manual de ingreso 2011

8/16/2019 Manual de Ingreso 2011

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CURSO DE NIVELACIÓN

Carrera: TECNICATURA EN GESTIÓN EMPRESARIAL

Nombre de la Asigna!ra: MATEM"TICA

A#o le$i%o: &'((

Do$enes res)onsables: Pro*+ Daniel A+ Mi$,eli

Pro*+ G!sa%o Rosagno

Pro*+ Gas-n Maldo$ena Gome.

Pro*+ Ale/andra de Rosa

Pro*+ Pedro L+ La%allen

1


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INDICE

Página

I+ Inrod!$$i-n

- Fundamentación 2

- Objetivos 2

Primera Parte

CON0UNTOS NUMERICOS

- Sistema de Números Reales 3

- Las 4 operaciones aritmticas 4- !esi"ualdades #

- $ntervalos %

- &alor absoluto '

Seg!nda Pare

1UNCIONES :

- Funciones (

- Funciones lineales )*

- Funciones cuadr+ticas )#

ECUACIONES

- Len"uaje Simbólico )'

- ,rabajo Pr+ctico )(

Ter$era Pare

PROPORCIONALIDAD

- Raón 2)

- Noción de proporción 22

- Porcentaje 2#

- Re"la de tres 2.

- Proporcionalidad directa 2(

-Proporcionalidad inversa 3*

1!ndamena$ i-n

2


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/ste documento est+ destinado a los alumnos del $nstituto ,ecnoló"ico de la 0niversidad

de la Punta 1ue in"resan a la carrera de ,ecnicatura en estión /mpresarial

Responde a la demanda de recapitular contenidos 1ue ueron abordados en el nivel

polimodal o en la escuela secundaria 5 1ue6 por su importancia6 es necesario tener presentespara el mejor desenvolvimiento de los alumnos en las asi"naturas de la carrera

Se plantea retomar las propiedades b+sicas de los conjuntos numricos 5 de las

operaciones 1ue en ellos se deinen para lue"o operar con ellos Otro concepto 1ue se trabajar+

ser+ el de proporcionalidad

/sta selección de contenidos6 1ue ue consensuada con docentes de los distintos espacios

curriculares de la carrera6 se coneccionó con la intención de 1ue la comprensión de muc7os de

los espacios curriculares 1ue tienen los alumnos 1ue cursar sea m+s sencilla6 al no tener como

obst+culo conceptos matem+ticos 1ue por dierentes raones no se recuerdan o no est+n claros

Ob/ei%os Generales

/l curso de nivelación en el +rea de 8atem+tica tiene undamentalmente dos objetivos9

• por un lado sistematiar 5 proundiar contenidos de la disciplina 1ue el alumno

debe manejar para poder desempe:arse en otras +reas de conocimiento6

especialmente las pertinentes a la carrera ;,ecnicatura en estión /mpresarial


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EL SISTEMA DE LOS N2MEROS REALES

/l c+lculo se basa en el Sistema de Números Reales 5 en sus propiedades

Los Na!rales son los números m+s simples =on ellos podemos contar

Si a"re"amos sus inversos aditivos 5 el cero6 obtenemos los números enteros

Los Eneros son inadecuados para medir lon"itudes6 pesos o voltajes /st+ndemasiado espaciados para dar la suiciente precisión

Los Ra$ionales consideran los cocientes >raones o divisiones? de los númerosenteros Son números 1ue se pueden escribir bajo la orma m3n4 donde m 5 n son enteros5 n ≠ '+ No se admiten divisiones entre cero Son ;racciones< 1ue pueden ser positivas o

Reales

Q Racionales

Z Enteros

N Números

Naturales

4


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ne"ativas6 como6 #@'6 4@36 -)@.6 - .@)% Son utiliados en nuestra vida cotidiana6 por ejemplo cuando pedimos un pa1uete de A B" de ca o C B" de carne molida o ) D B" depan

/Eisten números tales como9 √ 2 , √ 3 , √ 5 , 5 4 e$+4ue no pueden escribirse como cocientes de dos números enteros Por lo tanto6

son ;irracionales< >no racional? /sto se debe a 1ue6 por ejemplo9√ 2 mide la7ipotenusa de un tri+n"ulo rect+n"ulo6 cu5os lados tienen lon"itudes unitarias6 pero nopueden escribirse como un cociente de dos números enteros Se representan comodecimales ininitos

√ 2 = 1,414241…….. y 5 6 74(8(9;;;+

LOS N2MEROS REALES:

=onsideran el conjunto de todos los números G racionales e irracionales -6 junto con

sus inversos aditivos 5 el cero

Los números reales pueden ser vistos como rótulos de puntos 1ue est+n a lo lar"ode una recta 7oriontal 8iden la distancia desde un punto ijo llamado


