manual del alumno mate21

APUNTES MATEMÁTICA I

MATE21

INACAP

Ciencias Básicas

Vicerrectoría de Académica de Pregrado

2014

3

ÍNDICE

UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN………... 5

UNIDAD 2: VARIACIONES PROPORCIONALES………...………………………………..…... 80

UNIDAD 3: DESARROLLO ALGEBRAICO..………….………………….…………………..…132

UNIDAD 4: FUNCIONES REALES…...……..……..……………………………………..….…...242

4

PRESENTACIÓN

Estimado Alumno y Alumna, te damos la más cordial bienvenida a Matemática, asignatura lectiva del área formativa de Disciplinas Básicas, del área del conocimiento de Ciencias Básicas.

Matemática tiene dos propósitos fundamentales, primero nivelar a los alumnos de las áreas de Ingeniería en habilidades matemáticas necesarias para la vida, mediante estrategias de clase expositiva, solución de ejercicios y problemas y, segundo, contribuir en la formación técnica de los alumnos, mediante el desarrollo de destrezas que mejoren su desempeño profesional.

Para ello esta asignatura busca promover el desarrollo de la competencia genérica de resolución de problemas. Competencia que será desarrollada desde un punto de vista de la Didáctica de la Matemática.

La asignatura se realizará, a partir de experiencias de aprendizajes que involucren metodologías principalmente deductivas, donde tu rol es activo y participativo, y el del docente un mediador.

El presente texto, que INACAP pone a tu disposición, tiene los contenidos que sirven de base y apoyo a tus clases, y puede ser utilizado como material de consulta permanente.

Confía en tus capacidades, te deseamos mucho éxito.

UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN 5

Epitafio en la tumba de Diofanto

Transeúnte, ésta es la tumba de Diofanto: Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el

a necesidad de resolver problemas prácticos, científicos, filosóficos , artísticos o

matemáticos, ha impulsado al hombre a lo largo de la historia, a crear y desarrollar

la matemática. La actividad matemática involucra muchos más aspectos que solo

definir, enunciar o demostrar propiedades. Al enfrentar los problemas que dan origen al

conocimiento matemático, el hombre debió utilizar la intuición, la inventiva y la

experimentación, elementos fundamentales de la creación matemática, que quedan ocultos

en la exposición formal que habitualmente se nos presenta en los libros.

Para comprender mejor la esencia de la matemática, es necesario experimentar los procesos

inherentes a la resolución de problemas: recolectar información, descubrir relaciones,

plantear conjeturas, experimentar, probar, abstraer, generalizar, etc. Hablamos de ir más allá

de la ejercitación matemática y de los problemas aplicados, implica involucrase en

situaciones no rutinarias, que requieran explorar distintas estrategias y nuevos métodos de

solución.

La matemática debe proveer de conocimientos específicos para las aplicaciones futuras,

aunque en la práctica resulta muy difícil enseñar, aprender y recordar toda la matemática

que se requiere para el ejercicio de una profesión. Al desarrollar otro tipo de competencias,

como la resolución de problemas, se propicia la posibilidad de abordar las situaciones

problemáticas que se presentan en cualquier contexto, con la capacidad de razonar las

estrategias matemáticas para su solución.

UNIDAD 1

RESOLUCIÓN DE

PROBLEMAS Y ANÁLISIS

DE LA INFORMACIÓN

L

primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años más. De todo esto se deduce su edad.


PROGRAMA DE LA ASIGNATURA MATE21

UNIDAD 1

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

APRENDIZAJE ESPERADO

Obtiene información de gráficos y tablas relativas a situaciones del área de especialidad.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Recoge información en diversos tipos de gráficos realizando cálculos que permitan dar respuesta a una situación.

Realiza operatoria numérica propuesta en tablas que involucran regularidades numéricas.

Resuelve problemas que impliquen la interpretación de gráficos y tablas, comunicando sus resultados de manera efectiva.


Resuelve situaciones problemáticas cotidianas y contextualizadas a la especialidad en el entorno numérico

de los números racionales, con pensamiento crítico y comunicando sus resultados de manera efectiva.


Realiza operaciones aritméticas elementales en los sistemas numéricos.

Resuelve problemas en contextos diversos que involucran las cuatro operaciones aritméticas en el entorno numérico de los números racionales.

Explica, paso a paso y utilizando un lenguaje pertinente, la estrategia utilizada para resolver problemas dados, cotidianos y de la especialidad.


Resuelve problemas que involucren potencias y raíces reales, mediante propiedades y operatorias

elementales, comunicando los resultados de manera efectiva.


Aplica potencias de base 10 y exponente natural en situaciones diversas.

Plantea la solución a situaciones problemáticas relacionadas a crecimiento exponencial.

Resuelve problemas de la especialidad de modelamiento de potencias y raíces reales, comunicando los resultados de manera efectiva.


Introducción

¿Qué significa aprender matemática?

Habitualmente el aprendizaje de las matemáticas se visualiza como una

acumulación de pedazos de información (definiciones, propiedades y

procedimientos) que se deben dominar a través de la memorización y la

mecanización, una colección de conocimientos que esperan ser aplicados en

algún contexto.

Esta es la concepción predominante, que sin embargo recibe serios

cuestionamientos, ¿cuál es el sentido de aprender matemática por la

matemática, sin justificación ni contexto?, ¿es posible acumular

conocimientos matemáticos, con la vaga promesa de su utilidad futura?

Esta idea de las matemáticas se aleja de la esencia de la disciplina, la

creación del conocimiento, que se origina a partir de la necesidad de

resolver determinados problemas.

La matemática es una ciencia formal, dotada de estructura y razonamiento

deductivo, un lenguaje formal y criterios de rigurosidad. Sin embargo, este

es solo un aspecto de la matemática a desarrollar, el formalismo en realidad

debe ser considerado una meta del trabajo matemático, que tiene su punto

de partida en la intuición y la creación.

Desde esta perspectiva, aprender matemática se relacionaría con construir

y desarrollar las ideas de esta disciplina, vinculándose con los procesos,

tanto de creación, como de formalización del conocimiento matemático.

Este enfoque implica que el estudiante debe actuar como un matemático en

ciernes, que conjetura, experimenta, descubre, formula, prueba, generaliza,

etc. Una actividad con sentido que le permita apropiarse del conocimiento

matemático.

Desde esta visión, la resolución de problemas es fundamental en el

estudio de la matemática, sin embargo, antes de adentrase en la tarea de

resolver problemas es necesario plantear algunos aspectos que ameritan una

reflexión.

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIÓN

La conjetura de Fermat

El teorema de Pitágoras permite

asegurar que existen enteros x,

y, z, lados de un triángulo

rectángulo, que cumplen

2 2 2x y z

En 1640 Pierre Fermat,

generalizó la pregunta y la

respondió: Para todos los

enteros 2n no es posible

encontrar enteros x, y, z,

distintos de cero, tal que

n n nx y z

Fermat dijo haber encontrado

una demostración, que no pudo

mostrar por el pequeño espacio

del margen del libro donde

escribía.

El denominado último teorema

de Fermat permaneció sin

demostración durante más de

350 años, hasta que en 1995,

Andrew Wiles, quien dedicó

gran parte de su vida a este

tema, logró completar una

demostración.

Lo realmente importante del

“último teorema” no es su

demostración, sino que en su

búsqueda, se aportó de manera

significativa al desarrollo de la

aritmética y álgebra moderna.


Problema o ejercicio

La distinción entre ejercicio y problema depende de si se dispone de los

medios para resolverlo de forma inmediata o no. Muchos de los

“problemas de aplicación” que aparecen en los libros son en realidad

ejercicios, si después de comprender el enunciado del problema y reconocer

los datos y la incógnita, el método para resolverlo es alguna de las técnicas o

procedimientos vistos con anterioridad, se trataría solo de un ejercicio.

Problema 1: Supongamos que se construyen escaleras usando adoquines,

tal como se muestra en la siguiente figura:

a) ¿Cuántos adoquines se necesitan para una escalera de 10 peldaños?

b) ¿Cuántos adoquines se necesitan para una escalera de 100 peldaños?

¿Problema o ejercicio?

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIÓN

Ejercicio Problema

Situaciones rutinarias,

idénticas o muy similares a

otras que ya fueron resueltas.

Los métodos para resolverlos

son conocidos.

Situaciones no rutinarias. No

existe un camino inmediato o

evidente para su solución.

Es necesario explorar distintas

estrategias y nuevos métodos

de solución.

Admiten más de una estrategia

de solución.


Evidentemente, todos los problemas propuestos en este libro son

presentados para que intentes resolverlos por tu cuenta. Las soluciones y

estrategias que se muestran son necesarias para el tratamiento didáctico del

texto, sin embargo, se invita siempre a buscar otras formas de resolverlos.

Solución:

a) Podemos dibujar la escalera con los diez peldaños y contar los adoquines.

También es posible reconocer que cada peldaño es una más que el anterior,

por tanto la cantidad de adoquines en 10 peldaños es

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55

Esta parte resulta algo evidente y la estrategia es conocida, la suma término

a término del 1 al 10. Se trataría de un ejercicio.

b) El número de adoquines en 100 peldaños es igual a la suma

1 2 3 100

No tiene sentido práctico tratar de dibujar la escalera o intentar hacer la

suma término a término. Es mejor buscar otra estrategia. En tal caso nos

enfrentamos a un problema. Mostraremos luego algunas de las estrategias

que se pueden usar para resolver este problema.

Métodos generales y particulares

¿Cómo resolver problemas?

Algunos dicen que la única manera de aprender a resolver problemas

es…resolviendo problemas. Parece evidente, pero lo cierto es que es

mucho más complejo que eso.

Existe un dilema constante en la manera de abordar el aprendizaje de

estrategias de resolución de problemas. Por un lado, si un método es

demasiado específico y atañe a un contenido en particular, puede no ser

transferible a otros dominios. Por ejemplo, dibujar una figura puede servir

para resolver una serie de problemas, pero solo en un contexto o contenido

en particular. Por otro lado, si un método es muy general, no queda claro

cómo aplicarlo en los distintos dominios.

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIÓN


Esto acarrea la discusión de si es posible aprender a resolver problemas en

general o si solo se pueden estudiar los métodos de resolución ligados a

contenidos específicos.

Podemos adoptar aspectos de ambas posturas para intentar desarrollar la

habilidad de resolución de problemas. Esto es:

1. Es pertinente conocer los métodos generales de resolución de problemas,

ya que aunque no garantizan la solución de un problema, si pueden

ayudar a atacarlo.

2. Las estrategias están muy ligadas al contenido matemático involucrado y

la capacidad de transferir esas estrategias a otros dominios depende de la

experiencia con diversas situaciones en las que la estrategia se aplicó. Es

necesario revisar el contenido específico.

Método general de Pólya

Pólya (1945) identifica cuatro etapas en la resolución de problemas:

1. Entender el problema

2. Diseñar un plan

3. Ejecutar el plan

4. Examinar la solución

Un aspecto muy relevante para la resolución de problemas es la posibilidad

de establecer un control o monitoreo permanente de las acciones que se

están realizando, ¿qué estoy haciendo?, ¿me sirve para avanzar en la

solución?, ¿qué otra cosa puedo hacer?, ¿es correcta la solución que obtuve?

Las siguientes preguntas te ayudarán a monitorear cada una de las etapas,

además se expone algunas estrategias que pueden ser aplicadas en cada fase:

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIÓN


Estrategias de resolución de problemas

El siguiente es el listado de algunas de las estrategias que se utilizan para

resolver problemas matemáticos:

1. Descomponer el problema en subproblemas.

2. Resolver problemas más simples que sean de algún modo similar al

problema principal.

3. Usar diagramas o dibujos para representar el problema.

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIÓN

Entender el Problema

Diseñar un Plan

Ejecutar el Plan

Examinar la Solución

¿El problema es similar a otro visto antes?

¿Existe alguna propiedad matemática que sea

útil para este caso?

¿Puedo modificar algún método conocido para

aplicarlo en este caso?

¿Cuál es la incógnita?

¿Cuáles son los datos?

¿Cuáles son las condiciones del problema?

¿Las condiciones permiten determinar la

incógnita?

¿Es correcto cada uno de los pasos usados en

la solución?

¿El plan permite avanzar en la solución del

problema?

Reconocer datos e incógnita.

Representar el problema con

gráficos, diagramas o dibujos.

Pensar en un problema similar.

Simplificar el problema a casos

particulares.

Revisar cada paso.

Evaluar el plan propuesto.

¿Se puede comprobar la solución?

¿Se puede obtener el resultado de otra forma?

¿Se puede emplear el método usado en otro

problema? Resolverlo de otra forma para

comprobar la solución.


4. Examinar casos especiales para tener una idea del problema.

5. Buscar analogías.

6. Transferir el problema de un dominio a otro, por ejemplo resolver un

problema aritmético representándolo geométricamente.

7. Búsqueda por ensayo y error.

8. Método algebraico.

9. Método gráfico.

Esta lista no pretende, ni puede ser exhaustiva, existen muchas maneras,

algunas muy ingeniosas de resolver un mismo problema. Mostraremos con

ejemplos el funcionamiento de estas estrategias.

Retomamos el problema de la escalera de 100 peldaños.

Problema 2: Supongamos que se construyen escalas usando adoquines, tal

como se muestra en la siguiente figura:

¿Cuántos adoquines se necesitan para una escala de 100 peldaños?

Se discutió antes que el problema era equivalente a encontrar el valor de la

suma

1 2 3 100

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIÓN


Solución:

Estrategia 1: Descomponer el problema en subproblemas.

Agrupar en sumas parciales que sean más sencillas de calcular.

Si colocamos los números del 1 al 100 en un arreglo rectangular es posible

buscar sumas parciales que sean más simples de calcular. Por ejemplo,

descomponiendo los números de cada fila en decenas y unidades, el

resultado de cada fila es un múltiplo de 100 más 55:

Estrategia 2: Resolver problemas más simples que sean de algún modo

similar al problema principal.

Calcular la suma hasta un número menor y establecer la analogía con el

problema principal. Por ejemplo, ¿de qué otras maneras podemos sumar

números del 1 al 10?

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIÓN

55

100 + 55

200 + 55

300 + 55

400 + 55

500 + 55

600 + 55

700 + 55

800 + 55

900 + 55

4500 + 550 = 5050

10+1 10+2 10+3 10+4 10+5 10+6 10+7 10+8 10+9 10+10


a) Primera forma: sumando los extremos el resultado es siempre el mismo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5 veces 11

. 5 11 55

De la misma forma

1 2 3 98 99 100

50 veces 101

50 101 5050

b) Segunda Forma: Sumando dos veces y dividiendo luego por dos.

1 2 3 98 99 100

100 99 98 3 2 1

101 101 101 101 101 101

100 veces 101

Como esto representa el doble de la suma requerida se divide el resultado

por 2, esto es

100 1015050

2

Estrategia 3: Examinar casos especiales para tener una idea del problema.

Transferir el problema de un dominio a otro.

Representar el problema geométricamente como un cálculo de área.

Consideremos un caso particular, una escalera de 6 peldaños.

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIÓN


Con dos figuras iguales podemos formar un rectángulo

Con 6 peldaños se tiene un rectángulo de 6 7 , como la escalera es la

mitad, debemos calcular la mitad del área del rectángulo, es decir

6 721

2

Por tanto, con 100 peldaños se tendría un rectángulo de 100 101 y la

cantidad de adoquines de la escalera sería

100 1015050

2

Estos son algunos ejemplos de las estrategias que se pueden usar para

resolver un problema. En su tratamiento las etapas de la resolución de

problemas están implícitas, analicemos en general cómo podrían haber sido

planteadas:

1. Entender el problema:

¿Cuál es la incógnita? El resultado de la suma

¿Cuáles son los datos? Los números del 1 al 100

¿Cuáles son las condiciones del problema? Los adoquines se van sumando del

1 al 100.

Se utiliza el dibujo para comprender el tipo de suma involucrada.

2. Diseñar un plan:

¿El problema es similar a otro visto? Es una suma, pero la forma habitual de

sumar no es práctica en este caso.

¿Existe alguna propiedad matemática que sea útil para este caso? En la

suma de números naturales sucesivos, la suma de los extremos es constante. La

escalera representa la mitad de un rectángulo, por tanto la mitad su área.

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIÓN

6

7


3. Ejecutar el plan:

¿El plan permite avanzar en la solución del problema? Las sumas parciales

cumplen cierta regularidad que hace más fácil calcularlas. Sumar los extremos

permite llegar rápidamente al resultado. Visualizar el problema con la ayuda

de la geometría permite cambiar el problema de una suma a un cálculo de

áreas.

4. Examinar la solución:

¿Se puede comprobar la solución? Al resolverlo de más de una forma es

posible comprobar el resultado.

¿Se puede emplear el método en otro problema? En todos los problemas de

sumas sucesivas de números naturales.

En la medida en que se dispone de otros conocimientos matemáticos es

posible ampliar el abanico de métodos de resolución. El siguiente ejemplo

muestra la aplicación de otros métodos, aunque los conocimientos

específicos que se aplican en alguno de ellos aún no es expuesto en este

texto, su tratamiento intenta ser lo suficientemente general de modo de

apreciar su utilidad con las nociones de base de que dispongan.

Problema 3: Se sabe que en una competencia de motos y autos hay 19

conductores y que en total se pueden contar 60 ruedas, ¿cuántas motos y

autos hay?

Solución:

Estrategia 1: Usar diagramas o dibujos para representar el problema.

Dibujar las motos y autos aumentando o disminuyendo la cantidad de

acuerdo al número de conductores y ruedas.

8 motos 16 ruedas

+ 11 autos + 44 ruedas

19 conductores 60 ruedas

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIÓN


Estrategia 2: Ensayo y error.

a) Método de conteo: Inicial con cualquier número de motos y autos, por

ejemplo con 10 motos y 9 autos el total de ruedas son

20 36 56

Faltan cuatro ruedas, se comienza a variar el número de motos y autos hasta

coincidir con el total de ruedas.

b) Construir una tabla: Colocar todos los números de motos y autos en

una búsqueda exhaustiva, llevando el registro en una tabla:

Nº motos Nº autos Nº ruedas

19 0 38

18 1 40

17 2 42

16 3 44

15 4 46

14 5 48

13 6 50

12 7 52

11 8 54

10 9 56

9 10 58

8 11 60

Estrategia 3: Método algebraico.

a) Ecuación lineal: Se establece una incógnita y se plantea una ecuación.

Nº de motos: x

Nº de autos: 19 x

Nº de ruedas: 2 4 19x x

Como el número de ruedas tiene que ser 60, igualando la expresión anterior

a 60 se tiene la ecuación

2 4 19 60x x

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIÓN


Al resolver la ecuación se tiene

2 4 19 60

2 76 4 60

76 2 60

76 60 2

16 2

8

x x

x x

x

x

x

x

Por tanto, son 8 motos y 11 autos.

b) Sistema de ecuaciones lineales: Asignar letras a ambas incógnitas,

plantear y resolver el sistema de ecuaciones.

Nº de motos: x

Nº de autos: y

Nº de conductores: 19x y

Nº de ruedas: 2 4 60x y

19

2 4 60

x y

x y

Multiplicando la primera ecuación por 2 y sumando ambas ecuaciones se

tiene

2x 2 38

2

y

x

( ) 2 22 11

4 60y y

y

Luego 8x

Por tanto son 8 motos y 11 autos.

Estrategia 3: Método gráfico.

Graficar las ecuaciones del sistema de ecuaciones, el punto de intersección

entre las rectas es la solución.

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIÓN


No es necesario que la gráfica se haga “a mano”, podemos ocupar un

software grafico, por ejemplo en Geogebra (http://www.geogebra.org )

En la línea de entrada del software (esquina inferior izquierda) se deben

ingresar las ecuaciones 19x y y 2 4 60x y , el punto de intersección

es , 8,11x y , por tanto hay 8x motos y 11y motos.

Problemas Propuestos

Resuelve los problemas y después describe la estrategia utilizada,

respondiendo las siguientes preguntas: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son

los datos? ¿Cuáles son las condiciones del problema? ¿Cuáles son los

métodos utilizados? ¿Cómo verificaste que la respuesta es correcta?

1. Un piso se diseña colocando mosaicos negros y blancos como se muestra

en la siguiente figura:

¿Cuántos mosaicos blancos se deben colocar en un piso de 100 mosaicos

por lado?

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIÓN

http://www.geogebra.org/


2. ¿Cuál es el valor de la suma de números impares 1 3 5 101 ?

Ayuda: Mira la siguiente figura y descubre la relación que hay entre la suma de impares

y el área de cuadrados:

3. Colocar los números del 1 al 9 en el “cuadrado mágico”, de modo que la

suma de las filas sea igual a la suma de las columnas e igual a la suma de las

diagonales:

4. Utiliza el resultado del problema anterior para responder la siguiente

pregunta: Dos jugadores A y B seleccionan alternadamente una ficha en

cada turno. El primer jugador que logre juntar 3 fichas que sumen 15 es el

ganador. ¿Existe una estrategia que permita ganar el juego? ¿Cuál debe ser

el número que necesariamente debe ser elegido para tener la posibilidad de

ganar?

5. Determine los símbolos que siguen en la secuencia: …..

6. Una obra contrata a 1 trabajador el primer día, dos el segundo, tres el

tercero y así continua contratando un trabajador por día, ¿después de

cuántos días se han contratado un total de 465 trabajadores?

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIÓN


7. ¿Cuántos cuadrados existen en un tablero de ajedrez?

Ayuda: Comienza con casos particulares y separando el problema, contando

cuadrados de lado 1, 2, 3, etc. Por ejemplo, cuenta cuántos cuadrados de

lado 1, 2 y 3 hay en este tablero y súmalos:

8. Se tiene una jarra de 8 litros de agua, otra de 5 y otra de 3, ¿de qué

manera, utilizando las jarras, se puede obtener 4 litros de agua?

9. Tres viajeros se hospedan en un hotel y pagan $10.000 cada uno, (o

$30.000 en total). Después, el dueño del hotel se da cuenta de que les ha

cobrado incorrectamente. Le pide a su ayudante que les regrese $5.000. El

ayudante se da cuenta de que no puede dividir $5.000 entre los tres y decide

darles $1.000 a cada viajero y quedarse con los $2.000 restantes. Así el costo

del hospedaje fue de $9.000 por cada viajero, ($27.000 en total). Los

$27.000 pagados por el cuarto más los $2.000 que el ayudante tomó son

$29.000. Sin embargo, los viajeros pagaron $30.000 originalmente. ¿Qué

pasó con los $1.000 faltantes?

10. Coloca en los círculos los números del 1 al 9 sin repetir de modo que la

suma sea igual a 20:

11. Un cubo de madera que mide 10 cm por lado se pinta rojo. El cubo

pintado se corta en cubos pequeños de 2 cm por lado. ¿Cuántos cubos de 2

cm por lado no tienen pintada ninguna cara?

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIÓN


Aunque se ha visto que es posible resolver los problemas por métodos,

como el ensayo y error, que no requieren un conocimiento matemático

específico, la posibilidades de aplicarlo en todos los casos se va reduciendo

en la medida en que las aplicaciones lo requieren. Se debe profundizar en la

matemática para ampliar el ámbito de problemas que se pueden resolver o

contar con métodos de resolución más eficientes.

Números

La aritmética es la ciencia de los números. La noción de número surgió

inicialmente ante la necesidad práctica de contar, ordenar y medir, lo que

dio origen a los conceptos de número natural y racional. Pero otros tipos de

números, como los irracionales, los números negativos y los complejos,

surgen en ámbitos matemáticos, como abstracciones que toman distancia

de la idea de cantidad, lo que les valió una larga lucha por su legitimidad

como números.

Es necesario entender que los números son esencialmente una abstracción

y que en algunos casos no es posible justificar su funcionamiento a través

de modelos concretos. Es lo que ocurre con los números negativos, ¿por

qué ( ) ( ) ( ) ?, habitualmente se asume el modelo de las deudas y

ganancias para justificar el funcionamiento aditivo de los números enteros,

así ( ) ( ) ( ) porque la suma de dos deudas es también una deuda.

Pero esa interpretación no es aplicable para el caso de la multiplicación, ya

que el producto de dos deudas no puede ser una ganancia, que es lo que se

desprende al aceptar la regla de signos ( ) ( ) ( ) .

Los números negativos, reciben su nombre por el estatus de negación que

tuvieron durante mucho tiempo. La visión de la matemática que

predominaba hasta antes del siglo XIX exigía una relación directa con la

realidad, que no tenían los números negativos, que venían a reflejar

cantidades menores a cero. Sin embargo, los números negativos eran

necesarios para resolver cierto tipo de ecuaciones. Para que los negativos

fueran aceptados como números fue necesario que la matemática se

convirtiera en una ciencia abstracta, que no busca su justificación en el

mundo real.

ARITMÉTICA


Números Naturales

El matemático alemán Leopold Kronecker afirmaba que “Dios creó los

números naturales y el resto lo hizo el hombre”, como una clara

descripción de lo fundamental de los números naturales.

Para formar el conjunto de los números naturales ℕ se debe adicionar el 0 a

los números 1, 2, 3,… que utilizamos para contar.

ℕ = {0,1,2,3, … }

De los números naturales se puede decir que:

- Tienen un primer elemento: el 0.

- Todos los números naturales tienen un sucesor: Cada natural n

tiene un sucesor 1n . El 1 actúa como un generador.

- Es un conjunto que no tiene fin.

Por la importancia de base que tienen los números naturales para el resto de

la matemática es necesario invertir un tiempo en revisar algunos conceptos

claves.

Los naturales se pueden separar en pares e impares.

0,2,4,6,....Pares

1,3,5,7,....Impares

Los pares son los múltiplos de 2 y los impares el resto, todos ellos

sucesores de un par. Esto permite representar a los pares de la forma 2n y

a los impares como 2 1n .

Orden: Sean a y b dos números naturales, se dice que a es menor a b ,

esto es a b , si existe otro número natural c tal que

a c b

Por ejemplo, ¿por qué 2 5 ?, porque existe 3 ∈ ℕ tal que 2 3 5 .

ARITMÉTICA


Divisores y Múltiplos:

Sean m y n dos números naturales, se dice que m es divisible por n , 0n ,

si existe otro número natural p tal que

m n p

También se dice que n es divisor de m o que m es múltiplo de n.

Por ejemplo,

¿Por qué 6 es divisible por 3?, porque existe 2 ∈ ℕ tal que 6 3 2 .

Entonces se dice que 3 es divisor de 6 o que 6 es múltiplo de 3.

Propiedad: Todo número tiene al menos dos divisores, el 1 y sí mismo.

Números primos:

Aquellos números, distintos de 1, que tienen como divisores al 1 y a sí

mismo, se denominan números primos.

2,3,5,7,11,13,17,19,23,....Primos

Descomposición en factores primos:

Todo número natural o es primo o se puede escribir como producto de

números primos, lo que se conoce como “descomposición en factores

primos”, que se obtiene dividendo de forma reiterada.

Por ejemplo: descomponer 60 en factores primos.

En la tabla vamos haciendo la división por números primos comenzando

con el 2.

Por tanto, 60 2 2 3 5

ARITMÉTICA

60 2

30 2 15 3 5 5 1


Problema 4: Encontrar dos números enteros positivos cuyo producto sea un

millón y ninguno de los dos números incluya ceros en su representación

Solución:

Aunque puede haber varias formas de resolver este problema, los métodos

que buscan la solución por “tanteo” no resultan muy efectivos. La

aplicación de un conocimiento específico, como lo es la descomposición en

factores primos puede ser de más ayuda. En efecto, al descomponer se

tiene que

Por tanto 1000000 2 2 2 2 2 2 5 5 5 5 5 5

Otras aplicaciones de la descomposición en factores primos

Obtención de divisores: Para obtener todos los divisores de un número,

basta descomponerlo y hacer todas las combinaciones posibles entre

factores, cada una de ellas será un divisor. Por ejemplo, encontrar todos los

divisores de 60:

Por tanto, 60 2 2 3 5

ARITMÉTICA

1000000 2

500000 2

250000 2

125000 2

62500 2

31250 2

15625 5

3125 5

625 5

125 5

25 5

5 5

1

Podemos obtener dos números cuyo producto sea

1000000 separando y multiplicando dos grupos de

factores primos. Para que no aparezcan 10 y por

tanto ceros en su representación, separaremos en

grupos que solo contienen 2 y otro que solo

contiene 5, de esa forma

1000000 64 15625

60 2

30 2 15 3 5 5 1

ARITMÉTICA


Los divisores serían:

1

2

3

5

2 2 4

2 3 6

2 5 10

3 5 15

2 2 3 12

2 2 5 20

2 3 5 30

2 2 3 5 60

Simplificación de fracciones: En aritmética las fracciones se pueden simplificar buscando un divisor en

común para el numerador y el denominador o descomponiendo en factores primos. La ventaja de lo

segundo es que ese método de simplificación es transferible a las fracciones algebraicas que se verán

después. Por ejemplo, simplificar la fracción:

3528

5292

La descomposición en factores primos es

3528 2 2 2 3 3 7 7

5292 2 2 3 3 3 7 7

Luego la fracción es 3528 2 2 2 3 3 7 7

5292 2 2 3 3 3 7 7

los factores iguales se simplifican obteniendo

3528 2

5292

2 32 3 7 7

2 2 3 3 73 7

2

3


Estructura algebraica de los naturales

Cuando trabajamos con los números naturales, en realidad involucramos

más que solo el conjunto de números, le asociamos operaciones que nos

permiten trabajar con ellos. En ese sentido, lo relevante es el sistema que

forma el conjunto ℕ y las operaciones definidas en ese conjunto, suma y la

multiplicación, lo que entendemos como el sistema numérico de los

naturales, que se denota por

(ℕ,+,⋅)

¿Qué propiedades cumplen estas operaciones en los naturales? Es una

pregunta de la mayor importancia, ya que son la base sobre la cual se

construye el resto de la matemática. Su comprensión permite reconocer lo

que se puede y no se puede hacer matemáticamente.

Para todo 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ se cumple:

Asociatividad: ( ) ( )a b c a b c

( ) ( )a b c a b c

Conmutatividad: a b b a

a b b a

Elementos neutros: Existe 0 ∈ ℕ, tal que 0 0a

Existe 1 ∈ ℕ, 1 0 , tal que 1a a

Distributividad: ( )a b c a b a c

La suma y multiplicación son operaciones binarias, la asociatividad expresa

que para sumar tres números se debe asociar de dos en dos cada vez. La

conmutatividad establece que no importa el orden en que se realiza la suma

o multiplicación, el resultado es el mismo. El 0 es el único número natural

que actúa como neutro para la suma, lo mismo para el 1 y la multiplicación.

La distributividad de la multiplicación sobre la suma es la propiedad que

muestra que es posible separar en la suma de productos.

ARITMÉTICA


Prioridad en las operaciones aritméticas y uso de paréntesis

Los paréntesis son recursos del lenguaje matemático que se utilizan para

explicitar el orden en que realizaran las operaciones en una expresión

matemática. Generalmente, los problemas aritméticos no requieren el uso

de paréntesis, el enunciado del problema permite entender el orden en que

se debe realizar las operaciones. A veces nos limitamos a colocar los

resultados parciales de esas operaciones. Por ejemplo:

Problema 5: Gabriel piensa un número, le suma 25, divide el resultado

entre 2, resta 8 y lo multiplica todo por 3. Si al final obtiene 21, ¿qué

número pensó?

Solución:

Devolviéndonos en el razonamiento la descripción verbal del problema

sería:

Si al final tenía 21

Antes de multiplicar por 3 tenía 7

Antes de restarle 8 tenía 15

Antes de dividir entre 2 tenía 30

Antes de sumar 25 tenía 5.

Como se ve no fue necesario escribir las operaciones ni colocar paréntesis

para definir el orden en que se realizarían. Lo que constituye una forma

habitual de proceder en aritmética.

Sin embargo, la falta aparente de una necesidad real de trabajar con

paréntesis o incluso de escribir las operaciones en los problemas aritméticos

provoca problemas en el cálculo y en el tránsito hacia el álgebra. Si se cree

que los paréntesis o los signos operatorios son solo una convención que

exige el profesor, que en realidad no son necesarias, se puede llegar a

cometer errores, que en aritmética parecen solo de forma, pero que son de

fondo cuando queremos trabajar en álgebra. Por ejemplo, es habitual que el

problema anterior sea escrito de la siguiente forma

21:3 7 8 15 2 30 25 5

ARITMÉTICA


El error está en que ninguna de las partes entre los signos = son realmente

iguales. Es un uso incorrecto del signo igual. El = no es un signo para

expresar “aquí está el resultado”, es una relación de equivalencia, debe

cumplirse que ambas partes sean iguales. Esto es fundamental para

entender luego como resolver ecuaciones.

Problema 6: Construye los dígitos del 0 al 9 utilizando sólo cuatro veces el

número 4. Solo puede ocupar las 4 operaciones aritméticas básicas.

Considera los siguientes ejemplos:

0 4 4 4 4

4 41

4 4

Solución:

Dejaremos la tarea de resolver completo el problema y nos acotaremos a

mostrar los errores cometidos al no usar los paréntesis.

Supongamos que queremos formar el número 6, sumando dos veces el 4,

dividiendo luego por 4 y finalmente sumado otro 4. ¿La respuesta correcta

será entonces 4 4: 4 4 ?

Al no tener paréntesis la pregunta es en qué orden se resuelve la expresión

aritmética, ¿en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha o hay una

prioridad que respetar?

Si colocamos esta expresión en la calculadora científica el resultado será 9,

significa que no es en el orden en que se muestran, hay una prioridad.

Prioridad de las operaciones aritméticas

1º Paréntesis: Se resuelven de adentro hacia fuera.

2º Multiplicación y divisiones: De izquierda a derecha. Si solo se trata de

multiplicaciones, por asociatividad y conmutatividad, la multiplicación se

realiza en cualquier orden.

ARITMÉTICA


3º Sumas y restas: De izquierda a derecha. Si solo se trata de sumas, por

asociatividad y conmutatividad, la suma se realiza en cualquier orden.

Por ejemplo:

a) 4 4: 4 4

4 1 4

9

b) 5 2 1 6: 2 1 8: 2 2

5 2 1 6 :3 4 2

5 2 1 2 8

5 2 3 8

5 6 8

11 8

3

Volviendo al problema de los cuatro 4, el objetivo era formar el 6. Se

requiere usar paréntesis. En efecto

4 4 : 4 4 6

Ejercicios y Problemas Propuestos:

1. Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) 2 6: 2 3 6 2:3 1

b) 6 2 4 4 : 2 7

c) 2 2 2 2 2 2: 2

d) 1 2 2 1 2 2 2: 2 2

ARITMÉTICA


2. Coloca los paréntesis donde corresponda para que las siguientes

expresiones tengan los resultados que se indican. Usa los paréntesis

estrictamente necesarios:

a) 2 5 1 12

b) 6 2 1 4: 2 7

c) 12:3 2 2 1

d) 16:4 4 16:4 2 12

3. Un empleado de un taller mecánico se le paga $6000 por hora si trabaja

15 horas a la semana. Si trabaja más de 15 horas, cada hora extra se paga al

valor normal más la mitad. ¿Cuántas horas debe trabajar para ganar

$135.000 durante una semana?

4. ¿Cuáles son todos los divisores de 126? Usa descomposición factores

primos.

5. Se debe llenar una bidón de 72 litros, ¿qué medidas puede tener el jarro

que lo llena de forma exacta?

6. Un libro se abre al azar. El producto de los números de las páginas

donde se abrió es 3192. ¿Cuáles son los números de las páginas en que se

abrió el libro?

7. ¿Cuáles son las últimas tres cifras de 1234567895 ?

8. ¿Cuál es la última cifra de 5877 ?

Ayuda: Comienza con casos más simples y descubre la regularidad

9. En una caja hay el doble de monedas que en otra. Si se extraen 7

monedas de la primera y se depositan en la segunda caja, en ambas queda el

mismo número de monedas ¿Cuántas monedas tenía al principio cada caja?

10. Una prueba tiene 40 preguntas. El puntaje corregido se calcula de la

siguiente manera: “Cada 3 malas se descuenta 1 buena y 3 omitidas

equivalen a 1 mala”. ¿Cuál es el puntaje corregido si un estudiante obtuvo

15 malas y 9 omitidas?

ARITMÉTICA


Números Enteros

Si al conjunto de los números naturales adicionamos los números negativos

obtenemos el conjunto de los números enteros:

ℤ = {… ,−3,−2, −1,0,1,2,3,… }

Los números negativos aparecen por primera vez en la India, siglos VI d.C

y se empleaban para necesidades contables, mientras los positivos

representaban los bienes, los negativos representaban las deudas. Sin

embargo, el camino para su aceptación como números fue largo. En un

mundo en que los números estaban estrechamente relacionados con la

magnitud se cuestionaba la existencia de una medida que fuera menos que

0.

En realidad los números enteros, a diferencia de los naturales, no solo

expresan medida, además establecen un sentido respecto de un punto de

referencia. Ese punto es el cero. El cero no representa la ausencia de

cantidad, así como tampoco se podría asociar el 0 en grados Celsius con

ausencia de temperatura, que solo es el valor donde el agua se congela. De

ese modo – 5 y el 5 indican, en ambos casos, que hay 5grados Celsius, una

medida, pero en sentidos opuestos, por debajo y por encima del punto de

congelación.

Decir que un número negativo es el que está a la izquierda del cero no es

completamente exacto, lo es solo para la representación clásica de la recta

numérica, que sin embargo, no es más que eso, una entre muchas

representaciones posibles. Por ejemplo, si tomáramos el modelo de las

temperaturas, los negativos no estarían a la izquierda sino por debajo del

cero. Lo cierto es que no se puede definir en esos términos ni justificar sus

propiedades con la interpretación gráfica.

Lo que realmente importa en los enteros es que para todo número 𝑎 ∈ ℤ

existe un único número (−𝑎) ∈ ℤ tal que

0a a

Se dice que a es el opuesto o inverso aditivo de a .

ARITMÉTICA


Un número entero tiene por tanto, magnitud, dada por el valor absoluto y

sentido, dado por el signo. El número 3 tiene valor absoluto 3 3 y signo

positivo, mientras que el – 3 tiene valor absoluto 3 3 y signo negativo.

Como se ve, ambos números tienen la misma magnitud, pero en sentidos

opuestos:

Los números enteros deben cumplir las mismas propiedades que los

naturales, además de la propiedad del inverso aditivo. El sistema numérico

de los enteros (ℤ,+,∙) tiene la siguiente estructura:

Asociatividad

Conmutatividad

Elementos neutros

Distributividad

Inverso aditivo

Como consecuencia de estas propiedades básicas, se obtiene algunas cosas

conocidas, por ejemplo que 0 0a . Además, es posible definir la resta

como una suma, esto es:

a b a b

Es decir, la resta de dos enteros es la suma del primer término por el

inverso aditivo del segundo.

Por ejemplo,

a) 3 5 3 5

b) 2 6 2 6

ARITMÉTICA


No es necesario por tanto definir una regla de signos para la resta, basta la

de la suma. La regla de signos para la suma y la multiplicación se pueden

justificar con las propiedades descritas anteriormente. No es necesario

recurrir a metáforas como la de “los amigos y enemigos”, que además de

ocultar la matemática involucrada, no es cierta, ¿quién puede asegurar que el

enemigo de mi enemigo es mi amigo?

Regla de la adición

Para explicar esta regla conviene utilizar un modelo concreto, supongamos

que los números positivos están representados por fichas azules y los

negativos por fichas rojas. Por la propiedad del inverso aditivo, debe ocurrir

que igual número de fichas azules y rojas se anulen entre sí, esto es

0a a . Veamos que pasa al sumar números enteros de igual signo:

3 2 5 + =

3 2 5 + =

Para la suma de enteros de igual signo se suman los valores absolutos y se

mantiene el signo.

Ahora veamos lo que sucede al sumar enteros de distinto signo:

5 2 + =

5 3 + =

La suma de enteros de distinto signo implica la resta de los valores

absolutos, manteniendo el signo del mayor. Más allá de aprenderse esta

regla de memoria basta aplicar las propiedades, descomponiendo el número

para que aparezca el inverso aditivo, esto es

5 + (−2) = 3 + 2 + (−2) = 3

−5 + 3 = −2 + (−3) + 3 = −2

ARITMÉTICA


Regla de la multiplicación

La regla de signos de la multiplicación es

El producto de signos iguales es positivo y el producto de signos distintos es

negativo.

Aceptamos como obvia la regla . A partir de ello justificaremos

el resto, evidenciando la contradicción matemática que implicaría no aceptarlas

como ciertas, utilizaremos algunos ejemplos.

Supongamos que no es , esto es suponer que , por

tanto 2 3 6 , si aplicamos esto en la siguiente expresión tendríamos

2 3 3 2 3 2 3 6 6 12

Pero la misma expresión puede ser resuelta de esta otra forma

2 3 3 2 0 0

Esto implica que 12 0 , una contradicción evidente. Por tanto, como esto un

puede ocurrir, no queda más que aceptar que .

Del mismo modo se puede negar que y llegar a una

contradicción similar, que obligaría aceptarla como cierta.

ARITMÉTICA


Orden en ℤ

¿Por qué 6 2 ?

El argumento que señala que 6 2 porque 6 está a la izquierda

de 2 no es suficiente, ya que se sustentan en la representación arbitraria

de la recta. Tampoco es correcto justificarlo diciendo que 6 está más

lejos del cero que 2 , ya que el 8 está aún más lejos del cero y no es

menor que 2 . Todas estas interpretaciones no tienen base matemática.

Para afirmar que 6 2 hay que recordar que para los naturales se

decía que a b , si existe otro número natural c tal que a c b . Si

extendemos esta definición a los números enteros tendríamos que

Si 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, entonces: a b , si y solo si existe 𝑐 ∈ ℤ tal que a c b

Ahora sí, ¿Por qué 6 2 ?

Porque existe 4 ∈ ℤ tal que 6 4 2

Ejercicios y Problemas Propuestos

1. Calcule:

a) 7 2

b) 9 3

c) 6 3

d) 2 5

e) 2 5

f) 1087532

g) 1 1 1 1 1

ARITMÉTICA


h) 9634523

i) 35 5 14 60:15 16: 4 3 29 7

2. Un avión sube a 5800 metros sobre el nivel del mar, baja 1200 metros y

luego vuelve a subir a 580 metros. Si para aterrizar debe descender 4900

metros, ¿a qué distancia del nivel del mar aterrizó?

3. Un clavadista olímpico se lanzó verticalmente desde una plataforma de

12 metros de altura. Al tocar el fondo de la piscina había recorrido 18

metros. ¿Qué profundidad tiene la piscina?

4. Un emperador nació el año -x a.C y murió el año y -23 a.C, ¿cuál es la

expresión que representa la cantidad de años que vivió? Escoja una

alternativa y justifique matemáticamente:

a) 23-x b) x-23 c) –x-23 d) -23+x

5. Si el antecesor de x es – 4 y el sucesor de y es 0, ¿cuál es el sucesor de

y x ?

6. Rellena las casillas en blanco con números enteros, de modo que la suma

de las filas sea igual a la suma de las columnas e igual a la suma de las

diagonales:

7. Justifica matemáticamente:

a) ¿Por qué 4 1 ?

b) ¿Por qué 4 9 ?

c) ¿Por qué 4 1 ?

d) ¿Por qué ?

–4 4

1

0

ARITMÉTICA


Números Racionales

Fracciones

Los números naturales son abstracciones que permiten contar colecciones

finitas de objetos. Pero en lo cotidiano no basta solo con contar, también se

necesita medir cantidades, tales como peso, tiempo, distancia, longitud,

área, volumen, etc.

Cuando una cantidad no se puede medir “exactamente” con la unidad de

medida utilizada (metro, minutos, kilogramos, litros, según sea el caso), se

subdivide la unidad original en n partes iguales, cada una de las partes se

denota por

1

n

De ese modo es común subdividir el metro en 100 partes iguales

denominadas centímetros o el minuto en 60 partes iguales llamadas

segundos. Si una cantidad dada contiene exactamente m de estas

subunidades, su medida se denota con la fracción

m

n

Donde m es el numerador y n es el denominador.

Problema 7: Encontrar la medida de la longitud de un tornillo, usando

como unidad de medida la pulgada.

ARITMÉTICA


Solución:

Habitualmente se utilizan fracciones para expresar la medida de los

tornillos. Para medir el largo se divide la pulgada en partes iguales (2, 4, 8,

16 o 32 partes).

En este caso se hace una subdivisión en 8 partes, de las que el tornillo

alcanza a cubrir exactamente 5, se dice por tanto que la medida del tornillo

es 5/8 de pulgada.

Los significados de las fracciones

Las fracciones pueden adquirir distintos significados, de acuerdo al

fenómeno que estén caracterizando. Ampliar este conocimiento permite

identificar el significado que se le debe asignar a las fracciones en un

determinado problema y tratarlas adecuadamente. Revisaremos algunos de

esos significados:

1. Fracción como parte de un todo

Un “todo” se divide en partes iguales

m

n

a) Parte todo continuo:

El todo continuo tiene relación con objetos o situaciones de medición

(área, volumen, longitud, tiempo etc. El todo acepta las subdivisiones que

se deseen.

Longitud Área Volumen

Las partes deben tener la misma medida (longitud, área, volumen, etc.)

ARITMÉTICA

Numerador: partes que se están considerando

Denominador: partes en que dividió el “todo”

considerando

1

3

3

4 2

5 1

4


b) Parte todo discreto:

El todo discreto está asociado a situaciones de conteo. El todo

corresponde a un conjunto de elementos, de los cuales se consideran o

seleccionan un subconjunto de ellos.

Fracción de círculos rojos

2. La fracción como operador En este caso la fracción actúa sobre un número o magnitud,

multiplicándose con ella.

Por ejemplo, Se pintan 5

8 de una pared de 32 mt2.

5

8 de 32 es equivalente a

532 20

8

Otro ejemplo, se calcula que en una reducción de personal de una empresa

se despedirá a 2

7 de los empleados, de los cuales

5

8son hombres. Si en la

empresa trabajaban 168 empleados, ¿cuántos hombres serán despedidos?

Se debe calcular 5

8 de

2

7 de 168, esto es,

5 2168 30

8 7

3. La fracción como razón La fracción puede representar la comparación entre dos cantidades.

Por ejemplo, la fracción 2

9 puede representar la razón entre artículos

defectuosos y artículos buenos.

