mat021_calculo_12014

Editado porVerónica Gruenberg Stern

Apuntes de

MAT021 - Cálculo vs. 1er sem. 2014

Prefacio

Estimados alumnos:

Este texto ha sido desarrollado especialmente para ustedes, y es el resultado del aporte de muchoscolegas del Departamento de Matemática de la Universidad Técnica Federico Santa María, que alo largo del tiempo han dictado este curso. Las diferentes secciones incorporan, además de los pro-pios, apuntes de profesores tanto de Casa Central como del Campus Santiago, especialmente dePedro Gajardo y Erwin Hernández. En esta versión, los apuntes que hemos tomado de ellos (y devarios otros colegas) han sido editados por quien suscribe, para darles unidad y enfatizar algunosaspectos que nos parecen importantes. La estructura del apunte incorpora no solo los contenidosque se espera conozcan en profundidad, sino que también una gran cantidad de ejercicios resueltosy propuestos, que esperamos resuelvan con entusiasmo, para lograr mejores aprendizajes. Hemosoptado también por incluir muchas demostraciones de los teoremas que revisarán en clases. Noes el objetivo que todas éstas sean vistas en clases. Más bien, esperamos que los alumnos intere-sados, tengan la posibilidad de profundizar en la aprehensión de los conceptos involucrados, yde comprender cómo se realiza la construcción del conocimiento matemático. Esperamos que estatercera versión, aún preliminar, les sea de utilidad, y que cualquier error que aún se encuentre (porcierto, involuntario), nos sea informado al mail indicado abajo. Hemos incorporado varias de lascorrecciones que nos han hecho llegar, y agradecemos la tarea silenciosa y meticulosa de quienesasí lo han hecho.

Una concepción equivocada respecto a la forma de enfrentar un curso en la Universidad, proba-blemente producto de su experiencia previa, es que piensan que el estudio debe enfocarse solo a laresolución de problemas “tipo” y que no se debiera revisar los “conceptos ”. Deben tener presenteque queremos que resuelvan “todos ” los problemas, no sólo un cierto tipo. Para lograr ese nivelde dominio, los estudiantes deben comprender los conceptos y deben desarrollar la habilidad desaber cuando y cómo aplicarlos en situaciones diversas. Otro error es pretender concentrar el estu-dio un par de días antes de cada certamen. Las habilidades y competencias que serán evaluadas,en general requieren tiempo de construcción y de maduración, por lo que les recomendamos fuer-temente estudiar clase a clase, desarrollando los ejercicios planteados en los apuntes y también enlas guías de ejercicios.

I

PREFACIO Verónica Gruenberg Stern

Es importante que tengan presente que, aunque hemos intentado incluir todo el material peda-gógico relevante, este apunte no reemplaza las clases. Nada se compara a la interacción que seproduce en el aula, tanto con sus profesores como con sus compañeros. La discusión de los con-ceptos y la contrastación de diversos puntos de vista fortalece la comprensión de los mismos. Paraargumentar adecuadamente y lograr un buen aprendizaje de los conceptos e ideas que consideraeste curso, es fundamental que asistan a clases, que participen activamente en ella, estudien demanera metódica, ojalá estructurando un horario de estudio diario, preparándose siempre para supróxima clase y que planteen a sus profesores cualquier duda que les surja.

Cordialmente,

Verónica Gruenberg SternDepartamento de Matemática

Universidad Técnica Federico Santa María

[email protected]

II

mailto:[email protected]

Índice general

Prefacio I

Índice general III

1. Números Reales 11.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. El Cuerpo de los Números Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Axiomas de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.2. Inecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.3. Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.4. Ecuaciones e Inecuaciones lineales con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . 141.3.5. Inecuaciones cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4. Axioma del Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5. Ejercicios de controles y certámenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2. Funciones 312.1. El Concepto de Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2. Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.1. Algebra de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3. Funciones invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4. Funciones como modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.5. Ejercicios de Controles y Certámenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3. Sucesiones 573.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2. Convergencia de Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2.1. El concepto de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2.2. Algunas propiedades de las sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

III

ÍNDICE GENERAL

3.2.3. Algunos resultados de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4. Límites y Continuidad 794.1. Límites al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2. Necesidad del concepto de Límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.3. El Concepto de Límite de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.4. Algebra de Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.5. Límites Trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.5.1. El número e como límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.6. Asíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.7. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.7.1. Algebra de Funciones Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.7.2. Tipos de Discontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.7.3. Teoremas de funciones continuas en intervalos cerrados . . . . . . . . . . . . 109

4.8. Ejercicios de Controles y Certámenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5. Derivadas 1155.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.2. El Concepto de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.2.1. Interpretación Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.3. Álgebra de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.3.1. Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.4. Teoremas importantes sobre funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.5. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.6. Ejercicios de Controles y Certámenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6. Derivadas implícitas y paramétricas 1476.1. Curvas definidas implícitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.1.1. Derivación implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.1.2. Derivación implícita de segundo orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.2. Teorema de la función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.2.1. Derivadas de las funciones trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . 153

6.3. Curvas definidas paramétricamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.3.1. Derivación Paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158


7. Aplicaciones 1637.1. Razón de Cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1637.2. Máximos y Mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

IV

ÍNDICE GENERAL

7.2.1. Convexidad, concavidad, puntos de inflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1717.2.2. Criterios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

7.3. Gráfico de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.4. Regla de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

7.4.1. Regla de L’ Hôpital con otras formas indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . 1857.4.2. Regla de L’ Hôpital para expresiones del tipo f(x)g(x) . . . . . . . . . . . . . . 186


Ejercicios Resueltos 192

A. Números Reales 195

B. Funciones 199

C. Límites y Continuidad 203

D. Derivadas 207

E. Derivadas Implícitas y Paramétricas 209

F. Ejercicios Resueltos de Aplicaciones de la Derivada 213

V

ÍNDICE GENERAL

VI

Capítulo 1

Números Reales

1.1. Introducción

El objetivo del cálculo en una variable es estudiar funciones definidas sobre la recta real, por loque es importante conocer más profundamente sus propiedades básicas, para desarrollar funda-damente los conceptos del cálculo.

Históricamente, los conjuntos numéricos aparecen en forma paulatina, y en el mismo orden enque los conocemos a lo largo de nuestro desarrrollo escolar. Conocimos primeramente el conjuntode los números naturales, denotado por N, también llamado conjunto de enteros positivos, denotadopor Z+. Para determinar soluciones de ecuaciones algebraicas, fue necesario introducir primeroel conjunto de los números enteros, denotado por Z y luego el conjunto de los números racionales,denotado por Q.

Más precisamente:

N = {1, 2, 3, · · · }Z = {· · · , −2, −1, 0, 1, 2 · · · }Q =

{ab, a, b ∈ Z , b 6= 0

}Cabe señalar que, para los geómetras griegos, los números eran razones entre segmentos de

recta. En un comienzo, pensaban que todos los números eran racionales, o, en la terminología dela época, que todo segmento de recta era conmensurable. Ellos suponían que dados dos segmentosde recta AB y A′B′, siempre era posible encontrar un tercer segmento MN y números naturales ny n′ de modo que MN cupiera n veces en AB y n′ veces en A′B′. Así, la razón entre AB y A′B′

serían

n′. Pero, el descubrimiento del Teorema de Pitágoras echó por tierra esta creencia, ya que de él

se deduce que un triángulo rectángulo isósceles de lados (catetos) de longitud igual a 1 tiene unahipotenusa de longitud

√2, y√

2 no es un número racional, es decir

@ a, b ∈ Z, b 6= 0, tal quea

b=√

2

Un número real que no es racional se llama irracional. Así,√

2 es irracional. Notemos que√

2 seobtiene como solución de la ecuación con coeficientes enteros

x2 = 2

1

CAPÍTULO 1. NÚMEROS REALES Verónica Gruenberg Stern

Los números reales que se obtienen como soluciones de ecuaciones con coeficientes enteros sellaman números algebraicos. Dejamos como ejercicio al lector probar que todo número racional esun número algebraico. Los números reales que no son algebraicos se llaman números trascendentes.Ejemplos conocidos de números trascententes son π y e.

A pesar de lo anterior, es posible construir el conjunto de los números reales, que denotamospor R, a partir de Q. Sin embargo, no es ese nuestro objetivo aquí, por lo que consideraremoslos números reales como objetos no definidos (o conceptos primitivos) y sobre los cuales estándefinidas dos operaciones binarias: la adición y la multiplicación, que satisfacen ciertos axiomas,que le dan la estructura que conocemos.

1.2. El Cuerpo de los Números Reales

Sea R el conjunto de los números reales, que dotamos de las siguientes dos operaciones:

1. Adición: Denotada por “+” y que satisface que: si x, y ∈ R entonces x + y ∈ Rllamada propiedad de clausura o cerradura de la adición o suma.

2. Multiplicación: Denotada por “ · ” que satisface que: si x, y ∈ R entonces x · y ∈ Rllamada propiedad de clausura o cerradura de la multiplicación o producto.

Si x, y, z ∈ R, las operaciones arriba definidas satisfacen los siguientes axiomas:

Axioma Adición Multiplicación

Asociatividad (x+ y) + z = x+ (y + z) (x · y) · z = x · (y · z)

Existencia delElemento Neutro

∃ 0 ∈ R : x+ 0 = x ∃ 1 ∈ R : x · 1 = x

Existencia delElemento Inverso

∃ (−x) ∈ R : x+ (−x) = 0 ∃x−1 ∈ R : x · x−1 = 1 , ∀x 6= 0

Conmutatividad x+ y = y + x x · y = y · x

Distributividad x · (y + z) = x · y + x · z (x+ y) · z = x · z + y · z

2

Verónica Gruenberg Stern 1.2. EL CUERPO DE LOS NÚMEROS REALES

Decimos entonces que R dotado de la suma y multiplicación que satisfacen las propiedadesanteriores es el cuerpo de los números reales, o que el trío (R,+, ·) tiene estructura de cuerpo.

OBSERVACIÓN:

1. Notamos que “0” representa al elemento neutro para la suma y “1” al elemento neutro parala multiplicación. Estos neutros deben ser distintos o el conjunto de los números reales sereduciría al cero.

2. Es posible probar que los elementos neutros son únicos. En efecto:supongamos que 0 y 0′ son dos elementos neutros para la suma. Entonces:

0′ + 0 = 0′ pues 0 es neutro0 + 0′ = 0 pues 0’ es neutro

}Por conmutatividad: 0+0′ = 0′+0 de donde 0 = 0′

Análogamente para el neutro multiplicativo, cuya demostración dejamos como ejercicio.

3. Si x ∈ R, su elemento inverso aditivo será denotado por “(−x)” y el inverso multiplicativode x ∈ R será denotado por “x−1”. Notar que hablamos de “su” inverso aditivo o multipli-cativo. Esto se debe a que éstos son únicos. En efecto:sea a ∈ R y supongamos que ∃(−a), b ∈ R, ambos inversos aditivos de a. Entonces:a+ (−a) = 0 ⇒ b+ (a+ (−a)) = (b+ 0) ⇒ (b+ a) + (−a) = b Como b es inversoaditivo de a: 0 + (−a) = b ∴ −a = b.

Análogamente con el inverso multiplicativo.

4. Como siempre, la diferencia entre dos números a, b ∈ R se define por b− a = b+ (−a), yel cociente entre dos números reales a, b ∈ R con b 6= 0 se define por a · b−1 y se denota por“ ab ” o por “ a/b ”.

Con estos axiomas y considerando las definiciones anteriores es posible demostrar las siguien-tes propiedades en R.

PROPOSICIÓN 1.2.1 Sean a, b, c, d ∈ R; entonces:

1. a+ b = a+ c ⇒ b = c.

2. −(−a) = a.

3. a(b− c) = ab− ac.

4. 0 · a = a · 0 = 0.

5. ab = ac y a 6= 0 ⇒ b = c.

6. a 6= 0 ⇒ (a−1)−1 = a.

3


7. ab = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0.

8. (−a)b = −(ab) = a(−b).

9. Si a, b 6= 0, entonces (a · b)−1 = a−1 · b−1

Dem. Demostraremos algunas y las demás quedan de ejercicio:

2. Si a ∈ R, entonces existe −a ∈ R tal que a+ (−a) = 0. Por lo tanto, a es el inverso aditivode −a. Pero, el inverso aditivo de −a es −(−a). Luego, por la unicidad del inverso aditivo,se tiene que −(−a) = a.

4. Notamos que 0 · a = (0 + 0) · a = 0 · a + 0 · a y luego, aplicando la propiedad 1., se tieneque 0 · a = 0.

7. Sean a, b ∈ R : ab = 0 . Se quiere probar que a = 0 ∨ b = 0. Supongamos que b 6= 0, luegob posee inverso multiplicativo, y multiplicando la ecuación por b−1 se obtiene:

ab = 0 ⇒ (ab) · b−1 = 0 · b−1 = 0 ⇒ a(b · b−1) = 0 ⇒ a · 1 = 0 ⇒ a = 0

9. Notamos que, si a, b 6= 0, entonces

(a−1 · b−1) · (ab) = (a−1 · b−1) · (ba) = a−1 · (b−1 b) · a = a−1 · 1 · a = a−1 · a = 1

Pero, el inverso de ab es (ab)−1, de donde necesariamente, por la unicidad de este inverso,

(a · b)−1 = a−1 · b−1

EJERCICIOS:

1. Demuestre las siguientes propiedades:

−0 = 0 y 1−1 = 1

0 no tiene elemento inverso multiplicativo.

Si a 6= 0 entonces la ecuación ax+ b = c tiene solución única.

(−1) · (−1) = 1

(−a)2 = a2 y (−a)3 = −a3.

2. En el conjunto de los números naturalesN se define la operación ∗, por x∗y = xy. Determinesi esta operación satisface los axiomas de asociatividad o de conmutatividad.

3. Muestre que si a1, a2, · · · , an son números reales y a1a2 · · · an = 0 entonces alguno de los aidebe ser el neutro aditivo.

4

Verónica Gruenberg Stern 1.3. AXIOMAS DE ORDEN

4. Resuelva la ecuación (x− 2)(2x+ 3)(5x+ 1) = 0

5. Considere el conjunto F2 = {0, 1} dotado de la suma y productos definidos por lassiguientes tablas:

+ 0 10 0 11 1 0

· 0 10 0 01 0 1

¿Posee F2, dotado de estas operaciones, una estructura de cuerpo?

6. Sea A = Q∪{√

2}, con las operaciones habituales de suma y producto enR. ¿Satisface A losaxiomas de cuerpo ? ¿Y el conjunto B = {a+ b

√2, a, b ∈ Q} dotado también de la suma y

producto usual?

7. Suponga que se definen en R− {0} las operaciones siguientes:

x⊕ y = xy, x� y = x+ y

¿Cuáles de los axiomas de cuerpo son satisfechos por el trío (R− {0},⊕,�)?

1.3. Axiomas de Orden

Además de los axiomas de cuerpo, el conjunto R satisface los llamados axiomas de orden. Paraenunciarlos, considere el conjunto que denotamos por R+ y al que llamaremos conjunto de losnúmeros reales positivos. Éste verifica los axiomas conocidos como axiomas de orden:

Axioma

Clausura para la suma x, y ∈ R+ ⇒ x+ y ∈ R+

Clausura para el producto x, y ∈ R+ ⇒ x · y ∈ R+

Tricotomía x ∈ R ⇒ x ∈ R+ Y −x ∈ R+ Y x = 0

5

DEFINICIÓN 1.3.1 Definimos el conjunto de los números reales negativos como el conjunto

R− = {−x / x ∈ R+ }

OBSERVACIÓN: Notar que R = R− ∪ {0} ∪R+.

DEFINICIÓN 1.3.2 Sean a, b ∈ R. Diremos que:

1. a es menor que b, y escribimos a < b, si y sólo si b− a ∈ R+.

2. a es mayor que b, y escribimos a > b, si y sólo si b < a.

3. a es menor o igual a b, y escribimos a ≤ b, si y sólo si a b ∨ a = b.

OBSERVACIÓN:

a < 0 ⇐⇒ 0− a ∈ R+ ⇐⇒ −a ∈ R+ ⇐⇒ a ∈ R−

a > 0 ⇐⇒ a− 0 ∈ R+ ⇐⇒ a ∈ R+

En la recta numérica real, x < y ssi x está a la izquierda de y en dicha recta. Con estarepresentación gráfica, la idea de orden en R y la ley de tricotomía resultan evidentes.

PROPIEDADES 1.3.1 Sean a, b, c, d ∈ R; entonces se tiene que:

1. Se verifica exactamente una de las siguientes:

a < b, a = b, a > b

Dem. Sea c = b− a. Por el axioma de tricotomía: c > 0, c = 0 o c < 0.Luego, b− a > 0, b− a = 0 o b− a < 0.

2. a 0 ∧ c− b > 0 ⇒ (b−a) + (c− b) = c−a > 0 ⇒ a < c

3. a ≤ b ∧ c ∈ R ⇒ a+ c ≤ b+ c.

4. a ≤ b ∧ c ≤ d ⇒ a+ c ≤ b+ d.

5. a ≤ b ∧ c ∈ R+ ⇒ ac ≤ bc.

6. a ≤ b ∧ −c ∈ R+ ⇒ ac ≥ bc.

6

7. 0 ≤ a ≤ b ∧ 0 ≤ c ≤ d ⇒ 0 ≤ ac ≤ bd.

8. a 6= 0 ⇒ a2 > 0

Dem. a 6= 0 ⇒ a > 0 ∨ a < 0. Si a > 0, el axioma de clausura para el productoimplica que a2 > 0. Si a < 0, la propiedad 6. con b = 0 y c = a, implica que a2 > 0.

9. a > 0 ⇒ a−1 > 0

Dem. Supongamos que a−1 < 0. Entonces: a · a−1 = 1 < 0, lo cual evidentemente esuna contradicción. Por lo tanto a−1 > 0.

10. 0 < a b−1

Dejamos como ejercicio la demostración de aquellas propiedades que no hemos probado.

Ejercicios Resueltos

1. ∀a, b ∈ R : a2 + b2 ≥ 2ab

Dem. Sabemos que x2 ≥ 0 ∀x ∈ R. Luego:

a, b ∈ R ⇒ a− b ∈ R ⇒ (a− b)2 ≥ 0 ⇒ a2 − 2ab+ b2 ≥ 0

∴ a2 + b2 ≥ 2ab ∀a, b ∈ R

2. ∀a ∈ R+ : a+1

a≥ 2

Dem. Sabemos que ∀a ∈ R+ : a− 1 ∈ R. Luego:

(a− 1)2 ≥ 0 ⇒ a2 − 2a+ 1 ≥ 0 ⇒ a2 + 1 ≥ 2a

Como a > 0, multiplicando esta desigualdad por a−1 se obtiene lo pedido.

3. Si a+ b = 1, probar que a2 + b2 ≥ 1

2.

Dem. Sabemos que ∀a, b ∈ R : a2 + b2 ≥ 2ab.

Además, por hipótesis: a+ b = 1 ⇒ a2 + 2ab+ b2 = 1. Sumando, obtenemos:

2a2 + 2ab+ 2b2 ≥ 1 + 2ab ⇒ a2 + b2 ≥ 1

2.

4. Si a, b, c ∈ R+ entonces

2ab

a+ b+

2ac

a+ c+

2bc

b+ c≤ a+ b+ c

Dem. Notamos que los términos del primer miembro de la tesis son análogos. Tratemos

de construir el primero, es decir,2ab

a+ b.

7


Sabemos que a2 + b2 ≥ 2ab. Sumando 2ab, obtenemos: (a + b)2 ≥ 4ab. Comoa+ b > 0, dividimos por esta última expresión y obtenemos:

a+ b ≥ 4ab

a+ b⇐⇒ a+ b

2≥ 2ab

a+ b

Análogamente:a+ c

2≥ 2ac

a+ c∧ b+ c

2≥ 2bc

b+ c

Sumando las tres últimas desigualdades, obtenemos lo pedido.

5. Si a, b ∈ R+ entonces2

1a + 1

b

≤√ab ≤ a+ b

2

Dem. En realidad, se pide demostrar dos desigualdades para a, b ∈ R+:

√ab ≤ a+ b

2∧ 2

1a + 1

b

≤√ab

Demostremos la primera:

a, b ∈ R+ ⇒ √a,√b ∈ R+ ⇒ √

a −√b ∈ R ⇒ (

√a −√b)2 ≥ 0 ⇒

a− 2√ab+ b ≥ 0.

∴√ab ≤ a+ b

2

Demostremos la segunda:

Por la primera desigualdad: a+b ≥ 2√ab. Multiplicamos por

√ab y dividimos por a+b:

2ab

a+ b≤√ab ⇐⇒ 2

1a + 1

b

≤√ab

EJERCICIOS:

1. Demostrar que si a y b son números reales positivos, entonces√a+ b ≤ √a+

√b.

2. Demostrar que si a y b son números reales positivos, entoncesa

b+b

a≥ 2.

3. Demostrar que si x es un número real positivo, entonces x3 +1

x3≥ x+

1

x.

4. Si a+ b = 1, probar que:

a) ab ≥ 1

4

b) a4 + b4 ≥ 1

8

8

5. Demuestre que si a, b, c, d son reales positivos, entonces (ab+ cd)(ac+ bd) ≥ 4abcd.

6. Demuestre que si a, b, c son reales positivos, entonces (a+ b)(b+ c)(c+ a) ≥ 8abc.

7. Demuestre que si a, b, c son reales positivos, entonces ab+ bc+ ac ≤ a2 + b2 + c2.

8. Demuestre que si a, b, c ≥ 0, no todos iguales, entonces

(a+ b+ c)(bc+ ca+ ab) ≥ 9abc

9. Demostrar que si 0 ≤ a ≤ b entonces a ≤ b ⇐⇒ a2 ≤ b2

10. Demuestre que si a+ b+ c = 6, entonces a2 + b2 + c2 ≥ 12.

11. Demuestre que si x, y, z ∈ R+ entonces

31x + 1

y + 1z

≤ 3√xyz ≤ x+ y + z

3

12. Si a, b, c son reales positivos y distintos entre sí, demuestre que

a+ b+ c

3>

(ab+ bc+ ca

3

) 12

> (abc)13

13. Si a, b, c son reales positivos, demostrar

a2 + b2

a+ b+b2 + c2

b+ c+c2 + a2

c+ a≥ a+ b+ c

14. Si a > b y m,n ∈ R+; demuestre que b <ma+ nb

m+ n< a.

15. Si a 6= b 6= c, a, b, c ∈ R, demuestre quea+ b

c+b+ c

a+a+ c

b> 6.

16. Demuestre que si a, b ∈ R+, entonces1

a+

2

b≥ 9

a+ 2b.

17. Demuestre que si a, b y c son estrictamente positivos, con a+ b+ c = 1, entonces(1

a− 1

)(1

b− 1

)(1

c− 1

)≥ 8

9

1.3.1. Intervalos

Para simplificar la notación de ciertos subconjuntos de R, introduciremos la notación de inter-valos. Sean a, b ∈ R tales que a < b. Se definen los siguientes conjuntos:

Nombre Notación Definición

Intervalo Abierto ]a, b[ {x ∈ R | a < x < b }

Intervalo Cerrado [a, b] {x ∈ R | a ≤ x ≤ b }

Intervalo semi-abierto por la izquierda ]a, b] {x ∈ R | a < x ≤ b }

Intervalo semi-abierto por la derecha [a, b[ {x ∈ R | a ≤ x < b }

Intervalo infinito abierto por la derecha ]−∞, b[ {x ∈ R | x < b }

Intervalo infinito cerrado por la derecha ]−∞, b] {x ∈ R | x ≤ b }

Intervalo infinito abierto por la izquierda ]a,∞[ {x ∈ R | a < x }

Intervalo infinito cerrado por la izquierda [a,∞[ {x ∈ R | a ≥ x }

DEFINICIÓN 1.3.3 Los números reales a, b y los símbolos ∞,−∞ se llaman valores extremos delintervalo en cuestión. Si los valores extremos de un intervalo son números reales, el intervalo sedice acotado.

10

1.3.2. Inecuaciones Lineales

Entenderemos por inecuaciones lineales o de primer grado a expresiones algebraicas que puedenreducirse a la forma

ax+ b > 0 ∨ ax+ b ≥ 0 ∨ ax+ b < 0 ∨ ax+ b ≤ 0

donde a, b ∈ R, a 6= 0 y x es una variable real.Resolver una inecuación es determinar todos los x ∈ R que la satisfacen, lo cual se logra apli-

cando los teoremas anteriores.El conjunto solución de una inecuación de la forma p(x) ≥ q(x) es el conjunto:

S = { x ∈ R | p(x) ≥ q(x) es verdadero }


1. Resuelva:6

x− 1≥ 5

Solución: Veremos dos métodos para resolver esta inecuación, teniendo presente que x 6= 1.

Método16

x− 1− 5 ≥ 0 ⇒ 11− 5x

x− 1≥ 0.

Para que este cuociente sea ≥ 0, es necesario que:

( 11− 5x ≥ 0 ∧ x− 1 > 0 ) ∨ ( 11− 5x ≤ 0 ∧ x− 1 < 0 )

Luego, el conjunto solución es S =

]1,

11

5

[.

Método2 Si se desea “multiplicar cruzado ”, se debe tener presente el signo de x− 1:

Si x > 1 : 6 ≥ 5x− 5 ⇒ x ≤ 11

5⇒ S1 =

]1,

11

5

[.

Si x < 1 : 6 ≤ 5x− 5 ⇒ x ≥ 11

5⇒ S2 = ∅

Por lo tanto, S = S1 ∪ S2 =

]1,

11

5

[.

2. Probar que si 3x− 5 ∈ ]− 2, 4[ entonces x ∈ ]1, 3[.

Solución: 3x− 5 ∈ ]− 2, 4[ ⇒ −2 < 3x− 5 < 4 ⇒ 3 < 3x < 9 ⇒ x ∈ ]1, 3[.

3. Resuelva el siguiente sistema de inecuaciones:x− 1 ≤ 1− 3x

3x+ 2 ≥ 7

Solución: La primera inecuación tiene solución x ≤ 2 y la segunda x ≥ 53 . Como ambas

condiciones deben satisfacerse simultáneamente, la solución del sistema es S =[

53 , 2].

11

4. Resolver√

2x+ 1 >√x− 3.

Solución: En primer lugar determinamos las restricciones del problema, es decir, el con-junto de valores x ∈ R para los que las raíces cuadradas tienen sentido:

2x+ 1 ≥ 0 ∧ x− 3 ≥ 0 =⇒ x ≥ −1

2∧ x ≥ 3 =⇒ x ≥ 3

Resolver la inecuación propuesta es equivalente a resolver

2x+ 1 > x− 3 =⇒ x > −4 ∴ S = [3,∞[ ∩ ]− 4,∞[ = [3,∞[

5. Resuelva la siguiente inecuación, determinando la solución en términos del parámetro m:

m(x− 1) ≤ x+ 2

Solución: mx−m ≤ x+ 2 =⇒ (m− 1)x ≤ m+ 2.

Luego: si m− 1 > 0 : x ≤ m+ 2

m− 1y si m− 1 < 0 : x ≥ m+ 2

m− 1.

¿Qué sucede si m = 1? La ecuación original queda: x− 1 ≤ x+ 2, la que es válida ∀x ∈ R.

Así, la solución de la inecuación en términos del parámetro m es:[m+ 2

m− 1,∞[

si m < 1, R si m = 1,

]−∞, m+ 2

m− 1

]si m > 1

EJERCICIOS:

1. Resuelva las siguientes inecuaciones:

a) 2x− 1 < x+ 3

b) −x3< 2x+ 1

c) (x− 2)2 ≥ x2 − 1

d)x− 3

2x+ 5≥ 1

2. Si 2x+ 3 ∈ [1, 2], ¿a qué intervalo pertenece x?

3. Si x ∈ [1, 2], ¿a qué intervalo pertenece1

2x+ 3?

4. Resuelva la ecuación1

x− 1+

1

x− 3=

2

x−m¿Qué condiciones debe cumplir el parámetro m para que la solución sea menor que 1? ¿Ypara que la solución sea menor que 0?

12

5. Resuelva la ecuación2x−mx+ 2

− x+m

x2 − 4=

4x−m2x− 4

¿Qué condiciones debe cumplir el parámetro m para que la solución esté entre -1 y 1?

6. En la fabricación de cierto producto, los costos mensuales totales están dados por la ecuaciónC = 2500 + 100x, donde x es el número de unidades producidas. Si el precio de venta se fijaen $150, determine el número mínimo de unidades que deben venderse mensualmente paraasegurar que no hayan pérdidas.

1.3.3. Valor Absoluto

DEFINICIÓN 1.3.4 Sea x ∈ R. Se define el valor absoluto de x, que denotamos |x|, como:

|x| ={x si x ≥ 0

−x si x < 0

OBSERVACIÓN:

x ≤ 0 ⇒ −x ≥ 0 ∴ ∀x ∈ R : |x| ≥ 0 ∧ (|x| = 0 ⇔ x = 0).

El valor absoluto de x representa, geométricamente, la distancia de x al origen. De esta forma,dados x, y ∈ R se tiene que |x − y| representa geométricamente la distancia que hay entre xe y.

0 x x y

PROPIEDADES 1.3.2 Para x, y ∈ R y c ∈ R+ ∪ {0} se tiene que:

1. |x| ≥ 0 , y la igualdad se satisface si y solo si x = 0.

2. |x · y| = |x| · |y|.

3. | − x| = |x|.

4. |x| ≤ c ⇐⇒ −c ≤ x ≤ c.

5. ||x| − |y|| ≤ |x+ y| ≤ |x|+ |y|. (Desigualdad Triangular)

6. |x| ≥ c ⇐⇒ x ≤ −c ∨ x ≥ c.

Dem. Demostraremos las propiedades 4., 5. y 6:

13

4. ⇒ |x| ≤ c ⇒ −c ≤ −|x|. Por otra parte, x = |x| ∨ x = −|x|. Así:

−c ≤ −|x| ≤ x ≤ |x| ≤ c ∴ −c ≤ x ≤ c

⇐ Suponga −c ≤ x ≤ c. Como x ∈ R : x ≥ 0 ∨ x < 0.

Si x ≥ 0 : |x| = x ≤ cSi x < 0 : |x| = −x ≤ c

}⇒ |x| ≤ c

5. a) Probemos en primer lugar que |x+ y| ≤ |x|+ |y|. Notar que:

−|x| ≤ x ≤ |x|−|y| ≤ y ≤ |y|

−(|x|+ |y|) ≤ x+ y ≤ |x|+ |y|

∴ |x+ y| ≤ |x|+ |y|.

b) Probemos ahora que | |x| − |y| | ≤ |x+ y|. Notar que:

|x| = |x+ y − y| ≤ |x+ y|+ | − y| = |x+ y|+ |y| ⇒ |x| − |y| ≤ |x+ y|

|y| = |y + x− x| ≤ |y + x|+ |x| ⇒ |y| − |x| ≤ |x+ y|

∴ | |x| − |y| | ≤ |x+ y|.

6. ⇒ |x| ≥ c ⇒ −|x| ≤ −c

Luego, si x ≥ 0 : x = |x| ≥ c y si x < 0 : x = −|x| ≤ −c.

⇐ Si x ≤ −c entonces −x ≥ c. Como c > 0 : |x| = −x ≥ c ⇒ |x| ≥ c.

Si x ≥ c y como c > 0 : |x| = x ≥ c ⇒ |x| ≥ c.

1.3.4. Ecuaciones e Inecuaciones lineales con valor absoluto

Análogamente al caso anterior, resolver una ecuación o una inecuación lineal que posee ensu planteamiento valores absolutos, es determinar el conjunto de todos los números reales que lasatisfacen, o la transforman en una proposición verdadera.

14

1. Resolver | 3x− 2 | < 4.

Solución:

|3x − 2| < 4 ⇔ −4 < 3x − 2 < 4 ⇔ −2 < 3x < 6 ⇔ −2

3< x < 2. Por lo tanto,

S = ] − 23 , 2 [

2. Resolver1

|x+ 7| > 2.

Solución: Notamos que x 6= −7. Además, como |x + 7| > 0 ∀x ∈ R − {−7} :1

|x+ 7| > 2 ⇔ |x + 7| < 1

2⇔ −1

2< x + 7 <

1

2⇔ −15

2< x < −13

2. Por lo tanto,

S =]− 152 ,−7[∪ ]− 7, 13

2 [.

3. Resolver |x− |x− 1|| ≤ 2.

Solución: |x− |x− 1|| ≤ 2 ⇐⇒ −2 ≤ x− |x− 1| ≤ 2

⇐⇒ −2 ≤ |x− 1| − x ≤ 2 ⇐⇒ x− 2 ≤ |x− 1| ≤ x+ 2

Si x ≥ 1: x− 2 ≤ x− 1 ≤ x+ 2. La solución es el intervalo: SA = [1,∞[.

Si x < 1: x− 2 ≤ 1− x ≤ x+ 2. Luego, 2x ≤ 3 ∧ 2x ≥ −1, de donde

−1

2≤ x ≤ 3

2. Así, la solución en este caso es SB =

[−1

2, 1

[.

Por lo tanto, la solución es S = SA ∪ SB =

[−1

2,∞[

.

4. Resolver |x− 2|+ |3x− 2| > 7.

Solución: |x− 2| ={x− 2 si x ≥ 2

−(x− 2) si x < 2y |3x− 2| =

{3x− 2 si x ≥ 2

3

−(3x− 2) si x < 23

Luego, deberemos analizar tres casos:

x ≥ 2 x− 2 + 3x− 2 > 7 ⇒ x >11

4⇒ S1 =

]11

4,∞[

2

3≤ x < 2 2− x+ 3x− 2 > 7 ⇒ x >

7

2⇒ S2 = ∅

x <2

32− x+ 2− 3x > 7 ⇒ x < −3

4⇒ S3 =

]−∞,−3

4

[Luego, S = S1 ∪ S2 ∪ S3 =

]−∞,−3

4

[ ⋃ ]11

4,∞[

15

5. Demostrar que |x− 2| < 2 =⇒∣∣∣∣x2 − 3x+ 1

x+ 1

∣∣∣∣ < 7.

Solución: Como∣∣∣∣x2 − 3x+ 1

x+ 1

∣∣∣∣ = |x2 − 3x + 1| ·∣∣∣∣ 1

x+ 1

∣∣∣∣, acotaremos separadamente

ambas expresiones.

Notamos que:

|x2 − 3x+ 1| = |(x− 2)(x− 1)− 1| ≤ |x− 2||x− 1|+ 1.

Luego, debemos acotar |x − 1|: sabemos que |x − 2| < 2 ⇒ −2 < x − 2 < 2.Sumando 1: −1 < x− 1 < 3 ⇒ |x− 1| < 3.

Así: |x2 − 3x+ 1| ≤ |x− 2||x− 1|+ 1 < 2 · 3 + 1 = 7.

Para acotar∣∣∣∣ 1

x+ 1

∣∣∣∣ , nuevamente usamos la hipótesis: |x− 2| < 2 ⇒

−2 < x− 2 < 2 ⇒ 1 < x+ 1 < 5 ⇒ 1

5<

1

x+ 1< 1 ⇒

∣∣∣∣ 1

x+ 1

∣∣∣∣ < 1.

Multiplicando ambas expresiones, obtenemos lo pedido.

EJERCICIOS: Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones en R:

1) |2x− 3| = 5 2) |x− 1|+ |x+ 1| = 2

3) | |x− 2| − 2| = 2 4) | |x+ 1| − 2| = x+ 3

5) |x−m| = 2m, con m ∈ R 6) | 2x− 1| < 5

7) |x− 3| ≥ 2 8) |x− 1| < |2x− 1|

9) |x− 1|+ |x− 2|+ |x− 3| ≤ 5 10) |x− |2x− 5|| ≥ 4

11) 3x > |x− |2x− 7|| 12) ||x−m| − |x+m|| < 2m

13) ||x− 3| − 3| < 2 14) |x− 7| < 5 < |5x− 25|

15) |4− x|+ 1√x2 − 4x+ 4

> 2 16) |4− x|+ 1√x2 − 4x+ 4

> −2

17) Demuestre que si |x− 3| < 1, entonces 6 < x+ 4 < 8.

18) Probar que si |x− 2| < 3 entonces∣∣∣∣x2 + 2x− 8

x+ 3

∣∣∣∣ < 14

16

19) Hallar δ > 0 tal que si |x− 4| < δ entonces∣∣∣∣2x2 − 6

x+ 1− 26

5

∣∣∣∣ < 10−3

1.3.5. Inecuaciones cuadráticas

Entenderemos por inecuaciones cuadráticas o de segundo grado a expresiones algebraicas quepueden reducirse a la forma

ax2 + bx+ c > 0 ∨ ax2 + bx+ c ≥ 0 ∨ ax2 + bx+ c < 0 ∨ ax2 + bx+ c ≤ 0

donde a, b, c ∈ R, a 6= 0 y x es una variable real. Como antes, resolver una inecuación de este tipoes determinar todos los x ∈ R que la satisfacen.

Para resolver una inecuación cuadrática, consideremos su ecuación cuadrática asociada:

ax2 + bx+ c = 0

cuyas soluciones se pueden determinar reescribiendo la expresión, como se muestra en los siguien-tes pasos:

0 = ax2 + bx+ c = a

(x2 +

b

ax+

b2

4a− b2

4a

)+ c = a

(x+

b

2a

)2

−(b2 − 4ac

4a

),

concluyendo (x+

b

2a

)2

=b2 − 4ac

4a2⇒ x =

−b2a±√b2 − 4ac

2a.

Los valores de x que satisfacen la ecuación se llaman raíces y su existencia enR y multiplicidaddependen del signo del discriminante ∆ definido por

∆ := b2 − 4ac.

Se tendrán entonces los siguientes casos:

Si ∆ > 0, la ecuación posee dos raíces reales y distintas;

Si ∆ = 0, la ecuación posee raíces reales e iguales;

Si ∆ < 0, la ecuación no posee raíces en R. Estas serán raíces complejas conjugadas.

OBSERVACIÓN: A partir de la expresión para las raíces, es posible deducir las siguientes relacionesentre los coeficientes a, b, c, que dejamos como ejercicio al lector:

x1 + x2 =−ba

x1x2 =c

a.

17

Recordemos que, de la Geometría Analítica, sabemos que la representación gráfica de la ecua-ción cuadrática :

y = ax2 + bx+ c con a, b, c ∈ R y a 6= 0,

es una parábola, donde a corresponde al coeficiente cuadrático, b al coeficiente lineal y c al términoindependiente. La expresión puede tomar la siguiente forma:

y = ax2 + bx+ c = a

(x+

b

2a

)2

−(b2 − 4ac

4a

).

y, si y = 0, se tiene la ecuación cuadrática ax2 + bx+ c = 0. Notamos que:

Si ∆ = b2 − 4ac > 0 entonces la curva cruza dos veces el eje x (se tienen dos solucionespara la ecuación cuadrática); si ∆ = 0 entonces la curva toca el eje x solo una vez (se tieneuna sola solución) y si ∆ < 0 entonces no cruza el eje x (se tienen dos soluciones complejasconjugadas).

Si a > 0 entonces y ≥ −b2 − 4ac

4ay por el contrario, si a < 0, entonces y ≤ −b

2 − 4ac

4a. Gráfi-

camente, si a > 0 entonces la ecuación cuadrática corresponde a la gráfica de una parábola«abierta hacia arriba», y si a < 0, corresponde a la gráfica de una parábola «abierta haciaabajo».

Para x =−b2a

se debe tener y = −b2 − 4ac

4a. El punto

(− b

2a,−b

2 − 4ac

4a

)se llama vértice.

La gráfica de y = ax2 +bx+c es simétrica respecto de la recta x = − b

2a. En efecto, si tomamos

x1 = − b

2a+ t y x2 = − b

2a− t t > 0

se tendrá

y1 = a

(− b

2a+ t+

b

2a

)2

− b2 − 4ac

4a= at2 − b2 − 4ac

4a

y2 = a

(− b

2a− t+

b

2a

)2

− b2 − 4ac

4a= a(−t)2 − b2 − 4ac

4a

de donde y1 = y2.

18


Utilizando todas estas consideraciones, obtenemos el gráfico que se muestra arriba, para el casoen que a > 0, de donde podemos concluir que, de acuerdo al signo del coeficiente principal a ylos valores del discriminante 4, se tienen los siguientes casos, que ilustramos primeramente demanera gráfica e interpretamos luego analíticamente:

19

Supongamos que se quiere resolver ax2 + bx+ x > 0 , a > 0. Hay 3 posibilidades:

• 4 > 0 en cuyo caso hay 2 soluciones reales distintas de la ecuación cuadrática aso-ciada (estamos en la situación de la primera figura). Si llamamos r1, r2, r1 < r2 a estasraíces, entonces la solución es ]−∞, r1[ ∪ ]r2,∞[.

• 4 = 0 en cuyo caso hay solo 1 solución real de la ecuación cuadrática asociada (es-tamos en la situación de la segunda figura). Si llamamos r1 a esta raíz, entonces lasolución es ]−∞, r1[∪ ]r1,∞[.

• 4 < 0 en cuyo caso no hay soluciones reales de la ecuación cuadrática asociada (es-tamos en la situación de la tercera figura). Entonces la solución es R.

Supongamos que se quiere resolver ax2 + bx+ x ≥ 0 , a > 0. Hay 3 posibilidades:

• 4 > 0 en cuyo caso hay 2 soluciones reales distintas de la ecuación cuadrática aso-ciada (estamos en la situación de la primera figura). Si llamamos r1, r2, r1 < r2 a estasraíces, entonces la solución es ]−∞, r1] ∪ [r2,∞[.

• 4 = 0 en cuyo caso hay solo 1 solución real de la ecuación cuadrática asociada (esta-mos en la situación de la segunda figura). Entonces la solución es R.

• 4 < 0 en cuyo caso no hay soluciones reales de la ecuación cuadrática asociada (es-tamos en la situación de la tercera figura). Entonces la solución es R.

Supongamos que se quiere resolver ax2 + bx+ x < 0 , a > 0. Hay 3 posibilidades:

• 4 > 0 en cuyo caso hay 2 soluciones reales distintas de la ecuación cuadrática aso-ciada (estamos en la situación de la primera figura). Si llamamos r1, r2, r1 < r2 a estasraíces, entonces la solución es ]r1, r2[.

• 4 = 0 en cuyo caso hay solo 1 solución real de la ecuación cuadrática asociada (esta-mos en la situación de la segunda figura). Entonces la solución es ∅.• 4 < 0 en cuyo caso no hay soluciones reales de la ecuación cuadrática asociada (es-

tamos en la situación de la tercera figura). Entonces la solución es ∅.

Supongamos que se quiere resolver ax2 + bx + x ≤ 0 , a > 0. Hay 3 posibilidades, quedejamos como ejercicio al lector, pues es análogo.

20

1. Resolver√

1

x2 − 2x+ 1≤ |x− 1|.

Solución:√

1

x2 − 2x+ 1=

√1

(x− 1)2=

1

|x− 1| Luego, la raíz cuadrada está

bien definida siempre que x 6= 1. La inecuación queda1

|x− 1| ≤ |x−1| ⇔ |x−1|2 ≥ 1.

Como |x−1|2 = (x−1)2, debemos resolver x2−2x+1 ≥ 1 ⇔ x2−2x = x(x−2) ≥ 0.

∴ S =]−∞, 0] ∪ [2,∞[.

2. Resolver −2 + |x+ 2| ≤√

1− |x− 3|.Solución: Para que la raíz cuadrada esté bien definida:

1− |x− 3| ≥ 0 ⇒ |x− 3| ≤ 1 ⇒ −1 ≤ x− 3 ≤ 1 ⇒ 2 ≤ x ≤ 4

En este intervalo: x+ 2 > 0 ∴ |x+ 2| = x+ 2.

Así, debemos resolver equivalentemente x ≤√

1− |x− 3|.Como ambos miembros son positivos, podemos elevar al cuadrado: x2 ≤ 1 − |x − 3|⇐⇒ 1− x2 ≥ |x− 3|.Si 2 ≤ x < 3: 1− x2 ≥ 3− x ⇔ x2 − x+ 2 ≤ 0, cuyo discriminante es < 0, y comoa = 1 > 0, no hay soluciones en este intervalo.

Si 3 ≤ x ≤ 4: 1 − x2 ≥ x − 3 ⇔ x2 + x − 4 ≤ 0, cuya solución en R es[−1−

√17

2,−1 +

√17

2

]. Sin embargo,

[−1−

√17

2,−1 +

√17

2

]⋂[3, 4] = ∅.

Así, el conjunto solución es S = ∅.

3. Resuelva√|x| − 2 ≤ |x+ 2|.

Solución: Las restricciones son: |x| − 2 ≥ 0 ⇔ |x| ≥ 2 ⇔(x ≥ 2 ∨ x ≤ −2

)Como ambas expresiones son mayores o iguales a 0 podemos elevar al cuadrado sin alterarla desigualdad:

|x| − 2 ≤ (x+ 2)2

Si x ≥ 2 x− 2 ≤ (x+ 2)2 ⇔ x2 + 3x+ 6 ≥ 0. Como4 < 0, SA = [2,∞[.

Si x ≤ −2 −(x+ 2) ≤ (x+ 2)2 ⇔ x2 + 5x+ 6 ≥ 0 ⇔ (x+ 3)(x+ 2) ≥ 0

Luego, SB =]−∞,−3] ∪ {−2}.Por lo tanto la solución es S = SA ∪ SB =]−∞,−3] ∪ {−2} ∪ [2,∞[.

21

4. Demuestre que para todo a, p, q ∈ R+, las raíces de la ecuación

1

x− p +1

x− q =1

a2son reales.

Solución:

Notamos que, para que la ecuación tenga sentido, se requiere que x 6= p, x 6= q. Con estascondiciones, la ecuación es equivalente a:

a2(x− p) + a2(x− q) = (x− p)(x− q)

x2 − (2a2 + p+ q)x+ a2(p+ q) + pq = 0

Debemos probar que el discriminante de esta ecuación es siempre mayor o igual a cero.

Notemos que:

4 = (2a2 + p+ q)2 − 4(a2(p+ q) + pq) = (p− q)2 + 4a4

Como (p− q)2 ≥ 0 y a4 > 0, se tiene que 4 > 0.

