matemÁtica - calculo, prevención de riesgos
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D E P A
CÁLCULO PARA PREVENCIÓN DE RIESGOS R T A M E N T O D E C I E N C I A S B Á S I C A S
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Indice
Materia Página
Unidad Nº1: Introducción a la Geometría Analítica
Sistema de coordenadas en el plano 2Distancia entre dos puntos del plano 3‘2
División de un trazo en una razón dada 5Pendiente entre dos puntos 7Línea recta 9Formas de la ecuación de la recta 11Tipos de rectas 15Distancia de un punto a una recta 19Cónicas 22Circunferencia 24Parábola 28Elipse 33Hipérbola 38
Unidad Nº2: Introducción al Cálculo Diferencial e Integral
Límites 47Teorema sobre límites 49Límites laterales 54Continuidad 58Derivada 68Interpretación de la derivada 70Reglas de derivación 71Regla de la cadena 76Derivación implícita 79Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas 82Derivación logarítmica 84Derivada de funciones trigonométricas 87Derivada de funciones trigonométricas inversas 90Derivada de orden superior 93Aplicación de la derivadaa) Gráfico de curvas 97b) Problemas de aplicación de máximos y/o mínimos 105c) Problemas de variaciones relacionadas 109
Integral indefinida 115Integrales inmediatas 115Métodos de integración:a) Cambio de variable 118b) Integración de monomios en seno y coseno 124c) Integración por partes 128d) Sustitución trigonométrica 133
Integral definida 139Area positiva y área negativa 141Areas en coordenadas rectangulares 145Area entre curvas 150
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Introducción
El ámbito de desarrollo del Ingeniero de Ejecución en Prevención de Riesgos, exige que cuentecon las competencias necesarias para realizar Investigaciones Sistemáticas, respecto de la prevención deaccidentes y enfermedades profesionales. En esta filisofìa de trabajo se enmarca el presente manual, quebusca proporcionar al alumno de la formaciòn necesaria en las àreas de las .Ingeniería Ciencias Básicas
El manual de trabajo se encuentra dividido en dos unidades: La Unidad 1, comprende unaIntroducción a la Geometría Analítica y la Unidad 2, una Introducción al Cálculo Diferencial e Integral.
Se recomienda que el alumno estudie el manual siguiendo la siguiente metodología de trabajo:
1. Lea un desarrollo matemático.
2. Trabaje mediante los ejemplos ilustrativos.
3. Trabaje el problema seleccionado.
4. Revise las ideas principales de la sección (Conceptos).
5. Realice los ejercicios asignados al final de cada sección.
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UNIDAD Nº1INTRODUCCIÓN A LA
GEOMETRÍA ANALÍTICA
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Geometría Analítica
Sistema de coordenadas en el plano
Está formado por dos ejes perpendiculares, con orígenes comunes y graduados con la mismaunidad de longitud. Estos ejes perpendiculares dividen al plano en cuatro regiones iguales denominadas2
cuadrantes. El eje horizontal se denomina y el eje vertical recibe el nombre de eje de las abscisas X ejede las ordenadas (Y)
Eje X(abscisas)
Eje Y (ordenadas)
o
Los elementos de este sistema se denominan pares ordenados. Cada par ordenado tiene un ordenestablecido, la primera componente del par es una abscisa y la segunda componente del par es unaordenada, es decir, .
Propiedades
1) Todos los puntos del eje X tienen ordenada nula, es decir: Eje X
2) Todos los puntos del eje Y tienen abscisa nula, es decir: Eje Y
3) En el sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas existen cuatro cuadrantes
C C1C C
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Distancia entre dos puntos del plano 2
Sean A y B dos puntos del plano.
AC BC AB
Por Teorema de Pitágoras
AB AC BC
Así sí A y B( son dos puntos del plano, entonces la distancia entre A y B, denotadapor A,B es:
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Ejemplos
Calcular la distancia entre el punto A y B
A,B
unidades.
Los vértices de un cuadrilátero son: A B C y D Calcular superímetro.
P A,B B,C C,D D,A
A,B
B,C
C,D
D,A
P A,B B,C C,D D,A [unidades]
Determine el valor de en A de modo que A,B con B
A,B
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División de un trazo en una razón dada
Sea P un punto del plano que divide al trazo P P en una cierta razón k, es decir,1 2 P P
PP1
2 Se obtendrán las coordenadas del punto P en función de los puntos dados P y P .1 2
P SP PRP1 2
P S P P
PR PP1 1
2
, con
De igual forma
SP P P RP PP
1
2
, con
Luego las coordenadas del punto P son:
Si k entonces: lo que corresponde al punto medio) entre los puntos: P
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Ejemplos
1) El punto medio de un trazo es y uno de los extremos es Determinar el otro extremo
,
El otro punto es
2) Los extremos de un trazo son los puntos A y B . Hallar la razón en que el puntoC divide al trazo.
,
Luego, el valor de , por lo tanto el punto C es el punto medio del trazo AB.
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Pendiente entre dos puntos
Sean A y B dos puntos del plano
La razón se denomina , se simboliza por y representa el grado deCBAC
pendiente
inclinación del trazo AB con el eje X. El ángulo se mide desde el eje X al trazo
Así, si A( son dos puntos del plano, entonces la pendiente entre A y B es:
La pendiente es el valor de la tangente trigonométrica del ángulo , es decir,
Propiedades de la pendiente
1) Si , entonces es un ángulo agudo.
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) Si , entonces es un ángulo obtuso
) Si , entonces es un ángulo nulo
Y
X
) Si no está definida, entonces es un ángulo recto
EjemplosDetermine la pendiente entre los puntos A y B, B y C, C y D, D y E si
A ; B ; C ; D y E
AB BCind. es un ángulo recto ; es un ángulo obtuso
CD DE es un ángulo nulo ; es un ángulo agudo
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Línea recta
Una recta en es un conjunto de pares ordenados que tienen la característica que cualquier2
pareja de puntos distintos tienen la misma pendiente. Para determinar la ecuación de una recta existen dos formas
a) Se conocen dos puntos de ella
Sean A y B dos puntos conocidos de una recta y sea P un punto cualquierade ella.
A(x1,y1)
B(x2,y2)
P(x,y)
Y
X
AP AB
AP AB
AP AB
Luego, si A y B dos puntos conocidos de una recta, entonces su ecuación es
b) Si se conoce un punto y su pendiente
A(x1,y1)
P(x,y)
Y
X
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Sea A un punto conocido de la recta, P un punto cualquiera y su pendiente
AP
Luego, si A es un punto conocido de una recta y su pendiente, entonces su ecuaciónes
Ejemplos
1) Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B
2) Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto A y tiene pendiente
Ejercicios propuestos
1)Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos:
a) b)
c)
2)Determine la ecuación de la recta que pasa por:
a) El punto y tiene pendiente b) El punto y tiene pendiente
c) El punto y tiene pendiente
Soluciones
1) a) b) c)
2) a) b) c)
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Propiedades
a) Toda recta paralela al eje X tiene por ecuación .
