matemática ii

DR. ADOLFO GUTIÉRREZ SOSA TRIGONOMETRIA I

GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA I(MATEMATICA II)

UNIDAD 1LOGARITMOS Y ECUACIONES.

LOGARITMO.

Introducción.

Ya sabes calcular y = ax (función exponencial) para todo número real x. Ahora queremos proceder en forma inversa. Partiendo de y, ¿cómo podemos determinar a x?

Por ejemplo: si 8 = 2x, ¿cuál es el valor de x?

si 100 = 10x, ¿Cuál es el valor de x?

Pero la mayoría de las ecuaciones exponenciales (función exponencial) no tienen soluciones tan evidentes.

Definición:Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base a para obtener y. Esto es, si a > 0 y a es diferente de uno, entonces logay = x si y sólo si y = ax.

Nota: La ecuación logay = x , se lee "el logaritmo de y en la base a es x".

Ejemplos:

1) ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25 ?.

Al exponente 2, ya que 52 = 25.


Decimos que "el logaritmo de 25 en la base 5 es 2".

Simbólicamente lo expresamos de la forma log5 25 = 2.

De manera que. log5 25 = 2 es equivalente a 52 =25.

2) También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3.





De manera que. Log7 49 = 2 es equivalente a 72 =49.

3) ¿A qué exponente hay que elevar la base 9 para obtener 81?.




De manera que. Log9 81 = 2 es equivalente a 92 =81.





De manera que. Log3 81 = 4 es equivalente a 43 = 81.

De los ultimos ejemplos nos damos cuenta que un numero puede tener diferentes logaritmos, según la base que se tenga, por la definición de este concepto.

Para nuestro curso, únicamente utilizaremos los siguientes tipos de logaritmos:

a) Los logaritmos de base 10 los cuales reciben cualquier de los siguientes nombres:Decimales, Vulgares, Ordinarios o de Bringgs


b) los logaritmos de base “e” los cuales reciben cualquiera de los siguientes nombres:Neperianos , Naturales ,de base “e “ (e=2.718)

A las expresiones de la forma

N= a x …..Se les llama expresiones exponenciales.

Log x N =2 Se les llama expresiones logarítmicas.

Ejemplos:Expresiones logarítmicas.1.-log3 9=22.-log6 36=2

Expresiones exponenciales9=32

8=23

Ejercicios-1:Transformar las siguientes expresiones logarítmicas a exponenciales:

Log3 27=3 ________________Log4 32= 5/2 _________________Log1/4 1/8=3/2 __________________

Transformar las siguientes expresiones exponenciales a logarítmica

27273=9 __________________72=49 ____________________53=125 ____________________

LOGARITMOS DECIMALES.Los logaritmos decimales constan de una parte entera llamada característica, la cual puede ser positiva o negativa, y una parte decimal llamada mantisa la cual es siempre positiva

Calculo de la característica:1.- La característica de los números comprendidos entre 1 y 10 es cero.Por Ejemplo:Características del logaritmo de 9=0“ “ “ “2.32=0“ “ “ “8.98=0“ “ “ “4.88=0

2.-Las características de un número igual o mayor de diez es positivo o igual al número de cifras enteras menos uno. Por ejemplo:


Características del logaritmo 25.88=1“ “ “ 4832.3=3“ “ “ 525.9=2“ “ “ 10.0=1.

3.- La características del logaritmo de un numero menor que uno expresado en forma de fracción decimal siempre será negativa y su valor absoluto será el lugar que ocupe la primera cifra significativa va a la derecha del punto decimal.a) Característica del logaritmo 0.2582 es 1b) “ “ “ 0.088es 2c) “ “ “ 0.000035es 5

En el inciso a) la característica es, 1, ya que la primera cifra significativa (2) ocupa el primer lugar a la derecha del punto.

En el inciso b) la característica es 2, ya que la primera cifra significativa (8) ocupa el segundo lugar a la derecha del punto.

En el inciso c) la característica es 5, ya que la primera cifra significativa (3) ocupa el tercero lugar a la derecha del punto decimal.

Ejercicio-2:Determinar la característica del logaritmo de los siguientes números (comprueba con la calculadora)

885.2 ________25.45 ________0.00842 523 ________5223 ________945.2 ________0.0000025 ________

Determinación de la mantisa. Habíamos dicho anteriormente que la mantisa es la parte decimal del logaritmo, para determinarla, nos valemos de las tablas de los logaritmos. Procedimiento para obtener la mantisa. (utilizando la calculadora o tablas de logaritmos de Arquímedes Caballero - anexoA)

Ejemplo: hallar el logaritmote 82.51

La característica es 1.Para hallar la mantisa prescindimos del punto decimal, por lo tanto, buscamos la mantisa de 8251. En la primera columna de la izquierda encabezada por N, localizamos el número 82y, en el cruce en este renglón con la columna 5 se halla la mantisa .9165 por el mismo renglón se continua hasta llegar a las partes proporcionales encabezadas por 1, que es la cuarta cifra del numero al cual se le va a extraer logaritmo y en el cruce encontramos el numero 1. Este último número la lo sumamos al numero 9165


Así .9165____1_ _.9166

De donde: Log 82.51=1. 9165

Ejemplo:Hallar el logaritmo de 8.825Log 8.825= 0.9457

Hallar el logaritmo de 432.1Log 432.1= 2.6356

Ejercicio-3hallar el logaritmo de los siguientes números, utiliza las tablas (comprueba con la calculadora tus resultados).

845.2 ________________6.3514 ________________0.0032 ________________0.2584 ________________25.84 ________________499.2 ________________258.4 ________________0.000238 ________________0.0002584 ________________

ANTILOGARITMOS.Si a un número se le extrae logaritmo ese número será el antilogaritmo del segundo.

Ejemplo:Log 25.82= 1.4159

Antilogaritmo de 1.4119= 25.82

Para extraer el antilogaritmo de un número (se utiliza tablas de antilogaritmos.)El antilogaritmo se determina únicamente con la parte decimal del número, ya que la parte entera nos servirá únicamente para localizar el punto decimal.

Ejemplo:Antilogaritmo de 2.4489Nota: Utilizando las tablas de Arquímedes caballero.En la primera columna de la izquierda encabezada por m localizamos el numero .44 y, en el cruce de este renglón con la columna 8 (tercera cifra de la característica) se halla el numero “2805” por el mismo renglón se continua hasta llegar a las partes proporcionales encabezadas por 9 que es la cuarta cifra del número al cual se le va


a extraer antilogaritmo y en el cruce encontramos el numero 6 este último número se lo sumamos a 280, así:

2805+ 6______2811

Para determinar el número de cifras enteras (o sea, la característica del numero al cual se le va a extraer antilogaritmo) le sumamos uno.asi tenemos.

Antilogaritmo de 2.4489=281.1

Ejercicio- 4 determine los antilogaritmos. (utiliza la calculadora)Antilogaritmo de 1.2484=_____________Antilogaritmo de 6.1912=_____________Antilogaritmo de 3.1700=_____________Antilogaritmo de 2.513= ______________Antilogaritmo de 1.1320=______________Antilogaritmo de 4.9329=______________

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS LOGARITMOS.

1.- el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores

Log A.B =Log de A + Log B

Ejemplo: Por medio de logaritmos efectuar la siguiente operación

(3)(4)

Log (3) (4) =Log 3 +Log4 = (0.4771)+ (0.6021)= 1.0792

Antilogaritmo de 1.0792 =12.0000 (para comprobar nuestra operación)

Ejemplo:

Utilizamos logaritmo resolver la siguiente operación(2.845) (-0.002311) (845.2)

Nota; Como no hay logaritmos de de números negativos sacamos el logaritmo de 0.002311 como si fuera un numero positivo y al final colocamos el signo aplicando la regla de los signos

Log (2.845) (0.002311) (845.2)=Log 2.845 + Log 0.002311 + Log 845.2=_


0.4541 + 3.3638 + 2.9270 = 0.7449Antilogaritmo 0. 7449=5.558

Ejercicio-5

Efectuar las siguientes operaciones utilizando los siguientes logaritmos.

(0.0238) (345) = _____________________________________________(2385) (32.25) = _____________________________________________(6.285)(0.02382) = _____________________________________________(2.32) (0.023) (842) = _____________________________________________(4.8520) (0.1211) (238) = ___________________________________________

El logaritmo de un coeficiente es igual al logaritmo del dividendo manos el logaritmo del divisor.

Log A/B= Log A – Log B

Ejemplos: Por medio e logaritmos efectuar la siguiente división35/5Log 35/5 =Log 35- Log 5Log 35/5 = (1.5441) – (0.6990)Log 35/5 =. (451Antilogaritmo .8451 =7.0000

Ejemplo: Por medio de logaritmos efectuar la siguiente división

2.68/33.2

Log 2.68/33.2 =Log 2.68- Log 33.2“ “ = 0.4281-1.5211

La diferencia anterior se puede efectuar pero obtenemos un resultado negativo (ya que el minuendo es menor que el sustraendo)

Como no es posible obtener antilogaritmo de mantisas negativas , evitando este problema sumando 10 -10ª .4281

10.4281- 1010.4281-101.5211__________8.9070-10 =2.9070

Antilog: 2.9070= 0.08072

Ejercicio-6


Efectuar las siguientes operaciones utilizando logaritmos decimales:

0.4200/2.2120 = ________________________________________________

34500/88.32 = ________________________________________________

0.032/0.2132 = ________________________________________________

1.223/17.32 = _________________________________________________

25.32/2.940 = _________________________________________________

0.0238/ 0.112 = ________________________________________________

c) El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base.

Log Ax= x Log A

Ejemplo: Calcular por medio de logaritmo la siguiente operación

Log52=2Log 5 =2(0.6990)

Log52=1.3980Antilog 1.3980=25.0000

Ejemplo: utilizando logaritmos resolver.

(00015)2

Log (0.0015)2=2Log 0.0015=2 (3.1761)

Para efectuar esta multiplicación se separara la característica de la mantisa. _ _2(3. + .1761) =6 + .3522

Juntándolos nuevamente tenemos: 6.3522 _Antilogaritmo de 6.3522=0.00000225

Ejercicio-7utilizando logaritmos resolver las siguientes operaciones.(utiliza la calculadora)

(2325)2 ____________________________________________

(4.25)5.2 ____________________________________________

(432.8)12 ____________________________________________


(0.0025)3 ____________________________________________

(0.02388)2.5 __________________________________________

(0.2532)4.85 ___________________________________________

c)El logaritmo de una raíz enésima es igual al logaritmo de la cantidad subradicaldividida entre el índice de la raíz.

Log n√A = Log A /nEjemplo:Utilizando logaritmos efectuar la siguiente operación

Log 3√8 = log 8 3√8 /3 = 0.9031/3 =0.3010

Antilogaritmo de 0.3010 = 2.0000

Ejemplo:Efectuar la siguiente operación utilizando logaritmos5√0.025

Log 5√0.025 = Log 0.025 / 5 = 2.3979 /5

Para efectuar ésta división se separa la característica de la mantisa.

2 + .3979 / 5Ahora tratamos de que la característica de (2) sea exactamente divisible entre el divisor (5). Esto se logra sumando al dividendo -3 +3_2 – 3 + 3.3979 / 5_5 + 3.3979 / 5

Separando los numeradores tenemos:_5 / 5 + 3.3979 / 5 _ _1 + 0.6795 = 1.6795 _Antilogaritmo de 1.6795 = 0.4780

Ejercicico-8Efectuar las siguientes operaciones utilizando logaritmos.(utiliza la calculadora)

3√0.02312 ____________________ 6√82240 =________________________


4√2382= ____________________ 5√1976=________________________

√4.220=______________________ 12√7586=________________________

Obtención de logaritmos de cualquier base a partir de logaritmos decimales.

Sea: N = ax ________________(1)

Transformando la expresión (1) a forma logarítmica:

Loga N = x _____________(2)

Determinando el logaritmo de la expresión (1) con base (b)Obtenemos:Log ∙ b N = Log ∙ b ax

Log ∙ b N = x Log ∙ b a ________(3)

Despejando a (x) de la expresión (3) tenemos:

x = log∙ b N / log∙ b a ________(4)

Sustituyendo (4) en (2)

Log∙ b N = log∙ b N / log∙ b a

Podemos considerar que :

N = A cualquier númeroa = a cualquier baseb = base diezAsí:

Log∙ a N = log ∙10 N / log ∙10 a

Ejemplo: Calcular el logaritmo de 215 con base 3 a partir de logaritmos con base 10

Log ∙ 3 215 = log ∙ 10 215 / log ∙ 10 3

log ∙ 3 215 = 2.3324 / 0.4771


log ∙ 3 215 = 4.888

Calcular el logaritmo de 236 con base siete a partir de logaritmos decimales.

Log ∙ 7 236 = log ∙ 10 236 / log ∙ 10 7

log ∙ 7 236 = 2.3729 / 0.8451

log ∙ 7 236 = 2.808

Ejercicios-9

Obtener los logaritmos de los siguientes números utilizando logaritmos decimales.

log ∙ 3 84.25

log ∙ 9 2.150

log ∙ 5 445.2

log ∙ 8 7724

log ∙ 2 365.9

log ∙ 6 .0079

Determinación de los logaritmos naturales (Base “e “ ) a partir de logaritmos decimales

Log ∙ e N = log ∙10 N / log ∙10 e

Pero sabemos que: e = 2.718

Log ∙ e N = Log 10 N / Log ∙10 2.718

Log. 10 2.718 = 0.4343

Log 10N/0.4343

Log .e N= 2.30 Log .

10N

La formula anterior nos sirve para determinar logaritmos naturales a partir de logaritmos decimales.Ejemplo: calcular el logaritmo natural de 28.45 a partir de logaritmos decimales.


Log.e 28.45= 2.30 Log 1028.45

Log 1028.45 =1.4145

Log.e 28.45 = (2.30) (1.451)

Log.e 28.45 = 3.3214

Nota: El logaritmo natural o neperiano se puede representar así: (Log .e): (In) o

(Log.2.718)

Ejemplo: Calcular el logaritmo natural de 825 a partir de logaritmos.

Log .e 825= 2.30 Log10825

Log.10 825 = 2.9165

Loge 825 = (2.30) (2.9165)

Log.e 825 = 6.7080

Ejemplo: Calcular los logaritmos naturales de los siguientes números a partir de logaritmos decimales.Log.

e 23.67Log.

e 4.567Log.

e 0.00345Log.

e 67.45Log.

e 7.865Log.

e 48.62

1.- Resolución de operaciones combinadas (multiplicaciones, divisiones, raices, y potencias) utilizando logaritmos.Resolver las siguientes ecuaciones utilizando logaritmos.

457/ (3√228) (√16.5)Sacando logaritmos

457/ (3√228) (√16.5) = Log∙457 - Log (3√228) (√16.5) =Log∙457- Log (3√228)+ (√16.5)

=Log∙457- Log (Log 228/3) +(Log16.5/2)

=Log∙457= 2.6599

=Log∙288=2.3579

=Log∙16.5=2.2175


Substituyendo os valores tenemos;

(2.6599)-(2.3579/3+2.2175/2)(2.6599)-(0.7859+0.6087) = (2.6599)-(1.3946) = 1.2653

Sacando el Antilogaritmo de 1.2653 = 18.42 (comprobación)

2.-Resolver la siguiente operación utilizando logaritmos:

(21.71) (28.65)/ (396.4)(1.401)

Determinando logaritmos

Log (21.71) (28.65)/ (396.4)(1.401)

Log (21.71) (28.65)- Log (396.4)(1.401)

Log (21.75+28.65)-(Log396.4+Log 1.401)

Log21.75= 1.3367

Log 28.65= 1.4576

Log 396.4= 2.5981

Log 1.4010= 0.1464

Substituyendo tenemos los valores

(1.3367+1.4576)-(2.5981+0.146)

(2.7943)-(2.7445)=0.0498

Antilogaritmo.- 0.0498= 1.121

4.- Efectuar la siguiente operación utilizando logaritmos:

[(8264) (.311)/ (2.351) (28.6)]1/2

Determinando los logaritmos

Log [(8264) (.311)/ (2.351) (28.6)]1/2

½ Log [(8264) (.311)/ (2.351) (28.6)]

½ Log [(8264) (.311)- (2.351) (28.6)]

½ Log [(8264)+ (.311)- (2.351)+ (28.6)]


Log8264=3.9172

Log0-311= 1.4928

Log2.351=0.3713

Log28.6= 1.4564

5.- ½[(3.9172+1.4928)-(0.3713+1.4564)= =½[(3.4100)-(1.8277)]

½[1.5823]= 1.5823/2= 0.7911

Antilogaritmo 0.7911= 6.182

6.- Resolver las siguientes operaciones utilizando logaritmos:

1.- (√325) (225)3/ (445)(0.0048)=

2.- (278)4(5√3.04) =

3.- 278/ (3√o.2875) (372)5=

4.- (842)3 (5√2.25)=


UNIDAD 2ECUACIONES EXPONENCIALES

Se le llaman ecuaciones exponenciales aquellas en que la incógnita aparece como exponente. Son ejemplos:

2x+1 = 8

3x = 7

3x+1 = 5x-2

Generalmente las ecuaciones exponenciales se resuelven mediante el uso de las propiedades fundamentalesde los logaritmos.

