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Mat

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icas 3

T E R C E R

G R A D O

S EC U N D A R I A

VERSIÓN R

EVISADA

Y ACTUALIZADA

Matemáticas

S EC U N D A R I A

3T E R C E R

G R A D O

33

Guía para el maestro

Primera edición en versión digital: abril 2016

Matemáticas 3Guía para el maestroFundamental Plus. Secundaria

Texto: Karina Islas Ríos

D. R. © 2016, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

Todos los derechos reservados

Castillo ® es una marca registrada

Insurgentes Sur 1886, Col. Florida

Deleg. Álvaro Obregón,

C. P. 01030, México, D. F.

Tel.: (55) 5128–1350 Fax: (55) 5128–1350 ext. 2899

Ediciones Castillo forma parte del Grupo Macmillan

www.grupomacmillan.com

www.edicionescastillo.com

Lada sin costo: 01 800 536 1777

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana

Registro núm. 3304

ISBN: 978-607-621-572-2

Prohibida la reproducción o transmisión parcial o total de esta obra por

cualquier medio o método o en cualquier forma electrónica o mecánica, incluso

fotocopia o sistema para recuperar información, sin permiso escrito del editor.

DIRECCIÓN EDITORIAL: Cristina Arasa SUBDIRECCIÓN

EDITORIAL: Tania Carreño King SUBDIRECCIÓN DE

DISEÑO: Antonieta Cruz COORDINACIÓN EDITORIAL: Verónica Velázquez EDICIÓN, DIAGRAMACIÓN Y

PRUEBAS: Contintaroja y el Tall3r COORDINACIÓN DE DISEÑO EDITORIAL: Gustavo Hernández COORDINACIÓN DE OPERACIONES DE DISEÑO: Gabriela Rodríguez Cruz COORDINACIÓN DE IMAGEN: Ma. Teresa Leyva Nava

Al maestro:Cada día la práctica docente exige diferentes recursos para enfrentar-la y lograr una educación de calidad. Ante esta demanda, Ediciones Castillo ha elaborado para usted esta Guía para el maestro, una herra-mienta que le facilitará el trabajo diario en el aula y le ayudará a utilizar, de manera dosificada, los recursos impresos y digitales que integran el proyecto educativo de Fundamental Plus.

En esta Guía usted encontrará un avance programático que le ayu-dará a planear y organizar bimestralmente su trabajo en el aula, el libro del alumno completo, sugerencias didácticas para trabajar cada una de las secuencias didácticas, así como el solucionario de todas las activida-des. También, encontrará señalados todos aquellos contenidos que puede trabajar de manera interactiva con el grupo a través de las actividades, ani-maciones y visitas a páginas web de interés que puede encontrar en sus recursos digitales.

Como recurso adicional, atendiendo su preocupación e interés por mejorar el nivel de dominio de los aprendizajes evaluados por las prue-bas Planea, le ofrecemos en el libro digital del alumno 50 reactivos inte-ractivos Rumbo a Planea. Con esta Guía podrá ubicar aquellos conteni-dos fundamentales que cuentan con reactivos y preparar con antelación la práctica grupal con ellos.

Por último, en esta Guía encontrará recomendaciones de otros re-cursos para apoyar su trabajo en el aula, páginas de internet, audios, películas, videos, libros, etcétera.

Los que participamos en la elaboración de esta Guía sabemos que con su experiencia y creatividad logrará potenciar las sugerencias di-dácticas aquí expuestas, y así conseguir que sus alumnos desarrollen las habilidades y actitudes para el logro de los aprendizajes esperados y las competencias para la vida.

PRESENTACIÓN

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ÍNDICE

4

Presentación 3

Proyecto Fundamental plus 6

Conozca su Guía 8

Avance programático 11

Bloque 1Lección 1. Problemas al cuadrado 18

Lección 2. ¿Iguales o se parecen? 23

Lección 3. ¿Cómo sabes si son iguales?

¿Cómo sabes si se parecen? 28

Lección 4. Distintas representaciones,

una misma situación 34

Lección 5. Tablas y expresiones algebraicas

de relaciones cuadráticas 39

Lección 6. Escala de probabilidad 45

Lección 7. La opinión de los demás 50

Aplica las matemáticas 56

Herramientas 58

Autoevaluación 61

Evaluación ENLACE 62

Evaluación PISA 63

Bloque 2Lección 1. ¿Cómo resolver ecuaciones

cuadráticas? 66

Lección 2. Figuras que giran y cambian

de lugar 72

Lección 3. Diseños con las mismas figuras 79

Lección 4. Cuadrados sobre los lados

de un triángulo 85

Lección 5. El teorema de Pitágoras 91

Lección 6. Cálculo de la probabilidad 95


Herramientas 102

Autoevaluación 105


Evaluación PISA 107

Bloque 3Lección 1. Un método para resolver ecuaciones

cuadráticas 110

Lección 2. Problemas y triángulos 116

Lección 3. El teorema de Tales 121

Lección 4. Homotecia 127

Lección 5. Otra forma de representar

relaciones cuadráticas 133

Lección 6. Gráficas con secciones rectas

y curvas 138

Lección 7. Probabilidad de eventos

independientes 143


Herramientas 150

Autoevaluación 153



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5

Bloque 4Lección 1. Sucesiones al cuadrado 158

Lección 2. Conos, cilindros y esferas 164

Lección 3. La pendiente y la tangente

de una recta 170

Lección 4. Seno, coseno y tangente 176

Lección 5. Razones trigonométricas

y círculo unitario 182

Lección 6. La razón de cambio 188

Lección 7. Desviación media 193


Herramientas 200

Autoevaluación 203



Bloque 5Lección 1. Ecuaciones lineales, cuadráticas

y sistemas de ecuaciones 208

Lección 2. Cortes en cilindros y conos 214

Lección 3. El espacio que ocupan cilindros

y conos 220

Lección 4. Volumen de cilindros y conos 225

Lección 5. Situaciones de variación lineal

y cuadrática 232

Lección 6. Juegos de azar justos e injustos 238


Herramientas 246

Autoevaluación 249



Bibliografía recomendada para el alumno 252

Bibliografía recomendada para el profesor 253

Enlaces a sitios web recomendados 254

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6

Docente

Alumno

Matemáticas 3

Matemáticas 2Español 3

Química

Español 2

Física

Matemáticas 1Español 1

Biología

P R O Y E C T O

S E C U N D A R I A

Formación cívica y Ética I

Formación cívica y Ética II

Geografía

Historia I

Historia II

Frente a los retos que presenta la educa-ción actual de mejorar el nivel académico, social y humano de los alumnos, Funda-mental Plus pone la mirada en asegurar el dominio de lo esencial, es decir, en la construcción de una base sólida para que los alumnos puedan desarrollar habilida-des y competencias para la vida.

Además de satisfacer las necesidades de aprendizaje de los alumnos, Fundamen-tal Plus facilita la labor de los docentes al atender sus necesidades de enseñanza.

Si su centro educativo cuenta con acce-so a la plataforma, usted y sus alumnos podrán utilizar:

vos desde cualquier dispositivo: com pu-tadora de escritorio, tabletas Android y iPad, tanto de forma online como offline.

-jar, resaltar, escribir y agregar notas en las páginas del libro.

Además, desde la plataforma, usted pue-de disponer de:

interactivas

PROYECTO FUNDAMENTAL PLUS

7

Planifi cador editable

Guía para el maestro

Generador de exámenes

Digital

Actividades interactivas Animaciones

Reactivos Planea interactivos Vínculos

Impreso

Impreso Libro digital del alumno

8

v

11BLOQUE 1 / AVANCE PROGRAMÁTICO

Avance programático B1Semanas Eje Tema Lección Contenido Páginas

Recurso digital

1

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ico

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Patrones yecuaciones

1. Problemas al cuadradoResolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

22 a 26

2

Form

a, e

spac

io y

m

edid

a

Figuras y cuerpos

2. ¿Iguales o se parecen?Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades.

27 a 31

33. ¿Cómo sabes si son iguales?

¿Cómo sabes si se parecen?

Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada.

32 a 37

4

Man

ejo

de

la in

form

ació

n

Proporcionalidady funciones

4. Distintas representaciones de una misma situación

Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación.Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad.

38 a 42

55. Tablas y expresiones

algebraicas de relaciones cuadráticas

Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas.

43 a 48

6Nociones de probabilidad

6. Escala de probabilidadConocimiento de la escala de la probabilidad.Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes.

49 a 53

7Análisis y

representaciónde datos

7. La opinión de los demás

Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación.

54 a 59

8 Aplica las matemáticas, Herramientas, Autoevaluación, Evaluación ENLACE, Evaluación PISA. 60 a 67

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Bloque 1

Contenidos

Sentido numérico y pensamiento algebraico

Forma, espacio y medida

C

21

Manejo de la información

SFUMA3SB_B1_2da.indd 21 1/15/15 4:45 PM

Bloque 1

Aprendizajes esperados

A

20


1716 BLOQUE 1 / LECCIÓN 1 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

Bloque 1Conceptos principales

L1 Ecuación, raíz cuadrada y ecuación de segundo grado.

L2 Semejanza, congruencia, razón de semejanza.

L3 Criterios de semejanza y criterios de congruencia.

L4 Gráfica, tabla y expresión algebraica de una relación de pro-porcionalidad.

L5 Tablas y expresiones algebraicas de relaciones cuadráticas.

L6 Probabilidad y eventos excluyentes, complementarios e in-dependientes.

L7 Población de estudio, muestra representativa, preguntas ce-rradas, preguntas abiertas.

Aprendizajes esperados-

mente excluyentes e independientes.

Sentido numérico y pensamiento algebraico. Este bloque se inicia con una lección que pertenece al tema “Patrones y ecua-ciones”; en la que se resuelven problemas matemáticos o en contexto a partir del planteamiento de ecuaciones cuadráticas. Los alumnos tendrán que proponer sus propios procedimientos o utilizar operaciones inversas como elevar al cuadrado y calcu-lar la raíz cuadrada.

Forma, espacio y medida. Las lecciones 2 y 3 corresponden al tema “Figuras y cuerpos” y en éstas se trabajan los conceptos de semejanza y congruencia de cuadrados, rectángulos y triángu-los. Además se establecen criterios para determinar si dos trián-gulos son semejantes o congruentes.

Manejo de la información. En este eje se trabajan tres temas: el

relación entre dos cantidades usando una gráfica, una tabla o una expresión algebraica; en particular se analiza el de las rela-ciones de variación cuadrática. El segundo tema es “Nociones de probabilidad”, donde los alumnos estudiarán los conceptos de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e inde-pendientes, además de establecer la escala de probabilidad. El último tema es “Ánalisis y representación de datos”, en el que los alumnos diseñarán una encuesta, discutirán cómo elegir una muestra de la población y cómo representar los resultados.

Contenidos



C

21


17BLOQUE 1 / LECCIÓN 1



Sentido numérico y pensamiento algebraico. Este bloque se inicia con una lección que pertenece al tema “Patrones y ecua-ciones”; en la que se resuelven problemas matemáticos o en contexto a partir del planteamiento de ecuaciones cuadráticas. Los alumnos tendrán que proponer sus propios procedimientos o utilizar operaciones inversas como elevar al cuadrado y calcu-lar la raíz cuadrada.


Manejo de la información. En este eje se trabajan tres temas: el

relación entre dos cantidades usando una gráfica, una tabla o una expresión algebraica; en particular se analiza el de las rela-ciones de variación cuadrática. El segundo tema es “Nociones deprobabilidad”, donde los alumnos estudiarán los conceptos de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e inde-pendientes, además de establecer la escala de probabilidad. El último tema es “Ánalisis y representación de datos”, en el que los alumnos diseñarán una encuesta, discutirán cómo elegir una muestra de la población y cómo representar los resultados.

CONOZCA SU GUÍA

Aprendizajes esperados que se desarrollan en el bloque.

Ejes que se desarrollan en el bloque.

Conceptos principales que se trabajarán en el bloque.

Es una propuesta para planear y organizar, de manera bimestral, el trabajo en el aula atendiendo los aprendizajes esperados del libro del alumno. En él se indican los contenidos a desarrollar, así como el tiempo sugerido para abordarlos.

En la última columna se encuentra la propuesta de dosifi cación de los recursos interactivos que le ofrece el libro digital del alumno:

Actividad interactiva Animación Reactivo tipo Planea interactivo

Entrada de bloque

Avance programático

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Lección

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Situación inicial

Explora y construye

El consumo de gasolina alrededor del mundo

1

Fuente:

a)

b)

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Fig. 1.4.2.

http://www.edutics.mx/4uodonde podrás encontrar varios recursos gráfi -cos y algebraicos para identifi car y resolver situacio-nes que implican una relación de proporcionalidad. (Consulta: 11 de julio de 2013).

Busca en...


Bloque

1

38

4. Distintas representaciones, una misma situación

La fuga

Situación inicial

1

1 2 3 4 5 6 7 8

2

3

4

5

6

7

8

0Fig. 1.4.1.

Explora y construye

1. En parejas, respondan las preguntas.

a) Observa la gráfi ca; de acuerdo con ella, ¿qué tipo de relación existe entre las varia-

bles representadas? Justifi quen su respuesta.

b) ¿Escriban una expresión algebraica que represente la situación?

c) Completen la tabla.

Tiempo (min) Agua derramada (mL)

1

5

7

30

60

120

3 600

d) Si la gotera no se repara, ¿cuánta agua se derramaría en una semana?

Analiza

Tabla 1.4.1.


34 35BLOQUE 1 / LECCIÓN 4BLOQUE 1 / LECCIÓN 4

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Explora y construye

Sugerencias didácticasPida a sus alumnos que marquen dos puntos en el plano coor-denado e intenten trazar más de una recta que pase por ambos, notarán que no es posible. Por lo anterior, cuando se conocen dos puntos de la gráfica de una relación de proporcionalidad, la recta que pasa por los dos puntos es la gráfica de la relación.

SolucionarioEl consumo de gasolina alrededor del mundo1. a) Porque la razón de lo que se paga entre la cantidad de litros

que se compra siempre es la misma. Ese valor corresponde con el precio de un litro de gasolina.

y ! x, donde x es la cantidad de gasolina en litros, y y el precio que se paga por éstos.

En el siguiente plano se muestran las gráficas de los costos de la

Distintas representaciones, una misma situación

Situación inicial

SolucionarioLa FugaUna gota cae cada dos segundos. El tinaco se vaciaría aproxima-damente en 3 meses.

Analiza1. a) Es una relación de proporcionalidad directa ya que la gráfica

es una recta que pasa por el origen. b) y ! 1.5x, si x es el tiempo y y el agua derramada. c)

Tiempo (min) Agua derramada (mL)1 1.55

L 4

Antecedentes: Análisis de situaciones asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades.

