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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PERESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

PRIMERA PRCTICA DE CLCULO 3Semestre acadmico 2012-1

Advertencia: No se permite el uso de apuntes, libros, calculadoras y correctores lquidos.

1.

a. Sea 1L la proyeccin ortogonal de la recta RttPL ,)1,5,2()3,1,2(: ,

sobre el plano . Hallar la ecuacin cartesiana del planoYZ que contiene a y

a la recta

1L

RtsL P ,)5,1,2()10,12,:2 2( .(2.5 pts.)

b. Hallar la ecuacin cartesiana de un plano M que contiene a la rectaRttPL ),1,1,0()1,0,1(: , y se sabe que la distancia del punto es

de 2 unidades.

Ma)2,1,1(

(1.5 pts.)

2. Dado los planos 286:y044: 21 czyxPdxyaxP . Encontrar las constantes

. Sabiendo que la distancia entre los planosRdba ,, 41esy 21 PP

| (4 pts.)

3.

i. Sea 0a y A una matriz cuadrada de orden n tal que IaA donde I es laA 73 2

matriz identidad. Probar que A es invertible y calcular en trminos de .1A ayA

(2 pts.)

ii. Sean las matrices

321

230

214

y

010

210

126

,

413

025

312

CBA

Determinar la matriz X tal que BCXA 32 (2 pts.)

1 de 2

Este material, de distribucin gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones

que se hayan incorporado durante la realizacin de las evaluaciones.

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4. Sea la matriz

cba

ba

aA

1

10

100

1000

a) Demostrar que la matriz A tiene inversa para todos los valores reales de: a,b y c. (1pt.)

b) Hallar 1 A . (3 pts.)

5. Sabiendo que: nm xx

xx

x

x

A )1()3(

111111

111

111

a) Hallar el valor de m+n. (2.5pts.)

b) Si BA y son matrices invertibles de orden n , probar que11 BABABAAB (1.5 pts.)

San Miguel, 31 de marzo de 2012.

Preparado por los profesores del cursoCoordinadora: Olga Chamorro

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SEGUNDA PRCTICA DE CLCULO 3Semestre acadmico 2012-1


1. a).- Analizar el valor de verdadde los siguientes enunciados:

i , es el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual a , es el

conjunto de polinomios de grado 2con coeficientes reales. Entonces, es un

subespacio de . (1 pto.)

nP n 2Q

2Q)(xp

nP

ii Sea, V un espacio vectorial real de dimensin nVdim . Si es unatransformacin lineal tal que

VVT :)Im()( TTNu , entonces es un nmero par.n

(1 pto.)

b) Sea , el conjunto de polinomios de grado menor o igual a 2. Sea2P Hun subespacio

de , donde2P }0)2()1(:)({ 2 ppPxpH . Hallar una base para H .

(2 pts.)

2. Sea una transformacin lineal definida por32: RRT

)2,0,4()1,2(;)0,1,2()0,1( TT

a) Hallar y su matriz asociada respecto a las bases cannicas.),( yxT TA

(2 pts.)

b) Identificar el conjunto imagen de T , y dar una base.)Im(T

(2 pts.)

3. Sea Eun subconjunto de , matrices de orden 2x2 , definido por22xM

Rcba

bca

baaAE ,,:

a) Demostrar que el conjunto Ees un sub-espacio de 22xM . (2 pts.)

b) Hallar una base del sub-espacio Ey dar su dimensin. (2 pts.)

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4. Sea definido por23: RRT )43,73(),,( zyxzyxzyxT

a) Demostrar que T es una transformacin lineal. (2 pts.)b) Hallar el ncleo de Ty una base para el ncleo. (1 pto.)c) Hallar la dimensin de la Imagen. (1 pto.)

5. Sean, 22M es el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2x2 y

es una transformacin lineal. Definida por

2222: MMT

10

11

donde,)( BABAT

a) Hallar el ncleo de T y la imagen de T . (3 pts.)b) Dar la dimensin del ncleo y de la imagen de T . (1 pts.)

San Miguel, 21 de abril 2012

Preparado por los profesores del curso

Coordinadora: Profa. Olga Chamorro

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU

ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

CALCULO 3

Practica N2

Semestre academico 2012-1

Elaborado por los profesores del curso.

1. Analice el valor de verdad de los siguientes enunciados:

a) i) Sea Pn el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual a n. Si Q2

es el conjunto de polinomios p(x) de grado igual a 2 con coeficientes reales tal

que p(1) = 0 entonces Q2 es un subespacio de Pn. (1.0 pto.)

ii) SeaV un espacio vectorial real de dimension dimV =n >0. Si T :VV es

una transformacion lineal inyectiva entonces N u(T) =I m(T). (1.0 pto.)

b) SeaP2 el conjunto de polinomios de grado menor o igual a 2. Sea Hun subespaciode P2, donde H={p(x) P2: p(1) =p

(1) = 0}. Halle una base para H.

(2.0 ptos.)

