matematicas basica

5/13/2018 matematicas basica - slidepdf.com

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QUE ES LA MATEMATICA?

Disciplina científica en construcción permanente

Diferentes miradas de la matemática desde la filosofía

Platonismo: Sistema de verdades que han existido siempre independiente del hombre, seaccede a él por descubrimiento o recuerdo, las matemáticas existen como una realidadirreal.Logicismo: Las matemáticas son una rama de la lógica con vida propia, con el mismoorigen y método pues forman parte de una disciplina universal que rigen la forma deargumentación. Reconoce la existencia de dos lógicas excluyentes, la deductiva y lainductiva.Formalismo: Es una creación humana consiste en axiomas definiciones y teoremascomo expresiones formales que se ensamblan a partir de símbolos manipulados o

combinados a partir de ciertas reglas convenidas. La verdad radica en la coherencia delas reglas y de los símbolos, todo es perfecto preciso y bien definidoIntuicionismo: Son elaboraciones de la mente creada a partir de los sentidos lasmatemáticas se pueden construir partiendo de lo intuitivamente dado y de lo finito, losobjetos matemáticos existen si son constructibles y la verdad si es demostrablematemáticamente.El constructivismo: Similar al intuicionismo los objetos matemáticos son construidos a

partir de objetos primitivos y en un número finito de pasos, no acepta el tercio excluido.

HISTORIA DE LA MATEMATICA

Notas históricas sobre el desarrollo de la matemática

1. Babilónica y egipcia (400 a.C.)a. Se realiza una practica aritmética y geométrica

b. Se conoce los números enteros positivos, los racionales, el calculo deáreas y volúmenes, rudimentos del algebra y de la astronomía.

c. No hay interés teórico y sistemático.2. Escuela Griega Clásica (600-300 a.C.)

a. El interés radica en la pregunta y en el gusto por inquirir, abandonan elempirismo y se aborda la matemática de manera sistemática y racional. b. La naturaleza esta soportada racionalmente sobre la matemática.c. Se opone alas causas naturales supersticiosas y autoritarias que obstruyan

el pensamiento creador. Sobresalen Tales y Pitágoras.3. Cultura Helénica (300 a.C.-600 d.C.)

a. Se observa que a muchos resultados matemáticos se llega a través demétodos deductivos e inductivos, la geometría euclidiana se convierte enel fruto supremo de la sistematización en una teoría deductiva.

b. Con Platón y Aristóteles se plantean dos formas diferentes de creacióndel conocimiento matemático.

c. Con Apolonio y Arquímedes se plantean nuevos métodos para eldescubrimiento matemático conocidos como heurísticas



d. Se hacen progresos en la aritmética y en el algebra con Nicomedes yDiofanto.

e. Se plantean teorías astronómicas con Ptolomeo e Hiparco. Lamatemática griega es fundamentalmente realista.

4. Renacimiento. (1500 d.C.)

a. Previamente los árabes mantienen viva la cultura griega recogiendo losaportes de la cultura hindú y contribuyendo al desarrollo del algebrageométrica y a la escritura decimal del numero entero.

b. Con Copérnico, Kepler se afianza la teoría heliocéntrica del movimientode los planetas, justificada geométricamente a partir de medicionesrealizadas previamente por Tycho Brahe

5. Edad de la Razón o Siglos de la luz (1550-1800)a. Consolidación del algebra como rama de la matemática

b. Contribución de los algebristas italianos Cardano, Tartaglia y Vieta,además de Descartes, Fermat y Newton

c. Creación de la geometría analítica con Descartes y Fermat

d. Se hacen nuevos planteamientos filosóficos sobre la comprensión de lanaturaleza pues de la experiencia y del experimento salen los principiosmatemáticos fundamentales y que al aplicar las matemáticas a estos

principios se deducen nuevas verdades.e. El movimiento es objeto de estudio y por tanto requiere de un nuevo tipo

de matemática, el Calculo. Creadores Newton y Leibnitzf. Aportes a esta nueva filosofía por Galileo y Bacon . Aportes al calculo

de Euler, Bernoulli, Laplace, DE’lambert y Legendre6. Época moderna (1800 en adelante)

a. Avance de la ciencia de la mano de la matemática b. Creación de las geometrías no euclidianasc. Tambalea la matemática como un conocimiento infalibled. Libera la matemática del mundo físicoe. Preocupación por la fundamentación (Qué son los objetos matemáticos?)f. Desarrollo de la teoría de conjuntos y de la lógica, Como elemento

fundamental para la creación de la matemática deductiva.g. Desarrollo del pensamiento inductivo a través de las teorías matemáticas

de la estadística y de la probabilidad.

