matemática essencial2

8/19/2019 Matemática Essencial2

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Apontamentos de Matemática Essencial

Conteúdos abordados neste fascículo

• Conjuntos• os números naturais – O conjunto N• Múltiplos e divisores naturais• Critérios de divisibilidade em N

• Os números inteiros - o conjunto Z• Os números racionais - o conjunto Q• Os números irracionais - o conjunto • !ma e"ua#$o irracional• O %rincípio da ndu#$o• Número de divisores de um número natural• &c'ando o último al(arismo• Compondo e"ua#)es "uadr*ticas• Operando com números inteiros+ dois problemas interessantes• !ma pot,ncia de pot,ncia e uma venda com lucro+ dois eercíciossimples• Operando com números inteiros

• .orma /01%2 de uma e"ua#$o do se(undo (rau• Números con(ruentes• %roporcionalidade entre (rande3as• 4e(ra de tr,s composta• Cuidado com a re(ra de tr,s• M5C e MMC• 0istema de numera#$o bin*rio• 0istema de numera#$o romano• %ot,ncias e radicais - parte • %ot,ncias e radicais - parte • 67(ica Matem*tica • 67(ica Matem*tica • 67(ica Matem*tica • 4ela#)es 8in*rias• .un#)es • .un#)es • .un#)es • .un#)es 9• !ma certa fun#$o• !ma certa classe de fun#)es• Calcule o valor desta fun#$o• M7dulo • M7dulo • M7dulo • Números con(ruentes• 5omínio e conjunto ima(em de uma fun#$o real de vari*vel real

• :ri(onometria • :ri(onometria • :ri(onometria • :ri(onometria 9

Pascoal Zita 1

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• :ri(onometria 9• :ri(onometria 9• :ri(onometria 9• :ri(onometria 9• :ri(onometria ;•


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A teoria avançada dos conjuntos foi desenvolvida por volta do ano 1872 pelo matemáticoalemão Georg Cantor (184 ! 1"18# e aperfeiçoada no in$cio do s%culo && por outrosmatemáticos' entre eles' rnst )ermelo (alemão * 1871!1"+#' Adolf ,raen-el (alemão * 18"1!1"+#' .urt G/del (austr$aco * 1"0+ !1"78#' anos von e3man (5ngaro * 1"06 !1"7#' entreoutros

9ue se estuda deste assunto ao n$vel do segundo grau e e:igido em alguns vesti;ulares' %tão somente uma introdução elementar < teoria dos conjuntos' ;ase para o desenvolvimento detemas futuros' a e:emplo de relaç=es' funç=es' análise com;inat>ria' pro;a;ilidades' etc

2 * Conjunto: conceito primitivo? não necessita' portanto' de definição

:emplo@ conjunto dos n5meros pares positivos@ B 2'4'+'8'10'12' D sta forma de representar um conjunto' pela enumeração dos seus elementos' cama*seforma de listagem mesmo conjunto tam;%m poderia ser representado por uma propriedadedos seus elementos ou seja' sendo : um elemento 9ual9uer do conjunto acima' poder$amosescrever@

B : E : % par e positivo D B 2'4'+' D

21 - Relação de pertinência: Fendo : um elemento do conjunto A ' escrevemos : ∈ A'onde o s$m;olo ∈ significa pertence aFendo H um elemento 9ue não pertence ao conjunto A ' indicamos esse fato com a notaçãoH ∉ A

conjunto 9ue não possui elementos ' % denominado conjunto vaIio e representado por φ Com o mesmo racioc$nio' e opostamente ao conjunto vaIio' define*se o conjunto ao 9ual

pertencem todos os elementos' denominado conjunto universo' representado pelo s$m;olo J Assim % 9ue' pode*se escrever como e:emplos@∅ B :? : ≠ :D e J B :? : B :D

22 - Subconjunto Fe todo elemento de um conjunto A tam;%m pertence a um conjunto K' então diIemos 9ueA é subconjunto de B e indicamos isto por A ⊂ K

Notas:a# todo conjunto % su;conjunto de si pr>prio ( A ⊂ A #;# o conjunto vaIio % su;conjunto de 9ual9uer conjunto (∅ ⊂ A#c# se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m su;conjuntosd# o conjunto formado por todos os su;conjuntos de um conjunto A % denominadoconjunto das partes de A e % indicado por P(A)

Assim' se A B c' dD ' o conjunto das partes de A % dado por (A# B φ ' cD' dD' c'dDDe# um subconjunto de A % tam;%m denominado parte de A

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! - Conjuntos nu"éricos #unda"entais

ntendemos por conjunto num%rico' 9ual9uer conjunto cujos elementos são n5meros :isteminfinitos conjuntos num%ricos' entre os 9uais' os camados conjuntos num%ricos fundamentais'a sa;er@

61 * Conjunto dos n$"eros naturais N B 0'1'2'6'4''+' D

62 * Conjunto dos n$"eros inteiros

% B ' *4'*6'*2'*1'0'1'2'6' Dota@ % evidente 9ue N ⊂ %

66 * Conjunto dos n$"eros racionais

& B : E : B p!9 com p ∈ ) ' 9 ∈ ) e 9 ≠ 0 D (o s$m;olo ' lL*se como tal ue#Memos então 9ue n5mero racional % a9uele 9ue pode ser escrito na forma de uma fração p!9onde p e 9 são n5meros inteiros' com o denominador diferente de IeroNem;re*se 9ue não eiste di*isão por +ero,Fão e:emplos de n5meros racionais@ 2!6' *6!7' 0'001B1!1000' 0'7B6!4' 0'666 B 1!6'7 B 7!1' etc

Notas:a# % evidente 9ue N ⊂ % ⊂ &;# toda d$Iima peri>dica % um n5mero racional' pois % sempre poss$vel escrever uma d$Iimaperi>dica na forma de uma fração:emplo@ 0'4444 B 4!"

64 * Conjunto dos n$"eros irracionais

& B : E : % uma d$Iima não peri>dicaD (o s$m;olo ' lL*se como tal ue#:emplos de n5meros irracionais@π B 6'141"2+ (n5mero pi B raIão entre o comprimento de 9ual9uer circunferLncia e o seudiOmetro#2'01001000100001 (d$Iima não peri>dica#√ 6 B 1'76200807 (raiI não e:ata#

6 * Conjunto dos n$"eros reais

R B . : E : % racional ou : % irracional /

Notas:a# % >;vio 9ue N ⊂ % ⊂ & ⊂ R;# & ⊂ Rc# u" n$"ero real é racional ou irracional0 não eiste outra 1ip2tese,

Pascoal Zita 4

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4 * 3nter*alos nu"éricos

Pados dois n5meros reais p e 9' cama*se inter*alo a todo conjunto de todos n5meros reaiscompreendidos entre p e 9 ' podendo inclusive incluir p e 9 s n5meros p e 9 são os limitesdointervalo' sendo a diferença p * 9 ' camada amplitude do intervalo

Fe o intervalo incluir p e 9 ' o intervalo % fecado e caso contrário' o intervalo % dito a;erto A ta;ela a;ai:o' define os diversos tipos de intervalos

MQF RRFMAST KFRUAST

QMRUAN ,CVAP Wp?9X B : ∈ R? p ≤ : ≤ 9D

inclui os limites p e 9

QMRUAN AKRM (p?9# B : ∈ R? p


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ropriedades imediatas@a# A ∪ A B A;# A ∪ φ B Ac# A ∪ K B K ∪ A (a união de conjuntos % uma operação comutativa#d# A ∪ J B J ' onde J % o conjunto universo

2 - 3nterseção (∩

)

Pados os conjuntos A e K ' define*se o conjunto interseção A ∩ K B :? : ∈ A e : ∈ KD:emplo@ 0'2'4'D ∩ 4'+'7D B 4D erce;e*se facilmente 9ue o conjunto interseção contemplaos elementos 9ue são comuns aos conjuntos A e K

ropriedades imediatas@a# A ∩ A B A;# A ∩ ∅ B ∅ c# A ∩ K B K ∩ A ( a interseção % uma operação comutativa#

d# A ∩ J B A onde J % o conjunto universo

São i"portantes ta"bé" as se7uintes propriedades @1 A ∩ ( K ∪ C # B (A ∩ K# ∪ ( A ∩ C# (propriedade distri;utiva#2 A ∪ ( K ∩ C # B (A ∪ K # ∩ ( A ∪ C# (propriedade distri;utiva#6 A ∩ (A ∪ K# B A (lei da a;sorção#4 A ∪ (A ∩ K# B A (lei da a;sorção#;servação@ Fe A ∩ K B φ ' então diIemos 9ue os conjuntos A e K são Pisjuntos

6 * 8i#erença@ A * K B : ? : ∈ A e : ∉ KD;serve 9ue os elementos da diferença são a9ueles 9ue pertencem ao primeiro conjunto' mas

não pertencem ao segundo:emplos@ 0''7D * 0'7'6D B D1'2'6'4'D * 1'2'6D B 4'D

ropriedades imediatas@a# A * φ B A;# φ * A B φ c# A * A B ∅ d# A * K ≠ K * A ( a diferença de conjuntos não % uma operação comutativa#

61 * Co"ple"entar de u" conjuntoMrata*se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos Assim % ' 9ue dados doisconjuntos A e K' com a condição de 9ue K ⊂ A ' a diferença A * K cama*se' neste caso'complementar de K em relação a A Fim;ologia@ CAB 9 A - BCaso particular@ complementar de K em relação ao conjunto universo J' ou seja ' J * K '%indicado pelo s$m;olo K] ;serve 9ue o conjunto K] % formado por todos os elementos 9ue nãopertencem ao conjunto K' ou seja@K] B :? : ∉ KD ^ >;vio' então' 9ue@

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a# K ∩ K] B φ;# K ∪ K] B Jc# φ] = Jd# J] B φ

+ * Partição de u" conjuntoFeja A um conjunto não vaIio Pefine*se como partição de A' e representa*se por part(A#'9ual9uer su;conjunto do conjunto das partes de A (representado sim;olicamente por P(A)) 9ue satisfaI simultaneamente'


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a#7;#8c#"d#10e#11

2# 2 pessoas discutem a preferLncia por dois produtos A e K' entre outros e conclui*se 9ue on5mero de pessoas 9ue gostavam de K era@Q * 9uádruplo do n5mero de pessoas 9ue gostavam de A e K?QQ * do;ro do n5mero de pessoas 9ue gostavam de A?QQQ * A metade do n5mero de pessoas 9ue não gostavam de A nem de Kestas condiç=es' o n5mero de pessoas 9ue não gostavam dos dois produtos % igual a@a#48;#6c#6+d#47e#67

6# J,KA * 6 estudantes estrangeiros vieram ao Krasil 1+ visitaram [anaus? 1+' F aulo e11' Falvador Pesses estudantes' visitaram [anaus e Falvador e ' desses ' 6 visitaramtam;%m Fão aulo n5mero de estudantes 9ue visitaram [anaus ou Fão aulo foi@a# 2";# 24c# 11d# 8e#

4# ,Q!F * Jm teste de literatura' com alternativas em 9ue uma 5nica % verdadeira'referindo*se < data de nascimento de um famoso escritor' apresenta as seguintes alternativas@a#s%culo &Q&;#s%culo &&c#antes de 18+0d#depois de 1860e#nenuma das anteriores

ode*se garantir 9ue a resposta correta %@a#a;#;c#cd#de#e

" * @erccios propostos

1 * Fe um conjunto A possui 1024 su;conjuntos' então o cardinal de A % igual a@a#

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;# +c# 7d# "e#10

2 * Ap>s um jantar' foram servidas as so;remesas & e ` Fa;e*se 9ue das 10 pessoas

presentes' comeram a so;remesa &' 7 comeram a so;remesa ̀ e 6 comeram as duasYuantas não comeram nenuma ba# 1;# 2c# 6d# 4e# 0

6# JC*F * Fe A B ∅ e K B ∅ D' então@a# A ∈ K;# A ∪ K B ∅

c# A B Kd# A ∩ K B Ke# K ⊂ A

4# ,GU*F * Fejam A' K e C conjuntos finitos n5mero de elementos de A ∩ K % 60' o n5merode elementos de A ∩ C % 20 e o n5mero de elementos de A ∩ K ∩ C % 1ntão o n5mero de elementos de A ∩ (K ∪ C# % igual a@a#6;#1c#0d#4e#20

# Fendo a e ; n5meros reais 9uais9uer' os n5meros poss$veis de elementos do conjunto A B a' ;' aD' ;D' a';D D são@a#2 ou ;#6 ou +c#1 ou d#2 ou +e#4 ou

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4s n$"eros naturais - o conjunto N

Os números naturais: o conjunto NN = {1,2,3,4,5,6, ... , 19,20, ... , 1001, 1002, ... , 10000001, ...

