manual de ejercicios poligonos a12

LOS POLIGONOS PRÁCTICAS Y DEMOSTRACIONES

Este tópico sobre los polígonos, pretende poner en las manos de

los y las estudiantes un conjunto de ejercicios prácticos para

preparar el tema, sin embargo, se recomienda al estudiante que

los aspectos conceptuales sobre el mismo debe investigarse e

indagarse con el fin de repasar dichos conceptos que son claves

a la hora de emprender el estudio de este y cualquier otro tópico

matemático. Profesor: Jonathan Miguel Mendoza, Br.

AÑO 2015

1 Profesor: JONATHAN MIGUEL MENDOZA, BR.

LOS POLIGONOS Polígonos

Si tenemos tres o más puntos en un plano, no todos colineales y unimos dichos puntos con

segmentos, limitamos un trozo de plano, llamado polígono.

Los polígonos se denotan por las letras de todos sus vértices y se clasifican según sus ángulos.

Hay dos tipos de clasificación general para los polígonos, los:

I.CONCAVOS: Si la prolongación de alguno de sus lados

interseca al polígono.

II. CONVEXOS: si la prolongación de uno de sus lados

cualquiera NO interseca al polígono.

Tipos de polígonos convexos

HEXÁGONOS

6 lados

6 ángulos

Polígonos

Etimológicamente significa:

POLI: muchos, GONOS: ángulos

TRIÁNGULOS

3 lados

3 ángulos

CUADRILÁTEROS

4 lados

4 ángulos

PENTÁGONOS

5 lados

5 ángulos

HEPTÁGONOS

7 lados 7

ángulos

NONÁGONOS

9 lados 9

ángulos

N – ÁGONOS

nlados n

ángulos


Circunferencias Inscritas Y Circunscritas

Circunferencias inscritas: es cuando una circunferencia es tangente a TODOS los lados de un

polígono, y además, se dice que el polígono está circunscrito en la circunferencia.

Circunferencias circunscritas: es cuando una circunferencia pasa por los vértices de un

polígono, entonces se dice que el polígono está inscrito en la circunferencia.

Polígono convexo regular

Es un polígono convexo EQUILÁTERO (todos los lados iguales) y EQUIÁNGULO (todos los

ángulos iguales). Los polígonos regulares más sencillos son los siguientes:

TRIÁNGULO CUADRADO PENTÁGONO HEXÁGONO

EQUILÁTERO REGULAR REGULAR

Circunferencia

inscrita

Circunferencia

inscrita

Circunferencia

inscrita

Circunferencia circunscrita

a un triángulo

Circunferencia circunscrita

a un Cuadrado Circunferencia circunscrita

a un hexágono regular


Elementos de un polígono regular

Lado: cada uno de los segmentos que lo limitan. Se

representa porL

Perímetro: suma de cada uno de los lados que conforman

el polígono (L+L +L+ ... +L); o bien se multiplica la medida

del lado por el número de lados que éste tenga ( n • L). Se

representa por P. Es decir, P = n • L

Semiperímetro: es la mitad del perímetro, es decir: S =2

P.

Centro: punto desde el cual distan los vértices del polígono.

Apotema: distancia del centro del polígono al punto medio de uno de sus

lados. Se utiliza la letra “ a ” para señalar la apotema. El segmento que

representa la apotema forma un ángulo de 90° con el lado del polígono.

Radio: distancia del centro del polígono a cada uno de los vértices. Se utiliza la letra ”r ” para

señalar el radio.

Ángulos en un polígono regular

Angulo central del polígono: formado por dos radios consecutivos y el centro del polígono

como vértice. Se formarán tantos ángulos centrales como lados tenga el polígono. La suma de

todos los ángulos centrales es un giro completo: 360 º.

Medida de un ángulo central = n

º360 ; n: número de lados del polígono.

L

L

r

a

a

r


Angulo exterior del polígono: todos los ángulo exteriores de un polígono regular son

congruentes. Todos los ángulos exteriores suman 360 º.

Medida de un ángulo exterior = n

º360 ; n : número de lados del polígono.

Angulo interno o interior del polígono: ángulo formado por dos lados consecutivos del

polígono.

Medida de un ángulo interno:

i= n

n )(º 2180 ; n : número de lados del polígono

i: ángulo interno

Suma de los ángulos internos:

Si= )(º 2180 n ; n: número de lados del polígono.

Si: suma de los ángulos internos

Todos los elementos anteriores pueden verse en la siguiente representación:

: ángulointerno o interior

: ángulo exterior

: ángulo central


Número de diagonales desde un vértice: el número de diagonales desde un vértice

cualquiera de un polígono convexo, es igual al número de lados menos tres; es decir:

D v= )( 3n ; n: número de lados del polígono.

Por ejemplo, el número de diagonales desde un vértice de un hexágono:

Número total de Diagonales de un polígono: el número total de diagonales D, que pueden

trazarse desde todos los vértices, está dado por la fórmula:

D= 2

3)( nn ; n : número de lados del polígono.

Por ejemplo, el número total de diagonales de un hexágono:

Área de un polígono regular: se obtiene al multiplicar el semiperímetro por la longitud de la

apotema; es decir:

A = aP

2 = as


PRACTICA

I. COMPLETE LA SIGUIENTE TABLA

polígono

REGULAR

#LADOS m

CENTRAL

m

EXTERIOR

m

INTERIOR

Suma

interior

# D.

Vértice

# TOTAL

DIAGON.

TRIÁNGULO

EQUILÁTERO

Cuadrado

PENTÁGONO

HEXÁGONO

HEPTÁGONO

OCTÓGONO

NONÁGONO

DECÁGONO

11 – AGONO

12 – AGONO

13 – AGONO

14 – AGONO


15 – AGONO

20 – AGONO

25 – AGONO

30 – AGONO

100 – AGONO

II. PROBLEMAS

1. Dadas las sumas de los ángulos internos de distintos polígonos regulares, determine cuál es el polígono al que corresponde dicha suma.

(a) 900 º (b) 1800 º (c) 180 º (d) 360 º (e) 720 º (f) 540 º (g) 6120°

2. Determine cuál es el:

(h) polígono en el que se puede trazar como máximo 5 diagonales desde un vértice.

(i) polígono en el que se puede trazar como máximo 27 diagonales desde un vértice.

(j) polígono en el que se puede trazar 14 diagonales en total.

(k) polígono en el que se puede trazar 152 diagonales en total.

3. Si el lado de un hexágono regular mide 10cm,

(l) Determine la medida de la apotema.

(m) Halle el perímetro y el área del hexágono.

4. Encuentre la medida de la apotema de un pentágono de 12dm de lado.

5. La apotema de un cuadrado circunscrito en una circunferencia es 12 cm,

(n) Halle el perímetro del cuadrado

(ñ) Halle la medida del radio de la circunferencia inscrita en el cuadrado.


(o) Calcule el área del cuadrado y el área del círculo y determine cuál es mayor y cuán mayor

es.

6. La apotema de un cuadrado mide 2dm, determine su área.

7. El radio de un triángulo equilátero mide 12cm,

(p) Determine la medida de su lado.

(q) Determine la medida de su apotema.

(r) Determine su área y perímetro.

8. Determine el área de un heptágono regular cuyo radio mide 5cm. 9. Calcular el área de un octógono cuyo lado mide 6dm y la apotema

mide 4dm. 10. Determine el área de un pentágono regular si lado mide 8cm y su radio mide 5 cm.

11. Determine la apotema de un hexágono regular si su área es igual a 372 cm 2.

12. En una circunferencia cuyo radio mide 4cm,

(s) ¿Cuál es la medida de un lado del triángulo equilátero inscrito en la circunferencia?

(t)¿Cuál es la medida de un lado del hexágono regular inscrito en la misma circunferencia? (u) ¿Cuál es la medida de un lado de un decágono regular inscrito en la misma circunferencia? (v) ¿Cuál es la medida de un lado de un 30 - ágono regular inscrito en la misma Circunferencia? (w) Calcule el área del:

FIGURA AREA

Círculo

Triángulo

Hexágono

Decágono

30-ágono

compare los resultados. (x) Qué concluiría usted de acuerdo a los resultados obtenidos en el ejercicio (w)

r


13. Determine:

13.1 el perímetro y el área de un nonágono regular cuya apotema mide 8 cm.

13.2 el área de un hexágono regular cuya apotema mide 3 cm.

13.3 el área de un pentágono regular cuyo radio mide 5 cm.

13.4 la medida de un lado de un dodecágono regular cuyo radio mide 20 cm.

13.5 el número de lados de un polígono regular cuyos ángulos internos suman 1080°.

13.6 el nombre polígono regular desde el cual se puede trazar 35 diagonales en total.

13.7 el número de lados de un polígono regular desde el cual se pueden trazar 9 diagonales

desde un vértice.

13.8 la suma de los ángulos internos de un polígono regular de 50 lados.

13.9 la suma de los ángulos internos de un polígono regular sabiendo que su ángulo central

mide 24º.

13.10 el nombre del polígono regular sabiendo que su ángulo exterior mide18º

14. Dado el octógono regular de centro O, determine cuál es la medida de:

, , , , , , ,

D B

H F

C

G

A E

O


RESPONDE ESTAS CUESTIONES RESPUESTAS

¿Qué es una línea poligonal?

¿Cómo se llama la superficie contenida

por una línea poligonal cerrada?

¿Cuándo decimos que un polígono es

cóncavo?

Completa la siguiente tabla:

Nombre Descripción Dibujo

Cla

sif

icació

n s

eg

ún

lo

s

án

gu

los

Selecciona clasificación según los lados. Mueve los vértices del triángulo de la figura y observa

su nombre según la medida de sus ángulos. Completa la tabla:


Cla

sif

icació

n s

eg

ún

lo

s

lad

os

¿Cuál es el valor de la suma de los ángulos interiores de un triángulo? ............................


Ha llegado el momento de comprobar todo lo que has aprendido. Realiza los siguientes

ejercicios sin el ordenador. Una vez que los tengas hechos el/la profesor/a te dirá si puedes

comprobarlos con el ordenador utilizando las escenas de Descartes con las que has trabajado.

EJERCICIOS

1. Indica si los siguientes polígonos son convexos o cóncavos:

2. Clasifica los siguientes triángulos según sus lados y según sus ángulos:

3. Completa la siguiente tabla indicando en las casillas en blanco SI o NO, según sea o

no posible que un triángulo pueda, a la vez, de los tipos que indica la fila y la columna:

Equilátero Isósceles Escaleno

Acutángulo

Rectángulo

Obtusángulo


(a) El número de diagonales de un

polígono de 5 lados es:

b) El número de diagonales de un polígono de 8 lados

es:

c) Si en un polígono se pueden trazar 54 diagonales,

determine el número total de lados de este polígono.

d) Si de cada vértice de un polígono salen 10

diagonales. ¿Cuál es el número total de diagonales que

posee este polígono?

(a)¿Cuánto suman los ángulos interiores de un polígono

de 32 lados?

(b) Si la suma de las medidas de los ángulos interiores

de un polígono es de 7.200o. ¿Cuántos lados tiene

este?


(c) ¿Cuánto mide el ángulo interior de un polígono

regular de 45 lados?

(d) Si un ángulo interior de un polígono regular mide

108o. ¿Cuántos lados tiene este polígono?

(a)¿Cuánto mide cada ángulo exterior de un polígono


(b) Si cada ángulo exterior de un polígono regular mide

30o. ¿Cuántos lados tiene este polígono?

1) Calcular la medida del lado y del apotema del hexágono regular inscrito en una circunferencia radio 12cm.


2) Calcular el área de un hexágono regular, cuyo lado mide 6cm.

3) Calcular el área del hexágono regular circunscrito a la circunferencia de radio 12cm.

4) Si CDBDBC = 8cm ; con 2

BCAB ; calcular el área del pentágono ABCDE.


Ejercitación:

1) ¿Cuántas diagonales posee un polígono de 25 lados?

A) 240

B) 250

C) 275

D) 280

E) 300

2) ¿Cuántos lados tiene un polígono en el cuál se

pueden trazar 54 diagonales?

A) 12 lados

B) 16 lados

C) 18 lados

D) 20 lados

E) 24 lados

3) Cuánto suman los ángulos interiores de un

dodecágono?

A) 1.440º

B) 1.620º

C) 1.800º

D) 1.920º

E) 2.160º

4) ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un polígono


A) 144º

B) 156º

C) 168º

D) 165º

E) 172º

5) ¿Cuánto mide cada ángulo exterior de un polígono


A) 18º

B) 20º

C) 24º

D) 30º

E) 36º

6) ¿Cuál es el área de un cuadrado inscrito en una

circunferencia radio 6cm?

A) 36cm2

B) 48cm2

C) 60cm2

D) 72cm2

E) 84cm2

7) ¿Cuál es el área de un hexágono regular cuyo lado

mide 8cm?

A) 48 3 cm2

B) 60 3 cm2

C) 72 3 cm2

8) ¿Cuál es el área del hexágono regular de apotema 5

3 cm?

A) 120 3

B) 150 3

C) 180 3

8cm

6 O

5

O


D) 84 3 cm2

E) 96 3 cm2

D) 200 3

E) 240 3

9) Si ABC equilátero inscrito en la circunferencia

radio 12cm. Hallar su área.

Nota: El radio de la circunferencia circunscrita al

triángulo equilátero de lado “a” es r = 3

3a.

10) Si ABC equilátero circunscrito en la

circunferencia radio 12cm. Hallar su área.

Nota: El radio de la circunferencia inscrita al triángulo

equilátero de lado “a” es r = 6

3a.

Responde:

1) ¿Qué es un polígono? ________________________________________________________________________

2) ¿Qué características tiene un polígono cóncavo? ________________________________________________________________________

3) ¿Qué características tiene un polígono regular?

________________________________________________________________________

A B

C

O 12

A B

C

O

12


4) La medida del ángulo exterior w del polígono:

5) La suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono de 12 lados. _______

6) Determina la medida de un ángulo interior y un ángulo exterior de un polígono regular de 16 lados. _____________________________________________________________

7) Calcula el perímetro de un decágono regular si uno de sus lados mide 11,6 cm.

_________________________________________________________________

8) Calcula la medida del ángulo x en la siguiente figura: __________________________

9) ¿Es posible que exista un polígono cuya suma de los ángulos interiores sea 300°?

Justifica tu respuesta. _____________________________________________________________________

10) En el dibujo, ABCDEF es un hexágono regular, determina la medida del EKD.

6 cm


11) El polígono en que la suma de los ángulos interiores es 540° es un: a) eneágono b) hexágono c) nonágono d) pentágono e) ninguna de las anteriores

12) ¿Cuántas diagonales tiene un decágono regular? a) sinco b) seis c) ocho d) diez e) once

13) La figura es hexágono regular. El ángulo x mide:

a) 120º b) 150º c) 200º d) 240º e) 270º

14) La figura es un hexágono regular. "O" es el centro de la figura. El ángulo x mide:

a) 120° b) 200° c) 240° d) 300° e) 270°

15) La figura es un cuadrilátero cualquiera. La suma de los ángulos "x" e "y" vale:

a) 160° b) 120º c) 80º d) 40º e) 320º


16) En el pentágono regular ABCDE se traza la diagonal EC. ¿Cuánto mide el ángulo DEC?

a) 30° b) 36° c) 45° d) 60° e) 72°

16) El número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice de un hexágono es: a) 4 b) 9 c) 6 d) 27 e) ninguna de las anteriores

17) Un polígono regular cuyo ángulo exterior mide 40° tiene: a) 12 lados b) 9 lados c) 7 lados d) 6 lados e) 4 lados

18) Al unir los puntos medios de los lados de un rombo resulta un: a) rombo b) rectángulo c) cuadrado d) romboide e) trapecio

19) Dos polígonos regulares con igual número de lados, se puede afirmar que: I. Tienen ángulos interiores respectivamente iguales.

II. Tienen áreas iguales.

III. Son congruentes.

a) Sólo I. b) Sólo II. c) Sólo III. d) Sólo I y II. e) Sólo II y III.


20) El número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice de un heptágono es: a) 4 b) 6 c) 7 d) 9 e) ninguna de las anteriores

21) ¿cuánto mide los ángulos exteriores de la figura? a) 60° b) 80° c) 90° d) 120° e) 360°

22) ¿qué clasificación recibe la figura? a) Cuadrilátero regular b) Octógono regular c) polígono regular d) polígono convexo e) polígono cóncavo

Apotema:

𝑎𝑛 =1

2√4𝑅2 − 𝑙2𝑛

Lado del polígono circunscrito en función del radio y del lado del polígono inscrito

𝐿𝑛 =2𝑅𝑙𝑛

√4𝑅2−𝑙2𝑛

Lado del polígono de doble número de lado en función del radio y del lado del polígono inscrito

𝑙2𝑛 = √2𝑅2 − 𝑅√4𝑅2 − 𝑙2𝑛


APLICACIONES A EJERCICIOS PROPUESTOS:

1.- En Una circunferencia de radio R, se inscribe un triángulo equilátero de lado 2 3 cm.

Calcule:

1.1.- El radio de la circunferencia.

1.2.- La apotema del triángulo inscrito en la circunferencia.

1.3.- La apotema del triángulo circunscrito.

1.4.- El perímetro del triángulo inscrito.

1.5.- El perímetro del triángulo circunscrito.

1.6.- El área del triángulo inscrito.

1.7.- El área del triángulo circunscrito.

(2 , 1 , 2 , 36 , 312 , 33 , 312 )

2.- El perímetro de un triángulo inscrito en una circunferencia es 30 cm. Calcule:

2.1.- El radio de la circunferencia

2.2.- El lado del triángulo inscrito

2.3.- La apotema del triángulo inscrito.

2.4.- La apotema del triángulo circunscrito.

2.5.- El perímetro del triángulo circunscrito

2.6.- El área del triángulo inscrito.

2.7.- El área del triángulo circunscrito.

( 33

10 , 10 , 3

3

5 , 3

3

10 , 60 , 325 , 3100 )

3.- Si el área de un triángulo circunscrito a una circunferencia es 108 3 cm. 2 .Calcule:



3.3-La apotema del triángulo inscrito

3.4.-La apotema del triángulo circunscrito.

3.5.-El perímetro del triángulo inscrito


3.6.-El perímetro del triángulo circunscrito.

3.7.-El área del triángulo inscrito.

(6 , 36 , 3 , 6 , 318 , 336 , 327 )

4.- Si el área de un cuadrado inscrito a una circunferencia es 32 cm 2 .Calcule:


4.2.- El lado del cuadrado inscrito

4.3.-La apotema del cuadrado inscrito

4.4.-El lado del cuadrado circunscrito.

4.5.-La apotema del cuadrado inscrito

4.6.-El perímetro del cuadrado circunscrito.

4.7.-El área del cuadrado inscrito.