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B @ @ . 6 B @ @ .3 L/J/S !$S,R$0,$&KS9

B @ ? . 6 B @ ? B @ .4 /L/8/N,OS N/0,ROS9

Ma5 dos números distintos ' (6 1ue satisacen las identidades9B ? ' 6 BB @ ( 6 B

# $N&/RSOS9=ada número tiene un ;inverso aditivo< >ne"ativo?9 F B4 1ue satisace la eEpresión9B ? B 6 '+ Kdem+s6 cada número B4 eEcepto cero6 tienen un inverso multiplicativo >recHproco?9B( 1ue satisace la eEpresión9 B @ B( 6 (

Notamos 1ue la suma 5 el producto de dos números6 son números SH a es un númerodistinto de cero a ≠ '4 entonces eEiste un número b4 tal 1ue9 a @ b 6 b @ a 6 ( 5

escribimos b 6 (3a o bien b 6 a( 4 5 decimos 1ue b es el inverso de a o ;a inverso


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=onjunto de números reales 1ue corresponden "eomtricamente a se"mentos delHnea

/s el


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VALOR ASOLUTO: de un número es la dierencia 1ue lo separa del cero en la rectanumrica Las distancias son siempre positivas6 por lo 1ue tenemos9

B K '


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Las unciones constitu5en una 7erramienta útil para describir6 analiar e interpretar situaciones

provenientes tanto de la matem+tica como de otras ciencias

/stas pueden representarse utiliando eEpresiones al"ebraicas o órmulas o correspondencia

entre variables6 tal 1ue con ella se pueden realiar operaciones 5 obtener resultados precisos6 obien a travs de una "raica 1ue permite r+pida 5 visualmente tener inormación acerca de cómo

varHan las ma"nitudes 1ue la unción relaciona6 por ej =uales son los intervalos de crecimiento6

los de decrecimiento6 conocer tendencias6 etc

$ntentaremos eEplicar 1ue es una unción Para ello consideremos dos variables6 usualmente

desi"nadas como B e 4 5 se llamara unción6 siempre 1ue pueda encontrarse una relación 1ue

asi"ne a cada valor de B >variable independiente? un valor de >variable dependiente? Se la

puede ormular a travs de la eEpresión 6*B+ /n cada caso se usan letras6 llamadas variables,

para representar números reales 5 cada valor de B le corresponde eEactamente un valor de +

Primero6 esco"emos un valor para B+ Lue"o 6 7a5 un valor correspondiente de 6 1ue depende de

BQ es la variable dependiente 5 B es la variable independiente de la unción deinida como 6*B

Por ejemplo en economHa asi"namos la letra P para el precio a abonar por los bienes o servicios

1ue consumimos o ad1uirimos 5 asi"namos B6 a la cantidad de esos bienes o servicios

Llamaremos bien a a1uella mercaderHa > ej un alimento o un automóvil ? capa de satisacer una

necesidad

KsH podemos determinar 1ue 5 >E?6 o bien P >E? representa el precio

1ue pa"ar por una cantidad B de bienes ad1uiridos6 lo 1ue intuitivamente notamos 1ue ste se

incrementar+ a medida 1ue ma5or cantidad de bienes ad1uirimos

/j 9 si el precio p de cada pia de muarella 1ue compro es de )#6 podremos airmar 1ue

pa"ar m+s dinero a medida 1ue ad1uiera ma5or cantidad de unidades

&ale decir si por ) pia pa"o )#6 por 2 pa"ar 3*6 por 3 4# 5 asH sucesivamente6 tal 1ue esta

situación podrHa ser representada en varias ormas9

a? por un enunciado9 tal como lo describimos m+s arriba

b? por una órmula P )# E6 tal 1ue el conocerla permite obtener con precisión los valores

1ue adopta la variable dependiente >P?cuando se conoce la independiente >E?

c? por una tabla

E P) )#2 3*3 4#4 %*

d? por una "raica

9


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Para ello se utilia un sistema de ejes cartesianos orto"onales >a (* "rados? Sobre el eje

7oriontal se representara la variable independiente >E? 5 sobre el vertical >eje de ordenadas? los

valores de la variable dependiente >P?

P

4# P > E?