Resolver la siguiente ecuación.

16x+1 = 15 x+3

Sacamos logaritmos al primero y segundo miembro de la igualdad.

Log 16x+1 = 15 x+3

(x+1) Log 16 = (x+3) Log 15

Pasamos al primer miembro de la igualdad cada uno de los términos que contenga la incógnita y al segundo alque no la contenga:

x Log16-x Log 15 = 3 Log 15-Log 16

Sacamos a (x) como factor en el primer miembro de la igualdad.

X(Log 16 Log 15) = 3 Log 15 – Log 16

Despejando a (x) tenemos :

x+ 3 Log 15 – Log 16 / Log 16 – Log 15


determinamos los logaritmos de :Log 15 = 1.1761Log 16 = 1.2041Substituyendo tanemos :

X=3 ( 1.1761) – (1.2041) / ( 1.2041) – ( 1.1761)

X= 1.1761 – 1.2041 / 1.2041 – 1.1761

X = 2.3242 / 0.028X = 85

Resolver la siguiente ecuación :

5x2- 3 =5x2

Sacamos logaritmo al primero y segundo mimbro de la igualdad:

Log 5x2 – 3 = Log5x2

(x2-3) Log 5 = (2x) Log 5

Pasamos al segundo miembro Log 5:

x2-3 = (2x) Log 5 / Log 5

x2 – 3 = 2x

x2-2x-3=0

Llegamos a una ecuación de la forma ax2+b+∙ c= 0La cual se puede resolver por:

a) Factorizandob) Utilizando la fórmula general:

X= -b +- √b2 - (4) (a) (c) / 2ac) completando el trinomio cuadrado perfecto.Resolución de la ecuación utilizando la fórmula general:

X= -b+- √b2 - (4) (a) (c) / 2ª

X2-2x -3 = 0

Obtenemos.

A=1, B= -2 , C=-3


Sustituyendo tenemos los valores:

X=-(-2)+-√ (-2)2 – (4) (1) (-3) / 2 (1)

X= 2 +- √4 12 / 2

X= 2+-√16 / 2

x= 2 +-4 / 2

X1= 2+-4 / 2

X1= 2+-4 / 2 = 6 / 2 = 3

X1= 3

X2= 2- 4 / 2 = -2 /2 =-1

X2 = -1

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

2x-y = 5---------------1

X + 2y = 3------------2

Para la ecuación (1) tenemos:

2x-y = 5

Log 5= 0.6990

Log 2= 0.3010

x-y = 0.6990/ 0.3010

x-y = 2.322-----3

Resolviendo las ecuaciones (2) (3)

X+ 2y 0 3 -------------- (2)

x-y= 2.322--------------- (3)

Ecuaciones de este tipo ya sabemos que las podemos resolver por:a) suma o resta


b) por igualación

d) por sustitución

Resolviendo por suma o resta multiplicamos la ecuación (3)por (-1)

-1 (x-y) = -1 (2.322)

-x+y = -2.322

Resolviendo las ecuaciones tenemos:x+2y=3-x+y = -2.322____________3y= 0.678

Y=0.678/3Y=0.226

Substituyendo y= 0.226 en la ecuación (2) tenemos:x+2y= 3x+2(0.226) = 3x+0.452= 3

x= 3 – 0.452x= 2.548


5x-2y = 100 ---------------- (1)

32x-y = 10 ----------------- (2)________________________

Transformando la ecuación (1) a la forma lineal tenemos:

5x-2y = 100

Log5x-2y = Log100

(x-2y) Log 5 = Log 100

x-2y = Log 100________Log 5


Si, tenemos que.Log 100 = 2.0000______Log 5= 0.6990

sustituyendox-2y = 2.8614------------- (3)

Transformando la ecuación (2) a la forma lineal tenemos :

32x-y = 10Log32x-y = Log 10

(2x-y) Log3 = Log 102x-y = Log 10/ Log 3Log 10 = 1.0000

Log3 = 0.47712x-y 1.0000/0.4771

2x –y = 2.093----------- (4)Resolviendo las ecuaciones (3) y(4)

x-2y= 2.8614 ----------- (3)

2x –y = 2.093------------ (4)

Multiplicando por (-2) la ecuación (3):

-2 (x-2y) =-2(2.8614)

-2x +4y = -5.7228Sumando con la Ec-4, tenemos:

-2x+4y = -5.728+2x -y = 2.0930_______3y= -3.6298

y = -3.6298 / 3

y= -1.2099


Sustituyendo y =1.2099 en la ecuación (4)

2x – y = 2.0930

2x- (.1.2099) = 2. 0930

2x+ 1.2099= 2.0930

2x = 2.0930 – 1.2099

x = 0-8831 / 2

x=0.4415

Resolver las siguientes ecuaciones:2x+2 = 4x-1

2x-1 =16

5x2+x = 25

7x = 22x+1

8x-y = 3x

6x-y = 63

4x+2y= 64

2x+5y = 5

UNIDAD 3ECUACIONES LOGARITMICAS

Una ecuación que contiene una o más funciones logarítmicas de una o más incógnitas, se le llama la ecuación logarítmica. Son ejemplos:


Log 6 (x+3) + Log (x -2)

Log x+ Log y = 4

Log (x-2) + Log ( x-3)+ Log 2

Para resolver las ecuaciones logarítmicas se hace uso de las propiedades fundamentales de los logaritmos.

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación:Log6 (x+3) + Log6(x-2) = 1

Nota.- Sabemos que Log (A) (B) = Log A + Log B

Log6(x+3) (x-2)= 1

Transformando la ecuación logarítmicas anterior a exponencial

(x+3) (x-2)= 61

Efectuando la multiplicación indicada tenemos:

x+2x-2______x2 + 3x-2x-6_______

x2+x-6

x2+x-6=6tenemos.x2+x-12=0

Resolviendo esta ecuación utilizando la fórmula general de segundo grado tenemos:

x2+x-12=0

a= 1, b= 1 , c= -12

X= -b+- √b2 - (4) (a) (c) / 2a

Sustituyendo valores tenemos:

x=-(1)+-√ (1) 2-4(1) (-12) / 2(1)


x= -1+-√1+48 / 2

x= -1+-√49 / 2

x= -1+-7 /2

x1=-1+7 / 2 = 6/2 =3

x2=-1-7 / 2 = -8 /2 =-4

Resolver la siguiente ecuación:

Log3 (x+2) – Log (x-6) = 2

Nota: Sabemos que Log a/b = Log a – Log b

Log (x+2) / (x-6) =2

(x+2) / (x-6) = 9

(x+2) = 9 (x-6)

x +2 =9 x- 54

x-9x =-54-2

-8x =-56

x= -56 /-8

x=7


Log 10 x + Log 10 y= 4 -------------- (1)

Log 10 2x – Log 105y =1 ------------- (2)

De la ecuación (1) tenemos:

Log 10 x + Log 10 y= 4

Log 10 (x) (y) = 4

Transformándola a una expresión exponencial tenemos


(x) (y) =104

104 = 10 000 --------- (3)

De la ecuación tenemos:

Log 10 2x – Log 10 5y = 1

Log 10 2x /5y = 1

Transformándola a una expresión exponencial tenemos:

2x /5y = 101 ---------------- (4)

Resolviendo la siguiente ecuaciones (3) y (4) tenemos:

(x) (y) =10000 ------------ (3)

2x/5y = 10 ---------------- (4)

Despejando a (x) de (4)

x= (10) (5y) / 2

x= 50y / 2

x=25y

Substituyendo tenemos x=25y en la ecuación (3):(x) (y) =10000

(25y) (y) =10000

25 y2= 10000

y2 = 10000 / 25

y2 = 400

y= 400

y= 20

Sustituyendo y= 20 en la ecuación (3)

(x) (y) = 10000


(x) (20) = 10000

x = 10000 / 20

x= 500

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones (se combinan exponenciales con logarítmicas)

10x-3y = 3 ------------------- (1)

Log 102x – Log 10y = 1 ---- (2)________________________

De la ecuación tenemos (1) tenemos:

10x-3y = 3Sacando logarítmicos al primero y segundo miembro de la igualdad:

Log 1010 x- 3y = Log 103

(x-3y) Log10 10 = Log 103

Pasamos Log 10 al segundo miembro:x-3y = Log 10

3 / Log 1010

Log 3 = 0.4771

Log 10 = 1

x-3y = 0.4771 / 1De la ecuación (2) :

Log 102x- Log y = 1Nota.- sabemos que Log A/ B = Log A – Log B

Log 10 2x / y = 1Transformando a una expresión exponencial tenemos:

2x / y = 101

2x / y = 10 ----------- (4)

Resolviendo las ecuaciones (3) y (4)

x-3y = 0.4771 ---------- (3)

2x / y = 10 ----------- (4)

Despejando x de la ecuación (4)


2x / y = 10

x= Log / 2

x= 5y

Substituyendo x =5 y en la ecuación (3) tenemos:

x-3y = 0.4771

(5y) -3y = 0.4771

2y= 0.4771

y= 0.4771/ 2

y= 0.2385

Sustituyendo y= 0.238 en x= 5y

x=5 (0.2385)x= 1.1925

UNIDAD 4

METODO DEDUCTIVO Y GEOMETRÍA


El conocimiento del metodo deductivo en el area de fisico-matematicas , es importante para la formación del estudiante, ya que le proporcina las bases para el analisis y deducción de los principios en matematicas.

Para iniciar las bases de esta tecnica se presentan las definiciones que se emplean en este metodo.

DEMOSTRACION.Es el arte de argumentar desde las premisas hasta la conclusión, de tal modo que no exista ningun error en el trnascurso de los argumentos.

ARGUMENTAR.Pasar de una nocion a otra, por una serie de consideraciones puramente logicas.

PREMISA.Es el principio de un razonamiento.( representa a cada una de las proposiciones de un silogismo)

PROPOSICION.Accion y efecto de proponer.

PROPONER.Exponer un plan, enunciar un problema.

SILOGISMO.Argumento que esta compuesto por tres proposiciones llamadas. MAYOR, MENOR Y CONCLUSION.Las caracteristicas de las tres proposiciones son:

MAYOR..- Define a un grupo en su enunciado.MENOR.- Define o indica ( caracteriza) al menos a un elemento del grupo que define la premisa mayor.CONCLUSION.- Es una proposicion que se construye poniendo como sujeto ,añ sujeto de la premisa menor y como predicado a la premisa mayor.

Ejemplo.

En la proposicion que se enuncia identifica las premisa mayor, menor y la conclusión ademas escribe el silogismo en ese orden.

-a-las abejas tiene tres pares de patas y un par de antenas-b-todos lo insectos artropodos tiene tres pares de patas y un par de antenas.-c- la abeja es un insecto artopodo.

Entonces aplicaremos el metodo deductivo.


GEOMETRÍA .

La geometría es el estudio de las propiedades y caracteristicas de ciertos elementos como rectas, angulos, triangulos y circulos, la geometría se desarrolla , estudia loicamente por medio de lo que se conoce como metodo deductivo, todo sistema que se depende del razonamiento deductivo se conoce como sistema logico.

El ESPACIO se define como el conjunto de todo los puntos. Por esta definición si un objeto esta en el espacio entonces es un punto.En geometría las suposiciones se denominan postulados.

GEOMETRIA EUCLIDIANA

Se denomina geometría euclidiana la geometría recopilada por el matemático griego clásico

Euclides, en su libro "Los elementos", escrito alrededor de 300 años antes de J.C. La geometría euclidiana es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional.

En ocasiones los matemáticos usan el término para englobar geometrías de dimensiones superiores propiedades similares. Sin embargo, con frecuencia, la geometría euclidiana es sinónimo de geometría plana.

Antecedentes historicos.

La geometría fue creada y desarrollada por los caldeoas ( mesopotamia y sus alrededores) antes de cristo, los conocimientos de los caldeos fueron asentados en tablas conocidad como cuneiformes, tales como triangulos, cuadrilateros, y circunferencia, entre las aplicaciones tenemos, uso del triangulo en las construcciones y astronomia, ademas dividieron en 360° la circunferencia.

Posteriormente estos conocimientos se concentraron en babilonia, después se transportaron a Egipto extendiendo estos conocimientos a mesopotamia, asia menor y norte de África, después de varios siglos el imperio griego domino el mediterraneo.

Thales de Mileto. Entre los primeros griegos en asimilar algunas expresiones matematicas escritas por persas, semitas,y egipcios, duchas expresiones fueron el inicio de la geometría euclidiana.

Axiomática

La presentación tradicional de la geometría euclidiana se hace en un formato axiomático. Un sistema axiomático es aquel que, a partir de un cierto número de postulados que se asumen verdaderos (conocidos como axiomas) y a través de


operaciones lógicas, genera nuevos postulados cuyo valor de verdad es también positivo.

Euclides planteó cinco postulados en su sistema:

1. Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une. 2. Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido. 3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio. 4. Todos los ángulos rectos son iguales. 5. Si una recta al cortar a otras dos forma ángulos internos menores a un ángulo recto, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como 5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela.

Este postulado parece menos obvio que los otros cuatro, y muchos geómetras han intentado en vano deducirlo. Al construirse la geometría hiperbólica se demostró que esto no era posible ya que en este tipo de espacios, se demuestra que el quinto postulado es falso mientras el resto se sostiene. También se notó que el conjunto de axiomas escogido por Euclides es incompleto.

Limitaciones

Euclides utiliza hechos no demostrados ni postulados en sus teoremas desde el primero, aunque son cosas tan sutiles que pasaron inadvertidas durante mucho tiempo.

Para que el sistema de euclides fuera completo habría que añadir al menos dos postulados más:

Dos circunferencias separadas menos de 2R se cortan en dos puntos (Euclides lo utiliza en su primera construcción) Dos triángulos con dos lados iguales y su ángulo igual son iguales (equivale al concepto de movimiento, que Euclides usa para su teorema cuarto sin definir explícitamente)

Pitágoras. Uno de los mejores alumnos, de thales d Mileto fue Pitágoras, fundo su escuela de matematicas en cretona (Italia) una de las aportaciones mas importante que realizo esta escuela fue la interpretación matematica de la correlacion que tiene los catetos de un triangulo rectangulo con su hipotenusa.


Platon: exalumno de Sócrates, este griego, fundo su escuela con la finalidad de poder argumentar adecuadamente los conocimientos matematicos existentes , fundamntando los conceptos elementales de ella, llamandoles premisas y en una forma logica o razonada encontrar conclusiones.

UNIDAD 5

ELEMENTOS DE GEOMETRIA.


Una línea recta es una sucesión de puntos que llevan una misma dirección pero que van en dos sentidos opuestos; si se desplazan en un solo sentido se tratan de una semi-recta.

Segmento de la recta: es aquella que está comprendida entre dos puntos.

Líneas paralelas: son dos rectas en los cada uno de sus puntos equidistan uno con otro.

Nota: equidistar, significa a igual distancia.

Líneas perpendiculares: son dos rectas que en su punto de intersección forman por lo menos ángulos de 900.

Líneas concurrentes: son dos o más rectas que tienen un punto en común.


ANGULOS. Definición: Angulo es la abertura comprendida entre dos líneas que tienen un punto en común llamado vértice.

Formas de denominar un angulo.

a) Una letra mayúscula en el vértice.

b) Una letra griega o un símbolo en la abertura.

c) Tres letras mayúscula.

Línea recta

Semi recta

Segmento de recta.

Líneas paralelas

Líneas perpendiculares

Líneas concurrentes.


SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS

Sistema sexagesimal

Se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes constituyen un grado sexagesimal.

Uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60’) que corresponden, cada una de ellas, a un minuto.

Un minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60") correspondiendo cada una de estas partes a un segundo.

Sistema ciclico.

(mediada de angulos en radianes).

Un radian es un angulo tal que si su vértice se coloca en el cento de un circulo,intercepta un arco cuya longitud es igual al radio del circulo.

TIPOS DE ÁNGULOS


Tipo de ángulo Rango

Cóncavo

Águdo

Recto

Obtuso

Convexo

Extendido

Completo

0° < < 180°

= 90°

= 90°

90° < < 180°

180° < < 360°

= 180°

= 360°

Por ejemplo, el ángulo obtuso está comprendido entre 90° y 180°, no incluyendo estos valores.

0tra forma de expresar los tipos de angulos es.

Angulo Agudo: es el que mide menos 900

Angulo Recto: es el que mide 900

Angulo Obtuso: es el que mide más de 900y menos de 1800

Angulo llano: es el que mide 3600

Angulo de una vuelta: es el que mide 3600

Angulo Convexo: es menor que un llano.


