matemáticas

Las matemáticas son como cualquier otro idioma con el que nos podemos comunicar.

El lenguaje algebraico es la traducción del lenguaje común al lenguaje matemático.

La principal función del lenguaje algebraico es estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones desarrolladas dentro de la aritmética. La aritmética, en lugar de utilizar solo números (casos particulares), hace uso de símbolos y variables (casos generales): puede describir fenómenos físicos, químicos, biológicos, sociales.

Es muy importante saber que en el lenguaje algebraico:

‣ Es posible usar todas las letras del alfabeto que conoces (literales) a, b, c, d, e…

‣ Por costumbre, las primeras letras del alfabeto se determinan por regla general como constantes, pero esto puede variar.

‣ Casi siempre se utilizan a las letras x, y, z como las incógnitas o variables de la función o expresión algebraica, pero no existe problema de cambiar esto, ya que el problema o ecuación no cambiará.

ALGUNOS EJEMPLOS BÁSICOS a = un número cualquiera.

x = un número cualquiera.

p = un número cualquiera… todas las letras del alfabeto.

q + p = la suma de dos números cualesquiera.

x + y = la suma de dos números cualesquiera.

a - b = la resta de dos números cualesquiera.

m - n = la resta de dos números cualesquiera.

LECCIÓN 3

TRADUCCIÓN DEL LENGUAJE COMÚN AL LENGUAJE MATEMÁTICO

página 3

a + b - c = la suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera.

x + y - z = la suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera.

ab = el producto de dos números cualesquiera.

pq = el producto de dos números cualesquiera.

a / b = el cociente de dos números cualesquiera.

j / k = el cociente de dos números cualesquiera.

( a + b ) / 2 = la semisuma de dos números cualesquiera.

( i + j ) / 2 = la semisuma de dos números cualesquiera.

( a b ) / 2 = el semiproducto de dos números cualesquiera.

Para realizar una traducción del lenguaje común al lenguaje matemático es necesario ser consientes que, dentro de nuestra vida cotidiana, muchas veces vamos repitiendo frases sencillas sin saber que muchas de ellas pueden tener una traducción en el lenguaje algebraico. Algunas de estas frases serían:

‣ Un número cualquiera.

‣ El doble de mi edad.

‣ La mitad del dinero que gasto.

‣ Mi edad es igual al triple de la edad de mi tío más cinco años.

‣ Mi ahorro anual es igual a…

‣ El crecimiento poblacional es…

‣ La cantidad de medicina que se suministra…

página 4

FORMA Y PLANTEAMIENTO DE UNA ECUACIÓNEs muy importante darnos cuenta que en diversas situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la vida, donde intervienen ciencias como la biología, la química y en otras disciplinas como la economía, finanzas etc.

Las relaciones de ecuaciones lineales se dan por la presencia de cantidades que varían una en función de otra; podemos encontrarlas a través de relatos, tablas o expresiones algebraicas.

Por lo común, una ecuación lineal está dada por la siguiente forma, la cual debes de saber identificar:

En su forma simplificada y = ax + b (a un número real diferente de cero)

Todas estas ecuaciones son ecuaciones de primer grado con una variable.

7(x+8)=x+2 360i+.5(360i+1)=0 34000k+600=32880

A+5=15 3.5t+7=0 9.8 m+ ½

Veamos por qué son ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Cumple con ser una ecuación porque hay un signo de igualdad entre dos expresiones, donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable.

También es lineal o de primer grado porque sus incógnitas o incógnita tienen exponente igual a 1 (elevadas a uno, que no se escribe).

En seguida se estudiarán métodos, procedimientos y ejemplos de cómo resolver ecuaciones lineales de una sola variable.

LECCIÓN 4

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

página 7

MÉTODO DE SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITAComo procedimiento general para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, se deben seguir los siguientes pasos:

1. Tienes que reducir la ecuación, si es posible, realizando operaciones posteriores al despeje y uniendo términos semejantes.

2. Se realizan las operaciones inversas, se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo). Los que contengan a la incógnita comúnmente se ubican en el miembro izquierdo de la igualdad, y los que carezcan de ella en el derecho.

3. Se reducen nuevamente términos semejantes, hasta donde es posible.

4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), en caso de que esta sea igual a 1 y se simplifica.

Ejemplo 1

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3x-[2x-(x+3)]= -2(x+1) -3x Se tiene la ecuación.

3x-[2x-x-3]= -2x-2 -3xDebemos realizar las operaciones para simplificar: primero debemos quitar los paréntesis, que es lo que se muestra en esta fila.

3x-[x-3]= -5x-2 Seguimos reduciendo, para eso unimos términos semejantes.

3x-x+3=-5x-2Ahora quitamos los corchetes cuadrados, observando las operaciones o signos que se utilizan.

2x+3=-5x-2 Unimos términos semejantes en cada miembro de la igualdad.

2x+5x=-2-3

Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas.

Nota: Los pasos de realizar la misma operación en ambos lados de la igualdad para ir simplificando no es muy utilizada en este nivel.

Por tanto, siguen utilizándose más el pasar al otro lado del igual los términos con operaciones inversas.

Que comúnmente o en la práctica se dice

Si está sumando, del otro lado del igual pasa restando.

Si está restando del otro lado del igual pasa sumando

Si está multiplicando del otro lado del igual pasa dividiendo

Si está dividiendo del otro lado del igual pasa multiplicando

7x= -5 Nuevamente reducimos términos semejantes.

X= = - = -.71428

Despejamos x pasando a dividir a 7, luego simplificamos, haciendo uso de las leyes de los signos en la división o también se puede dejar indicado el resultado como fracción.

-57---

57---

Ejemplo 2

5m+15=m+43 Se tiene la ecuación.

5m-m=43-15



Por tanto sigue utilizándose más el pasar al otro lado del igual los términos con operaciones inversas.



Si está restando del otro lado del igual pasa sumando

Si está multiplicando del otro lado del igual pasa dividiendo

Si está dividiendo del otro lado del igual pasa multiplicando

4m=28 Reducimos uniendo términos semejantes.

m= = 7

Despejamos m pasando a dividir a 4, luego simplificamos, haciendo uso de las leyes de los signos en la división y al realizar la división de 28/4 da un resultado entero, entonces este ya no quedará indicado por la fracción, sino por el número entero positivo 7.

Ejemplo 3

9p+18=0 Se tiene la ecuación.

9p=-18



Por tanto sigue utilizándose más el pasar al otro lado del igual los términos con operaciones inversas.



Si está restando, del otro lado del igual pasa sumando

Si está multiplicando, del otro lado del igual pasa dividiendo

Si está dividiendo, del otro lado del igual pasa multiplicando

p= = -2

Despejamos m pasando a dividir a 9, luego simplificamos, haciendo uso de las leyes de los signos en la división y, al realizar la división de -18/9, da un resultado entero; entonces este ya no quedará indicado por la fracción, s no por el número entero negativo -2.

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28

4----

-18

9----

Ejemplo 4

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5c+17k+10k+16=301Primero debemos realizar las operaciones para simplificar. Lo primero que debemos hacer es quitar los paréntesis, lo que se muestra en esta fila, al multiplicar el 2 por (5k+8).

