TEMA 6: LA INTEGRAL INDEFINIDA1.- Integral indefinida. Definiciones.2.- ro!iedades de la integral indefinida.".- Integrales in#ediatas.$.- M%todos de integraci&n.1.- Integral indefinida. DefinicionesDefinici&n: Dada una funcin f(x), diremos que la funcin F(x) es una f'nci&n !ri#iti(a de f(x) enel intervalo [a, b], cuando se verifica que:

[ ] b a x x f x F , ), ( ) ( = * Ejemlo: Dada la funcin !" ) ( x x f = , entonces"#) ( x x F = es una rimitiva de f(x),! ) ("!+ = x x Fes otra rimitiva, $ ) ("" = x x F es otra, %%%% orque al derivar F#(x), F!(x) & F"(x) seobtiene f(x)%ro!osici&n: 'i F(x) es una rimitiva de f(x) & ( es una constante, entonces F(x) ) ( tambi*n esuna rimitiva de f(x)%Demostracin: +a demostracin es evidente:'i F(x) es una rimitiva de f(x) = ) ( ) ( x f x F ( ) C x F x f x F C x F C x F + = = + =+ ) ( ) ( ) ( ) ( ) (es tambi*n rimitiva de f(x)%,ero tambi*n se da la roosicin inversa, es decir:ro!osici&n: 'i F(x) & -(x) son dos funciones rimitivas de f(x) en [a, b], entonces su diferenciaes una constante, es decir : CF(x).-(x) /(,siendo ( una constante,aratodoslosuntos de dic0o intervalo%%Demostracin:,or0itesisF(x)&-(x)sonfuncionesrimitivas, entoncesordefinicinderimitiva se verifica que) ( ) ( x f x F = &) ( ) ( x f x G = , & en tal caso tenemos que: ( ) 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = = = x G x F x G x F x G x F [ ] b a x , ,ero &a 0emos visto con anterioridad que si una funcin tiene derivada 1 en todos los untos deun intervalo entonces dic0a funcin es constante en dic0o intervalo, lue2o existe ( constante talque: C x G x F = ) ( ) ( [ ] b a x , En virtud de los anteriores resultados odremos dar la si2uiente definicin de inte2ral indefinida:#Definici&n:+lamaremosintegral indefinidade unafuncinf(x) al conjuntode todas lasrimitivasde lafuncin,es decir, dadaunafuncinrimitiva F(x) de f(x) entonces llamaremosinte2ral indefinida de f(x) al conjunto:

{ } + C C x F : ) (3 dic0o conjunto lo reresentaremos comoC x F dx x f + =) ( ) (%* Ejemlo: Dada la funcin f(x) / "x!, como F(x) / x" es una rimitiva de dic0a funcin, lainte2ral rimitiva ser4 el conjunto de todas las funciones que resultan de sumarle un n5mero real adic0a funcin, es decir:

+ =C C x dx x , "" !* Observacin: Es fundamental tener siemre resente que la inte2ral indefinida de unafuncin es un conjunto de funciones% 2.- ro!iedades de la integral indefinidaa)+ = C x f dx x f ) ( ) (b) = k dx x f k dx x f k ) ( ) (c) + = + dx x g dx x f dx x g x f ) ( ) ( )) ( ) ( (+ademostracindeestasroiedadesesmu&sencillabas4ndoseenlasroiedadesdelasderivadas%".- Integrales in#ediatas.+a tabla de inte2rales inmediatas es una consecuencia directa de la tabla de derivadas que &aconocemos uesto que estamos 0aciendo el roceso inverso%+as inte2rales inmediatas que debemos conocer son las si2uientes:TA)LA DE INTEGRALE* INMEDIATA*!TI+* E,EML+*Ti!o !otencial+=+##axdx xaa- .+= +#6#nfdx f fnn- . = =+= =+7!!7#!"%7!7#!"!""x x xdx x dx x= 7) ! (" 6 ) ! (7 "! 8 "xdx x xTi!o logar/t#ico= x L dxx#- .=f L dxff- .+ =+) # (#xxxe L dxeeTi!o e0!onencial= f fe dx e f % % - .= Laadx a fff% % - . = =x x xe dx e dx e! ! !!#) ! (!# = =878787 % 9 % 7Ldx dxxx x xTi!o coseno = x xdx cos sen- . = f dx f f cos % sen %- . = ="cos ""sen %"#""senxdxxdxxTi!o seno= x x sen cos- .= f dx f f sen % cos %- . + = + = + ) 7 ! sen( ) 7 ! cos( % !!#) 7 ! cos( x dx x dx xTi!o tangente= x dxxt2cos#!- .=f dxfft2cos!- . = + = x x dx x xdx t2 ) # t2 # ( t2! ! ==) " 7 t2(#1#) " 7 ( cos#1#1#) " 7 ( cos!! ! ! !xxxxxTi!o cotangentegx dxx sencot#! =- . =gf dxffcotsen!- . = + = x gx dx x g xdx g cot ) # cot # ( cot! ! = =!! ! ! !" cot:#" sen::#" senx g dxxxdxxxTipo x arc arc 1cos02 sen = =x arc dxxsen##!- .=f arc dxffsen#!- .!! ! 8arcsen!#) ( #!!##x dxxxdxxx == ==xxxxxe dxeedxeearcsen) ( # #! !Ti!o arco tang.13 -arc cotang.2=+ t2x##!arc dxx- .=+f arc dxfft2#!- . =+=+x dxxdxxarct2"###"#" "#! ! =+=+=+) " t2("#) " ( #""#) " ( ##9 ##! ! !x arc dxxdxxdxx$.- M%todos de integraci&n.En este aartado vamos a ver los si2uientes m*todos:";