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Unidades de sUperficie. fracciones

ObjetivosdelaUnidad:

Utilizarás con seguridad las unidades de medidas de longitud,unidadesmétricasdesuperficieyunidadesagrarias,aplicandosuequivalenciapararesolverproblemasdelentorno.

Aplicarás las operaciones de números fraccionarios comunes,utilizandolasreglasyprocedimientospararealizarcorrectamentedichas operaciones al resolver situaciones problemáticas de tuentorno.

MATEMÁTICAUnidad 2

56 Matemática - séptimo Grado

Descripcióndelproyecto

María Inés estudia séptimo grado. De lunes a viernes y en época normal de estudio distribuye en promedio, las 24 horas del día de acuerdo a las actividades que realiza. Se desea averiguar a qué actividad dedica más tiempo, a cuál dedica menos tiempo, en qué orden dedica su tiempo a las diversas actividades, además de otras respuestas.

Las medidas desuperficie

El Sistema Internacional

El metro cuadrado(m2)

Las medidas agrarias

Vara cuadrada (v2)

Manzana (mz)Área (a)

se estudiaran pueden ser

Hectárea

se consideran en

Caballería(cab)

Fracciones

Operaciones

Propias

se transforma

de

Suma

pueden ser

Multiplicación

se representan en la se realizan

Impropias

SimplificarlosResta

Recta numérica

para

Mixtas

Ordenarlos División

séptimo Grado - Matemática 57

Segunda Unidad Lección 1Motivación

Las líneas que limitan algunas figuras como la pizarra, la puerta y la carátula de un libro, definen una característica de los cuerpos. Esta característica se llama superficie. A la medida de una superficie se llama área.

identificarás y determinarás con seguridad los múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado.

identificarás con destreza las unidades métricas de superficie.

convertirás con confianza unidades métricas de superficie.

resolverás problemas de conversión de unidades métricas de superficie.

Indicadores de logro:

El señor Benavides tiene un terreno de 2 km de largo y 100 m de ancho a la orilla de la playa; y quiere vender lotes que tengan 40 m de ancho a la orilla de la playa y 100 m de largo, ¿cuántos lotes tendrá el terreno?¿Qué área tendrá cada lote en m2?

Unidades de sUperficie del sisteMa internacional. (si)

Superficieyáreas

UNIDAD 2


El metro cuadrado es un cuadrado que mide 1 m de lado.

Dispone de una cinta métrica o de una regla de longitud 1 m y mide el patio de tu casa o del centro escolar.

Ahora dibuja en tu cuaderno el centímetro cuadrado. ¿Lo haces así?

¿Cuál es el área de esta región o superficie?

Para calcular el área de una región, colocando unidades en su interior, no siempre se calcula de forma exacta. Por ejemplo, ¿cuál es el área de los siguientes triángulos?

Para determinar el área de una región o superficie lo haces de cualquiera de estas formas.

a) Utilizas una unidad de superficie arbitraria. Por ejemplo:

Área aproximada por defecto: 6 cm2 Área aproximada por exceso: 15 cm2

Unidad de superficie

Comparación de la región con su

unidad de superficie

Área de la región

4 Unidades

Aproximadamente 12 unidades

12 43

1 cm

1 cm

UNIDAD 2


Ejemplo 1

Encuentra el área de cada región. Para ello, utiliza como unidad de superficie el cuadrado que forma parte de la cuadrícula.

Solución:

Llamando A1, A2, A3 y A4 a las áreas indicadas tienes:

a) A1 = 16 unidades cuadradas (u2) c) A3 = Unas 17 ó 18 u2

b) A2 = 10 unidades cuadradas (u2) d) A4 = Unas 19 u2

Ejemplo 2

Calcula el área de las figuras del ejemplo anterior aplicando la fórmula respectiva.

Solución:

En las figuras Ai representa el área, b la base y h la altura.

a) A1 = b × h c) A3 =×

=×

=

=

b h26

218

18 2

6

u

= 4 × 4 = 16

R= 16 u2

b) A2 = b × h d) Puedes ver que la figura indicada con A4está compuesta por un rectángulo y una circunferencia formada por dos semicircunferencias. Luego:

A4 = b × h + π r 2

A4 = 2 × 3 + (3.14 × 1)

= 6 + 3.14 = 9.14 R = 9.14 u2

= 5 × 2 = 10

R = 10 u2

A2A1

A4A3

UNIDAD 2


b) Copia en tu cuaderno y encuentra el área de las figuras siguientes. Hazlo contando los cuadros y mediante su respectiva fórmula.

Actividad1a) En el plano de un invernadero se observan las áreas dedicadas a cada tipo de flor.

Determina su valor contando los cuadros y mediante su respectiva fórmula. ¿Cuál es la unidad de superficie que utilizas?

A2

A4A5

A3

A1

1 cm1 cm

1 m

1 m

UNIDAD 2


UnidadesdesuperficiedelSistemaInternacionaldeunidades,SI

¿Cuál de los dibujos de superficie se expresa en m2?

La de una moneda de $ 0.25 El mapa de El Salvador

Si dibujas en el suelo 1 m2, cada subdivisión de éste es el de 1 dm2. Luego, ¿cuántos dm2 contiene el m2?

Puedes ver que 1m2 = 100 dm2

km hm dam m dm cm mm

Observa que no todas las superficies deben medirse en metros cuadrados (m2), aunque se pueda. Así, para determinar el área de nuestro país utilizas el kilómetro cuadrado (km2).

Para determinar el área de una moneda de $ 0.25 utilizas el centímetro cuadrado (cm2).

¿Recuerdas las unidades de longitud del Sistema Internacional de unidades, SI?

Para convertir una unidad de longitud en la inmediata inferior, multiplicas por 10. Y para convertirla en la inmediata superior divides entre 10.

Ahora observa lo que sucede con las unidades de superficie.

1m

1m1dm

1dm2

Como este mismo razonamiento lo llevas a las otras unidades, concluyes que para convertir una unidad de superficie a la inmediata inferior, multiplicas por 100. Y para convertirla a la inmediata superior, divides entre 100.

UNIDAD 2


Ejemplo 6

Un rectángulo mide 30 cm de ancho y 60 cm de largo. Expresa su área en cm2, mm2, m2 y dm2.

Solución:

Al área del rectángulo es: A = b × h

A = 60 cm × 30 cm

A = 1,800 cm2

Es decir, con los submúltiplos del metro cuadrado o m2, tienes:

1 m2 = 100 decímetros cuadrados o dm2

1 m2 = 10,000 centímetros cuadrados o cm2

1 m2 = 1 000,000 milímetros cuadrados o mm2.

Con los múltiplos del metro cuadrado, tienes:

1 km2 = 100 hectómetros cuadrados o hm2.1 km2 = 1,000 decámetros cuadrados o dam2.1 km2 = 1 000,000 metros cuadrados o m2.

Luego: 1,800 cm2 = 1,800 × 100 = 180,000 mm2

1,800 cm2 = 1,800 ÷ 100 = 18 dm2

1,800 cm2 = 18 ÷ 100 = 0.18 m2

60 cm

30 cm

40 m

100 m

Ejemplo 7

Retomando el problema del señor Benavides, como el terreno mide 2 km de largo, en metros tiene 2,000 m de playa y se divide entre 40 lotes para obtener el total de lotes:

P0: 2,000 ÷ 40 = 50

En total son 50 lotes, a la orilla de la playa.