Y
X
y = aa
b) Toda recta paralela al eje Y tiene por ecuación . indeterminada
Y
X
x = a
a
Formas de la ecuación de la recta
a) Forma general
De se tiene:
Si A B y C , entonces
es la ecuación General de la recta con
b) Forma principal
De se tiene:
Si , entonces es la Ecuación Principal de la Recta se denomina y equivale a la ordenada del punto de interseccióncoeficiente de posición de la recta con el eje Y.
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Y
X
b
c) Ecuación de segmento
Sea A y B 0 los puntos de intersección de la recta con los ejes coordenados, entonces
es la Ecuación de Segmento de la Recta
Ejemplos
Determinar en cada caso, la ecuación general, principal y de segmento de la recta si
a) pasa por A y B
Ecuación general
Ecuación principal
Ecuación de segmento
b) Tiene pendiente y pasa por el punto A
Ecuación general
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Ecuación principal
Ecuación de segmento
c) corta al eje X en 2 y al eje Y en 3
Ecuación de segmento
Ecuación general
Ecuación principal
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Ejercicios propuestos
1) Determine en cada caso, la ecuación general, principal y de segmento de la recta si pasa por lospuntos:
a) , b) c)
2) Determine en cada caso, la ecuación general, principal y de segmento de la recta si:
a) Pasa por el punto y tiene pendiente
b) Pasa por el punto y tiene pendiente
c) Pasa por el punto y tiene pendiente
Soluciones
1) a)
b)
c)
2) a)
b)
c)
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Tipos de Rectas
Sean L : y L 1 2
entonces,
a L es secante a L si , y sólo si L L1 2 1 2
x
y
o
L1 : y = m1 x+ n1
L2 : y = m2 x+ n2
b) L es paralela a L L L si, y sólo si 1 2 1 2
Y
X
L1 : y = m1 x+ n1
L2 : y = m2 x+ n2
c) L es perpendicular a L L L si, y sólo si 1 2 1 2
Y
X
L1 : y = m1 x+ n1
L2 : y = m2 x+ n2
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Ejemplos
1) Determine el punto de intersección de las rectas
Para determinar el punto de intersección de las dos rectas, sólo se debe resolver un sistema de ecuaciones.
/
Luego el punto de intersección de las rectas es el punto
2) Decida si las siguientes pares de rectas son paralelas o perpendiculares.
a L1 L
En L , se tiene, 1
Luego, L
En L , se tiene,
Luego, L
Como , entonces L LL L 1 2
b L1 L
En L , se tiene, 1
Luego, L
En L , se tiene,
Luego, Como , entonces L LL L L 1 2
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3) Determine la ecuación de la recta que pasa por y es:
a) paralela con la recta Lb) perpendicular con la recta L
a) Para encontrar la ecuación de la recta buscada se debe conocer la pendiente de la recta L . Además,1como la recta buscada debe ser paralela con L , entonces sus pendientes son las mismas.1
Luego la pendiente de L . Por lo tanto, la pendiente de la recta buscada es 1
Su ecuación es:
Así, la recta es paralela con L .1
b Para encontrar la ecuación de la recta buscada se debe conocer la pendiente de la recta L . Además,como la recta buscada debe ser perpendicular con L , entonces el producto de sus pendientes debe ser igual2a .
Luego la pendiente de L . Por lo tanto, la pendiente de la recta buscada es 1
Su ecuación es:
Así, la recta es perpendicular con L .2
4) Determine el valor de en para que la recta
a) pase por el punto b) sea paralela a la recta Lc) sea perpendicular a la recta L
a) Para que el punto pertenezca a la recta se debe reemplazar en la recta por e por y resolver la ecuación resultante para Si la ecuación tiene solución, entonces el puntopertenece a la recta, de lo contrario, si la ecuación no tiene solución, entonces el punto no pertenece a larecta.
Luego, la recta es:
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b) Para que la recta sea paralela con L sus pendientes deben seriguales.
la pendiente de esta recta es
la pendiente de la recta L es . Así,
Luego, la recta es:
c) Para que la recta sea perpendicular con Lel producto de sus pendientes debe ser igual a .
la pendiente de esta recta es
la pendiente de la recta L es
así,
Luego, la recta es
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Distancia de un punto a una recta
Sea L : y P un punto que no pertenece a la recta1
x
y
o
L : Ax+By+C=0
P (x0 , y0)d
la distancia , desde a la línea recta y denotada por es :
Ejemplos
1) Determinar la distancia que existe desde el punto a la recta L
L
L = unidades.
2) Determinar la distancia que existe entre las rectas :
L ; L1
Como L es paralela con L , L L , basta elegir un punto en la recta L o en la recta L y1 2 1 2 1 2calcular la distancia de este punto a la otra recta. Para este ejemplo se elegirá un punto de la recta L ,A y se calculará la distancia de este1punto a la recta L .2
L2
L
Luego la distancia entre las rectas L y L es unidades1 2
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Ejercicios Propuestos
1)Los vértices de un triángulo son:
Determinar:
a) Ecuación de sus lados en forma principal y general b) Perímetro del triángulo ABCc) Ecuación de las transversales de gravedad d) Ecuación de las alturase) Ecuación de las medianas f) Área de triángulo ABC
2) Determinar el valor del parámetro :
a) Para que el triángulo de vértices A sea rectángulo en C.b) Para que la recta que pasa por los puntos A y sea perpendicular a la recta que pasa por C y Dc) Para que la recta L sea paralela L1 2
Hallar el valor de para que la recta sea:
a) Paralela a la recta b Perpendicular a la recta c) Pase por el punto
Hallar la distancia del punto P a la recta L
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Soluciones
1) a) Lado a:
Lado b:
Lado c:
b) Perímetro = [ud.]
c)
d)
e)
f) Área ABC [unidades ]
a) b) c)
3) a)
b)
c)
4) Distancia es: unidades.
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Cónicas
:Lugar Geométrico
El lugar geométrico de una ecuación es una curva que contiene aquellos puntos y sólo aquellospuntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.
Las secciones cónicas se llaman así porque todas ellas son secciones planas de un cono circularrecto. Una puede formarse cortando un cono perpendicular a su eje, una se producecircunferencia elipsecuando el corte del cono es oblicuo al eje y a la superficie, se produce una cuando el cono eshipérbolaintersectado por un plano paralelo al eje, y resulta una cuando el plano de intersección es paraleloparábolaa un elemento de la superficie.
Es decir, a la circunferencia, elipse, parábola e hipérbola se les llama frecuentemente seccionescónicas porque todas ellas pueden obtenerse como secciones de un cono recto circular al ser cortados porplanos. Se entenderá que el cono se extiende indefinidamente a ambos lados de su vértice. Cada conosituado a un lado del vértice se denomina hoja de cono.