Angulo cóncavo: mide más de 1800 y menos de 3600

Ejercicio- 12 , escribe el nombre alos siguientes angulos

PAREJA DE ÁNGULOS

Ángulos adyacentes

Son ángulos que tienen un lado común y el mismo vértice.

<BAC es adyacente con <DAC

Ángulos opuestos por el vértice

- Dos líneas que se intersectan generan ángulos opuestos por el vértice. - Son ángulos no adyacentes. <1, <2, <3 y <4

- Son ángulos congruentes:

<1 = <2 y <3 = <4


Ángulos complementarios

- Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es

que suman 90°.

El <BAC es adyacente al <DAC y viceversa.

Ángulos suplementarios

- Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es

que suman 180°.

El <BAC es adyacente al <DAC y viceversa.

Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal.

Tipos de ángulos formados

Ángulos correspondientes entre paralelas.

1 = 5

2 = 6


3 = 7

4 = 8

Ángulos alternos entre paralelas.

1 = 7

2 = 8

3 = 5

4 = 6

Son suplementarios

Ángulos contrarios o conjugados.

1 6

2 5

3 8

4 7

Ángulos colaterales.

1 8

2 7

3 6

4 5

Angulo cóncavo: mide más de 1800 y menos de 3600

Ejercicio- 12 , escribe el nombre alos siguientes angulos.


Encontrar el valor de “A” en la figura:

Encontrar el valor de “A” en la figura: A+B =1800

A=180-BA= 180-135 = 450

Encontrar el valor de “B” en la figura:

A+B=1800

B= 180- A

B= 180 – 80 451


B=990 151

Encontrar el valor de “E” un la figura:

E+F= 1800

E=180 –F

E= 1800 1150351 2311

E= 6402413711

Ejercicio:Hallar el suplemento de 780 231 6911

Hallar el suplementote 1670 561 4311

Hallar el suplemento de 340 561 8911

Ángulos complementarios: son aquellos que sumados nos dan 900

Ejemplo: hallar el ángulo”A” de la siguiente figura:

A+B= 900

A=900

A=90-30= 600

Encontrar el valor de “B” en la siguiente figura:

A+B= 900

B= 900 –AB=90-670 451

B=220151

Ejercicios:34° 56‘90’’


45 °28’16’’81°17’ 50’’54° 76’31° 78’ 54’’26 °23’ 13’’

2.3 paralelismo perpendicularidadRectas perpendiculares silas rectas AB yAC forman un angulo recto se dice que AB y AC son perpendiculares esto simboliza poe AB AC fig.1 si dos rectas se cortan y no son perpendiculares se dicen que son oblicuos

Carácter reciprocos de la perpendicular si una recta es perpendicular a otra es L ala primera postulado por un punto fuera de una recta en un plano perpendicular a dicha recta y solo una

Rectas paralelas dos rectas son paralela si estan contenidas en el mismo plano y no se intersecta cuando las rectas r y s sean paralelas se usare el símbolo ll asi, rlls se dice que son segmentos son parelelos si las rectas que los contienen son

<----------------------------------

Postulado de euclides por un punto exterior a una recta pasa una sola parela a dicha recta

a-------------x----------bc-------------------------D

corolario dos rectas son parelelos a una tercera si A----------------BC---------------D si AB ll CD y CD ll EF AB =EFE-------------- f

Angulos formados por dos parelelos y una secante si dos paralelos son cortados por una secante transversal se distinguen ocho angulos y llamados internos y 4 llamados externos por estar situadosrespectivamentedentrodeyafueradelasparelas (<4y<5)(<3y<5) son alternos e internos (<1y<7) (<2y<3) son alternos y externos (<2y<6)(<3y<7) (3<y<6)(<4y<6)son colaterales


40Toda secante forma 2 paralelas angulos alternos iguales

Si AB ll CD ≤1=≤7≤2=≤2

Dos angulos colaterales internos entre paralelas son suplementarias

Si AB ll CD,SS≤3 + < 6 = 180º

< 4 + < 5= 180º

Los angulos colaterales externos, entre paralelas, son suplementarios.

< 1 + < 8 = 180º

< 2 + < 7 = 180º -- __Dadas las rectas AB ll CD Cortadas po la secante ss” determina P y Q

P = sx – 8º Por ser internos iguales Q = 3x + 6º Por ser internos iguales

3x + 6º + sx – 8 =180º Por formar angulo llano 8X – 2º = 180 :. X = 22.75º


P = s”( 22.75º)- 8º Q = 3(22.75º) + 6 P+Q =180º P = 105,75º Q = 74,25º 105.75º+74.25º=180º 180º =180º

___ __Dadas las rectas IJ ll KL cortadas por las secantes ss” determina la medida de los angulos A,B,C,D.E,F y G

X/2 +3º = 20X Por ser alternos externos iguales

3º = 19.5x X= 3 / 19.5 x = 0.1538º 20x = 20 ( 0.1538) = 3.077º =6 x / 2 + 3 = 0.1538/2+3=3.077º=B Por ser opuestos por el vértice por ser suplementario A + X / 2 + 3 = 180º F + 20X =180º A = 180º - 3.077 F + 3.077=180º A = 176.93 = c F = 176.93 = E

Ángulos formados por un sistema de paralelas cortadas por una tranversal.

Pares de ángulos correspondientes

A B

C D

E F

G H


(B) y (F)(D) y (H)(A) y (E)(C) y (G)

Pares de ángulos opuestos por el vértice.

(A) (D), (C) (B), (E) (H), (F) (G)Pares de ángulos alternos internos:

(B) (F), (E) (D),

Pares de ángulos alternos externos.

(A) (H)(B) (G)

“Los ángulos opuestos por el vértice son iguales”

A+B= 180_______ (1)

D+B ____________ (2)

Despejando B tenemosB= 1800 – D_________ (3)

Substituyendo (3) en (1) tenemos:

A+ (1800 –D)= 1800

A= 1800- 1800 + D

A=DLos ángulos alternos internos son iguales

A B

C D

E F

G H


Por (o) punto medio de PQ trácese la recta MN perpendicular a CD

MN AB

Si dos o más rectas son paralelas, toda perpendicular a una de ellas es perpendicular a las otras.

El ánguloPOM = QON Por ser opuestos al vértice

OP = OQ (por construcción)

PMB = QNO

Dos triángulos son iguales si tienen iguales respectivamente la hipotenusa y uno de sus ángulos adyacentes a ella.

APQ = DQP

Que es lo que quería demostrar

Nota:

Los ángulos correspondientes son iguales.

x

A M p B

DC

Q


C = B (por ser opuestos por el vértice)C = F (por ser alternos internos)B = F (dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre si)

Los ángulos alternos externos son iguales entre si.

D=A (ángulos opuestos por el vértice)D=H (por ser correspondientes)A=H (dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre si)

Hallar el valor de los ángulos de la siguiente figura si el ángulo F=600

A B

C D

E F

G H

A B

C D

E F

G H


F=600

E+F=180(por ser suplementarios)E= 1800-FE= 180-60E=1200

E=H (por ser ángulos opuestos por el vértice)G= 600

E=A (por ser ángulos correspondientes)A=1200

F=B (por ser ángulos correspondientes)B=600

H=D (por ser correspondiente)D=1200

C=B (por ser opuestos por el vértice)C=600

Ejercicio:Hallar el valor de los ángulos de la siguiente figura, si el ángulo C= 4502015011

Los ángulos cuyos lados paralelos son iguales entre si.A.- Ángulos cuyos lados son directamente paralelos (los dos lados están orientados en el mismo sentido) son iguales:

A = B (por ser correspondientes)B = C (por ser correspondientes)

A B

C D

E F

G H

a b

c


A = C (dos cantidades que son iguales a una tercera son iguales a una tercera son iguales entre si)

B.- Ángulos cuyos lados son inversamente paralelos (los dos lados están orientados en sentido contrario) son iguales:

A= C (por ser correspondiente)B = C (por ser alternos internos)A = B (dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre si)

Ángulos que guardan paralelismo mixto (un lado es directamente paralelo y el otro inversamente paralelo) son suplementarios.

A=B (ángulos correspondientes)D=B (por ser correspondientes)A=D (dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre si)

C+D= 1800 (por ser suplementarios)C=A=1800

A

B

A

C

B

D


Dos ángulos que tienen sus lados perpendiculares entre si (dos ángulos agudos) son iguales.

A+B= 900 (por ser ángulos complementarios)B+C= 900 (por ser ángulos complementarios)

Dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre si.

A+B= B+CA= B-C

A=C

Que es lo que se quería demostrar.

Dos ángulos que tienen sus lados perpendiculares entre si (un ángulo agudo y uno obtuso) son suplementarios.

C= B (dos ángulos agudos con lados perpendiculares entre si son iguales, ya se demostró)

A

B

C

B

A


A+C= 1800 (por ser suplementarios)

A+ B = 1800

Dos ángulos que tienen sus lados perpendiculares entre si (dos ángulos obtusos) son iguales.

C+A = 1800 (dos ángulos que tienen sus lados perpendiculares entre si, un angulo agudo y un obtuso, son suplementarios.)

B+C= 1800 (son suplementarios)

Dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre si.

C+A = B+C

A= B+ C

A = B

Notas:

Hallar el valor de los ángulos desconocidos en las siguientes figuras (demostrar que ese valor es correcto.)

A

C

B


Clasificación de los triángulos atendiendo a la magnitud de sus lados.

Triangulo isósceles.- Es el que tiene dos lados iguales.Triangulo equilátero.- Es el que tiene sus tres lados iguales.Triángulos escaleno.- Es el que tiene sus tres lados diferentes.

Triangulo isóscelesTriangulo equilátero

250

400

X

X

220201

7504013011

X


Triángulos escaleno

Clasificación de los triángulos atendiendo a la magnitud de sus ángulos.Triangulo octangulo.- Es el que tiene sus tres ángulos agudos (menor de 90.Triangulo obtusángulo.- Es el que tiene un Angulo obtuso.Triangulo rectángulo.- Es el que tiene un ángulo recto.Triangulo oblicuángulo.- Es el que no tiene ningún ángulo recto.

RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIANGULO.

A.- Mediana.- Es el segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto.El punto de intersección de las tres medianas se llama baricentro.

B.- Altura.- Es la perpendicular de uno de los lados al vértice opuesto.El punto de intersección de las tres alturas se llama ortocentro.


Bisectriz: Es la recta que divide un ángulo en dos iguales y que se une al lado opuesto.El punto de intersección de las tres bisectrices se llama incentro.

TRIANGULOS CONGRUENTES.

Dos triángulos son congruentes cuando al trasladar uno sobre otro se puede hacer coincidir respectivamente cada uno de los vértices y cada uno de sus lados.En la práctica se ha comprobado que conociendo algunos elementos del triangulo se determina la congruencia de triángulos.El símbolo de congruencia es: =

A.- Dos triángulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente es congruente.

B.- Dos triángulos son congruentes cuando tienen respectivamente congruentes un lado y sus ángulos adyacentes.

C.- Dos triángulos son congruentes cuando tienen respectivamente congruentes uno a uno sus tres lados.


La suma de los ángulos internos de cualquier triangulo es igual a 180 °.

Demostración:

Ejercicio: Hallar el valor del ángulo desconocido de la siguiente figura:

Hallar el valor del ángulo (A) de la siguiente figura.


POLIGONOS.

Línea poligonal, quebrada o mixta.- Está formada por trazos rectos.

Si la línea poligonal se cierra, obtenemos un polígono.

Polígono convexo.- Tiene todos sus ángulos interiores convexos( menores de 180 °)

Polígono cóncavo.- Es que tiene por lo menos un ángulo cóncavo (ángulo mayor de 180 ° y menor de 360 °)

Polígono rectangular.- Es el tiene sus ángulos y lados iguales.

La suma de los ángulos internos de cualquier polígono se obtiene mediante la siguiente formula general:

180 ° (N – 2)

De donde:


N = Número de lados del polígono.

Ejercicio:

La suma de los ángulos internos del siguiente polígono es :

Por tener 5 lados (N =5)180 ° (N – 2)180 ° (5 – 2)180 ° (3)540°

La suma de los ángulos internos del polígono es de 540 °.

Ejercicios :Contesta las siguientes preguntas.1.-La suma de los ángulos internos de un hexágono es:____________________2.-La suma de los ángulos internos de un octágono es:____________________3.-La suma de los ángulos internos de un decágono es:____________________4.-La suma de los ángulos internos de un heptágono es:____________________

En todo triángulo de un ángulo externo es igual a la suma de los ángulos interiores que no le son adyacentes.

El ángulo externo de un triangulo está formado por un lado del triángulo y la prolongación del otro.

Se llaman ángulos adyacentes a los que tienen un lado en común.

Demostración:

Ejercicio : Hallar el valor del ángulo desconocido en la siguiente figura.


Ejercicio: Hallar el valor del ángulo desconocido en la siguiente figura.

TRIANGULOS SEMEJANTES.

Dos triángulos son semejantes cuando tienen respectivamente iguales sus ángulos y sus lados proporcionales.

El signo de semejanza es :

Lados homólogos : Son los que se oponen a ángulos iguales.Razón.- Es la división entre dos cantidades.Proporción .- Es la igualdad entre dos razones.

Manera de establecer la proporción de los lados entre dos triángulos semejantes.

1.-Determinar la igualdad de los ángulos.

2.- Preparamos las igualdades.


_____________ = ______________ = ______________

3.- En la parte superior escribamos los ángulos de uno de los triángulos en un orden cualquiera.

A = B = C

4.- En la parte inferior escribimos los ángulos correspondientes iguales a los de la parte superior.

= =

5.- A cada ángulo le asociamos su lado opuesto.

A = B = C

6.- Suprimimos los ángulos y tenemos la proporción.

A = B = C

Casos de semejanza de triángulos.

1.- Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales.

A = A’B = B’

Entonces:

ABC A’B’C’

2.- Dos triángulos son semejantes: Si tiene sus tres lados proporcionales.


3.- Dos triángulos son semejantes: Si tiene dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido.

Ejercicio:

Demostrar que los triángulos son semejantes y efectuar la proporcionalidad de sus lados.

Dos triángulos que tienen sus tres ángulos iguales son semejantes.


Determinación de la proporcionalidad entre los lados de los triángulos.

Sustituyendo lados opuestos:

Anulando los ángulos:

Explicar porque los triángulos AEB es semejante al triángulo ACD.

C = B (Por ser ángulos correspondientes).D = E (Por ser ángulos correspondientes).A = A (Por ser ángulos comunes a los dos triángulos).

Por tener los dos triángulos sus ángulos iguales son semejantes.

Determinación de la proporcionalidad de los lados.


NOTA: En la parte sup. Anotamos los ángulos del triángulo 1.

La proporción nos queda:

Ejercicio:

Hallar el valor de AE de la siguiente figura.

Solucion:

B’ = B’ (Por ser ángulos opuestos por el vértice).D = E (Por ser ángulos alternos internos).A = C (Por ser ángulos alternos internos).


Asociando sus tres lados:

La proporción nos queda:

Tomamos la proporción en la cual aparecen los datos y la incógnita.

Despejando la incógnita tenemos:

Sustituyendo valores, tenemos:

Ejercicio:Hallar el valor de BC de la siguiente figura:


A = A (Por ser ángulos comunes a los dos triángulos).B’ = C (Por ser los dos ángulos de 90 °!).E = D

Son semejantes por tener dos ángulos respectivamente iguales.

Asociando sus lados opuestos tenemos:

Eliminando los ángulos:

Tomando la proporción:

Despejando ( AC ) tenemos:


Semejanza de triángulos.

Triangulo rectángulo dividido por una altura.

Semejanza entre los triángulos AHC y ABC

A = A (Por ser ángulos comunes a los dos triángulos).C = a (Por ser los dos ángulos de 90 °!).b = B

Semejanza entre los triángulos ABC y HBC

B = B (ángulos común a los dos triángulos).a’ = C (ángulos de 90 °!).b = A

Dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre sí.Dos cantidades semejantes a una tercera son semejantes entre sí.



a = a’ A = b’ b = B

Eliminando los ángulos tenemos:


A =AC = aB = b



B = B (ángulos común a los dos triángulos).a’ = C (ángulos de 90 °!).


b’ = A


De las tres proporcionalidades obtenidas anteriormente tenemos.

Las tres igualdades obtenidas anteriormente nos servirán para demostrar el teorema de Pitágoras.

Hallar el valor de (CH) de la siguiente figura:

Determinación de la proporcionalidad entre los lados de los triángulos:



Tomando la proporción:

Despejando ( CH ) tenemos:

De acuerdo a los datos tenemos:

Ejercicio:

Calcular la longitud de DE en la figura en que


Ejercicio:Calcular la longitud AD en la siguiente figura.

En el siguiente triangulo rectángulo tenemos.

En el triangulo rectángulo el lado opuesto al ángulo de 90 ° se le llama hipotenusa, y a los lados adyacentes al ángulo de 90 ° se les llama catetos.

