matematicas avanzadas i y ii 2013

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Ejercicio 1

Instrucciones:

1. Investiga en libros relacionados a nuestra materia (puedes hacer uso de los libros de apoyo o del libro de texto, también puedes utilizar alguna fuente confiable en Internet), un ejemplo cotidiano donde estén involucrados al menos dos velocidades, tal como la velocidad de un móvil.

2. Describe el ejemplo, muestra mediante una representación gráfica cómo afectan las velocidades y qué efecto tienen sobre el móvil en cuestión.

3. Analiza bajo qué situación alguna de las velocidades puede ocasionar un desastre.

Ejercicio 2

Instrucciones:

Una vez que revises el material del tema “introducción a los vectores”, resuelve los siguientes ejercicios:

1. Dados dos vectores A y B, demuestra que A x B = - B x A. 2. Encuentra dos vectores no paralelos entre sí, tales que ambos sean ortogonales al vector

<1, 1, 1>. 3. Encuentra el vector unitario en la dirección y sentido de A = 2i + 3j –k. 4. Determina si los vectores A = 4i -2j –k y B = 3i – 2j + 2k son ortogonales.

Ejercicio 3

Instrucciones:

1. Investiga en una fuente confiable, por qué es importante saber si una función está acotada. 2. De un ejemplo mostrando su importancia.

3. Encuentra el dominio y rango de la función dada por .

Ejercicio 4

Instrucciones:

En esta parte del módulo se han utilizado las coordenadas convencionales (rectangulares),

1. Investiga en una fuente confiable las coordenadas cilíndricas y da un ejemplo de su aplicación.

2. Descarga el software WinPlot de la página http://spot.pcc.edu/~ssimonds/winplot/ En el software primero selecciona el espacio en el que se desea graficar, por ejemplo si es en dos dimensiones sería usando 2-dim. Después introducir la función a graficar.

3. En el software grafique la ecuación: 9x2 - = 3, identifica de qué superficie se trata y encuentra las diferentes trazas.

http://bbsistema.tecmilenio.edu.mx/bbcswebdav/institution/UTM/semestre/profesional/ma/ma09001/cel/tema4.htm

http://bbsistema.tecmilenio.edu.mx/bbcswebdav/institution/UTM/semestre/profesional/ma/ma09001/cel/tema4.htm



Ejercicio 5

Instrucciones:

1. Investiga en libros relacionados a nuestra materia (puedes hacer uso de los libros de apoyo o del libro de texto, también puedes utilizar alguna fuente confiable en Internet), la definición y uso principal de las coordenadas cilíndricas. Proporciona al menos dos ejemplos de su uso.

2. Para el par de funciones vectoriales dados u(t) = t i + ln(t) j - 3tk y v(t) = i + 3 + k, calcula lo siguiente:

a. Suma y resta de u y v. b. Derivada de cada una de las funciones vectoriales.

c. Derivada d. La integral de u(t).

Ejercicio 6

Instrucciones:

1. Investiga en libros relacionados a nuestra materia (puedes hacer uso de los libros de apoyo o del libro de texto, también puedes utilizar alguna fuente confiable en Internet), la definición y uso principal de rotacional. Proporciona al menos dos ejemplos de su uso.

2. Para el vector de posición: r(t) = encuentra lo siguiente: a. La velocidad en cualquier instante. b. La velocidad para t = 1. c. El vector aceleración. d. La componente tangencial y normal de la aceleración en el instante t = 1.5s. e. Dibuja el vector velocidad, el vector aceleración y las componentes tangencial y

normal en tal instante.

Ejercicio 8

Instrucciones:

Revisa el material del tema funciones vectoriales y realiza lo siguiente:

1. Describe con tus propias palabras los conceptos más importantes de este tema. 2. Resuelve el siguiente ejercicio:

1. Encuentra el trabajo realizado por el campo de fuerzas F(x, y,

z) sobre una partícula que se mueve a lo largo de la hélice dada por: r(t) = t i + t j + t k. Desde el punto (1, 1, 1) hasta el punto (1, -2, 3).

2. Determina si F es un campo conservativo, justifica tu respuesta.

Ejercicio 9



Instrucciones:

1. Investiga en una fuente confiable, una aplicación de las derivadas totales, describe el ejemplo, resuélvelo e interpreta el resultado obtenido.

