PROGRAMA DE FORMACION REGULAR

Alumno (s):

Cabrera Gonzales Jose Alberto

Luque Giron Roberth Junior

Yucra Quispe Yanina Pamela

Programa : MANTENIMIENTO DE PLANTA Nota:

Profesor :

Choquehuayta Guillen Juan Roberto

Fecha de entrega : 02 12 13 Hora: 08:05

CURSO: MATEMATICA I

ALGUNAS APLICAIONES DE LA MECANICA A LAS MATEMATICAS

Un Problema De La Teora De Los Nmeros (RESOLUCION)

I. INTRODUCCIN

En esta monografa se hacen algunas muy breves reflexiones sobre las

matemticas y sus aplicaciones. Se trata de contribuir a contestar la pregunta

muy frecuente acerca de lo necesario o no de las matemticas, principalmente

en carreras de ingeniera, ciencias sociales, ciencias naturales, etc.

La historia de la ciencia muestra claramente que muchas teoras matemticas

tuvieron como origen problemas prcticos.

En la actualidad las matemticas han crecido mucho y se puede hablar de

matemticas puras, como la parte que desarrolla teoras para resolver problemas

e inventar ms teora dentro de las propias matemticas.

Sin embargo es posible, tanto resolver un problema de una teora matemtica ya

existente, como crear una nueva teora de un problema prctico. Tambin es

posible resolver un problema prctico de una teora matemtica que haya

permanecido como pura durante muchos aos. La misma realidad muestra que

toda teora matemtica es candidata a ser usada para resolver algunos

problemas prcticos.

II. OBJETIVO

Las aplicaciones de las matemticas en la fsica (particularmente en la mecnica) son

ampliamente conocidas: para convencerse de esto es suficiente abrir un manual escolar.

Los apartados superiores de la mecnica requieren un aparato matemtico ms complejo

y delicado.

III. APLICACIN REAL

UN PROBLEMA DE LA TEORA

DE LOS NMEROS (RESOLUCIN)

Demos a nuestro problema una nueva interpretacin mecnica. En lugar de k lnea de los nmeros P , , P2, .... P examinemos un vastago (fig. 32a) cargado en los puntos Aly A2, A {tales que A,A2 A2A3 =

y el sistema , compuesto de dos cargas de peso P cada una de ellas (est expuesto por encima del vastago en la fig. 32, b). Al pasar al sistema derivado de cargas, todas las cargas del sistema quedan en sus lugares respectivas, mientras que las cargas

del sistema van aproximndose, desplazndose cada una a una distancia igual (para sumarse a los trminos medios!). En otras palabras, el sistema derivado a' es una reunin de dos sistemas,

y a', de Ipp cuales el sistema a' coincide con el sistema a y el sistema 5t' se obtiene del sistema a, cuando ambas cargas de este ltimo sistema se aproximan a la distancia igual. Como, evidente-mente, ' y a son equivalentes, entonces, en virtud de la afirma-cin III del 5, son tambin equivalentes los sistemas ot y a'. Mientras tanto, los centros materiales de los sistemas equivalentes coinciden.

As pues, al pasar del sistema de cargas a su derivada, el centro material (y, por lo tanto, el centro de gravedad) del sistema no cambia. Por consiguiente, ste tampoco se altera al pasar del sistema original a su caracterstica.

De este modo, la caracterstica es una carga o dos cargas puntuales que tienen el mismo centro de gravedad que el sistema original de cargas. Indiquemos, adems, que las posiciones de las cargas puntuales, que constituyen la caracterstica, coinciden con las posiciones de ciertas cargas del sistema original, es decir, con algunos de los puntos A, ..., A. Si la caracterstica contiene dos cargas, estas cargas estn dispuestas en los puntos vecinos Aj y A j + 1 , mientras que el centro de gravedad de la caracterstica se dispone entre estos ltimos puntos. Por esta causa, la caracterstica se compone de una sola carga, si, y slo si, su centro de gravedad (o, que es lo mismo, el centro de gravedad del sistema original) coincide con uno de los puntos Al% ..., A.

De acuerdo con el 8, el centro de gravedad del sistema

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original tiene por abscisa

donde a v , . . . , a son abscisas de los puntos Au ..., A. Si hacemos que a = 1, a2 2 o n, entonces la abscisa del 'centro de gravedad se expresar por medio de la frmula

Para que el centro de gravedad se haga coincidente con uno de los puntos de nmero entero Au A2, An, es necesario y suficiente que su abscisa se exprese por un nmero entero. De aqui se deduce en definitiva que la caracterstica de la lnea Plt P2, ..., P se compone de un trmino solo en aquel nico caso, cuando el nmero

es igual a Este nmero nunca puede ser entero

(a excepcin de un caso trivial, cuando n = 1). bn efecto, si este nmero fuera entero, seria tambin entero el nmero 4 4 - t ~ - 4 v - En este caso tambin lo sera la diferencia

2 2 + 1)

.. . . . M + 1 . , , Mas, el numero es entero solo en el caso en que 2n + 1

n 1 = 0. As pues, para n > 1, la caracterstica de la lnea 1, 4, 9, 2 siempre se compone de dos nmeros.