3*

)#

) 2 3 E

Memos dic7o 1ue las unciones sirven para describir enómenos Hsicos6 económicos6 socioló"icos6

bioló"icos etc

Otros ejemplos 1ue permitirHan el uso de las representaciones antedic7as serian9

- La distancia recorrida por un ve7iculo al variar el tiempo de marc7a

- /l consumo de combustible de un ve7iculo al variar la distancia recorrida

- La supericie de un cuadrado al variar su lado

- /l perHmetro de un cHrculo al variar su radio

- /l precio de los tomates al variar las estaciones del a:o

- La variación de la temperatura a lo lar"o de las 24 7s en una determinada ciudad

1!n$iones Lineales:

/ntre los tipos de unciones posibles 7a5 uno especialmente importante cu5a "r+ica es una recta

o parte de ella Los enómenos 1ue la describen se caracterian por1ue la variación de la variable

dependiente es proporcional a la variación de la variable independiente

Recordar 1ue para representar una recta solo necesitamos 2 puntos

&eamos un ejemplo resuelto

)? K cada numero natural le asi"namos su triple6 es decir 5 >E?6 seria 5 3 E

la tabla de valores serHa

E 5 * *

10

y

x

III

III IV

+-

+

-


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) 32 %

5

( 5 3 E

%

3

) 2 3 E

Kun1ue tambin podrHa resultar necesario 1ue calculemos el costo de un viaje en remiss sabiendo

1ue la bajada de bandera cuesta 3 5 por cada Bilómetro recorrido abonare )# o sea 1ue si

recorro # Tm abonare 3 por bajada de bandera mas '6#* por los Tm recorridos6 de tal manera

1ue deber abonar un total de ))6#*

La unción responde a la eEpresión "enrica de 5 m E U b6 en la 1ue 5 es la variable dependiente6

E la independiente6 m es la pendiente de la recta >coeiciente 1ue acompa:a a E6 5 adem+s

eEpresa cuanto aumenta la variable cuando aumenta B en una unidad? 5 b es la ordenada al

ori"en >el valor en 1ue la recta corta al eje de las 5?

/n nuestro ejemplo la eEpresión es 5 )6# E U 3

La tabla de valores es

E 5* 3) 4#*3 '6#*# ))6#*

r+icamente lo visualiamos asH9

5

)*6#5 )6# E U 3

'6#

11


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46#

3

) 3 # E

Otro punto a destacar es el si"no de la pendiente9

Si m es ma5or 1ue *6 la recta sube de i1uierda a derec7a 5 su pendiente es creciente

Si m es menor 1ue *6 la recta baja de i1uierda a derec7a 5 su pendiente es decreciente

Si m*6 la ecuación es 5 constante 5 la recta es 7oriontal

5 5 5

E E Ecreciente decreciente constante

m ma5or 1ue * m menor 1ue * m *

/Eisten al"unos casos particulares de rectas6 como ser las paralelas >a1uellas rectas 1ue tienen

i"ual pendiente 5 no se cortan6 tal como las vHas del tren? 5 o las rectas perpendiculares6 a1uellas

1ue al cortarse orman un +n"ulo recto >usualmente el cruce de 2 calles?6 o dic7o de otra manera

la pendiente de una recta es recHproca cambiada de si"no de la otra

/j9 la recta 5 2 E U36 es paralela a la recta 5 2 E G 2@36 pues tienen la misma pendiente m 2 E

/j9 la recta 5 2 E U 3 es perpendicular a 5 - ) @ 2 E U %26 pues las pendientes son reciprocas

cambiadas de si"no6 >2 V G D?

/j 9 la recta 5 36 si"niica 1ue para todos los valores de E6 5 valdr+ siempre 36 por lo 1ue es una

constante 5 su representación ser+ un recta 7oriontal

Puede resultar interesante el c+lculo de la pendiente dados 2 puntos de una recta6

/j dado la tabla de valores de una unción

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B # )*)* 2*

Recordando 1ue la deinición de pendiente es9 el coeiciente 1ue acompa:a a B6 5 adem+seEpresa cuanto aumenta la variable cuando aumenta B en una unidad la pendiente serHa i"ual

a9 m >2* G )*? 26 por lo tanto la pendiente de la recta es i"ual a 2

>)* G #?

52*

)*

# )* E

K7ora nos planteamos como encontrar la ecuación de una recta a partir del "raico de la misma

&eamos un ejemplo

5

4

. E

Para encontrar la ecuación de una recta debemos encontrar los valores de la ordenada al ori"en>b? 5 el de la pendiente >m?