Anota el nombre de cada lado del siguiente triangulo:


Anota el segmento que le corresponde a cada lado del siguiente triángulo:

TEOREMA DE PITÁGORAS.“El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.”

Demostración:

NOTA : En el tema de triángulos semejantes, llegamos a la siguiente igualdades:

Sumando (2) y (3) tenemos:


Sacando como factor AB en el segundo miembro:

Sabemos que AB =AH+HB de donde:

TEOREMA DE PITÁGORAS.

Ejercicio: Resolver el siguiente triángulo rectángulo.

Datos :M = 3 , N = 5 , T = ?

Por el Teorema de Pitágoras tenemos :

T2 = M2 + N2


Substituyendo valores tenemos :

T2 = 32 + 52

Efectuando operaciones tenemos :

T2 = 9 + 25

T2 = 34

Elevando ambos miembros de la igualdad a una raíz cuadrada :

T = 34

Por lo tanto : T = 5.83

Ejercicio : Resolver el siguiente triángulo rectángulo.

M=4 T= 10

N=?

Datos :

T=10 , M=4 , N=?Por el teorema de Pitágoras :

T2 M2 + N2

Despejando la incógnita tenemos :

N2 = 102 42

Efectuando operaciones :

N2 = 1002 16N2 = 84

Sacando raíz cuadrada a cada uno de los miembros :N = 84

Por lo tanto N = 9.165


Ejercicio :

Un rayo partió un poste, la distancia del pie al extremo caido es de 4 metros y el pedazo que queda de pie es de 2 metros, cual era la altura del poste?

2 m.

4 m.

Por el teorema de Pitágoras tenemos :A2 = B2 + C2

Substituyendo valores :A2 = 22 + 42

Efectuando operaciones tenemos :

A2 = 4 + 16A2 = 20

Sacando raíz cuadrada a cada uno de los miembros de la igualdad tenemos :A = 20

Por lo tanto : A = 4.47 que es la longitud de la parte del poste tirado.Altura del poste = 2 metros + 4.47 = 6.47 metos

Ejercicio :

Hallar la longitud DF de la siguiente figura

E F


B

A

C D

En que :

AB = 4 mts.

AB = AC

BC = CD

BD = BE

ED = EF

RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS :

1.- Dos aviones salen de un aeropuerto a la misma hora, uno se dirige hacia el este a 250 km/hr. Hallar la distancia que los separa a las cuatro horas de su despegue.

2.- Un bote va hacia el norte con una velocidad de 10 m/seg. En un río, pero es arrastrado por la corriente con una velocidad de 8 m/seg. ¿Cuál será la aceleración del bote para no ser arrastrado por la corriente en un tiempo de 10 seg.?

3.- Un cazador corre a caballo y lanza una flecha con velocidad de 75 km/hr. Y el cazador va con una velocidad de 50 km/hr. Perpendicular a la flecha. ¿Cuál será la velocidad de la flecha?


4.- Si una pirámide refleja una sombra de 400 mts. Y sabemos que la distancia entre el extremo superior de la altura y el extremo de la pirámide es de 350 mts. Y además que la sombra excede con respecto al extremo de la base de la pirámide 100 mts. Calcular la altura de la pirámide.

5.- Calcular la longitud de una escalera que está recargada sobre un muro de 12.5 metros si con el piso dicha escalera tiene una distancia de 15 mts.

C U A D R I L A T E R O S

Se llama cuadrilátero una figura cerrada, cuyos límites son cuatro rectas.

Los cuadriláteros se clasifican en :

A ) Trapecio.- El que tiene dos lados paralelos

B ) Trapezoide.- Es el cuadrilátero que no tiene ningún lado paralelo.

C Paralelogramo.- Es el que tiene los lados opuestos paralelos.


Los paralelogramos se clasifican en.

A ) Rectángulos.-Tienen cuatro ángulos rectos y cada par de lados son igualesentre sí.

B ) Rombo.- Sus cuatro lados son iguales.

C ) Cuadrado.- Es un paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos rectos y susCuatro lados iguales.

Ejercicio : Anota el nombre que le corresponda a cada una de las siguientes figuras :

____________________

____________________


____________________

____________________

En todo paralelogramo un lado es igual a su lado apuesto.

D C

b

a

a

bA B

Demostrar que : BC = AD

AB = DC

Nota: Diagonal es toda recta que une dos vértices no consecutivos de una figura rectilínea cerrada.

Trazamos la diagonal AC y tenemos los triángulos:

A B C y A D C

A C = A C ( lado común de los dos triángulos )


a = a’ (.por ser ángulos alternos internos )

b = b’ ( ángulos alternos internos )

D = B ( ángulos opuestos en un paralelogramo son iguales )

Por lo tanto:

A B C = A D C

Dos triángulos son iguales si tienen untado igual y sus ángulos adyacentes iguales también.

Por lo tanto :

_________________________________________

B C = A D y A B= DC

_________________________________________

Las diagonales de un paralelogramo se dividen mutuamente en partes iguales.

D Db a

baBA B

a = a´ ( por ser alternos internos )

b = b’ ( por ser alternos internos )

AD = BC ( definición de paralelogramos )


Si dos triángulos tienen iguales respectivamente un lado y los ángulos adyacentes a ese lado los triángulos son congruentes.

A O D = O B C

Por lo tanto :

O B = D O

A O = O C

Es un paralelogramo los ángulos opuestos son iguales sea el paralelogramo:

D C

A B

Demostrar que: x = w

Prolongado los lados del paralegramo tenemos:

E G

A Bw

X ZC D

F H


Tomando : EF GH yCD como transversal

X = Z (por ser correspondiente)

Tomando AB CD yGH como transversal:

W = Z (por ser alternos internos)

Dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre sí

X = W

C I R C U N F E R E N C I A

Circunferencia.- Es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidista(se encuentra a igual distancia) de otro llamado centro.

Radio.-Se llama así al segmento de recta que une uno de los puntos de la circunferenciacon el centro. Todos los radios son iguales en una misma circunferencia.

RADIO

Los puntos cuya distancia al centro de una circunferencia son mayores que el radio, se lesllama puntos exteriores de una circunferencia.

Los puntos cuya distancia al centro de una circunferencia son menores que el radiose llaman puntos interiores de la circunferencia.


PUNTO EXTERIOR PUNTO INTERIOR.

Se llama círculo al conjunto de todos los puntos que forman la circunferencia y lospuntos interiores de la misma.

CIRCULO

A una porción de la circunferencia se le llama arco de la circunferencia.

AAB ARCO

B

Cuerda.- Es el segmento de recta que une a dos puntos cuales quiera de la circunferencia.

La cuerda que pasa por el centro de la circunferencia se llama diámetro.

CUERDA DIAMETRO


Secante.- Es el segmento de recta que corta a la circunferencia pasando por dos puntos de ésta.

SECANTE

Tangente.- Es el segmento de recta, que toca uno y solo uno de los puntos de la circunferencia.

TANGENTETANGENTE

Flecha.- Es el segmento de recta que une uno de los puntos de una cuerda y un punto de la circunferencia.

FLECHA

Angulo central.- Es el que tiene su vértice en el centro del círculo.

A ANGULO CENTRAL ( A )

El arco correspondiente al ángulo central, es el comprendido entre los lados de ángulo central.

A


AB es el arco comprendido.A el ángulo centralB

Angulo inscrito.- Es aquel cuyo vértice está sobre la circunferencia y cuyos lados son cuerdas.

Angulo Semi inscrito.-

Es un mismo círculo o en círculos iguales, ángulos centrales iguales interceptan arcos iguales;y el mayor de dos ángulos desiguales intercepta mayor arco.

Esta comprobación se puede hacer por superposición de figuras.


Al superponer esta dos figuras se comprueba lo anterior.

Un ángulo semi-inscrito tiene por medida la mitad del arco comprendido entre sus lados.

A B

C

Sea CAB el ángulo semi-inscrito el arco AB es el igual a 180° el ángulo CAB esigual a 90°, por lo tanto: “El ángulo semi-inscrito es la mitad del arco comprendidoentre sus lados”.

En toda circunferencia, un ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central opuestoque abraza el mismo arco.

A

B

O A = O C (Son radios de una misma circunferencia)

El trrángulo A C O ( Es isósceles )A = C ( a lados iguales se oponen ángulos iguales )W = A + Cr ( un ángulo externo es igual a la suma delos ángulos internos que no le son adyacentes )

W = A + A


W = 2 A

W______ = A2

WA = ______________2

Lo que se quería demostrar

Ejercicio:Hallar valor del ángulo ( w ) si el ángulo ( A ) es de 30°

A

W

Sabemos que :

wA = ____________2

Despejando a ( w ) tenemos :

W = 2 A

Substituyendo valores

W = 2 ( 30° ) w = 60°


Ejercicio.:

Hallar el valor del ángulo ( A ) si el ángulo ( W ) es de 90°

A

W

Sabemos que :

wA = ________2

Substituyendo valores tenemos que :

90A = _ _______ = 45° A =

45°2


.

Calcula el área sombreada de las figuras siguientes


A1 = b · h = (15cm)(30cm) = 450cm2

A2 = π · r2 = π (15cm) 2 = 700.85cm2

A3 = b · h = (15cm)(60cm) = 950cm2

AT = 450cm2 –700.85cm2 +950cm2

Área del cuadrado = L · L = 24 x 24 = 576u2

Área del círculo = π · r2= π (12cm) 2 = 452.39u2

AT = A1– A2 = 123.61 u2

Área del círculo = π · r2= π (10cm) 2 = 314.16u2

Área del pentágono = 2240

2

8106

22u

nlaaP

AT = A1– A2 = 314.16u2 – 240u2

Área del rectángulo = b · h = (12cm)(6cm) = 72cm2

Área del semicírculo = 2

2r=

2

6 2= 18 cm2

15cm

60cmA1A1 A1–+

++

12

12

12

12

12 12

12 12

10

x

12 cm


AT = AR– Asc = 72cm2 – 18 cm2 = 15.4512cm2

Área del triángulo equilátero = 0.433(a)2=0.433(4)2 = 6.928u2

Área del semicírculo = 2

2r=

2

2 2= 2 π u2

AT = AR– Asc = 6.928u2 – 2 π u2=0.6.444u2

A1 = 2

2r=

2

8 2= 32 π u2

A2 x 2=2

2r=

2

2 2= 2 π x 2 = 4 π u2

A3 =2

2r=

2

4 2= 8 π u2

AT = (32 π – 4 π +8 π )u2

= 36 π u2 = 113.09u2

Área del círculo = π · r2= π (100) = 400 π u2

C2 = r2 = (16)2 + (12)2 = 400

Área del triangulo =296

2

1216

2u

xhb

Vc= π · r2 ·h = π(6.5)2(15.3)=2030.903

2

22

22

2

12

16

8

A3

A2 A2

A1

4 4


VS-L= 17.5752

350.1150

2

5.63

4

22

4 32

VT=(2030.8+575.17)u3

VT=2605.97u3

VT = V1 + V2

V1 = π · r2 ·h= π(2.25)2(1.8)=28.6278cm3

V2= π · r2 ·h = π(1.35)2(3.4)=19.4669cm3

VT=V1+V2= 28.6278cm3

VT = 48.095cm3

VT =VRG – VRCH

VRG = b h A = 10.3 x 4 x 4.38 = 180.456cm3

VRCH = b h A = 2.68 x 0.8 x 4.38 = 9.39072cm3

VT = 180.456cm3– 9.39072cm3 = 171.065cm3

15.3

6.5

5.2

2.7

11.5

Unidades cm

3.4

2.68m

10.3m

4m

.8m

4.38


UNIDAD 6

ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA

Estudia las relaciones que ligan los lados y los ángulos de un triángulo y aplica dichasRelaciones al cálculo de los elementos desconocidos del triángulo.

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Son razones ( divisiones indicadas ) entre las longitudes de los lados de un triánguloligadas a un ángulo.

Definición de variables, variable dependiente, independiente y función.

Variable.- Una variable es una cantidad a la que se le puede asignar un númeroilimitado de valores.

Para el cono

V=

V=

V=

V= 16.75m3

Para el cilindro

V= 21.2058m3

Para la esfera

V=

V=

V=

VT=151.04m3

2m

4m3m

1.5m

3m


Constante.- Una cantidad que durante el curso de proceso tiene un valor fino se llama constante.

Funciones.- Cuando dos variables están relacionadas de tal manera que el valor de laprimera queda determinado si se da un valor a la segunda, entonces se dice que laprimera es una función de la segunda.Por ejemplo: El peso que un hombre puede levantar depende, independientementede otras causas, de su fuerza. En igual forma, se puede considerar que la distanciaque una persona recorre depende del tiempo.

Variables dependientes e independientes.- La variable, a la cual se le puede asignarvalores a voluntad dentro de limites que dependen del problema particular, se llamala variable independiente o argumento. La variable, cuyo valor queda fijado cuandose asigna un valor a la variable independiente, se llama la variable dependiente ofunción.

NOTACIONES

A) Se llama seno (sen) la razón que resulta de dividir el cateto opuesto sobre la hipotenusa.

hipotenusa

stocatetoopuesen

B)Se llama coseno (cos) la razón que resulta de dividir el cateto adyacente entre la hipotenusa

hipotenusa

centecatetoadyacos

A) Se llama tangente (tg) la razón que resulta de dividir el cateto opuesto sobre el cateto adyacente

centecatetoadya

stocatetoopuetg

B) Se llama cotangente la razón que resulta de dividir el cateto adyacente sobre el cateto opuesto. Se abrevia (ctg)

stocatetoopue

centecatetoadyactg0

C) Se llama secante (sec) la razón que resulta de dividir la hipotenusa entre el cateto adyacente

centecatetoadya

hipotenusasec


D) Se llama cosecante la razón que resulta de dividir la hipotenusa entre el cateto opuesto.

centecatetoadya

hipotenusacsc

En un triangulo rectángulo el lado opuesto al ángulo de 90° se llama hipotenusa y losotros dos lados catetos.

Si consideramos el ángulo (A) del siguiente triangulo, tenemos:

El lado (a) se llama cateto opuesto (opuesto al ángulo “A”)El lado (b) se llama cateto adyacente (adyacente al ángulo “A”)El lado (c) se llama hipotenusa (lado opuesto al ángulo de 90°)

Las funciones trigonometricas para el triangulo rectángulo anterior tenemos:

a

c

stocatetoopue

hipotenusa

b

c

centecatetoadya

hipotenusa

a

b

stocatetoopue

centecatetoadyactg

b

a

centecatetoadya

stocatetoopuetg

c

b

hipotenusa

centecatetoadya

c

a

hipotenusa

stocatetoopuesenA

csc

sec

cos

En el siguiente triangulo tenemos:


El lado (a) se llama cateto adyacente (adyacente al ángulo “W”)El lado (b) se llama cateto opuesto (opuesto al ángulo “W”)El lado (c) se llama hipotenusa (lado opuesto al ángulo de 90°)

Las funciones trigonometricas del anterior triangulo rectángulo con respecto al ángulo “W” son:

a

b

centecatetoadya

stocatetoopuetgW

c

a

hipotenusa

centecatetoadyaW

c

b

hipotenusa

stocatetoopuesenW

cos

b

c

stocatetoopue

hipotenusaW

a

c

centecatetoadya

hipotenusaW

b

a

stocatetoopue

centecatetoadyactgW

csc

sec

Ejercicios: Determinar las funciones trigonometricas del siguiente triangulo con respectoal ángulo (X)

a

b

centecatetoadya

stocatetoopuetgW

c

a

hipotenusa

centecatetoadyaW

c

b

hipotenusa

stocatetoopuesenW

cos

b

c

stocatetoopue

hipotenusaW

a

c

centecatetoadya

hipotenusaW

b

a

stocatetoopue

centecatetoadyactgW

csc

sec


Determinar las funciones trigonometricas del siguiente triangulo con respecto al ángulo (Z)

a

b

centecatetoadya

stocatetoopuetgW

c

a

hipotenusa

centecatetoadyaW

c

b

hipotenusa

stocatetoopuesenW

cos

b

c

stocatetoopue

hipotenusaW

a

c

centecatetoadya

hipotenusaW

b

a

stocatetoopue

centecatetoadyactgW

csc

sec

FUNCIONES TRIGONOMETRICASRECIPROCAS

Se dice que dos cantidades son reciprocas cuando al multiplicar estas obtenemoscomo producto la unidad. Por ejemplo:

18

5*

5

8

14

3*

3

4

12*2

1

Ejercicio:

Hallar los recíprocos de las siguientes cantidades:

9

83

2

4

1

De lo anterior podemos decir que dos funciones trigonometricas son reciprocascuando su producto es a unidad.


