matediscre_f04

5/11/2018 MateDiscre_F04 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/matediscref04 1/28

1

Semestre 2

Fascículo

4

MatemáticasDiscretas



Matemáticas

dicretas Semestre 2

Matemáticas discretas




Semestre 2

Tabla de contenido Página

Introducción 1Conceptos previos 1

Mapa conceptual Fascículo 4 2

Logros 2

Conjuntos y subconjuntos 3

Operaciones fundamentales con conjuntos 9

Leyes del Algebra de Conjuntos 13

Cardinalidad 17Resumen 20

Bibliografía recomendada 21

Nexo 21

Seguimiento al autoaprendizaje 23

Créditos: 3

Tipo de asignatura: Teórica – Práctico



Matemáticas

dicretas Semestre 2


Copyright©2008 FUNDICIÓN UNIVERSITARIA SAN MARTÍN

Facultad de Universidad Abierta y a Distancia,

“Educación a Través de Escenarios Múltiples”

Bogotá, D.C.

Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización

por escrito del Presidente de la Fundación.

La redacción de este fascículo estuvo a cargo de

NICOLAS GARCIA DONCEL

Docente tutor – Programa de Ingeniería de Sistemas a Distancia.

Sede Bogotá, D.C.

Corrección de estilo

EDIEGO ORTIZ MONCADA.

Diseño gráfico y diagramación a cargo de

SANTIAGO BECERRA SÁENZ

ORLANDO DÍAZ CÁRDENAS

Impreso en: GRÁFICAS SAN MARTÍN

Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825

Bogotá, D.C., Abril de 2010



1

Fascículo No. 4

Semestre 2


CMatemática

discretas

Introducción

El concepto de conjunto, es un tema fundamental en la matemática. Se

puede considerar al conjunto como una lista, colección o clase de objetos

bien definidos, como por ejemplo el conjunto de los números primos, el

conjunto de las vocales, los empleados de un departamento, los

estudiantes de matemáticas discretas, etc.

Este tema se divide en cuatro partes, comenzamos con la conceptualiza-

ción de los conjuntos, su representación y clases de conjuntos;

posteriormente revisaremos de manera muy general las operaciones

dadas entre los conjuntos; luego nos ocuparemos de realizar algunas

demostraciones haciendo uso de las leyes de la teoría de conjuntos y,

finalizaremos con el tema de cardinalidad, como estrategia para conocer el

número de elementos que integra un conjunto.

Conceptos previos

El estudiante debe tener claro los conceptos de operaciones básicas de

los conjuntos, como la unión, la intersección, la diferencia, la diferenciasimétrica, el complemento de un conjunto y el conjunto universal.



2


Matemáticas

discretas

Fascículo No. 4

Semestre 2

Mapa conceptual del Fascículo 4

Al finalizar el estudio del presente fascículo, el estudiante estará en capacidadde:

Conceptualizar las diferentes clases de conjuntos y sus operacionesbásicas.

Utilizar las leyes para realizar demostraciones directas entre las operacionesbásicas de los conjuntos.

Utilizar la cuantificación para la solución de problemas entre conjuntos.

LogrosLogrosLogros



3


Matemáticas

discretas

Fascículo No. 4

Semestre 2

Conjuntos y subconjuntos.

Un conjunto es una colección de datos bien definidos, ejemplo:

1.

El conjunto de los números 2, 4, 6, 8, 10.2. Las soluciones de la ecuación: .

3. El conjunto de las vocales del nuestro abecedario.

4. El conjunto de todas las x, tales que x es un impar, en donde 1<= x <

50.

5. El conjunto de las capitales de Colombia.

Se puede observar, en los ejemplos anteriores, que existen dos formas de

expresar un conjunto: cuando se enumeran sus elementos, como en el

caso del ejemplo 1. y cuando se manifiestan las propiedades que tienen

sus elementos, como en el caso del ejemplo 4. El primer ejemplo se

conoce con el nombre de forma tabular o extensión y el segundo caso, por

comprensión o constructiva de un conjunto, respectivamente.