La ordenada al ori"en es simplemente el valor de la variable en la 1ue la recta corta al eje de

las ordenadas > B6 ' ?6 en nuestro ejemplo ser+ el valor de cuando B vale * 1ue resulta 46

entonces b68+

La pendiente puede calcularse como en el caso anterior6 es decir a partir de dos puntos de la

recta /n nuestro ejemplo tomamos las intersecciones con los ejes de coordenadas6 entonces

reconocemos los si"uientes puntos

E J

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* 4. *

Pendiente m * G 4 - ) @ 26 lue"o m - ) @ 2 V m 52 - 5) * - 4 - )@2

. G * E2 - E) . - *

Finalmente ormamos la ecuación de la recta 1ue corresponde a la "raica del ejemplo

5 m E U bV 5 - ) @ 2 E U 4

0n tipo de unción particular 1ue tiene diversas aplicaciones en economHa es9 5 m @ E 6

con m distinto de * La representación "raica es una 7iprbola e1uil+tera 1ue tiene la

particularidad 1ue no cortar+ nunca a los ejes de coordenadas6 aun cuando la eEtendamos

indeinidamente 7acia arriba 5 7acia la derec7a !ecimos 1ue se aproEima a los ejes en orma

asintótica

5

con m W *

*E

1!n$iones C!adrXi$as:

Otro tipo de unción 1ue veremos tambin en /conomHa son las unciones cuadr+ticas o dese"undo "rado >la variable E esta elevada al cuadrado E 2 ?

5 a E 2 U b E U c6 en donde a6 b 5 c son constantesLa representación "r+ica de dic7a unción es una curva llamada par+bola6 cu5a posición 5 ormadepender+n del si"no 5 ma"nitudes de a6 b 5 c

5 5

a Q * a W *

* *

E E

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TRAA0O PRACTICO DE 1UNCIONES :

)? /n una pla5a de estacionamiento i"ura la si"uiente taria de precios9)er 7ora 3

=ada 7ora posterior 2

Representar la "raica de la unción >tiempo de estacionamiento G costo?

=uanto debe pa"ar si se deja un auto durante . 7s X

2? !ibujar le par de puntos 5 calcular la pendiente de la recta 1ue pasa por ellos9

2)? K >36 -4? 5 >#62?

22? K >)62? 5 > -264?

15


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entonces9

( U x G > x U ) ? 2 x /sta i"ualdad es la e$!a$i-n Y!e eB)resa

maemXi$amene las $ondi$iones del )roblema+

Recordemos tambin 1ue9 en una i"ualdad6 cada una de las eEpresiones li"adas por el si"no6 es un miembro de la i"ualdad

/n la ecuación anterior6 el )rimer miembro tiene 3 trminos 5

el seg!ndo miembro tiene ) trmino

Para resolverla6 nos conviene eliminar parntesis9

( U x G > x U ) ? 2 x ⇒

( U x G x - ) 2 x ⇒ . 2E debemos a7ora6 despejar la incó"nita6 para

poder determinar la raH) Para ello6 debemos tener presente la si"uiente re"la9

Si en !na ig!aldad a)are$e !n *a$or a*e$ando a odo !n miembro4 )!ede )asar4

a*e$ando a odo el oro miembro4 $omo di%isor+ Z re$)ro$amene+

/ntonces9

. 9 2 E ⇒ E 4

4 es la raH de la ecuación ( U x G > x U ) ? 2 x

YPor 1u la eEi"encia de 1ue el actor o divisor deba estar aectando a todo el otro

miembroX

=on un ejemplo alcana para demostrar este enunciado Observemos la si"uiente i"ualdad9

#U 4 3 )'

/l actor 3 no puede pasar como divisor6 pues9 # U 4 ≠ )' 9 3

/sto ocurre por1ue el 3 multiplica solamente al 46 5 no a todo el primer

miembro

Observemos a7ora6 ejemplos 1ue prueban la propiedad9

>4 U 2? # 3* a1uH sH podemos pasar el actor # al otro miembro6 5

1ueda9

>4 U 2? 3* 9 #

J como dice la re"la6 lo mismo ocurre con los divisores9

>% U . ? 9 2 ' ⇒ % U . ' 2

1

El número que, remplazando a la incóni!a, !ran"#orma a la ecuación en un enunciado num$rico %erdadero, "e llamara&z de la ecuación'

17


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/n una ecuación pueden i"urar una o m+s variables K estas variables suele llam+rseles

in$-gniasResol%er !na e$!a$i-n signi*i$a ,allar s! ra. o ra$es+

Traba/o PrX$i$o E$!a$iones

) ? =alcular el valor de E9

a? EU3-) (

b? %U3-)-3U#U) 2UEU'

c? .->#-3?)UEU#

d? #-EU2%

e? . G > # G 3? ) U E U #

? 4E U 2 )4

"? 4 U # >E U )? 24

7? )% U 4 E 9 2

i? ' U >E G )? >. G 2? 3)

j? 2 E G )* E U )

B? Z U # > E G 2? 3 >E U )?

l? 2E U 4>E U 2? G 3 2 )*E

ll? EU 3E U 4 G >2 U E? .

m? # 4 G 3 2 E G 3

n? 4E G 2 U 3 3 U ' - 3E

o? )4E 2 >#E U .?

p? %U3-)-3U#U) 2UEU'

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1? .->#-3?)UEU#

r? #-EU2%

s? . G > # G 3? ) U E U #

t? 4E U 2 )4u? 4 U # >E U )? 24

v? )% U 4 E 9 2

[? ' U >E G )? >. G 2? 3)

E? 2 E G )* E U )

5? Z U # > E G 2? 3 >E U )?