Si tenemos, las fincines siguiente

a

bA

c

bA

a

cctgA

c

atgA

b

cA

b

asenA

csc

sec

cos

1*))((

1*))(sec(cos

1*))(csc(

a

c

c

actgAtgA

c

b

b

cAA

a

b

b

aAsenA

Podemos decir de lo anterior que:

El seno y la cosecante son funciones trigonometricas reciprocasEl coseno y la secante son funciones trigonometricas reciprocasLa tangente y la cotangente son funciones trigonometricas reciprocas.

Ejercicio:Demostrar la reciprocidad de las funciones trigonometricas del siguiente triangulo parael ángulo (W)

Forma de calcular las funciones trigonometricas de un triangulo conociendo una función.

Ejemplo: Calcular las funciones trigonometricas sabiendo:

6

8tan

A) Sabemos que:

centecatetoadya

stocatetoopuegente tan

Por lo tanto:Cateto opuesto= 8Cateto adyacente= 6

El triangulo será:


Para calcular la hipotenusa aplicamos el teorema de Pitágoras

100100

3664

3664

682

222

b

b

b

b

a

b

centecatetoadya

stocatetoopuetgW

c

a

hipotenusa

centecatetoadyaW

c

b

hipotenusa

stocatetoopuesenW

cos

b

c

stocatetoopue

hipotenusaW

a

c

centecatetoadya

hipotenusaW

b

a

stocatetoopue

centecatetoadyactgW

csc

sec

Hallar las funciones trigonometricas sabiendo:

5

4senA

Sabemos que:

hipotenusa

stocatetoopuesen

Por lo tanto:Cateto opuesto= 4Hipotenusa= 5

A) El triangulo será:

B) Podemos calcular el cateto adyacente (c) aplicando el teorema de Pitágoras


2

222

1625

45

c

c

Despejando a 2c tenemos:

3

9

9

16252

2

c

c

c

c

a

b

centecatetoadya

stocatetoopuetgW

c

a

hipotenusa

centecatetoadyaW

c

b

hipotenusa

stocatetoopuesenW

cos

EjerciciosDeterminar las funciones trigonometricas si:

65

16cos A

Determinar las funciones trigonometricas si:

7

25sec B

COORDENADAS RECTANGULARES

Se llaman coordenadas rectangulares a dos líneas perpendiculares(forman cuatro ángulos de 90°) y nos sirven para localizar un punto en el plano.

Las coordenadas rectangulares forman cuatro cuadrantes los cuales se numeranen sentido contrario a las manecillas del reloj.

COORDENADAS CARTESIANAS RECTANGULARES

Para fijar la posición de un punto en el plano se usa un par ordenado de números llamados coordenadas, que son distancias dirigidas desde un punto a dos rectas fijas, una de ellas horizontal llamada eje “x” o eje x – x’ y la otra vertical llamada eje “y” o eje y – y’. Estos ejes que son perpendiculares se cortan en un punto llamado “0”, origen.


La notación P (x,y) que “x” es la abscisa del punto y que “y” es su ordenada a la pareja (x,y) se le llama coordenadas rectangulares del Punto P o simplemente coordenadas de P.

Los ejes rectangulares dividen el plano en cuatro cuadrantes que se enumeran en sentido contrario al de las manecillas de un reloj, como se muestra en la figura:

Todo punto situado en el primer plano tiene sus coordenadas positivas, todo punto situado en el tercer cuadrante tiene sus coordenadas negativas. En el segundo cuadrante la abscisa es negativa y la ordenada positiva; mientras que en el cuarto cuadrante la abscisa es positiva y la ordenada

negativa.

Un ángulo está en posición normal respecto a un sistema de coordenadas rectangulares, si su lado inicial es la parte positiva del eje “x” y su vértice es el origen de las coordenadas.

Si P es un punto situado en un sistema de coordenadas rectangulares, la distancia de P o el radio vector de P es la longitud del segmento que tiene por extremos a P y el origen de coordenadas, la distancia de un punto se denota por “d” o “r”. Las definiciones analíticas de las funciones trigonométricas de un ángulo serán de acuerdo a la figura:

Sen = ciadis

ordenada

tan =

d

yCsc =

ordenada

ciadis tan =

y

d

Cos = ciadis

abscisa

tan =

d

xSec =

abscisa

ciadis tan =

x

d

x x’

y

y’

P (x,y)

x x’

y

y’

III

IVIIIx x’

y

y’

(+,+)(-,+)

(+,-)(-,-)

y

x

x

y

P (x,y)


Tg = abscisa

ordenada =

x

yCtg =

ordenada

abscisa =

y

x

El punto P puede encontrarse en cualquier cuadrante

En la figura anterior como “x”, “y” son positivas “P” está en el primer cuadrante pero en caso de que el ángulo o argumento cambie, “P” varía también. Si “P” está en el 2º cuadrante se tiene:

d

ySen

y

dCsc

d

x

d

xCos

x

d

x

dSec

x

y

x

yTg

y

x

y

xCotg

Si P está en el tercer cuadrante

d

y

d

ySen

y

d

y

dCsc

d

x

d

xCos

x

d

x

dSec

x

y

x

yTg

d

x

d

xCotg

Si P está en el cuarto cuadrante

d

y

d

ySen

y

d

y

dCsc

d

xCos

d

xCsc

x

y

x

yTg

d

x

d

xCotg

d

–x

y

P(–x , y)

d

–x

-y

P(–x , –y)

d

x

-y

P(x , –y)


Los signos de las funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes se resumen en la siguiente tabla

Dado el valor de una función trigonométrica, calcular el valor de las demás si se Sen

= 5

3 y pertenece al tercer cuadrante, calcular el valor de las demás funciones

trigonométricas

22 35 x 5

3Sen

3

4

3

4

Cotg

925 x 5

4Cos

4

5

4

5

Sec

16 x 4

3

4

3

Tg 3

5

3

5

Csc

4 x

4x

Cuadrante

FunciónI II III IV

Seno + + – –Coseno + – – +Tangente + – + –Cotangente + – + –Secante + – – +Cosecante + + – –

III III

III III

(x–) (y+)Sen y Csc

son positivas

(x+) (y+)todas

son positivas

(x–) (y–)Tg y Cotg

son positivas

(x+) (y–)Cos y Sec

son positivas

5

–x

-y-3

x

y


Ejemplo 2 5

7tg en el cuatro cuadrante

22 )7(5 d74

7Sen

7

5

Cotg

4925 d74

5Cos

5

74Sec

74d5

7Tg

7

74

Csc

Calcula las demás funciones en el 1er cuadrante

22 57 y 7

5sen

5

24Cotg

2549 y7

24Cos

24

7Sec

24y24

5tg

5

7Csc

Calcula las demás funciones si Cos =6

4 (en el segundo cuadrante)

22 45 y 5

3sen

3

4Cotg

1625 y5

4Cos

4

5

Sec

9y4

3

tg

3

4Csc

d

5

–7

x

y

y

x

57 (x,y)

y

x

5

–4 (x,y)


El punto de intersección de las coordenadas rectangulares se llama origen. El eje horizontal eje de las “equis” llamado también eje de las abscisas y el eje vertical eje de las “ies” o eje de las ordenadas.

A) Eje de las abscisas.Del origen a la derecha tenemos los valores positivos de “equis” y del origen a la izquierda los valores negativos.

B) Eje de las ordenadas.Del origen hacia arriba los valores positivos de las “ies” y hacia abajo los negativos.

(-) (+)

El origen se llama también punto de referencia y dentro de las escalas tendrá un valorcero.Abscisa.- Es la distancia que hay del origen a un lugar determinado sobre el eje delas “x” “equis”.Ordenada.- Es la distancia que hay del origen a un punto determinado sobre el eje deLas “Y” “ies”.

A la abscisa y a la ordenada se les llama coordenadas de un punto y sus valoresGeneralmente , se anotan con su signo dentro de un paréntesis anotando primeroel valor de la abscisa y enseguida el valor de la ordenada (también con su signo)se parando los valores por medio de una “coma”

Por ejemplo:Son coordenadas de un punto:( -2 , 4 )

Abscisa ordenada


Definición de las funciones trigonometricas en el circulo trigonométrico.

Circunferencia trigonométrica:

Para un punto cualquiera (x,y) se verifica, cualquiera que sea el radio r de la circunferencia, que son constantes las razones x/r, y/r, en virtud del Teorema de Thales. Por lo cual, y por simplicidad, podemos utilizar, en el estudio de las funciones circulares, la circunferencia en la que r = 1, es decir, la que llamaremos circunferencia trigonométrica, de radio unidad.

Definición de las funciones trigonometricas en el circulo trigonométrico.

Seno.- Es la razón entre la ordenada y el radio vector

OA

AEsenB0

Coseno.- Es la razón entre la abscisa y el radio vector


OA

OEB cos

Tangente.- Es la razón entre la ordenada y la abscisa

OE

AEtgB

Cotangente.- Es la razón entre la abscisa y la ordenada

AE

OEctgB

Secante.- Es la razón entre el radio vector y la abscisa

OE

AOB sec

Cosecante.- Es la razón entre el radio vector y la ordenada

AE

OAB csc

ANGULOS.

Angulo.- Es la cobertura comprendida entre la posición inicial y final de una rectaque va girando en uno de sus puntos, permaneciendo siempre en el mismo plano.

Posición final

Posición inicial

Si el lado móvil se mueve en sentido contrario a las manecillas del reloj el ánguloes positivo.

Posición finalPosición inicial


Si el lado móvil se mueve en el sentido a las manecillas del reloj el ánguloes negativo.

Posición final

Posición inicial

El Angulo en posición normal.- Es aquel que tiene su lado inicial sobre el eje positivo de las “equis” y su vértice en el origen y el lado móvil en cualquier cuadrante de las coordenadas rectangulares.EJEMPLOS DE ANGULOS EN POSICION NORMAL.

Angulo en posición normal Angulo en posición normalEn el segundo cuadrante en el primer cuadrante

Angulo en posición normal Angulo en posición normalEn el tercer cuadrante en el cuarto cuadrante

ANGULOS SIMETRICOS

Se llaman ángulos simétricos a dos angulos de igual magnitud pero de signo contrario.Son ejemplos de ángulos simétricos


Ejercicio:

Anotar el nombre que le corresponda a cada uno de los siguientes angulos


Calcular las funciones trigonometricas del primer cuadrante tomando en cuenta el signo

NOTA: Se debe tomar en cuenta que en el primer cuadrante la abscisa y la ordenada son positivas.

AE

OAB

AE

AOB

AE

OEctgB

csc

sec

NOTA: Como se puede observar en el primer cuadrante todas las funciones trigonometricas son positivas.

Calcular las funciones trigonometricas en el segundo cuadrante tomando el signo en cuenta.

NOTA: Se debe tomar en cuenta que en el segundo cuadrante la ordenada es positiva yla abscisa es negativa.

BF

OFctgB

OF

BFtgB

OB

OFB

cos

BF

OBB

OF

OBB

csc

sec

NOTA: Como se puede observar en el segundo cuadrante unicamente el seno y la cosecante son positivas, las demás funciones son negativas.


Calcular las funciones trigonometricas del tercer cuadrante tomando en cuenta el signoY

E X

A

Se debe tomar en cuenta que en el tercer cuadrante la abscisa y la ordenada son negativas, unicamente el radio vector es positivo.

OE

EAtgB

OA

OEB

OA

EAsenB

cos

NOTA: Como se puede observar en el tercer cuadrante la tangente y cotangente son positivas.

Calcular las funciones trigonometricas del cuarto cuadrante, tomando en cuenta los signos:

x


NOTA: Se debe tomar en cuenta que en cuarto cuadrante la ordenada es negativa y la abscisa es positiva.

EA

OAB

OE

OAB

EA

OEctgB

OE

EAtgB

OA

EAB

OA

EAsenB

csc

sec

cos

EA

OAB

OE

OAB

EA

OEctgB

OE

EAtgB

OA

OEB

OA

EAsenB

csc

sec

cos

NOTA: Como se puede observar en el cuarto cuadrante únicamente el coseno y la secante son positivas.

SIGNO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN CADA UNO DE LOS CUADRANTES( DE ACUERDO A LOS EJERCICIOS ANTERIORES)

FUNCION PRIMER SEGUNDO TERCER CUARTO

SENO + + - -COSENO + - - +TANGENTE + - + -COTENGENTE + - + -SECANTE + - - +COSECANTE + + - -


Angulo primario.A cualquier angulo cuya magnitud estecomprendida entre 0° y 360° se le llama primario.

Angulos coterminales.Todo angulo mayor a 360° se le llama coterminales si el final de dicho angulo esta sobrepuesto al lado Terminal de un angilo primario.

UNIDAD 7


FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA ANGULOS

Para ángulos de cero grados:

Si giramos el lado movil del angulo “B” en sentido de las manecillas del reloj, llegara el momento (0°) en que las ordenadas AE tenga un valor de cero y la abscisa OE sea igual al radio vector, en este caso:

AE=0OE=OA


00csc

0sec

00

00

0cos

00

peroAEAE

OA

OEperoOAOE

OA

peroOEAE

OEctg

AEOE

AEtg

OAOEOA

OE

peroAEOA

AEsen

O

OAOA

OAO

OEctg

OE

Otg

OA

OAAO

sen

0csc

10sec

0

00

10cos

00

0

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA ANGULOS DE 90°Y

X

Si ahora el radio vector (OA ) se desplaza hacia el eje de la “ies” llega el momento (90°) en que las ordenadas (EA) es igual al radio vector (OE) y un valor de cero y la abscisa (OE) sea igual al cero.EA=OAOE=O


OAperoAEAE

OA

peroOEOE

OA

peroOEAE

OEctg

AEOE

AEtg

OEOA

OE

OAperoAEOA

AEsen

0csc

090sec

090

090

090cos

90

10csc

90sec

090

90

090cos

10

90

O

OAOA

OAO

OEctg

OE

Otg

OA

OAAO

sen

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA ANGULOS DE 180° Y

x


Si ahora el radio vector (OA ) se desplaza hacia el eje de la “equis” llega el momento (180°) en que la abscisa s (EO) es igual al radio vector (AO) y la ordenada (EO) sea igual al cero.EO=AOAE=0

0180csc

180sec

0180

0180

180cos

0180

peroAEOE

OA

OAperoOEOE

OA

peroAEAE

OEctg

AEOE

AEtg

AOEOAO

OE

peroAEEO

AEsen

O

OAOA

OAO

OEctg

OE

Otg

OE

OEEO

sen

0csc

1180sec

180

0180

1180cos

00

180


x


Si ahora el radio vector se desplaza hacia el eje de la “IES” llega el momento (270°) en que la ordenada (EA) es igual al radio vector (0°) y la abscisaordenada (OE) sea igual al cero.EA=OAOE=0

OAperoAEAE

OA

peroOEOE

OA

peroOEAE

OEctg

OEOE

AEtg

OEOA

OE

OAperoAEOA

AEsen

270csc

0270sec

0270

0270

0270cos

270

1270csc

270sec

270

0270

00

270cos

1270

OA

OAOE

OAAE

OEctg

AEtg

OA

OA

OAsen


x


Si ahora el radio vector (OA) se desplaza hacia el eje de la “EQUIS” llega el momento (360°) en que la la abscisa ( OE) es igual al radio vector (OA) y la ordenada (EA) sea igual al cero.OE=OAEA=0

0360csc

360sec

0360

0360

360cos

0360

peroEAEA

OA

OAperoOEOE

OA

peroEAEA

OEctg

EAOE

EAtg

OAOEOA

OE

peroEAOA

EAsen

0360csc

1360sec

0360

00

360

1360cos

00

360

OAOA

OA

OEctg

OEtg

OA

OAOA

sen

RESUMEN DE LOS VALORES DE LAS FUNCIONES S TRIGONOMETRICAS PARA ANGULOS ( DE ACUERDO A LOS EJERCICIOS ANTERIORES)18FUNCION 0° 90° 180 270° 360°

SENO 0 1 0 -1 0COSENO 1 -0 -1 -0 +1TANGENTE 0 - 0 + 0COTENGENTE -0 + 0SECANTE 1 - -1 - 1COSECANTE 1 - -1VALORES LIMITE DE LAS FUNCIONES.

SE LLAMAN VALORES LIMITE DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS A LOS VALORES MINIMOS Y MAXIMOS QUE PUEDEN ALCANZAR, DE ACUERDO A LOS DATOS OBTENIDOS EN LOS EJERCICIOS REALIZADOS TENEMOS.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS. De 0° a 90° ( primer cuadrante)


CASO 1.HALLAR LA FUNCION SI CONOCEMOS EL ANGULO.EJEMPLO.Determinar la funcion si conocemos el angulo de sen 45° 30’ Utilizando la calculadora.Obtenemos sen 45°30´ = _____________.

Ejercicios determinar las siguientes funciones .

Sen 80°45´ = ________________Sen 67°34´ = ________________

Cos 54°32´ = ________________

Tan 80°20´= ________________

CASO II.SI TENEMOS LA FUNCION TRIGONOMETRICA HALLAR EL ANGULO.