ARITMÉTICA

3

7


4. La fracción como resultado de una división Este significado está relacionado con la fracción que expresa el resultado de la división de dos números naturales o en un contexto concreto situaciones de reparto equitativo. Por ejemplo, si se quiere repartir 3 cervezas entre 5 amigos, la parte que le

toca a cada uno es 3

5.

Problema 8: El control de calidad revisa 1/4 de los artículos de una línea

de producción en el primer turno y la mitad del resto en el segundo turno.

Si en total se revisaron 400 artículos, ¿cuántos quedaron sin revisar?

Solución:

Procedimiento 1: Uso del significado de parte todo continuo de las

fracciones.

Supongamos que el total de artículos de la línea de producción está

representado por un rectángulo

En el primer turno se revisa 1

4

En el segundo turno se revisa 1

2 del resto. El resto son tres partes, que

podemos volver a subdividir en 6 para tomar la mitad de ellas, es decir 3 de

esas partes

ARITMÉTICA


Se observa que la cantidad de artículos revisados corresponde a 5

8 del total

Como los 5

8 corresponden a 400 artículos, cada parte son 80 artículos.

Por tanto, quedan 3 80 240 artículos sin revisar.

Procedimiento 2: Uso del significado fracción como operador.

Nº total de artículos: x

Primer turno se revisa: 1

4

Quedan 3

4

Segundo turno se revisa la mitad de lo que queda: 1 3 3

2 4 8

Se revisan en total: 1 3 5

4 8 8

5

8del total corresponden a 400, se plantea la ecuación

5400

8x

Resolviendo la ecuación se tiene que el total de artículos es

5400

8

400 8

5

640

x

x

x

ARITMÉTICA


Por tanto, la cantidad de artículos sin revisar es

640 400 240

Fracciones equivalentes

Se dice que las fracciones a

b y

c

d son equivalentes si y solo si a c b d .

Por ejemplo:

2

3 y

6

9 son equivalentes porque 2 9 3 6

Se pueden obtener fracciones equivalentes amplificando o simplificando:

Amplificar: Multiplicar numerador y denominador por un mismo número

2

2

3 3 6

5 5 10

fracción equivalente, amplificando por 2.

Simplificar: Dividir numerador y denominador por un mismo número

: 3

: 3

12 12 4

15 15 5 fracción equivalente, simplificando por 3.

Para trabajar con las fracciones, muchas veces es conveniente trabajar con

la fracción equivalente más simple. Las fracciones que no se pueden

simplificar reciben el nombre de fracciones irreductibles.

Por ejemplo, determinaremos la fracción irreductible de 36

24.

: 3 : 2 : 2

: 3 : 2 : 2

36 12 6 3

24 8 4 2

ARITMÉTICA


Fracciones propias e impropias

Las fracciones que representan una parte de la unidad se denominan

propias, mientras que las que representan a un entero más una parte de la

unidad se denominan fracciones impropias.

3 2 7, ,

4 5 8 son fracciones propias (numerador menor que el denominador)

7 9 14, ,

5 4 3 son fracciones impropias (numerador mayor que el denominador)

Las fracciones impropias siempre pueden ser escritas como la suma de un

entero más una fracción propia, a través del algoritmo de la división. Por

ejemplo:

14 4:32

214

3 34

Las fracciones impropias describen lo que se conoce como números

mixtos, números que son la suma de un entero más una fracción propia,

cuya notación es

14 2 24

3 3 34

Un error usual es pensar que entre el entero y la fracción del número mixto

hay una multiplicación, hay que tener presente que se trata de una suma, la

multiplicación es solo una parte del procedimiento involucrado al

transformar de número mixto a fracción, que justificaremos más adelante.

5 5 263

7 7 73

ARITMÉTICA

+


Sistema de los números racionales

Más allá de los significados concretos de las fracciones y su utilidad en el

proceso de medir, a

b representa a un tipo de número, denominado número

racional.

Estos números están formados por la razón entre dos enteros a y b, con

0b , que se denotan por

ℚ = {𝑎

𝑏: 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, 𝑏 ≠ 0}

El uso de la palabra número, que originalmente solo hacía referencia a los

números naturales, se justifica en los otros conjuntos numéricos porque

siguen cumpliendo las mismas propiedades para la suma y la multiplicación

de los naturales. El sistema (ℚ,+,∙) cumple:

En el sistema de los racionales se agrega la propiedad del inverso

multiplicativo, esto es:

Para todo 𝑎 ∈ ℚ, con 0a , existe un número 𝑎−1 =1

𝑎∈ ℚ, tal que:

1 1a a o lo que es lo mismo 1

1aa

Por ejemplo, el inverso multiplicativo de 2 es 1 12

2

, ya que

1 12 2 2 1

2

ARITMÉTICA


Nótese que el 0 no tiene inverso multiplicativo, esto es no existe 1 10

0

.

El inverso multiplicativo de una fracción a

b es

b

a, en efecto

1

1a a a b ab

b b b a ab

A partir del inverso multiplicativo es posible definir la división, como el producto de un número por el inverso multiplicativo del otro.

Definición: Se dice que a está dividió por b, con 0b , cuya notación es a

b

o :a b si

1aa b

b

Nuevamente, es necesario mencionar que al no existir el inverso

multiplicativo de 0, tampoco se puede dividir por 0.

Por la frecuencia con que se presenta los errores de la división por cero,

nos detendremos un instante en ello.

¿Cuál es la diferencia entre estas expresiones? 0

2,

2

0y

0

0

Se ha dicho que no está definida la división por cero, sin embargo existe

una diferencia en estas expresiones que podemos comentar. Supongamos

que tratamos cada una de estas divisiones con su problema equivalente de

multiplicación, esto es

a) 0

2x implica 0 2 x , que tiene como solución a 0x , luego

00

2

Concluimos que 0 dividido por un número distinto de cero es igual a 0.

ARITMÉTICA


b) 2

0x implica 2 0 x , pero todo número multiplicado por 0 es 0, por

tanto no existe un número x que cumpla esta condición. Más aún si

existiera, al multiplicar tendríamos que 2 0 , un absurdo que contradice

las nociones básicas de la aritmética, para evitarlo se dice que 2

0 es

indefinido.

c) 0

0x implica 0 0 x , en este caso x puede ser cualquier número, todos

ellos multiplicados por cero dan cero. Pero si aceptáramos esto tendríamos

que 0

0 1 2 3 ....0 , es decir que todos los números son iguales entre

sí, otro absurdo que no se puede permitir. Se dice que dividir cero por cero

es indeterminado.

Operatoria de fracciones

1. Adición y sustracción

Formalmente se definen por

a c ad bc

b d bd

La idea fundamental de la suma de fracciones es obtener fracciones

equivalentes de igual denominador. El denominador común puede ser el

MCM de los denominadores.

Ejemplo: Calcular 2 5 1

3 4 6

(3,4,6) 12MCM , por tanto

4 3 2

4 3 2

2 5 1 2 5 1 8 15 2 21

3 4 6 3 4 6 12 12 12 12

ARITMÉTICA


2. Multiplicación

a c ac

b d bd

Ejemplo: Calcular 6 2

7 5

6 2 6 2 12

7 5 7 5 35

3. División

:a c a d ad

b d b c bc

En la división se aplica la definición, esto es la división de dos fracciones es

el producto de la primera por el inverso multiplicativo de la segunda.

Ejemplo: Calcular 3 2

:4 5

3 2 3 5 15:

4 5 4 2 8

Estrategias de cálculo para fracciones

Revisemos algunos casos, que por la frecuencia que aparecen, ameritan

revisar procedimientos inmediatos de cálculo.

1. Suma de entero y fracción

Si consideramos al entero como una fracción con denominador 1,

amplificando y sumando se tiene

5 1

5 1

3 2 3 2 3 2 5 3 132

5 1 5 1 5 5 5

Si observamos bien el penúltimo paso, lo que ocurre al sumar un entero

con una fracción se puede describir como

ARITMÉTICA


3 132

5 5

De igual forma es posible justificar que

5 163

7 7

2. Simplificar antes de multiplicar

En ocasiones puede resultar más útil simplificar antes de multiplicar

fracciones, Por las propiedades de los racionales esa simplificación se puede

hacer entre cualquier numerador y denominador, siempre que se trate de

una multiplicación entre fracciones. Por ejemplo:

48 28 48

35 60

4

355

28

4

605

16

25

El 48 y 60 se simplificaron por 12, mientras que el 28 y el 35 se

simplificaron por 7.

3. Fracciones de fracciones

3

3 5 3 7 214 :5 4 7 4 5 20

7

Si se observa el penúltimo paso en el desarrollo se concluye que en las

fracciones de fracciones el resultado será siempre el producto de los

extremos partido por el producto de los medios.

ARITMÉTICA

+

•

–

•

•


Lo mismo puede servir para el caso de un entero dividido por una fracción

o viceversa. Transformando el entero en una fracción de denominador 1 el

tratamiento es idéntico al anterior. Por ejemplo

a)

2

2 1817 7 7

9 9

b)

2 2

27 799 63

1

Problema 9: Calcular el resultado de la siguiente expresión

1 1 1 1 11 1 1 1 1

2 3 4 5 101

Solución:

Aplicando la suma de enteros y fracción se tiene

1 1 1 1 11 1 1 1 1

2 3 4 5 101

3 4 5 6 102

2 3 4 5 101

Se trata de un producto de 100 fracciones, claramente la idea no es

multiplicarlos de la forma usual, es mejor simplificar antes de multiplicar.

Como cada numerador es igual al denominador de la fracción siguiente, la

simplificación más conveniente será:

3 4

2

3

5

4

6

5

102

101

10251

2

ARITMÉTICA


Problema 10: El matemático Leonhard Euler (1707-1783) desarrolló un

procedimiento de aproximación de un número irracional a través de

fracciones continuas. Para aproximar 2 se usa la fracción continua

Encontrar una aproximación de 2 desarrollando hasta el tercer 2 de la

fracción continua.

Solución:

Hay que calcular 1

2 11

21

22

Aplicando sucesivamente los procedimientos vistos para la suma de entero

y fracción y fracciones de fracciones se tiene

1

1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 1 11 1 1 2 12 12

2 2 21 5 1 5 5 522

52 2

2

5 171

12 12

Por tanto una aproximación racional de la raíz de 2 es 17

12.

ARITMÉTICA



1. Determina el valor de las siguientes expresiones:

a) 3 1 5

2 6 12

b) 2 1 7 11

5 12 15 60

c) 1 2 1 2 1 3 5

:2 3 4 5 2 5 6

d) 1 1

2 13 6

e)

21

32

9

4

f) 2

11

23

g)

11

2

33

11

2

h) 15 10 21

28 75 12

i) 48 40 20

:32 27 36

2. Determina la medida de los siguientes tornillos como fracción de

pulgada:

ARITMÉTICA

53 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

3. Completa el cuadrado mágico, de modo que la suma de las filas sea igual

a la suma de las columnas e igual a la suma de las diagonales:

4. La fracción de la meta de producción de cinco operarios de una fábrica

es:

Ordena a los operarios de menor a mayor según su producción. (Ayuda:

amplifica las fracciones para igualar denominadores)

5. Una pelota se deja caer de tal forma que cada nuevo rebote alcanza una

altura equivalente a los 2/5 de la altura anterior. ¿Qué altura alcanza al

cuarto rebote si después del primer rebote alcanza una altura de 125 cm?

6. Claudio llenó el estanque de su vehículo para ir a visitar a su amiga

Javiera que vive en una parcela a las afueras de Santiago. Después de

recorrer los 5

11 del trayecto, se da cuenta que ha consumido los

2

5 de la

gasolina que cabe en el estanque. Si al final del recorrido le sobran 6 litros,

¿cuál es la capacidad del estanque del auto de Claudio?

7. Juan desea aflojar una tuerca de una medida que desconoce. Para probar

utiliza una llave de 1

2 pulgada que le queda chica, luego decide utilizar una

llave de 3

4 pulgada que le queda grande, entonces, se da cuenta que la

medida justa es la que queda en la mitad de las dos llaves anteriores. ¿De

cuántas pulgadas es la llave que debe utilizar Juan?

ARITMÉTICA


8. Una empresa importadora de rodamientos, tiene convenio con

proveedores de tres países pertenecientes al MERCOSUR. La mitad se los

compra a un país A, mientras que a B y C se le compra un cuarto a cada

uno. El departamento de control de calidad de la empresa determinó que de

un total de 3.000 unidades que llegaron en un embarque, la fracción de

rodamientos defectuosos que llegaron de A, B y C es 1

20 ,1

10 𝑦

3

25,

respectivamente. ¿Cuál es la cantidad de unidades defectuosas provenientes

de cada uno de los proveedores?

9. Si el número irracional 3 se aproxima con la fracción continua

Calcule su valor aproximado hasta el 2 de la tercera fila.

10. En una fábrica de automóviles se trabaja desde las 8:00 hasta las 20:00.

El proceso para maximizar la producción es el siguiente:

1

3 del tiempo se destina a construir motores.

1

4 de la jornada para carrocerías.

1

2 del tiempo que se ocupa en la construcción de motores se utiliza para la

fabricación de accesorios.

1

3 del tiempo destinado a la carrocería se usa para afinar detalles finales.

1

2 del tiempo utilizado para los accesorios se usa para almorzar.

El resto del tiempo se dedica a actividades recreativas.

¿Cuánto tiempo se ocupa en cada actividad?

ARITMÉTICA


¿Qué son las potencias?

La palabra Potenciación es un término relacionado con el verbo potenciar.

Esta acción, por su parte, consiste en aportar potencia (fuerza, capacidad) a

alguna cosa. Por ejemplo: “El entrenador buscó la potenciación de su equipo

con las incorporaciones de Sánchez y Vidal”, “Tenemos que invertir en

potenciar la radio, así llegamos a más oyentes”, “La potenciación de la ciudad

como destino turístico es uno de los objetivos de este gobierno”.

El uso más habitual del concepto, está asociado a las matemáticas. En este

sentido, la potenciación consiste en elevar un número a una cierta potencia.

Esta operación se desarrolla a partir de la participación de una base y

un exponente: la base se eleva al exponente.

𝑎⏟𝑛

𝐛𝐚𝐬𝐞

𝐞𝐱𝐩𝐨𝐧𝐞𝐧𝐭𝐞

Aquí, 𝑎 es un número real y 𝑛 es un número natural. Con esto, daremos la

siguiente definición

Definición: Si 𝑎 es un real, y 𝑛 un natural, entonces

𝑎0 = 1 ;

𝑎1 = 𝑎 ;

𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … ∙ 𝑎⏟ 𝑛−veces

Así, como ejemplo, se tiene que, 71 = 7 ; 82 = 8 ∙ 8 = 64 ; 60 = 1 ;

34 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 81.

Potencias de base 10

Problema 11: La distancia de la Tierra al Sol es de 150.000.000 de km y la

distancia de la Tierra a Saturno es de 1.200.000.000 de km. ¿Cual es la

distancia de Saturno al Sol?

POTENCIAS Y

RAICES

Es importante mencionar que

𝑎0 = 1

No es una definición. Esta se

deduce de las propiedades de

las potencias, que se verán más

adelante.


Solución:

El problema solo se basa en realizar la suma de ambas distancias, pero nos

gustaria poder interpretar estas distancias tan grandes y poder escribirla como

potencias, entonces tenemos lo siguiente.

Distancia entre el Sol y Saturno es:

150.000.000 km + 1.200.000.000 km

Asi,

150.000.000 + 1.200.000.000 = 1.350.000.000 km

Una manera de interpretar este enunciado, es la siguiente:

150.000.000 = 15.000.000 ∙ 10

= 1.500.000 ∙ 10 ∙ 10

= 150.000 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10

= 15.000 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10

= 1.500 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10

= 150 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10

= 15 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10

= 15 ∙ 107

Con esto, tenemos que

1.200.000.000 = 12 ∙ 108

Luego, lo que nos piden es

15 ∙ 107 + 12 ∙ 108 = 15 ∙ 107 + 120 ∙ 107 = (15 + 120) ∙ 107

= 135 ∙ 107

Lo cual, simplifica lo escrito anteriormente.

Una tabla para las potencias de 10 mas utilizadas son:

Exponente positivo Exponente Negativo

106 = 1.000.000 10−6 = 0,000001

105 = 100.000 10−5 = 0,00001

104 = 10.000 10−4 = 0,0001

103 = 1.000 10−3 = 0,001

102 = 100 10−2 = 0,01

101 = 10 10−1 = 0,1

100 = 1

POTENCIAS Y

RAICES


Propiedades de las Potencias

Las propiedades de las pontencias son las siguientes:

Sean 𝑎 y 𝑏 reales, 𝑚 y 𝑛 naturales, entonces:

i. 𝑎𝑛 ∙ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚

ii. 𝑎𝑛: 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚

iii. (𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛∙𝑚

iv. 𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛 = (𝑎 ∙ 𝑏)𝑛

v. 𝑎𝑛: 𝑏𝑛 = (𝑎: 𝑏)𝑛

vi. 𝑎−1 =1

𝑎

vii. 𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛

viii. (𝑎

𝑏)−𝑛

= (𝑏

𝑎)𝑛

Es importante notar que en las propiedades vi, vii y viii. 𝑎, 𝑏 ≠ 0. Ya que no

se puede dividir por 0.

Ejercicios Resueltos

1. En un laboratorio, se tiene que ciertos virus se reproducen de manera

que la poblacion inicial se duplica cada 20 minutos. Si se comienza con una

población de 100.000 bacterias del virus. ¿Cuál sera la población de estas

bacterias de virus pasada 4 horas?

Solución:

El problema se puede interpretar como una potencia, para ver de manera mas

sencilla el problema, haremos lo siguiente

Población Inicio 20 min 40 min 1 hora …

Bacterias 100.000 2∙100.000 2∙2∙100.000 2∙2∙2∙100.000 …

Vemos que el problema se reduce a saber cuantos 20 minutos hay en 4 horas.

así, tenemos que en 4 horas hay 12 duplicaciones de esta población. Por lo que

tenemos que la población pasada 4 horas, son 212 ∙ 100.000 = 409.800.000

bacterias de virus.

2. Un vehiculo adquiere un costo por la depreciación según la formula

𝐷 = 𝐼 ∙ (1,1)−𝑡 ; donde D es el valor despues de la depreciación, I es el valor

inicial del vehiculo y t es el tiempo en años que pasan desde la compra.

¿Cuánto se deprecia un automovil que inicialmente cuesta $6.000.000 despues

de 5 años?

POTENCIAS Y

RAICES


Solución:

Solo necesitamos reemplazar los datos en la formula, obteniendo:

𝐷 = 6.000.000 ∙ (1,1)−5 = 6.000.000 ∙1

1,61051≈ 3.725.530

Por tanto, el vehiculo tiene un costo despues de la depreciación de 3.725.530.

Pero aun no hemos constestado la pregunta. Por lo que restaremos al valor

inicial este monto. Quedando:

6.000.000 − 3.725.530 = 2.274.470

Asi, tenemos que la depreciación del vehiculo es de $2.274.470

¿Cómo usar las Raíces?

En estricto rigor, raíz es una cantidad que se multiplica por sí misma una o

más veces para presentarse como un número determinado.

Para encontrar esa cantidad que se multiplica se recurre a la operación

de extraer la raíz a partir del número determinado y se ejecuta utilizando el

símbolo √ , que se llama radical. Por ello es que se habla de operaciones con

radicales al referirse a operaciones para trabajar con raíces.

Encontrar o extraer la raíz es realizar la operación contraria o inversa de la

potenciación, así como la suma es la operación inversa de la resta y viceversa,

y la multiplicación es la operación contraria de la división y viceversa.

Para graficarlo de algún modo, diremos que:

𝑥𝑛 = 𝑎 ⇔ 𝑥 = √𝑎𝑛

Donde en el símbolo √ 𝑛

significa, raíz 𝑛-esima. Y si 𝑛 = 2, entonces √ 2

=

√

Asi, a modo de ejemplo, se tiene que √4 = 2 ya que se tiene por lo anterior

que 22 = 4.

Tambien vemos que √83

= 2 ya que se tiene, 23 = 8.

POTENCIAS Y

RAICES


Aproximando Raices

No siempre es sencillo encontrar raices, por ejemplo, ¿Cuánto vale √2 ?

Debemos tener alguna forma de aproximar el resultado con cuanta exactitud

queramos. Por lo que haremos lo siguiente.

Comenzamos escribiendo 1 < √2 < 2; ya que

12 < (√2)2= 2 < 22 = 4

Entonces vemos que pasa con el promedio de los extremos, es decir 1+2

2=3

2

Y elevamos al cuadrado, es decir (3

2)2

=9

4> 2; entonces se tiene que

1 < √2 <3

2

Continuamos con el argumento, es decir, calculamos el promedio, con lo que

se tiene que 1+

3

2

2=5

4; elevamos al cuadrado, obteniendo, (

5

4)2

=25

16< 2, por

lo que tenemos que

5

4< √2 <

3

2 ↔ 1,25 < √2 < 1,5

Continuando con este argumento, podemos encontrar las cifras decimales que

queramos.

Si seguimos, tenemos que el que sigue es

11

8< √2 <

3

2 ↔ 1,375 < √2 < 1,5

Continuando,

11

8< √2 <

23

16 ↔ 1,375 < √2 < 1,4375

Y asi, sucesivamente, obteniendo que √2 ≈ 1,414213…

POTENCIAS Y

RAICES



1. Calcular entre que fracciónes se encuentra √129 con un rango de error

de 0,05.

Solución:

Comenzamos a realizar el analisis anterior.

11 < √129 < 12

11 < √129 <23

2 → 11 < √129 < 11,5

45

4< √129 <

23

2 → 11,25 < √129 < 11,5

45

4< √129 <

91

8 → 11,25 < √129 < 11,375

181

16< √129 <

91

8 → 11,3125 < √129 < 11,375

363

32< √129 <

91

8 → 11,34375 < √129 < 11,375

Y con esto, tenemos lo pedido, ya que:

11,375 − 11,34375 = 0,03125 < 0,05

Ejercicios Propuestos

1. Sobre la diagonal de un terreno rectangular

que tiene 15 metros de ancho y 20 metros de largo,

se proyecta un terreno cuadrado.

A. ¿Cuál es el perímetro del terreno

cuadrado? (Aplicar Teorema de Pitágoras para

el cálculo de la diagonal)

B. Calcula la medida de la diagonal del

cuadrado ABCD con 3 decimales aproximados.

2. Cierto programa antivirus computacional, actúa reduciendo a la mitad

cada día los computadores contaminados. Inicialmente hay 580.000

computadores contaminados.

A. Diseña una tabla en donde se relacione el número de

computadores contaminados por cada día transcurrido.

B. ¿Cuántos computadores contaminados habrá al finalizar el cuarto

día?

POTENCIAS Y

RAICES


C. ¿Cuántos días han transcurrido si en un momento dado hay 1.000

computadores contaminados?

D. ¿Cuántos computadores contaminados han sido limpiados hasta el

quinto día?

3. Las noticias llamativas y de la farandula se expanden rápidamente en una

localidad de la costa. Cierta noticia llamativa es contada por una persona a otras

tres, en 4 minutos, y estas a su vez la cuentan a otras tres personas, en los cuatro

minutos siguientes, y así sucesivamente, ¿cuántas personas se enterarán de la

noticia a una hora de ocurrido el hecho?

4. La velocidad de la luz aproximadamente es de 300.000 kilómetros por

segundo. La distancia promedio de la Tierra al sol es de 150.000.000 kilómetros.

¿Cuánto tiempo demora la luz del sol en llegar a la Tierra?

5. Las líneas telefónicas que unen redes pueden ser de diferente velocidad y

podemos encontrar líneas T1 (que envían 1,544 megabits por segundo) hasta las

T3 (que envían 44,746 megabits por segundo), entonces ¿Cuánto demoran ambas

líneas en enviar 60 megabits?

6. En cierta localidad del Sur de Chile un insecto la invadió y su población

creció demasiado, aplicaron medidas de control y al siguiente año comenzó a

decrecer en forma exponencial con factor de decrecimiento 1

3 cada día. Si el

domingo hay 6561 insectos, ¿Qué día quedan solo 81 insectos? Construye un

gráfico que muestre la situación antes explicada.

7. Un virus de computadora infecta un PC cada 15 minutos. Si una

computadora de una empresa de servicios de telecomunicaciones tenía un virus a

las 9:00 a.m. ¿Cuál será la cantidad de computadoras infectadas por el virus de

esa misma empresa a las 4 p.m.?

8. Compré tres computadores que contienen tres programas cada uno. Si

cada programa contiene tres archivos, y cada uno de ellos en tres lenguajes

diferentes. ¿Cuál es la potencia que representa la cantidad total de lenguajes

diferentes?

9. La empresa Hitachi ha desarrollado el Chip (RFID) más pequeño y delgado

de radio frecuencia, este mide tan sólo 0,15 x 0,15 milímetros de tamaño y 7,5

micrómetros de espesor (micrómetro o micra= 1 millonésima parte de un metro)

POTENCIAS Y

RAICES


i) ¿A cuántos metros equivale el espesor de este chip? Exprese

esta cantidad en notación científica.

ii) ¿A cuántos milímetros equivale el espesor del chip? Exprese esta

cantidad en notación científica.

10. Paulina y Matías practican un juego que consiste en que cada uno escribe un número de cuatro cifras con los dígitos del 1 al 9 (las cifras pueden repetirse) y cada uno trata de adivinar el número del otro, dándose pistas. Luego de jugar varias veces, deciden que el número será solo con los dígitos impares para que sea más fácil adivinarlo. ¿Cuántos números distintos pueden escribir cada participante con las condiciones que acordaron? Para responder esta pregunta, observa que si el número tiene 4 cifras y los dígitos que se pueden ocupar son el 1, 3, 5, 7, 9, significa que hay 5 números posibles para cada cifra, ya que estos pueden repetirse, es decir:

¿Cuántos números distintos podían escribir inicialmente?

11. Un estudiante de la carrera “Analista Programador” realiza un programa que registra lo que corre cada día, lo prueba realizando un circuito en cinco días, el primer día recorrió 2 km., el segundo día recorre el doble de lo que recorrió el día anterior, el tercer realiza el doble del trayecto del segundo día y así sucesivamente durante este periodo. ¿Qué distancia recorrida debiese registrar el programa al final de los cinco días?

5 · 5 · 5 · 5 = 54

POTENCIAS Y

RAICES


Gráficos y Tablas

Los gráficos y tablas son recursos que permiten ordenar y presentar la

información. Hay una gran diversidad gráficos y tablas, que involucran a una

o más variables (características de interés de algún fenómeno).

Sin embargo, hay que distinguir que hay gráficos y tablas que son estadísticos

y otras que no. En las tablas y gráficos estadísticos se busca registrar o

presentar la frecuencia de las observaciones, mientras que otros gráficos o

tablas tienen por objeto mostrar cierta información, que no necesariamente

tiene relación con la frecuencia con la que se presentan los datos.

Esta parte del texto tiene relación con los gráficos y tablas en general y

plantea situaciones cuyo propósito es analizar la información contenida en

ellos para responder a ciertas cuestiones problemáticas.

Problema 12: En una encuesta hecha a la población del gran Santiago se

registró las horas en promedio diarias en usos de tecnologías de la

información y medios de comunicación de masas como actividad principal

por sexo. (Fuente: INE, Instituto Nacional de Estadísticas de Chile)

a) ¿Cuántas personas fueron entrevistadas?

b) ¿Cuántos minutos más dedican los hombres que las mujeres en navegar

por Internet?

c) ¿Cuál es el promedio de horas que dedican los santiaguinos en ver

televisión?

00,5

11,5

22,5

3

Leer Escucharmúsica o

radio

Ver TV Navegarpor

InternetPro

me

dio

de

ho

ras

dia

rias

Actividades principales

Hombres

Mujeres

GRÁFICOS Y

TABLAS

GRÁFICOS Y

TABLAS


Solución:

1º Entendiendo el problema:

El gráfico muestra las horas en promedio diarias en usos de tecnologías de la

información y medios de comunicación de masas como actividad principal por

sexo.

2º Diseñando un plan o estrategia de resolución:

La información del gráfico se organiza en una tabla y con esos datos

contestamos las preguntas.

3º Ejecutamos el plan o resolvemos el problema:

Primero construimos la tabla con los datos del gráfico, como se muestra a

continuación

LeerEscucharmúsica o

radioVer TV

Navegarpor

Internet

Hombres 1,5 1,6 2,8 2,3

Mujeres 1,5 1,5 2,6 2

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

Pro

me

dio

de

ho

ras

dia

rias

Actividades principales

Hombres

Mujeres

GRÁFICOS Y

TABLAS


Ahora contestamos las preguntas:

a) ¿Cuántas personas fueron entrevistadas?

Esta información no la entrega el gráfico.

b) ¿Cuántos minutos más dedican los hombres que las mujeres en navegar por

Internet?

2,3⏟𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛 ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠

− 2⏟𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛 𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠

= 0,3⏟𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

Como el tiempo está en horas, es necesario transformar la diferencia a

minutos. Para ello debemos recordar que una hora equivale a 60 minutos, por

lo tanto, hay que multiplicar el tiempo en horas por 60 para obtener los

minutos, como se muestra a continuación

0,3⏟ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

∙ 60 = 18⏟𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

c) ¿Cuál es el promedio de horas que dedican los santiaguinos en ver

televisión?

La frase “los santiaguinos” no hace distinción de sexo, luego es necesario

calcular el promedio de horas diarias que utilizan hombres y mujeres en ver

televisión.

2,8 + 2,6

2= 2,7

4º Examinando la Solución y comunicando resultados:

a. El gráfico no entrega información respecto a la cantidad de

encuestados.

GRÁFICOS Y

TABLAS


b. Los hombres dedican, en promedio, 18 minutos más que las mujeres en

navegar por internet.

c. Los santiaguinos dedican, en promedio, 2,7 horas diarias en ver

televisión

Problema 13: En un estudio de la Seguridad e Higiene en el Trabajo se

contrastó la incidencia del tabaquismo en la gravedad de los accidentes laborales.

Considerando una gradación de Muy fumador hasta No fumador como media

del tabaquismo, y una gradación de Muy grave a Leve en el tipo de accidente. Se

extrajo una muestra de individuos que habían sufrido un accidente laboral. Los

resultados se presentan en la siguiente tabla de doble entrada:

Muy

Grave Grave

Lesiones

medias Leve

Muy fumador 20 10 10 30

Fumador 30 40 20 50

Fumador

Esporádico 10 60 80 60

No fumador 5 20 30 50

a) ¿Cuántos individuos han sufrido un accidente laboral?

b) ¿Qué fracción de los individuos son no fumadores?

c) ¿Qué fracción de los fumadores tienen accidentes graves?

d) ¿Qué fracción de los individuos que sufren accidentes graves son muy

fumadores?

e) ¿Qué fracción de los individuos muy fumadores sufre accidentes graves?


Solución:

1º Entendiendo el problema:

La información de la tabla contrasta la incidencia del tabaquismo en la gravedad de los accidentes

laborales.

2º Diseñando un plan o estrategia de resolución:

Se calculan los totales por columnas y filas y con estos datos contestamos las preguntas.

3º Ejecutamos el plan o resolvemos el problema:

Primero calculamos los totales por fila y columna, como se muestra a continuación:

Ahora contestamos las preguntas

Muy

Grave Grave

Lesiones

medias Leve Total

Muy fumador 20 10 10 30 70

Fumador 30 40 20 50 140

Fumador

Esporádico 10 60 80 60 210

No fumador 5 20 30 50 105

Total 65 130 140 190 525


a. ¿Cuántos individuos han sufrido un accidente laboral?

525 individuos

b. ¿Qué fracción de los individuos son no fumadores?

105⏞

𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢𝑜𝑠𝑛𝑜 𝑓𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠

525⏟𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢𝑜𝑠

=1

5

c. ¿Qué fracción de los fumadores tiene accidentes graves?

40⏞

𝑓𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑠

140⏟𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒

𝑓𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠

=2

7

d. ¿Qué fracción de los individuos que sufren accidentes graves son muy

fumadores?

10⏞

𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢𝑜𝑠 𝑚𝑢𝑦 𝑓𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑢𝑓𝑟𝑒𝑛 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑠

130⏟𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢𝑜𝑠

𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑓𝑟𝑒𝑛 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑠

=1

13

e. ¿Qué fracción de los individuos muy fumadores sufre accidentes

graves?

10⏞

𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢𝑜𝑠 𝑚𝑢𝑦 𝑓𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑢𝑓𝑟𝑒𝑛 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑠

70⏟𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢𝑜𝑠 𝑚𝑢𝑦 𝑓𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠

=1

7

4º Examinando la Solución y comunicando resultados:

GRÁFICOS Y

TABLAS


Arica

Antofagasta

Temuco

Punta Arenas

La Serena

En total hay 525 individuos que han sufrido accidentes laborales de los cuales un quinto no fuma.

De los fumadores, dos séptimos han tenido accidentes graves mientras que de

los muy fumadores sólo un séptimo.


1. La Aerolínea Chile registra sus vuelos, desde el aeropuerto Arturo Merino

Benítez ubicado en la Región Metropolitana, durante un día lunes de

temporada alta. A continuación hay un gráfico que muestra la capacidad

década avión (cantidad de personas) versus la cantidad de vuelos que hubo.

En

base

a los

datos entregados en el gráfico:

a) ¿Cuántos vuelos se realizaron el día lunes?

b) ¿Cuántos pasajeros volaron a Punta Arenas?

c) ¿Cuántos pasajeros volaron a Arica?

d) ¿Cuántos pasajeros volaron el día lunes?

e) ¿Cuáles son las dos ciudades más visitadas?

2. La siguiente gráfica representa una excursión en autobús de un grupo de

estudiantes, reflejando el tiempo (en horas) y la distancia recorrida (en kilómetros).

GRÁFICOS Y

TABLAS

GRÁFICOS Y

TABLAS


a) ¿A cuántos kilómetros estaba el lugar que visitaron?

b) ¿Cuál es la distancia total recorrida por el autobús durante la excursión?

c) ¿Durante cuánto tiempo el autobús no se desplazó?

d) Después de cuatro horas de iniciada la excursión ¿Cuántos km recorrió el

autobús hasta la próxima detención?

e) Luego de transcurrido siete horas de iniciada la excursión ¿A qué distancia

se encuentra el autobús de su punto de partida?

3. Se sabe que la concentración en sangre de un cierto tipo de anestesia viene

dada por la gráfica siguiente:

a) ¿Cuál es la dosis inicial?

b) ¿Qué concentración hay, aproximadamente, al cabo de los 10 minutos?

c) ¿Cuánto tiempo, aproximadamente, ha transcurrido cuando hay 30 mg menos de la dosis

inicial?

GRÁFICOS Y

TABLAS


d) ¿Cuánto tiempo, aproximadamente, ha transcurrido cuando quedan sólo 10 mg de

concentración en sangre de anestesia?

e) ¿Cuánto tiempo dura, aproximadamente, la concentración en sangre de la

anestesia?

4. Dos atletas participan en una carrera de 1000 metros.

El gráfico anterior describe en forma aproximada el comportamiento de los

atletas en dicha prueba:

a) ¿Cuál atleta empezó la carrera más rápido? Justifica tu respuesta

b) ¿En qué momento un atleta alcanzó al otro? ¿A qué distancia? ¿Quién fue el

atleta alcanzado?

c) ¿Quién ganó la carrera?

5. Se realiza un estudio muestral acerca de si las personas están o no de

acuerdo con la medida de desconectar de las máquinas a quienes permanecen

en estado vegetal. Según segmento socioeconómico, los resultados se muestran

en la siguiente tabla, en número de casos:

Segmento socioeconómico Total

Alto Medio Bajo

¿Está de acuerdo?

Si 51 158

No 48

Total 73 109 91

Completa la tabla y luego el siguiente párrafo:

GRÁFICOS Y

TABLAS


De un total de . . . . . . . . . . personas encuestadas, el . . . . . . . . . . % se manifestó de acuerdo con

la medida de desconectar de las máquinas que mantienen con vida a los pacientes en estado vegetal.

De estos, el . . . . . . . . % se ubica en un segmento socioeconómico medio, mientras que el . . . . . . . .

% en el segmento alto. Es destacable que de los encuestados de este último segmento, el . . . . . . . . .

% esté de acuerdo con dicha medida, mientras que en el segmento bajo, solo el . . . . . . . .% lo está.

5. En la asignatura Física I, están realizando el siguiente experimento en grupos de 5 estudiantes. Cada

grupo dispone de una regla, monedas de $10 y un resorte del que cuelga un vaso plástico. El

experimento consiste en determinar cómo se va alargando el resorte al ir agregando monedas de $10 en

el vaso. Para ello, los estudiantes realizan el experimento con una cantidad suficiente de monedas como

para poder establecer alguna conclusión. Van registrando sus resultados en una tabla y luego los

grafican:

El experimento concluye con la presentación de los gráficos obtenidos por tres grupos del curso. Los

gráficos fueron los siguientes:

¿Son iguales los resortes de estos tres grupos o son distintos? Justifica tu respuesta (Sugerencia:

Construye una tabla de valores correspondientes a cada gráfico del experimento realizado por estos

estudiantes y compáralas)


6. El siguiente gráfico circular resume las razones más importantes para contratar internet

según una encuesta realizada por la Subsecretaría de Telecomunicaciones del Gobierno de Chile

(SUBTEL)

Fuente: IV informe de la encuesta de satisfacción de usuarios de servicios de

Telecomunicaciones. SUBTEL, 2009

Suponga que la cantidad de personas que contrata internet para capacitarse son

230 personas del total de los encuestados, según esto conteste:

A. ¿Cuál es el mayor motivo por el cual las personas encuestadas

contratan internet?

B. ¿Cuál es la variación porcentual entre los que contratan internet

para buscar trabajo y los que contratan para capacitarse?

C. ¿Cuántas personas contratan internet para conocer y tener más

información?

D. ¿Cuántas personas contratan internet para apoyar la educación

de sus hijos?

E. ¿Cuántas personas contratan internet por entretención o estar al

día con la tecnología?

F. ¿Cuántas personas en total fueron encuestadas? Explicite en

forma escrita dos procedimientos distintos para responder esta pregunta.

GRÁFICOS Y

TABLAS


7. A continuación se presenta un pictograma

A. ¿Qué información puede entregar el gráfico?

B. ¿Cuál es el porcentaje de phishing recibido a través de webmail?

C. Según la tendencia descrita por el PICTOGRAMA, ¿qué se podría

deducir en relación a la cantidad de phishing recibido de las distintas entidades

mencionadas?

8. En una determinada comuna se ha modelado la cantidad de personas que

contrata plan de celular año a año. El gráfico que se presenta a continuación

modela lo anteriormente descrito.

Considerando el gráfico, responda lo siguiente:

A. ¿Qué cantidad de personas contratan plan de celular en el año

2005?

B. Entre los años 2000 y 2008, ¿en cuántas personas aumentó la

cantidad de personas que contrató plan?

C. Aproximadamente, ¿qué cantidad de personas habrán contratado

plan para el año 2012 en esa comuna?

0%

10%

20%

30%

40%

50%

Sitios dejuegos

redessociales

webmail Sitios decompras

Bancos EmpresasPriv.

Entidades de las que recibió Phishing

GRÁFICOS Y

TABLAS


9. Un estudiante de informática decide analizar el movimiento de su

personaje en el juego SIMS. El siguiente gráfico representa la distancia virtual que

recorre el personaje en función del tiempo virtual transcurrido desde su casa a

una plaza.

Responde según el gráfico:

A. ¿Cuántas horas duró la actividad?

B. ¿Durante cuánto tiempo no se desplazó?

C. Después de 3 horas ¿Cuántos Km. Recorrió?

D. ¿Qué tiempo utilizó en llegar a la plaza?

E. ¿Cuánto tiempo se demoraron en volver a su casa?

F. ¿Qué dificultades tuviste al momento de interpretar la

información del gráfico?

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 2 4 6 8 10 12 14

dis

tan

cia

(km

)

tiempo (horas)

Distancia(Km)/ Tiempo(Horas)

GRÁFICOS Y

TABLAS


10. El siguiente gráfico muestra las temperaturas máximas y las temperaturas

mínimas en grados Celsius, tomadas por un observatorio meteorológico de una

ciudad del Sur durante una semana del mes de Julio, con un programa de alta

precisión creado por un Ingeniero en informática en conjunto con un grupo de

investigadores del observatorio.

A. ¿A cuánto corresponde la diferencia en grados Celsius entre la

máxima y la mínima temperatura del día lunes?

B. ¿La mayor diferencia de grados se produce el o los días?

C. ¿La menor diferencia de grados se produce el o los días?

11. Un vehículo de carrera de un juego de video recorre una pista rápida de 3 Km en el juego. El siguiente gráfico muestra la situación.

A. ¿A qué distancia(s) del punto de partida la velocidad es de 80 km/h?

B. Cuando el vehículo lleva 2 Km de recorrido ¿a qué velocidad se desplaza?

C. ¿Por qué posibles motivos se presentan cambios de velocidad durante el

recorrido de la pista? Analiza y explica.

D. Desde el momento en que se da la partida hasta los 100 primeros metros

recorridos ¿qué velocidad alcanza el automóvil?

12.

-5-4-3-2-10123456789

L M M J V S D

Tem

pe

ratu

ra

Días de la semana

Registro de Temperaturas en °C

Mínima

Máxima

0

100

200

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2

Ve

loci

dad

(km

/h)

Distancia recorrida

Velocidad de un automóvil en una pista de 3 km

GRÁFICOS Y

TABLAS


12. La siguiente tabla muestra la cantidad de clientes por plan de una compañía de celulares según el informe del año 2012 de la SUBTEL:

Plan N° Clientes Portados en

el Plan

Multimedia Pro portabilidad 6112

Plan Multimedia 200 7410

Plan Multimedia 200 Cuenta Exacta

2732



Plan Total 200 Especial 1751

Plan Cuenta Exacta Total 10000 1384


Plan Total 330 Especial 1346

Fuente: informe año 2012. SUBTEL, 2009

De estos planes los correspondientes a planes antiguos y nuevos son:

A. ¿Cuántos clientes tienen plan total 200 Especial?

B. ¿Cuántos clientes tiene en total esta compañía?

C. ¿Hay más clientes con planes antiguos o nuevos?

D. Según la información entregada. ¿Cuántos clientes tienen planes

del tipo “Especial”?

E. Realice un gráfico adecuado que resuma la información de la

tabla.

Planes antiguos Planes nuevos

Plan Multimedia Pro portabilidad, Plan Multimedia 200 Cuenta Exacta, Plan Multimedia 800, Plan Total 330 Especial

Plan Multimedia 200, Plan Multimedia 530, Plan Multimedia 330, Plan Total 200 Especial, Plan Cuenta Exacta Total 10000.

GRÁFICOS Y

TABLAS


13. La siguiente tabla muestra la cantidad de clientes que debe contratar el servicio de televisión satelital, para que el empleado con el cual se suscribió el servicio obtenga bono.

N° DE CLIENTES CONTRATADOS TIPO DE BONO

[0 , 101[ F

[101 , 201[ E

[201 , 301[ D

[301 , 401[ C

[401, 501[ B

> 501 A

A. ¿Entre qué cantidad de clientes se obtiene un bono tipo D? B. Para una cantidad de 110 clientes ¿Cuál es el tipo de bono? C. Para una cantidad de 301 clientes ¿Cuál es el bono obtenido?

D. Para una cantidad de 505 clientes ¿Cuál es el bono que se debería

dar?

E. ¿Cuántos clientes deben contratarse para obtener un bono tipo F?

14. Una empresa de Televisión digital desea saber qué tipos de planes han

contratado sus clientes el último mes y esta fue la información obtenida sobre los

tipos de plan en Iquique:

Estándar Premium Estándar Premium Estándar

Premium Premium HD HD HD

Estándar Gold HD Estándar Premium

Premium Estándar Premium HD Gold

HD Estándar HD Gold Estándar

Estándar Premium Gold Estándar Estándar

Estándar Premium Estándar Estándar Gold

Estándar Premium Premium Estándar Estándar

A. Complete la siguiente tabla resumiendo la información:

Tipo de plan Número de clientes

Estándar

Premium

HD

Gold

Total

GRÁFICOS Y

TABLAS


B. A continuación responda las siguientes preguntas

i. ¿Cuáles serían los tres planes de contratación más

frecuente?

ii. ¿Cuál es la diferencia entre la cantidad de clientes que

tienen Plan estándar y los clientes Premium?

C. Si en Santiago se presenta un 30% más de clientes con plan HD,

un 45% menos de clientes con plan estándar, y 18 clientes más con plan Gold.

Calcule que cantidad de clientes hay por cada plan en la región de Santiago:

i. Plan Estándar:

ii. Plan Gold:

iii. Plan HD:

D. El año 2012, el departamento de marketing presenta la siguiente

gráfica comparativa entre los resultados obtenidos antes y después de la

publicidad lanzada para una campaña de promoción de planes de televisión

digital a nivel nacional.

Nota: la cantidad de clientes está en miles.

i. ¿Cuántos clientes más contrataron algún plan en la

compañía el año 2012?

ii. ¿Cuántos clientes más tienen plan estándar que los

Premium, en el año 2011?

iii. ¿Fue eficaz la campaña de publicidad? Justifique.

0

2

4

6

8

10

ESTÁNDAR PREMIUM HD GOLD

N° de clientes año 2011

N° de clientes año 2012

GRÁFICOS Y

TABLAS

80 UNIDAD 2: VARIACIONES PROPORCIONALES

n Grecia –siglo V a. De C.- los griegos se declaraban admiradores de la belleza y

buscaban afanosamente los cánones de perfección. En el campo de la escultura se

preocuparon de encontrar el cuerpo humano perfecto y para ello grandes artistas

como Policleto, Praxíteles y Leócrates abordaron el problema de las proporciones ideales en

la figura humana. Policleto estableció que “para obtener la perfecta proporción de unas

partes del cuerpo respecto a otras, la figura deberá medir 7 cabezas y media de altura”.

Praxíteles estableció un canon de 8 cabezas y Leócrates, otro de 8 cabezas y media.

La discusión volvió a animarse dos mil años más tarde, durante el Renacimiento. Miguel

Angel coincidía con Polícleto, Leonardo de Vinci era partidario de Praxíteles; Boticelli se

inclinaba por el canon de nueve cabezas y el Greco, por el de once, lo cual es,

evidentemente, una exageración.