Cuando la curva producida cortando el cono se refiere a un sistema de coordenadas se definirá unasección cónica como:
"Una es el lugar geométrico de un punto que se mueve de modo que su distanciasección cónicadesde un punto fijo es una relación constante respecto de su distancia a una línea fija. El punto fijo sedenomina y la línea fija se llama ."foco directriz
Recta L1
Recta L2
y
x
z
Recta L2Generatriz
Mantosuperior
MantoInferior
Vértice
Recta L2Generatriz
Hojas decono
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Circunferencia Elipse
Parábola Hipérbola
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Circunferencia
Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo es constante.El punto fijo se llama y la distancia fija centro radio.
Sea el centro de la circunferencia, un punto de la circunferencia y el radio,entonces
es la Ecuación Reducida de la Circunferencia
Si entonces la ecuación de la circunferencia es:
que se conoce como Ecuación Canónica de la Circunferencia
x
y
P (x , y)
C (0,0)
r
r : Radio C( 0,0 ) : Centro de la x2 + y2 = r2
- r r
- r
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Ejemplo
1) Determine la ecuación de la circunferencia si
a) C
b) C
c) C
d) C
2) Obtener el centro y el radio de la circunferencia si su ecuación es
a C
b C
c C
d C
De la ecuación reducida se tiene
Si C D E entonces es laecuación general de la circunferencia que también se puede expresar de la forma
con .
Ejemplos
1) Dada la ecuación de la circunferencia, determine su centro y su radio.
Para encontrar la ecuación de la circunferencia reducida dada la ecuación general de lacircunferencia se debe realizar el proceso de completación de cuadrado de binomio.
C
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C
2) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A y B y tiene sucentro en la recta
Sea C el centro de la circunferencia, entonces
a) A,C B,C y b) C
A,C B,C
C
De y se tiene el siguiente sistema
donde Así C
o
Luego la ecuación de la circunferencia es
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Ejercicios propuestos
1) Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en y que es tangente al eje .
2) Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en y que es tangente al eje .
3) Una circunferencia pasa por los puntos y , y su centro está sobre la recta. Hallar su ecuación.
4) Una cuerda de la circunferencia está sobre la recta cuya ecuación es .Hallar la longitud de la cuerda.
5) Obtener la ecuación de la circunferencia si tiene centro en el punto , y es tangente a la recta quecontiene los puntos y .
Soluciones
1) 2)
3) 4) Longitud cuerda : [unidades]
5)
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Parábola
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado y defocouna recta fija llamada directriz.
Si es el foco de la parábola es la ecuación de su directriz y es unpunto de ella, entonces
es la Ecuación Canónica de la Parábola
El punto se denomina , la recta se llama vértice de la parábola eje de simetría de laparábola. lado recto El trazo perpendicular al eje de la parábola y que pasa por el foco se denomina y sulongitud es
Si , entonces la curva queda situada sobre el eje X, es no negativa y simétrica respecto al eje Y.Si , entonces la curva queda situada bajo el eje X, es no positiva y simétrica respecto al eje Y. Si es el foco de la parábola es la ecuación de su directriz y es unpunto de ella, entonces su ecuación canónica es
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Vértice Foco Directriz Eje de simetría Long. lado recto
Si , entonces la curva queda situada a la derecha del eje Y y es simétrica respecto al eje X. Si , entonces la curva queda situada a la izquierda del eje Y y es simétrica respecto al eje X.
Ejemplo
Determine vértice, foco, directriz, longitud del lado recto, eje de la parábola y gráfico en:
Vértice Foco Directriz Eje de simetría Long. lado recto u. de l.
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Vértice Foco :
Directriz Eje de simetría
Long. lado recto u. de l.
Ejercicios Propuestos
Hallar el vértice, foco, directriz, longitud del lado recto y gráfico de:
a) b)
c)
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Soluciones
a) Vértice: Directriz: Foco: Long lado recto:
b) Vértice: Directriz:
Foco: 0, Long lado recto:16
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c) Vértice: Directriz:
Foco: Long lado recto:
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Elipse
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos esconstante. Los puntos fijos de llaman y la distancia constante se designa por focos
Sean y los focos, la distancia constante y un punto de la elipse,entonces
pero
así
es la Ecuación Canónica de la Elipse
Si entonces
Si entonces
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Los puntos y se denominan y los puntos yvértices del eje mayor se llaman Los focos y quedan siempre ubicados sobre el ejevértices del eje menor.
mayor. La longitud del eje mayor es , la longitud del eje menor es y la longitud del eje focal es . La razón se denomina excentricidad y señala el grado de mayor o menor alargamiento dela elipse. Como , entonces 1
Si los focos de la elipse son y y la distancia constante es , entonces suecuación es
Centro : Vértices eje mayor : Vértices eje menor : ; Focos : Excentricidad :
Ejemplo
Determine centro, vértices del eje mayor y menor, focos, excentricidad y gráfico de
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Centro :
Vértices eje mayor :
Vértices eje menor : ;
Focos :
Excentricidad :
Centro : Vértices eje mayor :
Vértices eje menor : ; Focos :
Excentricidad :
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Ejercicios Propuestos
1) Determine centro, vértices eje mayor y menor, focos, excentricidad y gráfico de la elipse
2) Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos , y cuyos focosson los puntos y .
3) En cada caso determine la ecuación de la elipse centrada en el origen sabiendo que: a) Un foco es el punto y el vértice el punto
b) Un foco es y un vértice es
c) Un foco es y la excentricidad es
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Soluciones
1) Centro:
Vértices eje mayor:
Vértices eje menor:
Focos: 1
Excentricidad:
2) Ecuación:
3) a) Ecuación:
b) Ecuación:
c) Ecuación:
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Hipérbola
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos esconstante. Los puntos fijos se denominan y la diferencia constante se designa por focos
Si y son los focos, es la diferencia constante y un puntocualquiera, entonces
resolviendo y ordenando se obtiene , pero en la hipérbola, luego
es la Ecuación Canónica de la Hipérbola
Si entonces
Si entonces No existe intersección con el eje .
Los puntos y se denominan y los puntosvértices del eje realy se llaman Los focos y quedan siempre ubicadosvértices del eje imaginario.
sobre el eje real. La longitud del eje real es , la longitud del eje imaginario es y la longitud del eje focal es .