En este capítulo, representaremos los conjuntos con letras mayúsculas y

los elementos con letras minúsculas, por ejemplo, si un objeto x es un

elemento del conjunto A esto se puede expresar, de la siguiente manera:

Denotando con lo anterior que x pertenece al conjunto A. Sin embargo, si

x no perteneciera al conjunto A, esto se representaría:

Conjuntos finitos e infinitosUn conjunto es finito, si resulta sencillo contar sus elementos al terminar. Si

no fuese posible terminar el conteo se diría que se trata de un conjunto

infinito.



4


Matemáticas

discretas

Fascículo No. 4

Semestre 2

El conjunto vacío es unsubconjunto de cualquierconjunto, es decir todoconjunto lo tiene como parteintegral del mismo, siendoapropiado representarlo

como: .

En el sistema matemáticoantiguo se utilizaba el sím-

bolo para referirse a cual-

quier subconjunto ycuando se trataba de unsubconjunto propio. En el

sistema moderno seemplea para lo cualquier

subconjunto y parasubconjuntos propios

Igualdad de conjuntos.

Un conjunto es igual a otro, si ambos tienen los mismos elementos, es

decir si cada elemento que pertenece al conjunto A pertenece también a B

y si cada elemento que pertenece al conjunto B pertenece a A, y se

denota:

Conjunto vacío.

Aquel conjunto que carece de elementos, se denomina un conjunto nulo,

en este documento se utilizará un conjunto semejante llamado vacío y

representado por el símbolo:

Subconjuntos.

Cuando los elementos del conjunto A pertenecen también al conjunto B,

se dice que el conjunto A, es subconjunto del conjunto B.

Cuando decimos que los conjuntos A y B son iguales, es porque, y también se puede simbolizar:

.

En caso contrario, donde no sean iguales se simbolizaría:

ó .

Subconjunto propio.

En cuanto, B es un subconjunto propio de A sí, B es un subconjunto de A

y B no es igual a A, es decir, B es un subconjunto propio de A sí:

.Comparabilidad.

Los conjuntos A y B son comparables, siempre y cuando se puede decir

que;



5


Matemáticas

discretas

Fascículo No. 4

Semestre 2

4.1

Realice el siguiente pareo, ubicando en el espacio del centro la letra quecorresponda a la definición o concepto de la derecha.

1. ( _) a. Los conjuntos soncomparables.

2. (_ ) b. El conjunto estáexpresado porextensión.

3. (_) c. El conjunto A es unSubconjunto de B.

4. Sea Z+ el conjunto de los números enteros positivos. (_) d. El conjunto estáexpresado porcomprensión.

5. Sea D el conjunto de los días de la Semana. (_) e. Un conjunto nopertenece a otro, sonlos elementos los quepertenecen a losconjuntos.

6. Sea: y (_) f. Es un conjunto vacío.

7. Sea: (_) g. Es un conjunto finito.

8. Sí (_) h. Son conjuntos iguales.

9. Sí (_) i. Es un conjunto infinito.

Conjunto universal.

En la teoría de conjuntos todos los conjuntos considerados son,

probablemente, subconjuntos de un mismo conjunto dado, el cual se

conoce con el nombre de Conjunto Universal o el Universo del Discurso y

se denota por el símbolo:

.

Conjunto potencia.

Algunas veces, se encuentra que los elementos de un conjunto son a su

vez conjuntos, esto se conoce con el nombre de familia de conjuntos o

clase de conjuntos, éste es el caso del conjunto potencia el cual reúne

todos los posibles subconjuntos de un conjunto finito dado y se denota por

el símbolo: . Ejemplo:



6


Matemáticas

discretas

Fascículo No. 4

Semestre 2

El número de elementos delconjunto potencia de A,está dado por la fórmula 2n,

en donde n es el número deelementos del conjunto A.

Sea el conjunto finito el conjunto potencia del conjunto A es:

El número de elementos que puede contener el conjunto potenciade un conjunto finito A, está dado por la fórmula de 2n, en donde n corresponde al número de elementos que tiene el conjunto finito A.