2. SeaT : R2 R3 una transformacion lineal tal queT(0, 1) = (0, 1, 2),T(1, 2) = (2, 0, 4).

a) Halle la matriz asociada a T respecto a las bases canonicas. (2.0 ptos.)

b) Halle una base para Im(T). Ademas, encuentre la ecuacion del lugar geometrico

descrito por el conjunto Im(T). (2.0 ptos.)

3. Sea Eun subconjunto de M22, matrices de orden 2 2, definido por

E= {A=

a b

c d

: a + b + c + d= 0, a, b, c, d R}.

a) Pruebe que el conjunto Ees un subespacio de M22. (2.0 ptos.)

b) Halle una base del subespacioEy dar su dimension. (2.0 ptos.)

4. Sea T : R3 Rdefinida por T(x, y , z) = 3x + y 4z.

a) Pruebe que Tes una transfomacion lineal. (2.0 ptos.)

b) Halle el nucleo de Ty una base para el nucleo. (1.0 pto.)

c) Halle la dimension de la imagen de T. (1.0 pto.)

5. Sean M22 el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 2 y T : M22 M22

una transformacion lineal definida por T(X) =B XB1, donde B =

1 0

0 1

.

a) Halle el nucleo de Ty la imagen de T. (3.0 ptos.)

b) Halle la dimension del nucleo y de la imagen de T. (1.0 pto.)

San Miguel, 19 de mayo del 2012.

Elaborado por: Raul Chavez Aquino



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TERCERA PRCTICA DE CLCULO 3Semestre acadmico 2012-1


1.

a. Sea

))(,

)1(

1()( 22

22 attLn

at

attF

Hallar todos los valores reales de para los cuales existe. (2 pts.)a )(tFLimat

b. Analizar si la funcin definida por

0,,)1(

,

0,0,1,

)(

21

ttt

tLnet

tetsen

tF

t

t

Es continua en . (2 pts.)0t

2. La Hiprbola: 0;0;14

22

yzx

y , es la proyeccin ortogonal de una curva

que se encuentra en la superficie del cono .0,222 zyzx

a. Hallar una parametrizacin de la curva .y su dominio. (3 pts.)

b. Encontrar la ecuacin de la recta tangente a la curva , en el punto )4

3,

4

5,1(Q

(2 pts.)

3. a. Sea . Hallar el dominio de))tan(),1(,3()( 223 tArcttLnttt y el

valor de tpara lo cual (t) sea cero. (2 pts.)

b. Sean I un intervalo abierto y una funcin tal que es paralelo a

. Se define la funcin

3: RIF

tFtF

)('' tF

)(tF IttG todopara)(

t,

)(')(

I c

. Demostrar que la

funcin derivada siendo una constante.ctG )('

(2 pts.)

4. Analizar si es una parametrizacin regular en

el conjunto R.

))1tan(2),(,()( tArctttsentetF t

(3 pts.)

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5. Sea la curva definida por la interseccin de las superficies:

9

48)6()3(

222

222

zyx

zyx

Parametrizar la curva usando senos, cosenos y especificar su dominio

(4 pts.)

San Miguel, 26 de mayo 2012


Coordinadora: Prof. Olga Chamorro

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CUARTA PRCTICA DE CLCULO 3Semestre acadmico 2012-1


1. Dada la curva . EncontrarRttttttt ,)6,2,266()(: 332

a. La funcin longitud de arco (1 pto.)

b. La longitud de la curva desde 1a1 tt (1 pto.)c. Probar que la recta tangente a con la recta RssPL ,)1,1,1(: forma un ngulo

constante. (2 ptos.)

2. Sea Cla curva descrita por la parametrizacin 0,),2

3,()( 32 tttttF

a.

Hallar la ecuacin cartesiana del plano osculador en un punto CQ donde la

recta tangente es perpendicular al plano 046 zx . (3 ptos.)b. Hallar los vectores unitarios NT , y la curvatura de Cen el punto Q .

(3ptos.)

3. Dada la funcin

)0,0(),(,1

)0,0(),(,22

),( 22

yxA

yxyx

xy

yxf

a. Hallar el valor de tal que sea continua en el punto . (2 ptos.)A f )0,0(

b. Dada la funcinyx

eyxf ),( y sea la grfica de . Hallar y graficar:S f

i.- Las curvas de nivel (1 pto.)2

21 ypara ekekCk

ii.- Las trazas o intersecciones de con los planos coordenados. (1 pto.)S

4. Analizar la existencia de los siguientes lmites:

a.22

2

)0,0(),(

)cos()cos(

yx

xyyxyLimyx

(2 ptos.)

b.42

22

)0,0(),( 2

84

yx

xyyxLimyx

(2 ptos.)

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5. a. Sea una parametrizacin regular de modo queRtRRI 3: tt ,0)( .

Supongamos que hay un para el que la distancia del origen al punto alcanza un

valor mnimo. Pruebe que en ese punto la derivada es ortogonal a

Ito3R

ot

)(ot)(

'o

t . (2 ptos.)

San Miguel, 09 de junio 2012.


Coordinadora: Prof. Olga Chamorro

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