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La excentricidad en la hipérbola indica la abertura del ángulo determinado por las
asíntotas y en cuyo interior se encuentra la hipérbola. Como , entonces Las asíntotas se obtienen haciendo igual a cero la ecuación de la hipérbola
Si los focos de la hipérbola son y y la diferencia común es , entonces suecuación es
Vértices eje real : Vértices eje imaginario: ;
Focos :
Excentricidad :
Asíntotas :
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La forma general de la ecuación de la hipérbola es
con
o bien con
Ejemplo
Determine coordenadas de los eje real e imaginario, focos, excentricidad, asíntotas y gráfico de
Vértices eje real :
Vértices eje imaginario: ;
Focos :
Excentricidad :
Asíntotas :
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Ejercicios propuestos
1) Determinar vértices eje real e imaginario, focos, excentricidad, asíntotas y gráfico de:
a) b)
2) Obtener la ecuación de la hipérbola si un vértice está en y un foco en
3) Determine la ecuación de la hipérbola centrada en el origen si un foco esta en la longituddel eje imaginario es 6.
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Soluciones
1) a) Vértices eje real:
Vértices eje imaginario:
Focos: 1
Excentricidad:
Asíntotas:
b) Vértices eje real:
Vértices eje imaginario:
Focos: 1
Excentricidad:
Asíntotas:
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2) Ecuación:
3) Ecuación:
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AUTOEVALUACION N
NOMBRE:__________________________________________ SECCIÓN:____
1. Sean los puntos 2 5 6 3 tres puntos no colineales en el plano. Determine:.
del triángulo Perímetro de la altura para el lado Ecuación interiores del triánguloÁngulos
2. Hallar el valor de para que la recta : sea:
Paralela a la recta Perpendicular a la recta
3. Determine la ecuación de la elipse centrada en el origen sabiendo que:
Un foco es y un vértice es
Un foco es y la excentricidad es
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos y y tiene sucentro en la recta
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SoluciónPerímetro del triángulo
Perímetro =
Perímetro ( unidades de longitud )
Ecuación de la altura para el lado Ecuación:
Punto
Resp.:
Ángulos interiores del triángulo:, ;
Valor de para que sea paralela a:
Dado que : Resp.:
Valor de para que sea paralela a:
Resp.:
Un foco es y un vértice es
Resp.: Sugerencia graficar:
Un foco es y la excentricidad es
Resp.: Sugerencia graficar:
Resp.: Sugerencia graficar.
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UNIDAD Nº2INTRODUCCIÓN
AL CÁLCULODIFERENCIAL E INTEGRAL
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Límites
Concepto de límite de un función
Sea la función real Se estudiará qué sucede en las proximidades de . La gráfica de es la siguiente
Observar la siguiente tabla
?
De la tabla se deduce lo siguiente cuando se acerca a 2 por la izquierda, se acerca a 5 ycuando se acerca a 2 por la derecha, también se acerca a 5. Es decir 1) Si se aproxima a 2 por la izquierda y por la derecha en una décima, entonces
se aproxima a 5 por la izquierda y por la derecha en tres décimas,
2) Si se aproxima a 2 por la izquierda y por la derecha en una centésima, entonces se aproxima a 5 por la izquierda y por la derecha en tres centésimas,
3) Si se aproxima a 2 por la izquierda y por la derecha en una milésima, entonces se aproxima a 5 por la izquierda y por la derecha en tres milésimas,
Esto indica que la gráfica de queda comprendida en un rectángulo. Por ejemplo, siconsideramos 1 el rectángulo tiene por lados
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Esto significa que si entonces y si entonces+
De esta situación se puede concluir lo siguiente
lim lim
Concepto de límite
Se dice que una función tiende al límite L L cuando tiende al valor si el valor absoluto de la diferencia L L puede ser tan pequeño como se
quiera siempre que el valor de esté en las proximidades de " ". Esto es válido aún cuando no estédefinida en .
Simbólicamente, Llim
Esto significa que para un valor pequeño positivo arbitrario Les posible determinar otro valor pequeño positivo que depende de tal que Así
, se cumple que L L
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Teoremas sobre límites.
Teorema
Si L y L , entonces L Llim lim
Teorema
Si , entonces lim lim
Teorema
Si , entonces lim lim
Teorema
Si , entonces lim lim
Teorema
Si y son funciones tales que y , entonces:lim lim
a) lim lim lim
b) lim lim lim
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c) con limlim
lim
d) Si , y par, entonces lim lim lim
Teorema
Si , entonces lim lim
Ejemplos
lim
lim
lim
lim Para levantar la indeterminación se debe factorizar
lim lim
Por lo tanto, lim
lim Para levantar la indeterminación se debe factorizar
lim lim
Por lo tanto, lim
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lim Para levantar la indeterminación se debe factorizar
lim lim
Por lo tanto, lim
lim Para levantar la indeterminación se debe factorizar
lim lim
Por lo tanto, lim
lim Para levantar la indeterminación se debe factorizar
lim lim
Por lo tanto, lim
lim Para levantar la indeterminación se debe factorizar
lim lim lim =
Por lo tanto, lim
lim Para levantar la indeterminación se debe racionalizar
lim lim lim ( ) 2
Por lo tanto, lim
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lim Para levantar la indeterminación se debe racionalizar
lim lim lim
lim
Por lo tanto, lim
lim Para levantar la indeterminación se debe racionalizar
lim lim
= lim lim
Por lo tanto, lim
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Ejercicios propuestos
Determine los siguientes límites:
1) lim lim
lim lim
lim lim
lim lim
lim lim
Soluciones
1) lim lim
lim lim
lim lim
lim lim
lim lim
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Límites laterales
Existen funciones definidas por tramos donde es importante obtener límites laterales.
a) indica que nos estamos aproximando a un cierto valor "a" porLímite lateral izquierdonúmeros menores o iguales a él. Si , entonces
b) indica que nos estamos aproximando a un cierto valor "a" por númerosLímite lateral derechomayores o iguales a él. Si , entonces
Así, lim lim lim
Ejemplos
1) Dada la función Determine si lim
lim lim
lim lim
lim lim lim luego no existe
Dada la función . Determine si 1
lim
lim lim =
lim lim
lim lim lim luego existe
) Dada la función
Determine si y si lim lim
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lim lim
lim lim
lim lim lim luego existe
lim lim
lim lim
lim lim lim luego existe
Dada la función
Determine si y si lim lim
lim lim
lim lim
lim lim lim luego existe
lim lim
lim lim
lim lim lim luego no existe
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Ejercicios propuestos
1) Dada la función ¿ ?lim
2) Dada la función
Determine si lim
3) Dada la función
Determine si lim
4) Dada la función
Determine si lim
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Soluciones
1) lim lim
lim lim
luego no existe 4
lim lim lim
2 lim lim
lim lim
luego existe lim lim lim
3 lim lim
lim lim
luego no existe lim lim lim
4) lim lim
lim lim
luego existe lim lim lim
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Continuidad
Sea una función real, entonces se dice que es contínua en si, y sólo si
existe
existelim
lim
Ejemplos
Analizar la continuidad en
Solución
Punto de análisis
lim lim Es posible levantar la indeterminación
lim lim
Por lo tanto, lim
lim
Luego es discontinua en En este caso es posible redefinir la función de modo de hacerla continua
Este tipo de discontinuidad recibe el nombre de discontinuidad evitable
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Solución
Punto de análisis
lim lim
lim lim
lim lim lim , por lo tanto
lim
Luego es continua en
Puntos de análisis
Para
lim lim
lim lim
lim lim lim , por lo tanto no existe
Como no se cumple la condición de continuidad se concluye que es discontinua en
Para
lim lim
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lim lim
lim lim lim , por lo tanto
lim
Luego es continua en
Del análisis anterior, se concluye que es discontinua en el intervalo ,
Puntos de análisis
Para
lim lim
lim lim
lim lim lim , por lo tanto
lim
Luego, es continua en
Para
lim lim
lim lim
lim lim lim , por lo tanto
lim
Luego es continua en Del análisis anterior, se concluye que es continua en el intervalo
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Ejercicios Propuestos
Analizar la continuidad en
VIR
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Soluciones
lim lim
Luego es continua en
2 ; lim lim
No existe lim
Luego es discontinua en
3 Para Para
lim lim
lim lim
Existe No existe lim lim
lim
Luego es continua en Luego es discontinua en
Por lo tanto, es discontinua en el intervalo
4 Para Para
lim lim
lim lim
Existe Existe 7
lim lim
lim lim
Luego es continua en Luego es continua en
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Por lo tanto, es continua en el intervalo Otros estilos de ejercicios asociados a la continuidad son los siguientes:
Ejercicios Resueltos:
Determine el valor de para que la función sea continua en todo su dominio.