5c+17(3c+1)+10(3c+1)+16=301 En este paso se sustituye en la ecuación el valor de k, el cual es igual a 3c+1

(en donde aparecía k escribimos 3c+1).

5c+51c+17+30c+10+16=301Ahora quitamos los paréntesis, haciendo las operaciones de multiplicar

17 por (3c+1) y 10 por (3c+1).

86c+43=301Unimos términos semejantes en cada miembro de la igualdad:

sumamos (5c+51c+30c) y (17+10+16).

86c=301-43Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas.

El 43 que está sumando pasará restando.

86c=258 Nuevamente reducimos términos semejantes,

restando 301-43.

c= , c=3Despejamos c pasando a dividir a 86, luego simplificamos, haciendo uso de las leyes de los signos en la división dando como resultado c=3

Se tiene la ecuación lineal de dos variables, pero se da a conocer que

k=3c+1, lo que quiere decir que k está dada en relación a la otra variable que se encuentra en la ecuación “ c”; por tanto, al sustituir el valor de k en la ecuación, esta quedará respecto a una única variable (toda la ecuación solamente tendrá como variable a c).

5c+17k+2(5k+8)=301

Sabiendo que k=3c+1

258

86----

Un problema aplicado.

Andrea es administradora de una pastelería muy grande y sabe que sus ganancias por mes son igual al quíntuple de la cantidad de pastel vendido más mil ochocientos pesos. Si en total ganó 3600 pesos, ¿cuántos pasteles logró vender al mes?

a) Se forma la ecuación de acuerdo a la información que se da

5p+1800=3600

b) Despejas la incógnita como ya se mostró en los ejemplos anteriores

5p+1800=3600

5 p= 3600-1800

5 p=1800

p=1800/5

p=360

c) Contesta lo que se te pide:

R= La cantidad de pasteles vendidos al mes que generaron 3600 pesos de ganancia fueron 360.

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TABULACIÓN Y GRAFICADO DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE.Al tener una ecuación de la forma Ax+By+C=0 lo que

debemos hacer es despejar a la y para así tener una

ecuación simplificada con respecto a una sola variable, para poder tabular.

Ejemplo.

-4x+2y-8=0

Al despejar o realizar las operaciones inversas:

Tenemos 2y=4x+8 (todo término con diferente variable a

la y la pasamos del otro lado del igual con operaciones

inversas: si el -4x está restando, pasa sumando como 4x; el -8 que está restando, pasa sumando como 8).

Aún no tenemos totalmente despejada a la variable y, ya

que tiene consigo el coeficiente igual a 2.

Este coeficiente está multiplicando a la literal, por tanto, bajo la operación inversa pasa dividiendo, dando como

resultado la siguiente ecuación simplificada con respecto

a la variable x:

y = 2x+4 ya que se tiene la ecuación simplificada, pasaremos a la tabulación (calcular los valores parciales de la ecuación a través de la sustitución de datos).

Formamos la tabla, dando valores a la x, ya que la ecuación está dada respecto a esta variable.

Sustituimos los valores de la x en la ecuación para así obtener los valores de y.

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X -‐2 -‐1 0 1 2

Y

(Reemplazar la x en la ecuación, por los valores dados en la tabla).

y =2x+4

y1=2(-2)+4=0

y2=2(-1)+4=2

y3=2(0)+4=4

y4=2(1)+4=6

y5=2(2)+4=8

Llenamos la tabla:

Al llenar esta tabla tenemos la finalidad de encontrar los pares ordenados.

(x, y) que representan los puntos en el plano cartesiano para poder trazar la gráfica correspondiente a la ecuación y=2x+4.

Formando el plano cartesiano, recordamos que el eje x corresponde al eje de las abscisas, y que el eje y corresponde al eje de las ordenadas.

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X -‐2 -‐1 0 1 2

Y 0 2 4 6 8

FORMA Y PLANTEAMIENTO DE UN SISTEMA LINEAL DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS.Antes de hablar de sistema de ecuaciones, debemos comenzar por saber el significado de la palabra sistema. Se dice que un sistema es un grupo de elementos con una relación, interacción y organización l levada bajo reglamento a un fin común. Entonces, al escuchar la frase de “Sistemas de ecuaciones” podemos intuir que es un grupo formado por dos o más ecuaciones relacionadas entre sí que admiten un tratamiento lógico para la obtención de su solución.

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un sistema lineal de ecuaciones bien determinado y compatible, ya que está formado por solo dos ecuaciones con dos incógn i tas , admi t iendo un t ra tamien to

particularmente simple para su resolución, empleando técnicas básicas del álgebra.

El planteamiento general de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que es determinado y compatible, está dado por:

ax + by =c

dx + ey =f

Donde a, b, c , d, f pertenecen a los números reales.

Resolver el sistema de ecuaciones consiste en encontrar los valores de x y de y que logran satisfacer las dos ecuaciones simultáneamente.

LECCIÓN 5

SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

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CASOS DE SISTEMAS LINEALES DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS.En seguida se muestran los posibles casos de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Dado que el sistema está dado por la forma general:

Veamos a que se refiere cada caso.

Compatible determinado: Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas forman un sistema compatible determinado, si este solo tendrá una solución. Su representación gráfica consiste en dos rectas que se cortan en un punto; los valores de “x” e “y” de ese punto son la solución al sistema. Comúnmente se dice que el sistema tiene solución única.

Este tipo de sistema cumple que

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Ejemplo.

2x+5y=4

3x+y=10

De donde se tiene que a=2, b=5, d=3 y e=1 verificamos que se cumple que ( ≠ Signo que denota diferencia).

Lo que es lo mismo al hacer las divisiones, vemos que .4 si es diferente a 3

Su gráfica estará representada por dos rectas que se cortan en un solo punto; por tanto, el sistema tiene solución única.

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Ejemplo.

2x+3y=12

4x+6y=24

De donde se tiene que a=2, b=3, d=4, e=6, c=12 y f=24 verificamos que se cumple lo mismo que ,

al efectuar las divisiones .5 = .5 = .5

Por tanto se cumple que el sistema es consistente indeterminado y su gráfica será representada por dos rectas que coinciden en todos los puntos (dos rectas sobrepuestas).

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SISTEMA INCOMPATIBLEEl sistema no tiene solución. En este caso, su representación gráfica son dos rectas paralelas; esto es, no se cortan en ningún punto. Si se cumple de una de las ecuaciones, obligatoriamente se incumpliría la otra y por lo tanto no tienen ninguna solución.

Este tipo de sistema cumple que

Ejemplo

2x+3y=12

2x+3y=24

De donde se tiene que a=2, b=3, d=2, e=3, c=12 y

f=24 verificamos que se cumple

, lo mismo que al efectuar

las divisiones

Por tanto, el sistema es incompatible y su gráfica está representada por dos rectas paralelas indicando que no existe solución.

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MÉTODO DE SOLUCIÓNLos métodos básicos más utilizados para la solución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas son: reducción, igualación y sustitución. Estos métodos son utilizados en sistemas compatibles determinados; en caso de no ser así, estos tres métodos no conducirían a la solución.