(4 , 4 2 , 2 2 , 8 , 4 , 16 2 , 32 , 64 )

5.-Si el área de un triángulo inscrito a una circunferencia es 300 3 cm 2 .Calcule:



5.3.-La apotema del triángulo inscrito

5.4.-La apotema del triángulo circunscrito.

5.5.-El perímetro del triángulo inscrito

5.6.-El perímetro del triángulo circunscrito.

5.7.-El área del triángulo inscrito.

(20 , 20 3 , 10 , 20 , 120 3 , 60 3 , 1200 3 )

6.- Si el lado de un pentágono inscrito a una circunferencia es 4 5210 .Calcule:


6.2.-La apotema del pentágono inscrito

6.3-El lado del pentágono circunscrito

6.4.-El lado del pentágono circunscrito.


6.5.-El perímetro de pentágono inscrito

6.6.-El perímetro del pentágono circunscrito.

6.7.-El área del pentágono inscrito.

6.8.-El área del pentágono circunscrito.

(4( )15 , 6+2 5 , )55(28 , )55(220 , 521040 , )5225040 , )522160

7.- Si el área de un pentágono inscrito en una circunferencia es 258405 cm .calcular.


7.2.-La apotema del pentágono inscrito

7.3-El lado del pentágono circunscrito

7.4.-El perímetro del pentágono inscrito.

7.5.-El perímetro de pentágono circunscrito

7.6.-El lado del pentágono inscrito.

7.7.-El área del pentágono inscrito.

(4 , )526 , )5258 , )521010 , )52540 , )52102 , )52580

8.- Considere una circunferencia de 6cm de radio. Determine:

8.1.- El lado del hexágono inscrito.

8.2.- El lado del hexágono circunscrito

8.3.- La apotema del hexágono inscrito

8.4.- La apotema del hexágono circunscrito.

8.5.- El perímetro del hexágono inscrito.

8.6.- El perímetro del hexágono circunscrito.

8.7.- El área del hexágono inscrito.

8.8.- El área del hexágono circunscrito.-

(6 , 4 3 , 3 3 , 3 3 , 6 , 36 , 24 3 , 54 3 , 72 3 )


9.- Si la apotema de un hexágono inscrito en una circunferencia de radio R es 4 3 cm. Calcule.


9.2.- El lado del hexágono inscrito

9.3.- El lado del hexágono circunscrito

9.4.- La apotema del hexágono circunscrito

9.5.- El perímetro del hexágono inscrito.

9.6.- El perímetro del hexágono circunscrito

9.7.- El área del hexágono inscrito

9.8.- El área del hexágono circunscrito.

( 8 , 8 , 16/3 3 , 8 , 48 , 32 3 , 96 3 , 128 3 )

10.- Si el área de un hexágono circunscrito en una circunferencia de radio R es 50 3 cm 2 . Calcule:


10.2.- El lado del hexágono inscrito

10.3.- El lado del hexágono circunscrito.

10.4.- La apotema del hexágono circunscrito

10.5.- El perímetro del hexágono inscrito

10.6.- El perímetro del hexágono circunscrito.

10.7.- El área del hexágono inscrito.

11.- El perímetro de un octágono inscrito en una circunferencia de radio R es )12(22124 cm.

Calcular.

11.1.-El radio de la circunferencia.

11.2.-La apotema del octágono inscrito

11.3.- La apotema del octágono circunscrito

11.4.- El lado del octágono inscrito.

11.5.- El perímetro del octágono circunscrito.

11.6.- El área del octágono inscrito.


11.7.- El área del octágono circunscrito.

12.- La apotema de un octágono inscrito en una circunferencia de radio R es 2218 .Calcular:


12.2.-La apotema del octágono circunscrito

12.3.- El lado del octágono circunscrito

12.4.- El perímetro del octágono circunscrito.

12.5.- El área del octágono inscrito.

12.6.- El área del octágono circunscrito.

12.7.- El perímetro del octágono inscrito.

(36 , 36 , 72( 12 ) , 576( 12 ) , 2592 2 , 10368( 12 ) , 288 22 )

13.- Se inscribe un pentágono en una circunferencia de radio 521058 .Calcular:

13.1.- El lado del pentágono inscrito.

13.2.- El lado del pentágono circunscrito.

14.- El radio de un decágono inscrito en una circunferencia de radio R es )15(5 cm. Calcular:

14.1.- El área del decágono inscrito

14.2.- El perímetro del decágono circunscrito

14.3.-La apotema del decágono inscrito

15.- Se inscribe un dodecágono en una circunferencia de radio 2cm .Calcule.

15.1.- El lado del dodecágono inscrito.

15.2.- El área del dodecágono inscrito

15.3.- El perímetro del dodecágono circunscrito.

16.- Si el lado de un dodecágono inscrito en una circunferencia de radio R es 3212 cm. Calcule:


16.2.- La apotema del dodecágono inscrito

16.3.- El área del dodecágono inscrito.


16.4.- El lado del dodecágono circunscrito

16.5.- El perímetro del dodecágono inscrito.

17.- El área de un decágono inscrito en una circunferencia de radio R es: )15(52102

5 cm 2

.Calcule.


17.2.- El lado del dodecágono inscrito.

17.3.- El lado del dodecágono circunscrito.

17.4.- El área del dodecágono circunscrito.

17.5.- El perímetro del dodecágono inscrito.

Lee con atención el texto de la pantalla.

En la escena de la derecha, selecciona mediatriz. Mueve los vértices del triángulo y comprueba

que las tres mediatrices se cortan siempre en un punto. Define la mediatriz:

Mediatriz___________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado ____________________y es el

centro de la circunferencia_____________________.

Selecciona bisectrices y repite el ejercicio. Modifica los vértices del triángulo y comprueba que

siempre se cortan en un punto. Define:

Bisectriz_____________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado_____________________ y es el

centro de la circunferencia_____________________.

Ahora repite el ejercicio seleccionando medianas. Observa cómo se dibujan las medianas. Define:

Mediana_____________________________________________________________________

___________________________________________________________________________


Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado_____________________.

Repite el ejercicio seleccionando alturas. Define la altura de un triángulo:

Altura_______________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado_____________________.

En el triángulo de la figura dibuja una mediatriz, una bisectriz, una mediana y una altura. (Dibuja

cada una de las rectas de un color distinto)

Lee con atención el texto de la pantalla.

RESPONDE ESTAS CUESTIONES RESPUESTAS

¿Cómo son los lados de un paralelogramo?

¿Cómo se llama el cuadrilátero cuyos lados no

son paralelos?

En la escena de la derecha:

Selecciona elementos. Pasa el ratón sobre los nombres de los elementos y observa la figura.

Explica cuál es la diferencia entre lado de un cuadrilátero y diagonal:

__________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

¿Cuántas diagonales tiene un cuadrilátero?________________________________



ejercicios sin el ordenador. Una vez que los tengas hechos el profesor o profesora te dirá si

puedes comprobarlos con el ordenador utilizando las escenas de Descartes con las que has

trabajado.

EJERCICIOS

4. Indica las rectas notables y el punto que aparecen representados en cada gráfico:

5. Indica las rectas notables y el punto que aparecen representados en cada gráfico:

6. Dibuja un triángulo cuyos lados midan 6, 7 y 8 centímetros. ¿Cómo es el triángulo

según sus lados y según sus ángulos? Traza todas las rectas y puntos notables.

¿Dónde están situados los puntos notables?








según sus lados y según sus ángulos? Traza todas las rectas y puntos notables. ¿Qué

ocurre con las rectas y los puntos notables?


Selecciona clases de cuadriláteros. Pasa el ratón sobre los nombres y observa las condiciones

de paralelismo. Completa la tabla siguiente:

Nombre Condición de paralelismo Dibujo

Lee con atención la definición de paralelogramo y su clasificación. En la escena de la derecha de la pantalla, pasa el ratón sobre los nombres y observa el paralelogramo y las condiciones que cumplen sus ángulos y sus lados. Completa la tabla siguiente:


Ángulos: Iguales (90º)

Lados: Iguales

Ángulos: Iguales (90º)

Lados: Iguales dos a dos

Ángulos: Iguales dos a dos

Lados: Iguales

Ángulos: Iguales dos a dos

Lados: Iguales dos a dos



ejercicios sin el ordenador. Una vez que los tengas hechos el/la profesor/a te dirá si puedes

comprobarlos con el ordenador utilizando las escenas de Descartes con las que has trabajado.

EJERCICIOS

10. Clasifica los siguientes cuadriláteros:


PERIMETRO & AREA DE POLIGONOS

PERIMETRO Y ÁREAS

NOMBRE:_________________________________ FECHA:_____________

NO._______ CURSO:_______________ PROF. JONATHAN M. MENDOZA

Ejercicio nº 1.-Nombra estos polígonos atendiendo a sus características (lados, ángulos, diagonales, ejes de

simetría...):

Ejercicio nº 2.-Observa detenidamente este polígono, descríbelo en función de sus

características y propiedades (lados, ángulos, diagonales...) y nómbralo:

Ejercicio nº 3.-Realiza las siguientes operaciones:

a) 15 23' 35 12' 35 '' 6 15' 45'' b) 26 30' 15'' 13 45' 17''

Ejercicio nº 4.-Los lados de un triángulo miden 16 cm, 11 cm y 8 cm. Comprueba si es un triángulo rectángulo.

Ejercicio nº 5.-Calcula el área y el perímetro de estas figuras:

Ejercicio nº 6.-Calcula la altura y el área de este triángulo equilátero:


Ejercicio nº 7.-

1, 2, 3, 4, 5 y 6 dividen a la circunferencia en seis partes iguales.

Ejercicio nº 8.-¿Dónde debe estar situado el centro de una circunferencia para que

sea tangente a estas dos semirrectas? Dibuja y justifica tu respuesta.

Ejercicio nº 9.-En la figura ves los ángulos formados por una secante que corta dos rectas paralelas. Justifica por qué

los ángulos 1 y 8 son suplementarios:

Ejercicio nº 10.-Dos de los ángulos de un triángulo miden 34 25' 12'' y 23

12' 30''. ¿Cuánto mide el tercero?

Ejercicio nº 11.-Se ha tendido un cable de 26 m de longitud uniendo los

extremos de dos torres metálicas cuyas alturas son 25 m y 35 m,

respectivamente. ¿Qué distancia separa los pies de ambas torres?

Ejercicio nº 12.-Calcular la superficie de la zona sombreada:

Ejercicio nº 13.-El lado de un triángulo equilátero mide 12 cm. ¿Cuál es su área?

.

ˆˆ ˆ ˆ ˆ , , , , Calcula la medida de los ángulos y teniendo en cuenta que los puntosA B C D E


Ejercicio nº 14.-Nombra cada uno de estos polígonos atendiendo a sus características y propiedades (lados, ángulos,

diagonales..):

Ejercicio nº 15.-Describe este polígono atendiendo a sus características (lados, ángulos, diagonales..), clasifícalo y

nómbralo:

Ejercicio nº 16.-

Ejercicio nº 17.-La diagonal de un rectángulo mide 160 cm y la base 120 cm. ¿Cuánto mide la altura?

Ejercicio nº 18.-Calcula el perímetro y el área de estas figuras:

Ejercicio nº 19.- Observa la figura y calcula el área del cuadrado y del círculo:

Ejercicio nº 20.-¿Dónde está situado el centro de la circunferencia tangente a estas tres

rectas? Justifica tu respuesta.

ˆ ˆ .Calcula la suma y la diferencia de los ángulos 37 55' y 44 45'A B


Ejercicio nº 21.-Razona por qué el triángulo OAB es equilátero.

Ejercicio nº 22.-

Ejercicio nº 23.-Calcula el perímetro y el área de esta figura:

Ejercicio nº 24.-Calcula el área y el perímetro de un hexágono regular cuyo lado

mide 8 cm.

Ejercicio nº25.-Identifica cada uno de estos polígonos atendiendo a sus características (lados, ángulos, diagonales...):

Ejercicio nº 26.-¿Cuánto mide la cuarta parte de un ángulo recto? ¿Y la quinta parte de un ángulo llano?

Ejercicio nº 27.-Calcula el lado que falta en estos triángulos rectángulos:

ˆ Calcula la medida del ángulo :B



Ejercicio nº 29.-Las dos diagonales de un rombo miden 24 cm y 26 cm. Calcula su perímetro y su área.

Ejercicio nº30.- :

Ejercicio nº 31.-¿Qué condiciones debe de cumplir un punto P para pertenecer a la

mediatriz del segmento AB?

Ejercicio nº 32.-Justifica que la suma de los ángulos de cualquier cuadrilátero es siempre 360.

Ejercicio nº 33.-Justifica la fórmula para el cálculo del área de un polígono regular

Ejercicio nº 34.-Calcula en grados, minutos y segundos la medida del ángulo central de un heptágono regular, triángulo equilátero,

cuadrado, pentágono regular, hexágono regular.

Ejercicio nº 35.- Para enlosar una habitación rectangular de 9 6 metros se utilizan baldosas cuadradas de 30 cm de

lado. ¿Cuántas baldosas son necesarias para cubrir el suelo de la habitación?

Ejercicio nº 36.- Calcula la superficie de la zona sombreada:

D C,B,A ˆˆˆˆ y ángulos los de medida la es cuál indica e figuras las Observa


Ejercicio nº 37.-Pon nombre a cada una de estas figuras atendiendo a sus características y propiedades:

Ejercicio nº 38.-La suma de dos ángulos iguales es de 24 15' 10''. ¿Cuánto mide cada uno de ellos?

Ejercicio nº 39.- Calcula la altura en los siguientes triángulos isósceles:


Ejercicio nº 41.-Calcula el área y el perímetro de este hexágono regular de 12cm de lado (aproxima el resultado a las

décimas):

Ejercicio nº 42.-Calcula la suma de los ángulos interiores de estos polígonos

Ejercicio nº 43.-¿Cómo comprobarías si el punto P es simétrico del punto P '? Razona tu respuesta.

ˆCalcula los ángulos complementario y suplementario del ángulo 45 15' 16''.A


Ejercicio nº 44.-¿Qué ángulo ha de girar la veleta para señalar hacia el Oeste?

Ejercicio nº 45.-Un cucurucho tiene forma de cono. El radio de la base del cono mide 10 cm y la

altura 24 cm. ¿Cuál es la mínima distancia que ha de recorrer una hormiga para subir desde el

suelo hasta el pico del cucurucho?

Ejercicio nº 46.-Una fuente circular está rodeada de un zócalo de mármol. El diámetro de la fuente es de 10 metros y

el zócalo tiene un metro de ancho. ¿Cuál es la superficie recubierta por el mármol?

Ejercicio nº 47.- La diagonal de una piscina rectangular mide 25 m y el ancho es de 15 m. Calcula su perímetro y la

superficie que ocupa.

Ejercicio nº 48.-Calcula el perímetro y la superficie de esta figura:

Ejercicio nº 49.- Construye un triángulo de lados 10, 8 y 5 cm. y halla elpuntodecorte de

susmediatrices

Ejercicio nº 50.-Se ha atado una cabra, con una cuerda de 15 m de longitud, en una de las esquinas de un prado

rectangular de 20 30 m. Calcular la superficie del prado en el que puede pastar la cabra y la superficie del prado en

la que no puede pastar.

Ejercicio nº 51.-Se ha construido una pista de patinaje cuadrada sobre un terreno circular, como

indica la figura. El resto del terreno se ha sembrado de césped. Calcular: A)La superficie del

terreno. B) La superficie de la pista. C) La superficie que queda con césped.


EJERCICIOS

1) Halla el perímetro y el área de un cuadrado de 3 m de lado.

2) Halla el perímetro y el área de un cuadrado de 11,3 m de lado.

3) Averigua el área de un cuadrado cuyo perímetro mide 29,2 cm.

4) Halla el lado de un cuadrado cuya superficie mide 6,25 centímetros cuadrados.

5) Halla el perímetro de un cuadrado cuya superficie mide 10,24 centímetros

cuadrados.

6) Halla el lado de un cuadrado cuyo perímetro mide 34 m. 7) La diagonal de un

cuadrado mide 9 metros. Calcula su área.

EJERCICIOS

1) . Halla el perímetro y el área de un rectángulo cuyos lados miden 4,5 m y 7,9 m

respectivamente.

2) Halla el perímetro y el área de un rectángulo cuyos lados miden 6,3 dm y 48 cm

respectivamente.

3) El perímetro de un rectángulo es 20,4 dm. Si uno de sus lados mide 6,3 dm, halla

el área.

4) El área de un rectángulo es 6384 decímetros cuadrados. Si la base mide 93 cm,

¿cuánto mide la altura? y ¿cuál es su perímetro?.

5) El perímetro de un rectángulo es 825 cm. Si la base mide 125 cm, ¿cuánto mide la

altura?

6) La diagonal de un rectángulo mide 10 m y la base 8 m.

a. Calcula la altura del rectángulo.

b. Calcula su superficie, expresando el resultado en metros cuadrados y en

decímetros cuadrados.


Geometría Plana – Ficha 3 (Ejercicios Cuadrado y Rectángulo) 1) ¿Cuánto costará vallar una finca cuadrada de 14 metros de lado a razón de 1,5 euros el metro lineal de alambrada?. 2) Pintar una pared de 8 m de larga y 75 dm de ancha ha costado 60 euros. ¿A qué precio se habrá pagado el metro cuadrado de pintura? 3) Una finca rectangular que mide 1698 m de largo por 540 m de ancho se sembró de trigo. Al realizar la cosecha cada Decámetro cuadrado de terreno ha producido 7890 kg de trigo. ¿Cuántos kg se han cosechado?. Si el trigo se vende a 0,2 euros el kg, ¿Cuánto dinero se obtendrá?. 4) Un terreno mide 1000 metros cuadrados de superficie. Si el terreno ha costado 15000 euros, ¿a qué precio se compró el metro cuadrado?. 5) ¿Cuánto costará un espejo rectangular de 1,36 m de altura y 0,97 m de anchura, si el decímetro cuadrado vale 2,5 euros?. 6) ¿Cuánto cuesta un pequeño terreno cuadrado de 8 metros de lado a razón de 6000 euros la hectárea?. 7) ¿Cuál es la distancia máxima que se puede recorrer, en línea recta, dentro de un campo rectangular de 80 m. de largo y 60 m. de ancho? 8) Se necesita cercar un huerto rectangular, de 180 m de longitud y 150 m de anchura, con tela metálica. El metro lineal de valla cuesta 15 euros. Al mismo tiempo, es necesario abonarlo con abono nitrogenado. El fabricante del abono recomienda 25 kg por hectárea. a) Calcula la longitud de la tela metálica y el coste de la misma para cercar el huerto. b) Calcula la cantidad de abono nitrogenado necesario para abonarlo. 9) Hay que embaldosar una habitación de 5 metros de largo y 3,36 m de ancho. ¿Cuántas baldosas de 80 centímetros cuadrados de superficie se necesitan?.