Solución
Para que la función sea continua debe cumplirse la condición
lim lim
Luego la función es
Para que la función sea continua debe cumplirse la condición
lim lim lim lim
Luego la función es
Determine el valor de y de para que la función sea continua en todo su dominio
Para que la función sea continua debe cumplirse la condición
lim lim lim lim
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lim lim lim lim
De y se obtiene un sistema de ecuaciones
de donde
Luego la función es
Determine el valor de y de para que la función sea continua en todo su dominio
Para que la función sea continua debe cumplirse la condición
lim lim lim lim
lim lim lim lim
De y se obtiene un sistema de ecuaciones
de donde
Luego la función es
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Ejercicios Propuestos
Determine el valor de " " para que la función sea continua en todo su dominio:
Determine los valores de " " y " " para que la función sea continua en todo su dominio:
Soluciones
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AUTOEVALUACIÓN N
NOMBRE:__________________________________________ SECCIÓN:____
1. Resolver los siguientes límites:
lim lim
33 3
3lim
. Analizar la continuidad de la siguiente función
. Determine el valor de " " para que la función sea continua en todo su dominio:
. Determine los valores de " " y " " para que la función sea continua en todo su dominio:
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Solución1. Resolver los siguientes límites:
1 lim
lim lim
lim lim
1 Resp.: Resp.: 3
3 33
lim lim
2 Analizar la continuidad de la siguiente función:
Resp.: Para la función es contínuaResp.: Para la función NO es presenta continuidad
) Determine el valor de " " para que la función sea continua en todo su dominio:
; Resp.:
Determine los valores de " " y " " para que la función sea continua en todo su dominio:
lim lim
lim lim
Resolviendo para el sistema de ecuaciones:
Resp.
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Derivada
Sea una función real y sean y dos puntos de es una recta secante a , luego la pendiente de es
incremento de ordenadasincremento de abscisas
Como entonces
Así,
Si se aproxima a , tiende a cero y la recta recta secante se transforma en la recta ,que es la recta tangente a en el punto Es decir,
lim es la pendiente de la recta tangente a en el
punto con
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Concepto de derivada de una función
Si es una función, entonces la derivada de en es
si el límite existe.lim
Notación
lim
Teoremas
Teorema1: es derivable en si existe .
Teorema 2: es derivable en el intervalo si lo es en cada punto del intervalo. Teorema 3: Si es derivable en , entonces es continua en
El cuociente se denomina .Cuociente de Newton
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Interpretaciones de la derivada
I) Geometría Analítica
a) Si , entonces la derivada representa la lim pendiente
de la recta tangente a en el punto El punto debe pertenecer a la funciónpara ser el punto de tangencia.
Si es punto de tangencia de la curva entonces es posible establecer lasecuaciones de dos rectas
Recta Tangente
Recta Normal
La recta tangente y la recta normal son perpendiculares en el punto de tangencia.
b) Si , entonces representa, además, la lim razón instantánea de
cambio de con respecto a .
II) Física
Velocidad media
Si es la función de posición de un objeto en movimiento rectilíneo, entonces la velocidaddel objeto en el intervalo es
Velocidad o velocidad instantánea
Si es la función de posición de un objeto en movimiento rectilíneo, entonces la velocidaddel objeto en el tiempo es
lim
Rapidez
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Aceleración
Si es la función de posición de un objeto en movimiento rectilíneo, entonces suaceleración en el instante es
lim
Reglas de derivación
1) Si , una constante, entonces :
2) Si , un número racional, entonces
3) Si y una constante, entonces
4) Si , entonces
5) Si , entonces
6) Si con , entonces
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Ejemplos
I) Obtener en
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II) Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la función en el punto de tangencia dado.
Recta tangente Recta normal
Recta tangente Recta normal
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III)1)La altura en el instante de una moneda que se deja caer es con medida enpies y medido en segundos. Hallar
a) velocidad media en el intervalo
Así la velocidad media es de pies/seg.
b) velocidad instantánea en y
la velocidad instantánea en es pies/seg. y en es pies/seg.
c) ¿cuánto tarda en llegar al suelo?
en llegar al suelo tarda aproximadamente segundos
2) La velocidad de un automóvil que parte del reposo es , en m/seg. Hallar la aceleración
tras :
a) 5 segundos. b) 10 segundos c) 15 segundos
la aceleración a los segundos es de m/seg 2
la aceleración a los segundos es aproximadamente de m/seg 2
la aceleración a los segundos es aproximadamente de m/seg 2
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Ejercicios propuestos
I) Obtener en
2)
3) 4)
II) Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la función en el punto de tangencia dado.
; 2) ;
III) 1)La altura en el instante de un cuerpo que se deja caer es con medida enmetros y medido en minutos. Hallar
a) velocidad media en el intervalo b) velocidad instantánea en y c)¿cuánto demora en llegar al suelo?
2) La velocidad de un tren que parte del reposo es , en km/hr. Hallar laaceleración tras :
a) horas. b) 3 horas. c) 90 minutos.