Notas elucidativas:

a! os números naturais sur"iram #a necessi#a#e #e conta"em #os e$ementos #e um conjunto %e$o &omem %rimiti'o e, neste senti#o, o (ero ) 0 ! n*o seria um número natura$.

+! %or 'o$ta #o ano 458 , o (ero oi intro#u(i#o %e$os &in#us, %ara re%resentar a co$una 'a(ia #os/+acos, #a sua #enomina*o ori"ina$ #e sunya )'a(io!.

Ábaco - segundo o dicionário Melhoramentos - 7ª edição: calculador manual para aritmética, formadode um quadro com ários fios paralelos em que desli!am bot"es ou bolas m#eis$%e&a a ilustração a seguir, obtida no Museo Pedagógico José Pedro Varela - poeta e educador uruguaio'()* - '(7+$ aso oc isite o site acima, para retornar . esta página, clique em %/0123 no seubro4ser$

5ota: obsere acima . direita, a linha a!ia no ábaco, significando o !ero$

c! no entanto, como o (ero aten#e s %ro%rie#a#es +/sicas #os números naturais, e$e %o#e ser consi#era#oum número natura$, n*o o+stante a %remissa contr/ria n*o con$itar a teoria. ssim, n*o #e'eremosestran&ar uan#o a%arecer em %ro'as #e 'esti+u$ares o conjunto N como sen#o N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... ,#einin#o-se um outro conjunto sem o (ero:N* = N - {0 = {1,2,3,4, ... . omo esta orma #e a+or#a"em a mais usua$, consi#eraremos o (ero comosen#o um número natura$, no ue se se"ue.

#! o conjunto #os números naturais ininito.

Propriedades:

1 o#o número natura$ n, %ossui um sucessor in#ica#o %or suc)n!, #a#o %orsuc(n) = n + 1. em%$o: suc)32! = 32 1 = 33.

Pascoal Zita 10

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2 a#os #ois números naturais m e n, ocorrer/ uma e somente uma #as con#i;es :m = n : m i"ua$ a n )i"ua$#a#e!m > n : m maior #o ue n )#esi"ua$#a#e!m < n : m menor #o ue n )#esi"ua$#a#e!. sta %ro%rie#a#e con&eci#a como ricotomia.

/ ? 3, teramos ue seria 2, 1 ou 0.

Operaçes em N

1 #i*o: a + ! = a mais !"a + + = a mais +.

Propriedades:

a#os os números naturais a, +, c, em N, s*o '/$i#as as se"uintes %ro%rie#a#es:

1.1 @ec&amento: a soma #e #ois números naturais sem%re um número natura$. i(-se ent*o ue oconjunto N #os números naturais ec&a#o em re$a*o a#i*o.

1.2 ssociati'a: a )+ c! = )a +! c

1.3 omutati'a: a + = + a

1.4 $emento neutro: a 0 = 0 a = a . Aero o e$emento neutro #a a#i*o.

1.5 Bn'oca: o resu$ta#o #a a#i*o #e #ois números naturais único.

1.6 ConotDnica: Bma #esi"ua$#a#e n*o se a$tera, se somarmos um mesmo número natura$ aam+os os mem+ros, ou seja, se a E + ent*o a c E + c.

2 Fu+tra*o: O+ser'a-se ue a su+tra*o )#ierena! uma o%era*o in'ersa #a a#i*o.Fe a + = c ent*o #i(emos ue a = c + ) c menos +!. G H+'io ue o conjunto N n*o ec&a#o emre$a*o su+tra*o, %ois a su+tra*o )#ierena! entre #ois números naturais, nem sem%re um outronúmero natura$. Ior eem%$o, a o%era*o 3 10 n*o teria resu$ta#o no conjunto N #os números naturais.as seis %ro%rie#a#es #o item anterior, 'eriica-se ue a o%era*o su+tra*o %ossui a%enas aue$as #ossu+-itens )1.5! e )1.6!.

3 Cu$ti%$ica*o: um caso %articu$ar #a a#i*o )soma!, %ois soman#o-se um número natura$ a si %rH%rio n 'e(es, o+teremos a a a ... a = a . n = a n


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3.1 @ec&amento: a mu$ti%$ica*o #e #ois números naturais sem%re outro número natura$. i(emosent*o ue o conjunto N #os números naturais ec&a#o em re$a*o o%era*o #e mu$ti%$ica*o.

3.2 ssociati'a: a )+ c! = )a +! c ou a . )+ . c! = )a . +! . c

3.3 omutati'a: a + = + a

3.4 $emento neutro: a 1 = 1 a = a. O número 1 o e$emento neutro #a mu$ti%$ica*o.

3.5 Bn'oca: o resu$ta#o #a mu$ti%$ica*o #e #ois números naturais único.

3.6 ConotDnica: : Bma #esi"ua$#a#e n*o se a$tera, se mu$ti%$icarmos am+os os mem+ros, %or ummesmo número natura$, ou seja, se a E + ent*o a c E + c.

3.7 istri+uti'a: a )+ c! = )a +! )a c!.

4 Iotencia*o: um caso %articu$ar #a mu$ti%$ica*o, on#e os atores s*o i"uais. ssim uemu$ti%$ican#o-se um número natura$ a %or e$e mesmo n 'e(es, o+teremos a a a a ... a ue ser/

in#ica#o %e$o sm+o$oa n , on#e a ser/ #enomina#o +ase e n e%oente.ssim ue, %or eem%$o, 53 = 5.5.5 = 125, 71 = 7, 43 = 4.4.4 = 64, etc.

5 i'is*o: um caso %articu$ar #a su+tra*o, sen*o 'ejamos: o ue si"niica #i'i#ir 17 %or 3J Fi"niica#esco+rir, uantas 'e(es o número 3 ca+e em 17, ou seja: 17 3 3 3 3 - 3 e restam 2. Io#emosescre'er a e%ress*o anterior como:1# = $ " % + & . O número 17 #enomina#o #i'i#en#o, o número 3 #enomina#o #i'isor, o número 5 #enomina#o uociente e o número 2 #enomina#o resto.e uma maneira "era$, #a#os os números naturais , #, e r, %o#eremos escre'er a re$a*o' = d" + r com

≤

r < d.Fe r = 0, #i(emos ue a #i'is*o eata, ou seja, n*o #eia resto. #emonstra*o #a eistKncia e #a

unici#a#e #os números , #, e r, %o#e ser 'ista nos com%Kn#ios #e eoria #os


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Leso$'en#o a %rimeira: 0 ≤ 245 5+ ∴ 5+ ≤ 245 ∴ + ≤ 49.

Leso$'en#o a se"un#a: 245 5+ ? + ∴ 245 ? 6+ ∴ 6+ E 245 ∴ + E 40, 83...

Ora, sen#o + um número natura$ maior #o ue 40,83 e menor ou i"ua$ a 49, 'em ue os 'a$ores %oss'eis %ara + ser*o: 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48 e 49. soma #os 'a$ores %oss'eis %ara + ser/ ent*o,F = 41 42 43 44 45 46 47 48 49 = 405.

Les%osta: 405

B


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#icionan#o 2000 a am+os os mem+ros, 'em:

< 2000 = 1994. 2000 148

< 2000 = 1994. 2000 148

ecom%on#o 2000 na soma eui'a$ente 1994 6, ica:

< 2000 = 1994. 1994 6 148

< 2000 = 1994.) 1! 154

Po"o, o no'o uociente 1 e o no'o resto i"ua$ a 154.

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$ltiplos e di*isores naturais

1 [5ltiplo e divisor de um n5mero natural

PiIemos 9ue um n5mero natural n divide um n5mero natural "' 9uando " : n não dei:a resto'ou seja' a divisão % e:ata Representamos sim;olicamente@ n'" estas condiç=es' n % umdivisor de m e m % um m5ltiplo de n

:emplos@

2 divide 1+ ou seja' 2E1+ por9ue 1+@2 B 8 e resto B Iero ortanto' 2 % divisor de 1+ e 1+ %m5ltiplo de 2

divide 6 ou seja' E6 por9ue 6@ B 7 e resto B Iero ortanto' % divisor de 6 e 6 %m5ltiplo de

7 divide 10 ou seja' 7E10 por9ue 10@7 B 1 e resto B Iero ortanto' 7 % divisor de 10 e10 % m5ltiplo de 7

otas@

a# conjunto dos divisores naturais de n será representado por P(n#

:emplos@

P(6# B 1'6DP(20# B 1'2'4''10'20DP(+# B 1'2'6'+D

;# conjunto dos m5ltiplos naturais de n será representado por [(n#

:emplos@

[(2# B 0'2' 4' +' 8' D[(# B 0''10'1' D

c# s m5ltiplos de 2 são denominados n5meros pares s demais n5meros naturais sãodenominados n5meros $mpares Assim' denotando por o conjunto dos n5meros pares e por Qo conjunto dos n5meros $mpares' poderemos escrever@ B 0' 2' 4' +' 8' 10' 12' D

Pascoal Zita 15


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1 B 64" B 7710 B 76240 B 2120 B 22226 B 246

a prática' podemos usar o seguinte es9uema@

Feja o caso de 240 acima Meremos@

240 E2120 E2 +0 E2 60 E2 1 E6 E 1E

ntão@ 240 B 22226 B 246

A decomposição de um n5mero em fatores primos' % conecida tam;%m como fatoração ' já9ue o n5mero % decomposto em fatores de uma multiplicação

Jsando o dispositivo prático acima' vamos fatorar o n5mero 408

Meremos@

408 E2204 E2102 E2 1 E6 17 E17 1 E

ntão@ 408 B 222617 B 26617

6 [PC [á:imo divisor comum

Pados dois n5meros naturais a e ; não nulos' define*se o má:imo divisor comum [PC' comosendo o maior natural 9ue divide simultaneamente a e ;

[PC de dois n5meros será indicado por (a' ;#

;vio 9ue se tivermos o [PC de n n5meros naturais a1' a2' a6' ' an ' indicaremos por(a1' a2' a6' ' an#

:emplos@

Petermine o [PC dos naturais 10 e 14' ou seja' determine (10' 14#

s divisores positivos de 10 são@


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s divisores positivos de 14 são@


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ortanto o [PC procurado % igual a


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Critérios de di*isibilidade e" N

á sa;emos 9ue se um n5mero natural a não nulo' % divisor de um n5mero natural b' então adivisão b:a % e:ata' ou seja' possui resto nulo oderemos escrever então' com ;ase noteorema de uclides@ b 9 a' onde % um n5mero natural denominado 9uocientePiI*se neste caso 9ue o n5mero natural b % divis$vel pelo n5mero natural a' ou simplesmente'; % divis$vel por a

:emplos@

10 % divis$vel por ' por9ue 10@ B 2 e resto Iero → 10 B 281 % divis$vel por 6' por9ue 81@6 B 27 e resto Iero → 81 B 2761220 % divis$vel por ' por9ue 1220@ B 244 e resto Iero → 1220 B 244' etc

Uamos analisar alguns casos principais de divisi;ilidade em N * conjunto dos n5meros naturais* por 2' 6' 4' ' " e 10' apresentando uma justificativa para cada caso

8i*isibilidade por <

Jm n5mero natural % divis$vel por 2 9uando % par

Com efeito' seja n um n5mero par? como todo n5mero par % m5ltiplo de 2' podemos escrever@n 9


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a;cd B 1000a \ 100; \ 10c \ da;cd B ("""a \ a# \ (""; \ ;# \ ("c \ c# \ d

Arrumando convenientemente' fica@

a;cd B """a \ ""; \ "c \ (a \ ; \ c \ d#

ra' para 9ue o n5mero a;cd seja divis$vel por 6' o segundo mem;ro da igualdade acimadeverá ser tam;%m divis$vel por 6' ou seja' o 9uociente"""a \ ""; \ "c \ (a \ ; \ c \ d# ! 6 deve ter resto nulontão' deveremos ter necessariamente neste caso' 9ue a soma a \ ; \ c \ d seja divis$vel por6' pois as demais parcelas já são todas m5ltiplas de 6;serve 9ue """a ! 6 B 666a' ""; ! 6 B 66; e "c ! 6 B 6c