Una ecuación para cada gráfica. Análisis de representa- In crescendo -bulares y algebraicas).

Ideas erróneas: Se puede creer que, en una relación de la forma y = kx, cuando una de las variables aumenta la otra también lo hace. Esto no pasa si k es negativo.

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Lección

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Explora y construye


1

Fuente:

a)

b)

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Fig. 1.4.2.


Busca en...

4. Distintas representaciones,

Observa la gráfi ca; de acuerdo con ella, ¿qué tipo de relación existe entre las varia-

BLOQUE 1 / LECCIÓN 4

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Explora y construye

Sugerencias didácticasPida a sus alumnos que marquen dos puntos en el plano coordenado e intenten trazar más de una recta que pase por ambos, notarán que no es posible. Por lo anterior, cuando se conocen dos puntos de la gráfica de una relación de proporcionalidad, la recta que pasa por los dos puntos es la gráfica de la relación.



y ! xx, donde x es la cantidad de gasolina en litros, y el precio que se paga por éstos.

En el siguiente plano se muestran las gráficas de los costos de la

Una ecuación para cada gráfica. Análisis de representa

Información sobre los Antecedentes que tienen los alumnos sobre el tema que se desarrollará.

En la sección Ideas erróneas se presentan los errores más comunes que cometen los estudiantes y las ideas equivocadas que previamente han adquirido.

Sugerencias didácticas para trabajar la Situación inicial y el solucionario de la actividad.

Solucionario de todas las actividades del desarrollo de la secuencia.

Trabajo con las lecciones

Sugerencias didácticas para trabajar el desarrollo, Explora y construye, de la lección.

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10

Bloque

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b)

eventos mutuamente excluyentes

A B

even-tos complementarios

C D CD C D D C D C

c)

C

D

E

d) C D

e) C D

2

3

a)

b)

c)

Regresa y revisa


48 BLOQUE 1 / LECCIÓN 6

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Solucionario b) Ninguno de los elementos del evento A está en los elemen-

tos del evento B y viceversa. C: 2, 4, 6, 8, 10, 12.

D: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13.

C está en D. Además, si se unen los resultados de C y D se obtienen todos los resultados posi-bles, o sea, el espacio muestral.

e) La probabilidad de C es 613

, la probabilidad de D es 713

,

la probabilidad de C y D es 1313

! 1.

2. R. L. La probabilidad de dos eventos complementarios es 1.3.

mayor que 8 porque el sexto lanzamiento no depende de los lanzamientos anteriores.

b) 1036

! 0.277

c) 1036

! 0.277 pues la probabilidad de

obtener una suma mayor que 8 es la misma en cualquier lanzamiento, ya que el resultado de un lanzamiento no de-pende del resultado de los lanzamientos anteriores.

Selecciona la respuesta correcta.Se tiene una baraja convencional de 52 cartas con cuatro pa-los ( ), cada uno numerado del 1 al 10 más J, Q y K. ¿Cómo son los eventos “sacar una carta roja” y “sacar una

A) Son eventos complementarios y mutuamente excluyentes.B) Son eventos mutuamente excluyentes.C) Son eventos complementarios.D) No son eventos excluyentes.

Rumbo a Planea

los ( ), cada uno numerado del 1 al 10 más J, Q y K.

Determinar la probabilidad de ocurrencia de eventos de acuerdo con la escala de probabilidad.

Reactivo Rumbo a Planea que aparece en el libro digital del alumno.

Referencia a los contenidosinteractivos que se incluyen en el libro digital del alumno:

Actividad interactiva Animación Reactivo tipo Planea interactivo

Uso de los recursos interactivos

53

Lección

6

eventos independientes.

d)

1 a) b)

2

1. Responde en tu cuaderno y luego en grupo discutan sus respuestas.a) Si dos eventos, A y B, son independientes, ¿pueden ser, además, mutuamente

excluyentes?, ¿pueden ser complementarios? Justifi ca tu respuesta.

Refl exiona

Regresa y revisa

1. Analiza el siguiente experimento aleatorio y responde en tu cuaderno.En una urna hay 8 canicas iguales, pero de distinto color: 2 blancas, 2 verdes, 1 amarilla, 1 roja, 1 azul y 1 anaranjada. Se saca una canica al azar, se anota su color y se regresa a la urna.a) Sugiere tres eventos mutuamente excluyentes.b) Da un ejemplo de dos eventos complementarios.c) Menciona dos eventos independientes.

2. Analiza los experimentos aleatorios y eventos que se indican. Explica en tu cuaderno qué tipo de evento es cada uno.a) Se lanzan dos monedas a la vez y, cuando caen, se consideran sus ca-

ras superiores: Evento A = {sol, águila}; evento B = {águila, águila}.b) Se lanzan tres monedas juntas y se consideran sus caras superiores:

Evento C = {sol, águila, sol}; evento D = {águila, sol, águila}.c) Se lanzan tres dados cúbicos iguales, numerados del 1 al 6, y se suman

los números de las caras superiores. Evento E: La suma es un número menor o igual a 2; evento F: La suma

es un número mayor o igual a 3.3. En grupo, comenten sus respuestas. Discutan y corrijan los errores que se

presenten.

Resuelve y practica

Toma nota

Localiza los térmi-nos “eventos mu-tuamente exclu-yentes”, “eventos complementarios” y “eventos inde-pendientes” en el glosario (págs. 256-258) y anota con tus propias pa-labras una explica-ción y un ejemplo de cada uno.


Bloque

1

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b)


A B


C D CD C D D C D C

c)

C

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d) C D

e) C D

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b)

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Solucionario d) El resultado de un lanzamiento no se ve afectado por el

resultado de lanzamientos anteriores.

Reflexiona1. a) Cuando dos eventos son excluyentes eso quiere decir que

si uno de éstos ocurre, el otro no puede ocurrir, es decir, el primero está afectando la ocurrencia del otro, así que no son independientes. Sabemos que dos eventos com-plementarios son excluyentes, así que tampoco los eventos complementarios pueden ser independientes.

Regresa y revisa

1. a) El espacio muestral está formado por todos los posibles resultados que son dos: que llueva o que no llueva.

b) El evento ”que llueva el séptimo día” y el evento ”no llovió el primer día” son independientes. Los eventos “que llueva el séptimo día” y “que no llueva el séptimo día” son comple-mentarios (esto implica que sean excluyentes).

2. R. L.

Resuelve y practica1. a) R. M. Evento A: en la primera extracción sale una bola azul.

Evento B: en la primera extracción sale una bola anaranjada. Evento C: en la primera extracción sale una bola roja.

b) R. M. Evento D: en la primera extracción sale una canica blanca, roja, azul o anaranjada y se regresa a la bolsa.

Evento E: en la primera extracción sale una canica verde o amarilla.

c) R. M. Evento F: en la primera extracción sale una canica blanca o anaranjada y se regresa a la urna.

Evento G: en la segunda extracción sale una canica amarilla, roja o azul.

2. a) Los eventos son excluyentes porque si sale {sol, águila}, en-tonces no puede salir {águila, águila}.

b) Los eventos son excluyentes porque si sale {sol, águila, sol}, entonces no puede salir {águila, sol, águila}.

c) Los eventos son complementarios, por lo que son excluyentes.3. R. L.

Sugerencias didácticas para trabajar el cierre, Regresa y revisa, de la secuencia.

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Avance programático B1Semanas Eje Tema Lección Contenido

PáginasLT

Recurso digital

1

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Patrones y ecuaciones

1. Problemas al cuadradoResolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

22 a 26

2

Form

a, e

spac

ioy

med

ida

Figuras y cuerpos

2. ¿Iguales o se parecen?Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades.

27 a 31

33. ¿Cómo sabes si son iguales?

¿Cómo sabes si se parecen?

Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada.

32 a 37

4

Man

ejo

de

la in

form

ació

n


4. Distintas representaciones de una misma situación

Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación.Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad.

38 a 42

55. Tablas y expresiones

algebraicas de relaciones cuadráticas

Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas.

43 a 48

6Nociones

de probabilidad6. Escala de probabilidad

Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes.

49 a 53

7Análisis

y representaciónde datos


Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación.

54 a 59


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LT = Libro de texto

Avance programático B2

BLOQUE 2 / AVANCE PROGRAMÁTICO12

Semanas Eje Tema Lección ContenidoPáginas

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1. ¿Cómo resolver ecuaciones cuadráticas?

Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.

70 a 75

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Form

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Figuras y cuerpos

2. Figuras que giran y cambian de lugar

Análisis de las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras.

76 a 82

113. Diseños con las mismas

figurasConstrucción de diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras.

83 A 88

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Medida

4. Cuadrados sobre los lados de un triángulo

Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo.

89 a 94

13 5. El teorema de Pitágoras Explicitación y uso del teorema de Pitágoras. 95 A 98

14Nociones

de probabilidad6. Cálculo de la probabilidad

Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma).

99 a 103

15 Aplica las matemáticas, Herramientas, Autoevaluación, Evaluación ENLACE, Evaluación PISA. 104 a 111 © T

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1. Un método para resolver ecuaciones cuadráticas

Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones.

114 a 119

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Figuras y cuerpos

2. Problemas y triángulosAplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas.

120 a 124

18 3. El teorema de TalesResolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales.

125 a 130

19 4. HomoteciaAplicación de la semejanza en la construcciónde figuras homotéticas.

131 a 136

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5. Otra forma de representar relaciones cuadráticas

Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos.

137 a 141

216. Gráficas con secciones

rectas y curvas

Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera.

142 a 146

22Nociones

de probabilidad7. Probabilidad de eventos

independientesCálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto).

147 a 151


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BLOQUE 4 / AVANCE PROGRAMÁTICO


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1. Sucesiones al cuadradoObtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término de una sucesión.

162 a 167

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Figuras y cuerpos 2. Conos, cilindros y esferas

Análisis de las características de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje, un triángulo rectángulo, un semicírculo y un rectángulo. Construcción de desarrollos planos de conos y cilindros rectos.

168 a 173

26

Medida

3. La pendiente y la tangente de una recta

Análisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta, el valor del ángulo que se forma con la abscisa y el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente.

174 a 179

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4. Seno, coseno y tangenteAnálisis de las relaciones entre los ángulos agudos y los cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo.

180 a 185

285. Razones trigonométricas

y círculo unitarioExplicitación y uso de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente.

186 a 191

29Proporcionalidad

y funciones6. La razón del cambio

Cálculo y análisis de la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal.Identificación de la relación entre dicha razón y la inclinación o pendiente de la recta que la representa.

192 a 196

30Análisis

y representaciónde datos

7. Desviación media

Medición de la dispersión de un conjunto de datos mediante el promedio de las distancias de cada dato a la media (desviación media). Análisis de las diferencias de la “desviación media” con el “rango” como medidas de la dispersión.

197 a 201


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1. Ecuaciones lineales, cuadráticas y sistemas de ecuaciones

Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones lineales, cuadráticas o sistemas de ecuaciones. Formulación de problemas a partir de una ecuación dada.

212 a 217

33

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Medida

2. Cortes en cilindros y conos

Análisis de las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Cálculo de las medidas de los radios de los círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en un cono recto.

218 a 223

343. El espacio que ocupan

cilindros y conos

Construcción de las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos, tomando como referencia las fórmulas de prismas y pirámides.

224 a 228

354. Volumen de cilindros

y conos

Estimación y cálculo del volumen de cilindros y conos o de cualquiera de las variables implicadas en las fórmulas.

229 a 235

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5. Situaciones de variación lineal y cuadrática

Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades.

236 a 241

37Nociones

de probabilidad6. Juegos de azar justos

e injustos

Análisis de las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables.

242 a 247

38 Aplica las matemáticas, Herramientas, Autoevaluación, Evaluación ENLACE, Evaluación PISA. 248 a 255 © T

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16 BLOQUE 1 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

Bloque 1Conceptos principales

L1 Ecuación, raíz cuadrada y ecuación de segundo grado.

L2 Semejanza, congruencia, razón de semejanza.

L3 Criterios de semejanza y criterios de congruencia.

L4 Gráfica, tabla y expresión algebraica de una relación de proporcionalidad.

L5 Tablas y expresiones algebraicas de relaciones cuadráticas.

L6 Probabilidad y eventos excluyentes, complementarios e independientes.

L7 Población de estudio, muestra representativa, preguntas cerradas, preguntas abiertas.

Bloque 1

Contenidos



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Bloque 1


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17BLOQUE 1



Sentido numérico y pensamiento algebraico. Este bloque se inicia con una lección que pertenece al tema “Patrones y ecua-ciones”, en la que se resuelven problemas matemáticos o en contexto a partir del planteamiento de ecuaciones cuadráticas. Los alumnos tendrán que proponer sus propios procedimientos o utilizar operaciones inversas, como elevar al cuadrado y cal-cular la raíz cuadrada.


Manejo de la información. En este eje se trabajan tres temas: el primero, “Proporcionalidad y funciones”, donde se representa la relación entre dos cantidades usando una gráfica, una tabla o una expresión algebraica; en particular se analiza el de las rela-ciones de variación cuadrática. El segundo tema es “Nociones de probabilidad”, donde los alumnos estudiarán los conceptos de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e inde-pendientes, además de establecer la escala de probabilidad. El último tema es “Ánalisis y representación de datos”, en el que los alumnos diseñarán una encuesta, discutirán cómo elegir una muestra de la población y cómo representar los resultados.

Bloque

1

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1. Problemas al cuadrado

El terreno cuadrado

Situación inicial

Explora y construye

Un problema y una solución

1

a)

Fig. 1.1.2.

1. En parejas, resuelvan el problema y respondan.

a) ¿Cuál es el área de todo el terreno?

b) ¿Cuánto mide cada lado del terreno?

c) Expliquen el procedimiento que siguieron para re-

solver el problema. ¿Qué operaciones realizaron?

¿Por qué?

d) Compartan sus respuestas y procedimientos con otra pareja. ¿Cómo pueden sa-

ber si sus respuestas y procedimientos son correctos?

e) Validen sus resultados en grupo con apoyo de su profesor.

Analiza

Fig. 1.1.1.



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Problemas al cuadrado

Situación inicial

Sugerencias didácticasPida a los alumnos que resuelvan los incisos a, b y c. Después, hagan una pausa y pregunte a los alumnos cuál fue la canti-dad desconocida que tuvieron que encontrar y qué letra usarían para representarla. Pida que discutan la idea errónea 1 y entre todo el grupo escriban una definición de ecuación con la in-tención de recordar lo que han aprendido en grados anteriores.