Conjuntos disyuntos.

Sí dos conjuntos finitos no tienen los mismos elementos, es decir, que los

conjuntos A y B no tienen ningún elemento común, se dice entonces que

los conjuntos A y B son disyuntos.

Particiones.

Dada una familia no vacía de subconjuntos

del conjunto A, es una partición de A sí se

cumple con:

i. ii. Para cualesquiera , , o bien , o bien , en

otras palabras y son disyuntos.

Ejemplo:

Considere , las siguientes pueden ser particiones

del conjunto A:

1. 2. 3.

Como se puede apreciar los tres ejemplos anteriores, cumplen con ser

particiones del conjunto A, puesto que en primera instancia todos los



7


Matemáticas

discretas

Fascículo No. 4

Semestre 2

A

B

A

B

elementos del conjunto A, se encuentran en la partición y en segunda

instancia, los subconjuntos que conforman la partición son disyuntos.

Producto cartesiano.

Sea los conjuntos y , al conjunto resultante entre

AxB se le conoce con el nombre de producto cartesiano y se caracteriza

por ser un conjunto de parejas ordenadas, tal como se muestra a

continuación:

Representación gráfica de los conjuntos.

La representación de las relaciones entre conjuntos, utilizando los

Diagramas de Venn-Euler , resulta ser muy sencilla, tal como se muestra a

continuación:

1. Sea la representación de y , en el diagrama siguiente:

2. La representación de la no comparabilidad de A y B:



8


Matemáticas

discretas

Fascículo No. 4

Semestre 2

A B

3. La representación de dos conjuntos disyuntos:

Otra forma de representar las relaciones que se dan entre los conjuntos,

son los conocidos Diagramas Lineales. A continuación se puede ver su

aplicación:

1. Para representar la relación , a través de un diagrama lineal

sería:

2. Sean los conjuntos , y

, se puede deducir que y que ,

representando esta relación se tiene:

4.2

1. El estudiante debe dibujar el diagrama lineal correspondiente a lafigura siguiente, conforme a las propiedades de los conjuntos, allí representados.:

B

A

A

CB



9


Matemáticas

discretas

Fascículo No. 4

Semestre 2

A

B

CD

A B

2. Sea los conjuntos ,

, , , .3. El estudiante debe realizar el diagrama lineal correspondiente.

Operaciones fundamentales de conjuntos.

Las operaciones que se pueden dar entre los conjuntos son la unión,

intersección y diferencia.

Unión

La unión de dos conjuntos, consiste en la agrupación de los elementos

que pertenecen a ambos conjuntos.

Ejemplo:

Sea

y

La unión de los conjuntos A y B, representada por , es:

La representación gráfica, utilizando el Diagrama de Venn, corresponde ala selección de los dos conjuntos centro:



10


Matemáticas

discretas

Fascículo No. 4

Semestre 2

A

B

Intersección

La intersección de dos conjuntos, está dada por los elementos que son

comunes entre los conjuntos.

Ejemplo:

Sea

y

La intersección de los conjuntos A y B, representada por , es:

La representación gráfica, utilizando el Diagrama de Venn, corresponde al

área que se encuentra rayada (centro):

Diferencia

La diferencia de dos conjuntos A y B se forma con los elementos que estén

en A y que no se encuentren en B.

Ejemplo:

Sea

y

La diferencia de los conjuntos A y B, representada por , es:



11


Matemáticas

discretas

Fascículo No. 4

Semestre 2

A

B

A

B


área que se encuentra rayada:

Diferencia simétrica

La diferencia simétrica de los conjuntos A y B, es el conjunto formado por

los elementos que pertenecen a A ó B, pero no pertenecen a ambos

conjuntos.

Ejemplo:

Sea

y

La diferencia simétrica de los conjuntos A y B, representada por ,

es:





12


Matemáticas

discretas

Fascículo No. 4

Semestre 2

A

B

Complemento

El complemento del conjunto A, es el conjunto de los elementos que no

pertenecen al conjunto A.