Soluciones
I) ) )
) 4)
II) ) Recta tangente: Recta normal:
) Recta tangente: Recta normal:
III) 1) a) Veloc media: b) Veloc instantánea: => => c) En llegar al suelo tarda aproximadamente
2) a) La aceleración a las 2 horas es de b) La aceleración a las 3 horas es de c) La aceleración a los 90 minutos es de m 2
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Regla de la cadena
a) Si es una función derivable y es también una función derivable, entonces
b) Si es una función derivable, es una función derivable y estambién una función derivable, entonces
c) Si , entonces
Ejemplos
Obtener en
VIR
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6)
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Ejercicios propuestos
Obtener en
2)
3)
4)
5)
Soluciones
1) 2)
3)
4)
5)
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Derivación Implícita
Hasta el momento se han derivado funciones explícitas, es decir, funciones de la forma .Ahora, se derivarán funciones implícitas, es decir, funciones en las cuales la variable dependiente noaparece despejada. Son funciones explícitas
Son funciones implícitas
Para derivar funciones implícitas se usa el proceso de derivación implícita que consiste en derivartanto la variable x como la variable y usando las reglas de derivación ya conocidas y cada vez que sederive la variable y, variable dependiente, se debe agregar
Ejemplos
2
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Ejercicios Propuestos
Obtener en
2)
3) 4)
5)
Soluciones
1) 2)
3) 4)
5)
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Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas
1) Si con , entonces :
2) Si con , entonces
3) Si con , entonces
4) Si con , entonces
Ejemplos
Obtener en
VIR
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Derivación logarítmica
Hasta el momento se han derivado expresiones de la forma o , es decir,expresiones en las cuales la base o el exponente de una potencia son variables. Ahora, se derivaránexpresiones en las cuales tanto la base como el exponente son variables. Para este tipo de expresiones seusa la Este estilo de derivada consiste en aplicar a la función dada la funciónderivación logarítmica.logaritmo natural y recordar la siguiente propiedad
Después que se aplica esta propiedad se deriva en forma implícita.
Ejemplos
Obtener en
VIR
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Ejercicios propuestos
Obtener en
2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
Soluciones
1)
2)
3)
4)
5)
6) 7)
8)
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Derivada de funciones trigonométricas
1) Si con , entonces
2) Si con , entonces
3) Si con , entonces
4) Si con , entonces
5) Si con , entonces
6) Si con , entonces
Ejemplos
Determine en
VIR
GIN
IO G
OM
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VIR
GIN
IO G
OM
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Ejercicios propuestos
Determine en
2)
3) 4)
5) 6)
Soluciones
1)
2)
3)
4)
5)
6)
VIR
GIN
IO G
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Derivada de funciones trigonométricas inversas
1) Si con , entonces
2) Si con , entonces
3) Si con , entonces
4) Si con , entonces
5) Si con , entonces
6) Si con , entonces
Ejemplos
Determine en
VIR
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GIN
IO G
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Ejercicios propuestos
Obtener en
2)
3) 4)
5)
Soluciones
1) 2)
3) 4)
5)
VIR
GIN
IO G
OM
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Derivadas de orden superior
es una función real que al derivarla, es decir, al obtener obtenemos otra funciónque depende de , por lo tanto, se puede volver a derivar y así obtener la segunda derivada
. Pero, a su vez, es también una función, luego es posible derivarla y así obtener la
tercera derivada y así sucesivamente. En general, si tiene derivadas, entonces la ésima derivada será
Ejemplos
Determinar todas las derivadas de
2) Obtener en
VIR
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VIR
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Ejercicios propuestos
Determinar todas las derivadas de:
Obtener en:
VIR
GIN
IO G
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Soluciones
1)
VIR
GIN
IO G
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Aplicación de la derivada
A) Gráfico de curvas
Conceptos
a) Valores extremos
Sea una función definida en un cierto intervalo I donde I, entonces
1) es el de en I si, y sólo si I.mínimo
2) es el de en I si, y sólo si I.máximo
Criterios de la primera derivada
b) Valor crítico
Si es una función que existe para , entonces se dice un de si, yvalor críticosólo si . El punto se denomina de punto crítico
c) Intervalos de crecimiento y/o decrecimiento
Si es una función definida en un cierto intervalo I, entonces
1) es en I si, y sólo si I.creciente
2) es en I si, y sólo si I.decreciente
d) Concavidad
Si es una función definida en un cierto intervalo I, es derivable en I, entonces
1) es en I si, y sólo si es creciente en I.cóncava hacia arriba
2) es en I si, y sólo si es decreciente en I.cóncava hacia abajo
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Criterios de la segunda derivada
e) Valor de inflexión
Si es una función definida en un cierto intervalo I que existe para , entonces sedice un del gráfico de si, y sólo si . El punto se denominavalor de inflexiónpunto de inflexión del gráfico de
f) Intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo
Sea es una función definida en un cierto intervalo I, entonces
1) es en I si, y sólo si I.cóncava hacia arriba
2) es en I si, y sólo si I.cóncava hacia abajo
g) Valores máximos y/o mínimos
Si es un valor crítico de , entonces el punto es un
1) relativo de si, y sólo si .máximo
2) relativo de si, y sólo si mínimo
Ejemplos
Determine puntos críticos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, puntos de inflexión,intervalos de concavidad, puntos de máximos y/o mínimos y gráfico de
Puntos críticos
Punto crítico
Intervalo de crecimiento y decrecimiento
IntervaloValor de pruebaSigno de Conclusión decreciente creciente
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Punto de inflexión
Falso
Por lo tanto, no existe punto de inflexión.
Intervalos de concavidad
Como entonces es siempre cóncava hacia arriba.
Punto de máximo y/o mínimo
Luego es un mínimo de
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100
Puntos críticos
=
Puntos críticosIntervalo de crecimiento y decrecimiento
IntervaloValor de pruebaSigno de Conclusión creciente decreciente creciente
Punto de inflexión
Punto de inflexión
Intervalos de concavidad
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101
Punto de máximo y/o mínimo
Luego es un mínimo de
Luego es un máximo de
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102
Ejercicios propuestos
Determine puntos críticos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, puntos de inflexión,intervalos de concavidad, puntos de máximos y/o mínimos y gráfico de
1)
Soluciones
Puntos Críticos:
Intervalos de crecimiento y/o decrec.:
Punto de Inflexión: No existe punto de inflexión.
Intervalo de Concavidad: siempre es cóncava hacia arriba.
Punto de máximo y/o mínimo: es un mínimo de .
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2 Puntos Críticos:
Intervalos de crecimiento y/o decrec:
Punto de Inflexión: No existe punto de inflexión.
Intervalo de Concavidad: siempre es cóncava hacia abajo.
Punto de máximo y/o mínimo: es un máximo de .
3 Puntos Críticos:
Intervalo de crecimiento y/o decrec: : 1
Punto de Inflexión:
Intervalo de Concavidad:
Punto de máximo y/o mínimo: es un mínimo de es un máximo de
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104
4 Puntos Críticos: 4 4
Intervalo de crecimiento y/o decrec: : 1
Punto de Inflexión:
Intervalo de Concavidad:
Punto de máximo y/o mínimo: 4 es un mínimo de 4 es un máximo de
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105
B) Problemas de aplicación de máximos y/o mínimos
Procedimiento
1) Realizar un dibujo esquemático.