Nota: se u" n$"ero é di*is*el por < e por ! ele ta"bé" serJ di*is*el por K

:emplos@

264 % divis$vel por 6' pois 2 \ 6 \ 4 B " e " % divis$vel por 61002 % divis$vel por 6' pois 1 \ 0 \ 0 \ 2 B 6 e 6 % divis$vel por 61"71 % divis$vel por 6' pois 1 \ " \ 7 \ 1 B 18 e 18 % divis$vel por 6664+0 % divis$vel por 6' pois 6 \ 6 \ 4 \ \ + \ 0 B 21 e 21 % divis$vel por 6;serve 9ue' como 664+0 % tam;%m divis$vel por 2' por9ue % par' ele tam;%m será divis$velpor + Realmente' 664+0 @ + B 7+0 e o resto % igual a Iero

8i*isibilidade por E

Jm n5mero natural % divis$vel por 4' 9uando os dois 5ltimos algarismos da direita formam umn5mero divis$vel por 4

Com efeito' seja a;c um n5mero gen%rico de 6 algarismos elo princ$pio do valor posicional'poderemos escrever@a;c B 100a \ 10; \ c

Como 100a % divis$vel por 4' o segundo mem;ro da igualdade somente será divis$vel por 4 se10; \ c for divis$vel por 4' o 9ue justifica a regra acima

:emplos@

1404 % divis$vel por 4' pois 04 B 4 % divis$vel por 41280 % divis$vel por 4' pois 80 % divis$vel por 41462028 % divis$vel por 4' pois 28 % divis$vel por 4

20000001+ % divis$vel por 4' pois 1+ % divis$vel por 4

8i*isibilidade por =

Jm n5mero natural % divis$vel por ' 9uando o seu 5ltimo algarismo % 0 ou

Com efeito' seja a;cd um n5mero 9ual9uer de 4 algarismos oderemos escrever pelo princ$piodo valor posicional@

Pascoal Zita 21


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a;cd B 1000a \ 100; \ 10c \ dra' % fácil perce;er 9ue o segundo mem;ro da igualdade acima somente será divis$vel por 'se a parcela d for igual a 0 ou ;serve 9ue as demais parcelas' 1000a' 100; e 10c já sãom5ltiplas de

:emplos@

126 % divis$vel por ' pois termina em 12000 % divis$vel por ' pois termina em Iero

8i*isibilidade por L

Jm n5mero natural % divis$vel por "' 9uando a soma dos seus algarismos % tam;%m divis$velpor "

Com efeito' seja a;cd um n5mero gen%rico de 4 algarismos Jsando o princ$pio do valor

posicional' poderemos escrever@

a;cd B 1000a \ 100; \ 10c \ da;cd B ("""a \ a# \ (""; \ ;# \ ("c \ c# \ d

Arrumando convenientemente' fica@

a;cd B """a \ ""; \ "c \ (a \ ; \ c \ d#

ra' para 9ue o n5mero a;cd seja divis$vel por "' o segundo mem;ro da igualdade acimadeverá ser tam;%m divis$vel por "' ou seja' o 9uociente"""a \ ""; \ "c \ (a \ ; \ c \ d# ! " deve ter resto nulo ntão' deveremos ter

necessariamente neste caso' 9ue a soma a \ ; \ c \ d seja divis$vel por "' pois as demaisparcelas já são todas m5ltiplas de ";serve 9ue """a ! " B 111a' ""; ! " B 11; e "c ! " B c

:emplos@

"18 % divis$vel por "' pois " \ 1 \ 8 B 18 e 18 % divis$vel por "1266 % divis$vel por "' pois 1 \ 2 \ 6 \ 6 B " e " % divis$vel por "

8i*isibilidade por D

Jm n5mero natural % divis$vel por 10 9uando o seu 5ltimo algarismo % 0

Com efeito' seja a;cd um n5mero gen%rico de 4 algarismos Jsando o princ$pio do valorposicional' poderemos escrever@

a;cd B 1000a \ 100; \ 10c \ d

ara 9ue o segundo mem;ro da igualdade acima seja divis$vel por 10' ;asta 9ued B 0' já 9ue as parcelas 1000a' 100; e 10c são evidentemente divis$veis por 10

Pascoal Zita 22


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:emplos@

120 % divis$vel por 10' pois termina em Iero164000 % divis$vel por 10' pois termina em Iero

@erccio resol*ido:

Jm n5mero de trLs algarismos


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Os nmeros inteiros: o conunto

% B ' 4' 6' 2' 1' 0' 1' 2' 6' 4' ' +' D conjunto dos n5meros inteiros % infinito A escola da letra % para representar o conjunto dosn5meros inteiros' deve*se ao fato da palavra )al em alemão' significar n5mero

^ trivial entender 9ue o conjunto dos n5meros naturais N % um su;conjunto do conjunto dosn5meros inteiros %' ou seja@ N ⊂ %

Pefine*se o m>dulo de um n5mero inteiro como sendo o n5mero sem o seu sinal alg%;rico Assim % 9ue ' representando*se o m>dulo de um n5mero inteiro : 9ual9uer por E:E' poderemoscitar como e:emplos@E 7 E B 7? E 62 E B 62? E 0 E B 0? etc m>dulo de um n5mero inteiro %' então' sempre positivo ou nulo

Cama*se oposto (ou sim%trico aditivo# de um n5mero inteiro a ao n5mero M a

Propriedades dos n$"eros inteiros:

1 Modo n5mero inteiro n' possui um sucessor indicado por suc(n#' dado por suc(n# B n \ 1:emplos@ suc( 6# B 6 \ 1 B * 2? suc(6# B 6 \ 1 B 4

2 Pados dois n5meros inteiros m e n' ocorrerá uma e somente uma das condiç=es @m B n W m igual a n X (igualdade#m n W m maior do 9ue n X (desigualdade#m n W m menor do 9ue nX (desigualdade#sta propriedade % conecida como Mricotomia

ota@ Zs veIes teremos 9ue recorrer aos s$m;olos ≥ ou ≤ os 9uais possuem a seguinte leitura@a ≥ ; W a maior do 9ue ; ou a B ; Xa ≤ ; W a menor do 9ue ; ou a B ; X

Assim por e:emplo' : ≤ 6' significa 9ue : poderá assumir em ) os valores6' 2' 1' 0' *1' *2' *6' * 4'

á : 6' ter$amos 9ue : seria 2' 1' 0' *1' *2' *6' *4'

^ >;vio 9ue o Iero % maior do 9ue 9ual9uer n5mero negativo ou na sua forma e9uivalente'

Pascoal Zita 24

http://www.terra.com.br/matematica/arq1-7.htmhttp://www.terra.com.br/matematica/arq1-7.htm


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9ual9uer n5mero negativo % menor do 9ue Iero

MD M L M M F M K M = M E M ! M dulo

:emplos@

(*6# \ (\7# B \ 4(*12# \ (\# B *7

Propriedades:

Pados os n5meros inteiros a' ; e c' são válidas as seguintes propriedades@

11 ,ecamento@ a soma de dois n5meros inteiros % sempre um n5mero inteiro PiI*se então9ue o conjunto ) dos n5meros inteiros % fecado em relação < adição

12 Associativa@ a \ (; \ c# B (a \ ;# \ c

16 Comutativa@ a \ ; B ; \ a

14 lemento neutro@ a \ 0 B 0 \ a B a )ero % o elemento neutro da adição

1 Jn$voca@ o resultado da adição de dois n5meros inteiros % 5nico

1+ [onotnica@ Jma desigualdade não se altera' se somarmos um mesmo n5mero inteiro aam;os os mem;ros' ou seja' se a ; então a \ c ; \ c

2 Fu;tração@ ;serva*se 9ue a su;tração (diferença# % uma operação inversa da adiçãoFe a \ ; B c então diIemos 9ue a B c ; ( c menos ;# ^ >;vio 9ue o conjunto ) % fecado emrelação < su;tração' pois a su;tração (diferença# entre dois n5meros inteiros' sempre será umoutro n5mero inteiro or e:emplo' a operação 6 10 não teria resultado no conjunto dosn5meros naturais' mas possui resultado no conjunto ) dos n5meros inteiros' ou seja *7

A su;tração de dois n5meros inteiros será feita de acordo com a seguinte regra@

Pascoal Zita 25


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a ; B a \ (*;#

:emplos@

10 (*6# B 10 \ (\6# B 16

(*# (* 10# B (*# \ (\10# B \ B (*6# (\7# B (*6# \ (*7# B * 10

6 [ultiplicação@ % um caso particular da adição (soma#' pois somando*se um n5mero inteiro asi pr>prio n veIes' o;teremos a \ a \ a \ \ a B a n B a : na igualdade a n B ;' diIemos 9ue a e n são os fatores e ; % o produto

A multiplicação de n5meros inteiros' dar*se*á segundo a seguinte regra de sinais@

(?) (?) 9 ?

(?) (-) 9 -

(-) (?) 9 -

(-) (-) 9 ?

Apresentare"os u"a justi#icati*a para a re7ra aci"a "ais adiante neste captulo ouseja o poruê de @N4S @N4S ser A3S,

:emplos@

(*6# : (*4# B \12 B 12(*4# : (\6# B *12

Propriedades:

Pados os n5meros inteiros a' ; e c' são válidas as seguintes propriedades@

61 ,ecamento@ a multiplicação de dois n5meros inteiros % sempre outro n5mero inteiroPiIemos então 9ue o conjunto ) dos n5meros inteiros % fecado em relação < operação demultiplicação

62 Associativa@ a : (; : c# B (a : ;# : c ou a (; c# B (a ;# c

66 Comutativa@ a : ; B ; : a

64 lemento neutro@ a : 1 B 1 : a B a n5mero 1 % o elemento neutro da multiplicação

6 Jn$voca@ o resultado da multiplicação de dois n5meros inteiros % 5nico

6+ Jma desigualdade não se altera' se multiplicarmos am;os os mem;ros' por um mesmon5mero inteiro positivo' ou seja' se a ; então a c ; c

67 * Jma desigualdade muda de sentido' se multiplicarmos am;os os mem;ros por um

Pascoal Zita 26


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mesmo n5mero inteiro negativo' ou seja@ a ; então a c ; c

:emplo@ 10 H Fe multiplicarmos am;os os mem;ros por (*1# fica * 10 G * ;serve 9ue osentido da desigualdade mudou

68 Pistri;utiva@ a : (; \ c# B (a : ;# \ (a : c#

A propriedade distri;utiva acima' nos permite apresentar uma justificativa simples' atrav%s deum e:emplo' para o fato do produto de dois n5meros negativos resultar positivo' conformemostraremos a seguir@

Considere o seguinte produto@ A B (7 # : (10 +# cujo resultado já sa;emos ser 2 : 4 B 8Pesenvolvendo o primeiro mem;ro' aplicando a propriedade distri;utiva da multiplicação emrelação < adição'vem@

A B (7:10# \ W7:(*+#X \W(*#:10X \ W(*#:(*+#X A B 70 42 0 \ W(*#:(*+#X

Como já sa;emos 9ue A B 8' su;stituindo fica@8 B 70 42 0 \ W(*#:(*+#XQsolando o produto W(*#:(*+#X' vem@W(*#:(*+#X B 8 70 \ 42 \ 0 B 8 \ 42 \ 0 70 B 100 70 B 60

;serva*se então 9ue realmente

O(- =)(- K) 9 !D 9 ? !D

4 otenciação@ % um caso particular da multiplicação' onde os fatores são iguais Assim % 9ue

multiplicando*se um n5mero inteiro a por ele mesmo n veIes' o;teremos a : a : a : a : : a9ue será indicado pelo s$m;olo a n ' onde a será denominado ;ase e n e:poente Assim % 9ue'por e:emplo' 6 B B 12' 71 B 7' 46 B 444 B +4' etc

Com ;ase nas regras de multiplicação de n5meros inteiros' % fácil concluir 9ue@

a# Moda potencia de ;ase negativa e e:poente par não nulo' tem como resultado um n5meropositivo

:emplos@

(*2#4 B \1+ B 1+

(*6#2

B \" B "(*#4 B \+2 B +2(*1#4 B \ 1 B 1

;# Moda potencia de ;ase negativa e e:poente $mpar' tem como resultado um n5mero negativo

:emplos@

(*2#6 B * 8

Pascoal Zita 27


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(*#6 B * 12(*1#16 B * 1

Pivisão@ conjunto ) dos n5meros inteiros não % fecado em relação < adição' pois o9uociente de dois n5meros inteiros nem sempre % um inteiro

A divisão de n5meros inteiros' no 9ue concerne < regra de sinais' o;edece


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2 Jm ve$culo movendo*se a uma velocidade de 20 m!s' parou ap>s 0 m Yual a variação davelocidade at% o ve$culo pararb

Folução@ Fendo ∆v a variação total da velocidade' vem@∆U B vfinal vinicial B 0 20 B 20 m!s

4s n$"eros racionais - o conjunto &

- . -ntroduç/o

Fen#o a e + #ois números inteiros, com a con#i*o #e + n*o nu$o, c&ama-se número raciona$ aouociente a 0 ! .

ssim, s*o eem%$os #e números racionais:

2Q3, -3Q5, 87Q95, ... , etc

O conjunto #os números racionais re%resenta#o %e$a $etra . O uso #a $etra #eri'a #a %a$a'ra in"$esauotient , ue si"niica uociente, j/ ue a orma "era$ #e um número raciona$ um uociente #e #oisnúmeros inteiros.

omo to#o número inteiro a %o#e ser escrito na orma a 0 1 = a , conc$umos ue to#o número inteiro tam+m um número raciona$. ssim, tri'ia$ %erce+er ue o conjunto #os números inteiros est/ conti#oou um su+conjunto #o conjunto #os números racionais, ou seja:

⊂

.