SolucionarioEl terreno cuadrado / Analiza

1. a) 225 metros cuadrados.b) 15 metros.c) Respuesta modelo (R. M.). Calcular la raíz cuadrada de 225.d) Respuesta libre (R. L.).

L 1

Ideas erróneas: 1. Se puede pensar que la literal que se usa para representar una cantidad desconocida afecta el resul-tado de una ecuación; sin embargo, es posible usar cual-quier letra para representar cantidades desconocidas.2. Cuando se suman términos en una igualdad es impor-tante sumarlos en ambos lados; por ejemplo, si se tiene la igualdad b ! 32 " 54, no es correcto b ! 32 ! 5 " 54, ya que se alteraría la igualdad. Lo correcto es b ! 32 ! 5 " 54 ! 5, que es lo mismo que b ! 37 " 59.

Antecedentes: Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de las formas: x ! a " b; ax " b y ax ! b " c, donde a, b y c son números naturales o decimales.

Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de la forma: ax ! b " cx ! d; donde los coeficientes son nú-meros enteros, fraccionarios o decimales, positivos o negativos.

Lección

1

23

b)

c)

d)

Situación inicial

Explora y construye Una ecuación para cada problema

1 a)


Bloque

1

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1. Problemas al cuadrado

El terreno cuadrado

Situación inicial

Explora y construye

Un problema y una solución

1

a)

Fig. 1.1.2.

1. En parejas, resuelvan el problema y respondan.

a) ¿Cuál es el área de todo el terreno?

b) ¿Cuánto mide cada lado del terreno?

c) Expliquen el procedimiento que siguieron para re-

solver el problema. ¿Qué operaciones realizaron?

¿Por qué?

d) Compartan sus respuestas y procedimientos con otra pareja. ¿Cómo pueden sa-

ber si sus respuestas y procedimientos son correctos?

e) Validen sus resultados en grupo con apoyo de su profesor.

Analiza

Fig. 1.1.1.



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Explora y construye

Sugerencias didácticasDeje que los alumnos resuelvan los problemas de esta sección sin que usted intervenga. Incluso, cuando tenga que hacer la discusión de resultados de manera grupal, trate de desempeñar un rol de mediador. Los alumnos pueden llegar a las respuestas y procedimientos correctos si comparten sus conocimientos. Además, en la siguiente sección se retomarán estos problemas y se escribirán en lenguaje algebraico.

SolucionarioUn problema y una solución1. a) 8 centímetros.

es 64 cm2, para obtener la medida de cada lado hay que calcular la raíz cuadrada de 64, que es 8.

pero en el otro dejará sin cubrir 0.5 metros.c) 12 y 13 o −12 y −13.

consecutivo de 12, y #12 es el consecutivo de #13.

Una ecuación para cada problema1. x como el lado de un portavasos:

x2 " 64. Se busca el valor de x.y como el lado de la alfombra:

y2 " 20.25. Se busca el valor de y.

Una ecuación para cada problema. Resolución de pro-blemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas.

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Sugerencias didácticas Si al plantear la ecuación del problema del número consecutivo los alumnos usaron dos variables, por ejemplo, x y y, obteniendo la ecuación xy " 156, en ese caso, invite a los alumnos a escribir una de las variables en términos de la otra. También es importan-te que al resolver la ecuación correspondiente a ese problema, sean los alumnos quienes propongan la forma de resolverla. No es momento de enseñarles la fórmula general para resolver ecua-ciones de segundo grado con una variable, que se estudiará en la primera lección del bloque 3; sin embargo, puede mencionarles su existencia.

Si los alumnos tuvieron problemas para hacer el despeje ante-rior, plantee algunos ejercicios, como el siguiente: a − 4 " 7. En este ejemplo pregunte cuál es el valor de a que cumple la igualdad. Comenten que la expresión “−4 pasa sumando del otro lado” en realidad se refiere a que de ambos lados se puede sumar 4, obte-niendo a − 4 ! 4 " 7 ! 4, que es lo mismo que a " 11. Comente la idea errónea 2.

Solucionarioz como el número desconocido, entonces

su consecutivo es z ! 1. Así, el problema es encontrar el valor de z que cumpla que z(z ! 1) " 156.

b) R. L.

2. x2 − 25 " 75

x2 − 25 " 75x2 − 25 ! 25 " 75 ! 25x2 ! 0 " 100x2 " 100 x2 " 100

x " 10 o x " −10

resultado usando ambos procedimientos.

Lección

1

25

En grados anteriores aprendiste a resolver problemas modelándolos con ecuaciones de primer grado. Ahora tenemos un tipo distinto de ecuaciones, llamadas cuadráticas o de segundo grado. Éstas se distinguen de las de primer grado porque el exponente de su incógnita es dos, es decir, tienen una variable cuadrática.

Decimos que dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones; por ejemplo, las ecuaciones 2x2 = 8 y x2 = 4 son equivalente porque los valores x = 2 y x = −2son soluciones de ambas ecuaciones.

Más de una solución

1 a)

a

a a

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Sugerencias didácticasPregunte por qué al resolver la ecuación x2 − 25 " 75 no obtu-vieron x " −10 como solución, pues es probable que la mayoría de los alumnos no la haya tomado en cuenta al obtener la raíz cuadrada de 100. Explique que al calcular la raíz cuadrada de un número hay que considerar siempre dos opciones: la negativa y la positiva. Es importante comentar que en el caso del problema de la ecuación x2 # 25 " 75, sólo se está preguntando por un número y no se dan más condiciones sobre él, así x " #10 y x " 10 son soluciones. Lo anterior no sucede en el problema de las losetas pues en ese caso no tiene sentido hablar de losetas cuyos lados midan #30 centímetros.

Complemente la información de los recuadros del libro, co-mentando que las expresiones equivalentes son útiles para sim-plificar una ecuación y con ello facilitar su solución. Recuérdeles que una forma de simplificar una ecuación es dividiendo todos los términos entre un mismo número.

Solucionario

Más de una solución1. a) 25 losetas.

A " 2.25 m2 " 22 500 cm2

Losetas " 22 500 cm2

900 cm2 " 25

#30)2 " 900.

2. R. L.

Bloque

1

26

Problemas y ecuaciones

1 a)

b)

2

Ecuación Problema

x(3x) = 3

(x + 3)(x) = 70

x2 − 81 = 0

3

1. Resuelve las ecuaciones x2 + 18 = 9 y x2 + 9 = –6x. ¿Cuántas soluciones tienen? ¿Cómo lo explicas?

Refl exiona

Regresa y revisa

1 2 2

2

Situación inicial

Explora y construye

Tabla 1.1.1.



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SolucionarioProblemas y ecuaciones1. x2 ! 40 " 13x. La ecuación es de segundo grado.

b) (10)(y2) " 3 240, donde y representa la medida de la base.

y2 " 3 24010

" 324 y " 18 o y " −18.

La única solución válida es 18 centímetros.2. R. L.3. R. M. Cuando la ecuación tiene una variable con exponente

2 puede haber dos soluciones. Una de éstas puede no ser res-puesta del problema si carece de sentido dentro del contexto.

Reflexiona1. La ecuación x2 ! 18 " 9 no tiene soluciones ya que:

x2 ! 18 " 9 x2 ! 18 − 18 " 9 − 18 x2 " −9 Y no hay número real alguno que multiplicado por sí mismo

dé como resultado un número negativo. La única solución de la ecuación x2 ! 9 " −6x es x " #3.

Regresa y revisa

1. x2 − 36 # 18 " 270 x " 18 o x " −18. La única solución es 18 metros.

Elige la opción correcta.¿Cuál de estas ecuaciones tiene como solución 4 y #2?A) (x ! 2) (x # 4) " 8 B) x2 ! 2x ! 8 = 0C) x2 # 2x # 4 " 0 D) x2 ! 2x ! 8 " 0

Rumbo a Planea

Hay problemas que tienen solución... ¡Como estos! Reso-lución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas.

Identificar la solución de una ecuación cuadrática de la forma ax2 ! bx ! c " 0.

27

Lección

2

Regresa y revisa

2. ¿Iguales o se parecen?

Tangram

1

Situación inicial

1. Respondan a partir de las fi guras que construyeron.

a) ¿Cuántos triángulos son del mismo tamaño?

b) ¿Qué cuadrados están a escala 1 a 1?

c) ¿Algún par de rectángulos tienen la misma forma, pero distinto tamaño?

d) Comparen sus polígonos con los de otras parejas y respondan nuevamente en su cuaderno las preguntas anteriores.

Analiza

Explora y construye

Triángulos congruentes y semejantes

1

AB C

OP Q

Fig. 1.2.1.


Bloque

1

26

Problemas y ecuaciones

1 a)

b)

2

Ecuación Problema

x(3x) = 3

(x + 3)(x) = 70

x2 − 81 = 0

3

1. Resuelve las ecuaciones x2 + 18 = 9 y x2 + 9 = –6x. ¿Cuántas soluciones tienen? ¿Cómo lo explicas?

Refl exiona

Regresa y revisa

1 2 2

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Situación inicial

Explora y construye

Tabla 1.1.1.



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¿Iguales o se parecen?

Situación inicial

Sugerencias didácticasEs importante que los alumnos tengan claro cómo relacionar los ángulos y los lados de un triángulo con los lados y los án-gulos de otro triángulo semejante al primero. Si lo considera necesario, comente con el grupo la idea errónea.

SolucionarioTangram1. R. L. Hay más de una manera de obtener las figuras solicitadas.

Analiza1. Todas las respuestas dependen de las figuras construidas por

los alumnos.

L 2

Ideas erróneas: Para verificar si dos triángulos son semejantes, algunos alumnos toman de ma-nera equivocada los lados que no son homólogos. Por ejemplo, en los siguientes triángulos, el lado A debe relacionarse con el lado Y, pues son los lados más largos de los triángulos.

Antecedentes: Construcción de triángulos dados ciertos datos. Análisis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.

Explica el tipo de transformación (reflexión, rotación o traslación) que se aplica a una figura para obtener la figura transformada. Identifica las propiedades que se conservan.

Y

X

Z

AC

B

Bloque

1

28

2

a) ABC

b)

c) OPQ

d)

3 ABC OPQ

a) ABC

b) OPQc)

4

D E FG H

I

5

DE D GH G

EF E HI H

FD F IG I

a) DEF GHI

b)

DE

GH

EF

HI

FD

IGc)

6

http://www.edutics.mx/4u4donde podrás construir dos triángulos seme-jantes y analizar sus características. (Consulta: 11 de julio de 2013).

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24 BLOQUE 1 /LECCIÓN 2

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Explora y construye

SolucionarioTriángulos congruentes y semejantes1.

2. a) R. L. b) Las razones son iguales. c) Los ángulos miden: O " 90°, P " 53.13° y Q " 36.87°. d) En el primer caso, las medidas de los lados son diferentes,

pero tienen la misma proporción. En el segundo caso, todos son idénticos.

3. a) Las razones son iguales. b) Los ángulos son iguales. c) Los triángulos OPQ son idénticos, pues las medidas de los lados

y ángulos correspondientes son iguales y los triángulos ABC guardan una proporción entre sus lados.

4.

5. DE " 9 cm D " 60° GH " 6 cm* G " 60° EF " 9 cm E " 60° HI " 6 cm* H " 60° FD " 9 cm F " 60° IG " 6 cm* I " 60° * Las medidas pueden variar.

a) La medida de los lados.

DEGH

" 9 cm6 cm*

" 1.5* EFHI

" 9 cm6 cm*

" 1.5* FDIG

" 9 cm6 cm*

" 1.5*

* Los valores pueden variar, pero las razones deben ser iguales. c) Las razones representan la proporción entre las medidas de

los lados de los triángulos. Las razones son iguales: los triángulos están a escala o son idénticos (si las razones son iguales a 1).

6. Al comparar los cocientes de los triángulos, si estos son iguales, los triángulos están a escala. El cociente representa el factor de proporcionalidad.

A35° 56°

89°

B

C

Q

OP

5 cm 4 cm

3 cm

29

Lección

2

Cuando dos triángulos tienen la misma forma, aunque no necesariamente el mismo tamaño, se dice que son seme-jantes y se denota por el símbolo ≈. Por ejemplo, los triángulos cuyos vértices son A, B, C y M, N, O son semejantes, lo que se expresa de la siguiente manera:

'ABC ≈ 'MNO

Dos triángulos semejantes tienen sus ángulos iguales y sus lados correspondientes son proporcionales. Al cociente de la razón entre la medida de los lados correspondientes de dos triángulos semejantes se le llama razón de semejanza.

En la fi gura 1.2.2 los lados correspondientes están marcados del mismo color.

M

ONCB

A

7

8 a) RST UVW

b) c) OPQ

RST

d)

9

V W

U

R

S T

Fig. 1.2.2.

Fig. 1.2.3.

Si los lados y ángulos correspondientes de dos triángulos son respectivamente iguales, entonces dichos triángulos son congruentes. Para indicarlo se utiliza el símbolo .

Por ejemplo, los triángulos IJK y XYZ son congruentes. Por tanto:

'IJK ! 'XYZ

I X

J K Y Z

Fig. 1.2.4.


Bloque

1

28

2

a) ABC

b)

c) OPQ

d)

3 ABC OPQ

a) ABC

b) OPQc)

4

D E FG H

I

5

DE D GH G

EF E HI H

FD F IG I

a) DEF GHI

b)

DE

GH

EF

HI

FD

IGc)

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http://www.edutics.mx/4u4donde podrás construir dos triángulos seme-jantes y analizar sus características. (Consulta: 11 de julio de 2013).

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Solucionario7. La razón del triángulo menor respecto al mayor es 0.5. Si se

considera la razón inversa, es decir, el triángulo mayor respecto del menor, el resultado es 2.

8. a) Los triángulos RST y UVW son semejantes, pues la razón entre los lados correspondientes es la misma.b) Es 1.c) Primero se calculan las razones respecto a los lados corres-

pondientes:

PORS

" 3 cm3 cm

" 1 QOST

" 4 cm4 cm

" 1

QPTR

" 5 cm5 cm

" 1

Como los cocientes son iguales, los triángulos OPQ y RST son semejantes.

d) La razón de semejanza es 1.9. R. M. Los triángulos son iguales, pues la medida de los lados co-

rrespondientes es la misma, dado que la razón de semejanza es 1.

Selecciona la respuesta correcta.El triángulo azul es semejante al triángulo naranja. ¿Cuál es la medida de los lados n y m?

A) m " 9; n " 6B) m " 6; n " 9C) m " 8; n " 12D) m " 8; n " 6

Rumbo a Planea

1812

9

12

m

n

Analizar propiedades de triángulos congruentes y semejantes.

