La interdisciplinariedad es un concepto que ha vmostrando su importancia, cuando en los dlfer,

estudios se optimizan los resultados y se logra

precisión, producto de la convergencia de vdisciplinas.

Cualquier profesional, y en este caso el Contador P

debe tener una visión holística de las relaciones

generan con los diferentes entes y cómo éstas af

unos a los otros. En los negocios, las variables

intereses, tasa de interés, tiempo y valor futu

conceptos que se reflejan contablemente

organizaciones. La claridad en su aplicabilldad

aporte que realiza el texto "Matemáticas Fin

aplicadas a la Contabilidad", donde la participacl

economía, la tributación y la contabilidad dan all

perspectiva integradora de diversos elementos.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASAPLICADAS A LA CONTABILIDAD

Claudia Constanza Cabal CruzOrnar Alberto Donneys Beltrán

Constanza Loreth Fajardo Calderón

Universidad del QuindíoFacultad de Ciencias Económicas y Administrativas

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111j11l¡JO Culdcrún, Constunzn I.orcthMIIIUIII~ticIIS financieras aplicadas a la contabilidad / Constanza Loreth l'ajnrdo Cnldoróu. (hlt"l

Alberto Oonncys Bcltrán, Claudia Constanza Cabal Cruz. -- Annenia : Editorial K incsis, 20()X52 p. ; 23 CI11.

Incluye bibliografla.ISBN 978-958-8269-37-5

l. Contabilidad financiera 2. Matemáticas financieras 3. Contabilidad 4. Tablas de interés l. l)(lI"l~y'¡Heltrán, Ornar Alberto11. Cabal Cruz, Claudia Constanza 111.Tít.657.48 ed 21 ed.1\1214741

EP-Banco de la República-Biblioteca Luis Ángel Arango

© Claudia Constanza Cabal Cruz© Omar Alberto Donneys Beltrán

© Constanza Loreth Fajardo CalderónMATEMÁTICAS FINANCIERAS APLICADAS A LA CONTABILIDAD

Derechos Reservados

© Editorial KinesisISBN: 978-958-8269-37-5

Publicación: Diciembre 2008500 ejemplares

Diseño y Diagramación Electrónica:Editorial Kinesis

Impreso por: Editorial KinesisCra. 25 No. 18-12 Armenia - Colombia

Telefax: (6) 740 15 84Teléfono: (6) 740 9155

E-mail: editorial@kinesis.com.cowww.kinesis.com.co

Impreso en Colombia / Printed in Colombia)

Hecho el Depósito Legal en cumplimiento con la Ley 44 de 1993.Decreto 460 de 1995

Todos los Derechos ReservadosLa presente publicación es un aporte a los propósitos académicos, no persigue fines lucrati-

vos. Se prohibe su reproducción parcial o total sin el permiso escrito de los autores.

279

308

40

5355565862697077

83

101110113118

120

MII.m~llu,ftnlnll" Id (onlnbllullld

CONTENIDO

PRESENTACIÓN

GENERALIDADES

lO I Funciones de excelI Casos

EL INTERÉS SIMPLE

Sobregiros

Cuentas por cobrar / Cuentas por pagar

Clientes / ProveedoresTiempo/interés simple exacto vs. tiempo/interés simple comercial:una decisión financiera

Ecuaciones de valor

Interés por mora

Tratamiento a los pagos parciales

AnualidadesEl descuento, una herramienta financiera para decisiones comerciales

Resumen de fórmulas del capítulo

Casos

INTERÉS COMPUESTO

Tasas equivalentes

Tasas Conjugadas

Operaciones en UVR

El impacto de la inflación sobre las tasas de interés

Las tasas de referencia: DTF, Libar; Prime Rate.

Tasa de interés en transacciones con otros gastos o tasa con arandelas

13511516179180

185

191

198199202203

205207211

220229237240251

(011\1,1111 •• 1.1 ,1)oIIdo L (I,lUdld (. Cdbdl C. - OfllM A 1l01111ry\ 1I

Tasa de interés promedio ponderado (TIO) o de portafolio

Resumen de fórmulas del capítulo

asos

LAS SERIES CONSTANTES Y VARIABLESSeries constantes o anualidades

Series variables o gradientes

Perpetu idades

Las amortizaciones fijas y variables y los cuadros de amortizaciónen obligaciones financieras en moneda nacional o extranjera

Cuadros de amortización en obligaciones financieras con interesespagados por anticipado

Tasa de interés realmente pagada

Agotamiento

Cédulas de capitalización, Cuentas de ahorro y Ahorro Programado

Obligaciones Financieras en moneda nacional o extranjera

Cuentas por pagar, Cuentas por cobrar (Ingresos Operacionales) ~Crédito en el mercado extrabancario

Cuentas por pagar! Cuentas por cobrar: Tarjetas de Crédito

Contratos de arrendamiento financiero "Leasing"

Inversiones en Bonos

Propiedad, Planta y Equipo: Fondos de reposición

Los cuadros de factores para las ventas a crédito

Resumen de fórmulas del capítulo

Casos

BIBLIOGRAFÍA

M plll IIdll\ n 11110111111111111,,11

PRESENTACiÓN

La educación debe ser cada día un proceso más encaminado a relacionarsituaciones de la vida cotidiana y la práctica con la teoría, para alcanzar laaplicación óptima de los conocimientos. Con este objetivo los autores de"Matemáticas Financieras aplicadas a la Contabilidad" buscan aportar al pro-ceso de enseñanza - aprendizaje un texto que sirva como enlace entre lasoperaciones y la toma de decisiones financieras con el quehacer del ContadorPúblico.

No es en ningún momento un texto de registros contables, puesto que paraello están los textos especializados en Contabilidad, sino es un texto que sirvede puente entre los conocimientos que adquiere el profesional de la Contadu-ría en su área específica de la contabilidad y las finanzas. No se descartaron,tampoco, las dinámicas de algunas cuentas.

El texto se ha desarrollado en 4 capítulos, donde se tratan los fundamentosde las matemáticas financieras, el interés simple y compuesto, anualidades,gradientes, y sus aplicaciones.

El texto facilita a estudiantes de otras profesiones el conocimiento de lasvariables más importantes que intervienen en el mundo de los negocios, parauna mejor toma de decisiones en un mundo donde las alternativas financierasson cada día más complejas y diversas, esta condición y en la forma senci-lla como se abordan los temas permiten a los lectores herramientas no sóloacadémicas sino también elementos de análisis en el desarrollo de su vidaeconómica.

Se trata de utilizar EXCEL como herramienta que facil ita la solución de loscasos presentados de forma práctica, paso a paso, de tal manera que sea fácilentender cómo realizarlo.

plll ndn\" 1/1CIlnlllhllldllll

1. GENERALIDADES

Los negocios se distinguen por sus particularidades, sin embargo, éstasdeben ser llevadas al sistema de información de la organización a fin de tener1111 registro ordenado, sistemático y cronológico que perm ita medir, interpre-lnr, analizar, evaluar e informar las transacciones de un ente económico conpersonas naturales o jurídicas.

s importante aclarar los conceptos del lenguaje financiero, para que hayaentendimiento de los términos técnicos, que además deben ser del dominiode los Contadores.

Cuando se realiza una inversión o un préstamo, o cuando se recibe un mon-lo de dinero de un tercero en carácter de préstamo o inversión, a esta suma sele conoce con el nombre de valor presente y se puede encontrar identificadocon las iniciales VP, e, VA o P.

De ese préstamo o inversión realizada, se espera que al cabo de un plazo,que se le llama tiempo, y que se puede encontrar identificado como t, n oNper, se reciba o entregue una suma adicional que retribuye el hecho de pri-varse de la disponibilidad de efectivo por entregada a un tercero, conocidacomo intereses, identificados como 1, que estarán en función del valor pre-sente, relación que se denomina tasa de interés, identificada como i o Tasa.

Es decir, al final de la transacción económica (tiempo) se espera tener elvalor presente más los intereses, suma que se conoce como valor futuro,VF,Fo S.

[j=1~Gráfico 1

(umtdll/d 1.I,'J,mlu (, (loIUdl,1 (, (oIbdl C. - Omnr " Illlllll~y\ 1I

1Al tasa de interés es una variable resultado de la relación entre el valornrcsente y los intereses, pero debe ser analizada con respecto al tiempo queduró dicha inversión. Por lo que no es igual ganarse $100.000 en 1 mes queinnarse $100.000 en un día. Ni es igual ganarse $lQO.OOOpor una inversión de$1.000.000 en 1 mes, ni $100.000 por una inversión de $10.000.000 en 1 mes.Asl el tiempo sea igual, la relación valor invertido (valor presente) e intereses,puede ser diferente.

a tasa de interés es una variable que establece una doble relación. Comoya se dijo, de una parte los intereses recibidos sobre la cantidad de dineroinvertida (valor presente) y por otra se debe referir a qué tiempo se requierepara que la inversión produzca dichos intereses. Es decir, se pueden recibirintereses de $500.000 por haber invertido $1.000.000, que al hacer la relaciónsería $500.000 / $1.000.000, como resultado se obtiene 0,5. Por cada pesoinvertido se obtienen $0,5, expresándolo en forma decimal. Si se deseara, sepuede multiplicar este resultado por el 100% y se tendrá la respuesta en formaporcentual, i.e., (0,5) (100%), el resultado es 50%. Se interpreta como que el$1.000.000 invertido rentó al 50%. Es la tasa de interés.

Hasta el momento sólo se ha hecho referencia a los intereses y a la inver-sión, pero cuánto tiempo se requirió para que dicha inversión generará esosintereses, ahí es donde se considera la variable tiempo. Si la rentabilidad fueen I mes, indicará que ésta es una tasa de interés del 50% mensual, pero sifue en un periodo de 6 meses, se tratará de una tasa de interés del 50% se-mestral, y así sucesivamente.

Para el cálculo de los intereses, se conocen dos formas. La primera, es elinterés simple, que consiste en la liquidación de los intereses considerandosiempre el capital inicial, sin sumarse los intereses generados o causados enun período. La otra es el interés compuesto, que se trata de la liquidaciónde intereses sobre un saldo que varía período a período por la adición de losintereses al capital, que se conoce como capitalización de intereses.

En el tema financiero, cuando se realiza una transacción económica se tomaun valor presente al cual se le aplica el tipo de interés que se haya acordadoy al cabo del período - tiempo - de la operación se liquidan los intereses, sinembargo en contabilidad se habla de la causación, lo que implica que mes ames, como mínimo, se debe realizar la liquidación de los intereses y su res-poctiva causación. Por lo que, este aspecto es básico a tener en cuenta porquien realice el proceso de contabilización de intereses.

M Idlonldbllldlld

/\lIlt''1 dl' l'lIlIllIllIlillll 11 Il'gil'lll'lll 111111l'gIH;io.es necesario primero com-l"l'llIll'IIII, 11"1lo qUl' en m'lI:-dtllll:~puede ser útil graficar los datos que seIll'Ill'1\ 1'11I11d lo su puede hacer uso de un diagrama de flujo, diagrama

'ollómlco () línea de tiempo, Para hacerla se traza una línea horizontal, lla-11I lid11Unen de tiempo, se identifica el tiempo de la transacción y se ubica en1" llucu, IHcual ha sido dividida en subsecciones verticales, cada una será un(ll'I'lodo de tiempo. Se ubican flechas hacia arriba y hacia abajo, indicando laspI'iIIlCI'é1S,los ingresos, y las de otra dirección los egresos. Es práctico ubicar111 fucha en la cual se inicia la transacción como O.

.Jemplo 1-1

Realice el diagrama de flujo para la siguiente operación. Se realiza una in-versión por $90.000.000 a 5 años, al cabo de los cuales se reciben $115.000.000.Identifique las variables VF, VP y t.

Solución

o 1 2 3 4

VF= $115.000.000

511 1 ¡ I 1

VP = $90.000.000

t = 5

Ejemplo 1-2

Realice el diagrama de flujo para la siguiente operación. La empresa recibedineros de terceros, que serán invertidos en ella por $90.000.000 a 5 años, porlos cuales habrá que cancelar al cabo del tiempo $115.000.000.

SoluciónVP = $90.000.000

to 1 2 3 4 51 I 1 I ¡

VF= $115.00().OOO

11

Aunque los datos de In transacción S\; refieren a una inversión, 1IIIIll'S l'l h

dio que ésta sea realizada por una empresa en un negocio dctcrtuinndo, l'lllIlll

tlS el primer ejemplo, y otro que la empresa reciba los dineros de la invct 'l1t'1I1'01110 en el scaundo ejemplo.

" 1111llll'IúII tll' ,..",.,,,111,/\ 11l~1I 1:1 Ir 11I1a 'alpcrlorJ.\'.

9lógicas'

'L Administrador;; de nombres IEjemplo 1-3 Fecha y nora >

Biblioteca de tuncrones _.;;.~•••;~.•,;,".•;.,;.t¡;",.;;.-:;:.;.~.:~.;.;..;_" _--'~'~ "'41Z-~'-.:;....CUna empresa realiza un préstamo por $35.000.000 a otra empresa pOI'

5 años, la cual se compromete a cancelar $23.000.000 dentro de 3 años y$22.000.000 dentro de 5 años. Realice la línea de tiempo.

