1. MAPAS DE PROGRESO DEL APRENDIZAJEMATEMTICA: Cambio y relacionesPropone y usa modelos coherentes en la resolucin de situaciones problemticas de regularidad,equivalencia y cambio que impliquen desarrollar patrones y establecer relaciones, empleandodiversas formas de representacin y lenguaje simblico.

2. MATEMTICA:Cambio y relaciones 3. Directorio:Peregrina Morgan Lora (Presidenta)Jorge Castro LenLiliana Miranda MolinaAnglica Montan LoresCarlos Rainusso YezComisin Directiva Estndares de AprendizajePatricia Andrade PacoraLiliana Miranda MolinaPeregrina Morgan LoraCoordinacin Tcnica:Vernica Alvarado BonhoteEquipo Tcnico Responsable:IPEBA - PROGRAMA ESTNDARES DE APRENDIZAJECoordinacin GeneralCecilia Zevallos Atoche (Coordinadora General)Alfredo Altamirano IzquierdoLilian Isidro CmacAsesora NacionalJessica Tapia SorianoEquipo de MatemticaCecilia Zevallos AtochePilar Butrn CasasLilian Isidro CmacPatricia Paz HuamnAsesor de MatemticaClaudio Tapia FuentesMINISTERIO DE EDUCACINDireccin General de Educacin Bsica RegularMara Isabel Daz MaguiaGabriela Rodrguez CabezudoRoger Saavedra SalasDireccin de Educacin Superior PedaggicaRal Hilares TrujilloDireccin General de Educacin Intercultural, Bilinge y RuralMarta Villavicencio UbillsUnidad de Medicin de la Calidad EducativaOlimpia Castro MoraMiriam Arias ReyesComisin de ExpertosTeresa Arellano Badosrsula Asmad FalcnLileya Manrique VillavicencioAntonieta Ramrez de FerroMara Elena Marcos NichoGuillermo Garca FigueroaHecho el Depsito Legal en la Biblioteca Nacional del Per N 2013-11912ISBN 978-612-46406-4-3Diseo: Rubn ColoniaTiraje: 13 000 ejemplaresLima, setiembre de 2013Impresin: Centro de Produccin Editorial e Imprenta de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos (CEPREDIM) Sistema Nacional de Evaluacin, Acreditacin y Certificacin de la Calidad Educativa - SINEACE Instituto Peruano de Evaluacin, Acreditacin y Certificacin de la Calidad de la Educacin Bsica (IPEBA).Calle Ricardo Angulo 266, San Isidro. Lima 27. Per.Telfonos: / (51-1) 223-2895, Fax: (51-1) 224-7123 anexo 112E-mail: cir@ipeba.gob.pe / www.ipeba.gob.peSe autoriza la reproduccin total o parcial siempre y cuando se mencione la fuente. 4. NDICEPresentacinMapas de Progreso de MatemticaEl Mapa de Progreso de Cambio y RelacionesGlosarioReferencias bibliogrficas5784042PrevioEjemplos de indicadores de desempeo y trabajos de estudiantes10III CicloEjemplos de indicadores de desempeo y trabajos de estudiantes13IV CicloEjemplos de indicadores de desempeo y trabajos de estudiantes16V CicloEjemplos de indicadores de desempeo y trabajos de estudiantes21VI CicloEjemplos de indicadores de desempeo y trabajos de estudiantes26VII CicloEjemplos de indicadores de desempeo y trabajos de estudiantes31DestacadoEjemplos de indicadores de desempeo y trabajos de estudiantes36 5. 4 6. 5PRESENTACINGarantizar el derecho a la educacin es un compromiso por la formacin integral de los estudiantes.Para ello, es necesario que logren los aprendizajes esperados durante su trayectoria escolar. ElMinisterio de Educacin y el Instituto Peruano de Evaluacin, Acreditacin y Certificacin de la Calidadde la Educacin Bsica IPEBA, en un trabajo conjunto, estn elaborando los Mapas de Progreso delAprendizaje, como una herramienta que coadyuve a mejorar la calidad del servicio que ofrecen lasinstituciones educativas, pblicas y privadas, a los estudiantes del pas.Con este propsito se est desarrollando un sistema curricular destinado a asegurar los aprendizajesque requieren los nios, nias y adolescentes en el pas, y a orientar la labor de los docentes en lasaulas. Dicho sistema est compuesto, bsicamente, por el Marco Curricular, los Mapas de Progreso ylas Rutas de Aprendizaje, y se constituye en el orientador y articulador de los Currculos Regionales.El Marco Curricular comprende el conjunto de aprendizajes fundamentales que todos deben alcanzaren la educacin bsica. Los Mapas de Progreso describen con precisin lo que los estudiantes debensaber, saber hacer y valorar, de manera graduada en cada ciclo de la educacin bsica, y ofrecencriterios claros y comunes para monitorear y evaluar dichos aprendizajes. Las Rutas del Aprendizajeapoyan la labor de los docentes y orientan sus estrategias especficas de enseanza con el fin defavorecer el aprendizaje.Considerando que el aprendizaje es un proceso continuo, que se desarrolla a lo largo de la vida,los Mapas de Progreso posibilitan apreciar el avance progresivo de tal aprendizaje, facilitando laarticulacin de los niveles y etapas del sistema educativo pero, sobre todo, el acompaamiento de loslogros de los estudiantes, para que todos puedan aprender y nadie se quede atrs.La elaboracin de los Mapas de Progreso se realiza en un equipo integrado por especialistas de IPEBAy del Ministerio de Educacin, que son asesorados por expertos nacionales e internacionales. Esteproceso comprende el recojo de informacin a travs de pruebas a estudiantes de diferentes regionesdel pas, as como consultas a docentes, formadores y acompaantes de docentes, y a especialistasde Direcciones Regionales de Educacin y Unidades de Gestin Educativa Local. Adems, se trabajasobre la base de una amplia revisin bibliogrfica de experiencias internacionales y la revisin yanlisis de los resultados de las evaluaciones nacionales e internacionales aplicadas a estudiantesperuanos. Finalmente, los Mapas de Progreso son validados por una comisin de expertos, constituidapor profesionales de gran prestigio acadmico, amplia experiencia y conocimiento de las distintascompetencias que deben desarrollar los estudiantes.Los Mapas de Progreso sern entregados a los docentes a travs de fascculos coleccionables quefaciliten su buen uso.Este fascculo se propone que autoridades, docentes, estudiantes, padres y madres de familia, ascomo organizaciones de base, conozcan el Mapa de Progreso de Cambio y Relaciones (Matemtica)atendiendo a que la sociedad tiene la responsabilidad de contribuir a la educacin y el derecho aparticipar en su desarrollo (Ley General de Educacin, artculo 3).Patricia Salas OBrien Peregrina Morgan LoraMinistra de Educacin Presidenta Directorio IPEBA 7. 