2) Asignar variables a cada una de las cantidades mencionadas en el problema.
3) Establecer una ecuación que represente lo que se desea maximizar o minimizar
4) Transformar la ecuación anterior en una ecuación que depende de una sola variable usandotoda la información del problema.
5) Determinar el punto crítico de la ecuación encontrada en 4 . Este valor será un máximo si elproblema es maximizar o un mínimo si el problema consiste en minimizar.
Ejemplos
1) Una caja cerrada con una base cuadrada debe tener un volumen de 64 m . El material de la parte de3
encima y el fondo de la caja cuesta $1000 por m y el material de los lados $500 el m . Calcular las2 2
dimensiones de la caja cuyo costo de construcción es mínimo.
Las dimensiones de la caja son base m y altura m.
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106
2) Un impresor recibe un pedido para producir un cartel rectangular que contiene 100 cm de2
impresión rodeado de márgenes de 1 cm. a cada lado, 3 cm. en la parte superior y 2 cm. en la parte inferior.¿Cuáles son las dimensiones del cartel más economico
Las dimensiones del cartel son largo cm. y ancho cm.
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107
3) En una ribera de un río de 3 km. de ancho hay una planta eléctrica. En la ribera opuesta y 4 km.aguas arriba hay una fábrica. Se desea tender un cable desde la planta eléctrica hasta la fábrica. calcular eltrazado más económico, si el metro de cable bajo el agua tiene un costo de $1200 y el metro de cable aéreotiene un costo de $720.
El trazado más económico es 3.75 m. bajo agua y 1.75 m. aéreo
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108
Ejercicios propuestos
1) Una caja cerrada con una base rectangular en la cual la altura es el triple de un de los ladosbasales, debe tener un volumen de 48 m . El material de la parte de encima y el fondo de la caja cuesta3
$2.500 por m y el material de los lados $1.500 el m . Calcular las dimensiones de la caja cuyo costo de2 2
construcción es mínimo.
2) Con una malla de 48 mt se desea construir un corral aprobechando una pared. ¿Cuáles deben serla dimensiones para que el área sea máxima, si el corral tiene forma rectangular?.
3) Con una plancha de 144 cm por 96 cm se construirá una caja. ¿Cómo deben ser los cortes paraque el volumen de la caja sea máximo?.
4) Un rectángulo tiene un perímetro de 120 mt. ¿Qué largo y ancho da el área máxima?.
5) La diferencia entre dos números es 20. ¿Cuáles son aquellos en que su producto es mínimo?.
6) Se desea construir un depósito en forma de cilindro con capacidad máxima para 12 litros.Determinar las dimensiones con el fin de emplear la mínima cantidad de material.
Soluciones
1) Largo: 16 ; Ancho: ; Alto:
2) Largo: 24 mt ; Ancho: 12 mt
3) Cortes cuadrados de 18,83 cm x 18,83 cm
4) Largo: 30 mt ; Ancho: 30 mt
5) Números:
6) Radio: Altura
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C) Problemas de variaciones relacionadas
Procedimiento
1) Asignar variables a todas las cantidades dadas y las cantidades a determinar.
2) Determinar una ecuación que represente al problema.
3) Derivar implícitamente con respecto al tiempo.
4) Sustituir en la ecuación resultante todos los valores conocidos de las variables y sus razones decambio.
Ejemplos
1) Una escalera de 25 pies de largo está apoyada en una casa. Si la base de la escalera se separa de la pareda razón de 2 pies/seg. ¿A qué velocidad está bajando su extremo superior cuando la base está a 7 pies de lapared?.
piesseg.
?
derivando, implícitamente, con respecto al tiempo
El extremo superior decrece a razón de 7 pies/seg.
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110
2) Se arroja arena en un montón cónico a razón de 100 pies /min. Hallar la razón de cambio de la altura del3
montón cuando su altura es 10 pies. Suponga que el radio del cono es igual a su altura .
pies ?piesmin.
3
como , se tiene
derivando implicitamente con respecto al tiempo
La altura del montón cónico crece a razón de pies/min.1
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111
3) Un automóvil que se desplaza a razón de 120 km/hr., se aproxima a un cruce. Cuando el auto está a1km. de la intersección, un camión que viaja a 150 km/hr. cruza la intersección. El auto y el camión seencuentran en carreteras que forman un ángulo recto entre sí. ¿Con qué rapidez se separan 1 minutodespués que el camión pasa el cruce?.
;km kmhr hr
km minutos km minutos
km minuto km km minuto km
un minuto después
derivando implicitamente con respecto al tiempo
Como , entonces . Luego
El auto y el camión se separan a una velocidad de km/hr después que el camión pasa por el cruce.
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Ejercicios Propuestos
1) La razón de cambio del radio de un círculo es de 5 mt/min. ¿Cuál es la velocidad de cambio delperímetro?
2) El largo de una parcela rectangular aumenta a razón de 7 mt/min ¿Cuál es la velocidad de cambiodel perímetro de la parcela si su ancho permanece constante?
3) Se infla un globo a razón de 1.800 cm /sg. Determinar la velocidad de aumento del radio del3
globo cuando este mide 15 cm.
4) Se deposita agua en un tambor cilíndrico a razón de 400 cm /sg. Si el radio del tambor es 10 cm,3
determinar la razón de cambio de la altura del tambor.
Soluciones
1) El perímetro del círculo crece a razón de 10 mt/mín.
2) La velocidad de cambio del perímetro de la parcela es de 14 mt/min.
3) El radio del círculo crece a razón de cm/sg.2
4) La altura del tambor aumenta a razón de cm/sg.4
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113
AUTOEVALUACION N
NOMBRE:__________________________________________ SECCIÓN:____
I. Obtener en
2)
3)
4)
5)
6)
7
8)
9)
10)
II. Determine puntos críticos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, puntos de inflexión,intervalos de concavidad, puntos de máximos y/o mínimos y gráfico de
2
III. Se debe construir una canaleta horizontal con una plancha de 8 cm de ancho, doblandoverticalmente hacia arriba y en partes iguales ambos costados. ¿Cuántos cm debe doblarse cada lado paraobtener la máxima capacidad?
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Respuestas:I)
II) Puntos criticos: No existen Intervalo de crecimiento: + Intervalo de decrecimiento: No existe. Punto de inflexión: (3 ,1) Intervalo de concavidad hacia abajo: 3 Intervalo de concavidad hacia arriba: 3,+
III) Se debe doblar cada lado 2 cm.
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Integral Indefinida
Hasta el momento se han resuelto problemas donde dada la sefunción original o primitiva ha derivado y así se ha encontrado otra función . Desde ahora se realizará el proceso inverso, esdecir, conocida la se deberá encontrar su primitiva . A este procesofunción derivadamatemático se le denomina .integración indefinida
Por ejemplo, si , entonces Sin embargo no es la única primitiva, también lo son, por ejemploEn general, , donde denota una constante, es la primitiva de .
es la función primitiva o antiderivada o integral indefinida de la función derivada ,esto se denota por
Así,
Integrales inmediatas
1)
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Propiedades
es constante
Ejemplos
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Ejercicios propuestos
1.