EJERCICIOS

3.- Calcula: a) El área de un rectángulo cuya altura mide 2 cm y su base mide tres

veces su altura.

b) El área de un rectángulo de base 6 cm y altura 2/3 de la base.

c) El lado de un cuadrado de área 29´16 cm2.

d) El área, en metros cuadrados, de un cuadrado que tiene 16 dm de

lado.

e) El área de un triángulo cuya base es de 10 cm y su altura es el doble

de la base.

f) El área de un triángulo cuya base es de 5 cm y su altura mide 4/5 de la

base.

g) El área, en cm2, de un romboide de base 2 dm y altura 3 cm.

h) El área de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y la diagonal

menor es la mitad de la mayor.

i) El área de un triángulo isósceles, cuya base es de 14 cm y uno de sus

lados mide 20 cm.

4.- El producto de las diagonales de un rombo es 24 cm2. Calcula su área.

5.- La suma de las bases de un trapecio es 10 cm y su altura es 2 cm. Calcula su área.

6.- Calcula el área de un trapecio cuya base mayor mide 15 cm, su base menor mide

2/3 de la mayor y su altura mide 4 cm.

7.- Calcula el área de un rombo que tiene de diagonal menor 6 cm, y cualquiera de

sus lados de 6 cm también.

8.- Halla el área de un hexágono regular de lado 10 cm.

9.- Tenemos un cuadrado de 6´4 dm de lado. Se desea saber cuánto medirá la suma

de sus dos diagonales, pero en mm.


10.- ¿Qué es un trapecio? ¿Cuándo un trapecio es rectángulo? Se sabe que en un

trapecio rectángulo, la base mayor mide 15 cm, la base menor 10 cm, y la altura 6

cm. ¿Cuánto medirá el perímetro y el área de este bonito trapecio?

11.- Si el área de un hexágono regular es aproximadamente 96 cm2, ¿cuánto valdrá

el área de la parte rayada, si el hexágono está dividido en 6 triángulos iguales?

12.- El perímetro de un hexágono regular es de 72 cm. Calcula su área.

13.- Calcula el área de la parte rayada sabiendo que el área del hexágono regular es

más o menos 258 cm2.

14.- Calcula el área de un hexágono regular donde la suma de dos de sus lados es

16´4 cm.

15.- Si el área de un hexágono regular es aproximadamente 64´5 cm2 y cualquiera de

sus apotemas vale 4´3 cm, ¿cuánto valdrá un lado de dicho hexágono?

16.- Si el radio de un círculo es 1 dm, calcula su área en metros cuadrados.

17.- Calcula el área del círculo sabiendo que su diámetro son 2 m.

18.- Sabiendo que el área de un círculo es 16 m2, ¿cuánto medirá su radio?


19.- Calcula el área de la parte rayada sabiendo que el lado del cuadrado mide 6 cm

(la relación existente entre el lado del cuadrado y el radio del círculo inscrito en él es:

el radio es la mitad del lado).

20.- Si la longitud de una circunferencia es 12 cm, ¿cuál será el área del círculo

correspondiente? (recuerda que la longitud de la circunferencia es 2 · · r).

21.- Calcula el área de la parte rayada sabiendo el radio del círculo mayor (6 cm) y el

radio de los círculos pequeños (2 cm).

22.- Averigua el área de una corona circular cuyos radio son R = 5 dm y r = 3 dm.

¿Cuál sería su área en m2?

5-T12

23.- Halla el área de una corona circular cuyo radio mayor es cuatro veces el menor,

sabiendo que el menor mide 2 cm.

24.- Calcula el área de una corona circular sabiendo que el radio mayor es R = 6 cm y

el radio menor es 2/3 del mayor.

25.- Construye una corona circular cuyo radio mayor sea R = 3 cm y cuyo radio

menor sea r = 2 cm. Luego, calcula su área.


26.- En una corona circular, el área del círculo mayor es 25 m2, y el área del círculo

menor es 1/5 del área del mayor. Calcula el área de la corona circular en decímetros

cuadrados.

27.- Calcula el área de la parte rayada sabiendo que el lado del cuadrado es 8 cm y el

radio del círculo mide 2 cm.

28.- En una corona circular el radio del círculo mayor es 12 cm, y el radio del círculo

menor es 6 cm. Comprueba la relación que hay entre el área de la corona circular y

el área del círculo menor. (Pista: si una persona A tiene 40 años y otra persona B

tiene 20 años, eso quiere decir que la persona A tiene el doble de edad que la

persona B, o bien, que la persona B tiene la mitad de edad que la persona A).

29.- Halla el lado de un triángulo equilátero que tiene 27´6 m2 de área, y de altura

6´9 m.

30.- Halla el área de una cuadrado cuyo perímetro vale 40 dm.

31.- Halla la diagonal mayor de un rombo cuya área vale 14 km2 y la diagonal menor

4 km.

32.- Halla el área de esta figura.


33.- En un trapecio isósceles se sabe que la base mayor mide 18 cm, la base menor

10 cm y los lados iguales 7 cm. Averigua el área de dicho trapecio. (Nota: se

recomienda un dibujo que os aclare el tema).

34.- Averigua el área de la parte oscura de esta figura tomando las medidas que

creas necesario:

Evaluación Teórica

1) ______________________ es la reunión de tres o más segmentos coplanarios

cada uno de los cuales tiene por intersección con otros dos, los puntos extremos.

2) ______________________ es la reunión de un polígono cualquiera con su

interior.

3) ______________________ es aquel polígono donde todos sus ángulos interiores

son convexos.

4) ______________________ es todo polígono en el cual al menos uno de sus

ángulos internos es cóncavo (no convexo).

5) ______________________ es el polígono que no conserva la propiedad de tener

sus lados y sus ángulos congruentes.

6) ______________________ es todo polígono que tiene todos sus lados

congruentes, es decir, que todos sus lados tienen la misma longitud.


7) ______________________ es todo polígono que tiene todos sus ángulos

congruentes (ángulos todos de igual medidas).

8) ______________________ es aquel polígono convexo que es a la vez equilátero y

equiángulo.

9) ______________________ regulares se nombran anteponiendo un prefijo (raíz)

________________________ (tri, tetra (cua), penta, hexa, repta, octa, ene, deca,

etc) seguido del sufijo griego gono que significa ¨ángulo¨.

10) _____________________ es todo segmento que une dos vértices no

consecutivos de un polígono.

11) La fórmula __________________ nos da el número de triángulos que se

determinan al trazar todas las diagonales desde un vértice de un polígono.

12) Mediante la fórmula 𝒅 = 𝒏 – 𝟑 determinamos el número de diagonales

_____________________________________________________

13) Mediante la fórmula 𝒏(𝒏−𝟑)

𝟐, se determina el número total de

________________________________________________________________

14) _______________________es la región interior de un polígono determinada por

dos lados consecutivos de un polígono.

15) _______________________ es la región exterior de un polígono determinada

por la prolongación de dos lados consecutivos de un polígono.

16) La medida de un ángulo exterior de un polígono regular esta dada por la fórmula

__________________________________________________________________

17) La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono regular es

___________________________________________________________________

18) La medida de un ángulo interior de un polígono regular es

___________________________________________________________________

19) La suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono regular esta

dada por la fórmula _____________________________________


20) ________________________es todo polígono que posee tres lados y tres

ángulos, es decir, la unión de tres puntos no colineales mediante tres segmentos.

21) ________________________ es cada uno de los segmentos que forman un

triángulo.

22) ________________________ es cada uno de los puntos donde se unen dos lados

consecutivos de un triángulo.

23) _________________________ la región interna de un triángulo determinada por

dos lados consecutivos de un triángulo.

24) En el siguiente triángulo nombre:

Los tres lados: ________, _________, _________

Los tres vértices: _______, ________, ________

Los tres ángulos: _______, ________, _______

24) En el triángulo anterior ∆ABC, diga lo siguiente:

El lado AB es opuesto al ____________________________________________

El ángulo A (<A) es opuesto al ________________________________________

El lado AC es opuesto al ____________________________________________

25) Diga los pares de ángulos consecutivos_________________, _______________,

____________________.

26) Diga los pares de ángulos consecutivos __________________, _______________

____________________.

25) Los triángulos se clasifican de acuerdo a sus _______________________ y a sus

________________________________.

26) De acuerdo a sus lados se clasifican en _____________________________,

____________________________ y __________________________________.

27) De acuerdo a sus ángulos se clasifican en ___________________________,


_____________________________ y _________________________________.

28) Defina cada uno de los conceptos.

a) Triángulo Equilátero: _________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

a) Triángulo Isósceles: ___________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

c) Triángulo Escaleno:___________________________________________________

_____________________________________________________________________

d) Triángulo Acutángulo:_________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

e) Triángulo Rectángulo:_________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

f) Triángulo Obtusángulo:________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

29) ________________________________ Dos o más polígonos son congruentes si

tienen el mismo tamaño y la misma forma.

30) ________________________________ Dos o más triángulos son congruentes si

tienen el mismo tamaño y la misma forma.


31) ___________________________________ Todo triángulo o polígono es

congruente consigo mismo. (∆ABC ≡ ∆ABC).

32) ____________________________________ Si un triángulo ∆ABC es congruente

con el triángulo ∆PQR, entonces el ∆PQR es congruente con el ∆ABC.

(∆ABC ≡ ∆PQR) → (∆PQR ≡ ∆ABC).

33) ____________________________________ Si el triángulo ∆ABC es congruente

con el ∆PQR y el ∆PQR es congruente con el ∆LMN, entonces el ∆ABC es congruente

con el ∆LMN. (∆ABC ≡ ∆PQR ^ ∆PQR ≡ ∆LMN) → ∆ABC ≡ ∆LMN.

34) ___________________________ si los lados de un triángulo ∆LMN se hacen

corresponder con los lados correspondientes de otro triángulo ∆ABC, de manera que

sus lados se correspondan dos a dos. Esto es AB ≡ LM, BC ≡ MN y AC ≡ LN.

35) ____________________________ si los ángulos de un triángulo ∆ABC se hacen

corresponder con los ángulos correspondientes de otro triángulo ∆LMN, de manera

que sus ángulos se correspondan dos a dos. Esto es <A ≡ <L, <B ≡ <M y <C ≡ <N.

36) ___________________________ son cada uno de los elementos que se hacen

corresponder (ocupan posiciones relativamente iguales) en dos triángulos o

polígonos semejantes ó congruentes.

37) Si las partes homologas de dos triángulos o dos polígonos son congruentes

entonces dichos triángulos o polígonos son______________________________

38) Si no todas las partes homologas de dos triángulos o dos polígonos son

congruentes entonces dichos triángulo o polígonos no son

_________________________________________________________________

39) En todo triángulo en donde dos de sus ángulos tienen diferentes medidas al

ángulo de mayor medida se opone ____________________________________, y al

lado de mayor longitud se opone un ángulo de

________________________________________________________________

40) Si en un triángulo ∆ABC, m<A = m<B, entonces los lados opuestos a estos

ángulos tendrán____________________________________________________


41) En todo triángulo equilátero se cumple que

________________________________________________________________

42) ______________________________ Si los lados homólogos de dos triángulos (o

dos polígonos) son congruentes, entonces dichos triángulos (o polígonos) son

congruentes.

43) _______________________________ Si dos lados de un triángulo y el ángulo

comprendido por ellos son congruentes con los elementos homólogos de otro

triángulos, entonces dichos triángulos son congruentes.

44) _______________________________ Si dos ángulos de un triángulo y el lado

comprendido por ello son congruentes con los elementos homólogos de otro

triángulo, entonces dichos triángulos son congruentes.

45) _______________________________ Es el segmento de perpendicular que va

desde uno de los vértices de un triángulo al lado opuesto o a su prolongación.

46) En todo triángulo se pueden trazar _________________________________

47) _____________________________ Es el punto donde se intersecan las tres

alturas de un triángulo, este punto puede estar en el interior, en el exterior o en un

vértice del triángulo.

48) _____________________________ Es el segmento de recta que une un vértice

del un triángulo con el punto medio del lado opuesto al ángulo.

49) En todo triángulo se pueden trazar _________________________________

50) ______________________________ El punto donde al trazar las tres medianas

estas se cortan.

51) _______________________________ Es la semirrecta que va desde uno de los

vértices de un ángulo de un triángulo al lado opuesto y que divide a ese ángulo en

dos ángulos congruentes.

52) En todo triángulo se pueden trazar _________________________________, las

cuales se intersecan en un punto llamado_____________________________


53) _____________________________________________________________

Es la recta perpendicular a dicho lado en su punto medio.

54) En todo triángulo se pueden trazar _________________________________, las

cuales se cortan en el punto llamado_________________________________

55) Teorema Fundamental del triángulo: _______________________________

________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

56) En todo triángulo rectángulo la suma de las medidas de los dos ángulos agudos

es _______________________________________________________________

57) La medida de cada uno de los ángulos exteriores en cualquier triángulo es igual a

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

58) La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo es igual a

________________________________________________________________

59) Dos ángulos de un triángulo son consecutivos si

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

60) Teorema de Pitágoras:___________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________


61) A continuación te damos un listado de polígonos regulares, al lado de cada uno

escribe el número de lados que tiene cada uno.

i) Triángulo Equilátero:_____________ ii) Cuadrado:__________________

iii) Pentágono:____________________ iv) Hexágono:_________________

v) Heptágono:_____________________ vi) Octágono:_________________

vii) Eneágono:_____________________ viii) Decágono:_________________

ix) Undecágono:____________________ x) Dodecágono:______________

xi) Tridecágono:____________________ xii) Tetradecágono:____________

62) DEFINE CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CONCEPTOS.

i) Lado de un poligono. ii) Contorno. iii) Longitud. iv) Perímetro.

v) Unidades de Longitud. vi) Superficie. vii) Área. Viii) Unidades de Área. ix)

Radio de un polígono. x) Apotema de un polígono. xi) Postulado de la unidad de

área. xii) Postulado de la adición de áreas xiii) Circulo

xiv) Circunferencia xv) Fórmula de Herón.


1) En la figura, ABC es un triángulo equilátero de 18 cm de perímetro y DBEC es un rectángulo. El área

de la región achurada es:

A) 9 cm2

B) 9 3 cm2

C) 9 5 cm2

D) 9/2 5 cm2

E) 9/2 3 cm2

2) La base de un triángulo isósceles mide 30 cm. Si su perímetro es 72 cm., cada uno de sus lados

mide:

A) 14 cm. B) 18 cm. C) 21 cm. D) 42 cm. E) 36/15

3) El área de un triángulo rectángulo isósceles es 32 cm2. Entonces los catetos iguales miden:

A) 9 m. B) 8 m. C) 4 m. D) 12 m. E) 6 m.

4) Si en un triángulo equilátero la longitud de cada lado aumenta en una unidad, entonces ¿cuál de las

siguientes afirmaciones es verdadera?

A) su perímetro aumenta en 3 unidades

B) su área aumenta en 3 unidades cuadradas

C) su perímetro permanece constante

D) su área permanece constante

E) su altura aumenta en 1 unidad

5) Las medidas de los lados de un triángulo están en la razón 3 : 5 : 7 y su perímetro es

45 cm. Las longitudes de sus lados, en centímetros, son

A) 6, 10 y 14 B) 6, 10 y 29 C) 9, 12 y 24

D) 9, 15 y 21 E) 13, 15 y 17

6) En la figura se tiene AM = 3; AN = 3,5; MN = 4; BM = 1,5; el ∠AMN ≅ ∠ABC. ¿Cuál es el perímetro

del triángulo ABC?

A) 15 ¾

B) 13 ¼

C) 14 ½

D) 14 11/20

E) Otro valor


7) En el cuadrado ABCD de lado 10 m, E punto medio de DC. El área del ΔABE es:

A) 5 m2

B) 10 m2

C) 15 m2

D) 25 m2

E) 50 m2

8- En la figura ABCD es un cuadrado. El área del triángulo AMN es:

9- El triángulo ABC de la figura tiene sus vértices ubicados en las coordenadas A = (1, 0,

0), B = (0, 1, 0) y C = (0, 0, 1). Su área y su perímetro miden, respectivamente

10-En la circunferencia de centro O y diámetro AB de la figura 2, el ΔABC es equilátero. Si

AD = 6, el área del ΔAOD es


11-El ΔABC de la figura 7, es equilátero. Si AP : PC = CQ : QB = 1 : 2 y además PQ = 6,

entonces el área del ΔABP es

12.-En la figura 9, el rectángulo está formado por dos cuadrados de lado 6 cada uno de

ellos. Entonces, el área del ΔPRS es

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

13.-Se puede determinar en qué razón se encuentran las áreas de dos triángulos

semejantes si:

(1) Sus perímetros están en la razón 2 : 3.

(2) El perímetro del triángulo más pequeño es 40 cm.

a) (1) por sí sola.

b) (2) por sí sola.

c) Ambas juntas, (1) y (2).

d) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

e) Se requiere información adicional.

14.-Si en la figura 8 los triángulos ABC y EAD son congruentes, entonces el perímetro del

polígono ABCED es

A) 32 cm

B) 40 cm

C) 42 cm

D) 48 cm

E) 56 cm


15.- En la figura, ABCD es un cuadrado de perímetro 4a cm y AFGE es un rectángulo, si AE = 1 cm y

AF = 2 cm. ¿Cuál es el perímetro de la figura sombreada?

a) 4a cm.

b) (4a - 3) cm.

c) (4a - 2) cm.

d) (4a - 1) cm.

e) (4a + 3) cm.

16.- Si un alambre de 60 cm. de largo se usa para construir tres cuadrados de igual lado, entonces

la suma de las áreas es:

a) 108 cm2 b) 25 cm2 c) 60 cm2 d) 72 cm2 e) 75 cm2

17.- El cuadrado ABCD de la figura, tiene un perímetro de 32 cm. y está

formado por 4 cuadrados congruentes subdividos a su vez en triángulos

semejantes. ¿Cuál es el área de la superficie sombreada?

a) 6 cm2

b) 3 cm2

c) 15 cm2

d) 10 cm2

e) 12 cm2

18.- Los rectángulos ABCD y PQRS son congruentes y se han superpuesto del modo que se indica

en la figura. Si AD = 4 cm., AB = 12 cm. y RQ = (2/3)BQ,

entonces ¿cuál es el área del rectángulo?

a) 12 cm2

b) 16 cm2

c) 24 cm2

d) 10 cm2

e) 12 cm2


19.- Si el perímetro de un rombo es de 52 cm. y una de sus diagonales mide 24 cm., entonces su

área es:


18.- El doble del área de un cuadrado cuyo lado mide 3 cm es:


19.- En la figura, se representan un cubo y un paralelepípedo de altura a. Si la cara sombreada del

cubo tiene un área de 64 cm2 y la cara sombreada del paralelepípedo tiene un área de 96 cm2,

entonces b mide:

a) 4 cm

b) 8 cm

c) 12 cm

d) 16 cm

e) 20 cm

20.-Si los catetos del triángulo ABC rectángulo en C de la figura 10, miden 15 cm y 20 cm,

entonces el área de la región achurada es


21.- En la figura 12, la suma de las áreas de los tres círculos congruentes es 3π, entonces

el área del triángulo equilátero PQR es

22.-En la figura 4, el punto G es el centro de gravedad del triángulo equilátero ABC de lado

18 cm. Entonces, el perímetro del triángulo ABG es

23.- El perímetro del triángulo isósceles de la figura es 2s. Si uno de sus lados iguales

mide a, entonces la base c mide:

24.- En la figura, el D ABC es rectángulo en C. D y E son puntos que dividen a BC en tres

segmentos iguales. Si B'C' // BC, AC = 12, AC' = 4 y B'C' = 3,

Entonces

9


25.- En la figura, ABC es un triángulo equilátero de 18 cm de perímetro y DBEC es un

rectángulo. El área de la región achurada es

26.-¿Qué pasa

con el área de

un triángulo si su altura se divide por dos y se mantiene su base?