EJEMPLO Si tenemos que Sen A = 0.4950 , Hallar el valor del angulo.Utilizando la calculadora tenemos.

A = ___________.

Ejercicios.

Con los ejercicios anteriores se verifica que para los angulos comprendidos en el segundo cuadrante(90°≤ Q≤180°) unicamene la funcion seno y su reciproco son ___________________________

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE 90° A 180°(segundo cuadrante)

Sean los dos triangulos de la figura congruentes por lo tanto tenemos.


De lo anterior podemos concluir que:Las funciones trigonometricas de angulos que diferen entre si 90° son iguales pero de sentido contrario a sus cofunciones, exepto el seno y cosecante que tiene el mismo signo.De acuerdo a lo anterior para determinar las funciones trigonometicas de angulos del segundo cuadrante es decir de angulos entre 90° y 180°

Ejemplo calcular las funciones trigonometricas de 145°

Planteamos w + 90° = 145° W = 145° - 90° = 55°Entonces

Sen 145° = cos 55° = 0.5735

Entonces para determinar las funciones trigonometricas de los angulos en el segundo cuadrante se expresan en funcion del del angulo agudo Q del primer cuadrante y se considera el signo que tiene la funcion trigonometrica en el segundo cuadrante.entonces para el segundo cuadrante tenemos:

csc)180csc(

sec)180sec(

cot)180(

tan)180(

cos)180cos(

)180(

ctg

tg

sensen

Ejemplo verificar que las igualdades anteriores con los angulos Q=135° y Q=170°Para verificar que son validas las igualdades ,primero las obtenemos directamente.


E inmediatamente la sobtenemos por las igualdades.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE 180° a 270°(tercer cuadrante.)


De lo anterior podemos concluir que:Las funciones trigonometricas de angulos que diferen entre si 180° son iguales a las funcionestrigonometricas de otro angulo que difiere de el 180° pero con diferente signo, exepto la tangente y cotangente que tienen el mismo signo.De acuerdo a lo anterior para determinar las funciones trigonometicas de angulos del tercer cuadrante es decir de angulos entre 180° y 270°.


Planteamos 180° + w = 200° W = 200° - 180° = 20°Entonces

Sen 200° = -sen 20° = -0.3420

Entonces para determinar las funciones trigonometricas de los angulos en el tercer cuadrante se expresan en funcion del del angulo agudo Q y se satisfacen las siguientes igualdades.


csc)180csc(

sec)180sec(

cot)180(

tan)180(

cos)180cos(

)180(

ctg

tg

sensen

Las igualdades anteriores se cumplen se Q< 90°

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE 270° a 360°(cuarto cuadrante)


De lo anterior podemos concluir que:Las funciones trigonometricas de angulos que diferen entre si 270° son iguales y de signo contrario a las funciones trigonometricas de otro angulo que difiere de el 270° , exepto el coseno y la secante que tienen el mismo signo.De acuerdo a lo anterior para determinar las funciones trigonometicas del angulo del cuarto cuadrante es decir de angulos entre 270° y 360°.


Planteamos 270° + w = 280° W = 280° - 270° = 20°


Entonces

Sen 280° = -cos 10° = - 0.9848

Entonces para determinar las funciones trigonometricas de los angulos en el cuarto cuadrante se expresan en funcion del del angulo agudo Q y se satisfacen las siguientes igualdades.

csc)360csc(

sec)360sec(

cot)360(

tan)360(

cos)360cos(

)360(

ctg

tg

sensen

Podemos resumir lo anterior en la siguiente tabla.

FUNCION 0°-90° 90°-180° 180°-270° 270°-360°

SENO W SENWCOS(W-90°)

-SEN(W-180°)

-COS(W-270°)

COSENO W -W -SEN(- - +TANGENTE W + - + -COTENGENTE W + - + -SECANTE W + - - +COSECANTE W + + - -

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS MAYORES DE 360°

Si se tiene un angulo mayor aa 360| se comienza por restar de ese angulo las circunferencias que contiene, si el angulo resultante no esta dentro del primer cuadrante se aplica las reglas.

Hallar las funciones trigonometricas de 785°

735°- 360° = primera circunferencia425°-360° = 65° Resultando un angulo del primer cuadrante,por lo que las funciones son:


Cos 152º el ángulo de referencia m = 180º-152º= 28º y sabiendo que el coseno es negativo en el 2º cuadrante Cos 152º = - Cos 28º = –0.8829 signo del cuadrante correspondiente

Sen 1685º Sen 245º= - [(sen 245º-180º)] formula para reducción al primer cuadrante = - sen 65º = - 0.9065

Tg6103º Tg 343º = -tg17º = 0-3057

Cotg 11560º = Cot 40º = 1.1917

Sen (1000000º) = Sen 280º= -Sen 80º = -0.9063

Cotg 284º28´= -0.2580

ÁNGULO NEGATIVO

En la naturaleza no solo se registran moviemientos en el sentido contrario a las manecillas del reloj, existen una gran cantidad de fenómenos que giran en el mismo sentido de las manecillas del reloj, es decir describen un angulo negativo,las para determinar las Funciones trigonométricas de ángulos negativos, se busca el ángulo de referencia y se aplica el mismo criterio que se siguió para ángulos positivos

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS.Demostración de identidades trigonométricas

Las identidades trigonometricas son expresiones algebraicas que relacionan a las funciones trigonometricas por medio de una igualdad . Estas identidades son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas.

Sen -1320º

Sen (-240º)

Sen 60º

0.866

Cos -1230º

Cos (-150º)

-Cos 30º

- 0.866

Para encontrar la csc y sec

Sec x =

Csc x =


Las identidades trigonometricas pitagoricas son las que resultan del teorema de PitágorasSi consideramos el circulo trigonometrico donde se tiene que los catetos de un triangulo rectanguloson representados por el seno de un angulo Q y por el coseno del mismo angulo considerando la hipotenusa unitaria.Si se aplica el teorema de Pitágoras a este triangulo se tiene.

222 cos1 senLo cual manifiesta que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, esta es la primera identidad trigonometrica ,expresada de otra forma tenemos.sen2(x) + cos2(x) = 1

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite

Encontrar, identidades más, muy útiles para resolver problemas .

Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos², se tiene:

tan2(x) + 1 = sec2(x) …(2)

Calculando la recíproca de la expresión anterior:

cot2(x) + 1 = csc2(x) …(3)

las identidades (1),(2) y (3) so la llamadas identidades pitagoricas.

A continuación se indican las identidades que se deben tener presente.


Identidades reciprocas.

sen

ctg

sentg

sen

1csc

cos

1)sec

tan

1

1

sec

1cos

csc

1

Identidades por cociente.

costan

sen

sen

coscot

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

y análogamente con las restantes.


Se han visto ya varias identidades trigonométricas como las identidades fundamentales las cuales son básicas y deben ser memorizadas. Existen otras identidades que no es necesario memorizar, pero son muy útiles para aplicar las expresiones trigonométricas. Se emplearán las identidades fundamentales junto con procedimientos algebraicos para verificar identidades trigonométricas. El método más adecuado para verificar que una igualdad es una identidad consiste en transformar un miembro de la igualdad en la forma que tiene el otro. No existe un método general para realizar estas transformaciones, pero se pueden utilizar las siguientes indicaciones.

1) Generalmente, es preferible elegir el miembro de apariencia mas complicada.2) Sustituir, de ser necesario algunas identidades fundamentales3) Si no es posible aplicar las condiciones anteriores, el miembro mas complicado se transforma a seno y coseno4) Se recomienda también no perder de vista al efectuar las operaciones, la función de la expresión a demostrar, transformando el miembro mas sencillo,valiendose de las identidadesYa conocidas.

Ejemplo.

Dmostrar la siguiente identidad.

222 csccotsec …..(1)

Sabemos que .

2

22 cos

cotsen

Sustituyendo la (2) en (1) ,tenemos

2

2

22 csc

cossec

sen …..(3)

Tambien sabemos que

2

2

cos

1sec … (4)

Sustituyendo la ecuación 4 en la (3), tenemos.


2

2

2

2csc

cos

cos

1

sen simplificando, resulta

22

csc1

sen

, pero se tiene que

2

2 1csc

sen

Finalmente se demuestra que

22 csccsc

Ejemplo 2.

Demostrar la siguiente identidad.

2

2

2

cottan1

1

ctg

Sabemos que

cot2(x) + 1 = csc2(x) …(3) y

tan2(x) + 1 = sec2(x) …(2) sustituyendo las identidades (2) y (3) tenemos

2

2

2

cotsec

csc ademas se sabe que

2

2

cos

1sec

2

2 1csc

sen

Sustituyendo y simplificando tenemos.

2

2

2

cotcos

sen

pero tambien considerando que


2

22 cos

cotsen

sustituyendo , se demuestra que

22 cotcot

Demostrar la siguiente identidad.

cos

1

1

cos sen

sen

Para resolver este ejrcicio se ientifica que lo ma sencillo es multiplicar el numerador y denominador por cos Q En el miembro izquierdo de la igualdad.

cos

1

)(cos1

)(coscos sen

sen

cos

1

))(cos1(

cos2 sen

sen

Pero sabemos que

sen2 Q+ cos2Q = 1 y que

cos2Q = 1-cos2 Q

entonces ,se tiene

)1(cos

1

)1(

cos 2

sen

sen

sen

Como el numerador del miembro derecho es una diferencia de cuadrados tenemos

)1(cos

)1)(1(

)1(

cos

sen

sensen

sen

y al simplificar, la ultima expresión resulta

cos

)1(

)1(

cos sen

sen

lo cual se queria demostrar.


senxxtg

Tgx

21

xxtgx

senxTgx 22 sec1

cos

senxx

x

senx

2sec

cos

xx

22

cos

1sec

senx

x

x

senx

cos

1cos

senxx

xsenx

cos

cos

senxsenx

ctg

sen

tg

sec

cos

ctgsensen

tg sec

cos

senctg

sentg

cos

cos

ctgsensen

sen

csccos

1

cos

ctgctg

sen

sen sec

cos

)1(

ctgctg seccos

1

yctgctg secsec

x

senx

senx

x

cos

1

1

cos

Multipliquemos el 1° miembro

por: senx

senx

1

1

x

senx

senx

senx

senx

x

cos

1

1

1

1

cos

x

senx

xsensensenx

senxx

cos

1

1

1cos2

x

senx

xsen

senxx

cos

1

1

)1cos2

x

senx

x

senx

cos

1

cos

1

tgxxxsenx 1seccsc

xx

senxx

cos

1sec

1csc


tgxxsenx

senx

1

cos

11

tgxx

senx

senx

senx 1

cos

tgxtgx 11

1cos2cos1

21 22

2

xx

xsen

1cos2)cos1(21 22 xx

1cos2cos221 22 xx

1cos2cos21 22 xx

1cos21cos2 22 xx

xsenxctgxtgx

cos

1

xsenxsenx

x

x

senx

cos

1cos

cos

xsenxxsenx

xxsen

cos

1

cos

cos2

tgx

tgx

xsenx

xsenx

1cos

cos22

Dividiendo al 1° miembro entre x2cos

xtg

tgx

x

xsenxx

xsenx

2

2

22

2

1cos

coscos

cos

tgxx

senx

xtg

tgx

x

xsen

cos1cos1

2

2

xtg

tgx

xtg

tgx22 11

1)cos ctgAtgAAsenA

1cos

coscos

senA

A

A

senAAsenA

1cos

coscos

22

senA

A

A

AsenAsenA

1cos

1cos

AsenAAsenA

1cos

cos

AsenA

AsenA 1=1

2sec tgctgtg

sec2 tgctgtg

1 tgctg

22 csc1 tg

22 secsec

1csc2 xxsen xsenx 21cos

12)1(cos 222 xsenxsen

121 222 xsenxsenxsen


121 222 xsenxsenxsen

Factorizando

1212 22 xsenxsen

tg

sen

sec

1

csc

coscos

1sec

sen

cos

1

1

cos sen

sen

Despejando términos semejantes

sensen 11coscos

22 1cos sen

22 coscos

111 22 AtgAsen

AsenA 22 1cos AtgA 22 1sec

1seccos 22 A

1seccos 22 AA

1cos

1cos

22

AA

1cos

cos2

2

A

A 1 = 1

asenAsenA

2sec21

1

1

1

A

senAsenA

senAsenA 2sec2)1(1

11

AAsensenAsenA

senAsenA 22

sec21

11

AAsen

22

csc21

2

AA

22

csc2cos

12

AA 22 csc2csc2 AsenA 22 109cos

AsenA 22 1cos

AsenAsen 22 1091

AsenAsen 22 1091

AsenAsen 22 1010

1cos2cos 222 ttsent

ttsen 22 cos1

1cos2cos1cos 222 ttt



xsenxx 22 1seccos


xsenx

x 22 1cos

1cos

xsenxxx 22

2

coscoscos

xsenxx 22coscos

xsen2

1csc

senx

1csc

Csc=csc

xtgx

21

1cos

xtgx 22 1sec

xsenx

2

1cos

xx

csc

1cos

xx coscos

tgx

xtgx

21csc

tgx

xx

2csccsc

cos

cos

1

cscsen

xx

senxxsenx

xx

1

cos

1coscsc

xx csccsc

xxctg

xctgsenx

22

2

csc1

1

1

xsenx

2csc

1

xsenx

csc

1

senxsenx


xx

22

cos1

1csc

xsenx 22cos1

xsenx

22 1

csc

xx 22 csccsc

Ejercicios.

Demostrar las siguientes identidades.

1.-

cscsec

sec

cos

sen

sen

2.-

2cot1

1

sen

3.- 21cos sen

4.-

csc

1csccos

2

5.-

cos

cos1tan

2

6.-

sec

1sec2 sen

7.- 21cos sen

8.-

2tan1

1cos


UNIDAD8RESOLUCION DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS.

Para resolver triangulos oblicuangulos es necesario conocer por lo menos tres elementos del mismo. Por lo tanto, se nos presentan cuatro casos, en donde nos den como datos: I.- un lado y los angulos adyacentes. II.- Los lados y el angulo comprendido. III.- Los tres lados. IV.- Dos lados y el angulo opuesto a uno de ellos. Nota: para el caso IV hay que tomar en cuenta lo siguiente. 1.- si el angulo dado es obtuso (mayor de 90°) tenemos: A) si el lado opuesto al angulo dado es menor o igual a lado dado no hay solucion. B) si el lado opuesto al angulo dado es mayor al lado dado hay una solucion

2.- cuando el angulo dado es agudo tenemos.

A).- si el lado opuesto al angulo dado es igual o mayor que el otro lado dado exite una solucion B) no hay solucion o exite dos soluciones si el lado opuesto al angulo dado es menor que el otro lado dado.

Para la resolucion de triangulos oblicuangulos podemos utilizar.

a).- ley de los senos.b).- ley de los cosenos.c).- let de las tangentes.

LEY DE LOS SENOS.

Sea el triangulo


b

Ysen

Despejando (y)

bseny

a

ysen

aseny

Igualando (1) y (2)

bsen = asen locuaz podemos expresar como.

sen

b

sen

a realizando el mismo procedimiento se obtiene finalmente.

sen

c

sen

b

sen

a que se conoce como.

la ley de los senos. La ley o teorema de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos. Especialmente los triángulos oblicuángulos, es decir, aquellos que carecen de un ángulo recto o de 90°. La ley de los Senos dice así:

“En todo triángulo, los lados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”.

Los lados de un triangulo cualquiera es proporcional a los senos de los angulos opuestos.

Esta ley se emplea para

1.-.definir las magnitudes de los lados y los angulos interiores cuando,

a).- se proporcionen como datos a dos Angulos y un lado.

b).- se nos proporcionan dos lados y un angulo opuesto a cualquier lado

ejemplo.


Un triangulo tiene como angulo interior A= 62° y B=70° definir el poligono si sabemos que uno e su lados mide 7 cm.

Planteamos la siguiente figura para , auxiliarnos en la solucion del problema,se necesita conocer los tres

Angulos y los lados . el angulo C se obtiene utilizando la propiedad de los angulos interiores de un triangulo

62°+70°+c= 180°

132°+c=180°

C= 180°-132°=48°

Para determinar el lado “C” se empleara la ley de los senos.

sen

c

sen

b

sen

bsenc

Sustituyendo los valores que nos proporciona se obtiene.

70

62)7(

sen

sencmc

El lado “a” sera calculado de manera similar, expresando la ley de los senos como.

sen

b

sen

a donde

sen

bsena sustituyendo los valores se tiiene.

70

62)7(

sen

sencma

Para comprobar los resultados obtenidos, se emplea la formula de mollweide.

La cual se expresa como:


2

2

)cos(

Csen

BA

c

ba

y

2cos

2

9(

C

BAsen

c

ba

Comprobando los resultados del ejercicio se tiene:

2

2

)cos(

Csen

BA

c

ba

2cos

2

9(

C

BAsen

c

ba

Ejemplo.