Soluciones
.
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118
Métodos de Integración
A) Cambio de variable o sustitución simple
Este método consiste en transformar una integral en una integral inmediata. Para ello se utiliza una
variable auxiliar y su correspondiente diferencial o derivada, es decir, si en se hace ,
entonces y la integral queda
Ejemplos
En general: e
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119
Por lo tanto:
Por lo tanto:
VIR
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120
Por lo tanto: +
Por lo tanto:
En general:
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121
En general:
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122
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123
Ejercicios propuestos
4
.
Soluciones
2
.
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124
B) Integración de monomios en seno y coseno
a) Si n o m es impar o uno de ellos nulo
El factor de potencia impar se descompone en un producto de dos factores uno siempre conexponente uno y el otro con el exponente par para completar la potencia original. Con el factor deexponente par se debe usar la identidad fundamental
Ejemplos
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125
b) Si n y m son pares o uno de ellos nulo
Se usa la sustitución
Ejemplos
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126
luego,
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127
Ejercicios propuestos
.
Soluciones
.
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128
C) Integración por partes
De la derivada de un producto se tiene
Sea entonces entonces
Luego,
luego:
se conoce como integración por partes
Algunos de los casos más usuales son
a) En la integral aparece un factor que no tiene integral inmediata. Para resolverla se asigna aeste factor y a lo restante
Ejemplos
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129
b) En la integral aparecen dos factores ambos integrables en forma inmediata o por sustituciónsimple y uno de ellos es una potencia de . Para esta situación es la potencia y lo restante.
Ejemplos
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130
c) En la integral aparecen dos factores ambos integrables en forma inmediata o por sustituciónsimple, pero ninguno de ellos es una potencia de . Para este caso la elección de es arbitraria, pero debeconservarse la característica de la función elegida para en todas las integrales que deban desarrollarse porparte en el ejercicio.
Ejemplos
Se resolverá primero considerando
Se resolverá ahora considerando
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131
Este ejemplo muestra que la elección de es absolutamente arbitraria.
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132
Ejercicios propuestos
.
Soluciones
.
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133
D) Sustitución trigonométrica
Se usa en expresiones de la forma
En se tiene
En se tiene
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134
En se tiene
Ejemplos
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135
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136
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137
Ejercicios propuestos
.
Soluciones
.
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138
AUTOEVALUACION N
NOMBRE:__________________________________________ SECCIÓN:____
8 9
1 )
Respuestas:
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139
Integral Definida
Sea R el área de una región formada por la función , el eje X y las rectas
es una función continua en el intervalo y Para determinar el área bajo la curva se efectuará el siguiente proceso. Suponga que se divide el intervalo en n subintervalos donde
Los puntos no están necesariamente a igual distancia La longitud de cada subintervalo es
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140
Se escoge un punto cualquiera de cada subintervalo que se denota por
es un punto de
es un punto de
es un punto de
es un punto de
es un punto de
Luego se determina la imagen de , es decir, que será en forma aproximada el valor de laaltura de cada rectángulo que tiene como base una longitud de Se forma la suma
que equivale en forma aproximada al área comprendida entre y Sin embargo, si entonces y la suma tiende a un valor que es el área bajola curva. Es decir,
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141
lim lim lim
El valor al cual tiende el límite se denomina de en el intervalo y seintegral definidadenota por
Así, lim
Por lo tanto, la integral definida representa el área bajo la curva , entre y el eje X.
Area positiva y negativa
Según la interpretación de la integral definida se ha supuesto que
. En este caso se debe determinar cuál es el punto para el cual en el gráfico correponde a y luego determinar cada área por separado de la siguiente forma
se aplica valor absoluto pues el área entre y está bajo el eje X,
Por lo tanto, toda área sobre el eje X es positiva y toda área bajo el eje X es negativa. Luego, cadavez que aparezca un área bajo el eje X debe aplicarse valor absoluto.
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142
Propiedades de la integral definida
1) Si una función es continua en el intervalo , entonces es integrable en el intervalo .El recíproco no siempre es válido.
2) es constante
3)
4) Si entonces
5)
6) Si se tiene una integral definida se evalúa como
Ejemplos
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143
VIR
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144
Ejercicios propuestos
3
Soluciones
=
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145
Área en Coordenadas Rectangulares
Debido a la interpretación geométrica de la integral definida como área es posible efectuar elcálculo de áreas de curvas de la forma .
Área entre una curva y el eje X
Para este tipo de ejercicios se calcula el área de la forma
Ejemplos
Determinar el área encerrada por , el eje X y las rectas
en
u. de a.
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146
en
Interseción eje X
u. de a.
en
VIR
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147
Por simetría
u. de a.
en
u. de a.
en
Por simetría
VIR
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148
u. de a.
VIR
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149
Ejercicios propuestos
Determine el área de la región comprendida por , el eje X y las rectas .
en
en
en
en
Soluciones
u. de a. u. de a.
u. de a. u. de a.
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150
Área entre curvas
Sea , entonces el área comprendida entre y
Esta expresión es también válida si está bajo el eje X
VIR
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151
Ejemplos
Determinar el área encerrada por las curvas respectos al eje X y al eje Y.
Intersección de las curvas
;
;
Área respecto al eje X Área respecto al eje Y
u. de a.
u. de a.
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152
Interseción entre las curvas
Área respecto al eje Y
u. de a.
Área respecto al eje X
u. de a
VIR
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153
Intersección de las curvas
Área respecto al eje X Área respecto al eje Y
u. de a.
u. de a.
VIR
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154
Ejercicios propuestos
Determine el área encerrada por las curvas, para ello plantee por ambos ejes, pero resuelva sólouna de las dos integrales.
Soluciones
Respecto eje X Respecto eje Y
[u. de a.]
Respecto eje X Respecto eje Y
u. de a.
VIR
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155
Respecto eje X Respecto eje Y
u. de a.
Respecto eje X Respecto eje Y
u. de a. u. de a.
Respecto eje X Respecto eje Y
u. de a.
Respecto eje X Respecto eje Y
u. de a. u. de a.
Respecto eje X Respecto eje Y
u. de a. u. de a.
Respecto eje X Respecto eje Y
u. de a.
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156
AUTOEVALUACION N 4
NOMBRE:__________________________________________ SECCIÓN:____
I) Encontrar el valor de las integrales definidas:
a) b)
c) d)
e)
II) Determine el área encerrada por las funciones:
a)
b)
: Respuestas
I)
a) 9
b)
c)
d)
e)
II)
a) Resp: unidades de área
b) Resp: unidades de área