Ix1\1

1\ GFEoB e

i "!l' da clic en la Funciones FinancierasSolución

L Aulosuma • ~ Lógicas •. a Búsqueda y reterencía+

~~~~~c~¡e~n;:temente • r¡ Texto' te Matemáticas y Iri90nométricas •

tr fecha y nore > ID Más tundones r""""-:==--~--=-----¡ funcl!>oes_._._ _ .o ••••••• __ , •• _ ••••• _ ••••••• __ •• _._.

$23.000.000 $22.000.000

~ ~ 31 ; 5Jo

J AMORTIZ.PROGRE

CANTIOAO.REGBIDA

1 CUPON.OlAS23

CUPON.DIAS.U

4 CUPON.OlAS.l2

5 J CUPON.FECHAU

6 CUPON.FECHA.l2

7

IC.UPON.NUM

8

906

10 00611 OURAGON

--1

12: DURAGON.MOOIF,--,.~

1~ OVS14

-i INT.ACUM15 I16 ;

IINT.ACUM.V

171 INT.EFECTIVO

1& ' I INT.PAGO.DIR•....---:

\

19 ' LETRA. DE. TES. PREGO?O ¡

lETRA.DE.TES.RENOTO21 ¡Ixni Insertar función ...

)~ i

FEo$35.000.000

§

No es correcto sumar dineros' en fechas diferentes en el tiempo, puesto quese deben considerar los intereses, a efectos de solución de los casos, se partedel principio que en los negocios lo que se recibe es igual a lo que se da en unafecha determinada, Para poder sumar o restar dineros, como pagos o abonos,todos los dineros se deben reunir en una misma fecha, llamada fecha focal.La determinación de la fecha focal en interés simple es de gran importanciaporque dependiendo de la fecha que se tome para reunir el dinero habrá va-riaciones en los resultados.

FUNCIONES DE EXCEL

Para realizar las operaciones por medio de las funciones de Excel, se debe,por lo general, realizar el siguiente procedimiento:

.•.

Cldudln ( . (nIMI •.

1. () si es del caso en las Funciones Fecha y Hora

fun<.lon (9; flnc'lncitros .•

Sil

_ "A"l""- ~(: 1-···Am-··r···---S·-·--íj

1 I I2 • I3 I4 !5 I I~1 I

:1lO~lljuj13:

~117118 j I

~I I211 i22l t Ix lns~rtar función .. , J-

AÑO

DlA

D!A.LAB

OIAS.LAS

O!A.S360

OlASE'"

FECHA

FECHA.MES

FECHANUMERO

FIN,MES

FRAC.AÑO

HORA

HORANUMERO

HOY

MES

MINUTO

NSHORA

NUM.OE5EMANA

: SEGUNDO

E

Insertar función

4. Si se elige ingresar por fx, aparecerá el siguiente recuadro:

U/ ~_J

~car lM'Iafunción; r-----~_·-Jo sdecóonar una ~ategor~: "redes

¡Esc.rba una breve desu(xión de lo QUe: desea hacer y, atcon~~., h.~ die m.lr._. _ ~=t:l!~

IACDS OACDSH .,AHORA

!ALEATORIOIAlEATORIO. ENTREL~:r.g:..L~._. .. .. ... ..•_.__._.._.._.. ._.._.....__ .._.. _A6S{nú"",ro)Devuelve: el valor atY.,ol¡to de un número, es dea-. un número sin siQno.

Sele<:donaruna f.¡ndón:r' __._ .

Ayuda mt: esta ft.nqón [ ~t.;-J r-~~

1111 eonlnhllldlld

" ,Iomlh!qll ¡\le 11

dl~'l' "() \.'/.'.:.·''''',W /1/11/ I'lIlq.!,1l1 (u", />l' hWWH la categoría que se11"\' ptll'd\' ••\:1 "l: 1/11lile '/1"'(/ " \1 •• 1'('(,://(1 y 'lora"

h,,_.I., 1\1"1''''11 ~ ~=- I

".Af 11". ~.~ ••,,'

I "I~I" U,," I".v, d"ollXlÓtl de lo QUe desea hecer y, a [----ir---------- J'"'Iill.mIIÓl"ht\Qtt dIt en Ir .....M •••• _ ••• ~ •••••••••••••••

O erMttUtH1n1 ~I'\l) ~I.eoorku Fecha y hor& B

]"@.J

..... _ _ _._._ ..~__ .._ _._._ ..__ .._ ~..-.......•...... ~~_ - ~~..:.

I Ayuda sobre .". n.nDón [ Aceptar I~] I

Insertar función l],_~_~_.J

\lU"N "'" fI.nóón:

Escriba una breve d;saipdÓn. de lo QUe desea hacer y. a,con~adón. haga die.:n I(~;...:..:.~-:.:. ...:..

O seíecocrer U'la ~lJtegO(r.,: : Fnancier as

Selecdonac una ~:

IMt,i' i ¡jl'Et!i!itiii

i [ ~ .JEJ

.~IAI.ORTIZ.PROGRE

ICANTIOAD.REC1610ACUPON.OlASCUPON.DIA5.l1ICUPQN.DIAS.l2i9.!~~:.!:~.~:.~.~Af·l0RTIZ.UU( costo;fecha_ col11pra¡primer _período;vak>r _res¡dua~ •..)Devuelve ¡a depre.aaoón W1ea¡ pr'orrate:~@ de. 00 activo pe-e cede periodoCOf'Itable esceoñcedo.

II"yudo ~--=~_. I Aceptar I I C4n<elar I

<l, Posteriormente, donde se indica Seleccionar una/unción, se debe buscar lafunción que corresponda a la operación que se vaya a realizar.

¡\ 1f!.1I110Spltlllte:lll1 icntos no se pueden resolver por med io de IlIs luucionfi uuncicras, pero si por medio de la hcrrarn ienta Buscar Ohjl't ivo, 111l' l\1I1.ncucutra en la opción Datos:

'\ ~ ~_-1 -u _1

DeSde Desde Desd. De otras ConeXIonesAccess Web texto fuentes' eXIstentes

Obtener datos .xI"no,

¡"",'1 ';.tU Conexlonts¿¿¡

1 F ,o ':,d,'Actualizar

todo r -: ~Jlt.J~ Jn(;tI

Cone.:<IOf1tS Orden ar ~ "It •••-~------

HAll.• ..f.LA

*1 Ordena, FIIt,or» AvtUl/IHln,

-;;:~~ . \' -·->IT-~T"~·=~.=..:==~="·..-. .•..•. - .--- ~--~.-._.-..__ ..__ ."-'~'-~"""-'."~~'-~"'- _-_ _.- -.__ .A B e o E G 11

Se ingresan los datos, cuando éstos se han planteado totalmente, se va a laopción: Análisis y si:

ibrol - Microsoft Excel-- ._-----_._-----------

errar

cíver a aplicar

llyscar objetivo .

labIa de datos .D Ey ahí se toma Buscar Objetivo. Más adelante en el desarrollo de algunos

ejercicios se mostrará cómo utilizarLo.

Por medio de un caso que se resuelve en el capítulo de Interés compuesto seexplicará la forma de utilizar la herram ienta "Buscar Objetivo".

Una compañía firma una promesa de compra-venta para la compra de unvehículo con 2 años de uso, por $51.000.000, que entrará a hacer parte de suPropiedad, planta y equipo. Para su pago posee $7.000.000 y se comprometea pagar una letra cada 6 meses por igual valor, a una tasa del 1,7% mensual a2 años. ¿Por cuánto se deberá diligenciar cada una de las letras?

Para la solución se plantea el pago de la deuda por medio de un cuadro deamortización donde se indica el número de la letra, el valor de ésta, el pago

"': f:Q

I PUllo n "111'11111,l'llIlIldll [lnnl ('1111111lo que 110se conoce es eltlll, IH' ••lIl'nlll' 111111111111:1'vnku. St' debe tener en cuenta que:

I vllltH dI' 1•• 1'I111tll'11' distribuye para el pago de intereses y el abono aI'ltlll ('ll/llIl ~I' ,'OIlOl'<':ItI tusa de interés, y los intereses se calculan to-

11111I11111"\ '1uldoulltvl'ior y ruultiplicándolo por la tasa de interés, se realizah: L/lklllu puru cl pcrfodo o letra 1;

I ti \'11 It 11dI' 111cuota, como no se conoce, se supone cualquier valor y se en-1111/1\',.,11' ClIII 111celda de la cuota para el período 1. Este valor es constante1'11111hullls IlIs letras, entonces, se fija la columna;

1,1\ /lltl/ del abono a capital es igual a la cuota menos los intereses; y

1:1'Cnldo filial es igual al saldo final del período anterior menos el abono a1'l1pillll.

1'1111,'¡itas indicaciones se diligencia el cuadro:

VI' $51,000.000 - $7.000.000VI' $14.000.000

01. -:;;;;;;;;;;:;:¿, : J"'"'===~" - -- M" W ~

A B C

I TASA DE INTERÉS 0,106434S21

VALOR LETRAS SOOOOOO

... · H._ .. _.·.· _· .. ·.__ ··__ ·_D E

4 PERíODO VALOR LETRA ABONO INTERESES ABONO CAPITAL SALDO FINAL

o o o o 44000000

6 1 =$C$2 =ES"$C$l =B6+C6 =ES-D6

2 =$C$2 =E6*$C$1 =B7+C7 =E6-D7

8 3 =$C$2 =E7"$C$1 =B8+C8 =E7-D8

9 4 =$C$2 =E8*$C$1 =B9+C9 =E8-D9

10 I 1

lit 1 1,'1111111111."

" : fo -[1M -ti B C D1 IASA 0,106434521

VALOR LETRAS 5000000

4 PERraDa VALOR LETRA INTERESES AMORTIZACiÓN SALDO5 o 440000006 1 5000000 4683118,94 316881,0602 43683119

2 5000000 4649391,856 350608,1442 43332511

8 3 5000000 4612075,046 387924,9542 429445869 4 5000000 4570786,439 429213,561 1425153721

Para desarrollar por este medio se utiliza la herramienta de "Buscar Objc-tivo", donde se define la celda E9 con cero, cuando se ha cancelado la deudaqueda un saldo de O;para cambiar la celda donde se supuso el valor en letrasque se tomó para el resto del cuadro, es decir, e2.

~!' _ ._ .:_i:.... Ü~:"? __,". :'______ ::_::__~~=., _A B C

...~:.~~~.~?~.~?~.L ?9.~~9.~~

1 TASA

2 VALOR LETRAS

3

4 PERíODO VALOR LETRA

5 o6 1 5000000

7 2 5000000

8 3 5000000

9 4 5000000

SALDO44000000

43683119

43332511

42944586

42515372

9ulu.r~"IQ '::Y.~:_.;Lj

r~~~~1~:::::~649391,856 350608,1442

4612075,046 387924,9542

4570786,439 429213,561

~" '.~ ~,..¿~.~"".~,.,,"="--=;"•.•"....._•...•._~..,'-_.....•_••......._._"_."...•..~", ...A ~ ~_~'" __....•_•._ C

0,10643452114074541,76

D E1 TASA

2 VALOR LETRAS

3

4

5

6

7

8

9

PERíODO

o1

2

3

4

VALOR LETRA INTERESES AMORTIZACiÓN SALDO

4400000014074541,76 4683118,94 9391422,823 3460857714074541,76 3683547,347 10390994,42 2421758314074541,76 2577586,83 11496954,93 1272062814074541,76 1353913,934 12720627,83 1 o 1

I valor de cada letra es de $14.074.541,76,

Mlt''''ltltAI Rnlnr plle ~dft' n In eOllll1hlllc!11C1 1

1I111"\I'II'III~ 'I"l' W 11111111111 l-1l1I:

Pll'''l'lItC CII interés compuesto o de una anualidad.\1111

L:?_j~)hlll(U"'" ---- -----···--1I

In"., ~ ••• númer»

~ = numero

.~ = numere

~ 3 número

~ = tHJnH~tO

NI''''f'

I'·UO

vI

teo

i".vII.lvl rl volor presente de una ,nversión: la suma total del valor <Ktual de una serie de ~s futuros. l'

Tasa es l. tasa de interés por periodo. Por ejemplo, use 6%{4 para pag<>5trimestrales al ó% TPA.

I!

I Aceptar 1 ,'"! -cao-...-(--=",-...~-r-J"" IIIr"llndO de le fórmula 2

Muda me esta función

'1'11I111: se ingresa la tasa periódica o anual en forma porcentual o decimal(~l'dl'llC tener en cuenta la configuración del computador, si es separado con11111111 o con punto).

Nper: El número de períodos que se va a devolver un valor futuro o el nú-111"10 de cuotas, pagos o depósitos en una anualidad.

Pago: En una anualidad es el valor de la cuota, depósito o pago.

VF: Es el valor futuro que se va a llevar a valor presente cuando se trata deIIIt01'6scompuesto o el que se conformará con una anualidad.

Tipo: Se ingresa el número 1 si se trata de una anualidad anticipada; o setll'ja en blanco o se ingresa Ocuando es una anualidad vencida.

: lima 11(111111'd valor futuro en interés compuesto o de una 1I111111lídlldSil

uruuuicutos son:

Argumento. de (unción I 'ti

VF

Tasa ~ o:;: numere

~ - ntlfll('rCI

~ = fH.!rC~ero

'~ = numero

~ = mJmero

Nper

Pa90

Va

TIPO

Devuelve el valor futuro de UN> inversión basado en P"90S periódicos y constantes, y una Iasa de interéstambién coostente.

Tasa es la fusa de interés por período. Por ejemplo, use 6%/4 para pagostrmestrales al 6% de Tl'A.

Resull.Odo de la fórmula -

Ayuda sobre esta función ! Aceptar I I c';;';;!a-;-]L- ..•..__ ___ .

Tasa: Se ingresa la tasa periódica o anual en forma porcentual o decimal(se debe tener en cuenta la configuración del computador, si es separado concoma o con punto).

Nper: El número de periodos que se va a llevar un valor presente o el nú-mero de cuotas, pagos o depósitos en una anualidad.

Pago: En una anualidad es el valor de la cuota, depósito o pago uniforme.

VA: Es el valor presente que se va a llevar a valor futuro cuando se trata deinterés compuesto o el que se pagará con las cuotas iguales cuando se trata deuna anualidad.

Tipo: Se ingresa el número 1 si se trata de una anualidad anticipada; o sedeja en blanco o se ingresa O cuando es una anualidad vencida.

Ido un PltslDmO basado en pa90S y tasa de interés constantes. I

Ta." es la ta se de inler" por período del prést.lmo. Por ejemplo,USé 6%l4parapagos bimestrales alG% TPA. I

I1

11.,,~t.dUdo lo (t\rn>ja - r~ r....._ , It\VW4 me .sta fundón • Aceptar Ú>(lCeIar i!

.' __ . . __ .. w._ .. ,_._ .• _ .....•. _ ... _. .•........•.............................. .. _._. __ .. _ .. ... _,.. __ .... _. . .. . . .J

M, plll ~d~,_1_l0I1I11hlllll"II

I VIlIIIfdl'llIl'lllIllI, pll~~1I11dl'P\/l~iltl UIILlIIUanualidad. Sustlll

"", hUI{lllli l'rl ~ .. J

t .•••• ~.~.~=

~.~= flUHl~rt.>

1)l1n\t+r<.

NIU' OutTlc."N)

v. mluhtro

V( numero

'11110

'10"'11: Se ingresa la tasa periódica o anual en forma porcentual o decimal¡~I',h'l1l.: tener en cuenta la configuración del computador, si es separado con'1111111o con punto).

Npcr: El número de cuotas, pagos o depósitos en la anualidad.

VA: Es el valor presente que se conoce y el cual será pagado o retirado ent IItllllS o pagos iguales.

V Il': Es el valor futuro que se va conformar con los depósitos o cuotasl¡tI1l1k.:S.

TIpo: Se ingresa el número 1 si se trata de una anualidad anticipada; o sed"11Ien blanco o se ingresa O cuando es una anualidad vencida.

Se conoce VA o VF, por lo cual sólo se ingresa uno de éstos.

: Es la tasa periódica O anual que cobran por un présuuuu » 111~"1I1una inversión o suma - valor prcscntc-. Sus argumentos son:

Ar9~unt:IHOS de (unciÓn I 'rl

TASA

Nper ~. Ill.lfll("ro

R ••• __ ••••. ,... ..'~_

~ • nUnH~'()Pago -- _._-•••••••• N ••••

Va ~ - n.imero.•.-~ - numeroVf

~.~.-. -_._-.-_. " l~J . fllltUl!rQTIPO

Devuelve la u.sa de interés por periodo de un préstamo o lXla inversión. Por ejemplo, use 6O/./4¡wa P<IQOStrrnestrales 016% TPA.

Nper es el número total de periodos de pago de un préstamo o una ,nverSlón.

Resultado de la fii<mula -

Ayuda me esta fundóo [ Aceptar I [?:ncelar J_____________ ~_M. . .. _

Nper: El número de períodos que permanece el dinero prestado o en prés-tamo o invertido o el número de cuotas, pagos o depósitos en una anualidad.

Pago: En una anualidad es el valor de la cuota, depósito o pago.

VA: Es el valor presente que se va a llevar a valor futuro cuando se trata deinterés compuesto o el que se pagará con las cuotas iguales cuando se trata deuna anualidad.

VF: Es el valor futuro que se va a llevar a valor presente cuando se trata deinterés compuesto o el que se conformará con una anualidad.

Tipo: Se ingresa el número 1 si se trata de una anualidad anticipada; o sedeja en blanco o se ingresa O cuando es una anualidad vencida.

Se conoce VA o VF, por lo cual sólo se ingresa uno de éstos.

M InIOl1lnhllicllld

I vlIllIl !lIt''II'IIII' 111'''' dI' 111111~I'1ilo tilo t,,'gl'\':sosC ingrcsos en una11íl PIIl\I°\'lllllllllqIlIIOIlI. 1 ,no, dlltllS SI,,' ingrcsau desde el período 1 has-

11111d,·1 plll~'·l'tll. 1111uuluycnd« 0, I~I valor de O se debe sumar o restarIIhllll'lI VNA Sil*{ uruumcntos son:

t,1I ~ j

,.. ~ m 11l,,¡1~ro

~ a ruirncro

W = I1ÚOle¡'OI.ff!il

iV.~"I~.,I,"

L', "'lrlo/~ t'i v~lol neto presente de una Inversión a partir de una tasa de descuento y una serie dep.~",f"I'"OO (valores negativos) y entradas (valores positivos).

Tasa: es la tasa de descuento durante un período.

IYII~.".oobre esta funóón I Aceptar l [r-ca-nc-eIa-,-'11

!

nr ••~t~dode '" fórmula =

1'111"1: I~s la tasa de interés de oportunidad o tasa del mercado.

VIII"rl: Se ingresan los valores o flujos de efecti vo del proyecto o inversión.

i llalla el tasa a la cual rentó o rentará una inversión, respecto a una seriedi' l'gI'CSOSe ingresos relacionados con ésta. El valor de O se debe sumar oII'~IIII'al obtenido en VNA. Sus argumentos son:

l 'Y! l:fJArgumentos de función

n. ".~ ,~-:==::::J!=Óee ,~,,,. IEstimar .e = número I

IDevuelve la tasa ínteroa de: retorno de UN inversión par'4lJf\a serie de valores en efectivo. ¡

!Valores es una matriz o referenoe a celdas que contengan los número,; ¡W3 los i

cuales se desea calClJl.r la u.sa interna de retorno. .

[Aceptar l l eanc ••••.JResultado de '" fórmula =

AMa sobre esta fundón

(oll\IM11111 .1 dJIIU/1l (. (ldUdlll (. (IIIMI r. 011111'A

Valores: Se ingresan los valores o flujos de efectivo del proVl'l'hl 11 II1Vt11

sión desde la inversión hasta n-o

TIRM: Halla el tasa obtenida en una inversión, cuando los inurcsos SOIl Il'll1vertidos a la TIO o la tasa del mercado. Sus argumentos son:

Argumentos de. fundó n 1'11 );( J

11R/~

Va jeres

Tasa_r.nanciamiento

Tasa_reinversión

~~ =. ~d•.~NU(ii'l

~ == n~une"',)

.~:z ~'!.Hut':r'(,l

Devuelve la tasa nterna de retorno para una serie de flujos de efecbvc periódicos, considerando costo de la inversión e.interés al volver a invertir el efectívc.

Valores es lXIlt matriz o refe-e-ce a celdas que contienen nl'Kneros que representanuna serie de pagos {negativos) y entradas (positivas) realizados en periodosconstantes..

Result~ de la fórmul••

[ Acep-¡;-l I '""celar 1Ayudb sobre esta fundón

Valores: Se ingresan los valores o flujos de efectivo del proyecto o inver-sión - desde la inversión hasta n-.

Tasa_financiamiento: Se ingresa la TIR.

Tasa_reinversión: Se ingresa la TIO.

INT.ACUM.V: Para hallar los intereses pagados o ganados por una inversióno un préstamo en interés simple,

Afg\lmento:;. de función t '11: ~-'

INT.AClJM.V

.~.._-~ ~ w<'Jfq1.4l~r a

Uquidaó6n .'-"':~.'''.~.'.'.'~~.='~.~,,~'.~_.'.'.''.'.'.'~~--_.. c., ~.,:;~ ••• úJi1~~Uf~,'"il

Ta,sa ¡ ._~...~_ __._ .~.~.~:::: CWJl(¡mer>i

Par [ _'_··W~Ü'·,"'~Ü'.""~""·"" ••.~.••.• -.-" ~ "" eut'l~l.üt.~r •.1

Base [_ .•__ ,__ ,__ . ~~~~~ __ .~ •• '..üilhuh!'Yu

Emisión

Devuelve el inter';. devengado par. un volor buo:sátilque paga intereses"¡ ve<>cirrienoo,

Emisión es la fecha de emisión del valor bursátil, e"l>fesada como un número de fechade serie.

Resultode de la fór•.••..•••

Ayuda sobre e<ita fi.JOóón r----¡;Zeptar 1 [ cancelar J

M, pIlIAIIA\ A lA IIII11,l1111111,ul

1111 1111\'1111 dI.' 111 IIIVl'I"UIII,

ItI 11'('1111 1111111 de lu inversión.

111'111 tll' IIlll'Il"H shuplc anual ti la cual se encuentra la inversión.

1lI111\!1I111 1/\11.' SI.: encuentra invertido o prestado.

111"l'IIIIH.'S de fucha y hora que se utilizan son:

l'cnuitc hallar cl número de días, en tiempo comercial, entre dos

A"Jlu",,",,"'" tI(" fllnCIÓn l~

I'I~',II\O

Iech._'nlclal

FeCha_fina' IMétodo

~ .., Jiümero·

~. mí'''''''I' •.).. ~ ••.• v;llot" lo(}K.Q

I ""M ~InUmero de di.s entre dos r..chas basándose en un año de 3óO días (doce meses de 30 di.,).

fecha_inicial fechaJnldaI y fechaJi"a! son les dos fecha. entre las que se desea saber elnúmero de días,

U••• ,h.de de la fór•.••..•••

~vudb :;obre esta fundóo r-';;;;~'lI cancelar 1

Irlll.'ba_inicial: Se ingresa la fecha más antigua.

F(\l:ha_final: Se ingresa la fecha más reciente.

4 «()/1\I'I/11,11.I,lj.ud() (. CI~udl~( . (dlMI (

CASOS

1-1 Elabore el diagrama económico para el siguiente caso: Sl' I"l, ••lílll

$45.000.000 a 24 meses, a los 5 meses abonan $3.000.000, él los I~ 1l11'L"

abonan $10.000.000, en el mes 24 se cancela con $54.044.000.

1-2 Realice la línea de tiempo para el siguiente proyecto: se invierten$100.000.000, a los 12 meses recibe $40.000.000, a los 15 meses inviertenuevamente $15.000.000, a los 19 meses recibe $55.000.000, y a los 21(meses recibe $70.000.000

1-3 Determine a cuál de las variables financieras se está haciendo referencia:

a. Una entidad firma un préstamo por $80.000.000;

b. Se ha pactado que se deberá pagar mensualmente el 2%;

c. El vencim iento del crédito es de 5 años;

d. Periódicamente se pagan los intereses por $5.000.000;

e. Al finalizarse el plazo del préstamo se pagan $105.000.000.

Respuesta: Valor presente; tasa de interés; plazo - tiempo-; intereses; y valorfuturo.

1-4 Cuando se firma un documento se pacta periódicamente entregar una sumafija de dinero como intereses, y al finalizar pagar los intereses más el capi-tal prestado se trata de un negocio realizado con interés _

Respuesta: Simple

1-5 La diferencia fundamental entre el interés simple y el interés compuesto esque: _

Respuesta: En el interés simple, el capital no varía, por lo que los interesescalculados periódicamente son constantes; en el interés compues-to, los intereses periódicos se suman al capital, es decir se capita-lizan, por lo cual éstos variarán periódicamente.

l. IOnlllhllld"cI

1111'111111itl\'I'I'Ih'lIIlk 'h1000000 dlllHll1l' I ano, al cabo del cual seleltl ~I,11110111111, Idl'lIl1ftq\1l' IlIs vnriuhlcs linancicras en éste caso, y

111" 1\111;WIIII Jl"~dlll'

VIIIIII pll,.,I'1I1l' ($7.000.000); valor futuro ($9.000.000); tiempo(1 11110); rurcrcses ($2.000,000); tasa de interés (22,222222%1111uil)

plle minI 11111WIII,IIJ1llr1,\(1

2. EL INTERÉS SIMPLE

l'IIIIIl'r6s simple es aquella forma de las operaciones financieras donde losIIII"II'~~'S no hacen parte del capital, para calcular sobre éstos los intereses. EsIn 11.110 habrá capitalización de los intereses.

1'11 ulgunas operaciones, se aplica interés simple, cuando así se acuerda11111' quienes realizan un negocio. Es el caso de algunos préstamos realizadosu el mercado extrabancario; la liquidación, en algunas entidades financieras,

d,' los intereses por sobregiro; los intereses por mora; la liquidación de intere-'11 financiación realizada por proveedores o que se realizan a clientes.

En estas transacciones se tienen los elementos financieros ya mencionados:

Valor presente = VP

Valor futuro = VF

Intereses = 1Tasa de interés = i

Número de períodos = t

Partiendo que el valor futuro es la sumatoria entre la inversión y los inte-reses generados en ella:

VF= VP +1

Despejando 1:

I=VF- VP

Despejando VP:VP = VF-I

La tasa de interés es una relación entre la inversión y los intereses, por lo que:

En estas circunstancias se está considerando que el tiempo es 1, es decir,un período el transcurrido entre la inversión o préstamo y la obtención de éstemás los intereses.

Iludl

Al aplicarse esta formula pura halla!' la tasu de IlIll'll~S ,~l:VI' 11 IIhh'm'l 11resultado en decimales.

Ejemplo 2-1Con una inversión de $1.000.000 se obtuvieron, al finalizar lu IrllIlSlIl'l'llIlI

$100.000, la tasa de interés es:

VP = $1.000.000

I= $100.000

1i = VP

100.0001.000.000

= 0,1

El resultado significa que por cada peso invertido se está obteniendo 0,1 deintereses. Si se desea expresar en forma porcentual, se deberá multiplicar elresultado por 100%, así:

0,1 (100%) = 10%

Se entiende que por cada $100 se obtienen $10, que es la misma relaciónefectuada entre $1 y $0,1. O decir que el capital, en este caso, renta al 10%.

Ahora, cuando la transacción tiene más de un período, la variable tiempose debe incluir en las formulaciones anteriores.

Partiendo que los Intereses son el valor futuro menos el valor presente:

1= VF- VP

y que los intereses depende de la inversión y de la tasa de interés que sepacte, la cual está referenciada en el tiempo:

1= VP (i) (t)

Si se igualan estas dos fórmulas:

1=1VF - VP = VP (i) (t) (1)

Se despejarán de ésta las diferentes variables, para considerar los factorestiempo y tasa de interés en las transacciones:

VF = VP + VP (i) (t)

In fIllllnhllillnd

, F , l' (/ 1 1/

",t('1 ior 1;'11'11111111:

VI'¡.'

I 1 it

•• J ~lIlfl

1 VP (t) (i)

1'1.11"11.111 I ek' (1):VI' VP(i)(t)

VF- VPVP (i)

=t

1'1'1'111110 j de (1):V l' V P (i)(t)

VF- VPVP (t)

=i

IOBREGIROS

I I 111I11H.:jO de una cuenta corriente consiste en que las personas naturalesI 1II11dll'ns depositan dinero que será retirado por medio de cheques que se11!1I111 nombre propio o de terceros, para el pago de obligaciones, pudiendo

liI'l\111 11 girar sumas superiores a las que tienen en su saldo, lo que se deno-111 illll sobregiro. Las entidades financieras cobran una tasa de interés a los,',III\'u'iI'OSdependiendo de diversos factores.

1'1 registro contable cuando se incurre en el sobregiro será el débito a la, 111'11111 de Bancos y se acreditará Obligaciones Financieras - sobregiros -.

( 'uundo se va a cancelar el sobregiro se liquidan los intereses, de acuerdo11 111', condiciones de la Entidad Financiera; el dinero del sobregiro más sus11I11'1\'SeS deberá ser consignado en la cuenta bancaria, lo que implica debitarIIIIIICO$y acreditar Caja. Posteriormente se debita el gasto financiero - Inte-

o (oll\l<lnl,11,1,IJMdn(, (1411111141( ,(nhnl "n"y' n

reses -, se debita la Obligación Financiera - sobrcgiro - y se ucrcditn Bllllendisminuyendo el valor de la cuenta corriente correspondiente, 1~~lllIllIwlIll' [1111

tratarse de una transacción financiera, puede afectarse con el i1I1P"~'HI¡1dl'l,l x1000, caso en el cual se debita el Gasto no operacional y se acredrtu 111~'IIl'1I11Ide Bancos.

Ejemplo 2-2Si hoy se cancelaron $5.100.000 por un sobregiro de $5.000.000 al 2% mcn

sual de interés simple, ¿cuánto tiempo se estuvo en sobregiro?

Solución

VP = 5.000.000i = 0,02 mensual de interés simpleVF = 5.100.000

t = VF- VPVP (i)

t=5.10,000 - 5.000.000

5.000.000 (0,02)=1

Como la tasa está dada en forma mensual, el tiempo se obtendrá en el mis-mo período de tiempo.

Respuesta: Se estuvo 1 mes en sobregiro,

CUENTAS POR COBRAR / CUENTAS POR PAGAR

Una aplicación del interés simple es la relacionada con la firma y liquida-ción de letras, generalmente dentro del mercado extrabancario,

Una empresa que adquiere una obligación producto de un préstamo, debi-tará la Caja o Bancos, según la forma en que reciba el dinero y acreditará laobligación, que puede considerarse una cuenta por pagar. Así los interesessean pagados al finalizar la transacción, es decir, cuando deba cancelar laobligación, mensualmente se deben causar los intereses, generando el gasto

plllllclA\nInlonl4lhllldnd 1

IUII IlIh'h"H'~ e \ 11\'Il'dlllllllto I¡l'l ('o~los y Gastos por pagar."'jllI 1111111'111I'I1 iI alHIIIIII " la dl'llda se deberá debitar la Cuenta

III~ ( ',,'¡III', , (111...111'-1P"I' pllgll\' por el va lor de los intereses - y se111(11111111'"l1nl~. tll' Ill'"cl'do ti In forma en que se efectúe el pago.

1"11-11'1"1' '1"11'" Il'\'ibit'l el préstamo sea una persona jurídica o naturalhlill"l 11111dI' 1'1¡'l'llIlIl' retención en la fuente, aplicará la tarifa del 7%

IlIh.'H."W"<1"1' cnuxu pcriód icamcnte.

Ihlllltllllhlll dI' Iw; intereses por medio de interés simple, tendrá siempre11111hl\~l', 1'" decir el capital prestado inicialmente. A no ser que se haya11111IIlp,\llI IIhnllll, caso que se tratará posteriormente.

I i 11',11I:'i que su prestó dinero, se deberá debitar la Cuenta por Cobrar1111111111('lIjll, si se entregó dinero en efectivo, o Bancos si se giró un

1"1) 11qllil'\l se le presta el dinero

1I~\Il1ll1ll'lItese deberán causar los intereses creándose el derecho Ingre-1'"1 (11111'111' Intereses - y acreditándose los Ingresos no operacionalesI 11I11'II~S(!S-. Cuando se vaya a cancelar o abonen a la deuda se deberá

1111111111('lija O Bancos y se acreditarán los Ingresos por cobrar, por valor deIIh'u"ws, y se cancela la Cuenta por Cobrar.

-3

11111111una letra por valor de $800.000 con vencimiento en 20 meses,111111IIISIIde interés simple del 1,58% mensual, ¿cuánto se deberá pagar al111luilvnto de ésta?

"($11

VI' $800.0000,0158 mensual de interés simple

11 20 mesesVF = VP (1 + it)

VI,' $800.000 (1 + (0,0158) (20))VI,' $1.052,800

I',vl'uesta: Al cabo de los 20 meses, se deberán cancelar $1.052.800.

(011\1.1111.,1.'.,¡nrllo (. (1411dld(

Ejemplo 2-4

¿Cuál es el valor de los intereses que en forma mcnsua 1se (ll'lw 1'1111'.11/1)una letra firmada por $3.000.000 a una tasa del 2% de interés simpl« 1111'11';11con vencimiento en 4 meses?

Solución

VP = $3.000.000i = 0,02 mensual de interés simplet = 1

1 = VP (i) (t)

1 = 3.000.000 (0,02) (1)1 = $60.000

Respuesta: Mensualmente se deberán causar por intereses la suma de $60.000,debitando el gasto y acreditando los Costos y Gastos por pagar.

Ejemplo 2-5

¿Por qué valor se firmó una factura cambiaría a 180 días, si se pactó uninterés simple del 1% mensual, y se canceló al vencimiento $1.458.000?

Solución

VF = $l.458.000i = 0,01 mensual de interés simplen = 6 meses

Vp=JL1+ it

VP = 1.458.0001 + (0,01) (6) = $ 1.375.471,70

Respuesta: La factura fue firmada por $1.375.4 71, 70

1"10"1,,11111111111

11 IIlh ill"'II'~I~ti III'H/ldos 1'" III1H1rnusacción donde se presta-11,I'l.u 1111111".11'/11dI' IIIIl'Il'S simpk; durante 1 año?

1111 11110

11111ell) illll~,és simple

I VP (i) (t)

$1.920.000

...,.",'1 \'111111di' los intereses pagados es de $1.920.000.

11111"1111"(lit los intereses pagados en una transacción donde se presta-IIlio (100,11124% de interés simple anual y al cabo de 1 año se reciben11110'/

H Ot)t),OOO') 1) JO,O()O

1= VF- VP

iJ I/-JO,OOO - 8.000.000~IIPO.OOO

'_MIIU",,'III: I~I valor de los intereses pagados es de $1.920.000.

t dl·he tomar una fecha inicial y una fecha final que correspondan entre11"" l' 1111 año, es decir, puede ser el 0110112008 como fecha de emisión y111'I I()OS como fecha de liquidación:

34 (011\1.1111.11.IdlMdo(. (lnudl

,(I'.~V .' X.I f.l-lN',II,lUM,vllll •• J.", .••.,A

B f'"1fcl01/01/2008 r "' •._ ...•.•••...• ""31/12/2008

0,24¡::::::~ºº~~:~~]B2;B3;B4)

e D1 Emisión

2 ,Liquidación

3 :Tasa

4 'Par

5 Intereses

6789

{0\'\kIó0I l' r:.J )4.",

1Jc¡..w..o6n n ;1-:). ,..,.T••• 51 ~1. 0.'1

[~),-·-u·10000000..••d"*""<Po'~o. •••.••.• ~.O"I)I(ItI'l""_tJ\:,.;:! hr ud~.oklW'lÓtd""~"""wtl,

Ila.n.r~dc.!ót.w."1m»:)

i--~

,1 Respuesta: El valor de los intereses pagados es de $1.920.000.

III~,~:, '¡,

Ejemplo 2·8Se recibió un préstamo por $33.000.000 a 1 año, si se cancelaron $37.950.000,

¿cuál fue la tasa de interés simple anual que cobraron?, '11 ',,1

Solución

VP = $33.000.000n = t añoVF = $37.950.000

i =

VF- VPVP (t)

327.950.000 - 33.000.000 = O 1533.000.000 (1) ,

i=

i = 0,15 (LOO) = 15% anual de interés simple

Respuesta: La tasa de interés cobrada fue del 15% anual de interés simple.

II\,IIIIPO ",. 1~IIIII'1I $700(1 (1(10 P¡II 1111pnSsl.II110 realizado de1I11I11il'1I1¡kl 1,I.IIIu di' 11I1l'1l:S_~iJllplu IIIUJlSLlUI?

11I111 OliO11110 OliO

11) 111&.:11'011111¡k illlurós simple

VF- VPVP (i)

(lliO ()()O 5. ()()().000()()IJ. ()()() to. ()J 12) = 35,71428571

..,.tfIIlill ,\ \71112857 J meses se obtienen $7.000.000.

1l'IItplo anterior se obtuvo un resultado de meses con decimales, de loP"I-cll' requerir conocer en días a cuánto tiempo equivale dicha suma.

111\1111"II[lOS, o en el período que se pida la información, más cuando se1111111una contabilización o un corte de una deuda, no se puede decir

" 1":/1112 meses, pues, ¿son 35 meses y cuántos días?

1It111!/Ullvureste interrogante se debe hacer conversión de tiempo, en lo que1t1~1I1'"importante distinguir entre tiempo exacto y tiempo comercial, parauuiruu ¡wjo cuál de estos dos métodos se van a realizar las liquidaciones.

Iliit!iIlIIIlOlltc, en forma general diremos que se puede aplicar la siguiente11111JlIIIIIhacer conversión de tiempo:

Ira convertir En Realizar la operación de Por/entreAños Meses Multiplicar 12

Meses Días Multiplicar 30Años Días Multiplicar 360

Meses Años Dividir 12Días Meses Dividir 30Días Años Dividir 360

Tabla 2·1: Conversión de tiempoFuente: Donneys. Cabal y Echeverry (2006)

(OIl\ldllld l. I 'lardo

Ejemplo 2-10

¿A cuántos meses y días equ iva lcn 35,71112l{5'71 IIll'Sl'S'

Solución

Se toman los meses completos y los decimales se convicrten n dlll~,

35,71428571 - 35 = 0,71428571

0,71428571 (30) = 21,42857143 días

Se aproxima al día siguiente el resultado en días.

I11'

Respuesta: 35,71428571 meses son equivalentes a 35 meses y 22 días,

La respuesta en días se debe aproximar al número siguiente, pues irnplicuque en este día se cumple el plazo.

El cálculo del número de días no sería necesario si los intereses se pagaruno se cobraran por períodos cumplidos, es decir, si el período de liquidación deintereses es mensual y no se permite la liquidación diaria, no se calcularíanlos días, sino que se aproximaría al siguiente entero, correspondiendo a 16meses.

I

"11:

1""""'",,''"".m

Ejemplo 2-11

Expresar en días, meses y años, 3595 días.

Solución

3595 =9,986IJIJIJ360

Equivalen a 9,986111111 años. Como se tienen 9 años completos, se proce-de a calcular a cuántos meses equivalen los decimales:

0,986111111 (12) = 11,83333333 meses

Se calcula a cuántos días corresponden los decimales o fracción de mes:

0,83333333 (30) =25 días

Respuesta: 3595 son 9 años, 11 meses y 25 días.

"un!'", 1111"11''' \' dlu'l. '111:,.1/11')', IllllSl!S,

1,878')1) 1.1~

(1.') IO.SII7H95 meses

1(,.'1 \()l{5 días

H,~,I/I¡t)S IIIl!SCSson 4 años, 10 meses y 17 días.

In_ ~lIlIlIn()II<':Shasta ahora tratadas, se han manejado tasas que están1"1111 111'1 perfodos requeridos, pero ese no es siempre el caso. Cuando,,~~ 'IllIlplc, se da una tasa en un período diferente a t, se debe hallar

valente, a la conocida. Para ello se multiplica o se divide la tasaIk ncucrdo a lo que se requiera.

11' de un período mayor a uno menor, por ejemplo de semestre a

i¡i2 = T"

2

lí 11 pll~1I1'de un período menor a uno mayor, por ejemplo de trimestre a1i!I,III'

i2 = i/2

lo 2-131111 ti rrnado una letra por $80.000.000, a 9 meses, a una tasa de interés

11111'1.- unual del 24%, ¿cuánto es el valor que se debe cancelar?

"($11

VI' $80.000.00011 <) meses

0,24 de interés simple

(ol1\ldn/d l. 1dJMdo ( CI.udl

El tiempo está dado en I11I.)Sl:S y In InSlIl'sl¡'¡ dnd" 1'11íouuu nunnl, 1'"1'11hla conversión a mensual, ésta se divide entre los 12 IIll~Nl'S'1111'tll'II1' IIl1l1n,

'"" tI'

. i, 0,241 =-=--=002

2 t} 12 '

La tasa mensual equivalente al 24% anual es el 2%.

Ahora sí, se procede a reemplazar:

VF = VP (1 + it)

VF = 80.000.000 (1 +(0,02) (9» = $94.400.000I

11.

11

11.11·

11::

11:::1,"""""

Respuesta: Se deben cancelar $94.400.000.

CLlENTES/ PROVEEDORES

1""

""l',,,¡m:"lO,

Cuando se compra o se vende mercancía a crédito, en las condiciones delas negociaciones se puede presentar el caso que el proveedor o vendedor 1111cobre ninguna tasa de financiación en la transacción o que si la cobre.

Si no interviene la tasa de interés, no habrá que hacerse cálculos de intercses, pero en el caso que sí se presente, deberán causarse periódicamente losintereses y al final cancelarios, si ésta fue la condición.

Para operaciones en las cuales se pacta el cobro de intereses por medio deinterés simple, se considerará el capital o valor de la factura y se liquidaránlos intereses.

Al momento de realizarse la transacción de compra se deberá debitar lacompra de la mercancía, dependiendo del sistema de inventarios que se lleve;se debitará el Impuesto a las Ventas por pagar, si' el producto es gravado; yse acreditará Proveedores y Retención en la Fuente, si existe la obligación deretener.

Mes a mes se deberán causar los intereses de financiación, afectando losGastos y creándose la obligación por medio de los Costos y Gastos por pagar.Si se debe efectuar retención en la fuente sobre intereses, se deberá debitar lacuenta.

l. tonl.blllddcl

dl'IIIIIIII', !'lIlVl'I'dl HI'S y ( 'ostos y Gastos

di.! IIllH \'1111111,-¡I' dl'hllild, ('Iiellll.)s y el Anticipo de Impuesto, si1\'ll'II\'h'IIIl!1l1111lIl'nlll; se ncrcditará la venta de la mercancía, de-I IIhh'lIlll dI' urvcutnrio« que SI.) lleve; y el Impuesto a las Ventas11"lIdlll'hll'S gl'llvndo.

"'ll~'11' dl'l1l'n'1I1cansar los intereses de financiación, afectando los1'11I( '11111111Y dchitúndosc los Ingresos no operacionales. Si la tran-

n',,11I1I cun 1111elite rctcncdor y no se es autorretenedor, se debe1IIIIIpO de Impuestos.

IIIHl'llll'iúlI de la factura se debitará la Caja o Bancos, dependiendo de11\jlll' ~l' reciba el pago, se acreditará Clientes e Ingresos por cobrar.

'1"1' 111""trimestral de interés simple, se financió a un cliente con una, 11111'111'1".000.000, firmada hace 5 meses, y por la cual debe cancelar111111100'

1·1'I.OOO.aaoI 1III'Sl:S

I«c.ooo.oooVF- VP

VP (t)

I (¡{). 000. 000 - 144.000.000 = 0,02222222144.000.000 (5)

i=

O,(U222222 (l00) = 2,222222% mensual de interés simple.

1'1'111,SI,; requiere de la tasa trimestral, por lo cual se debe multiplicar por 311"11~IlCel resu ltado:

...2% (3) = 6,666667% trimestral de interés simple.

1',\'1(1: El cliente fue financiado a una tasa del 6,666667% trimestral deinterés simple.

~<z°........<t:U .......•

<t:iTl~~00<t:~0° ~(j) U ..••~~~kJO ~2: •....•5 m

TIEMPO/INTER~S SIMPLE EXACTO vs. TIEMPO/INCOMERCIAL: UNA DECISiÓN FINANCIERA

Como se puede observar hasta el momento, sólo s~ 11IIhl'l'ho rvli-u-nmeses de 30 días y a años de 360 días, lo cual se conoce C0ll10 tlelllpo enm •••cial. Es decir, febrero se toma como un mes dc 30 días, al igllal (fUI' 1'1\Esta es una forma de calcular el tiempo y los intereses, pero no es 1111II11l'II

Cuando en una negociación se cuentan los días calendario para liquidnrlintereses, se hace referencia al tiempo exacto.

Para calcular los días por medio de tiempo comercial se puede IOIHIIIfecha más reciente que se conoce y restarla a la fecha más antigua, de 111guiente manera.

Ejemplo 2-15

¿Cuántos días hay entre el 27 de marzo de 1999 y el3l de octubre de 200M,calculados en tiempo comercial?

Solución 1

2008 10 301999 03 27

Se inician restando los días, luego los meses y finalmente los años:

2008 10 301999 03 27

09 07 03

Hay 9 años, 7 meses y 3 días, que en días son:

9 (360) = 3.240 días7 (30) = 210 días3240 + 210 + 3 = 3.453

Respuesta: Entre el27 de marzo de 1999 y el31 de octubre de 2008 hay 3.453días.

11I1I~'I'll,11l tll' IIl'1l1hll', I1II1HIIIII'11111de rcu1izar el111'1111111',l'"l'O¡ ·HIIIIIII",I.l~,dl.:.I0 dlus, así tengan 31.

11'1:llIlislIlO cálculo, utilizando la función de "Fe-

11I""'Ioo'1_'UI".:;..!:.:':=~.

Fo E'V U

Ift(h. __ •••, ti

'~cMJIMI a.l\tf... ~.t,¡

. "'..""_I••Wtf1\.ro:b~~~",,"Óo:~""~~.»~l. ¡I~'~_AIw.I """""_n«l,fooc:...t_" •.• r.._lin;t..o:roI:".'- •••• ..,~ • .......,,~ I .

•.•·_061:601 ;

,

III~Wdo"I,o"'..u..)oI", ¡.NM.M'..U:S~ ~_~._ L.~J I~!;

""""1 1'lIln' el27 de marzo de 1999 y el31 de octubre de 2008 hay 3.453tlllls.

I"llllll~ <lfus hay entre el27 de marzo de 2008 y el3l de octubre de 1999,1II,,,hll'lI tiempo comercial?

AtI"" Mil I

2008 03 271999 10 30

111"lk caso, se podrá notar que son menores el número de días que se1Il1l11111\10minuendo, por lo que se debe tomar de los meses, uno y sumario

III~!Ilus. pero al hacer esto, el número de meses del minuendo es inferior al11i1l~II'IICl1do,por lo que se debe tomar 1 de los años y sumarLo en meses a"i~.11~I:

P I Hl días (es decir 1 mes)= 57 díasi meses - 1 mes = 2 meses

4 (OI1\I,ul1"I.1 dJnrdo c. ((Al/di

Quedan 2 meses, entonces:2 + 12 meses (es decir, 1 año) = 14 meses

2008 - 1 año = 2007

2007 14 571999 10 30

08 04 27

8 (360) = 2.880 días4 (30) = 120 días

2.880 + 120 + 27 = 3.027 días¡I

(:11.

11"1,I~,:1:::

Respuesta: Entre el27 de marzo de 2008 y el3 1 de octubre de 1999 hay J.Odías.

Solución 2

1

,·•• ;11"". En Excel:Itllll'

lu,,"j'''''.II!:~ L_..~,,;,l"" '.\'. x.v:.!tL:~.~::'2(u.l;u'!. '_0 '"_ =.==_~

A B1 Fecha_inicial 31/10/1999

2 Fecha_final 27/03/20083 Número días 60(B1;82)45

6

7

8

oAry .•Hnulto~ d.~lu"dQn

!0l.Aii~I __ 000.. ~I r;::~".:':"~ :::!....,., ~ ...,«, •."""

- JJ2:r1~~h,'mtrOIk64t.tltIt~do:l't.ftt:l.'I":bA~~~.).1~_I1'4$(OOt~~dt-.»>.i.-:j

1 "edla~Jnic;W ~~r1«N.fo'r.iIJOOtI1dMt'«h.ucm:re,"I)Je!.edt--bWtbcrd! rúneroót~

I11(~!¡~Oebl\YlI'IJd'" 'XftJ

I~~"'l~"""~ C-Iíc;;;;.,¡;·-J!,..•......_•.•••...._...._~_ ....__..__.H_ ••••••••••••••••••• H. __ •••• H•••• ' •••••••• _ ••••••••• _ •• _~. ._. •••••• _ ••••••• •••• _ •

, Respuesta: Entre e12 7 de marzo de 2008 y el3 1 de octubre de 1999 hay 3.027días.

Al tratarse de tiempo exacto, los cálculos varían, porque se consideran elnúmero de días que tiene el año, por lo cual no se puede generalizar y referirsea meses de 30 días. Es más hay años de 365 días y años de 366 días. En estecaso, es útil tener el número de día - dentro de los 365 o los 366 - que es cadadía del año, para facilitar, véanse tablas 3-1 y 3-2.

F

MItIIMttcat IIII"cl'''' .pll

• ':3'_'3 '_ "'44 274 305 335-----

122 153 183 214 245 275 306 336,--------1~3 Ib4 184 215 246 276 307 337,---------" -.. -.124 155 185 216 247 277 30a 338._-----------126 156 186 217 248 278 309 339

6 127 157 187 218 249 279 310 340~"-------------" ---no 97 128 158 188 219 250 280 311 341._---------------98 129 159 189 220 251 281 312 342-----------------

40 68 99 130 160 190 221 252 282 313 343,-----------------41 69 100 131 161 191 222 253 283 ~14 344------------------4? '/0 101 132 162 192 223 254 284 315 345----------------0--43 71 102 133 163 193 224 255285 316 34644 72 103 134 164 194 225 256 286 317 347

45 73 104 135 165 195 ....226, 257 287 3t8 348------------------46 74 105 136 166 196 227 258 288 319 349,--------------------47 75 106 137 167 197226 259 289320 350._-------------------48 76 107 138 168 198 229 260 290 321 351~~~~·".169 ., 199 \230' ~~. 322 ·352 .

50 78 109 140 170 200 231 262 292 323 353

51 79 111O"141~ 171 201· 2,~~,263° 293 ...324 35452 80 111 142 172 202 233 264 294 325 355

53 81 112,.,0143 173 2032340 265 295326 35654 82 113 144 174 204 235 266 296 327 357

55 83 114 t , 145 175· 205" 236 267 297'328 35856 84 115 146 176 206 237 268 298 329 359

~~.....!.!.L~ 1'47 ~ 207"238269 ~ '330 360

58 86 117 148 178 208 239 270 300 331 3615987mo

149 .~ 209,0.;;240 271301 332' 362------_.,._. --_. -_." _. -----_._' -' -88 119 150 180 210 241 272 302 333 363

__ ~~~~~ ;;~42 273 303. ª34 36490 152 212 243 304 365

Tabla 2-2: Calendario para cálculo de tiempo exacto, año de 365 díasFuente: Gareia, Pineda Oscar. (1996)p. 35

44 (on\!.lIll,11.IdjMdo C. CldUdld

214

215 246 276

216 247 2217 248 278

218 249 279

219 250 280.0

220 251 281

'2~1 252 282222 253 283

284

285:1::: FJ2t 12' ~ 43 72. '103"'k 133 164_~~,[2$,,2~B' 28.61,,11

::::1

,,:1:

".,'''':::!

,

Tabla 2-3 : Calendario para cálculo de tiempo exacto, año de 366 días

l. ICIllhlbllldml

1~1I1111"CII"iIi"l Iih~I'I\'I'llInll 111"d iIl'l'l'l1~ius entre el cá lcu lo deh' 111'1111'"('111111'1\'1111Y pOI 1I1\'d10de tiempo exacto,

de marzo de 1999 y el 31 de octubre de 2008,

, )H

h.\ i:II~Il, NI.'tienen los años trascurridos entre el27 de marzo de 1999 y1&1111111/0di.' 2008, faltarían los días entre e127 de marzo de 2008 y e131IlIhll' d(\ 20()8. Para realizar este cálculo, en la tabla se ubica la última

1'''4 dl\dl', el 31 de octubre - y la primera fecha - es decir, 27 de marzo"",11111,

1ik mtühro = 304.k '""1'1.() ~ 86

'" Hit 218 d ias

u ulvulnr que hay 3 años bisiestos entre las fechas en cuestión, por lo que.11-111'11-umar 3 días al cálculo:

L~H'J I 218 + 3 = 3.506 días

.1I'''''''.~t(/:1~ntre el27 de marzo de 1999 y el 31 de octubre de 2008 hay 3.506días,

/'uj" 2

1'11111calcular el tiempo exacto por medio de Excel, se requiere restar a la111" ílnal la fecha inicial:

46 (ol1\ttln",1 . I,'Inrdo ( In Illntllbllldnd

VI~U$ ce libro

I DIASJóO • " X ,/ IxT"61-U "'H.J.1", I ,Ir ~tA B

lFecha final 31/10/20082 .Fecha inicial f-27-;o3i199~i¡3 .:Número días [+B1-B2 '1

11 v' /_ j .'01 02 .•••••

f\ 8

I I ech. tlnal 27/03/2~08) I echa inicial 31/10/1~993 Número días =+81-82

Respuesta: Entre el27 de marzo de 1999 y el31 de octubre de 2008 hay Ldías. la respuesta está en formato de día, mes, año:

11':

1,'~, ! J.I ~VlI"CU>'l'llfnItOdtD40Ln.1 i<4:1

~O<..." OlltJiO ,iJjll,II.I()(r¡etlllt:,IUII :1 ,11'O(t)It(;

Ihnl1¡lf\. i;)JIl'IICW'UI:I0f414 ¡¡JIU",,,,

V't\udtlbf(i

OJ ---o .b··~--:" ••t-:":.:-.el-:.~-~,~... ~

.,'11:'::Pililo

1::,/1Ejemplo 2-18

:::~ B27/03/200~31/10/199~27/05/190~

A1 Fecha final

2 Fecha inicial

3 Número días

¿Cuántos días hay entre el27 de marzo de 2008 y el31 de octubre de 1999,calculados en tiempo exacto?;,,:~,

~'~.",..,.,

'::!Solución 1

Se restan los años:2008 - 1999 = 9 años9 (365) = 3.285 días

Son los días entre el31 de octubre de 1999 y el31 de octubre de 2008, esdecir los días entre el 27 de marzo y el31 de octubre de 2008, se deben restarde este valor, por no estar entre el rango de fechas solicitadas. Se busca en elCalendario para cálculo de tiempo exacto:

27 de marzo = 8631 de octubre = 304

,,\ dl'll'\'lllinar en días a cuánto equivale esta respuesta, se cambia el for-, .1•. ,"/111 celda a números dando clic derecho sobre el mouse:

A e""',"Z

1 Fecha inicial

2 Fecha final

3

4

5

6

7

8

9

10

.:.. ,opll.

~ !'f"'""0004ACw<'o.I-·

¡n~~rI"~llo.mrQtI •. ,

lo.r.,conltnlGO86 - 304 = -218

3.285 + (-218) = 3.067

'11I1.'OtdtllU

..J '''1(<\1'(4''''"''''<)_j¡' fOtR\ftOdtC(l~l-i fJt9".eI_ 1.11101.~r~pl'lIfblr_

I A"'~r\ll I\O<IIbr<· ""':"1190 ...,.~ ttDU' ••lflIUiO~.

No se debe olvidar tener en cuenta los días de años bisiestos, es decir, 3.11

3.067 + 3 = 3.070 días

Respuesta: Entre el 27 de marzo de 2008 y e131 de octubre de 1999 hay 3.070días.

, Q, ",¡,tu dr ,~,(ju

Sl' dn clic Hullll' lu tlJll'lÚIl (Il' Fmltllllo de celdas, hll'll'1I111111111tll' 111111I

Número l. ~aoon I Fuente I Bordes I R~no I Prote~r

Categoría:General

'-- -1' ! . . )

Para la presentadón de números en general. Para dar formato a valores monetarios utitice formatosde moneda y contabilidad.

t •__ ...._ ••• • I

L-- [nk~ I Cancelar '1

MonedaContablidadFechaHoraPorcentajeFracdónCientíficaTextoEspedalPersoneleede

1 l,

Muestra

3070,00

~osldones dedmeles: 2

[J ~sar seperedor de miles C.)['1úmeros neg¡¡tivos:

-1234 lO1:!.H,IOC1234,10)C1234,10)

De esta manera se tiene la respuesta en número de días:

l~J..~.ll·¡-rfl ~Vi$LI'1It."j"dtstllodI'D¡j9In¡, . P..ciOJ..41 i.b!J J~lVi!las p~·fton.",!.ad.l -q tinUl ee a.No.1flJt1n~~(::i~d g "Pa"I&II••~oll'lpleta $lq¡se ~'!!

lJi~I;'$de ¡Iblo

C;~J3:':;'7.7. ::::~.:..;~;;'-::=~'11:~~~.~;.i.~~.::::.::~.:...:.~... . A B

...._ _ .

1 Fecha final 27/03/20082 Fecha inicial 31/10/1999

3 Número días 3070,00

Respuesta: Entre el27 de marzo de 2008 y el31 de octubre de 1999 hay 3.070días.

1 ~I' 1111'1'111111cancelar intereses sería más conveniente pactarh!t! ml 11'11",('1 vulor ¡;s inferior al cálculo por tiempo exacto. Si

l' '111'1111111cobmr, será más conveniente pactar tiempo exacto.IIl1dllllllll'~ dl'lll'lIdell de los negocios.

1Il1l1;ll'Itlntlo 1,)11tiempo comercial se realiza sobre 360 días, la tasa1111111111'11M' debe calcular sobre 360, de la forma:

1

idlarlo = 360

I ¡IIII'f(\,~exacto, se toman 365 o 366 días, dependiendo del número de11111'1plll'll ¡;I cual se van a calcular los intereses.

iidiario = 365

iidiario = 366

·1911)'11mi el valor de los intereses que se debe cancelar por un préstamo

11/.ld.ll'I 10 dejunio de 2007 con vencimiento el 7 de agosto de 2008, por!ti 000 ()O(), a una tasa del 6% semestral de interés simple, año, si se pactó1111111(,1 cálculo por interés comercial?

.,.",M" I

l' $10,000.000

O,()(, semestral de interés simple

2008 08 072007 06 10

01 01 27

o

1 (360) = 360 días1 (30) = 30 días

360 + 30 +27 = 417 días

. 0,06¡diario = 180 = 0,00033333

i = 0,00033333 diario de interés simple

1= VP (t) (i)

1 = 10.000.000 (417) (0,00033333)1 = $1.390.000

~:~I"~~ Respuesta: El valor de los intereses pagados es de $1.390.000.,~.~l):~;

Solución 2

Se calcula el número de días por medio de Excel:~:.

..~~~~.- .._ _:_i,\_K_~~!l~~81;'ll d. oO, •• _._ ••• _._._ ••• m ••••• _._ •••••• _._ ••• _ ••••

A B (':IP'"•••.__ ~.~ .._ ..__ ..n ••• L ....;,..__ ._--'_.._._~ ... ,,__ .;.< ti.:1 Fecha_inicial 10/06/2007 ; """" ""'0'-'" :@ o >;,., I2 Fecha final 07/08/2008; •••••0 •••• ' ., ~. "'"

- ! Mt~ .;;;:¡".,_-t-r,I';;¡t<,,,3 Número días 60(81;82) ! '0 ,'"

ro.;.v .•.A4~"06<t~"1It> •. .:...!\t<! ••• ~oetI""."'!Ie!rM.w..f,óot._o$t;J:lc».t).

4 i5 !6 1....." •.• .•""·0 ,,'

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7

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_t;~~~.!;~JJ

idiario= 0,06 (2) = 0,12

._- •.................-.. -_ ..o:.wI4 •. ~....:f.i!1 :<$Nl~~U~.V{81;8~8.1.~ ---rv-ñ-,

A B ~~.~~.- _ _.=;:~ ..--',,---.'_.'- .&.-.. .z:..: ~1c..'uC\.w.. 1