Hoy en día son universalmente aceptados los tres cánones clásicos griegos, aunque cada

uno dentro de su propio campo de aplicación. Geométricamente la figura ideal corresponde

al canon de ocho cabezas de alto por dos cabezas de ancho. Así un rectángulo cuya razón

sea como 8:2 siempre nos indicará las dimensiones humanas ideales de alto y de ancho. Este

dato se utiliza actualmente para dibujar murales.

UNIDAD 2

VARIACIONES

PROPORCIONALES

E



UNIDAD 2

VARIACIONES PROPORCIONALES


Resuelve problemas que involucren razones y reparto proporcional, estructurando su estrategia de

resolución y comunicando los resultados de manera efectiva.


Establece razones en situaciones de la vida diaria por medio de comparación por cociente entre dos

cantidades.

Determina razones equivalentes en una situación planteada.

Determina la solución de problemas que involucren distribución proporcional mediante razones

equivalentes.

Explica su estrategia de resolución utilizando un lenguaje pertinente.


Resuelve problemas mediante variaciones proporcionales, estructurando su estrategia de resolución y

comunicando los resultados de manera efectiva.


Identifica variables que se relacionan en forma proporcional utilizando ejemplos cotidianos.

Establece el tipo de proporcionalidad, directa y/o inversa, entre variables dadas, a través de

situaciones planteadas.

Resuelve problemas de la especialidad que involucran proporcionalidad directa e inversa,

explicando su estrategia de resolución utilizando un lenguaje pertinente.



Interpretan la relación de proporcionalidad mediante gráficos que muestran el grado de dependencia entre

dos variables.


Representan gráficamente el tipo de proporcionalidad que existe entre dos variables.

Realiza cálculo de variables desconocidas mediante la interpretación de gráficos.

Traslada la situación proporcional dada gráficamente a un modelo numérico dando respuesta al

problema.


Resuelve problemas de situaciones cotidianas relacionadas con la economía, el mercado y la especialidad,

mediante la estrategia de cálculo de porcentajes estructurando su estrategia de resolución y comunicando

los resultados de manera efectiva.


Realiza cálculos de porcentajes mediante estrategias de proporcionalidad, numérica decimal o

fraccionaria en situaciones propuestas.

Demuestra la solución a problemas de economía y mercado mediante estrategias de cálculo de

porcentajes.

Explica la estrategia de resolución de problemas utilizada, describiendo cada paso y verificando la

solución.


Introducción

El concepto de razón está relacionado con la acción de comparar, una

actividad que realizamos constantemente, que también puede ser abordada

a través de una diferencia. ¿Cuándo usar una razón? ¿Cuándo comparar a

través de una diferencia? Es necesario contrastar estas dos maneras de

comparar y reconocer cual es la utilidad de las razones matemáticas.

Problema 1: Suponga que en una fábrica, un día en particular, la máquina

A produce 48 artículos, mientras que la máquina B, que es más antigua y

lenta, solo fabrica 32, ¿De qué manera podemos comparar la producción de

estas dos máquinas?

Está claro que la producción de la máquina A es mayor que la máquina B.

Lo que queremos precisar son las formas en que se puede expresar y

cuantificar la comparación entre estas cantidades.

1. Comparación absoluta: señalar en cuántos artículos una máquina

supera a la otra.

A – B = 48 – 32 = 16

La máquina A produce 16 artículos más que B.

2. Comparación relativa: señalar el número de veces o la porción

que representa la producción de una máquina respecto de la

otra.

48 31 5

32 2,

A

B

La producción de la máquina A es 1,5 veces la producción de la

máquina B.

En este caso, utilizamos una fracción para representar la comparación

relativa o “razón” entre las producciones de A y B. Sin embargo no es la

única manera de expresar una razón. Se dice que la razón entre la

producción de A y la de B es de “3 es a 2”, que se escribe:

3

2 o 3 : 2

RAZONES

La teoría de las razones y

proporciones son descritas por

primera vez en el libro V de los

Elementos de Euclides (siglo III

a.C), aunque ya estaba en el

pensamiento pitagórico del siglo

V a.C, cuyo principio

fundamental “Todo es número”,

implicaba que todas las cosas se

podían explicar con números

(enteros positivos) y sus

razones, lo que posteriormente

fue contrariado por el

descubrimiento de los

inconmensurables, desatando la

primera crisis en la historia de

las matemáticas.

Los griegos nunca expresaron

las razones como fracciones - no

disponían de ellas- ni calcularon

su cociente. Para ellos una

razón solo era una forma de

comparar dos magnitudes.


Razón, una comparación relativa

En el ejemplo anterior la razón entre la producción de la máquina A y la

máquina B, era de 3:2 en un día en que A produjo 48 y B 32 artículos.

Si la razón entre A y B fuera siempre la misma, la razón 3:2 nos permite

saber que por cada 3 artículos que fabrica A la máquina B fabrica 2,

independiente de los totales involucrados.

Definición: Una razón es una comparación relativa entre dos cantidades de

igual o distinta medida.

Peras con peras y peras con manzanas

Problema 2: Compare las cantidades involucradas en los siguientes

enunciados:

a) En una empresa trabajan 60 hombres y 25 mujeres.

b) Un auto recorre 12 km en 9 minutos.

Hay una diferencia entre estas dos situaciones.

a) Podemos hacer tanto comparaciones absolutas como relativas:

60 25 35 H M 60 12

2 425 5

, H

M

Hay 35 hombres más que mujeres.

Por cada 12 hombres hay 5 mujeres

Los hombres equivalen a 2,4 veces las mujeres.

b) Aquí no podemos hacer comparaciones absolutas, no se puede restar

kilómetros con minutos, son magnitudes de medida distinta. Pero si

podemos comparar de manera relativa, a través de la razón

RAZONES

En la escuela pitagórica, tanto el

número como las magnitudes

pertenecían a la categoría de

cantidades. Sin embargo, eran

entidades separadas. El número

correspondía a colecciones de

unidades indivisibles, permitían

contar, mientras que las

magnitudes surgen de la

abstracción de cosas que se

pueden medir.

Los griegos no disponían de un

sistema métrico como el

nuestro, para medir debían

comparar las magnitudes

mediante sus razones.


12 41 3

9 3,

D

T

Por cada 4 km que avanza el auto transcurren 3 minutos.

El auto recorre 1 3, km por minuto.

En definitiva, se observa que las razones pueden ser entre cantidades de

igual o distinta medida, en cambio las comparaciones absolutas solo pueden

ser entre cantidades de igual medida.

Una forma coloquial de explicarlo es: ¿se pueden comparar peras con

manzanas?... De forma absoluta no, pero si a través de una razón.

Razón Directa e Inversa

Para calcular la razón entre dos cantidades, es necesario fijar el orden en que se nombrarán, por tanto la razón entre 15 y 3 no es igual a la razón entre 3 y 15, sus cocientes son distintos:

155

3

30 2

15,

Si en la razón 𝑎: 𝑏 se invierte el orden de sus términos, resulta la razón 𝑏: 𝑎. La primera se llama la razón directa entre a y b, mientras que la segunda es

la razón inversa entre a y b. El producto entre la razón directa y la inversa de dos números es siempre 1:

𝑎

𝑏∙𝑏

𝑎= 1

Razón y fracción, ¿son lo mismo?

Hemos visto que las razones se pueden representar a través de una fracción,

pero hay que tener cuidado, no son lo mismo. Las razones, expresadas solo

como comparaciones entre magnitudes, aparecieron antes que las

fracciones.

RAZONES

Euclides (300-265 A.C.) en la

definición 3, del libro sexto

“Los Elementos”, definió la

Razón Áurea de la siguiente

forma:

“Se dice que una recta ha sido

cortada en extrema y media

razón, cuando la recta entera

es al segmento mayor como el

segmento mayor es al

segmento menor”

A B C

Así se obtiene la proporción:

𝐴𝐶

𝐴𝐵=𝐴𝐵

𝐵𝐶

Llamando 𝜑 a la razón 𝐴𝐵

𝐵𝐶

(razón áurea), obtenemos la

ecuación:

1 + 𝜑−1 = 𝜑

o bien:

𝜑 + 1 = 𝜑2,

ecuación cuadrática cuya

solución positiva es:

𝜑 =1 + √5

2

Un número irracional muy

especial.


La fracción es una de las formas en que se puede representar un número

racional y exige que, tanto el numerador como el denominador, sean

números enteros, con denominador distinto de cero. Pero en una situación

donde se deba establecer la razón entre 15 alumnos de una sala y el número

de alumnos de otra sala vacía, la razón sería

15 : 0

Lo que no puede ser expresado como fracción, ya que 15

0 no existe como

número racional.

Las fracciones son un concepto de múltiples significados, uno de ellos es la

fracción como razón. Sin embargo, no todas las razones se pueden expresar

como fracción.

Aplicación

La cadena de una bicicleta gira alrededor del plato de una rueda dentada

(comúnmente llamado volante, el que está conectado a los pedales) y el

piñón conectado a la masa trasera (que hace girar la rueda trasera). Al

cambiar de velocidades, la cadena se mueve a un plato o piñón diferente, tal

como muestra la figura siguiente:

La relación de engranaje de una determinada velocidad, indica el número de

revoluciones o vueltas que rota la rueda trasera por cada vuelta de los

pedales. Una forma de expresar la relación entre el número de dientes del

plato y del piñón es a través del cociente:

RAZONES

En el quinto libro llamado “Los

Elementos”, Euclides define el

número pi como la razón que

existe entre el perímetro (P) de

un círculo y su diámetro (d),

esto es:

𝜋 =𝑃

𝑑

Sin embargo, esta

representación no corresponde

en ningún caso a un número

racional (fracción), ya que el

número pi es un número

irracional.

Con esto, todo número racional

o fracción puede representar

una razón, pero no toda razón

corresponde a una fracción.


Número de dientes del plato

Relación de EngranajeNúmero de dientes del piñón

Por ejemplo, si la cadena corre sobre un plato con 52 dientes y un piñón

con 26 dientes, entonces la relación de engranaje es de 52:26 ó

equivalentemente 2:1, lo que significa que la rueda trasera realiza dos

vueltas por cada vuelta que dan los pedales. Si la misma cadena, se mueve

sobre un piñón de 13 dientes y el mismo plato, entonces la relación de

engranaje cambia a 52:13 ó equivalentemente a 4:1, en este caso la rueda

trasera dará 4 vueltas por cada vuelta de los pedales.


1. Una librería, cuya existencia promedio de mercancía es de $30.000 obtuvo una utilidad de $36.000 sobre una venta de total de $180.000 en el año anterior. Encontrar:

a) la razón del total de ventas al inventario promedio. b) la razón de la utilidad a la venta total.

Solución:

a) 6000.30

000.180

promedioinventario

totalventa La razón es de 6 es a 1.

b) 5

1

000.180

000.36

ventas

utilidad, la razón es de 1 es a 5.

2. El acero para herramientas puede trabajarse en el torno a la velocidad de corte de 6 mm. por minuto, en tanto que el hierro fundido puede trabajarse con una velocidad de corte de 13,5 mm/min.

Hállese la razón de las velocidades de corte.

Solución:

Sean a y h las velocidades de corte del acero y del hierro,

respectivamente. Se forma la razón:

6 40 4

13 5 9,

,

a

h , luego la razón es de 4 es a 9.

RAZONES



1. La menor de dos poleas unidas por una correa hace 240 revoluciones por minuto, en tanto que la mayor hace 80. ¿Cuál es la razón de sus velocidades? 2. Un tren expreso marcha a la velocidad de 80 km./h mientras que un aeroplano vuela a 300 km./h. Hállese la razón de sus velocidades. 3. Un metro de alambre de cobre de 0,025 mm de diámetro tiene una resistencia de 8,6 ohmios, en tanto que un metro de alambre de aluminio del mismo diámetro tiene una resistencia de 15 ohmios. ¿Cuál es la razón de las dos resistencias? 4. La eficiencia de un proceso administrativo se define como la cantidad de operaciones de salida realizadas satisfactoriamente y el número de operaciones totales ingresadas. Si ingresan 6.000 operaciones y salen 4500 de ellas. ¿Cuál es la razón de eficiencia? 5. Un índice de confianza de inversión se define como la razón entre el tiempo en meses, hasta el primer retorno de la inversión y el monto en dólares asignado a ella. (IC=t/mi). Si en una instancia (IC= 0,50) y t se triplica, mi se aumenta al doble. ¿Cuál es la nueva razón? 6. En una empresa trabajan 84 personas. Si hay 21 mujeres. ¿Cuál es la razón inversa entre el número de mujeres y de hombres? 7. Las aristas de dos cubos miden respectivamente 2cm y 4cm. ¿En qué razón están sus volúmenes? 8. Los lados de dos terrenos cuadrados miden respectivamente 10 m y 20 m. ¿En qué razón están sus áreas? 9. Al completar la secuencia de círculos del siguiente diagrama, ¿cuál es la

razón entre círculos negros y el total de círculos?

Si la secuencia tuviera 100 circulitos en la base del triángulo, ¿Cuál sería la

razón entre círculos blancos y negros?

RAZONES


Proporción

Problema 3: Dos ruedas que engranan tienen velocidades que están a razón de 2:3. Si la rueda menor gira a 72 revoluciones por minuto, ¿a cuánto gira la rueda mayor?

Supongamos que las velocidades sean m y M, para la rueda menor y mayor, respectivamente. Cualquier valor que asuman las velocidades de las ruedas deberá estar a razón de 2:3, esto es

2

3

m

M

Si 72m , tendremos una igualdad entre dos razones con el término M

desconocido

72 2

3

M

Multiplicando por los inversos respectivos se obtiene una igualdad entre

“los productos cruzados”, lo que nos permite luego despejar la incógnita M

72 372 3 2 108

2

M M M

La rueda mayor gira a 108 revoluciones por minuto. Definición: Una proporción es una igualdad entre dos razones, se denota

a c

b d o : :: :a b c d

En general, resulta más conveniente trabajar con las fracciones, ya que permiten escribir la proporción de varias maneras y plantear “la igualdad de producto cruzado” como recurso para despejar cualquier término desconocido en una proporción.

PROPORCIONES


Dada una proporción a c

b d, se pueden formar proporciones equivalentes

cambiando la disposición de los cuatro términos, siempre que se mantenga

el producto cruzado a d b c .

a c d c

b d b a

a d b c

a b d b

c d c a

Ejemplo: La misma proporción 72 2

3

M planteada en el problema 3 se

podría escribir como

3

72 2

M

Lo que puede resultar más simple de resolver 3

72 1082

M

Ejercicios resueltos 1. En una fábrica de muebles se producen diariamente sillas y sillones en una razón de 5:4. Si el número de sillones es 8. ¿Cuál es el número de sillas?

Solución:

Sean a: número de sillas, b: número de sillones (b=8), luego la razón es:

4

5

b

a

Reemplazando los datos se tiene 4

5

8

a

5 810

4a a

Por tanto hay 10 sillas y el número total de sillas y sillones es:

a + b = 8 +10 = 18

PROPORCIONES


2. En una fábrica de zapatos las líneas de producción de dos modelos

diferentes, en determinados momentos del día, habrán producido 33 y 40

zapatos cada una, ¿cuántos zapatos más tienen que producir, para que la

producción de estas líneas esté en la razón 2:3?

Solución:

Sea x la cantidad de zapatos que restan por producir, para que las razones

de producción de las líneas de trabajo sea de 2:3. Luego de producir x

zapatos más, las líneas de trabajo habrán producido en total: 33 + x y

40 + x respectivamente, entonces:

33 2

40 3

x

x

Luego

3 33 2 40

99 3 80 4

19

( ) ( )x x

x x

x

Por lo tanto, después de producir 19 zapatos más la producción de ambas

líneas de trabajo, estará en la razón de 2:3.


1. Hallar el término desconocido en las siguientes proporciones:

a) 5,3

x=

3

6 b) 24: 0,4= x: 0,04

c) 4

3:6=1: x e)

x

2,0=

9,0

3,0

g) 24

6 16

x

x

f)

a x x b

a c c b

2. Una rueda dentada de 18" engrana con otra de 6". Suponiendo que la rueda mayor tenga 72 dientes, ¿cuántos tendrá la más pequeña?

PROPORCIONES


3. Si una pieza fundida que pesa 14 kg. cuesta $2.100, ¿cuánto costará una pieza que pesa 30 kg.? 4. Un alambre de cobre de 120 m de largo tiene una resistencia de 1.084 ohmios. ¿Cuál será la resistencia de un alambre de 750 m?

5. El hierro fundido pesa 7,2 kg. por dm3 y el pino blanco pesa 0,4

3/ dmkg . Suponiendo que un modelo hecho en madera de pino pese 2,25

kg. ¿Cuánto pesará una pieza que se funda con hierro fundido? 6. Una polea de 60 cm de diámetro y que da 180 revoluciones por minuto, mueve a otra polea de 36 cm de diámetro. ¿Cuántas revoluciones por minuto dará la polea más pequeña? 7. La fuerza de un motor de gas aumenta con el área del émbolo.

Suponiendo que un motor con una superficie de émbolo de 54 cm2

desarrolla 25,5 Hp. ¿Cuántos Hp desarrollará un motor con un émbolo

cuya superficie sea de 45,15 cm2

? 8. La razón entre las velocidades de un avión y un tren es de 15:2. Si la

velocidad del avión de 60 km/h. ¿Cuál es la velocidad del avión?

9. La altura de una puerta y una ventana en un edificio miden 1,80 m y 1,20

m respectivamente. En la maqueta, la puerta corresponde a 6 cm ¿Cuál es la

altura de la ventana?

10. Al leer la revista Estrategia, se ve un gráfico de barras que indica las compras de refrigeradores durante el mes de junio y julio de este año por cada centímetro cuadrado se venden 800 refrigeradores. Si para junio se tiene 1 por 9,6 cm. y en julio por 5,5 cm., en dicho gráfico. ¿Cuál es la venta real de refrigeradores en estos meses? 11. En una empresa, la razón entre los ingresos de 2 profesionales del área administrativa es de 10:12, el profesional de mayor ingreso declara una renta anual de 16,8 millones de pesos. ¿Cuál es el monto que declara el profesional de menores ingresos? 12. Una vertiente llena una garrafa de 18 litros en 16 minutos. ¿Qué capacidad daremos a un estanque para almacenar el agua de toda una noche (12hr)?

PROPORCIONES


Propiedades de Proporciones

Dada una proporción a c

b d, siempre es posible:

Componer la proporción

a b a c b d

c d c d

Descomponer la proporción

a b a c b d

c d c d

Componer y descomponer proporciones son técnicas útiles, en casos en que en un problema de proporciones no estén dados los tres términos conocidos, sino que la razón entre ellos y la suma o la resta de sus valores.

Ejemplo: Los pesos de dos piezas metálicas están en la razón de 3:5, si en

total pesan 600 gramos, ¿cuánto pesa cada pieza?

Sean x e y el peso de ambas piezas, se sabe que

3

5

x

y con 600x y

Componiendo la proporción y reemplazando por el valor de la suma se

tiene

3 5 600 8 600 5375

5 5 8

x yy

y y

Reemplazando 375y en la suma 600x y se obtiene

375 600 225x x

PROPORCIONES

Justificación de la propiedad de

componer una proporción:

Si se suma 1 a ambos lados de la

igualdad a c

b d se tiene:

1 1 a b

c d

Sumando los términos queda

a c b d

c d

De forma análoga, la propiedad

de descomponer una

proporción se obtiene restando

1 a cada fracción de la

proporción.


Ejercicios resueltos

1. En una mezcla la razón entre arena de cemento debe ser 7:4. Si se sabe

que la diferencia entre estas cantidades es de 36 mt3, ¿cuántos metros

cúbicos de arena y cemento se utilizarán en la mezcla?

Solución:

Sean a y b las cantidades de arena y cemento, respectivamente, entonces

7

4

a

b con a b = 36.

Al descomponer y reemplazar se tiene 7 4 36 3

847 7

a ba

a a

Como b = a 36, obtenemos que b = 48.

Se necesitan 84 mt3 de arena y 48 mt3 de cemento.

2. El área de dos zonas de seguridad de un colegio están en la razón 3:7. Si

ambas zonas tienen una superficie de 110 mt2, determine el área de cada

una de las zonas de seguridad.

Solución:

Sean c y d las áreas de cada zona, con 3

7

c

d y 110c d .

Al componer y reemplazar se obtiene

3 7 110 10 110 777

7 7 10

c dd

d d

Como 𝑐 + 𝑑 = 110, entonces 𝑐 = 110 − 𝑑 = 110 − 77 = 23

Las áreas de cada zona de seguridad es 77 y 23 mt2.

PROPORCIONES



1. Componga o descomponga las siguientes proporciones para determinar

el valor de a y b:

a) 7

5

a

b con 180a b b)

9

5

a

b con 48a b

2. Al dividir un alambre de 198 cm. en dos segmentos que estén en la razón

de 4:7, ¿cuánto mide cada pedazo de alambre?

3. El precio de dos autos están en la razón de 5:3, si uno cuesta $750.000

más que el otro, ¿cuál es el precio de cada uno?

4. La razón entre el contenido de un estanque y su capacidad es 2:3. Si para

llenarlo se necesitan 15 litros, ¿Cuál es la capacidad del estanque?

5. El bronce para campanas se compone de 4 partes de cobre y una parte de estaño. Hállese la cantidad de cada metal que hay en una campana que pesa 8,5 kg. 6. Los accidentes de trabajo en la cabeza y en las manos están en la razón de 2:5, entre 120 obreros de una constructora. Calcule la cantidad de obreros en cada sección.

7. Hallar todos los números enteros positivos de dos cifras ab tales que:

7

4

ab

ba

PROPORCIONES


Variables proporcionales

Problema 4: Considera las siguientes situaciones. ¿Son proporcionales las cantidades involucradas en cada situación? Solución: Hasta aquí hemos visto que una proporción es una igualdad entre dos razones, una definición que acota la proporcionalidad al ámbito aritmético. Pero, ¿qué significa que dos variables sean proporcionales?... En las dos situaciones propuestas en el problema, cuando una variable aumenta la otra también aumenta, ¿es suficiente este comportamiento para establecer proporcionalidad? ¿Qué se requiere para que dos variables sean proporcionales? Analicemos el comportamiento de las variables, comenzando por sus variaciones o diferencias. En los dos casos ocurre que, mientras la variable

x aumenta a una diferencia constante, la variable y también aumenta con diferencia constante.

PROPORCIONALIDAD

Situación 1

Nº de ladrillos

Peso (Kg)

5 6 10 12 15 18 20 24 25 30

Situación 2

Consumo (KWH)

Monto Factura ($)

2 726 4 862 6 998 8 1134 10 1276

Situación 1

x Nº de

ladrillos

y Peso (Kg)

5 6 10 12 15 18 20 24 25 30

+5

+5

+5

+5

+6

+6

+6

+6

+2

+2

+2

+2

+136

+136

+136

+136

Situación 2

Consumo (KWH)

Monto Factura ($)

2 726 4 862 6 998 8 1134 10 1276


Si una variable aumenta cuando la otra también aumenta no implica proporcionalidad. Que las variables aumenten a diferencias constantes (cómo en el problema) tampoco significa que necesariamente deban ser proporcionales, se necesita algo más… De manera intuitiva, se entiende que: “Dos variables son proporcionales si al aumentar (o disminuir) una variable cierta cantidad de veces, la otra variable también aumenta (o disminuye) la misma cantidad de veces”

En la situación 1, cuando el número de ladrillos (x) aumenta al doble, al

triple, cuatro veces, etc., el peso (y) también aumenta la misma cantidad de veces, lo que implica que ambas variables son proporcionales

En la situación 2, en cambio, se observa que cuando el Consumo (x)

aumenta al doble el Monto Factura (y) aumenta, pero no al doble, sino con un factor de 1,187. Las variables Consumo y Monto de la Factura no son proporcionales

PROPORCIONALIDAD

Situación 1

x Nº de

ladrillos

y Peso (Kg)

5 6 10 12 15 18 20 24 25 30

•2 •3

•4 •5

•2

•3 •4 •5

Situación 2

x Consumo (KWH)

y Monto

Factura ($)

2 726 4 862 6 998 8 1134 10 1276

•2 •1,187

Supuestos y proporcionalidad

Para ocupar proporcionalidad debemos asegurarnos que la naturaleza de las variables establece matemáticamente ese tipo de relación, por ejemplo la fórmula de perímetro de una circunferencia permite identificar, sin ninguna duda, que el radio y perímetro son proporcionales.

Sin embargo, en la mayoría de los casos debemos realizar supuestos para considerar que existe proporcionalidad entre dos variables, por ejemplo tiempo y nº de piezas que fabrica un obrero, debemos suponer que el obrero es capaz de trabajar siempre al mismo ritmo, o distancia y tiempo que demora un móvil, debemos suponer que la velocidad es contante.

Es decir, en algunos casos no podemos asumir proporcionalidad a menos que fijemos ciertas condiciones al problema, las que deben quedar bien explicitadas en la solución del problema.


.

Para resumir:

Si dos variables aumentan (o disminuyen) a la vez, no

necesariamente son proporcionales.

Pero, si dos variables son proporcionales, entonces necesariamente

ambas aumentarán (o disminuirán) a la vez.


1. Una fábrica produce láminas de acero. Para probar la resistencia del

material se someten a torsión y se mide el tiempo que demora en

producirse una fractura en la lámina. Las pruebas arrojaron los siguientes

resultados:

¿Existe proporcionalidad entre el espesor y el tiempo de fractura de la lámina? Solución:

Basta determinar los factores con los cuales la variable x aumenta o

disminuye y determinar si son los mismos factores para la variable y.

Calculamos los factores dividiendo, los valores de x por 5 y los de y por 3.

PROPORCIONALIDAD

Espesor (mm)

Tiempo Fractura (seg.)

5 3,2 7,5 4,8 10 6,4 4 2,56 12 9,6


Los factores para la variable x son:

7 5 10 4 121 5 2 0 8 2 4

5 5 5 5

,, , ,

Mientras que para y los factores son:

4 8 6 4 2 56 9 61 5 2 0 8 3

3 2 3 2 3 2 3 2

, , , ,, ,

, , , ,

En el último para de valores se observa que las variables varían de forma distinta, mientras el espesor aumenta 2,4 veces, el tiempo de fractura aumenta 3 veces.

Por tanto no existe proporcionalidad entre el espesor de la lámina y el

tiempo de fractura, para este caso.

2. Si las variables x e y son proporcionales, complete la siguiente tabla:

x 4 12 1

y 6 78 1,08

Solución:

Si calculamos el factor por el cual varía una de las variables, bastará multiplicar la otra variable por el mismo factor.

PROPORCIONALIDAD

x Espesor

(mm)

y Tiempo

(seg)

5 3,2 7,5 4,8 10 6,4 4 2,56 12 9,6

•1,5 •2

•0,8 •2,4

•1,5

•2 •0,8 •3


Porque 12:4 3

Vemos que x aumenta 3 veces, basta multiplicar 6 por 3.

Para determinar el siguiente resultado, obtendremos la variación de y

x 4 12 52

y 6 18 78

Y así sucesivamente…

x 4 12 52 1 0,72

y 6 18 78 1,5 1,08

x 4 12

y

x 4 12

y 6 18

PROPORCIONALIDAD



1. Determina en cuales de las siguientes situaciones las variables son

proporcionales:

Situación 1 Situación 2 Situación 3

Nº de clientes

Tiempo de atención (min.)

6 30

12 40

18 48

Tiempo (seg.)

Temperatura de una placa

(Cº)

5 8º

10 16º

15 24º

Consumo de agua

Mt3

Costo ($)

1 $2500

2 $3000

3 $4500

2. Si A y B son magnitudes directamente proporcionales, ¿cuáles son los

valores de x e y?

A B

10 50

x 100

30 y

3. Si las variables x e y son proporcionales complete la siguiente tabla:

x 6 12 72

y 9 54 2,25

4. Determine cuales de las siguientes variables pueden ser proporcionales,

especifique todos los supuestos que utilizó.

a) Consumo de bencina y rendimiento del vehículo.

b) Horas de trabajo diarias y número de piezas fabricadas.

c) Número de obreros y tiempo en ejecutar una obra.

d) Perímetro de un cuadrado y su lado.

e) Consumo de electricidad y monto de la boleta.

f ) Número de personas y tiempo que demora un cajero en atenderlos.

g) Número de tornillos y peso de la caja que los contiene.

h ) Radio y área de una cuadrado.

i) Número de artículos y precio.

PROPORCIONALIDAD


La constante de proporcionalidad

Hasta ahora, hemos descrito la proporcionalidad partiendo de su noción más intuitiva: dos variables son proporcionales si ambas aumentan o disminuyen la misma cantidad de veces. Lo que involucra el uso de constantes, que actúan como multiplicadores para las variables. La técnica que permite probar si dos variables son proporcionales se reducía a calcular los factores de cada una de las variables y comprobar si eran los mismos. Por ejemplo en una de las situaciones planteadas se determinó que los factores involucrados (2, 3 4 y 5) eran los mismos Aunque esta técnica resultó útil, es posible ampliar la noción de proporcionalidad a una que dependa solo de un factor, denominado factor de proporcionalidad. En vez de obtener los factores dividiendo valores de la misma variable,

ahora veremos que sucede al dividir los respectivos valores de y y x.

6 12 18 24 301 2

5 10 15 20 25,

y

x

El cociente 1,2 es constante para todos los pares de valores de y

x.

Definición: Dos variables x e y son proporcionales si y solo si:

yk

x

con 0k

PROPORCIONALIDAD

Situación 1

x Nº de

ladrillos

y Peso (Kg)

5 6 10 12 15 18 20 24 25 30

•2 •3

•4 •5

•2

•3 •4 •5


La técnica para determinar si dos variables son proporcionales se reduce a

comprobar que el cociente y

xes constante, para todos los pares de valores

de ambas variables.


1. En una fábrica producen cilindros metálicos de distinta longitud.

Determine si la altura de los cilindros es proporcional a su capacidad. Los

datos obtenidos de algunas muestran fueron:

x (altura cm) y (volumen cc)

5

10

7,5

15

3,75

20

40

112,5

60

28,125

Solución:

La razón entre los valores de y y x resulta constante

20 40 112,5 60 28,125

45 10 7,5 15 3,75

La altura es proporcional al volumen de cada cilindro.

2. ¿Cuáles de los siguientes pares de variables son proporcionales?

a) El radio de una circunferencia y su perímetro

b) El lado de un cuadrado y su área

c) El radio de una circunferencia y su área

Solución:

PROPORCIONALIDAD


a) Cuando aumenta el radio de una circunferencia también aumenta su

perímetro, pero ya se sabe que esto no es suficiente para decir que son

proporcionales. Veamos algunos los valores que se obtienen de la fórmula

de perímetro 2P r

r 1 2 3 4 …

P 2 4 6 8 …

La razón es contante 2 4 6 6

21 2 3 4

P

r

, por tanto el radio y

el perímetro de una circunferencia son proporcionales.

b) Cuando aumenta el lado del cuadrado también aumenta su área, pero no

podemos afirmar que sean proporcionales. Analizamos su comportamiento

en la siguiente tabla, que contiene la medida del lado (l ) y el área ( A= l2 )

l 1 2 3 4 …

A 1 4 9 16 …

Los cocientes 1 4 9

1 2 31 2 3

; ;A A A

l l l no son constantes, por lo

que el lado del cuadrado y su área no son proporcionales.

c) Cuando aumenta el radio de una circunferencia también aumenta su área,

lo que no significa que sean proporcionales. Si tabulamos la información del

radio (r) y a el área ( A= 2r ) tenemos

r 1 2 3 4 …

A 4 9 16 …

Claramente visualizamos que ambas aumentan, pero no de la misma

manera. La razón entre A y r no es constante

4 92 3

1 2 3

A A A

r r r

; ; ..

Por tanto el área de un círculo no es proporcional a la medida de su radio.

PROPORCIONALIDAD


El signo de la constante de proporcionalidad

Considera la siguiente situación.

Problema5: La temperatura de un líquido que se somete a congelamiento

disminuye en la medida en que pasan los minutos de la siguiente forma:

En este caso el cociente es constante igual – 2.

2 4 6 8 102

1 2 3 4 5

Sin embargo, el comportamiento de las variables no obedece al sentido de

proporcionalidad que reconocemos, en este caso cuando el tiempo aumenta

la temperatura disminuye.

Esto indica que, para que dos variables sean proporcionales no basta con

que el cociente sea constante, además debe ser positivo ( 0k ).

El problema del signo de la constante desaparece al trabajar con variables

que representen solo a magnitudes positivas.

Tiempo (min)

Temperatura (Cº)

1 – 2 2 – 4 3 – 6 4 – 8 5 – 10

PROPORCIONALIDAD


La relación de proporcionalidad

Recapitulando, hemos descrito la proporcionalidad de las siguientes formas:

1. Una proporción es una igualdad de dos razones:

a c

b d

2. Dos variables son proporcionales si al aumentar (o disminuir) una

variable cierta cantidad de veces, la otra variable también aumenta

(o disminuye) la misma cantidad de veces (por el mismo

multiplicador).

3. Dos variables son proporcionales si su cociente es constante:

yk

x , 0k

Necesitamos ampliar el estudio de la proporcionalidad para reconocerla

como un tipo particular de relación entre dos variables, que se expresa por

medio de una ecuación lineal.

Problema 6: Un alambre de cobre de 12 metros de largo tiene una resistencia de 75 ohms. Suponiendo que la longitud del alambre es proporcional a su resistencia, determine la resistencia de los siguientes trozos de alambre:

Longitud (mt) 12 18 5 32 9 2,4 0,8 52

Resistencia ( ) 75

Solución:

Desde una perspectiva puramente aritmética, bastaría plantear las

proporciones y encontrar cada uno de los valores desconocidos. La primera

proporción sería

12 75 18 75112 5

18 12,x

x

Longitud (mt) 12 18 5 32 9 2,4 0,8 52

Resistencia ( ) 75 112,5

PROPORCIONALIDAD


Proceso que continua, resolviendo las otras seis proporciones involucradas.

Sin embargo, detengámonos a juzgar la eficiencia de este método, ¿será

posible resolverlo en menos pasos?

Primero, convengamos en que existe una relación entre las variables, la

resistencia depende de la longitud del alambre, ¿habrá una fórmula o

ecuación que permita relacionarlas?

Llamemos y a la variable dependiente y x a la variable independiente, esto

es:

x: longitud del alambre

y: resistencia

Sabemos que al ser proporcionales existe una constante 0k , tal que

y

kx

A partir de esta expresión es posible escribir la ecuación que describe la

relación entre dos variables proporcionales

y kx

En el problema planteado, la contante de proporcionalidad es

756 25

12,

yk

x

Por tanto, la ecuación que establece la relación de proporcionalidad entre la

longitud del alambre y su resistencia es

6 25,y x

Luego, para obtener la resistencia para cada longitud bastaría reemplazar en

la ecuación por cada valor de x, esto es

PROPORCIONALIDAD


6 25 18 112 5

6 25 5 31 25

6 25 32 200

6 25 9 56 25

6 25 2 4 15

6 25 0 8 5

6 25 52 325

, ,

, ,

,

, ,

, ,

, ,

,

y

y

y

y

y

y

y

Longitud (mt) 12 18 5 32 9 2,4 0,8 52

Resistencia ( ) 75 112,5 31,25 200 56,25 15 5 325

Definición: Dos variables x e y son proporcionales si existe una constante

0k , tal que

y kx


1. Las nueve máquinas de una fábrica funcionan igual, completa la siguiente tabla de acuerdo al tiempo que funcionó cada una:

Máquina A B C D E F G H I

Tiempo (min) 60 70 100 40 120 36 80 90 210

Nº de tornillos 450

Solución:

Cómo las máquinas funcionan igual, el Nº de tornillos (y) será proporcional

al tiempo (x). La constante de proporcionalidad es

4507 5

60,

yk

x

La ecuación que relaciona las variables es

7 5,y x

•6,25

PROPORCIONALIDAD


Basta multiplicar los valores de x por 7,5

Máquina A B C D E F G H I

Tiempo (min) 60 70 100 40 120 36 80 90 210

Nº de tornillos 450 525 750 300 900 270 600 675 1575

2. Si un computador procesa 5 registros en 20 segundos, si el computador funciona a velocidad constante ¿Cuántos registros procesa en 1 minuto?, ¿en 1/2 hora?, ¿cuánto tiempo debe funcionar si se requiere procesar 200 registros? y ¿1500 registros?

Solución:

Dado que el computador funciona a velocidad constante, se asume que el

número de registros (y) es proporcional al tiempo (x). La constante de proporcionalidad es

50 25

20,

yk

x

Por tanto la ecuación es 0 25,y x

Al colocar los valores en una tabla, bastará multiplicar los valores de x por

0,25 para obtener sus respectivos valores de y. A la inversa, para obtener los

valores de x hay que dividir los valores de y por 0,25

x Tiempo (seg)

y Nº de registros

20 5 60 15

1800 450 800 200 6000 1500

•7,5

PROPORCIONALIDAD

• 0,25

: 0,25



1. La siguiente llave debe fabricarse modificando las medidas pero manteniendo la forma, de modo que la parte que mide 665 ahora mida 133 milímetros, ¿Cuál es la media del resto de las dimensiones de la pieza? 2. Suponiendo que las variables asociadas a las siguientes situaciones son proporcionales, encuentra la constante de proporcionalidad y determina las ecuaciones de proporcionalidad y k x involucradas en cada caso:

a) En una semana 3 mecánicos pueden reparar 8 vehículos, ¿cuál es la

ecuación que permite calcular el número de mecánicos (y) necesarios para

reparar x vehículos? Úsala para calcular el número aproximado de mecánicos que se necesitan para reparar 20 vehículos en una semana. b) Se necesitan 60 horas hombre para pintar 220 mt2 de pared, ¿Cuál es la

ecuación que permite determinar el número de horas hombre (y) necesarias

para pintar x mt2 de pared? Usa esta ecuación para calcular las horas

hombre que se requieren para pintar un edificio con 2550 mt2 de paredes.

c) La capacidad de una pila se expresa por el número máximo de amperios

que puede dar en una hora. Se sabe que una pila puede entregar 2,5

amperios cada 4 minutos, ¿Cuál es la ecuación que permite calcular el

número amperios (y) que da una pila en x minutos? Usa esta ecuación para

determinar los amperios que entrega una pila al cabo de media hora.

PROPORCIONALIDAD


3. Si X e Y son proporcionales completa las siguientes tablas:

4. Si $48 argentinos equivalen a $5.418 pesos chilenos a) Transforme $100, $1500, $10.050 pesos argentinos a su equivalente valor de pesos chilenos. b) Determine a cuantos pesos argentinos equivale a $100, $12.000 y $1.000.000 chilenos.

X Y

2 5 7 9 13

X Y

12 585 45

18 60

X Y

15 21 18 30 2

PROPORCIONALIDAD


La representación gráfica de una relación proporcional

Dos variables proporcionales se relacionan a través de una ecuación lineal

de la forma y kx , cuya gráfica es siempre una línea recta que pasa por el

origen:

Esto implica que en una relación de proporcionalidad, cuando x vale cero y

también valdrá cero, en efecto si y kx , cuando x = 0 se tiene

0 0y k

Esto permite diferenciar rápidamente situaciones proporcionales de otras

que no lo son. Por ejemplo, en las siguientes situaciones

Se puede determinar inmediatamente que entre el consumo de electricidad y el monto de la factura no puede existir una relación de proporcionalidad, ya que a 0 KWH le corresponde un monto distinto de 0.

PROPORCIONALIDAD

Situación 1

Nº de ladrillos

Peso (Kg)

0 0 5 6 10 12 15 20

18 24

25 30

Situación 2

Consumo (KWH)

Monto Factura ($)

0 590 2 726 4 862 6 998 8 1134 10 1276


Mientras que entre el número de ladrillos y su peso, para la cual ya se había

probado su proporcionalidad, se tiene que a 0 ladrillos, obviamente le

corresponde 0 kg. de peso.

Al graficar ambas ecuaciones se observa su diferencia, la de

proporcionalidad pasa por el origen y la de no proporcionalidad no.


1. El siguiente gráfico representa las toneladas de residuos sólidos por

persona en Punta Arenas.

a) ¿Son variables proporcionales? Justificar.

b) ¿Cuál es la cantidad de residuos sólidos generados por 450 personas?

PROPORCIONALIDAD


Solución:

a) Bastaría con identificar que la gráfica de la relación entre estas dos

variables es una recta que pasa por el origen para afirmar que son

proporcionales, pero agregaremos el análisis de la constante de

proporcionalidad para corroborar esta afirmación.

Recogiendo algunos de valores de la gráfica se tiene

Nº de personas Residuos sólidos

1 0,5

2 1

3 1,5

4 2

Efectivamente, existe la constante de proporcionalidad

0,5 1 1,5 20,5

1 2 3 4k

b) Dado que las variables son proporcionales, se relacionan a través de la

ecuación 0,5y x . Por tanto, cuando 450x se tiene

0,5 450 225y

Para 450 personas los residuos sólidos son 225.

Ejercicios Propuestos

Grafique las siguientes relaciones y determine en cuál de ellas hay

proporcionalidad:

1.

2.

3.

Tiempo (meses) 0 2 4 6 8

Precio del artículo $30 $24 $20 $18 $17

Lado del cuadrado 0 1 2 3 4

Área 0 1 4 9 16

Nº de clientes 0 10 20 30 40

Nº de reclamos 0 2 4 6 8

PROPORCIONALIDAD


Proporcionalidad inversa Hasta aquí hemos hablado de proporcionalidad, para referirnos a la proporcionalidad directa, ahora revisaremos la noción de proporcionalidad inversa.

Intuitivamente, dos cantidades a y b son inversamente proporcionales, cuando haciéndose mayor o menor la primera cantidad, la segunda se hace menor o mayor el mismo número de veces.

Esto implica que cuando una variable es multiplicada por m, la otra variable

es multiplicada por su inverso 1

m.

Ejemplo: Supongamos que todas las máquinas de un fábrica funcionan igual. La siguiente tabla muestra la relación entre el número de máquinas y el tiempo que demoran en terminar un trabajo, dos cantidades inversamente proporcionales Al igual que en la proporcionalidad directa, el hecho que una variable aumente cuando la otra disminuye no suficiente para establecer que son inversamente proporcionales, se requiere de otra condición.

Matemáticamente, decir que la variable y es inversamente proporcional a x

es equivalente a afirmar que y es proporcional al inverso (multiplicativo) de

x, esto es que

y es inversamente proporcional a x y es proporcional (directa) a 1

x

PROPORCIONALIDAD

x Nº de

máquinas

y Tiempo (horas)

6 24 12 12 18 8 3 48 2 72

•2 •3

•1/2 •1/3

•1/2

•1/3 •2 •3


Por definición y es proporcional a 1

xsi existe una constante 0k tal que

1y k

x o

ky

x

Definición: La variable y es inversamente proporcional a la variable x si

existe 0k tal que

ky

x

Nótese que en el caso de la proporcionalidad inversa la constante se determina multiplicando los valores de ambas variables

k x y

Lo que a su vez permite establecer un criterio por identificar cuando dos variables son inversamente proporcionales.

Una vez que se determina la constante de proporcionalidad los valores de y

se obtienen multiplicando por los inversos de x o lo que es lo mismo

dividiendo la constante por los valores de x. Problema 6: Se sabe que a un voltaje constante la intensidad en un circuito es inversamente proporcional a la resistencia. Mostrar que los valores de la tabla cumplen la condición de proporcionalidad inversa y determinar la intensidad para las resistencias dadas:

PROPORCIONALIDAD

x Resistencia

(Ohms)

y Intensidad (Amperes)

10 3,6 9 4 12 3 15 6 24

Algunas veces se comete el error de hablar de proporcionalidad indirecta. El concepto correcto es proporcionalidad inversa, por ser la proporcionalidad entre una variable y el inverso multiplicativo de la otra.


Solución: Dado que el producto de los 3 pares de valores dados es siempre constante concluimos que las variables son inversamente proporcionales y que la constante de proporcionalidad es 36

10 3 6 9 4 12 3 36,k x y

Por tanto la relación inversamente proporcional entre intensidad y resistencia queda determinada por la ecuación

36y

x

Reemplazamos los valores de x en esta ecuación obtenemos las intensidades buscadas

362 4

15

366

6

361 5

24

,

,

y

y

y

Ejercicios resueltos 1. Dos técnicos tardan 9 horas en configurar un sistema computacional. Si les ayudara un tercer técnico ¿cuánto tiempo tardarían en configurar el mismo sistema computacional, suponiendo que los tres trabajan al mismo ritmo? Solución: Al trabajar todos al mismo ritmo podemos asegurar que el tiempo es inversamente proporcional a la cantidad de técnicos

PROPORCIONALIDAD

x Resistencia

(Ohms)

y Intensidad (Amperes)

10 3,6 9 4 12 3 15 2,4 6 6 24 1,5

x Nº técnicos

y Tiempo (hrs)

2 9 3


La constante de proporcionalidad se determina multiplicando

2 9 18k x y

La ecuación que describe la relación inversamente proporcional entre estas variables es

18y

x

Por tanto para 3x técnicos se tiene 18

63 3

xy horas.

Ejercicios y Problemas Propuestos 1. Un grifo que entrega 0,6lt de agua por seg., llena un estanque en 21 h. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo otro grifo que da 0,9lt por seg.? 2. Para hacer un alumbrado en un condominio industrial se necesitan 388 postes a 1,50m de distancia. ¿Cuántos postes se ocupan si se ponen a 2m uno del otro? 3. Muestre que para mantener el área constante de un rectángulo el ancho debe ser inversamente proporcional al largo del rectángulo. 4. Una dactilógrafa escribe a máquina una página de 54 líneas a doble espacio. ¿Cuántas líneas escribirá en la misma página a triple espacio?

5. Nueve trabajadores podían terminar una obra en 10 días; el trabajo ha

durado 18 días. ¿Cuántos trabajadores faltaban?

6. El piso de una pieza se compone de 20 tablas de 5 pulgadas de ancho. Al renovarlo se colocaron tablas de 2 pulgadas. ¿Cuántas tablas se colocaron?

7. Un automovilista demora en ir a su trabajo 40 minutos cuando viaja a 50 Km./hr. Un día cualquiera se atrasa y calcula que debe llegar a su trabajo en solo 30 minutos. ¿A qué velocidad debe viajar para llegar a tiempo? 8 Siete personas consumen una determinada provisión en 2 días. ¿Cuánto tiempo tardarán 10 personas en consumir la misma provisión?