EJERCICIOS:

1. Encontrar el conjunto solución para cada una de las siguientes inecuaciones:

a) 2x2 < 3− 5x

b) −x2 + 2x− 5 ≤ 0

c) x3 − 2x2 ≤ −x2 + 2x

d)x2

x2 − 1≤ 1

e)x2 − 3x+ 2

x2 + 2x+ 6< 3

f ) |x2 − 5x| ≥ 3

g) |x|+ |x2 − 2x− 3| < 5

h)√x2 − x− 2 < x

i)√

3x− 2 >√

3− xj)√x2 + x− 2− 2

√x2 − 1 ≥ 0

k)√x2 + x+ 1 ≥ x− 2

l) |x2 − 10| < k con k ∈ Rm) |x3 − 1| ≥ |x− 1|2

n)x3 − 26x2 + 25x

(x2 + x+ 1)(2x− 2)> x

ñ)(x2 − 2x− 3)

√4− |x− 2|

(x2 + 3x+ 7)(4x− 1)√

3x2 + 1> 0

o)(1 + x2)(x2 − 4x+ 3)

4√x− 2 |2x− 5|7 < 0

p)

√4− |x− 2| (x2 − 2x− 3)

(x2 + 3x+ 7) (4x− 1)√

3x2 + 1> 0

q)

√8− |2x− 9| − 2

√x− 1

(x2 + 6x+ 10) |3x− 5| ≤ 0

22

2. Considere la ecuación cuadrática x2 + (2k + 1)x + k(k + 9) = 0. Determine k ∈ R tal quela ecuación tenga:

a) Raíces reales distintas.

b) Raíces reales iguales.

c) No tenga raíces reales.

3. Encontrar los valores de r ∈ R tales que

∀x ∈ R : rx2 − r(r − 1)x+ 2r < 0

4. Encontrar los valores de r ∈ R tales que

∀x ∈ R : (5− r)x2 + 2(1− r)x+ 2(1− r) < 0

5. ¿Para qué valor(es) de m las raíces distintas x1 y x2 de la ecuación

(m+ 1)x2 − 2x+m− 1 = 0

pertenecen al intervalo ]0, 2[ ?

6. ¿Para qué valor(es) de m las raíces distintas x1 y x2 de la ecuación

(m− 2)x2 − 7(m− 1)x+ 12m− 3 = 0

cumplen que |x1 − x2| = 3m− 1 ?

7. ¿Para qué valores de a ∈ R se tiene que −3 <x2 + ax− 2

x2 − x+ 1< 2?

8. Determine todos los valores que pueden tener dos múltiplos consecutivos de siete, si suproducto debe ser mayor que 294.

9. Determine las dimensiones que puede tener una cancha, si no debe sobrepasar 88[m2] desuperficie y su largo debe ser tres metros más que su ancho.

10. Determine el o los valor(es) de m ∈ R de modo que el punto de intersección de las rectas delsistema {

x− y = m2 + 2m

x+ y = m2 − 4

pertenezcan al rectángulo con vértices A = (0,−4), B = (10,−4), C = (10, 1), D = (0, 1).

23


1.4. Axioma del Supremo

El conjunto de los números racionales Q satisface muchas de las propiedades de R. De hecho,también tiene estructura de cuerpo. Sin embargo, intuitivamente podemos visualizar que éstos noestán pegados, es decir, que muy cerca de cualquier número racional, siempre es posible encontrarun número que no es racional. Por ejemplo, entre 1,41 y 1,42 (números escitos en forma decimalque corresponden a números racionales) se encuentra

√2 . La pregunta es cómo dar cuenta de esta

completitud de R. Para ello, introduciremos los siguientes conceptos:

DEFINICIÓN 1.4.1 Sean A ⊂ R, a, b ∈ R. Diremos que

1. a es una cota inferior de A ssi ∀x ∈ A : a ≤ x. Si existe una cota inferior para A, diremosque A es acotado inferiormente.

2. b es una cota superior de A ssi ∀x ∈ A : b ≥ x. Si existe una cota superior para A, diremosque A es acotado superiormente.

3. A es acotado si tiene cotas inferiores y superiores. Es decir:

A ⊂ R es acotado ⇐⇒ ∃a, b ∈ R : ∀x ∈ A : a ≤ x ≤ b

OBSERVACIÓN: Si A tiene una cota inferior, entonces tiene infinitas cotas inferiores. Análogamentepara cotas superiores. Luego, es posible considerar la mayor de las cotas inferiores y la menor delas cotas superiores, lo que da origen a la siguiente

DEFINICIÓN 1.4.2 Sea A ⊂ R.

1. Un número real a se dice ínfimo de un conjunto A si es la mayor de las cotas inferiores deA. Escribimos en este caso: ınf(A) = a. Es decir,

a = ınf(A) ⇐⇒ ∀x ∈ A : a ≤ x ∧ a′ ≤ a para toda cota inferior a′ de A

Si ınf(A) ∈ A entonces el ínfimo se dice mínimo, y escribimos mın(A) = a.

2. Un número real b se dice supremo de un conjunto A si es la menor de las cotas superioresde A. Escribimos en este caso: sup(A) = b. Es decir,

b = sup(A) ⇐⇒ ∀x ∈ A : b ≥ x ∧ b′ ≥ b para toda cota superior b′ de A.

Si sup(A) ∈ A entonces el supremo se dice máximo, y escribimos max(A) = b.

24

Verónica Gruenberg Stern 1.4. AXIOMA DEL SUPREMO

PROPOSICIÓN 1.4.1 Si A ⊂ R posee ínfimo y/o supremo, éstos son únicos.Dem.En efecto: supongamos que a y a′ son ambos supremos de A. Entonces, a′ ≤ a pues a = sup(A)

y a ≤ a′ pues a′ = sup(A). Así, necesariamente a = a′.Análogamente con el ínfimo.

EJEMPLOS: Determine cotas inferiores, cotas superiores, ínfimo, supremo, máximo y mínimo, si esque existen, para cada uno de los siguientes conjuntos:

A =]− 1, 9[

B = [−1, 9]

C =]0,∞[

D = [−5,−3] ∪ ]− 1, 9[

E =

{1

n, n ∈ N

}Solución:

Para A y B las cotas superiores son todos los x ∈ R : x ≥ 9; las cotas inferiores sontodos los x ∈ R : x ≤ −1. ∴ A y B son acotados. Además: ınf A = ınf B = −1

supA = supB = 9.A no tiene mínimo ni máximo. mınB = −1 y maxB = 9.

C es acotado inferiormente pero no superiormente. ınf C = 0.

E es acotado. supE = 1 = maxE. ınf E = 0.

Presentamos a continuación la propiedad que caracteriza la diferencia entre Q y R que corres-ponde al Axioma del Supremo o de Completitud de R.

Todo subconjunto no vacío de números reales superiormente acotado, tiene supremo.

De este axioma se concluye, simétricamente, el siguiente

TEOREMA 1.4.1 Todo subconjunto no vacío de números reales acotado inferiormente tiene ínfimo.

TEOREMA 1.4.2 Sea A ⊂ R, A 6= ∅, acotado superiormente, y sea a = sup(A). Entonces,

∀ε > 0 ( no importa cuán pequeño ) ∃x0 ∈ A : x0 > a− ε

Dem.Notamos que todo número real x menor que a puede ser escrito en la forma a − ε, donde

ε = a − x. Es decir, esta es otra manera de decir que ningún número menor que a es una cotasuperior de A.

25

TEOREMA 1.4.3 N ⊂ R no es acotado superiormente. (Sí lo es inferiormente).

Dem.

0 ∈ R es una cota inferior paraN.

Probaremos queN no es acotado superiormente por contradicción:

Supongamos queN es acotado superiormente. Luego, ∃a ∈ R : a = sup(N).

∴ n ≤ a ∀n ∈ N

Pero

n ∈ N =⇒ n+ 1 ∈ N, ∀n ∈ N

n ≤ a ∀n ∈ N =⇒ n+ 1 ≤ a ∀n ∈ N =⇒ n ≤ a− 1 ∀n ∈ N

Es decir, hemos encontrado otra cota superior, menor que la anterior, para N, lo cual es unacontradicción.

TEOREMA 1.4.4 Propiedad Arquimedeana

∀x ∈ R : ∃n ∈ N : x < n

Dem.Supongamos lo contrario, es decir:∃x ∈ R ∀n ∈ N : n ≤ x lo cual significaría queN es acotado superiormente, que acabamos

de probar es falso.

COROLARIO 1.4.1∀x ∈ R+ : ∃n ∈ N : 0 <

1

n< x

Dem.Sea x ∈ R+ cualquiera, y definamos y =

1

x∈ R+.

Por la propiedad arquimedeana, como y ∈ R : ∃n ∈ N :1

x= y < n y luego 0 <

1

n< x.

TEOREMA 1.4.5 Si a, b ∈ R, entonces, ∃ pq∈ Q : a 1.También, obtenemos que ∃ j ∈ N : j > qa.Sea ahora p el menor entero positivo tal que p > qa. Por lo tanto, p− 1 ≤ qa.

26

Verónica Gruenberg Stern 1.4. AXIOMA DEL SUPREMO

Así:qa 1

qa+ q(b− a) = qb

qa < p < qb =⇒ a <p

q< b

OBSERVACIÓN: Sabemos que existen números que no pertenecen aQ pero si aR. Por ejemplo,√

2.El axioma del supremo nos permite construirlo a partir de los números racionales. Veamos que

√2 = sup{x ∈ Q : x ≥ 0 ∧ x2 < 2}

Consideremos el conjunto A = {x ∈ Q : x ≥ 0 ∧ x2 < 2}.Si x ∈ A entonces x <

√2. Luego,

∀ ε > 0 ∃ x0 ∈ Q :√

2− ε < x0 <√

2

es decir,√

2 = sup(A). Más en general, se tiene la siguiente

PROPOSICIÓN 1.4.2 Si a > 0 y n ∈ N entonces el número real

j = sup {x ∈ R : xn ≤ a} satisface jn = a

PROPOSICIÓN 1.4.3 Si A es un conjunto no vacío y acotado entonces

ınf A ≤ supA

Dem. Sean:

a = ınf(A) ⇒ ∀x ∈ A : a ≤ xb = sup(A) ⇒ ∀x ∈ A : x ≤ b

}⇒ a ≤ x ≤ b ∀x ∈ A ∴ a ≤ b

PROPOSICIÓN 1.4.4 Si A ⊆ B son conjuntos no vacíos y B es acotado entonces

ınf B ≤ ınf A ≤ supA ≤ supB

Dem. Sean: a = ınf(A), a′ = sup(A), b = ınf(B), b′ = sup(B).b′ = sup(B) ⇒ ∀x ∈ B : x ≤ b′ . En particular, como A ⊆ B : ∀x ∈ A : x ≤ b′.∴ b′ es una cota superior de A, y por lo tanto a′ ≤ b′ (a′ es la menor de las cotas superiores).Análogamente con los ínfimos:b = ınf(B) ⇒ ∀x ∈ B : x ≥ b . En particular, como A ⊆ B : ∀x ∈ A : x ≥ b.∴ b es una cota inferior de A, y por lo tanto b ≤ a (a es la mayor de las cotas inferiores).

27

EJERCICIOS:

1. Muestre que sup[a, b] = sup[a, b[= b;

2. Muestre que ınf]a, b[= ınf[a, b[= a;

3. Determine, si existen, sup e ınf de los siguientes conjuntos:

a) A =

{1

n: n ∈ N

}b) A = {0,3, 0,33, 0,333, . . . }c) A =

{80,3, 80,33, 80,333, . . .

}d) A =

{x ∈ R : x2 < 3

}e){

2n− 3

n+ 1: n ∈ N

}

f ){

2n2 − 3

1 + 2n: n ∈ N

}

g){

2n2 − 5

1 + 4n2: n ∈ N

}

h){

1− 1

n: n ∈ N

} ⋃ {2− 1

n: n ∈ N

}

4. Sean A,B subconjuntos no vacíos de R, acotados superiormente. Defina el conjunto

AB = {ab ∈ R : a ∈ A ∧ b ∈ B}

Demostrar que sup(AB) 6= supA supB pero que si A,B ⊂ R+, entonces se cumplela igualdad. Muestre además que si supA < 0 y supB < 0, entonces

ınf(AB) = supA supB

.

5. SeanA,B subconjuntos deR no vacíos y acotados. Demuestre (aquellas que son verdaderas)ó refute (mediante un contraejemplo en el caso de las falsas):

a) sup(A ∩B) ≤ ınf {supA, supB}b) sup(A ∩B) = ınf {supA, supB}c) sup(A ∪B) ≥ sup {supA, supB}d) sup(A ∪B) = ınf {supA, supB}

28

Verónica Gruenberg Stern 1.5. EJERCICIOS DE CONTROLES Y CERTÁMENES

1.5. Ejercicios de controles y certámenes

1. Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas:

a) Sea a ∈ R, entonces existe x ∈ R tal que√x2 − a2

|x− a|+ x2 + x+ 2< 0

b) Sean λ ∈ R+, x ∈ R y α > 1, entonces (α− 1)(λx2 + λx+ λ) >1− α2

α

2. Resolver en R: ∣∣∣∣x− |x|x− 1

x

∣∣∣∣ ≥ |x|3. Sea A =

{x ∈ R : x =

(1

2

)+ (−1)n, n ∈ N

}a) Determine si A es acotado.

b) Determine si existe sup(A) e ınf(A). ¿Existen máximo y mínimo de A?

4. Resolver:

a)2

|x− 4| ≥ 1 b) x+√x < 2

5. Determine, si existen, supA e ınf A para A =

{n

n+ 1: n ∈ N

}.

6. Encuentre el conjunto solución de la siguiente inecuación:∣∣∣∣x2 − 6x+ 9

x2 − 2x− 3

∣∣∣∣ ≤ 1

7. Se definen los conjuntos:

S =

{x ∈ R /

√x2 − 3

x2 + 3x+ 2< 0

}

T =

{x ∈ R / x2 + 5x− 6

|2x− 3| > 0

}Determinar: S ∩ T y S − T

8. Resolver:

a)1 + |2x− 3||x+ 5| < 1 b)

√4x+ 1−

√x+ 6√

x− 1< 1

29


9. Resolver en R:2√x2 + x+ 1− x ≤ |x+ 3|

10. Determine los valores de k ∈ R tal que

x2 − (k + 1)x+ k2 > 0 , ∀x ∈ R

11. a) Encuentre los valores de k ∈ R parasol cuales: x2 + (2k+ 1)x+ k(k+ 3) > 0, ∀x ∈ R.

b) ¿Cuál es el máximo de |x2 − 16|, si |x− 4| ≥ 8?

12. Determinar los valores de a ∈]0, 1[, de tal manera que el conjunto solución de la inecuación:

(x2 − 2x+ 2) · (x− ax2)√|x| − 1

≥ 0

sea ]1, 5].

30

Capítulo 2

Funciones

En gran parte de la matemática y de las ciencias naturales se presentan relaciones «funciona-les». Por ejemplo, el volumen y la superficie de un cono dependen de la altura y del radio basal delmismo; la posición de una partícula en movimiento depende del tiempo, la cuenta de la luz y delagua dependen del consumo respectivo, etc. En general, cuando los valores de ciertas «cantidades»están determinadas por los de otras, diremos que las primeras dependen de las segundas, o queestán en función de ellas.

2.1. El Concepto de Función

Para entender el concepto de función consideremos dos conjuntos A y B. En lenguaje coloquial,una función o aplicación f de A en B, es un «criterio», «regla» o «fórmula» que a cada elemento deA le asocia un único elemento de B. A se denomina el dominio de f (denotado por Dom(f)) y Bel conjunto de llegada de f . Si a ∈ A, el único elemento de f que se le asocia por intermedio de f sedenota, habitualmente, por f(a) y se denomina la imagen o el valor de f en a. Al conjunto formadopor todas la imágenes de A se le denomina también imagen de f (Im(f)), recorrido de f (Rec(f)) ocodominio de f (Codf ). Si f(a) es un elemento en el Rec(f), entonces a es su preimagen, y

Rec(f) = { f(x) ∈ B : x ∈ A }

NOTACIÓN 2.1.1 Las notaciones más usadas para una función f de A en B son f : A → B escri-biéndose al lado o debajo la fórmula o criterio, mediante el cual a los elementos de A se le asocianúnicos elementos en B. Es decir:

f : A −→ B

x 7→ f(x)o f : A −→ B, x 7→ f(x)

EJEMPLOS:

1. Sea E un conjunto formado por n artículos, es decir, E = {a1, a2, · · · an} y F un conjuntoformado por m etiquetas, cada una marcada con precios, es decir, F = {p1, p2, · · · pm}. Elproceso de «etiquetar» los artículos (con una sola etiqueta) es una función f : E → F . Si

31

CAPÍTULO 2. FUNCIONES Verónica Gruenberg Stern

al artículo ai se le asocia (al adherirsele) la etiqueta pj , escribimos f(ai) = pj y podemosinterpretar esto como que el artículo ai vale pj .

2. Sea ϕ : N −→ N la función que a cada n ∈ N le asigna el número mínimo de monedasnecesarias para completar $ n. Entonces:

ϕ(1) = ϕ(5) = ϕ(10) = ϕ(50) = ϕ(100) = ϕ(500) = 1

ϕ(2) = ϕ(6) = ϕ(11) = ϕ(15) = ϕ(20) = ϕ(51) = ϕ(55) = ϕ(60) = ϕ(101) = ϕ(105) =

ϕ(110) = ϕ(200) = ϕ(501) = · · · = 2

OBSERVACIÓN: Notemos que si en lugar de número mínimo hubiésemos considerado elnúmero máximo de monedas requeridas para formar $ n, entonces la función sería diferente:el número máximo de monedas habría coincidido con n.

Si simplemente hubiésemos dicho el número de monedas requeridas para formar $ n, la funciónno estaría bien definida, ya que, por ejemplo, $ 11 se podría formar de varias maneras. Esimportante, en la definición de una función, que la imagen esté claramente determinada.

3. La función f : R2 −→ R2 tal que f(x, y) = (x + y, x − y), asigna a cada elemento deR2 un nuevo elemento en R2. Por ejemplo: f(1, 2) = (3,−1).

4. Sea E = {1, 2, 3} y considere la función ψ : P(E) −→ N0, ψ(A) = #A

Así, por ejemplo f({3}) = 1, f(∅) = 0 y f(E) = 3.

5. f : R −→ R, x 7→ f(x) = x2. En este caso, Dom(f) = R y Rec(f) = R+0 .

OBSERVACIÓN: Estos ejemplos muestran que el concepto de función es amplio. Sin embar-go, en este curso estudiaremos funciones reales de variable real, que nos permitirán modelarsituaciones para resolver problemas.

6. Se desea construir un estanque horizontal de acero para almacenar gas, que tenga forma decilindro circular recto de 3 metros de largo, con una semiesfera en cada extremo. Expresar elvolumen V del estanque, como función del radio r de la semiesfera.

El volumen contenido por las semiesfera será: Vs.e.(r) =4

3πr3.

El volumen contenido en el cilindro: VC(r) = 3πr2.

Luego, el volumen del estanque es: VE(r) =1

3πr2(4r + 9)

7. Dos barcos zarpan al mismo tiempo de un puerto. Uno viaja al oeste a 17 [mi/hr], y el otrohacia el sur a 12 [mi/hr]. Sea t el tiempo, en horas, desde el zarpe. Expresar la distancia entrelos barcos en función del tiempo.

Como distancia = velocidad · tiempo se tiene: d(t) =√

(17t)2 + (12t)2 =√

433 t.

32

Verónica Gruenberg Stern 2.2. FUNCIONES REALES

2.2. Funciones reales

Las funciones reales de variable real serán el objeto de estudio en este curso. Es decir, queremosestudiar funciones f : A −→ B dondeA,B ⊆ R. Estas funciones son del tipo de los ejemplos5. al 7. señalados arriba. En particular, los ejemplos 6. y 7. ilustran la forma en que las funcionespermiten modelar situaciones reales.

OBSERVACIÓN: A veces, escribiremos f : A ⊆ R −→ R. Esta notación será usada para indicarque el dominio de f es A, donde A es el más grande subconjunto de R en donde la fórmula oexpresión que la define tiene sentido.

Muchas veces, por abuso de lenguaje, se define una función sólo señalando la «fórmula». En es-tos casos, nuevamente se considerará que el dominio de esta función es el más grande subconjuntode R en donde la fórmula o expresión que la define tiene sentido, es decir

Dom(f) = {x ∈ R : f(x) ∈ R }

DEFINICIÓN 2.2.1 Diremos que dos funciones f y g son iguales ssi tienen el mismo dominio, elmismo conjunto de llegada y f(x) = g(x) ∀x ∈ A.

OBSERVACIÓN: A veces se considera sólo que tengan el mismo dominio y f(x) = g(x) ∀x ∈ A,puesto que ambas condiciones implican que el recorrido es el mismo.

EJEMPLOS:

1. Las funciones f(x) = x + 1 , g(x) =x2 − 1

x− 1son diferentes, pues 1 ∈ Domf pero 1 6∈

Domg.

2. Las funciones f(x) =x

|x| , g(x) =

{1 si x > 0

−1 si x < 0son iguales. En ambos casos el

dominio es R \ {0}, el recorrido es {1,−1} y f(x) = g(x) ∀x ∈ R \ {0}.

DEFINICIÓN 2.2.2 Sea f : A ⊆ R −→ R. Llamaremos gráfico de la función f , al conjunto

Gf = {(x, y) ∈ R2 : y = f(x)}

Por lo tanto, podemos representar una función real como una curva o figura en el plano R2.

33


EJEMPLOS:

1. Función constante:

f : A ⊆ R −→ R, f(x) = K, K ∈ R fija.Dom(f) = R, Rec(f) = {K}.Como se ve, la gráfica corresponde a una rectaparalela al eje x.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

2. Función identidad:

f : A ⊆ R −→ R, f(x) = x.

Dom(f) = R, Rec(f) = R.-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

3. Función parte entera:

f : A ⊆ R −→ R, f(x) = [x] donde [x] es elmayor entero menor o igual que x.Dom(f) = R, Rec(f) = Z.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

4. Función afín: f : A ⊆ R −→ R, f(x) = ax+ b, a, b ∈ R fijas.

Dom(f) = R, Rec(f) = R.La gráfica es una recta de pendiente a que corta al eje Y en b.

5. Función cuadrática:

f : A ⊆ R −→ R, f(x) = x2.Dom(f) = R, Rec(f) = R+

0

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

34


6. Función valor absoluto:

f : A ⊆ R −→ R, f(x) = |x|.Dom(f) = R, Rec(f) = R+

0 .-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

7. Función raíz cuadrada:

f : A ⊆ R −→ R, f(x) =√x.

Dom(f) = R+0 , Rec(f) = R+

0 .-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

8. Una función definida por tramos:

f(x) =

{2x+ 1 si x > 1

x2 si x ≤ 1

OBSERVACIÓN: A partir de las gráficas conocidas, es posible construir las gráficas de las funcionestrasladadas, en forma vertical u horizontal, o reflejadas respecto a los ejes coordenados, conside-rando las siguientes propiedades:

1. La ecuación y = f(x) + c , donde c ∈ R+, gráficamente representa un corrimiento verticalde la gráfica de y = f(x), en c unidades hacia arriba.

2. La ecuación y = f(x−c) , donde c ∈ R+, gráficamente representa un corrimiento horizontalde la gráfica de y = f(x), en c unidades hacia la derecha.

3. La ecuación y = − f(x) , gráficamente representa una reflexión de la gráfica de y = f(x),respecto al eje x.

4. La ecuación y = f(−x) , gráficamente representa una reflexión de la gráfica de y = f(x),respecto al eje y.

35

Cuando las gráficas de las funciones son conocidas, es relativamente sencillo determinar elrecorrido de una función f . En el caso en que no conozcamos la gráfica, es posible muchas vecesutilizar herramientas algebraicas y/o de análisis, para encontrar el recorrido de una función.

EJEMPLOS: Determine el dominio y el recorrido para las siguientes funciones reales:

1. f(x) =2x+ 1

x− 1.

Solución: Claramente, en este caso Domf = R− {1}.Para determinar Recf , debemos encontrar todos los y ∈ R : y = f(x), con x ∈ R− {1}.

y = f(x) ⇐⇒ y =2x+ 1

x− 1⇐⇒ yx− y = 2x+ 1 ⇐⇒ x =

y + 1

y − 2

Luego, para cualquier valor de y 6= 2, es posible encontrar un número x ∈ R−{1} : y = f(x).Por tanto, el único número real que no es alcanzado por f es y = 2. Luego: Recf = R−{2}.

2. f(x) =x

1 + |x| .

Solución: Claramente, en este caso Domf = R ya que 1 + |x| 6= 0 ∀x ∈ R.

Para determinar Recf , notamos que ∀x ∈ R : |x| < |x|+ 1 =⇒ |x||x|+ 1

< 1. Así:

−1 <x

1 + |x| < 1 =⇒ Recf =]− 1, 1[

3. f(x) =x

1− |x| .

Solución: Domf = R− {−1, 1} , pues 1− |x| 6= 0 ⇐⇒ x 6= ±1.

Para determinar Recf , hacemos y = f(x), y escribimos x como función de y, es decir,

y =x

1− |x| ⇐⇒ y − y|x| = x ⇐⇒ y = x+ |x|y

Para despejar x, consideramos dos casos:

x ≥ 0 x =y

y + 1≥ 0 ⇐⇒

{y ≥ 0 ∧ y + 1 > 0

y ≤ 0 ∧ y + 1 < 0⇐⇒ y ≥ 0 ∨ y < −1

Luego, si x ≥ 0, entonces y ∈ ]−∞,−1[ ∪ [0,∞[. (En particular, y 6= −1.)

x < 0 x =y

y − 1< 0 ⇐⇒

{y < 0 ∧ y + 1 > 0

y > 0 ∧ y + 1 < 0⇐⇒ y < 0 ∨ y > 1

Luego, si x < 0, entonces y ∈ ]−∞, 0[ ∪ ]1,∞[. (En particular, y 6= 1.)

∴ Recf = R.

36

EJERCICIOS:

1. Construya las gráficas de las siguientes funciones g a partir de las gráficas de f :

a) g(x) =x+ 1

x− 2a partir de f(x) =

1

x

b) g(x) = −√

1− x+ 2 a partir de f(x) =√x

c) g(x) = |x2 − 2x− 3| a partir de f(x) = |x|

2. Resuelva gráficamente las siguientes ecuaciones e inecuaciones:

a)√x− 2 = 4− x

b)√

2− x < x

c) ||x| − 2| < 1

d)x

x− 1≥ x

3. Determine, utilizando argumentos gráficos, el recorrido de la función del ejemplo 3. anterior,vale decir, de f(x) =

x

1− |x| .

Sugerencia: Note que si x ≥ 0, entonces f(x) =−xx− 1

=−(x−)1− 1

x− 1= −1− 1

x− 1y

si x < 0, entonces f(x) =x

x+ 1=x+ 1− 1

x+ 1= 1− 1

x+ 1.

4. Determine el dominio, el recorrido (como subconjuntos de R) y el gráfico, de las siguientesfunciones:

a) f(x) =√

1− x2

b) f(x) =√x2 + 1

c) f(x) =√x2 − 1

d) f(x) =√−x

e) f(x) =√|x| − x

f ) f(x) =1√|x| − x

g) f(x) = x− [x]

h) f(x) = x[x]

i) f(x) =x

[x]

j) f(x) = (−1)[x](x− [x])

k) f(x) =√

1− x+√|x|

l) f(x) =√|1− x|+√x

5. Una ventana tiene la forma de un rectángulo con un semicírculo sobrepuesto, donde el diá-metro del semicírculo coincide con el ancho x del rectángulo. Si el perímetro de la ventana es9 [m], exprese el área A de la ventana en función de x. Determine, además, el dominio de lafunción encontrada, considerando para ello las restricciones impuestas por el problema.

37

2.2.1. Algebra de Funciones

Por «álgebra de funciones» entendemos las «operaciones» más usuales entre funciones, quedefinimos a continuación :

DEFINICIÓN 2.2.3 Sean λ ∈ R, y las funciones con igual dominio f, g : A ⊆ R −→ R. Definimoslas siguientes operaciones:

a) (f ± g)(x) = f(x)± g(x) ∀x ∈ A.

b) (f · g)(x) = f(x) · g(x) ∀x ∈ A.

c) (λf)(x) = λ · f(x) ∀x ∈ A.

d)(f

g

)(x) =

f(x)

g(x)∀x ∈ A : g(x) 6= 0.

OBSERVACIÓN: Si Dom(f) 6= Dom(g), las operaciones se definen en la intersección de ambos,excepto en el caso del cuociente, donde a la intersección se le debe restar el conjunto de puntos enlos que el denominador se anula.

EJEMPLOS: Considere las funciones en sus dominios respectivos y determine en cada caso

f + g, f − g, f · g. ¿Cuál es el dominio def

g?

1. f(x) = x y g(x) = [x].

Domf = R = Domg. Por lo tanto, Dom(f ± g) = Dom(f · g) = R.

(f + g)(x) = x+ [x], (f − g)(x) = x− [x], (f · g)(x) = x[x]

Para determinar el dominio del cuociente, notemos que [x] = 0 ⇔ x ∈ [0, 1[. Luego,

Dom(f

g

)= R− [0, 1[.

2. Sean f(x) =√

9− x2 y g(x) =√x− 1. Entonces, Dom(f) = [−3, 3] y Dom(g) = [1,∞[.

Luego, Dom(f + g) = [1, 3]. Análogamente para las otras operaciones, excepto el cuo-

ciente, para el que Dom(f

g

)= ]1, 3].

3. f(x) =

{1− x2 si x ≤ 0

x si x > 0y g(x) =

{−2x si x < 1

1− x si x ≥ 1

El dominio de ambas funciones es R. Luego:

38

(f + g)(x) =

1− x2 − 2x si x ≤ 0

−x si 0 < x < 1

1 si x ≥ 1

Dejamos como ejercicio las demás operaciones, en particular la determinación del Dom(f

g

).

DEFINICIÓN 2.2.4 Sea f : A ⊆ R −→ R. Diremos que:

i) f es par ssi ∀x ∈ A : f(−x) = f(x).

ii) f es impar ssi ∀x ∈ A : f(−x) = −f(x).

OBSERVACIÓN: En la representación gráfica, una función:

i) par: es simétrica con respecto al eje y.

ii) impar: es simétrica con respecto al origen.

EJEMPLOS: Si f(x) = cada una de las siguientes, determine si es par, impar, o ninguna de ellas.

f(x) = x2,1

x, |x|, x|x|, x+ |x|, |x| − 1, x|x|+ x3, x|x|+ x, x2 + x

¿Hay funciones que son pares e impares a la vez?

Solución: En cada caso, debemos «comparar» f(−x) con f(x):

Si f(x) = x2 : f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x) ⇒ f es par.

Si f(x) =1

x: f(−x) =

1

−x = −1

x= −f(x) ⇒ f es impar.

Si f(x) = x|x| : f(−x) = −x| − x| = −x|x| = −f(x) ⇒ f es impar.

Si f(x) = x+ |x| : f(−x) = −x+ | − x| = −x+ |x| 6={−f(x)

f(x)⇒ f no es par ni impar.

Si f(x) = 0 : f(−x) = 0 ∴ f(−x) = f(x) ∧ f(−x) = −f(x) ⇒ f es par e impar.

Dejamos las demás como ejercicio.

39

DEFINICIÓN 2.2.5 Sea f : A→ B, y sean N1, N2 dos subconjuntos de R tal que N1 ⊂ A ⊂ N2.

a) g : N1 → B tal que ∀x ∈ N1 : g(x) = f(x) se llama restricción de f a N1 y se denota porf/N1

: N1 → B.

b) h : N2 → B tal que h/A

= f se llama prolongación o extensión de f a N2.

EJEMPLOS:

1. Sea f : R+0 → R+

0 , f(x) = x. Construya prolongaciones a R tal que:a) f sea par b) f sea impar c) f no sea par ni impar

Solución:

a) f(x) = |x|, x ∈ R b) f(x) = x, x ∈ R c) f(x) =

{x si x ∈ R+

0

0 si x ∈ R−

2. Sea f : [1, 3]→ R f(x) = 2. Construya prolongaciones a R tal que:a) f sea par y f(0) = 3 b) f sea impar y f(0) = 3 c) f no sea par ni impar y f(0) = 3.

Solución: Hay infinitas extensiones que cumplen estas condiciones. Escribimos las queparecen más obvias:

a) f(x) =

{2 si x ∈ R− {0}3 si x = 0

b) f(x) =

2 si x ∈ R+

3 si x = 0

−2 si x ∈ R−

c) f(x) =

{2 si x ∈ [1, 3]

3 si x ∈ R− [1, 3]

3. Estudie los dominios de las siguientes para determinar si f es una restricción o prolongaciónde g, o ninguna de ellas:

a) f(x) =

√x

x+ 1, g(x) =

√x√

x+ 1

b) f(x) =√

1− x+√|x| , g(x) =

√|1− x|+√x

Solución: En cada caso, se debe determinar si el dominio de una de las funciones estácontenido en el dominio de la otra, y que en el dominio común las imágenes coincidan.Ejercicio para el lector.

DEFINICIÓN 2.2.6 Sea f : A ⊆ R→ R. Diremos que:

1. f es creciente ssi ∀x, y ∈ A : x < y ⇒ f(x) ≤ f(y)

2. f es decreciente ssi ∀x, y ∈ A : x < y ⇒ f(x) ≥ f(y)

40

3. f es estrictamente creciente ssi ∀x, y ∈ A : x < y ⇒ f(x) < f(y)

4. f es estrictamente decreciente ssi ∀x, y ∈ A : x < y ⇒ f(x) > f(y)

5. f es monótona ssi es creciente o decreciente.

6. f es estrictamente monótona ssi es estrictamente creciente o estrictamente decreciente.

OBSERVACIÓN: Gráficamente, una función es creciente si «sube» al mirarla de izquierda a derecha,y es decreciente si «baja» al mirarla de igual manera. Por lo mismo, existen funciones que crecen enciertos intervalos de sus dominios y decrecen en otros.

EJEMPLOS: Determine los intervalos de crecimiento de las funciones

a) f(x) = |x| b) g(x) = −x2 − 2x+ 3 c) h(x) =1

xd) p(x) = [x]

Solución:

a) f decrece en ]−∞, 0[ y crece en ]0,∞[.

b) g crece en ]−∞,−1[ y decrece en ]− 1,∞[.

c) h decrece en ]−∞, 0[ y en ]0,∞[.

d) p crece en R.

DEFINICIÓN 2.2.7 Sean A,B,C ⊆ R y sean g : A→ B, f : B → C funciones reales. Definimos lacomposición de f con g como la función f ◦ g : A→ C dada por (f ◦ g)(x) = f(g(x)), y que leemosf compuesta con g.

OBSERVACIÓN: De manera más general, es posible definir la composición de f con g, f ◦ gpara g : A ⊆ R → R, f : B ⊆ R → R, con la condición que Rec(g) ⊆ Dom(f). A veces,esta condición impone restricciones sobre el dominio posible de la función g.

EJEMPLOS:

1. Considere las funciones f, g : R → R, con f(x) = 2x y g(x) = x2. Calcular f ◦ g yg ◦ f . Concluya que, en general: f ◦ g 6= g ◦ f .

Solución:

Notamos que Domf = Domg = R. En cambio, Recf = R, pero Recg = R+0 .

41

Claramente, se tiene que:

Recg = R+0 ⊆ R = Domf , por lo que f ◦ g está definida.

De hecho: (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x2) = 2x2

Recf = R ⊆ R = Domf , por lo que g ◦ f está definida.

En este caso: (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(2x) = (2x)2 = 4x2

Luego, vemos que en general, aunque sea posible realizar ambas composiciones,

f ◦ g 6= g ◦ f

2. Considere las funciones:

f(x) =

{1− x2 si x ≤ 0

x si x > 0y g(x) =

{−2x si x < 1

1− x si x ≥ 1

Encuentre, si es posible, (f ◦ g)(x) y (g ◦ f)(x).

Solución:

Determinaremos (f ◦ g)(x) y dejaremos (g ◦ f)(x) como ejercicio.

Notamos que Dom(f) = R, por lo que claramente, Rec(g) ⊆ Dom(f). Luego, es posiblerealizar la composición.

Tendremos que:f ◦ g : R −→ R, (f ◦ g)(x) = f(g(x))

Para poder aplicar f correctamente a g(x), necesitamos saber para qué valores de x: g(x) ≤ 0

y para cuáles g(x) > 0.

Caso 1 Supongamos x < 1.

Entonces: g(x) = −2x ≤ 0 ⇐⇒ x ≥ 0 ∴ x ∈ [0, 1[

Luego, si x ∈ [0, 1[: f(g(x)) = f(−2x) = 1− (−2x)2 = 1− 4x2

Además, si x ∈]−∞, 0[: f(g(x)) = f(−2x) = −2x

Caso 2 Supongamos x ≥ 1.

Entonces: g(x) = 1− x ≤ 0 ⇐⇒ x ≥ 1 ∴ x > 0

Así: f(g(x)) = f(1− x) = 1− (1− x)2 = 2x− x2

En resumen:

(f ◦ g)(x) =

−2x si x < 0

1− 4x2 si 0 ≤ x < 1

2x− x2 si x ≥ 1

42

Verónica Gruenberg Stern 2.3. FUNCIONES INVERTIBLES

EJERCICIOS: Para las siguientes funciones, determine en cada caso, f ◦ g y g ◦ f , y susrespectivos dominios y recorridos.

1. f(x) =√x− 1 g(x) = x2 + 2

2. f(x) =2

x+ 1g(x) = 1− x

3. f(x) =

{−2x+ 1

3 si x ≥ 12

|x| si x < 12

g(x) =

{3x+ 6 si x ≤ 2

2x si x > 2

4. f(x) =

{3x+ 4 si x ∈ [0, 2]

x+ 1 si x ∈]2, 4]g(x) =

{x2 si x ∈ [2, 5]

4 si x ∈]5, 12]

PROPIEDADES 2.2.1 Sean h : A→ B , g : B → C , f : C → D funciones reales. Entonces:

a) (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h), es decir, la composición de funciones es asociativa.

b) Si IA : A→ A es la función identidad en A, y análogamente para B, entoncesh ◦ IA = h y IB ◦ h = h.

Dem. Ejercicio.

2.3. Funciones invertibles

DEFINICIÓN 2.3.1 Sean A,B ⊆ R y considere la función f : A→ B. Entonces diremos que:

1. f es epiyectiva o sobreyectiva o simplemente sobre ⇐⇒ Rec(f) = B ⇐⇒

∀y ∈ B ∃x ∈ A : y = f(x)

2. f es inyectiva o uno a uno o simplemente 1-1 ⇐⇒ cada elemento imagen tiene unaúnica pre-imagen en A por f ⇐⇒ ∀x1, x2 ∈ A : f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2.

3. f es biyectiva ⇐⇒ f es epiyectiva e inyectiva.

EJEMPLOS:

1. Estudie las siguientes funciones, definidas de R en R, respecto a las propiedades anteriores:

f(x) = • x • |x| • x2 • [x] • x4 − 1 • 2x− 3

Solución: Hacemos las primeras y dejamos las otras como ejercicio.

43

Si f(x) = x, entonces Domf = R y Recf = R de donde f (la función identidad) esbiyectiva.

Si f(x) = |x| o f(x) = x2, entonces Domf = R y Recf = R+0 de donde f no es

epiyectiva (pues Recf 6= R) ni inyectiva (pues, por ejemplo, f(1) = f(−1) = 1 pero1 6= −1).

Si f(x) = [x], entonces Domf = R y Recf = Z de donde f no es epiyectiva (puesRecf 6= R) ni inyectiva (pues, por ejemplo, f(1/2) = f(1/3) = 0 pero 1/2 6= 1/3).

2. Determine, de acuerdo a los parámetros a, b ∈ R, el dominio, recorrido y gráfica de f . Paracada caso, determine además si la función es inyectiva y/o epiyectiva sobre R, donde

f(x) =

{x|x|+ a si x < 0

x+ b si x ≥ 0

Solución: Como |x| = −x si x < 0, podemos escribir la función como

f(x) =

{−x2 + a si x < 0

x+ b si x ≥ 0

Dependiendo de la relación entre a y b, se tienen 3 casos:

a b

Domf = R yRecf = R

f es epiyectivaf no es inyectiva.

a = b

Domf = R yRecf = R

f es inyectiva yf es epiyectiva.

44


PROPIEDADES 2.3.1 Sean g : A→ B , f : B → C. Entonces:

1. Si g y f son epiyectivas, entonces f ◦ g es epiyectiva.

2. Si g y f son inyectivas, entonces f ◦ g es inyectiva.

3. Si g y f son biyectivas, entonces f ◦ g es biyectiva.

Dem.

1. Se desea probar que f ◦ g : A→ C es sobre, es decir, que

∀c ∈ C ∃a ∈ A : (f ◦ g)(a) = c

Sea c ∈ C. Como f es sobre: ∃b ∈ B : f(b) = c

Como g es sobre: ∃a ∈ A : g(a) = b

∴ ∃a ∈ A : f(g(a)) = c

2. Sean x1, x2 ∈ A : (f ◦ g)(x1) = (f ◦ g)(x2) ⇒ f(g(x1)) = f(g(x2))

Como f es 1-1: g(x1) = g(x2). Como f es 1-1: x1 = x2.

Luego, (f ◦ g)(x1) = (f ◦ g)(x2) ⇒ x1 = x2.

3. Consecuencia de 1. y 2.

DEFINICIÓN 2.3.2 Sea f : A ⊆ R→ B ⊆ R una función. Diremos que f es invertible ssi

∃f−1 : B → A tal que f ◦ f−1 = IB ∧ f−1 ◦ f = IA

OBSERVACIÓN: En otras palabras, ∀a ∈ A, ∀b ∈ B : f(a) = b ⇐⇒ a = f−1(b).

TEOREMA 2.3.1 f es invertible ⇐⇒ f es biyectiva.

Dem. Supongamos que f es invertible. Entonces,(f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = f−1(f(x2)) = x2

)∴ f es 1-1.

Además, como f es invertible: Domf = Recf−1, de donde f es epiyectiva.

Recíprocamente, supongamos que f es 1-1. Entonces,

∀y ∈ Rec(f) ∃!x : x = g(y), y = f(x). Tal g es f−1.

Es decir, f es invertible.

45

PROPIEDADES 2.3.2 Si f : A→ B, g : B → C son funciones biyectivas, entonces

1. f−1 es biyectiva. 2. (f−1)−1 = f 3. (g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1

Dem. Dejamos 1. y 2. como ejercicio y demostramos 3.Notemos que:

(g ◦ f) ◦ (f−1 ◦ g−1) = g ◦ (f ◦ f−1) ◦ g−1 = g ◦ IB ◦ g−1 = g ◦ g−1 = IC

y luego, f−1 ◦ g−1 es la inversa de g ◦ f . Así: (g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1.

EJEMPLOS:

1. Estudie f(x) =1

2(x+ |x|).

Solución: Notamos que si x ≥ 0 : f(x) = x y si x < 0 : f(x) = 0.

Por lo tanto, Domf = R y Recf = R+0 .

Como f(−1) = f(−2) = 0 y obviamente −1 6= −2, la función no es 1-1.

Al restringir la función al dominio R+0 , se obtiene la función identidad en ese conjunto, cla-

ramente invertible.

2. Sean f(x) =

x− 1 si x < −1

x+√|x| si −1 ≤ x ≤ 1

1x si x > 1

, g(x) = |x|

Determine f ◦ g y g ◦ f .

Solución:

Veamos en primer lugar, la factibilidad de f ◦ g. Como Recg = R+0 ⊆ R = Domf , la

composición se puede realizar y

(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(|x|) =

|x|+√|x| si 0 ≤ |x| ≤ 1

1

|x| si |x| ≥ 1

Análogamente, verificamos la factibilidad de g ◦ f . Como Recf =] −∞, 2] ⊆ Domg = R, la composición se puede realizar y

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) =

|x− 1| si x < −1

|x+√|x|| si −1 ≤ x ≤ 1

1

|x| si x > 1

46


3. Sea f : A ⊆ R −→ R con f(x) =√

(2x− 1)2 − 4. Determine Domf y Recf . ¿Es finyectiva? ¿epiyectiva? ¿Puede restringirla para que lo sea? ¿Puede determinar Graff?

Solución:

a) El Domf estará dado por todos los números reales tales que (2x − 1)2 − 4 ≥ 0.

Luego, Domf =

]−∞,−1

2

]∪[

3

2,∞[

b) Para determinar Recf , buscamos los valores de y para los que existe x ∈ Domf tal quey = f(x), recordando que y ≥ 0 ya que está definida como una raíz cuadrada:

y =√

(2x− 1)2 − 4 =⇒ y2 = (2x− 1)2 − 4

∴ y2 + 4 = (2x− 1)2 =⇒ |2x− 1| =√y2 + 4

Luego, no hay restricciones adicionales para y, por lo que Recf = R+0 .

c) Sean a, b ∈ Domf , tal que f(a) = f(b)

∴ (2a− 1)2 − 4 = (2b− 1)2 − 4 =⇒ (2a− 1)2 = (2b− 1)2

∴ |2a− 1| = |2b− 1| =⇒ ( 2a− 1 = 2b− 1 ∨ 2a− 1 = 1− 2b )

Luego, si a 6= b : b = −a− 1. Luego, claramente f no es inyectiva.

Otra manera, es notar que f

(−1

2

)= f

(3

2

)= 0 pero − 1

26= 3

2

d) Así, la función original no es ni inyectiva ni epiyectiva. Podemos restringir el conjun-to de llegada de f al Recf para que sea epiyectiva. Y, se puede restringir el Domf al

intervalo[

3

2,∞[

. Así, la nueva función obtenida a partir de f :

f :

[3

2,∞[−→ R+

0

x 7−→√

(2x− 1)2 − 4

es biyectiva, y por lo tanto invertible. La función inversa es:

f−1 : R+0 −→

[3

2,∞[

x 7−→ 1 +√x2 + 4

2

47

4. Estudie f(x) =x2

1− |x| .

Solución: Domf = R− {−1, 1}.Para encontrar el Recf , notemos que para

x ≥ 0, x 6= 1 : y =x2

1− x ⇒ x =−y ±

√y2 + 4y

2

expresión que tiene sentido solo si y ≤ −4 ∨ y ≥ 0

Como la función es par, las imágenes para x < 0 son las mismas que para −x. Por lotanto,

Recf =]−∞,−4] ∪ [0,∞[

5. Sean f(x) =x2 − 1

x− 2, g(x) = 5 − 2x. Determine condiciones necesarias y suficientes

para definir (f ◦ g)(x) y para (g ◦ f)(x).

Solución:

Para definir (f ◦ g)(x), es necesario que Recg ⊆ Domf .

Recg = R pero Domf = R− {2}. Por lo que necesitamos que g(x) 6= 2 ⇐⇒

5− 2x 6= 2 ⇐⇒ x 6= 3

2∴ Dom(f ◦ g) = R−

{3

2

}.

En este dominio: (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(5− 2x) =(5− 2x)2 − 1

(5− 2x)− 2= 4 · x

2 − 5x+ 6

3− 2x

Para definir (g ◦ f)(x), es necesario que Recf ⊆ Domg. Como Domg = R, estarelación se satisface siempre, y se tiene Dom(g ◦ f) = Dom f = R− {2}.