Llamemos “b” al ángulo de 27° porque está opuesto al lado B; “a” al ángulo de 43° y A al lado de 5. Lo que se tiene entonces es lo siguiente: A = 5 B = ?a = 43° C = ?b = 27° c = ?El ángulo c es muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre suma 180°. Es decir: c = 180° - a - b. Se sustituye en esta expresión los ángulos:c = 180° -43°- 27° = 180° - 70° = 110°c= 110°Con esto, se cuenta ya con los tres ángulos a, b y c. Para encontrar los lados faltantes usamos la ley de los senos:A . = B = C sen(a) sen(b) sen(c)Sustituyendo queda:Se fija la atención en los dos primeros términos:En este momento se ignorará el tercer término. De la igualdad que se encuentra en el recuadro se puede despejar B, (como el sen 27°) y, debido a que está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba:


Entonces se calcula la siguiente expresión:

Solamente queda por calcular C. Para ello, se volverá a usar la ley de los Senos, pero ahora si tomaremos en cuenta la igualdad que contenga a la C:

Se sustituye el valor de la B en la igualdad.Se despeja la C, por lo tanto, como sen 110° está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba:Se realiza la operación correspondiente y resulta:

Con este última dato queda resuelto todo el triángulo.

Ejercicicos.

Resolver el triángulos oblicuángulos por la ley de senos.1.-Datos A = 80° 25', A + B + C = 180°; B = 35° 43', a = b = c . c = 60.

no. 2 a = 41B = 27 ° 50´C = 51° A = 27 ° 50´+ 51°- 180° = A = 101° 10´

ley del CosenoLa ley de los Coseno es un término que permite conocer cualquier lado de un triángulo, pero para resolverlo pide que conozcas los otros dos lados y el ángulo opuesto al lado que quieres conocer. La ley de los Cosenos ayuda a resolver ciertos tipos de problemas de triángulos, como los triángulos oblicuángulos, los cuales carecen de un ángulo de 90°.La ley del Coseno dice así:


“En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos, por el coseno del ángulo que forman”

Pero si tienes los lados, y quieres saber el ángulo que hacen los lados B y C, entonces realizaras la siguiente formula:A, B y C son los lados del triángulo, y a, b y c son los ángulos del triángulo:Las letras minúsculas y mayúsculas del mismo tipo no se encuentran juntas, es decir, la a está en el ángulo opuesto de A, la b está en el ángulo opuesto de B y la c está en el ángulo opuesto de C. Esto siempre debe ser así cuando resuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrá erróneo.Observa que la ley del coseno sólo será cuando tienes los dos lados y el ángulo que hacen los lados, porque si no te dan el ángulo que hacen los lados, tendrás que usar la ley de senos.Arriba se muestran las características que tiene que tener el triángulo para resolverlo por la ley de cosenos, es decir, los tres datos necesarios.Recuerda que para sacar el ángulo interno la suma de los tres ángulos internos dará 180° y te quedara la formulita de la manera siguiente: c = 180° - a - bEjemplos de resolución de triángulos oblicuángulos.Primer caso: Conocidos los tres lados.Ejemplo. Resolver el triángulo cuyos datos son:a = 34, b = 40, c = 28.Se aplica la ley de coseno.Cálculo de A. a2 = b2 + c² - 2bc cos A.Despejando cos A: cos A = b² + c² - a²2bcCos A = 40² + 28² - 40² = 1600 + 784 - 1156 = 307 = 0.54821.2 x 40 x 28 2240 560.. . A = 56° 45'.Cálculo de B. Análogamente: a² + c² - b²cos B = 2ac.. . Cos B = 34² + 28² 40² = 1156 + 784 1600 = 340 = 0.17857. (2) (34) (28) 1904 1904 .. . B = 79° 43'.Cálculo de C.Análogamente: Cos C = a² + b² - c² .2ab ´Cos C = 34² + 40² 28² = 1156 + 1600 784 = 1972 = 0.72500 (2) (34) (40) 2720 2720. . . C = 43° 32´


Es decir: A = 56° 45" B = 79° 43'C = 43° 32'A + B + C = 178° 120' = 180°.Segundo caso. Se resolverá un triángulo conocidos dos lados y el ángulo comprendido. Resolver el triangulo cuyos datos son:A = 68° 18'; b = 6; c = 10.Datos FórmulasA = 68° 18', a = "b² + c² 2bc cos A.b = 6, cos B = a² + c² - b²2ac ´c = 10, cos C = a² + b² - c²2abCálculo de a.a = "b² + c² 2bc cos A = "6² + 10² (2) (6) (10) (cos 68° 18',) a = "36 + 100 - (120) (0.36975) = "136 - 44.37 = "91.63 a = 9.57Cálculo de B.Cos B = a² + c² b² = 9.57² + 10² 6² = 91.63 + 100 36.2ac 2 x 9.57 x 10 191.4 'Cos B = 191.63 - 36 = 155.63 = 0.81311. 191.4.. . B = 35° 36.Cálculo de C.Cos C = a² + b² - c² = 9.57 + 6² - 10² = 91.63 + 36 - 100 .2ab (2) (9.57) (6) (12) (9. 57) `Cos C = 127.63 - 100 = 27.63 = 0.24059. 114.84.. . C = 76° 6.Ejemplo no. 3a = 41 b = 19.5c = 32.48Cálculo de ACosA = b2 + c2 - a22aCosA = (19.52) +(32.482) - (412) = 380.25 + 1054.9504 - 16812(19.5) (32.48) 1266.72CosA = -0.194044145 A = Cos-1 -0.194044145 A = 101. 188°Cálculo de B CosB = a2 + c2 - b22acCosB = (412) + (32.482) - (19.52) = 1681 + 1054.9504 - 380.25 2(19.5) (32.48) 2663.36CosB = 2355.7004 = 0.88448 B = Cos-1 0.88448 B = 27.8118°


2663.36Cálculo de C Cos C = a2 + c2 - b22acCos C = (412) + (19.52) - (32.482)2(41) (19.5)Cos C = 1681+380.25 - 1054.9504 = 1006.2996 = 0.629331599 1599Cos-10.62933 C = 50.9992°

Ley de cosenos. Dado dos lados y en ángulo entre estos dos lados tendremos la

siguiente relación 222 cos2 CABBA

Nota. Desde luego que si el ángulo es precisamente el de un ángulo recto

correspondiente al del triángulo rectángulo tenemos el teorema de Pitágoras ya que

090cos

.

Ejercicios resueltos de ley de cosenos.

1.- Determine cual es el valor del otro lado dado que 60;8;20 mBmA


Considerando la ley de cosenos, ya que tenemos el valor de dos lados y un ángulo,

tenemos:

mABBAC 44.1760cos8202820cos2 2222

2.- Considerando la misma figura pero ahora los siguiente datos

mCmBmA 32.17;10;20 determine el valor del ángulo.

Utilizando la expresión de la ley de cosenos tenemos:

AB

CBA

AB

CBA

AB

BAC

BACABABBAC

2arccos

2cos

2cos

cos2cos2

222

222222

222222

Sustituyendo los valores dados tenemos:

6010202

32.171020arccos

2arccos

222222

AB

CBA


1.- Utilizando la ley de cosenos determine el valor deseado.

?;35;120;90).

?;25;120;80).

?;50;40;90).

ACBc

BCAb

CBAa

2.- ¿Se puede determinar el valor de el lado C, si se conoce el valor de B, A y ?

¿Cuál ley deberíamos utilizar?

Teoremas de la suma y diferencia de ángulos

Pueden demostrarse mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.

Considerando la circunferencia goniométrica (R=1)

En la siguiente figura los dos angulos (A) son iguales por tener perpendiculares


sus lados.(es otra figura en la que se puede apoyar para la deduccion de los conceptos y formulas )

a) Seno de la suma.

sen(cos[cos cos(sen sen(cos (-sensencos

sencoscossen

si a= A y b=B Podemos expresar la formula como.

Sen (A+B)= senA cos B + sen B cosA

Ejemplo.

Calcular el seno de 70°

Podemos escribir: 70°= 40°+30°

A= 40° Y B=30°


sen (40°+30°)= sen 40° cos30°+ sen 30°cos40°

Sen70°= (0.6427)(0.8660)+(0.5)(0.7660)= 0.9396

ejemplo



A= 30° Y B=10°



sen (30°+10°)= sen 30° cos10°+ sen 10°cos30°

Sen40°= (0.5)(0.9848)+(0.1736)(0.8660)= 0.6427

Ejercicios:

1.- Calcular sen 90° considerando 90°= 70° y 20°

A= Y B=


sen ( )= sen cos + sen cos

Sen = ( )( ) + ( )( ) =


A= Y B=



Sen = ( )( ) + ( )( ) =


A= Y B=



Sen = ( )( ) + ( )( ) =

b) Seno de la diferencia.

sen(sencos(-cossen(-sencoscossen


Sen (A-B)= senA cos B - sen B cosA

ejemplo


1.- Calcular el seno de 20°

Podemos escribir: 20°= 70°-50°

A= 70° Y B=50°


sen (70° - 50°)= sen 70° cos50° - sen 50°cos70°

Sen20°= (0.9396)(0.6427) - (0.7660)(0.3420)= 0.3419

2.- Calcular el seno de 50°


A= 60° Y B= 10°


sen (60° - 10°)= sen 60° cos10° - sen 10°cos60°

Sen50°= (0.8660)(0.9848) - (0.1736)(0.5)= 0.7660

ejercicios

Ejercicios:


A= Y B=


sen ( )= sen cos - sen cos

Sen = ( )( ) - ( )( ) =

2.- Calcular sen 75° considerando 100° y 25°

A= Y B=



sen ( )= sen cos - sen cos

Sen = ( )( ) - ( )( ) =

3.- Calcular sen 28° considerando 28°= 38°-10°

A= Y B=



Sen = ( )( ) + ( )( ) =

c).-Coseno de la suma.

(A+B)= cosA cos B - sen A senB

Ejemplo.

Calcular el coseno de 50°


A= 15° Y B=35°

cos (A+B)= cosA cos B - sen A senB

cos (15°+35°)= cos15 cos30° - sen 15°sen35°

cos50°= (0.9659)(0.8191) - (0.2588)(0.5735)= 0.642

ejemplo



Podemos escribir: 130°= 80°+ 50°

A= 80° Y B=50°


cos (80°+50°)= cos 80° cos50° - sen 80°sen50°

Sen130°= (0.1736)(0.6427)-(0.9848)(0.77600)= -0.6428

Porque el resultado es negativo __________________________________

Ejercicios:

1.- Calcular cos 88° considerando 88°= 60° y 28°

A= Y B=


cos ( ) = cos cos - sen sen

cos = ( )( ) + ( )( ) =


A= Y B=



cos = ( )( ) + ( )( ) =


A= Y B=



cos = ( )( ) - ( )( ) =


d) Coseno de la diferencia.


cos (A-B)= cosA cos B + sen A senB

Ejemplo.



A= 70° Y B=40°


cos ( 70°- 40° ) = cos70 cos40° + sen 70°sen40°

cos30°= (0.3420)(0.7660) + (0.9396)(0.6427)= 0.8657

ejemplo


Podemos escribir: 18°= 22°- 4°

A= 22° Y B=4°


cos (22°-4°)= cos 22° cos4° + sen 22°sen4°

Sen18°= (0.9271)(0.9975) + (0.3746)(0.697)= 0.9518

Ejercicios:

1.- Calcular cos 90° considerando 90°= 180° - 90°

A= Y B=


cos ( ) = cos cos + sen sen

cos = ( )( ) + ( )( ) =


2.- Calcular cos 120° considerando 120°= 140° -20°

A= Y B=



cos = ( )( ) + ( )( ) =

3.- Calcular cos 210° considerando 140°= 180° - 40°

A= Y B=



cos = ( )( ) + ( )( ) =

e) Tangente de la suma.


tan (A + B)= BA

BA

tantan1

tantan

Ejemplo.

Calcular la tangente de 58°

Podemos escribir: 58°= 25° + 33°

A= 25° Y B= 33°

tan (A+B)= BA

BA

tantan1

tantan

tan ( 25°+ 33° ) =

33tan25tan1

33tan25tan

tan58°= 6002.16972.0

1157.1

)6494.0)(4663.0(1

6494.04663.0

ejemplo



Podemos escribir: 100°= 40°+ 60°

A= 40° Y B=60°

tan (A+B)= BA

BA

tantan1

tantan

tan (40°+60°)=

60tan40tan1

60tan40tan

tan 100°= 671.54533.0

578.2

)7320.1)(8390.0(1

7320.18390.0

porque el resultado es negativo_____________________________________________

Ejercicios:

1.- Calcular tan15° considerando 15°= 10° + 5°

A= Y B=

tan (A+B)= BA

BA

tantan1

tantan

tan ( ) =

tan =

2.- Calcular tan 90° considerando 90°= 45° + 45°

A= Y B=

tan (A+B) = BA

BA

tantan1

tantan

tan ( ) =


tan =

3.- Calcular tan 45° considerando 45°= 25° + 20°

A= Y B=

tan (A-B)= BA

BA

tantan1

tantan

tan ( ) =

tan =

f) Tangente de la diferencia.

a= A y b=B Podemos expresar la formula como.

tan (A - B)= BA

BA

tantan1

tantan

Ejemplo.


Podemos escribir: 50°= 70° - 20°

A= 70° Y B= 20°

tan (A-B)= BA

BA

tantan1

tantan

tan ( 70° - 20° ) =

20tan70tan1

20tan70tan

tan58°= 1919.19997.1

3835.2

)3639.0)(7474.2(1

3639.07474.2

ejemplo


Podemos escribir: 220°= 260°- 40°


A= 260° Y B=40°

tan (A-B)= BA

BA

tantan1

tantan

tan (260°- 40°)=

40tan260tan1

40tan260tan

tan 100°= 8391.07587.5

8322.4

)8390.0)(6712.5(1

8390.06712.5

Ejercicios:

1.- Calcular tan300° considerando 300°= 330-30°

A= Y B=

tan (A-B)= BA

BA

tantan1

tantan

tan ( ) =

tan =

2.- Calcular tan 57° considerando 57°= 60° - 3°

A= Y B=

tan (A-B) = BA

BA

tantan1

tantan

tan ( ) =

tan =

3.- Calcular tan 87° considerando 87°= 120° - 33°


A= Y B=

tan (A-B)= BA

BA

tantan1

tantan

Teoremas de la angulo doble y ángulo mitad

Ejemplo.


Para hallar el valor de A se divide el angulo entre dos

20°/ 2 = 10° entonces A= 10°

Sen 2(10° )= 2sen10° cos 10°

sen (20°)= 2(0.1736)(0.9846)=0.3419

ejemplo



50°/ 2 = 25° entonces A= 25°

Sen (2A)= 2senA cos A

Sen 2(25° )= 2sen25° cos 25°

sen (25°)= 2(1.4226)(0.9063)= 0.7660

Ejercicios:

1.- Calcular sen 1000°


/ 2 = entonces A=



Sen 2( ° ) = 2sen ° cos °

sen ( °) = 2( )( ) =



/ 2 = entonces A=


Sen 2( ° ) = 2sen ° cos °

sen ( °) = 2( )( ) =



/ 2 = entonces A=


Sen 2( ° ) = 2sen ° cos °

sen ( °) = 2( )( ) =

Coseno del ángulo doble.

si a= A Podemos expresar la formula como.

cos (2A)= AsenA 22cos

Ejemplo.



80°/ 2 = 40° entonces A= 40°



cos 2(40° )= 4040cos 22 sen

cos 2 (40°) = 4195.0)6447.0()7660.0( 22

Ejemplo.



120°/ 2 = 60° entonces A= 60°


cos 2(60° )= 6060cos 22 sen

cos 2 (40°) = 5.0)8660.0()5.0( 22

Ejercicio.



48°/ 2 = ° entonces A= °


cos 2( ° )=

cos 2 ( °) =

Ejercicio.



220°/ 2 = ° entonces A= °



cos 2( ° )=

cos 2 ( °) =

Ejercicio.



90°/ 2 = ° entonces A= °


cos 2( ° )=

cos 2 ( °) =

Tangente del ángulo doble.


tan 2(A)= A

A2tan1

tan2

ejemplo.

Hallar la tan 150°


150°/ 2 =75° ; entonces A= 75 °

tan 2(A)= A

A2tan1

tan2

tan 2(75°) = 5773.)7320.3(1

)7320.3(2

75tan1

75tan222

o

ejemplo.

Hallar la tan 350°



350°/ 2 =175° ; entonces A= 175 °

tan 2(A)= A

A2tan1

tan2

tan 2(75°) = 5773.)7320.3(1

)7320.3(2

75tan1

75tan222

o

Ejercicios.

1.- Hallar la tan 210°


210°/ 2 = ° ; entonces A= °

tan 2(A)= A

A2tan1

tan2

tan 2( °) =



120°/ 2 = ° ; entonces A= °

tan 2(A)= A

A2tan1

tan2

tan 2( °) =



190°/ 2 = ° ; entonces A= °

tan 2(A)= A

A2tan1

tan2


tan 2( °) =

Coseno y seno del ángulo mitad.