Solución:

Para obtener el área tenemos:

A = base por altura (b × h)

= 40 × 100

= 4,000 m2

R: En total son 50 lotes y cada lote mide 4,000 m2

Puedes ver que las unidades de superficie del SI forman un sistema posicional, donde cada unidad es igual a 100 unidades del submúltiplo inmediato inferior.

Ejemplo 3

¿Cuántos hm2 hay en 5,000 m2?

Solución:

1 100

1 100

2 2

2 2 2

hm dam

hm x 100m 10,000m

=

= =

Luego, 5,000 m2 5 0005 00010 000

052 2 22,,,

.m hm hm= =

Ejemplo 4

Si la superficie de El Salvador tiene un área aproximada de 21,000 km2, ¿cuántos dam2, hm2 y m2 hay?

21,000 km2 = 21,000 × 100 = 2 100,000 dam2

= 2 100,000 × 100 = 210 000,000 hm2

= 210 000,000 × 100 = 21 000 000,000 m2

Ejemplo 5

Si el área de una moneda de $ 0.25 es de 4.52 cm2, ¿cómo podemos expresarlo en m2?

4.52 cm2 = 4.52 × 100 = 452 mm2

4.52 cm2 = 452100

004522.

.cm

=

0045200452

10000004522

22.

..cm

dmm= =

UNIDAD 2


1. Completa la columna de la derecha en las siguientes tablas:

Actividad 2

Múltiplo del m2 Abreviaturas Equivalencia en m2

Decámetro cuadrado dam2

Hectómetro cuadrado hm2

Kilómetro cuadrado km2

a)

Submúltiplo del m2 Abreviaturas Equivalencia en m2

Decímetro cuadrado dm2 1100

Centímetro cuadrado cm2

Milímetro cuadrado mm2

b)

Resumen

La unidad de medida del área es el metro cuadrado.

2. Convierte:

a) 2 m2 a cm2 c) 1.2 cm2 a mm2 e) 5 km2 a dam2 g) 250 cm2 a m2

b) 4 m2 a dm2 d) 0.75 cm2 a mm2 f) 0.35 km2 a hm 2

3.Un cuadrado tiene un área de 7,169 cm2, y el área de otro cuadrado es de 256 dm2. ¿Cuál tiene mayor área?

km2

kilometro cuadrado

hm2

hectómetro cuadrado

dam2

decámetro cuadrado

m2

metro cuadrado

dm2

decímetro cuadrado

cm2

centímetro cuadrado

mm2

milímetro cuadrado

1

1

00

1

00 00

1

00 00 00

1

00 00 00 00

1

00 00 00 00 00

1 00 00 00 00 00 00

1 m2 = 1000000 mm2

Para pasar de una unidad mayor a una menor se multiplica por 100 por cada casilla que haya de una unidad a otra.

1 dm2 = 0.0001 dam2

Para pasar de una unidad menor a una mayor se divide por una potencia de 100 por cada casilla que haya de una unidad a otra.

UNIDAD 2


1. c. 2. d. 3. d. 4. c. Soluciones

Autocomprobación

4 Para convertir cm2 a dam2:

a) Multiplicas por 100b) Divides entre 100 c) Divides entre 1 000,000d) Multiplicas por 1 000,000

2 Diez centímetros cuadrados equivalen a:

a) 1 m2

b) 0.01 m2

c) 0.10 m2

d) 0.001 m2

1 La unidad básica de superficie del SI es:

a) El km2

b) El cm2

c) El m2

d) El hm2

3 Expresa la siguiente área en m2:

330 mm2

a) 0.33b) 0.033c) 0.0033d) 0.00033

La figura de la derecha muestra un piso de baldosas hechas de superficies triangulares. Cada uno de los cuadrados pequeños está formado por dos baldosas, mientras que el

cuadrado mayor está formado por cuatro. Esta figura pudo haber sugerido a un personaje

anónimo de la India una de las demostraciones que existen del famoso teorema de Pitágoras,

el cual estudiarás posteriormente. Este teorema sirve de base para la demostración de la fórmula

de Herón para calcular el área de un triángulo

de lados a, b y c: A = s s a s b s c( )( )( )− − − donde s es el semiperímetro del triángulo.

CALCULANDOELÁREADEUNTRIÁNGULO


Motivación

Segunda Unidad

identificarás y convertirás con interés las unidades agrarias.


La urbanización La Hacienda se ubica en San José Villanueva, departamento de La Libertad. La primera etapa se inició con un área de 10 manzanas. ¿Sabes cuáles son las equivalencias de esta unidad de superficie? ¿Esa área es mayor o menor que 10 hectáreas?

Unidades aGrarias

Lección 2

Ejemplo 1

resolverás con seguridad problemas de conversión de unidades agrarias.

Unlegadoespañol:lavaracuadrada

En El Salvador el área de un terreno se mide por lo general en varas cuadradas.

¿Cómo haces para convertir varas a metros? ¿Por cuánto multiplicas? ¿Cómo haces para convertir metros a varas?

1 vara = 0.836 m

O sea que: 1 metro = 1

0836. varas = 1.196 varas

¿Por cuánto multiplicas? ¿Por cuánto divides para convertir varas a metros?

A la vara la representas así: 1 vara = 1 v

Expresa las áreas del rectángulo en metros cuadrados.

Solución:

Como 1 v = 0.836 m entonces:

50 5008361

418v = vm

vm

..

=

30 008361

2508v = 3 vm

vm

..

=

Como: 50 v = 41.8 m de base (b) 30 v = 25.08 m de altura (h)El área en m2 es A = b × h A = (41.8 m)(25.08 m) = 1048.34 m2

R: El área del rectángulo es 1048.34 m2

Vendo terreno1,500 v2

50 varas

30 varas

50 varas

30 varas

UNIDAD 2


Equivalenciametrocuadradovaracuadrada

¿Cómo encontrar el equivalente de una vara cuadrada y el metro cuadrado?

Como 1 v = 0.836 m, entonces una vara cuadrada (v2) equivale a:

1 v2 = (0.836 m) × (0.836 m) = 0.698896 m2

1 v2 = 0.70 m2 1 v = 0.836

1 v = 0.836 m

1 v2 = 0.698896 m2

Aproximando: 1 v2 = 0.70 m2

¿Cuánto equivale 1 m2 a v2?

Solución:

1 m2 = 1 m2 1070

2

22v

m1.42857 v

.

= Aproximando 1 m2 = 1.43 v2

Ejemplo 2

Don Jenaro tiene dos terrenos. El terreno norte mide 1,500 m2 y el sur 2,000 v2.

a) ¿Cuál es más grande?b) ¿Cuál es la diferencia entre ambos?

Solución:

Convertir 1500 m2 a v2

Como 1 m2 = 1.43 v2

1500 15001431

21452 22

22m m

vm

v=

=.

Al comparar las áreas 2145 v2 > 2000 v2 donde el terreno norte es mayor que el del sur.

La diferencia entre los dos es: 2,145 v2– 2,000 v2= 145 v2.

¿De qué otra manera resuelves este problema? Con seguridad observas que la forma de resolverlo es convirtiendo las varas cuadradas a metros cuadrados; o sea: 2,000 v2 = 2000

0701

140022

22v

mv

m.

=

En este caso, la diferencia en metros cuadrados es: 1,500 m2 – 1,400 m2 = 100 m2

Entonces: 1500 m2 > 1400 m2

El terreno norte es mayor que el del sur.