PROPORCIONALIDAD


Proporcionalidad compuesta Problema 7: Una máquina funcionando 6 horas diarias produce 90 artículos en 60 días, ¿en cuántos días se producirán 192 artículos, si trabajan 12 máquinas durante 8 horas diarias? Solución: En este problema intervienen más de dos variables. Ordenemos la información en la siguiente tabla:

M H D A

Nº de máquinas Hrs/diarias Nº de días Nº de artículos

1 6 60 90

12 8 192

La variable incógnita es D, ¿será directa o inversamente proporcional con cada una de las otras variables? Al comparar D con otra de las variables, supondremos que en ese instante el resto de las variables no varía. D es inversamente proporcional con M D es inversamente proporcional con H D es directamente proporcional con A

Recordemos que cuando una variable es directamente proporcional multiplica a la constante y cuando es inversamente proporcional la divide. Esto permite escribir una ecuación en la que D dependa de una constante que será multiplicada por las variables directamente proporcionales (A) y dividida por las variables inversamente proporcionales (M y H), esto es

k AD

M H

Para encontrar la constante reemplazaremos por los valores de la primera fila de la tabla

9060 4

1 6

kk

La ecuación queda completamente determinada 4 A

DM H

PROPORCIONALIDAD

Análisis de las variaciones proporcionales:

Se debe establecer el tipo de proporcionalidad entre la variable incógnita D y cada una de las otras variables.

- Si M aumenta (por ejemplo al doble), ¿Qué pasa con D? ¿aumenta (al doble) o disminuye proporcionalmente (a la mitad)?

- Suponga a la vez que las otras variables son constantes, esto es que el número de horas diarias H y el número de artículos A son fijos.

En este caso, manteniendo constante H y A, un aumento en M genera una disminución inversamente proporcional en D.

Se repite el mismo tipo de análisis para el resto de las variables.


Basta reemplazar por los valores de la segunda fila de la tabla para encontrar el término desconocido

4 1928

12 8D

En 8 días producirán 192 artículos, con 12 máquinas funcionando 8 horas diarias. Este es un caso de proporcionalidad compuesta.

Definición: Si la variable y es directamente proporcional a las variables

1 2, ,..., nx x x e inversamente proporcional a las variables 1 2, ,..., mz z z ,

entonces existe 0k tal que

1 2

1 2

n

m

k x x xy

z z z

Ejercicios resueltos 1. Cuatro operarios en 10 días producen 320 piezas de un cierto producto. ¿Cuántas piezas de este mismo producto serán producidas por 10 operarios en 16 días? Solución:

N D P

Nº de operarios Nº de días Nº de piezas

4 10 320

10 16

P es directamente proporcional con N P es directamente proporcional con D Por tanto la ecuación de proporcionalidad compuesta es

P kND El valor de k se determina reemplazando por los valores de la primera fila

320 4 10 0 125,k k

PROPORCIONALIDAD


La ecuación es

0 125,P ND

Reemplazando por el resto de los valores tenemos que

0 125 10 16 20,P

2. Veinte obreros pintan una muralla de 60 mt2 en 18 minutos. ¿Cuántos obreros se necesitan para pintar 36 mt2 en 12 minutos? Solución:

N S M

Nº de obreros Superficie Nº de minutos

20 60 18

36 12

N es directamente proporcional con S N es inversamente proporcional con M La ecuación de proporcionalidad compuesta es

kSN

M

El valor de k se es

6020 6

18

kk

La ecuación queda expresada por

6SN

M

Al reemplazar por los valores de la segunda fila se tiene

6 3618

12N

PROPORCIONALIDAD


Ejercicios y Problemas Propuestos 1. Para fabricar 15 artículos 5 obreros se demoran 30 minutos. ¿Cuánto tiempo tardarán 3 hombres para fabricar 36 artículos? 2. En una industria textil se requiere trabajar con gran cantidad de agua destilada, para tal efecto se dispone de un depósito de 12m de profundidad el que es llenado en 8 días a razón de 50 lt por segundo. Si el agua que debiera ocuparse cayera a razón de 65 lt por segundo y el depósito fuera de sólo 8m de profundidad. ¿Cuántos días tardaría en llenarse? 3. Un control de calidad estipula que un líquido en envase de transporte convencional debe ser inversamente al volumen V que ocupa y directamente proporcional a la temperatura absoluta T. ¿A qué presión se

deben someter 100 3m de gas de helio a 1 atmósfera de presión y 253°

absolutos de temperatura, para que se reduzcan a 50 3m a una temperatura de 313° absolutos? 4. Seis hombres trabajando durante 9 días, a razón de 8 horas diarias han hecho los 3/8 de un trabajo. Si se refuerzan con 4 hombres, y los obreros trabajan 6 horas diarias. ¿En cuántos días terminarán el trabajo? 5. Expresar mediante una ecuación en la que intervenga una constante de

proporcionalidad K los enunciados siguientes:

a) La longitud de una circunferencia es directamente proporcional a su diámetro. b) El período T de la oscilación de un péndulo simple en un lugar determinado es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud.

c) La fuerza de atracción F entre dos masa m 1 y m 2 es directamente

proporcional al producto de ambas masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r entre ellas.

PROPORCIONALIDAD


Análisis de la variación proporcional en una ecuación

Problema 8: La ley de Ohm establece la relación entre la intensidad I

(medida en amperes), el voltaje V (medido en voltios) y la resistencia R (medida en ohms) de un circuito eléctrico. La ecuación que relaciona estas tres variables es

VI

R

¿Existe una relación de proporcionalidad, directa o inversa entre I, V y R? Solución: No necesitamos ser eléctricos, ni medir con un instrumento para tratar de ver qué pasa si el voltaje aumenta, ¿aumentará proporcionalmente la resistencia?, nada de eso… Cuando una relación se expresa matemáticamente, a través del lenguaje algebraico, toda la información queda contenida en la ecuación, basta mirarla para responder. En efecto, por las definiciones de proporcionalidad si dos variables aparecen dividiéndose y suponemos que su resultado es constante, entonces

será proporcionales. En el problema, V y R forman un cociente

VI

R

Por tanto basta asumir que si la intensidad I es constante, el voltaje V y la

resistencia R serán directamente proporcionales. Manipulando la expresión obtenemos la ecuación equivalente

VR

I

Otro cociente, ¿Qué nos dice la expresión?

Que a resistencia R constante el voltaje V y la intensidad I serán directamente proporcionales.

PROPORCIONALIDAD

Recordemos que:

1. Dos variables son

directamente proporcionales si

su cociente es constante:

0y

k kx

2. Dos variables son

inversamente proporcionales si

su producto es constante:

0x y k k


¿Qué otra ecuación equivalente podemos formar manipulando la expresión?

I R V

También por definición, dos variables son inversamente proporcionales si

su producto es constante. Como vemos en esta ecuación, a voltaje V

constante, la intensidad I es inversamente proporcional a la resistencia R.

En resumen, si las variables se están dividiendo serán directamente

proporcionales y si se están multiplicando serán inversamente

proporcionales, siempre que supongamos que los resultados de esas

operaciones sean constantes.

PROPORCIONALIDAD


Porcentajes y proporcionalidad La noción de porcentaje tiene relación a la necesidad de comparar cantidades de manera relativa, se utiliza el 100 como referencia para comparar una cantidad respecto de su total. El cálculo de porcentajes implica el planteamiento de la proporción

100

C p

T

En donde una cantidad C es a su total T como el p% es a 100%. Dado dos términos el cálculo del término desconocido de esta proporción puede corresponder a los siguientes casos:

1. Hallar el tanto por ciento de un número dado (C)

2. Hallar un número conociendo el tanto por ciento de él (T)

3. Hallar el tanto por ciento que representa un número de otro dado (p) Ejercicios resueltos 1. Hallar el tanto por ciento de un número

Hallar el 18% de 96.

Solución:

Sabemos que el 100% de 96 es 96 y al 18% de 96 le designaremos por "x"

formando la siguiente proporción:

x

96=

%18

%100 x =

100

1896 = 17,28

Luego, el 18% de 96 es 17,28 2. Hallar un número conociendo un tanto por ciento de él

¿De qué número es 36 el 18%?

Solución: Si 36 es el 18% del número buscado, el 100% será un número desconocido

"x", con lo que formamos la siguiente proporción;

PORCENTAJE


x

36=

%100

%18 x =

18

10036 = 200

Luego, el número buscado es 200. 3. Qué tanto por ciento es un número de otro dado

¿Qué tanto por ciento es 9 de 36?

Solución:

Tenemos que 36 es el 100%, luego 9 será el x% de 36, formándose la

siguiente proporción:

9

36=

%

%100

x x =

36

%1009 = 25%

Luego, 9 es el 25% de 36

Ejercicios y Problemas Propuestos 1. Calcular los siguientes porcentajes: a) 8% de 250 b) 15% de 462 c) 25% de 9,6

d) 2,3% de 48,72 e) 333

1% de 1236 f) 0,75% de 24

2. El metal blanco se compone de 3,7% de cobre, 88,8% de estaño y 7,5% de antimonio. ¿Cuántos kilos de cada metal hay en 465 kg.? 3. El fabricante de cierta marca de automóviles calcula sus costos como sigue: materiales, 38,5%; mano de obra 41,25%; gastos generales 6,5% y ganancia 13,75%. Hallar el costo de cada una de estas partidas en un automóvil que se vende a U$ 8.500.

4. De qué número es:

a) 3 el 75%? b) 22,4 el 75%? c)3

2 el 25%?

d) 35 el 5%? e) 60 el 90%? f) 76 el 10%

PORCENTAJE


5. El rendimiento de un motor es del 90%, esto es, la cantidad de energía

entregada es el 90% de la que recibe. Suponiendo que el motor produzca 8

Hp. ¿Cuál es la cantidad de energía que recibe?

6. Un comerciante vende un artículo en $3.600, perdiendo un 10%. ¿Cuánto le costó el artículo?

7. Cierto mineral rinde el 5% de hierro. ¿Cuántas toneladas de mineral se

necesitan para producir 2,5 toneladas de hierro?

8. ¿Qué tanto por ciento de: a) 8 es 7? b) 7,2 es 18,5? c) es 3,25 de 5,5?

d) 860 es 129? e) 30 es 6? f) es 0,64 de 512?

9. Un motor que recibe 8 Hp entrega 6,8 Hp. ¿Qué tanto por ciento de la

energía recibida es la energía entregada?

10. Para hacer 95 kg. de soldadura empleamos 11,5 kg. de plomo y 83,5 kg.

de estaño. ¿Qué % de cada metal se utilizó?

11. Un trabajo realizado en un taller mecánico exigió 42 h. de torno; 7,5 h

en la fresadora y 114

1 h en la cepilladora. ¿Qué % del tiempo deberá

cargarse a cada máquina?

12. Una compañía de bebidas empaca las latas en cajas como se muestra en

la siguiente figura:

¿Qué porcentaje de la caja queda vacía?

PORCENTAJE


Porcentajes, decimales y fracciones Problema 9: En una ciudad de 120.000 habitantes el 65% trabaja, de este grupo el 80% son hombres, de ellos el 20% gana el sueldo mínimo, de los cuales el 5% a cambiado de trabajo en el último año. ¿A cuántas personas corresponden? Solución: Si ocupamos la noción de porcentaje asociada al cálculo de proporciones nos veremos en la necesidad de plantear y resolver 4 proporciones para resolver este problema, ¿habrá alguna forma más rápida de llegar al resultado? Veremos la solución luego de analizar cómo podemos hacer evolucionar el cálculo de porcentajes desde la proporción hacia el uso de decimales o fracciones. Partamos planteando la proporción involucrada en la pregunta

¿Cuál es el p% de T?

De la proporción 100

C p

T se tiene que

100

pC T

Es decir, cualquier cálculo de la cantidad en un porcentaje se obtiene

multiplicando el total por la fracción p/100. Veamos algunos ejemplos:

El 25% de 120 es:

25120

100 ó 0 25 120, ó

1120

4

El 8% de 40 es:

840

100 ó 0 08 40, ó

240

25

El 130% de 0,5 es:

1500 5

100, ó 1 5 0 5, , ó

30 5

2,

PORCENTAJE


Como podemos ver en el cálculo de porcentajes está involucrado un multiplicador, que puede tener una expresión decimal o fracción. Veamos ahora lo útil y eficiente que resulta ocupar el multiplicador decimal para resolver el problema 9. El problema se puede resumir al cálculo del 5% del 20% del 80% del 65% de 120.000, que escrito como fracción sería

5 20 80 65120000

100 100 100 100

Mejor aún, ocupemos la expresión decimal

0 05 0 20 0 80 0 65 120000 624, , , ,

Basta multiplicar para obtener el resultado. Esta técnica suele ser, en muchos casos, más rápida de ejecutar que la del cálculo de porcentajes a través de proporciones.


1. El control de calidad de un determinado producto registra cada día el aumento o disminución porcentual de artículos defectuosos, respecto del día anterior. Las siguientes fueron las variaciones porcentuales diarias: Martes: aumentó un 3% Miércoles: disminuyó un 5% Jueves: aumentó un 12% Viernes: disminuyó un 20% Sábado: aumentó un 2,5% Si el día lunes había 1800 artículos defectuosos, ¿cuántos artículos

aproximadamente, hay defectuosos el día sábado?

Solución:

Lo primero es determinar que tantos porcientos están involucrados en los

aumentos de y diminuciones señaladas.

PORCENTAJE


Un aumento del 3% implica calcular el 100% + 3% = 103% (1,03)

Una disminución del 5% implica calcular el 100% – 5% = 95% (0,95)

Un aumento del 12% implica calcular el 100% + 12% = 112% (1,12)

Una disminución del 20% implica calcular el 100% – 20% = 80% (0,80)

Un aumento del 2,5% implica calcular el 100% + 2,5% = 102,5% (1,025)

Por tanto el día sábado habrá

1 025 0 80 112 0 95 1 03 180 161 7, , , , , ,

Aproximadamente 162 artículos defectuosos.

2. Si una pieza de caucho se estira un 20%, al soltarla disminuye un 20%

respecto de su medida anterior, ¿hubo alguna variación en la longitud de la

pieza? ¿Se mantuvo igual? ¿Aumentó? ¿Disminuyó? ¿En qué porcentaje?

Solución:

Como no conocemos la longitud de la pieza de caucho, la consideraremos

un variable L.

La pieza aumenta un 20% implica calcular el 120% de L. La pieza

disminuye un 20% implica calcular el 80% de lo anterior

Es decir, queremos determinar el 80% del 120% de L, esto es

0 80 1 20, , L

Obviamente no podemos calcular la medida final de la pieza sin conocer el

valor particular que asumiría L. Pero no necesitamos esa información, lo

que queremos es saber en qué porcentaje varió la pieza. Bastará calcular el

producto de los decimales y el resultado interpretarlo como el porcentaje

acumulado

0 80 1 20 0 96, , ,L L

Queda el 96% de la longitud inicial del caucho. Es decir al aumentar el 20%

y disminuir el 20% la medida de la pieza no se mantuvo igual, varió,

específicamente disminuyó un 4% respecto de su valor original.

PORCENTAJE



1. Calcule los siguientes porcentajes: a) El 20% del 2% del 200% de 2000 b) El 0,12% del 1,2% del 12% del 120% de 1200 c) El 50% del 50% del 50% ….del 50% (10 veces) de 1000000 2. Calcular el 30% del 30% de una cantidad ¿es lo mismo que calcular el 60% de ella? Si no es lo mismo, ¿qué porcentaje es el 30% del 30% de algo? 3. La intensidad de una señal de radio se va reduciendo cada kilómetro en un 5%. ¿Qué porcentaje de la señal queda al cabo de 3 km?, ¿de 10 km?, ¿de 20 km? 4. El número de usuarios que se conectan a un servidor varía cada día respecto del anterior de acuerdo a la siguiente tabla:

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado

+4% -6% +18% -12% +0,5% x%

a) ¿Qué porcentaje debió variar el día sábado para que el porcentaje de variación acumulado sea de 12,2%? b) Si al comienzo de la semana empezó con 12.486 usuarios conectados, ¿cuánto debería variar el día sábado para que termine la semana con 9.554 usuarios?

5. La velocidad de un móvil está dada por la fórmula d

vt

, ¿Qué

porcentaje varía la velocidad si la distancia aumenta un 30% y el tiempo disminuye un 30%?

6. La ley de Newton dice que F m a , ¿qué tanto por ciento varía la fuerza F cuando la masa disminuye un 50% y la aceleración aumenta un 20%?

PORCENTAJE

132 UNIDAD 3: DESARROLLO ALGEBRAICO

l álgebra es una de las herramientas más potentes que ha creado el ser humano

para el desarrollo del pensamiento matemático. En álgebra las letras se utilizan

como símbolos, que representan a números que no conocemos o que no

queremos especificar. La ventaja del álgebra es que permite escribir de forma

concisa y sin ambigüedades expresiones que en lenguaje verbal resultan extensas e

imprecisas.

El álgebra se inició con el estudio de las ecuaciones, que hasta el siglo XVI se reducía a

describir, de forma verbal, los pasos involucrados en la resolución de algunos casos

particulares de ecuaciones. La generalización de los métodos de resolución solo fue posible

con la incorporación de un invento notable: el álgebra simbólica.

El matemático hindú Al-Khwarizmi (siglo IX d.C), que escribió el primer tratado de

ecuaciones, trabajaba de forma retórica, resolvía la ecuación 2 10 39x x de la siguiente

forma:

“Debes tomar la mitad del número de raíces, que en este caso es 5, multiplicarlo por sí mismo, obtienes 25, al que le sumas el número 39, con resultado 64. Tomas la raíz cuadrada de este número que es 8 y le restas la mitad de las raíces y obtienes 3, que es el valor buscado”

Con el simbolismo algebraico podemos resumir toda esta información en una fórmula, la

solución de la ecuación cuadrática del tipo 2x bx c es

2

2 2

b bx c

UNIDAD 3

DESARROLLO

ALGEBRAICO

E



UNIDAD 3

DESARROLLO ALGEBRAICO


Resuelve operatoria con símbolos algebraicos expresados en fórmulas y situaciones de la especialidad.


Plantea una expresión algebraica mediante un enunciado verbal y viceversa.

Valoriza expresiones algebraicas mediante la operatoria en los números reales.

Despeja un término literal en función de otros términos presentes en una expresión algebraica. APRENDIZAJE ESPERADO

Desarrolla la operatoria algebraica de una expresión propuesta, utilizando estrategias de simplificación y

reducción de términos.


Simplifica una expresión algebraica mediante la reducción de paréntesis y términos semejantes.

Realiza la reducción de expresiones algebraicas utilizando reglas de operatoria y métodos de factorización.

Resuelve operatoria de fracciones algebraicas mediante estrategias de factorización y simplificación.



Resuelve problemas que involucren el planteamiento y resolución de ecuaciones y sistemas de

ecuaciones mediante la utilización de procedimientos algebraicos y de representación gráfica.


Determina la solución de un problema propuesto que involucra una ecuación de primer grado, analizando la pertinencia de la solución y comunicando su respuesta de manera efectiva.

De Determina la solución de un problema propuesto que involucra ecuación de segundo grado, analizando la pertinencia de la solución y comunicando su respuesta de manera efectiva.

Resuelve problemas generales y relativos a la especialidad mediante sistemas de ecuaciones, analizando la pertinencia de las soluciones y comunicando sus resultados de manera efectiva.


Resuelve problemas que involucren el planteamiento y resolución de inecuaciones y sistemas de

inecuaciones en forma algebraica y representando la solución gráficamente.


Representa gráficamente una desigualdad lineal.

Presenta la inecuación correspondiente a una situación de la especialidad.

Resuelve problemas en el contexto de la especialidad mediante inecuaciones de primer grado.


Introducción

Muchas veces el álgebra elemental se visualiza como una materia abstracta,

que involucra reglas para manipular expresiones en la que intervienen

literales, sin que quede claro el sentido y utilidad que esto tiene. Esta

interpretación está provocada por la forma en que se enseña, más que por

la naturaleza de esta materia.

El estudio del álgebra no puede restringirse al dominio de las reglas de

manipulación algebraicas. De la misma forma en que el uso y sentido de las

palabras precede al estudio sistemático de la sintaxis del lenguaje natural, el

álgebra requiere la comprensión adecuada del lenguaje algebraico antes de

adentrarse en las técnicas de manipulación algebraicas.

El álgebra elemental estudia determinados objetos a través del lenguaje

simbólico, las letras son símbolos que admiten distintos usos y significados.

Para que el álgebra elemental sea una herramienta útil para describir y

resolver problemas de todo tipo, es necesario seas capaz de expresar

simbólicamente relaciones y procesos de carácter general.

Es importante señalar que no se puede sostener el estudio de esta materia

en abstracto, obviando o postergando la razón de ser del álgebra elemental.

El álgebra elemental es una herramienta que permite modelar y resolver

problemas de otras áreas de la matemática, o de otros ámbitos en general.

Muchos de los problemas que se nos presentan no requieren, ni tampoco se

justifica la utilización de álgebra en su solución. Sin embargo, en la medida

en que se avanza en el estudio de las matemáticas y sus aplicaciones, los

métodos aritméticos ya no son suficientes, la memoria ya no puede

procesar toda la información, se requiere un medio para expresarla y

trabajar con ella. Se hace necesaria una traducción al lenguaje algebraico,

que generaliza, resume y simboliza toda la información y las relaciones

contenidas en el problema. Veamos un ejemplo.

Problema 1:

a) Un corredor se encuentra a 10 metros de la partida y avanza 3 metros

por segundo. Un segundo corredor que está a 2 metros de la partida recorre

5 metros cada segundo, ¿cuánto tiempo pasa para que ambos corredores se

encuentren?

LENGUAJE

ALGEBRAICO


b) Supongamos que en el problema anterior el primer corredor se

encontraba a 93 metros de la partida y el segundo a 45 metros de la partida,

¿cuánto tiempo pasa para que se encuentren?

Solución: a) Se debe contar las veces que se suma reiteradamente para que las

distancias recorridas sean iguales. La forma de registrar el proceso puede ser

diverso: con palabras, una tabla de valores, un dibujo, un esquema, etc., y la

precisión en el lenguaje puede no afectar en absoluto el resultado. Por

ejemplo:

Seg. Distancia Corredor 1

Distancia Corredor 2

0 10 2 1 13 7 2 16 12 3 19 17 4 22 22

Los corredores se encuentran a los 4 segundos

b) En el segundo caso la búsqueda por sumas reiteradas aparece como un

método ineficiente, se amerita plantear la situación de forma algebraica.

x tiempo trascurrido en segundos (incógnita).

93 3x distancia recorrida por el primer corredor.

45 5x distancia recorrida por el segundo corredor.

Considerar que ambas distancias son iguales equivale a plantear la ecuación

93 3 45 5x x

Aplicando las técnicas para resolver este tipo de ecuaciones se tiene

93 3 45 5

93 45 5 3

48 2

24

x x

x x

x

x

LENGUAJE

ALGEBRAICO


Significados de las letras en álgebra

¿Qué significado puede tener la expresión 3m?

De forma natural, muchos estarán inclinados a pensar que podría

representar 3 objetos que comienzan con la letra m, por ejemplo 3 metros,

3 manzanas, 3 minutos, etc. Es decir, la letra m es usada como una etiqueta

de los objetos involucrados. Sin embargo, este no es el uso que se les quiere

dar a las letras en álgebra.

En álgebra, 3m representa 3 veces el número de objetos o 3 veces su

medida, por ejemplo 3 veces la cantidad de metros, 3 veces el peso de las

manzanas o 3 veces la cantidad de minutos. En este caso m actúa como una

variable, la letra toma el lugar de los números no especificados.

3m

3 metros 3 veces la cantidad de metros

Etiqueta Variable

Significado asociado al álgebra

Traducción al lenguaje algebraico

La posibilidad de resolver algunos problemas matemáticos depende de la

habilidad para traducir la situación planteada al lenguaje algebraico. Este

proceso no es evidente y se cometen varios errores que podemos ir

comentando. Consideremos la siguiente situación:

En cierta colectividad indígena, donde no se utiliza dinero para comprar, se

establecen las siguientes equivalencias de cambios: por 5 gallinas se obtienen 6

conejos. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación?

El primer error sería usar letras como etiquetas para los objetos

5G significaría “5 gallinas”

6C significaría “5 conejos”

LENGUAJE

ALGEBRAICO


El siguiente error podría ser forzar una “traducción literal” del enunciado,

esto es convertir cada una de las palabras claves del enunciado en un

símbolo, conservando el orden en que aparecen. Por ejemplo traducir “por

cinco gallinas se obtienen 6 conejos” en

5 6G C

Lo adecuado sería considerar las letras como variables, esto es

G número de gallinas

C número de conejos

La expresión correcta surge al plantear la razón entre las variables. En

efecto, el enunciado señala que la razón entre número de gallinas y número

de conejos es de 5 es a 6, esto es

5

6

G

C

Si multiplicamos cruzado se obtiene la expresión algebraica, que es distinta

a la que inicialmente se había propuesto.

6 5G C

Considera estas observaciones cuando tengas que escribir un enunciado en

lenguaje algebraico.

LENGUAJE

ALGEBRAICO


Tipos de variables

Un paso fundamental en la comprensión del álgebra es dejar de considerar

a las letras como etiquetas o iniciales de palabras, para interpretarlas como

variables. Pero aquí se abre la problemática del abanico de significados que

puede adoptar una variable.

Problema 2: La siguiente figura muestra las dimensiones de una pieza

metálica.

¿Qué representan las siguientes expresiones? ¿Qué función cumplen los literales en cada una de ellas?

a) 24 2r

b) 24 2 40r

c) 24 2r P Solución: Ya sabemos que un literal representa a un número, pero ¿a cualquier número?, ¿o solo a algunos números desconocidos? Depende de la situación y de la expresión en que está contenida.

La expresión 24 2r representa el perímetro del contorno de la pieza. En

este contexto el literal r simboliza la medida de uno de los lados, es un valor

desconocido, que no interesa y ni se puede calcular. La variable r es un número generalizado que puede asumir, en este caso, cualquier valor positivo.

Por otro lado 24 2 40r es una ecuación, la letra r actúa ahora como incógnita, un valor desconocido que permite que el perímetro de la figura

sea 40, podemos determinar el valor numérico de r resolviendo la ecuación.

La expresión 24 2r P también representa el perímetro, pero ahora se

utiliza una letra para expresarlo, P depende de r, las variables están el contexto de una relación funcional.

LENGUAJE

ALGEBRAICO

10

r

r

3 3 4 4


Recuerda entonces que los literales tienen varios usos y aparecen en

determinados contextos. Aunque la clasificación de variables no es única

podemos describir los siguientes tipos:

Incógnitas Ecuación

5 2 12a

Literales Número generalizado Expresión algebraica

5 12a b

Variables Función

5 12a b

¿Cómo reconocer si un problema se traduce a una ecuación, una expresión

o una función? Se requiere de la habilidad para reconocer la presencia de

incógnitas, números generalizados y variables en el problema involucrado.

La siguiente tabla muestra los aspectos más relevantes de este análisis:

Uso de la letra Incógnita Número generalizado Variables

Tipo de expresión Ecuación Expresión algebraica Función

Se identifica por La existencia de un valor desconocido que es posible determinar con los datos del problema.

La existencia de una cantidad indeterminada que no se puede, ni se quiere especificar.

La existencia de dos o más cantidades indeterminadas que son dependientes entre sí.

Condiciones La relación de los datos con la incógnita debe permitir plantear una igualdad.

La relación de los datos con el número generalizado no permite plantear una igualdad.

La relación de los datos con las variables permite plantear la igualdad de una variable en término de las otras.

Ejemplos 2 5 8x 2 5 8x 2 5x y

2 5 6 0a a 2 5 6a a

2 5 6b a a

3 23

4

MM

3 23

4

MM

3 23

4

MF M

:

LENGUAJE

ALGEBRAICO


Problemas Resueltos

Identificar en cada uno de los siguientes problemas el tipo de variable

involucrada (incógnita, número generalizado o variable) y la expresión que

las contiene (ecuación, expresión algebraica o relación funcional):

1) Inicialmente el ancho de un terreno rectangular era el doble de su largo,

pero al ampliarse 1 metro el ancho y 2 metros el largo se necesitaron 48

metros de alambre para cercarlo. ¿Cuáles eran las medidas del terreno

inicial?

Solución:

El ancho del terreno es una cantidad desconocida, cuyo valor se quiere y se

puede determinar con los datos del problema, es por tanto una incógnita.

x: ancho del terreno (incógnita)

Para determinar la ecuación es necesario relacionar los datos para formar

expresiones y establecer algún tipo de equivalencia que permita plantear la

igualdad de la ecuación. A través del dibujo podemos analizar la relación de

los datos con la incógnita:

El perímetro del rectángulo está dado por la expresión

2(2 1) 2( 2)x x

La igualdad surge del hecho que este perímetro debe ser 48, se plantea

entonces la ecuación

2(2 1) 2( 2) 48x x

LENGUAJE

ALGEBRAICO

x

2

1 2x

1 2x

x

2


2) Inicialmente el ancho de un terreno rectangular era el doble de su largo,

luego se amplió 1 metro el ancho y 2 metros el largo. ¿Cuántos metros de

alambre se requieren para cercarlo?

Solución:

En este caso el ancho del terreno es una cantidad que podría asumir

cualquier valor positivo, cumple con la definición de número generalizado.

x: ancho del terreno (número general)

Dado que el ancho del rectángulo es variable, lo que realmente importa en

la situación no es determinar un valor específico para la longitud del

alambre, sino su expresión general en términos de x .

El alambre cubre el perímetro del rectángulo, por tanto su longitud está

dada por la expresión algebraica

2(2 1) 2( 2)x x

3) Una fábrica produce piezas metálicas rectangulares, cuyo contorno

(perímetro) debe ser rodeado por un alambre de 200 mm de longitud.

Encuentre la relación entre la altura y la base de las piezas que se pueden

construir con esta condición. ¿Cuál es la altura de una pieza de base 64

mm?

LENGUAJE

ALGEBRAICO

x

2

1 2x

1 2x

x

2

h

b


Solución:

En el problema, los valores de la altura y la base pueden variar, pero

ajustándose a una condición, que permite establecer una dependencia entre

ellas. Se trata por tanto de variables y de una relación funcional. Dado que

se quiere determinar la altura dado un valor específico de la base, h es la

variable dependiente y b la independiente.

h: “medida de la altura” (variable dependiente)

b: “medida de la base” (variable independiente)

La condición es que el alambre, que cubre el perímetro del rectángulo, mida

200 mm., lo que permite establecer una expresión

2 2h b “perímetro de la pieza rectangular”

Y la igualdad

2 2 200h b

La función involucrada requiere despejar h en términos de b

2 2 200 100 100h b h b h b

Por tanto la función que relaciona estas variables es

100h b

Se dice que h está en función de b.

Para determinar la altura cuando la base vale 64 basta reemplazar b = 64 y

calcular h.

LENGUAJE

ALGEBRAICO



1. Traducir las siguientes situaciones a lenguaje algebraico y señalar si se

trata de ecuaciones, expresiones algebraicas o relaciones funcionales y cuál

es el uso de los literales que está involucrado (incógnita, número

generalizado o variables):

a) Para evitar los choques se recomienda que la distancia entre dos

vehículos sea 0,55 veces la velocidad que llevan.

b) El precio de un repuesto es p , un segundo repuesto es $120 pesos más

caro y el precio de un tercer repuesto es el doble del precio de los otros dos

repuestos juntos, ¿cuál es el precio total de los tres repuestos?

c) La velocidad promedio de un móvil es igual al cociente entre la distancia

recorrida y el tiempo que tarda en recorrerla.

d) Un proceso industrial requiere de una alimentación de agua, que se

suministra desde un estanque que contiene 500 litros, si del estanque salen

0,32 litros de agua por minuto, ¿al cabo de cuántos minutos el estanque se

reducirá a la mitad?

2. Dada la siguiente figura:

Utiliza el lenguaje algebraico para representar las siguientes situaciones:

a) ¿Cuánto vale la altura y la base?

b) ¿Cuál es la expresión para el área?

c) Si el área vale 120 cm2, ¿cuánto vale x?

d) Si la medida de x varía entre 0 cm y 10 cm, ¿cuánto varía el área de la

figura?

e) Si se desea que el área fluctúe entre 100 cm2 y 150 cm2, ¿cuánto debe

varía la medida de x?

4cm

12 cm x cm

LENGUAJE

ALGEBRAICO


(Recuerda que el propósito del problema es escribir en lenguaje algebraico,

no resolver)

3. Los siguientes son números consecutivos 7, 8 y 9. Dado un número su

consecutivo se le suma 1:

a) ¿Cómo se representaría de manera general la suma de tres números

consecutivos? Intenta reducir la expresión.

b) Si el primero es n, ¿cómo se representaría la suma de tres consecutivos?

c) Si el segundo es m, ¿cómo se representaría la suma de tres consecutivos?

4. ¿Cuál es el área de un rectángulo de lados 4 y 5?, ¿5 y 6?, ¿10 y 11?

Generaliza en una expresión para el área de este tipo de rectángulos.

5. Los siguientes dibujos representan los modelos de baldosas para

habitaciones rectangulares, con baldosas negras y blancas colocadas siempre

de la misma manera:

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

a) ¿Cuántas baldosas blancas tiene la Fig. 4, 5 y 6? ¿Cuántas tiene la figura

ubicada en un lugar n?

b) ¿Cuántas baldosas negras tiene la Fig. 4, 5 y 6? ¿Cuántas tiene la figura

ubicada en un lugar n?

c) Expresa algebraicamente la relación entre baldosas blancas y negras.

d) ¿Cuántas baldosas negras tiene una figura con 110 baldosas blancas?

LENGUAJE

ALGEBRAICO


Valorizar expresiones algebraicas

En la sección anterior se señaló que el primer objetivo en el estudio del

álgebra elemental es ser capaz de expresar simbólicamente las relaciones y

procesos involucrados en una situación problema, teniendo en cuenta que

los símbolos literales, con su diversidad de significados, representan

números.

Algunas veces el propósito que se persigue es solo representar la situación

en lenguaje algebraico. Sin embargo, es común que a partir de esa

generalización se quiera obtener valores específicos de la expresión,

reemplazando las letras por números particulares.

Problema 3: Determine una expresión algebraica para la longitud de la

banda que une dos poleas de igual diámetro. Determine luego la longitud de

la banda cuando las poleas están a 80 cm. de distancia y su diámetro es de

10 cm.

Solución:

La banda cubre 2 veces la distancia L, es decir 2L, más las dos mitades de

las poleas respectivas, lo que equivale al perímetro de una sola de ellas, esto

es D . Por tanto la longitud de la banda que pasa por las poleas es

2L D

Ya tenemos la expresión algebraica que representa a la longitud de la banda,

ahora queremos determinar su valor específico cuando 80L y 10D .

Reemplazando se tiene

2 80 10 191,4 cm.

VALORIZAR

EXPRESIONES

L


Otra razón para evaluar expresiones algebraicas es determinar la validez de

ciertas proposiciones. A través del lenguaje algebraico intentamos abstraer y

generalizar ciertas propiedades matemáticas. Por ejemplo, a partir de las

siguientes igualdades

2 2 2

2 2 2

2 3 2 3

7 9 7 9

Es lógico inducir una propiedad, válida para cualquier par de números

reales, que se puede expresar de forma general como

2 2 2a b a b

Para que esta igualdad constituya una identidad, debemos asegurarnos que

es cierta para todo ,a b , no solo para algunos valores. En efecto, para

todo ,a b se cumple que

2 2 2a b a b a b a a b b a b

La generalización es un proceso que se realiza constantemente en la práctica

matemática, sin embargo, muchas veces se cometen errores al realizar

algunas generalizaciones abusivas, que consiste en extender ciertas

identidades válidas a otras que no lo son, por ejemplo:

Como 2 2 2a b a b se cree que

2 2 2a b a b

Como a b a b se cree que a b a b

Como 2 2 2a b a b se cree que 2 2 2a b a b

Como a b a b

c c c

se cree que

a a a

b c b c

Evalúa esas igualdades y podrás comprobar que no son ciertas para todos

los valores de sus variables.

Podemos extender mucho más la lista de errores producidos por

generalizaciones abusivas, pero estos ejemplos pueden bastar para mostrar

el fenómeno. Ten cuidado, comprueba tus afirmaciones matemáticas.

VALORIZAR

EXPRESIONES


Por ejemplo, 2 2 2a b a b no es una propiedad matemática, porque

solo es cierta para algunos valores particulares, por ejemplo cuando 0a y

0b , pero es falsa en otros casos. Basta comprobar que la igualdad no se

cumple para un caso, como cuando 1a y 1b , para descartarla como

propiedad matemática, en efecto

2 21 1 2 4

2 21 1 1 1 2

Luego 2 2 21 1 1 1

Respecto del mismo ejemplo, la propiedad válida para todo ,a b es

2 2 22a b a ab b

Lo que puede cobrar sentido al considerar que el área de un cuadrado de

lado a b es la suma de las áreas de las partes que las compone:

VALORIZAR

EXPRESIONES


Problemas Resueltos

1. El rebaje del cabezal móvil para elaborar un perfil cónico es igual a la

mitad de la diferencia entre el diámetro mayor y el diámetro menor.

a) Expresar la medida del rebaje de forma algebraica.

b) determinar la medida del rebaje del cabezal si los diámetros son 12 cm. y

4,6 cm.

Solución:

a) Rebaje igual a la mitad de la diferencia entre los diámetros, esto es

2

D d

b) Evaluando en 12D y 4,6d se tiene que la medida del rebaje es

12 4,6 7,43,7

2 2

2. Mostrar que las siguientes igualdades no son propiedades matemáticas:

a) a b c a b a c

b) a b

c b

a

c

Solución:

a) En efecto, esta forma de operar es una extensión inadecuada de la

propiedad distributiva, esto es

Como a b c a b a c se asume que a b c a b a c

VALORIZAR

EXPRESIONES

d D


Basta evaluar en algunos valores, por ejemplo 2a , 3b y 4c para

verificar que la igualdad no se cumple para todos los valores de , ,a b c :

2 3 4 2 12 24a b c

2 3 2 4 6 8 48a b a c

Se verifica que 2 3 4 2 3 2 4 , por tanto a b c a b a c

no es una propiedad cierta.

b) Este error se produce al extender la propiedad de simplificación de

factores a la suma.

Como a b

c b

a

c se piensa que también vale

a b

c b

a

c

Veamos que no es cierto para todo , ,a b c evaluando en 2a , 4b y

6c , en efecto

2 4 6 2

6 4 10 6

a b a

c b c

Aunque la igualdad puede ser cierta para algunos valores, no lo es para todo

, ,a b c , por tanto no es una propiedad matemática válida.


1. Construye las expresiones algebraicas que representan cada situación y

evalúalas para encontrar el valor específico que se solicita:

a) En una fábrica de automóviles se comprobó que el rendimiento de

combustible de un automóvil (km/litro) depende de su velocidad (km/hr),

siendo igual a 180 menos la velocidad por 0,002 veces la velocidad. ¿Cuál es

el rendimiento de un automóvil que se desplaza a velocidad constante de 50

km/hr?

b) La resistencia total de un circuito en paralelo es igual al cociente entre las

resistencias parciales y su suma. ¿Cuál es la resistencia total de un circuito

en paralelo con resistencias parciales 𝑟1= 4 ohm y 𝑟2= 6 ohm.

VALORIZAR

EXPRESIONES


c) La deflexión de una viga está dada por la fórmula 3

3

PLY

EI

, donde

𝑃: peso de la viga; 𝐿: longitud de la viga 𝐸; 𝐼: constante de la viga. ¿Cuál es

la deflexión de una viga si el peso es de 2,5 kg., su longitud es de 1,20

metros y la constante E=0,5?

2. Determina cuales de las siguientes igualdades no son propiedades

matemáticas válidas para todos los valores de sus variables:

a) 22 2a b a b

b) 2 2x y x y

c) 3

3

a a

bb

d) a b a b

e) n m n ma a a

3. Encuentre una expresión para el número de líneas que se necesitan para

formar la figura del lugar n. Use esta expresión para determinar el número de líneas de la figura del lugar 125.

4. Se construye una escalera apilando adoquines, como se muestra en la figura. Determina una expresión para el número de adoquines que se necesitan para formar una escalera con x peldaños. ¿Cuántos adoquines se necesitan para una escalera de 25 peldaños?

VALORIZAR

EXPRESIONES


Manipulación algebraica

El estudio del álgebra elemental considera dos objetivos fundamentales:

1. Ser capaz de expresar a través de símbolos las relaciones y procesos

involucrados en una situación.

2. Alcanzar una destreza que permita manipular las expresiones simbólicas,

transformarlas en otras equivalentes, que resulten más útiles para resolver el

problema planteado.

El primer punto permite tener control sobre el significado de las

expresiones algebraicas que construimos, sin embargo, si la habilidad para

transformar correctamente estas expresiones no ha sido desarrollada, el

trabajo algebraico resulta infructuoso. Veamos un ejemplo.

Problema 4: Considera el siguiente juego de adivinar un número:

1. Piensa un número.

2. Súmale 8.

3. Multiplica el resultado por 4.

4. A eso réstale 6.

5. El resultado divídelo por 2.

6. A lo que quedó réstale el número que pensaste.

7. Dime el resultado y te diré que número pensaste.

¿Puedes adivinar el número que alguien más pensó? ¿Puedes explicar

matemáticamente como es que se puede adivinar el número?

Solución:

Es posible que un primer intento consista en probar con algunos números

en particular, desarrollando la expresión aritmética involucrada, por

ejemplo:

Si pienso en 3, el resultado será:

3 3 8 11 11 4 44 44 6 38 38:2 19 19 3 16

Si pienso en 10, el resultado será

10 10 8 18 18 4 72 72 6 66 66:2 33 33 10 23

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA


Proceso que se puede continuar intentando encontrar alguna regularidad.

Sin embargo, este camino no parece el más auspicioso.

Dado que el número que se piensa es cualquiera, se puede considerar un

número generalizado y el procedimiento se puede resumir en una expresión

algebraica. En efecto, la traducción al lenguaje algebraico sería:

1. Piensa un número a

2. Súmale 8 8a

3. Multiplica el resultado por 4 4 8a

4. A eso réstale 6 4 8 6a

5. El resultado divídelo por 2 4 8 6

2

a

6. A lo que quedó réstale el número que pensaste 4 8 6

2

aa

El resultado es la expresión 4 8 6

2

aa

. Sin embargo, esta expresión,

por si misma, no responde la pregunta de por qué se puede adivinar el

número pensado, es necesario reducirla.

Mostraremos, aunque aún sin explicar del todo, el desarrollo algebraico que

reduce la expresión:

4 8 6 4 32 6

2 2

4 26

2

2

a aa a

aa

2 13

2

a

2 13

13

a

a a

a

Finalmente el resultado es equivalente a 13a , es decir al número pensado

más 13. Por tanto, basta tomar el resultado y restarle 13 para adivinar el

número.

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA


Analicemos los procedimientos implicados en la manipulación de esta

expresión, asignándole algunos nombres:

4 8 6 4 32 6

2 2

4 26

2

2

a aa a

aa

2 13

2

a

2 13

13

a

a a

a

Reducción de términos semejantes

Los procedimientos algebraicos se fundamentan en las propiedades de los

números reales. Conocer y comprender estas propiedades es fundamental

para que la manipulación de expresiones algebraicas tenga sentido.

La reducción de términos semejantes tiene que ver con la suma y resta de

expresiones que tienen el mismo factor literal. Por ejemplo:

3 5b b ; 2 26 4x y x y ; 3 3 35 7a c a c a c

En la suma o resta de términos semejantes se aplica la propiedad

distributiva

a b a c a b c

Por ejemplo:

1. 3 5 3 5 8b b b b

2. 2 2 2 26 4 6 4 2x y x y x y x y

3. 3 3 3 3 3 35 7 5 7 1 1a c a c a c a c a c a c

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA

Producto

Factorización

Simplificación

Reducción de términos semejantes

Terminología

Expresión algebraica 2 33 2 5a b ac b

Términos 2 33 ; 2 ; 5a b ac b

Factor literal

Factor numérico

Las expresiones se clasifican

según el número de términos

Monomio: Un término

34xy

Binomio: Dos términos 3 2n nm

Trinomio: Tres Términos 2 45 3az bw c

Polinomio: Dos o más

términos

3 2 5p q r s


Uso de paréntesis

Los procedimientos algebraicos se justifican a partir de las propiedades de

los números reales, sin embargo, la forma de proceder en álgebra es muy

distinta al de la aritmética. Lo que fue efectivo en este ámbito, ya no lo es

en un marco de resolución algebraico, es muy importante reconocer sus

diferencias. Uno de los aspectos críticos de este cambio es el uso del

paréntesis.

En aritmética, generalmente, los paréntesis no son necesarios para llegar a

un resultado. Así se puede comprobar en el ejemplo de la adivinanza del

número desconocido:

Si pensamos en el número 3, entonces

1. Piensa un número. 3

2. Súmale 8. 11

3. Multiplica el resultado por 4. 44

4. A eso réstale 6. 38

5. El resultado divídelo por 2. 19

6. A lo que quedó réstale el número que pensaste. 16

En aritmética, el resultado se deduce de una secuencia ordenada de

operaciones y de resultados parciales, los paréntesis aparecen como una

convención matemática que no tiene mucho sentido en este contexto. Sin

embargo, asumir que también se puede prescindir de los paréntesis en

álgebra, es un error que obstaculiza severamente el trabajo algebraico.

Sabemos que el resultado de este problema para un número cualquiera se

expresaba por

4 8 6

2

aa

Si se obviaran los paréntesis la expresión sería otra, lo que no permitiría

resolver correctamente el problema.

Por tanto, poner mucha atención en este punto: al expresar simbólicamente

una situación, se deben poner los paréntesis que indiquen el orden de las

operaciones involucradas.

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA


Reducción de paréntesis

Al expresar simbólicamente es necesario escribir los paréntesis, pero al

manipular la expresión, por ejemplo para reducir términos semejantes, se

requiere eliminar los paréntesis.

La justificación matemática al eliminar paréntesis vuelve a ser la propiedad

distributiva, pero ahora en sentido opuesto esto es

a b c a b a c

Por ejemplo, reduzcamos la expresión

2 3 2 5 4 2 3x y x y y x

Si consideramos que delante de cada paréntesis se puede escribir un factor

1, se tiene

2 3 2 5 4 2 3

2 1 3 2 5 1 4 2 3

x y x y y x

x y x y y x

Aplicando la propiedad distributiva ocurrirá que:

a) Los términos del paréntesis precedido por + se multiplicarán por 1, por

tanto no cambian de signo.

b) Los términos del paréntesis precedido por – se multiplicarán por -1, por

tanto cambian de signo.