Bloque

1

30

Semejanza y congruencia de cuadrados y rectángulos

1

2

a)

b)

c)

d)

3

4

a)

5

ABCD EFGH

a)

b)

Fig. 1.2.5.Regresa y revisa

A D

B C

E

F G

H



© T

od

os

los

der

ech

os

rese

rvad

os,

Ed

icio

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Cas

tillo

, S.

A. d

e C

.V.

(Corresponde a la página 31.)

La línea que los une. Construcción de figuras congruen-tes o semejantes.

Triángulos, cuadriláteros y formas semejantes. Construc-ción de figuras congruentes o semejantes.

SolucionarioSemejanza y congruencia de cuadrados y rectángulos1. R. L. Los cuadros deben tener las medidas indicadas.

2. a) R. M. Todos tienen la misma forma. Los cuadrados del se-gundo caso son iguales entre sí. Los cuadrados del tercer y cuarto casos tienen las mismas medidas entre sí.

b) Todos los cuadrados son semejantes. Los cuadrados del segundo caso son congruentes entre sí. Los cuadrados del tercer y cuarto casos también son congruentes entre sí.

c) R. M. Dos cuadrados son congruentes cuando la medida de los lados es la misma para ambos.

d) R. M. Todos los cuadrados son semejantes porque sus án-gulos internos siempre miden 90°.

3. R. L.4. a) Cualquier otro cuadrado será semejante a los de la primera

actividad, pero no necesariamente congruente a estos.5. a) R. M. No, porque no tienen la misma forma. b) Que las medidas de los lados de una de las figuras sean

proporcionales a las medidas de los lados correspondientes de la otra figura.

R. M.

6 cm 6 cm

3 cm

36 cm2

31

Lección

2Rectángulos en el plano cartesiano

1 ॲ

1. En parejas, determinen si las siguientes afi rmaciones son verdaderas o falsas. Justi-fi quen sus respuestas en su cuaderno y verifíquenlas con su profesor.a) Todos los triángulos equiláteros son semejantes entre sí.b) Algunos cuadrados no son semejantes.c) Dos rectángulos siempre son semejantes.d) Si dos rectángulos son congruentes, entonces también son semejantes.e) Si dos rectángulos son semejantes, entonces también son congruentes.f) La razón de semejanza de dos cuadrados es igual al cociente de sus perímetros.

Refl exiona

0

0.5

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Fig. 1.2.6.

a)

ॲb)

2

Regresa y revisa

1

2


Bloque

1

30

Semejanza y congruencia de cuadrados y rectángulos

1

2

a)

b)

c)

d)

3

4

a)

5

ABCD EFGH

a)

b)

Fig. 1.2.5.Regresa y revisa

A D

B C

E

F G

H



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Cas

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, S.

A. d

e C

.V.

SolucionarioRectángulos en el plano cartesiano1.

a) El rectángulo cuyo largo es de 5 u es semejante al rectángulo cuyo largo es de 7.5 u; y el rectángulo cuyo largo es de 2 u es semejante al rectángulo cuyo largo es de 3 unidades.

b) En los rectángulos que son semejantes, la diagonal de uno coincide con la diagonal del otro.

2. Sería una línea recta que parte del origen.

Refl exiona1. a) Verdadera. Como los tres lados de un triángulo equilátero

miden lo mismo, al calcular la razón entre las medidas de otro triángulo equilátero, los cocientes serán iguales.

b) Falsa. Los lados de un cuadrado miden lo mismo y al calcular la razón entre las medidas de otro cuadrado, los cocientes serán los mismos, por lo que todos los cuadrados son se-mejantes.

c) Falsa. Las medidas de los lados pueden ser diferentes, así que para que sean semejantes las medidas de los lados correspondientes tienen que ser proporcionales.

d) Verdadera. Al ser congruentes los cocientes entre lados co-rrespondientes son iguales a 1.

e) Falsa. Aunque las razones de lados correspondientes sean iguales, las medidas de los lados pueden ser distintas.

f) Verdadera. La suma de la longitud de sus lados sigue guar-dando la misma proporción.

Regresa y revisa

1. Los polígonos que tienen la misma forma y el mismo tamaño son congruentes (y además semejantes) entre sí. Los polígonos que tienen la misma forma pero distinto tamaño son semejan-tes entre sí.

2. R. L.

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.50

Bloque

1

32

3. ¿Cómo sabes si son iguales? ¿Cómo sabes si se parecen?

Una ventana errónea

Situación inicial

Explora y construye

Lo mínimo para ser iguales

1

a)

1. En parejas, realicen y respondan lo siguiente.

a) Escriban a continuación su procedimiento para encontrar la respuesta.

b) ¿Con las medidas que proporcionó Beatriz se podría construir sólo uno o más

triángulos distintos? ¿Por qué?

c) Indiquen con qué datos extra el vidriero podría cortar el cristal que ella necesitaba.

2. En grupo, comparen sus respuestas y determinen cuántos triángulos distintos se pueden trazar con las indicaciones de Beatriz.

Analiza



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, S.

A. d

e C

.V.

¿Cómo sabes si son iguales? ¿Cómo sabes si se parecen?

Situación inicial

SolucionarioUna ventana errónea / Analiza

1. a) R. L. En la lección anterior se observó que si los lados de dos triángulos tienen las mismas medidas, entonces son congruentes.

b) Más de un triángulo distinto porque el tercer lado puede tener diferentes medidas.

c) Con las medidas de los tres lados.2. R. L.

Explora y construye

Lo mínimo para ser iguales1. a) R. M. Cuando la medida de los lados y los ángulos de un

triángulo son iguales a las de otro triángulo se dice que son congruentes.

L 3

Antecedentes: Construcción de figuras congruentes o se-mejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades.

Ideas erróneas: Se puede pensar que la posición de una figura incide en si ésta es o no congruente a otra.

33

Lección

3

Situación inicial

Explora y construye

b)

c)

2

a)

b)


Bloque

1

32

3. ¿Cómo sabes si son iguales? ¿Cómo sabes si se parecen?

Una ventana errónea

Situación inicial

Explora y construye

Lo mínimo para ser iguales

1

a)

1. En parejas, realicen y respondan lo siguiente.

a) Escriban a continuación su procedimiento para encontrar la respuesta.

b) ¿Con las medidas que proporcionó Beatriz se podría construir sólo uno o más

triángulos distintos? ¿Por qué?

c) Indiquen con qué datos extra el vidriero podría cortar el cristal que ella necesitaba.

2. En grupo, comparen sus respuestas y determinen cuántos triángulos distintos se pueden trazar con las indicaciones de Beatriz.

Analiza



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Solucionariob) R. M. Cuando las razones entre los lados correspondientes

de dos triángulos son iguales, se dicen que estos son seme-jantes.

c) R. M. Cuando dos triángulos son congruentes, las medidas de sus lados y sus ángulos correspondientes son iguales, mien-tras que en dos triángulos semejantes sólo las medidas de los ángulos son las mismas y las medidas de los lados son proporcionales.

2. a) La figura debe tener las medidas que se indican.

correspondientes miden lo mismo, así como las medidas de sus ángulos.

una figura como la siguiente:

Y para completar el triángulo sólo tenían que trazar un segmento de recta que uniera los puntos B y C; este seg-mento tiene una medida única.

b) La figura debe tener las medidas que se indican.

A

B

C

3 cm

6 cm55°

A

BC

3 cm

6 cm55°

B

C

A

4 cm

50°

60°


Bloque

1

34

c)

3 a)

b)

4 a)

7 cm 7 cm

4 cm4 cm

30° 30°

Fig. 1.3.1.

http://www.edutics.mx/4uZdonde podrás observar y analizar dos triángulos semejantes en una construcción cuyas característi-cas podrás variar. (Consulta: 11 de julio de 2013).

Busca en...


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.V.

Sugerencias didácticasAntes de que los alumnos comparen el triángulo que trazaron en el inciso c), pregúnteles qué relación tendrá su triángulo con los triángulos trazados por sus compañeros. Se espera que con las experiencias anteriores los alumnos puedan concluir que los trián-gulos sean congruentes.

Para las preguntas del ejercicio 4, proponga a los alum-nos que tracen un triángulo con las mismas características de los triángulos de la actividad, pero que el ángulo de 30° se en-cuentre entre los lados de 7 cm y de 4 cm. Pida que comparen su figura con la de otros compañeros, después que respondan las preguntas y que registren sus conclusiones.

Solucionarioc) La figura debe tener las medidas que se indican.

3. a) R. L.

b) R. L.4.

4 centímetros.

B

C

A

5 cm

3 cm

6 cm


Lección

3b)

5

criterios de congruencia de triángulos

Lado – Lado – Lado (LLL). con-

gruentes. Lado – Ángulo – Lado (LAL).

congruentes. Ángulo – Lado – Ángulo (ALA).

congruentes.

Lo mínimo para parecerse

1

a)

6 cm6 cm

40°

40°40°40°

Fig. 1.3.2.


Bloque

1

34

c)

3 a)

b)

4 a)

7 cm 7 cm

4 cm4 cm

30° 30°

Fig. 1.3.1.

http://www.edutics.mx/4uZdonde podrás observar y analizar dos triángulos semejantes en una construcción cuyas característi-cas podrás variar. (Consulta: 11 de julio de 2013).

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Sugerencias didácticasLea en grupo la información sobre congruencia de triángulos que se presenta en el libro. Pida a diferentes estudiantes que lean la información y haga una pausa al terminar de leer cada criterio. Trace en el pizarrón un ejemplo para cada criterio y solicí-teles que regresen a los ejemplos trabajados en la lección para que establezcan si alguno cumple con el criterio en cuestión.

Solucionario

5. R. L.

Lo mínimo para parecerse 1. a) El triángulo debe tener las medidas que se indican.

lados correspondientes es el mismo.

85°

25° 70°

Criterios de congruencia de triángulos.


Bloque

1

36

b)

c)

d)

2

criterios de semejanza de triángulos Ángulo – Ángulo.

Lado proporcional – Ángulo – Lado proporcional.

Lado proporcional – Lado proporcional – Lado proporcional.

Regresa y revisa


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A. d

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Solucionario b) El triángulo debe tener dos ángulos como los que se muestran.

-gulos son semejantes.

es la misma.

c) El triángulo debe tener las medidas que se indican.

son proporcionales.

es la misma.

d) El triángulo debe tener las medidas que se muestran.

misma.2. R. L.

6 cm

12 cm

10 cm

6 cm

12 cm

55°

50°

60°


Lección

3

1

a) b) c) d)

2

1. Si un triángulo ABC es semejante al triángulo DEF y éste es, a su vez, semejante a un tercer triángulo GHI, ¿qué relación existe entre los triángulos ABC y GHI? Justifi ca tu respuesta en tu cuaderno.

Refl exiona

Regresa y revisa

1. Realiza y contesta lo que se indica.a) Traza en tu cuaderno un triángulo rectángulo, nombra C al vértice del ángulo

recto y A y B, a los otros dos vértices.b) Traza la altura que pasa por C y nombra P al punto donde interseca al lado opues-

to a C, como en la fi gura 1.3.3.

c) Mide los ángulos de los triángulos ABC, APC y BCP y anota en tu cuaderno los valores obtenidos.

d) ¿Qué relación hay entre los tres triángulos anteriores? Justifi ca tu respuesta.

2. En grupo, comparen sus respuestas de la actividad anterior. Concluyan cuál es la re-lación entre un triángulo rectángulo y los triángulos que se forman al trazar la altura tomando como base el lado de mayor longitud.

Resuelve y practica

AP B

C

Fig. 1.3.3.


Bloque

1

36

b)

c)

d)

2

criterios de semejanza de triángulos Ángulo – Ángulo.

Lado proporcional – Ángulo – Lado proporcional.

Lado proporcional – Lado proporcional – Lado proporcional.

Regresa y revisa


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SolucionarioReflexiona1. Son semejantes. R. L.

Regresa y revisa

1. a) Si el lado de 60 cm es el que está entre los dos ángulos entonces se forman triángulos congruentes por el criterio de congruencia ALA (ángulo-lado-ángulo). Si el lado es otro, entonces se forman triángulos distintos.

b) Se forman triángulos congruentes por el criterio de con-gruencia LAL (lado-ángulo-lado).

c) Se forman triángulos semejantes por el criterio de semejanza ángulo # ángulo.

d) Si el ángulo de 60° está entre los dos lados de 60 cm, en-tonces se formarán triángulos congruentes por el criterio de congruencia LAL. Si el ángulo es otro, entonces se formarán triángulos distintos.

2. R. L.

Resuelve y practica1. a) R. L. b) R. L. c) R. M. Por ejemplo, en el triángulo ABC de la figura 1.3.3.

A " 67.87° B " 22.13° C " 90° En el triángulo APC A " 67.87° P " 90° C " 22.13° En el triángulo BPC B " 22.13° C " 67.87° P " 90°

d) Los tres son semejantes por el criterio de semejanza ángulo # ángulo.

2. Son triángulos semejantes.

¿Iguales o parecidos? Criterios de congruencia y seme-janza de triángulos.

¿Encuentras el parecido? Criterios de congruencia y se-mejanza de triángulos.

Bloque

1

38


La fuga

Situación inicial

1

1 2 3 4 5 6 7 8

2

3

4

5

6

7

8

0Fig. 1.4.1.

Explora y construye







1

5

7

30

60

120

3 600


Analiza

Tabla 1.4.1.



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Distintas representaciones, una misma situación

Situación inicial

SolucionarioLa fugaUna gota cae cada dos segundos. El tinaco se vaciaría aproxima-damente en 3 meses.

Analiza1. a) Es una relación de proporcionalidad directa ya que la gráfica

es una recta que pasa por el origen. b) y " 1.5x si x es el tiempo y y el agua derramada.

c)Tiempo (min) Agua derramada (mL)

1 1.55 7.57 10.5

30 4560 90120 180

3 600 5 400

d) 15 120 mililitros.

L 4

Antecedentes: Análisis de situaciones asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades.

In crescendo. Analisis de representaciones (gráficas, ta-bulares y algebraicas).

Ideas erróneas: Se puede creer que, en una relación de la forma y = kx, cuando una de las variables aumenta la otra también lo hace. Esto no pasa si k es negativo.

39

Lección

4

Situación inicial

Explora y construye


1

Fuente:

a)

b)

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Fig. 1.4.2.


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Bloque

1

38


La fuga

Situación inicial

1

1 2 3 4 5 6 7 8

2

3

4

5

6

7

8

0Fig. 1.4.1.

Explora y construye







1

5

7

30

60

120

3 600


Analiza

Tabla 1.4.1.