2. Para las siguientes funciones encuentra: a. La derivada parcial con respecto a x. b. La derivada parcial con respecto a y. c. La segunda derivada parcial de xy. d. La segunda derivada parcial de yx. e. La diferencia total.

f(x, y) = sen 2x - cos xy f(x, y) = sen(x2 + y2)

Ejercicio 10

Instrucciones:

1. Investiga en una fuente confiable, una aplicación de regla de la cadena, describe el ejemplo y resuélvelo.

2. Mediante la fórmula de la regla de la cadena resuelve la siguiente derivada:

3. Encuentra la derivada direccional de:

en la dirección de v = 3i – 4j

Ejercicio 11

Instrucciones:

1. Investiga en una fuente confiable, la teoría relacionada a la rotacional de una función vectorial, además describe un ejemplo y resuélvelo. Describe su aplicación en la física.

2. Resuelve los siguientes ejercicios:

a. Encuentra el vector gradiente de la función en el punto (1, -3).

b. Encuentra el plano tangente a la superficie descrita por: en el punto (π, 0).

Ejercicio 12

Instrucciones:

1. Investiga en referencias confiables, la importancia del multiplicador de Lagrange. Además proporciona un ejemplo práctico donde demuestres lo que investigaste.

2. Encuentra el valor máximo de la función sujeta



a .

Instrucciones

Avance

Supón que se te pide diseñar un contenedor para almacenar líquidos con una cierta capacidad, para lo cual deberás de realizar lo siguiente:

1. Establece la capacidad del contenedor que diseñarás. 2. Utilizando fórmulas de geometría plana y jugando con los diferentes valores, encuentra la

“forma” que será mejor para el contenedor. 3. Haciendo uso del sistema rectangular en tres dimensiones y utilizando escalas, dibuja el

cuerpo que estás considerando. 4. Justifica cuáles fueron las razones por las que determinaste la forma que propones.

Envía el avance del proyecto a tu profesor, en formato de reporte.

Entrega final

1. Haciendo uso de las técnicas aprendidas en el curso para calcular volúmenes y áreas, encuentra el volumen del cuerpo que propusiste en la primera entrega y determina la cantidad de material que utilizarás al calcular el área de las superficies que componen el cuerpo.

2. Además, haciendo uso de las diferentes formas, encuentra la superficie con la que utilices el menos material posible y donde puedas almacenar la mayor cantidad posible.

3. Compara el resultado obtenido en los puntos 1 y 2 y justifica el por qué de los resultados.



Ejercicio 1

Instrucciones:

Revisa tus apoyos visuales del tema y encuentra lo que se te pide en cada inciso.

1. Realiza un cuadro sinóptico de las ecuaciones diferenciales de primer orden. 2. Determina el grado y el tipo que tienen las siguientes ecuaciones y justifica tu respuesta.

o

o

3. Encuentra la solución de la ecuación diferencia con valores iniciales.

Ejercicio 2

Instrucciones:

Una vez revisado el material de apoyo que se te presenta en este tema, realiza lo siguiente: Aplica el método de solución que corresponda a cada uno de los ejercicios planteados.

1.

2.

3.

Nota:

Describe cada uno de los pasos del desarrollo para encontrar la solución del problema y justifica tus respuestas.

Clasifica las ecuaciones diferenciales dadas según su tipo.

Ejercicio 4

Instrucciones:

Una vez revisado el material de apoyo que se te presenta en este tema, realiza lo siguiente:

1. Determina la solución del problema y demuestra que sea solución del mismo. (Justifica cada uno de los pasos del desarrollo). Se lleva un termómetro de una habitación al exterior, donde la temperatura del aire es

de . Después de un minuto el termómetro marca y después de 5 minutos la



lectura es de . ¿Cuál es la temperatura inicial de la habitación?

2. Consulta al menos tres fuentes bibliográficas para la elaboración de un ensayo de ambos temas (incluye una conclusión al final de éste) y elabora una serie de preguntas (al menos cinco preguntas), que describan en su totalidad a ambos temas y consulta en Internet algunos artículos referentes a éstos para dar respuesta y denota cuáles métodos de solución son los más comúnmente usados.

Ejercicio 5

Instrucciones:

Realiza lo siguiente:

Si representa una solución de la ecuación diferencial, usa la reducción de orden

para hallar una segunda solución :

Determina si el conjunto de funciones es linealmente independiente en el

intervalo :

Comprueba que la ecuación que se proporciona es solución general de la ecuación diferencial no homogénea en el intervalo indicado:

Nota: Describe cada uno de los pasos del desarrollo para encontrar la solución del problema y justifica las respuestas.