Esto es

2 3 2 5 4 2 3

2 1 3 2 5 1 4 2 3

2 3 2 5 4 2 3

6 4 8

x y x y y x

x y x y y x

x y x y y x

x y

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA


Producto de expresiones algebraicas

Problema 5: Se desea determinar una expresión para la superficie de la

vereda que rodeará a un edificio en construcción. Se sabe que el largo de la

base del edificio es el doble que su ancho y que la vereda debe tener 2

metros de ancho.

Solución:

Supongamos que el ancho de la base del edificio sea w metros, el resto de

las medidas se muestran en la siguiente figura:

Área del rectángulo mayor: 2 4 4w w

Área del rectángulo menor: 22 2w w w

El área de la vereda es igual a la diferencia entre las áreas de los dos

rectángulos, esto es

22 4 4 2w w w

Ya está expresada algebraicamente el área de la superficie de la vereda, pero

siempre que sea pertinente y posible hay que tratar de reducir la expresión.

En este caso, realizar la multiplicación de las expresiones que están entre

paréntesis permitiría luego reducir términos semejantes.

Pero, ¿cómo multiplicar 2 4 4w w ?

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA

w 2w

2

w + 4

2w + 4


Aplicando reiteradamente la propiedad distributiva, en efecto:

2

2

2 4 4 2 4 2 4 4

2 4 2 4 4 4

2 4 8 16

2 12 16

w w w w w

w w w w

w w w

w w

Como se observa en la segunda línea, la aplicación reiterada de la propiedad

distributiva describe el producto de todos los términos del primer

paréntesis por todos los términos del segundo paréntesis, esto permite

aplicar de forma reducida el siguiente procedimiento en el producto de

expresiones algebraicas:

Como se observa en la segunda línea, la aplicación reiterada de la propiedad

distributiva describe el producto de todos los términos del primer

paréntesis por todos los términos del segundo paréntesis, esto permite

aplicar de forma reducida el siguiente procedimiento en el producto de

expresiones algebraicas:

2 4 4 2 4 2 4 4 4w w w w w w

El orden en que se efectúen los productos da igual, lo importante es

multiplicar todos con todos.

Ahora ya podemos terminar de responder al problema planteado. La

superficie de la vereda tiene área igual a:

2

2

2 4 4 2

2

w w w

w

24 8 16 2w w w

12 16w

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA

Multiplicación de potencias:

Recordar que en la

multiplicación de potencias de

igual base “se conserva la base y

se suman los exponentes”

n m n mb b b

Por ejemplo:

2 3

5

b b b b b b b

b


Problemas Resueltos

1. Reducir las siguientes expresiones:

a) 5 2 1 (4 6)a a a

b) 2 3 23 2 4 5xy x y x y

Solución:

a) 5 2 1 (4 6)a a a

5 2 1 4 6

6 1 4 6

6 1 4 6

2 7

2 7

a a a

a a

a a

a

a

b) 2 3 23 2 4 5xy x y x y

2 2 2 2 3 2 3

3 2 3 3 2 3 4

3 4 3 5 2 4 2 5 4 5

12 15 8 10 4 5

xy x xy y x x x y y x y y

x y xy x xy x y y

2. La temperatura de una batería depende de la temperatura ambiente. Si en

determinado momento la temperatura del ambiente es de T grados

centígrados, la temperatura de la batería es 3 1 2 3 4T T T T .

¿La temperatura de la batería excederá a la temperatura ambiente en más de

10 Cº?

Solución:

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA


Al desarrollar la expresión se tiene

2 2

2 2

2

3 1 2 3 4

3 3 3 4 6 8

3 3 3 2 8

3

T T T T

T T T T T

T T T T

T

23 3T T 2 8

8

T

T

Como se ve, la temperatura de la batería excede a la temperatura ambiente

solo en 8 Cº.


1. Los siguientes esquemas muestran el orden en que se va operando con

un número cualquiera n , determina la expresión que representa a cada uno:

Ejemplo: :

2 3 5 7 4n

2 34 7

5

n

ó 4 2 3 :5 7n

a) :

5 2 6 4 1n

b) :

2 1 6 5 7n

c) :

2 2 4 2 3 1n n n

2. Dada las expresiones algebraicas completa los esquemas que determinan

el orden en que se realizaron las operaciones:

Ejemplo: 3 2 1

54

n

:2 3 1 4 5n

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA


a) 3 2 4 5 6 1n

n

b)

13 4 1

2

7

n

n

c) 3 2 5 1 74

n

n

4. Reduzca las siguientes expresiones:

a) 2 2 2 2 3 2 2x yz xy z xy z x yz

b) 3 2 4a a

c) 2 5 4 3x y z y x z

d) 5 2 1 (4 6)a a a

e) 3 2 2 3 2 – 3 2x y x x y x x

f) 2 2 2 22 2a b ab a b ab ab

g) 2 33 2a b bc abc

h) 2 25 5x x x x

i) 2 2 2 2ab a a b ab ab a

j) 5 3 (4 1)(4 1)t t t t

k) 3 7 7 5 1f f f f

l) 2 22 2 2nr s ns s s nr s r s

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA


5. Muestra que la suma de tres consecutivos es múltiplo de 3. Utiliza la

expresión algebraica y redúcela. ¿La suma de 4 consecutivos es múltiplo de

4?, ¿y de cinco consecutivos es múltiplo de 5? Explica por qué si o no

algebraicamente.

6. Explica el truco para adivinar el número pensado en los siguientes casos:

a) Piensa un número

Multiplícalo por siete

Réstale el número que pensaste inicialmente

Divide el resultado por seis

Tu número es….

b) Piensa un número

Súmale cinco

Multiplica el resultado por dos

Súmale el sucesor del número pensado

Réstale dos

Divide el resultado por 3

Tu número es…

7. Durante una prueba, la máquina A produce p latas, la máquina B produce

el doble y la máquina C produce 6 latas más que B, ¿cuál es la producción

total?

8. Se construye una canaleta de una pieza de aluminio, como se muestra en

la siguiente figura. Si el precio de cada metro cuadrado de lámina de

aluminio es $2500, determine una expresión para el costo de esta canaleta.

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA

2x+10


Productos Notables

1. Cuadrado de binomio

Problema 6: Una fábrica dispone de un terreno cuadrado de a metros de

lado para bodega. Si el terreno se agranda b metros hacia cada lado, ¿cuál

es su área?

Solución:

El área de este terreno está dado por el producto 2

a b .

Este tipo de productos recibe el nombre de cuadrado de binomio y

pertenece a los denominados productos notables. Por cierto que podemos

desarrollar el producto término por término, pero resulta mucho más

interesante y a la larga también más práctico buscar una fórmula general

para todos los cuadrados de binomios. El área del terreno es igual a la suma

de las áreas de las partes que la componen, esto es

= + +

2

a b = 2a + ab + ab + 2b

2 2 22a b a ab b

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA

a + b

a +

b

a

a

b

b


Por tanto el cuadrado de binomio de una suma es siempre es igual a la suma

de tres términos: el cuadrado del primer término, más el doble del producto

de ambos términos, más el cuadrado del segundo término.

2 2 22a b a ab b

Por ejemplo, si el terreno tiene lado x + 5 metros su área será

2 2 2 25 2 5 5 10 25x x x x x

De manera similar, podemos suponer que al terreno de lado a se le quita b

metros en cada lado, el área del terreno resultante será

Hay que tener en cuenta que al restar los dos rectángulos se está quitando a

su vez dos veces el cuadrado más pequeño, para compensar se agrega un

cuadrado más pequeño al final.

También es un cuadrado de binomio, pero de una diferencia. Por tanto el

cuadrado de binomio de una diferencia es igual al cuadrado del primero,

menos el doble del producto de los términos, más el cuadrado del segundo.

2 2 22a b a ab b

Podemos comprobar ambas fórmulas haciendo el producto término a

término. En efecto,

2 2 2 2 22a b a b a b a ab ab b a ab b

2 2 2 2 22a b a b a b a ab ab b a ab b

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA


2. Suma por su diferencia

Supongamos que ahora el terreno cuadrado de lado a se transforma en un

rectángulo, sumándole b metros a uno de los lados y restándole los mismo

b metros al otro lado:

a b a b = 2 2a b

Al reordenar las partes del rectángulo se ve como su área es igual a la

diferencia del área del cuadrado de lado a con el área del cuadrado de lado

b.

Este producto se denomina “producto de una suma por su diferencia” y es

siempre igual a la diferencia entre cuadrado del primer término y el

cuadrado del segundo término.

2 2a b a b a b

Podemos comprobar esta fórmula algebraicamente, en efecto

2a b a b a ab ba 2 2 2b a b

Un par de ejemplo de aplicación de la fórmula de suma por su diferencia:

a) 2 2 23 3 3 9x x x x

b) 2 2 22 5 2 5 2 5 4 25N N N N

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA

a + b

a – b

a

b b b

a


3. Producto de binomios don término común

Supongamos ahora que un terreno cuadrado de lado x se transforma en un

rectángulo, sumándole a un lado a metros y al otro b metros. La

descomposición del terreno y sus áreas será

= + + +

x a x b = 2x + ax + bx + ab

2x a x b x a b x ab

Este producto notable se denomina producto de binomios con término

común. En este caso el término común es x.

El producto de binomios con término común es igual al cuadrado del

término común, más la suma de los otros dos términos por el término

común, más el producto de los otros dos términos.

2x a x b x a b x ab

Suma Producto

Por ejemplo:

a) 23 2 5 6x x x x

Suma Producto

b) 2 23 6 3 2 3 4 3 12 9 12 12m m m m m m

Suma Producto

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA

x

x

b

a

Polinomio en x

Polinomio que solo contiene

una variable x, de la forma:

11 1 0

n nn na x a x a x a

Donde cada coeficiente i

a

con 0,1, 2,...,i n y 0n

a .

Se dice que el grado del

polinomio es n. Mientras que

0a se conoce como término

independiente de x.

Por ejemplo:

5 23 1x x x grado 5

24 3 2x x grado 2

2 5x grado 1

4 grado 0


La siguiente tabla resume los productos notables vistos aquí y agrega otros

más:

Nombre Expresión Fórmula

Cuadrado de binomio de una suma

2

a b 2 2 22a b a ab b

Cuadrado de binomio de una diferencia

2

a b 2 2 22a b a ab b

Suma por su diferencia

a b a b 2 2a b a b a b

Producto de binomios con término común

x a x b 2x a x b x a b x ab

Cubo de binomio de una suma

3

a b 3 3 2 2 33 3a b a a b ab b

Cubo de binomio de una resta

3

a b 3 3 2 2 33 3a b a a b ab b

Problemas Resueltos

1. Desarrollar las siguientes expresiones usando fórmulas de productos

notables:

a) 2 2

3 3 3 3 3 2n n n n n n

b) 2

2 23 2a b ab

c) 2

3x y

d) 3 3

2 2 2t t

Solución:

a) 2 2

3 3 3 3 3 2n n n n n n

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA

Cuadradros de

binomio

2 2 22a b a ab b

2 2 22a b a ab b

Suma por su

diferencia

2 2a b a b a b

Producto de binomios

con término común

2x a x b x a b x ab


2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

3 3 3 3 3 2

2 3 3 2 3 3 3 5 6

6 9 6 9 9 5 6

7 15

n n n n n n

n n n n n n n

n n n n n n n

n

b) 2

2 23 2a b ab Cuadrado de Binomio 2 2 22a b a ab b

2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 2 3 3 2 4

3 2 3 2 3 2 2

9 12 4

a b ab a b a b ab ab

a b a b a b

c) 2

3x y

Al colocar paréntesis se pueden agrupar los términos en binomios, luego se

aplica las fórmulas de cuadrados de binomios de forma reiterada, esto es

22

2 2

2 2

2 2

3 3

2 3 3

2 6 9

2 6 6 9

x y x y

x y x y

x xy y x y

x xy y x y

d) 3 3

2 2 2t t Cubos de binomio

3 3

3 23 2 2 3 2 3

3 2 3 2

3 2 3 2

3 2 3 2

3 2

2 2 2

3 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2

6 12 8 8 6 4 12 2 8

6 12 8 8 24 24 8

6 12 8 8 24 24 8

7 30 12 16

t t

t t t t t t

t t t t t t

t t t t t t

t t t t t t

t t t

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA

3 3 2 2 33 3a b a a b ab b

3 3 2 2 33 3a b a a b ab b


2. Los productos notables pueden ayudar a resolver rápidamente algunos

cálculos numéricos. Úsalos para calcular:

a) 223 b) 299 c) 41 39

Solución:

a) 22 2 223 20 3 20 2 20 3 3 400 120 9 529

2 2 22a b a ab b

23 se escribe como suma y se aplica cuadrado de binomio

b) 22 2 299 100 1 100 2 100 1 1 10000 200 1 9801

2 2 22a b a ab b

99 se escribe como resta y se aplica cuadrado de binomio

c) 2 241 39 40 1 40 1 40 1

2 2a b a b a b

41 se escribe como suma y 39 como resta y se aplica suma por su diferencia


1. ¿Es lo mismo 2

a b que 2 2a b ? Completa la siguiente tabla y

responde.

a b a b 2

a b 2a 2b 2 2a b

0 0

2 0

1 1

0 – 1

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA


2. Resuelve usando productos notables:

a) 2

p q

b) 2

2 3m n

c) 2

2 3x y

d) 2

2y

e) 2

25 2T TM

f) x y x y

g) 2 2p r p r

h) 4 3 4 3a b a b

i) 2 3 2 32 1 2 1x y z x y z

j) 6 2x x

k) 3 5m m

l) 9 8a a

m) 2 3 2 6b b

n) 3

2x

o) 3

2 3e f

p) 3

3L

q) 3

n ma b ab

3. Desarrolla las siguientes expresiones y reduce términos semejantes,

cuando sea posible:

a) 2

4 2 3b b b

b) 2

6 6 2x x x

c) 3 2

2 1 4 3 2n n n n n

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA


4. Utiliza productos notables que se indica para calcular el valor de:

a) 231

b) 229

c) 31 29

d) 33 32

5. En las siguientes expresiones agrupa en binomios usando paréntesis y

utiliza las fórmulas de cuadrados de binomio para desarrollar:

a) 2

3a b

b) 2

2p q

c) 2

5f h

6. La base de un edificio es un cuadrado de x metros de lado, al construir se

cometió un error de 0,5 metros hacia cada lado, ¿En cuántos metros

cuadrados excede la base del edificio respecto de su medida inicial?

7. Representa las áreas de las partes achuradas algebraicamente y desarrolla

usando productos notables:

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA


Factorización

Problema 7: El piso de un galpón tiene 247 mt2, se sabe que el ancho y el

largo son números enteros y que el ancho es mayor que 1 mt. ¿Cuáles son

las medidas de los lados del galpón?

Solución:

Estamos suponiendo que el piso del galpón es rectangular, por tanto su área

es el producto de su largo y su ancho. Debemos buscar dos números

enteros cuyo producto sea 247. En este esos números son números primos

247 19 13

Las dimensiones del galpón son 19 y 13 metros.

Para resolver este problema se hizo la factorización del número 247, esto

escribirlo como el producto de números primos (no tienen más divisores

que el 1 y si mismo).

Pero no solo se factorizan números, algunas expresiones algebraicas, para

determinados propósitos, también requieren factorización.

Por ejemplo, supongamos que en el problema anterior el piso del galpón

era un cuadrado de x metros de lado. Si el galpón se amplía una cierta

cantidad de metros en su largo y su ancho el piso tendrá un área de

2 11 24x x mt2, ¿En cuántos metros se alargó el largo y el ancho del

galpón?

Para este tipo de expresión podemos usar el resultado del producto de

binomios son término común

2x a b x ab x a x b

Por tanto se debe buscar dos números cuya suma sea el valor que

acompaña a x y su producto sea el término independiente de x esto es

2 11 24x x x a x b

a b ab

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA


Es decir dos números a y b cuya suma sea 11 y cuyo producto sea 24.

Los números son 8 y 3, por tanto

2 11 24 8 3x x x x

Es decir, en el problema la solución es que el salón se amplía 8 metros de

largo y 3 metros de ancho.

En resumen, un trinomio del tipo 2x Cx D , con ,C D se factoriza

de la forma

2x Cx D x a x b

Donde a b C y ab D

Ejemplos:

a) 2 6 8 4 2x x x x

4 2 4 2

b) 2 3 10 5 2m m m m

5 2 5 2

c) 2 8 12 6 2t t t t

6 2 6 2

d) 22 10 25 5 5 5x x x x x

5 5 5 5

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA

Procedimiento:

1. Colocar los signos:

2 5 6x x x x

2. Buscar los números

(en valor absoluto) para

el producto:

2 5 6x x x x

3 2

3. Colocar el número

(valor absoluto) mayor

primero:

2 5 6 3 2x x x x

4. Verificar la suma de los

números:

2 5 6 3 2x x x x

3 2


Factor común

Problema 9: En un proceso de embalaje se disponen de tres tipos de

contenedores en los que se depositan las cajas con los productos

fabricados. La cajas tienen 24, 36 y 60 cm. de ancho, ¿cuál debe ser el ancho

máximo de las cajas para encajar de forma exacta en cualquiera de los

contenedores?

24 36 60

Solución:

Este es un problema de MCD, que puede ser resuelto factorizando cada

uno de los números en sus factores primos. Buscaremos el mayor factor

común entre estos números.

2 2 3 2 2 3 224 36 60 2 3 52 3

Los números en rojo son los factores primos en común, usando la

propiedad distributiva este factor se puede escribir una sola vez, esto es:

24 36 60 2 2 3 2 3 5

12 2 3 5

Lo que hicimos fue sacar el factor común 12 de cada uno de los términos.

Esto implica que las cajas deben tener un ancho de 12 cm. para entrar de

forma exacta en cada uno de los contenedores.

Algunas expresiones algebraicas también admiten una factorización en

factor común de sus términos y el procedimiento es análogo, descomponer

en factores y reconocer los factores comunes.

Ejemplo: Factorizar 3 2 2 3 412 18 6a b a b a bc

3 2 2 3

2 2

2 2

12 18 6 2 3

2 3 2 3

6 2

2 3 2 3 2 3

3

a b a b abc aa b a bb c

ab a b ab c

ab a b ab c

a b a b ab

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA


Factorización de algunos tipos de binomios

Factorización de diferencias de cuadrados

2 2a b a b a b

Factorización de diferencia de cubos

3 3 2 2a b a b a ab b

Factorización de suma de cubos

3 3 2 2a b a b a ab b

Ejemplos:

a) Diferencia de cuadrados 2 2a b a b a b

2

2 2

39 3

3

x x

x

x

2

2 2

2 25

2

2 5 5

5

4 a a

a

a

b) Diferencia de cubos 3 3 2 2a b a b a ab b

3 2 2 2

3 3

2 2 28 2 2

2

4x x x xx x x

x

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA

Recuerda:

Es muy habitual hacer

generalizaciones abusivas

para algunas expresiones

algebraicas, como

suponer que

22 2a b a b

Basta comprobar que esta

igualdad no se cumple

para un par de valores de

a y b.

De hecho la suma de

cuadrados no se puede

factorizar en .


23 2 2

3 3

8 1 2 12 1 4 2 1

12

12 12a a a aa a a

a

c) Suma de cubos 3 3 2 2a b a b a ab b

3 2 2 2

3 3

27 3 3 933 3

3

x x x xx x x

x

23 2 2

3 3

3 3 3

3

27 8 3 2 92 2

2

62 4a a a a

a

a a a

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA


Aplicación de la factorización en la resolución de ecuaciones

Problema 8: En un terreno de 120 mt2 de superficie se construyó una casa

de 8 por 10 mt. Se desea construir una vereda como se muestra en la figura,

¿cuál debe ser el ancho de la vereda para cubrir la superficie restante del

terreno?

Solución:

Área del terreno 10 8 120x x

Desarrollando el producto notable se tiene la ecuación

2 18 80 120x x

Por conveniencia dejaremos en la ecuación el lado derecho igual a 0

2 18 40 0x x

Este tipo de ecuaciones se denominan ecuaciones cuadráticas y aunque, por

el momento, no diremos mucho más sobre ellas, expondremos la utilidad

de la factorización para resolverlas. En efecto factorizando se tiene

20 2 0x x

En todo producto igual a cero, al menos uno de sus factores debe ser igual

a cero, utilizando esta propiedad podemos separar la ecuación en

20 0x ó 2 0x

Lo que implica que 20x o 2x

Como la primera solución no tiene sentido en el contexto del problema, la

vereda deberá medir 2 mt. de ancho.

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA

10

8

x

x



1. Encuentra el factor común de las siguientes expresiones:

a) 6 5 8ax bx cx

b) 2 33 6 9a a a

c) 3 5 2 2 4 3 4 2 320 12 16 4x y z x y z xy x y z

d) 3 4 4 3 2 3 3 215 27 9 21

21 28 14 35x y x y x y x y

e) 5 2 3 3 41 20, 3

6 91nm n m n m

2. Factoriza las siguientes expresiones:

a) 2 7 12x x

b) 2 9 18z z

c) 2 7 60b b

d) 2 16 36n n

e) 2 6 9r r

f) 2 25a

g) 162 x

h) 164 2 x

i) 4 2 625n m p

j) 3 1a

k) 3 64x

l) 9 627 8x y

m) 3 64x

n) 6 12 3 68x y x y

o) 3 3 3125 8a b c

p) 2 4ax a

q) 212 36 27x x

r) 23 20500 xyx

s) 3 2 3 3 23 12 12a b a bd a d

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA


3. Usa la factorización que se desprende de la suma por su diferencia para

calcular los siguientes valores

2 2a b a b a b

a) 2 211 9

b) 2 22001 2000

c) 2 21,01 1

4. Muestre que la diferencia entre el cuadrado del sucesor de un número y el

cuadrado del número es siempre un número impar.

5. Explica por qué la expresión 2 6 9n n no puede ser nunca un número

negativa.

6. El número de diagonales D que se pueden trazar en un polígono depende

de su cantidad de vértices v, a través de la fórmula

3

2

v vD

¿Cuántos vértices tiene el polígono de 35 diagonales?

7. Una lámina metálica mide 10 pulgadas más de largo que de ancho. En

cada esquina se recortan cuadrados de 1 pulgada de lado. Se levantan los

lados de la lámina para formar una caja sin tapa de volumen 24 pulg3.

¿Cuánto mide el largo y el ancho de la lámina metálica?

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA

x

x + 10

1

1


Fracciones Algebraicas

Para mostrar como operar con fracciones algebraicas analizaremos la

manera de proceder con fracciones de números.

Simplificación

En números es habitual buscar un divisor común al numerador y

denominador para simplificar un fracción, por ejemplo:

: 12

: 12

36 36 3

60 60 5

Pero, ¿cuál es el divisor común del numerador y denominador de la

siguiente fracción algebraica?

2

2

5 6

4

x x

x

Ya no es tan fácil, necesitamos otro procedimiento. En el caso de la

fracción de números, la descomposición en factores primos también

permite simplificar

36 2

60

2 3 3

2

2 3

3

55

De la misma forma, la factorización de los polinomios de la fracción

algebraica permite su simplificación, siempre que esta factorización sea

posible

2

2

3 25 6

4

x xx x

x

2 2x x

3

2

x

x

Asumimos que en esta fracción 2x y 2x .

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA

Restricciones en las

fracciones algebraicas

Una fracción algebraica

está definida solo cuando

su denominador es

distinto cero. Es necesario

identificar sus

restricciones para

asegurar que no se está

dividiendo por cero.

Por ejemplo:

1

2

x

x

con 2x

2 9

t

t

con 3, 3t t

1

1

a

a a

con 0, 1a a


Ejemplos:

a) 2

2 2

612 6

10 5

aab ab

a b a

2 1b b

25a 2 1b

6

5

b

a con 0a y

1

2b

b) 2

2

1 12 1

7 6

p pp p

p p

6 1p p

1

6

p

p

con 6p y 1p

c)

34

3 2

88

4 4

mm mm m

m m m m

2m 2 2 4m m

m

2 2m m

2 2 4

2

m m

m

con 0m , 2m y 2m

Adición y Sustracción de Fracciones Algebraicas

Resolver 2 2

2

2 1 1

x

x x x

Analizaremos la forma de sumar fracciones numéricas para establecer un

procedimiento equivalente para fracciones algebraicas. Recordemos que

para sumar fracciones de distinto denominador, las fracciones se amplifican

para obtener fracciones equivalentes con denominador igual al MCM.

5 3 5 3 25 18 43

12 10 12 10 60

5 6

6 05 0 66

Donde (12,10) 60MCM

Para utilizar un procedimiento equivalente para fracciones algebraicas,

observemos como se realiza lo anterior descomponiendo en factores

primos

2

5 3 5 3

12 10 2 52 3

Donde 2(12,10) 2 3 5MCM , esto es, el MCM es igual al producto de la

mayor potencia de cada uno de los factores de los denominadores.

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA


Luego hay que amplificar por los factores que faltan para completar el

MCM en cada denominador.

2 2

5 3 5 3 5 3 25 18 43

12 10 2 5 2 5 60 60 602 3 2

3

2 353

5 2

Por tanto el procedimiento para la suma de fracciones algebraicas será:

2 2

2

2 1 1

x

x x x

1. Factorizar los denominadores

2

2

1 11

x

x xx

2. Determinar el MCM: El producto de las mayores potencias de todos los factores

MCM= 2

1 1x x

3. Amplificar: Multiplicar por los factores que faltan para completar el MCM en cada fracción

2

2

1 11

1 1

11

x x

xx

x

x xx

4. Sumar las fracciones

2

1 2 1

1 1

x x x

x x

La fracción algebraica que se obtiene puede seguir desarrollándose, si así se

requiere.

Ejemplos:

1)

44

1 2 1 2

2 1

2 1

aa

a a a

a a

aa a

2

2

2

2

2 4 1

1 2

2 4 1

3 2

2 1

3 2

a a a

a a

a a a

a a

a a

a a

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA

MCM= 1 2a a


2) 2

2 3 5

2 2 1

x x

x x x x

2

2

2

2

2 3 5

2 1 2 1

3 52

2 1 2 1

2 3 1 5 2

2 1

2 2 3 5 1

1 2

1 2

0

2

2 11

2

x x

x x x x

xx

x x x x

x x x x

x x

x x x x

x x

x x

x

x x

x x

x

Multiplicación y división de fracciones algebraicas

Para multiplicar fracciones algebraicas se puede realizar el siguiente

procedimiento:

23 3 4

2 3

a a

a

1. Factorizar numeradores y denominadores

3 1 2 2

2 3

a a a

a

2. Simplificar 3 1

2

a

a

2 2a a

3 1 2a a

3. Multiplicar 21 2 3 2a a a a

Para la división de fracciones algebraicas, se ocupa la propiedad

:a c a d

b d b c

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA

MCM= 2 1x x


Ejemplo:

2 2 2

2

9 6 9 9 3:

3 3 3 6 9

3

t t t t t

t t t t t

t

3t

3t

3t 3t 3t

1


1. Simplifique las siguientes fracciones algebraicas:

a) 2

2

3 2

5 6

x x

x x

b) 2

2

7 12

8 15

y y

y y

c) 2

2

6 9

9 18

m m

m m

d) 2

2

25

4 45

a

a a

e) 2

2 2

8 2

16

ab b

a b

f) 3 8

2

m

m

g) 3 27

3

a

a

h)

3 4

3 2

1 5

5 1 2

x x

x x x

2. Realiza las operaciones con fracciones algebraicas de las siguientes

expresiones:

a)2

3 1

1 1

x x

x x

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA


b) 2

1 2 3

1 3 2 3

m

m m m m

c) 2

4 5 8 2

1 1 1

x

x x x

d) 22

2 2

2 32 1

4 2 2

a aa a

a a a a

e) 2 3

4 2 2 2

1 ( 1) ( 1)

x x

x x x

f) 2

5

12 2 8

2 2 36

a a a

a a

g) 2 22 1 1

1 1

x x x

x x

h) 2 3

2

1 1

1 2 2 1

a a a a

a a a a a

i) 2 2

1 7:

2 5 6a a a a

j) 2 2 2

2 2

2 2 3 6 2

3 4 4 3 3 2 1

a a a a a a

a a a a a

k) 2 2 2

2 2

9 14 9 14 2

49 49 1

x x x x x

x x x

l) 2

2 2

2 3 2 1:

2 7 9 14 9 14

m m m

m m m m m m

3. Se tiene un envase de agua cilíndrico de radio r y altura h. Se tienen vasos

con radio igual a la mitad del radio del envase y altura igual a un tercio de la

altura del envase, ¿Cuántos vasos de agua se alcanzan a llenar con el envase?

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA


4. Si dos resistencias 1R y 2R se conectan en paralelo, la resistencia total

R del circuito está dada por

1 2

1 1 1

R R R

Si una de las resistencia tiene 5 ohms menos que la otra, determine una

expresión algebraica para la resistencia total R .

5. Dada la fracción algebraica 3

4

n

n

:

a) ¿Para qué valores de n la fracción es positiva?

b) ¿Para qué valores de n la fracción es negativa?

c) ¿Para qué valores de n la fracción es cero?

d) ¿Para qué valores de n la fracción no está definida?

6. Verifica que las siguientes igualdades son correctas:

1 1 1

2 3 6

1 1 1

3 4 12

1 1 1

4 5 20

a) ¿Cómo se descompondría las fracciones 1

5,

1

6,

1

10y

1

n?

b) Demuestra algebraicamente la fórmula para descomponer la fracción

1

n.

7. Demuestra que

2 2

4 4

a b a bab

MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA


Ecuaciones

Entenderemos por ecuación algebraica a toda igualdad entre dos expresiones

algebraicas. Las expresiones algebraicas presentes a cada lado de la igualdad

reciben el nombre de miembros de la ecuación:

3𝑥 − 17 = 7 − 9𝑥

En este caso 3𝑥 − 17 es el primer miembro de la ecuación y 7 − 9𝑥 es el

segundo miembro de la ecuación.

Al reemplazar las variables en una ecuación por algún número real, puede

resultar una igualdad verdadera o falsa.

En nuestra ecuación, si reemplazamos por 𝑥 = 1 resulta:

3 ∙ 1 − 17 = 7 − 9 ∙ 1

Es decir: −14 = −2, lo cual es falso.

Por otra parte, si reemplazamos por 𝑥 = 2 resulta:

3 ∙ 2 − 17 = 7 − 9 ∙ 2

Es decir: −11 = −11, lo cual es verdadero.

Este último caso es de especial interés, dado que la igualdad es verdadera para

un determinado valor de 𝑥. Cuando encontramos el o los valores numéricos

de la variable 𝑥 que hacen verdadera una determinada ecuación, diremos que

estamos resolviendo una ecuación. En este proceso dejamos sola la variable

a un lado de la ecuación, lo cual recibe el nombre de despejar la variable.

Toda ecuación de la forma 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑜, con 𝑎 y 𝑏 constantes y 𝑎 ≠ 0, recibe

el nombre de ecuación lineal o ecuación de primer grado.

Ejemplo:

Pablo tiene un hermano que es 27 centímetros más alto que él, si el hermano

de Pablo mide 1.55 metros. ¿Qué estatura tiene Pablo?

ECUACIONES


Solución:

La letra P, representa la edad de Pablo. Entonces en virtud del enunciado:

𝑃 + 0.27 = 1.55

Restando a ambos lados 0.27:

𝑃 = 1.55 − 0.27 = 1.28

Comprobación: 1.28 + 0.27 = 1.55

Propiedad de la Suma

Esta propiedad señala que al sumar o restar un número real a ambos lados de

una ecuación, esta no se altera.

Sean 𝑎 y 𝑏 dos números reales, y si 𝑎 = 𝑏, entonces para todo número real 𝑐

se tiene que: 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐

Sean 𝑎 y 𝑏 dos números reales, y si 𝑎 = 𝑏, entonces para todo número real 𝑐

se tiene que: 𝑎 − 𝑐 = 𝑏 − 𝑐

Ejemplo:

Resolver la ecuación:2

35

w

Solución:

Podemos aplicar la propiedad de la suma, sumamos a ambos lados el número

2

5, resulta:

𝑤 −2

5+2

5= 3 +

2

5

Como 2 17

35 5

, entonces:

𝑤 =17

5

ECUACIONES


En general, dada una igualdad

𝑎 + 𝑏 = 𝑐

Si sumamos el opuesto de 𝑏 a ambos lados de la ecuación y simplificamos,

despejaremos el término 𝑎:

𝑎 + 𝑏 − 𝑏 = 𝑐 − 𝑏

𝑎 = 𝑐 − 𝑏

Este procedimiento se reconoce con frecuencia como “pasar restando”, pero

en realidad lo que ocurre es que se el término b se reduce a cero al juntarlos

con su opuesto –b. En resumen:

𝑆𝑖 𝑎 + 𝑏 = 𝑐, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 = 𝑐 − 𝑏

Del mismo modo para

𝑎 − 𝑏 = 𝑐

Se suma el opuesto de – 𝑏 a ambos lados de la ecuación y simplificamos:

𝑎 − 𝑏 + 𝑏 = 𝑐 + 𝑏

𝑎 = 𝑐 + 𝑏

El término –b no “pasó” sumando al otro, se redujo a cero al sumarle su

opuesto b. Por tanto:

𝑆𝑖 𝑎 − 𝑏 = 𝑐, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 = 𝑐 + 𝑏

Ejemplo: Resolver la ecuación: 𝑎 + 15 = 3

Solución:

Sumando el opuesto de 15 y aplicando la propiedad anterior resulta:

𝑎 = 3 − 15 = −12

Comprobación: 𝑎 + 15 = −12 + 15 = 3

ECUACIONES


Ejemplo: Un automóvil recorrió 80 km. a una velocidad de 60 km/h.

¿Cuánto tiempo demoró en recorrer la distancia señalada?

Solución:

Sabemos que la velocidad es la razón entre la distancia y el tiempo, situación

que representamos a través de la siguiente fracción:

𝑣 =𝑑

𝑡

O bien:

𝑑 = 𝑣 ∙ 𝑡

Sustituyendo los valores de la velocidad y el tiempo en esta ecuación, se

tiene:

80 = 60 ∙ 𝑡

Para despejar la variable 𝑡, multiplicamos por el inverso multiplicativo de 60

a ambos lados de la ecuación:

(1

60) ∙ 80 = (

1

60) ∙ 60 ∙ 𝑡

Simplificando obtenemos:

4

3= 𝑡

Lo que significa que el tiempo transcurrido es 4

3t (horas),

equivalentemente 1 hora y 20 minutos.

El ejemplo anterior motiva la siguiente propiedad:

Propiedad de la Multiplicación

Si 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales, y si 𝑎 = 𝑏, entonces:

𝑎 ∙ 𝑐 = 𝑏 ∙ 𝑐

ECUACIONES


Notar que multiplicar o dividir por un número diferente de cero, es produce

una propiedad equivalente, esto es:

Si 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales con 𝑐 ≠ 0 y si 𝑎 = 𝑏, entonces:

𝑎 ∙1

𝑐= 𝑏 ∙

1

𝑐

O bien:

𝑎

𝑐=𝑏

𝑐

Ejemplo: Resolver la ecuación:

Solución:

Como podemos ver en la ecuación anterior, el coeficiente que acompaña la

variable 𝑦 es 3

4 y su recíproco o inverso multiplicativo es

4

3, luego

multiplicamos ambos lados de la ecuación por 4

3:

(4

3) ∙ (

3

4𝑦) = (

4

3) ∙ (−6)

Luego:

𝑦 = −24

3= −8

Comprobando con 𝑦 = −8:

3

4𝑦 =

3

4∙ −8 = 3 ∙ −2 = −6

En general si un término distinto de cero está multiplicando a un lado de una

ecuación:

𝑎 ∙ 𝑐 = 𝑏

Luego, al multiplicar por el recíproco de 𝑐, con 𝑐 ≠ 0 a ambos lados de la

ecuación y simplificando, resulta:

𝑎 ∙ 𝑐 = 𝑏 ⟷ 𝑎 ∙ (𝑐 ∙1

𝑐) = 𝑏 ∙

1

𝑐 ⟷ 𝑎 =

𝑏

𝑐

Por lo tanto:

𝑆𝑖 𝑎 ∙ 𝑐 = 𝑏 𝑦 𝑐 ≠ 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 =𝑏

𝑐

ECUACIONES


De la misma manera si un término diferente de cero está dividiendo a un

lado de la ecuación:

𝑎

𝑐= 𝑏

Podemos multiplicar por el a ambos lados de la ecuación, obteniendo:

𝑎

𝑐= 𝑏 ↔

𝑎

𝑐∙ 𝑐 = 𝑏 ∙ 𝑐 ↔ 𝑎 = 𝑏 ∙ 𝑐

En consecuencia el término “pasa” al otro lado de la ecuación

multiplicando.

Por lo tanto:

𝑆𝑖 𝑎

𝑐= 𝑏 𝑦 𝑐 ≠ 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 = 𝑏 ∙ 𝑐

Ejemplo:

Resolver la ecuación: 5𝑦 = −10

3

Solución:

Dada la ecuación:

5𝑦 = −10

3

Procedemos utilizando la propiedad anterior, 5 “pasa” dividiendo al lado

derecho de la ecuación:

𝑦 = −10

3 ∙ 5= −

2

3

ECUACIONES


Ecuaciones de una variable en ambos miembros de la igualdad

Es tipo de ecuaciones se basa en la igualdad de dos ecuaciones de primer

grado, utilizando la propiedad de la suma podemos “dejar” a un lado de la

ecuación el término algebraico y al otro lado el término numérico.

Problema 9: Un recipiente A contiene 550 litros de agua y se está llenando a

razón de 45 litros de agua de otro recipiente B que contiene 1000 litros. ¿En

cuánto tiempo tendrán la misma cantidad de agua ambos recipientes?

Solución:

En 𝑡 minutos, el recipiente A tendrá 550 + 45𝑡 litros de agua.

En los mismos 𝑡 minutos, el recipiente B tendrá 1000 − 45𝑡 litros de agua.

Ahora bien, tenemos que igualar ambas expresiones y encontrar el valor de 𝑡

que haga verdadera la ecuación, esto es:

550 + 45𝑡 = 1000 − 45𝑡

Procederemos combinando las propiedades anteriores, con el objetivo de

“despejar” la variable 𝑡. Sumando 45𝑡 a ambos lados de la igualdad:

550 + 45𝑡 + 45𝑡 = 1000 − 45𝑡 + 45𝑡

Simplificando:

550 + 90𝑡 = 1000

Ahora sumamos el inverso aditivo de 550 a ambos lados de la ecuación:

−550 + 550 + 90𝑡 = −550 + 1000

Simplificando:

90𝑡 = 450

Dividimos por 90:

𝑡 =450

90=45

9= 5

ECUACIONES


Comprobando con 𝑡 = 5, se tiene 550 + 45𝑡 = 550 + 45 ∙ 5 = 775, y

además

1000 − 45𝑡 = 1000 − 45 ∙ 5 = 775, por tanto la igualdad es verdadera.

Problemas Resueltos

Un automóvil deja la ciudad A y va a la ciudad B a una rapidez constante de

95 km/h. Al mismo tiempo, otro automóvil deja la ciudad B rumbo a la

ciudad A, a una rapidez constante 120 km/h. Si la distancia desde A hasta B

es 614 km. ¿En cuánto tiempo se encuentran ambos automóviles? ¿Qué

distancia recorre cada automóvil?

Solución:

Identificamos la información:

- La rapidez del automóvil que viaja de A hasta B es 95 km/h.

- La rapidez del automóvil que viaja de B hasta A es 120 km/h.

- La distancia entre las ciudades A y B es 614 km.

Establecer una estrategia de resolución:

Se define la incógnita distancia en km recorrida por uno de los vehículos.

Luego, considerando la distancia entre las ciudades A y B, se escribe

algebraicamente la distancia recorrida por el otro vehículo en términos de la

incógnita distancia que se ha especificado. Además, se determina otra

incógnita para el tiempo en horas que tardan los vehículos en encontrarse.

Luego, con los datos velocidad, tiempo y distancia correspondiente a cada

vehículo se plantean dos ecuaciones según la fórmula 𝑣 ∙ 𝑡 = 𝑑. Finalmente

se resuelve el sistema de ecuaciones con alguno de los métodos estudiados

para determinar el valor de cada incógnita.

ECUACIONES

A B

95 km/h 120 km/h

Punto de

encuentro

614 km


Ahora resolvemos el problema:

La rapidez de un automóvil se calcula con la siguiente fórmula: 𝑣 =𝑑

𝑡, donde

𝑑 es la distancia recorrida por el automóvil , 𝑡 el tiempo que tarda el

automóvil en recorrer esa distancia 𝑑 y 𝑣 la velocidad del automóvil.

Despejando la variable 𝑑 de la fórmula anterior se obtiene:

𝑣 ∙ 𝑡 = 𝑑 (∗)

Sea 𝑑1 la distancia en kilómetros que recorre el automóvil que viaja a 95

km/h hasta llegar al punto de encuentro. Si la distancia entre ambas ciudades

es 614 km, el otro automóvil necesariamente recorre (614 − 𝑑1) kilómetros

hasta el punto de encuentro, como se ilustra a continuación.

Respecto al tiempo, ambos vehículos salieron a la misma hora de cada ciudad

y al encontrarse tambien coinciden en horario, por lo tanto, ambos han

recorrido distintas distancias pero en el mismo intervalo de tiempo.

Llamaremos 𝑡 al tiempo en horas que tardan los vehículos en encontrarse.

Si reemplazamos los datos de cada automóvil en la fórmula (∗), obtenemos

las siguientes dos ecuaciones:

95𝑡 = 𝑑1 (1)

120𝑡 = 614 − 𝑑1 (2)

Cuando aparecen dos ecuaciones a resolver simultáneamente, recibe el

nombre de sistema de ecuaciones, para resolver este tipo de problemas

existen varias técnicas, que más adelante estudiaremos con detalle.

Si observamos la ecuación (1), se tiene que la variable 𝑑1 = 95𝑡, al

reemplazarla en la ecuación (2), obtenemos la ecuación lineal:

120𝑡 = 614 − 95𝑡, la que pasamos a resolver:

A B

95 km/h 120 km/h

Punto de

encuentro

𝑑1 614 − 𝑑1

ECUACIONES


120𝑡 = 614 − 95𝑡

120𝑡 + 95𝑡 = 614

215𝑡 = 614 /: 215

𝑡 ≈ 2,86 ∗

*valor aproxiamdo a la centésima

Reemplazando el tiempo 𝑡 = 2,86 h en la ecuación (1), se tiene que 𝑑1 =

271,7 km, por lo tanto, el otro vehículo recorre 614 − 271,7 = 342,3 km.

Además podemos expresar el tiempo en horas y minutos como se muestra a

continuación:

2,86 = 2 ℎ + 0,86 ℎ⏟ 0,86∙60≈52 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

Por lo tanto, 2,86 horas corresponde a 2 horas y 52 minutos

aproximadamente.

Finalmente, se concluye que los automóviles se encuentran en 2 horas y 52

minutos aproximadamente. El vehículo que viaja a 95 km/h recorre 271,7 km

y el que viaja a 120 km/h recorre 342,3 km.


a) Una molécula de azúcar, tiene el doble de átomos de hidrógeno que de

oxígeno y un átomo más de carbón que de oxígeno. Si una molécula de azúcar

tiene un total de 45 átomos ¿Cuántos son de oxígeno? ¿Cuántos son de

hidrógeno?

b) El tiempo de una ingeniera consultora se factura a $35.000 por hora y

el de su asistente a $11.000 por hora. Un cliente recibe una cuenta de $773.000

por cierto trabajo. Si la asistente trabajó 5 horas menos que la ingeniera.

¿Cuánto tiempo facturó cada una en el trabajo?

c) Los arqueólogos pueden determinar la estatura de un ser humano sin

tener un esqueleto completo. Si un arqueólogo encuentra sólo un húmero,

puede determinar la estatura del individuo usando una relación lineal simple.

Para una mujer, si 𝑥 es la longitud del húmero (en cm), entonces su estatura ℎ

(en cm) se puede encontrar con la fórmula ℎ = 65 + 3,14𝑥; para un hombre,

debe usarse la fórmula ℎ = 73,6 + 3𝑥

ECUACIONES


i. Se encuentra el esqueleto de una mujer que tiene un

húmero de 30 cm, ¿Cuál es la estatura a su fallecimiento?

ii. Si la estatura de un hombre al morir fue 1,81 m

¿Cuánto mide su húmero a su fallecimiento?

d) La altura ℎ (en pies) de la base de una nube se puede estimar usando

la ecuación ℎ = 227(𝑇 − 𝐷), donde 𝑇 es la temperatura del suelo y 𝐷 el

punto de rocío. Calcula la temperatura del suelo si el punto de rocío es 65°F y

la base de la nube está a 3500 pies.

e) A las 10:00 am el jefe de Carlos le pide que quite las hierbas del jardín.

Por experiencia, Carlos sabe que esto le tomará 3 horas y media trabajando

sólo. Su compañero Gonzalo, cuando realiza el mismo trabajo tarda 6 horas.

Como Gonzalo irá a jugar un partido de fútbol con Carlos a las 1:00 pm

acepta ayudarle. Suponiendo que no hay ganancia ni pérdida en la eficiencia

¿A qué hora terminarán si trabajan juntos? ¿Lograrán llegar a la hora para

jugar el partido de fútbol?

f) Alejandra pinta sólo cuatro habitaciones en 10 horas. Si contrata a

Martina, para ayudarle, pueden hacer el mismo trabajo en 6 horas. Si deja a

Martina sola ¿Cuánto tardará ella en pintar las cuatro habitaciones?

g) Un fabricante de té quiere vender una nueva mezcla. Para ello

mezclará té negro con aroma a limón que se vende a $5.000 por kg con un

poco de té negro con aroma a naranja que se vende a $3.000 por kg para

obtener 50 kg de la nueva mezcla, cuyo precio será $4.500 por kg y no debe

haber diferencia entre los ingresos por la venta separada o de la mezcla

¿Cuántos kg de cada té se requieren?

h) Un hombre deja su hogar manejando a 64 km/h. cuando su

automóvil se descompone camina por la misma ruta hacia su casa a 8 km/h.