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Explora y construye

Sugerencias didácticasPida a sus alumnos que marquen dos puntos en el plano coor-denado e intenten trazar más de una recta que pase por ambos; notarán que no es posible. Por lo anterior, cuando se conocen dos puntos de la gráfica de una relación de proporcionalidad, la recta que pasa por los dos puntos es la gráfica de la relación.



y (0, 0).

y " 24.7x, donde x es la cantidad de gasolina en litros, y y es el precio que se paga por estos.

En el siguiente plano se muestran las gráficas de los costos de la gasolina en Alemania (recta morada) y en Dinamarca (recta azul).

500

450

400

350

300

250

200

150

100

50

Co

sto

(pe

sos)

Cantidad de gasolina (L)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Una ecuación para cada gráfica. Análisis de representa-ciones (gráficas, tabulares y algebraicas).

40

Bloque

1

c)

y x

Gasolina comprada en Alemania (L)

Costo (pesos)

24.70

2

8

247.00

15

444.60

Gasolina comprada en Dinamarca (L)

Costo (pesos)

1

3

130.00

273.00

14

494.00

Cantidad de gas (L)Costo

(pesos)

0

0.5 2.25

9.00

3.5

9.5

54.00

15 67.5

2

Tabla 1.4.2.

Tabla 1.4.3.

Tabla 1.4.4.

Fig. 1.4.3. 0

5

10

15

20

25

30

1 2 3 4 5 6 7



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Solucionario

Gasolina comprada enAlemania (L)

Costo (pesos)

1 24.70

2 49.40

8 197.60

10 247.00

15 370.50

18 444.60

Ver gráfica en la página anterior. c) Corresponde al precio de la gasolina en Dinamarca.

Gasolina comprada en

Dinamarca (L)Costo (pesos)

1 26.00

3 78.00

5 130.00

10.5 273.00

14 364.00

19 494.00

Ver gráfica en la página anterior. 2.

Cantidad de gas (L) Costo (pesos)

0 0

0.5 2.25

2.0 9.00

3.5 15.75

9.5 40.50

12.0 54.00

15.0 67.50

y " 4.5x, donde x es la cantidad de gasolina en litros, y y, su costo.

41

Lección

4

3 a)

b)

Distintas situaciones, una misma representación

1

I. II. III. IV.

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2

3

4

5

6

7

8

9

0

x y

0

0.5

1

3

5

5

Tabla 1.4.5.

Fig. 1.4.4.x

y


40

Bloque

1

c)

y x

Gasolina comprada en Alemania (L)

Costo (pesos)

24.70

2

8

247.00

15

444.60

Gasolina comprada en Dinamarca (L)

Costo (pesos)

1

3

130.00

273.00

14

494.00

Cantidad de gas (L)Costo

(pesos)

0

0.5 2.25

9.00

3.5

9.5

54.00

15 67.5

2

Tabla 1.4.2.

Tabla 1.4.3.

Tabla 1.4.4.

Fig. 1.4.3. 0

5

10

15

20

25

30

1 2 3 4 5 6 7



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Solucionario

3. a) R. L. b) R. L. Por ejemplo, en el ejercicio 2, para la tabla 1.4.4 y la

figura 1.4.3, el punto (15, 67.5) se pudo expresar en la tabla, pero en la gráfica no, debido a la longitud de los ejes. Sin embargo, en la tabla sólo se pueden expresar algunos valo-res, mientras que en la gráfica quedan representados varios puntos además de los trazados; por ejemplo, se puede ver el costo de 3 L o de 7 L de gasolina.

Distintas situaciones, una misma presentación1.

x 0 1 2 3 5 10

y 0 0.5 1 1.5 2.5 5

y " 12

x.

y " 12

x puede representar las situaciones I y IV

porque la relación entre los valores involucrados en esas situa-

ciones corresponden con los valores mostrados en la gráfica.

2. R. L.

Elige la opción correcta¿Qué ecuación corresponde a la gráfica?

Rumbo a Planea

0#2 2 10 14 1812 16 1064 8

#2

2

6

4

8

10

14

18

12

16

20

A) y = 2.5x + 3B) y " 2.5xC) y " 3xD) y " 2x ! 8

Bloque

1

42

1. En parejas, respondan y realicen en su cuaderno lo siguiente.a) ¿La expresión algebraica y = –3x representa una relación de variación proporcio-

nal entre las variables? ¿Por qué?b) ¿Cómo es la gráfi ca de esa expresión?c) Determinen una situación que se represente con la expresión y = –3x.

2. En grupo, comparen y comenten sus respuestas. Concluyan qué relación hay entre las variables de la expresión y = –3x.

Refl exiona

Representaciones proporcionales y no proporcionales

1

a) MB

b) Sn Sv

c)

Tiempo (min) Costo (pesos)

15 6

30 12

45 18

60 24

d)

2

Regresa y revisa

1

Fig. 1.4.5.

Fig. 1.4.6.

Glosario

MB.Símbolos del prefi jo mega y de la unidad de información que se utiliza en computación, byte.

Situación inicial

Tabla 1.4.6.



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, S.

A. d

e C

.V.

Sugerencias didácticas Comente con sus alumnos la idea errónea. Observen que en la gráfica de y " −3x, mientras los valores de x aumentan, los va-lores de y disminuyen. Recuérdeles que cuanto más se aleje un número del cero hacia la parte negativa, tanto menor es su valor. Por lo anterior tenemos que si dos cantidades varían de manera proporcional, para que una aumente mientras la otra aumenta es necesario que la constante de proporcionalidad sea positiva.

SolucionarioRepresentaciones proporcionales y no proporcionales1. a) No es una relación de proporcionalidad porque la recta no

pasa por el origen de coordenadas. b) Sí es una relación de proporcionalidad, ya que es de la forma

y " kx, considerando la variable y como Sn (sueldo nuevo) y la variable x como Sv (sueldo anterior).

c) Sí es una relación de proporcionalidad, pues el cociente del costo entre el tiempo siempre es 0.4.

d) No es una relación de proporcionalidad, pues la gráfica no es una línea recta.

2. R. L.

Reflexiona1. a) Sí, porque y " #3x es de la forma y " kx , donde k es igual a

#3. b) La gráfica es la línea recta que pasa por los puntos (0, 0) y

(1, #3). c) R. L.2. R. L.

Regresa y revisa

1. R. L.

43

Lección

5

Regresa y revisa

5. Tablas y expresiones algebraicas de relaciones cuadráticas

Población de mosquitos y precipitación pluvial

Situación inicial

1. En parejas, realicen lo siguiente.

a) ¿Cómo varía el número de mosquitos con-

forme la precipitación pluvial aumenta de 1 a

4 pulgadas?

b) ¿Qué sucede con el número de mosquitos

cuando la precipitación pluvial aumenta de 6

a 10 pulgadas?

c) ¿La relación entre las variables es proporcio-

nal? ¿Por qué?

d) ¿Cuál de las expresiones algebraicas repre-senta la relación entre las pulgadas de preci-pitación pluvial y el número de mosquitos?

• y = x2 • y = 10x – x2

• y = x2 – 10x • y = 10x2 – 1

e) Completen las tablas 1.5.1 y 1.5.2 a partir de la expresión que determinaron en el inciso anterior.

f) En grupo, discutan las respuestas anteriores y verifi quen que sean correctas. Calculen el número de mosquitos que se desarrollarían con 10.5 pulgadas de precipitación pluvial y determinen qué signifi ca ese valor en el contexto del problema.

Analiza

Precipitación pluvial

(pulgadas)

Número aproximado de

mosquitos (miles)

0 0

1

2 16

3

4 24

5

6 24

7 21

8 16

9 9

10 0

Tabla 1.5.1.

Tabla 1.5.2.

Precipitación pluvial

(pulgadas)

Número aproximado de

mosquitos (miles)

0.5

2.5

4.5

6.5

8.5


Bloque

1

42

1. En parejas, respondan y realicen en su cuaderno lo siguiente.a) ¿La expresión algebraica y = –3x representa una relación de variación proporcio-

nal entre las variables? ¿Por qué?b) ¿Cómo es la gráfi ca de esa expresión?c) Determinen una situación que se represente con la expresión y = –3x.

2. En grupo, comparen y comenten sus respuestas. Concluyan qué relación hay entre las variables de la expresión y = –3x.

Refl exiona

Representaciones proporcionales y no proporcionales

1

a) MB

b) Sn Sv

c)

Tiempo (min) Costo (pesos)

15 6

30 12

45 18

60 24

d)

2

Regresa y revisa

1

Fig. 1.4.5.

Fig. 1.4.6.

Glosario

MB.Símbolos del prefi jo mega y de la unidad de información que se utiliza en computación, byte.

Situación inicial

Tabla 1.4.6.



© T

od

os

los

der

ech

os

rese

rvad

os,

Ed

icio

nes

Cas

tillo

, S.

A. d

e C

.V.

Tablas y expresiones algebraicas de relaciones cuadráticas

Situación inicial

SolucionarioPoblación de mosquitos y precipitación pluvial Cuando la precipitación es de 5 pulgadas.Analiza1. a) De 9 000 mosquitos aumentó a 24 000. b) Disminuye de 24 000 mosquitos a cero. c) No es proporcional, pues la división del número de mosqui-

tos entre el número de pulgadas no es constante. d) 10x − x2. e) Valores que faltan en la tabla 1.5.1: 9, 21 y 25.

Valores de la segunda tabla: 4.75, 18.75, 24.75, 22.75 y 12.75. f) R. M. A 10.5 pulgadas corresponden −5 250 mosquitos, lo

cual carece de sentido en el contexto del problema.

L 5

Ideas erróneas: Es común que los alumnos no realicen, al resolver un problema, las conversiones de las unidades in-volucradas para unificarlas.

Antecedentes: Análisis de representaciones (gráficas, tabula-res y algebraicas), que corresponden a una misma situación.Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad.

La relación es cuadrática. Representación tabular y alge-braica de relaciones de variación cuadrática.

Bloque

1

44

Explora y construye

Representación de relaciones cuadráticas

1

a)

b)

d t d t d t d t

Tiempo (segundos)

Distancia (centímetros)

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Tiempo (segundos)


1

2

3

4

5

Tabla 1.5.3.

Tabla 1.5.4.

Fig. 1.5.1.

c)

d)

e)

f)

Fuente:

5 cm

20 cm

45 cm

80 cm

125 cm



© T

od

os

los

der

ech

os

rese

rvad

os,

Ed

icio

nes

Cas

tillo

, S.

A. d

e C

.V.

Explora y construye

Sugerencias didácticasPregunte a sus alumnos en qué unidades deben evaluar el valor de la distancia, si en centímetros, en metros o kilómetros.

SolucionarioRepresentación de relaciones cuadrátricas1. a)

Tiempo (segundos) Distancia (centímetros)

0.1 5

0.2 20

0.3 45

0.4 80

0.5 125

b) d " 5t2: al evaluar las décimas de segundo se obtuvieron las distancias correspondientes.

c)Tiempo (segundos) Distancia (centímetros)

1 500

2 2 000

3 4 500

4 8 000

5 12 500

d) 33.8 m, que es el valor obtenido al sustituir 2.6 s en la ecua-ción del inciso b.

e) Tardaría aproximadamente 3.68 s, que es el resultado de sustituir 67.6 m en la ecuación del inciso b y después des-pejar t.

f) Aproximadamente 48.99 s, que es el resultado de evaluar 12 000 m en la ecuación del inciso b y después despejar t.

45

Lección

5 2

Tiempo (s) Altura (m) Tiempo (s) Altura (m)

1 95 11

2 180 12

3 255 13

4 320 14

5 375 15

6 16

7 17 255

8 18 180

9 19 95

10 20 0

a)

h t t h t t h t t h t t

b)

c)

d)

3

4

a)

b)

c)

Explora y construye

Tabla 1.5.5.

Cantidad inicial de bacterias

Cantidad de bacterias

al transcurrir 60 min

1 2

2 8

3 18

4 32

5 50

Tabla 1.5.6.


Bloque

1

44

Explora y construye

Representación de relaciones cuadráticas

1

a)

b)

d t d t d t d t

Tiempo (segundos)


0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Tiempo (segundos)


1

2

3

4

5

Tabla 1.5.3.

Tabla 1.5.4.

Fig. 1.5.1.

c)

d)

e)

f)

Fuente:

5 cm

20 cm

45 cm

80 cm

125 cm



© T

od

os

los

der

ech

os

rese

rvad

os,

Ed

icio

nes

Cas

tillo

, S.

A. d

e C

.V.

Solucionario2. a) h " 100t − 5t2. Ésta es la única que satisface los valores de

la tabla 1.5.5. b)

Tiempo (s) Altura (m) Tiempo (s) Altura (m)

1 95 11 495

2 180 12 480

3 255 13 455

4 320 14 420

5 375 15 375

6 420 16 320

7 455 17 255

8 480 18 180

9 495 19 95

10 500 20 0

c) 488.75 metros. d) La altura máxima fue de 500 m y habían transcurrido

10 segundos desde su lanzamiento.3. R. L. La expresión es d " 5t ! 5t2.4. a) La expresión es b " 2x2; b, el número de bacterias tras

60 minutos, y x, el de bacterias iniciales. b) R. M. Una manera de obtener la expresión es descomponer

los valores de la tabla en productos y analizar si hay algún patrón, como se muestra en la siguiente tabla.

Cantidad inicial de bacterias al cuadrado

Cantidad de bacterias al transcurrir 60 minutos

(1)2 " 1 2 × 1 " 2

(2)2 " 4 2 × 4 " 8

(3)2 " 9 2 × 9 " 18

Los valores de la segunda columna se obtienen multiplican-do por 2 los valores de la primera columna; por ejemplo, 2 × 4 " 8.

c) 98 bacterias.

La ecuación que le corresponde. Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática.


Bloque

1

46

d)

5

Longitud del lado del cuadrado original (cm)

Área del cuadrado en la fotocopia (cm2)

1 9

1.5

2 36

2.5

3 81

3.5

4 144

4.5

5 225

a)

b)

c)

d)

e)

6

Tabla 1.5.7.


© T

od

os

los

der

ech

os

rese

rvad

os,

Ed

icio

nes

Cas

tillo

, S.

A. d

e C

.V.

Solucionariod) Había 11 bacterias. Hay que despejar x, la cantidad de bac-

terias iniciales, de la expresión b " 2x2:

b " 2x2 x2 " b2

x " b2

" 2422

" 11

5. a) A " 9l2. A es el área del cuadrado en la fotocopia y l es la longitud del lado del cuadrado original.

b) Longitud del lado

del cuadrado original (cm)Área del cuadrado

en la fotocopia (cm2)

1 9

1.5 20.25

2 36

2.5 56.25

3 81

3.5 110.25

4 144

4.5 182.25

5 225

c) La longitud del lado del cuadrado original mide 24 cm, pues se despeja l de la expresión anterior:

Y evaluando para A " 5 184 cm2 la longitud del lado es:

d) Debe medir 1.3 cm, pues Lety quiere que la reproducción de la estampa cuadrada mida 4 cm por lado, es decir, que el área debe medir 16 cm2: se evalúa para A " 16 la expresión anterior:

e) R. L.6. R. L.