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g

(x2 − 1

x− 2

)= 5− 2

x2 − 1

x− 2=−2x2 + 5x− 8

x− 2

6. Determine la paridad de f ◦ g si sabe que:a) f y g son funciones pares. b) f es par y g es impar. c) f y g son funciones impares.

Solución:

a) (f ◦ g)(−x) = f(g(−x)) = f(g(x)) = (f ◦ g)(x) ∴ f ◦ g es par.

b) (f ◦ g)(−x) = f(g(−x)) = f(g(−x)) = f(−g(x)) = f(g(x)) = (f ◦ g)(x) ∴ f ◦ g espar.

c) (f ◦ g)(−x) = f(g(−x)) = f(g(−x)) = f(−g(x)) = −f(g(x)) = −(f ◦ g)(x) ∴ f ◦ ges impar.

48

EJERCICIOS:

1. Demuestre que f : R−{

3

2

}−→ R−

{−1

2

}, f(x) =

1− x2x− 3

es invertible, y encuentre f−1.

2. Sea f(x) =

√1

2x+ 3. Determine conjuntos A,B ⊆ R tal que f : A → B sea biyectiva. En

este caso, determine f−1.

3. Encuentre (f ◦ f ◦ f)(x) si f(x) =1

1− x

4. Encuentre f(x+ 1) si f(x− 1) = x2. (Ayuda: x+ 1 = (x+ 2)− 1).

5. Si f(x) =2x+ 1

x− 1, encuentre f(3x) en términos de f(x).

6. Determine, si es posible, f + g,f

g,

g

f, f ◦ g, g ◦ f si

f(x) =

{1− x si x ≤ 1

2x− 1 si x > 1y g(x) =

{0 si x < 2

−1 si x ≥ 2

7. Considere la función f(x) = 1 siπ

2< x < π. Construya una extensión par de esta

función, de modo que en x = 0 la función extendida tome el valor 3.

8. Determine Dom y Rec para f(x) =√

2−√

2− x2. ¿ Donde es invertible la función?

9. Estudie la funciónf : A ⊆ R −→ R

x 7−→√

2− x2

√x2 − 3

10. Demuestre que toda función f : R → R se puede escribir como la suma de una función pary una función impar.

11. Sea f : A −→ A, (f ◦ f) ◦ f tal que es biyectiva. Probar que f es biyectiva.

12. Encontrar la longitud del lado de un triángulo equilátero en función del área A del mismo.

49


2.4. Funciones como modelos

El concepto de función, como vimos en un ejemplo anterior, nos permite modelar matemática-mente situaciones del mundo real. Es importante que desarrolle los siguientes ejercicios, para queadquiera la habilidad de traducir al lenguaje matemático las situaciones planteadas en lenguajecoloquial.

EJERCICIOS:

1. Encuentre la capacidad de una canaleta para aguas de lluvia construida en una plancha delatón de 6 m de largo y 80 cm de ancho.

2. Se ha fabricado un envase de lata (un cilindro con tapas) con capacidad de 1 litro. Determineen función del radio basal la cantidad de material utilizado en su fabricación.

3. Considere un cilindro recto con tapa cuyo radio basal mide R cm y su altura mide H cm.Determine el volumen del cilindro en función de su radio sabiendo que su superficie laterales de 15 cm2.

4. Un rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados tiene un vértice en el origen, unoen el eje x positivo, uno en el eje y positivo y su cuarto vértice en el primer cuadrante sobrela recta 2x+ y = 100. ¿Cuál es el área máxima de dicho rectángulo?

5.

Campus Santiago

FUNCIONES COMO MODELOS

1.

3r

r r

Una semiesfera de radio r, un cono de altura ry un cilindro de altura 3r se pegan formando unestanque con la siguiente forma

Si se sabe que la capacidad del estanque es 125,5π cm3

¿Cuánto vale r?

M

N

A B

CDh

x

2. Considere un trapecio isósceles de bases a y b y alturah. Se traza un segmento de recta MN perpendicularrespecto a las bases, a una distancia de x unidades delvértice A del trapecio (es decir, AM = x). Exprese elárea S de ABNM como función de x, cuando M semueve desde A hasta D. (Figura)

3. En un triángulo equilátero de lado a se inscribe un rectángulo, de modo que una delas aristas del rectángulo está en la base del triángulo. Al hacer rotar este rectánguloen torno a la base del triángulo, se obtiene un cilindro. Determine una expresión parael volumen de este cilindro, en función del radio del mismo.

A B

C4. Repita el problema anterior considerando que el triángulo

es isósceles, de longitud de base b.

Una semiesfera de radio r, un cono de altura r yun cilindro de altura 3r se pegan formando unestanque con la forma de la figura. Si se sabe quela capacidad del estanque es 125,5π cm3 ¿Cuántovale r?

50

Verónica Gruenberg Stern 2.4. FUNCIONES COMO MODELOS

6.

Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaPrograma Preliminar para Ingenierıa 4 FUNCIONES

11. Considere la siguiente figura:

a) Encuentre el volumen, V (x), del solido en funcion de la altura x.

b) Determine el dominio y recorrido de V (x).

c) Grafique V (x).


a) Encuentre el area achurada, A(x), en funcion de la base x.

b) Determine el dominio y recorrido de A(x).

c) Grafique A(x).


a) Encuentre el volumen del cono, V (x), en funcion de la altura x.


c) Grafique V (x).

16

a) Encuentre el volumen, V (x), del sólido dela figura, en función de la altura x.


c) Grafique V (x).

7.





c) Grafique V (x).




c) Grafique A(x).




c) Grafique V (x).

16

a) En la figura, encuentre el área achurada,A(x), en función de la base x.


c) Grafique A(x).

8.





c) Grafique V (x).




c) Grafique A(x).




c) Grafique V (x).

16

a) Encuentre el volumen del cono, V (x), enfunción de la altura x.


c) Grafique V (x).

51


9.

Campus Santiago


1.

3r

r r



¿Cuánto vale r?

M

N

A B

CDh

x



A B



En un triángulo equilátero de lado a se inscribeun rectángulo, de modo que una de las aristasdel rectángulo está en la base del triángulo. Alhacer rotar este rectángulo en torno a la base deltriángulo, se obtiene un cilindro. Determine unaexpresión para el volumen de este cilindro, enfunción del radio del mismo.Repita el problema considerando un triánguloisósceles, de longitud de base b.

10.

Campus Santiago


1.

3r

r r



¿Cuánto vale r?

M

N

A B

CDh

x



A B



Considere un trapecio isósceles de bases a y b yaltura h. Se traza un segmento de recta MN

perpendicular respecto a las bases, a unadistancia de x unidades del vértice A deltrapecio (es decir, AM = x). Exprese el área S deABNM como función de x, cuando M se muevedesde A hasta D.

11.

2h

h

5. Se tiene un recipiente como el de la figura. Si R = 10 yh = 5, entonces determinar el volumen de un líquido enfunción del nivel x.

⊕

⊕

6. Una casa se encuentra a p[m] de la ribera deun río de r [m] de ancho. A b [m] río arriba ya 2p[m] de la ribera opuesta se encuentra otracasa. Se ha construído un puente sobre el río,recto y perpendicular a las riberas, que permiteir de un lado a otro. Encuentre una expresiónpara la distancia entre las dos casas, en funciónde:

a) la distancia del puente a la proyección perpendicular sobre la ribera correspon-diente de una de las casas.

b) la distancia de una de las casas al puente.

l

h

7. Una muralla de altura h, a una hora del día, no da som-bra en ninguno de los lados que separa. Se apoya unaescalera de longitud l sobre la muralla, con la base de laescala apoyada en el suelo. Determine una función queindique la longitud de la sombra proyectada en funciónde la distancia x de la base de la escalera al muro.

8. La figura muestra el plano de edificación de un piso edificio que debe tener 50m2 deplanta.

90 cm

SALA DE

ESPERAOFICINA

90 cm

y

x

a) Exprese la longitud y del área del edificio comofunción del ancho x

b) Suponiendo que el costo de las paredes es deUS$ 300 el metro lineal, exprese el costo C delas paredes como una función del ancho x (de-sprecie la porción de pared sobre las puertas).

2

Se tiene un recipiente como el de la figura. SiR = 10 y h = 5, entonces determinar el volumende un líquido en función del nivel x.

52

Verónica Gruenberg Stern 2.4. FUNCIONES COMO MODELOS

12. Una casa se encuentra a p[m] de la ribera de un río de r [m] de ancho. A b [m] río arriba ya 2p[m] de la ribera opuesta se encuentra otra casa. Se ha construído un puente sobre el río,recto y perpendicular a las riberas, que permite ir de un lado a otro. Encuentre una expresiónpara la distancia entre las dos casas, en función de:

a) la distancia del puente a la proyección perpendicular sobre la ribera correspondiente deuna de las casas.


2h

h


⊕

⊕




l

h



90 cm

SALA DE

ESPERAOFICINA

90 cm

y

x



2

13. Una muralla de altura h, a una hora del día, no da sombra en ninguno de los lados que separa.Se apoya una escalera de longitud l sobre la muralla, con la base de la escala apoyada en elsuelo. Determine una función que indique la longitud de la sombra proyectada en funciónde la distancia x de la base de la escalera al muro.

2h

h


⊕

⊕




l

h



90 cm

SALA DE

ESPERAOFICINA

90 cm

y

x



2

53


2.5. Ejercicios de Controles y Certámenes

1. Considere la expresión f(x) =

√x2 + x+ 1

x+ 1y la función

g : R −→ R, tal que g(x) =3x+ π√

3

a) Determine el mayor subconjunto de R donde f sea función.

b) Determine el Recf de la función obtenida en a).

c) Determine f + g, indicando su dominio y recorrido.

2. Considere las expresiones f(x) =1− x√x

y g(x) =1√x

.

a) Determine los mayores subconjuntos de R donde f y g son funciones biyectivas.

b) Determine las expresiones f ◦g y g◦f , indicando sus restricciones y dominio respectivo.

c) Determine f−1 y g−1.

3. Sea f(x) =

{x(x− 1) si x ≤ 1

−2x+ 1 si x > 1

a) Determine el gráfico y recorrido de f .

b) ¿Es f inyectiva? Si no, determine los máximos subconjuntosA,B deR tal que f : A→ B

sea biyectiva.

c) Determine f−1.

4. Sean f(x) =

√x+ 1

xy g(x) =

{x2 − 3 si x ≤ 0

2x+ 1 si x > 0

a) Determine Dom f y Recg.

b) Calcular (si existen): (f ◦ g)(2), (f ◦ g)(−2) y (f ◦ g)(0).

c) Determine explícitamente (f ◦ g)(x).

5. Sea f : A ⊆ R −→ R dada por f(x) =

√|x|√|x| − 1

.

a) Determine el dominio A y analice la paridad de la función f .

b) Determine el mayor dominio y recorrido de f de modo que sea una función biyectiva.

c) Determine la función inversa de la encontrada en b).

54

6. Considere la función f(x) =

−2x+ 3 si x ∈ [−4,−1[

(x− 1)2 − 1 si x ∈ [−1, 2[

x+ 3 si x ∈ [5, 7[

a) Grafique f .

b) Determine el Recf .

c) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f .

d) Detrmine el máximo dominio para que f sea biyectiva y calcule la inversa en este caso.

7. En un cuadradoABCD de ladoAB = 2 se traza la perpendicular a la diagonalAC, que cortael lado AB en el punto M y al lado AD en el punto N . Denote la distancia del vértice A a larecta MN por x. Exprese el área S de la región poligonal AMN en función de x.

8. Sea f : A −→ R, con f(x) =

√x− 1

4− x

a) Determine Domf = A y Recf .

b) ¿Es f : A −→ Recf biyectiva? Si no lo es, determine el máximo dominio donde seainvertible y encuentre dicha inversa.

9. Sean f, h : R −→ R dadas por f(x) = senx y h(x) =

0 si x > 0

1 si −1 ≤ x ≤ 0

3 si x < −1

a) Determine y grafique la función g =1

h ◦ f .

b) Resuelva la ecuación: sen(2x) + g(x) cos(2x) =√

2.

c) Grafique u(x) = 2g(x) sen(2x).

10. Se define fn(x) =√x+ n− (n+ 1), con n ∈ N. Si Bn = Rec(fn) y n < m, determinar

Bn ∩Bm.

11. Sea f(x) = (x− 2)−1/2

a) Encuentre el dominio y el recorrido de f .

b) Encuentre f−1 indicando su dominio.

12. Considere un estanque cónico con su vértice hacia abajo. El estanque tiene 50[cm] de radioy 100[cm] de alto. Suponga que al estanque está entrando líquido y sea h(t) la altura de lacolumna líquida dentro del estanque en el instante t. Si V (t) es el volumen de líquido en elestanque en el instante t, escriba V (t) en función de h(t).

55

13. Calcule g ◦ f si:

f(x) =

{3x+ 4 0 ≤ x ≤ 2

x+ 1 2 < x ≤ 4g(x) =

{x2 2 ≤ x ≤ 5

4 5 < x ≤ 12

56

Capítulo 3

Sucesiones

3.1. Introducción

Considere el problema de aproximar el valor de√

2 a través del siguiente método: sabemosque√

2 ∈ I1 = [1, 2]; dividamos el intervalo en dos subintervalos de igual longitud =12 , digamos

I ′1 =[1, 3

2

]y I

′′1 =

[32 , 2]. Es fácil ver que

√2 ∈ I ′1; llamemos I2 a tal intervalo. Ahora bien, como√

2 ∈ I2 podemos dividir I2 en dos subintervalos I ′2 y I ′′2 ambos de longitud 14 (longitud I2) = 1

22, al

cual pertenezca√

2; le llamamos I3. Repetimos en forma inductiva este proceso, y de esta maneraobtenemos intervalos In tales que

√2 ∈ In. Además, la longitud de In es 1

2n . Sean xn, yn losextremos izquierdo y derecho del intervalo In; entonces

xn ≤√

2 ≤ yn para todo n ∈ N

Se sigue que

0 ≤√

2− xn ≤ (yn − xn) =1

2n

Esto nos dice que

0 ≤√

2− xn ≤1

2npara todo n ∈ N

En otras palabras, el extremo izquierdo de los intervalos In “se va acercando” al valor de√

2 amedida que n crece. Así, por ejemplo, x10 está a distancia menor igual que

1

210= 9. 765 6× 10−4 de

√2.

En este ejemplo, a cada número natural le asignamos un número real xn que es el extremo izquier-do del intervalo In. Este tipo de asignación se llama sucesión de números reales y el proceso de “seva acercando” es llamado convergencia. A continuación formalizaremos estos conceptos.

3.1.1. Conceptos básicos

DEFINICIÓN 3.1.1 Una sucesión de números reales es una función x : N→ R que asocia a cada nú-mero natural n un número real x (n) que denotaremos por xn y que llamaremos el n-ésimo términode la sucesión.

57

CAPÍTULO 3. SUCESIONES Verónica Gruenberg Stern

Generalmente se denotan las sucesiones en la forma (xn), (xn)n∈N, (xn)n∈A, {xn}n∈N o(x1, x2, x3, . . . , xn, . . . ). Debemos, sin embargo, distinguir entre una sucesión (que es una función)y el conjunto de los valores que toma la sucesión (que es el recorrido de tal sucesión). Estos sonobjetos diferentes que no deben confundirse, por ejemplo:

considere la sucesión X : N→ R, n → X (n) = (−1)n. Si bien esta función toma solo los valores−1 y 1 alternadamente, debemos distinguirla del conjunto {−1, 1} que es el recorrido de tal suce-sión. Quizás lo que deje más en claro la diferencia entre estos objetos es que en la función existe uncierto orden en el que se asumen los valores, en cambio en el recorrido, ésto no es relevante.

OBSERVACIÓN: Se acostumbra, a veces, a definir una sucesión listando los primeros términos deella y deteniéndose cuando la regla de formación de la sucesión “sea clara”; por ejemplo

(2, 4, 6, 8, . . . )

podría denotar a la sucesión de los números pares. Debe tenerse presente, sin embargo, que for-malmente esta manera de definir una sucesión no es del todo correcta. Nada impide afirmar quela sucesión indicada no represente, por ejemplo, a

(2, 4, 6, 8, 2, 4, 6, 8, · · · ) o (2, 4, 6, 8, 12, 18, · · · )

o muchas otras. También existen “reglas de formación ” que permitirían construir éstas.

Un método correcto para definir una sucesión es especificar una “fórmula” para el términon-ésimo de la sucesión; por ejemplo:

(2n)n∈N

Otro método correcto para definir sucesiones, llamado método inductivo, es aquel en el que se defineel término xn+1 basándose en una fórmula recursiva, conocidos algunos valores de la sucesión. Porejemplo, podemos definir la sucesión de los pares mediante la fórmula recursiva

x1 = 2, xn+1 = 2 + xn para n ≥ 1

(Note que: x1 = 2, luego x2 = 2 + x1 = 2 + 2 = 4, luego x3 = 2 + x2 = 2 + 4 = 6, etc).Otro ejemplo clásico de este tipo de definiciones es la sucesión de Fibonacci, definida por

a1 = 1, a2 = 1 y an+1 = an + an−1 para n ≥ 2

en el cual tomamos como base dos casos anteriores. Los primeros números de esta sucesión serán:

a1 = 1

a2 = 1

a3 = a2 + a1 = 1 + 1 = 2

a4 = a3 + a2 = 2 + 1 = 3

a5 = a4 + a3 = 3 + 2 = 5

58

Verónica Gruenberg Stern 3.1. INTRODUCCIÓN

OBSERVACIÓN:

1. Es posible representar una sucesión en la recta real mostrando los valores que toma la suce-sión en determinados valores de n, es decir, algunos valores representativos del recorrido.Por ejemplo, una representación en la recta real para la sucesión

(1n

)n∈N es:

2. No hay motivo para restringir la definición de sucesión solo a sucesiones de números reales.Es posible extender la definición a sucesiones de conjuntos o sucesiones de funciones. Porejemplo:

ϕ : N −→ P(N) tal que ϕ(n) = {1, 2, · · · , n}, es una sucesión de conjuntos.

ψ : N −→ F(R) tal que ψ(n) = xn , es una sucesión de funciones.

EJEMPLOS:

1. Las progresiones son ejemplos de sucesiones. Las progresiones geométricas corresponden asucesiones del tipo

x : N −→ R

n → xn = a1rn−1

y las progresiones aritméticas corresponden a sucesiones de la forma

x : N −→ R

n → xn = a1 + (n− 1) d

2. La sucesión (1, 0, 1, 0, . . . ) tiene término n-ésimo dado por xn = 1−(−1)n

2 es decir, corres-ponde a la sucesión

x : N −→ R

n → xn =1− (−1)n

2

3. El décimo término de la sucesión(

1n

)n∈N es 1

10 .

59

4. Estudiemos con más detención la sucesión xn =(1 + 1

n

)n. Por el teorema del binomio:

xn =n∑k=0

(n

k

)1

nk

y como (n

k

)=

n!

(n− k)! k!

entonces (n

k

)1

nk=

n (n− 1) · · · (n− k + 1) (n− k)!

(n− k)! k! nk

=n (n− 1) · · · (n− k + 1)

k! nk

= 1

(1− 1

n

)(1− 2

n

)· · ·(

1− k − 1

n

)1

k!

Luego

xn =

(1 +

1

n

)n= 1 +

n∑k=1

[1

(1− 1

n

)(1− 2

n

)· · ·(

1− k − 1

n

)1

k!

]

≤ 1 +

n∑k=1

1

k!=

n∑k=0

1

k!

pues

1

(1− 1

n

)(1− 2

n

)· · ·(

1− k − 1

n

)≤ 1 · 1 · · · 1 = 1

Ahora, note quen∑k=0

1

k!= 1 + 1 +

n∑k=2

1

k!

Perok! ≥ 2k−1 para k ≥ 2

y así

n∑k=0

1

k!= 1 + 1 +

n∑k=2

1

k!

≤ 1 + 1 +

n∑k=2

1

2k−1= 1 + 2

(1− 1

2n

)< 3

De esto obtenemos que

xn =

(1 +

1

n

)n< 3 ∀n ∈ N

60


5. El n−ésimo término de la sucesión 2, 2 + 12 , 3 + 1

4 , 4 + 18 , 5 + 1

16 , . . . puede ser

xn = n+1

2n−1

6. A pesar del ejemplo anterior, no siempre es posible determinar una fórmula para el n−ésimotérmino de una sucesión. Considere, por ejemplo, la sucesión de los números primos:

x1 = 2, x2 = 3, x3 = 5, x4 = 7 · · ·

En este caso, no existe una fórmula para el n−ésimo término.

EJERCICIOS: Determine una regla de formación, o fórmula para el n−ésimo término, en los si-guientes casos:

1.(

1

2,2

3,3

4,4

5, · · ·

)

2.(−2

3,3

9,− 4

27,

5

81, · · ·

)3. (1, 0,−1, 0, 1, 0,−1, 0, 1, · · · )

4.(

3

5,− 4

25,

5

125,− 6

625,

7

3125, · · ·

)

DEFINICIÓN 3.1.2 Sean X = (xn), Y = (yn) dos sucesiones en R y sea α ∈ R. Se define:

1. αX como la sucesión (αxn).

2. X + Y como la sucesión (xn + yn).

3. XY como la sucesión (xnyn).

4. Si yn 6= 0 ∀n ∈ N, entonces definimos XY como la sucesión

(xnyn

).

EJEMPLO 3.1.1 Si X =(

1n

)n∈N y Y = (2n)n∈N entonces:

XY = (2)n∈N = (2, 2, 2, . . . , 2, . . . ) es una sucesión constante que solo toma el valor 2.Y/X =

(2n2)n∈N.

Dado que las sucesiones que estamos estudiando no son sino funciones cuyo dominio son losnúmeros naturales, es posible entonces definir:

61

DEFINICIÓN 3.1.3 Una sucesión (xn) se dice:

1. Acotada superiormente, si existe M ∈ R tal que xn ≤M para todo n.

2. Acotada inferiormente, si existe m ∈ R tal que m ≤ xn para todo n.

3. Acotada, si es acotada superior e inferiormente. Esto equivale a encontrar un K > 0 tal que|xn| ≤ K para todo n.

EJEMPLOS:

1. La sucesión{(

1 + 1n

)n}n∈N es una sucesión acotada.

En efecto, es claro que 0 ≤ xn para cada n ∈ N y en los ejemplos se vió que xn < 3 para cadan ∈ N, es decir xn ∈ [0, 3] para cada n ∈ N.

2. {(−1)n}n∈N es una sucesión acotada pues xn ∈ {−1, 1} para cada n ∈ N.

3.{

sen(n2 + 2

)}n∈N es una sucesión acotada.

4. Sea a ∈ R, y defina la sucesión xn = an. Estudiaremos si ésta es o no acotada.

a) Si a ∈ [−1, 1] entonces xn = an está acotada, a saber, |xn| = |a|n ≤ 1n = 1. Luego,xn ∈ [−1, 1] para todo n ∈ N.

b) Si a < −1 entonces xn no es acotada ni superior ni inferiormente. En efecto:

note que a2 > 1, de donde, para algún d > 0:

a2 = 1 + d

entoncesa2n = (1 + d)n ≥ 1 + nd (desigualdad de Bernoulli)

Luego, no existe M ∈ R tal que xn ≤M para todo n ∈ R.

(si tal M existiera: M ≥ x2n ≥ 1 + nd entoncesM − 1

d≥ n. Basta considerar

n > M−1d y llegamos a una contradicción).

Por otro lado:a2n+1 = a (1 + d)n ≤ a (1 + nd)

de donde no puede existir m ∈ R tal que

m ≤ xn

para todo n ∈ N. (Un razonamiento similar al anterior muestra que la existencia de talm lleva a una contradicción).

62

c) Si a > 1 entonces a = 1 + d con d > 0 se sigue que xn = an = (1 + d)n ≥ 1 + nd

de donde no puede estar acotada superiormente. Note que está acotada inferiormentepor 1.

DEFINICIÓN 3.1.4 Una sucesión (xn) se dice:

1. Estrictamente creciente si para cada n se cumple que xn < xn+1.

2. Creciente si para cada n se cumple que xn ≤ xn+1.

3. Estrictamente decreciente si para cada n se cumple que xn > xn+1.

4. Decreciente si para cada n se cumple que xn ≥ xn+1.

5. Monótona si cumple con alguna de las anteriores (en ocasiones se habla de monotonía es-tricta si es estrictamente creciente o estrictamente decreciente)

EJEMPLOS:

1. Sea {xn} una sucesión de términos positivos, es decir, xn ≥ 0 para todo n y defina

an =n∑k=1

xk

Entonces, {an} es una sucesión creciente; en efecto, para cada n se cumple

an+1 − an =n+1∑k=1

xk −n∑k=1

xk = xn+1 ≥ 0 =⇒ an+1 ≥ an

Algunos ejemplos de esto son las sucesiones que tienen por n-ésimo término:

an = 1 +1

1!+

1

2!+ · · ·+ 1

n!

an = 1 +1

2+

1

3+ · · ·+ 1

n

an = 1 +1

22+

1

32+ · · ·+ 1

n2

2. {sen (n)}n∈N no es una sucesión monótona.

3. {(−1)n}n∈N no es una sucesión monótona.

4. (1, 2, 3, 4, . . . ) es una sucesión estrictamente creciente.

5. (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, . . . ) es una sucesión creciente.

63

DEFINICIÓN 3.1.5 Considere una sucesión (xn) = (x1, x2, x3, . . . ). Una subsucesión de (xn) esuna nueva sucesión que se forma considerando algunos n digamos n1, n2, n3 . . . que cumplenn1 < n2 < n3 < . . . < nk < · · · Más formalmente, una subsucesión de una sucesión es unanueva sucesión que se forma al efectuar la composición de la sucesión original con una funciónY : N→ N que es estrictamente creciente.

EJEMPLOS:

1. Dada la sucesión (xn) podemos extraer la subsucesión de los términos de lugares pares(x2, x4, x6, . . . ) = (x2n). También podemos extraer la de los lugares impares (x1, x3, x5, . . . ) =

(x2n−1). La primera corresponde a efectuar una composición con la función Y : N→ N,n → Y (n) = 2n y la segunda con la función Y : N→ N, n → Y (n) = 2n − 1. Ambasson estrictamente crecientes. Podríamos también considerar Y : N→ N, n → Y (n) = n2 yobtenemos la subsucesión

(x1, x4, x9, x16, . . . )

2. Considere la sucesión 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, . . . . Notar que en el lugar n = 1 está el 1. Enel lugar 1 + 2 está el 2; en el lugar 1 + 2 + 3 está el 3, en el lugar 1 + 2 + 3 + 4 está el 4. Así:

x1+2+3+···+n = n

de dondexn(n+1)

2

= n

Luego (1, 2, 3, . . . , n, . . . ) es una subsucesión de (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, . . . ).

3.{

(−1)n(n+1)

2

}es una subsucesión de {(−1)n}. Sus primeros términos son:

−1,−1, 1, 1,−1,−1, 1, . . . .

4. Si (xn) es una sucesión entonces (xn+1) = (x2, x3, . . . ) es una subsucesión. Similarmente(xn+k) es una subsucesión para k ∈ N.

64

Verónica Gruenberg Stern 3.2. CONVERGENCIA DE SUCESIONES

3.2. Convergencia de Sucesiones

3.2.1. El concepto de convergencia

Intuitivamente, el concepto de convergencia de una sucesión está relacionado con los valoresque toma la sucesión a medida que n crece (como el concepto de límite). Si los valores están tancerca como se quiera de un número L, a partir de un n en adelante, entonces decimos que lasucesión converge a L. Más formalmente:

DEFINICIÓN 3.2.1 Sea (xn) una sucesión y L un número real. Diremos que xn converge a L, o queel límite de la sucesión (xn) es L, si

∀ε > 0 ∃N ∈ N : ∀n ∈ N, n ≥ N =⇒ |xn − L| < ε

En tal caso escribiremos lımn→∞

xn = L o simplemente xn → L.

OBSERVACIÓN:

Note que |xn − L| < ε es equivalente a pedir xn ∈ ]L− ε, L+ ε[. Luego, la definición deconvergencia nos dice que a partir de N en adelante, los valores de la sucesión xn (es decir,xN , xN+1, xN+2, . . . ) se encontrarán en el intervalo anterior. Como el ε es un número posi-tivo cualquiera, en particular podemos pedir que sea tan pequeño como queramos, lo cualformaliza la idea de estar tan cerca de L como se quiera.

Notemos también que

|xn − L| < ε ⇐⇒ |(xn − L)− 0| < ε

⇐⇒ ||xn − L| − 0| < ε

Esto nos dice que[lımn→∞

xn = L]⇐⇒

[lımn→∞

(xn − L) = 0]⇐⇒

[lımn→∞

|xn − L| = 0]

DEFINICIÓN 3.2.2 Una sucesión que posee límite se dirá convergente; en caso contrario se dicedivergente.

EJEMPLOS:

1. Consideremos la sucesión xn = an con |a| < 1, a 6= 0. Intuitivamente pareciera serque los valores de la sucesión se acercan a cero a medida que n crece; formalicemos esto:Notemos que |xn| = |a|n; luego

|a| < 1 =⇒ 1 <1

|a|

65

de donde1 + d =

1

|a| para algún número positivo d.

Entonces (1

|a|

)n= (1 + d)n =

n∑k=0

(n

k

)dk

≥(n

1

)d = nd

De esto obtenemos1

nd≥ |a|n

entonces|xn − 0| = |a|n < 1

ndde donde

1

nd< ε ⇐⇒ 1

εd< n

Estamos ahora en condiciones de mostrar que el límite de esta sucesión es cero: Sea ε > 0

arbitrario; si n ≥([

1εd

]+ 1)

(la parte entera de 1εd más 1) entonces se cumple

|xn − 0| < ε

En efecto: n ≥[

1εd

]+ 1 > 1

εd =⇒ ε > 1nd . Pero

|xn − 0| = |a|n < 1

nd< ε =⇒ |xn − 0| < ε ∴ lım

n→∞an = 0

2. Mostremos que la sucesión xn = nn+1 −→ 1.

|xn − 1| =∣∣∣∣ n

n+ 1− 1

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 1

n+ 1

∣∣∣∣ < 1

n

Luego, sea ε > 0; entonces, existe Nε =[

1ε

]+ 1 tal que

n ≥ Nε =⇒ |xn − 1| < ε

En efecto: si n ≥ Nε =([

1ε

]+ 1)

entonces n ≥ 1ε y así ε > 1

n ; pero

|xn − 1| =∣∣∣∣ n

n+ 1− 1

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 1

n+ 1

∣∣∣∣ < 1

n

de donde|xn − 1| < ε

y luego, hemos demostrado

lımn→∞

(n

n+ 1

)= 1

66

3. Considere la sucesión xn = (−1)n. Vemos que esta sucesión toma los valores 1 y−1 en formaalternada. Si la sucesión fuese convergente, es decir, si xn → L, entonces debería existir unN ∈ N tal que para todo n ≥ N :

|xn − L| <1

4Luego, si consideramos un n par mayor que N se cumplirá

|1− L| < 1

4⇔ −1

4< L− 1 <

1

4

⇔ 3

4< L <

5

4

y si consideramos un n impar mayor que N entonces se cumplirá

|−1− L| = |1 + L| < 1

4⇔ −1

4< L+ 1 <

1

4

⇔ −5

4< L < −3

4

Claramente, no existe ningún número en ambos intervalos, por lo que tal L no puede existir.Es decir, lım

n→∞(−1)n no existe, es decir (xn) diverge.

TEOREMA 3.2.1 (Unicidad) Si el límite de una sucesión existe, entonces es único.

Dem.: Sea (xn) la sucesión y supongamos que L1 y L2 son límites de la sucesión. Si ε > 0 porconvergencia existirán naturales N1 y N2 tales que

n ≥ N1 ⇒ |xn − L1| < ε

n ≥ N2 ⇒ |xn − L2| < ε

Pues bien: si n ≥ max {N1, N2}, entonces

|L1 − L2| = |L1 − xn + xn − L2|≤ |xn − L1|+ |xn − L2|< 2ε

Así, como el número ε es arbitrario no queda otra opción más que L1 = L2.

TEOREMA 3.2.2 (Álgebra de límites) Si xn → A y yn → B, entonces

1. lımn→∞

(xn + yn) = A+B

2. lımn→∞

(xnyn) = AB

3. lımn→∞

(xnyn

)=A

Bsi B 6= 0.

67

EJEMPLOS:

1. Es fácil mostrar que1

n→ 0. Del álgebra de límites, se sigue que

1

np→ 0 para p ∈ N.

Utilizando 2. del teorema anterior con la sucesión constante (α) se sigue

α

nk→ 0 cuando n→∞

2. Calcular el límite de la sucesión

xn =3n4 + 2n+ 1

2n4 + 1

Solución: Notemos que

3n4 + 2n+ 1

2n4 + 1=n4(3 + 2

n3 + 1n4

)n4(2 + 1

n4

) =3 + 2

n3 + 1n4

2 + 1n4

utilizando el álgebra de límites y la observación anterior se sigue que

lımn→∞

(3n4 + 2n+ 1

2n4 + 1

)= lım

n→∞

(3 + 2

n3 + 1n4

2 + 1n4

)

=

lımn→∞

(3 +

2

n3+

1

n4

)lımn→∞

(2 +

1

n4

)=

3 + 0 + 0

2 + 0 + 0=

3

2

DEFINICIÓN 3.2.3 Sea (xn) una sucesión. Diremos que xn tiende a infinito cuando n tiende a infi-nito, si

∀K > 0 ∃N ∈ N : n ≥ N =⇒ xn > K


xn = +∞.Análogamente, diremos que xn tiende a menos infinito cuando n tiende a infinito, si

∀K < 0 ∃N ∈ N : n ≥ N =⇒ xn < K


xn = −∞.

EJEMPLOS:

1. Considere la sucesión xn = (−1)n n2 entonces xn 6→ +∞. Note que a medida que n crece, lasucesión alterna entre números positivos y negativos que van creciendo en valor absoluto.

68


2. Si xn =n2

(0,5)nentonces lım

n→∞xn = +∞. En efecto,

xn =n2

(0,5)n=

n2

(12)n

= 2nn2 > n ∀n ∈ N

Se sigue entonces lo afirmado.

OBSERVACIÓN:

Si (xn) es una sucesión creciente y no acotada superiormente entonces lımn→∞

xn = +∞.

TEOREMA 3.2.3 Sean (xn) e (yn) sucesiones:

1. Si lımn→∞

xn = +∞ y (yn) es una sucesión acotada inferiormente entonces

lımn→∞

(xn + yn) = +∞

2. Si lımn→∞

xn = +∞ y existe α > 0 tal que yn > α para todo n ∈ N entonces

lımn→∞

(xnyn) = +∞

3. Si lımn→∞

xn = 0, xn > 0 para todo n ∈ N y existe α > 0 tal que yn > α para todo n ∈ Nentonces

lımn→∞

(ynxn

)= +∞

3.2.2. Algunas propiedades de las sucesiones

TEOREMA 3.2.4 Si (xn) es una sucesión convergente a L entonces toda subsucesión (xnk) convergey también a L.

OBSERVACIÓN: Este teorema nos entrega un muy útil criterio para decidir la divergencia de unasucesión: si (xn) es una sucesión que posee una subsucesión divergente entonces diverge. Si (xn)

posee dos subsucesiones que convergen a límites distintos entonces la sucesión diverge.

69

EJEMPLOS:

1. La sucesión xn = (−1)n es divergente. En efecto: posee dos subsucesiones

x2n = 1 y x2n−1 = −1

que convergen pero a límites diferentes.

2. Six1 = 2 y xn+1 =

−1

xnpara n ≥ 1

entonces (xn) no puede ser convergente. En efecto, si xn → L entonces

−1

xn→ −1

L

Pero, como (xn+1) es una subsucesión, debiera tenerse que xn+1 → L. Así

xn+1 =−1

xn=⇒ L = − 1

L

es decirL2 = −1

lo que no es posible en los números reales.

3. La sucesión dada por xn = (−1)n n2 no es convergente; en efecto, la subsucesión x2n = 4n2

diverge.

El siguiente teorema nos dice que para “n grandes” los términos de la sucesión permanecen“cerca”del límite

TEOREMA 3.2.5 Si lımn→∞

xn = L y a < L entonces ∃N ∈ N : ∀n ≥ N se cumple a < xn.Análogamente, si a > L entonces ∃K ∈ N : ∀n ≥ K se cumple a > xn.

TEOREMA 3.2.6 Si lımn→∞

xn = L1, lımn→∞

yn = L2 y se cumple ∃N ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ N : xn ≤ yn

entonces L1 ≤ L2.

OBSERVACIÓN: xn < yn no implica necesariamente que L1 < L2. Por ejemplo, considere las suce-siones dadas por xn = −1

n y yn = 1n . Entonces

xn < yn

pero L1 = L2 = 0.

70

TEOREMA 3.2.7 Toda sucesión convergente es acotada.

Dem.: Sea (xn) una sucesión convergente, digamos, a L. Luego, para ε = 1, existe un N ∈ N talque para n ≥ N se cumple

|xn − L| < 1

Entonces|xn| < L+ 1 para n ≥ N

Tomando M = max {|x1| , |x2| , . . . , |xN−1| , L+ 1} se sigue

|xn| ≤M ∀n ∈ N

EJEMPLOS:

1. Sabemos que xn =n

n+ 1converge a 1. Además, sabemos que

|xn − 1| < 1

n

Se deduce que para todo n ∈ N|xn − 1| < 1

y asíxn ∈ [0, 2]

2. Sabemos que

lımn→∞

(3n4 + 2n+ 1

2n4 + 1

)=

3

2

Note además que ∣∣∣∣3n4 + 2n+ 1

2n4 + 1− 3

2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 4n− 1

4n4 + 2

∣∣∣∣ ≤ 4n+ 1

4n4 + 2

≤ 5n

4n4=

5

4n3

Luego ∣∣∣∣xn − 3

2

∣∣∣∣ < 5

4

de dondexn ∈

[1

4,11

4

]

TEOREMA 3.2.8 (de Bolzano-Weierstrass) Toda sucesión acotada posee una subsucesión conver-gente.

71

EJEMPLO 3.2.1 Muestre que la sucesión dada por xn = senn es divergente.

Solución: Considere los intervalos Ik =[2kπ + π

6 , 2kπ + π2

]para k ≥ 1. Note que la longitud

de Ik es π2 − π

6 = π3 > 1. Luego, cada Ik debe tener un número natural, que llamaremos nk. Por

estar en ese tipo de intervalos se debe cumplir 12 ≤ sen (nk) ≤ 1. Por ser acotada, el teorema

de Bolzano-Weierstrass dice que {sen (nk)} debe tener una subsucesión convergente {sen (nkl)} ycomo sen (nkl) ≥ 1

2 se sigue

lıml→∞

sen (nkl) ≥1

2

Considere ahora los intervalos Ju =[2uπ − π

2 , 2uπ − π6

]para u ∈ N. Note que la longitud de Ju

es π2 − π

6 = π3 > 1. Se sigue que cada Ju debe tener un natural que llamaremos nu. Se sigue que

−1 ≤ sen (nk) ≤ −12 ; luego, por ser acotada, el teorema de Bolzano-Weierstrass dice que {sen (nu)}

debe tener una subsucesión convergente{

sen(nup)}

y como sen(nup)≤ −1

2 se sigue

lımp→∞

sen(nup)≤ −1

2

Claramentelımp→∞

sen(nup)6= lım

l→∞sen (nkl)

De esto obtenemos que (senn) posee dos subsucesiones que convergen, pero a límites diferentes;así, (senn) es una sucesión divergente.

3.2.3. Algunos resultados de convergencia

TEOREMA 3.2.9 Toda sucesión creciente y acotada superiormente converge. De manera similar,toda sucesión decreciente y acotada inferiormente converge.

Dem.: Supongamos que (xn) es una sucesión creciente y acotada superiormente. Definamos

A = {xn : n ∈ N} ⊆ R

Por hipótesis, A es no vacío y acotado superiormente; por el axioma del supremo, se sigue queexiste el supremo de este conjunto y lo denotaremos por l. Sea ε > 0 arbitrario. Como l− ε < l sesigue que l − ε no es cota superior de A (l es la menor cota superior del conjunto), así existe un n0

tal quel − ε < xn0

Como la sucesión es creciente, para n ≥ n0 se sigue

xn0 ≤ xn

de dondel − ε < xn0 ≤ xn

72

También, note que xn ≤ l para todo n ∈ N. Se sigue que

l − ε < xn < l + ε ∀n ≥ n0

Así, |xn − l| < ε. En conclusión, si (xn) es creciente y acotada superiormente entonces

lımn→∞

xn = sup {xn : n ∈ N}

(recordar que el supremo no tiene porque pertenecer al conjunto). Se deja de ejercicio mostrar elcaso decreciente y acotada inferiormente.

EJEMPLOS:

1. Estudie la convergencia de la sucesión definida por

a1 =√

2

an+1 =√

2 + an para n ≥ 1

Solución: Notemos que a1 < a2 y a2 < a3. Se puede demostrar por inducción que

an ≤ an+1 para todo n ∈ N

Para el paso inductivo notar que

an ≤ an+1 ⇒ an + 2 ≤ an+1 + 2

⇒√an + 2 ≤

√an+1 + 2

pero an+1 =√an + 2 y an+2 =

√an+1 + 2. Así,

an ≤ an+1 =⇒ an+1 ≤ an+2

Se sigue que la sucesión es creciente. También es facil demostrar por inducción que

an ≤ 2 ∀n ∈ N

Claramente,√

2 ≤ 2. Como antes, para el paso inductivo notamos que:

an ≤ 2 ⇒ an + 2 ≤ 4

⇒√an + 2 ≤

√4

⇒ an+1 ≤ 2

De esta forma, {an} es una sucesión creciente y acotada superiormente por 2, luego converge.

73

En este caso podemos además encontrar el límite: como an+1 =√

2 + an si an → L,entonces an+1 → L (es una subsucesión) y note que

√2 + an →

√2 + L. Entonces, por

unicidad del límite, se sigue

L =√

2 + L

de donde

L2 − L− 2 = 0 ⇒L = 2 ∨ L = −1

Como an ≥ 0, se sigue L ≥ 0, y así la única posibilidad es L = 2.

2. Consideremos la sucesión xn =

(1 +

1

n

)nn ∈ N.

Sabemos que esta sucesión está acotada superiormente por 3. Utilizaremos nuevamente elTeorema del Binomio para demostrar que es creciente:

xn =

(1 +

1

n

)n=

n∑k=0

(n

k

)1

nk

= 1 +

n∑k=1

n (n− 1) · · · (n− k + 1)

nk1

k!

= 1 + 1 +

n∑k=2

[1

(1− 1

n

)(1− 2

n

)· · ·(

1− k − 1

n

)]1

k!

< 2 +

n∑k=2

[1

(1− 1

n+ 1

)(1− 2

n+ 1

)· · ·(

1− k − 1

n+ 1

)]1

k!

< 2 +n+1∑k=2

[1

(1− 1

n+ 1

)(1− 2

n+ 1

)· · ·(

1− k − 1

n+ 1

)]1

k!

= xn+1

de donde xn+1 > xn. Luego, la sucesión converge.

Hacemos algunos cálculos numéricos:

n 1 2 3 4 5 10 100 1000 10000

(1 +

1

n

)n2 2, 25 2,37 2,4414... 2,4883... 2,5937... 2,70481... 2,7169... 2,71815...

74

Vemos entonces que el número al cual converge esta sucesión se acerca a 3. Se acostumbra adenotar el valor de este límite por e, conocido porque es la base del logaritmo natural, y es unnúmero que juega un rol preponderante en la matemática. Es decir:

lımn→∞

(1 +

1

n

)n= e

3. Sabemos que la sucesión xn =n∑k=0

1

k!es creciente y acotada superiormente por 3. Por el

teorema anterior, sabemos que esta sucesión converge.

TEOREMA 3.2.10 (Del sandwich) Sean (xn) , (yn) y (zn) sucesiones. Si lımn→∞

xn = L, lımn→∞

yn = L

y se cumple xn ≤ zn ≤ yn ∀n ≥ N0. Entonces (zn) converge y lımn→∞

zn = L.

El teorema del Sandwich para sucesiones es muy útil para cálculo de límites, como ya vimosen MAT021. Veamos algunos ejemplos:

EJEMPLOS:

1. Considere la sucesión xn = n√a donde a > 0. Mostremos que lım

n→∞xn = 1. En efecto, si a > 1

entoncesn√a = 1 + dn donde dn ≥ 0

Se sigue quea = (1 + dn)n ≥ ndn

y asía

n≥ dn ≥ 0

Por el teorema del Sandwich se sigue

lımn→∞

dn = 0

Luego, por álgebra de límites

lımn→∞

n√a = lım

n→∞(1 + dn) = 1

Si 0 < a < 1 entoncesa =

1

d, d > 1

Entoncesn√a =

1n√d

Utilizando lo recién mostrado y el álgebra de límites se sigue

lımn→∞

n√a = lım

n→∞

(1n√d

)=

1

lımn→∞n√d

= 1

Si a = 1, es claro.

75


2. Calcular lımn→∞

n√

2n + 3n.

Solución: Note que3n ≤ 2n + 3n ≤ 3n + 3n

de donde3 ≤ n√

2n + 3n ≤ n√

2 · 3n = 3n√

2

Perolımn→∞

3 = lımn→∞

(3n√

2)

= 3

y por el teorema del Sandwich:lımn→∞

n√

2n + 3n = 3

3. Calcular

lımn→∞

n∑i=1

(1√n2 + i

)Solución: Notemos que

n2 + 1 ≤ n2 + i ≤ n2 + n ∀i = 1, 2, . . . , n

Entonces √n2 + 1 ≤

√n2 + i ≤

√n2 + n

Así, para i = 1, 2, . . . , n:1√

n2 + n≤ 1√

n2 + i≤ 1√

n2 + 1

de donden∑i=1

(1√

n2 + n

)≤

n∑i=1

(1√n2 + i

)≤

n∑i=1

(1√

n2 + 1

)Pero

n∑i=1

(1√

n2 + n

)=

n√n2 + n

yn∑i=1

(1√

n2 + 1

)=

n√n2 + 1

entoncesn√

n2 + n≤

n∑i=1

(1√n2 + i

)≤ n√

n2 + 1

Aplicando el teorema del Sandwich, se obtiene

lımn→∞

n∑i=1

(1√n2 + i

)= 1

TEOREMA 3.2.11 Si (xn) es una sucesión que converge a cero y (yn) es una sucesión acotada enton-ces (xnyn) converge a cero.

76


EJEMPLO 3.2.2lımn→∞

(senn

n

)= 0

Note que senn no converge pero, como(

1n

)→ 0, sólo necesitamos que esté acotada.

EJERCICIOS: Determine si las siguientes sucesiones convergen. En caso afirmativo, determine sulímite.