? 2E U 4>E U 2? G 3 2 )*E

aa? G 2 U ) E -#

3 4 2

bb? G2 E U 2 E -3

# 4

cc? ) E G 2 E -2

4 #

dd? -2 - 3 E -) U 2E

# ' )*

ee? # U ) E 3

( 4 4

? 4 ># G E? U 4 .E

""? 2 >E G )?U 3EE U 2E U 3E - #

77? 2E U )4 - (E %E - )2

ii? G 2 U ) E -#

3 4 2

jj?G2 E U 2 E -3

# 4

BB? ) E G 2 E -2

4 #

ll?-2 - 3 E -) U 2E

# ' )*

mm? # U ) E 3

( 4 4

E?3

1'

2

7+

− x

125

643

−

5?01

3

72

5

1'

4

9

−=

−−

− x

? G2 U ) E -3E

3

19


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2? Resolver las si"uientes situaciones problem+ticas9

a? La suma de dos números pares consecutivos6 m+s )6 es i"ual a 3( Yu números

son ellosX

b? /l perHmetro de un tri+n"ulo mide 3. cm 0n lado es % cm menor 1ue la suma de los

otros dos6 los cuales son i"uales Y=u+nto mide cada lado del tri+n"uloX

c? 0n se:or tiene el doble de la edad de su 7ijoV 5 el doble de la suma de las dos edades

es )2* Yu edad tiene el padre 5 1u edad tiene el 7ijoX

d? ,res obreros 7an recibido por su trabajo 3#2* Kl obrero K le corresponde el doble

de lo 1ue cobre 6 5 = cobra )%* m+s 1ue Y=u+nto debe cobrar cada unoX

e? \uan 5 Pedro son mellios !ie"o tiene dos a:os m+s 1ue cada uno de ellos 5 la suma

de las edades de los tres d+ 23 Yu edad tiene !ie"oX

? La suma de cuatro números consecutivos es 42 Y=u+les son esos númerosX


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TERCERA PARTE

Proporcionalia

0na empresa de telonos celulares lanó al mercado una nueva lHnea

Para usar el telono se debe comprar una tarjeta6 5 car"ar en ella una suma de

dineroV al inaliar la llamada6 en el visor del telono aparece el dinero utiliado 0n

usuario optó por averi"uar los costos de las llamadas Para ello comenó a

controlar la duración de las mismas 5 el "asto ocasionado en cada una Los datos

1ue obtuvo est+n en la si"uiente tabla9

D!ra$i-n de la llamada 2# se" ) min 3* se" (* se" # min )* se" 3)* se"Coso *63* )6*. 36'2

K7ora6 bien9

Y=u+nto cuesta el minutoX

Y=u+nto cuesta una llamada de )* minutosX

Y=u+ntos minutos puede 7ablar si car"ó 24X

Para averi"uar si la empresa le est+ cobrando lo 1ue corresponde6 esta

persona realió los cocientes entre el costo de la llamada 5 la duración de la misma9

012,025

3,0= 012,0

90

08,1 = 012,0310

72,3=

/n todos los casos le cobraron por un se"undo de llamada *6*)2

Se llama ra.-n enre dos n>meros a b $on b disino de $ero al $o$iene

b

a+

/n toda raón los números a 5 b reciben nombres especiales9

a ane$edene

b $onse$!ene

5 leemos9 a es a b


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Kl eectuar la di%isi-n indicada obtenemos un número 1ue representa la raón2

Simboliamos con r a la raón Lue"o9

b

a r 5 leemos9 r es la raón entre a 5 b

/ntonces6 volviendo al ejemplo6 podemos decir 1ue *6*)2 es la raón entre *63 5

2#V )6*. 5 (* 5 tambin entre 36'2 5 3)* por lo tanto6 podemos escribir9

→==

310

72,3

90

08,1

25

3,0 es una serie de raones i"uales

Llamamos serie de ra.ones ig!ales a la ig!aldad de dos o mXs ra.ones+

No$i-n de )ro)or$i-n: Knalicemos la si"uiente situación9

/n la receta de una torta aparecen estas indicaciones9 batir )#* "r de manteca con

