Leibniz15. Los grandes gemetras16. El hombre que calculaba (Malba Tahan)17. El problema de la pista18. Rectngulo ureo19. Las potencias de 1120. Ilusin ptica21. Los grandes gemetras22. Origen de los signos de relacin23. Protgoras y el discpulo24. Con seis palitos25. La bravata de Arqumedes (J. C. Mello e Souza)26. El estudio de la matemtica (Euclides Rozo)27. Los siete navos (C. Laisant)28. Multiplicacin por la izquierda29. Metamorfosis del nmero 230. Curvas y ecuaciones

1. La geometra de ChateaubriandLa imaginacin del escritor cuando procura dar vivacidad y colorido una descripcin no se preocupa ni aun de las figuras geomtricas ms simples. La fantasa caprichosa de los literatos de talento no encuentra barrera entre los rigores de la frmula de matemtica. Lleva vamos a coger un curioso ejemplo de la obra admirable de Chateaubriand. Ese clebre escritor francs autor de Genie du Christianisme, al describir el prodigio de un canadiense que encantaba serpientes al sonido de una flauta, dice precisamente lo siguiente:"Comenz entonces, el canadiense a tocar su flauta. La serpiente y su movimiento de sorpresa y tir su cabeza hacia atrs. A medida que la dominada por el efecto mgico sus ojos perdan la aspereza, la vibraciones de su cola tornbanse ms lentas y el ruido que ya emita disminua lentamente hasta extinguirse."Menos perpendicular sobre su lnea espiral las curvas de la serpiente encantada venan una a una a posarse sobre la tierra en crculos concntricos (Genie du Christianisme, parte I, libro III, captulo II)"No es posible que una serpiente repose formando con el cuerpo "crculos concntricos". An ms, no hay en geometra una lnea que sea, en relacin a otra, menos perpendicular. El autor de A tala ignoraba, con certeza, como se define matemtica el blanco de una recta con una curva.Dirn finalmente los admiradores de Chateaubriand: Siendo atrayente el estilo y agradable la descripcin qu importa la geometra!Llegamos as a un punto en relacin al cual no deseamos, en modo alguno, mantener una polmica con el lector.

2. El problema de los rbolesEn un terreno de forma cuadrada un propietario quiere construir una casa; en ese terreno existan, plantadas segn una disposicin regular, 15 rboles. Cmo dividir el terreno en cinco partes iguales, en forma y el tamao, de modo y cada una de esas partes, contengan el mismo nmero de rboles?La solucin es la indicada en la figura dos

Dgitos chinos

3. Problemas errados (E. Backheuser)[1]Frecuentemente se presentan a los nios y nias problemas cuya verificacin no son hechos de la vida prctica diaria y es seal de mal profesor, el que los frmula.Como ejemplo de este caso podemos recordar los famosos problemas sobre "construccin de un muro" o sobre "fbrica de tela" por cierto nmero de operarios. Preparados sin preocuparse de adaptarlos a la realidad, acaban tornndose ridculos.Sea por ejemplo: tres operarios hacen un muro de 40 m de largo, 2 m de altura y 25 cm de espesor en 15 das; cuntos das sern necesarios para que cuatro operarios ejecuten un muro de 35 m de largo, 1,5 m de altura y 20 cm de espesor?El resultado aritmtico de esa "regla de tres", dar evidentemente, una solucin expresada por un nmero de das inferior a 15. Ahora bien, cualquier albail se reir del resultado, porque para hacer un muro de 20 cm en lugar de 25 cm de espesor, gasta mucho ms tiempo. La razn es simple, 25 cm es un espesor corresponde al largo de un ladrillo normal; para un espesor de 20 cm, que es un poco menor, es obligatorio quebrar los ladrillos segn el espesor deseado, lo que va exigir, para la ejecucin de la obra, un tiempo mucho mayor.La misma disparidad entre la solucin matemtica y la solucin real ocurre con un problema relativo a una fbrica de tela: "si tantos operarios hacen cierto nmero de metros de pao de 1,5 m de ancho en un determinado tiempo, en cunto tiempo, mantenindose las otras condiciones, se fabrica un pao de 20 cm de ancho?".El resultado aritmtico sera de menos de la mitad del tiempo, al paso que en la prctica el tiempo es rigurosamente el mismo, porque el telar no trabaja ms rpidamente, en funcin del ancho del tejido.As como estos, hay un sinnmero de otros casos en que el que propone el problema debe documentarse previamente para evitar absurdos sinfn.