Os números racionais %o#em tam+m ser re%resenta#os na orma #e um número #ecima$, ou seja, naorma i,d on#e i a %arte inteira e d a %arte #ecima$.

Ior eem%$o, 4Q5 = 0,8 R 3Q5 = 0,6 R 2Q3 = 0,6666... R 20Q3 = 6,3333... R etc

O+ser'e ue to#as as #(imas %eriH#icas )tam+m con&eci#as como números #ecimais %eriH#icos! s*onúmeros racionais, uma 'e( ue e$as %o#em ser escritas

na orma a Q + com + ≠ 0.

em%$os:

1 scre'a na orma a Q + o número raciona$ r = 1,25252525...

Fen#o r = 1,252525... , mu$ti%$ican#o am+os os mem+ros %or 100, teremos:100.r = 125,252525...

Pascoal Zita 29



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Fu+train#o estas i"ua$#a#es mem+ro a mem+ro, ica:

100r r = 125,252525... 1,252525... , #e on#e tiramos:99.r = 124 , e, %ortanto, r = 1&2 0 33.

2 scre'a na orma a Q + a #(ima %eriH#ica s = 2,0353535...

Fen#o s = 2,0353535... , mu$ti%$ican#o am+os os mem+ros %or 10, teremos:10.s = 20,353535...

Cu$ti%$ican#o am+os os mem+ros #a i"ua$#a#e anterior %or 100, teremos:100.10s = 100.20,353535...

1000.s = 2035,353535...

Fu+train#o mem+ro a mem+ro a se"un#a #a %rimeira i"ua$#a#e, 'em:

1000.s 10.s = 2035,353535... - 20,353535...990.s = 2015, e, %ortanto, s = &1$ 0 33

uan#o o número raciona$ est/ re%resenta#o na orma a 0 ! on#e a e + s*o inteiros, com + n*o nu$o,costumamos #enominar a #e numerador e + #e denominador, sen#o o número a 0 ! con&eci#o comora*o or#in/ria.

Propriedade 4undamental das 4raçes:

Bma ra*o or#in/ria n*o se a$tera, se mu$ti%$icarmos o seu numera#or e #enomina#or, %or um mesmonúmero #ierente #e (ero.

ssim ue:

a 0 ! = a " n 0 ! " n %ara n #ierente #e (ero.

em%$o: 2Q3 = 4Q6 = 8Q18 = 24Q54 = ... , etc

Notas:

1 Fe o #enomina#or #e uma ra*o or#in/ria or i"ua$ a 10 )ou a uma %otencia #e #e(!, e$a con&eci#acomo ra*o #ecima$.

em%$os: 3 Q 10R 625 Q 1000.

2 Bm número raciona$ #a orma a 0 1 con&eci#o como %orcenta"em e in#ica#o sim+o$icamente %or a 5 .

em%$os:

a! 25 Q 100 = 25 S +! 75 Q 100 = 75 Sc! 1 Q 100 = 1 S

Pascoal Zita 30


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Bsan#o uma termino$o"ia comumente aceita, se a < !, #i(emos ue a ra*o %rH%ria e se a > ! ,#i(emos ue a ra*o im%rH%ria. Fe a or um mú$ti%$o #e +, a ra*o a 0 ! ser/ um número inteiro e ara*o #ita a%arente.

ssim, %or eem%$o, 5 Q 7 uma ra*o %rH%ria, 9 Q 5 uma ra*o im%rH%ria e

10 Q 5 = 2 uma ra*o a%arente. Fa$iente-se ue trata-se a%enas #e uma termino$o"ia consa"ra#a %e$ouso, sem nen&um senti#o %r/tico e, eu #iria, ta$'e( at inúti$.

G im%ortante acrescentar ue o conjuntos #os números racionais #enso e ininito, ou seja, #a#os #oisnúmeros racionais r1 e r&, sem%re eistir/ um número raciona$ r ta$ ue r1 < r < r& .

Ior eem%$o, entre os números inteiros 7 e 8 n*o eiste nen&um outro número inteiro, %orm eiste umnúmero ininito #e números racionais entre e$es. 7,1R 7,9R 7,0045R 7,999R .. etc s*o a%enas a$"uns #osininitos eem%$os %oss'eis.

-- . Operaçes com nmeros racionais

a! #i*o e su+tra*o

Fejam os números racionais a Q + e c Q # on#e a, +, c e # s*o números inteiros com + e # #ierentes#e (ero.

soma e a su+tra*o #estes números racionais, o+e#ecem se"uinte re"ra:

(a 0 !)±

(c 0 d) = (ad±

!c) 0 (!d)

O+ser'e ue se os #enomina#ores + e # orem i"uais, a i"ua$#a#e acima

se re#u( a:

)a 0 !)±

(c 0 !) = (a±

c) 0 !

ue um caso %articu$ar #a e%ress*o "era$.

Ou seja: %ara somar #uas ra;es #e mesmo #enomina#or, a#icionam-se os numera#ores e mantm-se o#enomina#or comum.

em%$os:

a! )2 Q 5! - )1 Q 5! = )2 - 1! Q 5 = 1 Q 5

+! )4 Q 3! )8 Q 3! = )4 8! Q 3 = 12 Q 3 = 4

c! )2 Q 5! )3 Q 4! = )2 . 4 5 . 3! Q )5 . 4! = 23 Q 20

#! )5 Q 3! )3 Q 4! = )5 . 4 3 . 3! Q )3 . 4! = 11 Q 12

Pascoal Zita 31


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+! Cu$ti%$ica*o


mu$ti%$ica*o o+e#ece se"uinte re"ra "era$:

(a 0 !) " (c 0 d) = (a " c) 0 (! " d)

Ou seja, %ara mu$ti%$icar #uas ra;es, mu$ti%$icamos entre si, os numera#ores e os #enomina#ores.

em%$os:

a! )2 Q 3! . )5 Q 7! = )2 . 5! Q )3 . 7! = 10 Q 21

+! )3 Q 4! . )7 Q 6! = )3 . 7! Q )4 . 6! = 21 Q 24

O+ser'e ue a ra*o 21 Q 24, %o#e ser sim%$iica#a, #i'i#in#o-se numera#or e #enomina#or %or 3,

resu$tan#o 7 Q 8.

c! i'is*o


#i'is*o o+e#ece se"uinte re"ra "era$:

(a 0 !) : (c 0 d) = (a 0 !) " (d 0 c) = (a " d) 0 (! " c)

re"ra ent*o comumente enuncia#a como: %ara #i'i#ir uma ra*o %or outra, +asta mu$ti%$icar a

%rimeira %e$o in'erso #a se"un#a.

>ustiicati'a:

Feja a ra*o @ = )a Q +! : )c Q #!

Ie$a %ro%rie#a#e un#amenta$ #as ra;es, 'ista no incio #o teto, %o#eremos mu$ti%$icar o numera#or e#enomina#or %or )# Q c!, resu$tan#o:

@ = )a Q +! . )# Q c! : )c Q #! . )# Q c!

Fim%$iican#o a e%ress*o acima, $em+ran#o ue )c Q #! . )# Q c! = 1, 'em, ina$mente ue @ = )a Q +! . )# Q

c! = )a . #! Q )+ . c!, conorme in#ica#o na Hrmu$a acima.

em%$os:

a! )2 Q 3! : )4 Q 5! = )2 Q3! . )5 Q 4! = )2 . 5! Q )3 . 4! = 10 Q 12 = 5 Q 6.

+! )3 Q 7! : )2 Q 9! = )3 Q 7! . )9 Q 2! = )3 . 9! Q )7 . 2! = 27 Q 14

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#! Iotencia*o

(a 0 !)n = an 0 !n %ara + #ierente #e (ero.

em%$o: )2 Q 5!3 = 23 Q 53 = 8 Q 125

--- 6 78erc9cios

1 a$cu$e 3Q5 #e 60.

Fo$u*o: 3Q5 #e 60 = )3Q5! . 60 = )3 . 60! Q 5 = 180 Q 5 = 36.

2 a$cu$e 3Q5 #e 2Q3.

Fo$u*o: 3Q5 #e 2Q3 = )3Q5! . )2Q3! = )3.2! Q )3.5! = 6 Q 15 = 2 Q 5.

3 a$cu$e 2Q5 #os 3Q4 #e 40.

Fo$u*o: 2Q5 #os 3Q4 #e 40 = )2Q5!.)3Q4! . 40 = )2.3.40! Q )5.4! = 240 Q 20 = 12.

4 a$cu$e 30 S #e 70.

Fo$u*o: 30 S #e 70 = )30 Q 100! . 70 = )30.70! Q 100 = 2100 Q 100 = 21.

5 a$cu$e 15 S #e 60 S.

Fo$u*o: 15 S #e 60 S = )15Q100! . )60 Q 100! = )15.60! Q )100.100! = 900 Q 10000. Cas, 900 Q 10000 =9 Q 100 = 9 S .

6 a$cu$e 3Q2 #os 0,121212 ... #e 33 S #e 2400.

Les%osta: 144

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& . Os nmeros irracionais

ssim como eistem as #(imas %eriH#icas, tam+m eistem as #(imas n*o %eriH#icas ue s*o justamente os números irracionais, uma 'e( ue e$as nunca %o#er*o ser e%ressas como uma ra*o #oti%o a 0 ! .

em%$os #e #(imas n*o %eriH#icas ou números irracionais:

a! 1,01001000100001000001...

+! 3,141592654...

c! 2,7182818272...

#! 6,54504500450004... etc

istem #ois ti%os #e números irracionais: os a$"+ricos e os transcen#entes.Os números irracionais a$"+ricos, s*o as ra(es ineatas #os números racionais, a eem%$o #e √2 , √5 ,

√17 , √103 , ... etc, ou ua$uer outra rai( ineata. >/ os números irracionais transcen#entes com%$ementam aue$es irracionais a$"+ricos, sen#o oseem%$os mais amosos #e números irracionais transcen#entes, o número

π

)%i!, o número #e u$er e ,cujos 'a$ores a%roima#os com #uas #ecimais s*o res%ecti'amente %,12 e &,#& .

O númeroπ

re%resenta a ra(*o #o com%rimento #e ua$uer circunerKncia #i'i#i#o %e$o #iUmetro #amesma circunerKncia e o número e a +ase #o sistema #e $o"aritmos ne%erianos.

G interessante comentar, ue ao tratarmos na %r/tica, #os números irracionais, #e'eremos sem%re a#otaros seus 'a$ores a%roima#os, uma 'e( ue , %or serem #(imas n*o %eriH#icas, os 'a$ores a#ota#os ser*osem%re a%roima;es.

Bm eem%$o c$/ssico #e n*o raciona$i#a#e #e um número, o caso #arai( ua#ra#a #e #ois. O 'a$or a%roima#o #a rai( ua#ra#a #e #ois )

√

& ! i"ua$ a 1,414. Tamos ana$isar o %oruK #onúmero √2 n*o ser raciona$:

Iara isto , 'amos uti$i(ar o mto#o #a re#u*o ao a+sur#o, ue consiste em ne"ar a tese, e conc$uir %e$ane"a*o #a &i%Htese.

Tamos su%or inicia$mente, %or a+sur#o, ue √2 seja um número raciona$.

Ora, neste caso, e se isto osse 'er#a#eiro, o número√

& %o#eria ser escrito na orma #e uma ra*oirre#ut'e$ a 0 ! , ou seja, com a e + %rimos entre si , e, %ortanto, teramos:

√2 = a Q + , on#e a e + s*o inteiros, com + #ierente #e (ero.

ua#ran#o am+os os mem+ros #a i"ua$#a#e anterior, teremos:

2 = a2 Q +2 , #e on#e tiramos a2 = 2.+2 .