UNIDAD 2


Observa

La hectárea es la unidad de superficie que equivale a un cuadrado de 100 m de lado.

Ejemplo 3

En el proyecto urbanístico "El frutal", se venden terrenos de 2,500 v2 con casas de 150 m2. El área resultante será de jardinería y árboles frutales, lo cual contribuirá a la ecología del país. ¿Cuál es esa área?

1 ha = 10,000 m2 100 m

100 m

Entonces, ¿de qué otra manera defines la hectárea?

Representando gráficamente a la hectárea, tienes:

Solución:

Convertir los metros cuadrados que mide la casa a varas cuadradas:

1501431

2145422

22m

vm

v.

.

=

Luego, el área verde es:2,500 v2 − 214.5 v2 = 2,285.5 v2

El área de jardinería y árboles frutales es 2,285.5 v2

El área (a)

Otra unidad de superficie se llama área. El área es la unidad de superficie equivalente a: 100 m2

1 área = 100 m2

Hectárea (ha)

La hectárea es la unidad de superficie agraria equivalente a cien áreas (1 hectárea = 100 área), luego:

Como 1 área = 100 Entonces: 1 ha = (100)(100) 1 ha = 10,000 m2

En otras palabras, ¿cuánto mide el lado del cuadrado que tiene por área 10,000 m2?

Para que el área mida 10,000 m2, el lado del cuadrado debe medir 100 m de lado.

Eláreaylahectárea

UNIDAD 2


Ejemplo 4

Un terreno rectangular mide 6 km de largo por 3 km de ancho. Calcula a cuántas áreas (a) y a cuántas hectáreas (ha) equivale.

Solución:

Convertir km a hm:

1 km2 = 1,000,000 m2

18

1 000 0001

18 000 000

18

22

22km

mkm

m

k

, ,, ,

=

mm m2 218 000 000= , ,

Para calcular las áreas (a):

18 000 0001

100180 000

180

22

2

, , ,

,

mam

a

18 km

=

= 0000 a Para calcular las hectáreas (ha):

18 000 0001

10 0001 8002

2

2

, ,,

,mham

ha

18 km

=

==1800 ha

a) Dionisio va a comprar un terreno, y elige entre dos: uno a $35 v2 y el otro a $40 m2. Si están en la misma zona y presentan las mismas ventajas, ¿por cuál de los dos se decide Dionisio?

b) Una propiedad mide 50 ha, y otra mide 600,000 m2 ¿cuál es mayor?

c) Un terreno mide 15,256 v2. Calcula a cuántas hectáreas equivale.

Actividad1

UNIDAD 2


1 manzana = 100 v × 100 v

1 mz = 10,000 v2

Ejemplo 5

La familia Estrada López tiene un terreno sembrado de árboles frutales y maderables. Su área es de cinco manzanas. ¿Cuántas hectáreas mide el terreno?

Solución:

510 0001

50 000

5

22mz

vmz

v

mz = 50,000

,,

=

vv2 Como: 1 v2 = 0.70 m2 50 000

0701

35 000

50 000 3

22

22

2

,.

,

,

vmv

m

v

=

= 55 000 2, m Como: 1 ha = 10,000 m2

35 0001

10 000352

2,,

.mham

ha

=

Entonces 5 mz = 3.5 ha.

El terreno mide 3.5 ha

LaManzana(mz)

Se le llama manzana a la medida de superficie equivalente a la que posee un cuadrado de 100 varas de lado.

10,000 v2 100 v

100 v

UNIDAD 2


Ejemplo 6

Encuentra la equivalencia de la manzana con la hectárea. ¿Cuántas manzanas (mz) tiene 1 hectárea?

Solución:

1ha = 10,000 m2 y 1 m2 = 1.43 v2

1ha = 10,000 × 1.43 v2 10001431

1430022

22m

vm

v.

=

1ha = 14,300 v2

1 mz = 10,000 v2

1 ha = 14,300 v2

1 ha = 14,300 v2 1

10 000 2

mzv,

1 ha = 1.43 mz

La caballería es otra unidad agraria que equivale a 64.34 manzanas. Con el crecimiento urbano de El Salvador, su uso es cada vez menor.

a) Un terreno rectangular mide 200 m por 150 m ¿cuántas manzanas tiene el terreno?

b) Calcula cuántas manzanas tiene un terreno de 40 ha.

c) ¿A cuántas manzanas equivale el kilómetro cuadrado?

d) Ahora puedes contestar la pregunta al inicio de esta lección. ¿Qué es mayor, 10 hectáreas ó 10 manzanas?

Actividad2

LaCaballería(cab)

5286434

cab.

= 8.21 cab

Se concluye que el terreno de 528 mz es mayor que el de 6.5 cab.

Si la comparación se hubiera hecho en relación a la manzana entonces:

6.5 cab = 6.5 × 64.34 mz

6.5 cab = 418.21 mz

Luego el terreno que mide 528 mz es el mayor.

Ejemplo 7

Una hacienda mide 528 manzanas y otra mide 6.5 caballerías. ¿Cuál es mayor?

Solución:

Encuentra las caballerías que tienen 528 mz.

Como 1 cab = 64.34 mz, entonces:

UNIDAD 2


a) Una hacienda tiene una superficie de 2.3 cab. Si se cultivan diariamente 4.5 mz, ¿cuánto falta por cultivar después de una semana?

Actividad 3

Resumen

Las unidades agrarias sirven para medir superficies de terrenos. En el SI, se miden en áreas y hectáreas. En nuestro país también se miden en unidades heredadas de la colonia, éstas son la vara cuadrada, la manzana y la caballería.

El siguiente cuadro te muestra la equivalencia entre unidades agrarias:

Por ejemplo, si quieres saber cuántas v2 hay en 1 m2, ubicas al m2 en la fila de abajo y subes hasta llegar a v2: 1 m2 = 1.43 v2.

De igual forma obtienes que 1 ha = 14,300 v2 = 100 a, etc.

mz1

7 000,1

10 000,170

1.43 1

ha1

10 000,

0.00007 1100

1 0.70

a1100

0.007 1 100 70

v2 1.43 1 143 14,300 10,000m2 1 0.70 100 10,000 7,000

m2 v2 a2 ha mz

UNIDAD 2


Autocomprobación

4 El área de un terreno de 1.5 mz, es:

a) 15,000 v2

b) 105 ha c) 105,000 m2

d) Todas las anteriores

2 De las siguientes áreas, la menor es:

a) mzb) cabc) had) km2

1 De las siguientes áreas, la mayor es:

a) 15 hab) 9 mzc) 50 ad) 5,000 v2

3 Una hectárea equivale a:

a) 10,000 v2

b) 10,000 m2

c) 100 áreasd) b y c son correctas

1. a. 2. a. 3. d. 4. a. Soluciones

Las medidas de superficie se estandarizan con el Sistema Internacional de unidades, SI, aunque en

algunos países todavía se usan otras medidas, por ejemplo en Estados Unidos, se usa con frecuencia el Acre (4,046.8 m2) en El Salvador, aún se utiliza

la manzana y cada vez se usa con menor frecuencia la caballería.

Durante la fundación de las ciudades españolas en Hispanoamérica, las construcciones se erigían

dentro de cuadrados de 100 varas por lado, a este espacio se llamo manzana. Coloquialmente, como una reminiscencia colonial se llama manzana al área delimitada por cuatro calles sin importar la

longitud de las calles ni la figura que éstas hagan.