A) Se reduce en media unidad cuadrada

B) Se reduce a la mitad

C) Se reduce a la cuarta parte

D) Se reduce en un cuarto de unidad cuadrada

E) Falta información para decir que ocurre con el

27.- Nombre del polígono regular cuya suma de ángulos internos es de 3240º

a) icoságono

b) decágono

c) octágono

d) pentágono

e) N. A.

28.- Hallar la medida de un ángulo interno de un polígono regular de 40 lados

a) 36º

b) 189º

c) 171º

d) 38º

e) 152º


29.- Nombre del polígono que tiene 65 diagonales

a) tridecágono

b) Tetradecágono

c) Decágono

d) tridecágono

e) hexadecágono

30.- Hallar el número de lados de un polígono cuya suma de ángulos internos es de

4500º

a) 27 lados

b) 13 lados

c) 23 lados

d) 26 lados

e) 25 lados


a) Eneágono

b) Nonágono

c) icoságono

d) Alternativas a) y b)

e) dodecágono

32.- Hallar la suma de los ángulos internos de un octadecágono regular (18 lados)

a) 6480º

b) 3240º

c) 3600º


d) 2880º

e) 6400º

33.- Hallar el número de lados de un polígono regular en que cada ángulo externo

mide 2º

a) 90 lados

b) 180 lados

c) 270 lados

d) 360 lados

e) 56 lados


a) tridecágono

b) Tetradecágono

c) eptadecágono

d) enadecácogono

e) pentadecágono

35.- Hallar el número de diagonales que tiene un polígono de 24 lados

a) 252 diagonales

b) 168 diagonales

c) 240 diagonales

d) 288 diagonales

e) 264 diagonales


36.- Hallar la medida de un ángulo interno de un octágono regular (8 lados)

a) 90º

b) 60º

c) 120º

d) 135º

e) 45º

37.- Hallar el número de lados de un polígono regular en que cada ángulo interno

mide 175º

a) 72 lados

b) 36 lados

c) 54 lados

d) 5 lados

e) N. A.

38.- Hallar el número de lados de un polígono regular donde cada ángulo interno

mide 165º

a) 18 lados

b) 12 lados

c) 36 lados

d) 15 lados

e) 24 lados


39.- Hallar el número de diagonales que tiene un hexágono

a) 9 diagonales

b) 11 diagonales

c) 10 diagonales

d) 6 diagonales

e) N. A.

40.- Hallar el número de lados de un polígono cuya suma de ángulos internos es de

28 ángulos rectos

a) 18 lados

b) 9 lados

c) 16 lados

d) 30 lados

e) N. A.

41.- En la figura se muestra un hexágono regular, 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ 𝑦 𝐸𝐵̅̅ ̅̅ son diagonales, entonces el valor de x =? a. 10° b. 15° c. 20° d. 30° e. 45°

42.- ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un polígono de 20 lados? a. 3.200°

b. 3.240°

c. 3.160°

d. 3.300°

e. 3.500°

43.- ¿Cuántas diagonales tiene un heptágono? a. 14

b. 20

c. 9

d. 72

e. 28

44.- En el pentágono regular de la figura, ¿cuál es el valor de x?


a. 540

b. 108

c. 72

d. 38

e. 36

45. En la siguiente figura se muestran triángulos rectángulos en los cuales se le han construido polígonos regulares sobre sus catetos e hipotenusa. ¿En cuáles de las opciones se puede afirmar que el área del polígono construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas construidas sobre los catetos?

a. Sólo I b. Sólo II c. Sólo III d. Sólo IV e. Todas

46. En la figura el triángulo AED es equilátero y EBCD es un rombo. Si 𝐶𝐹̅̅̅̅ ⊥ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 𝑦 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ = 4, entonces ¿Cuál es el área de la región sombreada

a.

b.

c.

d.

e.

47.- En el pentágono ABCDE de la figura, ¿cuántas diagonales de pendiente positiva se pueden trazar? a. ninguna b. una c. dos d. tres e. cuatro

48.- El área de un trapecio de bases 10 y 12, y altura 3 es: a. 66

b.11

c. 33

d. 25

e. 16 ½

49.- ¿Cuántas diagonales tiene un polígono reglar de 22 lados


a. 200

b. 209

c. 100

d. 220

e. 360

50.- ¿Cuánto mide un ángulo interior de un octágono regular? a. 135°

b. 120°

c. 128°

d. 108°

e. 112,5°

51. El hexágono de la figura tiene lado √12, entonces ¿cuál es el área del trapecio ABCD?

a.

b.

c.

d.

e.

52. Si los polígonos de la figura so todos hexágonos regulares y los puntos E y K son puntos medios de los lados DF y JP respectivamente, entonces ¿cuál es el área del hexágono mayor si el área del menor es 2cm2

a.

b.

c.

d.

e.

53. Dado un paralelogramo ABCD, con 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑥 + 4, 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 𝑥 − 6, 𝑦 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = 2𝑥 −16. ¿ Cuál es el valor de AD?̅̅ ̅̅ ̅ a. 20 b. 24 c. 28 d. 14 e. 10

54. En el paralelogramo ABCD, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑥 + 8, 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 3𝑥 𝑦 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = 4𝑥 − 4. Entonces ABCD es un: a. Rectángulo b. Rombo c. Trapecio d. Romboide e. Pentágono


55. Si los ángulos interiores de un pentágono están en la razón 1 : 2 : 2 : 2 : 3, ¿cuánto mide el ángulo menor? a. 72° b. 36° c. 108° d. 90° e. 54° 56. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado de diagonal 8? a. 32 b. 16

c. 32√2

d. 16 √2

e. 32√3 57. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular?

(1) La suma de sus ángulos interiores es 900° (2) El número de diagonales que se pueden trazar en el es 14.

a. (1) por sí sola b. (2) por sí sola c. Ambas juntas, (1) y (2) d. Cada una por sí sola (1) ó (2) e. Se requiere información adicional 58. Determinar el área de un trapecio si su altura es 5 cm. (1) Su mediana es 7 cm. (2) La diferencia de sus bases es 4 cm. a. (1) por sí sola b. (2) por sí sola c. Ambas juntas, (1) y (2) d. Cada una por sí sola (1) ó (2) e. Se requiere información adicional 59. en el cuadrado ABCD de la figura, ¿Cuánto mide el perímetro de la parte sombreada?

a. (1) por sí sola b. (2) por sí sola c. Ambas juntas, (1) y (2) d. Cada una por sí sola (1) ó (2) e. Se requiere información adicional


60: En la figura, AD = 3, DC = 4 y CB = 1. El área del cuadrilátero ABCD es:

anterioresvaloreslosdeNinguno)E

612)D

6212)C

66)B

626)A

61: En la figura, ABCD es un rectángulo y FCGI es un cuadrado. ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El área de FCGI es 12

II) El área de ABFI es 6

III) El área de AEIH es 3

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) Solo II y III

62: Los vértices de una figura son: A(2, 0); B(0, 2); C(−2, 0) y D(0, −2). ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s) ?

I) El perímetro de la figura es 8 2 .

II) Cada diagonal mide 4.

III) El área de la figura es 4 2 .

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo II y III

E) I, II y III


63: ¿Cuál de las afirmaciones es correcta para todos los paralelogramos?

A Si sus ángulos son rectos es un cuadrado.

B Los ángulos consecutivos son complementarios.

C Las diagonales son bisectrices.

D Los ángulos opuestos son congruentes.

E Los ángulos opuestos son suplementarios.

64: El cuadrado ABCD de lado a se ha dividido en 9 cuadrados congruentes entre sí, como se

muestra en la figura. El área del cuadrado PQRS es

9

a8)E

9

a5)D

4

a3)C

3

a5)B

9

a4)A

2

2

2

2

2

65: En el plano de la figura, se muestra el polígono ABCD, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es(son) verdadera(s) ?

I) El perímetro del polígono es 8 2 .

II) Cada diagonal del polígono mide 4.

III) El área del polígono es 4 2 .

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo II y III

E) I, II y III


66: En la figura, ABCD es un rectángulo que se ha dividido en seis cuadrados congruentes. Si los

arcos corresponden a cuartos de círculo, entonces

¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?

I) La suma de las áreas sombreadas es igual al área de un círculo de radio 2

1BC

II) La suma de los perímetros de las áreas sombreadas es igual al perímetro de una

circunferencia de radio 3

1AB

III) La suma de los perímetros de las regiones sombreadas es mayor que el perímetro de

ABCD.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) Sólo I y III

67: Dado el cuadrado ABCD de lado k en la figura, donde PB3PC , QC2QD y M es el punto de

intersección de DP y AQ, entonces el área del ∆ DMQ es

6

k)E

9

k2)D

9

k4)C

3

k)B

9

k)A

2

2

2

2

2

68: En la figura, dadas las dimensiones del rectángulo ABCD, entonces la medida del lado BE en

el rectángulo DBEF mide

2

5)A

5

1)B

53

2)C

5

2)D 1)E


69: En la figura, ABCD es un rectángulo en el cual BC = 8 cm. Los triángulos son todos equiláteros

y congruentes entre sí. El perímetro de la región sombreada es

A) 42 cm

B) 46 cm

C) 48 cm

D) 50 cm

E) 56 cm

70: El largo de una piscina rectangular es el doble de su ancho. Se construyó una cerca,

rodeándola, separada un metro de sus bordes. Si el área cercada es de 40 m2, ¿cuál es el largo de

la piscina de la figura?

A) 3 m

B) 6 m

C) 12 m

D) 80 m

E) m2

1653

71: En el triángulo ABC de la figura, ADEF es un rombo, FCAF y mide 60º, entonces

¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?

BCAB)III

2

ABFE)II

FCFE)I

A) Sólo I

B) Sólo I y II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III


72: La figura está formada por 6 cuadrados congruentes de 30 cm de lado cada uno. El área de la

región achurada mide

A) 50 cm2

B) 75 cm2

C) 100 cm2

D) 112,5 cm2

E) 125 cm2

73: ¿Cuánto mide el perímetro del polígono de la figura con p > q?

A) 4p + 3q

B) 4p + 4q

C) 3p + 3q

D) 3p + 2q

E) No se puede determinar

74: En la figura, ABCD es un cuadrado de lado a, M y N son puntos medios de los lados AByAD

, respectivamente. ¿Cuál es el área del triángulo MAN?

2)

2aA

4)

2aB

8)

2aC

4)

aD

8)

aE

75: ABCD es un rectángulo tal que AB = 5 y BC = 4. Si se ha dividido en cuadrados congruentes

como se muestra en la figura, ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?

I) Área de la región sombreada es 13

II) Perímetro de la región sombreada es igual al perímetro de ABCD

III) Suma de los perímetros de las áreas no sombreadas es mayor que el perímetro del

rectángulo ABCD


A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II, III

76: En el cuadrado ABCD de la figura T, M, L y P son puntos medios de los lados respectivos.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

TLPΔ)I TMBΔ

CBLDTA)III

LTMΔPMLΔ)II

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo I y III

77: ¿Cuál es la conclusión más precisa respecto al perímetro y al área de un cuadrado cuando su

lado se duplica?

A) El perímetro se duplica y el área se cuadruplica

B) El perímetro se cuadruplica y el área se duplica

C) El perímetro se duplica y el área aumenta en mayor proporción que el perímetro

D) El perímetro se cuadruplica y el área aumenta en menor proporción que el perímetro

E) El perímetro aumenta en mayor proporción que el área

78: En la figura AQ = 1 y QC = 2, entonces ¿cuál es el área del rectángulo ABCD?

A) 2

B) 6

23)E

33)D

32)C


79: En la figura ABCD es un cuadrado. El área del triángulo AMN es:

13)E

3

32)D

2)C

1)B

8

9)A

80: En la figura ABCD es un cuadrado de lado 3 cm y CQ = 33 cm. Si P, B y Q son puntos

colineales, entonces el área de la región NO sombreada mide:

2

2

2

2

2

cm18)E

cm9)D

cm312)C

cm39)B

cm36)A

81: En la figura, el cuadrado se ha dividido en 5 rectángulos congruentes entre sí, y cada

rectángulo tiene un perímetro de 30 cm. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado?

A) 50 cm

B) 48 cm

C) 60 cm

D) 150 cm

E) Ninguno de los valores anteriores

82: Con un cordel de largo d se forma un cuadrado. ¿Cuánto mide el área del cuadrado?

16)

8)

4)

2)

)

2

2

2

2

2

dE

dD

dC

dB

da


83: EFGH es un rectángulo. Si CFBΔAHDΔ y BEAΔDGCΔ entonces ¿cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

ADGDCG)III

ABDC)II

DABDCB)I

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

84: ¿Cuál es el perímetro de la figura plana formada por 4 rombos congruentes cuyas diagonales

miden 8 cm y 6 cm?

A) 60 cm

B) 70 cm

C) 80 cm

D) 84 cm

E) 120 cm

85: En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 10, en el cual se ha inscrito el trapecio isósceles

EFGH. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El área de EFGH es 48

II) AEH CFG

III) HJ = EF

A) Solo II

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III


86. El perímetro del rectángulo cuya superficie es 24 cm2 y uno de sus lados mide 3

cm. es:

a) 8 cm. b) 11 cm. c) 24 cm. d) 22 cm e) 48 cm.

87. La medida del lado de un cuadrado cuyo perímetro es 64 cm. es:

a) 4 cm b) 8 cm. c) 16 cm. d) 32 cm. e) 64 cm.

88. Si el radio de una circunferencia es 8 m. ¿Cuánto mide el perímetro del cuadrado

circunscrito a ella?

a) 16 m. b) 32 m. c) 40 m. d) 64 m. e) 256 m.

89. ¿Cuánto es la diferencia entre las áreas de una circunferencia de 6 m. de

diámetro y otra de 4 m. de radio?

a) 21 m2 b) 23 m2 c) 25 m2 d) 60 m2 e) 2 m2

90. ¿Cuál es el perímetro de un romboide en el cual uno de sus lados mide 7 cm. y el

otro lado mide 3,6 cm?

a) 8,6 cm b) 10,6 cm. c) 21, 2 cm. d) 25,2 cm e) Ninguna de las

anteriores

91. Un cuadrado de lado a tiene un área de 49 m2. Un cuadrado de lado 3a tiene un

área de :

a) 147 m2 b) 196 m2 c) 294 m2 d) 441 m2 e) 2401 m2

92. En un rectángulo, el largo excede en 5 cm. al ancho. Si el perímetro mide 58 cm.,

su superficie es:

a) 63 cm2 b) 84 cm2 c) 102 cm2 d) 130,5 cm2 e) 204 cm2

93. La base de un triángulo isósceles mide 30 cm. Si su perímetro es 72 cm., cada uno

de sus lados mide:

a) 14 cm. b) 18 cm. c) 21 cm. d) 42 cm. e) 36/15


94. El área de la figura que se obtiene al unir los puntos (0,0); (-3,5) y (-3,0) es:

a) 0 u2 b) 3 u2 c) 6 u2 d) 7,5 u2 e) 15 u2

95. El área de un círculo es 25p cm2. Entonces, el perímetro del cuadrado circunscrito

es:

a) 20 cm. b) 20 cm. c) 40 cm. d) 100 cm. e) 625 cm.

96. El área de un rectángulo es 200 m2 y su largo es 25 m. Por lo tanto, su perímetro

es:

a) 50 m. b) 58 m. c) 66 m. d) 225 m. e) 240 m.

97. Un papel cuadrado de 6 cm. de lado se dobla de modo que los cuatro vértices

queden en el punto de intersección de las diagonales. ¿Cuál es el área de la nueva

figura que resulta?


98. La mediana de un trapecio mide 20 cm. Si una de las bases es el triple de la otra, entonces la

base mayor mide:


99. El perímetro de un cuadrado de lado 2n es igual al de un rectángulo cuyo largo es el triple del

ancho. ¿Cuál es la superficie del rectángulo?

a) 3n2 b) 4n2 c) 2n2 d) 9n2 e) 8n2

100. Los lados de un rectángulo mide 8 m. y 18 m. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado de igual

perímetro?

a) 6 m. b) 12 m. c) 13 m. d) 26 m. e) 52 m.

101. El área de un triángulo rectángulo isósceles es 32 cm2. Entonces los catetos iguales miden:

a) 9 m. b) 8 m. c) 4 m. d) 12 m. e) 6 m.

102. El área de un cuadrado es 36 cm2. Si un triángulo equilátero tiene el mismo perímetro que el

cuadrado, entonces el lado del triángulo mide:



103. Los lados de un rectángulo están en la razón de 3:8. Si su área es 600 cm2., entonces su lado

mayor mide:

a) 80 b) 40 c) 30 d) 15 e) Ninguna de las

anteriores

104. El área de un cuadrado es 81 cm2. ¿Cuál es el perímetro del triángulo equilátero construido

sobre su diagonal?


105. Las áreas de dos círculos son entre sí como 48:75. Entonces la razón entre sus radios es:

a) 48:75 b) 16:25 c) 2:1 d) 4:5 e) 75:48

106. Si el diámetro de una circunferencia mide 6 cm., entonces su semiperímetro es:

a) 18p cm. b) 4,5p cm. c) 3p cm. d) 6p cm. e) 9p cm.

107. En la figura, ABCD es un cuadrado de perímetro 4a cm y AFGE es un rectángulo, si AE = 1 cm y

AF = 2 cm. ¿Cuál es el perímetro de la figura sombreada?

a) 4a cm.

b) (4a - 3) cm.

c) (4a - 2) cm.

d) (4a - 1) cm.

e) (4a + 3) cm.