1. (an) =

(n+ 4

2n+ 1

)

2. (an) = (√n+ 1−√n)

3. (an) =

(n

2n+ 1sen

nπ

2

)

4. (an) =

(2 + 2n

1 + 2n

)

77


78

Capítulo 4

Límites y Continuidad

El concepto de límite de una función es fundamental en el cálculo y en el análisis matemático,que demoró varios siglos en llegar a la formulación precisa que se tiene hoy. La evolución históricaque ha tenido este concepto se inicia con la matemática griega A.C. y llega hasta el siglo XIX. Losgriegos utilizaron esta noción de manera intuitiva, fundamentalmente para el cálculo de áreas.Por ejemplo, para calcular el área de un círculo, utilizaron el método de exhaución, inscribiendosucesivos polígonos regulares en la circunferencia, a los que se les incrementaba el número dearistas, para obtener el área de un círculo. Muchos matemáticos, esencialmente a partir del sigloXVII en adelante contribuyeron a la matematización de esta idea, hasta que finalmente, en el sigloXIX, Weierstrass (1815-1897) da la definición precisa, aceptada hasta hoy, del concepto de límite.

Comenzaremos estudiando el comportamiento de funciones f(x) cuando x → +∞, por suanálogo directo con la definición de límite de una sucesión de números reales.

4.1. Límites al infinito

En primer lugar, estudiaremos el comportamiento de una función f(x) cuando la variable x cre-ce o decrece indefinidamente, en cuyo caso diremos cuando x tiende a +∞ o −∞, respectivamente.Consideraremos siempre que las funciones f están definidas en un dominio apropiado enR, y quetoma valores reales, es decir, su recorrido también es un subconjunto de R.

DEFINICIÓN 4.1.1 Diremos que L ∈ R es el límite de f cuando x tiende a +∞, y escribimos

lımx→+∞

f(x) = L ssi ∀ε > 0 ∃N > 0 : x ≥ N ⇒ |f(x)− L| < ε

Análogamente, definimos el límite para x→ −∞, vale decir:

diremos que L ∈ R es el límite de f cuando x tiende a −∞, y escribimos

lımx→−∞

f(x) = L ssi ∀ε > 0 ∃N < 0 : x ≤ N ⇒ |f(x)− L| < ε

79

CAPÍTULO 4. LÍMITES Y CONTINUIDAD Verónica Gruenberg Stern

EJEMPLOS:

1. Demuestre que lımx→∞

x−n = 0 , ∀n ∈ N.

Dem. ∀n ∈ N ∀x ≥ 1 : 0 <1

xn≤ 1

x

Sea ε > 0 :

∣∣∣∣ 1

xn− 0

∣∣∣∣ =1

xn≤ 1

x< ε si x >

1

ε. Escogemos N = max

{1, 1

ε

}.

2. Sean p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · · + a1x + a0, q(x) = bmxm + bm−1x

m−1 + · · · + b1x + b0

polinomios con coeficientes R. Determine lımx→∞

p(x)

q(x).

Solución:

lımx→∞

p(x)

q(x)= lım

x→∞

anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0

bmxm + bm−1xm−1 + · · ·+ b1x+ b0=

= lımx→∞

anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0

bmxm + bm−1xm−1 + · · ·+ b1x+ b0· 1/xmax {n,m}

1/xmax{n,m} =

anbn

si n = m

0 si n < m

+∞ si n > m

OBSERVACIÓN: No es difícil notar que en el caso de existir lo límites respectivos, las reglas delálgebra de límites para sucesiones se extienden de manera natural al caso en que x→ ±∞.

Enunciamos a continuación un teorema que relaciona directamente el cálculo de límites defunciones con el cálculo de límites de sucesiones.

TEOREMA 4.1.1 Sea f una función tal que lımx→∞

f (x) = L y considere la sucesión definida porxn = f (n). Entonces lım

n→∞xn = L.

A diferencia de los números naturales, que es un conjunto discreto de números, la recta real esun objeto continuo o denso. Por ello, es posible estudiar también el comportamiento de una funcióncerca de un número real x0 cualquiera. Consideraremos ahora la situación en la que, cuando x seacerca a x0, los valores de la función f(x) crecen (o decrecen) indefinidamente. Cuando los valoresde la función crecen indefinidamente, decimos que f(x) tiende a +∞ y cuando los valores de la fun-ción decrecen indefinidamente decimos que f(x) tiende a −∞.

DEFINICIÓN 4.1.2 Sea f una función definida en una vecindad de a ∈ R. Diremos que

f crece sin límite o que f tiende a infinito cuando x tiende a a, que denotamos por

lımx→a

f(x) = +∞ ssi ∀N > 0 ∃δ > 0 : 0 < |x− a| < δ ⇒ f(x) > N

80

Verónica Gruenberg Stern 4.1. LÍMITES AL INFINITO

f decrece sin límite o que f tiende a menos infinito cuando x tiende a a, que denotamos por

lımx→a

f(x) = −∞ ssi ∀N < 0 ∃δ > 0 : 0 < |x− a| < δ ⇒ f(x) < N

OBSERVACIÓN: En estos casos diremos que el límite no existe, puesto que +∞ y −∞ no sonnúmeros reales, y en este contexto son símbolos utilizados para representar un tipo de comporta-miento de la función.

EJEMPLOS: Demuestre que:

1. lımx→0

1

x2= +∞

Dem. Sea N > 0. Entonces,1

x2> N si se cumple que 0 < x2 <

1

No equiva-

lentemente, 0 < x <1√N

. Así, escogemos δ =1√N

.

2. lımx→1

x− 5

(x− 1)2= −∞

OBSERVACIÓN: Notamos en los ejemplos anteriores, que en un cuociente, el valor del límite se vaa ±∞ cuando el numerador tiende a una constante distinta de 0, y el denominador tiende a 0.

EJERCICIOS:

1. Probar que

a) lımx→∞

1

x= 0

b) lımx→∞

x

1 + x2= 0

c) lımx→∞

√x(x− a)− x =

a

2

d) lımx→∞

x3/2 −√x+ 4x4/3 + 2

3x2 − 5 3√x+ 2x−1/2 + 1

= 0

2. Calcule, si es posible:

a) lımx→∞

3√x sen(n!)

n+ 2b) lım

n→∞n√an + a−n

3. Hallar a, b ∈ R : lımx→∞

ax+ b− x3 + 1

x2 + 1= 0

4. Calcular

a) lımx→∞

√x√

x+√x+√x

b) lımx→∞

5x − 3x + 1

5x + 3x + 1x

81


A continuación, estudiaremos el concepto de límite de una función real de variable real.

4.2. Necesidad del concepto de Límite

Para entender la necesidad de una formulación precisa de este concepto, consideremos lassiguientes funciones, y tratemos de responder, en cada caso, la pregunta: ¿cómo se comporta f(x)

cuando x se acerca a 1?

1. f(x) = 3x+ 6

Hagamos una tabla de valores de f(x) para valores de x cercanos a 1:

x 0,9 0,95 0,99 0,999 1,001 1,01 1,05 1,1f(x) 8,7 8,85 8,97 8,997 9,003 9,03 9,15 9,3

Vemos que, en la medida que x se acerca a 1, f(x) se acerca a 9. En este caso, diremos que ellímite de f(x) cuando x tiende a 1 es 9, y escribimos

lımx→1

3x+ 6 = 9

Más aún, notamos que podemos calcular directamente f(1) = 9, y que este valor coincide conel lım

x→1f(x).

2. g(x) =x2 − 1

x− 1

Hagamos una tabla de valores de g(x) para valores de x cercanos a 1:

x 0,9 0,95 0,99 0,999 1,001 1,01 1,05 1,1g(x) 1,9 1,95 1,99 1,998 2,001 2,01 2,05 2,1

Vemos que, en la medida que x se acerca a 1, g(x) se acerca a 2. En este caso, diremos que ellímite de g(x) cuando x tiende a 1 es 2, y escribimos

lımx→1

x2 − 1

x− 1= 2

Notamos que, en este caso, no podemos evaluar g directamente en 1, puesto que 1 6∈ Domg.

Sin embargo, es claro que, si x 6= 1 :x2 − 1

x− 1= x + 1, expresión que sí podemos evaluar

en 1, obteniendo el mismo valor que el límite encontrado.

3. h(x) =|x− 1|x− 1

Hagamos una tabla de valores de h(x) para valores de x cercanos a 1:

82

Verónica Gruenberg Stern 4.2. NECESIDAD DEL CONCEPTO DE LÍMITE

x 0,9 0,95 0,99 0,999 1,001 1,01 1,05 1,1h(x) -1 -1 -1 -1 1 1 1 1

Aquí hay una diferencia con las situaciones anteriores: en la medida que x se acerca a 1 porla izquierda, es decir, mediante valores más pequeños que 1, la función h(x) se acerca a−1, y enla medida que x se acerca a 1 por la derecha, es decir, mediante valores mayores a 1, la funciónh(x) se acerca a 1. En este caso, diremos que el límite de h(x) cuando x tiende a 1 no existe.

Con estos casos en mente, daremos una primera definición, semi-formal, del límite de unafunción en un punto.

DEFINICIÓN 4.2.1 Sean a ∈ R y f : D ⊂ R → R una función tal que D contiene algún conjuntode la forma V ∗ = ]a − δ, a + δ[ −{a}, donde δ ∈ R+, o equivalentemente, contiene un conjuntoV ∗ = {x ∈ R : 0 < |x− a| < δ} para cierto δ > 0.

Diremos que el límite de f(x) cuando x tiende a a es L ∈ R, lo que se escribe como

lımx→a

f(x) = L

si f(x) toma valores tan cercanos como se quiera al valor L cuando x es suficientemente cercano,pero diferente, de a.

OBSERVACIÓN: El conjunto V ∗ de la definición anterior, V ∗ = ]a − δ, a + δ[ −{a}, que es elintervalo señalado al cual se le quita el punto {a}, se llama vecindad perforada de a.

EJEMPLOS: Calcule intuitivamente, si existen, los siguiente límites:

1. lımx→2

4x− 5 = 3

2. lımx→1

x3 − 1

x2 − 1= lım

x→1

(x− 1)(x2 + x+ 1)

(x− 1)(x+ 1)=

3

2

3. lımx→2

8x− 3x2 − 4

x− 2= lım

x→2

(x− 2)(2− 3x)

x− 2= −4

4. lımx→0

8x− 3x2 − 4

x− 2= 2

5. lımx→1

[x] @

83

4.3. El Concepto de Límite de una función

DEFINICIÓN 4.3.1 (Límite de una función) Sea f : D ⊆ R → R una función tal que D contienealguna vecindad perforada de a. Diremos que el límite de f(x) cuando x tiende a a es L ∈ R, yescribimos

lımx→a

f(x) = L

si ∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que (0 < |x− a| < δ) ∧ (x ∈ D) =⇒ |f(x)− L| < ε

OBSERVACIÓN: Es importante notar que para calcular el límite de una función cuando x tiende aun punto, la función no necesariamente debe estar definida en dicho punto, como hemos visto ya enalgunos ejemplos.

EJEMPLO 4.3.1 Demuestre la existencia de los siguientes límites:

1. lımx→x0

C = C, donde C es una constante.

Dem. Debemos probar que dado cualquier ε > 0 podemos encontrar un δ > 0 tal quesiempre que |x− x0| < δ ⇒ |C − C| < ε.

Pero esta desigualdad es obvia, pues ε > 0.

2. lımx→2

x+ 1 = 3

Dem. Debemos probar que dado cualquier ε > 0 podemos encontrar un δ > 0 tal quesiempre que |x− 2| < δ ⇒ |x+ 1− 3| < ε.

Notamos que |x + 1 − 3| = |x − 2| < δ. Luego, si dado cualquier ε > 0 escogemosδ = ε, se tendrá lo pedido.

3. lımx→2

1− 3x = −5

Dem. Debemos probar que dado cualquier ε > 0 podemos encontrar un δ > 0 tal quesiempre que |1− 3x| < δ ⇒ |1− 3x− (−5)| < ε.

Notamos que |1− 3x− (−5)| = |6− 3x| = 3|x− 2| < 3δ. Luego, si dado cualquier ε > 0

escogemos δ =ε

3, se tendrá lo pedido.

4. lımx→2

x2 − x− 2

x− 2= 3

Dem. Debemos probar que dado cualquier ε > 0 podemos encontrar un δ > 0 tal que

siempre que |x− 2| < δ ⇒∣∣∣∣x2 − x− 2

x− 2− 3

∣∣∣∣ < ε.

Notamos que∣∣∣∣x2 − x− 2

x− 2− 3

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣(x+ 1)(x− 2)

x− 2− 3

∣∣∣∣ = |x− 2| < δ. Luego, si dado

cualquier ε > 0 escogemos δ = ε, se tendrá lo pedido.

84

Verónica Gruenberg Stern 4.3. EL CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

5. lımx→2

x2 + x+ 1 = 7

Dem. Debemos probar que dado cualquier ε > 0 podemos encontrar un δ > 0 tal quesiempre que |x− 2| < δ ⇒ |x2 + x+ 1− 7| < ε.

Notamos que |x2 + x+ 1− 7| = |x2 + x− 6| = |(x+ 3)(x− 2)|El factor |x − 2| puede acotarse por δ. ¿Cómo acotamos el factor |x + 3|? Supongamos queexiste un δ1 que nos permite esto, digamos δ1 = 1. Entonces:

|x− 2| < 1 ⇒ −1 < x− 2 < 1 ⇒ 4 < x+ 3 < 6. Luego, |x+ 3| < 6.

Así, podemos acotar: |(x+ 3)(x− 2)| < 6|x− 2| < 6δ2. Para que esto sea menor que ε,bastaría escoger δ2 =

ε

6.

Pero, ya teníamos supuesto un valor para δ : δ1 = 1. Notamos que, si un valor de δ sirve paraprobar la desigualdad, cualquier valor menor también servirá. Luego, escogemos finalmente,

δ = min{δ1, δ2} = min{

1,ε

6

}6. lım

x→2

x

x+ 1=

2

3

Dem. Debemos probar que dado cualquier ε > 0 podemos encontrar un δ > 0 tal que

siempre que |x− 2| < δ =⇒∣∣∣∣ x

x+ 1− 2

3

∣∣∣∣ < ε.∣∣∣∣ x

x+ 1− 2

3

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣3x− 2x− 2

3x+ 3

∣∣∣∣ =|x− 2|3|x+ 1| <︸︷︷︸

↓

|x− 2|6

<δ

6∴ basta escoger δ = 6ε.

︷︸︸︷x «cerca» de 2 ⇒ 1 < x < 3 ⇒ 2 < x+ 1 < 4 ⇒ 1

4<

1

x+ 1<

1

2

7. lımx→a

√x =√a

Dem. Deberemos considerar 2 casos: a > 0 ∧ a = 0.

a > 0 : Notamos que:

∀x ≥ 0 :√x−√a =

√x+√a√

x+√a·(√x−√a

)=

x− a√x+√a

de donde|√x−√a| ≤ |x− a|√

a≤ δ√

a

por lo que, dado cualquier ε > 0 basta tomar δ <√a ε.

a = 0 : En este caso, |√x| = √x < ε siempre que

0 < x < ε2 = δ ∧ x ∈ Domf, donde f(x) =√x. Es decir, escogemos δ = ε2.

85

8. Considere la función g(h) =f(x+ h)− f(x)

h, donde f(x) = mx+ b , m 6= 0.

Calcular lımh→0

g(h).

Solución:

lımh→0

g(h) = lımh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lım

h→0

m(x+ h) + b−mx− bh

= lımh→0

mh

h= m

EJERCICIOS: Demuestre los siguientes límites:

1. lımx→4

x2 − 3x+ 1 = 5

2. lımx→1

1

x= 1

3. lımx→1

1 + x2

x+ 2=

2

3

4. lımx→1

x2 − 4

x= −3

5. lımx→a

x2 = a2

6. lımx→a

xn = an

7. lımx→a

3√x = 3√a

8. lımx→1

x2 + x− 2

x+ 3= 0

9. Sea ε = 0, 1. Determine δ > 0 de modo que |x − 2| < δ =⇒ |x2 − 4| < ε. Repita paraε = 0, 01 y ε = 0, 001.

10. Sea ε = 0, 01. Determine δ > 0 de modo que |x− 3| < δ =⇒∣∣∣∣ x− 1

2(x+ 1)− 1

4

∣∣∣∣ < ε.

11. Sea ε = 0, 01. Determine δ > 0 de modo que |x− 2| < δ =⇒∣∣√4x+ 1− 3

∣∣ < ε.

PROPOSICIÓN 4.3.1 Sea f : D ⊆ R → R una función tal que D contiene una vecindad perforadade a. Entonces,

lımx→a

f(x) = L ⇐⇒ lımx→a

(f(x)− L

)= 0

TEOREMA 4.3.1 (Unicidad del límite)Si lım

x→af(x) = L1 y lım

x→af(x) = L2, entonces L1 = L2.

Dem. Dado cualquier ε > 0 :lımx→a

f(x) = L1 ⇒ ∃δ1 > 0 : 0 < |x− x0| < δ1 ⇒ |f(x)− L1| <ε

2∧

lımx→a

f(x) = L2 ⇒ ∃δ2 > 0 : 0 < |x− x0| < δ2 ⇒ |f(x)− L2| <ε

2

∴ |L1 − L2| = |L1 − f(x) + f(x)− L2| ≤ |L1 − f(x)|+ |f(x)− L2| < ε2 + ε

2 = ε

86

Verónica Gruenberg Stern 4.3. EL CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

∴ L1 − L2 = 0(

Si no, sea ε =|L1 − L2|

2> 0⇒ |L1−L2| <

|L1 − L2|2

⇒ |L1 − L2|2

< 0)

.

DEFINICIÓN 4.3.2 (Límite lateral derecho) Sea f una función definida ∀x ∈ I = ]a, c[. Entonces,el límite de f(x), cuando x tiende a a por la derecha es L, lo que denotamos por:

lımx→a+

f(x) = L

si ∀ε > 0 ∃δ > 0 : a < x < a+ δ =⇒ |f(x)− L| < ε

DEFINICIÓN 4.3.3 (Límite lateral izquierdo) Sea f una función definida ∀x ∈ J = ]d, a[. Enton-ces, el límite de f(x), cuando x tiende a a por la izquierda es L, lo que denotamos por:

lımx→a−

f(x) = L

si ∀ε > 0 ∃δ > 0 : a− δ < x < a =⇒ |f(x)− L| < ε

TEOREMA 4.3.2 El lımx→a

f(x) existe y es igual a L si y sólo si lımx→a−

f(x) y lımx→a+

f(x) existen

y son iguales a L.

Dem.

∀ε > 0 ∃δ1 > 0 ∃δ2 > 0 :

{a < x < a+ δ1 ⇒ |f(x)− L| < ε

a− δ2 < x < a ⇒ |f(x)− L| < ε

∴ a− δ2 < x < a+ δ1 ⇒ |f(x)−L| < ε. Tomando δ = min{δ1, δ2}, se tiene lo pedido.

EJEMPLOS:

1. Demostrar que lımx→0

x

|x| no existe.

Dem. Calculamos los límites laterales:

lımx→0+

x

|x| = lımx→0+

x

x= 1 y lım

x→0−

x

|x| = lımx→0−

x

−x = −1

Como los límites laterales difieren, el límite pedido no existe.

2. Si f (x) = x+ [x], analizar la existencia de lımx→1

f (x)

Dem. Notamos que si x se acerca a 1 por la derecha, [x] = 1, y que si x se acerca a 1por la izquierda, [x] = 0. Entonces:

lımx→1+

x+ [x] = lımx→1+

x+ 1 = 2 y lımx→1−

x+ [x] = lımx→1+

x+ 0 = 1

Como los límites laterales difieren, el límite pedido no existe.

87

3. Si f (x) =

{ax+ 1 si x < 1

3x+ 2a si x ≥ 1, ¿qué valor debe tener a para que lım

x→1f (x) exista?

Dem. Para que este límite exista, necesitamos que los límites laterales coincidan.

lımx→1−

ax+ 1 = lımx→1+

3x+ 2a ⇒ a+ 1 = 3 + 2a ∴ a = −2

OBSERVACIÓN: Notar que si hubiésemos considerado

f (x) =

ax+ 1 si x < 1

3x+ 2a si x > 1

π si x = 1

, o incluso f (x) =

{ax+ 1 si x < 1

3x+ 2a si x > 1

el valor de a es el mismo para que el límite señalado exista.

4.4. Algebra de Límites

Sean f, g : A ⊆ R→ R funciones, y sea a ∈ R tal que los siguientes límites existen:

lımx→a

f(x) = L1 y lımx→a

g(x) = L2

Entonces, se satisfacen las siguientes propiedades:

1. Múltiplo escalar: lımx→a

(λf(x)

)= λL1 ∀λ ∈ R

2. Suma o diferencia: lımx→a

[f(x)± g(x)] = L1 ± L2

3. Producto: lımx→a

[f(x)g(x)] = L1L2

4. Cuociente: lımx→a

f(x)

g(x)=L1

L2, siempre que L2 6= 0

5. Potencia: lımx→a

[f(x)]n = Ln1 , para cualquier entero positivo n

6. Raíz: lımx→a

n√f(x) = n

√L1, para cualquier entero positivo n.

Nota: Si n es par, entonces se debe tener L1 ≥ 0 yf(x) ≥ 0 ∀x en una vecindad perforada de a.

Estas reglas son útiles para el cálculo de límites, lo que veremos en los ejemplos a continuación.En el primer ejemplo mostramos explíncisamente la aplicación de las reglas anteriores.

88

Verónica Gruenberg Stern 4.4. ALGEBRA DE LÍMITES

EJEMPLOS:

1. lımx→2

3x2 + 4x+ 2

x3 − x2 + 1=

lımx→2

3x2 + 4x+ 2

lımx→2

x3 − x2 + 1=

3 lımx→2

x2 + 4 lımx→2

x+ lımx→2

2

lımx→2

x3 − lımx→2

x2 + lımx→2

1=

3 · 4 + 4 · 2 + 2

8− 4 + 1=

22

5

2. lımx→5

√2x+ 6− 4

x− 5= lım

x→5

√2x+ 6− 4

x− 5·√

2x+ 6 + 4√2x+ 6 + 4

= lımx→5

2x+ 6− 16

(x− 5)(√

2x+ 6 + 4)=

1

4

3. Calcular lımx→3

2x− 6

2− |1− x| .

Solución:

Notar que |1− x| ={

1− x si x ≤ 1

−(1− x) si x > 1, de donde «cerca» de x = 3:

lımx→3

2x− 6

2− |1− x| = lımx→3

2(x− 3)

2− [−(1− x)]= lım

x→3

2(x− 3)

2 + 1− x = lımx→3

2(x− 3)

3− x = −2

También permiten, como veremos en el siguiente ejemplo, mostrar la inexistencia de ciertoslímites:

4. Demuestre que lımx→0

1

xno existe.

Dem.: Supongamos que existe y es igual a L y consideremos el límite:

lımx→0

x

x=

lımx→0

1

x· lımx→0

x = L · 0 = 0

lımx→0

x

x= lım

x→01 = 1

La contradicción con el teorema de unicidad del límite surge de suponer que lımx→0

1

xexiste.

OBSERVACIÓN: Este último ejemplo muestra la importancia de la hipótesis de la existencia de loslímites de f y g. En otras palabras, el límite de una suma (o resta o producto) es la suma (o resta oproducto) de los límites solo si los límites respectivos existen.

TEOREMA 4.4.1 (Funciones que coinciden salvo en un punto) Sea I un intervalo abierto y seac ∈ I un número real. Si f(x) = g(x) para todo x ∈ I − {c} y existe el límite de g(x) cuando xtiende a c, entonces también existe el de f(x), y se tiene

lımx→c

f(x) = lımx→c

g(x).

EJERCICIOS:

1. Calcule, si existen, los siguientes límites:

89

a) lımx→1

x3 − xx2 − 1

b) lımx→−1

x2 − x− 2

x+ 1

c) lımh→0

(1 + h)4 − 1

h

d) lımh→0

(2 + h)3 − 8

h

e) lımt→9

9− t3−√t

f ) lımt→0

√2− t−

√2

t

g) lımx→2

x4 − 16

x− 2

h) lımx→9

x2 − 81√x− 3

i) lımx→1

[1

x− 1− 2

x2 − 1

]

2. Determine cada uno de los siguientes límites, si existen. Si no existen, explique por qué.

a) lımx→4

√16− x2

b) lımx→2−

√4 + 2x+ x

c) lımx→−7

|x+ 7|d) lım

x→2−[x]

e) lımx→2

[x]

f ) lımx→2,4

[x]

g) lımx→8+

√x− 8 + [x+ 1]

3. Si n ∈ Z, determine lımx→n−

[x] y lımx→n+

[x]. ¿Para qué valores de a ∈ R existe el lımx→a

[x]?

4. Sea f(x) = x− [x].

a) Grafique f .

b) Si n ∈ Z, calcule lımx→n−

f(x) y lımx→n+

f(x).

c) ¿Para qué valores de a ∈ R existe el lımx→a

f(x)?

TEOREMA 4.4.2 (Límite de una función compuesta ó regla de sustitución) Suponga que

lımx→a

f(x) = L, lımt→t0

g(t) = a y que ∃ c > 0 : g(t) 6= a ∀ t ∈ ]t0 − c, t0 + c[ − {t0}

Entonces:

lımt→t0

(f ◦ g)(t) = L

Dem.:lımx→a

f(x) = L ⇒ ∀ε > 0 ∃η > 0 : 0 < |x− a| < η ⇒ |f(x)− L| < ε

Reemplazando x = g(t): ∀ε > 0 ∃η > 0 : 0 < |g(t)− a| < η ⇒ |f(g(t))− L| < ε

90

Como lımt→t0

g(t) = a, ∀η > 0 ∃δ1 > 0 : 0 < |t− t0| < δ1 ⇒ |g(t)− a| < η

Sea δ = min{δ1, η}. Entonces: ∀ε > 0 :

0 < |t− t0| < δ ⇒ 0 < |g(t)− a| < η ⇒ |f(g(t))− L| < ε

Es decir:lımt→t0

(f ◦ g)(t) = L

OBSERVACIÓN: Notar que si g(x) = a, la propiedad anterior no se cumple.

EJEMPLO 4.4.1 Calculemos

lımx→0

√x+ 1− 1

x

Sea g : [−1,+∞[→ R, con g (x) =√x+ 1 y consideremos

f : R−{1} → R

x → f (x) =x− 1

x2 − 1

Note quelımx→0

g (x) = 1

y g (x) 6= 1 en ]−1, 1[− {0}. Además

lımx→1

(x− 1

x2 − 1

)= lım

x→1

(1

x+ 1

)=

1

2

Entonces, por el teorema:

lımx→0

√x+ 1− 1

x= lım

x→0f (g (x)) = lım

x→1f (x) =

1

2

OBSERVACIÓN: El Teorema anterior se usa habitualmente en la forma de un cambio de variable:hacemos u = g(x) entonces u→ a ⇐⇒ x→ b y lım

x→bf (g (x)) = lım

u→af (u).

En el ejemplo, ponemos u =√x+ 1 entonces u → 1 ⇐⇒ x → 0 entonces (note que

x = u2 − 1):

lımx→0

√x+ 1− 1

x= lım

u→1

u− 1

u2 − 1= lım

u→1

1

u+ 1=

1

2

91


EJEMPLOS:


x− 643√x− 4

.

Solución: Hacemos u = 3√x. Así, si x→ 64, u→ 4. Tenemos entonces:

lımx→64

x− 643√x− 4

= lımu→4

u3 − 64

u− 4= lım

u→4

(u− 4)(u2 + 4u+ 16)

u− 4= lım

u→4u2 + 4u+ 16 = 48


√x− 8

3√x− 4

.

Solución: Hacemos u = 6√x. Así, si x→ 64, u→ 2. Tenemos entonces:

lımx→64

√x− 8

3√x− 4

= lımu→2

u3 − 8

u2 − 4= lım

u→2

(u− 2)(u2 + 2u+ 4)

(u− 2)(u+ 2)= 3


3√x− 1

4√x− 1

.

Sugerencia: Hacer u = 12√x.


√x− 3

3√x− 1− 2

.

5. Calcular, si existe, el siguiente límite:

lımx→0

√x2 + x+ 1− 3

√x3 + x+ 1

x

Solución: Las cantidades subradicales son diferentes, por lo que usamos otro método:

lımx→0

√x2 + x+ 1− 3

√x3 + x+ 1

x= lım

x→0

√x2 + x+ 1− 1− ( 3

√x3 + x+ 1− 1)

x=

= lımx→0

√x2 + x+ 1− 1

x− lım

x→0

3√x3 + x+ 1− 1

x

Calculamos ambos límites separadamente, suponiendo que existen:

lımx→0

√x2 + x+ 1− 1

x= lım

x→0

√x2 + x+ 1− 1

x·√x2 + x+ 1 + 1√x2 + x+ 1 + 1

= lımx→0

x2 + x+ 1− 1

x(√x2 + x+ 1 + 1)

= lımx→0

x(x+ 1)

x(√x2 + x+ 1 + 1)

=1

2

92


lımx→0

3√x3 + x+ 1− 1

x= lım

x→0

3√x3 + x+ 1− 1

x·

3√

(x3 + x+ 1)2 + 3√x3 + x+ 1 + 1√

(x3 + x+ 1)2 + 3√x3 + x+ 1 + 1

= lımx→0

x3 + x+ 1− 1

x(√

(x3 + x+ 1)2 + 3√x3 + x+ 1 + 1)

= lımx→0

x(x2 + 1)

x(√

(x3 + x+ 1)2 + 3√x3 + x+ 1 + 1)

=1

3

Luego:

lımx→0

√x2 + x+ 1− 3

√x3 + x+ 1

x=

1

2− 1

3=

1

6

TEOREMA 4.4.3 (Teorema del Acotamiento o del Sandwich) Sean f, g, h funciones en R.Si h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x en una vecindad de c sin (necesariamente) incluir a c, y

lımx→c

h(x) = L = lımx→c

g(x)

entonces lımx→c

f(x) existe y es igual a L.

EJEMPLOS:

1. Calcule lımx→0

x sen1

x.

Solución:

Sabemos que −1 ≤ sen1

x≤ 1 ∀x ∈ R− {0}. Luego:

−x ≤ x sen1

x≤ x ∀x ∈ R− {0}

Pero ambos límites de los extremos valen 0. Luego, por el teorema del sandwich:

lımx→0

x sen1

x= 0


x2

3x2 − 2x+ sen(πx).

Solución:

Sabemos que −1 ≤ sen(πx) ≤ 1 ∀x ∈ R. Luego:

3x2 − 2x− 1 ≤ 3x2 − 2x+ sen(πx) ≤ 3x2 − 2x+ 1

∴1

3x2 − 2x+ 1≤ 1

3x2 − 2x+ sen(πx)≤ 1

3x2 − 2x− 1∀x ∈ R−

{0, 1,−1

3

}93


∴x2

3x2 − 2x+ 1≤ x2

3x2 − 2x+ sen(πx)≤ x2

3x2 − 2x− 1∀x ∈ R−

{0, 1,−1

3

}Como

lımx→0

x2

3x2 − 2x+ 1= 0 = lım

x→0

x2

3x2 − 2x− 1

se tiene que, por el teorema del sandwich:

lımx→0

x2

3x2 − 2x+ sen(πx)= 0

EJERCICIOS:


√x− 3

3√x− 1− 2

2. En los siguientes, use el teorema del acotamiento para calcular:

a) lımx→1

f(x) si ∀x ∈ R : 1 ≤ f(x) ≤ x2 + 2x− 2.

b) lımx→1

f(x) si ∀x ∈ [0, 2] : 3x ≤ f(x) ≤ x3 + 2.

c) lımx→0

x3 cos(35πx)

d) lımx→0

√x3 + x4 sen

(πx

)3. Pruebe que lım

x→0

|x|√x4 + 4x2 + 7

= 0

4. Pruebe que lımx→0

x2 sen

(1

x

)= 0

4.5. Límites Trigonométricos

Hasta aquí, no hemos calculado límites que involucren funciones trigonométricas, salvo en losejemplos anteriores en los que solamente hemos utilizado el hecho que las funciones sen y cos sonacotadas. En esta sección aplicaremos los teoremas ya vistos a límites de funciones trigonométricas.

EJEMPLOS: Calcule y/o demuestre los siguientes:

94

Verónica Gruenberg Stern 4.5. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS

1. lımx→a

cosx = cos a , ∀a ∈ R.

Dem. Probaremos en primer lugar la desigualdad | senx| ≤ |x| ∀x ∈ R.

0 ≤ x ≤ π

2Sea P un punto en el primer cuadrante, a distancia 1 del origen, y que forma

con el eje x un ángulo de x radianes. Sea Q su reflexión respecto al eje x, y consideremosla circunferencia centrada en el origen que pasa por estos 2 puntos. Luego, la longitud dela cuerda PQ que pasa por P y Q es menor o igual a la longitud del arco PQ, es decir,PQ ≤ PQ. Pero

PQ = 2 senx ∧ PQ = 2x ⇒ senx ≤ x ⇒ | senx| ≤ |x|

x ≥ π

2En este caso, | senx| ≤ 1 <

π

2≤ x = |x|.

Así, hemos probado que ∀x ≥ 0 : | senx| ≤ |x|

x < 0 En este caso, −x > 0 y luego

| senx| = | − senx| = | sen(−x)| ≤ | − x| = |x| ∴ | senx| ≤ |x| ∀x ∈ R

Demostremos ahora que lımx→a

cosx = cos a , ∀a ∈ R :

| cosx− cos a| =∣∣∣∣−2 sen

(x+ a

2

)sen

(x− a

2

)∣∣∣∣ = 2

∣∣∣∣sen

(x+ a

2

)∣∣∣∣ ∣∣∣∣sen

(x− a

2

)∣∣∣∣ ≤≤ 2 · 1 ·

∣∣∣∣sen

(x− a

2

)∣∣∣∣ ≤ 2

∣∣∣∣x− a2

∣∣∣∣ ≤ |x− a| Así, basta escoger δ = ε.

2. Calcular el lımx→a

senx

Solución: Aplicaremos la regla de sustitución para calcular este límite, usando la nota-ción del teorema.

Como senx = cos(x− π

2

), tomamos f(x) = cosx, g(t) = t− π

2.

Como lımx→x0

cosx = cosx0 , lımt→a

g(t) = a− π

2y g(t) 6= a− π

2∀t 6= a, se tiene:

lımt→a

sen t = lımt→a

cos(t− π

2

)= lım

x→a−π2

cosx = cos(a− π

2

)= sen a

95

3. Calcular lımu→π

3

1− 2 cosu

sen(u− π3 )

Solución: Aplicaremos la regla de sustitución de manera más informal que en el ejemploanterior.

Sea u− π3 = x entonces, cuando u −→ π

3 , x −→ 0.

Así: lımu→π

3

1− 2 cosu

sen(u− π3 )

= lımx→0

1− 2 cos(x+ π3 )

senx= lım

x→0

1− cosx+√

3 senx

senx=

= lımx→0

1− cosx

senx· 1 + cosx

1 + cosx+ lımx→0

√3 = lım

x→0

sen2 x

senx(1 + cosx)+√

3 =

= lımx→0

senx

1 + cosx+√

3 = 0 +√

3 =√

3


senx

x= 1

Dem. Consideremos una circunferencia de radio 1 centrada en el origen. SeaQ un puntoen el primer cuadrante fuera de la circunferencia, de modo que su proyección sobre el eje xsea el punto (1, 0). Tracemos el segmento que une el origen con Q y sea P el intercepto deeste segmento con la circunferencia; llamemos R y S a las proyecciones sobre el eje x de P yQ, respectivamente.

Si denotamos por AB a la longitud del arco de circunferencia entre A y B, y por AB a lalongitud del segmento AB, entonces:

PR ≤ PS ≤ QS

Así, si 0 < x <π

2:

PR = senx PS = x QS = tanx

Luego:senx ≤ x ≤ tanx

(senx ≤ x ⇒ senx

x≤ 1

)∧

(x ≤ tanx ⇒ cosx ≤ senx

x

)Por lo tanto, si 0 < x <

π

2:

cosx ≤ senx

x≤ 1

Ahora, −π2≤ x ≤ 0 ⇒ π

2≥ −x ≥ 0, y aplicando el resultado anterior a −x:

cos(−x) ≤ sen(−x)

−x ≤ 1

96


Usando las propiedades de paridad de las funciones involucradas:

cosx ≤ + senx

+x≤ 1

Así:

cosx ≤ senx

x≤ 1 ∀x ∈

]−π

2, 0[∪]0,π

2

[Como lım

x→0cosx = 1 y lım

x→01 = 1 ⇒ lım

x→0

senx

x= 1

Obs.: Como consecuencia inmediata se tiene que lımx→0

x

senx= lım

x→0

1senx

x

=lımx→0

1

lımx→0

senx

x

= 1


1− cosx

x= 0

Dem.

lımx→0

1− cosx

x= lım

x→0

1− cosx

x· 1 + cosx

1 + cosx= lım

x→0

sen2 x

x(1 + cosx)= lım

x→0

senx · senx

x(1 + cosx)=

= lımx→0

senx

x· lımx→0

senx

1 + cosx= 1 · 0 = 0

6. Demuestre que lımx→0+

sen

√1 +

1

x− sen

√1

x= 0

Dem.

lımx→0+

sen

√1 +

1

x− sen

√1

x= lım

x→0+2 cos

√

1 + 1x +

√1x

2

sen

√

1 + 1x −

√1x

2

=

= lımx→0+

2 cos

√

1 + 1x +

√1x

2

sen

(x

2√x (√x+ 1 + 1)

)=

= lımx→0+

2 cos

√

1 + 1x +

√1x

2

sen

( √x

2 (√x+ 1 + 1)

)

Como −1 ≤ cos

√

1 + 1x +

√1x

2

≤ 1 ∧ lımx→0+

sen

( √x

2 (√x+ 1 + 1)

)= 0

se tiene que lımx→0+

2 cos

√

1 + 1x +

√1x

2

sen

( √x

2 (√x+ 1 + 1)

)= 0

de donde lımx→0+

sen

√1 +

1

x− sen

√1

x= 0

97



x− sen(ax)

x+ sen(bx)

Dem. Para calcular este límite, debemos analizarlo según los valores de a y b.

Caso (i): ab 6= 0, b 6= −1:

lımx→0

x− sen(ax)

x+ sen(bx)= lım

x→0

x(

1− a sen(ax)ax

)x(

1 + b sen(bx)bx

) =1− a1 + b

Caso (ii): a 6= 0, a 6= 1 b = −1:

lımx→0

x− sen(ax)

x+ sen(bx)= lım

x→0

x− sen(ax)

x− sen(x)= lım

x→0

(1− a sen(ax)

ax

)(

1− sen(x)x

) , que no existe.

Caso (iii): a = 1, b = −1:

lımx→0

x− sen(ax)

x+ sen(bx)= lım

x→0

x− sen(x)

x− sen(x)= 1

Caso (iv): ab 6= 0:

• a = 0, b 6= 0: lımx→0

x

x+ sen(bx)=

lımx→0

1

1 + b sen(bx)bx

=1

1 + bsi b 6= −1

lımx→0

x

x− senxque 6 ∃, si b = −1

• a 6= 0, b = 0: lımx→0

x− sen(ax)

x= 1− a

• a = 0, b = 0: lımx→0

x

x= 1

EJERCICIOS:

1. lımx→π

3

senx

x

2. lımx→0

sen 7x

sen 3x

3. lımx→π

1− sen x2

x− π

4. lımx→π

3

sen(x− π3 )

1− 2 cosx

5. lımx→π

4

senx− cosx

1− tanx

6. lımx→0

senxn

(senx)m

7. lımx→0

x3

tan3(2x)

8. lımx→0

sen 3x2 + x3

x2

9. lımx→0

√1 + senx−

√1− senx

tanx

10. lımx→0

x(√

1 + senx−√

1− senx)

sec2(2x)− 111. lım

x→0

1 + senx− cosx

1− senx− cosx

98


4.5.1. El número e como límite

Una extensión natural del límite encontrado para la sucesión{(

1 +1

n

)n}es considerar la

variable continua x ∈ R.

DEFINICIÓN 4.5.1 Definimos el número de Euler e como

lımx→∞

(1 +

1

x

)x= e

OBSERVACIÓN: Si hacemos el cambio de variable u =1

xvemos que cuando x tiende a∞,

u tiende a 0. Luego, equivalentemente, es posible decir que

lımu→0

(1 + u)1u = e

EJEMPLOS:

1. lımx→∞

(1 +

a

x

)x=︸︷︷︸u=x

a

lımu→∞

(1 +

1

u

)au= lım

u→∞

[(1 +

1

u

)u]a= ea

2. lımx→∞

(x+ 1

x− 1

)x= lım

x→∞

(x− 1 + 2

x− 1

)x= lım

x→∞

(1 +

2

x− 1

)x= lım

x→∞

(1 +

2

x− 1

)x−1

·(

1 +2

x− 1

)= lım

x→∞

(1 +

2

x− 1

)x−1

· lımx→∞

(1 +

2

x− 1

)= e2 · 1 = e2

3. lımx→∞

x (ln(x+ 1)− lnx) = lımx→∞

x lnx+ 1

x= lım

x→∞ln

(1 +

1

x

)x= ln lım

x→∞

(1 +

1

x

)x= 1

EJERCICIOS: Calcule los siguientes:

1. lımx→∞

(3x+ 1

3x− 5

)2x

2. lımx→∞

(2x+ 1

2x− 3

)x+5

3. lımx→∞

(4x− 3

4x+ 5

)3x+1

4. lımx→∞

(x+ sen(πx2 )

2x+ 1

)x

5. lımx→∞

(2x+ 1

2x+ 4

) x2

x+1

6. lımx→∞

(1− 1

x2

)x

7. lımx→∞

(1 + 3x

2 + 3x

)x2+1x−3

8. lımx→∞

(2x+ 4

3x+ 5

)x−3

99


4.6. Asíntotas

Como una aplicación de los límites al infinito, revisaremos el concepto de asíntota. Las gráficasde ciertas funciones poseen la característica de «aproximarse» (pero no intersectar) a una rectaen ciertas condiciones. Cuando la variable independiente x se acerca a cierto valor finito (que nopertenece al Domf ), este valor define una recta vertical (sin pendiente o pendiente infinita) a la cualla gráfica de la función se acerca. Cuando la variable independiente x toma valores arbitrariamentegrandes o pequeños, la gráfica de la función puede acercarse a una recta horizontal u oblicua. Estasrectas reciben el nombre de asíntotas. Más precisamente:

DEFINICIÓN 4.6.1 La recta x = a se llama asíntota vertical de la curva y = f(x) si se satisface unade las siguientes condiciones:

lımx→a

f(x) =∞, lımx→a+

f(x) =∞, lımx→a−

f(x) =∞

lımx→a

f(x) = −∞, lımx→a+

f(x) = −∞, lımx→a−

f(x) = −∞

DEFINICIÓN 4.6.2 Sea f :]a,∞[−→ R una función. Si el límite

lımx→∞

f(x) = L ∈ R

entonces la recta y = L se llama asíntota horizontal de f .

DEFINICIÓN 4.6.3 Sea f :]−∞, b[−→ R una función. Si el límite

lımx→−∞

f(x) = L ∈ R

entonces la recta y = L se llama asíntota horizontal de f .

DEFINICIÓN 4.6.4 La recta y = ax+ b es una asíntota oblicua para f ssi

lımx→±∞

f(x)− ax− b = 0

OBSERVACIÓN: lımx→±∞

f(x)− (ax+ b) = 0 ⇔ lımx→±∞

f(x)

x− a− b

x= 0

∴ lımx→±∞

f(x)

x= a y luego lım

x→±∞f(x)− ax = b

EJEMPLOS: Determine, si hay, las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes:

100

Verónica Gruenberg Stern 4.7. CONTINUIDAD

1. f(x) =1

x.

Solución: Claramente, x = 0 es una asíntota vertical, y como lımx→∞

1

x= 0, se tiene que

y = 0 es una asíntota horizontal.

2. f(x) =2x+ 3

5− x .

Solución: Claramente, x = 5 es una asíntota vertical, y como lımx→∞

2x+ 3

5− x = −2, se

tiene que y = −2 es una asíntota horizontal.

3. f(x) =x2 + 1

x2 − 1.

Solución: Claramente, x = 1 y x = −1 son asíntotas verticales, y como

lımx→∞

x2 + 1

x2 − 1= 1, se tiene que y = 1 es una asíntota horizontal.

4. f(x) =2x2 + 3

x+ 5.

Solución: Claramente, x = −5 es un asíntota vertical, y la función no tiene asíntotashorizontales. Sin embargo:

lımx→∞

f(x)

x= lım

x→∞

2x2 + 3

x(x+ 5)= 2.

Luego, hay una asíntota de la forma y = 2x+ b. Para determinar b, calculamos:

lımx→∞

f(x)− 2x = lımx→∞

2x2 + 3

x+ 5− 2x = lım

x→∞

2x2 + 3− 2x2 − 10x

x+ 5= lım

x→∞

3− 10x

x+ 5= −10

Así, la asíntota oblicua es la recta y = 2x− 10.

4.7. Continuidad

Consideremos las funciones

f(x) =

{ senx

xsi x 6= 0

−3 si x = 0y g(x) = x2 + 2x+ 5

Notemos que si bien el límite de ambas funciones cuando x tiende a 0 existe, no correspondeen ambos casos, a la función evaluada en el punto. Más precisamente,

lımx→0

f(x) = 1 6= f(0) = −3 ∧ lımx→0

g(x) = 5 = g(0)

El concepto de continuidad da cuenta de esta situación.

101

DEFINICIÓN 4.7.1 (Continuidad en un punto) Supongamos que la función f está definida en al-gún intervalo abierto que contiene al número a. Se dice que f es continua en a si se satisfacen lassiguientes dos condiciones:

i) lımx→a

f(x) existe; ii) lımx→a

f(x) = f(a)

Si alguna de las anteriores condiciones no se cumple en a, entonces se dice que la función f esdiscontinua en ese punto.

Equivalentemente, f es continua en a si

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : (x ∈ Dom (f) ∧ |x− a| < δ) =⇒ |f(x)− f(a)| < ε.

DEFINICIÓN 4.7.2 (Función continua) Sea f una función cuyo domino es, o bien R, o bien estáformado por la unión de intervalos abiertos. Decimos que f es una función continua si es continuaen cada punto de su dominio.

EJEMPLOS:

1. Si m,n ∈ R son constantes, entonces f(x) = mx+ n es una función continua en todo R.

2. En general, los polinomios de grado n son funciones continuas en todo R.

3. Las funciones f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x) son continuas en todo número real.

4. La función f(x) = [x] es continua en cada intervalo de la forma ]s, s + 1[ , s ∈ Z y es discon-tinua en todos los s ∈ Z.

