Universidad Fermín Toro

Sistema interactivo de educación a distancia

Escuela de Ingeniería

S.A.I.A. Cabudare

Antidiferenciación Integral Indefinida, Propiedades

Maximiliana Rangel Celis

C.I 17127317

Ing. de Telec.

Matemática

S.A.I.A. A

Profesor: Domingo Méndez

El Inverso de la Diferenciación

La operación inversa de la diferenciación se llama antidiferenciación. La adición, la sustracción, la multiplicación, división, extraer raíces, y elevar a potencias, son operaciones inversas.

Definición: Se llama antiderivada de una función f definida en un conjunto D de números reales a otra función g derivable en D tal que se cumpla que:

Teorema: Si dos funciones h y g son antiderivadas de una misma función f en un conjunto D de números reales, entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.

Conclusión: Si g(x) es una antiderivada de f en un conjunto D de números reales, entonces cualquier antiderivada de f es en ese conjunto D se puede escribir como

, c constante real.

Integración

La derivación y la integración son procesos inversos, Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x). Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:

F'(x) = f(x). Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante. [F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Integral indefinida

Es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función. Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee: integral de x diferencial de x. ∫ es el signo de integración. f(x) es el integrando o función a integrar.

f(x) es el integrando o función a integrar. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra. C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real. Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que: ∫ f(x) dx = F(x) + C Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.

Propiedades de la integral indefinida

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones. ∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. ∫ k f(x) dx = k ∫f(x) d

De las reglas de derivación del producto de una constante por una función, de una Suma de funciones y de una diferencia de funciones, se deducen las siguientes propiedades de la integral indefinida:

1ª.- La integral del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la integral de la función.

∫c ⋅ f (x) dx = c ⋅ ∫ f (x)dx

Ejemplo: ∫5cos x dx = 5⋅ ∫cos x dx = 5 sen x + c

2ª.- La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de las

Funciones sumando.

∫𐂕 [ƒ(x) + g(x)] dx = ∫ƒ(x) dx + ∫g(x) dx

Ejemplo: ∫(sen x + cos x) dx = ∫sen x dx + ∫cos x dx =

− cos x + sen x +C

3ª.- la integral de una diferencia de funciones es igual a la diferencia de las

Integrales de las funciones minuendo y sustraendo.

∫[ƒ(x) - g(x)] dx = ∫ƒ(x) dx - ∫g(x) dx