Para la solución de sistemas no compatibles indeterminados encontramos métodos más avanzados como lo son Regla de Cramer, Eliminación de Gauss-Jordan, y mediante la Matriz invertible, entre otros; estos métodos son más sofisticados que los básicos y son necesarios conocimientos de Álgebra lineal; es por eso que en nivel bachillerato solo se estudia hasta el método de la regla de Cramer de sistemas, máximo de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Método de reducción.

Este método es uno de los más simples y consiste en multiplicar cada una de las ecuaciones por los valores necesarios, de forma que los coeficientes de una de las incógnitas sean iguales pero con signo contrario. Conseguido esto, se suman las dos ecuaciones y la incógnita que tiene los coeficientes opuestos se elimina, consiguiendo así una ecuación con una incógnita. Esta se resuelve haciendo las operaciones necesarias, como las que ya has aprendido en la solución de ecuaciones lineales de una variable. Una vez ya encontrado el valor de una de las incógnitas, se sustituye en una de las e c u a c i o n e s o r i g i n a l e s y calculamos rápidamente la segunda incógnita. Veamos el siguiente ejemplo:

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2x+y=5

3x+3y=12Sistema de dos ecuaciones lineales de dos incógnitas; a este tipo de sistemas se les llama sistemas de 2x2.

-3(2x+y=5)

2(3x+3y=12)

En este ejemplo la variable que queremos eliminar es la x, por tanto, a la primera ecuación la multiplicamos por el coeficiente 3, que es el que acompaña a la variable x en la segunda ecuación. A la segunda ecuación la multiplicamos por el coeficiente 2, que es el coeficiente que acompaña a la x en la primera ecuación (invertimos los coeficientes) y elegimos tomar uno de los números negativo para más adelante hacer la eliminación de la variable x; en este caso se tomó al 3 como negativo (-3).

-6x-3y=-15

6x+6y=24Multiplicamos la primera ecuación término a término por el -3.

Multiplicamos la segunda ecuación término a término por el 2.

-6x-3y=-15

6x+6y=24

3y=9

Observamos que utilizamos bien los signos, porque los términos de x son iguales pero con signo contrario -6x y 6x.

Sumamos las ecuaciones -6x-3y=-15 y 6x+6y=24 donde la parte en x se elimina ya que -6x+6x=0.

Obteniendo entonces como resultado una ecuación lineal de una variable la cual es 3y=9.

y=9/3

y=3Despejamos la incógnita; el 3 que estaba multiplicando pasará del otro lado dividiendo, operamos y obtenemos que y=3.

2x+y=5 ecuación 1

Sustituimos y

2x+3=5

Ya que encontramos el valor de una de las incógnitas podemos sustituirla en cualquiera de las ecuaciones; en este caso se tomó la primera 2x+y=5.

2x+3=5

2x=5-3

2x=2

x=2/2

Despejamos la incógnita x

y=3 , x=1 Finalmente, tenemos los resultados de “x , y” que eran las incógnitas de mi sistema.

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Método de reducción.

El método de igualación para dar solución a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas consiste en despejar una de las dos incógnitas en las dos ecuaciones. Por tanto, podemos igualar las dos expresiones obteniendo una ecuación con una incógnita, que se puede resolver fácilmente. Una vez obtenido el valor de una de las dos incógnitas, lo sustituimos en una de las ecuaciones iniciales ya despejadas y calculamos la segunda incógnita.

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x+3 y = 142x+2y =12 Se tiene el sistema

1 despeje x+3y=14

x = 14-3y

2 despeje 2 x = 12 - 2y

x= = 6 – y

x = 6-y

Despejamos una de las variables (la de nuestra preferencia). Es necesario despejar la misma variable en ambas ecuaciones.

Como x=xentonces 14-3y=6-y Igualamos las ecuaciones.

-3y+y=6-14 - 2y=-8

y=-8/-2 y=4

Llevamos las “y” al primer miembro de la ecuación y los números al segundo miembro de la ecuación, haciendo uso de las operaciones inversas en un despeje. Unimos términos semejantes y respetamos leyes de los signos; recordamos que la división de un número negativo entre otro número negativo da como resultado un número positivo.

x=6-ysustituimos el valor

de y=4x=6-4

x=2

Ya que tenemos el valor de una de las incógnitas, las sustituimos en una de las ecuaciones iniciales ya despejadas, la que te resulte más sencilla; en este caso elegimos x=6-y donde solo se debía de hacer la resta, dando como resultado que x=2.

y=4 , x=2 Da por terminado este ejemplo, ya que hemos logrado encontrar el valor de las variables o las incógnitas.

Método de sustitución

El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas de una de las dos ecuaciones y sustituirlo en la otra, convirtiendo a una ecuación con una incógnita, la cual se resuelve de manera sencilla como ya lo has estudiado. Ya realizado esto, sustituimos su valor en la ecuación despejada y calculamos la segunda incógnita.

Método de graficacion

Este método consiste en despejar la incógnita “y” en ambas ecuaciones; esto usando sistemas con variables x,y.

Se construye, para cada una de las dos ecuaciones ya despejadas, la tabulac ión correspondiente para representar gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados (mismo plano cartesiano).

Al graficar las ecuaciones existen las siguientes posibilidades de solución:

a. Si ambas rectas se cortan en un punto, entonces el sistema tiene solución única. Esto sucede cuando el sistema es compatible determinado.

b. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones. Esto cuando el sistema es compatible indeterminado.

c. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Esto cuando el sistema es incompatible.

Veamos un ejemplo compatible determinado:

página 24

x+y=5-x+2y=1 El sistema

x=5-y Despejamos la variable x, en la primera ecuación.

-x+2y=1

-(5-y)+2y=1Sustituimos x=5-y en la segunda ecuación.

-5+y+2y=1 Hacemos operaciones para simplificar la ecuación.

-5+3y=13y=1+5

3y=6y=6/3y=2

Unimos términos semejantes.Despejamos la variable y, como tú ya lo sabes hacer.

x=5-yx=5-(2)

x=3

Tomamos la primera ecuación ya despejada y sust i tu imos e l va lor de y=2 en e l la ; resolvemos haciendo las operaciones y obtenemos el valor de la segunda incógnita x=3.

y=2, x=3Se tiene ya el resultado final.

Método de la Regla de Cramer

La Regla de Cramer es un método de orígenes en el estudio del álgebra lineal con la utilidad de resolver sistemas de ecuaciones. Este método utiliza cálculos de los determinantes de matrices matemáticas, y da lugar a una forma operativa matemática sencilla y fácil de recordar, siempre y cuando el sistema sea 2x2.

Veamos un ejemplo

página 26

2x+5y=243x+y=10

Se tiene el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, lo mismo que decir: se tiene un sistema 2x2

Está formada por los coeficientes de cada una de las variables que conforman al sistema.

La columna uno está formada por los coeficientes de x

La columna dos está formada por los coeficientes de y

= (2*1)-(5*3)= 2-15= -13

Se multiplican cruzados los valores de la matriz y se restan (2x1) –(5x3)

En ∆x la columna uno está formada por el resultado de la primera y la segunda ecuación que conforma el sistema.