5. La función

f(x) =

|x|x

si x 6= 0

0 si x = 0

no es continua en x = 0 pues lımx→0+

f(x) 6= lımx→0−

f(x), por lo tanto no existe lımx→0

f(x).

6. Determine A,B ∈ R tal que f(x) =

−2 senx si x ≤ −π

2

A senx+B si −π2 < x < π

2

cosx si x ≥ π2

sea continua en

todo R.

Solución: f es continua en los intervalos ] −∞, −π2 [, ] − π

2 ,π2 [ y ]π2 , ∞[. Para que

sea continua en los puntos −π2 y π

2 , se debe cumplir:

lımx→−π

2−f(x) = lım

x→−π2+f(x) ∧ lım

x→π2−f(x) = lım

x→π2+f(x)

102

⇐⇒ lımx→−π

2−−2 senx = lım

x→−π2+A senx+B ∧ lım

x→π2−A senx+B = lım

x→π2+

cosx

⇐⇒ 2 = −A+B ∧ A+B = 0 =⇒ A = −1 , B = 1

7. La función

f(x) =

{x si x ∈ Q−x si x 6∈ Q

es continua en x = 0. ¿Es continua en algún otro punto?

Solución: Veamos que f es continua en 0: sea ε > 0; buscamos δ > 0, tal que0 < |x− 0| < δ ⇒ |f(x)| < ε.Tomando δ = ε:

Si x ∈ Q: |x− 0| < δ ⇒ |f(x)| = |x| < δ = ε

Si x 6∈ Q: |x| < δ ⇒ |f(x)| = | − x| = |x| < δ = ε

De este modo lımx→0

f(x) = f(0) = 0

4.7.1. Algebra de Funciones Continuas

TEOREMA 4.7.1 (Álgebra de funciones continuas) Sean f, g dos funciones continuas en a; enton-ces

1. f + g es continua en a;

2. f − g es continua en a;

3. f · g es continua en a;

4.f

ges continua en a, siempre que g(a) 6= 0.

EJEMPLOS:

1. Las funciones f(x) = senx y g(x) = cosx son continuas en todo R. Por lo tanto:h1(x) = 3 senx− 5 cosx , h2(x) = senx · cosx son continuas en todo R.La función h3(x) =

senx

cosxes continua en todos los x ∈ R : cosx 6= 0.

103

2. La función f(x) =(x+ 1)2(x− 2)(x+ 3)

(x− 1)(x− 4)es continua en R− {1, 4}.

TEOREMA 4.7.2 (Límites y continuidad) Sea f una función continua en x = a. Si g es una funcióntal que lım

x→bg (x) = a entonces

lımx→b

f (g (x)) = f (a)

es decir

lımx→b

f (g (x)) = f

(lımx→b

g (x)

)= f (a)

OBSERVACIÓN: Se dice que, bajo estas condiciones, el límite puede ingresar al argumento de lafunción.

EJEMPLOS:

1. Sea h(x) =√

8 + x2. Calcular lımx→1

h(x).

Aplicando el teorema anterior: lımx→1

√8 + x2 =

√lımx→1

8 + x2 =√

9 = 3

2. Verificar que lımx→0

ln

(x2 − 1

x− 1

)= 0.

Aplicando el teorema: lımx→0

ln

(x2 − 1

x− 1

)= ln

(lımx→0

(x2 − 1

x− 1

))= ln

(lımx→0

x+ 1)

= ln 1 = 0

TEOREMA 4.7.3 (Composición de funciones continuas) Sean f : D ⊆ R→ R y g : E ⊆ R→ R

funciones. Si f es continua en a ∈ D y g es continua en f (a) ∈ E entonces g ◦ f es continua en a,que podemos escribir en la forma

lımx→a

(g ◦ f) (x) = g(

lımx→a

f (x))

= g (f (a))

Dem.: Sean f y g continuas en a y f (a) respectivamente. Sea ε > 0; como g es continua en f (a)

existe un ρ > 0 tal que

|y − f (a)| < ρ ⇒ |g (y)− g (f (a))| < ε

Como f es continua en a, existe δ > 0 tal que

|x− a| < δ ⇒ |f (x)− f (a)| < ρ

De esta forma, si |x− a| < δ entonces |f (x)− f (a)| < ρ y entonces |g (f (x))− g (f (a))| < ε

es decir, g ◦ f es continua en a.

104


OBSERVACIÓN: Este teorema, que se puede leer como « la composición de funciones continuas escontinua», nos permite evaluar con facilidad límites como

lımx→0

cos(sen

(x2))

= cos(

lımx→0

sen(x2))

= cos(

sen(

lımx→0

(x2)))

= cos (sen (0)) = cos (0) = 1

de manera directa:

lımx→0

cos(sen

(x2))

= cos (sen (0)) = cos (0) = 1

EJEMPLOS:

Si f es continua en a, entonces |f | es continua en a.

Si f es continua en a, y si f(a) > 0, entonces√f es continua en a.

DEFINICIÓN 4.7.3 (Continuidad por la derecha) Se dice que la función f es continua por la dere-cha en a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. f(a) existe (a ∈ dom (f));

2. lımx→a+

f(x) existe;

3. lımx→a+

f(x) = f(a).

DEFINICIÓN 4.7.4 (Continuidad por la izquierda) Se dice que la función f es continua por la iz-quierda en a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. f(a) existe (a ∈ dom (f));

2. lımx→a−

f(x) existe;

3. lımx→a−

f(x) = f(a).

DEFINICIÓN 4.7.5 (Continuidad en un intervalo cerrado) Se dice que una función, cuyo dominiocontiene al intervalo cerrado [a, b] es continua en el intervalo cerrado [a, b] si y sólo si es continuaen el intervalo abierto ]a, b[, así como continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b.

DEFINICIÓN 4.7.6 (Continuidad en un intervalo semiabierto) Una función cuyo dominio incluyeal intervalo semiabierto [a, b[ (respectivamente ]a, b]) es continua en [a, b[ (respectivamente en]a, b]) si y sólo si es continua en el intervalo abierto ]a, b[ (para ambos casos) y es continua por laderecha en a (respectivamente, por la izquierda en b).

105

EJERCICIOS:

1. Analice la continuidad de f(x):

f(x) =

{cos π2x si −1 ≤ x ≤ 1

|x− 1| si |x| > 1

2. Dada la función

f(x) =

{x2 − 2ax+ 3b si x ≤ 1

ax3 − 3ax2 + 2bx si x > 1

Determinar a, b ∈ R de modo que la función sea continua en R.

3. Determine k ∈ R de modo que f sea continua enπ

2, si

f(x) =

{kx− 4 si x ≥ π

2

x cosx− x

2 cosxsi x < π

2

4. ¿Para qué valor de n y m se tiene que f es continua en x = 0?

f(x) =

sen(nx)− sen(mx)

xsi x < 0

nx+ 5 si x = 0

m√

4x2 + x3

xsi x > 0

5. Determine si f es continua en x = 0, donde

f(x) =

x3 + 27

x2 − 9si x ≤ 0

−3 cos(x+ π) si x > 0

6. Sea

f(x) =

a√

1 +√x−√

2

x− 1si x < 1

b si x = 1√|x2 − x+ a| si x > 1

¿Existen a, b ∈ R tal que f sea continua en x = 1?

7. Considere la familia de funciones a un parámetro fα(x), (es decir, para cada valor de α seconsidera la función fα) dada por:

fα(x) =

{α senx si x ≤ π

2

(1− α)x+ α2 si x > π2

Determine para qué valores del parámetro se tiene una función continua, y grafique fα paracada uno de estos valores.

106

4.7.2. Tipos de Discontinuidad

DEFINICIÓN 4.7.7 (Discontinuidad reparable y no reparable) Dada una función f que no es con-tinua en un elemento a (puede o no ser del dominio de la función) diremos que:

1. f tiene una discontinuidad reparable en a, si existe el límite lımx→a

f(x).

2. f tiene una discontinuidad no reparable o irreparable en a, si lımx→a

f(x) no existe.

OBSERVACIÓN: Note que para considerar el límite necesitamos que por lo menos f esté definida“cerca de a”.

EJEMPLOS:

1. Notar que la función f(x) =senx

xtiene una discontinuidad reparable en 0 (0 6∈ Dom(f))

pues f definida como

f(x) =

senx

xsi x 6= 0

1 si x = 0

corresponde a una extensión continua de f .

2. La función f(x) =x2 + 1

3− x tiene una discontinuidad no reparable en x = 3, pues el límite

de f(x) cuando x→ 3 no existe.

3. Considere la función f(x) dada por:

f(x) =

1− x2 si x < 0

2 si 0 ≤ x ≤ 1

2 senπ

2x si 1 < x ≤ 2

a− 2

x+ 2si x > 2

a) ¿Es f(x) continua en x = 0?

b) ¿Es f(x) continua en x = 1?

c) Determine a de modo que f(x) sea continua en el mayor subconjunto de R que seaposible.

d) ¿Es posible hacer que f sea continua en R?

107

Solución:

a) No es continua en x = 0 pues: lımx→0−

f(x) 6= lımx→0+

f(x)

b) Sí es continua en x = 1 pues: lımx→1−

f(x) = lımx→1+

f(x) = f(1)

c) a = 2 pues:

lımx→2−

f(x) = lımx→2−

2 senπ

2x = 0 y lım

x→2+f(x) = lım

x→2+

a− 2

x+ 2=a− 2

4

Como ambos límites deben coincidir:a− 2

4= 0 ⇒ a = 2

d) No es posible pues en x = 0 la discontinuidad es irreparable.

EJERCICIOS:

1. Considere f(x) =

1− |1− x|

xsi x 6= 0

0 si x = 0¿Es f continua en x = 0? ¿Y en x = 1?

2. ¿Es f es continua en x = 1, x = 0, x = −1 donde

f(x) =

x2 − 2x+ 1

x3 − x si x < 1, x 6= 0, x 6= 1

x3 − 3x+ 2

x2 − 1si x > 1

?

3. Estudie la continuidad de f(x) =

x2 cos

(1

x

)si x < 0

0 si x = 0

x3

sen(x2)si 0 < x < 1

4. Considere f(x) =

πa(1− x2)

sen(πx)si 0 < x < 1

x+ a si x ≥ 1

, a ∈ R. Determine

a) el máximo dominio de continuidad.

b) las discontinuidades de f , distinguiendo reparables e irraparables.

5. Considere la función f(x) = lımn→∞

1

1 + xn, ∀x ≥ 0. Determine si f es continua en su

dominio. ¿Puede bosquejar una gráfica aproximada de y = f(x) ?

6. Estudie la continuidad y bosqueje una gráfica aproximada de f(x) = lımn→∞

x

1 + (2 senx)2n.

108


4.7.3. Teoremas de funciones continuas en intervalos cerrados

TEOREMA 4.7.4 (del Valor Intermedio) Sea f : [a, b] → R continua en el intervalo cerrado [a, b]. Sif(a) 6= f(b), entonces para cada valor y0 entre f(a) y f(b) existe un número c entre a y b tal quef(c) = y0.

OBSERVACIÓN:

1. Geométricamente, el Teorema del valor intermedio (T.V.I.) dice que todos los valores entre f(a)

y f(b) están en el recorrido de f . Dicho de otra manera, si escogemos y0 entre f(a) y f(b), ytrazamos la recta horizontal y = y0, esta recta intersecta la gráfica de y = f(x) en al menos unpunto. Esta es una manera de decir que la gráfica de la función no posee «saltos» o «huecos»,lo que sugiere la idea de poder trazar dicha gráfica sin levantar el lápiz.

2. Notar que basta que f posea un punto de discontinuidad para que no se satisfaga el teorema.La función «parte entera», definida en el intervalo

]12 ,

32

[es un ejemplo de esta situación.

3. No toda función que tiene la propiedad del valor intermedio es continua. Por ejemplo, lafunción f(x) = x− [x], definida en [0, 2] es discontinua en x = 1.

COROLARIO 4.7.1 Sea f : [a, b] −→ R una función continua tal que f(a) y f(b) tienen signosopuestos. Entonces, ∃c ∈ (a, b) : f(c) = 0. (Este es conocido como el Teorema de Bolzano).

EJEMPLOS:

1. Demuestre que existe x0 ∈ R : f(x0) = 0, donde f(x) = x5 − x3 + 2x− 1.

Solución: f es una función continua en R, en particular en el intervalo [0, 1]. Evaluamosen los extremos del intervalo: f(0) = −1 y f(1) = 1. Luego, ∃x0 ∈]0, 1[: f(x0) = 0 esdecir, existe una raíz del polinomio f(x).

2. Sea f(x) = x+ senx− 1. Probar que existe al menos una raíz real de la ecuación f(x) = 0.

Solución: Notamos que f es suma de funciones continuas, por lo que es continua.Evaluamos en 0 y π

2 : f(0) = −1 , f(π2 ) = π2 . Luego, f posee una raíz en el intervalo ]0, π2 [.

3. Considere la curva definida por y = x5+x−2 ¿Es posible afirmar que la recta y = x intersectaa esta curva?

Solución: El problema es equivalente a determinar si ∃x0 ∈ R : x5 + x − 2 = x, esdecir, si ∃x0 ∈ R : x5 − 2 = 0. Aplicando el T.V.I. podemos afirmar que tal x0 existe ypertenece, por ejemplo, al intervalo ]0, 2[.

109

4. La función y = tanx toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo [π/4, 3π/4]

y sin embargo no se anula en él. ¿Contradice esto el teorema de Bolzano?

Solución: No, puesto que, para x =π

2la función no está definida.

5. Considere la función f definida por

f(x) =

{x− 1 si 0 ≤ x ≤ 2

x2 si 2 < x ≤ 3

Para k ∈]3, 4[, ¿existe c ∈ [0, 3] tal que f(c) = k? ¿Por qué no se cumple lo establecido en elteorema anterior?

Solución: Recf = [−1, 1]∪]4, 9[, de donde @y0 ∈]3, 4[ que esté en Recf . Como f no escontinua en x = 2, esto no contradice el T.V.I.

6. Verificar que f(x) = 2x3 − 2x2 − 4x+ 1 tiene tres ceros entre −2 y 2.

Solución: Aplicamos el T.V.I. a la función en tres intervalos contenidos en [−2, 2], por ejemplo[−2,−1], [0, 1] y [1, 2].

7. Verifique el T.V.I. para f(x) =√x+ 1 en el intervalo [3, 24].

Solución: f es continua en [3, 24] y f(3) = 2, f(24) = 5.

Sea y ∈ [2, 5]. Queremos probar que ∃c ∈ [3, 24] : f(c) = y, es decir,√c+ 1 = y.

Despejando c de la ecuación, obtenemos c = y2 − 1. Tal c pertenece a [3, 24], pues si2 < y < 5 ⇒ 4 < y2 < 25 ⇒ 3 < y2 − 1 < 24.

8. Sea f : [0, 1] −→ [0, 1] una función continua. Probar que ∃t ∈ [0, 1] : f(t) = t.

Solución:

Si f(0) = 0 o f(1) = 1, está probado.

Supongamos que f(0) > 0 ∧ f(1) < 1 y consideremos la función g(t) = f(t) − t.Entonces, g es continua. Además:

g(0) = f(0)− 0 > 0

g(1) = f(1)− 1 < 0

}=⇒ g(0) · g(1) < 0

Luego, ∃t ∈ [0, 1] : g(t) = 0, es decir, ∃t ∈ [0, 1] : f(t) = t.

TEOREMA 4.7.5 Sea f : [a, b] −→ R continua. Entonces, f es acotada, es decir,

∃M > 0 : |f(x)| ≤M ∀x ∈ [a, b]

110


TEOREMA 4.7.6 Sea f : [a, b] −→ R continua. Entonces,

∃ x0, x1 ∈ [a, b] : f(x0) ≤ f(x) ≤ f(x1) ∀x ∈ [a, b]

OBSERVACIÓN: Este teorema dice que una función continua definida sobre un intervalo cerradosiempre alcanza su valor máximo y su valor mínimo, en el intervalo.

EJEMPLO 4.7.1 Con un alambre de largo 1[m] se desea construir un marco cuadrado y otro circular.¿Es posible repartir el alambre de modo que la suma de las áreas encerradas sea máxima? ¿Y paraque sea mínima?Solución: Se «corta» el alambre a una distacia x de uno de sus extremos. Tenemos entonces 2trozos de alambre: uno de largo x, con el que construiremos el marco circular, y uno de largo 1−x,con el que construiremos el marco cuadrado. Así:

A2(x) =

(1− x

4

)2

∧ A◦(x) =x2

4π(pues A◦ = πr2, con 2πr = x)

donde A2 y A◦ representan las áreas del cuadrado y círculo, respectivamente. Así, el área totalencerrada es:

A(x) =

(1− x

4

)2

+x2

4π

El problema planteado es equivalente a preguntar si la función

A : [0, 1] −→ R , A(x) =

(1− x

4

)2

+x2

4π

alcanza su valor máximo y su valor mínimo en el intervalo [0,1]. Como la función A es continua, yestá definida sobre un intervalo cerrado, por el teorema anterior sabemos que la respuesta es sí.

Más adelante en el curso veremos cómo determinar los puntos en los que se alcanzan estosvalores extremos.

111

x−√x+ 2√

4x+ 1− 3

2. Estudie la continuidad de la función f : R − {0, 1} −→ R, f(x) =sen (π(x− 1))

x(x− 1)y repare

sus discontinuidades.

3. Si [x] : parte entera de x, determine, justificadamente, el lımn→∞

[n− 1

n

]

4. Determine el valor de a ∈ R de modo que lımx→a

x3 − a3

x4 − a4= 3.

5. Determine los valores de a, b ∈ R de manera que la función

f(x) =

x+ senx

2x− senxsi x < 0

b si x = 0√x+ 4− 2

x+ a si x > 0

sea continua en x = 0.

6. Determine el valor de c > 0 de modo que la función f(x) =

√cx4 + 1 + 2x

4x2 + 3x+ 1tenga como

asíntota horizontal a la recta y = 1 cuando x tiende a infinito.

7. Considere la función f definida en R por:

f(x) =

{x si x ≤ 0

(x− a)2 + b si x > 0

donde a, b ∈ R, con a ≥ 0.

a) Determine qué relación debe existir entre a y b para que f sea continua en todo R.

b) Determine los valores de a y b para que f sea continua en todo R y biyectiva.

c) Para los valores determinados en la parte b), encuentre f−1, la función inversa de f .

8. Sea f la función definida para todo x ∈ R para los cuales tenga sentido la expresión

f(x) =(1− cos(πx))|x− 1|

x2 − x3

a) Determine y clasifique las discontinuidades de f .

b) ¿Es posible extender f , de manera continua, a toda la recta real?

112

9. Calcular los siguientes límites:

a) lımx→0

sen(3x)− sen(5x)√x+ 1− 1

b) lımx→3

x2 −√

27x√3x− 3

10. Calcule lımx→∞

3x1/7 − 4x3/2 + 2(x− π)5/3

sen3 x+ 21/6x5/3 − cosx.

11. Sea f(x) = (cosx)1/x, x ∈ R − {0}. ¿Cómo habría que definir f(0) para que la funciónresultante fuese continua en x = 0?

12. Sea

f(x) =

x2 − 2x+ 1

x3 − x si x < 1 (x 6= 0, x 6= −1)

x3 − 3x+ 2

x2 − 1si x > 1

Calcule lımx→1

f(x).

13. a) lımx→+∞

(√x(x+ a)− x

)b) lım

x→2π

1− cosx

(x− 2π)2

14. Sea g una función continua en x = 0, dada por

g(x) =

x2

f(x)si x 6= 0

0 si x = 0

Calcular:

a) lımx→0

f(x)

f(x) + x2

b) lımx→0

(f(x)

f(x) + x2− 1

)sen

(1

x

)15. Calcular

a) lımx→+∞

(√x(x+ a)− x

)b) lım

x→2π

1− cosx

(x− 2π)2

16. Decida si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique brevemente su respues-ta.

a) lımx→0

sen(

1x

)1/x

= 1

b) Si lımx→x0

(f + g) existe y lımx→x0

f no existe, entonces lımx→x0

g, existe.

c) La función h(x) =

√4− x2

x2 − 4x+ 3es continua en [−2, 2].

113

17. Demostrar, sólo usando la definición de límite: lımx→−1

2x2

3x+ 1= −1.

18. ¿Qué condiciones tienen que satisfacer los parámetros m,n ∈ R, para que:

lımx→0

senmx

sennx= 2?

19. Sean f, g, h funciones tales que ∀x ∈ V vecindad perforada de cero: f(x) ≤ g(x) ≤ h(x).

Si lımx→0

f(x) = L 6= 0, h(x) =senLx

x cosx, calcule lım

x→0g(x).

20. Sea

f(x) =x3/2 +

√x− x− 1√x− 1

a) Determine el dominio de f .

b) ¿Es posible extender continuamente f en x = 1? Si la respuesta es afirmativa, defina fen x = 1. Llame g a esta nueva función. Grafíquela.

c) Deduzca, a partir de la gráfica de g, la gráfica de f .

21. Sea f la función definida por:

f(x) =

{x2 − a; x ≥ 1

a2 − x2; x < 1

Determine para cuáles valores de a ∈ R, f es continua.

22. Sea f(x) definida como

f(x) =

3√

1 + x− 1

senxsi x ∈ (−π/2, π/2)− {0}

a− 2

3si x = 0

encuentre el valor de a para que f(x) sea continua en 0. Justifique.

23. Dada la función

f(x) =

senx− cosx

1− tg x, x >

π

4

A sen 1√2

(x− π

4

)x− π

4

, x <π

4

B, x =π

4

a) ¿Qué valor debe tener A para que exsita el lımx→π

4

f(x)?

b) ¿Qué valor debe tener B para que f sea continua en x =π

4?

114

Capítulo 5

Derivadas

5.1. Introducción

El concepto de derivada es una de las ideas más importantes en la matemática. Es una he-rramienta fundamental, no solo en el ámbito de las ciencias físicas sino también en las cienciassociales. Tiene aplicaciones tan variadas como la resolución numérica de ecuaciones (útil en loscasos en los que no se dispone de una «fórmula» que permita determinar las raíces de la ecuación),aproximación de funciones por otras más sencillas, determinación de las tasas de variación devariables como distancia y velocidad, curvas de demanda en economía, etc.

Consideremos la gráfica de una función y = f(x) como en la figura, y sean x0, x0 + h1, x0 +

h2, x0 + h3 elementos en Domf .

X0 X0+h3 X0+h2 X0+h1

L1

L2

L3

y=f(x)

Consideremos los puntos (x0, y0), (x0+h1, f(x0+h1)), (x0+h2, f(x0+h2)), (x0+h3, f(x0+h3)) enla gráfica de y = f(x). Vemos que las rectas secantes `1, `2, `3 que pasan por(x0, y0), (x0 + h1, f(x0 + h1)), (x0, y0), (x0 + h2, f(x0 + h2)), (x0, y0), (x0 + h3, f(x0 + h3)) res-pectivamente, todas pasan por (x0, y0) y en la medida que x0 + hi está «más cerca» de x0, vanmodificando su pendiente y se aproximan a la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto(x0, f(x0)).

115

CAPÍTULO 5. DERIVADAS Verónica Gruenberg Stern

Más precisamente: recordemos que la ecuación de una recta que pasa por los puntos (x0, y0)

y (x1, f(x1)) está dada por

y − f(x0) =f(x1)− f(x0)

x1 − x0(x− x0)

y haciendo x1 = x0 + h:

y − f(x0) =f(x0 + h)− f(x0)

h(x− x0)

de donde vemos que, si la expresiónf(x0 + h)− f(x0)

htiene sentido para h suficientemente peque-

ño, representará la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (x0, f(x0)). Dela misma manera, podríamos haber considerado la expresión anterior para la ecuación de la recta,

en donde la pendiente de la recta está dada porf(x1)− f(x0)

x1 − x0, es decir, si este cuociente tiene

sentido para x1 → x0, entonces, representará la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x)

en el punto (x0, f(x0)).

X0 X0+h3 X0+h2 X0+h1

L1

L2

L3

y=f(x)

Recta tangente

Cuocientes de la formaf(x1)− f(x0)

x1 − x0aparecen en otros contextos. Supongamos que f(t) re-

presenta la posición de una partícula en un tiempo t 6= t0. Entonces, la expresión

f(t1)− f(t0)

t1 − t0

es la velocidad media de la partícula en el tiempo transcurrido entre t0 y t1 (recordar que v =d

t,

donde d: distancia, y t= tiempo). Así, si t1 «se acerca» a t0, este promedio se aplica a intervalos cadavez más pequeños de tiempo, por lo que tiene sentido pensar en que el límite de este cuociente,cuando t1 → t0, representa la «velocidad instantánea» de la partícula, en el tiempo t = t0.

Es la existencia del límite de este cuociente, el que define el concepto de derivada.

116

Verónica Gruenberg Stern 5.2. EL CONCEPTO DE DERIVADA

5.2. El Concepto de Derivada

DEFINICIÓN 5.2.1 (Derivada) Sea f : I ⊆ R→ R una función, donde I es un intervalo abierto, ysea x0 ∈ I . Diremos que f es derivable en x0 si existe

lımh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h

En tal caso escribimos

f ′ (x0) = lımh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h

y diremos f ′ (x0) es la derivada de f en x0.La derivada de la función f es aquella función, denotada por f ′, tal que su valor en un número x

del dominio de f está dado por

f ′(x) = lımh→0

f(x+ h)− f(x)

h

si este límite existe.Si f ′(x) existe para todo x en el dominio de f , se dice que la función es diferenciable.

OBSERVACIÓN:

1. Haciendo el cambio de variable x = x0 + h reemplazamos en la definición de derivada:

f ′(x0) = lımh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h= lım

x→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

por lo que ambas expresiones son equivalentes.

2. f ′(x0) (la derivada de f en el punto x0) se denota tambiénd

dx

(f(x0)

),

df(x0)

dx,

Dx

(f(x0)

), Dxf(x0).

Consecuentemente, la derivada de una función f (que depende de la variable x) se denota

pord

dx

(f(x)

),

df

dx, Dx

(f(x)

), Dxf .

3. Dom (f ′) ⊆ Dom (f).

EJEMPLOS:

1. f(x) = c (constante) ⇒ f ′(x) = lımh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lım

h→0

c− ch

= 0.

2. f(x) = x ⇒ f ′(3) = lımh→0

f(3 + h)− f(3)

h= lım

h→0

3 + h− 3

h= 1

117


3. f(x) = x2 ⇒ f ′(3) = lımh→0

f(3 + h)− f(3)

h= lım

h→0

(3 + h)2 − 32

h= lım

h→0

6h+ h2

h= 6

En general:

4. f(x) = xn ⇒f ′(x) = lım

h→0

(x+ h)n − xnh

= lımh→0

xn + nxn−1h+ · · ·+ nxhn−1 + hn − xnh

= nxn−1

5. f(x) = ax + b ⇒ f ′(x) = lımh→0

a(x+ h) + b− (ax+ b)

h= a, que corresponde a la

pendiente de la recta.

6. f(x) =√x ∀ x ≥ 0 ⇒

f ′(x) = lımh→0

√x+ h−√x

h= lım

h→0

√x+ h−√x

h

√x+ h+

√x√

x+ h+√x

= lımh→0

h

h(√x+ h+

√x)

=1

2√x

Vemos que 0 6∈ Domf ′, es decir, f no es derivable en x = 0.

7. f(x) = senx ⇒f ′(x) = lım

h→0

sen(x+ h)− sen(x)

h= lım

h→0

senx cosh+ senh cosx− sen(x)

h=

= lımh→0

senx(cosh− 1) + senh cosx

h= lım

h→0

senx(cosh− 1)

h+

senh cosx

h= cos(x)

8. f(x) = cos(x) ⇒ f ′(x) = − sen(x) análogamente.

9. Si f(x) =2x− 1

x− 4determine f ′(3).

f ′(3) = lımh→0

f(3 + h)− f(3)

h= lım

h→0

2(3 + h)− 1

(3 + h)− 4− 5

−1

h= lım

h→0

7h

h(h− 1)= −7

10. Si f(x) = |x|, muestre que f ′(0) no existe.

Basta ver que no existe el siguiente: lımh→0

|0 + h| − |0|h

= lımh→0

|h|h

=

lımh→0+

h

h= 1

lımh→0−

−hh

= −1

EJERCICIOS:

1. Determine f ′(x) si:

a) f(x) = sen2 x

b) f(x) =√x+ 3

c) f(x) =x− 2

x

118

2. Sea f una función monótona (estricta) creciente. Verificar que f ′(x) > 0. Análogamente, sif(x) es monótona (estricta) decreciente verificar que f ′(x) < 0.

3. Hallar mediante la definición, la derivada en x = a de

f(x) =2

2x− 1− 1

x

4. Dada la función continua f(x), determinar f ′(x) y señalar su dominio,

f(x) =

{x+ 2 si x < 1

2x2 − 6x+ 7 si x ≥ 1

5. Sea f : R −→ R una función que satisface las siguientes:

a) f(a+ b) = f(a) · f(b) ∀a, b ∈ R

b) f(0) = 1

c) f ′(0) existe

Probar que f es derivable ∀x ∈ R y, más aún, f ′(x) = f ′(0) · f(x).

5.2.1. Interpretación Geométrica

Vimos en la introducción del concepto de derivada, la manera bastante natural en que aparecela derivada como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función y = f(x). Precisare-mos a continuación estas ideas.

DEFINICIÓN 5.2.2 (Recta Tangente) Sea f : I ⊆ R → R una función derivable en x0 ∈ I , donde Ies un intervalo abierto. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto P (x0, f(x0))

es:

y − f (x0) = f ′(x0) (x− x0)

OBSERVACIÓN: Vemos entonces que f ′(x0) corresponde a la pendiente de la recta tangente a lagráfica de y = f(x) en P .

DEFINICIÓN 5.2.3 (Recta Normal) La recta normal a la gráfica de y = f(x) en un punto P es larecta perpendicular a la recta tangente en ese punto.

119


OBSERVACIÓN:

Si f ′(x0) 6= 0 entonces la recta normal que pasa por (x0, f(x0)) tiene ecuación

y − f (x0) = − 1

f ′(x0)(x− x0)

Si f ′(x0) = 0 entonces la recta normal que pasa por (x0, f(x0)) tiene ecuación x = x0.

EJEMPLOS: Determine las ecuaciones de las rectas tangente y normal en x = 3 para las curvas

a) y = x b) y = x2 c) y =√x

Solución:

a) y = f(x) = x ⇒ f ′(3) =dy

dx(3) = 1 es la pendiente de la recta tangente en el punto.

Luego, la ecuación de esta recta es: y − 3 = 1 · (x− 3) ⇒ y = x obviamente.

La ecuación de la recta normal es y = −x.

b) y = f(x) = x2 ⇒ f ′(3) =dy

dx(3) = 6 ⇒ y − 9 = 6 · (x− 3) ⇒ y = 6x− 9

es la ecuación de la recta tangente.

La ecuación de la recta normal será: y − 9 = −1

6· (x− 3) ⇒ y = −1

6x+

19

2

c) y = f(x) =√x ⇒ f ′(3) =

dy

dx(3) =

1

2√

3⇒ y −

√3 =

1

2√

3· (x− 3) ⇒

y =

√3

6x+

√3

2es la ecuación de la recta tangente.

La ecuación de la recta normal será: y −√

3 = −2√

3 · (x− 3) ⇒ y = −2√

3x+ 7√

3

TEOREMA 5.2.1 Si una función f es diferenciable en x0, entonces f es continua en x0.

Dem.Debemos probar que lım

x→x0f(x) = f(x0), equivalentemente, que lım

h→0f(x0 + h) = f(x0)

o equivalentemente, que lımh→0

f(x0 + h)− f(x0) = 0.

Pero:

lımh→0

f(x0 + h)− f(x0) = lımh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h· h = lım

h→0

f(x0 + h)− f(x0)

h· lımh→0

h = f ′(x0) · 0 = 0

120


donde utilizamos la hipótesis de que f es diferenciable en x0 para escribir el límite como productode dos límites que existen. Luego, f es continua en x0.

OBSERVACIÓN: El recíproco de este teorema es falso, es decir, una función continua en un puntono necesariamente es diferenciable en ese punto. Los siguientes ejemplos muestran esto.

EJEMPLOS:

1. Consideremos f(x) = |x| y veamos que esta función no es diferenciable en x = 0 aunque escontinua allí. (Vimos ya esto anteriormente).

Solución:

a) Claramente f es continua en 0, pues

lımx→0|x| =

lımx→0+

x = 0

lımx→0−

−x = 0por lo que lım

x→0|x| = 0 = f(0).

b) Si f fuese diferenciable en x = 0, debiera existir el límite lımh→0

f(0 + h)− f(0)

h.

Sin embargo,

lımh→0

f(0 + h)− f(0)

h=

lımh→0+

|h|h

= 1

lımh→0−

|h|h

= −1∴ f no es diferenciable en 0.

2. Sea f(x) = x1/3. Muestre que f no es diferenciable en x = 0 aunque es continua en 0.

Solución:

Para ver que f no es diferenciable en x = 0, basta ver que f ′(x) =1

33√x2

no está definida

en este punto.

3. Considere la función

f(x) =

{x si x ≤ 1

1/x si x > 1

Determine, si es posible, la ecuación de la recta tangente a la curva y = f(x) si

a) x = 0 b) x = 2 c) x = 1

121


Solución:

a) Determinamos primero si existe f ′(0), que debiera ser la pendiente de la recta tangente:

f ′(0) = lımh→0

f(0 + h)− f(0)

h= lım

h→0

h− 0

h= 1

Luego, la recta tangente a y = f(x) en x = 0 está dada por:

y − 0 = 1 · (x− 0) =⇒ y = x

b) Determinamos primero si existe f ′(2), que debiera ser la pendiente de la recta tangente:

f ′(2) = lımh→0

f(2 + h)− f(2)

h= lım

h→0

12+h − 1

2

h= lım

h→0

2− (2 + h)

2h(2 + h)= lım

h→0

−h2h(2 + h)

= −1

4

Luego, la recta tangente a y = f(x) en x = 2 está dada por:

y − 1

2= −1

4· (x− 2) =⇒ y = −1

4x+ 1

c) Determinamos primero si existe f ′(1), que debiera ser la pendiente de la recta tangente:

Si f fuese derivable en x = 1, debiera existir el límite lımh→0

f(1 + h)− f(1)

h. Veamos:

lımh→0

f(1 + h)− f(1)

h=

lımh→0+

1

1 + h− 1

h= −1

lımh→0−

1 + h− 1

h= 1

∴ f no es derivable en x = 1

Luego, no existe la recta tangente a la gráfica de y = f(x) en x = 1.

EJERCICIOS:

1. Considere la función f(x) =1

1 + |x| +1

1 + |x− 3| .

a) Determine A ⊆ R de todos los puntos donde f es continua.

b) Determine B ⊆ R de todos los puntos donde f es diferenciable.

2. Determine todos los puntos del intervalo [−1, 2[ en donde la función f(x) = [x] + |x− 1| esderivable.

122

Verónica Gruenberg Stern 5.3. ÁLGEBRA DE DERIVADAS

5.3. Álgebra de Derivadas

TEOREMA 5.3.1 (Álgebra de derivadas) Sean f, g funciones derivables en x ∈ I , donde I es unintervalo abierto en R. Entonces:

1.d

dx

((f ± g)(x)

)= f ′(x)± g′(x)

2.d

dx

(kf(x)

)= kf ′(x) k ∈ R

3.d

dx

(f(x)g(x)

)= f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)

4.d

dx

(f(x)

g(x)

)=f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

[g(x)]2g(x) 6= 0

Dem.:

1.d

dx

((f±g)(x)

)= lım

h→0

(f ± g)(x+ h)− (f ± g)(x)

h= lım

h→0

f(x+ h)± g(x+ h)− (f(x)± g(x))

h=

= lımh→0

f(x+ h)− f(x)

h± lım

h→0

g(x+ h)− g(x)

h= f ′(x)± g′(x)

3.d

dx

(f(x)g(x)

)= lım

h→0

f(x+ h)g(x+ h)− f(x)g(x)

h

= lımh→0

f(x+ h)g(x+ h)− f(x)g(x+ h) + f(x)g(x+ h)− f(x)g(x)

h

= lımh→0

(f(x+ h)− f(x)

)g(x+ h)

h+ lımh→0

f(x)(g(x+ h)− g(x)

)h

= f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)

4.d

dx

(f(x)

g(x)

)= lım

h→0

f(x+ h)

g(x+ h)− f(x)

g(x)

h= lım

h→0

f(x+ h)g(x)− f(x)g(x+ h)

hg(x+ h)g(x)

= lımh→0

f(x+ h)g(x)− f(x)g(x) + f(x)g(x)− f(x)g(x+ h)

hg(x+ h)g(x)

= lımh→0

(f(x+ h)− f(x)

)g(x)

hg(x+ h)g(x)− f(x)

(g(x+ h)− g(x)

)hg(x+ h)g(x)

= lımh→0

(f(x+ h)− f(x)

)h

g(x)

g(x+ h)g(x)− f(x)

g(x+ h)g(x)

(g(x+ h)− g(x)

)h

=f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

[g(x)]2

123


EJEMPLOS:

1. Si f(x) = 7x5 − 2x+ senx, entonces f ′(x) = 35x4 − 2 + cosx.

2. Si f(x) = (x2 + 1)√x+ 4x5 − 5, entonces f ′(x) = 2x

√x+ (x2 + 1)

1

2√x

+ 20x4

3. Si f(x) =x+ senx√

x, entonces f ′(x) =

(1 + cosx)√x− (x+ senx)

1

2√x

x

4. Probar que la recta y = −x es tangente a la curva y = x3 − 6x2 + 8x ¿Cuál es el punto detangencia? ¿Corta esta recta a la curva en otro punto?

Solución:

Veamos, en primer lugar, los puntos en los que la curva se intersecta con la recta (si la rectaes tangente a la curva, al menos debe tocarla en un punto). Igualamos:

x3 − 6x2 + 8x = −x ⇒ x3 − 6x2 + 9x = 0 ⇒ x(x− 3)2 = 0

Luego, se intersectan si x = 0 ó x = 3.

Determinemos las ecuaciones de las rectas tangentes a y = f(x) = x3− 6x2 + 8x en x = 0

y x = 3.

Se tiene quedf

dx= 3x2 − 12x+ 8 de donde

df

dx(0) = 8 ∧ df

dx(3) = −1.

Si x = 0, la ecuación de la recta tangente a y = f(x) es: y − 0 = 8(x− 0) ó y = 8x.

Si x = 3, la ecuación de la recta tangente a y = f(x) es: y + 3 = −(x− 3) ó y = −x.

Por lo tanto, la recta y = −x es tangente a la curva y = x3 − 6x2 + 8x para x = 3.

5. ¿Para qué valores de a, b y c las curvas f(x) = x2 + ax+ b, g(x) = x3 + cx, tienen una rectatangente común en el punto (2, 2)?

Solución: Como (2, 2) pertenece a ambas curvas: f(2) = 4+2a+b = 2, g(2) = 8+2c = 2.

Además, si tienen la misma recta tangente, éstas tendrán la misma pendiente, de donde:df

dx

∣∣∣x=2

=dg

dx

∣∣∣x=2

⇒ (2x+ a)|x=2 = (3x2 + c)|x=2 ⇒ 4 + a = 12 + c

∴

2a+ b = −2

c = −3

a− c = 8

⇒ a = 5, b = −12, c = −3

124


6. Dos atletas se disponen a correr los 100 metro planos. La distancia, en metros, que cada unode ellos recorre en t segundos está dada por

s1(t) =1

5t2 + 8t y s2(t) =

1100t

t+ 100

Determine cuál de los corrredores es el

a) más rápido en la salida.

b) que gana la carrera.

c) más rápido en la llegada.

Solución:

a) La velocidad del atleta 1 en la salida está dada por:

ds1

dt

∣∣∣t=0

=2

5t+ 8

∣∣∣t=0

= 8[m/s]

La velocidad del atleta 2 en la salida está dada por

ds2

dt

∣∣∣t=0

=1100(t+ 100)− 1100t

(t+ 100)2

∣∣∣t=0

= 11[m/s]

Luego, el atleta 2 es más rápido en la salida.

b) Para determinar el tiempo en que el atleta 1 recorre 100[m] resolvemos

100 =1

5t2 + 8t ⇔ t2 + 40t− 500 = 0 ⇔ t = 10[s]

Para determinar el tiempo en que el atleta 2 recorre 100[m] resolvemos

100 =1100t

t+ 100⇔ t+ 100 = 11t = 0 ⇔ t = 10[s]

Luego, ambos atletas llegan simultáneamente a la meta.

c) La velocidad del atleta 1 en la llegada está dada por:

ds1

dt

∣∣∣t=10

=2

5t+ 8

∣∣∣t=10

= 12[m/s]

La velocidad del atleta 2 en la llegada está dada por

ds2

dt

∣∣∣t=10

=1100(t+ 100)− 1100t

(t+ 100)2

∣∣∣t=10

= 9, 9 · · · [m/s]

Luego, el atleta 1 es más rápido en la llegada.

125


7. Sea f(x) la función definida por

f(x) =

{x2 − 5x+ 6 si x ≤ 1

ax+ b si x > 1

Determine a y b de modo que f sea continua y derivable en R.

Solución:

Para que sea continua en x = 1 : 1− 5 + 6 = a+ b

Para que sea diferenciable en x = 1 : 2− 5 = a

}∴ a = −3, b = 5

8. Demuestre que el triángulo formado por los ejes coordenados y la tangente a la curva

xy =a2

2tiene área constante.

Solución:

Consideramos la función y = f(x) =a2

2x. Luego: f ′(x) = − a2

2x2.

Así, la ecuación de la recta tangente a la curva en un punto(x0,

a2

2x0

)está dada por:

y − a2

2x0= − a2

2x20

(x− x0)

Determinamos los interceptos de esta recta con los ejes coordenados:

x = 0 ⇒ y =a2

x0

y = 0 ⇒ x = 2x0

=⇒ A4 =1

2x · y =

1

2· 2x0 ·

a2

x0= a2

EJERCICIOS:

1. Hallar el punto en que la tangente a la recta y = x2−7x+3 es paralela a la recta 5x+y−3 = 0.

2. ¿En qué punto de la curva y2 = 2x3 la tangente es perpendicular a la recta 4x− 3y+ 2 = 0 ?

3. Sean f(x) = x2, g(x) = −x2 + ax + b. Determina a, b ∈ R tal que las gráficas de y = f(x)

e y = g(x) sean tangentes en x = 2.

4. Pruebe que las gráficas de y = f(x) e y = g(x) son tangentes en P , donde

a) f(x) = 2− 3x, g(x) = x2 − 5x+ 3, P = (1,−1)

b) f(x) = x2 + 1, g(x) = −1− 4x− x2, P = (−1, 2)

c) f(x) = x3 − 3x2 + x, g(x) =x

x+ 1, P = (0, 0)

126


5. Determine si existe a ∈ R tal que exista f ′(1), donde

f(x) =

{x+ 1 si x ≤ 1

3− ax2 si x > 1

6. Determine f ′(0) si

f(x) =

{g(x) sen( 1

x) si x 6= 0

0 si x = 0

y se sabe que g(0) = g′(0) = 0.

7. El costo total de producir x unidades de un producto se expresa a veces como una función

C(x) que depende solo de x. El costo promedio por unidad será entoncesC(x)

x. Si se

modifica el número de unidades producidas a, digamos, x+ h, entonces la tasa promedio devariación del costo está dada por

C(x+ h)− C(x)

x+ h− xEl límite de esta razón, cuando h tiende a 0 se llama costo marginal. Es decir, el costo marginales la derivada del costo C ′(x), que representa la tasa de variación del costo por unidad.

Con las definiciones anteriores, resuelva los siguientes problemas.

a) Un fabricante determina que si produce x unidades diarias de su producto, sus costosestán dados por:

un costo fijo de $20.000 diario

un costo de $1000 por unidad diarios

otros costos de $ 2x2 diarios

¿Cuál es su costo promedio por unidad y cuál es su costo marginal? ¿Cuánto debieraproducir de modo que su costo promedio sea mínimo?

b) Un mayorista descubre que los costos fijos de su tienda son de $6.000.000 anuales, yque si su inventario promedia x unidades, entonces los costos de almacenamiento son$20x + 8x3 por año. ¿Cuál es el costo promedio por unidad, y el costo marginal? ¿Quénúmero de unidades x del inventario minimizan el costo medio por unidad?

Aplicaremos ahora el álgebra de derivadas para determinar las derivadas de las funcionestrigonométricas.

127


TEOREMA 5.3.2 (Derivadas de las funciones trigonométricas)

1.d

dx

(tanx

)= sec2 x

2.d

dx

(secx

)= secx tanx

3.d

dx

(cotg x

)= −cosec 2x

4.d

dx

(cosecx

)= −cosecxcotg x

Dem.

1.d

dx

(tanx

)=

d

dx

(senx

cosx

)=

cos2 x+ sen2 x

cos2 x= sec2 x

2.d

dx

(secx

)=

d

dx

(1

cosx

)=

senx

cos2 x= secx tanx

3.d

dx

(cotg x

)=

d

dx

( cosx

senx

)=− sen2 x− cos2 x

sen2 x= − 1

sen2 x= −cosec 2x

4.d

dx

(cosecx

)=

d

dx

(1

senx

)= − cosx

sen2 x= −cosecxcotg x

TEOREMA 5.3.3 (Derivadas de las funciones logaritmo y exponencial)

1.d

dx

(ln(x)

)=

1

x

2.d

dx

(logb(x)

)=

1

ln b· 1

x

3.d

dx

(ex)

= ex

4.d

dx

(bx)

= ln b · bx

Dem.

1.d

dx

(ln(x)

)= lım

h→0

ln(x+ h)− lnx

h= lım

h→0

1

hln

(x+ h

x

)= lım

h→0

1

hln

(1 +

h

x

)

=︸︷︷︸y= x

h

lımy→∞

y

xln

(1 +

1

y

)=

1

xlımy→∞

ln

(1 +

1

y

)y=

1

xln

(lımy→∞

(1 +

1

y

)y)

=1

xln e =

1

x

2. Usando la fórmula del cambio de base y aplicando lo anterior tenemos:d

dx

(logb(x)

)=

d

dx

( lnx

ln b

)=

1

ln b· 1

x

3.d

dx

(ex)

= lımh→0

ex+h − exh

= lımh→0

ex(eh − 1

h

)= ex lım

h→0

(eh − 1

h

)=︸︷︷︸

eh−1=u

ex · lımu→0

u

ln(u+ 1)=

128


= ex · lımu→0

11u ln(u+ 1)

= ex · lımu→0

1

ln(u+ 1)1u

= ex · lımn→∞

1

ln(1 + 1n)n

= ex · 1

lımn→∞

ln

(1 +

1

n

)n =

= ex · 1

ln

(lımn→∞

(1 +

1

n

)n) = ex · 1 = ex donde hemos hecho uso de la continuidad de

la función logaritmo. Luego,d

dx

(ex)

= ex

4.d

dx

(bx)

= lımh→0

bx+h − bxh

= lımh→0

bx(bh − 1

h

)= bx lım

h→0

(bh − 1

h

)=︸︷︷︸

bh−1=u

bx · lımu→0

u

logb(u+ 1)=

= bx lımu→0

u

ln(u+ 1)

ln b

= ln b · bx · lımu→0

u

ln(u+ 1)= ln b · bx

(pues lım

u→0

u

ln(u+ 1)= 1)

OBSERVACIÓN: Notemos que, si b > 0, b 6= 1 :

d

dxbx = lım

h→0

bx+h − bxh

= lımh→0

bxbh − 1

h= bx lım

h→0

bh − 1

h= Kbx

Es decir, la razón de cambio ó tasa de variación de cualquier función exponencial es proporcional a laexponencial. Veremos que esta constante de proporcionalidad K dependerá de la base b.