6Qu son los estndares de aprendizaje nacionales?Son metas de aprendizaje claras que se espera que alcancen todos los estudiantes del pas a lo largode su escolaridad bsica. Los estndares son una de las herramientas que contribuirn a lograr laansiada calidad y equidad del sistema educativo peruano, el cual debe asegurar que todos los nios,nias y jvenes del pas, de cualquier contexto socioeconmico o cultural, logren los aprendizajesfundamentales.En el Per, se ha decidido elaborar los estndares nacionales de aprendizaje poniendo especialinters en describir cmo suelen progresar de ciclo a ciclo las distintas competencias. Por tal razn,han sido formulados como MAPAS DE PROGRESO DEL APRENDIZAJE.Cul es la estructura de un Mapa de Progreso del Aprendizaje?El MAPA DE PROGRESO est dividido en niveles. Los niveles indican lo que se espera que un estudiantehaya aprendido al finalizar cada ciclo de la Educacin Bsica Regular. Los niveles muestran estosaprendizajes de manera sinttica y empleando un lenguaje sencillo, con el fin de que todos puedancomprenderlos.V CICLO(5 y 6de primaria)VI CICLO(1 y 2de secundaria)VII CICLO(3, 4 y 5de secundaria)III CICLO(1 y 2de primaria)IV CICLO(3 y 4de primaria)PRIMARIA SECUNDARIAPrevioDestacadoCada nivel del MAPA DE PROGRESO cuenta con un conjunto de indicadores de desempeo. Estos permitirnidentif icar claramente si los estudiantes lograron lo que indica el nivel correspondiente. Adicionalmente, el MAPADE PROGRESO incluye ejemplos de trabajos de estudiantes que han logrado lo sealado en cada nivel.Por qu son tiles los Mapas de Progreso del Aprendizaje?Los Mapas de Progreso son tiles porque le permiten al docente enfocarse en los aprendizajescentrales y observar cun lejos o cerca estn sus estudiantes del logro de estas metas de aprendizaje,para poder reorientar su accin pedaggica. 8. 7MAPAS DE PROGRESO DE MATEMTICALa velocidad del desarrollo cientfico y tecnolgico demanda de la persona una serie de competenciaspara enfrentar los retos de un mundo en constante cambio. As, para hacer frente a esta realidad,se requieren, entre otras competencias, aquellas vinculadas a los aprendizajes matemticos. LaMatemtica desarrolla en el estudiante competencias que le permitan plantear y resolver con actitudanaltica los problemas de su contexto y de la realidad1, de manera que pueda usar esas competenciasmatemticas con flexibilidad en distintas situaciones.Las competencias de Matemtica se han organizado en cuatro Mapas de Progreso: Nmero y operaciones Cambio y relaciones Geometra Estadstica y probabilidadLos Mapas de Progreso de Matemtica describen el desarrollo de las competencias que requiereun ciudadano para atender las necesidades y retos de la sociedad actual. El desarrollo de estascompetencias se interrelaciona y complementa en la medida en que los estudiantes tengan laoportunidad de aprender matemtica en contextos significativos.Los Mapas de Progreso de Matemtica exigen una educacin matemtica que brinde al estudiantesituaciones de aprendizaje problemticas que lo motiven a comprometerse con la investigacin,exploracin y construccin de su aprendizaje, y que ponga nfasis en los procesos de construccinde los conceptos matemticos y en el desarrollo de las competencias matemticas, que implica queun individuo sea capaz de identificar y comprender el rol que desempea la matemtica en el mundo,para permitir juicios bien fundamentados y para comprometerse con la matemtica, de manera quecubra las necesidades de la vida actual y futura de dicho individuo como un ciudadano constructivo,comprometido y reflexivo (PISA 2003).1 Ministerio de Educacin del Per (2008). Diseo Curricular Nacional, p. 316. 9. 8EL MAPA DE PROGRESO DECAMBIO Y RELACIONESEl mundo que nos rodea presenta una multiplicidad de relaciones temporales o permanentesque se manifiestan en los diversos fenmenos naturales, econmicos, demogrficos, entre otros,los cuales influyen en la vida de todo ciudadano, exigindole a este desarrollar un conjuntode capacidades que le permitan comprenderlos, describirlos, analizarlos, modelarlos y realizarpredicciones para enfrentarse a los cambios, de manera que se aligeren sus consecuencias o redundenen su beneficio (OCDE, 2006). En este contexto resulta importante el aporte de la Matemtica a travsde la modelizacin algebraica, pues permite desarrollar capacidades para analizar las soluciones deun problema, generalizarlas y justificar el alcance de las mismas; a medida que se desarrolla estacapacidad se va progresando en el uso del lenguaje y el simbolismo matemtico, necesarios paraapoyar y comunicar el pensamiento algebraico por intermedio de las ecuaciones, las variables y lasfunciones (Godino y Font, 2003).Por lo antes expuesto, resulta indispensable que desde la educacin primaria se ayude a losestudiantes a desarrollar su capacidad para identificar regularidades, comprender el concepto de igualdady analizar el cambio, situaciones que van incorporando paulatinamente el uso de cdigos, smbolos yfunciones. Esto significa presentar el lgebra no solo como un medio de traduccin del lenguaje naturalal simblico sino tambin como una herramienta de modelacin de distintas situaciones de la vida real.El Mapa de Progreso de Cambio y Relaciones describe el desarrollo de la competencia paraidentificar patrones, describir y caracterizar generalidades, modelar fenmenos reales referidos alas relaciones cambiantes entre dos o ms magnitudes, utilizando desde grficos intuitivos hastaexpresiones simblicas como las igualdades, desigualdades, equivalencias y funciones.La descripcin del progreso del aprendizaje en esta competencia se realiza en base a tres aspectos:a) Interpretacin y generalizacin de patrones. Implica el desarrollo de capacidades paraidentificar, interpretar y representar la regularidad existente en diferentes sucesiones atravs de una expresin general que modele el comportamiento de sus trminos.b) Comprensin y uso de igualdades y desigualdades. Implica el desarrollo decapacidades para interpretar y representar las condiciones de una situacin problemtica,mediante igualdades o desigualdades, que permite determinar valores desconocidos yestablecer equivalencias entre expresiones algebraicas.c) Comprensin y uso de las relaciones y funciones. Implica el desarrollo de capacidadespara identificar e interpretar las relaciones entre dos magnitudes, analizar la naturalezadel cambio y modelar situaciones o fenmenos del mundo real mediante funciones,con la finalidad de formular y argumentar predicciones. 10. 9Descripcin de los niveles del Mapa de Cambio y RelacionesIdentifica y describe patrones de repeticin con un criterio perceptual2; completa, representa grficamente y crea sucesionescon material concreto. Identifica relaciones entre objetos de dos colecciones, a partir de consignas dadas.Identifica patrones aditivos con nmeros naturales de hasta dos cifras y patrones de repeticin con dos criterios perceptuales,completa y crea sucesiones grficas y numricas y explica si un trmino pertenece o no pertenece a una sucesin. Interpretay explica equivalencias entre dos expresiones y sus posibles variaciones en caso se agreguen o quiten cantidades hasta 20a ambas expresiones, usando material concreto. Determina el valor desconocido en una igualdad entre expresiones queinvolucran adiciones y sustracciones, y explica su procedimiento. Establece, describe y representa grficamente relacionesentre objetos de dos colecciones.Interpreta patrones multiplicativos con nmeros naturales y patrones de repeticin que combinan criterios perceptuales yde posicin; completa y crea sucesiones grficas y numricas; descubre el valor de un trmino desconocido en una sucesin,comprueba y explica el procedimiento seguido. Interpreta y explica equivalencias entre dos expresiones y sus posibles variacionesen caso se multipliquen o dividan ambos lados de la igualdad, haciendo uso de material concreto y grfico. Determina el valordesconocido en una igualdad entre