La columna dos está formada por los coeficientes que acompañan a la y en ambas ecuaciones del sistema.

= (24*1)-(5*10)= 24-50=-26

En ∆x la columna 1 está formada por los coeficientes de la variable x.

Y la columna dos está formada por el resultado de la primera y la segunda ecuación.

= (2*10)-(24*3)=20-72=-52

Se forman las matrices del sistema y se obtienen sus determinantes

∆ determinante general

∆x del sistema con respecto a la variable x

∆y del sistema con respecto a la variable y

2x+5y=243x+y=10

Se tiene el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, lo mismo que decir: se tiene un sistema 2x2

Para obtener el valor de x se dividió

∆x/∆

Para obtener el valor de y se dividió ∆y/∆

La solución del sistema es

x=2, y=4

PARA SISTEMAS DE TRES ECUACIONES LINEALES CON TRES INCÓGNITAS.Este es un ejemplo de cómo llevar a cabo el método algebraico de igualación paso a paso.

LECCIÓN 6

MÉTODO ALGEBRAICO DE IGUALACIÓN

página 30

4-y-z +3y+3z=8

4+2y+2z=8

2y+2z=8-4

2y+2z=4

Ahora sustituimos la expresión del despeje de x en la tercera ecuación; agrupamos términos para simplificar.

-3y+2z=9

-3y=9-2z

y= (9-2z) / (-3)

2y+2z=4

2y=4-2z

y= (4-2z) / 2

y=2-z

Despejamos y de las ecuaciones resultantes anteriores.

y=y

2-z= (9-2z) / (-3)

-3(2-z)=9-2z-6+3z=9-2z3z+2z=9+6

5z=15z=3

Igualamos los dos despejes de y. R e a l i z a m o s o p e r a c i o n e s y despejamos z obteniendo su valor.

y=2-zy=2-3y= -1

Sustituimos el valor de z en la ecuación y=2-z obteniendo así a y

x=4-y-zx=4-(-1)-3

x=5-3x=2

Sustituimos el valor de z , y en la ecuación x=4-y-zobteniendo así a xy se termina el proceso al encontrar los valores de las tres incógnitas.

x+y+z=4x-2y+3z=13x+3y+3z=8

Se tiene el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

x+y+z=4x=4-y-z

Se despeja una variable de una de las ecuaciones, si es posible una que tenga coeficiente unidad para evitar denominadores. Despejamos la x de la primera ecuación.

4-y-z -2y+3z=13

4-3y+2z=13

-3y+2z=13-4

-3y+2z=9

Sustituimos la expresión en la segunda ecuación; agrupamos términos para simplificar.

MÉTODO DE ÁLGEBRA LINEAL POR DETERMINANTES

página 31

2x+3y-z=4

x-2y+z=-7

x+y+2z=3Se tiene el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

La primera matriz que se forma es para obtener el determinante general ∆ (delta); esta matriz se compone por los coeficientes del sistema en general, sin tomar en cuenta los miembros que forman los resultados de las ecuaciones del sistema. La matriz se debe de completar para obtener diagonales completas, agregando al final nuevamente las dos primeras filas.

Para obtener ∆ determinante general:

1.- se multiplican los elementos que forman las tres diagonales (ejemplo de la primera diagonal 2x-2x2=-8) de izquierda a derecha (las tres marcadas en color rojo), dando así tres resultados que posteriormente se sumarán dando en este caso -6.

2.- se multiplican los elementos que forman las tres diagonales (ejemplo de la primera diagonal 1x2x1=2) de derecha a izquierda (las tres marcadas en color azul), dando así tres resultados que posteriormente se sumarán dando en este caso 10.

3.- Por último, al resultado de la suma de las diagonales de izquierda a derecha se restará el resultado de la suma de las diagonales de derecha a izquierda -6-10 obteniendo a ∆=-16.

∆ = - 6 - (10) = -6 – 10 = -16

La segunda matriz de la que obtenemos ∆x (delta x ) determinante de x.

Se construye de la siguiente manera:

*La primer columna está formada por los miembros del resultado de las ecuaciones del sistema.

* La segunda columna está formadas por los coeficientes de la variable y de las ecuaciones del sistema inicial.

* La tercera columna está formada por los coeficientes de la variable z de las ecuaciones del sistema inicial.

Esta matriz, al igual que la primera, se debe de completar con las dos primeras filas.

Para obtener ∆x se realiza exactamente el mismo proceso que en ∆ y ∆x.

La tercera matriz de la que obtenemos ∆y determinante de y.

Se construye de la siguiente manera:

*La primer columna está formada por los coeficientes en el sistema de la variable x.

*La segunda columna está formada por los miembros del resultado de las ecuaciones del sistema.

* La tercera columna está formada por los coeficientes de la variable z de las ecuaciones del sistema inicial.

Esta matriz, al igual que las anteriores, se debe de completar con las dos primeras filas.

∆x = -0 - (-32) = 0 + 32 = 32

Luis, un alumno de la preparatoria, trabaja, durante las vacaciones de verano, en una industria donde se elaboran forros para tabletas electrónicas y cajas para los cargadores de tabletas. Su trabajo consta de saber las medidas exactas para realizar los forros y el total de material que se utiliza en la elaboración de los productos.

LO ÚNICO QUE ÉL CONOCE ES:

- El material para elaborar cada forro de tableta es un pliego de goma.

- El volumen del forro de la tableta debe de ser de 1000 cm3

LECCIÓN 7

PRODUCTO INTEGRADOR

página 35

Forro de tableta

- Para formar el forro, primero se deben cortar, de cada esquina, cuadrados de medida igual a dos cm por lado y doblar hacia arriba los lados para obtenerlo.

- El largo del forro de la tableta es 5cm mayor al ancho del forro.

- El material para elaborar cada caja de cargador es un pliego de cartón.

- El volumen de la caja debe ser igual a 48cm3

- Para formar la caja, primero se deben cortar, de cada esquina, cuadrados de medida igual a tres cm por lado y doblar hacia arriba los lados para obtenerla.

- La base de la caja es cuadrada.

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Caja del cargador

1.-ELABORACION DEL FORRO DE LA TABLETA

Recordando lo único que conoce acerca del forro de la tableta

Forro de tableta

- El material para elaborar cada forro de tableta es un pliego de goma.

- El volumen del forro de la tableta debe de ser de 1000 cm3

- Para formar el forro, primero se deben cortar, de cada esquina, cuadrados de medida igual a dos cm por lado y doblar hacia arriba los lados para obtenerlo.

- El largo del forro de la tableta es 5cm mayor al ancho del forro.

Realiza un esbozo de lo que Luis debe marcar en los pliegos de goma para elaborar el forro de la tableta.

página 37

Forro de tableta

¿Cuál es la expresión algebraica que determina el volumen del forro de la tableta?

¿Cuáles son las medidas de la altura, ancho y largo del forro de la tableta? Explica cómo las encontraste.

¿Qué tamaño debe tener el pliego de goma para que el forro tenga un volumen de 1000cm3?

página 38

¿Cuál es la expresión algebraica que determina el área total del pliego de goma, para elaborar el forro de la tableta?