LAMANZANA


Motivación

Segunda Unidad

identificarás y presentarás con precisión y seguridad diferentes números racionales positivos y negativos en la recta numérica.

identificarás con seguridad fracciones equivalentes positivas y negativas.


Para el día de la madre se compraron carretes de listón para las chongas de los regalos teniendo las siguientes medidas y la cantidad de chongas por listón.a) Carrete de 5 metros para 3 chongasb)Carrete de 4 metros para 7 chongasc) Carrete de 10 metros para 9 chongasd)Carrete de 8 metros para 7 chongase) Carrete de 6 metros para 7 chongasf) Carrete de 3 metros para 3 chongasg)Carrete de 10 metros para 6 chongash) Carrete de 12 metros para 14 chongas

Representar en fracciones las medidas de los listones utilizados para cada chonga.

Hay chongas que ocuparán la misma cantidad de listón. ¿Cuáles son?

núMeros racionales

Lección 3

obtendrás con interés fracciones equivalentes positivas y negativas aplicando los procesos de ampliación y simplificación.

Ejemplo 1

Un entrenador decide que en su equipo 2 de los 11 jugadores jueguen la posición de carrileros. ¿Qué fracción del equipo representan los 2 jugadores?

Solución: 211

son carrileros

Ejemplo 2

De una pizza, Milena se comió 3 de las 8 partes que está dividida. ¿Qué fracción de la pizza se comió Milena?

Solución: 38

de la pizza.

En los ejemplos anteriores, las cantidades son representadas en forma de fracciones, las cuales pueden ser propias, cuando el numerador es menor que la unidad o impropia, cuando el numerador es mayor que la unidad. La fracción impropia puede transformarse en fracción mixta o la fracción mixta a impropia.

UNIDAD 2


En el ejemplo anterior, observas que 74

equivale a 134

+

o sea 134

. Luego 74

134

=

El número 134

se llama mixto. ¿Por qué?, ¿cómo

conviertes la fracción 74

en número mixto?

Fracciones menores que la unidad.

Los números:12

13

14

15

16

, , , , , ......etc.

23

45

67

810

1114

, , , , , ...........etc.

son ejemplos de fracciones menores que la unidad.

Fracciones iguales a la unidad.

Los números:22

33

44

55

66

77

, , , , , , .......etc.

son ejemplos de fracciones iguales a la unidad.

Fracciones mayores que la unidad.

Los números:32

53

74

1112

, , , , ........etc.

son ejemplos de fracciones mayores que la unidad.

Fracciones

15

22

33

44

66

12

12 1

3

13

13

14

14

14

1515

15

151

4

32

53

74

1112

7 41

74

134

=−43

Númerosmixtos

UNIDAD 2


¿Cómo conviertes un número mixto a fracción? Por ejemplo, si tienes la fracción,

¿Cómo la conviertes a número mixto?

Observa que se divide el entero en las partes que indica el denominador. Después, cuentas el total de partes.

123

33

23

53

= + =

También lo puedes representar de la siguiente forma:

123

33

23

1 3 23

53

+ = + =× +

=( )

Es decir: 1

23

1 3 25

53

=× +

=( )

Dibuja en tu cuaderno, la bandera de El Salvador y coloréala ¿Qué fracción le corresponde a cada color?

1. Escribe una fracción que represente cada una de las siguientes situaciones.

a) En todo el mundo, por cada 100 niñas nacen 105 niños. b) En Costa Rica se preservan ocho de cada diez de sus bosques.c) Si la superficie de la tierra se divide en 5 partes, 3 de ellas la ocupan los océanos. d) Una persona de 60 años ha dormido en promedio un total de 20 años.

2. Copia y completa el siguiente cuadro. Y presenta los números mixtos como fracciones y viceversa.

Actividad 1

Número mixto

215

327

859

423

534

Fracción187

154

125

72

173

2 1 − = 3

5= − 3

+

UNIDAD 2


Dos vehículos salen de San Salvador hacia San Miguel. Acompañan a la familia Sánchez Lara, que asistirá a una boda. Luego de 30 minutos el vehículo A recorre las dos terceras partes del total, y el B ha avanzado la mitad. ¿En qué orden van los vehículos?

Para contestar la pregunta, se representan las fracciones

en la recta numérica. Para representar a 23

divides la

unidad en tres partes iguales y marcas 23

.

0 2/3 1

0-1 1 5- − 7 5 − 7

Ejemplo 3

Ubica las fracciones 57

y −57

en la recta numérica.

Solución:

Para ubicar a 57

divides la unidad en siete partes iguales y luego cuentas

cinco partes hacia la derecha. Para ubicar a −57

lo haces de forma similar,

pero trabajas a la izquierda del cero.

Representacióngeométricadelasfracciones

Para representar a 12

divides la unidad en dos partes

iguales y marcas 12

. 0 1/2 1

Puedes ver que el vehículo A, ha avanzado mayor distancia que B, ¿Cuál de las dos fracciones es menor?

¿Cuál es mayor? Como 23

está a la derecha de 12

decimos que 23

es mayor que 12

; es decir: 23

> 12

0 1/2

2/3

1

UNIDAD 2


Equivalenciadefracciones

Las fracciones que representan la misma porción en los rectángulos, son fracciones equivalentes.

Observa que las regiones 12

24

510

, y representan la misma porción.

Por lo tanto, esas fracciones son equivalentes, es decir: 12

24

510

= = son iguales.

También observas que:

13

26

= ; 12

1 22 2

24

=××

= ; 12

1 32 3

36

=××

=

12

1 42 4

48

=××

= 12

1 52 5

510

=××

=

Puedes ver que dada una fracción, obtienes fracciones equivalentes si multiplicas el numerador y el denominador por el mismo número.

12

13

24

26

510

Ahora en sentido inverso, si en lugar de multiplicar dividimos entre la misma cantidad, tenemos: 4

84 28 2

24

=÷÷

= 24

2 24 2

12

=÷÷

=

Al dividir ambos miembros de una fracción entre un mismo número se ha reducido o simplificado.

Copia la figura en tu cuaderno, colorea de izquierda a derecha la fracción correspondiente a cada rectángulo.

En tu cuaderno dibuja la recta numércia y localiza las siguientes fracciones, ordénalas de menor a mayor.

a) 1222324252

, , , , , c) 122356

, ,

b) 4353231373

, , , , , d)− − − −2 112

152112

, , , ,

Actividad 2

UNIDAD 2


Ejemplo 4

Simplifica la fracción: 4872

Solución:4872

48 272 2

2436

=÷÷

= ; 2436

24 236 2

1218

=÷÷

=

1218

12 218 2

69

=÷÷

=

69

6 39 3

23

=÷÷

= Entonces: 4872

es equivalente a 23

¿Puedes continuar simplificando a

23

? Decimos que una fracción está en su mínima

expresión cuando el numerador y el denominador sólo pueden dividirse entre la unidad. En este caso, la fracción es irreductible; así, la fracción 2

3 es irreductible.

Ésta propiedad te sirve para convertir fracciones a un común denominador, por

ejemplo, convertir al común denominador las fracciones 34

y 56

.

Para ello, encuentras el mínimo común múltiplo de los denominadores 4 y 6.