INTRODUCCION

Formas de razonamiento en matemáticas

1. Analogía2. Inducción3. Deducción

FORMAS DE ENUNCIADOS SIMPLES Y COMPUESTOS

Simples



• Páseme el lápiz.• 2 + 3 = 5• 1/2 + 1/3 = 2/5• ¿Qué horas son?• En Bogotá todos los días llueve• Yo estoy mintiendo• Maradona fue mejor jugador que Pelé.

Compuestos

• Maradona fue mejor jugador que Pelé.• 8 es par entonces es un número primo.

REGLAS PARA DETERMINAR LOS VALORES DE VERDAD YCONFORMACION DE ENUNCIADOS

1. R1: Los enunciados variables son también fórmulas.2. R2: Si p y q son formulas entonces, , , , , ,

, , , ,3. R3: Dada una fórmula p, llamaremos a p la negación de p y si p es verdadera

(V ) p es falsa (F), si p es falsa entonces p es verdadera.

p se lee como “no p′′, es falso que..., no es cierto que...

4. R4: Dadas las fórmulas p, q, a la fórmula se le denomina la conjunción delos enunciados p y q, y seria verdadera cuando los dos enunciados p, q seansimultáneamente verdaderos, y falsa en cualquier otro caso.

5. R5: Dadas las fórmulas p, q a la fórmula se le denomina la disyunción de p con q, la cual seria verdadera cuando al menos una de las dos sea verdadera,esto es la conjunción es falsa únicamente cuando las dos fórmulas sean falsas.Para el “o” inclusivo, sería valida cuando al menos uno de los dos oambos enunciados sean

verdaderos y se leería “ p o q”.

Para el caso del “o exclusivo” p q , lo leeremos así “p o q pero no ambos”. 6. R6:Dadas las fórmulas p, q a la fórmula la denominaremos

condicional, el cual es verdadero en todos los casos salvo en el caso en que p seaverdadero y q sea falso.

El condicional se lee de varias maneras:

o Si p entonces q o p solo si q o p es condición suficiente para q o q es condición necesaria para p

7. R7 Dadas las fórmulas p, q a la fórmula p↔q la denominaremos “bicondicional”el cual es



verdadero cuando p y q tomen el mismo valor de verdad. Esto es, es verdaderocuandosimultáneamente p y q sean verdaderos o sean falsos.

p q ~p ~q p Λ q p V q p q p → q p ↔ q

V V F F V V F V V

V F F V F V V F F

F V V F F V V V F

F F V V F F F V V

TAUTOLOGIAS CONTRADICCION Y CONTINGENCIAS



Una fórmula P(p, q, r . . .) se denomina una tautología si al dar a las variables p, q, r. . .todos los posibles valores, la fórmula toma el valor V y contradicción si de maneraanáloga toma el valor F, cuando no es ni tautología ni contradicción se denominacontingencia.

Como consecuencia inmediata de esta definición se tienen los siguientes resultados:

• Si P(p, q, . . .) es una tautología ~P(p, q, . . .) es una contradicción.• Si P(p, q, . . .) es una tautología también lo es P(a, b, . . .). Como se afirmó

anteriormente, en una tautología, se pueden sustituir los enunciados por otrosenunciados sin cambiar la estructura de la fórmula y lo que se obtiene es unenunciado verdadero.

EQUIVALENCIA LOGICA

Diremos que dos fórmulas P(p, q, . . .), Q(p, q, . . .) son equivalentes si tienenexactamente la misma tabla de verdad y este hecho lo indicaremos simbólicamente así:

P(p, q, . . .) ≡ Q(p, q, . . .)

Conjuntos parte I NOCIÓN DE:

a. Conjunto vacio, universal

b. Notación:

• Extensión: lista• Comprensión: {x Є U/ P(x)}• Pertenencia: relación entre elemento y conjunto

Pertenencia ≠ Contenencia

c. Contenencia: relación entre conjuntos

A es subconjunto de B o, A esta contenido en B si todo elemento de A es elemento de B

Se denota A B

x Є A → x Є B, es verdadera para todo x Є A en tal caso x Є A x Є B



CONJUNTO DE POTENCIA ; A

(A)={X/X A}

DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS

A \ B = {x Є U / x Є A Λ ~( x Є B) }

A los elementos de A - B se les denominan “Los Exclusivos de A”

Números Reales

NÚMEROS REALES



MEDICIÓN

REPRESENTACIÓN- NOTACIÓN



• ICÓNICAS (FIGURAS )• RECTA REAL• RADICALES – EL NÚMERO PI- EXPRESIONES ALGEBRAICAS• SISTEMAS ADITIVOS ( EGIPCIA)• SISTEMAS POSICIONALES (SISTEMA DECIMAL)

NOCIÓN DE SISTEMA DEDUCTIVO

UN SISTEMA DEDUCTIVO CONSTA DE

CONCEPTOS PRIMITIVOSAXIOMAS (POSTULADOS)

TEOREMAS Y PROPOSICIONES

LOS AXIOMAS DEBEN CUMPLIR

CONSISTENCIAINDEPENDENCIACOMPLETITUD!