¿A qué tipo de producto notable corresponde la expresión matemática anterior?

Elabora de cartulina o foamy el forro para la tableta. Es necesario tomar fotos a cada proceso que realizaste para lograr armarlo; es muy importante que, en una de las fotos, muestres cómo las medidas coinciden con las obtenidas.

2.- ELABORACIÓN DE LA CAJA DEL CARGADOR

Recordando lo único que conoce de la caja del cargador

- El material para elaborar cada caja de cargador es un pliego de cartón.

- El volumen de la caja debe ser igual a 48cm3

- Para formar la caja, primero se deben cortar, de cada esquina, cuadrados de medida igual

página 39

a tres cm por lado y doblar hacia arriba los lados para obtenerla.

- La base de la caja es cuadrada.

Realiza un esbozo de lo que Luis debe marcar en los pliegos de cartulina para elaborar la caja del cargador.

Caja del cargador

¿Cuál es la expresión algebraica que determina el volumen de la caja del cargador?

¿Cuáles son las medidas de la altura, ancho y largo de la caja del cargador? Explica cómo las encontraste.

página 40

¿Qué tamaño debe tener el pliego de cartulina para que la caja tenga un volumen de 48 cm3?

¿Cuál es la expresión algebraica que determina el área total del pliego de cartulina para elaborar la caja del cargador?

¿A qué tipo de producto notable corresponde la expresión matemática anterior?

Elabora, de cartulina, la caja para el cargador. Es necesario tomar fotos a cada proceso que realizaste para lograr armarla; es muy importante que, en una de las fotos, muestres cómo las medidas coinciden con las obtenidas.

página 41

La factorización de una diferencia de cubos, a3 – b3 , es el producto de un binomio y un trinomio.

a3 – b3 = (a – b ) ( a2 + ab + b2 )

El binomio es la diferencia de las raíces cúbicas de cada término de la diferencia de cubos.

El trinomio no es un trinomio cuadrado perfecto, ya que el término cruzado (a+b) no está multiplicado por dos.

¿Qué proceso sigo para factorizar una diferencia de cubos?

Vamos a descubrirlo a través de la observación de un ejemplo (observa cuidadosamente cada parte del proceso para llegar a la factorización de una diferencia de cubos).

LECCIÓN 11

FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUBOS

página 45

Primero tenemos qué recordar lo que es un trinomio cuadrado perfecto. Un trinomio cuadrado perfecto es una expresión algebraica de la forma:

a2+2ab+b2

¿Cómo podemos determinar que un trinomio es cuadrado perfecto?

1.- Identifica los dos términos (1° y 3°) que son cuadrados perfectos, obteniéndoles su raíz cuadrada.

2.- Verificar que el segundo término corresponde al doble producto de la raíz cuadrada de los dos términos cuadrados perfectos.

La regla de factorización de un trinomio cuadrado perfecto es:

a2+2ab+b2=(a+b)2

LECCIÓN 11

página 48

FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Factorización de un trinomio de laforma ax2 + bx + c con a ≠ 0 y a = 1

Para factorizar un trinomio de la forma:

x2+bx+c

1. Se obtiene la raíz cuadrada del término que se encuentra elevado al cuadrado:

x2 = x

2.- Se buscan dos números tales que su suma sea igual al coeficiente b:

p+q=b

y su producto sea igual a c: (p)(q)=c

Se forman los factores: (x+p)(x+q)

BLOQUE II

LECCIÓN 12

FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO NO PERFECTO

página 51

Ejemplo

Factorizar:

x2+13x+40

Buscamos dos números p y q tales que:

p+q=13

8+ 5=13

(p)(q)=40

(8)(5)=-40

Son el segundo elemento de cada factor:

( + 8) ( +5)

Para encontrar el primer elemento de cada factor:

Teniendo en cuenta que el primer elemento de la ecuación cuadrática es x2 , nos preguntamos,

¿Dos términos que al multiplicarlos den como resultado x2?

Esto es (x)(x)=x2

O se ob t iene la ra í z cuadrada de x2 que es igual a x

Formando así la factorización:

x2 + bx + c = (x + p) (x + q)

x2 + 13x + 40 = (x+8)(x+5)

página 52

Factorización de un trinomio de la forma ax2+bx+c (método1).

Para factorizar un trinomio de la forma:

ax2 +bx+c

1. Se eligen dos números d y e que multiplicados den como resultado “a”:

(d)(e)=a

2. Se eligen dos números f y g que multiplicados den como resultado “c”:

(f)(g)=c

3. El coeficiente b es igual a la suma de los productos (ef) y (dg) como se indica:

ax2 + bx + c

4. La factorización del trinomio es:

ax2 + bx + c =(dx + f)(ex + g)

Factorizar 25x2 + 30x + 8

Se eligen dos números d y e que multiplicados den como resultado “a”:

(d)(e)=a

(5)(5)=25

Se eligen dos números f y g que multiplicados den como resultado “c”:

(f)(g)=c

(4)(2)=8

página 53

El coeficiente b es igual a la suma de los productos (ef) y (dg) como se indica:

( e)(f)=(5)(4)=20

(d)(g)=(5)(2)=10

Sumando 20+10=30, que es igual al coeficiente “b”.

La factorización del trinomio es:

ax2 + bx + c =(dx + f)(ex + g)

25x2 + 30x + 8 = (5x + 4)(5x + 2)

Factorización de un trinomio de la forma ax2+bx+c (método2).

Ejemplo.

Se tiene la ecuación:

25x2+30x+8 = 0

Para realizar su factorización:

Debemos multiplicar el coeficiente principal por el término independiente:

( 25 )x2+30x+8

Esto es 8*25 =200

página 54

Una fracción algebraica, que incluye monomios, es una expresión fraccionaria donde el denominador y

numerador son monomios; por ejemplo:

La simplificación de fracciones, que incluyen monomios, es semejante a la simplificación de fracciones numéricas: se tiene que dividir el numerador y denominador por factores comunes; por lo tanto, la clave es obtener el factor común.Se puede decir que la simplificación, de una fracción algebraica que incluye monomios, consiste en transformar la fracción a otra equivalente, cuya característica principal es que es irreductible.

Pasos para simplificar fracciones que incluyen monomios.

SIMPLIFICACIÓN

página 59

LECCIÓN 15

Paso 1.Se simplifican los coeficientes del numerador y del denominador de la fracción. Para simplificarlos, se debe encontrar el factor común entre ellos. Encontrar el factor

común es hallar un número que divida, tanto al coeficiente del numerador como al coeficiente del Si una variable aparece, tanto en el numerador y denominador con el mismo exponente, esa variable se denominador, hasta que ya no exista un número que

divida a ambos. Por el momento, las variables se mantienen igual.