Si denotas por M4 a los múltiplos de 4 y por M6 a los múltiplos de 6, tienes:

Como el mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12, entonces hay que convertir 34

y 56

a fracciones equivalentes con denominador 12.

Para 34

3 34 3

912

=××

= ; para 56

5 26 2

1012

=××

=

Se observa que el menor número común múltiplo de los denominadores es 12.

Observa que en 34

multiplicas sus dos términos por 3, en la fracción 56

multiplicas

ambos términos por 2.

Ahora, ya estamos listos para responder a las preguntas de la actividad de motivación. Al observar los carretes y la cantidad de chongas se puede decir que:

a) A = 53

C = 109

E = 67

G = 106

Puntodeapoyo

El mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12.

M4 = {0, 4, 8, 12, 16. …. }M6 = {0, 6, 12, 18, 24. … }

UNIDAD 2


Efectúa en tu cuaderno:

1. Escribe 4 fracciones equivalentes a:

a) 35

b) 23

c) 14

d) 77

2. Encuentra el número que falta para que las fracciones sean equivalentes:

a) 34

= 16

b) 12

7= c)

4 1227

= d)23

8=

3. Reduce cada fracción a su mínima expresión:

a) 1530

b) 4060

c) 1824

d) 714

e)4235

4. Reduce las siguientes fracciones al común denominador (cd) que te indicamos:

a) 34

y 23

; cd = 12 b) 34

y 23

; cd = 24 c)23

y 35

; cd = 15

5. Reduce las siguientes fracciones a un común denominador:

a) 35

y 34

b) 57

y 12

c) 47

y 521

d) 314

y 121

Actividad 3

Resumen

En esta lección repasaste la noción de fracción, sus elementos y las clases de fracciones que hay: menores, iguales o mayores que la unidad, cuando una fracción es mayor que la unidad, puede representarse como número mixto, además, un número mixto puede escribirse como una fracción.

Cuando representas una fracción en la recta numérica, esto se llama representación geométrica. Esta te permite decir cual de las fracciones es mayor o menor que otra. Dos fracciones son equivalentes si corresponden al mismo punto en la recta numérica, una aplicación de la equivalencia de fracción, es la ampliación y la reducción de éstas, reducir una fracción es lo mismo que simplificarla, además, las equivalencias de fracciones te permiten convertirlas a un común denominador.

B = 74

D = 87

F = 33

H =1214

b) Las chongas que tendrán la misma cantidad de listón son:

A =53

y G =106

porque son equivalentes 53

106

= y E =67

con H =1214

porque

también son equivalentes67

1214

=

UNIDAD 2


Autocomprobación

4 Una fracción equivalente a 34

es:

a)1520

b)68

c)912

d) Todas son equivalentes

2 La fracción equivalente a 234

es:

a) 411

c) 104

b) 114

d) 410

a

1 En un departamento de una empresa de 15 personas, 9 son mujeres”, la fracción que representa esta situación es:

a)159

c)915

b)249

d)924

3 De las siguientes fracciones: 34

, 44

, 24

, 14

la mayor es:

a)34 c)

24

b)44

d)14

1. c. 2. b. 3. b. 4. d. Soluciones

El nombre de fracción se le debe a Juan de Luna, quién usó la palabra “fractio” para traducir el vocablo árabe

“al-kasr” que significa quebrar o romper. El origen de las fracciones o quebrados es muy remoto. Ya eran conocidas por los babilonios, egipcios y griegos.

Los babilonios las utilizaron teniendo como único denominador al número 60. Los egipcios por su parte

las emplearon con sólo el 1 como numerador. Por

ejemplo si querían representar 58

escribían 12

y 18

considerando que 12

equivale a 48

. Los griegos

marcaban con un acento el numerador, y con 2 el denominador.

ORIGENDELASFRACCIONES


Motivación

Segunda Unidad

realizarás adiciones y sustracciones de números racionales positivos y negativos con igual y/o diferente denominador.


La biblioteca escolar está organizada en 6 áreas:M: MatemáticaC: CienciasE: Estudios SocialesL: LenguajeI: InglésD: Deportes

sUMa y resta de fracciones

Lección 4

¿Qué parte del área total ocupa Matemática y Ciencias? Puedes ver que matemática y ciencias ocupan: 28

28

48

+ = del total.

¿Qué parte del área total ocupa Ciencias y Deportes?

En el gráfico observas que Ciencias y Deportes

ocupan: 28

18

38

+ = del total

¿Qué parte ocupa Lenguaje y Estudios Sociales? Lenguaje y Estudios Sociales ocupan 1

818

28

+ = del total.

resolverás con seguridad problemas aplicando las operaciones fundamentales de los números fraccionarios positivos y negativos.

Continuando con la introducción puedes concluir que:

L

I

E

DM C

Ejemplo 1

Un pastel se divide en 16 partes iguales. Milena toma 2 partes y Juanita 3.

¿Cuántas partes del pastel tomaron entre las dos?

Para sumar fracciones con igual denominador, sumas los numeradores y colocas el mismo denominador.

UNIDAD 2


Solución:

Como Milena tomó 2 de las 16 partes y Juanita 3, en total tomaron:

216

316

2 316

516

+ =+

= partes.

En general, si

ab

y cb

son fracciones comunes, donde b ≠ 0 entonces,

ab

cb

a cb

+ =+

Ejemplo 2

¿Cuál es la diferencia entre las partes del pastel que tomaron Juanita y Milena?

Solución:

Como Juanita tomó 316

del pastel y Milena 216

, la diferencia entre ambas partes es:

316

216

116

− = del pastel.

En general, si

ab

y cb

son fracciones comunes, donde b ≠ 0 entonces,

a

bcb

a cb

− =−

Ejemplo 3

Roberto y Amanda trabajan en el departamento de producción de una fábrica. Cierto

día, Roberto realiza 524

de una obra, y Amanda 724

. Sin embargo, debido a un corte

de energía eléctrica se perdió 124

del trabajo. ¿Qué parte del trabajo realizaron ese día

Roberto y Amanda?

UNIDAD 2


Solución:

Como Roberto realizó 524

de la obra y Amanda 724

,

en total realizaron 524

724

+ . Como se perdió 124

, la parte de la obra que realizaron

fue: 524

724

124

5 7 124

1124

+ =+

=−− .

En total, Roberto y Amanda realizaron 1124

de la obra.

Ejemplo 4

Efectúa: 110

4710

3+ + +

Solución:

Cuando en una suma o resta de fracciones aparecen números enteros, sumas primero las fracciones y enteros por aparte y luego sumas ambos resultados. Es decir:

110

710

1 710

810

45

+ =+

= =

4 3 7+ =

Luego: 45

7 745

+ =

Otra forma de hacerlo es sumando primero los enteros y convertir la suma a fracción.

O sea, 4 3 7+ = ; pero 771

7 101 10

7010

= =××

=

Luego, 110

710

7010

7810

7810

745

+ + = = =

Efectúa mentalmente las siguientes operaciones. Anota la respuesta y simplifica si es necesario:

a) 14

24

+ c)46

16

− e)38

518

+ + g) 234

+

b) 14

34

+ d) 35

25

− f)59

29

19

− +

Actividad 1

UNIDAD 2


Ejemplo 5

Fíjate ahora en la suma: 23

34

+

¿Cómo son los denominadores?

Solución:

Común denominador. Encontramos el mínimo común múltiplo de 3 y 4.