expresiones que involucran multiplicaciones o divisiones entre nmeros naturales dehasta dos dgitos, y explica su procedimiento. Identifica y explica relaciones de cambio entre dos magnitudes y relaciones deequivalencia entre unidades de medida de una misma magnitud, y las representa en diagramas o tablas de doble entrada.Interpreta patrones que crecen y decrecen con nmeros naturales, y patrones geomtricos que se generan al aplicar traslaciones,reflexiones o giros; completa y crea sucesiones grficas y numricas; descubre el valor del trmino desconocido en una sucesindado su orden, comprueba y explica el procedimiento seguido. Interpreta que una variable puede representar un valor desconocidoen una igualdad. Interpreta cundo una cantidad cumple con una condicin de desigualdad. Representa las condicionesplanteadas en una situacin problemtica mediante ecuaciones con nmeros naturales y las cuatro operaciones bsicas; explicael procedimiento seguido. Modela diversas situaciones de cambio mediante relaciones de proporcionalidad directa y relacionesde equivalencia entre unidades de medida de una misma magnitud, las describe y representa en tablas o en el plano cartesiano.Conjetura si la relacin entre dos magnitudes es de proporcionalidad directa, comprueba y formula conclusiones.Interpreta y crea patrones geomtricos que se generan al aplicar traslaciones, reflexiones o rotaciones y progresiones aritmticascon nmeros naturales en las que generaliza y verifica la regla de formacin y la suma de sus trminos. Interpreta que unavariable puede representar tambin un valor que cambia. Identifica el conjunto de valores que puede tomar un trminodesconocido para verificar una desigualdad. Representa las condiciones planteadas en una situacin problemtica medianteecuaciones lineales; simplifica expresiones algebraicas, comprueba equivalencias y argumenta los procedimientos seguidos.Modela diversas situaciones de cambio mediante relaciones de proporcionalidad inversa, funciones lineales y afines; lasdescribe y representa en tablas, en el plano cartesiano y con expresiones algebraicas. Conjetura cundo una relacin entredos magnitudes tiene un comportamiento lineal; formula, comprueba y argumenta conclusiones.Generaliza y verifica la regla de formacin de progresiones geomtricas, sucesiones crecientes y decrecientes con nmerosracionales e irracionales, las utiliza para representar el cambio y formular conjeturas respecto del comportamiento de la sucesin.Representa las condiciones planteadas en una situacin mediante ecuaciones cuadrticas, sistemas de ecuaciones lineales einecuaciones lineales con una variable; usa identidades algebraicas y tcnicas de simplificacin, comprueba equivalencias yargumenta los procedimientos seguidos. Modela diversas situaciones de cambio mediante funciones cuadrticas, las describe yrepresenta con expresiones algebraicas, en tablas o en el plano cartesiano. Conjetura cundo una relacin entre dos magnitudespuede tener un comportamiento lineal o cuadrtico; formula, comprueba y argumenta conclusiones.Generaliza y verifica la regla de formacin de sumatorias notables, de sucesiones con distintos patrones, evala el valormximo o mnimo de una sucesin y formula conjeturas sobre el comportamiento de una sucesin cuando tiende al infinito.Interpreta que una variable puede representar un valor constante o un parmetro. Modela las condiciones planteadas en unasituacin mediante sistemas de inecuaciones lineales y ecuaciones exponenciales; usa con flexibilidad diversas tcnicas desimplificacin y de solucin, y argumenta los procedimientos seguidos. Modela situaciones o fenmenos de diversos contextoshaciendo uso de variadas funciones definidas en tramos; conjetura cundo una relacin entre dos magnitudes puede tener uncomportamiento exponencial, logartmico o peridico3; formula, comprueba y argumenta conclusiones.PrevioIIICICLO(1 y 2 deprimaria)IVCICLO(3 y 4 deprimaria)VCICLO(5 y 6 deprimaria)VICICLO(1 y 2 desecundaria)VIICICLO(3, 4 y 5 desecundaria)Destacado23Atributos que se perciben con los sentidos, como color, tamao, textura, grosor, forma, etc.En el comportamiento peridico se consideran las siguientes funciones trigonomtricas: seno, coseno y tangente. 11. 10A continuacin, presentamos algunos ejemplos de indicadores de desempeo y de trabajos deestudiantes para cada uno de los niveles del Mapa de Progreso.PrevioIdentifica y describe patrones de repeticin con un criterio perceptual4; completa, representagrficamente y crea sucesiones con material concreto. Identifica relaciones entre objetos de doscolecciones, a partir de consignas dadas.Cuando un estudiante ha logrado este nivel,realiza desempeos como los siguientes: Contina secuencias sonoras usando palmadas, pisadas (zapateo), instrumentoso la combinacin de estos. Describe eventos cotidianos que se repiten usando expresiones como, despusde, antes de. Ejemplo: Despus del da viene la noche y despus de la noche viene elda. Completa una secuencia de patrones de repeticin usando material concreto ohaciendo dibujos; por ejemplo, contina la siguiente secuencia: Crea una secuencia ordenada de objetos evidenciando un patrn de repeticin. Reconoce qu pares de elementos de dos colecciones cumplen una determinadarelacin; por ejemplo, relaciona los objetos de acuerdo a la caracterstica tienenla misma forma.4 Atributos que se perciben con los sentidos como color, tamao, textura, grosor, forma, etc. 12. 11Ejemplos de trabajos de los estudiantesEn este nivel, los trabajos de los estudiantes fueron recogidos en video. Para observar ejemplosde estos trabajos, por favor, ingrese a nuestra pgina web: http://www.ipeba.gob.pea) Jugando con cuentas (video)Se present a la estudiante una situacin en la que otra persona empez a elaborar un collar,pero no lo termin, y se le invit a completarlo siguiendo el orden o secuencia que esa persona habainiciado. Luego se le invit a crear un collar siguiendo una secuencia u orden que a ella le guste.COMENTARIOLa estudiante completa el collar con dos cuentas amarillas,sealando que lo vio en el modelo dado, luego crea un patrnpara hacer un nuevo collar usando cuatro colores: rojo, azul,amarillo y verde de manera secuencial. 13. 12b) Jugando con botones (video)Al estudiante se le alcanz nueve botones, cuatro verdes de forma triangular y cinco amarillosde forma circular; asimismo, como se observa en el grfico, los botones tenan diferente nmero deagujeros (1, 2, 3, 4 y 5).La actividad consisti en pedir que el nio forme parejas de botones que tengan el mismonmero de agujeros.COMENTARIOEl estudiante relaciona objetos de dos colecciones a partir de la indicacin dada. En el ejemplo,el nio relacion los botones tomando en cuenta la consigna encontrar botones que tenganla misma cantidad de agujeros. Por ello, form cuatro parejas de botones y dej uno suelto.Finalmente, explic que este ltimo botn qued sin agrupar porque para conformar unapareja ms hace falta otro botn verde (triangular) con cuatro agujeros. 14. 