MANUAL DE LABORATORIO DE CÓMPUTO

ECONOMETRÍA I

MODELO DE REGRESIÓN GENERAL

1

Profesor: Barland A. Huamán Bravo

2011

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA DE LA SELVA

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS ECONÓMICAS

ESQUEMA

1. FUNCIÓN DE DENSIDAD NORMAL Y REGRESIÓN.

2. EL MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE

3. EL TÉRMINO DE PERTURBACIÓN

4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS

2

1. FUNCIÓN DE DENSIDAD NORMAL Y REGRESIÓN

• Sea la función de densidad conjunta normal bivariada

• Funciones de densidad de probabilidad marginal:

3

2

2

1exp

2

1)(

x

x

x

xxf

2

2

1exp

2

1)(

y

y

y

yyf

22

222

)1(2

1exp

12

1),(

y

y

y

y

x

x

x

x

yx

yyxxyxf

1. FUNCIÓN DE DENSIDAD NORMAL Y REGRESIÓN

• La función de densidad condicional de Y dado X:

• Media y Varianza Condicionales:

4

)(),(

)|(xfyxf

xyf

2

2222)(

)1(21

exp)1(2

1)|( x

x

yy

yy

xyxyf

xxxxYE xyxyx

yx

x

yyx

x

yy ||)()|(

2|

22 )1()|( xYyxYVar

2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE

• El Modelo de regresión simple:

– y=variable dependiente, regresando, explicada, variable del lado izquierdo (left-hand-side variable).

– x = variable independiente, regresor, explicativa, variables del lado derecho (right-hand-side variable).

• Término de perturbación:)|( xyEyu

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u)xy(Ey |

2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE

iii XXYE )|(

NX

NY Nu

1Y iu

1X 2X

2Y

A

B

C

6

iii XXYE 21

2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE

7

0

2

4

6

8

0 1 2 3 4

X

Y

Relación poblacional positiva entre Y y X

0

2

4

6

8

0 1 2 3 4

X

Y

Relación poblacional negativa entre Y y X

• Las relaciones entre las variables x e y pueden ser: positivas o

negativas

2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE

CAUSALIDAD EN EL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL• Es importante tener en cuenta que un modelo

de regresión no implica la existencia de causalidad entre las variables.

• La causalidad - si existiera - estará determinada por la teoría económica y reforzada por pruebas estadísticas adecuadas.

8

uxyEy )|( uyxEx )|(

2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE

• La teoría económica analiza las relaciones entre variables a través de modelos. Las relaciones pueden ser uniecuacionales o multiecuacionales, bivariadas o multivariadas.

• Además, las relaciones económicas pueden modelarse como relaciones determinísticas o relaciones estocásticas.

donde g(Y) es la función esperanza condicional o regresión.

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)( )1( YfC YC 21 )2(

uYC 21 )4(uYgC )( )3(

10

2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE

3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR

Definición• Denominado término estocástico.• La palabra estocástico proviene del griego

stokhos que significa objetivo o blanco de una ruleta:

– Una relación estocástica es una relación que no siempre da en el blanco.

– Así, el término de perturbación mide los errores o fallas de la relación determinística:

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XYu 21

3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR

• La presencia del término de perturbación se justifica por los siguientes argumentos (no mutuamente excluyentes):

– Omisión de la influencia de eventos sistemáticos, muy importantes y poco importantes para la relación.

– Omisión de la influencia de innumerables eventos no sistemáticos, muy importantes y poco importantes para la relación.

– Error de medida de las variables utilizadas. – Aleatoriedad del comportamiento humano ante situaciones

similares.

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3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR

– Omisión de variables explicativas: se excluyen variables que no se pueden medir.

– Agregación de variables micro-económicas. Relaciones individuales pueden tener distintos parámetros.

– Incorrecta especificación del modelo en términos de su estructura: común en datos de series de tiempo, la variable endógena puede depender de sus valores pasados.

– Incorrecta especificación funcional: relaciones lineales vs. no lineales.

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4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS

• SC1: – Linealidad de la esperanza condicional. ¿Término de perturbación aditivo? Sí.

– Regresores Adecuados.

– Parámetros Constantes.

• SC2: Supuesto de Regresión

• SC3: Rango Completo por columnas (no multicolinealidad).

• SC4: Ausencia de relación estadística entre X y perturbaciones.

• SC5: Perturbaciones esféricas: Homocedasticidad y No

Autocorrelación.