Ejemplo:

Sea el conjunto , si consideramos el conjunto universal

como el abecedario, el complemento de A, representado: , es:



Referente a las operaciones dadas entre los conjuntos se tienelas siguientes observaciones:

La unión de dos conjuntos se puede expresar de las dosformas siguientes:

La intersección de dos conjuntos se puede expresar de las

siguientes formas: El conjunto resultante de la Intersección es subconjunto del

conjunto A o B:

El conjunto A contiene al conjunto : La unión entre el conjunto A y su complemento A’, es el

conjunto Universal.



13


Matemáticas

discretas

Fascículo No. 4

Semestre 2

4.3

1. Utilizando diagramas de Venn, represente elestudiante debe:

2. Hacer un diagrama de Venn, con los conjuntos finitos A y B de modoque tengan las siguientes características:

a. b. 3. En el siguiente diagrama de Venn, resalte el área que corresponda a

las siguientes operaciones:

a. b. c. d. e. f.

Leyes del álgebra de conjuntos

Con base en la relación de orden , la comparabilidad entre

conjuntos, y en las operaciones se puede formar un álgebra

de conjuntos.

Descripción Leyes Diagrama de Venn

1. Ley de Idempotencia a.

b.

2. Ley Asociativa a.

b.

A

B



14


Matemáticas

discretas

Fascículo No. 4

Semestre 2

3. Ley Conmutativa a.

b.

4. Ley Distributiva a.

b.

5. Ley de Identidad a.

b.

c.

d. 6. Ley del Complemento a.

b. c.

d. 7. Ley de Morgan a.

b.

8. Ley de Absorción a.



15


Matemáticas

discretas

Fascículo No. 4

Semestre 2

b.

Ejemplos:

1. Demuestre la siguiente igualdad:

Proposición Razón

= Ley Conmutativa

= Ley Distributiva

= Ley Conmutativa

2. Demostrar .

Proposición Razón

= Ley Distributiva

= Ley del Complemento

= Ley de Identidad

3. Demostrar: Sí , entonces

Proposición Razón

= Ley de Identidad

= Hipótesis del problema

= Se sustituye en por la

hipótesis del problema

= Ley Distributiva

= Ley del Complemento

= Ley de IdentidadDefinición de Subconjunto

Como en el ejemplo anterior, se puede hacer uso de las definiciones de

subconjuntos y de las operaciones entre conjuntos para realizar ciertas

demostraciones, como en el siguiente ejemplo:



16


Matemáticas

discretas

Fascículo No. 4

Semestre 2

Demostrar: , las razones en esta

demostración se apoyan en las definiciones conceptuales de las

operaciones, expresadas anteriormente.

=======

La anterior demostración, permite establecer la relación que existe entre la

lógica y la teoría de conjuntos. En la siguiente tabla, se muestran las

relaciones entre sus términos de enlace, vistos en el Fascículo 1 y los

símbolos de las operaciones entre conjuntos:

Teoría de Conjuntos Proposiciones

Conforme a la tabla anterior, podemos establecer las siguientes relaciones,

teniendo en cuenta estas proposiciones:

P= ser un elemento del conjunto A

q= ser un elemento del conjunto B

4.4



17


Matemáticas

discretas

Fascículo No. 4

Semestre 2

El estudiante debe realizar las siguientes demostraciones, utilizando elálgebra de conjuntos o las definiciones de las operaciones entreconjuntos, según sea el caso. Indique cual es la razón (ley utilizada) en

cada uno de los pasos:

1. 2. 3. 4.

Cardinalidad.

Sea el conjunto A, conformado por tres elementos: . En la

teoría de conjuntos se involucra el concepto cardinal del conjunto, el cual

se refiere a conocer el número de elementos que conforma un conjunto.

Es por eso, que el cardinal del conjunto A se representa por: y

equivale a 3, en este caso. En el presente documento, utilizaremos la

simbología , para hacer referencia a la cardinalidad de un conjunto.

Ejemplo:

1. Sean los conjuntos , y

:

a. n(A) = 5

b. n(B) = 6

c. n(C) = 7

d. e. f. g. h. i. j.