1 Emisión 10/06/2007. ,-,- " i@ • ~,., 1¡ I..ioooid~!~ ~.l'i66' 1

2. liquidación 07/08/2.008 . hA" !i\1l • ..., !3 Tasa O 12 ' ". " Ilil • """"" i. ¡ ~ ?&J •• (:.~....cvJ I4 Par 10000000 ! • ,,,.,,, I

:DI·,'.ehd.,~~.on;.edo"..ltll"_~~_~,..q,oO!,>(/~ 1S Intereses 82'B3'84)' t~ •• 1,ofood>"••• ....-.it:l •._ ••••""!I.~.."._~~" .•f"t •• l6 ' , <St.:kN. j

·1I~ ••• r..~ .• t~ I~ ;:~:':"~____ '_0'0 J",,,;'."-,:.:E.-:~•.•,Jj

Respuesta: El valor de los intereses pagados es de $1.390.000.

l ,,"ltll dI' lo~ 1I111'II'Hl~il <1\11'Sl' dchc cancelar por un préstamo11111'110 dI' I"IIHI dl' J.()()', COII vencimiento el 7 de agosto de 2008, por

11I1100, 1\ \1I1i\ 111"11 <Id ()IXI semestral de interés simple, año, si se pactó11el ¡,úil'lIlo pnr interés exacto?

li ,\tilO ooo.ooo11.11(, wllIL'slrul de interés simple

10M )O()'! l año

I (\(,[1) 165 días

j,~1I1 I ~ 219hllllll lO ~ 16J

1" 161 58 días

\(." I 'i~ 423 días

11111111(,)el año 2008 es bisiesto, como pasa completo, no se incrementa unil u-sulrado obtenido.

I 0.12.",..36.5 = 0,0003287671

O,O()03287671 diario

1= VP (t) (i)

10.000.000 (424) (0,0003287671)

$1.399.972,60

snuesta: El valor de los intereses pagados es de $1.399.972,60.

52 tOIlSlJlllcll.1clJ.mI()(. (l,lIIcll,1(, (,111.11r Om.r A,uonn.vt.

Solución 2

h D'AS,," • (, x,,;¡.·, :+SJ.82

1':

A1 Fecha liquidación

2 .Fecha emisión

3 Número días

B

07(08(200810(06(2007

1=+B1-B2 1

424 días

Excel toma el día bisiesto y lo incrementa. El año 2008 se toma completo,es decir se resta el día bisiesto al cálculo.

'"'",...,'

i =~diario 365 = 0,0003287671

·'1~,

b

i = 0,0003287671 diario de interés simple

1 = VP (t) (i)

I= 10.000.000 (424) (0,0003287671)

I= $1.399.972,60

Respuesta: El valor de los intereses pagados es de $1.399.972,60.

Ejemplo 2·21¿Cuál es el valor que se recibirá si se realizó un préstamo el 5 de marzo

de 2008 con vencimiento el 27 de agosto de 2008, por $10.000.000, a unatasa del 14% anual de interés simple, si se pactó realizar el cálculo por interéscomercial?

Solución 1

AÑO MES DÍA2008 08 272007 03 05

O 05 22

lO," d/II" t 2211111 "/211111s

(),I-/1M)

0, ()()()3888C.

VF = VP (1 + it)

10.000.000 (1 1- (0,00038889) (172))~I().6(¡~.888,89

""u,,~/II: Se recibirán $10.668.888,89

IONES DE VALOR

I 11muchas ocasiones, en una negociación se dan pagos en diferentes fechas11 Itl~ cuales se busca abonar a una deuda, o se negocian documentos, se1lI'p,tll'inn las condiciones iniciales o se cancela anticipadamente al venci-

I[¡'IIIIIIIl1aobligación. La forma más sencilla para poder hacer estos cálculos111'111111'nuevos valores a pagar o los valores a plantear en la renegociaciónnulizando la igualdad entre ingresos y egresos, es decir, lo que se debe es

1111111lo que se paga en la fecha focal, incluyendo los intereses pactados.

I hoy se hace un préstamo por $700.000 y dentro de 1 año cancelaron1111O(lO, en valor presente con una tasa de interés O, los ingresos serán igual

, ItlI,('grcsos. Pero no sería correcto afirmar que son iguales $700.000 hoya[¡:11l'I $700.000 dentro de 1 año, porque el dinero está afectado por variablesI 11I1I'UI1icas que hacen que se cobre de más una tasa en la cual se cubre el

t h'~t'.oy la pérdida de poder adquisitivo de la moneda.

'1 IIlIa transacción se inicia en O con un flujo de $1.000 y se define comoII,,!t1l local 10, se deberá utilizar valor futuro para llevar los $1.000 hasta el["'llodo 10 con la tasa de interés. Pero si se define como fecha focal 0, el111110que haya en 10 se debe llevar con valor presente y la tasa de interés 101'1'1 Iodos atrás.

54 (()II\t,lfll,11 , I,I¡drdu (. ((/ludlll ( _(1I11d1

Si el flujo se encuentra ubicado en el período 15 y 111 1I'I'hl\ 1111'111(1S 2/1, sedebe llevar el dinero ubicado en 15 con fórmula de valor IlIlulO 1) pcrlodosa la tasa pactada. Pero si la fecha focal es 15, se lleva el flujo que haya en elpejfodo 24 con fórmula de valor presente 9 períodos a la tasa pactada.

Ejemplo 2-22

.".,

¿Cuál es el valor de 2 pagos iguales a una tasa del 1% mensual de interéssimple, el primero dentro de 3 meses y el siguiente dentro de 10 meses, conlos que se cancelarán 3 letras, la primera por $2.000.000, firmada a 1 año,con vencimiento en 6 meses a una tasa del 1,5% mensual de interés simple; lasegunda por $3.000.000, firmada a 2 años, con vencimiento en 1 año, a unatasa del 1,6% mensual de interés simple; y la última por $4.000.000, firmadahayal año, a una tasa del 1,4% mensual de interés simple?

,.-"·"t'

·,-11 Solución.:1

'" Los negocios iniciales se cumplen, es decir, se calcula el valor que se ten-dría que pagar por cada una de las letras al vencimiento:

Primera letra:

,.1.'

VF = VP (1 + (it) )

VF = 2.000.000 (1 + (0,015) (12) )VF = $2.360.000

Segunda letra:

VF = VP (1 + (it) )

VF = 3.000.000 (l + (0,016) (24))VF = $4.152.000

Tercera letra:

VF = VP (1 + (it) )

VF = 4.000.000 (1 + (0,014) (12))VF = $4.672.000

Se plantea la ecuación de valor para determinar el valor de los dos pagosque reemplazarán las 3 letras que se poseen:

l. IOfltllbllldlld

/'/t 1 ;t/

1'/II~il

VI'~r, 11

I

l' .v-·1·---l- ¡', / j. il2

IfIII ()(UJ 1 ., / V()OO 1 ·t,672.0001 ((J,fl/)((¡) 11 (0,0/)(/2) 11 (O,OJ)(J2)

x + xJ+(O, 01)(3) 1+(0,01)(10)

111101 ()!HI,~2 O,97087379x + 0,90909091x

'" " 17S.09

"'"uI',\'it': I~I valor de cada uno de los dos pagos es de $5.375.093,77

RES POR MORA

1"'II-leIlIOS, qué ocurriría si no se cumpliera con una obligación, es decir, sil' runcela cuando ésta vence. Lo normal en el ambiente de los negocios es

IW ~I'cobre una tasa superior a la que se había pactado en la obligación, pero11I111 de los límites señalados por la Ley. A esta tasa que se debe pagar cuan-

In ~I' hace la cancelación o abono en forma extemporánea, se le llama tasa de11 de mora. Para liquidar los intereses por mora se toma el saldo que se

"'lldll él la fecha en que vencía la obligación, o saldo insoluto, y se aplica la11dl' interés por mora hasta la fecha en que se efectúa el pago.

mplo 2-23,( 'un cuánto se cancela una obligación que fue contraída hace 2 años por

, I (lOO.OOO, a una tasa del 8% semestral de interés simple, firmada a 18 me-U", y con una tasa de mora del 9% semestral de interés simple?

ucián

VI' = $33.000.0000,08 semestral de interés simple

semestres

VF = VP (1 + (it))

V F = 33.000.000 (l + (0,08) (3))V F = $40.920.000

El valor a pagar en el vencimiento era de $I\O.-¡:lO000, I'OlIln 1111~I' l'IlInplinse debe pagar sobre este valor los intereses por moru, p\ll 111 !llIl' hllbrá quecancelar:

VF = VP (J + (it) )

VF = 40.920.000 (1 + (0,09) (1) )VF = $44.602.800

Respuesta: El valor a cancelar es de $44.602.800.

TRATAMIENTO A LOS PAGOS PARCIALES

Pese a que el registro contable de un abono a un crédito consiste en debitaro acreditar la obligación en contra o a favor, y debitar o acreditar la caja o elbanco, dependiendo de la forma en que se pague; cuando se trata de interéssimple se debe definir en qué forma se van a liquidar los abonos, pues al apli-car una u otra de las existentes, hay resultados diferentes.

La primera es la regla de saldos insolutos, que consiste en liquidar los inte-reses a la fecha en la cual se realiza el abono, sumarios al capital y disminuirleel valor que se abona. Si hay otro abono, se procede de igual forma, liquidandolos intereses de la última fecha en que se hizo la liquidación hasta la fecha delnuevo abono, sumarios al capital y restarle el abono. Se debe proceder así porcada abono que haga y hasta la fecha de liquidación de la obligación.

Ejemplo 2-24¿Con cuánto se cancela la siguiente deuda, según la regla de saldos inso-

lutos?: fue firmada por $40.000.000 a 2 años, a una tasa del 2% mensual deinterés simple; se abonaron: $10.000.000 a los 6 meses, $10.000.000 a los 12meses y $10.000.000 a los 18 meses

Solución

Primer abono:

r = 40.000.000 (0,02) (6)r = $4.800.00040.000.000 + 4.800.000 - 10.000.000 = $34.800.000

M pUl ~d~\ ~ I~InntllblUdcld

hOllo:

,., KO(l.()OO(0.02) «())

I ,"'.,l /C),()()O

H KOO,OOO,1, 1\.176.000 - 10.000.000 = 28.976.000

K,976.000 (0,02) (6)¡ $'1.1\ 77.120

IK<)'/6.000 + 3.477.120 -10.000.000 = 22.453.120

ieelacíó n:VF = VP (J + (it))

VII 22.453.120 (1+ (0,02) (6)$25.147.494,40

spuesta: Se cancela con $25.147.494,40

l.n segunda es la regla comercial que utiliza una ecuación de valor igua-¡,\lulolos pagos que se realizan al valor adeudado y dejando como incógnita elultimo pago que se debe realizar. Se toma como fecha focal el vencimiento.

,¡emplo 2-25¿,con cuánto se cancela la siguiente deuda, según la regla comercial?: fue

hrmada por $40.000.000 a 2 años, a una tasa del 2% mensual de interés sim-ple; se abonaron: $10.000.000 a los 6 meses, $10.000.000 a los 12 meses y~I0.000.000 a los 18 meses

Solución

10.000.000 (1 + (0,02) (24» = X + 10.000.000 (1 + (0,02) (6» + 10.000.000 (lI (0,02) (12» + 10.000.000 (1 + (0,02) (18»

59.200.000 = X + 37.200.000X = $22.000.000

Respuesta: Se debe cancelar $22.000.000

ANUALIDADES

Las anualidades son pagos iguales, en períodos iguales y u unu tasa de intcr\:s. ÁUI1(1uc éstas son poco comunes en interés simple, su análisis académico'S importante con el fin analizar las situaciones que se pueden presentar en

el mercado.

Se habla de tres tipos de anualidades, las vencidas, cuando los pagos serealizan al finalizar el período; las anticipadas, cuyos pagos se realizan ali11 iciar el período; y las anualidades con intereses posteriores, donde despuésdel último pago trascurre uno o varios períodos de tiempo.

Una anualidad vencida se grafica:

VF

01234567~----------------------

RRRRRRR R R R R R

Donde:R = pago o cuota igualVF = valor futuroi = tasa de interésn = número de pagos iguales

En estas condiciones, el valor futuro se entiende como la sumatoria de lospagos iguales en una fecha n, es decir, cuando se realiza el último pago.

Entonces, si:

VF = VP (l +it), se tendría que:

VF = VP (1 + i (1)), sucesivamente.

y si se considera que VP=R

plll /111/1\ /1 1/1 IIIIIllIhlllll.1I1

I{ (1 '1 I ( () » I I~ (1 1 j ( I ) ) 1 1{ (1 1 i ( 2 ) 1 R (1 + i ( 3 ) ).....•.•... :1 R(I 1 i(I\-I»

1,1\1111' ¡-Ollll'lII:

1{ ( I ,l, I ·1· i ·1· I + 2i + 1 + 3i + 1 + i ( n - 1))

11111\(1 hay 1\ unos, su sumatoria es n.

1{ (Il I i l· 2i + 3 i + i ( n - 1) )

Indlll' COI11Í1ni

R ( 11 + i ( 1 + 2 + 3+ ( n - 1 ))

111 suuratoria de 1 + 2 + 3 .+ (11 - 1), es una progresión aritmética""~(.' I Y razón de cambio 1 por lo que es igual a:

//(11 I 1)--n

I/(JJ I 1) - 2n2

1/) + n - 2n- 2

n2 - n2

n(n-l)2

VF = R [n + i n(n2-1) ] n es factor común

VF=Rn [1 + i (n;J) ]

]VF=Rn[2+i(n -1)

2

RnVF = 2 (2 + itn-L)

Ejemplo 2-26

Se real iza un contrato con un particular a una tasa del 211'11 11I~'IISlltdde intc

rés simple para realizar depósitos mensuales y que al cabo de 2 anos se tell~1Ilo suñcichtc para el pago de una cuota inicial del 30% de un vehículo cuyoprecio es de $42,000.000, ¿cuál debe ser el valor de las cuotas mensuales quepcrrn ita el objetivo?

Solución

i = 0,02 mensual de interés simplen = 24 pagosR=?VF = 42.000.000 (0,3) = $12.600.000

2VFR=n(2 +i (n-1))

R= 2(12.600,000)24(2 +0,02 (24-1))

R = $426.829,27

Respuesta: El valor de la cuota mensual es de $426.829,27.

Las anualidades anticipadas son de la forma:

VF

o 1 2 3 4 5 6 n-5 n-4 n-3 n-2 n-1 1 n~----------------------- I I I I I

RRRRRRR RRRRRR

VF = R (1 + i( 1 ) ) + R (1 + i(2 »+ R (1 + i (3 ) )................. .+ R(l+in)

R es factor común,

In rnnlnhlllrl~11

It ( I I 1 I I 1 ~ i 1 I 1 : Ii •••• " " " ", " ,,,+ 1, 1 in)

IIII! hu\' 11l"IP'e '''1 ,~lIllI/lt\ll1l1es 11.

I( ( 11 1 I 1 2i 1 1 i , :1 in)

IlIt \ 1/lIl111l j

I{ (11 1 i ( I I 2 I 3-1 ................ n)

", I ' /I(n I 1) ]N 11 1 I 2

[ . (n +1) ]VF = Rn 1 + 1 2

1111'101'común,

lo 2~27

I("ulll'!'; el ejercicio anterior teniendo en cuenta que los depósitos los realiza1 unticipado

11

0,02 mensual de interés simpleti pagos

IVI' t12.000.000 (0,3) = $12.600.000

R = 2VFn(2 + i (n +1))

N 2(12.600,000)

H

4(2 + 0,02 (25))

$420.000

,~"lIesta: El valor de la cuota mensual es de $420.000

EL DESCUENTO, UNA HERRAMIENTA FINANCICOMERCIALES

Una <felas estrategias de comercialización de las empresas es ofrecer decuentos o promociones para impulsar un producto, una línea o su marca. 1) ••terminar cuál es la tasa de descuento adecuada para no perder, es sencillo,necesario.

La característica del descuento es que la tasa de descuento se aplica sobre

el valor futuro, y a la diferencia entre el valor presente y el valor futuro se leconoce financieramente como descuento.

El descuento generalmente se aplica para operaciones donde hay pagos auticipados o donde hay operaciones inmediatas, a lo que contablemente se leconoce como descuento comercial.

Las variables que se manejan son:

VP = Valor presenteVF = Valor futurod = Tasa de descuentoD = Descuento

Partiendo de la primera característica mencionada:

D = VF- VP (1)

y

d=~VF

Cuando el tiempo trascurrido entre el inicio y la finalización de la tran-sacción es 1, se aplican las fórmulas planteadas anteriormente. Para un soloperíodo el descuento es igual al valor futuro (lo que habría que pagar) por latasa de descuento:

D = VF(d)

Cuando se tiene más de 1 período, el descuento es igual a la sumatoria delos descuentos por pronto pago de cada período:

D = VF (d) (t) (2)

lAIClnldbllldlld

l' V li (el) (1)VJI(d)(I)

VP = VF (1- dt)

11111'111-Ih'sp~jflr V F:

VPVF = 1 - dt

11I~lIlk descuento se halla:

V l' V F (d)(t)

VF- VPd = VF - (t)

t=VF- VPVF - (d)

I IIlnIlCCS,cuando se trata de un descuento por pronto pago o descuentoHelouado, se aplican las fórmulas que consideran a t, y cuando se trata de

Itl'IIII'IOI\eSdonde sólo hay un período, t es 1.

plo 2-28l' negocia con un proveedor 700 unidades del artículo gravado a la tarifa

I~llIhlYcI referencia 1048, cuyo costo unitario es de $3.598. Si se realiza el pagohlllllllado se obtiene un descuento del 7%. Calcule el valor total a pagar.

uclén

I!lO (3.598) = $2.518.600

V F -= $2.518.600d 0,07

VP = VF (1-d)

(Ol1\tdn/,I I ,'Fn)dldo (, (Iaudla ( , (nbal

VP = 2.518.600 (1 - 0,07)VP = $2.342.298

Al tratarse de un artículo gravado, se debe calcula el Impuesto SOhll' InVentas:

.' 2.342.298 (1,16) ;= $2.717.065,68

Respuesta: El valor total a pagar es de $2.717.065,68, donde $2.342.29X curresponde al costo de la mercancía y $374.767,78 es el lmpucstnsobre las ventas por pagar.

Ejemplo 2-29Se compra mercancía por $2.100.000 más Impuesto sobre las Ventas del

10%, firmándose una factura cambiaria a 180 días, con una tasa de descucnto del 1% mensual. Calcule el valor a pagar si se cancela de contado y si secancela a los 2 meses.

Solución

Para pago de contado:VP = $2.100,000d = 0,01 mensual

VP = VF (1 - dt)

VP = 2.100.000 (1 - (0,01) (6))VP = $1.974,000

Valor a pagarCostoIVA $1.974.000 (1,10) =

Total a pagar

$1.974.000$197.400

$2.171.400

Respuesta: Si se cancela el mismo día de la compra habría que pagar en total$2.171.400.

la cont"bllld"d

s 1.971\.000$210.000

$2.184.000

cnnccla cuando ya se ha facturado, se debe cancelar

VP = VF (1 - dt)

, IOO.()()O (1 - (0,01) (3))~l ()\7,000

~'). 100.000 (10%) = $210.000

$2.037.000$210.000

$2.247.000IVA ~I 1) 71\.000 (1,10) =

111111111 pUllar

••••• u",~(t,:Si se cancela a los dos meses de haberse firmado la factura habráque cancelar $2.247.000.

lo 2-3011 IIIIéI empresa le cuesta producir cada unidad del artículo J, $11.487, y

h 11111 !I"C los gastos operacionales y no operacionales son de $4.258 por uni-ul. ,,I'IIt'¡) es el máximo descuento para ventas de contado que puede ofrecerI 1,1 1"ocio se calcula como el 160% del total de costos, y se desea obteneruum mlnirno una utilidad del 40% por unidad?

(nn\I4III~ I I';/dldo C. CI~lIdl~

Solución

Costo unitario $11.487Gastos unitarios 4.258Total costo $15.745Precio (15.745 (1,60)) $25.192

Precio para garantizar utilidad mínima aceptada $15.745 (1,40) = $22.0~:1

VF = 25.192VP = 22.043

VP = VF (1-d)

22.043 = 25.192 (1 - d)22.043 = 25.192 - 25.192d25.192d = 25.192 - 22.043

d = 3.14925.192

d = 0,125

Respuesta: El máximo descuento que se puede otorgar es del 12,5%.

Ejemplo 2·31

Una empresa tiene registradas ventas netas por $42.451.000, considerándo-se que se ofreció un descuento del5% sobre las ventas de contado, y que éstasfueron el 40% del total de las ventas, ¿cuál es el valor de las ventas brutas delperíodo?

Solución

Ventas netas $42.451.000di =0d2 = 0,05

VP = VF¡ (1-d) + VF2 (1-d)

42.451.000 = 60%VF (1 - O) + 40%VF (1 - 0,05)42.451.000 = 60%VF + 38%VF

MIIIIII_ IMnel ••••• pll

'S de $11.3.3 17.346,94.

¡Ilit,"IIlltl'IIIIIWISl' ha considerado quc hay un solo descuento, pero¡'IIII\I~I'qlll' en una trunsacción se ofrezca más de un descuento,

IINICU en cadena, bien sea para el descuento comercial o paraIWIIIII \llIlIliciolllldo, caso en el que se toma el valor inicial y se aplica'lit' dí!'illll'lIto, y sobre el valor que se obtiene se aplica el siguienteIIt(. \ 11.,1 vuccsivamcntc, Puede haber descuentos donde el período sea111111 tk"l'lIl'1l10Sen los que el período sea más de l. Se podría plantear

,,', 111I1lH'lIll':

VI' VF (J dl) (1- d) (1- d). (1 - d)

111\11111 'll' recibirá en una transacción comercial donde se vendieron 200h'~dl' 1111 artículo gravado a una tarifa del 7%, cuyo costo unitario esIIUIO, ofreciéndose un descuento por antigüedad del 3%, por volumenI \ tkl 1,5% mensual sobre una factura a 60 días, si ésta fue cancelada

1IIIIIdl!'

11¡dO (100)= $8.000.000

VP = VF (1 - dt) (1 - d) (1 - d)

H ()()O.OOO (1-0,015(2)) (1 - 0,04) (1 - 0,003)

'" 1226.112

.112 (0,07))Itnl " plluar

$ 7.226.112$ 505.827,84$6.720.284,16

1NM",,~tll:El valor a pagar es de $6.720.284,16

Ejemplo 2·33

En una compra de mercancías se pagó $2.631.571,2 por una mercancía quevalía $3.000.000, si nos otorgaron un descuento del 5,8% por "Cliente Lcnl",del 4% por volumen, y un descuento por "Referido", ¿de cuánto fue este descuento?

Solución

VP = VF (1-d) (1-d) (1- d)

2.631.571,20 = 3.000.000 (1 - 0,058) (1 ~ O, 004) (1 - d)

2.631.571,20 = 2.712.960 (1- d)

2.631.571,20 = 2.712.960 - 2.712.960d

d = 81.388,82.712.960

d = 0,03

Respuesta: El otro descuento recibido fue del 3%.

l. !Ill1tnblllddd

MU L CAPITULO-- -Vl1l1l1hlll" Ii/lllru Conociendo Fórmula- -

I hilillo VP, 1,cara t=1 VP+ 1I.all VF, VP, para t=1 VF- VP1"111""11111 VF, 1,para 1=1 VF -1

1.llIllItelll):I VP, 1, para 1=1 i=-

VP, hlllllll VP, 1, i VF = VP (1 + it)

-

.'"llt VP, t, i 1= VP (t) (i)

" "lIlIllIllto VF, 1, i VP=~. 1 + it

VF, VP, 1 VF- VPdI! hllurós i = VP (t)

VF, VP, i VF- VP11'11 t = VP (i)

. it"lJqlllvalentes il, t2

'2=-t-2

i2= i/2

(¡Ililro de una anualidad vencida VF = ~ (2 + i(n-1)

R=2VF

do la cuota en una anualidad n[2+i(n-1)]luíuro de una anualidad antici- [ (n+1)]VF = Rn 1 + +r:presente en descuento

VP= VF(1- d)VP= VF(1 - d*t)

VF=~futuro en descuento

1 - dVP

VF = 1 - dt

uonto 0= VF - VP

d=VF- VP

VF

d=VF- VP

de descuento VF (t)

d=i

1 + i

de interésdi=--

1- dIlIIill

I:,~,:¡'". ~

[1 ') C;'¡',' 'l~ ,._.!

1'·/ \ j~ ~::\l' ", •••...' ;

t.. ~. .;;~ :'::~ ~

t1.J CASOS

2-1 Calcule el valor por el cual se registró un préstamo, si al cubu tll' K 111se debe pagar $45.000.000, y se pactó una tasa de interés simple tll'l Imensual.

. (":1'''';(" ~ \ ..~,\ ; ~.. ....:

~' ~::: e:': \ Respuesta: El préstamo debió registrarse por $39.950.284, l.t : \.,' ;:.\' i, .\,.

,:.,:10\ 2-2 Calcule el valor total de los intereses causados, en un documento I...' Ltr $7.000.000, a 1 año y una tasa del 7% de interés simple semestral.

;::,~

';S iRespuesta: El valor total de los intereses causados es de $980.000..:'\

i .~, ~i,'<': t »

\I ',.1" .\~\,.._"..- ", .' 2-3 ¿Cuánto es el valor que una empresa debe pagar por un documento Iirmn

do hace 5 meses por valor de $945.000, con vencimiento en 4 meses, 111111tasa del 4% trimestral de interés simple?

Respuesta: $1.058.400.

2-4 ¿A cuántos meses se firmó una letra si se registró una obligación pOI$15.000.000, a una tasa del 19% anual de interés simple y con $24.000.0()(),se cancela la obligación?

Respuesta: 3 años, 1 mes y 27 días.

2-5 ¿Cuál es el valor inicial de cada una de las dos letras, la primera deellas firmada hace 8 meses, a un plazo de 12 meses y una tasa del 2% deinterés simple mensual, y la segunda, equivalente a tres cuartas partes dela primera, firmada hace 1 mes, a un año, y a una tasa del 7,8% de inte-rés simple semestral. Si éstas fueron cambiadas por tres pagos iguales de$6.800.663,58 cada uno, el primero dentro de 7 meses, el segundo dentrode 12 meses y el tercero dentro de 17 meses, todos éstos a una del 20% deinterés simple anual? Tenga en cuenta que cuando se realizó el cambio, lasegunda letra era el 38,660052% del valor negociado. (Fecha focal en O).

Respuesta: El valor de la primera letra es de $9.000.000 y el de la segunda de$6.750.000.

lell'lI" plll '" I 1100uon y '!l'}()()(),()()()cuyo vcnci-1 1I\1'~l'" 1\1 1'1"" Y 1\1 111"" dl' illtcl'ós simple, firmadas 7

111(11\,1I'~llI'l'IIVI1I1H'lItl',si requiere liquidez inmediata, y en elIIC¡J.III·""111111111tllS" ,kllMIc, de interés simple, ¿cuánto recibi-

111111U~II ptll l",tm, letras?

11 dl'II1'II I'l'eibil' $1.61 0.169,49

IW 111111,11,,,1111(k $50.000.000 que se pacta pagar en 2 cuotas igualesOliO 000, l",t irundos al 24% de interés simple, la primera de ellas es

11l' IlI'IlIto tiempo - en días, meses y años - se debe realizar el

IIlhllS pUIlOS deben realizarse a los 6 meses.

I IÚl' 1'1 valor de los intereses por mora y de la tasa de interés pori 'n' p"gnron $22.000.000 por una factura firmada por $11.000.000IIfloNcon vcncirn iento a 1 año y medio, a una tasa del 1,6% de inte-

1111,,11'IIICIlSlIéll.

.."",,: I " tusa de interés por mora cobrada fue del 9,213251 % mensual yIlIs intereses por mora de $7.832.000.

III\I,~.¡el precio de venta de un artículo por el cual se pagaron $145.000,11'110111un descuento por pronto pago del2% mensual sobre una factura

I~!Idllls, cancelada de contado, y un descuento del 5% por antigüedad?

""'.tt" 1\1 precio de venta es de $169.590,643

('11(11lile la utilidad obtenida si los precios son calculados al costo más1"11 \ t.Cda un descuento del 50%?

"'''',ftll: 1,0 pérdida obtenida es del 10%.

I h' ucucrdo al siguiente documento, se le pide que calcule el valor por eluul .lchcrá ser cancelado:

~

i «2 <t: ()u- r•.'\-< CO '"'"z~ fa-.00 O-<~O O I-fCi)U ~~ (I;l M(I;l Q ~> I-f1-<S III

Respuesta: El valor con el cual es cancelada la letra es de $18.600.000

2-12 De acuerdo al documento anterior, si se trata de un dinero que se recibióen préstamo, ¿qué cuentas afectaría dicha transacción y por qué valores?

Respuesta: Afectaría las cuentas de Caja y Cuentas por Pagar, por$15.000.000.

2-13 De acuerdo al documento anterior, ¿cuál sería la causación mensual deintereses?

Respuesta: Mensualmente se causarían intereses por $300.000.

2-14 Con base en los siguientes documentos, calcule el valor al cual fue fir-mada la letra:

~

... x-xx- .~<~. ~"':;g¿'< ..../~./\.y:'-"'.'X'I'?!.''", .' ~:.". A 'v _~. ", ",. .• ;, ,.' - - •••.•• , •• ' .,'~' <~~Y.S'2.·~·,~/~<>:",<,-.:)·~t No. '.,. BI Por s ~~.~ Ctudod: ~("''''<''ti.Q.,_._....... Fecha; :1 d••.....~!).".tO de .1C?O~. r-:;:¡""iir>r(t's) _X ll_ __." "-_.._-_. ........"'''1:;1 - El 3Q de JlL..rU.Q del aiio 2.00 A y

~

j<i Se .rcp'jrd(l1} !t(I.(.'\) paga!' solidurtomente i!it o •• Ar.rne..\1:.ra .....' . _., , w~._ _ , ~ w••• _.~, ••• w•••••~ por es/a I4rÚéO de CtmtbiLI sin jJNUtO¡¡((I, excusada el aviso df! rechazo a-1 ,,, arde" de; 'f '1 "9~'mlfídild de: w_" 'AA~ •• _ •••~~~.-:~~.=-~-=-~~.~..~._. __._~_. ....~(5

;~'~t.'S('j'mil (ni _ t:tlllla(.rJ de. ~._.. .~ .J mas intereses durante el plazo del (J.('\C ....~..

.' ~ f\~._.os:..b..:.oto '\. S\~i¡(\., 8~ !!~)mensual y de mora tI la lasa maxima legal Quloriz4da.~ ~_ .• OU(t;C.~lq~.~~.~l·~~~~~s.__ .,_TE.L~-q~º....l A~f:"ltJt:tlh:d:: _.-::-.... _.- '..- ~..==: '{ ~ y (GllUOOR)

»~~.~..:...:;. ".} ,,~~~~,,\.,>)( :X.~

IArnnlllhlllclAcI

B b400&O [OiJ.\0 :l.:n·OOO.OOQ

~•• rno""'.~OI..¿ cok,6400&0

J QO't'. o" ~ 1 :¡

Ir'll,,',h, '1 '\'(' • "'" \Iu •..•u-, dO! pt!

Inl.1 ••••"l( '¡()(

1,,1<11<

~., ':110 ~ .'''000 71:00000 3 7 2b 2711'(;,1,0080

,fltl: El valor por el cual fue firmado la letra es de $24.689.510,7

111111 luctura cambiaría fue firmada por $15.800.350 a 6 meses. El pago11' 11'¡lIil.flUO de contado por medio de cheque con $19.687.258. ¿Cuál fue

IIIIII'HI de descuento concedida?

_nUI'.\·ttl: .3,290545% mensual.

tulrulc el número de días, en tiempo comercial, en un negocio realizado11) de septiembre de 2007, con vencimiento el 15 de enero de 2008.

•••••••••.vt«: I Iay 115 días.

C'alculc el número de días, en tiempo exacto, de una letra firmada ellO.k lvhrcro de 2005, con vencimiento el31 de diciembre de 2007.

rsta: 1054 días.

.< 'uánto se podrá pagar al finalizar un año, si se realizan 12 pagos men-IIIIIl!s iguales por $35.000, a una tasa del 2% de interés simple mensual?

'Ii,.\·ta:Se pagarán $466.200 .

,( 'uánto se tendrá que cobrar al cabo de 2 años, si cada dos meses sepll'slan $400.000, a una tasa del 1,5% mensual de interés simple?

snuesta: Se tendrán que cobrar $5.592.000.

(0",IAn1A 1, 1.)lldo

2-20 ¿Por cuánto se debe debitar mensualmente 111'1 11,11'1111"1I111111l'1'·111..••1'111111préstamo por $5.000.000, al 10% de interés simple 111111111,,,1XIIIl'SeS, si lo.,intereses se pagan en forma mensual?

Respuesta: Mensualmente se debe debitar por $41.666,67.

2-21 ¿Cuánto es el máximo descuento a ofrecer, si el costo de un artículo esde $105.400, el porcentaje de costos de operación es de 22%; se aspira ti

una utilidad sobre el total de costos del 20%; y el precio de venta es de$195.300?

Respuesta: 20,990476%.

2-22 Al realizarse el Estado de Resultados se encuentra que las ventas brutasfueron de $1.470.000.000, que las devoluciones son el 15% de las ventasbrutas y las ventas netas fueron de $950.000.000. Si la diferencia se expli-ca por descuentos realizados por pronto pago, en facturas a 90 días, paga-das al mes de firmadas, ¿cuál fue la tasa de descuento concedido?

Respuesta: 11,984794%.

2-23 Si los costos de mercancías son de $777.000.000, equivalente a 19.584unidades, y las ventas brutas fueron calculadas con un precio equivalenteal 220% del costo; otorgándose un descuento del 30%, ¿cuál es la utilidadbruta por unidad obtenida en este período?

Respuesta: $21.424,63.

2-24 Si se desea obtener una utilidad mínima del 40% sobre el total de loscostos y gastos por unidades, considerados en $35.000, y el precio se cal-cula como el 170% del costo, ¿cuál es el máximo descuento que se puedeofrecer?

Respuesta: 17,647059%.

2-25 Una compañía trabaja con ventas a crédito y desea conocer ¿cuál puedeser el mayor plazo de una factura, si el precio es el 130% del costo, ofre-ciendo un descuento del 2,5% mensual, y se espera como mínimo obtenerel 20% de utilidad sobre el costo?

"""1 1'1 "1/\.\1111111'111/1111 llli,~\:(,II 11/1111,)1 1'''1\11dI' III~ íucturas es de 3IIh'~I'Hv ..1dlll

111111I~II'1"I·•.•u vuruprn mcrcuncfus por $5.400.000 firmando una factura11I1I1í1lin " 1XO dlus COII1111interés del 1,5% de interés simple mensual, a

hr" " IIh','W",SI' 1I1>01l1l1\$ 1.000,000 y se acude a cancelarla 1 año despuésh, IIIII\"dll ('llllSkkl'HlIUO que el proveedor cobra una tasa de mora del1."'\" d,' IlItl'l'I.':Ssimple mensual y liquida según regla de saldos insolutos,

11,'111111dl'I>I' cuncclarsc?

""'''''.~ill: Dchc cancclarse $3.009.017,76.

1(""lIce el ejercicio anterior, por medio de regla comercial.

-""U",\'ftl: Debe cancelarse con $2.998.248.

, )1111cm presa compra mercancías por $18.000.000 firmando una facturauuhiaria a 60 días. Se pacta un descuento por pronto pago del 1% men-

11I11.pero si se pasa del vencimiento, se le cobra una tasa de financiación,11'1) ,15% de interés simple mensual. Si la factura es cancelada de contado,f,llIIllIto debe pagarse? Y, ¿cuánto se deberá cancelar si ésta es cancelada a111'11)5días de ser firmada?

•• IIIJ1II',\'ta:El valor a cancelar de contado es de $17.640.000; y si cance-La a los 95 días de haber sido firmada la factura, debe pagar$18.451.500.

pillAdA' filA lontllhtlld"ct

INTERÉS COMPUESTO

I IIIh'll\S C0l11 puesto es la otra forma de calcu lar intereses, generalmente1111111111 cu el sector financiero, donde si éstos no son pagados al final del1111.10, Sl' capital izan. Por lo que, el capital para el siguiente período es igual

1, .Ipltlll inicial más los intereses capitalizados.

1'.1111 realizar una operación por medio de interés simple, la tasa de interés1~1H'n'Iesta r identificada como tal, de lo contrario, se procede a realizado porIlIt;I"", compuesto.

LII cnpitalización de intereses se expresa:

I 11 el primer período:

VI-' • YP (1 +it)VI' -YP(l +i(l»VI-' = VP (1 + i)

1'111'8 el segundo periodo el capital inicial es el capital f nal del período'1IIIurior:

V F = VP (1 + i) (1 + it)VF = YP (1 + i)(l + il)VF=YP(1+i)(l+i)V F = VP (1 + i)2

Para el tercer período:

VF = VP (l + i)2 (1 + i)VF=VP(1+i)3

y así sucesivamente, por lo que en el período 11 será:

VF = VP (l + i)"

,Jemplo 3~1,< 'uúnto se telldl'íl ul cabo de 3 meses, con un ('1)'1 IIhll'lln run $H,OOO,OOO

1111111 tUSIl del 0,7% mensual?

S(llllcMn 1VF = VP (1 + i)"

VI" 8,000,000 (1,007)3VI" $8,169,178,74

Respuesta: El valor que se obtiene es de $8,169.178,74

S,,/ución 2

Por medio de Excel se calcula el Valor Futuro:

! .. VF • (~: ~ ." [.&.1 ;VF(Bl;B~;;R'I··"·_···

-"A

0*,.","1

1 ¡TASA2 INPER.0 ,

3 ¡VAi

4 !VF!

B0,007

3

[~~~~j~~~~~~¡11;82;;83)

I<n¡~"",nt". di!' ftr.nc¡oo[ -

\'1'"-~.--'-- l

I¡

'Jt.L i.l 01

~ •• "l.\Iíl'r'lf4 '8!

NpC!r ,B~

p"<!<> ¡

_____ .~. 1

~ • r~uU~::':",)

~. ~O»~ W' ¡qÚ!l!.ttJ

1,6 63

YooI - ~ !6'> ¡"",ii~

1>-\-ue!~t·á'.·81!X f\,¡IIKOde lA'I3.'"et~~t.oMIl\'-~~M VWMr,¡,...."e~.r <.O'ata~~IItIet0!.5lb:rbé,\ ~te,

Va el!l"bbt",~O"~", .•.••••.lólliÍe\!!,,;¡"¡'~tlti6~~~fi¡~ur~.Sise atl:teJ \fA« (¡"

~~llI<Iodc lo fórm)o) - al~l7iJ.]+1 . . IC<Jr •••• .11

- --~,~J

Respuesta: El valor que se obtiene es de $8.169.178,74

11111"d", " 1"CIlI1I11bllld.tll

IIllIhll' vlllor II",Ntmh\ ~I' dl•..•PI:11Iell' In fórmula para hallar valor futu-dl'llI, l'IIIHK'IUIHloel vnlor que se obtuvo, la tasa de interés y el tiempodi' 111111111' d valor invertido/prestado:

/)(J + i)"

VFó VP = VF (1 + i)"

f'Mn 1

V F $25.000.00011 I añoI 0,15VI'

V P = 25.000.000 (1,5)"1Vi> = $21.739.130,43

,\'"lllción 2

Por medio de Excel:

A1 TASA

2 NPER

3 .VF

4VA

S

6

78

B

,,11111 cuánto se firmó un documento si al cabo de un año se cancelantI()(),OOO y la tasa que se pactó fue del 15%?

0,15

1025000000

=VA(Bl;B2;;B3)

VP = VF (l + i)-Il

spuesta: El valor por el cual se firmó el documento fue de $21.739.130,43

:~:'.~~_~ jo¡oO(~~

• VA.

rL ..~,'\..'~----¡;;;).., ~.I!

~: s ..~_,.. 11:@.,~ 1

r~ ~ - .,.~,'..- 1~ l:U')!»,"~ l

:O'••..•••"'~oIb"~ck'NrIl~~lioflU!'lllG~;:It\~Jkf..a;,;:¡l •••••\IOWfIOl600IWi""~"UaI.. ivi "cI~"~<lW<b.,.,~~~ •••-a,.o;1I:,6c'W;oo1o><7 •.• ~.:l. ~

t~d"'_:>I>""', I

ii~t..su"''''IC!~ .• $U."U;'h,Q !

1!\W».~~ f;¡L.~_jj

Respuesta: El valor por el cual se firmó el documento es de $21.739.130,43

<;

------=n

1

i= t ~J" -1

1~lIdl

La variable tiempo -n- pcnn ito dctcrmuuu 11111111111\iJlIl'tlllll t "'IIIIHI Il'qllll'l

estar invertida o prestada una Suma de dinero pUI'/I qlll' Pllldll/\:II 011'11 11••

terminada suma. Partiendo de la misma fórmula puru 11:111111'd valor 1111111"1I

se puede despejar la variable en cuestión. Por cual, se requerirá del vallopresente, valor futuro y tasa de interés para poder realizar los cálculos ydeterminar el tiempo.

1I11I"lllll

_"'NI": I 11 111\'\'1 ~ltlll llll' 1l'lIlizlldilll I (¡ himcstrcs.

VP = VF (1 + i)·n

VF (1 .-- = + 1)nVP

Lg t~~J= nLg(l + i)n

Lg[~J

"''''(1'' •••••'1e

NI-o",.}~) ...~j-""'<'(',()

':-¡;';J. t~C(lOOl;

'I".,!. w_"

0,01000000

S G95.000,OOI NPI=H(Bl.;B3;B2)1

~ l"f.'..x-1UYI~~:~ •.•c<_' ••••.__ •••~ •••••••_. ~._...-._",_.,_._ ,"""'•••.•.••-;1..,...". .•••I foll'llI

,-.••,.. •• '""•••.•"'"••""~_,pO(~"OOV<~.,_~~_ ••_~"..:..~..r~t<.Il>".

.••~.~I'!<.M.w.~~

Lg(1 + i)••• "",.,\'¡II: La inversión fue realizada a 16 bimestres.

Lgf*]n=

Lg(1 + i)

n se expresa en períodos acordes con el período de i.

liuuhucutc la variable tasa de interés también es posible hallada despe-1I.t11 de la fórmula de valor futuro, para lo cual se deberá conocer el valor

nie, el valor futuro y el tiempo.

Ejemplo 3-3V II V F (1 + i)-n

VI<'Vp-=(l+i)n

¿A cuánto tiempo se invirtieron $695.000, a una tasa del 2,3% bimestral,para obtenerse $1.000.000?

Solución 1 I VFJ¿VI' = 1 + iVP = $695.000VF = $1.000.000i = 0,023 bimestral

I

t~~r-1

Lg~]n Lg(1 + i)

L [l.OOO.OOOlg [695.000 Jn = _-=---::..c~--,-,----=--

Lg(1,023)

,11'1

Ejemplo 3-4¿A qué tasa de interés fueron prestados $5.000.000. dlll'llllll' () It1CSCS.te

niendo en cuenta que la deuda se saldó con $7.000.000'

Solución 1

VP = $5.000.000n = 6 mesesVF = $7.000.000

i = t ~Jn -1

I

. = L 7.000.000 Jb _1 [5.000.000 1

i = 0,057680926 mensuali = (0,057680926) 100 %= 5,7680926% mensual

Respuesta: El dinero fue prestado a una tasa del 5,7680926% mensual.

Solución 2

En Excel:

• TA':;.\!:;:...c;... _

•..•.•..:~_.",. ••• '.... . .••.•..'__ ~nA_. .~_".n~,..,n__ n.•.•.._~_~._" '''~_''nn .•••.•.•~_'''''t''''_ •.n•

.~~.-r....",~l!A!.Afllt;;IU.fUI AA","~~

A B ""1 NPER 6·"'" " ~j. ;

.- ~._.~._ _ _.; ". ,~;~..2 VF ; -7000000: ,. " ~\). scccce

•.••••••••••••••• --.-----.... 't1 !!,; ;."'11" .7miX.

3 VA S 5.000.000,00;~ Si -4 TASA ;A(Bl;;B3;B2) CI-"'tt.IÁU6t~ét(i.7l;~~~:u'-~"J\I,.:~~~.UY.(1V.pd'~

• ~':JoItull"'·'.?'"

567

8

\1' c~r.h',j '.•••.••••~.,.¡,zd'.•r••.•_.po •• .x-~.,6rQ.MoiIf~"\~~'ii'i4~, •••",";""O.

~Otit~ •• ~!:~~~

*,.I~.#u~:\t;,.4"· =~Respuesta: El dinero fue prestado a una tasa del 5,7680926% mensual.

'"

.1.;

<--

pUl ••d", 41141 I onl~hllld~d

N

1 un- rlldo fl 111111Cic 1'0 las tasas de interés se presentan en diferentes1IIi1~ t 1111111'IltH'lI1diferenciación de las tasas son las nominales, las perió-,~ v 111'0l'flol't ivus.

11111',"UI" nominales son las que se presentan anuales, pero que tienenIII~ (·••••U••lízaclones - m - durante este período. Se identifican con la letraruu Ilts pnlubras capitalizable, pagadero, convertible o nominal, acompa-

In tll'l pcrtodo de capitalización. Una tasa nominal, e.g. es el 18% nominal1l11I~lIltl.II el 22% pagadera semestral, o e130% convertible trimestral. Otra1111\11tI~,idcnt iñcar las tasas nominales es 18% mes, lo cual indica que es una

11 '11\111i"a 1y que se capitaliza en forma mensual.

11I~ cupitalizaciones, m, es el período en el cual los intereses son sumadosl rupnnl, es decir, cuando se trabaja por fuera del interés simple, con interésIIlIlpllcsto, se identifica cuál es el período en el cual se va a realizar la capi-11/1Il'iónde intereses. Para la tasa del 18% mes, se entiende que es una tasa

I'u' iupitaliza en forma mensual, por lo que habrán 12 capitalizaciones en el11 l/u tasa del 22% pagadera semestral, tendrá 2 capitalizaciones en el año,

l"lIqlll' el año tiene 2 semestres.

l liS tasas periódicas son las que tienen un período de capitalización, dife-h'lIll' 11I año. Se identifica con la letra i. Ejemplos de tasas periódicas son 1%IIII'IINllal,2,3% bimestral, 4% trimestral, 9% semestral, etc .

l.us tasas efectivas son tasas con un solo período de capitalización equiva-h'lIll' H 1 año. También se identifican con la letra i. Son tasas efectivas el 18%,1 }()IV<I efectivo, el 19% anual, el 26% EA.

t lna segunda diferenciación son las tasas anticipadas y las tasas vencidas .

l.ns tasas vencidas son aquellas que se aplican para liquidar los intereses11111vencido, es decir al final del período. Por ejemplo, si el período es men-uul, se liquidarían los intereses al final del mes. Todas las tasas son vencidas,

1\110ser que indiquen lo contrario. Por lo cual no es necesario que digan ven-Ildll para ser vencida. Ejemplos de tasas vencidas son el 1% mensual- que'\lloll1ás es una tasa periódica mensual - , el 1,1% mensual vencida - que es111111tasa periódica - , el 19% - tasa efectiva - , el 17% nominal semestral- tasa1\11111inal con capital izaciones semestrales -.

1.111'h"lIl" 11IltlcllUldllS so aplican para calculru rniercscs por IIlIticilllUlll,l'l> decir, ni principio del período. Para que una tasa sea anticipada. se <k·hl'idl.illtilicur C0l110 tal, de lo contrario es vencida. Por ejemplo el 10% nominulmensual anticipado, es una tasa norn inal con capitalización mensual y prcscntadH en forma anticipada.

Para aplicar en interés compuesto o en series uniformes o variables -tcmuque se desarrollará más adelante-, las forrnulaciones sólo consideran tasasperiódicas o anuales, y que además estén vencidas, dependiendo de la periodicidad que se tenga que manejar, de manera que si en una negociación sepacta una tasa nominal o una tasa anticipada, se debe convertir esa tasa a unaperiódica o efectiva vencida.

Sin embargo, al aplicar diferentes tasas se puede encontrar que una mismasuma de dinero invertida por un mismo período de tiempo generaron los mis-mos intereses. Este fenómeno se da porque aunque las tasas se presentan endiferente forma, éstas son equivalentes .

..n el caso de necesitar convertir una tasa conocida, por ejemplo nominal,a su equivalente periódica, se trata del mismo principio de inversiones igua-les al mismo período con tasas diferentes pero que rentaron igual. En amboscasos se hace referencia a tasas equivalentes, es decir tasas que en un mismoperíodo de tiempo generan la misma rentabilidad, así se presenten en formadiferente.

Para convertir tasas se sugieren tener en cuenta algunos criterios (Don-ncys, Cabal y Echeverry, 2006; Donneys, Cabal y Fajardo, 2008):

a. Para convertir una tasa nominal a periódica

Partiendo de una tasa nominal, ésta se divide entre el número de capitali-zaciones al año de la tasa. La tasa periódica conserva el período de la nominalsin el adjetivo (convertible, capitalizable).

Ejemplo 3·5

¿Cuál es la tasa mensual equivalente al 12% nominal mensual?

Solución

j = 0,12

Mlttmttlclt ftnln(

j1'1'1

11, I "-(i (), () I

'0.01 IlIl'llSIltll

1.01 11u-n Sil 11I (100%) = 1% mensual

""'UI'.\'II': 1.11tusa mensual equivalente al 12% nominal mensual es el 1 %mensual.

lo 3-611111es la tasa bimestral equivalente al 30% pagadera bimestral?

"IS"

OJO bimestre111 ()

Ji =----¡;;¡

0,30= 0,05

l' O,OSbimestral0,05 bimestral (100%) = S% bimestral

snuesta: E15% bimestral es equivalente al 30% pagadero bimestral.

Para convertir una tasa períodica a una tasa nominal

( 'liando se tiene una tasa períodica y se desea conocer la tasa nominal, sedl.hl.! identificar el número de periodos al año que tiene la tasa periódica, se le1111111iplica por éste y conservando el período se le agrega el adjetivo -conver-

11111l.!,capitalizable-.j = im

Ejemplo 3-7

¿Cuál es la tasa convertible semestral equ ivalento 01 (,1111 ~l'!!ll~IMol'

Solución

i = 0,06 semestralm=2

j = im

j = 0,06 (2) = 0,12 convertible semestral012 convertible semestral (100%) = 12% convertible semestral.

Respuesta: El 12% convertible semestral es equivalente al 6% semestral.

c. Para convertir una tasa anticipada a una tasa vencida

Cuando se va a convertir una tasa anticipada a una vencida, la tasa antici-pada deberá estar como periódica o efectiva, es decir, si la tasa que se tienees nominal -j-, se debe hacer la conversión a i, dividiendo la tasa nominalentre el número de capitalizaciones al año de la tasa, posteriormente se podráconvertir esta tasa anticipada a vencida.

En el desarrollo del tema de descuento se explicó cómo se convierte unatasa de descuento a una tasa de interés, esta misma formulación se aplica eneste caso, teniendo en cuenta que el período es l.

i. a1=1-i

a

Al aplicar esta conversión desaparece lo de anticipado o de descuento de latasa, conservándose el periodo.

Ejemplo 3-8

¿Cuál es la tasa trimestral equivalente al 6% trimestral anticipada?

Solución

ia= 0,06 trimestral anticipada

'.i = 1- ia

la l()nt~b,lId~d

(1

(i. (in(1, ()(I I,•..•';!!)·/!)

IUl(.IKN/j) u itucstrul

11(.11tH) N 1riuicsl rul (100%) = 6,382979% trimestral

El (),1X2979% trimestral es equivalente al 6% trimestral antici-pnda.

11111 eS la tasa mensual equivalente al 1,6% mes anticipada?

"tj"

0,016 mensual anticipada

iai=Tia

0,016= 0,01626016

J - 0,016

¡ 0,01626016 mensual0,01626016 mensual (100%) = 1,626016% mensual

spuesta: El 1,626016% mensual es equivalente al 1,6% mes anticipada.

. Pura convertir una tasa vencida a una tasa anticipada

l'ara cambiar una tasa vencida a una anticipada se requiere que la tasa ven-1,.111 sea una periódica o efectiva; pues si se trata de una tasa nominal, primerol' deberá hacer la conversión a i. Con este procedimiento sólo se cambia de

vencida a anticipada, conservándose el mismo período. Al resultado que seuhtcnga se le debe agregar la palabra anticipada o de descuento.

ia= 1 + i

(on\t~nM 1 IdJdrdn (

Ejemplo 3-10

¿Cuál es la tasa bimensual anticipada equivalente al 0,511(1 huucnsual?

Solución

i = 0,005 bimensual

ia 1+ i. 0,0051 =

1 + 0,005= 0,00497512

i = 0,00497512 bimensual anticipada0,00497512 bimensual anticipada (100%) = 0,497512% bimensual antici-

pada.

Respuesta: El 0,497512% bimensual anticipada es equivalente al 0,5% bi-mensual.

e. Para hacer cambio de período

Cuando las tasas están expresadas en forma periódica o efectiva y se re-quiere un período diferente al que está expresado, se debe aplicar cambio deperíodo. Como VF = VP (l+i)n y la condición para tasas equivalentes es queVPI y VF, transcurrido el mismo tiempo sean iguales a VP2 y VF2 entonces,

VF, = VPI (1+i)" I y VF2 = VP2 (I+j.)",

Donde ni y n2

corresponde a un número de periodos expresados en las tasasi, e i2, que hacen que en el tiempo sean iguales, por ejemplo un cuatrimestrees igual a 1/3 año, 2 birnestres, 4 meses.

Igualando

VPI (l+if¡ = VP2

(1+i/12, como VPI= VP2

Para hacer cambio de período a las tasas:n n

(1 + i) ¡ = (1 + i) 2~.

i, = (1 + i) n, -1

Este método sólo es aplicable a tasas efectivas o periódicas vencidas. Ob-sérvese que sólo se trabaja con i, es decir, con tasas periódicas o efectivasvencidas.

l. (nnt"bllld"d

111 tll!lllliellll!:itl'lIll'lpllvllfI.:l\lI.: al .i% trimestral?

i, = (1 + i) ~-1

110,0 I u'irucstral

I11 nuestros, ,~l\lIll.!slrcs'1

(lJU)1i - I 0,0609

I O,()(,()C) semestralo.OClOI) (100%) = 6,090% semestral

esta: El 6,090% semestral es equivalente al 3% trimestral.

A cout inuación se pretenden resumir los pasos para conversión de tasas,11111111'1'0 considerando que la tasa que se tiene es una 00111 inal anticipada, y el

undo suponiendo que la tasa que se conoce es una norn inal vencida.

Purtiendo que se conoce una tasa nominal anticipada:

Tasa que se conoce ~ Tasa a la cual se quIere lIeaar FunciónNominalanticipada ~ Periódica anticipadasi necesita sica con el paso 2)

. l,la = --;n-

Periódica Anticipada ~ Periódica Vencidasi necesita siaa con el paso 3)

lai= --,:-ja

Periódica vencida ~ Periódica vencida / Efectivavencida(Cambio de período)si necesita siga con el paso 4 o con el paso 5)

i2 = (1 + iP'< -1

Periódica Vencida ~ Periódica Anticipadasi necesita siga con el paso 6) ia 1 + 1

1, I Periódica vencida ~ Nominalvencida

Periódica anticipada ~ Nominalanticipada

j=im

J. =i ma a

1•• do el' t'OIlOt'tl UIIII bllUI 110m

.== - - ¡--

No. T888 9,.U080 conoce > Tasa a la cual 80 1I0gllr Función- --- =

1 Norninal > Periódica j(si necesita siga con el paso 2) i= - m -2 Periódica vencida -+ Periódica vencida / Efectiva vencida(Cambio de período) )<(si necesita siga con el paso 3 o con el paso 4)

i2 = (1 + i,) ",-1

-3 Periódica Vencida -+ Periódica Anticipada i = i(si necesita siga con el paso 5) a 1 + i

4 Periódica vencida -+ Nominal vencida j=im

5 Periódica anticipada -+ Nominal anticipada j =i ma a

En los siguientes párrafos se hará una explicación más amplia, consideran-do los posibles casos que se pueden presentar con las tasas:

l. La tasa que se conoce es nominal vencida y se requiere la tasa periódi-ca vencida con igual período: se aplica la fórmula para pasar de nominala periódica.

Ejemplo 3-12

¿Cuál es la tasa trimestral equivalente al 12% convertible trimestral?

Solución

La tasa que se conoce es:j = 12% convertible trimestral.

Se trata de una tasa vencida, puesto que no está identificada como anticipa-da. Y la tasa que se requiere hallar es una periódica, trimestral. Por lo tantose aplica la fórmula:

Ji = ---¡¡;¡-

El número de capitalizaciones trimestrales que hay en un año son 4, esdecir:

m=4

pllcddd\ 11141(1l"I~hllhJ.ld 91

11111'11Il~:llIpllll.llr en la formula, se procede

0, I .,(),O.l

0,0 \ (1 ()()'Vtl) 3110

11111\11qll~' Se obtiene es del 3%, conservando el período de la tasa nomi-dl!l'ir trimestral.

••• "u",\'III: El 3% trimestral es equivalente al 12% convertible trimestral.

11 procedimiento que se realiza se asemeja al del interés simple para con-1111tmws, por tratarse de la operación de división, con la diferencia que la

;1_,1qlll' Se conocía en interés simple se podía dividir sobre cualquier número,IVllI'lIdicndo del período que se tratara, pero en el caso de las tasas nominales,1)1"M' puede dividir sobre el número de capitalizaciones de la tasa nominal.

I ,11 tusa que se conoce es nominal anticipada y se requiere la tasa periódi-l'll vencida con igual período: en este caso primero se aplica la fórmula parapn'lnr de nominal a periódica y luego para pasar de anticipada a vencida.

Jlmplo 3-13

1II111arla tasa bimestral equivalente al 24% pagadero bimestral anticipada.

,l'"llIción

Ln tasa que se conoce es:1" ~24% pagadero bimestral anticipado

Pura facilitar el procedimiento se recomienda identificar inicialmente quél¡pD de tasa es la que se tiene, en este caso es una tasa nominal, con capitali-

nción bimestral y anticipada. Luego, se debe tener claro qué tipo de tasa es111que se requiere hallar, es decir, una tasa periódica bimestral. Ahora sí, se.k-tcrminan los pasos a seguir para que la tasa que se tiene se pueda convertir1'11la que se requiere hallar.

I~norden, primero se debe pasar la tasa de nominal anticipada-j.- a periódi-,'11anticipada -i

a-, y luego de periódica anticipada -ia- a periódica vencida -i-:

i"

1"m

EIIIÚIlH':ro de capitalizaciones bimestrales en UIl Hilo SOIl Ú:

111 (í

1"

0,26

= 0,04

S<.: obtiene una tasa del 0,04 bimestral anticipada, ahora se convierte a vencida:

iai = 1 _ i

a

Donde:

i = 0,04/1

, 0,041 = 1 _ O 04 = 0,0416667,

0,04166667 (100%) = 4,166667%

Se obtiene, entonces, una tasa del 4,166667%, Y como conserva el períodode la tasa nominal, es bimestral.

Respuesta: E14, 166667% bimestral es equivalente al 24% pagadero bimestralanticipado,

La tasa que se conoce es periódica/efectiva vencida y se requiere unatasa periódica/efectiva vencida con periodo diferente: se aplica la fór-mula de cambio de período,

Ejemplo 3·14

¿cuál es la tasa mensual equivalente al 20% efectiva?

Solución

La tasa que se conoce es:i=20%

1.lunh,bllldnd

1/, iI~111111IIHIII l!N l'IC.'l'IIV" VCIll'III", PlIl':-.1I1 ¡¡II<.: 110 está identificadaIIllh,,,,,,,II1, y 111 Im,lI qlll' M' ll'qllll'IV 11,,11111'es una periódica mensual.

1,lIul 1111,'11'111111" PIII'IIl'lIll1hio de periodo:

i), .2

11 1) 11, - J

11 I, Y 11, M' deben ubicar los datos de la tasa que se conoce o la que se111\111\', ~.<;decir, la que necesito hallar, Tomaremos como que en éstas se

Il.¡II'"1 hl<; dutos de la tasa conocida; y en i2 y n2, los datos de la tasa deseo-hlll.

1I"~II que se conoce es una anual, por lo tanto:

O,')()

1'11111 vi t icmpo, una forma de trabajar, puede ser haciendo referencia, en.111111 fórmula a un año, es decir, en un año hay 1 año (n.) y en un año hay

1,' 1\1I'''l~S (112),

",1\

...L

(1 ¡.. 0,02) 12 - 1 = 0,01530947

l' obtiene una tasa del 0,01530947 mensual o:

0,01530947 (100%) = 1,530947% mensual

spuesta: El 1,1530947% mensual es la tasa equivalente al 20% anual.

limpio 3-15

r,< 'uál es la tasa bimensual equivalente a13% mensual?

Llllción

IAl tasa que se conoce es:I J% mensual

I~s una tasa es mensual vencida, ya que no está identificada como antici-pllda, La tasa que se requiere hallar es una periódica bimensual. Se aplica laj¡ 1111Iula para cambio de periodo:

· "t , (1 I i,)"'f¡

II 0,03

Para el tiempo, una forma de trabajar, puede ser haciendo referencia. entoda la fórmula a un año, es decir, en un año hay 12 meses (n) y en UII athhay 24 quincenas (l12).

ni = 12n2 = 24

/2i,= (1 + 0,03) N - 1 = 0,01488916

Se obtiene una tasa del 0,01488916 bimensual o:i = 0,01488916 (100%) = 1,488916% bimensual

Respuesta: El 1,488916% bimensual es la tasa equivalente al 3% mensual.

4. La tasa que se conoce es periódica/efectiva anticipada y se requiereuna tasa periódica/anticipada vencida del mismo periodo: se aplica lafórmula para pasar de anticipada a vencida.

Ejemplo 3-16

¿Cuál es la tasa efectiva equivalente a130% anticipado?

Solución

La tasa que se conoce es:ia= 30% anticipado

la

i = 1- ia

i= 0,31 _ 0,3 = 0,42857143

La tasa que se conoce es una efectiva, por lo tanto, si sólo se pasó de anti-cipada a vencida el resultado será una tasa efectiva:

i = 0,42857143 (100%) = 42,857143%

Respuesta: El 42,857143% es equivalente al 30%.

IInll'" In las!! trimestral anticipada equivalente al 7% semestral antici-"{'

1111'111 <I"C se conoce es:1"11 semestral anticipado

iai = 1- ia

0,07 = 0,075268820,07

111 IlIsa que se conoce es una semestral, por lo tanto, si sólo se pasó deuruipnda a vencida el resultado será una tasa semestral, y se debe hacer el11111110 de período para tener la trimestral:

2

(1 + 0,07526882)4- 1 = 0,03695169

\llora, ya se puede convertir esta tasa trimestral vencida a trimestral an-111 II'"da:

0,036951691+ 0,03695169 = 0,03563492

0,03563492 (100%) = 3,563492% trimestral anticipada

spuesta: El 3,563492% trimestral anticipada es equivalente al 7% semes-tral anticipada.

1I La tasa que se conoce es nominal anticipada y se requiere una tasacon periodo diferente a la nominal vencida: primero se debe pasar de

nominal anticipada a pcriúdicu unucipudn, hit'''.'' &I~Iperiódica vencida, y se realiza el cambio de Pl"I lid 11

Ejemplo 3·18

¿Cuál es la tasa semestral equivalente al 30% pagadero trimestral ant idpado?

Solución

El primer paso ya se había visto en un ejercicio anterior, es decir, reconocerel tipo de tasa que se tiene:

ja = 30% pagadero trimestre anticipado

Se trata de una tasa anticipada, puesto que así está identificada. Y la tasaque se requiere hallar es una periódica, semestral. Primero se debe pasar latasa de nominal anticipada a periódica anticipada, luego de periódica antici-pada a periódica vencida, y finalmente se hace el cambio de período:

1. a1=-

a m

El número de capitalizaciones trimestrales que hay en un año son 4, esdecir:

m=4

Conociendo todos los elementos para reemplazar en la fórmula, se procedea hallar la tasa requerida:

0,30 = 0,075ia = 4

Se obtiene una tasa del 0,075 trimestral anticipada, ahora se convierte avencida:

i1 = -----'L-

1 - iaDonde:i = 0,075a

0,075 =0081081081 = 1 _ 0,075 '

••••• Anlncl.,.1 .pll la fonldbllld"d

11 semestral. donde:

11

I ',) /14

(1 I O,OXIOXl08) 1. l = 0,1687363

11 ICtX 11(>.3 (100) = 16,87636%

~1II1".\'ltl: I~I 16,87363% semestral equivalente al 30% pagadero trimestralauticipado.

tal/Ul que se conoce es nominal anticipada y se requiere una tasaumlnal anticipada con períodos de capitalización diferente a la no-Ilnnl conocida: primero se debe pasar de nominal anticipada a periódica

nuucipada, luego se aplica la fórmula para pasar de periódica anticipadaII pl'l'iódica vencida, se realiza el cambio de período, se pasa de periódicavencida a periódica anticipada, y finalmente se convierte de periódica anti-I ipuda a nominal anticipada.

plo 3-19

,,1 'IInIes la tasa semestral anticipada equivalente al 9% pagadero trimestralIItll"pado?

tildón

1,,1 primer paso ya se vio en el ejercicio anterior, es decir, reconocer el tipoIl' Illsa que se tiene:

l., 9% pagadero trimestre anticipado

"e trata de una tasa anticipada, puesto que así está identificada. Y la tasa'1'11' se requiere hallar es otra nominal anticipada. Primero se debe pasar laI'I'UIde nominal anticipada a periódica anticipada, luego de periódica anti-I Ipnda a periódica vencida, se hace el cambio de período, posteriormente se

l'IlI1VIl'Itc de 1H.'núdicn vencidn 11 periódica nlltlllipll.tll, y llunluu-ute ,'Il' pl'r\l

d 1l'1I 1\lit icipudn U noiu ina I unt icipada, así;

. la{=-a m

I~I número de capitalizaciones trimestrales que hay en un año son 4. l'N

<lucir:III 4"onociendo todos los elementos para reemplazar en la fórmula, se procede

ti hallar la tasa requerida:

lai= ~

Se obtiene una tasa del 0,0225 trimestral anticipada, ahora se convierte nvencida:

0,09 = 00225i= -4- ,

Donde:

i = 0,0225n

. 0,02251 = 1 _ 0,0225 = 0,0230179

Ahora, esta tasa trimestral se puede convertir a semestral, donde:il = 0,0230179 trimestralni = 4 trimestresi2 = ?% semestral112 = 2 semestres

nii

2= (1 + i

l)-;;;-- 1

.¡

i2 = (1 + 0,0230179fT - 1 = 0,04656563

i = 0,04656563

0,04656563la = 1 + ° 04656563 = 0,04449375,

iD = 0,04449375m =2

j = i ma a

••• !MII••• ftftlftflfl.1 Ipll lillOnlnhllldnd

0,01(1(111(

ILOI(I(III( I~ (1(lO) M,M'IHN:'--"

:.""U",ftll: 1'1 H,H9H75% semestre anticipado es equivalente al 9% pagaderotrinrestrul anticipado,

"Mil huccr una conversión de tasa, primero se debe trabajar sobre las ea-h'II •.•IIl':lS de la tasa conocida y llevada hasta periódica (si no lo está) para

1111'1 11I1~¡II'IH H la que se desconoce, por lo anterior, resumiendo los pasosIlIh/lldos nutcriormente y con base en la aclaración que se está realizando,I 1", 1'll'l'<.:icios se utiliza el método descrito, en el orden que se presenta y1I1!¡'IHlodesde donde se requiera hasta llegar a donde se necesite:

VEEDORES / CUENTES

¡'IIIIIO se indicó anteriormente las transacciones de mercancías para su co-1I11'Irilllización o de las materias primas para su transformación se pueden ha-

1 di' contado o a crédito. Y cuando son a crédito el proveedor puede cobrar11111 IIlIa tasa de interés de financiación.

'1 se cobran intereses, por medio de interés compuesto, éstos deben ser111, ulndos.

limpio 3-20

I IIlH empresa adquirió mercancía por $42.000.000, firmada a 3 meses, a111111 (lisa del 1% mensual, ¿cuánto debe pagar para cancelarla?

luclán 1

VP = 42.000.00011 3 meses

0,01 mensual

VF = VP (1 + irVF = 42.000.000 (1,01)3VF = $43.272.642

spuesta: Se debe cancelar $43.272.642.

1':11 l.xccl:

131••- ti r"'l· 0.01

11 •••••• ,¡ !,;). I

....•.. íM·';,¡ U .'SJ - ';¡lODODOO

)o ~ Al \1111111''',1111 ~.1\

11\~1\

NP~RVI\

4 VI

56

0,013

-42000000I=VF(Bl;B2;;B3) I • ~.r.t1)M)'

i~":!:~~·'Io""'''''''~'''''''''''fO~~''''''"<1.''-''I'''''~'''''''''''',••.• ,"1oI~_.""~ror~ ,..,,~._.,....,.....~I '~"_M,'lI-""''''

I

1·~·Ii¡I\IO'..u.-I~l:!qt<tl.OO

1"' •••.••• "''''''... __ [",-")[ •••••••• ,8

Respuesta: Se debe cancelar $43,272.642.

CUENTAS POR PAGAR I CUENTAS POR COBRAR

Otro caso en el cual se pueden liquidar por medio de interés compuesto escuando se toma o se presta dinero con la firma de un documento o título valorque le respalde.

Ejemplo 3·21

¿Por cuánto se debe contabilizar un préstamo recibido de un tercero, por elcual se encuentra la siguiente tirilla de chequera?

Solución 1

BANCO DE TODOS B b400~O, ;'".~" ...El1+' "J' .•OeQ·AAUENIA CENTRO . OUlNOIO

CALLE 20 NO. 15-1&

I/",....t

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!1•• 'M'''. ]re,,)~.'1. j(<!'i, Wl', liq",~"d<;p~\.o<;, !~~o.""C¿Q. e..-I-s:._._

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l. conlAbllldAd 1

F VP (J ¡ i)"

l'

1 O()(),()()() (1,025) I

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ar por $4.878.048,78.

1'11 I':xc¡;!:

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1 TASA 0,025 f.~ ti ~ -,."

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11 VA I=VA(81;B2;;B3) I ¡t'ot~.h_P'~_~dltN •.•...-'U.r.o.~u1ocf,.~:~.-dl~Mu:(IS.

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67

R

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11l:etU'..N'>I;it"'~t- l~~~~,;JA

l~dI.,,",~lU.Mfl C~-.J L:~~..=:

spuesta: Se debe contabilizar por $4.878.048,78.

ASAS CONJUGADAS

OPERACIONES EN MONEDA EXTRANJERA, MÁS QUE UNA TASA

Firmar un crédito en moneda extranjera o realizar una inversión en otrati ivisa, contablemente implica hacer la conversión a pesos de la divisa, dercuerdo a la tasa de cambio representativa del mercado (TCRMI) a la fecha a

111 que se realiza la transacción.

" "La TCRM es un indicador económico que revela el nivel diario de la tasa de cambio oficial en el mercado spotrlo divisas colombiano. Corresponde al promedio aritmético de las tasas promedio ponderadas de compra y ventarle divisas de las operaciones interbancarias y de transferencias, desarrolladas por los intermediarios del mercadocambiario que se encuentran autorizados en el Estatuto Cambiario.

Filllllll'll'llI Y l'I'\IIIÚIIIIl'III1H~IIII'IIIVnllll'l'lIl'll'o¡llIIlllI di' \'11111111111IVII11y que huceu que lo que Se 1111/;1.(1o se n'l'dll' 'll'1I ""I"'11t1l \1 IlIkllOl ni1l'lIdllllil'1I10 propuesto, variables tales corno lu inílucuu: dl,l luds dondeIIIVII'IIl'. 111dcvaluación/rcvaluación de la moneda, y la inflación del pa¡~ ddundc proceden los dineros que se invierten.

1'111'11determinar el valor que se invierte en moneda extranjera, se debe I'i.'U11/1\1'111conversión de pesos a la d iv isa en cuestión:

VP = VP¡;; --te,1Jondc:V"I Valor presente en moneda extranjeraV P Valor presente en pesosTe!) = Tasa de cambio representativa del mercado de la moneda extranjera

'11la fecha en que se realiza la inversión o se adquiere la obligación, para el"ISO colombiano,

1k ahí que si se tiene valor presente expresado en moneda extranjera y senecesita saber a cuánto equivale en pesos, se despeja VP y se tendrá dichaci íru:

VP = VP¡;;(Tej

luual caso para el valor futuro:

VF = VFE --Te ,

VF= VF¡;;(fe)

Donde:V FE = Valor futuro en la moneda extranjeraVF = Valor futuro en pesos

/11 S/lperintendencia Financiera de Colombia tiene la obligación de calcular la TCRM, divulgarla al mercado y al pú-/111(:0 on general, conforme a lo dispuesto en el artículo 80 de la Resolución Externa No, 08 de 2000, expedida por la,111/1111 Directiva del Banco de la República, la metodología establecida por el Banco mediante Circular ReglamentariaI JODM· 146del21 de Septiembre de 2004, el Artículo 93 del Decreto 4327 del 25 de Noviembre de 2005, ResoluciónNo (J11G del 03 de Marzo de 2006 de la Superintendencia Financiera de Colombia",(lillll.//www.superfinanciera.gov.co/)

lA lonlllhlllllllll

I 1'lItwdi' 1'111111111111'1"I'~I'IIIIIIIVIIdol mcrcndo de la moneda extranjera111 "'lhlll'lI '1"1' '11'liquidu 111iuvcrsióu o se cancela la obligaciónI Iwlll ,!tH' 11'111111,1dinero en el extranjero en moneda extranjera

1'11111 hnllnt el vulor futuro, conociendo el valor presente, primero se deber \11 1'\lllv~f'siúlI de pesos a la moneda extranjera y se iguala al valor pre-

1111'\'1\ ruuncdu extranjera por (1 + ie )n :

" ¡.' 11

"'('(1

fe)"{c, "

Ih·•.•pcjuudo VF:

VF = VP [ ~g:] (1 + i)n

1kHpejando en la fórmula anterior a VP:

VFre ] = VP'te: (1 + i.r

VP = VF [ ~~:] (1 + .r1,11devaluación/revaluaeión es el fenómeno económico que irnpacta direc-

1IIIIIuIlleen el valor en las divisas y se expresa financieramente en que el valor1111111de la moneda extranjera (Te) es la sumatoria del valor inicial de la rno-III'dn extranjera (Teo) y la devaluación:

(Tel) = (Teo) + D (1)

I)onde:1) = Devaluación

l.a devaluación es igual al valor presente en moneda extranjera multiplica-do por la tasa de devaluación del período:

D = id (Teo)

Reemplazando la devaluación en (1):

(Tel) = (Teo) + (id (VP E)

ttc) (Teo) (1+ id)

/( "no,o

(1 I '" (2)y:

, "

Teid == TC' - 1

o

Tomando la fórmula de valor futuro y reemplazando (2):

VF ==VP [ ~~; ] (J + 1)"

VF = VP (1 + i r (J + I )"e d

Donde ie es para todo el período:

VF = VP (J + I )" (J + I )e d

Se despeja VP:

VFVP = (1 + i)" (J + 1)

En interés compuesto:

VF = VP (1 + i)"

y como:

VF = VP (1 + i.)n (1 -1- id )

VP (1 + i)" ==VF(l + iJ"(l + id)

(l+i )==(l+i)n(l+i)d e d

Se encuentra que hay dos i, una la ie que es la tasa de interés ofrecida opagada en la moneda extranjera; e i que es la tasa nacional, es decir aquellatasa que no está afectada por otros factores diferentes al interés que se cobrao se paga.

Despejando:

(1 + i)n==(1 + Un (1 + id)1(1 +i)==(l + U(1 +id)n

11==(1 + 1) (J + I )n-1

e d

I1rnntAhllldllct

(1 1 1)"(I I-I~)i'

idI I /)"

(I I ¡-¡;;-1l'

(1 I ¡)"(1' Ir)".1

Ie

(J + 1)" _ 1(J -1- i,,)"

IIHh"tll'1l1de interés nacionaltll~1Ide interés en moneda extranjera

lo 3·22,1 '111'11 I.!S la tasa de interés efectiva obtenida en una inversión realizada e123IIp,mllo de 2000 (TCRM $2.187,83) hasta el 23 de agosto de 2004 (TCRM/t()(i,57); a una tasa en dólares del 6%?

('f(jn

1('1) = $2.187,83

J( '1 -= $2.606,57

. ~-1Id== rc

o

Id2.606,75 _ 12.187,83

id ==0,1913951

i ==0,06o

1

i ==(1 + ie )(1 -1- id )n - 1

i ==~1,06 )(l,19113951~- 1

i ==0,1237192

0,1237192 (100%) ==12,37192%

Respuesta: La tasa de interés efectiva a la que rentó la inversión es del12,37192%.

,-.:)~ «2~üU •.....•t..•'<CCO ~Z;;S ~0°0~(j 111°U~U)~ ~~q CO> 1-004

Z tll::J

;Jemplo 3~23

1¡no l'Il1prCSa oht icnc un préstamo en dólares pUl $100 OOO.()()() el 1) til'nVIIl de 2007 (TCRM $2.231,48), que debe ser cancelado con un solo pll~1I

1,112 de enero de 2008 (TCRM $L.985,35). La tasa en dólares es de 7%, ¡,COII

l'Iu'1I11ocancela el crédito? ¿Cuál es el valor total de los gastos por interesef runncicros en esta transacción?

S(}lución

VI' $700.000.000

re; $2.231,48

Te¡ $1.985,35

I 0,07l'

VF=?VF = VP [ ~~~ ] (1 + i)n

[1.985,35 ]

VI<' = 700.000.000 2.231,48 (J,07y

VI' = $666.386.045,01

I = 666.386.045,01 - $700.000.000

I = -33.613.954,99

Respuesta: El valor que debe cancelar por el crédito es de $666.386.045,01.La transacción generó una utilidad de -$33.613.954,99 al reali-arla porque fueron prestados $700.000.000 y debe cancelar un

menor valor producto de la devaluación del dólar en las fechasplanteadas.

Ejemplo 3~24

Si el mismo caso anterior se presenta para una inversión, ¿cuál es la tasaque gana el inversionista en la transacción?

MIIIMItIIt IIII"CI,,., .,11

.. '!I) ~!II"IX

11'1' '111 C¡X\I

0,0 I

1

i = (l + i)(1 + i,Jn_1

I7 í /.985,35]]

(/.0 ) L 2.231,48 - 1

0,04801992

O,0t1HOI992 (100%) = -4,801992%

.\1",esta: El inversionista pagó una tasa de interés negativa durante el perío-do del 4,80 1992%.

CTIVO/DEPÓSITOS EN MONEDA EXTRANJERA

( 'untar con efectivo en otras divisas es una posibilidad que tiene las em-I"l'sas para la cancelación de obligaciones en dichas monedas o para atender.Iu-ntes o proveedores que transan en divisas.

La disposición en materia contable a nivel nacional es tener una monedaluucional, el peso, a la que se registrarán las operaciones. Siendo posiblehnccr transacciones en monedas diferentes a la funcional, su registro se debe11'1\1 izar en pesos.

Para realizar conversiones la tasa de cambio representativa del mercado es1111 indicador oficial que sirve de referencia.

Para los cálculos de las variables financieras se deben considerar las formu-lnciones matemáticas arriba explicadas.

[emplo 3-25

Se depositan $50.000.000 en un certificado a término fijo en un banco nor-teamericano el día 20 de septiembre de 2008 (TCRM $2.067,45), con ven-

/IIICIIIII /11 ~II d~' 111'111111" d,' ,'OOX ( /( 'H 1\1 1i.' ."11

.,( '11111110 l)~ 1'1 \,1111" 1'111 l'Il'IIi11 Sl' dL'h\.'1I CUIISIII flIII'II'M$,1 I l/U, "

SIJ/ucM"

v P $50.000.000T( '() $2.067,45'1'(', $2.174,62I 0,05

1°

11 10días1/]

i/ = (1 + i] )nr - 1,i, = (1,05)165- I

i = 0,000133681 diaria

[~Vp[[ ~~;]r[+ i.J"- [ JJ 50000000 [[2. 174,62J (1000133681)/°-1 J'. 2.067,45'

I= $2.662187.80

Respuesta: El valor de los intereses a causar es de $2.662187.80

Ejemplo 3·26

Se está haciendo el presupuesto para el siguiente período y se requiere sa-ber ¿cuánto se obtendrá al cabo de 11 meses si se invierten $45.000.000 en el»ctranjero a una tasa del 1% mensual, con una TCRM en la fecha en que se

realiza la inversión de $l.944,01 y una TCRM proyectada de $2.014,27 al fina-Iizar? Explique cuál será el resultado si en la ejecución la TCRM al finalizarfue de $l.777,98 y a qué factor se debe dicho resultado.

Soluctán

v p = $45.000.000i = 0,01 mensual

In ((Inlllhllld~cI

VI

VF = VP t ~~~] (1 + ie)" JI~ ()()()ooor2.014,27] (1 01)11]. , . 1l·944,01 '

$52.019.576,9

[1. 777,98] 11]5.000.000 1.944,01 (1,01)

VI'

,""

VI" $45.917.264

spuesta: Cuando se realiza la proyección se obtiene que el valor a recibir esde $52.019.576,9; pero en la ejecución se obtiene $45.917.264, ladiferencia se explica por la devaluación de la divisa en el períodomencionado.

BLlGACIONES EN MONEDA EXTRANJERA

Los créditos otorgados en el exterior, en moneda extranjera, son una fuente11 111que acceden las empresas para financiar sus actividades o sus proyectos.

La diferencia entre estos créditos y los pactados en moneda nacional es larnnversión a divisas para los abonos o cancelación, hecho que puede repre-

ntar una utilidad o una pérdida por diferencia en cambio.

Jemplo3·27Se obtiene un crédito en dólares por $1.000.000.000, el 1 de agosto de

008 con una TCRM de $1.800,54, a 2 meses, a una tasa del 0,99% mensual.TCRM a agosto 31 $1.932,20; a septiembre 30 $2.174,62; y.a 1 de octubre de$2.184,76. ¿Cuál es el valor de intereses a causar a finales de agosto?

v P $1.000.000.000'('('o $1.800,511,'('('1 $1.932,20Te

2=$2.174,62

Te, =$2.184,76

1= VP [[ ~~: ] (1 + i.J" - 1]

- [[1.932,20J / J1- 1.000.000.000 1.800,54 (1,0099) - 1

[ = $83.746.420,52

Respuesta: El valor a causar por los intereses del 1 al 3 L de agosto es de$83.746.420,52

OPERACIONES EN UVR

Las unidades de valor real son el resultado de un cálculo donde se consi-dera la inflación 2 meses antes de su liquidación (por ejemplo para el mes deMarzo se utiliza la del mes de Enero), a diferencia de la tasa de interés real,se estudia más adelante, que se calcula con la inflación de las fechas efectiva-mente transcurridas.

Además de tenerse en cuenta el costo de vida, hay una tasa de interés definanciación que se pacta para calcular los intereses a pagar o cobrar cuandose pacta esta modalidad de liquidación.

Firmar una obligación o realizar una inversión en UVR, implica hacer laconversión del monto a UVR, de acuerdo al valor de la UVR a la fecha que sereal iza la transacción:

VPVPu = UVR

o

Donde:VP u = Valor presente en UVR

VII11111'"'wlIl,' "111"'1111IVI(II l'II'l11l dI' 111'IVI< 1'11 11111:1'1111~:II<lile se realiza la inversión o se

IIIil!ll11,1Illdl/(IICit'lIl

Ik 1I1t1qlll' 111 se Iicnc valor presente expresado en UVR y se necesita saber\11\11111l'qlllvllle en pesos, se despeja VP y se tendrá dicha cifra:

VP = VPu (UVRo)

11111rnso para el valor futuro:

VF =~u UVR

/

VF = VFu (UVR/)

1101lde:

VF11 Valor futuro en UVR

V F Valor presente en pesos

11V R, = Valor de la UVR en la fecha en que se liquida la inversió o se can-dil luobl igación.

l'nra hallar el valor futuro, conociendo el valor presente, primero se debe",1('\'1'la conversión de pesos a UVR y se iguala al valor presente en UVR por¡I I i )":

u

VF _ VP (1 + . )nIJVR - UVR 'o

/ )

1kspejando VF:

VF = VP [ ~~~] (1 + iu)n

Despejando en la fórmula anterior a VP:

VF

[UVR J- = VPUVR~ (1 + iu)n

[UVR]VP = VF UVR~ (1 + iur

1'1111I 111111111'1" 111..,11 tll' IIIll)Il~S l!II IlIll'll" l'1I1111"IL'"11I

V F V l' (1 I j)"

y l'OIIlO:

VI" [UVR ]VP , (1"¡ i )"UVR

Qu

Ambas igualdades expresan a VF en pesos:

VI' VF

VP (J + i)" = VP [~~~ J O + iul'Se encuentra que hay dos i, una la iu que es la tasa de interés ofrecida o

pagada sobre UVR; e i que es la tasa normal.

VF [UVR ](1 + i)" = - 'O + i )"VP UVRo u

V(J + i)n = ~¡[~~J(l + iu)"

La tasa de interés:

i = [[~~~]O + iu)J-1Pero, si lo que se requiere hallar es la tasa de interés en UVR o de la obli-

gación:

(l + i)" = VP [UVR, JVF UVR (l + i )"o u

[UVR]VO + i)" = ~I UVR~ O + iul'

O + i)- 1 = i

[iZ~:J u

1.IOllldhllldll" 11

I1

('1111' I J

1" _ ~il/'N~ (1 1 i) - I

1,('III',ll','l 111luSI1 de interés efectiva obtenida en una transacción realizada enVl{ 11 "IHllaSH del 11%, si al inicio, ellO de enero de 2005 la UVR se cotiza

11 'Id,1 Ct.()(¡I1I Yal finalizar, el 10de abril de 2005, se valoriza en $149,0334?

·'(jn

1" 0,11IIVl~o $146,064111V RI = $149,0334

i _ [[ UVR ] ]

I -[C149,0034 J ,- UVR; (1 +;,) -1

L 146,0641 0,11)12 J-1t 0,04729943 trimestral

/I •• (1 + i, )~:- 1

11 .: (1,04729943)4 - 1 = 0,20304942

0,20304942 (100%) = 20,304942%

rspuesta. La tasa obtenida es del 20,304942%.

L IMPACTO DE LA INFLACiÓN SOBRE LAS TASAS DE INTERÉS

Las inversiones están afectadas por la inflación, puesto que el poder ad-quisitivo en la fecha en que se invierte varía para la fecha en la cual se recibenuevamente dinero, haciendo que la relación entre ingresos reales e ingresosnominales difiera. Por ejemplo, si cuando se hace una inversión de $100.000,con este dinero se puede adquirir 100 unidades de un bien x; y cuando vencela inversión con los mismos $100.000 se pueden adqu~rir sólo 90 unidades del

1111..•11111hil'",\ :,iglldll'U qlll' 11111>0111111VIlIllIl'lI'lII 1m llllllitlCI IIdqlll'¡IIIVO y 111lu tlllllo 1:11111mvcrxión.

1'111'11clim inar el efecto inflacionario sobre el dinero y IHHI01'realizar (;011I

pnrncioncs con dineros bajo el mismo poder adquisitivo, se requiere dcflucuu,1 dinero, es decir, quitarle la inflación a la suma obtenida como valor futuro.

o iuflactar O actualizarlo, es decir, incrementar la inflación al valor presente.1k esta manera se trabajaría con precios constantes; y el cálculo de la tasa deinterés bajo este enfoque se refiere a una tasa de interés real.

En los términos que hasta ahora se ha venido calculando la tasa de interésse hace referencia a una tasa de interés nominal, diferente a la tasa nominalidentificada como j; es decir es una tasa que se calcula sin eliminar los efectosinflacionarios sobre el dinero.

Actualizar VP se refiere a tomar la inflación del período en cuestión, esdecir, la transcurrida entre el período de la inversión y el valor futuro, e in-crcmcntarla al valor presente multiplicando VP por (1 + el porcentaje de in-Ilación), que ahora es valor presente ajustado. Si no se conoce el porcentajede inflación para el período, se toman los índices generales de precios para lafecha inicial y para la fecha final y se relacionan para conocer el porcentaje deinflación del período.

s decir:VP . = VP O + inf)

aJ

o expresado con los índices generales de precios:

inf=-.!L - 11

I

VP= vp[~JaJ 1

I

Donde:VPaj = Valor presente ajustadoinf= tasa de inflación para el período

Ir = índice final de precios1, = índice inicial de precios

Partiendo de la igualdad:VF = VP (1 + i)n

I~1I1111nblllclllcl11

1.111"11IIr 11111.111•.••hlln' Idl'II'I!l'IIIIII" 11I"IIIIH)lIliIlHI,pero al involucrar un'''I'lIh' II,IIINIIIIICI, St' 111i11/11111tmlll de interés real:

l' /.' VF= VP O + i)nP (1 I i)"01 ,.

" 1II'I'HItel valor presente para realizar análisis a precios en la fecha última.

I111I1I1l':1 111'011de interés nominali I11Sil de interés real.,1'111il hnllar el valor futuro ajustado, es decir, para deflactar el valor futuro:

VF =[vp4:]0 + i}"

'l' despeja VP que sería la variable a la cual no se le aplica la inflación

VF = t~]= VP (J + i )"

( ihtcniendo:

VF t0- ] = re,l'or lo cual:

VF . = VP O + i)"aj

Donde:V F = Valor futuro ajustado

lO)

Despejando la ir:[VF J--!'

ir = [ Vp' -1

Para calcular los intereses reales obtenidos en el período de la inversión:

1 = VF.- VPr (1}

Donde:

1 = Intereses realesr

Para establecer comparaciones entre la tasa de interés nominal y la tasa deInterés real, se debe tomar a n como 1 período, bien sea 1 mes, 1 semestre, 1lila, etc.

SI

V F V P (1 '1 i)"

y:

VI,' [ve +] (1 I i,J"

Si en ambas igualdades se toma VF / VP y n es 1:

VF11

(1 + i,J"

fi'

VII [tj (1 + i.)

Igllulnndo VF/VP :

I~~-](1 1- i,.) = (1 + i)

y:

1 I in+= lL':1 1

i

Entonces:

(1 -1- inf) (1 + ir) = (1 + i)

i = (1 + inf) (1 + i,J - 1

Para hallar la tasa de interés real conociendo la tasa de inflación y la tasade interés nominal:

(1 + inf) (l + ir> = (l + i)

(1+;)= (1+i)r (1 + inf)

(1 + i) _ 1(1 + inf)

(1 + i) - (1 + ir¡!)(1 + inf)

ir

1r

ir

1+ ir¡[1 + inf

1" 101I1"hlllll,,1I 11

,I 1 Y se puede reemplazar en las últimas

"

j,1 ',,¡'¡ll'S la (USH de interés real que se obtuvo en una inversión de $18.000.000,111/111111 \.'1\ agosto de 2005 (í nd ice general de precios $159,816921) y que per-

1t1\lIlTIc'l hasta agosto de 2007 (índice general de precios $176,100364), a una'~IIcll" XCYíI?

('¡án

1'"

(1+i)(1 + inf)

- 1

I (1,08) - 1, [176,10036-

159,816921

1 0,058546686I

(0.958546686) (100%) = 5,8546686%

spuesta: La tasa de interés real obtenida en la inversión es del 5,8546686%(bianual).

[emplo 3-30

,_ uál es el valor futuro ajustado que se pagó en un crédito por $78.000.000,d 25%, a 1 año, si el índice general de precios al tomarlo era de $173,741822

.v ul vencimiento de $184,037679?

sotucián VF. = [vP (1 + i)" ] [+]]1173,7418221

VFaj = ~8.000.000 (J,25F L184,037679

VFaj = $92.045.431,88

Respuesta: El valor ajustado que se pagó es de $92.405.431,88

RENCIA: DTF, LlBOR; PRIM

()I,'II modulid.ul ofrecida en el mercado son las IIISOSde referencia, qul'Ollsistu UI1 1I110S indicadorcs que muestran el corn portam icnto de las tusn1,11 íasa de referencia colombiana se llama OTF, que es la tasa promedio ti'lIplación de los COT a 90 días. Hacer una transacción al OTF, significa ((11

se liquidará con base en la tasa del momento.

El I)TF está dado en período anual, por lo que si se pacta al OTF más 111111

cantidad determinada de puntos, éstos también se deben expresar anualrncnle. Un punto equivale a 1%.

Ejemplo 3-31

Se realiza un depósito de $9.000.000 en una entidad que ofrece una tasale DTF (9,49%) más 2 puntos. Si el dinero permanece por un año, ¿cuál es el

valor de los intereses recibidos?

Solución 1

VP = $9.000.000n = 1 añoOTF = 9,49% + 2% = 11,49%

J = VF ((1 + ir - J)

1= 9.000.000 ((1,1149)1 - 1)

I = $1.034.100

Respuesta: El valor de los intereses recibidos es de $1.034.100

11

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:'~~ft,,~ •. UO,~\QloO)

I IA'IANI'I HVAVI

"I11

J &M.J.Mn.-lA:oíNj_, _... _,_ ._, _ ••• __ _ ••• 0' __

$10.034.100 - $9.000.000$1.034.100

spuesta: El valor de los intereses recibidos es de $1.034.100

Jlmplo 3-32St: toma un crédito por $76.000.000 a 2 años, a una tasa de OTF (10,21%)

1I11'Il0S 1 punto. Si al cabo de los 6 meses se cancela todo el valor adeudado,,,\ uúnto se debió haber pagado?

Ntllllción 1

VP = $76.000.00011 = 1 semestrei = 0,1021- 0,01 = 0,0921

i¡= (J + i2) - 1

i¡ = (1,0921) - I

i = 0,045035885 semestral

VF = VP (l + i)n

VF = 76.000.000 (1,045035885)1

Respuesta: Se debe cancelar $79.422.727,23

-••.•••. J- ·\1'1'1\",11I1

Al ••••••• .,. ••• ~~ """""""

~01

AI IA~A) NPERI VA4 vr

IIO.04~03!)885

1

-1,6000000=VF(Bl;B2;;B3)

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11 l~:~"""':,~~ C~.J'c-

NI',\'/,m',\'la: Se debe cancelar $79.422.727,23

'ASA DE INTERÉS EN TRANSACCIONES CON OTROS GASTOS O TASAON ARANDELAS

I":s común que en las transacciones se presenten gastos directos o indirectosderivados de las mismas. Es el caso de los gastos por estudio de crédito queSt' dan en los créditos; o los gastos de constitución y levante de hipoteca enel l:IlS0 de transacciones con hipoteca. Estos otros gastos hacen que la tasa deinterés que se paga/cobra sea diferente a la pactada.

Ejemplo 3·33

Se f rma un crédito con hipoteca por $2.000.000.000, a una tasa del 3% bi-mestral, a 1 año. Se debió cancelar un 7% del valor del crédito para constituirhipoteca y un 10% sobre el mismo valor para el levante de hipoteca. ¿Cuálfue la verdadera tasa de interés pagada en esta operación?

Solución

V1\ = $2.000.000.000j 0,03 bimestral11 6 bimestres(', $(2.000.000.000) (0,07) = $140.000.000( " $(2.000.000.000) (0,10) = $200.000.000

Id IlllIl~hllld~d 121

11I1i1l I'lIl'1l1dl1 I'IIl' 11\:1 :1% hl1l1l'~IIIII, !ll'IO 111 recibir el crédito la personahit, (~~ ()()O O()() ()OO = I·IO,O()(),()()()) $1.l{()O.OOO.OOO,y al finalizar deberá

VF= VP(J + i)"

VI

.ooo .()()O.OOO (1,03)6

$2,188.104.593 + 200.000.000

VI:, $2.588.104,593

[VF] ~i = L VP -1

[2,588,104,593]{_1[ 1,860,000.00

0,056602125

0,056602125 (100%) = 5,6602125% bimestral

spuesta: La tasa pactada es del3% bimestral, pero la tasa que realmente sepaga es del 5,6602125% bimestral.

,\'"tllción 2

""-~i A1 TASA

2 NPER

3 VA

4 VF

5

678

_"w. .•,,,._,,,~_,,,__.•.._....•.•~ .•.,.•.~_'__ . .

~~.;_!~~~.o\l1:t81;82;;'tl$! "'9" ••-'O¡ck.h.OI'<~" L~'

1'" ,'--- iFJ0,03 I :: :: ~ : :.01

6 t p~ '~ - --,.' •...•

1 V.,J ñ(;l_.~-2000000000 l,~ .~. ,"_.o,'

! ', _rM~S'.il:

=VF(Bl;B2;;B3) I~OI"-!""d~'_1I.1Y.4o!:~'""",""C>I'..tdofl'lNi)')C.~.n.:oc"'or'dIollet'VlN.lfAóe~b jl.:rOáoWttlWlIe, . :

I lu.. ff\,¡tfWdt~p:.t~"'~._.~pr.~ !f u •••w •••• .,.,.do:'P4. ¡, i¡ :¡;;~;:;.:."~,..,~'_~.,~.f;~:;J!

B .~..-

~ ., t. .14\1\1".,_1111I1

BA1 TASA

2 NPER

3 VA4 VF

56 NPER 6

7VA -18600000008 VF $ 2.588.104593,06

9 TASA =TASA(B6;;B7;B8)

~.to '.

Vlllur 1 I ntorcHCH$100.000.000 20% $20.000.()()()$1()().OOO.000 30% $60.000.000$'/O().OOO.OOO 5% $35.000.000$100,000.000 10% $30.000.000

$1.100.000.000 $145.000.000. 1¡=--

VP

0,03

6-2000000000

$ 2.388.104.593,06

..•...••'- , ,'111111'111111"'1111tl'11111'11Hllr/.111I11t1.,11) 1Al

'r. p

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"<tQ~1.'~!~>4'»4(/o1;:~~6ro<o:r/o6(¡de."""'n·._:l., .•.tr\rf1JC'! ~')I"~.'-R.~41'*.1IoI'JM! ,...."'l~.• '~Ji~'I,.lp•.

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¡,,~~'III' 1 c~...,, 6'UiA;W:>rA~t.~~

/·/5. O()O.000/.3 00.000.000

0,111538462

0,111538462 (100%) = 11,1538462%

spuesta: La TIO del portafolio es del 11,1538462%.

1.11tasa de interés promedio ponderado, TIO, también se puede calcular11I1I'iiderandoel valor de cada inversión, para determinar su proporción delI()()IYcI o total de las inversiones; cada proporción se multiplica por la respecti-\'11tusa de interés de la inversión, obteniéndose Ia participación de cada inver-

rón en la tasa de interés total. Finalmente se suman cada una de las tasas deplIl'ticipación y se obtiene la TIO.

Respuesta: La tasa pactada es del 3% bimestral, pero la tasa que realmente S"

paga es del 5,6602125% bimestral.

TASA DE INTERÉS PROMEDIO PONDERADO (TIO) O DE PORTAFOLIO

Portafolio se le llama a un conjunto de diversas inversiones que rentandiferentes tasas. El cálculo de la tasa de interés promedio ponderado otasa de interés del portafolio se utilizada para portafolio de inversiones opara definir el costo promedio ponderado de los recursos que financian unproyecto o una inversión, utilizada dentro de la evaluación de proyectos.

Cada inversión se liquida a su correspondiente tasa, siendo el 100% la su-matoria de todos Losrendim ientos, y su relación el interés promedio pon-derado de las inversiones o del portafolio. Para el cálculo de esta tasa esnecesario que todas y cada una de las tasas de las diferentes inversiones esténexpresadas en el mismo período, generalmente anual.

.Jomplo3-35Calcular por este método la TIO del portafolio del ejercicio anterior.

1~'(Jlución

Valor i Part. Part (i)$100.000.000 20% 0,076923077 0,153846154$200.000.000 30% 0,153846154 0,046153846$700.000.000 5% 0,538461538 0,026923077$300.000.000 10% 0,230769231 0,023076923

$1.300.000.000 1 0,111538462

inversiónAccionesTransporteFinca RaízBonosTOTAL

Ejemplo 3·34¿Cuál es la tasa de rendimiento del siguiente portafolio?:

InversiónAccionesTransporteFinca RaízBonos

Valor$100.000.000$200.000.000$700_000.000$300.000.000

i20%30%

5%10%

0,111538462 (100%) = 11,1538462%

Respuesta: La TIO del portafolio es del 11,1538462%.

RESUMEN RMULAS DEL CAPITUL

- ~ -Para convertir de ~ a Funolón

Nominal -} Periódica - 11=-

m

Nominal anticipada ~ Periódica anticipada - la1=-a m

Periódica ~ Nominal j e imPeriódica anticipada ~ Nominal anticipada 1 =i ma aPeriódica I Efectiva ~ Periódica I Efectiva ~(Cambio de período) i2 = (1 + i,) n, - 1

_ iAnticipada ~ Vencida I=_a_

1 - ia

Vencida ~ Anticipada ii=--a 1 + i

MllNtI •••n"lnll'"'' ~pll(~d~\~I~(unl,lhllhl.uf 125

luhllOlll1 pUIIO/l do IIIln InvOIlllOI\ ()\lIIIOIIUdu oxtranjera I VF = VFE (TC1 ) IVF

VFE = TC1

111IIlIhulI 1II11l101l0dnaxtranjera

i = (1 + ie)(1 + id)~- 1

_ (1 + i)nle= " -, o - 1

V"lnl 1111\110do una Inversión en moneda extranjera

V/llili prosante de una inversión en moneda extranjera

[TC1] - nVF = VP [rCo (1 + le )

VF = VP (1 + ie )n (1 + id )n

VP = VF t~g~](1 + ie )-n

VP VF(1 + ie )n (1 + id )

(TC,) = (TCo) + O

(Tq = (TCo) (1+ id)

IMPORTANTE: Nótese que para convertir una tasa de anticipada a ven-cida O de vencida a anticipada se debe tener una tasa periódica o efectiva, enningún momento se puede hacer esta conversión directamente sobre una tasanom ina!. Es igual el caso del cambio de período, para poderse realizar sedebe tener una tasa efectiva o periódica,

Variable a hallar

lnsa de interés en moneda extranjera

Valor presenteFunción

VP = VF (1 + i)-n

o = id (TCo)

_ TCId=~ -1

oi _ (1 + i)nd - ,. - lo - 1

Valor futuro VF = VP (1 + i)-nIntereses

1= VF - VP

Valor presente en pesos de una obligación en UVRTasa de interés [VFJ~i=CW -1

VPVPu = UVR

oVP = VPu (UVRo)

_ ruvRol( --nVP - VF ~VR1J 1 + lu )

Ilsmpo lag ~Jn = lag (1 + i)

VAlor presente en pesos de una inversión en monedaoxtranjera

Valor futuro en pesos de una obligación en UVR

VP = VP E (TCo)

VFVFu = UVR

1

VF = VFu (UVR1 )

rUVR1J - nVF = VP~VRo (1 + lu)

nI/In 11111""111)11 uolnu lJVIl

lnen do l!ltoros

IltlVII I '1111L \Jvn~ (1 l' ~ • 1

1 = ll~j (1 + 'u~1vnlor prosente ajustado

VPal = VP (1 + inf)

VP = VP I1Jal 1'11

pllfAclA\ ~ I~ 1IIl1l,Ihllld,1I1 1

111111 111111111111111 íirmu UIIHpromesa de compra-venta para la compra de111 whll'ldll \:011 2 años de uso, por $51.000.000, que entrará a hacer parte

11 l'ropicdnd, planta y equipo. Para su pago posee $7.000.000 y se""'P"III'l'll' fI pagar una letra cada 6 meses por igual valor, a una tasa del

1.1"" 1II\:11:-1\1 uI a 2 años. ¿Por cuánto se deberá diligenciar cada una de las1'11111"

1IIIIIlol6nl"'n"I'.\'lfl: El valor de cada letra de cambio deberá diligenciarse por

$14.074.541,76

VlIlOlluturo

Vlllol futuro ajustado

Tasa de interés real

I,inf =T-1

I

VF = VP . (1 + i )"aJ r

VF=~P1}1 +ir)"

VF=~P1}1 +ir)"

VF -{ = VP (1 + ir )"1

VF . = VP (1 + i )naJ r

fVF1-;'ir=lVP] -1

. i - inf1=--r 1 + inf

11\111 empresa abre una cuenta de ahorros con $14.000.000, en una entidad'1"1' reconoce el 7%; donde además cada dos meses deposita $500.000.,.( '\1 ¡'IIIto tendrá al cabo de 6 meses? ¿Por cuánto se deberán causar losuuercscs del mes 1 y del mes 6?

ue s ta: Al cabo de 6 meses se tendrá $15.998.787,30; el valor de losintereses a causar en el mes 1 es de $79.158,04 y en el mes 6,$88.127,88.

, SI.: adquiere un préstamo por $800.000.000 a una tasa del 19%, con venci-1\1 icnto a 1 año; igualmente se pactó una tasa del 22% para el caso de exis-lir mora en el pago. Se realiza un abono por $570.000.000 a los 7 meses dehaber adquirido la deuda. Si a los 18 meses de haberse firmado la deuda,

, va a cancelar, ¿por cuánto se debe realizar el pago?Intereses reales 1= VF- VP

r aJ

rasa de interés nominalspuesta: Se debe cancelar $374.605.654,39.

rasa de inflaciónUna deuda por $95.000.000 se pacta pagar en 2 cuotas iguales de

$57.000.000 cada una, calculadas al 20%. Si la primera cuota se paga en1) meses, ¿en cuánto tiempo- en días, meses y años - se debe realizar elsiguiente pago?

i = (1 + inf) (1 + ir) - 1

IJinf =T-1

I

spuesta: En laña, 3 meses y 5 días.

'.!II ¿Por cuánto se firmó una obligación a 4 años, a una tasa del 5% trirnes-íral, si se pagaron $348.000.000, considerando que la cancelación fue liño después del vencimiento a una tasa del 7% trimestral de mora?

MlttrnMluI fttI.n'I".' .1)lIlndA\ 1111111ll1ll1hlllll,,,1 1

.'\1121.(,:" HIIH IH IIl'lIdll 1'(1) '\1' 000000, 111cunl IlIl' üuuuda ti una tasa del 17%; si se1111111111111'\l.' O()O.OOO 11los S mcso», y 11.000.000 a los 16 meses?

JM(' 1,< '111'11lile lo IIIsl1 de interés por mora l'OIIlIIlIIl eu 111111OpCl'IIl'UIII

$:lOO,OOO,OOO, ti una tusa del 2,95% mensual ti (¡ nños, donde se HIHIIIIII$700.000.000 él los 4 años de firmada, y si a los 8 años de haberse Plll'lll

se pagaron $1\08.435.937,66?

p ()1'>.6 17,1\ 5

,.( '1I¡'llIloíuc el dinero invertido en un negocio que rentó $2.000.000 a losI .', IH y 21\ meses; a una tasa del 1,1% mensual?

Respuesta: La tasa de interés de mora fue del 2,693603% mensual.sta: El valor invertido fue de $6.807.559,26

3-7 ¿,Cuál es la tasa de interés que rentó el siguiente negocio? Se realizó IIninversión por $45.000.000, que generó ingresos en los meses 6, II Y 17 P$10.000.000, $13.000.000 y $15.000.000, respectivamente; y egresos en Itmeses 9 y 22 por $11.000.000 y $18.000.000, respectivamente. En el a2 se vende por $60.000.000.

,1\ qué tasa rentó la inversión anterior si los ingresos obtenidos fueronIk' ~ \.000.000, en las mismas fechas?

••• "III',\'(il: La inversión rentó a una tasa del 4,10 14126% mensual

-8 lo1\. cuánto tiempo de realizada una inversión por $33.000.000 fue vendída considerando que ésta tuvo ingresos de $2.000.000 en el mes 5, 9, 12 Y18 Y egresos de $1.000.000 en el mes 12 y 24; a una tasa del 2% mensual,si fue vendida por $44.634.703?

,1\. qué tasa rentó una inversión de $3.000.000 que generó los siguien-h'~ ingresos: a los 4 meses $770.000; a los 7 meses, $850.000; al año,'" I 100.000; Y a los 16 meses, $700.000?

Respuesta: 2,17241% mensual.

tuesta: La inversión rentó a una tasa del 1,362414% mensual

Respuesta: En el mes 26.

I~ Ilalle la tasa convertible trimestral anticipada equivalente al 30% capi-mlizable bimestral anticipada.

3-9 Una persona compra 1.000 acciones que se cotizaban en $15.000 cadauna. Al año de comprar1as le pagan utilidades por $2.000.000 y vende di-chos documentos a $14.500 cada una. ¿Cuál fue la rentabilidad obtenida'?

spuesta: E130% nominal bimestre anticipada es equivalente aI29,621815%nominal trimestral anticipada.

1(, I lalle la tasa nominal trimestral equivalente al 18%.

Respuesta: La inversión le rentó a una tasa del 10%. spuesta: La tasa del 16,898654% nominal trimestral es equivalente al18%.

3-10 Una empresa firmó una obligación por $10.000.000, a una tasa del 1,58%mensual; a la cual, a los 4 meses se abonan $5.000.000; a los 14 meses seabonan $5.000.000; y el próximo pago es de $1.999.620. ¿En cuántos me-ses a parti~ de su firma deberá ser cancelada?

Respuesta: El pago por $1.999.620 se realiza a los 28 meses de firmada ladeuda

, 17 Al morir un abuelo deja a su nieto, todos los activos y pasivos mone-(arios, consistentes en: Un pagaré firmado a 2 años, por $18.000.000 conuna tasa del 19% NMV, Y que se debe cancelar en 2 meses; una letra por$7.000.000 con vencimiento en 2 meses y que firmó 10 meses atrás a una(asa del 2,5% mensual; e igualmente le adeudan un CDT por $30.000.000,a un año redimible en 2 meses y a una tasa del 10,11% NTV, si alguiendesea comprarle estos documentos, ¿cuánto deberá cancelar si se estimauna tasa dell0%?3-11 zCon cuánto se cancela una obligación dentro de 27 meses para cancelar

R,.•puluiltl: I )l'lll' l'ulIl'l'IUI' $.' -16/(,S'I,IIII

J~IH 1,('III'rI l'S la IIISIIde interés que cuhnu on IIIIllIIIIIII'IIIl' si ClllllplC 1111.:1111COIIvencimiento UIl 2 meses, con una InslI d..: 1I1lcrl:s del 211'h 1111111111.pagando por ella $12.100.000, y el valor por la que se firllló 111"$1 O.()OO,OOOY un año de plazo?

Respuesta: La tasa de interés inicial es del 1,52161% mensual.

~19 ¿Por qué valor se registró una obligación, al 2% mensual, por la cualcancelaron los siguientes pagos: $19.000.000 a los 7 meses; $10.000,O()()los J 5 meses de firmada la deuda; y $32.458.000 a los 24 meses de firmadla deuda?

Respuesta: La deuda fue registrada por $44.150.626,75

3~20 ¿Cuál es la tasa de mora cobrada en una deuda por 45.000.000 a I a 1111,al 2,3% mensual, por la que se pagaron: $10.590.000 a los 4 meses de (irmada; $12.590.000, a los 8 meses de firmada; considerando que se cancelecon $49.000.000, 16 meses después de vencida?

Respuesta: Cobraron una tasa de mora del 2,574457% mensual.

3~21 ¿Cuál es la tasa nominal semestre anticipada a la que rentaron$45.000.000, si éstos fueron depositados en un fondo durante 11 meses, alcabo de los cuales se obtuvieron $55.000.000?

Respuesta: La inversión rentó al 20,735813% nominal semestre anticipado.

3~22 ¿Cuál es la tasa mensual equivalente al:1;1. 33%; b. 33% nominal mensual; y c. 33% nominal mensual anticipada.

Respuesta: a. El 2,404955% mensual es equivalente al 33%. b. El 2,75%mensual es equivalente a133% nominal mensual. c. EI2,827763%mensual es equivalente a133% nominal mensual.

3~23 ¿Cuál es la tasa efectiva equivalente. al:a. 3,5% mensual; b. 3,5% mensual anticipada; y c. 35% anticipada.

131

t. 1\1 ~ 1.1()hKhh"l" l'~ \'qlllvillclltc ul 3,5% mensual. b. El11,.ll ~tr!s'X, es cqurvnloutc al 3,5% monsual anticipado. c. El1 I ,KI\(' 15/1'!líJes equivalente al 35% anticipado

,( '1Ii1ll'~ la (asa nominal semestral anticipada equivalente al:',".1' wnll'slnll; b. 36% nominal semestral.

sta: 11.I~I 11,320755% nominal semestre anticipado es equivalente al'i% semestral. b. El 30,508475% nominal semestre anticipado esequivalente a136% nominal semestral.

Fa ltando 8 meses para su vencim iento se compra una letra deOO(),()()O,por $33.450.540, la cual fue firmada a 24 meses; si ésta fue re-

Illlilda al 2,2% mensual, ¿cuál es la tasa de interés inicial?

tuesta: El documento fue firmado a una tasa del 1,5426119% mensual.

, Un documento es negociado antes de su vencimiento, si el valor inicialI'~ de $74.000.000 firmado a 30 meses a una tasa del 25%, y se compró por~ I05,000.000, renegociado a una tasa del 20%, ¿cuánto tiempo falta para1'1vencimiento de este documento?

spuesta: Faltan 13 meses y 21 días para el vencimiento.

¿Cuál es la tasa efectiva de interés por mora cobrada sobre un documen-lo registrado por $7.000.000 a13% mensual, a 12 meses, si 3 años despuésde su vencimiento se debe cancelar 28.704.000?

spuesta: Cobraron una tasa de mora del 42,21 079%.

8 Una persona invirtió $50.000.000 en un negocio en enero de 2005 cuan-do el índice general de precios al consumidor es de 154,965044, en enerode 2008 recibe utilidades de $40.000.000, con un índice general de preciosde 179,846293. Calcule el Valor futuro ajustado, la tasa de interés real ylas utilidades reales.

rspuesta: El valor futuro ajustado es de $77.548.743,03; la tasa de inte-rés real del 15,75371% y las utilidades reales generadas de -$27 .548. 743,03.

M,t.mat.e ftn,n,I"., IIphlIIdll'"In1II11111hlllll11l11

t IlllIl'IIII'Il'"'' Oflt'l't' JlII~"1 1IlIlIlt'lIll1hllhll\clll~11 HIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIqlllVll'IIII!j;I()() O()() ()()(), Sll'lI/1ll1io dd 11110.'()()h \'lllIdll\' ¡.L\'lIvluldt' 111\'111IIl' I M,()) 1 ~ ~ 1Y purn junio (k 200'1 de I NI,O'¡ \I~JI. 1,< 'uril es la 111IlIk'I'l":-'leal <¡IU: gllllfl quien realice dicha inversión'

1101CIIi'lIIh,1111'IIIIIIIHIII111111kllllll \11)orlo 11124%, si hoy 3 meses antes11\\'lIllllllt'lIlo'lL'1I11 cunccludo por ella $50.234.000 a una tasa del 30%

11111 i11,,1'

Nt',\pue!.III: La tasa de interés real es del 11,285251 %..,'111: LI documento fue firmado por $43.626.228,76.

.,-J() ¿,Cu{r1 de las siguientes alternativas de inversión, es la mejor:11. 1)" fondo que le ofrece duplicar el valor invertido, a 1 año;h. lJn rondo que le ofrece una tasa del 20% nominal; y

Prestar dinero sobre hipoteca al 1,5% mensual?

rlt'S deudas adquiridas al 18% a 6, 18 Y 24 meses por $5.000.000,I ()()()()()O, $8.000.000, fueron reemplazadas por pagos iguales a 6 y 12

1'''. ;,('\lúl es el valor de estos pagos si se estimaron a la misma tasa?

r&..'IU",\'II': El valor de los dos pagos iguales es de $7.176.787,93.

Respuesta: La mejor alternativa es la a porque ofrece la mayor tasa de inte: r,< 'uál es el valor inicial de un documento firmado a 2 años a una tasa del1,'11111 mensual, negociado a dos pagos iguales de $900.000 a 8 y 14 mesesIl'••pect ivamente, a una tasa del 1,6% mensual?J-31 ¿Cuál es la no de la siguiente estructura de financiación de un proycct

de inversión?

InversiónCr. BancarioCr. FomentoRec. Propios

Valor$500.000.000$500.000.000$500.000.000

i30%15%18%

'1111',~'ta:El valor inicial del documento es de $1.508.641,55

-32 ¿Cuál era el DTF del día en que se pactó el pago de un crédito po$800.000.000 al DTF más 3 puntos, a 1 año, si el valor con el cual se canceló fue de $900.880.000?

