mat021-certamen_3-2

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CERTAMEN No

3 MAT-021 2010

Apellido Paterno Apellido Materno Nombre Paralelo

P R E G U N T A S

1. El resto de dividir el polinomio p(x) = x4 + 4x3 + x + 5, por x + 2, es:

(A) 55

(B) 31

(C) 11

(D) −1

(E) −13

2. El valor de lımx→0

1

x− 1

ex−1

es:

(A) +∞(B) 0

(C)1

2

(D) 1

(E) Ninguna de las anteriores.

3. Sea f : R −→ R una funcion biyectiva y derivable. Si f (0) = 1 y f (0) = −1, entoncesel valor de

f −1

(1) es:

(A) -2

(B) -1

(C) 0

(D) 1

(E) Falta informacion.

1



4. Determinar a, b ∈ R tales que los siguientes polinomios sean iguales:

p(x) = 2x2 + bx(x − 2) + 3

q(x) = ax2 − 2b(x + 1) + a

(A) a =

−1 ; b =

−1

(B) a = 1 ; b = −1

(C) a = 2 ; b = 1

2

(D) a = 1 ; b = 0

(E) a = 7

3; b = 1

3

5. Si al dividir p(x) = ax3−bx2 + a−b por x + 1 el resto es 1 y -2 es raız de p(x), entonces:

(A) a = 5

14; b = 1

2

(B) a = − 4

14; b = −1

2

(C) a = −7

5; b = −1

2

(D) a = − 5

14; b = 1

2

(E) a = 5

14; b = −1

2

6. Considere la curva definida por la ecuacion ey = x2y2 + e2(1 + x). La recta tangente ala curva en el punto (0, 2) esta dada por:

(A) y = x + 2

(B) y = 2

(C) y = x − 2

(D) y = −x + 2


2



7. La funcion f (x) = (x − 1)3√

x2 tiene maximos o mınimos relativos (locales) en:

(A) x = 0, x =−2

5

(B) x = 0, x =−5

2

(C) x = 0, x =2

5

(D) x = 1, x =2

5(E) Ninguna de las anteriores.

8. Si (a + bi) (2 − i) =12− 5i

entonces:

(A) a =29

15y b =

13

5

(B) a =26

5y b = −5

(C) a = 2 y b = 1

(D) a =26

5y b =

13

5(E) Ninguna de las anteriores.

9. Encontrar el coeficiente del termino x2

en

x2

−i

x10

(A) -210

(B) 210

(C) 252 i

(D) -252 i


3



10. El valor de lımx→0+

(sen x)x

(A) 1

(B) 0

(C) e

(D) No existe.(E) Ninguna de las anteriores.

11. Sea f una funcion derivable (diferenciable) en el intervalo ]2, 5[ y continua en [2, 5]. Sise sabe que f (2) = 1 y que para todo x ∈ ]2, 5[ se cumple f (x) > 1, entonces:

(A) f (5) > 10

(B) f (5) < 1

(C) f (5) < −4

(D) f (5) < 4

(E) f (5) > 4

12. Si x = i es raız compleja de p(x) = x4− 2x3 + 2x2− 2x + 1, entonces la factorizacion de p(x) sobre el conjunto de los numeros reales es:

(A) (x2 + 1)(x2

−1)

(B) (x2 + 1)2

(C) (x2 + 1)(x − 1)2

(D) (x2 − 1)(x − 1)2


4



13. Considere la funcion f (x) = x2 +a

x, donde a ∈ R \ {0}. Entonces,

(A) f tiene un mınimo relativo.

(B) f tiene un maximo relativo.

(C) f tiene un maximo relativo solo si a < 0.

(D) f tiene un mınimo relativo solo si a > 0.(E) f no tiene extremos relativos.

14. Para la funcion f (x) = x(x3 + 4), se puede afirmar que:

(A) tiene un punto de inflexion en x = −1.

(B) tiene un punto de inflexion en x = 0.

(C) tiene un punto de inflexion en x = 1.

(D) no tiene puntos de inflexion.


5



15. Los puntos (x, y) que minimizan a 12x + 3y sobre la porcion de la hiperbola xy = 1 enel primer cuadrante son:

(A) (2, 1/2)

(B) (−1/2, 2)

(C) (1/2, 2)

(D) (1, 1)

(E) (1/3, 3)

16. El valor den

k=0

n

k

(−1)k 2k

para n ≥ 1 es:

(A) 1

(B) (−1)n

(C) 2n

(D) 2n− 1 + (−1)n


6



17. Una expresion equivalente del numero complejo

√3

2+

1

2i

100

es:

(A)

√3

2 +1

2i

(B) −√3

2+ 1

2i

(C) 1

2+√3

2i

(D) −1

2+√3

2i


18. El valor de 1 + i + i2 + · · ·+ i2010 es

(A) i

(B) −i

(C) 0

(D) 1


7



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