Pascoal Zita 35

http://www.terra.com.br/matematica/arq14-1.htmhttp://www.terra.com.br/matematica/arq14-1.htmhttp://www.terra.com.br/matematica/arq14-1.htm


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Ora, como a2 o #o+ro #e +2, correto airmar ue a um número %ar.Fen#o a um número %ar, %o#emos escre'e-$o na orma a = 2V, on#e V um número inteiro. a, 'emue: )2V!2 = 2+2 ou 4V 2 = 2+2 , #e on#e tiramos ue +2 = 2V 2 , ou seja, + tam+m %ar. Ora, sen#o a e + %ares, o uociente a 0 ! n*o seria uma ra*oirre#ut'e$, j/ ue o uociente #e #ois números %ares outro número %ar. Temos %ortanto ue isto ne"a a&i%Htese inicia$ #e ue a ra*o a 0 ! seja irre#ut'e$, ou seja, #e ue a e + sejam %rimos entre si. Po"o,

conc$umos ue airmar ue √2 raciona$ , a$so , ou seja, √2 n*o um número raciona$, e, %ortanto, √2 um número irraciona$.


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6"a euação irracional

Resolva a e9uação irracional seguinte@

Folução@

A raiI 9uadrada no denominador do primeiro mem;ro nos indica claramente 9ue : %um n5mero real positivo' pois não e:iste raiI 9uadrada real de n5mero negativo e odenominador de uma e:pressão não pode ser nulo' pois não e:iste divisão porIero

A e9uação acima % dita irracional por9ue cont%m uma inc>gnita so; radical' no casoo √:

osto isto' façamos √: B H ' de onde tiramos : B H2 Fu;stituindo na e9uação dada fica@

0H2 ! H B (H2 ! 2# \ 00

Fimplificando' lem;rando 9ue H 0' pois H B √: ' vem@0H B H2 ! 2 \ 00

[ultiplicando am;os os mem;ros por 2' teremos@

100H B H2 \ 1000

Arrumando convenientemente' vem@

Pascoal Zita 37



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H2 100H \ 1000 B 0

Mrata*se de uma e9uação do segundo grau em H ' do tipo aH2 \ ;H \ c B 0' cujaresolução pode ser feita pela aplicação da f>rmula de Kas-ara@H B (*; √∆) / 2a onde ∆ = ;2 4ac' termo conecido como discriminanteo nosso caso temos@ a B 1' ; B *100 e c B 1000

Aplicando a f>rmula acima teremos então@H B (100 ± 20√1# ! 2 B =D ± D√=

Nem;rando 9ue H 0' o;serve 9ue am;as ra$Ies servem ao pro;lema' já 9uetanto 0 \ 10√1 como 0 * 10√1 são n5meros positivos

Nem;rando 9ue : B H2 vem' su;stituindo@

: B (0 ± 10√1#2 B 02 ± 2010√1 \ (10√1#2 B 4000 ± 1000√1

ortanto' as ra$Ies procuradas são@: B 4000 \ 1000√1 46 : B 4000 * 1000√1

ortanto' as ra$Ies da e9uação dada são dois n5meros irracionais' cujos valoresapro:imados são @

:1 B 4000 \ 1000√1 ≅ 7872'"866:2 B 4000 * 1000√1 ≅ 127'01+7

or simples su;stituição dos valores na e9uação original' confirmamos 9ue osvalores acima são realmente as soluç=es da e9uação proposta

Pascoal Zita 38



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4 Princpio da 3ndução

- . -ntroduç/o

onsu$tan#o um icion/rio 'ocK encontrar/ a se"uinte #eini*o %ara Mn#u*o : ato ou eeito #e in#u(ir Rraciocnio em ue #e casos %articu$ares se tira uma conc$us*o "enrica .

O Irinc%io #a Mn#u*o IM , nos ornecer/ um mto#o se"uro %ara com%ro'ar %ro%rie#a#es en'o$'en#onúmeros naturais, o+ti#as %e$a o+ser'a*o #e casos %articu$ares.ste tH%ico, ine$i(mente, n*o a+or#a#o na maioria #os $i'ros #e Catem/tica #o se"un#o "rau, o ue uma %ena, %ois e$e uma Htima o%ortuni#a#e #e ami$iari(ar o a$uno #es#e o incio, com as#emonstra;es #e %ro%rie#a#es, ue "era$mente s*o aceitas sem nen&um ti%o #e %ro'a. sim%$esa%resenta*o #e Hrmu$as aos a$unos, sem #emonstrar a sua ori"em, %o#e inc$usi'e ser a res%ons/'e$ %e$auase ojeri(a e at a'ers*o ue muitos estu#antes tem em re$a*o Catem/tica.in#a ue o Irinc%io #e Mn#u*o se a%$iue t*o somente s #emonstra;es #e %ro%rie#a#es en'o$'en#onúmeros naturais, ain#a assim um +om comKo.

-- . O Princ9pio da -nduç/o

Feja < = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... , n , ... o conjunto #os números naturais.Feja I)n! uma #etermina#a %ro%rie#a#e re$ati'a aos números naturais.O Irinc%io #a Mn#u*o IM airma ue:

e I)1! or 'er#a#eira e o ato #e I)n! ser 'er#a#eira im%$icar em I)n 1! tam+m ser 'er#a#eira ent/o a %ro%rie#a#e I)n! 'er#a#eira %ara to#o número natura$ n.

m resumo e sim+o$icamente:

Pascoal Zita 39



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)a! I)1! 'er#a#eiro)+! I)n! 'er#a#eiro ⇒ I)n 1! 'er#a#eiro,

Ou sim%$iica#amente I)n! ⇒ I)n 1!

∴ I 'er#a#eira %ara to#o número natura$.I)1! con&eci#o como on#i*o Mnicia$ .I)n! con&eci#o como Wi%Htese #e Mn#u*o .

O IM Irinc%io #a Mn#u*o uma %o#erosa erramenta %ara a #emonstra*o #e %ro%rie#a#es re$ati'asaos números naturais.

Tamos a se"uir #ar eem%$os sim%$es #e uso #o Irinc%io #a Mn#u*o :

1! Iro'e %or in#u*o ue a soma #os n %rimeiros números naturais #a#a %or F)n! = n )n1! Q 2

emos: F)n! = 1 2 3 4 5 ... n = n )n 1! Q 2

)a! G H+'io ue F)1! se 'eriica %ois, F)1! = 1 )1 1! Q 2 = 1

)+! Fu%on#o ue F)n! 'er#a#eira, 'amos #esen'o$'er F)n 1! :F)n 1! = 1 2 3 4 5 ... n )n 1!Bsan#o a &i%Htese #e in#u*o, 'amos su+stituir na e%ress*o acima, o 'a$or #e F)n!.eremos:F)n 1! = n )n 1! Q 2 )n 1!esen'o$'en#o o se"un#o mem+ro, ica:F)n 1! = Xn )n 1! 2)n 1!Y Q 2 = X)n 1! )n 2!Y Q 2 = X)n1! X)n1! 1Y Q 2

ue a mesma Hrmu$a %ara )n1!.Po"o, F)n! = n )n1! Q 2 'er#a#eira %ara to#o n natura$.

2! Iro'e %or in#u*o ue a soma #os n %rimeiros números m%ares #a#a %or F)n! = 1 3 5 7 ... )2n 1! = n2

)a! F)1! = 12 = 1 'er#a#eira.)+! Iartin#o #a 'eraci#a#e #e F)n! 'amos o+ter F)n 1!:F)n1! = 1 3 5 7 )2n 1! X2)n1! 1YBsan#o a &i%Htese #e in#u*o F)n! = n2 e su+stituin#o na e%ress*o acima ica:F)n1! = n2 X2)n1! 1Y = n2 2n 2 1 = n2 2n 1 = )n 1!2

Ora, F)n1! = )n 1!2 a mesma Hrmu$a %ara )n 1!.Po"o, a Hrmu$a #a#a '/$i#a %ara to#o n natura$.

3! Iro'e %or in#u*o a se"uinte i"ua$#a#e '/$i#a em


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)+! Tamos a"ora su%or a 'eraci#a#e #e F)n! e conc$uir %e$a 'eraci#a#e #e F)n 1!.om eeito,F)n1! = 1.2 2.3 3.4 n )n1! )n1! )n2!Bsan#o a &i%Htese #e in#u*o e su+stituin#o o 'a$or con&eci#o #e F)n! 'em:F)n1! = Xn )n 1! )n 2! Q 3Y )n1! )n 2!

esen'o$'en#o e sim%$iican#o a e%ress*o acima ica:F)n1! = Xn )n1! )n2! 3)n1! )n 2!Y Q 3o$ocan#o )n2! em e'i#encia, ica:

F)n 1! = X)n2! Xn )n 1! 3)n 1!YY Q 3o$ocan#o a"ora )n 1! em e'i#encia, 'em ina$mente:F)n1! = X)n1! )n 2! )n 3! Y Q 3 ue a mesma Hrmu$a %ara )n 1!. Po"o, ica %ro'a#a a 'eraci#a#e#a Hrmu$a #a#a %ara to#o n natura$.

--- . Princ9pio da -nduç/o eneraliado

O Irinc%io #a Mn#u*o %o#e ser tam+m enuncia#o #e uma orma "enera$i(a#a como se"ue:

e I)V! com V ∈ < , n ∈ < e V ? n , or 'er#a#eira e o ato #e I)n! ser 'er#a#eira im%$icar em I)n 1!tam+m ser 'er#a#eira ent/o a %ro%rie#a#e I)n! 'er#a#eira %ara to#o número natura$ n.

m resumo e sim+o$icamente:)a! I)V! 'er#a#eiro)+! I)n! 'er#a#eiro ⇒ I)n 1! 'er#a#eiroOu sim%$iica#amente,I)n! ⇒ I)n 1!∴ I 'er#a#eira %ara to#o número natura$ maior ou i"ua$ a V.

I)V! con&eci#o como on#i*o Mnicia$ .I)n! con&eci#a como Wi%Htese #e Mn#u*o .

O+ser'e ue a única #ierena em re$a*o ao %ar/"rao ) M ! acima ue consi#eramos na con#i*oinicia$ um 'a$or V n*o necessariamente i"ua$ a 1 em+ora V %ossa assumir tam+m este 'a$or unit/rio.

Tamos a se"uir #ar eem%$os sim%$es #e uso #o Irinc%io #a Mn#u*o Zenera$i(a#o:

1 Iro'e %or in#u*o ue 3n2 n E 23 %ara to#o n E 2.

)a! I)3! = 3.32 3 = 24 E 23 e %ortanto I)3! 'er#a#eira.

)+! #mitin#o a 'a$i#a#e #e 3n2 n E 23 %ara to#o n E 2 )&i%Htese #e in#u*o! , 'amos %ro'ar ue e$a tam+m '/$i#a %ara )n 1!.om eeito,3)n 1!2 )n 1! = 3 )n2 2n 1! n 1 = 3n2 6n 3 n 1 = )3n2 n ! 6n 2

Bsan#o a &i%Htese #e in#u*o 3n2 n E 23 %ara to#o n E 2 e su+stituin#o na e%ress*o acima, 'em:

3)n 1!2 )n 1! = )3n2 n ! 6n 2 E 23 6n 2 = 25 6n E 23

Pascoal Zita 41


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Po"o a %ro%rie#a#e I)n! '/$i#a %ara to#o n E 2.

2 Iro'e %or in#u*o ue 2 n E n 2 %ara to#o natura$ n E 4.

)a! I)5! 'er#a#eira %ois 2 5 E 5 2 ou 32 E 25.

)+! #mitin#o a 'a$i#a#e #a &i%Htese #e in#u*o 2 n E n 2 %ara to#o natura$ n E 4, 'amos %ro'ar ue e$atam+m '/$i#a %ara )n 1!.om eeito,2 n 1 = 2 n . 2 E n 2 . 2 E n 2

#icionan#o )1 2n! a am+os os mem+ros #a #esi"ua$#a#e, o ue n*o a$tera o seu senti#o, 'em:2n2 )1 2n! E n2 )1 2n!Io#emos ent*o escre'er:n2 n2 2n 1 E n2 2n 1O+ser'an#o ue n2 2n 1 = )n 1!2, 'em su+stituin#o:n2 )n 1!2 E )n 1!2 = )n 1!2

Iortanto, I)n! ⇒ I)n 1! e a %ro%rie#a#e est/ #emonstra#a, %ois %artimos #e

I)n! : 2n E n2 e c&e"amos a I)n 1! : 2n1 E )n 1!2 ou seja: I)n! ⇒ I)n 1!.