'H 1,( 'uál es la tasa de interés del siguiente portafolio? En acciones hay in-vertidos $300.000.000 a una tasa del 22%; en agricultura, $300.000.000 a111111tasa del 26% nominal mensual; en ganadería, $300.000.000 a una tasadel 1,5% mensual anticipada; y en transporte terrestre pesado $300.000.00011una tasa del 24%.

Respuesta: La TIO del proyecto es del 21 %.

spuesta: El portafolio rentó a una tasa del 23,804626%.

Respuesta: El DTF de la fecha de la operación es del 9,61 %.

3-33 Convierta el 23% nominal anticipado a convertible trimestral anticipado

Respuesta: El 23% nominal anticipado es equivalente a122,5619831 % nomi-nal trimestral anticipada.

3-34 Halle la tasa trimestral anticipada equivalente al 18% bimestral antici-pado.

Respuesta: El 25,7458418% trimestral anticipada es equivalente al 18% bi-mestral anticipada.

MIttIMtlteI ftnlnc 1ft lontnhllldnd

LAS SERIES CONSTAN'TES VVARIABLES

ONSTANTES o ANUALIDADES

11111"1.inicialmente, un vistazo de algunas definiciones de anualidades1I1I,lllIil' la que se manejará a lo largo de este texto.

I ,IIIIIU fljl'l que se entrega o recibe en forma anual durante un período o111111perpetua. En térm inos bancarios la anualidad es una cuota anual de

1111111111 de un pago a un préstamo, en el cual normalmente se incluyen el111.\ los intereses" (Rodríguez & Pierdant, 2007, 192).

l lun nuualidad se define como una serie de pagos periódicos con el fin de,_1illlil' un capital o cancelar una deuda, donde la tasa de interés es fija y losII~~()II iguales" (Donneys, Cabal & Echeverry, 2006, 137).

t /1111anualidad es un conjunto de pagos iguales hechos a intervalos igua-.11" Iicmpo. El térm ino anualidad parece significar que los pagos se hacen

1IlIIllIlcllte. En el sentido estricto de la expresión, esto no es necesariamenteI l 11 Matemáticas Financieras, anualidad significa pagos hechos a interva-

l/tllules de tiempo, que pueden ser anuales, trimestrales, mensuales, quin-IIldllS, diarios, etc." (Meza, 2008,207).

huuando los elementos comunes, realizar o recibir pagos en iguales perio-1m 11 indefinidamente, por una misma suma son conocidos como anualida-

11 series continuas.

l ~I()Stipos de pagos son comunes en los créditos financieros y extraban-11lOS, como los almacenes que comercializan electrodomésticos o cualquier1111'1110,donde se proponen pagos iguales a determinado período de tiempo.

"'11 las anualidades se presenta el pago, depósito o retiro igual que se realiza11períodos iguales denominado cuota o renta, identificado con la R o como

l' le ,'0; interviene la tasa de interés que debe estar expresada en el período en

l'll'1I111'l' Il',di"" l'l fl"Kll IIl' 1" C.'IUtell, ,dl'lIllIlL'ndn \'1111111III I 181; l'lel111"'1&0,. 'HIll\k~, ""l' m, 11\11 n NI'W~; l'l vlllur IJI'\'II1Iuh\ qlll' l~Nl'l vnhul' 1II\IIIIl'ióll que se prestó. «lcutillcndo COI110,1 n I~I,'1.1 valor ñnurn qu

1" S1I1IIaque se IIhol'l'lIl'{1o lo que se tendrá clcspuús de realizar los pl1¡J,II'i/1púsilos/n:lil'Os, idcutificados como VF,' y el plazo de la anualidad. quetiempo que hay entre el primer pago y la fecha final en la que se da cl últlpugo.

TIPOS DE ANUALIDADES

Las anual idades se han clasificado en (Donneys, Cabal & Echeverry, 20(Rodrígucz & Pierdant, 2007; Meza, 2008; Baca, 2000):

a. Según el tiempo:

i. Cierta: se caracterizan porque las fechas son fijas y se determinan prevímente: y

ii. Contingente o eventual: caracterizadas porque la fecha del primer, sgundo o ambos pagos no se conocen previamente, sino que dependen de I

currencia de determinado hecho, del cual no se conoce la fecha.

b. Según el interés:

i. Simple: son aquellas en que el período de pago coincide con el períoden que se capitalizan los intereses; y

ii. General: son las anualidades en que el período de pago no coincide conel período de capitalización de los intereses.

c. Según los pagos:

i. Vencido u ordinario: son las anualidades cuyo pago se presenta al finaldel período;

ii. Anticipados: los pagos se dan al iniciarse el período; e

iii. Inmediatos: el primer pago se presenta con la formalización de/nego-CIO.

d. Según la iniciación:

i. Anticipada: se caracterizan porque los pagos se realizan al principio decada período; y

ii. Diferidas: los pagos 110 realizan a partir del primer período.

M.ltIMtlMI 1

1C•••••• leI ••d de 1)111(0:

1111111''',~ollllqlll,;lIl1s en que los pagos que se realizan son constantes11111'"~

I VIIII"hll'S' son aquellas en las que los pagos varían en una proporción o11111111~IIIIIIIiuual durante el plazo de la anualidad.

111111IIIIIIIIidlldpuede tener las características de varias de estas clasifica-h"l. pOI' ejemplo, puede ser una anualidad constante, por cuanto no varía

1111111'~II duración, y puede ser vencida, es decir, se liquida al final del pe-d"

IIIlIHIidades constantes vencidas se representan gráficamente de la for-

R RRRRRR

I T T T T T T T- - --- --- - ------W---U-i--tO 1 2 3 4 5 6 7 n-5 n·4 n-3 n-z n·1 n

AVF

O 1 2 3 4 5 n-5 n-4--tt-t-t-t----.--------~-- I I I I IRRRRR RRRR

('omo puede deducirse de los gráficos, hallar el valor presente -A-, con-,~Ic en aplicar la fórmula de interés compuesto de valor presente para cada

11110de los valores, lo cual es dispendioso al tratarse de un número conside-mblc de pagos. Igual es el caso del valor futuro -VF-donde con la fórmulad\' valor futuro aplicado a cada uno de los R se hallará el valor futuro de lanuualidad.

De manera que este proceso se puede simplificar:

VF= R(1+ i)' + R(1+i)2 + R(l+i)3 +. R(I+i)"-2 + R(1+i)"-1 + R(l+i)"

Alto'" luvu, ~litll l'" 1"1" "11"111 dl' Il'II n illlllj ~!tI I!HIII,II'~II'11I 1!.l,,,",t'll"¡IM'I{ Y Iato 11 d,' "1111111111 111, Sl'!ll'm' l'II10llrl'

VI" N N {I 1 /1 (1 I i

VF 1I[(1+;t-1J

Ejemplo 4-1¿cuánto se tendrá en una cuenta de ahorros que reconoce una tusa d

0,40% mensual, si durante un año se han realizado depósitos mensuales$300.000?

Solución 1

R = $300.00011 = 12 depósitosi = 0,004 mensual

VF= 300.000r (1,0040y2 - IJL 0,0040VF::::: $3.680.265,57

Respuesta: Se tendrá $3.680.265,57.

Solución 2

.•Vfl~¡ ~-~,IA.'<}""'Cl'"l,;."o,.. fInc:>Im I.t. &l JtA B " !;. '

1 TASA 0,004

2 NPER 12

3 PAGO -300000

4 VF =VF(Bl;B2;B3)

56

78

-' --,. -: :V:-)l ~~.;

~"'O.1»4

~--12

...-!::: 1I

'" }6.3016S.SM Icw.,*, .••fII"~Mu-')dlt,.r.a.WII>'UÍn~W>~~1a1fllu,-,"',t'IIIoIIUoMOI,,,\ef"I«rbénUlfflWlb!. 1

fn.. nl.tIl¡'¡f2.n«Ifit-POOptll'.odo.JIat~.IlM~w.I!Or'~ !tmet~.,~''''",\0 11>", I

"WlJ'~6t\'\~#IJ...W.26S.l1 I~Ug~ •.~ t ~ I(·~-ll··

_., ,- ._ •• , •• " •••• - ._ •• _ •• _- ••• _.- _. __ • '. __ • "0 J

t.u 6l

Itpcr So!

J'090.~

Respuesta: Se tendrá $3_680.265,57_

pl,,~rllI\ 1111111I1I111hllllll111

Ir111111, d \'nlnr I)rtllltlllhl, A, W pllll,' ,11:1valor futuro, V F, multiplican-", 1'''1 (lit) 11 plll'lI 11'11(.:1'u valor presente éste, así:

Hlli)"

" I (/ 1 I)" , / I\ ~ i -. (1 -1 i)-"

A = R ~ - (1i+ irJ

1'111 cuánto se firmó un pagaré, donde se pagaron durante 2 años, cuotas"',lIitlUS iguales de $709.000, a una tasa del 2% mensual?

11 L.4 cuotas0,02 mensual

I{ $709.000,\ n

ti -(1 + ir]A=R .

1

709000 ~ - (;xrJ = !3.409.973,25

spuesta: El valor por el que se firmó el pagaré es de $13.409.973,25

I~IIExcd

,.. "" Id .VI\(1I1I1UIIUI

A B1 lASA 0,02

NPER 24

3 PAGO -709000

4 VA =VA(Bl;B2;B3)

S67

8

AIII"I"-'''->'''flV''(!bfi '! I~

T.u ~I II~ - eI,Ot~.,.!fM·-~li1Bl1. "'.:31J •. " ••.

-"...•. ",r••

•• l)olO991),~o.....n-".alv.IJIi'He:tlttu_r..<If...:in;lirur.-~YlótI.•.~«tt.MIde<NI __ deOt9Ol~o..

,.,.. ob~:k~"PD'"PI!fiodo.Pl)fr~,It.Ie'''''f1p'.ptQQIIo~~.re~"'%W.ll,

l-....•....••.......SU"'."'.2S

L--~ L.~_.J--'-'" J

Respuesta: El valor por el que se firmó el pagaré es de $13.409.973,25

Para hallar el valor de la cuota o pago, se debe despejar la R en la fórrnulde valor presente y valor futuro, pues él cálculo por una u otra fórmuldependerá de la información con la que se cuente.

Partiendo de la fórmula de valor futuro:

VF= R t-(l_+-/)_II -_1JVF1t(l + t -í = R

Ejemplo 4-3

VF(i)R = (1 + i)1I - 1

¿Cuál es el valor depositado trimestralmente en una entidad que re-conoce una tasa del 3% trimestral, durante 3 años, para tener un saldo de$7.409.000?

Solución

i = 0,03 trimestral

I~¡J"PÚ"111l~'I:I Oll.()()()

VF (i)R = (1 + i)" - 1

f()C).OOO (0,03) = $522.053,59f,(3)'1 - 1

sta: 1)1valor del depósito trimestral es de $522.053,59.

I~IIExcel:

..'" ..~~\.~~i.~~I¡"""}1~"_.•,,,.~~.,."__ o " .x.,...lL.irr;;;;;-A

1 TASA 0,03 },

NPER 12

3 VF [:::::::::::~:?:~9~~~~:4 PAGO ;0(B1;82;;B3)

56

7

8

m .. o.oJ

~. u

~.I1i .•. XI9')OO

~.~ ..,~.•• 5no».5'U'

lCdlnNeI¡¡.\QI:t~",p'hl_~..,~rMUcMlI'IMt.'~' lo

VI .,ofvll«~ooSll6:>mfflK_o,A:~6e;e.bgr ••.~dc"•. t«lto.:Wd.;hnlcD • .,~._tJ~)._onu.

lR"",_dcLi'~"Is.n-05J,5' .

!~~ ~~:Jl....~.jt••••.••••••••• _ •••••••••• M •••••••••••••••••••••••• ._. ••

,... .~NIM1' U

V1 IU

,~

spuesta: El valor del depósito trimestral es de $522.053,59.

Partiendo de la fórmula de valor presente:

= R ~ - (1 ¡+ i)-nJA1

~1+;" 1J = R

AiR= 1 - (1 + ir

141

SI M' !l',,11pllglllkl'O (,)11111111de éstn»?

11\111pl'(~SI¡1I110por $47,000.000, " 111111111'i1l11\'1WYiI Sl'lIll''''allos 011\.:\lolas semestrales iguales, 1,t'U¡'IIIIOes el valor (k,

.\'tI/ucMn J

A $1\7.000.0000,08 semestral10 cuotasn

111{

N

AiR = 1 - (J + 0'"

47.000.000 (0,08) = $ 7. 004. 385, 9 7(1,08) ·10

Respuesta: El valor de las cuotas semestrales es de $7.004385,97

S()lución 2

hn Excel:

~~?l~J:;A~ - ..

A . • "e" -, - .']";"""'" M.~ -~ ",',"" 11 TASA 0,08 I2 NPER 10 I3 VA -470000004 PAGO =PAGO(Bl;B2;B3)S

67

8

14M .\ ~.J.~

§. ~(iJ . .."".,.~""""'".·m·_·..

~tt]

v~ ~!

'"-•• 1QtI'4.lU.969

c:..J\:W~M4GOrU'>::r,aunoNS.a:So""'~Y~«f\~o!::I~':"J.

v. fld;.~,!.aUl"~tII'.II~~J4orc!c:~~".

I,,~dtlt~. S1.00.waS.S7

1,..j.':d1.~!lm !:;~ ,_~~-.J;

Respuesta: El valor de las cuotas semestrales es de $7.004.385,97

Si lo que se va a calcular es el número de cuotas, pagos o depósitos de111unualidad, se parte de las fórmulas de valor presente y de valor futuro,despejándose la variable número de cuotas, n. Esta variable tiene la parti-

MII,m"" •• ftnlnll 111r1nlln\d Id 11I1I1,lhlllll,1I1143

.Ind '1I1l' \'11/1111111111I'l:sp\l(,)slll qm' Sl' ltullH como número de cuota es un1111I1.1111W p\ll'(k nproximur por exceso o por defecto, sino que se entiendeI 11111111'1111'11!t.1'()es el número de cuotas o pagos iguales, y se debe calcu-

111111rtlllllll~xlrn, que es lo que indica los decimales.

lilllll dl'll"'11I inar el valor de la cuota extra conociendo el valor presente,lIelll 'll' ha calculado el número de pagos iguales, se halla el valor presen-

dl'l'ir cuánto se habrá pagado con esas cuotas, y se resta el monto que"lit u-ne del valor presente conocido, el restante se debe llevar, por medio11I1!'rl-scompuesto, a valor futuro, con n igual al número de pagos iguales

1,

I ~l' necesita hallar la cuota extra conociendo valor futuro, se aplica lauuuln de n, si el resultado es decimal, se halla el valor futuro de la anuali-

I"dl'ol! el número entero de la respuesta, sin aproximar; el resultado se llevalor futuro, con interés compuesto, un período más. Al restarse el valor

juro que se conoce, del resultado que se acaba de obtener, se determinaIIIIIII()es el valor de la cuota extra o lo que hay que dar de más para completarI valor futuro requerido.

( 'onociendo valor presente:

R ~ - (1i+ ir]

1R -1 = - (1 + ir , multiplicado por - 1

Ai = (l + ir,1- R sacando Log a ambos lados

(indiferente 19 o In, lo importante es que se trabaje con uno solo)I

I Ai JIg L1 - R = lag (l + ir, se baja a-n

I Ai JLgL1 - R = -n Lag (1 + ir, despejando n

11/ N '!.!./ j~, N

-Ig (J I i) SlIhll.'lIdo ~Isigilo Ill'l!.ullV(

1,1: /,

,IJ!. (/ I i

Ii jN

1/ o 1/

n=

rR -Ai J19l-R-

-lg (1 + i)

Ejemplo 4-5

¿Cuántos pagos bimestrales de $1.600,000, se deben realizar en una entidníiuanciera que cobra el 24% pagadero bimestral, para pagar un pagaré orl1ll1do por $38.000.000? ¿Cuál es el valor del pago o cuota extra?

Solución 1

R = $1.600,000j = 0,24 pagadero bimestral/\ = 38.000.000n =??

i = .:L _ 0,24m - --o- = 0,04

i = 0,04 bimestral

Ig[~J

19(1 + i)

[ 1.600.000 J19L1. 6000. 000 - 38.000.000 (0,04)

Igl,04

n=

n= = 76,38138

Se calcula cuánto se ha cancelado con los 76 pagos, para averiguar el valorde la cuota extra:

A ~ R ~ - (1/ ir]

plle "d~\ ~ I~IUllldhllld,uj 14

[, ( 1,().I) .~[

( (¡()( I flO() t), ().j _ L .11, I)(¡I), 858, 9

l7.969,858,99 = 30.141,01

II('VII 11 valor futuro a la cuota número 77 para saber cuánto es el valor11I.111 t'OlllO cuota extra:

VI" (1 -1 i)n = 30.141,01(1,04)77=$617.625,12

1'''''''1',\'1(1: Se deben pagar 76 cuotas de $1.000.000, y la cuota 77 por$617.625,12.

1.11 I~xcel:

""" A -"., ';:J,~;~~'~.L'.''')r:;::;"'=-~~- _--~_-==-:---. tl

1 TASA 004 i T••.:. $1 ~ • 0..04

I! "-q. s: ~ ~ .¡6I»lOO

2 PAGO -1600000 ¡ v. " ¡g¡ . --: _ ~I '" '~. ,.,,~3 VA; 38000000: ; ,~ ~ •.. ~..4 NPER ··~~Ú;ERTB·i~B2~B3):I~Cd~OOt.~Óta"ol~~,~~~~\ij\;V'~=y~~Oero!~

¡"""'tr.~.S I v••••••~• .t( •••••~~y-...»II •••••••:.IU,H,iI:~.,..~.••«~"'_,

6 !;~&lItr.ol!_O't1f.Jl

7 :8 :!\:;ÑWof*,<"\l~"~ ! ~1oV ¡--c;;;-:¡

Se calcula cuánto se ha cancelado con los 76 pagos, para averiguar el valor"11 1<1 cuota extra:

~:;r.~:~.~::~~i.¿~;VAJ..·::.·!'-i.;;~..,:,~=;:::·="'~.-__~=:~-: ....m__ __ ;~;~ 1-1 'TASA

2 .PAGO3 VA

4 iNPER56 TASA 0,04

7 'PAGOC::::::::j~!?!?!?~9.:I¡.... _ .. ·"""·.'''''' ..·.. "~'''''''~'''''.''J • ·••·.m~ l.8 'VA =VA(B6;B9;B7) :""',_~"';"'o;, __ '..}?!!!,!- _'..~ j

9 'NPER $ 76,00

0,04-1600000

38000000

$ 76,38

T.I" K ~-o.""i!fl. ;l6

~.-I~

.@) ..~ - ~.~,,~.

H¡wr ••

'.a.oo u

~....: •• '1M'»J8.,"!o.'"""'.t!'i_:lf~cIt •.•••••.••.••v,jn::._tc.lAl;Ioo!~~~.:Il~ ••.•.••••.••Ilt~lVuoc.

~190 .'_.,..cr •.."1IHó>-t<l~~., •• ~aooO.ol.o-""ltlA~"\oI~".

Slj lJlIlllllI1Il'IlI'lIllt1 ~l' IIdl'lIdll 1'1, ,I I (1 I 1)" suca ndo In

•• y ,.¡',.,,,.

•N

/1 11I I/I~/I O,O~ 1'1"; I NI

PAGO -1600000 I~~ N /g (1 I i)" se baja nVA 38000000

4 NPER $ 76,385 1"/'; I 111

' . 6 TASA 0,04 '>: N nlg (J + i) despejandol. \,

7 PAGO -16000008 VA ¡:~:3X~~~;~~~~~~:1 IglF~+ RJ9 NPER S 76,0010 n=

19 (1 + i)11 SALDOA PAGAR +B3-B8

El valor que se adeuda de $30.141,01, se lleva a valor futuro a la cuota padcícrrn inar cuánto se paga en esta cuota como cuota extra:

_~ : ;:~_.~.:..,.,._¡:r.I:~y~t~:.~~~~~ª~~~.;;;;:::::::::~:::::"::::;c::;;:~~:.".;;;;;~:;;::,-;;:;;:;;~:;::,::~::::::::::::::::::;:;;;:: :;:';;;':;:';:::.::=:::;::_-; ..". ..""" .."." .. ..: .

A B e D E6 TASA7 PAGO8 VA9 NPER1011 SALDOA PAGAR1213 TASA14 NPER15 VA16 VF

0,04-1600000

S 37.969.858,99$ 76,00

S 30.141,01

0,0477

[::::::({~~;X~j.:E:Ü];13;B14;;B15)

Respuesta: Se deben pagar 76 cuotas de $1.000.000, y la cuota 77 por$617.625,12.

"uando se conoce el valor futuro o saldo se tiene,

F~R t(1+ r 1J despejando

1111'111111' ,1 1,1 10111"hlllll,1I114

mplo4-6,,1 'uántos depósitos mensuales iguales de $3.000.000 se deben realizar para

111111'1I1"$75.000.00, en una entidad que ofrece el 1% mensual?

tildón 1

I{ $3.000.000V ti = $75.000.000

0,01 mensual11 :??

19rFiR+ RJ19 (1 + i)

¡g[ 75.000.000 (0,01) + 3.000.000 ]

11 = 3.000.000 = 2 4257419 (1,01) ,

n=

Se halla el valor futuro de la anualidad, con el número entero del resultado:

t(1 + i)" - 1JVF=R .1

VF= 3.000.000 1(1,01)22-1J = 73.414.757,93L 0,01

I~

i <9~ oü- ,.,~CO ~Z~~0°0<r;.....l

OO~(j)Ü ...ln::: CilMCilO ~> ~z al;:J

Sl' lk-vu l'lIl1 Illtllll::' 1·11I\lllIll· •.•1I1 \111 Pl'lllIdll 111

11111 1,1 vuku dI' 111 cuulu vxtru.I ",,,"lll1dll pllIlI dct

VI" VP(I I i)" ,'13.1\11\.757,93 (1,01)1 7/I.1,IX.()()~.sO

75.000.0()() 71\.11\8.905,50 $851.094,501, 111',11

I 1'11(,11 NP~R'1 VI

10

11 TIISA

J) NPER1 J VA

14 VF

11., Nl'nI

Respuesta: Se deben realizar 22 depósitos de $3.000.000, y uno adicionalel siguiente período por $851.094,50

Solución 2

En Excel:

x .I,-'.!".~I'(A.ln~l. _ ._, ..... _ _ . __.. o " "' • _

A B I·",,~"~·,,·~·" '" ,6 lX 11 TASA 0,012 PAGO -30000003 VF 750000004 NPER :R(B1;B2;;B3)

56

7

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Se calcula el valor futuro de la anualidad:

7.,~,,~-~,~ _~_i!1,.~"t.&~.:&.a::~11T········ ..··•....· ....· ......•. A B

1 TASA

2 PAGO

3 VF

4 NPER5

6

7

89

0,01-300000075000000

S 22,43

TASA

PAGO

NPERVF

0.01-3000000

S 22,00=VF(B6;B8;B7)

\' resta a los $75.000.000, el resultado que se obtuvo:

[ .." . '!... ..:J' ): v f.GB3.~:".i".:.:::'J A B

1 TASA

2 PAGO

3 VF4 NPER567

891011 TASA

12 NPER13 VA14 VF1516 Cuota extra +B3·B14

\/11"11"'" Itll

112,43

0,013000000S 22,00

s /3.414.757,93

0,011

$ 73.414.757,93t1;B12;;-B13)

17

MItItMttu' ftnanrl

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0,01-300000075000000

$ 22,43

TASA

PAGO

NPERVF

0,01-3000000

$ 22,00

$ 73.414,757,93

0,011

$ 73.414.757,93,- _ '":s 74.148.905,50 :\. ••••••••••.•.•• •• •• __ 1

Se halla el valor futuro, con interés compuesto, del resultado para deterrni-11111'el valor de la cuota extra:

",'puesta: Se deben realizar 22 depósitos de $3.000.000, y uno adicional enel período siguiente por $851.094,50.

Finalmente, si se requiere hallar la variable tasa de interés, se debe traba-[nr igual que en interés compuesto, - ver casos 3-3, 3-13 Y 3-14 -, cuando son

\'11110" 1~1)j""1m 1·1 1I1111••d •• 11,· "II'inVII / \'1101 11 IIIIII~'!I, tI/\lId"",'1\1111111'" /1 i II/ ••• tu hnllnr In In.,11 1/"(' M' /lIIIII\iillllt "II"tI¡'H tll ,,!lIII'SII

'~I1 I i) 11

¡ ..:.-•cntouccs -A-f11 I i) 11 I '. - ()I

N

I (1 I ¡)" - 1 IIF N _- 'r=: ,entoncc v:;fl+ ?' - Ij

Se pnrtc dc las igualdades y se le da diversos valores a i hasta IIl'~1I

',11 vnlur que se acerque al valor del lado izquierdo de la igualdad; COIIIII

f1l1l>lhk que no se halle el valor exacto, se procede a hallar dos valores pnqll\' hnunn muy cercana la igualdad, uno Con un valor superior a A/R o VIV 1111'11COII un valor inferior, se busca que la diferencia sea lo menor pmlil('111 !l' l's(m; dos tasas, para que sea mayor será el grado de aproximación n/I''{I Hll'sl a exacta.

SI' igualan los valores del lado izquierdo de la igualdad a a, aSÍ:

<x, ó VF = exN R

los dos valores cercanos a la igualdad, sean i, e i2

, y los resultados til'ldos para

L _11 - (J + itl1< i j serán a, y a2 respectivamente.

'0/1 estas variables, el valor de i se puede calcular mediante la aplicaciónde lu siguiente fórmula:

(i2 - i) (a - a)a2 - al

i= +i

iJemplo 4-7

,Á qué tasa de interés rentaron $37.000.000, si se realizaron retiros rnen-1111les iuuales de $4.000.000, durante 1 año, agotándose dicho depósito?

1IIIIIld", " 101 1U1/1,lhllld,uJl S 1

~ \ I ()OO ()O()

:Id ()()() ()()()12 11'1 ilOs

'111.1,; 11

IJI)(), ()()()

I I)()O. ()()O

~ =t1- ~ + ir]~ - (Ji + it'J

• 1).25

l' supone una tasa i, = 4,25%:/ tI -(l,0425fI2](/ 00425,

1', 9,25039

"le supone una tasa i, = 4,251%:

~r1- (l,04251}-¡2]ti," L 0,04251

11. o:: 9,249862

Se reemplaza:

i =(i2 - i¡) (a- a) +'

l¡a2 - a¡

. = (0,04251 - 0,0425) (9,25 - 9,25039) + 0,0425I 9,249862 _ 9,25039

i = 0,04250741

Respuesta: El dinero está rentando a una tasa del 4,250741 % mensual.

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I NPIn 1

PAGO -4000000

\ VA L~~i:9.9.~:·~~~(9.~:;" TASA =TASA(Bl;B2;B3)

~t 1I .t••;J .• ""'"12 l<'il •. ~

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B

IhtiJlotdodtllló'nU." O.~~50741,¡A •••d.!.Jotllf.'W.~ r::~JL""""" J

Respuesta: El dinero está rentando a una tasa del 4,250741 % mensual.

l/lis nnualidades constantes anticipadas se representan gráficamente de I1()I'1111I:

2 345 6 7o n-5 n-4 n-3 n-2 n-1 n

A VF

o 1 2 3 4 5 n-5 n-4 n-3 n-2 n-1 n~~----------------~R RRR RR RR RRR

LíI diferencia entre éstas y las anualidades constantes vencidas en que en Ohoy, hay pago o retiro, lo que debe tenerse en cuenta cuando se halla valo

l)rCNcnte, recordando que el cálculo de éste se obtiene un período antes del111imcr pago, es decir, se debe llevar con la fórmula de valor futuro de interé:

153

1"ll-,In 1'11111dllll' I111111111(-1VIIIOIUII lo lucha indicada. En valor futuro,1!11I'~1I1Ik pu/;!.os IUI'IIIiIlHUII período antes, i.e. en un contrato de arrenda-1I1t111I lulo, si se pacta que se pagará el total del valor del contrato, cuando

Hl lurulice, el valor futuro de la anualidad se obtendrá en el período 11, paraIIl!11·1vIII()\'al finalizar el contrato, se debe llevar a valor futuro un período1111Ih' I'{:scompuesto el valor obtenido en el período 11.

" III~fórmulas de anualidades vencidas se les debe incluir (l+i) para llevarI\'11It11'111período requerido:

11 (1 + il-rJA = R L i / (J + i)

1(1 + i)" lJVF = R L : (J + i)

R = Ai[1 - (J + i)-nJ (J + i)

R = VF (i)[ (J + i)" - 1] (J + i)

I R (l+i) ]n = Ig[R (l+i) -Ai

19 (l + i)

IIVFi+R(l+i]n= g[ R(J+i) J

19 (J + i)

ASTOS OPERACIONALES/ INGRESOS OPERACIONALES O NO OPERACIONALES:RENDAMIENTOS

l.os contratos de arrendamientos se caracterizan por el pago en forma an-III ipada de una suma que varía en forma periódica, generalmente anual, deuuerdo a las reglamentaciones y topes que el gobierno impone. Los pagos11111'arrendamiento son una anualidad anticipada.

Los contratos de arrendamiento pueden ser celebrados a meses o años, de11I'\lerdoa lo que pacten las partes.

('IlIlIIdll 111111Ill'I'I1l1I1I11111111'1I111111111('111IIIt',"ll1lllh\1I1111111hll'lI plllll "nI\'11\',.,1\'l'lIlIl\! VIVll'lIda, ~\ll'OIlIO un cudntru 1\1,11,111'1111'11111'1'1,11111SIIIIIIIpm:l"

""l' pllgo implrcu 1111(¡listO Opcrncionul y el dl'M'IIilHlls\! lid dineromuvimicntu do ('nju o BUllCOS.

Si 111persona natural o una persona jurídica toma en arrendamiento 1111hpnra Ii ncs comerciales (oficina, bodega, negocio), si quien arrienda, el 1111

dudor, pertenece al régimen común, tendrá que hacer el cobro del impusobre las ventas, según la tarifa vigente. Igualmente, si el arrendatario lit"111responsabilidad de efectuar retención en la fuente a título de renta, (lI..hrealizaría. Además, si el arrendatario es agente retenedor a título de lvu, dbcrá realizar dicho tipo de retención.

'u ando los arrendamientos son pagados, implican un gasto, el cual SI.' tibita por el valor del arrendamiento, se debe considerar si el servicio está )./,1

vado y si a quien se le paga es régimen común, por lo que deberá debitar1111puesto a las Ventas, por el 10%, si se trata de un inmueble alquilado pnrfines diferentes a la habitación; si quien está realizando el pago tiene la ohlración de efectuar retención en la fuente, y el valor está gravado, se acrcdiíla Retención en la Fuente, por el 3,5%; si aplica se realiza retención a títuhde Iva, por el 50% del valor del IVA y se acredita la cuenta correspondicnty ti nalmente, se calcula el valor a pagar después de liquidarse impuestosanticipes y se acredita a la Caja o a los Bancos, de acuerdo a la forma en <.tuse realice el pago.

'uando los arrendamientos son recibidos, se trata de un ingreso, el cual sdebe acreditar; si se tiene la obligación se cobra el Impuesto sobre las Ventas,cuyo valor se acredita. Si quien realiza el pago tiene la obligación y procede,aplica el Retención en la Fuente a título de Renta y de Iva, debitándose dicha!'!cuentas; finalmente de acuerdo a la forma en que se reciba el pago, en efectivo() por medio de transferencia o consignación bancarias, se debita la suma quse recibe.

El manejo de tasas de oportunidad hace que las personas negocien el pagounticipado y total de un contrato, o el pago vencido al final del contrato del111ismo. En el primer caso se manejaría como un Gasto pagado por anticipadoque se irá causando periódicamente, y donde la tasa de interés que se ganó notendría implicaciones directas en la contabilidad, sino que tiene una repercusiónfinanciera. En el caso del pago vencido, periódicamente se generará el GastoOperacional contra el Costo y Gasto por Pagar el cual será cancelado al pago.

$'.1..900.00011 1'1 pagos

0,0124 mensual111 I

" '1'1

IllIe ndn\ A lA CIlI1I,Ihilld,ul 1

/11111111111cuuuuro de arrendamiento por $2.900.000 mensuales a 1 año,111111plIgnf'lo 1-11iniciar el contrato a una tasa del 1,24% mensual, ¿Cuál

I \11111111pUUHr?

A ~ R r -(1, + ij""] (1 + i)

11- (1,0124)'2],900,000[ 0,0124 (1,0124)

t\ $32.548.833,09

spuesta: El valor a pagar de contado es de $32.548.833,09

,\'"llIción 2

1~1lExcel:

B An:I"rr~s<k.II~ i} L.LJ.l J

1 TASA 0,0124 I-;;-"-"-~:=".:""-""'"- -"-";~":~",- --- --12 NPER 12 I .•.. " @J - u i

"'~II) ~_.2900000 !3 PAGO :"._.. _.__... :~?~g.~g~~I T; •. '. .1]: ;,.y~ i4 'TIPO : 1: I - i

'•••••••••• -- •• ----- •• -----.' ,00000"",cI..,/JoIll<tlWlttdclNofWttIiDn1I&Si.r.lilIOtIIIIeI" •• "..t::"dIt¡NQII'tuuOll. ¡5 VA 31;B2;B3;;B4) l' "'" "~''''--'''''-'-~'''_."''''- ¡.r....tdelpori"ó:p-OuamedQ. i

6 !7 ~~I&I'ó'<nH" $)l.}4S.all.09 !8 b.:,:~~_______ ~~g.

Respuesta: El valor a pagar de contado es de $32.548.833,09

,('111111'" \'1 \111111 d\'11'I1I11I1I 11I\'IISlIItI de 11I11'lIdlllllll'lllll\'1I IIl1l'01l11ll11l

1\11()~,que ¡'¡' 1'11111'\,1<'1 111 IiIlUli/.1I1' con $70.000.000, 11 111111 IIISII del 2"" 11I

11111'

SO/IIé'M" J

11 ¿ti pagosV F $70.000.000

0,01{ '!

1<

I{ $2.255.859,62

R('·\1I11esta: El valor del canon mensual de arrendamiento fue ti$2.255.859.62.

Solución 2

1~1l Excel:

""" t.\~2.:..~T;p;:GO(~1;8~;.;~1.;~.~~.;.....,.;._.=:.:.~:.~~:::~:~~~~:::::,~:~~~",,~,~.,,~:;;:::.~~~~;;_:..;

Respuesta: El valor del canon mensual de arrendamiento fue de$2.255.859.62.

A 81 TASA 0,02

2 NPER 24

3 VF ($ 70.000.000,00)4 TIPO [ · ··· ·i'i

h •••••••• ~~ •••••••••• _._ •••••

5 PAGO 81;82;;83;84)

6

7

8

o\.-lI"mt...tt... (leo f\.r>c:1Ófl y: .. iJ?..L.B._It ····· ,-------.--.--- .-_.•...-------'''''l

P~:I I

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~6fLlffir",h_m»S<i.61!'.

1~a1~ L""'" I,-_ ..•..~.._.,

,,111~II~\~I~10lll,Ihlllll,III 1

·10,," rlllllllo~ IH.:l'fodos fue firmado un contrato cuyo canon mensual de11'IHllIlllÍ~'llto es de $3.700.000, si éste fue cancelado por anticipado con1') '111, '100, n una tasa del 24% nominal mensual?

I( $1700.000I 0,21\ nominal mensual.\ 19.911.50011 ??

i=Lm

0,24 = 0,02=t«:WFi + R (1 + i)l

1ge R (1 + i) Jn = -- 19 (1 + i)

IgI9.9J1.500 (0,02) + 3.700.000 (1,02) J11 = e 3.700.000 (1,02)

19 (1,02)

i = 0,02 mensual

n = l2

Respuesta: El contrato de arrendamiento fue firmado a l2 meses.

MlttrMtlrt. ftn.n(l,r~,~Jlllf ndn\ .1 1.11Il1l1.lhllld,1I1 159

1\11 Lxccl:

• ~ )!.' J., I ""'"(111,11I,111 ,"4'A U

1 IA~A 0,0

) PAGO (5] /00.000,00)

.~ VA ...?J~:.~.~~:?~g!gg..1\ TIPO: 1:

'. - ••••••••••••••••••••• _ •••• oO •••• ~

NPER B1;B2;B3;;B4}

"'t.I~_'M"'.HfI_otII\

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I=::'~-'''''·''''''~~·_''''''M_~'''''''_'''''''''''.''''

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!~~drlIINrIlU4l"Il,OOOOSS06

l·:""'''''........... ~[',~J

6/

8

Respuesta: El contrato de arrendamiento fue firmado a 12 meses.

Jemplo 4-11

"11111111'11110111111 i .•dl' O,02(,SS mcusunl:

IU/i.)()55111.:.J...1 (102655)

t), ()}(¡55 '

11.': III.2H65

(),02655 - 0,02655) (14,2857 - 14,2818)14,2865 -14,2818

i 0,0265412

(0,0265412) (100%) = 2,65412% mensual

snuesta: Se negoció una tasa del 2,65412% mensual.

,/\ qué tasa de interés se negoció un contrato anual cancelado al finalizacon $50.000.000, cuyo canon mensual de arrendamiento es de $3.500.000'

Solución 1

VII = $50.000.000R ;: $3.500.00011 12 pagosi=?%

50.000.0003.500.000

r(1 + i)" 1JVF = R L i (1 + i)

~

(1 + iy2 - 1J .. (1 + i)1

1-\ = 14,2857

Suponiendo una il de 0,0265 mensual:

[(1,0265Y2 - 1J

(1/ 0,0265 (1,0265)

III = 14,2818

i =

En Excel:

(i2 - i}) (a - al)a2 - al

+ i}

+ 0,0265

AJ9t:~fllO,dt'funU6n ,¡~'." .. ;.Y.•...JUt*'Ot ..:.Ii=-F--,:·i1!;1.~.!!~.~~.I~.~~~3.~~~.~:~L...."H"'.'H ••••••••••••••••••••••••••• _ ••• _ ••• _ ••••• _ ••••••

1

'''' ITu~ 1.~.1 .~ •• 0,02 Ip~ 82 .m: .. ·.J700000 I

I v.• n .. _._... ··.~-mllSOD

T: .!~.... ~ : ~"M'" ¡005506סס.12· ;

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A B

1 TASA 0,022 PAGO ($ 3.700.000,00)

3 VA $ 39.911.500,00.._~ '_ _._- ..4 TIPO: 1:' _ .................• .:

5 NPER B1;B2;B3;;B4}

6

7

8

Respuesta: Se negoció una tasa del 2,65412% mensual.

Las anualidades constantes diferidas se representan gráficamente de la forma:

R RRRRRR

i I I I I--------------~n-5 n·4 n-3 n-2 n-1 n2 3 4o 1

A

5 6 7

VI

o 1 2 3 4 S n-S n-4 n-3 n-2 n-1 I--------~-------~----------------- I I I I I

La diferencia con las anteriores se basa en que los pagos, depósitos 11

tiros, no se inician en O, por lo que al hallar valor presente, se debe 11l'con el valor hasta O,por medio de valor presente de interés compuesto. Iel valor futuro, considerando el caso en particular que se tenga, puedenecesario llevar un valor presente hasta un período antes del primer rct]con valor futuro de interés compuesto, o sencillamente considerar bien Iperíodos.

Se pueden requerir, de acuerdo al caso, cualquiera de las siguientes fórmula

11- (1 + o·nJA = R L i (1 + iflll

R Ai[1 - (1 + iF~ (1 + 0.11I

Ejemplo 4-12

¿Cuál es el máximo valor del retiro semestral a realizar durante 4 años,iniciando dentro de 1 año, de una cuenta en la que se tiene hoy un saldo d$145.000.000 y renta a14% semestral?

Solución 1

VP = $145.000.000m = 2 semestresi = 0,04 semestraln = 8 retiros

R = Ai~ - (1 + ir] (1 + 0-11I

IIII! j\d~\ ,1 I~ IIIII',Ihllld,Id 161

,'" OO{). (}(}() f.O. (J·O1

'

( 1.0.1) .Y 1 ii.o«

vesta: El valor máximo a retirar es de $23.293.916,96

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A B1 TASA 0.04

2 NPER 2

3 VA !:¡Ü~5:.~~Q;~~~~~~¡]4 VF =VF(B1;B2;;B3)

56

78

VO CI«y •• t< •.••• It--..IotoI~~_dt\Nfi\<1>t*~(,UOl.S.M_1oe.V¡' •• C.

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1 TASA 004 1'''''' ,1 Tu•• 55 !@.O,l)-' 1"2 'NPER 2 - " . ~ -.I . lit ="'""

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3 ;VA ($ 145.000.000,00) I " ~ . """.,4 'VF s 156.832.000,00 1 '.. ~ : ;;:: .••s Ic.tuAIt1Po1Q11dt."prtf,umo~.,,~r~de_u(.Clfll'twlIn.

6 ¡TASA 01

04 I v. "~~"M.IWI:loolMlO!l.td~dt •••.•••fflCcI.~~:r.ros.

I7 NPER 8 !Ra!iII.ododelftfó<..u.. 2Jliltl4,W. ¡

8 VA ($ 156.832.000,00) ¡"' ••.•••.,,,.......... ~ ~l9 PAGO =PAGO(B6;B7;B8)

Respuesta: El valor máximo a retirar es de $23.293.916,96

[ernplo 4-13

¿Cuánto se debe depositar hoy en un fondo que renta el 1,5% bimestral parapoder realizar retiros de $3.500.000 bimestrales, durante 3 años, haciendo elprimero dentro de 6 meses?

A0,(11

) I>iIllCSII'¡d1{ $l~()(),OOO bimestralesI1 18 rct i ros

III 1 bi mcstrcs

r1 (J + U"JA = R L i (J + u·m3500000 r1 - (l,015)"'1/1 015)"3. . L 0,015 J'

A ~ $52.457.777,11

Respuesta: Se debe depositar $52.457.777,11

Solución 2

" ,=,,;,,~;,1~jf.t~t~i~~~~l""'''''''''',~, ,,""..,"..,,,,, , ""'v.,,,, ',,,, ,'" "....... , ,A B { A'9:li~Il(O' d-t fVllrIón g.; '"-- i~'f}.•.•••B....l'

I --

1 TASA 0,015 i2 NPER 18 i3 PAGO ($ 3.500.000,00) I4 VA =VA(Bl;B2;B3) : _ "",""'" !

!~c,';v."'CMl'l\l;"..na"""",":"'",,"""'O)totIddVIiot~<It""'se"<edt!p.lo9?IMvo1. f

S I t.u tSIa~dIIntffbl)Ol~.P<ir~ • ..,.,..6\'.¡"PM'.~ 1, ~~1II6"'TPA. ¡6' ,i i7 '~delllór","",·'S4.4n.94.l.12 ¡¡~ í'-'I~I¡8 L....•.................................•................................•_ '::::::.,.o.-!

Tu. :81 ~-O,OIS"~- ..~_.,""'"···,··1:.~::::

1f9fl"1

P'"90 r~3.,""

L -.-~~.¡,::;:;·;;~f~~;~~4~~~,=~{.~~~",::~~:~·_··..r-:'~'=....-':~=·T~i:~=;l::1 TASA 0,015 ."

2 NPER 18

3 PAGO ($ 3.500.000,00)

4 VA $ 54.853.963,12S

6

7

8

9

T • .w 86 .. ~ •• I).OI5

""-'.~-'§¡j) - '-~'~~"-So<ISS]96J,12

lñ1iJ - ... ~~

Mper :., ,:::.::::;:.:,,~:,,:

P •••

vf ee

""~e/VMx"'ftflI1l111~_~:LI __ toT41deV.:'::~~~~lM9OlIfutu~.

Vf t:SelY.~IUQos.lo»6'lf~Q.>eJe<ksoNkq"dl:scuHde J l.TASA 0,015 , -. __ .

NPER 3 !RnJt~dt"HrtrW. tSJ ...s7.717,l1~: ¡~~!~~~\V;~~fi3j]~~~~~~.......-...._....._~~Respuesta: Se debe depositar $52.457.777,11

pllJ AclA~alA (nnt~htllcl,lll 1

VARIABLES O GRADIENTES

\'I'ics variables o gradicntcs son:

pllgos o depósitos que se efectúan en períodos de tiempo iguales, perouuuentan O disminuyen en una cantidad o porcentaje fijo o igual". (Don-

'l~", ('!lbHI Y Echeverry, 2006, 184)

111111apl icación más de las anualidades y consiste en una serie de pagos""1 hos a intervalos iguales pero que aumentan o disminuyen en una cantidad11111 (o) .., multiplicado por un factor que sea igual a la razón de. una progre-

hUI )\cométrica". (García, 1992, 87)

, .ílujos de caja conformados por una serie de pagos que no sean iguales,11111que aumenten o disminuyan periódicamente". (Meza, 2008, 341)

l,flS gradientes son aplicaciones de anualidades, donde se realizan pagos11 períodos de tiempo iguales, con variaciones en una misma proporción o

I'JlU! idad en la cuota o renta.

1lila serie que varía en una cantidad determinada periódicamente, es unarudiente lineal o aritmética; una serie que varía en una proporción o porcen-

Iltit.: periódico, es una gradiente geométrica.

RADIENTES ARITMÉTICAS

A

o 1 2 3 4 5I I I

n-4 n-s n-2 n-í nI I I I I

A

345, 1 1 1 1 1------------1-- I I I I •

R

VF

o 1 234 5 n-5 n-4 n-3 n-21n-1 n1 1 I I ~-------------I 1 1 1 1 I

VF

o 1 2 3 4 5 n-4 n-3 n-2 1n-1 nI I I I Immuur' , ,

Para calcular el valor presente de una gradiente, se considera la anualidad11<.: la cuota inicial y la de la gradiente:

pUl ¡¡el", " 111 1IllIlIIhlllel,,1I 1

N 1;' V" 1, IJ;t (!;~ - n (1 + V"JJ1IIIIpllt'IIIIdo por (I+i)", se obtiene:

, ~(1 + i)"- 1J tg ~(1+ ir - 1 J JVI' = R . + -. . - n1 1 1

" despeja R:

1

I - (1 + irJ tg ~1- (1 + ir . OIlJ JR . + -. . - n (1 + i)1 1 1

Ig 11 (1+ ir J JA -[7'1 i - n (1 + irt -(1i+ir ]

, ~(1+ ir - 1J tg ~(1+ 0'" - 1 J J"V= R . + -. . - n1 1 1

R

R~F-~~(I + r-1- nJ]

[(1 + t-1 ]

,Jemplo 4-14¿Cuánto se debe depositar hoy para poder realizar retiros mensuales de

$700.000, con incrementos de $20.000 mensuales, durante 3 años, si se reali-za el depósito en un fondo que renta al 12% nominal?

Solución

R = $700.000n = 36 retirosj = 0,12 nominalg = $20.000

11I(),, I, )

0,0 I rncns 11 11 I

['- (1 'uo'J fgt1- (1 + i)0" ]1A R . , -. . _n (1 + i):"I l 1

r1- (1,01)"36J r20.000 r1- (1,01)"36 OJ6J00.000 [0,01 't 0,01 [0,01 - 36 (1,01) _

Á $30.967.667,23

Nt'''·fJue,~·ta: Se debe depositar $30.967.667,23

Ejemplo 4-15

,( 'uánto se tendrá al cabo de I año, si se realizan depósitos mensuales d$2.000.000 en una cuenta que renta al 0,09% mensual, incrementando la cuolBcu $100.000 mensuales?

Solución

R = $2.000.000~= $100.000i = 0,009 mensual11 = 12 depósitos

- . t(1 + i)" - 1J tg ~(1+ 00

" - 1 ]]VF- R . + -. . _nl 1 1

~- r(1,009)"!2-1l r100.000r(1,009)-f2-1 ]]VI, - 2.000.000[ 0,009 J+ L 0,009 [ 0,009 - 12

VF = $32.026.440,06

Nt'.\'Puesta: El valor que se tendrá dentro de un año es de $32.026.440,06.

IlIlolltllhllldlld1

tll)lIltl'~d"'p<'¡silnsde $500.000 mensuales con incrementos de $30.000IIl1k••'W deben realizar para tener $5.890.762,07, si los depósitos se rea-

111;11 111111 institución que ofrece el 0,08% mensual?

dni¡II'rolla por medio de "Buscar Objetivo". Nótese que la fórmula de va-111I111'0 de la gradiente está compuesta por un factor que es la anualidad de1111111 y otra que es la anualidad menos n multiplicado por la gradiente sobreIII~"de interés. Se inicia realizando estos dos factores por las fórmulas

1lIlIlI'Ícras, suponiendo cualquier n, y luego se utiliza "Buscar objetivo":

- t(J + i)" - 1J tg t(J + ir - 1 J JVF-R . + -. . -n1 1 1

._.:::")t-.,.i~~al,:~!_y~ =_=__==__ = ="F.:""'i~""

1 TA~A'" B o,ooo:r:-:~~~,,-lt.·· .• @J-::' --l~Jl2 NPER 5 I .." .~. ~ o , I

"'e9Q 8l @;i) ~ .$roOOO

3 PAGO ($ 500.000(00) : '::m .:~: ::.:: I4 VF =VF(Bl;B2;B3) I o""'".'', I

~~V_~.1Vodeu-.IrI'f4J1I(InIY!ioMIDtn~powI66eo,y,~ • .,U'\of~6tI'l*"1

5 ¡••••••"""""'.1 T-. e~t.lMOtIl'lf'e{Ib()Ol'pCI~PDo~~.o.M6""'~""ptp Ir6 . \"ftIn~"III'''6eTP.... Ir

7 1 ...•.•.•.•••...•. 0 •••••• ",,>0 "

B i~,:~~~,~,~~_~H........ . _ ~_~~.J

Para resolver la segunda parte, se toma que Res l. La celda B7 debe enla-Irse con la celda B2 para la aplicación de "Buscar Objetivo":

;"'""= o .. ' './~1f'('~.1. '"~Ji""'~"""'~"" 4\. rt L~.8.[{k

1 TASA 0,00082 NPER 5

3 PAGO ($ 500.000,00)4 VF s 2.504.003,20

5

6 TASA 0,00087 NPER 5

8 PAGO ($ 1(00)

9 VF =VF(B6;B7;B8)

ree

r_ •• ~_o.OO)!

"~ ,~7

".1190 ,;'" s..;[¡ID •..•.. ""., ..•.•

1()r,~eI~,alc!rlubo ••••.•• l'\ftfsl6n~a'\'*11t~:=~TlN~aen..,.~lt.-.tlIblCO'lltMI~.

I T.-:u Q"'t.II~dtn~IhODfpeóodo.Pot~,..-6"l11o'4I*'1M'QOIi_lrtles4l6~detp .•.

1 .1 •••••••••••••••• 0 s s," I1·'Mttf9brs:rl.ftmM ~~.l

LII'I 1'11111111'111111''1 1'"111 "I"I~I'III ()I1I1'II\1I

.11) $:1 INO /h} ,O 1, plll I''I! 1('11 "1 )vl 111í 1 111~'I'ldll" "'1' .111 1,11k ,"1 111 X, '\'1111 1'111

d('1 InlllllldCl [luu] "~IN() 11t),,()'I", "pura l:lIll1hllll 111 ccklu." (.'11 111 t'1I111

1IIIIIIIhll' qlw se l'sl(¡ hllSCIIIHlo,(,;1NPER, "132":

1119 .\' - :!':;J "O17"!l4A O e o

J 1/15/1 0.0082 NPPR 5J PAGO 1$ ~(1().000,(1())' 11)• vr S 2.540.321.2836 TASA 0.00087 NPER 5 "+8211

B PAGO ($1.00),

(2)9 VF $5,01

1011 NPER 5 "+82"12

13 (2)· NPER SO,Ol "+89-811"r

(3)1415 gil 3750000 ''00181סס3+''

r(4)

161r171(4) • (3) $ 30.024,01 "+815'813" (5)

181~ ¡(S)' (1) S 2.570.345,29 "+817+84"

Buscar objetivo l~~ )

Qefinir la celda: r: _._-~j58$19 ~~

Con ell!,alor: 15890762,07----¡e,ara cambiar la celda: L~~~:~

I Acep tar l [ Cancelar J

Respuesta: Se deben realizar 11 depósitos.

:Jemplo 4·17

¿,Cuál es el valor de la primera cuota de un depósito bimestral realizado du-I'IIlIle 2 años con incrementos bimestrales de $400.000, en un fondo que rentad 2% bimestral durante el primer año, y el 2,5% bimestral durante el segundo,110, para tener al final del plazo $50.000.000?

Solución 1$400.000

MIttNtI ••• ftntln{llIr~, ~IIIII~d~\~ 1/lIOIII,lhlllll,1I1 1

0,02 huucsuul0,0:) ~ huuest 1'111

$,~(),()()O.OOO

,1{ I (t100.000 (6))

1'11

(1 , i)" -1] tg [0 + i)11-1 ~]] . 11 [O + i2)11-1]N . + -. . - n O + 1,) + R2 . +1, 1, 1, - 1,

H¡ ()()O.OOO =G [0,02)6 - 1 ] )400.000 [O,02j6 - 1 _6ll](1,025j6 +L 0,02 [ 0,02 0,02 JJ¡.IOO 000 R) [ 1(1,025)6 -1] ~OO.OOO 1(1,025j6 -1_ 6ll

t . . + l 0,025 +[ 0,025 l 0,025 JJ

~O.OOO.OOO= 7,315486362R + 7.146.517,056 + (2400000+R)(6,387736728)'>.203.787,654

50.000.000 = 28.680.872,86 + 13,70322309R

R = $1.555.774,65

Respuesta: El valor de la primera cuota es de $1.555.774,65

Solución 2

Por medio de "Buscar Objetivo" se resuelve, suponiendo cualquier valorde cuota.

" 11 II'II\IIII)!) ( \J( 11 fI INIIIU',I',

()

1 '.00000 O _ ~!lUOU l' "11111400000"J 900000 lOOOO----l;44{)G()~ "+02"0.02":.1 1300000 28200 2738200 '+02+B3+C3"

C. 4 1700000 54764 4492964I S 2100000 89859,28 6682823,38 6 2500000 133656,47 9316479,79 7 2900000 232911,99 12449392 ) "+02'0,025"10 8 3300000 311234,79 1606062711 9 3700000 401515,66 2016214212 10 4100000 504053,55 2476619613 11 4500000 619154,89 2988535114 12 4900000 747133,77 35532484

Buscar objetivo l"'¡ ~ J

Definir la celda: r;;SM'-~- ¡ -4Con el yalar: l~_~~ ..J

r:-.-...-----~Po•• cambiar '" celda: I58S3 i!'i§j- "':_'''W''~''''''''''''''N''' ...•.

~tar I [cancelar I

-_.~_ -.., -_o ,.:.::~. __ ._ ~. __ "_Ny:!,,_.~._ ~'.J ' .,......;.;._~ •sr;•.- •.. _, "N~=;",_.C:-'-f13A--'''~0'~:~:''r~b'''''''''---''-'v,'~'~ .....------- ..-..-

A B C -.;;.-..i.. D ¡ I1 'PERIODO CUOTA INTERESES SALDOFINAL2 O O3 1 1555774,7 O 1555774,74 2 1955774,7 31115,493 3542664,85 3 2355774,7 70853,296 5969292,7..i

6 4 2755774,7 119385,85 8844453,37 5 3155774,7 176889,07 121771178 6 3555774,7 243542,34 15976434

I

9 i 7 3955774,7 399410,85 20331619·l1O¡ 8 4355774,7 508290,49 2519568511' 9 4755774,7 629892,11 3058135112 10 5155774,7 764533,78 3650166013 11 5555774,7 912541,5 4296997614 12 5955774,7 1074249,4 50000000

Respuesta: El valor de la primera cuota es de $1.555.774,65

11111 ~d~\ ~ 111 (nn'"h/lld,1(1 171

l '1IIIIl''1el valor a pagar por anticipado en un contrato a 4 años, con un va-IIll1killl del canon de $4.000.000 mensuales, con incrementos de $500.000IIII11h, si se negoció a una tasa del 2% mensual?

I{ $4.000.000 mensual$500.000 annual0,02 mensual

!'

VF = R [ (1 + !r - 1ll, J

VI' =4.000.000 [(1,02)'2 - 1 ]0,02

VF = $53.648.358,91i, = (1 + i) ;;:- 1

il= (1,02)12 - 1

i = 0,268241795

A=RI1-(1.+i)""]+fgI1-(1+iJ-n .]]L l [i L i-n (1 + irA = 53.648.358 91 f! -(1,268241795f4], L 0,268241795 +

[ 500.000 f1 - (1,268241795f4 ]][ 0,268241795 [ 0,268241795 - 4 (1,268241795;-~

A = 122.692.478,1 + 1.380.890,306

A = $124.073.368,4VF = A (1 + i)"

VF = 124.073.368,4 (l,2682411795)'

VF = $157.355.031,5

Respuesta: El valor a pagar por arrendamiento es de $157.355.031,5.

RADIENTES GEOMÉTRICAS

Ejemplo 4-19

¿Cuál es la tasa de interés ofrecida en el primer SCIIIt~SII\' 1.'11 1111 dl'llItrimestral de $1.000.000 con incrementos periódicos de $JOO.OOO, si In Idel segundo semestre fue del 4% trimestral, y al cabo de l año se Iicnc elll

saldo $7.342.38J,51?""'-

Solución

La solución se debe realizar por medio de Buscar Objetivo, supouicnprimero una tasa de interés cualquiera en la incógnita:

[ _.__~.~1..__._ -. i:.......-.!!l..:+Dl(l+Bll:<=~ .. =- __ ..A ... ~ B ¡ C ! D

1 TASA 1 0,032 TASA 2 0,043 DEPÓSITO 10000004 VARIACiÓN 300000567

89

10 .

11

PERíODO DEPÓSITO INTERESES SALDOFINALO O1 1000000 O 10000002 1300000 30000 23300003 1600000 93200 40232004 1900000 160928 6084128

Buscar objetivo t 'rI ¡ ¿;S J

Qefinír la celda: ~$lX:::-:.]~Con el yaJor: [?~~~~~~~~~.__._J!:ara cambiar la celda: [~Si---'=~=~

! Aceptar 1 I Oln~elar 1

1111 ., ,. I <l11I",nIlILII

A 1\ e 1)

TASA1 l,J93.3279TASA2 0,04

3 DEPÓSITO 1000000

4 VARIACiÓN 300000

56 PERrODO DEPÓSITO INTERESES SALDOFINAL

7 o O

8 1 1000000 o '1000000

9 2 1300000 1193327,95 3493327,95

10 3 1600000 139733,118 5233061,07

11 4 1900000 209322,443 7342383,51

spuesta: La tasa ofrecida en el primer semestre es del 119,332795% tri-mestral.

Son de la forma:

A

o 1 2 3 4 5 n-4 n-3 n-2 n-í nI I I Il.b I I I 1 _

R

o 1

t +

vr

R

Puru el cálculo de las variables financieras se emplean las siguientes hIIIUIIlS:

A = R O + G)" (1 + i)" 1G - i

O + G)n O + i)VF=RG - i

R = VF(G -1)O + G)" O + i)" - 1

R = VF(G - i)O + G)" - O + i)"

Ejemplo 4-20

¿Cuánto se debe depositar mensualmente en un fondo que ofrece una tasde interés del 1% mensual, para tener $15.000.000 al cabo de 1 año; si lodepósitos tendrán incrementos mensuales del 2%?

Solución

R =?0,01 mensual

(i 0,02 mensual

1IIIrndl1\ d 111((Jfll,lhllld,uf

'1.\ ~ 000,0110l.' dl'púsi(os

u

R = VF(G - i)O + G)" - O + i)"

15.ooo. 000 (0,02 - 0,01)1,02)/1 - (0,01)/2

$ f .060.694,611

vesta: El valor del primer depósito mensual es de $1.060.694,61, el cualse incrementará mensualmente en el 2%.

Illtn empresa requiere realizar el pago de una obligación que asciende a1 )()().OOOmensuales. Cada año se incrementa en un 6%. El pago se debe

II'ld izar durante 10 años, iniciando dentro de 1 mes, ¿cuánto deberá depositar11 IIlIa entidad que ofrece una tasa del 1% mensual, para poder cumplir con

IlI1Iru obligación?

"',,Iución

Los pagos son mensuales, pero los incrementos anuales, por lo tanto sepuede proceder real izando el cálculo de una anual idad de los pagos con pe-rlodo anual, para tomar la gradiente anual:

R = $1.200.000i = 0,01 mensual11 = 12 pagosVF=?

VF=R (l+i)"-l

VF = 1.200.00-00,01/2- 1

0,01

VF = 15.219.003,62

il= (1 + i)~-1

I(1,01l'I'1 O,I.1M!.I'lIJ:¡

I I (/)"( ,.

I I i)" I1/0'

1).2I!,1.oos, ()

A $1011.166.146,5

Re.\pUel'ta: Se debe realizar un depósito por $104.166.146,5

Ejemplo 4-22

¿,CU{lnto se tendrá dentro de 6 años en una cuenta en la cual se dcpotan birncstralmente $2.000.000, a una tasa del 2% bimestral, incrementandIIl1ualmente el valor a depositar en un 10%7

Sotucián

1{ $2.000.000i 0,02 bimestral11 6 depósitos bimestralVI,' =7

VF =R (l + i)" - 1

VF = 2.000.00-0(1,02)6 - 10,02

VF = $12.616.241,93

R = $12.616.241,93

n = 6 depósitos anuales

i, = (1 + i)~ - 16

il = (1,02)1- 1

i 0,126162419

(; = 0,1

1"","I,lt! ~d,,\~In1OIII"hlllrl,HI 1

VI,' - N (1 I (i)" ( 1....0l.- i

I J,616,24J,93 (1, lj6- (1, 126162419j60,1 - 0,126162419

VII $129.394.382,1

snuesta: El valor ahorrado será de $129.394.382,1

,1\ qué tasa de interés se negoció un crédito a 2 años, por $50.000.000,,IIVIIcuota bimestral es de $5.000.000 con incrementos anuales del 7%?

,\'"tllción 1

=[ (1+ ijll-1]~(1 + G)"(1 + i/"-1]A R. G .

1 - 1b a

o.ooo.ooo=~.ooo.ooo (1 + ~j6-1]1(1 + G/(1 ~ i)-2_1]lb [ G-l a

ti = 50.000.000

Supone una tasa ti = 0,034 bimestral o del 0,222146399

_[ (1,034)6-1]1(1,07/0,222146399/2-1]al - 5.000.000 0,034 [ 0,07-0,222146399

al = $50.133.295,4

Suponiendo una tasa i2 = 0,0345 bimestral o del 0,225696568

_ [ 00 (1,0345j6-1 ]1(1,07/0,225696568F-l]al - 5.000. O 0,0345 [0,07- 0,225696568

a2 = $49.983.240,49

i= (i2-i) (a-a)al - a,

~

((J,(IJ·nI !I, () 11

O.OJ,I.I¡IIII '1,

Recuérdese que la solución de la cxtrapolación es una aproxnuuchu,

So/ucMn 2

etU4 {:.I .••1I11.G14

A1 PIIGO

} VII

1 84 TASA

B5000000

500000000,07

0,034

D EPERIoDO CUOTA

o1 50000002 50000003 50000004 50000005 50000006 50000007 53500008 53500009 5350000

10 535000011 535000012 5350000

U9101111314

Se utiliza la herramienta "Buscar Objetivo":

Buscar objetivo

F G HINTERESES AMORTIZACiÓN SALDO FINAL

500000003300000 467000003412200 43287800

3528214,8 39759585,23648174,103 36111411,13772212,023 32339199,073900467,231 28438731,844383083,117 24055648,734532107,943 19523540,784686199,613 14837341,17

4845530,4 9991810,7685010278,434 4981532,3345180627,901 '199095,566

170000015878001471785135182612277881099533

966916,9817892,1663800,4504469,6339721,6169372,1

l'rli U J

Qefinir la celda:

Con ell!.afor:

E.ara cambiar la celda:

, ....- ..... _.~l$HS14_.~

- -,.- ••••• + •• _--,

O, 'l' ~.'_

, ~,S8~:'... ~

MIIIIMttt •• ftn.n(1

ilj~ ¡¡ti.tU

172220216093021492512137170012467271117449

983718,3833325,8677753,3516822,2

350348178139,8

pUl drl~, ~ Ij\ IOI1I~hlll"~" 1

11I 1'111,0

VIIM111',11

11~O()()O()O

00000000,07

0,03444405

1) 1p~RrOOO CUOTA

O1 50000002 50000003 50000004 50000005 50000006 50000007 53500008 53500009 5350000

10 535000011 535000012 5350000

F G HINTERESES AMORTIZACiÓN SALDO FINAL

500000003277797,694 46722202,313390698,309 433315043507487,678 39824016,323628299,745 36195716,583753273,069 32442443,513882550,979 28559892,534366281,744 24193610,784516674,154 19676936,634672246,687 15004689,944833177,768 10171512,174999651,966 5171860,2085171860,208 ·3E·07

A =R

A =R 1 - (J + ir""

Nt',\'IIII1',\'(II: 1~ll.:l'édit() liu.: firmudo u lI11a tasa del 3,41/41/. 155%) biIlH!~11II11