Paso 2.Luego de simplificar los coeficientes del numerador y denominador de la fracción, se deben simplificar las variables de la siguiente manera:Cuando una variable aparece en el numerador y denominador de la fracción algebraica con distinto exponente, para simplificarla se resta el exponente que tenga en el numerador, menos el exponente que tenga en el denominador; ese resultado de la resta será el valor del exponente que tenga la variable. Si el exponente resulta positivo, la variable se escribe en el numerador de la fracción algebraica, ya simplificada, y cuando el exponente resulte negativo, la variable se escribirá en el denominador de la fracción, ya simplificada.Cuando una variable aparece solamente en el numerador de la f racción algebraica, pasará exactamente igual al numerador de la fracción simplificada.

página 60

Cuando una variable aparece solamente en el denominador de la fracción algebraica, pasará exactamente igual al denominador de la fracción simplificada.Si una variable aparece, tanto en el numerador y denominador con el m i s m o exponente, esa variable se

Ejemplo 1. Simplificar la fracción algebraica:

Lo primero que s e h a c e e s simplificar los

coeficientes de numerador y del denominador. El coeficiente del numerador es 8 y el coeficiente del denominador es 6. Para simplificarlos debemos encontrar el factor común entre 8 y 6.

Encontrar el factor común es hallar un número que divida tanto al número 8 como al número 6; ese factor común es el 2. Así que dividamos el 8 y el 6 entre dos; por el momento las variables se mantienen igual.

página 61

Ahora continuemos s i m p l i f i c a n d o l a s variables, restando los e x p o n e n t e s d e l o s coeficientes de las variables del numerador con los exponentes de los coeficientes de las variables semejantes del denominador

Quedando la fracción simplificada como:

Nota:

Siempre se resta el exponente de arriba menos el de abajo.

Ejemplo 2.S impl i f icar la fracción algebraica:

Paso 1.Simplificar los coeficientes del numerador y denominador. El coeficiente del numerador es 3 y el coeficiente del denominador es 9. Encontremos un número que divida tanto al 3 como al 9, es decir, un factor común; ese número es 3. Las variables se mantienen igual.

página 62

Paso 2.Ahora continuemos simplificando las variables, restando los exponentes de los coeficientes de las v a r i a b l e s d e l n u m e r a d o r c o n l o s exponentes de los coeficientes de las v a r i a b l e s s e m e j a n t e s d e l denominador.

Quedando la fracción simplificada como:

Ejemplo 3.Simplificar la fracción algebraica:

página 63

Paso 1.S impl i f icar los coef ic ientes de l numerador y denominador de la fracción. El coeficiente del numerador es 4 y el coeficiente del denominador es 7. Como no existe un número que divida tanto al número 4 como al número 7, no tienen un factor común; por lo tanto, no se pueden simplificar y pasan exactamente igual a la fracción simplificada.

Paso 2.Simplifiquemos ahora las variables, restando los exponentes de los coeficientes de las variables del numerador con los exponentes de los coeficientes de las variables semejantes del denominador.

página 64

El producto de dos fracciones algebraicas, que incluyen monomios, es otra fracción algebraica donde el numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores. El producto de fracciones algebraicas se puede denotar por o por un

Ejemplo 1: Multiplicar las fracciones algebraicas

y

LECCIÓN 16

PRODUCTO

página 67

x

Ejemplo 1. Sumar las fracciones algebraicas

page 72

Nota: Los términos semejantes tienen las mismas variables elevadas a los mismos exponentes, sin importar sus coeficientes.

4 6 2 Si al menos un número de los que están colocados en el segundo renglón puede dividirse todavía entre dos, se realiza la división. Como los números del segundo renglón son los números 2 y 3, solamente el 2 puede dividirse entre 2; así que solamente se realizará esta división; el 3 pasará igual al siguiente renglón.

Tenemos que , por lo tanto este resultado se coloca en el tercer renglón de la tabla junto con el 3 que no se dividió.

Nota: Si los números que están en el segundo renglón ya no se pueden dividir entre 2, se tratan de dividir entre el siguiente número primo que es 3.

2 3 2

1 3

4 6 2 2 3 2

1 3 3 1 1

4 6 2

2 3 2 1 3 3

1 1

Cuando tengamos solamente números uno, paramos de hacer divisiones.

Como en el tercer renglón ya no quedaron números divisibles entre 2, ahora seguiremos dividiendo entre el siguiente número primo que es 3. Los números que se encuentran en el tercer renglón son el número 1 y el número 3; de esos dos números, solo se puede dividir entre 3 el número 3; el número 1 pasará igual al siguiente renglón.

Sacar el mínimo común múltiplo de los coeficientes de los monomios; en nuestro ejemplo, el coeficiente del primer monomio es 6 y el coeficiente del segundo monomio es 8; por lo tanto, se debe sacar el mínimo común múltiplo entre 6 y 8.

Para obtener el múltiplo de 6 y 8 se realiza una tabla como la siguiente:

6 8En la parte superior de la tabla, se colocan los números a los que se les va a obtener el m.c.m

6 8 2

3 4

Ahora, los números se van a descomponer en factores primos, siempre empezando a dividirlos, si es posible, entre 2.

Tenemos que y ; estos resultados se colocan en el segundo renglón de la tabla.

Nota: Si no fuera posible dividirlos entre 2, se trata de dividirlos entre el siguiente número primo que es 3; si tampoco fuera posible, se trata de dividirlos entre el siguiente número, 5, y así sucesivamente.

Ojo: La división solo se hace con números primos.

6 8 2

3 4 2

3 2

Si al menos un número de los que están colocados en el segundo renglón puede dividirse todavía entre dos, se realiza la división. Como los números del segundo renglón son los números 3 y 4, solamente el 4 puede dividirse entre 2; así que solamente se realizará esta división; el 3 pasará igual al siguiente renglón.

Tenemos que ; por lo tanto, este resultado se coloca en el tercer renglón de la tabla junto con el 3 que no se dividió.

Nota: Si los números que están en el segundo renglón ya no se pueden dividir entre 2, se tratan de dividir entre el siguiente número primo que es 3.

6 8 2

3 4 2 3 2 2

3 1 3

1 1

Como los números del cuarto renglón ya no se pueden dividir entre 2, se prosigue a dividir entre 3.

Cuando tengamos solamente números uno, paramos de hacer divisiones.

6 8

3 4 3 2

3 1

1 1

2

2

2

3

Por último, se van a multiplicar los números que se encuentran a la derecha de la tabla para obtener

el mínimo común múltiplo.

Tenemos que 2x2x2x3 = 24

Ahora, factoricemos el denominador.

Denominador:

Observa que el denominador se puede factorizar con factor común, el

cual es 2x.

La factorización del denominador es la siguiente:

Reescribiendo la fracción a simplificar, con las respectivas factorizaciones del numerador y denominador, se tiene:

Luego se eliminan los factores comunes, que son aquellos que aparecen tanto en el denominador como en el numerador. Como

(x + 1) aparece en el numerador y en el denominador de la fracción, se simplifica a 1 y ya no se escribe en la fracción resultante. Por lo tanto, la simplificación es:

Simplificar la fracción algebraica

Numerador de la fracción a simplificar:

Denominador de la fracción a simplificar:

Lo primero que se hace para simplificar la fracción, es factorizar tanto numerador como denominador.