4. Blasfemia de un reySe cuenta que en el siglo XIII, Alfonso el Sabio, rey de Castilla, haban ordenado a los astrnomos rabes que construyeran tablas de los movimientos planetarios, las hall muy complicadas y exclam: " si Dios, antes de crear el mundo, me hubiese consultado, habra hecho mejor las cosas". No endosamos la blasfemia al rey de Castilla, y repetiremos ms modestamente, la frase del gran matemtico Galois, que algunas horas antes de su muerte prematura, escribiera en una especie de testamento: "La ciencia es la obra del espritu humano, que est diseado principalmente para el estudio del saber, de buscar la verdad, ms que para encontrarlo"

5. Ilusin pticaEn el dibujo de abajo aparecen nada menos que seis figuras geomtricas. Aqu que las observa con cierta atencin ser inducido a afirmar que los lados de las figuras que estn en la parte superior del cuadro son mayores que los lados de las figuras que se encuentran en la parte inferior.

Existe, sin embargo, una ilusin ptica que nos conduce a una impresin falsa. Los trapecios dibujados en la figura tienen los grados respectivamente iguales.

6. La matemtica en la literatura, los ngulosEntre las figuras geomtricas ms citadas por los escritores, debemos anotar en primer lugar el "ngulo".Gracia Aranha, El Viaje Maravilloso[2], describe un camino que suba una montaa, utiliza figuras geomtricas con admirable precisin:"Las lneas del camino formaban ngulos agudos y obtusos en las laderas de la montaa, que suba intrincado y ardiente".Tho Filho, en Impresiones transatlnticas, utiliza la expresin "ngulo reentrante", que es una de las ms comunes en los literatos:"Vista de la esquina ms reentrante en primer plano..."En general, los escritores no distinguen un diedro de un ngulo plano. Citemos un ejemplo caracterstico cogido en "El Guaran" de Jos de Alencar:"...sac su daga y la clav en la pared tan profundamente cuanto le permita la curva que el brazo era obligado a hacer para cubrir el ngulo"Esa frase, indicada como ejemplo, sera correcta si el famoso romancero hubiese escrito:"que el brazo era obligado a hacer para cubrir el diedro".Conviene recordar, adems, que el poeta Augusto dos Anjos, que en la primera estrofa de uno de sus sonetos, consigui encajar un diedro perfecto:"Ah! Quizs por qu razn monstruosa, encerraron siempre en esta red, dentro del ngulo diedro de las paredes.

7. La geometra en el amorA los 17 aos de edad, Madame de Stal se educaba en un convento en Francia. Acostumbraba ir a visitar a una nia, que viva del otro lado de la plaza, a la que daba una de las fachadas del convento. Un hermano de esa amiga insista siempre en acompaarla de regreso a casa y la conduca, caminando por los dos costados de la plaza. Pero como las primeras impresiones causadas por ella iban perdiendo su primitivo ardor, l, gradualmente, y de visita en visita, fue acortando el camino; hasta que por fin tom la lnea ms corta, siguiendo exactamente la diagonal de la plaza. Madame de Stal, recordando ms tarde este caso, observ: "de este modo, reconoc que su amor fue disminuyendo, en la proporcin exacta de la diagonal sobre los dos lados del cuadrado".Con esa observacin, de forma puramente matemtica, quera, tal vez la autora de Delphine, revelar sus conocimientos sobre una famosa proposicin de la geometra: "la relacin entre la diagonal y uno de los lados del cuadrado es igual a la raz cuadrada de dos".Formul, entretanto una comparacin falsa, errada e inaceptable en geometra.

8. Grandes gemetrasEratstenes, astrnomo griego notable y amigo del clebre Arqumedes. Era poeta, orador, matemtico, filsofo y atleta completo. Habiendo quedado ciego como consecuencia de una enfermedad a la vista, se suicid de disgusto, dejndose morir de hambre.Vivi en el siglo cuarto a. C.