2

cos1

2

AAsen

Ejemplo.

Calcular el sen 70°

Para hallar el valor de A se mulltiplica el angulo por dos

(70°) 2 = 140° entonces A=140°

2

140cos1

2

140 sen

9396.02

)7660.0(170

sen

Ejemplo.



(35°) 2 = 70° entonces A=70°

2

70cos1

2

70 sen

5735.02

)3420.0(170

sen

Ejercicio.



(120°) 2 = 240° entonces A=240°


2

240cos1

2

240 sen

240sen

Ejercicio.



(68°) 2 = ° entonces A= °

2

cos1

2

AAsen

Sustituyendo se tiene.

2

70cos1

2

70 sen

sen

Ejercicio.



( °) 2 = ° entonces A= °

2

cos1

2

AAsen


2

cos1

2

sen


2

cos1

2cos

AA


Ejemplo.

Calcular el cos 20°


(20°) 2 = 40° entonces A=40°

2

40cos1

2

40cos

9396.02

)7660.0(120cos

Ejemplo.



(180°) 2 = 360° entonces A=360°

2

360cos1

2

360cos

12

11180cos

Ejercicio.



(190°) 2 = 380° entonces A=380°

2

380cos1

2

380cos

190cos

Ejercicio.




(330°) 2 = ° entonces A= °

2

cos1

2cos

AA


2

330cos1

2

330cos

cos

Ejercicio.



( °) 2 = ° entonces A= °

2

cos1

2cos

AA


2

cos1

2cos

Cos=

Tangente del ángulo mitad.


A

AA

cos1

cos1

2tan


Ejemplo.

Calcular el tan 18°

Para hallar el valor de A se multiplica el angulo por dos, el angulo dado.

(18°) 2 = 36° entonces A=36°

A

AA

cos1

cos1

2tan

Tenemos.

36cos1

36cos1

2

36tan

3249.0)8090.0(1

)8090.0(118tan

Ejemplo.

Calcular el valor de tan65°

Para hallar el valor de A se multiplica el angulo,dado por dos

(65°) 2 = 110° entonces A=110°

110cos1

110cos1

2

110tan

4281.1)3420.0(1

)3420.0(155tan

Porque los angulos de cos 110° son negativos ___________________________________


Ejercicio.



(138°) 2 = ° entonces A= °

A

AA

cos1

cos1

2tan

Tenemos.

cos1

cos1

2tan

2

tan

Ejercicio.



( °) 2 = ° entonces A= °

A

AA

cos1

cos1

2tan

Tenemos.

cos1

cos1

2tan

2

tan

Ejercicio.



( °) 2 = ° entonces A= °


A

AA

cos1

cos1

2tan

Tenemos.

cos1

cos1

2tan

2

tan


UNIDAD 9

ECUACION TRIGONOMETRICA.

Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones trigonométricas. La ecuación trigonométrica es una igualdad que se cumple para ciertos valores del argumento. Resolver una de estas ecuaciones, significa encontrar el valor del ángulo que satisface dicha ecuación. (A veces es más de un valor).

Resolver una ecuación trigonometrica significa encontrar todas las soluciones positivas (o cero) menores de

360° esto es toda Q en el intervalo 0°≤Q<360° o tambien 0°≤Q<2p.

No puede especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las funciones que aparecen allí en una sola función (es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos de una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la función; por último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo.

El proceso para encontrar las soluciones de una ecuacion trigonometrica incluye metodos tanto algebraicos como trigonometricos. las siguientes sugerencias serviran para la solucion de la mayoria de las ecuaciones trigonometricas.

A) si solamente se incluye una funcion de un angulo simple,resuelvase algebraicamente para los valores de la funcion,después determine el angulo correspondiente.B) Si un miembro de la ecuación es cero y el otro es factorizable,hagase cada factor igual a cero y resuelvase la ecuación resultante.C) Si se incluyen varias funciones de angulos simples,utilicese las relaciones fundamentales para expresar todo en terminos de una sola funcion simple. Después procedase como en AD) Si se incluyen varios angulos utilicese las identidades fundamentales para expresar todo en terminos de un angulo simple des pues procedase como en C

Nota: en las soluciones pueden aparecer valores extraños (debido a la manipulación de las ecuaciones al tratar de reducirlas), por ejemplo: nos puede resultar un cosx =


2, el que debemos descartar, obviamente, pues el codominio del coseno se limita a [-1, 1]. También, debemos verificar todas las respuestas obtenidas y aceptar sólo aquellas que satisfacen la ecuación original.Como las funciones trigonométricas repiten su valor y signo en dos de los cuadrantes, hay que tener presente que siempre habrá por lo menos dos ángulos distintos en la solución de una ecuación trigonométrica . Además, debido a que cuando el lado terminal de un ángulo realiza un giro completo se genera otro ángulo equivalente, es necesario añadir a las soluciones obtenidas un múltiplo de 360°, esto es, k360°, y k es un entero.

A)si solamente se incluye una función de un angulo simple, resuelvase algebraicamente para los valores de la Funcion,después determine el angulo correspondiente

EJEMPLO.

Resolver la ecuación 3cos4 2 , resolver paraQ

Solucion: 4

3cos2

Por lo que tenemos

2

3cos Q= 30°, 330°

2

3cos Q=150°,210°

Ordenando las soluciones por magnitud ,tenemos

Q=30°,150°, 210°, 330°

NOTA.Resolver una de estas ecuaciones, significa encontrar el valor del ángulo que satisface

dicha ecuación. (A veces es más de un valor).

Ejemplo:

Resolvamos la ecuación trigonométrica para 0º < x < 90º


Aquí determinamos, sin problema, el ángulo x, acordándonos de los valores anteriormente aprendidos. En otra situaciones tendremos que recurrir a la calculadora.

Resolvamos ahora la ecuación

Si un miembro de la ecuación es cero y el otro es factorizable,hagase cada factor igual a cero y resuelvase la ecuación resultante

Ejemplo.


Ejemplo.

0cos2 xsenxsenx

Sacando como factor a sen x tenemos.

0)cos21( xsenx

Se iguala cada uno de los factores a cero.

Sen x = 0

Cuando se tiene que senx vale cero, entonces el angulo sera.

X1= 0° Y X2=180°

Igualando el otro factor a cero , tenemos.

1- 2 cos x = 0

Despejando a cos x

2

1cos x

Para el coseno de 2

1 los angulos seran.


X1=60° Y X2= 300°

E) Si se incluyen varias funciones de angulos simples,utilicese las relaciones fundamentales para expresar todo en terminos de una sola funcion simple. Después procedase como en A

Ejemplo.

2sectan2 22 xx

Sabemos que xx 22 tan1sec


2tan1tan2 22 xx

2tan31 2 x

12tan3 2 x

3

1tan x


Para este valor de la tangente ,se tiene que el angulo es

X1=30° , X2=210° y X3= 150°.

ejemplo

Si se incluyen varios angulos utilicese las identidades fundamentales para expresar todo en terminos de un angulo simple des pues procedase como en C.


Ejemplo.

Resolver para Q 232cos sen

Esta ecuación incluye dos angulos como, la ecuación anterior, no es conveniente remplazr senQ

Por una funcion de 2Q, porque esto nos llevaria al radical.

2

2cos1 comprobar porque?

Es mejor remplazar cos2Q por una de sus tres formas. (indica cuales son?)

1.-

2.-

3.-

Dado que el segundo miembro incluye solamente senQ, se escoge la forma 2Q=1-2sen2Q

Para reducir inmediatamente a la misma funcion del angulo simple.

Se tiene entonces


2321 2 sensen

0132 2 sensen

Factorizando, se tiene.

0)1)(12( sensen

Resolviendo se tiene.

2

1sen 1sen

senQ=210°,330° senQ=270°

Ejercicios.

1.- 0352 2 senxxsen

7.- 0352 2 senxxsen


UNIDAD 10

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: FUNCIÓN SENO, FUNCIÓN COSENO Y FUNCIÓN TANGENTE.

INTRODUCCIÓNLas funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes.Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con <B = 60º y <C = 30º. Todos los triángulos que dibujemos con estos ángulos son semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados proporcionales:

Esto quiere decir que si calculamos en el primer triángulo AC/BC obtendremos el mismo resultado que si calculamos en el segundo triángulo el cociente A'C'/B'C'. Se supone que esto lo conoces de cursos anteriores, pero si eres desconfiado y el razonamiento no te convence del todo, tienes algunas posibilidades:Una consiste en dibujar con mucho cuidadito triángulos distintos con ángulos 90º, 60º y 30º y calcular los resultados de las divisiones anteriores (el cateto opuesto al ángulo de 60º dividido por la longitud de la hipotenusa) para así comprobar que siempre se obtiene el mismo resultado (aprox 0.87).Otra posibilidad es hacer exactamente lo mismo pero dibujando triángulos, midiendo y dividiendo las longitudes con ayuda de algún programa informático (Cabri, Dr.Geo, etc.).Otra es ir hasta el primer applet que te encuentres en esta página (pero sin saltarte lo que viene a continuación).Si realizamos las mismas divisiones en triángulos rectángulos con ángulos distintos a los anteriores (por ejemplo: 90º, 40º, 50º) veremos que sucede lo mismo: al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se obtiene siempre el mismo resultado (aprox 0.64).A ese valor constante que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se le llama seno de 40º, y se escribe sen(40º) = 0.64.(Estas explicaciones se tratarán con más detalle en clase y a partir de aquí definiremos las razones trigonométricas de ángulos agudos de triángulos rectángulos).


1. DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS:

En un triángulo rectángulo se define como seno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.Se define como coseno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.Se define como tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto contiguo.

sen(B) = AC/BCcos(B) = BA/BCtan(B) = AC/BA

Estudiaremos inmediatamente algunas de las propiedades importantes de las razones trigonométricas, así como algunas de sus aplicaciones prácticas.Pero antes de continuar verás a continuación un applet que te permitirá dibujar triángulos rectángulos en los que el valor de un ángulo agudo lo fijas tú, el tamaño del triángulo lo puedes cambiar y el applet te mostrará que los valores del seno, coseno y tangente no dependen más que del ángulo, no del tamaño del triángulo.

Funciones trigonométricas

Autora: Silvia Sokolovsky


Desde Thales a las funciones Trigonométricas

Cada par de lados homólogos (que se ubican en la misma posición) de un triángulo rectángulo cuyos ángulos sean iguales serán proporcionales. Para que sea más fácil interpretar lo que se está explicando el típico triángulo de catetos de 3 cm y 4 cm, que tendrá su hipotenusa de 5 cm (Pitágoras). Dibujemos otros dos triángulos donde los catetos y la hipotenusa sean el doble y el triple (según corresponda)

La proporcionalidad también puede escribirse respecto a los lados homólogos, dividir el cateto opuesto por la hipotenusa.

Lo importante a destacar es que el ángulo en todos los casos es el mismo. Este hecho es importante ya que permite relacionar a los ángulos con la razón de la proporción de los lados. Esta relación presenta la propiedad de unicidad y la propiedad de completitud (para cada par de lados homólogos existe siempre un único valor (razón) relacionado con una determinada [existe y es única] amplitud angular), por lo tanto se establece una función, a las que llamaremos trigonométrica.

Funciones Trigonométricas

Si dividimos llamaremos a esta función seno.

Si dividimos llamaremos a esta función Coseno


Si dividimos llamaremos a esta función Tangente.

Si dividimos llamaremos a esta función Cosecante.

Si dividimos llamaremos a esta función Secante.

Si dividimos llamaremos a esta función Cotangente.

La función seno y cosecante son inversas, así como lo son coseno y secante, y tangente con cotangente.

Para calcular el valor de las funciones trigonométricas sencillamente escribes el valor del ángulo en la calculadora y tecleas la función correspondiente y en la pantalla saldrá el valor buscado.

Las funciones trigonométricas son funciones periódicas, repiten el valor de imagen cada 360º. De esa manera tenemos que: cos 60º = cos 420º = 0,5

Grafiquemos, mediante tablas, las siguientes funciones tomando valores angulares desde 0º hasta 360º. Para facilitar el trabajo tomemos ángulos a intervalos de 45º:

Función Seno:

sen

0 0 45 0,71 90 1

135 0,71 180 0

225 -

0,71 270 -1

315 -

0,71 360 0


Función Coseno:

cos 0 1 45 0,71 90 0

135 -0,71 180 -1 225 0,71 270 0 315 0,71

360 1

Función Tangente:

tg 0 0

45 1 90 ////

135 - 1 180 0 225 1 270 //// 315 - 1

360 0

//// significa que no se puede calcular el valor de la función, el resultado no existe (asíntota).


Función Secante

sec

0 1 45 1,41 90 ////

135 -1,41 180 -1 225 1,41 270 //// 315 1,41

360 1

Función Cosecante:

Cosec

0 //// 45 1,41 90 1

135 1,41 180 //// 225 - 1,41 270 -1 315 - 1,41

360 ////

Función Cotangente:

Cotg


0 //// 45 - 1 90 0

135 1 180 //// 225 - 1 270 0 315 ////

360 - 1

Sistema Circular de Medición de Ángulos:

El sistema de medición de ángulos que solemos utilizar es el sexagesimal, divide a la circunferencia en seis partes de 60º cada una, obteniendo un giro completo de 360º. Cuando se quiso utilizar este sistema en física, para poder calcular el camino desarrollado por alguna partícula en trayectoria circular, se encontraron que el sistema sexagecimal no los ayudaba pues, matemáticamente, no está relacionado con el arco que describe el cuerpo al moverse. De esa manera se "inventó" otro sistema angular, el sistema circular, donde la medida del ángulo se obtiene al dividir el arco y el radio de la circunferencia. En este sistema un ángulo llano (al dividir el arco por el radio) mide 3,14 (que es el valor aproximado de ""). De esa manera un giro completo (que es lo mismo que dos ángulos llanos) mide 2.

180º = ó 360º = 2

En este caso la circunferencia queda dividida en cuatro partes iguales de 90º () cada una, que va desde 0º hasta 360º (2), a las que se denomina cuadrantes:

1er cuadrante: 0º a 90º

2do cuadrante: 90º a 180º

3 er cuadrante: 180º a 270º

4to cuadrante: 270 a 360º

Funciones Trigonométricas de ángulos complementarios

Podemos desarrollas las funciones trigonométricas de ángulos complementarios mediante triángulos rectángulos, ya que los ángulos que no son rectos son complementarios entre si: º º


tg (90 ) = cotg

cotg (90 ) = tg

sec (90 ) = cosec

cosec (90 ) = sec

Las funciones trigonométricas de los ángulos complementarios son opuestas. En caso de los ángulos de (90º ) los ángulos caen en el primer cuadrante y los signos son todos positivos.

Funciones trigonométricas de ángulos suplementarios

Los ángulos suplementarios suman entre si 180º : = 180º 180º

En este caso las funciones quedan iguales sólo cambia el signo según el cuadrante que caiga: sen (180º ) = sen

Signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante:


En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos "x"; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos "y". La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos "r".

Ya que "x", "y", "r", son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.

sen

cosec tg cotg cos sec

+ + + + + +

En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.

sen

cosec tg

cotg cos sec

En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas ( : = +)

sen

cosec tg cotg cos sec

En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será


positivo son el coseno y la secante.

sen cosec tg cotg cos sec

Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en tres cuadros sinópticos:

cuadrantes

II I

III IV

sen - cosec

cos - sec

+

+

tg - cotg

. Funciones trigonométricas

En el caso de éstas funciones, es conveniente utilizar la medida de radianes; es importante mencionar que cada función tiene una gráfica específica. En el caso específico del seno y coseno, su dominio es (-∞,∞) y su imagen [-1, 1]. Veamos en las ráficas.


BIBLIOGRAFIA

título: Matemáticas, triángulos y trigonometría, ESO. Cuaderno de ejercicios y problemas 9 [Monografía] (2006)

Autor: Pérez Olano, Javier; Quiralte Fuentes, Vidaleditor: Editorial Luis Vives (Edelvives)

título: Matemáticas prácticas [Monografía] (2006) [Obra Completa]

Autor: Palmer, Claude Irvingeditor: Editorial Reverté, S. A. [Parte de obra completa: T. 4]

título: Trigonometría (1969) [Parte de obra completa: T. 4]

Autor:editor: Editorial Reverté, S. A.

título: Proyecto Aureo, trigonometría II, ESO. Cuadernos de matemáticas 24 [Monografía] (2005)

Autor: Nieto Conde, Félix Eugenioeditor: Hergué Editora Andaluza

título: Proyecto Aureo, trigonometría I, ESO. Cuadernos de matemáticas 23 [Monografía] (2005)

Autor: Nieto Conde, Félix Eugenioeditor: Hergué Editora Andaluza

matemática ii

Documents