A " 9l2 l2 " A9

l " A9

I " A9

l " 51849

l " 24 cm

I " A9

l " 169

l " 43

" 1.3 cm


7

M t tM t

a)

b)

c) d)

e)

f)

8

9

a)

b)

c)

d)

e)

Manteles cuadrados Manteles redondos

Medida de lado (m)

Cantidad de tela utilizada (m2)

Costo del mantel (pesos)

Radio (m)

Cantidad de tela utilizada (m2)

Costo del mantel (pesos)

0.80 0.60

1.00 0.80

1.20 1.00

1.40 1.20

1.60 1.40

Lección

5

Temperatura (°C)

Tiempo necesario para que el abulón rojo mida

80 mm (meses)

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Tabla 1.5.8.

Tabla 1.5.9.


Bloque

1

46

d)

5

Longitud del lado del cuadrado original (cm)

Área del cuadrado en la fotocopia (cm2)

1 9

1.5

2 36

2.5

3 81

3.5

4 144

4.5

5 225

a)

b)

c)

d)

e)

6

Tabla 1.5.7.


© T

od

os

los

der

ech

os

rese

rvad

os,

Ed

icio

nes

Cas

tillo

, S.

A. d

e C

.V.

Solucionario7. a) Datos faltantes de la tabla: 45, 43.2, 41.8, 40.8, 40.2, 40,

40.2, 40.8, 41.8 b) En 45 meses. c) En 43.2 meses. d) Las temperaturas posibles son de 14 °C y de 20 °C. e) A los 17 °C. f) R. L.8. R. L.9. a) A

c " l2, donde Ac representa el área en metros cuadrados y l la longitud del lado en metros.

b) Pc " 125Ac, donde Pc es el precio del mantel cuadrado en pesos.

c) AR " Sr2, donde AR es el área en metros cuadrados y r es la longitud del radio en metros.

d) PR " 125AR, donde PR es el precio del mantel redondo en pesos.

Relacionar una situación que corresponde a una relación cuadrática con su representación tabular o algebraica.

Selecciona la respuesta correcta.En una competencia, un ciclista acelera en los primeros metros de la carrera. En la tabla se muestra la distancia que recorre en cada segundo.

Tiempo (s) Distancia (m)

0 0

1 3

2 12

3 27

4 48

¿Qué expresión algebraica representa la distancia que recorre?

A) x3 B) 3x2

C) 6x D) 3x2

Rumbo a Planea

Bloque

1

48

1. En equipos, analicen la tabla 1.5.10 y elijan la expresión algebraica que la representa.

h = –5t + 10t2 h = 5t – 10t2 h = 10t – 5t2 h = 10t + 5t2

t 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4

h 0 3.2 4.8 4.8 3.2 0 –4.8 –11.2 –19.2 –28.8 –40

a) Escriban en su cuaderno una situación que se pueda representar con esos valores. 2. En grupo, compartan sus respuestas y verifi quen que sean correctas.

Refl exiona

f)

10

Tabla 1.5.10.

Regresa y revisa

1 a)

b)

2

1. En parejas, escriban en su cuaderno una expresión algebraica para cada uno de los siguientes problemas.a) El largo de un rectángulo es dos unidades mayor que su ancho. ¿Cuál es su área? b) Andrea quiere forrar una libreta por los dos lados. Para cada lado necesita un

pedazo de papel que mida dos centímetros más del ancho de la libreta y dos centímetros más del largo. Si el largo de la libreta es de 5 cm más que su ancho, ¿cuánto papel, en términos del área, necesita?

2. En grupo, comparen sus expresiones y verifi quen que sean correctas; corrijan los errores que se presenten.

Resuelve y practica

Situación inicial

Explora y construye



© T

od

os

los

der

ech

os

rese

rvad

os,

Ed

icio

nes

Cas

tillo

, S.

A. d

e C

.V.

Solucionario e) Datos de la tabla 1.5.9: Manteles cuadrados: (0.64, 80),

(1, 125), (1.44, 180), (1.96, 245), (2.56, 320). Manteles redondos: (1.1310, 141.37), (2.0106, 251.33),

(3.1416, 392.70), (4.5239, 565.49), (6.1575, 769.69).

Ac de la siguiente expresión:

Pc " 125Ac Ac " Pc

125 y se evalúa para Pc " 405

Ac " Pc

125 Ac " 450

125 " 3.24 m2

Después se despeja l de la expresión:

Ac " l2 l " Ac

Y se evalúa para Ac " 3.24 m2:

l " Ac l " 3.24 " 1.8 m

Ac igual que la forma anterior. AR de la misma

forma. AR de la misma

forma.10. La ecuación entre las dimensiones del mantel y su costo es

proporcional.

Reflexiona1. La expresión es h " 10t # 5t2. a) R. L.2. R. L.

Regresa y revisa

1. a) 5.8 o 4.2 pulgadas de precipitación pluvial. Se sustituye y por 24.36 en la expresión del inciso d) y se despeja x.

b) Hay dos valores para los cuales se obtienen 24 360 mosquitos.2. R. L.

Resuelve y practica1. a) A " a2 ! 2a, b) A " 2a2 ! 18a ! 28.2. R. L.

49

Lección

6

Regresa y revisa

6. Escala de probabilidad

Probabilidad de lluvia

Situación inicial

1. En parejas, respondan lo siguiente.

a) ¿Qué signifi ca que la probabilidad sea de 50%?

b) Expresen la probabilidad de lluvia como número decimal.

c) Si el primer día de la semana no llueve, ¿qué es más probable que ocurra el se-

gundo día: que llueva o que no llueva? ¿Por qué?

d) Si por el contrario, el primer día llueve, ¿qué es más probable en el segundo día?

e) Si desconocieran el pronóstico del estado del tiempo de los siguientes seis días,

es decir, si no saben si lloverá o no, ¿qué es más probable que suceda el séptimo

día? Justifi quen su respuesta.

Analiza

Explora y construye

Representación y escala de la probabilidad

1 a) b) c)

2


Bloque

1

48

1. En equipos, analicen la tabla 1.5.10 y elijan la expresión algebraica que la representa.

h = –5t + 10t2 h = 5t – 10t2 h = 10t – 5t2 h = 10t + 5t2

t 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4

h 0 3.2 4.8 4.8 3.2 0 –4.8 –11.2 –19.2 –28.8 –40

a) Escriban en su cuaderno una situación que se pueda representar con esos valores. 2. En grupo, compartan sus respuestas y verifi quen que sean correctas.

Refl exiona

f)

10

Tabla 1.5.10.

Regresa y revisa

1 a)

b)

2

1. En parejas, escriban en su cuaderno una expresión algebraica para cada uno de los siguientes problemas.a) El largo de un rectángulo es dos unidades mayor que su ancho. ¿Cuál es su área? b) Andrea quiere forrar una libreta por los dos lados. Para cada lado necesita un

pedazo de papel que mida dos centímetros más del ancho de la libreta y dos centímetros más del largo. Si el largo de la libreta es de 5 cm más que su ancho, ¿cuánto papel, en términos del área, necesita?

2. En grupo, comparen sus expresiones y verifi quen que sean correctas; corrijan los errores que se presenten.

Resuelve y practica

Situación inicial

Explora y construye



© T

od

os

los

der

ech

os

rese

rvad

os,

Ed

icio

nes

Cas

tillo

, S.

A. d

e C

.V.

Escala de probabilidad

Situación inicial

SolucionarioProbabilidad de lluvia / Analiza1. a) Que la mitad corresponde al suceso de que llueva. b) 0.5 c) La probabilidad de que llueva o que no llueva es la misma

porque la probabilidad de 50% es para cada día. d) Es igualmente probable que llueva o que no llueva. e) Es igualmente probable que llueva o que no llueva.

Explora y construye

Representación y escala de la probabilidad1. a) R. M. Es aquel en el que no se puede asegurar cuál será el

resultado. b) R. M. Al resultado posible de un experimento aleatorio y que

cumple alguna condición.

c) P(A) = Resultados favorablesTotal de resultados posibles

2. R. L.

L 6

Ideas erróneas: En un conjunto no se escriben los elemen-tos repetidos. Por ejemplo, el conjunto {a, a, a} debe escri-birse como {a}. Si se quiere diferenciar un elemento de otro, se puede agregar un indicador. Por ejemplo, si en una urna hay tres pelotas con la letra a, pueden renombrarse a1, a2, a3 y, así, el espacio muestral sería {a1, a2, a3}, en lugar de {a}.

Antecedentes: Compara cualitativamente la probabilidad de eventos simples.

Explica la relación que existe entre la probabilidad fre-cuencial y la probabilidad teórica.


Bloque

1

50

3

a)

espacio muestral evento

E =

N N =

probabilidad, P X P(X

P(N

b)

V P(V

W P(W

X P(X

Y P(Y

Z P(Z

4

a)

b)

c)

5

Fig. 1.6.1.


© T

od

os

los

der

ech

os

rese

rvad

os,

Ed

icio

nes

Cas

tillo

, S.

A. d

e C

.V.

Sugerencias didácticas Comente con los alumnos que un evento se puede representar o describir de varias maneras. Por ejemplo, considerando nueva-mente el juego “La ruleta”, pregunte cuáles son todos los resulta-dos posibles del evento U: “Es menor que 4” y cuál es el valor de P(U). Una vez que obtengan el resultado, pregúnteles con cuál de los eventos V, W, X, Y, Z notan alguna similitud. Lo que se busca es que analicen que pedir un número menor que 4 es lo mismo que pedir uno menor o igual a 3. Otro ejemplo sería cuando se pide la probabilidad del evento “Obtener un número par”, pues es lo mismo que pedir la probabilidad de “Obtener un múltiplo de 2”.

Solucionario3. a) Los resultados son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

V " {6, 7, 8} P(V) " 38

" 0.375

W " {1, 2, 3} P(W) " 38

" 0.375

X " {3, 6} P(X) " 14

" 0.25

Y " {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} P(Y) " 1

Z " { } P(Z) "0

4. a) El espacio muestral es {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5), (a, 6), (s, 1), (s, 2), (s, 3), (s, 4), (s, 5), (s, 6)}, donde la letra “s” repre-senta sol, y la letra “a”, águila; el número corresponde con la cara superior del dado.

b) El 25% significa que la cuarta parte de los eventos posibles corresponden a resultados favorables, es decir, de 12 even-tos posibles, 3 son favorables. El porcentaje es correcto.

c) La probabilidad es de aproximadamente 33.3%.5. R. L.

Las probabilidades de ganar. Probabilidad, eventos com-plementarios, mutuamente excluyentes e independientes.

47BLOQUE 1 / SLECCIÓN 651

Lección

6

evento seguro evento imposibleescala

6

a)

b)

c)

7

8

a)

b)

c)

9

Tipos de eventos

1

a)

A

B

http://www.edutics.mx/4uJdonde podrás construir, variar ru-letas y observar la frecuencia con que ocurren eventos correspondientes a ellas. (Consulta: 11 de julio de 2013).

Busca en...


Bloque

1

50

3

a)

espacio muestral evento

E =

N N =

probabilidad, P X P(X

P(N

b)

V P(V

W P(W

X P(X

Y P(Y

Z P(Z

4

a)

b)

c)

5

Fig. 1.6.1.


© T

od

os

los

der

ech

os

rese

rvad

os,

Ed

icio

nes

Cas

tillo

, S.

A. d

e C

.V.

Solucionario6. a) Tendría que comprar los 50 boletos porque de este modo

cualquier boleto ganador sería de Julia, quien tendría todos los boletos.

b) No tiene sentido esta situación, ya que la cantidad de re-sultados favorables no puede ser mayor que la cantidad de resultados posibles.

c) No compró boletos. Como la probabilidad es igual al nú-mero de casos favorables entre el total de casos posibles, entonces necesariamente debe haber cero casos favorables, es decir, Iván no compró boletos.

7. R. L.8. a) La probabilidad es 1 porque hay tantos casos favorables

como casos posibles. b) La probabilidad es 0 porque de entre los eventos posibles

no hay eventos favorables.

c) No. La probabilidad de un evento se obtiene dividiendo

Resultados favorablesTotal de resultados posibles

.

Si este cociente es negativo, quiere decir que el numerador o que el denominador es negativo, pero ninguno de los dos podría ser negativo pues el número de veces que algo puede ocurrir es un número natural, así que la probabilidad siempre es positiva.

9. R. L.

Tipos de eventos1.

¿Águila o sol? Probabilidad, eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes.

Bloque

1

52

b)


A B


C D CD C D D C D C

c)

C

D

E

d) C D

e) C D

2

3

a)

b)

c)

Regresa y revisa



© T

od

os

los

der

ech

os

rese

rvad

os,

Ed

icio

nes

Cas

tillo

, S.

A. d

e C

.V.

Solucionariob) Ninguno de los elementos del evento A está en los elemen-

tos del evento B, y viceversa. C: 2, 4, 6, 8, 10, 12.

D: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13.

d) Ningún elemento de C está en D. Además, si se unen los resultados de C y D, se obtienen todos los resultados posi-bles, o sea, el espacio muestral.

e) La probabilidad de C es 613

, la probabilidad de D es 713

,

la probabilidad de C y D es 1313

" 1.

2. R. L. La probabilidad de dos eventos complementarios es 1.3. a) Ambas tienen la misma probabilidad de obtener un número

mayor que 8 porque el sexto lanzamiento no depende de los lanzamientos anteriores.

b) 1036

" 0.277

c) También se obtiene 1036

" 0.277 pues la probabilidad de

obtener una suma mayor que 8 es la misma en cualquier lanzamiento, ya que el resultado de un lanzamiento no de-pende del resultado de los lanzamientos anteriores.

Selecciona la respuesta correcta.Se tiene una baraja convencional de 52 cartas con cuatro pa-los ( ), cada uno numerado del 1 al 10 más J, Q y K. ¿Cómo son los eventos “sacar una carta roja” y “sacar una carta con el número 10”?A) Son eventos complementarios y mutuamente excluyentes.B) Son eventos mutuamente excluyentes.C) Son eventos complementarios.D) No son eventos excluyentes.

Rumbo a Planea

los ( ), cada uno numerado del 1 al 10 más J, Q y K.

Determinar la probabilidad de ocurrencia de eventos de acuerdo con la escala de probabilidad.