,529%27%).

Se hace el cuadro de amortización de la deuda suponiendo cualquie tn

'~llUesta: El crédito fue firmado a una tasa del 3,444405% bimestral o del22,529885%.

Corno se explicó anteriormente las rentas perpetuas son las anual idades en'IIW se conoce la fecha en que se inician, pero no tienen fin.

(; ráficamente son:

'1ID111)

114

RPETUIDADES

R R R R R R R R R R R R R~ t01234567A 00

La variable número de pagos es infinita, por lo tanto en la formulación delvalor presente (1+i)'" tiende a 0, por lo que:

1 - (1 + i)'"

A =R 1 - O

[ Aceptar ] I Cancelar J

N

N

Rj= A

Ejemplo 4-24

',Cuánto se debe depositar en un fondo que renta el 11%, para entreperpetuidad la suma de $8,OOO.000?

Solución

i= 0,11R = $8.000,000

A = R

A = 8.000.0000,1

i\. = $72.727.272,73

Respuesta: Se deben consignar $72.727.272,73.

LAS AMORTIZACIONES FIJAS Y VARIABLES Y LOS CUADROS DEAMORTIZACiÓN EN OBLIGACIONES FINANCIERAS EN MONEDANACIONAL O EXTRANJERA

La empresa que adquiere o que realiza créditos debe contar con una pro-yección de los pagos que efectuará o recibirá, según el caso, para poder cono-cer período tras período, qué valor de la cuota que paga corresponde a abonoal capital o principal, o también llamada amortización, y cuál corresponde aintereses,

Esta información puede ser sintetizada en un cuadro de amortización, el1:11111deberá, contener:

IllIe netn\ 01101IOl1t.,blllct.ut 181

111111rulumun 1IIIIIIIIdunúmero de cuota O período, donde se relacionan1I1I"ll'IIl'IIJlICJllciniciando en O o en 1, en forma vertical el número de cuo-II'~ !I dl' períodos iguales del crédito, o la fecha programada;

111111columna llamada cuota, en la que se ingresará el valor de la cuota,1'1valor de esta columna puede ser fijo o variable como se explicará másIldl'llIole;

111111columna llamada intereses, que es igual a la tasa de financiación apli-(lIdu al saldo adeudado;

1¡!lBcolumna llamada amortización, equivalente al valor que se abonará aIn deuda, este depende el tipo de cuota, según sea fija o variable; y

1¡IIa columna llamada saldo final, en la que se encuentra el valor que que-da posterior al abono a capital del período, y a la suma de interés a éste'liando se capitalizan.

( '01110 se anticipó, las cuotas pueden ser fijas, que corresponden a las anua-lulndcs, es decir, cuando son iguales de principio a fin de la deuda. En esteI'IINO,la columna de amortización se halla restando del valor de la cuota, que(' conoce o se calcula aplicando la fórmula de R, el valor de los intereses.

Las cuotas también pueden ser variables, o mejor conocidas como amor-Ilzaeión fija, donde, como su nombre lo indica, de principio a fin de la obliga-I rón se amortizará el mismo valor. Es decir, para hallar el valor de la columnarlc amortización, basta con dividir el valor del crédito entre el número depngos y se obtiene la cifra que se arnortizará en cada período. El valor de la"Ilotaes la suma entre la amortización -fija- y los intereses calculados como

1.: explicó.

Bien se trate de un crédito en moneda nacional o de un crédito en monedaextranjera, el mecanismo para realizar el cuadro de amortización es el mis-1110.Similar es el caso de los créditos en UVR, DTF, o en divisas, donde lacuota fija o variable se halla sobre el valor en Unidades de valor del crédito,110sobre pesos.

Tratándose de créditos con tasa variable, los cuadros de amortización sonpoco efectivos, puesto que al tener una tasa que fluctúa período a período,los valores que se hallan en el período inicial variarán en cada uno de lossiguientes.

SI: 11111111'"1 pllglIll' pOI $t)\()()(),()()() UIII 1111111'1111111111""¡IIIl"l'IlI lJIIl} 1.:11

'"111 tll<;IIIIl'1 ),,21t1,tI "'l'''S"III, 111 uno, 1.\011t:lIntlls Iglllrll'~ mcusunlc», (,('11

1,1vnku I/(: 11I1.\1Iotll'?Rcaliznr el cuadro de arnorti zncióu de la (11.\\11111,

SIJlllc/rj"

A 695000000

0,0223

12S 9.110,532,08

VAIASANPERPAGO

10111.21314

•• hit 01'

e DPERrOOO CUOTA

o1 S 9.110.532,082 S 9.110.532,083 S 9.110.532,084 S 9.110.532,085 S 9.110.532,086 S 9.110.532,087 S 9.110.532,088 $ 9.110.532,089 S 9.110.532,08

10 S 9.110.532,0811 S 9.110.532,0812 59.110.532,08

2118500196257818031781640224147363613033341129233

951250,2769298,2583288,7

393131.2198733,1

F G "INTERE5ES AMORTIZACiÓN SALDO PINAI

950000006992032,077 88007967,927147954,392 80860013,537307353,775 73552G59,7G7470307,764 66082351,997636895,G28 58445456,3G

7807198,4 50638Z57,967981298,924 42656959,04

8159281,89 34497677,158341233,877 26156443,278527243,392 17629199,88

8717400,92 8911798,968911798,96 ·IE·08

Respuesta: El valor de la cuota mensual es de $9.110.532,08,

[emplo 4-26

Se fi rma un pagaré por $95.000.000 con una entidad financiera que cobrn'"1(1 tasa del 2,23% mensual, a 1 año, se pagará en cuotas con amortización.onstante,

Soluclán

",~~~~~~I~ •••

F

INTERESES

A B C1 VA 950000002 TASA 0,02233 NPER 124 AMORTIZACIC$ 7.916.666,6756789lO11121314

D EPERrODO 'CUOTA

o1234567

89

101112

10035166,672118500.009858625.00 1941958,339682083,33 1765416,679505541,67 1588875,009329000,00 1412333,339152458,33 1235791,678975916,67 1059250,008799375;JO 882708,338622833.33 706166,678446291,67 529625,008269750,00 353083,338093208.33 176541,67

AMORTIZACiÓN SALDOfiNAL

00סס95007916666,67 87083333,337916666,67 79166666,677916666,67 71250000,007916666,67 63333333,337916666,67 55416666,677916666,67 47500000,007916666,67 39583333,337916666,67 31666666,677916666,67 23750000,007916666,67 15833333,337916666,67 7916666,677916666,67 0,00

M.t.",atl' ., n_n,l,rnl ~"lhml,11 ,11" (()l1t,lhllldtld 183

4-" 11111111"" pagaré con una entidad norteamericana por US$95.000, a una

,~II II~'I I,,%IX¡trimestral, a 18meses, en cuotas trimestrales iguales. La TRM",1111.1en que se obtiene el crédito es de $l.897.

... _ ...-.-"--- ..--.~.-..-... ,....-.-.,,,.,.-. -_ .. -A B C D E F G H

1 VA 95000 PERIODO CUOTA INTERESES AMORTIZACiÓN SALDO fiNAL, TASA 0,0356 o 95000

3 NPER 6 1 $17.863,63 $ 3.382,00 $ 14.481,63 s 80.518,37

4 PAGO $ 17.863,63 2 $17.863,63 $ 2.866,45 $ 14.997,18 s 65.521,19

5 3 $17.863,63 $ 2.332,55 $15.531,08 $ 49.990,11

6 4 $17.863,63 $1.779,65 $16.083,99 $ 33.906,12

7 5 $ 17.863,63 s 1.207,06 $16.656,57 $ 17.249,55

8 6 $ 17.863,63 $ 614,08 $17.249,55 $ 0,00

Los valores obtenidos se deberán convertir a pesos en el momento delI"'I.!.O,

:Jemplo 4-28Se firma un pagaré con una entidad norteamericana por US$95.000, a una

tusa del 3,56% trimestral, a 18 meses, en cuotas trimestrales con amortizaciónconstante. La TRM del día en que se obtiene el crédito es de $1.897.

S()lució"

,__._ I_~_=._-:J'" ~,¡:"!~~~~ -;"..;...

A B C

95000

0,0356

6$15.833,33

''''''''''.=,'''' - -_.,-G HINTERESES AMORTizAClÓÑ' SALDO fiNAL

95000

$ 79.166,67

$ 63.333,33

S 47.500,00

S 31.666,67

S 15.833,33

$ 0,00

1 VA

2 TASA

3 NPER

4 PAGO

5

67

8

O EPERrODO CUOTA

o1 S 19.215,33

2 S 18.651,67

3 S 18.088,00

4 $ 17.524,33

5 $ 16.960,67

6 s 16.397,00

$ 3.382,00

$ 2.818,33

$ 2.254,67

$1.691,00

$1.127,33

$ 563,67

$15.833,33

$15.833,33

$15.833,33

$ 15.833,33

s 15.833,33

$ 15.833,33

Los valores obtenidos se deberán convertir a pesos en el momento delpago.

Sllllll1ll1l1l1 p"glI/('VPlIlIlIlI ~'lIlldlld 11I1I1I1l'11·f'lIl'IIII1j1I·IIIHII. 'lOOO(), •• 1

111';11dl'l 10"11.11 2 HfI()s, \.:11t'II()IIlS s\.:lIl\.:sll'llks ('UII 1I11'1~\lIll'lIl()s (k, PdlOOIlIl'Sll'lIks, La T({M <Id día en que se firma el paglll'~ es de $,1.001.

StllucMn

oo. /. "Il-'CI.

A B50000

0,0488088484

S 5.000,00

e D EPERIoDO CUOTA

o1 S 5.000,00 S 2.440,442 S 10.000,00 S 2.315,513 S 15.000,00 S 1.940,444 S 20,000,00 S 1.303,02

F GINTERESES AMORTIZACiÓN

1 VA

2 TASA

3 NPER

4 PAGOS 2.559,56s 7.684,49

$ 13.059,56s 18.696,98

Buscar objetivo ty......L_~

'SKSó

¡'o~ - ,~a(a cambiar la celda: l~$:;-~~~

CiC:jJtar I ~lar J

(!emir la celda:.~

Con el yalor:

11SALDO l'INAl

50000$ 47,440.44$ 39.755,96s 26.696,40s 7,999,42

A

"'~':"~-~""~"~"-' .. ,,-:-'. ..,,..···,··-·~·····~~-,·v· ~t4(I 'M.;,.;::~~,~·~:G:~" ..~::: o ••

C D EPERIODO 'CUOTA

O1 $ 6.859,25 $ 2.440,442 s 11.859,.25 $2.224,773 $ 16.859,25 $1.754,524 $ 21.859,25 $1.017,27

F G H

INTERESES AMORTI2ACIÓN SALDO FINAL

50000$ 45.581,19$ 35.946,71s 20.841,98

$0,00

B50000

0.0488088484

$ 6.859,25

1 VA

2 TASA

3 NPER

4 PAGO

S

6

$ 4.418,81$ 9.634,48

s 15.104,73s 20.841,98

Ejemplo 4-30

M 1851141111IrM\ dplli ,ld,1\,11,1«()llt,lulllddd

Los valores obtenidos se deberán convertir a pesos en el momento delpfll.!.O.

Se f rma un pagaré con una entidad financiera europea por € 50.000, a unaIIIS(1 del 10%, a 2 años, en cuotas semestrales con incrementos del 10% sernes-11'/11, La TRM del día en que se firma el pagaré es de $3.001.

•• . . ¡. ...... ' ......ti 8 e D E F G

I VA SOOOO PERIODO CUOTA INTERESES AMORTI2ACIÓN

IA~A 0,048808848 O

NPrR 4 1 $ 7.000,00 $ 2.440,44 $ 4.559,56PAGO S 7,000,00 2 s 7.700,00 $ 2.217,90 $ 5.482,10

3 $ 8.470,00 s 1.950,32 $ 6.519,684 S 9.317,00 $ 1.632,10 s 7.684,90

HSALDO FINAL

50000$ 45.440,44S 39.958,34S 33.438,66S 25.753,76

Buscar objetivo ~

I Qefinirlacelda: -~-~ I

1I ."-,

ICon el valor: ,O ~', ~"ra ca~iar la celda: SSS4 ~

l ! Aceptar l [ canc~:r J-----------~-------

.. ~6 """'"~::.=t!J..•.-+t),(i6,:.:::.;:; . =::;",. .._--A B C D E F H

1 VA 50000 PERIODO CUOTA INTERESES AMOllTl2ACIÓN SALDO FINAL

2 TASA 0,048808848 O 500003 NPER 4 1 S 12.188,37 $ 2.440,44 S 9.747,93 $ 40.252,074 PAGO S 12.188,37 2 S 13.407,21 s 1.964,66 S 1i.442,55 s 28.809,525 3 $14.747,93 $1.406,16 S 13.341,77 S 15.467,766 4 s 16.222,72 $ 754,96 S 15.467,76 $0,00

Los valores obtenidos se deberán convertir a pesos en el momento delpago.

CUADROS DE AMORTIZACiÓN EN OBLIGACIONES FINANCIERAS CONINTERESES PAGADOS POR ANTICIPADO

Cuando se cobran los intereses por anticipado el valor recibido efectiva-mente no es igual al saldo de la deuda, teniendo en cuenta que en esta fechase le debe incrementar los intereses. Para el cálculo de la tabla se utiliza estesaldo menos el valor de la cuota y la tasa de interés vencida; los intereses poranticipado se calculan sobre el saldo del respectivo período.

,~i <2-< Ü~P3 L~z~ f-¡0°0-<....:l0° I-!.......u "(f) ~er.:;W~o o:l> ~z CQ~

I(l'ldl\'l' el \'11.111111 dl' 1I111(lIll1m'!UII 11"1'1I 1111 111'111111 dI' ~I() ()()() ()()() niuuuunul nnt rr ipndu 11 (1 IlICSCS, pngndcro CII CIH11IIS IlIl'IISIIII!cS 1IU1I1Il's vdas, l'011 intereses cohrndo» por anticipado,

,';;oludtJn 1

A $10,000,0006 pagos0,24 nominal anticipado

11

.1"

iaJa

m

I(1

2,2412

1n

0,02 mensual anticipado

iai = 1- ia

ia0,02

1- 0,02

i = 0,020408163 mensual

R=~1- (l + i)-n

10,000.000 (0,020408163)1- (l,020408163j-6

R = $1.787.718,02

R

Interés = (Saldo fi nal anterior - Cuota) (i)

Interés para 1 = (10.204.081,63 - 1.787.718,02) (0,020408163) =$171.762,52

Cuadro de amortización

CUOTA INTERÉS AMORTIZAC. SALDO FINAL

O $ 204.081,63 $204.081,63 $10.204.081,63

1 $ 1.787.718,02 $ 171.762,52 $ 1.615.955,50 $ 8.588.126,14

2 $ 1.787.718,02 $ 138.783,84 $ 1.648.934,18 $ 6,939.191,96

3 $ 1.787.718,02 $ 105.132,12 $ 1.682.585,90 $ 5.256.606,06

MItIIMtI,., ftn'"I ler." nlll!l .1Itn\ .1In IOIlI.1hllld,1l1 1

, -',/lII,O? $ 70.l0~,O3 $ 1.716.924,38 $ 3.539.681,68

',718,02 $ 35.754,36 $ 1.751.963,66 $ 1.787.718,02

'.718,02 $ 0,00 $ 1.787.718,02 $ 0,00

"'mu',,ua: El valor de la cuota mensual es de $1.787.718,02.

A

1 VA

2 Tf>SA

3 NPER

4 PAGO

5678

9io11

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0,020408l636

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G HAMORTIZACiÓN SALDOfiNAL

1 'VA

2 TASA

3 NPER4 ·PAGO

56 TA5AANT

78

O E FPERIODO CUOTA INTERESES

o 0+81·62

1 $ 1.787.718,022 $1.787.718,023 $ 1.787.718,02

4 $1.787.718,Q25 $ 1.787,718,026 $1.787,718.02

0,02000

L ~~~~.(:.:rJ!l!~~:,..--=.:--.!-..,''''',..~''''''..~ ..'"~~··..:.·~:....o-·-...:=-=-' -

'0.. _A ..•_._.... "6.. . ....._.•C._""._.Q... __._ _ E __ f_. .-1 VA 10000000 PERIODO CUOTA INTERESES AMORTIZACiÓN

i-TASA 0,020408163 o 204081,6327¡:~?~?~~;~~~7j3 NPER 6 1 $1.787.718,02

4 'PAGO $1.787.718,02 2 $1.787.718,025 3 $1.787.718,02

6 TASAANT 0,02000 4 $ 1.787.718,027 ' 5 $1.767.718,02

8 6 $ 1.787.718,02

HSALDOFINAL

+81+F2

~!~ _oo.o_.~~~,j.':':~~~t~~?,",,''''l''= ;u:::;:: ...:!:"."'.~=<;" _.•.. _--~._ •••,,=,- ~,.'"A 6 C O· E F G

10000000 PERIODO CUOTA INTERESES AMORTIZACIÓN

C::9;o:i9.~o:~~~3j o 204081,6327 204081,63276 1 s 1.787.718,02 +(H2-E3)'$B$2

$1.787.718,02 2 $1.787.718,023 s 1.787.718,024 $1.787.718,025 $ 1.787.718,026 $1.787.718,02

H

SALDOFINAL10204081.631 VA

2 TASA3 ·NPER

4 PAGO

56 TASAANT

78

0,02000

(n"""",,, I

1IoI.&. .""

A B e 11 I 1"

II1 VA 10000000 PERIODO euo IA INIIIII ~I', ~MIJlIIIIAI 1I1N \AIIIIIIINAI2 TASA 0,020408163 o 204081,GJ)/ JO~OIIl,!I II1 I!IJ¡¡~II~ I '"3 NPER 6 1 $ 1.787.718,02 el llIbl/~n7J "' l'4 PAGO S 1.787.718.02 2 S 1.787.718,02 -3G484,0~J7S 3 $ 1.787.718,02 -36484,04126 TASAANT 0,02000 4 $1.787.718,02 -35484,04127 5 S 1.787.718,02 -36484,04128 6 $1.787.718,02 -36484,0412

,...1..:...::=:- . '''- ~ ""=~..~,~.'_'_'.." _ .

A 8.. E

VA 10000000 PERIODO CUOTATASA 0,020408163 o 204081,6327

NPER 6 1 $ 1.787.718,02PAGO $1.787.718,02 2 $1.787.718,02

3 S 1.787.718,02TASAANT 0,02000 4 S 1.787.718,02

5 S 1.787.718,02

6 $1.787.718.02

G 11INTERESES AMORTIZACiÓN SALDOFINAL204081,6327 10204081,

171762,5227:::~X~~~:~~:~;~~>H2.Ga-36484,0412 $1.824.202,06-36484,0412 $1.824.202,06

-36484,0412 $1.824.202,06-36484,0412 $ 1.824.202,06-36484,0412 s 1.824.202,06

~'"'·"A~··""~~~~~=~~~~~=::"·"~~,~",,m,""'~.'~,"C:"~~~,,,,"m,'~F·,,,,,,,m'''''''''''''''~G'"·"='''''=''= H10000000 PERIODO CUOTA INTERESES AMORTIZACiÓN SALDOFINAL

0,020408163 o 204081,6327 204081,6327 10204081,63

6 1 $1.787.718,02 171762,5227 $1.615.955,50 s 8.588.126,14$1.787.718,02 2 $1.787.718,02 138783,8392 $1.648.934.18 S 6.939.191,96

3 $1.787.718,02 105132,1212 S 1.682.585,90 s 5.256.606,064 $1.787.718,02 70793,63352 $1.716.924,38 S 3.539.681,685 $1.787.718,02 35754,36037 S 1.751.963,66 $1.787.718,02

6 $1.787.718,02 3.65877E-I0 S 1.787.718,02 S 0,00

1 VA2 TASA3 NPER

4 PAGO567

8

TASAANT 0,02000

¡:.~._,~~~\";r~-'V-: i.·I~~:-~f~i..._....__. ..,. "-.. ~_. .._.._. _'0_'" A 8 C· D E f G H

1 VA 0000סס10 ""PERIODO CUOTA ....···.... ·iÑTERESES AMORTIZACIÓÑ····SAlDOFINAL

2 TASA 0,020408163 o 204081,6327 =+81'823 'NPER 6 1 s 0,004 'PAGO $ 0,00 2 S 0,00

5 3 S 0,00~ TASAANT 0,02000 4 S 0,00

7 5 s 0.008 6 $ 0,00

Respuesta: El valor de la cuota mensual es de $1.787.718,02.

Ejemplo 4·32

Realice el cuadro de amortización para un crédito de $10.000.000 al 241).-0nominal anticipado a 6 meses, pagadero en cuotas mensuales vencidas conamortización constante.

Solución 1

j. = 0,24 nominal anticipado

MItIIIIMIIM ftn.nllfl

i /"n /'11

I "(),

" I

0,02 mensual anticipadoii= __ o

1 .. io

1 -; 0,02" 1 .. 0,02

A

0,020408163 mensual

$10.000.000 + (10.000.000 (0,020408163)) = $10.204.081,63

11 -= 6 pagos

Amortización =An

mortizacián =10.204.081,64

6

Amortización = $1.700.680,27

Cuadro de amortización~

INTERÉSCUOTA AMORTIZAC. SALDO FINAL

° $204.081,63 $10.204.081,63

1 $ 1.874.219,08 $ 173.538,80 $ 1.700.680,27 $ 8.503.401,36

2 $ 1.839.511,31 $ 138.831,04 $ 1.700.680,27 $ 6.802.721,09

3 $ 1.804.803,55 $ 104.123,28 $ 1.700.680,27 $ 5.102.040,82

4 $ 1.770.095,79 $ 69.415,52 $ 1.700.680,27 $ 3.401.360,54

5 $ 1.735,388,03 $ 34.707,76 $ 1.700.680,27 $ 1.700.680,27

6 $ 1.700.680,27 $ 1.700.680,27 $ 0,00

VA

IAI."NI'III

""1,0I"'''ANI

VATASANPERPAGO

f, fASAANT

VATASANPERPAGO

56 TASAANT78

A "IIHKIIHHlI1]fI,IJIIMmlll,1

(,

$ 0,00

• ••• t

0,01000

IJ 1 1 u 11I'IIIJCllIO flll1lA INIIIII',I' AMllllfllAlIl'IN ',AIIJlUINAI

O lO~OIl t.O 111 J040JlI,IIIJ I 11 J ""I1

!~56

AX";J.¡'StlSJlSII$J

B10000000

0,020408163r:::::::::::::::jJS 1.700.680,27

C D E F GPERIODO CUOTA INTERESES AMORTIZACiÓN

O 204081,6327 204081.6327

1 +$H$2/$B$3234

56

11SALDO fiNAL

1020~081,& 1

0,02000

. " ). .;',.! '142·0)

A B00סס1000

0,020408163

6S 1.700.680,27

.••.•""".="'~.J:.::.-.....",,-:;,==,:::oD E F G H

PERIODO CUOTA INTERESES AMORTIZACiÓN SALDO FINAL

O 204081,6327 204081,6327 10204081,63

1 U:X.iO~:~~9ji>H2-G32 S 1.700.680,27

3 S 1.700.680,274 $ 1.700.680,27

5 S 1.700.680,276 $1.700.680,27

"'"A

1 VA2 TASA3 NPER4 PAGO56 TASAANT7

8

10000000 PERIODO CUOTA INTERESES AMORTIZACIÓN 5ALDO FINAL

r:::O;~3~.~9~~:~3J O 204081,6327 204081,6327 10204081,63

6 1 +H3'SBS2 s 1.700.680,27 $ 8.503.401,36$1.700.680,27 2 S 1.700.680,27 $ 6.802.721,09

3 S 1.700.680,27 S 5.102.040,824 S 1.700.680,27 $ 3.401.360,54

5 $1.700.680,27 $1.700.680,276 S 1.700.680,27 S 0,00

0,02000

0,02000

~ ...~;~~;:7,t~t~n·" 's

VATASANPERPAGO

56 TASAANT7B

A .B10000000

0,020408163

6S 1.700.680,27

G HPERIODO CUOTA INTERESES AMORTIZACIÓN SALDO FINAL

O 204081,6327 204081,6327 10204081,63

1 +F3+G3 S 173.538,BO ¡::Ei9~:~~O;?iJ S 8.503.401,362 $138.831.04 $1.700.680,27 S 6.802.721,09

3 $104.123,28 s 1.700.680,27 S 5.102.040,824 S 69.415,52 $1.700.680,27 $ 3.401.360,545 $ 34.707,76 s 1.700.680,27 $1.700.680,27

6 s 0,00 S 1.700.680,27 $ 0,00

0,02000

191

.,.. ,.A 11

0000סס100,020408163

6S 1.100.680.27

11 1 F G HPEnlODO CUOTA INTERESES AMORTIZACiÓN SALDOFINAL

O 20~081,6327 204081.6327 10204081,631 $1.874.219,08 $173.538.80 $1.700.680,27 S 8.503.401.362 S 1.839.511.31 S 138.831,04 S 1.700.680,27 S 6.802.721,093 S 1.804.803.55 S 104.123,28 S 1.700.680.27 S 5.102.040.824 s 1.770.095.79 $ 69.415.52 $1.700.680,27 $ 3.401.360,545 S 1.735.388.03 S 34.707,76 S 1.700.680.27 S 1.700.680,276 S 1.700.680,27 s 0.00 S 1.700.680,27 S 0,00

1 VA1,,,,,NI'IIIl'Af,D

IMAAN'f 0,02000

"00 ~,,"~~.f~l.;=!.~~.~l.~.;~~~~~:~~~~,:.~;;e

A B At9W,.~nt~ ~ Ivnó6l\~ ::~: O,~!i ~A~- Tu. " ._.. . ·";--:·:.·:~·--·-------------l3 VA C:::::::::::il ¡ o:: :~ .. ~ : ': I4 PAGO 11;82;-83) VI _~'.!@] • ~",••,5 r~ 'M~' •• ~ •• ~. ~ •• I'umt,"'C) • ~.

. • O,O~2!l710'J7 I6 CaIclM~D600deLr'lprHtilllflO~tt1P6QO'Yt~dtltl~ttconsUt'ltt$. i7 v. es er ••.• octual:¡.,Qf1!)6edlOlllldeU\llseriedeDe90slUtu01. !

I8 ;9 ...".." do" """"', 0."23"'97 r--:::::::o 110 ~ ~~I

L11.LRJ

11

ASA DE INTERÉS REALMENTE PAGADA

Es normal encontrar planes donde se ofrece un descuento por compras decnntado, lo que disminuye el valor presente a pagar, pues las cuotas periódicas

'calculan con base en el valor sin el descuento o precio de lista y una tasa deinterés predeterminada; esto significa que la tasa de interés realmente pagadadebe calcularse con base en el valor descontado y no en el precio de lista. EIgualmente algunos costos que no se tienen en cuenta al liquidar la operación'01110 constitución y levante de hipotecas, avalúos, estudios de títulos; hacenque lo recibido y pagado efectivamente no sea igual a lo liquidado, cambiandolos costos financieros y necesariamente la tasa.

Se aplican los conceptos vistos en tasas con arandelas.

Ejemplo 4·33

Una empresa financia electrodomésticos a 2 años con una tasa de interés

del 24% 110111inal en cuotas 1l1(,!IlSIIIIll'S y (11nl 11,11dnlllt:II!tI/i dl)1 ,101111 1\ l'lllIIl

de contado, ¿cuál es la tasa realmente plIJJ.udll'

Solución 1

j = 0,24 nominal

i = Jm

1 = 0,2412

i = 0,02 mensual

AiR = 1 - (1 + i)"

0,02R1- (1,02)"24

R = 0,052871097

A = 1- 0,2A=0,8

A=R1 - (1 + i)-n

0,8 = 0,0528710971 - (1 + i)-2-1

0,8 1 - (1 + i)-N0,052871097

a = 15,1311405

Suponiendo una tasa il del 4% mensual:

a - 1- O,04Jt;'¡1 0,041

al = 15,24696314

Suponiendo una tasa il del 4,1% mensual:

1- (1,041)"2-10,041

a2

15,O'I.'()d()1

1)" i I

O,O.f¡ - 0,(4) (15,131405 -15,24696314)15,09204922 - 15,24696314

0,040747658

(0,040747658) (100%) = 4,0747658% mensual

, 0,0

spuesta: La tasa que se pagó es del 4,0747658% mensual.

.\'tllución 2

•. '."'---'-' .~' ..•• To\!A ::=';'.:.;·x ~~¿¡:.:Tf\~'(?~81;8aJ

, e O e e eA 81 TASA 0,02

2 NPER 24

3 VA 1

4 PAGO s 0,0528711

5

6 'NPER 24

7 PAGO s 0,05287118 'VA C::~:::::::~:~j9/ASA 86;-87;88)10 :

11'

'" ¡iAI!j:,¡Jl'o(nl1)ldf'llin:-i<>n

! f45J, ---

i ~ •• :c,¡rlf-¡! •• ·'MnI11t)'¡?

j) ..u.st;J-~""'j,- •.•

Hpcr 3ó

Pa.go ~1

Yo ee

"r•••• C.')ot:)]~'l

lee-~\'.b U»Ot(lIefi~oor~~;::1Z\pr~wnoO:.r>.lo;;w.uW1, Po titf:do,v.e6%1"p4'O~!~o:'l'6b.II'i"'TI'~.

VI eulVób ;;"1\.>"I1:-~~~-,d~~'*'''''''5c!!'I\!1Up6Q6'fvt.l'C'I

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, Cc.;;;;;¡;'-,'J!L~~"-~

~;.~~ ::..~2l~.J. ..:~~~.?.t~.~iB:c.6)Lo::.._ _ .

lr'TA~ 8 0,015 !P,:""d"~~:._--_._----~-_..__....é_---~~=~'!..2 NPER 24

3 VA 200000000

4 PAGO )(81;82;-83)

5

6

78

910

iJí L!l

Tu.ll al ~ ~ MIS

~ •• 2~

¡~.,-rti§ - '''"~"i~ •• ~",~

HPf"I' 82••.• -el

"r••

~ •• ~2'l.»Ii~tlp6GC)de""',"$Iamo~O"II)fgOI"WMcIe"'~COOJ,t<III\IoU.

T.'W ~c"tIlWdt-lnlerispotperiodo6dCll"nlberO Port:im'Po,u$t!o"'/~o.v.~~str.R:I~o".TP"'.

¡¡R~t.adodelafór...ua •• $9.9S4.• M.39

15~~\l.~ í-~-l¡-c;.......j-,

Respuesta: La tasa que se pagó es del 4,0747658% mensual.

Ejemplo 4-34

Se necesitan $200.000.000, los cuales P'H,l<k'1I Sl'1 IIdqlril'jd()~ Illl'd

te un crédito al 1,7% mensual sin incurrir en gastos, () '"1 crédito IlIl'dlllll

hipoteca previo estudio del crédito, los gastos son: constitución de P'l"ld$1.700.000; levante $350.0000; avalúo 0,2% del valor del bien (valor (il'1 hl$1.000.000.000); estudio de títulos $700.000; y otros gastos $800.000, 1.'1ndito es a una tasa del 1,5% mensual a 2 años, en cuotas mensuales iuunlcx

Solución 1

A = $200.000.000 - 1.700.000 - (1.000.000.000 (0,002)) - 700.000- 800.000

A = $194.800.000

R=~1 - (1 + i)"

R = 200.000.000 (0,015)1 - (1,015)'24

R = $9.984.820,391 - (1 + it"

A = R _ / VF (1 + ir1 - (1 + i).24

194.800.000 = 9.984.820,39 + 350.000 (1 + i).n

a = 194.800.000

Suponiendo una il de 0,0173 mensual:

a = 9984.82039 1 - (1,0173)'24 + 350.000 (10173)'24l' , 0,0173 '

al = $194.989.845,07

Suponiendo una i2 de 0,0174 mensual:

a = 998482039 1 - (1,0174)'24 + 350 000 (1 0174)·142 . ., O, 01 74 . ,

a2 = $194.765.865,22. (i2-i) (a=a )1/- (a-al

2 /+ i/

(0,0/ '·1 IJ,IJIII) (1 ()./,8{){).(){)() /f)./W\lJ8,15,07) ,()()I '1IN. 765.865,2 - J()'¡, CJ8().8.f5,O '

, 0,017384760

(0,017384760) (100%) = 1,7384760% mensual

spuesta: La mejor opción es la del 1,7% mensual.

N"lución 2

TASA • \' X ./ ¡;, I +$8$4 • . _

-' -¡;.. - 8 I C --- "D"" --·--E·---·'-'F-'-' G H

1 TASA 0,015 PERIODO CUOTA INTERESES AMORTIZACiÓN SALDO FINAL

2 NPER 24 o3 VA 200000000 1 +$B$4

4 :PAGO :-i9c~~~-~q~}~~: 2s 3

6 4.7.., s8 6

9 7W 8

11

El valor de la cuota en la celda B4 debe ingresarse escrito, no dejando el

resultado de la fórmula PAGO.

~~·.~§~~:~~~~~~?~:$:~~i:."~.:;;:.~:"~:~-~...':~~~-::--~:~.H·-·-i ..ITASA ~ ~cO_1?! PERIODO CUOTA INTERESES AMORTIZACiÓN SALDO FINAL

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5 S 9.984.820.39

6 S 9.984.820.39

7 S 9.984.820.398 $ 9.984.820,39

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_... _-- _UOTA INTERESES AMORTI2ACIÓN SALDO FINAL2 'NPER 24 o 00סס19480

3.jVA 000000ס20 1 $ 9.984.820.39 2922000~: ~!~~6.2"~i_oj~~+H2.G34.¡PAGO $ 9.984.820.39 2 $ 9.984.820.39 o $ 9.984.820.39

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~ • $ •.•••. 8l0.99 1.599J61,&1 S I.JIi.').I1JH,~.') S 1(1).9041.<Jt!4,)1, S S 9.984.820,39 JA.88600,26 S 7A!)fi.VO, II $1)8,410.0164,08

8 6 $9.964.820,39 2316156.96 $1.608.663.43 S l!IO.801.800.659 7 S 9.984,820,39 1262027.0l $ 7.722,793,38 $ 1013.07?OO1.17

10 8 $ 9.984.820.39 2J016185,11 $1.838.635.28 S m,140.31I,9811 9 S 9.984.820,39 2028605,58 $ 7.956.214,61 $121.284.~7, 1712 10 s 9.984.820.39 190926:1.36 $8.01S.558.GO5119.208.599.1313 11 $9.984.820,39 l788128,99 $ 8.196.691,41 $ 111.011.907.72

lJI 12 $ 9.984.820.39 1665178.62 s 8.319.641.78 S 102.692.265,95

15 13 59.984.820.39 15010383.99S8.444.436.40 594.241.829.5'16 14 s 9.984.820,39 14137L7,44 s 8.511.102.95 $85.61G.nG.5917 15 s 9.984.820.39 1285150.9 s 8.699.669,.50 S 76.9n.057.1018 16 s 9.984.820.39 1154655,86 S 8.830.164.54 S 68.146.892,56

19 17 S 9.984.820,39 102ll03.39 $8.962.617,01 s 59.184.275,55

20 l8 S 9.984.820,39 887764,133 s 9.091.056.26 550.081.219.292l 19 S9.984.820,39 751308,289 S9.233.512,10 $40.853.707.19

22 10 $9.984.820.39 6U805.608 $9.3n.0\4.1'3 S 31.481.692,40

2J 21 s 9.984.820,39 4n22S,386 s 9.512.595,01 $21.969.097,39

~.~ 22 s 9,984.820,39 329536,461 $9.655.283.93 S 12.313.813,46

25 23 s 9.984.820,3' 184707,202. S 9.8(XUJ3,19 $ 2.513.100.2126 24 =+$B$4I350000 3T1~,504 $ 10.297.1.14,0.9 (:ílJ8J.<114,ti1.)

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2 INPER 24 o $194.500,000.00

3"!VA 000000ס20 1 59.984.820,3.9 3386549,15 $6.596.271.24 $188.201.128,16~..JPAGO $9.984.8'.0,39 2 $9.9B4.BZO,39 3271839,R6 $6,712.980,53 $181.488,748,23

.~..l 3 $9.984.320,39 3155136,38 $6.829.684,01 $1i'4.6S9.064,22

6 ' 4 s 9.984.820.39 3036404.03 s 6.90>8.416.36$ 161.710.647.867" 5 $9.984.820.39 2915607.56 $7.069.212.83 $160.641.435.03

_~..l 6 S 9.9/W.820,39 2792111.07 S 7.192.109,32 $1.53.449.325,71

.9..1 1 s 9.984.820,39 2667618.05 S7.317.142.34 S 146.132.183.31101 9 $ 9.984.820,39 2540471.36 S 7.444.349,03 S 138.687.834,34

'¡,'I 9 S9.984.820.39 2411053.22 $7.513.761.11 $ 131.114.067.11.¡

121 10 s 9.984.8].0,39 22.7938,'5,18 $ 7. 7O..S.435,21 S 123.408.631.96

13 ¡ 11 $9.984.820,39 2145428,12 $ 7.839.392.27 $115...569.239,69

14 12 s 9.984.820.39 2009142,25 $ 7.975.678,14 S 107.593.561.55

1.5I 13 S9.984.820.39 1810487,09 s 8.114,333.30 S99.41'3.228.2516 i 14 $ 9.984.820,39 172942.1.44 S 8.2.55.398.95 $ 91.223.829,30~'7J 15 s 9.984.820.39 1585903.4 s 8.398.916,99 $82.824.912.3118 i 16 S 9.984.820,39 1439890,33 S 8.544.930.06 S 74.279.982.25

19..1 17 $9.9&4.820,39 ]291338.86 $8.693.481.53 S6.5.586.SOO,n

20 i 18 $9.984.820,39 1140204.87 $8.844.615,52 $5ó.14I.885.20211 19 $9.9801.820.39 986443."6 $8.998.376.94 5".143.508.2522 i 20 s '.984.820.39 830008.919 s 9.1.54.811.41 S 38.588.696,1'323 I 21 S 'J.984,S20,39 670854,817 S 9.313.965,57 S 29.274 ..131,21

24, zz S9.984.820.39 508933.861 s 9.415.886.53 S19.1'38.844.68as) 23 $9.984 ..820.39 344197,95 S9.640.622,44 S 10.158.22.2,.24

,~6j 24 $10.3)'.820,39 115598.146S 10.158.222.2' $ 0.00

Respuesta: La mejor opción es la del t,7% mensual.

AGOTAMIENTO

Es el caso de las inversiones en recursos naluralcx IIgotllbks. IHII l'll'lIIllas minas y los pozos petroleros. Para la recuperación de la invcl'si<'1I1~l' tI,,1realizar un fondo de reembolso, que se calcula de la siguiente Ionuu:

_ VF (i)R - (1 + i )" - J

f

_ (1-S) (VR - (1 + i )" - 1

f

U = 1(i) + (1 - S) (ir)(1 + ~)n - 1

Donde:

u= Utilidad;1= Inversión;i = Tasa de rentabilidad real del proyecto;ir = Tasa de rentabilidad del fondo;VF = Valor del saldo al finalizar la inversión en el fondo;n = Vida útil;

R = Valor del pago periódico en el fondo para recuperar la inversión; yS = Valor de salvamento.

Ejemplo 4-35

¿Cuál debe ser el valor a consignar mensualmente en un fondo que ofreceuna tasa 8,4% nominal, para recuperar la inversión realizada en una mina deoro por valor de $50.000.000.000, la cual se espera se agote en 30 años. Sedebe pagar al finalizar $2.000.000.000 para amortiguar el impacto ambiental.

Solución

ji = -¡¡;¡-

. 0,0844[=---

12

i = 0,007 mensual

(1.00(1.000.000S -2.000.000.000'1 0.007 mensual11 160 depósitos

R (1 - S) (ir)(J + ir)" - 1

N(50.000.000.000 - (- 2.000.000.000)) (0,007)

(1,007)160- 1

R = $32.155.582,47

Respuesta: Se deben realizar depósitos de $32.155.582,47 mensualmente.

CtDULAS DE CAPITALIZACiÓN, CUENTAS DE AHORRO V AHORROPROGRAMADO

Las personas pueden firmar contratos en cédulas de capitalización o deahorros programados, con el fin de obtener recursos futuros por medio dedepósitos iguales periódicos. Los intereses reconocidos en una cedula decapitalización son muy bajos o iguales a O, pero reciben a cambio la opciónde participar en sorteos, para el cálculo de los intereses se podría optar por clconcepto de esperanza matemática multiplicando la probabilidad de ganar porel valor del premio (si se desea reconocer un porcentaje por esta oportunidadse incrementa el valor de la probabilidad).

En las cuentas de ahorro también se pueden realizar dichos tipos de depó-sitos, pero con la diferencia que las anteriores son firmadas a un plazo deter-minado en el cual no se pueden efectuar retiros, mientras que en las cuentasde ahorro si se pueden realizar retiros.

Los retiros son derechos que tiene la persona, por lo tanto serán registradosen la cuenta 1120, para cuentas de ahorro y las cédulas de capitalización porla cuenta 1220.

o

Ejemplo 4-36

¿Cuál es la rentabilidad de una cédula de eupitulil.lIl.:JólI 11 \ 111111 •.• l'Ilt!

pósitos mensuales iguales que paga 37 veces el depósito mcnsuul nl Ii 11111

el período y que participa en sorteos semestrales de 100 veces la ello/u engrupo total de 100.000 cédulas?

Solución 1

R=lVF=37n = 36n = 6

~,~ 100 [¡odooolR = 0,001¡

i=?

- l. (1 + un - 1 ((1 + ij6j6 - 1 J .VF - ~ i - R (1+ i)6 _ 1 (1+ U

37 = & (1 + ij16- 1 ((1 + ij6)6_1 J0,001 /1 •. ,< , (1 + U

a= 37

Suponiendo una tasa i¡ de 0,00147

[(1,00147)36-1 ((1,00147)6)6- 1J

a, = 1 0,00147 - 0,001 0.00147)6- 1 (1,00147)

a, = 36,98983

Suponiendo una tasa i2de 0,0015

[(1,0015j16_1 ((1,0015)6)6_1J

al = 1 0,0015 - 0,001 0.0015)6- 1 (1,0015)

a2 = 37,01052

/,(1 ;,) (11 11,.•.

{/J (/,I t,

"I 0, ()() 1./

(0,001484747) (100%) = 0,1484747% mensual

spuesta: La cédula rentó ala, 1484747% mensual.

"',,Iución 2

B C 1 D1 hASA 0,005 .

~ '¡PERíODO DEPÓSITO INTERESES SALDO FINAL4 ¡ o 1 f" :+B4+C451 1 1 · ·..

;"16 i 2 171 3 1

._ ...••.•""j

8 i 4 1gi 5 1- 410 I 6 0,999

11l 7 1---_..j12 i 8 1.,13] 9 1

[-== . TASA .?~:C~~:!~.$BS~ w,=_~~;~~:..,..""~;.~~:.¿t-~I ..B _~ __ . ..__ ~__ D1 ¡TASA 0,005

2:--31PERíODO DEPÓSITO INTERESES SALDO FINAL

4 ¡ o 1 15' 1 1 1 =+D4*$B$1

=~J 2 17 ! 3 18 1 4 1

91 5 1-,10 j 6 0,999

Buscer objetrvo

Qefinir la celda: $0$40 [t,.JCon elltalor: 37

!:ara cambiar la celda: ,5651 ~

[k;t;~¡ Cancclar JL__.._._.E41 • ~. • .:EL ... __ ..... U'u 'u •

i A I B,l e ! D ¡l:TASA 0,001477292

3 PERíODO DEPÓSITO

4 °5 16 2

7 ¡ 3

8 . 4-'¡

9 510 6111 7

39' 3540; 36

INTERESES111

111

0,99911

41 :

0,001477290,002956760,004438420,005922260,0074083

0,008896530,010385480,053023420,05457904

SALDO FINAL

12,001477293,004434054,008872465,014794726,022203027,030099558,0404850336,945421837,0000008

Respuesta: La cédula rentó al 0,0014832 mensual.

OBLIGACIONES FINANCIERAS EN MONEDA NACIONAL O EXTRANJERA

Las obligaciones financieras pueden ser pactadas en moneda nacional,cuando se firma en la moneda funcional del país, es decir en pesos, o en mo-neda extranjera cuando se firma en cualquiera divisa.

La modalidad de la cuota puede ser fija, variable o una gradiente; cuando esuna cuota fija se aplican los conceptos de series continuas. Si se trata de unacuota variable, el cálculo se realiza considerando una amortización constante,y los intereses se calculan sobre el saldo anterior. Si es una gradiente, sepactará cuál será la variación en pesos o porcentual.

l'Il'()IIIIHlIllIlllil'lIlll l'lllllllhh' di' l' ••tu npl'l'IlCiúlI liIllllll'Il'l11 "l' inicin cuuudol' 1/1 mn cl pnguré () vi 1111\\1111\'1110que respuklurú el crúdl!l) y Sl' Il'l'!lll' el tks

¡'llIholso de éste, se debe crear la obligación financiera en moneda IIIIcil1l1:l1()

nlllllljerH (cuenta 2105 o 2110) y dar el ingreso al dinero por medio de e:\jll odI' bancos, dependiendo de la forma en que el dinero sea entregado.

Tratándose de una contabilidad de causación, periódicamente se debenvnusar los intereses. Se toma el saldo a la fecha y se aplica la tasa de interés,110 olvidando hacer la proporción a fracción de mes. Este valor se dcbitará1\ Gastos Financieros por intereses (5305) y se acredita Costos y Gastos porpagar por gastos financieros (2335).

uando se realiza el pago de la cuota, se desembolsa el dinero acreditandolB Caja o los Bancos; si es del caso, se genera el Gasto Financiero por interc-scs, si por fracción de mes queda aún gastos pendientes; se cancelan los Cos-lOS y Gastos por pagar, debitándolos por el valor que corresponda al crédito; yse debita el valor en que se va a amortizar la obligación (2105 02110).

CUENTAS POR PAGAR, CUENTAS POR COBRAR (INGRESOSOPERACIONALES) ~ CRÉDITO EN EL MERCADO EXTRABANCARIO

Las series continuas tienen aplicación en el mercado extrabancario, en oca-siones con desconocimiento del concepto que se está manejando. Un caso esel crédito gota a gota, que consiste en un préstamo realizado por una personanatural a un tercero, donde se toma el valor prestado y se calcula, por mediode interés simple los intereses para el plazo en el cual se pacta la deuda. Eltotal obtenido se divide entre el número de días calendario (tiempo exacto) depago o meses dependiendo del período pactado ..

Nótese que con esta información no se clasificaría como una anualidad,pero analizando sus características, se comporta como una anualidad: l. Setrata de un pago periódico (todos los días, meses); 2. La suma a cancelar essiempre la misma (pa~o o cuota); y 3. Además cuando el dinero es canceladoperiódicamente, no se trata de interés simple, porque el dinero se puede volvera prestar, generando nuevamente intereses.

Ejemplo 4-37

Calcule el valor de la cuota diaria CIl UIl crédito gol" 11glllll pOI $" OlIO ()recibido el 1 de enero ya tres meses, a una tasa Il1CII!)UHI del l ()ex,.

Solución

Valor del crédito

Intereses ($5.000.000 (0,1) (3»Valor total

Cuota = Total# pagos

$5.000.000$1.500.000$6.500.000

6.500.000 = 72.22290

Respuesta: Diariamente se deben cancelar $72.222

Ejemplo 4-38

¿Cuál es la tasa de interés real pagada en el crédito del caso anterior?

Solución

A = $6.500.000R = $72.222n = 90 pagosi=?

A=R 1 - (1 + i)»

5.000.000 = 72.222 1 - (1 + i).90

a = 69,2309822

Suponiendo una tasa i, 0,006 diaria:

a = 1- (1,006)-90I 0,006

al = 69,385116

M'llm"'", ftn'M

IIIHlIll('11I11l 111111 1111\11 i ,O,OO(!I 111111'111

1,

" (,9,099840

¡,

. (i] - i,) (o - o) .L = II, (0]-0) ,

(0,0061 - 0,0060) (69,2309822 -69,385116)69,099840 - 69,385116

0,006

0,0060540296 diario

(0,0060540296) (100%) = 0,60540296% diaria

i, = (1 + i2 )~ - 1

il= (1,0060540296/~5- 1

i = 8,0526618

(8,0526618) (100%) = 805,26618%

Respuesta: La tasa de interés pagada en el crédito es de 0,60540296% diariuo del 805,26618%.

Otro de los casos de aplicación son las ventas a crédito de empresas deelectrodomésticos, quienes ofrecen la venta de sus artículos con el pago de UII

número determinado de cuotas iguales, cobrando tasas de financiación y CII

algunos otros casos no.

CUENTAS POR PAGAR! CUENTAS POR COBRAR: TARJETAS DECRÉDITO

Otro tipo de obligaciones financieras son las que se originan en las tarjetasde crédito, que son una forma de financiar algunos tipos de operación. Las tal'

jetas de crédito son cupos de crédito preaprobados y a los cuales se accede deforma rápida y sin necesidad de acudir a la entidad financiera para su uso. POI'

medio de un datáfono se pasa la tarjeta de crédito, y si el cliente ha cumplidocon sus obligaciones y aún tiene cupo disponible, es aprobada la transacción.

Por lo general el valor Iiunncindo se IHlP.IIIHII 1111'11111111' 1'1I1I1a •• IlJllti 11

continuas.

Para entender la forma en que éstas operan es ncccsurio tener \.:1\ l'II1'I\III 111

conceptos de fecha de pago; último día hábil para realizar el pago sin ]laglll lntereses de mora; fecha de corte, en la cual se suman todas las compras 1\'a1i/U

das durante el periodo de tiempo transcurrido desde la fecha de corte 111111'1101

y ésta, con base en ella se liquida el crédito teniendo en cuenta cada (;Olll]llll

individualmente como una anualidad y por mes vencido de tal manera quese paga antes o en la fecha de pago los intereses que se deberían pagar 1>11I"elperiodo transcurrido entren la fecha de corte y la de pago no se cobra, por loque al pagar con la tarjeta de crédito no se incurre en intereses si se paga \':1) Inprimera fecha de pago posterior a la transacción, excepto avances, impuestoy combustibles los que se les liquida los intereses como un crédito normal.

Para la estimación de los costos financieros se debe tener en cuenta la cuotude manejo

Ejemplo 4-39Estime el valor de la cuota a cobrar en una tarjeta cuyo saldo anterior es de

$0, fecha de corte 17 Marzo; fecha de corte anterior 18 de Febrero; fecha depago 2 de Abril; tasa de interés 2,25% mensual y que realizó las siguientescompras:

20 de febrero $2.000.000, a 1 mes23 de febrero $450.000 a 12 meses08 de Marzo $250.000 a 3 meses20 de Marzo $3.000.000 a un mes

Solución

20 de febrero $2.000.000. a 1 mesEl valor a pagar será $2.000.00023 de febrero $450.000 a 12 meses

R = Ai(1 - (1 + ir) (1 + i)

(-1 ,o OliO) 0,.0.I,OL2)) /1 (1,0225)

R $112.257,05OHde Marzo $250.000 a 3 meses

u

N(250.000) 0,0225

(1- (1,0225;-3 (1,0225)

R= $85.194,27

20 de Marzo $3.000.000 a un mes

01110 se realizó posteriormente a la fecha de corte no hace parte para el

l'¡\lculo de la cuota.uota a pagar = 2.000.000 + 42.257.05 + 85.194,27

Cuota a pagar = 2.l27.451,32

Respuesta: La cuota a pagar es de $2.127.451,32

CONTRATOS DE ARRENDAMIENTO FINANCIERO /lLEASING"

Los contratos de arrendamiento financiero son una forma de financiar lasoperaciones de las compañías. Sus ventajas tributarias se basan en la posibili-dad de descontar como gasto el monto pagado como canon de arrendam iento,

incluyendo los intereses.Se utiliza para construcciones, flota de transporte, maquinaria, equipo de

cómputo, y se toma el valor total del bien o un porcentaje de éste, incluyendolos impuestos, Y se financia dicho valor al plazo estipulado, donde intervieneuna tasa de interés, y una opción de compra también llamada valor residual,es un porcentaje sobre el valor del bien, el cual al finalizar el contrato dearrendamiento puede ser cancelado y dar la propiedad del bien a quien fuera

el arrendatario.El pago del canon de arrendamiento puede ser pactado por modalidad anti-

cipada o vencida. Por acuerdo de las partes, el canon puede ser una cuota fija,

cuyas formulaciones serían:

Para pago por l1lod~lIid1ld vcncidu:

- lJ - (/ -j I)" JA-R . 'o.l (/ , 1)"

Donde:

OA = Opción de adquisición

R = [A - OA (1 + U"](i)1 - (1 + U-11

IOgr~A- ~ Jn =--= __ -=--_

lag (1 + i)

OA = A (1 + U" - R t1 + U; - 1JPara pagos por modalidad anticipada:

A = R e - (1i + ¡tI] (1 + i) + OA (1 + U-II

R [A - OA (1 + U-/J (z)1 - (1 + ir (1 + i)

n ~ logt,A; - : ~~;:~J

Lag (1 + U

OA = A (1 + ¡)" - R [{l + ir - 1J (1 + i)

Ejemplo 4·40

¿Cuál es el valor del canon mensual para la adquisición por medio de lea-sing a 5 años de una máquina que vale $100.000.000, para lo que se tiene el30% de su valor, si se estima una tasa del 20,4% nominal y con una opción deadquisición del l%?

11 ()() pagos/\ $100.000.000 (0,7) = $70.000.000( );\ $100.000.000 (0,01) = $1.000.000I 0,204 nominal

.Ji = --¡;¡;¡

0,20412

0,017 mensual

[A - OA (1 + lf'J (i)R 1- (1 + ir

? [ 70.000.000 - l. 000. 000 (1,°17;-60J (O,017)I 1- (0,017;-60

R = $1.860.468,91

Respuesta: El valor del canon de arrendamiento es de $1.860.468,91 rncnsuales.

Ejemplo 4·41Se desea conocer cuál es el valor máximo que se puede financiar a través

de un leasing por modalidad de pago anticipado con una opción de compradel 3% a 60 meses con una tasa del 19,2% nominal bimestral, si para tal fin secuenta con $2.000.000 bimestrales.

Solución

OA = 0,03An = 30 pagosR = $2.000.000j = 0,192 nominal bimestral

ji = m

. 0,192¡=--

6

1 O (UfI\!dnld I , I d/drdo

i = 0,032 bimestral

A = R [1 - (I¡ I ¡)/I) (J I i) I ()¡I (1 I 1) /1

A = 2.000.000 r1 - 0,032/3°1 0,032) + 0,03A (l,032).IOL 0,032 JA = 39.429.165,16+ 0,0 [1660853A

A - 0,01l660853A = 39.429.165,16

A = $39.894.367,51

Respuesta: El mayor valor a financiar será de $39.894.367,51

Ejemplo 4·42

¿Cuál es el valor residual a pagar en un contrato de leasing a 3 años si .están realizando pagos de $1.836.000 mensuales, calculados a una tasa tlul1,45% mensual, por un bien que costó $52.000.000?

Solución

n = 36 pagosR = $1.836.000A = $52.000.000i= 0,0145 mensual

OA = A (l + i)" - R [0 + ~n - 1J (l + i)

A = 52.000.000 (1,0145)16 - 1.836.000 rO,0145)16 - 1J[ 0,0145

OA = $1.325.872,17

Respuesta: El valor residual a pagar es de $1.325.872,17

NVERSION N BONOS

1,11 emisión de bonos es una forma de financiamicuto ul ilizudn por lus cm[l1i'S:lS. Consiste en emitir un título valor que representa L11l<1SUIlIH de diucm¡'lIlrcga por el inversionista, que le genera el pago de intereses periódicos y alvencimiento se le reembolsa el dinero.

El valor por el cual se emite el bono se denomina valor nominal, la tasa él

111 que renta el bono, tasa/acial; y el valor que se recibe al vencimiento, valor,/t' redención, que depende de las condiciones de las condiciones del mercadoluranciero y del mismo bono.

Pero el valor de compra del bono no necesariamente es el de emisión si noque este varía acorde con las condiciones del mercado lo que incide en la tasade interés realmente obtenida en la transacción.

La formulación matemática para calcular el valor a pagar por un bono, y deIsta despejar cualquiera otra variable es:

P> R [1- (1i+ i)IIJ + VFO + O'"

Las variables financieras que intervienen son:

VN = Valor nominal del bono;VF = Valor de redención del bono;r = Tasa facial del bono;R = Pago periódico del bono; R = VNrP = Precio de compra, valor actual en la fecha de compra;n = Número de pagos periódicos desde la fecha de compra del bono hasta

su redención; yi = Tasa de interés del mercado u obtenida en la transacción

Ejemplo 4·43Hallar el precio de compra de un bono emitido por $500.000, a una tasa

facial del 5% semestral, redimible al 100% dentro de 5 años. La tasa del mer-cado es del 7% semestral.

SolucMII

VN = $500.000r = 0,05 semestral

R VNr

R = $500.000 (0,05)R = $25.000VF = $500.000n = 10 pagosi = 0,07 semestral

p = R [1 - (1 i+ ¡f'] + VF(l + i)'"

p= 25.000 [1 - (l,07YOJ + 500.000 (l,07Yo0,07

P = $429.764,18

Respuesta: El valor de compra es de $429.764,18

Ejemplo 4-44

¿A qué tasa fue emitido un bono por $l.000.000, redimible al 120%, COII1

prado por $1.023.325,76; rentando a una tasa del 4% trimestral, a 5 años?

Solución

VN = $1.000.000r=?

R= VNr

R = $1.000.000rVF = (1.000.000) (1,20) = $1.200.000i = 0,04 trimestraln = 20 pagosP = $1.023.325,76

P, = R [1 - (1i+ ir] + VF(1 + i)'"

1.()2J.J2j,l11 . 1.()()().OOOr [1 - (UN) JO 1" 1.2(){).()()() (/,()./'.'II0,04

1.023.325,76 - 547.664,3354 = l3.590.326,35r

[475.661,4246 ]

r 13.590.326,35

r = 0,035 trimestral

(O, 035) (100%) = 3,5% trimestral

Respuesta: El bono fue emitido a una tasa del 3,5% trimestral.

BONOS COMPRADOS EN FECHA DIFERENTE A LA INICIAL

Cuando se compra un bono en una fecha posterior a la de emisión el preciode compra será igual al valor presente de los valores que faltan por cobrar,pero como normalmente la fecha de compra no coincide con la de la liquidación de los intereses, éste se liquida hasta la última fecha de reconocim icntode intereses y se lleva por interés simple a la fecha de compra.

Ejemplo 4-45

¿Cuál debe ser el valor de compra el 18 de agosto de 2009 de un bono, siéste fue em itido el 12 de diciembre de 2007 a 3 años, con una tasa facial del1% mensual, con un valor de emisión de $1.000.000, redimible al 120%; enesta transacción se obtienen intereses del 2,5% mensual?

Solución

n = 20 pagosr = 0,01 mensualVN = $1.000.000R = VNr = 1.000.000 (0,01) = $10.000VF = 1.000.000 (l,2) = $1.200.000i = 0,025 mensual

P, = R [1 - (1 ; ir] + VF(l + i)'"

P I 105. ()()O 11 I/,O.!L 0, ()

P, == $888.216,75

'0/ / 1 )()() ()()() ( 1, (J. " I 'ti

P2 == P, (1 /- t)

P2 == 888.216,75 [1 + 0~~25 (6)JP2 == $892.657,78

Respuesta: El valor a pagar por el bono es de $896.657,78

LOS FONDOS DE AMORTIZACIÓN PARA BANCOS <CUENTAS DE AHORRO)

Otra forma de aplicación de las anualidades son los ahorros periódicos ¡(••sumas constantes o variables en fondos que rentan alguna tasa de interés.

Ejemplo 4-46

Una empresa ahorra trimestralmente $4.000.000 en un fondo que le ofreceuna tasa del3% trimestral, ¿cuánto tendrá ahorrado dentro de 4 años? Realiceel cuadro del fondo de amortización. ¿Cuál será el valor ahorrado y los intereses reconocidos inmediatamente después de realizado el quinto depósito?

Solución 1

R == $4.000.000i == 0,03 trimestraln = 16 depósitos

VF = R [(1 + ~-n - 1 J(1,03)'6

VF==4.000.000 0,03

VF == $80.627.525,21

Fondo de amortización== -

Perrodo Depósito Intereses Saldo final-O $ 0,00 $ 0,00 $ 0,00

=1 $ 4.000.000,00 $ 0,00 $ 4.000.000,002 $ 4.000.000,00 $ 120.000,00 $ 8.120.000,003 $ 4.000.000,00 $ 243.600,00 $ 12.363.600,004 $ 4.000.000,00 $ 370.908,00 $ 16.734.508,005 $ 4.000.000,00 $ 502.035,24 $ 21.236.543,246 $ 4.000.000,00 $ 637.096,30 $ 25.873.639,547 $ 4.000.000,00 $ 776.209,19 $ 30.649.848,728 $ 4.000.000,00 $ 919.495,46 $ 35.569.344,199 $ 4.000.000,00 $ 1.067.080,33 $ 40.636.424,51

10 $ 4.000.000,00 $ 1.219.092,74 $ 45.855.517,2511 $ 4.000.000,00 $ 1.375.665,52 $ 51.231.182,76

12 $ 4.000.000,00 $ 1.536.935,48 $ 56.768.118,2513 $ 4.000.000,00 $ 1.703.043,55 $ 62.471.161,79

14 $ 4.000.000,00 $ 1.874.134,85 $ 68.345.296,6515 $ 4.000.000,00 $ 2.050.358,90 $ 74.395.655,5516 $ 4.000.000,00 $ 2.231.869,67 $ 80.627.525,21

Para determinar el valor ahorrado al quinto depósito se puede observar enel fondo o calcularlo así:

VF= R [(1 + i:-II-l J

VF= 4.000.000[(1,03Y-1 J0,03

VF= 21.236.543_24

VF= 4.000.000 [0,03/ - 1 J0,03

VF== 16.734.508

1= 21.236.543.24 - 16.734.508 - 4.000.000

[ = $502.035.24

v -

PERIODODEPÓSITO INTERESES SALDOFINAL

O1 +$8$3234

5678910111213141516

Solución JI h'lIllIl dI' ,1 nl\lI" 11'11111'1'1nlllllllllllllll \"11 fI

dl'llIl ••11I1 11'111111, $.11 2JClj,IJ,2·1 \ 11111 IlIh~1 .....::r.:~,,;...~=:::;~~~,~. ;;:;;.0;';' •• "" :::::;::,,= •.:::=-..;.::;;;:;.;,,;: :-.::;:._.

t:J. ...A .B e - , F

1 ...TASA 0,032 NPER 16-3 ~PAGO r.-.._-.._-_-.._·_~0!~i!9_!4

567891011

12.13

l'15161718

G

.\'"lud()n

)ti .¡ ¡. ..Vl(hllll)}UlI

.'~~f\,~d,. •..M«\"B

0,0316

C:~9:q9~~qi11;82;-83)

czr_,~__"""-:~-.::r.-!.~-,,-~:"$~·~;·~,....,:-~...=,,,:;:;::::::.:..:..;.;·=:::;:.;..··w ••••- •._----

_ A B el o E \ F G1 TASA . L .._-...;...._-......_i!,9{ PERIODO DEPóSITO' INTÉRESES SALDOFINAL-

2 NPER 16 O3 PAGO 4000000 1 4000000 +G2'$B$14 2 40000005 3 4000000

6 • 40000007 S 4000000

8__ 6 40000009 7 4000000

~9_. 8 00סס400.1

1• 9 4000000

12 10 400000013 11 400000014 12 400000015 13 400000016 14 400000017 15 00סס40018 16 4000000

•.h" tll

HPf!r 12

".00 -1)

~.q..o.oJ;"1- "