Si el recorrido completo, conducción y caminata, le tomó dos horas un cuarto

¿Cuántos kilómetros caminó hasta su casa?

i) La altura ℎ sobre el suelo de un cohete de juguete, 𝑡 segundos

después de que es lanzado, está dada por ℎ = −16𝑡2 + 120𝑡 ¿Cuándo estará

el cohete 180 pies sobre el suelo?

ECUACIONES


j) La temperatura 𝑇 (en °C) a la que el agua hierve está relacionada

con la elevación ℎ (en metros sobre el nivel del mar) por la ecuación ℎ =

1000(100 − 𝑇) + 580 (100 − 𝑇)2. La altura del Monte Everest es

aproximadamente 8840 m. Estime la temperatura a la que el agua hierve

en la cima de la montaña. (sugerencia: use la fórmula cuadrática con 𝑥 =

100 – 𝑇)

k) En un rectángulo un lado mide 43 cm más que el otro ¿Cuáles pueden

ser las medidas de los lados del rectángulo si su área es 328 cm2?

l) Los cubos marcados con la misma letra tienen igual peso. Determina

el peso de cada cubo.

C R E S L E

T

R R L C

ECUACIONES

ECUACIONES


Sistemas de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones, es en buenas cuentas, es un conjunto de

ecuaciones con dos o más incógnitas, que forman un problema que consiste

en encontrar los valores para las variables involucradas que satisfacen las

ecuaciones simultáneamente.

Introduciremos tres métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, a

través de tres problemas ad-hoc.

Problema 10: Pablo le dijo a su hermana Sandra: “Si le sumas 1 a mi edad,

obtendrás un número igual que duplicar la edad de Eduardo, luego de

disminuirla en 1. Si le restas 1 a mi edad, obtendrás un número igual a la edad

de Eduardo aumentada en 1”

Solución:

Llamemos 𝑃 a la edad de Pablo y llamemos 𝐸 a la edad de Eduardo,

entonces:

𝑃 + 1 = 2(𝐸 − 1)

𝑃 − 1 = 𝐸 + 1

Reescribiendo las ecuaciones anteriores, de modo tal que las variables

aparezcan a la izquierda y los coeficientes numéricos a la derecha:

𝑃 − 2𝐸 = −2

𝑃 − 𝐸 = 2

Procederemos a despejar una de las dos variables involucradas en cada

ecuación, en nuestro caso elegimos la variable 𝑃, por lo tanto:

𝑃 = −2 + 2𝐸

𝑃 = 2 + 𝐸

SISTEMAS DE

ECUACIONES


Observemos que ambas ecuaciones representan a una misma variable 𝑃 a

través de dos expresiones algebraicas diferentes, por tanto podemos igualar

ambas ecuaciones:

−2 + 2𝐸 = 2 + 𝐸

Ahora, resolvemos para 𝐸:

𝐸 = 4

Luego, utilizamos cualquiera de las dos ecuaciones originales del sistema para

hallar el valor de la variable 𝑃, en efecto de la segunda ecuación:

𝑃 = 2 + 𝐸 = 2 + 4 = 6

Por lo tanto Pedro tiene 6 años y Eduardo 4 años.

Hemos resuelto el sistema a través del método de igualación, que a

continuación detallamos:

Método de Igualación

Al momento de resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando este

método, debemos seguir los siguientes pasos:

1. Despejamos una misma variable en ambas ecuaciones del sistema

(cualquiera).

2. Igualamos las expresiones resultantes para las variables que se han

despejado en el paso anterior.

3. Resolvemos la ecuación que resulta luego de igualar las expresiones

algebraicas.

4. El valor obtenido de la ecuación anterior, es sustituido en cualquiera de las

ecuaciones del primer paso, de este modo calculamos el valor de la otra

variable.

5. Comprobamos, reemplazando los valores obtenidos en las ecuaciones

originales.

SISTEMAS DE

ECUACIONES


Problema 11: Si a la fracción 𝑥

𝑦, le restamos 1 al numerador y sumamos 3 al

denominador obtenemos 2

3. Por otra parte, si sumamos 2 al numerador y

restamos 2 al denominador obtenemos 5

2. ¿Cuál es el valor de la fracción?

Solución:

Del planteamiento anterior, podemos establecer el siguiente sistema de

ecuaciones:

𝑥 − 1

𝑦 + 3=2

3

𝑥 + 2

𝑦 − 2=5

2

Observemos que el sistema anterior no se asemeja a un sistema compuesto

por dos ecuaciones lineales o de primer grado, sin embargo, si asumimos que

los denominadores del lado izquierdo son diferentes de cero o bien 𝑦 ≠

−3, 𝑦 ≠ 2, entonces podemos multiplicar “cruzado”, así:

3(𝑥 − 1) = 2(𝑦 + 3)

2(𝑥 + 2) = 5(𝑦 − 2)

Multiplicando y simplificando el sistema anterior se puede reescribir como:

3𝑥 − 2𝑦 = 9

2𝑥 − 5𝑦 = −14

Luego, multiplicando por 2 la primera ecuación y por 3 la segunda ecuación,

se obtiene:

6𝑥 − 4𝑦 = 18

6𝑥 − 15𝑦 = −42

SISTEMAS DE

ECUACIONES


Observemos que en este sistema, en ambas ecuaciones los coeficientes de la

variable 𝑥 son iguales, por tanto restando ambas ecuaciones se tiene (la

segunda menos la primera):

6𝑥 − 15𝑦 − (6𝑥 − 4𝑦) = −42 − 18

Simplificando:

−11𝑦 = −60

Dividiendo por -11:

𝑦 =60

11

Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones originales:

3𝑥 − 2 ∙60

11= 9

Resolviendo para 𝑥:

𝑥 =1

3∙ (9 +

120

11) =

1

3∙ (99 + 120

11) =

1

3∙ (219

11) =

73

11

Luego, la fracción buscada es:

𝑥

𝑦=

73116011

=73

60

Comprobando:

𝑥 − 1

𝑦 + 3=

7311 − 1

6011 + 3

=

62119311

=62

93=2

3

𝑥 + 2

𝑦 − 2=

7311 + 2

6011 − 2

=

95113811

=95

38=5

2

SISTEMAS DE

ECUACIONES


Para resolver este tipo de problemas empleamos el método de reducción.

Método de Reducción



1. Multiplicamos cada ecuación por aquellos coeficientes o números que nos

permitan, en ambas ecuaciones, obtener coeficientes iguales de alguna de las

variables involucradas.

2. Sumamos o restamos las ecuaciones para simplificar una variable, con esto

logramos una ecuación en una variable.

3. Resolvemos la ecuación que resulta luego de simplificar una variable.



variable.


originales.

Problema 12: Dados dos materiales diferentes con iguales volúmenes,

obtendremos en general pesos diferentes. El peso depende del material

utilizado, en esto consiste el peso específico o densidad de un determinado

material, se expresa en 𝑘𝑔/𝑚3. Por ejemplo si un bloque de vidrio pesa 10

kilos, el mismo volumen de agua pesa 3 kilos, entonces la densidad del vidrio

en relación al agua es de 10/3, aproximadamente 3,33.

La suma de las densidades del acero y del oro es de 27,08. La densidad del oro

es mayor que la del acero, pero si restamos 5,72 a la densidad del oro y le

sumamos 5,72 a la del acero, obtenemos dos cantidades iguales. ¿Cuál es la

densidad de cada material?

SISTEMAS DE

ECUACIONES

Arquimides, considerado uno

de los más grandes pensadores

de la antigüedad. Se cuenta que

el rey Herón sospechaba que un

joyero había adulterado la

corona de oro puro que le había

encargado a fabricar, y le pidió

a Arquímides que confirmara o

desechara su teoría. Un día,

mientras tomaba un baño,

Arquímides pensó que el agua

que se desbordaba en la tina,

tenía que ser igual al volumen

de su cuerpo que estaba

sumergido, y salió desnudo por

las calles de Siracusa (Sicilia)

gritando “¡Eureka, Eureka!” (¡Lo

encontré!). Basándose en esta

idea pudo determinar el

volumen de la corona. De esta

forma pudo comprobar que la

corona tenía un volumen mayor

que el de un objeto de oro del

mismo peso, y por consiguiente

la corona no era de oro puro


Solución: Llamemos 𝑂 a la densidad del oro y 𝐴 a la densidad del acero.

Luego, planteamos el siguiente sistema de ecuaciones:

𝑂 + 𝐴 = 27,08

𝑂 − 5,72 = 𝐴 + 5,72

Despejando 𝐴 de la primera ecuación:

𝐴 = 27,08 − 𝑂

Sustituyendo 𝐴 en la segunda ecuación:

𝑂 − 5,72 = (27,08 − 𝑂) + 5,72

Resulta una ecuación en la variable 𝑂, la cual procedemos a resolver:

2𝑂 = 27,08 + 5,72 + 5,72 = 38,52

Diviendo por 2 para despejar 𝑂:

𝑂 =19,26

Ahora sustituyendo el valor de 𝑂 , en cualquiera de las dos ecuaciones

originales, en nuestro caso la primera:

19,26 + 𝐴 = 27,08

Se obtiene el valor de 𝐴 = 7,82.

Comprobando:

𝑂 + 𝐴 = 19,26 + 7,82 = 27,08

𝑂 − 5,72 = 19,26 − 5,72 = 13,54

𝐴 + 5,72 = 7,82 + 5,72 = 13,54

Por lo tanto se satisfacen ambas ecuaciones.

A continuación se detalla el procedimiento utilizado para resolver el sistema

precedente.

SISTEMAS DE

ECUACIONES


Método de sustitución



1. Despejamos una variable en alguna de las ecuaciones del sistema

(cualquiera).

2. Sustituimos la variable del punto anterior, en la otra ecuación del sistema.

3. Resolvemos la ecuación que resulta luego realizar la sustitución.



variable.


originales.


1. Resuelva los siguientes sistemas de ecuación:

2. En un monedero hay un total de $ 8.500 distribuidos en 33 monedas

de dos tipos, unas de $ 100 Y el resto de $ 500. De acuerdo a estos datos

Pilar y Mario escribieron dos sistemas de ecuaciones diferentes.

{2𝑥 − 𝑦 = −44𝑥 = 4 + 2𝑦

{8 + 𝑦 − 4𝑥 = −2𝑥 + 42𝑥 + 3 = −𝑦 + 7

{𝑥 + 3𝑦 = 6

5𝑥 = −15𝑦 + 30 {

1

2𝑥 + 𝑦 = −2

1

8𝑥 −

1

4𝑦 = 1

{𝑦 =

3

2− 5𝑥

𝑦

5+ 𝑥 =

3

10

SISTEMAS DE

ECUACIONES


Según el contexto de la situación inicial ¿Qué representa 𝑥 e 𝑦 en cada caso?

Pilar: 𝑥 + 𝑦 = 33

100𝑥 + 500𝑦 = 8.500

Mario: 𝑥 + 𝑦 = 8500𝑥

500+

𝑦

100= 33

3. Plantea un sistema de ecuaciones y luego resuélvelo para dar respuesta

a los siguientes problemas:

i. Un atleta se entrena nadando en un río. Primero nada

contra la corriente y demora 30 minutos en recorrer 2000 metros. Luego, nada

a favor de la corriente y demora 15 minutos en recorrer la misma distancia.

¿Cuál es la velocidad del nadador respecto del río? ¿y la velocidad del río

respecto de la orilla?

ii. El gerente de Starbucks decide experimentar con una

nueva mezcla de café. Mezclará algo de café colombiano grado B que se vende

$ 475 el kg con algo de café de Arabia de grado A que se vende en $1200 el kg,

para obtener 50 kg de la nueva mezcla. El precio de venta de la nueva mezcla

debe ser $790 por kg y no debe haber diferencia en la ganancia por vender la

nueva mezcla comparada con vender otros tipos. ¿Cuántas libras de café grado

B colombiano y grado A de Arabia y se requiere?

iii. Dos ciudades están conectadas por una carretera. Un

auto sale de la ciudad B a las 1:00 pm y avanza a una rapidez constante de 40

mi/h hacia la ciudad C. treinta minutos después, otro auto sale de la ciudad B

y avanza hacia C a una velocidad constante de 55 mi/h. Si no consideramos las

longitudes de los autos ¿A qué hora el segundo auto alcanzará al primero?

iv. Dos guardias de una empresa tienen radios de

comunicación con un alcance máximo de 3 km. Uno de ellos sale de cierto

punto a la 1:00 y camina al norte a razón de 6,4 km/h. El otro sale del mismo

punto a las 1:15 y camina al sur a 9,6 km/h. ¿Desde qué hora no podrán

comunicarse entre sí?

SISTEMAS DE

ECUACIONES


v. Una compañía médica produce dos tipos de válvulas

para el corazón; la estándar y la de lujo. Para hacer una válvula estándar son

necesarios 5 minutos en el torno y 10 en la prensa taladradora, mientras que

para la válvula de lujo son necesarios 9 minutos en el torno y 15 en la prensa.

Cierto día el torno está disponible 4 horas y la prensa 7. Si utilizan las

máquinas en forma continuada ¿Cuántas válvulas de cada tipo se fabrican?

vi. Tres tubos de ensayo contienen diferentes niveles de

líquido. Para que tuvieran el mismo nivel, se hicieron tres transferencias de

líquidos, así, 1

3 del primero se vació en el segundo, de lo que quedó en el

segundo se vació 1

4 al tercero, y lo que quedó en el tercero se vació

1

10 al

primero. Después de lo anterior, cada tubo quedó con 9 ml ¿cuántos ml tenía

cada tubo inicialmente?

SISTEMAS DE

ECUACIONES


Ecuación de Segundo Grado

La ecuación general de segundo grado tiene la forma:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

Con 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0.

Para resolverla realizaremos completación de cuadrados:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

Dejando el coeficiente numérico al lado derecho de la igualdad:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = −𝑐

Factorizando por 𝑎 al lado izquierdo:

𝑎(𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥) = −𝑐

Dividiendo por 𝑎 ≠ 0:

𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 = −

𝑐

𝑎

Sumando a ambos lados (𝑏

2𝑎)2

, para completar un cuadrado de binomio a la

izquierda:

𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 + (

𝑏

2𝑎)2

= −𝑐

𝑎+ (

𝑏

2𝑎)2

Formando el cuadrado de binomio a la izquierda:

(𝑥 +𝑏

2𝑎)2

= −𝑐

𝑎+ (

𝑏

2𝑎)2

= −𝑐

𝑎+𝑏2

4𝑎2

Sumando los términos numéricos a la derecha:

(𝑥 +𝑏

2𝑎)2

=𝑏2 − 4𝑎𝑐

4𝑎2

Aplicando raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad:

𝑥 +𝑏

2𝑎= ±√

𝑏2 − 4𝑎𝑐

4𝑎2= ±

√𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

ECUACIÓN DE

SEGUNDO GRADO

Recordemos que:

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

= 𝑥2 + 2(𝑏

2𝑎) 𝑥 + (

𝑏

2𝑎)

2


El símbolo ± aparece debido a que el cuadrado de √𝑏2−4𝑎𝑐

4𝑎2 o de −√

𝑏2−4𝑎𝑐

4𝑎2,

resulta ser 𝑏2−4𝑎𝑐

4𝑎2, por lo tanto:

𝑥 +𝑏

2𝑎= ±

√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

Dejando la variable 𝑥 a la izquierda, se obtiene:

𝑥 = −𝑏

2𝑎±√𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Finalmente la solución general de la ecuación de segundo grado, puede

escribirse como:

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Observemos que el símbolo ± significa que en la fórmula anterior se puede

realizar la suma como la diferencia, y por lo tanto habrá dos soluciones para

la ecuación general, a saber:

𝑥1 =−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎; 𝑥2 =

−𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Cuando el coeficiente 𝑎 es cero, la ecuación cuadrática desaparece, y por

tanto la aplicación de la fórmula anteriro no tiene sentido. Con 𝑎 = 0, la

ecuación resulta: 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, la cual es de primer grado y ya sabemos

resolverla.

Por otra parte la cantidad subradical 𝑏2 − 4𝑎𝑐, recibe el nombre de

discriminante y se representa por el símbolo ∆. Dependiendo de los valores

de 𝑎, 𝑏 y 𝑐 el discriminante puede ser negativo, en tal caso diremos que la

ecuación no tiene solución real.

ECUACIÓN DE

SEGUNDO GRADO


Ejemplo:

Resolver la ecuación: 9𝑥2 − 6𝑥 + 1 = 0

Solución:

De la ecuación 9𝑥2 − 6𝑥 + 1 = 0, podemos distinguir los coeficientes: 𝑎 =

9, 𝑏 = −6, 𝑐 = 1, así al reemplazar en la fórmula que resuelve la ecución

general, obtenemos:

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=−(−6) ± √(−6)2 − 4 ∙ (9) ∙ (1)

2 ∙ 9

Realizando los cálculos aritméticos:

𝑥 =6 ± √36 − 36

18=6

18=1

3

De aquí que la única solución es 𝑥 =1

3. Observemos que esto ocurre cuando

el discriminante es cero.

Ejemplo:

Resolver la ecuación: 𝑥2 − 𝑥 + 1 = 0

Solución:

De la ecuación 𝑥2 − 𝑥 + 1 = 0, podemos distinguir los coeficientes: 𝑎 = 1,

𝑏 = −1, 𝑐 = 1, así al reemplazar en la fórmula que resuelve la ecución

general, obtenemos:

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=−(−1) ± √(−1)2 − 4 ∙ (1) ∙ (1)

2 ∙ 1


𝑥 =1 ± √1 − 4

2=1 ± √−3

2

De aquí deducimos que la ecuación 𝑥2 − 𝑥 + 1 = 0, no tiene solución real,

puesto que ∆= −3 < 0.

ECUACIÓN DE

SEGUNDO GRADO


Ejemplo:

Resolver la ecuación: 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0

Solución:

De la ecuación 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0, podemos distinguir los coeficientes:

𝑎 = 1, 𝑏 = −3, 𝑐 = 2, así al reemplazar en la fórmula que resuelve la

ecución general, obtenemos:

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=−(−3) ± √(−3)2 − 4 ∙ (1) ∙ (2)

2 ∙ 1


𝑥 =9 ± √9 − 8

2=9 ± √1

2=9 ± 1

2

De aquí deducimos que la ecuación 𝑥2 − 𝑥 + 1 = 0, tiene dos soluciones

reales, puesto que ∆= 1 > 0, a saber las soluciones son:

𝑥1 =9+1

2=10

2= 5; 𝑥2 =

9−1

2=8

2= 4

Finalmente, las soluciones son 𝑥1 = 5 y 𝑥2 = 4.

Problemas Resueltos

1. Un obrero debe delimitar un terreno rectangular con 200 metros de cerca.

Calcula las dimensiones del terreno, si su área debe ser de 2176 m2 y hay que

utilizar todos los metros de cerca disponibles.

Solución:

Identificamos la información:

- El terreno es rectangular.

- Se disponde de 200 metros para cercar terreno.

- El área del terreno debe ser 2176 m2.

Estableciendo una estrategia de resolución:

ECUACIÓN DE

SEGUNDO GRADO


Se definen las incógnitas correspondientes a los lados del rectángulo. Luego,

considerando el perímetro del rectángulo, se escribe algebraicamente un lado

del rectángulo en términos del otro. Con ambos lados del rectángulo, se

escribe la expresión algebraica correspondiente a su área y se iguala a 2176

m2, que es el área que exige el problema. Finalmente se resuelve la ecuación

de segundo grado planteada.

Resolviendo el problema:

Sea 𝑥 la medida en metros del ancho del rectángulo e 𝑦 la medida en metros

del largo del rectángulo, como se muestra en la figura 1.

Se dispone de 200 metros para cercar el terreno, entonces 200 m es el

perímetro del rectángulo. Luego, se escribe la ecuación correspondiente al

perímetro y se despeja una de las dos incógnitas:

Con el resultado de la ecuación (1), se escribe el largo y ancho del rectángulo

utilizando una sola variable, como se muestra en la figura 2.

2𝑥 + 2𝑦 = 200

2𝑥 + 2𝑦 = 200 /: 2

𝑥 + 𝑦 = 100

𝑦 = 100 − 𝑥 (1)

ECUACIÓN DE

SEGUNDO GRADO


Se sabe que el área del terreno rectangular debe ser 2176 m2 y el área de un

rectángulo se calcula multiplicando las medidas de su largo y ancho, entonces,

la ecuación correspondentiente al área del rectángulo de la figura 2 es:

𝑥⏟𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜

∙ (100 − 𝑥)⏟ 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜

= 2176

Ahora debemos resolver la ecuación anterior

100𝑥 − 𝑥2 = 2176

Al multiplicar las expresiones algebraicas obtenemos una incógnica al

cuadrado, por lo tanto se trata de una ecuación de segundo grado. Para

resolver esta ecuación, es necesario igualar a cero e identificar los parámetros

𝑎, 𝑏 y 𝑐 de una ecuación cuadrátrica, obteniendo:

𝑥2 − 100𝑥 + 2176 = 0

En este caso 𝑎 = 1, 𝑏 = −100 y 𝑐 = 2176. Luego, estos números se

reemplazan en la fórmula cuadrática 𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎, de donde obtenemos:

𝑥1 =−(−100) + √(−100)2 − 4 ∙ 1 ∙ 2176

2 ∙ 1

=100 + √10000 − 8704

2

=100 + √1296

2=100 + 36

2= 68

𝑥2 =−(−100) − √(−100)2 − 4 ∙ 1 ∙ 2176

2 ∙ 1

=100 − √10000 − 8704

2

=100 − √1296

2=100 − 36

2= 32

ECUACIÓN DE

SEGUNDO GRADO


Finalmente se reemplaza x1 y x2 en la ecuación (1) para calcular, en cada

caso, la medida del largo del rectángulo. Si el ancho mide 68 m, el largo será

32 m, mientras que si el ancho es 32 m, el largo será 68 m.

Luego, las medidas de los lados del terreno rectangular deben ser 68 y 32

metros.


1. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:

i. 9𝑦2 − 8𝑦 + 10 = 0

ii. 4𝑧2 + 11𝑧 + 45 = 0

iii. 28𝑤2 + 45𝑤 + 18 = 0

iv. 12𝑥2 − 57𝑥 + 40 = 0

v. 25𝑤2 − 40𝑦 = 0

vi. 𝑦 + 3 +1

𝑦+3= 1

vii. 5

𝑤−3+

1

𝑤−6=3

2

viii. 𝑥2 + √2𝑥 + 4√2 = 0

ix. 𝑎+2

𝑎+6+11

3=𝑎+7

𝑎−3

2. La suma de los cuadrados de dos números es igual a 157. El menor de ellos es igual a 6. ¿Cuál es el mayor? 3. Encuentra dos números cuya suma sea -2 y cuyo producto sea -48. 4. El papá de mi amigo vivió muchos años. Poco antes de morir, me dijo: “Soy un hombre afortunado pues he logrado conocer tantos nietos que el número de ellos multiplicado por la cuarta parte del mismo número es igual a 256. Además, mi edad es ya el triple del número de nietos que tengo”. ¿Cuántos nietos y qué edad tenía en ese momento? 5. A la hora del almuerzo, un profesor repartió entre sus alumnos los fondos que había reunido durante el año, que ascendían a $200, asignando a cada uno cierta cantidad. Antes de terminar la repartición llegaron 5 alumnos más, por lo que repartió nuevamente, tocando a cada uno $2 menos que en la primera repartición. ¿Cuántos alumnos eran inicialmente?

ECUACIÓN DE

SEGUNDO GRADO


6. Una panadería reparte 120 piezas de pan que sobraron el día anterior entre cierto número de personas, y a cada una le toca una cantidad igual. Al ver la reacción de las familias del poblado, el dueño decide repartir al día siguiente igual número de piezas de pan, sólo esta vez llegan 4 personas más y a todas las personas les tocan 5 piezas menos. ¿Cuántas personas llegaron cada día? 7. Calcula el área de un cuadrado cuya diagonal es 4 unidades mayor que cualquiera de los lados. 8. Un vendedor de frutas compró un cierto número de racimos de plátano por $400. Cinco racimos estaban muy maduros y no pudo venderlos, así que aumentó $10 al precio de cada uno de los racimos sobrantes, y al venderlas todas obtuvo una ganancia de $50. ¿Cuántos racimos compró inicialmente? 9. Los antiguos griegos consideraban que los rectángulos más bellos eran aquellos a los que si se les quita un cuadrado de lado igual a su lado menor, las razones de los lados originales y los nuevos lados son iguales, es decir, si uno de dichos rectángulos tiene lado largo a y lado corto b y se le quita un cuadrado de lado b, el rectángulo tiene un lado b y un lado a-b. En

consecuencia, si 𝑎

𝑏=

𝑏

𝑎−𝑏, decimos que el rectángulo es un rectángulo de oro

y la razón de sus lados 𝑟 =𝑎

𝑏 se llama razón de oro. ¿Cuánto vale la razón de

oro? 10. El área de un triángulo rectángulo mide 24 metros cuadrados, y la hipotenusa mide 10 metros. Calcula las longitudes de los catetos. 11. Los catetos de un triángulo miden x y 2x-10. La hipotenusa mide 2x-1. ¿Cuánto mide cada cateto y cuánto mide la hipotenusa del triángulo? 12. Un terreno de forma de triángulo rectángulo tiene las siguientes dimensiones: uno de los lados mide 144 metros y la hipotenusa es 9 metros más 8 veces el otro lado. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno?, ¿Qué área tiene? 13. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 390 metros. La altura sobre la hipotenusa mide 60 metros. Calcula las longitudes de los lados del triángulo.

ECUACIÓN DE

SEGUNDO GRADO


Intervalos

Para definir un intervalo utilizaremos la notación de conjuntos y las

relaciones de orden < ó ≤.

Recordemos que un número 𝑎 ∈ ℝ será menor que un número real 𝑏 ∈ ℝ,

cuando la diferencia 𝑏 − 𝑎, sea un número real positivo. Además diremos

que 𝑎 es menor o igual a 𝑏 si y sólo si 𝑎 es menor a 𝑏 o bien 𝑎 es igual a 𝑏.

i. Si 𝑎 < 𝑏, definimos el conjunto:

(𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}

Se llamará conjunto abierto y geométricamente lo representaremos

de la siguiente forma:

ii. Si 𝑎 < 𝑏, y ambos son incluidos en el conjunto, definimos:

[𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}

Se llamará conjunto cerrado y geométricamente lo representaremos

de la siguiente forma:

iii. Si 𝑎 < 𝑏, y 𝑎 es incuido en el conjunto, definimos:

[𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}

Se llamará conjunto semi-abierto y geométricamente lo

representaremos de la siguiente forma:

INTERVALOS


iv. Si 𝑎 < 𝑏, y 𝑏 es incluido en el conjunto, definimos:

(𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}

También se llamará conjunto semi-abierto y geométricamente lo

representaremos de la siguiente forma:

v. Si 𝑏 ∈ ℝ, se define el conjunto:

(−∞, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 < 𝑏}

Conjunto formado por todos los números reales menores que

𝑏, geométricamente lo representaremos de la siguiente forma:

vi. Si 𝑏 se incluye en el conjunto, se define:

(−∞, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≤ 𝑏}

Conjunto formado por todos los números reales menores o iguales

que 𝑏, geométricamente lo representaremos de la siguiente forma:

vii. Si 𝑎 ∈ ℝ, se define el conjunto:

(𝑎, −∞) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 > 𝑎}

Conjunto formado por todos los números reales mayores que

𝑎, geométricamente lo representaremos de la siguiente forma:

INTERVALOS


viii. Si 𝑎 ∈ ℝ, se define el conjunto:

[𝑎, −∞) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≥ 𝑎}

Conjunto formado por todos los números reales mayores o iguales

que 𝑎, geométricamente lo representaremos de la siguiente forma:

Inecuaciones Lineales

Una expresión que contenga los símbolos <,>,≤, ≥ se llama desigualdad.

Una desigualdad expresa el orden relativo de dos expresiones matemáticas.

Las expresiones pueden ser numéricas o algebraicas. Las siguientes son

desigualdades:

1 < 7

3𝑥 + 16 ≥ 9

𝑥2 + 𝑥 + 2 < 5 − 2𝑦

Si tenemos una desigualdad, el conjunto solución de esta, es un conjunto de

números, cada elemento de los cuales, cuando es reemplazado en cada

aparición de la variable, resulta una desigualdad verdadera.

La gráfica del conjunto solución de una desigualdad se ubica en la recta

numérica.

El conjunto solución de 𝑥 > 3, es el conjunto de números reales que son

mayores que 3, sin embargo, el 3 no está incluido en el conjunto solución, en

la gráfica el círculo blanco simboliza esta situación.

El conjunto solución de 𝑥 < 3, es el conjunto de números reales que son

menores que 3, sin embargo, el 3 no está incluido en el conjunto solución,

en la gráfica el círculo blanco simboliza esta situación.

DESIGUALDADES


El conjunto solución de 𝑥 ≤ 3, es el conjunto de números reales que son

menores o iguales que 3, en este caso el 3 si está incluido en el conjunto

solución, en la gráfica el paréntesis cuadrado simboliza esta situación:

El conjunto solución de 𝑥 ≥ 3, es el conjunto de números reales que son

mayores o iguales que 3, en este caso el 3 si está incluido en el conjunto

solución, en la gráfica el círculo redondo simboliza esta situación.

Consideremos la desigualdad: 𝑥 + 3 > 7, luego podemos verificar que para

los valores de 𝑥 = 5, 9,19

3, la desigualdad es verdadera:

5 + 3 > 7

9 + 3 > 7

19

3+ 3 > 7

Por otra parte, se verifica que para los valores de 𝑥 = 4,2

3, −4, la desigualdad

es falsa:

3 + 3 > 7

2

3+ 3 > 7

−4 + 3 > 7

Para la desigualdad 𝑥 + 3 > 7 hay muchos valores para los cuales es

verdadera, en efecto el conjunto solución que la hace verdadera es cualquier

número mayor que 4.

DESIGUALDADES


Propiedad aditiva de las desigualdades

El mismo número se puede sumar a ambos lados de una desigualdad sin

alterar el conjunto solución de esta:

𝑆𝑖 𝑎 < 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐

𝑆𝑖 𝑎 > 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐

Para el caso de los símbolos ≤ y ≥, la propiedad es equivalente:

𝑆𝑖 𝑎 ≤ 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑐

𝑆𝑖 𝑎 ≥ 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 + 𝑐 ≥ 𝑏 + 𝑐

Ejemplo: Si comenzamos con una desigualdad verdadera 7 > 4, utilizando la

propiedad aditiva de las desigualdades y sumando 3 a ambos lados,

obtenemos: 7 + 3 > 4 + 3, simplificando ambas sumas, logramos una nueva

desigualdad verdadera: 10 > 7.

En el siguiente ejemplo, realizaremos el mismo análisis pero con números

negativos.

Ejemplo: Comencemos con la desigualdad verdadera −9 < −1, utilizando

nuevamente la propiedad aditiva de las desigualdades y sumando 2 a ambos

lados, obtenemos: −9 + 2 < −1 + 2, simplificando ambas sumas, logramos

una nueva desigualdad verdadera: −7 < 1-

Problemas Resueltos

1. Resuelve y grafica la desigualdad: 5𝑥 − 6 ≤ 4𝑥 − 4

Solucion:

Como podrás observar en la desigualdad anterior, en ambos lados de la

desigualdad aparece la varialble 𝑥, nuestro primer objetivo es dejar la aparición

de la variable 𝑥 a la izquierda de la desigualdad, para esto sumamos −4𝑥 a

ambos lados:

5𝑥 − 4𝑥 − 6 ≤ 4𝑥 − 4𝑥 − 4

DESIGUALDADES


Simplificando:

𝑥 − 6 ≤ −4

Nuestro segundo objetivo será dejar la variable 𝑥 sola a la izquierda de la

desigualdad, para esto sumamos 6 a ambos lados:

𝑥 − 6 + 6 ≤ −4 + 6

Simplificando se obtiene:

𝑥 ≤ 2

Así el conjunto solución de la desigualdad 5𝑥 − 6 ≤ 4𝑥 − 4, es el conjunto de

números menores o iguales a 2, gráficamente:

Propiedad multiplicativa de las desigualdades

El mismo número positivo se puede multiplicar a ambos lados de una

desigualdad sin alterar el conjunto solución de esta:

𝑆𝑖 𝑎 < 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 ∙ 𝑐 < 𝑏 ∙ 𝑐

𝑆𝑖 𝑎 > 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 ∙ 𝑐 > 𝑏 ∙ 𝑐


𝑆𝑖 𝑎 ≤ 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 ∙ 𝑐 ≤ 𝑏 ∙ 𝑐

𝑆𝑖 𝑎 ≥ 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 ∙ 𝑐 ≥ 𝑏 ∙ 𝑐

Sin embargo, si una desigualdad es multiplicada a ambos lados por un mismo

número negativo, se invierte el orden de esta, sin modificar el conjunto

solución de esta:

𝑆𝑖 𝑎 < 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 ∙ 𝑐 > 𝑏 ∙ 𝑐

𝑆𝑖 𝑎 > 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 ∙ 𝑐 > 𝑏 ∙ 𝑐

DESIGUALDADES

Recuerda que si multiplicas o

divides ambos lados de una

desigualdad por un número

positivo, la desigualdad no se

altera. En cambio si

multiplicas o divides ambos

lados de una desigualdad por

un número negativo, la

desigualdad se invierte.



𝑆𝑖 𝑎 ≤ 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 ∙ 𝑐 ≥ 𝑏 ∙ 𝑐

𝑆𝑖 𝑎 ≥ 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 ∙ 𝑐 ≤ 𝑏 ∙ 𝑐

Ejemplo: Resuelve la desigualdad: −3

2𝑥 ≤ 6

Al considerar la desigualdad anterior, debemos multiplicar a ambos lados por

el recírpoco de −3

2, que corresponde al número −

2

3, luego:

−3

2𝑥 ≤ 6 ↔ (−

2

3) ∙ (−

3

2) ∙ 𝑥 ≥ (−

2

3) ∙ 6

Obsrevar que la desigualdad anterior se invierte ya que se ha multilicado por

un número negativo, de aquí resulta:

𝑥 ≥ −4

El conjunto solución está formado por todos los números mayores o iguales a

-4.

La gráfica resulta ser:

Ejemplo:

Resuelve la desigualdad: −5

8𝑥 ≤

5

12

Al considerar la desigualdad anterior debemos multiplicar a ambos lados por el

recíproco de −5

8, que corresponde al número −

8

5, luego:

−5

8𝑥 ≤

5

12 ↔ (−

8

5) ∙ (−

5

8) ∙ 𝑥 ≥ (−

8

5) ∙ (

5

12)

DESIGUALDADES

Recuerda: Al resolver una

desigualdad, debes operar

de la misma forma que al

resolver una ecuación,

excepto que cuando

multiplicas o divides la

desigualdad por un número

negativo, debes invertir el

símbolo de la desigualdad.


Observar que la desigualdad anterior se invierte ya que se ha multiplicado por

un número negativo, de aquí resulta:

𝑥 ≥ −2

3

El conjunto solución está formado por todos los números mayores o iguales a

−2

3.

Problemas Resueltos

1. Hace 10 años un hombre tenía 10 veces la edad de su hijo. Si actualmente la

suma de la edad del padre más el doble de la del hijo es menor o igual que 60.

¿Qué edad puede alcanzar el padre?

Solución:

Sea 𝑥 la edad del hombre y sea 𝑦 la edad de su hijo en la actualidad. La edad del

hombre hace 10 años corresponde a 𝑥 − 10, además en ese momento el

hombre tenía 10 veces la edad de su hijo, por lo tanto si la edad del hijo es

amplificada por 10 se obtiene la edad del padre en ese momento, esto es:

10𝑦 = 𝑥 − 10

Además, actualmente sumar la edad del padre más el doble de la edad de su

hijo, se puede expresar como: 𝑥 + 2𝑦, y para que esta sema sea menor o igual

que 60, se plantea la desigualdad:

𝑥 + 2𝑦 ≤ 60

Para resolver esta desigualdad haremos uso de la primera ecuación 10𝑦 = 𝑥 −

10, donde si se divide por 5 se obtiene la ecuación equivalente: 2𝑦 =𝑥−10

5,

entonces reemplazando en la desigualdad:

𝑥 +𝑥 − 10

5≤ 60

DESIGUALDADES


Luego:

𝑥 +𝑥

5−10

5≤ 60

Simplificando:

𝑥 +𝑥

5− 2 ≤ 60

Sumando 2 a ambos lados:

𝑥 +𝑥

5− 2 + 2 ≤ 60 + 2

Simplificando números y expresiones algebraicas:

6𝑥

5≤ 62

Multiplicando por 5 y dividiendo por 6, ambos positivos, se obtiene:

6𝑥

5 ∙5

6≤ 62 ∙

5

6

Simplificando:

𝑥 ≤ 62 ∙5

6

Finalmente 𝑥 ≤155

3≈ 51, 6, luego el padre puede tiene a lo más 51 años.

2. Paula tiene $150 más que María, y Juan tiene $100 más que el triple que lo que tiene María, si el dinero de Paula y María juntos no exceden lo que tiene Juan. ¿Cuánto puede tener María si se sabe que tiene menos de $80? Solución:

Tenemos 3 personajes: Paula, María y Juan, que denotaremos con las letras P, M y J, entonces:

DESIGUALDADES


Paula tiene $150 más que maría, es decir a María le faltan $150 para

igualar a Paula, en símbolos: 𝑃 = 150 +𝑀

Juan tiene $100 más que el triple que lo que tiene María. Si el triple que

lo que tiene María se simboliza por 3𝑀, entonces a 3𝑀 le sumamos 100 para

obtener 𝐽, en símbolos: 𝐽 = 3𝑀 + 100

El dinero de Paula y María juntos no exceden lo que tiene Juan, en

símbolos: 𝑃 +𝑀 < 𝐽

Se sabe que María tiene menos de $80, en símbolos: 𝑀 < 80

Ahora procedemos a ordenar la información anterior reemplazando 𝑃 =150 +𝑀 y 𝐽 = 3𝑀 + 100 en la desigualdad 𝑃 +𝑀 < 𝐽, entonces:

(150 + 𝑀) +𝑀 < (3𝑀 + 100) Simplificando, obtenemos:

150 + 2𝑀 < 3𝑀 + 100 Restando 150 a ambos lados:

150 − 150 + 2𝑀 < 3𝑀 + 100 − 150 Obtenemos:

2𝑀 < 3𝑀 − 50

Ahora restamos 3𝑀 a ambos lados:

2𝑀 − 3𝑀 < 3𝑀 − 3𝑀 − 50 Simplificando:

−𝑀 < −50 Multiplicando ambos lados de la desigualdad por -1, e invirtiendo la desigualdad:

−𝑀 ∙ (−1) > −50 ∙ (−1)

Finalmente 𝑀 > 50, pero sabemos por enunciado que 𝑀 < 80, entonces María puede tener entre $50 y $80.

DESIGUALDADES


3. Un servicio de lavado de automóviles ofrece lavado, aspirado y encerado a

un valor de $ 7.000 por vehículo. Si en materia prima y mano de obra se gasta

$2.500 por vehículo y además hay costos fijos mensuales de $100.000, ¿Cuál

es la menor cantidad de automóviles que hay que lavar para obtener al menos

$500.000 de ganancia mensual?

Solución:

Identificando la información:

- Lavado de un automóvil: $ 7.000

- Costo por vehículo: $ 2.500

- Costo fijo mensual: $ 100.000

- Obtener al menos $ 500.000 de ganancia mensual

Establecemos una estrategia de resolución

Se define la incógnita número de vehículos lavados mensualmente. Luego, se

escribe algebraicamente el ingreso, el costo mensual y la ganancia en términos

de la incógnita definida. Finalmente, considerando que la ganancia mensual

debe ser al menos $500.000 se escribe la inecuación entre la ganancia mensual

escrita algrebraicamente y el mínimo requerido.

Resolviendo el problema:

Sea 𝑥 la cantidad de vehículos lavados mensualmente. La expresión algebraica

correspondiente al ingreso mensual por los vehículos lavados es

7.000 ∙ 𝑥

Mientras que el costo mensual queda expresado como

2.500 ∙ x + 100.000

Por lo tanto, la ganancia, que corresponde a la diferencia entre el ingreso y el

costo, queda expresada de la siguiente manera

7.000 ∙ 𝑥 − (2.500 ∙ 𝑥 + 100.000)

7.000 ∙ 𝑥 − 2.500 ∙ 𝑥 − 100.000

4.500 ∙ 𝑥 − 100.000

DESIGUALDADES


Además se sabe que la ganancia mensual debe ser al menos $500.000, esto

significa que debe ser mayor o igual a $500.000, luego la inecuación que

representa esta situación es

4.500 ∙ 𝑥 − 100.000 ≥ 500.000

Ahora debemos resolver la inecuación

4.500 ∙ 𝑥 − 100.000 ≥ 500.000 / ÷ 500

9 ∙ 𝑥 − 200 ≥ 1.000 / +200

9 ∙ 𝑥 ≥ 1.200 / ÷ 9

𝑥 ≥ 133,333…

Como 𝑥 corresponde a cantidad de vehículos, puede tomar solo valores

enteros positivos y el cero, luego si la solución de la inecuación indica que 𝑥

debe ser mayor o igual a 133,33… el menor entero que cumple con tal

condición es 134.

Finalmente, para obtener una ganancia de al menos $500.000 se deben lavar

por lo menos 134 vehículos al mes.

Sistemas de Inecuaciones Una aplicación interesante a la resolución de inecuaciones, es la resolución de sistemas de inecuaciones, para esto podemos resolver dos tipos de inecuaciones. El siguiente problema se resuelve planteando un sistema formado por una ecuación y una inecuación, en ejemplos precedentes se puede observar un planteamiento muy similar, sin embargo, la técnica de resolución del sistema no fue exhaustiva, más bien el problema se tradujo en resolver una inecuación, dado que este era el objetivo planteado. En el siguiente problema presentamos un desarrollo completo y exhaustivo.

SISTEMAS DE

INECUACIONES


Sistema formado por una ecuación y una desigualdad Las dimensiones de un rectángulo son números enteros. Los lados satisfacen las siguientes condiciones: el triple del largo más el doble del ancho es mayor que 8 metros. El doble del largo más el triple del ancho es igual a 9 metros. ¿Cuánto miden los lados del rectángulo? Solución:

Llamemos x el largo e y el ancho del rectángulo:

En lenguaje algebraico, el problema se traduce en resolver el siguiente sistema:

3𝑥 + 2𝑦 > 8

2𝑥 + 3𝑦 = 9 Despejaremos ambas variables de la desigualdad.

Primero procederemos por sustitución en la variable 𝑦, para esto multiplicamos por 3 la desigualdad, y por 2 la igualdad, el sistema queda de la siguiente forma:

9𝑥 + 6𝑦 > 24

4𝑥 + 6𝑦 = 18

Con esto los coeficientes de la variable 𝑦 coinciden en la desigualdad y en la

ecuación, despejamos 6𝑦 en la ecuación, donde obtenemos:

6𝑦 = 18 − 4𝑥

SISTEMAS DE

INECUACIONES


Luego procedemos a sustituir 6𝑦 en la desigualdad:

9𝑥 + 6𝑦 > 24 ↔ 9𝑥 + (18 − 4𝑥) > 24 Reordenando:

9𝑥 − 4𝑥 > 24 − 18 Por lo tanto:

5𝑥 > 6 Así:

𝑥 >6

5

Ahora procederemos por sustitución en la variable 𝑥, para esto multiplicaremos por 2 la desigualdad y por 3 la igualdad, el sistema queda de la siguiente forma:

6𝑥 + 4𝑦 > 16

6𝑥 + 9𝑦 = 27

Con esto los coeficientes de la variable 𝑥 coinciden en la desigualdad y en la

ecuación, despejamos 6𝑥 en la ecuación, donde obtenemos:

6𝑥 = 27 − 9𝑦

Luego, sustituimos 6𝑥 en la desigualdad original:

6𝑥 + 4𝑦 > 16 ↔ (27 − 9𝑦) + 4𝑦 > 16 Reordenando:

−9𝑦 + 4𝑦 > 16 − 27 Por lo tanto:

−5𝑦 > −11

SISTEMAS DE

INECUACIONES


Multiplicando a ambos lados de la inecuación anterior por -1, e invirtiendo el orden de la desigualdad:

5𝑦 < 11 Así:

𝑦 <11

5

Con esto 𝑥 es un entero positivo mayor que 6

5= 1,2, es decir mayor o igual a

2, e 𝑦 es un entero positivo menor que 11

5= 2,2, es decir 𝑦 = 1 ó 𝑦 = 2.

Ahora si tomamos 𝑦 = 1 y lo sustituimos en la ecuación original, se obtiene:

2𝑥 + 3 ∙ 1 = 9 De donde:

𝑥 =(9 − 3)

2=6

2= 3

Por lo tanto 𝑥 = 3 e 𝑦 = 1, es solución del sistema. Observemos que 3 es

mayor que 1, por tanto el valor de 𝑥 satisface tanto la ecuación como la inecuación.

Por otra parte, si tomamos 𝑦 = 2 y lo sustituimos en la ecuación original, se obtiene:

2𝑥 + 3 ∙ 2 = 9 De donde:

𝑥 =(9 − 6)

2=3

2= 1,5

Sin embargo 1,5 no es un número entero, por tanto desechamos esta solución del sistema.

Luego, la única posibilidad es: 𝑥 = 3 e 𝑦 = 1.

SISTEMAS DE

INECUACIONES


Valorizamos el sistema para comprobar la correctitud de nuestra solución:

3𝑥 + 2𝑦 = 3 ∙ (3) + 2 ∙ (1) = 11 > 8

2𝑥 + 3𝑦 = 2 ∙ (3) + 3 ∙ (1) = 9 Ejemplo: Resolver el sistema:

5𝑥 − 6𝑦 > 6

𝑥 + 2𝑦 = 6 Solución: Multiplicamos la igualdad por 3, obteniendo:

5𝑥 − 6𝑦 > 6

3𝑥 + 6𝑦 = 18 Observemos que en el sistema anterior una alternativa de solución es sumar a ambos lados de la desigualdad la igualdad obtenida, lo cual es equivalente a la resolución de un sistema por reducción, de esta forma, el sistema la desigualdad del sistema anterior es equivalente a:

(5𝑥 − 6𝑦) + (3𝑥 + 6𝑦) > 6 + 18 De donde obtenemos:

8𝑥 > 24 Dividiendo por 3:

𝑥 > 3 Repitiendo el mismo procedimiento, multiplicamos la igualdad por -5, obteniendo:

5𝑥 − 6𝑦 > 6

−5𝑥 − 10𝑦 = −30

SISTEMAS DE

INECUACIONES


Sumando a ambos lados de la desigualdad logramos:

−16𝑦 > −24 Dividiendo por -16 e invirtiendo la desigualdad:

𝑦 >−24

−16=3

2

Por lo tanto, las soluciones del sistema son: 𝑥 > 3, 𝑦 >3

2.