53

Lección

6

eventos independientes.

d)

1 a) b)

2

1. Responde en tu cuaderno y luego en grupo discutan sus respuestas.a) Si dos eventos, A y B, son independientes, ¿pueden ser, además, mutuamente

excluyentes?, ¿pueden ser complementarios? Justifi ca tu respuesta.

Refl exiona

Regresa y revisa

1. Analiza el siguiente experimento aleatorio y responde en tu cuaderno.En una urna hay 8 canicas iguales, pero de distinto color: 2 blancas, 2 verdes, 1 amarilla, 1 roja, 1 azul y 1 anaranjada. Se saca una canica al azar, se anota su color y se regresa a la urna.a) Sugiere tres eventos mutuamente excluyentes.b) Da un ejemplo de dos eventos complementarios.c) Menciona dos eventos independientes.

2. Analiza los experimentos aleatorios y eventos que se indican. Explica en tu cuaderno qué tipo de evento es cada uno.a) Se lanzan dos monedas a la vez y, cuando caen, se consideran sus ca-

ras superiores: Evento A = {sol, águila}; evento B = {águila, águila}.b) Se lanzan tres monedas juntas y se consideran sus caras superiores:

Evento C = {sol, águila, sol}; evento D = {águila, sol, águila}.c) Se lanzan tres dados cúbicos iguales, numerados del 1 al 6, y se suman

los números de las caras superiores. Evento E: La suma es un número menor o igual a 2; evento F: La suma

es un número mayor o igual a 3.3. En grupo, comenten sus respuestas. Discutan y corrijan los errores que se

presenten.

Resuelve y practica

Toma nota

Localiza los térmi-nos “eventos mu-tuamente exclu-yentes”, “eventos complementarios” y “eventos inde-pendientes” en el glosario (págs. 256-258) y anota con tus propias pa-labras una explica-ción y un ejemplo de cada uno.


Bloque

1

52

b)


A B


C D CD C D D C D C

c)

C

D

E

d) C D

e) C D

2

3

a)

b)

c)

Regresa y revisa



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, S.

A. d

e C

.V.

Solucionariod) El resultado de un lanzamiento no se ve afectado por el

resultado de lanzamientos anteriores.

Reflexiona1. a) Cuando dos eventos son excluyentes quiere decir que si

uno de estos ocurre, el otro no puede ocurrir, es decir, el primero está afectando la ocurrencia del otro, así que no son independientes. Sabemos que dos eventos comple-mentarios son excluyentes, así que tampoco los eventos complementarios pueden ser independientes.

Regresa y revisa

1. a) El espacio muestral está formado por todos los posibles resultados, que son dos: que llueva o que no llueva.

b) El evento ”que llueva el séptimo día” y el evento ”no llovió el primer día” son independientes. Los eventos “que llueva el séptimo día” y “que no llueva el séptimo día” son comple-mentarios (esto implica que sean excluyentes).

2. R. L.

Resuelve y practica1. a) R. M. Evento A: en la primera extracción sale una bola azul.

Evento B: en la primera extracción sale una bola anaranjada. Evento C: en la primera extracción sale una bola roja.

b) R. M. Evento D: en la primera extracción sale una canica blanca, roja, azul o anaranjada y se regresa a la bolsa.

Evento E: en la primera extracción sale una canica verde o amarilla.

c) R. M. Evento F: en la primera extracción sale una canica blanca o anaranjada y se regresa a la urna.

Evento G: en la segunda extracción sale una canica amarilla, roja o azul.

2. a) Los eventos son excluyentes porque si sale {sol, águila}, en-tonces no puede salir {águila, águila}.

b) Los eventos son excluyentes porque si sale {sol, águila, sol}, entonces no puede salir {águila, sol, águila}.

c) Los eventos son complementarios, por lo que son excluyentes.3. R. L.

Bloque

1

54


Un nuevo guisado

Situación inicial

1. En equipos, respondan en su cuaderno.a) Escriban dos o tres criterios diferentes para la elección de una propuesta.b) Expliquen por qué la opinión de los estudiantes respecto a las propuestas es rele-

vante.c) ¿Qué información de los estudiantes es útil conocer para elegir el guisado? ¿Por qué?d) Propongan un procedimiento para conocer la opinión de los estudiantes.

2. En grupo, expongan sus procedimientos y en plenaria discutan las ventajas y des-ventajas de cada uno.

Analiza

Encuesta y población en estudio

1

a)

b)

2

a)

b)

c)

d)

Explora y construye



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, S.

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.V.

La opinión de los demás

Situación inicial

SolucionarioUn nuevo guisadoR. M. Mediante una encuesta.

Analiza1. a) R. M. Si el guisado será picante o no. b) La respuesta es relevante pues son ellos los que, en su ma-

yoría, comerán el guisado elegido. c) R. M. Qué estudiantes frecuentan el comedor y cuál de las

cuatro propuestas es su favorita. d) R. L.2. R. L.

Explora y construye

Encuesta y población en estudio1. a) Es una serie de preguntas que sirven para recopilar cierta

información de un grupo de personas.b) Son las personas de las que se requiere conocer cierta in-

formación.2. a) Conocer si el guisado lo comerá la mayoría de los estudiantes. b) No, porque los vecinos no comerán en el comedor. c) R. M. La población tiene que ser el total de alumnos de la

escuela. d) R M. Sólo de una parte porque no todos los alumnos asisten

al comedor.

L 7

Antecedentes: Lee información presentada en gráficas de barras y circulares. Utiliza estos tipos de gráficas para comu-nicar información.

Lee y comunica información mediante histogramas y gráficas poligonales.

Resuelve problemas que implican calcular, interpretar y explicitar las propiedades de la media y la mediana.

55

Lección

7 3

Muestras representativas

1

consumo culturales

Fuente:

a)

b)

c)

d)

Situación inicial

muestra

muestra representativa

Glosario

consumo cultural. Referente al consumo de objetos o servicios con contenido cultural, como libros y películas.

Explora y construye


Bloque

1

54


Un nuevo guisado

Situación inicial

1. En equipos, respondan en su cuaderno.a) Escriban dos o tres criterios diferentes para la elección de una propuesta.b) Expliquen por qué la opinión de los estudiantes respecto a las propuestas es rele-

vante.c) ¿Qué información de los estudiantes es útil conocer para elegir el guisado? ¿Por qué?d) Propongan un procedimiento para conocer la opinión de los estudiantes.

2. En grupo, expongan sus procedimientos y en plenaria discutan las ventajas y des-ventajas de cada uno.

Analiza

Encuesta y población en estudio

1

a)

b)

2

a)

b)

c)

d)

Explora y construye



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Sugerencias didácticas Pregunte a sus alumnos por qué creen que sea necesario tomar una muestra de la población, en lugar de encuestar a todos los habitantes. Aunque parece una pregunta fácil, es importante ha-cer notar que se invertiría mucho tiempo en obtener los datos de todas las personas de la población en estudio, además de que trabajar con una cantidad muy grande de datos puede ser difícil de manejar.

Pregunte sobre la relevancia de preguntar a toda la población acerca de algún dato. Por ejemplo, las encuestas del INEGI por lo general consideran a todos los habitantes de México, y cuando se hace el conteo de la población también se obtiene más infor-mación, como el nivel de estudios de los habitantes o el material del cual están construidas las casas donde viven.

Solucionario3. R. L.

Muestras representativas1. a) 0.039% b) R. L. Se espera que los alumnos contesten que no, pues el

porcentaje encuestado es pequeño. Sin embargo, mencio-ne que si la población encuestada representa a la población general, entonces los resultados pueden ser confiables.

Ventaja: se conocen los resultados de toda la población,

así la encuesta es más confiable. Desventaja: llevaría mucho tiempo preguntarle a toda la

población en estudio, además los costos para hacer la encuesta serían muy altos.

Ventaja: el proceso de la encuesta es más rápido y sen-

cillo, pues la población en estudio es pequeña. Desventaja: el resultado de la encuesta puede no repre-

sentar la información de toda la población en estudio, por lo que el resultado es menos confiable.

d) R. M. Es posible encuestar a todos los alumnos de un salón de clase, pero no a todos los alumnos del mundo.


Bloque

1

56

2 a)

3

4

Tipos y presentación de preguntas

1

Compañía A Compañía B

2


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.V.

La muestra adecuada. Diseño de una encuesta o un experimento.

Solucionario2.

prefieren los mexicanos.Población en estudio: todos los mexicanos a los que les gusta el futbol.Muestras representativas: sólo la muestra B.

hacen ejercicio las personas mayores de 25 años en el estado de Chihuahua.

Población en estudio: las personas mayores de 25 años en el estado de Chihuahua.

Muestras representativas: la muestra D.3. R. L.4.

que dependerá del objetivo de la encuesta saber si es una muestra representativa, pues si el objetivo sólo abarca un gé-nero o una cierta edad, esta muestra no sería representativa; pero si el objetivo no depende del género ni de la edad, esta muestra sí puede ser representativa.

encuestador puede conocer algunas características de las personas y eso puede modificar la objetividad de los resul-tados, por lo que no servirían para representar las caracte-rísticas de toda la población en estudio.

la población en estudio de acuerdo con el objetivo de la en-cuesta los resultados son más confiables pues no interfieren los juicios o preferencias de los encuestadores.

Tipos y presentación de preguntas1. La similitud es que ambas encuestas están dirigidas a saber cuá-

les son las actividades físicas que prefieren los encuestados. La diferencia es que las preguntas de la compañía A son cerradas, es decir, el encuestador tiene que elegir una respuesta de entre varias posibles; las preguntas de la compañía B son abiertas.

2. R. L.


Lección

7

3 En equipos, realicen lo siguiente.

a) Propongan dos preguntas cerradas y dos preguntas abiertas que plantearían

en una encuesta.

b) Discutan las ventajas y desventajas de cada tipo de pregunta y anótenlas a

continuación.

4 En equipos, analicen las siguientes preguntas de una encuesta y realicen lo que se indica.

ॲ En su gestión como legislador, el candidato Bermejo trabajó en favor de los jóvenes, y por ello la mayoría piensa que es el candidato ideal para ocupar la presidencia municipal. ¿Cuál es su candidato favorito para presidente municipal?

ॲ Si en este momento fueran las elecciones para presidente municipal, ¿por quién votaría?

ॲ ¿Cuántos libros ha leído durante el último año?ॲ Todos los habitantes de esta región han leído más de 3 libros en el último año.

¿Cuántos libros ha leído en el último año?

a) Discutan las similitudes y diferencias entre las preguntas. Determinen cuáles

pueden influir en la respuesta del encuestado.

b) Escriban una pregunta que pueda alterar la respuesta del encuestado y una

que no lo haga. Expliquen sus propuestas.

c) ¿De qué manera alterar la opinión del encuestado afecta los resultados de la

encuesta?

5 Comparen sus preguntas y respuestas con las de otros equipos. Determinen cómo plantear las preguntas de una encuesta para evitar que se altere la opinión del encuestado. Escriban sus conclusiones en su cuaderno.

Las preguntas de una encuesta se clasifi can en dos tipos:Si la respuesta a una pregunta debe seleccionarse de una lista (opción múltiple), se trata de una pregunta cerrada.

Si la respuesta a una pregunta es libre se denomina pregunta abierta.

http://www.edutics.mx/4u3donde podrás vaciar los datos que recolectaste en tu encuesta, construir su gráfi ca de barras y determinar su media y moda. (Consulta: 11 de julio de 2013).

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Bloque

1

56

2 a)

3

4

Tipos y presentación de preguntas

1

Compañía A Compañía B

2


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.V.

Sugerencias didácticasSe recomienda resolver la actividad 4 en grupo. Lea cada pre-gunta, después comente con los alumnos la redacción o forma de hacer cada una y por qué podría influir en la respuesta de las personas. Escuche la opinión de diferentes estudiantes y motí-velos para que planteen un situación similar a la que se expone. Coménteles que al realizar su encuesta deben ser cuidadosos en la forma de plantear las preguntas, para no influir en las res-puestas de los encuestados.

Solucionario3. a) R. L. b) R. M. Ventaja de una pregunta cerrada: es más sencillo agru-

par las respuestas para posteriormente analizar los datos obtenidos. Desventaja de una pregunta cerrada: es posible que no se abarquen todas las respuestas posibles y se induzca en la opinión del encuestado. Ventaja de una pregunta abierta: los encuestados pueden dar su opinión acerca de un tema y brindar información no considerada al diseñar la encuesta. Desventaja de una pregunta abierta: puede ser más difícil agrupar las respuestas y trabajar con los datos obtenidos.

4. a) En que la primera y la última preguntas alteran la respuesta del encuestado. La segunda y la tercera pregunta no la alteran.

b) R. L. Las preguntas que alteran la respuestas incluyen in-formación innecesaria que sólo modifica la opinión del encuestado.

c) R. M. Los resultados de la encuesta no serán objetivos, pues una parte de la muestra en estudio contestará la respuesta inducida por la pregunta.

5. Es necesario que la pregunta no tenga un juicio de valor: tiene que ser lo más neutra posible.

Bloque

1

58

Realización de una encuesta

1

a)

b)

c)

d)

e) f)

base de datos

Representación y análisis de datos

1

a)

b)

c)

d)

2

a)

b)

c)

Glosario

base de datos. Organización de datos que agiliza la consulta de información.

Toma nota

Localiza el término “muestra repre-sentativa” en el glosario (págs. 256-258); con tus propias palabras es-cribe su defi nición y un ejemplo.

Regresa y revisa



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.V.

Sugerencias didácticas Organice al grupo en equipos para que lleven a cabo la encuesta. Dirija una discusión en la que los estudiantes den su opinión de cada uno de los puntos mencionados en la actividad del libro. Lea uno por uno las sugerencias que se proponen y haga una pausa entre ellas para que los alumnos las comenten.

SolucionarioRealización de una encuesta1. a) R. L.

Representación y análisis de datos1. a) R. L.

b) R. L.c) R. L.d) R. L.

2. a) R. M. Saber cuál fue la respuesta con mayor frecuencia y cuál fue la de menor frecuencia.

b) R. L.c) R. L.

59

Lección

7

1. En grupo, respondan. a) Si la redacción de una pregunta puede alterar la opinión de las personas, ¿por qué

es importante indicar con exactitud, al momento de presentar los resultados, la pregunta que se hizo a los encuestados?

Refl exiona

1 a) b)

c) d)

2

3

Regresa y revisa

Instituto Nacional de Estadística y Geografía (Inegi)Un censo es una encuesta cuyo objetivo es obtener información de los habitantes de un país o una región. En México, el Inegi es la institución encargada de realizar el Cen-so General de Población y Vivienda, y el Conteo de Población y Vivienda para obtener información geográfi ca y demográfi ca de los habitantes del país.