2** "r de aúcar 7asta ormar una crema

/n otra receta de la misma torta dice9 meclar 3'# "r de manteca con #** "r de

aúcar 5 batir 7asta 1ue est cremosa

Mallemos la relación 1ue 7a5 entre las cantidades de cada in"rediente en ambas

recetas

8anteca9

rreceta segundalademantecadecantidad

receta primeralademantecadecantidad

r gramos

gramos

375

150

r5

2

K]car9

rreceta segundaladeazúcar decantidad

receta primeraladeazúcar decantidad

r gramos

gramos

500

200

r5

2

Podemos observar 1ue ambas raones resultan i"uales6 entonces9

2 (na de la" di#erencia" en!re razón y #racción e" que la #racción e)pre"a el cocien!e en!re do" número" en!ero"

mien!ra" que la razón e)pre"a el cocien!e en!re do" número" reale"'


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500

200

375

150= =uando en la situación considerada sólo intervienen dos pares de

números 1ue se corresponden de manera tal 1ue las raones son i"uales se dice 1ue se

establece una proporción

Dados $!aro n>meros a4 b4 $ d de$imos Y!e deerminan !na )ro)or$i-n si se

%eri*i$a Y!e:

d

c

b

a= siem)re Y!e b d sean disinos de $ero+

/s decir cuando la raón entre los dos primeros es i"ual a la raón entre los dos últimos

J se lee9 a es a b como $ es a d+

A los n>meros a d se los llama eBremos a los n>meros b $ medios+

/n toda proporción el producto de los medios es i"ual al producto de los

eEtremos6 entonces9

a+d6 b+$ a esta propiedad se la domina Pro)iedad 1!ndamenal de

las Pro)or$iones+

Podemos observar 1ue cual1uier cambio de disposición entre los cuatro números 1ue

orman una proporción 1ue no modii1ue los productos cruados de los numeradores 5

denominadores entre sH dar+ lu"ar a una nueva i"ualdad6 como se resume en el cuadro

adjunto9

d

c

b

a=

a

c

b

d =

ad bc

d

b

c

a=

a

b

c

d =

/n la pr+ctica una de las racciones tendr+ el numerador o el denominador

desconocido 5 se plantea el problema de encontrar su valor usando la relación de

proporcionalidad 1ue se establece

&olvamos nuevamente al ejemplo de la empresa de telonos celulares9


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Para calcular el costo de ) minuto6 resuelve9 *6*)2 %* *6'2 > o sea 1ue el

minuto cuesta '2 centavos?

/ntonces )* minutos costar+n9 )* *6'2 '62*

Para averi"uar cu+ntos minutos puede 7ablar con 24 plantea el si"uiente

cuadro9

!uración de la llamada %* se" E se"=osto de la llamada *6'2 24

5 arma la si"uiente proporción92472,0

60 x=

Si aplicamos la propiedad undamental a la proporción de nuestro ejemplo6

tenemos9

2472,0

60 x= ⇒ %* 24 E *6'2 ⇒ x=72,0

24'60 ⇒ E 2*** se"undos

TRAA0O PRACTICO SORE PROPORCIONES

a /scribir todas las posibles proporciones 1ue se pueden construir con los

números9 -3V 2V '9

2*

3

1−

b ?

45

8

2

13

x

x=

−

Rta E3

2

c? 2,0

5,0

12

1

−=

−

x

Rta E #@4

PORCENTA0ES


25/31

0na de las aplicaciones m+s importantes de las proporciones es para resolver

situaciones de )or$ena/es

La notación de porcentaje 5 el raonamiento de proporcionalidad 1ue se pone en jue"o

cuando uno de los trminos 1ue interviene en las proporciones toma el valor )** se utilia en

una amplia variedad de situaciones de la vida diaria La eEpresión ;E ^< es una manera

alternativa de eEpresar la racción E@)**6 pero el concepto de porcentaje proviene de la

necesidad de comparar dos números entre sH6 no solo de manera absoluta >cual de los dos es

ma5or?6 sino de una manera relativa6 es decir6 se desea saber 1u racción o proporción de

uno representa respecto del otro /n estas situaciones se suele utiliar el número )**6 1ue es

amiliar6 como reerencia Kl situarlo como denominador de una racción6 su numerador nos

indica 1u porción de )** representa

=onsideremos los si"uientes ejemplos9

/jemplo )9 !e los 3#* socios del club ;Ktltico< sólo el .^ vive a m+s de 3* cuadras

Y=u+ntos son los socios en estas condicionesX

!ebemos tener claro 1ue decir 1ue el .^ de los socios vive a m+s de 3* cuadras si"niica 1ue .