Sistema formado por dos desigualdades

Método Gráfico de un sistema de dos desigualdades

Un fabricante de relojes tiene costos fijos de $140 diarios más $72 por

concepto de mano de obra y materiales por cada reloj fabricado. Si cada reloj

se vende en $107, ¿Cuántos relojes debe producir y vender diariamente para

que no haya pérdida ni ganancias?

Solución:

El costo total (CT) de producción de 𝑥 relojes, está dado por la ecuación:

𝐶𝑇 = 72𝑥 + 140

Adicionalmente, puesto que cada reloj se vende en $107, los ingresos (I)

correspondientes son:

𝐼=107x

Para garantizar que no haya pérdida ni ganancias, el costo total y los ingresos

deben ser iguales, es decir:

𝐼 = 𝐶𝑇 ↔ 107𝑥 = 72𝑥 + 140

Resolviendo la ecuación: 107𝑥 = 72𝑥 + 140

Se tiene que su solución es: 𝑥 = 4

SISTEMAS DE

INECUACIONES


Por lo tanto se deben producir y vender al menos 4 televisores, para no tener

pérdidas. Al dibujar las rectas que representan los costos totales e ingresos,

observamos que se intersectan cuando 𝑥 = 4,

De la figura anterior, se observa que si 𝑥 > 4, los ingresos superan a los

costos de producción, es decir la recta 𝑦 = 107𝑥, está sobre la recta: 𝑦 =

72𝑥 + 140, y por lo tanto hay ganancias.

Por otra parte si 𝑥 < 4, los costos de producción están sobre los ingresos, es

decir la recta 𝑦 = 72𝑥 + 140, está sobre la recta 𝑦 = 107𝑥, y por lo tanto

hay pérdidas.

Ejemplo: Dibujar la región comprendida por aquellos puntos que se

encuentran arriba de la recta 5𝑥 − 𝑦 = 0 y debajo de la recta 2𝑥 + 3𝑦 − 3 =

0. Escribir las desigualdades correspondientes.

Solución:

Primero escribiremos las ecuaciones de la forma usual:

𝑦 = 5𝑥

SISTEMAS DE

INECUACIONES


𝑦 = −2

3𝑥 + 1

Luego, los puntos que están arriba de la recta 𝑦 = 5𝑥, son aquellos puntos

que satisfacen la desigualdad:

𝑦 > 5𝑥

Y los que están por debajo de la recta 𝑦 = −2

3𝑥 + 1, son aquellos que

satisfacen la desigualdad:

𝑦 < −2

3𝑥 + 1

Entonces, la siguiente gráfica representa la región solicitada:

Ejemplo:

Dibujar la región determinada por las desigualdades: 𝑦 < −2𝑥 − 3 y 6𝑥 +

𝑦 − 1 ≥ 0.

Solución:

Primero dibujaremos las rectas:

𝑦 = −2𝑥 − 3

𝑦 = −6𝑥 + 1

SISTEMAS DE

INECUACIONES


En un mismo sistema de coordenadas resulta:

Luego, identificamos la región que se encuentra debajo de la recta 𝑦 =

−2𝑥 − 3, es decir 𝑦 < −2𝑥 − 3, sobre y encima de la recta 𝑦 = −6𝑥 + 1,

es decir 𝑦 ≥ −6𝑥 + 1.

Observar que la recta 𝑦 = −2𝑥 − 3 no está en la región, pero los puntos de

la recta 𝑦 = −2𝑥 − 3 si están en la región.

SISTEMAS DE

INECUACIONES



a) La temperatura T (en °C) a la que el agua hierve está relacionada con

la elevación h (en metros sobre el nivel del mar) por la ecuación ℎ =

1000(100 − 𝑇) + 580 (100 − 𝑇)2 para 95 ≤ T ≤ 100. ¿Cuál es el

intervalo para la elevación h?

b) Supóngase que los consumidores adquieren 𝑞 unidades de un artículo

a un precio de 20800

𝑞+ 265 (en miles de pesos) por unidad ¿Cuántas

unidades se deben vender para obtener ingresos mayores a un millón de

pesos?

c) Un almacén que confecciona ropa deportiva vende cierta cantidad de

poleras a $18.500 cada una. Si los costos fijos de producirlas son $100.000 a

la semana y la mano de obra y material es $12.000 por poleras ¿Cuántas

poleras se deben confeccionar para tener utilidades cada semana?

d) La compañía A arrienda automóviles por $ 17.500 el día más $ 30 el

km. La compañía B cobra $ 15.000 diarios más $38 el km. Se necesita

arrendar un auto por 5 días. ¿En qué rango de km hay que permanecer para

tener ventaja económica al arrendar uno de la compañía B?

e) ¿Para qué valores de 𝑥 el perímetro del rectángulo A es superior al del

rectángulo B?

INECUACIONES


f) Una industria que confecciona camisetas estampadas emplea un

servicio externo de estampado a un costo de $1.965 por camiseta. El dueño de

la industria calcula que si ellos hacen ese trabajo, los costos por camiseta se

reducen a $ 470, más un costo fijo de operación de $108.000 a la semana.

¿Cuántos estampados debe realizar la industria semanalmente para justificar la

inversión en un equipo de estampación?

g) Un estudiante tiene que rendir tres pruebas parciales, las notas en dos

ellas fueron 4,5 y 5,0 y en tareas tiene un promedio de 4,7. Si las tareas

ponderan un 10% y el promedio de las notas parciales un 90% ¿Qué nota

como mínimo debe obtener en la última prueba para eximirse?

(un estudiante se exime si tiene al menos un 5,0 de promedio)

h) El costo de publicar cada ejemplar de un periódico es de $ 400. Los

ingresos por ventas son de $ 350 por unidad y los ingresos por concepto de

publicidad son el 20% de los ingresos obtenidos por las ventas que sobrepasen

los 10.000 ejemplares. ¿Cuántos periódicos se debe vender para obtener

utilidades superiores a $ 5.000.000?

i) La desigualdad triangular es un teorema de geometría que establece que

en todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualquiera es siempre

mayor a la longitud del lado restante. Según lo anterior ¿Para qué valores de

𝑥 se cumple la desigualdad triangular la figura?

2𝑥

− 8

𝑥

+ 6

40 − 𝑥

INECUACIONES

http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo



1. Para evitar los choques por alcance en caminos que están siendo

reparados, donde se utiliza una pista para ambos sentidos, se recomienda

ocupar la siguiente fórmula:

𝑑 = 0,55 ∙ 𝑣

donde 𝑑 representa la distancia (metros) mínima entre dos vehículos y 𝑣 la

velocidad (Km/h) que llevan los móviles. Si dos vehículos están a una

distancia de 17,6 m ¿Cuál es la velocidad que deben llevar los vehículos para

evitar un choque por alcance?

2. Una de las fórmulas utilizadas en el trabajo con gases es

𝑝 ∙ 𝑣 = 𝑛 ∙ 𝑟 ∙ 𝑡

Donde p: presión (MPa) ; v: volumen (litros) ; n: mol (moles) ; r = 0,82

(constante) ; t: temperatura (Kelvin). El CO2 contenido en un recipiente

ocupa un volumen de un litro, a una temperatura de 290,15°K y 1,12 MPa

de presión. Determine la cantidad de moles presentes de CO2?

3. Rodrigo tarda 4 horas y media en instalar un cierre centralizado con

alza vidrios a un vehículo, mientras que Sergio realiza el mismo trabajo en 6

horas. Si ambos mecánicos trabajarán juntos en efectuar la instalación

¿Cuánto tiempo tardarían?

4. En una fábrica de automóviles se comprobó que para velocidades

mayores a 10 km/h y menores que 150 km/h el rendimiento de bencina

(km/l) está relacionada con la velocidad 𝑣 (km/h) mediante la ecuación 𝑟 =

0,002𝑣(180 − 𝑣). ¿A qué velocidad el rendimiento del automóvil será 16

km/l?

5. Un bus sale de Santiago a 95 km/h. Una hora más tarde, un

automóvil sale a 120 km/h del mismo punto y realizando el mismo

recorrido que el bus para intentar alcanzarlo. Si ambos vehículos realizan el

viaje a una rapidez constante ¿Cuánto tiempo tarda el automóvil en alcanzar

al bus? ¿A cuántos kilómetros están de Santiago cuando ambos vehículos se

encuentran?

PROBLEMAS

ÁLGEBRA


6. El sueldo de un mecánico depende de una parte fija y otra variable. La

parte fija es de $320.450 y la parte variable corresponde a las horas extras

trabajadas mensualmente. ¿Cuántas horas extras aproximadas debe realizar en

un mes para obtener un sueldo entre $650.000 y 800.000, si el valor de la hora

extra es de $5.800?

7. Una de las ecuaciones que se utiliza para estimar el endurecimiento de

un metal es:

𝜎 = 𝜎0 +𝑐

√𝑑

Dónde:

σ0: Dureza mínima (MPa); 𝑐: constante del material; 𝑑: diámetro de la

partícula.

Si se aplica un tratamiento térmico a la plancha de latón que tiene una dureza

mínima 200 MPa (σ0) , en donde el diámetro es de 0,01 mm y su constante es

de 6,8 ¿Cuál es el valor de la nueva dureza?

8. La deflexión de una viga viene dado por la siguiente fórmula:

𝑌 =−𝑃𝐿3

3𝐸𝐼

Dónde:

𝑃: peso de la viga; 𝐿: longitud de la viga 𝐸; 𝐼: constante de la viga

¿Cuál es la expresión al despejar 𝑃?

9. Para construir un muro Jaime tarda 5 días, mientras que Luis lo realiza

en 3 días trabajando en idénticas condiciones. Si los dos albañiles trabajan

juntos en hacer el muro ¿Cuánto tiempo tardan en construirlo?

10. En una obra de construcción se tiene 258 metros de cerca para

encerrar un terreno rectangular de 8100 m2. Además el terreno, en uno de sus

lados, estará cubierto por una cadena de cerros ¿Cuáles podrían ser sus

dimensiones si se debe utilizar todos los metros de cerca disponibles?

11. Se quiere taladrar tres agujeros de igual diámetro d sobre una placa

rectangular, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el diámetro d del agujero y

la distancia l que los separa?

PROBLEMAS

ÁLGEBRA


12. Para calcular el porcentaje de pendiente de un techo de un modelo

de casa, se utiliza la siguiente fórmula :

𝑃 =𝐿

10− 5

Donde L corresponde al largo del techo en metros.

¿Cuánto debe ser el largo del techo para tener una pendiente desde 10% a

25%?

13. Para obtener la cotización total a pagar de una empresa, se utiliza la

siguiente fórmula

𝐶𝑇 = (0,95% + 𝐶𝐷%) ∙ 𝑇𝑅

donde:

𝐶𝑇: Cotización total a pagar; 𝐶𝐷: Cotización adicional diferenciada; 𝑇𝑅:

Total de remuneraciones imponibles.

Determine la cotización total a pagar de una empresa que ha sufrido un alza

en su cotización adicional diferenciada, correspondiente a un 2,55%, a causa

de la gran cantidad de accidentes que ha sufrido este último tiempo, si el

total de remuneraciones imponibles es de $65.000.000 y la cotización básica

es de 0,95%. (Valor fijo establecido por ley 16744 “Constante”).

14. Para obtener la frecuencia de accidentabilidad se utiliza la siguiente

expresión:

𝐹𝐴% =𝑁𝐴

𝑁𝑇∙ 100

donde:

𝐹𝐴: Frecuencia de accidentabilidad; 𝑁𝐴: Número de accidentes; 𝑁𝑇:

Número de trabajadores.

PROBLEMAS

ÁLGEBRA


En la empresa “American Globe”, los trabajadores se exponen a diversos

accidentes por el uso de máquinas y equipos que generan condiciones

inseguras, ocasionando incapacidades temporales. Luego de recibir tratamiento

médico la empresa permite al trabajador la recuperación de su capacidad de

ganancia en un 100%. Calcule el número de accidentes producidos en la

empresa considerando que la tasa de accidentabilidad es de 1,6% y la cantidad

de trabajadores es de 1500.

15. Cierta etapa de un proceso industrial requiere de una alimentación de

agua, que se suministra por medio de un tanque. Éste es alimentado por dos

llaves, una lo llena en 10 minutos y otra lo hace en 12 minutos y un desagüe,

estando lleno, lo vacía en 45 minutos. Si el tanque está vacío y abierto el

desagüe ¿En cuánto tiempo aproximado se llenará con ambas llaves abiertas?

16. Cierta etapa de un proceso industrial requiere de una alimentación de

agua, que se suministra por medio de un tanque que contiene 5000 galones de

agua, la cual se drena desde el fondo del tanque. La ley de Torricelli da el

volumen de agua que queda en el tanque después de 𝑡 minutos, lo que se

calcula con la ecuación:

v =25

8t2 − 250 t + 5000

¿En cuánto tiempo el tanque se vacía?

¿En cuánto tiempo el tanque disminuye su capacidad total a la mitad?

17. Un ingeniero desea preparar una mezcla de 100 g con dos sustancias

diferentes A y B. Para su propósito el 60% de la mezcla debe ser de la

sustancia A y el 40% de la sustancia B. Si dispone de 2 mezclas M1 y M2 cuyos

contenidos son:

M1: 25% de la sustancia A y 75% de la sustancia B.

M2: 80% de la sustancia A y 20% de la sustancia B.

¿Cuál es la cantidad aproximada que se requiere de la mezcla M1 para lograr lo

que desea preparar el ingeniero?

PROBLEMAS

ÁLGEBRA

242

l filósofo griego Aristóteles (384 a.C) afirmaba que los cuerpos caen a una

velocidad proporcional a su peso. Aún hoy en día muchas personas creen que un

objeto pesado debe caer más rápido que uno liviano. Galileo Galilei (1564-1642)

verificó experimentalmente que el peso no influye en la aceleración de los cuerpos en caída

libre. La distancia recorrida por un objeto en caída libre depende del tiempo, a través de la

fórmula

2

2

gtv

En esta expresión interviene uno de los conceptos más importante de la matemática, las

funciones. La idea de función se origina a partir del estudio de los fenómenos de cambio, a

partir del siglo XVII los matemáticos comienzan a matematizar los fenómenos de cambio,

reconociendo que en la naturaleza no existe fenómeno que escape a la variación. En esta

época la ciencia se sitúa en una concepción determinista de la realidad, se asume que es

posible predecir los fenómenos de la naturaleza a través de leyes matemáticas. Newton

(1642-1727) con sus leyes del movimiento aporta la concepción de que aunque no se

puedan entender las causas de los fenómenos naturales, si se puede encontrar las leyes

generales que los gobiernan, solo falta descubrirlas. El determinismo se instaló como el

paradigma dominante en las ciencias hasta que a principios del siglo XX la relatividad de

Einstein y el principio de incertidumbre de Heisenberg rompen la ilusión de una naturaleza

determinista.

El concepto de función tiene relación con una práctica natural del ser humano, tratar de

predecir los fenómenos que lo rodean. El determinar con precisión como varían ciertas

magnitudes dependiendo de otras y establecer los modelos matemáticos que las rigen es lo

que le da sentido al estudio de las funciones.

UNIDAD 4

FUNCIONES

REALES

E

243


UNIDAD 4

FUNCIONES REALES


Representa un modelo funcional a través del planteamiento de un enunciado verbal en el ámbito del

lenguaje de la especialidad, en forma analítica y gráfica, señalando las características de las variables en

estudio.


Determina las curvas que son representaciones gráficas de funciones y cuáles no, mediante la definición de función y/o mediante el criterio de la recta vertical.

Ilustra en forma gráfica el modelamiento de variables relativas a la especialidad.

Reconoce el modelo analítico funcional de dos variables relacionadas de manera lineal, afín o cuadrática.

Representa un modelo funcional analítico a un registro tabular y gráfico destacando la el tipo de variables en estudio.


Resuelve problemas de enunciado en el ámbito de la economía y negocio modelados por la función lineal,

afín y cuadrática.


Realiza cálculos de imágenes y pre-imágenes en modelos matemáticos propuestos relacionados a la especialidad.

Interpreta la situación gráfica de un problema de oferta, demanda y punto de equilibrio, dando solución a lo planteado.

Resuelve problemas relacionados al costo, ingreso o utilidad mediante el álgebra de funciones.

244


Resuelve situaciones problemáticas cuyos modelos correspondan a funciones exponenciales y logarítmicas,

a través de la aplicación de métodos algebraicos, numéricos y /o gráficos.


Representa gráficamente el modelo funcional propuesto.

Compara el modelo exponencial y logarítmico, en situaciones de crecimiento y decrecimiento.

Resuelve problemas relativos a la especialidad modelados en una función exponencial o logarítmica. APRENDIZAJE ESPERADO

Analiza situaciones problemáticas contextualizadas a la especialidad, basándose en concepto de función

inversa y compuesta.


Determina la función inversa de un modelo funcional dado.

Obtiene la función compuesta en problemas relacionados a la especialidad.

Responde a preguntas propuestas de funciones inversas y compuestas.

245

La noción de función

Las ideas de cambio, dependencia y predicción están estrechamente

relacionadas con el concepto de función. En los fenómenos de la naturaleza

intervienen variables, cuyo cambio depende a su vez del cambio de otras

variables, por ejemplo: al dejar caer un objeto desde cierta altura la distancia

cambia en “función” del tiempo. La pregunta de si es posible predecir un

fenómeno físico, surgió de forma natural en el estudio de la naturaleza, por

ejemplo: ¿es posible predecir la distancia recorrida por un objeto en caída

libre en un momento dado?

Esta pregunta se puede responder determinado una “regla” o “ley”, que

haga corresponder a cada instante la distancia recorrida por el objeto. A esta

forma de correspondencia entre variables se le denomina función.

Las funciones no necesariamente se representan a través de una fórmula,

pero cuando lo hacen reciben el nombre de funciones analíticas. En el caso

de la caída libre la función se expresa a través de la fórmula

24,9d t

Donde t es el tiempo (en segundos) y d es la distancia (en metros).

Se dice que d es la variable dependiente y t la variable independiente. Se

debe aclarar que una función es simplemente una ley que gobierna la

interdependencia entre variables, no implica ninguna relación de “causa y

efecto” entre ellas.

Para comprender la esencia del concepto de función es necesario entender

que las funciones no son cualquier tipo de relación. Para predecir la

distancia se requiere que a cada instante le corresponda una única distancia,

de lo contrario sería imposible realizar una predicción. Si representamos la

relación entre las variables por flechas, esta es función si de cada valor de t

sale una y solo una flecha hacia los valores de d:

0 0

1 4,9

2 19,6

3 44,1

4 78,4

t d

NOCIÓN DE

FUNCIÓN

246

Para mostrar cuando algo no es función consideremos el caso de la relación

entre estatura y peso. No hay ninguna regla que determine que a una cierta

estatura le corresponda uno y solo un peso, de hecho se podría dar lo

siguiente

e p

1,70 65

72

86

Claramente, no se puede predecir el peso de una persona de un 1,70.

La descripción de función que hemos hecho también encierra la necesidad

de que todo valor posible de la variable independiente le corresponda un

valor de la variable dependiente, es decir, que la función esté definida para

todos los instantes t. En este sentido, una relación como la siguiente no

sería función

El 3 no tiene un correspondiente.

Para ser más precisos en la definición de función, debemos primero

reconocer que estas tienen lugar entre conjuntos. El conjunto de partida

denominado Dominio de la función y el conjunto de sus imágenes llamado

Recorrido de la función. Se denotan por Dom f y Rec f .

NOCIÓN DE

FUNCIÓN

247

Si la variable y es función de la variable x, se utiliza una letra, generalmente

f, para representar la relación funcional entre las variables. Si A y B son los

conjuntos de partida y llegada, respectivamente, se denota a la función de la

siguiente forma:

:

( )

f A B

x y f x

Por ejemplo, la función que resulta de los cuadrados de los números reales

se denota por:

Consideremos algunos de los valores de la función 2( )f x x en una

representación sagital:

El diagrama sagital permite visualizar la manera en que se relacionan las

variables. En este caso la figura nos sugiere que f es función, ya que a cada x

del dominio parece corresponderle uno y solo un valor de la variable y en el

conjunto de llegada.

Aprovechamos de mencionar que los valores de la variable dependiente se

denominan imágenes, mientras que los de la variable independiente se

conocen como preimagenes. En este caso:

0 es la imagen de 0, se denota (0) 0f

1 es la imagen de -1 y de 1, se denota por ( 1) 1f y (1) 1f

Las pre-imágenes de 4 son el -2 y 2, se denota ( 2) 4f y (2) 4f

NOCIÓN DE

FUNCIÓN

248

Hasta aquí hemos abordado el concepto de función de manera más o

menos intuitiva, pero en la matemática se acostumbra a buscar definiciones

rigurosas. Existen diferentes maneras para plantear la definición de función,

expondremos la que se acerca más a la idea desarrollada en este texto.

Definición:

Si mediante una cierta regla se establece una correspondencia de modo que

a cada valor de x A , le corresponde un único valor de y B , se dice que

y es una función de x. Se denota por ( )y f x y se dice que f es una

función de A en B.

:

( )

f A B

x y f x

Ejercicio Resuelto

Dada la función 2 1f x x , determine:

a) La imagen de 3

b) La imagen de -4

c) La(s) preimagen(es) de 8

Solución:

a) 2(3) 3 1 8f

b) 2

( 4) 4 1 15f

c) 2( ) 8 1 8f x x las pre-imágenes se obtienen de esta ecuación

2 9 0

( 3)( 3) 0

3 0 3 0

3 3

ó

ó

x

x x

x x

x x

Las pre-imágenes de 8 son -3 y 3, esto es ( 3) 8f y (3) 8f

NOCIÓN DE

FUNCIÓN

249


1. Indica cuáles de los siguientes diagramas sagitales representan una

función de A en B:

Luego responde: ¿Cuáles son funciones de B en A?

2. Traducir cada frase a una igualdad

a) 4 es la imagen del 5 por la función 𝑓

b) -3 es la imagen del 0 por la función 𝑔

c) La imagen de 17 por la función ℎ es – 17

d) La imagen de – 31,8 por la función 𝑘 es – 3

e) -3 es la preimagen de 0 por la función 𝑔

f) Una preimagen de 7,2 por la función ℎ es –1

g) Una preimagen de – 5 por la función 𝑘 es – 8

3. Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 3, calcula:

a) La imagen de 2

b) La imagen de -5

c) La(s) preimagen(es) de cero

d) La(s) preimagen(es) de -3

NOCIÓN DE

FUNCIÓN

250

4. La siguiente tabla de valores corresponde a la función 𝑓

𝑥 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

𝑓(𝑥) 5 2 1 −3 −4 5 3 4 −4

Contesta las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es la imagen de 3 por la función 𝑓?

b) ¿Cuál es la preimagen de 4 por la función 𝑓?

c) ¿Cuáles son los números que tienen la misma imagen por la función 𝑓?

d) 𝑓(1) = ⋯…

e) 𝑓(… . ) = − 3

5. Sean ( ) 2 1f x x , 2( ) 4g x x y 5 2

( )x

h xx

. Calcular el valor de:

a) 4 3 2 1f g h

b) 1 1f a g a

c) 2

2

h x h x

6. La temperatura de una placa metálica es una función de la variable n

(tiempo en minutos). La función está dada por

60

40f nn

a) ¿Cuál es la temperatura al cabo del primer minuto?

b) ¿Cuánto tiempo debe pasar para que la temperatura sea de 45ºC?

7. Si 1( ) 2 2n nf n , calcule el valor de

0 1 2 10f f f f

NOCIÓN DE

FUNCIÓN

251

Sistema de coordenadas

El concepto de función se puede conectar con la representación

geométrica de una curva. Una manera muy común de representación

gráfica de una función es a través del sistema de coordenadas cartesianas

rectangulares.

Este sistema está compuesto por dos rectas perpendiculares, el eje x o

eje de las abscisas y el eje y o eje de las ordenadas. El punto de

intersección de las rectas O se denomina origen. Cada punto P del plano

está compuesto por dos números x e y, sus coordenadas que indican el

sentido y distancia respecto del origen y se denotan ,P x y .

La gráfica de una función es el conjunto de puntos del plano cartesiano

que cumplen la ley de correspondencia definida por la función. Se

entiende que un punto (ℎ, 𝑘) está en la gráfica de una función 𝑓(𝑥)

cuando 𝑓(ℎ) = 𝑘, es decir, cuando el punto es de la forma (ℎ, 𝑓(ℎ)).

GRÁFICA DE

FUNCIONES

252

En el caso anterior la gráfica es una curva de trazo continuo, dado que el

dominio es un conjunto continuo, pero si consideramos una función con

un dominio discreto la gráfica será un conjunto de puntos separados, por

ejemplo,

La construcción de una gráfica puede ser un tema bastante complejo, pero

en los casos más sencillos es posible obtener la gráfica elaborando una

tabla con algunos valores del dominio y sus respectivas imágenes, que

corresponderán a los puntos que luego ubicaremos en el plano cartesiano:

GRÁFICA DE

FUNCIONES

x ( )y f x

0 -2

1 -1

2 0

3 1

4 2

5 3

6 4

253

Las gráficas nos permiten obtener información de las funciones que la

expresión analítica no nos ofrece a simple vista, veamos el siguiente

ejemplo.

Problema 1: La temperatura de una placa metálica es una función del

tiempo (n), que se mide a partir del minuto 1. La función está dada por

60

40f nn

a) La temperatura de la placa, ¿crece o decrece con el tiempo?

b) ¿Cuál es la mínima y la máxima temperatura que puede alcanzar la

placa?

Solución:

Como en el problema se establece que el tiempo n comienza en 1,

entonces 1,Dom f , tomaremos algunos valores arbitrarios a

partir de 1 para construir la tabla y ubicarlos los puntos en el plano

cartesiano:

Tiempo

(min)

Temperatura

(Cº)

n ( )f n

1 100

2 70

3 60

4 55

5 52

6 50

10 46

12 45

20 43

30 42

60 41

120 40,5

GRÁFICA DE

FUNCIONES

254

En la gráfica se observa que la temperatura va desde los 100 Cº (máximo),

disminuyendo de forma cada vez más lenta, con valores que se aproximan a

los 40 Cº (mínimo).

Análisis gráfico de las funciones

Cuando analizamos una función a través de su gráfica hay que tener en

cuenta que lo hacemos sobre un dibujo, pero ¿será el dibujo una

representación correcta de la función? El dibujo nunca será una

representación verdaderamente correcta de la función, ya que la curva

tendrá un grosor o el dibujo deberá restringirse a un espacio acotado, aún

cuando la función esté definida en todos los reales, entre otras situaciones.

Sin embargo, aún renunciando al rigor y aceptando los supuestos que sean

necesarios, las gráficas son una herramienta importante para el análisis de

las funciones ya que nos permite visualizar su comportamiento.

1) Criterio de la recta vertical

Por ejemplo, a través de la gráfica podemos estimar si una relación es

función. Observemos la gráfica de las siguientes funciones:

La gráfica presenta un “vacío”, lo que nos sugiere que hay un valor del

dominio de f, el valor a, que no tiene imagen, por tanto f no sería función.

GRÁFICA DE

FUNCIONES

a

255

En este caso también existe un valor sin imagen, el 2, pero el dominio de f

no lo considera, por tanto se cumple que todo valor del dominio tiene

imagen.

Pero recordemos que además cada imagen debe ser única, lo que se puede

verificar trazando líneas verticales.

Si al trazar una línea vertical por cualquiera de los valores del dominio, la

recta solo corta a la gráfica en un punto entonces corresponde a una

función, ya que a cada valor de x le correspondería un solo valor de y. En

este caso la prueba de las verticales nos sugiere que se trataría de una

función.

GRÁFICA DE

FUNCIONES

256

Si alguna de las rectas verticales corta en más de un punto a la gráfica no

correspondería a una función.

En efecto, para este caso bastó dibujar una recta para visualizar que hay

valores de x que tienen más de una imagen.

2) Estimación gráfica del dominio y recorrido

Las gráficas también nos pueden sugerir el dominio y recorrido de una

función. El dominio de la función es el conjunto de valores del eje x que

tienen una imagen (y por tanto un punto asociado en la gráfica), de manera

similar, el recorrido es el conjunto de valores del eje y que tienen una

preimagen (que también implica que tiene asociado un punto en la gráfica).

GRÁFICA DE

FUNCIONES

257

Supongamos que las siguientes son gráficas de funciones, reconoceremos

su dominio y recorrido:

La siguiente es la gráfica de la función f:

Marcaremos con azul el dominio, que es parte del eje x que tiene puntos

asociados en la gráfica y de rojo el recorrido, la parte del eje y que se puede

asociar a puntos de la gráfica.

Por tanto, 2,Dom f y Re 0,c f

GRÁFICA DE

FUNCIONES

258

3) Monotonía de una función

Las siguientes funciones se visualizan monótonas en sus gráficas:

Si las analizamos por un momento nos damos cuenta de que la primera que

en todo su dominio la función crece o se mantiene igual se dice entonces

que es una función monótona creciente. La segunda, la función decrece o

es igual en todos los valores de su dominio, se dice que es una función

monótona decreciente. La definición matemática es la siguiente:

Definición (monotonía)

La función f es monótona creciente si para todo ,a b Dom f ,

a b implica ( ) ( )f a f b .

La función f es monótona decreciente si para todo ,a b Dom f ,

a b implica ( ) ( )f a f b .

El siguiente es un ejemplo de función no monótona, que crece y decrece:

GRÁFICA DE

FUNCIONES

259

4) Análisis gráfico de la continuidad

La descripción analítica del concepto de función no está al alcance de este

curso, solo nos referiremos a las características gráficas de las funciones

continuas y discontinuas.

Gráficamente una función es continua si no presenta saltos ni vacíos en su

gráfica. Las siguientes son gráficas de funciones continuas:

Cuando una función no es continua se dice que es discontinua, los puntos

donde las gráficas presentan vacíos, saltos o asíntotas se denominan puntos

de discontinuidad. Mostraremos la gráfica de algunas funciones

discontinuas e identificaremos sus puntos de discontinuidad:

La función es discontinua en x = 1

GRÁFICA DE

FUNCIONES

1

260



GRÁFICA DE

FUNCIONES

261

5) Ceros de una función

Gráficamente los ceros de una función son los valores de la coordenada x

de los puntos de la gráfica que intersectan al eje x.

Tiene tres ceros: 2, 0x x y 2x

Analíticamente, los ceros de una función f son los valores x Dom f , tal

que ( ) 0f x .

Lo anterior implica que para encontrar los ceros de una función hay que

resolver la ecuación ( ) 0f x .

Ejemplo: Determinar los ceros de la función 3( ) 4f x x x .

Planteamos la ecuación 3( ) 0 4 0f x x x y resolvemos factorizando:

3

2

4 0

4 0

2 2 0 0 2 0 2 0

0 2 2

x x

x x

x x x x ó x ó x

x ó x ó x

GRÁFICA DE

FUNCIONES

262

Los ceros de esta función son 0,-2 y 2, al graficar nos permite conocer los

puntos de intersección con el eje x. La gráfica de esta función es:

Problema 2: La concentración de amoniáco sobre superficies de tungsteno

luego de 𝑡 minutos esta dada por la función

𝑓(𝑡) = 0,02 − 0,000167𝑡.

a) ¿Cuál es la concetración inicial de amoniáco en la superficie de

tungsteno?

b) ¿Cuánto tiempo tarda en descomponerse totalmente el amoníaco?

Solución:

a) La primera pregunta tiene relación con evaluar la función en cero, esto es

(0) 0,02 0,000167 0 (0) 0,02f f

La concentración inicial de amoniaco es de 0,02

b) Cuando se pregunta cuánto tiempo tarda en descomponerse totalmente

el amoniaco, se está preguntando por los ceros de la función ( )f t , esto es

los valores de t tal que ( ) 0f t , lo que implica resolver la ecuación

GRÁFICA DE

FUNCIONES

-2 2 0

263

( ) 0f t

0,02 0,000167 0t

0,02

0,000167t

119,8t

Por tanto, el amoniaco se desintegra aproximadamente al cabo de 119,8

segundos.

Determinación analítica del dominio y recorrido

Determinar el dominio de una función ( )y f x es preguntarse ¿para qué

valores de la variable x la función está definida? Lo mismo para el recorrido

¿para qué valores de y la función está definida? El conjunto de esos valores

son, respectivamente, el dominio y el recorrido de la función. En términos

matemáticos, para funciones de variable real se tiene:

Dominio:

El problema de encontrar el dominio se reduce a determinar si la expresión

analítica de la función presenta restricciones, es decir valores donde no está

definida. Por ejemplo las siguientes funciones no presentan ninguna

restricción, están definidas para todo x Î » .

2( ) 2 1f x x x ; 3 1

( )2

xg x

; ( ) 2xh x

Pero otras funciones analíticas si presentan restricciones, en particular la

función racional y la función raíz no están definidas en todos los reales.

DOMINIO Y

RECORRIDO

264

En toda función racional hay que analizar cuando el denominador es igual a

cero para saber en qué valores la fracción se indetermina. Por ejemplo:

1) 2

2( )

1

xf x

x

no está definida en 1x y 1x , en efecto al igualar el

denominador a cero y resolver la ecuación se tiene

2 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1x x x x ó x x ó x

Por tanto, el dominio debe excluir de los reales al -1 y 1, esto es

2) ( ) 2f x x no está definida para valores de 2x , en efecto la

cantidad sub-radical de una raíz debe ser siempre mayor o igual a cero, esto

implica que

2 0 2x x

Luego 2,Dom f

Hay varios motivos por los que el dominio de una función no es igual a

todo ℝ:

1) No debe producirse un 0 en el denominador de ninguna fracción.

2) Las raíces cuadradas, y en general las raíces de índice par (raíces

cuartas, sextas, y demás) no deben ser aplicadas a números negativos, ya

que de serlo, no producen números reales.

3) Hay algunas funciones que tienen restricciones diferentes en sus

dominios, como la función logaritmo, que veremos más adelante.

4) Cuando las funciones se utilizan para modelar situaciones, el

contexto puede indicar restricciones al dominio de la función; por ejemplo,

si el dominio de la función es la estatura de una persona, es inadecuado

considerar valores negativos para el dominio.

5) A veces se combinan varias de esas razones.

DOMINIO Y

RECORRIDO

265

Recorrido:

Para determinar el recorrido debemos analizar las restricciones que presenta

la variable y, para ello necesitamos escribir y en términos de x, por ejemplo:

Sea 2 1

( )x

f xx

, encontrar su recorrido.

A partir de la igualdad 2 1x

yx

, despejaremos x esto es:

2 1 1

2 1 2 1 2 12

xy xy x xy x x y x

x y

La expresión 1

2x

y

se indetermina para 2y , por tanto el recorrido es


1. Sea f una función cuya gráfica se muestra a continuación:

Determinar el valor de

( )

f a f c

f b f a

DOMINIO Y

RECORRIDO

266

2. La siguiente gráfica representa a la función h, completa la tabla:

𝑥 −1,25 −1

ℎ(𝑥) 1,5 1,25

3. La gráfica representa una función ℎ:

Completa

a) ℎ(−2) =

b) ℎ(−1) = c) ℎ( ) = −4

d) ℎ(0) =

e) ℎ(1) =

f) ℎ(2) =

g) ℎ( ) = 3,5 h) Indica la(s)

preimagen(es) de 1 por la

función ℎ.

4. Indica cuáles de las siguientes gráficas representan a una función. Justifica

matemáticamente.

FUNCIONES

267

FUNCIONES

-2 2

268

5. Para cada función de variable real que está representada en las gráficas

indica dominio, recorrido, intervalos de monotonía (crece, decrece,

constante):

a) b)

c) d)

e) f)

-1

FUNCIONES

269

6. Encontrar los ceros de las siguientes funciones y graficar con ayuda de

tablas:

a) ( ) 2 3f x x

b) 2( ) 4f x x

c) 2( ) 2f x x x

d) 3( )f x x x

d) ( ) 2f x x

e) 1

( )x

f xx

7. Determinar el dominio y recorrido de las siguientes funciones de variable

real:

( ) 2 1f x x

2( ) 1f x x

2( )

xf x

x

( ) 2f x x

8. Para cada función de variable real que está representada en las gráficas

indica dominio, recorrido, discontinuidades, intervalos de monotonía

(crece, decrece, constante):

a) b)

FUNCIONES

270

c)

9. El valor de una maquinaria se devalúa en función del tiempo, a través de

la función

( ) 600 25y f x x

Donde x es el tiempo en meses e y es el precio en miles de pesos.

¿Cuántos mese pasan para que la máquina se devalúe completamente?

10. Al lanzar un proyectil hacia arriba, la altura (metros) que alcanza en cada

instante t (seg.) está dada por la función 2( ) 0,0013 10f t t t . ¿En

cuánto tiempo el proyectil cae al suelo?

FUNCIONES

271

Estudio de Funciones

Definición de Función Lineal:

Una función lineal es la que se puede escribir como 𝑓(𝑥) = 𝑚 ⋅ 𝑥 es decir,

un múltiplo del valor 𝑥.

Ejemplos:

1) La función 𝑓(𝑥) = 4 ⋅ 𝑥 el lineal y representa, además, un caso de

proporcionalidad directa, es decir, la imagen de 𝑥 es proporcional a 𝑥, con

constante de proporcionalidad 4. Esta función presenta algunas

características destacables:

a. El domino es ℝ

b. 𝑓(0) = 0

c. A medida que 𝑥 crece también crece 𝑓(𝑥), es decir, si 𝑎 <

𝑏 entonces 4 ⋅ 𝑎 < 4 ⋅ 𝑏, es decir, 𝑓(𝑎) < 𝑓(𝑏)

d. Todo número real 𝑦 ∈ ℝ es imagen de un número al

aplicar 𝑓, en particular, 𝑓 (𝑦

4) = 4 ⋅

𝑦

4= 𝑦

e. No hay dos valores en el dominio con la misma imagen, es

decir, si se tiene 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), entonces 4 ⋅ 𝑎 = 4 ⋅ 𝑏, es decir, 𝑎 = 𝑏

2) La función 𝑔(𝑥) = −3 ⋅ 𝑥 es también lineal y presenta las

siguientes características:

a. El domino es ℝ

b. 𝑔(0) = 0

c. A medida que 𝑥 crece su imagen 𝑔(𝑥) decrece, es decir, si

𝑎 < 𝑏 entonces −3 ⋅ 𝑎 > −3 ⋅ 𝑏, es decir, 𝑔(𝑎) > 𝑔(𝑏) (se invierte el

orden)

ESTUDIO DE

FUNCIONES

272

d. Todo número real 𝑦 ∈ ℝ es imagen al aplicar 𝑔 a un

número real, en particular, 𝑓 (𝑦

−3) = −3 ⋅

𝑦

−3= 𝑦

e. No hay dos valores en el dominio con la misma imagen, es

decir, si se tiene 𝑔(𝑎) = 𝑔(𝑏), entonces −3 ⋅ 𝑎 = −3 ⋅ 𝑏, es decir, 𝑎 = 𝑏

Ejemplos:

Veamos las gráficas de las funciones lineales de los ejemplos anteriores

1) La gráfica de 𝑓(𝑥) = 4 ⋅ 𝑥

Podemos verificar que el gráfico es correcto mediante una tabla:

𝑥 −2 −1 0 1 2

𝑓(𝑥) −8 −4 0 4 8

ESTUDIO DE

FUNCIONES

273

En el gráfico y en la tabla podemos también notar que a medida que crece

𝑥 también crece 𝑓(𝑥), y que la gráfica se eleva hacia arriba cuando nos

movemos a la derecha.

Es notorio en el gráfico que no hay valores distintos con la misma imagen

porque para que ocurriera 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), en la gráfica se tendrían dos

puntos con la misma segunda coordenada, es decir, alguna recta horizontal

debiera cortar en dos puntos distintos a la gráfica, y no es así en este caso,

ya que las rectas horizontales cortan a la gráfica en un único punto.

Por último, la gráfica confirma también que todo número real es imagen

por la función de algún número del dominio de la función, ya que cada

número real 𝑘 determina una recta horizontal de todos los puntos que

tienen segunda coordenada iguala k, y como se vio antes, cualquier recta

horizontal corta a la gráfica en un único punto, es decir, debe haber un

punto de la forma (ℎ, 𝑘) en la gráfica, y por lo tanto 𝑘 = 𝑓(ℎ). Ya

sabíamos que en este caso ℎ =𝑘

4.

La gráfica concuerda con lo que hicimos antes con la fórmula.

2) El gráfico de la función 𝑔(𝑥) = −3 ∙ 𝑥 es:

ESTUDIO DE

FUNCIONES

274

Podemos verificar que el gráfico es correcto mediante una tabla:

𝑥 −2 −1 0 1 2

𝑔(𝑥) 6 3 0 −3 −6

Se comprueba que en el gráfico y en la tabla que cuando 𝑥 crece el valor

de 𝑔(𝑥) decrece, ya que la gráfica se inclina hacia abajo cuando nos

movemos a la derecha.

También comprobamos que no hay valores distintos con la misma imagen

ya que, como indicamos en el ejemplo anterior, tendría que haber una

recta horizontal que intersecte en dos puntos distintos a la gráfica, y en

realidad cada recta horizontal corta a la gráfica en un único punto, de

donde obtenemos también que todo número real es imagen de algún valor

del dominio al aplicarle la función.

Observaciones

1) Si conocemos la fórmula, podemos hacer una tabla y podemos

graficar, mediante la tabla o de algún software para graficar. Pero también

podemos conocer varias características de la gráfica que la tabla o la

gráfica, que siempre muestran sólo un rango de la gráfica, podrían no

ayudar a conocer.

2) En la gráfica se nota que se trata de una función, o bien, aplicando

la regla de la recta vertical: toda recta vertical debe cortar a la gráfica en un

punto o ninguno, nunca en más de uno.

3) Si conocemos la gráfica de una función, podemos tener una idea

de las características que mencionamos y que formalizaremos a

continuación.

Las características mostradas serán importantes en toda función, y en las

funciones lineales son visibles en sus gráficas, que forman rectas en el

plano que pasan por el origen (0,0).

ESTUDIO DE

FUNCIONES

275

Definición:

i. Una función 𝑓(𝑥) se dice inyectiva si no hay dos valores distintos

del dominio con la misma imagen, es decir, que 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) sólo puede

ocurrir cuando 𝑎 = 𝑏. También se dice que la función es uno a uno. En la

gráfica se nota porque cada recta horizontal corta a la gráfica en un punto

a lo más.

ii. El recorrido de una función 𝑓(𝑥) es el conjunto de las imágenes

que entrega la función al aplicarla a cada valor de su dominio.

iii. Una función es sobreyectiva cuando su recorrido son todos los

números reales.

iv. Una función es biyectiva cuando es, a la vez, inyectiva y

sobreyectiva.

Propiedad:

1) Toda función lineal 𝑓(𝑥) = 𝑚 ⋅ 𝑥 con 𝑎 ≠ 0 es inyectiva y

sobreyectiva, es decir, biyectiva, y es creciente cuando 𝑎 > 0 y es

decreciente cuando 𝑎 < 0.

2) Cuando 𝑚 = 0, la función afín es de valor constante 0, no es

inyectiva ni sobreyectiva, y 0 es el único valor de su recorrido. Su gráfica es

el eje horizontal (eje X) y no es creciente ni decreciente.

Ahora conoceremos varias funciones y analizaremos sus características y

gráficas.

ESTUDIO DE

FUNCIONES

276

Definición de Función Afín:

Una función afín es de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑚 ⋅ 𝑥 + 𝑛, donde 𝑚, 𝑛 ∈ ℝ.

Su dominio es todo ℝ.

Cuando 𝑛 = 0 se trata de una función lineal, que ya conocemos, pero

cuando 𝑛 ≠ 0 es similar, aunque como 𝑓(0) = 𝑛, su gráfica no pasa por

el origen.

Cuando 𝑚 = 0 se trata de una función de valor constante 𝑛, que es el

único valor de su recorrido, y por ello no es inyectiva ni sobreyectiva ni

creciente ni decreciente. Su gráfica es una recta horizontal que corta al eje

vertical (eje Y) en el punto (0, 𝑛).

Cuando 𝑚 ≠ 0, es similar a la función afín pero desplazada verticalmente

hacia arriba o hacia abajo según el signo de 𝑛.

Ejemplo:

La función 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 2 es afín y cumple las siguientes propiedades:

1) Es inyectiva, porque si 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), se tendrá 3𝑎 + 2 = 3𝑏 + 2,

de donde se obtiene 𝑎 = 𝑏.

2) Es creciente estricta, porque 𝑚 = 3 > 0 lo que podemos ratificar

usando la fórmula, porque si 𝑎 < 𝑏, se tendrá 3𝑎 + 2 < 3𝑏 + 2, es decir,

𝑓(𝑎) < 𝑓(𝑏).

3) Es también sobreyectiva, lo que podemos ratificar usando la

fórmula, porque si 𝑏 ∈ ℝ, entonces basta resolver la ecuación con

incógnita 𝑎 dada por 𝑏 = 3𝑎 + 2 para ver que con 𝑎 =𝑏−2

3 tenemos

𝑓(𝑎) = 𝑓 (𝑏 − 2

3) = 3 (

𝑏 − 2

3) + 2 = (𝑏 − 2) + 2 = 𝑏

4) Por tanto, su recorrido es ℝ.

ESTUDIO DE

FUNCIONES

277

5) Su gráfica es:


Clasifica como lineal o afín, y analiza inyectividad, crecimiento o

decrecimiento, sobreyectividad, recorrido y gráfica de las siguientes

funciones:

1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1

2. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3

3. 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 1

4. 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥

5. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 7

6. 𝑓(𝑥) =𝑥

2+ 3

7. 𝑓(𝑥) =𝑥+3

2

8. 𝑓(𝑥) =4−𝑥

3

ESTUDIO DE

FUNCIONES

278

Definición de Función Cuadrática:

Una función es cuadrática cuando tiene la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

con 𝑎 ≠ 0.