Por otra parte, si calculamos la derivada de f(x) = logb(x) en x = 1 usando la definición,tenemos:

(logb(x))′∣∣∣x=1

= lımh→0

logb(1 + h)− logb 1

h= lım

h→0

1

hlogb

(1 + h

1

)= lım

h→0logb (1 + h)

1h

=︸︷︷︸logb es continua

logb

(lımh→0

(1 + h)1h

)= logb e

Luego, si la base escogida es b = e , la pendiente será ln e = 1. Este es uno de los motivos depor qué la base e es tan importante en cálculo: es aquella que hace que la pendiente sea igual a 1tanto para el logaritmo, como para la exponencial. Para la función logaritmo, en x = 1 y, simétrica-mente, para la función exponencial en x = 0.

Ahora aplicamos estas observaciones para calcular:

d

dx

(ex)

= lımh→0

ex+h − exh

= lımh→0

ex(eh − 1

h

)= ex lım

h→0

(eh − 1

h

)= ex · 1 = ex

129


donde lımh→0

(eh − 1

h

)= (ex)′

∣∣∣x=0

= 1, pues es la pendiente de la recta tangente a la curva y = ex

en x = 0.

EJERCICIOS:

1. Calcular las derivadas de las siguientes funciones:

a) f (x) =x+ cosx− 1

x2 + ex

b) f (x) = x tanx lnx

c) f (x) =ex − exex + e−x

2. Suponga que una población de 500 bacterias se introduce en un cultivo y aumenta de númerode acuerdo con la ecuación:

P (t) = 500

(1 +

4t

50 + t2

)donde t se mide en horas. Hallar la razón de cambio a la que está creciendo la poblacióncuando t = 2.

3. Determinar si existe algún valor de x en el intervalo [0, 2π) tal que las razones de cambio def(x) = secx y de g(x) = cosecx sean iguales.

5.3.1. Regla de la Cadena

El siguiente teorema señala cómo calcular la derivada de una compuesta de funciones, cuandoambas funciones son derivables. Esta regla permite derivar funciones de expresiones complicadas,de manera bastante sencilla.

TEOREMA 5.3.4 Si y = f(u) es una función derivable de u, y si además u = g(x) es una funciónderivable de x, entonces y = (f ◦ g)(x) = f(g(x)) es una función derivable, con

dy

dx=dy

du· dudx

En otras palabrasd

dx(f ◦ g) (x) = f ′(g(x)) · g′(x)

130


Dem. Presentamos una demostración parcial de este importante teorema, que no contemplatodos los casos pero permite validar su enunciado.

Notamos que:

lımh→0

(f ◦ g)(x+ h)− (f ◦ g)(x)

h= lım

h→0

(f ◦ g)(x+ h)− (f ◦ g)(x)

g(x+ h)− g(x)· g(x+ h)− g(x)

h

lo cual sirve en el caso en que g(x+h) 6= g(x). Aplicamos la propiedad para el producto de límites,cuando éstos existen (como en este caso), y obtenemos el resultado.

EJEMPLOS:

1. Para calculard

dx(x2 − 7x)3, hacemos g(x) = x2 − 7x y f(t) = t3. Luego:

g′(x) = 2x− 7 ∧ f ′(t) = 3t2

∴d

dx(f ◦ g) =

d

dx(f(g(x)) = f ′(g(x)) · g′(x) = 3(x2 − 7x)2 · (2x− 7)

Notar que, en este caso, también podemos efectuar la operación elevar al cubo antes, y luegoderivar:

d

dx(x2 − 7x)3 =

d

dx(x6 − 21x5 + 147x4 − 343x3) = 6x5 − 105x4 + 588x3 − 1029x2

= 3x2(2x3 − 35x2 + 196x− 343) = 3x2(x− 7)2(2x− 7)

lo cual muestra que, si interesa obtener los puntos en los que la derivada se anula, la regla dela cadena resulta ser una herramienta más eficiente, puesto que entrega el polinomio facto-rizado. En el segundo caso, debemos ser capaces de encontrar los ceros de un polinomio degrado 3.

2. Para calculard

dx(sen(ln(x2 + 1))), aplicamos directamente la regla de la cadena:

d

dx(sen(ln(x2 + 1))) = cos(ln(x2 + 1)) · 1

x2 + 1· 2x

Formalmente, debiésemos haber definido:

f(x) = senx, g(x) = lnx, h(x) = x2 + 1

Entonces:

(f ◦ g ◦ h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x2 + 1)) = f(ln(x2 + 1)) = sen(ln(x2 + 1))

de donde

d

dx(sen(ln(x2 +1))) = (f ◦g◦h)′(x) = f ′(g(h(x))) ·g′(h(x)) ·h′(x) = cos(ln(x2 +1)) · 1

x2 + 1·2x

131

3. Para calculard

dx(xx), escribimos:

y = xx

ln y = x lnx

y = ex lnx de donde xx = ex lnx

Entonces,d

dx(xx) =

d

dx(ex lnx) = ex lnx

(lnx+ x

1

x

)= xx(lnx+ 1)

EJERCICIOS:

1. Escriba f(x) como la composición de 2 funciones y también como la composición de 3 fun-ciones. Calcule la derivada de f , si:

a) f(x) =√x2 + 1 b) f(x) =

1√5x− 2

c) f(x) = (3x2 + 7x)5/2

2. Calcular la derivada de las siguientes funciones:

a) f (x) =

√x+

√x+√x

b) f(x) = ax, a > 0, a 6= 1.

c) f(x) = sen2 x · senx2

d) f(x) =sen(x senx)

x

e) f (x) =senx+ cosx

x2 +√x2 + tanx

f ) f(x) = xsenx

g) f(x) = (senx)x

3. Pruebe que si f es una función derivable y es par, entonces f ′ es impar. ¿Qué puede decir sif es impar?

4. Determine la derivada de la función

f(x) =

x3 cos( 1

x2) si x < 0

0 si x = 0√2x3 + x2 si x > 0

5. Verifique la Regla General de las Potencias:Si y = [u(x)]n con u función derivable de x y n número racional, entonces

dy

dx= n[u(x)]n−1du

dx

132

6. Suponga que f(x) es una función diferenciable, y que los valores de f(x) y de sus derivadasen los puntos x = 0, 1, 2 y 3 están dados por:

f(0) = 3 f(1) = 5 f(2) = −3 f(3) = 5

f ′(0) = −1 f ′(1) = 2 f ′(2) = 0 f ′(3) = 4

Si g(x) = x2 − 5x+ 6, determine la derivada de las siguientes en los puntos indicados:

a)f(x)

g(x)

∣∣∣x=0

b) f(x)g(x)∣∣∣x=1

c) f(g(x))∣∣∣x=2

d) (g(f(x))∣∣∣x=3

7. Sea g(x) = f

(x+ 1

x− 1

), ∀x 6= 1 y f ′(x) = x2. Calcular g′(x).

8. Si y = cos(sen 2x)), determinedy

dxen x =

π

6.

9. Determine las constantes A,B ∈ R tal que la siguiente función sea diferenciable en x = 0:

f(x) =

{x5 + x2 + 6 si x < 0

A(cos 3x+ 3 senx) +B(x+ 1) si x ≥ 0

10. Muestre que la función

f(x) =

{x2 sen 1

x si x 6= 0

0 si x = 0

posee derivada ∀x ∈ R pero f ′ no es continua en x = 0.

11. Un recipiente tiene forma de cono circular. La altura es de 10[m] y el radio de la base mide4[m]. Se introduce agua en el recipiente a una velocidad constante de 5[m3] por minuto ¿Conqué velocidad se eleva el nivel del agua cuando la profundidad del agua es de 5[m] si el vér-tice del cono está hacia arriba?

133

5.4. Teoremas importantes sobre funciones derivables

DEFINICIÓN 5.4.1 Sea f : A −→ R, a ∈ A. Diremos que f tiene (o alcanza) en a un:

1. máximo local ó relativo si ∃ ]x1, x2[⊆ A, x1 < a < x2 : f(a) ≥ f(x) ∀x ∈]x1, x2[.

2. mínimo local ó relativo si ∃ ]x1, x2[⊆ A, x1 < a < x2 : f(a) ≤ f(x) ∀x ∈]x1, x2[.

3. máximo absoluto ó mínimo absoluto si las respectivas desigualdades se satisfacen ∀x ∈ A.

TEOREMA 5.4.1 (Teorema de Fermat) Sea f una función diferenciable en el intervalo ]a, b[. En-tonces, si en x0 ∈]a, b[ la función f alcanza un extremo (máximo ó mínimo) relativo, entoncesf ′(x0) = 0.

Dem.Supongamos que f alcanza un máximo relativo en x0 (análogamente se prueba para el caso en

que f alcance un mínimo relativo en x0). Luego,

∃δ > 0 : f(x) ≤ f(x0) ∀x ∈ ]x0 − δ, x0 + δ[

∴ ∃h ∈ R (h cercano a 0) : f(x0 + h)− f(x0) ≤ 0

Luego:

h < 0 ⇒ f(x0 + h)− f(x0)

h≥ 0 ⇒ lım

h→0−

f(x0 + h)− f(x0)

h= f ′(x0) ≥ 0

h > 0 ⇒ f(x0 + h)− f(x0)

h≤ 0 ⇒ lım

h→0+

f(x0 + h)− f(x0)

h= f ′(x0) ≤ 0

Como f es diferenciable en el intervalo, ambos límites laterales deben coincidir, de dondef ′(x0) = 0.

OBSERVACIÓN: La figura ilustra la relación del Teorema con los valores extremos de f .

a x0 x1 x2 x3 x4 x5 b

y = f(x)

134

Verónica Gruenberg Stern 5.4. TEOREMAS IMPORTANTES SOBRE FUNCIONES DERIVABLES

En los puntos x1, x2, x5 y en el intervalo ]x3, x4[ encontramos extremos relativos para f . Seha dibujado la recta tangente a y = f(x) en estos puntos, puesto que en ellos, la función esderivable.

En los puntos a, x0, x3 y b la función no es derivable; sin embargo, f alcanza extremos relati-vos en estos puntos.

DEFINICIÓN 5.4.2 Los puntos x0 ∈ Domf en donde f ′(x0) = 0 se llaman puntos críticos ó singularesde f .

EJEMPLO 5.4.1 Determine los puntos críticos de:

1. f(x) = x3 − 3x2 − 24x+ 8

2. f(x) = 1− 1

x2

Solución:

1. f ′(x) = 3x2 − 6x − 24 = 0 ⇔ (x + 2)(x − 4) = 0 ∴ x = −2 ∧ x = 4 son los puntoscríticos de f .

2. f ′(x) =2

x36= 0 ∀x ∈ R. Por lo tanto, f no tiene puntos críticos.

EJERCICIOS:

1. Encuentre, si existen, los puntos críticos de las siguientes funciones:

a) f(x) = x3 − 3x

b) f(x) = x3 + 3x

c) f(x) = 2x3 − 3x2

d) f(x) = e3x

e) f(x) = 2x+ cosx

f ) f(x) = xe3x

g) f(x) = x3 − 3x2 − 189x+ 285

2. Demuestre que la función f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d tiene exactamente un punto crítico ssib2 = 3ac.

TEOREMA 5.4.2 (Teorema de Rolle) Sea f continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en elintervalo abierto ]a, b[. Si

f(a) = f(b)

entonces, existe al menos un número c en ]a, b[ tal que f ′(c) = 0.

135


Dem.Como f es continua en el intervalo [a, b], f alcanza su máximo y su mínimo en el intervalo, es

decir,∃c0, c1 ∈ [a, b] : f(c0) ≤ f(x) ≤ f(c1) ∀x ∈ [a, b]

Si c0 ∈ ]a, b[: f ′(c0) = 0, por el teorema anterior, y análogamente, si c1 ∈ ]a, b[: f ′(c1) = 0. Sic0, c1 6∈ ]a, b[ entonces c0 = a ó c0 = b y c1 = a ó c1 = b.

Como, por hipótesis, f(a) = f(b) tenemos:

f(c0) = f(a) = f(b) ∧ f(c1) = f(a) = f(b)

Así, ∀x ∈ [a, b]:

f(a) = f(c0) ≤ f(x) ≤ f(c1) = f(a) ⇒ f(x) = f(a)

En otras palabras, f es constante, de donde f ′(c) = 0 ∀c ∈]a, b[ (mucho más que lo que sequería).

f(a)=f(b) f(a)=f(b)

a c b a b

OBSERVACIÓN:

1. Las figuras anteriores ilustran la situación descrita por el teorema de Rolle.

2. La importancia de la hipótesis de la continuidad de f en el intervalo cerrado [a, b] en el teore-ma de Rolle se muestra en el siguiente ejemplo. Considere la función definida en [a, b] por lagráfica:

f(a)=f(b)

a b

En este caso,f(b)− f(a)

b− a = 0 pero @c ∈ ]a, b[: f ′(c) = 0.

136


3. La importancia de la hipótesis de la diferenciabilidad de f en el intervalo abierto ]a, b[ en elteorema de Rolle se muestra en el siguiente ejemplo. Considere la función definida en [a, b]

por la gráfica:

f(a)=f(b)

a b

En este caso, tampoco existe tal c, pues f no es diferenciable en todo el intervalo.

TEOREMA 5.4.3 (Teorema del Valor Medio) Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y deriva-ble en el intervalo abierto ]a, b[, existe un número c en ]a, b[ tal que

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− aDem.

Demostraremos el teorema aplicando el Teorema de Rolle a la función:

g(x) = f(x)− f(a)− f(b)− f(a)

b− a (x− a)

Notemos que g(a) = 0 y g(b) = 0. Además, g es continua en [a, b] pues f lo es. Luego, galcanza sus extremos en el intervalo, es decir, existen m,M ∈ [a, b] :

g(m) ≤ g(x) ≤ g(M) ∀x ∈ [a, b]

Si g(m) = g(M) = 0, entonces g(x) = 0 ∀x ∈ [a, b], de donde

f(x) = f(a) +f(b)− f(a)

b− a (x− a)

o equivalentementef(b)− f(a)

b− a =f(x)− f(a)

x− a = f ′(x)

En este caso, la gráfica de f es una recta y luego el resultado es obvio.Por lo tanto, podemos suponer que g(m) ó g(M) no es nulo. Supongamos que g(m) 6= 0.

Como g(a) = g(b) = 0, m es diferente de a y de b, de donde m ∈]a, b[. Como g tiene un mínimo enm, y es diferenciable allí, se tiene que g′(m) = 0. Además, de la definición de g:

g′(x) = f ′(x)− f(b)− f(a)

b− a · 1

137


Luego:

0 = g′(m) = f ′(m)− f(b)− f(a)

b− ao equivalentemente

f ′(m) =f(b)− f(a)

b− a

OBSERVACIÓN:

1. El teorema de Rolle es una caso particular del teorema del valor medio, y no debe confundirsecon el teorema del valor intermedio visto en clases anteriores, que se aplica a funcionescontinuas.

2. El Teorema del Valor Medio afirma que existe un punto c ∈]a, b[ tal que la tangente a la curvay = f(x) en el punto (c, f(c)) es paralela a la cuerda determinada por los puntos (a, f(a)) y(b, f(b)). En otras palabras, el Teorema del Valor Medio es una versión oblicua del Teoremade Rolle.

3. El Teorema del Valor Medio permite obtener resultados que asocian propiedades de unafunción con propiedades de su derivada. Presentamos a continuación algunos.

COROLARIO 5.4.1 Si f ′(x) = 0 para todo x en I =]a, b[ entonces f es constante en [a, b]

Dem.Sea c ∈ I cualquiera. Probaremos que f(x) = f(c) ∀x ∈ I .Como f es continua en [x, c] y diferenciable en ]x, c[, podemos aplicar el Teorema del Valor

Medio (TVM):

∃m ∈]x, c[ : f ′(m) =f(x)− f(c)

x− cPero f ′(m) = 0, de donde

f(x)− f(c) = 0 =⇒ f(x) = f(c)

138

Por lo tanto, f es constante en el intervalo I .

OBSERVACIÓN: La función debe estar definida en un intervalo. Considere

f(x) =

{1 si x < 0

2 si x > 0

En este caso, f ′(x) = 0 ∀x ∈ Dom(f), pero f no es constante.

COROLARIO 5.4.2 Si f y g son diferenciables en un intervalo abierto I y f ′(x) = g′(x) ∀x ∈ I ,entonces f = g +K, donde K es una constante.

Dem.Tenemos que (f − g)′(x) = f ′(x)− g′(x) = 0 ∀x ∈ I . Por el corolario anterior,

f − g = K, de donde f = g +K.

COROLARIO 5.4.3 Si f ′(x) > 0 para todo x ∈]a, b[ entonces f es creciente. (Un resultado análogo seobtiene para el caso f ′(x) < 0 en donde se concluye que f es decreciente).

Dem.Sean x0, x1 ∈]a, b[ : a < x0 < x1 < b. Aplicamos el TVM al intervalo [x0, x1], es decir,

∃c ∈]x0, x1[ : f ′(c) =f(x1)− f(x0)

x1 − x0es decir f(x1)− f(x0) = f ′(c)(x1 − x0)

Pero, x1 − x0 > 0 de donde si f ′(c) ≥ 0 ⇒ f(x1)− f(x0) ≥ 0, es decir f(x1) ≥ f(x0). De lamisma manera, si f(x1)− f(x0) > 0 ⇒ f(x1) > f(x0).

Luego, f es creciente en el intervalo.

EJEMPLOS:

1. Determine c ∈]0, 1[ que satisface el TVM, para f(x) = x3.

Solución: Buscamos c ∈]0, 1[ : f ′(c) =f(1)− f(0)

1− 0. Tenemos que

f ′(c) = 3c2 =f(1)− f(0)

1⇒ 3c2 = 1 ⇒ c = ± 1√

3∴ c =

1√3

2. Sea f(x) = 1− |x− 1|. Considere el intervalo [0, 2] y notar que f(0) = f(2). ¿Existe un puntoc en (a, b) tal que f ′(c) = 0? ¿Por qué no es posible aplicar el teorema de Rolle?

3. Demostrar que x ≤ tanx ∀x ∈ [0, π2 [

Solución:

Sea x ∈ ]0, π2 [, y consideremos el intervalo [0, x]. Sea f(y) = tan y, y ∈ [0, x].

139

f satisface el TVM en el intervalo [0, x], por lo que

∃c ∈ ]0, x[ : f ′(c) =f(x)− f(0)

x− 0

es decir,

sec2 x =tanx

x≥ 1

(pues sec2 c ≥ 1 ∀c ∈

]0,π

2

[ )4. Si la gráfica de un polinomio tiene tres intersecciones con el eje x, ¿al menos en cuántos

puntos su tangente debe ser horizontal?

5. Dos patrullas de carabineros, equipados con radar, distan a 8[Km] en una autopista. El límitede velocidad de esta autopista es de 88[Km/h]. Un camión pasa ante la primera de ellas a88[Km/h] y cuatro minutos después a 80[Km/h].Probar que el camión ha sobrepasado el límite de velocidad en algún lugar, entre esos dospuntos.Observaciones: Considerar t = 0 cuando pasa por la primera patrulla. Suponer la funciónposición derivable y aplicar el teorema del valor medio.

6. Muestre el teorema del valor medio generalizado. Sean f, g : [a, b] → R funciones continuasen [a, b] y derivables en ]a, b[ entonces existe un punto ξ ∈ ]a, b[ tal que

g (b)− g (a)

f (b)− f (a)=g′ (ξ)

f ′ (ξ)

Ind: Usar una función adecuada y el teorema de Rolle.

EJERCICIOS:

1. Determine c ∈ ]1, e[ tal que f ′(c) =f(e)− f(1)

e− 1, si f(x) = lnx.

2. Use el TVM para probar que

x− 1

x< lnx < x− 1 ∀x ∈ ]0, 1[

3. Si f es diferenciable en ]a, b[ y ∃α ∈ R+ : |f ′(x)| ≤ α ∀x ∈ ]a, b[, probar que

|f(x1)− f(x2)| ≤ α|x1 − x2|

Use esto para probar que | senx1 − senx2| ≤ |x1 − x2|

140

Verónica Gruenberg Stern 5.5. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

5.5. Derivadas de orden superior

Considere una función f derivable. La función derivada f ′ puede resultar también una funciónderivable. Por ejemplo f (x) = senx es una función derivable, su derivada es f ′ (x) = cosx peroesta a su vez es una función derivable luego podemos calcular(

f ′ (x))′

= (cosx)′ = − senx

Así, hemos derivado dos veces la función f (x) = senx.

DEFINICIÓN 5.5.1 Sea f una función n veces derivable en x, entonces f (n)(x) denota la n−ésimaderivada de f en x (derivada de orden n).

Luego, escribimos f (1)(x) = f ′(x) para la primera derivada de f en x (derivada de orden 1) ,f (2)(x) = f ′′(x) es la segunda derivada de f en x (derivada de orden 2) y en forma análoga para elresto de los casos.

Se reserva el nombre de derivada de orden superior para el caso n > 1 en f (n)(x).

OBSERVACIÓN:

1. Sea f :]a, b[→ R una función derivable en ]a, b[. Entonces decimos que f es de clase Ck en]a, b[, y escribimos f ∈ Ck]a, b[ si las derivadas f ′, f ′′, . . . , f (k) existen y son todas funcionescontinuas en ]a, b[. Si f (k) existe y es continua para todo k ∈ N, entonces decimos que f es declase C∞, lo cual se escribe como f ∈ C∞]a, b[.

2. Existen otras notaciones habitualmente utilizadas para las derivadas de orden superior dey = f(x):

y(n) = f (n)(x) =dnf

dxn=

dn

dxn(f(x)) = Dn

xy

TEOREMA 5.5.1 Sean f, g : [a, b]→ R funciones n veces derivables en ]a, b[ ; entonces su productotambién es n veces derivable en ]a, b[ y se tiene la siguiente fórmula

(fg)(n) (x) =

n∑k=0

(n

k

)f (n−k)(x)g(k)(x)

EJEMPLOS:

1. Muestre que y (x) = α senx+ β cosx satisface la ecuación

y′′ + y = 0

Solución: En efecto:

141


y (x) = α senx+ β cosx ⇒ y′ (x) = α cosx− β senx ⇒ y′′ (x) = −α senx− β cosx

Reemplazando en el lado izquierdo de la ecuación:

y′′ + y = (−α senx− β cosx) + (α senx+ β cosx) = 0

2. Calculardn

dxn(x cosx) , ∀n ∈ N.

Solución:

Calcularemos algunas derivadas para determinar la fórmula general:

d

dx(x cosx) = cosx− x senx

d2

dx2(x cosx) = −2 senx− x cosx

d3

dx3(x cosx) = −3 cosx+ x senx

d4

dx4(x cosx) = 4 senx+ x cosx

Luego, pareciera que:

dn

dxn(x cosx) =

{(−1)k+1((2k − 1) cosx− x senx) si n = 2k − 1

(−1)k(2k senx+ x cosx) si n = 2k, k ∈ N

Probemos la fórmula obtenida por inducción.

CASO n impar, es decir n = 2k − 1:

k = 1 se verifica trivialmente.

k ⇒ k + 1 La hipótesis de inducción es:

d2k−1

dx2k−1(x cosx) = (−1)k+1

((2k − 1) cosx− x senx

)

Debemos probar que:d2k+1

dx2k+1(x cosx) = (−1)k+2

((2k + 1) cosx− x senx

)En efecto:

d2k+1

dx2k+1(x cosx) =

d2

dx2

(d2k−1

dx2k−1(x cosx)

)=

d2

dx2

((−1)k+1


))= (−1)k+1 d

2

dx2


)= (−1)k+1 d

dx

((2k − 1)(− senx)− (senx+ x cosx

)= (−1)k+2

(2k senx+ x cosx

)′= (−1)k+2

((2k + 1) cosx− x senx

)como se quería.

142

Verónica Gruenberg Stern 5.5. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

CASO n par, es decir n = 2k:

k = 1 se verifica trivialmente.

k ⇒ k + 1 La hipótesis de inducción es:

d2k

dx2k(x cosx) = (−1)k(2k senx+ x cosx)

Debemos probar que:d2k+2

dx2k+2(x cosx) = (−1)k+1((2k + 2) senx+ x cosx)

Procediendo de manera análoga al caso impar, se concluye lo pedido. Así, la fórmula obteni-da es válida ∀n ∈ N.

3. Obtener una fórmula para la suma x+ 22x2 + 32x3 + · · ·+ n2xn.

Solución: Sabemos que (progresión geométrica):

1− xn+1

1− x =n∑i=0

xi

Luego: (1− xn+1

1− x

)′=

n∑i=1

ixi−1 ⇒ nxn+1 − (n+ 1)xn + 1

(1− x)2=

n∑i=1

ixi−1

Por lo tanto:

nxn+2 − (n+ 1)xn+1 + x

(1− x)2=

n∑i=1

ixi ⇒(nxn+2 − (n+ 1)xn+1 + x

(1− x)2

)′=

n∑i=1

i2xi−1

es decir:−n2xn+2 + (2n2 + 2n− 1)xn+1 − (n+ 1)2xn + 1− x

(1− x)3=

n∑i=1

i2xi−1

Multiplicando nuevamente por x:

x · −n2xn+2 + (2n2 + 2n− 1)xn+1 − (n+ 1)2xn + 1− x

(1− x)3=

n∑i=1

i2xi

Así:

x+ 22x2 + 33x3 + · · ·+ n2xn =−n2xn+3 + (2n2 + 2n− 1)xn+3 − (n+ 1)2xn+1 + x− x2

(1− x)3

143


EJERCICIOS:

1. Encuentre una fórmula general para f (n)(x) si:

a) f(x) = senx b) f(x) = ex c) f(x) = lnx

¿A qué clase corresponde cada una de estas funciones?

2. Considere el polinomio p (x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn. Pruebe que

ai =p(i) (0)

i!, i = 0, · · · , n

3. Sea f una función C∞(I) donde I es un intervalo que contiene al 0. Pruebe que:

a) Si f es par, entonces f (2n−1)(0) = 0, ∀n ∈ N.

b) Si f es impar, entonces f (2n)(0) = 0, ∀n ∈ N.

4. La velocidad (entendida como función velocidad) v(t) de una partícula puede ser obtenida trasderivar la función de posición s(t). Por otro lado, la aceleración corresponde a la razón decambio de la velocidad por lo que puede ser obtenida como la derivada de ésta. Entonces

a(t) =d

dtv(t) =

d2

dt2s(t)

En este contexto, resuelva el siguiente problema:

Una partícula cuenta con una función de posición s definida para t ≥ 0 por

s(t) =32

12 + t2

Determinar el tiempo, la distancia y la velocidad en cada instante en que la aceleración esnula.

5. Si y = f(x) es la ecuación de una curva, f ′(x) determina la pendiente de la recta tangente.Luego, f (2)(x) determina la razón de cambio de la pendiente de la recta tangente respecto a x.

Determinar la pendiente de la recta tangente en cada punto de la curva con ecuación

y = x4 + x3 − 3x2

en los que la razón de cambio de la pendiente es cero.

6. Si f(x) = senx, determine el polinomio s(x) dado por

s(x) = f(0) +f ′(0)

1!x+

f ′′(0)

2!x2 +

f (3)(0)

3!x3 +

f (4)(0)

4!x4

144

1. Calcule f ′(x) en todo su dominio, si f(x) =

x, si x < 0

2x, si 0 ≤ x ≤ 2

−x2 + 6x, si x > 2

Justifique claramente los casos x = 0 y x = 2.

2. Sea

f(x) =

{mx+ 2(1−m) si x ≥ 2

ax2 − b si x < 2

¿Qué condiciones tienen que satisfacer los parámetros para que f sea:

a) continua para x = 2?

b) exista recta tangente a la gráfica de f en el punto (2, 2)?

c) exista recta tangente a la gráfica de f de pendiente 12 en el punto (2, 2)?

d) Interprete en una gráfica el caso c).

3. a) Determine la derivada de la función f(x) = ln (arc tanx3)

b) Si h(x) = g(f(x)), determine h′(3), sabiendo que:g′(2) = 4, f(3) = 2 y f ′(3) = −1.

4. Sea g una función diferenciable tal que su derivada es1

x3 + 1. Si h(x) = g(x2), determine

h′(x).

5. Sea f(x) =

√senx2 + tg x2 + tg2 x+ 1

1 + tg x2. Encuentre

df

dx

∣∣∣∣x=0

6. La recta tangente al gráfico de f(x) =

√3

2senx − 1

2cosx en el punto A = (x0, 1/2) con

0 < x0 < π, corta al eje X en el punto B =

(π −√

3

3, 0

).

Determine x0 y calcule la longitud del trazo AB.

7. Determinar los valores de a y b para que la función

f(x) =

x− a1 + x

x ≥ 1

bx− x2

2x < 1

sea derivable en x = 1.

8. Determine sobre cuáles puntos de la gráfica de la función f(x) = x2−x+ 1, la recta tangentea dicha gráfica pasa por el origen.

145


146

Capítulo 6

Derivadas implícitas y paramétricas

En este capítulo estudiaremos las derivadas de funciones en las que la relación entre la variabledependiente e independiente se expresa de una manera diferente a como se ha hecho hasta ahora.Hacemos hincapié en que lo que nos interesa conocer respecto a éstas funciones, son sus derivadas,y no necesariamente la función misma.

6.1. Curvas definidas implícitamente

La gráfica de una función continua de una variable puede considerarse como un curva en elplano, y esta curva tendrá una recta tangente en todos aquellos puntos en los que la función esderivable. En otras palabras, si

f : A ⊆ R −→ R es una función continua

entonces y = f(x) corresponde a una curva en el plano R2. En este caso, la ecuación de dosvariables y = f(x) define a y explícitamente en función de la variable x.

Considere ahora una función F de dos variables

F : U ⊆ R2 −→ R

(x, y) 7→ F (x, y)

La expresión F (x, y) = 0, corresponde a una ecuación de dos variables donde la variable y estárelacionada mediante F a la variable x. En este caso decimos que y está implícitamente definida poruna o más funciones que dependen de x.

EJEMPLOS:

1. La ecuación 3x − 2y = 4 se puede escribir de la forma F (x, y) = 0 donde la función Festá dada por F (x, y) = 3x− 2y − 4. En este caso, la ecuación F (x, y) = 0 permite despejarla variable y en términos de la variable x:

y = f(x) =3

2x− 2

ecuación que corresponde a una recta en el plano.

147

CAPÍTULO 6. DERIVADAS IMPLÍCITAS Y PARAMÉTRICAS Verónica Gruenberg Stern

2. Consideremos la ecuación ex + x = sen(y − 3) + 2y + 6 y escribámosla en la formaF (x, y) = 0:

ex + x− sen(y − 3)− 2y − 6 = 0

¿ Es simple despejar y en términos de x? ¿Cumple (1, 3) con la ecuación F (x, y) = 0?

3. Considere la función F (x, y) = x2 + y2 − 1. La ecuación F (x, y) = 0 representa unacircunferencia de radio 1 centrada en el origen, y no es la gráfica de una función. Sin embargo,esta ecuación define a y implícitamente como función de x, de manera local. Notemos que eneste caso es posible despejar y, obteniendo dos funciones:

y = f1(x) =√

1− x2 ∧ y = f2(x) = −√

1− x2

La primera describe a la semicircunferencia en el semiplano superior y la segunda, la semi-circunferencia en el semiplano inferior. Ambas funciones son derivables ∀x ∈]− 1, 1[, perono lo son en los puntos (−1, 0) y (1, 0).

Consideremos, de manera más general, una curva en el plano dada por la ecuación F (x, y) = 0

que no representa necesariamente a una función real de variable real, pero que consideraremoscontinua. Notemos que en la figura, la gráfica no representa una función; sin embargo, en unavecindad de (x1, y1), podemos considerarla como la gráfica de una función. En este caso, decimosque la ecuación F (x, y) = 0 define a y implícitamente como función de x.

Curva F(x,y)=0

(x1 , y1)

En el caso de la circunferencia, por ejemplo: x2+y2 = 1 ⇔ F (x, y) = x2+y2−1 = 0

define a y implícitamente como función de x en una vecidad de, por ejemplo,(

12 ,√

32

), y la

función y = f(x) =√

1− x2 define a y explícitamente como función de x. Vemos que, en estecaso, es fácil despejar y en términos de x, pero esto no es siempre así. Consideremos una ecuaciónsencilla, como por ejemplo,

y5 + 3y2 −√y − 2x2 = −4

Sin embargo, si suponemos que y está definida implícitamente como una función derivable de xen una vecindad de algún punto (x0, y0) de la curva, es posible aplicar la regla de la cadena para

148

Verónica Gruenberg Stern 6.1. CURVAS DEFINIDAS IMPLÍCITAMENTE

determinardy

dx, independientemente que no se conozca una expresión explícita para y como función

de x. Esta técnica se conoce como derivación implícita.

6.1.1. Derivación implícita

Iniciemos nuestro estudio con un ejemplo que conocemos bien:

x2 + y2 = 1 ⇐⇒ F (x, y) = x2 + y2 − 1 = 0

Si suponemos que en la vecindad de algún punto (x0, y0) es posible escribir y = ϕ(x) (cosa que enrealidad sabemos, en este caso), entonces

F (x, ϕ(x)) = x2 + (ϕ(x))2 − 1 = 0

Derivamos con respecto a x:

2x+ 2ϕ(x)ϕ′(x) = 0 =⇒ ϕ′(x) = − 2x

2ϕ(x)= − x

ϕ(x)=⇒ dy

dx= −x

y

expresión que es válida siempre que y 6= 0.

Notemos que a partir de la curva x2 +y2 = 1 podemos definir las siguientes dos funciones,con dominio en [−1, 1]: f1(x) =

√1− x2 ∧ f2(x) = −

√1− x2. Entonces:

df1

dx= − 2x

2√

1− x2= − x√

1− x2∧ df2

dx=

2x

2√

1− x2=

x√1− x2

derivadas que, como sabemos, no son válidas en x = ±1, que son los valores que corresponden a

y = 0. Adicionalmente, notemos que ambas expresiones, tanto paradf1

dxcomo para

df2

dxcorrepon-

den ady

dx= −x

y.

OBSERVACIÓN:

1. La manera de calcular la derivada de y respecto de x en el ejemplo anterior, muestra la formaen que procederemos en general.

2. Para estudiar la derivación implícita de manera formal, es necesario el uso del Teorema de lafunción implícita . Sin embargo, en este importante resultado intervienen conceptos que noson definidos en este curso, y que se verán en MAT023. Por esta razón sólo nos enfocaremosen el cálculo de las derivadas.

149


EJERCICIOS:

1. Considere la curva dada por la ecuación x cos(y) + y cos(x)− 1 = 0. Calculedy

dx.

2. Considere la curva dada por la ecuación y5 + 3y2 − 2x4 = −4. Calculedy

dx.

3. Considere la curva dada por la ecuación (x2 + y2)2 = ax2y. Calculedy

dx.

4. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva: sen(xy) + 3y = 4 en el punto(π2 , 1).

5. Hallardy

dxen el punto (1, 1) si cos

(πxy2

2

)+ sen

(πy2

)+ y + 3x = 5.

6. Encontrar la ecuación de la recta normal a la curva dada por senxy + exy = ex en el punto(π, 1).

7. Sea R = {(x, y) ∈ R2 : x2y − xy2 + 3x − 2y = 0}. Encontrar la ecuación del lugargeométrico de los puntos en R tal que la tangente a R en dichos puntos sea paralela a la recta

y = x+1

2.

Solución:

2xy + x2 dy

dx− y2 − 2xy

dy

dx+ 3− 2

dy

dx= 0

dy

dx(x2 − 2xy − 2) = y2 − 2xy − 3

∴ igualando las pendientes :dy

dx=y2 − 2xy − 3

x2 − 2xy − 2= 1

=⇒ x2 − 2xy − 2 6= 0 ∧ y2 − 2xy − 3 = x2 − 2xy − 2

∴ y2 − x2 = 1 es decir, es una hipérbola.

8. Demuestre que la curva y−x2 = 0 es ortogonal a la curva x2 +2y2 = 3 en el punto deintersección (1,1). (Dos curvas son ortogonales en un punto cuando sus rectas tangentes sonperpendiculares en dicho punto).

150

Verónica Gruenberg Stern 6.1. CURVAS DEFINIDAS IMPLÍCITAMENTE

6.1.2. Derivación implícita de segundo orden.

Sean x, y variables relacionadas por una ecuación F (x, y) = 0. Nos interesa ahora obtenerd2y

dx2.

Esto se realiza a través de la derivación implícita obteniendo, en primer lugar,dy

dxy luego se utiliza

este resultado para encontrar la expresión ded2y

dx2.

Determinemos, por ejemplo,d2y

dx2si x2 + y2 = 2. Encontramos primero

dy

dx:

2x+ 2ydy

dx= 0 ⇒ dy

dx= −x

y

∴d2y

dx2= −

y − xdydxy2

= −y +

x2

y

y2= − y

2 + x2

y3= − 2

y3

EJERCICIOS:

1. Encontrar y′′ si x4 + y4 = 16.

2. Sea f(x) =3√

cos2 x. Calcule f ′′(0) usando derivación implícita y en forma directa.

3. Un objeto se mueve de tal manera que su velocidad v está relacionada con su desplazamientos mediante la ecuación

v =√

2gs+ c

con g y c constantes. Demuestre usando derivación implícita que la aceleración es constante.

4. Sea F (x, y) = y−f(x)g(x), con f, g funciones con derivadas de todo orden. Demuestre quepara F (x, y) = 0 se verifica

y′′ = f ′′g + 2f ′g′ + fg′′

5. Considere los lugares geométricos definidos por las expresiones:

(1) x2 + y2 = 1 (2) y2 − x2 = 1

Grafique la circunferencia y la hipérbola respectiva.

Determine los valores de x e y para los cuales y′ = 0.

Evalúe y′′ en los valores de x encontrados en el punto anterior.

Si considera los casos y ≥ 0 e y < 0 podrá notar que los puntos encontrados correspon-den a máximos y mínimos para las funciones obtenidas. ¿Qué relación puede observarrespecto al signo de y′′, cuando el punto es máximo / mínimo? ¿Es razonable este resul-tado?

151


6.2. Teorema de la función inversa

La importancia del Teorema de la función inversa no radica, como pudiera pensarse, en las condi-ciones de invertibilidad de una función: esas ya las conocemos. Lo esencial de este teorema, es quenos entrega condiciones bajo las cuales la inversa de una función, si existe (aunque sea localmente),es diferenciable.

TEOREMA 6.2.1 (Teorema función inversa) Sea f : U ⊆ R → R una función y sea I ⊆ U unintervalo en el que f es diferenciable, y tal que f ′(x) 6= 0 ∀x ∈ I . Entonces, la función f esinvertible en el intervalo I , y, más aún, se cumple que

(f−1)′(y) =1

f ′(f−1(y))

es decir, la inversa también es derivable en el correpondiente intervalo en la imagen de f .

OBSERVACIÓN: En otras palabras, si para x0 en el dominio de la función se tiene que

1. f es diferenciable en un intervalo que contiene a x0, y

2.df

dx(x0) 6= 0 (y por lo tanto

df

dx(x) 6= 0 en algún intervalo que contiene a x0)

entonces, existe una inversa local f−1 de f definida en un intervalo que contiene a y0 = f(x0).Además, es posible calcular la derivada de la función inversa en este intervalo, y la expresión de

su derivada (escribimos aquí la formulación con una notación diferente) viene dada por

d

dxf−1(f(x)) =

(d

dxf(x)

)−1

.

Idea de la demostración del teorema:Sea f diferenciable: f ′(x) 6= 0 ∀x ∈ I . Sea x0 ∈ I :

y0 = f(x0) ⇐⇒ x0 = f−1(y0)

f ′(x) 6= 0 ⇒ f es inyectiva. ∴ f(x0 +h)− f(x0) = k 6= 0 ⇒ f(x0 +h) = f(x0) + k = y0 + k

⇒ f−1(y0 + k) = x0 + h. Luego:

(f−1)′(y0) = lımk→0

f−1(y0 + k)− f−1(y0)

k= lım

h,k→0

x0 + h− x0

k= lım

h,k→0

h

y0 + k − y0=

= lımh→0

h

f(x0 + h)− f(x0)=

1

f ′(x0)=

1

f ′(f−1(y0))bien definido porque f ′(x0) 6= 0

152

Verónica Gruenberg Stern 6.2. TEOREMA DE LA FUNCIÓN INVERSA

EJEMPLOS:

1. Sea f : R→ R, con f ′(x) = 1 + cos2(π

4x)

. Suponga que f(1) = 3. Calcular (f−1)′(3).

Solución:

Notamos que f ′(x) > 0 ( ∴ 6= 0). Luego

f(1) = 3 ⇐⇒ f−1(3) = 1

∴ (f−1)′(3) =1

f ′(f−1(3))=

1

f ′(1)=

1

1 + cos2(π

4

) =2

3

2. Sea g la función inversa de f(x) = tan

(x

1 + x

), x > 0. Calcule g′(1).

Solución:

Por el teorema de la función inversa: g′(1) =1

f ′(g(1))

Calculemos g(1):

tan

(x

1 + x

)= 1 ⇐⇒ x

1 + x=π

4⇐⇒ x =

π

4− π ∴ g(1) =π

4− π

Ahora:f ′(x) = sec2

(x

1 + x

)· 1

(1 + x)2

Finalmente, reemplazando en el teorema de la función inversa:

g′(1) =8

(4− π)2

OBSERVACIÓN: Disponemos ahora de las herramientas matemáticas que nos permiten calcular lasderivadas de las funciones trigonométricas inversas.

6.2.1. Derivadas de las funciones trigonométricas inversas

TEOREMA 6.2.2 (Derivadas de las funciones trigonométricas inversas).

1.d

dx(arc senx) =

1√1− x2

x ∈ ]−1, 1[

2.d

dx(arc cosx) = − 1√

1− x2x ∈ ]−1, 1[

3.d

dx(arc tanx) =

1

x2 + 1x ∈ R

153

Dem.

1. Comod

dx(senx) = cosx > 0 ∀x ∈

]−π

2,π

2

[, se tiene que arc senx es derivable en ]−1, 1[.

Más aún:

d

dx(arc senx) =

1

sen′(arc senx)=

1

cos(arc senx)=

1√1− sen2(arc senx)

=1√

1− x2

donde hemos usado la identidad de Pitágoras, notando que si x ∈]−π

2,π

2

[: cosx > 0.

2. Comod

dx(cosx) = − senx < 0 ∀x ∈ ]0, π[, se tiene que arc cosx es derivable en ]−1, 1[.

Más aún:

d

dx(arc cosx) =

1

cos′(arc cosx)=

1

− sen(arc cosx)= − 1√

1− cos2(arc cosx)= − 1√

1− x2

OBSERVACIÓN: Como las funciones arc cos y − arc sen tienen la misma derivada en el inter-valo ] − 1, 1[, podemos concluir que ellas difieren en una constante en dicho intervalo, esdecir:

arc cosx = C − arc senx ∀x ∈ ]− 1, 1[

Por continuidad, la ecuación también es válida en los extremos del intervalo. Además, laconstante C puede determinarse evaluando en, por ejemplo, x = 0:

arc cos 0 = C − arc sen 0 =⇒ π

2= C + 0

∴ arc cosx =π

2− arc senx ∀x ∈ [−1, 1]

3. Comod

dx(tanx) = sec2 x > 0 ∀x ∈ R, se tiene que arc tanx es derivable en R.

Más aún:

d

dx(arc tanx) =

1

tan′(arc tanx)=

1

sec2(arc tanx)=

1

1 + tan2(arc tanx)=

1

1 + x2

154

Verónica Gruenberg Stern 6.3. CURVAS DEFINIDAS PARAMÉTRICAMENTE

EJERCICIOS:

1. Demuestre que:

a)d

dx(arc cotx) = − 1

1 + x2, ∀x ∈ R. Concluya que arc cotx =

π

2− arc tanx.

b)d

dx(arc secx) =

1

|x|√x2 − 1

, para |x| > 1.

c)d

dx(arc cosecx) = − 1

|x|√x2 − 1

, para |x| > 1.

2. Calculard

dx

(arc cos

(1x

)).

3. Calcular la derivada de f(t) = a arc sen(ta

)+√a2 − t2, a > 0.

4. Calculardy

dxsi arc sen(xy) = arc cos(x+ y).

5. Calculardy

dxsi x sen y + x3 = arc tan y.

6.3. Curvas definidas paramétricamente

Las curvas en el plano, que son las que estamos estudiando, pueden definirse también de ma-nera paramétrica, es decir, en función de un parámetro. Para entender de qué se trata, consideremosla semicircunferencia

x2 + y2 = 1 , y ≥ 0 (definición implícita)

o equivalentementey =

√1− x2 (definición explícita).

Podemos también escribir:x = cos t

y = sen t, t ∈ [0, π], que corresponde a la misma curva. Esta forma de representa-

ción, que depende de un parámetro t, se llama ecuación paramétrica de la curva. Observar que, sielevamos ambas ecuaciones al cuadrado y las sumamos, obtenemos la ecuación implícita.

EJEMPLOS:

1. La parametrización de una semicircunferencia de radio r es:

{x = r cos t

y = r sen t, t ∈ [0, π] .

Si dejamos que el parámetro t se mueva en el intervalo [0, 2π], obtenemos la circunferenciacompleta.

155


2. ¿Qué lugar geométrico está parametrizado por las ecuaciones{x = a cos t

y = b sen t, a, b > 0, a > b, t ∈ [0, 2π] ?

3. Grafique la curva dada en forma paramétrica por

{x = 2t

y = t2 − 1, −1 ≤ t ≤ 2.

4. Si

{x = a cos3 t

y = a sen3 t, a > 0, t ∈ [0, 2π], encuentre la forma implícita de esta curva en R2.

5. Si

{x = sen 2t

y = cos t, a > 0, t ∈ [0, 2π], encuentre la forma implícita de esta curva en R2.

Intente graficar las últimas dos curvas descritas en forma paramétrica.