M3 = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ....}

M4 = {0, 4, 8, 12, 56, ....}

El mínimo común múltiplo de 3 y 4 es 12.

La fracción equivalente de:23

23

2 43 4

812

= =x

x

De 34

34

3 34 3

912

= =x

x 812

912

1712

+ = Entonces: 23

34

1712

+ =

Observa

Para sumar fracciones con diferente denominador, primero las expresas con un común denominador y luego las sumas.

SumadeFraccionescondistintodenominador

De preferencia, el común denominador será el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Ejemplo 6

Resuelve la suma 235

23

+

Recuerda:

235

135

+

× 2 5 3 13× + =

Solución:

235

23

135

23

3915

1015

4915

+

+

+

223

23

4915

+ =

Fracciones equivalentes con denominadores comunes.

Ejemplo 7

Encuentra el resultado de la resta 53

38

−

Solución:

53

38

2024

924

40 924

3124

−

−

−

=

=

=

Fracciones equivalentes con igual

denominador.

Se restan los numerandos.

UNIDAD 2


Operacionesdefraccionesconsigno

Para mejorar su conducción física y su figura, Lorena practica gimnasia.

Para efectuar estas operaciones con fracciones negativas aplicarás las leyes de los signos de operaciones con números enteros. Y para hacerlo con fracciones positivas, el procedimiento que acabas de estudiar. Así:

a) 35 112

351

32

702

32

+ − = + −

=

+ −

== =

672

3312

b) 80 534

801

234

+ − = + −

= + −( )320 234

= − = =320 234

2974

7414

c) 27 214

271

94

108 94

1174

2914

+ = + =+

= =

Lorena disminuyó el grosor del brazo a 3312

cm, también

la cintura a 7414

cm y aumentó la pantorilla a 2914

cm.

Observa otor ejemplo:

¿Cómo restas 32

27

− −

? De seguro lo haces así:

32

27

32

27

21 414

2514

11114

− − = + =

+= =

MedidasAntes Cambio en cm

Grosor del brazo: 35 cm −112

Cintura: 80 cm −5 34

Pantorrilla: 27 cm 214

Para averiguar cuáles son las nuevas medidas necesitas efectuar las siguientes sumas:

a)Medidas del brazo

35 112

+ −

b) Medidas de la Cintura

80 5

34

+ −

c)Medidas de la pantorrilla

27 2

14

+

¿Qué parte del cuerpo aumentó de medida? ¿Qué partes del cuerpo disminuyeron de medida? ¿Cuáles son sus medidas después de un tiempo?

Después de un tiempo cambia algunas medidas de su cuerpo como lo indica la tabla de la izquierda.

UNIDAD 2


Ejemplo 8

En el receso de la clase de Educación Física, Rebeca se tomó la mitad del agua de una

botella, y al final de la clase se tomó 13

del agua de una botella. ¿Qué parte del agua

bebió en total? ¿Qué parte del agua sobró?

Solución:

La parte que se tomó es:

12

13

1 3 1 26

3 26

56

+ =× + ×

=+

=( ) ( )

Luego, la parte del agua que sobró es:

156

66

56

16

− = −

= R: El agua que sobro es

16

Observa que representamos por 1

66

= el total del agua que estaba en la botella.

Ejemplo 9

En una tarea en equipo, Ricardo digitó la tercera parte de ésta, y Ana digitó dos quintas partes. Si Marina digitó el resto.

¿Qué parte de la tarea le tocó digitar a Marina?

Solución:

La parte de la tarea que digitaron Ricardo y Ana es:13

25

1 5 2 315

5 615

1115

+ =× + ×

=+

=( ) ( )

Luego, la parte de la tarea que digitó Marina es:

11115

1515

1115

415

− = − =

R: La parte que le tocó digitar a Marina es. 415

UNIDAD 2


Resumen

Para sumar o restar fracciones de igual denominador éste se mantiene y sólo se suman o restan los numeradores:

a) ab

cb

a cb

+ =+

b) ab

cb

a cb

− =−

para b ≠ 0

Para sumar o restar fracciones con diferente denominador, se convierten a un común denominador en base a la equivalencia de fracciones. El menor de los denominadores comunes es su mínimo común múltiplo.

1. Efectúa las operaciones siguientes y si es necesario simplifica las respuestas, hasta su mínima expresión.

a)23

35

+ c)25

12

+ e)34

12

23

+ + g) 234

223

− i) 710

45

−

b)12

34

+ d) 57

12

+ f)3 − 7 h)45

710

−

2. Patty compró 23

de metro de listón rojo, 43

de listón verde y 23

de amarillo. ¿Cuántos metros de

listón compró Patty? Expresa tu respuesta como número mixto.

3. El señor Jiménez tiene una tabla de 3 m para hacer los entrepaños de un estante. Corta dos pedazos

de 34

m cada uno y otro de 56

m. Necesita otro pedazo que mida 34

m. ¿Le alcanza la madera que

aún le queda? Da una explicación de tu respuesta.

4. Una lámina tiene una longitud de 434

m. Se le cortan dos pedazos: uno de 212

de longitud, y otro

de 113

m. ¿Cuál es la longitud de la lámina que sobra?

5. Efectúa las operaciones indicadas.

a) 312

413

514

+ + d) 758

656

34

+

− g)

34

2−

b) 516

725

313

+ − e) 315

112

2710

214

−

+ −

h) 35

423

−

c) 3313

6623

100+

−

f) 7 10− i) 212

312

−

Actividad 2

UNIDAD 2


Autocomprobación

4 Joseph compró una barra de chocolate y le dio a uno de sus

hermanos 14

de ella, 16

a otro y 13

a una hermana.

La parte de la barra que le quedó a Joseph es:

a)12 b)

13

c)14

d)16

2 58

14

+ es el resultado de:

a) 117 b)

78

c)87

d) a y c son correctas.

1 34

74

+ es el resultado de:

a)52 b) 2

12

c)104

d) Todas son correctas.

3 123

112

− es igual a:

a) 16 b)1

16

c)13

d) Ninguna de las anteriores.

1. d. 2. b. 3. a. 4. c. Soluciones

En la ilustración, la unidad se ha dividido en partes iguales. Comprueba las

siguientes igualdades:12

12

1+ =

13

13

13

1+ + =

14

14

14

14

1+ + + =

Además 12

14

14

1+ + =

¿Qué otras sumas dan uno, en el dibujo?

SUMANDOFRACCIONESCONRESULTADO1

1—2

1—3

1—4

1—6

1—12

1—12

1—12

1—12

1—12

1—12

1—12

1

1—12

1—12

1—12

1—12

1—12

1—6

1—6

1—6

1—6

1—6

1—4

1—4

1—4

1—3

1—3

1—2

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0


Motivación

Segunda Unidad

Para una presentación en el Auditórium de la Feria Internacional, se habilitaron 300 asientos de palco y

540 de general. Si se ocuparon 23

de los asientos de

palco y 56

de general. ¿Cuántos asientos sobraron?

Este tipo de situaciones se resuelven mediante la multiplicación de fracciones.

MUltiplicación y división de fracciones

Lección 5


realizarás multiplicaciones y divisiones de números racionales positivos y negativos, valorando tu trabajo individual.

resolverás ejercicios con operaciones combinadas de números fraccionarios.

resolverás con seguridad problemas aplicando las operaciones fundamentales de los números racionales, positivos y negativos.