108. Si un alambre de 60 cm. de largo se usa para construir tres cuadrados de igual lado, entonces

la suma de las áreas es:


110. El cuadrado ABCD de la figura, tiene un perímetro de 32 cm. y está

formado por 4 cuadrados congruentes subdividos a su vez en triángulos

semejantes. ¿Cuál es el área de la superficie sombreada?

a) 6 cm2

b) 3 cm2

c) 15 cm2

d) 10 cm2


e) 12 cm2

111. Los rectángulos ABCD y PQRS son congruentes y se han superpuesto del modo que se indica

en la figura. Si AD = 4 cm., AB = 12 cm. y RQ = (2/3)BQ, entonces ¿cuál es el área del rectángulo?

a) 12 cm2

b) 16 cm2

c) 24 cm2

d) 10 cm2

e) 12 cm2

112. En el gráfico de la figura, ¿cuál es el área de la figura

sombreada?

a) 14 cm2

b) 38 cm2

c) 76 cm2

d) 56 cm2

e) 112 cm2

113. Con el 20% del perímetro de una circunferencia se construye una circunferencia de 16 cm.

de longitud. ¿Cuál es el radio de la circunferencia mayor?


114. Si la figura está formada por cinco cuadrados de perímetro 40 cm.

cada uno, ¿cuál es el perímetro de la figura?

a) 120 cm.

b) 160 cm.

c) 180 cm.

d) 200 cm

e) 250 cm.


115. La suma de las áreas de dos cuadrados es 52 cm2. Si el lado del cuadrado menor es 4 cm., el

lado del mayor es:

a) 36 cm. b) 16 cm. c) 9 cm. d) 6 cm. e) N. A.

116. El 30% del área de un rectángulo equivale al área de un cuadrado de lado 9 cm. ¿Cuál es el

área del rectángulo?

a) 24,3 cm2 b) 30 cm2 c) 81 cm2 d) 243 cm2 e) 270 cm2

117. El largo de un rectángulo es 2a - 3b y el ancho es a + b. El perímetro del rectángulo es:

a) 3a - 2b b) 6a - 2b c) 6a - 4b d) 6a - 8b e) N.A.

118. En la figura, ABCD rectángulo, M y N puntos medios de los lados respectivos. ¿Qué parte del

área del rectángulo es el área de la parte sombreada?

a) 1/2 b) 1/4

c) 2/3 d) 3/4

e) 3/8

119. El cuadrilátero de la figura es un rectángulo y los cuatro triángulos sombreados son isósceles y

congruentes. ¿Cuántas veces está contenido uno de los

triángulos en el rectángulo?

a) 8 b) 10

c) 12 d) 14

e) 16

120. El área de un cuadrado es 64 cm2. Si cada lado disminuye a la cuarta parte, ¿cuánto mide la

mitad del área del cuadrado resultante?


121. PQRS es un cuadrado cuyo perímetro mide 96 cm. y en que PQ está

dividido en tres partes iguales y QR está dividido en cuatro partes iguales.

¿Cuál es el perímetro del rectángulo KLMN?

a) 28 cm. b) 40 cm.

c) 16 cm. d) 32 cm.


e) 24 cm.

122. El ancho de un rectángulo es la mitad de su largo que mide t, entonces su perímetro está

expresado por:

a) 2t + 0,5t b) 6t c) 4t d) 3t e) t + 0,5t

123. En la figura ABCD es un cuadrado de perímetro igual a 96 cm., GECF es un cuadrado de

perímetro 68 cm. y JHCI es cuadrado de perímetro 20 cm. ¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes

es(son) verdadera(s)?

I) BE > FI

II) EH = CD/2

III) EC = 2·CH + DF

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y II e) Sólo II y III

123. Si en un triángulo equilátero la longitud de cada lado aumenta en una unidad, entonces ¿cuál

de las siguientes afirmaciones es verdadera?

a) su perímetro aumenta en 3 unidades

b) su área aumenta en 3 unidades

cuadradas

c) su perímetro permanece constante

d) su área permanece constante

e) su altura aumenta en 1 unidad

121. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado si el radio de la circunferencia circunscrita a él es 4 2

cm?

a) 32 cm. b) 16 cm. c) 12 cm. d) 16 2 cm. e) 32 2 cm

125. Una oveja está atada a un cordel, fijo a una estaca, cuyo largo es p. Luego, la superficie

máxima del prado en la cual puede pastar mide:

a) p2 b) (p/2)2 c) p2 d) 2p e) 2p2


126. El pentágono está formado por el rectángulo ABDE cuya diagonal mide 10 cm. y el triángulo

equilátero BCD cuyo perímetro mide 18 cm. ¿Cuál es el perímetro del pentágono?

a) 34 cm.

b) 36 cm

c) 40 cm.

d) 44 cm.

e) 46 cm.

127. Si el perímetro de un rombo es de 52 cm. y una de sus diagonales mide 24 cm., entonces su

área es:


128. La figura corresponde a la de un cuadrado de perímetro 32 cm. ¿Cuál es el área del

cuadrilátero sombreado si cada línea que se traza dimidia la parte correspondiente de la figura?

a) 8 cm2

b) 6 cm2

c) 4 cm2

d) 2 cm2

e) 1 cm2

129. El doble del área de un cuadrado cuyo lado mide 3 cm es:


130. Una carpeta rectangular es dos veces más larga que ancha. Si el perímetro de la carpeta es

432 cm. ¿cuál es el largo de ésta?



131. El 50% de las caras de uno de los cubos de la figura, están pintadas de rojo y sólo dos caras del

otro cubo no están pintadas de rojo. ¿Cuántas caras rojas hay en total?

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

132. En la figura siguiente, el área de la cara del cubo A es 16 cm2 y el área de la cara del cubo B es

36 cm2. La razón entre las aristas de los dos cubos es:

a) 2:3

b) 4:9

c) 1:3

d) 3:4

e) Ninguna de las anteriores

133. Cada arista del cubo de la figura, mide 2 cm. ¿Cuánto mide la superficie del cuadrilátero

sombreado?

a) 4 cm2

b) 8 cm2

c) 16 cm2

d) 2 2 cm2

e) 4 2 cm2

134. La caja de la figura tiene 20 cm de largo, 10 cm de ancho y 5 cm de altura. Si sólo la cara

superior está pintada de azul, ¿cuánto mide la superficie NO pintada de azul?

a) 200 cm2

b) 350 cm2


c) 500 cm2

d) 600 cm2

e) 700 cm2

135. En la figura, se representan un cubo y un paralelepípedo de altura a. Si la cara sombreada del

cubo tiene un área de 64 cm2 y la cara sombreada del paralelepípedo tiene un área de 96 cm2,

entonces b mide:

a) 4 cm

b) 8 cm

c) 12 cm

d) 16 cm

e) 20 cm

136. La mitad de cada una de las caras del cubo de la figura se ha sombreado. Si la superficie total

sombreada es de 48 cm2 ¿cuál es el volumen del cubo?

a) 64 cm3 b) 96 cm3

c) 128 2 cm3 d) 192 cm3

e) 288 cm3

137. Las longitudes de las aristas de los cubos de la figura, están en la razón 1 : 2. Si el volumen del

cubo mayor es de 64 cm3 ¿cuánto mide la arista del cubo menor?

a) 3 32 cm. b) 14 cm.

c) 4 cm d) 2 cm.

e) Ninguna de las anteriores

138. En el paralelepípedo rectangular de la figura, se cumple que a : b : c = 1 : 4 : 6. Si el área de la

cara sombreada es de 36 cm2, ¿cuál es el volumen del paralelepípedo?

a) 216 cm3

b) 648 cm3

c) 1.296 cm3

d) 1.944 cm3


e) 2.592 cm3

139. El 20% del área de un cuadrado es 5x2. ¿Cuánto mide el semiperímetro de ese cuadrado?

a) 2x b) 4x c) 5x d) 10x e) 20x

140. El área de un cuadrado de lado x es 36 cm2. Si y es la mitad de x, ¿cuánto vale 3y2?

a) 243 cm2 b) 54 cm2 c) 27 cm2 d) 18 cm2 e) Ninguna de las

anteriores

141. En la figura, DE // BC. Entonces x – y es:

A) 15º

B) 30º

C) 45º

D) 60º

E) 55º

142. En el triángulo ABC de la figura, la medida del ángulo es:

A) 10º

B) 15º

C) 20º

D) 25º

E) 30º

143) El valor del ángulo en el triángulo ABC de la figura es:

A) 20º

B) 30º

C) 80º

D) 100º

E) 120º


144) Al expresar en función de “x” en el triángulo ABC de la figura, se obtiene:

A) 70º + x

B) 70º - x

C) x – 70º

D) 110º - x

E) x + 110º

145) En el triángulo ABC de la figura, el valor de “x” es:

A) 30º

B) 35º

C) 40º

D) 50º

E) 60º

146) En el triángulo ABC de la figura, x + y es:

A) 80º

B) 100º

C) 130º

D) 160º

E) 260º

147) En la figura, L1 // L2 ; L3 L1 y w = 5z.

¿Cuánto mide el ángulo x?

A) 40º

B) 50º

C) 60º

D) 75º

E) 85º


148) En la figura, DE // BC. Entonces x – y es:

A) 15º

B) 30º

C) 45º

D) 60º

E) 75º

149) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre falsa?. Un triángulo puede ser:

A) Isósceles y Rectángulo

B) Isósceles y Obtusángulo

C) Isósceles y Acutángulo

D) Escaleno y Obtusángulo

E) Equilátero y Obtusángulo

150) La clasificación del triángulo de la figura, es:

A) Escaleno - Acutángulo

B) Escaleno – Rectángulo

C) Isósceles – Acutángulo

D) Isósceles – Obtusángulo

E) Isósceles – Rectángulo

151) De acuerdo al triángulo de la figura, ¿cuál de las siguientes desigualdades es siempre

verdadera?

A) 2 < x < 14

B) 3 < x < 13

C) 4 < x < 12

D) 5 < x < 11

E) 6 < x < 10


152) ABCD es un cuadrado y el triángulo ABE es equilátero, entonces el ángulo “x” mide:

A) 75º

B) 90º

C) 105º

D) 110º

E) 120º

153) En el triángulo ACD de la figura, BC = BD y el ángulo = 30º.

Luego, la medida del ángulo x es:

A) 15º

B) 30º

C) 45º

D) 50º

E) 60º

154) En el triángulo ABC de la figura, = 100º, = 110º y CD es altura. ¿Cuánto mide ?

A) 30º

B) 40º

C) 50º

D) 60º

E) 70º

155) En el triángulo DEF de la figura, = 130º , = 80º y EH es altura. Entonces “x” en

función de “y” es:

A) y = x

B) y = 2x

C) y = 3x

D) x = 4y

E) y = 5x


156) En el triángulo ABC de la figura, AD es bisectriz del º60º100, ABCyEACBAC

.¿Cuánto mide el ángulo ADC?

A) 60º

B) 70º

C) 80º

D) 90º

E) 100º

157) En el triángulo MNP de la figura, yNEDMEHNP º150,º120 es bisectriz del ángulo

MNP. Entonces “z” en función de “w” es:

A) 4

wz

B) 3

wz

C) 2

wz

D) 5

wz

E) 6

wz

158) En el triángulo ABC de la figura, AD = CD , DBC = 50º y CD es transversal de gravedad.

¿Cuánto mide el ángulo ACD?

A) 40º

B) 50º

C) 80º

D) 90º

E) 100º


159) En el triángulo MNT de la figura, MP = 8cm. QN = 12cm. PQ es mediana. Entonces MN –

MT es:

A) 2cm.

B) 4cm.

C) 6cm.

D) 8cm.

E)10cm.

160) En el triángulo PQR de la figura, RQ = 12cm, RE = x + 3 y DE es mediana. ¿Cuánto mide

x?

A) 2cm.

B) 3cm.

C) 4cm.

D) 5cm.

E) 6cm.

161) En el triángulo ABC de la figura, EF y DG son simetrales de los lados AB y AC

respectivamente; DGE = 30º. ¿Cuánto mide ?

A) B) 2

C) 2

D)

2

3

E) 2

5

162) En el triángulo ABC de la figura, G es centro de gravedad. Si AD = 24cm.,entonces GD mide:

A) 6cm.

B) 8cm.

C) 12cm.

D) 16cm.

E) 18cm.


163) En el triángulo ABC de la figura, G es centro de gravedad. Si GD = 3x , entonces CD es:

A) 4x

B) 5x

C) 6x

D) 7x

E) 9x

164) En el triángulo DFE de la figura, H y G son los puntos medios de EF y DE

respectivamente, HIEF y GJDE. Si DK + KE + KF = 54cm. , entonces KE mide:

A) 6cm.

B) 9cm.

C) 18cm.

D) 27cm.

E) 36cm.

165) Si el triángulo ABC de la figura es rectángulo en C,

entonces el complemento del complemento del x mide:

A) 22º

B) 36º

C) 44º

D) 46º

E) 134º

166) En el triángulo ABC de la figura, se traza la transversal DE, ¿cuánto mide el ángulo x?

A) 63º

B) 70º

C) 117º

D) 103º

E) Ninguna de las anteriores


167) El ángulo BAD es ángulo exterior del triángulo ABC. Si AE es bisectriz del ángulo BAC,

entonces AEC + ACE =

A) 30º

B) 50º

C) 60º

D) 120º

E)150º

168) En la figura, DAC = CAB. Entonces el x mide:

A) 80º

B) 100º

C) 110º

D) 120º

E) 140º

169) En el triángulo ACD de la figura, BC = BD y el ángulo = 30º. Luego, la medida del ángulo x

es:

A) 15º

B) 30º

C) 45º

D) 50º

E) 60º

170) En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C, Si 120º entonces el ángulo mide:

A) 105º

B) 15º

C) 12,5º

D) 10º

E) 8º


171) En un triángulo, un ángulo interior mide 20º más que el otro, pero 35º menos que el tercero.

¿Cuál es la diferencia entre el suplemento del menor y el complemento del mayor?

A) 150º

B) 145º

C) 140º

D) 120º

E) 90º

172. Si en un triángulo equilátero se dibuja una de sus alturas, entonces se forman dos triángulos

A) isósceles rectángulos congruentes B) acutángulos escalenos congruentes C) acutángulos congruentes D) escalenos rectángulos congruentes E) equiláteros congruentes

173. En la figura 2, si ABC y BDF son triángulos equiláteros y BFEC es un rombo, entonces

¿cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) verdadera(s)?

I) x = z

II) x + y = EBD

III) x + y - z = 60º A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III

174. Los vértices de una figura son: A(2, 0); B(0, 2); C(-2, 0) y D(0, -2). ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El perímetro de la figura es 28 .

II) Cada diagonal mide 4.

III) El área de la figura es 24 .

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III


175. En la figura 3, se muestra un hexágono regular, sobre sus lados se construyen exteriormente

triángulos equiláteros, cuyos lados son de igual medida que el lado del hexágono. ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El área de la nueva figura duplica al área del hexágono. II) La suma de las áreas de los triángulos es igual al área del hexágono. III) El perímetro de la nueva figura es el doble del perímetro del hexágono.

A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

176. Dado el cuadrado ABCD de lado k en la figura 8, donde PB3PC , QC2QD y M es el punto

de intersección de DP y AQ , entonces el área del DMQ es

A) 9

k 2

B) 3

2k

C) 9

k4 2

D) 9

k2 2

E) 6

k 2

177. En la figura 9, dadas las dimensiones del rectángulo ABCD, entonces la medida del lado BE

en el rectángulo DBEF mide

A) 2

5 B)

5

1

C) 53

2 D)

5

2

E) 1

178. En los triángulos ABC y DEF de la figura 10, se sabe que: DF//AC , EF//CB , 8GDAD y

6FG , entonces el área del triángulo ABC es:

A) 180 B) 120 C) 108 D) 72 E) 54


179. Si en la circunferencia de diámetro 30 cm de la figura 11, la distancia desde el centro O de

ella, hasta la cuerda AB es de 9 cm, entonces la cuerda AB mide

A) 6 cm B) 12 cm C) 18 cm D) 20 cm E) 24 cm

180. En la figura 12, se tiene un semicírculo de centro O y BAC = 20º. El valor del x es

A) 20º B) 35º

C) 40º D) 55º E) 70º

181. En la figura 13, O y O1 son los centros de las circunferencias. En el triángulo ABC, el ángulo

CAB mide 22º, entonces el valor del ángulo es

A) 68º B) 66º C) 57º D) 44º E) ninguno de los valores anteriores

182. En la figura 14, PQ es un diámetro de la circunferencia de centro O y radio r. PR es tangente

en P y mide r. Si M es el punto medio de QR , entonces la longitud de PM , en términos de r, es

A) r

B) 2

5r

C) 2

3r

D) 2

2r

E) 3

r4


183. En una hoja cuadriculada como se muestra en la figura 15, se ha dibujado un triángulo ABC

donde cada cuadrado tiene lado 1, entonces sen =

A) 34

3 B)

4

5

C) 4

3 D)

34

5

E) 5

3

184: En la figura, se muestra un hexágono regular, sobre sus lados se construyen

exteriormente triángulos equiláteros, cuyos lados son de igual medida que el lado del

hexágono. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?

I) El área de la nueva figura duplica al área del hexágono.

II) La suma de las áreas de los triángulos es igual al área del

hexágono.

III) El perímetro de la nueva figura es el doble del perímetro del

hexágono.

A) Sólo III

B) Sólo I y II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

185: La siguiente figura corresponde a un hexágono regular de perímetro 36 cm.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El área del hexágono es igual a 2cm354

II) 1:3:

III) El complemento de β es 30º

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y III


E) I, II y III

Evaluación Final


16) ABCD cuadrado, AC = 4 cm.

18) ABCD rectángulo

18) ABCD rectángulo, AC = 13 cm.

19) ABCD rectángulo, E punto medio de AB, AD = 6 m., DE = 10 m.

17) ABCD rombo, DE = 9 cm., EC = 12 cm.

20) ABCD rombo, DC = 10 cm., DE = 9 cm.


21) ABCD romboide, AB = 20 cm., BC = 12 cm., altura DE = 8 cm.

27) ABCD romboide, DC = 12 cm., AD = 5 cm., AE = 3 cm.

22) ABC triángulo cualquiera, AC = 12 cm., BC = 14 cm., AB = 24 cm, CD = 4 cm.

28) ABC triángulo cualquiera, AD = 2cm., BD = 6 cm., CD = 5 cm.

23) ACBC, AC = 1 m., BC = 3 m.

29) ABC triángulo equilátero, AB = 6 m.

24) ABC triángulo equilátero, CE altura, EB = 1 cm. 25) Radio OA = 9 cm.

30) AC = BC, CE altura, AC = 13 cm., CE = 12 cm. 31) Diámetro AB = 26 cm.

26) AB diámetro de la circunferencia AC = 8 cm., BC = 6 cm.

32) ABCD trapecio con altura de 4 cm., AD = 12 cm., AB = 14 cm., BC = 6 cm., CD = 10 cm.


33) ABCD trapecio con altura de 12 cm. y mediana 8 cm., AD = 4 cm., BC = 6 cm.

