8/2/2019 mat021-taller_1-2.2010-pauta

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Universidad Tecnica Federico Santa Mara

Departamento de Matematica

Coordinacion de Matematica I (MAT021)

2do Semestre de 2010

Semana 3: Viernes 27 de Agosto

Pauta Taller evaluado 1

Problema 1: Considere los siguientes conjuntos

A = { x R : x2 x 2 < x}B = x

R :x2

x2

1 1

a) Hallar A B, A B.b) En caso de existir, hallar el nfimo y el mnimo del conjunto A B.

Problema 2: Considere lass siguientes funciones proposicionalesi) p(x) : x 3 > 0.

ii) q(x) : (x 5)(x + 4) < 0.Determine el conjunto {x R : p = q verdadero}.

Problemas

Desarrollo

Problema 1: Comenzamos describiendo cada uno de los conjuntos. Para describir el conjunto A considerando lassiguientes restricciones:R1 = {x R : x2 x 0}; R2 = {x R : x + 2 > 0} = (2, ). Como x2 x = x(x 1) entoncesR1 = (, 0] [1, ). Seguimos trabajando con x R1 R2 = (2, 0] [1, ). 5 puntosSe tiene

x2 x 2 < x x2 x < (x + 2)2 x2 x < x2 + 4x + 4 4 < 5x 4

5< x

Luego A = (4

5 , ) ((((2, 0] [1, )))) = (4

5 , 0] [1, ). 10 puntosDescribimos al conjunto B. Seguimos trabajando con R \ {1, 1}. S i 0 x2 1, entonces la desigualdad no secumple. Por otra parte, si x2 1 < 0 la desigualdad se satisface. Por lo tanto B = (1, 1). 10 puntos

a) De este modo A B = ( 45

, ), A B = (1, 0). 20 puntosb) inf(A B) = 1, como el conjunto A B es abierto por la izquierda entonces no tiene mnimo. 5 puntos

Problema 2: Comenzamos definiendo los siguientes conjuntos:

C1 = {x R : p(x) verdadero}C2 =

{x

R : q(x) verdadero

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Conociendo la tabla de verdad de =, se tiene

A = (C1 C2) ((C1)c C2) ((C1)c (C2)c), 10 puntos

con

C1 = (3, ), C2 = (4, 5). 5 puntosDe este modo

A = ((((3, ) (4, 5)))) ((((, 3] (4, 5)))) ((((, 3] ((, 4] [5, ))))10 puntos= (3, 5) (4, 3] (, 4] 15 puntos= (, 5). 10 puntos

Otra forma de resolver el problema es obteniendo Ac.Como

Ac = C1 (C2)c 20 puntos= (3, ) ((, 4] [5, )) 10 puntos= [5, ) 10 puntos

De este modo A = (, 5). 5 puntos

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