Multiplicacióndeenteroporfracción

Observa como sumamos varias mitades de naranja:

12 +

12 = 2

12

x = 22

1=

Nota que si sumas 2 mitades, obtienes la unidad:

12

+ 12

+ 12

= 312

x = 32

112

=

Fíjate que si tienes 3 mitades, obtienes una unidad más

12

UNIDAD 2


12

+ 12

+ 12

+ 12

= 412

x = 42

2=

Observa que 4 mitades, obtienes 2 unidades:

12

+ 12

+ 12

+ 12

+ 12

= 512

52

212

× = =

¡Claro! con 5 mitades obtienes 2 unidades más

12

En base a los ejemplos anteriores, ¿Cómo multiplicas un entero por una fracción?

Multiplica 532

x . Lo haces así: 512

52

212

× = =

Ahora resuelve la operación 613

x = 2

Multiplicacióndefracciones

¿Cuánto mide el área de un rectángulo cuyo largo mide 58

m y su ancho mide 45

m?

5− m8

4− m5

1 m

1 m

Solución:58

45

5 48 5

2040

xx

x= =

Simplificando: 20

402040

12

= =÷20÷40

R: El área del rectángulo es 1

2m2

Otra forma: 1 158

45

x Simplificando 58

45

12

x =

2 1

R: 12

m2

Este ejemplo comprueba que, en general, el producto de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador al producto de los numeradores; y por denominador al producto de los denominadores.

Es decir: ab

cd

a cb d

× =××

con b y d diferentes de cero.

UNIDAD 2


Ejemplo 1

Efectúa los siguientes productos y simplifica cuando sea necesario.

a)34

23

x

Solución: 3

423

3 24 3

612

12

× =××

= =

b)23

56

x

Solución:

23

56

2 53 6

1018

59

× =××

= =

c)163

34

x

Solución:

163

34

16 33 4

4812

4× =××

= =

d) 8 112

x

Solución:

8 112

81

32

8 31 2

242

12× = × =××

= =

Ejemplo 2

Para preparar jaleas, la mezcla ideal es: por cada kg de

fruta, agregar 34

kg de azúcar. Si Lorena quiere preparar

mermelada con 4 kg de mango. ¿cuántos kg de azúcar necesita agregar?

Solución:

Por cada kg de fruta agrega 34

kg de azúcar. Como son

4 kg de mango, necesita agregar:34

434

41

3 44

124

3× = × =×

= = kg de azúcar.

Ejemplo 3

Un filtro purifica agua a razón de 1512

litros por hora.

¿Cuántos litros purifica en 2 horas y quince minutos?

Solución:

Dos horas quince minutos son 214

horas. Luego, como

purifica 1512

litros por hora, en 214

horas purifica

1512

214

= litros. Luego:

1512

214

312

94

2798

3478

=

= =

Ejemplo 4

Para una presentación en el Auditórium de Feria Internacional, se habilitaron 300 asientos de palco y 540

de general. Si se ocuparon 23

de los asientos de palco y 56

de general. ¿cuántos asientos sobraron?

Solución:

El número de asientos ocupados de palco es:23300( ) = 2 300

3 16003

200××

= =

El número de asientos ocupados de general es:56540( )= 5 540

6 12 7006

450××

= =,

Luego se ocuparon: 200 + 450 = 650 asientos.Y el total de asientos es: 300 + 540 = 840 asientos Luego, sobraron: 840 − 650 = 190 asientos.R: Los asientos que sobraron son 190.

UNIDAD 2


1. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica la respuesta cuando haya que hacerlo.

a)15

109

x c)163

34

x e)2917

5116

x g)1207

5564

x i) 314

215

x

b)23

56

x d)910

427

x f)3212

914

x h)55204

36121

x j) 527

49x

2. Una cooperativa contribuye con una obra de beneficio social, y dona 123

centavos por cada artículo

que vende. Si en un mes vende 3,200 artículos, ¿Cuánto donó La cooperativa?

DivisióndeFracciones

Cuando estudiaste las operaciones con números enteros, aprendiste que la división es la operación inversa de la multiplicación. Por ejemplo:

6 ÷ 3 = 2 por que 2 × 3 = 6

Cuando trabajas con fracciones aplicas esa misma propiedad de la división. Así:

1 515

÷ = porque 15

5 1× = ; 198

89

÷ = porque 89

98

1× =

12

7114

÷ = porque 114

7714

12

× = = Observa esta última división: 12

71

114

÷ =

Puedes ver que 12

71

12

17

114

÷ = × = es decir obtienes 114

Lo que se hace es dejar el dividendo igual y multiplicarlo por el inverso del divisor.

Actividad1

UNIDAD 2


Ahora razona este resultado: 23

15

103

÷ = con seguridad lo harás así:

23

15

23

51

103

÷ = × = ; porque 103

15

1015

23

= =

¿Cómo divides 34

59

÷ ? ¡De seguro lo haces así!:

34

59

34

95

3 94 5

2720

÷ = × =××

=

En general para dividir fracciones multiplicas el dividendo por el inverso del divisor así:ab

cd

ab

dc

adbc

÷ = × = con b y c diferentes de cero.

Ejemplo 5

Expresa las siguientes divisiones como productos y efectúa.

a)356

53

÷ b)57

32

÷ c) 512

235

÷

Solución:

a) 356

53

356

35

35 36 5

10530

÷ = × =××

=b) 5

732

57

23

5 27 3

1021

÷ = × =××

=c) 5

12

235

112

135

112

513

11 52 13

5526

÷ = ÷ = × =××

=

Ejemplo 6

Naomi es la presidenta de su grado y junto a toda la directiva organizan una fiesta a la cual asistiran 50 personas. Necesitan averiguar cuántas botellas de 2

12

litros de refresco deben comprar.

a)¿Cuántos vasos de 14

litro pueden llenarse con una

botella de 212

litros.

b)¿Cuántos vasos de 18

de litro y cuántos de litro

pueden llenarse con una botella de 212

Solución:

a)El número de vasos de 14

de litro que se llenan es:

212

14

52

14

52

41

202

10÷ = ÷ = × = = vasos.

b)El número de vasos de 1

8 de litro que se llenan es:

212

18

52

18

52

81

402

20÷ = ÷ = × = = vasos.

R: Luego con una botella de 2

12

litros se llenan 10 vasos

de 14

de litro ó 20 vasos de 18

litro.

¿Cuántas botellas de 212

litros, debe comprar la directiva?

Solución:

Las 50 personas tomarán un total de:

5012

501

12

502

× = × = = 25 litros

Como cada botella contiene 2

12

litros, el número de

botellas que deben comprar es:

25

12

251

52

251

502

÷2 ÷ 10 botellas= = =x

UNIDAD 2


1. Expresa cada división como una fracción en su mínima expresión.

a) 6 ÷ 2 c) 12 ÷ 39 e) 10 ÷ 10 g) 79

1415

÷

b) 1 ÷ 7 d)63 ÷ 21 f)37

38

÷ h) 113

412

÷

2.Se usa un recipiente de 212

litros de capacidad para llenar un tanque con 20 litros de capacidad

¿Cuántas veces se usa el recipiente para llenar el tanque?

Puntodeapoyo

(+) (+) = + (+) / (+)= +

(+) (−) = − (+) / (−) = −

(−) (+) = − (−) / (+) = −

(−) (−) = + (−) / (−)= +

Actividad2

Ejemplo 7

En una carretera de 4 km de largo se colocaron señales cada 25

de kilómetros.