13III Ciclo(1 y 2 de primaria)Identifica patrones aditivos con nmeros naturales de hasta dos cifras y patrones de repeticincon dos criterios perceptuales, completa y crea sucesiones grficas y numricas, y explica si un trminopertenece o no pertenece a una sucesin. Interpreta y explica equivalencias entre dos expresionesy sus posibles variaciones en caso se agreguen o quiten cantidades hasta 20 a ambas expresiones,usando material concreto. Determina el valor desconocido en una igualdad entre expresiones queinvolucran adiciones y sustracciones, y explica su procedimiento. Establece, describe y representagrficamente relaciones entre objetos de dos colecciones.Cuando un estudiante ha logrado este nivel,realiza desempeos como los siguientes: Completa los trminos de una sucesin aditiva creciente o decreciente cuyopatrn va de dos en dos, de tres en tres o de cinco en cinco, empleando nmerosmenores que 100; por ejemplo, completa los trminos en la siguiente sucesin:11, 14, 17, ___ , 23, 26, ___ Describe oralmente cmo van cambiando los trminos consecutivos en sucesionesgrficas con patrones de repeticin o en sucesiones con patrones aditivos. Crea una sucesin con patrones de repeticin con dos criterios perceptualesusando material concreto o haciendo dibujos; por ejemplo: Representa con material concreto y smbolos la igualdad entre dos expresionesaditivas; representa adiciones y sustracciones que sean equivalentes a 10 + 2; porejemplo:10 + 2 = 15 3, o bien que 10 + 2 = 8 + 4. Agrega o quita una misma cantidad de objetos o nmeros a ambos lados de unaigualdad y comprueban que esta no cambia; por ejemplo, realiza la actividad conel material Cuisenaire y representa con nmeros dichas equivalencias:ROSADOROSADOEQUIVALEEQUIVALEVERDEVERDEAMARILLO AMARILLO4 = 3 + 14 + 1 = 3 + 1 + 15 = 5 Concluye a partir de la experiencia con material concreto las propiedades de laadicin; por ejemplo, dice que ganar 5 soles y luego 3 soles es lo mismo queganar 3 soles y luego 5 soles (propiedad conmutativa). 15. 14 Describe la relacin entre objetos de dos colecciones; por ejemplo, reconoce enun grfico la relacin es el doble de.46 3En este nivel, los trabajos de los estudiantes fueron recogidos en video. Para observar ejemplosde estos trabajos, por favor, ingrese a nuestra pgina web: http://www.ipeba.gob.pea) Visitas del mes de agosto (video)85 2Se le proporciona al estudiante un calendario del mes de agosto en el que se encuentranmarcados los siete das que una persona llamada Csar visita a su ta Gladys y se le pregunta por lafecha en que realizar la octava visita, teniendo en cuenta que los nmeros forman una secuencianumrica. Luego, se le pide al estudiante que elija a un familiar para visitar y que cree una secuencianumrica para mostrar los das que lo visitara.COMENTARIOEjemplos de trabajos de estudiantesEl estudiante identifica patrones aditivos con nmeros naturales enuna sucesin numrica y tambin las crea. En el ejemplo, reconoceque Csar visita a su ta los das 2; 6; 10; 14; 18; 22 y 26, y explica queuna octava visita la realiza el da 30 porque va de 4 en 4. Asimismo,crea una sucesin numrica conformada por 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21 y24, y explica que a cada trmino se le agrega 3 diciendo: porquele vas sumando el nmero de la secuencia que se esconde[]+3. 16. 15b) Formando equivalencias con monedas (video)En una primera actividad, se le entrega a la estudiante un monedero con monedas de S/. 1y S/. 2 y se le pide que coloque sobre la mesa las necesarias para formar S/. 5. En una segundaactividad, dados dos grupos de monedas de cantidades equivalentes, se agrega sucesivamente lamisma cantidad de monedas a ambos grupos y se le pregunta: qu sucede cada vez que se agregauna misma cantidad de monedas en cada grupo? Finalmente, en una tercera actividad, se presentandos envases con la misma cantidad de dinero (S/. 15); luego se toma uno de los envases, se colocaun grupo de monedas en un monedero, se le presenta ese envase con el monedero y S/. 3, y se lepregunta Cunto dinero se ha colocado en el monedero?.COMENTARIOFOTO 1 FOTO 2 FOTO 3La estudiante representa en la primera actividad, dos gruposde monedas cuyo monto equivale a S/. 5 (Foto 1), compruebaque estos mantienen su equivalencia cada vez que se agregala misma cantidad de dinero a ambos grupos (Foto 2). En lasegunda y tercera actividad, identifica el valor desconocidoen una igualdad, al calcular la cantidad de dinero que hayen el monedero, para ello establece una equivalencia entrelos dos envases y explica su procedimiento (Foto 3). 17. 16Interpreta patrones multiplicativos con nmeros naturales y patrones de repeticin quecombinan criterios perceptuales y de posicin; completa y crea sucesiones grficas y numricas;descubre el valor de un trmino desconocido en una sucesin; y comprueba y explica el procedimientoseguido. Interpreta y explica equivalencias entre dos expresiones y sus posibles variaciones en casose multipliquen o dividan ambos lados de la igualdad, haciendo uso de material concreto y grfico.Determina el valor desconocido en una igualdad entre expresiones que involucran multiplicacioneso divisiones entre nmeros naturales de hasta dos dgitos y explica su procedimiento. Identifica yexplica relaciones de cambio entre dos magnitudes y relaciones de equivalencia entre unidades demedida de una misma magnitud, y las representa en diagramas o tablas de doble entrada.Cuando un estudiante ha logrado este nivel,realiza desempeos como los siguientes: Explica cmo cambian los trminos consecutivos en una sucesin con un patrnmultiplicativo. Crea secuencias con patrones de repeticin que combinan criterios perceptuales y deposicin y los representa con dibujos o smbolos; por ejemplo: color y posicin (doscrculos grises y uno blanco, el punto est alternadamente arriba y abajo). Diferencia el uso del signo igual para expresar el resultado de una operacin ypor otra parte presenta su uso para expresar una equivalencia entre expresionesnumricas; por ejemplo:3 + 17 = 20 (como resultado)22- 2 = 3 + 17 (como equivalencia) Comprueba con material concreto o grfico que dos expresiones siguen siendoequivalentes si multiplica o divide por un mismo valor a cada lado de una igualdad;por ejemplo:4 + 2 = 5 + 1duplicando2 (4 + 2) = 2 (5 + 1)8 + 4 = 10 + 212 = 12IV Ciclo(3 y 4 de primaria) 18. 17 Concluye a partir de la experiencia con material concreto y grfico que, al cambiarel orden de los factores o asociarlos indistintamente, el producto no cambia; porejemplo, dice que el producto de 4 x 8 da lo mismo que 8 x 4. Representa una cantidad desconocida en una igualdad utilizando conos ydetermina su valor usando las propiedades de la igualdad; por ejemplo, obtieneel valor de un en la expresin 12 x = 72 Explica la relacin de cambio entre dos magnitudes en diversas situaciones y endistintos formatos; por ejemplo, describe el crecimiento de una planta en relacina los das transcurridos.Da1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 0 0 0 1 1 2 3 3 4Altura de la planta (cm)Cambio observado Ha brotado Relaciona unidades de longitud, masa y tiempo para establecer equivalencia; porejemplo, identifica que 1 metro equivale a 100 cm; que kg equivale a 500 g, yque 36 horas equivale 1 da y medio.Ejemplos de trabajos de estudiantesa) Decorando con patronesuna raz dela semillaEl talloestpor salirEl tallo y racesempiezan a crecer 19. 