9. Las perlas del rajUn raj dej para sus hijas cierto nmero de perlas y determin que la divisin fuese hecha del siguiente modo: a la hija mayor le dara una perla y 1/7 de lo que restase; vena despus la segunda y tomara para ella dos perlas y 1/7 de lo que restase; posteriormente la tercera joven tomara tres perlas y 1/7 de lo que restase. Y as sucesivamente.Las hijas ms jvenes fueron a quejarse al juez que por ese sistema complicado de particin seran fatalmente perjudicadas.El juez, segn dice la tradicin, que era muy hbil en la resolucin de problemas respondi de inmediato que las reclamantes estaban engaadas; la divisin propuesta por el viejo raj era justa y perfecta.Y l tena razn. Hecha la particin cada una de las herederas recibi el mismo nmero de perlas.Se pregunta: cuntas eran las perlas y cuntas hijas tena el raj?ResolucinLas perlas eran 36 y deban ser repartidas entre seis personas.La primera hija sac una perla y 1/7 de 35, esto es, 5; luego obtuvo 6 perlas.La segunda, de las 30 que encontr, sac dos, ms 1/7 de 28, que es 4; luego obtuvo 6 perlas.La tercera, de las 24 que encontr, sac tres ms 1/7 de 21 es 3. Sac por tanto, 6.La cuarta, de las 18 que encontr, sac cuatro ms 1/7 de 14. Y 1/7 de 14 es 2. Recibi tambin 6 perlas.La quinta encontr 12 perlas; de esas 12 sac 5 y 1/7 de siete, esto es 1; luego obtuvo 6.La hija ms joven decidi por fin, las seis perlas restantes.

10. Divisin ureaEn qu consiste la divisin urea de un segmento?

Expliquemos, de modo elemental, ese curioso problema de geometra.Tomemos un segmento de 80 cm de largo, por ejemplo.Dividamos ese segmento en dos partes desiguales, teniendo la mayor 60 cm y la menor, 20 cm.Calculemos la razn entre el segmento total y la parte mayor; para esto, dividimos 80 por 60, y hallamos:80 : 60 = 1,33Dividiendo la parte mayor (60 cm) por la menor (20 cm), obtenemos:60 : 20 = 3Notamos que los resultados no son iguales; el primer cuociente es 1,33 y el segundo, es exactamente 3.Procuremos dividir el segmento dado en dos partes, tales que el segmento total (80) dividido por la parte mayor, de el mismo resultado que la mayor dividida por la menor.En el ejemplo propuesto, la solucin ser obtenida si dividimos el segmento de 80 cm en dos parte midiendo respectivamente 49,3 centmetros y 30,7 cm. Tenemos, y es fcil verificar:80 : 49,3 = 1,6149,3 : 30,7 = 1,61De ah la proporcin:Leccin: el segmento total es a la parte mayor como la parte mayor es a la menor.La divisin de un segmento hecha segn esa proporcin se denomina divisin urea, o divisin en media y extrema razn.En la divisin urea, la parte mayor se denomina segmento ureo.El nmero que expresa la relacin entre los segmentos ureos, tiene un valor aproximado de 1618. Ese nmero, en general, se designa con la letra griega fi ().Es evidente que si quisiramos dividir un segmento AB en dos partes desiguales, tendramos una infinidad de maneras. Hay una, sin embargo, que parece ser ms agradable al espritu, como si tradujese una operacin armoniosa a nuestros sentidos. Y la divisin en media y extrema razn, la seccin divina de Lucas Paccioli[3], tambin denominada sectio aurea por Leonardo da Vinci[4].El matemtico alemn Zeizing formul, en 1855, en sus Aetetische Farschungen, el siguiente principio:"Para que un todo dividido en dos partes desiguales parezca bello desde el punto de vista de la forma, debe presentar entre la parte menor y la parte mayor, la misma relacin que entre sta y el todo"."Hasta hoy", acenta Joao Ribeiro[5], " no se consigui descubrir la razn de ser o el porqu de esa belleza". Zeizing, que llev adelante muchos y largos estudios, apunta varios interesantes ejemplos que constituyen una elocuente demostracin del principio de la sectio aurea.Es fcil observar que el ttulo puesto a esta importante obra, divide, en general, el total del libro en media y extrema razn. Lo mismo acontece con la lnea de los ojos que divide, en personas bien formadas, el ancho total del rostro en media y extrema razn. Se observa tambin la sectio divina, en las partes en que las falanges dividen los dedos de las manos.La divisin urea tambin aparece en la msica, la poesa, la pintura y an en la lgica.Una relacin notable, demostrada en geometra, define el lado del decgono regular como el segmento ureo del radio.La divisin urea de la cual Vitruvio[6] percibi rpidamente, surgi para el mundo cientfico en la obra de Paccioli, Divina Proporcin, publicada en Venecia en 1509. Leonardo da Vinci, como una polimorfa de su incomparable talento, se sinti tambin seducido por el misterio de la llamada simetra geomtrica, realzada por la divisin urea. El clebre astrnomo alemn Juan Kepler, que formul las leyes de la gravitacin universal, era un verdadero fetichista de la divina proporcin. "En la Geometra", deca l, "tengo dos tesoros, uno es el teorema de Pitgoras y el otro es la sectio divina[7]".Sin los recursos de la matemtica, no nos sera posible comprender muchos de los pasajes de las santas escrituras.San Agustn

