8/2/2019 Mat021 Control 1 1.2007 Pauta

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UNIVERSIDAD TCNICA FEDERICO SANTA MARA

DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS

QUIZ COMN N1MATEMTICA-021

3 de abril de 2007

1. Determine si la recta : 4x+3y = 10 intercepta a la circunferencia x2+y22x+6y+9 = 0Solucin: Completando cuadrados de un binomio podemos determinar el centro y radio

de la circunferencia

x2 + y2 2x + 6y + 9 = 0 (x2 2x + 1) + (y2 + 6y + 9) = 1 (x 1)2 + (y + 3)2 = 1 ................. 10 puntos C= (1,3); r = 1 ................. 10 puntos

Como la distancia del centro de la circunferencia a la recta es mayor que 1

d(C, ) =|4 1 + 3 (3) 10|

42 + 32= 3 ................. 15 puntos

la recta no puede interceptar a la circunferencia .................. 15 puntos

Otra forma de responder a esta pregunta es determinar directamente si hay interseccin

entre la recta y la circunferencia, resolviendo directamente el sistema de ecuaciones.

4x + 3y = 10x2 + y2 2x + 6y + 9 = 0

De la ecuacin de la recta despejamos y =

2

3

(2x

5), y lo sustituimos en la ecuacin de lacircunferencia para obtener: x22x+ 4

9(2x5)24(2x5)+9 = 0. Simplificando se tiene la

ecuacin cuadrtica 19

25x2 170x + 361 = 0 que es equivalente a 25x2170x+ 361 = 0

....... 15 puntos , cuyo discriminante = b2 4a c = 7200 ........ 15 puntos . Por lotanto el sistema no tiene solucin ........ 10 puntos , por consiguiente, la recta no puede

interceptar a la recta. ........ 10 puntos

2. Dos automvil que se encuentran en lnea recta a una distancia de 39 kilmetros uno del

otro, parten al mismo tiempo a encontrase. El primero recorre 3 kilmetros en 5 minutos y

el segundo 2 kilmetros en 3 minutos. Despus de cunto minutos estarn a una distancia

de 20 kilmetros ?

Solucin: Despus de t minutos de haber iniciado el movimiento, el primer automvil

se encuentra a

3t

5 kilmetros de su posicin inicial, mientras que el segundo se encuentra a2t

3kilmetros de su posicin inicial ........ 20 puntos .

A B

3t

5

2t

3x

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La distancia que los separa ahora es x = 39 3t5 2t

3........ 15 puntos . Esta distancia es

de 20 kilmetros si

x = 39 3t5 2t

3= 20 t = 15 minutos ........ 15 puntos