Nota interesante: Parametrización de una curva

En general, no es fácil obtener una parametrización no trivial de una curva. En esta secciónharemos algunas parametrizaciones, para entender el proceso.

EJEMPLOS:

1. Parametrice una circunferencia centrada en el origen y de radio 1, en términos de la tangentedel haz de rectas que pasa por el punto (-1, 0).

Solución: Antes de encontrar la parametrización pedida, notemos que ya conocemos unaparametrización de la circunferencia, dada por x = cos t, y = sen t, t ∈ [0, 2π]. Es decir,encontraremos ahora otra parametrización.

t

La ecuación de una recta es de la formay = mx+ n. Como el parámetro deberá ser latangente de la recta, y sabemos que ésta coincidecon la pendiente, entonces, la ecuación de larecta será de la forma y = tx+ n. Como la rectadebe pasar por el punto (-1, 0), este punto debesatisfacer la ecuación, es decir:−t+ n = 0 ⇒ n = t. Así, la ecuación de larecta será

y = t(x+ 1)

156


La ecuación de la circunferencia que debemos parametrizar en términos de t es x2 +y2 = 1.Luego, buscamos los puntos de la recta que satisfacen la circunferencia, es decir, son aque-llos puntos que están en la intersección de ambas curvas. Debemos resolver, en términos delparámetro t, el sistema:

x2 + y2 = 1

y = t(x+ 1)⇒ x2+t2(x+1)2 = 1 ⇒ (1+t2)x2+2t2x+t2−1 = 0

Resolviendo esta ecuación, encontramos que x = −1 ∨ x =1− t21 + t2

.

Ahora, (x = −1 ⇒ y = 0) ∧(x =

1− t21 + t2

⇒ y =2t

1 + t2

), t ∈ R

Esta es la parametrización pedida (que recordarán en MAT022).

θ

a

a

x

y

2. Un círculo de radio a rueda a lo largo del eje X , sobre el semiplano superior. El punto queinicialmente se encuentra en el origen, traza una curva llamada cicloide (ver figura arriba).Parametrice dicha curva, tomando como parámetro el ángulo central θ indicado en la figura.

Solución:

En la figura de la derecha, vemos que:aθ = x+ a sen θ

a = y + a cos θde donde

x = a(θ − sen θ)

y = a(1− cos θ), θ ∈ [0, 2π].

EJERCICIOS:

1. Grafique e identifique la curva dada en forma paramétrica por

x(t) =

t si 0 ≤ t ≤ 1

1 si 1 ≤ t ≤ 2

3− t si 2 ≤ t ≤ 3

0 si 3 ≤ t ≤ 4

y(t) =

0 si 0 ≤ t ≤ 1

t− 1 si 1 ≤ t ≤ 2

1 si 2 ≤ t ≤ 3

4− t si 3 ≤ t ≤ 4

157

2. Una circunferencia C de radio b rueda por fuera de una segunda circunferencia de ecuaciónx2 + y2 = a2, donde b < a. Sea P un punto fijo de C cuya posición inicial es A = (a, 0).Demuestre que, si el parámetro t es el ángulo entre la parte positiva del eje X y el segmentode recta que va desde el origen al centro de C, entonces las ecuaciones paramétricas de lacurva trazada por P (llamada epicicloide) son:

x = (a+ b) cos θ − b cos

(a+ b

bθ

)y = (a+ b) sen θ − b sen

(a+ b

bθ

) θ ∈ [0, 2π]

3. Un círculo de radio a rueda a lo largo del eje X , sobre el semiplano superior. Un punto, en elinterior del círculo, a distancia b (< a) del centro, traza una curva, llamada cicloide de curtate.

Parametrice esta curva, como en el ejemplo 1.

4. Se dispara un proyectil, desde el nivel del suelo, con velocidad inicial v0 y ángulo de eleva-ción θ, de acuerdo a las ecuaciones paramétricas

x(t) = v0t cos θ y(t) = v0t sen θ − gt2

a) Muestre que la trayectoria corresponde a una parábola.

b) ¿Cunato tiempo transcurre antes que el proyectil toque la tierra?

c) ¿Cuán lejos llega el proyectil hasta tocar tierra?

d) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada?

6.3.1. Derivación Paramétrica

Considere una partícula que se está moviendo en el plano a lo largo de una trayectoria dada encoordenadas paramétricas, digamos,

x = x(t)

y = y(t) , t ∈ I

158


Entonces, podemos obtener información del movimiento de la partícula a través de las componentesvertical y horizontal de su velocidad, es decir, las componentes de la velocidad en las direccionesx e y respectivamente, serán:

vx = x′(t)

vy = y′(t)

donde −→v = (vx, vy)

Podría ser interesante, también, conocer la pendientedy

dxen cada punto (x(t), y(t)). Para ello, supon-

gamos que las funciones x(t), y(t), x′(t), y′(t) son continuas en I (si una función posee su primeraderivada continua en un intervalo I , se dice que es de clase C1(I)), es decir, supongamos que x(t)

e y(t) son de clase C1(I), y que además x′(t) 6= 0, ∀t ∈ I . Entonces, es razonable afirmar:

x′(t) 6= 0, ∀t ∈ I ⇒ x(t) es invertible (aunque no podamos obtenerla explícitamente),por lo que podemos decir que en este intervalo t = t(x).

y = y(t) ⇒ y = y(t) = y(t(x)) ⇒ y = f(x) = y(t(x))

Aplicando la regla de la cadena:

dy

dx= f ′(x) = y′(t(x)) · t′(x) =︸︷︷︸

T.F.Inversa

y′(t(x))1

x′(t(x))=y′(t(x))

x′(t(x))=y′(t)

x′(t)

Apliquemos este procedimiento en los ejemplos:

EJEMPLOS: Determinedy

dxen los siguientes casos:

1. Six = cos t

y = sen t⇒ x′ = − sen t

y′ = cos t⇒ dy

dx=y′(t)

x′(t)=

cos t

− sen t= −x

y

2. Six = a cos t

y = b sen t⇒ x′ = −a sen t

y′ = b cos t⇒ dy

dx=

b cos t

−a sen t· abab

= − b2x

a2y

3.x = a cos3 t

y = a sen3 t

4. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva:

a) x(t) = t2, y(t) = (2− t)2, t = 12

b) x(t) = cos3 t, y(t) = sen 3t, t = π4

159


OBSERVACIÓN: Para derivadas paramétricas de orden superior, el procedimiento es análogo:

d2y

dx2=

d

dx

(dy

dx

)=

d

dt

(dy

dx

)dx

dt

y en general

dny

dxn=

d

dx

(dn−1y

dxn−1

)=

d

dt

(dn−1y

dxn−1

)dx

dt

160

1. Encuentre la ecuación de la tangente a la curva γ dada por la ecuación x cos y = sen(x + y)

en el punto (π/2, π/2).

2. Considere la gráfica de la curva y = y(x) descrita implícitamente por la ecuación

x4 senxy + xy cosx− y2 = 0.

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (1, 0).

3. Considere la curva cuya ecuación paramétrica viene dada por:{x(t) =

√1 + t2

y(t) = 2t2(1− t), t ∈ R.

Calculed2y

dx2.

4. Sea f(x) = tg(πx

2

), −1 < x < 1. ¿Posee f una (función) inversa f−1? Si f−1 existe, ¿es

monótona? ¿creciente? ¿decreciente? ¿diferenciable? Grafique. Justique su respuesta. Si acasof−1 existe, calcule

(f−1

)′ (√3).

5. a) Dada la curvax = 2(t− sen t)

y = 2(1− cos t)

Determinedy

dxen el punto P = (x, y) en el cual t =

π

6.

b) Suponga que la ecuación√x+1 = x

√y+sen y define implícitamente una función

derivable f tal que y = f(x). Determine y′.

6. Demuestre que la recta normal a x3 + y3 = 3xy en(

3

2,3

2

)pasa por el origen.

7. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a:

x2 − y2 − 2x− 4y − 4 = 0,

en el punto correspondiente a x = 1.

8. Si h es una función tal que h′(x) = x+1|x+1| y h(0) = 1. Determine (h−1)′(1).

9. a) Calculardy

dxevaluada en P =

(π2, 1)

si senxy + 3y = 4.

b) Calculard2y

dx2, si

{x(t) = 3t2

y(t) = 4t3

161


10. Sea y = f(x) una función definida implícitamente por la ecuación

y3

x(x− 1)2 + cos2 2y =

π

2− 2y

Determine, si existedy

dx

∣∣∣∣(1,π

4 )

162

Capítulo 7

Aplicaciones

7.1. Razón de Cambio

En esta sección consideraremos razones de cambio respecto al tiempo, que no son necesaria-mente la velocidad o la aceleración. Deberemos tener presente que si y es una función de x, y a suvez x es una función de t, entonces tiene sentido considerar la razón de cambio de y respecto dex, pero también la de y respecto de t. En casos como el descrito, requeriremos usar la la regla de lacadena. También, podemos tener varias variables involucradas en una ecuación, las que a su vezdependen de la variable t. En estos casos, deberemos aplicar la derivación implícita.

EJEMPLOS:

1. Una placa circular de metal se dilata por el calor, de manera que su radio aumenta con unarapidez de 0,01 cm/s. ¿Con qué rapidez aumenta el área cuando el radio mide 2 cm?

Solución: Sea r el radio de la placa, y sea A(r) su área. Por lo tanto:

A(r) = πr2 =⇒ dA

dt= 2πr

dr

dt= 2 · π · 2 · 0, 01 = 0, 04π [cm2/s]

2. Una luminaria cuelga a una altura de 4 m. directamente sobre un paseo rectilíneo y hori-zontal. Si en este paseo, una persona de 1,5 m. de alto se aleja de la luminaria a razón de 55m/min., ¿a razón de cuántos m/min. se alarga su sombra?

Solución: Sea x la distancia de la persona a la base de la luminaria, y sea y la distancia dela persona al extremo de su sombra. Luego, por semejanza de triángulos:

y

1, 5=x+ y

4=⇒ y =

3

5x =⇒ dy

dt=

3

5

dx

dt= 33 m/min

3. Un globo que se encuentra a 120 m. de un observador comienza a elevarse verticalmente, conuna rapidez de 10 m/min. Calcule la rapidez con que cambia el ángulo de un observador,cuando el globo está a 160 m. de altura.

163

CAPÍTULO 7. APLICACIONES Verónica Gruenberg Stern

Solución: Sea h(t) la altura del globo, y sea α(t) el ángulo de observación. Luego:

tan(α(t)) =h(t)

120=⇒ sec2(α(t))

dα

dt=dh

dt· 1

120=

1

12

En el instante t0 en el que el globo se encuentra a 160 m. de altura, es fácil ver que cosα =3

5.

Luego:dα

dt=

1

12·(

3

5

)2

=3

100rad/s

4. Un punto P se mueve a lo largo de la curva C : y = x3 − 3x2. Cuando P está en el punto(1,−2), su coordenada x crece a razón de 3. Encuentre la razón de cambio de la distancia deP al origen.

Solución: La distancia de un punto (x, y) al origen está dada por:

d ((x, y), (0, 0)) =√x2 + y2 =︸︷︷︸

(x,y)∈C

√x2 + (x3 − 3x2)2 =: f(x)

Se sabe que: x = 1 ⇒ dx

dt= 3. Luego:

df

dt=

2x+ 2(x3 − 3x2)(3x2 − 6x)

2√x2 + (x3 − 3x2)2

· dxdt

=21√

5

5. Dos carreteras se cruzan en un ángulo de 60◦. Se sabe que, en un determinado instante, dosautomóviles A y B, distan 160 [km.] del cruce, A alejándose con una rapidez de 100 [km/hr]y B acercándose al cruce con una rapidez de 50 [km/hr]. Determine la rapidez con que seseparan uno del otro.

Solución: Sean x(t), y(t) las distancias al cruce de A y B respectivamente, y sea z(t) ladistancia entre A y B. Por el teorema del coseno:

(z(t))2 = (x(t))2 + (y(t))2 − 2x(t)y(t) cos 60◦

Derivando con respecto a t:

2z(t)z′(t) = 2x(t)x′(t) + 2y(t)y′(t)− 2(x′(t)y(t) + x(t)y′(t)

) 1

2

Sabemos que:

dx

dt= x′(t) = 100 [km/hr] ,

dy

dt= y′(t) = −50 [km/hr]

164

Verónica Gruenberg Stern 7.1. RAZÓN DE CAMBIO

Además, si t0 es el instante en el que ambos vehículos se encuentran a una distancia de 160Km., entonces

x(t0) = y(t0) = 160[km] ∴ z(t0) = 160[km]

Luego:

z′(t0) =2x(t0) · 100− 2y(t0) · 50− 100y(t0) + 50x(t0)

2z(t0)= 25 [km/hr]

es decir, los automóviles se alejan entre sí a una rapidez de 25 km/hr.

6. En un depósito cónico recto (vértice hacia abajo) entra líquido a razón de 8 lt/s. Si el radiodel cono es 21[dm] y su altura es 35 [dm], calcular la velocidad instantánea con que sube elnivel del líquido cuando h=6 [dm].

Solución: Si h(t) es la altura del líquido en el instante t, sea r(t) el radio correspondiente.Luego, por semejanza de triángulos:

h(t)

r(t)=

35

21

Como

V (t) =1

3πr2(t)h(t) =⇒ V (t) =

1

3π

(21

35

)2

h3(t)

Además, sabemos quedV

dt= 8. Luego, derivando la expresión de arriba:

8 =1

3π ·(

21

35

)2

· 3h2(t) · dhdt

=⇒ dh

dt=

50

81π

EJERCICIOS:

1. Dos carreteras se cruzan en ángulo recto. Un auto viajando a 45 [km/hr] pasa por este cruce,y 3 minutos más tarde, otro auto, viajando por la otra carretera a 60 [km/hr], llega a la inter-sección. ¿A qué velocidad aumenta la distancia entre los dos autos 5 minutos después que elsegundo auto llegó a la intersección?

2. Una escalera de 15 [pies] se apoya en una muralla vertical. Si la parte superior resbala arazón de 2[pies/seg], encuentre la velocidad con que la parte inferior resbala cuando está auna distancia de 12[pies] de la muralla.

3. Uno de los lados de un rectángulo tiene una magnitud constante a = 10 [cm], mientras queel otro b, es variable y aumenta a la velocidad constante de 4 [cm/seg]. ¿A qué velocidadcrecerán la diagonal del rectángulo y su área en el instante en que b = 30 [cm]?

165


4. El radio de una esfera crece uniformemente con una velocidad de 5 [cm/seg]. ¿ A qué velo-cidad crecerán el área de la superficie de dicha esfera y el volumen de la misma, cuando elradio sea igual a 50 [cm]?

5. Una persona de 2 [m] de altura camina a una rapidez constante de 3 [m/s], alejándose de unposte de alumbrado de 6 [m] de altura. ¿Con qué rapidez se alarga la longitud de la sombra?

6. De un globo esférico escapa gas de modo que el radio disminuye a razón de 2[cm/seg]. ¿Conqué rapidez escapa el aire y con qué rapidez disminuye el diámetro del globo cuando el radiomide 10[cms]?

7. Un líquido fluye dentro de un estanque cilíndrico vertical de 6[dm] de radio, con una rapidezde 8[dm3/seg], ¿con qué rapidez se eleva la superficie del líquido?

8. Las dimensiones de un rectángulo varían de modo que su área permanece constante. ¿Cuáles la rapidez con que decrece la altura del rectángulo en el momento que la base y alturatienen son iguales? Suponga que la base crece con rapidez de 5 [m/s].

9. Una cámara de TV sigue desde el suelo el despegue vertical de un cohete, que se produce deacuerdo con la ecuación s = 50t2 (s es la altura con respecto al suelo medido en metros y t ensegundos). La cámara está a 2000 [m] del lugar de despegue. Halle como varía el ángulo deelevación de la cámara después de 10 [s] del despegue del cohete.

10. Un bloque de hielo de base cuadrada y lados rectangulares se derrite de modo que cada aristade la base disminuye a razón de 1 cm/min, mientras que su altura disminuye a razón de 2cm/min. ¿A qué razón varía el volumen del bloque de hielo en el instante en que la arista dela base mide 20 cm y su altura es de 15 cm?

11. El puente levadizo que se muestra en la figuraestá siendo jalado desde C de modo que el ca-bleBC se desliza a razón de 4m/min. La alturadel castillo es de 24 m y la longitud del puen-te es de 12 m. ¿Con qué rapidez está subiendoel extremo B (con respecto al suelo) del puentecuando θ = 60◦?

166

Verónica Gruenberg Stern 7.2. MÁXIMOS Y MÍNIMOS

7.2. Máximos y Mínimos

En la sección 4.4 definimos los conceptos de máximo y mínimo relativo o local y de máximoy mínimo absoluto o global de una función, que repetimos ahora con una redacción levementediferente:

DEFINICIÓN 7.2.1 (Máximo local o relativo) Se dice que una función f tiene un máximo localen c ∈ R si existe un intervalo abierto I , sobre el cual f está definida, tal que c ∈ I y ∀x ∈ I,

f(c) ≥ f(x).

DEFINICIÓN 7.2.2 (Mínimo local o relativo) Una función f se dirá que tiene un mínimo localen c ∈ R si existe un intervalo abierto I , sobre el cual f está definida, tal que c ∈ I y ∀x ∈ I,

f(c) ≤ f(x).

DEFINICIÓN 7.2.3 (Máximo global o absoluto sobre un intervalo) Una función f tiene un má-ximo global sobre un intervalo I dado, si existe c ∈ I tal que ∀x ∈ I , f(c) ≥ f(x).

DEFINICIÓN 7.2.4 (Mínimo global o absoluto en un intervalo) Una función f se dirá tiene mí-nimo global en un intervalo I dado, si existe c ∈ I tal que ∀x ∈ I, f(c) ≤ f(x).

En el caso en que estos extremos se alcancen en puntos en que la función es derivable, el Teorema4.4.1 (de Fermat) nos entrega una condición que deben cumplir: si f es derivable en x0 y x0 es unextremo local para f , entonces f ′(x0) = 0. Llamamos a estos puntos puntos críticos de la función f .Extenderemos ahora nuestro concepto de punto crítico:

DEFINICIÓN 7.2.5 Diremos que x0 ∈ Domf es un punto crítico o un punto singular de f si satisfaceuna de las siguientes condiciones:

f ′(x0) = 0

f no es derivable en x0.

Veremos en esta sección cómo determinar la naturaleza del punto crítico, vale decir, estudia-remos algunos criterios, para el caso en que la función sea derivable en el punto crítico, que nospermitirán determinar si éste es máximo, mínimo o posee alguna otra característica.

TEOREMA 7.2.1 (Criterio primera derivada para crecimiento y decrecimiento) Sea f una funcióncontinua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto ]a, b[, entonces

1. Si f ′(x) ≥ 0 para todo x ∈ ]a, b[ entonces f es creciente en [a, b].

2. Si f ′(x) ≤ 0 para todo x ∈ ]a, b[ entonces f es decreciente en [a, b].

3. Si f ′(x) = 0 para todo x ∈ ]a, b[ entonces f es constante en [a, b].

167

Criterio para encontrar intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. Considere funa función continua y derivable en su dominio, salvo, a lo más, en un número finito de puntos.Estos puntos determinan intervalos ]ai, bi[, i = 1, · · · , n en el dominio de f , en donde f es continuay derivable. Para encontrar los intervalos abiertos donde f crece o decrece se siguen los siguientespasos:

1. Determinar los puntos críticos de f en ]ai, bi[ para cada intervalo determinado anteriormente.

2. Determinar el signo de f ′(x) en cada intervalo determinado por los puntos encontrados sobrela recta real.

3. Usar el teorema anterior para decidir si f crece o decrece en cada subintervalo.

OBSERVACIÓN: En lugar de intervalos de la forma ]a, b[, es posible considerar intervalos con extre-mos en a = −∞ o b = +∞.

EJERCICIOS:

Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento para las siguientes funciones:

f(x) = x3 − 2x− 2

Solución: El dominio de f es Domf = R. Determinamos ahora los puntos críticos:

f ′(x) = 3x2 − 2 ∴(f ′(x) = 0 ⇒ 3x2 − 2 = 0

).

Por lo tanto, los puntos críticos de f son x = ±√

2

3, y èstos son los únicos ya que f es

derivable en todo R. Estos puntos determinan tres intervalos que debemos estudiar:

I1 =

]−∞,−

√2

3

[, I2 =

]−√

2

3,

√2

3

[, I3 =

]√2

3,∞[.

Si x ∈ I1 : f ′(x) > 0 ∴ f es creciente en I1.

Si x ∈ I2 : f ′(x) < 0 ∴ f es decreciente en I2.

Si x ∈ I3 : f ′(x) > 0 ∴ f es creciente en I3.

OBSERVACIÓN: Notamos que, si f crece en I1 y decrece en I2, entonces en el punto −√

23 ,

f alcanza un máximo local. De la misma manera, si f decrece en I2 y crece en I3, entonces en

el punto√

23 , f alcanza un mínimo local.

168

f(x) = xex


f ′(x) = ex(1 + x). Por lo tanto,(f ′(x) = 0 ⇒ ex(1 + x) = 0

). Como ∀x ∈ R :

ex 6= 0 se tiene que x = −1 es el único punto crítico de la función, ya que, nuevamente,f es derivable en todo R. Debemos estudiar el crecimiento de f en los intervalos ] −∞,−1[

y ]− 1,∞[.

Si x ∈]−∞,−1[: f ′(x) < 0 ∴ f es decreciente en el intervalo.

Si x ∈]− 1,∞[: f ′(x) > 0 ∴ f es creciente en el intervalo.

De acuerdo a la observación anterior, concluimos que en x = −1 la función f alcanza unmínimo local.

f(x) = 5x2/3 − x5/3


f ′(x) =10

3 3√x− 5

3x2/3 ∴

(f ′(x) = 0 ⇒ 5

3

(23√x− x2/3

)= 0

)Por lo tanto, los puntos críticos son x = 0 (donde f no es derivable), y x = 2, que obtene-mos como solución de la ecuación anterior. Dejamos como ejercicio determinar el crecimientoen los intervalos determinados por éstos puntos.

f(x) =x2 − 27

x− 6, x ∈ [0, 6]

Solución: En este caso, x = 6 6∈ Domf , por lo que deberemos incluir este punto comoextremo de un par de intervalos. De hecho, la recta x = 6 es una asíntota vertical a la gráficade y = f(x).

f ′(x) =2x(x− 6)− (x2 − 27)

(x− 6)2=

(x− 3)(x− 9)

(x− 6)2= 0 ⇒ x = 3 ∨ x = 9.

Luego, los puntos críticos son x = 3, x = 6, x = 9. Dejamos como ejercicio determinarel crecimiento en los 4 intervalos determinados por estos puntos.

Dejamos como ejercicio los siguientes:

f(x) = senx

f(x) =

{x+ 1 si x < 1

x2 − 6x+ 7 si x ≥ 1

Con lo visto hasta hora, el siguiente teorema parece evidente:

169

TEOREMA 7.2.2 (Criterio de la primera derivada para extremos relativos) Sea c un punto críticode una función f (continua), en un intervalo abierto I , con c ∈ I . Si f es derivable en I , excep-to quizás en c, se cuenta con los siguientes casos

1. Si f ′(x) cambia en c desde un signo negativo a uno positivo entonces f(c) es un mínimo localde f .

2. Si f ′(x) cambia en c de positiva a negativa, entonces f(c) es un máximo local de f .

OBSERVACIÓN: Este teorema da cuenta de las observaciones hechas anteriormente. Es pertinenterecordar, además, el Teorema 3.7.6 que dice que toda función continua definida sobre un intervalo cerra-do alcanza su máximo y su mínimo absolutos en dicho intervalo. En los siguientes ejercicios, aplicaremosestas ideas.

EJERCICIOS:

Para cada una de las siguiente funciones, determine máximos y mínimos locales y globales (sies que existen) en el dominio en donde f está definida. En el caso que los extremos no existan,explique por qué.

1. Sea f(x) = 2x con x ∈ I = [1, 4[. ¿Cuál es el mínimo global de f en este intervalo? ¿Porqué no se puede decir que hay un máximo global en I?

2. Para x ∈ [−5, 4], definimos

f(x) =

{x+ 1 si x < 1

x2 − 6x+ 7 si 1 ≤ x

3. f(x) =x

1− x2

4. Sea f(x) = (x2 − 3x). Además de determinar valores mínimos y/o máximos, evalúe f ′(x)

en los valores encontrados.

5. Sea f(x) = |x|. ¿ Qué tipo de punto (máximo/mínimo) es x = 0? ¿ Qué puede decir de laderivada de la función en este punto?

6. f(x) = senx. Además de determinar valores mínimos y/o máximos, evalúe f ′(x) en losvalores encontrados.

7. Sea f la función definida por

f(x) =

{(x+ 1)2 si −1 ≤ x < 0

(x− 1)2 si 0 ≤ x ≤ 1

Además de determinar valores mínimos y/o máximos, evalúe, si es posible, f ′(x) y f ′′(x) enlos valores encontrados. ¿Es f derivable en x = 0?

170


TEOREMA 7.2.3 Si f tiene un extremo relativo en un punto c entonces c es un punto crítico para f .

OBSERVACIÓN: El recíproco no es verdad. Por ejemplo f (x) = x3 tiene por punto crítico a x = 0

pero no es un extremo local

EJERCICIOS:

Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y/o mínimos locales (siexisten) de las siguientes funciones:

f(x) = 2x3 + 2x2 − 12x− 3

f(x) = x2ex

f(x) =1

x, x 6= 0

f(x) =3x3

16

7.2.1. Convexidad, concavidad, puntos de inflexión

DEFINICIÓN 7.2.6 (Funcion cóncava y convexa) Una función real f definida en un intervalo I sedice convexa si para x, y ∈ I se verifica

f(tx+ (1− t)y) ≤ tf(x) + (1− t)f(y) ∀t ∈ [0, 1]

Por otro lado, se dice que la función f es cóncava si

f(tx+ (1− t)y) ≥ tf(x) + (1− t)f(y) ∀t ∈ [0, 1]

lo que equivale a decir que −f es convexa.

OBSERVACIÓN: Geométricamente, una función es convexa en un intervalo, si dados dos puntoscualquiera en la gráfica de la curva en el intervalo, el segmento de recta que une estos puntos pasapor encima-arriba de la gráfica de f . Análogamente, una función es cóncava en un intervalo, si dadosdos puntos cualquiera en la gráfica de la curva en el intervalo, el segmento de recta que une estospuntos pasa por debajo de la gráfica de f .

Si se cumplen las desigualdades en forma estricta entonces se dice que la función es estricta-mente convexa/cóncava respectivamente. Notar que las funciones lineales (rectas) son funcionesconvexas y cóncavas simultáneamente.

171

PROPOSICIÓN 7.2.1 (Convexidad de una función derivable en un intervalo abierto) Una funciónf derivable en un intervalo abierto I es convexa en I si f ′ es estrictamente creciente en ese inter-valo, y cóncava en I si f ′ es estrictamente decreciente en él.

TEOREMA 7.2.4 (Criterio de convexidad) Sea f una función cuya segunda derivada existe en unintervalo abierto I .

1. Si f ′′(x) ≥ 0 para todo x ∈ I , entonces f es convexa en I .

2. Si f ′′(x) ≤ 0 para todo x ∈ I , entonces f es cóncava en I .

OBSERVACIÓN:

1. Notar la relación existente entre el signo de f ′′ con el hecho de que f ′ es creciente o decre-ciente y por lo tanto con el criterio indicado en la Proposición 7.2.1.

2. Si f ′(x0) = 0, donde x0 pertenece a un intervalo abierto en el Domf , y f ′′(x0) < 0 en elintervalo, esto significa que la derivada de f es siempre decreciente en dicho intervalo. Comof ′(x0) = 0, esto significa que en el intervalo, f ′ cambió de signo en x0, de positivo a negativo.Luego, f alcanza un máximo local en x0. Análogamente, en el caso en que f ′(x0) = 0 yf ′′(x0) > 0 en un intervalo abierto, la función alcanza un mínimo local. Revisaremos estasideas de manera más formal en el Teorema 7.2.6

3. El caso f ′′(x) = 0 para cada x ∈ I representa la presencia de una función lineal (recta), la cuales convexa y cóncava a la vez.

DEFINICIÓN 7.2.7 (Punto de inflexión) El punto c es un punto de inflexión1 de la función f si lafunción cambia de cóncava a convexa, o de convexa a cóncava en (c, f(c)).

OBSERVACIÓN: Si f es derivable en x = c, y si existe un intervalo abierto I que contiene a c, talque para x ∈ I , entonces la definición de punto de inflexión implica que una de las dos siguientessituaciones ocurre:

1. f ′′(x) < 0 si x < c y f ′′(x) > 0 si x > c

2. f ′′(x) > 0 si x < c y f ′′(x) < 0 si x > c

PROPOSICIÓN 7.2.2 Sea f una función derivable en un intervalo abierto I y c un elemento delintervalo. Si c es un punto de inflexión y existe la segunda derivada de f en c, entonces f ′′(c) = 0.

1En ocasiones también se dice que el punto (c, f(c)) es de inflexión en la gráfica de la función f .

172

OBSERVACIÓN: La proposición anterior dice que, si f tiene segunda derivada en los puntos deinflexión, esta segunda derivada debe ser 0. Sin embargo, el recíproco no es cierto. Considerar lafunción f(x) = x2, en cuyo caso f ′′(0) = 0 pero x0 = 0 no es un punto de inflexión sino quees un mínimo absoluto para f . Pero, tenemos el siguiente

TEOREMA 7.2.5 Sea f una función tal que f ′′(c) = 0 y f ′′′(c) 6= 0. Entonces, c es un punto deinflexión para f .

Dem. Supongamos que f ′′′(c) < 0. (Análogamente si f ′′′(c) > 0.)

f ′′′(c) = lımh→0

f ′′(c+ h)− f(c)

h= lım

h→0

f ′′(c+ h)

h< 0

h < 0 ⇒ f ′′(c+ h) > 0 ⇒ f ′ es creciente ⇒ f es convexa.

h > 0 ⇒ f ′′(c+ h) < 0 ⇒ f ′ es decreciente ⇒ f es cóncava.

Así, en c la función f posee un punto de inflexión.

EJERCICIOS:

1. ¿Para qué valores a, b ∈ R, el punto x = 1 es punto de inflexión para la función y = ax3+bx2?

2. Muestre que para todo x, y ∈ R se cumple

ex+y2 ≤ ex + ey

2

3. Para las siguientes funciones determinar los puntos de inflexión (si existen), y los intervalosen que la función es cóncava y/o convexa: :

f(x) = 2sen 3x, x ∈ [−π, π]

f(x) = ex

f(x) =2

x2 + 3

f(x) = 3x4 − 4x3

f(x) = x+ cosx, x ∈ [0, 2π]

173

7.2.2. Criterios

TEOREMA 7.2.6 (Criterio de la segunda derivada para extremos locales) Sea c un punto tal quef ′(c) = 0. Si f ′′ existe para todos los valores de x en un intervalo abierto I , con c ∈ I . Enton-ces:

1. Si f ′′(c) > 0, entonces c es un mínimo local de f .

2. Si f ′′(c) < 0, entonces c es un máximo local de f .

Dem.

Demostraremos 2. (1. se demuestra análogamente): Supongamos que f ′(c) = 0 y f ′′(c) < 0.

Pero:

f ′′(c) = lımh→0

f ′(c+ h)− f ′(c)h

= lımh→0

f ′(c+ h)

h< 0 (por hipótesis)

Luego:

Si h < 0 : f ′(c+ h) > 0 ⇒ f es creciente.Si h > 0 : f ′(c+ h) < 0 ⇒ f es decreciente.

}en c se alcanza un máximo local.

OBSERVACIÓN: La condición de la segunda derivada es suficiente pero no necesaria. Considere lafunción f(x) = (x − 7)4. En este caso: f ′(x) = 4(x − 7)3 ⇒ x = 7 es punto crítico, y,más aún, es un punto donde se alcanza el mínimo global para f , pero f ′′(x) = 12(x− 7)2

∣∣∣x=7

= 0.

Luego, notamos que si f ′′(c) = 0, este criterio no decide y ha de recurrirse al criterio de laprimera derivada. Sin embargo, tenemos el siguiente

TEOREMA 7.2.7 Sea f una función tal que:

f ′(c) = f ′′(c) = · · · = f (n)(c) = 0 ∧ f (n+1)(c) 6= 0

Entonces, en c la función f alcanza un:

máximo local si n es impar y f (n+1)(c) < 0

mínimo local si n es impar y f (n+1)(c) > 0

punto de inflexión si n es par.

174


Ejercicios de OPTIMIZACIÓN

1. Una caja abierta se construye por remoción de un pequeño cuadrado en cada una de lasesquinas de una plancha de cartón y luego doblando los lados. Si el pliego de cartón escuadrado y la longitud de su lado es L [cm], ¿cuál es el volumen máximo posible de la caja?

2. Encuentre dos números x e y no negativos tales que su suma sea igual a 1 y la suma desus cuadrados sea mínima. ¿Existen valores para los cuales la suma de sus cuadrados seamáxima? Justifique.

3. Pruebe que entre todos los rectángulos de perímetro dado, el de área máxima es el cuadrado.

4. Encuentre las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en una semicircunferencia.

5. Pruebe que de todos los triángulos isósceles inscritos en una circunferencia, el triángulo equi-látero es el de perímetro máximo.

6. Calcular el volumen máximo del cilindro circular recto que se puede inscribir en un cono de12[cm] de altura y 4[cm] de radio en la base, de manera que los ejes del cono y del cilindrocoincidan.

7. Determine el volumen del cono circular recto de mayor volumen que puede ser inscrito enuna esfera de radio R.

8. Un observatorio, de volumen de V [m3], debe tener la forma de un cilindro, rematado por unabóveda semiesférica, ambos con el mismo radio. Si la construcción de la bóveda semiesféricacuesta el doble por metro cuadrado que la del muro cilíndrico, ¿cuáles son las proporcionesque se deben emplear para que la construcción tenga costo mínimo?

9. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la elipse b2x2 + a2y2 = a2b2, en el primer cua-drante, y que forma con los ejes coordenados un triángulo de área mínima.

10. Se usarán 5 metros de alambre para hacer 2 figuras. En cada uno de los siguientes casos,determine cuánto alambre debe utilizarse en cada figura de modo que el área total encerrada(es decir, la suma de las áreas encerradas por las dos figuras), sea máxima:

a) un triángulo equilatero y un cuadrado.

b) un cuadrado y un pentágono regular.

c) un pentágono regular y un hexágono regular.

d) un hexágono regular y un círculo

¿Puede sacar alguna conclusión a partir de este patrón?

Ayuda: el área de un polígono regular de n lados de longitud x está dado porA = n4 cotg (πn)x2.

175

7.3. Gráfico de Curvas

Las derivadas de una función nos permiten conocer la gráfica de ella, como veremos en estasección. Les sugerimos revisar los conceptos de rectas asíntotas a la gráfica de una función, queutilizaremos en esta sección.

Para graficar funciones de R en R, es importante ser ordenados y metódicos. Deberá conside-rarse en cada caso los siguientes pasos:

Determinación del DOMINIO de f .

Búsqueda de INTERCEPTOS con los ejes.

Búsqueda de ASÍNTOTAS.

Búsqueda de PUNTOS CRÍTICOS.

Estudio del CRECIMIENTO.

Determinación de MÁXIMOS y MÍNIMOS.

Estudio de CONVEXIDAD y PUNTOS DE INFLEXIÓN.

EJEMPLOS: Grafique las siguientes funciones:

1) f(x) =x

x2 − 4 2) f(x) =x(x− 4)

(x+ 4)2 3) f(x) =x2 + x− 1

x− 1

Solución:

1) Si f(x) =x

x2 − 4, entonces:

DOMINIO de f : R− {−2, 2}.INTERCEPTOS con los ejes: x = 0 ⇔ y = 0 ∴ (0, 0) ∈ Graf(f).

ASÍNTOTAS:verticales: x2 − 4 = 0 ⇒ x = 2 ∧ x = −2 son asíntotas.

horizontales: lımx→±∞

x

x2 − 4= lım

x→±∞

xx2

x2

x2− 4

x2

= 0 ⇒ y = 0 es asíntota.

oblicuas: lımx→±∞

x

x(x2 − 4)= 0 ∴ no tiene.

PUNTOS CRÍTICOS: f ′(x) =x2 − 4− 2x2

(x2 − 4)2= − x2 + 4

(x2 − 4)2< 0 si x 6= ±2, es

decir, no tiene puntos críticos.

176

Verónica Gruenberg Stern 7.3. GRÁFICO DE CURVAS

CRECIMIENTO: Por lo anterior, la función decrece en cada uno de los intervalos]−∞,−2[, ]− 2, 2[, ]2,∞[.

MÁXIMOS y MÍNIMOS: No posee, puesto que no tiene puntos críticos.

CONVEXIDAD y PUNTOS DE INFLEXIÓN:

f ′′(x) = − 2x(x2 − 4)2 − 2(x2 − 4) · 2x · (x2 + 4)

(x2 − 4)4=

2x(x2 + 12)

(x2 − 4)3

Luego, f ′′(x) = 0 ⇒ x = 0 es un posible punto de inflexión. Calculamos f ′′′(0):

f ′′′(x) = −6x4 + 24x2 + 16

(x2 − 4)4⇒ f ′′′(0) 6= 0 de donde, efectivamente, x = 0 es un

punto de inflexión.

CONVEXIDAD: x > 2 ⇒ f ′′(x) > 0 ∴ f es convexa en ]2,∞[.

0 < x < 2 ⇒ f ′′(x) < 0 ∴ f es cóncava en ]0, 2[.

−2 < x < 0 ⇒ f ′′(x) > 0 ∴ f es convexa en ] − 2, 0[, (corroborando que x = 0

es un punto de inflexión).

x < −2 ⇒ f ′′(x) < 0 ∴ f es cóncava en ]−∞,−2[.

Estamos ahora en condiciones de graficar y = f(x):

x=2 x=-2

y=0

2) Si f(x) =x(x− 4)

(x+ 4)2entonces:

DOMINIO de f : R− {−4}

177

INTERCEPTOS con los ejes: x = 0 ⇒ y = 0 ∧ y = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = 4.Por lo tanto, (0, 0) ∧ (4, 0) ∈ Graf(f).

ASÍNTOTAS:

verticales: (x+ 4)2 = 0 ⇔ x = −4 ∴ x = −4 es asíntota vertical.

horizontales: lımx→±∞

x(x− 4)

(x+ 4)2= lım

x→±∞

x2

x2− 4x

x2

x2

x2+ 8x

x2+ 16

x2

= 1 ∴ y = 1 es asíntota.

oblicua: lımx→±∞

x(x− 4)

x(x+ 4)2= 0 ∴ no tiene.

PUNTOS CRÍTICOS: f ′(x) =(2x− 4)(x+ 4)2 − 2(x+ 4)(x2 − 4x)

(x+ 4)4=

4(3x− 4)

(x+ 4)3

f ′(x) = 0 ⇒ x =4

3es punto crítico para f .

CRECIMIENTO: Debemos estudiar el signo de f ′(x) =4(3x− 4)

(x+ 4)3:

f ′(x) < 0 ⇔ (3x− 4 > 0 ∧ x+ 4 < 0) ∨ (3x− 4 < 0 ∧ x+ 4 > 0)

Luego, f decrece en]−4, 4

3

[.

f ′(x) > 0 ⇔ (3x− 4 > 0 ∧ x+ 4 > 0) ∨ (3x− 4 < 0 ∧ x+ 4 < 0)

Luego, f crece en ]−∞,−4[ y]

43 ,∞

[.

MÁXIMOS y MÍNIMOS: Podemos deducir de nuestro análisis anterior que enx = 4

3 la función alcanza un mínimo relativo. También, podemos aplicar el criterio dela segunda derivada:

f ′′(x) =12(x+ 4)3 − 3(x+ 4)2(12x− 16)

(x+ 4)6=

24(4− x)

(x+ 4)4∴ f ′′

(43

)> 0 ⇒ 4

3 es un

mínimo local para f .

Además: f(

43

)= − 1

8 .

CONVEXIDAD y PUNTOS DE INFLEXIÓN: Del cálculo de la segunda derivada, ve-mos que f ′′(x) = 0 ⇔ x = 4. Para confirmar que es un punto de inflexión, podemoscalcular la segunda derivada, ó analizar los cambios de signo de f ′′, que determinan loscambios de convexidad de la función.

x > 4 ⇒ f ′′(x) < 0 ⇒ f es cóncava allí.

(−4 < x < 4 ∨ x < −4) ⇒ f ′′(x) > 0 ⇒ f es convexa allí.

Luego, efectivamente x = 43 es un punto de inflexión para f .

178

Verónica Gruenberg Stern 7.3. GRÁFICO DE CURVAS


x=-4

y=1

0 4

3) Si f(x) =x2 + x− 1

x− 1entonces:

INTERCEPTOS: x = 0 ⇒ y = 1 ∧(y = 0 ⇒ x =

−1±√

5

2

).

Por lo tanto (0, 1), (−1−√

52 , 0) ∧ (−1+

√5

2 , 0) ∈ Graf(f).

ASÍNTOTAS: Claramente, x = 1 es una asíntota vertical. Además, no hay

asíntotas verticales ya que lımx→±∞

x2 + x− 1

x− 1−→∞.

Buscamos entonces asíntotas oblicuas, de la forma y = ax+ b:

a = lımx→±∞

x2 + x− 1

x(x− 1)= 1 ∧ b = lım

x→±∞

x2 + x− 1

x− 1− x = lım

x→±∞

x2 + x− 1− x2 + x

x− 1= 2

Luego, y = x+ 2 es asíntota para f .

PUNTOS CRÍTICOS: f ′(x) =(2x+ 1)(x− 1)− (x2 + x− 1)

(x− 1)2=x(x− 2)

(x− 1)2

Por lo tanto, x = 0 ∧ x = 2 son puntos críticos.

CRECIMIENTO: El denominador de f ′(x) es siempre positivo, por lo que el signode f ′(x) depende del signo del numerador. Así,

f crece en ]−∞, 0[ y en ]2,∞[.

f decrece en ]0, 1[ y en ]1, 2[.

MÁXIMOS y MÍNIMOS: De lo anterior, vemos que en x = 0 la función alcanza unmáximo local y en x = 2 alcanza un mínimo local. También podemos usar el criterio dela segunda derivada:

179

f ′′(x) =(2x− 2)(x− 1)2 − 2(x− 1)(x2 − 2x)

(x− 1)4=

2

(x− 1)3⇒ f ′′(0) < 0 ∧ f ′′(2) > 0.

Por lo tanto, en x = 0 la función alcanza un máximo local y en x = 2 alcanza un mínimolocal, como vimos recién. Además, f(0) = 1 ∧ f(2) = 5.

PUNTOS DE INFLEXIÓN y CONVEXIDAD: Del cálculo de la segunda derivada,vemos que f ′′(x) < 0 si x < 1 y f ′′(x) > 0 si x > 1.


y=x+2

x=1

Ejercicios

1. Haga un estudio completo de las siguientes funciones:

a) f(x) =x− 2

x2 − 1

b) g(x) =x3 − 2x

x− 5

c) h(x) =x2 − 3x+ 2

x2 − 4

d) f(x) =(x− 1)(x+ 2)

x2(x+ 1)

e) g(x) = 2 +1

1 + x2

f ) h(x) =3x2

x2 − 2x− 3

g) f(x) = 7x+1

2x+ 5

h) g(x) = 2(x− 1) +4

x− 1

i) h(x) = (x2 − 1)(x+ 2)

2. La función f(x) = ax3 + bx2 +3

2x − 2

3tiene un máximo para x = 1 y un mínimo para

x = 3. Determine las constantes a y b, y bosqueje la gráfica de f .

180

Verónica Gruenberg Stern 7.4. REGLA DE L’HÔPITAL

3. La siguiente figura corresponde a la gráfica de la derivada de la función f(x).

a) Determine los puntos críticos de f .

b) Determine la naturaleza de los puntos críticos.

c) Grafique y = f(x).

4. Grafique la función y = f(x), si sabe que f(0) = 2 y que f ′(x) = 3√

1 + x3.

7.4. Regla de L’Hôpital

Si lımx→x0

f(x) = L1 y lımx→x0

g(x) = L2 6= 0 entonces sabemos que lımx→x0

f(x)

g(x)=L1

L2. En cambio, si

L1 = L2 = 0, es decir, si cuando x → x0, f (x) y g (x) tienden a cero, entonces no sabemos si esposible o no calcular

lımx→x0

f (x)

g (x)

De hecho, puede suceder que un límite como el anterior exista y valga 0, exista y tome un valordiferente de 0 o no exista.Ejemplos de esta situación son

lımx→0

senπx

x, lım

x→1

√x− 1

x− 1, lım

x→0

1− cosx

x, lım

x→0

tanx

1− cosx

en los cuales no podemos aplicar directamente el álgebra de límites. Cada uno de ellos nos lleva ala forma 0

0 que se conoce como forma indeterminada. Notamos que:

lımx→0

senπx

x= π, lım

x→1

√x− 1

x− 1=

1

2, lım

x→0

1− cosx

x= 0 y lım

x→0

tanx

1− cosxno existe.

También hay otras situaciones en las cuales el comportamiento del cuociente f(x)g(x) es indetermi-

nado, por ejemplo si cuando x → x0, se tiene que f (x) → ±∞ y g (x) → ±∞, que genera laforma indeterminada

∞∞ .

181


Considerando todas las posibilidades de expresiones cuyo comportamiento en el límite no esclaro a priori, se tienen las siguientes formas indeterminadas:

0

0,∞∞ , 0 · ∞ , ∞−∞, 1∞ , 00 , ∞0 , 0∞

Para las formas tercera en adelante, se deberá transformar la expresión respectiva (llevándola a unade las dos primeras) de manera tal de poder aplicar los teoremas y técnicas que veremos para lasdos primeras formas.

La regla de L’ Hôpital permite determinar, en algunos casos, el valor de estos límites cuandoestamos frente a una forma indeterminada de los tipos 0

0 ó ∞∞ . El resultado es una consecuencia delteorema del valor medio generalizado.

TEOREMA 7.4.1 (del Valor Medio Generalizado) Sean f, g : [a, b] → R funciones continuas en[a, b], derivables en ]a, b[ y tal que f ′(x) 6= 0 ∀x ∈]a, b[. Entonces, existe un punto ξ ∈ ]a, b[ talque

g (b)− g (a)

f (b)− f (a)=g′ (ξ)

f ′ (ξ)

Dem. Utilizar el teorema de Rolle aplicado a la función

H (x) = f (x) (g (b)− g (a))− g (x) (f (b)− f (a)) .