18COMENTARIOLa estudiante completa el trmino desconocido en unasucesin grfica con patrones de repeticin que combinancriterios perceptuales que consideran color, forma y posicinde los elementos de la figura, y describe el patrn a partirde sus caractersticas. En el ejemplo, dibuja la bandera quecontina en la cadena que estn armando los estudiantesy describe los criterios que reconoci en el patrn de lasucesin: que los tringulos pequeos estn con los coloresalternados, que estos estn colocados dos arriba y dosabajo, y que los tringulos negros grandes estn, en formaalternada, arriba y abajo. 20. 19b) El crecimiento de DanielaCOMENTARIOEl estudiante interpreta informacin contenida en la tabla,y la utiliza para explicar las relaciones de cambio que se danentre las dos magnitudes, la edad y la talla de Daniela. En elejemplo, es capaz de identificar y explicar que, a medida quepasan los aos, aumenta la talla de la nia, pero que, a partirde los 15 aos, deja de crecer, lo que nos brinda evidenciade su capacidad para identificar y describir que entre dosmagnitudes se dan relaciones cambiantes; por ejemplo,reconoci que en un periodo de tiempo ambas magnitudespueden aumentar, mientras que, en otro, solo una de ellasaumenta. 21. 20c) Manteniendo el equilibrio en la balanzaCOMENTARIOLa estudiante establece equivalencias entre dos expresiones al relacionar los aviones y las pesasa partir de la informacin de la balanza en equilibrio. En la primera balanza reparte las pesas enforma equitativa a la cantidad de aviones y descubre que un avin equivale a tres pesas, mientrasque en la segunda balanza descuenta el peso del avin y luego determina el peso del carrito. Estoevidencia que es capaz de encontrar el valor desconocido en una igualdad y describir su proceso. 22. 21V Ciclo(5 y 6 de primaria)Interpreta patrones que crecen y decrecen con nmeros naturales, y patrones geomtricos quese generan al aplicar traslaciones, reflexiones o giros; completa y crea sucesiones grficas y numricas;descubre el valor del trmino desconocido en una sucesin dado su orden; comprueba y explica elprocedimiento seguido. Interpreta que una variable puede representar un valor desconocido en unaigualdad. Interpreta cundo una cantidad cumple con una condicin de desigualdad. Representa lascondiciones planteadas en una situacin problemtica mediante ecuaciones con nmeros naturalesy las cuatro operaciones bsicas; explica el procedimiento seguido. Modela diversas situaciones decambio mediante relaciones de proporcionalidad directa y relaciones de equivalencia entre unidadesde medida de una misma magnitud; las describe y representa en tablas o en el plano cartesiano.Conjetura si la relacin entre dos magnitudes es de proporcionalidad directa; comprueba y formulaconclusiones.Cuando un estudiante ha logrado este nivel,realiza desempeos como los siguientes: Completa el trmino desconocido en una sucesin creciente; por ejemplo: Crea sucesiones de trminos que siguen patrones geomtricos de traslacin,reflexin o giro; por ejemplo, crea una sucesin construida en base a giros ytraslaciones. Explica cmo hall el trmino desconocido en una sucesin cuando le dan laposicin de ese trmino; por ejemplo, explica cmo encontr el trmino 80 enla sucesin que se muestra, diciendo que cada ficha que ocupa una posicinmltiplo de tres es blanca; 81 es mltiplo de tres; entonces la ficha 80 ser decolor gris. 23. 22 Determina el valor de una variable en una igualdad; por ejemplo, calcula la basede un rectngulo que tiene 12 m2 de rea y 4 m de altura.A = b (h) 12= b (4) b = 3 m Identifica en distintas situaciones valores que verifican una desigualdad; porejemplo, reconoce los objetos que puede pesar en una balanza graduada mximoen 5 kg. Interpreta modelos de proporcionalidad directa expresados en tablas o grficos;por ejemplo: Explica cundo el cambio entre dos magnitudes es directamente proporcional;por ejemplo, explora los cambios entre las magnitudes y, seala dichos cambiosy concluye que en la tabla 2 la relacin no es proporcional.Relacin entre el peso y el costoTabla 1 Tabla 2 24. 23COMENTARIOEjemplos de trabajos de estudiantesa) Colocando maylicas en el comedor escolarEl estudiante descubre en una sucesin grfica el trminodesconocido a partir del orden que ocupa. Identifica quecada seis piezas forman un ciclo que se repite y a partirde esto logra determinar cmo es el trmino que est enla posicin 58. En el ejemplo, demuestra su capacidadpara realizar procesos de generalizacin con patronesgeomtricos y explica su procedimiento. 25. 24COMENTARIOEl estudiante interpreta las condiciones planteadas enla situacin problemtica y representa equivalenciasestableciendo una relacin proporcional entre el nmero denios y de profesores. Usa las propiedades de las igualdadespara encontrar a cuntos nios equivale la fuerza de unprofesor, interpreta cundo una cantidad cumple con unacondicin de desigualdad, al determinar el nmero deprofesores que se deben colocar al otro lado para no superar lafuerza de los nios y explica su procedimiento grficamente.b) El juego de las sogas 26. 25c) El vendedor de heladosCOMENTARIOLa estudiante identifica que existe una relacin proporcionalentre el nmero de helados vendidos y el dinero recaudadopor la venta; se observa que completa la tabla, probandovalores que se acerquen a 170 soles y le ayudan a determinarla cantidad de helados vendidos. La estudiante usa unaestrategia multiplicativa para encontrar la cantidad dehelados vendidos; determina que son 68 helados y lo indicaen la tabla y en su respuesta. 27. 26VI Ciclo(1 y 2 de secundaria)Interpreta y crea patrones geomtricos que se generan al aplicar traslaciones, reflexiones orotaciones y progresiones aritmticas con nmeros naturales en las que generaliza y verifica la reglade formacin y la suma de sus trminos. Interpreta que una variable puede representar tambin unvalor que cambia. Identifica el conjunto de valores que puede tomar un trmino desconocido paraverificar una desigualdad. Representa las condiciones planteadas en una situacin problemticamediante ecuaciones lineales; simplifica expresiones algebraicas, comprueba equivalenciasy argumenta los procedimientos seguidos. Modela diversas situaciones de cambio medianterelaciones de proporcionalidad inversa, funciones lineales y afines; las describe y representa entablas, en el plano cartesiano y con expresiones algebraicas. Conjetura cundo una relacin entredos magnitudes tiene un comportamiento lineal; formula, comprueba y argumenta conclusiones.Cuando un estudiante ha logrado este nivel,realiza desempeos como los siguientes: Completa el trmino que falta en una sucesin con patrones geomtricos(traslacin, reflexin o rotacin); por ejemplo: Deduce una regla general para encontrar cualquier trmino de una progresinaritmtica con nmeros naturales; por ejemplo, en la progresin aritmticaformada por el nmero de palitos de cada figura, explica que cada nueva figurase forma agregando dos palitos ms. Identifica que la suma de trminos equidistantes a un trmino cualquiera deuna progresin aritmtica da siempre el mismo valor y usa esta conclusin paradeterminar la regla de la suma de trminos de la progresin aritmtica. 