mas problemas resueltos-2

LEARN MATH - PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMAS-------------------------------------------------------1) La cifra de las unidades de un número es el doble quela de las decenas. Invirtiendo el orden se obtiene otronúmero que es nueve unidades menor que el doble delanterior, qué número es?-------------------------------------------------------2) Las diagonales de un rombo están en relación de 2 a3. El área es de 108 cm2. Calcula la longitud de lasdiagonales y el lado del rombo.-------------------------------------------------------3) La construcción de una carretera entre 2 pueblos seinicia a la vez por ambos extremos. Al cabo de un mes,lo construido por un extremo es 3/4 de lo construido porel otro, y le faltan por construir 4200 m, que es eldoble de lo que se ha hecho. Qué longitud va a tener lacarretera?-------------------------------------------------------4) Calcula la velocidad y el tiempo que ha invertido unciclista en recorrer 120 km sabiendo que, si hubiera ido10 km/h más deprisa habría tardado una hora menos-------------------------------------------------------RESPUESTAS

1) Sabemos que un número de dos cifras está compuestopor el primer dígito que representa a las unidades y elsegundo dígito que representa a las decenas, por ejemploel número 78

78 ==> 8 unidades y 7 decenas, lo podemos escribirde la siguiente manera

78 7 10⋅ 8+=

Veamos lo que se pide en el enunciado y supongamosel número de dos cifras XY

XY X 10⋅ Y+=

La cifra de las unidades es el doble que el de lasdecenas, por lo tanto Y = 2XXY X 2X( )= X 10⋅ 2X+=

Ahora invertimos el orden del númeroYX 2X( )X= 2X 10⋅ X+= Este número es nueve unidades

menor que el doble del anterior,es decir

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2X 10⋅ X+ 9+ 2 X 10⋅ 2X+( )⋅= Tenemos una ecuación con unaincógnita, despejamos elvalor de X

20X X+ 9+ 20X 4X+=

9 3X= X 3=

Y 2 X⋅= 6= El número buscado es el 36

2)Aquí tenemos el rombo, llamemos ala diagonal vertical X y a ladiagonal horizontal Y.

Sabemos que si X es la diagonalmayor e Y la menor

YX

23= ==> X 3

2 Y=

Vemos que el rombo queda divido en cuatro triángulosiguales a través de sus diagonales, calcularemos el áreade un triángulo y lo multiplicaremos por 4 para obtenerasí el área total del rombo

Área de un triángulo X2

Y2⋅

12⋅ 4⋅ 108= ==> X Y⋅ 216=

Reemplazamos el valor de X y obtenemos32 Y Y⋅ 216= Y2 144= Y 12= ==> X 3

2 12⋅:= X 18=

Diagonal mayor X = 18Diagonal menor Y = 12

Para calcular el lado del rombo debemos hacer aplicar elteorema de PITÁGORAS con las semidiagonales

l 182

2 122

2+= 81 36+= 117= 10.817=



3) Hablemos de EXTREMO 1 y EXTREMO 2 y la distanciaentre EX 1 y EX 2 es L. Llamemos Y lo construido por EX1 en el primer mes y a X lo mismo realizado por EX 2

EX 1--------OOOOOOOOOOOOOOOOO-------------EX 2Y L X− Y− X

Al cabo del primer mes lo construido por EX 1 (Y) es 3/4veces lo construido por EX 2, por lo tanto

Y 34 X=

Y lo que falta construir es 4200 m que es el doble de loque se ha construido hasta el momento, por lo tanto silo expresamos con ecuaciones, esto último se escribe dela siguiente manera

L X− Y− 4200=

Y X+42002= 2100= ==> Y X+ 2100= pero sabemos que

Y = (3/4)X entonces34 X X+ 2100=

74 X 2100= X 1200=

Lo construido por EX 2 es X = 1200Lo construido por EX 1 es Y = (3/4)X = 900 Y la distancia entre EX 1 y EX 2 es:L 900− 1200− 4200= L 4200 900+ 1200+= L 6300=

4) Vamos a llamar a la variable del tiempo T y la vamosa medir en horasEl ciclista recorrió 120 km en un tiempo T, la velocidadserá entoncesV = 120 km / T (recuerden que T lo vamos a medir enhoras = h)Si hubiera ido 10 km/h más deprisa la velocidad seríaentonces

V2120T 10+=

Pero nos están diciendo que habría tardado una horamenos, entonces podemos decir también que la velocidaddel ciclista es



V2120T 1−

= Es decir el mismo recorrido, en el mismotiempo T menos 1 hora, por lo tanto podemosigualar las Velocidades y despejar T

120T 10+

120T 1−

=

120 10T+T

120T 1−

=

T 1−( ) 120 10T+( )⋅ 120T=

120T 10T2+ 120− 10T− 120T=

10T2 10T− 120− 0=

T2 T− 12− 0= Ecuación cuadrática, despejamos el valorde T, sabemos que tenemos dos soluciones,en este caso descartaremos la soluciónnegativa ya que no es físicamente probablehablar de tiempo negativo en este problema

T 1 1 4 12⋅++2= 1 49+

2= 1 7+2= 8

2= 4=

Por lo tanto el Ciclista tardó 4 horas en recorrer 120km, es decir la velocidad es de 30 km/h. Si hubiera idoa 10 km/h más deprisa, es decir a 40 km/h habría tardado3 horas en recorrer la misma distancia.


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