Numerador:

página 86

Ejemplo 2

Para efectuar la multiplicación entre dos fracciones algebraicas, que incluyen polinomios, se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador. Para facilitar las mu l t i p l i cac iones , se f ac to r i zan l os numerado res y denominadores de las fracciones que se van a multiplicar.

Ejemplo 1.

Multiplicar las fracciones algebraicas

Vamos a multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador. Para facilitar las operaciones, se factorizan los numeradores y denominadores de las fracciones:

Primera Fracción Segunda Fracción

Numerador = X -6X + 5= (X - 1) (X - 5)

Numerador = X - 5x - 24 = (x - 8) (x + 3)

Denominador= X - 15x + 56 = (x - 7)(x - 8)

Denominador= X + 2x - 35 (x + 7) (x - 5)

Reescribiendo la multiplicación con las factorizaciones que se hicieron, tenemos que:

2

2

2

2LECCIÓN 18

PRODUCTO

El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica donde:

• El numerador es igual al producto del numerador de la primera fracción a dividir por el denominador de la segunda fracción a dividir.

• El denominador es igual al producto del denominador de la primera fracción a dividir por el numerador de la segunda fracción a dividir.

Para facilitar las multiplicaciones que se deben realizar para dividir las fracciones algebraicas, se factorizan los numeradores y denominadores de las fracciones que se van a dividir.

Ejemplo 1.

Dividir la fracción algebraica

LECCIÓN 17

DIVISIÓN

página 93

La suma y resta de fracciones algebraicas con el mismo denominador es otra fracción algebraica con el mismo denominador y cuyo denominador es la suma o resta, según sea el caso, de los numeradores de las fracciones a sumar o restar.

Ejemplo 1.

Sumar las fracciones algebraicas

LECCIÓN 19

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS QUE INCLUYEN MONOMIOS CON DENOMINADOR IGUAL.

página 98

Quitando paréntesis y simplificando al máximo el numerador (reduciendo términos semejantes), tenemos:

El resultado de la suma:

Ejemplo 2.

Restar la fracción algebraica

Suma y resta de fracciones algebraicas q u e i n c l u y e n m o n o m i o s c o n denominador igual.

Para sumar o restar fracciones algebraicas con distinto denominador, se reducen las fracciones a un común denominador, el cual será el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones a sumar o restar, y, a continuación, se obtiene el nuevo denominador mediante la división del mínimo común múltiplo, primero entre el denominador de la primera fracción a sumar o restar y el resultado se multiplica por el numerador. Lo mismo con la segunda fracción. Y luego se trabaja con el numerador para llegar a la mínima expresión; es decir, simplificar todos los términos semejantes que existan.

página 99

La suma y la resta de fracciones algebraicas con diferente denominador se resume en los siguientes pasos.

A continuación se te presentará el proceso para obtener el mínimo común múltiplo entre polinomios.

Cálculo del mínimo común múltiplo de polinomios.

Lo primero que se debe tener son los polinomios factorizados; si no se tienen, lo primero que se debe hacer es factorizarlos. Después, se escogen los factores

comunes y no comunes de mayor exponente y se expresan como producto.

Ejemplo: Calcular el mínimo común múltiplo de los polinomios

Los polinomios se encuentran ya factorizados.

Escogemos los factores comunes y no comunes de mayor exponente.

Los factores comunes son (x - 3) y (x + 2) y el factor no común es (x - 4) . Como debemos escoger los de mayor exponente, el mínimo común múltiplo de los polinomios es:

Ejemplo: Calcular el mínimo común múltiplo de los polinomios x2 - 5x + 6 Y x2 - 7x + 12

Escogemos los factores comunes y no comunes de mayor exponente.

página 100

El factor común es (x - 3) y los factores no comunes son (x - 2) y (x - 4) . Como debemos escoger los de mayor exponente, el mínimo común múltiplo de los polinomios es:

(x - 3) (x - 2) (x - 4)

Ahora que ya conoces cómo obtener el mínimo común múltiplo de dos polinomios, puedes efectuar sumas y restas de polinomios.

A continuación se te presenta un ejemplo de cómo sumar dos fracciones algebraicas que incluyen polinomios.

Ejemplo 1.

Sumar las fracciones algebraicas

Denominador de la primera fracción: 4b - 8

Denominador de la segunda fracción: b2 - 4

Lo primero que debemos hacer es factorizar, si no lo están, los denominadores.

Factorizando el denominador de la primera fracción con factor común 4: 4b - 8 = 4(b - 2)

Como el denominador de la segunda fracción es una diferencia de cuadrados, se factoriza:

b2 - 4 = (b + 2) (b - 2)

Luego, escogemos los factores comunes y no comunes de mayor exponente de los denominadores.

El factor común es (b - 2) y los factores no comunes son (b + 2) y 4 Como debemos escoger los de mayor exponente, pero todos tienen exponente 1, el mínimo común múltiplo de los denominadores es:

4(b - 2) (b + 2)

Reescribiendo la suma con los denominadores factorizados, tenemos que:

Paso 2. Ahora sí, efectuar la suma.

El mínimo común múltiplo será el denominador de la fracción resultante de la suma. A continuación, se obtiene el nuevo denominador mediante la división del mínimo común múltiplo, primero entre el denominador de la

página 101

primera fracción a sumar y el resultado se multiplica por el numerador. Lo mismo con la segunda fracción.

Y luego se trabaja con el numerador para llegar a la mínima expresión; es decir, quitar paréntesis y simplificar todos los términos semejantes que existan.

El resultado de la suma es:

Ejemplo 2.

Restar la fracción algebraica

Paso 1. Obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Denominador de la primera fracción: x2 + x - 6

Denominador de la segunda fracción: x2 - 9x + 14

Lo primero que debemos hacer es factorizar, si no lo están, los denominadores.

página 102

Factorizando el denominador de la primera fracción:

x2 + x - 6 = (x + 3) (x - 2)

Factorizando el denominador de la segunda fracción:

x2 - 9x + 14 = (x - 7) (x - 2)

Luego, escogemos los factores comunes y no comunes de mayor exponente de los denominadores.

El factor común es (x - 2) y los factores no comunes son (x + 3) y (x - 7) Como debemos escoger los de mayor exponente, pero todos tienen exponente 1, el mínimo común múltiplo de los denominadores es:

(x - 2) (x + 3) (x - 7)

Reescr ib iendo la suma con los denominadores factorizados, tenemos que:

Paso 2. Ahora sí, efectuar la suma.

El mínimo común múltiplo será el denominador de la fracción resultante de la suma. A continuación, se obtiene

el nuevo denominador mediante la división del mínimo común múltiplo, primero entre el denominador de la primera fracción de la resta y el resultado se multiplica por el numerador. Lo mismo con la segunda fracción.

Quitando paréntesis:

página 103

Al proceso de elevar un número o una variable a cualquier exponente se le llama potenciación.

LECCIÓN 23

CONCEPTO DE EXPONENTE

página 106

Los exponentes fraccionarios también son llamados radicales. Todas las leyes vistas en el subtema anterior son válidas también para los exponentes fraccionarios.

Ahora empecemos preguntando, ¿qué es x1/2 ?