34) En la figura ABCD es un rectángulo de lados 6 cm y 4 cm . El área de la parte no sombreada es:

a) 24 4 cm2

b) 24 2 cm2

c) 24 cm2

d) 4 cm2

e) 2 cm2

35) En el triángulo equilátero ABC, AD DE . Si

= 54° encontrar el valor de x: a) 24° b) 60° c) 840 d) 1140 e) 1560

36) En una circunferencia de centro O, tenemos

que OB OC ,COB = BOA + 29° y

DOC = BOA. Entonces el ángulo AOD mide: a) 610 b) 1220 c) 1480 d) 1510 e) 2120

37) En el cuadrado ABCD, E y F son puntos medios. ¿ Qué parte del área del cuadrado es el área sombreada?

a) 3

4

b) 4

5

c) 5

8

38) En un triángulo ABC, rectángulo en B, sobre

AC se encuentra D tal que AB = BD . El

ángulo ACB mide 34°. Hallar la medida del ángulo DBC. a) 150 b) 220 c) 340


d) 7

8

e) 9

10

d) 560 e) 112°

39) En figura, ABCD es un cuadrado de área

256 cm2. Si //EF HG y AE = 3 ED = 3 DH ,

entonces el área de la figura sombreada es: a) 40 cm2 b) 72 cm2

c) 104 cm2

d) 112 cm2

e) 144 cm2

40) Si la mitad del perímetro de un cuadrado es el doble de 16, su diagonal mide: a) 4

b) 16 2

c) 4 2

d) 16

e) 32 2

41) En el cubo de volumen 54 2 m3 determinar

la diagonal del cuadrilátero sombreado:

a) 3 2

b) 2 6

c) 3 6

d) 18 2

e) 18 6

42) El área un hexágono regular inscrito en una

circunferencia de perímetro 4 es:

a) 2 3 b) 4 3 c) 6 3

d) 3

6 e)

3

4

43) Desde un punto que dista 10 m del centro de una circunferencia se traza una tangente a esta que mide 8 m . La medida del diámetro de la circunferencia es: a) 4m b) 6 m c) 12 m d) 14 m e) 20 m

44) Las medidas de los tres ángulos de un

triángulo son respectivamente: 𝑚�̂� = 2𝑥, 𝑚�̂� =4𝑥 y 𝑚�̂� = 4𝑥, hallar la medida de cada ángulo.

a) 𝑚�̂� = 36º, 𝑚�̂� = 72º y 𝑚�̂� = 72º

b) 𝑚�̂� = 36º, 𝑚�̂� = 24º y 𝑚�̂� = 120º

c) 𝑚�̂� = 64º, 𝑚�̂� = 36º 𝑚�̂� = 80º

d) 𝑚�̂� = 44º, 𝑚�̂� = 56º y 𝑚�̂� = 80º


45) En la figura, ABCD trapecio de área 252 cm2 y

mediana igual a 21 cm. Si AB : CD = 2 : 1 y AD : DE = 5 :

4. ¿ Cuál es el perímetro del triángulo CFB?

a) 32 cm

b) 30 cm

c) 34 cm

d) 42 cm

e) 54 cm

46) En el cuadrado ABCD de la figura, AB = m, AG

=1/4 AC , AC FE , entonces FE en función de m

es igual a:

a) 2m

b) / 3 2m

c) / 2 2m

d) / 4 2m

e) / 8 2m

47) En la figura, el triángulo ABC es isósceles

rectángulo y AB es semicircunferencia de radio 6 cm.

¿Cuál es el área total de la figura?

a) 9 18 cm2

b) 9 36 cm2

c) 36 18 cm2

d) 36 36 cm2

e) 18 18 cm2

48) El área achurada de la figura mide: O : centro de la

circunferencia. 2 = radio de la circunferencia.

a) 2

2

b) 2 / 2

c) 2

d) 2 1

e) N. A.

49) De acuerdo con la figura, la parte achurada

equivale a:

a) 8

b) 12

c) 16

d) 12

e) 20

50) En los rectángulos de la figura: PQ : QR = 5: 3;

NQ :QT = 2:1. Si RQ = QN = 6, ¿ Cuál es el área

total de la figura?

a) 17

b) 42

c) 47

d) 50

e) 78


51) Si en la figura todos los cuadrados son congruentes

y el área total es de 20 cm2, entonces el valor de la

superficie sombreada es:

a) 5 cm2

b) 18 cm2

c) 10 cm2

d) 6,25 cm2

e) falta información

52) Desde el vértice C se ha trazado la altura CD y la

bisectriz CE , del ángulo ACB, DCE =?

a) 5°

b) 10°

c) 15°

d) 20°

e) 25°

53) La mediana del triángulo equilátero construido

sobre el rectángulo mide 8 cm. Si 2AB AC ¿ Cuál

es el perímetro de la figura sombreada?

a) 24 cm

b) 8( 1 + 2 ) cm

c) 16( 1 + 2 ) cm

d) 32 cm

e) N.A.

54) La circunferencia de centro O está circunscrita al

triángulo equilátero. ¿Qué longitud tiene la

circunferencia si AD = 12 cm?

a) 8 cm

b) 10 cm

c) 12 cm

d) 14 cm

e) 16 cm


Anexos

LOS TRIANGULOS

1) <CAB = ? 2) <QPR = ?

3) x = ? 4) x = ?

5) x = ? 6) x = ?

7) x = ? 8) x = ?

C

80º

72º

A B

R

40º

125º

P Q

x

158º 136º

72º

x 67º

81º

X

70º

87º

x

32º

132º

x x

x

x

x


9) <ABC = ? 10) x + y = ?

11) PR perpendicular con QR; 12) RT perpendicular con ST;

<PQR = ? a + b = ?

ANALIZA, LUEGO, SELECCIONA LA ALTERNATIVA CORRECTA

1. En la circunferencia de centro O y diámetro AC. Si AOB = 120°, entonces ACB = ?

a) 12,5° b) 25° c) 30° d) 50° e) 60°

2.- En la figura m, es punto medio del arco AB. Entonces, arco Am = ? a) 22,7° b) 54° c) 127,5° d) 27° e) Ninguna de las anteriores

3.- En la figura m, es punto medio del arco AB. Entonces, arco Am=?

a) 2q b) 2/3q -90° c) q d) 180°-q/2 e) Ninguna de las anteriores

C

3x

x 2x

A B

y

140º x 105º

R

30º

P Q

T

a b

R S


4.- Dada la siguiente figura, donde O es centro de la circunferencia. x=?

a) 30° b) 45° c) 40° d) 20° e) Ninguna de las anteriores

5.- Dada la siguiente figura, donde O es centro de la circunferencia. x=?

a) 37,5° b) 45° c) 30° d) 60° e) Ninguna de las anteriores

6.- Arco AC es 1/6 de la circunferencia. B es punto medio de AC. x=?


7.- Arco AC = 30º de la circunferencia. : =2:3. x=?


8.- Dada la siguiente figura, con diámetro AC, ¿cuál es la medida del x =?


9.- En la figura, O centro de las , ¿cuál es la medida del

x=?



10.- En la figura, O centro de la , ¿cuál es la medida del x

=?

a) 160° b) 150° c) 154° d) 172° e) 162°

11.- En la figura. O centro de la , ¿cuál es la medida del

x=?


12.- Dada la siguiente figura. O centro de .CPE = 15º.

arco AB = arco BC= arco CD = arco DE, , ¿cuál es la medida del x= ?


13.- En la de centro O, arco AB = arco BC = arco CD = arco

DE, ¿cuál es la medida del x?


14.- O centro de la circunferencia. ¿Cuál es la medida del x?


O


15.- O centro de la circunferencia. ¿cuál es la medida del x?


16.- O centro de la circunferencia. Los arcos AB=BC=CD, ¿cuál es la medida del x?

a) 2+90°

b) 180°-

c) /2

d) e) Ninguna de las anteriores

17.- O centro de la circunferencia. ¿Cuál es la medida del x?

a) 360° – +

b) 2 · ( + )

c) + b

d) 2 + /3 e) Ninguna de las anteriores

18.- O centro de la circunferencia. Los arcos PQ=QR=RS. ¿Cuál es la medida del x?


19.- O centro. MN tangente a la circunferencia. ¿Cuál es la medida del x?


20.- O centro. Arco AB = 2arco BD. ¿Cuál es la medida del x?

a)

b) 90°-/3

c) 2

d) (4/3) e) Ninguna de las anteriores


21.- En la circunferencia de centro O de la figura 1, se han dibujado tres diámetros. Con los datos dados, determina el valor del x?

a) 75º b) 35º c) 20º d) 70º e) 110º

22.- Dada la siguiente circunferencia EFC = 85º x=?


23.- Dada la siguiente circunferencia. arco CFA=135º, x=

a) 12,5° b) 25° c) 75° d) 37,5° e) Ninguna de las anteriores

24. ¿Cuál es el total de los trapecios isósceles dentro del

pentágono regular en donde se ha inscrito una estrella? a) 4 b) 5 c) 10 d) 8 e) Ninguna de las anteriores

25. En la figura L//L’ ; si POB = 120 y OQ = 3cm, entonces la medida de AP es:

a) 12

b) 48

c) 3 d) 6

e) 12

2

26. En la circunferencia de centro O y radio r, MN es diámetro,

si MP = r y Q punto medio de MP , entonces QN=

a) 3r

b) 2

3r

c) 2

13r

O

P

B

A Q

L

L’


d) 21r

e) No se puede determinar

M P

N

Q

O

27. En la figura el ABC es equilátero ¿Cuánto mide el x?. Si

O es el centro de la circunferencia

a) 100º b) 30º c) 120º d) 60º e) falta información

x C

AB

O

28. En la figura P es el centro de la circunferencia AB // FD ,

CD // EF Arco(CA) = Arco(AD), entonces es(son)

verdadera(s)

I. GP FD II. GFDP es trapecio rectángulo III. ángulo AGE = ángulo BPD

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo I y III e) Ninguna de las anteriores

P

A

B

C

D

E

F

G

29. El triángulo ABC está trazado en la mitad de la

circunferencia. Si hc = 4cm y el lado CB = 5cm. El radio de la circunferencia es:

a) 3 cm

a) 41

6 cm

b) 61

3 cm

c) 121

2 cm

d) Ninguna de las anteriores.

A B

C

O


30. En la figura se tiene circunferencia de centro O, MP bisectriz

del OMN. Si MPN = 40º, entonces x =?

a) 25º b) 30º c) 35º d) 40º e) 45º

31. A un círculo de 5 cm de diámetro se traza desde un punto P

una tangente PA y una secante PBC que pasa por el centro

como lo indica la figura. Si la cuerda AC mide 4 cm y BP

mide 4 cm. Calcular la tangente PA . a) 3 cm b) 6 cm c) 7 cm d) 8 cm e) 9 cm

32. En la semicircunferencia de centro O, DAB = 40º y

AD // OC, entonces el ACO vale: a) 10º b) 15º c) 20º d) 30º e) 45º

33. En la figura, O es el centro de la circunferencia. Si AB // RT y

AOC = 94º; la medida del ángulo es:

a) 47º b) 94º c) 123º d) 133º e) 152º

34. :es PT entonces ;4

PAAB 16;PA

a) 8

b) 484

c) 34

d) 38

e) 28

O

M

N

Px

P

A

4

C

5

B


35. AB = diámetro = 12; EB = 2; CE = 5; ED = ?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

36. En la misma figura anterior: AE = 8; EC = 6; DE = 12; AB =? a) 17 b) 9 c) 15 d) 10 e) 18

37. triangulo ADC inscrito en la circunferencia de centro O, BC tangente a la circunferencia en C. Entonces siempre se cumple: I) º90

II) º25

III) BCDACO

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Solo II y III e) I, II y III

38. 9;8;10 PDCPAC , entonces la medida del segmento BD

=? a) 16 b) 10 c) 7 d) 8 e) 6

39. En la figura, P es un punto exterior; BPAP y arco AB = 2 arco DE, entonces el ángulo x, mide:

a) 24º b) 36º c) 48º d) 54º e) Otro valor

40. MN es diámetro de la circunferencia. ¿Cuánto mide el radio? a) 7 b) 8 c) 10 d) 11 e) 12


41. ¿Cuál es la medida del diámetro MN, si 60;40 PTPM y O

es centro? a) 36 b) 40 c) 45 d) 50 e) 54

42. cmPDcmPCAC 4;12·2 , entonces la medida del segmento

BD =? a) 16 b) 10 c) 7 d) 8 e) N.A.

43. En el ABT ; AT tangente a la circunferencia en T; rAT y O centro de la de radio r . Entonces el valor del ángulo x es:

a)

b) 5/2

c) 2/

d) 3/2

e) 2/º45

44. Si los puntos P, Q, R y S pertenecen a la circunferencia, entonces la medida del ángulo x es:

a) 55º b) 54º c) 33º d) 27º e) 20º

45. AB y CD son diámetros. Entonces el valor del ángulo x es:

a) 2/

b) 3/

c) º90

d) 2

º90

e) º180

46. AB es diámetro de la circunferencia de radio 3 cm. Si

cmBC 8 , entonces AD =?

a) 6 cm b) 4,8 cm c) 6,4 cm d) 3 cm e) 3,6 cm


47. El triángulo ABC está inscrito en la circunferencia de centro O. si CD es un diámetro, entonces el ángulo x, mide:

a)

b)

c) 2/)(

d) º90

e) º90

48. AP y BP son tangentes a la circunferencia de centro O, ¿cuánto mide el ángulo x?

a) 30º b) 65º c) 130º d) 135º e) N. A.

49. O centro de las circunferencia. AC=6, BC=8 ¿cuánto mide el radio de la circunferencia?

a) 20 b) 5 c) 10 d) 14 e) Ninguna de las anteriores

50. º40 , cuanto mide x?

a)

b) 2

c) 2º180

d) 2º90

e) N.A. 51. Los ángulos 1, 2 y 3 son congruentes en los trazos. CF, AG y

BE son alturas y bisectrices cada una de ellas. Entonces, x mide:

a) 30

b) 45

c) 60

d) 90 e) Falta información

52. Si es el doble de entonces sus medidas son respectivamente:

A) 80 y 40

B) 60 y 30

C) 40 y 20

D) 20 y 10 E) Otros ángulos

A B

C

D

E30

o

40o

50o

A FB

C

E G

1

23

x


53. ¿Cuál debe ser la longitud del trazo EF si P y Q son puntos medios? (ABCD trapecio)

a) 7,5 b) 8 c) 2,5 d) 3,5 e) N.A.

B C

P Q

A D

5

10

F E

54. Sea AO , COyBO bisectrices de los ángulos interiores del

triángulo ABC; además COABOCAOB , y <OCB =

30º, de las siguientes afirmaciones es FALSA: I. Triángulo ABC es equilátero. II. Los triángulos que tienen como vértice el punto O son

isósceles. III. Todos los triángulos que se observan son

acutángulos.

IV. AO BO CO a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo IV e) N.A.

55. En la figura O es el centro de la circunferencia, además arco(AB) : arco(BC) = 2:3 , entonces x=?

a) 60

b) 40

c) 100

d) 80 e) Ninguna de las anteriores.

A

B

C

D

E

F

x O

80

56. En la figura, si todas las líneas son paralelas, el máximo de paralelogramos es: a) 2 b) 6 c) 5 d) 8 e) 9

57. Si el trazo EF = EG y el ángulo FEG vale 60, el triángulo de la figura es:

a) Isósceles b) Equilátero c) Escaleno d) Acutángulo e) B y D

F

G

E

60

58. En la figura AOB=72. Si Arco(EA) = Arco(BF), entonces ¿cuánto vale x + y ?

a) 94

b) 86

c) 188

d) 172

e) 36

A B

C

O

A B

CD P

Q

R ST

y

50o

E

A

F

B

O

x


59. En la circunferencia de centro O, al arco(AB) = 1

5 de la

circunferencia, ¿cuánto mide el arco(CD)?

a) 72

b) 96

c) 120

d) 168 e) N. A.

60. En la figura, circunferencia de centro O y radio r. ABC

triángulo equilátero, si PA , QB , TC son tangentes a la circunferencia en A, B y C respectivamente, entonces

=?

a) 360

b) 180

c) 90

d) 60

e) 45

O

C

DA

B

48° P

O

A

B C

P

Q

T

+


PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES

Antes de entrar al análisis de fórmulas referente al perímetro, área y volumen de figuras geométricas,

repasemos estos temas y efectuemos ejercicios pertinentes

Llamamos área o superficie a la medida de la región interior de un polígono. El perímetro corresponde a la

suma de los lados del polígono.

Figura Geométrica PERÍMETRO Y ÁREA

Triángulo Cualquiera

P = a + b + c

2

·

2

· hcalturabaseá

Triángulo Rectángulo

P = a + b + c

2

·

2

· bacatetocatetoá

Triángulo Equilátero

P = 3a

4

32aá


Cuadrado

P = 4a

á = a2

2

2dá

Rectángulo

P = 2a + 2b

á = lado · lado = a·b

Rombo

P = 4a

á = base · altura = b · h

2

·

2

· fediagonaldiagonalá

Romboide

P = 2a + 2b

á = a · h

Trapecio

P = a + b + c + d

2

)·(

2

)·21( hcaalturabasebaseá

á = Mediana · altura = m · h


Trapezoide

P = a + b + c + d

á = á 1 + á 2 + á 3 + á 4

Circunferencia

P = 2 · r

Círculo

á = · r2

Sector Circular

360

222

rrABrp

2 ·

360

rá


Áreas Sombreadas (achuradas)

Son una forma de aplicación del cálculo de áreas de diferentes figuras que están relacionadas entre sí. Para

distinguir la parte que se debe calcular como resultado final se procede a sombrearla, es decir, se pinta o

raya imitando texturas.

Suma de áreas:

Algunas veces, la parte achurada está formada por la unión de áreas de figuras, por lo tanto, hay que

descomponerla, luego hacer el cálculo de cada parte, y finalmente, sumarlas para encontrar el área total.

Veamos el siguiente ejemplo: ABCD cuadrado de lado 4 cm.

Esta figura se descompone en medio círculo y un cuadrado. Primero, tendremos que

calcular el área del círculo. Como AB = 4 cm, entonces OC, radio del semi círculo, mide 2

cm. y su área es r2 / 2 = 2. Determinemos ahora el área del cuadrado, á = a2 = 42 = 16

cm2. Sumando ambas áreas nos dará el área total sombreada, o sea 2 + 16 = 2( + 8)

Resta de áreas:

Este tipo de ejercicios es el más común y son las que tienen unas figuras dentro de otras. En estos casos, la

solución se encuentra buscando la diferencia entre las figuras que forman el sector sombreado. Por

ejemplo: ABCD rectángulo de lado AB = 12 cm.