11. PorcentajeRaros los escritores de renombre que no se han equivocado en matemtica. Rui Barbosa, en un vibrante discurso pronunciado en el Senado, dej escapar esta expresin:"esto es, en el juego de esas transacciones, que tan gigantesca suma de valores representan, no mueve la oferta de dinero, sino en la proporcin de 8 a 92." (Finanzas y Poltica de la Repblica, 1892, p. 74.).La relacin de ocho a 92 no expresa, como pensaba el guila de la Haya, un porcentaje. El profesor Cecil Thir, en su compendio de Matemtica, dice claramente: "la relacin entre nmeros cuando se establece en tanto por ciento, se denomina porcentaje".Quin podra confundir nmero con dgito? Y en tanto, Francisco d'Auria, contador notable, escribi en su Matemtica Comercial, en la pgina 82: "... se adopt en la prctica el 100, como cifra de referencia."

12. Transformacin curiosaEs posible transformar el dgito 3, escrito a la izquierda, en un 5 (escrito a la derecha), con el auxilio de slo una lnea cerrada, esto es sin levantar el lpiz del papel?

La pregunta propuesta pertenece a aquellas que desafan la sagacidad de los ms hbiles solucionadores.

La solucin, es muy simple, y en la dada en la figura de arriba: se prolonga el extremo superior del dgito 3 en forma de un rectngulo; al alcanzar el punto final de cierre se completa el dgito cinco con la pequea curva superior.

13. Muerte trgica de algunos matemticosTales de Mileto, asfixiado por la multitud al salir de un espectculo.Arqumedes, asesinado por un soldado romano.Eratstenes, se suicid dejndose morir de hambre.Hipatia, lapidada por un grupo de exaltados durante un motn en Alejandra.Evaristo Galois, muerto en un duelo.Pitgoras, asesinado en Tarento, durante una revolucin.

Dgitos rabes

14. LeibnizEn su elogio de Leibniz, Fontenele dice del gran gemetra y filsofo: "le gustaba ver crecer en los jardines de los dems, las plantas cuyas semillas el haba proporcionado. Esas semillas eran frecuentemente ms apreciadas que las propias plantas; el arte de descubrir en matemtica es ms precioso que la mayora de las cosas que se descubren".

15. Los grandes gemetrasHiparco, uno de los ms eminentes astrnomos griegos, naci en el ao 160 a. C. al ser informado de la aparicin de una estrella de gran brillo, resolvi componer un catlogo en el cual consigui reunir 1080 estrellas fijas. Fue primero beneficiar la posicin de un punto de la superficie terrestre con el auxilio de la latitud y de la longitud.