Y la respuesta es x

Te preguntarás por qué la respuesta es x y la razón es la siguiente:

Porque si calculas el cuadrado de x1/2 tienes que: (x1/2)2 = x, aplicando la quinta ley de los exponentes vista en el subtema anterior.

A continuación, te presentaremos la ley del exponente fraccionario.

Ley del exponente fraccionario:

Donde x es ede ser un número o cualquier variable) y m/n es el exponente fraccionario al cual está elevada la base.

LECCIÓN 23

LEY DE LOS EXPONENTES FRACCIONARIOS

página 108

Ahora que ya sabemos qué es un radical, podemos presentarte las leyes o propiedades de los radicales. En la siguiente tabla aparecen las leyes de los radicales y dos ejemplos de cada una de ellas.

LECCIÓN 24

L E Y E S D E L O S RADICALES

página 114

LECCIÓN 24

Aplicando correctamente las leyes anteriores de los radicales y, cuando sea necesario, las leyes de los exponentes , podemos s impl i f icar d iversas expresiones. Veamos los siguientes ejemplos.

LECCIÓN 24

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES CON RADICALES

página 117

El producto de expresiones con radicales con el mismo índice, es igual a otra expresión con radical cuyo coef ic iente y radicando son iguales, respec t i vamente , a l os p roduc tos de los coeficientes y radicandos de las expresiones a multiplicar.

LECCIÓN 25

P R O D U C T O D E EXPRESIONES CON RADICALES

página 121

a x . b y = (a . b) x . y

Dicho de otra manera, los coeficientes y los radicandos se multiplican y se mantiene el índice de las expresiones a multiplicar.

Por ejemplo: Multipliquemos

3 p y 5 q

Estas dos expresiones sí se pueden multiplicar porque tienen el mismo índice, que es 4.

La expresión tiene como coeficiente 3 y radicando p .

La expresión 3 p tienen como coeficiente 3 y radicando p.

La expresión 5 q tienen como coeficiente 3 y radicando q.

Para multiplicar esas dos expresiones, tenemos que:

Otro ejemplo: multipliquemos las expresiones

-2 x2 y 6 z6 ; como ambas tienen el mismo índice 3 en la raíz, sí se pueden multiplicar.

La expresión -2 x2 tiene como coeficiente -2 y radicando x2.

La expresión 6 z6 tiene como coeficiente 6 y radicando .

página 122

n n n

4 4

4

4

4

3 3

3

3


Un ejemplo más: multiplicar las expresiones 5 3 y 6 6 es posible, porque tienen el mismo índice en la raíz, que es 9.

La expresión 5 3 tiene como coeficiente 5 y radicando 3.



página 123

9

9

9

9

El cociente de dos expresiones con radicales con el mismo índice, es igual a otra expresión con radical cuyo coef ic iente y radicando son iguales, respectivamente, al cociente de los coeficientes y radicandos de las expresiones a dividir.

LECCIÓN 25

D I V I S I Ó N D E E X P R E S I O N E S CON RADICALES

página 125

Por ejemplo: dividir las expresiones 3 5 y 5 9 ; como tienen el mismo índice, que en este caso es 4, sí podemos seguir el procedimiento anterior.



Para dividir esas dos expresiones, tenemos que:

Otro ejemplo: dividir las expresiones

10 a3 y 5 b6

y ; sí es posible, ya que tienen el mismo índice que es 5.

La expresión 10 a3 tiene como coeficiente 10 y radicando .

La expresión 5 b6 tiene como coeficiente 5 y radicando .

Para dividir esas dos expresiones, tenemos que:

página 126

4 4

4

4

5 5

5

5

Cuando una fracción tiene en su denominador alguna expresión con radical, conviene obtener fracciones equivalentes que no tengan expresiones con radicales en el denominador. A este proceso se le llama racionalización de radicales de los denominadores.

Según el tipo de expresión con radical que aparece en el denominador de la fracción, el proceso es diferente.

• Cuando el denominador es un monomio.

Es cuando el denominador contiene una sola expresión con índice y radicando cualesquiera.

Donde x e y son variables o números cualesquiera, m es el exponente del radicando y es el índice del radical.

Lo que se hace para racionalizar es lo siguiente: se multiplica tanto numerador como denominador por

LECCIÓN 25

RACIONALIZACIÓN DE E X P R E S I O N E S C O N RADICALES

página 132

En el recuadro anterior tenemos una fracción con una expresión radical en el denominador; por lo tanto, se racionaliza la fracción en los pasos 1, 2, 3 y 4.

En el paso número 1, se multiplica numerador y denominador por .

En el paso número 2, se aplica la ley de raíz de un producto de los radicales en el denominador.

En el paso número 3, se aplica la primera ley de los exponentes al radicando del denominador.

En el paso número 4, se aplica la ley de conversión de un radical a exponente fraccionario.

página 133

• Cuando el denominador es un polinomio.

Es cuando el denominador contiene más de una expresión en el denominador y al menos una de ellas es una expresión con radical. Por ejemplo:

En este caso debemos tomar en cuenta dos aspectos importantes: conocer lo que es una expresión conjugada y productos notables.

Para racionalizar el primer ejemplo: siempre que aparezca una raíz cuadrada en el denominador, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. En este caso, el denominador es un binomio y el conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado.

Algunos ejemplos de binomios y sus conjugados.

a + b → Su conjugado es a - b - z - y → Su conjugado es - z + y

Ahora te preguntarás, ¿por qué hay que multiplicar por el conjugado del denominador?

El objetivo de racionalizar es quitar la raíz del denominador y si, nosotros, multiplicamos el denominador de la fracción por su conjugado, observa lo que pasa:

El denominador de la fracción es:

Su conjugado es:

Multipliquemos el denominador por su conjugado:

¿Esta multiplicación te parece familiar? Recuerda la lección de productos notables y, efectivamente, esta multiplicación recibe el nombre de: producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.

Por lo tanto el resultado es:

página 134

Y ya logramos quitar las raíces del denominador.

Regresando a la fracción a racionalizar:

Siempre que observes en el denominador de una fracción un binomio con al menos una raíz cuadrada, multiplica el denominador por su conjugado para racionalizarla.

Pasemos ahora a racionalizar el segundo ejemplo.

Como pue ar, en el denominador de la fracción ya no aparecen raíces cuadradas, sino raíces cúbicas, ¿cómo quitaremos las raíces del denominador? ¿Ahora por quien multiplicaremos el numerador y denominador de la fracción para poder racionalizarla? Vuelve a recordar tus lecciones de productos notables.

Tomando este producto notable:

es fácil quitar las raíces cúbicas del denominador; así que multipliquemos numerador y denominador d e l a f r a c c i ó n p o r e l s e g u n d o f a c t o r

Y así logramos racionalizar la fracción. Como te has dado cuenta, los productos notables son de mucha utilidad para racionalizar fracciones.

Veamos otro ejemplo.

Observa la siguiente fracción:

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Tenemos que racionalizarla, porque en el denominador aparece al menos una expresión con radical

Lo que debes hacer es multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador.

El Denominador es:

Por lo tanto el conjugado del denominador es:

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matemáticas

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