~~~ •• oo400OOOO

v.,...•. !0627S15,1I

~vetv.d~. MLtodt"",.~bJIWdot<'lP6OOlr.-o6ckot ,CI)I'II.I<II'I~, ., ••••• lAHlNt'll" ••

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IrltOo nel~t/e(u..dou.d.oeoodo,1'IO~CMI"bN!U •• tI1l1

VIQI:I'ÓOde¡'I"IV«11IÓt1.

R~dtt.~ .• !I0627S252!

L~ J u..--)I! .1..,* ti.", dl.! 6rodc

•C'~=-¡;1=+G17+E18+F18

8 e0.D3

164000000

S 80.627 .525,21

D E F GPERíODO DEPÓSITO INTERESES SALDO FINAL

o1 4000000 o 40000002 4000000 120000 81200003 4000000 243600 123636004 4000000 370908 167345085 4000000 502035.24 21236543,246 4000000 637096,3 25873639,547 4000000 776209,19 30649848,728 4000000 919495,46 35569344,199 4000000 1067080,3 40636424,5110 4000000 1219092,7 45855517,2511 4000000 1375665,5 51231182,7612 4000000 1536935,5 56768118,2513 4000000 1703043,5 62471161,7914 4000000 1874134,9 68345296,6515 4000000 2050358,9 74395655,5516 4000000 2231869,7 80627525,21

r:!r:~-."~""="~:-l\"'--~~~-'-~~""'""=~=""4"""'""E""-''T' '"~"F="==t=

1 ,TASA 0.032 "NPER 163 'PAGO 4000000

45678910111213141516

17 ..18 .

G~.--'_""-"-""-~;_.- _,_oPERíoDO DEPÓSITO INTERESES SALDOFINAL

O1 4000000 o ,+GhE3+F3

2 4000000 o

3 4000000 o4 4000000 O

S 4000000 o6 4000000 o7 4000000 o8 4000000 o

9 4000000 O

10 4000000 o11 4000000 O

12 4000000 O

13 4000000 O

14 4000000 O

15 4000000 o

16 4000000 o

Respuesta: Dentro de 4 años tendrá ahorrados $80.627.525,21, en el quintodepósito tendrá $21.236.543,24 Y por intereses $502.035,24.

r 1118 l.

OA1 ,TASA

2,NPm3 ;PAGO4 .

56

Il

"0.0316

4000000

l'lRro0Q. OII'(¡~II() INrIIU',I', '~II" IIINAIO

1 4000000 (1 4 ()()II()(I112 4000000 120000 H120000

......_~--1-..4000000 f-._2..~3..6.~0 l-.!..22.~~~QQ4 4000000 370908 167345085 4000000 502035,24 21236543,246 4000000 637096,3 25873639,5.7 4000000 116209,19 30649848,728 4000000 919495,46 35569344,199 4000000 1067080,3 40636424,51

_.29__.. ._-~~ -21_~~~J. ~.!s..s..s...~,.2..s..11 4000000 1375665,5 51231182,7612 4000000 1536935,5 56768118,2513 4000000 1703043,5 62471161,7914 4000000 187H34,9 68345296,6515 4000000 2050358,9 74395655,5516 4000000 2231869,7 80627525,21

891O¡11;

12;13 ;14 :~!-¡17.118 .

Respuesta: Dentro de 4 años tendrá ahorrados $80.627.525,21, en el quintodepósito tendrá $2l.236.543,24 y por intereses $502,035,24.

Ejemplo 4·47

¿Cuánto se debe depositar mensual en una cuenta de ahorros que renta auna tasa del 0,797% mensual, para tener dentro de 1 año $13.000.0,00? Rea-lice el cuadro del fondo de amortización.

Solución 1

R=?i = 0,00797 mensual11 = 12 depósitosVF = $13.000.000

R= 13.000.000 (0,00797)(1,00797y2 - 1

R = $1.036.662,08

R= VFi(1 + il">!

M."m'"",

ondo de ImortlzlolonIU"

11

IIISIINPIII

I'IIGO

(

0,0)lb

4000000

)

!'lltrOIlO UI !'(hIIO INIIIU ',1', ~lIlll(lIINIII

111 400()()O(l o 401l1l1l1l1l

I 7 _ 40UO(l(lO 1)UDOI) 81 )0011113 400OC)OO J41{¡QO 1] 110IIIDO

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1 6 4000000 637096,3 r2!!8736J9,~~t 4000000 //6209, 19 30~49848, J}

8 4000000 9]949:>,06 30,69344,19

1,

G7

89101

11

1213'1

14 j

1516 I

17

18 ~

9 4000000 1067080,3 406364'4,51

___lQ._ .... ~2.o_qQº~f-~21909'!.? ~.!!~s...s~ ..11 4000000 1375665,5 51231182,7612 4000000 1536935,5 56768118,2513 4000000 1703043,5 62471161,7914 4000000 1874134,9 68345296,6515 4000000 2050358,9 74395655,5516 4000000 2231869,7 80627525,21

Solución 2

E:::';;'OO'O"'T' ~~;~:':.: ..4:1 .. " '.~= .•.•:',~':"~'!...~"",. B I e D

"" ....._~.,~" .. __ o ".m· •• _,_ ••• " .... _. "...~,.. _ ....__ . "._.-.PERioDO DEPÓSITO INTERESES SALDO FINAL

o1 $ 1.036.662,1 $ $ 1.036.662,1

2 $ 1.036.662,1 s 8.262,2 $ 2.081.586,4

3 $ 1.036.662,1 $ 16.590,2 $ 3.134.838,74 s 1.036.662,1 $ 24.984,7 $ 4.196.485,4

5 s 1.036.662,1 $ 33.446,0 s 5.266.593,56 $ 1.036.662,1 s 41.974,8 s 6.345.230,37 $ 1.036.662,1 $ 50.571,5 $ 7.432.463,9

8 $ 1.036.662,1 $ 59.236,7 $ 8.528.362,7

9 $ 1.036.662,1 $ 67.971,1 $ 9.632.995,810 s 1.036.662,1 $ 76.775,0 $ 10.746.432,911 $ 1.036.662,1 S 85.649,1 s 11.868.744,012 s 1.036.662,1 s 94.593,9 s 13.000.000,0

1234567891011111

1._.. _._." !AOO ,., (..;--)¡--:;;va ~Pl\GqI81;~!-';:~!L.__

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4 $ 1.036.662,085 s 1.036.662,086 $ 1.036.662,087 $ 1.036.662,088 $ 1.036.662,089 $ 1.036.662,0810 $ 1.036.662,0811 $ 1.036.662,0812 $ 1.036.662,08

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°$ 1.036.662,08 i -1

_____ .511 +G2+E3+F32 $ 1.036.662,08 °3 $ 1.036.662,08 °4 $ 1.036.662,08 °S $ 1.036.662,08 °6 $ 1.036.662,08 °7 $ 1.036.662,08 °8 $ 1.036.662,08 °9 $ 1.036.662,08 °10 s 1.036,662,08 °11 $ 1.036,662,08 °12 $ 1.036.662,08 °

78 I

9 '-- .. /

1011

12:13i14 '

PROPIEDAD, PLANTA Y EQUIPO: FONDOS DE REPOSICIÓN

Los fondos de reposición guardan estrecha relación con los fondos deamortización, siendo ambos aplicaciones de series continuas y variables. Losfondos de reposición consisten en provisionar una suma de dinero con el ob-jeto de reponer propiedad, planta y equipo al finalizar su vida útil o cuandosea obsoleta.