El área del rectángulo es AB · BC, BC mide lo mismo que el radio de la semi

circunferencia, por lo tanto el producto debe ser 12 cm · 6 cm = 72 cm2. Ahora

calculemos el área del semi círculo, o sea r2 / 2, lo cual resulta 18.

El área sombreada queda determinada por la resta entre el área mayor, que es la del rectángulo, y el

área menor, que es el del semi círculo, es decir,

72 – 18 = 18(4 – ).


VOLUMEN

Cubo:

Área = 6a2

V = a3

Paralelepípedo:

Área: 2(ab + ac + bc)

Volumen: a·b·c

Pirámide

V = ·

3

area basal altura

Cono: Se forma por la

rotación de un triángulo

rectángulo como lo indica la

figura

V =

2

3

r

Cilindro Se forma por la

rotación de un rectángulo

como lo indica la figura

V = r2 · h

Esfera Se forma por la

rotación de una

semicircunferencia como

lo indica la figura

V = 3

3

4rr


Ejercicios P.S.U.

1. Si el lado de un cuadrado aumenta al doble. ¿Qué ocurre con el área y su perímetro?

2. ¿En cuánto aumenta el área de un rectángulo de lados 12 m. y 4 m. si se aumentan ambos lados en un 25%?

3. Si la arista de un cubo mide 2 cm. y se aumenta en 1 cm. más, ¿en cuánto aumenta su área?, y ¿en cuánto aumenta su volumen?

4. Determina el perímetro y el área de las siguientes figuras:

a) ABCD cuadrado

POLIEDROS

Se define un cuerpo poliedro como un sólido limitado por planos.

Los poliedros regulares son aquellos cuyas caras son polígonos regulares congruentes y los ángulos

poliedros tienen el mismo número de caras.

Ejercicio 1

1. Clasifica los poliedros regulares según el número de caras

Poliedros regulares

Número de caras Nombre

4

6

8

12

20


DEFINICIONES

Un prisma se define como el cuerpo geométrico cuyas caras son paralelogramos y sus bases son

polígonos congruentes contenidos en planos paralelos.

Se define prisma recto o rectangular aquel cuyas aristas laterales son perpendiculares las bases.

Se define como paralelepípedo al prisma cuyas bases son paralelogramos.

Teorema de Euler:

En todo poliedro convexo se cumple la relación

Nº de caras + Nº de vértices = Nº de aristas + 2

Ejercicio 2

2. Utilizando el teorema de Euler contestar:

1. ¿Cuántas caras tiene un prisma de 16 vértices y 24 aristas? 2. ¿Un poliedro puede tener el mismo número de vértices que de aristas? 3. ¿Un poliedro puede tener el mismo número de vértices que de caras?

Área total de un prisma: Es la suma de las áreas de cada una de sus caras laterales y basales, es

decir, blT AAA 2 (donde área total, área lateral, área basal). :TA :lA :bA


h

Ejemplo: Un prisma recto tiene un perímetro basal de 20cm. Si su altura es 8cm y su base es un

cuadrado, determinar su área total.

Volumen de un prisma: Está dado por la expresión hAV b (donde área basal, altura)

Ejemplo: Las medidas de un paralelepípedo recto rectangular son 4, 6 y 5cm. Su volumen, en 3cm ,

es:

Se define como pirámide al poliedro que tiene como base un polígono cualquiera y sus caras

laterales son triángulos que tienen un vértice común llamado cúspide o vértice de la pirámide.

La altura es el segmento perpendicular trazado desde el vértice a la base.

Dependiendo de la base de la pirámide estas se pueden clasificar en triangulares, cuadradas,

pentagonales, hexagonales, etc.

Pirámide regular

Su base es un polígono regular coincidiendo el centro de este con el pie de la altura. Las caras son

triángulos isósceles congruentes y, la altura de cada uno de estos triángulos se denomina apotema

de la pirámide ).(

:bA :h


Área de una pirámide: Es la suma de las áreas de cada una de sus caras, es decir, lbt AAA

Volumen de una pirámide: Se determina mediante hAV bpirámide 3

1

Te invitamos a resolver las actividades de la página 165 de tu texto de estudio ´ (Unidad 4: Áreas y Volúmenes)

Ejercicio 3

Responde las siguientes preguntas

1. ¿Cuánto mide la diagonal de la cara de un cubo si su área total es de 150 2cm ?

2. La arista basal de una pirámide de base cuadrada es de 8cm y la altura es de 6cm. Determinar la

superficie total.

3. La diagonal de la cara de un cubo es de 4cm. Calcular:

1. longitud de la arista

2. diagonal del cubo

3. área del cubo


4. Una caja de zapatos tiene aristas de 40, 40 y 60 cm. Calcular:

1. longitud de las diagonales de las caras

2. área lateral y total de la caja

3. volumen de la caja

5. Calcular el volumen de una pirámide hexagonal sabiendo que la arista de la base mide 10cm y

que la altura mide 20cm.

6. Un prisma recto tiene por base un hexágono cuya apotema mide 3cm. Calcular:

1. El área de la superficie total del prisma si su altura mide 8cm.

2. El volumen del prisma

7. Calcular el volumen de una pirámide regular da base cuadrada, si sus caras laterales son

triángulos equiláteros de 8cm de lado.

EJERCICIOS PSU

Marca sólo la alternativa correcta.

1. El número de caras de un dodecaedro regular es:

A) 4 B) 6

C) 8 D) 12

E) 20


2. Si la arista de un cubo se duplica, entonces su volumen aumenta

A) al doble

B) al cuádruplo

C) seis veces

D) ocho veces

E) diez veces

3. Si el área de la base de una pirámide es 16 2cm y su altura 6cm, entonces

A) su base es un cuadrado

B) su área total es 96 2cm

C) su volumen es 32 3cm

D) el área de una de sus caras es 2318 cm

E) su volumen es 96 3cm

4. ¿Cuántos 2cm de papel de regalo se necesitan como mínimo para envolver la caja de regalo de

la figura?

A) 212cm B) 215cm

C) 220cm D) 260cm

E) 294cm

5. Los volúmenes de dos cubos están en la razón 1 : 3. Si la arista del menor mide 2cm, entonces la

arista del mayor mide:

A) 3 cm

B) 24 cm

C) 3 24 cm

D) 3 18 cm

E) 12 cm


10cm

10cm

5cm

6cm

3cm

6. El tetraedro de la figura es regular. ¿Cuál es su área total si una de sus aristas mide 2cm?

A) 16 2cm

B) 3 2cm

C) 33 2cm

D) 34 2cm

E) 316 2cm

7. La siguiente figura corresponde a un prisma de base un triángulo equilátero. ¿Cuál es su

volumen?

A) 27 3cm

B) 327 3cm

C) 321 3cm

D) 354 3cm

E) 35,13 3cm

8. Con cinco cubos congruentes se forma una cruz, como se muestra en la figura. Si el volumen de

la cruz es 3320cm , ¿cuál es el área total de esta cruz?

A) 640 2cm B) 560 2cm

C) 352 2cm D) 320 2cm

E) 160 2cm

9. La caja de leche contiene 4

3 de su capacidad total. La cantidad de leche que no se ha

consumido es:

A) 125 3cm

B) 375 3cm

C) 324 3cm

D) 243 3cm

E) 334 3cm


10. Cada arista del cubo de la figura mide 2cm. ¿Cuánto mide la superficie del cuadrilátero?

A) 4 2cm

B) 8 2cm

C) 16 2cm

D) 22 2cm

E) 24 2cm

LOS TRIANGULOS: SEMEJANZA

TRIÁNGULOS SEMEJANTES: En el tema anterior hemos dicho que cuando 2 triángulos están en posición de

Thales es porque están compartiendo un ángulo y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos. Y, por otro

lado, que cuando están así, los ángulos de los dos triángulos son iguales y los lados proporcionales.

Pues ahora, si somos capaces de recortar el triángulo menor para desprenderlo del mayor y ponerlo

a un lado lo que nos encontraremos sería “un par de triángulos semejantes”. Y se dice semejantes porque

son parecidos, se parecen. Como a 2 triángulos cuando están en posición de Thales les pasan 2 cosas, si a

esos 2 triángulos los separamos para obtener 2 triángulos separados y semejantes también les pasarán esas

mismas 2 cosas, esto es, que “sus ángulos medirán lo mismo” y que “los lados homólogos o

correspondientes son proporcionales”. Tal y como ya sabemos, para comprobar si los lados homólogos son

proporcionales o no tendremos que formar 3 razones, una por cada lado del triángulo, y veríamos si al final

nos sale el mismo nº o fracción (K) al simplificarlas. De ser así significaría que los lados homólogos serían

proporcionales.

Un ejemplo muy sencillito está en los instrumentos que empleamos de vez en cuando en clase para

trazar perpendiculares. Estoy hablando de distintas escuadras o de diferentes cartabones en lo que se

refiere al tamaño. Seguro que todos tendréis en este momento una escuadra a mano, y seguro que las hay

de varios tamaños en clase. Pues una escuadra de un tamaño con respecto a otra escuadra de otro tamaño

sería un claro ejemplo de “2 triángulos semejantes”. Los ángulos de cualquier escuadra miden 90º, 45º y

45º, por lo que los ángulos los tendrán todos iguales, y así cumplimos la 1ª de las propiedades. Si nos

pusiésemos a medir los lados veríamos que serían proporcionales, y así cumpliríamos las 2ª propiedad.

Aquí vienen 2 ejemplos:

a) b)


En resumen, cuando tengamos 2 triángulos en posición de Thales los podremos separar para

obtener 2 triángulos semejantes. Y si tenemos 2 triángulos semejantes los podremos colocar de forma que

obtengamos 2 triángulos en posición de Thales.

EJERCICIOS

1.- De la página 142 del libro, los nos 2, 3 y 4. De la página siguiente, los nos 5 y 6. El nº 5 pudiera ser un poco

complicado, pero si pensamos de forma fácil y sencilla en los tipos de triángulos que existen, poner el

ejemplo que os piden no debe resultar demasiado complicado.

CRITERIOS DE SEMEJANZA EN TRIÁNGULOS: Hemos dicho que para que 2 triángulos sean semejantes

deben cumplir las propiedades de tener los ángulos iguales y los lados homólogos o correspondientes

proporcionales.

Pues en los triángulos, y sólo en los triángulos, si demostramos tan solo una de esas 2 propiedades

podemos asegurar que los 2 triángulos son semejantes. Para demostrarlo, existen una serie de pruebas o

condiciones, los llamados “criterios de semejanza”, que hacen que con tan solo demostrar eso ya nos vale

para asegurar que 2 triángulos son semejantes. Estos criterios son:

a) 2 triángulos con 2 ángulos iguales, son semejantes Y es así porque como en todos los triángulos la

suma de sus 3 ángulos sale 180º , el tercer ángulo que nos queda también medirá lo mismo

obligatoriamente, y por tanto tendrán los 3 ángulos iguales (1ª condición de los triángulos semejantes). Eso

nos lleva a decir que la 2ª condición, aunque no la demostremos, también se cumplirá y por lo tanto,

aseguramos que los 2 triángulos son semejantes. Un ejemplo podría ser éste

1er triángulo, 2 ángulos de él miden 35º y 68º 2º triángulo, 2 ángulos de él miden 68º y 77º ¿Serán

semejantes? Si calculamos el ángulo que nos falta en el 1er triángulo (180º - 35º - 68º = 77º), vemos que

mide lo mismo que el 2º del 2º triángulo. Por lo tanto, cumple el 1er criterio que es tener 2 ángulos iguales

(68º y 77º) y los 2 triángulos son semejantes.

b) 2 triángulos con los lados homólogos proporcionales, son semejantes 2-T7

En este caso tendríamos que hacer las 3 razones con los 3 lados correspondientes y comprobar si al

final sale lo mismo (“K” = constante de proporcionalidad, o “r” = razón de semejanza). Si sale lo mismo, se

cumpliría la 2ª de las condiciones, y sin demostrar la 1ª de ellas (ángulos iguales) aseguraríamos que los 2

triángulos serían semejantes. Va el ejemplo


1er triángulo, sus lados miden 4, 6 y 7 cm 2º triángulo, sus lados miden 4´8, 7´2 y 8´4 cm.

¿Serán semejantes? Hagamos las 3 razones y lleguemos al final.

Lados pequeños - 6

5

48

40

8́4

4 Lados medianos -

6

5

72

60

2´7

6 Lados mayores -

6

5

84

70

48́

7

Tal y como se puede apreciar, en las tres razones llegamos al mismo resultado (6

5). Eso quiere decir

entonces que los lados homólogos son proporcionales, y que K = r = 6

5, por lo que los 2 triángulos serán

semejantes al cumplir la 2ª de las condiciones, esto es, el 2º criterio.

c) 2 triángulos con un ángulo igual y los dos lados que forman dicho ángulo proporcionales, son semejantes En este caso, debemos tener 2 triángulos con un ángulo igual de cada triángulo y la medida de los lados que forman sendos ángulos. Si hacemos las 2 razones con los 2 lados homólogos que nos dan y observamos que sale lo mismo al final, aseguraremos que los 2 triángulos son semejantes. El ejemplo sería

1er triángulo, un ángulo de 46º y los 2 lados que forman este ángulo de 6 y 7´2 cm

2º triángulo, un ángulo de 46º y los 2 lados que forman este ángulo de 15 y 18 cm

Observamos que los 2 ángulos son iguales y, por lo tanto, cumple lo primero del 3er criterio. Con

respecto a los lados, las razones nos salen Lados menores - 5

2

15

6 Lados mayores -

5

2

180

72

18

2´7

Como salen lo mismo, los lados que forman el ángulo que comparten son proporcionales, y por ello, los 2 triángulos son semejantes al cumplir el 3er criterio.

EJERCICIOS

2.- De la página 145 del libro, los nos 8, 9 y 10. En el nº 8 hay que contestar también a la pregunta “¿2 triángulos equiláteros son semejantes?”. En el nº 9 también hay que contestar a la pregunta “¿2 triángulos rectángulos son semejantes?”. Y en el nº 10 el enunciado lo vamos a modificar una de las palabras. Cuando aparece el 2º “que” hay que cambiarlo por “si”. Luego, también contestaréis a la pregunta “¿2 triángulos isósceles son semejantes?”.

POLÍGONOS SEMEJANTES: Sabemos que 2 triángulos son semejantes cuando tienen los ángulos iguales y los lados homólogos proporcionales. Aunque ya hemos visto que no hace falta demostrar las 2 condiciones, ya que al cumplir una de ellas, la otra la cumple de corrido. Pues 2 polígonos (figuras planas) serán semejantes cuando tengan el mismo nº de lados, se parezcan a la vista y cuando los ángulos sean iguales y los lados homólogos sean proporcionales. En el caso de los polígonos, a diferencia de los triángulos, se deben de cumplir y demostrar las dos condiciones, pues puede que haya polígonos con los ángulos iguales pero con los lados homólogos no proporcionales, o viceversa (lados proporcionales pero con los ángulos desiguales).


Un ejemplo serían dos romboides, uno con los ángulos de 32º y 148º y los lados de 4 y 6 cm, y otro romboide con los ángulos de 35º y 145º y los lados de 8 y 12 cm (el doble de grandes). Como se aprecia, los lados homólogos serían proporcionales (K = r = 2) pero los ángulos no son iguales. Por lo tanto, los 2 romboides no serían semejantes al no cumplir las 2 condiciones a la vez.

E J E R C I C I O S

1. Los lados de un triángulo miden 24 m., 18m. y 36 m., respectivamente. Si los lados de otro triángulo miden 12m., 16 m. y 24 m., respectivamente. Determina si son o no semejantes, justificando tu respuesta.

2. Si los triángulos ABC y A’B’C’ tienen iguales los ángulos marcados del mismo modo, establece la proporcionalidad de sus lados.

3. Los lados de un triángulo miden 36 m., 42 m. y 54 m., respectivamente. Si en un triángulo semejante a éste, el lado homólogo del primero mide 24 m., hallar los otros dos lados de este triángulo.

4. La razón de semejanza del triángulo ABC con el triángulo A’B’C’ es 3:4. Si los lados del primero son 18, 21 y 30, determina los lados del segundo.

5. Los lados de un triángulo rectángulo miden 6 m., 8 m. y 10 m. respectivamente. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m.?

6. Si a//b, r y r’ secantes que se cortan en O. Demuestra que OAA’ OBB’.

7. Si a//b, r y r’ secantes que se cortan en O y OA = 8 cm., OB = 12 cm., AA’ = 10 cm., A’B’ = 15 cm. Determina OB’ y BB’.


8. En el ABC, AD BC y CE AB. Demostrar que CE AB = AD BC

9. Si en el ABC, CD es la bisectriz del ACB y ABE ACD, demostrar que ACD DBE y que ADC

CEB.

10. Los lados de un triángulo miden 2 cm., 1,5 cm. y 3 cm. Construye, sobre un segmento de 2,5 cm.. homólogo del primer lado de este triángulo, un triángulo semejante a aquel.

11. Si los segmentos AB y CD se cortan en un punto E tal que CE EB = ED AE, demostrar que los segmentos AC y BD que unen sus extremos, son paralelos.

12. Si AE = 12, EB = 28, CE = 15, AC = 18, determinar ED y BD.


13. Si los segmentos BC y DE tienen sus extremos en los lados del EAB y forman con estos lados los

ángulos BCE y EDB iguales, demuestra que el ADE ABC.

14. Calcula AC y BC, sabiendo que AE = 18 cm., AB = 12 cm., DB = 6 cm. y DE = 21 cm.

15. Encuentra el valor de ADsi AC = 25

16. Se sabe que PR = PQ y que PX biseca QPR . Demostrar que QPX QPR

17. Dado que T = NGV Demostrar que NGV NTX

15

3

A

B E

C

D

P

Q X

R

N

G

V

X T


18. Dado que R = W. Demostrar que JYW JMR

19. Dado que LK // CB .Demostrar que: LKM BCM

20.. Según la fig.

NK JL ; ML JL

NK = 4 , ML = 6 ,

JM = 15 , JN =?

21. Hipótesis : ZY = WX ; XY = WZ

Tesis : WTZ VWX

R N

J

Y W

L

K

M

C

B

L M

K N

J

X

W Z

V Y

T


22. Hipótesis : AB CF ; AC BD Tesis : FBE DEC

23. ¿ En qué casos el ABC DEF ?

a) FD

CA

EF

BC

DE

AB

b) E = B ; EF

DE

BC

AB

c) D = B , DF

AC

EF

BC

d) E = C , D = A

24)

A B

D

F

E

C

B A

C

E D

F


25)

26)

27)


28)

29)

30)


30)

31)

32)


Ejercicio nº 1.-

Observa estas tres fotografías e indica si son semejantes entre sí y por qué:

Ejercicio nº 2.-

Mide las dimensiones de este rectángulo y construye un rectángulo semejante a él de forma que la razón de

semejanza sea 3:

Ejercicio nº 3.-

Mide sobre el plano AB, BC y AC y averigua cuáles son las verdaderas distancias entre

estos tres pueblos.