Si Py = 1, P2=2, P = n, entonces (vase ejemplo 1 2 n + 1 del 8) el nmero - ser el valor de la expresin

P, 1 + ... + Pn-n c. , , . . 2n + 1 . Si n = 3k + I, el numero r = 2k + 1 + + 3

es entero y la caracterstica se compone de un solo trmino.

Si n = ik, entonces ' = 2k + si n - 3/c + 2, entonces

, en ambos llirnos casos no es un

nmero entero y la caracterstica se compone de dos trminos. Con esto queda demostrada la primera parte del teorema enunciado al final del prrafo anterior.

el centro de gravedad del sistema de las cargas 1, 2. . . . , n tiene por abscisa, como acabamos de mostrar,

y, por lo tanto, est dispuesto entre los puntos An y /42 +

Por esta razn, precisamente en estos puntos se ubican las cargas que forman la caracterstica del sistema inicial. Puesto que el centro de gravedad result dos veces ms prximo al punto A2k que al punto A2k.m> entonces.de dos cargas de la caracterstica la que se dispone en A2k es dos veces mayor que la carga dispuesta en /4 2 l + ) . Obtenemos de este modo que para = el primer trmino de la caracterstica es dos veces mayor que el segundo. Si, ahora, n = 3/c + 2, la abscisa del centro de gravedad es igual

El centro de gravedad, en este caso, se dispone

entre los puntos A2 I + 1 y k 2 k + 2 , siendo dos veces ms prximo al segundo de estos puntos. Por eso, la carga (de la caracterstica) dispuesta en el segundo punto es dos veces mayor que la carga en el primer punto; en otras palabras, el segundo trmino de la caracterstica es dos veces mayor que el primero. Con esto queda completamente demostrado el teorema del 9.

La suma de los trminos de la caracterstica de la lnea 1, 2, n es igual a la suma de los trminos de la propia lnea,

- (vase ejemplo 1 del 8).

Al conocer que uno de los trminos es dos veces mayor que el otro, podemos calcular tambin los propios trminos. Obtenemos

para stos los valores siguientes: (el trmino menor) y

En definitiva, la caracterstica de la linea 1, 2, . . . , n tiene la siguiente forma

(el t r m i n o mayor) .

En el caso general, para calcular la caracterstica de la linea Px P se debe proceder de la siguiente manera. Hllese ante todo l nmero

Si x es un nmero entero, la caracterstica se compone de un solo trmino cuyo valor es igual a la suma P, + P2 + ... + P. Si .* no es entero, se debe representarlo en la forma

donde y es entero y 0 < ; < 1. La caracterstica se compone, en este caso, de dos nmeros, Q, y Q2, con la particularidad de que

Dado que y Q2 pueden imaginarse como las cargas que estn dispuestas en los puntos con las abscisas y e y + 1, y que tienen el centro de gravedad en un punto cuya abscisa es x, entonces (de acuerdo con el 5):

Al resolver el conjunto (I) y (2), hallamos Qt y Q2:

A ttulo del ltimo ejemplo, hallemos la caracterstica de la linea I, 4, 9, . . . , n3 ( > ! ) . Ya hemos visto que en este caso

la caracterstica consta de dos nmeros. Para calcular

los trminos de la caracterstica debe, al principio, hallarse z. Con este objeto hagamos n - 4k + r, donde r = 0, 1, 2, 3. Entonces

V. CONCLUSIONES

Todos los problemas que hasta ahora hemos examinado pudieron ser resueltos

por medio de los mtodos puramente matemticos. Sin embargo, no debe

pensarse que el uso de los razonamientos mecnicos para resolver los problemas

matemticos es solamente un ejercicio para la mente. Los mtodos semejantes

llevan la importancia tanto histrica como prctica.Se pudo notar el por qu las

industrias que cuentan con una mquina trmica buscan fuentes de agua naturales

y espacios alejados, esto debido a que uno de los principios de la segunda ley son

fuentes de baja y elevadas temperaturas que puedan mantenerse persistentes sin

importar la transferencia de calor.

La aplicacin de las leyes mecnicas a las matemticas es un caso particular del

mtodo general que consiste en el empleo recproco de las relaciones existentes

entre los fenmenos de la naturaleza y su descripcin matemtica. Describir

matemticamente cierto fenmeno significa deducir las frmulas que permiten

calcular las caractersticas fsicas de este fenmeno (velocidades, temperaturas,

distancias, etc.), o bien las ecuaciones de cuyas soluciones sirven las

caractersticas mencionadas. La utilizacin directa de la descripcin matemtica

consiste en lo que podemos hallar los valores numricos de las caractersticas sin

observar el propio fenmeno, pero realizando los clculos segn las frmulas

correspondientes, o bien resolviendo las, correspondientes ecuaciones. Resulta

conveniente proceder de esta manera en aquellos casos, cuando el propio

fenmeno es complejo, mientras que su descripcin matemtica es sencilla. No

obstante, se puede proceder de la manera inversa: en lugar de calcular los valores

de las frmulas o solucionario.

VI. BIBLIOGRAFA

Nombre del Libro: Algunas Aplicaciones de la Mecnica a las Matemticas

Autor: V. A. Uspenski ,Edicin: 2da Edicin - See more at:

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