SISTEMA DEDUCTIVO DE LOS NÚMEROS REALES

CONCEPTOS PRIMITIVOSa. Un conjunto R no vacío a cuyos elementos se le denominarán números reales

b. Dos operaciones binarias llamadas suma(+) y producto (.).c. Una relación de orden llamada “menor que” (< ).

Consecuencias inmediatas de los axiomas algebraicos

• Definición de resta a-b = a+(-b)• Definición de cociente a/b = a(1/b) siendo b, un número real no nulo. También

se lee “ a dividido b”• a.0= 0; -(-a) = a; 1/(1/b) = b

AXIOMAS ALGEBRAICOS

1. Para todos a y b números realesa + b = a + b (conmutativa)

2. Para todos a, b, c números reales( a + b ) + c = a + ( b + c) (asociativa)

3. Existe un real 0, tal que para todo real a se tiene quea + 0 = a (modulativa)

4. Para todo real a, existe un único real (–a), tal quea + (–a) =0 ( inverso aditivo)



5. a.b = b.a (conmutatividad)6. a.(b.c) = (a.b).c (asociatividad)

Axiomas de orden7. Existe 1 número diferente de cero tal que para todo real a.1 = a8. Para todo real no nulo a, existe un número real ( 1/a ) tal que a . ( 1/a ) = 1

9. a .( b + c ) = a . b + a . c ( distributiva o ley de factorización)10. Para todo número real a se satisface una y solo una de las tres proposicionesa < 0 , 0 < a a = 0 ( tricotomía )

11. Si 0 < a y 0 < b entonces 0 < a + b y 0 < a . b12. a < b es equivalente a 0<b- a13. Todo subconjunto no vacío de números reales, acotado superiormente tiene una

mínima cota superior.

Entendiéndose, A subconjunto de R es acotado superiormente por b si se tiene que x esmenor o igual a b para todo x número de A.

Consecuencias Axiomas Algebraicos

• Definiciones de resta y cociente• a + -(b) = a-b a(1/b) = a/b

Propiedades Algebraicas – Teoremas

Si a, b y c son números reales entonces

1. –(-a) = a; -(a+b) = -a – b; -(a-b)=b-a2. a(-b) = -ab; (-a)(-b) = ab; a/(-b) = -(a/b)3. a/b = c/d si y solo si ad = bc

Con esta propiedad se pueden demostrar todas las operaciones entre fracciones: suma, producto y cocientes

NUMEROS

Naturales: 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Enteros: …,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

Racionales

Irracionales

Reales

Complejos

Expresiones decimales infinitas



z,a1a2a3a4a5a6a7…17,234234234234234…-2,098555555555555…0,101001000100001…

Expresiones decimales infinitas

Periódicas No periodicas Irracionales

2.000000000…0.121212121212…3.54277277277277…-8.999999999999

0,101001000100001000001…17,1234567891011121314…-8,122333444455555666666…

Números complejos

i2 = - 1a + bi

a,b son reales

Números

OPERACIONES CON NUMEROS REALES

Suma

• La suma de dos números reales es un número real• La suma es asociativa• La suma es conmutativa• 0 es neutro para la suma• Cada número real tiene un inverso aditivo

Producto

• El producto de dos números reales es un número real• El producto es asociativo• El producto es conmutativo• 1 es neutro para el producto• Cada número real diferente de cero tiene un inverso multiplicativo

Propiedad distributiva

El producto es distributivo con respecto a la suma: a ( b + c ) = ab + ac

( a + b )( c + d ) = ac + ad + bc + bd

( a + b )2 = a2 + 2ab + b2



( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

( a + b )4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

.

..

a2 – b2 = ( a + b )(a – b)

a3 – b3 = ( a - b )( a2 + ab + b2 )

a4 – b4 = ( a - b )( a3 + a2b + ab2 + b3 )

.

.

.

( x + a )( x + b ) = x2 + ax + bx + ab

( x + a )( x + b ) = x2 + (a + b) x + ab

FACTORIZACIÓN

Ejercicios

1. x2 + 6x + 92. x2 + 5x + 63. x2 – 164. x3 – 85. x2 + 2x + 16. x2 – x – 67. x2 + x – 68. x4 – 81

LA RECTA REAL

Intervalos Finitos



Intervalos Infinitos

Propiedades

• Si a < b y b < c entonces a < c• Si a < b entonces a + c < b + c• Si a < b y c > 0 entonces ac < bc• Si a < b y c < 0 entonces ac > bc

Ejercicios

1. 15 + 5x ≤ 25 + 4x

2. 1/x < 33. (x – 1)(x + 3) ≥ 0



4. x2 + 5x + 6 ≤ 05. x2 < 3x6. 1/x - 2/(x-1) < 07. (x – 2)/(3x+1) > 0

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