Ejercicio nº 4.-

La distancia real, en línea recta, entre dos ciudades es de 48 km. En un mapa están separadas por 16 cm. ¿Cuál es la

escala del mapa?


Ejercicio nº 5.-

Un rectángulo tiene unas dimensiones de 10 cm x 20 cm y el lado menor de otro rectángulo semejante a él mide 8

cm. ¿Cuánto mide el lado mayor?

Ejercicio nº 6.-

Sabiendo que las rectas a, b, c y d son paralelas calcula la longitud de x e y:

Ejercicio nº 7.-

Calcula el valor de x e y en esta construcción:

Ejercicio nº 8.-

Razona, apoyándote en los criterios de semejanza entre triángulos rectángulos, por qué son semejantes estos dos

triángulos:


Ejercicio nº 9.-

Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 36 metros en el momento en que una estaca de 2 m

proyecta una sombra de 1,5 metros.

Ejercicio nº 10.-

Observa las medidas del gráfico y calcula la altura del faro:


Ejercicio nº 11.-

Observa estas tres fotografías e indica si son semejantes entre sí y por qué:

Ejercicio nº1 2.-

Los lados de un triángulo rectángulo miden 15 cm, 2 cm y 25 cm. Construye un triángulo semejante de forma que la

razón de semejanza sea 2.

Ejercicio nº 13.-

En un mapa escala 1:300 000 la distancia que separa dos ciudades es de 5 cm. ¿A qué distancia real se encuentran

ambas ciudades?

Ejercicio nº1 4.-

Dos triángulos semejantes tienen perímetros de 16 cm y 24 cm, respectivamente. ¿Cuál es la razón de semejanza?

Ejercicio nº 15.-

Estos dos triángulos son semejantes. Calcula la longitud de los lados que le faltan a cada uno de ellos:


Ejercicio nº 16.-

Sabiendo que las rectas a, b, c y d son paralelas calcula la longitud de x e y:

Ejercicio nº 17.-

Calcula el valor de x e y en esta construcción:

Ejercicio nº 18.-

Razona, apoyándote en los criterios de semejanza entre triángulos rectángulos, por qué son semejantes estos dos

triángulos:


Ejercicio nº 19.-

Calcula la altura de un poste que proyecta una sombra de 21 metros en el momento en que una estaca de 2 m

proyecta una sombra de 3,5 metros.

Ejercicio nº 20.-

Observa las medidas del gráfico y calcula la altura de este obelisco:


29) La sombra de una torre eléctrica mide 10 m y en el mismo instante, la sombra de un joven mide 1,5 m.

Si el joven tiene una altura de 1,8 m, ¿cuál es la altura de la torre?

30) Se consideran dos triángulos semejantes. Del primero conocemos un ángulo, 35º, y del segundo sabemos

que uno de sus ángulo es 55º. Con estos datos, ¿qué podemos averiguar de los triángulos?

21) Con un cable de 50 metros se quiere conseguir un polígono semejante a otro de 90 metros de perímetro.

¿Cuánto medirá el lado del primer polígono homólogo de un lado del segundo polígono que mide 5 metros?

22 Las áreas de dos polígonos semejantes están en la razón 1:64. ¿Cuál es la razón de semejanza?

23 Se quiere dibujar un polígono de perímetro 60 cm, semejante a otro de perímetro 180 cm. ¿Cuánto medirá el lado

del primer polígono homólogo de un lado del segundo polígono que mide 15 metros?

24 Los lados de un cuadrilátero son: a=1 cm, b=6 cm, c=7 cm y d=4 cm. Se sabe que el área de otro semejante es 16

veces mayor que el área del primero. Determina la medida de los lados del cuadrilátero semejante.

25 Dado un prisma rectangular de 5 cm de altura y lados de la base 3 y 4 cm, construimos otro semejante a él de

razón de semejanza 0,5. Calcula el volumen del segundo por dos métodos: utilizando la fórmula del volumen del

prisma y utilizando la razón de semejanza entre volúmenes.

26 Dos ciudades situadas a 63 km están representadas en un mapa a una distancia de 4 cm. ¿A qué distancia se

encontrarán dos ciudades que distan 233 km?

27 Dado un trapecio isósceles de 4 cm de altura y bases 8 y 6 cm, construimos otro semejante a él de razón de

semejanza 1,5. Calcula la superficie del segundo por dos métodos: utilizando la fórmula del área del trapecio y

utilizando la razón de semejanza entre áreas.

28 En el plano de una vivienda, a escala 1:350, las medidas del jardín son 36 mm y 29 mm. ¿Cuál es la superficie real

de la terraza?


31) La base de un triángulo mide el doble que la de otro triángulo, y su altura también. ¿Podemos afirmar

siempre que son triángulos semejantes?

32) Si dos triángulos rectángulos son semejantes y las hipotenusas miden, respectivamente, 26 y 39 cm,

y el menor de los catetos del primer triángulo mide 10 cm, ¿cuánto miden los otros lados en ambos triángulos?

33) Encuentra los lados desconocidos: a) b)

34) Un cateto de un triángulo rectángulo mide 6 cm y su proyección sobre la hipotenusa mide 2 cm.

Determinar los otros dos lados y la altura sobre la hipotenusa.


35) Calcula h en la siguiente figura:

36) Encuentra los lados desconocidos: a) b)


Ejercicio nº 1.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 37 cm. Uno de los catetos mide 35 cm.

¿Cuánto mide el otro cateto?

Ejercicio nº 2.- Observa la figura y calcula el área del cuadrado y del círculo:

Ejercicio nº 3.- Se ha tendido un cable de 26 m de longitud uniendo los extremos de dos torres metálicas

cuyas alturas son 25 m y 35 m, respectivamente. ¿Qué distancia separa los pies de ambas torres?

Ejercicio nº 4.- Se ha construido una pista de patinaje cuadrada sobre un terreno circular, como indica la

figura. El resto del terreno se ha sembrado de césped. Calcular:

La superficie del terreno.

La superficie de la pista.

La superficie que queda con césped.

Ejercicio nº 5.- Los lados de un triángulo rectángulo miden 5 cm, 12 cm y 13 cm. Construye un triángulo

semejante de forma que la razón de semejanza sea 1/2.

Ejercicio nº 6.-


Ejercicio nº 7.- Un rectángulo tiene unas dimensiones de 10 cm 20 cm y el lado menor de otro rectángulo

semejante a él mide 8 cm. ¿Cuánto mide el lado mayor?

Ejercicio nº 8.- Las bases de un prisma recto son pentágonos regulares de 8 cm de lado y 5,5 cm de

apotema. La altura del prisma es de 15 cm. Dibuja su desarrollo y calcula el área total.

Ejercicio nº 9.- Calcula el área lateral y el área total de un cilindro de 2 metros de radio y 2,5 metros de

altura. Para ello, dibuja esquemáticamente su desarrollo y señala sobre él los datos necesarios.

Ejercicio nº 10.- Calcula la superficie de una esfera de 35 cm de radio.

Ejercicio nº 11.- Expresa en distintas unidades (en forma compleja) o en una sola (en forma incompleja),

según corresponda:

a 457 982 437 251 dm3 b 25 hm3 459 dam3 32 m3

Ejercicio nº 12.- Calcula el volumen de estos cuerpos:

Ejercicio nº 13.- Calcula la altura de un poste que proyecta una sombra de 21 metros en el momento en que

una estaca de 2 m proyecta una sombra de 3,5 metros.


Ejercicio nº 14.- Calcula la superficie de la esfera y la superficie lateral del cilindro que la envuelve.

Ejercicio nº 15.- Halla el volumen de este prisma cuyas bases son triángulos equiláteros:

Ejercicio nº 16.- Teniendo en cuenta las medidas señaladas, calcula el volumen de esta figura:

Ejercicio nº 17.- Un florero con forma cilíndrica tiene un diámetro interior de 12 cm y su altura es de 25 cm.

Queremos llenarlo hasta los 2/3 de su capacidad. ¿Cuántos litros de agua necesitamos?

Ejercicio nº 18.- Calcula el lado que falta en estos triángulos rectángulos:

Ejercicio nº 19.- Las dos diagonales de un rombo miden 24 cm y 26 cm. Calcula su perímetro y su área.


Ejercicio nº 20.- Construye un rectángulo semejante a este de forma que la razón de semejanza sea 3:

Ejercicio nº 21.- En un mapa escala 1:300 000 la distancia que separa dos ciudades es de 5 cm. ¿A qué

distancia real se encuentran ambas ciudades?

Ejercicio nº 22.- Un rectángulo tiene unas dimensiones de 15 cm 20 cm. Si el lado menor de otro

rectángulo semejante a él mide 6 cm, ¿cuánto mide el lado mayor?

Ejercicio nº 23.- Dibuja esquemáticamente el desarrollo de esta pirámide y calcula su área total sabiendo

que su base es un cuadrado de 12 cm de lado y su apotema mide 13,7 cm:

Ejercicio nº 24.- Calcula el área lateral y el área total de un cilindro de 10 cm de diámetro y 20 cm de altura.

Para ello, dibuja esquemáticamente su desarrollo y señala sobre él los datos necesarios.

Ejercicio nº 25.- Expresa en distintas unidades (en forma compleja) o en una sola (en forma incompleja),

según corresponda:

a 259 348 650 245 dm3 b 305 km3 20 hm3 32 m3 275 dm3


Ejercicio nº 26.- Calcula el volumen de estos cuerpos:

Ejercicio nº 27.- Observa las medidas del gráfico y calcula la altura del faro: (Medidas 1´60m, 9´6m, 20m y

30m)

Ejercicio nº 28.- Calcula el área total de esta pirámide regular cuya base es un cuadrado de 40 cm de lado y

su altura es de 21 cm.

Ejercicio nº 29.- Halla el volumen de este prisma de base hexagonal regular:


Ejercicio nº 30.- Los lados de un triángulo miden 16 cm, 11 cm y 8 cm. Comprueba si es un triángulo

rectángulo.

Ejercicio nº 31.- Calcula el perímetro y la superficie de esta figura:

Ejercicio nº 32.- El lado de un triángulo equilátero mide 12 cm. ¿Cuál es su área?

Ejercicio nº 33.- Los lados de un triángulo rectángulo miden 15 cm, 2 cm y 25 cm. Construye un triángulo

semejante de forma que la razón de semejanza sea 2.

Ejercicio nº 34.- Estos dos triángulos son semejantes. Calcula la longitud de los lados que le faltan a cada

uno de ellos:

Ejercicio nº 35.- Calcula el área lateral y el área total de un cono cuya generatriz mide 12 cm y el radio de su

base es de 5 cm. Dibuja esquemáticamente su desarrollo y señala sobre él los datos necesarios.

Ejercicio nº 36.- Halla la superficie de una zona esférica de 40 cm de altura perteneciente a una esfera de 60

cm de radio.

Ejercicio nº 37.- Calcula la altura de un árbol que proyecta una sombra de 4 metros en el momento en que

una estaca de 2 m proyecta una sombra de 0,5 metros.


Ejercicio nº 38.- ¿Cuál es el precio de un cajón de embalaje de 60 cm 40 cm 50 cm si la madera cuesta a

razón de 18 euros/m2?

Ejercicio nº 39.- Halla el volumen de este prisma de base hexagonal regular:

Ejercicio nº 40.- Una piscina tiene forma de prisma rectangular de dimensiones 25m x 15m x 3m. ¿Cuántos

litros de agua son necesarios para llenar los 4/5 de su volumen?

EJERCICIOS PROPUESTO SOBRE TRIÁNGULOS

1. Resuelva justificando todos los pasos: 1. Si b =20 cm.; c =10 cm.; d = ? 2. ?;70 Si

3. Si f =13cm.; d =20 cm. a = ?

4. ?40 ACBSi

5. Si d =2c; b = ?

6. ?2 Si

7. ?.;402 dcmfSi

2. Encuentra la medida del tercer ángulo interior de un triángulo, si la medida de los otros dos son:

a) 67° y 47° b) 22° y 135° c) a° y 2a°


3. Determina el valor de x si los ángulos interiores de un triángulo son x, 2x y 3x.

4. En un triángulo isósceles, el ángulo exterior del vértice mide 70º. ¿Cuánto miden los ángulos interiores de la base?

5. El ángulo CAB de un triángulo ABC cualquiera mide 52º; si el ángulo ABC es tres

veces mayor que el ángulo ACB. ¿Cuánto mide el ángulo ACB?

6. En un triángulo rectángulo los ángulos agudos están en la razón de 5:4. ¿Cuánto miden estos ángulos?

7. En un triángulo isósceles, un ángulo basal tiene 18,5º más que el ángulo del vértice. Calcula los ángulos interiores del triángulo.

8. Los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 3:4:5. ¿Cuánto miden estos ángulos?

9. En un triángulo ABC cualquiera, el ángulo CAB tiene 15º más que el ángulo CBA y éste 12º más que el ángulo ACB. Determina el valor de los ángulos exteriores de este triángulo.

10. En un triángulo isósceles, la suma de uno de los ángulos exteriores de la base con el ángulo exterior del vértice es 243ª. Calcula la medida del ángulo interior del vértice.

11. En un triángulo un ángulo mide 47º y el segundo tiene 17º más que el tercero. Calcula la medida de los ángulos interiores del triángulo.

12. El ángulo ABC de un triángulo ABC cualquiera mide 56º. Si los ángulos CAB y ACB están en la razón 3:2, ¿cuál es el valor del ángulo ACB?

13. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos tiene 20º más que el otro. ¿Cuánto miden los ángulos agudos?

14. En un triángulo cualquiera, un ángulo interior tiene 20º más que otro, pero 35º menos que el tercero. ¿Cuánto miden los ángulos interiores de este triángulo?

15. En un triángulo cualquiera los ángulos exteriores están en razón de 2:3:4. ¿Cuánto miden los ángulos interiores de este triángulo?

16. En un triángulo uno de los ángulos es el 50% de uno de los otros dos y el 33 1/3 % del tercero. Determina la medida del ángulo menor de este triángulo.


EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS EJERICIO 1

Si BD AC , 1=2; demostremos que ABD CBD EJERCICIO 2

Sea DAAB; CBAB; y 1=2. Demostremos que ABD ABC

EJERCICIO 3 Si AC = AD y 1=2. Demostremos que C =D


EJERCICIO 4: Digamos qué triángulos son congruentes, indicando el criterio.

EJERCICIO 5

Hipótesis: NRPRPQQM

Tesis: MNP es isósceles

EJERCICIO 6

Hipótesis: ACAB ; A es trisecado

Tesis: AEAD


EJERCICIO 7 De acuerdo con la figura,

donde AE y CD son alturas del

triángulo BAC , y CEAD .

Demostremos que CFAF

EJERCICIO 8

En la figura BCAC y

ECDC . Demostremos que

DBAE


EJEMPLO 9

En la figura, BCAC y CEDCDE . Demostremos

que DBAE

EJERCICIO 10 Hipótesis: AE biseca a BD; BDDE ; BDAB Tesis: AE


EJERCICIO 11

Hipótesis: PQ bisectriz; MNPQ

Tesis: NM

EJERCICIO 12

Hipótesis: 1 = 2;

CE biseca BF

Tesis: C = E

.


Problemas resueltos de triángulos oblicuángulos

1De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.

2De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Calcula los restantes elementos.

3Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m.




7Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m.

8Calcula la altura, h, de la figura:

9Calcula la distancia que separa el punto A del punto inaccesible B.


10Calcula la distancia que separa entre dos puntos inaccesibles A y B.

11Calcular el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A = 45°, B = 72° y a=20m.

12 El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha

circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.

13Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'.

Calcular los lados.

Problemas de triángulos rectángulos

1 De un t r iángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m.

Reso lver e l t r iángulo .

2 De un t r iángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m.


3 De un t r iángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22°.


4 De un t r iángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B = 37º.


5 De un t r iángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°.



6 De un t r iángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54.6°.


7 De un t r iángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m.


8 De un t r iángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m.


9 Un árbo l de 50 m de a l to proyecta una sombra de 60 m de larga.

Encontrar e l ángulo de e levac ión del so l en ese momento.

10 Un d i r ig ib le que está vo lando a 800 m de a l tura, d i s t ingue un pueb lo

con un ángulo de depres ión de 12°. ¿A qué d i s tanc ia de l pueblo se ha l l a?

11 Ha l lar e l rad io de una c i rcunferenc ia sab iendo que una cuerda de 24.6

m t iene como arco correspond iente uno de 70°.

12 Ca lcu lar e l área de una parce la t r iangular , sab iendo que dos de sus

lados miden 80 m y 130 m, y forman ent re e l los un ángulo de 70 °.

13 Ca lcu la la a l tura de un árbo l , sab iendo que desde un punto del

terreno se observa su copa bajo un ángu lo de 30° y s i nos acercamos 10 m,

bajo un ángulo de 60°.

14 La long i tud de l l ado de un octógono regular es 12 m. Ha l lar los rad ios

de la c i rcunferenc ia inscr i ta y c i rcunscr i ta .

15 Ca lcu lar la long i tud de l l ado y de la apotema de un octógono regular

inscr i to en una c i rcunferenc ia de 49 cent ímetros de radio .

16Tres pueb los A, B y C están unidos por carreteras. La d i stanc ia de A a

C es 6 km y la de B a C 9 km. E l ángulo que forman estas car reteras es 120°.

¿Cuánto d i s tan A y B?


En esta pequeña lista de ejercicios no he querido incluir problemas típicos como es

calcular la medida un lado de un triángulo rectángulo conociendo las medidas de los dos

lados que faltan. Aunque con ese tipo de problemas es con los que hay que empezar a

trabajar con los alumnos, prefiero exponer problemas que aun siendo sencillos requieran

un poco más de dedicación.

1.- Calcula la medida del lado de un cuadrado sabiendo que su diagonal mide 10 cm.

También se pide el área del cuadrado.

2.- Calcular la medida de la diagonal de un rectángulo con lados 3 y 4 centímetros

respectivamente.

3.- Calcular la altura de un triángulo equilátero de 5 cm de lado.

4.- Para sujetar una antena de 13 m de alto, se proyecta colocar tres cables de acero. Si

se desea que el punto de enganche del cable esté a una distancia de 4 m de la base de la

antena. ¿Cuántos metros de cable se necesitarán?.

5.- Un explorador requiere conocer la altura de una montaña que se encuentra a una

distancia indeterminada de él. Para ello mide el ángulo que forma el suelo con el pico de la

montaña resultando ser de 60º, avanza en dirección a la montaña 25 metros y hace otra

medición del ángulo que forma el suelo con el pico de la montaña, dándole esta vez 75º.

Se pide el cálculo de la altura de la montaña, y de la distancia a la que se encuentra la

base de la montaña respecto al segundo lugar donde se realizó la medida del ángulo.

manual de ejercicios poligonos a12

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