28. 27 Determina los distintos valores que puede tomar una variable; por ejemplo, doscuadernos y un flder costaron S/. 10. Cules son los posibles precios de cadaobjeto?2 c + f = 102 (0) + 10 = 102 (1) + 8 = 102 (2) + 6 = 102 (3) + 4 = 102 (4) + 2 = 102 (5) + 0 = 10c = 0 f = 10c = 1 f = 8c = 2 f = 6c = 3 f = 4c = 4 f = 2c = 5 f = 0 Interpreta el significado de una desigualdad doble y la simboliza; por ejemplo,expresa el rango de precios mayores a S/. 75,50 soles y menores que S/. 99,90escribiendo 75,50 < x < 99,90. Interpreta y describe modelos de proporcionalidad inversa expresadas en tablas ogrficos; por ejemplo, establece la relacin entre las dimensiones de rectngulosque tienen la misma rea.Largo (m)Ancho (m)212384664122 Explica que el crecimiento o decrecimiento de una funcin lineal est determinadopor el sentido de la razn constante de cambio; por ejemplo: Describe loscambios de sentido presentados en un grfico lineal.El estudiante indica que el auto avanza 240 km. en tres horas, luego se detienecuatro horas y regresa al punto de partida entre tres horas. Relaciona las diferentes representaciones de una funcin lineal; por ejemplo, identificasi los datos de una tabla se relacionan con una representacin grfica o algebraica. Modela el cambio entre dos magnitudes mediante la funcin afn; por ejemplo,modela el clculo del sueldo de un vendedor de electrodomsticos que tienesueldo fijo de S/. 500 y comisiones de S/. 50 por cada artculo vendido con laexpresin y = 50x + 500. 29. 28Ejemplos de trabajos de estudiantesa) Sucesiones grficas:COMENTARIOEl estudiante completa el permetro de las figuras que siguen la sucesin. Luego encuentrauna relacin entre el nmero de lados de cada figura y el orden que ocupa en la sucesin,explica en detalle cmo la relacin encontrada se verifica para los tres primeros trminos, ylogra determinar el permetro de la figura 83 empleando dicha regla general. Luego expresa laregla de formacin mediante una expresin algebraica donde el valor cambiante es la cantidadde tringulos de cada figura; comenta que por cada tringulo que se agrega se necesita soloaumentar dos lados a la figura, demostrando con ello su capacidad para identificar el cambioentre figura y figura, y determinar el patrn que se repite en el clculo del permetro. 30. 29b) Interpretacin de grficasCOMENTARIOLa estudiante interpreta la informacin proporcionada de manera textual y grfica, y sealaen el grfico los intervalos de tiempo y la cantidad de agua que va ingresando o saliendo deltanque durante ese tiempo; logra determinar la cantidad de litros por hora que ingresan altanque planteando una ecuacin en base a la relacin proporcional observada; esto evidenciasu capacidad para identificar el valor constante de cambio. Finalmente interpreta el grfico,hace una comparacin entre las dos cantidades de agua que salen y usa esta informacinpara sustentar que de 8 a 12 horas se consume ms agua. 31. 30c) Eligiendo el plan que conviene msCOMENTARIOLa estudiante evala qu plan de servicio de telefona celular y se ajusta a las necesidades decada amiga. En este ejemplo, representa la relacin entre costo de cada plan y los minutosconsumidos mediante una expresin algebraica general, en la que usa la variable (x) paraexpresar un valor cambiante, es decir, los minutos que se consumen al mes. Interpretaun caso particular de esta relacin al establecer una equivalencia entre estas expresionesgenerales que le permita determinar la cantidad de minutos (x) que se deben consumir enlos dos planes para pagar lo mismo; plantea y resuelve un sistema de ecuaciones lineales. 32. 31VII Ciclo(3, 4 y 5 de secundaria)Generaliza y verifica la regla de formacin de progresiones geomtricas, sucesiones crecientesy decrecientes con nmeros racionales e irracionales; las utiliza para representar el cambio y formularconjeturas respecto del comportamiento de la sucesin. Representa las condiciones planteadas en unasituacin mediante ecuaciones cuadrticas, sistemas de ecuaciones lineales e inecuaciones linealescon una variable; usa identidades algebraicas y tcnicas de simplificacin, comprueba equivalencias yargumenta los procedimientos seguidos. Modela diversas situaciones de cambio mediante funcionescuadrticas, las describe y representa con expresiones algebraicas, en tablas o en el plano cartesiano.Conjetura cundo una relacin entre dos magnitudes puede tener un comportamiento lineal ocuadrtico; formula, comprueba y argumenta conclusiones.Cuando un estudiante ha logrado este nivel,realiza desempeos como los siguientes: Crea sucesiones crecientes y decrecientes con nmeros racionales cuyo patrn deformacin comprende dos o varias operaciones, como en la siguiente sucesin:2,3/2,4/3,5/4, ..., (n+1) /n Deduce una regla general para encontrar cualquier trmino de una progresingeomtrica.1 3 9 27 81 tn1 1(3)1 1(3)2 1(3)3 1(3)4 1 (3) n-1 Interpreta identidades algebraicas a partir de expresiones numricas yrepresentaciones geomtricas; por ejemplo, interpreta la frmula del binomioal cuadrado descomponiendo reas.aa2 abb2b ab= + +ba2 ab ab b2a(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Resuelve situaciones problemticas mediante ecuaciones cuadrticas con unavariable e interpreta los valores obtenidos de acuerdo al contexto del problema. 33. 32 Resuelve situaciones problemticas mediante inecuaciones lineales con unavariable. Ejemplo: Si al doble de la cantidad de monedas de 5 soles que tengo lesumo 1 000 soles, juntar ms de 3 700 soles. Cuntas monedas de 5 soles tengocmo mnimo? Discrimina si un conjunto de pares ordenados o un grfico cartesiano representaa una funcin lineal, cuadrtica o exponencial, a partir de las caractersticas decrecimiento de cada funcin. Interpreta y describe modelos de funciones cuadrticas; por ejemplo, interpretalos intervalos de crecimiento y decrecimiento en la funcin y = -5x2 + 150x + 9000,que define la relacin entre ingreso y descuento. Identifica cmo se generan otras magnitudes a partir de funciones lineales ocuadrticas entre magnitudes; por ejemplo, identifica que el producto de masapor aceleracin genera la fuerza y que el cociente de distancia entre tiempogenera la velocidad. Argumenta sus predicciones sobre el comportamiento lineal o cuadrtico de larelacin entre dos magnitudes; por ejemplo, respecto a los grficos y tablas quese presentan lineas abajo, indica que se observa que por cada kilo adicional dearroz aumenta el precio en 4,5 soles; por tanto, el clculo del precio del arroz estdado por la funcin lineal y = 4,5 (x) y su comportamiento es lineal.Relacin entre precio y cantidad del arroz extra(Vlido para compras a granel menores de 20 kg.)201510500 5xyy = 4,5.xCantidad (kg)12481016Precio (S/.)12481016 34. 