OBSERVACIÓN:

1. Si f(x) = x, entonces el teorema se reduce al T.V.M. usual.

2. El T.V.M. usual implica que existen dos números, c1 y c2, posiblemente distintos, en el inter-valo ]a, b[ tal que

g(b)− g(a)

f(b)− f(a)=

(b− a)g′(c1)

(b− a)f ′(c2)=g′(c1)

f ′(c2)

El T.V.M generalizado hace la afirmación más fuerte, que c1 y c2 pueden elegirse iguales.

TEOREMA 7.4.2 (Regla de L’ Hôpital para la forma 00 ) Sean f, g funciones derivables y sea a ∈

R ∪ {−∞,+∞}. Suponga además que si x→ a entonces f (x) , g (x)→ 0. Si

lımx→a

f ′ (x)

g′ (x)= L

(donde L ∈ R∪{−∞,+∞}), entonces

lımx→a

f (x)

g (x)= L

182


TEOREMA 7.4.3 (Regla de L’ Hôpital para la forma ∞∞ ) Sean f, g funciones derivables y a ∈ R ∪{−∞,+∞}. Suponga además que si x→ a entonces f (x) , g (x)→∞. Si

lımx→a

f ′ (x)

g′ (x)= L

(donde L ∈ R∪{−∞,+∞}), entonces

lımx→a

f (x)

g (x)= L

OBSERVACIÓN:

1. La regla de L’ Hôpital sólo se aplica a casos de formas indeterminadas; por ejemplo

lımx→0

x2 − 1

x2 − 2=

1

2

Si aplicamos L’ Hôpital (que no corresponde pues no se está frente a una forma indetermi-

nada) nos quedaría lımx→0

2x

2x= 1 lo que claramente es incorrecto.

2. Es posible que lımx→a

f (x)

g (x)exista sin que lım

x→a

f ′ (x)

g′ (x)exista. Por ejemplo:

lımx→0

x2 sen (1/x)

x= lım

x→0x sen (1/x) = 0

Pero

lımx→0

ddx

(x2 sen (1/x)

)ddx (x)

= lımx→0

2x sen (1/x)− cos (1/x)

1

que no existe.

3. Si f y g tienen derivadas de orden superior, la regla se extiende para éstas si el cuociente delos límites de las derivadas se siguen indeterminando.

EJEMPLOS: Use la regla de L’ Hôpital para calcular

1. lımx→0

1− cosx

x2

2. lımx→0

esenx − exsenx− x

3. lımx→∞

xn

ex, n ∈ Z fijo.

183


Solución:

1. El límite es una forma indeterminada del tipo 00 . Al aplicar la regla de L’Hôpital obtenemos

senx2x , que nuevamente es una forma indeterminada del tipo 0

0 . Aplicamos, entonces, nueva-mente la regla, y obtenemos una forma determinada que nos permite encontrar el límite:

lımx→0

1− cosx

x2= lım

x→0

senx

2x= lım

x→0

cosx

2=

1

2

2. Análogamente, aplicando sucesivamente la regla de L’Hôpital a esta forma indeterminada 00

obtenemos:

lımx→0

esenx − exsenx− x = lım

x→0

esenx(cosx)− excosx− 1

= lımx→0

esenx(cos2 x− senx)− ex− senx

= lımx→0

esenx(cos3 x− senx cosx− 2 senx cosx− cosx)− ex− cosx

= − lımx→0

esenx(cos2 x− 3 senx− 1)− ex = −1

3. En este caso, aplicando sucesivamente la regla de L’Hôpital a esta forma indeterminada ∞∞obtenemos:

lımx→∞

xn

ex= lım

x→∞

n!

ex= 0

Este valor de límite nos dice que, en la medida que x crece, la función exponencial crece másrásiduamente que un polinomio (de cualquier grado).

EJERCICIOS:

1. Compare los resultados para los siguientes límites sin utilizar la regla de L’ Hôpital

a) lımx→−2

x3 + 8

x+ 2b) lım

x→0

x2 − xx4 − x3

Notar que la forma indeterminada involucrada es 0/0. Es claro que no se puede contar con0/0 = 1 como identidad (aunque puede que el límite de la forma indeterminada sea 1).

2. Hallar los siguientes límites

a) lımx→−π/2

cosx

senx− 1

b) lımx→∞

(π/2)− arc tanx

1/x

c) lımx→π/2

3 cosx

2x− π

d) lımx→+∞

x2

ex

e) lımx→∞

ex

x3

f) lımx→0+

1/x

e1/x2

184


7.4.1. Regla de L’ Hôpital con otras formas indeterminadas

Otras formas indeterminadas son 0·∞ y ∞−∞. Las formas exponenciales 1∞ , 00 , ∞0 , 0∞

las veremos en la siguiente sección.En los casos 0 · ∞ y ∞−∞, para poder aplicar la regla de L’ Hôpital debemos transformar el

límite buscado a una de las formas 00 o ∞

∞ . Veamos algunos ejemplos:

EJEMPLOS: Calcular los siguientes:

1. lımx→1−

√1− x ln

(ln

(1

x

))

2. lımx→0

cotg x · ln(

1 + x

1− x

)3. lım

x→0

1

x− 1

senx

Soluciones:

1. El primer límite es de la forma 0 · ∞, pues lımx→1−

√1− x = 0 y lım

x→1−ln

(ln

(1

x

))=∞.

Escribimos entonces:

lımx→1−

√1− x ln

(ln

(1

x

))= lım

x→1−

ln(− ln(x))

(1− x)−1/2

= lımx→1−

1x lnx

12(1− x)−3/2

= 2 lımx→1−

(1− x)3/2

x lnx

= 2 lımx→1−

−32(1− x)1/2

lnx+ x · 1x

= 0

2. El segundo límite es de la forma∞ · 0, y procedemos análogamente:

lımx→0

cotg x · ln(

1 + x

1− x

)= lım

x→0

ln(1 + x)− ln(1− x)

tanx

= lımx→0

11+x + 1

1−xsec2 x

= 2

3. El tercer límite es de la forma∞−∞. Entonces:

lımx→0

1

x− 1

senx= lım

x→0

senx− xx senx

= lımx→0

cosx− 1

senx+ x cosx

= lımx→0

− senx

2 cosx− x senx= 0

185


7.4.2. Regla de L’ Hôpital para expresiones del tipo f(x)g(x)

En el cálculo de algunos límites, pueden presentarse funciones de la forma

y = f(x)g(x)

Sabemos que estos límites pueden ser resueltos usando exponencial y logaritmo. Ahora vere-mos que, en vista de las formas indeterminadas que se puede obtener de esta expresión, es posibleutilizar la regla de L’ Hôpital para determinar tales límites tras la aplicación del siguiente procedi-miento:

1. Escribir y = f(x)g(x)

2. Tomar ln y

3. Analizar el límite de ln y

4. Utilizando el límite anterior, analizar lım y = lım eln y = elım ln y

OBSERVACIÓN: Todo esto bajo las condiciones pertinentes al considerar el dominio de ln(·).

OBSERVACIÓN: Notar la aplicación del teorema de límites y continuidad presentado en clasesanteriores, según el cual si f es función continua con lım

x→ag(x) = b entonces lım

x→a(f ◦ g)(x) = f(b) o

en forma equivalentelımx→a

f(g(x)) = f( lımx→a

g(x)).

EJEMPLOS:

Calcular con el procedimiento mencionado lımx→∞

(1 +

1

x

)x.

¿Reconoce en una primera instancia este límite?

Verifique el resultado entregado en clases anteriores para lımx→∞

(1 +

a

x

)xCalcular los siguientes límites:• lımx→0+

xx

• lımx→∞

x1/x

• lımx→0+

xsenx

• lımx→0

(x+ e2x)1/x

Ahora enunciaremos un teorema que relaciona el cálculo de límites de funciones con el cálculode límites de sucesiones, lo que es muy útil pues ya contamos con la regla de L’Hôpital.

186


TEOREMA 7.4.4 Si lımx→∞

f (x) = L y xn = f (n) entonces lımn→∞

xn = L.

EJEMPLOS:

1. Sea xn =(1 + 1

n

)n. Definiendo f (x) =(1 + 1

x

)x vemos que f (n) = xn y

lımn→∞

xn = lımx→∞

(1 +

1

x

)x= e

2. Sea xn = n√n. Definiendo f (x) = x1/x y calculando lım

x→∞x1/x = 1 se sigue

lımn→∞

n√n = 1

Este límite también se puede calcular a través del teorema del Sandwich.

TEOREMA 7.4.5 Sea A ⊆ R un conjunto que es unión de intervalos abiertos. Sea f : A → R unafunción y a ∈ A. La función f es continua en a si y solo si para toda sucesión (an) con an ∈ A,n ∈ N y an → a se cumple f (an)→ f (a).

EJERCICIOS:

Encontrar el límite de las siguientes funciones usando la regla de L’Hôpital:

1. lımx→0

ex − 1− xx2

2. lımx→0

1− cosx

x2

3. lımx→0

x

arc tan (4x)

4. lımx→∞

x3e−x2

5. lımx→0+

senx lnx

6. lımx→0

(cosecx− cotg x)

7. lımx→0

(1− 2x)1/x

8. lımx→0+

(cosx)1/x2

9. lımx→∞

x(ln 2)/(1+lnx)

10. lımx→∞

(ex + x)1/x

11. lımx→∞

(2x− 3

2x+ 5

)2x+1

12. lımx→π/4

(1− tanx) secx

187



1. Una partícula P se mueve sobre la trayectoria y = senx, de modo que su abscisa aumentauniformente a razón de 10 unidades por segundo. SiM es la proyección de P sobre el ejeOY¿con qué rapidez está variando el área del triángulo OPM?

2. Determine dos números x e y no negativos tales que su suma sea igual a 1 y la suma de suscuadrados sea mínima. ¿Existen valores x e y para los cuales la suma de sus cuadrados seamáxima?

3. Sea y = x+ cosx, x ∈ [0, 2π].

a) Determine los intervalos donde la función es:

i) estrictamente creciente.

ii) estrictamente decreciente.

b) ¿En qué intervalos la función es

i) cóncava?

ii) convexa?

4. ¿Para qué valores de a y b en R, el punto (1, 3) es un punto de inflexión para la funcióny = ax3 + bx2 ?

5. Una partícula P = (x, y) describe una circunferencia x2 + y2 = 1. Encuentre los puntos sobreesta circunferencia para los que la ordenada “y”decrece en la misma razón en que la abscisa“x”crece.

6. Un barco navega paralelamente a una costa recta a una rapidez de 12millas/hora y a unadistancia de 4 millas de la costa. ¿Cuál es su velocidad de aproximación a un faro de la costa,en el instante en que dista precisamente 5 millas del faro?

7. Una recta variable que pasa por el punto (1, 2) corta al eje x en A = (a, 0), a > 0 y al eje y enB = (0, b), b > 0. Hallar el triángulo AOB que tenga área mínima.

188

8. Bosqueje el gráfico de la función y = f(x) a partir de la siguiente información:

Domf = R− {0,−2}lımx→0

f(x) =3

2; lım

x→2f(x) = +∞; f(−2−

√15) = −15, 75; f(−2 +

√15) = −0, 25

lımx→∞

f(x)

x= 1; lım

x→∞(f(x)− x) = −6; lım

x→−2−f(x) = −∞

f ′ ≥ 0 en [−2 +√

15,∞[ ∪ ]−∞,−2−√

15[

f ′ ≤ 0 en [−2−√

15,−2[ ∪ ]− 2,−2 +√

15[

f ′(−2−√

15) = 0 y f ′′(−2−√

15) < 0

f ′(−2 +√

15) = 0 y f ′′(−2 +√

15) > 0

f ′′(x) ≥ 0 en ]− 2,∞[

f ′′(x) ≤ 0 en ]−∞,−2[

9. En la ribera de un río de 3 km de ancho hay una planta eléctrica. En la orilla, a 4 km corrienteabajo respecto a la planta, hay una fábrica. El costo de tender un cable por tierra es de $15000por metro, y de $25000 por metro para el tendido bajo el agua. ¿Cual es la ruta más económicapara tender un cable desde la planta eléctrica a la fábrica, y cuál es su costo?

10. Calcular el volumen máximo del cilindro circular recto que se puede inscribir en un cono de12 [cm] de altura y 4 [cm] de radio en la base, de manera que los ejes del cilindro y del conocoincidan.

11. Dos autos se cruzan a las 12:00 en el punto A siguiendo rutas rectilíneas separadas en unángulo de 39◦.

El primer auto va a una rapidez constante de 30[Km/h] y el segundo a una rapidez constantede 60[Km/h].

a) ¿A qué distancia se encuentran separados a las 12:10?

b) ¿Con qué rapidez se están separando a las 12:10?

12. Sea f una función continua con segunda derivada continua en R, tal que

f(x) > 0 y f ′(x) = −x · f(x) ∀x ∈ R

Hallar:

a) intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f .

b) intervalos de convexidad y concavidad de la función f .

c) ¿Cuáles son los puntos de inflexión de f ?

189


13. Analice completamente la función

f(x) = 2x+1

x2

determinando: Dom(f), puntos críticos, extremos locales, monotonía de f , asíntotas, conca-vidad, gráfico.

14. Se desea cercar un terreno rectangular y dividirlo en tres partes iguales mediante dos cercasdivisorias paralelas a dos de los lados.

a) Si el área que debe abarcarse es de 4000[m2], hallar las dimensiones del terreno querequiere la menor cantidad de cerca.

b) Si la cerca total que va a utilizarse es de 8000[m], encuentre las dimensiones del terrenoabarcado que tenga mayor área.

15. Se quiere cerrar un potrero en forma rectangular, de tal suerte que uno de los lados coincidacon la orilla de un río recto. Se dispone de 1000[m] de alambre y el cerco debe ocupar 3corridas de este alambre ¿Cuál es el potrero de mayor área que se puede cercar con estealambre?

16. Una hombre asciende en un globo de aire caliente a razón de 10[pies/seg] ¿Con qué rapidezcrece la distancia del globo al horizonte (es decir, la distancia hasta donde el hombre puedever) en el instante t0 en que el globo está a 1.000[pies] de altura? Suponga que la Tierra esesférica y que su radio mide 21.120.000[pies].

17. Sea la función

f(x) =x

(x+ 1)2

a) Encontrar los máximos y mínimos.

b) Encontrar los puntos de inflexión.

c) Encontrar las asíntotas.

d) Bosquejar la gráfica de la función.

190


18. Dada la función f(x) = 2x+1

x− 1+

1

x+ 1encontrar, si existen:

a) asíntotas verticales

b) asíntotas oblicuas

c) máximos

d) mínimos

e) puntos de inflexión

19. Un cilindro circular recto se inscribe en un cono de radio R y altura H . Calcule las dimensio-nes del cilindro de modo que su volumen sea máximo. Calcule dicho volumen.

20. Calcule lımx→+∞

sen(

1x

)arc tg

(1x

)21. Considere un depósito cónico y circular, de 4[dm] de radio y 8[dm] de altura, con su vértice

hacia abajo. Si entra agua al depósito a razón de K[dm3/seg], calcule la rapidez con que subela columna líquida cuando se encuentra a 2[dm] de la parte superior del depósito.

22. Considere la curva de ecuaciones paramétricas:

x(t) = t− sen t

y(t) = 1− cos t

}0 ≤ t ≤ 2π

Estudie los intervalos de monotonía, concavidad (convexidad) y los puntos críticos. Haga elgráfico (tamaño 1/3 de página).

191


192


193

Apéndice A

Números Reales

1. Seana

b,c

d∈ ]2, 3[ ⊆ R, b, d > 0. Demuestre que

a+ c

b+ d∈ ]2, 3[.

Solución:a

b,c

d∈ ]2, 3[ ⇐⇒ 2 <

a

b< 3 ∧ 2 <

c

d< 3

Como b, d > 0:2b < a < 3b ∧ 2d < c < 3d

Sumando estas dos desigualdades, usando las propiedades:

2b+ 2d < a+ c < 3b+ 3d ⇐⇒ 2 <a+ c

b+ d< 3

pues b+ d > 0.

2. Demuestre que si a y b son números reales mayores que 1, entonces ab+ 1 > a+ b.

Solución: Notamos que

( a > 1 ⇒ a− 1 > 0 ) ∧ ( b > 1 ⇒ b− 1 > 0 )

∴ (a− 1)(b− 1) > 0 de donde ab− a− b+ 1 > 0 y luego ab+ 1 > a+ b.

3. Probar que si 0 ≤ b ≤ a, entonces∣∣∣|a| − |b|∣∣∣ ≤√|a+ b| |a− b|.

Solución: a, b ≥ 0 ⇒ |a| = a ∧ |b| = b.

a ≥ b ⇒ a− b ≥ 0 ⇒ |a− b| = a− b

∴∣∣∣|a| − |b|∣∣∣ ≤√|a+ b| |a− b| ⇐⇒ a− b ≤

√(a+ b)(a− b)

Notamos que:

b ≥ 0 ⇐⇒ −b ≤ b ⇐⇒ a− b ≤ a+ b ⇐⇒ (a− b)2 ≤ (a+ b)(a− b)

Luego, extrayendo raíz cuadrada, se tiene lo pedido.

195

CAPÍTULO A. NÚMEROS REALES Verónica Gruenberg Stern

4. Sean a, b ∈ R−]− 1, 1[. Probar que∣∣∣∣1a − 1

b

∣∣∣∣ ≤ |b− a|.Solución: Vemos que

∣∣∣∣1a − 1

b

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣b− aab

∣∣∣∣.Como a, b ∈ R−]− 1, 1[, se tiene que |a|, |b| ≥ 1 ∴ |ab| ≥ 1 ⇐⇒ 1

|ab| ≤ 1.

Multiplicando por |b− a|:|b− a||ab| ≤ |b− a|

5. Demuestre que si a, b ∈ R+, entonces2

a+

3

b≥ 25

2a+ 3b.

Solución:2

a+

3

b≥ 25

2a+ 3b⇐⇒ 2(2a+ 3b)

a+

3(2a+ 3b)

b≥ 25

Pero:

2(2a+ 3b)

a+

3(2a+ 3b)

b= 4 + 6

(b

a+a

b

)+ 9 = 13 + 6

b

a+a

b︸︷︷︸≥2

≥ 13 + 6 · 2 = 25

6. Sean a, b, c ∈ R : a+ b+ c = 0. Pruebe que ab+ bc+ ca ≤ 0.

Solución: Notamos que:

a+ b+ c = 0 =⇒ (a+ b+ c)2 = 0 =⇒ a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2bc+ 2ca = 0

∴ 2(ab+ bc+ ca) = −(a2 + b2 + c2) y por lo tanto ab+ bc+ ca ≤ 0

7. Determinar el conjunto solución de√|x− 2|+ 4−

√x− 6 < 2

Solución: Para que las raíces estén bien definidas, es necesario que x ≥ 6. Con estarestricción: √

|x− 2|+ 4−√x− 6 < 2 ⇐⇒

√(x− 2) + 4 <

√x− 6 + 2

Como ambos lados son positivos, podemos elevar al cuadrado:

x+ 2 < x− 6 + 4√x− 6 + 4 ⇐⇒

√x− 6 > 1 ⇐⇒ x > 7

196

Verónica Gruenberg Stern

8. Resuelva la inecuación √3x+ 1

2x− 1≤ 1

Solución: Necesitamos que la cantidad subradical sea ≥ 0, es decir:

3x+ 1

2x− 1≥ 0 ⇐⇒

3x+ 1 ≥ 0

∧2x− 1 > 0

∨

3x+ 1 ≤ 0

∧2x− 1 < 0

⇐⇒ x >1

2∨ x ≤ −1

3

Con estas restricciones, y como ambos lados de la inecuación original son positivos, elevamosal cuadrado para obtener la inecuación equivalente

3x+ 1

2x− 1≤ 1

Mostramos a continuación 2 métodos para resolverla:

Método 1 Consideramos los 2 casos dados por las restricciones:

Si x >1

2: 2x − 1 > 0 ⇒ 3x + 1 ≤ 2x − 1 ⇒ x ≤ −2, lo cual es una

contradicción.

Si x ≤ −1

3: 2x− 1 < 0 ⇒ 3x+ 1 ≥ 2x− 1 ⇒ x ≥ −2 ∴ S = [−2, −1

3 ].

Método 2

3x+ 1

2x− 1≤ 1 ⇐⇒ 3x+ 1

2x− 1− 1 ≤ 0 ⇐⇒ 3x+ 1− (2x− 1)

2x− 1≤ 0 ⇐⇒ x+ 2

2x− 1≤ 0

]−∞,−2[ ]− 2,−13 [ ... ]1

2 ,∞[

x+ 2 − + +

2x− 1 − − +

x+ 2

2x− 1+ − +

Luego, el conjunto solución es S = [−2, −13 ], donde se ha incluido el punto x = −2,

pues la desigualdad no es estricta.

197

CAPÍTULO A. NÚMEROS REALES Verónica Gruenberg Stern

9. Pruebe que ∀x < 0 :√

1− x < 1− x2 .

Solución:

Notamos que x < 0 ⇒ (1− x > 0 ∧ 1− x2 > 0), de donde

√1− x < 1− x

2⇐⇒ 1− x <

(1− x

2

)2⇐⇒ 1− x < 1− x+

x2

4

afirmación que es verdadera, pues ∀x < 0 :x2

4> 0.

10. Determine x en términos de a ∈ R, si√a−√a+ x = x.

Solución: Suponiendo que x ≥ 0:

a−√a+ x = x2

(a− x2)2 = a+ x ⇒ x4 − 2ax2 − x+ a2 − a = 0

Esta ecuación cuártica en x puede ser mirada también como una ecuación cuadrática en a:

a2 − (2x2 + 1)a+ x4 − x = 0

a =2x2 + 1±

√(2x2 + 1)2 − 4x4 + 4x

2

=2x2 + 1±

√(2x+ 1)2

2=

{x2 + x+ 1

x2 − x

Luego, podemos reescribir la ecuación en la forma:

(a− x2 − x− 1)(a− x2 + x) = 0

(x2 − x− a)(x2 + x− a+ 1) = 0

∴x2 − x− a = 0 ∨ x2 + x− a+ 1 = 0

x =1±√

1 + 4a

2∨ x =

−1±√

1− 4 + 4a

2

198

Apéndice B

Funciones

1. Sea fn(x) = (a− bxn)1/n, donde a, b son constantes reales positivas y n ∈ N.

a) Determine los conjuntos Jn = {x ∈ R : fn(x) está bien definida}, n ∈ N.

Solución:

Si n ∈ N es par: xn ≥ 0 ∀x ∈ R. Luego fn(x) está bien definida⇔ a− bxn ≤ 0⇔ |x| ≤n√a/b

⇒ Jn =[− n√a/b, n

√a/b], n ∈ N par.

Si n ∈ N es impar: x ≥ 0 ⇔ xn ≥ 0 ∧ x < 0 ⇔ xn < 0. Luego, si x ≥ 0: fn(x) estábien definida ⇔ a − bxn ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ n

√a/b. Si x < 0: fn(x) está bien definida

⇔ a− bxn ≥ 0 y esta última condición se cumple ∀x < 0.

⇒ Jn =(−∞, n

√a/b], n ∈ N impar

b) Para n ∈ N dado, ¿qué condiciones deben cumplir las constantes a, b > 0 para que fncoincida con su inversa f−1

n , i.e., para que se cumpla fn = f−1n .

Solución:

y = fn(x) = (a− bxn)1/n ⇔ x = f−1n (y) =

(a

b− 1

byn)1/n

Luego:

fn = f−1n ⇐⇒ a =

a

b∧ b =

1

b⇔ b = 1

2. a) Probar que si g ◦ f es sobre, entonces g es sobre.

b) Probar que si g ◦ f es 1-1, entonces f es 1-1.

Solución: f : A −→ B, g : B −→ C.

199

CAPÍTULO B. FUNCIONES Verónica Gruenberg Stern

a) g ◦ f sobre⇒ ∀c ∈ C ∃a ∈ A : (g ◦ f)(a) = c ⇒ g(f(a)) = c

∴ ∀c ∈ C∃a ∈ A : f(a) ∈ B ∧ g(f(a)) = g(b) = c para algún b ∈ B. Por lo tanto, ges sobre.

b) Sean x1, x2 ∈ A tal que f(x1) = f(x2). Aplicamos g: (g ◦ f)(x1) = (g ◦ f)(x2) ⇒x1 = x2 (pues g ◦ f es 1-1). Luego, f es 1-1.

3. Sea f : R −→ R, f(f(x− 1)) = x− 1. Probar que f es biyectiva.

Solución:

f ◦ f biyectiva ⇒ f ◦ f es 1-1. ∴ f es 1-1.

f ◦ f biyectiva ⇒ f ◦ f es sobre. ∴ f es sobre. Luego, f es biyectiva.

4. Determine si existen o no funciones f, g : R −→ R tales que

f(x) + g(y) = xy

Solución: Supongamos que ∃f, g : R −→ R tales que: f(x) + g(y) = xy.

x = 0 : f(0) + g(y) = 0 ⇒ g(y) = −f(0) ⇒ g(y) =cte.

y = 0 : f(x) + g(0) = 0 ⇒ f(x) = −g(0) ⇒ f(x) =cte.

Luego, hemos probado que f(x) + g(y) = −(g(0) + f(0)), ∀ x, y ∈ R, es decir,f(x) + g(y) = cte., por lo que no es posible encontrar tales funciones.

5. Sea f : R→ R una función que satisface

(I) f(x+ y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R

(II) f(xy) = f(x)f(y), ∀x, y ∈ R

a) Demuestre que f(0) = 0.

b) Demuestre que si Rec(f) = R, entonces f(1) = 1.

c) Encuentre una función que satisfaga (I) y (II).

200


Solución:

a) Por (I): f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0) ⇒ f(0) = 0

b) Por (II): f(1) = f(1 · 1) = f(1) · f(1) ⇒ f(1) = 0 o f(1) = 1

Veamos que si f(1) 6= 1 entonces f no es epiyectiva. En efecto:

supongamos que f(1) 6= 1; entonces f(1) = 0, de donde

∀x ∈ R : f(x) = f(1 · x) = f(1) · f(x) = 0 ⇒ f(x) = 0

Luego, Rec(f) = {0}.c) Por lo anterior, f1(x) = 0 es una tal función, que no es epiyectiva (ni inyectiva). Otra

función que satisface ambas condiciones es f2(x) = x; ésta es biyectiva.

6. Sean f(x) =

√1− x2

|x| , g(x) = sen 2x. Determine:

a) Domf , Recf .

b) Domf ◦ g, y calcúlelo donde sea posible.

c) si f : Domf −→ Recf es invertible. Si no lo es, determine el máximo dominio yrecorrido para que lo sea, y determine f−1.

Solución:

a) 1− x2 ≥ 0 ∧ |x| 6= 0 ⇒ x ∈ [−1, 1] ∧ x 6= 0 ⇒ Domf = [−1, 0[ ∪ ]0, 1]

y =

√1− x2

|x| ⇒ y2 =1− x2

x2⇒ x2 =

1

1 + y2⇒ x = ±

√1

1 + y2

∴ Recf = R+0

b) Es necesario que Recg ⊆ Domf . Pero: Recg = [−1, 1], Domf = [−1, 0[ ∪ ]0, 1].

Luego, debemos “sacar ”el valor 0 del Recg, es decir, es necesario que:

sen 2x 6= 0 ⇔ 2x 6= kπ, k ∈ Z ⇔ x 6= kπ

2, k ∈ Z.

∴ Dom(f ◦ g) =

{x ∈ R : x 6= kπ

2, k ∈ Z

}= A, y luego:

f ◦ g : A −→ R+0 , con (f ◦ g)(x) = f(sen 2x) =

√1− sen2(2x)

| sen 2x|c) Claramente, f no es invertible; basta notar que f(1) = f(−1) = 0, de donde f no es

inyectiva. Restringiendo el dominio de f al intervalo ]0, 1] la función es invertible, y

f−1 : R+0 −→ ]0, 1], f−1(x) =

1√1 + x2

.

201

CAPÍTULO B. FUNCIONES Verónica Gruenberg Stern

202

Apéndice C

Límites y Continuidad

1. Calcule: lımx→0

√1 + senx−

√1− senx

tg2 x.

Solución:√

1 + senx−√

1− senx

tg2 x·√

1 + senx+√

1− senx√1 + senx+

√1− senx

=1 + senx− 1 + senx(√

1 + senx+√

1− senx)

sen2 x/ cos2 x

=2 cos2 x(√

1 + senx+√

1− senx)

senx→∞ cuando x→ 0

i.e., lımx→0

√1 + senx−

√1− senx

tg2 xno existe o bien es =∞, según se prefiera.

2. Sea a un número real 0 < a < 2 y sea f(x) = x5 − x2 + a. ¿Existe al menos una solución dela ecuación f(x) = 0 en el intervalo [−1, 0]? Justifique su respuesta.

Solución: Claramente, f es continua en [−1, 0]. Como f(−1) = a − 2 < 0 y f(0) = a > 0,por el teorema del valor intermedio, existe x0 ∈ ]− 1, 0[ tal que f(x0) = 0.

3. Estudie la continuidad de f(x), donde

f : R −→ R

x 7→ f(x) =

{x si x ∈ Q

1− x si x 6∈ Q

Solución: Dibujando las gráficas de las curvas y = x y y = 1 − x, notamos que la

función f solo puede ser continua en x =1

2. Es decir, debiéramos probar que:

lımx→ 1

2

f(x) =1

2

203

CAPÍTULO C. LÍMITES Y CONTINUIDAD Verónica Gruenberg Stern

Si x0 6=1

2, entonces lım

x→x0f(x) no existe.

Veamos, en primer lugar, que el último límite no existe: supongamos que x0 <1

2, x0 ∈ Q

(análogamente si x0 ∈ R−Q). La distancia entre (x0, x0) y (x0, 1− x0) es:

d(

(x0, x0), (x0, 1− x0))

= 1− 2x0

(x0 <

1

2⇒ 1− 2x0 > 0

)Sea, entonces, ε =

1− 2x0

4> 0. Si el límite existe, debiésemos encontrar un δ > 0 :

0 < |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− x0↑| < ε =

1− 2x0

4.

4. Calcule lımx→∞

n

(3

√1 +

2

n− 1

).

Solución:

lımx→∞

n

(3

√1 +

2

n− 1

)= lım

x→∞n

(3

√1 +

2

n− 1

)·

(3

√1 +

2

n

)2

+ 3

√1 +

2

n+ 1(

3

√1 +

2

n

)2

+ 3

√1 +

2

n+ 1

= lımx→∞

n

(3

√1 +

2

n

)3

− 1(3

√1 +

2

n

)2

+ 3

√1 +

2

n+ 1

= lımx→∞

2(3

√1 +

2

n

)2

+ 3

√1 +

2

n+ 1

=2

3

5. Sea h una función continua en x = x0, donde

h(x) =

(x− x0)2

f(x− x0)si x 6= x0

0 si x = x0

Calcule lımx→x0

(f(x− x0)

f(x− x0) + (x− x0)2− 1

)· sen

(1

x− x0

)

6. Calcular lımx→π

1−√− cosx

cos 2x− sen x2

Dem.

204


lımx→π

1−√− cosx

cos 2x− sen x2

=︸︷︷︸u=x

2

lımu→π

2

1−√− cos 2u

cos 4u− senu=︸︷︷︸

y=u−π2

lımy→0

1−√− cos 2(y + π

2 )

cos 4(y + π2 )− sen(y + π

2 )=

= lımy→0

1−√cos 2y

cos 4y − cos y= lım

y→0

1−√cos 2y

2 cos2(2y)− 1− cos y· 1 +

√cos 2y

1 +√

cos 2y=

= lımy→0

1− cos 2y

(2(2 cos2 y − 1)2 − 1− cos y) (1 +√

cos 2y)=

= lımy→0

2− 2 cos2 y

(8 cos4 y − 8 cos 2y + 1− cos y) (1 +√

cos 2y)=

= 2 lımy→0

1(8 cos2 y(cos2 y − 1)

sen2 y+

1− cos y

sen2 y

) (1 +√

cos 2y) = 2 · 1

(−8 + 12)(1 + 1)

= − 2

15

205

CAPÍTULO C. LÍMITES Y CONTINUIDAD Verónica Gruenberg Stern

206

Apéndice D

Derivadas

1. Calcular f ′(0) si f(x) =√g(x2) + g(x), y se sabe que g(0) = g′(0) = 1.

Solución:

f ′(x) =1

2√g(x2) + g(x)

·(g′(x2) 2x+ g′(x)

)⇒ f ′(0) =

1

2√g(0) + g(0)

·(g′(0) 2x+ g′(0)

)=

1

2√

2· (0 + 1) =

1

2√

2

2. Calcular f ′(1) si f(x) =√

1 + g(x+ g(x)), y se sabe que g(1) = 0 , g′(1) = 4.

Solución:

f ′(x) =1

2√

1 + g(x+ g(x))· g′(x+ g(x)) · (1 + g′(x))

⇒ f ′(1) =1

2√

1 + g(1 + g(1))· g′(1 + g(1)) · (1 + g′(1)) =

1

2· 4 · (1 + 4) = 10

3. Sea f(x) = 23x

3 + 12x

2 − x − 1, ∀x ∈ R. Hallar los puntos en la gráfica de f en los que lapendiente de la recta tangente es:

a) 0 b) −1 c) 5

Solución:

a) f ′(x) = 2x2 + x− 1 = 0 =⇒ (2x− 1)(x+ 1) = 0 =⇒ x = −1 ∨ x =1

2.

Luego, los puntos en la gráfica de f en los que la pendiente de la recta tangente es 0 son(−1,−1

6) y (12 ,−31

24).

b) f ′(x) = 2x2 + x− 1 = −1 =⇒ x(2x+ 1) = 0 =⇒ x = 0 ∨ x = −1

2.

Luego, los puntos en la gráfica de f en los que la pendiente de la recta tangente es −1

son (0,−1) y (−12 ,−11

24).

c) f ′(x) = 2x2 + x− 1 = 5 =⇒ (2x− 3)(x+ 2) = 0 =⇒ x = −2 ∨ x =3

2.

Luego, los puntos en la gráfica de f en los que la pendiente de la recta tangente es 5 son(−2,−7

3) y (−32 ,−5

8).

207

CAPÍTULO D. DERIVADAS Verónica Gruenberg Stern

4. Determine A,B ∈ R para que la siguiente función f sea derivable en x = 0:

f(x) =

{x5 + x2 + 6 si x < 0

A(

cos(3x) + 3 senx)

+B(x+ 1) si x ≥ 0

Solución:

Para que f sea continua en x = 0: lımx→0−

f(x) = lımx→0+

f(x), es decir:

lımx→0−

x5 + x2 + 6 = lımx→0+

A(

cos(3x) + 3 senx)

+B(x+ 1) =⇒ 6 = A+B

Además, debe existir f ′(0) = lımh→0

f(0 + h)− f(0)

h= lım

h→0

f(h)− (A+B)

h.

Este límite existe si existen los respectivos límites laterales:

lımh→0−

f(h)− (A+B)

h= lım

h→0−

h5 + h2 + 6− (A+B)

h= lım

h→0−

h5 + h2

h= 0

lımh→0+

f(h)− (A+B)

h= lım

h→0+

A(

cos(3h) + 3 senh)

+B(h+ 1)− (A+B)

h=

= lımh→0+

A(

cos(3h) + 3 senh)

+Bh−Ah

= lımh→0+

A(

cos(3h)− 1)

h+ 3A+B = 3A+B

Por lo tanto, tenemos el sistema de ecuaciones:

A+B = 6

3A+B = 0=⇒ A = −3 ∧ B = 9

208

Apéndice E

Derivadas Implícitas y Paramétricas

1. a) Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a:

x2 − y2 − 2x− 4y − 4 = 0,

en el punto correspondiente a x = 1.

Solución:

2x+ 2ydy

dx− 2− 4

dy

dx= 0

dy

dx=

1− xy − 2

x = 1⇒ 1 + y2 − 2− 4y − 4 = 0⇒ y1 = −1 ∨ y2 = 5

Luegody

dx= 0 en ambos puntos.

`1 : y + 1 = 0(x− 1)⇒ y = −1

`2 : y − 5 = 0(x− 1)⇒ y = 5

son las tangentes

`N : x = 1

b) Considere la gráfica de la curva y = y(x) descrita implícitamente por la ecaución

x4 senxy + xy cosx− y2 = 0.

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (1, 0).

Solución:d

dx

(x4 senxy

)+

d

dx(xy cosx)− d

dxy2 = 0

4x3 senxy + x4 cosxy

(y + x

dy

dx

)+

(y + x

dy

dx

)cosx− xy senx− 2y

dy

dx= 0

dy

dx= −4x3 senxy + x4y cosxy + y(cosx− x senx)

x5 cosxy + x cosx− 2y

209

CAPÍTULO E. DERIVADAS IMPLÍCITAS Y PARAMÉTRICAS Verónica Gruenberg Stern

Evaluando con x = 1, y = 0 se obtiene

dy

dx= 0

Luego, la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (1, 0) está dada por laecuación:

y − y(0) =dy

dx

∣∣∣∣(1,0)

(x− 1)⇒ y = 0

c) Considere la curva cuya ecuación paramétrica viene dada por:

{x(t) =

√1 + t2 t ∈ R

y(t) = 2t2(1− t) t ∈ R

Calculed2y

dx2.

Solución:

x′(t) =1

2√

1 + t2· 2t =

t√1 + t2

y′(t) = 2(2t− 3t2

)⇒ dy

dx=dy/dt

dx/dt=

2(2t− 3t2

)t/√

1 + t2=

2t(2− 3t)√

1 + t2

t

= 2(2− 3t)√

1 + t2

⇒ d2y

dx2=

d

dx

(dy

dx

)=

ddt (dy/dx)

dxdt

=2(−3√

1 + t2 + (2− 3t) · t/√

1 + t2)

t/√

1 + t2

=−6(1 + t2) + 2(2− 3t)t

t=−6t2 − 6 + 4t− 6t2

t

=−12t2 + 4t− 6

t

2. Encuentre la ecuación de la tangente a la curva γ dada por la ecuación x cos y = sen(x + y)

en el punto (π/2, π/2).

Solución:

210


Derivando implícitamente:

cos y − x sen y · y′ = cos(x+ y) · (1 + y′)

x =π

2∧ y =

π

2⇒ 0− π

2· 1 · y′ = (−1) · (1 + y′)

⇒ y′∣∣∣x=π

2

=1

π2 − 1

=2

π − 2

⇒ ecuación tangente: y =2

π − 2x+

(π

2− 2

π − 2· π

2

)⇒ y =

2

π − 2· x+

π

2· π − 4

π − 2

3. Demostrar que la elipse 2x2 + y2 = 20 y la hipérbola 4y2 − x2 = 8 son ortogonales, es decir,el ángulo de intersección de las curvas es 90◦.

Solución: Los puntos de intersección se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones

2x2 + y2 = 20

4y2 − x2 = 8

Los puntos de intersección son P1 = (2√

2, 2), P2 = (−2√

2, 2), P3 = (2√

2,−2) yP4 = (−2

√2,−2).

En cada punto (x, y), la recta tangente a la elipse tiene pendiente y′e(x) = −xy

y la recta

tangente a la hipérbola tiene pendiente y′h(x) =x

4y.

Evaluando en los puntos P1 y P2, obtenemos que las pendientes de las rectas tangentes a la

elipse sonme = ∓2√

2 y las pendientes de las rectas tangentes a la hipérbola sonmh = ±1

4

√2,

de donde me · mh = −1. Luego, las rectas tangentes a la elipse y ala hipérbola sonperpendiculares.

Análogamente en el caso de los puntos P3 y P4.

211

CAPÍTULO E. DERIVADAS IMPLÍCITAS Y PARAMÉTRICAS Verónica Gruenberg Stern

4. Sea f(x) = tg(πx

2

), −1 < x < 1.

a) ¿Posee f una (función) inversa f−1? Si f−1 existe, ¿es monótona? ¿creciente? ¿decrecien-te? ¿diferenciable? Grafique. Justique su respuesta.

Solución:f ′(x) =

π

2sec2

(πx2

)> 0 x ∈ (−1, 1)

∴ f es diferenciable en su dominio. f es estrictamente creciente en su dominio⇒ existef−1 : R→ (−1, 1) función inversa de f : x f−1(x) = z ⇔ f(z) = x y, además tiene lasmismas propiedades que f , es decir, f−1 es diferenciable y es estrictamente creciente.

b) Si acaso f−1 existe, calcule(f−1

)′ (√3).

Solución:

f−1(√

3)

=1

f ′(f−1

(√3)) =

1π2 sec2

(π2 f−1(√

3))

Sea

z = f−1(√

3)⇔ f(z) =

√3

tan(π

2z)

=√

3

∴πz

2=π

3

z =2

3

⇒(f−1

)′ (√3)

=1

π2 sec2

(π2 · 2

3

) =1

π2 sec2

(π3

) =1

2π

212

Apéndice F

Ejercicios Resueltos de Aplicaciones de la Derivada

1. Una tina abierta tiene la forma de un cilindro circular recto. Siendo su volumen igual a π[m3]¿Cuál debe ser el radio de la base y la altura para que su superficie externa sea la menorposible?

Solución:

Sean h y r las dimensiones del cilindro ∴ el volumen es

V = πr2h = π ⇒ h =1

r2

∴ la superficie externa es:

S = 2πrh+ πr2 =2π

r+ πr2 = π

(2

r+ r2

)Calculamos:

dS

dr= π

(− 2

r2+ 2r

);

d2S

dr2= π

(4

r3+ 2

)Puntos críticos:

dS

dr= 0 ⇐⇒ − 2

r2+ 2r = 0 ∴ r3 = 1 ⇒ r = 1

Criterio de la segunda derivada para valores extremos:

d2S

dr2

∣∣∣∣r=1

= π > 0 ∴ en r = 1 S alcanza un valor mínimo.

Luego, las dimensiones de la tina de superficie mínima son:

r = 1[m], h = 1[m]

2. Un cable de 100[pies] de largo y 4[pulgadas] de diámetro, está sumergido en el mar. Debidoa la corrosión, el área de la superficie (de la periferia) del cable disminuye uniformementea razón de 750[pulgadas2/año]. Se supone que en las secciones extremas del cable no seproduce corrosión. Encuentre la rapidez con que decrece el diámetro del cable.

Solución:

213

CAPÍTULO F. EJERCICIOS RESUELTOS DE APLICACIONES DE LA DERIVADA Verónica Gruenberg Stern

S = 1200 · 2π(D

2

)= 1200πD

dS

dt= 1200π

dD

dt

Como

dS

dt= 750[pulg2/año]⇒ dD

dt= − 750

1200π= − 5

8π≈ −0,1989[pulg/año]

∴ La rapidez con que decrece el diámetro del cable es ≈ 0,1989[pulg/año]

3. Una partícula P describe la trayectoria y2 = x, de modo que su abscisa aumente con unarapidez de k unidades por segundo.

SeaM la proyección de P sobre el ejeOX . ¿Con qué rapidez varía el área del triánguloOMP

en el instante t0 cuando la abscisa de P es x = a?

Solución:

P = (x, y)dx

dt= k

S(t) =1

2x(t) y(t) = (x(t))3/2 · 1

2dS

dt=

3

4(x(t))1/2 · dx

dt=

3

4k√x(t)

S′(t0) =3

4k√a [u2/seg]

4. De la función f(x) =(x− 2)3

x2se sabe que:

f ′(x) =(x− 2)2(x+ 4)

x3; f ′′(x) =

24(x− 2)

x4; f (3) =

192− 72x

x5

a) Calcule el Dom(f).

b) Determine los extremos locales y los puntos de inflexión de f .

c) Calcule las ecuaciones de las asíntotas de f .

d) Haga un gráfico de f .

214

Solución:

a) Dom(f) = R \ {0}b) Notamos que: f ′(x) = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = −4

f ′′(x) = 0, f ′′(−4) < 0 Máximo en x = −4

f ′′(x) = 0 ⇔ x = 2; f (3)(2) 6= 0 punto inflexión en x = 2

c) Notamos que: lımx→∞

f(x)

x= lım

x→∞

(x− 2)3

x3= 1

lımx→∞

[f(x)− x] = lımx→∞

−6x2 + 12x− 8

x2= −6

`1 : y = x− 6 asíntota

x→ 0⇒ f(x)→∞, `2 : x = 0 asíntota

(x− 2)3

x2= x− 6⇔ x = 2/3

f(−4) = −13,5, f(2) = 0

d) El gráfico de la función es, aproximadamente,

215

CAPÍTULO F. EJERCICIOS RESUELTOS DE APLICACIONES DE LA DERIVADA Verónica Gruenberg Stern

5. Analizar completamente la función f : R → R dada por: f(x) =x+ 1

x2 + x+ 1. Es decir,

encuentre:

a) Dominio y recorrido.

b) Determine si f es inyectiva.

c) Determine si f es epiyectiva.

d) Determine si f es biyectiva. En caso de no ser biyectiva, encontrar el máximo dominioque contenga a x = −1 y tal que la función sea biyectiva. En cualquier caso, hallar f−1.

e) Determine los signos de la función.

f ) Estudie el comportamiento en el infinito.

g) Bosqueje el gráfico de la función.

Solución:

a) Dom(f) = R, pues x2 + x+ 1 6= 0 ∀x ∈ R.

Rec(f) =[−1

3 , 1]. En efecto,

y =x+ 1

x2 + x+ 1⇔ yx2 + (y − 1)x+ y − 1 = 0

Existe tal x ∈ R si (y − 1)2 − 4y(y − 1) ≥ 0

⇔ −(3y + 1)(y − 1) ≥ 0

⇔ y ∈[−1

3 , 1]

b) f no es inyectiva, pues, por ejemplo, y = 12 tiene dos preimágenes. En efecto

x+ 1

x2 + x+ 1=

1

2⇔ x2 − x− 1 = 0 ⇔ x =

1±√

5

2

c) f no es epiyectiva, pues Rec(f) 6= R.

d) f no es biyección, pero si restringimos el dominio al intervalo [−2, 0] y el recorrido alintervalo

[−1

3 , 1], f es biyección. Esto es:

f |[−2,0] : [−2, 0]→[−1

3, 1

]es biyección. Para hallar f−1(x):

y =x+ 1

x2 + x+ 1⇔ yx2 + (y − 1)x+ y − 1 = 0, de donde

216

x =1− y ±

√(y − 1)2 − 4y(y − 1)

2y

∴ f−1(x) =1− x−

√(x− 1)2 − 4x(x− 1)

2x, x 6= 0

f−1(0) = −1

e) Estudiemos el signo de f : como x2 + x+ 1 > 0 ∀x ∈ R, se tiene que

y =x+ 1

x2 + x+ 1> 0 ⇔ x+ 1 > 0 ⇔ x > −1

de donde

f(x) > 0 si x > −1 ∧ f(x) < 0 si x < −1

f ) Claramente:

lımx→∞

x+ 1

x2 + x+ 1= 0 ∧ lım

x→−∞

x+ 1

x2 + x+ 1= 0

g) Gráfico:

217

mat021_calculo_12014

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