18


Matemáticas

discretas

Fascículo No. 4

Semestre 2

Consideremos dos conjuntos finitos A y B, para calcular la cardinalidad de

su unión estaría dada por:

De ahí, que en el ejemplo 1. la cardinalidad de . Analizando

esta respuesta se tiene que la cardinalidad del conjunto A es 5 y la

cardinalidad del conjunto B es 6, lo que supondría una cardinalidad total

de 11 elementos, pero debemos considerar que los conjuntos A y B tienen

elementos comunes, en este caso son dos (2) elementos, lo que podemos

apreciar con la cardinalidad de ; es por esa razón, que se tiene

que restar la cardinalidad de su intersección. Veamos la representación delnúmero de elementos en este análisis, a través de un diagrama de Venn.

Observando el diagrama de Venn, inmediatamente anterior, se observa

que se debe ubicar en primera instancia la cardinalidad de las

intersecciones y luego la cardinalidad de cada conjunto. Si se suma la

cardinalidad de la intersección y la del conjunto, nos dará la cardinalidad

total para cada conjunto, por separado.

Qué tal si ahora, tuviéramos que calcular la cardinalidad de: .Para ello consideremos el ejemplo 1. del tema de cardinalidad:

Sean los conjuntos: , y

:

A B

23 4



19


Matemáticas

discretas

Fascículo No. 4

Semestre 2

A B

12 2

1

2

3

1

C

Las cardinalidades respectivas son: n(A) = 5, n(B) = 6, n(C) = 7,

, , , ya pudimos apreciar, que a la

suma de las cardinalidades individuales se les resta las cardinalidades de

sus intersecciones, pero en este caso como se trata de tres conjuntos, los

cuales probablemente tienen elementos en común, al final de la fórmula se

debe sumar la cardinalidad de la intersección de los tres conjuntos, puesto

que este elemento nos hará falta, veamos cómo sería:

Volviendo a los conjuntos, de éste ejemplo, se observa que el elemento 4.

se encuentra en todos los conjuntos, significando que la ,

ahora sí reemplacemos estos valores en la fórmula anterior:

Gráficamente sería:

Tal como se explicó anteriormente, la forma de ubicar las cardinalidades,

en el diagrama, se debe realizar de adentro hacia afuera, es decir primero

se ubica la cardinalidad de la intersección de los tres conjuntos, luego las

cardinalidades de la intersección de los dos conjuntos y finalmente, las

cardinalidades individuales.



20


Matemáticas

discretas

Fascículo No. 4

Semestre 2

4.5

El estudiante debe resolver los siguientes problemas y realizar larepresentación gráfica de la solución:

1. Una encuesta de 500 televidentes dio como resultado la siguienteinformación: 285 veían juegos de fútbol; 195, novelas; 115, películas;45 seguían los juegos de fútbol y novelas; 70 preferían los juegos defútbol y las películas; 50 observaban novelas y películas, y 50 noveían televisión. ¿Cuántos televidentes observan los tres tipos deprogramas (fútbol, películas y novelas)?

2. En una encuesta de 60 personas, se encontró que 25 leen elTiempo, 26 leen la Prensa y 26 leen el Espacio. También 9 leentanto el Tiempo como la Prensa, 11 leen tanto el Tiempo como elEspacio, 8 leen tanto la Prensa como el Espacio y 8 no leen

ninguno de los tres periódicos.

a. ¿Cuántas personas leen los tres periódicos?b. Determine el número de personas, que exactamente leen un

periódico.

En este fascículo se trabajó la teoría de conjuntos, en los aspectos

relacionados con su conceptualización, tipos de conjuntos, familias deconjuntos. Luego se realizaron las operaciones entre conjuntos, como la

unión la intersección, la diferencia, diferencia simétrica y complemento.

El álgebra de conjuntos, jugó un papel fundamental en la demostración

sobre operaciones con el apoyo de las leyes de la teoría de conjuntos y las

definiciones de las operaciones básicas entre los conjuntos.