El dominio de cada función cuadrática es ℝ.

Ejemplo:

La función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 3 es cuadrática. Para hacernos una idea del

comportamiento de la función veamos primero una tabla de valores:

𝑥 −3 −2 −1 0 1 2 3

𝑓(𝑥) 0 −3 −4 −3 0 5 12

Podemos notar de inmediato que la función no es inyectiva, ya que −3 y 1

tienen a 0 por imagen.

Tampoco es una función creciente, ya que, por ejemplo, −3 < −2 pero

𝑓(−3) = 0 > −3 = 𝑓(−2).

Tampoco es una función decreciente ya que, por ejemplo, 0 < 1 y 𝑓(0) =

−3 < 0 = 𝑓(1).

Respecto del recorrido, sabemos resolver una ecuación de segundo grado y

con ello podemos notar que para cada 𝑦 ∈ ℝ ocurrirá que 𝑦 está en el

recorrido cuando la ecuación con incógnita 𝑥 tenga solución en:

𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 3,

es decir:

0 = 𝑥2 + 2𝑥 − (3 + 𝑦),

que tiene solución exactamente cuando el discriminante es mayor o igual a

cero, es decir, cuando:

0 ≤ 22 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−(3 + 𝑦)) = 4 + 4(3 + 𝑦) = 16 + 4𝑦

ESTUDIO DE

FUNCIONES

279

por lo que 𝑦 está en el recorrido de 𝑓 exactamente cuando:

−4 ≤ 𝑦.

Eso significa que el recorrido de la función es el intervalo:

[−4,+∞[

lo que indica que la función no es sobreyectiva.

El valor -4 es importante, es la segunda coordenada de lo que llamamos

vértice de la parábola que es la gráfica de la función:

Observa:

Podemos notar, como lo indicaba la tabla, que las imágenes se repiten a

ambos lados del vértice (-1,-4). Nota que cuando resolvemos la cuadrática:

0 = 𝑥2 + 2𝑥 − (3 + 𝑦)

las soluciones, para 𝑦 ≥ −4, son de la forma:

𝑥 =−2 ± √22 + 4 ⋅ 1 ⋅ (3 + 𝑦)

2=−2 ± √16 + 4𝑦

2

ESTUDIO DE

FUNCIONES

280

y por lo tanto son simétricas en torno a −2

2= −1 que es la primera

coordenada del vértice, lo que quiere decir que la parábola (la gráfica de la

función cuadrática) se levanta de forma simétrica en torno al vértice.

A pesar de que esta función no es globalmente creciente ni decreciente, a

izquierda de −1, en ]−∞,−1], es decreciente, y a derecha de −1, en

[−1,∞[, es creciente.

Esta es una parábola que se abre hacia arriba.

Propiedad:

La gráfica de una función cuadrática de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

con 𝑎 ≠ 0 se abre hacia arriba si 𝑎 > 0, y se abre hacia abajo si 𝑎 < 0.

Definición:

Una función es creciente en un intervalo cuando al restringirse al intervalo

resulta creciente en él. Análogamente se define una función decreciente en

un intervalo.

Propiedades de las funciones cuadráticas:

1. Una función cuadrática de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 con

𝑎 ≠ 0 tiene como primera coordenada de su vértice a 𝑥 = −𝑏

2𝑎 y como

segunda coordenada del vértice a 𝑓 (−𝑏

2𝑎) =

4𝑎𝑐−𝑏2

4𝑎

2. Una parábola cambia su crecimiento en el vértice y no es inyectiva.

3. Si la parábola se abre hacia arriba (𝑎 > 0) entonces es decreciente

a izquierda del vértice y creciente a derecha del vértice.

4. Si la parábola se abre hacia abajo (𝑎 < 0) entonces es creciente a

izquierda del vértice y decreciente a derecha del vértice.

ESTUDIO DE

FUNCIONES

281

Notar que resolver 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 equivale a encontrar los puntos

donde la parábola corta al eje horizontal (eje X), si lo hiciera.


En cada caso, determina las coordenadas del vértice, e indica en qué

intervalo la función crece y en ´que intervalo la función decrece, determina

su recorrido, y da una gráfica aproximada:

1) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 1

2) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 8

3) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2

4) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 + 1

5) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 − 1

6) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 2𝑥

7) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 12𝑥 + 19

8) 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 − 12𝑥 − 10

9) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 6𝑥 − 4

10) 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 − 18𝑥 − 23

ESTUDIO DE

FUNCIONES

282

Definición de Función Valor Absoluto:

La función valor absoluto, denotada |𝑥| y que tiene a ℝ por dominio,

asigna a cada número su valor sin signo, es decir:

|𝑥| = {𝑥 si 𝑥 ≥ 0−𝑥 si 𝑥 < 0

Esta es una forma de definir funciones por ramas, ya que la regla de

asignación varía según a qué valores se aplica.

Ejemplo:

1) |3| = 3 porque 3 > 0

2) |−4| = 4 porque −4 < 0 y se cumple −(−4) = 4

3) |𝑥2| = 𝑥2 porque, cualquiera sea el valor de 𝑥, se cumple 𝑥2 ≥ 0

Otra caracterización del valor absoluto de un número es que mide la

distancia entre el punto del eje real asociado al número, y el punto

asociado al cero

En la figura se muestran los puntos A para −3, B para 3, y C para 0, y se

indica sobre el eje las distancias entre −3 y 0 como AC , y como CB la

distancia entre 3 y 0:

Al ver una tabla de valores podemos apreciar algunas características:

𝑥 −3 −2 −1 0 1 2 3

|𝑥| 3 2 1 0 1 2 3

ESTUDIO DE

FUNCIONES

283

De inmediato notamos que la función no es inyectiva ya que, por ejemplo,

|−3| = 3 = |3|. Tampoco sería sobreyectiva, ya que no puede dar valores

negativos.

Tanto la tabla como la definición por ramas indican que la función valor

absoluto es idéntica a la función lineal 𝑓(𝑥) = 𝑥 para los positivos y el

cero, mientras que para los negativos es idéntica a la función lineal 𝑔(𝑥) =

−𝑥.

Veamos la gráfica:

Como la parábola, tiene dos ramas simétricas en torno a un vértice, el

origen (0,0), pero a diferencia de la parábola, las ramas de la gráfica de la

función valor absoluto son rectilíneas.

La función valor absoluto es decreciente en ]−∞, 0] y creciente en

[0, +∞[. Además, |𝑥| = 0 sólo si 𝑥 = 0.

Su recorrido es [0, +∞[

Vimos que había diversas posiciones de parábolas para las funciones

cuadráticas, manteniendo la forma general. Podemos obtener funciones a

partir de la función valor absoluto que mantienen su forma general.

ESTUDIO DE

FUNCIONES

284

Ejemplo:

Estudiemos la función 𝑓(𝑥) = 2 + |𝑥 − 1|. Una tabla muestra lo

siguiente:

𝑥 −3 −2 −1 0 1 2 3

𝑓(𝑥) 6 5 4 3 2 3 4

La tabla muestra que la función va decreciendo hasta 1, y luego crece

nuevamente, así que no es inyectiva, y parece tener su mínimo en 1 con

valor 2, lo que permite indicar que su recorrido es [2, +∞[, dado que se

basa en la función valor absoluto.

Al graficar la función usando la tabla, obtenemos:

Es muy similar a la gráfica de la función valor absoluto, pero desplazada.

Notemos que el vértice ahora es (1,2). El vértice es mínimo, es decir, hay

un mínimo en 1 con valor 2 como muestra la figura, pero eso es porque

decrece a izquierda de 1 y crece a derecha de 1.

Es importante observar que 1 es el único valor que cumple |𝑥 − 1| = 0, y

eso es lo que determina la posición del vértice en estos casos, ya que

ESTUDIO DE

FUNCIONES

285

𝑓(1) = 2 + |1 − 1| = 2, y como indicamos, el vértice es (1,2).

Ejemplo:

Analicemos la función 𝑔(𝑥) = 3 − |2𝑥 − 1|. Una tabla da los siguientes

valores:

𝑥 −3 −2 −1 0 1 2 3

𝑔(𝑥) −4 −2 0 2 2 0 −2

Podemos ver que la función crece hasta un punto entre 0 y 1, decreciendo

a derecha de tal punto. Como se indicó en el ejemplo anterior, la primera

coordenada del vértice ocurre cuando |2𝑥 − 1| = 0, es decir, cuando

2𝑥 − 1 = 0, que resulta en 𝑥 =1

2, lo que concuerda con la tabla. Más aún,

si el vértice no estuviera en el rango de los valores de la tabla, parecería

que se trata de una función afín, por lo que conviene realizar el análisis

previo para escoger valores para la tabla que rodeen al vértice.

La segunda coordenada del vértice será:

𝑔 (1

2) = 3 − |2 ⋅

1

2− 1| = 3 − |1 − 1| = 3,

así que el vértice es (1

2, 3), pero la tabla indica que será un máximo, no un

mínimo. Con esta información consideremos ahora su gráfica:

ESTUDIO DE

FUNCIONES

286

Nota que además la curva corta al eje horizontal (eje X) en −1 y en 2, que

son las dos soluciones de la ecuación:

3 − |2𝑥 − 1| = 0

Podemos ver que la función es creciente a izquierda de 1

2 y creciente a

derecha de 1

2, por lo que en su vértice tiene un máximo, es decir, tiene

máximo en 1

2 con valor 3.

Su recorrido es ]−∞, 3].


En cada caso, Determina el vértice, analiza crecimiento y decrecimiento, y

si el vértice indica un máximo o un mínimo, el recorrido de la función,

posibles intersecciones con el eje horizontal (eje X), y dibuja una gráfica

aproximada:

1. 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 3|

2. 𝑓(𝑥) = 2 + |𝑥 − 3|

3. 𝑓(𝑥) = 2 − |𝑥 − 3|

4. 𝑓(𝑥) = |2𝑥 + 4|

5. 𝑓(𝑥) = 3 + |𝑥 + 1|

6. 𝑓(𝑥) = 2|𝑥 + 3|

7. 𝑓(𝑥) = 1 + 3|𝑥 + 5|

8. 𝑓(𝑥) = 4 − 3|𝑥|

ESTUDIO DE

FUNCIONES

287

Definición de Función Parte Entera:

La función parte entera, denotada ⌊𝑥⌋, tiene dominio ℝ y asigna a cada

número real el mayor número entero que sea menor o igual que el

número.

Ejemplos:

1. ⌊3,1⌋ = 3 porque 3 ≤ 3,1 < 4

2. ⌊5⌋ = 5 porque 5 ≤ 5 < 6

3. ⌊−2,4⌋ = −3 porque −3 ≤ −2,4 < −2

4. ⌊−9,32⌋ = −10 porque −10 ≤ −9,32 < −9

5. ⌊−7⌋ = −7 porque −7 ≤ −7 < −6

Si hacemos una tabla usando valores enteros, tendremos una falsa

impresión de esta función:

𝑥 −3 −2 −1 0 1 2 3

⌊𝑥⌋ −3 −2 −1 0 1 2 3

Ello ocurre porque si 𝑛 ∈ ℤ, se tendrá ⌊𝑛⌋ = 𝑛 porque 𝑛 ≤ 𝑛 < 𝑛 + 1.

Hagamos una tabla con valores decimales:

𝑥 −1 −0,8 −0,6 −0,4 −0,2 0

⌊𝑥⌋ −1 −1 −1 −1 −1 0

ESTUDIO DE

FUNCIONES

288

Podemos notar ahora que la función se mantiene constante entre números

enteros consecutivos, por lo que no es inyectiva. Veamos una tabla

adicional:

𝑥 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

⌊𝑥⌋ 0 0 0 0 0 1

Es razonable suponer que sí se mantiene constante entre enteros

consecutivos, pero además notamos que al avanza un número entero, la

función parte entera agrega 1 al valor precedente. Por ejemplo, desde la

tabla vemos que:

⌊1 + (−0,8)⌋ = ⌊0,2⌋ = 0 = 1 + ⌊−0,8⌋

Pero probemos con números más altos:

⌊1 + (12,5)⌋ = ⌊13,5⌋ = 13 = 1 + ⌊12,5⌋

La función parte entera sólo adopta valores que son números enteros, y

visto el comportamiento que sugieren las tablas y ejemplos, todo número

entero es igual a su parte entera, así que el recorrido de la función es ℤ,

por lo que no es una función sobreyectiva.

Como se mantiene constante entre números enteros consecutivos, no es

una función creciente ni decreciente en ningún intervalo; por ejemplo:

3,4 < 3,6 pero ⌊3,4⌋ = 3 = ⌊3,6⌋. Veamos la gráfica:

ESTUDIO DE

FUNCIONES

289

Cuidado, cada segmento de la gráfica, sobre intervalos de enteros

consecutivos, tiene el borde izquierdo pero no el derecho, es como un

intervalo cerrado a izquierda y abierto a derecha.

Una imagen más detallada:


Analiza las siguientes funciones, dando un dibujo aproximado de su

gráfica:

1. 𝑓(𝑥) = 1 + ⌊𝑥⌋

2. 𝑓(𝑥) = ⌊1 + 𝑥⌋

3. 𝑓(𝑥) = ⌊2𝑥⌋

4. 𝑓(𝑥) = ⌊−𝑥⌋

5. 𝑓(𝑥) = 2 + ⌊𝑥⌋

6. 𝑓(𝑥) = ⌊𝑥 − 1⌋

ESTUDIO DE

FUNCIONES

290

Definición de Función Racional:

Una función racional es de la forma 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥+𝑏

𝑐𝑥+𝑑 cuando 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0 y

𝑐 ≠ 0.

Como no se puede dividir por cero, una función racional de la forma dada

tiene dominio ℝ − {−𝑑

𝑐}, es decir, todos los reales excepto −

𝑑

𝑐.

Se ven complicadas de analizar las funciones racionales, que hacen el

cociente entre dos funciones afines. Sin embargo, toda función racional se

basa en la más simple de ellas:

Ejemplo:

Analicemos la función racional 𝑓(𝑥) =1

𝑥, para 𝑥 ≠ 0, conocida también

como función recíproca porque 1

𝑥 es el recíproco o inverso multiplicativo

de 𝑥.

Comencemos con una tabla simple, omitiendo el valor 0:

𝑥 −3 −2 −1 1 2 3

1

𝑥 −

1

3 −

1

2 −1 1 1

2

1

3

Al alejarnos de 1 a la derecha los valores se van haciendo cada vez más

pequeños, más cercanos a 0, mientras que al alejarnos a la izquierda de −1

los valores también se van acercando a 0, pero por negativos.

Veamos que pasa en las cercanías de 0 en positivos:

𝑥 1

100

1

50

1

10

1

4

1

3

1

2

1

𝑔(𝑥) 100 50 10 4 3 2 1

ESTUDIO DE

FUNCIONES

291

Mientras más cercanos a cero por positivos, más grande es el número.

En los negativos es similar, ya que cambiando el signo de 𝑥, cambia el

signo de su recíproco, sólo que al acercarnos a 0 por negativos, sus

recíprocos se hacen más grandes pero en negativo.

Consideremos la gráfica:

Si nos alejamos lo suficiente, la gráfica se empieza a parecer a los ejes

coordenados, lo que permite denominar a tales ejes como asíntotas de la

gráfica. Esto se repetirá en las funciones racionales.

Esta gráfica tiene dos ramas que no se tocan, separadas por la asíntota

vertical y por la asíntota horizontal. Acá la de la derecha está arriba y la de

la izquierda está abajo.

La función recíproca es creciente en ]−∞, 0[ y en ]0,∞[, por separado.

La función recíproca no es sobreyectiva, de hecho su recorrido es ℝ −

{0}, ya que es imposible que 1

𝑥= 0.

ESTUDIO DE

FUNCIONES

292

Ejemplo:

Analicemos la función racional 𝑓(𝑥) =2𝑥−3

𝑥+4. Su dominio no incluye al

−4, que es donde se haría cero 𝑥 + 4.

Por comparación con la función recíproco, podemos sospechar que la

función tiene una asíntota vertical 𝑥 = −4, que veremos es cierto.

Veamos una tabla:

𝑥 −6 −5 −3 −2 −1 0 1

𝑓(𝑥) 15

2

13 −9 −7

2 −

5

3 −

3

4 −

1

5

7,5 13 −9 −3,5 −1, 6 −0,75 −0,2

La tercera fila da los valores con decimales. Efectivamente en torno a −4

los valores de la función son sustancialmente mayores que los demás.

La gráfica es la siguiente:

Vemos que se parece bastante a la gráfica de la función recíproca, pero la

rama de la derecha acá está abajo mientras que la rama de la izquierda está

arriba.

ESTUDIO DE

FUNCIONES

293

Se confirma que tiene asíntota vertical en 𝑥 = −4, y lo que separa la

posición arriba-abajo de las ramas es una asíntota horizontal, pero no

parece claro cuál es.

Sin embargo, hay una forma de saber la posición exacta de la asíntota

horizontal: como es cociente de funciones afines, la asíntota horizontal es

el cociente de sus pendientes. En este caso, sería 𝑦 =2

1= 2 la asíntota

horizontal.

En la gráfica de 𝑓(𝑥) =2𝑥−3

𝑥+4, incorporemos las rectas 𝑥 = −4 e 𝑦 = 2:

Vemos que ambas rectas son efectivamente asíntotas.

La función es creciente en ]−∞,−4[ y en ]−4,∞[. Además su recorrido

se obtiene quitando el valor que da la posición de la asíntota horizontal:

ℝ − {2}.

ESTUDIO DE

FUNCIONES

294


Analiza y grafica las siguientes funciones racionales:

1. 𝑓(𝑥) =3

𝑥−4

2. 𝑓(𝑥) =𝑥+1

2𝑥+1

3. 𝑓(𝑥) =3𝑥+5

2𝑥−4

4. 𝑓(𝑥) =𝑥−3

2−𝑥

Definición de Función Raiz Cuadrada:

La función raíz cuadrada asigna a cada número real no negativo su raíz

cuadrada, es decir, un número real no negativo que al cuadrado es igual al

número dado.

Se denota √𝑥 a la raíz cuadrada de 𝑥, si 𝑥 ≥ 0, y se cumple √𝑥 ≥ 0 y

(√𝑥)2= 𝑥.

El dominio de la función raíz cuadrada es [0, +∞[.

Veamos una tabla con valores aproximados a un decimal:

𝑥 0 1 2 3 4 5

√𝑥 0 1 1,4 1,7 2 2,2

Vemos que la función raíz cuadrada es creciente, pero los valores no

crecen muy rápido. Como los resultados comienzan en 0 y van creciendo,

podemos decir que su recorrido es [0, +∞[, que indica que no es una

función sobreyectiva.

ESTUDIO DE

FUNCIONES

295

Podemos hacer una gráfica:

Podemos ver que se trata de una función inyectiva y efectivamente es

creciente. Una característica de esta gráfica es que tiene un extremo, en

este caso en (0,0).

Ejemplo:

Analicemos la función 𝑓(𝑥) = 2 + √𝑥 + 1.

Notemos que el dominio requiere que 𝑥 + 1 ≥ 0, es decir, 𝑥 ≥ −1, por lo

que el domino será [−1, +∞[.

Veamos una tabla con valores aproximados a un decimal:

𝑥 −1 0 1 2 3 4 5

𝑓(𝑥) 2 3 3,4 3,7 4 4,2 4,5

Los valores de la función van creciendo de 2 hacia valores mayores,

lentamente. Por eso, el recorrido debe ser [2, +∞[.

Podemos comprobar algebraicamente que se trata de una función

inyectiva:

ESTUDIO DE

FUNCIONES

296

𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) implica 2 + √𝑎 + 1 = 2 + √𝑏 + 1, y entonces

√𝑎 + 1 = √𝑏 + 1. Elevando al cuadrado, se tiene 𝑎 + 1 = 𝑏 + 1, es

decir, 𝑎 = 𝑏; eso justifica totalmente que se trata de una función

inyectiva. Su gráfica es:

Podemos notar que el extremo ahora se encuentra en (−1,2), lo que

tiene sentido porque el extremo del dominio es −1, y 𝑓(−1) = 2.


Analiza y haz el gráfico de las funciones siguientes:

1. 𝑓(𝑥) = 3 + √𝑥

2. 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2

3. 𝑓(𝑥) = 1 − √𝑥

4. 𝑓(𝑥) = 3 + √𝑥 + 4

5. 𝑓(𝑥) = 5 + √1 − 𝑥

6. 𝑓(𝑥) = 1 − √2 − 𝑥

ESTUDIO DE

FUNCIONES

297

Operatoria entre Funciones

Dadas dos funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥), podemos combinarlas para obtener

nuevas funciones de los siguientes modos:

1. Adición de funciones: Obtenemos una nueva función con regla de

asignación 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), y con dominio obtenido por la intersección de

los dominios de 𝑓(𝑥) y de 𝑔(𝑥).

2. Resta de funciones: Obtenemos una nueva función con regla de

asignación 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥), y con dominio obtenido por la intersección de

los dominios de 𝑓(𝑥) y de 𝑔(𝑥).

3. Multiplicación de funciones: Obtenemos una nueva función con

regla de asignación 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥), y con dominio obtenido por la

intersección de los dominios de 𝑓(𝑥) y de 𝑔(𝑥).

4. Cociente de funciones: Obtenemos una nueva función con regla de

asignación 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥), y con dominio obtenido por la intersección de los

dominios de 𝑓(𝑥) y de 𝑔(𝑥), pero quitando los valores donde 𝑔(𝑥) = 0.

Ejemplos:

1. La función suma de las funciones 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 4 y 𝑔(𝑥) =

√𝑥 − 1 tiene como dominio a la intersección de los dominios, ℝ y

[1, +∞[, que en este caso es [1, +∞[.

Una tabla de valores es:

𝑥 1 2 3 4 5 6

𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) 6 9 11,4 13,7 16 18,2

ESTUDIO DE

FUNCIONES

298

La tabla sugiere que es una función creciente, y la gráfica es:

Cerca del extremo izquierdo se parece a la función raíz, pero a la larga se

parece a una recta; sin embargo, no es ninguna de las dos. El dominio es la

intersección de ambos dominios para que al sumar, ambas imágenes

existan.

2. Las funciones racionales son un ejemplo de cociente entre

funciones, incluyendo el quitar del dominio aquellos valores que hacen que

la función del denominador sea 0.

ESTUDIO DE

FUNCIONES

299

Composición de Funciones

La composición de dos funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥), en ese orden, es una

nueva función que se denota (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) y se define como:

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))

Es decir, se trata de aplicar la función 𝑓(𝑥) al resultado de aplicar la

función 𝑔(𝑥).

El dominio de la composición es el conjunto más amplio para el cual

existe en ℝ la expresión 𝑓(𝑔(𝑥)).

Ejemplo:

Considerando las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 y 𝑔(𝑥) = 2 + √𝑥, tenemos:

1. 𝑓 ∘ 𝑔 :

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = (𝑔(𝑥))2+ 1 = (2 + √𝑥)

2+ 1

= 5 + 4√𝑥 + 𝑥

En este caso, el dominio es [0, +∞[ ya que sólo hay problemas con √𝑥.

2. 𝑔 ∘ 𝑓 :

(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 2 + √𝑓(𝑥) = 2 + √𝑥2 + 1

En este caso, se requiere que 𝑥2 + 1 ≥ 0 para que 𝑥 esté en el dominio,

pero todo número real cumple 𝑥2 + 1 ≥ 0, así que el dominio es ℝ.

Algunas funciones, las funciones inyectivas o que se pueden restringir a un

intervalo en que sean inyectivas, tienen asociada una función que deshace

lo que ella había hecho.

ESTUDIO DE

FUNCIONES

300

Definición:

Dos funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) son inversas una de la otra cuando se

cumplen:

1. Ambas son inyectivas.

2. (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑥

3. (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑥

4. El dominio de 𝑓(𝑥) es el recorrido de 𝑔(𝑥)

5. El recorrido de 𝑓(𝑥) es el dominio de 𝑔(𝑥)

Ejemplo:

La función raíz cuadrada es la inversa de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 con

dominio [0, +∞[ (nada impide tomar sólo una parte del dominio de

alguna función).

Verifiquemos que se cumplan los requisitos para que sean funciones

inversas una de la otra:

1. Ambas son inyectivas. Ya sabemos que la función raíz cuadrada es

inyectiva, pero la cuadrática no lo era. Sin embargo, al tener 𝑓(𝑥) dominio

[0, +∞[ sí es inyectiva, porque si 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) con 𝑎 ≥ 0 y 𝑏 ≥ 0, se

tiene 𝑎2 = 𝑏2, de modo que 𝑎 = ±𝑏, pero por el signo de 𝑎 y de 𝑏 sólo

puede ocurrir que 𝑎 = 𝑏.

2. 𝑓(√𝑥) = (√𝑥)2= 𝑥 porque 𝑥 ≥ 0

3. √𝑓(𝑥) = √𝑥2 = 𝑥 porque 𝑥 ≥ 0

4. El dominio de 𝑓(𝑥) es [0, +∞[, que es igual al recorrido de la

función raíz cuadrada.

ESTUDIO DE

FUNCIONES

301

5. El recorrido de 𝑓(𝑥) es también [0, +∞[, que es igual al dominio

de la función raíz cuadrada.

Ahora cómo se relacionan las gráficas de ambas funciones:

La forma de la gráfica de la función raíz cuadrada es una rama de parábola,

sólo que girada. Esto es así porque cada punto (𝑎, 𝑏) de la gráfica de la

función raíz cuadrada cumple 𝑎 ≥ 0, 𝑏 ≥ 0 y 𝑏 = √𝑎. Pero eso es lo

mismo que decir que 𝑎 ≥ 0, 𝑏 ≥ 0 y 𝑏2 = 𝑎, es decir, el punto con

coordenadas intercambiadas, (𝑏, 𝑎) pertenece a la rama derecha, en el

primer cuadrante, de la función cuadrática básica, que es exactamente la

gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 con su dominio [0, +∞[.

Las dos gráficas juntas son:

Se puede ver que el intercambio de coordenadas entre las dos funciones se

refleja en la diagonal. Esa es la relación de las gráficas de dos funciones

que son inversas una de la otra.

Propiedad

Dos funciones inversas una de la otra son ambas crecientes o ambas

decrecientes.

ESTUDIO DE

FUNCIONES

302

Definición de Función Exponencial:

La función exponencial de base 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, tiene dominio ℝ y asigna a

cada número real 𝑥 la potencia 𝑎𝑥.

Nota que para cada valor fijo de 𝑎 como base, se tiene una función

exponencial diferente.

Ejemplo:

Analicemos la función exponencial de base 2, 𝑓(𝑥) = 2𝑥 .

Observemos una tabla:

𝑥 −2 −1 0 1 2 3 4 5

𝑓(𝑥) 1

4

1

2

1 2 4 8 16 32

La tabla sugiere que la función es creciente y positiva, de hecho crece

bastante rápido. Su gráfica:

ESTUDIO DE

FUNCIONES

303

Es una función inyectiva, y notamos que su recorrido es ]0, +∞[.

Cuidado, aunque se acerca mucho a 0 hacia la izquierda, la función no vale

0 jamás, porque 2𝑥 = 0 no tiene solución.

Recuerda algunas propiedades de potencias y exponentes. Sea 𝑎 > 0, 𝑎 ≠

1. Para todos 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ se cumplen:

1. 𝑎1 = 𝑎

2. 𝑎𝑥 ⋅ 𝑎𝑦 = 𝑎𝑥+𝑦

3. 𝑎𝑥

𝑎𝑦= 𝑎𝑥−𝑦

4. 𝑎−𝑥 =1

𝑎𝑥

5. (𝑎𝑥)𝑦 = 𝑎𝑥⋅𝑦

6. 𝑎0 = 1

7. 𝑎𝑥 > 0

ESTUDIO DE

FUNCIONES

304

Ejemplo:

Analicemos la función 𝑔(𝑥) = (1

2)𝑥

.

Veamos una tabla:

𝑥 −2 −1 0 1 2 3 4 5

𝑔(𝑥) 4 2 1 1

2

1

4

1

8

1

16

1

32

La función es claramente decreciente y positiva, y sus valores recuerdan a

los de la función 2𝑥 , pero en orden inverso. Y es verdad, ya que :

𝑔(𝑥) = (1

2)𝑥

= (2−1)𝑥 = 2−𝑥 = 𝑓(−𝑥),

así que 𝑔(𝑥) se comporta como 𝑓(𝑥) pero cambiando el sentido del eje

horizontal. Las dos gráficas juntas:

Cuidado, no son funciones inversas una de la otra, como se puede ver al

componerlas y aplicar la composición a, por ejemplo, 𝑥 = 1: (1

2)2𝑥

=

2−2𝑥 y evaluando da 2−2 que es distinto de 1, que debiera ser si (

1

2)2𝑥

=

𝑥.

ESTUDIO DE

FUNCIONES

305

Propiedad

Si 𝑎 > 1, entonces la función 𝑎𝑥 es creciente, pero si 0 < 𝑎 < 1,

entonces la función exponencial 𝑎𝑥 es decreciente.

Toda función exponencial tiene recorrido ]0, +∞[.


Analiza y dibuja una gráfica aproximada de las siguientes funciones

exponenciales, transformándolas mediante propiedades de exponenciales

si fuera útil:

1. 𝑓(𝑥) = 3𝑥

2. 𝑓(𝑥) = 10𝑥

3. 𝑓(𝑥) = 0,2𝑥

4. 𝑓(𝑥) = 4−𝑥

5. 𝑓(𝑥) = 5𝑥+1

6. 𝑓(𝑥) = 32𝑥

Como las funciones exponenciales son inyectivas, tienen función inversa:

Definición de Función Logarítmica:

Para 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, definimos del logaritmo de base 𝑎 como la función

inversa de la función exponencial de base 𝑎. Se denota log𝑎(𝑥)

ESTUDIO DE

FUNCIONES

306

Por definición, como inversa de 𝑎𝑥, el dominio de loga(𝑥) es el recorrido

de 𝑎𝑥, es decir, ]0, +∞[. Además, el recorrido de log𝑎(𝑥) será el dominio

de 𝑎𝑥, esto es, ℝ.

También se cumple que para todo 𝑥 > 0 se tiene 𝑎log𝑎(𝑥) = 𝑥, y que para

todo real 𝑥 se tiene log𝑎(𝑎𝑥) = 𝑥.

Ambas propiedades se resumen en que para 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑏 ∈ ℝ, y 𝑐 >

0 se cumple:

𝑎𝑏 = 𝑐 ⟺ 𝑏 = log𝑎(𝑐)

(la doble flecha abrevia a “exactamente cuando”)

De ese modo se pueden obtener, para logaritmos, las propiedades análogas

a las de las exponenciales:

1. log𝑎(𝑎) = 1 porque 𝑎1 = 𝑎

2. log𝑎(𝑝 ⋅ 𝑞) = log𝑎(𝑝) + log𝑎(𝑞) porque 𝑎𝑥 ⋅ 𝑎𝑦 = 𝑎𝑥+𝑦

3. log𝑎 (𝑝

𝑞) = log𝑎(𝑝) − log𝑎(𝑞) porque

𝑎𝑥

𝑎𝑦= 𝑎𝑥−𝑦

4. log𝑎 (1

𝑝) = − log𝑎(𝑝) porque 𝑎−𝑥 =

1

𝑎𝑥

5. log𝑎(𝑝𝑞) = 𝑞 ⋅ log𝑎(𝑝) porque (𝑎𝑥)𝑦 = 𝑎𝑥⋅𝑦

6. log𝑎(1) = 0 porque 𝑎0 = 1

ESTUDIO DE

FUNCIONES

307

Ejemplo:

Analicemos la función log10(𝑥).

Veamos una tabla, aproximando los resultados a un decimal:

𝑥 1

100

1

50

1

10 1 10 50 100

log10(𝑥) −2 −1,7 −1 0 1 1,7 2

Vemos que la función es creciente, como era de esperar ya que es la

función inversa de 10𝑥 , que es creciente por tener base mayor que 1. Pero

el crecimiento, en [1, +∞[, es muy lento, pero es sensato ya que con base

10, para que logaritmo avance una unidad, el número debe ampliarse 10

veces:

log10(10 ⋅ 𝑥) = log10(10) + log10(𝑥) = 1 + log10(𝑥)

Su gráfica es:

Recuerda cómo se ve la gráfica de la inversa de una función cuya gráfica

conocemos, en este caso, 10𝑥 .

Hay una función exponencial especial, basada en un número irracional

llamado número 𝑒 o número de Euler, que vale aproximadamente 𝑒 ≈

2,718281828459045…

ESTUDIO DE

FUNCIONES

308

Generalmente se utiliza el número 𝑒 como base de exponencial y

logaritmo, por razones de matemáticas avanzadas, que pasan a llamarse

exponencial natural y logaritmo natural.

El fijarse en esa base en particular es, entre otras razones, porque se puede

usar para expresar cualquier exponencial a partir de la exponencial natural

y el logaritmo natural, y también se puede expresar cualquier logaritmo a

partir de la exponencial natural y el logaritmo natural.

El logaritmo natural, log𝑒(𝑥) se abrevia ln(𝑥). La exponencial natural se

expresa como cualquier otra, 𝑒𝑥.

Propiedad

Sea 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1. Entonces:

1. log𝑎(𝑥) =ln(𝑥)

ln(𝑎)

2. 𝑎𝑥 = 𝑒𝑥⋅ln(𝑎)

Cuidado: algunos textos, calculadoras, y páginas web, usan log(𝑥) para

referirse al logaritmo base 10, mientras otros usan log(𝑥) para referirse al

logaritmo natural. Hay que ver bien los ejemplos y definiciones.

ESTUDIO DE

FUNCIONES

309

Puede ser ilustrativo el comparar exponenciales para distintas bases en un

mismo gráfico, así como comparar logaritmos de distintas bases en un

mismo gráfico.

Las exponenciales con bases entre 0 y 1 están representadas por líneas

segmentadas, y las funciones con igual color tienen bases recíprocas, como

2 y 0,5, por ejemplo:

Para logaritmos usamos las mismas bases y colores:

ESTUDIO DE

FUNCIONES

310


1) El número de bacterias en cierto cultivo en el tiempo 𝑡 (en horas) está

dado por 𝑄(𝑡) = 2 ∙ 3𝑡 , donde 𝑄(𝑡) se mide en miles:

i. ¿Cuántas bacterias hay inicialmente?

ii. Calcula el número de bacterias después de 10 minutos, 30

minutos y 1 hora.

2) La relación entre el número de decibles 𝛽 y la intensidad del sonido 𝐼

en watts por metro cuadrado está dada por la función 𝛽(𝐼) = 10 log (𝐼

10−2)

¿Cuál es el número de decibeles de un sonido cuya intensidad es 1 watts por

metro cuadrado?

3) Una aproximación del número 𝐷 de hogares (en millones) con

televisión digital, de 2003 a 2007, está dado por la función 𝐷(𝑡) = 30,92 ∙

𝑒0,1171𝑡, con 3 ≤ 𝑡 ≤ 7, donde 𝑡 = 3 representa el año 2003. ¿Cuántos

hogares tenían televisión digital el año 2005?

4) La economía de una empresa de construcción de barcos se rige por las

siguientes funciones de oferta y demanda:

𝑜(𝑝) =19

50𝑝 + 100 𝑑(𝑝) = −

2

3𝑝 +

16000

3

Donde p es el precio por unidad en euros, o(p) son las unidades fabricadas y

d(p) son las unidades que pide el mercado. Calcula el precio y el número de

unidades que se deben fabricar para que la oferta y la demanda coincidan.

5) El ingreso 𝐼 mensual en miles de pesos por la venta de 𝑞 unidades de

cierto artículo está dado por la función 𝐼(𝑞) = 120𝑞 – 0,1𝑞2:

i. ¿Cuántos es el ingreso por la venta de 950 unidades?

ii. ¿Cuántas unidades se deben vender para tener un ingreso de

quince millones de pesos?

iii. ¿Cuál es el máximo ingreso que se puede obtener?

ESTUDIO DE

FUNCIONES

311

6) El gráfico muestra el costo en pesos de producir cuadernos tapa dura.

i. Exprese el costo en función del número de cuadernos.

ii. ¿Cuál es el costo de producir 358 cuadernos?

iii. ¿Cuántos cuadernos se pueden producir con $ 450.560?

7) La imagen muestra la tarifa de un estacionamiento. Exprese el costo

en función de los minutos estacionados y grafique dicha función.

8) La trayectoria de un proyectil corresponde a una función cuadrática. Si

la altura máxima alcanzada por el proyectil es de 120 metros y su alcance

horizontal es de 1000 metros ¿Cuál es la distancia horizontal del punto de

disparo cuando el proyectil alcanza por primera vez una altura de 80 metros?

ESTUDIO DE

FUNCIONES

312

9) Después de t horas de operación, una empresa ha ensamblado una

cantidad 𝑥 de segadoras de pasto de motor, donde 𝑥 = 𝑓(𝑡) = 20𝑡 −1

2𝑡2,

siendo 0 ≤ 𝑡 ≤ 100. Sea C el costo de fabricación de esas 𝑥 unidades (en

dólares) dado por 𝐶(𝑥) = 3000 + 80𝑥:

i. Exprese el costo de fabricación como función del número

de horas de ensamble.

ii. ¿Cuál es el costo de las primeras dos horas de operación?

iii. Si el costo de fabricación es dos mil quinientos dólares

¿cuántas horas le demanda esa operación?

10) En un cierto lago, el pez róbalo se alimenta del pez pequeño gobio,

y el gobio se alimenta de plankton. Supongamos que el tamaño de la

población del róbalo es una función 𝑓(𝑛) del número 𝑛 de gobios

presentes en el lago, y el número de gobios es una función 𝑔(𝑥) de la

cantidad 𝑥 de plankton en el lago. Si 𝑓(𝑛) = 50 + √𝑛

150 y 𝑔(𝑥) = 4𝑥 +

3,

i. Si en el lago se estima que hay 7549 peces gobios ¿cuántos

plankton y róbalos hay?

ii. Exprese el tamaño de la población del róbalo como una

función de la cantidad de plankton.

11) Un charco circular de agua se está evaporando y disminuye

lentamente su tamaño. Después de 𝑡 minutos, el radio del charco mide

𝑟(𝑡) =23

18+𝑡 pulgadas. Si el área A del charco está dado por la función

𝐴(𝑟) = 𝜋𝑟2:

i. ¿Cuál es área inicial del charco?

ii. Exprese el área del charco en función del tiempo.

12) Una empresa que se dedica a la pintura de automóviles, estima que

el costo por pintar una pieza de un vehículo, en donde “x” representa el

número de piezas a pintar está dada por la función:

𝐶(𝑥) = 6200 ∙ 𝑥 + 9500

ESTUDIO DE

FUNCIONES

313

i. ¿Cuánto es el costo de pintar las dos puertas delanteras de un automóvil?

ii. ¿Cuántas pizas se pintaron, si el costo fue de $40.500?

13) La ley de Torricelli, que permite calcular la velocidad de salida de un

líquido no viscoso e incompresible a través de un orificio de un recipiente, se

describe mediante la función v(h) = √2gh , donde v(h) es la velocidad del

líquido, g = 9,8 m/s2 la aceleración de gravedad y h la diferencia de altura

entre el nivel del líquido y el orificio (ver figura)

i. Si el recipiente que contiene el agua destilada de un vehículo se

mantiene un nivel constante de agua de 1,1 m, el cual tiene una fuga en donde

la velocidad de salida del agua es de 1,4 m/s ¿A qué altura se encuentra el

orificio?

ii. ¿Qué restricción se debe realizar en el dominio, para que la

función tenga sentido dentro del contexto?

14) El número de kilómetros que puede recorrer con 4,3 litros de gasolina

un determinado modelo de automóvil, con una rapidez de “v” kilómetros por

hora, viene dado por la función:

𝐾(𝑣) = −1

50𝑣2 +

9

5𝑣 𝑐𝑜𝑛 0 < 𝑣 < 80

i. ¿Cuál será la cantidad de kilómetros que puede recorrer el

vehículo con una rapidez de 15 km/h?

ii. ¿Cuál es la rapidez del automóvil, si recorrió 40 km?

15) Es posible Medir la concentración de alcohol en la sangre de una

persona. Investigaciones sugieren que el riesgo “r” (dado como porcentaje) de

tener un accidente automovilístico viene dado por la función:

𝑟(𝑥) = 6𝑒𝑘𝑥

ESTUDIO DE

FUNCIONES

314

Donde x es la concentración variable de alcohol en la sangre y k una constante.

i. Suponga que con una concentración del 0,04 de alcohol en la

sangre y un riesgo del 10% de sufrir un accidente. ¿Cuál es el valor de k?

ii. Utilizando el valor de k obtenido anteriormente, ¿Cuál es el

riego de tener un accidente si la concentración de alcohol es de un 0,17?

iii. ¿Cuál es la concentración de alcohol en la sangre de una

persona, para que tenga un riesgo de un 100%? (utilizando el valor de k del

ejercicio a)

16) En 1880 el promedio de la temperatura del suelo fue 11,8 °C. Desde

entonces, ha subido a un ritmo casí constante, llegando a 13,6 °C en 1970

¿Cuál es la expresión que modela la temperatura(T) en función del tiempo(t)?

(considerar que t = 0 corresponde al año 1880 y 0 ≤ t ≤ 89 )

17) Una empresa que se dedica al trabajo con cerámicos, paga a sus

trabajadores en forma mensual, según la cantidad de metros cuadrados

realizados ( x ), utilizando la siguiente función:

𝑓(𝑥) = 1.200 ∙ 𝑥 + 50.000

i. ¿Cuánto obtiene un trabajador que pegó 350 mts2 de

cerámicos durante un mes?

ii. ¿Cuántos metros cuadrados tiene que pegar un trabajador para

obtener $722.000?

18) Según la ley de enfriamiento de Newton, si un objeto que se

encuentra inicialmente a una temperatura T0, se coloca en una habitación a

una temperatura T1, la temperatura T(t) (en °F) del objeto en el instante t

(en horas) esta dada por la función:

T(t) = T1 + Cekt

donde C, T1 y k son constantes.

ESTUDIO DE

FUNCIONES

315

Un objeto se saca del horno a 350°F y se deja enfriar en una habitación que

está a 70°F. Si la temperatura del objeto desciende a 250°F en una hora. ¿Cuál

será su temperatura tres horas después de que se sacó del horno?

19) Para evacuar las aguas de las casas en las techumbres se utilizan

canaleta. Con una plancha de lata de 30 cms, se requiere obtener una canaleta

de sección transversal rectangular, que evacue la mayor cantidad de agua

posible, para esto la plancha debe ser doblada, como lo indica la figura.

¿Cuáles deben ser las medidas de la canaleta (altura y base) para que transporte

la mayor cantidad de agua posible?

20) El número de vibraciones de una cuerda es directamente proprcional a

la raíz cudrada de la tensión de la cuerda. Cuyo modelo se expresa a

continuación:

V(t) = k ∙ √t

En donde:

t : es la tensión de la cuerda en kg.; V: es la cantidad de vibraciones por seg.; k

: constante

i. ¿Cuál es el valor de la constante si una cuerda en particular

tiene 864 vibraciones por segundo, sometida a 24 kg?

ii. Expresar el número de vibraciones de esta cuerda en términos

de la tensión T

iii. Determinar el número de vibraciones por segundo, cuando la

cuerda esté sometida a 6 kg.

ESTUDIO DE

FUNCIONES

316

21) De una pieza rectangular de lata que mide 44 cm de largo y 19 cm de

ancho se va a construir una caja sin tapa. Se cortarán 4 cuadrados de x cm de

lado, como se muestra en la figura, y luego se doblará sobre las líneas

punteadas para formar la caja. Exprese el volumen de esta caja como función

de x.

22) La concentración de amoniáco sobre superficies de tungsteno luego

de 𝑡 minutos esta dada por la función 𝑎(𝑡) = 0,02 − 0,000167𝑡.

i. ¿Cuál es la concetración inicial de amoniáco en la superficie de

tungsteno?

ii. ¿Cuál es la concentración de amoniáco a los 93 minutos?

iii. ¿Cuánto tiempo tarda en descomponerse totalmente el

amoníaco?

23) La contaminación por monóxido de carbono en ciertas zonas del

planeta está dada por la función 𝑐(𝑝) =1

10√2000 + 0,5 𝑝 donde

𝑝 corresponde a la población en miles de habitantes y 𝑐(𝑝) al monóxido de

carbono en ppm.

i. Si una ciudad tiene una población de 9.548.000 habitantes

¿Cuantó es el nivel de contaminación por monóxido de carbono de esa

ciudad?

ii. Si la población de una ciudad emite 6 ppm de monóxido de

carbono ¿Cuántos habitantes tiene la ciudad?

ESTUDIO DE

FUNCIONES

317

24) Estudios demográficos han estimado que dentro de 𝑡 años la

población de una ciudad, en miles de habitantes será 𝑝(𝑡) = 700 + 3𝑡2.

i. ¿Cuántos habitantes tenía inicialmente la ciudad?

ii. ¿En cuánto tiempo la población de la ciudad será 14.890.000

habitantes?

iii. Considerando la función 𝑐(𝑝) de contaminación por

monóxido de carbono del ejercicio anterior ¿En cuánto tiempo el nivel de

monóxido de carbono de esa ciudad llegará a 5,5 ppm?

25) Mediante la escala de Ritcher se puede conocer la energía liberada en

el hipocentro o foco, que es aquella zona del interior de la tierra donde se

inicia la fractura o ruptura de las rocas, la que se propaga mediante ondas

sísmicas. La magnitud M de un terremoto en la escala de Richter es:

𝑀(𝐸) = 0,67 ∙ log(0,37 ∙ 𝐸) + 1,46

Donde E es la energía del terremoto en kilowatts-hora. A través de ella

¿Cuánta energía libera un terremoto de magnitud 9?

26) El carbono 14, un isótopo del carbono, es radiactivo y su

decrecimiento exponecial se modela mediante la función 𝑁(𝑡) = 𝑁0𝑒−𝑘𝑡,

donde 𝑁(𝑡) es la cantidad de sustancia radiactiva en el instante 𝑡. Su vida

media es 5730 años, es decir, tarda 5730 años que una cantidad determinada

de carbono 14 decaiga a la mitad. Si originalmente estaban presentes 10

gramos ¿Cuánto quedará después de 2000 años?

ESTUDIO DE

FUNCIONES

manual del alumno mate21

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