1. Investiga y responde.

a) ¿Cuándo se realizó el primer Censo General de la República Mexicana?

b) ¿Cuándo se creó el Inegi?

c) ¿Cuál es la diferencia entre el Censo General de Población y Vivienda y el Conteo

de Población y Vivienda? ¿Cada cuándo se llevan a cabo? ¿Qué preguntas con-

tiene cada encuesta?

d) ¿Cuál es el objetivo de obtener información de los habitantes de la República

Mexicana?

Observa y relaciona


Bloque

1

58

Realización de una encuesta

1

a)

b)

c)

d)

e) f)

base de datos

Representación y análisis de datos

1

a)

b)

c)

d)

2

a)

b)

c)

Glosario

base de datos. Organización de datos que agiliza la consulta de información.

Toma nota

Localiza el término “muestra repre-sentativa” en el glosario (págs. 256-258); con tus propias palabras es-cribe su defi nición y un ejemplo.

Regresa y revisa



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, S.

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.V.

SolucionarioReflexiona1. R. M. Si hay un resultado que se eligió muchas más veces es

necesario estar seguros de que esa respuesta la eligieron de manera autónoma los encuestados, es decir, que la pregunta no alteró su opinión.

Regresa y revisa

1. a) Todos los estudiantes de la escuela. b) R. L. c) R. M. Bastaría con una pregunta cerrada, en la que se inclu-

yan los cuatro guisados propuestos. d) R. M. Puede ser una gráfica de barras..2. R. L.3. R. L.

Observa y relaciona1. a) En el año 1895. b) El 25 de enero de 1983. c) Un conteo es una encuesta que se aplica a la población de

un país o región. Tiene como objetivo obtener información básica de las personas y sus viviendas. Un censo de po-blación es una encuesta más elaborada que se realiza a la población de todo el país, a fin de conocer las características sociales y demográficas de sus habitantes.

d) El principal objetivo es crear o modificar programas para el desarrollo social y también analizar si los servicios públicos son de utilidad y accesibles a todos los mexicanos.

Fuente: www.profeco.gob.mx/encuesta/brujula/bruj_2005/b05_censos.asp

www.inegi.org.mx/est/contenidos/Proyectos/ccpv/

La opinión. Diseño de una encuesta o un experimento.

Aplica las matemáticas

60

Análisis de propiedades en figuras congruentes y semejantes

V IV

El Timeo

sólidos platónicos

Orden Poliedro Elemento Forma de las caras Número de caras

Primero Cubo Tierra Cuadrado 6

Segundo Icosaedro Agua Triángulo 20

Tercero Tetraedro Fuego Triángulo 4

Cuarto Octaedro Aire Triángulo 8

Quinto Dodecaedro Éter Pentágono 12

45

30

6045Fig. 1.A.1.

Tabla 1.A.1.


56 BLOQUE 1 / APLICA LAS MATEMÁTICAS

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, S.

A. d

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.V.


Sugerencias didácticas Esta sección tiene como propósito que los estudiantes desarro-llen sus habilidades matemáticas a través de actividades lúdicas.

Pida con anticipación a los estudiantes los materiales para lle-var a cabo las actividades que se proponen en la sección.


61

Sólidos platónicos

1

2

3

4

5

6 a)

b)

Fig. 1.A.2.

Fig. 1.A.3.



60

Análisis de propiedades en figuras congruentes y semejantes

V IV

El Timeo

sólidos platónicos

Orden Poliedro Elemento Forma de las caras Número de caras

Primero Cubo Tierra Cuadrado 6

Segundo Icosaedro Agua Triángulo 20

Tercero Tetraedro Fuego Triángulo 4

Cuarto Octaedro Aire Triángulo 8

Quinto Dodecaedro Éter Pentágono 12

45

30

6045Fig. 1.A.1.

Tabla 1.A.1.


57BLOQUE 1 / APLICA LAS MATEMÁTICAS

Sólidos platónicos. Desarrollos planos de algunos sólidos platónicos.©

To

do

s lo

s d

erec

ho

s re

serv

ado

s, E

dic

ion

es C

asti

llo ,

S.A

. de

C.V

.

Sugerencias didácticasOrganice al grupo en equipos para realizar la actividad y mues-tre los sólidos que preparó para los alumnos que tengan dudas al construir sus figuras. Al final, pida que diseñen libremente sus figuras y organice una exposición con los trabajos realizados por el grupo.

Herramientas

62

Análisis e identificación de representaciones que corresponden a una relación de proporcionalidad

ॲ

ॲ

A3*2Entrar

ॲ

A3*3Entrar

Elaboración de tablas de datos

1

Fig. 1.H.2.

Fig. 1.H.3.

Fig. 1.H.1.


58

Pasos para elaborar una gráfica de crecimiento lineal.

Herramientas

Sugerencias didácticas Esta sección tiene como propósito introducir a los estudiantes al uso de las tecnologías de la información y de la comunicación (TIC), que forman parte del actual enfoque educativo.

BLOQUE 1 / HERRAMIENTAS

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Herramientas

63

ॲ

ॲC2-B2 Entrar

2 a) b) c)

Representación gráfica de tablas de datos

1

ॲInsertar

Columna

ॲ

Seleccionar datos

Seleccionar origen de datos Entradas de leyenda Agregar

ॲ

Fig. 1.H.4.

Fig. 1.H.5.

Fig. 1.H.6.

Fig. 1.H.7.


Herramientas

62

Análisis e identificación de representaciones que corresponden a una relación de proporcionalidad

ॲ

ॲ

A3*2Entrar

ॲ

A3*3Entrar

Elaboración de tablas de datos

1

Fig. 1.H.2.

Fig. 1.H.3.

Fig. 1.H.1.


59

Sugerencias didácticasPregunte a sus alumnos si alguna vez trabajaron con un porta-folios de evidencias; para aquellos que lo conozcan, pídales que compartan su experiencia con el grupo. Insista en que el por-tafolios de evidencias debe guardar un orden por bloque y por secuencias didácticas. Esto ayudará a que puedan identificar de manera rápida la información y consultarla como referente para alguna actividad.

Solicite a sus alumnos que trabajen esta sección en pa-rejas, que den lectura a las actividades y que mencionen las ventajas que consideran ellos que puede ofrecer el trabajar con este tipo de recursos digitales.

Si tiene oportunidad, trabaje con los estudiantes en el aula de medios para orientarlos en caso necesario. El uso de estos recursos incide positivamente en la disposición de los alum-nos para profundizar y enriquecer su conocimiento.

Organice al grupo en equipos y guíe el trabajo durante el de-sarrollo de la actividad. Para cada pregunta, genere una discu-sión en el grupo y lleguen a una conclusión para responder.

Solucionario2. a) Es igual a 0.5

b) La ganancia dado el costo.c) Es una línea recta.


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Herramientas

64

ॲ Eti-quetas del eje horizontalEditar

ॲ

Agregar Entradas de leyenda

In-sertar Línea

ॲ

ॲ

ॲ

2 a)

b) y x•

Fig. 1.H.8.

Fig. 1.H.9.


60

Sugerencias didácticasPor último pida a los alumnos que analicen preguntas y hagan propuestas que ayuden a identificar sus habilidades y fortalezas. Retroalimente cuando sea necesario.

Realice en el pizarrón, con ayuda de sus alumnos, un mapa mental en donde sea posible esquematizar los aspectos más importantes del portafolios de evidencias. El mapa deben cons-truirlo a la par en su cuaderno o en una hoja blanca para que lo integren en su portafolios de evidencias y tengan presente cuál es su finalidad en su proceso de aprendizaje.

Al final de la actividad, comente con el grupo su experiencia al realizar los ejercicios propuestos. También puede proponer-les retomar algunas de las actividades de la lección 4, para que apliquen el procedimiento propuesto.

Solucionario2. a) R. L.

b) R. L

mientras que el segundo caso representa incrementos proporcionales.


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, S.

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.V.

Autoevaluación

65

1

2

3

Enunciado F V Propuesta de verifi cación

a) El largo de la base de un prisma rectangular

es tres veces más grande que el ancho, y su

altura es de 8 cm. Si su volumen es de 384 cm3,

entonces el largo mide 12 cm.

b) Dos triángulos isósceles tienen el mismo perímetro, por tanto, son congruentes.

c) Un triángulo que mide 3.6 cm, 4.7 cm y 5.2 cm es semejante a otro de 7.2 cm, 9.4 cm y 2.6 cm.

d) La expresión algebraica a = xb + b representa una relación de proporcionalidad directa entre a y b.

e) La relación entre los valores x1 = 0, y1 = 0; x2 = 30, y2 = 2 700; x3 = 60, y3 = 3 600; x4 = 90, y4 = 2 700; x5 = 120, y5 = 0 se puede representar con la ecuación y = 120x – x2.

f) Si la probabilidad de obtener una bola amarilla de una urna que contiene bolas de colores es de 6

10, entonces la urna contiene seis bolas

amarillas.

g) Los alumnos de primer grado constituyen una muestra representativa de una secundaria para conocer los hábitos alimenticios de toda la escuela.

4


Herramientas

64

ॲ Eti-quetas del eje horizontalEditar

ॲ

Agregar Entradas de leyenda

In-sertar Línea

ॲ

ॲ

ॲ

2 a)

b) y x•

Fig. 1.H.8.

Fig. 1.H.9.


61

Repaso. Todos los contenidos del bloque.

BLOQUE 1 / AUTOEVALUACIÓN

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.V.

Autoevaluación

Solucionario3. a) V: si el largo mide 12 cm, entonces el ancho es de 4 cm. Así,

el volumen del prisma sería 12 cm × 4 cm × 8 cm " 384 cm3, como se indica en el enunciado.

b) F: por ejemplo, dos triángulos cuyas medidas sean 3 cm, 3 cm, 2 cm y 2.5 cm, 2.5 cm, 3 cm, respectivamente, son isós-celes y tienen el mismo perímetro, pero no son congruentes.

c) F: la razón entre el lado más grande de cada triángulo es

igual a 9.45.2

≈ 1.8, pero la razón entre los lados más pe-

queños es 2.63.6

≈ 0.72. Por lo tanto, los triángulos no son

semejantes. d) V: como a " xb ! b " (x ! 1)b, la expresión a " (x ! 1)b

es de la forma a " kb, que corresponde a una relación de proporcionalidad directa, en la que k " (x ! 1).

e) V: al sustituir cada valor de x en la ecuación dada, se obtie-nen los correspondientes valores de y.

f) F: por ejemplo, la urna puede contener 20 bolas de colores,

y si 12 de ésas son amarillas, entonces la probabilidad es de 610

, aunque hay más de 6 pelotas amarillas.

g) F: no se consideró a los alumnos de segundo ni tercer gra-dos; entonces, la muestra no puede ser representativa de la escuela secundaria.

67

Evaluación PISA

1

a)

b)

y x

x y

y x

y x

c)

-2

-1

84 5 6 7

y

x321-1-2-3-4-5-6-7-8

1

2

0

3

4

5

6

7


66

Evaluación ENLACE

1

a) b) c) d)

2

a) b) c) d)

3

a) b) c) d)

4

a) b) c) d)

5

a) b) c) d)

3

1

I

H

G

FE

A

C

D

B

M

L

K

N

J

Q

O

P

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Evaluación ENLACE

La evaluación del aprendizaje desarrollado en cada bloque per-mite al alumno tener certeza de su avance, y al docente, reforzar los tareas positivas de la enseñanza o hacer los cambios perti-nentes para alcanzar los nuevos objetivos.

La evaluación tipo ENLACE mide los conocimientos y habili-dades básicas adquiridas en el desarrollo curricular, mediante reactivos con respuestas cerradas que muestran el resultado del trabajo en el aula.

Asigne el tiempo necesario para que sus alumnos respondan de manera individual la evaluación. Recomiende hacer la lec-tura completa de los reactivos que integran la prueba, pida que observen la manera como está estructurada, y que analicen el tipo de información que presenta. Después, pida que respondan pregunta por pregunta.

Adicionalmente, mencione a los alumnos que la evaluación tiene la finalidad de que identifiquen sus fortalezas y sus habilida-des; que más allá de verla como una calificación, la consideren como un proceso que los ayudará a avanzar en la construcción de su aprendizaje.

En caso de que no pueda realizar la evaluación en el aula, pida que la trabajen en casa, y que si presentan dudas o dificul-tades para responderla, las anoten en su cuaderno y las compar-tan en clase. Lo anterior permitirá al alumno tener seguridad y confianza al resolverla. Indíqueles que identifiquen sus deficien-cias y que trabajen en ellas para superarlas.

Solucionario1. d) Largo " 15 m; ancho " 12 m2. b)3. d) 21 cm2

4. d) Ninguna de las anteriores.5. c) De los estudiantes de ese salón de clases.

Evaluación final Planea.

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Evaluación PISA

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Evaluación PISA

El propósito de esta sección es evaluar los conocimientos ad-quiridos por los estudiantes durante el bloque.

Sugiera a los estudiantes que antes de responder cada pre-gunta la lean con mucha atención y que en su cuaderno o en una hoja realicen los cálculos necesarios para responder, si-guiendo los procedimientos que requiera cada situación, antes de leer las opciones de respuesta.

Una vez finalizada la evaluación, organice una revisión en gru-po de los resultados, a fin de detectar las fallas más frecuentes. Trabajen en conjunto en su corrección. Es importante revisar los procedimientos de los estudiantes, porque en algunos casos, el procedimiento es el correcto, pero el error puede estar al ha-cer los cálculos u operaciones correspondientes.

Las evaluaciones constantes permiten también medir el desa-rrollo de capacidades para utilizar en otros contextos el conoci-miento aprendido, hacerse preguntas y resolver problemas, tanto dentro de las disciplinas estudiadas como en la vida diaria. En este sentido, la evaluación tipo PISA ofrece al maestro evidencias del desarrollo de los procesos de aprendizaje de los adolescentes y de su incorporación al mundo real mediante ejemplos en los que tiene que aplicar su conocimiento y su criterio en situaciones específicas.

Solucionario1.

una carretera, condujo con rapidez constante y después de 7 s de trayecto se localizaba en el kilómetro 5.

-yecto; sus ganancias fueron constantes y después de dos años y medio recuperó la inversión inicial.

b) y " 0.7x ! 5, porque si x " 0, entonces y " 5, pero en la gráfica y " 2.5.

c) R. L.

S EC U N D A R I A

Código SEP: S12005

ISBN SEP: 978-607-621-474-9

ISBN: 978-607-621-466-4

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Código SEP: S22017

ISBN SEP: 978-607-463-824-0

ISBN: 978-607-621-679-8

Código SEP: S00167

ISBN SEP: 978-607-463-964-3

ISBN: 978-607-621-670-5

matem ticas -...

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