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4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOSSC1: LINEALIDAD DE LA ESPERANZA CONDICIONAL1. Lineal en parámetros y variables: en general para k

variables:

Notación matricial:

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uXy

nnkknnnn

kk

kk

uxxxxy

uxxxxy

uxxxxy

332211

222332222112

111331221111

)1(

2

1

)1(

2

1

)(21

22221

11211

)1(

2

1

nnkkknnknn

k

k

nn u

u

u

xxx

xxx

xxx

y

y

y

4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS

• Coeficientes de la Regresión y Efectos Marginales• Interpretación de los parámetros

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Tabla 1: Interpretación de los coeficientes del modelo de regresión X Log(X)

Efecto Marginal

Y Cambio en el nivel de Y ante un cambio en una unidad de X

Cambio en el nivel de Y ante un cambio porcentual de X

(Modelo Semilog) Semi-elasticidad de Y ante X Elasticidad de Y ante X

Log(Y) Cambio porcentual de Y ante un cambio en una unidad de X

(Modelo Semilog)

Cambio porcentual de Y ante un cambio porcentual de X: ()

(Modelo Doble log)

4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS

2. Regresores adecuados: el modelo especificado es el “verdadero”

• No se omiten variables importantes.

• No se incluyen variables redundantes.

3. Los parámetros son constantes:

• Para la muestra analizada: individuos o tiempo.

• Al menos que fluctúen (poco) alrededor de un valor constante.

• No hay cambio estructural o de régimen (series de tiempo), cualidades (corte transversal).

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4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS

SC2: SUPUESTO DE REGRESIÓN:

• MEDIA INCONDICIONAL DEL TÉRMINO DE PERTURBACIÓN IGUAL A CERO:

– Regresores son fijos en muestreo repetido.

– Regresores son variables aleatorias y con distribución totalmente independiente del término de perturbación.

• MEDIA CONDICIONAL DEL TÉRMINO DE PERTURBACIÓN DADO X ES IGUAL A CERO:

– Regresores son variables aleatorias y con distribución independiente en media del término de perturbación.

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n,,i,)u(E i 10 0)u(E

n,,i,)Xu(E i 10

4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS

SC3: RANGO COMPLETO POR COLUMNAS DE X– No es posible que n<k

• El número de observaciones es mayor al número de regresores:

n > k (variación de los regresores).

– Columnas linealmente independientes• No existen relaciones lineales exactas entre regresores:

Ausencia de Colinealidad o Multicolinealidad.

– Implicancias: • X’X es positivo definida

• la inversa de (X’X) existe!

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4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS

SC4: AUSENCIA DE RELACIÓN ESTADÍSTICA ENTRE REGRESORES Y

PERTURBACIONES:

Se presentan dos casos:

– Regresores Fijos en muestras repetidas (no estocásticos).

– Regresores Estocásticos:

• Independencia total.

• Independencia en media.

• Ausencia de relación lineal contemporánea.

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4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS

• Independencia Total de las perturbaciones y regresores.

• Independencia en media de las perturbaciones.

Si se cumple SC2 , entonces :

21

iiji uEX|uE

Kj ,,1 n,i 1 ijiiji XfufX,uf

n,i 1 Kj ,,1

0iuE 0iji X|uE

4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS

• Ausencia de relación lineal contemporánea entre perturbaciones y regresores.

Si , entonces :

22

n,,i 1 Kk ,,1 0 )uX(E)u,X(Cov iikiik

0)u,X(Cov ijiKj ,,1 n,i 1

0iuE

4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS

SC5: PERTURBACIONES ESFÉRICAS

– Homocedasticidad:

• Supuesto sobre el segundo momento condicional.

• Si se cumple SC2 y SC4 (al menos independencia en media):

23

22 ]X|u[E in,,i 1

22

2

]X|u[E

]X|])X|u[Eu[(E)X|u(Var

i

iii n,,i 1

4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS

– No autocorrelación:

• Si se cumple SC2 y SC3:

• En series de tiempo: ausencia de correlación serial.

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0]X|uu[E ji ji

0

)X|uu(E]X|u,u[Cov

)X|)]u(Eu)][u(Eu[(EX|]u,u[Cov

jiji

jjiiji ji

4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS

– Perturbaciones Esféricas: Notación matricial

• La matriz de segundos momentos es proporcional a la

identidad.

• Si se cumple SC2 y SC4 (al menos independencia en

media):

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nI]X|'uu[E 2

nI]X|'uu[E)u(Var 2