33Ejemplos de trabajos de estudiantesa) Granos de trigoCOMENTARIOLa estudiante busca algn comportamiento particular entre las primeras cantidades degranos que corresponden a los primeros 5 casilleros del tablero; se evidencia que encuentraesta relacin al agregar una columna en donde expresa la operacin que van cumpliendocada uno de los trminos (23 1); al comprobar y descubrir esta relacin la usa para afirmarque, para el casillero de orden 64, bastar con calcular el resultado de (264 1). Este tipode razonamiento pone de manifiesto su capacidad para llevar a cabo un proceso degeneralizacin propio de este nivel, logrando, adems, modelar el comportamiento de lasucesin mediante una expresin algebraica general. 35. 34b) ndice de masa corporalCOMENTARIOEl estudiante relaciona la informacin contenida en el texto del problema y en la tabla dedatos, extrae de estos la informacin necesaria para plantear una inecuacin donde la alturade Alberto es el valor desconocido; desarrolla estrategias de simplificacin para obtener losvalores de los extremos del nuevo intervalo e interpreta que Alberto tiene una altura mayoro igual a 1,68 m y menor a 1,84 m. Esto evidencia su capacidad para modelar situacionesmediante sistemas de inecuaciones lineales y usar flexiblemente tcnicas de simplificacinde expresiones algebraicas. 36. 35c) Chocolates y caramelosCOMENTARIOEl estudiante logra determinar una regla general para expresaruna relacin entre dos variables: la cantidad de chocolates y lade caramelos. Se observa su capacidad para interpretar y usarsu comprensin de la funcin cuadrtica, en tanto expresauna relacin algebraica que la contiene. Por esa razn, esteejemplo corresponde al nivel, en tanto que el estudiante logradesarrollar procesos de generalizacin y de modelizacin deuna situacin usando la funcin cuadrtica para expresar unarelacin entre dos variables. 37. 36DestacadoGeneraliza y verifica la regla de formacin de sumatorias notables y de sucesiones condistintos patrones; evala el valor mximo o mnimo de una sucesin; formula conjeturas sobre elcomportamiento de una sucesin cuando tiende al infinito. Interpreta que una variable puederepresentar un valor constante de un parmetro. Modela las condiciones planteadas en una situacinmediante sistemas de inecuaciones lineales y ecuaciones exponenciales; usa con flexibilidad diversastcnicas de simplificacin y de solucin, y argumenta los procedimientos seguidos. Modela situacioneso fenmenos de diversos contextos haciendo uso de variadas funciones definidas en tramos; conjeturacundo una relacin entre dos magnitudes puede tener un comportamiento exponencial, logartmicoo peridico5; formula, comprueba y argumenta conclusiones.Cuando un estudiante ha logrado este nivel,realiza desempeos como los siguientes: Determina a partir de casos particulares las expresiones generales de sumatoriasnotables, como la suma de nmeros pares, impares, cuadrados perfectos, cubosperfectos y las n primeras potencias naturales. Identifica el valor mximo o mnimo que va tomando una sucesin al acercarse alinfinito empleando herramientas tecnolgicas; por ejemplo, explora con ayudade herramientas tecnolgicas (calculadora o algn software) cul es el valormximo de la sucesinTrmino 2/3 4/5 5/6 30/31 100/101Valordecimal 0,500 0,6667 0,75000 0,80000 0,83333 0,96774 0,99009El estudiante nota que, a medida que los valores de la fraccin aumentan, el cocienteentre ellos se acerca a 1 y que concluyendo que, cuanto ms grande los valores deltrmino, ms cercana es la diferencia entre ellos, de manera que el cociente es casi 1. Resuelve por mtodos grficos una situacin problemtica mediante un sistemade inecuaciones lineales con dos variables; por ejemplo, ante el problema: Setiene S/. 140 soles para invertir en un mximo de 200 sndwiches, sabiendo que segana S/. 1 por cada pan con pollo y de S/. 0,50 por cada pan con huevo. Cuntossndwiches de cada tipo se deben vender para obtener el mximo beneficio?, elestudiante resuelve la situacin planteando sistemas de inecuaciones y usandomtodos grficos.5 En el comportamiento peridico se consideran las funciones trigonomtricas: seno, coseno y tangente. 38. 37x > 0y > 0x + y < 2000,5 x + y < 17018016014012010080604020y0,5 x + 1y = 170 Interpreta y representa modelos de funciones definidas en tramos; por ejemplo,dada una funcin definida en tramos, el estudiante la grafica considerando losdominios para la cual se encuentra definida.El estudiante responde escribiendo lasecuaciones que representan la grfica ydeterminando los dominios para la cualest definida.2x, -6 < x< 920 yx-5 0 5 15yx80006000400020000-40 -20 0 20 60-200040 39. 38Ejemplos de trabajos de estudiantesa) Antinflamatorio en el sistema circulatorioCOMENTARIOEl estudiante identifica que hay dos cantidades variables durante la toma del medicamento: lacantidad de antinflamatorio filtrado y la cantidad absorbido por el cuerpo de Olga. En base aestos criterios, elabora una tabla donde explora los cambios que se producen entre estas dosvariables; identifica dos tendencias a partir de la toma 7: que la cantidad de antinflamatorioabsorbido se acercar a 100 mg y que la cantidad filtrada se acerca a un valor constante. Estedesempeo evidencia su capacidad para identificar la convergencia de una sucesin y formularpredicciones a partir de los cambios observados en la situacin problemtica. 40. 39b) La rueda de la fortunaCOMENTARIOEl estudiante interpreta la situacin planteada al identificar las dos variables que cambian:el tiempo y la altura; asimismo, representa en el grfico cmo estas variables cambiandurante el desplazamiento de una de las sillas cuando gira la rueda de la fortuna. Se observaque coloca en el eje de las ordenadas dos puntos que corresponden con la altura mximade la rueda y su mitad, mientras que en el eje de las abscisas coloca el valor del tiempoen minutos. En ese sentido, el estudiante logra reconocer el comportamiento peridicode este movimiento al representar tres de sus ciclos y sealar algunos de sus elementos,aunque no considera la distancia entre el suelo y la canasta ms cercana. 41. 