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7/27/2019 Mas Soluciones Selectividad Mat

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CASTILLA LA MANCHA / SEPTIEMBRE 04. LOGSE / MATEMTICAS II

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Esta prueba consta de cuatro bloques de dos preguntas cada uno. El alumno debecontestar una pregunta de cada bloque. Todas las preguntas puntan de cero a 2,5

puntos. Se puede usar cualquier tipo de calculadora.

PRIMER BLOQUEA. Considera la funcin siguiente

>+

=

1

1)(

23

xsibax

xsixxxf .

a) Determina los valores dea yb para que sea derivable en todos los puntos.b) Esboza la grfica de la curva representativa de la funcin para los

valores dea y b calculados.

B. Considera la funcin 34 4)( xxxf += . Calcula:a) Puntos de corte con los ejes.b) Mximos y mnimos.c) Puntos de inflexin.d) Halla el rea de la regin encerrada por la grfica y el eje X.

SEGUNDO BLOQUE

A. Expresa el nmero 60 como suma de tres nmeros positivos de forma que elsegundo sea doble del primero.Si el producto de los tres es mximo, determina el valor de dicho producto.

B. Considera la funcin

+

=

11

1)(

23

xsix

xsixxxf

Para representarla estudiamos algo sobre el comportamiento de 23)( xxxf = .

Su derivada, xxxf 23)( 2 = , se anula en x = 0 y en x = 2/3.

Si x < 0, f(x) > 0 fes creciente.Si 0 < x < 2/3, f(x) < 0 fes decreciente. Por tanto, en x = 0 hay un mximo..


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Si x > 2/3, f(x) > 0 fes creciente. Por tanto en x = 2/3 hay un mnimo.

Damos algunos valores: (1, 2); (0, 0); (2/3, 4/27), (1, 0)La segunda funcin es una recta que pasa por (1, 0) y (2, 1).

La grfica ser:

Segundo bloque. Pregunta A

Sean x, y, z los nmeros.

Se sabe que y = 2x; y que x + y + z = 60 3x + z = 60 z = 60 3x

El producto de los tres nmeros es:

P = xyz = x 2x (60 3x) = 6x3 + 120x2

El producto en funcin de x es: P(x) = 6x3 + 120x2

Este producto es mximo en los valores de x que cumplen que P(x) = 0 y P(x) > 0

P(x) = 18x2 + 240x = 6x(3x + 40) = 0 x = 0; x = 40/3.

Como P(x) = 36x + 240 se tiene que P(40/3) = 120 < 0. Por tanto, el producto sermximo cuando x = 40/3.

Los otros dos nmeros son y = 2x = 80/3; z = 20.

El producto mximo es P = 11,7111203

80

3

40

Tercer bloque. Pregunta A

Efectivamente las dos matrices tienen rango 3, pues el determinante de ambas esdistinto de 0:

.2011020

101

==A y 2200011

110

==B


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La matriz

+

+

=

+

=+

211

02

11

.

200

011

110

011

020

101

BA

El determinante de A + B es

2222)2(2)2)(1(

211

02

11232 ++=+++=+

+

=+

BA

La expresin )1()1(22222 223 +=++ se anula cuando = 1 o = 1.

Por tanto:

Si 1, el determinante de A + B es distinto de 0 el rango de la matriz A +B es 3.

Si = 1 se tiene:

=+

211

031211

BA , cuyo rango es 2 pues el menor 0231

11= .

Si = 1 se tiene:

=+

211

011

011

BA , que tambin tiene rango 2 pues el

menor 022.1

01=

.

NOTAS: 1. Recordamos que el rango de una matriz es el orden del mayor menor nonulo.

2. Las races enteras, si las hay, de 02222 23 =++ son divisores del trminoindependiente. Por tanto hay que buscar entre 1, 1, 2 y 2.

Cuarto bloque. Pregunta A

Veamos que los planos son paralelos. Para ello sus vectores caractersticos deben serproporcionales.

El vector caracterstico de 1 es 1vr

= (4, 10, 2).

El vector caracterstico de 2 viene determinado por el producto vectorial de losvectores v

r

= (2, 1, 1) y wr

= (3, 1, 1), que son los que determinan 2.

)1,5,2(

113

112

321

2 =

==

uuu

wvv

rrr

rr

Como 1vr

= 22 vr

los planos son paralelos.


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Por tanto, la distancia entre ellos es igual a la distancia de un punto cualquiera de 2,por ejemplo P = (0, 0, 0), al plano 1:

Esto es:

d(2, 1) = d(P(0, 0, 0), 0121041 =++ zyx ) =

=120

1

2)10(4

1

222=

++

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