16. El hombre que calculaba (Malba Tahan)CAPTULO IEn el cual encuentro, durante una excursin, un viajero singular. Qu haca el viajero y cules eran las palabras que pronunciaba.Cierta vez volva, al paso lento de mi camello, por el camino de Bagdad, de una excursin a la famosa ciudad de Samarra, en las mrgenes del Tigris, cuando vi, sentado en una piedra, a un viajero modestamente vestido, que pareca reposar de las fatigas de algn viaje. - Disponame a dirigir al desconocido el "salam" trivial de los caminantes, cuando con gran sorpresa le vi levantarse y pronunciar lentamente:- Un milln cuatrocientos veintitrs mil, setecientos cuarenta y cinco. Sentse enseguida y qued en silencio, la cabeza apoyada en las manos, como si estuviera absorto en profunda meditacin. Me par a corta distancia y me puse a observarle como lo habra hecho frente a un monumento histrico de tiempos legendarios.Momentos despus se levant, nuevamente, el hombre, y, con voz clara y pausada, enunci otro nmero igualmente fabuloso:- Dos millones, trescientos veintin mil, ochocientos sesenta y seis. Y as, varias veces, el extravagante viajero, puesto de pie, deca un nmero de varios millones, sentndose en seguida en la tosca piedra del camino. Sin saber refrenar la curiosidad que me aguijoneaba, me aproxim al desconocido, y despus de saludarlo en nombre de Alah (con l en la oracin y en la gloria), le pregunt el significado de aquellos nmeros que slo podran figurar en proporciones gigantescas.-Forastero! respondi el Hombre que calculaba-, no censuro la curiosidad que te llev a perturbar la marcha de mis clculos y la serenidad de mis pensamientos. Y, ya que supiste ser delicado al hablar y al pedir, voy a satisfacer tu deseo. Para eso necesito, sin embargo, contarte la historia de mi vida.Y narrme lo siguiente:

CAPTULO IIEn el cual Berems Samir, el Hombre que calculaba, cuenta la historia de su vida. Cmo fui informado de los prodigiosos clculos que realizaba y por qu nos hicimos compaeros de viaje.Me llamo Berems Samir y nac en la pequea aldea de Khoy, en Persia, a la sombra de la gran pirmide formada por el monte Ararat. Siendo muy joven todava, me emple como pastor al servicio de un rico seor Khamat[8] . Todos los das, al salir el Sol, llevaba el gran rebao al campo, debiendo ponerlo al abrigo, al atardecer. Por temor de extraviar alguna oveja y ser por tal negligencia castigado, contbalas varias veces durante el da. Fui, as, adquiriendo, poco a poco, tal habilidad para contar que, a veces, instantneamente, calculaba sin error el rebao entero. No contento con eso, pas a ejercitarme contando adems los pjaros cuando, en bandadas, volaban por el cielo. Volvme habilsimo en ese arte. Al cabo de algunos meses gracias a nuevos y constantes ejercicios-, contando hormigas y otros pequeos insectos, llegu a practicar la increble proeza de contar todas las abejas de un enjambre. Esa hazaa de calculista nada valdra frente a las otras que ms tarde practiqu. Mi generoso amo, que posea, en dos o tres oasis distantes, grandes plantaciones de dtiles, informado de mis habilidades matemticas, me encarg de dirigir su venta, contndolos yo uno por uno en los cachos. Trabaj as al pie de los datileros cerca de diez aos. Contento con las ganancias que obtuvo, mi bondadoso patrn acaba de concederme algunos meses de descanso, y por eso voy ahora a Bagdad pues deseo visitar a algunos parientes y admirar las bellas mezquitas y los suntuosos palacios de esa bella ciudad. Y para no perder el tiempo, me ejercito durante el viaje, contando los rboles que dan sombra a la regin, las flores que la perfuman y los pjaros que vuelan en el cielo, entre las nubes. Y sealando una vieja y grande higuera que se ergua a poca distancia, prosigui:- Aquel rbol, por ejemplo, tiene doscientas ochenta y cuatro ramas. Sabiendo que cada rama tiene, trmino medio, trescientas cuarenta y siete hojas, se deduce fcilmente que aquel rbol tendr un total de noventa y ocho mil quinientas cuarenta y ocho hojas. Qu le parece, amigo? - Que maravilla! exclam atnito-. Es increble que un hombre pueda contar todos los gajos de un rbol, y las flores de un jardn! Tal habilidad puede proporcionar a cualquier persona un medio seguro de ganar envidiables riquezas. - Cmo es eso? pregunt Berems-, Jams pas por mi imaginacin que pudiera ganarse dinero contando los millones de hojas de los rboles o los enjambres de abejas! Quin podra interesarse por el total de ramas de un rbol o por el nmero de pjaros que cruzan el cielo durante el da? - Vuestra admirable habilidad expliqu- podra ser empleada en veinte mil casos diferentes. En una gran capital como Constantinopla, o an en Bagdad, serais til auxiliar para el Gobierno. Podrais calcular poblaciones, ejrcitos y rebaos. Fcil os sera evaluar las riquezas del pas, el valor de las colectas, los impuestos, las mercaderas y todos los recursos del Estado. Yo os aseguro por las relaciones que mantengo, pues soy bagdal[9] , que no os sera difcil obtener una posicin destacada junto al glorioso califa Al-Motacen (nuestro amo y seor). Podrais, tal vez, ejercer el cargo de visir tesorero o desempear las funciones de Finanzas musulmanas[10]- Si es as, joven respondi el calculista- no dudo ms, y os acompao hacia Bagdad. Y sin ms prembulo, se acomod como pudo encima de mi camello (nico que tenamos), rumbo a la ciudad gloriosa.De ah en adelante, ligados por ese encuentro casual en medio del agreste camino, nos hicimos compaeros y amigos inseparables.Berems era de genio alegre y comunicativo. Joven an pues no tendra veintisis aos-, estaba dotado de gran inteligencia y notable aptitud para la ciencia de los nmeros[11] . Formulaba, a veces, sobre los acontecimientos ms banales de la vida, comparaciones inesperadas que denotaban gran agudeza de espritu y verdadero talento matemtico. Berems tambin saba contar historias y narrar episodios que ilustraban sus conversaciones, de por s atrayentes y curiosas.A veces pasbase varias horas, en hosco silencio, meditando sobre clculos prodigiosos. En esas oportunidades me esforzaba por no perturbarlo, quedndome quieto, a fin de que pudiera hacer, con los recursos de su memoria privilegiada, nuevos descubrimientos en los misteriosos arcanos de la Matemtica, ciencia que los rabes tanto cultivaron y engrandecieron.CAPTULO IIISingular aventura acerca de 35 camellos que deban ser repartidos entre tres rabes. Berems Samir efecta una divisin que pareca imposible, conformando plenamente a los tres querellantes. La ganancia inesperada que obtuvimos con la transaccin.Haca pocas horas que viajbamos sin interrupcin, cuando nos ocurri una aventura digna de ser referida, en la cual mi compaero Berems puso en prctica, con gran talento, sus habilidades de eximio algebrista.Encontramos, cerca de una antigua posada medio abandonada, tres hombres que discutan acaloradamente al lado de un lote de camellos.Furiosos se gritaban improperios y deseaban plagas:- No puede ser!- Esto es un robo!- No acepto!El inteligente Berems trat de informarse de que se trataba.- Somos hermanos dijo el ms viejo- y recibimos, como herencia, esos 35 camellos. Segn la expresa voluntad de nuestro padre, debo yo recibir la mitad, mi hermano Hamed Namir una tercera parte, y Harim, el ms joven, una novena parte. No sabemos sin embargo, como dividir de esa manera 35 camellos, y a cada divisin que uno propone protestan los otros dos, pues la mitad de 35 es 17 y medio. Cmo hallar la tercera parte y la novena parte de 35, si tampoco son exactas las divisiones?- Es muy simple respondi el Hombre que calculaba-. Me encargar de hacer con justicia esa divisin si me permits que junte a los 35 camellos de la herencia, este hermoso animal que hasta aqu nos trajo en buena hora.Trat en ese momento de intervenir en la conversacin:- No puedo consentir semejante locura! Cmo podramos dar trmino a nuestro viaje si nos quedramos sin nuestro camello?- No te preocupes del resultado bagdal replic en voz baja Berems-. Se muy bien lo que estoy haciendo. Dame tu camello y vers, al fin, a que conclusin quiero llegar.Fue tal la fe y la seguridad con que me habl, que no dud ms y le entregu mi hermoso jamal[12], que inmediatamente junt con los 35 camellos que all estaban para ser repartidos entre los tres herederos.- Voy, amigos mos dijo dirigindose a los tres hermanos- a hacer una divisin exacta de los camellos, que ahora son 36.Y volvindose al ms viejo de los hermanos, as le habl:- Debas recibir, amigo mo, la mitad de 35, o sea 17 y medio. Recibirs en cambio la mitad de 36, o sea, 18. Nada tienes que reclamar, pues es bien claro que sal