Ejercicio 8

Instrucciones:


Resuelve la ecuación diferencial mediante coeficientes indeterminados:

o

o Resuelve la ecuación diferencial por medio de variación de parámetros:

o

o Una masa que pesa 24 libras, unida al extremo de un resorte, alarga a éste 4

pulgadas. Al inicio, la masa se libera desde el reposo en un punto 3 pulgadas arriba de la posición de equilibrio. Encuentra la ecuación de movimiento.

Encuentra la carga en el capacitor y la corriente en un circuito RLC, también

determina la carga máxima en dicho capacitor si h, , f, E



V, C, A.

Nota: Describe cada uno de los pasos del desarrollo para encontrar la solución del problema y justifica tus respuestas.

Ejercicio 9

Instrucciones:


Investiga en libros especializados, Internet y otras fuentes, ejemplos en un área en particular de las ciencias físicas (mecánica, electrónica, etc.) donde puedan verse las series de potencias en acción y redacta un reporte en que los incluyas junto con imágenes alusivas, así como su relación con ellas. Incluye además la bibliografía que hayas utilizado.

Ejercicio 10

Instrucciones:


Determina el radio de convergencia y el intervalo de convergencia para la serie de

potencia:

Reescribe la expresión dada como una sola serie de potencias en cuyo término general

aparezca :

Comprueba por sustitución directa que la serie de potencias dada es una solución particular de la ecuación diferencial

indicada:


Ejercicio 11

Instrucciones:


Encuentra una solución en serie de potencias de la ecuación diferencial dada, además,



determina el radio de convergencia de la serie resultante:

o

o

o

Obtén la fórmula de recurrencia que proporcione para en términos de ó (o ambas) y utiliza las condiciones iniciales dadas para encontrar dichos valores:


Ejercicio 12

Instrucciones:


Utiliza la definición para encontrar la transformada de Laplace de

Utiliza transformadas de Laplace conocidas y el principio de linealidad para calcular:

o

o

Encuentra ó según se indique:

o

o

o

o


Instrucciones

Avance del proyecto final:

Realiza un reporte donde incluyas una investigación bibliográfica (incluir mínimo dos referencias de Biblioteca Digital) del tema Circuitos RLC donde aparezcan los siguientes apartados:

o Descripción. o Tipos de sistemas. o Modelo del sistema. o Aplicaciones. o Solución de dos problemas con valores iniciales utilizando los métodos de solución



de ecuaciones lineales no homogéneas.

Entrega del proyecto final:

Partiendo de tu investigación anterior sobre Circuitos RLC, amplíala para el caso en que son Circuitos RLC de Más de una Malla:

o Describe la ecuación que modela este tipo de sistemas y una breve explicación de la misma.

o Aplicaciones y/u observaciones relevantes de este tipo de sistemas.

Utilizando el método de la transformada de Laplace, llena la siguiente tabla para el caso del Circuito RLC, donde la ecuación que se obtendrá será la que modele la carga en el capacitor, para después graficar el comportamiento en el tiempo de cada ecuación del sistema usando algún paquete de software matemático para graficar la ecuación que

resulte, donde R = 10 Ω, L = 0.5 h, C = 0.01 f y :

Carga inicial Corriente inicial Ecuación del

sistema Comentarios y/u observaciones

0 C 0.01 A

0 C 0 A

0.1 C 0.05 A

0.1 C -0.05 A

Realiza las mismas indicaciones anteriores para un sistema de Circuitos RLC de Más de una Malla, específicamente cuando el sistema contiene dos mallas que comparten únicamente la resistencia, para llenar la siguiente tabla donde R = 10 Ω, L = 0.5 h, C = 0.01

f y para la primer malla, y L = 0.3 f y C = 0.05 C para la segunda:

Car. Inicial 1

Corr. Inicial 1

Car. Inicial 2

Corr. Inicial 2

Ecuación Observaciones

0 C 0.01 A 0 C -0.01 A

0 C 0 A 0 C 0 A

0.1 C 0.05 A 0 C 0.01 A

0.1 C -0.05 A 0 C -0.01 A

Responde las siguientes preguntas para ambos sistemas: o ¿Qué semejanza o diferencia existe al variar los valores iniciales? o ¿Qué sucede cuando las condiciones iniciales son todas cero? o ¿De qué manera afecta el acoplamiento al sistema original?

Finalmente, redacta un reporte que incluya: o Portada. o Introducción. o Desarrollo.

Ecuaciones. Gráficas. Tablas.



Preguntas.

o Conclusión. o Referencias.

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