¿Cuántas señales se colocaron?

Solución:

Averigua cuantos veces 25

está contenido en 4. Es decir 425

÷ es igual a:

2

425

41

52

202

10÷ = × = = R: Se colocaron 10 señales.

UNIDAD 2


Para multiplicar y dividir fracciones con signos (iguales o diferentes) aplicas las mismas leyes de los números enteros.

Ejemplo 8a) 2

395

2 93 5

1815

65

× =××

= =

b) 23

95

2 93 5

1815

65

× − =

× −( )×

=− =−

c) − ÷ − = ÷ = × = =

34

56

34

56

34

65

1820

910

d)

23

12

234

35

12

411

−

÷

+

×

Solución:

Para efectuar este tipo de operaciones procedes así:

Paso1. Eliminas los paréntesis en cada término: 23

12

46

36

16

35

12

1110

− = − = + =; .

Paso2. Simplificas el numerador:

23

12

234

−

÷ = 1

6234

16

114

16

411

466

233

÷ = ÷ = × = =

Paso3. Simplificas el denominador:

35

12

411

1110

411

410

25

+

× = × = =

Paso4. Sustituyes cada resultado en la expresión, así:

233

25

233

52

1066

533

÷ = × = =

Resumen

Para sumar o restar fracciones con igual denominador, este se mantiene y sólo sumas o restas los numeradores. Si las fracciones poseen diferentes denominadores, antes de sumarlas o restarlas las conviertes a un común denominador. Para multiplicar fracciones, multiplicas numeradores y denominadores entre sí, y para dividirlas, multiplicas el dividendo por el inverso del divisor. Para operar fracciones con signos, sigues las mismas leyes de operaciones con enteros.

UNIDAD 2


Autocomprobación

4 34

29

× −

es igual a:

a) 636

c)−16

b) 278

d)16

2 3 412

x es igual a:

a)272 c)1

12

b) 1312

d)a y b son correctos

1 25

23

÷ −

es igual a:

a) − ×25

23 c)

25

32

x

b) − ×25

32

d)25

23

−

3 − + −

35

25

es igual a:

a) −55

c) − 1

b)55

d)a y c son correctos

1. b. 2. d. 3. d. 4. c . Soluciones

Un famoso problema de aplicación de las fracciones dice así: Un pastor tenía tres hijos, y al morir les dejó de herencia sus 11 ovejas repartidas así: Al mayor le dejó la mitad; al

mediano la cuarta parte del rebaño. Al menor, le dejó la sexta parte de las ovejas y tú

¿cómo las repartirías? ¿Lo haces así?: Comenzó prestando una oveja, o

sea, completó 12.

12 ÷ 2 = 6 ovejas le dió al menor.12 ÷ 4 = 3 ovejas le dió al mediano.12 ÷ 6 = 2 ovejas le dió al mayor.

¿Cómo hizo para regresar la que prestó?

ONCEOVEJAS


Solucionario

Lección1

Actividad 1

b) A1= 20 cm2, A2 = 49 cm2

A3 = 4 cm2 A4= 20 c m2 A5= 9.86 cm2

Actividad 23. 256 dm2 = 256 × 100 = 25,600 cm2: ésta es el área mayor.

Lección2

Actividad 1

a) Como vale $40 el m2, equivale decir que vale $40 los 1.43 v2; es decir, el precio de la v2 sería de

40143.

= $27.97, por lo que ésta sería la mejor opción.

b) Como 50 ha = 50 × 10,000 m2 = 500,000 m2: ésta es la propiedad menor.

c) 15,256 v2= 15 256143

10 668532 2,.

, .m m= ,

como 1 ha = 10,000 m2;. 10 6685310 000

10672

2

, .,

.mm

ha=

Actividad 2a) A =200 × 150 = 30,000 m2=

30 00010 000

3 3 143 429,,

. .= = × =ha mz mz

b) 40 ha = 40 × 1. 43 mz = 57.2 mz.

Actividad 3a) 4.5 × 7 = 31.5 mz; 2.3 cab = 2.3 × 64.34 mz= 147.98 mz.

Luego, el área que falta es 147.98 – 31.5 = 116.48 mz.

Lección3

Actividad 1

1. La relación es a) 100105

b)810= 4

5 c)

35

d)2060

= 13

2. En su orden: 247

; 115

; 334

; 237

225

779

312

143

523

234

; ; ; ; ; ;


SolucionarioActividad 2

b) 13

23

43

53

73

; ; ; ; c) 12

23

56

; ;

Actividad 3

1. a) 610

915

1220

; ; c) 28

312

416

; ; 2. a) 12 b) 14 c) 9 d) 12

3. a) 12

b) 23

c)34

4. a) 912

; 812

b) 1824

1624

;

5.a) 1220

1520

; b) 1014

714

;

Lección4

Actividad 2

1. a) 10 915

1915

+ = b) 2 34

54

+ = c) 4 510

910

+ = d) 33 3212

112

− =

2. 83

223

= m

3.64

56

18 1012

2812

73

+ =+

= = ; luego comparas.

4. 52

43

15 86

236

+ =+

= ; luego;194

236

57 4612

1112

− = − = m

5. e) 165

32

2710

94

32 1510

54 452

−

+ −

=

−

+

−00

1710

920

34 920

4320

= + =

+=

Lección5

Actividad 1

a) 1 105 9

1045

29

××

= = ; b) 2 53 6

1018

59

××

= = i) 134

115

14320

× =

Actividad 2

1. a)62

3= c)1239

413

= f) 37

83

87

× =

b)17 d)

6321

3= h)43

29

827

× =

2. Se usa 8 veces.


Proyecto

1. De lunes a viernes, en períodos normales de estudio, María Inés distribuye en promedio, las 24 horas del día de la siguiente manera:

Actividad Fracción del día

Alimentarse224

Descansar y divertirse16

Estudiar 14

Aseo personal124

Dormir13

Trabajo en casa18

a) ¿A qué actividad dedica más tiempo?

b) ¿A qué actividad dedica menos tiempo?

c) Ordena el tiempo que dedica a las diversas actividades de acuerdo a la relación "menor que" y a la relación "mayor que".

d) ¿Qué fracción de tiempo suman las actividades dormir y descansar y diversión? ¿Cuánto tiempo suman ambas actividades?

e) ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre "estudio" y "dormir"?

f) Sin efectuar la operación, determina cuál es la suma de las fracciones correspondientes a las diversas actividades.

2. La familia López Rodríguez adquiere un terreno de 1,200 v2 para construir su vivienda y establecer una granja de gansos para el consumo humano y como mascotas. También planifican un área de jardinería y árboles frutales. Para ello distribuyen el terreno así:

16

Para la vivienda

13

Para la granja

112

Para veredas internas

a) ¿Cuál es la mayor de todas las áreas?

b) ¿Cuál es la menor?

c) ¿Cuál es el área que ocupará el jardín y los árboles frutales?


Recursos

BALDOR, Aurelio, Aritmética, Edición Cultural Centroamericana, Edición 1968, Guatemala.

DOLCIANI, Wooton y otros, Matemáticas modernas para escuelas secundarias. Tomos 1 y 2, Publicaciones Cultural, S. A. 7ª reimpresión 1980, México.

matemática · pdf fileséptimo grado - matemática 57 segunda unidad...

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