La representación gráfica de las operaciones de los conjuntos, diagramas

de Venn y diagramas lineales, son un elemento de ayuda visual, que

contribuye al mejor entendimiento de las operaciones y la comparabilidad

de los conjuntos.



21


Matemáticas

discretas

Fascículo No. 4

Semestre 2

Finalmente, se trabajaron elementos importantes que permiten resolver

problemas que tienen que ver con conteo. La cardinalidad ayuda a la

solución de este tipo de problemas.

BARCO G. Carlos, Barco G. Germán. Matemática Digital. Colombia

Editorial McGraw Hill. 2001.

GRASSMANN, Winfried Karl y Tremblay, Jean Paul, Matemática discreta y

lógica. Una perspectiva desde la Ciencia de la Computación. España:

Editorial Prentice hall. 1998.ROSS, K. – Wright, Ch. Matemáticas Discretas 2a. edición. México: Editorial

Prentice Hall. 1990.

RALPH P. Gimaldi. Matemáticas Discretas y combinatorias. 3ª edición.

México. Editorial Prentice Hall. 1998.

Se ha utilizado la teoría de conjuntos para su aplicación en problemas de

conteo. En el próximo fascículo trataremos los principios fundamentales

del conteo.



22


Matemáticas

discretas

Fascículo No. 4

Semestre 2



23


Matemáticas

discretas

Fascículo No. 4

Semestre 2

Seguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizaje

Matemáticas discretas - Fascículo No. 4

Nombre_______________________________________________________

Apellidos ________________________________ Fecha: _________________

Ciudad___________________________________Semestre: _______________

1. Dados los conjuntos A y B no comparables, construir el diagrama lineal de los

conjuntos A, B, (A – B), (B – A), y el .

2. Hacer un diagrama de Venn, con los conjuntos A, B y C que tengan lassiguientes características:

a. b. c. d.

3. Dado los siguientes conjuntos , el estudiante debe decir:

a. Si son Iguales ¿por qué?_________________________________b. Y Diferentes ¿por qué?_______________________________c. Y si son mutuamente subconjuntos por qué? ______________

4. Sea A={x | 2x = 6} y b=3, entonces ¿b = A? Verdadero ____ Falso_____Observaciones: __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. ¿Cuáles conjuntos son iguales?

a. {x | x es una letra en la palabra “tocata”} b. Las letras de la palabra “tacto” c. {x | x es una letra de la palabra “cota”} d. Las letras a, c, o, t.

6. Dado A={1,2,3,4}, ¿cuántos subconjuntos se podrían conformar del conjunto A?



24


Matemáticas

discretas

Fascículo No. 4

Semestre 2

7. Dado los siguientes conjuntos:

, A={1}, B={1,3}, C={1, 5, 9}, D={1, 2, 3, 4, 5}, E={1, 3, 5, 7, 9},U={1, 2, 3, ,4, 5, 6,7, 8, 9}

Inserte el símbolo correcto , , entre cada pareja de conjuntos:

a. __ A b. A__ B c. B__ C d. B__Ee. C __ D f. C__ E g. D__ E h. D__U

8. Dado A={1,2,3,}, B={a, b, c} y C={x, y}; Encuentre AxBxC

9. Dado X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9}, determine cuáles de los siguientes sonparticiones de X:

a. [{1, 3, 6}, {2, 8}, {5, 7, 9}]b. [{1, 5, 7}, {2, 4, 8, 9}, {3, 5, 6}]c. [{2, 4, 5, 8}, {1, 9}, {3, 6, 7}]

d. [{1, 2, 7}, {4, 6, 8, 9}, {3,5}]

10. Demuestre:

11. En una encuesta realizada a 120 pasajeros, una línea aérea descubrió que a48 les gustaba el vino (V) con sus alimentos, a 78 les gustaban las bebidaspreparadas (P) y a 66 el té helado (T). Además, a 36 les gustaba cualquierpar de estas bebidas y a 24 pasajeros les gustaba todo. ¿Cuántos pasajerostoman exactamente una sola bebida?

matediscre_f04

Documents