MT onsi#era;es inais

O Irinc%io #a Mn#u*o IM em+ora seja um instrumento %o#eroso %ara %ro'ar se uma #etermina#a %ro%rie#a#e I entre números naturais ou n*o 'er#a#eira, e$e entretanto n*o ca%a( #e ornecer ou#e#u(ir uma %ro%rie#a#e se e$a or #escon&eci#a.


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N$"ero de di*isores de u" n$"ero natural

1 - uantos s*o os #i'isores %ositi'os #e 120 J

Os #i'isores %ositi'os #e um número natura$ n s*o to#os os números naturais p > tais ue n #i'i#i#o %or p resu$ta num outro número natura$ m. i(-se ent*o ue p #i'i#e n e in#ica-se p ? n .G c$aro ue n = p"m .em%$os: os #i'isores %ositi'os #e 2 s*o 1 e 2.R os #i'isores %ositi'os #e 3 s*o 1 e 3Ros #i'isores %ositi'os #e 4 s*o 1, 2 e 4R os #i'isores %ositi'os #e 5 s*o 1 e 5R os#i'isores %ositi'os #e 6 s*o 1, 2, 3 e 6R os #i'isores %ositi'os #e 7 s*o 1 e 7R os#i'isores %ositi'os #e 8 s*o 1,2.4 e 8R os #i'isores %ositi'os #e 9 s*o 1,3 e 9R os#i'isores %ositi'os #e 10 s*o 1, 2, 5 e 10R os #i'isores %ositi'os #e 11 s*o 1 e 11R os#i'isores %ositi'os #e 12 s*o 1, 2, 3, 4, 6 e 12, e assim sucessi'amente.


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Letornan#o ao %ro+$ema %ro%osto:Os #i'isores %ositi'os #e 120 ser*o: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 e120, num tota$ #e 16 #i'isores.

Tamos mostrar uma orma #e encontrar o número #e #i'isores %ositi'os #e 120, uti$i(an#oum raciocnio con&eci#o com Irinc%io @un#amenta$ #a onta"em:

@atoran#o o número 120, teremos: 1& = 8 . 3 . 5 = 2 3 . 3 . 5 = & % " % 1 " $ 1

O+ser'e ue sen#o 1& = & % " % 1 " $ 1 , c$aro ue os #i'isores #e 120 ter*o uenecessariamente serem números #a orma 2 . 3 [ . 5 ( on#e = 0, 1, 2 ou 3R [ = 0 ou 1 R ( =0 ou 1.

Iortanto, eistem 4 'a$ores %oss'eis %ara , 2 'a$ores %oss'eis %ara [ e 2 'a$ores %oss'eis %ara (. Ie$o Irinc%io @un#amenta$ #a onta"em, o número tota$ #e %ossi+i$i#a#es ser/ ent*o#a#a %e$o %ro#uto

4.2.2 = 16.Les%osta: 120 %ossui 16 #i'isores %ositi'os.

2 etermine o número #e #i'isores %ositi'os #e 1800.

Mnicia$mente #e'emos atorar o número 1800.1800 = 2 3 . 3 2 . 5 2 Os #i'isores #e 1800 ser*o ent*o #a orma 2 . 3 [ . 5 ( , on#e = 0, 1, 2 ou 3R[ = 0, 1 ou 2R ( = 0, 1 ou 2. istem ent*o 4 'a$ores %oss'eis %ara , 3 'a$ores %oss'eis %ara[ e 3 'a$ores %oss'eis %ara ( .Ie$o Irinc%io @un#amenta$ #a onta"em , o número tota$ #e %ossi+i$i#a#es ser/ ent*o i"ua$a 4.3.3 = 36. Iortanto, o número 1800 %ossui 36 #i'isores %ositi'os.

O uso #o raciocnio acima, nos %ermite enunciar a se"uinte re"ra %r/tica:a#o um número natura$ n cuja orma atora#a n = & 8 " % y " $ " """ ,o número #e #i'isores %ositi'os #e n ser/ i"ua$ ao %ro#uto (8 + 1)"(y + 1) " ( + 1) " """

em%$os:a! 12 = 2 2 . 3 1 ∴ número #e #i'isores %ositi'os #e 12 = )21!.)11! = 6 +! 150 = 2 1 . 3 1 . 5 2 ∴ número #e #i'isores %ositi'os #e 150 = )11!.)11!.)21! = 12

3 ua$ o número #e #i'isores %ositi'os #e 1.000.000 J

1.000.000 = 10 6 = )2 . 5! 6 = 2 6 . 5 6 . Po"o, teremos:


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n = )61! . )71! = 7 . 8 = 56Iortanto, 5.000.000 %ossui 56 #i'isores %ositi'os.

5 - ua$ o número #e #i'isores %ositi'os #e 100.000.000 J

100.000.000 = 10 8 = )2 . 5! 8 = 2 8 . 5 8

Iortanto, o número #e #i'isores %ositi'os #e 100.000.000 ser/ i"ua$ a:n = )81! . )81! = 9.9 = 81Iortanto, 100.000.000 %ossui 81 #i'isores %ositi'os.

"ora reso$'a este:

ua$ o número #e #i'isores %ositi'os #e 7.200.000 JLes%osta: 162 #i'isores %ositi'os.

Ac1ando o $lti"o al7aris"o

1) ua$ o ú$timo a$"arismo #e 32000 J

Fo$u*o:

O+ser'e ue 32000 = )32!1000 = 91000

Ocorre ue to#a %otKncia inteira #e 9 termina em 1, se o e%oente or %ar, ou em 9 se o e%oente orm%ar.

em%$os:9 = 1, 91 = 3 , 9& = 81 , 9% = 723 , 92 = 6561 , ... , e assim sucessi'amente.Po"o, como 32000 = 91000 , sen#o 1000 um número %ar, conc$umos ue o ú$timo a$"arismo #e 32000 , ou

seja, o seu a$"arismo #as uni#a#es i"ua$ a 1.

&) ua$ o ú$timo a$"arismo #e 32003 J

Fo$u*o:

O+ser'e ue 32003 = 32002 . 3 = )32!1001 . 3 = 91001 . 3>/ sa+emos #o eerccio 1 ue 91001 termina em 9, %ois 1001 m%ar. Po"o, ao mu$ti%$icar um númerotermina#o em 9 %or 3, e'i#ente ue o ú$timo a$"arismo ser/ 7, %ois 39 = 27. Po"o, o ú$timo a$"arismo

Pascoal Zita 45



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O+ser'e ue: 31998 32000 = 31998)132! = 31998.10 = )32!999.10 =10.9999

Po"o 31998 32000 'ai terminar em 0, %ois to#o número inteiro mu$ti%$ica#o %or 10 termina em (ero.

BCora resolva estes:

a! ua$ o a$"arismo #as uni#a#es #e 22004 JLes%osta: 6

+! ua$ o ú$timo a$"arismo #e 51000000 JLes%osta: 5

c! ua$ o a$"arismo #as uni#a#es #e 21998 32000 Les%osta: 5


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32 101 10 = 0 ⇒ 32 10 1 = 10

na$o"amente,41 32 12 = 0 ∴ 41 32 = 12

emos ent*o, o se"uinte sistema #e eua;es #o %rimeiro "rau: 10 1 32 = 1041 32 = 12

Tejam ue tranui$i#a#e: os termos em 2 %o#em ser e$imina#os a%enas su+train#o uma eua*o#a outra, uma %ro%rie#a#e '/$i#a, uma 'e( ue se

= \e = ent*o = \ .

Iortanto, su+train#o mem+ro a mem+ro as i"ua$#a#es acima, ica: 101 41 32 32 = 10 12 141 = -2 ∴ 1 = -2 Q -14 = 2Q14 = 1Q7

Ora, sen#o 1 = 1Q7, su+stituin#o este 'a$or em ua$uer #as #uas eua;es #o sistema acima, 'em:4)1Q7! 32 = 12 ∴ 4Q7 32 = 12 ∴ 32 = 12 4Q7 = 84Q7 4Q7 = )84-4!Q7 = 80Q7 #e on#e 'em 2 = 80 Q 21.

Po"o, 1 = 1Q7 e 2 = 80Q21

Ora, como a eua*o %rocura#a #a orma 2

F I = 0 eF = 1 2 e I = 1 . 2 teremos:F = 1Q7 80Q21 = 3Q21 80Q21 = 83Q21I = )1Q7!.)80Q21! = )1.80! Q )7.21! = 80Q147nt*o, a eua*o %rocura#a ser/: 8& . (A% 0 &1)8 + (A 0 12#) = Iara e$iminar os #enomina#ores 21 e 147, 'amos mu$ti%$icar am+os os mem+ros #a eua*o acima %or147, %ois 147 o mnimo mú$ti%$o comum )CC! #e 21 e 147.CC)21,147! = 147.@ica ent*o:12#8& .12#"(A%8 0 &1) + 12#(A 0 12#) =

etuan#o as o%era;es in#ica#as, 'em:12#8& . $A18 + A =

Iortanto, a a$ternati'a correta a #e $etra B.

"ora reso$'a esta:

scre'a uma eua*o #o se"un#o "rau cujas ra(es 1 e 2 satisa(em s con#i;es21 32 3)1 2! 14 = 0 e 41 6)1 22! 52 = 0.Les%osta: 2 12 28 = 0

Pascoal Zita 48



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4perando co" n$"eros inteiros: dois proble"as interessantes


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= 39 16 = 37_ 36, on#e o #i'i#en#o %rocura#o e e _ s*o os res%ecti'os uocientes.

O+ser'e ue as e%ress;es acima s*o #a orma [ = a + cuja re%resenta*o "r/ica #os %ontos ),[! no %$ano cartesiano uma reta %ara a, +, e [ reais. omo as i"ua$#a#es acima est*o #eini#as em N conjunto #os naturais, e'i#entemente ue as re%resenta;es "r/icas n*o ser*o retas )contnuas!, %orm os

%ontos #etermina#os %e$os %ares or#ena#os ), ! ou )_,! ser*o %ontos co$ineares ou seja, a$in&a#os.

Iosto isto, %o#emos consi#erar e _ como sen#o a 'ari/'e$ in#e%en#ente )%or ana$o"ia com a eua*o#a reta [ = a +! e, como a 'ari/'e$ #e%en#ente [ e escre'er o se"uinte sistema #e eua;es:

[ = 39 16[ = 37 36

$em+ran#o ue estamos consi#eran#o aui a%enas os 'a$ores inteiros %ositi'os #as 'ari/'eis e [.

"ora, +asta reso$'er o sistema acima e ac&ar o 'a$or #e [ = .

Fu+train#o mem+ro a mem+ro as i"ua$#a#es acima, ica:

[ [ = )39 16! )37 36!0 = 39 16 37 360 = 2 20, #e on#e tiramos = 10.Fu+stituin#o em ua$uer uma #as eua;es, teremos ina$mente:

[ = 39 16 = 39.10 16 = 390 16 = 2@.

Ora, j/ sa+emos ue [ = e, %ortanto, o número %rocura#o i"ua$ a 2@.

Teriiue ue #e ato, 406 #i'i#i#o %or 39 #/ 10 e resto 16 e ue tam+m 406 #i'i#i#o %or 37 #/ 10 eresto 36.


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Fu+stituin#o 1 #a e%ress*o )! na i"ua$#a#e inicia$

@a(en#o V = 0, V = 1, V = 2 etc. o+temos os 'a$ores #e < ue satisa(ems con#i;es #o %ro+$ema.

& Leso$'er a eua*o 8 12[ = 23, #e mo#o ue e [ sejam %ositi'os e sua soma, um número inteiro.