La provisión puede ser del 100% del valor del bien, o puede considerarseun valor residual. Cualquiera sea el monto definido, la tasa de interés paracalcular el valor a depositar periódicamente en el fondo de reposición deberáestar afectada por la inflación y la devaluación con el fin de tener valoresajustados a la realidad.

o44

:Jemplo 4·4.Cuánto se debe depositar semestralmente en 1111 1(11I\10 qtll' icntu l'l '1./""

semestral, para reponer una máquina que Iuc adqu iridu pOI $!{()O.OOO()()().on vida útil de 7 años, y un valor de salvamento dcI5'X,? Realice l·ll~\llIdIO

del fondo de reposición.

Solución 1

i = 0,047 semestraln = 14 depósitosVF = $800.000.000 - (800.000.000 (0,05» = $760.000.000

VFiR= (1 + 0"-1

R = 760.000.000 (0,047)(1,047)/4-1

R = $39.592.614,44

Fondo de reposición

Período Depósito Intereses SaldoO O O

1 39.592.614,44 - 39.592.614

2 39.592.614,44 1.860.852,88 81.046.08'

3 39.592.614,44 3.809.165,84 124.447.86~

4 39.592.614,44 5.849.049,52 169.889.52

5 39.592.614,44 7.984.807,72 217.466.9l

6 39.592.614,44 10.220.946,56 267.280.

7 39.592.614,44 12.562.183,93 319.435.:

8 39.592.614,44 15.013.459,45 374,041.:

9 39.592.614,44 17.579.944,93 431.213.!

10 39.592.614,44 20.267,055,22 491.073.

11 39.592.614,44 23.080.459,69 553.746.1

12 39.592.614,44 26.026.094,17 619.365.

13 39.592.614,44 29.110.173,48 688.068.

14 39.592.614,44 32.339.204,51 760.000,(

Respuesta: El valor del depósito semestral es de $39.592.614,411.

5,9A8,149,14,50

1,:1II0,7f)

10.4184,5:193,1481,000,00

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,0:1

So[ucló"

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A1 TASA2 NPER3 VF4 PAGO56789

1011121314

(,PERraDa DepÓSITo IN" HI \1 \ ~AIIl() IINAIo

1 S 1.036.662,08 o s 1.036.bbJ ,OH2 S 1.036.662,08 8262,1968 $ 2.08U86,1'¡3 S 1.036.662,08 16590,243 S 3.134.1l38,bH4 S 1.036.662,08 24984,664 s 4.196A8,!;,4'5 S 1.036.662,08 33445,989 S S.266.~93,496 S 1.036.662,08 41974,75 S 6.345.230,3'7 S 1.036.662,08 50571,486 S 7.432.463,888 S 1.036.662,08 59236,737 s 8.528.362,709 S 1.036.662,08 67971,051 S 9.632.995,8310 $ 1.036.662,08 76774,977 $ 10.746.432,88

11 S 1.036.662,08 85649,07 S 11.868.744,0312 S 1.036.662,08 94593,89 S 13.000.000,00

o l. o0,0079

1213000000

S 1.036.662,08

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14760000000

$ 39.592.614,44

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O1 $ 39.592.614,44 o ., (,J ti 1 ti J -2 s 39.592.614,44 -3 s 39.592.614,444 S 39.592.614,445 s 39.592.614,446 S 39.592.614,447 s 39.592.614,448 S 39.592.614,449 $ 39.592.614,4410 s 39.592.614,4411 S 39.592.614,4412 S 39.592.614,4413 S 39.592.614,4414 S 39.592.614,44

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PERrODO DEPÓSITO INTERESES SALDOFINALO1 $ 39.592.614,44 O s 39.592.614,442 s 39.592.614,44 =+G3'$8$1 S 81.046.081,753 S 39.592.614,44 S 120.638.696,194 $ 39.592.614,44 $ 160.231.310,625 $ 39.592.614,44 $ 199.823.925,066 S 39.592.614,44 S 239.416.539,507 S 39.592.614,44 $ 279.009.153,938 $ 39.592.614,44 $ 318.601.768,379 $ 39.592.614,44 $ 358.194.382,8110 s 39.592.614,44 S 397.786.997,2411 $ 39.592.614,44 s 437.379.611,6812 $ 39.592.614,44 S 476.972.226,1113 S 39.592.614,44 S 516.564.840,5514 S 39.592.614,44 s 556.157.454,99

0,04714

760000000S 39.592.614,44

Respuesta: El valor del depósito semestral es de $39.592.614,44,

Ejemplo 4·49¿Cuál es el mayor valor del bien que se puede reponer si desde hace 3 años

se está realizando un fondo de reposición por $10,000,000 mensuales, en unaentidad que reconoce el 0,7% mensual, y la reposición se debe realizar dentrode 2 años? Realizar el cuadro del fondo de reposición.

Solución 1

i= 0,007 mensualn = 60 depósitosR = $10.000.000VF=?

VF= R [0 + ¡r-1 ]

VF = 10.000.000 rO, 007]6°- 1]L 0,007

VF = $742.480.409,51

Pero Depósito Intereses SaldoO - - -

o

1 10.000.000,0 - 10.000.000,0 ·2 10.000.000,0 70.000,0 20.070.000,0 ·3 . 10.000.000,0 140.490,0 30.210.490,0·

4 10.000.000,0 211.473,4 40.421.963,4

5 10.000.000,0 282.953,7 50.704.917,2

6 10.000.000,0 354.934,4 61.059.851,6

7 10.000.000,0 427.419,0 71.487.270,6

8 10.000.000,0 500.410,9 81.987.681,4

9 10.000.000,0 573.913,8 92.561.595,2

10 10.000.000,0 647.931,2 103.209.526,4

11 10.000.000,0 722.466,7 113.931.993,1

12 10.000.000,0 797.524,0 124.729.517,0

13 10.000.000,0 873.106,6 135.602.623,6

14 10.000.000,0 949.218,4 146.551.842,0

15 10.000.000,0 1.025.862,9 157.577.704,9

16 10.000.000,0 1.103.043,9 168.680.748,8

17 10.000.000,Q 1.180.765,2 179.861.514,1

18 10.000.000,0 1.259.030,6 191.120.544,7

19 10.000.000,0 1.337.843,8 202.458.388,5

"

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20 10.000.000,0 I.~ 1/.20B,1 ~1:U\/!l.bIl/Y

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21 10.000.000,0 1.497.129,2 ¡>?'b.~n.li>nA

--- =

22 10.000.000,0 1.577.609,1 236.9bO.33b,b

- 23 10.000.000,0 1.658.652,3 248.608.987,8=

24 10.000.000,0 1.740.262,9 260.349.250,7 -25 10.000.000,0

1.822.444,8 272.171.695,5 -26 10.000.000,0 1.905.201,9 284.076.897,4 .

27 10.000.000,0 1.988.538,3 296.065.435,6 -28 10.000.000,0 2.072.458,0 308.137.893,7 ·29 10.000.000,0 2.156.965,3 320.294.858,9 ·

30 10.000.000,0 2.242.064,0 332.536.923,0 ·31 10.000.000,0 2.327.758,5 344.864.681,4 ·32 10.000.000,0 2.414.052,8 357.278.734,2

33 10.000.000,0 2.500.951,1 369.779.685,3

34 10.000.000,0 2.588.457,8 382.368.143,1-

35 10.000.000,0 2.676.577.0 395.044.720,1

36 10.000.000,0 2.765.313,0 407.810.033,2

37 10.000.000,0 2.854.670,2 420.664.703,4

38 10.000.000,0 2.944.652,9 433.609.356,3

39 10.000.000,0 3.035.265,5 . 446.644.621,8

40 10.000.000,0 3.126.512,4 459.771.134,2'"

41 10.000.000,0 3.218.397,9 472.989.532,1

42 10.000.000,0 3.310.926,7 486.300.458,8

43 10.000.000,0 3.404.103,2 499.704.562,0

44 10.000.000,0 3.497.931,9 513.202.494,0

45 10.000.000,0 3.592.417,5 526.794.911,4

46 10.000.000,0 3.687.564,4540.482.475,8

47 10.000.000,0 3.783.377,3 554.265.853,2

48 10.000.000,0 3.879.861,0 568.145.714,1 =

49 10.000.000,0 3.977.020,0 582.122.734,1

50 10.000.000,0 4.074.859,1 596.197.593,3-

51 10.000.000,0 4.173.383,2 610.370.976A

52 10.000.000,0 4.272.596,8 624.643.573,2

53 10.000.000,0 1\,:11,' rl()I¡,() n!\oOl(\ ()7-- __ o _.-

54 10.000.000,0 4.1\/3.11?,!J U/¡:1.1\1l0,111- ~55 10.000.000,0 4.574.424,3 008.003.0156 10.000.000,0 4.676.445,3 682.740.06

57 10.000.000,0 4.779.180,4 697.519.21\

58 10.000.000,0 4.882.634,7 712.401.87

59 10.000.000,0 4.986.813,1 727.388.6860 10.000.000,0 5.091.720,8 742.480.40

11,:1

0,11

s.e8,7

9,5

Respuesta: El mayor valor del bien a reponer es de $742.480.409,51

Solución 2

678910·

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I TOo ..... ~. f1''''W'ot II .,.,....,." I'lue~eot"*~Odcll"4O'n'tt$lÓnbr.....domPII'¡JX~y~tIo'Itu,I'~w.dcntwt'S¡~conaUf'\I~. I¡ fI .• \IO ddfobOO~f~cadb~;I\I)~CM'I'bI.Y4Ibllteb !1 ~dr.I.t~ I. I1

1l~lt"d'Ulot"'f'órmJ,.,. p4MOO.401,SL ¡6~~ ~ rc;.;; ...·]!

1-._ ~._ .._.._._.._._.._ . "_0" •__ • _._ _. .:..J

Respuesta: El mayor valor del bien a reponer es de $742.480.409,51

Ejemplo 4-50

¿Cuál es el valor del primer depósito trimestral en un fondo que renta el1,7% trimestral, para reponer un bien que fue adquirido por $100.000.000,con vida útil de 5 años, al cabo de los cuales valdrá el 120% del valor inicial, yun valor de salvamento del 0%, considerando que los depósitos se incremen-tan trimestralmente en $100.000? Realice el cuadro del fondo de reposición.

Solucló"

R=?i = 0,017 trimestralYF = (100.000.000) (1,20) = $120.000.000g = $100.000n = 20 depósitos

R~ VF{+~J +y--J - n]]~1+ [,,-1]

120.000.000-[ 100.000 1(1,017/°- 1 l]R = 0,017 l 0,017 - 20J

1(1, 017/° - 11t 0,017 j

R = $4.194.006,384

Fondo de reposición

Pero Depósito Intereses Saldo

O - - .

1 4.194.006,4 - 4.194.006,4

2 4.294.006,4 71.298,1 8.559.310,9

3 4.394.006,4 145.508,3 13.098.825,5

4 4.494.006,4 222.680,0 17.815.512,0

5 4.594.006,4 302.863,7 22.712.382,1

6 4.694.006,4 386.110,5 27.792.498,9

7 4.794.006,4 472.472,5 33.058.977,8

8 4.894.006,4 562.002,6 38.514.986,8

9 4.994.006,4 654.754,8 44.163.748,0

10 5.094.006,4 750.783,7 50.008.538,1

11 5.194.006,4 850.145,1 56.052.689,6

12 5.294.006,4 952.895,7 62.299.591,7

- - - -------13 5.394.006,4 I,O/¡O,()O:I,I- -~" ~-. -14 5.494.006,4 1,168./0&,1 --15 5.594.006,4 1.282.063,4 I-16 5.694.006,4 1.398.956,6 i17 5.794.006,4 1.519.536,9 ~18 5.894.006,4 1.643.867,2 1019 5.994.006,4 1.772.011,0 1120 6.094.006,4 1.904.033,3 1:

Il ,7!¡:WIII, I11).411;.40:1,:1

,.91,50:1,0.384,52(J,O

6.698.060,34.235.942,fI2.001.960,30.000.000,0

Respuesta: El valor de la primera cuota bimestral es de $4.194.006,4

Solución 2

fH G22 • (, ;",}l ;+(;21+E22~F22 :

lIL...'\ .." 8. :el o, E F G

l. 'TASA 0.017 PERíoDO DEPÓSITO INTERESES SALOOFINAL2 "NPER 20 o

i"1VF 000000ס12 14 PAGO S 2.000.000.00 2

.S 3.~.,~ 4

.7 , 5s., 69 , 7!..O, S

~~11~ 912~ 10U U.~~~ 12U. U16] 14V U

lSi 16.0. V20.. IS~li 19n. a.¡

Buscar objetivo

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( Aceptar 1 G~_nceJaiJ

$ 2.000.000.00$ 2.100.000.00S 2.200.000.00S 2.300.000.00s 2.400.000.00s 2.500.000.00$ 2.600.000.00$ 2.700.000.00s2.800.000.00S 2.900.000.00S 3.000.000.00S 3.100.000.00$ 3.200.000.00s 3.300.000.00s 3.400.000,00$ 3.500.000.00$ 3.600.000.00$ 3. 700.000.00s 3.800.000,00S 3.900.000,00

o s 2.000.000.0034000 s 4.134.000,007027S $6.404.278,00

108872.726 $S.813.150.73149823.562 S 11.362.974.29193170,563 S 14.056.J44.85238954,462 S 16.895.099.31287216,688 $19.882.316,00337999.372 s 23.020.3U,37391345,361 S 26.311.660,74447298,233 s 29.758.958,97505902.302 S 33.364.861.27567202.642 S 37.132.063.91631245.087 $41.063.309.00698076,253 $45.161.385.2576n43,549 $49.429.128,80840295,19 s53.869.423,99

915780,208 S 58.485.204,20994248,471 S 63.279.452,67

1075750,7 $68.255.203,36

lL. ~ ¡

M,lI~II1Allen\ hnnne Irrn\ nlllle ncln\" 1•• (ontllbllldlld

.:.t..m •••••••••• !':!..~G.~.'~E~2.F22

~ 2. e o E r "_l_jTASA 0.017 PERíoDO DEPÓSITO INTfHrSI \ VlIIIUIINAI2 íNPER 20 O

"'i-'1VF 000000ס12 1 $4.194.006,38 o ~4 Il)ItCXm,IH-4lPAGO $4.194.006,38 2 s 4.294.006,38 71298,1085 S8."'). \lO,ft"5 ' 3 s 4.394.006,38 145508,28!S S 13,(!98.s",5'

--fJ 4 s 4.494.006.38 222680,03' S 1I.8'S.Sll,9ft5 $4.594.006.38 302863,703 S22,712.382.~6 $4.694.006,38 386110,495 S 27.792.498,9

9 ! 7 $4.794.006,38 472472,482 s 33.058.9n, 79ió! 8 $4.894.006,38 562002,622 s 38.514.986,80111 9 s 4.994.006,38 654754,n6 s 44.163.747,96"ii'~ io $5.094.006.38 750783,7U S50.008.538,06131 11 S 5.194.006,38 850145,147 S56.052.689,5914'; 12 s5.294.006,38 952895,723 s 62.299.591.69~¡s; 13 s 5.394,006,38 1059093,06 $ 68.752.691,1316 ¡ 14 s 5.494.006,38 1168795,75 S 75.415.493.27

1~! U S 5.594.006.38 1282063,39 s 82.291.563,0418 : 16 $5.694.006,38 1398956,57 s 89.384.525.99~-~19 , 17 $5.794.006.38 1519536,94 s 96.698.069.32.~20 ' 18 S 5.894.006,38 1643867,18 S 104.235.942,8821"1 19 S 5.994.006,38 In2011.03 $112.001.960,29..2~.: 20 S 6.094.006,38 1904033,32 S 120.000.000,00

Respuesta: El valor de la primera cuota bimestral es de $4.194.006,4

LOS CUADROS DE FACTORES PARA LAS VENTAS A CRÉDITO

El profesional de la Contaduría Pública debe coadyuvar al empresario en 111

organización de los asuntos de las empresas, haciendo que los procesos quea diario se llevan a cabo sean lo más acertados posible, involucrando herra-mientas que le permita tomar decisiones y que guíen los actos operativos parnfallar lo menos posible.

En el caso de las empresas que realizan ventas a crédito, con cuotas igualesy cobrando una tasa de financiación, el Contador puede aportar sus conoci-mientos por medio de la aplicación de anualidades para hallar los factoresque expresen los diferentes planes que ofrecen las empresas y minimizar elesfuerzo y el error en los cálculos de los valores que se deben informar ti l(l~clientes.

Un factor es un número que sintetiza un cálculo matemático y que, cunndolas condiciones se mantienen constantes, es decir con una tasa de interés ekfinanciación y/o un plazo de financiación céteris páribus, pcrmiíirú hnllnr l"

valor de las cuotas a pagar con la única modificación del vnlur dl'1 111'1kllltl

que se ncuucm.

Un ejemplo es:

LAVADORA LO 24 L~l:m~gP.~Ca~C~d 24limas. 3 pasos du lavado.a hQno deenergla. 4 programas de lavado. Fuzzy.Ecol1omy.Jean. Wool Alr Ory. rub Clean40 und. disp.1 PLU:533274W----...••..$16.040

No siempre debe participar una tasa de financiación, por lo que un primerfactor podría ser:

AF=y¡

Donde:

F = es el factor que se multiplicará por el valor del artículoA = se entiende como el precio del artículo, que para hallar el factor se

tomará como decimal o porcentaje. Si no existe un descuento o una cuotainicial, el valor de A será l o el 100%.

n = es el número de pagos en los cuales se cancelará A.

Ejemplo 4-51Del ejemplo anterior, cuál es el factor a aplicar en el caso "Sin intereses":

Solución

n = 8 pagosA= 1

F=~n

1'<==_ 01258 '

Respuesta: Para cualquiera de los bienes que sean vendidos bajo el plall "Xcheques postfechados, Sin intereses" el factor a aplicar es de

0,125.

Cuando existe un descuento o cuando se paga una cuota inicial es factor será:

F=A-d

d == es la tasa de descuento que se aplica

Ejemplo 4-52Para el siguiente ejemplo, determinar el factor aplicado:

NEVERA SAMSUNG430LRe!.. RT43AMA$1/SCL.lecnologlal1\leli~ente de circulación de aire. bandejaSde crístat, templado. Slstema \Wlst dedesmontaje de hie'O compartimiento oaratrutas y verduras lI\dependlenteme"te6íl uod. dlsp.1 Pt.U: 14480121!a-.....-""" ...•..CJIooI!D

$22.915 .

Inicialmente se debe calcular la tasa de descuento ofrecida:

VP == VF (1 - d)

1.099.900 == 1.149.000 (1 - d)

_ 1.099.900 + 1.149.000 == 1.149.000d

49.100d= 1.149.000

.".1.••.•.•

. J f-:·, •.•.

"~ ".-"-r v....,~.. ~.r :

...! •..•~

,\'." \ ~:rl I 1 -

'¡:. :\

d = 0,042732B 11

A= 1

d = 0,042732811

F=A-d

F = 1- 0,042732811

F = 0,957267188

Respuesta: El factor aplicado es 0,95267188

Ejemplo 4-53Una empresa vende electrodomésticos a crédito, para lo cual exige una

cuota inicial del 20% del valor del artículo, ¿cuál es el factor a aplicar?

Solución

A= 1CI = 0,2

FCI = 0,2

FCI = es el Factor de Cuota Inicial, entendido como el porcentaje o la pro-porción que se debe pagar de cuota inicial.

y otro caso es aquel en el cual el plan presenta una tasa de financiación yun número de cuotas iguales para la cancelación del monto que se financiódel artículo. Dicho monto puede ser el 100% cuando no se paga cuota inicial,caso que hace referencia a una anualidad vencida, o cuando todas las cuotasson iguales, y la primera se paga en la fecha en la cual se lleva el artículo.

Igualmente, puede que el valor financiado no sea del 100%, cuando se pagauna cuota inicial, por lo cual el valor de A, será:

A = 1- FC!

Tratándose de una anualidad vencida, la fórmula para hallar F es:

F=~1- (J + i):"

Pero, SI'S 111\11 (ll\ualidad anticipada se aplica 1(1 IÚI'IIIIIIII.

AiF=--- (l - (l + ir) (l + ir

Ejemplo 4-54Una empresa vende electrodomésticos a 12 cuotas, a una tasa del 1% men-

sual, con una cuota inicial del 25% del valor del artículo. ¿Cuáles son los

factores a aplicar?

Solución

FCI = 0,25

A = 1- 0,25A = 0,75n = 12 pagosi = 0,01 mensual

AiF=-

(l - (l + ir)

F= 0,75 (0,01)(l - (l,01)·/2)

F = 0,00858934

Ejemplo 4-55Del ejemplo, calcular la tasa de interés cobrada, Y determinar el factor ti

aplicar:

NEVERA SAMSUNG430LRel: RT43AMAS1iSCl. tecnoiogiaInteligenlr. de cln:ol"ción de "!fe, bandejasde cnstat. templada. s.stema \WIsl 00desmontaJe de hielo compartimiento caramnas y verduras lI~ependie"teOlentcso und. disp.l PlU' t448012

W----iII1IIIoII~

$22.915 ;...x .. · .- -~-

(Ul1\tMl1d I , I njnrdu ( ( Inudl

R ==$38.688A==n ==48 pagosi==?

Ejemplo 4-Con base en el siguiente ejemplo, tomando el plan a 36 cuotas, calcule 111

tasa de interés pagada y suponga que el primer pago se realiza con la cnircun

del artículo, calcule el factor a aplicar:A ==R 1 - (1 + U'"

i NEVERA SAMSUNG430LRol.. RT4 3AMIIS 11SCL. lecnolog1aInteligente de clrcular.lOn de aire, bandejasde cnstat. ternplaao, ssterna t,",sl dedesmontale de nie'O compartimiento oarafrutas y verduras independlentemenle60 und diSp.1 P\.U·1448012W-__IU •••• ~

$22.915 .

1- (J + i):"1.099.900 ==38.688 --,---

a ==28,43000414

Suponiendo una tasa i,==0,0238 mensual:

1 - (1,0238)'-18a =_-:'-:'-:-::-::--'---I 0,0238

al ==28,430637

Suponiendo una tasa i2 = 0,02381 mensual:

1 - (1 02381f-18al 0,02381

a2 ==28,425062

(i2 - il) (a - al)a - a + il

'2 Ial

R= $46.280A = $1.099.900n ==36 pagosi==?

1 - (1 + Z)'"A ==R . (1 + ir

1==(0,02381 - 0,0238) (28,43000414 - 28,430637) + 00238

al 28,425062 - 28,430637 '

i ==0,023801135 mensual(0,023801135) (100%) ==2,3801135% mensual

F== -Al(1 - (1 + i)")

1 (1+ ').361.099.900 ==46.280 - 1 (J + ir

a ==23,7662057

Suponiendo una tasa il ==0,0260 mensual:

1 - (1,0260)'36 (1 0260 \al 0,0260 ,1

al ==23,798752

Suponiendo una tasa i,==0,0261 mensual:

1 - (1 0261)'36al ~ ;~/, (1,0261)

F= 0,0238011351- (1,023801135)'-18

F = 0,035174106

Respuesta: La tasa de interés cobrada es del 2,3801135% mensual y el factores de 0,035174106.

(011\111111/11 , , /l/n/do

a2 = 23,764533

(i2 - i) (a - a) .a - + 1

I a2 - al I

= (0,0261 - 0,026) (23,7662057 - 23, 798752) + 0026al .23,764533 _23, 798752 '

i = 0,02609511 mensual

(0,02609511) (100%) = 2,609511% mensual

F= Ai1 - (1 + i)»

F= 0,0260951J(I - (1,0260951Jr6J (I,0260951J)

F = 0,042076554

Respuesta: La tasa de interés cobrada es del 2,609511 % mensual y el factores de 0,042076554.

Ejemplo 4-57

Con la información anterior se elabora una Tabla de factores:

Plan Meses/cuotas Fel F DContado

° ° ° 0,95267188Sin intereses 8/8 ° 0,125 °12 Cuotas 12/12 0,25 0,00858934 °48 Cuotas 48/48 ° 0,035174106 °36 Cuotas 35/36 ° 0,042076654 °

RESUMEN ÓRMULAS DEL CAPITULO

Variable a hallar Función

Valor presente en Anualidad Vencida A = R t1 ' (\ + n- I

Valor presente en Anualidad Anticipada A = R ~ - (\ + i}·n1(1 + i}m

Valor futuro en Anualidad vencida VF = R t (1 + ;}n_1 J

Valor futuro en Anualidad anticipada A = R ~ (1 + ;}n- 1 }1 + i)m

Cuota o Pago o Renta conociendo Valor b Ai JPresente en Anualidad Vencida R = 1 - (1 + i}·n_ '

Cuota o Pago o Renta conociendo Valor R = AiPresente en Anualidad Anticipada (1 - (1 + i)·n) (1 + i)m

Cuota o Pago o Renta conociendo Valor R= VFiFuturo, anualidad vencida (1 + i)n - 1

Cuota o Pago o Renta conociendo Valor R= VFiFuturo, anualidad anticipada ((1 + i)n - 1)(1 + i)m

Número de pagos iguales conociendo log [ R ~ Ai JValor presente, anualidad vencida n= , log (1 + i)

Número de pagos iguales conociendo ~ R (1 + i)m ]log R (1 + i}m- Ai

Valor presente, anualidad anticipada n= log (1 + i)

Número de pagos iguales conociendo I [VFi + R ]og RValor futuro, anualidad vencida n=

log (1 + i)

Número de pagos iguales conociendo lo ~Fi + R (1 + i)m]

Valor futuro, anualidad anticipadan = g R (1 + i)m

log (1 + i)

Para hallar i después de realizar extra- , (i2 - i1) (a - a) ,polación 1= a-a +1

2 1

~~

11 • (1 I 1) "111111 • (1 -1' 1) "11Valor presente para gradiente aritmética A H -I~ -1'T~=1- .I~:

Valor futuro para gradiente aritmética VF = R ~1+r" ~J+~I"Jl I-r-" 1"n '1.1

R _ A - ~~ - \1 + i)on- n (1 + i)on]]

- ~ - (1 + i)onl

Valor de la cuota para gradiente arit- [ i Jmética ~g ~1 + i)n - 1 J]VF - -:- , - n

I IR = --=-....:::~1,-+-i::-)~---:-1 ]r'::!.:::...-_-

Valor presente para gradiente geomé- A = R (1 - G)n (1 + i)on- 1trica G - i

V I f do , , VF R (1 - G)n - (1 + i)na or uturo para gra lente geometnca = G _i

R = A (G -1)Valor de la cuota para gradiente geomé- (1 + G)" (1 + i)~n- 1

trica R = VF (G - i)(1 + G)" - (1 + i)n

Valor presente delleasing por rnodali- A R [1 - (1 + i)on] O ( '), = ,+ A 1 + I -ndad de pago vencido I

Valor del canon de arrendamiento del R _ [t.. - OA (1 + i)on] (i)leasing por modalidad de pago vencido - 1 - (1 + i),n

lOA- _R_jNúmero de pagos en leasing por moda- lag ~ I

lidad de pago vencido A - -,In= ------

lag (1 + i)

Opció~ de adquisición delleasing por OA = A (1 + i)~n_ R [(1 + i)n- 1 ]modalidad de pago vencido L I

Valor presente delleasing por modali- A R [1 - (1 + i)~n], ,= (1 + 1) + OA (1 + I)~ndad de pago anticipado i

Valor del canon de arrendamiento del R _ [t.. - OA (1 + i)on] (i)leasing por modalidad de pago vencido - 1 - (1 + i)on(1 + i)

~ ~-==-- -

I ~AI"Rt' '1\Número de pagos en leasing por moda- n=

og Ai - R (1 + 1)

IIdad de pago vencidolag (1 + i) -

Opción de adquisición delleasing por OA = A (1 + i)n- R [i1 + ;l" - 1 \ (1 + 1)

modalidad de pago anticipado -Factor, pago vencido con interés de F=

Ai

financiación1 - (1 + i)on

Factor, pago anticipado con interés deF = Ai

financiaciónQ _ (1 + id (1 + i)

Factor sin interés de financiación

AF=- n

Factor de descuentoF=1-d -

CASOS

4-1 ¿Cuál es el valor a depositar mensual en una entidad durante I 11110qUl'ofrece el 9%, para ahorrar $19.500.000? Realice el cuadro (11.:1¡'olido d..amortización

Respuesta: Mensualmente debe depositar $1.561.586,72

4-2 ¿Cuánto se debe depositar hoy en un fondo que renta el 21% convcrt ible semestral anticipado para que durante 2 años, iniciando a contadosdentro de 6 meses, se puedan realizar retiros bimestrales de $400.000 yde $1.200.000 semestrales, teniendo en cuenta que cuando se realizan losretiros semestrales no se realizan los bimestrales?

Respuesta: Se deben depositar $5.950.834,96

4-3 ¿A qué tasa de interés rentaron $80.000.000, si se realizaron retirosmensuales iguales de $4.000.000, durante 1 año, quedando un saldo de$35.000.000?

Respuesta: El dinero está rentando a una tasa del 0,4197295% mensual.

4-4 ¿Cuál es el valor del último pago si se desea cancelar una nevera cuyoprecio de contado es de $2.000.000, con una cuota inicial del 25% de con-tado y el resto en cuotas mensuales de $300.000, donde se pactó una tasadel 36% convertible trimestral de financiación?

Respuesta: $145.800,52

4-5 ¿Cuánto se tendrá que depositar mensualmente en un fondo que renta el27% para que al final de 5 años se tengan $50.000.000, teniendo en cuentaque el primer depósito se realiza al final del cuarto mes y el último al fina-lizar el mes 48?

Respuesta: $546.025,13

4-6 Se plantea realizar do naciones a perpetuidad cada año por $40.000.000,realizando la primera dentro de 4 años; el dinero será depositado en unaentidad que reconoce el 10%. Es posible reunir la mitad del dinero a depo-

sitar, con ap\ll'tC!4de 111111\)1I111I1l'h'lII,¡\" 1IIIIIIl'IIIque 11\llIl'sll'IIlllll'llll'Il'nlllllrán un depúsitol'lI IIIIlII"1I1111~IlI\lllld.¡,tk cuí"IIO(h.:berúsel ¡lldl\) dCpI'ISI\O.

iniciando el prilllel'\) hoy? \'11 011'0"' itad prove1ldrá de \)O!H1SI,()()O,()()()

emitidos a la par u 10 años, con una tasa facial del 16% converliblL: Irillll~Stral, considerando una tasa de mercado del 20%, ¿cuánto es lo máximo que

se puede pagar por dichos bonos?

Respuesta: El valor a depositar trimestralmente en el fondo es de$14.570.204,88; y el máximo valor que se recibiria por los bonos

es de $176.140.192,10

4-7 Un negocio genera mensualmente ingresos por $2.400.000, con incre-mentos anuales de $200.000; si el negocio cuesta $100.000.000 y al cabode 4 años se puede vender por $120.000.000, considerando una tasa del I IXI

mensual, ¿es conveniente invertir en este negocio?

Respuesta: Es conveniente (Ingresos = $75.831.933,15).

4-8 Una inversión de $50.000.000 genera trimestralmente ingresos d$1.500.000, con incrementos anuales del 10% Y egresos mensuales"$300.000, con incrementos semestrales del 5%; al cabo de 5 años se pUl'"vender por $60.000.000, considerando una tasa del 12% nominal, ¿es con

veniente realizar esta inversión?

Respuesta: No es conveniente.

4-9 Una empresa compró bonos por valor nominal de $7.000.000, con \\1\1\rentabilidad del 1% mensual, emitidos a 2 años, redimibles al 140%. Si 111entidad aspira a ganarse una rentabilidad del 1,5% mensual, ¿por Cll(11I11l

los debe vender 7 meses después de su compra?

Respuesta: Los bonos deben ser comprados por $8.652.111

4-10 ¿Cuál es el valor nominal de unos bonos que semestralmente rentan 11una tasa de15%, por los que se pagaron $8.400.000, a 4 años, a una laslI ¡\..mercado del 3,3% trimestral, Y que fueron redimidos por $9.00Q.()()()'l

Respuesta: $10.089.018,44

4-11 ¿A qué tasa rentaron unos bonos que trimestralmente durallte ~ lino

pagaban $1.000.()()(), {fUI.!I\I~'/()II11<1(/11111<10., /I( 11 ~.'.l 000 !lOO. y 1/11\' '011redimibles por $18.000.000'1

Respuesta: La inversión rentó a una tasa del 3,6915805%1 tl'Íll1l.!SfraJ.

4-12 ¿A qué valor fueron emitidos unos bonos que semestralmcnte dUl'anfl'3 años entregaban $7.000.000, si éstos fueron adquiridos por $40.000.000y son redimibles por $22.146.584,1, considerándose una tasa del facial del10% semestral, y una tasa del mercado del 12%?

Respuesta: Los bonos fueron emitidos por $70.000.000

4-13 ¿Cuál es la tasa facial de unos bonos que se compraron por $6000.000,redimibles al 1,10, que rentaron al 5% semestral, durante 3 años, si fueronemitidos por $5.000.000?

Respuesta: La tasa facial del bono es del 7,4701747% semestral

4-14 Una empresa ofrece los siguientes planes de financiación para sus em-pleados:

Plan A: consiste en 3 cuotas iguales, la primera en la fecha de entrega delartículo:

Plan B: 7 cuotas iguales, y una cuota del 45% del artículo con la primasemestral conespondiente; y

Plan C: A 12 meses, a una tasa del 1,84% mensual, la primera Cuota fija lacancelará 3 meses después de entregado el aliículo.Diseñe el cuadro de factores para esta empresa.

Respuesta:

Plan Meses I Cuotas Factor mensual Factor semestralA 2/3 0,33333333 -8 717 0,07857143 0,45C 12110 0,11449659

4-15 Una empresa ofrece los siguientes planes de financiación:

Plan Cliente Zafiro: Ilévelo con el 20%, y el resto financiado a 10 cuotasiguales.

Plan Cliente 1)11I'11110: 11

27%.11 nl'lklll •• ,'011 U l'1101 11'1 11I.1I11!L'". 1111111I llI!i1l11",1

Plan Cliente l~stll'lllI, IkV\' 1,11 IlIllrulo C()1l 1I1lH cuota iuir inl dl'l I~II'II, l,lresto financiado al 2510" 11 XIIIUSI.!S.

Diseñe el cuadro de factores para esta empresa.

Respuesta:

Plan Meses I Cuotas Factor mensual Factor cuota InicialCliente Zafiro 10110 0,08 0,20

Cliente Dorado 12/12 0,09462800 -Cliente Estrella 8/8 0,11541867 0,15

4-16 Se ha conformado una fundación que apoya los talentos artísticos juveniles por medio de una beca semestral de $10.000.000 a perpetuidad. 1.11

primera donación será entregada dentro de tres años, contados a partir tila creación de la fundación. Los medios para recolectar los dineros SOl!:11

primer aporte por $50.000.000 es entregado a la fecha de constitución tila fundación; un segundo aporte se conforma con el pago de un présuunque fue realizado hoy hace 1 año por $25.000.000, al 10%,·a 3 años; y ~Idinero restante será producto de un depósito trimestral en una entidud 4111

renta el 12%. Si el dinero todo será reunido y permanecerá en este 111114111

¿cuánto es el valor restante para poder realizar las entregas como se hilillOgramado? ¿Cuál es el valor del depósito trimestral con el cual se complotel capital para las donaciones?

Respuesta: El valor a reunir por medio del tercer aporte es de $75.530.().1'1el cual se obtendrá por medio de depósitos trimestrales 11

$8.531.968,96

4-17 Un bono emitido por $445.000 a cuatro años, a una tasa facial del 2.~HIYIIbimestral, redimible al 125, fue comprado por $400.000, ¿a qUl' llIlilldmercado fue negociado?

Respuesta: El bono fue negociado a una tasa del 3,8846324% bimcstrnl

4-18 Un contrato de arrendamiento a 4 años fue negociado para /11111.11110 I'n,anticipado con las siguientes condiciones: El valor para el primer lino 4'" d

44 (O"'!,I/l!,ll.Id/ardo

$3.000.000 mensuales; este valor SI.: illl'n'IlH'llfll/l'1 1'111111lIillt on $!O()()OOSi se plantea una tasa del 1,5% mensual. ¿,CII¡'¡/es cl vIIIO/ 11 pllglll' dv l'OIltado?

Respuesta: El valor a pagar de contado es de $116.914.176,46

4-19 ¿Cuánto se tendrá dentro de 3 años en una cuenta a la cual se le dcpoxítarán trimestralmente $700.000 y semestralmente $800.000 adicionales, sila tasa de interés para el primer año es del 10%, Y ésta se incrementó en 1111punto adicional cada año (es decir, 11% para el año 2; 12% para el año 3)'

Respuesta: Se tendrán $15.122.425,05

4-20 ¿Cuál es el valor del canon de arrendamiento mensual de un contrato a24 meses que fue cancelado al finalizar el contrato, con $40.000.000 a unntasa del 15% capitalizable mensual?

Respuesta: El valor del canon mensual de alTendamiento es de$1.421.694,74

4-21 ¿Con cuánto y en qué período se cancela un crédito que fue otorgadopor $40.000.000, al que hoy se le han abonado $32.000.000, y se seguirápagando en cuotas bimestrales de $400.000, a una tasa del 32%?

Respuesta: El crédito se cancela con $225.403,86 en el período 64.

4-22 ¿Cuál es el valor de la primera cuota de un pago mensual con el cualse cancela un crédito de $142.066.569 a 3 años, si la cuota se incrementasemestralmente en un 5%, y se ha pactado una tasa de interés del 24%nominal?

Respuesta: El valor del primer pago es de $5.000.000

4-23 Cinco personas se asocian y dan $1.000.000 cada una, durante 5 años,depositándolos en un fondo que renta al 12% nominal mensual, con el finde reunir el dinero para dar una donación anual de $2.000.000. ¿A qué tasadeben rentar estos dineros para poder cumplir con las donaciones?

Respuesta: El dinero debe rentar a una tasa del 4,897779% efectivo.

1II1M11c1.,. •• pll

11111l'lI IIlIm hllllO'l l·llllflllll •• 1'"1t Ct 111\011. ll·dtllllhll~:-'III 10\ "tU 111'0

4-24 l,Qué f"~,,!I.eI" 1 "~III~IiIII,,11111l'r I$5.000.000,11 11I1II11I:mdl'l 1"" IlIéllíllllllque se pU~lInlll $(t no tI /11 •.10'

Respuesta: La tasa racial a la que rentaron los bonos es de 9,9981Yctscmcstrnl

4-25 Se firmó un crédito a 4 meses, a una tasa del 1% mensual con una cuotade $1.000.000 con incrementos mensuales de $500.000. Realice el cuadrode amortización. Calcule la(s) variable(s) necesaria para resolver.

Respuesta:

Cuadro de amortización

PER CUOTA INTERESES AMORTIZACiÓN SALDO FINAL- $6.804.174,24

1 $1.000.000 $68.041,7424 $931.958,2576 $5.872.215,98

2 $1.500.000 $58.722,1598 $1.441.277,84 $4.430.938,14

3 $2.000.000 $44.309,3814 $1.955.690,619 $2.475.247,52

4 $2.500.000 $24.752,4752 $2.475.247,525 O-

4-26 Realice la tabla de factores:

Plan Súper oportunidad: de contado con un descuento del 30%;

Plan Dulce Hogar: Electrodomésticos hasta de $1.000.000; a 3 meses;paga la primera cuota con la entrega del artículo. Tasa del 12% convertiblemensual:

Plan Llévelo todo: Artículos entre $1.000.000 y $5.000.000; a 6 rncsc •••con cuota inicial del 20%; tasa del 1,5% mensual;

Plan Todo suyo: Electrodomésticos hasta de $500.000; a dos cuotas; 111primera al llevar el artículo.

Para los empleados se ofrece el mismo plan con un descuento del I()Iy"sobre el precio de lista.

(Ull\ldfl',11 I dlnrdn

Respuesta:

Tabla de factores para clientesPlan Meses I Cuotas Factor Factor cuota InIcIalSúper oportunidad ° 0,7 ·Dulce hogar 3/4 0,253743657 ·Llévelo todo 6/6 0,140420171 0,2Todo suyo 1/2 0,5 ·

Tabla de factores para empleadosPlan Meses I Cuotas Factor Factor cuota inicialSúper oportunidad ° 0,63 .

Dulce hooar 3/4 0,228369291 .Llévelo todo 6/6 0,126378154 0,18Todo suyo 1/2 0,45 .

4-27 Se firma un pagaré con una entidad financiera europea por € 50.000, auna tasa del 10%, a 2 años, en cuotas semestrales con decrementos del 10%semestral. La TRM del día en que se firma el pagaré es de $3.00 l. Realizaren Excel el cuadro de amortización.

Respuesta:

8 E F H

95000 'PERrODO CUOTA INTERESESAMORTIZACiÓNSALDOFINAL0,0356 o 95000

6· 1 $17.863,63 $ 3.382,00 $14.481,63 $ 80.518,37$17.863,63 2 $17.863,63 s 2.866,45 $14.997,18 s 65.521,19

3 $ 17.863,63 $ 2.332,55 $ 15.531,08 $ 49.990,114 s 17.863,63 $1.779,65 $ 16.083,99 s 33.906,125 $17.863,63 S 1.207,06 $16.656,57 $17.249,556 $ 17.863,63 $ 614,08 s 17.249,55 s 0,00

A1 VA

2 TASA3 NPER

4 PAGO

567

8

4-28 Se firma un pagaré co.n una entidad financiera por $15.000.000, a unatasa del 19% semestral, a 2 años, en cuotas semestrales con decrementos de$1.000.000 semestral. Realizar en Excel el cuadro de amortización.

MI"""IIIIIIII

Respuesta:.., .1'"

A I1IIMIIIIII/A! NAII)t) fiNAl

1),0 l'jUOO{)(!tI,U~ 11 t))~'j,4 108H0I111,.ó39019)5,8 691880~,!I3643291,7 3335517.1

l'

~t"11I)

J

1 TASANPrn

3 VA

4 CUOTA56

lI,tlJ

4

1',()f)(JOIX¡$ 6.%I¡.)h'¡, 1M

3335517,11 0,0

4-29 ¿Cuánto se pagó por un artículo si se cancelaron 3 cuotas mensuales de$120.000 la primera, $132.000, la segunda y $145.200 la tercera, a una tasndel 2% mensual, y aún se adeudan $159.720?

Respuesta: El valor del artículo fue de $528.903,13.

4-30 Se compra un electrodoméstico por valor de $2.000.000, a una tasa del2% mensual, a 1 años. Se paga en cuotas mensuales con incrementos d~'$100.000 mensuales. ¿Cuál es el valor de la primera cuota? Realice ~'Icuadro de amortización del crédito.

Respuesta: El valor de la primera cuota mensual es de $136.476,77

Cuadro de amortización

PER CUOTA INTERESES AMORTIZACiÓN SALDO FINAL. $ 2.000.0001 $ 136.477 $ 40.000 $ 96.477 $ 1.903.523

2 $ 146.477 $ 38.070 $ 108.406 $ 1.795.117

3 $ 156.477 $ 35.902 $120.574 $1.674.542

4 $166.477 $ 33.491 $132.986 $ 1.541.557

5 $ 176.477 $ 30,831 $145.646 $ 1.395.911

6 $ 186.477 $ 27.918 $ 158.559 $ 1.237.352

7 $ 196.477 $ 24.747 $171.730 $ 1.065.623-8 $ 206.477 $ 21.312 $185.164 $ 880.458-9 $ 216.477 $ 17.609 $ 198.868 $ 681.591-10 $ 226.477 $ 13.632 $ 212.845 $ 468.746-11 $ 236.477 $ 9,375 $ 227.102 $ 241.644.12 $ 246.477 $ 4.833 $ 241.644 $ (O)

4-31 ¿Cuál fue el valor finunciado ti través de 1111 k'll~llIg, VIIIl111111 IIpl'lÚIldeeompra del 3%, si se pagan cuotas mensuales de $tI.20 U()O. ti 111111 tasHdel22%, con un plazo de 60 meses?

Respuesta: El valor del bien es de $160.269.251,91

4-32 ¿Qué porcentaje para la compra de una máquina cuyo precio es de$702.000.000 fue financiado a través de un leasing a 5 años en cuotas men-suales de $15.035.200, a una tasa de121% nominal, con opción de adqui-sición del 4% del valor financiado?

Respuesta: El porcentaje del valor del bien financiado fue del 80,3025114%.

4-33 ¿Cuál es el valor de los intereses que se deben causar y posteriormentepagar en la cuota 40 en un leasing por $800.000.000, con una opción deadquisición del 5%, una tasa de interés del 2% mensual, a un plazo de 6años con cuotas mensuales?

Respuesta: El valor de los intereses en la cuota 40 es de $10.399.451,34.

4-34 Una empresa adquiere un crédito por $40.000.000 en una cooperativaa una tasa del 1,1% mensual a 2 años con pagos mensuales iguales, in-curriendo en los siguientes gastos: constitución de hipoteca $2.000.000;avalúo del bien a hipotecar 0,5% del avalúo (valor del bien $93.000.000);estudio jurídico de títulos 1% del valor del crédito; levante de la hipoteca$300.000. ¿Cuál es el valor por el cual se acredita la obligación financiera?¿Cuál es el valor que ingresa a bancos/caja? ¿Cuál es la verdadera tasa deinterés pagada en este crédito?

Respuesta: La obligación financiera debe acreditarse por $40.000.000; el va-lor que ingresa a Caja o Bancos es de $37.135.000; la verdaderatasa de interés pagada es del 1,7835488% mensual.

4-35 Una bodega es tomada en arrendamiento por una entidad que paga loscontratos a 1 año de forma anticipada a una tasa del 1,2% mensual. Si elvalor del contrato a 1 año firmado es de $5.000.000 mensuales antes deIVA, ¿cuál es el valor del pago a realizar, teniendo en cuenta que el arren-datario es agente de retención en renta?

Respuesta: El vnlur n 1'''11''1 1", tk ~h(U.II .•\W,/

4-36 ¿Cuál es el valor de un crédito (irmado a 12 pagos, a tllIHtllsll IIlt'lI"¡llnldel 1,6% mensual para los primeros 6 pagos, Ydel 1,7% mcnsuu! plll'll lu:-siguientes pagos? La cuota a pagar es de $100.000 mensuales. COII¡IICIl'

mentas mensuales de $100.000.

Respuesta: El valor del crédito es de $6.822.979,98

M,lll'ln,\II( rl\ IIn,II1(1(\[,1\ "plh ,I(trl\" 1" wntdbttlddd 251

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