40GLOSARIO1. ARGUMENTARDar razones lgicas o matemticas que permitan sustentar, probar o demostrar la veracidad o falsedad deuna proposicin o idea planteada (Ministerio de Educacin, 2004, p.28).2. CLASIFICARDisponer un conjunto de datos o elementos en subconjuntos o clases de acuerdo a uno o varios criterios.Abarca la identificacin de propiedades de los objetos y la comparacin mediante el establecimiento dediferencias y semejanzas entre elementos. La clasificacin se distingue del simple agrupamiento en tanto queutiliza criterios que permiten incluir a todos los elementos dados en alguno de los grupos establecidos.3. COMPARAREstablecer una relacin entre los atributos cuantitativos o cualitativos que existe entre dos entes matemticosde un mismo conjunto o clase (Ministerio de Educacin, 2004).4. COMPROBARVerificar, confirmar la veracidad o exactitud de un objeto matemtico o situacin a travs de su concepto opropiedades.5. CONJETURAREs elaborar suposiciones o hiptesis acerca de la verdad o falsedad de una afirmacin, conclusin o resultadomatemtico a partir de indicios y observaciones.6. DESCRIBIRExplicar con detalle las caractersticas o condiciones en que presenta algn objeto matemtico usando ellenguaje oral (Adaptado del Diccionario de la Lengua espaola de Real Academia Espaola, 2012).7. EVALUARValorar o determinar el grado de efectividad de un conjunto de estrategias o procedimientos, a partir de sucoherencia o aplicabilidad a otras situaciones problemticas.8. ESTABLECER EQUIVALENCIASProceso que consiste en componer y descomponer un nmero, que puede llevarse a cabo de dos manerasdistintas (Ministerio de Educacin, 2009, p.5): Expresar un nmero natural compuesto por unidades de diferente orden del sistema de numeracindecimal, como las unidades, decenas y centenas. Esto corresponde a la primera fase en el desarrollode la comprensin del sistema de numeracin decimal, donde los nmeros se pueden ver bajo elesquema parte - todo, es decir, que un nmero est compuesto por otros nmeros. Expresar un nmero natural usando, mltiples composiciones de una cantidad adems de usar lasunidades convencionales; por ejemplo 64 = 50 + 14 se interpreta como 64 es igual que decir 5 decenasy 14 unidades, o tambin, 7 428 = 6M + 17C + 2D + 8U, as tambin expresar 64 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2. Estocorresponde a la segunda fase en el desarrollo de la comprensin del sistema de numeracin decimaly del sentido numrico.9. EXPLICARDescribir o exponer las razones6 o procedimientos seguidos para la solucin de un problema, exigiendo en elalumno establecer conexiones entre sus ideas.10. GENERALIZARIdentificar a partir de la observacin de casos particulares la regla general que describe el comportamientode, por ejemplo, una sucesin, una relacin entre variables o de alguna ley matemtica.11. IDENTIDAD ALGEBRAICASon igualdades algebraicas que se verifican para cualquier valor que tomen sus variables. Las identidadessuelen utilizarse para transformar una expresin matemtica en otra equivalente, particularmente para resolveruna ecuacin, por ejemplo, la ecuacin del binomio al cuadrado, la suma o diferencia de cubos, entre otras.6 El problema es que en la actualidad los objetivos de la mayora de los currculos matemticos se centran por completo en hacer y casi nada en explicar. Explicares la actividad de exponer las relaciones existentes entre unos fenmenos y la bsqueda de una teora explicativa, como la describe Horton (1967), citado enEnculturacin matemtica la educacin matemtica desde una perspectiva cultural, Alan Bishop, Paidos, 1999, Espaa. 42. 4112. IDENTIFICARDiferenciar los rasgos distintivos de un objeto matemtico; es decir, determinar si pertenece a unadeterminada clase que presenta ciertas caractersticas comunes (Hernndez, Delgado y otros, 1999).13. INTERPRETARAtribuir significado a las expresiones matemticas, de modo que estas adquieran sentido en funcin delpropio objeto matemtico o en funcin del fenmeno o problema real del que se trate. Implica tantocodificar como decodificar una situacin problemtica (Hernndez, Delgado y otros, 1999, pp. 69-87).14. MAGNITUDCaracterstica de un objeto o fenmeno que puede ser medida, como la longitud, la superficie, el volumen,la velocidad, el costo, la temperatura, el peso, etc.15. MODELARAsociar un objeto no matemtico a un objeto matemtico que represente determinados comportamientos,relaciones o caractersticas considerados relevantes para la solucin de un problema (Hernndez, Delgadoy otros, 1999, pp. 69-87).16. PATRN ADITIVOEs la secuencia de nmeros cuyo criterio de formacin es la suma o resta de un mismo valor a lo largo detoda la sucesin (Bressan, 2010); esta caracterstica determina que puedan ser crecientes o decrecientes;por ejemplo, 1, 3, 5, 7, 9, 11, o, tambin, 30, 25, 20, 15, 10, .17. PATRON MULTIPLICATIVOEs la secuencia de nmeros cuyo criterio de formacin es la multiplicacin o divisin de un mismo valora lo largo de toda la sucesin; esta caracterstica determina que puedan ser ascendentes o descendentes;por ejemplo, 4, 8, 16, 32, 64, 128,18. PATRN DE REPETICINEs la secuencia grfica o numrica donde dos o varios de sus elementos se presentan en forma peridica.(Bressan, 2010); por ejemplo, , , , , , , o tambin, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 19. REPRESENTARElaborar una imagen, grfico o smbolo visual de un objeto matemtico y sus relaciones empleando formasgeomtricas, diagramas, tablas, el plano cartesiano entre otros.20. RESOLVEREncontrar un mtodo que conduzca a la solucin de un problema matemtico, el cual puede estarenmarcado en diferentes contextos (Ministerio de Educacin, 2005).21. VARIABLEUna variable es un smbolo, habitualmente una letra, que puede ponerse en lugar de cualquier elementode un conjunto, sean nmeros u otros objetos. Las variables sirven para expresar regularidades y relacionesgenerales entre objetos de una manera eficaz.Usos principales de las variables en matemticas, descritas por Godino (2003): La variable como incgnita: Uso de la variable para representar el valor de un nmero u objetodesconocido que se manipula como si fuera conocido.Ejemplos: En la igualdad 4x + 2 = 3x +5, x representa al nmero 3. Las variables como indeterminadas o expresin de patrones generales. Uso de la variable paraexpresar enunciados que son ciertos para un determinado conjunto de nmeros. Ejemplo: Para todoslos nmeros reales se cumple que a.b = b.a. Las variables para expresar valores que varan conjuntamente. Uso de la variable para expresar unarelacin de dependencia entre dos magnitudes. Ejemplo:En la expresin y = 5x + 6, cuando cambia x tambin lo hace y. 43. 42REFERENCIAS BIBLIOGRFICASBRESSAN Ana Mara, GALLEGO Mara F. (2010)El proceso de matematizacin progresiva en el tratamiento de patrones,Revista Correo del Maestro, N 168, mayo de 2010. Consultado en abril 2012 en:http://www.gpdmatematica.org.ar/publicaciones/corre_maestro__matematizacion_progresiva.pdfBOSCH M, GARCA F, GASCN J, RUIZ L. (2006)La modelizacin matemtica y el problema de la articulacin de la matemtica escolar, un propuesta de lateora antropolgica de lo didctico. Educacin Matemtica, agosto, vol 18, nmero 002, Ed Santillana,distrito federal de Mxico. pp. 37-74. 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Esto implica un arduo trabajotcnico, por lo que requiere tiempo. Por ello, el IPEBAy el Ministerio de Educacin elaborarn y publicarnlos MAPAS de manera progresiva. Esta vez, se pone adisposicin de la comunidad educativa los MAPAS DEPROGRESO de Lectura, Escritura y Comunicacin oral(Comunicacin); y de Nmeros y operaciones, Cambioy relaciones, Geometra, y Estadstica y probabilidad(Matemtica). Ms adelante se tiene programadopublicar los mapas de Ciencia, Ciudadana y EducacinInicial.Usted puede encontrar este MAPA DE PROGRESO, ascomo las versiones ms recientes de los dems mapasque venimos elaborando, en la web: www.ipeba.gob.pe.Ah encontrar, adems, un espacio para compartir connosotros sus impresiones y aportes sobre estos mapas.