Fo$u*o:

iran#o o 'a$or #e [ ica: [ = )23 8! Q 12

O %ro+$ema %e#e ue [ seja um número inteiro com a con#i*o #e ue e [ sejam %ositi'os. eremos

ent*o, su+stituin#o o 'a$or #e [:

)23 8! Q 12 = )12! Q 12 )23 8! Q 12 = (28 + &%) 0 1&

O %ro+$ema im%;e a con#i*o ue a soma acima seja um número inteiro. Iortanto, o numera#or 4 23#e'e ser um mú$ti%$o #e 12 ou seja: 4 23 = 12V on#e V um inteiro. a tiramos8 = (1&D . &%) 0 2 . Pem+ran#o ue #e'e ser %ositi'o, conorme #ito no enuncia#o #a uest*o,#e'eremos tam+m ter = )12V 23! Q 4 E 0 , o ue resu$ta 12V 23 E 0 ou 12V E 23 ou V E 23Q12 ouseja V E 1,916... .omo V inteiro, os 'a$ores %oss'eis %ara V ser*o V = 2, 3, 4, 5, 6, ...

omo [ = )23 8! Q 12 , 'em su+stituin#o o 'a$or #e o+ti#o acima:

y = X23 8)12V 23!Q4Y Q 12 = X)23 24V 46!Y Q 12 = (@3 . &2D) 0 1&

Pem+ran#o ue o %ro+$ema im%;e ue [ #e'e ser %ositi'o, #e'eremos ter:

[ = )69 24V! Q 12 E 0, o ue resu$ta 69 24V E 0 ou 69 E 24V ou 24V ? 69, o ue resu$taV ? 2,875. omo V inteiro, #e'eremos ter V = 2, 1, 0, -1, -2, -3, ... .

Iortanto %ara ue seja %ositi'o 'imos acima ue V = 2, 3, 4, 5, ... e %ara ue [ seja %ositi'o 'imostam+m ueV = 2, 1, 0, -1, -2, -3, ... . Iara ue am+os sejam %ositi'os, #e'eremos ter e'i#entemente D = &, ue oúnico 'a$or #e V ue aten#e simu$taneamente s #uas con#i;es.

Iortanto, como V = 2, os números %rocura#os ser*o o+ti#os su+stituin#o o 'a$or #e V nas e%ress;eso+ti#as acima:

= )12V 23! Q 4 = )12.2 23! Q 4 = )24 23! Q 4 = 1Q4

[ = )69 24V! Q 12 = )69 24.2! Q 12 = )69 48! Q 12 = 21Q12

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Les%osta: = 1Q4 e [ = 21Q12.


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#!


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c! 1002C (eros#! CC (erose! 1100C (eros

Les%osta: \

2 Bm comerciante com%rou #ois carros #e marcas e \ %or um %reo tota$ #eL 27000,00. Ten#eu B com $ucro #e 10S e o E com %reju(o #e 5S. Fe no tota$ o comerciante te'e um$ucro #e L 750,00, #etermine os %reos #e auisi*o #os carros.

Fo$u*o:

Fejam e [ os %reos #e auisi*o #os carros #e marcas e \ res%ecti'amente.


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omo 1 um número inteiro, o numera#or 382 8 um mú$ti%$o #e 40, ou seja:382 8 = 40n , on#e n um número inteiro.

a tiramos ue 2 = )40n 8! Q 38 = )38n 2n 8! Q 38 = n 2X)n 4! Q 38Y


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Qor"a (SP) de u"a euação do


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8& . 8 + P = , ue a orma )F,I! #a eua*o #o 2] "rau.

sta maneira #e a%resentar a eua*o #o 2] "rau +astante con'eniente, uma 'e( ue %ermite con&ecer a soma #as ra(es e o %ro#uto #as ra(es, sem reso$'er a eua*o. ste ato,aci$ita at a so$u*o menta$ #a eua*o, sem a%$ica*o #a Hrmu$a #e \&asVara.

em%$os:

a! 2 5 6 = 0Foma #as ra(es = F = 5Iro#uto #as ra(es = I = 6Ora, os números ue soma#os #/ 5 e mu$ti%$ica#os #/ 6, s*o 2 e 3 ue s*o as ra(es #aeua*o.

+! 2 12 = 0F = 1 e I = -12Os números ue soma#os i"ua$ 1 e mu$ti%$ica#os #/ - 12 s*o 4 e 3 , ue s*o as ra(es #aeua*o.

c! 2 3 - 4 = 0F = - 3 e I = -4Os números ue soma#os #/ 3 e mu$ti%$ica#os #/ 4 s*o 4 e 1, ue s*o as ra(es #aeua*o.

#! 2 - 999000 = 0F = -1 e I = -999000Teriiue menta$mente ue as ra(es s*o -1000 e 999. so$u*o %e$a Hrmu$a #e \&asVara seria um %ouco tra+a$&osa. Ierce+eramJ

e! 2

)1√ 3! √ 3 = 0Teriiue menta$mente ue as ra(es s*o 1 e √ 3.

om a %r/tica, 'ocK ser/ ca%a( #e reso$'er muitas eua;es #o 2] "rau, sem o uso #a Hrmu$a#e \&asVara, com o uso #o mto#o acima.


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GrandeIas vetoriais * a9uelas 9ue para ficarem perfeitamente caracteriIadas' necessitam al%mde um n5mero 9ue e:presse a sua medida numa determinada unidade (o seu m>dulo#' 9uesejam especificados o sentido e a direção Fão representadas atrav%s Uetore s

:emplos@ força' velocidade' aceleração' intensidade de campo el%trico' etc

ota@ no 9ue se segue' poderemos nos referir a grandeIas vetoriais' sem levar em conta o seuaspecto vetorial :plico@ ao nos referirmos a uma velocidade (grandeIa vetorial# de 80 -m!'por e:emplo' não estaremos interessados ' na sua direção ou no seu sentido' e simunicamente no seu m>dulo' ou seja 80 -m! tratamento vetorial da velocidade' interessaria'se estiv%ssemos dando uma a;ordagem do ponto de vista da ,$sica ara uma a;ordagem deproporcionalidade' como nos propomos a9ui' não necessitamos de tal enfo9ue^ conveniente ressaltar de passagem' 9ue ao nos referirmos < velocidade' por e:emplo'estaremos nos referindo sempre < velocidade m%dia' uma veI 9ue a velocidade instantOnea deum m>vel no tempo t B t0' teria 9ue ser calculada usando*se Perivadas

2 * roporcionalidade direta

Fejam G1 e G2 ' duas grandeIas dependentes das variáveis & e ' respectivamente' 9ueassumem valores conforme ta;ela a;ai:o@

T T< T! TE Tn

< > >< >! >E >n

PiIemos 9ue G1 e G2 estão em proporção direta 9uando'

nde - % denominado constante de proporcionalidade

Pas igualdades acima' podemos inferir 9ue genericamente' teremos & ! B -' de onde vem'T 9 U >' sendo U a constante de proporcionalidadePiIemos então' 9ue a variável & % diretamente proporcional < variável ' segundo a constante-

MA@ se ` % diretamente proporcional a &' indicamos sim;olicamente isto por@ ; α T (α B alfa ' primeira letra do alfa;eto grego#

:emplo@Considerando 9ue um dis9uete custa k0'80 % raIoável supor 9ue@

Yuantidade 2 8 10 20 60 0 100

Pascoal Zita 61

http://www.terra.com.br/matematica/arq16-1.htmhttp://www.terra.com.br/matematica/arq16-1.htmhttp://www.terra.com.br/matematica/arq16-1.htmhttp://www.terra.com.br/matematica/arq15-2.htmhttp://www.terra.com.br/matematica/arq16-1.htmhttp://www.terra.com.br/matematica/arq16-1.htmhttp://www.terra.com.br/matematica/arq16-1.htmhttp://www.terra.com.br/matematica/arq15-2.htm


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reço total ( k# 1'+0 4'00 +'40 8'00 1+'00 24'00 40'00 80'00

;servamos 9ue as variáveis RS e YJAMQPAP' são diretamente proporcionais' pois@1'+0!2 B 4'00! B +'40!8 B 8'00!10 B 1+'00!20 B 24'00!60 B B 0'80' 9ue' no caso % aconstante de proporcionalidadeodemos então concluir 9ue a Yuantidade & e o reço P' no e:emplo acima' estãorelacionados pela sentença P 9 DD & Assim' conecido Y' determinar$amos o valor de usando a f>rmula anterior :emplo@ 200 dis9uetes custariam k1+0'00

Ca;e a9ui' entretanto' um comentário@ se fossem 1000000000000 (um trilão de dis9uetesb# ela f>rmula' cegar$amos a@ B 1000000000000 : 0'80 B k800000000000' ou seja 800 ;il=es Pe sã consciLncia'vocL pagaria 800 ;il=es por 1 trilão de dis9uetesb

Aco 9ue não rimeiro' por9ue 800 ;il=es' são 800 ;il=es e segundo' por9ue eu aco 9uenem e:istem1 trilão de dis9uetes no mundo

ortanto' % conveniente lem;rar 9ue ao aplicarmos um modLlo matemático para traduIir umdeterminado pro;lema' temos de estar atentos aos limites de validade do modLlo o e:emploacima' por e:emplo' poder$amos considerar 9ue talveI 1000 dis9uetes fosse o nosso limite(talveI um pouco mais#' o 9ue nos levaria a interpretar o nosso modLlo' ou seja' a e9uação B0'80Y com as limitaç=esY ≤ 1000 e ≤ 800

6 * roporcionalidade inversa

Fejam G1 e G2 ' duas grandeIas dependentes das variáveis & e ' respectivamente' 9ue

assumem valores conforme ta;ela a;ai:o@

T T< T! TE Tn

< > >< >! >E >n

PiIemos 9ue G1 e G2 estão em proporção inversa 9uando'T> 9 T! 9 TE>E 9 9 Tn>n 9 U 9 constantende - % a constante de proporcionalidade

Pas igualdades acima' podemos inferir 9ue genericamente' teremos & B -' sendo - aconstante de proporcionalidadePiIemos então' 9ue as variáveis & e ` são inversamente proporcionais' segundo a constante -

:emplo@Considerando 9ue um carro terá de percorrer a distancia de 240 -m entre duas cidades' %raIoável supor 9ue@

Pascoal Zita 62


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Velocidade (U"I1)


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Assim' % 9ue poderemos escrever@8 9 U( I W)( I X) Y 9 UY I WX ou seja@ 8 9 U Y I W X

ara determinar o valor da constante -' su;stituamos P' M' V e N pelos valores conecidos@10 B -+000 ! 148 Pa$ tiramos - B 10148 ! +000 B 0'02

ortanto' a f>rmula em vermelo acima' fica@8 9 DDsito' recentemente o rof Ralp Koas' da ort3estern JniversitH ' cele;roueste fato em versos pu;licados na revista American [atematical [ontlH * 02!8+ *pag 11 * e 9ue reproduIimos a seguir@

at as ;ecome of te rule of te tree'Fimple or dou;le' once popular pairbFtudents todaH no longer see

Alligation' or tret and tare

9ue aconteceu com a regra de tres'Fimples ou composta' outrora um par tão popularbs estudantes de oje não mais reconecemAlligation ou tret e tare

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Pascoal Zita 65


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2)emplo&

3A 0AA 4 P 4 abese que 5 máquinas, operando 5 6oras por dia,durante 5 dias, produzem 5 toneladas de certo produto. 7uantastoneladas do mesmo produto seriam produzidas por 8 máquinas daqueletipo, operando 8 6oras por dia, durante 8 dias9

a' : b' ;< c' ;=,< d' ;>,<

e voc tentar usar a metodologia indicada no capítuloProporcionalidade entre grandezas , não obstante ser um método maisrigoroso e até mais bonito, voc perderia mais tempo na resolu?ão.

@e(amos a solu?ão&

$bserve que a produ?ão em toneladas é diretamente proporcional aonmero de máquinas, ao nmero de dias e ao nmero de 6orasBdia.Portanto&

Portanto, seriam produzidas ;>,< toneladas do produto, sendo 1 aalternativa correta.

C 4 2)ercícios resolvidos e propostos

C.; 4 @inte e cinco teares trabal6ando oito 6oras por dia, durante ;=dias, fizeram ;C== metros de certo tecido. @inte teares trabal6andonove 6oras por dia durante dezoito dias, produzirão quantos metros domesmo tecido9

Nota& 3ear 4 máquina destinada a tecer fios, transformandoos em panoou tecido. Plural& teares.

$DEFG$&

$bserve que o comprimento do tecido é diretamente proporcional aonmero de teares, ao nmero de dias e ao nmero de 6orasBdia.

Pascoal Zita 67



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Portanto&

"esp& ;H55 m

C.C 4 2m uma fábrica, vinte e cinco máquinas produzem ;= máquinas, para produzirem;:=== pe?as em ;< dias9

olu?ão&

$bserve que&

Aumentando o nmero de 6orasBdia, aumenta o nmero de pe?as, diminui onmero de dias necessários e diminui o nmero de máquinas necessárias.