de cada )** est+n en esas condiciones /ntonces podemos escribir el .^ como1008 El )or$ena/e

es !na ra.-n

Para resolver el problema pensamos9 si . socios de cada )** viven lejos6 Ycu+ntos

ser+n cada 3#*X Podemos plantear9

28100

350'8

350100

8=→=→= x x

x

/ncontramos 1ue 2. son los socios 1ue viven a m+s de 3* cuadras

/jemplo 29 Sobre una compra de 4* se rebajó # Yu porcentaje de descuento se 7ioX

Pensamos9 Si rebajan # cada 4*6 Ycu+nto rebajar+n cada )**X

Lue"o9

5,1240

5'100

10040

5=→=→= x x

x

Se 7io el )26# ^ de descuento


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/n este caso podemos observar 1ue encontrar el porcentaje es encontrar otra raón

cu5o consecuente es )** /l antecedente de esta raón indica el porcentaje

=ontinuemos con el trabajo pr+ctico9

TRAA0O PR"CTICO PORCENTA0ES

)? /n un curso de 4* alumnos se re"istraron las si"uientes inasistencias durante una

semana9

Lunes9 # \ueves 9 .

8artes9 3 &iernes9 4

8ircoles9 )

a? Yu porcentaje de ausentismo se re"istro cada dHaX

b? Yu porcentaje de ausentismo se re"istro en la semanaX

2? /n un cole"io6 la directora prev 1ue el a:o próEimo el número de estudiantes

aumentara un #^ K7ora son 4** Y=uantos ser+n el a:o 1ue vieneX

3? /l costo de una moto Jama7a de )2# cc6 es de 3#** m+s $&K Y=ual es el precio

inal de la motoX

4? /n una ciudad del interior de la provincia 7a5 %##** 7abitantes de los cuales el #)^

son mujeres

a? Yu porcentaje representan los 7ombresX

b? Y=u+ntas mujeres 5 7ombres 7a5X

#? Se 7a investi"ado 5 lle"ado a la conclusión 1ue6 aproEimadamente e )^ de los

nacimientos 1ue se producen son de mellios /n una ciudad6 donde 7a5 unos 2'***

nacimientos al a:o6 cuantos de ellos ser+n probablemente de melliosX

%? 0na persona compra una moc7ila 1ue cuesta 3* =omo pa"a de contado en la tienda

le rebajan un )#^

a? Yu porcentaje pa"a por la moc7ilaX

a? Y=uanto pa"a por ellaX


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[\!] es la regla de Tres^

=on la eEpresión ;re"la de tres< se desi"na un procedimiento 1ue se aplica a la

resolución de problemas de proporcionalidad en los cuales se conocen tres de los cuatro datos

1ue componen las proporciones 5 se re1uiere calcular el cuarto

Kplicado correctamente el raonamiento supone una cierta ventaja al"orHtmica en el

proceso de solución6 5a 1ue se reduce a la secuencia de una multiplicación de dos números6

se"uida por una división por el tercero6 pero con recuencia muc7as personas manipulan los

números de una manera aleatoria 5 sin tener claro el sentido de lo 1ue est+n 7aciendo /n

cierto modo el al"oritmo les impide comprender la naturalea del problema6 no preocuparse de

si la correspondencia entre las cantidades es de proporcionalidad directa6 inversa6 o de otro

tipo KsH la re"la de tres se lle"a a aplicar de manera indiscriminada en situaciones en las 1ue

es innecesaria o impertinente

K7ora6 1ue si"niica 1ue la correspondencia entre cantidades sea de )ro)or$ionalidad

dire$aX6 5 de )ro)or$ionalidad in%ersaX o 1ue la correspondencia sea de oro i)oX

Knalicemos al"unos ejemplos9

E/em)lo (:

0na persona acaba de comprarse un auto * Bm Se"ún el manual6 el rendimiento del

mismo es el si"uiente9 un tan1ue lleno de combustible >3* litros? alcana para recorrer 33*

Bilómetros6 a una velocidad promedio de )2* Bilómetros por 7ora

Si va a circular a la velocidad promedio establecida

Y=u+nto combustible necesitar+ para recorrer ## BilómetrosX

YSi el tan1ue tiene nata 7asta la mitad6 cu+ntos Bilómetros puede recorrer6 sin car"ar

nata nuevamenteX

Y=u+ntos Bilómetros puede recorrer con 3* litros6 4# litros 5 2# litrosX

La persona en cuestión 7io la si"uiente tabla9

Liros de na*a _il-meros re$orridos3* litros 33* BmE litros ## Bm

J lue"o planteo la proporción9


29/31

x

55

30

330= 5 utiliando la propiedad undamental de las proporciones6

1ueda9

E # litros

/s decir9 necesita # litros para recorrer ## BilómetrosLue"o continuó completando la tabla9

Liros de na*a _il-meros re$orridos3* litros 33* Bm# litros ## Bm)# litros )%# Bm4# litros 4(# Bm2# litros 2'# Bm

Para averi"uar cu+ntos Bilómetros se pueden recorrer con la mitad del tan1ue6 es mu5

simple6 basta con dividir por dos el Bilometraje 1ue corresponde a un tan1ue entero /s decir9

33*9 2 )%# Bm

Si sabemos 1ue con 3* litros se recorren 33* Bilómetro 5 con )# litros )%# Bilómetros6

entonces con 3* U )# 4# litros se recorrer+n 33* U )%# 4(# Bilómetros

/n la tabla 1ue se coneccionó se comparan dos ma"nitudes9 la cantidad de litros de

nata 5 la distancia recorrida por el automóvil Si en cada ila de la tabla6 se divide la distancia

recorrida por la cantidad de nata empleada se obtiene siempre el mismo número9

1125

275

45

495

15

165

5

55

30

330=====

/ste número se llama constante de proporcionalidad directa o raón de

proporcionalidad eneralmente se lo indica con la letra W

Dos magni!des son dire$amene )ro)or$ionales4 si el $o$iene enre $anidades

Y!e se $orres)onden en !na abla4 es siem)re ig!al a !na $onsane+

E/em)lo &:

0na persona acaba de inau"urar una +brica de alajores Kún no 7a decidido elnúmero de unidades 1ue colocar+ en cada caja Su producción diaria es de 24* alajores


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Y=u+ntas cajas necesitar+ si decide envasarlos cada media docenaX

YJ cu+ntas si preiere envasarlos en cajas de . alajoresX

Si compró %* cajas6 para poner la misma cantidad de alajores en cada una6 Ycu+ntos

alajores debe colocar de modo 1ue no sobren alajores 5 se usen todas las cajasX

Si su producción aumentara en %* unidades6 Ycu+ntas cajas para )2 alajores

necesitarHaX

Para responder estas pre"untas se coneccionó la si"uiente tabla9

=antidad de alajores por caja % . )2 )% 24Números de cajas 4* 3* 2* )# )*

Lo primero 1ue se puede observar es 1ue al aumentar la cantidad de alajores en cadacaja disminu5e el número de cajas 1ue se usan Kdem+s podemos ver 1ue en todas las

columnas de la tabla el producto entre el número de alajores 5 el número de cajas es siempre

el mismo

% 4* 24* )% )# 24* )2 2* 24*

. 3* 24* 24 )* 24*

K este número6 24*6 se lo llama constante de proporcionalidad inversa

Dos magni!des de$imos Y!e son in%ersamene )ro)or$ionales4 si el )rod!$o

enre las $anidades Y!e se $orres)onden en !na abla4 es siem)re ig!al a !na

$onsane+

=uando se 1uiso averi"uar cu+ntos alajores se debHa colocar en cada una de las %*

cajas 1ue 7abHa comprado6 se a"re"ó una columna a la tabla9

=antidad de alajores por caja % . )2 )% 24 ENúmeros de cajas 4* 3* 2* )# )* %*

J lue"o se planteo la si"uiente ecuación9

E %* 24* de dónde E 4 →el número de alajores 1ue deben colocar en cada

una de las %* cajas es 4


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Si la empresa aumenta la producción en %* unidades6 entonces el número total de

alajores ser+ de 3** Si 1uiere envasarlos por docena necesitar+ 2# cajas6 pues9

3** 9 )2 2#

TRAA0O PR"CTICO REGLA DE TRES

a Si se compran . latas de tomate 1ue en total pesan '%** "ramos 5 si cada lata

vacHa pesa #* " Y=uanto es el peso de los tomates de cada lataX

b /n un dHa de trabajo un obrero 7a armado )* cajas Y=uantas 7oras tardar+ en

7acer 2# de esas mismas cajasX

c /n un dHa de trabajo un obrero 7a armado )* cajas Y=uantas 7oras tardara en

7acer 2# de esas mismas cajasX

d Si una docena de copas cuesta 3'62* Y=uanto debe abonarse por )' copasX

e 0na persona 7a tomado un a:o para a7orrar #4264* Y=u+nto tiempo tardara

para a7orrar ))3*X

Si para pintar ).*m2 de pared con pintura al l+teE se necesitan 24 litros de

pintura Y=u+ntos litros se necesitaran para pintar una supericie rectan"ular de

)2 m de lar"o por )* m de anc7oX

" Para 7acer (% m2 de cierto "nero6 se necesitan 3* B" de lana Y=u+ntos B" se

necesitaran para tejer una piea de *6(* m de anc7o por 4# m de lar"oX

7 La lon"itud de los 4@# de un camino es de ##*62* m Y=u+l es la lon"itud del

caminoX

i 0n automóvil recorre #* Bm en ) 7ora 5 32 minutos Y=u+ntos minutos demoró

en recorrer los 3* BmX

manual de ingreso 2011

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