Portanto&

"esp& : 6

C.> 4 0erto trabal6o é e)ecutado por ;< máquinas iguais, em ;C dias de;= 6oras. Iavendo defeito em trs das máquinas, quantos dias de :6oras deverão trabal6ar as demais, para realizar o dobro do trabal6oanterior9

olu?ão&

Aumentando o nmero de dias, diminui o nmero de 6orasBdia necessáriose diminui o nmero de máquinas necessárias.

Podemos também dizer que para realizar o dobro do trabal6o, o nmerode dias deve aumentar.Portanto, podemos montar o seguinte esquema&

Pascoal Zita 68


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Dogo,

"esp& >J,< dias

Agora resolva estes dois&

; 2m uma residncia, no ms de fevereiro de um ano não bisse)to,ficaram acesas, em média, ;8 lKmpadas elétricas durante < 6oras pordia e 6ouve uma despesa de "L ;5,==. 7ual foi a despesa em mar?o,quando C= lKmpadas iguais às anteriores ficaram acesas durante 5 6oraspor dia, supondose que a tarifa de energia não teve aumento9

"esp& "L;


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Cuidado co" a re7ra de três

Em trabal6ador recebeu a incumbncia de fazer a capinação de umterreno circular de > metros de raio, cobrando pelo trabal6o o valor

de L;=,==.7ual seria o pre?o (usto a ser cobrado para capinar um terrenosemel6ante, porém com 8 metros de raio9

Solução:

Vamos por partes: ; 4 0apina?ãoA?ão de capinarM retirar do solo, a planta gramínea con6ecida comocapim.

C 4 Alguns mais desavisados, seriam compelidos a afirmar imediatamentee equivocadamente, que deveria ser cobrado LC=,==, uma vez que 8metros é o dobro de > metros. Dedo engano!. 3 – Observe que a área capinada pelo eficiente trabalhador i!ual a

S " π#r$% onde r o raio do c&rculo capinado#

Sendo r " 3m% vem S "π

#3$ " '(π

) m $# N$3A&

; 4 a área S de um círculo de raio r é igual a S " πr$.C mC metro quadrado

*a capinação de uma área circular de + metros de raio% ele teriacapinado uma área S, "

π

#'r,)$ "π

#+$ " '3+#π

) m $# -ormamos a!ora% a se!uinte regra de trs simples e direta:

./0'm $) 2/0O '4)

(π

15

3+π

6 0omo o pre?o a ser cobrado, deve ser diretamente proporcional aotrabal6o realizado, vem imediatamente que&

) ;=.>8π B Hπ ;=.5 475% 0m resumo: Se for cobrado 415 para capinar um terreno circular de 3 metros deraio% então% o valor 8usto a ser cobrado para capinar um terrenocircular de + metros de raio% deve ser i!ual a 475%#

Pascoal Zita 70

http://www.terra.com.br/matematica/arq1-26.htmhttp://www.terra.com.br/matematica/arq1-13.htmhttp://www.terra.com.br/matematica/arq1-13.htmhttp://www.terra.com.br/matematica/arq1-26.htmhttp://www.terra.com.br/matematica/arq1-13.htmhttp://www.terra.com.br/matematica/arq1-13.htm


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%uitas pessoas ac6ariam LC= um valor (usto! Por isto eu lembro&estudem %atemática, mesmo que vocs pretendam ingressar em cursos quenão se(am da área de 0incia 2)atas!

Pascoal Zita 71


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8C e C

B - M5C - M=;MO 590O4 COM!M

Defnição: dados dois números inteiros a e b não nulos, defne-se o máximo diisorcomum - MD!, como sendo o maior inteiro "ue diide simultaneamente a e b#$ MD! de dois números será indicado por MD! %a, b'bio "ue se tiermos o MD! de n números inteiros a(, a), a*, ### , an , indicaremosporM5C /aB1 a1 aD1 EEE 1 an2

Exemplos:

( - Determine o MD! dos inteiros (+ e (#$s diisores positios de (+ são: B1 , , (+#$s diisores positios de ( são: B1 , ., (#$s diisores comuns, são, portanto: ( e )#Portanto, o máximo diisor comum / i0ual a ) e, indicamos: M5C/BF1BG2 H #

) - Determine MD! %, (+, (, 1+&$s diisores positios de são: B1 , $s diisores positios de (+ são: B1 , , (+$s diisores positios de ( são: B1 , ., ($s diisores positios de 1+ são: B1 , *, , , 1, (+, (), (, 1+

$s diisores comuns são, portanto: B e #Portanto o MD! / i0ual a ), ou se2a: M5C /G1 BF1 BG1 IF2 H

Notas+

(#( - um número inteiro positio p ≠ ( / denominado número primo, se e somentese os seus diisores positios são ( e p# Pode-se proar "ue o con2unto dos númerosprimos / um con2unto infnito#

3endo P o con2unto dos números primos, podemos escreer:P 4 5), *, , ., ((, (*, (., (6, )*, )6, *(, *., (, *, ., *, 1(, ### 7Observa-se "ue é o único número par "ue é primoE

(#) - todo número inteiro maior do "ue (, "ue não / primo, pode ser decompostonum produto único de 8atores primos# Esta afrmação / con9ecida como o eorema;undamental da Aritm/tica - ;A#

Exemplos:

( 4 #*

Pascoal Zita 72



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+ 4 #< 4 #)#)#) 4 #)*

()+ 4 +#* 4 #)#)#)#* 4 #)*#*)+ 4 )#()+ 4 )##)#)#)#* 4 #)#*

=a prática, podemos usar o se0uinte es"uema:3e2a o caso de )+ acima# eremos:

)+

>)

()+

>)

1+>)

*+>)

(>*

>

(>

Então: )+ 4 )#)#)#)#*# 4 )#*#A decomposição de um número em 8atores primos, / con9ecida tamb/m comofatora#$o , 2á "ue o número / decomposto em fatores de uma multiplicação#

?sando o dispositio prático acima, amos 8atorar o número +)

)+ >)

(+) >)

(>*

(.>(.

(>

Então: +< 4 )#)#)#*#(. 4 )*#*#(.

(#* - $ m/todo de decomposição de um número num produto de 8atores primos,su0ere uma noa 8orma para o cálculo do MD! de dois números inteiros não nulos,a e b, ou se2a, para o cálculo de MD! %a,b

Pascoal Zita 73


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Assim, se2a calcular o MD! de +< e )+#!omo 2á imos acima, temos:+< 4 )#)#)#*#(. 4 )*#*#(.)+ 4 )#)#)#)#*# 4 )#*#

omando os 8atores comuns eleados aos menores expoentes, teremos:

MD! %+


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"ue:BFEBG H EKF H BGF H M5C/BF1BG2 E MMC/BF1BG2

Pode-se proar "ue, dados dois números inteiros positios a e b, teremos sempre"ue o produto desses números / i0ual ao produto do MD! pelo MM! dessesnúmeros, ou se2a:

M5C/a1b2 E MMC/a1b2 H a E b

$bsere "ue se dois números inteiros positios a e b são primos entre si%co-primos&, o MD! entre eles / i0ual a (, ou se2a MD! %a, b& 4 ( e, portanto,teremos:BEMMC/a1b2 H a E b ∴ MMC/a1 b2 H a E b , ou se2a:

$ Mnimo Múltiplo !omum de dois números primos entre si / i0ualao produto deles#

Exemplos:

MM!%*, & 4 *# 4 (MM!%., , *& 4 .##* 4 (+

5ois eercícios simples:

( - $ máximo diisor de dois números / i0ual a (+ e o mnimo múltiplo comumdeles / i0ual a )(+# 3e um deles / i0ual a .+, "ual o outro

3olução:

$ra, pelo "ue imos acima, (+#)(+ 4 .+#n ∴ n H DF#

) - Encontre um par ordenado %m,n& de números inteiros, "ue erif"ue a relaçãoMD!%(


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$bsere a0ora, "ue:

BFF H BJFEK - IF BFF - BJFEK H - IFMultiplicando ambos os membros por % - (&, fca:- BFF BJFE K H IF

BJFEK - BFF H IF

BJF#K BFF/ - B2 H IF

!omparando com os dados do enunciado da "uestão, teremos:MD! %(


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Analogamente, poderemos citar outros e)emplos& 8,5,, ..., b 4 ;.

Pascoal Zita 77


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2)emplos& istema de base ;=& são usados os algarismos =,;,C,>,...,H. istema de base :& são usados os algarismos =,;,C,>,..J. 2ste sistema

também é con6ecido como sistema octal. istema de base C& são usados os algarismos = e ;.2ste sistema também é con6ecido como sistema binário. istema de base ;8& são usados os algarismos =,;,C,>,5,,;5 e ; Q =.CC Q ;.C; Q =.C= ;= +;= escrito na base ;='. ;===;+C ;.C5 Q =.C> Q =.CC Q =.C; Q ;.C= ;J +;J escrito na base ;='.

Pascoal Zita 78


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0 para converter um n58 ;>5 ) ;= Q +;>5 ;> ) ;= Q 7;> ; ) ;= Q 3; = ) ;= Q 1$bserve os algarismos de bai)o para cima& 137+ Analogamente, teríamos para escrever um numeral na base C, ou se(a,utilizandose somente os algarismos = e ;& 2)emplo *' e(a o numeral J na base ;=. 1ividindo sucessivamente por C, vem, usando a igualdade1ividendo 7uociente ) 1ivisor Q "esto&J > ) C Q 1> ; ) C Q 1; = ) C Q 1$bserve os algarismos de bai)o para cima& 111Portanto, J na base ;= é representado por ;;; na base C. 2)emplo **' e(a o numeral ;< na base ;=. 1ividindo sucessivamente por C, vem, usando a igualdade1ividendo 7uociente ) 1ivisor Q "esto&

;< J ) C Q 1 J > ) C Q 1 > ; ) C Q 1 ; = ) C Q 1$bserve os algarismos de bai)o para cima& 1111Portanto, ;< na base ;= é representado por ;;;; na base C. 2)emplo ***' e(a o numeral ;C na base ;=&

Pascoal Zita 79


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1ividindo sucessivamente por C, vem, usando a igualdade1ividendo 7uociente ) 1ivisor Q "esto&;C 8 ) C Q 5 8 > ) C Q 5 > ; ) C Q 1 ; = ) C Q 1

$bserve os algarismos de bai)o para cima& 1155Portanto, ;C na base ;= é representado por ;;== na base C. 2)emplo *@' e(a o numeral C8= na base ;=&1ividindo sucessivamente por C, vem, usando a igualdade1ividendo 7uociente ) 1ivisor Q "esto&C8= ;>= ) C Q 5;>= 8< ) C Q 5 8< >C ) C Q 1 >C ;8 ) C Q 5 ;8 : ) C Q 5 : 5 ) C Q 5

5 C ) C Q 5 C ; ) C Q 5 ; = ) C Q 1 $bserve os algarismos de bai)o para cima& 155555155Portanto, C8= na base ;= é representado por ;;=====;== na base C. 2)emplo @' e(a o numeral >


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Siste"a de nu"eração ro"ano

; 4 *ntrodu?ão $ sistema de numera?ão romano e)iste 6á um pouco mais de C=== anose utiliza os numerais *, @, T, 0, 1 e % para representa?ão dos nmerosinteiros positivos. Io(e, tratase de um sistema praticamente emdesuso, valendo entretanto a sua abordagem, pelo seu valor 6ist-rico.$ uso do sistema romano atualmente, restringese tão somente a algumasaplica?es tais como a numera?ão de capítulos de livros, a ordemcronol-gica dos papas, a ordem cronol-gica de reis e rain6as,mostradores de alguns tipos de rel-gios, designa?ão dos séculos etc.

2)emplos&éculo TT*, Papa Pio T**, Papa Ooão Paulo **, 1om Pedro ** etc.

Numeral @alor absoluto* ;@ <T ;=D , TTT >==, %%% >===, 00 C== etc. C.5 4 letra à esquerda de outra de maior valor absoluto, subtraiseM àdireita, somase.2)emplos&TD 5= +D


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C.< 4 letra encimada por um tra?o 6orizontal, vale ;=== vezes o seuvalor absoluto. A nica e)ce?ão é o numeral *, para o qual não seaplica esta regra.0ada tra?o adicional, multiplica o valor anteriorpor ;===. 2)emplos&

Alguns e)emplos aleat-rios de numerais 6induarábicos e)pressos comonumerais romanos& >


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%ot,ncias e radicais - parte

B – %ot,ncia de epoente natural

3endo a um número real e n um número natural maior ou i0ual a ), defnimos a n-/sima%en/sima& potIncia de a como sendo:

an 4 a#a#

matemática essencial2

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